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88 Unidade II Unidade II 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 51 Definição Uma equação diferencial é classificada como equação diferencial linear de primeira ordem se puder ser escrita na forma a seguir dy f x y gx dx Na expressão fx e gx são funções contínuas Se gx 0 a equação diferencial restringese a dy f x y dx Nessa situação a equação é classificada como equação diferencial linear homogênea de primeira ordem No caso em que gx 0 a equação diferencial linear é dita não homogênea Exemplo 1 A equação diferencial dy y 2 dx é uma equação diferencial linear Resolução Sim dy y 2 dx é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea pois pode ser escrita na forma dy f x y gx dx com fx 1 e gx 2 Exemplo 2 A equação diferencial dy xy cosx dx é uma equação diferencial linear 89 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Resolução Sim dy xy cosx dx é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea pois pode ser escrita na forma dy f x y gx dx com fx x e gx cosx Exemplo 3 A equação diferencial x dy dx e y é uma equação diferencial linear Resolução A equação diferencial x dy dx e y é uma equação diferencial linear de primeira ordem pois pode ser escrita na forma dy f x y gx dx com fx ex e gx 0 Como gx 0 a equação é classificada como equação diferencial linear homogênea de primeira ordem Exemplo 4 A equação diferencial xy dy e 3x dx é uma equação diferencial linear Resolução Não xy dy e 3x dx não é uma equação diferencial linear de primeira ordem pois não pode ser escrita na forma dy f x y gx dx Exemplo 5 A equação diferencial dy ycosx 3tgxdx é uma equação diferencial linear Resolução Sim dy ycosx 3tgxdx é uma equação diferencial linear de primeira ordem pois ao ser reescrita como dy ycosx 3tgx dx é apresentada na forma dy f x y gx dx com fx cosx e gx 3tgx Como gx 0 a equação diferencial é não homogênea 90 Unidade II 52 Solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem A solução da equação diferencial linear de primeira ordem dy f x y gx dx é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Na expressão c é uma constante Note que o primeiro passo para determinarmos a solução desse tipo de equação diferencial é identificarmos as funções fx e gx Em seguida calculamos fx dx e g x e f x dx dx Então determinamos a solução yx No caso de equação diferencial homogênea basta fazermos gx 0 na solução Nesse caso a solução da equação diferencial se reduz a fx dx y x ce Na expressão c é uma constante Lembrete Equação diferencial homogênea é aquela cujos termos dependem apenas das derivadas da função Exemplo 6 Resolva a equação diferencial linear dy y 2 dx Resolução Inicialmente devemos identificar fx e gx Comparando a equação diferencial dy y 2 dx e a forma de uma equação diferencial linear dy f x y gx dx vemos que para esse caso fx 1 e gx 2 91 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Calculamos então a primitiva fx dx fx dx 1 dx fx dx x Em seguida calculamos a primitiva g x e f x dx dx f x dx x f x dx x f x dx x g x e dx 2e dx g x e dx 2 e dx g x e dx 2e Logo a solução para a equação diferencial linear dy y 2 dx é f x dx f x dx x x y x e c g x e dx y x e c 2e Na expressão c é uma constante Os gráficos dessa solução para alguns valores da constante c estão representados na figura a seguir y x 2 2 5 5 10 1 1 2 ex1 2ex ex2ex 1 ex2 2ex ex2ex 2 Figura 17 Gráficos da solução da equação diferencial dy y 2 dx 92 Unidade II Exemplo 7 Resolva a equação diferencial linear dy xy dx Resolução Inicialmente devemos identificar fx e gx Comparando a equação diferencial dy xy 4 dx e a forma de uma equação diferencial linear dy f x y gx dx vemos que para esse caso fx x e gx 0 Note que a equação diferencial é homogênea A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Para a equação homogênea gx 0 a solução se reduz a fx dx y x ce Calculamos então a primitiva fx dx Ou seja fx dx x dx 2x fx dx 2 Logo a solução para a equação diferencial linear dy dx xy é f x dx x2 2 y x ce y x ce Na expressão c é uma constante Note que essa equação também poderia ser classificada como equação diferencial de variáveis separáveis e resolvida pelo método visto anteriormente Os gráficos das soluções da equação diferencial dy dx xy para alguns valores de constante c são dados na figura a seguir EQUACOES DIFERENCIAIS SS ee ee eee ee eee eee a a ae ae ae ae ae ae a ae ae ee Se y 20 2 e2 10 2 e2 xX 2 2 1 2 x 2e 2 10 2 pe2 20 Figura 18 Graficos da solucdo da equacao diferencial xy Exemplo 8 wy ae dx Resolva a equacao diferencial linear at xcost Resolucao dx A equacdo desse exemplo escrita em termos de x e t e esta expressa na forma dt ftx gt Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equacao diferencial xcost a t forma de uma equacao diferencial linear ftx gt vemos que para esse caso ft cost e gt 0 Estamos tratando de uma equacao diferencial linear e homogénea A solucao da equacao diferencial linear de primeira ordem é dada por xt olfdat c 4 fate dt at Com gt 0 temos que xt celfltat Calculamos entdo a primitiva frat Fat eostat Fat seni 94 Unidade II Logo a solução para a equação diferencial linear dx dt xcost é f x dx senx y x ce y x ce Na expressão c é uma constante Os gráficos dessa solução para alguns valores da constante c são dados na figura a seguir y x 6 4 2 2 4 4 2 2 4 6 e e e e e x e x e x e x s n s n s n s n 2 2 Figura 19 Gráficos da solução da equação diferencial dx xcost dt Observação Na figura anterior podemos ver que mesmo a função periódica se encontrando dentro de uma função exponencial a função não perde o seu caráter oscilatório Exemplo 9 Resolva a equação diferencial linear dx x 2t dt t com t 0 Resolução A equação desse caso é escrita em termos de x e t e está expressa na forma dx f t x gt dt Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equação diferencial dx x 2t dt t e a forma de uma equação diferencial linear dx f t x gt dt vemos que para esse caso 1 ft t e gt 2t Estamos tratando de uma equação diferencial linear não homogênea pois gt 0 95 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt Calculamos então a primitiva ft dt 1 ft dt dt t ft dt lnt Em seguida calculamos a primitiva g t e f t dt dt f t dt lnt f t dt ln t g t e dt 2te dt g t e dt 2 te dt Essa integral é resolvida por mudança de variáveis Fazemos u ln t 1 du dt t Logo lnt u u lnt 2 te dt 2 e du 2e 2e A solução para a equação diferencial linear dx x 2t dt t é f t dt f t dt lnt lnt x t e c g t e dt x t e c 2e Na expressão c é uma constante Como lnt e t e lnt 1 e t temos que 2 x t t c t x t ct 2 96 Unidade II Note que as soluções da equação diferencial são retas concorrentes que passam por xt 2 Os gráficos dessas funções são mostrados na figura a seguir 5 1 2 4 5 10 t 2 t 2 2t 2 2t 1 3 Figura 20 Gráficos da solução da equação diferencial dx x 2t dt t com t 0 Temos a variável t no eixo das ordenadas e xt no eixo das abscissas Exemplo 10 Uma partícula realiza movimento linear no qual a velocidade apresenta dependência linear com a posição Assuma que xt 0 0 vt 1 3 e vt 2 6 com o tempo t em segundos a posição x em metros e a velocidade v em metros por segundo Determine a equação da posição dessa partícula em função do tempo Resolução Se a velocidade v da partícula apresenta dependência linear com a posição x temos que v ax b Na expressão a e b são constantes Visto que a velocidade é escrita como a primeira derivada da posição dx v dt temos que dx ax b dt Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de primeira ordem com ft a e gt b 97 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O primeiro passo para resolver essa equação é calcularmos ft dt ft dt a dt f t dt a dt ft dt at Precisamos calcular g t e f t dt dt Ou seja f t dt at f t dt at f t dt at g t e dt be dt g t e dt b e dt b g t e dt e a A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt at at at x t e c g t e dt b x t e c ae b x t ce a Na expressão a e b são constantes Sabemos que a posição inicial é xt 0 0 Logo a0 b x t 0 ce 0 a b c1 a b c a Assim ficamos com at b x t e 1 a 98 Unidade II Temos ainda que vt 1 3 e vt 2 6 A velocidade é obtida derivandose a posição em relação ao tempo Ou seja at dx v be dt Para os instantes e as velocidades dados temos que a1 a2 a 2a v t 1 be 3 v t 2 be 6 be 3 be 6 Temos um sistema de equações lineares para resolver Dividindo a segunda equação pela primeira chegamos a 2a a a be 6 3 be e 2 a ln2 Substituindo a ln2 na primeira equação do sistema de equações temos que ln 2 bea 3 be 3 2b 3 3 b 2 A equação da posição da partícula é portanto at ln 2 t t ln 2 t b x t e 1 a 3 x t e 1 2ln2 3 x t e 1 2ln 2 3 x t 2 1 2ln2 99 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O gráfico dessa solução é mostrado na figura a seguir x t 2 4 4 2 10 30 20 40 Figura 21 Uma partícula apresenta movimento linear no qual a velocidade possui dependência linear com a posição e x0 0 m v1 3 ms e v2 6 ms Note que antes de aplicarmos a condição inicial e as condições de contorno a solução da equação diferencial era at b x t ce a com a b e c constantes desconhecidas Por isso foram necessárias três condições uma inicial e duas de contorno para determinarmos completamente a solução do problema Vimos anteriormente que o decaimento radioativo pode ser modelado pela equação diferencial dN kN dt Na expressão N é o número de átomos t é o tempo e k é a constante de decaimento Essa equação foi resolvida como uma equação diferencial de variáveis separáveis mas também é uma equação diferencial linear Lembrete Equação diferencial de variáveis separáveis é aquela que pode ser escrita na forma dy dx f x gy Reescrevendo a equação do decaimento radioativo ficamos com dN kN dt Vamos comparar essa equação e a forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem dN f t y gt dt 100 Unidade II Assim ficamos com fxt k e gt 0 Logo a equação do decaimento radioativo é também uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea Saiba mais Uma cronologia da descoberta da radioatividade pode ser obtida em ALVES O L Centenário da descoberta da radioatividade Laboratório de Química do Estado Sólido sd Disponível em httpwwwlqesiqm unicampbrcanalcientificopontosvistapontosvistadivulgacao21 html Acesso em 3 abr 2017 Um panorama histórico da radioatividade também é explorado no material COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR CNEN História da energia nuclear Rio de Janeiro sd Disponível em httpwwwcnen govbrimagescnendocumentoseducativohistoriadaenergianuclear pdf Acesso em 3 abr 2017 Mais informações sobre radioatividade e estrutura atômica podem ser obtidas em HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 4 Exemplo 11 Determine a solução da equação diferencial de decaimento radioativo ou seja dN kN dt usando o método de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem A quantidade inicial de material radioativo é N0 Resolução Reescrevendo a equação diferencial ficamos com dN dt kN 101 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea com ft k e gt 0 O primeiro passo para resolvermos a equação é calcularmos ft dt Logo ft dt k dt f t dt k dt ft dt kt Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt N t e c g t e dt kt N t e c 0 kt N t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Nt 0 N0 k0 0 N t 0 ce N 0 c1 N 0 c N A solução para a equação diferencial do decaimento radioativo é Nt N0ekt 102 Unidade II Os gráficos dessa função são mostrados na figura a seguir para k 1 k 2 e N0 5 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 5et 5e2t Figura 22 Solução para a equação diferencial do decaimento radioativo com k 1 k 2 e N0 5 O eixo das ordenadas representa o tempo t e o das abscissas o número de átomos N Observação O expoente deve ser sempre adimensional Logo para o caso do decaimento radioativo se o tempo é dado em segundos a unidade da constante de decaimento é 1s 6 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM A seguir discutiremos algumas aplicações de equações diferenciais lineares de primeira ordem 61 Lei de resfriamento de Newton Considere um corpo à temperatura T em um ambiente à temperatura Ta A variação da temperatura desse corpo com o tempo pode ser modelada pela lei de resfriamento de Newton Segundo essa lei a taxa de variação da temperatura do corpo em função do tempo t é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente Logo a lei de resfriamento de Newton pode ser equacionada da seguinte forma a dTt Tt T dt α Na expressão α é a constante de proporcionalidade Uma limitação da lei de resfriamento de Newton é que ela assume a temperatura do ambiente constante ou seja o corpo não afeta a temperatura do ambiente 103 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A lei de resfriamento de Newton é classificada como uma equação diferencial linear de primeira ordem Uma aplicação da lei de resfriamento de Newton para a determinação do calor específico da água e do cobre foi feita por Vuolo e Furukawa 1995 Exemplo 1 Um corpo à temperatura inicial de 100 oC é colocado em uma sala à temperatura de 25 oC Determine a equação que fornece a temperatura do corpo em função do tempo admitindo que o resfriamento ocorra de acordo com a lei de resfriamento de Newton Resolução Segundo a lei de resfriamento de Newton temos a dTt Tt T dt α sendo Tt a temperatura de um corpo em função do tempo t Ta a temperatura do ambiente onde o corpo se encontra e α uma constante de proporcionalidade No caso desse exemplo temos Ta 25 e como condição inicial Tt 0 100 sendo a temperatura dada em graus Celsius Logo dTt Tt 25 dt α dTt Tt 25 dt α α Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea pois pode ser escrita na forma dT f t T gt dt com ft α e gt 25α sendo α constante A solução dessa equação diferencial é portanto ft dt f t dt T t e c g t e dt Primeiramente precisamos calcular ft dt Logo ft dt α dt f t dt α dt ft dt αt 104 Unidade II Depois calculamos g t e f t dt dt Logo f t dt t g t e dt 25 e dt α α f t dt t g t e dt 25 e dt α α t f t dt e g t e dt 25 α α α f t dt t g t e dt 25e α A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt t t t T t e c g t e dt T t e c 25e ce 25 α α α Aplicando a condição inicial Tt 0 100 temos que Tt 0 ceα0 25 100 c1 25 100 c 100 25 75 A solução do problema é Tt 75eαt 25 Para termos resfriamento queda de temperatura a constante α deve assumir valores negativos Os gráficos da solução para alguns valores de constante α estão na figura a seguir 2 1 1 2 t x 1200 1000 800 600 400 200 75et 25 75e2t 25 75et 25 Figura 23 Gráficos do resfriamento de um corpo a 100 oC em uma sala a 25 oC usando a lei de resfriamento de Newton Temos o tempo no eixo das ordenadas e a temperatura no eixo das abscissas Note que se a constante é negativa temos resfriamento e se a constante é positiva temos aquecimento 105 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Saiba mais Mais informações sobre lei de resfriamento de Newton e termodinâmica estão disponíveis em HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 2 62 Circuito RC sem fonte Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância C inicialmente carregado com tensão V0 ligado em série a um resistor de resistência R R C Figura 24 Circuito RC série sem fonte Para o capacitor temos Q CV Na expressão Q é a carga elétrica C é a capacitância e V é a tensão Como a corrente é a taxa de variação da carga no tempo podemos calcular a corrente i no capacitor dQ i dt d i dt CV dV i C dt Para o resistor temos que V i R 106 Unidade II Na expressão i é a corrente e R é a resistência elétrica Aplicando a primeira lei de Kirchhoff ao circuito chegamos à equação diferencial dV V C 0 dt R na qual V é a tensão e t é o tempo Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com dV V dt RC Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dV f t V gt dt vemos que para esse caso 1 f t RC e gt 0 Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver essa equação é calcular ft dt Logo 1 ft dt RC dt 1 f t dt RC dt 1 f t dt RC t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt V t e c g t e dt 1 t RC V t e c 0 1 t RC V t ce 107 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Vt 0 V0 1 0 RC 0 V t 0 ce V 0 c1 V 0 c V A solução para a equação diferencial do circuito RC sem fonte é 1 t RC 0 V t V e O gráfico dessa função é o gráfico de um decaimento exponencial Vale notar que a velocidade de decrescimento da tensão no caso de um circuito RC em série e sem fonte é determinada pela constante de tempo τ RC Exemplo 2 Considere um circuito formado por um capacitor inicialmente descarregado de capacitância C ligado em série a um resistor de resistência R e a uma fonte de tensão constante E R E C Figura 25 Circuito RC série ligado a uma fonte de tensão contínua Aplicando a primeira lei de Kirchhoff ao circuito chegamos à equação diferencial dQ Q E dt RC R na qual Q é a carga elétrica e t é o tempo Para essa situação determine a equação da carga no capacitor em função do tempo Resolução Reescrevendo a equação diferencial do problema temos que dQ 1 E Q dt RC R 108 Unidade II Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso 1 f t RC e E g t R Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e não homogênea O passo seguinte para resolvermos essa equação é calcular ft dt Logo 1 ft dt RC dt 1 f t dt RC dt 1 ft dt RC t Precisamos calcular g t e f t dt dt Logo 1 t f t dt E RC g t e dt e dt R 1 t f t dt RC E g t e dt e dt R 1 t f t dt ERC RC g t e dt e R 1 t f t dt RC g t e dt ECe A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt Q t e a g t e dt 1 1 t t RC RC Q t e a ECe 1 t RC Q t ae EC Na expressão a é uma constante 109 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Como o capacitor estava inicialmente descarregado temos Qt 0 0 e 1 0 RC Q t 0 ae EC a EC 0 a EC A carga no capacitor em função do tempo é dada por 1 t RC Q t ECe EC 1 t RC Q t EC 1 e Essa equação descreve o processo de carga de um capacitor inicialmente descarregado Conforme t tende a infinito a exponencial tende a zero e a carga do capacitor tende ao valor constante Qt EC 63 Circuito RL sem fonte Considere o caso de um circuito RL em série formado por um resistor de resistência R e um indutor de indutância L sem fonte conforme esquematizado na figura a seguir R L Figura 26 Circuito RL série ligado a uma fonte de tensão contínua Para o resistor a relação entre tensão V e corrente i é dada pela lei de Ohm Logo V Ri No caso de um indutor a tensão é proporcional à taxa de variação da corrente em função do tempo sendo que a constante de proporcionalidade é a indutância Logo di V L dt 110 Unidade II Aplicando a segunda lei de Kirchhoff no circuito chegamos à equação diferencial que rege um circuito RL sem corrente L di Ri 0 dt Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com di Ri dt L Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dV f t V gt dt vemos que para esse caso R f t L e gt 0 Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver essa equação é calcularmos ft dt Logo R ft dt L dt R f t dt L dt R ft dt L t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt i t e c g t e dt Rt L i t e c 0 Rt L i t ce 111 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial it 0 i0 R0 L 0 0 0 i c t 0 ce i c i 1 i A solução para a equação diferencial do circuito RC sem fonte é Rt L 0 i t i e O gráfico dessa função é o gráfico de um decaimento exponencial Exemplo 3 Considere um circuito formado por um indutor de indutância L ligado em série a um resistor de resistência R e a uma fonte de tensão constante E R L E Figura 27 Circuito RL série ligado a uma fonte de tensão contínua Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito chegamos à equação diferencial di L Ri E dt na qual i é a corrente e t é o tempo Determine a equação da corrente no indutor em função do tempo assumindo que a corrente inicial seja nula Resolução Reescrevendo a equação diferencial do problema temos que L di Ri E dt di R E i dt L L 112 Unidade II Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso R f t L e E g t L Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e não homogênea O passo seguinte para resolver a equação é calcular ft dt Logo R ft dt L dt R ft dt L dt R ft dt t L Precisamos calcular g t e f t dt dt Logo Rt f t dt E L g t e dt e dt L Rt f t dt L E g t e dt e dt L Rt f t dt EL L g t e dt e LR Rt f t dt E L g t e dt e R A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt i t e a g t e dt R R t t L E L i t e a e R Rt L E i t ae R 113 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na expressão a é uma constante Adotando it 0 0 ficamos com R0 L E i t 0 ae R E a 0 R E a R A carga no capacitor em função do tempo é dada por Rt L Rt L E E i t Re R E i t 1 e R Essa equação descreve a circulação de corrente em um circuito RL Conforme t tende a infinito a exponencial tende a zero e a corrente no circuito tende ao valor constante E i t R Exercícios Questão 1 Considere as equações diferenciais a seguir I dy 2 dx II dT sen t 3 dt III du 3v 4 dv Podemos afirmar que A I II e III são equações diferenciais lineares B Apenas I e II são equações diferenciais lineares C Apenas I e III são equações diferenciais lineares 114 Unidade II D Apenas II e III são equações diferenciais lineares E Apenas III é equação diferencial linear Alternativa correta C Resolução do exercício Para a equação diferencial ser classificada como equação diferencial exata deve ser possível escrevê la na forma dy f x x gx dx Com base nisso vamos analisar cada uma das equações diferenciais apresentadas I dy 2 dx Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear com fx 0 e gx 2 II dT sen t 3 dt Essa equação diferencial não é linear pois não pode ser escrita na forma dy f x x g x dx Se a equação fosse dT sen t t 3 dt ela seria linear III du 3v 4 dv Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear com fx 3 e gx 4 Questão 2 Considere as equações diferenciais a seguir I dy 2x dx II dT 3t 3 dt III du 3v 4 dv Podemos afirmar que A I II e III são equações diferenciais lineares não homogêneas 115 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS B Apenas I e II são equações diferenciais lineares não homogêneas C Apenas I e III são equações diferenciais lineares não homogêneas D Apenas II e III são equações diferenciais lineares não homogêneas E Apenas III é equação diferencial linear não homogênea Alternativa correta D Resolução do exercício Para que a equação diferencial linear seja homogênea deve ser possível escrevêla na forma dy f x x g x dx com gx 0 Para que a equação diferencial linear seja não homogênea ela deve ter gx 0 Com base nisso vamos analisar cada uma das equações diferenciais apresentadas I dy 2x dx Essa equação apresenta gx 0 e é portanto uma equação diferencial linear e homogênea II dT 3t 3 dt Essa equação apresenta gx 3 e é portanto uma equação diferencial linear e não homogênea III du 3v 4 dv Essa equação apresenta gx 4 e é portanto uma equação diferencial linear e não homogênea Questão 3 Resolva a equação diferencial dx x 3 dt e assinale a alternativa correta A xt ket 3 B xt ket 3 C xt ket 3 D xt ket 3 E xt 3ket Alternativa correta A 116 Unidade II Resolução do exercício Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equação diferencial dx t 3 dt e a forma de uma equação diferencial linear dx f t x gt dt vemos que para esse caso ft 1 e gt 3 Estamos tratando de uma equação diferencial linear não homogênea pois gt 0 A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt Calculamos a primitiva ft dt Logo ft dt 1 dt ft dt t Calculamos a primitiva g t e f t dt dt Logo f t dt t g t e dt 3e dt f t dt t g t e dt 3 e dt f t dt t g t e dt 3e A solução para a equação diferencial linear dx t 3 dt é f t dt f t dt x t e c g t e dt t t x t e c 3e t x t ce 3 Na expressão c é uma constante 117 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Questão 4 Resolva a equação diferencial dp dt 3p 1 e assinale a alternativa correta A 3t p t ke 3 B 3t p t ke 3 C 3t 1 p t ke 3 D 3t 1 p t ke 3 E 3t p t 3e k Alternativa correta C Resolução do exercício Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equação diferencial dp 3t 1 dt e a forma de uma equação diferencial linear dx f t x gt dt vemos que para esse caso ft 3 e gt 1 Estamos tratando de uma equação diferencial linear não homogênea pois gt 0 A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt Calculamos a primitiva ft dt Logo ft dt 3 dt ft dt 3t Calculamos a primitiva g t e f t dt dt Logo f t dt 3t g t e dt 1e dt f t dt 3t g t e dt e dt 3t f t dt e g t e dt 3 118 Unidade II A solução para a equação diferencial linear dp 3t 1 dt é f t dt f t dt x t e c g t e dt 3t 3t e x t e c 3 3t 1 x t ce 3 Na expressão c é uma constante Questão 5 Resolva a equação diferencial dy dx ylnx e assinale a alternativa correta A e x 1 y k x B x y ke ln x 1 C x y ke lnx 1 D xlnx y ke 1 E x ln x 1 y ke Alternativa correta E Resolução do exercício Inicialmente devemos identificar fx e gx Comparando a equação diferencial dy dx ylnx e a forma de uma equação diferencial linear dy f x y gx dx vemos que para esse caso fx lnx e gx 0 Estamos tratando de uma equação diferencial linear homogênea pois gt 0 A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt 119 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Calculamos a primitiva fx dx Logo fx dx lnx dx fx dx xln x 1 Calculamos a primitiva g x e f x dx dx Logo g x e f x dx dx 0 A solução para a equação diferencial linear dy dx ylnx é f x dx f x dx y x e c g x e dx xln x 1 x t e c 0 xln x 1 x t ce Na expressão c é uma constante Questão 6 Um corpo à temperatura inicial de 30 oC é colocado em um ambiente à temperatura de 0 oC Determine a equação que dá a temperatura do corpo em função do tempo admitindo que o resfriamento ocorre de acordo com a lei de resfriamento de Newton A Tt 30et B Tt ae30t C Tt ae30t D Tt 30eαt E Tt 30eαt Alternativa correta D Resolução do exercício Segundo a lei de resfriamento de Newton temos a dTt Tt T dt α sendo Tt a temperatura de um corpo em função do tempo t Ta a temperatura do ambiente onde o corpo se encontra e α uma 120 Unidade II constante de proporcionalidade No caso desse exemplo temos Ta 0 e como condição inicial Tt 0 30 com a temperatura em graus Celsius logo dTt Tt 0 dt α dTt Tt dt α Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea já que segue a forma dT f t T gt dt com ft α e gt 0 A solução dessa equação diferencial é portanto ft dt f t dt T t e c g t e dt Primeiramente precisamos calcular ft dt Logo ft dt α dt f t dt α dt ft dt αt Calculamos g t e f t dt dt Logo g t e f t dt dt 0 Temos a igualdade anterior porque gt 0 A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt T t e c g t e dt t t T t e c 0 ce α α Aplicando a condição inicial Tt 0 30 temos 0 T t 0 ce 30 c1 30 c 30 α 121 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Logo a solução do problema é t T t 30eα Para termos resfriamento devemos ter queda de temperatura e a constante α deve assumir valores negativos Questão 7 Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância C 2 μC inicialmente carregado com tensão V0 6 V ligado em série com um resistor de resistência R 100 Ω Qual é a equação da tensão do circuito em função do tempo A Vt 6e5000t B Vt 6e5000t C Vt 6e00002t D Vt 6e00002t E Vt 5000et Alternativa correta B Resolução do exercício A equação diferencial que rege o circuito é dV V C 0 dt R Na expressão V é a tensão e t é o tempo Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com dV V dt RC Substituindo os valores de resistência e capacitância na equação temos que dV V dt 00002 122 Unidade II Comparando essa expressão e a equação diferencial linear de primeira ordem dV f t V gt dt vemos que para esse caso 1 f t 00002 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte é calcular ft dt Logo 1 ft dt 00002 dt 1 f t dt 00002 dt 1 ft dt t 00002 ft dt 5000t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 5000t 5000t V t e c g t e dt V t e c 0 V t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Vt 0 6 50000 V t 0 ce 6 c 6 Logo a solução da equação diferencial do circuito RC sem fonte é Vt 6e5000t Questão 8 Considere o caso de um circuito RL em série formado por um resistor de resistência R 25 Ω e um indutor de indutância L 50 mH sem fonte Suponha que a corrente inicial no circuito seja 2A Determine a equação da corrente no circuito em função do tempo A it 2e0002t B it 2e500t 123 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS C it 2e500t D it 0002e5t E it 5e5t Alternativa correta C Resolução do exercício A equação diferencial que rege um circuito RL sem fonte é L di Ri 0 dt Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com di Ri dt L Substituindo os valores de resistência e indutância dados temos que 3 di 25 i dt 5010 di 1 i 500i dt 0002 Comparando essa expressão e a equação diferencial linear de primeira ordem di f t i gt dt vemos que para esse caso ft 500 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver a equação é calcular ft dt Logo ft dt 500 dt ft dt 500 dt ft dt 500t 124 Unidade II Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 500t 500t i t e c g t e dt i t e c 0 i t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial it 0 2 5000 i t 0 ce 2 c 2 Logo a solução da equação diferencial desse circuito RC sem fonte é 500t i t 2e Questão 9 Considere uma população P em que a taxa de crescimento em função do tempo t é igual ao triplo da população Usando o método de resolução de equações diferenciais lineares determine a equação da população em função do tempo sabendo que inicialmente havia 1000 indivíduos A Pt 1000 e3t B Pt 1000e3t C Pt 1000 e3t D Pt 1000e3t E Pt 1000e3t 30 Alternativa correta B Resolução do exercício O primeiro passo para a resolução do exercício é escrever a equação diferencial correlata A taxa de crescimento da população P em função do tempo é igual a sua taxa de variação ou seja dP dt Como falamos em crescimento a taxa de variação é positiva Se tivéssemos falado em decréscimo 125 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS da população a taxa de variação seria negativa Visto que a taxa de variação é igual ao triplo da população temos que dP 3P dt Comparando essa expressão e a equação diferencial linear de primeira ordem dP f t P gt dt vemos que para esse caso ft 3 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolvermos a equação é calcular ft dt Logo ft dt 3 dt ft dt 3 dt ft dt 3t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 3t 3t P t e c g t e dt P t e c 0 P t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Pt 0 1000 Pt 0 ce5000 1000 c 1000 Logo a solução da equação diferencial dessa população é Pt 1000e3t 126 Unidade II Questão 10 Considere uma amostra de certo material radioativo Sabendo que o decaimento radioativo segue a equação diferencial linear dQ dt kQ determine a constante k para que a quantidade de material caia pela metade em 5 anos A k069 ano1 B k006 ano1 C k006 ano1 D k014 ano1 E k014 ano1 Alternativa correta D Resolução do exercício O decaimento radioativo segue a equação diferencial linear dada por dQ kQ dt Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso ft k e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolvermos essa equação é calcular ft dt Logo ft dt k dt f t dt k dt ft dt kt Note que a constante k de decaimento não é dependente do tempo Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula 127 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt kt kt Q t e c g t e dt Q t e c 0 Q t ce Na expressão c é uma constante O problema pede o valor da constante de decaimento k para que a quantidade de material radioativo caia pela metade em 5 anos Logo a quantidade de material deve ser Q para t 0 anos e Q2 para t 5 anos Escrevendo a equação para esses dois casos temos o que segue Para t 0 anos Qt 0 cek0 Q cek0 Q c Q Para t 5 anos k5 k5 Q Q t 5 ce 2 Q ce 2 Dividindose a primeira equação pela segunda ficamos com k5 5k c Q Q 2 ce e 2 Calculandose o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação temos que 5k 1 lne ln2 5k ln2 ln2 k 5 k 014 ano 128 Unidade II Note que o expoente da função exponencial deve ser adimensional Então se o tempo é medido em anos a constante de decaimento deve ter dimensão anos1 Questão 11 Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância C 12104 F e um resistor de resistência R 100 Ω em série sem fonte de energia A carga inicial do capacitor é 2106 C Sabendo que a carga Q do circuito é dada pela equação diferencial linear dQ 1 Q dt RC determine a carga no capacitor no instante t 1 s A Q481010 C B Q48108 C C Q48107 C D Q481012 C E Q48104 C Alternativa correta A Resolução do exercício Substituindo os dados do enunciado na equação diferencial dada temos que 4 2 dQ 1 Q dt RC dQ 1 Q dt 1001210 dQ 1 Q dt 1210 dQ 833Q dt Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso ft 833 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver a equação é calcular ft dt Logo ft dt 833 dt 833 dt 833t 129 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 833t 833t Q t e c g t e dt Q t e c 0 Q t ce Na expressão c é uma constante determinada por condições iniciais É dito que a carga inicial do capacitor é 2106 C logo Qt ce833t Qt 0 ce8330 2106 C 2106 Assim a solução para a carga no circuito é dada por Qt 2106e833t O exercício pede a carga do capacitor no instante t 1 s Então basta substituirmos esse tempo na solução da equação diferencial do problema Qt 2106e833t Qt 1 2106e8331 Qt 1 2106e833 Qt 1 481010 C 130 Unidade II Resumo Nesta unidade vimos que uma equação diferencial é classificada como equação diferencial linear de primeira ordem se puder ser escrita na forma a seguir dy f x y gx dx Na expressão fx e gx são funções contínuas Para o caso em que gx 0 a equação diferencial é dita homogênea Para o caso em que gx 0 a equação diferencial linear é dita não homogênea A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Na expressão c é uma constante Também vimos que a variação de temperatura de um corpo pode ser modelada pela lei de resfriamento de Newton Por exemplo considere um corpo à temperatura T em um ambiente à temperatura Ta A variação da temperatura desse corpo pode ser modelada pela lei de resfriamento de Newton escrita como a dTt Tt T dt α Na expressão α é a constante de proporcionalidade e t é o tempo Estudamos que para um circuito formado por um capacitor de capacitância C inicialmente carregado com tensão V0 ligado em série a um resistor de resistência R a equação diferencial que rege o circuito é dV V C 0 dt R Na expressão V é a tensão e t é o tempo EQUACOES DIFERENCIAIS SS ee ee eee ee eee eee a a ae ae ae ae ae ae a ae ae ee Se Caso 0 circuito seja ligado a uma fonte de tensdo E temos que dd Q E dt RC R Considere 0 caso de um circuito RLem série formado por um resistor de resisténcia R e um indutor de indutancia L sem fonte A equacao diferencial que rege um circuito RL sem corrente di LRi0 dt di LRiE dt a Exercicios Questao 1 Um corpo a temperatura Inicial de 100 C é colocado num ambiente a temperatura de 0 C Assinale a alternativa que apresenta a equacdo que da a temperatura do corpo em funcao do tempo admitindo que o resfriamento ocorre de acordo com a lei de resfriamento de Newton A Tt 100e B Tt 100e C Tt ae D Tt 100e E Tt 30e Resposta correta alternativa B Analise da questao dTt at a ttTa Segundo a lei de resfriamento de Newton temos dt sendo Tt a temperatura de um corpo em funcao do tempo t T a temperatura do ambiente onde 0 corpo se encontra e a uma constante de proporcionalidade No caso desse exemplo temos T 0 e como condicao inicial Tt 0 100 com a temperatura em graus Celsius Logo dTt aTt0 Unidade Il A dT t alt a ott Essa uma equacao diferencial linear de primeira ordem nao homogénea Ja que segue a forma dT a ftTgt com ft a e gt 0 A solucdo dessa equacdo diferencial Tt el ftat fc Jgt Oat Primeiramente precisamos calcular Jft dt Assim ftdtfodt ftdtaJdt ftdtat Calculamos J gtedt Logo J gte I dt dt0 A solucao da equacao diferencial é TteloJgteft dt Ttec0ce Aplicando a condicao inicial Tt 0 100 temos Tt 0 ce 100 c1 100 c 100 Desse modo a solucdo do problema é Tt 100e Para haver resfriamento deve haver queda de temperatura e a constante a deve assumir valores negativos 133 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Questão 2 A população brasileira P a partir de 1940 tem uma taxa de crescimento em função do tempo t de aproximadamente 23t Usando o método de resolução de equações diferenciais lineares determine a equação da população em função do tempo sabendo que inicialmente havia 40 milhões de indivíduos A Pt 40000000 e23t B Pt 40 e23t C Pt 40000000 e23t D Pt 40000000 e23t E Pt e23t 40000000 Resolução desta questão na plataforma
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88 Unidade II Unidade II 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM 51 Definição Uma equação diferencial é classificada como equação diferencial linear de primeira ordem se puder ser escrita na forma a seguir dy f x y gx dx Na expressão fx e gx são funções contínuas Se gx 0 a equação diferencial restringese a dy f x y dx Nessa situação a equação é classificada como equação diferencial linear homogênea de primeira ordem No caso em que gx 0 a equação diferencial linear é dita não homogênea Exemplo 1 A equação diferencial dy y 2 dx é uma equação diferencial linear Resolução Sim dy y 2 dx é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea pois pode ser escrita na forma dy f x y gx dx com fx 1 e gx 2 Exemplo 2 A equação diferencial dy xy cosx dx é uma equação diferencial linear 89 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Resolução Sim dy xy cosx dx é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea pois pode ser escrita na forma dy f x y gx dx com fx x e gx cosx Exemplo 3 A equação diferencial x dy dx e y é uma equação diferencial linear Resolução A equação diferencial x dy dx e y é uma equação diferencial linear de primeira ordem pois pode ser escrita na forma dy f x y gx dx com fx ex e gx 0 Como gx 0 a equação é classificada como equação diferencial linear homogênea de primeira ordem Exemplo 4 A equação diferencial xy dy e 3x dx é uma equação diferencial linear Resolução Não xy dy e 3x dx não é uma equação diferencial linear de primeira ordem pois não pode ser escrita na forma dy f x y gx dx Exemplo 5 A equação diferencial dy ycosx 3tgxdx é uma equação diferencial linear Resolução Sim dy ycosx 3tgxdx é uma equação diferencial linear de primeira ordem pois ao ser reescrita como dy ycosx 3tgx dx é apresentada na forma dy f x y gx dx com fx cosx e gx 3tgx Como gx 0 a equação diferencial é não homogênea 90 Unidade II 52 Solução de equações diferenciais lineares de primeira ordem A solução da equação diferencial linear de primeira ordem dy f x y gx dx é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Na expressão c é uma constante Note que o primeiro passo para determinarmos a solução desse tipo de equação diferencial é identificarmos as funções fx e gx Em seguida calculamos fx dx e g x e f x dx dx Então determinamos a solução yx No caso de equação diferencial homogênea basta fazermos gx 0 na solução Nesse caso a solução da equação diferencial se reduz a fx dx y x ce Na expressão c é uma constante Lembrete Equação diferencial homogênea é aquela cujos termos dependem apenas das derivadas da função Exemplo 6 Resolva a equação diferencial linear dy y 2 dx Resolução Inicialmente devemos identificar fx e gx Comparando a equação diferencial dy y 2 dx e a forma de uma equação diferencial linear dy f x y gx dx vemos que para esse caso fx 1 e gx 2 91 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Calculamos então a primitiva fx dx fx dx 1 dx fx dx x Em seguida calculamos a primitiva g x e f x dx dx f x dx x f x dx x f x dx x g x e dx 2e dx g x e dx 2 e dx g x e dx 2e Logo a solução para a equação diferencial linear dy y 2 dx é f x dx f x dx x x y x e c g x e dx y x e c 2e Na expressão c é uma constante Os gráficos dessa solução para alguns valores da constante c estão representados na figura a seguir y x 2 2 5 5 10 1 1 2 ex1 2ex ex2ex 1 ex2 2ex ex2ex 2 Figura 17 Gráficos da solução da equação diferencial dy y 2 dx 92 Unidade II Exemplo 7 Resolva a equação diferencial linear dy xy dx Resolução Inicialmente devemos identificar fx e gx Comparando a equação diferencial dy xy 4 dx e a forma de uma equação diferencial linear dy f x y gx dx vemos que para esse caso fx x e gx 0 Note que a equação diferencial é homogênea A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Para a equação homogênea gx 0 a solução se reduz a fx dx y x ce Calculamos então a primitiva fx dx Ou seja fx dx x dx 2x fx dx 2 Logo a solução para a equação diferencial linear dy dx xy é f x dx x2 2 y x ce y x ce Na expressão c é uma constante Note que essa equação também poderia ser classificada como equação diferencial de variáveis separáveis e resolvida pelo método visto anteriormente Os gráficos das soluções da equação diferencial dy dx xy para alguns valores de constante c são dados na figura a seguir EQUACOES DIFERENCIAIS SS ee ee eee ee eee eee a a ae ae ae ae ae ae a ae ae ee Se y 20 2 e2 10 2 e2 xX 2 2 1 2 x 2e 2 10 2 pe2 20 Figura 18 Graficos da solucdo da equacao diferencial xy Exemplo 8 wy ae dx Resolva a equacao diferencial linear at xcost Resolucao dx A equacdo desse exemplo escrita em termos de x e t e esta expressa na forma dt ftx gt Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equacao diferencial xcost a t forma de uma equacao diferencial linear ftx gt vemos que para esse caso ft cost e gt 0 Estamos tratando de uma equacao diferencial linear e homogénea A solucao da equacao diferencial linear de primeira ordem é dada por xt olfdat c 4 fate dt at Com gt 0 temos que xt celfltat Calculamos entdo a primitiva frat Fat eostat Fat seni 94 Unidade II Logo a solução para a equação diferencial linear dx dt xcost é f x dx senx y x ce y x ce Na expressão c é uma constante Os gráficos dessa solução para alguns valores da constante c são dados na figura a seguir y x 6 4 2 2 4 4 2 2 4 6 e e e e e x e x e x e x s n s n s n s n 2 2 Figura 19 Gráficos da solução da equação diferencial dx xcost dt Observação Na figura anterior podemos ver que mesmo a função periódica se encontrando dentro de uma função exponencial a função não perde o seu caráter oscilatório Exemplo 9 Resolva a equação diferencial linear dx x 2t dt t com t 0 Resolução A equação desse caso é escrita em termos de x e t e está expressa na forma dx f t x gt dt Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equação diferencial dx x 2t dt t e a forma de uma equação diferencial linear dx f t x gt dt vemos que para esse caso 1 ft t e gt 2t Estamos tratando de uma equação diferencial linear não homogênea pois gt 0 95 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt Calculamos então a primitiva ft dt 1 ft dt dt t ft dt lnt Em seguida calculamos a primitiva g t e f t dt dt f t dt lnt f t dt ln t g t e dt 2te dt g t e dt 2 te dt Essa integral é resolvida por mudança de variáveis Fazemos u ln t 1 du dt t Logo lnt u u lnt 2 te dt 2 e du 2e 2e A solução para a equação diferencial linear dx x 2t dt t é f t dt f t dt lnt lnt x t e c g t e dt x t e c 2e Na expressão c é uma constante Como lnt e t e lnt 1 e t temos que 2 x t t c t x t ct 2 96 Unidade II Note que as soluções da equação diferencial são retas concorrentes que passam por xt 2 Os gráficos dessas funções são mostrados na figura a seguir 5 1 2 4 5 10 t 2 t 2 2t 2 2t 1 3 Figura 20 Gráficos da solução da equação diferencial dx x 2t dt t com t 0 Temos a variável t no eixo das ordenadas e xt no eixo das abscissas Exemplo 10 Uma partícula realiza movimento linear no qual a velocidade apresenta dependência linear com a posição Assuma que xt 0 0 vt 1 3 e vt 2 6 com o tempo t em segundos a posição x em metros e a velocidade v em metros por segundo Determine a equação da posição dessa partícula em função do tempo Resolução Se a velocidade v da partícula apresenta dependência linear com a posição x temos que v ax b Na expressão a e b são constantes Visto que a velocidade é escrita como a primeira derivada da posição dx v dt temos que dx ax b dt Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de primeira ordem com ft a e gt b 97 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O primeiro passo para resolver essa equação é calcularmos ft dt ft dt a dt f t dt a dt ft dt at Precisamos calcular g t e f t dt dt Ou seja f t dt at f t dt at f t dt at g t e dt be dt g t e dt b e dt b g t e dt e a A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt at at at x t e c g t e dt b x t e c ae b x t ce a Na expressão a e b são constantes Sabemos que a posição inicial é xt 0 0 Logo a0 b x t 0 ce 0 a b c1 a b c a Assim ficamos com at b x t e 1 a 98 Unidade II Temos ainda que vt 1 3 e vt 2 6 A velocidade é obtida derivandose a posição em relação ao tempo Ou seja at dx v be dt Para os instantes e as velocidades dados temos que a1 a2 a 2a v t 1 be 3 v t 2 be 6 be 3 be 6 Temos um sistema de equações lineares para resolver Dividindo a segunda equação pela primeira chegamos a 2a a a be 6 3 be e 2 a ln2 Substituindo a ln2 na primeira equação do sistema de equações temos que ln 2 bea 3 be 3 2b 3 3 b 2 A equação da posição da partícula é portanto at ln 2 t t ln 2 t b x t e 1 a 3 x t e 1 2ln2 3 x t e 1 2ln 2 3 x t 2 1 2ln2 99 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS O gráfico dessa solução é mostrado na figura a seguir x t 2 4 4 2 10 30 20 40 Figura 21 Uma partícula apresenta movimento linear no qual a velocidade possui dependência linear com a posição e x0 0 m v1 3 ms e v2 6 ms Note que antes de aplicarmos a condição inicial e as condições de contorno a solução da equação diferencial era at b x t ce a com a b e c constantes desconhecidas Por isso foram necessárias três condições uma inicial e duas de contorno para determinarmos completamente a solução do problema Vimos anteriormente que o decaimento radioativo pode ser modelado pela equação diferencial dN kN dt Na expressão N é o número de átomos t é o tempo e k é a constante de decaimento Essa equação foi resolvida como uma equação diferencial de variáveis separáveis mas também é uma equação diferencial linear Lembrete Equação diferencial de variáveis separáveis é aquela que pode ser escrita na forma dy dx f x gy Reescrevendo a equação do decaimento radioativo ficamos com dN kN dt Vamos comparar essa equação e a forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem dN f t y gt dt 100 Unidade II Assim ficamos com fxt k e gt 0 Logo a equação do decaimento radioativo é também uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea Saiba mais Uma cronologia da descoberta da radioatividade pode ser obtida em ALVES O L Centenário da descoberta da radioatividade Laboratório de Química do Estado Sólido sd Disponível em httpwwwlqesiqm unicampbrcanalcientificopontosvistapontosvistadivulgacao21 html Acesso em 3 abr 2017 Um panorama histórico da radioatividade também é explorado no material COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR CNEN História da energia nuclear Rio de Janeiro sd Disponível em httpwwwcnen govbrimagescnendocumentoseducativohistoriadaenergianuclear pdf Acesso em 3 abr 2017 Mais informações sobre radioatividade e estrutura atômica podem ser obtidas em HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 4 Exemplo 11 Determine a solução da equação diferencial de decaimento radioativo ou seja dN kN dt usando o método de resolução de equações diferenciais lineares de primeira ordem A quantidade inicial de material radioativo é N0 Resolução Reescrevendo a equação diferencial ficamos com dN dt kN 101 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear de primeira ordem homogênea com ft k e gt 0 O primeiro passo para resolvermos a equação é calcularmos ft dt Logo ft dt k dt f t dt k dt ft dt kt Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt N t e c g t e dt kt N t e c 0 kt N t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Nt 0 N0 k0 0 N t 0 ce N 0 c1 N 0 c N A solução para a equação diferencial do decaimento radioativo é Nt N0ekt 102 Unidade II Os gráficos dessa função são mostrados na figura a seguir para k 1 k 2 e N0 5 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1 5et 5e2t Figura 22 Solução para a equação diferencial do decaimento radioativo com k 1 k 2 e N0 5 O eixo das ordenadas representa o tempo t e o das abscissas o número de átomos N Observação O expoente deve ser sempre adimensional Logo para o caso do decaimento radioativo se o tempo é dado em segundos a unidade da constante de decaimento é 1s 6 APLICAÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE PRIMEIRA ORDEM A seguir discutiremos algumas aplicações de equações diferenciais lineares de primeira ordem 61 Lei de resfriamento de Newton Considere um corpo à temperatura T em um ambiente à temperatura Ta A variação da temperatura desse corpo com o tempo pode ser modelada pela lei de resfriamento de Newton Segundo essa lei a taxa de variação da temperatura do corpo em função do tempo t é proporcional à diferença de temperatura entre o corpo e o ambiente Logo a lei de resfriamento de Newton pode ser equacionada da seguinte forma a dTt Tt T dt α Na expressão α é a constante de proporcionalidade Uma limitação da lei de resfriamento de Newton é que ela assume a temperatura do ambiente constante ou seja o corpo não afeta a temperatura do ambiente 103 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A lei de resfriamento de Newton é classificada como uma equação diferencial linear de primeira ordem Uma aplicação da lei de resfriamento de Newton para a determinação do calor específico da água e do cobre foi feita por Vuolo e Furukawa 1995 Exemplo 1 Um corpo à temperatura inicial de 100 oC é colocado em uma sala à temperatura de 25 oC Determine a equação que fornece a temperatura do corpo em função do tempo admitindo que o resfriamento ocorra de acordo com a lei de resfriamento de Newton Resolução Segundo a lei de resfriamento de Newton temos a dTt Tt T dt α sendo Tt a temperatura de um corpo em função do tempo t Ta a temperatura do ambiente onde o corpo se encontra e α uma constante de proporcionalidade No caso desse exemplo temos Ta 25 e como condição inicial Tt 0 100 sendo a temperatura dada em graus Celsius Logo dTt Tt 25 dt α dTt Tt 25 dt α α Essa equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea pois pode ser escrita na forma dT f t T gt dt com ft α e gt 25α sendo α constante A solução dessa equação diferencial é portanto ft dt f t dt T t e c g t e dt Primeiramente precisamos calcular ft dt Logo ft dt α dt f t dt α dt ft dt αt 104 Unidade II Depois calculamos g t e f t dt dt Logo f t dt t g t e dt 25 e dt α α f t dt t g t e dt 25 e dt α α t f t dt e g t e dt 25 α α α f t dt t g t e dt 25e α A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt t t t T t e c g t e dt T t e c 25e ce 25 α α α Aplicando a condição inicial Tt 0 100 temos que Tt 0 ceα0 25 100 c1 25 100 c 100 25 75 A solução do problema é Tt 75eαt 25 Para termos resfriamento queda de temperatura a constante α deve assumir valores negativos Os gráficos da solução para alguns valores de constante α estão na figura a seguir 2 1 1 2 t x 1200 1000 800 600 400 200 75et 25 75e2t 25 75et 25 Figura 23 Gráficos do resfriamento de um corpo a 100 oC em uma sala a 25 oC usando a lei de resfriamento de Newton Temos o tempo no eixo das ordenadas e a temperatura no eixo das abscissas Note que se a constante é negativa temos resfriamento e se a constante é positiva temos aquecimento 105 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Saiba mais Mais informações sobre lei de resfriamento de Newton e termodinâmica estão disponíveis em HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 v 2 62 Circuito RC sem fonte Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância C inicialmente carregado com tensão V0 ligado em série a um resistor de resistência R R C Figura 24 Circuito RC série sem fonte Para o capacitor temos Q CV Na expressão Q é a carga elétrica C é a capacitância e V é a tensão Como a corrente é a taxa de variação da carga no tempo podemos calcular a corrente i no capacitor dQ i dt d i dt CV dV i C dt Para o resistor temos que V i R 106 Unidade II Na expressão i é a corrente e R é a resistência elétrica Aplicando a primeira lei de Kirchhoff ao circuito chegamos à equação diferencial dV V C 0 dt R na qual V é a tensão e t é o tempo Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com dV V dt RC Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dV f t V gt dt vemos que para esse caso 1 f t RC e gt 0 Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver essa equação é calcular ft dt Logo 1 ft dt RC dt 1 f t dt RC dt 1 f t dt RC t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt V t e c g t e dt 1 t RC V t e c 0 1 t RC V t ce 107 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Vt 0 V0 1 0 RC 0 V t 0 ce V 0 c1 V 0 c V A solução para a equação diferencial do circuito RC sem fonte é 1 t RC 0 V t V e O gráfico dessa função é o gráfico de um decaimento exponencial Vale notar que a velocidade de decrescimento da tensão no caso de um circuito RC em série e sem fonte é determinada pela constante de tempo τ RC Exemplo 2 Considere um circuito formado por um capacitor inicialmente descarregado de capacitância C ligado em série a um resistor de resistência R e a uma fonte de tensão constante E R E C Figura 25 Circuito RC série ligado a uma fonte de tensão contínua Aplicando a primeira lei de Kirchhoff ao circuito chegamos à equação diferencial dQ Q E dt RC R na qual Q é a carga elétrica e t é o tempo Para essa situação determine a equação da carga no capacitor em função do tempo Resolução Reescrevendo a equação diferencial do problema temos que dQ 1 E Q dt RC R 108 Unidade II Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso 1 f t RC e E g t R Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e não homogênea O passo seguinte para resolvermos essa equação é calcular ft dt Logo 1 ft dt RC dt 1 f t dt RC dt 1 ft dt RC t Precisamos calcular g t e f t dt dt Logo 1 t f t dt E RC g t e dt e dt R 1 t f t dt RC E g t e dt e dt R 1 t f t dt ERC RC g t e dt e R 1 t f t dt RC g t e dt ECe A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt Q t e a g t e dt 1 1 t t RC RC Q t e a ECe 1 t RC Q t ae EC Na expressão a é uma constante 109 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Como o capacitor estava inicialmente descarregado temos Qt 0 0 e 1 0 RC Q t 0 ae EC a EC 0 a EC A carga no capacitor em função do tempo é dada por 1 t RC Q t ECe EC 1 t RC Q t EC 1 e Essa equação descreve o processo de carga de um capacitor inicialmente descarregado Conforme t tende a infinito a exponencial tende a zero e a carga do capacitor tende ao valor constante Qt EC 63 Circuito RL sem fonte Considere o caso de um circuito RL em série formado por um resistor de resistência R e um indutor de indutância L sem fonte conforme esquematizado na figura a seguir R L Figura 26 Circuito RL série ligado a uma fonte de tensão contínua Para o resistor a relação entre tensão V e corrente i é dada pela lei de Ohm Logo V Ri No caso de um indutor a tensão é proporcional à taxa de variação da corrente em função do tempo sendo que a constante de proporcionalidade é a indutância Logo di V L dt 110 Unidade II Aplicando a segunda lei de Kirchhoff no circuito chegamos à equação diferencial que rege um circuito RL sem corrente L di Ri 0 dt Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com di Ri dt L Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dV f t V gt dt vemos que para esse caso R f t L e gt 0 Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver essa equação é calcularmos ft dt Logo R ft dt L dt R f t dt L dt R ft dt L t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt i t e c g t e dt Rt L i t e c 0 Rt L i t ce 111 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial it 0 i0 R0 L 0 0 0 i c t 0 ce i c i 1 i A solução para a equação diferencial do circuito RC sem fonte é Rt L 0 i t i e O gráfico dessa função é o gráfico de um decaimento exponencial Exemplo 3 Considere um circuito formado por um indutor de indutância L ligado em série a um resistor de resistência R e a uma fonte de tensão constante E R L E Figura 27 Circuito RL série ligado a uma fonte de tensão contínua Aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito chegamos à equação diferencial di L Ri E dt na qual i é a corrente e t é o tempo Determine a equação da corrente no indutor em função do tempo assumindo que a corrente inicial seja nula Resolução Reescrevendo a equação diferencial do problema temos que L di Ri E dt di R E i dt L L 112 Unidade II Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso R f t L e E g t L Tratase portanto de uma equação diferencial linear de primeira ordem e não homogênea O passo seguinte para resolver a equação é calcular ft dt Logo R ft dt L dt R ft dt L dt R ft dt t L Precisamos calcular g t e f t dt dt Logo Rt f t dt E L g t e dt e dt L Rt f t dt L E g t e dt e dt L Rt f t dt EL L g t e dt e LR Rt f t dt E L g t e dt e R A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt i t e a g t e dt R R t t L E L i t e a e R Rt L E i t ae R 113 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na expressão a é uma constante Adotando it 0 0 ficamos com R0 L E i t 0 ae R E a 0 R E a R A carga no capacitor em função do tempo é dada por Rt L Rt L E E i t Re R E i t 1 e R Essa equação descreve a circulação de corrente em um circuito RL Conforme t tende a infinito a exponencial tende a zero e a corrente no circuito tende ao valor constante E i t R Exercícios Questão 1 Considere as equações diferenciais a seguir I dy 2 dx II dT sen t 3 dt III du 3v 4 dv Podemos afirmar que A I II e III são equações diferenciais lineares B Apenas I e II são equações diferenciais lineares C Apenas I e III são equações diferenciais lineares 114 Unidade II D Apenas II e III são equações diferenciais lineares E Apenas III é equação diferencial linear Alternativa correta C Resolução do exercício Para a equação diferencial ser classificada como equação diferencial exata deve ser possível escrevê la na forma dy f x x gx dx Com base nisso vamos analisar cada uma das equações diferenciais apresentadas I dy 2 dx Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear com fx 0 e gx 2 II dT sen t 3 dt Essa equação diferencial não é linear pois não pode ser escrita na forma dy f x x g x dx Se a equação fosse dT sen t t 3 dt ela seria linear III du 3v 4 dv Essa equação diferencial é uma equação diferencial linear com fx 3 e gx 4 Questão 2 Considere as equações diferenciais a seguir I dy 2x dx II dT 3t 3 dt III du 3v 4 dv Podemos afirmar que A I II e III são equações diferenciais lineares não homogêneas 115 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS B Apenas I e II são equações diferenciais lineares não homogêneas C Apenas I e III são equações diferenciais lineares não homogêneas D Apenas II e III são equações diferenciais lineares não homogêneas E Apenas III é equação diferencial linear não homogênea Alternativa correta D Resolução do exercício Para que a equação diferencial linear seja homogênea deve ser possível escrevêla na forma dy f x x g x dx com gx 0 Para que a equação diferencial linear seja não homogênea ela deve ter gx 0 Com base nisso vamos analisar cada uma das equações diferenciais apresentadas I dy 2x dx Essa equação apresenta gx 0 e é portanto uma equação diferencial linear e homogênea II dT 3t 3 dt Essa equação apresenta gx 3 e é portanto uma equação diferencial linear e não homogênea III du 3v 4 dv Essa equação apresenta gx 4 e é portanto uma equação diferencial linear e não homogênea Questão 3 Resolva a equação diferencial dx x 3 dt e assinale a alternativa correta A xt ket 3 B xt ket 3 C xt ket 3 D xt ket 3 E xt 3ket Alternativa correta A 116 Unidade II Resolução do exercício Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equação diferencial dx t 3 dt e a forma de uma equação diferencial linear dx f t x gt dt vemos que para esse caso ft 1 e gt 3 Estamos tratando de uma equação diferencial linear não homogênea pois gt 0 A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt Calculamos a primitiva ft dt Logo ft dt 1 dt ft dt t Calculamos a primitiva g t e f t dt dt Logo f t dt t g t e dt 3e dt f t dt t g t e dt 3 e dt f t dt t g t e dt 3e A solução para a equação diferencial linear dx t 3 dt é f t dt f t dt x t e c g t e dt t t x t e c 3e t x t ce 3 Na expressão c é uma constante 117 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Questão 4 Resolva a equação diferencial dp dt 3p 1 e assinale a alternativa correta A 3t p t ke 3 B 3t p t ke 3 C 3t 1 p t ke 3 D 3t 1 p t ke 3 E 3t p t 3e k Alternativa correta C Resolução do exercício Inicialmente devemos identificar ft e gt Comparando a equação diferencial dp 3t 1 dt e a forma de uma equação diferencial linear dx f t x gt dt vemos que para esse caso ft 3 e gt 1 Estamos tratando de uma equação diferencial linear não homogênea pois gt 0 A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt Calculamos a primitiva ft dt Logo ft dt 3 dt ft dt 3t Calculamos a primitiva g t e f t dt dt Logo f t dt 3t g t e dt 1e dt f t dt 3t g t e dt e dt 3t f t dt e g t e dt 3 118 Unidade II A solução para a equação diferencial linear dp 3t 1 dt é f t dt f t dt x t e c g t e dt 3t 3t e x t e c 3 3t 1 x t ce 3 Na expressão c é uma constante Questão 5 Resolva a equação diferencial dy dx ylnx e assinale a alternativa correta A e x 1 y k x B x y ke ln x 1 C x y ke lnx 1 D xlnx y ke 1 E x ln x 1 y ke Alternativa correta E Resolução do exercício Inicialmente devemos identificar fx e gx Comparando a equação diferencial dy dx ylnx e a forma de uma equação diferencial linear dy f x y gx dx vemos que para esse caso fx lnx e gx 0 Estamos tratando de uma equação diferencial linear homogênea pois gt 0 A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por ft dt f t dt x t e c g t e dt 119 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Calculamos a primitiva fx dx Logo fx dx lnx dx fx dx xln x 1 Calculamos a primitiva g x e f x dx dx Logo g x e f x dx dx 0 A solução para a equação diferencial linear dy dx ylnx é f x dx f x dx y x e c g x e dx xln x 1 x t e c 0 xln x 1 x t ce Na expressão c é uma constante Questão 6 Um corpo à temperatura inicial de 30 oC é colocado em um ambiente à temperatura de 0 oC Determine a equação que dá a temperatura do corpo em função do tempo admitindo que o resfriamento ocorre de acordo com a lei de resfriamento de Newton A Tt 30et B Tt ae30t C Tt ae30t D Tt 30eαt E Tt 30eαt Alternativa correta D Resolução do exercício Segundo a lei de resfriamento de Newton temos a dTt Tt T dt α sendo Tt a temperatura de um corpo em função do tempo t Ta a temperatura do ambiente onde o corpo se encontra e α uma 120 Unidade II constante de proporcionalidade No caso desse exemplo temos Ta 0 e como condição inicial Tt 0 30 com a temperatura em graus Celsius logo dTt Tt 0 dt α dTt Tt dt α Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea já que segue a forma dT f t T gt dt com ft α e gt 0 A solução dessa equação diferencial é portanto ft dt f t dt T t e c g t e dt Primeiramente precisamos calcular ft dt Logo ft dt α dt f t dt α dt ft dt αt Calculamos g t e f t dt dt Logo g t e f t dt dt 0 Temos a igualdade anterior porque gt 0 A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt T t e c g t e dt t t T t e c 0 ce α α Aplicando a condição inicial Tt 0 30 temos 0 T t 0 ce 30 c1 30 c 30 α 121 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Logo a solução do problema é t T t 30eα Para termos resfriamento devemos ter queda de temperatura e a constante α deve assumir valores negativos Questão 7 Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância C 2 μC inicialmente carregado com tensão V0 6 V ligado em série com um resistor de resistência R 100 Ω Qual é a equação da tensão do circuito em função do tempo A Vt 6e5000t B Vt 6e5000t C Vt 6e00002t D Vt 6e00002t E Vt 5000et Alternativa correta B Resolução do exercício A equação diferencial que rege o circuito é dV V C 0 dt R Na expressão V é a tensão e t é o tempo Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com dV V dt RC Substituindo os valores de resistência e capacitância na equação temos que dV V dt 00002 122 Unidade II Comparando essa expressão e a equação diferencial linear de primeira ordem dV f t V gt dt vemos que para esse caso 1 f t 00002 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte é calcular ft dt Logo 1 ft dt 00002 dt 1 f t dt 00002 dt 1 ft dt t 00002 ft dt 5000t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 5000t 5000t V t e c g t e dt V t e c 0 V t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Vt 0 6 50000 V t 0 ce 6 c 6 Logo a solução da equação diferencial do circuito RC sem fonte é Vt 6e5000t Questão 8 Considere o caso de um circuito RL em série formado por um resistor de resistência R 25 Ω e um indutor de indutância L 50 mH sem fonte Suponha que a corrente inicial no circuito seja 2A Determine a equação da corrente no circuito em função do tempo A it 2e0002t B it 2e500t 123 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS C it 2e500t D it 0002e5t E it 5e5t Alternativa correta C Resolução do exercício A equação diferencial que rege um circuito RL sem fonte é L di Ri 0 dt Reescrevendo a equação diferencial do problema para aproximála da forma de uma equação diferencial linear de primeira ordem ficamos com di Ri dt L Substituindo os valores de resistência e indutância dados temos que 3 di 25 i dt 5010 di 1 i 500i dt 0002 Comparando essa expressão e a equação diferencial linear de primeira ordem di f t i gt dt vemos que para esse caso ft 500 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver a equação é calcular ft dt Logo ft dt 500 dt ft dt 500 dt ft dt 500t 124 Unidade II Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 500t 500t i t e c g t e dt i t e c 0 i t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial it 0 2 5000 i t 0 ce 2 c 2 Logo a solução da equação diferencial desse circuito RC sem fonte é 500t i t 2e Questão 9 Considere uma população P em que a taxa de crescimento em função do tempo t é igual ao triplo da população Usando o método de resolução de equações diferenciais lineares determine a equação da população em função do tempo sabendo que inicialmente havia 1000 indivíduos A Pt 1000 e3t B Pt 1000e3t C Pt 1000 e3t D Pt 1000e3t E Pt 1000e3t 30 Alternativa correta B Resolução do exercício O primeiro passo para a resolução do exercício é escrever a equação diferencial correlata A taxa de crescimento da população P em função do tempo é igual a sua taxa de variação ou seja dP dt Como falamos em crescimento a taxa de variação é positiva Se tivéssemos falado em decréscimo 125 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS da população a taxa de variação seria negativa Visto que a taxa de variação é igual ao triplo da população temos que dP 3P dt Comparando essa expressão e a equação diferencial linear de primeira ordem dP f t P gt dt vemos que para esse caso ft 3 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolvermos a equação é calcular ft dt Logo ft dt 3 dt ft dt 3 dt ft dt 3t Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 3t 3t P t e c g t e dt P t e c 0 P t ce Na expressão c é uma constante determinada a partir da condição inicial Pt 0 1000 Pt 0 ce5000 1000 c 1000 Logo a solução da equação diferencial dessa população é Pt 1000e3t 126 Unidade II Questão 10 Considere uma amostra de certo material radioativo Sabendo que o decaimento radioativo segue a equação diferencial linear dQ dt kQ determine a constante k para que a quantidade de material caia pela metade em 5 anos A k069 ano1 B k006 ano1 C k006 ano1 D k014 ano1 E k014 ano1 Alternativa correta D Resolução do exercício O decaimento radioativo segue a equação diferencial linear dada por dQ kQ dt Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso ft k e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolvermos essa equação é calcular ft dt Logo ft dt k dt f t dt k dt ft dt kt Note que a constante k de decaimento não é dependente do tempo Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula 127 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt kt kt Q t e c g t e dt Q t e c 0 Q t ce Na expressão c é uma constante O problema pede o valor da constante de decaimento k para que a quantidade de material radioativo caia pela metade em 5 anos Logo a quantidade de material deve ser Q para t 0 anos e Q2 para t 5 anos Escrevendo a equação para esses dois casos temos o que segue Para t 0 anos Qt 0 cek0 Q cek0 Q c Q Para t 5 anos k5 k5 Q Q t 5 ce 2 Q ce 2 Dividindose a primeira equação pela segunda ficamos com k5 5k c Q Q 2 ce e 2 Calculandose o logaritmo neperiano em ambos os lados da equação temos que 5k 1 lne ln2 5k ln2 ln2 k 5 k 014 ano 128 Unidade II Note que o expoente da função exponencial deve ser adimensional Então se o tempo é medido em anos a constante de decaimento deve ter dimensão anos1 Questão 11 Considere um circuito formado por um capacitor de capacitância C 12104 F e um resistor de resistência R 100 Ω em série sem fonte de energia A carga inicial do capacitor é 2106 C Sabendo que a carga Q do circuito é dada pela equação diferencial linear dQ 1 Q dt RC determine a carga no capacitor no instante t 1 s A Q481010 C B Q48108 C C Q48107 C D Q481012 C E Q48104 C Alternativa correta A Resolução do exercício Substituindo os dados do enunciado na equação diferencial dada temos que 4 2 dQ 1 Q dt RC dQ 1 Q dt 1001210 dQ 1 Q dt 1210 dQ 833Q dt Comparando essa equação e a equação diferencial linear de primeira ordem dQ f t Q gt dt vemos que para esse caso ft 833 e gt 0 Essa equação é portanto uma equação diferencial linear de primeira ordem e homogênea O passo seguinte para resolver a equação é calcular ft dt Logo ft dt 833 dt 833 dt 833t 129 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Precisamos calcular g t e f t dt dt Como a equação diferencial é homogênea ou seja gt 0 essa integral é nula A solução da equação diferencial é portanto f t dt f t dt 833t 833t Q t e c g t e dt Q t e c 0 Q t ce Na expressão c é uma constante determinada por condições iniciais É dito que a carga inicial do capacitor é 2106 C logo Qt ce833t Qt 0 ce8330 2106 C 2106 Assim a solução para a carga no circuito é dada por Qt 2106e833t O exercício pede a carga do capacitor no instante t 1 s Então basta substituirmos esse tempo na solução da equação diferencial do problema Qt 2106e833t Qt 1 2106e8331 Qt 1 2106e833 Qt 1 481010 C 130 Unidade II Resumo Nesta unidade vimos que uma equação diferencial é classificada como equação diferencial linear de primeira ordem se puder ser escrita na forma a seguir dy f x y gx dx Na expressão fx e gx são funções contínuas Para o caso em que gx 0 a equação diferencial é dita homogênea Para o caso em que gx 0 a equação diferencial linear é dita não homogênea A solução da equação diferencial linear de primeira ordem é dada por fx dx f x dx y x e c g x e dx Na expressão c é uma constante Também vimos que a variação de temperatura de um corpo pode ser modelada pela lei de resfriamento de Newton Por exemplo considere um corpo à temperatura T em um ambiente à temperatura Ta A variação da temperatura desse corpo pode ser modelada pela lei de resfriamento de Newton escrita como a dTt Tt T dt α Na expressão α é a constante de proporcionalidade e t é o tempo Estudamos que para um circuito formado por um capacitor de capacitância C inicialmente carregado com tensão V0 ligado em série a um resistor de resistência R a equação diferencial que rege o circuito é dV V C 0 dt R Na expressão V é a tensão e t é o tempo EQUACOES DIFERENCIAIS SS ee ee eee ee eee eee a a ae ae ae ae ae ae a ae ae ee Se Caso 0 circuito seja ligado a uma fonte de tensdo E temos que dd Q E dt RC R Considere 0 caso de um circuito RLem série formado por um resistor de resisténcia R e um indutor de indutancia L sem fonte A equacao diferencial que rege um circuito RL sem corrente di LRi0 dt di LRiE dt a Exercicios Questao 1 Um corpo a temperatura Inicial de 100 C é colocado num ambiente a temperatura de 0 C Assinale a alternativa que apresenta a equacdo que da a temperatura do corpo em funcao do tempo admitindo que o resfriamento ocorre de acordo com a lei de resfriamento de Newton A Tt 100e B Tt 100e C Tt ae D Tt 100e E Tt 30e Resposta correta alternativa B Analise da questao dTt at a ttTa Segundo a lei de resfriamento de Newton temos dt sendo Tt a temperatura de um corpo em funcao do tempo t T a temperatura do ambiente onde 0 corpo se encontra e a uma constante de proporcionalidade No caso desse exemplo temos T 0 e como condicao inicial Tt 0 100 com a temperatura em graus Celsius Logo dTt aTt0 Unidade Il A dT t alt a ott Essa uma equacao diferencial linear de primeira ordem nao homogénea Ja que segue a forma dT a ftTgt com ft a e gt 0 A solucdo dessa equacdo diferencial Tt el ftat fc Jgt Oat Primeiramente precisamos calcular Jft dt Assim ftdtfodt ftdtaJdt ftdtat Calculamos J gtedt Logo J gte I dt dt0 A solucao da equacao diferencial é TteloJgteft dt Ttec0ce Aplicando a condicao inicial Tt 0 100 temos Tt 0 ce 100 c1 100 c 100 Desse modo a solucdo do problema é Tt 100e Para haver resfriamento deve haver queda de temperatura e a constante a deve assumir valores negativos 133 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Questão 2 A população brasileira P a partir de 1940 tem uma taxa de crescimento em função do tempo t de aproximadamente 23t Usando o método de resolução de equações diferenciais lineares determine a equação da população em função do tempo sabendo que inicialmente havia 40 milhões de indivíduos A Pt 40000000 e23t B Pt 40 e23t C Pt 40000000 e23t D Pt 40000000 e23t E Pt e23t 40000000 Resolução desta questão na plataforma