Algebra Abstrata - Grupos

Universidade de Brasília Departamento de Matemática SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA 1 1 Mostre que R é um grupo abeliano com a operação x y ³x³ y³ 2 Seja G um grupo e ab G Mostre que existe x G tal que xax bba¹ 3 Se H G então o normalizador de H em G definido por NGH x G xHx¹ H é um subgrupo de G 4 Seja H um subgrupo de um grupo G e g um elemento de G Prove que NGg¹Hg g¹Hg 5 Seja H um subgrupo de um grupo G e seja g n um elemento de ordem n Se gm H e m e n são coprimos prove que g H 6 Considere os elementos A 0 1 1 0 e B 0 1 1 1 de SL2 R o grupo das matrizes 2 2 com determinante 1 e operação multiplicação Encontre oA oB e oAB 7 Seja UZ15 o grupo multiplicativo dos elementos simetrizáveis ou unidades de Z15 Este grupo tem 6 subgrupos cíclicos listeos 8 Se on mostre que oat n mdcnt 9 Prove que H 1 n 0 1 n Z é um subgrupo cíclico de GL2 R 10 Seja G um grupo Dizemos que gh G são conjugados se existe a G tal que g aha¹ Mostre que essa relação é de equivalência 11 Sejam GL grupos e seja f G L um homomorfismo Mostre que a se H G então fH L b se K L então f¹K G 12 Seja G um grupo e defina a função σa G G tal que σag aga¹ Mostre que a σa é um automorfismo de G b se H G então σaH G c se N G então σaN N d se G é finito então G H G σaH 13 Mostre que se HK são subgrupos próprios de G então a H K G se e somente se H K ou K H b H K G 14 Seja Cm um grupo cíclico de ordem m Mostre que se mdcrs 1 então Crs Cr Cs 15 Mostre que se GL são grupos e oL p um primo Mostre que se Ψ G L é epimorfismo então o grupo quociente GKerΨ é cíclico ecnomornoa Tan noso Renoluca upoeelaento anno cotawdaoualemunto nauao Vale Arotso catuwdod Gelam 9Z eR nteu paa R bomtotvidoce Vole Co muta tivdae aNso cuatdacupots x q xe Cy shmnta Wutrko R Tome wo inuso de xc R6ntoo wt 0 Rs iwi w xeR imuno de Comototvdoole Vocry cR Logo R aupo abuleno Rokmon beG Dubapo de G Solsmon Torbonto exnte xeG Iaxbbalaacdlasa sgassa Ca Tontonto ee No4 donuta xy lo como y4 tmon yl uxyxH4 Jal pao eelamnbo como e e eH tkmwnto in multpl comale uwbos s lodos pn Val mos 5elsemos ani ca de nonmaliyodon O nonmaliad on de pon Nols e o consunto d elemutos xeG setsaco onao coe mult lcal Um rubon to Sna G oleuotado Gonyeacei do tubgupo 5e x e N gNg ente ubupo qualoe elmta ole No s pen zeH9nto oha he H bute gHgl hogMggha tmo huhH logo qHg Portonto NolgHggHg 5 Conbde pumon enlode do Galsemo o mdcmnL exnen in bunon ab A 9eHAem albho Loss accM h Como eonnuntimnb amt bn AB A ondm no duto oe A 6ndem sle am t bn emos ole A clento 13 On am bh Jots 3 oC133 or dem nhnta oABoe nabn A 14 oA4 temo Unamdo 0mbn elemo de M bn en ndcLsL55 U3i3242tithlsu 5 cclicos olshetoy de U2 3 A onde m ola de n taino porita oo S ola ndnta arL iwnmos pod n u t ola n ole m popedoc mdcCht ola2 mdcl244 oayla3 meon alemnto a ajustado pon numo t don t do qu at expoutes Toto ns ondem a 3 ononm unt nt 2 9 1porn o nuopo AB C0 ntn Fecamunbo A montoan entem H Jsco mests Com Rellsvdaol Intn A3 kammhen e eonnqntmat ciclico nubaupo de GlR scolhe ae ntuno Atebem ualqer pon Gome msmo e leu idenusal mullplceolo eommo ahe G fH ele contem flec eonole FCH nau lomo but exstem eomo fe m Portoto conguaacoo morto nowoz10 mostes homo existe cOnyuqaglo 5Lttuol eo m LUm awbaupo de G elemvnto olentiolode e ode G ntao homomovismo Tontto y ond otdeutdoole Lecm o co ngugcslo conjuqado ole G quumon monÑncn 9ecojgads G fkne tleyee biyton diute 62 eoh obr 6nta ingtor agse mo ltilicondlo bapo oe L aenmos moben on a reyton homo dentol ede hommomo nismo paflylayLogo ubqupo de G motan Duponhe omnJm Sejamm eG6ntiw Galgi4alquqJa ag a a3a 69 6alg2 Um ao mor mo de eL 3lC6e entao Implice fCyek eo m equdo Seye h eG lonnle Lo ao 6a e ole G biyton zyteçK bomommon Gacg aa ha ahilogo hilogo 6e ehobye ton e pon a 1hsetan de L ahe Polnh yu 3a HUR G unto MoR A UK Yortonto hke HULSe hk eH tata Khh keH kcH ole G Loao HOk G to Jnte Portonto huboujpo e G Contraol Contti can Assm 2c E G tors q y no tntoto tUK de wn lelo en Contncdhe Contneice Xxg Jt ck oute Propos ole Gi upo contacleo Como de G a No mmnte HeG pnesommos Juconne 6 H G c 5e N G Como dade S hschseHwtou pois N U m de G aulomon umo Gal4 2 wm nuhapo e A lbea de Gal4 Sub pueamo Ge neM 2ntow 6n ana G Nipors Nenonmal oo G aCucN 62 e wm akomonomo pon 6aCg a montuan eeHbnto cleaeoe eGeH 6Chehe aCheheat Caha aho bropn edl ocle de oubqupo d G montaa non mel Aplconolo tmon nse lehel e 6N Logo wC6a N G Dnbos G clorser LGH G 0 CHJ 6e e xint S Gnit tnte LGn LG6 4J Sases lotnos lateou 6CN N UmQ Ga CH b mont wl onde qeadon de Cr e yupo Crxc Syam quadon Je en etivo Suponho Ze lssu U fortontorsk om morn mo Como mdcrisl emos intao melco deobreatora Daalo y c cxGs umcontnan q Ugntuce Povtonto dCx Ce e Ento 2 tal Ipoclemor nconte Crs j Cmod s tal e esoe oLp um Ciclico L tenn GKerl de ordem Ceclieo de Ciclico spmo nsmoonee mmo Iso mor fumo GKer 4L ordem yupo ynma lom gmte muts or dm piepoutouto 6 poutonto 6Rerl