Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável - Derivação Implícita

polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável Professor Lindberg Tertuliano Barbosa Tópicos DERIVADA Derivação Implícita Derivação Logarítmica Regra LHôspital MATM0023 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EM UMA VARIÁVEL TURMA HT SEG B04 12101300 13001350 QUA B01 12101300 13001350 polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO As funções encontradas até agora podem ser descritas expressandose uma variável explicitamente em termos de outra por exemplo 𝑦 𝑥3 1 ou 𝑦 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ou em geral 𝑦 𝑓 𝑥 Algumas funções entretanto são definidas implicitamente por uma relação entre x e y tais como 𝑥2 𝑦2 25 ou 𝑥3 𝑦3 6𝑥𝑦 Não é fácil resolver a 𝑥3 𝑦3 6𝑥𝑦 e escrever 𝑦 explicitamente como uma função de 𝑥 à mão Derivação Implícita Felizmente não precisamos resolver uma equação para 𝑦 em termos de 𝑥 para encontrar a derivada de 𝑦 Em vez disso podemos usar o método de derivação implícita que consiste em Na derivação de ambos os lados da equação em relação a 𝑥 e Assumir 𝑦 implicitamente como uma função derivável de 𝑥 Derivação Implícita polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO MÉTODO DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1 Derivase ambos os lados da equação em relação a 𝑥 termo a termo Ao fazêlo tenha em mente que 𝑦 é uma função de 𝑥 e use a regra da cadeia quando necessário para derivar as expressões nas quais figure 𝑦 2 O resultado será uma equação onde figura não somente 𝑥 e 𝑦 mas também 𝑦 3 Expresse 𝑦 em função de 𝑥 e 𝑦 𝑥 𝑦2 6𝑥𝑦 1 𝑑 𝑑𝑦 𝑦2 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 6 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 2 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 61 𝑦 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 1 2 𝑦 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 6𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 61 𝑦 2𝑦 6𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 6𝑦 1 𝑑 𝑑𝑥 𝑦 6𝑦 1 2𝑦 6𝑥 Derivação Implícita Lembrese da notação de Derivadas 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑓𝑥 𝑑𝑥 𝑦2 𝑑𝑥 𝑑 6𝑥𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦2 𝑑𝑥 6 𝑑𝑥𝑦 𝑑𝑥 polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO b sen 𝑥 𝑦 𝑦2 cos 𝑥 𝑐 𝑦 ln𝑥2 𝑦2 𝑎 𝑥3 𝑦3 6𝑥𝑦 Derivação Implícita d Encontre uma equação da reta tangente à curva abaixo Elipse no ponto P11 𝑥2𝑥𝑦 𝑦2 3 httpsyoutubeM9h42tjzoDM httpsyoutubeWalTkxua02k httpsyoutubeOqWzY4qFWgU polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Derivação Implícita Uma aplicação prática da Derivação Implícita Diferenciação Logarítmica MÉTODO DA DIFERENCIAÇÃO LOGARÍTMICA 1 Tome os logaritmos naturais de ambos os lados da equação 𝑦 𝑓 𝑥 e use as propriedades dos logaritmos para simplificála 2 Diferencie implicitamente em relação a 𝑥 3 Resolva a equação resultante para encontrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙𝒓 𝒓 𝒍𝒐𝒈𝒂 𝒙 𝒍𝒏 𝒙𝒓 𝒓 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏 𝒆 𝟏 𝒍𝒏 𝒙 𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏𝒚 𝒍𝒏 𝒙𝒚 𝒍𝒏 𝒙 𝒍𝒏 𝒚 𝑎 𝑦 𝑥𝑥 d 𝑦 ln 𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑐 𝑦 𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑥 1 𝑥 b 𝑦 𝑥𝑒𝑥2 e 𝑦 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑥 httpsyoutube810veiucJ8 httpsyoutubeIyNChOmPmAQ httpsyoutubeOAtlSd8brLk polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Formas Indeterminadas e Regra de lHôspital Analisando o comportamento da função 𝑓 𝑥 ln 𝑥 𝑥1 não é definida em 𝑥 1 mas podemos analisar o comportamento quando 𝑓 𝑥 comportase próximo 𝑥 1 lim 𝑥1 𝑓 𝑥 lim 𝑥1 𝑙𝑛 𝑥 𝑥1 0 0 adicionalmente limites como lim 𝑥 𝑓 𝑥 lim 𝑥 𝑙𝑛 𝑥 𝑥 1 São as formas indeterminadas do limite que podem ser encontradas utilizando uma técnica chamada de Regra de lHôspital para o cálculo de formas indeterminadas Regra de lHôspital Um convite à Matemática Fundamentoslógicos com técnicas de demonstração notas históricas e curiosidades Daniel Cordeiro de Morais Filho UFCG Universidade Federal de Campina Grande Operações com o infinito Formas Indeterminadas ou Indeterminações polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Regra de lHôspital Suponha que f e g sejam deriváveis e 𝑔𝑥 0 em um intervalo aberto I que contém a exceto possivelmente em a Suponha que lim 𝑥𝑎 𝑓 𝑥 0 e lim 𝑥𝑎 𝑔 𝑥 0 Ou que lim 𝑥𝑎 𝑓 𝑥 e lim 𝑥𝑎 𝑔 𝑥 Em outras palavras temos uma forma indeterminada do tipo 𝟎 𝟎 ou então 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝐻 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 se o limite lim 𝑥𝑎 𝑓𝑥 𝑔𝑥 existir ou for Regra de lHôspital polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Outras formas indeterminadas Produtos 0 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒇𝒙 𝟏𝒈𝒙 Diferenças Manipulação das equações para expressálas com o denominador comum por exemplo Potências 00 0𝑒 1 Utilizamos a função 𝒇 𝒙 𝒍𝒏 𝒙 e propriedades dos logaritmos para adequar a expressão Com essas funções é necessário expressálas como um quociente e aplicar a Regra de LHôspital Regra de lHôspital Formas Indeterminadas 𝟎 𝟎𝟎 𝟎𝒆 𝟏 𝟎 𝟎 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐𝟏 polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Usando Regra de LHôspital encontre 𝑎 lim 𝑥1 𝑙𝑛 𝑥 𝑥 1 c lim 𝑥0 𝑥 𝑙𝑛𝑥 𝑑 lim 𝑥1 1 ln 𝑥 1 𝑥 1 f lim 𝑥0𝑥 𝑥 b lim 𝑡0 𝑒2𝑡1 𝑠𝑒𝑛 𝑡 Observação devemos apresentar a expressão na forma de uma fração 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 𝒍𝒊𝒎 𝒙𝒂 𝒇𝒙 𝒈𝒙 e lim 𝑥0 1 𝑥 1 sen 𝑥 g lim 𝑥 ln 𝑥 1 𝑥 lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑥 1 Propriedade útil 𝑒ln 𝑥 𝑥 httpsyoutubesTarA3bHqO0 httpsyoutubeSr52txpqJw httpsyoutubel3QqxGEa8Oc httpsyoutubeatzalE5XkA h lim 𝑥0 cos 2𝑥cos 3𝑥 𝑥2 httpsyoutubei7vKvNGbEc0 Regra de lHôspital polivirtualengbr Cálculo Diferencial e Integral em Uma Variável APRESENTAÇÃO Atividade Aprendizagem 2 f 𝑦 𝑓 𝑥 𝑒𝑠𝑒𝑐1𝑥 2 g 𝑦 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥𝑥 2 h 𝑦 𝑥𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥 4 i lim 𝑥0 𝑠𝑒𝑛 𝑥 ln 𝑥 httpsyoutube9HThZDN6fdU httpsyoutubeHySU364NthU httpsyoutube2kPsItUEMO0 Ver pdf Algumas Resoluções Adicionais