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Engenharia de Produção ·
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UNIVERSIDADE DE UBERABA CURSO DE ENGENHARIAS CÁLCULO DIFERENCIAL SEMANA 3 PRODUTOS NOTÁVEIS 11 Produtos Notáveis 111 Quadrado de um binômio a Quadrado da soma de dois termos 2 a b 2 2 2 2 2 2 b ab a b ab ab a b a b a b a O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo mais o quadrado do segundo termo 2 2 2 2 b ab a b a b Quadrado da diferença de dois termos 2 a b 2 2 2 2 2 2 b ab a b ab ab a b a b a b a O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo mais o quadrado do segundo termo 2 2 2 2 b ab a b a 112 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles b a b a 2 2 2 2 b a b ab ab a b a b a 2 2 b a b a b a 113 Cubo de um binômio a 2 2 2 2 3 b ab b a a b b a a b a 3 2 2 2 2 3 2 2 b ab a b ab a b a 3 2 2 3 3 3 b ab a b a 3 2 2 3 3 3 3 b ab a b a b a b 2 2 2 2 3 b ab b a a b b a a b a 3 2 2 2 2 3 2 2 b ab a b ab a b a 3 2 2 3 3 3 b ab a b a 3 2 2 3 3 3 3 b ab a b a b a EXEMPLOS a 2 2 2 5 5 2 5 x x a a x a 2 2 25 10 x ax a b 2 2 2 2 2 2 3 3 2 5 5 3 5 y y x x y x 2 2 4 9 30 25 y x y x c 3 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 y y x y x x y x 3 2 2 3 27 54 36 8 y xy x y x d 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 y y x y x x y x 3 2 2 3 8 12 6 y xy x y x EXERCICIOS 1 Aplicando a regra do quadrado da soma de dois termos calcule a x 4y ² b 2 2 1 3 b RESUMINDO a 2 2 a x a a x x b 2 2 2 2 a ax x a x c 3 2 2 3 3 3 3 a xa x a x a x d 2 2 2 2 a ax x a x e 3 2 2 3 3 3 3 a xa x a x a x c 2x³ 5 ² 2Aplicando a regra do quadrado da diferença de dois termos calcule a 𝑥 42 b 2𝑥𝑦 1 4 2 c 3a² 2b³² 3 Aplicando a regra do produto da soma pela diferença de dois termos calcule a y² 4a y² 4a b n m n m 3 1 3 1 c 2x² 3y5 2x² 3y5 4 Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes 2 2x2 3 2x2 2x 3 FATORAÇÃO 12 Fatorar uma expressão algébrica significa escrevêla na forma de um produto de expressões mais simples Realizar a fatoração de uma expressão significa de uma forma geral reescrever esta expressão na forma de um produto de dois ou mais termos Para nossos estudos de Cálculo Diferencial este tipo de operação será de extrema importância na simplificação de expressões para o cálculo de limites A seguir estão descritos alguns exemplos de fatorações importantes 121 Fator comum colocado em evidência Nas expressões onde há um termo comum podese colocar este termo em evidência reescrevendo a expressão como um produto de dois termos Exemplos a 4 3 3 8 x x x pode ser reescrita como 3 3 2 8 x x x b 2 3 3 12 15 x x x Todos os termos com múltiplos de 3x e dessa forma é possível reescrever a expressão como 2 3 4 5 x x x 122 Diferença de dois quadrados Expressões que apareçam na forma 2 2 a b podem ser reescritas como a b a b Exemplos a 2 25 5 5 y y y c 6 3 3 16 4 4 b b b b 1 49 2 1 7 1 7 x x x 123 AGRUPAMENTO ax ay bx by Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum ax ay bx by Colocar em evidência o fator comum de cada grupo ax y bx y Colocar o fator comum x y em evidência x y a b Este produto é a forma fatorada da expressão dada Fatorar é transformar em uma multiplicação 134 Trinômio do 2o Grau Desde que existam as raízes x e x da equação do segundo grau 2 0 ax bx c é possível reescrever expressões deste tipo na forma a x x x x ou seja Trinômio do tipo x2 Sx P Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P Exemplos a 2 2 16 30 x x pode ser reescrita na forma 2 3 5 x x b 2 6 16 x x pode ser reescrita como 1 8 2 x x ou resolver a equação do 2 grau 2 x x x a x c bx ax Raízes da equação x e x são obtidas de duas formas Pela fórmula de Báskhara a 2 b x onde o Δ discriminante é dado por Δ b2 4ac Ex1 2𝑥2 5𝑥 3 0 𝑎 2 𝑏 5 𝑐 3 49 3 2 4 5 4 2 2 ac b 𝑥 𝑏 𝛥 2𝑎 5 49 2 2 5 7 4 𝑥 57 4 2 4 1 2 e 𝑥 57 4 12 4 3 2𝑥2 5𝑥 3 2 𝑥 1 2 𝑥 3 2 𝑥 1 2 𝑥 3 125 Trinômio Do Quadrado Perfeito Trinômio Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio ela deverá conter exatamente 3 monômios Quadrado perfeito Um número é um exemplo de quadrado perfeito se ele for o resultado de outro número elevado ao quadrado por exemplo 36 é um quadrado per feito pois 62 36 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b ab a b a b ab a 126 Soma de Dois Cubos A expressão a3 b3 representa a soma de dois cubos Sua forma fatorada é a b a2 ab b2 Ex x3 8 x 2 x2 2x 4 127 Diferença de Dois Cubos A expressão a3 b3 representa a diferença de dois cubos Sua forma fatorada é a b a2 ab b2 Ex x3 27 x 3 x2 3x 9 EXERCICIOS 5Coloque os polinômios a seguir na forma fatorada a 6xy2 18x2y 12x3yz b 3ax 2ay 3bx 2by c 9 2 4 x d 25𝑏2 36𝑦8 e 1 14 49 2 x x f 2 2 25 20 4 b ab a g x2 13x 22 h x2 9x 20 6 Qual é a forma mais simples de escrever as frações algébricas a seguir a 3 ² ² 3 ² ² 3 3 y x y xy x y x b m n n m 2 2 8 ² 8 2
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UNIVERSIDADE DE UBERABA CURSO DE ENGENHARIAS CÁLCULO DIFERENCIAL SEMANA 3 PRODUTOS NOTÁVEIS 11 Produtos Notáveis 111 Quadrado de um binômio a Quadrado da soma de dois termos 2 a b 2 2 2 2 2 2 b ab a b ab ab a b a b a b a O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo mais o quadrado do segundo termo 2 2 2 2 b ab a b a b Quadrado da diferença de dois termos 2 a b 2 2 2 2 2 2 b ab a b ab ab a b a b a b a O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos duas vezes o produto do 1º pelo 2º termo mais o quadrado do segundo termo 2 2 2 2 b ab a b a 112 Produto da soma de dois termos pela diferença entre eles b a b a 2 2 2 2 b a b ab ab a b a b a 2 2 b a b a b a 113 Cubo de um binômio a 2 2 2 2 3 b ab b a a b b a a b a 3 2 2 2 2 3 2 2 b ab a b ab a b a 3 2 2 3 3 3 b ab a b a 3 2 2 3 3 3 3 b ab a b a b a b 2 2 2 2 3 b ab b a a b b a a b a 3 2 2 2 2 3 2 2 b ab a b ab a b a 3 2 2 3 3 3 b ab a b a 3 2 2 3 3 3 3 b ab a b a b a EXEMPLOS a 2 2 2 5 5 2 5 x x a a x a 2 2 25 10 x ax a b 2 2 2 2 2 2 3 3 2 5 5 3 5 y y x x y x 2 2 4 9 30 25 y x y x c 3 2 2 3 3 3 3 2 3 3 3 2 2 3 2 y y x y x x y x 3 2 2 3 27 54 36 8 y xy x y x d 3 2 2 3 3 2 2 3 2 3 2 y y x y x x y x 3 2 2 3 8 12 6 y xy x y x EXERCICIOS 1 Aplicando a regra do quadrado da soma de dois termos calcule a x 4y ² b 2 2 1 3 b RESUMINDO a 2 2 a x a a x x b 2 2 2 2 a ax x a x c 3 2 2 3 3 3 3 a xa x a x a x d 2 2 2 2 a ax x a x e 3 2 2 3 3 3 3 a xa x a x a x c 2x³ 5 ² 2Aplicando a regra do quadrado da diferença de dois termos calcule a 𝑥 42 b 2𝑥𝑦 1 4 2 c 3a² 2b³² 3 Aplicando a regra do produto da soma pela diferença de dois termos calcule a y² 4a y² 4a b n m n m 3 1 3 1 c 2x² 3y5 2x² 3y5 4 Desenvolva os produtos notáveis e reduza os termos semelhantes 2 2x2 3 2x2 2x 3 FATORAÇÃO 12 Fatorar uma expressão algébrica significa escrevêla na forma de um produto de expressões mais simples Realizar a fatoração de uma expressão significa de uma forma geral reescrever esta expressão na forma de um produto de dois ou mais termos Para nossos estudos de Cálculo Diferencial este tipo de operação será de extrema importância na simplificação de expressões para o cálculo de limites A seguir estão descritos alguns exemplos de fatorações importantes 121 Fator comum colocado em evidência Nas expressões onde há um termo comum podese colocar este termo em evidência reescrevendo a expressão como um produto de dois termos Exemplos a 4 3 3 8 x x x pode ser reescrita como 3 3 2 8 x x x b 2 3 3 12 15 x x x Todos os termos com múltiplos de 3x e dessa forma é possível reescrever a expressão como 2 3 4 5 x x x 122 Diferença de dois quadrados Expressões que apareçam na forma 2 2 a b podem ser reescritas como a b a b Exemplos a 2 25 5 5 y y y c 6 3 3 16 4 4 b b b b 1 49 2 1 7 1 7 x x x 123 AGRUPAMENTO ax ay bx by Agrupar os termos de modo que em cada grupo haja um fator comum ax ay bx by Colocar em evidência o fator comum de cada grupo ax y bx y Colocar o fator comum x y em evidência x y a b Este produto é a forma fatorada da expressão dada Fatorar é transformar em uma multiplicação 134 Trinômio do 2o Grau Desde que existam as raízes x e x da equação do segundo grau 2 0 ax bx c é possível reescrever expressões deste tipo na forma a x x x x ou seja Trinômio do tipo x2 Sx P Devemos procurar dois números a e b que tenham soma S e produto P Exemplos a 2 2 16 30 x x pode ser reescrita na forma 2 3 5 x x b 2 6 16 x x pode ser reescrita como 1 8 2 x x ou resolver a equação do 2 grau 2 x x x a x c bx ax Raízes da equação x e x são obtidas de duas formas Pela fórmula de Báskhara a 2 b x onde o Δ discriminante é dado por Δ b2 4ac Ex1 2𝑥2 5𝑥 3 0 𝑎 2 𝑏 5 𝑐 3 49 3 2 4 5 4 2 2 ac b 𝑥 𝑏 𝛥 2𝑎 5 49 2 2 5 7 4 𝑥 57 4 2 4 1 2 e 𝑥 57 4 12 4 3 2𝑥2 5𝑥 3 2 𝑥 1 2 𝑥 3 2 𝑥 1 2 𝑥 3 125 Trinômio Do Quadrado Perfeito Trinômio Para que uma expressão algébrica seja considerada um trinômio ela deverá conter exatamente 3 monômios Quadrado perfeito Um número é um exemplo de quadrado perfeito se ele for o resultado de outro número elevado ao quadrado por exemplo 36 é um quadrado per feito pois 62 36 2 2 2 2 2 2 2 2 b a b ab a b a b ab a 126 Soma de Dois Cubos A expressão a3 b3 representa a soma de dois cubos Sua forma fatorada é a b a2 ab b2 Ex x3 8 x 2 x2 2x 4 127 Diferença de Dois Cubos A expressão a3 b3 representa a diferença de dois cubos Sua forma fatorada é a b a2 ab b2 Ex x3 27 x 3 x2 3x 9 EXERCICIOS 5Coloque os polinômios a seguir na forma fatorada a 6xy2 18x2y 12x3yz b 3ax 2ay 3bx 2by c 9 2 4 x d 25𝑏2 36𝑦8 e 1 14 49 2 x x f 2 2 25 20 4 b ab a g x2 13x 22 h x2 9x 20 6 Qual é a forma mais simples de escrever as frações algébricas a seguir a 3 ² ² 3 ² ² 3 3 y x y xy x y x b m n n m 2 2 8 ² 8 2