Prova EDO Resolucao de Exercicios e Diretrizes

2 Exercício Escolar Diretrizes para a realização da prova 1 O tempo mínimo de permanência em sala de aula para saída da prova é de 50 minutos 2 É obrigatório a apresentação de documento oficial com foto RG ou Carteira de Habilitação solicitado 3 Dispositivos eletrônicos como celulares smartphones tablets notebooks etc deverão ser desligados durante a realização da prova 4 Não é permitido o uso de nenhum tipo de calculadora 5 Identificar com nome e turma no topo da primeira página do papel pautado 6 É necessário ter todo o desenvolvimento da questão e utilizar apenas o papel pautado Questão 1 Considere o sistema de EDO x1 2x1 3x2 3x3 x2 x1 0x2 3x3 x3 x1 2x2 x3 40 Encontre a solução para x1t x2t e x3t Evite ter frações na definição dos três aut Questão 2 Considere a EDO x2y 5xy 10y x3 x0 30 Encontre a solução geral Questão 3 Considere a seguinte EDO não linear de primeira ordem y 3x y x2y3 30 Encontre a solução geral Questão 1 Temos o seguinte sistema 𝑥1 2𝑥1 3𝑥2 3𝑥3 𝑥2 𝑥1 3𝑥3 𝑥3 𝑥1 2𝑥2 𝑥3 Aplicando Laplace temos 𝐿𝑥1 𝐿2𝑥1 3𝑥2 3𝑥3 𝐿𝑥2 𝐿𝑥1 3𝑥3 𝐿𝑥3 𝐿𝑥1 2𝑥2 𝑥3 𝑠𝑋1 𝑥10 2𝑋1 3𝑋2 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋3 𝑥30 𝑋1 2𝑋2 𝑋3 Aqui note que 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 Logo temos 𝑠3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑥10 23𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 3𝑋2 3𝑋3 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑠𝑋3 𝑥30 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 2𝑋2 𝑋3 3𝑠𝑋3 𝑠2𝑋2 𝑠𝑥20 𝑥10 6𝑋3 2𝑠𝑋2 2𝑥20 3𝑋2 3𝑋3 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑠𝑋3 𝑥30 2𝑋3 2 𝑠𝑋2 𝑥20 3𝑠 3𝑋3 𝑠2𝑋2 𝑠𝑥20 𝑥10 3 2𝑠𝑋2 2𝑥20 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑠 2𝑋3 𝑥30 2 𝑠𝑋2 𝑥20 3𝑠 3𝑋3 𝑠2 2𝑠 3𝑋2 2 𝑠𝑥20 𝑥10 0 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑠 2𝑋3 𝑥30 𝑥20 2 𝑠𝑋2 3𝑠 3𝑋3 𝑠2 2𝑠 3𝑋2 2 𝑠𝑥20 𝑥10 0 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 3𝑠 3𝑋3 𝑠2 2𝑠 3 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 2 𝑠𝑥20 𝑥10 0 𝑋1 3𝑋3 𝑠 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 3𝑠 3𝑋3 𝑠2 2𝑠 3𝑋3 𝑠2 2𝑠 3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 𝑠 2𝑥20 𝑥10 0 𝑋1 3𝑋3 𝑠𝑋3 𝑠 𝑥30 𝑠 2 𝑠 𝑥20 𝑠 2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 𝑠2 𝑠𝑋3𝑠 2 𝑠2 2𝑠 3𝑥30 𝑥20 𝑠 22𝑥20 𝑠 2𝑥10 0 𝑋1 𝑠 3𝑋3 𝑠 2 2𝑥30 𝑠 2 𝑠 2 2𝑥20 𝑠 2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 𝑠3 𝑠2 2𝑠2 2𝑠𝑋3 𝑠2 2𝑠 3𝑥30 𝑠2 2𝑠 3𝑥20 𝑠2 4𝑠 4𝑥20 𝑠 2𝑥10 0 𝑋1 𝑠 3𝑋3 𝑥30 2 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 2 𝑥20 𝑠 2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 𝑠𝑠2 𝑠 2𝑋3 𝑠2 2𝑠 3𝑥30 2𝑠 1𝑥20 𝑠 2𝑥10 0 𝑋1 𝑠 3𝑋3 𝑥30 2 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 2 𝑥20 𝑠 2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 Assim temos 𝑋3 𝑠2 2𝑠 3𝑥30 2𝑠 1𝑥20 𝑠 2𝑥10 𝑠𝑠2 𝑠 2 Logo 𝒙𝟑 𝟔𝒙𝟑𝟎 𝟐𝒙𝟐𝟎 𝟒𝒙𝟏𝟎 Assim temos 𝑋1 𝑠 3𝑋3 𝑥30 2 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 2 𝑥20 𝑠 2 𝑥20 𝑋2 𝑋3 𝑥30 𝑠 2 𝑥20 𝑠 2 Esta questão só deu para fazer até aqui por causa do tempo Questão 2 Temos a EDO 𝑥2𝑦 5𝑥𝑦 10𝑦 𝑥3 Seja 𝑦 𝑢𝑥3 𝑦 𝑢𝑥3 3𝑢𝑥2 𝑦 𝑢𝑥3 3𝑢𝑥2 3𝑢𝑥2 6𝑢𝑥 Substituindo temos 𝑥2𝑢𝑥3 3𝑢𝑥2 3𝑢𝑥2 6𝑢𝑥 5𝑥𝑢𝑥3 3𝑢𝑥2 10𝑢𝑥3 𝑥3 𝑢𝑥2 6𝑢𝑥 6𝑢 5𝑢𝑥 3𝑢 10𝑢 1 𝑢𝑥2 6𝑢𝑥 6𝑢 5𝑢𝑥 15𝑢 10𝑢 1 𝑢𝑥2 𝑢𝑥 6𝑢 15𝑢 10𝑢 1 𝑢𝑥2 𝑢𝑥 𝑢 1 Aqui a solução particular obviamente é 𝑢𝑝 1 A solução homogênea é dada por 𝑢𝑥2 𝑢𝑥 𝑢 0 Aqui seja 𝑥 𝑒𝑟 𝑟 ln 𝑥 𝑑𝑟 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑒𝑟 Assim temos 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑥 𝑢 0 𝑑 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑒2𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝑑𝑥 𝑒𝑟 𝑢 0 𝑑 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑒𝑟 𝑒2𝑟𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑢 0 𝑑 𝑑𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑢 0 𝑑2𝑢 𝑑𝑟2 𝑒𝑟 𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑑 𝑑𝑟 𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑢 0 𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑒𝑟𝑒𝑟 𝑑𝑢 𝑑𝑟 𝑢 0 𝑢 𝑢 0 A solução aqui é 𝑢ℎ 𝑎 sin𝑟 𝑏 cos 𝑟 Logo a solução geral é dada por 𝑢 𝑢𝑝 𝑢ℎ 𝑢 𝑎 sin 𝑟 𝑏 cos 𝑟 1 𝑦𝑥3 𝑎 sinln 𝑥 𝑏 cosln 𝑥 1 𝒚 𝒙𝟑𝒂 𝐬𝐢𝐧𝐥𝐧 𝒙 𝒃 𝐜𝐨𝐬𝐥𝐧 𝒙 𝟏 Questão 3 Temos a seguinte EDO 𝑦 3 𝑥 𝑦 𝑥2𝑦3 𝑦𝑥 3𝑦 𝑥3𝑦3 𝑦𝑦𝑥 3𝑦2 𝑥3𝑦4 Seja 𝑢 𝑦2 𝑢 2𝑦𝑦 Logo temos 𝑢 2 𝑥 3𝑢 𝑥3𝑢2 𝑢𝑥 6𝑢 2𝑥3𝑢2 𝑢𝑥6 6𝑢𝑥5 2𝑥8𝑢2 𝑢𝑥6 6𝑢𝑥5 2𝑥8𝑢2 𝑢𝑥6 𝑥6𝑢 2𝑥8𝑢2 𝑢𝑥6 𝑥6𝑢 𝑥12 2𝑥8 𝑥12 𝑢2 𝑢 𝑥6 2𝑥8 𝑢2 𝑥12 Seja 𝑔 𝑢 𝑥6 Logo 𝑔 2𝑥8𝑔2 Assim temos 𝑑𝑔 𝑑𝑥 2𝑥8𝑔2 𝑑𝑔 𝑔2 2𝑥8𝑑𝑥 𝑑𝑔 𝑔2 2 𝑥8𝑑𝑥 1 𝑔 2 𝑥9 9 𝑐 Voltando para a variável y temos 𝑥6 𝑢 2 𝑥9 9 𝑐 𝑥6 𝑦2 2 𝑥9 9 𝑐 𝑥6 2 𝑥9 9 𝑐 𝑦2 9𝑥6 2𝑥9 9𝑐 𝑦2 𝑦2 9𝑥6 9𝑐 2𝑥9 𝑦2 9𝑥6 𝑘 2𝑥9 𝒚 𝟑𝒙𝟑 𝒌 𝟐𝒙𝟗 Questão 1 Temos o seguinte sistema x1 2x13 x23x3 x2 x13x3 x3 x12 x2x3 Aplicando Laplace temos L x1 L2x13 x23x3 L x2 L x13x3 Lx3 Lx12 x2x3 s X1 x1 02 X13 X23 X 3 s X2 x2 0X 13 X3 s X 3x3 0X12 X2X3 Aqui note que X13 X3s X2x2 0 Logo temos s3 X3s X2x2 0x1 02 3 X3s X2x203 X23 X3 X13 X3s X2x20 s X3x3 03 X3s X2x202 X2X3 3s X3s 2X2s x2 0x1 06 X32s X22 x203 X23 X3 X13 X3s X2x20 s X3x3 02 X32s X2x20 3s3 X3s 2 X2s x20x1 032 s X22 x20 X 13 X3s X2x2 0 s2 X3x302s X2x2 0 3s3 X3s 22 s3 X22s x20x100 X13 X3s X2x20 s2 X3x3 0 x2 02s X2 3s3 X3s 22s3 X22s x2 0x1 00 X13 X 3s X2x20 X2X3 x30 s2 x20 s2 3s3 X3s 22s3X3 x3 0 s2 x20 s22s x20x100 X13 X 3sX3 x3 0 s2 x2 0 s2x20 X 2X3 x30 s2 x20 s2 3s3 X3s 22s3 X3s 22s3 x3 0 s2 x20 s2s2 x20x100 X13 X3s X3s x3 0 s2 s x20 s2x2 0 X2X3 x30 s2 x2 0 s2 s 2s X3 s2s 22s3 x30x20s2 2x20s2x100 X1s3 X3 s22x3 0 s2 s22 x20 s2 x20 X 2X3 x30 s2 x20 s2 s 3s 22 s 22 s X 3s 22s3 x30s 22s3 x20s 24s4 x2 0s2 x100 X1s3 X 3x3 02 x3 0 s2 x202 x20 s2x20 X 2X3 x30 s2 x20 s2 ss 2s2 X3s 22s3 x3 02s1 x20s2x100 X1s3 X3x302 x30 s2 x2 02 x2 0 s2x2 0 X2X3 x3 0 s2 x2 0 s2 Assim temos X3s 22s3 x302s1 x20s2 x1 0 ss 2s2 Logo x36 x302x204 x1 0 Assim temos X1s3 X3x302 x30 s2x2 02 x2 0 s2x20 X2X3 x30 s2 x20 s2 Esta questão só deu para fazer até aqui por causa do tempo Questão 2 Temos a EDO x 2 y 5 x y 10 yx 3 Seja yu x 3 y u x 33u x 2 y u x 33u x 23u x 26ux Substituindo temos x 2u x 33u x 23u x 26ux5x u x 33u x 210u x 3x 3 u x 26u x6u 5 u x3u10u 1 u x 26u x6u 5u x15u10u 1 u x 2u x6u 15u10u1 u x 2u xu1 Aqui a solução particular obviamente é up1 A solução homogênea é dada por u x 2u xu0 Aqui seja xe r rln x dr dx 1 x e r Assim temos d dx du dxx 2 du dx xu0 d d r du dr dr dxe 2r dr dx du dr dr dx e ru0 d dr du dr e re 2r e r du dr e re ru0 d dr du dr e re r du dr u0 d 2u dr 2 e re r du dr d dr e r e r du dr u0 u du dr e r e r du dr u0 u u0 A solução aqui é uhasinrbcos r Logo a solução geral é dada por uupuh uasinrbcos r1 y x 3asin ln x bcos ln x 1 yx 3 asin ln x bcos ln x1 Questão 3 Temos a seguinte EDO y 3 x yx 2 y 3 y x3 yx 3 y 3 y y x3 y 2x 3 y 4 Seja uy 2 u2 y y Logo temos u 2 x3ux 3u 2 u x6u2 x 3u 2 u x 66u x 52 x 8u 2 u x 66u x 52x 8u 2 u x 6x 6 u2x 8u 2 u x 6x 6 u x 12 2x 8 x 12 u 2 u x 6 2 x 8 u 2 x 12 Seja g u x 6 Logo g 2 x 8g 2 Assim temos dg dx 2 x 8g 2 dg g 2 2 x 8dx dg g 2 2 x 8dx 1 g 2 x 9 9 c Voltando para a variável y temos x 6 u 2 x 9 9 c x 6 y 2 2 x 9 9 c x 6 2 x 9 9 c y 2 9 x 6 2x 99c y 2 y 2 9x 6 9c2 x 9 y 2 9 x 6 k2x 9 y 3x 3 k2 x 9