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Fundamentos da Mecânica Semana 12 Semestre 20231 Cap 10 Rotações wwwpolivirtualengbr Prof MsC Eduardo César CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Saber que se todas as partículas de um corpo giram da mesma forma em torno de um eixo o corpo é um corpo rígido Saber que a posição angular de um corpo rígido em rotação é o ângulo que uma reta interna de referência faz com uma reta externa fixa Conhecer a relação entre o deslocamento angular e as posições angulares inicial e final Conhecer a relação entre a velocidade angular média o deslocamento angular e o intervalo de tempo durante o qual ocorreu o deslocamento Conhecer a relação entre a aceleração angular média a variação de velocidade e o intervalo de tempo durante o qual ocorreu a variação de velocidade Saber que o movimento antihorário é considerado positivo e o movimento horário é considerado negativo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Calcular a velocidade angular instantânea em um dado instante e a velocidade angular média em um dado intervalo dada a posição angular em função do tempo Determinar a velocidade angular instantânea em um dado instante e a velocidade angular média em um dado intervalo dada uma curva da posição angular em função do tempo Saber que a velocidade angular escalar é o módulo da velocidade escalar instantânea Determinar a aceleração angular instantânea em um dado instante e a aceleração angular média em um dado intervalo dada a velocidade em função do tempo Determinar a aceleração angular instantânea em um dado instante e a aceleração angular média em um dado intervalo dada uma curva da velocidade angular em função do tempo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Calcular a variação de velocidade angular de um corpo integrando a função aceleração angular em relação ao tempo Calcular a variação de posição angular de um corpo integrando a função velocidade angular em relação ao tempo Usar as relações entre posição angular deslocamento angular velocidade angular aceleração angular e tempo transcorrido no caso de uma aceleração angular constante Conhecer a relação entre as variáveis angulares do corpo posição angular velocidade angular e aceleração angular e as variáveis lineares de uma partícula do corpo posição velocidade e aceleração para qualquer raio dado no caso de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Conhecer a diferença entre aceleração tangencial e aceleração radial e traçar os vetores correspondentes às duas acelerações em um desenho de uma partícula de um corpo que esteja girando em torno de um eixo tanto para o caso em que a velocidade angular está aumentando como para o caso em que a velocidade radial está diminuindo Calcular o momento de inércia de uma partícula em relação a um ponto Calcular o momento de inércia total de várias partículas que giram em torno do mesmo eixo fixo Calcular a energia cinética de rotação de um corpo a partir do momento de inércia e da velocidade angular Calcular o momento de inércia de corpos com variadas geometrias Calcular o momento de inércia de um corpo por integração a partir dos elementos de massa do corpo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Aplicar o teorema dos eixos paralelos no caso de um eixo de rotação que não passa pelo centro de massa do corpo Saber que o torque aplicado a um corpo depende de uma força e de um vetor posição que liga um eixo de rotação ao ponto onde a força é aplicada Calcular o torque usando o ângulo entre o vetor posição e o vetor força a linha de ação e o braço de alavanca da força e a componente da força perpendicular ao vetor posição Saber que para calcular um torque é preciso conhecer o eixo de rotação Saber que um torque pode ser positivo ou negativo dependendo do sentido da rotação que o corpo tende a sofrer sob a ação do torque os relógios são negativos Calcular o torque resultante quando um corpo está submetido a mais de um torque CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Saber que a segunda lei de Newton para rotações relaciona o torque resultante aplicado a um corpo ao momento de inércia e à aceleração angular do corpo todas essas grandezas calculadas em relação a um dado eixo de rotação Calcular o trabalho realizado por um torque aplicado a um corpo integrando o torque em relação ao ângulo de rotação do corpo Usar o teorema do trabalho e energia cinética para relacionar o trabalho realizado por um torque à variação da energia cinética de rotação do corpo Calcular o trabalho realizado por um torque constante relacionando o trabalho ao ângulo de rotação do corpo Calcular a potência desenvolvida por um torque determinando a taxa de variação do trabalho realizado pelo torque Calcular a potência desenvolvida por um torque em um dado instante a partir do valor do torque e a velocidade angular nesse instante CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 101 POSIÇÃO ANGULAR Movimentos estudados até o momento foram de translação neste capítulo estaremos estudando movimentos de rotação em um corpo rígido o qual se caracterizam por serem realizados em torno de algum eixo fixo Para melhor compreender as variáveis de rotação devese associálas às variáveis de translação No movimento linear todos os pontos se deslocam ao longo de uma reta no mesmo Δt no movimento angular todos os pontos se movem ao longo da circunferência descrevendo o mesmo ângulo no mesmo Δt CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 101 POSIÇÃO ANGULAR Posição angular θ da reta é o ângulo que a reta de referência faz com o eixo de referência Giro no sentido antihorário Aumenta θ Giro no sentido horário Diminui θ Figura anterior θ 0 Figura ao lado θ rad s mrm Radiano é um número puro e portanto adimensional 1 volta completa 1 rev 360 2π rad 1 rad 573 0159 ver 1 000278 rev 00175 rad CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 102 DESLOCAMENTO ANGULAR Deslocamento angular Δθ da reta de referência é a variação das posições da reta em relação ao eixo de rotação sendo a diferença entre a posição angular final e inicial Deslocamento angular no sentido antihorário Δθ0 Deslocamento angular no sentido horário Δθ0 i f CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 103 VELOCIDADE ANGULAR MÉDIA E INSTANTÂNEA Velocidade angular média é o deslocamento angular Δθ de um corpo que está girando em torno do eixo numa variação de tempo Δt t s rad rad s Velocidade angular instantânea é a taxa de variação de posição angular num corpo que está girando em torno do eixo s dt rad d rad s Outras unidades de medidas rpm revoluções por minuto e revs 1 rpm 2π rad60 s 0105 rads 1 revs 2π rad1 s 6283 rads O módulo da velocidade angular é chamado de velocidade angular escalar Regra da mão direita para determinar o sentido do vetor velocidade angular CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 104 ACELERAÇÃO ANGULAR MÉDIA E INSTANTÂNEA Aceleração angular média é a variação de velocidade angular média Δω de um corpo que está girando em torno do eixo numa variação de tempo Δt 2 s t rad s s méd rad Aceleração angular instantânea é a taxa de variação de velocidade angular num corpo que está girando em torno do eixo 2 s dt rad s d rad s CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 105 EQUAÇÕES CINEMÁTICAS PARA ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE Característica principal para ser uma equação cinemática para aceleração angular constante α d²θdt² constante CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 106 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES Posição linear s x posição angular θ r s velocidade linear v x velocidade angular ω r v dt rd dt ds rf T r t s v 2 2 f T t 2 2 aceleração linear tangencial v x aceleração angular α r a dt rd dt dv No movimento circular a velocidade de cada ponto varia de acordo com a distância ao centro logo essa aceleração radial vale av²r CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 106 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 107 ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Para cálculo da energia total na rotação devemos tomar a massa e a velocidade de cada partícula em função da sua posição logo n i i i n i i i i i m r m v m v m v m v K 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Aplicando a definição de momento de inércia I temos que I K 2 2 1 Sua equivalente em momento de translação é M v K CM 2 2 1 CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 108 MOMENTO DE INÉRCIA Aplicando a definição de inércia do tópico anterior num sistema de partículas temos que n i miri I 1 2 Para objetos sólidos e contínuos aplicase r dm I ² Para determinar o momento de inércia de vários objetos pode aplicarse a tabela no próximo slides ou o Teorema dos Eixos paralelos CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 108 MOMENTO DE INÉRCIA CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 109 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Considerando o deslocamento do eixo de rotação de O00 para Pab e dado um elemento infinitesimal de massa dmxy temos que dm b a b ydm a xdm y dm x by dm b y ax a x dm b y a x r dm I ² ² 2 2 ² ² 2 ² ² 2 ² ² ² ² ² Considerando que R é a distância de O até dm considerando a definição de CM no eixo XY e considerando o valor de h escrevemos o teorema dos eixos paralelos Mh² I I CM CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1010 TORQUE É a tendência de rotação ou torção em torno de um eixo que determinado corpo sofre ao ser aplicado uma força em uma posição em relação ao eixo Se a força aplicada for radial não há giro porém se for tangencial haverá Caso seja aplicado uma força em qualquer direção deve ser decomposta nas componentes radiais e tangenciais em relação ao ponto de aplicação com a reta de ligação do centro ao ponto de contato rFt rFsen No caso do braço de alavanca podemos reescrever como Fr Frsen rFt Relembrando Sentido horário é negativo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1011 2ª LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES Aplicando a 2ª Lei de Newton e a definição de Torque temos I mr rm r rma rF t t 2 Fazendo uma analogia Torque está para força assim como a massa está para o momento inercial bem como a aceleração linear está para a angular CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1012 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Para aplicação em movimentos rotacionais inicialmente utilizamos os movimentos de translação sendo assim dt d Fv dt dW P d W d F rd F ds dW Fdx W I mr r r m v m v mv mv K K K W f i f i t t x x i f i f i f i f i f i f 2 1 ² 2 1 ² ² 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1012 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr LISTA DE EXERCÍCIOS HALLIDAY PÁGS 286 A 294 As variáveis da rotação 6 Rotação com aceleração angular constante 10 Relação entre as variáveis lineares e angulares 24 Energia cinética da rotação 33 Cálculo do momento de inércia 42 Torque 47 2ª Lei de Newton para rotações 57 Trabalho e energia cinética de rotação 66 Problemas adicionais 73 e 98 REFERÊNCIAS Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr BIBLIOGRAFIA BÁSICA HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física Vols 1 e 2 10ª ed Rio de Janeiro LTC 2016 TIPLER P A MOSCA G Física para Cientistas e Engenheiros Vol 1 6ª ed LTC 2009 KELLER F J GETTYS E SKOVE M Física Vol 1 São Paulo Makron Books 1999 COMPLEMENTAR SERWAY RFísica Vols 1 e 2 3ª ed São Paulo THOMSON 2007 Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBRIGADO Lattes httplattescnpqbr7791733689524768 Email ecfopolibr Whatsapp 81 981592626
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Fundamentos da Mecânica Semana 12 Semestre 20231 Cap 10 Rotações wwwpolivirtualengbr Prof MsC Eduardo César CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Saber que se todas as partículas de um corpo giram da mesma forma em torno de um eixo o corpo é um corpo rígido Saber que a posição angular de um corpo rígido em rotação é o ângulo que uma reta interna de referência faz com uma reta externa fixa Conhecer a relação entre o deslocamento angular e as posições angulares inicial e final Conhecer a relação entre a velocidade angular média o deslocamento angular e o intervalo de tempo durante o qual ocorreu o deslocamento Conhecer a relação entre a aceleração angular média a variação de velocidade e o intervalo de tempo durante o qual ocorreu a variação de velocidade Saber que o movimento antihorário é considerado positivo e o movimento horário é considerado negativo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Calcular a velocidade angular instantânea em um dado instante e a velocidade angular média em um dado intervalo dada a posição angular em função do tempo Determinar a velocidade angular instantânea em um dado instante e a velocidade angular média em um dado intervalo dada uma curva da posição angular em função do tempo Saber que a velocidade angular escalar é o módulo da velocidade escalar instantânea Determinar a aceleração angular instantânea em um dado instante e a aceleração angular média em um dado intervalo dada a velocidade em função do tempo Determinar a aceleração angular instantânea em um dado instante e a aceleração angular média em um dado intervalo dada uma curva da velocidade angular em função do tempo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Calcular a variação de velocidade angular de um corpo integrando a função aceleração angular em relação ao tempo Calcular a variação de posição angular de um corpo integrando a função velocidade angular em relação ao tempo Usar as relações entre posição angular deslocamento angular velocidade angular aceleração angular e tempo transcorrido no caso de uma aceleração angular constante Conhecer a relação entre as variáveis angulares do corpo posição angular velocidade angular e aceleração angular e as variáveis lineares de uma partícula do corpo posição velocidade e aceleração para qualquer raio dado no caso de um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Conhecer a diferença entre aceleração tangencial e aceleração radial e traçar os vetores correspondentes às duas acelerações em um desenho de uma partícula de um corpo que esteja girando em torno de um eixo tanto para o caso em que a velocidade angular está aumentando como para o caso em que a velocidade radial está diminuindo Calcular o momento de inércia de uma partícula em relação a um ponto Calcular o momento de inércia total de várias partículas que giram em torno do mesmo eixo fixo Calcular a energia cinética de rotação de um corpo a partir do momento de inércia e da velocidade angular Calcular o momento de inércia de corpos com variadas geometrias Calcular o momento de inércia de um corpo por integração a partir dos elementos de massa do corpo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Aplicar o teorema dos eixos paralelos no caso de um eixo de rotação que não passa pelo centro de massa do corpo Saber que o torque aplicado a um corpo depende de uma força e de um vetor posição que liga um eixo de rotação ao ponto onde a força é aplicada Calcular o torque usando o ângulo entre o vetor posição e o vetor força a linha de ação e o braço de alavanca da força e a componente da força perpendicular ao vetor posição Saber que para calcular um torque é preciso conhecer o eixo de rotação Saber que um torque pode ser positivo ou negativo dependendo do sentido da rotação que o corpo tende a sofrer sob a ação do torque os relógios são negativos Calcular o torque resultante quando um corpo está submetido a mais de um torque CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBJETIVOS Saber que a segunda lei de Newton para rotações relaciona o torque resultante aplicado a um corpo ao momento de inércia e à aceleração angular do corpo todas essas grandezas calculadas em relação a um dado eixo de rotação Calcular o trabalho realizado por um torque aplicado a um corpo integrando o torque em relação ao ângulo de rotação do corpo Usar o teorema do trabalho e energia cinética para relacionar o trabalho realizado por um torque à variação da energia cinética de rotação do corpo Calcular o trabalho realizado por um torque constante relacionando o trabalho ao ângulo de rotação do corpo Calcular a potência desenvolvida por um torque determinando a taxa de variação do trabalho realizado pelo torque Calcular a potência desenvolvida por um torque em um dado instante a partir do valor do torque e a velocidade angular nesse instante CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 101 POSIÇÃO ANGULAR Movimentos estudados até o momento foram de translação neste capítulo estaremos estudando movimentos de rotação em um corpo rígido o qual se caracterizam por serem realizados em torno de algum eixo fixo Para melhor compreender as variáveis de rotação devese associálas às variáveis de translação No movimento linear todos os pontos se deslocam ao longo de uma reta no mesmo Δt no movimento angular todos os pontos se movem ao longo da circunferência descrevendo o mesmo ângulo no mesmo Δt CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 101 POSIÇÃO ANGULAR Posição angular θ da reta é o ângulo que a reta de referência faz com o eixo de referência Giro no sentido antihorário Aumenta θ Giro no sentido horário Diminui θ Figura anterior θ 0 Figura ao lado θ rad s mrm Radiano é um número puro e portanto adimensional 1 volta completa 1 rev 360 2π rad 1 rad 573 0159 ver 1 000278 rev 00175 rad CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 102 DESLOCAMENTO ANGULAR Deslocamento angular Δθ da reta de referência é a variação das posições da reta em relação ao eixo de rotação sendo a diferença entre a posição angular final e inicial Deslocamento angular no sentido antihorário Δθ0 Deslocamento angular no sentido horário Δθ0 i f CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 103 VELOCIDADE ANGULAR MÉDIA E INSTANTÂNEA Velocidade angular média é o deslocamento angular Δθ de um corpo que está girando em torno do eixo numa variação de tempo Δt t s rad rad s Velocidade angular instantânea é a taxa de variação de posição angular num corpo que está girando em torno do eixo s dt rad d rad s Outras unidades de medidas rpm revoluções por minuto e revs 1 rpm 2π rad60 s 0105 rads 1 revs 2π rad1 s 6283 rads O módulo da velocidade angular é chamado de velocidade angular escalar Regra da mão direita para determinar o sentido do vetor velocidade angular CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 104 ACELERAÇÃO ANGULAR MÉDIA E INSTANTÂNEA Aceleração angular média é a variação de velocidade angular média Δω de um corpo que está girando em torno do eixo numa variação de tempo Δt 2 s t rad s s méd rad Aceleração angular instantânea é a taxa de variação de velocidade angular num corpo que está girando em torno do eixo 2 s dt rad s d rad s CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 105 EQUAÇÕES CINEMÁTICAS PARA ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE Característica principal para ser uma equação cinemática para aceleração angular constante α d²θdt² constante CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 106 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES Posição linear s x posição angular θ r s velocidade linear v x velocidade angular ω r v dt rd dt ds rf T r t s v 2 2 f T t 2 2 aceleração linear tangencial v x aceleração angular α r a dt rd dt dv No movimento circular a velocidade de cada ponto varia de acordo com a distância ao centro logo essa aceleração radial vale av²r CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 106 RELAÇÕES ENTRE AS VARIÁVEIS LINEARES E ANGULARES CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 107 ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Para cálculo da energia total na rotação devemos tomar a massa e a velocidade de cada partícula em função da sua posição logo n i i i n i i i i i m r m v m v m v m v K 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 Aplicando a definição de momento de inércia I temos que I K 2 2 1 Sua equivalente em momento de translação é M v K CM 2 2 1 CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 108 MOMENTO DE INÉRCIA Aplicando a definição de inércia do tópico anterior num sistema de partículas temos que n i miri I 1 2 Para objetos sólidos e contínuos aplicase r dm I ² Para determinar o momento de inércia de vários objetos pode aplicarse a tabela no próximo slides ou o Teorema dos Eixos paralelos CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 108 MOMENTO DE INÉRCIA CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 109 TEOREMA DOS EIXOS PARALELOS Considerando o deslocamento do eixo de rotação de O00 para Pab e dado um elemento infinitesimal de massa dmxy temos que dm b a b ydm a xdm y dm x by dm b y ax a x dm b y a x r dm I ² ² 2 2 ² ² 2 ² ² 2 ² ² ² ² ² Considerando que R é a distância de O até dm considerando a definição de CM no eixo XY e considerando o valor de h escrevemos o teorema dos eixos paralelos Mh² I I CM CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1010 TORQUE É a tendência de rotação ou torção em torno de um eixo que determinado corpo sofre ao ser aplicado uma força em uma posição em relação ao eixo Se a força aplicada for radial não há giro porém se for tangencial haverá Caso seja aplicado uma força em qualquer direção deve ser decomposta nas componentes radiais e tangenciais em relação ao ponto de aplicação com a reta de ligação do centro ao ponto de contato rFt rFsen No caso do braço de alavanca podemos reescrever como Fr Frsen rFt Relembrando Sentido horário é negativo CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1011 2ª LEI DE NEWTON PARA ROTAÇÕES Aplicando a 2ª Lei de Newton e a definição de Torque temos I mr rm r rma rF t t 2 Fazendo uma analogia Torque está para força assim como a massa está para o momento inercial bem como a aceleração linear está para a angular CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1012 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Para aplicação em movimentos rotacionais inicialmente utilizamos os movimentos de translação sendo assim dt d Fv dt dW P d W d F rd F ds dW Fdx W I mr r r m v m v mv mv K K K W f i f i t t x x i f i f i f i f i f i f 2 1 ² 2 1 ² ² 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr 1012 TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO CAP 10 ROTAÇÃO Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr LISTA DE EXERCÍCIOS HALLIDAY PÁGS 286 A 294 As variáveis da rotação 6 Rotação com aceleração angular constante 10 Relação entre as variáveis lineares e angulares 24 Energia cinética da rotação 33 Cálculo do momento de inércia 42 Torque 47 2ª Lei de Newton para rotações 57 Trabalho e energia cinética de rotação 66 Problemas adicionais 73 e 98 REFERÊNCIAS Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr BIBLIOGRAFIA BÁSICA HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de Física Vols 1 e 2 10ª ed Rio de Janeiro LTC 2016 TIPLER P A MOSCA G Física para Cientistas e Engenheiros Vol 1 6ª ed LTC 2009 KELLER F J GETTYS E SKOVE M Física Vol 1 São Paulo Makron Books 1999 COMPLEMENTAR SERWAY RFísica Vols 1 e 2 3ª ed São Paulo THOMSON 2007 Fundamentos da Mecânica polivirtualengbr OBRIGADO Lattes httplattescnpqbr7791733689524768 Email ecfopolibr Whatsapp 81 981592626