Transferencia de Massa - Equacoes Diferenciais

Operações unitárias IV Transferência de massa Capítulo 5 Equações diferenciais para Transferência de Massa Profa Dra Aline Dettmer EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Principais objetivos e importância do assunto ü Obter as expressões para TM em diversos casos regime permanente regime transiente determinação do DAB etc ü Obter os perfis de concentração de uma espécie em determinado processo ü Determinar o valor de fluxo ou de taxa de transferência de massa em um determinado sistema 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA As equações diferenciais que serão obtidas para TM serão semelhantes às já trabalhadas em Mecânica dos Fluidos e em Transferência de Calor ressalvadas suas diferenças substanciais NavierStokes Equação geral da condução 𝜌 𝑣 𝑡 𝑣 𝑣 𝑥 𝑣 𝑣 𝑦 𝑣 𝑣 𝑧 𝑃 𝑥 𝜌𝑔 𝜇 𝑣 𝑥 𝑣 𝑦 𝑣 𝑧 𝑇 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇 𝑧 𝑞 𝑘 1 𝛼 𝑇 𝑡 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 1 Coordenadas retangulares Para a espécie A se difundindo neste volume de controle podese fazer o seguinte BALANÇO DE MASSA taxa de acúmulo taxa de produção taxa de fluxo 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 1 Coordenadas retangulares Para a espécie A se difundindo neste volume de controle podese fazer o seguinte BALANÇO DE MASSA taxa de acúmulo taxa de produção taxa de fluxo Uso de coordenas fixas 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Analisando cada termo separadamente i Taxa de fluxo saída entrada A fluindo pelo volume de controle na direção x nAx Dy Dz ïxDx nAx Dy Dz ïx na direção y nAy Dx Dz ïyDy nAy Dx Dz ïy na direção z nAz Dx Dy ïzDz nAz Dx Dy ïz 𝑓𝑙𝑢𝑥𝑜 á𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 á𝑟𝑒𝑎 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Analisando cada termo separadamente ii Taxa de produção reação química A sendo produzido no volume de controle rA Dx Dy Dz onde rA taxa de reação 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 7 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Analisando cada termo separadamente iii Taxa de acúmulo A acumulando no volume de controle 𝜌6 𝑡 𝑥 𝑦 𝑧 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎çã𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Substituindo os termos no balanço de massa dividindo a equação resultante por Dx Dy Dz e fazendo com que Dx Dy Dz tendam a zero Dx Dy Dz dx dy dz temse 𝜌 𝑡 𝑟 𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑧 Esta equação é conhecida como a EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA O COMPONENTE A que também pode ser escrita na forma 𝜌 𝑡 𝑟 𝑛 9 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA onde nA é o operador divergente de A 𝑛 𝑛 𝑥 𝑛 𝑦 𝑛 𝑧 10 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Também é possível obter a equação da continuidade em base molar dividese tudo pela massa molar 𝐶 𝑡 𝑅 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁 𝑧 𝐶 𝑡 𝑅 𝑁 11 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA O fluxo mássico em coordenas fixas é definido por Ou na sua forma equivalente 𝑛 𝜌𝐷𝜔 𝜌 𝑣 Substituindo na Equação da continuidade para cada direção 𝑛 𝜌𝐷 𝜔 𝑛 𝑛 𝜌 𝑡 𝑟 𝜌𝐷 𝑑𝜔 𝑑𝑥 𝜌 𝑣 𝑥 𝜌𝐷 𝑑𝜔 𝑑𝑦 𝜌 𝑣 𝑦 𝜌𝐷 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝜌 𝑣 𝑧 12 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA O fluxo mássico em coordenas fixas é definido por Ou na sua forma equivalente 𝑛 𝜌𝐷𝜔 𝜌 𝑣 Substituindo na Equação da continuidade para cada direção 𝑛 𝜌𝐷 𝜔 𝑛 𝑛 𝜌 𝑡 𝑟 𝜌𝐷 𝑑𝜔 𝑑𝑥 𝜌 𝑣 𝑥 𝜌𝐷 𝑑𝜔 𝑑𝑦 𝜌 𝑣 𝑦 𝜌𝐷 𝑑𝜔 𝑑𝑧 𝜌 𝑣 𝑧 13 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Rearranjando temse a Equação da Continuidade completa 𝜌 𝑡 𝑣 𝜌 𝑥 𝑣 𝜌 𝑦 𝑣 𝜌 𝑧 𝐷 𝜌 𝑥 𝜌 𝑦 𝜌 𝑧 𝑟 14 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Rearranjando temse a Equação da Continuidade completa 𝜌 𝑡 𝑣 𝜌 𝑥 𝑣 𝜌 𝑦 𝑣 𝜌 𝑧 𝐷 𝜌 𝑥 𝜌 𝑦 𝜌 𝑧 𝑟 Regime transiente Contribuição convectiva Contribuição difusiva Reação química 15 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Em termos molares Fluxo molar 𝑁 𝐶𝐷𝑦 𝐶 𝑉 Equação da continuidade Equação da continuidade completa 𝐶 𝑡 𝑣 𝐶 𝑥 𝑣 𝐶 𝑦 𝑣 𝐶 𝑧 𝐷 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 𝑧 𝑅 𝐶 𝑡 𝑅 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁 𝑧 16 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 2 Coordenadas cilíndricas 𝐶 𝑡 𝑣 𝐶 𝑟 𝑣 𝑟 𝐶 𝜃 𝑣 𝐶 𝑧 𝐷 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝐶 𝑟 1 𝑟 𝐶 𝜃 𝐶 𝑧 𝑅 𝐶 𝑡 𝑅 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑁 1 𝑟 𝑁 𝜃 𝑁 𝑧 17 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 3 Coordenadas esféricas 𝐶 𝑡 𝑣 𝐶 𝑟 𝑣 𝑟 𝐶 𝜃 𝑣 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐶 𝜙 𝐷 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝐶 𝑟 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐶 𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐶 𝜙 𝑅 𝐶 𝑡 𝑅 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝑁 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 𝑁 𝑠𝑒𝑛 𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑁 𝜙 18 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA 3 Coordenadas esféricas 𝐶 𝑡 𝑣 𝐶 𝑟 𝑣 𝑟 𝐶 𝜃 𝑣 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐶 𝜙 𝐷 1 𝑟 𝑟 𝑟 𝐶 𝑟 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝜃 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐶 𝜃 1 𝑟 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝐶 𝜙 𝑅 19 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 1 Admitindo DAB e C ou ρ constantes 𝐶 𝑡 𝐶 𝑣 𝑦 𝑥 𝑣 𝑦 𝑦 𝑣 𝑦 𝑧 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝑅 𝐶 𝑡 𝐶 𝑉 𝑦 𝐷𝐶𝑦 𝑅 20 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 2 Admitindo DAB e C ou ρ constantes e sem reação química RA 0 rA 0 𝐶 𝑡 𝐶 𝑣 𝑦 𝑥 𝑣 𝑦 𝑦 𝑣 𝑦 𝑧 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝐶 𝑡 𝐶 𝑉 𝑦 𝐷𝐶𝑦 𝐶 𝑡 𝐶 𝑣 𝑦 𝑥 𝑣 𝑦 𝑦 𝑣 𝑦 𝑧 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝑅 21 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 3 Admitindo DAB e C ou ρ constantes sem reação química e em meio estacionário V 0 𝐶 𝑡 𝐶 𝑣 𝑦 𝑥 𝑣 𝑦 𝑦 𝑣 𝑦 𝑧 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝐶 𝑡 𝐷𝐶𝑦 𝐶 𝑡 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 22 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 3 Admitindo DAB e C ou ρ constantes sem reação química e em meio estacionário V0 𝐶 𝑡 𝐷𝐶𝑦 𝐶 𝑡 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 Esta equação é conhecida como Segunda Lei de Fick aplicada a sistemas estacionários ou em misturas binárias onde NA NB 23 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 3 Admitindo DAB e C ou ρ constantes sem reação química e em meio estacionário V0 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 𝑧 1 𝐷 𝐶 𝑡 Muito semelhante à equação da difusão para TC 𝑇 𝑥 𝑇 𝑦 𝑇 𝑧 𝑞 𝑘 1 𝛼 𝑇 𝑡 24 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 4 Admitindo regime permanente ou steadystate 𝐶 𝑡 𝑣 𝐶 𝑥 𝑣 𝐶 𝑦 𝑣 𝐶 𝑧 𝐷 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 𝑧 𝑅 𝑣 𝐶 𝑥 𝑣 𝐶 𝑦 𝑣 𝐶 𝑧 𝐷 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 𝑧 𝑅 𝑉 𝐶 𝐷𝐶 𝑅 25 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Casos especiais 5 Admitindo todas as considerações citadas anteriormente 𝐶 𝑡 𝐶 𝑣 𝑦 𝑥 𝑣 𝑦 𝑦 𝑣 𝑦 𝑧 𝐷𝐶 𝑦 𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧 𝑅 0 𝐶 𝑥 𝐶 𝑦 𝐶 𝑧 0 𝐶 Equação de Laplace em termos da concentração molar 26 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Condições de contorno Para a resolução das equações diferencias de transferência de massa é preciso estabelecer as condições iniciais e de contorno apropriadas para definir os limites de integração Os casos mais simples de condições iniciais e de contorno nestes processos são expressos pela concentração ou a fração da espécie que se difunde em base mássica ou molar ou ainda pela sua pressão parcial no caso de gases relacionados aos respectivos tempos ou posições no espaço 27 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Condições de contorno Para A z 0 yA yA1 ou CA CA1 z δ yA 0 ou CA 0 Para B z 0 yB 0 ou CB 0 z δ yB yB1 ou CB CB1 28 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Para A r R yA yA1 ou CA CA1 r r yA 0 ou CA 0 Para B r R yB 0 ou CB 0 r r yB yB1 ou CB CB1 R r A B Condições de contorno 29 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Quando uma das fases for gasosa na condição ideal a concentração relacionase com a pressão parcial pela equação dos gases ideais 𝐶 𝑃 𝑅 𝑇 Condições de contorno A fração molar para a fase gasosa está relacionada com a sua pressão parcial pela Lei de Dalton 𝑃 𝑦 𝑃 30 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Quando a fase gasosa estiver em equilíbrio com uma fase líquida como em uma interface existente em uma superfície a fração molar pode ser relacionada através da Lei de Raoult Condições de contorno Relacionando as Leis de Dalton e de Raoult temse 𝑃 𝑦 𝑃 𝑥 𝑃 0 31 𝑃 𝑥 𝑃 0 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Supondo que a fase líquida seja constituída somente da espécie A pode se relacionar a fração molar de A na interface de superfícies líquidas pela sua pressão de vapor Condições de contorno 32 𝑦6 𝑃6 789 𝑃 A B Na interface 𝑦 1 1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Sempre inicie escrevendo a equação da continuidade completa ou não para o problema em questão e vá simplificando conforme as informações disponíveis com ou sem reação química meio estagnado ou não regime permanente etc Método idêntico ao realizado em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor 33 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Componente estagnado Em algumas situações um composto A se difunde em um composto B parado ou seja estagnado com NB 0 𝑁 𝐶𝐷 𝑦 𝑁 𝑁 𝑁 𝐶𝐷 𝑦 𝑁 34 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Filme estagnado Em algumas situações um composto A se difunde em um filme parado ou seja estagnado com V velocidade da mistura 0 não confundir com componente estagnado 35 𝑁 𝐶𝐷 𝑦 𝑁 𝑁 𝑁 𝐶𝐷 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Use a equação da continuidade em termos de fluxos ou a completa dependendo dos dados do problema se o problema diz que o fluxo NB é igual a zero vale a pena usar em termos de fluxo se o problema pede o perfil de concentrações é melhor usar a completa ü O mesmo vale para o tipo de coordenada retangular cilíndrica ou esférica 36 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Nunca de esqueça das relações estequiométricas entre os fluxos 𝑁 𝑎 𝑁 𝑏 𝑁2 𝑟 𝑁3 𝑠 𝑎𝐴 𝑏𝐵 𝑟𝑅 𝑠𝑆 37 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Qualquer que seja a situação lembre que existem basicamente duas equações a da continuidade e do seu fluxo global 38 𝐶 𝑡 𝑅 𝑁 𝑥 𝑁 𝑦 𝑁 𝑧 𝑁 𝐶𝐷 𝑦 𝑁 𝑁 Não há como fugir delas EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARA TRANSFERÊNCIA DE MASSA Dicas úteis ü Por fim Cremasco sugere as seguintes ações para ajudar a resolver problemas envolvendo equações diferenciais de Transferência de Massa 39 1 Leia com atenção o que está sendo pedido 2 O regime de transporte é permanente ou transiente 3 Identifique o meio e a geometria coordenadas cartesianas ou polares 4 Existe reação química 5 O fluxo é unidirecional quase sempre sim 6 O termo difusivo presente no fluxo é importante 7 O termo convectivo presente no fluxo é importante 8 Existe alguma relação entre os fluxos de A e de B 9 O fluxo líquido de B é nulo Por quê 10 Estabeleça as condições de contorno adequadas 11 Divirtase REFERÊNCIAS CREMASCO Marco Aurélio Fundamentos de transferência de massa Campinas SP UNICAMP 1998 741 p WELTY James R WICKS Charles E WILSON Robert E RORRER Gregory L Fundamentals of momentum heat and mass transfer 5ed New York US J Wiley 2008 xix 711 p 40