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Arquitetura e Urbanismo ·
Cálculo 4
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Questão 11 Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a x dydx y 4x b dydx x4 y c dydx 4xy x y1 6 1 Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 4𝑥 Resolução Organizando a EDO 𝑦 1 𝑥 𝑦 4 Uma EDO linear tem a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante de uma EDO linear é dado por 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Calculando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒1 𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒ln𝑥 Simplificando 𝜇𝑥 𝑥 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑥𝑦 𝑦 4𝑥 Usando a regra da cadeia 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 onde 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑓 1 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑥𝑦 4𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑥𝑦 4𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2𝑥2 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 2𝑥 𝑐1 𝑥 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥4 𝑦 Resolução Nessa equação nós temos uma EDO de variáveis separáveis Então precisamos juntar as variáveis com seus diferenciais e depois é só integrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥4 𝑦 Juntando as variáveis com seus diferenciais 𝑦 𝑑𝑦 𝑥4 𝑑𝑥 Integrando os dois lados 𝑦 𝑑𝑦 𝑥4 𝑑𝑥 𝑦2 2 𝑥5 5 𝑐1 Simplificando 𝑦2 2𝑥5 5 2𝑐1 Podemos simplificar mais uma vez 2𝑐1 𝑐2 𝑦2 2𝑥5 5 𝑐2 Por fim passando a potência de 𝑦 como uma raiz do outro lado ficamos com 𝑦 2𝑥5 5 𝑐2 Como nós temos uma raiz quadrada como solução precisamos considerar a parte negativa e a positiva Por isso o ou c 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4𝑥𝑦 𝑥 𝑦1 6 Resolução A EDO do enunciado é uma EDO linear 𝑦 4𝑥𝑦 𝑥 Sendo que uma EDO linear tem a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante de uma EDO linear é dado por 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Calculando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒 4𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒2𝑥2 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑒2𝑥2𝑦 𝑒2𝑥24𝑥𝑦 𝑥𝑒2𝑥2 Usando a regra da cadeia 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 onde 𝑓 𝑒2𝑥2 𝑔 𝑦 𝑓 𝑒2𝑥24𝑥 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑒2𝑥2𝑦 𝑥𝑒2𝑥2 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑒2𝑥2𝑦 𝑥𝑒2𝑥2 𝑑𝑥 Aplicando integração por substituição nós temos que 𝑢 2𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 4𝑥 𝑑𝑥 1 4𝑥 𝑑𝑢 Substituindo na integral 𝑒2𝑥2𝑦 𝑥𝑒𝑢 1 4𝑥𝑑𝑢 Simplificando 𝑒2𝑥2𝑦 1 4 𝑒𝑢 𝑑𝑢 Integrando 𝑒2𝑥2𝑦 1 4 𝑒𝑢 𝑐1 Voltando a substituição da integral 𝑒2𝑥2𝑦 1 4 𝑒2𝑥2 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 1 4 𝑒2𝑥2𝑐1 Agora que encontramos a solução da EDO nós podemos aplicar a condição inicial 𝑦1 6 6 1 4 𝑒212𝑐1 𝑐1𝑒2 6 1 4 𝑐1𝑒2 23 4 𝑐1 23𝑒2 4 Logo a solução da EDO na condição inicial é 𝑦 1 4 23𝑒22𝑥2 4
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Questão 11 Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a x dydx y 4x b dydx x4 y c dydx 4xy x y1 6 1 Determine resolvendo passo a passo cada equação diferencial nas alíneas a e b e na alínea c resolva a equação que satisfaça a condição inicial dada a 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑦 4𝑥 Resolução Organizando a EDO 𝑦 1 𝑥 𝑦 4 Uma EDO linear tem a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante de uma EDO linear é dado por 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Calculando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒1 𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒ln𝑥 Simplificando 𝜇𝑥 𝑥 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑥𝑦 𝑦 4𝑥 Usando a regra da cadeia 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 onde 𝑓 𝑥 𝑔 𝑦 𝑓 1 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑥𝑦 4𝑥 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑥𝑦 4𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑦 2𝑥2 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 2𝑥 𝑐1 𝑥 b 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥4 𝑦 Resolução Nessa equação nós temos uma EDO de variáveis separáveis Então precisamos juntar as variáveis com seus diferenciais e depois é só integrar 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥4 𝑦 Juntando as variáveis com seus diferenciais 𝑦 𝑑𝑦 𝑥4 𝑑𝑥 Integrando os dois lados 𝑦 𝑑𝑦 𝑥4 𝑑𝑥 𝑦2 2 𝑥5 5 𝑐1 Simplificando 𝑦2 2𝑥5 5 2𝑐1 Podemos simplificar mais uma vez 2𝑐1 𝑐2 𝑦2 2𝑥5 5 𝑐2 Por fim passando a potência de 𝑦 como uma raiz do outro lado ficamos com 𝑦 2𝑥5 5 𝑐2 Como nós temos uma raiz quadrada como solução precisamos considerar a parte negativa e a positiva Por isso o ou c 𝑑𝑦 𝑑𝑥 4𝑥𝑦 𝑥 𝑦1 6 Resolução A EDO do enunciado é uma EDO linear 𝑦 4𝑥𝑦 𝑥 Sendo que uma EDO linear tem a seguinte forma 𝑦𝑥 𝑝𝑥𝑦 𝑞𝑥 E o fator integrante de uma EDO linear é dado por 𝜇𝑥 𝑒𝑝𝑥𝑑𝑥 Calculando o fator integrante 𝜇𝑥 𝑒 4𝑥𝑑𝑥 𝜇𝑥 𝑒2𝑥2 Multiplicando todos os termos pelo fator integrante 𝑒2𝑥2𝑦 𝑒2𝑥24𝑥𝑦 𝑥𝑒2𝑥2 Usando a regra da cadeia 𝑓𝑔 𝑓𝑔 𝑓𝑔 onde 𝑓 𝑒2𝑥2 𝑔 𝑦 𝑓 𝑒2𝑥24𝑥 𝑔 𝑦 Aplicando a regra 𝑒2𝑥2𝑦 𝑥𝑒2𝑥2 Passando a derivada para o outro lado como uma integral 𝑒2𝑥2𝑦 𝑥𝑒2𝑥2 𝑑𝑥 Aplicando integração por substituição nós temos que 𝑢 2𝑥2 𝑑𝑢 𝑑𝑥 4𝑥 𝑑𝑥 1 4𝑥 𝑑𝑢 Substituindo na integral 𝑒2𝑥2𝑦 𝑥𝑒𝑢 1 4𝑥𝑑𝑢 Simplificando 𝑒2𝑥2𝑦 1 4 𝑒𝑢 𝑑𝑢 Integrando 𝑒2𝑥2𝑦 1 4 𝑒𝑢 𝑐1 Voltando a substituição da integral 𝑒2𝑥2𝑦 1 4 𝑒2𝑥2 𝑐1 Isolando 𝑦 𝑦 1 4 𝑒2𝑥2𝑐1 Agora que encontramos a solução da EDO nós podemos aplicar a condição inicial 𝑦1 6 6 1 4 𝑒212𝑐1 𝑐1𝑒2 6 1 4 𝑐1𝑒2 23 4 𝑐1 23𝑒2 4 Logo a solução da EDO na condição inicial é 𝑦 1 4 23𝑒22𝑥2 4