Teoria das Estruturas II - Conceitos e Metodologias de Resolução

UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL Disciplina TEORIA AS ESTRUTURAS II formato remoto Prof Carlos Welligton Pires Sobrinho Programa Conceito de rigidez Metodologia de resolução com utilização de vetores Método da rigidez direta Desenvolvimento do modelo o Aplicação às treliças planas matriz de rigidez e transformação de sistemas o Aplicações influência de recalque e apoios elásticos o Aplicação a vigas contínuas matriz de rigidez e aplicações Aplicação do 1º Exercício Escolar o Aplicação aos pórticos planos matriz de rigidez e aplicações o Aplicação às grelhas planas matriz de rigidez e aplicações Sistemas computacionais Ftools e TQS Aplicação do 2º Exercício Escolar Metodologia de ensino no formato remoto Aulas através da plataforma googlemeet com interação e presença Material será disponibilizado ao final de cada aula em formato PowerPointpdf Referências bibliográficas Método da rigidez direta para cálculo de estruturas planas Prof Carlos Welligton UPE 2020 Métodos básicos para análise de estruturas Prof Luiz Fernando Martha httpwwwtecgrafpucriobrlfm O método da rigidez direta sob enfoque matricial Prof Luiz Fernando Martha PUCRJ 1993 Fundamentos do Método dos Elementos Finitos Prof Victor Franco ENIDH 2011 1 CONCEITO DE RIGIDEZ Seja uma barraengastelivre submetida à ação de uma carga axial Considerando que o material da barra esteja no campo elástico então segue a Lei de Hooke σ EЄ Sabendose que σ 𝑷 𝑨 e Є 𝜹 𝑳 𝑷 𝑨 𝑬 𝜹 𝑳 Podendo ser escrita como P 𝑬𝑨 𝑳 δ Denominando K 𝑬𝑨 𝑳 como rigidez e considerando que δ é um deslocamento virtual valor qualquer então tomando δ 1 valor Unitário Podese dizer que A rigidez K é equivalente a ação necessária para produzir um deslocamento unitário EXEMPLO 1 Seja a barra bi engastada a seguir Determinar as reações Ra e Rb e o deslocamento δc a Solução do problema utilizando o método dos deslocamentos Ação das forças externas Deslocamento devido a P Ação dos esforços internos Esforços gerados pelo deslocamento δc Fazendo o equilíbrio no nó C FH 0 F1 F2 P Sendo F1 K1δc e F2 K2δc K1δc K2δc K1 K2δc P δc 𝑃 𝐾 Assim a rigidez global K1 K2 é a soma da rigidez de cada barra Pela definição da rigidez K1 𝐸𝐴 𝑎 e K2 𝐸𝐴 𝑏 K 𝐸𝐴 𝑎 𝐸𝐴 𝑏 K 𝐸𝐴𝐿 𝑎𝑏 Assim o deslocamento δc pode ser escrito como δc 𝑃 𝐾 𝑷𝒂𝒃 𝑬𝑨𝑳 Determinação dos esforços internos Trecho 1 ac F1 K1 δc 𝐸𝐴 𝑎 𝑃𝑎𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝑃𝑏 𝐿 F1 𝑷𝒃 𝑳 Trecho 2 cb F2 K2 δc 𝐸𝐴 𝑏 𝑃𝑎𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝑃𝑎 𝐿 F2 𝑷𝒂 𝑳 Determinação das reações de apoio Diagrama de esforços finais esforços axiais Em resumo o método dos deslocamentos segue as seguintes etapas 1 Escrevese as equações de equilíbrio em função do deslocamento desconhecido 2 Após a determinação dos deslocamentos calcular as forças elásticas esforços internos e reações de apoio b Solução alternativa utilizando o conceito da rigidez Ação das forças externas Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Equações de equilíbrio P K1δc K2δc P k1 k2δc Assim a rigidez global K1 K2 é a soma da rigidez de cada barra Mesmo procedimento anterior Pela definição da rigidez K1 𝐸𝐴 𝑎 e K2 𝐸𝐴 𝑏 K 𝐸𝐴 𝑎 𝐸𝐴 𝑏 K 𝐸𝐴𝐿 𝑎𝑏 Assim o deslocamento δc pode ser escrito como δc 𝑃 𝐾 𝑷𝒂𝒃 𝑬𝑨𝑳 Determinação dos esforços internos Trecho 1 AC F1 K1 δc 𝐸𝐴 𝑎 𝑃𝑎𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝑃𝑏 𝐿 F1 𝑷𝒃 𝑳 Trecho 2 CB F2 K2 δc 𝐸𝐴 𝑏 𝑃𝑎𝑏 𝐸𝐴𝐿 𝑃𝑎 𝐿 F2 𝑷𝒂 𝑳 xx xx Exemplo 2 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob carregamento aplicado Características da estrutura sob análise Solução utilizando o conceito da rigidez Ação do carregamento externo aplicado Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δd1 Equação de equilíbrio no nó C P K1δc K2δc K2δd Equação de equilibro no nó D P K2δc K2δd K3δd Agrupando no formato matricial P K1 K2 K2 x δc P K2 K2 K3 δd Vetor de carga Matriz de rigidez Vetor deslocamentos f k x u Formato vetorial Cálculo das rijezas trecho 1 K1 𝐸𝐴 𝑎 trecho 2 K2 𝐸15𝐴 3𝑎 trecho 3 K3 𝐸𝐴 𝑎 Substituindo no sistema P 𝐸𝐴 𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 x δc P 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸𝐴 𝑎 δd Simplificando P 𝐸 𝐴 2 𝐴 x 3 1 x δc P 1 3 δd Resolvendo o sistema δc 𝑃𝑎 2𝐸𝐴 e δd 𝑃𝑎 2𝐸𝐴 Cálculo das forças elásticas nodais Trecho 1 A C representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 2 C D representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 3 D B representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Representação final dos esforços na barra diagrama de esforços axiais na barra xxxx CONSIDERAÇÕES SOBRE CARREGAMENTO DISTRIBUÍDO Seja uma barra bi engastada sob carregamento uniformemente distribuído q Como esta é um sistema hiperestático uma equação de equilíbrioFH0 para duas reações RA e RB Um dos caminhos para a determinação das reações é utilizar o método das forças Equação de equilíbrio estático FH RA RB qL 0 O método das forças propõe transformar o sistema hiperestático em isostático sistema principal através da liberação de esforços internos ou reações e introduzir ações incógnitas correspondentes a cada uma das liberações e utilizar o princípio da superposição dos efeitos criando equações de compatibilidade geométrica Princípio da superposição dos efeitos Equação de compatibilidade geométrica no ponto e direção que houve a liberação da reação RB Neste caso o hiperestático X1 representa a reação RB Fazendo X1 unitário temos Neste caso o deslocamento B na estrutura real bi engastada é nulo B0 condições de contorno Já o deslocamento devido as ações externas B0 podes ser calculado utilizando o método da carga unitária já que o sistema agora é isostático Onde N0 é o esforço axial devido às ações externas N1 é o esforço axial devido à ação do hiperestático X11 Calcular as reações de apoio Ação do carregamento externo q Ação da carga unitária X11 N0fx qlx Integrando Semelhante Aplicando na equação de compatibilidade 0 Onde X1 𝒒𝑳 𝟐 assim RB 𝒒𝑳 𝟐 Sendo FH RA RB qL 0 RA qL 𝑞𝐿 2 RA 𝒒𝑳 𝟐 Assim para uma carga uniformemente distribuída ao longo de uma barra as reações de apoio são Semelhante comportamento se faz quanto à ação de temperatura T B0 αTL B1 𝐿 𝐸𝐴 RA EAT RB EAT xx xx Exemplo 3 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob carregamento uniformemente distribuído aplicado Características da estrutura sob análise Solução utilizando o conceito da rigidez Ação do carregamento externo traduzido em interno Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δd1 Equação de equilíbrio no nó C 0 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K1δc K2δc K2δd Equação de equilibro no nó D 0 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K2δc K2δd K3δd Obs Não existe carga nodal trabalho externo e sim esforços na barra trabalho interno Agrupando no formato matricial 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K1 K2 K2 x δc 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K2 K2 K3 δd Vetor de carga Matriz de rigidez Vetor deslocamentos f k x u Formato vetorial Cálculo das rijezas trecho 1 K1 𝐸𝐴 𝑎 trecho 2 K2 𝐸15𝐴 3𝑎 trecho 3 K3 𝐸𝐴 𝑎 Substituindo no sistema 2qa 𝐸𝐴 𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 x δc 2qa 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸𝐴 𝑎 δd Simplificando 2qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 x 3 1 x δc 2qa 1 3 δd Resolvendo pelo método de triangularização de Gauss 2qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 x 3 1 x Δc L1 2qa 1 3 Δd L2 1 L2 3xL2 L1 3x2qa2qa 𝐸𝐴 2𝑎 3x1 3 3x31 𝛿𝑐 𝛿𝑑 2qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 x 3 1 x Δc L1 8qa 0 8 Δd L2 A linha L2 permite determinar 8qa 0 𝐸𝐴 2𝑎 δc 8 𝐸𝐴 2𝑎 𝛿𝑑 δd 2𝑞𝑎2 𝐸𝐴 Substituindo na linha L1 2qa 𝐸𝐴 2𝑎 3 δc 𝐸𝐴 2𝑎 2𝑞𝑎2 𝐸𝐴 2qaqa 3𝐸𝐴 2𝑎 δc δc 2𝑞𝑎2 𝐸𝐴 Cálculo das forças elásticas nodais Trecho 1 A C representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 2 C D representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 3 D B representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Representação final dos esforços na barra diagrama de esforços axiais na barra xxxx Exemplo 4 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob combinação de carga concentrada e carregamento uniformemente distribuído Características da estrutura sob análise Considere Pqa Solução utilizando o conceito da rigidez Ação do carregamento externo aplicado nos nós Ação do carregamento externo traduzido em interno Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δc1 Forças elásticas provocadas pelo deslocamento δd1 Equação de equilíbrio no nó C P 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K1δc K2δc K2δd Equação de equilibro no nó D P 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K2δc K2δd K3δd Obs Não existe carga nodal trabalho externo e sim esforços na barra trabalho interno Agrupando no formato matricial qa 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K1 K2 K2 x δc 𝑞 𝑎 𝑞𝑎 2 3𝑞𝑎 2 K2 K2 K3 δd Vetor de carga Matriz de rigidez Vetor deslocamentos f k x u Formato vetorial Cálculo das rijezas trecho 1 K1 𝐸𝐴 𝑎 trecho 2 K2 𝐸15𝐴 3𝑎 trecho 3 K3 𝐸𝐴 𝑎 Substituindo no sistema 3qa 𝐸𝐴 𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 x δc qa 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸15𝐴 3𝑎 𝐸𝐴 𝑎 δd Simplificando 3qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 x 3 1 x δc qa 1 3 δd Resolvendo o sistema Resolvendo pelo método de triangularização de Gauss 3qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 x 3 1 x δc L1 qa 1 3 δd L2 L2 3xL2 L1 3xqa3qa 𝐸𝐴 2𝑎3x1 3 3x3 1 𝛿𝑐 𝛿𝑑 3qa 𝐸 𝐴 2 𝑎 x 3 1 x δc L1 qa 0 8 δd L2 A linha L2 permite determinar 6qa 0 𝐸𝐴 2𝑎 δc 8 𝐸𝐴 2𝑎 𝛿𝑑 δd 3𝑞𝑎2 2𝐸𝐴 Substituindo na linha L1 3qa 𝐸𝐴 2𝑎 3 δc 𝐸𝐴 2𝑎 3𝑞𝑎2 2𝐸𝐴 3qa 3𝑞𝑎 4 3𝐸𝐴 2𝑎 δc δc 5𝑞𝑎2 2𝐸𝐴 Cálculo das forças elásticas nodais Trecho 1 A C representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 2 C D representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Trecho 3 D B representação convenção na direção positiva dos vetores Cálculo das forças elásticas esforços internos nos nós da barra Representação dos esforços no trecho diagrama de esforços axiais Representação final dos esforços na barra diagrama de esforços axiais na barra Análise comparativa Pqa 2 MÉTODO DA RIGIDEZ DIRETA O Método da rigidez direta é uma forma algoritmizada do método dos deslocamentos sendo esta a base dos programas computacionais Seja um elemento genérico de barra Sistema Local Os vetores relacionados ao Sistema LocalSL tem uma barra superior para diferir do Sistema GlobalSG e o grau de liberdade para o SL é sempre 2 para um elemento de barra Cálculo as forças internas nas extremidades do elemento Desenvolvimento o processo de montagem da matriz de rigidez Seja a barra dos exercícios anteriores Discretização definição dos elementos através da definição dos nós definindo o sistema global Nós são posicionados obrigatoriamente nas extremidades nas mudanças de direções nas mudanças de materiais e nas mudanças de seção Opcionalmente no interior entre nós obrigatórios Para nós posicionados nas extremidades ou sobre apoios devem ter seu deslocamento potencial condicionado as condições de contorno Por exemplo sendo o nó pertencente a extremidade fixaengaste tem seu deslocamento potencial nulo Cada deslocamento potencial tem um vetor com numeração crescente de forma que o número dos deslocamentos potenciais definem o grau de liberdadegdl da estrutura discretizada Sistema Local Sistema Global gdl do elemento local gdl da estrutura discretizada Vetor de forças internas Vetor de forças internas Matriz de rigidez local Matriz de rigidez global Assim voltando a estrutura discretizada anterior Desenvolvimento do algoritmo de montagem da matriz de rigidez Contribuição do elemento 1 SG Associando o elemento 1 do SG ao elemento local genérico de barra Contribuição do elemento 2 SG Associando o elemento 2 do SG ao elemento local genérico de barra Contribuição do elemento 3 SG Associando o elemento 3 do SG ao elemento local genérico de barra Sendo A a matriz de incidência cinemática associando o SL ao SG Pelo Princípio dos Trabalhos Virtuais Assim Como o deslocamento virtual δu é qualquer este pode seu unitário assim Assim aplicando ao problema temse Contribuição do elemento 1 Contribuição do elemento 2 Contribuição do elemento 3 Então a matriz de rigidez para o problema discretizado é Semelhante à matriz de rigidez encontrada anteriormente Computacionalmente a montagem da matriz de rigidez é realizada desta forma computando se a contribuição de cada um dos elementos Na prática podemos podese aplicar uma correspondência entre o SL e o SG da seguinte forma Relembrando Sabendo da matriz do elemento base no caso de elemento de barra é Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 Contribuição dos elementos Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Concluindo as contribuições temos A matriz de rigidez do problema discretizado semelhante às obtidas com os demais processos A determinação dos deslocamentos incógnitos ui i variando de 1 a n onde n é o gdl no SG é realizada pela expressão Onde F é o vetor das forças aplicadas nos nós f é o vetor das forças transferidas dos elementos para os nós K a matriz de rigidez no SG U o vetor dos deslocamentos desconhecidos Após a determinação dos deslocamentos desconhecidos ui é possível determinas os esforços internos para cada elemento utilizando No Sistema Global No Sistema Local Aplicação Exemplo 5 Determinar as reações de apoio e os esforços axiais nos trechos da barra sob combinação de carga concentrada e carregamento uniformemente distribuído Características da estrutura sob análise Considere Pqa Resolução pelo método da rigidez direta a Discretização do problema a discretização mínima leva em consideração extremidades apoios mudança de seção ou material b Montagem da matriz de rigidez b1Identificação do tipo de elemento No caso elemento de barra b2 Contribuição dos elementos para Matriz Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 Contribuição dos elementos Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Concluindo as contribuições temos A matriz de rigidez do problema discretizado semelhante às obtidas com os demais processos C Construção dos vetores de carga c1 Vetor de carga nodal F Este vetor não é calculado seus componentes são as cargas aplicadas diretamente na direção dos deslocamentos incógnitos No caso c2 Vetor de cargas nos elementos f Neste caso cada elemento irá contribuir utilizando as tabelas de reação de apoio para cada tipo de carga c21 vetor de carga do elemento 1 Já vimos que para uma barra carregada uniformemente temos a tabela Assim aplicado ao elemento 1 Assim aplicado ao elemento 2 Assim aplicado ao elemento 3 O Vetor final f é a soma vetorial dos vetores dos elementos d Montagem e resolução das equações de equilíbrio Resolvendo ver exercício anterior e Cálculo dos esforços nos nós dos elementos esforços internos e1 Elemento 1 Representação dos esforços no elemento 1 e2 Elemento 2 Representação dos esforços no elemento 2 e3 Elemento 3 Representação dos esforços no elemento 3 A representação final dos esforços na estrutura é a combinação das partes No caso Diagrama de Esforços normais DEN Exercícios propostos Ex1 Determinar os esforços e reações para as estruturas abaixo pelo método da rigidez direta Ex1aEstrutura de barra sob carga concentrada Ex1bEstrutura de barra sob carregamento uniformemente distribuído Exercício 6 Determinar o deslocamento do centro da estrutura anterior bem como comprar os esforços obtido com discretizações distintas Características da estrutura sob análise Considere Pqa Resolução pelo método da rigidez direta a Discretização do problema Para possibilitar a determinação de deslocamentos oi esforços em um determinado ponto da estrutura há necessidade de discretizar este ponto b Montagem da matriz de rigidez b1Identificação do tipo de elemento No caso elemento de barra b2 Contribuição dos elementos para Matriz Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 Contribuição dos elementos Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4 Assim computados todas as contribuições temse a matriz global C Construção dos vetores de carga C1 Vetor de carga nodal F Este vetor não é calculado seus componentes são as cargas aplicadas diretamente na direção dos deslocamentos incógnitos No caso C2 Vetor de carga nos elementos f transferida aos nós Este vetor é calculado para cada elementos utilizando tabelas de engastamento perfeito na direção dos deslocamentos incógnitos No caso só existem atuantes na estrutura carregamento uniformemente distribuído assim a única tabela a ser utilizada C21 Elemento 1 C22 Elemento 2 C23 Elemento 3 C24 Elemento 4 Concluídas as contribuições dos elementos o vetor final é a soma D Montagem e resolução do sistema de equações Resolução pelo método de triangularização de Gauss Após a matriz triangularizada os deslocamentos são obtidos por retro substituição Os mesmos resultados obtidos o exercícios similares anteriores porém neste caso conseguimos determinar o deslocamento do ponto centralu2 E Cálculo dos esforços nos nós dos elementos esforços internos E1 Elemento 1 Representação dos esforços no elemento 1 E2 Elemento 2 Representação dos esforços no elemento 2 E3 Elemento 3 Representação dos esforços no elemento 3 E4 Elemento 4 Representação dos esforços no elemento 4 e reações no nó extremo A representação final dos esforços na estrutura é a combinação das partes No caso Diagrama de Esforços normais DEN Semelhante ao diagrama anterior porém sendo conhecido o esforço no meio do vão o que antes não se tinha determinado Conclusão discretização diferentes não altera os resultados possibilita conhecer valores deslocamento e esforços em pontos além do mínimo Exercício 7 Determinar o deslocamento na extremidade de uma barra de aço conforme mostrada abaixo considerando a atuação da carga aplicada e do peso próprio Considere Densidade do aço ɤ 80 kNm3 Módulo de elasticidade do aço E210 GPa Conversão 210 Gpa 21x108 kNm2 Resolução do problema A Discretização do problema Utilizando a discretização mínima B Montagem da matriz de rigidez B1Identificação do tipo de elemento No caso elemento de barra B2 Contribuição dos elementos para Matriz Iniciase com a matriz no SG zerada K 0 B21 Elemento 1 A 006x006 00036 m2 L 02m k 𝐸𝐴 𝐿 21𝑥108𝑥00036 02 378x106 Contribuição para matriz de rigidez global B22 Elemento 2 A 002 x 002 00004 m2 L 03 m k 21𝑥108 𝑥00004 03 028 x 106 Contribuição para matriz de rigidez global Assim após todas as contribuições a matriz de rigidez do problema discretizado é C Construção dos vetores de carga C1 Vetor de carga nodal F Este vetor não é calculado seus componentes são as cargas aplicadas diretamente na direção dos deslocamentos incógnitos A convenção positiva segue a orientação C2 Vetor de carga nos elementos f transferida aos nós Este vetor é calculado para cada elementos utilizando tabelas de engastamento perfeito na direção dos deslocamentos incógnitos C21 Contribuição do elemento 1 C22 Contribuição do elemento 2 Computada as contribuições o vetor de carga nos elementos é E Montagem e resolução do sistema de equações Simplificando Resolvendo por Gauss L2 406 028 x L2 L1 406 028 𝑥1048 336 406 028 𝑥028 406 406 028 𝑥028 028 𝑢1 𝑢2 Primeira resposta a extremidade deslocou 41 milésimo de milímetro para baixo Dando sequência E Cálculo dos esforços nos nós dos elementos esforços internos E1 Elemento 1 E2 Elemento 2 F Representação final Exercícios propostos Ex21 Determinar o deslocamento no meio do vão os esforços e reações para as estrutura abaixo pelo método da rigidez direta Ex22 Determinar o deslocamento no olhal da barra bem como os esforços e reações para as estruturas abaixo pelo método da rigidez direta ANÁLISE DE TRELIÇAS PLANAS PELO MÉTODO DA RIGIDEZ Treliças Planas São estruturas compostas por barras articuladas por nós rotulados As cargas aplicadas apenas nos nós Não é considerado cargas atuantes nos elementos Em uma barra de treliça plana cada nó tem dois graus de liberdade Sendo estes relacionados à deslocamentos lineares Sistema Global SG Sistema Local SL Determinação da matriz de rigidez de um elemento de treliça no sistema local Seja um elemento de treliça no sistema local Para U11 Para deslocar U1 em uma unidade necessitase de uma força de intensidade da rigidez por outro lado surge esforço igual no nó contrário Para U2 1 L𝐿 2 𝑈22 L1 𝑈2 𝐿 2 Para U2 L Є 𝐿𝐿 𝐿 0 Não surgem esforços Para U31 Para deslocar U3 em uma unidade necessitase de uma força de intensidade da rigidez por outro lado surge esforço igual no nó contrário Para U4 1 L𝐿 2 𝑈42 L1 𝑈4 𝐿 2 Para U2 L Є 𝐿𝐿 𝐿 0 Não surgem esforços Assim montando a matriz Consideração dos elementos da matriz Transformação de sistemas Para possibilitar a soma das contribuições de elementos com orientações diferentes o SL o eixo dos elementos é necessário que todos os elementos estejam relacionados ao Sistema Global Assim Fazendo Ccosθ e Ssenθ Estendendo para os dois nós Onde T é a matriz de transformação para este tipo de elemento Determinação da matriz de rigidez do elemento de treliça no sistema global Desta forma Operando se obtém a expressão de recorrência para a matriz no sistema global L 𝐿𝑥2 𝐿𝑦2 C cosθ 𝐿𝑥 𝐿 S senθ 𝐿𝑦 𝐿 Assim seguindo o procedimento anterior a montagem da matriz de rigidez é formada pela contribuição de cada elemento assim considerado Desta forma o procedimento para montagem da matriz do problema será realizado no sistema global com a contribuição de cada elemento O vetor de carga também e construído no sistema global sendo obtido os deslocamentos no sistema global F KU Após a determinação dos deslocamentos os esforços nos elementos são calculados no sistema Global utilizando a matriz do elemento no sistema global com os deslocamentos que atuam nesses elementos g Ku Para obter os esforços nos elementos no sistema local utiliza a matriz de transformação Exercício 8 Determinar os deslocamentos esforços nos elementos e reações nos apoios na treliça abaixo submetidas as ações indicadas Considere EA 20000 kN A Discretização No caso de treliças como por definição a treliça é formada por barras articuladas as articulações se confundem com os próprios nós não havendo espaço para outro tipo de discretização B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 Assim Na memória B1 Contribuição do elemento 2 L 4 C cos 0 1 S sem 0 0 U10 V10 U21 V22 Assim Na memória Não tendo mais elementos a contribuir a matriz final é C Vetores de carga C1 Cargas nodais na direção dos deslocamentos F Observe que não há cálculo os valores correspondem as ações associadas a cada deslocamento desconhecido respeitando os sentidos positivos C2 Cargas nos elementos f Em treliças por definição não existem cargas nos elementos D Determinação dos deslocamentos Equações de equilíbrio F KU Resolvendo 7560 1920xL2L1 7560 1920x2010 7560 1920 𝑥1920 7560 7560 1920 𝑥1440 1920 𝑈1 𝑈2 L2 8875 0U1 3750U2 U2 002367m 2367 mm L1 10 7560U1 1920002367 U1 000733m 733 mm E Cálculo dos esforços gi KiUi E1 Elemento 1 2668 kN 2000 kN 2668 kN 2000 kN Transformação para o Sistema Local Diagrama de esforços axiais Sistema Local E2 Elemento 2 Transformação para o Sistema Local Diagrama de esforços axiais Sistema Local Esforços finais Diagramas de esforços axiais xx xx Exercício 9 Determinar os deslocamentos esforços nos elementos e reações nos apoios na treliça abaixo submetidas as ações indicadas Considere EA 10000 kN A Discretização B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 L 22 352 403 m C 2 403 05 S 35 403 087 U10 V10 U21 V22 Na memória B2 Contribuição do elemento 2 L 35 m EA 15000 C 0 S 1 U10 V10 U21 V22 Na memória B3 Contribuição do elemento 3 L 22 352 403 m C 2 403 05 S 35 403 087 U10 V10 U21 V22 Na memória C Vetores de carga C1 Cargas nodais na direção dos deslocamentos F C2 Cargas nos elementos f Em treliças por definição não existem cargas nos elementos D Determinação dos deslocamentos Equações de equilíbrio F KU Assim o nó superior central desloca 125mm para baixo E Cálculo dos esforços internos nas barras E1 barra 1 Transformação para sistema local E2 barra 2 Transformação para sistema local E3 barra 3 Transformação para sistema local Diagrama de esforços finais Observem que a soma dos esforços no topo é 233 535 233 1001 10 kN carga aplicada por ser simétrica cargas geometrias e materiais mostra esforços simétricos as reações nas bases são Va 233kN Há 133 kN Vb 535kN Hb 0 Vc 133 kN e Hc 233 kN os esforços nas barras são xx xxx xx Exercício 10 Determinar os deslocamentos e a reação no apoio da treliça às ações indicadas Considere EA 20000 kN A Discretização B Montagem da matriz de rigidez B1 Contribuição do elemento 1 L 32 42 5 C 4 5 08 S 3 5 06 U10 V10 U21 V20 Assim Na memória B2 Contribuição do elemento 2 L 4 C cos 0 1 S sem 0 0 U10 V10 U21 V20 Assim Na memória Sendo esta a matriz final K7560 C Vetores de carga F 10 ID Equações de equilíbrio F KU 10 7560u1 u1 10 7520 U1000132m E Cálculo dos esforços E1 Elemento 1 E2 Elemento 2 IF Esforços finais xx xx Exercícios propostos E31 Determinar os esforços e reaçoes na treliça abaixo Considere EA10000 kN Exercício 11 Determinar os esforços e reações que surgem na treliça abaixo quando submetida às cargas aplicadas e ao recalque imposto Considere EA 20000 kN A Discretização No caso de deslocamento imposto geralmente conhecido consideramos inicialmente o deslocamento desconhecido e na resolução impõese o valor deste B Montagem da matriz de rigidez aproveitaremos o realizado no exercício 9 B1 Contribuição do elemento 1 L 32 42 5 C 4 5 08 S 3 5 06 U10 V10 U21 V22 Assim Na memória B1 Contribuição do elemento 2 L 4 C cos 0 1 S sem 0 0 U10 V10 U21 V22 Assim Na memória Não tendo mais elementos a contribuir a matriz final é C Vetores de carga C1 Cargas nodais na direção dos deslocamentos F Observe na direção F1 a carga está aplicada na direção positiva já na direção F2 existem duas cargas a carga vertical 20 negativa pois está para baixo e a ação da reação positiva pois está indicada para cima C2 Cargas nos elementos f Em treliças por definição não existem cargas nos elementos D Determinação dos deslocamentos Equações de equilíbrio F KU L1 10 7560xU1 1920x0002 U1 10384 7560 000183 mm L2 R20 1920x000183 1440x0002 R2063 kN