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Funções de Variável Complexa Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Carlos Henrique de Jesus Costa Revisão Textual Profa Ms Alessandra Fabiana Cavalcanti Revisão Técnica Prof Ms Fabio Douglas Farias Introdução aos Números Complexos Introdução Unidade Imaginária A Forma Algébrica Igualdade de Números Complexos Conjugado de Números Complexos Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos Apresentar o caminho que levou à concepção dos números complexos principalmente às etapas de evolução dos conjuntos numéricos Entender como os matemáticos interpretaram conceituaram e calcularam problemas envolvendo os números complexos OBJETIVO DE APRENDIZADO A proposta desta aula é informálo a a respeito de como se deu a formação do Conjunto dos Números Complexos que são aplicados em várias áreas do conhecimento humano dentro e fora da Matemática Ao findar dessa aula esperamos que seja capaz de interpretar conceituar e calcular A forma Algébrica Igualdade de Números Complexos Conjugado de um Número Complexo Para ajudar realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo juntamente com exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento a para as atividades avaliativas propostas e o prazo de entrega Bons estudos ORIENTAÇÕES Introdução aos Números Complexos O seu delta já deu negativo E agora o que fazer Conheça um novo grupo de números que ajudará você a resolver essas equações Muitas pessoas resolvem equações de segundo grau chegam a resultados estranhos como raízes de números negativos Não sabem eles porém que além dos números reais existe um conjunto bem maior chamado de Complexos e representado pela letra C Como você resolveria então a equação do 2º grau a seguir x² 2x 50 0 Relembrando que a equação do 2º grau possui a seguinte forma completa ax² bx c 0 com a 0 podemos resolver por exemplo utilizando a fórmula de Bháskara x b b² 4ac 2a ou b² 4ac e x b 2a Resolvendo a equação x² 2x 50 0 obtemos x b b² 4ac 2a x 2 2² 4150 21 x 2 4 200 2 x 2 196 2 Assim continuando a resolução temos x 2 196 2 x 2 1961 2 x 2 14i 2 x 2 14i ou x₁ 1 7i x₂ 1 7i S 1 7i 1 7i Os números complexos surgiram quando os matemáticos buscavam fórmulas eficientes de se encontrar raízes de polinômios de terceiro grau no final do século XVIII A grande questão era se esses números realmente permitiriam avanço na teoria algebraica Acompanhe a evolução dos números complexos na Linha do Tempo a seguir Cardano Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo Tartaglia Descobriu uma fórmula geral para equações do tipo x² px q Bombelli Considerou a raiz quadrada de 1 como um número imaginário René Descartes A raiz quadrada de 1 seria chamada de número imaginário Euler Surgimento do símbolo i Abraham de Moivre O Teorema de Moivre é cos θ i sen θn cos nθ i sen nθ Gauss Introduziu a expressão número complexo Dentro os conjuntos numéricos que conhecemos temos IN 0 1 2 3 4 Conjunto dos números Naturais IN Z 3 2 1 0 1 2 3 Conjunto dos números Inteiros Z Q x a b com a Z b Z e b 0 Conjunto dos números Racionais ou Fracionários Q Esse conjunto consiste na união dos números inteiros mais os numerais que podem ser escritos na forma de fração ou de números decimais I 2 14142135 3 17320508 π 31415926535 e 271828 Conjunto dos números Irracionais I Podemos observar que existem decimais infinitos não periódicas às quais damos o nome de Números Irracionais que não podem ser escritos na forma a b fração ℝ Q I Conjunto dos números Reais ℝ Da união dos Números Racionais com os Números Irracionais formam o conjunto dos Números Reais x² 1 0 x² 1 x 1 Não existe solução no conjunto dos Números Reais pois não há um número real x que elevado ao quadrado resulte em 1 Por isso temos de estender o conjunto dos Números Reais para obter um novo conjunto chamado de CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS C Note que ao desenvolver a equação do segundo grau nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo sendo impossível a resolução dentro dos Números Reais A solução só foi possível com a criação e a adequação do conjunto dos Números Complexos Os Números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente então graficamente temos agora x² 1 0 x² 1 Trocando a Unidade Imaginária i 1 x 1 x i ou x₁ i x₂ i S i Um pouco de história segundo o autor Alex Bellos p197198 2015 A primeira pessoa a considerar a raiz quadrada de um número negativo o matemático italiano Girolamo Cardano declarou em 1545 que pensar sobre isso tinha lhe causado torturas mentais como causeria a qualquer um que não tivesse se deparado antes com o conceito Assim ele ignorou afirmando que se a solução de uma equação era a raiz quadrada de um número negativo então ela era tão refinada quanto inútil Cardano abria uma porta para um mundo inteiramente novo na matemática e então tornar a fechála x² 9 0 x² 9 x 9 x 91 x 31 ou x₁ 3i x₂ 3i S 3i Exemplo 2 Calcular a seguinte equação x² 2x 5 0 Resolução Δ b² 4ac Δ 2² 415 Δ 4 20 Δ 16 x 2 16 21 x 2 161 2 x 2 4i 2 x 1 2i ou x₁ 1 2i x₂ 1 2i S 1 2i 1 2i Agora é a sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Ao final deste conteúdo temos as resoluções detalhadas ok Atividades Práticas Resolva no conjunto dos Números Complexos as equações 1 x² 121 0 S 11i 2 x² 6x 10 0 S 3 i 3 x² 4x 29 0 S 2 5i 4 x² 6x 15 0 S 3 6i A Forma Algébrica Conforme destaca o autor Alex Bellos em seu livro Alex Atraves do Espelho como a vida reflete os números e como os números refletem a vida p199 Quando um número real é somado a um número imaginário digamos 3 2i ganha o nome de número complexo Todos os números complexos têm o formato a bi onde a e b são números reais e i é 1 Como não se pode somar um número real e um número imaginário no sentido da soma tradicional o sinal de adição é apenas um modo de separar as duas partes sua parte real e sua parte imaginária Se a parte real for zero o número é puramente imaginário se a parte imaginária for zero o número é puramente real Assim todo número complexo pode ser escrito na forma z a bi com a ℝ b ℝ e i² 1 denominada forma algébrica ou forma binomial Portanto temos z a bi z a 0i z a é um número real z 0 bi z bi é um número imaginário puro Exemplos a z 3 2i número imaginário b z 7i número imaginário puro c z 5 número real Veja alguns exemplos a respeito Exemplo 3 Determine o valor de m para que o número complexo z m 3 4i seja um imaginário puro Resolução Para obtermos um número imaginário puro a parte real deve ser igual a zero assim Rez 0 Trocando m 3 obtemos um número imaginário puro observe z m 3 4i z 3 3 4i z 0 4i z 4i Exemplo 4 Determine o valor de p para que o número complexo z 8 p² 4i seja um número real Resolução Para obtemos um número real a parte imaginária deve ser igual a zero assim Imz 0 Trocando p 2 e p 2 obtemos um número real observe p² 4 0 p² 4 p 4 p 2 Atividades Práticas 7 Determine x e y reais de modo que x3y2i5i R x3 e y7 8 Dados z₁ xy4i e z₂ 12xyi calcule o valor de x e y sabendo que z₁ z₂ R x1 e y2 9 Sendo z₁ a²14bi e z₂ 310i determine a e b para que z₁ seja igual a z₂ R a 2 e b 14 Conjugado de Números Complexos O conjugado de um número complexo z a bi é indicado por z e definido por z a bi ou seja o conjugado é obtido trocandose apenas o sinal de sua parte imaginária z a bi z a bi Exemplos z 3 7i z 3 7i z 7 i z 7 i z 20i z 20i z 9 z 9 Obs O conjugado de um número complexo possui grande utilidade nos cálculos com variáveis complexas além de representar a reflexão do número em torno do eixo das abscissas no Plano de Argand Gauss Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos 1 z z O módulo do conjugado de um número é o mesmo módulo do número Exemplo Dado o número complexo z 2 4i seu conjugado é z 2 4i Comprovando a propriedade z a² b² z 2² 4² 4 16 z 20 45 45 z 25 Portanto z z 25 25 2 Se z a bi então z z z² a² b² ou z z z² O produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo do número Exemplo Dado o número complexo z 1 7i seu conjugado é z 1 7i Comprovando a propriedade z 1 7i a 1 b 7 z a² b² z 1² 7² 1 49 z 50 252 252 z 52 z z z² z² 1 7i1 7i 52² 1 7i 7i 49i² 252 1 491 50 1 49 50 50 50 3 z z 2Rez A soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número Exemplo Dado o número complexo z 13 7i seu conjugado é z 13 7i Comprovando a propriedade z z 2Rez 13 7i 13 7i 213 13 7i 13 7i 26 13 13 26 26 26 4 z z 2Imz A subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária do número Exemplo Dado o número complexo z 13 7i seu conjugado é z 13 7i Comprovando a propriedade z z 2Imz 13 7i 13 7i 27i 13 7i 13 7i 14i 7i 7i 14i 14i 14i z z z é número real Resoluções de Atividades Práticas 1 x² 121 0 2 x² 6x 10 0 4 x² 6x 15 0 O número imaginário puro Resposta x 3 e y 7 Resposta x 1 e y 2 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Site Me Salva httpsmesalvacom Vídeos Um sonho complexo O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito incomodado pois para ele matemática deveria ser real concreta e exata Resolve dormir e sonha com um personagem estranho que tem meia barba usa bermudas e fraque e é uma mistura dos dois personagens do livro O Médico e o monstro o qual representa uma dualidade do mundo Ao acordar entende que o sonho mostrou um pouco da magia dos números complexos httpsgooglPYqd5n O sonho não acabou Este é o segundo vídeo sobre os números complexos com o mesmo personagem Hans um jovem estudante Hans vai dormir e sonha com outro jovem Agora é o Morfeu o deus dos sonhos Morfeu explica direitinho ao jovem sobre a história dos números complexos chegando à fórmula de De Moivre httpsgooglyckRBI O sonho continua Este é o terceiro vídeo da série sobre os números complexos Hans o jovem estudante sonha novamente com Morfeu que lhe conta sobre a fórmula de Euler e sobre os conjuntos numéricos httpsgoogl7ZL4nR História dos Números Complexos Vídeo produzido por um grupo de alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Graccho como atividade pedagógica de Matemática httpsgooglp9WkQ9 Me Salva CPX01 Números complexos Introdução e forma algébrica httpsgoogl9BFXH6 24 25 Referências ÁVILA GSS Variáveis Complexas e Aplicações Rio de Janeiro LTC 2000 BELLOS A Alex através do espelho como a vida reflete os números e como os números refletem a vida São Paulo Companhia das Letras 2015 CAON F Números Complexos interrelações entre conteúdo e aplicações Dissertação Universidade Estadual de Ponta Grossa Ponta Grossa 2013 74 f Disponível em httpbicentedeuepgbrtdebuscaarquivo phpcodArquivo926 Acesso em 03 de agosto de 2015 CERRI C MONTEIRO M S História dos Números Complexos CAEM Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática Instituto de Matemática e Estatística da USP Disponível em httpwwwimeuspbrmarthacaem complexospdf Acesso em 03 de agosto de 2015 CERRI C Desvendando os Números Reais São Paulo IMEUSP Novembro de 2006 Disponível em wwwmatufgbrbienal2006minicristinacerripdf Acesso em 03 de agosto de 2015 CHURCHILL RV Variáveis complexas e suas aplicações Tradução Tadao Yoshioka revisão técnica Alfredo Alves de Farias São Paulo McGrawHill do Brasil e Editora da Universidade de São Paulo 1975 DANTE L R Matemática volume único São Paulo Ática 2005 DIAS N L Pequena introdução aos números Curitiba InterSaberes 2014 ebook GIOVANNI J R Matemática Fundamental 2º Grau volume único São Paulo FTD 1994 IEZZI G DOLCE O DEGENSZAJN D PÉRIGO R ALENDA N Matemática ciência e aplicações 4 edSão Paulo Atual 2006 LEITE Á E CASTANHEIRA N P Teoria dos números e teoria dos conjuntos Curitiba InterSaberes 2014 ebook SHOKRANIAN S Uma introdução à variável complexa 476 exercícios resolvidos São Paulo Ciência Moderna 2011 SILVA M A Da teoria à prática uma análise histórica do desenvolvimento conceitual dos números complexos e suas aplicações Revista Brasileira de História da Ciência Rio de Janeiro v 4 n 1 p 7991 janjun 2011 Disponível em httpwwwsbhcorgbrarquivodownloadIDARQUIVO23 Acesso em 03 de agosto de 2015 SOARES M G Cálculo em uma variável complexa Rio de Janeiro IMPA 2014 25 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional
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Funções de Variável Complexa Cruzeiro do Sul Virtual Educação a distância Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Carlos Henrique de Jesus Costa Revisão Textual Profa Ms Alessandra Fabiana Cavalcanti Revisão Técnica Prof Ms Fabio Douglas Farias Introdução aos Números Complexos Introdução Unidade Imaginária A Forma Algébrica Igualdade de Números Complexos Conjugado de Números Complexos Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos Apresentar o caminho que levou à concepção dos números complexos principalmente às etapas de evolução dos conjuntos numéricos Entender como os matemáticos interpretaram conceituaram e calcularam problemas envolvendo os números complexos OBJETIVO DE APRENDIZADO A proposta desta aula é informálo a a respeito de como se deu a formação do Conjunto dos Números Complexos que são aplicados em várias áreas do conhecimento humano dentro e fora da Matemática Ao findar dessa aula esperamos que seja capaz de interpretar conceituar e calcular A forma Algébrica Igualdade de Números Complexos Conjugado de um Número Complexo Para ajudar realize a leitura do texto indicado no Conteúdo Teórico acompanhe e refaça os exemplos resolvidos além de treinar com as Atividades Práticas disponíveis e suas resoluções ao final do conteúdo Não deixe de assistir também à apresentação narrada do conteúdo juntamente com exercícios resolvidos Finalmente e o mais importante fique atento a para as atividades avaliativas propostas e o prazo de entrega Bons estudos ORIENTAÇÕES Introdução aos Números Complexos O seu delta já deu negativo E agora o que fazer Conheça um novo grupo de números que ajudará você a resolver essas equações Muitas pessoas resolvem equações de segundo grau chegam a resultados estranhos como raízes de números negativos Não sabem eles porém que além dos números reais existe um conjunto bem maior chamado de Complexos e representado pela letra C Como você resolveria então a equação do 2º grau a seguir x² 2x 50 0 Relembrando que a equação do 2º grau possui a seguinte forma completa ax² bx c 0 com a 0 podemos resolver por exemplo utilizando a fórmula de Bháskara x b b² 4ac 2a ou b² 4ac e x b 2a Resolvendo a equação x² 2x 50 0 obtemos x b b² 4ac 2a x 2 2² 4150 21 x 2 4 200 2 x 2 196 2 Assim continuando a resolução temos x 2 196 2 x 2 1961 2 x 2 14i 2 x 2 14i ou x₁ 1 7i x₂ 1 7i S 1 7i 1 7i Os números complexos surgiram quando os matemáticos buscavam fórmulas eficientes de se encontrar raízes de polinômios de terceiro grau no final do século XVIII A grande questão era se esses números realmente permitiriam avanço na teoria algebraica Acompanhe a evolução dos números complexos na Linha do Tempo a seguir Cardano Surge o impasse da raiz quadrada de um número negativo Tartaglia Descobriu uma fórmula geral para equações do tipo x² px q Bombelli Considerou a raiz quadrada de 1 como um número imaginário René Descartes A raiz quadrada de 1 seria chamada de número imaginário Euler Surgimento do símbolo i Abraham de Moivre O Teorema de Moivre é cos θ i sen θn cos nθ i sen nθ Gauss Introduziu a expressão número complexo Dentro os conjuntos numéricos que conhecemos temos IN 0 1 2 3 4 Conjunto dos números Naturais IN Z 3 2 1 0 1 2 3 Conjunto dos números Inteiros Z Q x a b com a Z b Z e b 0 Conjunto dos números Racionais ou Fracionários Q Esse conjunto consiste na união dos números inteiros mais os numerais que podem ser escritos na forma de fração ou de números decimais I 2 14142135 3 17320508 π 31415926535 e 271828 Conjunto dos números Irracionais I Podemos observar que existem decimais infinitos não periódicas às quais damos o nome de Números Irracionais que não podem ser escritos na forma a b fração ℝ Q I Conjunto dos números Reais ℝ Da união dos Números Racionais com os Números Irracionais formam o conjunto dos Números Reais x² 1 0 x² 1 x 1 Não existe solução no conjunto dos Números Reais pois não há um número real x que elevado ao quadrado resulte em 1 Por isso temos de estender o conjunto dos Números Reais para obter um novo conjunto chamado de CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS C Note que ao desenvolver a equação do segundo grau nos deparamos com a raiz quadrada de um número negativo sendo impossível a resolução dentro dos Números Reais A solução só foi possível com a criação e a adequação do conjunto dos Números Complexos Os Números Complexos constituem o maior conjunto numérico existente então graficamente temos agora x² 1 0 x² 1 Trocando a Unidade Imaginária i 1 x 1 x i ou x₁ i x₂ i S i Um pouco de história segundo o autor Alex Bellos p197198 2015 A primeira pessoa a considerar a raiz quadrada de um número negativo o matemático italiano Girolamo Cardano declarou em 1545 que pensar sobre isso tinha lhe causado torturas mentais como causeria a qualquer um que não tivesse se deparado antes com o conceito Assim ele ignorou afirmando que se a solução de uma equação era a raiz quadrada de um número negativo então ela era tão refinada quanto inútil Cardano abria uma porta para um mundo inteiramente novo na matemática e então tornar a fechála x² 9 0 x² 9 x 9 x 91 x 31 ou x₁ 3i x₂ 3i S 3i Exemplo 2 Calcular a seguinte equação x² 2x 5 0 Resolução Δ b² 4ac Δ 2² 415 Δ 4 20 Δ 16 x 2 16 21 x 2 161 2 x 2 4i 2 x 1 2i ou x₁ 1 2i x₂ 1 2i S 1 2i 1 2i Agora é a sua vez Tente resolver os exercícios propostos e chegar aos resultados indicados Ao final deste conteúdo temos as resoluções detalhadas ok Atividades Práticas Resolva no conjunto dos Números Complexos as equações 1 x² 121 0 S 11i 2 x² 6x 10 0 S 3 i 3 x² 4x 29 0 S 2 5i 4 x² 6x 15 0 S 3 6i A Forma Algébrica Conforme destaca o autor Alex Bellos em seu livro Alex Atraves do Espelho como a vida reflete os números e como os números refletem a vida p199 Quando um número real é somado a um número imaginário digamos 3 2i ganha o nome de número complexo Todos os números complexos têm o formato a bi onde a e b são números reais e i é 1 Como não se pode somar um número real e um número imaginário no sentido da soma tradicional o sinal de adição é apenas um modo de separar as duas partes sua parte real e sua parte imaginária Se a parte real for zero o número é puramente imaginário se a parte imaginária for zero o número é puramente real Assim todo número complexo pode ser escrito na forma z a bi com a ℝ b ℝ e i² 1 denominada forma algébrica ou forma binomial Portanto temos z a bi z a 0i z a é um número real z 0 bi z bi é um número imaginário puro Exemplos a z 3 2i número imaginário b z 7i número imaginário puro c z 5 número real Veja alguns exemplos a respeito Exemplo 3 Determine o valor de m para que o número complexo z m 3 4i seja um imaginário puro Resolução Para obtermos um número imaginário puro a parte real deve ser igual a zero assim Rez 0 Trocando m 3 obtemos um número imaginário puro observe z m 3 4i z 3 3 4i z 0 4i z 4i Exemplo 4 Determine o valor de p para que o número complexo z 8 p² 4i seja um número real Resolução Para obtemos um número real a parte imaginária deve ser igual a zero assim Imz 0 Trocando p 2 e p 2 obtemos um número real observe p² 4 0 p² 4 p 4 p 2 Atividades Práticas 7 Determine x e y reais de modo que x3y2i5i R x3 e y7 8 Dados z₁ xy4i e z₂ 12xyi calcule o valor de x e y sabendo que z₁ z₂ R x1 e y2 9 Sendo z₁ a²14bi e z₂ 310i determine a e b para que z₁ seja igual a z₂ R a 2 e b 14 Conjugado de Números Complexos O conjugado de um número complexo z a bi é indicado por z e definido por z a bi ou seja o conjugado é obtido trocandose apenas o sinal de sua parte imaginária z a bi z a bi Exemplos z 3 7i z 3 7i z 7 i z 7 i z 20i z 20i z 9 z 9 Obs O conjugado de um número complexo possui grande utilidade nos cálculos com variáveis complexas além de representar a reflexão do número em torno do eixo das abscissas no Plano de Argand Gauss Propriedades com o Conjugado dos Números Complexos 1 z z O módulo do conjugado de um número é o mesmo módulo do número Exemplo Dado o número complexo z 2 4i seu conjugado é z 2 4i Comprovando a propriedade z a² b² z 2² 4² 4 16 z 20 45 45 z 25 Portanto z z 25 25 2 Se z a bi então z z z² a² b² ou z z z² O produto de um número pelo seu conjugado é o quadrado do módulo do número Exemplo Dado o número complexo z 1 7i seu conjugado é z 1 7i Comprovando a propriedade z 1 7i a 1 b 7 z a² b² z 1² 7² 1 49 z 50 252 252 z 52 z z z² z² 1 7i1 7i 52² 1 7i 7i 49i² 252 1 491 50 1 49 50 50 50 3 z z 2Rez A soma de um número ao seu conjugado é o dobro da parte real do número Exemplo Dado o número complexo z 13 7i seu conjugado é z 13 7i Comprovando a propriedade z z 2Rez 13 7i 13 7i 213 13 7i 13 7i 26 13 13 26 26 26 4 z z 2Imz A subtração de um número ao seu conjugado é o dobro da parte imaginária do número Exemplo Dado o número complexo z 13 7i seu conjugado é z 13 7i Comprovando a propriedade z z 2Imz 13 7i 13 7i 27i 13 7i 13 7i 14i 7i 7i 14i 14i 14i z z z é número real Resoluções de Atividades Práticas 1 x² 121 0 2 x² 6x 10 0 4 x² 6x 15 0 O número imaginário puro Resposta x 3 e y 7 Resposta x 1 e y 2 UNIDADE Introdução aos Números Complexos Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Site Me Salva httpsmesalvacom Vídeos Um sonho complexo O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito incomodado pois para ele matemática deveria ser real concreta e exata Resolve dormir e sonha com um personagem estranho que tem meia barba usa bermudas e fraque e é uma mistura dos dois personagens do livro O Médico e o monstro o qual representa uma dualidade do mundo Ao acordar entende que o sonho mostrou um pouco da magia dos números complexos httpsgooglPYqd5n O sonho não acabou Este é o segundo vídeo sobre os números complexos com o mesmo personagem Hans um jovem estudante Hans vai dormir e sonha com outro jovem Agora é o Morfeu o deus dos sonhos Morfeu explica direitinho ao jovem sobre a história dos números complexos chegando à fórmula de De Moivre httpsgooglyckRBI O sonho continua Este é o terceiro vídeo da série sobre os números complexos Hans o jovem estudante sonha novamente com Morfeu que lhe conta sobre a fórmula de Euler e sobre os conjuntos numéricos httpsgoogl7ZL4nR História dos Números Complexos Vídeo produzido por um grupo de alunos do 3º ano do Ensino Médio do Colégio Graccho como atividade pedagógica de Matemática httpsgooglp9WkQ9 Me Salva CPX01 Números complexos Introdução e forma algébrica httpsgoogl9BFXH6 24 25 Referências ÁVILA GSS Variáveis Complexas e Aplicações Rio de Janeiro LTC 2000 BELLOS A Alex através do espelho como a vida reflete os números e como os números refletem a vida São Paulo Companhia das Letras 2015 CAON F Números Complexos interrelações entre conteúdo e aplicações Dissertação Universidade Estadual de Ponta Grossa Ponta Grossa 2013 74 f Disponível em httpbicentedeuepgbrtdebuscaarquivo phpcodArquivo926 Acesso em 03 de agosto de 2015 CERRI C MONTEIRO M S História dos Números Complexos CAEM Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática Instituto de Matemática e Estatística da USP Disponível em httpwwwimeuspbrmarthacaem complexospdf Acesso em 03 de agosto de 2015 CERRI C Desvendando os Números Reais São Paulo IMEUSP Novembro de 2006 Disponível em wwwmatufgbrbienal2006minicristinacerripdf Acesso em 03 de agosto de 2015 CHURCHILL RV Variáveis complexas e suas aplicações Tradução Tadao Yoshioka revisão técnica Alfredo Alves de Farias São Paulo McGrawHill do Brasil e Editora da Universidade de São Paulo 1975 DANTE L R Matemática volume único São Paulo Ática 2005 DIAS N L Pequena introdução aos números Curitiba InterSaberes 2014 ebook GIOVANNI J R Matemática Fundamental 2º Grau volume único São Paulo FTD 1994 IEZZI G DOLCE O DEGENSZAJN D PÉRIGO R ALENDA N Matemática ciência e aplicações 4 edSão Paulo Atual 2006 LEITE Á E CASTANHEIRA N P Teoria dos números e teoria dos conjuntos Curitiba InterSaberes 2014 ebook SHOKRANIAN S Uma introdução à variável complexa 476 exercícios resolvidos São Paulo Ciência Moderna 2011 SILVA M A Da teoria à prática uma análise histórica do desenvolvimento conceitual dos números complexos e suas aplicações Revista Brasileira de História da Ciência Rio de Janeiro v 4 n 1 p 7991 janjun 2011 Disponível em httpwwwsbhcorgbrarquivodownloadIDARQUIVO23 Acesso em 03 de agosto de 2015 SOARES M G Cálculo em uma variável complexa Rio de Janeiro IMPA 2014 25 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional