Lista de Exercícios de Mecânica Geral

LISTA 1 Mecânica Geral 2 Fábio Lacerda da Cunha RA 1279092 1133 Uma motorista entra em uma autoestrada a 45kmh e acelera uniformemente até 99kmh Pelo hodômetro do carro o motorista sabe que percorreu 02km enquanto acelerava Determine a a aceleração do carro b o tempo necessário para chegar a 99 kmh 𝑣0 45 𝑘𝑚ℎ 125𝑚𝑠 𝑣𝑓 99 𝑘𝑚ℎ 275𝑚𝑠 𝑥 02𝑘𝑚 200𝑚 a 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑎 𝑥 𝑎 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑥 2752 1252 2 200 𝑎 15𝑚𝑠2 b 𝑣𝑓 𝑣0 𝑎 𝑡 𝑡 𝑣𝑓 𝑣0 𝑎 275 125 15 𝑡 10𝑠 1134 Um caminhão percorre 220m em 10s enquanto está sendo desacelerado a uma taxa constante de 06ms2 Determine a sua velocidade inicial b sua velocidade final c a distância percorrida durante os primeiros 15s a 𝑥 𝑥0 𝑣0 𝑡 1 2 𝑎 𝑡2 𝑣0 𝑥 𝑥0 1 2 𝑎 𝑡2 𝑡 𝑣0 220 0 1 2 06 102 10 𝑣0 25𝑚𝑠 b 𝑣𝑓 𝑣0 𝑎 𝑡 25 06 10 𝑣𝑓 19𝑚𝑠 c 𝑥 𝑥0 𝑣0 𝑡 1 2 𝑎 𝑡2 0 25 15 1 2 06 152 𝑥 36825𝑚 1135 Considerando uma aceleração uniforme de 3ms2 e sabendo que a velocidade escalar de um carro que passa por A é 50kmh determine a o tempo necessário para que o carro alcance B b a velocidade do carro ao passar por B 𝑣0 50𝑘𝑚ℎ 1389𝑚𝑠 𝑎 36𝑚𝑠2 𝑥 50𝑚 a 𝑥 𝑣0 𝑡 1 2 𝑎 𝑡2 50 1389𝑡 15𝑡2 15𝑡2 1389𝑡 50 0 𝑡 277𝑠 𝑒 𝑡 12𝑠 𝑡 277𝑠 b 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑎 𝑥 13892 2 36 50 𝑣𝑓 5529321 𝑣𝑓 2351𝑚𝑠 1136 Um grupo dc estudantes lança um modelo de foguete na direção vertical Baseandose em dados registrados eles determinam que a altitude do foguete foi de 896m ao final da porção propulsada do voo e que o foguete aterrissou 16s depois Sabendo que o paraquedas de descida não se abriu e que o foguete caiu livremente até o chão depois de atingir sua altitude máxima e considerando que g 981ms2 determine a a velocidade v1 do foguete ao final do voo propulsado b a altitude máxima atingida pelo foguete a 𝑦 𝑦1 𝑣1 𝑡 12 𝑎 𝑡2 𝑣1 𝑦 𝑦1 12 𝑎 𝑡2 𝑡 𝑣1 0 896 12 981 162 16 𝑣1 7288𝑚𝑠 b 𝑣 0 𝑒 𝑦 𝑦𝑚𝑎𝑥 𝑣2 𝑣1 2 2 𝑎 𝑦 𝑦1 0 72882 2 981 𝑦𝑚𝑎𝑥 896 𝑦𝑚𝑎𝑥 1757952 53114944 1962 𝑦𝑚𝑎𝑥 360𝑚 1137 Um corredor em uma corrida de 100m acelera uniformemente nos primeiros 35m e então corre com velocidade constante Se o tempo do corredor nos primeiros 35m é de 54s determine a sua aceleração b sua velocidade final e c seu tempo para a corrida 0 𝑥 35𝑚 𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 35𝑚 𝑥 100𝑚 𝑣 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Em t0 v0 Quando x35m t54s a 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎 𝑡2 para 0 𝑥 35𝑚 35 0 0 54 1 2 𝑎 542 𝑎 240𝑚𝑠2 b 𝑣 𝑣𝑚𝑎𝑥 para 35𝑚 𝑥 100𝑚 𝑣2 𝑣0 2 2𝑎𝑥 𝑥0 𝑣𝑚𝑎𝑥 2 0 2𝑎𝑥 0 para 0 𝑥 35𝑚 𝑣𝑚𝑎𝑥 2 2 24 35 𝑣𝑚𝑎𝑥 168 𝑣𝑚𝑎𝑥 1296𝑚𝑠 c 𝑥 𝑥0 𝑣0 𝑡 𝑡1 para 35𝑚 𝑥 100𝑚 100 35 1296 𝑡2 54 𝑡2 100 35 69984 1296 𝑡2 1042𝑠 1141 Dois automóveis A e B viajam no mesmo sentido em pistas adjacentes e em t 0 têm suas posições e velocidades escalares mostradas na figura Sabendo que o automóvel A tem uma aceleração constante de 05ms2 e que B tem uma desaceleração de 03ms2 determine a quando e onde A vai ultrapassar B b a velocidade de cada automóvel naquele instante 𝑎𝐴 05𝑚𝑠2 e 𝑎𝐵 03𝑚𝑠2 𝑣0𝐴 36𝑘𝑚ℎ 10𝑚𝑠 𝑣0𝐵 54𝑘𝑚ℎ 15𝑚𝑠 t t1 estarão juntos Veículo A 𝑣𝐴 𝑣0𝐴 𝑎𝐴 𝑡 𝑣𝐴 10 05𝑡 Equação 1 𝑥𝐴 𝑥0𝐴 𝑣0𝐴 𝑡 12 𝑎𝐴 𝑡2 𝑥𝐴 0 10𝑡 12 05𝑡2 𝑥𝐴 10𝑡 025𝑡2 Equação 2 Veículo B 𝑣𝐵 𝑣0𝐵 𝑎𝐵 𝑡 𝑣𝐵 15 03𝑡 Equação 3 𝑥𝐵 𝑥0𝐵 𝑣0𝐵 𝑡 12 𝑎𝐵 𝑡2 𝑥𝐵 24 15𝑡 12 03𝑡2 𝑥𝐵 24 15𝑡 015𝑡2 Equação 4 a Eqs 2 4 10𝑡 025𝑡2 24 15𝑡 015𝑡2 04𝑡2 5𝑡 24 0 𝑡 16203 e 𝑡 370 Eq 2 𝑥𝐴 10 16203 025162032 𝑥𝐴 2276643 𝑡 162𝑠 e 𝑥𝐴 22766𝑚 b 𝑡 16203𝑠 Eq 1 𝑣𝐴 10 05 16203 181015 Eq 3 𝑣𝐵 15 03 16203 101391 𝑣𝐴 1810𝑚𝑠 e 𝑣𝐵 1014𝑚𝑠 1142 Em uma corrida de barcos o barco A está 36 m a frente do barco B e ambos estão viajando a uma velocidade escalar constante de 168kmh Em t 0 os barcos aceleram a taxas constantes Sabendo que quando B ultrapassa A t 8 s e vA 216 kmh determine a a aceleração de A b a aceleração de B a 𝑣𝐴0 168𝑘𝑚ℎ 4667𝑚𝑠 𝑣𝐴 216𝑘𝑚ℎ 60𝑚𝑠 𝑣𝐴 𝑣𝐴0 𝑎𝐴𝑡 𝑎𝐴 𝑣𝐴 𝑣𝐴0 𝑡 𝑎𝐴 60 4667 8 𝑎𝐴 167𝑚𝑠2 b 𝑥𝐴 𝑥𝐴0 𝑣𝐴0 𝑡 12 𝑎𝐴 𝑡2 sendo que 𝑥𝐴0 36𝑚 𝑥𝐵 𝑥𝐵0 𝑣𝐵0 𝑡 12 𝑎𝐵 𝑡2 sendo que 𝑥𝐴0 0 e 𝑣𝐵0 4667𝑚𝑠 Quando t8s 𝑥𝐴 𝑥𝐵 𝑥𝐴0 𝑣𝐴0 𝑡 05 𝑎𝐴 𝑡2 𝑥𝐵0 𝑣𝐵0 𝑡 05 𝑎𝐵 𝑡2 𝑎𝐵 𝑥𝐴0 𝑣𝐴0 𝑡 05 𝑎𝐴 𝑡2 𝑥𝐵0 𝑣𝐵0 𝑡 05 𝑡2 𝑎𝐵 36 4667 8 05 16667 82 0 4667 8 05 82 27917 𝑎𝐵 279𝑚𝑠2 1147 O bloco deslizante A move para a esquerda com a velocidade constante de 6ms Determine a a velocidade do bloco B b a velocidade da porção D do cabo c a velocidade relativa da porção C do cabo em relação a porção D a 𝑥𝐴 3𝑦𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐴 3𝑣𝐵 0 Eq 1 𝑎𝐴 3𝑎𝐵 0 Eq 2 6 3𝑣𝐵 0 𝑣𝐵 2𝑚𝑠 b 𝑦𝐵 𝑦𝐷 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐵 𝑣𝐷 0 𝑣𝐵 𝑣𝐷 𝑣𝐷 2𝑚𝑠 c 𝑥𝐴 𝑦𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐴 𝑣𝐶 0 𝑣𝐴 𝑣𝐶 𝑣𝐶 6𝑚𝑠 𝑣𝐶𝐷 𝑣𝐶 𝑣𝐷 6 2 8𝑚𝑠 𝑣𝐶𝐷 8𝑚𝑠 1148 O bloco B parte do repouso e se movimenta com uma aceleração constante Sabendo que depois do bloco deslizante A ter se deslocado 400mm sua velocidade é 4ms determine a a aceleração de A e B b a velocidade e a variação de posição de B após 2s 𝑥𝐴 3𝑦𝐵 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑣𝐴 3𝑣𝐵 0 Eq 1 𝑎𝐴 3𝑎𝐵 0 Eq 2 a Eq 2 𝑎𝐴 3𝑎𝐵 0 sendo aB é constante e positivo e aA é constante e negativo E ainda vB0 0 e vA0 0 Então 𝑣𝐴 2 0 2 𝑎𝐴 𝑥𝐴 𝑥𝐴0 𝑎𝐴 𝑣𝐴 2 2𝑥𝐴 42 2 04 𝑎𝐴 20𝑚𝑠2 Substituindo o valor de aA na equação temos que 𝑎𝐵 667𝑚𝑠2 b 𝑣𝐵 0 𝑎𝐵 𝑡 20 3 2 𝑣𝐵 1333𝑚𝑠 𝑦𝐵 𝑦𝐵0 0 1 2 𝑎𝐵 𝑡2 𝑦𝐵 𝑦𝐵0 1 2 667 22 𝑦𝐵 𝑦𝐵0 1334𝑚 1149 O elevador mostrado na figura se movimenta para baixo com velocidade constante de 45ms Determine a a velocidade do cabo C b a velocidade do contrapeso W c a velocidade relativa do cabo C em relação ao elevador d a velocidade relativa do contrapeso W em relação ao elevador a 𝑦𝐶 2𝑦𝐸 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝐶 2𝑣𝐸 0 𝑣𝐸 45𝑚𝑠 𝑣𝐶 2𝑣𝐸 2 45 9 𝑣𝐶 9𝑚𝑠 b 𝑦𝑊 𝑦𝐸 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝑊 𝑣𝐸 0 𝑣𝑊 𝑣𝐸 45 𝑣𝑊 45 c 𝑣𝐶𝐸 𝑣𝐶 𝑣𝐸 9 45 135 𝑣𝐶𝐸 135𝑚𝑠 d 𝑣𝑊𝐸 𝑣𝑊 𝑣𝐸 45 45 9 𝑣𝑊𝐸 9𝑚𝑠 1155 O bloco B se movimenta para baixo com velocidade constante de 20mms Em t 0 o bloco A é movimentado para cima com aceleração constante e sua velocidade é 30mms Sabendo que em t 3s o bloco deslizante C teria se movimentado 57mm para a direita determine a a velocidade do bloco deslizante C em t 0 b as acelerações de A e C c a variação da posição do bloco A após 5s 3𝑦𝐴 4𝑦𝐵 𝑥𝐶 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 3𝑣𝐴 4𝑣𝐵 𝑣𝐶 0 Eq 1 3𝑎𝐴 4𝑎𝐵 𝑎𝐶 0 Eq 2 𝑣𝐵 20𝑚𝑚𝑠 𝑣𝐴0 30𝑚𝑚𝑠 a Eq 1 em t0 𝑣𝐶0 3𝑣𝐴0 4𝑣𝐵 3 30 4 20 10 𝑣𝐶0 10𝑚𝑚𝑠 b 𝑥𝐶 𝑥𝐶0 𝑣𝐶0 𝑡 1 2 𝑎𝐶 𝑡2 𝑎𝐶 𝑥𝐶 𝑥𝐶0 𝑣𝐶0 𝑡 05 𝑡2 57 0 10 3 05 32 𝑎𝐶 6𝑚𝑚𝑠 𝑣𝐵 𝑐𝑡𝑒 𝑎𝐵 0 Substituindo na Eq 2 𝑎𝐴 4𝑎𝐵 𝑎𝐶 3 4 0 6 3 2𝑚𝑚𝑠 𝑎𝐴 2𝑚𝑚𝑠 c 𝑦𝐴 𝑦𝐴0 𝑣𝐴0 𝑡 1 2 𝑎𝐴 𝑡2 𝑦𝐴 𝑦𝐴0 30 5 1 2 2 52 175 𝑦𝐴 175𝑚𝑚 1173 Um elevador parte do repouso e sobe acelerando a uma taxa de 12ms2 até atingir a velocidade escalar de 78ms que é então mantida Dois segundos depois do elevador ter começado a subir um homem parado 12m acima da posição inicial do topo do elevador joga uma bola para cima com uma velocidade inicial de 20ms Determine quando a bola vai atingir o elevador Em t0 vE0 0 𝑣𝐸 78𝑚𝑠 𝑎𝐸 12𝑠2 𝑣𝐸 78𝑚𝑠 𝑎 0 Em t2s 𝑣𝐵 20𝑚𝑠 g 981ms2 𝑣𝐸 𝑣𝐸0 𝑎𝐸𝑡 𝑡 𝑣𝐸 𝑣𝐸0 𝑎𝐸 78 0 12 𝑡1 65𝑠 t1 é o tempo em vE atinge a velocidade de 78ms 𝑣𝐵 𝑣𝐵0 𝑔 𝑡 2 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑣𝐵 𝑣𝐵0 𝑔 0 20 981 2 40387 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜 404𝑠 ttopo é o tempo em que a bola atinge o ponto máximo o topo de sua trajetória 0 𝑡 𝑡1 𝑦𝐸 𝑦𝐸0 12 𝑎𝐸 𝑡2 𝑦𝐸 12 05 12 403872 𝑦𝐸 22133𝑚 𝑡 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑦𝐵 1 2 40387 2 20 𝑦𝐵 20387𝑚 𝑡 2 240387 2 𝑡 60774𝑠 𝑦𝐵 0 Em tt1 𝑦𝐸 12 05 65 78 𝑦𝐸 1335𝑚 A bola bate no elevador 𝑦𝐵 𝑦𝐸 quando 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑡 𝑡1 Para 𝑡 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜 𝑦𝐵 20387 05 𝑔 𝑡 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜2 Então quando yByE 20387 05 𝑔 𝑡 𝑡𝑡𝑜𝑝𝑜 2 12 05 12 𝑡2 20387 05 981 𝑡 403872 12 05 12 𝑡2 5505𝑡2 396196𝑡 47619 0 𝑡 56718𝑠 e 𝑡152511𝑠 Logo escolhendo o menor valor 𝑡 1525𝑠 1197 Um aeroplano usado para jogar água sobre um incêndio florestal está voando horizontalmente em linha reta a 315kmh a uma altitude de 80m Determine a distância d na qual o piloto deverá liberar a água tal que ela atinja o fogo em B 𝑣0 315𝑘𝑚ℎ 875𝑚𝑠 Movimento Vertical 𝑦 𝑦0 𝑣𝑦0 𝑡 𝑔𝑡2 2 𝑔𝑡2 2 𝑦 𝑦0 𝑣𝑦0 𝑡 981𝑡2 2 80 0 0 𝑡 𝑡2 160 981 𝑡 1630988787 403855 𝑡 404𝑠 Movimento horizontal 𝑥 𝑥0 𝑣𝑥0 𝑡 𝑑 0 875 403855 3533731441 𝑑 3534𝑚 11100 Uma máquina que lança bolas de beisebol a uma velocidade horizontal v0 Sabendo que a altura h varia entre 08m e 1m determine a o intervalo de valores de v0 b os valores de 𝛼 correspondentes a h 08m e h 1m a Movimento Vertical 𝑦 𝑦0 𝑣𝑦0 𝑡 𝑔𝑡2 2 𝑦 0 0 𝑡 981 𝑡2 2 𝑦 4905 𝑡2 Movimento Horizontal 𝑥 𝑥0 𝑣 𝑡 𝑥 0 𝑣𝑥0 𝑡 𝑥 𝑣0 𝑡 Quando h08m y 11105 A areia é descarregada em A pela correia transportadora e cai no topo de uma pilha em B Sabendo que a correia transportadora forma um ângulo de 20 com a horizontal determine a velocidade v0 da correia 𝑣𝑥0 𝑣0𝑐𝑜𝑠20𝑜 𝑣𝑥0 09397𝑣0 𝑣𝑦0 𝑣0𝑠𝑒𝑛20𝑜 𝑣𝑥0 03420𝑣0 Movimento Horizontal 𝑥 𝑥0 𝑣 𝑡 0 09397𝑣0 𝑡 Em B 𝑡 𝑥 09397𝑣0 9 09397𝑣0 𝑡 95776𝑠 𝑣0 equação 1 Movimento Vertical 𝑦 𝑦0 𝑣𝑦0 𝑡 𝑔𝑡2 2 Em B 54 0 03420𝑣0 𝑡 981 𝑡2 2 Usando a equação 1 temos que 54 03420𝑣0 95776 𝑣0 981 95776 𝑣0 2 2 54 327554 44993772 𝑣0 2 𝑣0 2 44993772 212446 211789217 𝑣0 211789217 𝑣0 1455𝑚𝑠 11136 Determine a velocidade escalar máxima que os carros da montanharussa podem atingir ao longo da seção circular AB da pista se o componente normal de sua aceleração não pode exceder 3g 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 𝑣2 𝑎𝑛 𝜌 𝑣𝑚𝑎𝑥𝐴𝐵 2 3𝑔 𝜌 3 981 24 70632 𝑣𝑚𝑎𝑥𝐴𝐵 70632 2657668 𝑣𝑚𝑎𝑥𝐴𝐵 2657𝑚𝑠 11141 Um motorista que dirige ao longo de um trecho de reta de uma rodovia diminui a velocidade de seu automóvel para uma taxa constante antes de sair da rodovia em direção a uma rampa de saída circular com um raio de 168m Ele continua a desaceleração com a mesma taxa constante de tal forma que 10s após ter entrado na rampa sua velocidade escalar diminuiu para 32kmh uma velocidade escalar que ele então mantém Sabendo que a essa velocidade constante a aceleração total do carro é igual a um quarto de seu valor antes de entrar na rampa determine o valor máximo da aceleração total do carro 𝑣10 32𝑘𝑚ℎ 889𝑚𝑠 𝑎 𝑎𝑡 2 𝑎𝑛2 𝑎𝑛 𝑣2 𝜌 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝑡 Eq 1 Em t10s 𝑣 𝑐𝑡𝑒 𝑎 𝑎𝑛 𝑣10 2 𝜌 𝑎 1 4 𝑎𝑡 1 4 𝑎𝑡 𝑣10 2 𝜌 𝑎𝑡 4𝑣10 2 𝜌 4 8892 168 1881246 𝑎𝑡 188𝑚𝑠2 desaceleração Usando esse valor da desaceleração na equação 1 t10s temos 𝑣 𝑣0 𝑎𝑡 𝑡 𝑣10 𝑣0 𝑎𝑡 𝑡 𝑣0 𝑣10 𝑎𝑡 𝑡 889 188 10 277013489 𝑣0 277𝑚𝑠 Em t0 𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑡 2 𝑣0 2 𝜌 2 1882 2772 168 2 4939 𝑎𝑚𝑎𝑥 494𝑚𝑠2 11143 Um jogador de golfe lança uma bola a partir do ponto A com uma velocidade inicial de 50ms e um ângulo de 25 com a horizontal Determine o raio de curvatura da trajetória descrita pela bola a no ponto A b no ponto mais alto da trajetória a 𝑎𝐴𝑛 𝑣𝐴 2 𝜌𝐴 𝜌𝐴 𝑣𝐴 2 𝑎𝐴𝑛 𝜌𝐴 502 981 𝑐𝑜𝑠25𝑜 𝜌𝐴 28119𝑚 b 𝑎𝐵𝑛 𝑣𝐵 2 𝜌𝐵 𝜌𝐵 𝑣𝐵 2 𝑎𝐵𝑛 mas 𝑣𝐵 𝑣𝐴𝑥 𝑣𝐴 𝑐𝑜𝑠25𝑜 𝜌𝐵 𝑣𝐴 𝑐𝑜𝑠25𝑜 𝑎𝐵𝑛 50 𝑐𝑜𝑠25𝑜2 981 𝜌𝐵 20933𝑚 11163 A rotação da haste OA em torno de O é definida pela relação 𝜃 𝜋4𝑡2 8𝑡 onde 𝜃 e t são expressos em radianos e segundos respectivamente O cursor B desliza ao longo da haste de tal modo que sua distância do ponto O é 𝑟 10 6 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 onde r e t são expressos em metros e segundos respectivamente Quando t 1s determine a a velocidade do cursor b a aceleração total do cursor c a aceleração do cursor em relação a haste 𝑟 10 6 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 𝑟 6 𝜋 cos 𝜋 𝑡 𝑟 6 𝜋2𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 𝜃 𝜋 4𝑡2 8𝑡 𝜃 𝜃𝜋 𝑡 1 𝜃 𝜃𝜋 Para t1s 𝑟 10𝑚 𝜃 4 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑟 6 𝜋 𝑚𝑠 𝜃 0 𝑟 0 𝜃 8𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑠2 a 𝑣𝐵 𝑟𝑒𝑟 𝑟𝜃𝑒𝜃 𝑣𝐵 6 𝜋𝑒𝑟 𝑟0𝑒𝜃 𝑣𝐵 6𝜋 𝑚𝑠𝑒𝑟 b 𝑎𝐵 𝑟 𝑟𝜃2 𝑒𝑟 𝑟𝜃 2𝑟𝜃𝑒𝜃 0 10 02𝑒𝑟 10 8 𝜋 2 6 𝜋 0𝑒𝜃 𝑎𝐵 80 𝜋 𝑚𝑠2𝑒𝜃 c 𝑎𝐵𝑂𝐴 𝑟 𝑎𝐵𝑂𝐴 0 11164 A oscilação da haste OA em torno de O é definida pela relação 𝜃 2𝜋 𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 onde 𝜃 e t são expressos em radianos e segundos respectivamente O cursor B desliza ao longo da haste de tal forma que sua distância do ponto O é 𝑟 25 𝑡 4 onde r e t são expressos em milímetros e segundos respectivamente Quando t 1s determine a a velocidade do cursor b a aceleração total do cursor c a aceleração do cursor em relação à haste 11165 A trajetória de uma partícula P é uma elipse definida pelas relações 𝑟 2 2 cos 𝜃 e 𝜃 𝜋 𝑡 onde r é expresso em metros t em segundos e 𝜃 em radianos Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando a t 0 b t 05 s 11166 O movimento bidimensional de uma partícula é definido pelas relações 𝑟 2𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 e 𝜃 𝑏𝑡2 2 onde a e b são constantes Determine a as intensidades da velocidade e a aceleração em qualquer instante b o raio de curvatura da trajetória O que se pode concluir em relação à trajetória da partícula 11169 Após a decolagem um helicóptero sobe em linha reta em um ângulo constante de rampa 𝛽 Seu voo é rastreado por um radar localizado no ponto A Determine a velocidade escalar do helicóptero em termos de 𝑑 𝛽 𝜃 𝑒 𝜃 𝑟 𝑠𝑒𝑛180𝑜𝛽 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝛽𝜃 ou 𝑑 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑟𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 ou 𝑟 𝑑 tg 𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑟 𝑑 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝜃 𝑑 𝜃 𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑣𝑟 𝑣 cos 𝛽 𝜃 onde 𝑣𝑟 𝑟 𝑑 𝜃𝑡𝑎𝑛𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑣𝑐𝑜𝑠𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣 𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣 𝑑 𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑐𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃2 𝑣2 𝑣𝑟 2 𝑣𝜃 2 𝑟2 𝑟𝜃2 Usando as expressões para 𝑟 e 𝑟 𝑣 𝑑 𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃2 2 𝑑 𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃2 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃2 1 12 𝑣 𝑑 𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑔2𝛽 1 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃2 12 𝑣 𝑑 𝜃 𝑡𝑔𝛽 𝑠𝑒𝑐𝛽 𝑡𝑔𝛽 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃2 128 Se a distância de frenagem de um automóvel a 96kmh é de 45m em um piso nivelado determine a distância de frenagem desse automóvel a 96kmh quando ele está a subindo um plano inclinado de 5 e b descendo um plano com inclinação de 3 Considere que a força de frenagem é independente da situação 𝑣0 96𝑘𝑚ℎ 2667𝑚𝑠 𝑣𝑓 0 e 𝑥 45𝑚 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑎 𝑥 𝑎 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑥 02 26672 2 45 𝑎 790𝑚𝑠2 𝐹𝑏 𝑚 𝑎 𝑊 𝑔 𝑎 𝑎 𝑔 𝑊 79 981 𝑊 𝐹𝑏 0805𝑊 a 𝐹𝑏 𝑚 𝑎 𝐹𝑏 𝑊 𝑠𝑒𝑛5𝑜 𝑊 𝑔 𝑎 𝑎 𝐹𝑏 𝑊 𝑠𝑒𝑛5𝑜 𝑊 𝑔 𝑎 0805 𝑠𝑒𝑛5𝑜 981 𝑎 166𝑚𝑠2 𝑥 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑎 02 26672 2 166 𝑥 21419𝑚 b 𝑡𝑔𝛽 3 100 𝛽 171835𝑜 𝐹𝑏 𝑊𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑊 𝑔 𝑎 𝑎 𝐹𝑏 𝑊𝑠𝑒𝑛𝛽 𝑔 𝑊 0805𝑊 𝑊 𝑠𝑒𝑛171835 𝑔 𝑊 𝑎 0805 𝑠𝑒𝑛171835 981 𝑎 819𝑚𝑠2 𝑥 𝑣𝑓 2 𝑣0 2 2 𝑎 02 26672 2 819 𝑥 4341𝑚 129 Um pacote de 20kg está em repouso sobre um plano inclinado quando uma força P é aplicada sobre ele Determine a intensidade de P no caso de serem necessários 10s para o pacote percorrer 5m subindo no plano inclinado Os coeficientes de atrito estático e dinâmico entre o pacote e o plano inclinado são ambos iguais a 030 𝑥0 0 𝑣0 0 𝑥 𝑥0 𝑣0 𝑡 𝑎 𝑡2 2 Logo 𝑥 𝑎 𝑡2 2 𝑎 2𝑥 𝑡2 2 5 102 𝑎 01𝑚𝑠2 𝐹𝑦 0 𝑁 𝑃 𝑠𝑒𝑛50𝑜 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠20𝑜 0 𝑁 𝑃 𝑠𝑒𝑛50𝑜 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠20𝑜 𝐹𝑥 𝑚 𝑎 𝑃 𝑐𝑜𝑠50𝑜 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛20𝑜 𝜇 𝑁 𝑚 𝑎 𝑃 𝑐𝑜𝑠50𝑜 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛20𝑜 𝜇 𝑃 𝑠𝑒𝑛50𝑜 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠20𝑜 𝑚 𝑎 𝑃 𝑚 𝑎 𝑚 𝑔𝑠𝑒𝑛20𝑜 𝜇 𝑐𝑜𝑠20𝑜 𝑐𝑜𝑠50𝑜 𝜇 𝑠𝑒𝑛50𝑜 Parado 𝑎 0 e 𝜇 𝜇𝑠 04 𝑃 20 0 20 981 𝑠𝑒𝑛20𝑜 04 𝑐𝑜𝑠20𝑜 𝑐𝑜𝑠50𝑜 04 𝑠𝑒𝑛50𝑜 𝑃 41874𝑁 Em movimento com 𝑎 01𝑚𝑠2 e 𝜇 𝜇𝑘 03 𝑃 20 01 20 981 𝑠𝑒𝑛20𝑜 03 𝑐𝑜𝑠20𝑜 𝑐𝑜𝑠50𝑜 03 𝑠𝑒𝑛50𝑜 𝑃 30126𝑁 1211 Os dois blocos mostrados na figura estão originalmente em repouso Desprezando as massas das roldanas e o efeito do atrito nessas roldanas e entre o bloco A e a superfície horizontal determine a a aceleração de cada bloco b a tração no cabo 𝑥𝐴 3𝑦𝐵 𝑐𝑡𝑒 𝑣𝐴 3𝑣𝐵 0 e 𝑎𝐴 3𝑎𝐵 0 𝑎𝐴 3𝑎𝐵 Eq 1 a A 𝐹𝑥 𝑚𝐴 𝑎𝐴 𝑇 𝑚𝐴 𝑎𝐴 Usando a eq 1 temos que 𝑇 3𝑚𝐴 𝑎𝐵 Eq 2 B 𝐹𝑦 𝑚𝐵 𝑎𝐵 𝑊𝐵 3𝑇 𝑚𝐵 𝑎𝐵 Substituído Eq 2 e 𝑊 𝑚𝐵 𝑔 temos que 𝑚𝐵 𝑔 33𝑚𝐴 𝑎𝐵 𝑚𝐵 𝑎𝐵 𝑎𝐵 𝑔 1 9 𝑚𝐴 𝑚𝐵 981 1 9 30 25 𝑎𝐵 083136𝑚𝑠2 Substituindo esse valoe na Eq1 temos 𝑎𝐴 3083136 𝑎𝐴 249407𝑚𝑠2 Então 𝑎𝐴 249407𝑚𝑠2 𝑎𝐵 0831𝑚𝑠2 b 𝑇 3𝑚𝐴 𝑎𝐵 3 30 0831 𝑇 7482𝑁 1213 Os coeficientes de atrito entre a carga e o reboque de piso plano mostrado na figura são 𝜇𝑠 040 e 𝜇𝑘 030 Sabendo que velocidade escalar do equipamento é 72kmh determine a a menor distância na qual o equipamento pode ser parado se a carga não pode se movimentar 𝑣0 72𝑘𝑚ℎ 20𝑚𝑠 𝐹 𝐹𝑚 𝜇𝑠𝑁 𝐹𝑦 0 𝑁 𝑊 0 𝑁 𝑊 𝐹𝑚 𝜇𝑠𝑊 𝐹𝑚 04𝑊 𝐹𝑥 𝑚 𝑎𝑚𝑎𝑥 𝐹𝑚𝑎𝑥 𝑚 𝑎𝑚𝑎𝑥 04𝑊 𝑊 𝑔 𝑎𝑚𝑎𝑥 𝑎𝑚𝑎𝑥 04𝑊 𝑔 𝑊 04𝑔 𝑎𝑚𝑎𝑥 3924𝑚𝑠2 𝒂𝑚𝑎𝑥 3924𝑚𝑠2 𝑣2 𝑣0 2 2 𝑎 𝑥 Lembrando que 𝑣 0 𝑣0 20𝑚𝑠 e 𝑎 𝑎𝑚𝑎𝑥 3924𝑚𝑠2 𝑥 𝑣2 𝑣0 2 2 𝑎 02 202 2 3924 𝑥 5097𝑚 1214 Um tratorreboque está viajando a 96kmh quando o motorista aplica seus freiomas Sabendo que as forças de frenagem do trator e do reboque são 1600kg e 6200kg respectivamente determine a a distância percorrida pelo tratorreboque antes que ele pare b o componente horizontal da força no engate entre o trator e o reboque enquanto eles estão desacelerando a 𝑣0 96𝑘𝑚ℎ 2667𝑚𝑠 𝐹𝑥 𝑚 𝑎 𝐹𝑏𝑟𝑡𝑟𝑎𝑐 𝐹𝑏𝑟𝑟𝑒𝑏 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑔 𝑎 𝑎 𝐹𝑏𝑟𝑡𝑟𝑎𝑐 𝐹𝑏𝑟𝑟𝑒𝑏 𝑔 𝑊𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 1600 6200 981 7900 6800 𝑎 5205𝑚𝑠2 𝑣2 𝑣0 2 2 𝑎 𝑥 𝑥 𝑣2 𝑣0 2 2 𝑎 02 26672 2 5205 𝑥 6831𝑚 b 𝐹𝑥 𝑚𝑟𝑒𝑏 𝑎 𝐹𝑏𝑟𝑟𝑒𝑏 𝑃𝑒𝑛𝑔 𝑊𝑟𝑒𝑏 𝑔 𝑎 𝑃𝑒𝑛𝑔 𝐹𝑏𝑟𝑟𝑒𝑏 𝑊𝑟𝑒𝑏 𝑔 𝑎 6200 7900 981 5205 2008409 𝑃𝑒𝑛𝑔 2008𝑁 𝑡𝑒𝑛𝑠ã𝑜 1249 Um piloto de 54 kg pilota um jato de treinamento em um meio loop de 1200 m de raio de modo que a velocidade escalar do jato diminui a uma taxa constante Sabendo que o peso aparente do piloto no ponto A e C são 1680 N e 350 N respectivamente determine a força exercida no piloto pelo assento do jato quando este jato está no ponto B A 𝐹𝑛 𝑚 𝑎𝑛 𝑁𝐴 𝑊 𝑚 𝑣𝐴 2 𝜌 𝑣𝐴 2 𝑁𝐴 𝑊 𝜌 𝑚 1200 1680 54 981 𝑣𝐴 2 2556133𝑚2𝑠2 C 𝐹𝑛 𝑚 𝑎𝑛 𝑁𝐶 𝑊 𝑚 𝑣𝐶 2 𝜌 𝑣𝐶 2 𝑁𝐶 𝑊 𝜌 𝑚 1200 350 54 981 𝑣𝐶 2 1954978𝑚2𝑠2 Sendo atcte 𝑣𝐶 2 𝑣𝐴 2 2 𝑎𝑡 𝑠𝐴𝐶 𝑎𝑡 𝑣𝐶 2 𝑣𝐴 2 2𝑠𝐴𝐶 1954978 2556133 2 𝜋 1200 𝑎𝑡 079731𝑚𝑠2 𝑣𝐵 2 𝑣𝐴 2 2 𝑎𝑡 𝑠𝐴𝐵 2556133 2 079731 𝜋 2 1200 𝑣𝐵 2 2255554𝑚2𝑠2 B 𝐹𝑛 𝑚 𝑎𝑛 𝑁𝐵 𝑚 𝑣𝐵 2 𝜌 54 2255554 1200 10149994 𝑁𝐵 1015𝑁 Ou 𝐹𝑡 𝑚 𝑎𝑡 𝑊 𝑃𝐵 𝑚 𝑎𝑡 𝑃𝐵 𝑚 𝑎𝑡 𝑊 54 079731 981 𝑃𝐵 4866853𝑁 𝑃𝐵 487𝑁 𝐹𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡𝑜𝐵 𝑁𝐵 2 𝑃𝐵 2 101499942 48668532 1267086363 1125649 𝐹𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡𝑜𝐵 1126𝑁 𝐹𝑝𝑖𝑙𝑜𝑡𝑜𝐵 1126𝑁 256𝑜 1250 Um bloco B de 250g se encaixa dentro de uma pequena cavidade aberta no braço OA que gira no plano vertical a uma taxa constante tal que v3ms Sabendo que a mola exerce no bloco B uma força de intensidade P15N e desprezando o efeito do atrito determine a intervalo de valores de 𝜃 para os quais o bloco B faz contato com a face da cavidade fechada para o eixo de rotação O 𝐹𝑛 𝑚 𝑎𝑛 𝑃 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑄 𝑚 𝑣2 𝜌 𝑄 0 𝑄 𝑃 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 𝑣2 𝜌 0 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 𝑔 𝑣2 𝜌 𝑃 𝑚 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 981 32 09 15 025 𝑠𝑒𝑛𝜃 040775 241𝑜 𝜃 1559𝑜 1251 A curva em um circuito de velocidade tem raio de 300m e velocidade de segurança de 192kmh Ver no Problema Resolvido 125 para a definição da velocidade de segurança Sabendo que o carro de corrida começa a derrapar na curva quando viaja a uma velocidade de 288kmh determine a o ângulo de inclinação 𝜃 b o coeficiente de atrito estático entre os pneus e a estrada sob as condições prevalentes c a velocidade escalar mínima para a qual o mesmo carro poderia fazer a curva 𝑊 𝑚 𝑔 𝑎 𝑣2 𝜌 𝐹𝑥 𝑚 𝑎𝑥 𝐹 𝑊𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝐹 𝑚 𝑎 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑊𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 𝑣2 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝐹 𝑚𝑣2𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 Eq 1 𝐹𝑦 𝑚 𝑎𝑦 𝑁 𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑁 𝑚 𝑎 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑊𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑁 𝑚 𝑣2 𝜌 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑁 𝑚𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 Eq 2 a 𝑣 192𝑘𝑚ℎ 5333𝑚𝑠 𝐹 0 Eq 1 0 𝑚 𝑣2 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑡𝑔𝜃 𝑣2 𝜌 𝑔 53332 300 981 0966512 𝜃 44𝑜 b 𝑣 288𝑘𝑚ℎ 80𝑚𝑠 𝐹 𝜇 𝑁 𝜇 𝐹 𝑁 Substituindo as eq 1 e 2 em 𝜇 temos 𝜇 𝑚 𝑣2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑚 𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌 𝑚 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 802 cos44 300 981 𝑠𝑒𝑛44 802 sen44 300 981 cos44 𝜇 038998 𝜇 039 c 𝐹 𝜇 𝑁 𝜇 𝐹 𝑁 𝑣2 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣2𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜌 𝑔 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑣2 𝜌 𝑔 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝜇 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜇 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑣2 300 981 𝑠𝑒𝑛44 038998 𝑐𝑜𝑠44 𝑐𝑜𝑠44 038998 𝑠𝑒𝑛44 𝑣 1230794549 𝑣 35083 𝑣 351𝑚𝑠 1263kmh 1255 Um pequeno colar D de 300g pode deslizar sobre a parte AB de uma haste que é curvada tal como mostra a figura Sabendo que 𝛼 40𝑜 e que a haste gira em torno da vertical AC a uma taxa constante de 5rads determine o valor r para o qual o colar não deslizará sobre a haste se o efeito do atrito entre a haste e o colar for desprezado 𝑣𝐷 𝑟𝜃𝐴𝐵𝐶 𝐹𝑦 0 𝑁 𝑠𝑒𝑛40𝑜 𝑊 0 𝑁 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛40𝑜 𝐹𝑛 𝑚 𝑎𝑛 𝑁 𝑐𝑜𝑠400 𝑚 𝑣𝐷 2 𝑟 𝑚 𝑔 𝑠𝑒𝑛40𝑜 𝑐𝑜𝑠40𝑜 𝑚 𝑟𝜃𝐴𝐵𝐶2 𝑟 𝑟 𝑔 𝜃𝐴𝐵𝐶 2 1 𝑡𝑔40𝑜 𝑟 981 52 1 𝑡𝑔40𝑜 𝑟 04676𝑚 𝑟 468𝑚𝑚 1260 Uma mesa rotativa A é construída em um palco para uso em uma produção teatral Observase durante um ensaio que um baú B começa a deslizar sobre a mesa 10s depois que ela começa a girar Sabendo que o baú é submetido a uma aceleração tangencial constante de 024ms2 determine o coeficiente de atrito estático entre o baú e a mesa rotativa 𝑣𝐵 𝑣0 𝑎𝑡 𝑡 0 024 10 𝑣𝐵 24𝑚𝑠 𝐹 𝑚𝐵 𝑎 𝐵 𝑭 𝑚𝐵 𝒂𝐵𝑡 𝑚𝐵 𝒂𝐵𝑛 𝐹 𝑚𝐵 𝑎𝐵𝑡 2 𝑎𝐵𝑛2 𝑚𝐵 𝑎𝐵𝑡 2 𝑣𝐵 2 𝜌 2 𝐹𝑦 0 𝑁 𝑊 0 𝑁 𝑊 𝑚𝐵 𝑔 Em t10s 𝐹 𝜇𝑠𝑁 𝜇𝑠 𝑚𝐵 𝑔 𝜇𝑠 𝑚𝐵 𝑔 𝑚𝐵 𝑎𝐵𝑡 2 𝑣𝐵 2 𝜌 2 𝜇𝑠 𝑚𝐵 𝑎𝐵𝑡 2 𝑣𝐵 2 𝜌 2 𝑚𝐵 𝑔 𝑎𝐵𝑡 2 𝑣𝐵 2 𝜌 2 𝑔 0242 242 25 2 981 0236133 𝜇𝑠 0236