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Engenharia Elétrica ·
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Soluções de Problemas por Aproximação AJUSTES DE CURVAS NOÇÕES Para um conjunto de pares ordenados xi yi com variáveis dependentes entre si podemos traçar curvas que passam por esses pontos Porém a curva a ser traçada passando pelos pontos dados pode não ser tão simples de ser encontrada logo tornase interessante encontrar curvas que melhor se aproximem dos dados ou seja encontrarmos funções que se ajustem aos dados TIPOS DE AJUSTES Basicamente os ajustes podem ser classificados de duas formas Ajuste Linear Ajuste Não Linear Porém os ajustes não lineares podem ter diversos tipos dos quais destacam se Ajustes exponenciais Ajustes logarítmicos Ajustes hiperbólicos Ajustes polinomiais Obs Para a maioria dos ajustes utilizaremos o Método dos Mínimos Quadrados porém para polinômios utilizaremos métodos de Interpolação Polinomial embora o Método dos Mínimos Quadrados também possa ser utilizado É um valor numérico que representa o quão bom é o ajuste realizado Segue a mesma dinâmica do erro ou seja quanto menor e mais próximo de zero for o desvio melhor numericamente será o ajuste Será utilizado para comparar numericamente os ajustes e escolher o melhor Obs É importante considerar o contexto para escolher a melhor função de j t DESVIO AJUSTE LINEAR Caso Linear do Método dos Mínimos Quadrados FUNÇÃO LINEAR O gráfico da função linear é uma reta contínua em todos os reais A reta é crescente quando a 0 A reta é decrescente quando a 0 Obs 1 Para obter um reta bastam dois pontos pares ordenados porém devemos encontrar uma reta que melhor se ajuste a todo o conjunto de pontos xi yi dados MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MMQ Onde CASO LINEAR Exempl o 1 Qual a função do Ajuste linear que aproxima os valores de y nos dados da tabela 1 Qual o desvio da função de ajuste encontrada x 1 2 3 4 5 y 10 20 29 41 50 Exempl o 1 Qual a função do Ajuste linear que aproxima a velocidade para os dados da tabela 2 Qual o desvio do Ajuste linear encontrado 3 Qual a velocidade aproximada em 30 segundos de acordo com o ajuste t em s 0 5 10 15 v em ms 0 8 12 16 Um veículo está sendo testado em uma reta e sua velocidade em ms é computada a cada 5 segundos de acordo com a tabela a seguir AJUSTES NÃO LINEARES Conceitos Importantes FORMA LINEAR Método dos Mínimos Quadrados MMQ Caso Linear É o processo no qual uma equação é organizada na forma linear Podemos fazer este processo para funções não lineares que utilizam dois coeficientes constantes tais como Exponencial Logarítmica Racional com Raiz Potência Devido a linearização utilizaremos para encontrar os ajustes não lineares o Método dos Mínimos Quadrados MMQ para o caso linear LINEARIZAÇÃO DADOS NÃO LINEARES DADOS LINEARIZADOS LINEARIZAÇÃO COEFICIENTES LINEARES RESOLUÇÃO MMQ DESLINEARIZAÇÃO COEFICIENTES NÃO LINEARES PROCESSO DE RESOLUÇÃO TIPOS DE AJUSTES Curvas Não Lineares e Linearizações 𝝋𝝋 0 𝝋𝝋 0 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Decrescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Decrescente CURVAS EXPONENCIAIS AJUSTE EXPONENCIAL base e OBSERVAÇÕES A função exponencial não troca de sinais nos valores da Imagem a função é sempre positiva ou sempre negativa O valor da função nunca será zero Quando a função tem só valores positivos a concavidade é para cima e quando a função tem só valores negativos a concavidade é para baixo O gráfico é sempre crescente ou sempre decrescente podendo ter valores de x positivos negativos ou zero Linearização da Exponencial COMPONENTES DA LINEARIZAÇÃO Exemplo o 1 Se possível encontre o Ajuste Exponencial que aproxima os valores de y nos dados da tabela 2 Qual o desvio da função de ajuste encontrada x 1 2 3 4 5 y 10 20 29 41 50 É possível encontrar o Ajuste Exponencial para os dados da tabela t em s 0 5 10 15 v em ms 0 8 12 16 Exemplo o Um veículo está sendo testado em uma reta e sua velocidade em ms é computada a cada 5 segundos de acordo com a tabela a seguir EXERCÍCIO Retire os dados pares ordenados que não servem para o ajuste exponencial e encontre a função de ajuste o desvio e a aproximação em 30 segundos para a velocidade x 0 x 0 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Decrescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Decrescente CURVAS LOGARÍTMICAS AJUSTE LOGARÍTMICO base e Tipo 1 OBSERVAÇÕES A função logarítmica não troca de sinais nos valores do domínio x é sempre positivo ou sempre negativo O valor de x nunca será zero O gráfico é sempre crescente ou sempre decrescente podendo ter valores da função positivos negativos ou zero Tipo 1 Tipo 2 Linearização da Logarítmica Tipo 1 COMPONENTES DA LINEARIZAÇÃO Linearização da Logarítmica Tipo 2 COMPONENTES DA LINEARIZAÇÃO Exemplo o 1 Se possível encontre o Ajuste Logarítmico de base e tipo 1 que aproxima os valores de y nos dados da tabela 1 Qual o desvio da função de ajuste encontrada x 1 2 3 4 5 y 10 20 29 41 50 EXERCÍCIO Resolva as duas questões acima utilizando o Ajuste Logarítmico de base e tipo 2 e compare o desvio encontrado É possível encontrar o Ajuste Exponencial para os dados da tabela t em s 0 5 10 15 v em ms 0 8 12 16 Exemplo o Um veículo está sendo testado em uma reta e sua velocidade em ms é computada a cada 5 segundos de acordo com a tabela a seguir EXERCÍCIO Retire os dados pares ordenados que não servem para o ajuste logarítmico e encontre a função de ajuste o desvio e a aproximação em 30 segundos para a velocidade OUTROS TIPOS DE CURVAS FONTE httpseducacaouolcombrdisciplinasmatematicagraficosdasprincipaisfuncoesreconhecaascurvasmaiscomunshtm CURVAS HIPERBÓLICAS FUNÇÕES RACIONAIS CURVAS DE FUNÇÕES COM RAIZ AJUSTES IMPORTANTES AJUSTE HIPERBÓLICO RACIONAL Obs Lembre que em uma fração não podemos ter zero no denominador AJUSTE COM RAIZ Obs Lembre que não podemos ter valores negativos em uma raiz de expoente par AJUSTE GEOMÉTRICO POTÊNCIA Obs Esta função é uma parcela de um polinômio logo seu comportamento é polinomial PARA FAZER ESTES AJUSTES VEJA A TABELA DE LINEARIZAÇÕES A SEGUIR TABELA DE LINEARIZAÇÕES principais ajustes TABELA DE LINEARIZAÇÕES outros ajustes Vamos encontrar computacionalmente os principais ajustes não lineares além do ajuste linear e comparar qual o melhor ajuste em cada caso Exemplo o x 1 2 3 4 5 y 10 15 21 26 31 x 2 4 6 8 y 6 24 100 405
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Soluções de Problemas por Aproximação AJUSTES DE CURVAS NOÇÕES Para um conjunto de pares ordenados xi yi com variáveis dependentes entre si podemos traçar curvas que passam por esses pontos Porém a curva a ser traçada passando pelos pontos dados pode não ser tão simples de ser encontrada logo tornase interessante encontrar curvas que melhor se aproximem dos dados ou seja encontrarmos funções que se ajustem aos dados TIPOS DE AJUSTES Basicamente os ajustes podem ser classificados de duas formas Ajuste Linear Ajuste Não Linear Porém os ajustes não lineares podem ter diversos tipos dos quais destacam se Ajustes exponenciais Ajustes logarítmicos Ajustes hiperbólicos Ajustes polinomiais Obs Para a maioria dos ajustes utilizaremos o Método dos Mínimos Quadrados porém para polinômios utilizaremos métodos de Interpolação Polinomial embora o Método dos Mínimos Quadrados também possa ser utilizado É um valor numérico que representa o quão bom é o ajuste realizado Segue a mesma dinâmica do erro ou seja quanto menor e mais próximo de zero for o desvio melhor numericamente será o ajuste Será utilizado para comparar numericamente os ajustes e escolher o melhor Obs É importante considerar o contexto para escolher a melhor função de j t DESVIO AJUSTE LINEAR Caso Linear do Método dos Mínimos Quadrados FUNÇÃO LINEAR O gráfico da função linear é uma reta contínua em todos os reais A reta é crescente quando a 0 A reta é decrescente quando a 0 Obs 1 Para obter um reta bastam dois pontos pares ordenados porém devemos encontrar uma reta que melhor se ajuste a todo o conjunto de pontos xi yi dados MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS MMQ Onde CASO LINEAR Exempl o 1 Qual a função do Ajuste linear que aproxima os valores de y nos dados da tabela 1 Qual o desvio da função de ajuste encontrada x 1 2 3 4 5 y 10 20 29 41 50 Exempl o 1 Qual a função do Ajuste linear que aproxima a velocidade para os dados da tabela 2 Qual o desvio do Ajuste linear encontrado 3 Qual a velocidade aproximada em 30 segundos de acordo com o ajuste t em s 0 5 10 15 v em ms 0 8 12 16 Um veículo está sendo testado em uma reta e sua velocidade em ms é computada a cada 5 segundos de acordo com a tabela a seguir AJUSTES NÃO LINEARES Conceitos Importantes FORMA LINEAR Método dos Mínimos Quadrados MMQ Caso Linear É o processo no qual uma equação é organizada na forma linear Podemos fazer este processo para funções não lineares que utilizam dois coeficientes constantes tais como Exponencial Logarítmica Racional com Raiz Potência Devido a linearização utilizaremos para encontrar os ajustes não lineares o Método dos Mínimos Quadrados MMQ para o caso linear LINEARIZAÇÃO DADOS NÃO LINEARES DADOS LINEARIZADOS LINEARIZAÇÃO COEFICIENTES LINEARES RESOLUÇÃO MMQ DESLINEARIZAÇÃO COEFICIENTES NÃO LINEARES PROCESSO DE RESOLUÇÃO TIPOS DE AJUSTES Curvas Não Lineares e Linearizações 𝝋𝝋 0 𝝋𝝋 0 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Decrescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Decrescente CURVAS EXPONENCIAIS AJUSTE EXPONENCIAL base e OBSERVAÇÕES A função exponencial não troca de sinais nos valores da Imagem a função é sempre positiva ou sempre negativa O valor da função nunca será zero Quando a função tem só valores positivos a concavidade é para cima e quando a função tem só valores negativos a concavidade é para baixo O gráfico é sempre crescente ou sempre decrescente podendo ter valores de x positivos negativos ou zero Linearização da Exponencial COMPONENTES DA LINEARIZAÇÃO Exemplo o 1 Se possível encontre o Ajuste Exponencial que aproxima os valores de y nos dados da tabela 2 Qual o desvio da função de ajuste encontrada x 1 2 3 4 5 y 10 20 29 41 50 É possível encontrar o Ajuste Exponencial para os dados da tabela t em s 0 5 10 15 v em ms 0 8 12 16 Exemplo o Um veículo está sendo testado em uma reta e sua velocidade em ms é computada a cada 5 segundos de acordo com a tabela a seguir EXERCÍCIO Retire os dados pares ordenados que não servem para o ajuste exponencial e encontre a função de ajuste o desvio e a aproximação em 30 segundos para a velocidade x 0 x 0 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Decrescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para cima Crescente 𝛂𝛂 0 𝜷𝜷 0 Para baixo Decrescente CURVAS LOGARÍTMICAS AJUSTE LOGARÍTMICO base e Tipo 1 OBSERVAÇÕES A função logarítmica não troca de sinais nos valores do domínio x é sempre positivo ou sempre negativo O valor de x nunca será zero O gráfico é sempre crescente ou sempre decrescente podendo ter valores da função positivos negativos ou zero Tipo 1 Tipo 2 Linearização da Logarítmica Tipo 1 COMPONENTES DA LINEARIZAÇÃO Linearização da Logarítmica Tipo 2 COMPONENTES DA LINEARIZAÇÃO Exemplo o 1 Se possível encontre o Ajuste Logarítmico de base e tipo 1 que aproxima os valores de y nos dados da tabela 1 Qual o desvio da função de ajuste encontrada x 1 2 3 4 5 y 10 20 29 41 50 EXERCÍCIO Resolva as duas questões acima utilizando o Ajuste Logarítmico de base e tipo 2 e compare o desvio encontrado É possível encontrar o Ajuste Exponencial para os dados da tabela t em s 0 5 10 15 v em ms 0 8 12 16 Exemplo o Um veículo está sendo testado em uma reta e sua velocidade em ms é computada a cada 5 segundos de acordo com a tabela a seguir EXERCÍCIO Retire os dados pares ordenados que não servem para o ajuste logarítmico e encontre a função de ajuste o desvio e a aproximação em 30 segundos para a velocidade OUTROS TIPOS DE CURVAS FONTE httpseducacaouolcombrdisciplinasmatematicagraficosdasprincipaisfuncoesreconhecaascurvasmaiscomunshtm CURVAS HIPERBÓLICAS FUNÇÕES RACIONAIS CURVAS DE FUNÇÕES COM RAIZ AJUSTES IMPORTANTES AJUSTE HIPERBÓLICO RACIONAL Obs Lembre que em uma fração não podemos ter zero no denominador AJUSTE COM RAIZ Obs Lembre que não podemos ter valores negativos em uma raiz de expoente par AJUSTE GEOMÉTRICO POTÊNCIA Obs Esta função é uma parcela de um polinômio logo seu comportamento é polinomial PARA FAZER ESTES AJUSTES VEJA A TABELA DE LINEARIZAÇÕES A SEGUIR TABELA DE LINEARIZAÇÕES principais ajustes TABELA DE LINEARIZAÇÕES outros ajustes Vamos encontrar computacionalmente os principais ajustes não lineares além do ajuste linear e comparar qual o melhor ajuste em cada caso Exemplo o x 1 2 3 4 5 y 10 15 21 26 31 x 2 4 6 8 y 6 24 100 405