Conceitos Fundamentais da Cinemática

FÍSICA GERAL TEÓRICA E EXPERIMENTAL I I Aula 01 CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA CINEMÁTICA Jocel de Souza Rego RESUMO FÍSICA DO MOVIMENTO A cinemática faz parte da física do movimento O objetivo da cinemático é obter as equações ou funções do movimento de um ponto objeto de estudo e suas variações CONCEITOS FUNDAMENTAIS DA CINEMÁTICA Parâmetros Conceitos preliminares a Trajetória b Hodógrafo Posição𝐫 𝐬 𝛉 Velocidade𝐯 𝛚 Aceleração𝐚 𝛂 tempo𝐭 a Retilíneos 𝐫 𝐯 𝐚 b Curvilíneos 𝛉 𝛚 𝛂 Ponto móvel é o objeto de estudo despreza a dimensão e a massa é um evento físico no espaço tempo Sistema de Referência é o observador define a origem e espaço Trajetória 𝐏𝟎 𝐏𝟏 𝐏𝐧 é a evolução temporal do objeto no espaço tempo é o espaço de configuração da posição tem como referência o observador Hodógrafo 𝐇𝟎 𝐇𝟏 𝐇𝐧 é o espaço de configuração da velocidade tem como referência o objeto de estudo POSIÇÃO e DESLOCAMENTO a Posição 𝐫𝐢𝐎 𝐫𝐢𝐎 b deslocamento 𝐫𝐢𝐎 𝐫𝐢𝐎 e 𝐬𝐢𝐎 𝐬𝐢𝐎 utilize uma calculadora para realizar o cálculo do comprimento Posição Representa à distância entre o observador e o objeto de estudo É uma grandeza vetorial que depende do referencial Tem como referência o observador Representação 𝐫𝐏 𝐫𝐏𝐫 𝐫 direção radial ou de visada Deslocamento É a variação da posição em dois instantes de tempo independe do referencial Deslocamento vetorial distância entre dois pontos Representação 𝐫𝐏 𝐫𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐫𝐈𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐏𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐏𝐈𝐧𝐢𝐧𝐢𝐚𝐥 Deslocamento escalar comprimento da trajetória Representação 𝐬 𝐝𝐬 𝟏 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝟐 𝐱𝐅 𝐱𝐢 𝐝𝐱 VELOCIDADE MÉDIA e INSTANTÂNEA Mede a rapidez do deslocamento do ponto material É a taxa horária da variação média ou instantânea da posição É uma grandeza vetorial que aponta para onde o objeto está indo Representação 𝐯𝐭 𝐯𝐭 𝐯 Tipos de movimento Mov PROGRESSIVO velocidade é positiva Mov RETROGRADO velocidade é negativa Velocidade média É secante a trajetória Velocidade instantânea É tangente a trajetória A velocidade média é constante durante cada intervalo de tempo Taxa horária da variação média da posição Representação 𝐯𝐌 𝐫 𝐭 𝐫𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐫𝐈𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐭𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐭𝐈𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 Velocidade média escalar A velocidade média é constante durante o intervalo de tempo 𝐯𝐌 𝚫𝐬 𝚫𝐭 𝐯𝐢𝐭𝐢 𝐭𝐢 𝐯𝟏𝐭𝟏 𝐯𝐧𝐭𝐧 𝐭𝟏 𝐭𝐧 Média Aritmética ponderada pelo tempo 𝚺𝐝𝐢 𝚺 𝐝𝐢 𝐯𝐢 𝐝𝟏 𝐝𝐧 𝐝𝟏 𝐯𝟏 𝐝𝐧 𝐯𝟐 Média Harmônica ponderada pela distancia Taxa horária da variação instantânea da posição derivada Representação 𝐯𝐭 𝐥𝐢𝐦 𝚫𝐭𝟎 𝚫𝐫 𝚫𝐭 𝐝𝐫 𝐝𝐭 𝐯 a Velocidade média b Velocidade instantânea 𝐯𝐌 𝐫 𝐭 𝐯𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐫𝐭 utilize uma calculadora para realizar o cálculo da velocidade instantânea Pense e responda O que significa um móvel ter uma velocidade constante de a 𝟏𝟎𝐦𝐬 em 1 segundo o móvel aumenta seu deslocamento em 𝟏𝟎𝐦 b 𝟏𝟎𝐦𝐬 eem 1 segundo o móvel diminui seu deslocamento em 𝟏𝟎𝐦 c 𝟎 𝐦𝐬 em 1 segundo o móvel teve deslocamento escalar ou vetorial nulo ACELERAÇÃO MÉDIA e INSTANTÃNEA Mede a variação na velocidade do objeto de estudo É uma grandeza vetorial que aponta para onde o objeto deve ir Representação 𝐚𝐭 𝐚𝐭𝐚 𝐚𝐯𝐭 𝐯 𝐚𝐜𝐩𝐭𝐧 𝐚𝐭 𝐚𝐯𝐭𝟐 𝐚𝐜𝐩𝐭 𝟐 Tipos de movimento Mov ACELERADO aceleração tem o mesmo sinal da velocidade velocidade aumenta Mov RETARDADO aceleração tem sinal contrário à velocidade velocidade diminui Aceleração média Aceleração instantânea Taxa horária da variação média da velocidade Representação 𝐚𝐌 𝐯 𝐭 𝐯𝐯 𝐭 𝐯 𝐯𝐧 𝐭 𝐧 𝐯𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐯𝐈𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 𝐭𝐅𝐢𝐧𝐚𝐥 𝐭𝐈𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥 Aceleração média escalar A aceleração média é constante durante o intervalo de tempo 𝐚𝐌 𝚫𝐯 𝚫𝐭 𝐚𝐢𝐭𝐢 𝐭𝐢 𝐚𝟏𝐭𝟏 𝐚𝐧𝐭𝐧 𝐭𝟏 𝐭𝐧 Média Aritmética ponderada pelo tempo 𝚺𝐯𝐢 𝚺 𝐯𝐢 𝐚𝐢 𝐯𝟏 𝐯𝐧 𝐯𝟏 𝐚𝟏 𝐯𝐧 𝐚𝟐 Média Harmônica ponderada pela velocidade Taxa de variação instantânea da velocidade Representação 𝐚𝐭 𝐚𝐭𝐚 𝐚𝐯𝐭 𝐯 𝐚𝐜𝐩𝐭𝐧 𝛒 é o raio da curva no ponto 𝐚𝐯𝐭 𝐝𝐯 𝐝𝐭 𝐚𝐜𝐩𝐭 𝐯𝟐 𝝆 a Aceleração média b Aceleração instantânea 𝐚𝐌 𝐯 𝐭 𝐚𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐯𝐭𝐯 𝐯𝐭𝟐 𝛒 𝐧 utilize uma calculadora para realizar o cálculo da aceleração instantânea Pense e responda O que significa um móvel ter uma aceleração constante de a 𝟏𝟎𝐦𝐬𝟐 em 1 segundo o móvel aumenta a sua velocidade em 𝟏𝟎𝐦𝐬 b 𝟏𝟎𝐦𝐬𝟐 em 1 segundo o móvel diminui a sua velocidade em 𝟏𝟎𝐦𝐬 c 𝟎 𝐦𝐬𝟐 o móvel possui velocidade constante Para cada caso abaixo identifique o sinal do deslocamento da velocidade e da aceleração do objeto de estudo a O que significa um móvel ter deslocamento positivoo móvel desloca se no mesmo sentido definido pelo sistema de referência b O que significa um móvel ter deslocamento negativoo móvel desloca se sentido contrário ao definido pelo sistema de referência c O que significa um móvel ter movimento progressivo e retardado𝐫 𝟎 𝐯 𝟎 e 𝐚 𝟎 d O que significa um móvel ter movimento progressivo e acelerado 𝐫 𝟎 𝐯 𝟎 e 𝐚 𝟎 e O que significa um móvel ter movimento retrogrado e retardado 𝐫 𝟎 𝐯 𝟎 e 𝐚 𝟎 f O que significa um móvel ter movimento retrogrado e acelerado 𝐫 𝟎 𝐯 𝟎 e 𝐚 𝟎 Pare pense bem e responda Verdadeiro ou Falso 1 O vetor velocidade 𝐯 ad infinitum tende à alinharse ao vetor aceleração 𝐚V 2 Se no movimento o vetor aceleração é constante 𝐚 a trajetória do móvel está restrita ao plano formado por 𝐚 e 𝐯V 3 Se o vetor aceleração 𝐚 e o vetor velocidade 𝐯 estão na mesma direção o movimento é retilíneoV 4 Se o vetor aceleração 𝐚 e o vetor velocidade 𝐯 estão em direções diferentes o movimento é curvilineoV PRÉ REQUISITOS O objetivo de apresentar os prérequisitos matemáticos desta disciplina não é que voce saiba desenvolver os cálculos mas sim saiba QUANDO e COMO UTILIZAR Por exemplo você sabe como se calcula 𝜋 confesso que nem eu mas podemos utilizar as ferramentas que faça este cálculo quando necessário sem prejuízo do entendimento da física Atualmente com o uso da inteligência artificial voce encontra disponível na rede mundial de computadores ferramentas computacionais que realizam estes cálculos para você Algumas calculadoras cientificas também trazem esta funcionalidade A realização dos procedimentos dos cálculos foge ao escopo desta disciplina mas será abordada em outra disciplina que deve tratar o cálculo diferencial e integral com mais propriedade FUNÇÃO MÉDIA É uma função constante tal que a área acima e abaixo em relação a função média fM é a mesma 𝐟𝐌 𝟏 𝐱 𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐱 𝐱𝟎 Na física é utilizada para obter a velocidade média e aceleração média ou seja a quantidade média 𝐯𝐌 𝟏 𝐭 𝐯𝐭𝐝𝐭 𝐭𝐟 𝐭𝐢 𝐞 𝐚𝐌 𝟏 𝐭 𝐚𝐭𝐝𝐭 𝐭𝐟 𝐭𝐢 onde 𝐭 𝐭𝐟 𝐭𝐢 DERIVADA Operador Derivada aplicado na função 𝐟𝐱 𝐃𝒙𝐟𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 Derivada definida no ponto 𝐏 𝐱𝐏𝐟𝐱𝐏 𝐃𝐱𝐟𝐱𝐏 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐱𝐱𝐏 Seja 𝐟𝐱 e 𝐠𝐱 funções continuas e 𝐤 uma constante então Regras de Derivadas úteis 𝐝 𝐝𝐱 𝐤 𝐟𝐱 𝐤 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐠𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐠𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐠𝐱 𝐟𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐠𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐠𝐱 Derivada de função polinomial 𝐟𝐱 𝐱𝐧 𝐝 𝐝𝐱 𝒙𝒏 𝐧𝐱𝒏𝟏 Taxa de variação infinitesimal da variável 𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐥𝐢𝐦 𝐱𝟎 𝐟 𝐱 𝐥𝐢𝐦 𝐱𝟎 𝐟𝐱 𝐱 𝐟𝐱 𝐱 Inclinação da reta tangente no ponto 𝐱𝑷 𝐟𝐱𝑷 𝐃𝒙𝐟𝐱𝐏 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐱𝐱𝐏 Equação da reta tangente no ponto 𝐏 𝐱𝐏 𝐟𝐱𝐏 𝐲 𝐦𝐱 𝐲𝟎 Na física a derivada é utilizada para obter as variações instantâneas dos parâmetros da cinemática ou seja a Como a velocidade é a taxa de variação instantânea da posição então 𝐯𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐫𝐭 onde 𝐫𝐭 é a posição em função ao tempo 𝐭 b Como a aceleração é a taxa de variação instantânea da velocidade então 𝐚𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐯𝐭 onde 𝐯𝐭 é a velocidade em função ao tempo 𝐭 INTEGRAL Operador Integral 𝐈𝐱 𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐂 Integrais definidas no intervalo 𝐱𝟎 até 𝐱 de uma função fx 𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐱 𝐱𝟎 𝐈𝐱𝐱𝟎 𝐱 𝐈𝐱 𝐈𝐱𝟎 Regras de Integrais indefinidas 𝐤𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐤 𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝐠𝐱𝐝𝐱 𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐠𝐱𝐝𝐱 Integral de função polinomial 𝐟𝐱 𝐱𝐧 𝐱𝐧𝐝𝐱 𝐱𝐧𝟏 𝐧 𝟏 Comprimento Soma infinitesimais de comprimento 𝐝𝐬 Área Soma de áreas infinitesimais 𝐝𝐀 𝐟𝐌 𝐝𝐱 𝐋 𝐝𝐬 𝐥𝐢𝐦 𝐬𝟎𝐬𝐢 𝐝𝐱𝟐 𝐝𝐲𝟐 𝐱𝐢 𝐱𝐟 𝟏 𝐝𝐲 𝐝𝐱 𝟐 𝐝𝐱 𝐱𝐢 𝐱𝐟 𝐀 𝐝𝐀 𝐥𝐢𝐦 𝐱𝟎 𝐟𝐱𝐱𝐢 𝐟𝐱𝐝𝐱 𝐱𝐟 𝐱𝐢 Na física se faz necessário obter o comprimento 𝐋 de trajetórias curvilíneas definida por uma função fx como a soma de comprimentos infinitesimais 𝐝𝐬 desde 𝐱𝐢 até 𝐱𝐅 ou seja 𝐋 𝐝𝐬 𝐱𝐅 𝐱𝐢 𝟏 𝐝 𝐝𝐱 𝐟𝐱 𝟐 𝐱 𝟎 𝐝𝐱 Na física as equações horárias do movimento são veja quando utilizar no organograma ao lado 𝐫 𝐫𝐭 𝒓𝟎 𝐯𝐭𝐝𝐭 𝐭 𝐭𝟎 𝐯𝟎𝐭 𝐭𝟎 𝐚𝐭𝐝𝐭 𝐭 𝐭𝟎 𝐝𝐭 𝐭 𝐭𝟎 𝐯 𝐯𝐭 𝐯𝟎 𝐚𝐭𝐝𝐭 𝐭 𝐭𝟎 𝐚𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐯𝐭 𝐝𝟐 𝐝𝐭𝟐 𝐫𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐫𝐭 𝐯𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐫𝐭 Na rede mundial de computadores voce encontra vários sites que faz os cálculos de derivadas e integrais pra voce Symbolab httpsptsymbolabcom geogebra httpswwwgeogebraorg Na aula remota o prof utilizara a ferramenta disponível em httpsptsymbolabcom pois é a que mais se aproxima da notação CAS utilizada na disciplina Este quadro traz toda a informação que você precisa saber Na física o mais importante é saber quando e como utilizar a derivada e a integral Portanto utilize as ferramentas computacional que se encontra na web para realizar os cálculos PROBLEMAS RESOLVIDOS PROBLEMA RESOLVIDO 01 Assunto Deslocamento vetorial e escalar Determine o deslocamento vetorial e escalar de cada uma das trajetórias a Resp𝐫 𝟎 𝟓𝟎 𝐦 e 𝐬 𝟎 𝟕𝟎 𝐦 b Resp𝐫 𝟎 𝟓𝟎 𝐦 e 𝐬 𝟎 𝟕𝟎 𝐦 c Resp𝐫 𝟎 𝟒𝟎 𝐦 e 𝐬 𝟎 𝟔𝟑 𝐦 d Resp𝐫 𝟒 𝟒𝟕 𝐦 e 𝐬 𝟒 𝟔𝟓 𝐦 Observação deslocamento vetorial depende apenas das posições inicias e finais enquanto o deslocamento efetivo depende do caminho percorrido na trajetória integral de linha PROBLEMA RESOLVIDO 02 Assunto Posição e deslocamento em diferentes referencias Um carro está parado em um semáforo 𝐒 que se encontra 𝟎 𝟓 𝐤𝐦 à direita de um posto de gasolina 𝐏 O carro começa a se mover em linha reta afastandose do posto e depois de algum tempo encontrase à 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 do semáforo Calcule a A posição inicial e final do carro em relação ao semáforo𝐬𝟎 𝟎 𝟎 𝐤𝐦 e 𝐬𝐭 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 b A posição inicial e final do carro em relação ao posto𝐬𝟎 𝟎 𝟓 𝐤𝐦 e 𝐬𝐭 𝟑 𝟓 𝐤𝐦 c O deslocamento do carro em relação ao semáforo 𝚫𝐬 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 d O deslocamento do carro em relação ao posto 𝚫𝐬 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 Observação posição depende do referencial deslocamento independe do referencial PROBLEMA RESOLVIDO 03 Assunto Velocidade média Durante uma viagem você percorre o primeiro trecho de 𝟏 𝐤𝐦 do percurso com velocidade média de 𝟏𝟐𝟎 𝐤𝐦𝐡 e o segundo trecho de 𝟐 𝐤𝐦 com a velocidade de 𝟖𝟎 𝐤𝐦𝐡 Calcule a A velocidade média 𝐯𝐌 do percurso total𝐯𝐌 𝟗𝟎 𝐤𝐦𝐡 b O intervalo de tempo de cada trecho da viagem 𝐭𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟖𝟑 𝐬 𝐞 𝐭𝟐 𝟎 𝟎𝟐𝟓𝟎 𝐬 Observação A Velocidade média é uma média harmônica das velocidades ponderada pelo tempo PROBLEMA RESOLVIDO 04 Assunto Velocidade média Durante uma viagem você percorre metade do percurso com velocidade média de 𝟏𝟐𝟎 𝐤𝐦𝐡 Qual deve ser a velocidade média da outra metade do percurso para que a sua velocidade média total seja de 𝟖𝟎 𝐤𝐦𝐡 𝐯𝟐 𝟔𝟎 𝐤𝐦𝐡 PROBLEMA RESOLVIDO 05 Assunto Velocidade média velocidade instantânea e média das velocidades A posição de uma partícula é descrita em função do tempo por 𝐱𝐭 𝟐𝟎𝟎 𝐭𝟑𝐦 Nestas condições calcule a a velocidade média 𝐯𝐌 da partícula durante o intervalo de tempo 𝐭𝟏 𝟐𝐬 até 𝐭𝟐 𝟔𝐬𝐯𝐌 𝟓𝟐 𝐦𝐬 b a média das velocidades 𝐯 nos instantes 𝐭𝟏 𝟐𝐬 e 𝐭𝟐 𝟔𝐬 v 𝟔𝟎 𝐦𝐬 Observação A velocidade média 𝐯𝐌 é diferente de média das velocidades 𝐯 PROBLEMA RESOLVIDO 06 Assunto Aceleração média aceleração instantânea e média das acelerações A aceleração de uma partícula é descrita em função do tempo por 𝐚𝐭 𝟐 𝟑𝐭𝟐 𝐦𝐬𝟐 Sabendo que no instante inicial a velocidade da partícula é 𝟏𝟎 𝐦𝐬 calcule a a média das acelerações 𝐚 nos instantes 𝐭𝟏 𝟐𝐬 e 𝐭𝟐 𝟔𝐬 a 𝟔𝟐 𝐦𝐬𝟐 b a aceleração média 𝐚𝐌 da partícula durante o intervalo de tempo 𝐭𝟏 𝟐𝐬 a 𝐭𝟐 𝟔𝐬𝐚𝐌 𝟓𝟒 𝐦𝐬𝟐 Observação A aceleração média 𝐚𝐌 é diferente de média das acelerações 𝐚 PROBLEMA RESOLVIDO 07 Assunto Aceleração Para testar o desempenho um automóvel é conduzido em uma pista de teste circular de raio 𝛒 conforme mostra a figura a Calcule a distância em metros que o carro deve fazer a curva em relação ao centro da pista sabendo que quando a velocidade do automóvel é de 𝟕𝟐 𝐤𝐦𝐡 a componente normal da aceleração é de 𝟑 𝟐 𝐦𝐬𝟐1𝟐𝟓 𝐦 b Calcule a velocidade do automóvel em 𝐤𝐦𝐡 se quando a distância do automóvel ao centro da pista for de 𝟏𝟖𝟎 𝐦 a componente normal da aceleração deve ser de 𝟎 𝟔 𝐠 onde 𝐠 é a aceleração da gravidade do local ou seja 𝐠 𝟗 𝟖𝟏 𝐦𝐬𝟐𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟖 𝐤𝐦𝐡 PROBLEMA RESOLVIDO 08 Assunto Aceleração PROBLEMA RESOLVIDO 09 Assunto Aceleração De acordo com a figura abaixo o pino 𝐀 que está conectado à barra 𝐀𝐁 Num projeto de rodovia tal como mostra a figura abaixo calcule está vinculado a moverse na ranhura circular 𝐂𝐃 de raio 𝟗𝟎 𝐦𝐦 Constatase que num certo instante de tempo a velocidade do pino é de 𝟒𝟎 𝐦𝐦𝐬 e está aumentando a uma taxa de variação constante de 𝟐𝟎 𝐦𝐦𝐬𝟐 calcule a aceleração total do pino neste instante 𝐚 𝟐𝟔 𝟕𝟔 𝐦𝐦𝐬𝟐 o menor raio 𝐑 em metros que deve ser usado no trecho do retorno circular se a componente normal da aceleração de um veículo viajando a 𝟕𝟐 𝐤𝐦𝐡 não ultrapasse 𝟐 𝟕 𝐦𝐬𝟐 𝛒 𝟏𝟒𝟖 𝟏𝟗𝐦 PROBLEMA RESOLVIDO 10 Assunto Valor médio de uma função Represente a função média correspondente a cada grafico abaixo a Resp b Resp c Resp SOLUÇÃO DOS PROBLEMAS RESOLVIDOS PROBLEMA RESOLVIDO 01 Assunto Deslocamento vetorial e escalar Determine o deslocamento vetorial e escalar de cada uma das trajetórias Figura 1A Figura 2A Figura 3A Figura 4A a Resp𝐫 𝟎 𝟓𝟎 𝐦 e 𝐬 𝟎 𝟕𝟎 𝐦 b Resp𝐫 𝟎 𝟓𝟎 𝐦 e 𝐬 𝟎 𝟕𝟎 𝐦 c Resp𝐫 𝟎 𝟒𝟎 𝐦 e 𝐬 𝟎 𝟔𝟑 𝐦 d Resp𝐫 𝟒 𝟒𝟕 𝐦 e 𝐬 𝟒 𝟔𝟓 𝐦 Observação deslocamento vetorial depende apenas das posições inicias e finais enquanto o deslocamento efetivo depende do caminho percorrido na trajetória integral de linha SOLUÇÃO Fornecido 𝐫 𝟎 𝟑𝟐 𝟎 𝟒𝟐 𝟎 𝟓𝟎 𝐦 𝐬 𝐬𝟏 𝐬𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 𝟒 𝟎 𝟕𝟎 𝐦 Fornecido 𝐫 𝟎 𝟑𝟐 𝟎 𝟒𝟐 𝟎 𝟓𝟎 𝐦 𝐬 𝟎 𝟏 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑 𝟎 𝟕𝟎 𝐦 Fornecido 𝐫 𝟐𝐑 𝟐𝟎 𝟐 𝟎 𝟒𝟎 𝐦 𝐬 𝟐𝛑𝐑 𝟐 𝛑𝐑 𝟎 𝟐𝟎𝛑 𝐦 𝟎 𝟔𝟐𝟖𝟑 𝐦 Fornecido 𝐫 𝟐𝟐 𝟒𝟐 𝟐𝟎 𝟐𝟓 𝟒 𝟒𝟕𝟐𝟏 𝐦 𝐲 𝐱𝟐 𝐝𝐲 𝐝𝐱 𝐝 𝐝𝐱 𝐱𝟐 𝟐𝐱 𝐬 𝐝𝐬 𝟏 𝐝𝐲 𝐝𝐱 𝟐 𝐝𝐱 𝐱 𝐱𝟎 𝟏 𝟒𝐱𝟐 𝟐 𝟎 𝐝𝐱 𝟒 𝟔𝟒𝟔𝟖 𝐦 utilize uma calculadora ou o programa symbolab para fazer o cálculo da derivada e integral OBSERVAÇÃO Cálculo do comprimento 𝐋 definida por uma função 𝒚 𝐟𝐱 contínua no intervalo 𝐱𝟎 𝐱 é realizado por 𝐋 𝟏 𝐝𝐲 𝐝𝐱 𝟐 𝐱 𝐱𝟎 𝐝𝐱 PROBLEMA RESOLVIDO 02 Assunto Posição e deslocamento em diferentes referencias Um carro está parado em um semáforo 𝐒 que se encontra 𝟎 𝟓 𝐤𝐦 à direita de um posto de gasolina 𝐏 O carro começa a se mover em linha reta afastandose do posto e depois de algum tempo encontrase à 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 do semáforo Calcule a A posição inicial e final do carro em relação ao semáforo𝐬𝟎 𝟎 𝟎 𝐤𝐦 e 𝐬𝐭 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 b A posição inicial e final do carro em relação ao posto𝐬𝟎 𝟎 𝟓 𝐤𝐦 e 𝐬𝐭 𝟑 𝟓 𝐤𝐦 c O deslocamento do carro em relação ao semáforo 𝚫𝐬 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 d O deslocamento do carro em relação ao posto 𝚫𝐬 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 Observação posição depende do referencial deslocamento independe do referencial SOLUÇÃO Representação geométrica do problema a 𝐬𝟎 𝟎 𝟎 𝐤𝐦 e 𝐬𝐭 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 b 𝐬𝟎 𝟎 𝟓 𝐤𝐦 e 𝐬𝐭 𝟎 𝟓 𝟑 𝟎 𝟑 𝟓 𝐤𝐦 c 𝚫𝐬 𝟑 𝟎 𝟎 𝟎 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 d 𝚫𝐬 𝟑 𝟓 𝟎 𝟓 𝟑 𝟎 𝐤𝐦 PROBLEMA RESOLVIDO 03 Assunto Velocidade média Durante uma viagem você percorre o primeiro trecho de 𝟏 𝐤𝐦 do percurso com velocidade média de 𝟏𝟐𝟎 𝐤𝐦𝐡 e o segundo trecho de 𝟐 𝐤𝐦 com a velocidade de 𝟖𝟎 𝐤𝐦𝐡 Calcule a A velocidade média do percurso total𝐯𝐦 𝟗𝟎 𝐤𝐦𝐡 b O intervalo de tempo de cada trecho da viagem 𝐭𝟏 𝟎 𝟎𝟎𝟖𝟑 𝐡 𝐞 𝐭𝟐 𝟎 𝟎𝟐𝟓𝟎 𝐡 Observação A Velocidade média é uma média harmônica das velocidades ponderada pela distância SOLUÇÃO Representação geométrica do problema 𝐚 𝐯𝐌 𝐀𝐁 𝐭 𝐝𝟏 𝐝𝟐 𝐭𝟏 𝐭𝟐 𝐝𝟏 𝐝𝟐 𝐝𝟏 𝐯𝟏 𝐝𝟐 𝐯𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝟐 𝟖𝟎 𝟑 𝟐 𝟑𝟐 𝟐𝟒𝟎 𝟐𝟒𝟎𝟑 𝟖 𝟕𝟐𝟎 𝟖 𝟗𝟎 𝐤𝐦𝐡 𝐛 𝐭𝟏 𝐝𝟏 𝐯𝟏 𝟏 𝟏𝟐𝟎 𝟎 𝟎𝟎𝟖𝟑 𝐡 𝟎 𝟓 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬 𝟑𝟎 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬 𝐞 𝐭𝟐 𝐝𝟐 𝐯𝟐 𝟐 𝟖𝟎 𝟎 𝟎𝟐𝟓𝟎 𝐡 𝟏 𝟓 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨𝐬 𝟏 𝐦𝐢𝐧𝐮𝐭𝐨 𝐞 𝟑𝟎 𝐬𝐞𝐠𝐮𝐧𝐝𝐨𝐬 PROBLEMA RESOLVIDO 04 Assunto Velocidade média Durante uma viagem você percorre metade do percurso com velocidade média de 𝟏𝟐𝟎 𝐤𝐦𝐡 Qual deve ser a velocidade média da outra metade do percurso para que a sua velocidade média total seja de 𝟖𝟎 𝐤𝐦𝐡 𝐯𝟐 𝟔𝟎 𝐤𝐦𝐬 SOLUÇÃO Representação geométrica do problema 𝐭 𝐭𝟏 𝐭𝟐 𝐝 𝐯𝐌 𝐝 𝟐𝐯𝟏 𝐝 𝟐𝐯𝟐 𝟏 𝟐𝐯𝟐 𝟏 𝐯𝐌 𝟏 𝟐𝐯𝟏 𝟏 𝟐𝐯𝟐 𝟏 𝟖𝟎 𝟏 𝟐𝟒𝟎 𝟏 𝟐𝐯𝟐 𝟐𝟒𝟎 𝟖𝟎 𝟖𝟎 𝟐𝟒𝟎 𝟐𝐯𝟐𝟏𝟔𝟎 𝟏𝟗 𝟐𝟎𝟎 𝐯𝟐 𝟏𝟗 𝟐𝟎𝟎 𝟑𝟐𝟎 𝟔𝟎 𝐤𝐦𝐡 PROBLEMA RESOLVIDO 05 Assunto Velocidade média velocidade instantânea e média das velocidades A posição de uma partícula é descrita em função do tempo por 𝐱𝐭 𝟐𝟎𝟎 𝐭𝟑𝐦 Nestas condições calcule a a velocidade média 𝐯𝐌 da partícula durante o intervalo de tempo 𝐭𝟏 𝟐𝐬 até 𝐭𝟐 𝟔𝐬𝐯𝐌 𝟓𝟐 𝐦𝐬 b a média das velocidades 𝐯 nos instantes 𝐭𝟏 𝟐𝐬 e 𝐭𝟐 𝟔𝐬 v 𝟔𝟎 𝐦𝐬 Observação A Velocidade média é diferente de média das velocidades SOLUÇÃO Fornecido 𝐱𝐭 𝟐𝟎𝟎 𝐭𝟑 𝐦 𝐭𝟎 𝟎𝐬 𝐱𝟎 𝐱𝐭𝟎 𝟐𝟎𝟎 𝐦 a Calculando a velocidade média 𝐱𝐭 𝟐𝟎𝟎 𝐭𝟑 𝐦 𝐭𝟏 𝟐𝐬 então x𝟐 𝟐𝟎𝟎 𝟐𝟑 𝟐𝟎𝟖 𝐦 𝐭𝟐 𝟔𝐬 então x𝟔 𝟐𝟎𝟎 𝟔𝟑 𝟒𝟏𝟔 𝐦 𝐯𝐌 𝐱 𝐭 𝒙𝟔 𝐱𝟐 𝟔 𝟐 𝟒𝟏𝟔 𝟐𝟎𝟖 𝟒 𝟐𝟎𝟖 𝟒 𝟓𝟐 𝐦𝐬 b Determinando a velocidades instantâneas 𝐯𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝐱𝐭 𝐝 𝐝𝐭 𝟐𝟎𝟎 𝐭𝟑 𝟑𝐭𝟐 𝐭𝟏 𝟐𝐬 então v𝟐 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟐 𝐦𝐬 𝐭𝟐 𝟔𝐬 então v𝟔 𝟑𝟔𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝐦𝐬 Calculando a média das velocidades 𝐯 𝐯𝟐 𝐯𝟔 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟎𝟖 𝟐 𝟏𝟐𝟎 𝟐 𝟔𝟎 𝐦𝐬 utilize a calculadora para realizar o cálculo da velocidade instantânea Utilizando httpsptsymbolabcom PROBLEMA RESOLVIDO 06 Assunto Aceleração média aceleração instantânea e média das acelerações A aceleração de uma partícula é descrita em função do tempo por 𝐚𝐭 𝟐 𝟑𝐭𝟐 𝐦𝐬𝟐 Sabendo que no instante inicial a velocidade da partícula é 𝟏𝟎 𝐦𝐬 calcule a a média das acelerações 𝐚 nos instantes 𝐭𝟏 𝟐𝐬 e 𝐭𝟐 𝟔𝐬 a 𝟔𝟐 𝐦𝐬𝟐 b a aceleração média 𝐚𝐌 da partícula durante o intervalo de tempo 𝐭𝟏 𝟐𝐬 a 𝐭𝟐 𝟔𝐬𝐚𝐌 𝟓𝟒 𝐦𝐬𝟐 Observação Aceleração média é diferente de média das acelerações SOLUÇÃO Fornecido 𝐚𝐭 𝟐 𝟑𝐭𝟐 𝐦𝐬𝟐 𝐯𝟎 𝐯𝟎 𝟏𝟎 𝐦𝐬 a Calculando a média das acelerações nos instantes 𝐚𝐭 𝟐 𝟑𝐭𝟐 𝐦𝐬𝟐 𝐭𝟏 𝟐𝐬 então 𝐚𝟐 𝟐 𝟑𝟐𝟐 𝟏𝟒 𝐦𝐬𝟐 𝐭𝟐 𝟔𝐬 então 𝐚𝟔 𝟒 𝟑𝟔𝟐 𝟏𝟏𝟎 𝐦𝐬𝟐 𝐚 𝐚𝟏 𝐚𝟔 𝟐 𝟏𝟒 𝟏𝟏𝟎 𝟐 𝟏𝟐𝟒 𝟐 𝟔𝟐 𝐦𝐬𝟐 b Determinando a velocidade instantânea 𝚫𝐯 𝐯𝐭 𝐯𝟎 𝐚𝐭𝐝𝐭 𝐭 𝟎 𝐯𝐭 𝐯𝟎 𝟐 𝟑𝐭𝟐 𝐭 𝟎 𝐝𝐭 𝐯𝐭 𝐯𝟎 𝟐𝐭 𝐭𝟑 𝐯𝐭 𝟏𝟎 𝟐𝐭 𝐭𝟑 𝐭𝟏 𝟐𝐬 então v𝟐 𝟏𝟎 𝟐𝟐 𝟐𝟑 𝟐𝟐 𝐦𝐬 𝐭𝟐 𝟔𝐬 então v𝟔 𝟏𝟎 𝟐𝟔 𝟔𝟑 𝟐𝟑𝟖 𝐦𝐬 Calculando a aceleração média 𝐚𝐌 𝐯 𝐭 𝐯𝟔 𝐯𝟐 𝟔 𝟐 𝟐𝟑𝟖 𝟐𝟐 𝟒 𝟐𝟏𝟔 𝟒 𝟓𝟒 𝐦𝐬𝟐 utilize a calculadora para realizar o cálculo da velocidade instantânea OBSERVAÇÃO Se a aceleração é a taxa instantânea da velocidade então a velocidade é a integral da aceleração integral é a função inversa da derivada ou seja 𝐚𝐭 𝐝𝐯 𝐝𝐭 𝐝𝐯 𝐚𝐭𝐝𝐭 𝐝𝐯 𝐚𝐭𝐝𝐭 𝚫𝐯 𝐚𝐭𝐝𝐭 PROBLEMA RESOLVIDO 07 Assunto Aceleração Para testar o desempenho um automóvel é conduzido em uma pista de teste circular de raio 𝛒 conforme mostra a figura c Calcule a distância em metros que o carro deve fazer a curva em relação ao centro da pista sabendo que quando a velocidade do automóvel é de 𝟕𝟐 𝐤𝐦𝐡 a componente normal da aceleração é de 𝟑 𝟐 𝐦𝐬𝟐1𝟐𝟓 𝐦 d Calcule a velocidade do automóvel em 𝐤𝐦𝐡 se quando a distância do automóvel ao centro da pista for de 𝟏𝟖𝟎 𝐦 a componente normal da aceleração deve ser de 𝟎 𝟔 𝐠 onde 𝐠 é a aceleração da gravidade do local ou seja 𝐠 𝟗 𝟖𝟏 𝐦𝐬𝟐𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟖 𝐤𝐦𝐡 SOLUÇÃO a Fornecido 𝐯 𝟕𝟐 𝐤𝐦𝐡 𝟕𝟐 𝟑 𝟔 𝟐𝟎 𝐦𝐬 𝐚𝐧 𝟑 𝟐 𝐦𝐬𝟐 a 𝐚𝐧 𝐯𝟐 𝛒 𝛒 𝐯𝟐 𝐚𝐧 𝟐𝟎𝟐 𝟑 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝟑 𝟐 𝟏𝟐𝟓 𝐦 b 𝐚𝐧 𝐯𝟐 𝛒 𝐯 𝐚𝐧𝛒 𝟎 𝟔𝟗 𝟖𝟏𝟏𝟖𝟎 𝟑𝟐 𝟓𝟒𝟗𝟕 𝐦𝐬 𝟑𝟐 𝟓𝟒𝟗𝟕𝟑 𝟔 𝟏𝟏𝟕 𝟏𝟕𝟖𝟗 𝐤𝐦𝐡 b Fornecido 𝛒 𝟏𝟖𝟎𝐦 𝐚𝐧 𝟎 𝟔 𝐠 𝐠 𝟗 𝟖𝟏𝐦𝐬𝟐 PROBLEMA RESOLVIDO 08 Assunto Aceleração PROBLEMA RESOLVIDO 09 Assunto Aceleração De acordo com a figura abaixo o pino 𝐀 que está conectado à barra 𝐀𝐁 Num projeto de rodovia tal como mostra a figura abaixo calcule está vinculado a moverse na ranhura circular 𝐂𝐃 de raio 𝟗𝟎 𝐦𝐦 Constatase que num certo instante de tempo a velocidade do pino é de 𝟒𝟎 𝐦𝐦𝐬 e está aumentando a uma taxa de variação constante de 𝟐𝟎 𝐦𝐦𝐬𝟐 calcule a aceleração total do pino neste instante 𝐚 𝟐𝟔 𝟕𝟔 𝐦𝐦𝐬𝟐 o menor raio 𝐑 em metros que deve ser usado no trecho do retorno circular se a componente normal da aceleração de um veículo viajando a 𝟕𝟐 𝐤𝐦𝐡 não ultrapasse 𝟐 𝟕 𝐦𝐬𝟐 𝛒 𝟏𝟒𝟖 𝟏𝟓𝐦 SOLUÇÃO Fornecido 𝛒𝐀 𝟗𝟎 𝐦𝐦 𝐯𝐀 𝟒𝟎 𝐦𝐦𝐬 𝐚𝐯 𝟐𝟎 𝐦𝐦𝐬𝟐 a2 an 2 av 2 𝐚 vA2 ρA 2 av2 𝟒𝟎𝟐 𝟗𝟎 𝟐 𝟐𝟎𝟐 𝟐𝟔 𝟕𝟓𝟗𝟏 𝐦𝐦𝐬𝟐 SOLUÇÃO Fornecido 𝐯 𝟕𝟐 𝐤𝐦𝐡 𝟕𝟐 𝟑 𝟔 𝟐𝟎 𝐦𝐬 𝐚𝒄𝒑 𝟐 𝟕 𝐦𝐬𝟐 𝐚𝐜𝐩 𝐯𝟐 𝛒 𝛒 𝐯𝟐 𝐚𝐜𝐩 𝛒 𝟐𝟎𝟐 𝟐 𝟕 𝟏𝟒𝟖 𝟏𝟒𝟖𝟏 𝐦 PROBLEMA RESOLVIDO 10 Assunto Valor médio de uma função Represente a função média correspondente a cada grafico abaixo a Resp b Resp c Resp SOLUÇÃO a Fornecido A área acima e abaixo da aceleração media 𝐚𝐌 tem de ser a mesma assim 𝐀𝟏 𝐀𝟐 𝐚𝐌 𝟏𝟎𝟒 𝟐𝟎 𝐚𝐌𝟐 𝟒𝐚𝐌 𝟒𝟎 𝟒𝟎 𝟐𝐚𝐌 𝟒𝐚𝐌 𝟐𝐚𝐌 𝟒𝟎 𝟒𝟎 𝟔𝐚𝐌 𝟖𝟎 𝐚𝐌 𝟖𝟎 𝟔 𝟏𝟑 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝐦𝐬𝟐 b Fornecido Área do trapézio 𝐁 𝐛 𝟐 𝐡 A função linear é tal que 𝐯𝐭 𝟏𝟎 𝐦𝐱 onde 𝐦 𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟎 𝟒 𝟎 𝐦 𝟏𝟎 𝟒 𝟓 𝟐 Assim 𝐯𝐭 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝐭 𝐦𝐬 Calculando a integral 𝐈 ÁREA 𝐯𝐭𝐝𝐭 𝟒 𝟎 𝟐𝟎 𝟏𝟎 𝟒 𝟐 𝟑𝟎𝟐 𝟔𝟎 𝐯𝐌 𝟏 𝐭 𝐯𝐭𝐝𝐭 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟔𝟎 𝟏𝟓 𝐦𝐬 ou Calculando 𝐯𝐌 𝐯𝐌 𝟏 𝐭 𝐯𝐭𝐝𝐭 𝟒 𝟎 𝟏 𝟒 𝟏𝟎 𝟓 𝟐 𝐭 𝐝𝐭 𝟒 𝟎 𝟏𝟓 𝐦𝐬 Portanto Não se faz necessário calcular a integral pois sabemos calcular a área área do trapézio c Fornecido Temos que 𝐟𝐱 𝐱𝟐 𝐟𝟎 𝟎𝟐 𝟎 𝐟𝟐 𝟐𝟐 𝟒 𝐱 𝟐 𝟎 𝟐 Calculando 𝐟𝐌 𝐟𝐌 𝟏 𝐱 𝐟𝐱 𝐱𝐅 𝐱𝐈 𝐝𝐱 𝟏 𝟐 𝐱𝟐 𝟐 𝟎 𝐝𝐱 𝟖 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟑𝟑𝟑𝟑 Calculando x quando fx43 𝐟𝐱 𝐱𝟐 𝟒 𝟑 𝐱 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑 𝟐𝟑 𝟑 utilize a calculadora para realizar o cálculo da velocidade instantânea Utilizando httpsptsymbolabcom