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Cálculo 4

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2) f(x) = \frac{2}{(1-x)^3} = 2. \frac{1}{(1-x)^3} g(x) = \frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1} g'(x) = - (1-x)^{-2} = \frac{-1}{(1-x)^2} g''(x) = 3(1-x)^{-3} = \frac{3}{(1-x)^3} = 2. \frac{3}{2}\frac{1}{(1-x)^3} = \frac{3}{2}f(x) \Rightarrow g''(x) = \frac{3}{2}f(x) f(x) = \frac{2}{3}g''(x) g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} x^n g'(x) = \frac{-1}{(1-x)^2} = \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} g''(x) = \frac{3}{(1-x)^3} = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n-2} \therefore f(x) = \frac{2}{3}g''(x) = \frac{2}{3}\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^{n-2}