Fundamentos de Física - Volume 2

FUNDAMENTOS DE FÍSICA O GEN Grupo Editorial Nacional a maior plataforma editorial no segmento CTP científico técnico e profissional publica nas áreas de saúde ciências exatas jurídicas sociais aplicadas humanas e de concursos além de prover serviços direcionados a educação capacitação médica continuada e preparação para concursos Conheça nosso catálogo composto por mais de cinco mil obras e três mil ebooks em wwwgrupogencombr Halliday Resnick FUNDAMENTOS DE FÍSICA Os autores e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem dos autores a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços dos autores do tradutor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bem vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de FUNDAMENTALS OF PHYSICS VOLUME 2 TENTH EDITION Copyright 2014 2011 2008 2005 John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license with the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118230732 Volume 2 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Travessa do Ouvidor 11 Rio de Janeiro RJ CEP 20040040 Tels 2135430770 1150800770 Fax 2135430896 ltcgrupogencombr wwwltceditoracombr Capa MarCom GEN Produção digital Geethik CIPBRASIL CATALOGAÇÃO NA PUBLICAÇÃO SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS RJ D272f 10 ed v 3 Halliday David 19162010 Fundamentos de física volume 3 eletromagnetismo David Halliday Robert Resnick Jearl Walker tradução Ronaldo Sérgio de Biasi 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 il 28 cm Tradução de Fundamentals of physics 10th ed Apêndice Inclui bibliografia e índice ISBN 9788521632085 1 Eletromagnetismo 2 Física I Resnick Robert 19232014 II Walker Jearl 1945 III Biasi Ronaldo Sérgio de IV Título CDD 530 1629723 CDU 53 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 SUMÁRIO GERAL VOLUME 1 Medição Movimento Retilíneo Vetores Movimento em Duas e Três Dimensões Força e Movimento I Força e Movimento II Energia Cinética e Trabalho Energia Potencial e Conservação da Energia Centro de Massa e Momento Linear Rotação Rolagem Torque e Momento Angular VOLUME 2 Equilíbrio e Elasticidade Gravitação Fluidos Oscilações Ondas I Ondas II Temperatura Calor e a Primeira Lei da Termodinâmica A Teoria Cinética dos Gases Entropia e a Segunda Lei da Termodinâmica VOLUME 3 A Lei de Coulomb Campos Elétricos Lei de Gauss Potencial Elétrico Capacitância Corrente e Resistência Circuitos 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 Campos Magnéticos Campos Magnéticos Produzidos por Correntes Indução e Indutância Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria VOLUME 4 Ondas Eletromagnéticas Imagens Interferência Difração Relatividade Fótons e Ondas de Matéria Mais Ondas de Matéria Tudo sobre os Átomos Condução de Eletricidade nos Sólidos Física Nuclear Energia Nuclear Quarks Léptons e o Big Bang 211 212 213 221 222 223 224 225 226 227 SUMÁRIO 21 A Lei de Coulomb A LEI DE COULOMB O que É Física Cargas Elétricas Condutores e Isolantes A Lei de Coulomb A CARGA É QUANTIZADA A Carga É Quantizada A CARGA É CONSERVADA A Carga É Conservada REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 22 Campos Elétricos O CAMPO ELÉTRICO O que É Física O Campo Elétrico Linhas de Campo Elétrico O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA O Campo Elétrico Produzido por uma Partícula Carregada O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGA O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DISCO CARREGADO O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO Um Dipolo em um Campo Elétrico 231 232 233 234 235 236 241 242 243 244 245 REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 23 Lei de Gauss FLUXO ELÉTRICO O que É Física Fluxo Elétrico LEI DE GAUSS Lei de Gauss Lei de Gauss e Lei de Coulomb UM CONDUTOR CARREGADO Um Condutor Carregado APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA CILÍNDRICA Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA PLANAR Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA ESFÉRICA Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 24 Potencial Elétrico POTENCIAL ELÉTRICO O que É Física Potencial Elétrico e Energia Potencial Elétrica SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E O CAMPO ELÉTRICO Superfícies Equipotenciais Cálculo do Potencial a Partir do Campo Elétrico POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Potencial Produzido por uma Partícula Carregada Potencial Produzido por um Grupo de Partículas Carregadas POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA 246 247 248 251 252 253 254 255 256 261 262 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS CARREGADAS Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO Potencial de um Condutor Carregado REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 25 Capacitância CAPACITÂNCIA O que É Física Capacitância CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA Cálculo da Capacitância CAPACITORES EM PARALELO E EM SÉRIE Capacitores em Paralelo e em Série ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO ELÉTRICO Energia Armazenada em um Campo Elétrico CAPACITOR COM UM DIELÉTRICO Capacitor com um Dielétrico Dielétricos Uma Visão Atômica DIELÉTRICOS E A LEI DE GAUSS Dielétricos e a Lei de Gauss REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 26 Corrente e Resistência CORRENTE ELÉTRICA O que É Física Corrente Elétrica DENSIDADE DE CORRENTE Densidade de Corrente 263 264 265 271 272 273 274 281 282 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE Resistência e Resistividade A LEI DE OHM A Lei de Ohm Uma Visão Microscópica da Lei de Ohm POTÊNCIA SEMICONDUTORES E SUPERCONDUTORES A Potência em Circuitos Elétricos Semicondutores Supercondutores REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 27 Circuitos CIRCUITOS DE UMA MALHA O que É Física Bombeamento de Cargas Trabalho Energia e Força Eletromotriz Cálculo da Corrente em um Circuito de uma Malha Outros Circuitos de uma Malha Diferença de Potencial Entre Dois Pontos CIRCUITOS COM MAIS DE UMA MALHA Circuitos com Mais de uma Malha O AMPERÍMETRO E O VOLTÍMETRO O Amperímetro e o Voltímetro CIRCUITOS RC Circuitos RC REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 28 Campos Magnéticos CAMPOS MAGNÉTICOS E A DEFINIÇÃO DE O que É Física O que Produz um Campo Magnético A Definição de CAMPOS CRUZADOS A DESCOBERTA DO ELÉTRON 283 284 285 286 287 288 291 292 293 294 295 301 Campos Cruzados A Descoberta do Elétron CAMPOS CRUZADOS O EFEITO HALL Campos Cruzados O Efeito Hall UMA PARTÍCULA CARREGADA EM MOVIMENTO CIRCULAR Uma Partícula Carregada em Movimento Circular CÍCLOTRONS E SÍNCROTRONS Cíclotrons e Síncrotrons FORÇA MAGNÉTICA EM UM FIO PERCORRIDO POR CORRENTE Força Magnética em um Fio Percorrido por Corrente TORQUE EM UMA ESPIRA PERCORRIDA POR CORRENTE Torque em uma Espira Percorrida por Corrente O MOMENTO DIPOLAR MAGNÉTICO O Momento Dipolar Magnético REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 29 Campos Magnéticos Produzidos por Correntes O CAMPO MAGNÉTICO PRODUZIDO POR UMA CORRENTE O que É Física Cálculo do Campo Magnético Produzido por uma Corrente FORÇAS ENTRE DUAS CORRENTES PARALELAS Forças entre Duas Correntes Paralelas LEI DE AMPÈRE Lei de Ampère SOLENOIDES E TOROIDES Solenoides e Toroides RELAÇÃO ENTRE UMA BOBINA PLANA E UM DIPOLO MAGNÉTICO Relação entre uma Bobina Plana e um Dipolo Magnético REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 30 Indução e Indutância LEI DE FARADAY E LEI DE LENZ 302 303 304 305 306 307 308 309 311 312 313 O que É Física Dois Experimentos A Lei de Indução de Faraday A Lei de Lenz INDUÇÃO E TRANSFERÊNCIAS DE ENERGIA Indução e Transferências de Energia CAMPOS ELÉTRICOS INDUZIDOS Campos Elétricos Induzidos INDUTORES E INDUTÂNCIA Indutores e Indutância AUTOINDUÇÃO Autoindução CIRCUITOS RL Circuitos RL ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO MAGNÉTICO Energia Armazenada em um Campo Magnético DENSIDADE DE ENERGIA DE UM CAMPO MAGNÉTICO Densidade de Energia de um Campo Magnético INDUÇÃO MÚTUA Indução Mútua REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 31 Oscilações Eletromagnéticas e Corrente Alternada OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC O que É Física Oscilações em um Circuito LC Análise Qualitativa Analogia Eletromecânica Oscilações em um Circuito LC Análise Quantitativa OSCILAÇÕES AMORTECIDAS EM UM CIRCUITO RLC Oscilações Amortecidas em um Circuito RLC OSCILAÇÕES FORÇADAS EM TRÊS CIRCUITOS SIMPLES Corrente Alternada Oscilações Forçadas 314 315 316 321 322 323 324 325 326 327 328 Três Circuitos Simples O CIRCUITO RLC SÉRIE O Circuito RLC Série POTÊNCIA EM CIRCUITOS DE CORRENTE ALTERNADA Potência em Circuitos de Corrente Alternada TRANSFORMADORES Transformadores REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS 32 Equações de Maxwell Magnetismo da Matéria LEI DE GAUSS PARA CAMPOS MAGNÉTICOS O que É Física Lei de Gauss para Campos Magnéticos CAMPOS MAGNÉTICOS INDUZIDOS Campos Magnéticos Induzidos CORRENTE DE DESLOCAMENTO Corrente de Deslocamento Equações de Maxwell ÍMÃS PERMANENTES Ímãs O MAGNETISMO E OS ELÉTRONS O Magnetismo e os Elétrons Propriedades Magnéticas dos Materiais DIAMAGNETISMO Diamagnetismo PARAMAGNETISMO Paramagnetismo FERROMAGNETISMO Ferromagnetismo REVISÃO E RESUMO PERGUNTAS PROBLEMAS A B C D E F G APÊNDICES O Sistema Internacional de Unidades SI Algumas Constantes Fundamentais da Física Alguns Dados Astronômicos Fatores de Conversão Fórmulas Matemáticas Propriedades dos Elementos Tabela Periódica dos Elementos RESPOSTAS dos Testes e das Perguntas e Problemas Ímpares PREFÁCIO POR QUE ESCREVI ESTE LIVRO Diversão com um grande desafio É assim que venho encarando a física desde o dia em que Sharon uma das alunas do curso que eu estava ministrando como aluno de doutorado me perguntou de repente O que isso tem a ver com minha vida Respondi prontamente Sharon isto é física Tem tudo a ver com a sua vida A moça me pediu um exemplo Pensei muito mas não consegui encontrar nenhum Nessa noite criei O Circo Voador da Física para Sharon mas também para mim porque percebi que o problema de Sharon também era meu Eu tinha passado seis anos estudando em dezenas de livros de física escritos com a melhor das intenções mas alguma coisa estava faltando A física é o assunto mais interessante do mundo porque descreve o modo como o mundo funciona mas não havia nos livros nenhuma ligação com o mundo real A diversão estava faltando Procurei incluir muita física do mundo real neste livro ligandoo à nova edição de O Circo Voador da Física LTC 2012 Boa parte dos assuntos vem das minhas aulas onde posso julgar pelas expressões e comentários dos alunos quais são os assuntos e as apresentações que funcionam As anotações que fiz a respeito de meus sucessos e fracassos ajudaram a estabelecer as bases para este livro Minha mensagem aqui é a mesma que dei para todos os estudantes que encontrei desde o dia em que Sharon fez aquele comentário Sim você pode usar os conceitos básicos da física para chegar a conclusões válidas a respeito do mundo real e é nesse entendimento do mundo real que está a diversão Tive muitos objetivos ao escrever este livro mas o principal foi proporcionar aos professores um instrumento por meio do qual eles possam ensinar os alunos a estudar assuntos científicos identificar conceitos fundamentais pensar a respeito de questões científicas e resolver problemas quantitativos Esse processo não é fácil nem para os alunos nem para os professores Na verdade o curso associado a este livro pode ser um dos mais difíceis do currículo Entretanto pode ser também um dos mais interessantes pois revela os mecanismos fundamentais do mundo responsáveis por todas as aplicações científicas e de engenharia Muitos usuários da nona edição professores e alunos enviaram comentários e sugestões para aperfeiçoar o livro Esses melhoramentos foram incorporados à exposição e aos problemas desta edição A editora John Wiley Sons e eu encaramos este livro como um projeto permanente e gostaríamos de contar com uma maior participação dos leitores Sintase à vontade para enviar sugestões correções e comentários positivos ou negativos para John Wiley Sons1 ou Jearl Walker endereço postal Physics Department Cleveland State University Cleveland OH 44115 USA endereço do meu site wwwflyingcircusofphysicscom Talvez não seja possível responder a todas as sugestões mas lemos e consideramos cada uma delas O QUE HÁ DE NOVO NESTA EDIÇÃO Módulos e Objetivos do Aprendizado O que eu deveria ter aprendido nesta seção Os alunos vêm me fazendo essa pergunta há décadas independentemente de serem bons ou maus alunos O problema é que mesmo os alunos mais atentos podem não ter certeza de que assimilaram todos os pontos importantes de uma seção do livro Eu me sentia da mesma forma quando estava usando a primeira edição de Halliday e Resnick no primeiro ano da faculdade Nesta edição para minimizar o problema dividi os capítulos em módulos conceituais dedicados a temas básicos e comecei cada módulo com uma lista de objetivos do aprendizado desse módulo A lista é uma declaração explícita dos conhecimentos que devem ser adquiridos através da leitura do módulo e é seguida por um breve resumo das ideiaschave que também devem ser assimiladas Para você ter uma noção de como o sistema funciona observe o primeiro módulo do Capítulo 16 em que o estudante se vê diante de um grande número de conceitos e definições Em vez de deixar por conta do aluno a tarefa de identificar e dissecar essas ideias tomei a iniciativa de fornecer uma lista que funciona como a lista de verificação consultada pelos pilotos de avião antes de cada decolagem Capítulos Reformulados Como meus alunos continuavam a ter dificuldades em alguns capítulos importantes e em certos tópicos de outros capítulos reescrevi boa parte do texto Assim por exemplo introduzi mudanças profundas nos capítulos a respeito da lei de Gauss e do potencial elétrico que a maioria dos estudantes considerava de difícil compreensão As apresentações agora são mais enxutas e têm uma ligação mais direta com as ideiaschave Nos capítulos que tratam da Mecânica Quântica expandi o estudo da equação de Schrödinger para incluir a reflexão de ondas de matéria por um degrau de potencial Atendendo a sugestões de vários professores separei a discussão do átomo de Bohr da solução de Schrödinger do átomo de hidrogênio para que o professor possa omitir o relato histórico do trabalho de Bohr se assim desejar sem prejudicar a compreensão do assunto Incluí também um novo módulo a respeito da radiação de corpo negro de Planck Novos Exemplos Perguntas e Problemas Dezesseis novos exemplos foram introduzidos nos capítulos para facilitar a compreensão de alguns tópicos considerados difíceis pelos alunos Além disso cerca de 250 problemas e 50 perguntas foram acrescentados às listas de exercícios do final dos capítulos Alguns dos problemas foram recuperados de edições anteriores do livro a pedido de vários professores 1Sugestões correções e comentários positivos ou negativos em relação à edição em língua portuguesa publicada pela LTC Editora devem ser enviados para ltcgrupogencombr AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram para este livro SenBen Liao do Lawrence Livermore National Laboratory James Whitenton da Southern Polytechnic State University e Jerry Shi do Pasadena City College foram responsáveis pela tarefa hercúlea de resolver todos os problemas do livro Na John Wiley o projeto deste livro recebeu o apoio de Stuart Johnson Geraldine Osnato e Aly Rentrop os editores que o supervisionaram do início ao fim Agradecemos a Elizabeth Swain a editora de produção por juntar as peças durante o complexo processo de produção Agradecemos também a Maddy Lesure pela diagramação do texto e pela direção de arte da capa a Lee Goldstein pela diagramação da capa a Helen Walden pelo copidesque e a Lilian Brady pela revisão Jennifer Atkins foi brilhante na busca de fotografias inusitadas e interessantes Tanto a editora John Wiley Sons Inc como Jearl Walker gostariam de agradecer às seguintes pessoas por seus comentários e ideias a respeito das recentes edições Jonathan Abramson Portland State University Omar Adawi Parkland College Edward Adelson The Ohio State University Steven R Baker Naval Postgraduate School George Caplan Wellesley College Richard Kass The Ohio State University MR KhoshbineKhoshnazar Research Institution for Curriculum Development Educational Innovations Teerã Craig Kletzing University of Iowa Stuart Loucks American River College Laurence Lurio Northern Illinois University Ponn Maheswaranathan Winthrop University Joe McCullough Cabrillo College Carl E Mungan U S Naval Academy Don N Page University of Alberta Elie Riachi Fort Scott Community College Andrew G Rinzler University of Florida Dubravka Rupnik Louisiana State University Robert Schabinger Rutgers University Ruth Schwartz Milwaukee School of Engineering Carol Strong University of Alabama at Huntsville Nora Thornber Raritan Valley Community College Frank Wang LaGuardia Community College Graham W Wilson University of Kansas Roland Winkler Northern Illinois University William Zacharias Cleveland State University Ulrich Zurcher Cleveland State University Finalmente nossos revisores externos realizaram um trabalho excepcional e expressamos a cada um deles nossos agradecimentos Maris A Abolins Michigan State University Edward Adelson Ohio State University Nural Akchurin Texas Tech Yildirim Aktas University of North CarolinaCharlotte Barbara Andereck Ohio Wesleyan University Tetyana Antimirova Ryerson University Mark Arnett Kirkwood Community College Arun Bansil Northeastern University Richard Barber Santa Clara University Neil Basecu Westchester Community College Anand Batra Howard University Kenneth Bolland The Ohio State University Richard Bone Florida International University Michael E Browne University of Idaho Timothy J Burns Leeward Community College Joseph Buschi Manhattan College Philip A Casabella Rensselaer Polytechnic Institute Randall Caton Christopher Newport College Roger Clapp University of South Florida W R Conkie Queens University Renate Crawford University of MassachusettsDartmouth Mike Crivello San Diego State University Robert N Davie Jr St Petersburg Junior College Cheryl K Dellai Glendale Community College Eric R Dietz California State University at Chico N John DiNardo Drexel University Eugene Dunnam University of Florida Robert Endorf University of Cincinnati F Paul Esposito University of Cincinnati Jerry Finkelstein San Jose State University Robert H Good California State UniversityHayward Michael Gorman University of Houston Benjamin Grinstein University of California San Diego John B Gruber San Jose State University Ann Hanks American River College Randy Harris University of CaliforniaDavis Samuel Harris Purdue University Harold B Hart Western Illinois University Rebecca Hartzler Seattle Central Community College John Hubisz North Carolina State University Joey Huston Michigan State University David Ingram Ohio University Shawn Jackson University of Tulsa Hector Jimenez University of Puerto Rico Sudhakar B Joshi York University Leonard M Kahn University of Rhode Island Sudipa Kirtley RoseHulman Institute Leonard Kleinman University of Texas at Austin Craig Kletzing University of Iowa Peter F Koehler University of Pittsburgh Arthur Z Kovacs Rochester Institute of Technology Kenneth Krane Oregon State University Hadley Lawler Vanderbilt University Priscilla Laws Dickinson College Edbertho Leal Polytechnic University of Puerto Rico Vern Lindberg Rochester Institute of Technology Peter Loly University of Manitoba James MacLaren Tulane University Andreas Mandelis University of Toronto Robert R Marchini Memphis State University Andrea Markelz University at Buffalo SUNY Paul Marquard Caspar College David Marx Illinois State University Dan Mazilu Washington and Lee University James H McGuire Tulane University David M McKinstry Eastern Washington University Jordon Morelli Queens University Eugene Mosca United States Naval Academy Eric R Murray Georgia Institute of Technology School of Physics James Napolitano Rensselaer Polytechnic Institute Blaine Norum University of Virginia Michael OShea Kansas State University Patrick Papin San Diego State University Kiumars Parvin San Jose State University Robert Pelcovits Brown University Oren P Quist South Dakota State University Joe Redish University of Maryland Timothy M Ritter University of North Carolina at Pembroke Dan Styer Oberlin College Frank Wang LaGuardia Community College Robert Webb Texas AM University Suzanne Willis Northern Illinois University Shannon Willoughby Montana State University FUNDAMENTOS DE FÍSICA Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Aulas em PowerPoint restrito a docentes Ensaios de Jearl Walker em pdf acesso livre Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Manuais das Calculadoras Gráficas TI86 TI89 em pdf acesso livre Respostas das perguntas em pdf restrito a docentes Respostas dos problemas em pdf restrito a docentes Simulações acesso livre Soluções dos Problemas Manual em pdf restrito a docentes Testes Conceituais restrito a docentes Testes em Múltipla Escolha restrito a docentes Testes em PowerPoint restrito a docentes O acesso ao material suplementar é gratuito bastando que o leitor se cadastre em httpgen iogrupogencombr CAPÍTULO 21 A Lei de Coulomb 211 A LEI DE COULOMB Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2101 Saber a diferença entre um objeto eletricamente neutro negativamente carregado e positivamente carregado e o que é um excesso de cargas 2102 Saber a diferença entre condutores isolantes semicondutores e supercondutores 2103 Conhecer as propriedades elétricas das partículas que existem no interior do átomo 2104 Saber o que são elétrons de condução e qual é o papel que desempenham para tornar um objeto negativamente carregado ou positivamente carregado 2105 Saber o que significa isolar eletricamente um objeto e aterrar um objeto 2106 Saber de que forma um objeto eletricamente carregado pode induzir uma carga elétrica em outro objeto 2107 Saber que cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem 2108 Desenhar o diagrama de corpo livre de uma partícula sujeita a uma força eletrostática 2109 No caso de duas partículas eletricamente carregadas usar a lei de Coulomb para relacionar o módulo da força eletrostática que age sobre as partículas à carga das partículas e a distância entre elas 2110 Saber que a lei de Coulomb se aplica apenas a partículas pontuais e a objetos que podem ser tratados como partículas pontuais 2111 Se uma partícula está sujeita a mais de uma força eletrostática usar uma soma vetorial para obter a força resultante 2112 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse situada no centro dessa casca 2113 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não exerce força eletrostática sobre uma partícula carregada situada no interior da casca 2114 Saber que a carga em excesso de uma casca esférica condutora se distribui uniformemente na superfície externa da casca 2115 Saber que se dois condutores esféricos iguais são postos em contato ou são ligados por um fio condutor a carga em excesso se divide igualmente entre os dois condutores 2116 Saber que um objeto isolante pode ter uma distribuição assimétrica de carga incluindo cargas em pontos internos 2117 Saber que a corrente elétrica é a taxa com a qual a carga elétrica passa por um ponto ou por uma região 2118 No caso de uma corrente elétrica que passa por um ponto conhecer a relação entre a corrente um intervalo de tempo e a quantidade de carga que passa pelo ponto nesse intervalo de tempo IdeiasChave A força da interação elétrica de uma partícula com outras partículas depende da carga elétrica em geral representada pela letra q que pode ser positiva ou negativa Partículas com cargas de mesmo sinal se repelem e partículas com cargas de sinais opostos se atraem Um objeto com a mesma quantidade de cargas positivas e negativas está eletricamente neutro enquanto um objeto com quantidades diferentes de cargas positivas e negativas está eletricamente carregado Materiais condutores são materiais que possuem um número significativo de elétrons livres Materiais isolantes são materiais que não possuem um número significativo de elétrons livres A corrente elétrica i é a taxa dqdt com a qual a carga elétrica passa por um ponto ou região A força eletrostática entre duas partículas pode ser calculada usando a lei de Coulomb Se as partículas têm cargas q1 e q2 elas estão separadas por uma distância r e a distância entre elas não varia ou varia lentamente o módulo da força que uma das partículas exerce sobre a outra é dada por em que ε0 885 1012 C2N m2 é a constante elétrica A constante k 14πe0 899 109 N m2C2 é chamada de constante eletrostática ou constante de Coulomb A força que uma partícula carregada exerce sobre outra partícula carregada tem a direção da reta que liga as duas partículas e aponta para a primeira partícula se as partículas têm cargas de mesmo sinal e aponta para longe da primeira partícula se as partículas têm cargas de sinais opostos Se uma partícula está sujeita a mais de uma força eletrostática a força resultante é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre a partícula Primeiro teorema das cascas Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca Segundo teorema das cascas Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca A carga em excesso de uma casca esférica condutora se distribui uniformemente na superfície externa da casca O que É Física Estamos cercados de aparelhos cujo funcionamento depende da física do eletromagnetismo que é a combinação de fenômenos elétricos e magnéticos Essa física está presente em computadores aparelhos de televisão aparelhos de rádio lâmpadas e até mesmo na aderência de um filme plástico a um recipiente de vidro Essa física também explica muitos fenômenos naturais não só mantém coesos todos os átomos e moléculas do mundo mas também produz o relâmpago a aurora e o arcoíris A física do eletromagnetismo foi estudada pela primeira vez pelos filósofos da Grécia antiga que descobriram que se um pedaço de âmbar fosse friccionado e depois aproximado de pedacinhos de palha a palha seria atraída pelo âmbar Hoje sabemos que a atração entre o âmbar e a palha se deve a uma força elétrica Os filósofos gregos também observaram que se um tipo de pedra um ímã natural fosse aproximado de um objeto de ferro o objeto seria atraído pela pedra Hoje sabemos que a atração entre os ímãs e os objetos de ferro se deve a uma força magnética A partir dessa origem modesta na Grécia antiga as ciências da eletricidade e do magnetismo se desenvolveram independentemente por muitos séculos até o ano de 1820 quando Hans Christian Oersted descobriu uma ligação entre elas uma corrente elétrica em um fio é capaz de mudar a direção da agulha de uma bússola Curiosamente Oersted fez essa descoberta que foi para ele uma grande surpresa quando preparava uma demonstração para seus alunos de física A nova ciência do eletromagnetismo foi cultivada por cientistas de muitos países Um dos mais ativos foi Michael Faraday um experimentalista muito competente com um raro talento para a intuição e a visualização de fenômenos físicos Um sinal desse talento é o fato de que seus cadernos de anotações de laboratório não contêm uma única equação Em meados do século XIX James Clerk Maxwell colocou as ideias de Faraday em forma matemática introduziu muitas ideias próprias e estabeleceu uma base teórica sólida para o eletromagnetismo Nossa discussão do eletromagnetismo se estenderá pelos próximos 16 capítulos Vamos começar pelos fenômenos elétricos e o primeiro passo será discutir a natureza das cargas elétricas e das forças elétricas Cargas Elétricas Seguem duas demonstrações que podem parecer passes de mágica mas vamos tentar explicálas Depois de esfregar um bastão de vidro com um pedaço de seda em um dia de baixa umidade do ar penduramos o bastão por um barbante como na Fig 211a Esfregamos outro bastão de vidro com o pedaço de seda e o aproximamos do primeiro O bastão que está pendurado magicamente recua Podemos ver que foi repelido pelo segundo bastão mas por quê Os dois bastões não chegaram a se tocar o segundo bastão não produziu uma corrente de ar nem produziu uma onda sonora Na segunda demonstração substituímos o segundo bastão por um bastão de plástico que foi esfregado com um pedaço de lã Dessa vez o bastão que está pendurado é atraído pelo segundo bastão como mostra a Fig 211b Como no caso da repulsão a atração acontece sem que haja contato entre os bastões Figura 211 a Dois bastões de vidro foram esfregados com um pedaço de seda e um deles foi suspenso por um barbante Quando aproximamos os dois bastões eles se repelem b O bastão de plástico foi esfregado com um pedaço de pele Quando aproximamos os dois bastões eles se atraem No próximo capítulo vamos discutir como o primeiro bastão percebe que o segundo bastão está se aproximando mas neste capítulo vamos nos concentrar nas forças envolvidas Na primeira demonstração a força que o segundo bastão exerceu sobre o primeiro foi uma força de repulsão na segunda demonstração a força que o segundo bastão exerceu sobre o primeiro foi uma força de atração Depois de muitas investigações os cientistas concluíram que as forças observadas nas duas demonstrações se devem à carga elétrica que é transferida para os bastões quando eles são esfregados com seda ou lã A carga elétrica é uma propriedade intrínseca das partículas elementares de que são feitos todos os materiais incluindo o vidro o plástico a seda e a lã Dois Tipos de Carga Existem dois tipos de carga elétrica que o cientista e político americano Benjamin Franklin chamou de carga positiva e carga negativa Ele podia ter escolhido outros nomes para as cargas como banana e maçã mas o uso de sinais algébricos como nomes facilita os cálculos quando somamos as cargas para calcular a carga total Na grande maioria dos objetos como uma xícara por exemplo existe um número igual de partículas de carga positiva e de carga negativa e portanto a carga total é zero Nesse caso dizemos que as cargas se compensam e o objeto está eletricamente neutro ou simplesmente neutro Excesso de Carga Normalmente você está eletricamente neutro Entretanto se vive em uma região de clima seco você sabe que a carga do seu corpo pode ficar ligeiramente descompensada quando você anda em cima de certos tapetes Ou você recebe carga negativa do tapete nos pontos de contato entre os sapatos e o tapete e fica negativamente carregado ou perde carga negativa e fica positivamente carregado Nos dois casos você fica com o que é chamado de excesso de carga Em geral você não nota que está com um excesso de carga até aproximar a mão de uma maçaneta ou de outra pessoa Quando isso acontece se o seu excesso de carga é relativamente grande uma centelha elétrica liga você ao outro objeto eliminando o excesso de carga Essas centelhas podem ser incômodas ou mesmo dolorosas O fenômeno não acontece nos climas úmidos porque o vapor dágua presente no ar neutraliza o excesso de carga antes que ele possa atingir níveis elevados Dois dos grandes mistérios da física são os seguintes 1 por que o universo possui partículas com carga elétrica o que é carga elétrica na verdade e 2 por que existem dois tipos de carga elétrica e não digamos um tipo ou três tipos Simplesmente não sabemos Entretanto depois de muitos experimentos semelhantes aos que acabamos de descrever os cientistas concluíram que Partículas com cargas de mesmo sinal se repelem e partículas com cargas de sinais opostos se atraem Daqui a pouco vamos expressar essa regra em termos matemáticos pela lei de Coulomb da força eletrostática ou força elétrica entre duas cargas O termo eletrostática é usado para chamar atenção para o fato de que para que a lei seja válida a velocidade relativa entre as cargas deve ser nula ou muito pequena Demonstrações Vamos voltar às demonstrações para entender que o movimento do bastão não se dá por um passe de mágica Quando esfregamos o bastão de vidro com um pedaço de seda uma pequena quantidade de carga negativa é transferida do vidro para a seda como acontece com você e o tapete deixando o bastão com um pequeno excesso de carga positiva O sentido do movimento da carga negativa não é óbvio e deve ser determinado experimentalmente Esfregamos o pedaço de seda no bastão para aumentar o número de pontos de contato e com isso aumentar a quantidade de carga transferida Penduramos o bastão em um barbante para mantêlo eletricamente isolado do ambiente evitando assim que a carga em excesso seja transferida para outros objetos Quando esfregamos o pedaço de seda em outro bastão ele também fica positivamente carregado Assim quando o aproximamos do primeiro os dois bastões se repelem como mostra a Fig 212a Quando esfregamos o bastão de plástico com um pedaço de lã uma pequena quantidade de carga negativa é transferida da lã para o plástico Mais uma vez o sentido do movimento da carga negativa não é óbvio e deve ser determinado experimentalmente Quando aproximamos o bastão de plástico com excesso de carga negativa do bastão de vidro com excesso de carga positiva os dois bastões se atraem como mostra a Fig 212b Tudo isso é muito sutil Não podemos ver a carga sendo transferida só podemos observar o resultado final Figura 212 a Dois bastões carregados com cargas de mesmo sinal se repelem b Dois bastões carregados com cargas de sinais opostos se atraem Os sinais positivos indicam um excesso de carga positiva e os sinais negativos indicam um excesso de carga negativa Condutores e Isolantes Os materiais podem ser classificados de acordo com a facilidade com a qual as cargas elétricas se movem no seu interior Nos condutores como o cobre dos fios elétricos o corpo humano e a água de torneira as cargas elétricas se movem com facilidade Nos isolantes como os plásticos do isolamento dos fios a borracha o vidro e a água destilada as cargas não se movem Os semicondutores como o silício e o germânio conduzem eletricidade melhor que os isolantes mas não tão bem como os condutores Os supercondutores são condutores perfeitos materiais nos quais as cargas se movem sem encontrar nenhuma resistência Neste capítulo e nos capítulos seguintes discutiremos apenas os condutores e os isolantes Condução de Eletricidade Vamos começar com um exemplo de como a condução de eletricidade pode eliminar o excesso de cargas Quando esfregamos uma barra de cobre com um pedaço de lã cargas são transferidas da lã para o cobre Entretanto se você segurar ao mesmo tempo a barra de cobre e uma torneira a barra de cobre não ficará carregada O que acontece é que você a barra de cobre e a torneira são condutores que estão ligados pelo encanamento a um imenso condutor que é a Terra Como as cargas em excesso depositadas no cobre pela lã se repelem elas se afastam umas das outras passando primeiro para a sua mão depois para a torneira e finalmente para a Terra onde se espalham O processo deixa a barra de cobre eletricamente neutra Quando estabelecemos um caminho entre um objeto e a Terra constituído unicamente por materiais condutores dizemos que o objeto está aterrado quando a carga de um objeto é neutralizada pela eliminação do excesso de cargas positivas ou negativas por meio da Terra dizemos que o objeto foi descarregado Se você usar uma luva feita de material isolante para segurar a barra de cobre o caminho de condutores até a Terra estará interrompido e a barra ficará carregada por atrito a carga permanecerá na barra enquanto você não tocar nela com a mão nua Partículas Carregadas O comportamento dos condutores e isolantes se deve à estrutura e às propriedades elétricas dos átomos Os átomos são formados por três tipos de partículas os prótons que possuem carga elétrica positiva os elétrons que possuem carga elétrica negativa e os nêutrons que não possuem carga elétrica Os prótons e os nêutrons ocupam a região central do átomo que é conhecida como núcleo As cargas de um próton isolado e de um elétron isolado têm o mesmo valor absoluto e sinais opostos um átomo eletricamente neutro contém o mesmo número de prótons e elétrons Os elétrons são mantidos nas proximidades do núcleo porque possuem uma carga elétrica oposta à dos prótons do núcleo e portanto são atraídos para o núcleo Quando os átomos de um material condutor como o cobre se unem para formar um sólido alguns dos elétrons mais afastados do núcleo que estão portanto submetidos a uma força de atração menor se tornam livres para vagar pelo material deixando para trás átomos positivamente carregados íons positivos Esses elétrons móveis recebem o nome de elétrons de condução Os materiais isolantes possuem um número muito pequeno ou mesmo nulo de elétrons de condução Carga Induzida O experimento da Fig 213 demonstra a mobilidade das cargas em um material condutor Uma barra de plástico negativamente carregada atrai a extremidade de uma barra neutra de cobre que estiver mais próxima O que acontece é que os elétrons de condução da extremidade mais próxima da barra de cobre são repelidos pela carga negativa da barra de plástico Alguns desses elétrons de condução se acumulam na outra extremidade da barra de cobre deixando a extremidade mais próxima com uma falta de elétrons e portanto com uma carga total positiva Como essa carga positiva está mais próxima da barra de plástico a força de atração que a barra de plástico exerce sobre ela é maior que a força de repulsão que a barra de plástico exerce sobre a carga negativa que se acumulou na outra extremidade da barra de cobre Embora a barra de cobre como um todo continue a ser eletricamente neutra dizemos que ela possui uma carga induzida isso significa que algumas das cargas positivas e negativas foram separadas pela presença de uma carga próxima Analogamente se uma barra de vidro positivamente carregada é aproximada de uma barra de cobre neutra os elétrons de condução da barra de cobre são atraídos na direção da barra de vidro Assim a extremidade da barra de cobre mais próxima da barra de vidro fica negativamente carregada e a outra extremidade fica positivamente carregada e mais uma vez a barra de cobre adquire uma carga induzida Embora continue a ser eletricamente neutra a barra de cobre é atraída pela barra de vidro Figura 213 Uma barra de cobre neutra é isolada eletricamente da terra ao ser suspensa por um fio de material isolante Uma barra de plástico eletricamente carregada atrai a extremidade da barra de cobre que estiver mais próxima Isso acontece porque os elétrons de condução da barra de cobre são repelidos para a extremidade mais afastada da barra pela carga negativa da barra de plástico deixando a extremidade mais próxima com uma carga total positiva Como essa carga positiva está mais próxima da barra de plástico a força de atração que a barra de plástico exerce sobre ela é maior que a força de repulsão que a barra de plástico exerce sobre a carga negativa que se acumulou na outra extremidade da barra de cobre o que produz uma rotação da barra de cobre Note que apenas os elétrons de condução que possuem carga negativa podem se mover os íons positivos permanecem onde estavam Assim para carregar um objeto positivamente é necessário remover cargas negativas Clarões Azuis em uma Pastilha Uma demonstração indireta da atração de cargas de sinais opostos pode ser feita com o auxílio de pastilhas de gaultéria wintergreen em inglês1 Se você deixar os olhos se adaptarem à escuridão durante cerca de 15 minutos e pedir a um amigo para mastigar uma pastilha de gaultéria verá um clarão azul sair da boca do seu amigo a cada dentada Quando a pastilha é partida em pedaços por uma dentada em geral cada pedaço fica com um número diferente de elétrons Suponha que a pastilha se parta nos pedaços A e B e que A possua mais elétrons na superfície que B Fig 214 Isso significa que B possui íons positivos átomos que perderam elétrons para A na superfície Como os elétrons de A são fortemente atraídos para os íons positivos de B alguns desses elétrons saltam de A para B Figura 214 Dois pedaços de uma pastilha de gaultéria se afastando um do outro Os elétrons que saltam da superfície negativa do pedaço A para a superfície positiva do pedaço B colidem com moléculas de nitrogênio N2 do ar Entre os pedaços A e B existe ar que é constituído principalmente por moléculas de nitrogênio N2 Muitos dos elétrons que estão passando de A para B colidem com moléculas de nitrogênio fazendo com que emitam luz ultravioleta Os olhos humanos não conseguem ver esse tipo de radiação Entretanto as moléculas de gaultéria na superfície da pastilha absorvem a radiação ultravioleta e emitem luz azul é por isso que você vê clarões azuis saindo da boca do seu amigo Teste 1 A figura mostra cinco pares de placas A B e D são placas de plástico carregadas e C é uma placa de cobre eletricamente neutra As forças eletrostáticas entre três dos pares de placas estão indicadas Os outros dois pares de placas se atraem ou se repelem A Lei de Coulomb Chegamos finalmente à equação da lei de Coulomb mas uma palavra de advertência é necessária Essa equação é válida apenas para partículas carregadas e para os poucos objetos que podem ser tratados como cargas pontuais No caso de objetos macroscópicos nos quais a carga está distribuída de modo assimétrico precisamos recorrer a métodos mais sofisticados Assim vamos considerar por enquanto apenas partículas carregadas e não por exemplo dois gatos eletricamente carregados Uma partícula carregada exerce uma força eletrostática sobre outra partícula carregada A direção da força é a da reta que liga as partículas mas o sentido depende do sinal das cargas Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal as partículas se repelem Figs 215a e 215b ou seja são submetidas a forças que tendem a afastálas Se as cargas das partículas têm sinais opostos as partículas se atraem Fig 217c ou seja são submetidas a forças que tendem a aproximálas Figura 215 Duas partículas carregadas se repelem se as cargas forem a positivas ou b negativas c As partículas se atraem se as cargas tiverem sinais opostos Figura 216 A força eletrostática a que a partícula 1 está submetida pode ser descrita em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas A equação usada para calcular a força eletrostática exercida por partículas carregadas é chamada de lei de Coulomb em homenagem a CharlesAugustin de Coulomb que a propôs em 1785 com base em experimentos de laboratório Vamos escrever a equação em forma vetorial e em termos das partículas da Fig 216 na qual a partícula 1 tem carga q1 e a partícula 2 tem carga q2 Esses símbolos podem representar uma carga positiva ou uma carga negativa Vamos concentrar nossa atenção na partícula 1 e descrever a força que age sobre essa partícula em termos de um vetor unitário na direção da reta que liga as duas partículas e no sentido da partícula 2 para a partícula 1 Como todo vetor unitário é um vetor adimensional de módulo 1 seu único propósito é mostrar uma direção e um sentido como a seta de mão única de uma placa de trânsito Usando essas convenções a força eletrostática pode ser escrita na forma em que r é a distância entre as partículas e k é uma constante positiva conhecida como constante eletrostática ou constante de Coulomb Mais adiante voltaremos a falar de k Vamos primeiro verificar qual é o sentido da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 de acordo com a Eq 211 Se q1 e q2 tiverem o mesmo sinal o produto q1q2 será positivo e a força que age sobre a partícula 1 terá o mesmo sentido que Isso faz sentido já que a partícula 1 estará sendo repelida pela partícula 2 Se q1 e q2 tiverem sinais opostos o produto q1q2 será negativo e a força que age sobre a partícula 1 terá o sentido oposto ao de Isso também faz sentido já que a partícula 1 estará sendo atraída pela partícula 2 Uma Digressão Curiosamente a Eq 211 tem a mesma forma que a equação de Newton Eq 133 para a força gravitacional entre duas partículas de massas m1 e m2 separadas por uma distância r em que G é a constante gravitacional Embora os dois tipos de força sejam muito diferentes as duas equações descrevem leis do tipo inverso do quadrado a variação com 1r2 as quais envolvem um produto de uma propriedade das partículas envolvidas massa em um caso carga no outro Entretanto as forças gravitacionais são sempre atrativas enquanto as forças eletrostáticas podem ser atrativas ou repulsivas dependendo dos sinais das cargas A diferença resulta do fato de que existe apenas um tipo de massa mas existem dois tipos de carga elétrica Unidade A unidade de carga do SI é o coulomb Por motivos práticos que têm a ver com a precisão das medidas o coulomb é definido a partir da unidade do SI para a corrente elétrica o ampère A corrente elétrica será discutida com detalhes no Capítulo 26 No momento vamos apenas observar que a corrente i é a taxa dqdt com a qual a carga passa por um ponto ou por uma região Explicitando a carga na Eq 213 e substituindo os símbolos por suas unidades coulombs C ampères A e segundos s temos 1 C 1 A1 s Módulo da Força Por motivos históricos e também para simplificar outras expressões a constante eletrostática k da Eq 211 é muitas vezes escrita na forma 14πε0 Nesse caso o módulo da força eletrostática expressa pela lei de Coulomb se torna As constantes das Eqs 211 e 214 têm o valor A constante ε0 conhecida como constante elétrica às vezes aparece separadamente nas equações e tem o valor Uso em Problemas Na Eq 214 que nos dá o módulo da força eletrostática as cargas aparecem em valor absoluto Assim para resolver os problemas deste capítulo a Eq 214 serve apenas para calcular o módulo da força a que está sujeita uma partícula o sentido da força deve ser obtido separadamente levando em conta o sinal da carga das duas partículas Várias Forças Como todas as forças discutidas neste livro a força eletrostática obedece ao princípio da superposição Suponha que existam n partículas carregadas nas vizinhanças de uma partícula que vamos chamar de partícula 1 Nesse caso a força total a que a partícula 1 está submetida é dada pela soma vetorial em que por exemplo 14 é a força a que partícula 1 está submetida devido à presença da partícula 4 Como a Eq 217 pode ser usada para resolver muitos problemas que envolvem a força eletrostática vamos descrevêla em palavras Se você deseja saber que é a força resultante que age sobre uma partícula carregada que está cercada por outras partículas carregadas o primeiro passo é definir claramente qual é a partícula a ser investigada o segundo é calcular as forças que as outras partículas exercem sobre a partícula escolhida Desenhe os vetores que representam essas forças em um diagrama de corpo livre da partícula escolhida com as origens de todos os vetores na partícula Isso pode parecer irrelevante mas concentrar as origens dos vetores em um único ponto ajuda a evitar vários tipos de erros Finalmente some as forças usando uma soma vetorial como foi discutido no Capítulo 3 Não estaria certo somar simplesmente os módulos das forças O resultado dessa soma vetorial é a força resultante que age sobre a partícula escolhida Embora a natureza vetorial das forças eletrostáticas torne os problemas mais difíceis de resolver do que se estivéssemos com grandezas escalares agradeça à natureza pelo fato de que a Eq 217 funciona na prática Se o efeito combinado de duas forças eletrostáticas não fosse simplesmente a soma vetorial das duas forças mas por alguma razão a presença de uma afetasse a intensidade da outra nosso mundo seria muito difícil de compreender e de analisar Teoremas das Cascas Analogamente aos teoremas das cascas da força gravitacional temos dois teoremas das cascas para a força eletrostática Primeiro teorema das cascas Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca Segundo teorema das cascas Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca No primeiro teorema supomos que a carga da casca é muito maior que a carga da partícula o que permite desprezar qualquer redistribuição da carga da casca devido à presença da partícula Condutores Esféricos Se um excesso de cargas é depositado em uma casca esférica feita de material condutor a carga se distribui uniformemente na superfície externa da casca Assim por exemplo quando colocamos elétrons em excesso em uma casca esférica metálica os elétrons se repelem mutuamente e se espalham pela superfície externa até ficarem uniformemente distribuídos um arranjo que maximiza as distâncias entre os pares de elétrons em excesso Nesse caso de acordo com o primeiro teorema das cascas a casca passa a atrair ou repelir uma carga externa como se todo o excesso de cargas estivesse no centro da casca Quando removemos cargas negativas de uma casca esférica metálica as cargas positivas resultantes também se distribuem uniformemente na superfície da casca Assim por exemplo se removemos n elétrons passam a existir n cargas positivas átomos nos quais está faltando um elétron distribuídas uniformemente na superfície externa da casca De acordo com o primeiro teorema das cascas a casca nesse caso também passa a atrair ou repelir uma carga externa como se todo o excesso de cargas estivesse no centro Teste 2 A figura mostra dois prótons símbolo p e um elétron símbolo e em uma reta Determine o sentido a da força eletrostática exercida pelo elétron sobre o próton central b da força eletrostática exercida pelo outro próton sobre o próton central c da força total exercida sobre o próton central Exemplo 2101 Cálculo da força total exercida por duas partículas Este exemplo na verdade é uma série de três exemplos com um grau crescente de dificuldade Todos envolvem a mesma partícula carregada 1 Primeiro a partícula está sujeita a uma única força coisa fácil Em seguida as forças são duas mas apontam em direções opostas o que facilita as coisas Finalmente as forças também são duas mas apontam em direções diferentes agora temos que nos lembrar de que as forças são grandezas vetoriais O segredo para resolver problemas desse tipo é desenhar os vetores que representam as forças antes de usar uma calculadora para não correr o risco de obter somas que não fazem sentido a A Fig 217a mostra duas partículas positivamente carregadas situadas em pontos fixos do eixo x As cargas são q1 160 1019 C e q2 320 1019 C e a distância entre as cargas é R 00200 m Determine o módulo e a orientação da força eletrostática 12 exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 IDEIASCHAVE Como as duas partículas têm carga positiva a partícula 1 é repelida pela partícula 2 com uma força cujo módulo é dado pela Eq 214 Assim a direção da força 12 exercida pela partícula 2 sobre a partícula 1 é para longe da partícula 2 ou seja no sentido negativo do eixo x como mostra o diagrama de corpo livre da Fig 217b Figura 217 a Duas partículas de cargas q1 e q2 são mantidas fixas no eixo x b Diagrama de corpo livre da partícula 1 mostrando a força eletrostática exercida pela partícula 2 c Inclusão da partícula 3 d Diagrama de corpo livre da partícula 1 e Inclusão da partícula 4 f Diagrama de corpo livre da partícula 1 Duas partículas Usando a Eq 214 com r igual à distância R entre as cargas podemos escrever o módulo F12 da força como Assim a força 12 tem o seguinte módulo e direção em relação ao sentido positivo do eixo x Podemos também escrever 12 na notação de vetores unitários como b A Fig 217c é igual à Fig 217a exceto pelo fato de que agora existe uma partícula 3 no eixo x entre as partículas 1 e 2 A partícula 3 tem uma carga q1 320 1019 C e está a uma distância 3R4 da partícula 1 Determine a força eletrostática 1tot exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 3 IDEIACHAVE A presença da partícula 3 não altera a força eletrostática que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Assim a força 12 continua a agir sobre a partícula 1 Da mesma forma a força 13 que a partícula 3 exerce sobre a partícula 1 não é afetada pela presença da partícula 2 Como as cargas das partículas 1 e 3 têm sinais opostos a partícula 1 é atraída pela partícula 3 Assim o sentido da força 13 é na direção da partícula 3 como mostra o diagrama de corpo livre da Fig 217d Três partículas Para determinar o módulo de 13 usamos a Eq 214 Podemos também escrever 13 na notação dos vetores unitários 13 205 1024 Nî A força total 1tot exercida sobre a partícula 1 é a soma vetorial de 12 e 13 De acordo com a Eq 217 podemos escrever a força total 1tot exercida sobre a partícula 1 na notação dos vetores unitários como Desse modo 1tot tem o seguinte módulo e direção em relação ao sentido positivo do eixo x c A Fig 217e é igual à Fig 217a exceto pelo fato de que agora existe uma partícula 4 A partícula 4 tem uma carga q4 320 1019 C está a uma distância 3R4 da partícula 1 e está em uma reta que faz um ângulo θ 60o com o eixo x Determine a força de atração eletrostática 1tot exercida sobre a partícula 1 pelas partículas 2 e 4 IDEIACHAVE A força total 1tot é a soma vetorial de 12 e uma nova força 14 que age sobre a partícula 1 devido à presença da partícula 4 Como as partículas 1 e 4 têm cargas de sinais opostos a partícula 1 é atraída pela partícula 4 Assim o sentido da força 14 é na direção da partícula 4 fazendo um ângulo de 60o com o eixo x como mostra o diagrama da Fig 217f Quatro partículas Podemos escrever a Eq 214 na forma Nesse caso de acordo com a Eq 217 a força total 1tot exercida sobre a partícula 1 é dada por 1tot 12 14 Como as forças 12 e 14 não têm a mesma direção não podemos somálas simplesmente somando ou subtraindo os módulos Em vez disso precisamos executar uma soma vetorial usando um dos métodos a seguir Método 1 Executar a soma vetorial em uma calculadora No caso de 12 entramos com o módulo 115 1024 e o ângulo de 180o No caso de 14 entramos com o módulo 205 1024 e o ângulo de 60o Em seguida somamos os vetores Método 2 Executar a soma vetorial na notação dos vetores unitários Em primeiro lugar escrevemos 14 na forma 14 F12 cos θî F14 sen θĵ Fazendo F14 205 1024 N e θ 60o temos 14 1025 1024 Nî 1775 1024 Nĵ Agora podemos executar a soma Método 3 Executar a soma vetorial por componentes Somando as componentes x dos dois vetores temos F1totx F12x F14x F12 F14 cos 60 115 1024 N 205 1024 Ncos 60 125 1025 N Somando as componentes y obtemos F1toty F12y F14y 0 F14 sen 60 205 1024 Ncos 60 178 1024 N O módulo da força 1tot é dado por Para determinar a direção de 1tot calculamos Entretanto esse resultado não é razoável já que a direção de 1tot deve estar entre as direções de 12 e 14 Para obter o valor correto de θ somamos 180o o que nos dá Teste 3 A figura mostra três arranjos de um elétron e e dois prótons p a Ordene os arranjos de acordo com o módulo da força eletrostática exercida pelos prótons sobre o elétron em ordem decrescente b No arranjo c o ângulo entre a força total exercida sobre o elétron e a reta d é maior ou menor que 45o Exemplo 2102 Equilíbrio de uma partícula submetida a duas forças A Fig 218a mostra duas partículas fixas uma partícula de carga q1 8q na origem e uma partícula de carga q2 2q em x L Em que ponto que não esteja a uma distância infinita das cargas um próton pode ser colocado de modo a ficar em equilíbrio sem estar submetido a uma força O equilíbrio é estável ou instável Ou seja se o próton sofrer um pequeno deslocamento as forças o farão voltar à posição de equilíbrio IDEIACHAVE Se 1 é a força exercida sobre o próton pela carga q1 e 2 é a força exercida sobre o próton pela carga q2 o ponto que procuramos é aquele no qual 1 2 0 Isso significa que Assim no ponto que procuramos as forças que as duas partículas exercem sobre o próton devem ter o mesmo módulo ou seja e as forças devem ter sentidos opostos Raciocínio Como a carga do próton é positiva as cargas do próton e da partícula de carga q1 têm o mesmo sinal e portanto a força 1 exercida sobre o próton pela partícula q1 aponta para longe de q1 Como o próton e a partícula de carga q2 têm sinais opostos a força 2 exercida sobre o próton pela partícula q2 aponta na direção de q2 As direções para longe de q1 e para perto de q2 só podem ser direções opostas se o próton estiver na reta que liga as duas partículas ou seja no eixo x Figura 218 a Duas partículas de cargas q1 e q2 são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância L bd Três posições possíveis de um próton P S e R Nas três posições 1 é a força que a partícula 1 exerce sobre o próton e 2 é a força que a partícula 2 exerce sobre o próton Se o próton estiver em um ponto do eixo x entre q1 e q2 como o ponto P da Fig 218b 1 e 2 terão o mesmo sentido e não sentidos opostos como desejamos Se o próton estiver em um ponto do eixo x à esquerda de q1 como o ponto S da Fig 21 8c 1 e 2 terão sentidos opostos Entretanto de acordo com a Eq 214 1 e 2 não poderão ter módulos iguais 1 será sempre maior que 2 já que 1 será produzido por uma carga mais próxima com menor valor de r e maior módulo 8q em comparação com 2q Finalmente se o próton estiver em um ponto do eixo x à direita de q2 como o ponto R da Fig 218d 1 e 2 terão novamente sentidos opostos Entretanto como agora a carga de maior módulo q1 está mais distante do próton que a carga de menor módulo existe um ponto no qual 1 e 2 são iguais Seja x a coordenada desse ponto e seja qp a carga do próton Cálculos Combinando a Eq 219 com a Eq 214 obtemos Observe que apenas os módulos das cargas aparecem na Eq 2110 Como já levamos em conta o sentido das forças ao desenhar a Fig 218d e ao escrever a Eq 2110 não devemos incluir os sinais das cargas De acordo com a Eq 2110 temos Extraindo a raiz quadrada de ambos os membros obtemos e O equilíbrio no ponto x 2L é instável Quando o próton é deslocado para a esquerda em relação ao ponto R F1 e F2 aumentam mas F2 aumenta mais porque q2 está mais próxima que q1 e a força resultante faz com que o próton continue a se mover para a esquerda até se chocar com a carga q2 Quando o próton é deslocado para a direita em relação ao ponto R F1 e F2 diminuem mas F2 diminui mais e a força resultante faz com que o próton continue a se mover indefinidamente para a direita Se o equilíbrio fosse estável o próton voltaria à posição inicial depois de ser deslocado ligeiramente para a esquerda ou para a direita Exemplo 2103 Distribuição de uma carga entre duas esferas condutoras iguais Na Fig 219a duas esferas condutoras iguais A e B estão separadas por uma distância entre os centros muito maior que o raio das esferas A esfera A tem uma carga positiva Q e a esfera B é eletricamente neutra Inicialmente não existe força eletrostática entre as esferas A carga induzida na esfera neutra pode ser desprezada porque as esferas estão muito afastadas a As esferas são ligadas momentaneamente por um fio condutor suficientemente fino para que a carga que se acumula no fio possa ser desprezada Qual é a força eletrostática entre as esferas depois que o fio é removido IDEIASCHAVE 1 Como são iguais as esferas devem terminar o processo com cargas iguais mesmo sinal e mesmo valor absoluto ao serem ligadas por um fio 2 A soma inicial das cargas incluindo o sinal deve ser igual à soma final das cargas Raciocínio Quando as esferas são ligadas por um fio os elétrons de condução negativos da esfera B que se repelem mutuamente podem se afastar uns dos outros movendose por meio do fio para a esfera A positivamente carregada que os atrai como mostra a Fig 219b Com isso a esfera B perde cargas negativas e fica positivamente carregada enquanto a esfera A ganha cargas negativas e fica menos positivamente carregada A transferência de carga cessa quando a carga da esfera B aumenta para Q2 e a carga da esfera A diminui para Q2 o que acontece quando uma carga Q2 passa de B para A Depois que o fio é removido Fig 219c podemos supor que a carga de cada esfera não perturba a distribuição de cargas na outra esfera já que a distância entre as esferas é muito maior que o raio das esferas Assim podemos aplicar o primeiro teorema das cascas às duas esferas Conforme a Eq 214 com q1 q2 Q2 e r a Figura 219 Duas pequenas esferas condutoras A e B a No início a esfera A está carregada positivamente b Uma carga negativa é transferida de B para A por meio de um fio condutor c As duas esferas ficam carregadas positivamente d Uma carga negativa é transferida para a esfera A por meio de um fio condutor ligado à terra e A esfera A fica neutra As esferas agora positivamente carregadas se repelem mutuamente b A esfera A é ligada momentaneamente à terra e em seguida a ligação com a terra é removida Qual é a nova força eletrostática entre as esferas Raciocínio Quando ligamos um objeto carregado à terra que é um imenso condutor por meio de um fio neutralizamos o objeto Se a esfera A estivesse negativamente carregada a repulsão mútua entre os elétrons em excesso faria com que os elétrons em excesso migrassem a esfera para a terra Como a esfera A está positivamente carregada elétrons com uma carga total de Q2 migram da terra para a esfera Fig 219d deixando a esfera com carga 0 Fig 219e Assim como no início não existe força eletrostática entre as esferas 212 A CARGA É QUANTIZADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2119 Saber qual é a carga elementar 2120 Saber que a carga de uma partícula ou objeto é igual a um número inteiro positivo ou negativo multiplicado pela carga elementar IdeiasChave A carga elétrica é quantizada pode ter apenas certos valores A carga de qualquer partícula ou objeto é da forma ne em que n é um número inteiro positivo ou negativo e e é a carga elementar que é o valor absoluto da carga do elétron e do próton 1602 1019 C A Carga É Quantizada Na época de Benjamin Franklin a carga elétrica era considerada um fluido contínuo uma ideia que foi útil para muitos propósitos Hoje porém sabemos que mesmo os fluidos clássicos como a água e o ar não são contínuos e sim compostos de átomos e moléculas a matéria é quantizada Os experimentos revelam que o fluido elétrico também não é contínuo e sim composto de unidades elementares de carga Todas as cargas positivas e negativas q são da forma em que e a carga elementar tem o valor aproximado A carga elementar e é uma das constantes mais importantes da natureza Tanto o elétron como o próton possuem uma carga cujo valor absoluto é e Tabela 211 Os quarks partículas elementares das quais são feitos os prótons e nêutrons têm cargas de e3 e 2e3 mas existem fortes indícios de que não podem ser observados isoladamente Por esse motivo e por questões históricas a carga elementar não é tomada como e3 Tabela 211 As Cargas de Três Partículas Partícula Símbolo Carga Elétron e ou e e Próton p e Nêutron n 0 Algumas expressões de uso corrente como a carga contida em uma esfera a quantidade de carga que foi transferida e a carga que um elétron possui podem dar a impressão de que a carga é uma substância Na verdade a carga não é uma substância e sim uma propriedade das partículas como a massa por exemplo Quando uma grandeza física pode assumir apenas certos valores dizemos que é quantizada a carga elétrica é uma dessas grandezas É possível encontrar uma partícula sem carga elétrica ou com uma carga de 10e ou 6e mas não uma partícula com uma carga de 357e O quantum de carga é extremamente pequeno Em uma lâmpada incandescente de 100 W por exemplo cerca de 1019 cargas elementares passam pelo filamento por segundo Entretanto a natureza discreta da eletricidade não se manifesta em muitos fenômenos a luz da lâmpada não pisca toda vez que um elétron passa pelo filamento Teste 4 Inicialmente a esfera A possui uma carga de 50e e a esfera B uma carga de 20e As esferas são feitas de um material condutor e têm o mesmo tamanho Se as esferas são colocadas em contato qual é o novo valor da carga da esfera A Exemplo 2104 Repulsão entre as partículas de um núcleo atômico O núcleo de um átomo de ferro tem um raio de 40 1015 m e contém 26 prótons a Qual é o módulo da força de repulsão eletrostática entre dois prótons do núcleo de ferro separados por uma distância de 40 1015 m IDEIACHAVE Como os prótons são partículas com carga elétrica o módulo da força eletrostática entre dois prótons é dado pela lei de Coulomb Cálculo De acordo com a Tabela 211 a carga elétrica do próton é e assim de acordo com a Eq 214 Não há uma explosão Essa força poderia ser considerada pequena se agisse sobre um objeto macroscópico como uma melancia mas é gigantesca quando aplicada a uma partícula do tamanho de um próton Forças dessa ordem deveriam fazer com que os núcleos de todos os elementos se desintegrassem a não ser o do hidrogênio que possui apenas um próton O fato de existirem núcleos atômicos estáveis com mais de um próton sugere a existência no interior do núcleo de uma força de atração muito intensa capaz de compensar a repulsão eletrostática b Qual é o módulo da força de atração gravitacional entre os mesmos dois prótons IDEIACHAVE Como os prótons são partículas com massa o módulo da força gravitacional entre dois prótons é dado pela lei de Newton para a atração gravitacional Eq 212 Cálculo Com mp 167 1027 kg representando a massa de um próton a Eq 212 nos dá Uma grande a outra pequena Esse resultado mostra que a força de atração gravitacional é insuficiente para compensar a força de repulsão eletrostática entre os prótons do núcleo Na verdade a força que mantém o núcleo coeso é uma força muito maior conhecida como interação forte que age entre dois prótons e também entre um próton e um nêutron e entre dois nêutrons apenas quando as partículas estão muito próximas umas das outras como no interior do núcleo Embora a força gravitacional seja muito menor que a força eletrostática é mais importante em situações que envolvem um grande número de partículas porque é sempre atrativa Isso significa que a força gravitacional pode produzir grandes concentrações de matéria como planetas e estrelas que por sua vez exercem grandes forças gravitacionais A força eletrostática por outro lado é repulsiva para cargas de mesmo sinal e portanto não é capaz de produzir grandes concentrações de cargas positivas ou negativas capazes de exercer grandes forças eletrostáticas 213 A CARGA É CONSERVADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2121 Saber que em todos os processos que envolvem um sistema isolado a carga total não pode variar a carga total é uma grandeza conservada 2122 Conhecer os processos de aniquilação e produção de partículas 2123 Conhecer as definições de número de massa e número atômico em termos do número de prótons nêutrons e elétrons de um átomo IdeiasChave A carga elétrica total de um sistema isolado é conservada Para que duas partículas carregadas se aniquilem mutuamente é preciso que tenham cargas de sinais opostos Para que duas partículas carregadas sejam criadas é preciso que tenham cargas de sinais opostos A Carga É Conservada Quando esfregamos um bastão de vidro com um pedaço de seda o bastão fica positivamente carregado As medidas mostram que uma carga negativa de mesmo valor absoluto se acumula na seda Isso sugere que o processo não cria cargas mas apenas transfere cargas de um corpo para outro rompendo no processo a neutralidade de carga dos dois corpos Essa hipótese de conservação da carga elétrica proposta por Benjamin Franklin foi comprovada exaustivamente tanto no caso de objetos macroscópicos como no caso de átomos núcleos e partículas elementares Até hoje não foi encontrada uma exceção Assim podemos acrescentar a carga elétrica a nossa lista de grandezas como a energia o momento linear e o momento angular que obedecem a uma lei de conservação Exemplos importantes da conservação de carga são observados no decaimento radioativo dos núcleos atômicos um processo no qual um núcleo se transforma em um núcleo diferente Um núcleo de urânio 238 238U por exemplo se transforma em um núcleo de tório 234 234Th emitindo uma partícula alfa que é um núcleo de hélio 4 4He O número que precede o símbolo do elemento químico é chamado de número de massa e é igual ao número total de prótons e nêutrons presentes no núcleo Assim o número total de prótons e nêutrons do 238U é 238 O número de prótons presentes em um núcleo é o número atômico Z que é fornecido no Apêndice F para todos os elementos Consultando o Apêndice F vemos que no decaimento o núcleo pai 238U contém 92 prótons uma carga de 92e o núcleo filho 234Th contém 90 prótons uma carga de 90e e a partícula alfa emitida 4He contém 2 prótons uma carga de 2e Como a carga total é 92e antes e depois do decaimento a carga é conservada O número total de prótons e nêutrons também é conservado 238 antes do decaimento e 234 4 238 depois do decaimento Outro exemplo de conservação da carga ocorre quando um elétron e cuja carga é e e sua antipartícula o pósitron e cuja carga é e sofrem um processo de aniquilação e se transformam em dois raios gama ondas eletromagnéticas de alta energia Ao aplicar a lei de conservação da carga devemos somar as cargas algebricamente ou seja levar em conta o sinal de cada uma No processo de aniquilação da Eq 2114 por exemplo a carga total do sistema é zero antes e depois do evento a carga é conservada Na produção de um par o inverso da aniquilação a carga também é conservada Nesse processo um raio gama se transforma em um elétron e um pósitron A Fig 2110 mostra a produção de um par no interior de uma câmara de bolhas Câmara de bolhas é um instrumento no qual um líquido é aquecido bruscamente acima do ponto de ebulição Se uma partícula carregada atravessa o instrumento nesse instante pequenas bolhas de vapor se formam ao longo da trajetória da partícula Um raio gama entrou na câmara proveniente da parte inferior da fotografia e se transformou em um elétron e um pósitron ao interagir com uma partícula presente na câmara Como as partículas criadas tinham carga elétrica e estavam em movimento elas deixaram uma trilha de pequenas bolhas As trilhas são curvas porque existe um campo magnético no interior da câmara Uma vez que é eletricamente neutro o raio gama não produz uma trilha mas sabemos que o par de partículas foi produzido no ponto onde começam as trilhas do elétron e do pósitron Cortesia do Lawrence Berkeley Laboratory Figura 2110 Fotografia das trilhas deixadas por um elétron e um pósitron em uma câmara de bolhas O par de partículas foi produzido por um raio gama que entrou na câmara proveniente da parte inferior da fotografia Como o raio gama é eletricamente neutro não produz uma trilha Revisão e Resumo Carga Elétrica A força das interações elétricas de uma partícula depende da carga elétrica que pode ser positiva ou negativa Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem Um corpo com quantidades iguais dos dois tipos de cargas está eletricamente neutro um corpo com excesso de cargas positivas ou negativas está eletricamente carregado Materiais condutores são materiais nos quais muitas partículas eletricamente carregadas elétrons no caso dos metais se movem com facilidade Nos materiais isolantes as cargas não têm liberdade para se mover Corrente elétrica i é a taxa dqdt com a qual a carga elétrica passa por um ponto ou região Lei de Coulomb A lei de Coulomb expressa a força eletrostática entre duas partículas carregadas Se as partículas têm cargas q1 e q2 elas estão separadas por uma distância r e a distância entre elas não varia ou varia lentamente o módulo da força que uma das partículas exerce sobre a outra é dado por em que ε0 885 1012 C2N m2 é a constante elétrica O fator 14πε0 é frequentemente substituído pela constante eletrostática k 899 109 N m2C2 A força que uma partícula carregada exerce sobre outra partícula carregada tem a direção da reta que liga as duas partículas e aponta para a primeira partícula se as partículas têm cargas de mesmo sinal e aponta para longe da primeira partícula se as partículas têm cargas de sinais opostos Como acontece com outros tipos de forças se uma partícula está sujeita a mais de uma força eletrostática a força resultante é a soma vetorial de todas as forças que agem sobre a partícula Os dois teoremas das cascas da eletrostática são os seguintes Primeiro teorema das cascas Uma casca com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga estivesse no centro da casca Segundo teorema das cascas Se uma partícula carregada está situada no interior de uma casca com uma distribuição uniforme de carga a casca não exerce nenhuma força eletrostática sobre a partícula Se um excesso de cargas é depositado em uma casca esférica feita de material condutor a carga se distribui uniformemente na superfície externa da casca A Carga Elementar A carga elétrica é quantizada só pode assumir determinados valores A carga elétrica de qualquer partícula pode ser escrita na forma ne em que n é um número inteiro positivo ou negativo e e é uma constante física conhecida como carga elementar que é o valor absoluto da carga do elétron e do próton 1602 1019 C Conservação da Carga A carga elétrica total de um sistema isolado é constante Perguntas 1 A Fig 2111 mostra quatro sistemas nos quais cinco partículas carregadas estão dispostas ao longo de um eixo com espaçamento uniforme O valor da carga está indicado para todas as partículas a não ser para a partícula central que possui a mesma carga nos quatro sistemas Coloque os sistemas na ordem do módulo da força eletrostática total exercida sobre a partícula central em ordem decrescente Figura 2111 Pergunta 1 2 A Fig 2112 mostra três pares de esferas iguais que são colocadas em contato e depois separadas As cargas presentes inicialmente nas esferas estão indicadas Coloque os pares em ordem decrescente de acordo a com o módulo da carga transferida quando as esferas são postas em contato e b com o módulo da carga presente na esfera positivamente carregada depois que as esferas são separadas Figura 2112 Pergunta 2 3 A Fig 2113 mostra quatro sistemas nos quais partículas carregadas são mantidas fixas em um eixo Em quais desses sistemas existe um ponto à esquerda das partículas no qual um elétron estaria em equilíbrio Figura 2113 Pergunta 3 4 A Fig 2114 mostra duas partículas carregadas em um eixo As cargas têm liberdade para se mover entretanto é possível colocar uma terceira partícula em um ponto tal que as três partículas fiquem em equilíbrio a Esse ponto está à esquerda das duas primeiras partículas à direita delas ou entre elas b A carga da terceira partícula deve ser positiva ou negativa c O equilíbrio é estável ou instável Figura 2114 Pergunta 4 5 Na Fig 2115 uma partícula central de carga q está cercada por dois anéis circulares de partículas carregadas Quais são o módulo e a orientação da força eletrostática total exercida sobre a partícula central pelas outras partículas Sugestão Levando em conta a simetria do problema é possível simplificar consideravelmente os cálculos Figura 2115 Pergunta 5 6 Uma esfera positivamente carregada é colocada nas proximidades de um condutor neutro inicialmente isolado e o condutor é colocado em contato com a terra O condutor fica carregado positivamente fica carregado negativamente ou permanece neutro a se a esfera é afastada e em seguida a ligação com a terra é removida e b se a ligação com a terra é removida e em seguida a esfera é afastada 7 A Fig 2116 mostra três sistemas constituídos por uma partícula carregada e uma casca esférica com uma distribuição de carga uniforme As cargas são dadas e os raios das cascas estão indicados Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força exercida pela casca sobre a partícula em ordem decrescente Figura 2116 Pergunta 7 8 A Fig 2117 mostra quatro sistemas de partículas carregadas Ordene os sistemas de acordo com o módulo da força eletrostática total a que está submetida a partícula de carga Q em ordem decrescente 9 A Fig 2118 mostra quatro sistemas nos quais partículas de carga q ou q são mantidas fixas Em todos os sistemas as partículas que estão no eixo x estão equidistantes do eixo y Considere a partícula central do sistema 1 a partícula está sujeita às forças eletrostáticas F1 e F2 das outras duas partículas a Os módulos F1 e F2 dessas forças são iguais ou diferentes b O módulo da força total a que a partícula central está submetida é maior menor ou igual a F1 F2 c As componentes x das duas forças se somam ou se subtraem d As componentes y das duas forças se somam ou se subtraem e A orientação da força total a que está submetida a partícula central está mais próxima das componentes que se somam ou das componentes que se subtraem f Qual é a orientação da força total Considere agora os outros sistemas Qual é a orientação da força total exercida sobre a partícula central g no sistema 2 h no sistema 3 i no sistema 4 Em cada sistema considere a simetria da distribuição de cargas e determine as componentes que se somam e as componentes que se cancelam Figura 2117 Pergunta 8 Figura 2118 Pergunta 9 10 Na Fig 2119 uma partícula central de carga 2q está cercada por um quadrado de partículas carregadas separadas por uma distância d ou d2 Quais são o módulo e a orientação da força eletrostática total exercida sobre a partícula central pelas outras partículas Sugestão Levando em conta a simetria do problema é possível simplificar consideravelmente os cálculos Figura 2119 Pergunta 10 11 A Fig 2120 mostra três bolhas condutoras iguais A B e C que flutuam em um recipiente condutor que está ligado à terra por um fio As bolhas têm inicialmente cargas iguais A bolha A esbarra no teto do recipiente e depois na bolha B Em seguida a bolha B esbarra na bolha C que desce até a base do recipiente Quando a bolha C entra em contato com a base do recipiente uma carga de 3e é transferida da terra para o recipiente como indicado na figura a Qual era a carga inicial de cada bolha Quando b a bolha A e c a bolha B entram em contato com a base do recipiente qual é a carga que atravessa o fio e em que sentido d Durante todo o processo qual é a carga total que atravessa o fio e em que sentido Figura 2120 Pergunta 11 12 A Fig 2121 mostra quatro sistemas nos quais um próton central está cercado por prótons e elétrons fixos no lugar ao longo de uma semicircunferência Os ângulos θ são todos iguais os ângulos ϕ também são todos iguais a Qual é em cada sistema a direção da força resultante a que está submetido o próton central b Ordene os quatro sistemas de acordo com o módulo da força resultante a que está submetido o próton central em ordem decrescente Figura 2121 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 211 A Lei de Coulomb 1 Da carga Q que uma pequena esfera contém inicialmente uma parte q é transferida para uma segunda esfera situada nas proximidades As duas esferas podem ser consideradas cargas pontuais Para que valor de qQ a força eletrostática entre as duas esferas é a maior possível 2 Duas esferas condutoras 1 e 2 de mesmo diâmetro possuem cargas iguais e estão separadas por uma distância muito maior que o diâmetro Fig 2122a A força eletrostática a que a esfera 2 está submetida devido à presença da esfera 1 é Uma terceira esfera 3 igual às duas primeiras que dispõe de um cabo não condutor e está inicialmente neutra é colocada em contato primeiro com a esfera 1 Fig 2122b depois com a esfera 2 Fig 2122c e finalmente removida Fig 2122d A força eletrostática a que a esfera 2 agora está submetida tem módulo F Qual é o valor da razão FF Figura 2122 Problema 2 3 Qual deve ser a distância entre a carga pontual q1 260 μC e a carga pontual q2 470 μC para que a força eletrostática entre as duas cargas tenha um módulo de 570 N 4 Na descarga de retorno de um relâmpago típico uma corrente de 25 104 A é mantida por 20 μs Qual é o valor da carga transferida 5 Uma partícula com uma carga de 300 106 C está a 120 cm de distância de uma segunda partícula com uma carga de 150 106 C Calcule o módulo da força eletrostática entre as partículas 6 Duas partículas de mesma carga são colocadas a 32 103 m de distância uma da outra e liberadas a partir do repouso A aceleração inicial da primeira partícula é 70 ms2 e a da segunda é 90 ms2 Se a massa da primeira partícula é 63 107 kg determine a a massa da segunda partícula e b o módulo da carga das partículas 7 Na Fig 2123 três partículas carregadas estão em um eixo x As partículas 1 e 2 são mantidas fixas A partícula 3 está livre para se mover mas a força eletrostática exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 é zero Se L23 L12 qual é o valor da razão q1q2 Figura 2123 Problemas 7 e 40 8 Na Fig 2124 três esferas condutoras iguais possuem inicialmente as seguintes cargas esfera A 4Q esfera B 6Q esfera C 0 As esferas A e B são mantidas fixas a uma distância entre os centros que é muito maior que o raio das esferas Dois experimentos são executados No experimento 1 a esfera C é colocada em contato com a esfera A depois separadamente com a esfera B e finalmente é removida No experimento 2 que começa com os mesmos estados iniciais a ordem é invertida a esfera C é colocada em contato com a esfera B depois separadamente com a esfera A e finalmente é removida Qual é a razão entre a força eletrostática entre A e B no fim do experimento 2 e a força eletrostática entre A e B no fim do experimento 1 Figura 2124 Problemas 8 e 65 9 Duas esferas condutoras iguais mantidas fixas a uma distância entre os centros de 500 cm se atraem mutuamente com uma força eletrostática de 0108 N Quando são ligadas por um fio condutor de diâmetro desprezível as esferas passam a se repelir com uma força de 00360 N Supondo que a carga total das esferas era inicialmente positiva determine a a carga negativa inicial de uma das esferas e b a carga positiva inicial da outra esfera 10 Na Fig 2125 quatro partículas formam um quadrado As cargas são q1 q4 Q e q2 q3 q a Qual deve ser o valor da razão Qq para que seja nula a força eletrostática total a que as partículas 1 e 4 estão submetidas b Existe algum valor de q para o qual a força eletrostática a que todas as partículas estão submetidas seja nula Justifique sua resposta Figura 2125 Problemas 10 11 e 70 11 Na Fig 2125 as cargas das partículas são q1 q2 100 nC e q3 q4 200 nC O lado do quadrado é a 50 cm Determine a a componente x e b a componente y da força eletrostática a que está submetida a partícula 3 12 Duas partículas são mantidas fixas em um eixo x A partícula 1 de carga 40 μC está situada em x 20 cm a partícula 2 de carga Q está situada em x 30 cm A partícula 3 está inicialmente no eixo y e é liberada a partir do repouso no ponto y 20 cm O valor absoluto da carga da partícula 3 é 20 μC Determine o valor de Q para que a aceleração inicial da partícula 3 seja a no sentido positivo do eixo x e b no sentido positivo do eixo y 13 Na Fig 2126 a partícula 1 de carga 10 μC e a partícula 2 de carga 30 μC são mantidas a uma distância L 100 cm uma da outra em um eixo x Determine a a coordenada x e b a coordenada y de uma partícula 3 de carga desconhecida q3 para que a força total exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula Figura 2126 Problemas 13 19 30 58 e 67 14 Três partículas são mantidas fixas em um eixo x A partícula 1 de carga q1 está em x a a partícula 2 de carga q2 está em x a Determine a razão q1q2 para que a força eletrostática a que está submetida a partícula 3 seja nula a se a partícula 3 estiver no ponto x 0500a b se partícula 3 estiver no ponto x 150a 15 As cargas e coordenadas de duas partículas mantidas fixas no plano xy são q1 30 μC x1 35 cm y1 050 cm e q2 40 μC x2 20 cm y2 15 cm Determine a o módulo e b a direção da força eletrostática que a partícula 1 exerce sobre a partícula 2 Determine também c a coordenada x e d a coordenada y de uma terceira partícula de carga q3 40 μC para que a força exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 seja nula 16 Na Fig 2127a a partícula 1 de carga q1 e a partícula 2 de carga q2 são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância de 800 cm A força que as partículas 1 e 2 exercem sobre uma partícula 3 de carga q3 800 1019 C colocada entre elas é 3tot A Fig 2127b mostra o valor da componente x dessa força em função da coordenada x do ponto em que a partícula 3 é colocada A escala do eixo x é definida por xs 80 cm Determine a o sinal da carga q1 e b o valor da razão q2q1 Figura 2127 Problema 16 17 Na Fig 2128a as partículas 1 e 2 têm carga de 200 μC cada uma e estão separadas por uma distância d 150 m a Qual é o módulo da força eletrostática que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Na Fig 2128b a partícula 3 com carga de 200 μC é posicionada de modo a completar um triângulo equilátero b Qual é o módulo da força eletrostática a que a partícula 1 é submetida devido à presença das partículas 2 e 3 Figura 2128 Problema 17 18 Na Fig 2129a três partículas positivamente carregadas são mantidas fixas em um eixo x As partículas B e C estão tão próximas que as distâncias entre elas e a partícula A podem ser consideradas iguais A força total a que a partícula A está submetida devido à presença das partículas B e C é 2014 1023 N no sentido negativo do eixo x Na Fig 2129b a partícula B foi transferida para o lado oposto de A mas foi mantida à mesma distância Nesse caso a força total a que a partícula A está submetida passa a ser 2877 1024 N no sentido negativo do eixo x Qual é o valor da razão qCqB Figura 2129 Problema 18 19 Na Fig 2126 a partícula 1 de carga q e a partícula 2 de carga 400q são mantidas a uma distância L 900 cm em um eixo x Se quando uma partícula 3 de carga q3 é colocada nas proximidades das partículas 1 e 2 as três partículas permanecem imóveis ao serem liberadas determine a a coordenada x da partícula 3 b a coordenada y da partícula 3 e c a razão q3q 20 A Fig 2130a mostra um sistema de três partículas carregadas separadas por uma distância d As partículas A e C estão fixas no lugar no eixo x mas a partícula B pode se mover ao longo de uma circunferência com centro na partícula A Durante o movimento um segmento de reta que liga os pontos A e B faz um ângulo θ com o eixo x Fig 2130b As curvas da Fig 2130c mostram para dois valores diferentes da razão entre a carga da partícula C e a carga da partícula B o módulo Ftot da força eletrostática total que as outras partículas exercem sobre a partícula A A força total foi plotada em função do ângulo θ e como múltiplo de uma força de referência F0 Assim por exemplo na curva 1 para θ 180o vemos que Ftot 2F0 a Nas condições em que foi obtida a curva 1 qual é a razão entre a carga da partícula C e a carga da partícula B incluindo o sinal b Qual é a razão nas condições em que foi obtida a curva 2 Figura 2130 Problema 20 21 Uma casca esférica isolante com um raio interno de 40 cm e um raio externo de 60 cm possui uma distribuição de carga não uniforme A densidade volumétrica de carga ρ cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico é a carga por unidade de volume No caso dessa casca ρ br em que r é a distância em metros a partir do centro da casca e b 30 μCm2 Qual é a carga total da casca 22 A Fig 2131 mostra um sistema de quatro partículas carregadas com θ 300o e d 200 cm A carga da partícula 2 é q2 800 1019 C a carga das partículas 3 e 4 é q3 q4 160 1019 C a Qual deve ser a distância D entre a origem e a partícula 2 para que seja nula a força que age sobre a partícula 1 b Se as partículas 3 e 4 são aproximadas do eixo x mantendose simétricas em relação a esse eixo o valor da distância D é maior menor ou igual ao valor do item a Figura 2131 Problema 22 23 Na Fig 2132 as partículas 1 e 2 de carga q1 q2 320 1019 C estão no eixo y a uma distância d 170 cm da origem A partícula 3 de carga q3 640 1019 C é deslocada ao longo do eixo x de x 0 até x 50 m Para qual valor de x o módulo da força eletrostática exercida pelas partículas 1 e 2 sobre a partícula 3 é a mínimo e b máximo Qual é o valor c mínimo e d máximo do módulo Figura 2132 Problema 23 Módulo 212 A Carga É Quantizada 24 Duas pequenas gotas dágua esféricas com cargas iguais de 100 1016 C estão separadas por uma distância entre os centros de 100 cm a Qual é o valor do módulo da força eletrostática a que cada uma está submetida b Quantos elétrons em excesso possui cada gota 25 Quantos elétrons é preciso remover de uma moeda para deixála com uma carga de 10 107 C 26 Qual é o módulo da força eletrostática entre um íon de sódio monoionizado Na de carga e e um íon de cloro monoionizado Cl de carga e em um cristal de sal de cozinha se a distância entre os íons é 282 1010 m 27 O módulo da força eletrostática entre dois íons iguais separados por uma distância de 50 1010 m é 37 109 N a Qual é a carga de cada íon b Quantos elétrons estão faltando em cada íon fazendo assim com que o íon possua uma carga elétrica diferente de zero 28 Uma corrente de 0300 A que atravesse o peito pode produzir fibrilação no coração de um ser humano perturbando o ritmo dos batimentos cardíacos com efeitos possivelmente fatais Se a corrente dura 200 min quantos elétrons de condução atravessam o peito da vítima 29 Na Fig 2133 as partículas 2 e 4 de carga e são mantidas fixas no eixo y nas posições y2 100 cm e y4 500 cm As partículas 1 e 3 de carga e podem ser deslocadas ao longo do eixo x A partícula 5 de carga e é mantida fixa na origem Inicialmente a partícula 1 está no ponto x1 100 cm e a partícula 3 está no ponto x3 100 cm a Para qual ponto do eixo x a partícula 1 deve ser deslocada para que a força eletrostática total tot a que a partícula está submetida sofra uma rotação de 30o no sentido antihorário b Com a partícula 1 mantida fixa na nova posição para qual ponto do eixo x a partícula 3 deve ser deslocada para que tot volte à direção original Figura 2133 Problema 29 30 Na Fig 2126 as partículas 1 e 2 são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância L 800 cm As cargas das partículas são q1 e e q2 27e A partícula 3 de carga q3 4e colocada no eixo x entre as partículas 1 e 2 é submetida a uma força eletrostática total 3tot a Em que posição deve ser colocada a partícula 3 para que o módulo de 3tot seja mínimo b Qual é o valor do módulo de 3tot nessa situação 31 A atmosfera da Terra é constantemente bombardeada por raios cósmicos provenientes do espaço sideral constituídos principalmente por prótons Se a Terra não tivesse atmosfera cada metro quadrado da superfície terrestre receberia em média 1500 prótons por segundo Qual seria a corrente elétrica recebida pela superfície do planeta 32 A Fig 2134a mostra duas partículas carregadas 1 e 2 que são mantidas fixas em um eixo x O valor absoluto da carga da partícula 1 é q1 800e A partícula 3 de carga q3 80e que estava inicialmente no eixo x nas vizinhanças da partícula 2 é deslocada no sentido positivo do eixo x Em consequência a força eletrostática total 2tot a que está sujeita a partícula 2 varia A Fig 2134b mostra a componente x da força em função da coordenada x da partícula 3 A escala do eixo x é definida por xs 080 m A curva possui uma assíntota F2tot 15 1025 N para x Determine o valor da carga q2 da partícula 2 em unidades de e incluindo o sinal Figura 2134 Problema 32 33 Calcule o número de coulombs de carga positiva que estão presentes em 250 cm3 de água neutra Sugestão Um átomo de hidrogênio contém um próton um átomo de oxigênio contém oito prótons 34 A Fig 2135 mostra dois elétrons 1 e 2 no eixo x e dois íons 3 e 4 de carga q no eixo y O ângulo θ é o mesmo para os dois íons O elétron 2 está livre para se mover as outras três partículas são mantidas fixas a uma distância horizontal R do elétron 2 e seu objetivo é impedir que o elétron 2 se mova Para valores fisicamente possíveis de q 5e determine a o menor valor possível de θ b o segundo menor valor possível de θ c o terceiro menor valor possível de θ Figura 2135 Problema 34 35 Nos cristais de cloreto de césio os íons de césio Cs estão nos oito vértices de um cubo com um íon de cloro Cl no centro Fig 2136 A aresta do cubo tem 040 nm Os íons Cs possuem um elétron a menos e portanto uma carga e e os íons Cl possuem um elétron a mais e portanto uma carga e a Qual é o módulo da força eletrostática exercida sobre o íon Cl pelos íons Cs situados nos vértices do cubo b Se um dos íons Cs está faltando dizemos que o cristal possui um defeito qual é o módulo da força eletrostática exercida sobre o íon Cl pelos íons Cs restantes Figura 2136 Problema 35 Módulo 213 A Carga É Conservada 36 Elétrons e pósitrons são produzidos em reações nucleares envolvendo prótons e nêutrons Essas reações são conhecidas pelo nome genérico de decaimento beta a Se um próton se transforma em um nêutron é produzido um elétron ou um pósitron b Se um nêutron se transforma em um próton é produzido um elétron ou um pósitron 37 Determine X nas seguintes reações nucleares a 1H 9Be X n b 12C 1H X c 15N 1H 4He X Sugestão Consulte o Apêndice F Problemas Adicionais 38 A Fig 2137 mostra quatro esferas condutoras iguais que estão separadas por grandes distâncias A esfera W que estava inicialmente neutra é colocada em contato com a esfera A e depois as esferas são novamente separadas Em seguida a esfera W é colocada em contato com a esfera B que possuía inicialmente uma carga de 32e e depois as esferas são separadas Finalmente a esfera A é colocada em contato com a esfera C que possuía inicialmente uma carga de 48e e depois as esferas são separadas A carga final da esfera W é 18e Qual era a carga inicial da esfera A Figura 2137 Problema 38 39 Na Fig 2138 a partícula 1 de carga 4e está a uma distância d1 200 mm do solo e a partícula 2 de carga 6e está no solo a uma distância horizontal d2 600 mm da partícula 1 Qual é a componente x da força eletrostática exercida pela partícula 1 sobre a partícula 2 Figura 2138 Problema 39 40 Na Fig 2123 as partículas 1 e 2 são mantidas fixas Se a força eletrostática total exercida sobre a partícula 3 é zero e L23 200L12 qual é o valor da razão q1q2 41 a Que cargas iguais e positivas teriam que ser colocadas na Terra e na Lua para neutralizar a atração gravitacional entre os dois astros b Por que não é necessário conhecer a distância entre a Terra e a Lua para resolver o problema c Quantos quilogramas de íons de hidrogênio ou seja prótons seriam necessários para acumular a carga positiva calculada no item a 42 Na Fig 2139 duas pequenas esferas condutoras de mesma massa m e mesma carga q estão penduradas em fios isolantes de comprimento L Suponha que o ângulo θ é tão pequeno que a aproximação tan θ sen θ pode ser usada a Mostre que a distância de equilíbrio entre as esferas é dada por b Se L 120 cm m 10 g e x 50 cm qual é o valor de q Figura 2139 Problemas 42 e 43 43 a Explique o que acontece com as esferas do Problema 42 se uma delas é descarregada ligando por exemplo momentaneamente a esfera à terra b Determine a nova distância de equilíbrio x usando os valores dados de L e m e o valor calculado de q 44 A que distância devem ser colocados dois prótons para que o módulo da força eletrostática que um exerce sobre o outro seja igual à força gravitacional a que um dos prótons está submetido na superfície terrestre 45 Quantos megacoulombs de carga elétrica positiva existem em 100 mol de hidrogênio molecular H2 neutro 46 Na Fig 2140 quatro partículas são mantidas fixas no eixo x porém separadas por uma distância d 200 cm As cargas das partículas são q1 2e q2 e q3 e e q4 4e em que e 160 1019 C Usando a notação dos vetores unitários determine a força eletrostática a que está submetida a a partícula 1 e b a partícula 2 Figura 2140 Problema 46 47 Cargas pontuais de 60 μC e 40 μC são mantidas fixas no eixo x nos pontos x 80 m e x 16 m respectivamente Que carga deve ser colocada no ponto x 24 m para que seja nula a força eletrostática total sobre uma carga colocada na origem 48 Na Fig 2141 três esferas condutoras iguais são dispostas de modo a formarem um triângulo equilátero de lado d 200 cm Os raios das esferas são muito menores que d As cargas das esferas são qA 200 nC qB 400 nC e qC 800 nC a Qual é o módulo da força eletrostática entre as esferas A e C Em seguida é executado o seguinte procedimento A e B são ligadas por um fio fino que depois é removido B é ligada à terra pelo fio que depois é removido B e C são ligadas pelo fio que depois é removido Determine o novo valor b do módulo da força eletrostática entre as esferas A e C c do módulo da força eletrostática entre as esferas B e C Figura 2141 Problema 48 49 Um nêutron é composto por um quark up com carga de 2e3 e dois quarks down cada um com carga de e3 Se os dois quarks down estão separados por uma distância de 26 1015 m no interior do nêutron qual é o módulo da força eletrostática entre eles 50 A Fig 2142 mostra uma barra longa isolante de massa desprezível e comprimento L articulada no centro e equilibrada por um bloco de peso P situado a uma distância x da extremidade esquerda Nas extremidades direita e esquerda da barra existem pequenas esferas condutoras de carga positiva q e 2q respectivamente A uma distância vertical h abaixo das esferas existem esferas fixas de carga positiva Q a Determine a distância x para que a barra fique equilibrada na horizontal b Qual deve ser o valor de h para que a barra não exerça força vertical sobre o apoio quando está equilibrada na horizontal Figura 2142 Problema 50 51 Uma barra isolante eletricamente carregada com um comprimento de 200 m e uma seção reta de 400 cm2 está no semieixo x positivo com uma das extremidades na origem A densidade volumétrica de carga ρ cuja unidade no SI é o coulomb por metro cúbico é a carga por unidade de volume Determine quantos elétrons em excesso existem na barra a se ρ é uniforme com um valor de 400 μCm3 b se o valor de ρ é dado pela equação ρ bx2 em que b 200 μCm5 52 Uma partícula de carga Q é mantida fixa na origem de um sistema de coordenadas xy No instante t 0 uma partícula m 0800 g q 400 μC está situada no eixo x no ponto x 200 cm e se move com uma velocidade de 500 ms no sentido positivo do eixo y Para qual valor de Q a partícula executa um movimento circular uniforme Despreze o efeito da força gravitacional sobre a partícula 53 Qual seria o módulo da força eletrostática entre duas cargas pontuais de 100 C separadas por uma distância de a 100 m e b 100 km se essas cargas pontuais pudessem existir o que não é verdade e se fosse possível montar um sistema desse tipo 54 Uma carga de 60 μC é dividida em duas partes que são mantidas a uma distância de 300 mm Qual é o maior valor possível da força eletrostática entre as duas partes 55 Da carga Q que está presente em uma pequena esfera uma fração α é transferida para uma segunda esfera As esferas podem ser tratadas como partículas a Para qual valor de α o módulo da força eletrostática F entre as duas esferas é o maior possível Determine b o menor e c o maior valor de α para o qual F é igual à metade do valor máximo 56 Se um gato se esfrega repetidamente nas calças de algodão do dono em um dia seco a transferência de carga do pelo do gato para o tecido de algodão pode deixar o dono com um excesso de carga de 200 μC a Quantos elétrons são transferidos para o dono O dono decide lavar as mãos mas quando aproxima os dedos da torneira acontece uma descarga elétrica b Nessa descarga elétrons são transferidos da torneira para o dono do gato ou viceversa c Pouco antes de acontecer a descarga são induzidas cargas positivas ou negativas na torneira d Se o gato tivesse se aproximado da torneira a transferência de elétrons seria em que sentido e Se você for acariciar um gato em um dia seco deve tomar cuidado para não aproximar os dedos do focinho do animal caso contrário poderá ocorrer uma descarga elétrica suficiente para assustar você Levando em conta o fato de que o pelo de gato é um material isolante explique como isso pode acontecer 57 Sabemos que a carga negativa do elétron e a carga positiva do próton têm o mesmo valor absoluto Suponha porém que houvesse uma diferença de 000010 entre as duas cargas Nesse caso qual seria a força de atração ou repulsão entre duas moedas de cobre situadas a 10 m de distância Suponha que cada moeda contém 3 1022 átomos de cobre Sugestão Um átomo de cobre contém 29 prótons e 29 elétrons O que é possível concluir a partir desse resultado 58 Na Fig 2126 a partícula 1 com carga de 800 μC e a partícula 2 com carga de 40 μC são mantidas fixas no eixo x separadas por uma distância L 200 cm Determine na notação dos vetores unitários a força eletrostática total a que é submetida uma partícula 3 de carga q3 200 μC se a partícula 3 for colocada a no ponto x 400 cm b no ponto x 800 cm Determine também c a coordenada x d a coordenada y da partícula 3 para que seja nula a força eletrostática total a que a partícula é submetida 59 Qual é a carga total em coulombs de 750 kg de elétrons 60 Na Fig 2143 seis partículas carregadas cercam a partícula 7 a uma distância de 10 cm ou 20 cm como mostra a figura As cargas são q1 2e q2 4e q3 e q4 4e q5 2e q6 8e e q7 6e com e 160 1019 C Qual é o módulo da força eletrostática a que está submetida a partícula 7 Figura 2143 Problema 60 61 Três partículas carregadas formam um triângulo a partícula 1 com uma carga Q1 800 nC está no ponto 0 300 mm a partícula 2 com uma carga Q2 está no ponto 0 300 mm e a partícula 3 com uma carga q 180 nC está no ponto 400 mm 0 Na notação dos vetores unitários qual é a força eletrostática exercida sobre a partícula 3 pelas outras duas partículas a se Q2 800 nC e b se Q2 800 nC 62 Na Fig 2144 determine a o módulo e b a direção da força eletrostática total a que está submetida a partícula 4 Todas as partículas são mantidas fixas no plano xy q1 320 1019 C q2 320 1019 C q3 640 1019 C q4 320 1019 C θ1 350o d1 300 cm d2 d3 200 cm Figura 2144 Problema 62 63 Duas cargas pontuais de 30 nC e 40 nC são mantidas fixas no eixo x na origem e no ponto x 72 cm respectivamente Uma partícula com uma carga de 42 μC é liberada a partir do repouso no ponto x 28 cm Se a aceleração inicial da partícula é 100 kms2 qual é a massa da partícula 64 A soma das cargas de duas pequenas esferas positivamente carregadas é 50 105 C Se cada esfera é repelida pela outra com uma força eletrostática de 10 N e as esferas estão separadas por uma distância de 20 m qual é a carga da esfera com a menor carga 65 As cargas iniciais das três esferas condutoras iguais da Fig 2124 são as seguintes esfera A Q esfera B Q4 esfera C Q2 em que Q 200 1014 C As esferas A e B são mantidas fixas com uma distância entre os centros d 120 m que é muito maior que o raio das esferas A esfera C é colocada em contato primeiro com a esfera A e depois com a esfera B antes de ser removida Qual é o módulo da força eletrostática entre as esferas A e B 66 Um elétron se encontra no vácuo perto da superfície da Terra no ponto y 0 de um eixo vertical Qual deve ser a coordenada y de um segundo elétron situado no eixo y para que a força eletrostática exercida sobre o primeiro elétron compense o peso do primeiro elétron 67 Na Fig 2126 a partícula 1 de carga 500q e a partícula 2 de carga 200q são mantidas a uma distância L no eixo x Se uma partícula 3 de carga desconhecida q3 é colocada em um ponto tal que a força eletrostática total exercida sobre a partícula seja zero determine a a coordenada x e b a coordenada y da partícula 3 68 Dois estudantes de engenharia João com uma massa de 90 kg e Maria com uma massa de 45 kg estão a 30 m de distância um do outro Suponha que existam desequilíbrios de carga de 001 nos corpos dos dois estudantes com um deles positivo e o outro negativo Determine a ordem de grandeza da força de atração eletrostática entre os dois estudantes substituindoos por esferas de água com a mesma massa 69 No decaimento radioativo da Eq 2113 um núcleo de 238U se transforma em 234Th e 4He que é ejetado Tratase de núcleos e não de átomos isso significa que não há elétrons envolvidos Para uma distância entre os núcleos de 234Th e 4He de 90 1015 m determine a a força eletrostática entre os núcleos e b a aceleração do núcleo de 4He 70 Na Fig 2125 quatro partículas formam um quadrado As cargas são q1 Q q2 q3 q e q4 200Q Qual é o valor de qQ se a força eletrostática total a que está submetida a partícula 1 é zero 71 Em uma casca metálica de raio R um elétron é lançado do centro em direção a um pequeno furo da casca passa pelo furo e se afasta da casca A casca está carregada negativamente com uma densidade superficial de carga carga por unidade de área de 690 1013 Cm2 Determine o módulo da aceleração do elétron no instante em que a distância entre o elétron e o centro da casca é a 0500R e b 200R 72 Um elétron é lançado com uma velocidade inicial vi 32 105 ms em direção a um próton muito distante que está em repouso Como a massa do próton é muito maior que a massa do elétron suponha que o próton permanece em repouso Calculando o trabalho realizado pela força eletrostática sobre o elétron determine a distância entre as duas partículas no instante em que a velocidade do elétron é igual a 2vi 73 Em um modelo antigo do átomo de hidrogênio o modelo de Bohr o elétron descrevia uma órbita circular em torno do próton e o raio da órbita era restrito aos valores dados por r n2a0 para n 1 2 3 em que a0 5292 pm Qual seria a velocidade do elétron a na órbita de menor raio e b na órbita com o segundo menor raio c Se o elétron passasse para uma órbita de raio maior a velocidade do elétron aumentaria diminuiria ou permaneceria a mesma 74 A corrente que atravessa o filamento de uma lâmpada de 100 W é 083 A Quanto tempo é necessário para que 1 mol de elétrons passe pela lâmpada 75 As cargas do elétron e do pósitron são e e e respectivamente As duas partículas têm a mesma massa 911 1031 kg Qual é a razão entre a força de atração elétrica e a força de atração gravitacional entre um elétron e um pósitron 1Essas pastilhas muito populares nos Estados Unidos são conhecidas como LifeSavers NT CAPÍTULO 22 Campos Elétricos 221 O CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2201 Saber que em todos os pontos do espaço nas proximidades de uma partícula carregada a partícula cria um campo elétrico que é uma grandeza vetorial e portanto possui um módulo e uma orientação 2202 Saber que um campo elétrico pode ser usado para explicar por que uma partícula carregada pode exercer uma força eletrostática em outra partícula carregada mesmo que as partículas não estejam em contato 2203 Explicar de que modo uma pequena carga de teste positiva pode ser usada pelo menos em princípio para medir o campo elétrico em qualquer ponto do espaço 2204 Explicar o que são as linhas de campo elétrico onde começam onde terminam e o que significa o espaçamento das linhas IdeiasChave Uma partícula carregada cria um campo elétrico que é uma grandeza vetorial no espaço em volta Se uma segunda partícula está nas proximidades da primeira ela é submetida a uma força eletrostática que depende do módulo e da orientação do campo elétrico no ponto em que a partícula se encontra O campo elétrico em qualquer ponto do espaço é definido em termos da força eletrostática que seria exercida sobre uma carga de teste q0 colocada nesse ponto As linhas de campo elétrico ajudam a visualizar a orientação e o módulo dos campos elétricos O vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço é tangente à linha de campo elétrico que passa por esse ponto A concentração de linhas de campo elétrico em uma região é proporcional ao módulo do campo elétrico nessa região assim se o espaçamento das linhas em uma região é pequeno isso significa que o campo elétrico nessa região é particularmente intenso As linhas de campo elétrico começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas O que É Física A Fig 221 mostra duas partículas positivamente carregadas Como vimos no capítulo anterior a partícula 1 está sujeita a uma força eletrostática por causa da presença da partícula 2 Vimos também que é possível calcular o módulo e a orientação da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 Resta porém uma pergunta intrigante Como a partícula 1 sabe que existe a partícula 2 Em outras palavras se as partículas não se tocam por que a partícula 2 afeta a partícula 1 Como explicar o que constitui na realidade uma ação a distância já que não existe uma ligação visível entre as partículas Um dos objetivos da física é registrar observações a respeito do nosso mundo como o módulo e a orientação da força que a partícula 2 exerce sobre a partícula 1 outro é explicar essas observações Um dos objetivos deste capítulo é explicar o que acontece quando uma partícula sofre os efeitos de uma força elétrica A explicação que vamos apresentar é a seguinte A partícula 2 cria um campo elétrico no espaço que a cerca mesmo que o espaço esteja vazio Quando a partícula 1 é colocada em um ponto qualquer desse espaço a partícula sabe que a partícula 2 existe porque ela é afetada pelo campo elétrico que a partícula 2 criou nesse ponto Assim a partícula 2 afeta a partícula 1 não por contato direto como acontece quando você empurra uma xícara de café mas por meio do campo elétrico que a partícula 2 produz Nossos objetivos neste capítulo são 1 definir o campo elétrico 2 discutir a forma de calculálo para vários sistemas de partículas carregadas e 3 discutir o efeito do campo elétrico sobre partículas carregadas como o de colocálas em movimento Figura 221 Se as partículas não se tocam por que a partícula 2 afeta a partícula 1 O Campo Elétrico Campos de vários tipos são usados na ciência e na engenharia Por exemplo o campo de temperatura de um auditório é a distribuição de temperaturas que pode ser obtida medindo a temperatura em muitos pontos do auditório De maneira análoga podemos definir o campo de pressão de uma piscina Os campos de temperatura e de pressão são campos escalares já que temperatura e pressão são grandezas escalares ou seja não possuem uma orientação Por outro lado o campo elétrico é um campo vetorial já que contém informações a respeito de uma força e as forças possuem um módulo e uma orientação O campo elétrico consiste em uma distribuição de vetores campo elétrico um para cada ponto de uma região em torno de um objeto eletricamente carregado Em princípio podemos definir o campo elétrico em um ponto nas proximidades de um objeto carregado como o ponto P da Fig 222a da seguinte forma Colocamos no ponto P uma pequena carga positiva q0 que chamamos de carga de prova porque será usada para provar ou seja sondar o campo Usamos uma carga pequena para não perturbar a distribuição de carga do objeto Em seguida medimos a força eletrostática que age sobre a carga q0 e definimos o campo elétrico produzido pelo objeto pela equação Como a carga de prova é positiva os dois vetores da Fig 222 têm a mesma orientação ou seja a orientação de é a mesma de O módulo de no ponto P é Fq0 Como mostra a Fig 22b representamos o campo elétrico como um vetor cuja origem deve estar no ponto em que foi feita a medida Essa observação pode parecer trivial mas desenhar o vetor campo elétrico com a origem em outro ponto qualquer geralmente leva a erros nos cálculos Outro erro comum é confundir os conceitos de força e de campo A força elétrica é um puxão ou um empurrão enquanto o campo elétrico é uma propriedade abstrata criada no espaço por um objeto eletricamente carregado De acordo com a Eq 22 1 a unidade de campo elétrico do SI é o newton por coulomb NC Podemos colocar a carga de prova em vários pontos para medir o campo elétrico nesses pontos e assim levantar a distribuição de campo elétrico nas vizinhanças do objeto carregado Esse campo existe independentemente da carga de prova é algo que um objeto carregado cria no espaço em volta ainda que esteja vazio mesmo que não haja ninguém para medilo Nos próximos módulos vamos calcular o campo elétrico que existe nas vizinhanças de partículas e de objetos de várias formas geométricas Antes porém vamos discutir uma forma de visualizar os campos elétricos Figura 222 a Uma carga de prova positiva q0 colocada em um ponto P nas proximidades de um objeto carregado Uma força eletrostática age sobre a carga de prova b O campo elétrico no ponto P produzido por um objeto carregado Figura 223 a Uma força eletrostática age sobre uma carga de prova positiva colocada nas proximidades de uma esfera que contém uma distribuição uniforme de carga negativa b O vetor campo elétrico na posição da carga de prova e as linhas de campo no espaço que cerca a esfera As linhas de campo elétrico terminam na esfera negativamente carregada As linhas têm origem em cargas positivas distantes Linhas de Campo Elétrico Olhe para o espaço que o cerca Você é capaz de visualizar nesse espaço um campo de vetores com diferentes módulos e orientações Pode parecer difícil mas Michael Faraday que introduziu a ideia de campos elétricos no século XIX encontrou um meio Ele imaginou que existem linhas hoje conhecidas como linhas de campo elétrico nas vizinhanças de qualquer partícula ou objeto com carga elétrica A Fig 223 mostra um exemplo em que uma esfera possui uma carga negativa uniformemente distribuída na superfície Se colocarmos uma carga de prova positiva nas proximidades da esfera Fig 223a a carga de prova será atraída para o centro da esfera por uma força eletrostática Assim em cada ponto da vizinhança da esfera o vetor campo elétrico aponta na direção do centro da esfera Podemos representar esse campo elétrico usando as linhas de campo elétrico da Fig 223b Em qualquer ponto como o que está indicado na figura a direção da linha de campo elétrico coincide com a direção do vetor campo elétrico nesse ponto As regras para desenhar as linhas de campo elétrico são as seguintes 1 O vetor campo elétrico em qualquer ponto é tangente à linha de campo elétrico que passa por esse ponto e tem o mesmo sentido que a linha de campo elétrico Isso é fácil de ver na Fig 223 em que as linhas de campo são retas mas daqui a pouco vamos discutir o caso das linhas curvas 2 As linhas de campo são desenhadas de tal forma que o número de linhas por unidade de área medido em um plano perpendicular às linhas é proporcional ao módulo do campo elétrico quanto mais próximas as linhas maior o módulo do campo Figura 224 a A força que age sobre uma carga de prova positiva colocada nas proximidades de uma placa muito grande isolante com uma distribuição uniforme de carga positiva na superfície direita b O vetor campo elétrico na posição da carga de prova e as linhas de campo nas vizinhanças da placa As linhas de campo elétrico começam na superfície da placa c Vista lateral de b Se a esfera da Fig 223 tivesse uma carga positiva uniformemente distribuída na superfície os vetores campo elétrico apontariam para longe da esfera e as linhas de campo elétrico também apontariam para longe da esfera Temos portanto a seguinte regra As linhas de campo elétrico se afastam das cargas positivas onde começam e se aproximam das cargas negativas onde terminam Na Fig 223b as linhas de campo elétrico começam em cargas positivas distantes que não aparecem no desenho Para dar outro exemplo a Fig 224a mostra parte de uma placa infinita isolante com uma distribuição uniforme de carga positiva na superfície direita Quando colocamos uma carga de prova positiva nas proximidades da placa do lado direito ou do lado esquerdo vemos que a carga é submetida a uma força eletrostática perpendicular à placa Essa orientação se deve ao fato de que qualquer componente que não seja perpendicular para cima digamos é compensada por uma componente de mesmo valor no sentido oposto para baixo no caso Além disso o sentido da força é para longe da placa Assim os vetores campo elétrico e as linhas de campo em qualquer ponto do espaço dos dois lados da placa são perpendiculares à placa e apontam para longe da placa como mostram as Figs 224b e 224c Como a carga está uniformemente distribuída na placa todos os vetores campo elétrico têm o mesmo módulo Esse tipo de campo elétrico no qual os vetores têm o mesmo módulo e a mesma orientação em todos os pontos do espaço é chamado de campo elétrico uniforme É muito mais fácil trabalhar com um campo desse tipo do que com um campo elétrico não uniforme em que o campo não é o mesmo em todos os pontos Naturalmente nenhuma placa tem dimensões infinitas isso é apenas uma forma de dizer que estamos medindo o campo em pontos cuja distância da placa é muito menor que as dimensões da placa e que os pontos escolhidos estão longe das bordas A Fig 225 mostra as linhas de campo de duas partículas com cargas positivas iguais Nesse caso as linhas de campo são curvas mas as regras continuam as mesmas 1 o vetor campo elétrico em qualquer ponto é tangente à linha de campo que passa por esse ponto e tem o mesmo sentido que a linha de campo e 2 quanto menos espaçadas estiverem as linhas maior será o módulo do campo Para visualizar o padrão tridimensional de linhas de campo em volta das partículas basta fazer girar mentalmente o padrão da Fig 225 em torno do eixo de simetria que é uma reta vertical passando pelas partículas Figura 225 Linhas de campo de duas partículas com cargas positivas iguais A figura mostra também o vetor campo elétrico em um ponto do espaço o vetor é tangente à linha de campo que passa pelo ponto O desenho não transmite a ideia de que as partículas se repelem 222 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2205 Desenhar uma partícula carregada indicar o sinal da carga escolher um ponto próximo e desenhar o vetor campo elétrico nesse ponto com a origem no ponto 2206 Dado um ponto nas vizinhanças de uma partícula carregada indicar a direção do vetor campo elétrico e o sentido do campo se a carga da partícula for positiva e se a carga for negativa 2207 Dado um ponto nas vizinhanças de uma partícula carregada conhecer a relação entre o módulo E do campo o valor absoluto q da carga e a distância r entre o ponto e a partícula 2208 Saber que a equação usada para calcular o campo elétrico nas vizinhanças de uma partícula não pode ser usada para calcular o campo elétrico nas vizinhanças de um objeto macroscópico 2209 Se existe mais de um campo elétrico em um ponto do espaço calcular o campo elétrico resultante usando uma soma vetorial e não uma soma algébrica dos campos elétricos envolvidos IdeiasChave O módulo do campo elétrico criado por uma partícula de carga q em um ponto situado a uma distância r da partícula é dado por Os vetores campo elétrico associados a uma partícula positiva apontam para longe da partícula Os vetores campo elétrico associados a uma partícula negativa apontam na direção da partícula Se existe mais de um campo elétrico em um ponto do espaço o campo elétrico resultante é a soma vetorial dos campos elétricos envolvidos ou seja os campos elétricos obedecem ao princípio da superposição O Campo Elétrico Produzido por uma Partícula Carregada Para determinar o campo elétrico produzido a uma distância r de uma partícula de carga q também chamada coloquialmente de carga pontual colocamos uma carga de prova q0 nesse ponto De acordo com a lei de Coulomb Eq 214 o módulo da força eletrostática que age sobre a carga de prova é dado por O sentido de é para longe da partícula se a carga q for positiva já que a carga de prova q0 é positiva e na direção da partícula se a carga q for negativa De acordo com a Eq 221 o módulo do vetor campo elétrico criado pela partícula na posição da carga de prova é dado por O sentido de é o mesmo que o da força que age sobre a carga de prova para longe da carga pontual se q for positiva e na direção da carga pontual se q for negativa Assim se conhecemos a posição de uma partícula carregada podemos facilmente determinar a orientação do vetor campo elétrico em pontos próximos da partícula simplesmente observando o sinal da carga q Para determinar o módulo do campo elétrico a uma distância r da partícula usamos a Eq 222 omitindo o vetor unitário e tomando o valor absoluto da carga o que nos dá Usamos o valor absoluto q na Eq 223 para evitar o risco de obtermos um valor negativo para E quando a carga q é negativa e pensarmos que o sinal negativo tem algo a ver com o sentido de A Eq 223 nos dá apenas o módulo de a direção e o sentido de devem ser determinados separadamente A Fig 226 mostra o campo elétrico em alguns pontos na vizinhança de uma partícula de carga positiva mas deve ser interpretada corretamente Cada vetor representa o campo elétrico no ponto de origem do vetor O vetor no caso não é uma grandeza que liga um ponto de origem a um ponto de destino como é o caso do vetor deslocamento o comprimento é simplesmente proporcional ao módulo do campo elétrico no ponto de origem do vetor Figura 226 Vetores campo elétrico em vários pontos das vizinhanças de uma carga pontual positiva Se em um ponto existem vários campos elétricos criados por várias partículas carregadas podemos determinar o campo total colocando uma carga de prova positiva no ponto e calculando a força exercida individualmente pelas partículas como a força 01 exercida pela partícula 1 Como as forças obedecem ao princípio da superposição podemos obter a força resultante usando uma soma vetorial 0 01 02 0n Para calcular o campo elétrico basta aplicar a Eq 221 a cada uma das forças A Eq 224 mostra que o princípio da superposição se aplica aos campos elétricos Se queremos calcular o campo elétrico produzido em um dado ponto por várias partículas basta calcularmos o campo produzido individualmente pelas partículas como o campo 1 produzido pela partícula 1 e somar vetorialmente todos os campos Como no caso da força eletrostática seria errado somar simplesmente os módulos dos campos Esse tipo de soma aparece em muitos problemas que envolvem campos elétricos Teste 1 A figura mostra um próton p e um elétron e no eixo x Qual é o sentido do campo elétrico produzido pelo elétron a no ponto S e b no ponto R Qual é o sentido do campo elétrico total produzido pelas duas partículas c no ponto R e d no ponto S Exemplo 2201 Campo elétrico total produzido por três partículas carregadas A Fig 227a mostra três partículas de cargas q1 2Q q2 2Q e q3 4Q todas situadas a uma distância d da origem Determine o campo elétrico total produzido na origem pelas três partículas IDEIACHAVE As cargas q1 q2 e q3 produzem na origem campos elétricos 1 2 e 3 respectivamente e o campo elétrico total é a soma vetorial 1 2 3 Para calcular a soma precisamos conhecer o módulo e a orientação dos três vetores Módulos e orientações Para determinar o módulo de 1 o campo produzido por q1 usamos a Eq 223 substituindo r por d e q por 2Q O resultado é o seguinte Procedendo de modo análogo obtemos os módulos dos campos 2 e 3 Figura 227 a Três partículas com cargas q1 q2 e q3 situadas à mesma distância d da origem b Os vetores campo elétrico 1 2 e 3 produzidos na origem pelas três partículas c O vetor campo elétrico 3 e a soma vetorial 1 2 na origem Em seguida precisamos determinar a orientação dos vetores campo elétrico produzidos pelas três cargas na origem Como q1 é uma carga positiva o vetor campo elétrico produzido pela carga aponta para longe de q1 como q2 e q3 são cargas negativas o vetor campo elétrico aponta na direção dessas cargas Assim os vetores campo elétrico produzidos na origem pelas três cargas têm a direção e o sentido indicados na Fig 227b Atenção Observe que colocamos a origem dos vetores no ponto em que os campos elétricos devem ser calculados isso diminui a probabilidade de erro Colocar a origem dos vetores nas partículas responsáveis pelos campos pode facilmente levar a erros na hora de calcular a soma vetorial Soma dos campos Podemos agora somar os campos vetorialmente como fizemos para as forças no Capítulo 21 No caso presente podemos usar a simetria dos vetores para simplificar os cálculos De acordo com a Fig 227b os vetores 1 e 2 têm a mesma direção assim a soma vetorial dos dois vetores tem essa direção e o módulo é dado por que por coincidência é igual ao módulo do vetor 3 Devemos agora somar dois vetores 3 e o vetor resultante da soma 1 2 que possuem o mesmo módulo e estão orientados simetricamente em relação ao eixo x como mostra a Fig 227c Observando a Fig 227c vemos que por simetria as componentes y dos dois vetores se cancelam e as componentes x se somam Assim o campo elétrico total na origem está orientado no sentido positivo do eixo x e o módulo é dado por 223 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2210 Desenhar um dipolo elétrico indicando as cargas valores e sinais o eixo do dipolo e a orientação do momento dipolar elétrico 2211 Conhecer a orientação do campo elétrico em qualquer ponto do eixo do dipolo dentro e fora da região entre as cargas 2212 Saber que a equação do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico pode ser deduzida a partir das equações do campo elétrico produzido pelas cargas elétricas que formam o dipolo 2213 Comparar a variação do campo elétrico com a distância para uma partícula isolada e para um dipolo elétrico e verificar que o campo elétrico diminui mais depressa com a distância no caso de um dipolo 2214 Conhecer a relação entre o módulo p do momento dipolar elétrico a distância d entre as cargas e o valor absoluto q das cargas 2215 Para qualquer ponto do eixo do dipolo situado a uma grande distância das cargas conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a distância z do centro do dipolo e o módulo p do momento dipolar IdeiasChave Um dipolo elétrico é constituído por duas cargas de mesmo valor absoluto q e sinais opostos separadas por uma pequena distância d O momento dipolar elétrico tem módulo qd e aponta da carga negativa para a carga positiva O módulo do campo elétrico produzido por um dipolo elétrico em um ponto do eixo do dipolo reta que passa pelas duas partículas situado a uma grande distância das cargas por ser expresso em termos do produto qd do valor absoluto q das cargas pela distância d entre elas ou do módulo p do momento dipolar em que z é a distância entre o ponto e o centro do dipolo Como o módulo do campo elétrico produzido por um dipolo é proporcional a 1z3 ele diminui mais depressa com a distância que o módulo do campo elétrico produzido por uma carga isolada que é proporcional a 1z2 O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico A Fig 228 mostra as linhas de campo elétrico produzidas por duas partículas carregadas de módulo q e sinais opostos separadas por uma distância d um arranjo muito comum e muito importante conhecido como dipolo elétrico A reta que passa pelas duas cargas é chamada de eixo do dipolo e constitui um eixo de simetria em torno do qual se pode fazer girar o padrão da Fig 228 para obter uma imagem tridimensional do campo elétrico criado pelo dipolo Vamos chamar de eixo z o eixo do dipolo e restringir nossa discussão ao campo elétrico em pontos do eixo do dipolo Figura 228 Linhas de campo de um dipolo elétrico A figura mostra também o vetor campo elétrico em um ponto do espaço o vetor é tangente à linha de campo que passa pelo ponto A Fig 229a mostra os campos elétricos criados em um ponto P pelas duas partículas A partícula mais próxima de carga q produz um campo de módulo E no sentido positivo do eixo z para longe da partícula A partícula mais distante de carga q produz um campo de módulo E no sentido negativo do eixo z para perto da partícula Estamos interessados em calcular o campo total no ponto P dado pela Eq 224 Como os vetores e têm a mesma direção podemos substituir a soma vetorial da Eq 224 pela soma dos módulos indicando o sentido dos vetores por um sinal algébrico como estamos acostumados a fazer com as forças em problemas unidimensionais Assim o módulo do campo total no ponto P pode ser escrito na forma Depois de algumas transformações algébricas obtemos a seguinte expressão Reduzindo as frações ao mesmo denominador e simplificando temos Em geral estamos interessados nos efeitos elétricos de um dipolo apenas em pontos muito distantes das cargas do dipolo ou seja em pontos tais que z d Nesse caso d2z 1 na Eq 227 e podemos desprezar o termo d2z no denominador o que nos dá O produto qd que envolve os dois parâmetros q e d que definem o dipolo é o módulo p de uma grandeza conhecida como momento dipolar elétrico do dipolo A unidade de é o coulombmetro Assim podemos escrever a Eq 228 na forma O sentido de é tomado como do lado negativo para o lado positivo do dipolo como mostra a Fig 22 9b Podemos usar o sentido de para especificar a orientação de um dipolo De acordo com a Eq 229 se o campo elétrico de um dipolo é medido apenas em pontos distantes não é possível determinar os valores de q e d separadamente mas apenas o produto qd O campo em pontos distantes permanece inalterado quando por exemplo o valor de q é multiplicado por 2 e ao mesmo tempo o valor de d é dividido por 2 Embora a Eq 229 seja válida apenas para pontos distantes que estejam no eixo do dipolo para todos os pontos distantes estejam ou não no eixo do dipolo o valor de E para um dipolo é proporcional a 1r3 em que r é a distância entre o ponto em questão e o centro do dipolo Observando a Fig 229 e as linhas de campo da Fig 228 vemos que a direção de para pontos distantes no eixo do dipolo é a direção do vetor momento dipolar Isso acontece tanto quando o ponto P da Fig 229a está mais próximo na carga positiva como quando está mais próximo da carga negativa Figura 229 a Um dipolo elétrico Os vetores campo elétrico e no ponto P do eixo do dipolo são produzidos pelas duas cargas do dipolo As distâncias entre o ponto P e as duas cargas que formam o dipolo são e b O momento dipolar do dipolo aponta da carga negativa para a carga positiva De acordo com a Eq 229 se a distância entre um ponto e um dipolo é multiplicada por 2 o campo elétrico no ponto é dividido por 8 Por outro lado quando a distância entre um ponto e uma carga elétrica isolada é multiplicada por 2 o campo elétrico é dividido por 4 veja a Eq 223 Assim o campo elétrico de um dipolo diminui mais rapidamente com a distância que o campo elétrico produzido por uma carga isolada A razão para essa diminuição mais rápida do campo elétrico no caso de um dipolo está no fato de que a distância um dipolo se comporta como um par de cargas elétricas de sinais opostos que quase se cancelam assim os campos elétricos produzidos por essas cargas em pontos distantes também quase se cancelam Exemplo 2202 Dipolos elétricos e sprites Os sprites Fig 2210a são imensos clarões que às vezes são vistos no céu acima de grandes tempestades Durante décadas eles foram observados por pilotos em voos noturnos mas eram tão fracos e fugazes que a maioria dos pilotos imaginava que tais sprites não passavam de ilusões Na década de 1990 porém os sprites foram registrados por câmaras de vídeo Ainda não são muito bem compreendidos mas acreditase que sejam produzidos quando ocorre um relâmpago bastante intenso entre a terra e uma nuvem de tempestade particularmente se o relâmpago transferir uma grande quantidade de carga negativa q da terra para a base da nuvem Fig 2210b Logo depois da transferência a terra possui uma distribuição complexa de carga positiva entretanto podemos utilizar um modelo simplificado do campo elétrico produzido pelas cargas da nuvem e da terra supondo haver um dipolo vertical formado por uma carga q na altura h da nuvem e uma carga q a uma distância h abaixo da superfície Fig 2210c Se q 200 C e h 60 km qual é o módulo do campo elétrico do dipolo a uma altitude z1 30 km ou seja um pouco acima das nuvens e a uma altitude z2 60 km ou seja um pouco acima da estratosfera IDEIACHAVE O valor aproximado do módulo E do campo elétrico de um dipolo é fornecido pela Eq 228 Figura 2210 a Fotografia de um sprite b Relâmpago no qual uma grande quantidade de carga negativa é transferida da terra para a base de uma nuvem c O sistema nuvemterra modelado como um dipolo elétrico vertical Cálculos Temos em que 2h é a distância entre as cargas q e q na Fig 2210c O campo elétrico a uma altitude z1 30 km é dado por A uma altitude z2 60 km temos Como vamos ver no Módulo 226 quando o módulo de um campo elétrico excede um valor crítico Ec o campo pode arrancar elétrons dos átomos ionizar átomos e os elétrons arrancados podem se chocar com outros átomos fazendo com que emitam luz O valor de Ec depende da densidade do ar na região em que existe o campo elétrico quanto menor a densidade menor o valor de Ec A 60 km de altitude a densidade do ar é tão baixa que E 20 102 NC é maior que Ec e portanto os átomos do ar emitem luz É essa luz que forma os sprites Mais abaixo a 30 km de altitude a densidade do ar é muito mais alta E 16 103 NC é menor que Ec e os átomos do ar não emitem luz Assim os sprites são vistos apenas muito acima das nuvens de tempestade 224 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UMA LINHA DE CARGA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2216 No caso de uma distribuição uniforme de carga calcular a densidade linear de carga λ de uma linha a densidade superficial de carga σ de uma superfície e a densidade volumétrica de carga ρ de um sólido 2217 No caso de uma linha uniforme de carga determinar o campo elétrico total em um ponto nas vizinhanças de linha dividindo a distribuição em elementos de carga dq e somando por integração os campos elétricos d produzidos por esses elementos na posição do ponto 2218 Explicar de que forma a simetria pode ser usada para calcular o campo elétrico em um ponto nas vizinhanças de uma linha uniforme de carga IdeiasChave A equação do campo elétrico criado por uma partícula não pode ser aplicada diretamente a um objeto macroscópico que apresenta praticamente uma distribuição contínua de carga Para calcular o campo elétrico criado em um ponto por um objeto macroscópico consideramos primeiro o campo elétrico criado nesse ponto por um elemento de carga dq do objeto usando a equação do campo elétrico criado por uma partícula Em seguida somamos por integração os campos elétricos d produzidos por todos os elementos de carga do objeto Como os campos elétricos d podem ter diferentes módulos e orientações verificamos se a simetria do problema permite cancelar alguma das componentes do campo de modo a simplificar a integração O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga Até agora lidamos apenas com partículas carregadas isoladas ou em pequenos grupos Vamos agora discutir uma situação muito mais complexa na qual um objeto fino aproximadamente unidimensional como uma barra ou um anel contém um número muito grande de partículas carregadas No próximo módulo vamos tratar de objetos bidimensionais como um disco carregado No próximo capítulo vamos estudar objetos tridimensionais como uma esfera carregada Não Desanime Muitos estudantes consideram este módulo o mais difícil do livro por várias razões São necessários muitos passos diferentes para resolver um problema é preciso raciocinar em termos de vetores e além de tudo é preciso montar e resolver uma integral A pior parte porém é que o método pode ser diferente para diferentes distribuições de carga Assim ao discutirmos a respeito de um arranjo em particular um anel carregado o leitor deve prestar atenção nos aspectos gerais do método para poder aplicálo a outros problemas como o de barras e segmentos curvos carregados A Fig 2211 mostra um anel delgado de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva Vamos supor que o anel é feito de plástico o que significa que as cargas permanecem imóveis O campo elétrico envolve todo o anel mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z uma reta que passa pelo centro do anel e é perpendicular ao plano do anel situado a uma distância z do centro do anel A carga de um objeto macroscópico é frequentemente expressa em termos de uma densidade de carga em vez da carga total No caso de uma linha de carga usamos a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento λ cuja unidade no SI é o coulomb por metro A Tabela 221 mostra as outras densidades de carga que serão usadas para superfícies e volumes de carga Primeiro Grande Problema Até agora temos apenas uma equação que nos dá o campo elétrico de uma partícula Podemos combinar os campos de mais de uma partícula como fizemos no caso do dipolo elétrico mas na verdade estamos usando repetidamente a Eq 223 Considere o anel da Fig 2211 Não podemos usar a Eq 223 já que não se trata de uma única partícula nem de um pequeno número de partículas mas de um número tão grande de partícula que a distribuição de carga pode ser considerada infinita O que fazer A solução é dividir mentalmente o anel em elementos de carga tão pequenos que possam ser tratados como partículas A Eq 223 pode ser aplicada a esses elementos Tabela 221 Algumas Medidas de Carga Elétrica Nome Símbolo Unidade do SI Carga q C Densidade linear de carga λ Cm Densidade superficial de carga σ Cm2 Densidade volumétrica de carga ρ Cm3 Segundo Grande Problema Como podemos aplicar a Eq 223 aos elementos de carga dq o d na frente do q serve para ressaltar que a carga de cada elemento é muito pequena podemos escrever uma expressão para o campo d produzido individualmente pelos elementos de carga o d na frente do serve para ressaltar que o campo elétrico produzido por um elemento é muito pequeno Acontece que cada elemento contribui com um campo elétrico de módulo e orientação diferente para o campo em um ponto P do eixo central do anel Como podemos somálos para obter o campo total no ponto P A solução é calcular as componentes dos vetores campo elétrico em relação a eixos adequadamente escolhidos e somar separadamente as componentes para obter as componentes do campo elétrico total Antes de executar a soma porém é importante examinar a simetria do problema para verificar se algumas dessas componentes se cancelam o que pode facilitar muito o trabalho Terceiro Grande Problema Como o anel contém um número enorme de elementos de carga dq temos que somar um número enorme de campos elétricos d mesmo que algumas componentes desses campos se cancelem por causa da simetria Como podemos somar esse número enorme de elementos A solução é usar uma integral Mãos à Obra Vamos fazer tudo que foi dito anteriormente mas preste atenção ao método em geral em vez de se limitar aos detalhes Escolhemos arbitrariamente o elemento de carga mostrado na Fig 22 11 Seja ds o comprimento do elemento de carga dq ou de qualquer outro elemento de carga Nesse caso em termos da densidade linear de carga carga por unidade de comprimento λ temos Figura 2211 Um anel de carga positiva distribuída uniformemente Um elemento de carga tem um comprimento ds grandemente exagerado na figura Esse elemento cria um campo elétrico d no ponto P Campo de um Elemento O elemento de carga escolhido produz um campo elétrico elementar d no ponto P situado a uma distância r do elemento como mostra a Fig 2211 Ok estamos introduzindo um novo símbolo que não aparece no enunciado do problema mas logo vamos substituílo por símbolos oficiais Vamos agora escrever a equação do módulo do campo produzido por uma partícula Eq 223 em termos dos novos símbolos dE e dq e substituir dq pelo seu valor dado pela Eq 2210 O módulo do campo elétrico produzido pelo elemento de carga é Note que o novo símbolo r é a hipotenusa do triângulo retângulo mostrado na Fig 2211 Isso significa que podemos substituir r por o que nos dá Como todos os elementos de carga têm a mesma carga e estão à mesma distância do ponto P o módulo do campo elétrico produzido por todos os elementos de carga é dado pela Eq 2212 A Fig 2211 também mostra que todos os campos elétricos elementares d fazem um ângulo θ com o eixo central o eixo z e portanto têm uma componente paralela e uma componente perpendicular ao eixo z Componentes que se Cancelam Agora chegamos à parte mais fácil na qual eliminamos uma das componentes Considere na Fig 2211 o elemento de carga do lado oposto do anel Esse elemento também produz um campo elétrico elementar de módulo dE mas esse campo faz um ângulo θ do lado oposto do eixo z em relação ao elemento de carga inicial como mostra a vista lateral da Fig 2212 Assim as duas componentes perpendiculares ao eixo se cancelam Esse cancelamento acontece ao longo de todo o anel entre um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto Isso significa que a soma das componentes perpendiculares é zero Componentes que se Somam Essa parte também é fácil Como todas as componentes diferentes de zero apontam no sentido positivo do eixo z podemos simplesmente calcular a soma aritmética dessas componentes Isso significa que já conhecemos a orientação do campo elétrico total no ponto P ele aponta no sentido positivo do eixo z De acordo com a Fig 2212 o módulo das componentes paralelas dos elementos de carga dq é dE cos θ mas θ não é um símbolo oficial Podemos substituir θ por símbolos oficiais usando novamente o triângulo retângulo da Fig 2211 para escrever Figura 2212 Os campos elétricos criados no ponto P por um elemento de carga e o elemento de carga diametralmente oposto As componentes perpendiculares ao eixo z se cancelam as componentes paralelas ao eixo z se somam Multiplicando a Eq 2212 pela Eq 2213 obtemos a componente paralela do campo produzido por um elemento de carga Integração Como temos que somar um número muito grande de elementos escrevemos uma integral que se estende a todo o anel de um ponto de partida que vamos chamar de s 0 até um ponto s 2πR que corresponde ao mesmo ponto depois que todo o anel foi percorrido Apenas a variável s muda de elemento para elemento Como os outros parâmetros da Eq 2214 permanecem os mesmos podemos passálos para o lado de fora da integral o que nos dá Essa poderia ser a resposta mas podemos expressála em termos da carga total do anel usando a relação λ q2πR Se a carga do anel fosse negativa em vez de positiva o módulo do campo no ponto P seria dado pela Eq 2216 mas o campo elétrico apontaria no sentido negativo do eixo z ou seja na direção do anel Vejamos o que acontece com a Eq 2216 se o ponto estiver tão longe do anel que z R Nesse caso z2 R2 z2 e a Eq 2216 se torna Esse resultado é razoável já que visto de uma grande distância o anel parece uma carga pontual Substituindo z por r na Eq 2217 obtemos a Eq 223 usada para calcular o módulo de uma carga pontual Vamos verificar o que a Eq 2216 nos revela a respeito do ponto situado no centro do anel ou seja o ponto z 0 De acordo com a Eq 2216 nesse ponto E 0 Esse resultado é razoável já que se colocássemos uma carga de prova no centro do anel ela seria repelida com a mesma força em todas as direções a força resultante seria zero portanto de acordo com a Eq 221 o campo elétrico também teria de ser nulo Exemplo 2203 Campo elétrico de um arco de circunferência carregado A Fig 2213a mostra uma barra de plástico com uma carga Q uniformemente distribuída A barra tem a forma de um arco de circunferência de 120o de extensão e raio r Os eixos de coordenadas são escolhidos de tal forma que o eixo de simetria da barra é o eixo x e a origem P está no centro de curvatura do arco Em termos de Q e de r qual é o campo elétrico produzido pela barra no ponto P IDEIACHAVE Como a barra possui uma distribuição contínua de carga devemos obter uma expressão para o campo elétrico produzido por um elemento de carga e integrar essa expressão ao longo da barra Um elemento Considere um elemento de arco de comprimento ds fazendo um ângulo θ com o eixo x Figs 2213b e 22 13c Chamando de λ a densidade linear de carga da barra a carga do elemento de arco é dada por Campo do elemento O elemento de carga produz um campo elétrico d no ponto P que está uma distância r do elemento Tratando o elemento como uma carga pontual podemos usar a Eq 223 para expressar o módulo de d na forma Como a carga q é negativa d aponta na direção de ds Parceiro simétrico Ao elemento ds corresponde um elemento simétrico imagem especular ds situado na parte inferior da barra O campo elétrico d produzido por ds no ponto P tem o mesmo módulo que d mas aponta na direção de ds como mostra a Fig 2213d Quando determinamos as componentes x e y dos campos elétricos d e d Figs 2213e e 22 13f vemos que as componentes y se cancelam já que têm o mesmo módulo e sentidos opostos Vemos também que as componentes x têm o mesmo módulo e o mesmo sentido Soma Para determinar o campo elétrico produzido pela barra precisamos somar por integração apenas as componentes x dos campos elétricos produzidos pelos elementos de carga da barra De acordo com a Fig 2213f e a Eq 2219 a componente dEx do campo produzido pelo elemento ds é dada por A Eq 2220 tem duas variáveis θ e s Antes de realizar a integração precisamos eliminar uma das variáveis Para isso usamos a relação ds r dθ em que dθ é o ângulo com vértice em P que subtende um arco de comprimento ds Fig 2213g Depois de executar essa substituição podemos integrar a Eq 2220 de θ 60o a θ 60o O resultado é o módulo do campo elétrico produzido pela barra no ponto P Figura 2213 a Uma barra de plástico de carga Q tem a forma de um arco de circunferência de raio r e ângulo central 120o o ponto P é o centro de curvatura da barra bc Um elemento de carga na parte superior da barra de comprimento ds e coordenada angular θ cria um campo elétrico d no ponto P d Um elemento ds simétrico a ds em relação ao eixo x cria um campo d no ponto P com o mesmo módulo ef As componentes do campo g O ângulo dθ subtende um arco de comprimento ds Se tivéssemos invertido os limites de integração obteríamos o mesmo resultado com sinal negativo Como a integração é usada apenas para obter o módulo de teríamos ignorado o sinal negativo Densidade de carga Para determinar o valor de λ observamos que a barra subtende um ângulo de 120o o que corresponde a um terço de circunferência O comprimento da barra é portanto 2π3 e a densidade linear de carga é Substituindo esse valor na Eq 2221 e simplificando obtemos O campo elétrico no ponto P aponta para a barra e é paralelo ao eixo de simetria da distribuição de carga Na notação dos vetores unitários o campo é dado por Táticas para a Solução de Problemas Vamos apresentar agora um método geral para calcular o campo elétrico produzido em um ponto P por uma linha retilínea ou circular com uma distribuição uniforme de carga O método consiste em escolher um elemento de carga dq calcular o campo d produzido por esse elemento e integrar d para toda a linha 1o passo Se a linha de carga for circular tome o comprimento do elemento de carga como ds o comprimento de um arco elementar Se a linha for retilínea suponha que coincide com o eixo x e tome o comprimento do elemento de carga como dx Assinale o elemento em um esboço da linha de carga 2o passo Relacione a carga dq ao comprimento do elemento utilizando a equação dq λ ds se a linha for circular ou a equação dq λ dx se a linha for retilínea Considere dq e λ positivos mesmo que a carga seja negativa O sinal da carga será levado em consideração no próximo passo 3o passo Determine o campo d produzido no ponto P pela carga dq usando a Eq 223 substituindo q na equação por λ ds ou λ dx Se a carga da linha for positiva desenhe o vetor d com a origem no ponto P e apontando para longe de dq se for negativo desenhe o vetor com a origem no ponto P e apontando na direção de dq 4o passo Preste atenção na simetria do problema Se P estiver em um eixo de simetria da distribuição de carga determine as componentes do campo d produzido no ponto P pela carga dq nas direções paralela e perpendicular ao eixo de simetria e considere um segundo elemento de carga dq situado simetricamente em relação a dq Determine o campo d produzido pelo elemento de carga dq e suas componentes Uma das componentes do campo produzido por dq é uma componente subtrativa essa componente é cancelada por uma componente produzida por dq e não precisa ser considerada A outra componente produzida por dq é uma componente aditiva ela se soma a uma componente produzida por dq Some por integração as componentes aditivas de todos os elementos de carga 5o passo Seguem quatro tipos gerais de distribuição uniforme de carga com sugestões para simplificar a integral do 4o passo Como Lidar com Linhas de Carga Anel com o ponto P no eixo central de simetria como na Fig 2211 Na expressão de dE substitua r2 por z2 R2 como na Eq 2212 Expresse a componente aditiva de d em termos de θ Isso introduz um fator cos θ mas θ é o mesmo para todos os elementos e portanto não constitui uma variável Substitua cos θ por seu valor como na Eq 2213 e integre em relação a s ao longo da circunferência do anel Arco de circunferência com o ponto P no centro de curvatura como na Fig 2213 Expresse a componente aditiva de d em termos de θ Isso introduz um fator sen θ ou cos θ Reduza as variáveis s e θ a uma única variável θ substituindo ds por r dθ Integre em relação a θ como no Exemplo 223 de uma extremidade do arco até a extremidade oposta Segmento de reta com o ponto P em um prolongamento da linha de carga como na Fig 2214a Na expressão de dE substitua r por x Integre em relação a x de uma extremidade do segmento de reta até a extremidade oposta Segmento de reta com o ponto P a uma distância perpendicular y da linha de carga como na Fig 2214b Na expressão de dE substitua r por uma função de x e y Se o ponto P estiver na mediatriz da linha de carga determine uma expressão para a componente aditiva de d Isso introduz um fator sen θ ou cos θ Reduza as variáveis x e θ a uma única variável x substituindo a função trigonométrica por uma expressão a definição da função envolvendo x e y Integre em relação a x de uma extremidade do segmento de reta até a extremidade oposta Se P não estiver em um eixo de simetria como na Fig 2214c escreva uma integral para somar as componentes de dEx e integre em relação a x para obter Ex Escreva também uma integral para somar as componentes de dEy e integre em relação a y para obter Ey Utilize as componentes Ex e Ey da forma usual para determinar o módulo E e a orientação de Figura 2214 a O ponto P está no prolongamento da linha de carga b O ponto P está na mediatriz da linha de carga a uma distância perpendicular y da linha de carga c O ponto P não está em um eixo de simetria 6o passo Uma ordem dos limites de integração leva a um resultado positivo a ordem inversa leva ao mesmo resultado com sinal negativo Ignore o sinal negativo Se o resultado for pedido em termos da carga total Q da distribuição substitua λ por QL em que L é o comprimento da distribuição Teste 2 A figura mostra três barras isolantes uma circular e duas retilíneas Todas possuem uma carga de módulo Q na parte superior e uma carga de módulo Q na parte inferior Qual é a orientação do campo elétrico total no ponto P para cada barra 225 O CAMPO ELÉTRICO PRODUZIDO POR UM DISCO CARREGADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2219 Desenhar um disco com uma distribuição uniforme de carga e indicar a orientação do campo elétrico em um ponto do eixo central se a carga for positiva e se a carga for negativa 2220 Explicar de que forma a equação para o campo elétrico no eixo central de um anel uniformemente carregado pode ser usado para obter uma equação para o campo elétrico no eixo central de um disco uniformemente carregado 2221 No caso de um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado conhecer a relação entre a densidade superficial de carga σ o raio R do disco e a distância z entre o ponto e o centro do disco IdeiaChave Em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado o módulo do campo elétrico é dado por em que s é a densidade superficial de carga z é a distância entre o ponto e o centro do disco e R é o raio do disco O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado Vamos agora passar de uma linha de carga para uma superfície de carga examinando o campo elétrico produzido por um disco de plástico circular de raio R e densidade superficial de carga σ carga por unidade de área veja a Tabela 221 na superfície superior O campo elétrico envolve todo o disco mas vamos restringir nossa discussão a um ponto P do eixo z uma reta que passa pelo centro do disco e é perpendicular ao plano do disco situado a uma distância z do centro do anel como indicado na Fig 22 15 Poderíamos adotar um método semelhante ao do módulo anterior com a diferença de que usaríamos uma integral dupla para levar em conta todas as cargas da superfície bidimensional do disco Entretanto podemos poupar muito trabalho aproveitando os resultados obtidos para um anel de carga Imagine uma seção do disco em forma de anel como mostra a Fig 2215 de raio r e largura radial dr O anel é tão fino que podemos tratar a carga do anel como um elemento de carga dq Para determinar o módulo do campo elétrico elementar dE criado pelo anel no ponto P escrevemos a Eq 2216 em termos da carga dq e do raio r do anel Figura 2215 Um disco de raio R com uma distribuição uniforme de carga positiva O anel mostrado na figura tem raio r largura radial dr e cria um campo elétrico d no ponto P situado no eixo central do disco O campo elétrico produzido pelo anel aponta no sentido positivo do eixo z Para calcular o campo total produzido pelo disco no ponto P vamos integrar a Eq 2222 do centro r 0 até a borda do disco r R o que corresponde a somar as contribuições de todos os campos elementares dE fazendo com que o anel elementar percorra toda a superfície do disco Para isso precisamos expressar a carga dq em termos da largura radial dr do anel elementar Usando a densidade superficial de carga podemos escrever Substituindo a Eq 2223 na Eq 2222 e simplificando obtemos a seguinte expressão em que colocamos todas as constantes incluindo z do lado de fora do sinal de integral Para resolver a integral basta colocála na forma Xm dX fazendo X z2 r2 m 32 e dX 2r dr Usando a relação a Eq 2224 se torna Tomando os limites da Eq 2225 e reagrupando os termos obtemos como o módulo do campo elétrico produzido por um disco circular carregado em pontos do eixo central Ao executar a integração supusemos que z 0 Fazendo R e mantendo z finito o segundo termo do fator entre parênteses da Eq 2226 tende a zero e a equação se reduz a que é o campo elétrico produzido por uma distribuição uniforme de carga na superfície de uma placa de dimensões infinitas feita de um material isolante como o plástico As linhas de campo elétrico para essa situação são mostradas na Fig 224 Podemos também obter a Eq 2227 fazendo z 0 na Eq 2226 e mantendo R finito Isso mostra que para pontos muito próximos do disco o campo elétrico produzido pelo disco é o mesmo que seria produzido por um disco de raio infinito 226 UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2222 No caso de uma partícula carregada submetida a um campo elétrico produzido por outros objetos carregados conhecer a relação entre o campo elétrico no ponto onde está a partícula a carga q da partícula e a força eletrostática que age sobre a partícula e saber qual será o sentido da força em relação ao sentido do campo se a carga for positiva e se a carga for negativa 2223 Explicar o método usado por Millikan para medir a carga elementar 2224 Explicar como funciona uma impressora eletrostática de jato de tinta IdeiasChave Na presença de um campo magnético externo uma partícula de carga q é submetida a uma força eletrostática dada por q Se a carga q é positiva a força tem o mesmo sentido que o campo elétrico se a carga é negativa a força tem o sentido oposto ao do campo elétrico o sinal negativo da equação inverte o sentido do vetor força em relação ao sentido do vetor campo elétrico Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico Nos últimos quatro módulos trabalhamos na primeira das duas tarefas a que nos propusemos dada uma distribuição de carga determinar o campo elétrico produzido nas vizinhanças Vamos agora começar a segunda tarefa determinar o que acontece com uma partícula carregada quando ela está na presença de um campo elétrico produzido por cargas estacionárias ou que estejam se movendo lentamente O que acontece é que a partícula é submetida a uma força eletrostática dada por em que q é a carga da partícula incluindo o sinal e é o campo elétrico produzido pelas outras cargas na posição da partícula O campo não inclui o campo produzido pela própria partícula para distinguir os dois campos o campo que age sobre a partícula na Eq 2228 é muitas vezes chamado de campo externo Uma partícula ou objeto carregado não é afetado por seu próprio campo elétrico De acordo com a Eq 2228 A força eletrostática que age sobre uma partícula carregada submetida a um campo elétrico tem o mesmo sentido que se a carga q da partícula for positiva e o sentido oposto se a carga q for negativa Medida da Carga Elementar A Eq 2228 desempenhou um papel importante na medida da carga elementar e realizada pelo físico americano Robert A Millikan em 19101913 A Fig 2216 é uma representação esquemática do equipamento usado por Millikan Quando gotículas de óleo são borrifadas na câmara A algumas adquirem uma carga elétrica positiva ou negativa Considere uma gota que atravessa um pequeno orifício da placa P1 e penetra na câmara C Suponha que a gota possui uma carga negativa q Enquanto a chave S da Fig 2216 está aberta a bateria B não afeta o que se passa na câmara C e a gota cai por efeito da gravidade Quando a chave é fechada ou seja quando o terminal positivo da bateria é ligado à placa C a bateria faz com que uma carga positiva se acumule na placa condutora P1 e uma carga negativa se acumule na placa condutora P2 As placas criam um campo elétrico na câmara C dirigido verticalmente para baixo De acordo com a Eq 2228 o campo exerce uma força eletrostática sobre as gotas carregadas que estão na câmara C afetando seu movimento Em particular uma gota negativamente carregada tende a se mover para cima Observando o movimento das gotas de óleo com a chave aberta e com a chave fechada e usando a diferença para calcular o valor da carga q de cada gota Millikan descobriu que os valores de q eram sempre dados por em que e é a constante que mais tarde foi chamada de carga elementar e tem o valor aproximado de 160 1019 C O experimento de Millikan constitui uma prova convincente de que a carga elétrica é quantizada o cientista recebeu o Prêmio Nobel de Física de 1923 em parte por esse trabalho Atualmente outros métodos mais precisos que o utilizado nos experimentos pioneiros de Millikan são usados para medir a carga elementar Figura 2216 Representação esquemática do equipamento usado por Millikan para medir a carga elementar e Quando uma gota de óleo eletricamente carregada penetra na câmara C por um orifício da placa P1 o movimento da gota pode ser controlado fechando e abrindo uma chave S e então criando e eliminando um campo elétrico na câmara C O microscópio foi usado para observar a gota e medir sua velocidade Figura 2217 Representação esquemática de uma impressora eletrostática de jato de tinta Gotas de tinta são produzidas no gerador G e recebem uma carga na unidade de carregamento C Um sinal elétrico proveniente de um computador controla a carga fornecida a cada gota e portanto o efeito de um campo constante sobre a gota e a posição em que a gota atinge o papel Impressoras Eletrostáticas de Jato de Tinta A necessidade de impressoras mais rápidas e de alta resolução levou os fabricantes a procurar alternativas para a impressão por impacto usada nas antigas máquinas de escrever Uma das soluções encontradas foi o emprego de campos elétricos para controlar o movimento de pequenas gotas de tinta Alguns modelos de impressoras de jato de tinta utilizam esse sistema A Fig 2217 mostra uma gota de tinta negativamente carregada que se move entre duas placas defletoras usadas para criar um campo elétrico uniforme dirigido para baixo De acordo com a Eq 22 28 a gota é desviada para cima e atinge o papel em uma posição que depende do módulo de e da carga q da gota Na prática o valor de E é mantido constante e a posição da gota é determinada pela carga q fornecida à gota por uma unidade de carregamento pela qual a gota passa antes de entrar no sistema de deflexão A unidade de carregamento por sua vez é controlada por sinais eletrônicos que definem o texto ou desenho a ser impresso Ruptura Dielétrica e Centelhamento Quando o módulo do campo elétrico no ar excede um valor crítico Ec o ar sofre uma ruptura dielétrica processo no qual o campo arranca elétrons de átomos do ar Com isso o ar se torna um condutor de corrente elétrica já que os elétrons arrancados são postos em movimento pelo campo Ao se moverem os elétrons colidem com outros átomos do ar fazendo com que emitam luz Podemos ver o caminho percorrido pelos elétrons graças à luz emitida que recebe o nome de centelha A Fig 2218 mostra as centelhas que aparecem na extremidade de condutores metálicos quando os campos elétricos produzidos pelos fios provocam a ruptura dielétrica do ar Adam HartDavisPhoto Researchers Inc Figura 2218 Centelhas aparecem na extremidade de condutores metálicos quando os campos elétricos produzidos pelos fios provocam a ruptura dielétrica do ar Teste 3 a Qual é na figura a orientação da força eletrostática que age sobre o elétron na presença do campo elétrico indicado b Em que direção o elétron é acelerado se estava se movendo paralelamente ao eixo y antes de ser aplicado o campo externo c Se o elétron estava se movendo para a direita antes de ser aplicado o campo externo a velocidade aumenta diminui ou permanece constante quando o campo é aplicado Exemplo 2204 Movimento de uma partícula carregada na presença de um campo elétrico A Fig 2219 mostra as placas defletoras de uma impressora eletrostática de jato de tinta com eixos de coordenadas superpostos Uma gota de tinta com massa m de 13 1010 kg e carga negativa de valor absoluto Q 15 1013 C penetra na região entre as placas movendose inicialmente na direção do eixo x com uma velocidade vx 18 ms O comprimento L de cada placa é 16 cm As placas estão carregadas e portanto produzem um campo elétrico em todos os pontos da região entre elas Suponha que esse campo esteja dirigido verticalmente para baixo seja uniforme e tenha um módulo de 14 106 NC Qual é a deflexão vertical da gota ao deixar a região entre as placas A força gravitacional é pequena em comparação com a força eletrostática e pode ser desprezada Figura 2219 Uma gota de tinta de massa m e carga Q é desviada por um campo elétrico em uma impressora eletrostática de jato de tinta IDEIACHAVE A gota está negativamente carregada e o campo elétrico está dirigido para baixo De acordo com a Eq 2228 a gota é submetida a uma força eletrostática constante de módulo QE que aponta para cima Assim ao mesmo tempo que se desloca paralelamente ao eixo x com velocidade constante vx a gota é acelerada para cima com uma aceleração constante ay Cálculos Aplicando a segunda lei de Newton F ma às componentes y da força e da aceleração temos Seja t o tempo necessário para que a gota passe pela região entre as placas Durante esse intervalo os deslocamentos vertical e horizontal da gota são respectivamente Eliminando t nas duas equações e substituindo ay por seu valor dado pela Eq 2230 obtemos 227 UM DIPOLO EM UM CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2225 Em um desenho de um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme indicar a orientação do campo a orientação do dipolo a orientação das forças eletrostáticas que o campo elétrico exerce sobre as cargas do dipolo e o sentido em que essas forças tendem a fazer o dipolo girar e verificar que a força total que o campo elétrico exerce sobre o dipolo é nula 2226 Calcular o torque que um campo elétrico externo exerce sobre um dipolo elétrico usando o produto vetorial do vetor momento dipolar pelo vetor campo elétrico 2227 No caso de um dipolo elétrico submetido a um campo magnético externo conhecer a relação entre a energia potencial do dipolo e o trabalho realizado pelo torque ao fazer girar o dipolo 2228 No caso de um dipolo elétrico submetido a um campo elétrico externo calcular a energia potencial usando o produto escalar do vetor momento dipolar pelo vetor campo elétrico 2229 No caso de um dipolo elétrico submetido a um campo elétrico externo conhecer os ângulos para os quais a energia potencial é mínima e máxima e os ângulos para os quais o módulo do torque é mínimo e máximo IdeiasChave O torque que um campo elétrico exerce sobre um momento dipolar elétrico é dado por um produto vetorial A energia potencial U associada à orientação do momento dipolar na presença do campo elétrico é dada por um produto escalar Se a orientação do dipolo varia o trabalho realizado pelo campo elétrico é dado por W ΔU Se a mudança de orientação se deve a um agente externo o trabalho realizado pelo agente externo é Wa W Um Dipolo em um Campo Elétrico Definimos o momento dipolar elétrico de um dipolo elétrico como um vetor que aponta da carga negativa para a carga positiva do dipolo Como vamos ver o comportamento de um dipolo na presença de um campo elétrico externo pode ser totalmente descrito em termos dos vetores e sem necessidade de levar em conta a estrutura detalhada do dipolo Uma molécula de água H2O se comporta como um dipolo elétrico e a Fig 2220 mostra a razão Na figura os pontos representam o núcleo de oxigênio com oito prótons e os dois núcleos de hidrogênio com um próton cada um As áreas coloridas representam as regiões em que os elétrons da molécula podem ser encontrados Figura 2220 Uma molécula de H2O mostrando os três núcleos representados por pontos e as regiões ocupadas pelos elétrons O momento dipolar elétrico aponta do lado do oxigênio negativo para o lado do hidrogênio positivo da molécula Na molécula de água os dois átomos de hidrogênio e o átomo de oxigênio não estão alinhados mas formam um ângulo de aproximadamente 105o como mostra a Fig 2220 Em consequência a molécula possui um lado do oxigênio e um lado do hidrogênio Além disso os 10 elétrons da molécula tendem a permanecer mais tempo nas proximidades do núcleo de oxigênio que nas proximidades dos núcleos de hidrogênio Isso torna o lado do oxigênio ligeiramente mais negativo que o lado do hidrogênio e dá origem a um momento dipolar elétrico alinhado com o eixo de simetria da molécula como mostra a figura Quando a molécula de água é submetida a um campo elétrico externo ela se comporta como o dipolo elétrico mais abstrato da Fig 229 Para investigar esse comportamento suponha que o dipolo é submetido a um campo elétrico externo uniforme como na Fig 2221a Suponha também que o dipolo é uma estrutura rígida formada por duas cargas de sinais opostos de valor absoluto q separadas por uma distância d O momento dipolar faz um ângulo θ com o campo As duas extremidades do dipolo estão sujeitas a forças eletrostáticas Como o campo elétrico é uniforme as forças têm sentidos opostos como mostrado na Fig 2221a e o mesmo módulo F qE Assim como o campo é uniforme a força total a que está submetido o dipolo é nula e o centro da massa do dipolo não se move Entretanto as forças que agem sobre as extremidades do dipolo produzem um torque em relação ao centro de massa O centro de massa está na reta que liga as cargas a uma distância x de uma das cargas e portanto a uma distância d x da outra De acordo com a Eq 1039 τ rF sen ϕ podemos escrever o módulo do torque total como Podemos também escrever o módulo de em termos dos módulos do campo elétrico E e do momento dipolar p qd Para isso substituímos F por qE e d por pq na Eq 2232 o que nos dá Podemos generalizar essa equação para a forma vetorial e escrever Os vetores e estão representados na Fig 2221b O torque aplicado ao dipolo tende a fazer girar o vetor e portanto o dipolo na direção do campo diminuindo o valor de θ Na situação mostrada na Fig 2221 a rotação é no sentido horário Como foi discutido no Capítulo 10 para indicar que um torque produz uma rotação no sentido horário acrescentamos um sinal negativo ao módulo do torque Usando essa convenção o torque da Fig 2221 é Figura 2221 a Um dipolo elétrico na presença de um campo elétrico externo uniforme Duas cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos estão separadas por uma distância d A reta que liga as cargas representa o fato de que a distância entre elas se mantém constante b O campo aplica um torque ao dipolo A direção de é para dentro do papel como está representado na figura pelo símbolo Energia Potencial de um Dipolo Elétrico Uma energia potencial pode ser associada à orientação de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico uniforme A energia potencial do dipolo é mínima quando o momento está alinhado com o campo nesse caso 0 A energia potencial é maior para todas as outras orientações Sob esse aspecto o dipolo é como um pêndulo para o qual a energia potencial é mínima em uma orientação específica aquela em que o peso se encontra no ponto mais baixo da trajetória Para fazer com que o dipolo ou o pêndulo assuma qualquer outra orientação é preciso usar um agente externo Em qualquer problema que envolva energia potencial temos liberdade para definir a situação em que a energia potencial é nula já que são apenas as diferenças de energia potencial que possuem realidade física No caso da energia potencial de um dipolo na presença de um campo elétrico as equações se tornam mais simples quando definimos que a energia potencial é nula quando o ângulo θ da Fig 2221 é 90o Nesse caso podemos calcular a energia potencial U do dipolo para qualquer outro valor de θ usando a Eq 81 ΔU W e calculando o trabalho W executado pelo campo sobre o dipolo quando o dipolo gira da posição de 90o para a posição θ Usando a Eq 1053 W τ dθ e a Eq 2235 é fácil mostrar que a energia potencial U para um ângulo θ qualquer é dada por Resolvendo a integral obtemos Podemos generalizar a Eq 2237 para a forma vetorial e escrever As Eqs 2237 e 2238 indicam que a energia potencial do dipolo é mínima U pE para θ 0 situação em que e estão alinhados e apontam no mesmo sentido A energia potencial é máxima U pE para θ 180o situação em que e estão alinhados e apontam em sentidos opostos Quando um dipolo gira de uma orientação θi para uma orientação θf o trabalho W realizado pelo campo elétrico sobre o dipolo é dado por em que Uf e Ui podem ser calculadas usando a Eq 2238 Se a mudança de orientação é causada por um torque aplicado normalmente considerado um agente externo o trabalho Wa realizado pelo torque sobre o dipolo é o negativo do trabalho realizado pelo campo sobre o dipolo ou seja Forno de MicroOndas O fato de que as moléculas de água são dipolos elétricos é essencial para o funcionamento de um forno de microondas Quando o forno é ligado uma fonte de microondas produz um campo elétrico alternado no interior do forno ao qual são submetidas as moléculas de água do alimento que colocamos no forno De acordo com a Eq 2234 o campo elétrico aplica um torque ao momento dipolar elétrico que tende a alinhar com Como o campo é alternado as moléculas de água mudam constantemente de orientação tentando alinharse com A energia do campo elétrico é transferida para a energia térmica da água e portanto do alimento nos locais em que três moléculas de água se uniram para formar um grupo A agitação produzida pelo campo elétrico separa essas moléculas Quando as moléculas tornam a se unir a energia da ligação é transferida para um movimento aleatório do grupo e em seguida para as moléculas vizinhas Em pouco tempo a energia térmica da água é suficiente para cozinhar o alimento Teste 4 A figura mostra quatro orientações de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico externo Coloque em ordem decrescente as orientações na ordem a do módulo do torque a que está submetido o dipolo e b da energia potencial do dipolo Exemplo 2205 Torque e energia de um dipolo elétrico em um campo elétrico Uma molécula de água H2O neutra no estado de vapor tem um momento dipolar elétrico cujo módulo é 62 1030 C m a Qual é a distância entre o centro das cargas positivas e o centro das cargas negativas da molécula IDEIACHAVE O momento dipolar de uma molécula depende do valor absoluto q da carga positiva ou negativa da molécula e da distância d entre as cargas Cálculos Como uma molécula neutra de água possui 10 elétrons e 10 prótons o módulo do momento dipolar é dado por p qd 10ed em que d é a distância que queremos determinar e e é a carga elementar Assim temos Essa distância é menor do que o raio do átomo de hidrogênio b Se a molécula é submetida a um campo elétrico de 15 104 NC qual é o máximo torque que o campo elétrico pode exercer sobre a molécula Um campo com essa intensidade pode facilmente ser produzido em laboratório IDEIACHAVE O torque exercido por um campo elétrico sobre um dipolo é máximo quando o ângulo θ entre e é 90o Cálculo Fazendo θ 90o na Eq 2233 obtemos c Que trabalho deve ser realizado por um agente externo para fazer a molécula girar de 180o na presença deste campo partindo da posição em que a energia potencial é mínima θ 0o IDEIACHAVE O trabalho realizado por um agente externo por meio de um torque aplicado à molécula é igual à variação da energia potencial da molécula devido à mudança de orientação Cálculo De acordo com a Eq 2240 temos Revisão e Resumo Campo Elétrico Uma forma de explicar a força eletrostática entre duas cargas é supor que uma carga produz um campo elétrico no espaço em volta A força eletrostática que age sobre uma das cargas é atribuída ao campo elétrico produzido pela outra carga na posição da primeira Definição de Campo Elétrico O campo elétrico em qualquer ponto do espaço é definido em termos da força eletrostática que seria exercida em uma carga de prova positiva q0 colocada nesse ponto Linhas de Campo Elétrico As linhas de campo elétrico são usadas para visualizar a orientação e a intensidade dos campos elétricos O vetor campo elétrico em qualquer ponto do espaço é tangente à linha de campo elétrico que passa por esse ponto A densidade de linhas de campo elétrico em uma região do espaço é proporcional ao módulo do campo elétrico nessa região As linhas de campo elétrico começam em cargas positivas e terminam em cargas negativas Campo Produzido por uma Carga Pontual O módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual q a uma distância r da carga é dado por O sentido de é para longe da carga pontual se a carga é positiva e para perto da carga se a carga é negativa Campo Produzido por um Dipolo Elétrico Um dipolo elétrico é formado por duas partículas com cargas de mesmo valor absoluto q e sinais opostos separadas por uma pequena distância d O momento dipolar elétrico de um dipolo tem módulo qd e aponta da carga negativa para a carga positiva O módulo do campo elétrico produzido por um dipolo em um ponto distante do eixo do dipolo reta que passa pelas duas cargas é dado por em que z é a distância entre o ponto e o centro do dipolo Campo Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga O campo elétrico produzido por uma distribuição contínua de carga pode ser calculado tratando elementos de carga como cargas pontuais e somando por integração os campos elétricos produzidos por todos os elementos de carga Campo Produzido por um Disco Carregado O módulo do campo elétrico em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado é dado por em que σ é a densidade superficial de carga z é a distância entre o ponto e o centro do disco e R é o raio do disco Força Exercida por um Campo Elétrico Sobre uma Carga Pontual Quando uma carga pontual q é submetida a um campo elétrico externo produzido por outras cargas a força eletrostática que age sobre a carga pontual é dada por A força tem o mesmo sentido que se a carga q for positiva e o sentido oposto se a carga for negativa Um Dipolo em um Campo Elétrico Quando um dipolo elétrico de momento dipolar é submetido a um campo elétrico o campo exerce sobre o dipolo um torque dado por A energia potencial U do dipolo depende da orientação do dipolo em relação ao campo A energia potencial é definida como nula U 0 quando for perpendicular a é mínima U pE quando e estão alinhados e apontam no mesmo sentido é máxima U pE quando e estão alinhados e apontam em sentidos opostos Perguntas 1 A Fig 2222 mostra três configurações de campo elétrico representadas por linhas de campo Nas três configurações um próton é liberado no ponto A a partir do repouso e acelerado pelo campo elétrico até o ponto B A distância entre A e B é a mesma nas três configurações Coloque em ordem decrescente as configurações de acordo com o módulo do momento linear do próton no ponto B Figura 2222 Pergunta 1 2 A Fig 2223 mostra dois conjuntos de partículas carregadas em forma de quadrado Os lados dos quadrados cujo centro é o ponto P não são paralelos A distância entre as partículas situadas no mesmo quadrado é d ou d2 Determine o módulo e a direção do campo elétrico total no ponto P Figura 2223 Pergunta 2 3 Na Fig 2224 duas partículas de carga q estão dispostas simetricamente em relação ao eixo y e produzem campos elétricos em um ponto P situado no mesmo eixo a Os módulos dos dois campos no ponto P são iguais b Os campos apontam na direção das cargas ou para longe das cargas c O módulo do campo elétrico total no ponto P é igual à soma dos módulos E dos campos elétricos produzidos pelas duas cargas ou seja é igual a 2E d As componentes x dos campos produzidos pelas duas cargas se somam ou se cancelam e As componentes y se somam ou se cancelam f A direção do campo total no ponto P é a das componentes que se somam ou a das componentes que se cancelam g Qual é a direção do campo total Figura 2224 Pergunta 3 4 A Fig 2225 mostra quatro sistemas nos quais quatro partículas carregadas estão uniformemente espaçadas à esquerda e à direita de um ponto central Os valores das cargas estão indicados Ordene os sistemas de acordo com o módulo do campo elétrico no ponto central em ordem decrescente Figura 2225 Pergunta 4 5 A Fig 2226 mostra duas partículas carregadas mantidas fixas em um eixo a Em que ponto do eixo além do infinito o campo elétrico é zero à esquerda das cargas entre as cargas ou à direita das cargas b Existe algum ponto fora do eixo além do infinito em que o campo elétrico seja zero Figura 2226 Pergunta 5 6 Na Fig 2227 dois anéis circulares iguais isolantes têm os centros na mesma reta perpendicular aos planos dos anéis Em três sistemas as cargas uniformes dos anéis A e B são respectivamente 1 q0 e q0 2 q0 e q0 3 q0 e q0 Ordene os sistemas de acordo com o módulo do campo elétrico total a no ponto P1 a meio caminho entre os anéis b no ponto P2 no centro do anel B c no ponto P3 à direita do anel B em ordem decrescente Figura 2227 Pergunta 6 7 As energias potenciais associadas a quatro orientações de um dipolo elétrico em relação a um campo elétrico são 1 5U0 2 7U0 3 3U0 4 5U0 em que U0 é uma constante positiva Coloque em ordem decrescente as orientações de acordo a com o ângulo entre o momento dipolar e o campo elétrico b com o módulo do torque exercido pelo campo sobre o dipolo 8 a No Teste 4 se o dipolo gira da orientação 1 para a orientação 2 o trabalho realizado pelo campo sobre o dipolo é positivo negativo ou nulo b Se o dipolo gira da orientação 1 para a orientação 4 o trabalho realizado pelo campo é maior menor ou igual ao trabalho do item a 9 A Fig 2228 mostra dois discos e um anel plano todos com a mesma carga uniforme Q Ordene os objetos de acordo com o módulo elétrico criado no ponto P situado à mesma distância vertical nos três casos em ordem decrescente Figura 2228 Pergunta 9 10 Na Fig 2229 um elétron e atravessa um pequeno orifício da placa A e se dirige para a placa B Um campo elétrico uniforme na região entre as placas desacelera o elétron sem mudar sua trajetória a Qual é a direção do campo b Quatro outras partículas também atravessam pequenos orifícios da placa A ou da placa B e se movem na região entre as placas Três possuem cargas q1 q2 e q3 A quarta n na figura é um nêutron que é eletricamente neutro A velocidade de cada uma das outras quatro partículas aumenta diminui ou permanece a mesma na região entre as placas Figura 2229 Pergunta 10 11 Na Fig 2230a uma barra de plástico circular com uma carga elétrica uniforme Q produz um campo elétrico de módulo E no centro de curvatura da barra situado na origem Nas Figs 2230b 22 30c e 2230d outras barras circulares todas com a mesma forma e a mesma carga que a primeira são acrescentadas até que a circunferência fique completa Um quinto arranjo que pode ser chamado de e é semelhante ao arranjo d exceto pelo fato de que a barra do quarto quadrante tem carga Q Coloque em ordem decrescente os cinco arranjos de acordo com o módulo do campo elétrico no centro de curvatura Figura 2230 Pergunta 11 12 Quando três dipolos elétricos iguais estão próximos cada um está sujeito ao campo elétrico produzido pelos outros dois e o sistema de três dipolos possui certa energia potencial A Fig 2231 mostra dois arranjos nos quais três dipolos elétricos estão lado a lado Os momentos dipolares elétricos dos três dipolos são iguais e a distância entre dipolos vizinhos é a mesma Em qual dos dois arranjos a energia potencial do arranjo de três dipolos é maior Figura 2231 Pergunta 12 13 A Fig 2232 mostra três barras todos com a mesma carga Q distribuída uniformemente As barras a de comprimento L e b de comprimento L2 são retas e os pontos P estão em uma reta perpendicular que passa pelo centro das barras A barra c de comprimento L2 tem forma de circunferência e o ponto P está no centro Coloque em ordem decrescente as barras de acordo com o módulo do campo elétrico nos pontos P Figura 2232 Pergunta 13 14 A Fig 2233 mostra cinco prótons que são lançados em uma região onde existe um campo elétrico uniforme o módulo e a orientação da velocidade dos prótons estão indicados Coloque em ordem decrescente os prótons de acordo com o módulo da aceleração produzida pelo campo elétrico Figura 2233 Pergunta 14 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 221 O Campo Elétrico 1 Faça um esboço das linhas de campo elétrico entre duas cascas esféricas condutoras concêntricas e do lado de fora da casca de maior raio supondo que há uma carga positiva uniforme q1 na casca de menor raio e uma carga negativa uniforme q2 na casca de maior raio Considere os casos q1 q2 q1 q2 e q1 q2 2 Na Fig 2234 as linhas de campo elétrico do lado esquerdo têm uma separação duas vezes maior que as linhas do lado direito a Se o módulo do campo elétrico no ponto A é 40 NC qual é o módulo da força a que é submetido um próton no ponto A b Qual é o módulo do campo elétrico no ponto B Figura 2234 Problema 2 Módulo 222 O Campo Elétrico Produzido por uma Partícula Carregada 3 O núcleo de um átomo de plutônio 239 contém 94 prótons Suponha que o núcleo é uma esfera com 664 fm de raio e que a carga dos prótons está distribuída uniformemente na esfera Determine a o módulo e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico produzido pelos prótons na superfície do núcleo 4 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga 200 107 C no ponto x 600 cm e a partícula 2 de carga 200 107 C no ponto x 210 cm Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas na notação dos vetores unitários 5 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual cujo campo elétrico a 50 cm de distância tem um módulo de 20 NC 6 Qual é o valor absoluto de uma carga pontual capaz de criar um campo elétrico de 100 NC em um ponto a 100 m de distância 7 Na Fig 2235 as quatro partículas formam um quadrado de lado a 500 cm e têm cargas q1 100 nC q2 200 nC q3 200 nC e q4 100 nC Qual é o campo elétrico no centro do quadrado na notação dos vetores unitários Figura 2235 Problema 7 8 Na Fig 2236 as quatro partículas são mantidas fixas e têm cargas q1 q2 5e q3 3e e q4 12e A distância d 50 μm Qual é o módulo do campo elétrico no ponto P 9 A Fig 2237 mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo x q 320 1019 C no ponto x 300 m e q 320 1019 C no ponto x 300 m Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P para o qual y 400 m Figura 2236 Problema 8 Figura 2237 Problema 9 10 A Fig 2238a mostra duas partículas carregadas mantidas fixas no eixo x a uma distância L uma da outra A razão q1q2 entre os valores absolutos das cargas das duas partículas é 400 A Fig 2238b mostra Etotx a componente x do campo elétrico total em função de x para a região à direita da partícula 2 A escala do eixo x é definida por xs 300 cm a Para qual valor de x 0 o valor de Etotx é máximo b Se a carga da partícula 2 é q2 3e qual é o valor do campo máximo Figura 2238 Problema 10 11 Duas partículas são mantidas fixas no eixo x a partícula 1 de carga q1 21 108 C no ponto x 20 cm e a partícula 2 de carga q2 400q1 no ponto x 70 cm Em que ponto do eixo x o campo elétrico total é nulo 12 A Fig 2239 mostra um arranjo irregular de elétrons e e prótons p em um arco de circunferência de raio r 200 cm com ângulos θ1 300o θ2 500o θ3 300o e θ4 200o Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no centro do arco Figura 2239 Problema 12 13 A Fig 2240 mostra um próton p no eixo central de um disco com uma densidade de carga uniforme devido a um excesso de elétrons O disco é mostrado de perfil Três dos elétrons aparecem na figura o elétron ec no centro do disco e os elétrons es em extremidades opostas do disco a uma distância R do centro O próton está inicialmente a uma distância z R 200 cm do disco Com o próton nessa posição determine o módulo a do campo elétrico c produzido pelo elétron ec e b do campo elétrico total stot produzido pelos elétrons es O próton é transferido para o ponto z R100 Determine os novos valores c do módulo de c e d do módulo de stot e Os resultados dos itens a e c mostram que o módulo de c aumenta quando o próton se aproxima do disco Por que nas mesmas condições o módulo de stot diminui como mostram os resultados dos itens b e d Figura 2240 Problema 13 14 Na Fig 2241 a partícula 1 de carga q1 500q e a partícula 2 de carga q2 200q são mantidas fixas no eixo x a Em que ponto do eixo em termos da distância L o campo elétrico total é nulo b Faça um esboço das linhas de campo elétrico Figura 2241 Problema 14 15 Na Fig 2242 as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas q1 q2 e e q3 2e A distância a 600 μm Determine a o módulo e b a direção do campo elétrico no ponto P Figura 2242 Problema 15 16 A Fig 2243 mostra um anel de plástico de raio R 500 cm Duas pequenas contas coloridas estão no anel a conta 1 de carga 200 μC que é mantida fixa na extremidade esquerda e a conta 2 de carga 600 μC que pode ser deslocada ao longo do anel As duas contas produzem juntas um campo elétrico de módulo E no centro do anel Determine a um valor positivo e b um valor negativo do ângulo θ para o qual E 200 105 NC Figura 2243 Problema 16 17 Duas contas carregadas estão no anel da Fig 2244a que possui um raio R 600 cm A conta 2 que não aparece na figura é mantida fixa A conta 1 está inicialmente no eixo x na posição θ 0o mas é deslocada para a extremidade oposta do anel ou seja para a posição θ 180o passando pelo primeiro e segundo quadrantes do sistema de coordenadas xy A Fig 2244b mostra a componente x do campo elétrico produzido na origem pelas duas contas em função de θ e a Fig 2244c mostra a componente y do campo As escalas dos eixos verticais são definidas por Exs 50 104 NC e Eys 90 104 NC a Qual é o ângulo θ da conta 2 Determine a carga b da conta 1 e c da conta 2 Figura 2244 Problema 17 Módulo 223 O Campo Elétrico Produzido por um Dipolo Elétrico 18 O campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos do eixo do dipolo é dado aproximadamente pelas Eqs 228 e 229 Se é feita uma expansão binomial da Eq 227 qual é o termo seguinte da expressão do campo elétrico do dipolo em pontos do eixo do dipolo Em outras palavras qual é o valor de E1 na expressão 19 A Fig 2245 mostra um dipolo elétrico Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido pelo dipolo em um ponto P situado a uma distância r d Figura 2245 Problema 19 20 As Eqs 228 e 229 fornecem o valor aproximado do módulo do campo elétrico de um dipolo elétrico em pontos do eixo do dipolo Considere um ponto P do eixo situado a uma distância z 500d do centro do dipolo em que d é a distância entre as partículas que formam o dipolo Seja Eapr o valor aproximado do módulo do campo no ponto P dado pelas Eqs 228 e 229 e seja Ever o valor verdadeiro do campo Determine a razão EaprEver 21 Quadrupolo elétrico A Fig 2246 mostra um quadrupolo elétrico formado por dois dipolos de mesmo módulo e sentidos opostos Mostre que o valor de E em um ponto P do eixo do quadrupolo situado a uma distância z do centro supondo z d é dado por Figura 2246 Problema 21 em que Q 2qd2 é chamado de momento quadrupolar da distribuição de carga Módulo 224 O Campo Elétrico Produzido por uma Linha de Carga 22 Densidade densidade densidade a Uma carga de 300e está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de 400 cm de raio que subtende um ângulo de 40o Qual é a densidade linear de carga do arco b Uma carga de 300e está distribuída uniformemente em uma das superfícies de um disco circular de 200 cm de raio Qual é a densidade superficial de carga da superfície c Uma carga de 300e está distribuída uniformemente na superfície de uma esfera de 200 cm de raio Qual é a densidade superficial de carga da superfície d Uma carga de 300e está distribuída uniformemente no volume de uma esfera de 200 cm de raio Qual é a densidade volumétrica de carga da esfera 23 A Fig 2247 mostra dois anéis isolantes paralelos com o centro na mesma reta perpendicular aos planos dos anéis O anel 1 de raio R possui uma carga uniforme q1 o anel 2 também de raio R possui uma carga uniforme q2 Os anéis estão separados por uma distância d 300R O campo elétrico no ponto P da reta que passa pelos centros dos anéis que está a uma distância R do anel 1 é zero Calcule a razão q1q2 Figura 2247 Problema 23 24 Uma barra fina isolante com uma distribuição uniforme de carga positiva Q tem a forma de uma circunferência de raio R Fig 2248 O eixo central do anel é o eixo z com a origem no centro do anel Determine o módulo do campo elétrico a no ponto z 0 e b no ponto z c Em termos de R para qual valor positivo de z o módulo do campo é máximo d Se R 200 cm e Q 400 μC qual é o valor máximo do campo Figura 2248 Problema 24 25 A Fig 2249 mostra três arcos de circunferência cujo centro está na origem de um sistema de coordenadas Em cada arco a carga uniformemente distribuída é dada em termos de Q 200 μC Os raios são dados em termos de R 100 cm Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico na origem Figura 2249 Problema 25 26 Na Fig 2250 uma barra fina de vidro forma uma semicircunferência de raio r 500 cm Uma carga q 450 pC está distribuída uniformemente na parte superior da barra e uma carga q 450 pC está distribuída uniformemente na parte inferior da barra Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P situado no centro do semicírculo Figura 2250 Problema 26 27 Na Fig 2251 duas barras curvas de plástico uma de carga q e outra de carga q formam uma circunferência de raio R 850 cm no plano xy O eixo x passa pelos dois pontos de ligação entre os arcos e a carga está distribuída uniformemente nos dois arcos Se q 150 pC determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto P situado no centro da circunferência Figura 2251 Problema 27 28 Um anel de raio R 240 cm contém uma distribuição uniforme de carga e o módulo do campo elétrico E resultante é medido ao longo do eixo central do anel perpendicular ao plano do anel A que distância do centro do anel o campo E é máximo 29 A Fig 2252a mostra uma barra isolante com uma carga Q distribuída uniformemente A barra forma uma semicircunferência de raio R e produz um campo elétrico de módulo E no centro de curvatura P Se a barra é substituída por uma carga pontual situada a uma distância R do ponto P Fig 2252b qual é a razão entre o novo valor de E e o antigo valor Figura 2252 Problema 29 30 A Fig 2253 mostra dois anéis concêntricos de raios R e R 300R que estão no mesmo plano O ponto P está no eixo central z a uma distância D 200R do centro dos anéis O anel menor possui uma carga uniformemente distribuída Q Em termos de Q qual deve ser a carga uniformemente distribuída no anel maior para que o campo elétrico no ponto P seja nulo Figura 2253 Problema 30 31 Na Fig 2254 uma barra isolante de comprimento L 815 cm tem uma carga q 423 fC uniformemente distribuída a Qual é a densidade linear de carga da barra Determine b o módulo e c a direção em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido no ponto P situado no eixo x a uma distância a 120 cm da extremidade da barra Determine o módulo do campo elétrico produzido em um ponto situado no eixo x a uma distância a 50 m do centro da barra d pela barra e e por uma partícula de carga q 423 fC colocada no lugar anteriormente ocupado pelo centro da barra Figura 2254 Problema 31 32 Na Fig 2255 uma carga positiva q 781 pC está distribuída uniformemente em uma barra fina isolante de comprimento L 145 cm Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico produzido no ponto P situado na mediatriz da barra a uma distância R 600 cm da barra Figura 2255 Problema 32 33 Na Fig 2256 uma barra isolante semiinfinita ou seja infinita apenas em um sentido possui uma densidade linear de carga uniforme λ Mostre que o campo elétrico p no ponto P faz um ângulo de 45o com a barra e que o resultado não depende da distância R Sugestão Calcule separadamente as componentes de p na direção paralela à barra e na direção perpendicular à barra Figura 2256 Problema 33 Módulo 225 O Campo Elétrico Produzido por um Disco Carregado 34 Um disco de 25 cm de raio possui uma densidade superficial de carga de 53 μCm2 na superfície superior Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelo disco em um ponto do eixo central situado a uma distância z 12 cm do centro do disco 35 A que distância ao longo do eixo de um disco de plástico uniformemente carregado com 0600 m de raio o módulo do campo elétrico é igual a metade do módulo do campo no centro do disco 36 Um disco circular de plástico de raio R 200 cm tem uma carga uniformemente distribuída Q 200 106e na superfície Qual é a carga em coulombs de um anel circular de 30 μm de largura e raio médio r 050 cm extraído do disco 37 Um engenheiro foi encarregado de projetar um dispositivo no qual um disco uniformemente carregado de raio R produz um campo elétrico O módulo do campo é mais importante em um ponto P do eixo do disco a uma distância 200R do plano do disco Fig 2257a Para economizar material decidiuse substituir o disco por um anel com o mesmo raio externo R e um raio interno R200 Fig 22 57b O anel tem a mesma densidade superficial de carga que o disco original Qual é a redução percentual do módulo do campo elétrico no ponto P Figura 2257 Problema 37 38 A Fig 2258a mostra um disco circular uniformemente carregado O eixo central z é perpendicular ao plano do disco e a origem está no centro do disco A Fig 2258b mostra o módulo do campo elétrico no eixo z em função do valor de z em termos do valor máximo Em do módulo do campo elétrico A escala do eixo z é definida por zs 80 cm Qual é o raio do disco Figura 2258 Problema 38 Módulo 226 Uma Carga Pontual em um Campo Elétrico 39 No experimento de Millikan uma gota de óleo com raio de 164 μm e massa específica de 0851 gcm3 permanece imóvel na câmara C veja a Fig 2216 quando um campo vertical de 192 105 NC é aplicado Determine a carga da gota em termos de e 40 Um elétron com uma velocidade de 500 108 cms entra em uma região em que existe um campo elétrico uniforme de 100 103 NC e se move paralelamente ao campo sendo desacelerado por ele Determine a a distância percorrida pelo elétron até inverter o movimento e b o tempo necessário para que o elétron inverta o movimento c Se a região em que existe o campo tem 800 mm de largura uma distância insuficiente para que o elétron inverta o movimento que fração da energia cinética inicial do elétron é perdida na região 41 Um grupo de nuvens carregadas produz um campo elétrico no ar perto da superfície da Terra Na presença desse campo uma partícula com uma carga de 20 109 C é submetida a uma força eletrostática para baixo de 30 106 N a Qual é o módulo do campo elétrico Determine b o módulo e c a orientação da força eletrostática el exercida pelo campo sobre um próton d Determine o módulo da força gravitacional g a que está sujeito o próton e Calcule a razão FelFg 42 O ar úmido se torna um bom condutor de eletricidade as moléculas se ionizam quando é submetido a um campo elétrico maior que 30 106 NC Determine para esse valor de campo elétrico o módulo da força eletrostática a que é submetido a um elétron e b um átomo monoionizado 43 Um elétron é liberado a partir do repouso em um campo elétrico uniforme de módulo 200 104 NC Determine a aceleração do elétron Ignore os efeitos da gravitação 44 Uma partícula alfa núcleo de um átomo de hélio tem uma massa de 664 1027 kg e uma carga de 2e Determine a o módulo e b a direção de um campo elétrico capaz de equilibrar o peso da partícula 45 Um elétron está no eixo de um dipolo elétrico a 25 nm de distância do centro do dipolo Qual é o módulo da força eletrostática a que está submetido o elétron se o momento do dipolo é 36 1029 C m Suponha que a distância entre as cargas do dipolo é muito menor que 25 nm 46 Um elétron adquire uma aceleração para leste de 180 109 ms2 ao ser submetido a um campo elétrico uniforme Determine a o módulo e b a orientação do campo elétrico 47 Feixes de prótons de alta energia podem ser produzidos por canhões que usam campos elétricos para acelerar os prótons a Qual é a aceleração experimentada por um próton em um campo elétrico de 200 104 NC b Qual é a velocidade adquirida pelo próton depois de percorrer uma distância de 100 cm na presença desse campo 48 Na Fig 2259 um elétron e é liberado a partir do repouso no eixo central de um disco uniformemente carregado de raio R A densidade superficial de carga do disco é 400 μCm2 Determine o módulo da aceleração inicial do elétron se for liberado a uma distância a R b R100 c R1000 do centro do disco d Por que o módulo da aceleração quase não varia quando o elétron está próximo do disco Figura 2259 Problema 48 49 Um bloco de 100 g com uma carga de 800 105 C é submetido a um campo elétrico 3000î 600ĵ NC Determine a o módulo e b a orientação em relação ao semieixo x positivo da força eletrostática que age sobre o bloco Se o bloco for liberado na origem a partir do repouso no instante t 0 determine c a coordenada x e d a coordenada y do bloco no instante t 300 s 50 Em determinado instante as componentes da velocidade de um elétron que se move entre duas placas paralelas carregadas são vx 15 105 ms e vy 30 103 ms O campo elétrico entre as placas é 120 NC ĵ Determine na notação dos vetores unitários a a aceleração do elétron e b a velocidade do elétron no instante em que sua coordenada x variou de 20 cm 51 Suponha que uma abelha possa ser aproximada por uma esfera de 1000 cm de diâmetro com uma carga de 450 pC distribuída uniformemente na superfície Suponha ainda que um grão de pólen com 400 μm de diâmetro seja mantido eletricamente na superfície da esfera porque a carga da abelha induz uma carga de 100 pC no lado mais próximo da esfera e uma carga de 100 pC no lado mais distante a Qual é o módulo da força eletrostática que a abelha exerce sobre o grão de pólen Suponha que a abelha transporte o grão de pólen até uma distância de 1000 mm da ponta do estigma de uma flor e que a ponta do estigma possa ser aproximada por uma partícula com uma carga de 45 pC b Qual é o módulo da força eletrostática que o estigma exerce sobre o grão c O grão permanece no corpo da abelha ou salta para o estigma 52 Um elétron penetra com uma velocidade inicial de 40 kms em uma região na qual existe um campo elétrico uniforme de módulo E 50 NC e se move na mesma direção e no mesmo sentido que o campo a Qual é a velocidade do elétron 15 ns depois de entrar na região b Qual é a distância que o elétron percorre nesse intervalo de 15 ns 53 Duas grandes placas de cobre mantidas a 50 cm de distância uma da outra são usadas para criar um campo elétrico uniforme como mostra a Fig 2260 Um elétron é liberado da placa negativa ao mesmo tempo que um próton é liberado da placa positiva Desprezando a interação entre as partículas determine a que distância da placa positiva as partículas passam uma pela outra Por que não é necessário conhecer o valor do campo elétrico para resolver o problema Figura 2260 Problema 53 54 Na Fig 2261 um elétron é lançado com uma velocidade inicial v0 200 106 ms e um ângulo θ0 400o com o eixo x em uma região na qual existe um campo elétrico uniforme 500 NCĵ Uma tela para detectar elétrons foi instalada paralelamente ao eixo y a uma distância x 300 m do ponto de lançamento do elétron Na notação dos vetores unitários qual é a velocidade do elétron ao atingir a tela Figura 2261 Problema 54 55 Um campo elétrico uniforme existe em uma região entre duas placas com cargas elétricas opostas Um elétron é liberado a partir do repouso da superfície da placa negativamente carregada e atinge a superfície da outra placa a 20 cm de distância em 15 108 s a Qual é a velocidade do elétron ao atingir a segunda placa b Qual é o módulo do campo elétrico Módulo 227 Um Dipolo em um Campo Elétrico 56 Um dipolo elétrico formado por cargas de 2e e 2e separadas por uma distância de 078 nm é submetido a um campo elétrico de 34 106 NC Calcule o módulo do torque exercido pelo campo elétrico sobre o dipolo se o momento do dipolo estiver a paralelo b perpendicular e c antiparalelo ao campo elétrico 57 Um dipolo elétrico formado por cargas de 150 nC e 150 nC separadas por uma distância de 620 μm é submetido a um campo elétrico de 1100 NC Determine a o módulo do momento dipolar elétrico e b a diferença entre as energias potenciais quando o dipolo está orientado paralelamente e antiparalelamente a 58 Um dipolo elétrico é submetido a um campo elétrico uniforme cujo módulo é 20 NC A Fig 22 62 mostra a energia potencial U do dipolo em função do ângulo θ entre e o momento do dipolo A escala do eixo vertical é definida por Us 100 1028 J Qual é o módulo de Figura 2262 Problema 58 59 Qual é o trabalho necessário para fazer girar de 180o um dipolo elétrico em um campo elétrico uniforme de módulo E 460 NC se p 302 1025 C m e o ângulo inicial é 64o 60 Um dipolo elétrico é submetido a um campo elétrico uniforme de módulo 40 NC A Fig 2263 mostra o módulo τ do torque exercido sobre o dipolo em função do ângulo θ entre o campo e o momento dipolar A escala do eixo vertical é definida por τs 100 1028 N m Qual é o módulo de Figura 2263 Problema 60 61 Escreva uma expressão para a frequência de oscilação de um dipolo elétrico de momento dipolar e momento de inércia I para pequenas amplitudes de oscilação em torno da posição de equilíbrio na presença de um campo elétrico uniforme de módulo E Problemas Adicionais 62 a Qual é o módulo da aceleração de um elétron submetido a um campo elétrico uniforme de 140 106 NC b Quanto tempo o elétron leva partindo do repouso para atingir um décimo da velocidade da luz c Que distância o elétron percorre nesse período de tempo 63 Uma gota dágua esférica com 120 μm de diâmetro está suspensa no ar devido a um campo elétrico atmosférico vertical cujo módulo é E 462 NC a Qual é o peso da gota b Quantos elétrons em excesso a gota possui 64 Três partículas com a mesma carga positiva Q formam um triângulo equilátero de lado d Qual é o módulo do campo elétrico produzido pelas partículas no ponto médio de um dos lados 65 Na Fig 2264a uma partícula de carga Q produz um campo elétrico de módulo Epart no ponto P a uma distância R da partícula Na Fig 2264b a mesma carga está distribuída uniformemente em um arco de circunferência de raio R que subtende um ângulo θ A carga do arco produz um campo elétrico de módulo Earco no centro de curvatura P Para qual valor de θ temos Earco 0500Epart Sugestão Use uma solução gráfica Figura 2264 Problema 65 66 Um próton e um elétron ocupam dois vértices de um triângulo equilátero de lado 20 106 m Qual é o módulo do campo elétrico no terceiro vértice do triângulo 67 Uma corda com uma densidade linear uniforme de carga de 90 nCm é estendida ao longo do eixo x de x 0 até x 30 m Determine o módulo do campo elétrico no ponto x 40 m do eixo x 68 Na Fig 2265 oito partículas estão no perímetro de um quadrado de lado d 20 cm As cargas das partículas são q1 3e q2 e q3 5e q4 2e q5 3e q6 e q7 5e e q8 e Na notação dos vetores unitários qual é o campo elétrico produzido pelas partículas no centro do quadrado Figura 2265 Problema 68 69 Duas partículas ambas com uma carga de valor absoluto 12 nC ocupam dois vértices de um triângulo equilátero com 20 m de lado Determine o módulo do campo elétrico no terceiro vértice a se as duas cargas forem positivas e b se uma das cargas for positiva e a outra for negativa 70 Em um de seus experimentos Millikan reparou que as cargas a seguir eram observadas na mesma gota em diferentes ocasiões 6563 1019 C 1313 1019 C 1971 1019 C 8204 1019 C 1648 1019 C 2289 1019 C 1150 1019 C 1808 1019 C 2613 1019 C Que valor da carga elementar e pode ser calculado a partir desses dados 71 Uma carga de 20 nC está uniformemente distribuída ao longo de uma barra retilínea de 40 m de comprimento que é encurvada para formar um arco de circunferência com 20 m de raio Qual é o módulo do campo elétrico no centro de curvatura do arco 72 O movimento de um elétron se limita ao eixo central do anel de raio R da Fig 2210 com z R Mostre que a força eletrostática a que o elétron é submetido faz com que a partícula oscile em torno do centro do anel com uma frequência angular dada por em que q é a carga do anel e m é a massa do elétron 73 O campo elétrico no plano xy produzido por uma partícula positivamente carregada é 7240î 30ĵ NC no ponto 30 30 cm e 100î NC no ponto 20 0 cm Determine a a coordenada x e b a coordenada y da partícula c Determine a carga da partícula 74 a Qual deve ser a carga total q em excesso do disco da Fig 2215 para que o campo elétrico no centro da superfície do disco seja 30 106 NC o valor de E para o qual o ar se torna um condutor e emite centelhas Tome o raio do disco como 25 cm b Suponha que os átomos da superfície têm uma seção reta efetiva de 0015 nm2 Quantos átomos são necessários para preencher a superfície do disco c A carga calculada em a é a soma das cargas dos átomos da superfície que possuem um elétron em excesso Qual deve ser a fração desses elétrons 75 Na Fig 2266 a partícula 1 de carga 100 μC a partícula 2 de carga 100 μC e a partícula 3 de carga Q formam um triângulo equilátero de lado a Para qual valor de Q sinal e valor o campo elétrico no centro do triângulo é nulo Figura 2266 Problemas 75 e 86 76 Na Fig 2267 um dipolo elétrico gira de uma orientação inicial i θi 200o para uma orientação final f θf 200o na presença de um campo elétrico externo uniforme O momento do dipolo é 160 1027 C m o módulo do campo é 300 106 NC Qual é a variação da energia potencial do dipolo Figura 2267 Problema 76 77 Uma partícula de carga q1 é mantida fixa na origem do eixo x a Em que ponto do eixo x deve ser colocada uma partícula de carga 4q1 para que o campo elétrico seja zero no ponto x 20 mm b Se uma partícula de carga 4q1 é colocada no ponto determinado no item a qual é a orientação em relação ao semieixo x positivo do campo elétrico no ponto x 200 mm 78 Duas partículas com a mesma carga positiva q são mantidas fixas no eixo y uma em y d e a outra em y d a Escreva uma expressão para o módulo E do campo elétrico em pontos do eixo x dados por x αd b Plote E em função de α no intervalo 0 α 4 Determine a partir do gráfico os valores de α para os quais c o valor de E é máximo e d o valor de E é metade do valor máximo 79 O mostrador de um relógio possui cargas negativas pontuais q 2q 3q 12q mantidas fixas nas posições dos números correspondentes Os ponteiros do relógio não afetam o campo produzido pelas cargas pontuais A que horas o ponteiro das horas aponta na mesma direção que o vetor campo elétrico no centro do mostrador Sugestão Leve em conta a simetria das cargas 80 Calcule o momento dipolar elétrico de um elétron e um próton separados por uma distância de 430 nm 81 Existe na atmosfera um campo elétrico dirigido verticalmente para baixo cujo módulo é da ordem de 150 NC Estamos interessados em fazer flutuar nesse campo uma esfera de enxofre com 44 N de peso carregandoa eletricamente a Qual deve ser a carga da esfera sinal e valor absoluto b Por que o experimento não pode ser realizado na prática 82 Uma barra circular tem um raio de curvatura R 900 cm uma carga uniformemente distribuída Q 625 pC e subtende um ângulo θ 240 rad Qual é o módulo do campo elétrico no centro de curvatura 83 Um dipolo elétrico de momento dipolar 300î 400ĵ124 1030 C m é submetido a um campo elétrico 4000 NCî a Qual é a energia potencial do dipolo elétrico b Qual é o torque que age sobre o dipolo c Se um agente externo faz girar o dipolo até que o momento dipolar seja 400î 300ĵ124 1030 C m qual é o trabalho realizado pelo agente externo 84 Na Fig 2268 um campo elétrico uniforme vertical de módulo 200 103 NC foi estabelecido entre duas placas horizontais carregando positivamente a placa de baixo e negativamente a placa de cima As placas têm comprimento L 100 cm e estão separadas por uma distância d 200 cm Um elétron é lançado no espaço entre as placas a partir da extremidade esquerda da placa de baixo A velocidade inicial 0 faz um ângulo θ 450o com a placa de baixo e tem um módulo de 600 106 ms a O elétron irá se chocar com uma das placas b Se a resposta for afirmativa com qual das placas o elétron irá se chocar e a que distância horizontal da extremidade esquerda das placas Figura 2268 Problema 84 85 Para os dados do Problema 70 suponha que a carga q da gota é dada por q ne em que n é um número inteiro e e é a carga elementar a Determine o valor de n para cada valor experimental de q b Faça uma regressão linear dos valores de q em função de n e use o resultado para determinar o valor de e 86 Na Fig 2266 a partícula 1 de carga 200 pC a partícula 2 de carga 200 pC e a partícula 3 de carga 500 pC formam um triângulo equilátero de lado a 950 cm a Determine a orientação em relação ao semieixo x positivo da força 3 a que a partícula 3 é submetida pelas outras partículas fazendo um esboço das linhas de força associadas às outras partículas b Calcule o módulo da força 3 87 Na Fig 2269 a partícula 1 de carga q1 100 pC e a partícula 2 de carga q2 200 pC são mantidas fixas separadas por uma distância d 500 cm Determine na notação dos vetores unitários o campo elétrico a no ponto A b no ponto B e c no ponto C d Faça um esboço das linhas de campo elétrico Figura 2269 Problema 87 CAPÍTULO 23 Lei de Gauss 231 FLUXO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2301 Saber que a lei de Gauss relaciona o campo elétrico em pontos de uma superfície fechada real ou imaginária chamada superfície gaussiana à carga total envolvida pela superfície 2302 Saber que o fluxo elétrico Φ através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície 2303 Saber que o vetor área de uma superfície plana é um vetor perpendicular à superfície cujo módulo é igual à área da superfície 2304 Saber que qualquer superfície pode ser dividida em elementos de área que são suficientemente pequenos e suficientemente planos para serem associados a um vetor elemento de área d perpendicular ao elemento cujo módulo é igual à área do elemento 2305 Calcular o fluxo Φ do campo elétrico através de uma superfície integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área d 2306 No caso de uma superfície fechada explicar os sinais algébricos associados a fluxos para dentro e para fora da superfície 2307 Calcular o fluxo total Φ através de uma superfície fechada integrando o produto escalar do vetor campo elétrico pelo vetor elemento de área d 2308 Determinar se uma superfície fechada pode ser dividida em partes como as faces de um cubo para simplificar a integração usada para calcular o fluxo através da superfície IdeiasChave O fluxo elétrico Φ através de uma superfície é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície O vetor área d de um elemento de área de uma superfície é um vetor perpendicular ao elemento cujo módulo é igual à área dA do elemento O fluxo elétrico Φ através de uma área cujo vetor elemento de área é d é dado pelo produto escalar O fluxo elétrico total através de uma superfície é dado por em que a integração é executada ao longo de toda a superfície O fluxo total através de uma superfície fechada que é usado na lei de Gauss é dado por em que a integração é executada ao longo de toda a superfície O que É Física No Capítulo 22 calculamos o campo elétrico em pontos próximos de objetos macroscópicos como barras A técnica que usamos era trabalhosa dividir a distribuição de carga em elementos de carga dq calcular os campos elétricos d produzidos pelos elementos determinar as componentes desses campos elétricos Em seguida verificar se alguns desses componentes se cancelavam Finalmente somar os componentes que não se cancelavam integrando os elementos ao longo de todo o objeto com várias mudanças de notação durante o percurso Um dos principais objetivos da física é descobrir formas simples de resolver problemas aparentemente complexos Um dos instrumentos usados pela física para conseguir esse objetivo é a simetria Neste capítulo discutimos uma bela relação entre carga e campo elétrico que nos permite em certas situações de alta simetria calcular o campo elétrico produzido por objetos macroscópicos usando poucas equações algébricas Essa relação é chamada de lei de Gauss e foi descoberta pelo matemático e físico Carl Friedrich Gauss 17771855 Vamos começar com alguns exemplos simples que dão uma ideia do espírito da lei de Gauss A Fig 231 mostra uma partícula de carga Q cercada por uma esfera imaginária cujo centro é a posição da partícula Em todos os pontos da esfera chamada de superfície gaussiana os vetores do campo elétrico têm o mesmo módulo dado por E kQr2 e apontam radialmente para longe da partícula porque a partícula é positiva As linhas de campo elétrico também apontam para longe da partícula e têm a mesma densidade já que como vimos no Capítulo 22 a densidade de linha de campo elétrico é proporcional ao módulo do campo elétrico Dizemos que os vetores do campo elétrico e as linhas de campo elétrico atravessam a superfície Figura 231 Os vetores do campo elétrico e as linhas de campo elétrico atravessam uma superfície gaussiana imaginária esférica que envolve uma partícula de carga Q Figura 232 Agora a carga da partícula envolvida pela superfície gaussiana é 2Q Figura 233 Qual é a carga central A Fig 232 é igual à Fig 231 exceto pelo fato de que a carga da partícula é 2Q Como a carga envolvida é duas vezes maior o módulo dos vetores do campo elétrico que atravessam a mesma superfície gaussiana é duas vezes maior que na Fig 231 e a densidade das linhas de campo elétrico também é duas vezes maior Foram observações como essa que levaram à lei de Gauss A lei de Gauss relaciona os campos elétricos nos pontos de uma superfície gaussiana fechada à carga total envolvida pela superfície Vamos examinar um terceiro exemplo mostrado na Fig 233 em que uma partícula está no centro da mesma superfície gaussiana esférica Quais são o sinal e o valor absoluto da carga Como os vetores do campo elétrico apontam para a partícula sabemos que a carga da partícula é negativa Além disso como o comprimento dos vetores é metade do comprimento dos vetores da Fig 231 concluímos que o valor absoluto da carga é 05Q Usar a lei de Gauss é como saber qual é o presente examinando o papel em que o presente está embrulhado Os problemas discutidos neste capítulo são de dois tipos Nos problemas do primeiro tipo conhecemos a carga e usamos a lei de Gauss para determinar o campo elétrico em um dado ponto nos do segundo tipo conhecemos o campo elétrico em uma superfície gaussiana e usamos a lei de Gauss para determinar a carga envolvida pela superfície Entretanto na maioria dos casos não podemos usar a lei de Gauss simplesmente observando o sentido e o comprimento dos vetores do campo elétrico em um desenho como acabamos de fazer precisamos de uma grandeza física que descreva a quantidade de campo elétrico que atravessa uma superfície Essa grandeza é chamada de fluxo elétrico Fluxo Elétrico Superfície Plana Campo Uniforme Começamos com uma superfície plana de área A em uma região onde existe um campo elétrico uniforme A Fig 234a mostra um dos vetores de campo elétrico atravessando um pequeno quadrado de área ΔA em que Δ significa pequeno Na verdade apenas a componente x de módulo Ex E cos θ na Fig 234b atravessa a superfície A componente y é paralela à superfície e não aparece na lei de Gauss A quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície é chamada de fluxo elétrico ΔΦ e é dada pelo produto do campo que atravessa a superfície pela área envolvida ΔΦ E cos θ ΔA Existe outro modo de escrever o lado direito da equação anterior para que apenas a componente de que atravessa a superfície seja considerada Definimos um vetor área que é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado Fig 234c Nesse caso podemos escrever Figura 234 a Um vetor de campo elétrico atravessa um pequeno quadrado de uma superfície plana b Apenas a componente x atravessa o quadrado a componente y é paralela ao quadrado c O vetor área do quadrado é perpendicular ao quadrado e tem um módulo igual à área do quadrado e o produto escalar nos fornece automaticamente a componente de que é paralela a e portanto atravessa o quadrado Para determinar o fluxo total Φ que atravessa a superfície da Fig 234 somamos o fluxo que atravessa todos os pequenos quadrados da superfície Entretanto como não queremos ter o trabalho de somar centenas ou mais de valores do fluxo transformamos a soma em uma integral reduzindo os pequenos quadrados de área ΔA em elementos de área dA Nesse caso o fluxo total passa a ser dado por Agora podemos calcular o fluxo total integrando o produto escalar para toda a superfície Produto Escalar Podemos calcular o produto escalar que aparece no integrando da Eq 232 escrevendo os dois vetores na notação dos vetores unitários Na Fig 234 por exemplo d dAî e poderia ser digamos 4î 4ĵ NC Também podemos calcular o produto escalar na notação módulo ângulo na qual o resultado seria E cos θ dA Se o campo elétrico é uniforme e a superfície é plana o produto E cos θ é constante e pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração A integral restante dA é apenas uma receita para somar todos os quadrados elementares para obter a área total mas já sabemos que a área total é A Assim o fluxo total nessa situação simples é Superfície Fechada Para relacionar o fluxo à carga usando a lei de Gauss precisamos de uma superfície fechada Vamos usar a superfície fechada da Fig 235 que está submetida a um campo elétrico não uniforme Não se preocupe As superfícies serão mais simples nos deveres de casa Como antes vamos começar pelo fluxo através de pequenos quadrados Agora porém estamos interessados não só em saber se as componentes do campo elétrico atravessam a superfície mas também se elas atravessam a superfície de dentro para fora como na Fig 231 ou de fora para dentro como na Fig 233 Sinal do Fluxo Para levar em conta o sentido com o qual o campo elétrico atravessa a superfície usamos como antes um vetor área mas agora escolhemos como positivo o sentido para fora da superfície fechada Assim se o vetor campo elétrico aponta para fora o campo elétrico e o vetor área apontam no mesmo sentido o ângulo entre os vetores é θ 0 e cos θ 1 Isso significa que o produto escalar é positivo e portanto o fluxo é positivo Se o vetor campo aponta para dentro o campo elétrico e o vetor área apontam em sentidos opostos o ângulo entre os vetores é θ 180o e cos θ 1 Nesse caso o produto escalar Δ é negativo e o fluxo é negativo Se o vetor campo elétrico é paralelo à superfície o campo elétrico é perpendicular ao vetor área o ângulo entre os vetores é θ 90o e cos θ 0 Nesse caso o produto escalar Δ é nulo e o fluxo é zero A Fig 235 mostra exemplos das três situações A conclusão é a seguinte Figura 235 Uma superfície gaussiana de forma arbitrária em uma região onde existe um campo elétrico A superfície está dividida em pequenos quadrados de área ΔA Os vetores campo elétrico e área Δ são mostrados para três quadrados representativos 1 2 e 3 Se o sentido do campo elétrico é para fora da superfície o fluxo é positivo se o sentido do campo elétrico é para dentro da superfície o fluxo é negativo se o campo elétrico é paralelo à superfície o fluxo é zero Fluxo Total Em princípio para determinar o fluxo total através da superfície da Fig 235 poderíamos calcular o fluxo através de pequenos quadrados e somar os resultados levando em conta os sinais algébricos Entretanto não há necessidade de executar esse trabalho exaustivo Em vez disso podemos reduzir o tamanho dos pequenos quadrados até se tornarem áreas elementares d e calcular o resultado por integração O círculo no sinal de integral indica que a integral deve se estender a toda a superfície fechada já que estamos calculando o fluxo total através da superfície o fluxo não precisa ser todo para fora ou todo para dentro da superfície na Fig 235 por exemplo existem partes da superfície em que o fluxo é para dentro e outras partes em que o fluxo é para fora Não se esqueça de que estamos interessados no fluxo total para podermos aplicar a lei de Gauss que relaciona o fluxo total à carga envolvida pela superfície A lei será nossa próxima atração Note que o fluxo é uma grandeza escalar é verdade que trabalhamos com vetores de campo elétrico mas o fluxo é a quantidade de campo elétrico que atravessa a superfície e não o campo em si A unidade de fluxo do SI é o newtonmetro quadrado por coulomb Nm2C Teste 1 A figura mostra um cubo gaussiano cujas faces têm área A imerso em um campo elétrico uniforme orientado no sentido positivo do eixo z Determine em termos de E e A o fluxo a através da face frontal do cubo a face situada no plano xy b através da face traseira c através da face superior e d através do cubo como um todo Exemplo 2301 Fluxo de um campo uniforme através de uma superfície cilíndrica A Fig 236 mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro oco de raio R cujo eixo é paralelo a um campo elétrico uniforme Qual é o fluxo Φ do campo elétrico através do cilindro IDEIASCHAVE De acordo com a Eq 234 podemos calcular o fluxo Φ integrando o produto escalar d para toda a superfície do cilindro Entretanto a superfície do cilindro não pode ser descrita por meio de uma única equação A forma de contornar esse problema é separar a superfície em partes que possam ser integradas com facilidade Cálculos Podemos realizar a integração escrevendo o fluxo como a soma de três integrais uma para a base esquerda do cilindro a outra para a superfície lateral do cilindro b e outra para a base direita do cilindro c Nesse caso de acordo com a Eq 234 Para todos os pontos da base a o ângulo θ entre e d é 180o e o módulo E do campo é o mesmo Assim em que A é igual à área da base A πr2 Analogamente na base c em que θ 0 para todos os pontos Finalmente para a superfície lateral b do cilindro em que θ 90o para todos os pontos Substituindo os três valores na Eq 235 obtemos Este resultado já era esperado como todas as linhas de campo que representam o campo elétrico atravessam a superfície gaussiana entrando pela base esquerda e saindo pela base direita o fluxo total deve ser nulo Figura 236 Uma superfície gaussiana cilíndrica fechada pelos planos das bases imersa em um campo elétrico uniforme O eixo do cilindro é paralelo à direção do campo Exemplo 2302 Fluxo de um campo elétrico não uniforme através de um cubo O cubo gaussiano que aparece na Fig 237a está submetido a um campo elétrico não uniforme dado por 30xî 40ĵ com E em newtons por coulomb e x em metros Qual é o fluxo elétrico na face direita na face esquerda e na face superior do cubo As outras faces serão consideradas no Exemplo 2304 IDEIACHAVE Podemos calcular o fluxo Φ através de uma superfície integrando o produto escalar d ao longo da superfície Face direita O vetor área é sempre perpendicular à superfície e aponta para fora Assim no caso da face direita do cubo o vetor d aponta no sentido positivo do eixo x Um elemento desse tipo é mostrado nas Figs 237b e 237c mas o vetor d tem a mesma direção para todos os elementos de área pertencentes a essa face Na notação dos vetores unitários De acordo com a Eq 234 o fluxo Φd através da face direita do cubo é dado por Figura 237 a Um cubo gaussiano com uma aresta no eixo x imerso em um campo elétrico não uniforme que depende do valor de x b A cada elemento de área podemos associar um vetor perpendicular ao elemento que aponta para fora do cubo c Face direita a componente x do campo atravessa a face e produz um fluxo positivo para fora do cubo A componente y não atravessa a face e não produz um fluxo d Face esquerda a componente x do campo produz um fluxo negativo para dentro do cubo e Face superior a componente y do campo produz um fluxo positivo para fora do cubo Deveríamos calcular essa integral para a face direita mas observamos que x tem o mesmo valor 30 m em todos os pontos da face e portanto podemos substituir x por esse valor Explicando melhor Embora x seja uma variável quando percorremos a face direita do cubo de cima para baixo e da esquerda para a direita como a face direita do cubo é perpendicular ao eixo x todos os pontos da face têm a mesma coordenada x As coordenadas y e z não estão envolvidas na integração Assim temos A integral dA nos dá simplesmente a área A 40 m2 da face direita assim Face esquerda O método para calcular o fluxo através da face esquerda é o mesmo que foi usado para a face direita Apenas duas coisas mudam 1 O vetor área elementar d agora aponta no sentido negativo do eixo x e portanto d dAî Fig 237d 2 O valor constante de x agora é 10 m Com essas duas mudanças verificamos que o fluxo Φe através da face esquerda é dado por Face superior Como o vetor área elementar d agora aponta no sentido positivo do eixo y d dAĵ Fig 237e O fluxo Φs através da face superior é portanto 232 LEI DE GAUSS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2309 Usar a lei de Gauss para relacionar o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga total qenv envolvida pela superfície 2310 Saber que o sinal algébrico da carga envolvida corresponde ao sentido para fora ou para dentro do fluxo através da superfície gaussiana 2311 Saber que a carga do lado de fora de uma superfície gaussiana não contribui para o fluxo total através da superfície fechada 2312 Calcular o módulo do campo elétrico produzido por uma partícula carregada usando a lei de Gauss 2313 Saber que no caso de uma partícula carregada ou uma esfera uniformemente carregada a lei de Gauss pode ser aplicada usando uma superfície gaussiana que é uma esfera concêntrica com a carga ou com a esfera carregada IdeiasChave A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ através de uma superfície fechada à carga total qenv envolvida pela superfície ε0Φ qenv lei de Gauss A lei de Gauss também pode ser escrita em termos do campo elétrico que atravessa a superfície gaussiana Lei de Gauss A lei de Gauss relaciona o fluxo total Φ de um campo elétrico através de uma superfície fechada superfície gaussiana à carga total qenv envolvida pela superfície Em notação matemática Usando a Eq 234 a definição de fluxo podemos escrever a lei de Gauss na forma As Eqs 236 e 237 são válidas somente se na região envolvida pela superfície gaussiana existe apenas vácuo ou ar que para efeitos práticos quase sempre pode ser considerado equivalente ao vácuo No Capítulo 25 uma versão modificada da lei de Gauss será usada para analisar situações em que a região contém materiais como mica óleo e vidro Nas Eqs 236 e 237 a carga total qenv é a soma algébrica das cargas positivas e negativas envolvidas pela superfície gaussiana e pode ser positiva negativa ou nula Incluímos o sinal em vez de usar o valor absoluto da carga envolvida porque o sinal nos diz alguma coisa a respeito do fluxo total através da superfície gaussiana Se qenv é positiva o fluxo é para fora se qenv é negativa o fluxo é para dentro A carga do lado de fora da superfície mesmo que seja muito grande ou esteja muito próxima não é incluída no termo qenv da lei de Gauss A localização das cargas no interior da superfície de Gauss é irrelevante as únicas coisas que importam para calcular o lado direito das Eqs 236 e 237 são o valor absoluto e o sinal da carga total envolvida A grandeza do lado esquerdo da Eq 237 por outro lado é o campo elétrico produzido por todas as cargas tanto as que estão do lado de dentro da superfície de Gauss como as que estão do lado de fora Isso pode parecer incoerente mas é preciso ter em mente o seguinte fato A contribuição do campo elétrico produzido por uma carga do lado de fora da superfície gaussiana para o fluxo através da superfície é sempre nula já que o número de linhas de campo que entram na superfície devido a essa carga é igual ao número de linhas que saem Vamos aplicar essas ideias à Fig 238 que mostra duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que descrevem os campos elétricos criados pelas cargas no espaço em torno das cargas A figura mostra também quatro superfícies gaussianas vistas de perfil Vamos discutilas uma a uma Figura 238 Duas cargas pontuais de mesmo valor absoluto e sinais opostos e as linhas de campo que representam o campo elétrico Quatro superfícies gaussianas são vistas de perfil A superfície S1 envolve a carga positiva A superfície S2 envolve a carga negativa A superfície S3 não envolve nenhuma carga A superfície S4 envolve as duas cargas Superfície S1 O campo elétrico aponta para fora em todos os pontos da superfície Isso significa que o fluxo do campo elétrico através da superfície é positivo e de acordo com a lei de Gauss a carga envolvida pela superfície também é positiva Em outras palavras se Φ é positivo na Eq 236 qenv deve ser positiva Superfície S2 O campo elétrico aponta para dentro em todos os pontos da superfície Isso significa que o fluxo do campo elétrico é negativo e de acordo com a lei de Gauss a carga envolvida também é negativa Superfície S3 De acordo com a lei de Gauss como a superfície não envolve nenhuma carga o fluxo do campo elétrico através da superfície é nulo Isso é razoável já que todas as linhas de campo que entram na superfície pela parte de cima saem pela parte de baixo Superfície S4 A carga total envolvida pela superfície é nula já que as cargas envolvidas pela superfície têm o mesmo valor absoluto e sinais opostos Assim de acordo com a lei de Gauss o fluxo do campo elétrico através dessa superfície deve ser zero Isso é razoável já que o número de linhas de campo que entram na superfície pela parte de baixo é igual ao número de linhas de campo que saem pela parte de cima O que aconteceria se colocássemos uma carga gigantesca Q nas proximidades da superfície S4 da Fig 23 8 A configuração de linhas de campo certamente seria modificada mas o fluxo total através das quatro superfícies gaussianas continuaria o mesmo Isso é uma consequência do fato de que todas as linhas de campo produzidas pela carga Q atravessariam totalmente as quatro superfícies gaussianas sem contribuir para o fluxo total O valor de Q não apareceria de nenhuma forma na lei de Gauss já que Q estaria do lado de fora das quatro superfícies gaussianas que estamos discutindo Teste 2 A figura mostra três situações nas quais um cubo gaussiano está imerso em um campo elétrico As setas e valores indicam a direção das linhas de campo e o módulo em N m2C do fluxo que atravessa as seis faces de cada cubo As setas mais claras estão associadas às faces ocultas Em que situação o cubo envolve a uma carga total positiva b uma carga total negativa e c uma carga total nula Lei de Gauss e Lei de Coulomb A lei de Gauss pode ser usada para determinar o campo elétrico produzido por uma partícula carregada Nesse caso o campo tem simetria esférica depende apenas da distância r entre o ponto considerado e a partícula Para tirar proveito dessa simetria envolvemos a partícula em uma esfera gaussiana com centro na partícula como mostra a Fig 239 para uma partícula com uma carga positiva q Como todos os pontos da superfície da esfera estão à mesma distância r da partícula o campo elétrico tem o mesmo valor E em todos os pontos da superfície da esfera o que facilita bastante o cálculo da integral Figura 239 Uma superfície gaussiana esférica com centro em uma partícula de carga q O método a ser usado é o mesmo visto anteriormente Escolhemos um elemento de área na superfície da esfera e desenhamos um vetor área d perpendicular ao elemento apontando para fora da esfera A simetria da situação mostra que o campo elétrico também é perpendicular à superfície da esfera e aponta para fora da esfera o que significa que o ângulo entre e d é θ 0 Assim a lei de Gauss nos dá em que qenv q Como o módulo E do campo elétrico é igual em todos os elementos de área ele pode ser colocado do lado de fora do sinal de integração o que nos permite escrever A integral restante é apenas uma receita para somar todas as áreas elementares mas já sabemos que a área total é 4πr2 Substituindo a integral pelo seu valor na Eq 239 obtemos A Eq 2310 é exatamente igual à Eq 223 que obtivemos usando a lei de Coulomb Teste 3 Um fluxo Φi atravessa uma esfera gaussiana de raio r que envolve uma única partícula carregada Suponha que a esfera gaussiana seja substituída a por uma esfera gaussiana maior b por um cubo gaussiano de lado r e c por um cubo gaussiano de lado 2r Em cada caso o fluxo total através da nova superfície gaussiana é maior menor ou igual a Φi Exemplo 2303 Uso da lei de Gauss para determinar um campo elétrico A Fig 2310a mostra em seção reta uma casca esférica de plástico de raio R 10 cm e espessura desprezível com carga Q 16e distribuída uniformemente No centro da casca está uma partícula de carga q 5e Qual é o campo elétrico módulo e orientação a em um ponto P1 situado a uma distância r1 6 cm do centro da casca e b em um ponto P2 situado a uma distância r2 120 cm do centro da casca IDEIASCHAVE 1 Como o sistema mostrado na Fig 2310a tem simetria esférica é conveniente usar uma superfície gaussiana concêntrica com a casca para determinar o campo elétrico 2 Para calcular o campo elétrico em um ponto devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse ponto para que o campo em que estamos interessados seja o mesmo campo que aparece no produto escalar da lei de Gauss 3 A lei de Gauss relaciona o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada à carga envolvida pela superfície As cargas externas são ignoradas Cálculos Para determinar o campo no ponto P1 construímos uma esfera gaussiana com P1 na superfície ou seja uma esfera gaussiana de raio r1 Como a carga envolvida pela esfera gaussiana é positiva o fluxo elétrico através da superfície é positivo e portanto aponta para fora da esfera Assim o campo atravessa a superfície de dentro para fora Além disso devido à simetria esférica é perpendicular à superfície como mostra a Fig 2310b A casca de plástico não aparece na figura porque está do lado de fora da superfície gaussiana e portanto sua carga não é envolvida pela superfície Figura 2310 a Uma casca de plástico carregada com uma partícula carregada no centro b Para determinar o campo elétrico no ponto P1 construímos uma esfera gaussiana passando pelo ponto O campo elétrico atravessa a superfície da esfera de dentro para fora O vetor área no mesmo ponto aponta para fora c Para determinar o campo elétrico no ponto P2 construímos uma esfera gaussiana passando pelo ponto O campo elétrico atravessa a superfície de fora para dentro enquanto o vetor área no mesmo ponto aponta para fora Considere um elemento de área da esfera na posição do ponto P1 O vetor elemento de área d aponta para fora os elementos de área sempre apontam para fora da superfície gaussiana e é perpendicular à superfície da esfera Assim o ângulo θ entre e d é zero O lado esquerdo da Eq 237 lei de Gauss se torna então em que na última passagem passamos o módulo E do campo elétrico para fora da integral porque tem o mesmo valor em todos os pontos da esfera gaussiana A integral restante é simplesmente uma receita para calcular a área total de todos os elementos de área da superfície esférica mas já sabemos que a área da superfície da esfera é 4πr2 Substituindo esses resultados a Eq 237 nos dá ε0E4πr2 qenv A única carga envolvida pela superfície gaussiana que passa por P1 é a carga da partícula Explicitando E e fazendo qenv 5e e r r1 600 102 m descobrimos que o módulo do campo elétrico no ponto P1 é Para determinar o campo elétrico no ponto P2 construímos uma esfera gaussiana com P2 na superfície Dessa vez a carga total envolvida pela esfera gaussiana é qenv q Q 5e 16e 11e Como a carga total é negativa os vetores campo elétrico atravessam a superfície gaussiana de fora para dentro como mostra a Fig 2310c Assim o ângulo θ entre e d é 180o e o produto escalar dos dois vetores é E dA cos 180o E dA Explicitando E na lei de Gauss e fazendo qenv 11e e r r2 1200 102 m obtemos Note que se tivéssemos usado um cubo gaussiano em vez de respeitar a simetria esférica do problema usando uma esfera gaussiana o módulo e o ângulo do campo elétrico seriam diferentes em cada ponto da superfície do cubo e o cálculo da integral se tornaria extremamente difícil Exemplo 2304 Uso da lei de Gauss para determinar uma carga elétrica Qual é a carga elétrica envolvida pelo cubo gaussiano do Exemplo 2302 IDEIACHAVE A carga envolvida por uma superfície fechada real ou imaginária está relacionada ao fluxo elétrico total que atravessa a superfície pela lei de Gauss dada pela Eq 236 ε0Φ qenv Fluxo Para usar a Eq 236 precisamos conhecer o fluxo que atravessa as seis faces do cubo Já conhecemos o fluxo que atravessa a face direita Φd 36 N m2C o fluxo que atravessa a face esquerda Φe 12 N m2C e o fluxo que atravessa a face de cima Φc 16 N m2C O cálculo do fluxo que atravessa a face de baixo é igual ao cálculo do fluxo que atravessa a face de cima exceto pelo fato de que agora o vetor área d aponta para baixo no sentido negativo do eixo y lembrese de que o vetor área sempre aponta para fora da superfície de Gauss Nesse caso d dAĵ e Φb 16 N m2C No caso da face dianteira d dA e no caso da fase traseira d dA Quando calculamos o produto escalar do campo elétrico 30xî 40ĵ por esses vetores área o resultado é zero e portanto o fluxo elétrico através das duas faces é nulo O fluxo total através das seis faces é portanto Φ 36 12 16 16 0 0 N m2C 24 N m2C Carga envolvida Finalmente usamos a lei de Gauss para calcular a carga qenv envolvida pelo cubo Assim o cubo envolve uma carga total positiva 233 UM CONDUTOR CARREGADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2314 Usar a relação entre a densidade superficial de carga σ e a área da superfície para calcular a carga de um condutor 2315 Saber que se uma carga em excesso positiva ou negativa for introduzida em um condutor isolado a carga se acumulará na superfície o interior do condutor permanecerá neutro 2316 Conhecer o valor do campo elétrico no interior de um condutor isolado 2317 No caso de um condutor com uma cavidade que contém um objeto carregado determinar a carga na superfície da cavidade e na superfície externa do condutor 2318 Explicar de que forma a lei de Gauss é usada para determinar o módulo E do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor com uma densidade superficial de carga uniforme σ 2319 No caso de uma superfície uniformemente carregada de um condutor conhecer a relação entre a densidade superficial de carga σ e o módulo E do campo elétrico nas vizinhanças do condutor e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico IdeiasChave Todas as cargas em excesso de um condutor isolado se concentram na superfície externa do condutor O campo no interior do um condutor carregado é zero e o campo elétrico nas proximidades do condutor é perpendicular à superfície e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga Um Condutor Carregado A lei de Gauss permite demonstrar um teorema importante a respeito dos condutores Se uma carga em excesso é introduzida em um condutor a carga se concentra na superfície do condutor o interior do condutor permanece neutro Esse comportamento dos condutores é razoável já que cargas do mesmo sinal se repelem A ideia é que ao se acumularem na superfície as cargas em excesso se mantêm afastadas o máximo possível umas das outras Podemos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa afirmação A Fig 2311a mostra uma vista em corte de um pedaço de cobre pendurado por um fio isolante com uma carga em excesso q Colocamos uma superfície gaussiana logo abaixo da superfície do condutor Figura 2311 a Um pedaço de cobre com uma carga q pendurado por um fio isolante Uma superfície gaussiana é colocada logo abaixo da superfície do condutor b O pedaço de cobre agora possui uma cavidade Uma superfície gaussiana é colocada no interior do condutor perto da superfície da cavidade O campo elétrico no interior do condutor deve ser nulo se não fosse assim o campo exerceria uma força sobre os elétrons de condução elétrons livres que estão sempre presentes em um condutor e isso produziria uma corrente elétrica Em outras palavras haveria um movimento de cargas no interior do condutor Como não pode haver uma corrente perpétua em um condutor que não faz parte de um circuito elétrico o campo elétrico deve ser nulo Um campo elétrico interno existe durante certo tempo enquanto o condutor está sendo carregado Entretanto a carga adicional logo se distribui de tal forma que o campo elétrico interno se anula e as cargas param de se mover Quando isso acontece dizemos que as cargas estão em equilíbrio eletrostático Se é zero em todos os pontos do interior do pedaço de cobre deve ser zero em todos os pontos da superfície gaussiana já que a superfície escolhida embora esteja próxima da superfície fica no interior do pedaço de cobre Isso significa que o fluxo que atravessa a superfície gaussiana também é zero De acordo com a lei de Gauss portanto a carga total envolvida pela superfície de Gauss deve ser nula Como o excesso de carga não está no interior da superfície de Gauss só pode estar na superfície do condutor Um Condutor Carregado com uma Cavidade Interna A Fig 2311b mostra o mesmo condutor agora com uma cavidade interna É talvez razoável supor que ao removermos o material eletricamente neutro para formar a cavidade não mudamos a distribuição de carga nem a configuração dos campos elétricos que continuam sendo as mesmas da Fig 2311a Vamos usar a lei de Gauss para demonstrar matematicamente essa conjectura Colocamos uma superfície gaussiana envolvendo a cavidade próximo da superfície no interior do condutor Como 0 no interior do condutor o fluxo através dessa superfície também é nulo Assim a superfície não pode envolver nenhuma carga A conclusão é que não existe carga em excesso na superfície da cavidade toda a carga em excesso permanece na superfície externa do condutor como na Fig 2311a Remoção do Condutor Suponha que por um passe de mágica fosse possível congelar as cargas em excesso na superfície do condutor talvez revestindoas com uma fina camada de plástico e que o condutor pudesse ser removido totalmente Isso seria equivalente a aumentar a cavidade da Fig 2311b até que ocupasse todo o condutor O campo elétrico não sofreria nenhuma alteração continuaria a ser nulo no interior da fina camada de carga e permaneceria o mesmo em todos os pontos do exterior Isso mostra que o campo elétrico é criado pelas cargas e não pelo condutor este constitui apenas um veículo para que as cargas assumam suas posições de equilíbrio O Campo Elétrico Externo Vimos que as cargas em excesso de um condutor isolado se concentram na superfície do condutor A menos que o condutor seja esférico porém essas cargas não se distribuem de modo uniforme Em outras palavras no caso de condutores não esféricos a densidade superficial de carga σ carga por unidade de área varia ao longo da superfície Em geral essa variação torna muito difícil determinar o campo elétrico criado por cargas superficiais a não ser nas proximidades da superfície pois nesse caso o campo elétrico pode ser determinado com facilidade usando a lei de Gauss Para isso consideramos uma região da superfície suficientemente pequena para que possamos desprezar a curvatura e usamos um plano para representar a região Em seguida imaginamos um pequeno cilindro gaussiano engastado na superfície como na Fig 2312 Uma das bases está do lado de dentro do condutor a outra base está do lado de fora e o eixo do cilindro é perpendicular à superfície do condutor Figura 2312 a Vista em perspectiva e b vista lateral de uma pequena parte de um condutor de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica engastada perpendicularmente no condutor envolve parte das cargas Linhas de campo elétrico atravessam a base do cilindro que está do lado de fora do condutor mas não a base que está do lado de dentro A base que está do lado de fora tem área A e o vetor área é O campo elétrico na superfície e logo acima da superfície também é perpendicular à superfície Se não fosse ele teria uma componente paralela à superfície do condutor que exerceria forças sobre as cargas superficiais fazendo com que elas se movessem Esse movimento porém violaria nossa suposição implícita de que estamos lidando com um corpo em equilíbrio eletrostático Assim é perpendicular à superfície do condutor Vamos agora calcular o fluxo através da superfície gaussiana Não há fluxo através da base que se encontra dentro do condutor já que nessa região o campo elétrico é nulo Também não há fluxo através da superfície lateral do cilindro pois do lado de dentro do condutor o campo é nulo e do lado de fora o campo elétrico é paralelo à superfície lateral do cilindro Assim o único fluxo que atravessa a superfície gaussiana é o que atravessa a base que se encontra fora do condutor em que é perpendicular ao plano da base Supomos que a área da base A é suficientemente pequena para que o módulo E do campo seja constante em toda a base Nesse caso o fluxo através da base do cilindro é EA e esse é o fluxo total Φ que atravessa a superfície gaussiana A carga qenv envolvida pela superfície gaussiana está na superfície do condutor e ocupa uma área A Se σ é a carga por unidade de área qenv é igual a σA Quando substituímos qenv por σA e Φ por EA a lei de Gauss Eq 236 se torna ε0EA σA e portanto Assim o módulo do campo elétrico logo acima da superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga do condutor Se a carga do condutor é positiva o campo elétrico aponta para fora do condutor como na Fig 2312 se é negativa o campo elétrico aponta para dentro do condutor As linhas de campo da Fig 2312 devem terminar em cargas negativas externas ao condutor Quando aproximamos essas cargas do condutor a densidade de carga local na superfície do condutor é modificada o que também acontece com o módulo do campo elétrico mas a relação entre σ e E continua a ser dada pela Eq 2311 Exemplo 2305 Casca metálica esférica campo elétrico e carga A Fig 2313a mostra uma seção reta de uma casca metálica esférica de raio interno R Uma partícula com uma carga de 50 μC está situada com o centro a uma distância R2 do centro da casca Se a casca é eletricamente neutra quais são as cargas induzidas na superfície interna e na superfície externa Essas cargas estão distribuídas uniformemente Qual é a configuração do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora da casca IDEIASCHAVE A Fig 2313b mostra uma seção reta de uma superfície gaussiana esférica no interior do metal perto da superfície interna da casca O campo elétrico é zero no interior do metal e portanto na superfície gaussiana que está no interior do metal Isso significa que o fluxo elétrico através da superfície gaussiana também é zero De acordo com a lei de Gauss portanto a carga total envolvida pela superfície gaussiana é zero Raciocínio Como existe uma carga de 50 μC no interior da casca deve haver uma carga de 50 μC na superfície interna da casca para que a carga envolvida seja zero Se a partícula estivesse no centro de curvatura da casca as cargas positivas estariam distribuídas uniformemente ao longo da superfície interna da casca Como porém a partícula está fora do centro a distribuição de carga positiva é assimétrica como mostra a Fig 2313b as cargas positivas tendem a se concentrar na parte da superfície interna que está mais próxima da partícula já que a carga da partícula é negativa Como a casca é eletricamente neutra para que a superfície interna tenha uma carga de 50 μC é preciso que elétrons com uma carga total de 50 μC sejam transferidos da superfície interna para a superfície externa onde se distribuem uniformemente como mostra a Fig 2313b A distribuição de carga negativa é uniforme porque a casca é esférica e porque a distribuição assimétrica de carga positiva na superfície interna não pode produzir um campo elétrico no interior do metal para afetar a distribuição de carga na superfície externa Figura 2313 a Uma partícula com carga negativa está situada no interior de uma casca metálica esférica eletricamente neutra b Em consequência cargas positivas se distribuem de modo assimétrico na superfície interna da casca e uma quantidade igual de carga negativa se distribui uniformemente na superfície externa A Fig 2313b mostra também as linhas de campo do lado de dentro e do lado de fora da casca Todas as linhas de campo interceptam perpendicularmente as superfícies da casca e a superfície da partícula Do lado de dentro da casca a configuração de linhas de campo é assimétrica por causa da assimetria da distribuição de carga positiva Do lado de fora o padrão é o mesmo que se a carga pontual estivesse no centro de curvatura e a casca não existisse Na verdade a configuração seria a mesma para qualquer posição da carga pontual no interior da casca 234 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA CILÍNDRICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2320 Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo do campo elétrico do lado de fora de uma linha de carga ou do lado de fora da superfície de um cilindro de material isolante uma barra de plástico por exemplo com uma densidade linear de carga uniforme λ 2321 Conhecer a relação entre a densidade linear de carga λ em uma superfície cilíndrica e o módulo E do campo elétrico a uma distância r do eixo central da superfície cilíndrica 2322 Explicar como a lei de Gauss pode ser usada para calcular o módulo E do campo elétrico no interior de um cilindro isolante uma barra de plástico por exemplo com uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ IdeiaChave O campo elétrico em um ponto nas proximidades de uma linha de carga ou barra cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear de carga uniforme λ é perpendicular à linha e o módulo do campo é dado por em que r é a distância entre o ponto e a linha Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica A Fig 2314 mostra uma parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva λ Vamos obter uma expressão para o módulo do campo elétrico a uma distância r do eixo da barra Poderíamos fazer isso usando o método do Capítulo 22 usar uma carga elementar dq que produziria um campo elementar d etc Entretanto a lei de Gauss permite resolver o problema de uma forma muito mais simples e mais elegante Figura 2314 Uma superfície gaussiana cilíndrica envolvendo parte de uma barra de plástico cilíndrica de comprimento infinito com uma densidade linear uniforme de carga positiva A distribuição de carga e a configuração do campo elétrico têm simetria cilíndrica Para calcular o campo a uma distância r envolvemos um trecho da barra com um cilindro gaussiano concêntrico de raio r e altura h Para determinar o campo elétrico em um ponto devemos fazer a superfície gaussiana passar por esse ponto Em seguida usamos a lei de Gauss para relacionar a carga envolvida pelo cilindro ao fluxo total do campo elétrico através da superfície do cilindro Para começar observe que por causa da simetria o campo elétrico em qualquer ponto do espaço aponta radialmente para longe da barra porque a carga da barra é positiva se a carga fosse negativa o campo elétrico apontaria radialmente para o eixo da barra Isso significa que nas bases do cilindro o campo elétrico é paralelo à superfície e portanto o fluxo através das bases do cilindro é zero Para calcular o fluxo através da superfície lateral do cilindro note que em todos os elementos de área da superfície lateral o vetor área d aponta radialmente para longe do cilindro para fora da superfície gaussiana ou seja na mesma direção e no mesmo sentido que o campo elétrico Assim o produto escalar que aparece na lei de Gauss é simplesmente E dA cos 0o E dA e podemos passar E para fora da integral A integral restante é simplesmente uma receita para somar as áreas de todos os elementos de área da superfície lateral do cilindro mas já sabemos que o resultado é o produto da altura h do cilindro pela circunferência da base 2πr O fluxo total através do cilindro é portanto Φ EA cos θ E2 πrh cos 0 E2 πrh Do outro lado da lei de Gauss temos a carga qenv envolvida pelo cilindro Como a densidade linear de carga carga por unidade de comprimento é uniforme a carga envolvida é λh Assim a lei de Gauss ε0Φ qenv ε0E2 πrh λh nos dá Esse é o campo elétrico produzido por uma linha de carga infinitamente longa em um ponto situado a uma distância r da linha O campo aponta radialmente para longe da linha de carga se a carga for positiva e radialmente na direção da linha de carga se a carga for negativa A Eq 2312 também fornece o valor aproximado do campo produzido por uma linha de carga finita em pontos não muito próximos das extremidades da linha em comparação com a distância da linha Se a barra possui uma densidade volumétrica de carga ρ uniforme podemos usar um método semelhante para calcular o módulo do campo elétrico no interior da barra Para isso basta reduzir o raio do cilindro gaussiano da Fig 2314 até que a superfície lateral do cilindro esteja no interior da barra Nesse caso como a densidade de carga é uniforme a carga qenv envolvida pelo cilindro será proporcional ao volume do cilindro Exemplo 2306 A lei de Gauss e uma descarga para cima em uma tempestade elétrica A mulher da Fig 2315 estava em uma plataforma de observação do Sequoia National Park quando uma grande nuvem de tempestade passou no céu Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem negativamente carregada Fig 2316a o que deixou o corpo da mulher positivamente carregado Observando a fotografia da Fig 2315 é possível concluir que o corpo da mulher está carregado já que os fios de cabelo se repelem mutuamente e se projetam para cima ao longo das linhas de campo elétrico produzidas pela carga do corpo Courtesea da NOAA Figura 2315 Uma nuvem de tempestade deixou esta mulher positivamente carregada A mulher não foi atingida por um relâmpago mas estava correndo um sério risco pois o campo elétrico estava a ponto de causar uma ruptura dielétrica no ar à sua volta Essa ruptura teria ocorrido ao longo de uma trajetória ascendente o que é chamado de descarga para cima Uma descarga para cima é perigosa porque a ionização que produz nas moléculas do ar libera um grande número de elétrons Se a mulher da Fig 2315 tivesse provocado uma descarga para cima os elétrons livres do ar teriam sido atraídos para o seu corpo Fig 2316b produzindo um choque possivelmente fatal Um choque elétrico é perigoso porque dependendo da intensidade pode interromper a respiração ou os batimentos cardíacos além de causar queimaduras Vamos modelar o corpo da mulher como um cilindro vertical estreito de altura L 18 m e raio R 010 m Fig 2316c Suponha que a carga Q esteja uniformemente distribuída ao longo do cilindro e que a ruptura dielétrica ocorra quando o módulo do campo elétrico excede o valor crítico Ec 24 MNC Para qual valor de Q o ar em volta da mulher está a ponto de sofrer uma ruptura dielétrica IDEIASCHAVE Como R L podemos aproximar a distribuição de carga por uma linha comprida de carga Além disso como estamos supondo que a distribuição de carga é uniforme o módulo do campo elétrico é dado aproximadamente pela Eq 2312 E λ2πε0r Cálculos Substituindo o campo elétrico E pelo valor crítico Ec a distância radial r pelo raio do cilindro R e a densidade linear de carga λ pela razão QL temos ou Substituindo as constantes por valores numéricos temos Figura 2316 a Muitos elétrons de condução do corpo da mulher foram repelidos para a terra pela base da nuvem negativamente carregada o que deixou o corpo positivamente carregado b Em uma descarga para cima o ar sofre uma ruptura dielétrica permitindo que elétrons livres criados no ar sejam atraídos para o corpo da mulher c O corpo da mulher pode ser representado por um cilindro 235 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA PLANAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2323 Usar a lei de Gauss para calcular o módulo E do campo elétrico nas proximidades de uma superfície plana isolante de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga uniforme σ 2324 No caso de pontos nas proximidades de uma superfície plana isolante de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga uniforme σ conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal da carga e o sentido do campo elétrico 2325 No caso de pontos nas proximidades de duas superfícies planas condutoras de grandes dimensões com uma densidade superficial de carga σ conhecer a relação entre a densidade de carga e o módulo E do campo elétrico e a relação entre o sinal das cargas e o sentido do campo elétrico IdeiasChave O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com uma densidade superficial de carga σ é perpendicular ao plano da placa e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga da placa O campo elétrico entre duas placas condutoras carregadas é perpendicular ao plano das placas e tem um módulo proporcional à densidade superficial de carga das placas Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar Placa Isolante A Fig 2317 mostra uma parte de uma placa fina infinita isolante com uma densidade superficial de carga positiva σ Uma folha de plástico com uma das superfícies uniformemente carregada pode ser um bom modelo Vamos calcular o campo elétrico a uma distância r da placa Uma superfície gaussiana adequada para esse tipo de problema é um cilindro com o eixo perpendicular à placa e com uma base de cada lado da placa como mostra a figura Por simetria é perpendicular à placa e portanto às bases do cilindro Além disso como a carga é positiva aponta para longe da placa e portanto as linhas de campo elétrico atravessam as duas bases do cilindro no sentido de dentro para fora Como as linhas de campo são paralelas à superfície lateral do cilindro o produto d é nulo nessa parte da superfície gaussiana Assim d é igual a E dA nas bases do cilindro e é igual a zero na superfície lateral Nesse caso a lei de Gauss nos dá Figura 2317 a Vista em perspectiva e b vista lateral de uma pequena parte de uma placa de grande extensão com uma carga positiva na superfície Uma superfície gaussiana cilíndrica com o eixo perpendicular à placa e uma base de cada lado da placa envolve parte das cargas em que σA é a carga envolvida pela superfície gaussiana Explicitando E obtemos Como estamos considerando uma placa infinita com uma densidade de carga uniforme esse resultado é válido para qualquer ponto que esteja a uma distância finita da placa A Eq 2313 é igual à Eq 2227 que foi obtida por integração das componentes do campo elétrico produzido por elementos de carga Duas Placas Condutoras A Fig 2318a mostra uma vista de perfil de uma placa condutora fina infinita com um excesso de carga positiva Como vimos no Módulo 233 a carga em excesso está na superfície da placa Como a placa é fina e muito extensa podemos supor que praticamente toda a carga em excesso está nas duas faces maiores da placa Se não existe um campo elétrico externo para forçar as cargas positivas a assumirem determinada distribuição as cargas se distribuem uniformemente nas duas faces com uma densidade superficial de carga σ1 De acordo com a Eq 2311 essas cargas criam nas proximidades da superfície um campo elétrico de módulo E σ1ε0 Como a carga em excesso é positiva o campo aponta para longe da placa A Fig 2318b mostra uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa e uma densidade superficial de carga com o mesmo valor absoluto σ1 A única diferença é que agora o campo aponta na direção da placa Suponha que as placas das Figs 2318a e 2318b sejam colocadas lado a lado Fig 2318c Como as placas são condutoras quando as aproximamos as cargas em excesso de uma placa atraem as cargas em excesso da outra e todas as cargas em excesso se concentram na superfície interna das placas como mostra a Fig 2318c Como existe agora uma quantidade de carga duas vezes maior nas superfícies internas a nova densidade superficial de carga que vamos chamar de σ nas faces internas é 2σ1 Assim o módulo do campo elétrico em qualquer ponto entre as placas é dado por Esse campo aponta para longe da placa positiva e na direção da placa negativa Como não existe excesso de carga nas faces externas o campo elétrico do lado de fora das placas é zero Como as cargas das placas se moveram quando as placas foram aproximadas a Fig 2318c não é a superposição das Figs 2318a e 2318b em outras palavras a distribuição de carga no sistema de duas placas não é simplesmente a soma das distribuições de carga das placas isoladas A razão pela qual nos damos ao trabalho de discutir situações tão pouco realistas como os campos produzidos por uma placa infinita carregada e um par de placas infinitas carregadas é que a análise de situações infinitas permite obter boas aproximações para problemas reais Assim a Eq 2313 vale também para uma placa isolante finita contanto que estejamos lidando com pontos próximos da placa e razoavelmente distantes das bordas A Eq 2314 se aplica a um par de placas condutoras finitas contanto que não estejamos lidando com pontos muito próximos das bordas O problema das bordas de uma placa e o motivo pelo qual procuramos na medida do possível nos manter afastados delas é que perto de uma borda não podemos usar a simetria planar para determinar as expressões dos campos Perto da borda as linhas de campo são curvas é o chamado efeito de borda e os campos elétricos são muito difíceis de expressar matematicamente Figura 2318 a Uma placa condutora fina infinita com um excesso de carga positiva b Uma placa do mesmo tipo com um excesso de carga negativa c As duas placas colocadas lado a lado Exemplo 2307 Campo elétrico nas proximidades de duas placas isolantes carregadas paralelas A Fig 2319a mostra partes de duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo Os valores das densidades superficiais de carga são σ 68 μCm2 para a placa positivamente carregada e σ 43 μCm2 para a placa negativamente carregada Determine o campo elétrico a à esquerda das placas b entre as placas e c à direita das placas IDEIACHAVE Como as cargas estão fixas as placas são isolantes podemos determinar os campos elétricos produzidos pelas placas da Fig 23 19a 1 calculando o campo de cada placa como se a outra não existisse e 2 somando algebricamente os resultados Não há necessidade de usar uma soma vetorial porque os campos são paralelos Cálculos Em qualquer ponto o campo elétrico produzido pela placa positiva aponta para longe da placa e de acordo com a Eq 2313 tem o módulo dado por Em qualquer ponto o campo elétrico produzido pela placa negativa aponta na direção da placa e tem um módulo dado por A Fig 2319b mostra os campos criados pelas placas à esquerda das placas E entre as placas C e à direita das placas D Os campos resultantes nas três regiões podem ser obtidos usando o princípio de superposição À esquerda o módulo do campo é Figura 2319 a Duas placas de grande extensão isolantes paralelas com uma carga uniforme do lado esquerdo b Campos elétricos criados pelas duas placas c Campo total criado pelas duas placas obtido por superposição Como E é maior que E o campo elétrico total E nessa região aponta para a esquerda como mostra a Fig 2319c À direita das placas o campo elétrico D tem o mesmo módulo mas aponta para a direita como mostra a Fig 2319c Entre as placas os dois campos se somam e temos O campo elétrico C aponta para a direita 236 APLICAÇÕES DA LEI DE GAUSS SIMETRIA ESFÉRICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2326 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga atrai ou repele uma partícula carregada situada do lado de fora da casca como se toda a carga da casca estivesse concentrada no centro da casca 2327 Saber que uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não exerce nenhuma força eletrostática sobre uma partícula carregada situada no interior da casca 2328 No caso de um ponto situado do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a carga q da casca e a distância r entre o ponto e o centro da casca 2329 No caso de um ponto situado no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga conhecer o valor do módulo E do campo elétrico 2330 No caso de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga determinar o módulo e a orientação do campo elétrico em pontos no interior da esfera e do lado de fora da esfera IdeiasChave Em um ponto do lado de fora de uma casca esférica com uma carga q distribuída uniformemente o campo elétrico produzido pela casca é radial orientado para fora da casca ou na direção do centro da casca dependendo do sinal da carga e o módulo do campo é dado pela equação em que r é a distância entre o ponto e o centro da casca O campo seria o mesmo se toda a carga estivesse concentrada no centro da casca Em todos os pontos do interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga o campo elétrico criado pela casca é zero Em um ponto do interior de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga o campo elétrico é radial e o módulo do campo é dado pela equação em que q é a carga da esfera R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto e o centro da esfera Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica Vamos agora usar a lei de Gauss para demonstrar os dois teoremas das cascas que foram apresentados no Módulo 211 O primeiro diz o seguinte Uma partícula carregada situada do lado de fora de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga é atraída ou repelida como se toda a carga estivesse situada no centro da casca A Fig 2320 mostra uma casca esférica carregada de raio R com uma carga total q e duas superfícies gaussianas concêntricas S1 e S2 Quando usamos o método do Módulo 232 e aplicamos a lei de Gauss à superfície S2 para a qual r R o resultado é o seguinte Figura 2320 Vista em seção reta de uma casca esférica fina uniformemente carregada com uma carga total q Duas superfícies gaussianas S1 e S2 também são mostradas A superfície S2 envolve a casca e a superfície S1 envolve apenas a cavidade vazia que existe no interior da casca Esse campo é igual ao que seria criado por uma carga pontual q localizada no centro da casca Assim a força que uma casca de carga q exerce sobre uma partícula carregada situada do lado de fora da casca é a mesma que a força exercida por uma partícula pontual de carga q situada no centro da casca Fica assim demonstrado o primeiro teorema das cascas O segundo teorema das cascas diz o seguinte Uma partícula carregada situada no interior de uma casca esférica com uma distribuição uniforme de carga não é atraída nem repelida pela casca Aplicando a lei de Gauss à superfície S1 para a qual r R obtemos já que a superfície S1 não envolve nenhuma carga Assim se existe uma partícula carregada no interior da casca a casca não exerce nenhuma força sobre a partícula Fica assim demonstrado o segundo teorema das cascas Toda distribuição de carga esfericamente simétrica como a distribuição de raio R e densidade volumétrica de carga ρ da Fig 2321 pode ser substituída por um conjunto de cascas esféricas concêntricas Para fins de aplicação dos dois teoremas das cascas a densidade volumétrica de carga ρ deve ter um valor único para cada casca mas não precisa ser a mesma para todas as cascas Assim para a distribuição de carga como um todo ρ pode variar mas apenas em função de r a distância radial a partir do centro de curvatura Podemos portanto caso seja necessário examinar o efeito da distribuição de carga camada por camada Na Fig 2321a todas as cargas estão no interior de uma superfície gaussiana com r R As cargas produzem um campo elétrico na superfície gaussiana como se houvesse apenas uma carga pontual situada no centro e a Eq 2315 pode ser aplicada A Fig 2321b mostra uma superfície gaussiana com r R Para determinar o campo elétrico em pontos da superfície gaussiana consideramos dois conjuntos de cascas carregadas um conjunto do lado de dentro da superfície gaussiana e outro conjunto do lado de fora De acordo com a Eq 2316 as cargas do lado de fora da superfície gaussiana não criam um campo elétrico na superfície gaussiana De acordo com a Eq 2315 as cargas do lado de dentro da superfície gaussiana criam o mesmo campo que uma carga pontual de mesmo valor situada no centro Chamando essa carga de q podemos escrever a Eq 23 15 na forma Figura 2321 Os pontos representam uma esfera feita de material isolante com uma distribuição de carga de simetria esférica e raio R cuja densidade volumétrica de carga ρ é função apenas da distância do centro Uma superfície gaussiana concêntrica com r R é mostrada em a Uma superfície gaussiana semelhante com r R é mostrada em b Uma vez que a distribuição de carga no interior da esfera de raio R é uniforme podemos calcular a carga q envolvida por uma superfície esférica de raio r Fig 2321b usando a seguinte relação ou o que nos dá Substituindo na Eq 2317 obtemos Teste 4 A figura mostra duas placas de grande extensão paralelas isolantes com densidades superficiais de carga iguais uniformes e positivas e uma esfera com uma densidade volumétrica de carga uniforme e positiva Coloque em ordem decrescente os quatro pontos numerados de acordo com o módulo do campo elétrico existente no local Revisão e Resumo Lei de Gauss A lei de Gauss e a lei de Coulomb são formas diferentes de descrever a relação entre carga e campo elétrico em situações estáticas A lei de Gauss é expressa pela equação em que qenv é a carga total no interior de uma superfície imaginária fechada conhecida como superfície gaussiana e Φ é o fluxo total do campo elétrico através da superfície A lei de Coulomb pode ser demonstrada a partir da lei de Gauss Aplicações da Lei de Gauss Usando a lei de Gauss e em alguns casos princípios de simetria é possível demonstrar várias propriedades importantes de sistemas eletrostáticos entre as quais as 1 2 3 4 5 6 seguintes As cargas em excesso de um condutor estão concentradas na superfície externa do condutor O campo elétrico externo nas vizinhanças da superfície de um condutor carregado é perpendicular à superfície e tem um módulo dado por em que σ é a densidade superficial de carga No interior do condutor E 0 O campo elétrico produzido em um ponto do espaço por uma linha de carga infinita com densidade linear de carga uniforme λ é perpendicular à linha de carga e tem um módulo dado por em que r é a distância entre o ponto e a linha de carga O campo elétrico produzido por uma placa isolante infinita com densidade superficial de carga uniforme σ é perpendicular ao plano da placa e tem um módulo dado por O campo elétrico em um ponto do lado de fora de uma casca esférica uniformemente carregada de raio R e carga total q aponta na direção radial e tem um módulo dado por em que r é a distância entre o ponto e o centro da casca A carga se comporta para pontos externos como se estivesse concentrada no centro da esfera O campo do lado de dentro de uma casca esférica uniformemente carregada é zero O campo elétrico em um ponto no interior de uma esfera uniformemente carregada aponta na direção radial e tem um módulo dado por em que q é a carga da esfera R é o raio da esfera e r é a distância entre o ponto e o centro da casca Perguntas 1 O vetor área de uma superfície é 2î 3ĵ m2 Qual é o fluxo de um campo elétrico através da superfície se o campo é a 4î NC e b 4 NC 2 A Fig 2322 mostra em seção reta três cilindros maciços de comprimento L e carga uniforme Q Concêntrica com cada cilindro existe uma superfície gaussiana cilíndrica as três superfícies gaussianas têm o mesmo raio Coloque as superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície Figura 2322 Pergunta 2 3 A Fig 2323 mostra em seção reta uma esfera central metálica duas cascas metálicas e três superfícies gaussianas esféricas concêntricas de raio R 2R e 3R As cargas dos três corpos distribuídas uniformemente são as seguintes esfera Q casca menor 3Q casca maior 5Q Coloque as três superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície Figura 2323 Pergunta 3 4 A Fig 2324 mostra em seção reta duas esferas gaussianas e dois cubos gaussianos no centro dos quais existe uma partícula de carga positiva a Coloque as quatro superfícies gaussianas em ordem decrescente do fluxo elétrico que as atravessa b Coloque as quatro superfícies gaussianas em ordem decrescente do módulo do campo elétrico em qualquer ponto da superfície e informe se os módulos são uniformes ou variam de ponto para ponto da superfície Figura 2324 Pergunta 4 5 Na Fig 2325 um elétron é liberado entre duas placas infinitas isolantes horizontais com densidades superficiais de carga σ e σ como mostra a figura O elétron é submetido às três situações mostradas na tabela a seguir que envolvem as densidades superficiais de carga e a distância entre as placas Coloque as situações em ordem decrescente do módulo da aceleração do elétron Situação σ σ Distância 1 4σ 4σ d 2 4σ σ 4d 3 4σ 5σ 9d Figura 2325 Pergunta 5 6 Três placas infinitas isolantes com densidades superficiais de carga positivas σ 2σ e 3σ foram alinhadas paralelamente como as duas barras da Fig 2319a Qual é a ordem das placas da esquerda para a direita se o campo elétrico produzido pelas barras tem módulo E 0 em uma região e E 2σε0 em outra região 7 A Fig 2326 mostra as seções retas de quatro conjuntos de barras finas e muito compridas perpendiculares ao plano da figura O valor abaixo de cada barra indica a densidade linear uniforme de carga da barra em microcoulombs por metro As barras estão separadas por distâncias d ou 2d e um ponto central é mostrado a meio caminho entre as barras internas Coloque os conjuntos em ordem decrescente do módulo do campo elétrico no ponto central Figura 2326 Pergunta 7 8 A Fig 2327 mostra quatro esferas maciças todas com uma carga Q distribuída uniformemente a Coloque as esferas em ordem decrescente de acordo com a densidade volumétrica de carga A figura mostra também um ponto P para cada esfera todos à mesma distância do centro da esfera b Coloque as esferas em ordem decrescente de acordo com o módulo do campo elétrico no ponto P Figura 2327 Pergunta 8 9 Uma pequena esfera carregada está no interior de uma casca esférica metálica de raio R Para três situações as cargas da esfera e da casca respectivamente são 1 4q 0 2 6q 10q 3 16q 12q Coloque as situações em ordem decrescente de acordo com a carga a da superfície interna da casca e b da superfície externa da casca 10 Coloque em ordem decrescente as situações da Pergunta 9 de acordo com o módulo do campo elétrico a no centro da casca e b em um ponto a uma distância 2R do centro da casca 11 A Fig 2328 mostra uma parte de três longos cilindros carregados com o mesmo eixo O cilindro central A tem uma carga uniforme qA 3q0 Que cargas uniformes devem ter os cilindros qB e qC para que se for possível o campo elétrico total seja zero a no ponto 1 b no ponto 2 e c no ponto 3 Figura 2328 Pergunta 11 12 A Fig 2329 mostra quatro superfícies gaussianas de mesma superfície lateral cilíndrica e bases diferentes As superfícies estão em uma região onde existe um campo elétrico uniforme paralelo ao eixo central dos cilindros As formas das bases são as seguintes S1 hemisférios convexos S2 hemisférios côncavos S3 cones S4 discos planos Coloque as superfícies em ordem decrescente de acordo a com o fluxo elétrico total e b com o fluxo elétrico através das bases superiores Figura 2329 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 231 Fluxo Elétrico 1 A superfície quadrada da Fig 2330 tem 32 mm de lado e está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 1800 NC e com linhas de campo fazendo um ângulo de 35o com a normal como mostra a figura Tome essa normal como apontando para fora como se a superfície fosse a tampa de uma caixa Calcule o fluxo elétrico através da superfície Figura 2330 Problema 1 2 Um campo elétrico dado por 40î 30y2 20ĵ em que está em newtons por coulomb e y está em metros atravessa um cubo gaussiano com 20 m de aresta posicionado da forma mostrada na Fig 237 Determine o fluxo elétrico a através da face superior b através da face inferior c através da face da esquerda e d através da face traseira e Qual é o fluxo elétrico total através do cubo 3 O cubo da Fig 2331 tem 140 m de aresta e está orientado da forma mostrada na figura em uma região onde existe um campo elétrico uniforme Determine o fluxo elétrico através da face direita do cubo se o campo elétrico em newtons por coulomb é dado por a 600î b 200ĵ e c 300î 400 d Qual é o fluxo total através do cubo nos três casos Figura 2331 Problemas 3 6 e 9 Módulo 232 Lei de Gauss 4 Na Fig 2332 uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 30 mNC com o aro um círculo de raio a 11 cm perpendicular à direção do campo A rede é eletricamente neutra Determine o fluxo elétrico através da rede Figura 2332 Problema 4 5 Na Fig 2333 um próton está uma distância d2 do centro de um quadrado de aresta d Qual é o módulo do fluxo elétrico através do quadrado Sugestão Pense no quadrado como uma das faces de um cubo de aresta d Figura 2333 Problema 5 6 Em todos os pontos da superfície do cubo da Fig 2331 o campo elétrico é paralelo ao eixo z O cubo tem 30 m de aresta Na face superior do cubo 34 NC na face inferior 20 NC Determine a carga que existe no interior do cubo 7 Uma carga pontual de 18 μC está no centro de uma superfície gaussiana cúbica de 55 cm de aresta Qual é o fluxo elétrico através da superfície 8 Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 NC Considere um banheiro de dimensões 25 m 30 m 20 m Suponha que no teto no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de 600 NC Suponha também que o teto o piso e as paredes formem uma superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro Determine a a densidade volumétrica de carga ρ e b o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar 9 A Fig 2331 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo com 140 m de aresta Determine a o fluxo Φ através da superfície e b a carga qenv envolvida pela superfície se 300yĵ NC com y em metros os valores de c Φ e d qenv se 400î 600 300yĵ NC 10 A Fig 2334 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 200 m de aresta imersa em um campo elétrico dado por 300x 400î 600ĵ 700 NC com x em metros Qual é a carga total contida no cubo Figura 2334 Problema 10 11 A Fig 2335 mostra uma superfície gaussiana com a forma de um cubo de 200 m de aresta com um vértice no ponto x1 500 m y1 400 m O cubo está imerso em um campo elétrico dado por 300î 400y2ĵ 300 NC com y em metros Qual é a carga total contida no cubo Figura 2335 Problema 11 12 A Fig 2336 mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme de 60 μCm2 na superfície externa e um raio de 30 cm a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme de 40 μCm2 na superfície externa e um raio de 20 cm os centros das cascas estão separados por uma distância L 10 cm Qual é o campo elétrico no ponto x 20 cm na notação dos vetores unitários Figura 2336 Problema 12 13 Observase experimentalmente que o campo elétrico em uma região da atmosfera terrestre aponta verticalmente para baixo A uma altitude de 300 m o campo tem um módulo de 600 NC a uma altitude de 200 m o módulo é 100 NC Determine a carga em excesso contida em um cubo com 100 m de aresta e faces horizontais a 200 e 300 m de altitude 14 Fluxo e cascas isolantes Uma partícula carregada está suspensa no centro de duas cascas esféricas concêntricas muito finas feitas de um material isolante A Fig 2337a mostra uma seção reta do sistema e a Fig 2337b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 N m2C a Determine a carga da partícula central b Determine a carga da casca A c Determine a carga da casca B Figura 2337 Problema 14 15 Uma partícula de carga q é colocada em um dos vértices de um cubo gaussiano Determine o múltiplo de qε0 que corresponde ao fluxo a através de uma das faces do cubo que contêm o vértice e b através de uma das outras faces do cubo 16 A superfície gaussiana em forma de paralelepípedo da Fig 2338 envolve uma carga de 240ε0 C e está imersa em um campo elétrico que é fornecido por 100 200xî 300ĵ bz NC com x e z em metros e b uma constante A face inferior está no plano xz a face superior está no plano horizontal que passa pelo ponto y2 100 m Qual é o valor de b para x1 100 m x2 400 m z1 100 m e z2 300 m Figura 2338 Problema 16 Módulo 233 Um Condutor Carregado 17 Uma esfera condutora uniformemente carregada com 12 m de diâmetro possui uma densidade superficial de carga 81 μCm2 Determine a a carga da esfera e b o fluxo elétrico através da superfície da esfera 18 O campo elétrico nas vizinhanças da superfície lateral de um cilindro condutor tem um módulo E de 23 105 NC Qual é a densidade superficial de carga do cilindro 19 Os veículos espaciais que atravessam os cinturões de radiação da Terra podem interceptar um número significativo de elétrons O acúmulo de carga resultante pode danificar componentes eletrônicos e prejudicar o funcionamento de alguns circuitos Suponha que um satélite esférico feito de metal com 13 m de diâmetro acumule 24 μC de carga a Determine a densidade superficial de carga do satélite b Calcule o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite devido à carga superficial 20 Fluxo e cascas condutoras Uma partícula carregada é mantida no centro de duas cascas esféricas condutoras concêntricas cuja seção reta aparece na Fig 2339a A Fig 2339b mostra o fluxo Φ através de uma esfera gaussiana com centro na partícula em função do raio r da esfera A escala do eixo vertical é definida por Φs 50 105 N m2C Determine a a carga da partícula central b a carga da casca A e c a carga da casca B Figura 2339 Problema 20 21 Um condutor possui uma carga de 10 106 C No interior do condutor existe uma cavidade no interior da cavidade está uma carga pontual q 30 106 C Determine a carga a da superfície da cavidade e b da superfície externa do condutor Módulo 234 Aplicações da Lei de Gauss Simetria Cilíndrica 22 Um elétron é liberado a partir do repouso a 90 cm de distância de uma barra isolante retilínea muito longa com uma densidade de carga uniforme de 60 μC por metro Qual é o módulo da aceleração inicial do elétron 23 a O cilindro condutor de uma máquina tem um comprimento de 42 cm e um diâmetro de 12 cm O campo elétrico nas proximidades da superfície do cilindro é 23 105 NC Qual é a carga total do cilindro b O fabricante deseja produzir uma versão compacta da máquina Para isso é necessário reduzir o comprimento do cilindro para 28 cm e o diâmetro para 80 cm O campo elétrico na superfície do tambor deve permanecer o mesmo Qual deve ser a carga do novo cilindro 24 A Fig 2340 mostra uma seção de um tubo longo de metal de parede finas com raio R 300 cm e carga por unidade de comprimento λ 200 108 Cm Determine o módulo E do campo elétrico a uma distância radial a r R200 e b r 200R c Faça um gráfico de E em função de r para 0 r 200R Figura 2340 Problema 24 25 Uma linha infinita de carga produz um campo de módulo 45 104 NC a uma distância de 20 m Calcule a densidade linear de carga 26 A Fig 2341a mostra um cilindro fino maciço carregado e uma casca cilíndrica coaxial também carregada Os dois objetos são feitos de material isolante e possuem uma densidade superficial de carga uniforme na superfície externa A Fig 2341b mostra a componente radial E do campo elétrico em função da distância radial r a partir do eixo comum A escala do eixo vertical é definida por Es 30 103 NC Qual é a densidade linear de carga da casca Figura 2341 Problema 26 27 Um fio reto longo possui cargas negativas fixas com uma densidade linear de 36 nCm O fio é envolvido por uma casca coaxial cilíndrica isolante de paredes finas com 15 cm de raio A casca possui uma carga positiva na superfície externa com uma densidade superficial σ que anula o campo elétrico do lado de fora da casca Determine o valor de σ 28 Uma carga de densidade linear uniforme 20 nCm está distribuída ao longo de uma barra longa fina isolante A barra está envolvida por uma casca longa cilíndrica coaxial condutora raio interno 50 cm raio externo 10 cm A carga da casca é zero a Determine o módulo do campo elétrico a 15 cm de distância do eixo da casca b Determine a densidade superficial de carga na superfície interna e c na superfície externa da casca 29 A Fig 2342 é uma seção de uma barra condutora de raio R1 130 mm e comprimento L 1100 m no interior de uma casca coaxial de paredes finas de raio R2 100R1 e mesmo comprimento L A carga da barra é Q1 340 1012 C a carga da casca é Q2 200Q1 Determine a o módulo E e b a direção para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 200R2 Determine c E e d a direção do campo elétrico para r 500R1 Determine a carga e na superfície interna e f na superfície externa da casca Figura 2342 Problema 29 30 A Fig 2343 mostra pequenas partes de duas linhas de carga paralelas muito compridas separadas por uma distância L 80 cm A densidade uniforme de carga das linhas é 60 μCm para a linha 1 e 20 μCm para a linha 2 Em que ponto do eixo x o campo elétrico é zero Figura 2343 Problema 30 31 Duas cascas cilíndricas longas carregadas coaxiais de paredes finas têm 30 e 60 m de raio A carga por unidade de comprimento é 50 106 Cm na casca interna e 70 106 Cm na casca externa Determine a o módulo E e b o sentido para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 40 cm Determine c o módulo E e d o sentido do campo elétrico para r 80 cm 32 Um cilindro maciço longo isolante com 40 cm de raio possui uma densidade volumétrica de carga não uniforme ρ que é uma função da distância radial r a partir do eixo do cilindro ρ Ar2 Se A 25 μCm5 determine o módulo do campo elétrico a para r 30 cm e b para r 50 cm Módulo 235 Aplicações da Lei de Gauss Simetria Planar 33 Na Fig 2344 duas placas finas condutoras de grande extensão são mantidas paralelas a uma pequena distância uma da outra Nas faces internas as placas têm densidades superficiais de carga de sinais opostos e valor absoluto 700 1022 Cm2 Determine o campo elétrico na notação dos vetores unitários a à esquerda das placas b à direita das placas e c entre as placas Figura 2344 Problema 33 34 Na Fig 2345 um pequeno furo circular de raio R 180 cm foi aberto no meio de uma placa fina infinita isolante com uma densidade superficial de carga σ 450 pCm2 O eixo z cuja origem está no centro do furo é perpendicular à placa Determine na notação dos vetores unitários o campo elétrico no ponto P situado em z 256 cm Sugestão Use a Eq 2226 e o princípio de superposição Figura 2345 Problema 34 35 A Fig 2346a mostra três placas de plástico de grande extensão paralelas e uniformemente carregadas A Fig 2346b mostra a componente x do campo elétrico em função de x A escala do eixo vertical é definida por Es 60 105 NC Determine a razão entre a densidade de carga na placa 3 e a densidade de carga na placa 2 Figura 2346 Problema 35 36 A Fig 2347 mostra as seções retas de duas placas de grande extensão paralelas isolantes positivamente carregadas ambas com uma distribuição superficial de carga σ 177 1022 Cm2 Determine o campo elétrico na notação dos vetores unitários a acima das placas b entre as placas e c abaixo das placas Figura 2347 Problema 36 37 Uma placa metálica quadrada de 80 cm de lado e espessura insignificante possui uma carga total de 60 106 C a Estime o valor do módulo E do campo elétrico perto do centro da placa a 050 mm do centro por exemplo supondo que a carga está distribuída uniformemente pelas duas faces da placa b Estime o valor de E a 30 m de distância uma distância grande em comparação com as dimensões da placa supondo que a placa é uma carga pontual 38 Na Fig 2348a um elétron é arremessado verticalmente para cima com uma velocidade vs 20 105 ms a partir das vizinhanças de uma placa uniformemente carregada A placa é isolante e muito extensa A Fig 2348b mostra a velocidade escalar v em função do tempo t até o elétron voltar ao ponto de partida Qual é a densidade superficial de carga da placa Figura 2348 Problema 38 39 Na Fig 2349 uma pequena esfera isolante de massa m 10 mg e carga q 20 108 C distribuída uniformemente em todo o volume está pendurada em um fio isolante que faz um ângulo θ 30o com uma placa vertical isolante uniformemente carregada vista em seção reta Considerando a força gravitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão calcule a densidade superficial de carga σ da placa Figura 2349 Problema 39 40 A Fig 2350 mostra uma placa isolante muito extensa que possui uma densidade superficial de carga uniforme σ 200 μCm2 a figura mostra também uma partícula de carga Q 600 μC a uma distância d da placa Ambas estão fixas no lugar Se d 0200 m para qual coordenada a positiva e b negativa do eixo x além do infinito o campo elétrico total tot é zero c Se d 0800 m para qual coordenada do eixo x o campo tot é zero Figura 2350 Problema 40 41 Um elétron é arremessado na direção do centro de uma placa metálica que possui uma densidade superficial de carga de 20 106 Cm2 Se a energia cinética inicial do elétron é 160 1017 J e o movimento do elétron muda de sentido devido à repulsão eletrostática da placa a uma distância insignificante da placa de que distância da placa o elétron foi arremessado 42 Duas grandes placas de metal com 10 m2 de área são mantidas paralelas a 50 cm de distância e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfícies internas Se o módulo E do campo elétrico entre as placas é 55 NC qual é o valor absoluto da carga em cada placa Despreze o efeito de borda 43 A Fig 2351 mostra uma seção reta de uma placa isolante muito extensa com uma espessura d 940 mm e uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 580 fCm3 A origem do eixo x está no centro da placa Determine o módulo do campo elétrico a em x 0 b em x 200 mm c em x 470 mm e d em x 260 mm Figura 2351 Problema 43 Módulo 236 Aplicações da Lei de Gauss Simetria Esférica 44 A Fig 2352 mostra o módulo do campo elétrico do lado de dentro e do lado de fora de uma esfera com uma distribuição uniforme de carga positiva em função da distância do centro da esfera A escala do eixo vertical é definida por Es 50 107 NC Qual é a carga da esfera Figura 2352 Problema 44 45 Duas cascas esféricas concêntricas carregadas têm raios de 100 cm e 150 cm A carga da casca menor é 400 108 C e a da casca maior é 200 108 C Determine o campo elétrico a em r 120 cm e b em r 200 cm 46 Uma esfera isolante carregada de raio R possui uma densidade de carga negativa uniforme exceto por um túnel estreito que atravessa totalmente a esfera passando pelo centro Um próton pode ser colocado em qualquer ponto do túnel ou de um prolongamento do túnel Seja FR o módulo da força eletrostática a que é submetido o próton quando está na superfície da esfera Determine em termos de R a que distância da superfície fica o ponto no qual o módulo da força é 050FR quando o próton se encontra a em um prolongamento do túnel e b dentro do túnel 47 Uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga desconhecida Se o módulo do campo elétrico a 15 cm do centro da esfera é 30 103 NC e o campo aponta para o centro da esfera qual é a carga da esfera 48 Uma partícula carregada é mantida fixa no centro de uma casca esférica A Fig 2353 mostra o módulo E do campo elétrico em função da distância radial r A escala do eixo vertical é definida por Es 100 107 NC Estime o valor da carga da casca Figura 2353 Problema 48 49 Na Fig 2354 uma esfera maciça de raio a 200 cm é concêntrica com uma casca esférica condutora de raio interno b 200a e raio externo c 240a A esfera possui carga uniforme q1 500 fC e a casca uma carga q2 q1 Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r 230a e f em r 350a Determine a carga g na superfície interna e h na superfície externa da casca Figura 2354 Problema 49 50 A Fig 2355 mostra duas cascas esféricas isolantes mantidas fixas no lugar no eixo x A casca 1 possui uma densidade superficial de carga uniforme 40 μCm2 na superfície externa e um raio de 050 cm enquanto a casca 2 possui uma densidade superficial de carga uniforme 20μCm2 na superfície externa e um raio de 200 cm a distância entre os centros é L 60 cm Determine os pontos do eixo x além do infinito em que o campo elétrico é zero Figura 2355 Problema 50 51 Na Fig 2356 uma casca esférica isolante com um raio interno a 200 cm e um raio externo b 240 cm possui uma densidade volumétrica uniforme de carga positiva ρ Ar em que A é uma constante e r é a distância em relação ao centro da casca Além disso uma pequena esfera de carga q 450 fC está situada no centro da casca Qual deve ser o valor de A para que o campo elétrico no interior da casca a r b seja uniforme Figura 2356 Problema 51 52 A Fig 2357 mostra uma casca esférica com uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 184 nCm3 raio interno a 100 cm e raio externo b 200a Determine o módulo do campo elétrico a em r 0 b em r a200 c em r a d em r 150a e em r b e f em r 300b Figura 2357 Problema 52 53 Uma esfera isolante de raio R 560 cm possui uma distribuição de carga não uniforme ρ 141 pCm3rR em que r é a distância do centro da esfera a Determine a carga da esfera b Determine o módulo E do campo elétrico em r 0 c em r R200 e d em r R e Faça um gráfico de E em função de r 54 A Fig 2358 mostra em seção reta duas esferas de raio R com distribuições volumétricas uniformes de carga O ponto P está na reta que liga os centros das esferas a uma distância R200 do centro da esfera 1 Se o campo elétrico no ponto P é zero qual é a razão q2q1 entre a carga da esfera 2 e a carga da esfera 1 Figura 2358 Problema 54 55 Uma distribuição de carga não uniforme de simetria esférica produz um campo elétrico de módulo E Kr4 em que K é uma constante e r é a distância do centro da esfera O campo aponta para longe do centro da esfera Qual é a distribuição volumétrica de carga ρ Problemas Adicionais 56 O campo elétrico em uma região do espaço é dado por x 2î NC com x em metros Considere uma superfície gaussiana cilíndrica de raio 20 cm coaxial com o eixo x Uma das bases do cilindro está em x 0 a Determine o valor absoluto do fluxo elétrico através da outra base do cilindro situada em x 20 m b Determine a carga no interior do cilindro 57 Uma esfera metálica de espessura insignificante tem um raio de 250 cm e uma carga de 200 107 C Determine o valor de E a no interior da esfera b junto à superfície da esfera e c a 300 m de distância do centro da esfera 58 Uma placa infinita de espessura insignificante situada no plano xy possui uma densidade superficial de carga uniforme ρ 80 nCm2 Determine o fluxo elétrico através de uma esfera gaussiana com centro na origem e 50 cm de raio 59 Uma placa infinita que ocupa o espaço entre os planos x 50 cm e x 50 cm tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ 12 nCm3 Determine o módulo do campo elétrico a no plano x 40 cm b no plano x 60 cm 60 O mistério do chocolate em pó Explosões provocadas por descargas elétricas centelhas constituem um sério perigo nas indústrias que lidam com pós muito finos Uma dessas explosões aconteceu em uma fábrica de biscoitos na década de 1970 Os operários costumavam esvaziar os sacos de chocolate em pó que chegavam à fábrica em uma bandeja da qual o material era transportado por canos de plástico até o silo onde era armazenado No meio do percurso duas condições para que uma explosão ocorresse foram satisfeitas 1 o módulo do campo elétrico ultrapassou 30 106 NC produzindo uma ruptura dielétrica do ar 2 a energia da centelha resultante ultrapassou 150 mJ fazendo com que o pó explodisse Vamos discutir a primeira condição Suponha que um pó carregado negativamente esteja passando por um cano cilíndrico de plástico de raio R 50 cm e que as cargas associadas ao pó estejam distribuídas uniformemente com uma densidade volumétrica ρ a Usando a lei de Gauss escreva uma expressão para o módulo do campo elétrico no interior do cano em função da distância r do eixo do cano b O valor de E aumenta ou diminui quando r aumenta c O campo aponta para o eixo do cilindro ou para longe do eixo d Para ρ 11 103 Cm3 um valor típico determine o valor máximo de E e a que distância do eixo do cano esse campo máximo ocorre e O campo pode produzir uma centelha Onde A história continua no Problema 70 do Capítulo 24 61 Uma casca esférica metálica de raio a e espessura insignificante possui uma carga qa Uma segunda casca concêntrica com a primeira possui um raio b a e uma carga qb Determine o campo elétrico em pontos situados a uma distância r do centro das cascas a para r a b para a r b e c para r b d Explique o raciocínio que você usou para determinar o modo como as cargas estão distribuídas nas superfícies internas e externas das cascas 62 Uma carga pontual q 10 107 C é colocada no centro de uma cavidade esférica com 30 cm de raio aberta em um bloco de metal Use a lei de Gauss para determinar o campo elétrico a a 15 cm de distância do centro da cavidade e b no interior do bloco de metal 63 Um próton de velocidade v 300 105 ms gira em órbita em torno de uma esfera carregada de raio r 100 cm Qual é a carga da esfera 64 A Eq 2311 E σε0 pode ser usada para calcular o campo elétrico em pontos da vizinhança de uma esfera condutora carregada Aplique a equação a uma esfera condutora de raio r e carga q e mostre que o campo elétrico do lado de fora da esfera é igual ao campo produzido por uma carga pontual situada no centro da esfera 65 Uma carga Q está distribuída uniformemente em uma esfera de raio R a Que fração da carga está contida em uma esfera de raio r R200 b Qual é a razão entre o módulo do campo elétrico no ponto r R200 e o campo elétrico na superfície da esfera 66 Uma carga pontual produz um fluxo elétrico de 750 N m2C através de uma superfície esférica gaussiana de 100 cm de raio com centro na carga a Se o raio da superfície gaussiana for multiplicado por dois qual será o novo valor do fluxo b Qual é o valor da carga pontual 67 O campo elétrico no ponto P a uma pequena distância da superfície externa de uma casca esférica metálica com 10 cm de raio interno e 20 cm de raio externo tem um módulo de 450 NC e aponta para longe do centro Quando uma carga pontual desconhecida Q é colocada no centro da casca o sentido do campo permanece o mesmo e o módulo diminui para 180 NC a Determine a carga da casca b Determine o valor da carga Q Depois que a carga Q é colocada determine a densidade superficial de carga c na superfície interna da casca e d na superfície externa da casca 68 O fluxo de campo elétrico em cada face de um dado tem um valor absoluto em unidades de 103 N m2C igual ao número N de pontos da face 1 N 6 O fluxo é para dentro se N for ímpar e para fora se N for par Qual é a carga no interior do dado 69 A Fig 2359 mostra uma vista em seção reta de três placas isolantes de grande extensão com uma densidade uniforme de carga As densidades superficiais de carga são σ1 200 μCm2 σ2 400 μCm2 e σ3 500 μCm2 L 150 cm Qual é o campo elétrico no ponto P na notação dos vetores unitários Figura 2359 Problema 69 70 Uma esfera isolante com 50 cm de raio tem uma densidade volumétrica uniforme de carga ρ 32 μCm3 Determine o módulo do campo elétrico a a 35 cm e b a 80 cm do centro da esfera 71 Uma superfície gaussiana de forma hemisférica com raio R 568 cm está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 250 NC Não existem cargas no interior da superfície Na base plana da superfície o campo é perpendicular à superfície e aponta para o interior da superfície Determine o fluxo a através da base e b através da parte curva da superfície 72 Qual é a carga total envolvida pelo cubo gaussiano do Problema 2 73 Uma esfera isolante tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ Seja o vetor que liga o centro da esfera a um ponto genérico P no interior da esfera a Mostre que o campo elétrico no ponto P é dado por ρ 3ε0Note que o resultado não depende do raio da esfera b Uma cavidade esférica é aberta na esfera como mostra a Fig 2360 Usando o princípio da superposição mostre que o campo elétrico no interior da cavidade é uniforme e é dado por ρ 3ε0 em que é o vetor que liga o centro da esfera ao centro da cavidade Figura 2360 Problema 73 74 Uma esfera com 600 cm de raio possui uma densidade de carga uniforme de 500 nCm3 Considere uma superfície gaussiana cúbica concêntrica com a esfera Determine o fluxo elétrico através da superfície cúbica se a aresta do cubo for a 400 cm e b 140 cm 75 A Fig 2361 mostra um contador Geiger aparelho usado para detectar radiação ionizante radiação com energia suficiente para ionizar átomos O contador é formado por um fio central positivamente carregado e um cilindro circular oco coaxial condutor com uma carga negativa de mesmo valor absoluto As cargas criam um campo elétrico radial de alta intensidade entre o cilindro que contém um gás inerte rarefeito e o fio Uma partícula de radiação que penetra no aparelho através da parede do cilindro ioniza alguns átomos do gás produzindo elétrons livres que são acelerados na direção do fio positivo O campo elétrico é tão intenso que no percurso os elétrons adquirem energia suficiente para ionizar outros átomos do gás através de colisões criando assim outros elétrons livres O processo se repete até os elétrons chegarem ao fio A avalanche de elétrons resultante é recolhida pelo fio gerando um sinal que é usado para assinalar a passagem da partícula de radiação Suponha que o fio central tenha um raio de 25 μm e o cilindro tenha um raio interno de 14 cm e um comprimento de 16 cm Se o campo elétrico na superfície interna do cilindro é 29 104 NC qual é a carga positiva do fio central Figura 2361 Problema 75 76 Um cilindro muito longo de raio R possui uma distribuição volumétrica de carga uniforme a Mostre que a uma distância r R do eixo do cilindro em que ρ é a densidade volumétrica de carga b Escreva uma expressão para E do lado de fora do cilindro 77 Uma casca condutora esférica tem uma carga de 14 μC na superfície externa e uma partícula carregada na cavidade interna Se a carga total da casca é 10 μC determine a carga a da superfície interna da casca e b da partícula 78 Uma carga de 600 pC está distribuída uniformemente em uma esfera de raio r 400 cm Determine o módulo do campo elétrico a a 600 cm do centro da esfera e b a 300 cm do centro da esfera 79 A água em uma vala de irrigação de largura l 322 m e profundidade p 104 m corre com uma velocidade de 0207 ms O fluxo mássico da água através de uma superfície imaginária é o produto da massa específica da água 1000 kgm3 pelo fluxo volumétrico através da superfície Determine o fluxo mássico através das seguintes superfícies imaginárias a uma superfície de área lp totalmente submersa perpendicular à correnteza b uma superfície de área 3lp2 da qual uma área lp está submersa perpendicular à correnteza c uma superfície de área lp2 totalmente submersa perpendicular à correnteza d uma superfície de área lp metade da qual está submersa perpendicular à correnteza e uma superfície de área lp totalmente submersa com a normal fazendo um ângulo de 34o com a direção da correnteza 80 Uma placa infinita de espessura insignificante situada no plano xy tem uma densidade superficial de carga uniforme ρ 800 nCm2 uma placa semelhante situada no plano z 200 tem uma densidade superficial de carga uniforme ρ 300 nCm2 Determine o módulo do campo elétrico a no plano z 100 e b no plano z 300 m 81 Uma esfera isolante tem uma densidade de carga uniforme Determine em termos do raio R da esfera a que distância do centro o módulo do campo elétrico é igual a 14 do valor máximo a do lado de dentro da esfera e b do lado de fora da esfera CAPÍTULO 24 Potencial Elétrico 241 POTENCIAL ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2401 Saber que a força elétrica é conservativa e portanto é possível associar a ela uma energia potencial 2402 Saber que a cada ponto do campo elétrico produzido por um objeto é possível associar um potencial elétrico V uma grandeza escalar que pode ser positiva ou negativa dependendo do sinal da carga do objeto 2403 No caso de uma partícula carregada sob o efeito do campo elétrico criado por um objeto usar a relação entre o potencial elétrico V criado pelo objeto nesse ponto a carga q da partícula e a energia potencial U do sistema partículaobjeto 2404 Converter a energia de joules para elétronsvolts e viceversa 2405 No caso de uma partícula carregada que se desloca de um ponto inicial para um ponto final na presença de um campo elétrico usar as relações entre a variação V do potencial a carga q da partícula a variação U da energia potencial e o trabalho W realizado pela força elétrica 2406 No caso de uma partícula carregada que se desloca de um ponto inicial para um ponto final na presença de um campo elétrico saber que o trabalho realizado pelo campo não depende da trajetória da partícula 2407 No caso de uma partícula carregada que atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica sem ser submetida a nenhuma outra força conhecer a relação entre V e a variação K da energia cinética da partícula 2408 No caso de uma partícula carregada que atravessa uma região onde existe uma variação V da energia potencial elétrica enquanto é submetida a outra força conhecer a relação entre V a variação K da energia cinética da partícula e o trabalho Wext realizado pela força aplicada IdeiasChave O potencial elétrico V em um ponto P devido ao campo elétrico produzido por um objeto carregado é dado por em que W é o trabalho que seria realizado pelo campo elétrico sobre uma carga de prova positiva q0 se a carga fosse transportada de uma distância infinita até o ponto P e U é a energia potencial elétrica que seria armazenada no sistema carga objeto Se uma partícula de carga q é colocada em um ponto no qual o potencial elétrico de um objeto carregado é V a energia potencial elétrica U do sistema partículaobjeto é dada por U qV Se uma partícula atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial ΔV a variação da energia potencial elétrica é dada por ΔU q ΔV qVf Vt De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação V da energia potencial elétrica sem ser submetida a uma força externa a variação da energia cinética da partícula é dada por ΔK q ΔV De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação V da energia potencial elétrica enquanto é submetida a uma força externa que realiza um trabalho Wext a variação da energia cinética da partícula é dada por ΔK q ΔV Wext No caso especial em que ΔK 0 o trabalho de uma força externa envolve apenas o movimento da partícula na presença de uma diferença de potencial Wext q ΔV O que É Física Um dos objetivos da física é identificar as forças básicas da natureza como as forças elétricas que foram discutidas no Capítulo 21 Um objetivo correlato é determinar se uma força é conservativa ou seja se pode ser associada a uma energia potencial A razão para associar uma energia potencial a uma força é que isso permite aplicar o princípio de conservação da energia mecânica a sistemas fechados que envolvem a força Esse princípio extremamente geral pode ser usado para obter os resultados de experimentos nos quais os cálculos baseados em forças seriam muito difíceis Os físicos e engenheiros descobriram empiricamente que a força elétrica é conservativa e que portanto é possível associar a ela uma energia potencial elétrica Neste capítulo vamos definir essa energia potencial e aplicála a alguns problemas práticos A título de introdução vamos voltar a um problema que examinamos no Capítulo 22 Na Fig 241 a partícula 1 de carga positiva q1 está situada no ponto P nas vizinhanças da partícula 2 de carga positiva q2 Como vimos no Capítulo 22 a partícula 2 pode exercer uma força sobre a partícula 1 sem que haja contato entre as duas partículas Para explicar a existência da força que é uma grandeza vetorial definimos um campo elétrico que também é uma grandeza vetorial que é criado pela partícula 2 no ponto P O campo existe mesmo que a partícula 1 não esteja presente no ponto P Quando colocamos a partícula 1 nessa posição ela fica submetida a uma força porque possui uma carga q1 e está em um ponto onde existe um campo elétrico Aqui está um problema correlato Quando liberamos a partícula 1 no ponto P ela começa a se mover e portanto adquire energia cinética Como a energia não pode ser criada de onde vem essa energia Essa energia vem da energia potencial elétrica U associada à força entre as duas partículas no arranjo da Fig 241 Para explicar a origem da energia potencial U que é uma grandeza escalar definimos um potencial elétrico V que também é uma grandeza escalar criado pela partícula 2 no ponto P Quando a partícula 1 é colocada no ponto P a energia potencial do sistema de duas partículas se deve à carga q1 e ao potencial elétrico V Nossos objetivos neste capítulo são 1 definir o potencial elétrico 2 discutir o cálculo do potencial elétrico para vários arranjos de partículas e objetos carregados e 3 discutir a relação entre o potencial elétrico V e a energia potencial elétrica U Potencial Elétrico e Energia Potencial Elétrica Como vamos definir o potencial elétrico ou simplesmente potencial em termos da energia potencial elétrica nossa primeira tarefa é descobrir como calcular a energia potencial elétrica No Capítulo 8 calculamos a energia potencial gravitacional U de um objeto 1 atribuindo arbitrariamente o valor U 0 a uma configuração de referência como a posição de um objeto no nível do solo 2 determinando o trabalho W que a força gravitacional realiza quando o objeto é deslocado para outro nível e 3 definindo a energia potencial pela equação Vamos aplicar o mesmo método à nossa nova força conservativa a força elétrica Na situação mostrada na Fig 242a estamos interessados em calcular a energia potencial U do sistema formado por uma barra carregada e uma carga de prova positiva q0 situada no ponto P Para começar precisamos definir uma configuração de referência para a qual U 0 Uma escolha razoável é supor que a energia potencial é nula quando a carga de prova está a uma distância infinita da barra já que nesse caso ela não é afetada pelo campo elétrico produzido pela barra O passo seguinte consiste em calcular o trabalho necessário para deslocar a carga de prova do infinito até o ponto P para formar a configuração da Fig 242a A energia potencial da configuração final é dada pela Eq 241 em que W agora é o trabalho realizado pela força elétrica sobre a carga de prova Vamos usar a notação W para indicar que nossa configuração de referência é com a carga a uma distância infinita da barra O trabalho e portanto a energia potencial pode ser positivo ou negativo dependendo do sinal da carga da barra Vamos agora definir o potencial elétrico V no ponto P em termos do trabalho realizado pelo campo elétrico e a energia potencial resultante Em palavras o potencial elétrico em um ponto P é a energia potencial por unidade de carga quando uma carga de prova q0 é deslocada do infinito até o ponto P A barra cria esse potencial V no ponto P mesmo na ausência da carga de prova Fig 24b De acordo com a Eq 242 o potencial elétrico é uma grandeza escalar já que tanto a energia potencial como a carga são grandezas escalares Figura 241 A partícula 1 situada no ponto P está sujeita ao campo elétrico da partícula 2 Figura 242 a Uma carga de prova foi deslocada do infinito até o ponto P na presença do campo elétrico criado pela barra b Definimos um potencial elétrico V no ponto P com base na energia potencial da configuração mostrada em a Aplicando o mesmo método a outros pontos do espaço verificamos que um potencial elétrico existe em todos os pontos em que o campo elétrico criado pela barra está presente Na verdade todo objeto carregado cria um potencial elétrico V nos mesmos pontos em que cria um campo elétrico Quando colocamos uma partícula de carga q em um ponto onde já existe um potencial elétrico V a energia potencial da configuração é dada pela seguinte equação em que a carga q pode ser positiva ou negativa Duas Observações Importantes 1 O nome adotado há muitos anos para a grandeza V foi uma escolha infeliz porque potencial pode ser facilmente confundido com energia potencial É verdade que as duas grandezas estão relacionadas daí a escolha mas são muito diferentes e uma não pode ser usada no lugar da outra 2 O potencial elétrico não é um vetor como o campo elétrico e sim um escalar Na hora de resolver os problemas você vai ver que isso facilita muito as coisas Terminologia A energia potencial é uma propriedade de um sistema ou configuração de objetos mas às vezes podemos atribuíla a um único objeto Assim por exemplo a energia potencial gravitacional de uma bola de futebol chutada em direção ao campo do adversário pelo goleiro é na verdade a energia potencial do sistema bolaTerra já que está associada à força entre a Terra e a bola Como porém o movimento da Terra causado pela interação é desprezível podemos atribuir a energia potencial gravitacional apenas à bola Analogamente se uma partícula carregada é colocada em uma região onde existe um campo elétrico e não afeta de modo significativo o objeto que produziu o campo elétrico podemos atribuir a energia potencial elétrica e o potencial elétrico apenas à partícula Unidades De acordo com a Eq 242 a unidade de potencial elétrico do SI é o joule por coulomb Essa combinação é tão frequente que foi criado um nome especial o volt V para representála Assim 1 volt 1 joule por coulomb Usando duas conversões de unidades podemos substituir a unidade de campo elétrico newtons por coulomb por uma unidade mais conveniente volts por metro O primeiro fator de conversão é uma consequência da própria definição de volt o segundo pode ser obtido a partir da definição de joule Daqui em diante passaremos a expressar os valores de campo elétrico em volts por metro em vez de newtons por coulomb Movimento na Presença de um Campo Elétrico Variação do Potencial Elétrico Quando passamos de um ponto inicial i para um ponto final f na presença de um campo elétrico produzido por um objeto carregado a variação do potencial elétrico é dada por ΔV Vf Vi Nesse caso de acordo com a Eq 243 a variação da energia potencial do sistema é dada por A variação pode ser positiva ou negativa dependendo dos sinais de q e ΔV Também pode ser nula se não houver variação de potencial ou seja se Vf Vi Como a força elétrica é conservativa a variação de energia potencial ΔU entre a energia potencial do ponto i e a energia potencial do ponto f é a mesma para qualquer trajetória que ligue os dois pontos ou seja é independente da trajetória Trabalho Realizado pelo Campo Podemos relacionar a variação de energia potencial ΔU ao trabalho W realizado pela força elétrica enquanto a partícula se desloca do ponto i para o ponto f usando uma relação que é válida para qualquer força conservativa Eq 81 Em seguida podemos relacionar o mesmo trabalho à variação do potencial elétrico usando a Eq 244 Até agora sempre atribuímos o trabalho a uma força mas aqui também podemos dizer que W é o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a partícula porque naturalmente é o campo elétrico que produz a força O trabalho pode ser positivo negativo ou nulo Da mesma forma que ΔU o trabalho W não depende da trajetória da partícula Se você precisa calcular o trabalho para uma trajetória complicada mude para uma trajetória mais fácil você obterá o mesmo resultado Conservação da Energia Se uma partícula carregada se move na presença de um campo elétrico sem ser submetida a nenhuma outra força além da força elétrica a energia mecânica é conservada Vamos supor que seja possível atribuir uma energia potencial elétrica apenas à partícula Nesse caso podemos escrever a conservação da energia mecânica quando a partícula se desloca do ponto i para o ponto f na forma ou Combinando a Eq 248 com a Eq 244 obtemos uma equação que permite calcular a variação da energia cinética de uma partícula submetida a uma diferença de potencial Trabalho Realizado por uma Força Externa Se uma partícula carregada se move na presença da força elétrica e de outra força qualquer a outra força é chamada de força externa e é frequentemente a atribuída a um agente externo A força externa pode realizar trabalho sobre a partícula mas não é necessariamente conservativa e portanto nem sempre pode ser associada a uma energia potencial Podemos levar em conta o trabalho Wext realizado por uma força externa acrescentando um termo ao lado esquerdo da Eq 247 energia inicial trabalho da força externa energia final Explicitando ΔK e usando a Eq 244 podemos escrever também O trabalho realizado pela força externa pode ser positivo negativo ou nulo e a energia do sistema pode aumentar diminuir ou permanecer a mesma No caso especial em que a partícula está parada antes e depois do deslocamento o termo da energia cinética é nulo nas Eqs 2410 e 2411 e portanto Nesse caso especial o trabalho Wext representa apenas o trabalho necessário para deslocar a partícula na presença de uma diferença de potencial ΔV Comparando as Eqs 246 e 2412 vemos que nesse caso especial o trabalho realizado pela força externa é o negativo do trabalho realizado pelo campo Energia em ElétronsVolts Na física atômica e subatômica a medida das energias em joules a unidade de energia do SI envolve potências negativas de dez Uma unidade mais conveniente que não faz parte do SI é o elétronvolt eV que é definido como o trabalho necessário para deslocar uma carga elementar e como do elétron ou do próton se a diferença de potencial entre o ponto inicial e o ponto final é um volt De acordo com a Eq 246 esse trabalho é igual a qΔV Assim Teste 1 Na figura um próton se desloca do ponto i para o ponto f na presença de um campo elétrico com a direção indicada a O campo elétrico executa um trabalho positivo ou negativo sobre o elétron b A força exerce um trabalho positivo ou negativo sobre o elétron c A energia potencial elétrica do próton aumenta ou diminui d O próton se desloca para um ponto de maior ou menor potencial elétrico Exemplo 2401 Trabalho e energia potencial associados a um campo elétrico Elétrons estão sendo constantemente arrancados das moléculas de ar da atmosfera por partículas de raios cósmicos provenientes do espaço sideral Uma vez liberados esses elétrons estão sujeitos a uma força eletrostática associada ao campo elétrico produzido na atmosfera por partículas carregadas já existentes na Terra Perto da superfície terrestre esse campo elétrico tem um módulo de 150 NC e aponta para o centro da Terra Qual é a variação ΔU da energia potencial elétrica de um elétron livre na atmosfera da Terra quando a força eletrostática faz com que ele se mova verticalmente para cima de uma distância d 520 m Fig 243 IDEIASCHAVE 1 A variação ΔU da energia potencial elétrica do elétron está relacionada ao trabalho W realizado pelo campo elétrico sobre o elétron essa relação é expressa pela Eq 245 ΔU W 2 O trabalho realizado por uma força constante sobre uma partícula que sofre um deslocamento é dado por 3 A força eletrostática e o campo elétrico estão relacionados pela equação q em que q é a carga do elétron 16 1019 C Cálculos Substituindo por seu valor na Eq 243 e calculando o produto escalar obtemos a relação em que θ é o ângulo entre as direções de e Como o campo aponta verticalmente para baixo e o deslocamento aponta verticalmente para cima θ 180o Substituindo esse e outros valores conhecidos na Eq 244 obtemos Figura 243 Um elétron da atmosfera sofre um deslocamento para cima devido à força eletrostática associada a um campo elétrico W 16 1019 C150 NC520 m cos 180 12 1014 J Nesse caso de acordo com a Eq 245 O resultado mostra que a subida de 520 m faz a energia potencial do elétron sofrer uma redução de 12 1014 J Para calcular a variação do potencial elétrico usamos a Eq 244 O resultado mostra que a força elétrica realiza um trabalho positivo para mover um elétron para um ponto em que o potencial é maior 242 SUPERFÍCIES EQUIPOTENCIAIS E O CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2409 Saber o que é uma superfície equipotencial e conhecer a relação entre uma superfície equipotencial e a direção do campo elétrico associado 2410 Dada uma função que expresse a variação do campo elétrico com a posição calcular a diferença de potencial V entre um ponto inicial e um ponto final escolhendo uma trajetória que ligue os dois pontos e integrando o produto escalar do campo elétrico pelo elemento de comprimento ao longo da trajetória escolhida 2411 No caso de um campo elétrico uniforme conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico e a distância x e a diferença de potencial ΔV entre planos equipotenciais vizinhos 2412 Dado um gráfico que mostre o módulo E do campo elétrico em função da posição ao longo de um eixo calcular a variação de potencial V de um ponto inicial a um ponto final usando integração gráfica 2413 Explicar o uso de um ponto de referência ao qual é atribuído um valor zero para o potencial IdeiasChave Os pontos de uma superfície equipotencial têm o mesmo potencial elétrico O trabalho realizado sobre uma carga de prova para deslocála de uma superfície equipotencial para outra não depende da posição dos pontos inicial e final nas superfícies nem da trajetória seguida pela carga de prova O campo elétrico é sempre perpendicular às superfícies equipotenciais correspondentes A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é dada por em que a integral pode ser calculada ao longo de qualquer trajetória que ligue os dois pontos Se a integração for difícil para uma dada trajetória podemos escolher uma trajetória para a qual a integração seja mais fácil Se fizermos Vi 0 o potencial em um ponto qualquer será dado por Em um campo elétrico uniforme de módulo E a variação do potencial de uma superfície equipotencial de maior valor para uma de menor valor separadas por uma distância x é dada por ΔV E Δx Superfícies Equipotenciais Pontos vizinhos que possuem o mesmo potencial elétrico formam uma superfície equipotencial que pode ser uma superfície imaginária ou uma superfície real O campo elétrico não realiza nenhum trabalho líquido W sobre uma partícula carregada quando a partícula se desloca de um ponto para outro de uma superfície equipotencial Esse fato é consequência da Eq 246 segundo a qual W 0 para Vf Vi Como o trabalho e portanto a energia potencial e o potencial não depende da trajetória W 0 para qualquer trajetória que ligue dois pontos i e j pertencentes a uma superfície equipotencial mesmo que a trajetória não esteja inteiramente na superfície A Fig 244 mostra uma família de superfícies equipotenciais associada ao campo elétrico produzido por uma distribuição de cargas O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre uma partícula carregada quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das trajetórias I e II é zero já que essas trajetórias começam e terminam na mesma superfície equipotencial O trabalho realizado quando a partícula se desloca de uma extremidade a outra das trajetórias III e IV não é zero mas tem o mesmo valor para as duas trajetórias pois os potenciais inicial e final são os mesmos para as duas trajetórias ou seja as trajetórias III e IV ligam o mesmo par de superfícies equipotenciais Figura 244 Vista parcial de quatro superfícies equipotenciais cujos potenciais elétricos são V1 100 V V2 80 V V3 60 V e V4 40 V A figura mostra duas linhas de campo elétrico e quatro trajetórias possíveis de uma carga de prova Figura 245 Linhas de campo elétrico azul e seções retas de superfícies equipotenciais vermelho a para um campo elétrico uniforme b para uma carga pontual e c para um dipolo elétrico Figura 246 Uma carga de prova q0 se desloca do ponto i para o ponto f ao longo da trajetória indicada na presença de um campo elétrico não uniforme Durante um deslocamento uma força eletrostática q0 age sobre a carga de prova A força aponta na direção da linha de campo que passa pela carga de prova Por simetria as superfícies equipotenciais produzidas por uma carga pontual ou por qualquer distribuição de cargas com simetria esférica constituem uma família de esferas concêntricas No caso de um campo elétrico uniforme as superfícies formam uma família de planos perpendiculares às linhas de campo Na verdade as superfícies equipotenciais são sempre perpendiculares às linhas de campo elétrico e portanto perpendiculares a que é tangente a essas linhas Se não fosse perpendicular a uma superfície equipotencial teria uma componente paralela à superfície que realizaria trabalho sobre uma partícula carregada quando a partícula se deslocasse ao longo da superfície Entretanto de acordo com a Eq 246 o trabalho realizado deve ser nulo no caso de uma superfície equipotencial A única conclusão possível é que o vetor em todos os pontos do espaço deve ser perpendicular à superfície equipotencial que passa por esse ponto A Fig 245 mostra linhas de campo elétrico e seções retas de superfícies equipotenciais no caso de um campo elétrico uniforme e no caso dos campos associados a uma carga elétrica pontual e a um dipolo elétrico Cálculo do Potencial a Partir do Campo Elétrico É possível calcular a diferença de potencial entre dois pontos i e f em uma região do espaço onde existe um campo elétrico se o vetor campo elétrico for conhecido em todos os pontos de uma trajetória que ligue esses pontos Para isso basta determinar o trabalho realizado pelo campo sobre uma carga de prova quando a carga se desloca do ponto i até o ponto f e usar a Eq 246 Considere um campo elétrico qualquer representado pelas linhas de campo da Fig 246 e uma carga de prova positiva q0 que se move do ponto i ao ponto f percorrendo a trajetória mostrada na figura Em todos os pontos da trajetória uma força eletrostática q0 age sobre a carga enquanto ela sofre um deslocamento elementar De acordo com o que foi visto no Capítulo 7 o trabalho elementar dW realizado sobre uma partícula por uma força durante um deslocamento é dado por Para a situação da Fig 246 q0 e a Eq 2415 se torna Para determinar o trabalho total W realizado pelo campo sobre a partícula quando ela se desloca do ponto i para o ponto f somamos por integração os trabalhos elementares realizados sobre a carga quando ela sofre todos os deslocamentos elementares de que é composta a trajetória Substituindo o trabalho W pelo seu valor em termos da diferença de potencial dado pela Eq 246 obtemos Figura 247 Trajetória paralela a uma linha de campo elétrico que liga pontos i e f situados em planos equipotenciais de um campo uniforme separados por uma distância Δx Assim a diferença de potencial Vf Vi entre dois pontos i e f na presença de um campo elétrico é igual ao negativo da integral de linha ou seja da integral ao longo de uma trajetória de do ponto i até o ponto f Como a força eletrostática é conservativa todas as trajetórias simples ou complicadas levam ao mesmo resultado A Eq 2418 permite calcular a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer de uma região onde existe um campo elétrico Se o potencial Vi do ponto i é tomado como zero a Eq 2418 se torna em que o índice f de Vf foi omitido A Eq 2419 pode ser usada para calcular o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial do ponto i tomado como zero Se o ponto i está no infinito a Eq 2419 nos dá o potencial V em qualquer ponto f em relação ao potencial no infinito tomado como zero Campo Uniforme Vamos aplicar a Eq 2418 a um campo uniforme como mostra a Fig 247 Começamos em um ponto i de um plano equipotencial de potencial Vi e terminamos em um ponto f de um plano equipotencial de potencial Vf A distância entre os dois planos equipotenciais é Δx Vamos escolher uma trajetória paralela à direção do campo elétrico e portanto perpendicular aos planos equipotenciais Nesse caso o ângulo entre e na Eq 2418 é zero e o produto escalar se torna Como o campo é uniforme E é constante e a Eq 2418 se torna A integral da Eq 2420 é simplesmente uma receita para somar os elementos de comprimento ds do ponto i até o ponto f mas já sabemos que a soma é igual à distância Δx entre os planos equipotenciais Assim a variação de potencial Vf Vi no caso de um campo elétrico uniforme é dada por De acordo com a Eq 2421 se a trajetória da carga de prova positiva é no sentido do campo elétrico o potencial diminui se a trajetória é no sentido oposto o potencial aumenta O vetor campo elétrico aponta do maior potencial para o menor potencial Teste 2 A figura mostra uma família de superfícies paralelas equipotenciais vistas de perfil e cinco trajetórias ao longo das quais um elétron pode ser deslocado de uma superfície para outra a Qual é a orientação do campo elétrico associado às superfícies b Para cada trajetória o trabalho realizado para deslocar o elétron é positivo negativo ou nulo c Coloque as trajetórias em ordem decrescente do trabalho realizado Exemplo 2402 Determinação da diferença de potencial a partir do campo elétrico a A Fig 248a mostra dois pontos i e f de uma região onde existe um campo elétrico uniforme Os pontos estão na mesma linha de campo elétrico que não é mostrada na figura separados por uma distância d Determine a diferença de potencial Vf Vi deslocando uma carga de prova positiva q0 do ponto i até o ponto f ao longo da trajetória indicada que é paralela à direção do campo IDEIACHAVE De acordo com a Eq 2418 podemos determinar a diferença de potencial entre dois pontos integrando o produto escalar ao longo de uma trajetória que ligue os dois pontos Cálculos Na verdade já fizemos esse cálculo para demonstrar a Eq 2421 Com uma pequena mudança de notação a Eq 2421 nos dá b Determine a diferença de potencial Vf Vi deslocando a carga de prova positiva q0 de i para f ao longo da trajetória icf mostrada na Fig 248b Cálculos A ideiachave do item a também se aplica a este caso mas agora estamos deslocando a carga ao longo de uma trajetória formada por dois segmentos de reta ic e cf Em todos os pontos do segmento ic o deslocamento é perpendicular a O ângulo entre e é 90o e o produto escalar é 0 Logo de acordo com a Eq 2418 o potencial é o mesmo nos pontos i e c Vc Vi 0 No caso do segmento cf temos θ 45o e de acordo com a Eq 2418 A integral nessa equação é simplesmente o comprimento do segmento cf que por trigonometria é dado por dcos 45o Assim Como já era esperado este resultado é igual ao obtido no item a a diferença de potencial entre dois pontos não depende da trajetória usada no cálculo A moral é a seguinte Quando há necessidade de calcular a diferença de potencial entre dois pontos deslocando uma carga de prova entre eles é possível poupar tempo e trabalho escolhendo uma trajetória que facilite o uso da Eq 2418 Figura 248 a Uma carga de prova q0 se desloca em linha reta do ponto i para o ponto f na mesma direção que um campo elétrico uniforme b A carga q0 descreve a trajetória icf na presença do mesmo campo elétrico 243 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA PARTÍCULA CARREGADA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2414 No caso do campo elétrico em um ponto do espaço criado por uma partícula carregada conhecer a relação entre o potencial elétrico V do ponto a carga q da partícula e a distância r entre o ponto e a partícula 2415 Conhecer a relação entre o sinal do potencial elétrico criado por uma partícula e o sinal da carga da partícula 2416 No caso de pontos do lado de fora ou na superfície de uma distribuição de carga com simetria esférica calcular o potencial elétrico como se a carga estivesse toda concentrada no centro da distribuição 2417 Calcular o potencial total produzido em um ponto do espaço por várias partículas carregadas usando uma soma algébrica dos potenciais produzidos separadamente pelas cargas envolvidas e não uma soma vetorial como no caso do campo elétrico 2418 Desenhar as superfícies equipotenciais associadas a uma partícula carregada IdeiasChave O potencial elétrico produzido por uma partícula carregada a uma distância r da partícula é dado por em que o potencial V tem o mesmo sinal que a carga q O potencial elétrico produzido por um conjunto de partículas carregadas é dado por Isso significa que o potencial é a soma algébrica dos potenciais produzidos separadamente pelas cargas envolvidas e não uma soma vetorial como no caso do campo elétrico Potencial Produzido por uma Partícula Carregada Vamos agora usar a Eq 2418 para obter uma expressão para o potencial elétrico V criado no espaço por uma carga pontual tomando como referência um potencial zero no infinito Considere um ponto P situado a uma distância R de uma partícula fixa de carga positiva q Fig 249 Para usar a Eq 2418 imaginamos que uma carga de prova q0 é deslocada do ponto P até o infinito Como a trajetória seguida pela carga de prova é irrelevante podemos escolher a mais simples uma reta que liga a partícula fixa ao ponto P e se estende até o infinito Para usar a Eq 2418 precisamos calcular o produto escalar O campo elétrico da Fig 249 é radial e aponta para longe da partícula fixa assim o deslocamento elementar da partícula de prova tem a mesma direção que em todos os pontos da trajetória escolhida Isso significa que na Eq 2422 θ 0 e cos θ 1 Como a trajetória é radial podemos fazer ds dr Nesse caso a Eq 2418 se torna em que usamos os limites ri R e rf Vamos fazer Vi VR V e Vf V 0 O campo E no ponto onde se encontra a carga de prova é dado pela Eq 223 Com essas substituições a Eq 2423 se torna Figura 249 A partícula de carga positiva q produz um campo elétrico e um potencial elétrico V no ponto P Calculamos o potencial deslocando uma carga de prova q0 do ponto P até o infinito A figura mostra a carga de prova a uma distância r da carga pontual durante um deslocamento elementar Figura 2410 Gráfico gerado em computador do potencial elétrico Vr produzido por uma carga positiva situada na origem do plano xy O potencial nos pontos do plano xy está plotado no eixo vertical As curvas do potencial ao longo de direções paralelas aos eixos x e y foram traçadas para facilitar a visualização De acordo com a Eq 2426 V para r 0 embora essa tendência não seja visível no gráfico Explicitando V e substituindo R por r temos como o potencial elétrico V produzido por uma partícula de carga q a uma distância r da partícula Embora a Eq 2426 tenha sido demonstrada para uma partícula de carga positiva a demonstração vale também para uma partícula de carga negativa caso em que q é uma grandeza negativa Observe que o sinal de V é igual ao sinal de q Uma partícula de carga positiva produz um potencial elétrico positivo uma partícula de carga negativa produz um potencial elétrico negativo A Fig 2410 mostra um gráfico gerado em computador da Eq 2426 para uma partícula de carga positiva o valor absoluto de V está plotado no eixo vertical Note que o valor absoluto de V aumenta rapidamente quando r se aproxima de zero Na verdade de acordo com a Eq 2426 V quando r 0 embora essa tendência não seja visível no gráfico A Eq 2426 também pode ser usada para calcular o potencial elétrico do lado de fora ou na superfície de uma distribuição de cargas com simetria esférica Podemos provar esse fato usando um dos teoremas de cascas dos Módulos 211 e 236 para substituir a distribuição esférica por uma carga pontual de mesmo valor situada no centro da distribuição Isso mostra que a Eq 2426 pode ser empregada contanto que não se deseje calcular um ponto no interior da distribuição Potencial Produzido por um Grupo de Partículas Carregadas Podemos calcular o potencial produzido em um ponto por um grupo de partículas carregadas com a ajuda do princípio de superposição Usando a Eq 2426 com o sinal da carga incluído calculamos separadamente os potenciais produzidos pelas cargas no ponto dado e somamos os potenciais No caso de n cargas o potencial total é dado por Aqui qi é o valor da carga de ordem i e ri é a distância radial entre o ponto e a carga de ordem i O somatório da Eq 2427 é uma soma algébrica e não uma soma vetorial como a que foi usada para calcular o campo elétrico produzido por um grupo de cargas pontuais Tratase de uma vantagem importante do potencial em relação ao campo elétrico já que é muito mais fácil somar grandezas escalares do que grandezas vetoriais Teste 3 A figura mostra três arranjos de dois prótons Coloque os arranjos na ordem do potencial elétrico produzido pelos prótons no ponto P começando pelo maior Exemplo 2403 Potencial total de várias partículas carregadas Qual é o valor do potencial elétrico no ponto P situado no centro do quadrado de cargas pontuais que aparece na Fig 2411a A distância d é 13 m e as cargas são q1 12 nC q2 24 nC q3 31 nC q4 17 nC IDEIACHAVE O potencial elétrico V no ponto P é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelas quatro partículas Figura 2411 a Quatro partículas carregadas são mantidas fixas nos vértices de um quadrado b A curva fechada é uma seção reta no plano da figura da superfície equipotencial que contém o ponto P A curva é apenas um esboço Como o potencial elétrico é um escalar as posições angulares das cargas são irrelevantes apenas as distâncias entre as cargas e o ponto P aparecem na expressão do potencial Cálculos De acordo com a Eq 2427 temos A distância r é d 0919 m e a soma das cargas é Nas vizinhanças das três cargas positivas da Fig 2411a o potencial assume valores positivos muito elevados Nas proximidades da carga negativa o potencial assume valores negativos muito elevados Assim existem necessariamente pontos no interior do quadrado nos quais o potencial tem o mesmo valor intermediário que no ponto P A curva da Fig 2411b mostra a interseção do plano da figura com a superfície equipotencial que contém o ponto P Qualquer ponto dessa curva tem o mesmo potencial que o ponto P Exemplo 2404 Potencial total de várias partículas carregadas para duas distribuições diferentes das partículas a Na Fig 2412a 12 elétrons de carga e são mantidos fixos com espaçamento uniforme ao longo de uma circunferência de raio R Tomando V 0 no infinito quais são o potencial elétrico e o campo elétrico no centro C da circunferência IDEIASCHAVE 1 O potencial elétrico V no ponto C é a soma algébrica dos potenciais elétricos produzidos pelos elétrons Como o potencial elétrico é um escalar a posição angular dos elétrons na circunferência é irrelevante 2 O campo elétrico no ponto C é uma grandeza vetorial e portanto a posição angular dos elétrons na circunferência não é irrelevante Cálculos Como todos os elétrons possuem a mesma carga e e estão à mesma distância R de C a Eq 2427 nos dá Por causa da simetria do arranjo da Fig 2412a o vetor campo elétrico no ponto C associado a um elétron é cancelado pelo vetor campo elétrico associado ao elétron diametralmente oposto Assim no ponto C b Se os elétrons forem deslocados ao longo da circunferência até ficarem distribuídos com espaçamento desigual em um arco de 120o Fig 2412b qual será o potencial no ponto C O campo elétrico no ponto C sofrerá alguma mudança Raciocínio O potencial continuará a ser dado pela Eq 2428 já que a distância entre os elétrons e o ponto C não mudou e a posição dos elétrons na circunferência é irrelevante O campo elétrico porém deixará de ser nulo pois a distribuição das cargas não é mais simétrica O novo campo elétrico no ponto C estará orientado na direção de algum ponto do arco de 120o Figura 2412 a Doze elétrons uniformemente espaçados ao longo de uma circunferência b Os mesmos elétrons distribuídos com espaçamento não uniforme ao longo de um arco da circunferência original 244 POTENCIAL PRODUZIDO POR UM DIPOLO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2419 Calcular o potencial V produzido por um dipolo elétrico em um ponto do espaço em termos do módulo p do momento dipolar ou do produto do valor absoluto de uma das cargas pela distância entre as cargas 2420 Conhecer as regiões em que o potencial produzido por um dipolo elétrico é positivo negativo e nulo 2421 Saber que o potencial produzido por um dipolo elétrico diminui mais depressa com a distância do que o potencial produzido por uma carga única Ideiachave O potencial elétrico produzido em um ponto do espaço por um dipolo elétrico é dado por para r d em que p rd é o módulo do momento dipolar r é a distância entre o ponto e o centro do dipolo d é a distância entre as cargas do dipolo e q é o ângulo entre o vetor momento dipolar e uma reta que liga o ponto ao centro do dipolo Figura 2413 a O ponto P está a uma distância r do ponto central O de um dipolo A reta OP faz um ângulo θ com o eixo do dipolo b Se o ponto P está a uma grande distância do dipolo as retas de comprimentos r e r são aproximadamente paralelas à reta de comprimento r e a reta tracejada é aproximadamente perpendicular à reta de comprimento r Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico Vamos agora aplicar a Eq 2427 a um dipolo elétrico para calcular o potencial em um ponto arbitrário P da Fig 2413a No ponto P a partícula positiva que está a uma distância r produz um potencial V e a partícula negativa que está a uma distância r produz um potencial V Assim de acordo com a Eq 2427 o potencial total no ponto P é dado por Os dipolos que ocorrem naturalmente como os que estão presentes em muitas moléculas têm dimensões reduzidas Isso significa que normalmente estamos interessados apenas em pontos relativamente distantes do dipolo tais que r d em que r é a distância entre o ponto P e o centro do dipolo e d é a distância entre as cargas Nessas condições podemos supor que os segmentos de reta entre as cargas e o ponto P são praticamente paralelos e que a diferença de comprimento entre esses segmentos de reta é um dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é d Fig 2413b Além disso a diferença é tão pequena que o produto dos comprimentos é aproximadamente r2 Assim r r d cos θ e rr r2 Substituindo esses valores na Eq 2429 obtemos para V o valor aproximado em que o ângulo θ é medido em relação ao eixo do dipolo como na Fig 2413a O potencial V também pode ser escrito na forma em que p qd é o módulo do momento dipolar elétrico definido no Módulo 223 O vetor tem a direção do eixo do dipolo e aponta da carga negativa para a carga positiva Isso significa que o ângulo θ é medido em relação a Usamos esse vetor para indicar a orientação do dipolo elétrico Teste 4 Três pontos são escolhidos a distâncias iguais do centro do dipolo da Fig 2413 muito maiores que a distância entre as cargas O ponto a está no eixo do dipolo acima da carga positiva o ponto b está no eixo do dipolo abaixo da carga negativa o ponto c está na mediatriz do segmento de reta que liga as duas cargas Coloque os pontos na ordem do potencial elétrico produzido no ponto pelo dipolo começando pelo maior mais positivo Momento Dipolar Induzido Muitas moléculas como a da água possuem um momento dipolar elétrico permanente Em outras moléculas conhecidas como moléculas apolares e em todos os átomos isolados os centros das cargas positivas e negativas coincidem Fig 2414a e portanto o momento dipolar é zero Quando um átomo ou uma molécula apolar é submetido a um campo elétrico externo o campo distorce as órbitas eletrônicas e separa os centros das cargas positivas e negativas Fig 2414b Como a carga dos elétrons é negativa eles são deslocados no sentido oposto ao do campo Esse deslocamento dá origem a um momento dipolar que aponta na direção do campo Nesse tipo de situação dizemos que o momento dipolar é induzido pelo campo e que o átomo ou a molécula é polarizado pelo campo ou seja ele passa a ter um lado positivo e um lado negativo Quando o campo é removido o momento dipolar induzido e a polarização desaparecem Figura 2414 a Representação esquemática de um átomo isolado mostrando o núcleo positivamente carregado verde e os elétrons negativamente carregados sombreado dourado Os centros das cargas positivas e negativas coincidem b Quando o átomo é submetido a um campo elétrico externo os orbitais eletrônicos são distorcidos e os centros das cargas positivas e negativas deixam de coincidir o que dá origem a um momento dipolar induzido A distorção foi muito exagerada na figura 245 POTENCIAL PRODUZIDO POR UMA DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA DE CARGA Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2422 No caso de uma carga distribuída uniformemente em uma superfície calcular o potencial total em um ponto do espaço dividindo a distribuição em elementos de carga e somando por integração o potencial produzido pelos elementos IdeiasChave No caso de uma distribuição contínua de carga em um objeto macroscópico o potencial pode ser calculado 1 dividindo a distribuição em elementos de carga dq que podem ser tratados como partículas e 2 somando o potencial produzido pelos elementos calculando uma integral para toda a distribuição Para executar a integração o elemento de carga dq é substituído pelo produto de uma densidade linear de carga λ por um elemento de comprimento dx por exemplo ou pelo produto de uma densidade superficial de carga σ por um elemento de área dx dy por exemplo Em alguns casos nos quais a carga está distribuída simetricamente uma integração bidimensional pode ser substituída por uma integração unidimensional Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga Quando uma distribuição de carga é contínua como é o caso de uma barra ou um disco uniformemente carregado não podemos usar o somatório da Eq 2427 para calcular o potencial V em um ponto P Em vez disso devemos escolher um elemento de carga dq calcular o potencial dV produzido por dq no ponto P e integrar dV para toda a distribuição de carga Vamos tomar novamente o potencial no infinito como nulo Tratando o elemento de carga dq como uma partícula podemos usar a Eq 2426 para expressar o potencial dV no ponto P produzido por dq Nesta equação r é a distância entre P e dq Para calcular o potencial total V no ponto P integramos a Eq 2431 para todos os elementos de carga A integral deve ser calculada para toda a distribuição de cargas Observe que como o potencial elétrico é um escalar não existem componentes de vetores a serem consideradas na Eq 2432 Vamos agora examinar duas distribuições contínuas de carga uma linha de carga e um disco carregado Linha de Carga Na Fig 2415a uma barra fina isolante de comprimento L possui uma densidade linear de carga positiva λ Vamos determinar o potencial elétrico V produzido pela barra no ponto P situado a uma distância perpendicular d da extremidade esquerda da barra Começamos por considerar um elemento de comprimento dx da barra como mostra a Fig 2415b A carga desse elemento é dada por O elemento produz um potencial elétrico dV no ponto P que está a uma distância r x2 d212 Tratando o elemento como uma partícula carregada podemos usar a Eq 2431 para escrever o potencial dV como Como a carga da barra é positiva e tomamos como referência V 0 no infinito sabemos do Módulo 24 3 que dV na Eq 2434 deve ser positivo Figura 2415 a Uma barra fina uniformemente carregada produz um potencial elétrico V no ponto P b Um elemento de carga pode ser tratado como uma partícula c O potencial produzido por um elemento de carga no ponto P depende da distância r Precisamos somar os potenciais produzidos por todos os elementos de carga da extremidade esquerda d à extremidade direita e da barra Agora estamos em condições de calcular o potencial total V produzido pela barra no ponto P integrando a Eq 2434 ao longo da barra de x 0 a x L Figs 2415d e 2415e com o auxílio da integral 17 do Apêndice E O resultado é o seguinte Podemos simplificar esse resultado usando a identidade ln A ln B lnAB o que nos dá Como V é uma soma de valores positivos de dV deve ser um número positivo o que é confirmado pelo fato de que o argumento do logaritmo é maior que 1 para qualquer par de valores de L e d já que o logaritmo natural de qualquer número maior que 1 é positivo Disco Carregado No Módulo 225 calculamos o módulo do campo elétrico em pontos do eixo central de um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme σ em uma das superfícies Vamos agora obter uma expressão para Vz o potencial elétrico em um ponto qualquer do eixo central Como o disco apresenta uma distribuição circular de carga poderíamos usar um elemento diferencial de área igual ao produto de uma distância radial elementar dr por um ângulo elementar dθ e calcular uma integral dupla Entretanto existe um método mais simples de resolver o problema Na Fig 2416 considere um elemento de área constituído por um anel de raio R e largura radial dR A carga desse elemento é dada por dq σ2πRdR em que 2πRdR é a área do anel Como o ponto P está no eixo central todas as partes do elemento de carga estão à mesma distância r do ponto Com a ajuda da Fig 2416 podemos usar a Eq 2431 para escrever a contribuição do anel para o potencial elétrico no ponto P na forma Para calcular o potencial total somamos por integração as contribuições de todos os anéis de R 0 a R R Note que a variável de integração na segunda integral da Eq 2437 é R e não z que permanece constante enquanto a integração ao longo da superfície do disco está sendo executada Observe também que no cálculo da integral supusemos que z 0 Figura 2416 Um disco de plástico de raio R com uma densidade de carga uniforme σ na superfície superior Estamos interessados em calcular o potencial V em um ponto P do eixo central do disco 246 CÁLCULO DO CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2423 Dado um potencial elétrico em função da posição ao longo de um eixo calcular o campo elétrico ao longo do eixo 2424 Dado um gráfico do potencial elétrico em função da posição ao longo de um eixo calcular o potencial elétrico ao longo do eixo 2425 No caso de um campo elétrico uniforme conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico e a distância x e a diferença de potencial V entre planos equipotenciais vizinhos 2426 Conhecer a relação entre o sentido do campo elétrico é o sentido no qual o potencial aumenta ou diminui IdeiasChave A componente do campo elétrico em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância nessa direção As componentes x y e z do campo são dadas pelas seguintes equações Quando o campo é uniforme as equações anteriores se reduzem a em que s é perpendicular às superfícies equipotenciais A componente do campo elétrico paralela a uma superfície equipotencial é sempre nula Figura 2417 Uma carga de prova positiva q0 sofre um deslocamento de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha A distância entre as superfícies foi exagerada na figura O deslocamento faz um ângulo θ com o campo elétrico Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial No Módulo 242 vimos que era possível calcular o potencial em um ponto f a partir do conhecimento do valor do campo elétrico ao longo de uma trajetória de um ponto de referência até o ponto f Neste módulo vamos discutir o problema inverso ou seja o cálculo do campo elétrico a partir do potencial Como se pode ver na Fig 245 resolver este problema graficamente é muito fácil Se conhecemos o potencial V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas podemos desenhar uma família de superfícies equipotenciais As linhas de campo elétrico desenhadas perpendicularmente a essas superfícies revelam a variação de O que estamos buscando é um método matemático equivalente ao processo gráfico A Fig 2417 mostra seções retas de uma família de superfícies equipotenciais muito próximas umas das outras a diferença de potencial entre superfícies vizinhas é dV Como sugere a figura o campo em um ponto P qualquer é perpendicular à superfície equipotencial que passa por P Suponha que uma carga de prova positiva q0 sofra um deslocamento de uma superfície equipotencial para a superfície vizinha De acordo com a Eq 246 o trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga de prova durante o deslocamento é q0dV De acordo com a Eq 2416 e a Fig 24 17 o mesmo trabalho também pode ser escrito como o produto escalar q0 ou q0Ecos θd s Igualando as duas expressões para o trabalho obtemos ou Como E cos θ é a componente de na direção de a Eq 2439 se torna Escrevemos o campo E com um índice e substituímos o símbolo de derivada pelo de derivada parcial para ressaltar o fato de que a Eq 2440 envolve apenas a variação de V ao longo de certo eixo no caso o eixo que chamamos de s e apenas a componente de ao longo desse eixo Traduzindo em palavras a Eq 2440 que é essencialmente a operação inversa da Eq 2418 afirma o seguinte A componente de em qualquer direção do espaço é o negativo da taxa de variação com a distância do potencial elétrico nessa direção Se tomamos o eixo s como sucessivamente os eixos x y e z verificamos que as componentes de em qualquer ponto do espaço são dadas por Assim se conhecemos V para todos os pontos nas vizinhanças de uma distribuição de cargas ou seja se conhecemos a função Vx y z podemos obter as componentes de e portanto o próprio calculando o valor de três derivadas parciais No caso da situação simples em que o campo elétrico é uniforme a Eq 2440 se torna em que s é a direção perpendicular às superfícies equipotenciais A componente do campo elétrico é sempre nula na direção paralela a uma superfície equipotencial Teste 6 A figura mostra três pares de placas paralelas separadas pela mesma distância e o potencial elétrico de cada placa O campo elétrico entre as placas é uniforme e perpendicular às placas a Coloque os pares em ordem decrescente de acordo com o módulo do campo elétrico entre as placas b Para que par de placas o campo elétrico aponta para a direita c Se um elétron é liberado a partir do repouso a meio caminho entre as duas placas do terceiro par o elétron permanece no mesmo lugar começa a se mover para a direita com velocidade constante começa a se mover para a esquerda com velocidade constante é acelerado para a direita ou é acelerado para a esquerda Exemplo 2405 Cálculo do campo a partir do potencial O potencial elétrico em um ponto do eixo central de um disco uniformemente carregado é dado pela Eq 2437 A partir dessa equação determine uma expressão para o campo elétrico em qualquer ponto do eixo do disco IDEIASCHAVE Estamos interessados em calcular o campo elétrico em função da distância z ao longo do eixo do disco Para qualquer valor de z deve apontar ao longo do eixo do disco já que o disco possui simetria circular em relação a esse eixo Assim basta conhecermos a componente Ez de Essa componente é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância z Cálculo De acordo com a terceira das Eqs 2441 podemos escrever Tratase da mesma expressão que foi obtida por integração no Módulo 225 usando a lei de Coulomb 247 ENERGIA POTENCIAL ELÉTRICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS CARREGADAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2427 Saber que a energia potencial total de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho que uma força deve realizar para montar o sistema começando com as partículas separadas por uma distância infinita 2428 Calcular a energia potencial de duas partículas carregadas 2429 Saber que se um sistema é composto por mais de duas partículas carregadas a energia potencial total é igual à soma das energias potenciais de todos os pares de partículas 2430 Aplicar a lei de conservação da energia mecânica a um sistema de partículas carregadas 2431 Calcular a velocidade de escape de uma partícula carregada que pertence a um sistema de partículas carregadas a menor velocidade inicial necessária para que a partícula se afaste indefinidamente do sistema IdeiaChave A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema começando com as partículas separadas por uma distância infinita No caso de duas partículas separadas por uma distância r Figura 2418 Duas cargas separadas por uma distância r Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas Neste módulo vamos calcular a energia potencial de um sistema de duas partículas carregadas e em seguida discutir brevemente como o resultado pode ser estendido a um sistema com mais de duas partículas Nosso ponto de partida é examinar o trabalho que um agente externo precisa realizar para colocar duas partículas que estão inicialmente separadas por uma grande distância a uma pequena distância uma da outra e estacionárias Se as cargas das partículas têm o mesmo sinal as partículas se repelem o trabalho é positivo e a energia potencial final do sistema de duas partículas é positiva Se as cargas das partículas têm sinais opostos as partículas se atraem o trabalho é negativo e a energia potencial final do sistema de duas partículas é negativa Vamos examinar em detalhes o processo de construção do sistema de duas partículas da Fig 2418 em que a partícula 1 de carga positiva q1 e a partícula 2 de carga positiva q2 estão separadas por uma distância r O resultado também pode ser aplicado a sistemas nos quais as duas partículas têm carga negativa ou têm cargas opostas Começamos com a partícula 2 fixada no lugar e a partícula 1 a uma distância infinita e vamos chamar de Ui a energia potencial inicial do sistema de duas partículas Em seguida deslocamos a partícula 1 até a posição final e chamamos de Uf a energia potencial final do sistema O trabalho realizado sobre o sistema produz uma variação de energia potencial ΔU Uf Ui Usando a Eq 244 ΔU qVf Vi podemos relacionar ΔU à diferença entre o potencial da posição inicial da partícula 1 e o potencial da posição final Vamos calcular esses termos A energia potencial inicial é Ui 0 já que as partículas estão na configuração de referência veja o Módulo 241 Os dois potenciais da Eq 2443 são produzidos pela partícula 2 e são dados pela Eq 2426 De acordo com a Eq 2444 quando a partícula 1 está na posição inicial r o potencial é Vi 0 Quando a partícula 1 está na posição final r r e o potencial é Substituindo esses resultados na Eq 2443 e eliminando o índice f obtemos a seguinte expressão para a energia potencial da configuração final A Eq 2446 inclui os sinais das duas cargas Se as cargas têm o mesmo sinal U é positiva se as cargas têm sinais opostos U é negativa Para introduzir no sistema uma terceira partícula de carga q3 repetimos o cálculo começando com a partícula 3 a uma distância infinita e deslocandoa para uma posição final a uma distância r31 da partícula 1 e a uma distância r32 da partícula 2 O potencial Vf da partícula 3 na posição final é a soma algébrica do potencial V1 produzido pela partícula 1 e o potencial V2 produzido pela partícula 2 Executando o cálculo constatamos que A energia potencial total de um sistema de partículas é a soma das energias potenciais de todos os pares de partículas do sistema Esse resultado pode ser aplicado a sistemas com um número qualquer de partículas Depois de obter uma expressão para a energia potencial de um sistema de partículas podemos aplicar ao sistema a lei de conservação da energia expressa pela Eq 2410 Assim por exemplo em um sistema formado por muitas partículas podemos calcular a energia cinética e a velocidade de escape necessária para que uma das partículas se afaste indefinidamente das outras partículas Exemplo 2406 Energia potencial de um sistema de três partículas carregadas A Fig 2419 mostra três cargas pontuais mantidas fixas no lugar por forças não especificadas Qual é a energia potencial elétrica U desse sistema de cargas Suponha que d 12 cm e que q1 q q2 4q e q3 2q em que q 150 nC IDEIACHAVE A energia potencial U do sistema é igual ao trabalho necessário para montar o sistema começando com as cargas a uma distância infinita Cálculos Vamos montar mentalmente o sistema da Fig 2419 começando com uma das cargas pontuais no lugar q1 digamos e as outras no infinito Trazemos outra carga q2 do infinito e a colocamos no lugar Utilizando a Eq 2446 com d no lugar de r obtemos a seguinte expressão para a energia potencial associada ao par de cargas q1 e q2 Agora precisamos trazer a última carga pontual q3 do infinito e a colocar no lugar O trabalho para realizar esse último passo é igual à soma do trabalho para aproximar q3 de q1 com o trabalho para aproximar q3 de q2 De acordo com a Eq 2446 A energia potencial total U do sistema de três cargas é a soma das energias potenciais associada aos três pares de cargas O resultado que não depende da ordem em que as cargas são colocadas é o seguinte Figura 2419 Três cargas mantidas fixas nos vértices de um triângulo equilátero Qual é a energia potencial elétrica do sistema O fato de obtermos uma energia potencial negativa significa que um trabalho negativo teria que ser feito para montar a estrutura começando com as três cargas em repouso a uma distância infinita Dito de outra forma isso significa que um agente externo teria que executar um trabalho de 17 mJ para desmontar a estrutura e deixar as três cargas em repouso a uma distância infinita A lição que podemos extrair deste exemplo é a seguinte Para calcular a energia potencial de um sistema de partículas carregadas basta calcular a energia potencial de todos os pares de partículas do sistema e somar os resultados Exemplo 2407 Conversão de energia cinética em energia potencial elétrica Uma partícula alfa dois prótons e dois nêutrons se aproxima de um átomo de ouro estacionário 79 prótons e 118 nêutrons passando pela nuvem de elétrons e rumando diretamente para o núcleo Fig 2420 A partícula alfa diminui de velocidade até parar e inverte o movimento quando está a uma distância r 923 fm do centro do núcleo de ouro Como a massa do núcleo de ouro é muito maior que a da partícula alfa podemos supor que o núcleo de ouro se mantém imóvel durante o processo Qual era a energia cinética Ki da partícula alfa quando estava a uma distância muito grande e portanto do lado de fora do átomo de ouro Suponha que a única força entre a partícula alfa e o núcleo de ouro é a força eletrostática IDEIACHAVE Durante todo o processo a energia mecânica do sistema partícula alfa átomo de ouro é conservada Raciocínio Enquanto a partícula alfa está do lado de fora do átomo a energia potencial elétrica Ui do sistema é zero pois o átomo possui um número igual de elétrons e prótons que produzem um campo elétrico resultante nulo Quando a partícula alfa passa pela nuvem de elétrons o campo elétrico criado pelos elétrons do átomo de ouro se anula Isso acontece porque os elétrons se comportam como uma casca carregada com uma densidade uniforme de cargas negativas e como vimos no Módulo 236 o campo produzido por uma casca desse tipo é zero na região envolvida pela casca Por outro lado a partícula alfa continua a experimentar os efeitos do campo elétrico criado pelo núcleo que exerce uma força de repulsão sobre os prótons da partícula alfa Enquanto a partícula alfa está sendo desacelerada por essa força de repulsão a energia cinética da partícula é transformada progressivamente em energia potencial elétrica do sistema A transformação é total no momento em que a partícula alfa para momentaneamente e a energia cinética Kf da partícula alfa se anula Figura 2420 Uma partícula alfa rumando diretamente para o centro de um núcleo de ouro para momentaneamente no instante em que toda a energia cinética se converteu em energia potencial elétrica e em seguida passa a se mover no sentido oposto Cálculos De acordo com a lei de conservação da energia mecânica Conhecemos dois termos da Eq 2447 Ui 0 e Kf 0 Sabemos também que a energia potencial Uf no instante em que a velocidade da partícula alfa se anula é dada pelo lado direito da Eq 2446 com q1 2e q2 79e em que e é a carga elementar 160 1019 C e r 923 fm Assim de acordo com a Eq 2447 248 POTENCIAL DE UM CONDUTOR CARREGADO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2432 Saber que uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui até que o potencial seja o mesmo em todos os pontos da superfície do condutor 2433 No caso de uma casca condutora esférica carregada desenhar gráficos do potencial e do módulo do campo elétrico em função da distância do centro da casca 2434 No caso de uma casca condutora esférica carregada saber que o campo elétrico no interior da casca é zero o potencial no interior da casca é igual ao potencial da superfície e o campo elétrico e o potencial do lado de fora da casca são os mesmos que se toda a carga estivesse concentrada no centro da casca 2435 No caso de uma casca condutora cilíndrica carregada saber que o campo elétrico no interior da casca é zero o potencial no interior da casca é igual ao potencial na superfície e o campo elétrico e o potencial do lado de fora da casca são os mesmos que se toda a carga estivesse concentrada em uma linha de carga no eixo central do cilindro IdeiasChave No estado de equilíbrio toda a carga em excesso de um condutor está concentrada na superfície externa do condutor O potencial é o mesmo em todos os pontos de um condutor incluindo os pontos internos Se um condutor carregado é submetido a um campo elétrico externo o campo elétrico externo é cancelado em todos os pontos internos do condutor O campo elétrico é perpendicular à superfície em todos os pontos de um condutor Potencial de um Condutor Carregado No Módulo 233 concluímos que 0 em todos os pontos do interior de um condutor Em seguida usamos a lei de Gauss para demonstrar que qualquer carga em excesso colocada em um condutor se acumula na superfície externa Isso acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna Vamos agora usar o primeiro desses fatos para provar uma extensão do segundo Uma carga em excesso colocada em um condutor se distribui na superfície do condutor de tal forma que o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor tanto na superfície como no interior Isto acontece mesmo que o condutor tenha uma cavidade interna e mesmo que a cavidade interna contenha uma carga elétrica Essa afirmação é uma consequência direta da Eq 2418 segundo a qual Como 0 em todos os pontos no interior de um condutor Vi Vf para qualquer par de pontos i e j no interior do condutor A Fig 2421a mostra um gráfico do potencial elétrico em função da distância r do centro de uma casca esférica condutora com 10 m de raio e uma carga de 10 μC Para pontos do lado de fora da casca podemos calcular Vr usando a Eq 2426 já que a carga q se comporta para os pontos externos como se estivesse concentrada no centro da casca Essa equação é válida até a superfície da casca Vamos agora supor que uma carga de prova seja introduzida na casca através de um pequeno furo e deslocada até o centro da casca Não é necessário nenhum trabalho para realizar o deslocamento uma vez que a força eletrostática é nula em todos os pontos do lado de dentro da casca e portanto o potencial em todos os pontos do lado de dentro da casca é igual ao potencial na superfície da casca como na Fig 2421a A Fig 2421b mostra a variação do campo elétrico com a distância radial para a mesma casca Observe que E 0 em todos os pontos situados no interior da casca Segundo a Eq 2440 o gráfico da Fig 2421b pode ser obtido a partir do gráfico da Fig 2421a derivando o gráfico da Fig 2421a em relação a r lembrese de que a derivada de uma constante é zero De acordo com a Eq 2419 o gráfico da Fig 2421a pode ser obtido a partir do gráfico da Fig 2421b integrando o gráfico da Fig 2418b em relação a r Centelhamento de um Condutor Carregado Nos condutores não esféricos uma carga superficial não se distribui uniformemente na superfície do condutor Em vértices e arestas a densidade de cargas superficiais e portanto o campo elétrico externo que é proporcional à densidade de cargas superficiais pode atingir valores muito elevados Nas vizinhanças desses vértices e arestas o ar pode se ionizar produzindo as centelhas que golfistas e montanhistas observam na ponta de arbustos em tacos de golfe e em martelos de alpinismo quando o céu está carregado As centelhas como o cabelo em pé podem ser um sinal de que um relâmpago está para acontecer Nessas circunstâncias é mais prudente abrigarse no interior de uma casca condutora local onde o campo elétrico com certeza é zero Um carro a menos que se trate de um modelo conversível ou com carroceria de plástico constitui uma proteção quase ideal Fig 2422 Condutor em um Campo Elétrico Externo Se um objeto feito de um material condutor é submetido a um campo elétrico externo como na Fig 24 23 o potencial continua a ser igual em todos os pontos do objeto Os elétrons de condução se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico que eles produzem no interior do objeto cancela o campo elétrico externo Além disso a distribuição de elétrons faz com que o campo elétrico total seja perpendicular à superfície em todos os pontos da superfície Se houvesse um meio de remover o condutor da Fig 2423 deixando as cargas superficiais no lugar a configuração de campo elétrico permaneceria exatamente a mesma tanto para os pontos externos como para os pontos internos Figura 2421 a Gráfico de Vr para pontos no interior e no exterior de uma casca esférica com 10 m de raio b Gráfico de Er para a mesma casca Cortesia de Westinghouse Electric Corporation Figura 2422 Uma forte descarga elétrica atinge um automóvel e chega à terra através de uma centelha que parte da calota do pneu dianteiro esquerdo observe o clarão sem fazer mal ao motorista Figura 2423 Um condutor descarregado submetido a um campo elétrico externo Os elétrons livres do condutor se distribuem na superfície de tal forma que o campo elétrico no interior do objeto é nulo e o campo elétrico na superfície é perpendicular à superfície Revisão e Resumo Potencial Elétrico O potencial elétrico V em um ponto P onde existe um campo elétrico produzido por um objeto carregado é dado por em que W é o trabalho que seria realizado por uma força elétrica sobre uma carga de prova positiva q0 para deslocála de uma distância infinita até o ponto P e U é a energia potencial do sistema carga de provaobjeto carregado na configuração final Energia Potencial Elétrica Se uma partícula de carga q é colocada em um ponto no qual a energia potencial produzida por um objeto carregado é V a energia potencial elétrica U do sistema partícula objeto é dada por Se uma partícula atravessa uma região onde existe uma diferença de potencial V a variação da energia potencial elétrica é dada por Energia Cinética De acordo com a lei de conservação da energia mecânica se uma partícula atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica sem ser submetida a uma força externa a variação da energia cinética da partícula é dada por Se a partícula atravessa uma região onde existe uma variação ΔV da energia potencial elétrica enquanto é submetida a uma força externa que exerce um trabalho Wext sobre a partícula a variação da energia cinética da partícula é dada por No caso especial em que ΔK 0 o trabalho de uma força externa envolve apenas o movimento da partícula na presença de uma diferença de potencial Superfícies Equipotenciais Os pontos que pertencem a uma superfície equipotencial possuem o mesmo potencial elétrico O trabalho realizado sobre uma carga de prova para deslocála de uma superfície equipotencial para outra não depende da localização dos pontos inicial e final nem da trajetória entre os pontos O campo elétrico é sempre perpendicular à superfície equipotencial correspondente Cálculo de V a Partir de A diferença de potencial elétrico entre dois pontos i e f é dada por em que a integral é calculada ao longo de qualquer trajetória que comece no ponto i e termine no ponto f Se tomamos como referência o potencial Vi 0 o potencial em um ponto qualquer é dado por No caso especial de um campo uniforme de módulo E a diferença de potencial entre dois planos equipotenciais vizinhos paralelos separados por uma distância Δx é dada por Potencial Produzido por uma Partícula Carregada O potencial elétrico produzido por uma partícula carregada a uma distância r da partícula é dado por em que V tem o mesmo sinal de q O potencial produzido por um conjunto de cargas pontuais é dado por Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico A uma distância r de um dipolo elétrico com um momento dipolar elétrico p qd o potencial elétrico do dipolo é dado por para r d o ângulo θ é definido na Fig 2413 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga No caso de uma distribuição contínua de carga a Eq 2427 se torna em que a integral é calculada para toda a distribuição Cálculo de a Partir de V A componente de em qualquer direção é o negativo da taxa de variação do potencial com a distância na direção considerada As componentes x y e z de são dadas por Se é uniforme a Eq 2440 se reduz a em que s é a direção perpendicular às superfícies equipotenciais Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas A energia potencial elétrica de um sistema de partículas carregadas é igual ao trabalho necessário para montar o sistema com as cargas inicialmente em repouso e a uma distância infinita umas das outras Para duas cargas separadas por uma distância r Potencial de um Condutor Carregado Em equilíbrio toda a carga em excesso de um condutor está concentrada na superfície externa do condutor A carga se distribui de tal forma que 1 o potencial é o mesmo em todos os pontos do condutor 2 o campo elétrico é zero em todos os pontos do condutor mesmo na presença de um campo elétrico externo 3 o campo elétrico em todos os pontos da superfície é perpendicular à superfície Perguntas 1 Na Fig 2424 oito partículas formam um quadrado com uma distância d entre as partículas vizinhas Qual é o potencial P no centro do quadrado se o potencial é zero no infinito 2 A Fig 2425 mostra três conjuntos de superfícies equipotenciais vistas de perfil os três conjuntos cobrem uma região do espaço com as mesmas dimensões a Coloque os conjuntos na ordem decrescente do módulo do campo elétrico existente na região b Em que conjunto o campo elétrico aponta para baixo Figura 2424 Pergunta 1 Figura 2425 Pergunta 2 3 A Fig 2426 mostra quatro pares de partículas carregadas Para cada par faça V 0 no infinito e considere Vtot em pontos do eixo x Para que pares existe um ponto no qual Vtot 0 a entre as partículas e b à direita das partículas c Nos pontos dos itens a e b tot também é zero d Para cada par existem pontos fora do eixo x além de pontos no infinito para os quais Vtot 0 Figura 2426 Perguntas 3 e 9 4 A Fig 2427 mostra o potencial elétrico V em função de x a Coloque as cinco regiões na ordem decrescente do valor absoluto da componente x do campo elétrico Qual é o sentido do campo elétrico b na região 2 e c na região 4 Figura 2427 Pergunta 4 5 A Fig 2428 mostra três trajetórias ao longo das quais podemos deslocar a esfera A positivamente carregada aproximandoa da esfera B também positivamente carregada que é mantida fixa no lugar a O potencial da esfera A é maior ou menor após o deslocamento O trabalho realizado b pela força usada para deslocar a esfera A e c pelo campo elétrico produzido pela esfera B é positivo negativo ou nulo d Coloque as trajetórias na ordem decrescente do trabalho realizado pela força do item b Figura 2428 Pergunta 5 6 A Fig 2429 mostra quatro arranjos de partículas carregadas todas à mesma distância da origem Ordene os arranjos de acordo com o potencial na origem começando pelo mais positivo Tome o potencial como zero no infinito Figura 2429 Pergunta 6 7 A Fig 2430 mostra um conjunto de três partículas carregadas Se a partícula de carga q é deslocada por uma força externa do ponto A para o ponto D determine se as grandezas a seguir são positivas negativas ou nulas a a variação da energia potencial elétrica b o trabalho realizado pela força eletrostática sobre a partícula que foi deslocada e c o trabalho realizado pela força externa d Quais seriam as respostas dos itens a b e c se a partícula fosse deslocada do ponto B para o ponto C Figura 2430 Perguntas 7 e 8 8 Na situação da Pergunta 7 determine se o trabalho realizado pela força externa será positivo negativo ou nulo se a partícula for deslocada a de A para B b de B para C e c de B para D d Coloque os deslocamentos na ordem decrescente do trabalho realizado pela força externa 9 A Fig 2426 mostra quatro pares de partículas carregadas com a mesma separação a Ordene os pares de acordo com a energia potencial elétrica começando pela maior mais positiva b Para cada par se a distância entre as partículas aumenta a energia potencial do par aumenta ou diminui 10 a Na Fig 2431a qual é o potencial no ponto P devido à carga Q situada a uma distância R de P Considere V 0 no infinito b Na Fig 2431b a mesma carga Q foi distribuída uniformemente em um arco de circunferência de raio R e ângulo central 40o Qual é o potencial no ponto P o centro de curvatura do arco c Na Fig 2431c a mesma carga Q foi distribuída uniformemente em uma circunferência de raio R Qual é o potencial no ponto P o centro da circunferência d Coloque as três situações na ordem decrescente do módulo do campo elétrico no ponto P Figura 2431 Pergunta 10 11 A Fig 2432 mostra uma barra fina com uma distribuição de carga uniforme e três pontos situados à mesma distância d da barra Coloque os pontos na ordem decrescente do módulo do potencial elétrico produzido pela barra em cada ponto Figura 2432 Pergunta 11 12 Na Fig 2433 uma partícula é liberada com velocidade zero no ponto A e acelerada por um campo elétrico na direção do ponto B A diferença de potencial entre os pontos A e B é 100 V Qual dos pontos deve estar a um ponto de maior potencial se a partícula for a um elétron b um próton e c uma partícula alfa um núcleo com dois prótons e dois nêutrons d Coloque as partículas na ordem decrescente na energia cinética que possuem ao atingirem o ponto B Figura 2433 Pergunta 12 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 241 Potencial Elétrico 1 Uma bateria de automóvel de 12 V pode fazer passar uma carga de 84 A h ampèreshoras por um circuito de um terminal para o outro da bateria a A quantos coulombs corresponde essa quantidade de carga Sugestão Veja a Eq 213 b Se toda a carga sofre uma variação de potencial elétrico de 12 V qual é a energia envolvida 2 A diferença de potencial elétrico entre a terra e uma nuvem de tempestade é 12 109 V Qual é o módulo da variação da energia potencial elétrica de um elétron que se desloca da nuvem para a terra Expresse a resposta em elétronsvolts 3 Suponha que em um relâmpago a diferença de potencial entre uma nuvem e a terra é 10 109 V e a carga transferida pelo relâmpago é 30 C a Qual é a variação da energia da carga transferida b Se toda a energia liberada pelo relâmpago pudesse ser usada para acelerar um carro de 1000 kg qual seria a velocidade final do carro Módulo 242 Superfícies Equipotenciais e o Campo Elétrico 4 Duas placas paralelas condutoras de grande extensão estão separadas por uma distância de 12 cm e possuem densidades superficiais de cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas faces internas Uma força eletrostática de 39 1015 N age sobre um elétron colocado na região entre as duas placas Despreze o efeito de borda a Determine o campo elétrico na posição do elétron b Determine a diferença de potencial entre as placas 5 Uma placa infinita isolante possui uma densidade superficial de carga σ 010 μCm2 em uma das faces Qual é a distância entre duas superfícies equipotenciais cujos potenciais diferem de 50 V 6 Na Fig 2434 quando um elétron se desloca de A para B ao longo de uma linha de campo elétrico o campo elétrico realiza um trabalho de 394 1019 J Qual é a diferença de potencial elétrico a VB VA b VC VA e c VC VB Figura 2434 Problema 6 7 O campo elétrico em uma região do espaço tem componentes Ey Ez 0 e Ex 400 NCx O ponto A está no eixo y em y 300 m e o ponto B está no eixo x em x 400 m Qual é a diferença de potencial VB VA 8 A Fig 2435 mostra um gráfico da componente x do campo elétrico em função de x em certa região do espaço A escala do eixo vertical é definida por Exs 200 NC As componentes y e z do campo elétrico são nulas em toda a região Se o potencial elétrico na origem é 10 V a qual é o potencial elétrico em x 20 m b Qual é o maior valor positivo do potencial elétrico em pontos do eixo x para os quais 0 x 60 m c Para qual valor de x o potencial elétrico é zero Figura 2435 Problema 8 9 Uma placa isolante infinita possui uma densidade superficial de carga σ 580 pCm2 a Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico produzido pela placa se uma partícula de carga q 160 1019 C é deslocada da superfície da placa para um ponto P situado a uma distância d 356 cm da superfície da placa b Se o potencial elétrico V é definido como zero na superfície da placa qual é o valor de V no ponto P 10 Dois planos infinitos isolantes uniformemente carregados são paralelos ao plano yz e estão posicionados em x 50 cm e x 50 cm As densidades de carga dos planos são 50 nCm2 e 25 nCm2 respectivamente Qual é o valor absoluto da diferença de potencial entre a origem e o ponto do eixo x em x 80 cm Sugestão Use a lei da Gauss 11 Uma esfera isolante tem raio R 231 cm e carga uniformemente distribuída q 350 fC Considere o potencial elétrico no centro da esfera como V0 0 Determine o valor de V para uma distância radial a r 145 cm e b r R Sugestão Veja o Módulo 236 Módulo 243 Potencial Produzido por uma Partícula Carregada 12 Quando um ônibus espacial atravessa a ionosfera da Terra formada por gases rarefeitos e ionizados o potencial da nave varia de aproximadamente 10 V a cada revolução Supondo que o ônibus espacial é uma esfera com 10 m de raio estime a carga elétrica recolhida a cada revolução 13 Determine a a carga e b a densidade superficial de cargas de uma esfera condutora de 015 m de raio cujo potencial é 200 V considerando V 0 no infinito 14 Considere uma partícula com carga q 10 μC o ponto A a uma distância d1 20 m da partícula e o ponto B a uma distância d2 10 m da partícula a Se A e B estão diametralmente opostos como na Fig 2436a qual é a diferença de potencial elétrico VA VB b Qual é a diferença de potencial elétrico se A e B estão localizados como na Fig 2436b Figura 2436 Problema 14 15 Uma gota dágua esférica com uma carga de 30 pC tem um potencial de 500 V na superfície com V 0 no infinito a Qual é o raio da gota b Se duas gotas de mesma carga e mesmo raio se combinam para formar uma gota esférica qual é o potencial na superfície da nova gota 16 A Fig 2437 mostra um arranjo retangular de partículas carregadas mantidas fixas no lugar com a 390 cm e as cargas indicadas como múltiplos inteiros de q1 340 pC e q2 600 pC Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no centro do retângulo Sugestão Examinando o problema com atenção é possível reduzir consideravelmente os cálculos Figura 2437 Problema 16 17 Qual é o potencial elétrico produzido pelas quatro partículas da Fig 2438 no ponto P se V 0 no infinito q 500 fC e d 400 cm Figura 2438 Problema 17 18 A Fig 2439a mostra duas partículas carregadas A partícula 1 de carga q1 é mantida fixa no lugar a uma distância d da origem A partícula 2 de carga q2 pode ser deslocada ao longo do eixo x A Fig 2439b mostra o potencial elétrico V na origem em função da coordenada x da partícula 2 A escala do eixo x é definida por xs 160 cm O gráfico tende assintoticamente para V 576 107 V quando x Qual é o valor de q2 em termos de e Figura 2439 Problema 18 19 Na Fig 2440 partículas de cargas q1 5e e q2 15e são mantidas fixas no lugar separadas por uma distância d 240 cm Considerando V 0 no infinito determine o valor de x a positivo e b negativo para o qual o potencial elétrico do eixo x é zero Figura 2440 Problemas 19 e 20 20 Na Fig 2440 duas partículas de cargas q1 e q2 estão separadas por uma distância d O campo elétrico produzido em conjunto pelas duas partículas é zero em x d4 Com V 0 no infinito determine em termos de d os pontos do eixo x além do infinito em que o potencial elétrico é zero Módulo 244 Potencial Produzido por um Dipolo Elétrico 21 A molécula de amoníaco NH3 possui um dipolo elétrico permanente de 147 D em que 1 D 1 debye 334 1030 C m Calcule o potencial elétrico produzido por uma molécula de amoníaco em um ponto do eixo do dipolo a uma distância de 520 nm Considere V 0 no infinito 22 Na Fig 2441a uma partícula de carga e está inicialmente no ponto z 20 nm do eixo de um dipolo elétrico do lado positivo do dipolo A origem do eixo z é o centro do dipolo A partícula é deslocada em uma trajetória circular em torno do centro do dipolo até a coordenada z 20 nm A Fig 2441b mostra o trabalho Wa realizado pela força responsável pelo deslocamento da partícula em função do ângulo θ o qual define a localização da partícula A escala do eixo vertical é definida por Was 40 1030 J Qual é o módulo do momento dipolar Figura 2441 Problema 22 Módulo 245 Potencial Produzido por uma Distribuição Contínua de Carga 23 a A Fig 2442a mostra uma barra isolante de comprimento L 600 cm e densidade linear de carga positiva uniforme λ 368 pCm Considere V 0 no infinito Qual é o valor de V no ponto P situado a uma distância d 800 cm acima do ponto médio da barra b A Fig 2442b mostra uma barra igual à do item a exceto pelo fato de que a metade da direita está carregada negativamente o valor absoluto da densidade linear de carga continua sendo 368 pCm em toda a barra Com V 0 no infinito qual é o valor de V no ponto P Figura 2442 Problema 23 24 Na Fig 2443 uma barra de plástico com uma carga uniformemente distribuída Q 256 pC tem a forma de um arco de circunferência de raio R 371 cm e ângulo central ϕ 120o Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no ponto P o centro de curvatura da barra Figura 2443 Problema 24 25 Uma barra de plástico tem a forma de uma circunferência de raio R 820 cm A barra possui uma carga Q1 420 pC uniformemente distribuída ao longo de um quarto de circunferência e uma carga Q2 6Q1 distribuída uniformemente ao longo do resto da circunferência Fig 2444 Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico a no centro C da circunferência e b no ponto P que está no eixo central da circunferência a uma distância D 671 cm do centro Figura 2444 Problema 25 26 A Fig 2445 mostra uma barra fina com uma densidade de carga uniforme de 200 μCm Determine o potencial elétrico no ponto P se d D L400 Suponha que o potencial é zero no infinito Figura 2445 Problema 26 27 Na Fig 2446 três barras finas de plástico têm a forma de quadrantes de circunferência com o mesmo centro de curvatura situado na origem As cargas uniformes das barras são Q1 30 nC Q2 30Q1 e Q3 80Q1 Determine o potencial elétrico na origem 1 2 3 Figura 2446 Problema 27 28 A Fig 2447 mostra uma barra fina de plástico que coincide com o eixo x A barra tem um comprimento L 120 cm e uma carga positiva uniforme Q 561 fC uniformemente distribuída Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo x a uma distância d 250 cm de uma das extremidades da barra Figura 2447 Problemas 28 33 38 e 40 29 Na Fig 2448 determine o potencial elétrico produzido na origem por um arco de circunferência de carga Q1 721 pC e duas partículas de cargas Q2 400Q1 e Q3 200Q1 O centro de curvatura do arco está na origem o raio do arco é R 200 m e o ângulo indicado é θ 200o Figura 2448 Problema 29 30 O rosto sorridente da Fig 2449 é formado por três elementos uma barra fina com carga de 30 μC e a forma de uma circunferência completa com 60 cm de raio uma segunda barra fina com carga de 20 μC e a forma de um arco de circunferência com 40 cm de raio concêntrico com o primeiro elemento que subtende um ângulo de 90o um dipolo elétrico cujo momento dipolar é perpendicular a um diâmetro da circunferência e cujo módulo é 128 1021 C m Figura 2449 Problema 30 Determine o potencial elétrico no centro da circunferência 31 Um disco de plástico de raio R 640 cm é carregado na face superior com uma densidade superficial de cargas uniforme 773 fCm2 em seguida três quadrantes do disco são removidos A Fig 2450 mostra o quadrante remanescente Com V 0 no infinito qual é o potencial produzido pelo quadrante remanescente no ponto P que está no eixo central do disco original a uma distância D 259 cm do centro do disco Figura 2450 Problema 31 32 Uma distribuição linear de carga não uniforme dada por λ bx em que b é uma constante está situada no eixo x entre x 0 e x 020 m Se b 20 nCm2 e V 0 no infinito determine o potencial elétrico a na origem e b no ponto y 015 m do eixo y 33 A barra fina de plástico que aparece na Fig 2447 tem um comprimento L 120 cm e uma densidade linear de carga não uniforme λ cx em que c 289 pCm2 Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P1 do eixo x a uma distância d 300 cm de uma das extremidades Módulo 246 Cálculo do Campo Elétrico a Partir do Potencial 34 Duas placas metálicas paralelas de grande extensão são mantidas a uma distância de 15 cm e possuem cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos nas superfícies internas Considere o potencial da placa negativa como zero Se o potencial a meio caminho entre as placas é 50 V qual é o campo elétrico na região entre as placas 35 O potencial elétrico no plano xy é dado por V 20 Vm2x2 30 Vm2y2 Qual é o campo elétrico no ponto 30 m 20 m na notação dos vetores unitários 36 O potencial elétrico V no espaço entre duas placas paralelas 1 e 2 é dado em volts por V 1500x2 em que x em metros é a distância da placa 1 Para x 13 cm a determine o módulo do campo elétrico b O campo elétrico aponta para a placa 1 ou no sentido oposto 37 Qual é o módulo do campo elétrico no ponto m se o potencial elétrico é dado por V 200xyz2 em que V está em volts e x y e z estão em metros 38 A Fig 2447 mostra uma barra fina de plástico de comprimento L 135 cm e carga de 436 fC uniformemente distribuída a Determine uma expressão para o potencial elétrico no ponto P1 em função da distância d b Substitua d pela variável x e escreva uma expressão para o módulo da componente Ex do campo elétrico no ponto P1 c Qual é o sentido de Ex em relação ao sentido positivo do eixo x d Qual é o valor de Ex no ponto P1 para x d 620 cm e Determine o valor de Ey no ponto P1 a partir da simetria da Fig 2447 39 Um elétron é colocado no plano xy onde o potencial elétrico varia com x e y de acordo com os gráficos da Fig 2451 o potencial não depende de z A escala do eixo vertical é definida por Vs 500 V Qual é a força a que é submetido o elétron na notação dos vetores unitários Figura 2451 Problema 39 40 A barra fina de plástico da Fig 2447 tem comprimento L 100 cm e uma densidade linear de carga não uniforme λ cx em que c 499 pCm a Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P2 situado no eixo y em y D 356 cm b Determine a componente do campo elétrico Ey no ponto P2 c Por que a componente Ex do campo em P2 não pode ser calculada usando o resultado do item a Módulo 247 Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas Carregadas 41 Uma partícula de carga 75 μC é liberada a partir do repouso no ponto x 60 cm A partícula começa a se mover devido à presença de uma carga Q que é mantida fixa na origem Qual é a energia cinética da partícula após se deslocar 40 cm a se Q 20 μC e b se Q 20 μC 42 a Qual é a energia potencial elétrica de dois elétrons separados por uma distância de 200 nm b Se a distância diminui a energia potencial aumenta ou diminui 43 Qual é o trabalho necessário para montar o arranjo da Fig 2452 se q 230 pC a 640 cm e as partículas estão inicialmente em repouso e infinitamente afastadas umas das outras Figura 2452 Problema 43 44 Na Fig 2453 sete partículas carregadas são mantidas fixas no lugar para formar um quadrado com 40 cm de lado Qual é o trabalho necessário para deslocar para o centro do quadrado uma partícula de carga 6e inicialmente em repouso a uma distância infinita Figura 2453 Problema 44 45 Uma partícula de carga q é mantida fixa no ponto P e uma segunda partícula de massa m com a mesma carga q é mantida inicialmente a uma distância r1 de P A segunda partícula é liberada Determine a velocidade da segunda partícula quando ela se encontra a uma distância r2 do ponto P Considere que q 31 μC m 20 mg r1 090 mm e r2 25 mm 46 Uma carga de 90 nC está distribuída uniformemente em um anel fino de plástico situado no plano yz com o centro do anel na origem Uma carga pontual de 60 pC está situada no ponto x 30 m do eixo x Se o raio do anel é 15 m qual deve ser o trabalho realizado por uma força externa sobre a carga pontual para deslocála até a origem 47 Qual é a velocidade de escape de um elétron inicialmente em repouso na superfície de uma esfera com 10 cm de raio e uma carga uniformemente distribuída de 16 1015 C Em outras palavras que velocidade inicial um elétron deve ter para chegar a uma distância infinita da esfera com energia cinética zero 48 Uma casca fina esférica condutora de raio R é montada em um suporte isolado e carregada até atingir um potencial de 125 V Em seguida um elétron é disparado na direção do centro da casca a partir do ponto P situado a uma distância r do centro da casca r R Qual deve ser a velocidade inicial v0 do elétron para que chegue a uma distância insignificante da casca antes de parar e inverter o movimento 49 Dois elétrons são mantidos fixos separados por uma distância de 20 cm Outro elétron é arremessado a partir do infinito e para no ponto médio entre os dois elétrons Determine a velocidade inicial do terceiro elétron 50 Na Fig 2454 determine o trabalho necessário para deslocar uma partícula de carga Q 16e inicialmente em repouso ao longo da reta tracejada do infinito até o ponto indicado nas proximidades de duas partículas fixas de cargas q1 4e e q2 q12 Suponha que d 140 cm θ1 43o e θ2 60o Figura 2454 Problema 50 51 No retângulo da Fig 2455 os comprimentos dos lados são 50 cm e 15 cm q1 50 μC e q2 20 μC Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico a no vértice A e b no vértice B c Determine o trabalho necessário para deslocar uma carga q3 30 μC de B para A ao longo da diagonal do retângulo d Esse trabalho faz a energia potencial elétrica do sistema de três partículas aumentar ou diminuir O trabalho será maior menor ou igual se a carga q3 for deslocada ao longo de uma trajetória e no interior do retângulo mas que não coincide com a diagonal e f do lado de fora do retângulo Figura 2455 Problema 51 52 A Fig 2456a mostra um elétron que se move ao longo do eixo de um dipolo elétrico em direção ao lado negativo do dipolo O dipolo é mantido fixo no lugar O elétron estava inicialmente a uma distância muito grande do dipolo com uma energia cinética de 100 eV A Fig 2456b mostra a energia cinética K do elétron em função da distância r em relação ao centro do dipolo A escala do eixo horizontal é definida por rs 010 m Qual é o módulo do momento dipolar Figura 2456 Problema 52 53 Duas pequenas esferas metálicas A e B de massas mA 500 g e mB 100 g possuem a mesma carga positiva q 500 μC As esferas estão ligadas por um fio isolante de massa desprezível e comprimento d 100 m muito maior que os raios das esferas a Qual é a energia potencial elétrica do sistema b Suponha que o fio seja cortado Qual é a aceleração de cada esfera nesse instante c Qual é a velocidade de cada esfera muito tempo depois de o fio ter sido cortado 54 Um pósitron de carga e massa igual à do elétron está se movendo a uma velocidade de 10 107 ms no sentido positivo do eixo x quando em x 0 encontra um campo elétrico paralelo ao eixo x A Fig 2457 mostra o potencial elétrico V associado ao campo A escala do eixo vertical é definida por Vs 5000 V a O pósitron emerge da região em que existe o campo em x 0 o que significa que o movimento se inverte ou em x 050 m o que significa que o movimento não se inverte b Com que velocidade o pósitron emerge da região Figura 2457 Problema 54 55 Um elétron é lançado com uma velocidade inicial de 32 105 ms em direção a um próton mantido fixo no lugar Se o elétron se encontra inicialmente a uma grande distância do próton a que distância do próton a velocidade instantânea do elétron é duas vezes maior que o valor inicial 56 A Fig 2458a mostra três partículas no eixo x A partícula 1 com uma carga de 50 μC e a partícula 2 com uma carga de 30 μC são mantidas fixas no lugar separadas por uma distância d 40 cm A partícula 3 pode ser deslocada ao longo do eixo x à direita da partícula 2 A Fig 2458b mostra a energia potencial elétrica U do sistema de três partículas em função da coordenada x da partícula 3 A escala do eixo vertical é definida por Us 50 J Qual é a carga da partícula 3 Figura 2458 Problema 56 57 Duas cargas de 50 μC são mantidas fixas no eixo x nos pontos x 30 m e x 30 m Uma partícula de carga q 15 μC é liberada a partir do repouso em um ponto situado no semieixo y positivo Devido à simetria da situação a partícula se move ao longo do eixo y e possui uma energia cinética de 12 J ao passar pelo ponto x 0 y 40 m a Qual é a energia cinética da partícula ao passar pela origem b Para qual valor negativo de y a partícula inverte o movimento 58 Um próton em um poço de potencial A Fig 2459 mostra o potencial elétrico V ao longo de um eixo x A escala do eixo vertical é definida por Vs 100 V Um próton é liberado no ponto x 35 cm com uma energia cinética inicial de 400 eV a Um próton que está se movendo inicialmente no sentido negativo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 0 b Um próton que está se movendo inicialmente no sentido positivo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 60 cm Determine c o módulo F e d a orientação sentido positivo ou negativo do eixo x da força elétrica a que o próton está submetido quando se encontra ligeiramente à esquerda do ponto x 30 cm Determine e o módulo F e f a orientação da força elétrica quando o próton se encontra ligeiramente à direita do ponto x 50 cm Figura 2459 Problema 58 59 Na Fig 2460 uma partícula carregada um elétron ou um próton está se movendo para a direita entre duas placas paralelas carregadas separadas por uma distância d 200 mm Os potenciais das placas são V1 700 V e V2 500 V A partícula partiu da placa da esquerda com uma velocidade inicial de 900 kms mas a velocidade está diminuindo a A partícula é um elétron ou um próton b Qual é a velocidade da partícula ao chegar à placa 2 Figura 2460 Problema 59 60 Na Fig 2461a um elétron é deslocado a partir de uma distância infinita para um ponto situado a uma distância R 800 cm de uma pequena esfera carregada O trabalho necessário para executar o deslocamento é W 216 1013 J a Qual é a carga Q da esfera Na Fig 2461b a esfera foi cortada em pedaços e os pedaços foram espalhados de tal forma que cargas iguais ocupam as posições das horas no mostrador circular de um relógio de raio R 800 cm O elétron é deslocado a partir de uma distância infinita até o centro do mostrador b Qual é a variação da energia potencial elétrica do sistema com a adição do elétron ao sistema de 12 partículas carregadas Figura 2461 Problema 60 61 Suponha que N elétrons possam ser colocados em duas configurações diferentes Na configuração 1 todos os elétrons estão distribuídos uniformemente ao longo de um anel circular estreito de raio R Na configuração 2 N 1 elétrons estão distribuídos uniformemente ao longo do anel e o elétron restante é colocado no centro do anel a Qual é o menor valor de N para o qual a segunda configuração possui menor energia que a primeira b Para esse valor de N considere um dos elétrons do anel e0 Quantos elétrons do anel estão mais próximos de e0 que o elétron central Módulo 248 Potencial de um Condutor Carregado 62 A esfera 1 de raio R1 possui uma carga positiva q A esfera 2 de raio 200R1 está muito afastada da esfera 1 e inicialmente descarregada Quando as esferas são ligadas por um fio suficientemente fino para que a carga que contém possa ser desprezada a o potencial V1 da esfera 1 se torna maior menor ou igual ao potencial V2 da esfera 2 b Que fração da carga q permanece na esfera 1 c Que fração da carga q é transferida para a esfera 2 d Qual é a razão σ1σ2 entre as cargas das duas esferas 63 Os centros de duas esferas metálicas ambas com 30 cm de raio estão separados por uma distância de 20 m A esfera 1 possui uma carga de 10 108 C e a esfera 2 possui uma carga de 30 108 C Suponha que a distância entre as esferas seja suficiente para que se possa supor que a carga das esferas está uniformemente distribuída ou seja suponha que as esferas não se afetam mutuamente Com V 0 no infinito determine a o potencial no ponto a meio caminho entre os centros das esferas b o potencial na superfície da esfera 1 e c o potencial na superfície da esfera 2 64 Uma esfera oca de metal possui um potencial de 400 V em relação à terra definida como V 0 e uma carga de 5 109 C Determine o potencial elétrico no centro da esfera 65 Qual é a carga em excesso de uma esfera condutora de raio r 015 m se o potencial da esfera é 1500 V e V 0 no infinito 66 Duas cascas condutoras concêntricas têm raios R1 0500 m e R2 100 m cargas uniformes q1 200 μC e q2 100 μC e espessura insignificante Determine o módulo do campo elétrico E a uma distância do centro de curvatura das cascas a r 400 b r 0700 m e c r 0200 m Com V 0 no infinito determine V para d r 400 m e r 100 m f r 0700 m g r 0500 m h r 0200 m e i r 0 j Plote Er e Vr 67 Uma esfera metálica com 15 cm de raio possui uma carga de 30 108 C a Qual é o campo elétrico na superfície da esfera b Se V 0 no infinito qual é o potencial elétrico na superfície da esfera c A que distância da superfície da esfera o potencial é 500 V menor que na superfície da esfera Problemas Adicionais 68 As cargas e coordenadas de duas cargas pontuais situadas no plano xy são q1 300 106 C x 350 cm y 0500 cm e q2 400 106 C x 200 cm y 150 cm Qual é o trabalho necessário para colocar as cargas nas posições especificadas supondo que a distância inicial entre elas é infinita 69 Um cilindro condutor longo tem 20 cm de raio O campo elétrico na superfície do cilindro é 160 NC orientado radialmente para longe do eixo Sejam A B e C pontos situados respectivamente a 10 cm 20 cm e 50 cm de distância do eixo do cilindro Determine a o módulo do campo elétrico no ponto C b a diferença de potencial VB VC e c a diferença de potencial VA VB 70 O mistério do chocolate em pó Essa história começa no Problema 60 do Capítulo 23 a A partir da resposta do item a do citado problema determine uma expressão para o potencial elétrico em função da distância r do eixo do cano O potencial é zero na parede do cano que está ligado à terra b Para uma densidade volumétrica de carga típica ρ 11 103 Cm3 qual é a diferença de potencial elétrico entre o eixo do cano e a parede interna A história continua no Problema 60 do Capítulo 25 71 A partir de Eq 2430 escreva uma expressão para o campo elétrico produzido por um dipolo em um ponto do eixo do dipolo 72 O módulo E de um campo elétrico varia com a distância r segundo a equação E Ar4 em que A é uma constante em voltsmetros cúbicos Em termos de A qual é o valor absoluto da diferença de potencial elétrico entre os pontos r 200 m e r 300 m 73 a Se uma esfera condutora com 10 cm de raio tem uma carga de 40 μC e se V 0 no infinito qual é o potencial na superfície da esfera b Esta situação é possível dado que o ar em torno da esfera sofre ruptura dielétrica quando o campo ultrapassa 30 MVm 74 Três partículas de cargas q1 10 μC q2 20 μC e q3 30 μC são posicionadas nos vértices de um triângulo isósceles como mostra a Fig 2462 Se a 10 cm e b 60 cm determine qual deve ser o trabalho realizado por um agente externo a para trocar as posições de q1 e q3 e b para trocar as posições de q1 e q2 Figura 2462 Problema 74 75 Um campo elétrico de aproximadamente 100 Vm é frequentemente observado nas vizinhanças da superfície terrestre Se esse campo existisse na Terra inteira qual seria o potencial elétrico de um ponto da superfície Considere V 0 no infinito 76 Uma esfera gaussiana com 400 cm de raio envolve uma esfera com 100 cm de raio que contém uma distribuição uniforme de cargas As duas esferas são concêntricas e o fluxo elétrico através da superfície da esfera gaussiana é 560 104 N m2C Qual é o potencial elétrico a 120 cm do centro das esferas 77 Em uma experiência de Millikan com gotas de óleo Módulo 226 um campo elétrico uniforme de 192 105 NC é mantido na região entre duas placas separadas por uma distância de 150 cm Calcule a diferença de potencial entre as placas 78 A Fig 2463 mostra três arcos de circunferência isolantes de raio R 850 cm As cargas dos arcos são q1 452 pC q2 200q1 e q3 300q1 Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico dos arcos no centro de curvatura comum Figura 2463 Problema 78 79 Um elétron é liberado a partir do repouso no eixo de um dipolo elétrico mantido fixo no lugar cuja carga é e e cuja distância entre as cargas é d 20 pm O ponto em que o elétron é liberado fica no lado positivo do dipolo a uma distância de 70d do centro do dipolo Qual é a velocidade do elétron ao chegar a uma distância de 50d do centro do dipolo 80 A Fig 2464 mostra um anel com um raio externo R 130 cm um raio interno r 0200R e uma densidade superficial de cargas uniforme σ 620 pCm2 Com V 0 no infinito determine o potencial elétrico no ponto P situado no eixo central do anel a uma distância z 200R do centro do anel Figura 2464 Problema 80 81 Um elétron em um poço de potencial A Fig 2465 mostra o potencial elétrico V ao longo do eixo x A escala do eixo vertical é definida por Vs 80 V Um elétron é liberado no ponto x 45 cm com uma energia inicial de 300 eV a Um elétron que está se movendo inicialmente no sentido negativo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 0 b Um elétron que está se movendo inicialmente no sentido positivo do eixo x chega a um ponto de retorno se a resposta for afirmativa determine a coordenada x do ponto ou escapa da região mostrada no gráfico se a resposta for afirmativa determine a velocidade no ponto x 70 cm Determine c o módulo F e d a orientação sentido positivo ou negativo do eixo x da força elétrica a que o elétron está submetido quando se encontra ligeiramente à esquerda do ponto x 40 cm Determine e o módulo F e f a orientação da força elétrica quando o elétron se encontra ligeiramente à direita do ponto x 50 cm Figura 2465 Problema 81 82 a Se a Terra tivesse uma densidade superficial de carga de 10 elétronm2 uma hipótese pouco realista qual seria o potencial da superfície terrestre Tome V 0 no infinito Determine b o módulo e c o sentido para cima ou para baixo do campo elétrico nas vizinhanças da superfície terrestre 83 Na Fig 2466 o ponto P está a uma distância d1 400 m da partícula 1 q1 2e e à distância d2 200 m da partícula 2 q2 2e as duas partículas são mantidas fixas no lugar a Com V 0 no infinito qual é o valor de V no ponto P Se uma partícula de carga q3 2e é deslocada do infinito até o ponto P b qual é o trabalho realizado c Qual é a energia potencial do sistema de três partículas Figura 2466 Problema 83 84 Uma esfera condutora com 30 cm de raio possui uma carga de 30 nC distribuída uniformemente na superfície Sejam A um ponto situado a 10 cm do centro da esfera S um ponto da superfície da esfera e B um ponto situado a 50 cm do centro da esfera a Qual é a diferença de potencial VS VB b Qual é a diferença de potencial VA VB 85 Na Fig 2467 uma partícula de carga 2e é deslocada do infinito até o eixo x Qual é o trabalho realizado A distância D é 400 m Figura 2467 Problema 85 86 A Fig 2468 mostra um hemisfério com uma carga de 400 μC distribuída uniformemente por todo o volume A parte plana do hemisfério coincide com o plano xy O ponto P está situado no plano xy a uma distância de 15 cm do centro do hemisfério Qual é o potencial elétrico do ponto P Figura 2468 Problema 86 87 Três cargas de 012 C formam um triângulo equilátero com 17 m de lado Usando uma energia fornecida à taxa de 083 kW quantos dias são necessários para deslocar uma das cargas para o ponto médio do segmento de reta que liga as outras duas cargas 88 Duas cargas q 20 μC são mantidas fixas a uma distância d 20 cm uma da outra Fig 2469 a Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico no ponto C b Qual é o trabalho necessário para deslocar uma terceira carga q 20 μC do infinito até o ponto C c Qual é a energia potencial U da nova configuração Figura 2469 Problema 88 89 Dois elétrons são mantidos fixos no lugar separados por uma distância de 200 μm Qual é o trabalho necessário para deslocar um terceiro elétron do infinito até a posição em que forma um triângulo equilátero com os outros dois elétrons 90 Uma partícula de carga positiva Q é mantida fixa no ponto P Uma segunda partícula de massa m e carga negativa q se move com velocidade constante em uma circunferência de raio r1 e centro em P Escreva uma expressão para o trabalho W que deve ser executado por um agente externo sobre a segunda partícula para que o raio da circunferência aumente para r2 91 Duas superfícies planas condutoras carregadas estão separadas por uma distância d 100 e produzem uma diferença de potencial ΔV 625 V Um elétron é lançado de uma das placas em direção à outra perpendicularmente às duas superfícies Qual é a velocidade inicial do elétron se ele chega à segunda superfície com velocidade zero 92 Na Fig 2470 o ponto P está no centro do retângulo Com V 0 no infinito q1 500 fC q2 200 fC q3 300 fC e d 254 cm qual é o potencial elétrico no ponto P Figura 2470 Problema 92 93 Um anel circular fino situado no plano xy e com centro na origem possui uma carga de 160 μC distribuída uniformemente O raio do anel é 300 cm Se o ponto A está na origem e o ponto B está no eixo z em z 400 cm qual é a diferença de potencial VB VA 94 Considere uma partícula com carga q 150 108 C e tome V 0 no infinito a Quais são a forma e as dimensões de uma superfície equipotencial com um potencial de 300 V produzido exclusivamente pela carga q b As superfícies cujos potenciais diferem de um valor constante 10 V por exemplo são igualmente espaçadas 95 Uma casca esférica de carga Q e densidade volumétrica de cargas uniforme ρ é limitada pelas superfícies r r1 e r r2 com r2 r1 Tomando V 0 no infinito determine o potencial elétrico V em função da distância r em relação ao centro da casca considerando as regiões a r r2 b r2 r r1 c r r1 d As soluções são compatíveis para r r2 e r r1 Sugestão Veja o Módulo 236 96 Uma carga q está distribuída uniformemente em um volume esférico de raio R Tome V 0 no infinito Determine a o potencial V para r R e b a diferença de potencial entre o ponto r R e o ponto r 0 97 Uma esfera de cobre com 10 cm de raio é revestida com uma fina camada de níquel Alguns átomos de níquel são radioativos e se desintegram emitindo elétrons Metade desses elétrons penetra na esfera de cobre depositando uma energia de 100 keV cada um Os outros elétrons escapam levando com eles uma carga e O revestimento de níquel tem uma atividade de 370 108 decaimentos por segundo A esfera está pendurada por um fio isolante e está isolada do ambiente a Quanto tempo o potencial da esfera leva para atingir 1000 V b Quanto tempo a temperatura da esfera leva para aumentar de 50 K devido à energia depositada pelos elétrons A capacidade térmica da esfera é 14 JK 98 Na Fig 2471 uma casca esférica de metal com carga q 500 μC e raio r 300 cm está no centro de outra casca esférica de metal com carga Q 150 μC e raio R 600 cm a Qual é a diferença de potencial entre as esferas Se as esferas forem ligadas por um fio condutor qual será a carga b na casca menor e c na casca maior Figura 2471 Problema 98 99 a Use a Eq 2432 para mostrar que o potencial elétrico em um ponto do eixo central de um anel fino de carga q e raio R situado a uma distância z do centro do anel é dado por b A partir desse resultado escreva uma expressão para o valor do campo E em pontos do eixo do anel compare o resultado com o que foi obtido por integração no Módulo 224 100 Uma partícula alfa que possui dois prótons está rumando diretamente para o centro de um núcleo que contém 92 prótons A partícula alfa possui uma energia cinética inicial de 048 pJ Qual é a menor distância centro a centro a que a partícula alfa consegue chegar do núcleo supondo que o núcleo seja mantido fixo no lugar 101 No modelo dos quarks das partículas subatômicas um próton é formado por três quarks dois quarks up com uma carga de 2e3 cada um e um quark down com uma carga de e3 Suponha que os três quarks estejam equidistantes no interior do próton Tome a distância entre os quarks como 132 1015 m e calcule a energia potencial elétrica do sistema a apenas para os dois quarks up e b para os três quarks 102 Uma esfera de metal com 160 cm de raio possui uma carga de 150 108 C Com V 0 no infinito qual é o potencial elétrico na superfície da esfera 103 Na Fig 2472 duas partículas com cargas q1 e q2 são mantidas fixas no eixo x Se uma terceira partícula com carga de 60 μC é deslocada para o ponto P a partir de uma distância infinita a energia potencial elétrica do sistema de três partículas é igual à energia potencial elétrica do sistema de duas partículas original Qual é o valor da razão q1q2 Figura 2472 Problema 103 CAPÍTULO 25 Capacitância 251 CAPACITÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2501 Desenhar um diagrama esquemático de um circuito com um capacitor de placas paralelas uma bateria e uma chave aberta ou fechada 2502 Em um circuito com uma bateria uma chave aberta e um capacitor descarregado explicar o que acontece aos elétrons de condução quando a chave é fechada 2503 Conhecer a relação entre o valor absoluto da carga q nas duas placas do capacitor a carga do capacitor a diferença de potencial V entre as placas do capacitor a tensão do capacitor e a capacitância C do capacitor IdeiasChave Um capacitor é constituído por dois condutores isolados as placas que podem receber cargas q e q A capacitância C é definida pela equação q CV em que V é a diferença de potencial entre as placas Quando um circuito formado por uma bateria uma chave aberta e um capacitor descarregado é completado pelo fechamento da chave os elétrons de condução mudam de posição deixando as placas do capacitor com cargas opostas Paul SilvermannFundamental Photographs Figura 251 Vários tipos de capacitores Figura 252 Dois condutores isolados entre si e do ambiente formam um capacitor Quando um capacitor está carregado as cargas dos condutores ou placas como são chamados têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos O que É Física Um dos objetivos da física é estabelecer os princípios básicos dos dispositivos práticos projetados pelos engenheiros Este capítulo trata de um exemplo extremamente comum o capacitor um dispositivo usado para armazenar energia elétrica As pilhas de uma máquina fotográfica por exemplo armazenam a energia necessária para disparar o flash carregando um capacitor Como as pilhas só podem fornecer energia aos poucos não seria possível produzir uma luz muito forte usando diretamente a energia das pilhas Um capacitor carregado pode fornecer a energia com uma rapidez muito maior o suficiente para produzir um clarão quando a lâmpada de flash é acionada A física dos capacitores pode ser aplicada a outros dispositivos e outras situações que envolvem campos elétricos O campo elétrico existente na atmosfera da Terra por exemplo é modelado pelos meteorologistas como sendo produzido por um gigantesco capacitor esférico que se descarrega parcialmente por meio de relâmpagos A carga que os esquis acumulam ao deslizarem na neve pode ser modelada como sendo acumulada em um capacitor que se descarrega frequentemente por meio de centelhas que podem ser vistas quando se esquia à noite na neve seca O primeiro passo em nossa discussão dos capacitores será determinar a quantidade de carga que um capacitor é capaz de armazenar Essa quantidade é descrita por uma grandeza conhecida como capacitância Capacitância A Fig 251 mostra alguns dos muitos tipos e tamanhos de capacitores A Fig 252 mostra os elementos básicos de qualquer capacitor dois condutores isolados entre si Seja qual for a forma dos condutores eles recebem o nome de placas A Fig 253a mostra um arranjo particular conhecido como capacitor de placas paralelas formado por duas placas paralelas condutoras de área A separadas por uma distância d O símbolo usado para representar um capacitor se baseia na estrutura do capacitor de placas paralelas mas é usado para representar capacitores de qualquer geometria Vamos supor por enquanto que não existe um material isolante como vidro ou plástico na região entre as placas No Módulo 255 essa restrição será suprimida Figura 253 a Um capacitor de placas paralelas feito de duas placas de área A separadas por uma distância d As cargas da superfície interna das placas têm o mesmo valor absoluto q e sinais opostos b Como mostram as linhas de campo o campo elétrico produzido pelas placas carregadas é uniforme na região central entre as placas Nas bordas das placas o campo não é uniforme Quando um capacitor está carregado as placas contêm cargas de mesmo valor absoluto e sinais opostos q e q Entretanto por convenção dizemos que a carga de um capacitor é q o valor absoluto da carga de uma das placas Note que q não é a carga total do capacitor que é sempre zero Como são feitas de material condutor as placas são superfícies equipotenciais todos os pontos da placa de um capacitor estão no mesmo potencial elétrico Além disso existe uma diferença de potencial entre as duas placas Por razões históricas essa diferença de potencial é representada pelo símbolo V e não por ΔV como nos casos anteriores A carga q e a diferença de potencial V de um capacitor são proporcionais A constante de proporcionalidade C é chamada de capacitância do capacitor o valor de C depende da geometria das placas mas não depende da carga nem da diferença de potencial A capacitância é uma medida da quantidade de carga que precisa ser acumulada nas placas para produzir certa diferença de potencial Quanto maior a capacitância maior a carga necessária De acordo com a Eq 251 a unidade de capacitância no SI é o coulomb por volt Essa unidade ocorre com tanta frequência que recebeu um nome especial o farad F Como vamos ver o farad é uma unidade muito grande Submúltiplos do farad como o microfarad 1 μF 106 F e o picofarad 1 pF 1012 F são unidades muito mais usadas na prática por serem mais convenientes Carga de um Capacitor Uma forma de carregar um capacitor é colocálo em um circuito elétrico com uma bateria Circuito elétrico é um caminho fechado que pode ser percorrido por uma corrente elétrica Bateria é um dispositivo que mantém uma diferença de potencial entre dois terminais pontos de entrada e de saída de cargas elétricas por meio de reações eletroquímicas nas quais forças elétricas movimentam cargas no interior do dispositivo Na Fig 254a um circuito é formado por uma bateria B uma chave S um capacitor descarregado C e fios de ligação O mesmo circuito é mostrado no diagrama esquemático da Fig 254b no qual os símbolos de bateria chave e capacitor representam esses dispositivos A bateria mantém uma diferença de potencial V entre os terminais O terminal de maior potencial é indicado pelo símbolo e chamado de terminal positivo o terminal de menor potencial é indicado pelo símbolo e chamado de terminal negativo Figura 254 a Circuito formado por uma bateria B uma chave S e as placas a e b de um capacitor C b Diagrama esquemático no qual os elementos do circuito são representados por símbolos Dizemos que o circuito das Figs 254a e 254b está interrompido porque a chave S está aberta e portanto não existe uma ligação elétrica entre os terminais Quando a chave é fechada passa a existir uma ligação elétrica entre os terminais o circuito fica completo e cargas começam a circular pelos componentes do circuito Como vimos no Capítulo 21 as cargas que se movem em um material condutor como o cobre são elétrons Quando o circuito da Fig 254 é completado elétrons são colocados em movimento nos fios pelo campo elétrico criado pela bateria O campo elétrico faz os elétrons se deslocarem da placa a do capacitor para o terminal positivo da bateria a perda de elétrons faz com que a placa a fique positivamente carregada O campo desloca o mesmo número de elétrons do terminal negativo da bateria para a placa b do capacitor o ganho de elétrons faz com que a placa b fique negativamente carregada As cargas da placa a e da placa b têm o mesmo valor absoluto No instante em que a chave é fechada as duas placas estão descarregadas e a diferença de potencial é zero À medida que as placas vão sendo carregadas a diferença de potencial aumenta até se tornar igual à diferença de potencial V entre os terminais da bateria Ao ser atingido o novo equilíbrio a placa a e o terminal positivo da bateria estão no mesmo potencial e não existe um campo elétrico no fio que liga esses dois pontos do circuito O terminal negativo e a placa b também estão no mesmo potencial e não existe um campo elétrico nos fios que ligam o terminal negativo à chave S e a chave S à placa b Uma vez que o campo elétrico nos fios do circuito é zero os elétrons param de se deslocar dizemos então que o capacitor está totalmente carregado com uma diferença de potencial V e uma carga q relacionadas pela Eq 251 Neste livro vamos supor que durante a carga de um capacitor e depois que o capacitor está totalmente carregado as cargas não podem passar de uma placa para a outra pelo espaço que as separa Vamos supor também que um capacitor é capaz de conservar a carga indefinidamente a menos que seja descarregado por meio de um circuito externo Teste 1 A capacitância C de um capacitor aumenta diminui ou permanece a mesma a quando a carga q é multiplicada por dois e b quando a diferença de potencial V é multiplicada por três 252 CÁLCULO DA CAPACITÂNCIA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2504 Explicar de que modo a lei de Gauss pode ser usada para determinar a capacitância de um capacitor de placas paralelas 2505 Calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas de um capacitor cilíndrico de um capacitor esférico e de uma esfera isolada IdeiasChave A capacitância de um capacitor pode ser determinada 1 supondo que uma carga q foi colocada nas placas 2 calculando o campo elétrico produzido por essa carga 3 usando o campo elétrico para calcular a diferença de potencial entre as placas e 4 calculando C a partir da relação q CV Alguns resultados são os seguintes A capacitância de um capacitor de placas paralelas planas de área A separadas por uma distância d é dada por A capacitância de um capacitor cilíndrico formado por duas cascas cilíndricas coaxiais de comprimento L e raios a e b é dada por A capacitância de um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b é dada por A capacitância de uma esfera isolada de raio R é dada por C 4 πɛ0R Cálculo da Capacitância Vamos agora discutir o cálculo da capacitância de um capacitor a partir da forma geométrica Como serão analisadas diferentes formas geométricas é conveniente definir um método único para facilitar o trabalho O método em linhas gerais é o seguinte 1 Supomos que as placas do capacitor estão carregadas com uma carga q 2 calculamos o campo elétrico entre as placas em função da carga usando a lei de Gauss 3 a partir de calculamos a diferença de potencial V entre as placas usando a Eq 2418 4 calculamos C usando a Eq 251 Antes de começar podemos simplificar o cálculo do campo elétrico e da diferença de potencial fazendo algumas hipóteses que são discutidas a seguir Cálculo do Campo Elétrico Para relacionar o campo elétrico entre as placas de um capacitor à carga q de uma das placas usamos a lei de Gauss em que q é a carga envolvida por uma superfície gaussiana e é o fluxo elétrico que atravessa a superfície Em todos os casos que vamos examinar a superfície gaussiana é escolhida de tal forma que sempre que existe um fluxo tem um módulo constante E e os vetores e são paralelos Nesse caso a Eq 253 se reduz a em que A é a área da parte da superfície gaussiana através da qual existe um fluxo Por conveniência vamos desenhar a superfície gaussiana de forma a envolver totalmente a carga da placa positiva um exemplo aparece na Fig 255 Cálculo da Diferença de Potencial Na notação do Capítulo 24 Eq 2418 a diferença de potencial entre as placas de um capacitor está relacionada ao campo pela equação em que a integral deve ser calculada ao longo de uma trajetória que começa em uma das placas e termina na outra Vamos sempre escolher uma trajetória que coincide com uma linha de campo elétrico da placa negativa até a placa positiva Para esse tipo de trajetória os vetores e têm sentidos opostos e portanto o produto é igual a E ds Assim o lado direito da Eq 255 é positivo Chamando de V a diferença Vf Vi a Eq 255 se torna em que os sinais e indicam que a trajetória de integração começa na placa negativa e termina na placa positiva Vamos agora aplicar as Eqs 254 e 256 a alguns casos particulares Capacitor de Placas Paralelas Vamos supor como sugere a Fig 255 que a placas do nosso capacitor de placas paralelas são tão extensas e tão próximas que podemos desprezar o efeito das bordas e supor que é constante em toda a região entre as placas Escolhemos uma superfície gaussiana que envolve apenas a carga q da placa positiva como na Fig 255 Nesse caso de acordo com a Eq 254 podemos escrever em que A é a área da placa Figura 255 Capacitor de placas paralelas carregado Uma superfície gaussiana envolve a carga da placa positiva A integração da Eq 25 6 é executada ao longo de uma trajetória que vai diretamente da placa negativa para a placa positiva De acordo com a Eq 256 temos Na Eq 258 E pode ser colocado do lado de fora do sinal de integral porque é constante a segunda integral é simplesmente a distância entre as placas d Substituindo o valor de q dado pela Eq 257 e o valor de V dado pela Eq 258 na relação q CV Eq 251 obtemos Assim a capacitância depende de fato apenas de fatores geométricos no caso a área A das placas e a distância d entre as placas Observe que C é diretamente proporcional a A e inversamente proporcional a d A essa altura convém observar que a Eq 259 sugere uma das razões pelas quais escrevemos a constante eletrostática da lei de Coulomb na forma 14πε0 Se não agíssemos dessa forma a Eq 259 que é muito mais usada na engenharia do que a lei de Coulomb teria uma forma bem mais complicada Observamos também que a Eq 259 permite expressar a constante elétrica ε0 em uma unidade mais apropriada para problemas que envolvem capacitores Essa constante tinha sido anteriormente expressa na forma Capacitor Cilíndrico A Fig 256 mostra uma vista em seção reta de um capacitor cilíndrico de comprimento L formado por dois cilindros coaxiais de raios a e b Vamos supor que L b para que os efeitos das bordas sobre o campo elétrico possam ser desprezados As duas placas contêm cargas de valor absoluto q Como superfície gaussiana escolhemos um cilindro de comprimento L e raio r visto em seção reta na Fig 256 que é coaxial com os outros dois cilindros e envolve o cilindro interno e portanto a carga q desse cilindro De acordo com a Eq 254 temos q ɛ0EA ɛ0E2 πrL em que 2πrL é a área da superfície lateral do cilindro gaussiano O fluxo através das bases do cilindro é zero Explicitando E obtemos Substituindo este resultado na Eq 256 obtemos em que usamos o fato de que ds dr integramos na direção radial de fora para dentro Usando a relação C qV obtemos Vemos portanto que a capacitância de um capacitor cilíndrico como a de um capacitor de placas paralelas depende apenas de fatores geométricos no caso o comprimento L e os raios a e b Figura 256 Vista em seção reta de um capacitor cilíndrico longo mostrando uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r que envolve a placa positiva e uma trajetória de integração radial ao longo da qual a Eq 256 pode ser aplicada A figura também pode representar uma vista em seção reta de um capacitor esférico passando pelo centro Capacitor Esférico A Fig 256 também pode ser interpretada como uma vista em seção reta de um capacitor formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b Como superfície gaussiana escolhemos uma esfera de raio r concêntrica com as placas do capacitor Nesse caso temos de acordo com a Eq 254 q ɛ0EA ɛ0E4 πr2 em que 4πr2 é a área da superfície esférica gaussiana Explicitando E obtemos que é a expressão do campo elétrico produzido por uma distribuição esférica uniforme de cargas Eq 23 15 Substituindo esta expressão na Eq 256 obtemos em que mais uma vez temos ds dr Substituindo a Eq 2516 na Eq 251 e explicitando C obtemos Esfera Isolada Podemos atribuir uma capacitância a uma única esfera de raio R feita de material condutor supondo que a placa que falta é uma casca esférica condutora de raio infinito As linhas de campo que deixam a superfície de um condutor positivamente carregado devem terminar em algum lugar as paredes da sala em que se encontra o condutor podem ser consideradas uma boa aproximação de uma esfera de raio infinito Para determinar a capacitância da esfera escrevemos a Eq 2517 na forma Fazendo a R e b obtemos Observe que essa fórmula como as usadas para calcular a capacitância para outras formas geométricas Eqs 259 2514 e 2517 envolve a constante ε0 multiplicada por uma grandeza com dimensão de comprimento Teste 2 No caso de capacitores carregados pela mesma bateria a carga armazenada pelo capacitor aumenta diminui ou permanece a mesma nas situações a seguir a A distância entre as placas de um capacitor de placas paralelas aumenta b O raio do cilindro interno de um capacitor cilíndrico aumenta c O raio da casca externa de um capacitor esférico aumenta Exemplo 2501 Carregamento de um capacitor de placas paralelas Na Fig 257a a chave S é fechada para ligar um capacitor descarregado de capacitância C 025 μF a uma bateria cuja diferença de potencial é V 12 V A placa inferior do capacitor tem espessura L 050 cm área A 20 104 m2 e é feita de cobre material no qual a densidade de elétrons de condução é n 849 1028 elétronsm3 De que profundidade d no interior da placa Fig 257b elétrons se movem para a superfície da placa quando o capacitor está totalmente carregado Figura 257 a Circuito com uma bateria e um capacitor b Placa inferior do capacitor IDEIACHAVE A carga que se acumula na placa inferior está relacionada à capacitância e à diferença de potencial entre os terminais do capacitor pela Eq 251 q CV Cálculos Como a placa inferior está ligada ao terminal negativo da bateria elétrons de condução se movem para a superfície da placa De acordo com a Eq 251 a carga total que se acumula na superfície é q CV 025 106 F12 V 30 106 C Dividindo esse resultado por e obtemos o número N de elétrons de condução que se acumulam na superfície Esses elétrons vêm de um volume que é o produto da área da placa A pela profundidade d que queremos determinar Para esse volume a densidade de elétrons de condução elétrons por unidade de volume pode ser escrita na forma Em linguagem coloquial dizemos que a bateria carrega o capacitor fornecendo elétrons a uma placa e removendo elétrons da outra placa Na verdade porém o que a bateria faz é criar um campo elétrico nos fios e na placa que desloca elétrons para a superfície superior da placa inferior e remove elétrons da superfície inferior da placa superior 253 CAPACITORES EM PARALELO E EM SÉRIE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2506 Desenhar diagramas esquemáticos de um circuito com uma bateria e a três capacitores em paralelo e b três capacitores em série 2507 Saber que capacitores em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial que é a mesma a que está submetido o capacitor equivalente 2508 Calcular o capacitor equivalente de capacitores em paralelo 2509 Saber que a carga total armazenada em capacitores em paralelo é a soma das cargas armazenadas em cada capacitor 2510 Saber que capacitores em série têm a mesma carga que é a mesma do capacitor equivalente 2511 Calcular o capacitor equivalente de capacitores em série 2512 Saber que a diferença de potencial entre as extremidades de um conjunto de capacitores em série é a soma das diferenças de potencial entre os terminais de cada capacitor 2513 No caso de um circuito formado por uma bateria e vários capacitores em série e em paralelo simplificar o circuito por etapas substituindo os capacitores em série e os capacitores equivalentes por capacitores equivalentes até que a carga e a diferença de potencial entre os terminais de um único capacitor equivalente possam ser determinadas e em seguida inverter o processo para determinar a carga e a diferença de potencial entre os terminais de cada capacitor 2514 No caso de um circuito formado por uma bateria uma chave aberta e um ou mais capacitores descarregados determinar a carga que atravessa um ponto do circuito quando a chave é fechada 2515 Quando um capacitor carregado é ligado em paralelo com um ou mais capacitores descarregados determinar a carga e a diferença de potencial entre os terminais de cada capacitor depois que o equilíbrio é atingido IdeiaChave A capacitância equivalente Ceq de combinações de capacitores em paralelo e em série é dada pelas equações e As capacitâncias equivalentes podem ser usadas para calcular a capacitância de combinações mais complicadas de capacitores em paralelo e em série Capacitores em Paralelo e em Série Os capacitores de um circuito ou de parte de um circuito às vezes podem ser substituídos por um capacitor equivalente ou seja um único capacitor com a mesma capacitância que o conjunto de capacitores Usando essas substituições podemos simplificar os circuitos e calcular com mais facilidade seus parâmetros Vamos agora discutir as duas combinações básicas de capacitores que permitem fazer esse tipo de substituição Capacitores em Paralelo A Fig 258a mostra um circuito elétrico com três capacitores ligados em paralelo à bateria B Essa descrição pouco tem a ver com o modo como os capacitores são desenhados A expressão em paralelo significa que uma das placas de um dos capacitores está ligada diretamente a uma das placas dos outros capacitores e a outra placa está ligada diretamente à outra placa dos outros capacitores de modo que existe a mesma diferença de potencial V entre as placas dos três capacitores Na Fig 258a essa diferença de potencial é estabelecida pela bateria B No caso geral Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em paralelo a diferença de potencial V é a mesma entre as placas de todos os capacitores e a carga total q armazenada nos capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores Quando analisamos um circuito que contém capacitores em paralelo podemos simplificálo usando a seguinte regra Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais A Fig 258b mostra o capacitor equivalente com uma capacitância equivalente Ceq usado para substituir os três capacitores de capacitâncias C1 C2 e C3 da Fig 258a Para obter o valor de Ceq na Fig 258b usamos a Eq 251 para determinar a carga dos capacitores q1 C1V q2 C2V e q3 C3V A carga total dos capacitores da Fig 258a é portanto q q1 q2 q3 C1 C2 C3V A capacitância equivalente com a mesma carga total q e a mesma diferença de potencial V que os capacitores originais é portanto um resultado que pode ser facilmente generalizado para um número arbitrário n de capacitores Assim para obter a capacitância equivalente de uma combinação de capacitores em paralelo basta somar as capacitâncias individuais Capacitores em Série A Fig 259a mostra três capacitores ligados em série à bateria B Essa descrição pouco tem a ver com o modo como os capacitores são desenhados A expressão em série significa que os capacitores são ligados em sequência um após outro e uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades do conjunto Na Fig 259a a diferença de potencial V é estabelecida pela bateria B As diferenças de potencial entre as placas dos capacitores fazem com que todos armazenem a mesma carga q Figura 258 a Três capacitores ligados em paralelo a uma bateria B A bateria estabelece uma diferença de potencial V entre seus terminais e portanto entre os terminais dos capacitores b Os três capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente de capacitância Ceq 1 2 Figura 259 a Três capacitores ligados em série a uma bateria B A bateria estabelece uma diferença de potencial V entre a placa superior e a placa inferior da combinação em série b Os três capacitores podem ser substituídos por um capacitor equivalente de capacitância Ceq Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em série a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada V Podemos explicar por que todos os capacitores armazenam a mesma carga acompanhando uma reação em cadeia de eventos na qual o carregamento de um capacitor provoca o carregamento do capacitor seguinte Começamos com o capacitor 3 e continuamos até chegar ao capacitor 1 Quando a bateria é ligada aos capacitores em série ela faz com que uma carga q se acumule na placa inferior do capacitor 3 Essa carga repele as cargas negativas da placa superior do capacitor 3 deixandoa com uma carga q A carga que foi repelida é transferida para a placa inferior do capacitor 2 fazendo com que acumule uma carga q Essa carga repele as cargas negativas da placa superior do capacitor 2 deixando a com uma carga q A carga que foi repelida é transferida para a placa inferior do capacitor 1 fazendo com que acumule uma carga q Finalmente essa carga repele as cargas negativas da placa superior do capacitor 1 deixandoa com uma carga q Dois fatos importantes a respeito dos capacitores em série são os seguintes Quando a carga é transferida de um capacitor para outro em um conjunto de capacitores em série deve haver apenas um percurso para a carga como o percurso da placa superior do capacitor 3 para a placa inferior do capacitor 2 na Fig 259a Quando houver mais de um percurso isso significa que os capacitores não estão em série A bateria produz cargas apenas nas duas placas às quais está ligada diretamente no caso da Fig 25 9a a placa inferior do capacitor 3 e a placa superior do capacitor 1 As cargas produzidas nas outras placas se devem ao deslocamento de cargas já existentes nessas placas Assim por exemplo na Fig 259a a parte do circuito envolvida por linhas tracejadas está isolada eletricamente do resto do circuito e portanto a carga total dessa parte do circuito não pode ser modificada pela bateria embora possa ser redistribuída Quando analisamos um circuito que contém capacitores em série podemos simplificálo usando a seguinte regra Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga q e a mesma diferença de potencial total V que os capacitores originais A Fig 259b mostra o capacitor equivalente com uma capacitância equivalente Ceq usado para substituir os três capacitores de capacitâncias C1 C2 e C3 da Fig 259a Para obter o valor de Ceq na Fig 259b usamos a Eq 251 para determinar as diferenças de potencial entre as placas dos capacitores A diferença de potencial total V produzida pela bateria é a soma das três diferenças de potencial Assim A capacitância equivalente é portanto um resultado que pode ser facilmente generalizado para um número arbitrário n de capacitores como Usando a Eq 2520 é fácil mostrar que a capacitância equivalente de dois ou mais capacitores ligados em série é sempre menor que a menor capacitância dos capacitores individuais Teste 3 Uma bateria de potencial V armazena uma carga q em uma combinação de dois capacitores iguais Determine a diferença de potencial e a carga em cada capacitor a se os capacitores estiverem ligados em paralelo e b se os capacitores estiverem ligados em série Exemplo 2502 Capacitores em paralelo e em série a Determine a capacitância equivalente da combinação de capacitores que aparece na Fig 2510a à qual é aplicada uma diferença de potencial V Os valores das capacitâncias são os seguintes C1 120 μF C2 530 μF e C3 450 μF IDEIACHAVE Capacitores ligados em paralelo podem ser substituídos por um capacitor equivalente e capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente Assim a primeira coisa a fazer é verificar se no circuito da Fig 2510a existem capacitores em paralelo eou em série Figura 2510 ad Três capacitores são reduzidos a um capacitor equivalente ei Para calcular as cargas trabalhamos no sentido inverso Determinação da capacitância equivalente Os capacitores 1 e 3 estão ligados um após o outro mas será que estão ligados em série A resposta é negativa O potencial V aplicado aos capacitores faz com que uma carga se acumule na placa inferior do capacitor 3 Essa carga faz com que uma carga de mesmo valor absoluto deixe a placa superior do capacitor 3 Observe porém que essa carga se divide entre as placas inferiores dos capacitores 1 e 2 Como existe mais de um caminho para a carga o capacitor 3 não está em série com o capacitor 1 nem com o capacitor 2 Os capacitores 1 e 2 estão em paralelo A resposta é afirmativa As placas superiores dos dois capacitores estão ligadas entre si o que também acontece com as placas inferiores desse modo existe a mesma diferença de potencial entre as placas do capacitor 1 e entre as placas do capacitor 2 Uma vez que os capacitores 1 e 2 estão em paralelo a capacitância equivalente C12 dos dois capacitores de acordo com a Eq 2519 é dada por C12 C1 C2 120 μF 530 μF 173 μF Na Fig 2510b substituímos os capacitores 1 e 2 pelo capacitor equivalente dos dois capacitores que chamamos de capacitor 12 pronunciado como um dois e não como doze As ligações ao resto do circuito nos pontos A e B são as mesmas nas Figs 25 10a e 2510b O capacitor 12 está em série com o capacitor 3 Aplicando novamente o teste para capacitores em série vemos que toda a carga que deixa a placa superior do capacitor 3 vai para a placa inferior do capacitor 12 Assim o capacitor 12 e o capacitor 3 estão em série e podem ser substituídos por um capacitor equivalente C123 um dois três como mostra a Fig 2510c De acordo com a Eq 2520 temos e portanto b A diferença de potencial aplicada aos terminais de entrada da Fig 2510a é V 125 V Qual é a carga de C1 IDEIASCHAVE Agora estamos interessados em calcular a carga de um dos capacitores a partir da capacitância equivalente Para percorrer esse caminho inverso utilizamos dois princípios 1 A carga de capacitores em série é igual à carga do capacitor equivalente 2 A diferença de potencial de capacitores em paralelo é igual à diferença do capacitor equivalente Caminho inverso Para calcular a carga q1 do capacitor 1 devemos chegar a esse capacitor pelo caminho inverso começando com o capacitor equivalente C123 Como a diferença de potencial dada V 125 é aplicada ao conjunto de três capacitores da Fig 2510a também é aplicada ao capacitor equivalente das Figs 2510d e 2510e Assim de acordo com a Eq 251 q CV temos q123 C123V 357 μF125 V 446 μC Os capacitores em série 12 e 3 da Fig 2510b têm a mesma carga que o capacitor equivalente 123 Fig 2510f Assim a carga do capacitor 12 é q12 q123 446 μC De acordo com a Eq 251 e a Fig 2510g a diferença de potencial entre as placas do capacitor 12 é Os capacitores 1 e 2 têm a mesma diferença de potencial entre as placas que o capacitor equivalente 12 Fig 2510h Assim a diferença de potencial entre as placas do capacitor 1 é V1 V12 258 V e de acordo com a Eq 251 e a Fig 2510i a carga do capacitor 1 é Exemplo 2503 Um capacitor carregando outro capacitor O capacitor 1 com C1 355 μC é carregado com uma diferença de potencial V0 630 V por uma bateria de 630 V A bateria é removida e o capacitor é ligado como na Fig 2511 a um capacitor descarregado 2 com C2 895 μF Quando a chave S é fechada parte da carga de um dos capacitores é transferida para o outro Determine a carga dos capacitores depois que o equilíbrio é atingido IDEIASCHAVE A situação é diferente da do exemplo anterior porque no caso atual o potencial elétrico a que os dois capacitores estão submetidos não permanece constante durante todo o processo No momento em que a chave S é fechada o único potencial aplicado é o potencial do capacitor 1 sobre o capacitor 2 e esse potencial diminui com o tempo Portanto nesse momento os capacitores da Fig 2511 não estão ligados nem em série nem em paralelo Enquanto o potencial elétrico entre os terminais do capacitor 1 diminui o potencial elétrico entre os terminais do capacitor 2 aumenta O equilíbrio é atingido quando os dois potenciais são iguais pois nesse caso não existindo uma diferença de potencial entre as placas dos capacitores que estão ligadas entre si não existe campo elétrico para fazer os elétrons se moverem Isso significa que a carga inicial do capacitor 1 se redistribui entre os dois capacitores Figura 2511 Uma diferença de potencial V0 é aplicada ao capacitor C1 e a bateria é removida Em seguida a chave S é fechada para que a carga do capacitor 1 seja compartilhada com o capacitor 2 Cálculos De acordo com a Eq 251 a carga adquirida pelo capacitor 1 quando estava ligado à bateria é dada por q0 C1V0 355 106 F630 V 22365 106 C Quando a chave S da Fig 2511 é fechada e o capacitor 1 começa a carregar o capacitor 2 o potencial elétrico e a carga do capacitor 1 diminuem e o potencial elétrico e a carga do capacitor 2 aumentam até que V1 V2 equilíbrio De acordo com a Eq 251 essa equação pode ser escrita na forma Como a carga total permanece inalterada devemos ter q1 q2 q0 conservação da carga q2 q0 q1 Assim a segunda equação de equilíbrio pode ser escrita na forma Explicitando q1 e substituindo os valores conhecidos obtemos O restante da carga inicial q0 22365 μC deve estar no capacitor 2 254 ENERGIA ARMAZENADA EM UM CAMPO ELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2516 Conhecer a relação entre o trabalho necessário para carregar um capacitor e a energia potencial do capacitor 2517 Conhecer a relação entre a energia potencial U a capacitância C e a diferença de potencial V de um capacitor 2518 Conhecer a relação entre a energia potencial o volume interno e a densidade de energia interna de um capacitor 2519 Conhecer a relação entre a densidade de energia potencial u e o módulo E de um campo elétrico 2520 Explicar por que podem ocorrer explosões em nuvens de pó IdeiasChave A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor Essa energia pode ser associada ao campo elétrico do capacitor A todo campo elétrico entre as placas de um capacitor ou em qualquer outro lugar está associada uma energia No vácuo a densidade de energia u energia potencial por unidade de volume associada a um campo elétrico de módulo E é dada por Energia Armazenada em um Campo Elétrico Para que um capacitor se carregue é preciso que um agente externo execute um trabalho Imagine que usando pinças mágicas você pudesse remover elétrons de uma das placas de um capacitor inicialmente descarregado e depositálos na outra placa um de cada vez O campo elétrico que essa transferência produz no espaço entre as placas tem um sentido tal que se opõe a novas transferências de carga Assim à medida que a carga fosse sendo acumulada nas placas do capacitor seria necessário realizar um trabalho cada vez maior para transferir novos elétrons Na vida real o trabalho não é executado por pinças mágicas mas por uma bateria à custa de uma reserva de energia química Podemos dizer que esse trabalho é convertido na energia potencial do campo elétrico que existe no espaço entre as placas de um capacitor carregado Suponha que em um dado instante uma carga q tenha sido transferida de uma placa de um capacitor para a outra A diferença de potencial V entre as placas nesse instante é qC De acordo com a Eq 246 se uma carga adicional dq é transferida o trabalho adicional necessário para a transferência é dado por O trabalho necessário para carregar o capacitor com uma carga final q é dado por Como esse trabalho é convertido em energia potencial U do capacitor temos De acordo com a Eq 251 a Eq 2521 também pode ser escrita na forma As Eqs 2521 e 2522 são válidas qualquer que seja a forma geométrica do capacitor Para entender melhor o fenômeno do armazenamento de energia em capacitores considere dois capacitores de placas paralelas de características iguais exceto pelo fato de que a distância entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que a distância entre as placas do capacitor 2 Nesse caso o volume entre as placas do capacitor 1 é duas vezes maior que o volume entre as placas do capacitor 2 e de acordo com a Eq 259 a capacitância do capacitor 2 é duas vezes maior que a do capacitor 1 Segundo a Eq 254 se os dois capacitores possuem a mesma carga q os campos elétricos entre as placas são iguais e de acordo com a Eq 2521 a energia armazenada no capacitor 1 é duas vezes maior que a energia do capacitor 2 Assim se dois capacitores com a mesma forma geométrica têm a mesma carga e portanto o mesmo campo elétrico entre as placas aquele que tem um volume duas vezes maior possui uma energia armazenada duas vezes maior Análises como essa confirmam nossa afirmação anterior A energia potencial armazenada em um capacitor carregado está associada ao campo elétrico que existe entre as placas Explosões de Nuvens de Pó Como vimos no Módulo 211 quando uma pessoa entra em contato com alguns objetos como um suéter de lã um tapete ou mesmo um escorrega de plástico ela pode adquirir uma carga elétrica considerável Essa carga pode ser suficiente para produzir uma centelha quando a pessoa aproxima a mão de um corpo aterrado como uma torneira por exemplo Em muitas indústrias que trabalham com pós como as de alimentos e de cosméticos centelhas desse tipo podem ser muito perigosas Mesmo que a substância de que é feito o pó não seja inflamável quando pequenos grãos estão em suspensão no ar e portanto cercados de oxigênio podem queimar tão depressa que a nuvem de pó explode Os engenheiros de segurança não podem eliminar todas as causas possíveis de centelhas nas indústrias que lidam com pós mas procuram manter a quantidade de energia disponível nas centelhas bem abaixo do valor limite Ul 150 mJ acima do qual os grãos de pó se incendeiam Suponha que uma pessoa adquira uma carga elétrica ao entrar em contato com várias superfícies enquanto caminha no interior de um depósito Podemos modelar a pessoa como um capacitor esférico de raio R 18 m De acordo com a Eq 2518 C 4πε0R e a Eq 2522 a energia do capacitor é Nesse caso o valor limite da energia corresponde a um potencial Um dos recursos que os engenheiros de segurança usam para manter o potencial dos operários abaixo desse valor é drenar as cargas instalando um piso condutor no local de trabalho Densidade de Energia Em um capacitor de placas paralelas desprezando o efeito das bordas o campo elétrico tem o mesmo valor em todos os pontos situados entre as placas Assim a densidade de energia u ou seja a energia potencial por unidade de volume no espaço entre as placas também é uniforme Podemos calcular u dividindo a energia potencial total pelo volume Ad do espaço entre as placas De acordo com a Eq 25 22 temos De acordo com a Eq 259 C ε0Ad este resultado pode ser escrito na forma Além disso de acordo com a Eq 2442 E ΔVΔs Vd é igual ao módulo do campo elétrico E e portanto Embora tenhamos chegado a este resultado para o caso particular de um capacitor de placas paralelas ele se aplica a qualquer campo elétrico Se existe um campo elétrico em um ponto do espaço podemos pensar nesse ponto como uma fonte de energia potencial elétrica cujo valor por unidade de volume é dado pela Eq 2525 Exemplo 2504 Energia potencial e densidade de energia de um campo elétrico Uma esfera condutora isolada cujo raio R é 685 cm possui uma carga q 125 nC a Qual é a energia potencial armazenada no campo elétrico desse condutor carregado IDEIASCHAVE 1 Uma esfera condutora isolada possui uma capacitância dada pela Eq 2518 C 4πε0R 2 A relação entre a energia U armazenada em um capacitor a carga q armazenada no capacitor e a capacitância C é dada pela Eq 2521 U q22C Cálculo Fazendo C 4πε0R na Eq 2521 obtemos b Qual é a densidade de energia na superfície da esfera IDEIACHAVE De acordo com a Eq 2525 a densidade de energia u armazenada em um campo elétrico depende do módulo E do campo Cálculos Precisamos determinar o valor de E na superfície da esfera O valor de E é dado pela Eq 2315 A densidade de energia é portanto 255 CAPACITOR COM UM DIELÉTRICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2521 Saber que a capacitância aumenta quando um dielétrico é colocado entre as placas de um capacitor 2522 Calcular a capacitância de um capacitor com e sem um dielétrico 2523 No caso de uma região que contém um dielétrico com uma constante dielétrica κ saber que em todas as equações da eletrostática que envolvem a constante elétrica ε0 essa constante deve ser substituída por κε0 2524 Dar alguns exemplos de dielétricos 2525 Saber a diferença entre a introdução de um dielétrico entre as placas de um capacitor que está ligado a uma bateria e a introdução de um dielétrico entre as placas de um capacitor que não está ligado a uma bateria 2526 Saber a diferença entre dielétricos polares e dielétricos apolares 2527 Explicar o que acontece com o campo elétrico entre as placas de um capacitor carregado quando um dielétrico é introduzido em termos do que acontece com os átomos do dielétrico IdeiasChave Se o espaço inicialmente vazio entre as placas de um capacitor é totalmente preenchido por um dielétrico a capacitância C do capacitor é multiplicada pela constante dielétrica κ do material que é sempre maior que 1 Em uma região que contém um dielétrico todas as equações da eletrostática que envolvem a constante elétrica ε0 devem ser modificadas a modificação consiste em substituir ε0 por κε0 Quando um dielétrico é submetido a um campo elétrico é produzido um campo elétrico interno que se opõe ao campo aplicado reduzindo o valor do campo elétrico total no interior do material Quando um dielétrico é introduzido entre as placas de um capacitor carregado que não está ligado a um circuito o campo elétrico da região entre as placas diminui Capacitor com um Dielétrico Quando preenchemos o espaço entre as placas de um capacitor com um dielétrico que é um material isolante como plástico ou óleo mineral o que acontece com a capacitância O cientista inglês Michael Faraday a quem devemos o conceito de capacitância a unidade de capacitância do SI recebeu o nome de farad em sua homenagem foi o primeiro a investigar o assunto em 1837 Usando um equipamento simples como o que aparece na Fig 2512 Faraday constatou que a capacitância era multiplicada por um fator numérico κ que chamou de constante dielétrica do material isolante A Tabela 251 mostra alguns materiais dielétricos e as respectivas constantes dielétricas Por definição a constante dielétrica do vácuo é igual à unidade Como o ar é constituído principalmente de espaço vazio sua constante dielétrica é apenas ligeiramente maior que a do vácuo Até mesmo o papel comum pode aumentar significativamente a capacitância de um capacitor e algumas substâncias como o titanato de estrôncio podem fazer a capacitância aumentar mais de duas ordens de grandeza Tabela 251 Propriedades de Alguns Dielétricosa Material Constante Dielétrica κ Rigidez Dielétrica kVmm Ar 1 atm 100054 3 Poliestireno 26 24 Papel 35 16 Óleo de transformador 45 Pirex 47 14 Mica rubi 54 Porcelana 65 Silício 12 Germânio 16 Etanol 25 Água 20oC 804 Água 25oC 785 Titânia TiO2 130 Titanato de estrôncio 310 8 Para o vácuo κ 1 aMedidas à temperatura ambiente exceto no caso da água Outro efeito da introdução de um dielétrico é limitar a diferença de potencial que pode ser aplicada entre as placas a um valor Vmáx chamado potencial de ruptura Quando esse valor é excedido o material dielétrico sofre um processo conhecido como ruptura e passa a permitir a passagem de cargas de uma placa para a outra A todo material dielétrico pode ser atribuída uma rigidez dielétrica que corresponde ao máximo valor do campo elétrico que o material pode tolerar sem que ocorra o processo de ruptura Alguns valores de rigidez dielétrica aparecem na Tabela 251 The Royal Institute EnglandBridgeman Art LibraryNY Figura 2512 Equipamento usado por Faraday em suas experiências com capacitores O dispositivo completo o segundo da esquerda para a direita é um capacitor esférico formado por uma esfera central de bronze e uma casca concêntrica feita do mesmo material Faraday colocou vários dielétricos diferentes no espaço entre a esfera e a casca Como observamos logo após a Eq 2518 a capacitância de qualquer capacitor quando a região entre as placas está vazia ou aproximadamente quando existe apenas ar pode ser escrita na forma em que ℒ tem dimensão de comprimento No caso de um capacitor de placas paralelas por exemplo ℒ Ad Faraday descobriu que se um dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas a Eq 2526 se torna em que Car é o valor da capacitância com apenas ar entre as placas Quando o material é titanato de estrôncio por exemplo que possui uma constante dielétrica de 310 a capacitância é multiplicada por 310 A Fig 2513 mostra de forma esquemática os resultados dos experimentos de Faraday Na Fig 25 13a a bateria mantém uma diferença de potencial V entre as placas Quando uma placa de dielétrico é introduzida entre as placas a carga q das placas é multiplicada por κ a carga adicional é fornecida pela bateria Na Fig 2513b não há nenhuma bateria e portanto a carga q não muda quando a placa de dielétrico é introduzida nesse caso a diferença de potencial V entre as placas é dividida por κ As duas observações são compatíveis por meio da relação q CV com um aumento da capacitância causado pela presença do dielétrico A comparação das Eqs 2526 e 2527 sugere que o efeito de um dielétrico pode ser descrito da seguinte forma Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica κ a constante elétrica ε0 deve ser substituída por κε0 em todas as equações Assim o módulo do campo elétrico produzido por uma carga pontual no interior de um dielétrico é dado pela seguinte forma modificada na Eq 2315 Do mesmo modo a expressão do campo elétrico nas proximidades da superfície de um condutor imerso em um dielétrico veja a Eq 2311 é a seguinte Como κ é sempre maior que a unidade as Eqs 2528 e 2529 mostram que para uma dada distribuição de carga o efeito de um dielétrico é diminuir o valor do campo elétrico que existe no espaço entre as cargas Figura 2513 a Se a diferença de potencial entre as placas de um capacitor é mantida por uma bateria B o efeito de um dielétrico é aumentar a carga das placas b Se a carga das placas é mantida o efeito do dielétrico é reduzir a diferença de potencial entre as placas O mostrador visto na figura é o de um potenciômetro instrumento usado para medir diferenças de potencial no caso entre as placas do capacitor Um capacitor não pode se descarregar por meio de um potenciômetro Exemplo 2505 Trabalho e energia quando um dielétrico é introduzido em um capacitor Um capacitor de placas paralelas cuja capacitância C é 135 pF é carregado por uma bateria até que haja uma diferença de potencial V 125 V entre as placas A bateria é desligada e uma barra de porcelana κ 650 é introduzida entre as placas a Qual é a energia potencial do capacitor antes da introdução da barra IDEIACHAVE A energia potencial Ui do capacitor está relacionada à capacitância C e ao potencial V pela Eq 2522 ou à carga q pela Eq 25 21 Cálculo Como conhecemos o potencial inicial V 125 V podemos usar a Eq 2522 para calcular a energia potencial inicial b Qual é a energia potencial do conjunto capacitorbarra depois que a barra é introduzida IDEIACHAVE Como a bateria foi desligada a carga do capacitor não pode mudar quando o dielétrico é introduzido Entretanto o potencial pode mudar Cálculos Devemos usar a Eq 2521 para calcular a energia potencial final Uf mas agora que o espaço entre as placas do capacitor está ocupado pela barra de porcelana a capacitância é κC Assim temos 1 Isso mostra que quando a placa de porcelana é introduzida a energia potencial é dividida por κ A energia que falta em princípio poderia ser medida pela pessoa encarregada de introduzir a barra de porcelana já que o capacitor atrai a barra e realiza sobre ela um trabalho dado por W Ui Uf 1055 162 pJ 893 pJ Se a barra penetrasse livremente no espaço entre as placas e não houvesse atrito passaria a oscilar de um lado para outro com uma energia mecânica constante de 893 pJ essa energia seria convertida alternadamente de energia cinética do movimento da placa em energia potencial armazenada no campo elétrico Figura 2514 a Moléculas com um momento dipolar permanente orientadas aleatoriamente na ausência de um campo elétrico externo b Quando um campo elétrico é aplicado os dipolos elétricos se alinham parcialmente O alinhamento não é completo por causa da agitação térmica Dielétricos Uma Visão Atômica O que acontece em termos atômicos e moleculares quando submetemos um dielétrico a um campo elétrico Existem duas possibilidades dependendo do tipo de molécula Dielétricos polares As moléculas de alguns dielétricos como a água por exemplo possuem um momento dipolar elétrico permanente Nesses materiais conhecidos como dielétricos polares os dipolos elétricos tendem a se alinhar com um campo elétrico externo como mostra a Fig 2514 Como as moléculas estão constantemente se chocando umas com as outras devido à agitação térmica 2 o alinhamento não é perfeito mas tende a aumentar quando o campo elétrico aumenta ou quando a temperatura diminui já que nesse caso a agitação térmica é menor O alinhamento dos dipolos elétricos produz um campo elétrico no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado e com um módulo em geral bem menor que o do campo aplicado Dielétricos apolares Mesmo que não possuam um momento dipolar elétrico permanente as moléculas adquirem um momento dipolar por indução quando são submetidas a um campo elétrico externo Como foi discutido no Módulo 244 veja a Fig 2414 isso acontece porque o campo externo tende a alongar as moléculas deslocando ligeiramente o centro das cargas negativas em relação ao centro das cargas positivas A Fig 2515a mostra uma barra feita de um dielétrico apolar na ausência de um campo elétrico externo Na Fig 2515b um campo elétrico 0 é aplicado por meio de um capacitor cujas placas estão carregadas da forma mostrada na figura O resultado é uma ligeira separação dos centros das cargas positivas e negativas no interior da barra de dielétrico que faz com que uma das superfícies da barra fique positiva por causa das extremidades positivas dos dipolos nessa parte da barra e a superfície oposta fique negativa por causa das extremidades negativas dos dipolos A barra como um todo permanece eletricamente neutra e no interior da barra não existe excesso de cargas positivas ou negativas em nenhum elemento de volume Figura 2515 a Dielétrico apolar Os círculos representam os átomos eletricamente neutros do material b As placas carregadas de um capacitor produzem um campo elétrico o campo separa ligeiramente as cargas positivas das cargas negativas do material c A separação produz cargas nas superfícies do material as cargas criam um campo que se opõe ao campo aplicado O campo resultante no interior do material a soma vetorial de e tem a mesma direção que e um módulo menor A Fig 2515c mostra que as cargas induzidas nas superfícies do dielétrico produzem um campo elétrico no sentido oposto ao do campo elétrico aplicado O campo resultante no interior do dielétrico que é a soma vetorial dos campos e tem a mesma direção que mas é menor em módulo Tanto o campo produzido pelas cargas superficiais dos dipolos induzidos nas moléculas apolares Fig 2515c como o campo elétrico produzido pelos dipolos permanentes das moléculas polares Fig 2514 apontam no sentido oposto ao do campo aplicado Assim tanto os dielétricos polares como os dielétricos apolares enfraquecem o campo elétrico na região onde se encontram que pode ser o espaço entre as placas de um capacitor 256 DIELÉTRICOS E A LEI DE GAUSS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2528 Saber a diferença entre carga livre e carga induzida em um capacitor com um dielétrico 2529 Em um capacitor em que o espaço entre as placas está ocupado total ou parcialmente por um dielétrico calcular a carga livre a carga induzida o campo elétrico na região entre as placas se a ocupação é parcial o campo elétrico tem mais de um valor e a diferença de potencial entre as placas IdeiasChave Quando um dielétrico é introduzido no espaço entre as placas de um capacitor é induzida uma carga nas superfícies do dielétrico que reduz o campo elétrico na região entre as placas A carga induzida é menor que a carga livre das placas Na presença de um dielétrico a lei de Gauss se torna em que q é a carga livre O efeito da carga induzida é levado em conta pela inclusão da constante dielétrica κ no integrando Dielétricos e a Lei de Gauss Em nossa discussão da lei de Gauss no Capítulo 23 supusemos que as cargas estavam no vácuo Agora vamos modificar e generalizar a lei para que ela possa ser aplicada ao interior de materiais dielétricos como os da Tabela 251 A Fig 2516 mostra um capacitor de placas paralelas com e sem um dielétrico no espaço entre as placas cuja área é A Vamos supor que a carga q das placas é a mesma nas duas situações Observe que o campo elétrico entre as placas induz cargas nas superfícies do dielétrico por um dos mecanismos discutidos no Módulo 255 Para a situação da Fig 2516a na ausência de um dielétrico podemos calcular o campo elétrico entre as placas como fizemos na Fig 255 Envolvemos a carga q da placa superior com uma superfície gaussiana e aplicamos a lei de Gauss Chamando de E0 o módulo do campo obtemos ou Na Fig 2516b com um dielétrico no espaço entre as placas podemos calcular o campo elétrico entre as placas e no interior do dielétrico usando a mesma superfície gaussiana Agora porém a superfície envolve dois tipos de cargas a carga q da placa superior do capacitor e a carga induzida q da superfície superior do dielétrico Dizemos que a carga da placa do capacitor é uma carga livre porque pode se mover sob a ação de um campo elétrico aplicado a carga induzida na superfície do dielétrico não é uma carga livre pois ela não pode deixar o local onde se encontra Como a carga total envolvida pela superfície gaussiana da Fig 2516b é q q a lei de Gauss nos dá ou Como o efeito do dielétrico é dividir por κ o campo original E0 podemos escrever Comparando as Eqs 2533 e 2534 temos A Eq 2535 mostra corretamente que o valor absoluto q da carga induzida na superfície do dielétrico é menor que o da carga livre q e que é zero na ausência de um dielétrico caso em que κ 1 na Eq 2535 1 2 3 Figura 2516 Capacitor de placas paralelas a sem e b com um dielétrico entre as placas A carga q das placas é tomada como a mesma nos dois casos Substituindo q q na Eq 2532 pelo seu valor dado pela Eq 2535 podemos escrever a lei de Gauss na forma Embora tenha sido demonstrada para o caso particular de um capacitor de placas paralelas a Eq 2536 é válida para todos os casos e constitui a forma mais geral da lei de Gauss Observe o seguinte A integral de fluxo agora envolve o produto κ em vez de O vetor ε0κ recebe o nome de deslocamento elétrico e é representado pelo símbolo assim a Eq 2536 pode ser escrita na forma A carga q envolvida pela superfície gaussiana agora é tomada como apenas a carga livre A carga induzida nas superfícies do dielétrico é deliberadamente ignorada no lado direito da Eq 2536 pois seus efeitos já foram levados em conta quando a constante dielétrica κ foi introduzida no lado esquerdo A diferença entre a Eq 2536 e a Eq 237 nossa versão original da lei de Gauss está apenas no fato de que na Eq 2536 a constante ε0 foi substituída por κε0 Mantemos κ no integrando da Eq 2536 para incluir os casos em que κ não é a mesma em todos os pontos da superfície gaussiana Exemplo 2506 Dielétrico preenchendo parcialmente o espaço entre as placas de um capacitor A Fig 2517 mostra um capacitor de placas paralelas em que a área das placas é A e a distância entre as placas é d Uma diferença de potencial V0 é aplicada às placas por uma bateria Em seguida a bateria é desligada e uma barra de dielétrico de espessura b e constante dielétrica κ é introduzida entre as placas da forma mostrada na figura Suponha que A 115 cm2 d 124 cm V0 855 V b 0780 cm e κ 261 a Qual é a capacitância C0 antes da introdução do dielétrico Cálculo De acordo com a Eq 259 temos b Qual é o valor da carga das placas Cálculo De acordo com a Eq 251 temos Como a bateria usada para carregar o capacitor foi desligada antes da introdução do dielétrico a carga das placas não muda quando o dielétrico é introduzido c Qual é o campo elétrico E0 nos espaços entre as placas do capacitor e o dielétrico IDEIACHAVE Podemos aplicar a lei de Gauss na forma da Eq 2536 à superfície gaussiana I da Fig 2517 Cálculos Como o campo é zero no interior da placa e é perpendicular às faces laterais da superfície gaussiana precisamos considerar apenas o fluxo através da face inferior da superfície gaussiana Como o vetor área e o vetor campo apontam verticalmente para baixo o produto escalar da Eq 2536 se torna Figura 2517 Capacitor de placas paralelas com um dielétrico que não ocupa totalmente o espaço entre as placas Nesse caso a Eq 2536 se reduz a A integração agora nos dá simplesmente a área A da placa Assim temos Devemos fazer κ 1 porque a superfície gaussiana I não passa pelo dielétrico Assim temos Observe que o valor de E0 não varia quando o dielétrico é introduzido porque a carga envolvida pela superfície gaussiana I da Fig 2517 não varia d Qual é o campo elétrico E1 no interior do dielétrico IDEIACHAVE Podemos aplicar a lei de Gauss na forma da Eq 2536 à superfície gaussiana II da Fig 2517 Cálculos Essa superfície envolve a carga livre q e a carga induzida q mas a segunda deve ser ignorada quando usamos a Eq 2536 O resultado é o seguinte O primeiro sinal negativo da equação vem do produto escalar na face superior da superfície gaussiana já que agora o vetor campo aponta verticalmente para baixo e o vetor área que como sempre aponta para fora da superfície gaussiana aponta verticalmente para cima Como os vetores fazem um ângulo de 180o o produto escalar é negativo Dessa vez a constante dielétrica é a do dielétrico κ 261 Assim a Eq 2537 nos dá e Qual é a diferença de potencial V entre as placas depois da introdução do dielétrico IDEIACHAVE Podemos determinar V integrando de uma placa do capacitor até a outra ao longo de uma trajetória retilínea perpendicular ao plano das placas Cálculo No interior do dielétrico a distância percorrida é b e o campo elétrico é E1 nos espaços vazios entre as placas do capacitor e a superfície do dielétrico a distância percorrida é d b e o campo elétrico é E0 De acordo com a Eq 256 temos Esse valor é menor que a diferença de potencial original de 855 V f Qual é a capacitância com o dielétrico entre as placas do capacitor IDEIACHAVE A capacitância C está relacionada à carga livre q e à diferença de potencial V pela Eq 251 Cálculo Usando o valor de q calculado no item b e o valor de V calculado no item e temos Esse valor é maior que a capacitância original de 821 pF Revisão e Resumo Capacitor Capacitância Um capacitor é formado por dois condutores isolados as placas com cargas q e q A capacitância C de um capacitor é definida pela equação em que V é a diferença de potencial entre as placas Cálculo da Capacitância Podemos calcular a capacitância de um capacitor 1 supondo que uma carga q foi colocada nas placas 2 calculando o campo elétrico produzido por essa carga 3 calculando a diferença de potencial V entre as placas e 4 calculando o valor de C com o auxílio da Eq 251 Seguem alguns resultados particulares A capacitância de um capacitor de placas paralelas de área A separadas por uma distância d é dada por A capacitância de um capacitor cilíndrico formado por dois cilindros longos coaxiais de comprimento L e raios a e b é dada por A capacitância de um capacitor esférico formado por duas cascas esféricas concêntricas de raios a e b é dada por A capacitância de uma esfera isolada de raio R é dada por Capacitores em Paralelo e em Série As capacitâncias equivalentes Ceq de combinações de capacitores em paralelo e em série podem ser calculadas usando as expressões e As capacitâncias equivalentes podem ser usadas para calcular as capacitâncias de combinações de capacitores em série e em paralelo Energia Potencial e Densidade de Energia A energia potencial elétrica U de um capacitor carregado é igual ao trabalho necessário para carregar o capacitor Essa energia pode ser associada ao campo elétrico criado pelo capacitor no espaço entre as placas Por extensão podemos associar qualquer campo elétrico a uma energia armazenada No vácuo a densidade de energia u ou energia potencial por unidade de volume associada a um campo elétrico de módulo E é dada por Capacitância com um Dielétrico Se o espaço entre as placas de um capacitor é totalmente preenchido por um material dielétrico a capacitância C é multiplicada por um fator κ conhecido como constante dielétrica que varia de material para material Em uma região totalmente preenchida por um material dielétrico de constante dielétrica κ a constante elétrica ε0 deve ser substituída por κε0 em todas as equações Os efeitos da presença de um dielétrico podem ser explicados em termos da ação de um campo elétrico sobre os dipolos elétricos permanentes ou induzidos no dielétrico O resultado é a formação de cargas induzidas nas superfícies do dielétrico Essas cargas tornam o campo no interior do dielétrico menor do que o campo que seria produzido na mesma região pelas cargas livres das placas do capacitor se o dielétrico não estivesse presente Lei de Gauss com um Dielétrico Na presença de um dielétrico a lei de Gauss assume a seguinte forma em que q é a carga livre O efeito das cargas induzidas no dielétrico é levado em conta pela inclusão na integral da constante dielétrica κ Perguntas 1 A Fig 2518 mostra gráficos da carga em função da diferença de potencial para três capacitores de placas paralelas cujos parâmetros são dados na tabela Associe os gráficos aos capacitores Figura 2518 Pergunta 1 Capacitor Área Distância 1 A d 2 2A d 3 A 2d 2 Qual será a capacitância equivalente Ceq de três capacitores todos de capacitância C se os capacitores forem ligados a uma bateria a em série e b em paralelo c Em qual dos dois arranjos a carga total armazenada nos capacitores será maior 3 a Na Fig 2519a os capacitores 1 e 3 estão ligados em série b Na mesma figura os capacitores 1 e 2 estão ligados em paralelo c Coloque os circuitos da Fig 2519 em ordem decrescente das capacitâncias equivalentes Figura 2519 Pergunta 3 4 A Fig 2520 mostra três circuitos formados por uma chave e dois capacitores inicialmente carregados da forma indicada na figura com a placa superior positiva Depois que as chaves são fechadas em que circuitos a carga do capacitor da esquerda a aumenta b diminui e c permanece constante Figura 2520 Pergunta 4 5 Inicialmente uma capacitância C1 está ligada a uma bateria Em seguida uma capacitância C2 é ligada em paralelo com C1 a A diferença de potencial entre as placas de C1 aumenta diminui ou permanece a mesma b A carga armazenada em C1 aumenta diminui ou permanece a mesma c A capacitância equivalente de C1 e C2 C12 é maior menor ou igual a C1 d A soma das cargas armazenadas em C1 e C2 é maior menor ou igual à carga armazenada originalmente em C1 6 Repita a Pergunta 5 para o caso em que a capacitância C2 é ligada em série com C1 7 Para cada circuito da Fig 2521 determine se os capacitores estão ligados em série em paralelo ou nem em série nem em paralelo Figura 2521 Pergunta 7 8 A Fig 2522 mostra uma chave aberta uma bateria que produz uma diferença de potencial V um medidor de corrente A e três capacitores iguais descarregados de capacitância C Depois que a chave é fechada e o circuito atinge o equilíbrio a qual é a diferença de potencial entre as placas de cada capacitor b Qual é a carga da placa da esquerda de cada capacitor c Qual é a carga total que passa pelo medidor durante o processo Figura 2522 Pergunta 8 9 Um capacitor de placas paralelas é ligado a uma bateria que produz uma diferença de potencial V Se a distância entre as placas diminui determine se cada uma das grandezas mencionadas a seguir aumenta diminui ou permanece constante a a capacitância do capacitor b a diferença de potencial entre as placas do capacitor c a carga do capacitor d a energia armazenada pelo capacitor e o módulo do campo elétrico na região entre as placas e f a densidade de energia do campo elétrico 10 Uma barra de material dielétrico é introduzida entre as placas de um dos dois capacitores iguais da Fig 2523 Determine se cada uma das propriedades do capacitor mencionadas a seguir aumenta diminui ou permanece constante a a capacitância b a carga c a diferença de potencial entre as placas d a energia potencial e Responda às mesmas perguntas para o outro capacitor Figura 2523 Pergunta 10 11 As capacitâncias C1 e C2 com C1 C2 são ligadas a uma bateria primeiro separadamente depois em série e depois em paralelo Coloque os arranjos na ordem decrescente da carga armazenada Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 251 Capacitância 1 Os dois objetos de metal da Fig 2524 possuem cargas de 70 pC e 70 pC que resultam em uma diferença de potencial de 20 V a Qual é a capacitância do sistema b Se as cargas mudarem para 200 pC e 200 pC qual será o novo valor da capacitância c Qual será o novo valor da diferença de potencial Figura 2524 Problema 1 2 O capacitor da Fig 2525 possui uma capacitância de 25 μF e está inicialmente descarregado A bateria produz uma diferença de potencial de 120 V Quando a chave S é fechada qual é a carga total que passa por ela Figura 2525 Problema 2 Módulo 252 Cálculo da Capacitância 3 Um capacitor de placas paralelas possui placas circulares com um raio de 820 cm separadas por uma distância de 130 mm a Calcule a capacitância b Qual será a carga das placas se uma diferença de potencial de 120 V for aplicada ao capacitor 4 As placas de um capacitor esférico têm 380 mm e 400 mm de raio a Calcule a capacitância b Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas 5 Qual é a capacitância de uma gota formada pela fusão de duas gotas esféricas de mercúrio com 200 mm de raio 6 Pretendese usar duas placas de metal com 100 m2 de área para construir um capacitor de placas paralelas a Qual deve ser a distância entre as placas para que a capacitância do dispositivo seja 100 F b O dispositivo é fisicamente viável 7 Se um capacitor de placas paralelas inicialmente descarregado de capacitância C é ligado a uma bateria uma das placas de área A se torna negativa porque muitos elétrons migram para a superfície Na Fig 2526 a profundidade d da qual os elétrons migram para a superfície em um capacitor está plotada em função da tensão V da bateria A escala vertical é definida por ds 100 pm e a escala horizontal por Vs 200 V Quanto vale a razão CA Figura 2526 Problema 7 Módulo 253 Capacitores em Paralelo e em Série 8 Quantos capacitores de 100 μF devem ser ligados em paralelo para armazenar uma carga de 100 C com uma diferença de potencial de 110 V entre as placas dos capacitores 9 Os três capacitores da Fig 2527 estão inicialmente descarregados e têm uma capacitância de 250 μF Uma diferença de potencial V 4200 V entre as placas dos capacitores é estabelecida quando a chave é fechada Qual é a carga total que atravessa o medidor A Figura 2527 Problema 9 10 Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2528 para C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Figura 2528 Problemas 10 e 34 11 Determine a capacitância equivalente do circuito da Fig 2529 para C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Figura 2529 Problemas 11 17 e 38 12 Dois capacitores de placas paralelas ambos com uma capacitância de 60 μF são ligados em paralelo a uma bateria de 10 V Em seguida a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade Quando essa modificação acontece a qual é a carga adicional transferida aos capacitores pela bateria b Qual é o aumento da carga total armazenada pelos capacitores 13 Um capacitor de 100 pF é carregado com uma diferença de potencial de 50 V e a bateria usada para carregar o capacitor é desligada Em seguida o capacitor é ligado em paralelo com um segundo capacitor inicialmente descarregado Se a diferença de potencial entre as placas do primeiro capacitor cai para 35 V qual é a capacitância do segundo capacitor 14 Na Fig 2530 a bateria tem uma diferença de potencial V 100 V e os cinco capacitores têm uma capacitância de 100 μF cada um Determine a carga a do capacitor e b do capacitor 2 Figura 2530 Problema 14 15 Na Fig 2531 uma bateria de 200 V é ligada a um circuito constituído por capacitores de capacitâncias C1 C6 300 μF e C3 C5 200C2 200C4 400 μF Determine a a capacitância equivalente Ceq do circuito b a carga armazenada por Ceq c V1 e d q1 do capacitor 1 e V2 e f q2 do capacitor 2 g V3 e h q3 do capacitor 3 Figura 2531 Problema 15 16 O gráfico 1 da Fig 2532a mostra a carga q armazenada no capacitor 1 em função da diferença de potencial V entre as placas A escala vertical é definida por qs 160 μC e a escala horizontal é definida por Vs 20 V Os gráficos 2 e 3 são gráficos do mesmo tipo para os capacitores 2 e 3 respectivamente A Fig 2532b mostra um circuito com os três capacitores e uma bateria de 60 V Determine a carga do capacitor 2 Figura 2532 Problema 16 17 Na Fig 2529 uma diferença de potencial V 1000 V é aplicada ao circuito e os valores das capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Se o capacitor 3 sofre uma ruptura dielétrica e passa a se comportar como um condutor determine a o aumento da carga do capacitor 1 e b o aumento da diferença de potencial entre as placas do capacitor 1 18 A Fig 2533 mostra quatro capacitores cujo dielétrico é o ar ligados em um circuito que faz parte de um circuito maior O gráfico a seguir do circuito mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x no ramo inferior do circuito que contém o capacitor 4 O gráfico acima do circuito mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x no ramo superior do circuito que contém os capacitores 1 2 e 3 O capacitor 3 tem uma capacitância de 080 μF Determine a capacitância a do capacitor 1 e b do capacitor 2 Figura 2533 Problema 18 19 Na Fig 2534 V 90 V C2 30 μF C4 40 μF e todos os capacitores estão inicialmente descarregados Quando a chave S é fechada uma carga total de 12 μC passa pelo ponto a e uma carga total de 80 μC passa pelo ponto b a Qual é o valor de C1 b Qual é o valor de C3 Figura 2534 Problema 19 20 A Fig 2535 mostra um capacitor variável com dielétrico de ar do tipo usado para sintonizar manualmente receptores de rádio O capacitor é formado por dois conjuntos de placas intercaladas um grupo de placas fixas ligadas entre si e um grupo de placas móveis também ligadas entre si Considere um capacitor com 4 placas de cada tipo todas com uma área A 125 cm2 a distância entre placas vizinhas é d 340 mm Qual é a capacitância máxima do conjunto Figura 2535 Problema 20 21 Na Fig 2536 as capacitâncias são C1 10 μF e C2 30 μF e os dois capacitores são carregados com diferenças de potencial V 100 V de polaridades opostas Em seguida as chaves S1 e S2 são fechadas a Qual é a nova diferença de potencial entre os pontos a e b b Qual é a nova carga do capacitor 1 c Qual é a nova carga do capacitor 2 Figura 2536 Problema 21 22 Na Fig 2537 V 10 V C1 10 μF e C2 C3 20 μF A chave S é acionada para a esquerda e permanece nessa posição até o capacitor 1 atingir o equilíbrio em seguida a chave é acionada para a direita Quando o equilíbrio é novamente atingido qual é a carga do capacitor 1 Figura 2537 Problema 22 23 Os capacitores da Fig 2538 estão inicialmente descarregados As capacitâncias são C1 40 μF C2 80 μF e C3 12 μF e a diferença de potencial da bateria é V 12 V Quando a chave S é fechada quantos elétrons passam a pelo ponto a b pelo ponto b c pelo ponto c e d pelo ponto d Na figura os elétrons estão se movendo para cima ou para baixo ao passarem e pelo ponto b e f pelo ponto c Figura 2538 Problema 23 24 A Fig 2539 mostra dois capacitores cilíndricos cujo dielétrico é o ar ligados em série a uma bateria com um potencial V 10 V O capacitor 1 possui um raio interno de 50 mm um raio externo de 15 cm e um comprimento de 50 cm O capacitor 2 possui um raio interno de 25 mm um raio externo de 10 cm e um comprimento de 90 cm A placa externa do capacitor 2 é uma membrana orgânica condutora que pode ser esticada e o capacitor pode ser inflado para aumentar a distância entre as placas Se o raio da placa externa é aumentado para 25 cm a quantos elétrons passam pelo ponto P b Os elétrons se movem na direção da bateria ou na direção do capacitor 1 Figura 2539 Problema 24 25 Na Fig 2540 dois capacitores de placas paralelas com ar entre as placas são ligados a uma bateria A área das placas do capacitor 1 é 15 cm2 e o campo elétrico entre as placas é 2000 Vm A área das placas do capacitor 2 é 070 cm2 e o campo elétrico entre as placas é 1500 Vm Qual é a carga total dos dois capacitores Figura 2540 Problema 25 26 O capacitor 3 da Fig 2541a é um capacitor variável é possível fazer variar a capacitância C3 A Fig 2541b mostra o potencial elétrico V1 entre as placas do capacitor 1 em função de C3 A escala horizontal é definida por C3s 120 μF O potencial elétrico V1 tende assintoticamente para 10 V quando C3 Determine a o potencial elétrico V da bateria b C1 e c C2 Figura 2541 Problema 26 27 A Fig 2542 mostra uma bateria de 120 V e quatro capacitores descarregados de capacitâncias C1 100 μF C2 200 μF C3 300 μF e C4 400 μF Se apenas a chave S1 for fechada determine a carga a do capacitor 1 b do capacitor 2 c do capacitor 3 e d do capacitor 4 Se as duas chaves forem fechadas determine a carga e do capacitor 1 f do capacitor 2 g do capacitor 3 e h do capacitor 4 Figura 2542 Problema 27 28 A Fig 2543 mostra uma bateria de 120 V e três capacitores descarregados de capacitâncias C1 400 μF C2 600 μF e C3 300 μF A chave é deslocada para a esquerda até que o capacitor 1 esteja totalmente carregado Em seguida a chave é deslocada para a direita Determine a carga final a do capacitor 1 b do capacitor 2 e c do capacitor 3 Figura 2543 Problema 28 Módulo 254 Energia Armazenada em um Campo Elétrico 29 Qual é a capacitância necessária para armazenar uma energia de 10 kW h com uma diferença de potencial de 1000 V 30 Qual é a energia armazenada em 100 m3 de ar em um dia de tempo bom no qual o módulo do campo elétrico da atmosfera é 150 Vm 31 Um capacitor de 20 μF e um capacitor de 40 μF são ligados em paralelo a uma fonte com uma diferença de potencial de 300 V Calcule a energia total armazenada nos capacitores 32 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar é carregado com uma diferença de potencial de 600 V A área das placas é 40 cm2 e a distância entre as placas é 10 mm Determine a a capacitância b o valor absoluto da carga em uma das placas c a energia armazenada d o campo elétrico na região entre as placas e e a densidade de energia na região entre as placas 33 Uma esfera de metal carregada com 10 cm de diâmetro tem uma energia potencial de 8000 V em relação a V 0 no infinito Calcule a densidade de energia do campo elétrico perto da superfície da esfera 34 Na Fig 2528 uma diferença de potencial V 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 400 μF Determine a q3 b V3 c a energia U3 armazenada no capacitor 3 d q1 e V1 f a energia U1 armazenada no capacitor 1 g q2 h V2 e i a energia U2 armazenada no capacitor 2 35 Considere um elétron estacionário como uma carga pontual e determine a densidade de energia u do campo elétrico criado pela partícula a a 100 mm de distância b a 100 μm de distância c a 100 nm de distância e d a 100 pm de distância e Qual é o limite de u quando a distância tende a zero 36 Como engenheiro de segurança o leitor precisa emitir um parecer a respeito da prática de armazenar líquidos condutores inflamáveis em recipientes feitos de material isolante A companhia que fornece certo líquido vem usando um recipiente cilíndrico feito de plástico de raio r 020 m que está cheio até uma altura h 10 cm menor que a altura interna do recipiente Fig 2544 A investigação do leitor revela que durante o transporte a superfície externa no recipiente adquire uma densidade de carga negativa de 20 μCm2 aproximadamente uniforme Como o líquido é um bom condutor de eletricidade a carga do recipiente faz com que as cargas do líquido se separem a Qual é a carga negativa induzida no centro do líquido b Suponha que a capacitância da parte central do líquido em relação à terra seja 35 pF Qual é a energia potencial associada à carga negativa desse capacitor efetivo c Se ocorre uma centelha entre a terra e a parte central do líquido através do respiradouro a energia potencial pode alimentar a centelha A energia mínima necessária para inflamar o líquido é 10 mJ Nessa situação o líquido pode pegar fogo por causa de uma centelha Figura 2544 Problema 36 37 Um capacitor de placas paralelas cujas placas têm área de 850 cm2 e estão separadas por uma distância de 300 mm é carregado por uma bateria de 600 V A bateria é desligada e a distância entre as placas do capacitor é aumentada sem descarregálo para 800 mm Determine a a diferença de potencial entre as placas b a energia armazenada pelo capacitor no estado inicial c a energia armazenada pelo capacitor no estado final e d a energia necessária para separar as placas 38 Na Fig 2529 uma diferença de potencial V 100 V é aplicada a um circuito de capacitores cujas capacitâncias são C1 100 μF C2 500 μF e C3 1500 μF Determine a q3 b V3 c a energia U3 armazenada no capacitor 3 d q1 e V1 f a energia U1 armazenada no capacitor 1 g q2 h V2 e i a energia U2 armazenada no capacitor 2 39 Na Fig 2545 C1 100 μF C2 200 μF e C3 250 μF Se nenhum dos capacitores pode suportar uma diferença de potencial de mais de 100 V sem que o dielétrico se rompa determine a a maior diferença de potencial que pode existir entre os pontos A e B e b a maior energia que pode ser armazenada no conjunto de três capacitores Figura 2545 Problema 39 Módulo 255 Capacitor com um Dielétrico 40 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capacitância de 13 pF A distância entre as placas é multiplicada por dois e o espaço entre as placas é preenchido com cera o que faz a capacitância aumentar para 26 pF Determine a constante dielétrica da cera 41 Um cabo coaxial usado em uma linha de transmissão tem um raio interno de 010 mm e um raio externo de 060 mm Calcule a capacitância por metro do cabo supondo que o espaço entre os condutores seja preenchido com poliestireno 42 Um capacitor de placas paralelas cujo dielétrico é o ar tem uma capacitância de 50 pF a Se a área das placas é 035 m2 qual é a distância entre as placas b Se a região entre as placas for preenchida por um material com κ 56 qual será a nova capacitância 43 Dado um capacitor de 74 pF cujo dielétrico é o ar você recebe a missão de convertêlo em um capacitor capaz de armazenar até 74 μJ com uma diferença de potencial máxima de 652 V Que dielétrico da Tabela 251 você usaria para preencher o espaço entre as placas se não fosse permitida uma margem de erro 44 Você está interessado em construir um capacitor com uma capacitância de aproximadamente 1 nF e um potencial de ruptura de mais de 10000 V e pensa em usar as superfícies laterais de um copo de pirex como dielétrico revestindo as faces interna e externa com folha de alumínio para fazer as placas O copo tem 15 cm de altura um raio interno de 36 cm e um raio externo de 38 cm Determine a a capacitância e b o potencial de ruptura do capacitor 45 Um capacitor de placas paralelas contém um dielétrico para o qual κ 55 A área das placas é 0034 m2 e a distância entre as placas é 20 mm O capacitor ficará inutilizado se o campo elétrico entre as placas exceder 200 kNC Qual é a máxima energia que pode ser armazenada no capacitor 46 Na Fig 2546 qual é a carga armazenada nos capacitores de placas paralelas se a diferença de potencial da bateria é 120 V O dielétrico de um dos capacitores é o ar o do outro uma substância com κ 300 Para os dois capacitores a área das placas é 500 103 m2 e a distância entre as placas é 200 mm Figura 2546 Problema 46 47 Uma substância tem uma constante dielétrica de 28 e uma rigidez dielétrica de 18 MVm Se for usada como dielétrico de um capacitor de placas paralelas qual deverá ser no mínimo a área das placas do capacitor para que a capacitância seja 70 H 102 μF e o capacitor possa suportar uma diferença de potencial de 40 kV 48 A Fig 2547 mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A 556 cm2 e uma distância entre as placas d 556 mm A parte esquerda do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica κ1 700 a parte direita é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 120 Qual é a capacitância Figura 2547 Problema 48 49 A Fig 2548 mostra um capacitor de placas paralelas com uma área das placas A 789 cm2 e uma distância entre as placas d 462 mm A parte superior do espaço entre as placas é preenchida por um material de constante dielétrica κ1 1100 a parte inferior é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 120 Qual é a capacitância Figura 2548 Problema 49 50 Na Fig 2549 é mostrado um capacitor de placas paralelas com área das placas A 105 cm2 e distância entre as placas 2d 712 mm O lado esquerdo do espaço entre as placas é preenchido por um material de constante dielétrica κ1 2100 a parte superior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ2 420 e a parte inferior do lado direito é preenchida por um material de constante dielétrica κ3 580 Qual é a capacitância Figura 2549 Problema 50 Módulo 256 Dielétricos e a Lei de Gauss 51 Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 100 pF uma área das placas de 100 cm2 e um dielétrico de mica κ 54 que preenche totalmente o espaço entre as placas Para uma diferença de potencial de 50 V calcule a o módulo E do campo elétrico no interior do dielétrico b o valor absoluto da carga livre nas placas e c o valor absoluto da densidade superficial de cargas induzidas no dielétrico 52 Suponha que a bateria permaneça ligada enquanto o dielétrico está sendo introduzido no capacitor do Exemplo 2506 Determine a a capacitância b a carga das placas do capacitor c o campo elétrico nos espaços entre as placas do capacitor e o dielétrico e d o campo elétrico no interior do dielétrico depois que o dielétrico for introduzido 53 Um capacitor de placas paralelas tem uma área das placas de 012 m2 e uma distância entre as placas de 12 cm Uma bateria é usada para carregar as placas com uma diferença de potencial de 120 V e em seguida é removida do circuito Um dielétrico com 40 mm de espessura e constante dielétrica 48 é introduzido simetricamente entre as placas a Qual é a capacitância antes da introdução do dielétrico b Qual é a capacitância após a introdução do dielétrico c Qual é a carga das placas antes da introdução do dielétrico d Qual é a carga das placas após da introdução do dielétrico e Qual é o módulo do campo elétrico no espaço entre as placas e o dielétrico f Qual é o módulo do campo elétrico no interior do dielétrico g Qual é a diferença de potencial entre as placas após a introdução do dielétrico h Qual é o trabalho envolvido na introdução do dielétrico 54 Duas placas paralelas de 100 cm2 de área recebem cargas de mesmo valor absoluto 89 107 C e sinais opostos O campo elétrico no interior do dielétrico que preenche o espaço entre as placas é 14 106 Vm a Calcule a constante dielétrica do material b Determine o módulo da carga induzida nas superfícies do dielétrico 55 O espaço entre duas cascas esféricas concêntricas de raios b 170 cm e a 120 cm é preenchido por uma substância de constante dielétrica κ 235 Uma diferença de potencial V 730 V é aplicada entre as duas cascas Determine a a capacitância do dispositivo b a carga livre q da casca interna e c a carga q induzida na superfície do dielétrico mais próxima da casca interna Figura 2550 Problema 56 Problemas Adicionais 56 Na Fig 2550 a diferença de potencial V da bateria é 100 V e os sete capacitores têm uma capacitância de 100 μF Determine a a carga do capacitor 1 e b a carga do capacitor 2 57 Na Fig 2551 V 90 V C1 C2 30 μF e C3 C4 15 μF Qual é a carga do capacitor C4 Figura 2551 Problema 57 58 As capacitâncias dos quatro capacitores da Fig 2552 são expressas em termos de uma constante C a Se C 50 μF qual é a capacitância equivalente entre os pontos A e B Sugestão Imagine primeiro que uma bateria foi ligada entre os dois pontos em seguida reduza o circuito a uma capacitância equivalente b Responda à mesma pergunta do item a para os pontos A e D Figura 2552 Problema 58 59 Na Fig 2553 V 12 V C1 C4 20 μF C2 40 μF e C3 10 μF Qual é a carga do capacitor C4 Figura 2553 Problema 59 60 O mistério do chocolate em pó Essa história começa no Problema 60 do Capítulo 23 Como parte da investigação da explosão ocorrida na fábrica de biscoitos o potencial elétrico dos operários foi medido enquanto eles esvaziavam sacos de chocolate em pó em uma bandeja produzindo uma nuvem de pó de chocolate Cada operário possuía um potencial elétrico de cerca de 70 kV em relação ao potencial da terra que foi considerado como potencial zero a Supondo que um operário pode ser modelado por um capacitor com uma capacitância efetiva de 200 pF determine a energia armazenada nesse capacitor Se uma única centelha entre um operário e um objeto condutor ligado à terra neutralizasse o operário essa energia seria transferida para a centelha De acordo com as medidas para inflamar uma nuvem de pó de chocolate provocando assim uma explosão a centelha teria que ter uma energia de pelo menos 150 mJ b Uma centelha produzida por um operário poderia provocar uma explosão enquanto o chocolate em pó estava sendo descarregado na bandeja A história continua no Problema 60 do Capítulo 26 61 A Fig 2554 mostra o capacitor 1 C1 800 μF o capacitor 2 C2 600 μF e o capacitor 3 C3 800 μF ligados a uma bateria de 120 V Quando a chave S é fechada ligando ao circuito o capacitor 4 C4 600 μF inicialmente descarregado determine a o valor da carga que passa pelo ponto P proveniente da bateria e b o valor da carga armazenada no capacitor 4 c Explique por que os resultados dos itens a e b não são iguais Figura 2554 Problema 61 62 Dois capacitores de placas paralelas cujo dielétrico é o ar são ligados a uma bateria de 10 V primeiro separadamente depois em série e finalmente em paralelo Nesses arranjos a energia armazenada nos capacitores é em ordem crescente 75 μJ 100 μJ 300 μJ e 400 μJ a Qual é o valor do menor capacitor b Qual é o valor do maior capacitor 63 Dois capacitores de placas paralelas ambos com uma capacitância de 60 μF são ligados em série a uma bateria de 10 V em seguida a distância entre as placas de um dos capacitores é reduzida à metade a Qual é o valor da carga adicional transferida para os capacitores pela bateria em consequência da mudança b Qual é o aumento da carga total armazenada nos capacitores a soma da carga armazenada na placa positiva de um dos capacitores com a carga armazenada na placa positiva do outro capacitor 64 Na Fig 2555 V 12 V C1 C5 C6 60 μF e C2 C3 C4 40 μF Determine a a carga total armazenada nos capacitores e b a carga do capacitor C4 Figura 2555 Problema 64 65 Na Fig 2556 as placas do capacitor de placas paralelas têm área de 200 102 m2 e o espaço entre as placas é preenchido por dois blocos de material isolante com 200 mm de espessura cada um A constante dielétrica de um dos materiais é 300 e a do outro é 700 Qual é a carga armazenada no capacitor por uma bateria de 700 V 66 Os raios de um capacitor cilíndrico como o da Fig 256 são a e b Mostre que metade da energia potencial elétrica armazenada está no interior de um cilindro de raio Figura 2556 Problema 65 67 Um capacitor de capacitância C1 600 μF é ligado em série com um capacitor de capacitância C2 400 μF e uma diferença de potencial de 200 V é aplicada ao par de capacitores a Calcule a capacitância equivalente Determine b a carga q1 c a diferença de potencial V1 d q2 e e V2 68 Repita o Problema 67 para os mesmos dois capacitores supondo que estão ligados em paralelo 69 Um capacitor é carregado com uma diferença de potencial V Qual deve ser o aumento percentual de V para que a energia armazenada aumente de 10 70 Uma barra de cobre de espessura b 200 mm é colocada entre as placas de um capacitor de placas paralelas A área das placas é A 240 cm2 e a distância entre as placas é d 500 mm Como mostra a Fig 2557 a barra é colocada exatamente no centro do espaço entre as placas a Qual é a capacitância após a introdução da barra b Se uma carga q 340 μC é mantida nas placas qual é a razão entre as energias armazenadas antes e depois da introdução da barra c Qual é o trabalho executado quando a barra é introduzida d A barra é atraída ou repelida pelo espaço entre as placas Figura 2557 Problemas 70 e 71 71 Repita o Problema 70 supondo que em vez de a carga ser mantida constante é mantida constante uma diferença de potencial entre as placas V 850 V 72 Uma diferença de potencial de 300 V é aplicada à combinação em série de dois capacitores de capacitâncias C1 200 μF e C2 800 μF Determine a a carga q1 b a diferença de potencial V1 c q2 e d V2 Os capacitores carregados são desligados um do outro e da bateria em seguida a ligação entre os capacitores é refeita mas com as placas com cargas de mesmo sinal ligadas entre si a bateria não é mais usada Determine os novos valores de e q1 f V1 g q2 e h V2 Suponha que os capacitores carregados no item a tenham sido ligados com cargas de sinais opostos ligadas entre si Determine quais são nesse caso os valores de i q1 j V1 k q2 e l V2 73 A Fig 2558 mostra um circuito com quatro capacitores que está ligado a um circuito maior pelos pontos A e B As capacitâncias são C1 10 μF e C2 C3 C4 20 μF A carga do capacitor 1 é 30 μC Qual é o valor absoluto da diferença de potencial VA VB Figura 2558 Problema 73 74 O leitor dispõe de duas placas de cobre uma folha de mica espessura 010 mm κ 54 um pedaço de vidro espessura 20 mm κ 70 e um bloco de parafina espessura 10 cm κ 20 Para fabricar um capacitor de placas paralelas com o maior valor possível de C que material você deve colocar entre as placas de cobre 75 Um capacitor de capacitância desconhecida C é carregado com 100 V e ligado a um capacitor de 60 μF inicialmente descarregado Se a diferença de potencial final entre os terminais do capacitor de 60 μF é 40 V qual é o valor de C 76 Uma bateria de 10 V é ligada a n capacitores em série cada um com uma capacitância de 20 μF Se a energia total armazenada nos capacitores é 25 μJ qual é o valor de n 77 Na Fig 2559 dois capacitores de placas paralelas A e B são ligados em paralelo a uma bateria de 600 V A área das placas dos capacitores é 800 cm2 e a distância entre as placas é 300 mm O dielétrico do capacitor A é o ar o do capacitor B é um material de constante dielétrica κ 260 Determine o módulo do campo elétrico a no espaço entre as placas do capacitor B e b no espaço entre as placas do capacitor A Determine a densidade de cargas livres σ c na placa de maior potencial do capacitor A e d na placa de maior potencial do capacitor B e Determine a densidade de cargas induzidas σ na superfície superior do dielétrico do capacitor B Figura 2559 Problema 77 78 O leitor dispõe de um suprimento ilimitado de capacitores de 20 μF os quais suportam uma tensão de 200 V De que forma esses capacitores podem ser usados para montar um circuito com uma capacitância equivalente a de 040 μF e b de 12 μF Suponha que em ambos os casos o circuito tem que suportar uma tensão de 1000 V 79 Um capacitor de placas paralelas tem uma carga q e a área das placas é A Determine a força com a qual as placas se atraem calculando o trabalho necessário para aumentar a distância entre as placas de x para x dx Sugestão Veja a Eq 822 b Mostre que a força por unidade de área a tensão eletrostática a que cada placa está sujeita é igual à densidade de energia ε0E22 na região entre as placas 80 Um capacitor é carregado até que a energia armazenada seja 400 J Em seguida um segundo capacitor é ligado em paralelo com o primeiro a Se a carga se distribui igualmente entre os dois capacitores qual é a energia total armazenada no campo elétrico dos dois capacitores b Para onde foi a energia restante CAPÍTULO 26 Corrente e Resistência 261 CORRENTE ELÉTRICA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2601 Usar a definição de corrente elétrica como a carga que passa por um ponto por unidade de tempo para calcular a quantidade de carga que passa por um ponto em um dado intervalo de tempo 2602 Saber que a corrente elétrica em geral se deve a elétrons de condução colocados em movimento por campos elétricos como por exemplo os que são produzidos em um fio por uma bateria 2603 Saber o que é um nó de um circuito e que de acordo com a lei de conservação da carga a corrente total que entra em um nó é igual à corrente total que sai do nó 2604 Saber o que significam as setas nos desenhos esquemáticos do circuito e saber que mesmo que seja representada com uma seta a corrente elétrica não é um vetor IdeiasChave Uma corrente elétrica i em um circuito é definida pela equação em que dq é a carga positiva que passa por um ponto do circuito em um intervalo de tempo dt Por convenção o sentido da corrente elétrica é aquele no qual cargas positivas se moveriam embora na maioria dos casos a corrente se deva a elétrons de condução que têm carga negativa O que É Física Nos últimos cinco capítulos discutimos a eletrostática a física das cargas estacionárias Neste capítulo e também no próximo vamos discutir as correntes elétricas a física das cargas em movimento Os exemplos de correntes elétricas são incontáveis e envolvem muitas profissões Os meteorologistas estudam os relâmpagos e os movimentos de cargas menos espetaculares na atmosfera Biólogos fisiologistas e engenheiros que trabalham na área de bioengenharia se interessam pelas correntes nos nervos que controlam os músculos e especialmente no modo como essas correntes podem ser restabelecidas em caso de danos à coluna vertebral Os engenheiros elétricos trabalham com sistemas elétricos de todos os tipos como redes de energia elétrica equipamentos de proteção contra relâmpagos dispositivos de armazenamento de informações e instrumentos de reprodução sonora Os engenheiros espaciais observam e estudam as partículas carregadas provenientes do Sol porque essas partículas 1 2 podem interferir nos sistemas de telecomunicações via satélite e até mesmo com linhas de transmissão terrestres Além desses trabalhos especializados quase todas as nossas atividades diárias hoje dependem de informações transportadas por correntes elétricas desde saques em caixas eletrônicos até a compra e venda de ações sem falar dos programas de televisão e do uso das redes sociais Neste capítulo vamos discutir a física básica das correntes elétricas e a razão pela qual alguns materiais conduzem corrente elétrica melhor que outros Começamos pela definição de corrente elétrica Corrente Elétrica Embora uma corrente elétrica seja um movimento de partículas carregadas nem todas as partículas carregadas que se movem produzem uma corrente elétrica Para que uma superfície seja atravessada por uma corrente elétrica é preciso que haja um fluxo líquido de cargas através da superfície Dois exemplos deixarão claro o que queremos dizer Os elétrons livres elétrons de condução que existem no interior de um fio de cobre se movem em direções aleatórias a uma velocidade média da ordem de 106 ms Se imaginarmos um plano perpendicular ao fio elétrons de condução passarão pelo plano nos dois sentidos bilhões de vezes por segundo mas não haverá um fluxo líquido de cargas e portanto não haverá uma corrente elétrica no fio Se ligarmos as extremidades do fio a uma bateria por outro lado o número de elétrons que atravessam o plano em um sentido se tornará ligeiramente maior que o número de elétrons que atravessam o plano no sentido oposto em consequência haverá um fluxo líquido de cargas e portanto haverá uma corrente elétrica no fio O fluxo de água em uma mangueira representa um movimento de cargas positivas os prótons das moléculas de água da ordem de milhões de coulombs por segundo Entretanto não existe um fluxo líquido de carga já que existe também um movimento de cargas negativas os elétrons das moléculas de água que compensa exatamente o movimento das cargas positivas Em consequência a corrente elétrica associada ao movimento da água no interior de uma mangueira é zero Neste capítulo vamos nos limitar ao estudo de correntes constantes de elétrons de condução em condutores metálicos como fios de cobre por exemplo Em um circuito fechado feito exclusivamente de um material condutor como o da Fig 261a mesmo que exista um excesso de carga todos os pontos estão ao mesmo potencial Sendo assim não pode haver um campo elétrico no material Embora existam elétrons de condução disponíveis eles não estão sujeitos a uma força elétrica e portanto não existe corrente Por outro lado quando introduzimos uma bateria no circuito como mostrado na Fig 261b o potencial não é mais o mesmo em todo o circuito Campos elétricos são criados no interior do material e exercem uma força sobre os elétrons de condução que os faz se moverem preferencialmente em um sentido produzindo uma corrente Depois de um pequeno intervalo de tempo o movimento dos elétrons atinge um valor constante e a corrente entra no regime estacionário deixa de variar com o tempo A Fig 262 mostra uma seção reta de um condutor parte de um circuito no qual existe uma corrente Se uma carga dq passa por um plano hipotético como aa em um intervalo de tempo dt a corrente i nesse plano é definida como Podemos determinar por integração a carga que passa pelo plano no intervalo de tempo de 0 a t em que a corrente i pode variar com o tempo No regime estacionário a corrente é a mesma nos planos aa bb e cc e em qualquer outro plano que intercepte totalmente o condutor seja qual for a localização ou orientação desse plano Isso é uma consequência do fato de que a carga é conservada No regime estacionário para cada elétron que passa pelo plano cc um elétron deve passar pelo plano aa Da mesma forma quando um fluxo contínuo de água está passando por uma mangueira para cada gota que sai pelo bico da mangueira uma gota deve entrar na outra extremidade a quantidade de água na mangueira também é uma grandeza conservada A unidade de corrente do SI é o coulomb por segundo ou ampère representado pelo símbolo A 1 ampère 1 A 1 colulomb por segundo 1 Cs A definição formal do ampère será discutida no Capítulo 29 Figura 261 a Um fio de cobre em equilíbrio eletrostático O fio inteiro está ao mesmo potencial e o campo elétrico é zero em todos os pontos do fio b Quando introduzimos uma bateria no circuito produzimos uma diferença de potencial entre os pontos do fio que estão ligados aos terminais da bateria Com isso a bateria produz um campo elétrico no interior do fio que faz com que cargas elétricas se movam no circuito Esse movimento de cargas constitui uma corrente i Figura 262 A corrente i que atravessa o condutor tem o mesmo valor nos planos aa bb e cc Figura 263 A relação i0 i1 i2 é verdadeira para o nó a qualquer que seja a orientação dos três fios no espaço A corrente não é uma grandeza vetorial e sim uma grandeza escalar A corrente elétrica definida pela Eq 261 é uma grandeza escalar já que a carga e o tempo que aparecem na equação são grandezas escalares Entretanto como na Fig 261b muitas vezes representamos uma corrente por uma seta para indicar o sentido em que as cargas estão se movendo Essas setas não são vetores e a elas não se aplicam as regras das operações vetoriais A Fig 263a mostra um condutor percorrido por uma corrente i0 que se divide em duas ao chegar a uma bifurcação que no caso das correntes elétricas é chamada de nó Como a carga é conservada a soma das correntes nos dois ramos é igual à corrente inicial Como mostra a Fig 263b a Eq 263 continua a ser válida mesmo que os fios sejam retorcidos No caso da corrente as setas indicam apenas o sentido em que as cargas estão se movendo em um condutor e não uma direção no espaço O Sentido da Corrente Elétrica Na Fig 261b desenhamos as setas que indicam a corrente no sentido em que partículas positivamente carregadas seriam forçadas pelo campo elétrico a se mover no circuito Se fossem positivos esses portadores de carga como são chamados sairiam do terminal positivo da bateria e entrariam no terminal negativo Na verdade no caso do fio de cobre da Fig 261b os portadores de carga são elétrons partículas negativamente carregadas O campo elétrico faz essas partículas se moverem no sentido oposto ao indicado pelas setas do terminal negativo para o terminal positivo Por questões históricas usamos a seguinte convenção A seta da corrente é desenhada no sentido em que portadores de carga positivos se moveriam mesmo que os portadores sejam negativos e se movam no sentido oposto Podemos usar essa convenção porque na maioria das situações supor que portadores de carga positivos estão se movendo em um sentido tem exatamente o mesmo efeito que supor que portadores de carga negativos estão se movendo no sentido oposto Nos casos em que isso não é verdade abandonamos a convenção e descrevemos o movimento do modo como realmente acontece Teste 1 A figura mostra parte de um circuito Quais são o valor absoluto e o sentido da corrente i no fio da extremidade inferior direita Exemplo 2601 A corrente elétrica como derivada do fluxo de carga A vazão da água em uma mangueira dVdt é 450 cm3s Qual é a corrente de carga negativa IDEIASCHAVE A corrente i de carga negativa se deve ao movimento dos elétrons das moléculas de água A corrente é a taxa com a qual a carga negativa passa por qualquer plano que intercepte totalmente a mangueira Cálculos Podemos escrever a corrente em termos do número de moléculas que passam por um plano por segundo como Usamos 10 como número de elétrons por molécula porque em uma molécula de água H2O existem 8 elétrons no átomo de oxigênio e 1 elétron em cada átomo de hidrogênio Podemos expressar a derivada dNdt em termos da vazão dVdt escrevendo Moléculas por mol é o número de Avogadro NA Mols por unidade de massa é o inverso da massa molar M da água Massa por unidade de volume é a massa específica ρ da água Volume por segundo é a vazão dVdt Assim temos Substituindo esse resultado na equação de i obtemos O valor de NA é 602 1023 moléculasmol ou 602 1023 mol1 e de acordo com a Tabela 141 a massa específica da água nas condições normais é ρ 1000 kgm3 Podemos calcular a massa molar da água a partir das massas molares do oxigênio e do hidrogênio veja o Apêndice F Somando a massa molar do oxigênio 16 gmol a duas vezes a massa molar do hidrogênio 1 gmol obtemos 18 gmol 0018 kgmol Assim Essa corrente de carga negativa é compensada exatamente por uma corrente de carga positiva produzida pelos núcleos dos três átomos que formam a molécula de água Assim a corrente elétrica total que atravessa a mangueira é nula 262 DENSIDADE DE CORRENTE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2605 Saber o que é o vetor densidade de corrente 2606 Saber o que é o vetor elemento de área de um fio 2607 Calcular a corrente em um fio integrando o produto escalar do vetor densidade de corrente pelo vetor elemento de área para toda a seção reta do fio 2608 Conhecer a relação entre corrente i o módulo da densidade de corrente J e a área A no caso em que a corrente é uniforme ao longo da seção reta de um fio 2609 Saber o que são linhas de corrente 2610 Explicar o movimento dos elétrons de condução em termos da velocidade de deriva 2611 Saber a diferença entre velocidade de deriva e velocidade térmica dos elétrons de condução 2612 Saber o que é a densidade de portadores 2613 Conhecer a relação entre a densidade de corrente J a densidade de portadores n e a velocidade de deriva vd IdeiasChave A corrente i uma grandeza escalar está relacionada à densidade de corrente uma grandeza vetorial pela equação em que é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA e a integral é calculada para uma seção reta do condutor A densidade de corrente tem o mesmo sentido que a velocidade dos portadores de corrente se os portadores de corrente são positivos e o sentido oposto se os portadores de corrente são negativos Quando um campo elétrico é criado em um condutor os portadores de carga adquirem uma velocidade de deriva no sentido de se forem positivos e no sentido oposto se forem negativos A velocidade de deriva está relacionada à densidade de corrente pela equação em que ne é a densidade de carga dos portadores Densidade de Corrente Às vezes estamos interessados em conhecer a corrente total i em um condutor Em outras ocasiões nosso interesse é mais específico e queremos estudar o fluxo de carga através de uma seção reta que se estende apenas a uma parte do material Para descrever esse fluxo usamos a densidade de corrente que tem a mesma direção e o mesmo sentido que a velocidade das cargas que constituem a corrente se as cargas forem positivas e a mesma direção e o sentido oposto se as cargas forem negativas Para cada elemento da seção reta o módulo J da densidade de corrente é igual à corrente dividida pela área do elemento Podemos escrever a corrente que atravessa o elemento de área como em que é o vetor área do elemento perpendicular ao elemento A corrente total que atravessa a seção reta é portanto Figura 264 A densidade de corrente pode ser representada por linhas de corrente cujo espaçamento é inversamente proporcional à densidade de corrente Se a corrente é uniforme em toda a seção reta e paralela a também é uniforme e paralela a Nesse caso a Eq 264 se torna em que A é a área total da superfície De acordo com a Eq 264 e a Eq 265 a unidade de densidade de corrente do SI é o ampère por metro quadrado Am2 Como vimos no Capítulo 22 os campos elétricos podem ser representados por linhas de campo A Fig 264 mostra que a densidade de corrente também pode ser representada por um conjunto de linhas conhecidas como linhas de corrente Na Fig 264 a corrente que é da esquerda para a direita faz uma transição de um condutor mais largo à esquerda para um condutor mais estreito à direita Como a carga é conservada na transição a quantidade de carga e a quantidade de corrente não podem mudar o que muda é a densidade de corrente que é maior no condutor mais estreito O espaçamento das linhas de corrente é inversamente proporcional à densidade de corrente quanto mais próximas as linhas de corrente maior a densidade de corrente Velocidade de Deriva Quando um condutor não está sendo percorrido por corrente os elétrons de condução se movem aleatoriamente sem que haja uma direção preferencial Quando existe uma corrente os elétrons continuam a se mover aleatoriamente mas tendem a derivar com uma velocidade de deriva vd no sentido oposto ao do campo elétrico que produziu a corrente A velocidade de deriva é muito pequena em relação à velocidade com a qual os elétrons se movem aleatoriamente conhecida como velocidade térmica vt por estar associada ao conceito de temperatura Assim por exemplo nos condutores de cobre da fiação elétrica residencial a velocidade de deriva dos elétrons é da ordem de 107 ms enquanto a velocidade térmica é da ordem de 106 ms Podemos usar a Fig 265 para relacionar a velocidade de deriva vd dos elétrons de condução em um fio ao módulo J da densidade de corrente no fio Por conveniência a Fig 265 mostra a velocidade de deriva como se os portadores de carga fossem positivos é por isso que o sentido de é o mesmo de e Na verdade na maioria dos casos os portadores de carga são negativos e tem o sentido oposto ao de e Vamos supor que todos esses portadores de carga se movem com a mesma velocidade de deriva vd e que a densidade de corrente J é a mesma em toda a seção reta A do fio Vamos supor ainda que a seção reta do fio seja constante Nesse caso o número de portadores em um pedaço do fio de comprimento L é nAL em que n é o número de portadores por unidade de volume Como cada portador possui uma carga e a carga total dos portadores nesse pedaço do fio é dada por Figura 265 Portadores de carga positivos se movem com velocidade de deriva vd na direção do campo elétrico aplicado Por convenção o sentido da densidade de corrente é o mesmo da corrente q nALe Como os portadores estão todos se movendo com velocidade vd essa carga atravessa uma seção reta do fio em um intervalo de tempo De acordo com a Eq 261 a corrente i é a taxa de variação com o tempo do fluxo de carga em uma seção reta Assim temos Explicitando vd e lembrando que de acordo com a Eq 265 iA J temos ou em forma vetorial O produto ne que no SI é medido em coulombs por metro quadrado Cm3 é chamado de densidade de carga dos portadores No caso de portadores positivos ne é positivo e portanto de acordo com a Eq 267 e têm o mesmo sentido No caso de portadores negativos ne é negativo e e têm sentidos opostos Teste 2 A figura mostra elétrons de condução que se movem para a esquerda em um fio Determine se o sentido das grandezas a seguir é para a esquerda ou para a direita a a corrente i b a densidade de corrente c o campo elétrico no interior do fio Exemplo 2602 Densidade de corrente uniforme e não uniforme a A densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R 20 mm é uniforme ao longo de uma seção reta do fio e igual a 20 105 Am2 Qual é a corrente na parte externa do fio entre as distâncias radiais R2 e R Fig 266a IDEIACHAVE Como a densidade de corrente é uniforme a densidade de corrente J a corrente i e a seção reta A estão relacionadas pela Eq 265 J iA Cálculos Estamos interessados apenas na corrente que atravessa uma parte A da seção reta do fio em que Neste caso podemos escrever a Eq 265 na forma i JA e substituir J e A por seus valores para obter b Suponha que em vez de ser uniforme a densidade de corrente varie com a distância radial r de acordo com a equação J ar2 em que a 30 1011 Am4 e r está em metros Nesse caso qual é a corrente na mesma parte do fio IDEIACHAVE Como a densidade de corrente não é uniforme devemos usar a Eq 264 e integrar a densidade de corrente para a parte do fio entre r R2 e r R Cálculos O vetor densidade de corrente que é paralelo ao eixo do fio e o vetor elemento de área que é perpendicular à seção reta do fio têm a mesma direção e o mesmo sentido Assim O elemento de área dA deve ser expresso em termos de uma variável que possa ser integrada entre os limites r R2 e r R No caso que estamos examinando como J é dada em função de r é conveniente usar como elemento de área a área 2πr dr de um anel elementar de circunferência 2πr e largura dr Fig 266b pois nesse caso podemos integrar a expressão resultante usando r como variável de integração De acordo com a Eq 264 temos 1 2 Figura 266 a Seção reta de um fio de raio R Se a densidade de corrente for uniforme a corrente é simplesmente o produto da densidade de corrente pela área da seção reta be Se a densidade de corrente não for uniforme calculamos a corrente em um anel elementar e depois somamos por integração as correntes em todos os anéis que pertencem à região de interesse Exemplo 2603 A velocidade de deriva dos elétrons é muito pequena Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução em um fio de cobre de raio r 900 μm percorrido por uma corrente i 17 mA Suponha que cada átomo de cobre contribui para a corrente com um elétron de condução e que a densidade de corrente é uniforme ao longo da seção reta do fio IDEIASCHAVE A velocidade de deriva vd está relacionada à densidade de corrente e ao número n de elétrons de condução por unidade de volume pela Eq 267 que neste caso pode ser escrita na forma J nevd Como a densidade de corrente é uniforme o módulo J da densidade de corrente está relacionado à corrente i e à área A da seção reta do fio pela Eq 265 J iA 3 Como estamos supondo que existe um elétron de condução por átomo o número n de elétrons de condução por unidade de volume é igual ao número de átomos por unidade de volume Cálculos Vamos começar pela terceira ideia e escrever Número de átomos por mol é o número de Avogadro NA 602 1023 mol1 Mols por unidade de massa é o inverso da massa por mol que no caso é a massa molar M do cobre Massa por unidade de volume é a massa específica ρ do cobre Assim Os valores de ρ e M para o cobre aparecem no Apêndice F Usando esses valores temos depois de algumas conversões de unidades ou Vamos agora combinar as duas primeiras ideias e escrever Substituindo A por πr2 254 106 m2 e explicitando vd obtemos que é apenas 18 mmh uma velocidade menor que a de uma lesma A luz acende depressa A essa altura o leitor deve estar se perguntando Se a velocidade de deriva dos elétrons é tão pequena por que a luz acende no momento em que eu ligo o interruptor Acontece que existe uma diferença entre a velocidade de deriva dos elétrons e a velocidade com a qual uma variação do campo elétrico se propaga em um fio A segunda velocidade é quase igual à velocidade da luz os elétrons em todos os pontos de um circuito começam a se mover quase instantaneamente entre eles os elétrons que fazem as lâmpadas acenderem Analogamente quando você abre o registro de água do jardim e a mangueira está cheia dágua uma onda de pressão se move ao longo da mangueira com uma velocidade igual à velocidade do som na água e a água começa a sair do bico da mangueira quase instantaneamente A velocidade com a qual a água se move no interior da mangueira que pode ser medida por exemplo usando um corante é muito menor 263 RESISTÊNCIA E RESISTIVIDADE Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2614 Conhecer a relação entre a diferença de potencial V aplicada entre dois pontos de um objeto a resistência R do objeto e a corrente i que atravessa do objeto 2615 Saber o que é um resistor 2616 Conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico em um ponto de um material a resistividade ρ do material e o módulo J da densidade de corrente nesse ponto 2617 No caso de um campo elétrico uniforme em um fio conhecer a relação entre o módulo E do campo elétrico a diferença de potencial V entre as extremidades do fio e o comprimento L do fio 2618 Conhecer a relação entre a resistividade ρ e a condutividade σ 2619 Conhecer a relação entre a resistência R de um objeto a resistividade ρ do material o comprimento L do objeto e a área A da seção reta do objeto 2620 Conhecer a equação que expressa de forma aproximada a variação da resistividade ρ de um metal com a temperatura T 2621 Criar um gráfico da resistividade ρ de um metal em função da temperatura T IdeiasChave A resistência R entre dois pontos de um condutor é definida pela equação em que V é a diferença de potencial entre os pontos e i é a corrente A resistividade ρ e a condutividade σ de um material são dadas pelas expressões em que E é o módulo do campo aplicado e J é o módulo da densidade de corrente O campo elétrico e a densidade de corrente estão relacionados pela equação em que ρ é a resistividade A resistência R de um fio condutor de comprimento L e seção reta uniforme é dada por em que A é a área da seção reta A resistividade da maioria dos materiais varia com a temperatura No caso dos metais a variação da resistividade ρ com a temperatura T é dada aproximadamente por uma equação da forma ρ ρ0 ρ0αT T0 em que T0 é uma temperatura de referência r0 é a resistividade na temperatura T0 e a é o coeficiente de temperatura da resistividade do metal The Image Works Figura 267 Resistores variados As faixas coloridas indicam o valor da resistência por meio de um código simples Resistência e Resistividade Quando aplicamos a mesma diferença de potencial às extremidades de barras de mesmas dimensões feitas de cobre e de vidro os resultados são muito diferentes A característica do material que determina a diferença é a resistência elétrica Medimos a resistência entre dois pontos de um condutor aplicando uma diferença de potencial V entre esses pontos e medindo a corrente i resultante A resistência R é dada por De acordo com a Eq 268 a unidade de resistência do SI é o volt por ampère Essa combinação ocorre com tanta frequência que uma unidade especial o ohm Ω é usada para representála Assim Um condutor cuja função em um circuito é introduzir uma resistência é chamado de resistor veja a Fig 267 Nos diagramas dos circuitos elétricos um resistor é representado pelo símbolo Quando escrevemos a Eq 268 na forma vemos que resistência é um nome bem escolhido Para uma dada diferença de potencial quanto maior a resistência à passagem de corrente menor a corrente A resistência de um condutor depende do modo como a diferença de potencial é aplicada A Fig 26 8 por exemplo mostra a mesma diferença de potencial aplicada de duas formas diferentes ao mesmo condutor Como se pode ver pelas linhas de corrente as correntes nos dois casos são diferentes portanto as resistências também são diferentes A menos que seja dito explicitamente o contrário vamos supor que as diferenças de potencial são aplicadas aos condutores como na Fig 268b Como já fizemos em outras ocasiões estamos interessados em adotar um ponto de vista que enfatize mais o material que o dispositivo Por isso concentramos a atenção não na diferença de potencial V entre as extremidades de um resistor mas no campo elétrico que existe em um ponto do material resistivo Em vez de lidar com a corrente i no resistor lidamos com a densidade de corrente no ponto em questão Em vez de falar da resistência R de um componente falamos da resistividade ρ do material Compare essa equação com a Eq 268 Figura 268 Duas formas de aplicar uma diferença de potencial a um condutor A resistência dos contatos é tão pequena que pode ser desprezada No arranjo a em que os contatos se estendem apenas a uma pequena região das extremidades do condutor a resistência é maior que no arranjo b em que os contatos cobrem toda a superfície das extremidades do condutor Combinando as unidades de E e J do SI de acordo com a Eq 2610 obtemos para a unidade de ρ o ohmmetro Ω m Não confundir o ohmmetro que é a unidade de resistividade do SI com o ohmímetro que é um instrumento para medir resistências A Tabela 261 mostra a resistividade de alguns materiais Podemos escrever a Eq 2610 em forma vetorial As Eqs 2610 e 2611 são válidas apenas para materiais isotrópicos ou seja materiais cujas propriedades são as mesmas em todas as direções Também podemos falar da condutividade σ de um material que é simplesmente o recíproco da resistividade A unidade de condutividade do SI é o ohmmetro recíproco Ω m1 Essa unidade é às vezes chamada de mho por metro mho é ohm escrito ao contrário Usando a definição de σ podemos escrever a Eq 26 11 na forma Cálculo da Resistência a Partir da Resistividade Vamos chamar a atenção mais uma vez para uma diferença importante A resistência é uma propriedade de um componente a resistividade é uma propriedade de um material Quando conhecemos a resistividade de um material como o cobre por exemplo não é difícil calcular a resistência de um fio feito desse material Sejam A a área da seção reta L o comprimento e V a diferença de potencial entre as extremidades do fio Fig 269 Se as linhas de corrente que representam a densidade de corrente são uniformes ao longo de toda a seção reta o campo elétrico e a densidade de corrente são iguais em todos os pontos do fio e de acordo com as Eqs 2442 e 265 têm os valores Nesse caso podemos combinar as Eqs 2610 e 2614 para obter Como Vi é a resistência R a Eq 2615 pode ser escrita na forma A Eq 2616 se aplica apenas a condutores isotrópicos homogêneos de seção reta uniforme com a diferença de potencial aplicada como na Fig 268b As grandezas macroscópicas V i e R são de grande interesse quando estamos realizando medidas elétricas em condutores específicos São essas as grandezas que lemos diretamente nos instrumentos de medida Por outro lado quando estamos interessados nas propriedades elétricas dos materiais usamos as grandezas microscópicas E J e ρ Tabela 261 Resistividade de Alguns Materiais à Temperatura Ambiente 20oC Material Resistividade ρΩ m Coeficiente de Temperatura da Resistividade α K1 Metais Típicos Prata 162 108 41 103 Cobre 169 108 43 103 Ouro 235 108 40 103 Alumínio 275 108 44 103 Manganina 482 108 0002 103 Tungstênio 525 108 45 103 Ferro 968 108 65 103 Platina 106 108 39 103 Semicondutores Típicos Silício puro 25 103 70 103 Silíciob tipo n 87 104 Silícioc tipo p 28 103 Isolantes Típicos Vidro 1010 1014 Quartzo fundido 1016 aUma liga especial com um baixo valor de α bSilício dopado com 1023 átomosm3 de fósforo cSilício dopado com 1023 átomosm3 de alumínio Figura 269 Uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades de um fio de comprimento L e seção reta A estabelecendo uma corrente i Teste 3 A figura mostra três condutores cilíndricos de cobre com os respectivos valores do comprimento e da área da seção reta Coloque os condutores na ordem decrescente da corrente que os atravessa quando a mesma diferença de potencial é aplicada às extremidades Figura 2610 Resistividade do cobre em função da temperatura O ponto assinala uma temperatura de referência conveniente T0 293 K na qual a resistividade é ρ0 169 108 Ω m Variação da Resistividade com a Temperatura Os valores da maioria das grandezas físicas variam com a temperatura a resistividade não é exceção A Fig 2610 por exemplo mostra a variação da resistividade do cobre com a temperatura A relação entre temperatura e resistividade para o cobre e para os metais em geral é quase linear em uma larga faixa de temperaturas Isso nos possibilita escrever uma fórmula empírica que é adequada para a maioria das aplicações práticas Aqui T0 é uma temperatura de referência e ρ0 é a resistividade a essa temperatura Costumase escolher como referência T0 293 K temperatura ambiente caso em que ρ0 169 108 Ω m para o cobre Como a temperatura entra na Eq 2617 apenas como uma diferença tanto faz usar a escala Celsius ou a escala Kelvin já que o valor de um grau nas duas escalas é o mesmo A constante α que aparece na Eq 2617 conhecida como coeficiente de temperatura da resistividade é escolhida para que a concordância da resistividade calculada com a resistividade medida experimentalmente seja a melhor possível na faixa de temperaturas considerada A Tabela 261 mostra os valores de α para alguns metais Exemplo 2604 Uma substância possui resistividade uma amostra da substância possui resistência Uma amostra de ferro em forma de paralelepípedo tem dimensões 12 cm 12 cm 15 cm Uma diferença de potencial é aplicada à amostra entre faces paralelas de tal forma que as faces são superfícies equipotenciais como na Fig 268b Determine a resistência da amostra se as faces paralelas forem 1 as extremidades quadradas de dimensões 12 cm 12 cm e 2 as extremidades retangulares de dimensões 12 15 cm IDEIACHAVE A resistência R de um objeto depende do modo como a diferença de potencial é aplicada ao objeto Em particular de acordo com a Eq 2616 R ρLA a resistência depende da razão LA em que A é a área das superfícies às quais é aplicada a diferença de potencial e L é a distância entre as superfícies Cálculos No caso 1 L 15 cm 015 m e A 12 cm2 144 104 m2 Substituindo esse valor na Eq 2616 e usando a resistividade ρ do ferro que aparece na Tabela 261 temos No caso 2 em que L 12 cm e A 12 cm15 cm obtemos 264 A LEI DE OHM Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2622 Saber a diferença entre um componente que obedece à lei de Ohm e um componente que não obedece à lei de Ohm 2623 Saber a diferença entre um material que obedece à lei de Ohm e um material que não obedece à lei de Ohm 2624 Descrever o movimento de um elétron de condução sob o efeito de um campo elétrico 2625 Conhecer a relação entre o livre caminho médio a velocidade térmica e a velocidade de deriva dos elétricos de condução 2626 Conhecer a relação entre a resistividade ρ a concentração de elétrons de condução n e o livre caminho médio τ dos elétrons Ideiaschave Dizemos que um componente fio resistor ou outro dispositivo elétrico qualquer obedece à lei de Ohm se a resistência R Vi do componente não depende da diferença de potencial V Dizemos que um material obedece à lei de Ohm se a resistividade ρ EJ do material não depende do campo elétrico aplicado A hipótese de que os elétrons de condução de um metal estão livres para se movimentar como as moléculas de um gás leva a uma expressão para a resistividade de um metal da forma em que m é a massa do elétron e é a carga do elétron n é o número de elétrons por unidade de volume e t é o tempo médio entre as colisões de um elétron com os átomos do metal Os metais obedecem à lei de Ohm porque nesse tipo de material o tempo livre médio τ praticamente não varia com o módulo E do campo elétrico aplicado A Lei de Ohm Como vimos no Módulo 263 o resistor é um condutor com um valor específico de resistência A resistência de um resistor não depende do valor absoluto e do sentido polaridade da diferença de potencial aplicada Outros componentes porém podem ter uma resistência que varia de acordo com a diferença de potencial aplicada A Fig 2611a mostra como as propriedades elétricas dos componentes podem ser investigadas Uma diferença de potencial V é aplicada aos terminais do componente que está sendo testado e a corrente resultante i é medida em função de V A polaridade de V é tomada arbitrariamente como positiva quando o terminal da esquerda do componente está a um potencial maior que o terminal da direita O sentido da corrente da esquerda para a direita é tomado arbitrariamente como positivo A polaridade oposta de V com o terminal da direita com um potencial maior e a corrente resultante são tomadas como negativas A Fig 2611b mostra o gráfico de i em função de V para um componente Como o gráfico é uma linha reta que passa pela origem a razão iV que corresponde à inclinação da reta é a mesma para qualquer valor de V Isso significa que a resistência R VI do componente não depende do valor absoluto e da polaridade da diferença de potencial aplicada V A Fig 2611c mostra o gráfico de i em função de V para outro componente Nesse caso só existe corrente quando a polaridade de V é positiva e a diferença de potencial aplicada é maior que 15 V Além disso no trecho do gráfico em que existe corrente a razão entre i e V não é constante mas depende do valor da diferença de potencial aplicada V Em casos como esses fazemos uma distinção entre os componentes que obedecem à lei de Ohm e os componentes que não obedecem à lei de Ohm A definição original da lei de Ohm é a seguinte Figura 2611 a Uma diferença de potencial V é aplicada aos terminais de um componente estabelecendo uma corrente i b Gráfico da corrente i em função da diferença de potencial aplicada V para um resistor de 1000 Ω c O mesmo tipo de gráfico para um diodo semicondutor Um componente obedece à lei de Ohm se a corrente que o atravessa varia linearmente com a diferença de potencial aplicada ao componente para qualquer valor da diferença de potencial Hoje sabemos que essa afirmação é correta apenas em certas situações entretanto por questões históricas continua a ser chamada de lei O componente da Fig 2611b que é um resistor de 1000 Ω obedece à lei de Ohm O componente da Fig 2611c que é um diodo semicondutor não obedece à lei de Ohm Uma definição mais realista da lei de Ohm é a seguinte Um componente obedece à lei de Ohm se dentro de certos limites a resistência do componente não depende do valor absoluto nem da polaridade da diferença de potencial aplicada É frequente ouvirmos a afirmação de que V iR é uma expressão matemática da lei de Ohm Isso não é verdade A equação é usada para definir o conceito de resistência e se aplica a todos os componentes que conduzem corrente elétrica mesmo que não obedeçam à lei de Ohm Se medirmos a diferença de potencial V entre os terminais de qualquer componente e a corrente i que atravessa o componente ao ser submetido a essa diferença de potencial podemos calcular a resistência do dispositivo para esse valor de V como R Vi mesmo que se trate de um componente como um diodo semicondutor que não obedece à lei de Ohm Para que um componente obedeça à lei de Ohm é preciso que dentro de certos limites o gráfico de i em função de V seja linear ou seja que R não varie com V Podemos expressar a lei de Ohm de modo mais geral se nos concentrarmos nos materiais e não nos componentes Nesse caso a relação relevante passa a ser a Eq 2611 ρ em vez de V iR e a lei de Ohm passa a ser definida da seguinte forma Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade do material dentro de certos limites não depende do módulo nem do sentido do campo elétrico aplicado Todos os materiais homogêneos sejam eles condutores como o cobre ou semicondutores como o silício puro ou dopado com impurezas obedecem à lei de Ohm dentro de uma faixa de valores do campo elétrico aplicado Para valores elevados do campo elétrico sempre são observados desvios em relação à lei de Ohm Teste 4 A tabela mostra a corrente i em ampères em dois componentes para vários valores da diferença de potencial V em volts Determine a partir desses dados qual é o componente que não obedece à lei de Ohm Dispositivo 1 Dispositivo 2 V i V i 200 450 200 150 300 675 300 220 400 900 400 280 Uma Visão Microscópica da Lei de Ohm Para verificar por que alguns materiais obedecem à lei de Ohm precisamos examinar os detalhes do processo de condução de eletricidade a nível atômico No momento vamos considerar apenas a condução em materiais metálicos como o cobre por exemplo Nossa análise será baseada no modelo de elétrons livres no qual supomos que os elétrons de condução de um metal estão livres para vagar por toda a amostra como as moléculas de gás no interior de um recipiente fechado Vamos supor também que os elétrons não colidem uns com os outros mas apenas com os átomos do metal De acordo com a física clássica os elétrons de condução deveriam apresentar uma distribuição maxwelliana de velocidades como a das moléculas de um gás Módulo 196 e portanto a velocidade média dos elétrons deveria variar com a temperatura Acontece que os movimentos dos elétrons não são governados pelas leis da física clássica e sim pelas leis da física quântica Por isso uma hipótese que está muito mais próxima da realidade é a de que os elétrons de condução em um metal se movem com uma única velocidade efetiva vef e que essa velocidade não depende da temperatura No caso do cobre vef 16 106 ms Quando aplicamos um campo elétrico a uma amostra metálica os elétrons modificam ligeiramente seus movimentos aleatórios e passam a derivar lentamente no sentido oposto ao do campo com uma velocidade de deriva vd A velocidade de deriva em um condutor metálico é da ordem de 107 ms muito menor portanto que a velocidade efetiva que é da ordem de 106 ms A Fig 2612 ilustra a relação entre as duas velocidades As retas cinzentas mostram um possível caminho aleatório de um elétron na ausência de um campo elétrico aplicado o elétron se move de A para B sofrendo seis colisões no percurso As retas verdes mostram qual poderia ser o mesmo caminho na presença de um campo elétrico Vemos que o elétron deriva para a direita e vai terminar no ponto B em vez de B A Fig 2612 foi desenhada para vd 002vef Como na verdade a relação é vd 1013vef a deriva mostrada na figura está grandemente exagerada O movimento dos elétrons de condução na presença de um campo elétrico é portanto um movimento em alta velocidade a velocidade térmica em direções aleatórias por causa de colisões superposto a um movimento em uma direção definida produzido pelo campo elétrico Para um grande número de elétrons livres a média dos movimentos em direções aleatórias é zero e não contribui para a velocidade de deriva que deve apenas ao efeito do campo elétrico sobre os elétrons Se um elétron de massa m é submetido a um campo elétrico de módulo E o elétron sofre uma aceleração dada pela segunda lei de Newton A natureza das colisões experimentadas pelos elétrons de condução é tal que depois de uma colisão típica o elétron perde por assim dizer a memória da velocidade de deriva que possuía antes da colisão Em outras palavras os elétrons passam a se mover em uma direção aleatória após cada colisão No intervalo de tempo médio τ entre colisões um elétron adquire uma velocidade de deriva vd aτ Supondo que os elétrons se movem de forma independente podemos concluir que em qualquer instante os elétrons possuem em média uma velocidade de deriva vd aτ Nesse caso de acordo com a Eq 2618 Combinando esse resultado com o módulo da Eq 267 ne obtemos que pode ser escrita na forma Combinando a Eq 2621 com o módulo da Eq 2611 ρ obtemos A Eq 2622 pode ser considerada uma demonstração de que os metais obedecem à lei de Ohm se for possível provar que no caso dos metais a resistividade ρ não depende da intensidade do campo elétrico aplicado Considere as grandezas que aparecem na Eq 2622 A não ser em casos extremos podemos supor que n o número de elétrons de condução por unidade de volume não depende da intensidade do campo aplicado Como m e e são constantes resta apenas mostrar que τ o tempo médio entre colisões ou tempo livre médio também não depende da intensidade do campo aplicado Acontece que τ é inversamente proporcional à velocidade efetiva vef dos elétrons que como vimos é muito maior que a velocidade de deriva vd causada pelo campo Isso significa que τ praticamente não é afetado pela intensidade do campo aplicado Assim o lado direito da Eq 2622 não varia com a temperatura e portanto os metais obedecem à lei de Ohm Figura 2612 As retas cinzentas mostram um possível caminho aleatório de um elétron de A a B na ausência de um campo elétrico aplicado sofrendo seis colisões no percurso as retas verdes mostram qual poderia ser o mesmo caminho na presença de um campo elétrico Observe o deslocamento para a direita do ponto final da trajetória no sentido contrário ao do campo elétrico Na verdade as retas verdes deveriam ser ligeiramente curvas para representar as trajetórias parabólicas do elétron entre colisões por causa da influência do campo elétrico Exemplo 2605 Tempo livre médio e livre caminho médio a Qual é o tempo médio entre colisões τ para os elétrons de condução do cobre IDEIASCHAVE O tempo médio entre colisões τ no cobre é aproximadamente constante e em particular não depende do valor do campo elétrico aplicado a uma amostra de cobre Assim não precisamos considerar um valor em particular do campo elétrico aplicado Por outro lado como a resistividade ρ do cobre depende de τ podemos determinar o tempo médio entre colisões a partir da Eq 2622 ρ me2nτ Cálculos De acordo com a Eq 2622 O valor de n o número de elétrons de condução do cobre por unidade de volume é 849 1028 m3 O valor de ρ aparece na Tabela 261 O denominador é portanto 849 1028 m316 1019 C2169 108 Ω m 367 1017 C2Ωm2 367 1017 kgs em que as unidades foram convertidas da seguinte forma Usando esses resultados e substituindo a massa m do elétron por seu valor obtemos b O livre caminho médio λ dos elétrons de condução em um condutor é definido como a distância média percorrida por um elétron entre duas colisões sucessivas Essa definição é semelhante à apresentada no Módulo 195 para o livre caminho médio das moléculas em um gás Qual é o valor de λ para os elétrons de condução do cobre supondo que a velocidade efetiva dos elétrons é vef 16 106 ms IDEIACHAVE A distância d percorrida por uma partícula que se move com velocidade constante v durante um intervalo de tempo t é d vt Cálculo No caso dos elétrons no cobre temos Essa distância é aproximadamente 150 vezes maior que a distância entre átomos vizinhos na rede cristalina do cobre Assim em média um elétron de condução passa por muitos átomos de cobre antes de se chocar com um deles1 265 POTÊNCIA SEMICONDUTORES E SUPERCONDUTORES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2627 Saber por que os elétrons perdem energia ao atravessarem um componente resistivo de um circuito 2628 Saber que potência é a taxa de transferência de energia 2629 Conhecer a relação entre a potência P a corrente i a tensão V e a resistência R de um componente resistivo 2630 Conhecer a relação entre a potência P a corrente i e a diferença de potencial V de uma bateria 2631 Aplicar a lei de conservação da energia a um circuito com uma bateria e um componente resistivo para calcular as transferências de energia em um circuito 2632 Saber a diferença entre condutores semicondutores e supercondutores IdeiasChave A potência P ou taxa de transferência de energia de um componente que conduz uma corrente i e está submetido a uma diferença de potencial V é dada por P iV Se o dispositivo é um resistor a potência também é dada por em que R é a resistência do resistor Nos resistores a energia potencial elétrica é convertida em energia térmica por colisões entre os elétrons de condução e os átomos do resistor Os semicondutores são materiais em que o número de elétrons de condução é pequeno mas pode ser aumentado dopando o material com átomos de outros elementos Os supercondutores são materiais cuja resistência elétrica é zero abaixo de certa temperatura A maioria desses materiais só se tornam supercondutores em temperaturas muito baixas próximas do zero absoluto mas alguns se tornam supercondutores em temperaturas um pouco maiores A Potência em Circuitos Elétricos A Fig 2613 mostra um circuito formado por uma bateria B ligada por fios de resistência desprezível a um componente não especificado que pode ser um resistor uma bateria recarregável um motor ou qualquer outro dispositivo elétrico A bateria mantém uma diferença de potencial de valor absoluto V entre os seus terminais e portanto graças aos fios de ligação entre os terminais do componente com um potencial mais elevado no terminal a do componente que no terminal b Como existe um circuito fechado ligando os terminais da bateria e a diferença de potencial produzida pela bateria é constante uma corrente constante i atravessa o circuito no sentido do terminal a para o terminal b A quantidade de carga dq que atravessa o circuito em um intervalo de tempo dt é igual a i dt Ao completar o circuito a carga dq tem seu potencial reduzido de V e portanto sua energia potencial é reduzida de um valor dado por De acordo com a lei de conservação da energia a redução da energia potencial elétrica no percurso de a a b deve ser acompanhada por uma conversão da energia para outra forma qualquer A potência P associada a essa conversão é a taxa de transferência de energia dUdt que de acordo com a Eq 2625 pode ser expressa na forma Além disso P é a taxa com a qual a energia é transferida da bateria para o componente Se o componente é um motor acoplado a uma carga mecânica a energia se transforma no trabalho realizado pelo motor sobre a carga Se o componente é uma bateria recarregável a energia se transforma na energia química armazenada na bateria Se o componente é um resistor a energia se transforma em energia térmica e tende a provocar um aquecimento do resistor De acordo com a Eq 2626 a unidade de potência elétrica é o voltampère VA mas a unidade de potência elétrica também pode ser escrita na forma Quando um elétron atravessa um resistor com velocidade de deriva constante sua energia cinética média permanece constante e a energia potencial elétrica perdida é convertida em energia térmica do resistor Em escala microscópica essa conversão de energia ocorre por meio de colisões entre os elétrons e as moléculas do resistor o que leva a um aquecimento do resistor A energia mecânica convertida em energia térmica é dissipada perdida já que o processo não pode ser revertido No caso de um resistor ou outro componente resistivo podemos combinar as Eqs 268 R Vi e 2626 para obter para a taxa de dissipação de energia elétrica devido à resistência as seguintes expressões em que R é a resistência do componente Atenção É preciso ter em mente que as Eqs 2627 e 2628 são menos gerais que a Eq 2626 A relação P iV se aplica a qualquer tipo de transferência de energia elétrica as relações P i2R e P V2R se aplicam apenas à conversão de energia elétrica em energia térmica em um componente resistivo Figura 2613 Uma bateria B estabelece uma corrente i em um circuito que contém um componente não especificado Teste 5 Uma diferença de potencial V é aplicada a um componente de resistência R fazendo com que uma corrente i atravesse o dispositivo Coloque as seguintes mudanças na ordem decrescente da variação da taxa com a qual a energia elétrica é convertida em energia térmica a V é multiplicada por dois e R permanece a mesma b i é multiplicada por dois e R permanece a mesma c R é multiplicada por dois e V permanece a mesma d R é multiplicada por dois e i permanece a mesma Exemplo 2606 Taxa de dissipação de energia em um fio percorrido por corrente Um pedaço de fio resistivo feito de uma liga de níquel cromo e ferro chamada Nichrome tem uma resistência de 72 Ω Determine a taxa com a qual a energia é dissipada nas seguintes situações 1 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada às extremidades do fio 2 O fio é cortado pela metade e diferenças de potencial de 120 V são aplicadas às extremidades dos dois pedaços resultantes IDEIACHAVE Uma corrente em um material resistivo produz uma conversão de energia mecânica em energia térmica a taxa de conversão dissipação é dada pelas Eqs 2626 a 2628 Cálculos Como conhecemos o potencial V e a resistência R usamos a Eq 2628 que nos dá para a situação 1 Na situação 2 a resistência de cada metade do fio é 722 36 Ω Assim a dissipação para cada metade é e para as duas metades é Esse valor é quatro vezes maior que a dissipação do fio inteiro À primeira vista pode parecer que se você comprar uma resistência de aquecimento cortála ao meio e tornar a ligála aos mesmos terminais terá quatro vezes mais calor Por que não é aconselhável fazer isso O que acontece com a corrente que atravessa a resistência Semicondutores Os semicondutores são os principais responsáveis pela revolução da microeletrônica que nos trouxe a era da informação Na Tabela 262 as propriedades do silício um semicondutor típico são comparadas com as do cobre um condutor metálico típico Vemos que o silício possui um número muito menor de portadores de carga uma resistividade muito maior e um coeficiente de temperatura da resistividade que é ao mesmo tempo elevado e negativo Assim enquanto a resistividade do cobre aumenta quando a temperatura aumenta a resistividade do silício diminui O silício puro possui uma resistividade tão alta que se comporta quase como um isolante e portanto não tem muita utilidade em circuitos eletrônicos Entretanto a resistividade do silício pode ser reduzida de forma controlada pela adição de certas impurezas um processo conhecido como dopagem A Tabela 261 mostra valores típicos da resistividade do silício puro e dopado com duas impurezas diferentes Podemos explicar qualitativamente a diferença entre a resistividade e portanto a condutividade dos semicondutores e a dos isolantes e dos condutores metálicos em termos da energia dos elétrons Uma análise quantitativa exigiria o uso das equações da física quântica Em um condutor metálico como um fio de cobre quase todos os elétrons estão firmemente presos aos átomos da rede cristalina seria necessária uma energia muito grande para que esses elétrons se libertassem dos átomos e pudessem participar da corrente elétrica Entretanto existem alguns elétrons que estão fracamente presos aos átomos e precisam de muito pouca energia para se libertar Essa energia pode ser a energia térmica ou a energia fornecida por um campo elétrico aplicado ao condutor O campo elétrico não só libera esses elétrons mas também faz com que se movam ao longo do fio em outras palavras um campo elétrico produz uma corrente nos materiais condutores Tabela 262 Algumas Propriedades Elétricas do Cobre e do Silício Propriedade Cobre Silício Tipo de material Metal Semicondutor Densidade de portadores de carga m3 849 1028 1 1016 Resistividade Ω m 169 108 25 103 Coeficiente de temperatura da resistividade K1 43 103 70 103 Nos isolantes é muito grande a energia necessária para liberar elétrons dos átomos da rede cristalina A energia térmica não é suficiente para que isso ocorra um campo elétrico de valor razoável também não é suficiente Assim não existem elétrons disponíveis e o material não conduz corrente elétrica mesmo na presença de um campo elétrico Um semicondutor tem as mesmas propriedades que um isolante exceto pelo fato de que é um pouco menor a energia necessária para liberar alguns elétrons O mais importante porém é que a dopagem pode fornecer elétrons ou buracos déficits de elétrons que se comportam como portadores de carga positivos que estão fracamente presos aos átomos e por isso conduzem corrente com facilidade Por meio da dopagem podemos controlar a concentração dos portadores de carga e assim modificar as propriedades elétricas dos semicondutores Quase todos os dispositivos semicondutores como transistores e diodos são produzidos a partir da dopagem de diferentes regiões de um substrato de silício com diferentes tipos de impurezas Considere novamente a Eq 2622 usada para calcular a resistividade de um condutor em que n é o número de portadores de carga por unidade de volume e τ é o tempo médio entre colisões dos portadores de carga Essa equação foi deduzida para o caso dos condutores mas também se aplica aos semicondutores Vejamos como as variáveis n e τ se comportam quando a temperatura aumenta Nos condutores n tem um valor elevado que varia muito pouco com a temperatura O aumento da resistividade com o aumento da temperatura nos metais Fig 2610 se deve ao aumento das colisões dos portadores de carga com os átomos da rede cristalina2 que se manifesta na Eq 2629 como uma redução de τ o tempo médio entre colisões Nos semicondutores n é pequeno mas aumenta rapidamente com o aumento da temperatura porque a agitação térmica faz com que haja um maior número de portadores disponíveis Isso resulta em uma redução da resistividade com o aumento da temperatura como indica o valor negativo do coeficiente de temperatura da resistividade do silício na Tabela 262 O mesmo aumento do número de colisões que é observado no caso dos metais também acontece nos semicondutores porém é mais do que compensado pelo rápido aumento do número de portadores de carga Supercondutores Em 1911 o físico holandês Kamerlingh Onnes descobriu que a resistência elétrica do mercúrio cai para zero quando o metal é resfriado abaixo de 4 K Fig 2614 Esse fenômeno conhecido como supercondutividade é de grande interesse tecnológico porque significa que as cargas podem circular em supercondutor sem perder energia na forma de calor Correntes criadas em anéis supercondutores por exemplo persistiram sem perdas durante vários anos é preciso haver uma fonte de energia para produzir a corrente inicial mas depois disso mesmo que a fonte seja removida a corrente continua a circular indefinidamente Figura 2614 A resistência do mercúrio cai bruscamente para zero quando o metal é resfriado abaixo de 4 K Cortesia de Shoji TonakaInternational Superconductivity Technology Center Tóquio Japão Um ímã em forma de disco é levitado por um material supercondutor resfriado com nitrogênio líquido O aquário com o peixinho é parte da demonstração Antes de 1986 as aplicações tecnológicas da supercondutividade eram limitadas pelo custo de produzir as temperaturas extremamente baixas necessárias para que o efeito se manifestasse Em 1986 porém foram descobertos materiais cerâmicos que se tornam supercondutores em temperaturas bem mais altas portanto mais fáceis e baratas de obter embora menores que a temperatura ambiente No futuro talvez seja possível operar dispositivos supercondutores à temperatura ambiente A supercondutividade é um fenômeno muito diferente da condutividade Na verdade os melhores condutores normais como a prata e o cobre não se tornam supercondutores nem em temperaturas muito baixas enquanto os novos supercondutores cerâmicos são isolantes à temperatura ambiente Uma explicação para a supercondutividade se baseia na ideia de que em um supercondutor os elétrons responsáveis pela corrente se movem em pares Um dos elétrons do par distorce a estrutura cristalina do material criando nas proximidades uma concentração temporária de cargas positivas o outro elétron do par é atraído por essas cargas Segundo a teoria essa coordenação dos movimentos dos elétrons impede que eles colidam com os átomos da rede cristalina eliminando a resistência elétrica A teoria explicou com sucesso o comportamento dos supercondutores de baixa temperatura descobertos antes de 1986 mas parece que será necessária uma teoria diferente para explicar o comportamento dos novos supercondutores cerâmicos Revisão e Resumo Corrente A corrente elétrica i em um condutor é definida pela equação em que dq é a carga positiva que passa durante um intervalo de tempo dt por um plano hipotético que corta o condutor Por convenção o sentido da corrente elétrica é tomado como o sentido no qual cargas positivas se moveriam A unidade de corrente no SI é o ampère A 1 A 1 Cs Densidade de Corrente A corrente uma grandeza escalar está relacionada à densidade de corrente uma grandeza vetorial pela equação em que é um vetor perpendicular a um elemento de superfície de área dA e a integral é calculada ao longo de uma superfície que intercepta o condutor tem o mesmo sentido que a velocidade dos portadores de carga se estes são positivos e o sentido oposto se são negativos Velocidade de Deriva dos Portadores de Carga Quando um campo elétrico é estabelecido em um condutor os portadores de carga considerados positivos adquirem uma velocidade de deriva vd na direção de a velocidade está relacionada à densidade de corrente pela equação em que ne é a densidade de carga dos portadores Resistência de um Condutor A resistência R de um condutor é definida pela equação em que V é a diferença de potencial entre as extremidades do condutor e i é a corrente A unidade de resistência do SI é o ohm Ω 1 Ω 1 VA Equações semelhantes definem a resistividade ρ e a condutividade σ de um material em que E é o módulo do campo elétrico aplicado A unidade de resistividade do SI é o ohmmetro Ωm A Eq 2610 corresponde à equação vetorial A resistência R de um fio condutor de comprimento L e seção reta uniforme é dada por em que A é a área da seção reta Variação de ρ com a Temperatura A resistividade ρ da maioria dos materiais varia com a temperatura Em muitos metais a relação entre ρ e a temperatura T é dada aproximadamente pela equação em que T0 é uma temperatura de referência ρ0 é a resistividade na temperatura T0 e α é o coeficiente de temperatura da resistividade do material Lei de Ohm Dizemos que um dispositivo condutor resistor ou qualquer outro componente de um circuito obedece à lei de Ohm se a resistência R do dispositivo definida pela Eq 268 como Vi não depende da diferença de potencial aplicada V Um material obedece à lei de Ohm se a resistividade ρ definida pela Eq 2610 não depende do módulo e do sentido do campo aplicado Resistividade de um Metal Supondo que os elétrons de condução de um metal estão livres para se mover como as moléculas de um gás é possível escrever uma expressão para a resistividade de um metal como em que n é o número de elétrons livres por unidade de volume e τ é o tempo médio entre colisões dos elétrons de condução com os átomos do metal Podemos entender por que os metais obedecem à lei de Ohm observando que τ praticamente não depende da intensidade do campo elétrico aplicado ao metal Potência A potência P ou taxa de transferência de energia em um componente submetido a uma diferença de potencial V é dada por Dissipação Resistiva No caso de um resistor a Eq 2626 pode ser escrita na forma Nos resistores a energia potencial elétrica é convertida em energia térmica por meio de colisões entre os portadores de carga e os átomos da rede cristalina Semicondutores Os semicondutores são materiais que possuem um número relativamente pequeno de elétrons de condução mas se tornam bons condutores quando são dopados com outros átomos que fornecem elétrons livres Supercondutores Os supercondutores são materiais cuja resistência se anula totalmente em baixas temperaturas Recentemente foram descobertos materiais cerâmicos que se tornam supercondutores em temperaturas bem maiores que as temperaturas em que o efeito se manifesta nos supercondutores metálicos Perguntas 1 A Fig 2615 mostra as seções retas de três condutores longos de mesmo comprimento feitos do mesmo material As dimensões das seções retas estão indicadas O condutor B se encaixa perfeitamente no condutor A e o condutor C se encaixa perfeitamente no condutor B Coloque na ordem decrescente da resistência entre as extremidades os três condutores e a combinação A B B no interior de A e a combinação B C C no interior de B e A B C C no interior de B e B no interior de A Figura 2615 Pergunta 1 2 A Fig 2616 mostra as seções retas de três fios de mesmo comprimento feitos do mesmo material A figura também mostra as dimensões das seções retas em milímetros Coloque os fios na ordem decrescente da resistência medida entre as extremidades do fio Figura 2616 Pergunta 2 3 A Fig 2617 mostra um condutor em forma de paralelepípedo de dimensões L 2L e 3L Uma diferença de potencial V é aplicada uniformemente entre pares de faces opostas do condutor como na Fig 268b A diferença de potencial é aplicada primeiro entre as faces esquerda e direita depois entre as faces superior e inferior e finalmente entre as faces dianteira e traseira Coloque esses pares na ordem decrescente dos valores das seguintes grandezas no interior do condutor a módulo do campo elétrico b densidade de corrente c corrente e d velocidade de deriva dos elétrons Figura 2617 Pergunta 3 4 A Fig 2618 mostra os gráficos da corrente i em uma seção reta de um fio em quatro diferentes intervalos de tempo Coloque os intervalos na ordem decrescente da corrente total que passa pela seção reta durante o intervalo Figura 2618 Pergunta 4 5 A Fig 2619 mostra quatro situações nas quais cargas positivas e negativas se movem horizontalmente e a taxa com a qual as cargas se movem Coloque as situações na ordem decrescente da corrente efetiva Figura 2619 Pergunta 5 6 Na Fig 2620 um fio percorrido por corrente possui três trechos de raios diferentes Coloque os trechos na ordem decrescente do valor das seguintes grandezas a corrente b módulo da densidade de corrente e c módulo do campo elétrico Figura 2620 Pergunta 6 7 A Fig 2621 mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x ao longo de um fio de cobre percorrido por corrente O fio possui três trechos de raios diferentes Coloque os trechos na ordem decrescente do valor das seguintes grandezas a campo elétrico e b densidade de corrente Figura 2621 Pergunta 7 8 A tabela a seguir mostra o comprimento o diâmetro e a diferença de potencial entre as extremidades de três barras de cobre Coloque as barras na ordem decrescente a do módulo do campo elétrico no interior da barra b da densidade de corrente no interior da barra e c da velocidade de deriva dos elétrons Barra Comprimento Diâmetro Diferença de Potencial 1 L 3d V 2 2L d 2V 3 3L 2d 3V 9 A Fig 2622 mostra a velocidade de deriva vd dos elétrons de condução em um fio de cobre em função da posição x ao longo do fio O fio possui três trechos com raios diferentes Coloque os trechos na ordem decrescente do valor das seguintes grandezas a raio b número de elétrons de condução por metro cúbico c módulo do campo elétrico e d condutividade Figura 2622 Pergunta 9 10 Três fios de mesmo diâmetro são ligados sucessivamente entre dois pontos mantidos a certa diferença de potencial As resistividades e os comprimentos dos fios são ρ e L fio A 12ρ e 12L fio B e 09ρ e L fio C Coloque os fios na ordem decrescente da taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica 11 A Fig 2623 mostra para três fios de raio R a densidade de corrente Jr em função da distância r do centro do fio Os fios são todos do mesmo material Coloque os fios na ordem decrescente do módulo do campo elétrico a no centro do fio b a meio caminho da superfície do fio e c na superfície do fio Figura 2623 Pergunta 11 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 261 Corrente Elétrica 1 Durante os 40 min em que uma corrente de 50 A atravessa um fio a quantos coulombs e b quantos elétrons passam por uma seção reta do fio 2 Uma esfera condutora tem 10 cm de raio Um fio leva até a esfera uma corrente de 1000 002 0 A Outro fio retira da esfera uma corrente de 1000 000 0 A Quanto tempo é necessário para que o potencial da esfera aumente de 1000 V 3 Uma correia com 50 cm de largura está se movendo a 30 ms entre uma fonte de cargas e uma esfera A correia transporta as cargas para a esfera a uma taxa que corresponde a 100 μA Determine a densidade superficial de cargas da correia Módulo 262 Densidade de Corrente 4 A tabela a seguir foi extraída do National Electric Code que estabelece a corrente máxima considerada segura nos Estados Unidos para fios de cobre isolados de vários diâmetros Plote a densidade de corrente segura mostrada na tabela em função do diâmetro Para qual calibre de fio a densidade de corrente segura é máxima Calibre é uma forma de indicar o diâmetro dos fios e 1 mil 1 milésimo de polegada Calibre 4 6 8 10 12 14 16 18 Diâmetro mils 204 162 129 102 81 64 51 40 Corrente segura A 70 50 35 25 20 15 6 3 5 Um feixe de partículas contém 20 108 íons positivos duplamente carregados por centímetro cúbico todos se movendo para o norte com uma velocidade de 10 105 ms a Determine o módulo e b a direção da densidade de corrente c Que grandeza adicional é necessária para calcular a corrente total i associada a esse feixe de íons 6 Certo fio cilíndrico está conduzindo uma corrente Desenhamos uma circunferência de raio r e centro no eixo do fio Fig 2624a e determinamos a corrente i no interior da circunferência A Fig 2624b mostra a corrente i em função de r2 A escala vertical é definida por is 40 mA e a escala horizontal é definida por 40 mm2 a A densidade de corrente é uniforme b Caso a resposta do item a seja afirmativa calcule o valor da densidade de corrente Figura 2624 Problema 6 7 O fusível de um circuito elétrico é um fio projetado para fundir abrindo o circuito se a corrente ultrapassar certo valor Suponha que o material a ser usado em um fusível funde quando a densidade de corrente ultrapassa 440 Acm2 Que diâmetro de fio cilíndrico deve ser usado para fazer um fusível que limite a corrente a 050 A 8 Uma corrente pequena porém mensurável de 12 1010 A atravessa um fio de cobre com 25 mm de diâmetro O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 Supondo que a corrente é uniforme calcule a a densidade de corrente e b a velocidade de deriva dos elétrons 9 O módulo Jr da densidade de corrente em um fio cilíndrico com 200 mm de raio é dado por Jr Br em que r é a distância do centro do fio em metros e B 200 105 Am3 Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio com 100 μm de largura situado a 120 mm do centro do fio 10 O módulo J da densidade de corrente em um fio cilíndrico de raio R 200 mm é dado por J 300 108r2 com J em ampères por metro quadrado e a distância radial r em metros Qual é a corrente que passa em um anel concêntrico com o fio cujo raio interno é 0900R e cujo raio externo é R 11 Determine a corrente em um fio de raio R 340 mm se o módulo da densidade de corrente é dado por a Ja J0R e b Jb J01 rR em que r é a distância radial e J0 550 104 Am2 c Para qual das duas funções a densidade de corrente perto da superfície do fio é maior 12 Nas vizinhanças da Terra a densidade de prótons do vento solar uma corrente de partículas proveniente do Sol é 870 cm3 e a velocidade dos prótons é 470 kms a Determine a densidade de corrente dos prótons do vento solar b Se o campo magnético da Terra não desviasse os prótons qual seria a corrente recebida pela Terra 13 Quanto tempo os elétrons levam para ir da bateria de um carro até o motor de arranque Suponha que a corrente é 300 A e que o fio de cobre que liga a bateria ao motor de arranque tem 085 m de comprimento e uma seção reta de 021 cm2 O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 Módulo 263 Resistência e Resistividade 14 Um ser humano pode morrer se uma corrente elétrica da ordem de 50 mA passar perto do coração Um eletricista trabalhando com as mãos suadas o que reduz consideravelmente a resistência da pele segura dois fios desencapados um em cada mão Se a resistência do corpo do eletricista é 2000 Ω qual é a menor diferença de potencial entre os fios capaz de produzir um choque mortal 15 Uma bobina é feita de 250 espiras de fio isolado de cobre calibre 16 13 mm de diâmetro enroladas em uma única camada para formar um cilindro com 12 cm de raio Qual é a resistência da bobina Despreze a espessura do isolamento Sugestão Veja a Tabela 261 16 Existe a possibilidade de usar cobre ou alumínio em uma linha de transmissão de alta tensão para transportar uma corrente de até 600 A A resistência por unidade de comprimento deve ser de 0150 Ωkm As massas específicas do cobre e do alumínio são 8960 e 2600 kgm2 respectivamente Determine a o módulo J da densidade de corrente e b a massa por unidade de comprimento λ no caso de um cabo de cobre e c J e d λ no caso de um cabo de alumínio 17 Um fio de Nichrome uma liga de níquel cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento tem 10 m de comprimento e 10 mm2 de seção reta e conduz uma corrente de 40 A quando uma diferença de potencial de 20 V é aplicada às extremidades Calcule a condutividade σ do Nichrome 18 Um fio com 400 m de comprimento e 600 mm de diâmetro tem uma resistência de 150 mΩ Uma diferença de potencial de 230 V é aplicada às extremidades do fio a Qual é a corrente no fio b Qual é o módulo da densidade de corrente c Calcule a resistividade do material do fio d Identifique o material com o auxílio da Tabela 261 19 Um fio elétrico tem 10 mm de diâmetro 20 m de comprimento e uma resistência de 50 mΩ Qual é a resistividade do material do fio 20 Um fio tem uma resistência R Qual é a resistência de um segundo fio feito do mesmo material com metade do comprimento e metade do diâmetro 21 As especificações de uma lâmpada de lanterna são 030 A e 29 V os valores da corrente e tensão de trabalho respectivamente Se a resistência do filamento de tungstênio da lâmpada à temperatura ambiente 20oC é 11 Ω qual é a temperatura do filamento quando a lâmpada está acesa 22 Empinando uma pipa durante uma tempestade A história de que Benjamin Franklin empinou uma pipa durante uma tempestade é apenas uma lenda ele não era tolo nem tinha tendências suicidas Suponha que a linha de uma pipa tem 200 mm de raio cobre uma distância de 0800 km na vertical e está coberta por uma camada de água de 0500 mm de espessura com uma resistividade de 150 Ω m Se a diferença de potencial entre as extremidades da linha é 160 MV a diferença de potencial típica de um relâmpago qual é a corrente na camada de água O perigo não está nessa corrente mas na possibilidade de que a pessoa que segura a linha seja atingida por um relâmpago que pode produzir uma corrente de até 500000 A mais do que suficiente para matar 23 Quando uma diferença de potencial de 115 V é aplicada às extremidades de um fio com 10 m de comprimento e um raio de 030 mm o módulo da densidade de corrente é 14 108 Am2 Determine a resistividade do fio 24 A Fig 2625a mostra o módulo Ex do campo elétrico criado por uma bateria ao longo de uma barra resistiva de 900 mm de comprimento Fig 2625b A escala vertical é definida por Es 400 103 Vm A barra é formada por três trechos feitos do mesmo material porém com raios diferentes O diagrama esquemático da Fig 2625b não mostra os raios diferentes O raio da seção 3 é 200 mm Determine o raio a da seção 1 e b da seção 2 Figura 2625 Problema 24 25 Um fio com uma resistência de 60 Ω é trefilado de tal forma que o comprimento se torna três vezes maior que o inicial Determine a resistência do fio após a operação supondo que a resistividade e a massa específica do material permaneçam as mesmas 26 Na Fig 2626a uma bateria de 900 V é ligada a uma placa resistiva formada por três trechos com a mesma seção reta e condutividades diferentes A Fig 2626b mostra o potencial elétrico Vx em função da posição x ao longo da placa A escala horizontal é definida por xs 800 mm A condutividade do trecho 3 é 300 107 Ωm1 a Qual é a condutividade do trecho 1 b Qual é a condutividade do trecho 2 Figura 2626 Problema 26 27 Dois condutores são feitos do mesmo material e têm o mesmo comprimento O condutor A é um fio maciço de 10 mm de diâmetro o condutor B é um tubo oco com um diâmetro externo de 20 mm e um diâmetro interno de 10 mm Qual é a razão entre as resistências dos dois fios RARB As resistências são medidas entre as extremidades dos fios 28 A Fig 2627 mostra o potencial elétrico Vx ao longo de um fio de cobre percorrido por uma corrente uniforme de um ponto de potencial mais alto Vs 120 μV em x 0 até um ponto de potencial nulo em xs 300 m O fio tem um raio de 200 mm Qual é a corrente no fio Figura 2627 Problema 28 29 Uma diferença de potencial de 300 nV é estabelecida entre as extremidades de um fio de cobre com 200 cm de comprimento e um raio de 200 mm Qual é a carga que passa por uma seção reta do fio em 300 ms 30 Se o número que indica o calibre de um fio aumenta de 6 o diâmetro é dividido por 2 se o calibre aumenta de 1 o diâmetro é dividido por 216 veja a tabela do Problema 4 Com base nessas informações e no fato de que 1000 pés de fio de cobre calibre 10 têm uma resistência de aproximadamente 100 Ω estime a resistência de 25 pés de fio de cobre calibre 22 31 Um cabo elétrico é formado por 125 fios com uma resistência de 265 μΩ cada um A mesma diferença de potencial é aplicada às extremidades de todos os fios o que produz uma corrente total de 0750 A a Qual é a corrente em cada fio b Qual é a diferença de potencial aplicada c Qual é a resistência do cabo 32 A atmosfera inferior da Terra contém íons negativos e positivos que são produzidos por elementos radioativos do solo e por raios cósmicos provenientes do espaço Em certa região a intensidade do campo elétrico atmosférico é 120 Vm e o campo aponta verticalmente para baixo Esse campo faz com que íons com uma unidade de carga positiva com uma concentração de 620 cm3 se movam para baixo enquanto íons com uma unidade de carga negativa com uma concentração de 550 cm3 se movam para cima Fig 2628 O valor experimental da condutividade do ar nessa região é 270 1014 Ω m1 Determine a o módulo da densidade de corrente e b a velocidade de deriva dos íons supondo que é a mesma para íons positivos e negativos Figura 2628 Problema 32 33 Um objeto em forma de paralelepípedo tem uma seção reta de 350 cm2 um comprimento de 158 cm e uma resistência de 935 Ω O material de que é feito o objeto possui 533 1022 elétronsm3 Uma diferença de potencial de 358 V é mantida entre as faces dianteira e traseira a Qual é a corrente que atravessa o objeto b Se a densidade de corrente é uniforme qual é o valor da densidade de corrente c Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução d Qual é o módulo do campo elétrico no interior do objeto 34 A Fig 2629 mostra um fio 1 com 400R de diâmetro e um fio 2 com 200R de diâmetro ligados por um trecho em que o diâmetro do fio varia gradualmente O fio é de cobre e está sendo percorrido por uma corrente distribuída uniformemente ao longo da seção reta do fio A variação do potencial elétrico V ao longo do comprimento L 200 m do fio 2 é 100 μV O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 Qual é a velocidade de deriva dos elétrons de condução no fio 1 Figura 2629 Problema 34 35 Na Fig 2630 uma corrente elétrica atravessa um tronco de cone circular reto de resistividade 731 Ω m raio menor a 200 mm raio maior b 230 mm e comprimento L 194 cm A densidade de corrente é uniforme em todas as seções retas perpendiculares ao eixo da peça Qual é a resistência da peça Figura 2630 Problema 35 36 Nadando durante uma tempestade A Fig 2631 mostra um nadador a uma distância D 350 m de um relâmpago com uma corrente I 78 kA que atinge a água A água tem uma resistividade de 30 Ω m a largura do nadador ao longo de uma reta que passa pelo ponto em que caiu o raio é 070 m e a resistência do corpo do nadador nessa direção é 400 kΩ Suponha que a corrente se espalha pela água como um hemisfério com o centro no ponto em que caiu o relâmpago Qual é o valor da corrente que atravessa o corpo do nadador Figura 2631 Problema 36 Módulo 264 A Lei de Ohm 37 Mostre que de acordo com o modelo do elétron livre para a condução de corrente elétrica em metais e a física clássica a resistividade dos metais é proporcional a em que T é a temperatura em kelvins Veja a Eq 1931 Módulo 265 Potência Semicondutores e Supercondutores 38 Na Fig 2632a um resistor de 20 Ω é ligado a uma bateria A Fig 2632b mostra a energia térmica Et gerada pelo resistor em função do tempo t A escala vertical é definida por Ets 250 mJ e a escala horizontal é definida por ts 400 s Qual é a diferença de potencial entre os terminais da bateria Figura 2632 Problema 38 39 Uma máquina de cachorroquente funciona aplicando uma diferença de potencial de 120 V às extremidades de uma salsicha e cozinhandoa com a energia térmica produzida A corrente é 100 A e a energia necessária para cozinhar uma salsicha é 600 kJ Se a potência dissipada não varia quanto tempo é necessário para cozinhar três salsichas simultaneamente 40 Um resistor dissipa uma potência de 100 W quando a corrente é 300 A Qual é a resistência 41 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente cuja resistência de operação é 14 Ω a Qual é a taxa de conversão de energia elétrica em energia térmica b Qual é o custo de 50 h de uso do aquecedor se o preço da eletricidade é R005kW h 42 Na Fig 2633 uma bateria com uma diferença de potencial V 12 V está ligada a um fio resistivo de resistência R 60 Ω Quando um elétron percorre o fio de um extremo a outro a em que sentido o elétron se move b Qual é o trabalho realizado pelo campo elétrico do fio sobre o elétron c Qual é a energia transformada pelo elétron em energia térmica do fio Figura 2633 Problema 42 43 Quando um resistor de valor desconhecido é ligado aos terminais de uma bateria de 300 V a potência dissipada é 0540 W Quando o mesmo resistor é ligado aos terminais de uma bateria de 150 V qual é a potência dissipada 44 Um estudante manteve um rádio de 90 V 70 W ligado no volume máximo das 9 horas da noite às 2 horas da madrugada Qual foi a carga que atravessou o rádio 45 Um aquecedor de ambiente de 1250 W foi projetado para funcionar com 115 V a Qual é a corrente consumida pelo aparelho b Qual é a resistência do elemento de aquecimento c Qual é a energia térmica produzida pelo aparelho em 10 h 46 Um fio de cobre com seção reta de 200 106 m2 e comprimento de 400 m é percorrido por uma corrente uniformemente distribuída a Qual é o módulo do campo elétrico no interior do fio b Qual é a energia elétrica transformada em energia térmica em 30 min 47 Um elemento de aquecimento feito de Nichrome com uma seção reta de 260 106 é submetido a uma diferença de potencial de 750 V O fio de Nichrome tem uma resistividade de 500 107 Ω m a Se o fio dissipa 5000 W qual é o comprimento do fio b Qual deve ser o comprimento do fio para que a mesma dissipação seja obtida com uma diferença de potencial de 100 V 48 Sapatos que explodem Os sapatos molhados de chuva de uma pessoa podem explodir se a corrente de terra de um relâmpago vaporizar a água A transformação brusca de água em vapor produz uma expansão violenta suficiente para destruir os sapatos A água tem massa específica de 1000 kgm3 e calor de vaporização de 2256 kJkg Se a corrente de terra produzida pelo relâmpago é horizontal aproximadamente constante dura 200 ms e encontra água com uma resistividade de 150 Ω m 120 cm de comprimento e uma seção reta vertical de 15 105 m2 qual é o valor da corrente necessária para vaporizar a água 49 Uma lâmpada de 100 W é ligada a uma tomada de parede de 120 V a Quanto custa deixar a lâmpada ligada continuamente durante um mês de 31 dias Suponha que o preço da energia elétrica é R006kWh b Qual é a resistência da lâmpada c Qual é a corrente na lâmpada 50 A corrente que circula na bateria e nos resistores 1 e 2 da Fig 2634a é 200 A A energia elétrica é convertida em energia térmica nos dois resistores As curvas 1 e 2 da Fig 2634b mostram a energia térmica Et produzida pelos dois resistores em função do tempo t A escala vertical é definida por Ets 400 mJ e a escala horizontal é definida por ts 500 s Qual é a potência da bateria Figura 2634 Problema 50 51 O fio C e o fio D são feitos de materiais diferentes e têm comprimentos LC LD 10 m A resistividade e o diâmetro do fio C são 20 106 Ω m e 100 mm e a resistividade e o diâmetro do fio D são 10 106 Ω m e 050 mm Os fios são unidos da forma mostrada na Fig 2635 e submetidos a uma corrente de 20 A Determine a diferença de potencial elétrico a entre os pontos 1 e 2 e b entre os pontos 2 e 3 Determine a potência dissipada c entre os pontos 1 e 2 e d entre os pontos 2 e 3 Figura 2635 Problema 51 52 O módulo da densidade de corrente em um fio circular com 300 mm de raio é dado por J 275 1010 Am4r2 em que r é a distância radial O potencial aplicado às extremidades do fio é 600 V Qual é a energia convertida em energia térmica em 100 h 53 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor de ambiente de 500 W a Qual é a resistência do elemento de aquecimento b Qual é a corrente no elemento de aquecimento 54 A Fig 2636a mostra uma barra de material resistivo A resistência por unidade de comprimento da barra aumenta no sentido positivo do eixo x Em qualquer posição x ao longo da barra a resistência dR de um elemento de largura dx é dada por dR 500x dx em que dR está em ohms e x em metros A Fig 2636b mostra um desses elementos de resistência O trecho da barra entre x 0 e x L é cortado e ligado aos terminais de uma bateria com uma diferença de potencial V 50 V Fig 2636c Qual deve ser o valor de L para que a potência dissipada pelo trecho cortado seja de 200 W Figura 2636 Problema 54 Problemas Adicionais 55 Um aquecedor de Nichrome dissipa 500 W quando a diferença de potencial aplicada é 110 V e a temperatura do fio é 800oC Qual será a potência dissipada se a temperatura do fio for mantida em 200oC por imersão em um banho de óleo A diferença de potencial é a mesma nos dois casos e o valor de α para o Nichrome a 800oC é 40 104 K1 56 Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a 330 m de um fio de cobre calibre 18 00400 polegada de diâmetro Calcule a a corrente b o módulo da densidade de corrente no interior do fio c o módulo do campo elétrico no interior do fio e d a potência dissipada no fio 57 Um dispositivo de 180 W funciona com uma diferença de potencial de 900 V Qual é a carga que atravessa o dispositivo em 400 h 58 Uma barra de alumínio de seção reta quadrada tem 13 m de comprimento e 52 mm de lado a Qual é a resistência entre as extremidades da barra b Qual deve ser o diâmetro de uma barra cilíndrica de cobre com 13 m de comprimento para que a resistência seja a mesma que a da barra de alumínio 59 Uma barra de metal cilíndrica tem 160 m de comprimento e 550 mm de diâmetro A resistência entre as duas extremidades a 20oC é 109 103 Ω a Qual é o material do fio b Um disco circular com 200 cm de diâmetro e 100 mm de espessura é fabricado com o mesmo material Qual é a resistência entre as faces do disco supondo que as duas faces são superfícies equipotenciais 60 O mistério do chocolate em pó Essa história começou no Problema 60 do Capítulo 23 e continuou nos Capítulos 24 e 25 O pó de chocolate foi transportado para o silo em um cano de raio R com velocidade v e densidade uniforme de carga ρ a Determine uma expressão para a corrente i o fluxo da carga elétrica associada ao pó em uma seção reta do cano b Calcule o valor de i para as condições da fábrica raio do cano R 50 cm velocidade v 20 ms e densidade de carga ρ 11 103 Cm3 Se o pó sofresse uma variação de potencial elétrico V a energia do pó poderia ser transferida para uma centelha a uma taxa P iV c Poderia haver essa transferência no interior do cano devido à diferença de potencial radial discutida no Problema 70 do Capítulo 24 Quando o pó saiu do cano e entrou no silo o potencial elétrico do pó mudou O valor absoluto dessa variação foi pelo menos igual à diferença de potencial radial no interior do cano calculada no Problema 70 do Capítulo 24 d Tomando esse valor para a diferença de potencial e usando a corrente calculada no item b deste problema determine a taxa com a qual a energia pode ter sido transferida do pó para uma centelha quando o pó deixou o cano e Se uma centelha ocorreu no momento em que o pó deixou o tubo e durou 020 s uma estimativa razoável qual foi a energia transferida para a centelha Lembrese de que como foi visto no Problema 60 do Capítulo 23 é necessária uma transferência de energia de no mínimo 150 mJ para provocar uma explosão f Onde ocorreu provavelmente a explosão na nuvem de pó da bandeja Problema 60 do Capítulo 25 no interior do cano ou na entradado silo 61 Um feixe de partículas alfa q 2e com uma energia cinética de 20 MeV corresponde a uma corrente de 025 μA a Se o feixe incide perpendicularmente em uma superfície plana quantas partículas alfa atingem a superfície em 30 s b Quantas partículas alfa existem em uma extensão de 20 cm do feixe c Qual é a diferença de potencial necessária para acelerar as partículas alfa a partir do repouso para que adquiram uma energia de 20 MeV 62 Um resistor com uma diferença de potencial de 200 V dissipa uma potência de 3000 W Qual é a resistência do resistor 63 Um elemento de aquecimento de 20 kW de uma secadora de roupas tem 80 cm de comprimento Se 10 cm do elemento forem removidos qual será a potência dissipada pelo novo elemento para uma diferença de potencial de 120 V 64 Um resistor cilíndrico com 50 mm de raio e 20 cm de comprimento é feito de um material cuja resistividade é 35 105 Ω m Determine a o módulo da densidade de corrente e b a diferença de potencial para que a potência dissipada no resistor seja 10 W 65 Uma diferença de potencial V é aplicada a um fio de seção reta A comprimento L e resistividade ρ Estamos interessados em mudar a diferença de potencial aplicada e esticar o fio para que a potência dissipada seja multiplicada por 300 e a corrente seja multiplicada por 400 Supondo que a massa específica do fio permaneça a mesma determine a a razão entre o novo comprimento e L e b a razão entre a nova seção reta e A 66 Os faróis de um carro em movimento consomem 10 A do alternador de 12 V que é acionado pelo motor Suponha que o alternador tem uma eficiência de 80 a potência elétrica de saída é 80 da potência mecânica de entrada e calcule o número de horsepower que o motor precisa fornecer para manter os faróis acesos 67 Um aquecedor de 500 W foi projetado para funcionar com uma diferença de potencial de 115 V a Qual será a queda percentual da potência dissipada se a diferença de potencial aplicada diminuir para 110 V Suponha que a resistência permanece a mesma b Se a variação da resistência com a temperatura for levada em consideração a queda de potência será maior ou menor que o valor calculado no item a 68 Os enrolamentos de cobre de um motor têm uma resistência de 50 Ω a 20oC quando o motor está frio Depois de o motor trabalhar durante várias horas a resistência aumenta para 58 Ω Qual é a nova temperatura dos enrolamentos Suponha que as dimensões dos enrolamentos não variam Sugestão Veja a Tabela 261 69 Qual é a energia dissipada em 200 h por uma resistência de 400 Ω se a diferença de potencial aplicada à resistência é 900 V 70 Uma lagarta de 40 cm de comprimento rasteja no mesmo sentido que a deriva de elétrons em um fio de cobre de 52 mm de diâmetro que conduz uma corrente uniforme de 12 A a Qual é a diferença de potencial entre as extremidades da lagarta b A cauda da lagarta é positiva ou negativa em relação à cabeça c Quanto tempo a lagarta leva para rastejar 10 cm à mesma velocidade que a velocidade de deriva dos elétrons no fio O número de portadores de carga por unidade de volume é 849 1028 m3 71 a Para qual temperatura a resistência de um fio de cobre é o dobro da resistência a 200oC Use 200oC como ponto de referência na Eq 2617 compare a resposta com a Fig 2610 b A temperatura para o dobro da resistência é a mesma para qualquer fio de cobre independentemente da forma e do tamanho 72 Um trilho de aço tem uma seção reta de 560 cm2 Qual é a resistência de 100 km de trilhos A resistividade do aço é 300 107 Ω m 73 Uma bobina de fio de Nichrome é imersa em um líquido Nichrome é uma liga de níquel cromo e ferro muito usada em elementos de aquecimento Quando a diferença de potencial entre as extremidades da bobina é 12 V e a corrente na bobina é 52 A o líquido evapora à taxa de 21 mgs Determine o calor de vaporização do líquido Sugestão Veja o Módulo 184 74 A densidade de corrente em um fio é 20 106 Am2 o comprimento do fio é 50 m e a densidade de elétrons de condução é 849 1028 m3 Quanto tempo um elétron leva em média para atravessar o fio de um extremo a outro 75 Um tubo de raios X funciona com uma corrente de 700 mA e uma diferença de potencial de 800 kV Qual é a potência do tubo em watts 76 Uma corrente é estabelecida em um tubo de descarga de gás quando uma diferença de potencial suficientemente elevada é aplicada a dois eletrodos situados no interior do tubo O gás se ioniza elétrons se movem na direção do eletrodo positivo e íons positivos monoionizados se movem na direção do terminal negativo a Qual é a corrente em um tubo de descarga de hidrogênio no qual 31 1018 elétrons e 11 1018 prótons atravessam uma seção reta do tubo por segundo b O sentido da densidade de corrente é do eletrodo positivo para o eletrodo negativo ou do eletrodo negativo para o eletrodo positivo 77 Na Fig 2637 um fio resistivo ligado a uma bateria é colocado no interior de um cilindro isolado termicamente com um êmbolo sem atrito na extremidade superior que contém um gás ideal Uma corrente i 240 mA atravessa o fio que tem uma resistência R 550 Ω Se a temperatura do gás permanece constante enquanto o êmbolo de 12 kg se desloca para cima qual é a velocidade limite do êmbolo Figura 2637 Problema 77 78 Uma correia feita de material isolante com 50 cm de largura se move a uma velocidade de 30 ms A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório corresponde a uma corrente elétrica de 100 μA Qual é a densidade superficial de carga da correia 79 Em um laboratório hipotético de fusão nuclear gás hélio a uma temperatura elevada é totalmente ionizado cada átomo de hélio dá origem a dois elétrons livres e um núcleo positivamente carregado que é chamado de partícula alfa Um campo elétrico aplicado faz com que as partículas alfa se movam para leste com uma velocidade de deriva de 250 ms e que os elétrons se movam para oeste com uma velocidade de deriva de 880 ms O número de partículas alfa por unidade de volume é 280 1015 cm3 Determine a a densidade de corrente total e b o sentido da corrente elétrica 80 Quando um fio de metal é aquecido não é apenas a resistividade que muda o comprimento e a área do fio também são afetados De acordo com a equação R ρLA as três grandezas devem ser levadas em consideração ao calcularmos o efeito da temperatura sobre a resistência Se a temperatura varia de 10Co qual é a variação percentual a de L b de A e c de ρ para um fio de cobre d Que conclusão podemos tirar desses resultados O coeficiente de dilatação linear do cobre é 170 105 K1 81 Um feixe de dêuterons de 16 Mev produzido por um cíclotron incide em um bloco de cobre O feixe equivale a uma corrente de 15 μA a Qual é o número de dêuterons que se chocam com o bloco por segundo b Qual é a energia térmica produzida no bloco por segundo 82 Um acelerador linear produz um feixe pulsado de elétrons A corrente equivalente dos pulsos é 050 A e a duração de cada pulso é 010 μs a Quantos elétrons são acelerados por pulso b Qual é a corrente média se a frequência de operação da máquina é de 500 pulsos por segundo Se a energia dos elétrons é 50 MeV determine c a potência média e d a potência máxima do acelerador 83 Um aquecedor elétrico de imersão normalmente leva 100 minutos para fazer com que água fria em um recipiente com um bom isolamento térmico chegue a uma determinada temperatura na qual um termostato desliga o aquecedor Um dia a tensão da rede é reduzida de 600 por causa de uma sobrecarga Quanto tempo o aquecedor leva para aquecer a água até a mesma temperatura Suponha que a variação da resistência do aquecedor com a temperatura é desprezível 84 Um aquecedor elétrico de imersão de 400 W é introduzido em uma panela que contém 200 L de água a 20oC a Quanto tempo a água leva para atingir a temperatura de ebulição supondo que 80 da energia disponível é absorvida pela água b Quanto tempo a mais é necessário para que metade da água seja transformada em vapor 85 Um capacitor de 30 μF é ligado aos terminais de uma fonte de alimentação programável Durante o intervalo de t 0 a t 300 s a tensão de saída da fonte é dada por Vt 600 400t 200t2 volts Determine no instante t 0500 s a a carga do capacitor b a corrente do capacitor e c a potência de saída da fonte 1Esse valor inesperadamente elevado do livre caminho médio foi explicado pela física quântica por meio de um modelo no qual os elétrons interagem com vibrações da rede cristalina NT 2Esse aumento é explicado pela física quântica como consequência do aumento das vibrações da rede cristalina NT CAPÍTULO 27 Circuitos 271 CIRCUITOS DE UMA MALHA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2701 Conhecer a relação entre a força eletromotriz e o trabalho realizado 2702 Conhecer a relação entre a força eletromotriz a corrente e a potência de uma fonte ideal 2703 Desenhar o diagrama esquemático de um circuito de uma malha com uma fonte e três resistores 2704 Usar a regra das malhas para escrever uma equação para as diferenças de potencial dos elementos de um circuito ao longo de uma malha fechada 2705 Conhecer a relação entre a resistência e a diferença de potencial entre os terminais de um resistor regra das resistências 2706 Conhecer a relação entre a força eletromotriz e a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte regra das fontes 2707 Saber que resistores em série são atravessados pela mesma corrente que também é a mesma do resistor equivalente 2708 Calcular o resistor equivalente de resistores em série 2709 Saber que a diferença de potencial entre as extremidades de um conjunto de resistores em série é a soma das diferenças de potencial entre os terminais dos resistores 2710 Calcular a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito 2711 Conhecer a diferença entre uma fonte real e uma fonte ideal e substituir no diagrama de um circuito uma fonte real por uma fonte real em série com uma resistência 2712 Calcular a diferença de potencial entre os terminais de uma fonte real para os dois sentidos possíveis da corrente no circuito 2713 Saber o que significa aterrar um circuito e representar esse aterramento em um diagrama esquemático 2714 Saber que aterrar um circuito não afeta a corrente do circuito 2715 Calcular a taxa de dissipação de energia de uma fonte real 2716 Calcular a potência fornecida ou recebida por uma fonte IdeiasChave Uma fonte de tensão realiza trabalho sobre cargas elétricas para manter uma diferença de potencial entre os terminais Se dW é o trabalho elementar que a fonte realiza para fazer com que uma carga elementar atravesse a fonte do terminal negativo para o terminal positivo da fonte a força eletromotriz da fonte trabalho por unidade de carga é dada por Uma fonte ideal é uma fonte cuja resistência interna é zero A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz As fontes reais possuem uma resistência interna diferente de zero A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte real é igual à força eletromotriz apenas se a corrente que atravessa a fonte for nula A variação de potencial de um terminal para o outro de uma resistência R no sentido da corrente é dada por iR e a variação no sentido oposto é dada por iR em que i é a corrente regra das resistências A variação de potencial de um terminal para o outro de uma fonte ideal no sentido do terminal negativo para o terminal positivo é e a variação no sentido oposto é regra das fontes A lei de conservação da energia leva à regra das malhas Regra das Malhas A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é igual a zero A lei de conservação da carga leva à lei dos nós Capítulo 26 Lei dos Nós A soma das correntes que entram em um nó de um circuito é igual à soma das correntes que saem do nó Quando uma fonte real de força eletromotriz e resistência interna r realiza trabalho sobre os portadores de carga da corrente i que atravessa a bateria a taxa P com a qual a fonte transfere energia para os portadores de carga é dada por P iV em que V é a diferença de potencial entre os terminais da bateria A taxa Pr com a qual a resistência interna da fonte dissipa energia é dada por Pr i2r A taxa Pfem com a qual a energia química da fonte é transformada em energia elétrica é dada por Pfem i Resistores ligados em série são atravessados pela mesma corrente e podem ser substituídos por um resistor equivalente cuja resistência é dada por O que É Física Estamos cercados de circuitos elétricos Podemos nos orgulhar do número de aparelhos elétricos que possuímos ou fazer uma lista mental dos aparelhos elétricos que gostaríamos de possuir Todos esses aparelhos e a rede de distribuição de energia elétrica que os faz funcionar dependem da engenharia elétrica moderna Não é fácil estimar o valor econômico atual da engenharia elétrica e seus produtos mas podemos ter certeza de que esse valor aumenta sem parar à medida que mais e mais tarefas são executadas eletricamente Hoje em dia os aparelhos de rádio e televisão são sintonizados eletricamente as mensagens são enviadas pela internet os artigos científicos são publicados e copiados na forma de arquivos digitais e lidos nas telas dos computadores A ciência básica da engenharia elétrica é a física Neste capítulo estudamos a física de circuitos elétricos que contêm apenas resistores e fontes e no Módulo 274 capacitores Vamos limitar nossa discussão a circuitos nos quais as cargas se movem sempre no mesmo sentido conhecidos como circuitos de corrente contínua ou circuitos de CC Começamos com a seguinte pergunta Como é possível colocar cargas elétricas em movimento Bombeamento de Cargas Se quisermos fazer com que cargas elétricas atravessem um resistor precisamos estabelecer uma diferença de potencial entre as extremidades do dispositivo Para isso poderíamos ligar as extremidades do resistor às placas de um capacitor carregado O problema é que o movimento das cargas faria o capacitor se descarregar e portanto depois de certo tempo o potencial seria o mesmo nas duas placas Quando isso acontecesse não haveria mais um campo elétrico no interior do resistor e a corrente deixaria de circular Para produzir uma corrente constante precisamos de uma bomba de cargas um dispositivo que realizando trabalho sobre os portadores de carga mantenha uma diferença de potencial entre dois terminais Um dispositivo desse tipo é chamado de fonte de tensão ou simplesmente fonte Dizemos que uma fonte de tensão produz uma força eletromotriz o que significa que submete os portadores de carga a uma diferença de potencial O termo força eletromotriz às vezes abreviado para fem é usado por questões históricas para designar a diferença de potencial produzida por uma fonte de tensão embora na verdade não se trate de uma força No Capítulo 26 discutimos o movimento de portadores de carga em um circuito em termos do campo elétrico existente no circuito o campo produz forças que colocam os portadores de carga em movimento Neste capítulo vamos usar uma abordagem diferente discutindo o movimento dos portadores de carga em termos de energia uma fonte de tensão fornece a energia necessária para o movimento por meio do trabalho que realiza sobre os portadores Uma fonte muito útil é a bateria usada para alimentar uma grande variedade de máquinas desde relógios de pulso até submarinos A fonte mais importante na vida diária porém é o gerador de eletricidade que por meio de ligações elétricas fios a partir de uma usina de energia elétrica cria uma diferença de potencial nas residências e escritórios As células solares presentes nos painéis em forma de asa das sondas espaciais também são usadas para gerar energia em localidades remotas do nosso planeta Fontes menos conhecidas são as células de combustível dos ônibus espaciais e as termopilhas que fornecem energia elétrica a algumas naves espaciais e estações remotas na Antártida e outros locais Nem todas as fontes são artificiais organismos vivos como enguias elétricas e até seres humanos e plantas são capazes de gerar eletricidade Embora os dispositivos mencionados apresentem diferenças significativas quanto ao modo de operação todos executam as mesmas funções básicas realizar trabalho sobre portadores de carga e manter uma diferença de potencial entre dois terminais Figura 271 Um circuito elétrico simples no qual uma fonte de força eletromotriz realiza trabalho sobre portadores de carga e mantém uma corrente constante i em um resistor de resistência R Trabalho Energia e Força Eletromotriz A Fig 271 mostra um circuito formado por uma fonte uma bateria por exemplo e uma única resistência R o símbolo de resistência e de um resistor é A fonte mantém um dos terminais o terminal positivo ou terminal a um potencial elétrico maior que o outro o terminal negativo ou terminal Podemos representar a força eletromotriz da fonte por meio de uma seta apontando do terminal negativo para o terminal positivo como na Fig 271 Um pequeno círculo na origem da seta que representa a força eletromotriz serve para distinguila das setas que indicam a direção da corrente Quando uma fonte não está ligada a um circuito a energia que existe no interior da fonte não provoca nenhum movimento dos portadores de carga Quando porém a fonte é ligada a um circuito como na Fig 271 essa energia faz com que portadores de carga positivos por convenção sejam transferidos do terminal negativo para o terminal positivo da fonte ou seja no sentido da seta que representa a força eletromotriz Esse movimento é parte da corrente que se estabelece no mesmo sentido em todo o circuito no caso da Fig 271 o sentido horário No interior da fonte os portadores de carga positivos se movem de uma região de baixo potencial elétrico e portanto de baixa energia potencial elétrica o terminal negativo para uma região de alto potencial elétrico e alta energia potencial elétrica o terminal positivo Esse movimento tem o sentido contrário ao sentido no qual os portadores positivos se moveriam sob a ação do campo elétrico que existe entre os dois terminais que aponta do terminal positivo para o terminal negativo Isso significa que deve haver uma energia no interior da fonte realizando um trabalho sobre as cargas e forçando as cargas a se moverem dessa forma A energia pode ser química como nas baterias e nas células de combustível ou mecânica como nos geradores Também pode resultar de diferenças de temperatura como nas termopilhas ou ser fornecida pelo Sol como nas células solares Vamos agora analisar o circuito da Fig 271 do ponto de vista do trabalho e da energia Em um intervalo de tempo dt uma carga dq passa por todas as seções retas do circuito como a seção aa A mesma carga entra no terminal de baixo potencial da fonte de tensão e sai do terminal de alto potencial Para que a carga dq se mova dessa forma a fonte deve realizar sobre a carga um trabalho dW Definimos a força eletromotriz da fonte por meio desse trabalho Figura 272 a Como neste circuito B A o sentido da corrente é determinado pela bateria B b As transferências de energia que acontecem no circuito Em palavras a força eletromotriz de uma fonte é o trabalho por unidade de carga que a fonte realiza para transferir cargas do terminal de baixo potencial para o terminal de alto potencial A unidade de força eletromotriz do SI tem dimensões de joule por coulomb como vimos no Capítulo 24 essa unidade é chamada de volt Uma fonte de tensão ideal é uma fonte na qual os portadores de carga não encontram resistência ao se deslocarem do terminal negativo para o terminal positivo A diferença de potencial entre os terminais de uma fonte ideal é igual à força eletromotriz da fonte Assim por exemplo uma bateria ideal com uma força eletromotriz de 120 V mantém uma diferença de 120 V entre os terminais esteja ou não a fonte ligada a um circuito e sejam quais forem as características do circuito Uma fonte de tensão real possui uma resistência interna diferente de zero Quando uma fonte real não está ligada a um circuito e portanto não conduz uma corrente elétrica a diferença de potencial entre os terminais é igual à força eletromotriz Quando a fonte conduz uma corrente a diferença de potencial é menor que a força eletromotriz As fontes reais serão discutidas no final deste módulo Quando uma fonte é ligada a um circuito a fonte transfere energia para os portadores de carga que passam por ela Essa energia pode ser transferida dos portadores de carga para outros dispositivos do circuito e usada por exemplo para acender uma lâmpada A Fig 272a mostra um circuito formado por duas baterias ideais recarregáveis A e B uma resistência R e um motor elétrico M que é capaz de levantar um objeto usando a energia que recebe dos portadores de carga do circuito Observe que as baterias estão ligadas de tal forma que tendem a fazer as cargas circularem em sentidos opostos O sentido da corrente é determinado pela bateria que possui a maior força eletromotriz que no caso estamos supondo que seja a bateria B de modo que a energia química da bateria B diminui com a transferência de parte da energia para os portadores de carga Por outro lado a energia química da bateria A aumenta pois o sentido da corrente no interior da bateria A é do terminal positivo para o terminal negativo Assim a bateria B além de fornecer energia para acionar o motor M e vencer a resistência R também carrega a bateria A A Fig 272b mostra as três transferências de energia todas diminuem a energia química da bateria B Cálculo da Corrente em um Circuito de uma Malha Vamos discutir agora dois métodos diferentes para calcular a corrente no circuito de uma malha da Fig 273 um dos métodos se baseia na lei de conservação da energia e o outro no conceito de potencial O circuito que vamos analisar é formado por uma fonte ideal B cuja força eletromotriz é um resistor de resistência R e dois fios de ligação A menos que seja afirmado o contrário vamos supor que os fios dos circuitos possuem resistência desprezível Na maioria dos casos os fios servirão apenas para transferir os portadores de corrente de um dispositivo para outro Método da Energia De acordo com a Eq 2627 P i2R em um intervalo de tempo dt uma energia dada por i2R dt é transformada em energia térmica no resistor da Fig 273 Como foi observado no Módulo 265 podemos dizer que essa energia é dissipada no resistor Como estamos supondo que a resistência dos fios é desprezível os fios não dissipam energia Durante o mesmo intervalo uma carga dq i dt atravessa a fonte B e o trabalho realizado pela fonte sobre essa carga de acordo com a Eq 271 é dado por dW dq i dt De acordo com a lei de conservação da energia o trabalho realizado pela fonte ideal é igual à energia térmica que aparece no resistor i dt i2R dt Isso nos dá iR A força eletromotriz é a energia por unidade de carga transferida da fonte para as cargas que se movem no circuito A grandeza iR é a energia por unidade de carga transferida das cargas móveis para o resistor e convertida em calor Assim essa equação mostra que a energia por unidade de carga transferida para as cargas em movimento é igual à energia por unidade de carga transferida pelas cargas em movimento Explicitando i obtemos Método do Potencial Suponha que começamos em um ponto qualquer do circuito da Fig 273 e nos deslocamos mentalmente ao longo do circuito em um sentido arbitrário somando algebricamente as diferenças de potencial que encontramos no caminho Ao voltar ao ponto de partida teremos voltado também ao potencial inicial Antes de prosseguir queremos chamar a atenção para o fato de que esse raciocínio vale não só para circuitos com uma malha como o da Fig 273 mas também para uma malha fechada de um circuito com várias malhas como os que serão discutidos no Módulo 272 REGRA DAS MALHAS A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha completa de um circuito é zero Figura 273 Um circuito de uma malha no qual uma resistência R está ligada aos terminais de uma fonte ideal B de força eletromotriz A corrente resultante i é a mesma em todo o circuito Essa regra também conhecida como lei das malhas de Kirchhoff ou lei das tensões de Kirchhoff em homenagem ao físico alemão Gustav Robert Kirchhoff equivale a dizer que cada ponto de uma montanha possui apenas uma altitude em relação ao nível do mar Se partimos de um ponto qualquer e voltamos ao mesmo ponto depois de passear pela montanha a soma algébrica das mudanças de altitude durante a caminhada é necessariamente zero Na Fig 273 vamos começar no ponto a cujo potencial é Va e nos deslocar mentalmente no sentido horário até estarmos de volta ao ponto a anotando as mudanças de potencial que ocorrem no percurso Nosso ponto de partida será o terminal negativo da fonte Como a fonte é ideal a diferença de potencial entre os terminais da fonte é Assim quando atravessamos a fonte passando do terminal negativo para o terminal positivo a variação de potencial é Quando passamos do terminal positivo da fonte para o terminal superior do resistor não há variação de potencial já que a resistência do fio é desprezível Quando atravessamos o resistor o potencial varia de acordo com a Eq 268 que pode ser escrita na forma V iR O potencial deve diminuir pois estamos passando do lado de potencial mais alto do resistor para o lado de potencial mais baixo Assim a variação de potencial é iR Voltamos ao ponto a pelo fio que liga o terminal inferior do resistor ao terminal negativo da fonte Uma vez que a resistência do fio é desprezível não há variação de potencial nesse trecho do circuito No ponto a o potencial é novamente Va Como percorremos todo o circuito o potencial inicial depois de modificado pelas variações de potencial ocorridas ao longo do caminho deve ser igual ao potencial final ou seja Va iR Va Subtraindo Va de ambos os membros da equação obtemos iR 0 Explicitando i nesta equação obtemos o mesmo resultado i R que obtivemos usando o método da energia Eq 272 Se aplicarmos a regra da malha a um percurso no sentido antihorário o resultado será iR 0 e mais uma vez obteremos i R Assim o sentido no qual percorremos o circuito para aplicar a regra das malhas é irrelevante Com o objetivo de facilitar o estudo de circuitos mais complexos que o da Fig 273 vamos resumir o que vimos até agora em duas regras para as diferenças de potencial produzidas pelos dispositivos do circuito quando percorremos uma malha REGRA DAS RESISTÊNCIAS Quando atravessamos uma resistência no sentido da corrente a variação do potencial é iR quando atravessamos uma resistência no sentido oposto a variação é iR REGRA DAS FONTES Quando atravessamos uma fonte ideal no sentido do terminal negativo para o terminal positivo a variação do potencial é quando atravessamos uma fonte no sentido oposto a variação é Teste 1 A figura mostra a corrente i em um circuito formado por uma fonte B e uma resistência R além de fios de resistência desprezível a A seta que indica a força eletromotriz da fonte B deve apontar para a esquerda ou para a direita Coloque os pontos a b e c na ordem decrescente b do valor absoluto da corrente c do potencial elétrico e d da energia potencial elétrica dos portadores de carga Outros Circuitos de uma Malha Nesta seção vamos ampliar o circuito simples da Fig 273 de duas formas Resistência Interna A Fig 274a mostra uma fonte real de resistência interna r ligada a um resistor externo de resistência R A resistência interna da fonte é a resistência elétrica dos materiais condutores que existem no interior da fonte e portanto é parte integrante da fonte Na Fig 274a porém a fonte foi desenhada como se pudesse ser decomposta em uma fonte ideal de força eletromotriz em série com um resistor de resistência r A ordem em que os símbolos dos dois dispositivos são desenhados é irrelevante Figura 274 a Circuito de uma malha com uma fonte real de força eletromotriz e resistência interna r b O mesmo circuito representado de outra forma para mostrar as variações do potencial elétrico quando o circuito é percorrido no sentido horário a partir do ponto a O potencial Va foi tomado arbitrariamente como zero os outros potenciais foram calculados em relação a Va Aplicando a regra das malhas no sentido horário a partir do ponto a as variações do potencial nos dão Explicitando a corrente obtemos Observe que a Eq 274 se reduz à Eq 272 se a fonte for ideal ou seja se r 0 A Fig 274b mostra graficamente as variações de potencial elétrico ao longo do circuito Para estabelecer uma ligação mais direta da Fig 274b com o circuito fechado da Fig 274a imagine o gráfico desenhado na superfície lateral de um cilindro com o ponto a da esquerda coincidindo com o ponto a da direita Percorrer o circuito é como passear em uma montanha e voltar ao ponto de partida na chegada você se encontra na mesma altitude em que estava quando partiu Neste livro se não especificarmos uma resistência interna para a fonte ou afirmarmos que a fonte é real estará implícito que se trata de uma fonte ideal ou seja que a resistência interna da fonte é tão pequena em comparação com as outras resistências do circuito que pode ser desprezada Resistências em Série A Fig 275a mostra três resistências ligadas em série a uma fonte ideal de força eletromotriz Essa descrição pouco tem a ver com o modo como as resistências estão desenhadas A expressão em série significa apenas que as resistências são ligadas uma após a outra e que uma diferença de potencial V é aplicada às extremidades da ligação Na Fig 275a as resistências estão ligadas uma após a outra entre os pontos a e b e uma diferença de potencial entre os pontos a e b é mantida por uma fonte As diferenças de potencial entre os terminais de cada resistência produzem a mesma corrente i em todas as resistências De modo geral Figura 275 a Três resistores ligados em série entre os pontos a e b b Circuito equivalente com os três resistores substituídos por uma resistência equivalente Req Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências ligadas em série a corrente i é a mesma em todas as resistências e a soma das diferenças de potencial das resistências é igual à diferença de potencial aplicada V Observe que as cargas que atravessam resistências ligadas em série têm um único caminho possível Se existe mais de um caminho as resistências não estão ligadas em série Resistências ligadas em série podem ser substituídas por uma resistência equivalente Req percorrida pela mesma corrente i e com a mesma diferença de potencial total V que as resistências originais A Fig 275b mostra a resistência equivalente Req das três resistências da Fig 275a Para determinar o valor da resistência Req da Fig 275b aplicamos a regra das malhas aos dois circuitos Na Fig 275a começando no ponto a e percorrendo o circuito no sentido horário temos Na Fig 275b com as três resistências substituídas por uma resistência equivalente Req obtemos Igualando as Eqs 275 e 276 obtemos Req R1 R2 R3 A extensão para n resistores é imediata e nos dá Observe que no caso de duas ou mais resistências ligadas em série a resistência equivalente é maior que a maior das resistências Teste 2 Na Fig 275a se R1 R2 R3 coloque as três resistências na ordem decrescente a da corrente que passa pelas resistências e b da diferença de potencial entre os terminais das resistências Figura 276 Existe uma diferença de potencial entre os pontos a e b que são os terminais de uma fonte real Diferença de Potencial entre Dois Pontos Muitas vezes estamos interessados em determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito Assim por exemplo na Fig 276 qual é a diferença de potencial Vb Va entre os pontos a e b Para obter a resposta vamos começar no ponto a cujo potencial é Va e nos deslocar passando pela fonte até o ponto b cujo potencial é Vb anotando as diferenças de potencial encontradas no percurso Quando passamos pela fonte o potencial aumenta de Quando passamos pela resistência interna r da fonte estamos nos movendo no sentido da corrente e portanto o potencial diminui de ir A essa altura estamos no ponto b e temos Para calcular o valor dessa expressão precisamos conhecer a corrente i Observe que o circuito é o mesmo da Fig 274a para o qual de acordo com a Eq 274 Substituindo i pelo seu valor dado pela Eq 279 na Eq 278 obtemos Substituindo os valores numéricos que aparecem na Fig 276 temos Suponha que tivéssemos escolhido percorrer o circuito no sentido antihorário passando pelo resistor R em vez de passar pela fonte Como nesse caso estaríamos nos movendo no sentido oposto ao da corrente o potencial aumentaria de iR Assim Substituindo i pelo seu valor dado pela Eq 279 obtemos mais uma vez a Eq 2710 Assim substituindo os valores numéricos obtemos o mesmo resultado Vb Va 80 V No caso geral Para determinar a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito começamos em um dos pontos e percorremos o circuito até o outro ponto somando algebricamente as variações de potencial que encontramos no percurso Diferença de Potencial entre os Terminais de uma Fonte Real Na Fig 276 os pontos a e b estão situados nos terminais da fonte assim a diferença de potencial Vb Va é a diferença de potencial entre os terminais da fonte De acordo com a Eq 278 temos De acordo com a Eq 2713 se a resistência interna r da fonte da Fig 276 fosse zero V seria igual à força eletromotriz da fonte ou seja 12 V Como r 20 τ V é menor que De acordo com a Eq 27 11 V 80 V Observe que o resultado depende da corrente que atravessa a fonte Se a fonte estivesse em outro circuito no qual a corrente fosse diferente V teria outro valor Aterramento de um Circuito A Fig 277a mostra o mesmo circuito da Fig 276 exceto pelo fato de que o ponto a está ligado diretamente à terra o que é indicado pelo símbolo Aterrar um circuito pode significar ligar o circuito à superfície da Terra na verdade ao solo úmido que é um bom condutor de eletricidade Neste diagrama porém o símbolo de terra significa apenas que o potencial é definido como zero no ponto em que se encontra o símbolo Assim na Fig 277a o potencial do ponto a é definido como Va 0 Nesse caso conforme a Eq 2711 o potencial no ponto b é Vb 80 V Figura 277 a O ponto a está ligado diretamente à terra b O ponto b está ligado diretamente à terra A Fig 277b mostra o mesmo circuito exceto pelo fato de que agora é o ponto b que está ligado à terra Assim o potencial do ponto b é definido como Vb 0 nesse caso de acordo com a Eq 2711 o potencial no ponto a é Va 80 V Potência Potencial e Força Eletromotriz Quando uma bateria ou outro tipo de fonte de tensão realiza trabalho sobre portadores de carga para estabelecer uma corrente i o dispositivo transfere energia de sua fonte interna de energia energia química no caso de uma bateria para os portadores de carga Como toda fonte real possui uma resistência interna r a fonte também dissipa uma parte da energia na forma de calor Módulo 265 Vamos ver agora como essas transferências estão relacionadas A potência P fornecida pela fonte aos portadores de carga é dada pela Eq 2626 em que V é a diferença de potencial entre os terminais da fonte De acordo com a Eq 2713 podemos fazer V ir na Eq 2714 para obter Examinando a Eq 2715 reconhecemos o termo i2r como a potência Pr dissipada no interior da fonte Eq 2627 como Nesse caso o termo i da Eq 2715 é a soma da potência transferida para os portadores de carga com a potência dissipada pela fonte que pode ser chamada de Pfonte Assim Quando uma bateria está sendo recarregada com uma corrente passando no sentido inverso a transferência de energia é dos portadores de carga para a bateria parte da energia é usada para aumentar a energia química da bateria e parte é dissipada na resistência interna r da bateria A taxa de variação da energia química é dada pela Eq 2717 a taxa de dissipação é dada pela Eq 2716 e a taxa com a qual os portadores de carga fornecem energia é dada pela Eq 2714 Teste 3 Uma fonte possui uma força eletromotriz de 12 V e uma resistência interna de 2 τ A diferença de potencial entre os terminais é menor maior ou igual a 12 V se a corrente que atravessa a fonte a é do terminal negativo para o terminal positivo b é do terminal positivo para o terminal negativo e c é zero Exemplo 2701 Circuito de uma malha com duas fontes reais As forças eletromotrizes e resistências do circuito da Fig 278a têm os seguintes valores 1 44 V 2 21 V r1 23 Ω r2 18 Ω R 55 Ω a Qual é a corrente i no circuito IDEIACHAVE Podemos obter uma expressão para a corrente i nesse circuito de uma malha aplicando uma vez a regra das malhas na qual somamos as variações de potencial ao longo da malha e igualamos a soma a zero Figura 278 a Circuito de uma malha com duas fontes reais e um resistor As fontes estão em oposição ou seja tendem a fazer a corrente atravessar o resistor em sentidos opostos b Gráfico dos potenciais percorrendo o circuito no sentido horário a partir do ponto a e tomando arbitrariamente o potencial do ponto a como zero Para estabelecer uma correlação direta da Fig 278b com o circuito fechado da Fig 278a interrompa mentalmente o circuito no ponto a da Fig 278a desdobre para a esquerda a parte do circuito à esquerda de a e desdobre para a direita a parte do circuito à direita de a Cálculos Embora conhecer o sentido de i não seja necessário podemos determinálo com facilidade a partir dos valores das forças eletromotrizes das duas fontes Como 1 é maior que 2 a fonte 1 controla o sentido de i e a corrente tem o sentido horário Vamos aplicar a regra das malhas percorrendo o circuito no sentido antihorário contra a corrente começando no ponto a O resultado é o seguinte 1 ir1 iR ir2 2 0 O leitor pode verificar que a mesma equação é obtida quando aplicamos a regra das malhas no sentido horário ou começamos em outro ponto do circuito Além disso vale a pena comparar a equação termo a termo com a Fig 278b que mostra graficamente as variações de potencial com o potencial do ponto a tomado arbitrariamente como zero Explicitando a corrente i na equação anterior obtemos b Qual é a diferença de potencial entre os terminais da fonte 1 na Fig 278a IDEIACHAVE Precisamos somar as diferenças de potencial entre os pontos a e b Cálculos Vamos começar no ponto b o terminal negativo da fonte 1 e percorrer o circuito no sentido horário até chegar ao ponto a o terminal positivo da fonte 1 anotando as variações de potencial O resultado é o seguinte Vb ir1 1 Va o que nos dá que é menor que a força eletromotriz da fonte O leitor pode verificar que o resultado está correto começando no ponto b da Fig 278a e percorrendo o circuito no sentido antihorário até chegar ao ponto a Este problema chama a atenção para dois fatos 1 A diferença de potencial entre dois pontos de um circuito não depende do caminho escolhido para ir de um ponto a outro 2 Quando a corrente que atravessa a bateria tem o sentido correto a diferença de potencial entre os terminais é menor que o valor nominal da força eletromotriz ou seja o valor de tensão que está escrito na bateria 272 CIRCUITOS COM MAIS DE UMA MALHA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2717 Conhecer a regra dos nós 2718 Desenhar um diagrama esquemático de um circuito formado por uma fonte e três resistores em paralelo e saber distingui lo do diagrama de um circuito formado por uma bateria e três resistores em série 2719 Saber que resistores em paralelo estão submetidos à mesma diferença de potencial que também é a mesma do resistor equivalente 2720 Calcular a resistência do resistor equivalente de vários resistores em paralelo 2721 Saber que a corrente total que atravessa uma combinação de resistores em paralelo é a soma das correntes que atravessam os resistores 2722 No caso de um circuito com uma fonte alguns resistores em paralelo e outros resistores em série simplificar o circuito por partes usando resistores equivalentes até que a corrente na fonte possa ser determinada e depois trabalhar no sentido inverso para calcular a corrente e a diferença de potencial de cada resistor 2723 Se um circuito não pode ser simplificado usando resistores equivalentes identificar as malhas do circuito escolher nomes e sentidos para as correntes dos ramos escrever equações para todas as malhas usando a regra das malhas e resolver o sistema de equações resultante para obter as correntes dos ramos 2724 Em um circuito com fontes reais em série substituílas por uma única fonte ideal em série com um resistor 2725 Em um circuito com fontes reais em paralelo substituílas por uma única fonte ideal em série com um resistor IdeiaChave Quando duas ou mais resistências estão em paralelo elas são submetidas à mesma diferença de potencial A resistência equivalente de uma associação em paralelo de várias resistências é dada por Figura 279 Circuito com mais de uma malha formado por três ramos o ramo da esquerda bad o ramo da direita bcd e o ramo central bd O circuito também contém três malhas a malha da esquerda badb a malha da direita bcdb e a malha externa badcb Circuitos com Mais de uma Malha A Fig 279 mostra um circuito com mais de uma malha Para simplificar a análise vamos supor que as fontes são ideais Existem dois nós no circuito nos pontos b e d e três ramos ligando os nós o ramo da esquerda bad o ramo da direita bcd e o ramo central bd Quais são as correntes nos três ramos Vamos rotular arbitrariamente as correntes usando um índice diferente para cada ramo A corrente i1 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bad i2 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bcd e i3 tem o mesmo valor em todos os pontos do ramo bd Os sentidos das correntes foram escolhidos arbitrariamente Considere o nó d As cargas entram no nó pelas correntes i1 e i3 e deixam o nó pela corrente i2 Como a carga total não pode mudar a corrente total que chega tem que ser igual à corrente total que sai Podemos verificar facilmente que a aplicação dessa condição ao nó b leva à mesma equação A Eq 27 18 sugere o seguinte princípio geral REGRA DOS NÓS A soma das corrente que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem do nó Essa regra também é conhecida como lei dos nós de Kirchhoff ou lei das correntes de Kirchhoff Trata se simplesmente de outra forma de enunciar a lei de conservação da carga a carga não pode ser criada nem destruída em um nó Nossas ferramentas básicas para resolver circuitos complexos são portanto a regra das malhas baseada na lei de conservação da energia e a regra dos nós baseada na lei da conservação da carga A Eq 2718 envolve três incógnitas Para resolver o circuito ou seja para determinar o valor das três correntes precisamos de mais duas equações independentes que envolvam as mesmas variáveis Podemos obtêlas aplicando duas vezes a regra das malhas No circuito da Fig 279 temos três malhas a malha da esquerda badb a malha da direita bcdb e a malha externa badcb A escolha das duas malhas é arbitrária vamos optar pelas malhas da esquerda e da direita Percorrendo a malha da esquerda no sentido antihorário a partir do ponto b obtemos Percorrendo a malha da direita no sentido antihorário a partir do ponto b obtemos Agora dispomos de três equações Eqs 2718 2719 e 2720 tendo como incógnitas as três correntes esse sistema de equações pode ser resolvido por várias técnicas Se tivéssemos aplicado a regra das malhas à malha externa teríamos obtido percorrendo a malha no sentido antihorário a partir do ponto b a seguinte equação 1 i1R1 i2R2 2 0 Esta equação pode parecer uma informação nova mas é na verdade a soma das Eqs 2719 e 2720 e portanto não constitui uma terceira equação independente obtida a partir da regra das malhas Por outro lado poderia ser usada para resolver o problema em combinação com a Eq 2718 e a Eq 2719 ou a Eq 2720 Resistências em Paralelo A Fig 2710a mostra três resistências ligadas em paralelo a uma fonte ideal de força eletromotriz O termo em paralelo significa que as três resistências estão ligadas entre si nas duas extremidades Assim todas estão sujeitas à mesma diferença de potencial aplicada pela fonte No caso geral Quando uma diferença de potencial V é aplicada a resistências ligadas em paralelo todas as resistências são submetidas à mesma diferença de potencial V Na Fig 2710a a diferença de potencial aplicada V é mantida pela fonte Na Fig 2710b as três resistências em paralelo foram substituídas por uma resistência equivalente Req Resistências ligadas em paralelo podem ser substituídas por uma resistência equivalente Req com a mesma diferença de potencial V e a mesma corrente total i que as resistências originais Figura 2710 a Três resistores ligados em paralelo entre os pontos a e b b Circuito equivalente com os três resistores substituídos por uma resistência equivalente Req Para determinar o valor da resistência Req da Fig 2710b escrevemos as correntes nas resistências da Fig 2710a na forma em que V é a diferença de potencial entre a e b Aplicando a regra dos nós ao ponto a da Fig 2710a e substituindo as correntes por seus valores temos Quando substituímos as resistências em paralelo pela resistência equivalente Req Fig 2710b obtemos Comparando as Eqs 2721 e 2722 temos Generalizando esse resultado para o caso de n resistências temos No caso de duas resistências a resistência equivalente é o produto das resistências dividido pela soma ou seja Note que se duas ou mais resistências estão ligadas em paralelo a resistência equivalente é menor que a menor das resistências A Tabela 271 mostra as relações de equivalência para resistores e capacitores em série e em paralelo Tabela 271 Resistores e Capacitores em Série e em Paralelo Em série Em paralelo Em série Em paralelo Resistores Capacitores A corrente é a mesma em todos os resistores A diferença de potencial é a mesma em todos os resistores A carga é a mesma em todos os capacitores A diferença de potencial é a mesma em todos os capacitores Teste 4 Uma fonte com uma diferença de potencial V entre os terminais é ligada a uma combinação de dois resistores iguais e passa a conduzir uma corrente i Qual é a diferença de potencial e qual a corrente em um dos resistores se os resistores estiverem ligados a em série e b em paralelo Exemplo 2702 Resistores em paralelo e em série A Fig 2711a mostra um circuito com mais de uma malha formado por uma fonte ideal e quatro resistências com os seguintes valores R1 20 Ω R2 20 Ω 12 V R3 30 Ω R4 80 Ω a Qual é a corrente na fonte IDEIACHAVE Observando que a corrente na fonte é a mesma que em R1 vemos que é possível determinar a corrente aplicando a regra das malhas a uma malha que inclui R1 já que a diferença de potencial entre os terminais de R1 depende dessa corrente Método incorreto As duas malhas que se prestam a esse papel são a malha da esquerda e a malha externa Observando que a seta que representa a força eletromotriz aponta para cima e portanto a corrente na fonte tem o sentido horário podemos aplicar a regra das malhas à malha da esquerda começando no ponto a e percorrendo a malha no sentido horário Chamando de i a corrente na fonte temos iR1 iR2 iR4 0 incorreta Esta equação porém é incorreta porque parte do pressuposto de que as correntes nas resistências R1 R2 e R4 são iguais As correntes em R1 e R4 são realmente iguais já que a corrente que passa por R4 também passa pela fonte e por R1 sem mudar de valor Entretanto essa corrente se divide ao chegar ao nó b uma parte da corrente passa por R2 e uma parte passa por R3 Método ineficaz Para distinguir as várias correntes presentes no circuito devemos rotulálas como na Fig 2711b Em seguida começando no ponto a podemos aplicar a regra das malhas à malha da esquerda no sentido horário para obter i1R1 i2R2 i1R4 0 Infelizmente essa equação contém duas incógnitas i1 e i2 necessitamos de pelo menos mais uma equação para resolver o problema Método eficaz Uma tática muito melhor é simplificar o circuito da Fig 2711b usando resistências equivalentes Observe que R1 e R2 não estão em série e portanto não podem ser substituídas por uma resistência equivalente entretanto R2 e R3 estão em paralelo de modo que podemos usar a Eq 2724 ou a Eq 2725 para calcular o valor da resistência equivalente R23 De acordo com a Eq 2725 Podemos agora desenhar o circuito como na Fig 2711c observe que a corrente em R23 deve ser i1 já que as mesmas cargas que passam por R1 e R4 também passam por R23 Para esse circuito simples com uma única malha a regra das malhas aplicada no sentido horário a partir do ponto a como na Fig 2711d nos dá i1R1 i1R23 i2R4 0 Substituindo os valores dados obtemos 12 V i120 Ω i112 Ω i180 Ω 0 e portanto b Qual é a corrente i2 em R2 IDEIASCHAVE 1 Podemos começar com o circuito equivalente da Fig 2711d no qual R2 e R3 foram substituídas por R23 2 Como R2 e R3 estão em paralelo elas estão submetidas à mesma diferença de potencial que também é a mesma de R23 Cálculos Sabemos que a corrente em R23 é i1 030 A Assim podemos usar a Eq 268 R Vi e a Fig 2711e para calcular a diferença de potencial V23 em R23 V23 i1R23 030 A12 Ω 36 V Isso significa que a diferença de potencial em R2 também é 36 V Fig 2711f De acordo com a Eq 268 e a Fig 2711g a corrente i2 em R2 é dada por c Qual é a corrente i3 em R3 IDEIASCHAVE Podemos encontrar a resposta de duas formas 1 Usando a Eq 268 como no item b 2 Usando a regra dos nós segundo a qual no ponto b da Fig 2711b a corrente que entra i1 e as correntes que saem i2 e i3 estão relacionadas pela equação i1 i2 i3 Cálculo Explicitando i3 na equação anterior obtemos o resultado que aparece na Fig 2711g Figura 2711 a Circuito com uma fonte ideal b Escolha de nomes e sentidos para as correntes c Substituição de resistores em paralelo por um resistor equivalente dg Substituição inversa para determinar as correntes nos resistores em paralelo Exemplo 2703 Muitas fontes reais em série e em paralelo em um peixe elétrico Os peixes elétricos são capazes de gerar correntes elétricas com o auxílio de células chamadas eletroplacas que são fontes de tensão biológicas No peixe elétrico conhecido como poraquê as eletroplacas estão dispostas em 140 linhas longitudinais com cerca de 5000 eletroplacas cada uma como mostrado na Fig 2712a Cada eletroplaca tem uma força eletromotriz de 015 V e uma resistência interna r de 025 τ A água em torno da enguia completa o circuito entre as extremidades do conjunto de eletroplacas uma situada na cabeça do animal e a outra situada na cauda a Se a água em torno da enguia tem uma resistência Ra 800 τ qual é o valor da corrente que o animal é capaz de produzir na água IDEIACHAVE Podemos simplificar o circuito da Fig 2712a substituindo combinações de fontes e resistências internas por fontes e resistências equivalentes Cálculos Considere uma linha A força eletromotriz total linha de 5000 eletroplacas ligadas em série é a soma das forças eletromotrizes linha 5000 5000015 V 750 V A resistência total Rlinha de uma linha é a soma das resistências internas das 5000 eletroplacas Rlinha 5000r 5000025 Ω 1250 Ω Podemos agora representar cada uma das 140 linhas por uma única força eletromotriz linha e uma única resistência Rlinha Fig 27 12b Na Fig 2712b a força eletromotriz entre o ponto a e o ponto b em todas as linhas é linha 750 V Como as linhas são iguais e estão todas ligadas ao ponto a da Fig 2712b o potencial é o mesmo em todos os pontos b da figura Assim podemos imaginar que todos os pontos b estão ligados entre si formando um único ponto b Uma vez que a força eletromotriz entre o ponto a e esse ponto b único é linha 750 V podemos substituir o circuito da Fig 2712b pelo circuito da Fig 2712c Figura 2712 a Circuito usado para modelar uma enguia elétrica Cada eletroplaca do animal tem uma força eletromotriz e uma resistência interna r Em cada uma das 140 linhas que se estendem da cabeça à cauda da enguia existem 5000 eletroplacas A resistência da água é Ra b A força eletromotriz linha e resistência Rlinha de cada linha c A força eletromotriz entre os pontos a e b é linha Entre os pontos b e c existem 140 resistências Rlinha em paralelo d Circuito simplificado com as resistências em paralelo substituídas por uma resistência equivalente Req Entre os pontos b e c da Fig 2712c existem 140 resistências Rlinha 1250 τ todas em paralelo A resistência equivalente Req dessa combinação é fornecida pela Eq 2724 Substituindo as resistências em paralelo por Req obtemos o circuito simplificado da Fig 2712d Aplicando a regra das malhas e percorrendo o circuito no sentido antihorário a partir do ponto b temos linha Ra iReq 0 Explicitando i e substituindo os valores conhecidos obtemos Se a cabeça ou a cauda da enguia está nas proximidades de um peixe parte dessa corrente pode passar pelo corpo do peixe atordoandoo ou matandoo b Qual é corrente ilinha em cada linha da Fig 2712a IDEIACHAVE Como todas as linhas são iguais a corrente se divide igualmente entre elas Cálculo Podemos escrever Assim a corrente em cada linha é pequena cerca de duas ordens de grandeza menor que a corrente que circula na água Como a corrente está bem distribuída no corpo da enguia o animal não sofre nenhum incômodo ao produzir uma descarga elétrica Exemplo 2704 Circuito com mais de uma malha e o sistema de equações de malha A Fig 2713 mostra um circuito cujos elementos têm os seguintes valores 1 30 V 2 60 V R1 20 Ω R2 40 Ω As três fontes são ideais Determine o valor absoluto e o sentido da corrente nos três ramos IDEIASCHAVE Não vale a pena tentar simplificar o circuito já que não existem dois resistores em paralelo e os resistores que estão em série no ramo da direita e no ramo da esquerda são muito fáceis de lidar Assim é melhor aplicar logo de saída as regras dos nós e das malhas Regra dos nós Escolhendo arbitrariamente o sentido das correntes como mostra a Fig 2713 aplicamos a regra dos nós ao ponto a para escrever Como uma aplicação da regra dos nós ao ponto b fornece apenas uma repetição da Eq 2726 aplicamos a regra das malhas a duas das três malhas do circuito Figura 2713 Circuito de duas malhas com três fontes ideais e cinco resistências Malha da esquerda Escolhemos arbitrariamente a malha da esquerda começamos arbitrariamente no ponto b e percorremos arbitrariamente a malha no sentido horário obtendo i1R1 1 i1R1 i1 i2R2 2 0 em que usamos i1 i2 em vez de i3 para representar a corrente do ramo central Substituindo os valores dados e simplificando obtemos Malha da direita Para aplicar a regra das malhas pela segunda vez escolhemos arbitrariamente percorrer a malha da direita no sentido antihorário a partir do ponto b o que nos dá i2R1 2 i2R1 i1 i2R2 2 0 Substituindo os valores dados e simplificando obtemos Solução das equações Agora temos um sistema de duas equações Eqs 2727 e 2728 e duas incógnitas i1 e i2 que podemos resolver à mão o que é fácil nesse caso ou usando um computador Um dos métodos mais usados para resolver sistemas de equações envolve o uso da regra de Cramer apresentada no Apêndice E para o caso simples de um sistema de duas equações e duas incógnitas O resultado é o seguinte O sinal negativo mostra que o sentido escolhido para i1 na Fig 2713 está errado mas a correção só deve ser feita no final dos cálculos Fazendo i1 050 A na Eq 2728 e explicitando i2 obtemos De acordo com a Eq 2726 temos i3 i1 i2 050 A 025 A 025 A O sinal positivo de i2 mostra que o sentido escolhido para a corrente está correto Por outro lado os sinais negativos de i1 e i3 mostram que os sentidos escolhidos para as duas correntes estão errados Assim depois de executados todos os cálculos corrigimos a resposta invertendo as setas que indicam os sentidos de i1 e i3 na Fig 2713 e escrevendo Atenção A correção do sentido das correntes só deve ser feita depois que todas as correntes tiverem sido calculadas 273 O AMPERÍMETRO E O VOLTÍMETRO Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2726 Saber como funcionam o amperímetro e o voltímetro e qual deve ser a resistência interna desses instrumentos para que eles indiquem corretamente a grandeza que está sendo medida IdeiaChave Três instrumentos muito usados para medir grandezas elétricas são o amperímetro que mede correntes o voltímetro que mede tensões diferenças de potencial e o multímetro que mede corrente tensões e resistências O Amperímetro e o Voltímetro O instrumento usado para medir correntes é chamado de amperímetro Para medir a corrente em um fio em geral precisamos desligar ou cortar o fio e introduzir o amperímetro no circuito para que a corrente passe pelo aparelho Na Fig 2714 o amperímetro A está sendo usado para medir a corrente i É essencial que a resistência RA do amperímetro seja muito menor que todas as outras resistências do circuito se não for assim a simples presença do medidor mudará o valor da corrente que se pretende medir O instrumento usado para medir diferenças de potencial é chamado de voltímetro Para medir a diferença de potencial entre dois pontos de um circuito ligamos os terminais do voltímetro a esses pontos sem desligar nem cortar nenhum fio do circuito Na Fig 2714 o voltímetro V está sendo usado para medir a diferença de potencial entre os terminais de R1 É essencial que a resistência RV do voltímetro seja muito maior que a resistência dos elementos do circuito que estão ligados entre os mesmos pontos do circuito que o voltímetro Se não for assim a simples presença do medidor mudará o valor da diferença de potencial que se pretende medir Existem medidores que dependendo da posição de uma chave podem ser usados como um amperímetro ou como um voltímetro e também em geral como um ohmímetro um aparelho que mede a resistência do elemento ligado entre seus terminais Esses instrumentos multifuncionais são chamados de multímetros Figura 2714 Circuito de uma malha mostrando como ligar um amperímetro A e um voltímetro V 274 CIRCUITOS RC Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 2727 Desenhar diagramas esquemáticos de circuitos RC em que o capacitor está sendo carregado e circuitos RC em que o capacitor está sendo descarregado 2728 Escrever a equação de malha uma equação diferencial de um circuito RC em que o capacitor está sendo carregado 2729 Escrever a equação de malha uma equação diferencial de um circuito RC em que o capacitor está sendo descarregado 2730 Saber como varia a carga do capacitor com o tempo em um circuito RC 2731 Calcular a diferença de potencial do capacitor de um circuito RC a partir da variação com o tempo da carga do capacitor 2732 Calcular a corrente e a diferença de potencial do resistor de um circuito RC em função do tempo 2733 Calcular a constante de tempo capacitiva τ de um circuito RC 2734 Calcular a carga e a diferença de potencial do capacitor no instante inicial e após um longo tempo para circuitos RC em que o capacitor está sendo carregado e circuitos RC em que o capacitor está sendo descarregado IdeiasChave Quando uma força eletromotriz é aplicada a um resistor R e a um capacitor C ligados em série a carga do capacitor aumenta de acordo com a equação em que C q0 é a carga de equilíbrio carga final e RC τ é a constante de tempo capacitiva do circuito Durante a carga do capacitor a corrente no circuito diminui de acordo com a equação