Listas de Física 3

ZAB0173 Física Geral e Experimental III 8ª Lista de Exercícios 1 A figura ao lado mostra uma casca cilíndrica condutora de raio interno a e raio externo 2a Sabendo que a densidade de corrente densidade de corrente na casca cilíndrica é uniforme J0 calcule o campo magnético nas regiões a r a b a r 2a c r 2a 2 Refaça o exercício 1 considerando que a densidade de corrente varia de acordo com a equação 𝐽 𝐽0 𝑎 r 3 Refaça o exercício 1 considerando que a densidade de corrente varia de acordo com a equação 𝐽 𝐽0 𝑟2 𝑎2 1 4 A figura abaixo mostra um condutor cilíndrico de raio a cinza escuro e uma casca cilíndrica condutora de raio interno a e raio externo 2a cinza claro O condutor está isolado da casca por um material isolante de espessura desprezível A densidade de corrente no condutor cilíndrico é uniforme J0 e a densidade de corrente na casca condutora varia com a equação 𝐽 𝐽0 𝑟 𝑎 Sabendo que as correntes no condutor e na casca estão em sentido contrário calcule o campo magnético nas regiões a r a b a r 2a c r 2a d Se possível para qual valor de r o campo magnético será nulo 5 Refaça o exercício 3 considerando que as correntes estão no mesmo sentido a densidade de corrente no condutor cilíndrico varia com a equação 𝐽 𝐽0 1 𝑟 𝑎 e a densidade de corrente na casca condutora varia com a equação 𝐽 𝐽0 𝑎 𝑟 6 A figura ao lado mostra um condutor cilíndrico de raio a concêntrico a uma casca cilíndrica condutora de raio interno 2a e raio externo 3a O condutor e a casca estão isolados um do outro por um material isolante O condutor interno possui densidade de corrente dada pela equação 𝐽 𝐽0 𝑟2 𝑎2 e a casca cilíndrica externa possui densidade de corrente dada pela equação 𝐽 𝐽0 𝑎 𝑟 Sabendo que as correntes no condutor interno e na casca estão no mesmo sentido calcule o campo magnético B nas regiões a r a b a r 2a c 2a r 3a d r 3a 7 Refaça o exercício 5 considerando que as correntes estão em sentido contrário o condutor interno possui densidade de corrente dada pela equação 𝐽 𝐽0 1 𝑟2 𝑎2 e a casca cilíndrica externa possui densidade de corrente dada pela equação 𝐽 𝐽0 𝑟 𝑎 Se possível para qual valor de r o campo magnético será nulo ZAB0173 Física Geral e Experimental III 6ª Lista de Exercícios 1 A espira ao lado é percorrida por uma corrente i no sentido horário Sabendo que a espira está sujeita a um campo magnético 𝐵 𝐵0𝑖 onde Bo é uma constante calcule o módulo a direção e o sentido da força magnética que atua sobre cada segmento da espira 2 Um fio condutor de comprimento L é percorrido por uma corrente i na presença de um campo magnético 𝐵 𝐵02𝑖 𝑗 onde Bo é uma constante calcule a o vetor da força magnética que atua sobre o fio b o módulo da força magnética c a direção da força magnética 3 Uma espira triangular é percorrida por uma corrente no sentido horário como ilustrado na figura ao lado Sabendo que a espira está sujeita a um campo magnético 𝐵 𝐵0𝑖 3𝑘 onde Bo é uma constante calcule a o vetor o módulo e a direção da força magnética que atua em cada segmento da espira b a força resultante que atua sobre a espira Justifique 4 Uma espira triangular é percorrida por uma corrente no sentido horário como ilustrado na figura ao lado Sabendo que a espira está sujeita a um campo magnético 𝐵 𝐵0𝑖 𝑧𝑗 onde Bo é uma constante calcule a o vetor o módulo e a direção da força magnética que atua em cada segmento da espira b a força resultante que atua sobre a espira Justifique 5 Uma espira triangular é percorrida por uma corrente no sentido horário como ilustrado na figura ao lado Sabendo que a espira está sujeita a um campo magnético 𝐵 𝐵0𝑧𝑗 𝑦2𝑘 onde Bo é uma constante calcule a o vetor o módulo e a direção da força magnética que atua em cada segmento da espira b a força resultante que atua sobre a espira Justifique 6 Um fio de comprimento L é percorrido por uma corrente i no sentido positivo do eixo z na presença de um campo magnético 𝐵 𝐵03𝑖 2𝑘 onde Bo é uma constante Sabendo que o fio está conectado ao eixo z por uma chapa isolante e está livre para girar em torno do eixo z calcule a o vetor da força magnética que atua sobre o fio b o torque que atua sobre o fio quando se encontra sobre o eixo y c o torque que atua sobre o fio quando se encontra sobre o eixo x 7 Uma espira retangular é percorrida por uma corrente como ilustrado na figura ao lado Sabendo que a espira está sujeita a um campo magnético campo magnético 𝐵 𝐵0𝑖 3𝑗 2𝑘 calcule a o vetor da força magnética que atua em cada segmento da espira b o torque que atua sobre o fio se a espira é livre para girar em torno do eixo y c o torque que atua sobre o fio se a espira é livre para girar em torno do eixo z ZAB0173 Física Geral e Experimental III 9ª Lista de Exercícios 1 Metade de uma espira quadrada de lado a é mantida imersa num campo magnético uniforme como mostra a figura ao lado Sabendo que o módulo do campo magnético varia com a equação 𝐵 𝐵0𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 determine a força eletromotriz induzida na espira 2 Uma espira circular de raio R é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado A espira contém uma fonte ideal de força eletromotriz dada por 𝜀 𝐵0 𝜋𝑅2 3 Se módulo do campo magnético varia com a equação 𝐵 𝐵0 𝑟 𝑅𝑡 determine a a força eletromotriz induzida na espira b a força eletromotriz total aplicada a espira c Se possível em que instante de tempo a força eletromotriz total na espira será nula 3 Uma espira circular de raio 2a é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado A espira contém uma fonte ideal de força eletromotriz dada por 𝜀 𝐵0 𝜋𝑅2 2 Se módulo do campo magnético é nulo na região r a e varia com a equação 𝐵 𝐵0 1 𝑟 𝑎 t3 na região 𝑟 𝑎 e determine a a força eletromotriz induzida na espira b a força eletromotriz total aplicada a espira c Se possível em que instante de tempo a força eletromotriz total na espira será nula 4 Uma espira quadrada de lado a é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado A espira contém uma fonte ideal de força eletromotriz dada por 𝜀 𝐵0𝑎2 Se o módulo o campo magnético varia com a equação 𝐵 𝐵0 𝑧 𝑎 𝑡2 determine a a força eletromotriz induzida na espira b a força eletromotriz total na espira c Qual o sentido da corrente total nos instantes t 0 1 e 2s 5 Uma espira retangular é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado A espira contém uma fonte ideal de força eletromotriz dada por 𝜀 2𝐵0𝑎2 Se o módulo o campo magnético é nulo na região z a e varia com a equação 𝐵 𝐵0 𝑎 𝑧𝑡2 na região 𝑧 𝑎 determine a a força eletromotriz induzida na espira b a força eletromotriz total na espira c Qual o sentido da corrente total 6 Uma espira circular de raio R é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado Se módulo do campo magnético varia com a equação 𝐵 𝐵0𝑡3 3𝑡2 na região 𝑟 𝑅 e é nulo nas região r R calcule o campo elétrico induzido nas regiões a r R b r R 7 Uma espira circular de raio 2a é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado Se módulo do campo magnético varia com a equação 𝐵 𝐵0 𝑟2 𝑎2𝑡3 na região 𝑎 𝑟 2𝑎 e é nulo nas regiões r a e r a calcule o campo elétrico induzido nas regiões a r a b a r 2a c r 2a 8 Uma espira circular de raio 2a é mantida perpendicular a um campo magnético como mostra a figura ao lado Se módulo do campo magnético varia com a equação 𝐵 𝐵0 1 𝑟2 𝑎2 𝑡2 na região 𝑟 𝑎 varia com a equação 𝐵 𝐵0 𝑎 𝑟 𝑡4 3𝑡 na região a r 2a e é nulo na região r 2a calcule o campo elétrico induzido nas regiões a r a b a r 2a c r 2a ZAB0173 Física Geral e Experimental III 7ª Lista de Exercícios 1 Calcule o módulo do campo magnético no ponto P de uma espira formada por dois segmentos radiais e duas semicircunferências de raio a e raio 2a quando percorrida por uma corrente no sentido horário 2 Calcule o módulo do campo magnético produzido no centro ponto P de uma espira quadrada de lado L percorrida por uma corrente i 3 Calcule o módulo do campo magnético produzido num dos vértices ponto P de uma espira quadrada de lado L percorrida por uma corrente i 1 Pela Lei de BiotSavart B μo i dis x r r³ Como dis e r são sempre 4π4π n³ perpendiculares nos trechos circulares então no trecho de raio 2a dis x rr³ 2απ 2 a k π k 2a³ 2a 2a no trecho de raio a dis x rr³ aπ a k a³ π k a Nos trechos retilineares dis e r são paralelos e não contribuem para o campo B μo i 4π π2a πa k 3 μo i 8a k 2 Considere um lado da espira pela figura l2 1050 π 12 t a cos r seno 12 t gθ dos 12 seno² θ dθ 12 cosθ dθ O produto vetorial entre dis e r é 12² cos³ θ e aponta para fora da página dis x r 12²cos³ θ nh 12² dθ cosθ dθ 12²cos² θ B μo i 4 π 12 cosθ dθ μo i 4π cosθ dθ μo i sin θ 2π 0 π4 μo i 2 2π L Pela simetria da corrente todos os lados contribuem igualmente para o campo logo B 4 μo i 2 k 2π L 22 μo i k π L Os lados 1 e 2 não contribuem para o campo uma vez que dis e r são paralelos Já no lado 3 dis x r a dy e r³ a² y²³² Assim o campo neste lado é B μo i 4π a dy a² y²³² μo i a 4π dy a³ 1 ya²³² Faço tanθ ya a sec² θ dθ dy B μo i 4π a ₀π4 a sec² θ dθ 1 tg² θ³² μo i 4π a ₀π4 sec² θ dθ sec² θ³² μo i 4π ₀π4 cos θ dθ μo i 4π sin θ ₀π4 μo i 42 π a Novamente por simetria o campo gerado pelo lado 4 é igual ao do 2 Ambos apontam para direção k usando a regra da mão direita B μo i k 22 π a 1 b fluxo é positivo pois estão no mesmo sentido do vetor normal Φ BA Bo sen wx a²2 E dΦdt Bo w cos wx a²2 2a O fluxo é negativo Φ B dA 2π Bo ₀R r² dr 2π Bo R³3R² 2π Bo R²3x a FEM induzida é Eind 2π Bo R²3 x² a Ex total Eind E 2π Bo R²3 x² Bo π R²3 Bo π R² 13 23 x² c E0 13 23 x² 0 x 2 3a O fluxo é positivo Φ B dA 2 Bo x³ ₀2a 1 12 a r dr 2 Bo x³ r²2 r³3 a₀2a 2 Bo x³ 4a²2 a²2 8a³3 a²3 2π Bo x³ a² 32 73 2a 23π Bo a² x³3 Eind 23π Bo a² x² b Ex total Eind E 23π Bo a² x² Bo π R²2 Bo π R²2 23 a² x² c Ex total 0 R²2 23 a² x² 0 x R²46 a²12 Ra 146 4a O fluxo é positivo Φ Bo x²a γ dx dy Bo x²a ₀x ₀y z dy dx Bo x² a²2 Eind Bo a² x b Ex total Bo a² Bo a² x Bo a² 1 x c x 0 não há campo e a corrente flui no sentido antihorário Em x1 Exrind0 e i0 Em x 1 a FEM induzida é suficiente para reverter a corrente que flui no sentido horário 5a O fluxo é positivo Φ B0a²x² z¹ dy dy B0a²x² z¹ dz B0a²x² ln2 Eind 2B0a²x³ b Exrind 2B0a² 2B0a² x³ 2B0a²1 x³ c sentido antihorário para todo x 6a O fluxo é negativo Φ BA πR² B0x³ 3x² dΦdt B0 πR²3x² 6x 3 B0 π R²x² 2x As linhas de campo elétrico induzido são círculos concêntricos logo Edl 2π r E no qual o circuito é um círculo Pela Lei de Faraday 2π r E 3 B0 π R²x² 2x E 3 B0 π R²x² 2x 2π b Nesta região B0 Φ 0 E 0 7a Não há campo magnético portanto não há variação de fluxo e nem campo elétrico induzido b O fluxo é positivo Φ 2 π B0 r³ dr π B0 2a⁴ a⁴ a² x³ 15 π B0 2 a² x³ Digitalizado com CamScanner dΦdt 30 π B0 a² x⁴ 2 π r E 30 π B0 a² x⁴ E 15 B0 a² r x⁴ a E0 como em a 8a O fluxo é positivo Φ 2 π B0 x² 1 r² a² r dr 2 π B0 x² a² 2 a⁴ 4a² 32 π B0 x² a² dΦdt 3 π B0 a² x 2 π r E 3 π B0 a² y E 3 B0 a² y 2 π b O fluxo é agora negativo Φ 2 π B0 a r⁴ 3r 1r r dr 2 π B0 a r⁴ 3r2a a 2 π B0 a² x⁴ 3x dΦdt 2 π B0 a² 3 4 x³ 2 π r E 2 π B0 a² 3 4 x³ E B0 a² 3 4 x³ r c Nesta região não variação de fluxo logo não existe campo elétrico induzido Digitalizado com CamScanner 1a r a não há corrente e B 0 b B d l μ0 i 2 π r B μ0 J0 dA 2 π r B 2 π μ0 J0 r r² dr π μ0 J0 r² a² B μ0 J0 r² a² 2 π As linhas de campo de fios são sempre círculos concêntricos c r 2 a então J dA J0 2 π r dr J0 π 4 a² a² 3 J0 π a² B 2 π r μ0 3 J0 π a² B 3 μ0 J0 π a² 2 π Digitalizado com CamScanner 2a i0 B0 b i5 dℓ 2 J0 a r r dr 2 J0 a a dr 2 J0 a r a B 2π r 2 π μ0 J0 a r a B μ0 J0 a r a c i 2 J0 a dr 2 J0 a 2a a 2 J0 a² B 2 π r 2 π μ0 J0 a² B μ0 J0 a² 2 π r 3a i0 B0 b i 2 π J0 r²a² 1 r dr 2 π J0 r⁴4a² r²2 2 π J0 r⁴4a² r²2 B 2 π r 2 π μ0 J r⁴4a² r²2 B μ0 J0 r³4a² r2 c i 2 π J0 a r²a² 1 r dr 2 π J0 r⁴4a² r²2 a 2 π J0 16 a⁴4 a² 4 a²2 a⁴4 a² a²2 2 π J0 9 a ² 4 B 9 μ0 J0 a² 4 π 4a Nesta região apenas o condutor interno contribui i 2 π J0 0r r dr π J0 r² B 2 π r μ0 J0 r² 2 B μ0 J0 r 2 b O condutor interno contribui com iint π J0 a² enquanto a corrente da casca icasca 2 π J0 a a r² dr 2 π J0 r³ a³ 3 a a corrente total é i π J0 a² 2 π J0 r³ a³ 3 a 2 π J0 r³ 5 a³ 3 a B μ0 J0 5 a³ r³ 3 a π c A corrente total da casca é icasca 2 π J0 2a³ a³ 14 π J0 a² 3 i π J0 a² 14 π J0 a² 3 11 π J 0 a² 3 B 11 μ0 J0 a² 6 π d O campo é zero na casca condutora quando 5 a³ r³ 0 r s 3 a 5a Calcua a corrente i iint 2 π J0 0r 1 r²2 r dr 2 π J0 r²2 r³3 a B μ0 J0 r²2 r³3 a b A corrente interna é iint 2 π J0 a²2 a³3 2 π J0 5 a² 6 π J0 5 a² 3 A contrubuiçã da casca é icasca 2 π J0 ar r dr 2 π J0 a r a i 5 π J0 a² 3 2 π J0 a r a π J0 a 2 r 9 3 B μ0 J0 a 2 r 9 3 2 π a A contribuiçao da casca é icasca 2 π J0 a 2 r a 2 π J0 a² i 2 π J0 a² 5 π a² J0 3 11 π J0 a² 3 B 11 μ0 J0 a² 6 π d O campo se anula apenas no infinito uma vez que as correntes estão no mesmo sentido Em b B0 implica r a 6 mas a 6 a e o campo é diferente nesta região 6a iint 2 π J0 a² 0r r³ dr π J0 r⁴ 2 a² B μ0 J0 r³ 4 π a² b Apenas o cilindro interno contribui com a corrente iint π J0 a² 2 B μ0 J0 a² 4 π c A casca contribui com iext 2 π J0 a 2ar dr 2 π J0 a r 2 a A corrente total é i π J0 a² 2 2 π J0 a r 2 a B μ0 J0 a 3 r 7 3 3 π d A corrente total é i π J0 a² 2 2 π J0 a² 5 π J0 a² 2 B 5 μ0 J0 a² 4 π 7 a i int 2πJ0 1 r² a² r dr 2πJ0 r²2 r⁴4a² B μ0J0 r2 r³4a² b A corrente interna total i int 2πd a²2 r²4 πJ0 a²2 B μ0J0 a² 4r c A contribuição da casca e iex 2πJ0 r² dr a 2a 2πJ0 r³ 8a³ 3a lembrando que esta não é no sentido oposto à corrente interior i πJ0 a²2 2πJ0 r³ 8a³ 3a πJ0 352 a³ 2 r³ 3a B μ0J0 352 a³ 2 r³ 6 π a d A corrente total externa iex 2πJ0 3a² 20³ 3a 2πJ0 27 a² 8 a² 3 38 π J0 a² 3 i πJ0 a²2 38 3 πJ0 a² 7 3 6 π J0 a² B 7 3 μ0 J0 a² 12 π O campo de anula na casca cilindrica quando 35 2 a³ 2 r³ r 35413 a 1 Em 1 F i R B0 apontando para k Em 2 F i R B0 apontando para j A direção da corrente em 3 é di cos θ j seno k di x B i j k 0 cos θ seno B0 0 0 B0 seno j cos θ k E i B0 R 012 seno dθ i 012 cosθ dθ k i B0 R cos θ i seno k 12 0 i B0 R j k F 2 i B0 R apontando para j k 2 a di x B i j k 0 0 1 2 B0 B0 0 B0 2 B0 0 F i B0 L 1 2 0 b F i B0 L 1² 2² 5 i B0 L c A direção é 1 2 0 3 a Em 1 di x B a j x B0 i 3 k a B0 k x j 3 j x k a B0 k 3j F i B0 a k 3 j F i B0 a 10 direção 3 0 7 Em 2 di x B a i x B i 3 k a B0 j F i B0 a j F i B0 a direção 0 1 0 Em 3 o segmento possui comprimento l² a² 4 a² 7 l 5 a e a corrente aponta para n 5 0 1 2 l x B a B0 j k x i 3 k a B0 k 3 i j F i B0 a 3 i j k F i B0 a 17 direção 3 i j k 4 a Em i z 0 B B0 i F i B0 a k F i B0 a direção 0 0 1 Uma parametrização para 2 é r 1 x0 a 0 x0 0 2 a 0 1 x a 2 a x x 01 di 0 a dx 2 a dx e B 1 2 a x 0 B0 di x B i j k 0 a dx 2 a dx 1 2 a x B0 0 B0 4 a² x dx 2 a dx a dx F x 4 i B0 a² x dx 2 i B0 a² Fy 2 i B0 a dx 2 i B0 a Fz i B0 a dx i B0 a F i B0 a 2 a 2 1 F i B0 a 4 a² 5 direção 2a 2 1 Em 3 di x B i j k 0 0 dy B0 B0 z 0 B0 z dy B0 dz 0 F x i B0 y dy 12 i B0 a² F y i B0 dy i B0 a F i B0 a a 2 1 0 F i B0 a a²4 1 direção a2 1 0 b Pelo princípio de superposição de forças a resultante é a soma de todas as forças atuando F i B0 a 0 0 1 2a 2 1 a2 1 0 i B0 a 5 2 a 3 1 5a Em 1 B B0 y² k e d l dy j d l x B B0 y² dy i F i B0 y² dy i 𝟑 i B0 a³ i F 3 i B0 a³ na direção i Em 2 B B0 z j d l dy k d l x B B0 z dy i F i B0 y dy i ½ i B0 a² i F ½ i B0 a² na direção i Em 3 uma parametrização rt 1x00a x 0a0 0a x 1xa d l 0 a dt a dt B B0 0 1x a a² x² d l x B i j k 0 a dt a dt 0 B01xa B0 a² x² a³ x² dt 1x a dt 00 B0 Fx i B0 1x a a³ x² dt i B0 a 1½ a²3 i B0 a ½ a²3 F i B0 a ½ a²3 i F i B0 a ½ a²3 na direção i b Pelo princípio da superposição Fu i B0 a ⅓ a² ½ a ½ a²3 i i B0 a ½ ½ a 23 a² i 6a l x B L k x 3i 2 k B0 3B0 L j F 3 i B0 L j b Se o fio está a uma distância R do eixo zy então T 3 i B0 L R j x j 0 c Como em b T² 3i B0 a² i x j 3i B0 a² k 7a Em 1 F₁ i B0 a k x i 3j 2k i B0 a j 3i Por simetria F₃ F₁ i B0 a 3i j Em 4 F₄ 2i B0 a j x i 3j 2k 2i B0 a k 2j Por simetria F₂ F₄ 2i B0 a 2k k b No segmento 4 o torque é nulo pois o braço de alavanca é 0 No segmento 2 o braço é r₂ a k e o torque é T₂ 2i B0 a a k x 2k k 2i B0 a² j No segmento 1 T₁ i B0 a a k x 3i j i B0 a² 3j i Finalmente no segmento 3 T₃ T₂ O torque total é T 2 i B0 a² j c No segmento 3 o braço é 0 e não há torque Por simetria os torques de 2 e 4 se anulam Por fim T T₁ i B0 a 2a j x 3i j T 6 i B0 a² k