·
Engenharia da Computação ·
Cálculo
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Capítulo 2\nTécnicas de integração\n\n1 - Integração por partes:\nA fórmula da diferencial do produto: d(u.v) = v.du + u.dv\nu.dv = d(u.v) - v.du\n\n∫ u.dv = ∫ (u.v)' du = u.v - ∫ v'.u.du\nEsta fórmula é usada na integração de produtos de funções.\n\nExemplo:\nCalcule as integrais das funções:\n01) ∫ ln x dx.\nSolução:\nFaça: u = ln x => du = 1/x dx\nv = x\n\n∫ ln x dx = x.ln x - ∫ x.(1/x) dx = x.ln x - ∫ x dx = x.ln x - x²/2 + K\n\n02) ∫ e^x . sen x dx\nSolução:\nu = e^x => du = e^x dx\nv = -cos x\n∫ e^x . sen x dx = e^x(sen x - ∫ e^x . cos x dx) = e^x(sen x - cos x) - ∫ e^x . cos x dx\n\n17 Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\n\n02) ∫ e^x . sen x dx\nSolução:\nu = e^x => du = e^x dx\ndv = cos x => v = sen x\n∫ e^x . sen x dx = e^x.sen x - ∫ e^x . cos x dx = e^x(sen x - cos x) + C\n\n03) ∫ arctg(3x) dx\nSendo: u = arctg(3x) => du = 3/(1+9x²) dx\nv = x\n∫ arctg(3x) dx = x.arctg(3x) - ∫ 3x/(1+9x²) dx\nSe v = 1 + 9x² => dw = 18xdx => dw = 3xdx\n∫ 3x/(1+9x²) dx = (1/6) ln(1+9x²) + K\n\n04) ∫ e^x . sen x dx\nSolução:\nu = e^x => du = e^x dx\ndv = sen x => v = -cos x\n∫ e^x . sen x dx - e^x . cos x + ∫ e^x . cos x dx (1)\nResolvendo ∫ e^x . cos x dx por partes, teremos:\nu = e^x => du = e^x dx\ndv = cos x => v = sen x\n∫ e^x . cos x dx = e^x . sen x + ∫ e^x . sen x dx\n\nSubstituindo em (1):\n18 Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\n\n∫ e^x . sen x dx = -e^x . cos x - e^x . sen x\n2∫ e^x . sen x dx = e^x(cos x - sen x)\n∫ e^x . sen x dx = 1/2 e^x(cos x - sen x) + k\n\nExercícios.\nCalcule as integrais:\n01) ∫ √x ln x dx\n02) ∫ (2x+3)⁹⁹ dx\n03) ∫ x²/(x²+1) dx\n04) ∫ x² dx/(√(1-x²))\n05) ∫ cos x . dx\n06) ∫ (x+1)/(x+2) dx\n07) ∫ 2√x dx\n08) ∫ (ln x)² dx\n09) ∫ arc cotg √x/√x dx\n\n2 - Integrais de Funções trigonométricas\n1) integrais envolvendo seno e cosseno:\n01) ∫ cos² a f . sen² a = 1\n02) ∫ sen² a = 2 sen a cos a\n03) ∫ cos² a = cos² a - sen² b\n04) ∫ sen² a = 1/2 cos(2a)\n05) ∫ cos² a = 1/2 + 1/2 cos(2a)\n06) sen p + sen q = 2 sen((p+q)/2) cos((p-q)/2)\n07) sen p - sen q = 2 sen((p-q)/2) cos((p+q)/2)\n\n19 Capítulo 2\nTécnicas de integração\n08) cos p + cos q = 2 cos( p + q 2 ) cos( p - q 2 )\n09) cos p - cos q = -2 sen( p + q 2 ) sen( p - q 2 )\n10) sen a + b = 1/2 [sen(a + b) + sen(a - b)]\n11) sen a - b = 1/2 [sen(a + b) - sen(a - b)]\n12) cos a + b = 1/2 [cos(a + b) + cos(a - b)]\n13) sen u = -cos u + K\n14) cos u = u + K\nIntegrais do tipo sen^n x dx e cos^n x dx\n01) Se n é um número ímpar:\n∫ sen^n x dx = [ sen^(n-1)x sen x dx = ∫ (1 - cos^2 x)^(n-1) sen x dx = ∫ cos^n x sen x dx\nExemplo:\n∫ sen^3 x dx = [ sen^2 x sen x dx = ∫ (1 - cos^2 x) sen x dx = ∫ cos^2 x sen x dx\n02) ∫ cos^5(2x) dx = ∫ cos^4(2x) cos(2x) dx = { (1 - sen^2(2x))^2 cos(2x) dx\n= 1/32 sen(4x) + K\n20 Capítulo 2\nTécnicas de integração\n∫ cos^n x dx = { (cos^(n-2)x)^{1/2} dx = { (1/2)^{1/2} cos(2x)^{n/2} dx\nExemplo:\n01) ∫ cos^2 x dx = \n[ 1/2 cos(2x) dx = 1/2 x + 1/4 sen(2x) + k\n02) ∫ sen^4 x dx - ∫ [1/2 cos(4x) - ∫ [ 1/4 cos(4x) + 1/4 cos(2x)] dx = \n= 1/4 sen(4x) + 1/4 sen(2x) + K\n1/4 - 1/8 sen(4x) + 1/8 - 1/8 sen^2(2x) + 1/4 cos(2x) + k\n/Integrais do tipo sen^n x . cos^m x dx:\n01) Se m e n são números tais que pelo menos um é ímpar:\nExemplo:\n02) ∫ cos^3 x dx/∫ sen^2 x cos^2 x dx = sen^2/3 x cos^2 x dx = [ sen^2/3 x cos^3 x dx = -[ sen^2/3 x cos x dx =\n∫ sen^(2/3) x cos x dx = 3/5 sen^(3) x - 3/11 sen^(113) + k\n21 Capítulo 2\nTécnicas de integração\n∫ [ 1/1 - dx; 1/4 cos^2(2x) dx = -1/4 cos(4x) dx = 1/8 sen(4x) + K\n02) ∫ sen^2 x cos^4 x dx = [ (1/2) - 1/4(3) x dx =\n∫ [(1/2) cos(2x) + (1/2) cos(2 x) dx =\n= 1/8 sen(2x) + sen(4x) + 1/8 sen^4 x\n= ∫ (1/2) cos^2(2x) + k)\nExercícios:\nCalcule f(x) dx, onde f(x) é dada abaixo:\n01) sen x\n02) cos^2(2x)\n03) cos^2(4) + sen(3x)\n05) sen(3x) cos^3(2x)\n06) (sen(2x) + cos x^2)\n07) sen(2x) sen(4x)\n08) sen(3x) cos x\n09) cos^3(3x) sen(3x)\n10) sen x cos^3 x\n2) Funções tangente, cotangente, secante e cossecante:\nFórmulas fundamentais:\nsec^2 x = tg^2 x + 1 e tg^2 x = sec^2 x - 1\ncos sec^2 x = cotg^2 x + 1 e cotg^2 x = cosec^2 x - 1\n22 Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\nFórmulas de derivadas:\n01) D(x) tg x = sec²x\n02) D(x) cotg x = -cosec²x\n03) D(x) sec x = sec x tg x\n04) D(x) (cosec x) = -cosec x cotg x\n\nFórmulas de integração:\n01) ∫g u du = -ln| cos u | + k = ln | sec u | + k\n02) ∫cotg u du = ln | sen u | + k = -ln | cosec u | + k\n03) ∫sec²u du = tg u + k\n04) ∫cosec²u du = -cotg u + k\n05) ∫sec u du = ln | sec u + tg u | + k\n06) ∫cosec u du = ln | cosec u - cotg u | + k\n07) ∫sec u tg u du = sec u + k\n08) ∫cosec u cotg u = -cosec u + k\n\nIntegrais do tipo tg^n x e cotg^n x:\n01) ∫tg^n x dx = [tg^(n-2)x tg² x] = [tg^(n-2)x (sec² x - 1)]dx\nExemplo:\n∫cotg³ x dx = ∫cotg x cotg² x dx = ∫(cosec² x - 1)cotg x dx =\n∫cotg x cos sec² x dx - 1/2 cotg² x - ln | sen x | + k\n Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\n02) ∫g^5 x dx = ∫g³ x tg² x dx = [g³ x (sec² x - 1) dx = [g³ x sec² x dx - ∫g³ x sec² x dx =\n1/4 g¹ x tg²x + ln | sec x | + k\n1/4 g² x = -1/4 g¹ x (sec² x - 1) dx = [tg^n x sec² x] dx\n∫g³ x cos e² x dx = -1/3 cotg x³ - ( cos sec² x - 1)dx =\n∫cotg² x sec² x dx - ∫cotg x³ - (cos sec² x - 1)dx =\n\nIntegrais do tipo ∫g^m sec^n x dx e ∫cotg^m x sec^n m dx\n01) Se m é um número inteiro positivo par:\nExemplos\n∫g³ x sec^4 x dx = ∫(sec² x dx) * ( sec² x dx) = \n∫g³ x sec² x dx + ∫g² x sec² x dx = [∫g^x = - 1/2 g² x + k ]\n= ∫ g² + k\n Capítulo 2\nTécnicas de integração\n2.3 - Integrais das funções trigonométricas inversas:\nFórmulas:\n∫du / √(1 - u²) = du = arc sen u + K\n∫du / (u² + 1) = du = arc tg u + K\n∫du / (u² - 1) = du = arc sec u + K\n∫du / (a² - u²) = du = arc sen (u / a) + K se a > 0\n∫du / (a² + u²) = 1/a arc tg (u / a) + K se a > 0\nExemplos:\nDetermine as integrais:\n01) ∫(√5/2 - 5x²) dx\nSolução:\n∫dx / (√5/2 - 5x²) = \n[√5 * 2]/ 2 * 1 / (1 - (√5x)²) =\n∫ √5 / (√5/2) + K\n02) ∫(xdx) / (x² + 25)\nFaça: u = x² => du = 2x dx ⇒ dx = du / 2.\n∫(xdx) / (x² + 25) = 1/2 ∫(du / (u² + 25)) = \n1/10 arc tg( (x²/25) ) + K\n 2.4 - Substituição trigonométricas:\nExpressões do tipo: √a² - u² com a > 0\nu = a sen θ ⇒ du = a cos θ dθ\n\nExpressões do tipo: √a² + u² com a > 0\nu = a tg θ ⇒ du = a sec² θ dθ\n\nExpressões do tipo: √u² - a² com a > 0\nu = a sec θ ⇒ du = a sec θ tg θ dθ ∫ dx\nx² + 2x + 2
Send your question to AI and receive an answer instantly
Preview text
Capítulo 2\nTécnicas de integração\n\n1 - Integração por partes:\nA fórmula da diferencial do produto: d(u.v) = v.du + u.dv\nu.dv = d(u.v) - v.du\n\n∫ u.dv = ∫ (u.v)' du = u.v - ∫ v'.u.du\nEsta fórmula é usada na integração de produtos de funções.\n\nExemplo:\nCalcule as integrais das funções:\n01) ∫ ln x dx.\nSolução:\nFaça: u = ln x => du = 1/x dx\nv = x\n\n∫ ln x dx = x.ln x - ∫ x.(1/x) dx = x.ln x - ∫ x dx = x.ln x - x²/2 + K\n\n02) ∫ e^x . sen x dx\nSolução:\nu = e^x => du = e^x dx\nv = -cos x\n∫ e^x . sen x dx = e^x(sen x - ∫ e^x . cos x dx) = e^x(sen x - cos x) - ∫ e^x . cos x dx\n\n17 Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\n\n02) ∫ e^x . sen x dx\nSolução:\nu = e^x => du = e^x dx\ndv = cos x => v = sen x\n∫ e^x . sen x dx = e^x.sen x - ∫ e^x . cos x dx = e^x(sen x - cos x) + C\n\n03) ∫ arctg(3x) dx\nSendo: u = arctg(3x) => du = 3/(1+9x²) dx\nv = x\n∫ arctg(3x) dx = x.arctg(3x) - ∫ 3x/(1+9x²) dx\nSe v = 1 + 9x² => dw = 18xdx => dw = 3xdx\n∫ 3x/(1+9x²) dx = (1/6) ln(1+9x²) + K\n\n04) ∫ e^x . sen x dx\nSolução:\nu = e^x => du = e^x dx\ndv = sen x => v = -cos x\n∫ e^x . sen x dx - e^x . cos x + ∫ e^x . cos x dx (1)\nResolvendo ∫ e^x . cos x dx por partes, teremos:\nu = e^x => du = e^x dx\ndv = cos x => v = sen x\n∫ e^x . cos x dx = e^x . sen x + ∫ e^x . sen x dx\n\nSubstituindo em (1):\n18 Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\n\n∫ e^x . sen x dx = -e^x . cos x - e^x . sen x\n2∫ e^x . sen x dx = e^x(cos x - sen x)\n∫ e^x . sen x dx = 1/2 e^x(cos x - sen x) + k\n\nExercícios.\nCalcule as integrais:\n01) ∫ √x ln x dx\n02) ∫ (2x+3)⁹⁹ dx\n03) ∫ x²/(x²+1) dx\n04) ∫ x² dx/(√(1-x²))\n05) ∫ cos x . dx\n06) ∫ (x+1)/(x+2) dx\n07) ∫ 2√x dx\n08) ∫ (ln x)² dx\n09) ∫ arc cotg √x/√x dx\n\n2 - Integrais de Funções trigonométricas\n1) integrais envolvendo seno e cosseno:\n01) ∫ cos² a f . sen² a = 1\n02) ∫ sen² a = 2 sen a cos a\n03) ∫ cos² a = cos² a - sen² b\n04) ∫ sen² a = 1/2 cos(2a)\n05) ∫ cos² a = 1/2 + 1/2 cos(2a)\n06) sen p + sen q = 2 sen((p+q)/2) cos((p-q)/2)\n07) sen p - sen q = 2 sen((p-q)/2) cos((p+q)/2)\n\n19 Capítulo 2\nTécnicas de integração\n08) cos p + cos q = 2 cos( p + q 2 ) cos( p - q 2 )\n09) cos p - cos q = -2 sen( p + q 2 ) sen( p - q 2 )\n10) sen a + b = 1/2 [sen(a + b) + sen(a - b)]\n11) sen a - b = 1/2 [sen(a + b) - sen(a - b)]\n12) cos a + b = 1/2 [cos(a + b) + cos(a - b)]\n13) sen u = -cos u + K\n14) cos u = u + K\nIntegrais do tipo sen^n x dx e cos^n x dx\n01) Se n é um número ímpar:\n∫ sen^n x dx = [ sen^(n-1)x sen x dx = ∫ (1 - cos^2 x)^(n-1) sen x dx = ∫ cos^n x sen x dx\nExemplo:\n∫ sen^3 x dx = [ sen^2 x sen x dx = ∫ (1 - cos^2 x) sen x dx = ∫ cos^2 x sen x dx\n02) ∫ cos^5(2x) dx = ∫ cos^4(2x) cos(2x) dx = { (1 - sen^2(2x))^2 cos(2x) dx\n= 1/32 sen(4x) + K\n20 Capítulo 2\nTécnicas de integração\n∫ cos^n x dx = { (cos^(n-2)x)^{1/2} dx = { (1/2)^{1/2} cos(2x)^{n/2} dx\nExemplo:\n01) ∫ cos^2 x dx = \n[ 1/2 cos(2x) dx = 1/2 x + 1/4 sen(2x) + k\n02) ∫ sen^4 x dx - ∫ [1/2 cos(4x) - ∫ [ 1/4 cos(4x) + 1/4 cos(2x)] dx = \n= 1/4 sen(4x) + 1/4 sen(2x) + K\n1/4 - 1/8 sen(4x) + 1/8 - 1/8 sen^2(2x) + 1/4 cos(2x) + k\n/Integrais do tipo sen^n x . cos^m x dx:\n01) Se m e n são números tais que pelo menos um é ímpar:\nExemplo:\n02) ∫ cos^3 x dx/∫ sen^2 x cos^2 x dx = sen^2/3 x cos^2 x dx = [ sen^2/3 x cos^3 x dx = -[ sen^2/3 x cos x dx =\n∫ sen^(2/3) x cos x dx = 3/5 sen^(3) x - 3/11 sen^(113) + k\n21 Capítulo 2\nTécnicas de integração\n∫ [ 1/1 - dx; 1/4 cos^2(2x) dx = -1/4 cos(4x) dx = 1/8 sen(4x) + K\n02) ∫ sen^2 x cos^4 x dx = [ (1/2) - 1/4(3) x dx =\n∫ [(1/2) cos(2x) + (1/2) cos(2 x) dx =\n= 1/8 sen(2x) + sen(4x) + 1/8 sen^4 x\n= ∫ (1/2) cos^2(2x) + k)\nExercícios:\nCalcule f(x) dx, onde f(x) é dada abaixo:\n01) sen x\n02) cos^2(2x)\n03) cos^2(4) + sen(3x)\n05) sen(3x) cos^3(2x)\n06) (sen(2x) + cos x^2)\n07) sen(2x) sen(4x)\n08) sen(3x) cos x\n09) cos^3(3x) sen(3x)\n10) sen x cos^3 x\n2) Funções tangente, cotangente, secante e cossecante:\nFórmulas fundamentais:\nsec^2 x = tg^2 x + 1 e tg^2 x = sec^2 x - 1\ncos sec^2 x = cotg^2 x + 1 e cotg^2 x = cosec^2 x - 1\n22 Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\nFórmulas de derivadas:\n01) D(x) tg x = sec²x\n02) D(x) cotg x = -cosec²x\n03) D(x) sec x = sec x tg x\n04) D(x) (cosec x) = -cosec x cotg x\n\nFórmulas de integração:\n01) ∫g u du = -ln| cos u | + k = ln | sec u | + k\n02) ∫cotg u du = ln | sen u | + k = -ln | cosec u | + k\n03) ∫sec²u du = tg u + k\n04) ∫cosec²u du = -cotg u + k\n05) ∫sec u du = ln | sec u + tg u | + k\n06) ∫cosec u du = ln | cosec u - cotg u | + k\n07) ∫sec u tg u du = sec u + k\n08) ∫cosec u cotg u = -cosec u + k\n\nIntegrais do tipo tg^n x e cotg^n x:\n01) ∫tg^n x dx = [tg^(n-2)x tg² x] = [tg^(n-2)x (sec² x - 1)]dx\nExemplo:\n∫cotg³ x dx = ∫cotg x cotg² x dx = ∫(cosec² x - 1)cotg x dx =\n∫cotg x cos sec² x dx - 1/2 cotg² x - ln | sen x | + k\n Capítulo 2\nTécnicas de integração\nDarlan Moutinho\n02) ∫g^5 x dx = ∫g³ x tg² x dx = [g³ x (sec² x - 1) dx = [g³ x sec² x dx - ∫g³ x sec² x dx =\n1/4 g¹ x tg²x + ln | sec x | + k\n1/4 g² x = -1/4 g¹ x (sec² x - 1) dx = [tg^n x sec² x] dx\n∫g³ x cos e² x dx = -1/3 cotg x³ - ( cos sec² x - 1)dx =\n∫cotg² x sec² x dx - ∫cotg x³ - (cos sec² x - 1)dx =\n\nIntegrais do tipo ∫g^m sec^n x dx e ∫cotg^m x sec^n m dx\n01) Se m é um número inteiro positivo par:\nExemplos\n∫g³ x sec^4 x dx = ∫(sec² x dx) * ( sec² x dx) = \n∫g³ x sec² x dx + ∫g² x sec² x dx = [∫g^x = - 1/2 g² x + k ]\n= ∫ g² + k\n Capítulo 2\nTécnicas de integração\n2.3 - Integrais das funções trigonométricas inversas:\nFórmulas:\n∫du / √(1 - u²) = du = arc sen u + K\n∫du / (u² + 1) = du = arc tg u + K\n∫du / (u² - 1) = du = arc sec u + K\n∫du / (a² - u²) = du = arc sen (u / a) + K se a > 0\n∫du / (a² + u²) = 1/a arc tg (u / a) + K se a > 0\nExemplos:\nDetermine as integrais:\n01) ∫(√5/2 - 5x²) dx\nSolução:\n∫dx / (√5/2 - 5x²) = \n[√5 * 2]/ 2 * 1 / (1 - (√5x)²) =\n∫ √5 / (√5/2) + K\n02) ∫(xdx) / (x² + 25)\nFaça: u = x² => du = 2x dx ⇒ dx = du / 2.\n∫(xdx) / (x² + 25) = 1/2 ∫(du / (u² + 25)) = \n1/10 arc tg( (x²/25) ) + K\n 2.4 - Substituição trigonométricas:\nExpressões do tipo: √a² - u² com a > 0\nu = a sen θ ⇒ du = a cos θ dθ\n\nExpressões do tipo: √a² + u² com a > 0\nu = a tg θ ⇒ du = a sec² θ dθ\n\nExpressões do tipo: √u² - a² com a > 0\nu = a sec θ ⇒ du = a sec θ tg θ dθ ∫ dx\nx² + 2x + 2