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Equações Diferenciais Parciais Responsável pelo Conteúdo Prof Dr Fernando Kokubun Revisão Textual Esp Jéssica Dante Séries de Fourier Séries de Fourier Reconhecer uma Equação de Autovalores o que são autofunções e autovalores Reconhecer uma Série de Fourier em Seno e em Cosseno Reconhecer a diferença de Condição de Dirichlet e de Neumann Determinar os coeficientes na Série de Fourier Resolver EDP utilizando Séries de Fourier OBJETIVOS DE APRENDIZADO Solução de uma EDP e a Série de Fourier Série de Fourier em Seno Série de Fourier em Cosseno Coeficientes de Fourier nas séries Seno e Cosseno Série de Fourier Completa Paridades de Funções Série de Fourier Complexa Funções Periódicas Exemplos de Determinação dos Coeficientes de Fourier Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Determine um horário fixo para estudar Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia o aprendizado Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Seja original Nunca plagie trabalhos Aproveite as indicações de Material Complementar Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento de estudos Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliará sua interpretação e auxiliará no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizado UNIDADE Séries de Fourier Solução de uma EDP e a Série de Fourier Nesta unidade vamos introduzir a Série de Fourier que é uma das maneiras de encon trar soluções de EDP Inicialmente vamos mostrar com um exemplo o surgimento da série de Fourier na solução de uma EDP Vamos considerar a seguinte EDP 2 2 2 2 2 U U c t x com as seguintes condições de contorno 0 0 U t U L t onde assumimos que a variável x está definida no domínio 0 x L e t R e uma condição inicial genérica isto é o valor da função e da derivada da função em relação a o tempo em t0 no momento não vamos nos preocupar com esta condição Esta EDP é a chamada equação de onda e a constante c é a velocidade de fase da onda Uma solução trivial para a nossa EDP é quando U x t é constante em particular quando a constante é zero Para nossa solução queremos uma solução que não seja trivial e a seguir vamos obter esta solução Para resolver esta EDP podemos utilizar a técnica de separação de variáveis que abordamos anteriormente e assumir que a solução procurada pode ser escrita como U x t F x G t Neste caso substituindo na EDP original obtemos 2 2 2 2 2 d G t d F x F x c G t dt dx Notemos que passamos de derivadas parciais para derivadas ordinárias Assumindo que nossas equações G t F x não são nulas se dividirmos ambos os lados por F x G t obtemos 2 2 2 2 1 1 ² d G t d F x c G t dt F x dx Do lado esquerdo temos uma equação que depende apenas da variável t e do lado direito apenas da variável x logo a equação acima deve ser uma constante Escolhendo como constante λ obtemos dois conjuntos de equações diferenciais ordinárias 2 2 2 2 d G t G t dt d F x F x dx λ λ que são equações de autovalores logo a constante de separação é um autovalor 8 9 As soluções das equações diferenciais ordinárias anteriores podem ser escritas de forma geral como G t Acos t Bsen t F x Ccos x Dsen x λ λ λ λ com A B C D constantes a serem determinadas pelas condições de contorno Antes de continuarmos notemos que assumimos na solução acima que λ isto é seu autovalor é sempre positivo e uma grandeza real O que ocorre se escolhermos uma constante nula ou negativa Ou que não seja real Vamos verificar Importante A escolha do sinal negativo quando escolhemos a constante de separação é convencional Mas veja as discussões sobre a escolha dos autovalores nas próximas seções Autovalor Nulo Inicialmente se escolhermos a constante igual a zero a equação diferencial para a função F x resulta em 2 2 0 d F x dx cuja solução geral pode ser escrita como F x C Dx Utilizando a condição de con torno que foi fornecida temos que 0 0 0 F C F L C DL o que fornece que 0 C D logo a nossa solução com autovalor nulo é a solução trivial U x t 0 Autovalor Negativo Se escolhermos um autovalor negativo obtemos para F x 2 2 d F x F x dx λ e que tem como solução F x Ccosh x Dsinh x λ λ Utilizando as condições de con torno obtemos as equações 0 0 0 F C F L Ccosh L Dsinh L λ λ 9 UNIDADE Séries de Fourier e como sinh λL não é nulo devemos ter D 0 e C0 logo nossa solução com auto valor negativo será a solução trivial U x t 0 Autovalor Complexo E agora vamos considerar o caso em que λ não é um número real neste caso a nossa equação diferencial para a função F x tem como solução geral x x F x Ce De γ γ onde consideramos 2 λ γ Desta forma utilizando as condições de contorno obtemos 0 0 0 L L F C D F L Ce De γ γ o que nos fornece a condição 2 1 L e γ Como γ é um número complexo vamos utilizar x iy γ na equação anterior obtendo 2 2 2 2 1 x iy L xL iyL xL iyL e e e e e logo devemos ter 1 xL e eiyL Utilizando a fórmula de Euler ie cos isen θ θ θ nesta equação obtemos que 0 2 x n y L π Portanto 2 2 2 iy y λ γ que é um número real Logo a nossa equação com a condição de contorno utilizada somente possui solução não nula se a constante λ seu autovalor for uma constante real positiva e não nula Se tivéssemos escolhido λ ao invés de λ como a constante de separação o que mudaria Série de Fourier em Seno Retornando para a nossa solução com λ 0 e impondo as condições de contorno de Dirichlet temos que 0 0 0 F C F L Ccos L Dsen L λ λ 10 que nos fornece C 0 e Dsen λL 0 Se D 0 obtemos Uxt 0 que resulta em uma solução trivial Assim para o caso de uma solução não logo devemos ter sen λL 0 o que resulta na condição λn nπL² sendo n 123 Para obter a solução geral precisamos utilizar a relação inicial Uxt FxGt de forma que para um dado valor de n obtemos a solução Unxt AncosnπctL BnsennπctLsennπxL Mas nossa EDP é uma EDP linear de forma que a solução completa pode ser escrita como uma soma Uxt n Unxt n AncosnπctL BnsennπctLsennπxL Agora considerando as condições iniciais isto é a condição em t 0 obtemos que Ux0 n AnsennπxL φx A série anterior quando considerada como uma série infinita é conhecida como série de Fourier com Seno Notemos que Ux0 φx é uma função genérica e a pergunta que é importante fazer é para quais tipos de funções a série existe Na próxima unidade vamos analisar com mais detalhes as propriedades de convergência da série Aqui nesta unidade vamos assumir a sua existência e fazer algumas aplicações Série de Fourier em Cosseno Além da Série de Fourier em seno podemos também construir uma série de Fourier em Cosseno Para isto vamos modificar a condição de contorno inicial de Dirichlet para a condição de Neumann isto é ao invés de condições de contorno na função vamos impor condições de contorno nas derivadas primeira da função sendo Uxtx 0 Uxtt 0 Utilizando novamente a técnica de separação de variáveis e considerando apenas a função que depende do espaço nosso problema será reduzido à equação diferencial UNIDADE Séries de Fourier 2 2 d F x F x dx λ com as condições de contorno 0 0 dF dF L dx dx Neste caso considerando um autovalor real positivo a solução geral será F x Ccos x Dsen x λ λ e considerando as condições de contorno obtemos 0 0 D C sen L D cos L λ λ λ λ λ que nos fornece D 0 e 0 sen λ L logo devemos ter 2 n L λ π com n 12 Além desta solução ao contrário de quando utilizamos a condição de contorno de Dirichlet podemos ter a constante de separação o autovalor nulo Pois neste caso a solução geral deve ser F x C Dx e quando utilizamos a condição de Neumann como dF x D dx basta ter D 0 e qualquer outro valor para constante C Para autovalores negativos ou complexos podemos repetir o mesmo procedimento utilizado anteriormente obtendo que nestes casos a única solução existente é a trivial Portanto os autovalores neste caso podem ser positivos ou nulo 2 n n L π λ com n 0123 de forma que a solução completa será 0 n n n n ct n ct n x U x t A cos B sen cos L L L π π π e considerando a mesma condição inicial obtemos 0 1 0 2 n n A n x U x A cos x L π φ que é a Série de Fourier em Cosseno o fator de ½ no coeficiente 0 A é uma escolha conveniente Mais adiante vamos ver o motivo desta escolha 12 13 Notemos que em ambos os casos estamos resolvendo a mesma EDP no caso uma equação de onda mas com condições de contorno diferentes em cada caso E obtive mos soluções diferentes para cada condição de contorno Isto é um exemplo de como é importante considerar as condições de contorno na resolução de uma EDP C oeficientes de Fourier nas séries Seno e Cosseno Para determinar a Série de Fourier é necessário determinar os coeficientes da expan são Como podemos determinar estes coeficientes Inicialmente é necessário termos conhecimento da função φ x e conhecendo esta função podemos determinar os coe ficientes da expansão Vamos começar ilustrando com a série em Seno n n n x x A sen L π φ lembrando que a função é φ x uma função conhecida Ortogonalidade Para determinar os coeficientes da Série de Fourier vamos introduzir o conceito de produto interno de funções Sejam duas funções f x g x definidas no domínio a x b o produto interno entre duas funções é definido por b a f x g x f x g x dx Dizemos que duas funções são ortogonais se seu produto interno for zero Para as nossas demonstrações vamos precisar calcular o produto interno envolvendo as funções seno e cosseno Isto é vamos precisar calcular os seguintes produtos internos senax senbx cosax cosbx Para calcular esta integral vamos utilizar a identidade trigonométrica cos cos cos sen sen α β α β α β e escrever 1 1 2 2 sen xsen x cos x x cos x x α β α β α β logo o primeiro produto interno resulta em 13 UNIDADE Séries de Fourier 1 1 2 2 sen x sen x cos x x dx cos x x dx α β α β α β obtemos 1 1 2 2 b b a a sen senbxax sen x x sen x x α β α β α β α β no caso das séries de Fourier em Seno temos 0 1 n l m l a b α π β π e substituindo estes valores na equação anterior obtemos que quando m n o produto interno é nulo Para o segundo produto interno repetimos utilizamos 1 1 2 2 cos xcos x cos x x cos x x α β α β α β e igualmente obtemos que o produto interno é nulo quando m n Determinação dos Coeficientes Vamos calcular o produto interno entre a função φ x e sen m x L π isto é cal cular a integral 0 0 l L n n m x n x m x x sen dx A sen sen dx L L L π π π φ Assumindo que a série é convergente o que vamos demostrar na próxima unidade a ordem da integral e a somatória podem ser trocadas de forma que precisamos calcular a integral 0 0 l L n n n x m x n x m x A sen sen dx A sen sen dx L L L L π π π π lembrando que o coeficiente n A é uma constante A integral pode ser escrita como um produto interno isto é 0 L n x m x n x m x sen sen sen sen dx L L L L π π π π e essa integral é nula isto é as funções são ortogonais quando m n de forma que a integral não nula que precisamos calcular é quando m n isto é 2 0 l sen n x L dx π que pode ser facilmente integrado resultando no valor L 2 14 15 Para fazer a integral utilize a identidade trigonométrica cos sin sin cos cos θ φ θ φ θ φ Assim obtemos que o coeficiente é dado por 0 2 L n n x A x sen dx L L π φ Isto quer dizer que SE a equação φ x puder ser escrita como uma Série de Fourier em Seno os coeficientes da expansão são determinados pela equação anterior No caso da Série de Fourier em Cosseno utilizamos um procedimento semelhante mas ao invés de multiplicar por uma função seno multiplicamos por uma função cosseno isto é devemos calcular o produto interno entre φ x e cos m x L π ou seja calcular a integral 0 0 0 L L n n m x n x m x x cos dx A cos cos dx L L L π π π φ incluímos o termo com n 0 na somatória Novamente assumindo que a série converge podemos trocar a ordem entre a integração e a somatória e ficamos com o cálculo do produto interno de duas funções cosseno O produto interno é ortogonal quando m n Assim a integral que precisamos calcular é quando n m ou seja 2 0 L cos n x L dx π cujo resultado é L 2 para qualquer n positivo Notemos que o resultado é igual ao caso de Série de Fourier em Seno Assim os coeficentes de expansão para a Série de Fourier em Cosseno podem ser calculados utilizando a equação 0 2 L n n x A x cos dx L L π φ S érie de Fourier Completa Utilizando as Séries de Fourier em Seno e em Cosseno podemos construir a série de Fourier Completa usualmente omitimos o adjetivo Completa e escrevemos apenas Série de Fourier através da equação 0 1 2 n n n A n x n x x A cos B sen L L π π φ 15 UNIDADE Séries de Fourier sendo o domínio dado por L x L e chamamos a atenção ao fato de que a domínio de definição é duas vezes maior do que nos casos utilizados na obtenção da Série de Fourier Seno e Cosseno Neste caso podemos mostrar que ver os exercícios no final da unidade onde indicamos como calcular estas integrais 1 012 1 123 L n L L n L n x A x cos dx n L L n x B x sen dx n L L π φ π φ que são semelhantes mas não idênticos aos coeficientes obtidos anteriormente é impor tante lembrar que o domínio é diferente É instrutivo termos uma visualização do que ocorre quando vamos somando os ter mos em uma série de Fourier e na Figura 1 mostramos na direita uma sequência de somas com 5 na cor azul 10 na cor laranja e 100 na cor verde na série de Fourier da função 1 φ x que apresentamos no lado esquerdo da Figura 1 Podemos ver visu almente como a série vai convergindo para a função φ x quando vamos somando mais termos 10 09 08 07 06 05 00 05 10 15 20 25 30 10 09 08 07 06 05 00 fx fx 05 10 15 20 25 30 Figura 1 Visualizando a série de Fourier somando um número diferente de termos À esquer da a função a ser construída com a série Na direita as somas parciais com n 5 10 e 100 termos Vamos calcular os coeficientes da série de Fourier escolhendo a série seno 1 n n n x x A sin L π φ os coeficientes sendo dados por note que neste exemplo temos L π 0 2 An x cos nx dx π π φ e utilizando a função φ x a integral que precisamos calcular se reduz para 16 17 0 0 2 2 2 0 n cos nx A sin nx dx cosn cos n n π π π π π π que para n par obtemos zero mas para n ímpar 4 An nπ com n 1357 logo a série de Fourier será 4 1 1 3 5 3 5 x sin x sin x sin x φ π O que ocorreria se ao invés da série de Fourier em Seno utilizarmos a série de Fourier em Cosseno E se utilizarmos a Série de Fourier completa P aridades de Funções Dado uma função qualquer f x se tivermos f x f x dizemos que a fun ção é par e se f x f x dizemos que a função é ímpar A função seno é uma função com paridade ímpar e a função cosseno é uma função com paridade par pois sen x sen x e cos x cos x A função nx com n um número par é uma função par e com expoente ímpar é uma função ímpar mas uma função como 2 2 x x não é nem par nem ímpar Se tivermos duas funções pares ou duas ímpares o produto das funções será uma função par e o produto de uma função par com uma função ím par será uma função ímpar A soma de funções pares é uma função par e a soma de funções ímpares é uma função ímpar Vamos considerar o caso em que a função φ x que é escrita como uma Série de Fourier Completa tenha paridade definida Vamos inicialmente considerar o caso de ser uma função par isto é x x φ φ Neste caso utilizando a Série de Fourier temos que 0 0 1 1 2 2 n n n n n n A A n x n x n x n x A cos B sen A cos B sen L L L L π π π π que somente será verdadeira se tivermos os coeficientes 0 n B para qualquer valor de n isto é a Série de Fourier para uma função par é dada por 0 1 2 n n A n x x A cos L π φ com os coeficientes de Fourier sendo calculados por 1 012 L n L n x A x cos dx n L L π φ 17 UNIDADE Séries de Fourier Como a função é par e o cosseno é uma função par o integrando que é um produto de funções que são pares também será uma função par Neste caso sabemos do curso de Cálculo que se uma função é par temos a propriedade 0 2 a a a f x dx f x dx de forma que os coeficientes de Fourier para uma função par são calculados pela integral 0 2 012 l n n x A x cos dx n l l π φ que é exatamente a mesma equação utilizada no caso da Série de Fourier em Cosseno No caso de uma função ímpar x x φ φ obtemos que 0 0 1 1 2 2 n n n n n n A A n x n x n x n x A cos B sen A cos B sen L L L L π π π π e neste caso devemos ter 0 n A para qualquer valor de n e os coeficientes de Fourier sendo 1 123 L n L n x B x sen dx n l L π φ Mas o integrando é um produto de funções ímpares logo deve ser uma função par portanto os coeficientes de Fourier neste caso serão 0 2 123 L n n x B x sen dx n L L π φ que são exatamente iguais ao utilizado na Série de Fourier em Seno Série de Fourier Complexa A série de Fourier Complexa pode ser escrita de uma outra maneira que dependendo da situação é uma forma mais adequada Para isto vamos utilizar a fórmula de Euler e escrever as funções sen θ cos θ como 2 2 i i i i e e e e sen cos i θ θ θ θ θ θ e substituir na equação que define a série de Fourier Neste caso podemos reescrever a série como in x L n n x c e π φ 18 19 e preste atenção que agora a somatória inclui valores negativos de n que é devido a presença dos complexos conjugados A relação entre os coeficientes n n n c a b é dada por 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 n n n n n A iB sen c A sen A iB sen e pode ser obtida usando a equação de Euler de forma direta Para determinar os coeficientes desta série utilizamos a propriedade de ortogonalidade 0 l iax ibx iax ibx l e e e e dx a b Neste caso a única integral não nula resulta em 2 l L in x L in x L l L e e dx dx L π π de forma que obtemos para os coeficientes de Fourier 1 2 L in x L n L c x e dx L π φ Algumas vezes a utilização da Série de Fourier na forma complexa pode simplificar muito as contas O exemplo foi no cálculo do produto interno que necessitamos calcular para determinar a relação entre a função φ x e o coeficiente de Fourier nc Funções Periódicas Vamos considerar uma função definida em toda reta dos reais digamos a função f x Se existir um número p tal que f x f x p para qualquer x do domí nio então dizemos que a função f x é periódica com período p Isto é a função se repete a cada intervalo p Uma função arbitrária que possua um período 2 p L pode ser escrita como uma série de Fourier Esta propriedade é extremamente importante e nos permite por exemplo obter uma Série de Fourier para descrever um sinal periódico do tipo degrau ou serra ou qualquer outro tipo de sinal periódico No caso de termos uma função que não seja periódica podemos transformar a mesma em uma função periódica utilizando a chamada expansão em meia escala Se a função for definida em um intervalo L podemos construir uma função periódica como 19 UNIDADE Séries de Fourier período 2L e a nova função podendo ser estendida como uma função par ou ímpar Por exemplo consideremos a função 2 0 2 2 2 A x x L L x A L L x x L L φ que representamos na Figura 2 Figura 2 A função do nosso exemplo representando um triângulo A partir desta função podemos criar uma função estendida com período 2L par ou ímpar que são dadas nas Figuras 3A e 3B respectivamente O termo expansão em meia escala decorre do fato de que na expansão a função tem período 2L enquanto a função original é definida apenas na metade do intervalo Para utilizar este procedimento a função original não precisa ser com simetrias como a da Figura 2 mas pode ser sem nenhuma simetria Precisamos apenas lembrar que o domínio original deve estar restrito ao comprimento L e não 2L Figura 3 Extensão par e extensão ímpar 20 21 Uma questão importante é Que condições a função original deve ter para que possa mos fazer esta extensão e utilizar a série de Fourier Esta questão vamos abordar com mais detalhes na próxima Unidade Vamos agora fazer alguns exemplos de obtenção dos coeficientes da Série de Fourier E xemplos de Determinação dos Coeficientes de Fourier Exemplo 1 Vamos considerar uma função constante 1 φ x no intervalo 0 x L e determi nar os coeficientes da Série de Fourier em Seno Os coeficientes devem ser calculados através da equação 0 2 123 L n n x A x sen dx n L L π φ usando 1 φ x logo 0 2 2 1 L n n x A sen dx cosn L L n π π π quando n for par a integral será nula e quando for ímpar será igual a 4 nπ com n 1357 ou seja somente números ímpares logo 4 1 3 1 5 3 5 x x x x sen sen sen L L L π π π φ π Como seria a série de Fourier para esta função se ao invés da série em Seno trabalharmos com a série em Cosseno Exemplo 2 Vamos agora considerar uma série periódica onda triangular como na figura 4 Figura 4 Uma função periódica com período 2L 21 Neste exemplo temos uma função periódica com o período igual a 2L e amplitude A e vamos utilizar a série completa de Fourier Neste caso os coeficientes devem ser calculados utilizando as equações An frac1l intll varphi x cos fracn pi xl dx n012ldots Bn frac1l intll varphi x sen fracn pi xl dx n123ldots A função varphi x sendo varphix begincases A left1 fracxLright 0 leq x leq L A left1 fracxLright L leq x leq 0 endcases que é uma função par pois varphi x varphi x de forma que o integrando no coeficiente An será par e o integrando no coeficiente Bn será ímpar Neste caso os coeficientes Bn serão todos nulos e An frac2L int0L varphi x cos fracn pi xL dx frac2L int0A left1 fracxLright cos fracn pi xL dx quando n0 a integral é direta resultando em A0 A e para n eq 0 obtemos An frac4An2 pi2 n135ldots De forma que obtemos a série de Fourier varphix fracA2 frac4Api2 sumn1infty frac12n12 cos leftfrac2n1 pi xLright Se ao invés da função dada na Figura 4 utilizarmos a função dada na Figura 3A o resultado seria diferente Exemplo 3 Vamos resolver a mesma função periódica do exemplo anterior mas utilizando a série de Fourier na forma complexa varphix sumninftyinfty cn ei fracn pi xL Neste caso 23 0 0 1 1 1 1 2 2 L in x L in x L n L A x A x c e dx e dx L L L L L L π π Vamos fazer uma mudança de variável na primeira integral fazendo x x de forma que obtemos 0 0 1 1 1 1 2 2 L L in x L in x L n A x A x c e dx e dx L L L L L L π π ou 0 0 1 1 1 1 2 L L in x L in x L n A x A x in x c e e dx cos dx L L L L L L L π π π que é exatamente o mesmo resultado anterior como esperado Nas próximas unidades vamos analisar algumas propriedades importantes da Série de Fourier e posteriormente utilizar para a solução de algumas EDP Trocando Ideias Talvez você esteja pensando qual a vantagem ou a diferença de utilizar uma Série de Fourier para representar uma função Uma vantagem importante é que a Série de Fou rier nos permite trabalhar com funções que podem ser descontínuas Vamos verificar isto na próxima Unidade 23 UNIDADE Séries de Fourier Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Geogebra Utilizando o aplicativo Geogebra podemos visualizar a soma parcial em uma série de Fourier httpsbitly3n6o9Gd Vídeos Fourier Analysis Time Evolution of Pulses on Strings Uma aula longa e em inglês do Professor Walter Lewin sobre utilização de séries de Fourier httpsyoutubek3byqIaULb8 Epicycles Complex Fourier series and Homer Simpsons orbit Uma aplicação curiosa da Série de Fourier httpsyoutubeqS4H6PEcCCA Leitura Fourier Series Para quem tem interesse em simulações numéricas e tem conhecimento da linguagem Python httpsbitly3OaFeKV 24 25 Referências BOYCE W E DIPRIMA R C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 8 ed Rio de Janeiro LTC 2006 FIGUEIREDO D G Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais 4 ed Rio de Janeiro IMPA 2005 IÓRIO V M EDP um curso de graduação 2 ed Rio de Janeiro IMPA 2005 STRAUSS W A Partial Differential Equations an introduction Hoboken Wiley 2008 25 Cruzeiro do Sul Educacional
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Equações Diferenciais Parciais Responsável pelo Conteúdo Prof Dr Fernando Kokubun Revisão Textual Esp Jéssica Dante Séries de Fourier Séries de Fourier Reconhecer uma Equação de Autovalores o que são autofunções e autovalores Reconhecer uma Série de Fourier em Seno e em Cosseno Reconhecer a diferença de Condição de Dirichlet e de Neumann Determinar os coeficientes na Série de Fourier Resolver EDP utilizando Séries de Fourier OBJETIVOS DE APRENDIZADO Solução de uma EDP e a Série de Fourier Série de Fourier em Seno Série de Fourier em Cosseno Coeficientes de Fourier nas séries Seno e Cosseno Série de Fourier Completa Paridades de Funções Série de Fourier Complexa Funções Periódicas Exemplos de Determinação dos Coeficientes de Fourier Orientações de estudo Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua formação acadêmica e atuação profissional siga algumas recomendações básicas Determine um horário fixo para estudar Procure manter contato com seus colegas e tutores para trocar ideias Isso amplia o aprendizado Mantenha o foco Evite se distrair com as redes sociais Seja original Nunca plagie trabalhos Aproveite as indicações de Material Complementar Conserve seu material e local de estudos sempre organizados Assim Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte da sua rotina Por exemplo você poderá determinar um dia e horário fixos como seu momento de estudos Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar lembrese de que uma alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo No material de cada Unidade há leituras indicadas e entre elas artigos científicos livros vídeos e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade Além disso você também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar que ampliará sua interpretação e auxiliará no pleno entendimento dos temas abordados Após o contato com o conteúdo proposto participe dos debates mediados em fóruns de discussão pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento além de propiciar o contato com seus colegas e tutores o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e de aprendizado UNIDADE Séries de Fourier Solução de uma EDP e a Série de Fourier Nesta unidade vamos introduzir a Série de Fourier que é uma das maneiras de encon trar soluções de EDP Inicialmente vamos mostrar com um exemplo o surgimento da série de Fourier na solução de uma EDP Vamos considerar a seguinte EDP 2 2 2 2 2 U U c t x com as seguintes condições de contorno 0 0 U t U L t onde assumimos que a variável x está definida no domínio 0 x L e t R e uma condição inicial genérica isto é o valor da função e da derivada da função em relação a o tempo em t0 no momento não vamos nos preocupar com esta condição Esta EDP é a chamada equação de onda e a constante c é a velocidade de fase da onda Uma solução trivial para a nossa EDP é quando U x t é constante em particular quando a constante é zero Para nossa solução queremos uma solução que não seja trivial e a seguir vamos obter esta solução Para resolver esta EDP podemos utilizar a técnica de separação de variáveis que abordamos anteriormente e assumir que a solução procurada pode ser escrita como U x t F x G t Neste caso substituindo na EDP original obtemos 2 2 2 2 2 d G t d F x F x c G t dt dx Notemos que passamos de derivadas parciais para derivadas ordinárias Assumindo que nossas equações G t F x não são nulas se dividirmos ambos os lados por F x G t obtemos 2 2 2 2 1 1 ² d G t d F x c G t dt F x dx Do lado esquerdo temos uma equação que depende apenas da variável t e do lado direito apenas da variável x logo a equação acima deve ser uma constante Escolhendo como constante λ obtemos dois conjuntos de equações diferenciais ordinárias 2 2 2 2 d G t G t dt d F x F x dx λ λ que são equações de autovalores logo a constante de separação é um autovalor 8 9 As soluções das equações diferenciais ordinárias anteriores podem ser escritas de forma geral como G t Acos t Bsen t F x Ccos x Dsen x λ λ λ λ com A B C D constantes a serem determinadas pelas condições de contorno Antes de continuarmos notemos que assumimos na solução acima que λ isto é seu autovalor é sempre positivo e uma grandeza real O que ocorre se escolhermos uma constante nula ou negativa Ou que não seja real Vamos verificar Importante A escolha do sinal negativo quando escolhemos a constante de separação é convencional Mas veja as discussões sobre a escolha dos autovalores nas próximas seções Autovalor Nulo Inicialmente se escolhermos a constante igual a zero a equação diferencial para a função F x resulta em 2 2 0 d F x dx cuja solução geral pode ser escrita como F x C Dx Utilizando a condição de con torno que foi fornecida temos que 0 0 0 F C F L C DL o que fornece que 0 C D logo a nossa solução com autovalor nulo é a solução trivial U x t 0 Autovalor Negativo Se escolhermos um autovalor negativo obtemos para F x 2 2 d F x F x dx λ e que tem como solução F x Ccosh x Dsinh x λ λ Utilizando as condições de con torno obtemos as equações 0 0 0 F C F L Ccosh L Dsinh L λ λ 9 UNIDADE Séries de Fourier e como sinh λL não é nulo devemos ter D 0 e C0 logo nossa solução com auto valor negativo será a solução trivial U x t 0 Autovalor Complexo E agora vamos considerar o caso em que λ não é um número real neste caso a nossa equação diferencial para a função F x tem como solução geral x x F x Ce De γ γ onde consideramos 2 λ γ Desta forma utilizando as condições de contorno obtemos 0 0 0 L L F C D F L Ce De γ γ o que nos fornece a condição 2 1 L e γ Como γ é um número complexo vamos utilizar x iy γ na equação anterior obtendo 2 2 2 2 1 x iy L xL iyL xL iyL e e e e e logo devemos ter 1 xL e eiyL Utilizando a fórmula de Euler ie cos isen θ θ θ nesta equação obtemos que 0 2 x n y L π Portanto 2 2 2 iy y λ γ que é um número real Logo a nossa equação com a condição de contorno utilizada somente possui solução não nula se a constante λ seu autovalor for uma constante real positiva e não nula Se tivéssemos escolhido λ ao invés de λ como a constante de separação o que mudaria Série de Fourier em Seno Retornando para a nossa solução com λ 0 e impondo as condições de contorno de Dirichlet temos que 0 0 0 F C F L Ccos L Dsen L λ λ 10 que nos fornece C 0 e Dsen λL 0 Se D 0 obtemos Uxt 0 que resulta em uma solução trivial Assim para o caso de uma solução não logo devemos ter sen λL 0 o que resulta na condição λn nπL² sendo n 123 Para obter a solução geral precisamos utilizar a relação inicial Uxt FxGt de forma que para um dado valor de n obtemos a solução Unxt AncosnπctL BnsennπctLsennπxL Mas nossa EDP é uma EDP linear de forma que a solução completa pode ser escrita como uma soma Uxt n Unxt n AncosnπctL BnsennπctLsennπxL Agora considerando as condições iniciais isto é a condição em t 0 obtemos que Ux0 n AnsennπxL φx A série anterior quando considerada como uma série infinita é conhecida como série de Fourier com Seno Notemos que Ux0 φx é uma função genérica e a pergunta que é importante fazer é para quais tipos de funções a série existe Na próxima unidade vamos analisar com mais detalhes as propriedades de convergência da série Aqui nesta unidade vamos assumir a sua existência e fazer algumas aplicações Série de Fourier em Cosseno Além da Série de Fourier em seno podemos também construir uma série de Fourier em Cosseno Para isto vamos modificar a condição de contorno inicial de Dirichlet para a condição de Neumann isto é ao invés de condições de contorno na função vamos impor condições de contorno nas derivadas primeira da função sendo Uxtx 0 Uxtt 0 Utilizando novamente a técnica de separação de variáveis e considerando apenas a função que depende do espaço nosso problema será reduzido à equação diferencial UNIDADE Séries de Fourier 2 2 d F x F x dx λ com as condições de contorno 0 0 dF dF L dx dx Neste caso considerando um autovalor real positivo a solução geral será F x Ccos x Dsen x λ λ e considerando as condições de contorno obtemos 0 0 D C sen L D cos L λ λ λ λ λ que nos fornece D 0 e 0 sen λ L logo devemos ter 2 n L λ π com n 12 Além desta solução ao contrário de quando utilizamos a condição de contorno de Dirichlet podemos ter a constante de separação o autovalor nulo Pois neste caso a solução geral deve ser F x C Dx e quando utilizamos a condição de Neumann como dF x D dx basta ter D 0 e qualquer outro valor para constante C Para autovalores negativos ou complexos podemos repetir o mesmo procedimento utilizado anteriormente obtendo que nestes casos a única solução existente é a trivial Portanto os autovalores neste caso podem ser positivos ou nulo 2 n n L π λ com n 0123 de forma que a solução completa será 0 n n n n ct n ct n x U x t A cos B sen cos L L L π π π e considerando a mesma condição inicial obtemos 0 1 0 2 n n A n x U x A cos x L π φ que é a Série de Fourier em Cosseno o fator de ½ no coeficiente 0 A é uma escolha conveniente Mais adiante vamos ver o motivo desta escolha 12 13 Notemos que em ambos os casos estamos resolvendo a mesma EDP no caso uma equação de onda mas com condições de contorno diferentes em cada caso E obtive mos soluções diferentes para cada condição de contorno Isto é um exemplo de como é importante considerar as condições de contorno na resolução de uma EDP C oeficientes de Fourier nas séries Seno e Cosseno Para determinar a Série de Fourier é necessário determinar os coeficientes da expan são Como podemos determinar estes coeficientes Inicialmente é necessário termos conhecimento da função φ x e conhecendo esta função podemos determinar os coe ficientes da expansão Vamos começar ilustrando com a série em Seno n n n x x A sen L π φ lembrando que a função é φ x uma função conhecida Ortogonalidade Para determinar os coeficientes da Série de Fourier vamos introduzir o conceito de produto interno de funções Sejam duas funções f x g x definidas no domínio a x b o produto interno entre duas funções é definido por b a f x g x f x g x dx Dizemos que duas funções são ortogonais se seu produto interno for zero Para as nossas demonstrações vamos precisar calcular o produto interno envolvendo as funções seno e cosseno Isto é vamos precisar calcular os seguintes produtos internos senax senbx cosax cosbx Para calcular esta integral vamos utilizar a identidade trigonométrica cos cos cos sen sen α β α β α β e escrever 1 1 2 2 sen xsen x cos x x cos x x α β α β α β logo o primeiro produto interno resulta em 13 UNIDADE Séries de Fourier 1 1 2 2 sen x sen x cos x x dx cos x x dx α β α β α β obtemos 1 1 2 2 b b a a sen senbxax sen x x sen x x α β α β α β α β no caso das séries de Fourier em Seno temos 0 1 n l m l a b α π β π e substituindo estes valores na equação anterior obtemos que quando m n o produto interno é nulo Para o segundo produto interno repetimos utilizamos 1 1 2 2 cos xcos x cos x x cos x x α β α β α β e igualmente obtemos que o produto interno é nulo quando m n Determinação dos Coeficientes Vamos calcular o produto interno entre a função φ x e sen m x L π isto é cal cular a integral 0 0 l L n n m x n x m x x sen dx A sen sen dx L L L π π π φ Assumindo que a série é convergente o que vamos demostrar na próxima unidade a ordem da integral e a somatória podem ser trocadas de forma que precisamos calcular a integral 0 0 l L n n n x m x n x m x A sen sen dx A sen sen dx L L L L π π π π lembrando que o coeficiente n A é uma constante A integral pode ser escrita como um produto interno isto é 0 L n x m x n x m x sen sen sen sen dx L L L L π π π π e essa integral é nula isto é as funções são ortogonais quando m n de forma que a integral não nula que precisamos calcular é quando m n isto é 2 0 l sen n x L dx π que pode ser facilmente integrado resultando no valor L 2 14 15 Para fazer a integral utilize a identidade trigonométrica cos sin sin cos cos θ φ θ φ θ φ Assim obtemos que o coeficiente é dado por 0 2 L n n x A x sen dx L L π φ Isto quer dizer que SE a equação φ x puder ser escrita como uma Série de Fourier em Seno os coeficientes da expansão são determinados pela equação anterior No caso da Série de Fourier em Cosseno utilizamos um procedimento semelhante mas ao invés de multiplicar por uma função seno multiplicamos por uma função cosseno isto é devemos calcular o produto interno entre φ x e cos m x L π ou seja calcular a integral 0 0 0 L L n n m x n x m x x cos dx A cos cos dx L L L π π π φ incluímos o termo com n 0 na somatória Novamente assumindo que a série converge podemos trocar a ordem entre a integração e a somatória e ficamos com o cálculo do produto interno de duas funções cosseno O produto interno é ortogonal quando m n Assim a integral que precisamos calcular é quando n m ou seja 2 0 L cos n x L dx π cujo resultado é L 2 para qualquer n positivo Notemos que o resultado é igual ao caso de Série de Fourier em Seno Assim os coeficentes de expansão para a Série de Fourier em Cosseno podem ser calculados utilizando a equação 0 2 L n n x A x cos dx L L π φ S érie de Fourier Completa Utilizando as Séries de Fourier em Seno e em Cosseno podemos construir a série de Fourier Completa usualmente omitimos o adjetivo Completa e escrevemos apenas Série de Fourier através da equação 0 1 2 n n n A n x n x x A cos B sen L L π π φ 15 UNIDADE Séries de Fourier sendo o domínio dado por L x L e chamamos a atenção ao fato de que a domínio de definição é duas vezes maior do que nos casos utilizados na obtenção da Série de Fourier Seno e Cosseno Neste caso podemos mostrar que ver os exercícios no final da unidade onde indicamos como calcular estas integrais 1 012 1 123 L n L L n L n x A x cos dx n L L n x B x sen dx n L L π φ π φ que são semelhantes mas não idênticos aos coeficientes obtidos anteriormente é impor tante lembrar que o domínio é diferente É instrutivo termos uma visualização do que ocorre quando vamos somando os ter mos em uma série de Fourier e na Figura 1 mostramos na direita uma sequência de somas com 5 na cor azul 10 na cor laranja e 100 na cor verde na série de Fourier da função 1 φ x que apresentamos no lado esquerdo da Figura 1 Podemos ver visu almente como a série vai convergindo para a função φ x quando vamos somando mais termos 10 09 08 07 06 05 00 05 10 15 20 25 30 10 09 08 07 06 05 00 fx fx 05 10 15 20 25 30 Figura 1 Visualizando a série de Fourier somando um número diferente de termos À esquer da a função a ser construída com a série Na direita as somas parciais com n 5 10 e 100 termos Vamos calcular os coeficientes da série de Fourier escolhendo a série seno 1 n n n x x A sin L π φ os coeficientes sendo dados por note que neste exemplo temos L π 0 2 An x cos nx dx π π φ e utilizando a função φ x a integral que precisamos calcular se reduz para 16 17 0 0 2 2 2 0 n cos nx A sin nx dx cosn cos n n π π π π π π que para n par obtemos zero mas para n ímpar 4 An nπ com n 1357 logo a série de Fourier será 4 1 1 3 5 3 5 x sin x sin x sin x φ π O que ocorreria se ao invés da série de Fourier em Seno utilizarmos a série de Fourier em Cosseno E se utilizarmos a Série de Fourier completa P aridades de Funções Dado uma função qualquer f x se tivermos f x f x dizemos que a fun ção é par e se f x f x dizemos que a função é ímpar A função seno é uma função com paridade ímpar e a função cosseno é uma função com paridade par pois sen x sen x e cos x cos x A função nx com n um número par é uma função par e com expoente ímpar é uma função ímpar mas uma função como 2 2 x x não é nem par nem ímpar Se tivermos duas funções pares ou duas ímpares o produto das funções será uma função par e o produto de uma função par com uma função ím par será uma função ímpar A soma de funções pares é uma função par e a soma de funções ímpares é uma função ímpar Vamos considerar o caso em que a função φ x que é escrita como uma Série de Fourier Completa tenha paridade definida Vamos inicialmente considerar o caso de ser uma função par isto é x x φ φ Neste caso utilizando a Série de Fourier temos que 0 0 1 1 2 2 n n n n n n A A n x n x n x n x A cos B sen A cos B sen L L L L π π π π que somente será verdadeira se tivermos os coeficientes 0 n B para qualquer valor de n isto é a Série de Fourier para uma função par é dada por 0 1 2 n n A n x x A cos L π φ com os coeficientes de Fourier sendo calculados por 1 012 L n L n x A x cos dx n L L π φ 17 UNIDADE Séries de Fourier Como a função é par e o cosseno é uma função par o integrando que é um produto de funções que são pares também será uma função par Neste caso sabemos do curso de Cálculo que se uma função é par temos a propriedade 0 2 a a a f x dx f x dx de forma que os coeficientes de Fourier para uma função par são calculados pela integral 0 2 012 l n n x A x cos dx n l l π φ que é exatamente a mesma equação utilizada no caso da Série de Fourier em Cosseno No caso de uma função ímpar x x φ φ obtemos que 0 0 1 1 2 2 n n n n n n A A n x n x n x n x A cos B sen A cos B sen L L L L π π π π e neste caso devemos ter 0 n A para qualquer valor de n e os coeficientes de Fourier sendo 1 123 L n L n x B x sen dx n l L π φ Mas o integrando é um produto de funções ímpares logo deve ser uma função par portanto os coeficientes de Fourier neste caso serão 0 2 123 L n n x B x sen dx n L L π φ que são exatamente iguais ao utilizado na Série de Fourier em Seno Série de Fourier Complexa A série de Fourier Complexa pode ser escrita de uma outra maneira que dependendo da situação é uma forma mais adequada Para isto vamos utilizar a fórmula de Euler e escrever as funções sen θ cos θ como 2 2 i i i i e e e e sen cos i θ θ θ θ θ θ e substituir na equação que define a série de Fourier Neste caso podemos reescrever a série como in x L n n x c e π φ 18 19 e preste atenção que agora a somatória inclui valores negativos de n que é devido a presença dos complexos conjugados A relação entre os coeficientes n n n c a b é dada por 0 1 0 2 1 0 2 1 0 2 n n n n n A iB sen c A sen A iB sen e pode ser obtida usando a equação de Euler de forma direta Para determinar os coeficientes desta série utilizamos a propriedade de ortogonalidade 0 l iax ibx iax ibx l e e e e dx a b Neste caso a única integral não nula resulta em 2 l L in x L in x L l L e e dx dx L π π de forma que obtemos para os coeficientes de Fourier 1 2 L in x L n L c x e dx L π φ Algumas vezes a utilização da Série de Fourier na forma complexa pode simplificar muito as contas O exemplo foi no cálculo do produto interno que necessitamos calcular para determinar a relação entre a função φ x e o coeficiente de Fourier nc Funções Periódicas Vamos considerar uma função definida em toda reta dos reais digamos a função f x Se existir um número p tal que f x f x p para qualquer x do domí nio então dizemos que a função f x é periódica com período p Isto é a função se repete a cada intervalo p Uma função arbitrária que possua um período 2 p L pode ser escrita como uma série de Fourier Esta propriedade é extremamente importante e nos permite por exemplo obter uma Série de Fourier para descrever um sinal periódico do tipo degrau ou serra ou qualquer outro tipo de sinal periódico No caso de termos uma função que não seja periódica podemos transformar a mesma em uma função periódica utilizando a chamada expansão em meia escala Se a função for definida em um intervalo L podemos construir uma função periódica como 19 UNIDADE Séries de Fourier período 2L e a nova função podendo ser estendida como uma função par ou ímpar Por exemplo consideremos a função 2 0 2 2 2 A x x L L x A L L x x L L φ que representamos na Figura 2 Figura 2 A função do nosso exemplo representando um triângulo A partir desta função podemos criar uma função estendida com período 2L par ou ímpar que são dadas nas Figuras 3A e 3B respectivamente O termo expansão em meia escala decorre do fato de que na expansão a função tem período 2L enquanto a função original é definida apenas na metade do intervalo Para utilizar este procedimento a função original não precisa ser com simetrias como a da Figura 2 mas pode ser sem nenhuma simetria Precisamos apenas lembrar que o domínio original deve estar restrito ao comprimento L e não 2L Figura 3 Extensão par e extensão ímpar 20 21 Uma questão importante é Que condições a função original deve ter para que possa mos fazer esta extensão e utilizar a série de Fourier Esta questão vamos abordar com mais detalhes na próxima Unidade Vamos agora fazer alguns exemplos de obtenção dos coeficientes da Série de Fourier E xemplos de Determinação dos Coeficientes de Fourier Exemplo 1 Vamos considerar uma função constante 1 φ x no intervalo 0 x L e determi nar os coeficientes da Série de Fourier em Seno Os coeficientes devem ser calculados através da equação 0 2 123 L n n x A x sen dx n L L π φ usando 1 φ x logo 0 2 2 1 L n n x A sen dx cosn L L n π π π quando n for par a integral será nula e quando for ímpar será igual a 4 nπ com n 1357 ou seja somente números ímpares logo 4 1 3 1 5 3 5 x x x x sen sen sen L L L π π π φ π Como seria a série de Fourier para esta função se ao invés da série em Seno trabalharmos com a série em Cosseno Exemplo 2 Vamos agora considerar uma série periódica onda triangular como na figura 4 Figura 4 Uma função periódica com período 2L 21 Neste exemplo temos uma função periódica com o período igual a 2L e amplitude A e vamos utilizar a série completa de Fourier Neste caso os coeficientes devem ser calculados utilizando as equações An frac1l intll varphi x cos fracn pi xl dx n012ldots Bn frac1l intll varphi x sen fracn pi xl dx n123ldots A função varphi x sendo varphix begincases A left1 fracxLright 0 leq x leq L A left1 fracxLright L leq x leq 0 endcases que é uma função par pois varphi x varphi x de forma que o integrando no coeficiente An será par e o integrando no coeficiente Bn será ímpar Neste caso os coeficientes Bn serão todos nulos e An frac2L int0L varphi x cos fracn pi xL dx frac2L int0A left1 fracxLright cos fracn pi xL dx quando n0 a integral é direta resultando em A0 A e para n eq 0 obtemos An frac4An2 pi2 n135ldots De forma que obtemos a série de Fourier varphix fracA2 frac4Api2 sumn1infty frac12n12 cos leftfrac2n1 pi xLright Se ao invés da função dada na Figura 4 utilizarmos a função dada na Figura 3A o resultado seria diferente Exemplo 3 Vamos resolver a mesma função periódica do exemplo anterior mas utilizando a série de Fourier na forma complexa varphix sumninftyinfty cn ei fracn pi xL Neste caso 23 0 0 1 1 1 1 2 2 L in x L in x L n L A x A x c e dx e dx L L L L L L π π Vamos fazer uma mudança de variável na primeira integral fazendo x x de forma que obtemos 0 0 1 1 1 1 2 2 L L in x L in x L n A x A x c e dx e dx L L L L L L π π ou 0 0 1 1 1 1 2 L L in x L in x L n A x A x in x c e e dx cos dx L L L L L L L π π π que é exatamente o mesmo resultado anterior como esperado Nas próximas unidades vamos analisar algumas propriedades importantes da Série de Fourier e posteriormente utilizar para a solução de algumas EDP Trocando Ideias Talvez você esteja pensando qual a vantagem ou a diferença de utilizar uma Série de Fourier para representar uma função Uma vantagem importante é que a Série de Fou rier nos permite trabalhar com funções que podem ser descontínuas Vamos verificar isto na próxima Unidade 23 UNIDADE Séries de Fourier Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Geogebra Utilizando o aplicativo Geogebra podemos visualizar a soma parcial em uma série de Fourier httpsbitly3n6o9Gd Vídeos Fourier Analysis Time Evolution of Pulses on Strings Uma aula longa e em inglês do Professor Walter Lewin sobre utilização de séries de Fourier httpsyoutubek3byqIaULb8 Epicycles Complex Fourier series and Homer Simpsons orbit Uma aplicação curiosa da Série de Fourier httpsyoutubeqS4H6PEcCCA Leitura Fourier Series Para quem tem interesse em simulações numéricas e tem conhecimento da linguagem Python httpsbitly3OaFeKV 24 25 Referências BOYCE W E DIPRIMA R C Equações diferenciais elementares e problemas de valores de contorno 8 ed Rio de Janeiro LTC 2006 FIGUEIREDO D G Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais 4 ed Rio de Janeiro IMPA 2005 IÓRIO V M EDP um curso de graduação 2 ed Rio de Janeiro IMPA 2005 STRAUSS W A Partial Differential Equations an introduction Hoboken Wiley 2008 25 Cruzeiro do Sul Educacional