Mecânica dos Fluidos: Propriedades e Classificações

MECANICA DOS FLUIDOS Introdugao Definigao de Fluido Capitulo 1 Propriedades 11 Introducao Aplicacoes Mecanica dos fluidos é a ciéncia que tem por objetivo 0 estudo do comportamento fisico dos fluidos e das leis que regem este comportamento Aplicagdes v Agao de fluidos sobre superficies submersas Ex barragens Equilibrio de corpos flutuantes Ex embarcag6ées v Agao do vento sobre constru6ées civis v Estudos de lubrificagao v Transporte de sdlidos por via pneumatica ou hidraulica Ex elevadores hidraulicos Calculo de instalagdes hidraulicas Ex instalagao de recalque Calculo de maquinas hidraulicas Ex bombas e turbinas v Instalagées de vapor Ex caldeiras v Agao de fluidos sobre veiculos Aerodinamica 12 Definicao de fluido Fluido uma substancia que nao tem forma propria e que se estiver em repouso nao resiste a tensdes de cisalhamento Classificagao Liquidos admitem superficie livre sao incompressiveis indilataveis Gases nao admitem superficie livre compressiveis ets dilataveis Superficie de Pressao p Area A A Profed Gabriel Simées Tensao de cisalhamento T Ft T A 13 Viscosidade absoluta ou dinamica 1 Principio da aderéncia As particulas fluidas junto as superficies sdlidas adquirem as velocidades dos pontos das superficies com as quais estao em contato Placa superior 7 Area A VLLLELLLEL LLL LLL WLLL TE Fluido F at t tt V CLLLLELELLLLELL Ei DOO RRR RR Placa inferior Fixa Junto a placa superior as particulas do fluido tém velocidade diferente de zero Junto a placa inferior as particulas tém velocidade nula a Entre as particulas de cima e as de baixo os V existira atrito que por ser uma forga tangencial I 7 Vo formara tensdes de cisalhamento com sentido cir contrario ao do movimento como a forga de F atrito LLL LF a To As tensdes de cisalhamento agirao em todas as camadas fluidas e evidentemente naquela junto a placa superior dando origem a uma LEE TSE forgca oposta ao movimento da placa superior Ft TFttA A Prof J Gabriel F Simoes 2 Quando a placa superior adquirira movimento uniforme com velocidade constante V a o WLLiiitiitisLikilitéttlihttlheg ll F Po fe eee eee Pr tCCi dv eee fea y ay y Vi lOLILILLLLILELLG OAL LEMKE YIN 1777 11 WSN HIT Lei de Newton A tensao de cisalhamento T é proporcional ao gradiente de velocidade dvdy O coeficiente de proporcionalidade viscosidade absoluta ou dinamica t dv v dy Fluidos Newtonianos os que seguem a Lei de Newton Simplificagao pratica Como é muito pequeno na pratica admitese distribuigao linear de velocidades segundo a normal as placas MEZIILIL Lg Lt PUTED A ABC A ABC PB OF COATB AB on an rede 7 AC AC aL any 4 dv V cle GREG dy dv Mas ty dy V TpH Cte Unidade de LL Prof J Gabriel F Simoes 3 paps pare onal E Vo A Vy F OL FT M L LT M Lv MKS u kgf sm MKSuNsm P sS Obs P Nm CGSudscm Poise 1 centiPoise cP 001 Poise P 14 Massa especifica p m massa p V V volume Unidades F m F FFT V VV av L B L T2 utm kef s MKS a rr k Ns MKS unp SL m m 2 g ds cm cm Ex Agua P 1000 kg m 100 utm m 1g cm Mercurio Pp 13600 kg m 1360 utm m 136 g cms Ar P 12 kg m 012 utm m3 00012 g cm 15 Peso especifico Y G G Peso y V Volume V Unidades Prof J Gabriel F Simoes 4 k MKS un y eh m N MKS un y SL m d CGS2 un y cm Ex Agua Y 1000 kgfm3 10000 Nm Mercurio Y 13600 kgfm 136000 Nm Ar Y 12 kgfm 12 Nm Relacgao entre P e Y Gom Y Vv v9 Peso especifico relativo Y r y G Nao tem unidades n puro Gio G yGyV V y G yV Guo Gio VaoV Yu0 Gio Vio V me me V Y P Y t YH0 Puro Ex Agua Vr 1 Mercurio Yr 136 Ar Yr 00012 16 Viscosidade cinematica V p Unidades Prof J Gabriel F Simoes 5 FT 2 4 ve L W 425 Wes le FT T I MKSunv ms MKSunv ms SI CGSun V cms Stoke 1 centiStoke cSt 001 stoke St Ex Agua v 10m2s 20 C OBS a UU depende da temperatura 8 Te Liquidos 9 Tw Gases 6 b Ll independe da pressao c fluidez 1 u EXERCICIOS 1 Um fluido tem massa especifica P 80 utmm Qual é o seu peso especifico e 0 peso especifico relativo Dados 74 9 1000 kgfm g10ms y pg v8010 v 800 kgfm y 800 Yu0 1000 Determinar a massa especifica em gcm Prof J Gabriel F Simoes 6 p so im 8010ks lutm 10kg m m 3 p8008 g00 0 8 m 10 cm 9 08gcm 2 2 A viscosidade cinematica de um dleo é 0028 O seu peso especifico relativo é 09 Determinar a viscosidade dinamica em unidades dos sistemas MKSe CGS Yn0 1000 kef m Dados g 98ms y 0028 s Y 09 d vale v p Calculode yy 1 Y VeVu0 YuH0 vy 09 1000 y MKS 900 kgfm Calculo de 0 VP g p Lr g 900 kgf m 3 a 918kef s m P 98 ms m pMKS9184 m Calculo de uw uvp MKSn0028 x 918 257 kef sm 5 CGS w 257 2810 dinas 10cm 2518 dina scm Poise Determinar v emcms 2 4 2 0028 902810 om Ss Ss v 280cm s Stoke Prof J Gabriel F Simoes 7 Prof J Gabriel F Simões 8 3 São dadas duas placas paralelas a distância de dois milímetros A placa superior movese com velocidade de 4 ms enquanto que a inferior está fixa Se o espaço entre as duas placas for preenchido com óleo 90 utmm3 01 Stokes ρ ν a Qual será a tensão de cisalhamento no óleo b Qual a força necessária para rebocar a placa superior de área A 05 m2 2 4 5 sm 9 10 90 10 kgf x x a µ µ ν ρ µ 210 m mm 2 4 m s v 90 utmm 10 m s cm s 01 3 0 2 2 5 2 ε ρ ν 3 4 0 10 x 2 4 x 10 x 9 v τ µ ε kgfm2 81 τ 50 81 A F Ft A Ft b τ τ kgf F 90 4 Uma placa quadrada de 1m de lado e 20 N de peso desliza sobre um plano inclinado de 30º sobre uma película de óleo A velocidade da placa é de 2 ms constante Qual é a viscosidade dinâmica do óleo se a espessura da película é 2 mm µ A 1 m² G 20N Condição de V cte Gt Ft 1 sena 2 G senoa 2 G retoRat A FpY A3 A t Oy He Substituindo 2 e 3 em 1 GsenapA p S Sere VA 20x05x2x10 N 2x1 2 ut 10Nsm Pas Prof J Gabriel F Simdes 9 Prof J Gabriel F Simões 10 Capítulo 2 21 Conceito de pressão A Fn P 2 I kgfcm 2 50 100 P I I P A F 2 II II 1kgfcm P 100 100 P AII F 22 Teorema de Stevin A diferença de pressões entre dois pontos de um fluido em repouso é o produto do peso específico do fluido pela diferença de cotas entre os dois pontos considerados Recipientes de base quadrada com água γ 1000 kgfm³ Qual a pressão no fundo dos recipientes Fn Superfície de área A 05 m 05 m 2 m I 1 m 1 m 2 m II 2 m 2 m 2 m III Pressão Medida de Pressão Carga Ampliação de forças por Intermédio da Pressão 1 G G P onde y G 7V I A onde Y V 1VY G 1000kgfm x 05 x 05 x 2m G 500kef A 05 x 05 025 m P 500 025 P 2000 kgf m II P G G VV 1000kegfm x 1 x 1 x 2m A G 2000 kgf p 2000 aaa A 1 x 1lm P 2000 kgfm p Su A Gin VV 1000 2 x 2 x 2 Py ee G 8000 kgf Ay 2 x 2 4m P 2000 kgfm Genericamente f pGWvAh h 4 A S Pyh Li le P hom h P yh A Ah 1 p h f Prof J Gabriel F Simoes 11 Prof J Gabriel F Simões 12 Observação importante a O Teorema de Stevin só se aplica a fluidos em repouso b h é a diferença de cotas e não a distância entre os dois pontos considerados c Todos os pontos de um fluido num plano horizontal tem a mesma pressão d A pressão independe da área ou seja do formato do recipiente 23 Lei de Pascal A pressão num ponto de um fluido em repouso é a mesma em todas as direções Realmente se tal não ocorresse havendo desequilíbrio teríamos movimento da partícula fluida Lei de Pascal A pressão aplicada a um ponto de um fluido incompressível em repouso transmite se integralmente a todos os demais pontos do fluido P1 01 kgfcm² P2 02 kgfcm² P3 03 kgfcm² P4 04 kgfcm² kgfcm2 1 100 100 P A F P P1 01 1 11 kgfcm² P2 02 1 12 kgfcm² P3 03 1 13 kgfcm² P4 04 1 14 kgfcm² F 24 Transmissao e Ampliacao de uma forca a Prensa hidraulica F F F pi 4 2 1 A 1 F A PAF P 2 2 A A P P FF de1e2 2 14 AAs fT tt RA pS FA b Cilindro b 1 Cilindro de agao simples Pistao Area Ap cilindro a ere haste A Op i F fluido sob ee ann ae pressao p respiro FPAp b 2 Cilindro de dupla acao ou regenerativo Ap 4 F no p Fluide sob pressso p PA PA AF FPA PA PA Prof J Gabriel F Simdes 13 Prof J Gabriel F Simões 14 P AH F 25 Carga de pressão h É a altura de fluido suportada por uma pressão Ex h p P P B A γ γ h p 26 Escalas de pressão a Escala efetiva relativa É aquela que toma como referência zero a pressão atmosférica As pressões nessa escala dizemse efetivas relativas b Escala absoluta é aquela que toma como referência zero o vácuo absoluto As pressões nessa escala são chamadas absolutas Prof J Gabriel F Simões 15 I Comparação com as escalas de temperatura II Diagrama comparativo das duas escalas atm ef abs P P P Ao nível do mar Patm 10330 kgfm² Pressão atmosférica normal ou padrão Patm 1033 kgfcm² Observações importantes a a A pressão absoluta é sempre positiva b b A pressão efetiva pode ser positiva ou negativa Pressão efetiva negativa depressão ou vácuo c c Indicação de pressão efetiva 1 kgfm² d d Indicação de pressão absoluta 1 kgfm² abs 27 Unidades de pressão a Unidades de pressão propriamente ditas A P Fn ºK Ex dinacm2 Nm kgfm Ncm2 kgfcm Obs NmPa KPa10Pa MPa10Pa psi Ibfpol 007 kgfcm 20 psi 14 kgfcm Lkgficm 1 Ae 10 kgfm 10 m b Unidades de carga de pressao utilizadas para indicar pressdes h Y Ex mca metros de coluna de agua mco metros de coluna de dleo mmHg m Cc ar etc c Iransformagoes de unidades P 10330 10330 kgfm 1033 kgfcm h 1033 mca y 1000 P i h P 19330 9 76m 760 mmHg y 13600 1033 1033 kgfem psi147 psi g 007 p p 10330 kefm 1033 kef cm 1033 mca101325Pa 101325KPa 760 mmHg 147 psi1 atm Exemplo Determinar o valor da pressao de 380 mmHg em kgfcm e psi na escala efetiva em kgfm2 e atm na escala absoluta Dado Patm 10330 kgfm a Escala efetiva Prof J Gabriel F Simoes 16 a1 kgfcm 760 mmHg 1033kgfem 05165 kef cm 380 mmHg X a2 psi 760 mmHg 147 psi 380mmHg y y 738 ps b Escala absoluta Pabs Pat Patm b1 kgfm 2 760mmHg 10330kgfm z5165 kef m 380 mmHg Z P 15495kgf m abs b2atm Pas Wwtt 760mmHg tatm 380 mmHg w w 05 aim Ps 10 atm abs 28 Aparelhos medidores de pressao a Barémetro Medida da Pam vacuo absoluto ar tm F 7 Patm hy 3 P h atm 3 Vug Ao nivel do mar hg 760 mm Patm 076 m x 13600 kgfm P 10330 kgf m Prof J Gabriel F Simées 17 Prof J Gabriel F Simões 18 b Piezômetro h p γ Desvantagens 1 Não serve para medir pressões de gases 2 Não serve para medir pressões negativas 3 Não serve para medir pressões elevadas c Manômetro com tubo em U p h γ Mede pressões positivas h O P h P P 1 2 γ γ h P γ Mede pressoes negativas O ponto mais baixo tem pressao maior que p que é negativa GAS yy pel wy Dabaseguh fee eS Liquido h 7 manometrico ut geralmente fe Ao Lk 4 mercurio i S Yie15600 Ketm OD Mede também press6es de gases d Manémetro Metalico Tipo Bourdon 0 Pe o oN 4 im Se P P 0 c P PP 1 A 8 Pas PP TT P P0P Ar Ar c P P OP OOP a O84 PO Prof J Gabriel F Simoées 19 29 Equacao Manometrica 2 7 A i bh ir Te hs Py a 4 ae aa 2 be h ie 6 h ES hy J as Sm vi h Teorema de Stevin PPa Ya PP h P P Y2h P P 3h P Ps pg P Py Y4NaX1 P P a PP h PP h P P yhX1 PP yh P P 3h P P Y3N P P Yep PP Ypep Pa Py Yalg 74N Yoho ghg Yeahs P P yah N Yoh 73N3 Yeh Pat Yah Yih Yeahs Yshz Yehg Pp Regra pratica Cotamse os planos de separacgao dos diversos liquidos manométricos Em seguida convencionalmente percorrese 0 mandmetro da esquerda para a direita somando ou subtraindo as pressdes das colunas de fluidos conforme se desca ou suba segundo os diversos ramos do mandémetro Prof J Gabriel F Simoées 20 Exercicios 1 Determinar a pressao p Patm P Yi0M0 YrgMHg M20 Pat hig P 1000 0025 13600 0075 0 ene P 25 1020 0 20cm 15cm 75cm 2 Hg P 995 kefm Dados Yu 1000 kgfm Vig 13600 kgfm Se Pam 09 cm Pros 2 Pros Py Pam 10330 kgf m latm 2 P 995 9297 P 10292 kgf m abs 2 Determinar a indicagao do manémetro metalico da figura p1Kgfcm g P oe Cr P PO P 1kgf cm 15cm Hg P Yigg 0 P 13600 x015 5 5 P 2040kgfm 0204kgf cm P P P 10204 P 0796 kgtcm Prof J Gabriel F Sim6es 21 3 Calcular Pz e Pm nas escalas efetiva e absoluta ef H0 yj em LL J fay Yf Yl YAR Al o LL HO Yj elon Yj 2 MoO Uj ae 3 Dados n0 OOO kgfm 76 mmHg 10330 kgf m Ven 850 kef Im 710mmHg x 3 Yng 13000Kgfm p 10058 kgf m P an 140 mmHg aP Par abs 0100007 13600 03 1000 07 850 08 P P700 4080 700 680 Paos Pa Patm P 3400 10058 P 13458 kgf m abs bP Pwrabs Pa Yoleo Hsieo Py 3400 850 030 P Py 3655 kgf m Prrabs Py Patm Purabs 3655 10058 Pur aps 13713 kof m abs Prof J Gabriel F Simdes 22 4 Calcular P para o equilibrio do sistema F 20 kof FA ood A 20cm hy 25cm Ps fi jh Sistema em equilibrio qe B Equilibrio de momentos F Xl F X 20 x 20F x10 F 40kef F Poe PL Fe A A mdi nde 4 4 2 2 F af spor 40 d ds d 5 F 1000 kof 5 Calcular o valor do peso G A 1 Lng ae 1 Ty Es y Py Fa PS y G Ss Cad fl os g P5 5 Pp 3 5 aS A As P 4 respiro Prof J Gabriel F Simées 23 Prof J Gabriel F Simões 24 2 5 2 4 2 3 2 2 2 H 2 1 10cm A 20cm A 5cm A 52 cm A 2cm A 10cm A 1 3 3 2 1 0 0136 13600 200 2 5 kgf cm m kgf cm m h kgf cm P Hg γ Considerar o ar incompressível Desprezar o peso do pistão G 52 2 72 2 72 27200 13600 2 0 de F Cálculo 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A P F kgf cm m kgf P P x P Hg h γ F2 68 kgf Cálculo de F F P A 510 1 1 1 1 F 50 kgf 8 43 2 A F P de P Cálculo 432 kgf F F F 1 1 2 2 2 1 H A P2 54 kgfcm² 20 27 A F de F F Cálculo 4 3 3 3 P3 135 kgfcm² G P3 A5 135 10 G 135 kgf Prof J Gabriel F Simões 25 Capítulo 3 31 Noções Fundamentais Movimento permanente Quando fixado um ponto num sistema de referência neste ponto com o decorrer do tempo não mudam as propriedades Ex instante inicial instante t qualquer Movimento variado Ex Em caso contrário instante inicial instante t Vazão em volume Q Noções fundamentais de Escoamento de Fluidos Equação da Continuidade 2 ms 4 ms 6 ms E o volume de fluido que atravessa uma secao de escoamento na unidade de tempo Sesee de savda 6 Q Ds 3s nt ns t Prot OO V Q 7 VL bet Unidades de Q cms ms mmin mh s min h3 Velocidade média numa segao V Aves Q Vv As St t t v QAVv 7 QAVv Oe instante inicial 20 s WY ZY Uj Y 4 Le instante t Velocidade média é uma velocidade ficticia constante na secao tal que multiplicada pela area resulta na vazao do liquido Prof J Gabriel F Simoes 26 v0 veloci dade j nd media jz VS BN INS rN Ns i Le my e SS my AINA Ly NA v0 v7 A iN QSviA Vay 2 a A vada Vqn Vy VGA A A Obs Vi V se nao for indicado o diagrama de velocidades Unidades de V cms ms mmin Vazao em massa Q E amassa de fluido que atravessa uma secao do escoamento na unidade de tempo Unidades de Qn gs gmin kgs kgmin kgh utms utmmin utmh Vazao em peso Qe E 0 peso de fluido que atravessa uma secao de escoamento na unidade de tempo G Unidades de Qg dinas dinamin dh Ns Nmin Nh kgfs kgfmin kgfh 3 Relacdes entre Q Qm e Qc m Qm tL Mas p mpvQ Vv Prof J Gabriel F Simoes 27 Prof J Gabriel F Simões 28 vA Qm ρ Q G G t Mas γ G V G V Q γ G γ v t Q Q QG γ vA QG γ Q g G t m t Q m G m G gQ Q 32 Equação da Continuidade Num intervalo de tempo t a massa de fluido que atravessa a seção 1 é a mesma que atravessa a seção 2 m m m t m m m 1 2 t t t cte m m m 1 2 ou ρ Q ρ ρ Q Q cte 1 1 2 2 ou ρ ρ ρ V A V A V A cte 1 1 1 2 2 2 No escoamento de um fluido em movimento permanente a vazao em massa de fluido que atravessa qualquer segao de escoamento é constante Caso particular Fluido incompressivel liquidos m p cle V P P p Cte QQ Qcte VAVAVA cte No escoamento de um fluido incompressivel em movimento permanente a vazao de fluido que atravessa qualquer segao do escoamento é constante Ex Yo agua 2 A 1 Ay Q Q VA VA M2 Ad Vi A Se A A VV AA VV Prof J Gabriel F Simoes 29 Prof J Gabriel F Simões 30 Exemplo numérico 1 ms V A 10 cm² 20 cm A 1 2 2 1 10 20 1 V2 V2 2 m s Obs As velocidades variam na razão inversa dos quadrados dos diâmetros Fluidos incompressíveis Exercícios 1 Ar escoa num tubo convergente A área da maior seção do tubo é 20 cm² e a da menor é 10 cm² A massa específica do ar na seção 1 é 012 utmm³ enquanto que na seção 2 é 009 utmm³ Sendo a velocidade na seção 1 de 10 ms determinar a velocidade na seção 2 e a vazão em massa A 20 cm³ A 10 cm³ 012 utm m³ 009 utmm³ ρ ρ 1 V 10 ms V Q 2 1 2 1 2 M Equação da Continuidade 10 10 20 0 09 012 V A A V V A A V Q Q Q Q 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 m m 2 1 ρ ρ ρ ρ ρ ρ V2 26 7 ms Qm Q PVA pV2A Q 02 x 10 x 0002 Q 00024 utms 2 Os reservatorios 1 e 2 da figura sao cubicos Sao enchidos pelos tubos respectivamente em 100 seg e 500 seg Determinar a velocidade da agua na secao A indicada sabendose que o diametro é 1m Equacao da Continuidade y Q Q Q Nop 5 Bate eget ge 9 Ms 125 aay me t 100 Q A os Q 125ms V q Ve 1000 t 500 Q 2ms Q1252 Q325ms Q Q 325 SENS ENS DE 814A 4 4 A414ms 3 Um tubo admite agua p 1000 kgm num reservatorio com vazao de 20 s No mesmo reservatorio trazido dleo p 800 kgm por outro tubo com uma vazao de 10 s A mistura homogénea formada é descarregada por um tubo cuja segao tem uma area de 30 cm Determinar a massa especifica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma Prof J Gabriel F Simées 31 é1eo Hietie 1 1000 kgm 2 800 kgm 2 3 P3 Q 20 s Q 10 s 1 Az 30 cm V3 Agua Equagao da continuidade Qn Qn Qn pQ PQ pQ PQpQ P3 Q Sendo os fluidos incompressiveis Q QQ Q 30s 10002080010 20000 8000 Ps 30 30 P 9333 kgm Q 30x10 QAV V3 oes As 30x10 V 10ms 4 O tanque da figura pode ser enchido pela agua que entra pela valvula A em 5 h pelo que entra por B em 3 he pode ser esvaziado quando totalmente cheio pela valvula C em 4 h supondo vazao constante Abrindo todas as valvulas A B C e D ao mesmo tempo o tanque mantémse totalmente cheio Determinar a area da secao de saida de D se o jato de agua deve atingir o ponto O da figura Prof J Gabriel F Simoes 32 A B t5h 62 6 tp 3h 3 Cc V 30m D ey Cp t 4h a y5m Oo g 10ms Equacao da Continuidade Qa Qs Qe Qpb V 30 V 30 Q at t 5 et 3 Q 6mh Q 10mh V Q 30 to 4 os 3 Substituindo em fica Q 75m h 61075Q Q 1675 Q 85mh000236 cms ee Ne e Vp Equacao da parabola Prof J Gabriel F Simées 33 xVt t Vp 1 ye gt y 5 g 1g y2 Oe g 10040 avg 9 yz 9 Py Pm ay 2B V5 100 V 10ms Substituindo Vp em fica A 000236 10 Ap 0000236 m 33 Poténcia necessaria para o deslocamento de um pistao num cilindro Ay r mn il po 1 y fluido sob I LJ pressao Be Pp t tempo Respiro Poténcia N Trabalho W WFpspAp s V V Volume deslocado cilindrada W eto ip o NpQ t t Prof J Gabriel F Simées 34 m A Q p t05s W 50 kgfm P Ap 50 cm 5x 10m Respiro No dispositivo da figura o pistao deslocase 05 m em 05 s e o trabalho realizado nesse deslocamento é 50 kgfm Sup6ese que nao haja perda de pressao entre a saida da bomba e a face do pistao Determinar a A poténcia fornecida ao fluido pela bomba b A vazao em litros por segundo c A pressao na face do pistao a N Ww 90 t 05 ICV 758 736W N 100kgfms 1000W lkgfm10W W W Cc WpV p PV Pay a p 50 5x10 05 p 2x10 kgf m 2kgf cm 3 b q VG Ap S 9x10 05 t t 05 Prof J Gabriel F Simdées 35 Q5x10ms im 1000 Q5x10x100s Q54s OU N 100 Cc NpQp P P Q 5x10 p 2x10kef m Prof J Gabriel F Simodes 36 Prof J Gabriel F Simões 37 Capítulo 4 41 O Princípio da Conservação da Energia Mecânica para Fluídos Perfeitos Ideais De posição Potencial De pressão Energia Mecânica Cinética a Energia Potencial a1 De Posição EPPo G Z a2 De Pressão R o r EPP EPP EP G P EPP γ b Energia Cinética 2 mv E 2 c Mas 2g G v E g G mg m G 2 c Energia Total E E EP Ec E EPPo EPPr Ec Equação de Bernoulli W G Z E PPo W PHR Plano horizontal de referência G Z W G h γ GP E PPr W Prof J Gabriel F Simões 38 Princípio da Conservação de Energia Mecânica PCEM E cte Ou EP Ec Exemplo 2gz TORRICELLI v 2 mv gz m 2 mv Z G E E 2 mv E G Z E 2 2 2 1 2 2 1 42 Equação de Bernoulli para Fluído Perfeito Incompressível em Regime Permanente Prof J Gabriel F Simões 39 E1 EP1 EC1 1 r o EC EPP EPP 1 1 2g G v GP GZ E EC EPP EPP EC EP E 2g G v GP GZ E 2 2 2 2 2 2 R o 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 γ γ PCEM E1 E2 2g V P Z 2g V P Z 2g G V GP GZ 2g G V GP Z G 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 γ γ γ γ Equação de Bernoulli No escoamento de um fluído perfeito incompressível em regime permanente a energia total do fluído por unidade de peso permanece constante Z1 e Z2 Energias potenciais de posição por unidade de peso Cargas de Posição e P P 2 1 γ γ Energias potenciais de pressão por unidades de peso Cargas de Pressão 2g 2g e V V 2 2 2 1 Energias cinéticas por unidade de peso Cargas Cinéticas 2g V P 2g e Z V P Z 2 2 2 2 2 1 1 1 γ γ Carga de Pressão energia de Pressão por unidade de peso Carga de Posição energia de posição por unidade de peso Carga Cinética energia cinética por unidade de peso Carga Total H energia total por unidade de peso H1 H2 Equação de Bernoulli Unidades de Carga m cm mm etc ou seja Unidades de energia por unidade de peso m cm mm etc Energias totais por unidade de peso Cargas Totais H Exercicios 1 Patm 1 2 A10cm 2 eee Pam Tanque de grandes dimensoes Fluido perfeito g 10 ms O tanque da figura descarrega agua a atmosfera pelo tubo indicado Sendo o tanque de grandes dimensoes e o fluido considerado perfeito determinar a vazao da agua descarregada se a area da secdo do tubo é 10 cm H H EPP EPP EC EPP EPP EC p atm0 we p atm0 V2 Z st Zi Ze 42 1 y 2g oA ye 2g 2 Z se o Vz J2gz v2 x 10 x 510ms g QVA10 x 10 x 10 Q10 x 10ms10s 2 Idem p 05 kgfcm 1 A10 m oe 2 Prof J Gabriel F Simoes 40 Tanque de grandes dimensées Fluido perfeito g 10 ms 1000 cms Yu0 1000kgf m Q H H EPP EPP EC EPP EPP EC 0 0 2 Z 4 Pi MW Le a y 72g y7 2g 2 Z eh Ne Ve 29 2 F yY 2g Y 4 V 2g zZ4 2x10x gp 22x10 y 10 Vv100 V10 ms QVA10x10x10 Q10x10ms100s 1 Um dos métodos para produzir vacuo numa camara é descarregar agua por um tubo convergente como é mostrado na figura Qual devera ser a vazao em massa no tubo da figura para produzir um vacuo de 50 cmHg na camara Yr0 1000 Kgfm G 24cm 3 He 13600 Kgfm 2 9G lcm 1 g eae oo a Vacuo pressao E Camara negativa g 34cm s o7 at 7 PL eatery 50cmHg0 5m He P P atm h 50 cm carga de pressao do mercurio H He Prof J Gabriel F Simées 41 0 Q 2 2 spots of Wf y 28 y 28 V Vy P 12 Z al 1 2g y Equagao da Continuidade Q Q VA VA y NeAe y Wa W A eK 2 2 VV d v4 d 1 V 1156 V 2 2 em 1 1156VV2 5 P 2g 1336V2V2 P en 2 Zt 29 Y 2 P vz 9z 1326 y onde Z4m PYy 1h 13600 kgf m x 05m P 6800 kgf m vz 20 4 8800 1326 1000 V2 98 942 1326 V 042 V2 065 ms V 1156x065 V 75ms Q PQ pQ pVA pVAp P2 p Prof J Gabriel F Simoes 42 2 2 Q Ly Ma 1000x75x314x001 Qn 0059 utms g 4 10x4 43 Equacao de Bernoulli para Fluido Perfeito Incompressivel com a Presenca de uma Maquina no Escoamento Maquina Bomba B Fornece energia ao fluido M Turbina T Retira energia do fluido a BOMBA H He 8 Hg Energia fornecida ao 1 2 fluido pela bomba pro unidade de peso Carga Ou altura manométrica da bomba b TURBINA H H2 fluido pela turbina por 1 2 unidade de peso Carga ou altura manomeétrica da Genericamente Hm 0 M é Bomba Hn Hp v Hn 0 Mé Turb Hm H 3 0 Mé Turbina 1 2 0 Fw Ph Prof J Gabriel F Simdes 43 Fluido Perfeito a A Maquina H He b 3 Maquina H Hm He 44 Poténcia Fornecida ou Retirada do Fluido na Passagem pela Maquina Nocao de Rendimento G Peso de fluido que atravessa a maquina no intervalo de tempo t W Energia fornecida ou retirada do peso G de fluido na passagem pela Maquina Hm Energia fornecida ou retirada do fluido pela maquina por unidade de peso Hn Wow GH Mas G G GywW Y V Y Substituindo W yVH poténcia vazao MKS Y kgfm Q ms N kgfms kgms Hm m Sil Y Nm Q ms N NmJ WwW S S Hn m 10V 75 kgf ms 10V 736 W 0736 kW Prof J Gabriel F Simoes 44 Rendimento n Poténcia util 0 Poténcia posta em jogo a BOMBA ks iA es te a at Ny M otor a a ZN eo Ss CU arr Vabs N N Poténcia util Poténcia fornecida ao fluido Bh Neg Poténcia da Bomba Ns 1 Np Np b TURBINA N Nr N N Poténcia retirada do fluido Nz Poténcia util Poténcia da turbina 1 O reservat6ério de grandes dimens6es da figura descarrega agua para a atmosfera através de uma tubulagao com uma vazao de 10s Verificar se a maquina instalada BOMBA ou TURBINA e determinar sua poténcia se o rendimento 6 75 Prof J Gabriel F Simées 45 Supor fluido perfeito Pp 2 atm 1 5m A10 em Ae G PHR Vu0 1000kgfm 10ms Q107ms H H H H H H 0 2 0 2 0 Z Fh te 2 J Y 29g Y g 2 H 5 4 20 2g Q 10 QVAV A Foe 7 loms H 5 4 100 20 20 Hm 0 M é Turbina 101010 100 N yQH 1H 75 75 N 133 CV Nz Nnz 133 x 075 Nr 10CV 2 Ildem Prof J Gabriel F Simdées 46 2 held 10 Kef 1 5 Az10cm 30cm 10m Fluido Perfeito Keua Lv oe WEE i PHR Grandes Dimensdes a Tipo de Maquina b Nm Vm 75 a Equagao de Bernoulli no trecho 1 2 H Hm He Hm He Hy Calculo de H 2 4 Z Po Mi 10 10 y 2g 10 Calculo de He 0 0 H Z eV 30 y 72g Hs 30m Hm He H 30 20 HnO0 MéBOMBA b Poténcia da Bomba ya YOHe 10 10 10 75 75 3 2 N 133 CV N Hs 1010 10 n75 75x075 Ng 178 CV Ou Prof J Gabriel F Simées 47 Prof J Gabriel F Simões 48 0 75 133 N N N N B B B B η η NB 178 CV 45 Equação de Bernoulli para Fluido Real e Presença de uma Máquina no Escoamento a Sem Máquina H1 H2 H1 H2 HP12 HP 1 2 Perda de energia de 1 para 2 por unidade de peso HP 1 2 Perda de carga m cm mm Observação Importante Sentido do escoamento Trecho onde não existe máquina 1 2 H1 H2 escoamento de 1 para 2 H2 H1 escoamento de 2 para 1 b Com Máquina H1 Hm H2 HP12 Perda de energia 1 H1 H2 2 1 M 2 Fluido Perfeito Fluido Real a A maquina H He a A maquina Hy He Hp12 b 4 maquina Hi Hm He b 4 maquina H Hm He Hp12 Exemplo 1 Calcular a perda de carga na instalagao da figura Patm 3 A10cm 2 a Smis ee Pam Dados Ng5CV NB 80 10 kgfm g10ms Hp Bernoulli H H H Hp Hp H H H 2 H Z iM 5040 yY 2g H 5m Prof J Gabriel F Sim6es 49 0 2 y 2g 20 Ho 125m Ns yQH Hs 75 Np Ne 73Np yQ QVA5x10x10Q510 ms He 75508 B Lee 5x19 Substituindo H 5125 60 Hp 6375m 2 Uma bomba deve recalcar 015 ms de dleo de peso especifico 760 kgfm para o reservatorio C Adotando que a perda de carga A a 1 seja 25m e de 2 a C 6 m determinar a poténcia da mesma se o rendimento é 75 C rath ate AA 7 15 m 60m x 30cm0 3m 1 a 2 PHR Q015 ms Y 760 kgfm Hp 29m Hp 6m Np 15 Prof J Gabriel F Simées 50 Prof J Gabriel F Simões 51 N NBηB 1 QHB N γ 2 Bernoulli 2C A1 P P C B A H H H H H A P P C B H H H H H 2C A1 3 15m 2g V P Z de H H Cálculo 2 A A A A A 0 0 γ HA 15 m 60m 2g V P Z de H H Cálculo 2 C C C C 2 0 0 γ HC 60 m 3 HB 60 25 6 15 HB 535 m 2 75 015 53 5 760 N N 8132 CV 1 0 75 32 81 N N B B η NB 108 CV Prof J Gabriel F Simões 52 3 Dada a instalação da figura pedemse a HA HB HC b Sentido do escoamento c Tipo de máquina d HPAB e Potência da máquina Dados 0 H PBC Q 314 m3s D 2 m PB 4 kgfcm2 4 x 104 kgfm2 γ 1000 kgfm3 g 10 ms2 Cálculo de VB m s 1 V 4 4 4 D 314 A Q V B 2 B π 0 0 35 2g V P Z H a 2 A A A A 0 0 γ HA 35 m 0 4 H Zp Po Me 5 42x10 tt Y g 10 20 He 5 40 005 Hg 4505 m 2 H Z Po No 0 y 2 b Sentido de escoamento trecho sem maquina A B Hp Ha de B para A de C para A c Tipo de maquina Hm Equacao de Bernoulli trecho com maquina C A Ho H Ha Hp H Ha He Hp 0 Apo Hh Hp Hp He Ap Equagao Bernoulli B A Ha H Hp Hp H H 4505 35 Hp 1005m Hp 1005m Substituindo em Hm Hm 35 0 1005 Hm 4505 m Hm 0 M é BOMBA d Hp Bernoulli AB Hg H Hp Hp Hg Ha Hp 1005m Prof J Gabriel F Simdes 53 e Ng NB 80 N YOHe 10 3144505 141457 es 75 08 60 Nz 23576 CV 4 Dada a instalagao da figura pedemse a P p Pr b Pe ee Lge oe te L PHR e s 7m 2 Il Q25 ls H 3mca H 05 mca g10ms vy 10kgfm NI1CV a Calculo P Equagao Bernoulli 1 2 H H H Hp 0 0 2 2 Z ey a Z ewan yY 29 yY 2g 2 Prez Z 2 H Hs Y 29 onde Zi 3m Zo 7m 3 Vo OQ eoxi0 5ms A 5x10 Hp 3m Prof J Gabriel F Simdes 54 7514 N yQH H 3m YOMs Fe 10805 x10 Pi734 7432 Y 20 P 2 875m P 8750kgf m Y b Calculo de Pe Bernoulli 1 e Hi He Hy V Q 5ms A P 8750 25 9 1000 1000 20 fe 387512505 1000 P 7500 kgf m c Calculo de P Bernoulli e S He Hp Hs 2 2 frie afte ft Y y 4 Ps Fey 75345 Y Y P 4500 kgf m Prof J Gabriel F Simdes 55 Algumas aplicagdes Capitulo 5 especiais da Equagao de Bernoulli 51 Tubo Venturi Venturimetro Aparelho Medidor de Vazao h 7 Equacao de Bernoulli 1 2 0 H H fl 0 y 29g y 2g V3 VF P P 1 2g Y Mas Q Qe continuidade ViA1 V2Ae2 V V A 2 A 2 A 7A d 2 of Yy 4 2 ad d A 4 Substituindo 2 em 1 2 dy qlee P P 2 Y og PP Vi Y e d onde Prof J Gabriel F Simées 56 1 K st d V k agPiPe Y es Wt d Mas QVA QKA lagnt Fe Y Curva de calibragao Q Y Exemplo Agua escoa em regime permanente no tubo Venturi da figura A area A é de 20 cm enquanto que a da garganta é 10 cm Um mandmetro cujo liquido manométrico é mercurio YHg 13600 kgfm é ligado entre as segdes 1 e 2 e indica o desnivel mostrado na figura Pedese a vazao de agua que passa pelo Venturi Yu 9 1000 kgfm 1 2 A Z y GALLE Prof J Gabriel F Simées 57 PiYu0 X Yu0 A YugNYu0X P2 P P Yug A Yi0 A P Py W Yn Yy0 01x12600 PP 1260 kgf m H He 2 2 ZPis Mig Pe NE yY 29 yY 2g V2 Vr PP 1 29 Y Q Qe VA VA V V V 2V 2 2 em 1 4V v P P V2 2g P P 29 Y Y V 84 V29ms QViA 29 20 x 10 Q 58 x 10 ms Q58 s 52 Tubo de Pitot Aparelho de Medida de Velocidade V4 29 P a P r of iy If Y 1 2 Prof J Gabriel F Simées 58 Equagao de Bernoulli 1 2 H1 He Ze P WV P vi t He y 2 Y g VP PoP oy og PaPi 29 Y Y Na pratica of ae Xgua X yu Ay Wut Exemplo Num tubo de secao circular o diametro é 10 cm e admitese uniforme o diagrama de velocidades Um tubo de Pitot esta instalado de forma a medir a velocidade no eixo do tubo Determinar a vazao do tubo Yu 9 1000 kgf m Vig 13600 kgf m S Y U LLL m Prof J Gabriel F Simées 59 H1 He 0 Zz P V Z P vf t4Z y 2g Y g VP PePi v2 pgPePi 20 y v fogPePs Y Tubo em U P Yu0 XA Yug Yu0 X h PP Vu oXXhhY yyy P P Vyq RY no Yue Yno P P 00513600 1000 PP 630 kef m 630 MV 20 V 7126 V 1000 V 355 ms nd 314 x 001 QVA V 355 2 vw 1 4 4 Q0027 ms27 s Proposto Um Tubo de Pitot preso num barco com v 45 kmh de tal forma que a tomada do pitot fique a uma pequena profundidade Qual a altura alcancada pela agua no ramo vertical i h i AN r Oj we e S Prof J Gabriel F Simées 60 Prof J Gabriel F Simões 61 Capítulo 6 61 ANÁLISE DIMENSIONAL 11 Grandezas Fundamentais e Derivadas Grandezas Fundamentais São aquelas que se expressam por si só enquanto que as Grandezas Derivadas são as que são necessárias 3 grandezas fundamentais para que se representem todas variáveis Grandezas Derivadas envolvidas na Mecânica Ou ainda F Força M L T L Comprimento L M F T Tempo T M F 12 Equação Dimensional Relaciona a grandeza derivada com as fundamentais É constituída por produtos de potência das grandezas fundamentais X É uma grandeza variável x Fα Lβ Tγ Exemplo a Velocidade v LT 1 T L v a equação dimensional v t s v b Aceleração a 2 2 LT T L a TT L t v a t v a Análise Dimensional e Semelhança Mecânica Prof J Gabriel F Simões 62 c Área A A L2 d Volume V V L3 e Massa m F ma m a F 2 1 2 FL T L FT m f Massa Específica ρ 2 4 4 2 3 2 FL T L FT LL FT V m v m ρ ρ ρ ρ g Peso Específico γ 3 3 L F L F V G V G γ γ γ h Viscosidade Dinâmica µ T FL L FT L T L L F dv A dy Ft dv A dy Ft dv dy dy dv 2 2 2 µ µ µ µ µ τ µ τ Prof J Gabriel F Simões 63 i Viscosidade Cinemática ν 1 2 2 2 4 2 L T T L FL T T FL ν ν ρ ρ ν µ µ ν 13 Número Adimensional ou Número ππππ É toda variável cuja equação dimensional é da forma π Fº Lº Tº Exemplo a Número de Reynolds Re º Tº F L º Re T L F L L T T F L Re v L vL Re Re 2 1 2 4 µ ρ µ ρ b Número de Euler Eu FºLºTº Eu L L T FL T F Eu v L F Eu V L F Eu 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ρ ρ c Número de Froude Fr FºLºTº Fr T LL T L g L v Fr gL v Fr 2 2 2 2 2 Prof J Gabriel F Simões 64 14 Análise Dimensional e Pesquisa Por exemplo suponhamos que se pretenda determinar F quaisquer que sejam as demais grandezas No Laboratório túnel aerodinâmico fluido compressível ou canal aberto sob controle fluido incompressível Equipamento dinamômetros e balanças viscosímetros e outros aparelhos de medida várias esferas D1 D2Dn Materiais vários fluidos mesma ρ e µ1 µ2µn vários fluidos mesma µ e ρ1 ρ2ρn Prof J Gabriel F Simões 65 Para caracterizar o fenômeno físico através da experiência chegaríamos a uma infinidade de curvas F ρ vD µ No Laboratório Pelo Teorema dos π ou de Buckingham da Análise Dimensional demonstrase que existe uma função de 2 números adimensionais formados por combinação adequada das grandezas envolvidas rigorosamente equivalente à função dada O Re ou O Eu Re 0 Re Eu vD Eu e v D F onde O 2 2 2 1 2 1 µ π ρ ρ π π π Prof J Gabriel F Simões 66 Levantamento da Curva Universal Tomase uma única esfera de diâmetro Do e movimentase a mesma num único fluido de massa específica ρ0 e viscosidade µ0 calculase Re e a cada força F0 correspondente calculase Eu V0 Re F0 Eu Traçase a curva universal Problema Pretendese movimentar uma esfera de diâmetro D1 num fluido de massa especifica ρ1 e viscosidade dinâmica µ1 e com velocidade v1 qual será a força oposta ao movimento F1 Solução a Tendose v1 ρ1 D1 e µ1 calculase 1 1 1 1 D V Re µ ρ b Vaise à curva universal e determinase Eu Re Eu Eu Re c Tendose Eu calculase F Eu Fi FEupVD pV D 15 Teorema dos z ou de Buckingham Sejam x1 X2Xn aS N variaveis que intervém em dado fendmeno fisico Sejam 11 2 OS kK adimensionais independentes construidos com base nas variaveis x1 Xo2Xn OBSERVAGAO Adimensionais independentes devem diferir pelo menos em uma de suas variaveis Se f X1 X22Xn 0 entao existe uma outra fungao rigorosamente equivalente a anterior com base nos adimensionais 11 12 OU Seja 11 Teo eeeeeeeeey Uk 0 a No laboratorio determinar x1 Xo Xn lM b Escrever as equagdes dimensionais de cada uma das variaveis definindo pois o n de grandezas fundamentais envolvidas no fendmeno r Exemplo 1 a F p v D uw n5 b F F p FL T v LT r3 D L u FL T BASE 9 v D c O n de adimensionais k sera sempre nr K532 d Escolher uma Base constituida por r variaveis independentes As grandezas dirseao independentes quando nao é possivel formar com as mesmas um produto adimensional Ex p v D p FL T v LT D L Prof J Gabriel F Simoes 67 e Cada adimensional sera constituido por produtos de poténcias com as variaveis da base por uma das variaveis nao pertencentes a base T p1 v1 D1F FELT FLT41LT 1 Ls F FOa1 al LO04abC cy 2 T 0 2a b an b 2 1 2 p72 F lmMp V DF o Tl n Eu pvD a b c b T p v DE p PLT FLAT LT Le FLAT FOa1 aol L04bocC2 Co T 0 2a bo 1 an bo 1 1 vD mt p vDwm ti P Re pvD 7 UW Se escolhermos outra base F v D u p n 5 F F v LT k2 D L r3 u FL T p FL T BASE u v D Prof J Gabriel F Simoes 68 a boc a b c Tl wiv DF FLT FLT yi LT yi LF FOa1 al LO2abicC Cy1 T0ab an b F 1 uvD a b Cc a b oc Tl uw vD p FLT FLT LT L FLT FOa1 al L02beCo4 Co1 T0abo2 an bo 1 Ty PvD Re u Observem que poderiamos obter Eu a partir de 1 e m2 Te pv D Exemplo 2 Estudemos o fendmeno envolvendo as variaveis do n de Froude Fr VariaveisLgv n3 L L g LT r2 v LT Knr321ecomor 2 tomemos como base v L a b mviLg Prof J Gabriel F Simoes 69 LT LT y li LT LOabi1 bi 1 T0a2 a2 T 9 Fr ve Vv Lg Obs O n de Froude sempre constante no fendmeno fisico queda livre de um corpo Fr 2 pois v2 gh Exemplo 3 Uma bomba centrifuga envolve as seguintes variaveis gHm aceleragao da gravidade x carga manométrica da bomba Q vazao em volume D diametro do rotor da bomba n rotagao do rotor por unidade de tempo p massa especifica do fluido u viscosidade absoluta do fluido Quantos e quais sao os adimensionais que representam o fenémeno fisico de escoamento do fluido pela bomba centrifuga gHm L T QLT D L n T ProfeJ Gabriel F mbes Prof J Gabriel F Simões 71 ρ FL4 T2 µ FL2 T Solução sintetizada a n 6 b r 3 c k 3 d base ρ η D ou ρ Q D e coeficiente manométrico n D gHm 2 2 1 ψ π coeficiente de vazão x nD Q 3 2 π Re nD2 3 µ π ρ 62 NÚMEROS ADIMENSIONAIS IMPORTANTES Seja F ρ v L µ F g c 0 ρ massa específica do fluido v velocidade característica L comprimento característico µ viscosidade dinâmica do fluido F força oposta ao movimento g aceleração da gravidade c velocidade do som a Numero de Reynolds Re µ ρ ν µ ρ vL vL vL Re Demonstrase que Fv Fi forças de atrito viscosos forças de inércia Re µ ρ µ ρ µ ρ τ vL L L v t v L L A v T v V A m a Fv Fi 2 3 Prof J Gabriel F Simões 72 Re vL Fv Fi µ ρ cqd Ex Escoamento de fluido incompressível em condutos forçados v vDH vDH Re µ ρ Re 2000 escoamento laminar 2000 Re 4000 escoamento de transição ABNT Re 4000 escoamento turbulento b Número de Euler Eu 2 2 2 v P v L F Eu ρ ρ Demonstrase Fi F p forças de atrito viscosas forças de inércia Eu 2 3 2 v p T v L L p T v V p A m a p A Fi F p ρ ρ ρ Eu v p Fi p F ρ 2 cqd Ex Escoamento de fluidos em tubos em máquinas hidráulicas em torno de corpos submersos aerodinâmica c Número de Froude Fr Lg v Fr 2 Demonstrase que Fg Fi Forças de gravidade Força de inércia Fr Lg v L g T v L Vg T v V m g m a Fg Fi 2 3 3 ρ ρ Fr Lg v Fg Fi 2 cqd Ex Escoamento em rios canais vertedouros ação de ondas sobre estruturas de navios etc d Numero de Mach M Demonstrase que forcas de inércia Fi tM forgas de compressibilidade Fc Ex No escoamento de fluidos compressiveis M19vc escoamento subsénico M19vec escoamento sdnico M19vc escoamento supersénico 63 SEMELHANCA TEORIA DOS MODELOS 61 Introducao Seja 110 a escala de reducao a2 i ns SS mF Nao é valido relacionarse as velocidades pela escala de reducao Sendo assim sendo Kx K pergunta se K vM Xp 10 Vo 62 Condicoes de Semelhanca a Semelhangca Geométrica Dois corpos sao geometricamente semelhantes quando tem o mesmo formato ou seja as Suas dimensodes correspondentes sao proporcionais Prof J Gabriel F Simoes 73 Prof J Gabriel F Simões 74 Ex Lp Lm bp bm ap am b Semelhança Cinemática Há semelhança cinemática entre modelo e protótipo quando em pontos homólogos são iguais as relações de velocidades Ex vp vm v p v m V p m V 2 2 1 1 c Semelhança Dinâmica Há semelhança dinâmica entre modelo e protótipo quando em pontos homólogos são iguais as relações de forças Ex Fi Fv Fp Fg Fc Fcp Fcm Fgp Fgm Fpp Fpm Fvp Fvm Tip Fim d Confronto entre a Análise Dimensional e a Semelhança Mecânica Rep Rem Fvp Fip Fvm Fim Eu m Eu p Fip Fpp Fim Fpm Fr m Fr p Fgp Fip Fgm Fim Fcp Fip Fcm Fim m p Genericamente π1m π1p π2m 2p πkm πkp 63 Escalas de Semelhança Escala de Semelhança é o quociente de uma mesma grandeza uma referida ao modelo a outra referida ao protótipo Ex K tm Escala geométrica Lp K vm Vv Vp K PM Ky m Ppp YP K UM Ky vm pp vp K E Kap 40m Fp App gm cm Ky Kce gp cp Relagoes entre Escalas RemRep PU YM m vm Lm pp vp Lp um Lp pm vm Lmpum pp vp Lp up KpKvKLKu ou KvKLK vuwp 2umEup f Fe pmvm Lm ppvp Lp fom om nr Fp pp vp Lp Kr Kp KvKL4 ou KApKp Kv 2 2 3 Frm Frp 3 YP Lm gm Lp gp 2 x 1M9M fray KLKg vp Lp gp Prof J Gabriel F Simdes 75 Prof J Gabriel F Simões 76 Ex 1 5 0 n g L v f F 10 1 KL ρ µ Nem todas as variáveis envolvidas em um dado fenômeno devem ocasionar variações substanciais entre modelo e o protótipo ou em outras palavras algumas variáveis são pouco representativas É o caso aqui de µ pois as forças viscosas são desprezíveis em relação às de inércia Perguntase F F Vp v LT1 KF ρ FL4 T2 r 3 L L g LT2 Base ρ v L k 5 3 2 L g v L F v c 2 b 2 a 2 2 c 1 b 1 a 1 1 ρ π ρ π 0 0 0 c 1 b 1 1 a 1 2 4 1 F L T L F FL T LT π FDO a1 a 1 L0O4a bi c C1 n Eu pvL T 0 2a by by 2 a boc xFLT LTLT FLT FDOa a2 0 Lg 1 Tle L04a2 bo Cot Co1 To 5 Fr Vv Tes T 0 2a bo 2b 2 Eu Ff Condicgdes de Semelhanca pVL 2 FrT5 Eum Eup 2 2 2 vm VP vm tM ok kv Kv1 Lmg Lpg vp Lp 10 vp Vp vm 10 Vp 50V10 kmh vp 158 kmh Fm Fp Fm pmvmLm opmvmLm ppvpLp 0Fp soppvpLp 9 1 1 1 K Kp ky kp 1xx K 11000 10 100 1000 Prof J Gabriel F Simdes 77 Ex 2 Bomba Centrifuga Dm Dp Nm 1800 rom Modelo Qm 3 s Hmm 18m Np 1500 rpm Protétipo Qp Temos gHm wD y nD Condicao de Semelhanga Qm QP NDm nDp 3 Qm Pad K K Ke K Kg Qn Om Qp nD Q n Qn Q p nN 1500 Q 3xQ 25s Prof J Gabriel F Simdées 78 b Win Wp On Hm gHm 2 2 2n 2 NémDm no D 2n2 nDm FMn Me Pk KnK2D Hm no D 1800 18 1500 Kim Kn Hm 18 1500 Hm 1800 Hm 1822 Hm 125m 36 Prof J Gabriel F Simdes 79 Prof J Gabriel F Simões 80 Prof J Gabriel F Simões 81 Capítulo 7 71 Conduto é toda estrutura sólida destinada ao transporte de um fluido líquido ou gás Classificamse em Conduto forçado toda a face interna do conduto está em contato com o fluido em movimento Ex Tubulações de sucção e recalque oleodutos gasodutos Conduto Livre apenas parcialmente a face do conduto está em contato com o fluido em movimento Ex esgotos calhas leitos de rios 72 Tipos de perda de carga dos condutos Ex Escoamento de Fluidos Incompressíveis em Condutos Forçados em Regime Permanente Aplicações às Instalações Hidráulicas a Perda de carga distribuida a perda que se da em trechos retos de condutos cilindricos A cte devido ao atrito viscoso entre as particulas fluidas produzido pelas tensdes de cisalhamento hj b Perdade carga singular Localizada a perda que se da devido a uma mudanga brusca no escoamento do fluido hs ou h Mudangas bruscas de diregao curvas e cotovelos Mudangas bruscas de segao alargamento ou estreitamentos Outras singularidades registros valvulas de pé e de retencao medidores de vazao flanges tés 2 2 H duh Duh 73 Campo de aplicacgao 1 2 H H H Hp Em geral H e He sao conhecidos H sera calculado Hm 0 que se procura Prof J Gabriel F Simoes 82 74 Estudo da perda de carga distribuida h a Introdugao a Ve Te EK xe ae OS Equagao da continuidade QQ2 ViA4 Vo Ao Como A Ag entao b Formula da perda de carga distribuida L vf D 2p f coeficiente de perda de carga distribuida ou coeficiente de atrito ff ara onde pyD Re n de Reynolds n puro deoK rad m rugosidade relativa n puro K rugosidade equivalente c Tipos de escoamentos em condutos c1 Escoamento laminar as particulas deslizam umas sobre as outras nao ha passagem de particula fluida de uma camada para outra ou seja nao ha transferéncia de massa entre as diversas camadas Prof J Gabriel F Simoes 83 c2 Escoamento tubulento as particulas tem um movimento desordenado caotico as particulas fluidas passam sucessivamente de uma camada para outra ou seja sao intensas as movimentagoes transversais das particulas Re 2000 escoamento laminar 2000 Re 4000 escoamento de transigao ABNT Re 2 4000 escoamento tubulento Obs1 Para condutos de segao nao circular devese substituir D por Dy diametro hidraulico sendo Dy 4 Ry Def Raio Hidraulico Ry R5 A area da secao de escoamento P perimetro molhado da segao onde temos contacto do fluido com parede solida Sendo assim Formula universal da perda de carga distribuida 2 hf D 2g Numero de Reynolds vD vD Re p H H Ll Vv Rugosidade relativa equivalente DyK Obs 2 Para condutos forgados cilindricos Seao circular sendo Vmax a velocidade no eixo do conduto 21 Escoamento Laminar Re 2000 y V max 2 22 Escoamento Turbulento Re 4000 y 49 V m max 60 Prof J Gabriel F Simées 84 Prof J Gabriel F Simões 85 Exercicios 1 Um éleo de viscosidade absoluta 1 001 kgfsm e peso especifico 800 kgfm escoa através de 100 m de tubo de ferro galvanizado de 10 cm de diametro a vazao de 40 s Qual a perda de carga no tubo K0000152 m 0 Hp he he a Perda de carga distribuida 2 n 1b VE D 2g b Calculo de Re Re pvD u onde p g p18 y g 10 p 80 utmm D10cm01 m ya Q Q 4x10x10 A 2D mx 107 4 u10 kgf sm Substituindo Re 80 X51x10 10 Re 4080 Escoamento turbulento D c Rugosidade relativa Z 4 D 10 6 K 152x10 Prof J Gabriel F Simoes 86 d 2 2 pat 9 942100 517 D 2g 01 2x10 h 546m 2 Por um tubo de comprimento 1000 m e diametro 4 escoa dleo mineral de p 90 utmm e v 10 ms Sabendose que a vazao é 10 s determinar a perda de carga no tubo por metro de comprimento p 90 utmm dleo v10 ms 2 p bE D 2g a Calculo de Re Re Pv vD vD Moon oY p onde D410cm10m Q Q 4x10x10 V Tn A xD m10 4 V 127 ms Substituindo 4 Re 127 x10 10 Re 1270 Escoamento laminar b Calculo de f p04 84 tt 905 Re 1270 Prof J Gabriel F Simoes 87 c Calculo de hy 2 2 p t LM 951000 127 D 2g 01 2x10 h 402m Dy 402 J perda unitaria L 1000 J00402 mm tubo 3 Calcular a vazao de agua num conduto de ferro fundido sendo dados D 10cm v 07 x 10 ms e sabendose que dois mandémetros instalados a uma distancia de 10 metros indicam respectivamente 15 kgfcm e 145 kgfcm K 0000259 m bi feet aoa i P 15 x 10 kgfm P 145 x 10 kgfm Bernoulli H H Hp12 He2 h 0 2 0 2 Z Pz oe hiyo yY 2 yY 2g p Pic Pe Vi Ve Y 29 4 Como Vi Vo h FTPs 8145 x10 y 10 hr 05m Prof J Gabriel F Simoes 88 L Vv h f pS D 2g Incdégnitas Ve Q Calculo de Re Vf descoberto por Rouse Re 12 Vv L V2 2gDh hff D 2g y Lv 2gDh L Vf V vD 1 j2gDh D 2gDh Re J EEOC TT vf VV L Vv L 107 20x 107 x05 Re f VF 07x10 10 Re f 45 x 104 Calculo de 2 K D 107 Dags K 259x10 K Diagrama de MoodyRouse Re 28 x 10 Re 248x107 nr a FO 407 Tie one Prof J Gabriel F Simoes 89 Calculo de Ve Q 5 6 Re VD y Rev 28x10 07 x10 v D 10 V 196 ms 2 QvAV2D 49314x001 4 10 Q153x10 ms Q153 s Ou L Vv h f D 2g v2 2gDh FL V 20x10 x05 V 0027 x 10 V 192 ms 2 QV A192 10 4 Q151 x10 ms151 és 1 Tipo Conhecidos VQ py uv L K Incdgnita hr Re 2 vd H Diagrama M R fohy K 2 Tipo Conhecidos hy D py uv L K Incégnitas ve Q Prof J Gabriel F Simdes 90 Prof J Gabriel F Simões 91 K D Diagrama de Moody Rouse f Re f v e Q Re 75 Estudo da Perda de carga singular hs a Generalidades b Fórmula universal da perda de carga singular 2g K v h 2 s s Ks Coeficiente de perda de carga singular Valores de Ks Alargamento brusco da seção 2g K v h 2 1 s s onde 2 K f 3 A Caso particular saida de conduto i Vv faneatis K 1 hat 99 Estreitamento brusco de secao toh snumand de a 2 1 2 h K 2 26 A K f 2 A Caso particular entrada de conduto eee torio F wee Prof J Gabriel F Simoes 92 K 05 2 V h 05 2g Cotovelos 90 K 09 a 10 Cotovelos 45 K06 a 075 Registro gaveta K 02 Registro globo Ks 1000 Valvula de pé K 150 com crivo ee Valvulade Retengao K 23 Tés ES K 06 os i 4 K 18 7 Prof J Gabriel F Simoes 93 76 Instalagoes de Recalque Sendo a pressdo Pg mantida constantemente igual a 543 kgfcm determinar a poténcia da bomba se o seu rendimento for 07 e a pressao a entrada da mesma se a vazao for 40 s Indicaremos por indice S o que se refere a succao por indice R o que se refere ao recalque Le fal eet clea eee Pg 543 kgfcm 543 x 10 kgfm K 015x10m K 15 K K 09 K k 10 K 05 K 1 D15cm015m Dra10cm01m y 1000 kgfm v10 ms Q40 s 4x 10 ms a Determinagao de Ne a1 Introdugao Ny Hs Ne ProfyGabrielFSimées i stsiiCO 94 a2 Determinagao de Hg Bernoulli 0 8 H Hg H Hp Hg H Hy H 0 p 0 Vv 0 0 FM fio oY Hog To 2 4 H Z Fe Me 275 548x109 y 2g 10 H 618m Hb Hp Hp Hp Hp Sucao H h h L ve hy f 2S 5S D 2g Ls 21012m Ds 015m Q 4Q 16x10 Vs a nan A mDg 72015 Vs 226 m Calculo de Re Re VsUs 226X015 pe 34x10 v 10 Turbulento Ds 015 jog K 015x10 Moody Rouse fs 0021 2 hf 002112 276 015 2x10 hf 04m Prof J Gabriel F Simoes 95 2 2 h K 5 K K K 5 2g 28 2 h 15 09 10 oo 2x10 H h h 0466 Recalque H h h h f Le Vp com 5 e D 2g Dg 01m Q 4Q 16x10 Ve Q7 opr ae Ag DR 701 VR 51ms Calculo de Re Re VDa 91 x 01 Vv 10 Re 51 x 10 Pa Ot Dp 666 k 015 x 10 k MoodyRouse f 0023 2 h 0023 x 269 i 01 2x10 h 108m Vv Vv h K 8K K K K 2g 2g 50 h 0510091 s 2x10 h 161m Hp 108161 H 269m Prof J Gabriel F Simdes 96 Hp Hp H 7 269 Hp 339m Substituindo em Hs fica Hs H H H 6180339 H 957m 3 2 a Ne YQH 10 4x10 957 Ne 75 x07 Ng 73C V b Determinagao de Pe Equagao de Bernoulli 0 e e H H Hp P vo Pov Z 2 4 Z H y 2g y 2 2 2 Pooig Ys yo 95276 4 Y 2 2x10 P P 755m 755 y 1000 P7755 kgfm P 775510330 2575 kgf m abs P 02575 kgfcm abs Observacao Importante Cavitacdo E 0 fendmeno da ebulicdo a pressdées reduzidas a temperatura ambiente em tubulagdes ou maquinas hidraulicas Denominase pressao de vapor do liquido a temperatura do escoamento a pressao ocorre a ebuligao Condicgao para que nao ocorra a cavitacao ProfJ Gabriel F Simdes 97 AGUA wy To Tw fT wT oT kgfcm abs 00063 0125 00236 00429 0125 1033 A cavitagao é prejudicial pois as bolhas de vapor alcangando pontos de maior pressao condensam bruscamente com grande liberagao de energia e um desgaste particular devido a agitagao e choque das particulas do liquido sobre as paredes solidas Com isso poderemos ter um desgaste parcial ou total das pas do rotor da maquina e consequentemente diminuigao do rendimento Voltando ao problema P 00236 Kgfcmabs agua 20C No caso P 02575 kgfcm abs P 00236 kgfcm abs Logo nao havera cavitagao Esta condicao é necessaria mas nao suficiente pois por detalhes construtivos podera ocorrer cavitacao no interior da prépria maquina Na pratica estabelecese um indice mais forte para assegurar que nao haja cavitagao NPSH 77 Comprimento Equivalente Le ou Virtual Lv E o comprimento ficticio de conduto que colocado no lugar da singularidade produziria uma perda de carga distribuida igual a perda singular da singularidade Logo 2 2 h h poe Kg D 2g 2g ProfJ Gabriel F Simdes 98 Prof J Gabriel F Simões 99 Obs Na prática há tabelas ou nomogramas que dão o valor de Le em função do diâmetro D para cada tipo de singularidade Vantagem de Le no cálculo da perda de carga total Hp 2g v D L H 2 H T p ƒ Equagao da Quantidade de Capitulo 8 Movimento para Regime Permanente 81 Impulso e Quantidade de Movimento a V V Pela 2 Lei de Newton Fma Como a Fm 2 FtmVV O impulso da forga exercida sobre a corrente fluida é igual a variagao da quantidade de movimento Podese escrever FVV Como Qm F QmV V Pelo Principio da Agao e Reagao RF RQmV V EQM A forga de reagao exercida pela corrente fluida sobre a estrutura solida é igual a variagao com o tempo da quantidade de movimento Vetorialmente RQmV V Se quisermos as componentes de R na diregao de 2 eixos cartesianos x e y Rx Qm V V e Ry QmV Vy I Rx Logo 2 RRx Ry RS Prof J Gabriel F Simoes 100 82 Forca de Reacao Exercida por um Jato Fluido sobre uma Superficie Curva Pa Fixa Ny V Vsene 2 We mocorcctce R 4 je 8 R Wf V Vcos8 Gy Vi POON LK OG VN ef 7 j LF PL 1 vevececacecececececerecseseres Hipdtese O escoamento ao longo da pa é sem atrito logo a velocidade permanecera constante em modulo Logo Vi V2 Vj Calculo de Rx Rx Qm Via Vx2 Rx Qm V1 V2 Cos 8 Como ViVo Vj Rx Qn Vj Vj cos 8 Rx Qm Vj 1 cos 6 Como Qn p Qp Aj Vj Rx p Aj V 1 cos 6 Calculo de Ry Ry Qm Vyi Vyz Ry Qn 47 V2 cos 8 Como V2Vj RyQmn Vj sen 8 Como Qn p QpAj V Ry pAj V sene LogoR Rx Ry Prof J Gabriel F Simdes 101 Exercicios Ex1 Q Wa Vj ap 60 LD ee a 2 ogo THA F Qj aed ween Arh Cqte0 1 Ui if ans DU Ay a 7 Hg A 520 cm A 20 cm Yu0 120 1000 kgfm yHg 13600 kgfm 6 60 g 10 ms Sistema em Equilibrio Fx 0 Rx F pAV1 cosF Vv Fo pA 1cos 8 yef fF pA1cos 6 cos 6 cos 6005 A 520 cm 00520 m 3 2 ypgpi 1000kgf m p1009ts ey g 10ms m m 0 13600 x 2 1000x2 p Logo 26000 kof 2 2600 kgfm 26 kgfcm P 9 10000 cm P 9 FpAp 26 x 20 F 52 kof Substituindo v 2 v 20 v 447 mis 100x00520x105 Mas Q V x Aj 447 ms x 00520 m Q 0233 m Prof J Gabriel F Simdes 102 Ex 2 Vj Sistema em Equilibrio y RY Wye eee TT H a Eee a pi 30 ON a SUDUIIIIIDILOLILLLE LELEEEEEEE y1000kqfim Aj50 cm G4 kaf Fx 0 Rx Gx pA V1cos Gx vy Gx pA1cos6 cos 8 cos900 A 50cm 00050 cm p 1 1000 409 utmm g 10 sena Gx Gsena Gx 4x05 Gx 2kgf Logo 2 100x00050x10 EX 3 NT D15cm D My i ag rrCUt RG i 6 90 Obs 2 2 A mD mx015 4 4 A00176 m Aj ypg100x10 Y 1000 kgfm Prof J Gabriel F Simées 103 Reservatorio de grandes dimensodes Empuxo horizontal sobre a pa 100 kof p 100 utmm nr 70 g 10 ms A perda de carga na tubulagao é desprezivel Rx p Aj V 1 cos 6 100 kgf Como 6 90 cos 0 0 V 100 7537msVv 10000176 QVAQ7537x00176 Q032ms 0 H H H Hp H H H 0 0 0 Dr Vv pe Vo H Z44 Z 4 2 PA pe 2 2 H 30 0 1937 2x10 H27159m N Nn yQHn N 1000x0132x2716x07 N 2509584 kgf ms N 2209984 3550v 75 83 Forca de Reacao Exercida por um Jato Fluido sobre uma Superficie Plana Placa Fixa wv Ve wf J y e x Bi QQ 4 Vv wy 95 8 QO IT root a vsend coseB 5 S j 2 Z 4 ot Vv vf T Prof J Gabriel F Simoes 104 Hipdtese 1 Considerando 0 escoamento sem atrito nao ha perdas de energia e a velocidade permanecera constante em modulo Vi V2 Vj Hipdtese 2 A placa é absolutamente lisa logo nao havera forga tangencial a ela Rx 0 Com isso o fluxo da quantidade de movimento de entrada sera igual ao fluxo da quantidade de movimento de saida Logo QV cos 8 Q Vi Qno V Q COS 0Q Qi pQcos0 pQ pQ Qcos6 Q Q 1 Pela Equacao de Continuidade Qj Qi Qe 2 2 1 Q Q cos 8 Q QQ Q Q Qj 1c0s 6 2 Q Qi 3 1 cos 0 Q Analogamente Qo 7 1 cos 0 Calculo de Ry Ry Qn V sen 0 Como Qm pQj pA V Ry pA V sen 6 Caso Particular Obs eixo X 6 na direcao da placa Jato Perpendicular a placa 6 90 cos 6 0 sen 0 1 Prof J Gabriel F Simoes 105 x Vij 1 y Qy Vi R o 5 28 ert 890 Q 2 v4 Logo Q Q Q so para indicar que tem sentido contrario a y no exercicio entra em mddulo Ry Qn VOp A V2 Ex 4 A agua contida no tanque 1 é descarregada sem atrito O jato incide sobre uma placa de grandes dimensoes que cobre a saida do bocal do tanque 2 Os bocais sao iguais Se hz for conhecido determinar h tal que a forcga do jato seja suficiente para anular a resultante das forcas horizontais que agem sobre a placa x 0 he h ay Ry 2G F SF FLT TL eas 1 7 LF horiz 0 Ry F pA V7 Abs 1 2 2 Ve yh Vy gh 1 1 1 2 2 1 2 ae ys Equagao de Bernoulli no trecho 0 1 Ho Hy 0 0 2 0 2 hy 0 0 7O 1 V 4 po HM BOP og FO Pg VV 5 h og V 2gh 1 Prof J Gabriel F Simées 106 De 1 e 2 Ex 5P Equilibrio da porta e i eeB en x Mi Ne eet ee MAAAL Kinnanng en A4 6 p Ton BRN RRS wo tea D4 oy ae yO s 30 mT PATTTUTLETTETTTTTTTA TTT ON b V 20 ms g 10 ms 1 254 mm y 10 kgfm x desprezar 0 peso da porta MA 0 Mp M Ry PaaRyb PRy p 1 a of sen 30 a let sen 30 4 a b b bf 30 b4 2 a b t a 3 Ry Q Vsen IRyQVsene IRy pQVsenée IRy 3 Vsen 3 2 Ry 10 x01016 452 x05 10 4 IRy 162147 kof 3 Prof J Gabriel F Simées 107 Subt 2 e 8 em 1 P 16215x P 5405 kof 84 Forca de Reacao Exercida por um Jato Fluido sobre uma Superficie Curva Pa Movel wae eeee V2 U V useno7768 SD yy 4 V VieV U Gf V Ucose ho eee 1 Vp Cay SALTILTILIDIL SL Para um observador montado na pa a oO jato percorre a pa com a chamada velocidade relativa Considerando o escoamento sem atrito a mesma permanecera constante em mddulo e sera dada por U Vj Vp b a vazao em massa desviada é a chamada aparente pois devera ser calculada com a velocidade relativa Qmnu p QupAju Calculo de Rx Rx Qn V4 Vy2 Rx Qmu U U COS 8 Rx Qmu u 1 cos 6 Como Qn pQpAU Rx p Au 1 cos 8 Calculo de Ry Ry Qm Vy1 Vya Ry Qnu 0 u sen 8 Como Qnu p QupAju Ry p A ue sen 0 Logo RRx Ry Prof J Gabriel F Simdes 108 sena GT GT Gsena Ex6VV1mis G t Fu tA A Re x H 660 PEs A Se Pe ets Ry OM vo ee 1 ic l ee ETT TT PPPOE LTTE LG Fu GY p100 utmmA 10mG2kgf A10m u 10 kgf sme 10m a 30 6 60 Condigao MRU da Pa Fx 0 Rx T pAu1cos0 T Logo ue n pA1cos cos 8 cos 6005 Condigao MRU do Bloco LF plano inclinado 0TGTFu TGsenatA TGsenapA T 2x0510x10 10 T2kof 2 Subs 2 em 1 2 Uu Tan ant ya A E 100104 105 uV400 u20ms Sabe se que uVV V uV Como V V 1 ms Vj 21 ms Prof J Gabriel F Simées 109