Complementos de Física

Autores Prof Francisco Xavier Sevegnani Prof Arduino Francesco Lauricella Prof Rafael Morgado Batista Profa Iara Batista de Lima Colaboradores Prof Pedro Frugoli Prof José Carlos Morilla Complementos de Física Professores conteudistas Francisco Xavier Sevegnani Arduino Francesco Lauricella Rafael Morgado Batista Iara Batista de Lima Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta obra pode ser reproduzida ou transmitida por qualquer forma eou quaisquer meios eletrônico incluindo fotocópia e gravação ou arquivada em qualquer sistema ou banco de dados sem permissão escrita da Universidade Paulista Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP S497c Sevegnani Francisco Xavier Complementos de física Francisco Xavier Sevegnani Arduíno Francesco Lauricella Rafael Morgado Batista Iara Morgado de Lima São Paulo Editora Sol 2022 152 p il Nota este volume está publicado nos Cadernos de Estudos e Pesquisas da UNIP Série Didática ISSN 15179230 1 Complemento de física 2 Indução eletromagnética 3 Oscilação I Lauricella Arduíno Francesco II Batista Rafael Morgado III Lima Iara Morgado de IV Título CDU 53 Francisco Xavier Sevegnani Físico concluiu a graduação em Física licenciatura e bacharelado pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo 1971 mestrado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo 1980 e doutorado em Física pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo 1988 Concluiu o mestrado em Engenharia de Produção pela Universidade Paulista UNIP 2003 e doutorado em Engenharia de Energia e Automação Elétricas pela Escola Politécnica da Universidade de São Paulo 2009 É professor titular da Universidade Paulista e coordenador auxiliar do curso de Engenharia Básica da UNIP Arduino Francesco Lauricella Bacharel em Física pela Universidade de São Paulo 1974 e mestre em Engenharia Mecânica pela Universidade de São Paulo 2004 Atualmente é professor adjunto na Universidade Paulista UNIP e na Fundação Educacional Inaciana Pe Saboia de Medeiros FEI Rafael Morgado Batista Bacharel em Física com habilitação em Pesquisa Básica pelo Instituto de Física da Universidade de São Paulo USP Mestre e doutor em Ciências pelo Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares IPEN cujo programa de pósgraduação é filiado à Universidade de São Paulo USP Desenvolve pesquisas científicas na área de sinterização de materiais cerâmicos e condutores iônicos para aplicações em geração de energia à base de hidrogênio Possui publicações em periódicos internacionais e em anais de congressos nacionais e internacionais É professor titular na Universidade Paulista UNIP onde ministra disciplinas nas áreas de Mecânica Termodinâmica e Eletromagnetismo desde 2012 É também autor de materiais didáticos para disciplinas de ensino a distância para o curso de Física Iara Batista de Lima Bacharel em Física pela Pontifícia Universidade Católica mestre e doutora em Ciências Tecnologia Nuclear Aplicações pela Universidade de São Paulo USP pertencente ao programa de tecnologia nuclear do Instituto de Pesquisas Energéticas e Nucleares Ipen Possui experiência na área de Física com ênfase em Métodos Experimentais e Instrumentação para Partículas Elementares e Física Nuclear atuando principalmente em pesquisa com detectores gasosos de radiação operando em regime de ionização e de multiplicação de cargas e transporte de elétrons em gases É professora do curso de Engenharia e líder da disciplina Mecânica da Partícula na Universidade Paulista UNIP ministrando disciplinas ligadas à Física e Mecânica dos Fluidos U51549 22 Prof Dr João Carlos Di Genio Reitor Profa Sandra Miessa Reitora em Exercício Profa Dra Marilia Ancona Lopez ViceReitora de Graduação Profa Dra Marina Ancona Lopez Soligo ViceReitora de PósGraduação e Pesquisa Profa Dra Claudia Meucci Andreatini ViceReitora de Administração Prof Dr Paschoal Laercio Armonia ViceReitor de Extensão Prof Fábio Romeu de Carvalho ViceReitor de Planejamento e Finanças Profa Melânia Dalla Torre ViceReitora de Unidades do Interior Unip Interativa Profa Elisabete Brihy Prof Marcelo Vannini Prof Dr Luiz Felipe Scabar Prof Ivan Daliberto Frugoli Material Didático Comissão editorial Profa Dra Christiane Mazur Doi Profa Dra Angélica L Carlini Profa Dra Ronilda Ribeiro Apoio Profa Cláudia Regina Baptista Profa Deise Alcantara Carreiro Projeto gráfico Prof Alexandre Ponzetto Revisão Fabrícia Carpinelli Lucas Ricardi Sumário Complementos de Física APRESENTAÇÃO 7 INTRODUÇÃO 7 Unidade I 1 OSCILAÇÃO 9 11 Energia em sistemas oscilantes 10 2 OSCILAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO 10 21 Energia mecânica no MHS 14 22 O pêndulo simples 16 3 MOVIMENTO AMORTECIDO 32 4 ATENUAÇÃO EXPONENCIAL 35 Unidade II 5 INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 53 51 Fluxo magnético 53 52 Auto e mútua indutância 55 53 Lei de Lenz e Faraday 56 54 Força eletromotriz variacional e mocional 57 55 Força magnética sobre corrente elétrica 59 6 PRINCIPAIS APLICAÇÕES DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 60 61 Transformadores de tensão alternada 60 62 Transformador monofásico ideal 61 63 Transformador trifásico ideal 62 64 Gerador de tensão alternada 63 Unidade III 7 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS E SUAS CARACTERÍSTICAS 93 71 Ondas eletromagnéticas 93 711 Introdução e descoberta 93 712 O problema da folha e da pedra no lago 94 713 Linhas de campo de portadores de carga em movimento 96 714 Dipolo elétrico oscilante 99 715 Propagação de ondas 101 72 Características das ondas eletromagnéticas 103 721 Descrição matemática 103 722 Relação entre os campos elétricos e magnéticos 106 723 Ondas progressivas regressivas e estacionárias 109 8 TEORIA CORPUSCULAR DA LUZ E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA 120 81 Teoria corpuscular da luz e aplicações 120 811 Dualidade partículaonda 121 812 Absorção e emissão de radiação 125 813 Espectro eletromagnético 126 814 Exemplos de aplicação 128 82 Transferência de energia 131 821 Vetor de Poynting 131 7 APRESENTAÇÃO De uma forma geral um livrotexto de Física é uma ferramenta que os alunos e professores têm para ler um material científico assimilar conceitos fundamentais evoluir no raciocínio de questões científicas e com isso tudo ter capacidade de resolver problemas quantitativos Esse livrotexto apresenta dois tópicos de diferentes áreas da Física uma pertencente à área de Oscilação Mecânica e outra ao Eletromagnetismo Na parte de oscilação mecânica são apresentados dois sistemas o massamola e o massamolaamortecedor com ambos os sistemas em movimento em um campo de gravidade uniforme Dáse ênfase à necessidade de conhecer as condições iniciais do movimento para obter a solução completa da equação diferencial do movimento Na natureza observamos oscilações em situações bem distintas tais como terremotos turbulência em avião em voo moeda caindo em prato metálico oscilando até parar pistão em motor a explosão vibração dos átomos em um sólido oscilação rápida de elétrons em uma antena etc Tudo isso mostra a necessidade do estudo e controle de oscilações tanto na Física como na Engenharia Na parte de Eletromagnetismo é apresentada a Lei de Indução de Faraday e as ondas eletromagnéticas No início os experimentos de indução produzidos por Michael Faraday 17911867 eram apenas ciência básica porém hoje há aplicações da Lei de Faraday por toda parte tais como guitarras elétricas geração de energia elétrica por hidroelétricas fornos de indução na indústria carregamento de baterias de celular etc Hoje a energia elétrica é a modalidade de energia que é mais utilizada na imensa maioria dos equipamentos justificando um estudo detalhado dos processos de indução As quatro equações básicas do Eletromagnetismo são Lei de Gauss para eletricidade Lei de Gauss para o magnetismo Lei de Faraday e Lei de AmpèreMaxwell A aplicação dessas equações no vácuo mostra que perturbações elétricas e magnéticas satisfazem a equação de onda e se propagam no vácuo com uma velocidade que coincide com a velocidade da luz ou seja a luz é uma onda eletromagnética Sabemos hoje que ondas eletromagnéticas transportam energia que podem carregar as baterias de um painel solar que utiliza células fotovoltaicas As ondas eletromagnéticas são utilizadas na comunicação entre celulares internet sem fio aquecedores solares aparelho de microondas instrumentos óticos etc INTRODUÇÃO Serão abordadas as oscilações livres sem amortecimento e com amortecimento Mostrase como é aplicada a Segunda Lei de Newton para atingir a equação diferencial do movimento No caso sem amortecimento existe apenas um tipo de solução que é oscilatória com amplitude constante na situação com amortecimento há três soluções distintas para a equação diferencial do movimento que são separadas conforme o grau de amortecimento São apresentados vários exemplos que envolvem situações distintas conforme as condições iniciais do movimento 8 É apresentada a Lei de Faraday de Eletromagnetismo que mostra como uma energia não elétrica pode ser convertida em elétrica através de dispositivos que envolvem um operador externo São disponibilizados exemplos mostrando que há três modos de produção de força eletromotriz numa espira que são por variação de área da espira por variação da intensidade do campo magnético e por variação da direção do campo magnético Também serão expressas as ondas eletromagnéticas planas que se propagam com a velocidade da luz conforme previsto pelas Leis de Maxwell do Eletromagnetismo Mostrase que essas ondas são representadas por perturbações elétricas e magnéticas que se propagam no espaço com a velocidade da luz Também será estudado que as ondas eletromagnéticas que transportam energia são determinadas pelo vetor de Poyting 9 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Unidade I 1 OSCILAÇÃO Oscilação significa avanço e retrocesso que se alternam o processo pode ser periódico ou não Oscilação mecânica rápida também é chamada de vibração Fenômenos oscilatórios ocorrem incessantemente e de variados modos na natureza além de estarem presentes em quase todos os processos na ciência e na técnica Além disso o conhecimento de oscilações está na base de estudo de ondas Exemplos de oscilador pistão em motor a explosão cordas de violino pêndulo tensão e corrente elétrica alternantes em rede elétrica elétrons em antena átomos em moléculas vetores E e B em onda eletromagnética Os textos especializados examinam os fenômenos oscilatórios em suas múltiplas modalidades e manifestações sendo um campo extenso e complexo Neste texto examinaremos somente os casos típicos mais simples a saber oscilações livres sem amortecimento oscilações livres com amortecimento A oscilação só pode existir em equilíbrio estável Estando o sistema em posição genérica fora do equilíbrio age necessariamente uma força de restituição e como diz o nome é uma força que age no sentido de reconduzir o sistema à configuração de equilíbrio estável No caso mais simples a força de restituição é força elástica Para fixar ideias admitamos que a oscilação seja vertical com eixo Oy descendente As forças que intervêm em sistemas oscilantes são Força peso peso ˆ F mg J Sendo m a massa do corpo oscilante essa força é conservativa Força elástica elástica ˆ F ky J Sendo k a constante elástica da mola essa força é conservativa Força viscosa viscosa ˆ F bv J 10 Unidade I Sendo b o coeficiente de resistência viscosa essa força resulta de processo dissipador de energia mecânica O dispositivo construído para exercer força viscosa é chamado de amortecedor Força resultante result ˆ F ma J Equivale à soma vetorial de todas as forças exercidas na partícula oscilante Em oscilação unidimensional segundo o eixo Oy essa força pode ser apresentada como 2 result result 2 d ˆ ˆ F m y J ou F myJ dt 11 Energia em sistemas oscilantes Uma partícula de massa m com velocidade v possui energia cinética 2 cinética 1 E 2mv força elástica F ky que confere ao corpo uma energia potencial elástica 2 p 1 E 2ky O incremento de energia cinética do sistema equivale ao trabalho resultante de todas as forças atuantes ou seja resultante cinética W E teorema da energia cinética TEC Ou de forma equivalente o incremento de energia mecânica do sistema é igual ao trabalho resultante da força dissipadora mecânica forças dissipativas E W teorema da energia mecânica TEM 2 OSCILAÇÃO LIVRE SEM AMORTECIMENTO O sistema mecânico oscilatório mais simples é formado por um corpo de massa m e uma mola de constante elástica k A mola tem uma extremidade fixa e em sua outra extremidade fixase o corpo Um operador externo transfere energia ao sistema que passa a oscilar num campo gravitacional uniforme de intensidade g Na análise do movimento do corpo que será feita a seguir não será considerada a massa da mola Será considerado que o sistema está imerso num ambiente sem o ar atmosférico vácuo dessa forma as forças que atuam no corpo serão somente duas a força peso exercida pela Terra e a força elástica exercida pela mola A força da mola segue a Lei de Hooke sendo expressa por mola mola F k y 11 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Sendo que ymola representa sua deformação m L k g k L0 ymola Figura 1 Mola de constante elástica k sujeita a uma deformação ymola L L0 que é definida pelo peso P mg Em uma mola helicoidal a sua constante elástica k é calculada pela expressão 4 3 r k G 4NR Sendo G o módulo de rigidez do material que é constituído o fio N é o número de espiras da mola R é o raio das espiras e r é o raio do fio g k k y v k m 0 m a mg mg ma ymola ye kye kye y I II III Figura 2 Na posição I a mola está no seu comprimento natural Na posição II o corpo está na sua posição de equilíbrio Na posição III o corpo está em movimento fora da sua posição de equilíbrio A posição do corpo y tem como origem a posição em as forças da mola e força peso se anulam Logo aplicando a Segunda Lei de Newton vem 12 Unidade I mola e mola e dv mg ky mdt dy v dt ky mg ky ky y Substituindo vem zero 2 e 2 2 e 2 2 2 2 2 d mg ky ky m y dt d mg k y y m y dt d ky m y dt m d y ky 0 dt A equação anterior é conhecida como equação diferencial do movimento harmônico simples MHS Fazse 2 2 2 2 K m K m d y y 0 dt ω ω ω A solução dessa equação diferencial segue a lei m y y cos t ω θ A equação de velocidade é m dy v y sen t dt ω ω θ 13 COMPLEMENTOS DE FÍSICA A equação da aceleração é 2 m dv a y cos t dt ω ω θ Ou 2 a y ω Supondo conhecidas as condições iniciais do movimento y0 e v0 ficam definidas a amplitude ym e a fase inicial θ m y 0 y cos θ m v 0 ωy sen θ 2 2 m v 0 sen y θ ω 2 2 m y0 cos y θ 2 2 2 2 m m 1 v 0 y0 sen cos y y θ θ ω 2 2 m m v 0 y0 1 y y ω 2 2 2 m v 0 y y 0 ω 2 2 m v 0 y y 0 ω Uma vez obtido ym temse a fase inicial θ pelas equações m acos y 0 y θ ou m v 0 asen y θ ω 14 Unidade I Na figura a seguir apresentamos os gráficos da posição velocidade escalar e aceleração em função do tempo no MHS 0 0 0 01 01 01 02 02 02 03 03 03 04 04 04 05 05 05 05 5 50 ym vms ams2 05 5 50 0 0 0 ts ts ts 06 06 06 07 07 07 08 08 08 09 09 09 1 1 1 Figura 3 Neste exemplo foram considerados os seguintes valores m 1 kg N k 100m m y 05 m 4 rad θ π rad ω 10 s máxima 2 m a 50 s e máxima m v 5 s Observação O movimento harmônico simples MHS pode ser observado em muitas situações na natureza Além do sistema massa mola que está sendo estudado nesse texto temos um exemplo muito conhecido que é o pêndulo simples que pode ser utilizado para obter a aceleração da gravidade local 21 Energia mecânica no MHS A energia mecânica do sistema pode ser calculada supondo que o corpo passe pela posição em que a mola não está deformada na posição mg y 0 k Com velocidade v0 v0 A partir desse instante o corpo pela ação da força peso que atua sobre ele desce e deforma a mola de maneira que sobre o corpo atuam ao mesmo tempo duas forças a força peso e a força elástica 15 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Então o trabalho resultante da força peso e da força elástica confere ao corpo uma variação de energia cinética dada por 2 2 2 0 mg 1 mg 1 1 mg y k y mv mv k 2 k 2 2 2 2 2 2 2 0 2 mg mg 1 1 1 mg 1 1 mgy ky k k 2y mv mv k 2 2 2 k 2 2 k 2 2 2 2 2 0 mg mg 1 1 1 1 mgy ky ymg mv mv k 2 2 k 2 2 2 2 2 2 0 mg 1 1 1 1 ky mv mv 2 2 k 2 2 2 2 2 2 0 1 1 mg 1 1 ky k mv mv 2 2 k 2 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 ky k y mv mv 2 2 2 2 2 2 m 1 1 E mv k y 2 2 Ou 2 2 m 0 0 1 1 E m v k y 2 2 Esse resultado mostra que a energia mecânica Em do corpo permanece constante durante o movimento Para a posição m y y a velocidade vale v 0 para a posição y 0 a velocidade máxima vale m v v portanto 2 m m 1 E 2ky ou 2 m m 1 E 2mv 16 Unidade I Saiba mais Para mais informações sobre o MHS consulte NETTO L F 16 em 1 o MHS sd Disponível em httpwww feiradecienciascombrsala181807asp Acesso em 19 jul 2017 Supondo que somente forças conservativas a energia mecânica no pêndulo de mola é expressa por 2 2 m 1 1 E mv ky 2 2 O gráfico dessa equação está representado na próxima figura 05 04 03 02 01 0 EJ 14 12 10 8 6 4 2 0 tm 01 02 03 04 05 Energia mecânica Energia cinética Energia potencial Figura 4 Neste exemplo foram considerados os seguintes valores m 1 kg N k 100m m y 05 m e m E 125 J Lembrete O que ocorre na realidade nessa análise de energia do MHS é uma troca de energia entre o corpo e a mola Quando não é levada em conta a massa da mola a sua energia é só potencial e a do corpo é somente cinética 22 O pêndulo simples Um pêndulo simples é constituído por um corpo de massa m ligado a um fio de comprimento L Uma extremidade do fio é fixa O corpo é abandonado num campo de gravidade de intensidade g e passa a ter um movimento oscilatório com período T 17 COMPLEMENTOS DE FÍSICA g L 0 s m A v 0 T mg cosθ mg senθ θ θm θ mg ν d dt ν ν2 L Figura 5 Pêndulo simples de comprimento L em movimento oscilatório em um campo de gravidade g Iremos considerar pequenas amplitudes de oscilação ou seja 0 θ 23º Nesse intervalo angular vale a aproximação sen θ θ No corpo atuam a força peso e a força de tração do fio aplicando a Segunda Lei de Newton vem v2 T mgcos m L θ dv mgsen m dt θ d v L dt θ 2 2 d gsen L dt θ θ θ 2 2 d g 0 L dt θ θ 18 Unidade I Essa equação diferencial exprime a propriedade característica do movimento harmônico simples A sua pulsação é g L ω E o período é 2 T π ω Logo g T 2 L π A equação do movimento angular θ a equação de velocidade angular θ e da aceleração angular θ são respectivamente m m 2 m cos t sen t cos t θ θ ω α θ ωθ ω α θ ω θ ω α m θ é a amplitude de oscilação m ωθ é a velocidade angular máxima e 2 m ω θ é a máxima aceleração angular Observação Uma característica peculiar do pêndulo simples é que o seu período de oscilação independe da massa do corpo em analogia com o que ocorre com a queda livre de um corpo num campo de gravidade uniforme em que o tempo de queda partindo do repouso numa mesma altura também não depende da massa do corpo Exemplo 1 Um corpo de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e oscila verticalmente em torno de sua posição de equilíbrio com amplitude constante O campo de gravidade é g No instante inicial t 0 a posição do corpo é ym y 0 2 Pedemse 20 Unidade I Pedemse a o instante em que a partícula passa pela posição y 003m pela quarta vez b a velocidade nesse instante Resolução a 003 006 cos t cos t 05 π π t n 2 3 π π π ou 5 t n 2 3 π π π Primeira passagem n 0 Segunda passagem n 0 Terceira passagem n 1 Quarta passagem n 1 A quarta passagem corresponde à equação 5 t 1 2 3 π π π 11 11 t t s 3 3 π π b A equação de velocidade é dy v 006 sen t dt v 006 sen t 11 v 006 sen 3 π π π π π π 0 11 3 sen sen 660 087 v 006 087 3 2 m v 314 006 087 v 0164 s π π Exemplo 3 Uma partícula executa movimento harmônico simples segundo a equação y 006 cos 3 t 3 SI π π 21 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Pedemse a a fase inicial a pulsação e o período b a elongação a velocidade e a aceleração no instante t 2s Resolução a rad 2 2 rad 3 T 2 T T s 3 s 3 3 π π θ ω π π ω π b 2 dy v 3 006 sen3 t dt 3 dv a 3 006 cos3 t dt 3 1 y2 006 cos 3 2 y2 006 cos y2 006 3 3 2 y 2 003 m v 2 3 006 sen 3 2 3 3 v 2 3 006 sen v2 3 006 3 2 m v 2 009 3 s π π π π π π π π π π π π π π π π 2 2 2 2 2 a2 3 006 cos3 2 a2 3 006 cos 3 3 1 a2 3 006 2 m a 2 027 s π π π π π π π Exemplo 4 Um ponto executa MHS Após a passagem pelo ponto neutro em sentido progressivo o ponto alcança elongação igual a ¼ da amplitude em tempo igual a 1 s 10 22 Unidade I Qual é a frequência do movimento Resolução m m m m m m y y cos t v y sen t y0 y cos 0 v 0 y sen 0 cos 0 e sen 0 2 rad 1 1 1 y y cos y 10 10 2 4 1 1 cos 2 f 10 2 4 1 1 1 755 1 cos 2 f 2 f 2 f 042 10 2 4 10 2 180 10 2 1 1 2f10 ω θ ω ω θ θ ω θ π θ θ θ π ω π ω ω π π π π π π π π π 042 f 46 Hz 2 Exemplo 5 Em um diapasão a extremidade P de uma haste executa movimento harmônico simples de frequência f 1000 Hz com amplitude ym 040 mm Desprezando o amortecimento Determinar a a velocidade máxima do ponto P b a equação horária na elongação de P considerando que para o instante t 0 vale y0 0 e v0 0 Resolução a m m máx m máx máx 2 y y cos t v y sen t rad v y 1000 2000 s v 2000 040 v 80 s 2 0 m f m ω θ ω ω θ ω ω π ω π ω π π π 23 COMPLEMENTOS DE FÍSICA b m m 3 y0 y cos 0 v 0 y sen 0 cos e sen 0 rad 2 y 040 10 cos 2000t SI 2 θ ω θ π θ θ θ π Exemplo 6 Um alvo executa movimento harmônico simples de amplitude xm 3 m período T 42s em direção horizontal Um atirador quer acertálo quando estiver na sua posição neutra O O atirador está numa distância D 280 m do ponto O A velocidade do projétil é P m v 400 s Pedemse a a equação horária do movimento do alvo b a elongação do alvo no instante em que a arma for disparada Resolução a m p P 2 2 2 x x cos t x 3 cos t T 42 42 D 280 y D v t para y 0 t t t 07s v 400 π π π ω θ ω ω θ 2 x 07 3 cos 07 0 42 cos 2 07 0 42 2 07 42 2 π θ π θ π π θ 30 2 π θ π 1 1 2 30 θ π 7 θ 15 π 2 7 x 3 cos 42 t 15 π π 24 Unidade I b Fazendo t 0 vem 7 x 3 cos 15 x 0181 m π Exemplo 7 Em certo motor a gasolina cada pistão tem massa mp 100 kg e curso de ym 010 m O motor efetua 3000 rpm Cada pista efetua aproximadamente movimento harmônico simples Pedemse a a velocidade de um pistão no ponto médio do curso b a intensidade da força resultante que age nele em um ponto de inversão Resolução a m m máx m máx máx 3000 rad 2 100 60 s y y cos t v y sen t v y y 010 cos 100 t v 10 sen100 t m v 100 010 v 10 0 s y 010 cos 100 t v 10 sen100 t ω π ω π ω θ ω ω θ ω π θ π π θ π π θ π π π 010 y 010 cos 100 t 2 π cos 100 t 05 π 100 t 3 π π 1 t 300 s 1 v 10 sen100 300 π π v 10 sen 3 π π 3 v 10 2 π m v 272 s 25 COMPLEMENTOS DE FÍSICA b 2 2 m 2 2 resullt p resullt 2 resullt dv y a 1000 cos 100 t cos 100 t dt 010 a 10000 y fazendo y y 010 m m a 1000 F m a F 10 1000 s F 9860 N π π π π π π Exemplo 8 Uma partícula executa movimento harmônico simples com amplitude ym 005m período T 20s e fase inicial 12 rad θ π Pedemse a as equações de posição velocidade e aceleração em função do tempo b os instantes tm em que a aceleração é máxima e os instantes t0 em que a aceleração é nula Resolução a m y y cos t ω θ m v y sen t ω ω θ 2 m a y cos t ω ω θ 2 a y ω 2 T ω π 2 2 ω π rad s ω π 12 rad θ π m y 005 m y 005 cos t 12 π π v sen t 20 12 π π π 2 a cos t 20 12 π π π 26 Unidade I b Para que aceleração seja máxima é necessário que m m t n 12 1 t n 0 n 123 12 π π π Para que aceleração seja nula é necessário que 0 0 t n 12 2 1 1 t n 0 n 135 2 12 π π π Exemplo 9 Uma partícula apoiase em um plano horizontal que executa movimento harmônico simples horizontal com frequência f 20 Hz O coeficiente de atrito entre a partícula e a superfície em que ela se apoia é µ 05 Determinar o maior valor da amplitude ym do movimento que o plano de apoio pode executar sem que a partícula deslize Resolução max Fat µmg max at max F ma 2 máx m a y ω 2 f ω π 2 314 2 ω 1256 rad s ω m 2 mg my µ ω m 2 g y µ ω m 2 05 98 y 1256 ym 0031 m ym 31 mm 27 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Exemplo 10 Uma partícula de massa m executa movimento harmônico simples com amplitude ym e pulsação ω Em função da elongação y exprimir a a energia mecânica b a energia potencial c a energia cinética Resolução a 2 mecânica m 1 E 2ky b 2 2 potencial 1 E m y 2 ω c mecânica cinética potencial E E E cinética mecânica potencial E E E 2 mecânica m 1 E 2ky 2 k m ω 2 potencial 1 E 2ky 2 2 2 2 cinética m 1 1 E m y m y 2 2 ω ω 2 2 2 cinética m 1 E m y y 2 ω Exemplo 11 Uma partícula de massa m 015 kg executa movimento harmônico simples de amplitude ym 010 m e pulsação ω 10 rad s No instante t 0 vale y0 0 e v0 0 28 Unidade I Pedemse a as equações yt vt e at b as equações cinética E t e potencial E t c a energia mecânica Resolução a m y t y cos t ω θ m v t y sen t ω ω θ 2 m a y cos10 t 2 π ω m y 0 y cos 0 θ cos 0 θ m v 0 ωy sen θ 0 sen θ 0 2 rad π θ y 010 cos10t 2 π v t 10 sen10t 2 π a t 100 cos10t 2 π b 2 cinética 1 E 2mv 2 cinética 1 E 015 10 sen 10t 2 2 π 2 Ecinética 0075 sen 10t 2 SI π 2 potencial 1 E 2ky 2 2 potencial 1 E 10 015 010 cos 10t 2 2 π Epotencial 075 cos10t 2 SI π 29 COMPLEMENTOS DE FÍSICA c 2 mecânica m 1 E 2ky 2 mecânica 1 E 15 01 2 Emecanica 0075 J Exemplo 12 Uma partícula executa movimento harmônico simples Pedemse a a pulsação ω e o período T b a energia mecânica c a energia cinética no ponto neutro d a energia potencial em qualquer ponto de inversão Dados m N m 25 kg k 1000 y 020 m m Resolução a k 1000 20 rad m 25 s 2 2 T T s T 20 10 ω ω ω π π π ω b 2 2 mecânica m mecânica mecânica 1 1 E ky E 1000 02 2 2 E 20 J c 2 2 m c p m 1 1 E E E E mv ky 2 2 30 Unidade I No ponto neutro a energia potencial é nula logo a energia cinética é igual à energia mecânica cE 20 J d Em um ponto de inversão a velocidade é nula logo a energia potencial é igual à energia mecânica pE 20 J Exemplo 13 Em um pêndulo simples temse um corpo de massa m 20 kg preso ao fio de comprimento L O corpo oscila com amplitude angular m θ e sua equação horária é θ 01 cos 45t SI Dado 2 m g 10 s Pedemse a o comprimento L do pêndulo b a sua velocidade escalar máxima c a velocidade escalar do corpo no instante T t 8 Resolução a 2 2 g g 10 L L L 45 L 0494 m ω ω b m máxima m máxima máxima 01 cos 45t 01 45sen45t 045sen45t 045 rad v L s v 045 049 m v 022 s θ θ θ θ θ 31 COMPLEMENTOS DE FÍSICA c 2 2 T T 2 T 45 T T 14 s t t 0175 s 8 v L 045 sen45t L 0494 m v 045 0494 sen45t v 022 sen45t v 022 sen45 0175 v 022 sen07875 m v 0156 s π π π ω ω θ θ Exemplo 14 Um pêndulo simples de comprimento L 20m oscila num campo de gravidade 2 m g 10 s Pedemse a a frequência de oscilação b a nova frequência de oscilação se o pêndulo fosse colocado numa caixa que estivesse com aceleração a 2ms2 para cima Resolução a L 1 1 g 1 10 T 2 f f f g T 2 L 2 2 f 036H z π π π b 1 g a 1 10 2 f f 2 L 2 2 f 039H z π π 32 Unidade I Exemplo 15 Um relógio de pêndulo é deslocado de uma região de campo de gravidade 2 m g 98 s para outra região de campo de gravidade 2 m g 975 s Qual será o atraso do relógio em 24h Resolução L L T g T 2 T 2 g g T g T 98 T 975 T 1002561 1hhhhhhhs 24h 86400 s T π π Portanto o relógio irá atrasar 2212704 86400 0002561 2212704 s 369 minutos 60 3 MOVIMENTO AMORTECIDO Quando o movimento de um oscilador fica sujeito a uma força que atua sempre em sentido contrário à velocidade do oscilador então o movimento é chamado de amortecido É dessa forma que atua por exemplo o amortecedor de um automóvel Numa primeira aproximação vamos considerar que a força exercida pelo amortecedor seja diretamente proporcional à velocidade do oscilador Amortecedor e mola Barra de direção Chassi do carro Braço triangular Figura 6 Desenho básico de uma suspensão MacPherson O amortecedor é montado com uma mola helicoidal externa 33 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Para tanto considerando que uma partícula de massa m movese sobre o eixo Oy sob ação de força elástica e também de uma força viscosa representadas pelas equações elástica vicosa dy F ky F b dt Aplicando a Segunda Lei de Newton vem 2 elástica viscosa 2 2 2 2 2 d y F m F F dt d y dy m ky b dt dt d y k b dy y m m dt dt k b m 0 y Figura 7 Sistema constituído por um corpo de massa m ligado a uma mola de constante elástica k e a um amortecedor de coeficiente de resistência viscosa b É necessário um agente externo para que o sistema entre em movimento Se não houvesse resistência viscosa a partícula oscilaria com pulsação ω0 Tal que 2 0 k m ω Chamase parâmetro de amortecimento a grandeza b 2 γ m 34 Unidade I Assim a equação diferencial do movimento pode ser reescrita como 2 2 0 2 d y dy y 2 dt dt ω γ Definese como grau de amortecimento a grandeza 0 γ β ω Há três tipos de amortecimento para o movimento amortecido conforme o intervalo de variação do grau de amortecimento amortecimento fraco 0 1 β amortecimento crítico 1 β amortecimento forte 1 β O amortecimento fraco é representado pela equação t m y y e cos t γ ω θ 2 2 0 ω ω γ O amortecimento crítico é representado pela equação t 1 2 y A A t eγ O amortecimento forte é representado pela equação 2 2 2 2 t t 0 0 1 2 y A e A e γ γ ω γ γ ω No gráfico a seguir estão representadas as curvas para cada tipo de amortecimento 35 COMPLEMENTOS DE FÍSICA 0 2 4 6 8 10 12 003 002 001 0 001 002 003 004 005 ts ym amort forte crítico amort forte amort fraco 005 004 003 002 001 0 001 002 003 ts amort fraco amort forte crítico amort forte 0 2 4 6 8 10 12 ym Figura 8 Gráfico comparativo com os diversos graus de amortecimento No amortecimento fraco o corpo oscila em torno da posição de equilíbrio até parar No amortecimento crítico e forte o corpo não oscila Observação Conforme a situação devemos escolher o tipo de amortecimento mais adequado Se o objetivo é interromper rapidamente a oscilação devemos optar pelo regime de amortecimento crítico Se algumas oscilações são aceitáveis antes de cessar o movimento devemos optar pelo amortecimento fraco No caso de uma mola de porta por exemplo não queremos oscilações mas que ela feche de forma suave então devemos trabalhar com a condição de amortecimento crítico Saiba mais Para um estudo mais aprimorado de equações diferenciais consulte BOULOS P ABUD Z I Cálculo diferencial e integral São Paulo Pearson Education do Brasil 2002 v 2 4 ATENUAÇÃO EXPONENCIAL Ocorre não só em oscilações amortecidas mas também em outros fenômenos transitórios como decaimento radioativo circuito RC circuito RL e circuito RLC com amortecimento crítico ou supercrítico É comum o fenômeno das oscilações pseudoharmônicas amortecidas exponencialmente cuja amplitude decai com o tempo segundo a lei t m y y eγ 36 Unidade I 0 2 4 6 8 10 12 003 002 001 0 001 002 003 004 005 ts ym amort forte crítico amort forte amort fraco 005 004 003 002 001 0 001 002 003 004 005 ts 0 2 4 6 8 10 12 ym Figura 9 Neste exemplo foram considerados os seguintes valores ym 0041m γ 025s1 rad ω 1225 s θ 02rad T 513s e o decremento logaritmico é D T 1282 γ Em data posterior t t t a amplitude é t m t t t t m m m t t m t t y y e y y e y y e y e y y e e y y e y e y γ γ γ γ γ γ γ γ A relação y y não depende do instante t mas somente da duração t Ela mede a proporção em que a amplitude se reduz na duração t a partir de qualquer data t Em datas sucedendose em progressão aritmética a amplitude decresce em progressão geométrica O recíproco do parâmetro de amortecimento é chamado de constante de tempo da exponencial 1 τ γ Chamase decremento logarítmico da lei de atenuação o número D T γ O decremento logarítmico é logarítmico neperiano da redução de amplitude em um pseudoperíodo 37 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Observação Em muitos sistemas de uso prático há molas e amortecedores atuando ao mesmo tempo Um exemplo clássico são as balanças analíticas de precisão nas quais é necessário ajustar o grau de amortecimento mais próximo do crítico de maneira a que a leitura possa ser efetuada rapidamente Exemplo 1 Uma partícula de massa m pende de uma mola de constante elástica k e ao moverse fica sujeita a uma resistência viscosa de coeficiente b A partícula é abandonada em repouso no instante t 0 numa distância y0 de sua posição de equilíbrio Determinar a o grau de amortecimento b b a equação da elongação y em função do tempo Dados m 50 kg N k 20m N b 10 m s y0 01 m v0 0 Resolução a 1 0 0 0 0 b 10 k 20 1 s 2m 2 5 m 5 2 rad s γ γ γ ω ω γ ω β ω β 05 amortecimento é fraco b Esse grau de amortecimento segue as equações t m t t m 2 2 2 2 0 y y e cos t v y e cos t e sen t 2 1 rad 3 s γ γ γ ω θ γ ω θ ω ω θ ω ω γ ω ω 38 Unidade I No instante t 0 fica m 0 0 y0 y cos θ m v0 y cos sen γ θ ω θ m m y cos sen v 0 y 0 y cos γ θ ω θ θ cos sen v 0 y 0 cos γ θ ω θ θ v 0 y 0 γ ω tan θ v 0 y 0 tan γ θ ω 0 1 01 tan 3 θ 1 tan 3 θ Como o cosseno é positivo e a tangente é negativa o ângulo θ está no quarto quadrante 0 0 052 052 rad 180 30 rad 6 θ θ π π θ m m m 0 m 1 0 0 0 t y0 01 01 y0 y cos y y cos 087 cos30 y 0115 m y 0115 e cos 3 t SI 6 θ θ π Lembrete Em um movimento amortecido o sistema é definido pela constante elástica da mola k coeficiente de resistência viscosa do amortecedor b e a massa do corpo m Porém para que a equação de movimento fique definida ainda é necessário fornecer as condições iniciais do movimento ou seja a posição e velocidade na data t 0 39 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Exemplo 2 Um pêndulo de mola N k 100m m 80 kg executa oscilações amortecidas Suprimindose a dissipação e elevandose a massa para m 100 kg o período se conserva Determinar a o parâmetro de amortecimento γ b a pulsação das oscilações amortecidas ω Resolução a 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 2 1 k 2 2 m T T b 2 k 2m T m 2 k 2 k T m T m k k k k m m m m 1 1 1 1 k 100 m 80 100 m 05 s π π ω ω γ ω ω ω π ω ω γ γ γ π π γ γ γ γ γ b k 100 100 m rad 10 s ω ω ω Exemplo 3 Um pêndulo de mola com massa m 10 kg é ligado a um amortecedor Em certo instante a partícula oscilante passa pela posição neutra com velocidade v0 040 ms A partícula executa 4 oscilações completas em 5 s quando então se desliga o amortecedor em seguida observamse 10 oscilações em 1248 s 40 Unidade I Pedemse a a constante elástica k b o coeficiente de resistência viscosa b c a amplitude ym do movimento amortecido Resolução a 2 2 0 0 0 2 2 0 1248 k 2 T 1248 s 10 m T 2 2 314 k m k 10 T 1248 k 253N π ω π b 2 2 0 ω ω γ 2 0 k m ω 0 0 2 T ω π 2 T ω π 2 2 2 0 ω ω γ b γ 2m 2 2 2 0 2 2 T T π π γ 2 0 2 k T m π 2 2 2 0 2 2 T T π π γ 5 T 125 s 4 2 2 2 2 1248 125 π π γ 02847 s1 γ b 2m γ b 2 10 02847 N b 057m s 41 COMPLEMENTOS DE FÍSICA c t 0 0 m v 040 s y0 0 0 m y y cos 0 θ cos θ 0 sen 1 θ 0 m v y cos sen γ θ ω θ 0 0 m v y 1 ω rad 2 503 125 s ω π 0 m v y ω m 04 y 503 m y 00795 m Exemplo 4 Um corpo ligado a uma mola e a um amortecedor executa oscilações amortecidas No instante t 0 a posição vale y0 10 cm e a fase inicial é θ 0 Determinar a equação do movimento desse corpo Dados N N m 50 kg k 14450 b 800 m m s Resolução b γ 2m 800 γ 2 50 γ 8 s1 0 k m ω 0 14450 50 ω 0 rad 17 s ω 2 2 0 ω ω γ 2 2 17 8 ω rad 15 s ω t m y y e cos t γ ω θ m y 0 y cos θ 42 Unidade I 1 m y 0 y cos 0 10 m y 10 cm 001 m 8t y 001 e cos 15t SI Exemplo 5 Uma partícula movese sob ação de uma força elástica e também de uma força de resistência viscosa Equacionar o movimento nos casos de a amortecimento fraco N b 16m s b crítico N b 80 m s c forte 98 N m s Dados N m 32 kg k 50 y 0 004 m v 0 0 m Resolução a b 16 025 2m 2 32 γ 0 k 50 125 m 32 ω 0 025 02 125 β γ ω 2 2 2 2 0 125 025 12247 ω ω γ t m y y e cos t γ ω θ t t m v y e cos t e sen t γ γ γ ω θ ω ω θ m 0 0 y 0 y cos θ m v0 y cos sen γ θ ω θ v 0 0 025 y 0 004 tan 02041 12247 γ θ ω e cos θ 0 43 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Portanto o ângulo θ está no quarto quadrante 0 m 0 025 t 1154 02 rad y0 004 004 y 0041 m cos 098 cos 1154 y 0041 e cos 1225 t 02 SI θ θ b b 80 125 2m 2 32 γ 0 125 1 125 β γ ω t 1 2 y A A t eγ t t t 1 2 dy v A e A 1 e t e dt γ γ γ γ γ 1 y 0 A 004 m 1 2 v 0 A A γ 2 0 125 004 A 2 m A 005 s 125 t y 004 005t e SI c b 98 153125 2m 2 32 γ 0 k 50 125 m 32 ω 0 153125 122502 125 β γ ω 2 2 2 2 t t 0 0 1 2 y A e A e γ γ ω γ γ ω 2 2 2 2 1 1 0 C 153125 153125 125 06468 s γ γ ω 2 2 2 2 1 2 0 C 153125 153125 125 24157 s γ γ ω C t C t 1 2 1 2 y A e A e 44 Unidade I C t C t 1 2 1 1 2 2 dy v A C e A C e dt 1 2 y0 A A 1 2 004 A A 1 1 2 2 v0 A C A C 1 2 0 A 06468 A 24157 A1 00546 m A2 00146 m 06468 t 24157 t y 00546 e 00146 e Saiba mais Um exemplo de oscilador forçado e do fenômeno de ressonância é o da ponte de Tacoma nos Estados Unidos Um vídeo dessa ponte oscilando pode ser visto em TACOMA Narrows Bridge Destruction EUA 1940 2 minutos Exemplo 6 Um movimento segue a lei 05 t y 002 e cos 12 t SI Pedese a velocidade no instante t 15 s Resolução 05t 05t dy v 002 05e cos 12t e 12 sen12t dt 0515 0515 v15 002 05e cos 12 15 e 12 sin12 15 m v 15 00051 s Exemplo 7 Um sólido com massa m 50 kg suspenso em uma mola helicoidal leve de constante elástica N k 2000m é ligado a um amortecedor que oferece uma resistência com coeficiente de viscosidade 45 COMPLEMENTOS DE FÍSICA N b 25m s A amplitude do movimento é m y 001 m e a fase inicial é nula Em que proporção se reduz a amplitude de oscilação em 10 ciclos Resolução 1 0 2 2 2 2 amplitude 025 t 02512 b 25 k 2000 rad 025 s 20 2m 2 5 m 5 s 20 025 20 025 199984 20 rad s y 001 e cos 20 t SI t 0 amplitude inicial 001m 2 2 t 10 10 1256 s amplitude final 001 e 20 γ ω ω π π ω 00433 56 m amplitude final 00433 433 amplitude inicial Exemplo 8 O recuo de um canhão fazse sob efeito de um amortecedor a óleo e de um sistema de molas A constante elástica do sistema de molas é N k 70000m A massa do cano é m 700 kg Determinar o coeficiente b de resistência viscosa para que o cano volte à posição de equilíbrio o mais depressa possível sem entrar em oscilação Resolução Para a condição de retorno à posição de equilíbrio no menor tempo possível sem entrar em oscilação o grau de amortecimento deve ser crítico ou seja b 1 Logo 0 0 1 k 70000 rad 1 10 m 700 s 10s b b 2m b 10 2 700 2m N b 14000m s β γ ω ω γ γ γ 46 Unidade I Exemplo 9 Um corpo de massa m está ligado a uma mola de constante elástica k e a um amortecedor de coeficiente de resistência viscosa b Pedemse a o período do movimento amortecido b o tempo decorrido até que a amplitude do movimento caia até a metade de seu valor inicial Dados N N m 30 kg k 170 b 15 m m s Resolução a 0 k 170 753rad m 30 s ω 1 b 15 025 s 2m 2 30 γ 2 2 2 2 0 753 025 753 rad s ω ω γ 2 2 T 08344 s 753 π π ω b 1 t t m m 1 1 y e y e t ln e ln05 2 2 ln 05 ln 05 t 277 s 025 γ γ γ γ Isso ocorre a aproximadamente 277 08344 33 oscilações Exemplo 10 Uma partícula executa oscilações livres amortecidas As condições iniciais do movimento são posição inicial yo 0 e velocidade inicial m v 0 020 s 47 COMPLEMENTOS DE FÍSICA Pedemse a a posição da partícula em função do tempo b o tempo decorrido para que a energia mecânica caia para a metade de seu valor inicial Dados N N m 40 kg k 100 b 24 m m s Resolução a b γ 2m 24 γ 2 8 γ 3 s1 0 k m ω 0 100 4 ω 0 rad 5 s ω 2 2 0 ω ω γ 2 2 5 3 ω rad 4 s ω t t t m m v 0 020 30 y 0 0 tan 4 y y e cos t v y e cos t e sen t γ γ γ γ θ ω ω θ γ ω θ ω ω θ No instante t 0 fica m m m m zero 0 0 zero 0 m 0 y0 y cos v0 y cos sen v0 y sen 2 rad v0 y sen 2 v0 020 y 005 m 40 1 sen 2 θ γ θ ω θ π ω θ θ π ω π ω 48 Unidade I m t m 30t v0 020 y 005 m 40 1 sen 2 y y e cos t y 005e cos 40t SI 2 γ π ω ω θ π b t 2 2 2 t m m m 2 t 23t 1 1 E k y e ky e 2 2 e 05 e 05 t 01155 γ γ γ Resumo Nesta unidade foram apresentadas a cinemática e a dinâmica do movimento oscilatório Primeiro abordouse a oscilação livre sem amortecimento Nessa parte um corpo ligado a uma mola oscila em campo de gravidade uniforme Na aplicação da Segunda Lei de Newton obtevese a equação diferencial do movimento indicada a seguir mÿ ky 0 A solução dessa equação é m y y cos t ω θ 2 T π ω A velocidade e aceleração são respectivamente m v y sen t ω ω θ 2 m a y cos t ω ω θ A aceleração também pode ser apresentada como 2 a y ω Esse sistema é conservativo mantendo portanto sua energia mecânica Em constante durante o movimento A seguir também estão as equações da energia cinética Ec e energia potencial elástica Ep 49 COMPLEMENTOS DE FÍSICA m c p 2 2 2 m m c p E E E 1 1 1 E ky E mv E ky 2 2 2 A velocidade do corpo é máxima na origem a aceleração é máxima nos extremos a velocidade é nula nos extremos e também a aceleração é nula na origem Resumidamente temos máxima m 2 máxima m m v y a 0 implica y 0 a y v 0 implica y y ω ω Na oscilação livre com amortecimento um corpo ligado a uma mola e a um amortecedor oscila em campo de gravidade uniforme Na aplicação da Segunda Lei de Newton obtevese a equação diferencial do movimento amortecido indicada a seguir mÿ bý ky 0 A solução dessa equação é separada de acordo com o grau de amortecimento b Amortecimento fraco 0 b 1 t m y y e cos t γ ω θ 2 2 0 ω ω γ b γ 2m 0 k m ω A equação que relaciona o decréscimo das amplitudes é t m y y eγ As constantes Ym e θ são definidas pelas condições iniciais do movimento I Amortecimento crítico b 1 t 1 2 y A A t eγ As constantes A1 e A2 são definidas pelas condições iniciais do movimento 50 Unidade I III Amortecimento forte b 1 2 2 2 2 t t 0 0 1 2 y A e A e γ γ ω γ γ ω As constantes A1 e A2 são definidas pelas condições iniciais do movimento Exercícios Questão 1 Enade 2014 K B ft yt M O desenvolvimento de modelos matemáticos é de fundamental importância para a análise dinâmica das máquinas O sistema vibratório amortecido mostrado na figura acima apresenta coeficiente de rigidez k coeficiente de amortecento c massa m e representa um sistema de um grau de liberdade que apresentará movimento horizontal a partir de sua linha de equilíbrio estático com coordenada generalizada xt O movimento acontecerá por meio de um desbalanceamento rotativo m0h sendo m0 a massa desbalanceada e h a distância de m0 ao centro de rotação Observase que a massa m do sistema inclui o desequilíbrio m0 O sistema apresenta frequência de excitação de 600 rpm Dados m 10 kg k 360 Nm c 50 Nsm m0h 001 kgm A equação do movimento diferencial e a frequência natural do sistema em rads são A 2 n 10x 50x 120x 4 sen20 t 12rad s π π ϖ B n sen600t 6rad s ϖ C n x 10x 36x 40sen600t 12rad s ϖ 51 COMPLEMENTOS DE FÍSICA D 2 n 10x 100x 360x 20 sen600t 6rad s π ϖ E 2 n x 10x 36x 04 sen20 t 6rad s π π ϖ Resposta correta alternativa E Análise da questão Sabendo que m10 kg e k120 Nm e que no sistema existem três molas em paralelo o que fornece constante total do sistema igual a 360 Nm a frequência natural é dada por n n 360N k m 6rad s m 10kg ϖ ϖ A equação do movimento é 2 0 mx cx kx m h sen 2 ft ϖ π Sabemos que m10 kg que a constante total do sistema é igual a 360 Nm e que o coeficiente total de amortecimento é igual a 100 Nsm pois no sistema existem dois amortecedores em paralelo Sabemos também que m0h 001 kgm e que a frequência de excitação é 600 rpm o que fornece 1 1 1 2 f 2 600 2 600 20 min 60s s ϖ π π π π Com esses dados temos 2 10x 100x 360x 001 20 sen 2 10t π π 2 10x 100x 360x 001 400 sen 20 t π π 2 10x 100x 360x 4 sen 20 t π π 2 x 10x 36x 04 sen 20 t π π