·
Engenharia Mecatrônica ·
Cálculo 3
· 2022/1
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Cálculo 3 1) \int_C x ds , C: y = x^2 com (-1, 1) até (1, 1) Temos que, \int_C f(x,y) \sqrt{(\frac{dx}{dx})^2 + (\frac{dy}{dx})^2} dx parametrização: \gamma x = x e y = x^2 com -1 \leq x \leq 1 logo, \int_{-1}^1 x \sqrt{1 + 4x^2} dx = \int_1^1 \frac{\sqrt{u}}{8} du = 0 \rightarrow \int_C x ds = 0 2) Temos que, \nabla \times \vec{F} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^3 + 1 & 3x y^2 + 1 & 0 \end{array} \right| = (0, 0, 0) Campo conservativo Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 3 – Turma F Prova 3 – 1º/2022 Nome: Filipe Camelo Nascimento Matrícula: 190045779 Assinatura: Filipe Camelo Nascimento (52) Atenção: Para a questão ser considerada correta e o ponto ser concedido, toda a resolução deve estar correta, e não apenas o resultado final. Caso contrário, a pontuação atribuída será zero. Não há necessidade de calculadora! Não arredonde NENHUM valor! Questão 1 (1,0 ponto): Calcule \int_C x ds, onde C é a curva ao longo da parábola y = x^2, saindo de (-1, 1) até o ponto (1, 1). Atenção: Na vídeo-aula, o professor disse que a função sendo integrada é f(x) = x. Isso está incorreto. A função que está sendo integrada é f(x,y) = x. Questão 2 (1,0 ponto): Seja C uma curva suave em R², partindo do ponto (0, 0) e indo até o ponto (2, 0). Mesmo sem conhecer exatamente a curva C, calcule \int_C \vec{F} \cdot d\vec{s}, onde \vec{F}(x, y) = (y^3 + 1, 3xy^2 + 1). Questão 3 (1,0 ponto): Encontre uma função potencial para o campo \vec{F} : R^3 \to R^3 (x, y, z) \mapsto (ye^xz + xyze^xz, xe^xz, x^2ye^xz). Questão 4 (1,0 ponto): Seja Q a região limitada pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4. Utilize o teorema do divergente para calcular o fluxo exterior do campo \vec{F} : R^3 \to R^3 (x, y, z) \mapsto (x^2, xz, 3z) pela superfície da região entre as esferas x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4. Questão 5 (2,0 pontos): O campo de força \vec{F} é um exemplo de um campo conservativo. Ou seja, \vec{F} = -\nabla p para alguma função p. Seja \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 a trajetória (diferenciável) ao longo do tempo de uma partícula de massa m = 1. Então, I(t) = p(\varphi(t)) é a energia potencial da partícula no instante t. A energia cinética da partícula no instante t é dada por E(t) = \frac{m||\varphi'(t)||^2}{2} E a segunda lei de Newton diz que \vec{F} = m\varphi''(t). Nessas condições, mostre que a função E(t) + I(t) é constante. Ou seja, a energia total é conservada. Dica: Basta mostrar que E'(t) = -I'(t). Questão 6 (1,0 ponto): Calcule a área da superfície z = 2 - x^2 - y^2, onde z \geq \sqrt{x^2 + y^2}. Questão 7 (2,0 pontos): Em um tanque cilíndrico de raio 2, cheio de um determinado líquido, uma hélice ao fundo está girando e fazendo com que o líquido circule pelo tanque. A velocidade do líquido é dada pelo campo vetorial \vec{F} : R^3 \to R^3 (x, y, z) \mapsto (-y\sqrt{x^2 + y^2}, x\sqrt{x^2 + y^2}, 0) Calcule \iint_G \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}dS, onde G é a superfície do líquido no container, de duas maneiras diferentes. Uma diretamente, fazendo a integral de superfície, e outra utilizando o teorema de Stokes. Questão 8 (1,0 ponto): Considere o campo vetorial \vec{F} : R^2 \ \{0\} \to R^2 (x, y) \mapsto (P, Q) onde P = \frac{-y}{x^2 + y^2} Q = \frac{x}{x^2 + y^2}. Apesar de o rotacional de F ser zero, o campo F NÃO é conservativo. Faça um desenho do campo e utilizando o desenho argumente que F não é conservativo. Atenção: Não é pra fazer contas!!! Portanto, \vec{F} = \nabla f \begin{cases} 1^3x + x = \frac{\partial f}{\partial x} \quad (1)\ 3xy^2 + y = \frac{\partial f}{\partial y} \quad (2)\ 0 = \frac{\partial f}{\partial z} \quad (3)\ \end{cases} Integrando (1): y^3x + x + g(y,z) = f(x,y,z) Derivando, \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2x + \frac{\partial g}{\partial y} \to \frac{\partial g}{\partial y} = y \to g(y,z) = y + h(z) Comparando com (2) f(x,y,z) = y^3x + x + y + h(z) \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial h}{\partial z} \to \frac{\partial h}{\partial z} = 0 \to h = k Comparando com (3). Logo, f(x,y,z) = y^3x + x + y + k Portanto, \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_S \nabla \cdot \vec{F} \cdot d\vec{n} \, \text{d}S = f(2,0) - f(0,0) \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = 2 (3) Temos que, \vec{F} = \left( ye^{3x} + xyze^{3x}, x^2e^{3x}, yxe^{3x} \right) e \, como \quad \vec{F} = \nabla f (1) \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{3x} + xyze^{3x} (2) \frac{\partial f}{\partial y} = xe^{3x} (3) \frac{\partial f}{\partial z} = x^2ye^{3x} Integrando (1): f(x,y,z) = \int \left( ye^{3x} + xyze^{3x} \right) \, dx f(x,y,z) = \frac{y}{3}e^{3x} + yxe^{3x} - \frac{y}{3}e^{3x} - g(y,z) f(x,y,z) = yxe^{3x} + g(y,z) \frac{\partial f}{\partial y} = xe^{3x} + \frac{\partial g}{\partial y} \to \frac{\partial g}{\partial y} = 0 \to g = k_1 + h(z) Comparando com (2) f(x,y,z) = yxe^{3x} + k_1 + h(z) \frac{\partial f}{\partial x} = yxe^{3x} + \frac{\partial h}{\partial z} \to \frac{\partial h}{\partial z} = 0 \to h = k_2 Comparando com (3) Portanto, f(x,y,z) = xye^{3x} + k com k = k_1 + k_2 (4) Temos que, \int_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \int_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} = 2x + 3 em coordenadas esféricas, \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 \left(2r\sin\phi\cos\theta + 3\right) r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} (2u^3 \sin^2\phi \cos\theta + 3u^2 \sin\phi) \, d\theta \, d\phi =2\int_0^\pi \sin^2\phi \, d\phi \int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta \int_1^{\alpha} u^3 \ du \, + \, 3\int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^{2\pi} \int_1^\alpha u^2 \, du \hspace{5cm} = 0 = 3(-\cos\phi)\bigg|_0^\pi \cdot \theta\bigg|_0^{2\pi} \cdot \frac{u^3}{3}\bigg|_1^{\alpha} \, = \, 2 \cdot 2\pi \cdot (\alpha^3-1) = \alpha^3 2\pi Logo, \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = 2\alpha^3 \pi 5) \hspace{0.2cm} Temos \hspace{0.2cm} que, I(t) = p(\phi(t)) \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} e \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} E(t) = \frac{||\phi'(t)||^2}{2} Para \hspace{0.2cm} que \hspace{0.2cm} E(t) + I(t) = cte, \hspace{0.2cm} temos \hspace{0.2cm} que: I' = \nabla p \cdot \phi'(t) \hspace{0.2cm} - \hspace{0.2cm} \mathbf{F} \cdot \phi'(t) = -\phi''(t) \cdot \phi'(t) e \hspace{0.2cm} (...) E'(t) = ||\phi'(t)|| \cdot \phi''(t) \cdot \phi'(t) \hspace{2cm} (Use \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} regra \hspace{0.1cm} da \hspace{0.1cm} cadeia \hspace{0.1cm} em \hspace{0.1cm} ambos) Vemos \hspace{0.2cm} daí \hspace{0.2cm} que, E(t) = -I(t) \longrightarrow I(t) + E(t) = cte 6) \hspace{0.2cm} \underline{\text{Área da superfície}} y = 2 - x^2 - y^2 \hspace{0.5cm} e \hspace{0.5cm} z \geq \sqrt{x^2 + y^2} Parametrização: x = r \cos \theta, \hspace{1cm} y = r \sin \theta, \hspace{1cm} e \hspace{1cm} z = 2 - u^2 \vec{v}_r = (\cos \theta, \sin \theta, -2u) \vec{v}_\theta = (-u \sin \theta, u \cos \theta, 0) \vec{v}_r \times \vec{v}_\theta = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \cos \theta & \sin \theta & -2u \\ -u \sin \theta & u \cos \theta & 0 \end{vmatrix} = 2u^2 \cos \theta \hat{i} + 2u^2 \sin \theta \hat{j} + u \hat{k} |\vec{v}_r \times \vec{v}_\theta| = \sqrt{4u^4 + u^2} = u \sqrt{4u^2 + 1} Interseção, 2 - y^2 = u^2 \longrightarrow 2 = 2u^2 \longrightarrow u = 1 Logo, A = \int_0^{2\pi} \int_0^1 u \sqrt{4u^2 + 1} \ d\theta \ dela = 2\pi \int_0^1 u \sqrt{4u^2 + 1} \ du Substituição: u = 4u^2 + 1 = du = 8u du A = 2\pi \int_1^5 \sqrt{u} du = 2\pi \frac{u^{3/2}}{3/2}\biggr]_1^5 = \frac{4}{3} \pi \ (5^{3/2} - 1) Logo, \overline{A = \frac{4\pi}{3} \ (5^{3/2} - 1)} 7) \hspace{0.2cm} Temos \hspace{0.2cm} que, \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ -y/\sqrt{x^2+y^2} & x/\sqrt{x^2+y^2} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 3 \sqrt{x^2 + y^2}) e \hspace{0.2cm} como \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int\int_D \mathbf{F} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_\theta) dA Parametrização: x = u cos v, y = u sen v e z = u \(\vec{v_u}\) = (cos v, sen v, 0) \(\vec{v_v}\) = (-u sen v, u cos v, 0) \(\vec{v_u} \times \vec{v_v}\) = \(\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ cos v & sen v & 0 \\ -u sen v & u cos v & 0 \end{vmatrix}\) = (0, 0, u) de modo que, \(\iint_D \vec{F} \cdot (\vec{v_u} \times \vec{v_v}) dA\) e como \(\vec{F}(u, v) = (0, 0, 3u)\) \(\int_0^{2\pi} \int_0^2 3u^2 du dv = 2\pi \cdot 3 \cdot \frac{u^3}{3}\bigg|_0^2 = 6\pi \cdot \frac{8}{3} = 16\pi\) Pelo Teorema de Stokes, \(\iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\) sendo \(\vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t, 0),\) então \(\vec{F}'(t) = (-4 \sin t, 4 \cos t, 0)\) \(\int_C \vec{F}(t) \cdot \vec{r}'(t) dt = \int_0^{2\pi} (8 \sin^2 t + 8 \cos^2 t) dt\) = 8 \int_0^{2\pi} dt = 8 \cdot 2\pi \rightarrow \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{s} = 16\pi\) \(\boxed{(e)}\) Temos que, \(\begin{array}{c} \end{array}\) \text{Se traçamos uma curva fechada sob o gráfico do campo vetorial, vemos que:} \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \neq 0,\) logo \(\vec{F} \) não é conservativo.
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Cálculo 3 1) \int_C x ds , C: y = x^2 com (-1, 1) até (1, 1) Temos que, \int_C f(x,y) \sqrt{(\frac{dx}{dx})^2 + (\frac{dy}{dx})^2} dx parametrização: \gamma x = x e y = x^2 com -1 \leq x \leq 1 logo, \int_{-1}^1 x \sqrt{1 + 4x^2} dx = \int_1^1 \frac{\sqrt{u}}{8} du = 0 \rightarrow \int_C x ds = 0 2) Temos que, \nabla \times \vec{F} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ y^3 + 1 & 3x y^2 + 1 & 0 \end{array} \right| = (0, 0, 0) Campo conservativo Universidade de Brasília Departamento de Matemática Cálculo 3 – Turma F Prova 3 – 1º/2022 Nome: Filipe Camelo Nascimento Matrícula: 190045779 Assinatura: Filipe Camelo Nascimento (52) Atenção: Para a questão ser considerada correta e o ponto ser concedido, toda a resolução deve estar correta, e não apenas o resultado final. Caso contrário, a pontuação atribuída será zero. Não há necessidade de calculadora! Não arredonde NENHUM valor! Questão 1 (1,0 ponto): Calcule \int_C x ds, onde C é a curva ao longo da parábola y = x^2, saindo de (-1, 1) até o ponto (1, 1). Atenção: Na vídeo-aula, o professor disse que a função sendo integrada é f(x) = x. Isso está incorreto. A função que está sendo integrada é f(x,y) = x. Questão 2 (1,0 ponto): Seja C uma curva suave em R², partindo do ponto (0, 0) e indo até o ponto (2, 0). Mesmo sem conhecer exatamente a curva C, calcule \int_C \vec{F} \cdot d\vec{s}, onde \vec{F}(x, y) = (y^3 + 1, 3xy^2 + 1). Questão 3 (1,0 ponto): Encontre uma função potencial para o campo \vec{F} : R^3 \to R^3 (x, y, z) \mapsto (ye^xz + xyze^xz, xe^xz, x^2ye^xz). Questão 4 (1,0 ponto): Seja Q a região limitada pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 4. Utilize o teorema do divergente para calcular o fluxo exterior do campo \vec{F} : R^3 \to R^3 (x, y, z) \mapsto (x^2, xz, 3z) pela superfície da região entre as esferas x^2 + y^2 + z^2 = 1 e x^2 + y^2 + z^2 = 4. Questão 5 (2,0 pontos): O campo de força \vec{F} é um exemplo de um campo conservativo. Ou seja, \vec{F} = -\nabla p para alguma função p. Seja \varphi : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3 a trajetória (diferenciável) ao longo do tempo de uma partícula de massa m = 1. Então, I(t) = p(\varphi(t)) é a energia potencial da partícula no instante t. A energia cinética da partícula no instante t é dada por E(t) = \frac{m||\varphi'(t)||^2}{2} E a segunda lei de Newton diz que \vec{F} = m\varphi''(t). Nessas condições, mostre que a função E(t) + I(t) é constante. Ou seja, a energia total é conservada. Dica: Basta mostrar que E'(t) = -I'(t). Questão 6 (1,0 ponto): Calcule a área da superfície z = 2 - x^2 - y^2, onde z \geq \sqrt{x^2 + y^2}. Questão 7 (2,0 pontos): Em um tanque cilíndrico de raio 2, cheio de um determinado líquido, uma hélice ao fundo está girando e fazendo com que o líquido circule pelo tanque. A velocidade do líquido é dada pelo campo vetorial \vec{F} : R^3 \to R^3 (x, y, z) \mapsto (-y\sqrt{x^2 + y^2}, x\sqrt{x^2 + y^2}, 0) Calcule \iint_G \operatorname{rot} \vec{F} \cdot \vec{n}dS, onde G é a superfície do líquido no container, de duas maneiras diferentes. Uma diretamente, fazendo a integral de superfície, e outra utilizando o teorema de Stokes. Questão 8 (1,0 ponto): Considere o campo vetorial \vec{F} : R^2 \ \{0\} \to R^2 (x, y) \mapsto (P, Q) onde P = \frac{-y}{x^2 + y^2} Q = \frac{x}{x^2 + y^2}. Apesar de o rotacional de F ser zero, o campo F NÃO é conservativo. Faça um desenho do campo e utilizando o desenho argumente que F não é conservativo. Atenção: Não é pra fazer contas!!! Portanto, \vec{F} = \nabla f \begin{cases} 1^3x + x = \frac{\partial f}{\partial x} \quad (1)\ 3xy^2 + y = \frac{\partial f}{\partial y} \quad (2)\ 0 = \frac{\partial f}{\partial z} \quad (3)\ \end{cases} Integrando (1): y^3x + x + g(y,z) = f(x,y,z) Derivando, \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2x + \frac{\partial g}{\partial y} \to \frac{\partial g}{\partial y} = y \to g(y,z) = y + h(z) Comparando com (2) f(x,y,z) = y^3x + x + y + h(z) \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial h}{\partial z} \to \frac{\partial h}{\partial z} = 0 \to h = k Comparando com (3). Logo, f(x,y,z) = y^3x + x + y + k Portanto, \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_S \nabla \cdot \vec{F} \cdot d\vec{n} \, \text{d}S = f(2,0) - f(0,0) \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = 2 (3) Temos que, \vec{F} = \left( ye^{3x} + xyze^{3x}, x^2e^{3x}, yxe^{3x} \right) e \, como \quad \vec{F} = \nabla f (1) \frac{\partial f}{\partial x} = ye^{3x} + xyze^{3x} (2) \frac{\partial f}{\partial y} = xe^{3x} (3) \frac{\partial f}{\partial z} = x^2ye^{3x} Integrando (1): f(x,y,z) = \int \left( ye^{3x} + xyze^{3x} \right) \, dx f(x,y,z) = \frac{y}{3}e^{3x} + yxe^{3x} - \frac{y}{3}e^{3x} - g(y,z) f(x,y,z) = yxe^{3x} + g(y,z) \frac{\partial f}{\partial y} = xe^{3x} + \frac{\partial g}{\partial y} \to \frac{\partial g}{\partial y} = 0 \to g = k_1 + h(z) Comparando com (2) f(x,y,z) = yxe^{3x} + k_1 + h(z) \frac{\partial f}{\partial x} = yxe^{3x} + \frac{\partial h}{\partial z} \to \frac{\partial h}{\partial z} = 0 \to h = k_2 Comparando com (3) Portanto, f(x,y,z) = xye^{3x} + k com k = k_1 + k_2 (4) Temos que, \int_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \int_V \nabla \cdot \vec{F} \, dV \nabla \cdot \vec{F} = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z} = 2x + 3 em coordenadas esféricas, \int_0^{2\pi} \int_0^{\pi} \int_0^2 \left(2r\sin\phi\cos\theta + 3\right) r^2 \sin\phi \, dr \, d\phi \, d\theta = \int_0^\pi \int_0^{2\pi} (2u^3 \sin^2\phi \cos\theta + 3u^2 \sin\phi) \, d\theta \, d\phi =2\int_0^\pi \sin^2\phi \, d\phi \int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta \int_1^{\alpha} u^3 \ du \, + \, 3\int_0^\pi \sin\phi \, d\phi \int_0^{2\pi} \int_1^\alpha u^2 \, du \hspace{5cm} = 0 = 3(-\cos\phi)\bigg|_0^\pi \cdot \theta\bigg|_0^{2\pi} \cdot \frac{u^3}{3}\bigg|_1^{\alpha} \, = \, 2 \cdot 2\pi \cdot (\alpha^3-1) = \alpha^3 2\pi Logo, \int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = 2\alpha^3 \pi 5) \hspace{0.2cm} Temos \hspace{0.2cm} que, I(t) = p(\phi(t)) \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} e \hspace{0.2cm} \hspace{0.2cm} E(t) = \frac{||\phi'(t)||^2}{2} Para \hspace{0.2cm} que \hspace{0.2cm} E(t) + I(t) = cte, \hspace{0.2cm} temos \hspace{0.2cm} que: I' = \nabla p \cdot \phi'(t) \hspace{0.2cm} - \hspace{0.2cm} \mathbf{F} \cdot \phi'(t) = -\phi''(t) \cdot \phi'(t) e \hspace{0.2cm} (...) E'(t) = ||\phi'(t)|| \cdot \phi''(t) \cdot \phi'(t) \hspace{2cm} (Use \hspace{0.1cm} a \hspace{0.1cm} regra \hspace{0.1cm} da \hspace{0.1cm} cadeia \hspace{0.1cm} em \hspace{0.1cm} ambos) Vemos \hspace{0.2cm} daí \hspace{0.2cm} que, E(t) = -I(t) \longrightarrow I(t) + E(t) = cte 6) \hspace{0.2cm} \underline{\text{Área da superfície}} y = 2 - x^2 - y^2 \hspace{0.5cm} e \hspace{0.5cm} z \geq \sqrt{x^2 + y^2} Parametrização: x = r \cos \theta, \hspace{1cm} y = r \sin \theta, \hspace{1cm} e \hspace{1cm} z = 2 - u^2 \vec{v}_r = (\cos \theta, \sin \theta, -2u) \vec{v}_\theta = (-u \sin \theta, u \cos \theta, 0) \vec{v}_r \times \vec{v}_\theta = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \cos \theta & \sin \theta & -2u \\ -u \sin \theta & u \cos \theta & 0 \end{vmatrix} = 2u^2 \cos \theta \hat{i} + 2u^2 \sin \theta \hat{j} + u \hat{k} |\vec{v}_r \times \vec{v}_\theta| = \sqrt{4u^4 + u^2} = u \sqrt{4u^2 + 1} Interseção, 2 - y^2 = u^2 \longrightarrow 2 = 2u^2 \longrightarrow u = 1 Logo, A = \int_0^{2\pi} \int_0^1 u \sqrt{4u^2 + 1} \ d\theta \ dela = 2\pi \int_0^1 u \sqrt{4u^2 + 1} \ du Substituição: u = 4u^2 + 1 = du = 8u du A = 2\pi \int_1^5 \sqrt{u} du = 2\pi \frac{u^{3/2}}{3/2}\biggr]_1^5 = \frac{4}{3} \pi \ (5^{3/2} - 1) Logo, \overline{A = \frac{4\pi}{3} \ (5^{3/2} - 1)} 7) \hspace{0.2cm} Temos \hspace{0.2cm} que, \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ -y/\sqrt{x^2+y^2} & x/\sqrt{x^2+y^2} & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, 3 \sqrt{x^2 + y^2}) e \hspace{0.2cm} como \int\int_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s} = \int\int_D \mathbf{F} \cdot (\vec{v}_r \times \vec{v}_\theta) dA Parametrização: x = u cos v, y = u sen v e z = u \(\vec{v_u}\) = (cos v, sen v, 0) \(\vec{v_v}\) = (-u sen v, u cos v, 0) \(\vec{v_u} \times \vec{v_v}\) = \(\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ cos v & sen v & 0 \\ -u sen v & u cos v & 0 \end{vmatrix}\) = (0, 0, u) de modo que, \(\iint_D \vec{F} \cdot (\vec{v_u} \times \vec{v_v}) dA\) e como \(\vec{F}(u, v) = (0, 0, 3u)\) \(\int_0^{2\pi} \int_0^2 3u^2 du dv = 2\pi \cdot 3 \cdot \frac{u^3}{3}\bigg|_0^2 = 6\pi \cdot \frac{8}{3} = 16\pi\) Pelo Teorema de Stokes, \(\iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r}\) sendo \(\vec{r}(t) = (2 \cos t, 2 \sin t, 0),\) então \(\vec{F}'(t) = (-4 \sin t, 4 \cos t, 0)\) \(\int_C \vec{F}(t) \cdot \vec{r}'(t) dt = \int_0^{2\pi} (8 \sin^2 t + 8 \cos^2 t) dt\) = 8 \int_0^{2\pi} dt = 8 \cdot 2\pi \rightarrow \int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_S \nabla \times \vec{F} \cdot d\vec{s} = 16\pi\) \(\boxed{(e)}\) Temos que, \(\begin{array}{c} \end{array}\) \text{Se traçamos uma curva fechada sob o gráfico do campo vetorial, vemos que:} \(\int_C \vec{F} \cdot d\vec{r} \neq 0,\) logo \(\vec{F} \) não é conservativo.