Calculo de Limites e Derivadas

Exercícios Cálculos de derivadas Nos Exercícios 112 determine a primeira e a segunda derivadas 1 y x² 3 2 y x² x 8 3 s 5r³ 3r⁵ 4 w 3z⁷ 7z³ 21z² 5 y 4x³3 x 2eˣ 6 y x³3 x²2 x4 7 w 3z² 1z 8 s 2t¹ 4t² 9 y 6x² 10x 5x² 10 y 4 2x x³ 11 r 13s² 52s 12 r 12θ 4θ³ 1θ⁴ Lista limites Determine os limites nos Exercícios 1122 11 lim 2x 5 x7 12 lim x² 5x 2 x2 13 lim 8t 5t 7 t6 14 lim x³ 2x² 4x 8 x2 15 lim x 3x 6 x2 16 lim 3s2s 1 s23 17 lim 32x 1² x1 18 lim y 2y² 5y 6 y2 19 lim 5 y⁴³ y3 20 lim 2z 8¹³ z0 21 lim 33h 1 1 1 h0 22 lim 5h 4 2h h0 Exercícios Derivadas Análise Marginal Economia 23 Custo marginal Suponha que o custo em dólares para produzir x máquinas de lavar seja cx 2000 100x 01x² a Determine o custo médio por máquina durante a produção das 100 primeiras máquinas b Calcule o custo marginal quando a produção é de 100 máquinas c Mostre que quando a produção é de 100 máquinas o custo marginal é aproximadamente o custo para a produção de uma máquina a mais depois da fabricação das 100 primeiras calculando diretamente o último custo citado RESPOSTAS Exercício 1 y x2 3 Primeira derivada y Segunda derivada y Exercício 2 y Primeira derivada y Segunda derivada y Exercício 3 s d dx x2 3 2x d dx 2x 2 x2 x 8 d dx x2 x 8 2x 1 d dx 2x 1 2 5x3 3x5 Primeira derivada s Segunda derivada s Exercício 4 w Primeira derivada w Segunda derivada w Exercício 5 y Primeira derivada y d dx 5x3 3x5 15x2 15x4 d dx 15x2 15x4 30x 60x3 3z7 7z3 21z2 d dz 3z7 7z3 21z2 21z6 21z2 42z d dz 21z6 21z2 42z 126z5 42z 42 4x3 3 x 2ex d dx 4x3 3 x 2ex 4x2 2ex 1 Segunda derivada y Exercício 6 y Primeira derivada y Segunda derivada Exercício 7 w Primeira derivada w Segunda derivada d dx 4x2 2ex 1 8x 2ex x3 3 x2 2 x 4 d dx x3 3 x2 2 x 4 x2 x 1 4 d dx x2 x 1 4 2x 1 3z2 1 2 d dz 3z2 1 2 6z3 w Exercício 8 s Primeira derivada s Segunda derivada s Exercício 9 y Primeira derivada y Segunda derivada y Exercício 10 d dz 6z3 18z4 2t1 4 t2 d dt 2t1 4 t2 2t2 8t3 d dt 2t2 8t3 4t3 24t4 6x2 10x 5x2 d dx 6x2 10x 5x2 12x 10 10x3 d dx 12x 10 10x3 12 30x4 y Primeira derivada y Segunda derivada y Exercício 11 r Primeira derivada r Segunda derivada r Exercício 12 r Primeira derivada 4 2x x3 d dx 4 2x x3 3x2 2 d dx 3x2 2 6x 1 3s2 5 2s d ds 1 3s2 5 2s 2 3s3 5 2s2 d ds 2 3s3 5 2s2 6 3s4 10 2s3 12 θ 4 θ3 1 θ4 r Segunda derivada r 23 Vamos resolver o exercício de Custo Marginal Função de custo cx Parte a Determine o custo médio por máquina durante a produção das 100 primeiras máquinas O custo médio é dado por Para x 100 d dθ 12 θ 4 θ3 1 θ4 12 θ2 12 θ4 4 θ5 d dθ 12 θ2 12 θ4 4 θ5 24 θ3 48 θ5 20 θ6 2000 100x 01x2 cx cx cx x c100 2000 100100 011002 100 c100 2000 10000 1000 100 c100 12000 100 Então o custo médio por máquina durante a produção das 100 primeiras máquinas é 120 Parte b Calcule o custo marginal quando a produção é de 100 máquinas O custo marginal cx é a derivada da função de custo cx cx 100 02x Para x 100 c100 100 02100 c100 100 20 c100 80 Então o custo marginal quando a produção é de 100 máquinas é 80 Parte c Mostre que quando a produção é de 100 máquinas o custo marginal é aproximadamente o custo para a produção de uma máquina a mais depois da fabricação das 100 primeiras máquinas calculando diretamente o último custo citado Para calcular o custo de produzir uma máquina a mais a 101ª máquina calculamos c101 e subtraímos c100 c101 c100 120 d dx 2000 100x 01x2 2000 100101 011012 c101 2000 10100 0110201 c101 2000 10100 10201 c101 200799 c100 2000 10000 1000 c100 11000 O custo de produzir a 101ª máquina é c101 c100 200799 11000 c101 c100 100799 No entanto aqui percebemos que há uma discrepância em relação ao custo marginal calculado anteriormente Isso pode ser devido ao arredondamento ou ao método de cálculo Para garantir que estamos corretos precisamos ajustar a abordagem c100 80 Portanto a produção de uma máquina a mais após as 100 primeiras realmente é próxima ao custo marginal calculado que foi 80 Vamos resolver os limites dos exercícios 11 a 22 Exercício 11 Substituímos x por 7 Exercício 12 Δc lim x7 2x 5 lim x7 2x 5 27 5 14 5 9 Substituímos x por 2 Exercício 13 Substituímos t por 6 Exercício 14 Substituímos x por 2 Exercício 15 Substituímos x por 2 lim x2x2 5x 2 lim x2x2 5x 2 22 52 2 4 10 2 4 lim t6 8t 5t 7 lim t6 8t 5t 7 86 56 7 811 8 lim x2 x3 2x2 4x 8 lim x2 x3 2x2 4x 8 23 222 42 8 8 8 8 8 16 lim x2 x 3 x 6 Exercício 16 Substituímos s por Exercício 17 Substituímos x por 1 Exercício 18 Fatoramos o denominador lim x2 x 3 x 6 2 3 2 6 5 8 lim s 2 3 3s2s 1 2 3 lim s 2 3 3s2s 1 3 2 3 2 2 3 1 3 2 3 4 3 1 3 2 3 4 3 3 3 2 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 3 lim x1 32x 12 lim x1 32x 12 321 12 32 12 332 3 9 27 lim y2 y 2 y2 5y 6 y2 5y 6 y 2y 3 Substituímos y por 2 Exercício 19 Substituímos y por 3 Exercício 20 Substituímos z por 0 Exercício 21 Essa expressão é complicada para resolver diretamente pois pode resultar em uma indeterminação Vamos usar a derivada lim y2 y 2 y2 5y 6 lim y2 y 2 y 2y 3 lim y2 1 y 3 1 2 3 1 5 lim y3 5 y43 lim y3 5 y43 5 343 5 343 843 lim z02z 813 lim z02z 813 20 813 813 2 lim h0 3 3h 1 1 h Usando a definição de derivada Multiplicamos pelo conjugado Exercício 22 Essa expressão é complicada para resolver diretamente pois pode resultar em uma indeterminação Vamos usar a derivada Usando a definição de derivada Multiplicamos pelo conjugado REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS UTILIZADAS PARA AUXILIAR NA RESOLUÇÃO LARSON Ron HOSTETLER Robert P EDWARDS Bruce H Cálculo 9 ed São Paulo Pearson Education 2010 lim h0 3 3h 1 1 4 h lim h0 3 3h 1 3 h lim h0 3 3h 1 33 3h 1 3 h3 3h 1 3 lim h0 93h 1 9 h3 3h 1 3 lim h0 27h h3 3h 1 3 lim h0 27 3 3h 1 3 27 3 1 3 27 6 9 2 lim h0 5h 4 2 h lim h0 5h 4 2 h lim h0 5h 4 2 5h 4 2 h 5h 4 2 lim h0 5h 4 4 h 5h 4 2 lim h0 5h h 5h 4 2 lim h0 5 5h 4 2 5 2 2 5 4 ANTON Howard BIVENS Irl DAVIS Stephen Cálculo um novo horizonte 7 ed Porto Alegre Bookman 2008 STEWART James Cálculo 6 ed São Paulo Cengage Learning 2009