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Análise de dados 20231 Profª Patrizia Aula 01 Aula introdutória Descrição de dados e Medidas de posição A origem da palavra estatística está associada à palavra latina status Estado Existem evidências de que 3000 anos aC já se faziam censos na Babilônia China e Egito com objetivo de coletar dados sobre colheitas composição da população humana ou de animais impostos etc O Censo mais antigo é o da China Em 2238 aC o imperador Yao mandou realizar um censo da população e das lavouras cultivadas Um pouco de história Os romanos e os gregos já realizavam censos por volta do século VIII a IV AC em 578534 aC o imperador Servo Túlio mandou realizar um censo de população e riqueza que serviu para estabelecer o recrutamento para o exército para o exercício dos direitos políticos e para o pagamento de impostos Os romanos fizeram 72 censos entre 555 aC e 72 dC Um pouco de história Estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta organização descrição análise e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada de decisões Estatística envolve técnicas para coletar organizar descrever analisar e interpretar dados ou provenientes de experimentos ou vindos de estudos observacionais A essência de uma análise estatística é tirar conclusões sobre uma população ou universo com base em uma amostra de observações O que é Estatística O que é Estatística De maneira grosseira a estatística pode ser dividida em duas áreas aEstatística Descritiva A Estatística Descritiva está relacionada com a organização e descrição de dados associada a cálculos de médias variâncias estudo de gráficos tabelas etc É a parte mais conhecida bEstatística Indutiva ou Inferência Estatística A Estatística Indutiva é o objetivo básico da ciência A ela está associada Estimação de Parâmetros Testes de Hipóteses Modelamento etc O que é Estatística Cálculo das Probabilidades No Cálculo de Probabilidades está a essência dos modelos NãoDeterminísticos e a corroboração de que toda inferência estatística está sujeita a erros A associação entre o cálculo das probabilidades e a estatística por volta de 1600 ampliou os horizontes da ciência A Amostragem é o ponto de partida na prática para um Estudo Estatístico Definições básicas Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa cujo resultado depende de fatores aleatórios Por exemplo os resultados de 1 a 6 no lançamento de um dado ou a cor do cabelo de quem gosta de estudar matemática Parâmetro uma medida que descreve certa característica dos elementos da população Por exemplo número total de pessoas que gostam de estudar matemática Estatística uma medida que descreve certa característica dos elementos da amostra Por exemplo média aritmética Estimativa valor resultante do cálculo de uma estatística quando usado para se ter uma ideia do parâmetro de interesse Definições Tipos de Variáveis Os dados coletados em uma primeira fase podem ser definidos como variáveis qualitativas ou quantitativas de acordo com a seguinte figura Variável Qualitativa Nominal Ordinal Quantitativa Discreta Contínua Exemplos Variáveis Qualitativas geralmente são categóricos ou atributos que podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica nãonumérica Variável qualitativa nominal sexo religião times de futebol etc Variável qualitativa ordinal grau de instrução Ensino Fundamental I Ensino Fundamental II ensino Médio Ensino Superior Pósgraduação Mestrado Doutorado Pós Doutorado classe social baixa média ou alta Definições Tipos de Variáveis Variáveis Quantitativas geralmente são números que representam contagens ou medidas Podemos ainda descrever os dados quantitativos entre os tipos discreto intervalar e contínuo de razão Variáveis quantitativas discretas cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números que resultam frequentemente de uma contagem como por exemplo números de filhos Variáveis quantitativas contínuas cujos possíveis valores formam um intervalo de números reais e que resultam normalmente de uma mensuração como por exemplo estatura ou peso de um indivíduo Definições Tipos de Variáveis Em uma primeira análise identificar o tipo da variável pode parecer fácil embora algumas variáveis que você poderia desejar estudar possam ser categóricas ou numéricas dependendo do modo como você as define Por exemplo idade aparentaria ser uma variável numérica evidente mas o que acontece se você estiver interessado em comparar os hábitos de compra de crianças adolescentes pessoas de meiaidade e pessoas com idade para aposentadoria Nesse caso definir idade como uma variável categórica faria mais sentido Mais uma vez isso ilustra o ponto anterior de que sem definições operacionais as variáveis não têm nenhum significado Estatística Teoria e Aplicações usando MS Excel em Português 7ª edição População Conjunto de elementos que formam o universo a ser estudado Conjunto de todos os elementos que possui pelo menos uma característica comum Uma população é uma coleção completa de todos os elementos valores pessoas medidas etc a serem estudados Censo é o conjunto dos dados relativos a todos os elementos de uma população População e Amostra Amostra é um subconjunto de elementos de uma população Devese aqui ter o cuidado para que a amostra possua as mesmas características básicas da população no que se refere ao fenômeno a ser investigado Amostragem é o processo de seleção de uma amostra Essa técnica deve garantir a cada elemento da população a mesma chance de ser escolhido o que dá a amostra o caráter de representatividade A Amostragem é o ponto de partida na prática para um Estudo Estatístico População e Amostra Vejam quatro tipos de amostragem Amostragem aleatória simples é o processo de seleção dos elementos feito por sorteios fazendo com que os elementos da população tenham a mesma chance de ser escolhidos e qualquer subconjunto de 𝑛 elementos tem a mesma chance de fazer parte da amostra Equivale a um sorteio lotérico Exemplo Todos os alunos da sala correspondem a população Suponhamos que a amostra seja de 30 da população sala Assim atribuise a cada aluno da sala um número e pedese para o Excel gerar números aleatórios Fórmula Excel ALEATÓRIOENTREn1n2 População e Amostra Amostragem proporcional estratificada considera a existência de estratos na população e obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos Exemplo O professor divide a sala de 60 estudantes em dois estratos sexo feminino e sexo masculino 16 quantidade de alunas 44 quantidade de alunos Amostra de 15 da sala Alunas 15 100 16 24 amostra 2 Alunos 15 100 44 66 amostra 7 Total de elementos da amostra 9 15 100 60 9 População e Amostra Amostragem sistemática é uma amostra cujos elementos podem ser selecionados por um sistema determinado pelo pesquisador Em geral isso acontece quando os elementos da população já se encontram ordenados Por exemplo as casas de uma rua lista de chamada de uma turma Exemplo Suponhamos que me seja entregue a lista dos 60 alunos da sala em ordem crescente Quero uma amostra de 15 ou seja 9 alunos Posso criar a seguinte sistemática Conto os de 1 a 6 e pego aluno 6 Conto de 7 a 12 e pego o 12 Ou seja pego os múltiplos de 6 até dar a quantidade de 9 alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 60 População e Amostra Amostragem por conglomerados é uma amostra cujos elementos da população são divididos em grupos em geral com base em sua localização geográfica Nesse caso é importante que os elementos de cada conglomerado seja o mais heterogêneo possível À partir daí escolhese o tamanho da amostra e quantas pessoas de cada grupo serão escolhidas Exemplo Desejase saber a intenção de voto dos Sorocabanos em determinado candidato a governador do estado de SP Primeiro estipula se o tamanho da amostra Depois tomase os vários bairros de Sorocaba como sendo cada conglomerado da amostra Podese ainda definir certos critérios para os elementos dessa amostra Tal como apenas pessoas com titulo de eleitor População e Amostra Medidas Estatísticas As principais medidas estatísticas ou simplesmente estatísticas Medidas de posição locação ou tendência central Média Mediana e Moda Medidas de dispersão ou variabilidade Desvio Desviopadrão Variância e Amplitude Medidas de Tendência Central As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar ou a representar melhor um conjunto de números As três mais usadas são a média a mediana e a moda Média Aritmética ഥ𝒙 É o quociente da soma dos valores da variável dividido pelo número de elementos ҧ𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 𝑛 𝑜𝑢 ҧ𝑥 σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 Média Aritmética ഥ𝒙 ҧ𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 𝑛 Quantidade de livros que um jovem leu entre seus 8 a 18 anos de idade Luís 20 Aurora 7 Sarah 36 João 36 Mário 19 Nicole 47 Anderson 12 Júlia 12 Silvio 26 Lauro 36 Dênis 83 Lívia 25 Medidas de Tendência Central Média Aritmética Ponderada ഥ𝒙 No cálculo da média podem ser atribuídos pesos diferentes para cada variável ҧ𝑥 𝑝1𝑥1 𝑝2𝑥2 𝑝3𝑥3 𝑝𝑛𝑥𝑛 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝𝑛 𝑜𝑢 ҧ𝑥 σ𝑖1 𝑛 𝑝𝑖𝑥𝑖 σ𝑖1 𝑛 𝑝𝑖 Medidas de Tendência Central Mediana 𝒙 𝒐𝒖 𝑴𝒅 É o valor central dos dados quando os dados estão organizados em um Rol ordem crescente ou decrescente A mediana divide uma série ordenada em duas partes 50 menores ou iguais a mediana e os outros 50 maiores do que ela Se 𝑛 é impar 𝑥 𝑥𝑛1 2 Se 𝑛 é par 𝑥 𝑥𝑛 2 𝑥𝑛 21 2 Mediana 𝒙 𝑴𝒅 Se 𝑛 é impar 𝒙 𝒙𝒏𝟏 𝟐 e Se 𝑛 é par 𝒙 𝒙𝒏 𝟐 𝒙𝒏 𝟐𝟏 𝟐 Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 João 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Medidas de Tendência Central Moda 𝒎𝒐 O valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados De maneira geral não se encontra a moda de um conjunto de dados com a calculadora Conjunto de dados amodal Não apresenta moda pois todos os valores da variável em estudo ocorreram com a mesma frequência Conjunto plurimodal Apresenta mais que uma moda pois mais de um valor ocorreu predominantemente Moda 𝒎𝒐 Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores A4556667788 B445566 C122233455566 D12345 Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 João 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Medidas de Tendência Central Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 João 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Média Mediana e Moda Média 2991 livros Em média cada jovem leu cerca de 30 livros entre seus 8 e 18 anos de idade Mediana 255 livros 50 desse jovens leram de 7 até 25 livros entre seus 8 e 18 anos de idade 50 desses jovens leram de 26 a 83 livros entre seus 8 e 18 anos de idade Moda 36 livros a quantidade de livros lidos mais frequente é de 36 livros entre 8 e 18 anos de idade Medidas de Tendência Central Outras medidas de posição Média Geométrica 𝒙𝒈 Consiste em multiplicar os elementos e extrair a raiz do produto encontrado utilizando como índice da raiz o número de elementos multiplicados Geralmente usadas para média de relações média de taxas de variação aumentos consecutivos ou para dados com comportamento próximo a uma progressão geométrica Para 𝑛 termos ou valores temos 𝒙𝒈 𝒏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝒏 ou 𝑥𝑔 𝑛 ς𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 A média geométrica é usada normalmente no campo da economia para cálculo de taxas médias de crescimento taxa média de aumento de capital investido ou relações médias relação capitaldívida ou dívidacapital Pode ser usada em distribuições assimétricas Período Taxa 20182019 13901200 1158 20192020 162013901165 Taxa média 1158 1165 1161 A taxa média de aumento do capital inicial investido no período de dois anos foi de 161 Exemplo adaptado de Toledo Geraldo e Ovalle Ivo Estatística Básica 1995 p 132 Suponha que você tenha investido um capital de R120000 em 2018 Após um ano de aplicação essa importância ascendeu para R139000 e ao final de mais um ano seu montante era de R 162000 Encontre a taxa média de aumento de capital utilizando a média geométrica Outras medidas de posição Média Harmônica simples 𝒙𝑯 A média harmônica corresponde ao quociente do número de elementos da sequência 𝑛 pela soma do inverso desses elementos ou o inverso da média aritmética dos inversos de 𝑛 elementos 𝑥𝐻 𝑛 1 𝑥1 1 𝑥2 1 𝑥3 1 𝑥𝑛 ou 𝑥𝐻 𝑛 σ𝑖1 𝑛 1 𝑥𝑖 A média harmônica é usualmente utilizada quando se deseja calcular a média de grandezas inversamente proporcionais tais como velocidade e vazão Outras medidas de posição Velocidade média em todo trajeto 𝑣𝑚𝐴𝐶 280 4 70 𝑘𝑚ℎ Ou Média harmônica ponderada pelas distâncias das velocidades médias 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝐻 80 200 80 1 80 1 200 1 200 3 280 80 80 2003 200 280 4 70 𝑘𝑚 ℎ Não é válido fazer vmédia vm1vm2 2 80200 3 2 7333 𝑘𝑚 ℎ 𝑡1 1 ℎ 𝑑1 80 km 𝑡2 3 ℎ 𝑑2 200 km A B C 𝑣𝑚1 80 1 𝑘𝑚ℎ 𝑣𝑚2 200 3 𝑘𝑚ℎ Média harmônica ponderada ҧ𝑥h σ𝑗1 𝑘 𝑓𝑗 σ𝑗1 𝑘 1 𝑥𝑗 𝑓𝑗 Exemplos para praticar 1 Descreva se cada um dos seguintes cenários resultaria em dados qualitativos nominalordinal ou quantitativos discretocontínuo aTempo necessário para um técnico terminar um projeto bNúmero de dias de permanência em um hospital para um paciente depois de cirurgia de ponte coronariana cNúmero médio de carros que passam por uma cabine de pedágio a cada dia dTipos das bebidas servidas em um restaurante eTamanho de uma haste usada em um projeto fCondição de uma casa à venda excelente boa razoável ruim gAltura de jogadores de basquete Exemplos para praticar 1 Descreva se cada um dos seguintes cenários resultaria em dados qualitativos ou quantitativos aTempo necessário para um técnico terminar um projeto bNúmero de dias de permanência em um hospital para um paciente depois de cirurgia de ponte coronariana cNúmero médio de carros que passam por uma cabine de pedágio a cada dia dTipos das bebidas servidas em um restaurante eTamanho de uma haste usada em um projeto fCondição de uma casa à venda excelente boa razoável ruim gAltura de jogadores de basquete Exemplos para praticar 2 Dados de vendas Os dados que seguem descrevem as vendas em milhares de dólares para 16 vendedores selecionados aleatoriamente pelos Estados Unidos 10 8 15 12 17 7 20 19 22 25 16 15 18 250 300 12 Encontre para esses dados a média a mediana e a moda Em seguida avalie qual medida de posição seria mais adequada para descrever a tendência central dos salários desses indivíduos Exemplos para praticar Resposta da 2 ҧ𝑥 4785 ou 4785000 dólares 𝑀𝑑 1617 2 165 ou 1650000 dólares 𝑀𝑜 12 15 ou 1200000 e 1500000 Exemplos para praticar 3 Dados de GPA Elizabeth fez cinco cursos em um semestre com horascrédito de 5 4 3 3 e 2 As notas que ela recebeu nesses cursos no final do semestre foram 37 40 33 37 e 40 respectivamente Ache seu GPA Grade point average para aquele semestre utilizando Média Ponderada Obs GPA é uma métrica para medir desempenho universitário no exterior
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
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Análise de dados 20231 Profª Patrizia Aula 01 Aula introdutória Descrição de dados e Medidas de posição A origem da palavra estatística está associada à palavra latina status Estado Existem evidências de que 3000 anos aC já se faziam censos na Babilônia China e Egito com objetivo de coletar dados sobre colheitas composição da população humana ou de animais impostos etc O Censo mais antigo é o da China Em 2238 aC o imperador Yao mandou realizar um censo da população e das lavouras cultivadas Um pouco de história Os romanos e os gregos já realizavam censos por volta do século VIII a IV AC em 578534 aC o imperador Servo Túlio mandou realizar um censo de população e riqueza que serviu para estabelecer o recrutamento para o exército para o exercício dos direitos políticos e para o pagamento de impostos Os romanos fizeram 72 censos entre 555 aC e 72 dC Um pouco de história Estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para coleta organização descrição análise e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada de decisões Estatística envolve técnicas para coletar organizar descrever analisar e interpretar dados ou provenientes de experimentos ou vindos de estudos observacionais A essência de uma análise estatística é tirar conclusões sobre uma população ou universo com base em uma amostra de observações O que é Estatística O que é Estatística De maneira grosseira a estatística pode ser dividida em duas áreas aEstatística Descritiva A Estatística Descritiva está relacionada com a organização e descrição de dados associada a cálculos de médias variâncias estudo de gráficos tabelas etc É a parte mais conhecida bEstatística Indutiva ou Inferência Estatística A Estatística Indutiva é o objetivo básico da ciência A ela está associada Estimação de Parâmetros Testes de Hipóteses Modelamento etc O que é Estatística Cálculo das Probabilidades No Cálculo de Probabilidades está a essência dos modelos NãoDeterminísticos e a corroboração de que toda inferência estatística está sujeita a erros A associação entre o cálculo das probabilidades e a estatística por volta de 1600 ampliou os horizontes da ciência A Amostragem é o ponto de partida na prática para um Estudo Estatístico Definições básicas Uma variável aleatória pode ser entendida como uma variável quantitativa cujo resultado depende de fatores aleatórios Por exemplo os resultados de 1 a 6 no lançamento de um dado ou a cor do cabelo de quem gosta de estudar matemática Parâmetro uma medida que descreve certa característica dos elementos da população Por exemplo número total de pessoas que gostam de estudar matemática Estatística uma medida que descreve certa característica dos elementos da amostra Por exemplo média aritmética Estimativa valor resultante do cálculo de uma estatística quando usado para se ter uma ideia do parâmetro de interesse Definições Tipos de Variáveis Os dados coletados em uma primeira fase podem ser definidos como variáveis qualitativas ou quantitativas de acordo com a seguinte figura Variável Qualitativa Nominal Ordinal Quantitativa Discreta Contínua Exemplos Variáveis Qualitativas geralmente são categóricos ou atributos que podem ser separados em diferentes categorias que se distinguem por alguma característica nãonumérica Variável qualitativa nominal sexo religião times de futebol etc Variável qualitativa ordinal grau de instrução Ensino Fundamental I Ensino Fundamental II ensino Médio Ensino Superior Pósgraduação Mestrado Doutorado Pós Doutorado classe social baixa média ou alta Definições Tipos de Variáveis Variáveis Quantitativas geralmente são números que representam contagens ou medidas Podemos ainda descrever os dados quantitativos entre os tipos discreto intervalar e contínuo de razão Variáveis quantitativas discretas cujos possíveis valores formam um conjunto finito ou enumerável de números que resultam frequentemente de uma contagem como por exemplo números de filhos Variáveis quantitativas contínuas cujos possíveis valores formam um intervalo de números reais e que resultam normalmente de uma mensuração como por exemplo estatura ou peso de um indivíduo Definições Tipos de Variáveis Em uma primeira análise identificar o tipo da variável pode parecer fácil embora algumas variáveis que você poderia desejar estudar possam ser categóricas ou numéricas dependendo do modo como você as define Por exemplo idade aparentaria ser uma variável numérica evidente mas o que acontece se você estiver interessado em comparar os hábitos de compra de crianças adolescentes pessoas de meiaidade e pessoas com idade para aposentadoria Nesse caso definir idade como uma variável categórica faria mais sentido Mais uma vez isso ilustra o ponto anterior de que sem definições operacionais as variáveis não têm nenhum significado Estatística Teoria e Aplicações usando MS Excel em Português 7ª edição População Conjunto de elementos que formam o universo a ser estudado Conjunto de todos os elementos que possui pelo menos uma característica comum Uma população é uma coleção completa de todos os elementos valores pessoas medidas etc a serem estudados Censo é o conjunto dos dados relativos a todos os elementos de uma população População e Amostra Amostra é um subconjunto de elementos de uma população Devese aqui ter o cuidado para que a amostra possua as mesmas características básicas da população no que se refere ao fenômeno a ser investigado Amostragem é o processo de seleção de uma amostra Essa técnica deve garantir a cada elemento da população a mesma chance de ser escolhido o que dá a amostra o caráter de representatividade A Amostragem é o ponto de partida na prática para um Estudo Estatístico População e Amostra Vejam quatro tipos de amostragem Amostragem aleatória simples é o processo de seleção dos elementos feito por sorteios fazendo com que os elementos da população tenham a mesma chance de ser escolhidos e qualquer subconjunto de 𝑛 elementos tem a mesma chance de fazer parte da amostra Equivale a um sorteio lotérico Exemplo Todos os alunos da sala correspondem a população Suponhamos que a amostra seja de 30 da população sala Assim atribuise a cada aluno da sala um número e pedese para o Excel gerar números aleatórios Fórmula Excel ALEATÓRIOENTREn1n2 População e Amostra Amostragem proporcional estratificada considera a existência de estratos na população e obtém os elementos da amostra proporcional ao número de elementos desses estratos Exemplo O professor divide a sala de 60 estudantes em dois estratos sexo feminino e sexo masculino 16 quantidade de alunas 44 quantidade de alunos Amostra de 15 da sala Alunas 15 100 16 24 amostra 2 Alunos 15 100 44 66 amostra 7 Total de elementos da amostra 9 15 100 60 9 População e Amostra Amostragem sistemática é uma amostra cujos elementos podem ser selecionados por um sistema determinado pelo pesquisador Em geral isso acontece quando os elementos da população já se encontram ordenados Por exemplo as casas de uma rua lista de chamada de uma turma Exemplo Suponhamos que me seja entregue a lista dos 60 alunos da sala em ordem crescente Quero uma amostra de 15 ou seja 9 alunos Posso criar a seguinte sistemática Conto os de 1 a 6 e pego aluno 6 Conto de 7 a 12 e pego o 12 Ou seja pego os múltiplos de 6 até dar a quantidade de 9 alunos 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 60 População e Amostra Amostragem por conglomerados é uma amostra cujos elementos da população são divididos em grupos em geral com base em sua localização geográfica Nesse caso é importante que os elementos de cada conglomerado seja o mais heterogêneo possível À partir daí escolhese o tamanho da amostra e quantas pessoas de cada grupo serão escolhidas Exemplo Desejase saber a intenção de voto dos Sorocabanos em determinado candidato a governador do estado de SP Primeiro estipula se o tamanho da amostra Depois tomase os vários bairros de Sorocaba como sendo cada conglomerado da amostra Podese ainda definir certos critérios para os elementos dessa amostra Tal como apenas pessoas com titulo de eleitor População e Amostra Medidas Estatísticas As principais medidas estatísticas ou simplesmente estatísticas Medidas de posição locação ou tendência central Média Mediana e Moda Medidas de dispersão ou variabilidade Desvio Desviopadrão Variância e Amplitude Medidas de Tendência Central As medidas de tendência central são usadas para indicar um valor que tende a tipificar ou a representar melhor um conjunto de números As três mais usadas são a média a mediana e a moda Média Aritmética ഥ𝒙 É o quociente da soma dos valores da variável dividido pelo número de elementos ҧ𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 𝑛 𝑜𝑢 ҧ𝑥 σ𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 𝑛 Média Aritmética ഥ𝒙 ҧ𝑥 𝑥1 𝑥2 𝑥3 𝑥𝑛 𝑛 Quantidade de livros que um jovem leu entre seus 8 a 18 anos de idade Luís 20 Aurora 7 Sarah 36 João 36 Mário 19 Nicole 47 Anderson 12 Júlia 12 Silvio 26 Lauro 36 Dênis 83 Lívia 25 Medidas de Tendência Central Média Aritmética Ponderada ഥ𝒙 No cálculo da média podem ser atribuídos pesos diferentes para cada variável ҧ𝑥 𝑝1𝑥1 𝑝2𝑥2 𝑝3𝑥3 𝑝𝑛𝑥𝑛 𝑝1 𝑝2 𝑝3 𝑝𝑛 𝑜𝑢 ҧ𝑥 σ𝑖1 𝑛 𝑝𝑖𝑥𝑖 σ𝑖1 𝑛 𝑝𝑖 Medidas de Tendência Central Mediana 𝒙 𝒐𝒖 𝑴𝒅 É o valor central dos dados quando os dados estão organizados em um Rol ordem crescente ou decrescente A mediana divide uma série ordenada em duas partes 50 menores ou iguais a mediana e os outros 50 maiores do que ela Se 𝑛 é impar 𝑥 𝑥𝑛1 2 Se 𝑛 é par 𝑥 𝑥𝑛 2 𝑥𝑛 21 2 Mediana 𝒙 𝑴𝒅 Se 𝑛 é impar 𝒙 𝒙𝒏𝟏 𝟐 e Se 𝑛 é par 𝒙 𝒙𝒏 𝟐 𝒙𝒏 𝟐𝟏 𝟐 Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 João 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Medidas de Tendência Central Moda 𝒎𝒐 O valor que ocorre com maior frequência em um conjunto de dados De maneira geral não se encontra a moda de um conjunto de dados com a calculadora Conjunto de dados amodal Não apresenta moda pois todos os valores da variável em estudo ocorreram com a mesma frequência Conjunto plurimodal Apresenta mais que uma moda pois mais de um valor ocorreu predominantemente Moda 𝒎𝒐 Calcular a moda dos seguintes conjuntos de valores A4556667788 B445566 C122233455566 D12345 Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 João 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Medidas de Tendência Central Aurora 7 Anderson 12 Júlia 12 Mário 19 Luís 20 Lívia 25 Silvio 26 Sarah 36 João 36 Lauro 36 Nicole 47 Dênis 83 Média Mediana e Moda Média 2991 livros Em média cada jovem leu cerca de 30 livros entre seus 8 e 18 anos de idade Mediana 255 livros 50 desse jovens leram de 7 até 25 livros entre seus 8 e 18 anos de idade 50 desses jovens leram de 26 a 83 livros entre seus 8 e 18 anos de idade Moda 36 livros a quantidade de livros lidos mais frequente é de 36 livros entre 8 e 18 anos de idade Medidas de Tendência Central Outras medidas de posição Média Geométrica 𝒙𝒈 Consiste em multiplicar os elementos e extrair a raiz do produto encontrado utilizando como índice da raiz o número de elementos multiplicados Geralmente usadas para média de relações média de taxas de variação aumentos consecutivos ou para dados com comportamento próximo a uma progressão geométrica Para 𝑛 termos ou valores temos 𝒙𝒈 𝒏 𝒙𝟏 𝒙𝟐 𝒙𝟑 𝒙𝒏 ou 𝑥𝑔 𝑛 ς𝑖1 𝑛 𝑥𝑖 A média geométrica é usada normalmente no campo da economia para cálculo de taxas médias de crescimento taxa média de aumento de capital investido ou relações médias relação capitaldívida ou dívidacapital Pode ser usada em distribuições assimétricas Período Taxa 20182019 13901200 1158 20192020 162013901165 Taxa média 1158 1165 1161 A taxa média de aumento do capital inicial investido no período de dois anos foi de 161 Exemplo adaptado de Toledo Geraldo e Ovalle Ivo Estatística Básica 1995 p 132 Suponha que você tenha investido um capital de R120000 em 2018 Após um ano de aplicação essa importância ascendeu para R139000 e ao final de mais um ano seu montante era de R 162000 Encontre a taxa média de aumento de capital utilizando a média geométrica Outras medidas de posição Média Harmônica simples 𝒙𝑯 A média harmônica corresponde ao quociente do número de elementos da sequência 𝑛 pela soma do inverso desses elementos ou o inverso da média aritmética dos inversos de 𝑛 elementos 𝑥𝐻 𝑛 1 𝑥1 1 𝑥2 1 𝑥3 1 𝑥𝑛 ou 𝑥𝐻 𝑛 σ𝑖1 𝑛 1 𝑥𝑖 A média harmônica é usualmente utilizada quando se deseja calcular a média de grandezas inversamente proporcionais tais como velocidade e vazão Outras medidas de posição Velocidade média em todo trajeto 𝑣𝑚𝐴𝐶 280 4 70 𝑘𝑚ℎ Ou Média harmônica ponderada pelas distâncias das velocidades médias 𝑚é𝑑𝑖𝑎𝐻 80 200 80 1 80 1 200 1 200 3 280 80 80 2003 200 280 4 70 𝑘𝑚 ℎ Não é válido fazer vmédia vm1vm2 2 80200 3 2 7333 𝑘𝑚 ℎ 𝑡1 1 ℎ 𝑑1 80 km 𝑡2 3 ℎ 𝑑2 200 km A B C 𝑣𝑚1 80 1 𝑘𝑚ℎ 𝑣𝑚2 200 3 𝑘𝑚ℎ Média harmônica ponderada ҧ𝑥h σ𝑗1 𝑘 𝑓𝑗 σ𝑗1 𝑘 1 𝑥𝑗 𝑓𝑗 Exemplos para praticar 1 Descreva se cada um dos seguintes cenários resultaria em dados qualitativos nominalordinal ou quantitativos discretocontínuo aTempo necessário para um técnico terminar um projeto bNúmero de dias de permanência em um hospital para um paciente depois de cirurgia de ponte coronariana cNúmero médio de carros que passam por uma cabine de pedágio a cada dia dTipos das bebidas servidas em um restaurante eTamanho de uma haste usada em um projeto fCondição de uma casa à venda excelente boa razoável ruim gAltura de jogadores de basquete Exemplos para praticar 1 Descreva se cada um dos seguintes cenários resultaria em dados qualitativos ou quantitativos aTempo necessário para um técnico terminar um projeto bNúmero de dias de permanência em um hospital para um paciente depois de cirurgia de ponte coronariana cNúmero médio de carros que passam por uma cabine de pedágio a cada dia dTipos das bebidas servidas em um restaurante eTamanho de uma haste usada em um projeto fCondição de uma casa à venda excelente boa razoável ruim gAltura de jogadores de basquete Exemplos para praticar 2 Dados de vendas Os dados que seguem descrevem as vendas em milhares de dólares para 16 vendedores selecionados aleatoriamente pelos Estados Unidos 10 8 15 12 17 7 20 19 22 25 16 15 18 250 300 12 Encontre para esses dados a média a mediana e a moda Em seguida avalie qual medida de posição seria mais adequada para descrever a tendência central dos salários desses indivíduos Exemplos para praticar Resposta da 2 ҧ𝑥 4785 ou 4785000 dólares 𝑀𝑑 1617 2 165 ou 1650000 dólares 𝑀𝑜 12 15 ou 1200000 e 1500000 Exemplos para praticar 3 Dados de GPA Elizabeth fez cinco cursos em um semestre com horascrédito de 5 4 3 3 e 2 As notas que ela recebeu nesses cursos no final do semestre foram 37 40 33 37 e 40 respectivamente Ache seu GPA Grade point average para aquele semestre utilizando Média Ponderada Obs GPA é uma métrica para medir desempenho universitário no exterior