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Função Logarítmica Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Me Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Técnica Profª Drª Cintia Aparecida Bento dos Santos Revisão Textual Prof Me Fatima Furlan 5 Introdução Condição de Existência do Logaritmo Consequências da Definição de Logaritmo Neste módulo veremos as funções logarítmicas Iniciamos nossos estudos com a definição de logaritmo e a sua condição de existência Estudaremos suas propriedades operatórias Construiremos o gráfico de uma função logarítmica e resolveremos equações logarítmicas Encerraremos a Unidade com as inequações logarítmicas Faça uma leitura atenciosa do conteúdo e das situações problemas propostas para compreensão e interpretação Nesta unidade trataremos das funções logarítmicas Em latim logaríthmus significa números que envolvem A função logarítmica é a inversa da função exponencial Os logaritmos surgiram como ferramenta de cálculo para realizar simplificações já que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração Função Logarítmica Propriedades Operatórias dos Logaritmos Mudança de base do logaritmo Função Logaritmica Equações Logarítmicas Inequações logarítmicas 6 Unidade Função Logarítmica Contextualização Silêncio A modernidade e consequentemente a urbanização não trouxeram apenas conforto e modernidade Com os benefícios diversos problemas antes incomuns passaram a fazer parte do nosso cotidiano Entre eles a poluição sonora Buzinas sirenes e motocicletas bem como carros rádios televisores aviões liquidificadores etc estão tornando o meio em que vivemos cada vez mais barulhento Estudos mostram que a poluição sonora pode causar além de perda auditiva estresse falta de concentração problemas neurológicos e digestivos entre outros O nível equivalente de ruído de um ambiente é medido em decibéis por meio da função logarítmica nl10 log l l0 em que l é a intensidade sonora em wattmetro quadrado wm2 e l0 é a intensidade sonora mínima de audibilidade humana podendose considerar l0 1012 wm2 Além da intensidade do ruído do ambiente fatores como o tempo de exposição e características específicas de cada pessoa têm influência nos danos causados à audição O nível de ruído recomendável pela Organização Mundial da Saúde OMS é de 50 dB Porém conforme o quadro seguinte é comum a exposição a ruídos acima desse nível Gerador do ruído Nível equivalente de ruído Gerador do ruído Nível equivalente de ruído Liquidificador 90 dB Secador de cabelo 90 dB Britadeira 100 dB Buzina de automóvel 110 dB Motor de motocicleta 120 dB Decolagem de avião a jato 150 dB Veja duas aplicações O nível de ruídos de um ambiente pode ser medido em decibéis dB e determinado pela função nx12010 log x em que x é a intensidade do ruído em wattsmetro quadrado wm2 Ao decolar um avião gerou um ruído com intensidade de 100 wm2 Calcule o nível de ruído em decibéis Ao se medir o nível de ruído de um liquidificador verificouse que este atingia cerca de 90 dB Determine a intensidade do ruído gerado pelo liquidificador em wattsmetro quadrado 7 Resolução A nx12010 log x substituímos em x o valor de 100 wm2 n10012010 log 100 n10012010 log 102 n100120102 log10 n10012020 1 n10012020 n100140 Resposta 140dB B nx12010 log x neste caso temos nx90 90 12010 log x 10 log x 90 120 10 log x 30 log x 30 10 log x 3 103 x Resposta 103 wm2 Fonte RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 8 Unidade Função Logarítmica Introdução Quando trabalhamos com potências três operações aparecem A primeira é a potenciação São dados a base e o expoente por exemplo 3² x onde x é a segunda potência de 3 A segunda é a radiciação Nesta são dados o expoente e a potência como no exemplo x³ 27 ou x 27 em que x é a raiz cúbica de 27 ou seja 3 A terceira operação é a logaritmação Nesta são conhecidas a base e a potência como no exemplo 2x 8 onde x é o logaritmo do número 8 na base 2 ou log28 x 2x x Podemos estabelecer a equivalência log28 x 2x 8 Assim concluímos que log28 é o número ao qual devemos elevar a base 2 para obtermos o número 8 no caso o número 3 Definição Para definirmos o que é o logaritmo vamos tomar como exemplo as equações exponenciais a seguir A 5x 25 5x 52 x 2 Esse valor 2 denominase logaritmo do número 25 na base 5 e é representado por log525 2 52 25 Assim log525 2 52 25 B 3x 1 81 3x 1 34 3x 34 x 4 O valor de 4 chamase logaritmo do número 1 81 na base 3 e é representado por log3 1 81 4 Dados os números reais positivos a e b com a 1 chamase logaritmo de b na base a o expoente c tal que ac b ou seja 9 No logaritmo a base pode ser qualquer número real positivo diferente de 1 Exemplo 1 a log381 4 3481 b log 1 2 32 5 1 12 5 32 c log55 2 52 5 Exemplo 2 Calcule os logaritmos a seguir aplicando a definição A log327 Resolução log3 27x 3x 27 3x 33 x 3 B log0225 Resolução log02 25 x 02x 25 2 10 x 52 1 5 x 52 51x 52 5x 52 x 2 x 2 C log 1 9 33 Resolução log 1 9 33 x 1 9 x 33 1 32 x 33 1 2 32x 31 1 2 32x 3 3 2 2x 3 2 x 3 4 Observações De acordo com as restrições impostas não são definidos por exemplo os logaritmos de log381 log100 log03 log28 e log16 Aplique a definição nesses casos e veja o que acontece Quando a base do logaritmo for 10 damos o nome de logaritmos decimais e podemos representálos assim log 8 que é o logaritmo de 8 na base 10 Exemplo 3 Determine o valor de b para que log 1 8 b 2 Fique atento O logaritmo é um expoente Conservase a base e somase os expoentes 10 Unidade Função Logarítmica Resolução Aplicando a definição temos 1 8 2 b 82 b b64 Exemplo 4 Determine o valor de a sabendose que loga 25 2 Resolução Aplicando a definição temos a2 25 a2 25 a 25 a 5 Como a deve ser um número positivo e diferente de 1 temos que a 5 o valor 5 não deve ser considerado Portanto a 5 Além dos logaritmos decimais temos outro logaritmo importante cuja base é o número irracional e 2718281828 Obtido pelo matemático Leonhard Euler 1707 1783 o logaritmo de base e é chamado logaritimo neperiano ou logaritmo natural e é representado por logeb ou ln b Exemplo 5 Determine o valor de cada expressão A log2 log100 Resolução Primeiro calculamos log 100 log10100 x 10x 100 10x 102 x 2 Em seguida calculamos log2 2 log2 2 x 2x 2 2x 21 x 1 B log2 025 log 1 25 5 Vamos calcular separadamente log2 025 e log 1 25 5 log2 025 x 2x 025 2x 25 100 2x 1 4 2x 1 2 2 2x 22 x 2 log 1 25 5 x 1 25 x 5 1 52 x 5 52x 5 1 2 2x 1 2 x 1 4 11 Agora somamos 2 1 4 2 1 4 81 4 9 4 C Vamos calcular log2 8 log2 8 x 2x 8 2x 23 2x 2 3 2 x 3 2 Condição de Existência do Logaritmo Pela condição de logaritmo vimos que loga b c existe se a 0 e a 1 Assim é preciso definir em alguns casos quais os valores de a e b para que o logaritmo exista Exemplo Determine os valores reais de x para os quais existe A log3 x 5 Como a base é 3 positiva e diferente de 1 devemos impor que x 5 0 x 5 Logo x R x 5 B log 3 2 x2 7x10 Condição de existência x2 7x 10 0 x2 7x 10 0 3 2 Vamos encontrar as raízes da equação e fazer o estudo do sinal da equação do 2º grau 12 Unidade Função Logarítmica a 1 0 concavidade voltada para cima b2 4 a c 9 0 duas raízes reais e distintas x x 2 e x 5 Logo a solução é dada por x R x 2 e x 5 C logx2 x2 4x 5 Pelas condições de existência temos I x 2 1 x 1 2 x 3 e x 2 0 x 2 II x2 4x 5 0 x2 4x 5 0 a 1 0 concavidade voltada para cima b2 4 a c 36 0 duas raízes reais e distintas x x 1 e x 5 13 x R x 1 e x 5 Satisfazendo simultaneamente as duas condições temos Logo a solução é dada por x R x 5 Consequências da Defi nição de Logaritmo 1 loga 1 0 pois a0 1 qualquer que seja a 0 e a 1 2 loga a 1 pois a1 a para todo a 0 e a 1 3 loga an n pois an an para todo a 0 e a 1 e para todo n 4 alog a N N com N 0 a 0 e a 1 5 loga x loga y x y com x 0 y 0 a 0 e a 1 Exemplos 1 Calcule o valor dos logaritmos a log6 1 0 b log06 06 1 c log6 6 1 d log 1 6 1 0 2 Dê o valor de x nas igualdades a 1 log3 x x 3 b 1 logx 8 x 8 14 Unidade Função Logarítmica 3 Calcule o valor dos logaritmos seguinte a log5 54 4 b log3 36 6 c log2 24 4 d log5 5 log5 5 1 2 1 2 e log3 log5 53 log3 31 3 f 2 log10log 2 13 21log 2 13 2log 2 13 13 1 Propriedades Operatórias dos Logaritmos Vamos conhecer agora as propriedades operatórias dos logaritmos 1ª propriedade logaritmo do produto loga bc loga b loga c com a 0 b 0 c 0 e a 1 Numa mesma base o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números Exemplos a log2 3 5 log2 3 log2 5 b log 300 log 3 100 log 3 log 100 log 3 log 102 log 3 2 2 Atenção log 3 2 não é o mesmo que log 3 2 2ª propriedade logaritmo do quociente loga b c loga b loga c com a 0 b 0 c 0 e a 1 15 Numa mesma base o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números Exemplos a log2 16 4 log2 16 log2 4 log2 24 log2 22 4 2 2 b log 7 10 log 7 log 10 log 7 1 1 3ª propriedade logaritmo da potência loga bn n loga b Exemplos a log3 57 7 log3 5 b log102 2 log10 2 1 2 1 Exercício resolvido 1 Dados logb a 5 e logb 2 10 resolva a expressão logb 24a logb 3 Aplicando as propriedades temos logb 24a logb 3 logb 24a 3 logb 8a logb 8 logb a logb 23 logb a 3 logb 2 logb a Substituir os valores dados 3 10 5 30 5 35 2 Escreva as expressões na forma de um único logaritmo a 3 log 12 log 7 log123 log7 log123 7 b 3 log2 7 log2 6 6 log2 3 log2 73 log2 6 log2 36 propriedade de potência log2 73 6 log2 36 log2 736 36 Aplicar a propriedade do logaritmo do quociente Aplicar a propriedade do logaritmo do produto Aplicar a propriedade do logaritmo da potência 16 Unidade Função Logarítmica Mudança de base do logaritmo Observem log4 64 3 pois 43 64 log2 64 6 pois 26 64 log2 4 2 pois 22 4 Temos também que log4 64 3 podemos escrever log4 64 log2 64 log2 4 dizemos que houve uma mudança de base nos logaritmos de base 4 e 2 Assim loga b logc b logc a Exemplos A log5 8 log3 8 log3 5 neste caso o log5 8 foi transformado em um quociente de logaritmos na base 3 B log3 12 log7 12 log7 3 neste caso o log3 12 foi transformado em um quociente de logaritmos na base 7 ATENÇÃO A base deve ser escolhida de acordo com a conveniência de cada exercício Exercicios resolvidos 1 Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10 log2 8 log 8 log 2 2 Dado logb a 6 calcule loga b3 loga b3 logb b3 logb a 3 6 1 2 3 Calcule o valor da expressão log3 5 log25 81 Escrever na base 3 log3 5 log25 81 log3 5 log3 81 log3 25 17 1 log3 5 log3 34 log3 52 log3 5 4 log3 3 2 log3 5 log35 2 log3 3 log3 5 2 12 Função Logaritmica Vimos na Unidade anterior que a função definida por fx ax com a 0 e a 1 é uma função exponencial Lembrando que essa é uma função bijetora ou seja possui a função inversa A função inversa da função exponencial é a função logarítmica definida por f R R definida por fx loga x ou y loga x com a 0 e a 1 Exemplos a fx log2 x b y log x c fx log 1 2 x Exercício resolvido 1 Seja a função fx log2x3 determine Df CDf e Imf Pela definição de logaritmo temos 2x 3 0 x 3 2 Df x R x 3 2 Como a função logaritmica é bijetora temos que CDf Imf portanto podemos obter o CD de f calculando o D de f1 Para calcular f1 trocamos as variáveis x por y e y por x em seguida isolamos y y log2x3 x log2y3 aplicamos a definição de logarítmo loga b c acb 10x 2y 3 10x 3 2y y 10x 3 2 Portanto f1 x 10x 3 2 O domínio desta função são os Reais R consequentemente o CDf R e também Imf R 18 Unidade Função Logarítmica 2 Dada a função fx log3 x calcule A f9 f9 log3 9 log3 32 2 log3 3 2 12 B f 1 3 f 1 3 log3 1 3 log3 31 1 log3 3 1 1 1 C f1x y log3 x x log3 y 3x y f1x 3x D f11 f11 31 1 3 3 Determine o domínio da função fx logx5 112x Pela definição temos fx loga b temos que a 0 e a 1 e b 0 I x 5 0 x 5 e x 5 1 x 1 5 x 6 II 11 2x 0 11 2x 2x 11 x 11 2 S x R 5 x 11 2 Gráfico da função logarítmica Observe a construção de dois gráficos de funções logarítmicas fx log2 x e gx log 1 2 x Atribuímos alguns valores para x e encontramos os valores correspondentes de fx e gx x fx log2 x x fx 14 f 1 4 log2 1 4 log2 22 2 log2 2 2 1 2 1 4 2 12 f 1 2 log2 1 2 log2 21 1 log2 2 1 1 1 1 2 1 1 f1 log2 1 0 1 0 2 f2 log2 21 2 1 4 f4 log2 22 2 log2 2 2 12 4 2 19 Quando a 1 a função logarítmica é crescente Se aumentarmos os valores de x os valores correspondentes de fx também aumentam No gráfico anterior temos a 2 1 portanto a função é crescente x gx log 1 2 x x fx 14 g 1 4 log 1 2 1 4 log 1 2 22 2 log 1 2 2 2 1 2 1 4 2 12 g 1 2 log 1 2 1 2 1 1 2 1 1 g1 log 1 2 1 0 1 0 2 g2 log 1 2 21 2 1 4 g4 log 1 2 22 2 log 1 2 2 2 12 4 2 20 Unidade Função Logarítmica Quando a 1 a função logarítmica é decrescente Se aumentarmos os valores de x os valores correspondentes de gx diminuem No gráfico anterior temos a 12 1 portanto a função é decrescente Como consequência da análise dos gráficos e da definição concluímos que Se a 1 a função é crescente Se a 1 a função é decrescente O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto 1 0 ou seja f1 0 ou ainda loga 1 0 O gráfico não toca o eixo y e nem ocupa os quadrantes II e III Na função logarítmica o domínio o contradomínio e o conjunto imagem são definidos por Df R CDf R e Imf R Os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à reta y x Veja os gráficos das funções inversas fx ax e gx loga x 21 Observe que as duas funções são crescentes a 1 No entanto à medida que aumentamos os valores de x a função exponencial cresce rapidamente enquanto que a função logarítmica cresce muito lentamente Neste caso as duas funções são decrescentes ou seja 0 a 1 Equações Logarítmicas Acompanhe os exercícios resolvidos Resolva a equação log2 x2 3 Primeiro analisamos o logaritmando e a base No caso a base é um número real positivo e diferente de 1 mas é preciso verificar o logaritmando Condição de existência x 2 0 x 2 Em seguida aplicamos a definição de logaritmo loga b c acb log2 x2 3 23 x 2 8 x 2 x 10 A solução da equação logarítmica tem que satisfazer a condição de existência x 2 e como 10 é maior que 2 a solução desta equação é S 10 2 Resolva log2 x3 log2 x 2 Condição de existência x 3 0 x 3 e x 0 portanto x 3 log2 x3 log2 x 2 log2 x3 x 2 22 x x 3 Aplicamos a definição de logaritmo loga b c acb 22 Unidade Função Logarítmica 4 x2 3x x2 3x 4 0 a 1 0 concavidade para cima 25 0 duas raízes reais de distintas x 4 e x 1 Agora temos que verificar a condição de existência que é x 0 Neste caso x 4 pertence ao intervalo x 0 mas x 1 não pertence a esse intervalo portanto a solução é S 4 3 Resolva a equação log5 x2 x 6 log5 3x2 Condição de existência x2 x 6 0 x2 x 6 0 a 1 0 concavidade para cima 25 0 duas raízes reais e distintas x 3 e x 2 3x 2 0 3x 2 x 23 Determinamos a condição de existência por meio da intersecção de I e II Portanto a condição de existência é x 2 Agora vamos resolver a equação logaritmica aplicando a propriedade loga b loga c b c Para resolver essa inequação resolvemos a equação do 2º grau e fazemos o estudo do sinal dessa função 23 log5x2 x 6 log53x2 x2 x 6 3x 2 x2 x 6 3x 2 0 x2 2x 8 0 a 1 0 concavidade para cima 36 0 duas raízes reais e diferentes x 2 e x 4 Agora temos que verificar a condição de existência que é x 2 portanto apenas x 4 satistaz a condição de existência S 4 4 Resolver a equação log2 log3 x2 Condição de existência x 0 e log3 x 0 Aplicando a definição de logaritmo temos log2 log3 x2 22 log3 x 4 log3 x log3 x 4 aplicamos novamente a definição de logaritmo 34 x x 81 Verificando a condição de existência temos S 81 5 Resolva 2 log10 x log10 4 log10 3x Condição de existência x 0 e 3x 0 x 0 2 log10 x log10 4 log10 3x 2 log10 x log10 43x log10 x2 log10 43x x2 43x x2 12x x2 12x 0 Resolvendo a equação x2 12x 0 encontramos x 0 e x 12 Verificando a condição de existência que é x 0 a solução é apenas x 12 S 12 24 Unidade Função Logarítmica Inequações logarítmicas Vamos recordar algumas informações importantes que nos ajudarão a resolver uma inequação A função fx loga x é crescente quando a 1 Neste caso conservase o sinal da desigualdade A função fx loga x é decrescente quando 0 a 1 Neste caso trocase o sinal da desigualdade Para resolver uma inequação logarítmica reduzimos os dois membros a logaritmos de mesma base a a 0 e a 1 Acompanhe os exercícios resolvidos 1 Resolva a inequação log5 5x10 log5 45 Condição de existência 5x 10 0 x 2 I Neste caso já temos as bases dos logaritmos iguais Como a base é 5 a 1 mantemos o sinal da desigualdade e resolvemos a inequação log5 5x10 log5 45 5x 10 45 5x 45 10 5x 35 x 7 II A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R 2x 7 2 Resolva a inequação log 1 3 4x1 2 Condição de existência 4x 1 0 x 1 4 I Como a base é 1 3 0 x 1 invertemos o sinal da desigualdade log 1 3 4x1 2 log 1 3 4x1 log 1 3 1 3 2 Cancelamos os log e invertemos o sinal da desigualdade 4x 1 1 3 2 4x 1 1 9 4x 1 9 1 4x 1 9 9 9 4x 10 9 x 10 36 x 5 18 II 25 A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R x 5 18 3 Resolva a inequação log3 x log3 x82 Condição de existência x 0 e x 8 0 x 8 basta x 8 I log3 x log3 x8 log3 32 log3 x log3 x8 log3 9 log3 x x8 log3 9 Como a base é igual a 3 a 1 mantemos o sinal da desigualdade x x 8 9 x2 8x 9 0 x2 8x 9 0 a 1 0 concavidade voltada para cima 100 0 duas raízes reais e distintas x 1 e x 9 1 x 9 II A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R 8x9 26 Unidade Função Logarítmica Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre função exponencial consulte as indicações a seguir Sites Propriedades Operatórias dos Logaritimos httpgooglzCC5cN Exponencial e Logaritimos httpgoogl4ebiwS Logaritmos httpinternacoceducacaocombrebookpages7673htm Livro Capítulo 8 do livro A Matemática do Ensino Médio volume 1 de Elon Lages Lima Paulo César P Carvalho Eduardo Wagner e Augusto César Morgado Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 27 Referências BIGODE AJL Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 28 Unidade Função Logarítmica Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000
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Função Logarítmica Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Me Conceição Aparecida Cruz Longo Revisão Técnica Profª Drª Cintia Aparecida Bento dos Santos Revisão Textual Prof Me Fatima Furlan 5 Introdução Condição de Existência do Logaritmo Consequências da Definição de Logaritmo Neste módulo veremos as funções logarítmicas Iniciamos nossos estudos com a definição de logaritmo e a sua condição de existência Estudaremos suas propriedades operatórias Construiremos o gráfico de uma função logarítmica e resolveremos equações logarítmicas Encerraremos a Unidade com as inequações logarítmicas Faça uma leitura atenciosa do conteúdo e das situações problemas propostas para compreensão e interpretação Nesta unidade trataremos das funções logarítmicas Em latim logaríthmus significa números que envolvem A função logarítmica é a inversa da função exponencial Os logaritmos surgiram como ferramenta de cálculo para realizar simplificações já que transformam multiplicações e divisões nas operações mais simples de soma e subtração Função Logarítmica Propriedades Operatórias dos Logaritmos Mudança de base do logaritmo Função Logaritmica Equações Logarítmicas Inequações logarítmicas 6 Unidade Função Logarítmica Contextualização Silêncio A modernidade e consequentemente a urbanização não trouxeram apenas conforto e modernidade Com os benefícios diversos problemas antes incomuns passaram a fazer parte do nosso cotidiano Entre eles a poluição sonora Buzinas sirenes e motocicletas bem como carros rádios televisores aviões liquidificadores etc estão tornando o meio em que vivemos cada vez mais barulhento Estudos mostram que a poluição sonora pode causar além de perda auditiva estresse falta de concentração problemas neurológicos e digestivos entre outros O nível equivalente de ruído de um ambiente é medido em decibéis por meio da função logarítmica nl10 log l l0 em que l é a intensidade sonora em wattmetro quadrado wm2 e l0 é a intensidade sonora mínima de audibilidade humana podendose considerar l0 1012 wm2 Além da intensidade do ruído do ambiente fatores como o tempo de exposição e características específicas de cada pessoa têm influência nos danos causados à audição O nível de ruído recomendável pela Organização Mundial da Saúde OMS é de 50 dB Porém conforme o quadro seguinte é comum a exposição a ruídos acima desse nível Gerador do ruído Nível equivalente de ruído Gerador do ruído Nível equivalente de ruído Liquidificador 90 dB Secador de cabelo 90 dB Britadeira 100 dB Buzina de automóvel 110 dB Motor de motocicleta 120 dB Decolagem de avião a jato 150 dB Veja duas aplicações O nível de ruídos de um ambiente pode ser medido em decibéis dB e determinado pela função nx12010 log x em que x é a intensidade do ruído em wattsmetro quadrado wm2 Ao decolar um avião gerou um ruído com intensidade de 100 wm2 Calcule o nível de ruído em decibéis Ao se medir o nível de ruído de um liquidificador verificouse que este atingia cerca de 90 dB Determine a intensidade do ruído gerado pelo liquidificador em wattsmetro quadrado 7 Resolução A nx12010 log x substituímos em x o valor de 100 wm2 n10012010 log 100 n10012010 log 102 n100120102 log10 n10012020 1 n10012020 n100140 Resposta 140dB B nx12010 log x neste caso temos nx90 90 12010 log x 10 log x 90 120 10 log x 30 log x 30 10 log x 3 103 x Resposta 103 wm2 Fonte RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 8 Unidade Função Logarítmica Introdução Quando trabalhamos com potências três operações aparecem A primeira é a potenciação São dados a base e o expoente por exemplo 3² x onde x é a segunda potência de 3 A segunda é a radiciação Nesta são dados o expoente e a potência como no exemplo x³ 27 ou x 27 em que x é a raiz cúbica de 27 ou seja 3 A terceira operação é a logaritmação Nesta são conhecidas a base e a potência como no exemplo 2x 8 onde x é o logaritmo do número 8 na base 2 ou log28 x 2x x Podemos estabelecer a equivalência log28 x 2x 8 Assim concluímos que log28 é o número ao qual devemos elevar a base 2 para obtermos o número 8 no caso o número 3 Definição Para definirmos o que é o logaritmo vamos tomar como exemplo as equações exponenciais a seguir A 5x 25 5x 52 x 2 Esse valor 2 denominase logaritmo do número 25 na base 5 e é representado por log525 2 52 25 Assim log525 2 52 25 B 3x 1 81 3x 1 34 3x 34 x 4 O valor de 4 chamase logaritmo do número 1 81 na base 3 e é representado por log3 1 81 4 Dados os números reais positivos a e b com a 1 chamase logaritmo de b na base a o expoente c tal que ac b ou seja 9 No logaritmo a base pode ser qualquer número real positivo diferente de 1 Exemplo 1 a log381 4 3481 b log 1 2 32 5 1 12 5 32 c log55 2 52 5 Exemplo 2 Calcule os logaritmos a seguir aplicando a definição A log327 Resolução log3 27x 3x 27 3x 33 x 3 B log0225 Resolução log02 25 x 02x 25 2 10 x 52 1 5 x 52 51x 52 5x 52 x 2 x 2 C log 1 9 33 Resolução log 1 9 33 x 1 9 x 33 1 32 x 33 1 2 32x 31 1 2 32x 3 3 2 2x 3 2 x 3 4 Observações De acordo com as restrições impostas não são definidos por exemplo os logaritmos de log381 log100 log03 log28 e log16 Aplique a definição nesses casos e veja o que acontece Quando a base do logaritmo for 10 damos o nome de logaritmos decimais e podemos representálos assim log 8 que é o logaritmo de 8 na base 10 Exemplo 3 Determine o valor de b para que log 1 8 b 2 Fique atento O logaritmo é um expoente Conservase a base e somase os expoentes 10 Unidade Função Logarítmica Resolução Aplicando a definição temos 1 8 2 b 82 b b64 Exemplo 4 Determine o valor de a sabendose que loga 25 2 Resolução Aplicando a definição temos a2 25 a2 25 a 25 a 5 Como a deve ser um número positivo e diferente de 1 temos que a 5 o valor 5 não deve ser considerado Portanto a 5 Além dos logaritmos decimais temos outro logaritmo importante cuja base é o número irracional e 2718281828 Obtido pelo matemático Leonhard Euler 1707 1783 o logaritmo de base e é chamado logaritimo neperiano ou logaritmo natural e é representado por logeb ou ln b Exemplo 5 Determine o valor de cada expressão A log2 log100 Resolução Primeiro calculamos log 100 log10100 x 10x 100 10x 102 x 2 Em seguida calculamos log2 2 log2 2 x 2x 2 2x 21 x 1 B log2 025 log 1 25 5 Vamos calcular separadamente log2 025 e log 1 25 5 log2 025 x 2x 025 2x 25 100 2x 1 4 2x 1 2 2 2x 22 x 2 log 1 25 5 x 1 25 x 5 1 52 x 5 52x 5 1 2 2x 1 2 x 1 4 11 Agora somamos 2 1 4 2 1 4 81 4 9 4 C Vamos calcular log2 8 log2 8 x 2x 8 2x 23 2x 2 3 2 x 3 2 Condição de Existência do Logaritmo Pela condição de logaritmo vimos que loga b c existe se a 0 e a 1 Assim é preciso definir em alguns casos quais os valores de a e b para que o logaritmo exista Exemplo Determine os valores reais de x para os quais existe A log3 x 5 Como a base é 3 positiva e diferente de 1 devemos impor que x 5 0 x 5 Logo x R x 5 B log 3 2 x2 7x10 Condição de existência x2 7x 10 0 x2 7x 10 0 3 2 Vamos encontrar as raízes da equação e fazer o estudo do sinal da equação do 2º grau 12 Unidade Função Logarítmica a 1 0 concavidade voltada para cima b2 4 a c 9 0 duas raízes reais e distintas x x 2 e x 5 Logo a solução é dada por x R x 2 e x 5 C logx2 x2 4x 5 Pelas condições de existência temos I x 2 1 x 1 2 x 3 e x 2 0 x 2 II x2 4x 5 0 x2 4x 5 0 a 1 0 concavidade voltada para cima b2 4 a c 36 0 duas raízes reais e distintas x x 1 e x 5 13 x R x 1 e x 5 Satisfazendo simultaneamente as duas condições temos Logo a solução é dada por x R x 5 Consequências da Defi nição de Logaritmo 1 loga 1 0 pois a0 1 qualquer que seja a 0 e a 1 2 loga a 1 pois a1 a para todo a 0 e a 1 3 loga an n pois an an para todo a 0 e a 1 e para todo n 4 alog a N N com N 0 a 0 e a 1 5 loga x loga y x y com x 0 y 0 a 0 e a 1 Exemplos 1 Calcule o valor dos logaritmos a log6 1 0 b log06 06 1 c log6 6 1 d log 1 6 1 0 2 Dê o valor de x nas igualdades a 1 log3 x x 3 b 1 logx 8 x 8 14 Unidade Função Logarítmica 3 Calcule o valor dos logaritmos seguinte a log5 54 4 b log3 36 6 c log2 24 4 d log5 5 log5 5 1 2 1 2 e log3 log5 53 log3 31 3 f 2 log10log 2 13 21log 2 13 2log 2 13 13 1 Propriedades Operatórias dos Logaritmos Vamos conhecer agora as propriedades operatórias dos logaritmos 1ª propriedade logaritmo do produto loga bc loga b loga c com a 0 b 0 c 0 e a 1 Numa mesma base o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números Exemplos a log2 3 5 log2 3 log2 5 b log 300 log 3 100 log 3 log 100 log 3 log 102 log 3 2 2 Atenção log 3 2 não é o mesmo que log 3 2 2ª propriedade logaritmo do quociente loga b c loga b loga c com a 0 b 0 c 0 e a 1 15 Numa mesma base o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números Exemplos a log2 16 4 log2 16 log2 4 log2 24 log2 22 4 2 2 b log 7 10 log 7 log 10 log 7 1 1 3ª propriedade logaritmo da potência loga bn n loga b Exemplos a log3 57 7 log3 5 b log102 2 log10 2 1 2 1 Exercício resolvido 1 Dados logb a 5 e logb 2 10 resolva a expressão logb 24a logb 3 Aplicando as propriedades temos logb 24a logb 3 logb 24a 3 logb 8a logb 8 logb a logb 23 logb a 3 logb 2 logb a Substituir os valores dados 3 10 5 30 5 35 2 Escreva as expressões na forma de um único logaritmo a 3 log 12 log 7 log123 log7 log123 7 b 3 log2 7 log2 6 6 log2 3 log2 73 log2 6 log2 36 propriedade de potência log2 73 6 log2 36 log2 736 36 Aplicar a propriedade do logaritmo do quociente Aplicar a propriedade do logaritmo do produto Aplicar a propriedade do logaritmo da potência 16 Unidade Função Logarítmica Mudança de base do logaritmo Observem log4 64 3 pois 43 64 log2 64 6 pois 26 64 log2 4 2 pois 22 4 Temos também que log4 64 3 podemos escrever log4 64 log2 64 log2 4 dizemos que houve uma mudança de base nos logaritmos de base 4 e 2 Assim loga b logc b logc a Exemplos A log5 8 log3 8 log3 5 neste caso o log5 8 foi transformado em um quociente de logaritmos na base 3 B log3 12 log7 12 log7 3 neste caso o log3 12 foi transformado em um quociente de logaritmos na base 7 ATENÇÃO A base deve ser escolhida de acordo com a conveniência de cada exercício Exercicios resolvidos 1 Escreva log2 8 usando logaritmos na base 10 log2 8 log 8 log 2 2 Dado logb a 6 calcule loga b3 loga b3 logb b3 logb a 3 6 1 2 3 Calcule o valor da expressão log3 5 log25 81 Escrever na base 3 log3 5 log25 81 log3 5 log3 81 log3 25 17 1 log3 5 log3 34 log3 52 log3 5 4 log3 3 2 log3 5 log35 2 log3 3 log3 5 2 12 Função Logaritmica Vimos na Unidade anterior que a função definida por fx ax com a 0 e a 1 é uma função exponencial Lembrando que essa é uma função bijetora ou seja possui a função inversa A função inversa da função exponencial é a função logarítmica definida por f R R definida por fx loga x ou y loga x com a 0 e a 1 Exemplos a fx log2 x b y log x c fx log 1 2 x Exercício resolvido 1 Seja a função fx log2x3 determine Df CDf e Imf Pela definição de logaritmo temos 2x 3 0 x 3 2 Df x R x 3 2 Como a função logaritmica é bijetora temos que CDf Imf portanto podemos obter o CD de f calculando o D de f1 Para calcular f1 trocamos as variáveis x por y e y por x em seguida isolamos y y log2x3 x log2y3 aplicamos a definição de logarítmo loga b c acb 10x 2y 3 10x 3 2y y 10x 3 2 Portanto f1 x 10x 3 2 O domínio desta função são os Reais R consequentemente o CDf R e também Imf R 18 Unidade Função Logarítmica 2 Dada a função fx log3 x calcule A f9 f9 log3 9 log3 32 2 log3 3 2 12 B f 1 3 f 1 3 log3 1 3 log3 31 1 log3 3 1 1 1 C f1x y log3 x x log3 y 3x y f1x 3x D f11 f11 31 1 3 3 Determine o domínio da função fx logx5 112x Pela definição temos fx loga b temos que a 0 e a 1 e b 0 I x 5 0 x 5 e x 5 1 x 1 5 x 6 II 11 2x 0 11 2x 2x 11 x 11 2 S x R 5 x 11 2 Gráfico da função logarítmica Observe a construção de dois gráficos de funções logarítmicas fx log2 x e gx log 1 2 x Atribuímos alguns valores para x e encontramos os valores correspondentes de fx e gx x fx log2 x x fx 14 f 1 4 log2 1 4 log2 22 2 log2 2 2 1 2 1 4 2 12 f 1 2 log2 1 2 log2 21 1 log2 2 1 1 1 1 2 1 1 f1 log2 1 0 1 0 2 f2 log2 21 2 1 4 f4 log2 22 2 log2 2 2 12 4 2 19 Quando a 1 a função logarítmica é crescente Se aumentarmos os valores de x os valores correspondentes de fx também aumentam No gráfico anterior temos a 2 1 portanto a função é crescente x gx log 1 2 x x fx 14 g 1 4 log 1 2 1 4 log 1 2 22 2 log 1 2 2 2 1 2 1 4 2 12 g 1 2 log 1 2 1 2 1 1 2 1 1 g1 log 1 2 1 0 1 0 2 g2 log 1 2 21 2 1 4 g4 log 1 2 22 2 log 1 2 2 2 12 4 2 20 Unidade Função Logarítmica Quando a 1 a função logarítmica é decrescente Se aumentarmos os valores de x os valores correspondentes de gx diminuem No gráfico anterior temos a 12 1 portanto a função é decrescente Como consequência da análise dos gráficos e da definição concluímos que Se a 1 a função é crescente Se a 1 a função é decrescente O gráfico da função logarítmica passa pelo ponto 1 0 ou seja f1 0 ou ainda loga 1 0 O gráfico não toca o eixo y e nem ocupa os quadrantes II e III Na função logarítmica o domínio o contradomínio e o conjunto imagem são definidos por Df R CDf R e Imf R Os gráficos de duas funções inversas são simétricos em relação à reta y x Veja os gráficos das funções inversas fx ax e gx loga x 21 Observe que as duas funções são crescentes a 1 No entanto à medida que aumentamos os valores de x a função exponencial cresce rapidamente enquanto que a função logarítmica cresce muito lentamente Neste caso as duas funções são decrescentes ou seja 0 a 1 Equações Logarítmicas Acompanhe os exercícios resolvidos Resolva a equação log2 x2 3 Primeiro analisamos o logaritmando e a base No caso a base é um número real positivo e diferente de 1 mas é preciso verificar o logaritmando Condição de existência x 2 0 x 2 Em seguida aplicamos a definição de logaritmo loga b c acb log2 x2 3 23 x 2 8 x 2 x 10 A solução da equação logarítmica tem que satisfazer a condição de existência x 2 e como 10 é maior que 2 a solução desta equação é S 10 2 Resolva log2 x3 log2 x 2 Condição de existência x 3 0 x 3 e x 0 portanto x 3 log2 x3 log2 x 2 log2 x3 x 2 22 x x 3 Aplicamos a definição de logaritmo loga b c acb 22 Unidade Função Logarítmica 4 x2 3x x2 3x 4 0 a 1 0 concavidade para cima 25 0 duas raízes reais de distintas x 4 e x 1 Agora temos que verificar a condição de existência que é x 0 Neste caso x 4 pertence ao intervalo x 0 mas x 1 não pertence a esse intervalo portanto a solução é S 4 3 Resolva a equação log5 x2 x 6 log5 3x2 Condição de existência x2 x 6 0 x2 x 6 0 a 1 0 concavidade para cima 25 0 duas raízes reais e distintas x 3 e x 2 3x 2 0 3x 2 x 23 Determinamos a condição de existência por meio da intersecção de I e II Portanto a condição de existência é x 2 Agora vamos resolver a equação logaritmica aplicando a propriedade loga b loga c b c Para resolver essa inequação resolvemos a equação do 2º grau e fazemos o estudo do sinal dessa função 23 log5x2 x 6 log53x2 x2 x 6 3x 2 x2 x 6 3x 2 0 x2 2x 8 0 a 1 0 concavidade para cima 36 0 duas raízes reais e diferentes x 2 e x 4 Agora temos que verificar a condição de existência que é x 2 portanto apenas x 4 satistaz a condição de existência S 4 4 Resolver a equação log2 log3 x2 Condição de existência x 0 e log3 x 0 Aplicando a definição de logaritmo temos log2 log3 x2 22 log3 x 4 log3 x log3 x 4 aplicamos novamente a definição de logaritmo 34 x x 81 Verificando a condição de existência temos S 81 5 Resolva 2 log10 x log10 4 log10 3x Condição de existência x 0 e 3x 0 x 0 2 log10 x log10 4 log10 3x 2 log10 x log10 43x log10 x2 log10 43x x2 43x x2 12x x2 12x 0 Resolvendo a equação x2 12x 0 encontramos x 0 e x 12 Verificando a condição de existência que é x 0 a solução é apenas x 12 S 12 24 Unidade Função Logarítmica Inequações logarítmicas Vamos recordar algumas informações importantes que nos ajudarão a resolver uma inequação A função fx loga x é crescente quando a 1 Neste caso conservase o sinal da desigualdade A função fx loga x é decrescente quando 0 a 1 Neste caso trocase o sinal da desigualdade Para resolver uma inequação logarítmica reduzimos os dois membros a logaritmos de mesma base a a 0 e a 1 Acompanhe os exercícios resolvidos 1 Resolva a inequação log5 5x10 log5 45 Condição de existência 5x 10 0 x 2 I Neste caso já temos as bases dos logaritmos iguais Como a base é 5 a 1 mantemos o sinal da desigualdade e resolvemos a inequação log5 5x10 log5 45 5x 10 45 5x 45 10 5x 35 x 7 II A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R 2x 7 2 Resolva a inequação log 1 3 4x1 2 Condição de existência 4x 1 0 x 1 4 I Como a base é 1 3 0 x 1 invertemos o sinal da desigualdade log 1 3 4x1 2 log 1 3 4x1 log 1 3 1 3 2 Cancelamos os log e invertemos o sinal da desigualdade 4x 1 1 3 2 4x 1 1 9 4x 1 9 1 4x 1 9 9 9 4x 10 9 x 10 36 x 5 18 II 25 A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R x 5 18 3 Resolva a inequação log3 x log3 x82 Condição de existência x 0 e x 8 0 x 8 basta x 8 I log3 x log3 x8 log3 32 log3 x log3 x8 log3 9 log3 x x8 log3 9 Como a base é igual a 3 a 1 mantemos o sinal da desigualdade x x 8 9 x2 8x 9 0 x2 8x 9 0 a 1 0 concavidade voltada para cima 100 0 duas raízes reais e distintas x 1 e x 9 1 x 9 II A solução da inequação é dada pela intersecção de I e II Assim S x R 8x9 26 Unidade Função Logarítmica Material Complementar Para aprofundar seus estudos sobre função exponencial consulte as indicações a seguir Sites Propriedades Operatórias dos Logaritimos httpgooglzCC5cN Exponencial e Logaritimos httpgoogl4ebiwS Logaritmos httpinternacoceducacaocombrebookpages7673htm Livro Capítulo 8 do livro A Matemática do Ensino Médio volume 1 de Elon Lages Lima Paulo César P Carvalho Eduardo Wagner e Augusto César Morgado Rio de Janeiro SBM 1997 Coleção do Professor de Matemática 27 Referências BIGODE AJL Projeto Velear Matemática 9º ano São Paulo Scipione 2012 DANTE L R Matemática Contexto e aplicações 1º ano São Paulo Ática 2011 PAIVA M Matemática volume único São Paulo Moderna 1999 RIBEIRO J Matemática Ciência e linguagem volume único São Paulo Scipione 2007 28 Unidade Função Logarítmica Anotações wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000