Difração de Ondas Luminosas por uma Fenda Estreita

CAPÍTULO 36 Difração 361 DIFRAÇÃO POR UMA FENDA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3601 Descrever a difração de ondas luminosas por uma fenda estreita e um obstáculo e descrever as figuras de interferência resultantes 3602 Descrever o experimento que confirmou a existência do ponto claro de Fresnel 3603 Usar um desenho para descrever a difração por uma fenda 3604 Usar um desenho para explicar de que forma a divisão de uma fenda em várias partes permite obter a equação que fornece os ângulos dos mínimos da figura de difração 3605 Conhecer as relações entre a largura de uma fenda ou de um obstáculo o comprimento de onda da luz os ângulos dos mínimos da figura de difração a distância da tela de observação e a distância entre os mínimos e o centro da figura de difração 3606 Desenhar a figura de difração produzida por uma luz monocromática identificando o máximo central e algumas franjas claras e escuras como por exemplo o primeiro mínimo 3607 Saber o que acontece com a figura de difração quando o comprimento de onda da luz varia e quando a largura da fenda ou do obstáculo responsável pela difração varia IdeiasChave Quando as ondas encontram um obstáculo ou uma fenda de dimensões comparáveis com o comprimento de onda as ondas se espalham e sofrem interferência Esse tipo de interferência é chamado de difração Quando a luz passa por uma fenda estreita de largura a produz em uma tela de observação uma figura de difração de uma fenda que consiste em um máximo central franja clara e uma série de franjas claras laterais separadas por mínimos cujas posições angulares são dadas pela equação a sen θ mλ para m 1 2 3 mínimos em que θ é o ângulo do mínimo em relação ao eixo central e λ é o comprimento de onda da luz Os máximos estão situados aproximadamente a meio caminho entre os mínimos O que É Física Um dos objetivos da física no estudo da luz é compreender e utilizar a difração sofrida pela luz ao atravessar uma fenda estreita ou como veremos a seguir ao passar por um obstáculo Já mencionamos esse fenômeno no Capítulo 35 quando dissemos que um feixe luminoso se alarga ao passar por fendas no experimento de Young Acontece que a difração causada por uma fenda é um fenômeno mais complexo que um simples alargamento pois a luz também interfere consigo mesma produzindo uma figura de interferência É graças a complicações como essa que a luz pode ser usada em muitas aplicações Embora a difração da luz ao atravessar uma fenda ou passar por um obstáculo possa parecer uma questão puramente acadêmica muitos cientistas e engenheiros ganham a vida usando esse fenômeno para o qual existe um número incontável de aplicações Antes de discutir algumas dessas aplicações vamos examinar a relação entre a difração e a natureza ondulatória da luz Difração e a Teoria Ondulatória da Luz No Capítulo 35 definimos difração sem muito rigor como o alargamento sofrido por um feixe luminoso ao passar por uma fenda estreita Algo mais acontece porém já que a difração além de alargar um feixe luminoso produz uma figura de interferência conhecida como figura de difração Quando a luz monocromática de uma fonte distante ou de um laser passa por uma fenda estreita e é interceptada por uma tela de observação aparece na tela uma figura de difração como a mostrada na Fig 361 A figura é formada por um máximo central largo e intenso muito claro e uma série de máximos mais estreitos e menos intensos que são chamados de máximos secundários ou laterais dos dois lados do máximo central Os máximos são separados por mínimos A luz também chega a essas regiões mas as ondas luminosas se cancelam mutuamente Uma figura como essa não pode ser explicada pela ótica geométrica Se a luz viajasse em linha reta na forma de raios a fenda permitiria que alguns raios passassem e produzissem na tela uma imagem nítida da fenda de cor clara em lugar da série de franjas claras e escuras que vemos na Fig 361 Como no Capítulo 35 somos forçados a concluir que a ótica geométrica é apenas uma aproximação Obstáculos A difração da luz não está limitada a situações em que a luz passa por uma abertura estreita como uma fenda ou um orifício ela também acontece quando a luz encontra obstáculos como as bordas da lâmina de barbear da Fig 362 Observe as linhas de máxima e mínima iluminação aproximadamente paralelas tanto às bordas externas como às bordas internas Quando a luz passa digamos pela borda vertical da esquerda ela é espalhada para a direita e para a esquerda e sofre interferência produzindo franjas claras e escuras ao longo da borda A extremidade direita da figura de interferência está na verdade em uma região que ficaria na sombra da lâmina se a ótica geométrica prevalecesse Moscas Volantes Encontramos um exemplo simples de difração quando olhamos para um céu sem nuvens e vemos pequenos pontos e filamentos flutuando diante dos olhos Essas moscas volantes como são chamadas aparecem quando a luz passa por pequenos depósitos opacos existentes no humor vítreo a substância gelatinosa que ocupa a maior parte do globo ocular O que vemos quando uma mosca volante entra em nosso campo visual é a figura de difração produzida por um desses depósitos Quando olhamos para o céu através de um orifício feito em uma folha opaca de modo a tornar a luz que chega ao olho uma onda aproximadamente plana podemos ver claramente os máximos e mínimos da figura de difração Megafones A difração é um efeito ondulatório ou seja acontece porque a luz é uma onda e também é observada em outros tipos de onda Quando você fala para uma multidão por exemplo sua voz pode ser não ouvida porque as ondas sonoras sofrem uma difração ao passarem pela abertura estreita da boca espalhandose e reduzindo a intensidade do som que chega aos ouvintes que estão situados à sua frente Para combater a difração você pode utilizar um megafone Nesse caso as ondas sonoras emergem de uma abertura muito maior na extremidade do megafone Isso faz com que as ondas se espalhem menos e o som chegue aos ouvintes com maior intensidade Ken KayFundamental Photographs Figura 361 Esta figura de difração apareceu em uma tela de observação quando a luz que havia passado por uma fenda vertical estreita chegou à tela A difração fez com que o feixe luminoso se alargasse perpendicularmente à maior dimensão da fenda produzindo uma figura de interferência constituída por um máximo central e máximos secundários ou laterais menos intensos separados por mínimos Ken KayFundamental Photographs Figura 362 Figura de difração produzida por uma lâmina de barbear iluminada com luz monocromática Observe as linhas alternadamente claras e escuras paralelas às bordas da lâmina O Ponto Claro de Fresnel O fenômeno da difração é explicado facilmente pela teoria ondulatória da luz Essa teoria porém proposta originalmente por Huygens no final do século XVII e usada 123 anos mais tarde por Young para explicar o fenômeno na interferência nos experimentos de dupla fenda levou muito tempo para ser aceita pela maioria dos cientistas provavelmente porque não estava de acordo com a teoria de Newton de que a luz é feita de partículas A teoria de Newton dominava os círculos científicos franceses no início do século XIX época em que Augustin Fresnel era um jovem engenheiro militar Fresnel que acreditava na teoria ondulatória da luz submeteu um artigo à Academia Francesa de Ciências no qual descrevia seus experimentos com a luz e os explicava usando a teoria ondulatória Em 1819 a Academia dominada por partidários de Newton e disposta a provar que a teoria ondulatória estava errada promoveu um concurso no qual seria premiado o melhor trabalho sobre difração O vencedor foi Fresnel Os newtonianos porém não se deixaram convencer nem se calaram Um deles S D Poisson chamou atenção para o estranho fato de que se a teoria de Fresnel estivesse correta as ondas luminosas convergiriam para a sombra de uma esfera ao passarem pela borda do objeto produzindo um ponto luminoso no centro da sombra A comissão julgadora realizou um teste e descobriu Fig 363 que o ponto claro de Fresnel como é hoje chamado realmente existia Nada melhor para convencer os incrédulos de que uma teoria está correta do que a verificação experimental de uma previsão inesperada e aparentemente absurda Cortesia de Jearl Walker Figura 363 Fotografia da figura de difração produzida por um disco Observe os anéis de difração concêntricos e o ponto claro de Fresnel no centro Este experimento é praticamente igual ao que foi realizado pela comissão julgadora para testar a teoria de Fresnel pois tanto a esfera usada pela comissão como o disco usado para obter esta foto possuem uma seção reta com uma borda circular Difração por uma Fenda Posições dos Mínimos Vamos agora estudar a figura produzida por ondas luminosas planas de comprimento de onda λ ao serem difratadas por um anteparo B com uma fenda estreita e comprida de largura a como a que aparece na Fig 364 Na figura a dimensão maior da fenda é perpendicular ao papel e as frentes de onda da luz incidente são paralelas ao anteparo B Quando a luz difratada chega à tela de observação C ondas provenientes de diferentes pontos da fenda sofrem interferência e produzem na tela uma série de franjas claras e escuras máximos e mínimos de interferência Para determinar a posição das franjas vamos usar um método semelhante ao que empregamos para determinar a posição das franjas de interferência produzidas no experimento de dupla fenda No caso da difração as dificuldades matemáticas são bem maiores que no caso da dupla fenda de modo que obteremos apenas uma expressão para as franjas escuras Antes porém podemos justificar a franja clara central da Fig 361 observando que as ondas secundárias de Huygens provenientes de bordas opostas da fenda percorrem aproximadamente a mesma distância para chegar ao centro da figura e portanto estão em fase nessa região Quanto às outras franjas claras podemos dizer apenas que se encontram aproximadamente a meio caminho das franjas escuras mais próximas Pares Para determinar a posição das franjas escuras recorremos a um artifício engenhoso que consiste em dividir em pares todos os raios que passam pela fenda e descobrir as condições para que as ondas secundárias associadas aos raios de cada par se cancelem mutuamente Usamos essa estratégia na Fig 364 para determinar a posição da primeira franja escura ponto P1 Em primeiro lugar dividimos mentalmente a fenda em duas regiões de mesma largura a2 Em seguida estendemos até P1 um raio luminoso r1 proveniente da extremidade superior da região de cima e um raio luminoso r2 proveniente da extremidade superior da região de baixo Traçamos também um eixo central que passa pelo centro da fenda e é perpendicular à tela C a posição do ponto P1 pode ser definida pelo ângulo θ entre a reta que liga o centro da fenda ao ponto P1 e o eixo central Diferenças de Percurso As ondas secundárias associadas aos raios r1 e r2 estão em fase ao saírem da fenda porque pertencem à mesma frente de onda mas para produzirem a primeira franja escura devem estar defasadas de λ2 ao chegarem ao ponto P1 Essa diferença de fase se deve à diferença de percurso a distância é maior para o raio r2 que para o raio r1 Para determinar a diferença escolhemos um ponto b da trajetória do raio r2 tal que a distância de b a P1 seja igual à distância total percorrida pelo raio r1 Nesse caso a diferença entre as distâncias percorridas pelos dois raios é igual à distância entre b e o centro da fenda Quando a tela de observação C está próxima do anteparo B como na Fig 364 a figura de difração que aparece na tela C é difícil de descrever matematicamente Os cálculos se tornam muito mais simples quando a distância D entre a tela C e o anteparo B é muito maior que a largura a da fenda Nesse caso podemos supor que r1 e r2 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Fig 365 Podemos também supor que o triângulo formado pelo ponto b pela extremidade superior da fenda e pelo centro da fenda é um triângulo retângulo e que um dos ângulos internos do triângulo é θ A diferença entre as distâncias percorridas pelos raios r1 e r2 que nessa aproximação continua a ser a distância entre o centro da fenda e o ponto b é igual a a2 sen θ Figura 364 Os raios provenientes da extremidade superior de duas regiões de largura a2 sofrem interferência destrutiva no ponto P1 da tela de observação C Figura 365 Para D a podemos supor que os raios r1 e r2 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Figura 366 a Os raios provenientes da extremidade superior de quatro regiões de largura a4 sofrem interferência destrutiva no ponto P2 b Para D a podemos supor que os raios r1 r2 r3 e r4 são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Primeiro Mínimo Podemos repetir essa análise para qualquer outro par de raios que se originem em pontos correspondentes das duas regiões nos pontos médios das regiões por exemplo e terminem no ponto P1 Para todos esses raios a diferença entre as distâncias percorridas é a2 sen θ Fazendo essa diferença igual a λ2 a condição para que o ponto P1 pertença à primeira franja escura obtemos que nos dá Dados o comprimento de onda λ e a largura da fenda a a Eq 361 permite calcular o ângulo θ correspondente à primeira franja escura acima e por simetria abaixo do eixo central Estreitando a Fenda Observe que se começarmos com a λ e tornarmos a fenda cada vez mais estreita mantendo o comprimento de onda constante o ângulo para o qual aparece a primeira franja escura se tornará cada vez maior em outras palavras a difração espalhamento da luz é maior para fendas mais estreitas Quando a largura da fenda é igual ao comprimento de onda ou seja quando a λ o ângulo correspondente à primeira franja escura é 908 Como são as primeiras franjas escuras que delimitam a franja clara central isso significa que nessas condições toda a tela de observação é iluminada Segundo Mínimo A posição da segunda franja escura pode ser determinada da mesma forma exceto pelo fato de que agora dividimos a fenda em quatro regiões de mesma largura a4 como na Fig 366a Em seguida traçamos raios r1 r2 r3 e r4 da extremidade superior de cada uma dessas regiões até o ponto P2 onde está localizada a segunda franja escura acima do eixo central Para que essa franja seja produzida é preciso que as diferenças entre as distâncias percorridas pelos raios r1 e r2 r2 e r3 e r3 e r4 sejam iguais a λ2 Para D a podemos supor que os quatro raios são aproximadamente paralelos e fazem um ângulo θ com o eixo central Para determinar as diferenças entre as distâncias percorridas traçamos perpendiculares que vão da extremidade superior de cada região até o raio mais próximo como na Fig 366b formando assim triângulos retângulos para os quais um dos catetos é a diferença entre as distâncias percorridas por raios vizinhos No caso do triângulo de cima da Fig 366b a diferença entre as distâncias percorridas por r1 e r2 é a4 sen θ No caso do triângulo de baixo a diferença entre as distâncias percorridas por r3 e r4 também é a4 sen θ Na verdade a diferença entre as distâncias percorridas por dois raios vizinhos é sempre a4 sen θ Fazendo essa diferença igual a λ2 obtemos que nos dá Todos os Mínimos Se continuássemos a calcular as posições das franjas escuras dividindo a fenda em um número cada vez maior de regiões chegaríamos à conclusão de que as posições das franjas escuras acima e abaixo do eixo central são dadas pela seguinte equação geral Este resultado pode ser interpretado de outra forma Desenhe um triângulo como o da Fig 365 mas com a largura total a da fenda e observe que a diferença entre as distâncias percorridas pelos raios que partem das extremidades superior e inferior da fenda é a sen θ Assim de acordo com a Eq 363 temos Em um experimento de difração por uma fenda as franjas escuras correspondem às posições para as quais a diferença de percurso a sen θ entre os raios superior e inferior é igual a λ 2λ 3λ Isso pode parecer estranho já que as ondas dos dois raios estão em fase quando a diferença de percurso é igual a um número inteiro de comprimentos de onda Entretanto essas ondas pertencem a um par de ondas de fases opostas ou seja cada uma dessas ondas é cancelada por uma outra onda o que resulta em uma franja escura Duas ondas luminosas de fases opostas se cancelam mutuamente mesmo que estejam em fase com outras ondas Uso de uma Lente As Eqs 361 362 e 363 foram deduzidas para o caso em que D a Entretanto também são válidas se colocarmos uma lente convergente entre a fenda e a tela de observação e posicionarmos a tela no plano focal da lente Nesse caso a lente faz com que os raios que chegam a qualquer ponto da tela sejam exatamente e não aproximadamente paralelos ao deixarem a fenda Eles são como os raios inicialmente paralelos da Fig 3414a que são concentrados no foco por uma lente convergente Teste 1 Uma figura de difração é produzida em uma tela iluminando uma fenda longa e estreita com luz azul A figura se dilata os máximos e mínimos se afastam do centro ou se contrai os máximos e mínimos de aproximam do centro quando a substituímos a luz azul por uma luz amarela ou b quando diminuímos a largura da fenda Exemplo 3601 Figura de difração de uma fenda iluminada com luz branca Uma fenda de largura a é iluminada com luz branca a Para qual valor de a o primeiro mínimo para a luz vermelha com λ 650 nm aparece em θ 15 IDEIACHAVE A difração ocorre separadamente para cada comprimento de onda presente na luz que passa pela fenda com as localizações dos mínimos para cada comprimento de onda dadas pela Eq 363 a sen θ mλ Cálculo Fazendo m 1 na Eq 363 já que se trata do primeiro mínimo e usando os valores conhecidos de θ e λ obtemos O resultado mostra que para o espalhamento da luz incidente ser tão grande 15 até o primeiro mínimo é preciso que a fenda seja muito estreita da ordem de apenas quatro vezes o comprimento de onda Observe para efeito de comparação que um fio de cabelo humano tem cerca de 100 μm de diâmetro b Qual é o comprimento de onda λ da luz cujo primeiro máximo secundário está em 158 coincidindo assim com o primeiro mínimo para a luz vermelha IDEIACHAVE Para qualquer comprimento de onda o primeiro máximo secundário de difração fica aproximadamente1 a meio caminho entre o primeiro e o segundo mínimos Cálculos As posições do primeiro e do segundo mínimos são dadas pela Eq 363 com m 1 e m 2 respectivamente Isso significa que a posição aproximada do primeiro máximo secundário pode ser obtida fazendo m 15 na Eq 363 Assim temos a sen θ 15λ Explicitando λ e usando os valores conhecidos de a e θ obtemos Esse comprimento de onda corresponde a uma luz violeta que está no extremo azul do espectro visível perto do limite de sensibilidade do olho humano Como a razão λλ não depende de a o primeiro máximo secundário para uma luz com um comprimento de onda de 430 nm sempre coincide com o primeiro mínimo para uma luz com um comprimento de onda de 650 nm qualquer que seja a largura da fenda Por outro lado o ângulo θ para o qual são observados esse máximo e esse mínimo depende da largura da fenda Quanto mais estreita a fenda maior o valor de θ e viceversa 362 INTENSIDADE DA LUZ DIFRATADA POR UMA FENDA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3608 Dividir uma fenda em várias regiões de mesma largura e escrever uma expressão para a diferença de fase das ondas secundárias produzidas por regiões vizinhas em função da posição angular θ do ponto na tela de observação 3609 No caso da difração por uma fenda desenhar diagramas fasoriais para o máximo central e alguns dos máximos e mínimos laterais indicando a diferença de fase entre fasores vizinhos explicando como é calculado o campo elétrico e indicando a parte correspondente da figura de difração 3610 Descrever a figura de difração em termos do campo elétrico total em vários pontos da figura 3611 Calcular o valor de α um parâmetro que relaciona a posição angular θ de um ponto da figura de difração à intensidade I da luz nesse ponto 3612 Dado um ponto da figura de difração calcular a intensidade I da luz nesse ponto em termos da intensidade Im da luz no centro da figura de difração IdeiaChave A intensidade de um ponto da figura de difração especificado pelo ângulo θ é dada por em que Im é a intensidade da luz no centro da figura de difração e Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda Método Qualitativo No Módulo 361 vimos como encontrar as posições dos mínimos e máximos da figura de difração produzida por uma fenda Agora vamos examinar um problema mais geral como encontrar uma expressão para a intensidade I da luz difratada em função de θ a posição angular do ponto na tela de observação Para isso dividimos a fenda da Fig 364 em N regiões de largura Δx suficientemente estreitas para que possamos supor que cada região se comporta como uma fonte de ondas secundárias de Huygens Estamos interessados em combinar as ondas secundárias que chegam a um ponto arbitrário P na tela de observação definido por um ângulo θ em relação ao eixo central para determinar a amplitude Eθ da componente elétrica da onda resultante no ponto P A intensidade da luz no ponto P é proporcional ao quadrado de Eθ Para calcular Eθ precisamos conhecer as fases relativas das ondas secundárias A diferença de fase entre as ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas é dada por No caso do ponto P definido pelo ângulo θ a diferença de percurso das ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas é Δx sen θ a diferença de fase correspondente Δϕ é dada por Vamos supor que as ondas secundárias que chegam ao ponto P têm a mesma amplitude ΔE Uma forma de calcular a amplitude Eθ da onda resultante no ponto P é somar as ondas secundárias usando o método dos fasores Para isso construímos um diagrama de N fasores cada um correspondendo à onda secundária proveniente de uma das regiões da fenda Máximo Central No caso do ponto P0 em θ 0 situado no eixo central da Fig 364 a Eq 364 nos diz que a diferença de fase Δϕ entre as ondas secundárias é zero ou seja todas as ondas secundárias chegam em fase A Fig 367a mostra o diagrama fasorial correspondente os fasores vizinhos representam ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas e estão dispostos em linha Como a diferença de fase entre as ondas secundárias vizinhas é zero o ângulo entre fasores vizinhos também é zero A amplitude Eθ da onda total no ponto P0 é a soma vetorial desses fasores A disposição da Fig 36 7a é a que resulta no maior valor possível da amplitude Eθ Vamos chamar esse valor de Em em outras palavras Em é o valor de Eθ para θ 0 Figura 367 Diagramas fasoriais para N 18 fasores o que equivale a dividir uma fenda em 18 regiões As amplitudes Eθ resultantes são mostradas a para o máximo central em θ 0 b para um ponto na tela que corresponde a um pequeno ângulo θ com o eixo central c para o primeiro mínimo e d para o primeiro máximo secundário Considere em seguida um ponto P correspondente a um pequeno ângulo θ em relação ao eixo central Nesse caso de acordo com a Eq 364 a diferença Δϕ entre as fases de ondas secundárias provenientes de regiões vizinhas é diferente de zero A Fig 367b mostra o digrama fasorial correspondente como antes os fasores estão dispostos em sequência mas agora existe um ângulo Δϕ entre fasores vizinhos A amplitude Eθ no novo ponto ainda é a soma vetorial dos fasores mas é menor do que na Fig 367a o que significa que a intensidade luminosa é menor no novo ponto P que em P0 Primeiro Mínimo Se continuamos a aumentar θ o ângulo Δϕ entre fasores vizinhos aumenta até o ponto em que a cadeia de fasores dá uma volta completa Fig 367c Isso significa que a amplitude Eθ é zero a intensidade luminosa também é zero e chegamos ao primeiro mínimo ou primeira franja escura da figura de difração Nesse ponto a diferença de fase entre o primeiro e o último fasor é 2π rad portanto a diferença entre as distâncias percorridas pelos raios provenientes da extremidade superior e da extremidade inferior da fenda é igual a um comprimento de onda O leitor deve se lembrar de que essa foi exatamente a condição encontrada para a posição do primeiro mínimo Primeiro Máximo Lateral Se continuamos a aumentar θ o ângulo Δϕ entre os fasores vizinhos também aumenta e a cadeia de fasores dá mais de uma volta em torno de si mesma enquanto o raio da circunferência resultante diminui progressivamente A amplitude Eθ volta a aumentar até atingir um valor máximo para a disposição que aparece na Fig 367d que corresponde ao primeiro máximo lateral da figura de difração Segundo Mínimo Quando aumentamos θ ainda mais o raio da circunferência formada pelos fasores continua a diminuir o que significa que a intensidade luminosa também diminui A certa altura a cadeia de fasores completa duas voltas inteiras o que corresponde ao segundo mínimo de difração Poderíamos continuar usando esse método qualitativo para determinar os outros máximos e mínimos da figura de difração entretanto como o leitor já deve ter assimilado a ideia geral vamos passar a outro método menos gráfico e mais matemático Teste 2 As figuras representam de modo mais preciso com mais fasores que na Fig 367 os diagramas fasoriais para dois pontos de uma figura de difração que estão em lados opostos de um máximo de difração a Qual é esse máximo b Qual é o valor aproximado de m na Eq 363 que corresponde a esse máximo Determinação da Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda Método Quantitativo A Eq 363 pode ser usada para calcular a posição dos mínimos da figura de difração produzida por uma fenda em função do ângulo θ da Fig 364 Agora estamos interessados em obter uma expressão para a intensidade Iθ da figura de difração em função de θ Vamos demonstrar que a intensidade é dada por em O símbolo α é apenas um parâmetro conveniente para expressar a relação entre o ângulo θ que especifica a posição de um ponto na tela de observação e a intensidade luminosa Iθ nesse ponto Im é o valor máximo da intensidade que ocorre no máximo central ou seja para θ 0 ϕ é a diferença de fase em radianos entre os raios provenientes da extremidade superior e inferior da fenda e a é a largura da fenda De acordo com a Eq 365 os mínimos de intensidade ocorrem nos pontos em que Substituindo esse resultado na Eq 366 obtemos ou que é exatamente a Eq 363 a expressão que obtivemos anteriormente para a localização dos mínimos Gráficos A Fig 368 mostra os gráficos de intensidade da luz difratada por uma fenda calculados com o auxílio das Eqs 365 e 366 para três larguras diferentes da fenda a λ a 5λ e a 10λ Observe que a largura do máximo central diminui quando a largura da fenda aumenta ou seja os raios luminosos são menos espalhados pela fenda Os máximos secundários também ficam mais estreitos e diminuem de intensidade Quando a largura da fenda a é muito maior que o comprimento de onda λ os máximos secundários desaparecem e o fenômeno não pode mais ser considerado como difração por uma fenda embora ainda seja possível observar a difração produzida separadamente pelas duas bordas da fenda como acontece no caso da lâmina de barbear da Fig 362 Figura 368 Intensidade relativa da difração de uma fenda em função de θ para três valores da razão a λ Quanto mais larga é a fenda mais estreito é o máximo central Demonstração das Eqs 365 e 366 Para expressar a intensidade I da figura de difração em função do ângulo θ da Fig 364 dividimos a fenda em muitas regiões e somamos os fasores correspondentes a essas regiões como fizemos na Fig 36 7 O arco de fasores da Fig 369 representa as ondas secundárias que atingem um ponto arbitrário P da tela de observação da Fig 364 que corresponde a um certo ângulo θ A amplitude Eθ da onda resultante no ponto P é a soma vetorial desses fasores Quando dividimos a fenda da Fig 364 em regiões cada vez menores de largura Δx o arco de fasores da Fig 369 tende a um arco de circunferência vamos chamar de R o raio desse arco como está indicado na figura O comprimento do arco é Em a amplitude da onda no centro da figura de difração já que se o ângulo entre fasores sucessivos fosse zero como na Fig 36 7a ou como está indicado em tom mais claro na própria Fig 369 esse seria o valor da amplitude da onda resultante O ângulo ϕ que está indicado na parte inferior da Fig 369 é a diferença de fase entre os vetores infinitesimais situados das extremidades do arco Em De acordo com a geometria da figura ϕ também é o ângulo entre os raios assinalados como R na Fig 369 Nesse caso a reta tracejada da figura que é a bissetriz de ϕ divide o triângulo formado pelos dois raios e a reta Eθ em dois triângulos iguais Para cada um desses triângulos podemos escrever Em radianos ϕ é dado considerando Em um arco de circunferência por Explicitando R nessa equação e substituindo na Eq 369 obtemos Intensidade Vimos no Módulo 332 que a intensidade de uma onda eletromagnética é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico No caso que estamos examinando isso significa que a intensidade máxima Im que ocorre no centro da figura de difração é proporcional a E2 m e a intensidade Iθ no ponto correspondente ao ângulo θ é proporcional a E2 θ Assim podemos escrever Substituindo Eθ pelo seu valor dado pela Eq 3610 e fazendo α 12ϕ chegamos à seguinte expressão para a intensidade da onda em função de θ Esta é exatamente a Eq 365 uma das duas equações que nos propusemos a demonstrar A segunda equação que queremos demonstrar é a que relaciona α a θ A diferença de fase ϕ entre os raios que partem das extremidades superior e inferior da fenda pode ser relacionada à diferença de percurso pela Eq 364 segundo a qual em que a é a soma das larguras Δx de todas as regiões Como ϕ 2α essa equação é equivalente à Eq 366 Figura 369 Construção usada para calcular a intensidade da difração de uma fenda A situação representada corresponde à da Fig 367b Teste 3 Dois comprimentos de onda 650 e 430 nm são usados separadamente em um experimento de difração por uma fenda A figura mostra os resultados na forma de gráficos da intensidade I em função do ângulo θ para as duas figuras de difração Se os dois comprimentos de onda forem usados simultaneamente que cor será vista na figura de difração resultante a na posição correspondente ao ângulo A e b na posição correspondente ao ângulo B Exemplo 3602 Intensidades dos máximos de uma figura de difração de uma fenda Determine as intensidades dos três primeiros máximos secundários da figura de difração de uma fenda da Fig 361 expressas como porcentagens da intensidade do máximo central IDEIASCHAVE Os máximos secundários estão aproximadamente1 a meio caminho entre os mínimos cujas localizações são dadas pela Eq 367 α mπ As localizações dos máximos secundários são portanto dadas aproximadamente por em que α é medido em radianos Podemos relacionar a intensidade I em qualquer ponto da figura de difração à intensidade Im do máximo central pela Eq 365 Cálculos Substituindo os valores aproximados de α para os máximos secundários na Eq 365 obtemos O primeiro máximo secundário corresponde a m 1 e sua intensidade relativa é Para m 2 e m 3 obtemos Como mostram esses resultados a intensidade dos máximos secundários é muito menor que a do máximo principal a fotografia da Fig 361 foi deliberadamente superexposta para tornálos mais visíveis 363 DIFRAÇÃO POR UMA ABERTURA CIRCULAR Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3613 Descrever e desenhar a figura de difração produzida por uma abertura ou um obstáculo circular 3614 No caso da difração por uma abertura conhecer as relações entre o ângulo θ correspondente ao primeiro mínimo o comprimento de onda λ da luz o diâmetro d da abertura a distância D da tela de observação e a distância y entre o mínimo e o centro da figura de difração 3615 Explicar com base na difração de objetos pontuais o modo como a difração limita a resolução visual dos objetos 3616 Saber que o critério de Rayleigh é usado para determinar o menor ângulo para o qual dois objetos pontuais podem ser vistos como objetos separados 3617 Conhecer as relações entre o ângulo θR do critério de Rayleigh o comprimento de onda λ da luz o diâmetro d da abertura como por exemplo o diâmetro da pupila o ângulo θ subtendido por dois objetos pontuais distantes e a distância L desses objetos IdeiasChave A difração por uma abertura circular ou por uma lente produz um máximo central e máximos e mínimos concêntricos com o ângulo θ correspondente ao primeiro mínimo dado por De acordo com o critério de Rayleigh dois objetos estão no limite da resolução quando o máximo central de difração de um dos objetos coincide com o primeiro mínimo de difração do outro objeto Isso significa que para que os dois objetos sejam vistos como objetos distintos a separação angular entre eles não pode ser menor que em que λ é o comprimento de onda da luz e d é o diâmetro da abertura que a luz atravessa Difração por uma Abertura Circular Vamos discutir agora a difração produzida por uma abertura circular A Fig 3610 mostra a imagem formada pela luz de um laser depois de passar por uma abertura circular de diâmetro muito pequeno A imagem não é um ponto como prevê a ótica geométrica mas um disco luminoso cercado por anéis claros e escuros Comparando essa imagem com a da Fig 361 tornase óbvio que estamos diante de um fenômeno de difração Neste caso porém a abertura é um círculo de diâmetro d em vez de uma fenda retangular A análise do problema que é muito complexa e não será reproduzida aqui mostra que a posição do primeiro mínimo da figura de difração de uma abertura circular de diâmetro d é dada por θ é o ângulo entre o eixo central e a reta que liga o centro do anel à posição do mínimo Compare a Eq 3612 com a Eq 361 usada para calcular a posição do primeiro mínimo no caso de uma fenda de largura a A diferença está no fator 122 que aparece por causa da forma circular da abertura Cortesia de Jearl Walker Figura 3610 Figura de difração de uma abertura circular Observe o máximo central e os máximos secundários circulares A fotografia foi superexposta para tornar mais visíveis os máximos secundários que são muito menos intensos que o máximo central Resolução O fato de que as imagens produzidas por lentes são figuras de difração é importante quando estamos interessados em resolver distinguir dois objetos pontuais distantes cuja separação angular é pequena A Fig 3611 mostra em três casos diferentes o aspecto visual e o gráfico de intensidade correspondente de dois objetos pontuais distantes estrelas por exemplo com pequena separação angular Na Fig 3611a os objetos não podem ser resolvidos por causa da difração em outras palavras a superposição entre as figuras de difração dos dois objetos especialmente dos máximos centrais é tão grande que os dois objetos não podem ser distinguidos de um objeto único Na Fig 3611b os objetos mal podem ser distinguidos na Fig 3611c são vistos claramente como objetos distintos Cortesia de Jearl Walker Figura 3611 Na parte superior da figura imagens de duas fontes pontuais estrelas formadas por uma lente convergente Na parte inferior representações da intensidade das imagens Em a a separação angular das fontes é pequena demais para que as fontes possam ser distinguidas em b as fontes mal podem ser distinguidas em c as fontes podem ser perfeitamente distinguidas O critério de Rayleigh é satisfeito em b com o máximo de uma das figuras de difração coincidindo com o mínimo da outra Na Fig 3611b a separação angular das duas fontes pontuais é tal que o máximo central da figura de difração de uma das fontes coincide com o primeiro mínimo da figura de difração da outra uma situação conhecida como critério de Rayleigh para a resolução De acordo com a Eq 3612 dois objetos que mal podem ser distinguidos segundo esse critério têm uma separação angular θR dada por Como os ângulos são pequenos podemos substituir sen θR por θR expresso em radianos Visão Humana No caso da visão humana o critério de Rayleigh é apenas uma aproximação já que a resolução depende de muitos fatores como a intensidade relativa das fontes e suas vizinhanças da turbulência do ar entre as fontes e o observador e de certas peculiaridades do sistema visual do observador Os resultados experimentais mostram que a menor separação angular que pode ser resolvida por um ser humano é um pouco maior do que o valor dado pela Eq 3614 Mesmo assim em nossos cálculos teóricos vamos tomar a Eq 3614 como se fosse um critério preciso Se a separação angular θ entre as fontes for maior que θR vamos supor que podemos distinguilas se a separação for menor que esse valor vamos supor que as fontes não podem ser distinguidas Pontilhismo O critério de Rayleigh pode explicar o que acontece com as cores no estilo de pintura conhecido como pontilhismo Fig 3612 Nesse estilo uma pintura é formada não por pinceladas mas por pequenos pontos coloridos Um aspecto fascinante da pintura pontilhista é que as cores do quadro variam de forma sutil quase subconsciente com a distância do observador Essa mudança das cores tem a ver com a resolução do olho humano Quando examinamos o quadro bem de perto a separação angular θ entre pontos vizinhos é maior que θR e portanto os pontos podem ser vistos separadamente Nesse caso as cores que observamos são as cores usadas pelo pintor À distância normal por outro lado a separação angular θ entre pontos vizinhos é menor que θR e os pontos não podem ser distinguidos A mistura resultante obriga o cérebro a inventar uma cor para cada grupo de pontos cor essa que em muitos casos não corresponde a nenhuma das cores presentes Um pintor pontilhista usa portanto o sistema visual do espectador para criar as cores que deseja mostrar no quadro Maximilien Luce O Sena em Herblay 1890 Musée dOrsay Paris França Foto de Erich LessingArt Resource Figura 3612 A pintura pontilhista O Sena em Herblay de Maximilien Luce é formada por milhares de pontos coloridos Só podemos ver os pontos e as cores verdadeiras se examinarmos a pintura de perto quando observamos o quadro à distância normal os pontos não podem ser resolvidos e as cores se misturam Quando usamos uma lente para observar objetos cuja separação angular é pequena estamos interessados em tornar o ângulo θR o menor possível De acordo com a Eq 3614 existem duas formas de diminuir o valor de θR aumentar o diâmetro da lente e diminuir o comprimento de onda da luz utilizada É por essa razão que muitos microscópios utilizam luz ultravioleta cujo comprimento de onda é menor que o da luz visível Teste 4 Suponha que você mal consegue resolver dois pontos vermelhos por causa da difração produzida pela pupila Se a iluminação ambiente aumenta fazendo a pupila diminuir de diâmetro tornase mais fácil ou mais difícil distinguir os dois pontos Considere apenas o efeito da difração Faça a experiência para verificar se o seu raciocínio está correto Exemplo 3603 Pinturas pontilhistas e a difração da pupila A Fig 3613a é uma vista ampliada dos pontos coloridos de uma pintura pontilhista Suponha que a distância média entre os centros dos pontos é D 20 mm Suponha também que o diâmetro da pupila do olho do observador é d 15 mm e que a menor separação angular entre os pontos que o olho pode resolver é dada pelo critério de Rayleigh Qual é a menor distância de observação na qual os pontos não podem ser resolvidos para nenhuma cor IDEIACHAVE Considere dois pontos vizinhos que o observador é capaz de distinguir quando está próximo da pintura Ao se afastar da pintura o observador continua a distinguir os pontos até que a separação angular θ dos pontos seja igual ao ângulo dado pelo critério de Rayleigh Figura 3613 a Representação de alguns pontos de uma pintura pontilhista a distância média entre os centros dos pontos é igual a D b Diagrama mostrando a distância D entre dois pontos a separação angular θ e a distância de observação L Cálculos A Fig 3613b mostra em uma vista lateral a separação angular θ dos pontos a distância D entre os centros dos pontos e a distância L do observador Como a razão DL é pequena o ângulo θ também é pequeno e podemos usar a seguinte aproximação Fazendo θ da Eq 3616 igual a θR da Eq 3615 e explicitando L obtemos De acordo com a Eq 3617 quanto menor o valor de λ maior o valor de L Assim quando o observador se afasta da pintura os pontos vermelhos a cor de maior comprimento de onda se tornam indistinguíveis antes dos pontos azuis Para calcular a menor distância L na qual os pontos não podem ser resolvidos para nenhuma cor fazemos λ 400 nm menor comprimento da luz visível correspondente ao violeta Substituindo os valores conhecidos na Eq 3617 obtemos A essa distância ou a uma distância maior as cores dos pontos vizinhos se misturam a cor percebida em cada região do quadro é uma cor que pode não existir na pintura Exemplo 3604 O critério de Rayleigh para resolver dois objetos distantes Uma lente convergente circular de diâmetro d 32 mm e distância focal f 24 cm forma imagens de objetos pontuais distantes no plano focal da lente O comprimento de onda da luz utilizada é λ 550 nm a Considerando a difração introduzida pela lente qual deve ser a separação angular entre dois objetos pontuais distantes para que o critério de Rayleigh seja satisfeito IDEIACHAVE A Fig 3614 mostra dois objetos pontuais distantes P1 e P2 a lente e uma tela de observação no plano focal da lente A figura também mostra do lado direito gráficos da intensidade luminosa I em função da posição na tela para os máximos centrais das imagens formadas pela lente Observe que a separação angular θo dos objetos é igual à separação angular θi das imagens Assim para que as imagens satisfaçam ao critério de Rayleigh as separações angulares dos dois lados da lente devem ser dadas pela Eq 3614 supondo ângulos pequenos Cálculos Substituindo λ e d na Eq 3614 por valores numéricos temos Para essa separação angular o máximo central de cada uma das curvas de intensidade da Fig 3614 coincide com o primeiro mínimo da outra curva Figura 3614 A luz proveniente de dois objetos pontuais distantes P1 e P2 passa por uma lente convergente e forma imagens em uma tela de observação no plano focal da lente Apenas um raio representativo de cada objeto é mostrado na figura As imagens não são pontos e sim figuras de difração com intensidades como as representadas aproximadamente do lado direito b Qual é a separação Δx dos centros das imagens no plano focal Ou seja qual é a separação dos picos das duas curvas Cálculos Analisando o triângulo formado por um dos raios o eixo central e a tela na Fig 3614 vemos que tan θi2 Δx2f Explicitando Δx e supondo que o ângulo θ é suficientemente pequeno para que tan θ θ obtemos em que θi é medido em radianos Substituindo f e θi por valores numéricos obtemos 364 DIFRAÇÃO POR DUAS FENDAS Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3618 Explicar por que a difração introduzida pela fenda modifica a figura de interferência de dupla fenda e mostrar em uma figura de interferência de dupla fenda o pico central e os picos secundários da envoltória de difração 3619 Calcular a intensidade I da luz em um ponto de uma figura de difração de dupla fenda em relação à intensidade Im no centro da figura 3620 Na equação usada para calcular a intensidade da luz na figura de difração de dupla fenda identificar a parte que corresponde à interferência da luz que passa pelas duas fendas e a parte que corresponde à difração produzida pelas fendas 3621 No caso da difração por duas fendas conhecer a relação entre a razão entre a distância e a largura das fendas e a posição dos mínimos de difração na figura de difração de uma fenda e usar essa relação para determinar o número de máximos de interferência contidos no pico central e nos picos laterais da envoltória de difração IdeiasChave As ondas que passam por duas fendas produzem uma combinação de interferência de dupla fenda com difração por uma fenda No caso de fendas iguais de largura a cujos centros estão separados por uma distância d a intensidade da luz varia com o ângulo em relação ao eixo central de acordo com a equação em que Im é a intensidade no centro da figura e Difração por Duas Fendas Nos experimentos com duas fendas do Capítulo 35 supusemos implicitamente que as fendas eram muito mais estreitas que o comprimento de onda da luz utilizada ou seja que a λ No caso de fendas estreitas o máximo central da figura de difração de cada fenda cobre toda a tela de observação e a interferência da luz proveniente das duas fendas produz franjas claras praticamente com a mesma intensidade Fig 3512 Na prática a condição a λ nem sempre é satisfeita Quando as fendas são relativamente largas a interferência da luz proveniente das duas fendas produz franjas claras de diferentes intensidades Isso acontece porque a intensidade das franjas produzidas por interferência da forma descrita no Capítulo 35 é modificada pela difração sofrida pela luz ao passar pelas fendas da forma descrita neste capítulo Gráficos O gráfico de intensidade da Fig 3615a por exemplo mostra a figura de interferência produzida pela luz ao passar por duas fendas infinitamente estreitas caso em que a λ todas as franjas claras têm a mesma intensidade O gráfico da Fig 3615b mostra a figura de difração produzida por uma fenda isolada no caso em que aλ 5 a figura de difração apresenta um máximo central e máximos secundários menos intensos em 17 O gráfico da Fig 3615c mostra a figura de interferência produzida por duas fendas veja a Fig 3615b O gráfico foi construído utilizando a curva de difração da Fig 3615b como envoltória para a curva de interferência da Fig 3615a As posições das franjas permanecem as mesmas da Fig 3615a mas as intensidades são diferentes Fotografias A Fig 3616a mostra uma figura de interferência obtida experimentalmente na qual se podem ver claramente tanto os efeitos de interferência de duas fendas como os efeitos de difração Quando uma das fendas é obstruída a imagem passa a ser a da Fig 3616b Note a correspondência entre as Figs 3616a e 3615c e entre as Figs 3616b e 3615b Ao comparar as figuras convém observar que as fotografias da Fig 3616 foram deliberadamente superexpostas para tornar mais visíveis os máximos secundários e que as Figs 3616a e 3616b mostram vários máximos de difração secundários enquanto as Figs 3615b e 3615c mostram apenas um máximo de difração secundário Figura 3615 a Gráfico teórico da intensidade em um experimento de interferência com duas fendas infinitamente estreitas b Gráfico teórico da difração produzida por uma única fenda de largura a finita c Gráfico teórico da intensidade em um experimento com duas fendas de largura a finita A curva de b se comporta como uma envoltória modulando a intensidade das franjas de a Observe que os primeiros mínimos da curva de difração de b eliminam as franjas de a que estariam presentes nas vizinhanças de 12 em c Cortesia de Jearl Walker Figura 3616 a Franjas de interferência em um sistema real de duas fendas compare com a Fig 36 15c b Figura de difração de uma única fenda compare com a Fig 3615b Intensidade Levando em conta o efeito da difração a intensidade da figura de interferência de duas fendas é dada por em que 3620 e Nas Eqs 3620 e 3621 d é a distância entre os centros das fendas e a é a largura das fendas Observe que o lado direito da Eq 3619 é o produto de Im por dois fatores 1 O fator de interferência cos2 β associado à interferência da luz que passa pelas duas fendas dada pelas Eqs 3522 e 3523 2 O fator de difração sen αα2 associado à difração causada pelas fendas dada pelas Eqs 365 e 36 6 Vamos examinar esses fatores mais de perto Se fizermos a 0 na Eq 3621 α 0 e sen αα 1 Nesse caso a Eq 3619 se reduz como era de se esperar a uma equação que descreve a figura de interferência produzida por duas fendas infinitamente estreitas e separadas por uma distância d Por outro lado se fizermos d 0 na Eq 3620 é como se combinássemos as duas fendas para formar uma única 1 2 fenda de largura a Nesse caso β 0 cos2 β 1 e a Eq 3619 se reduz como era de se esperar a uma equação que descreve a figura de difração de uma única fenda de largura a Terminologia A figura de interferência de duas fendas descrita pela Eq 3619 e mostrada na Fig 3616a combina os efeitos de interferência e difração Ambos são efeitos de superposição já que resultam da combinação no mesmo ponto de ondas com diferentes fases Quando as ondas se originam em um pequeno número de fontes coerentes como no experimento de dupla fenda com a λ o processo é chamado de interferência Quando as ondas se originam na mesma frente de onda como no experimento com uma única fenda o processo é chamado de difração Essa distinção entre interferência e difração que é um tanto arbitrária e nem sempre é respeitada pode ser conveniente mas não devemos esquecer que ambas resultam de efeitos de superposição e quase sempre estão presentes simultaneamente como na Fig 3616a Exemplo 3605 Experimento de dupla fenda levando em conta os efeitos de difração Em um experimento de dupla fenda o comprimento de onda λ da luz incidente é 405 nm a distância d entre as fendas é 1944 μm e a largura a das fendas é 4050 μm Considere a interferência da luz que passa pelas duas fendas e também a difração da luz em cada fenda a Quantas franjas claras podem ser observadas no pico central da envoltória de difração IDEIASCHAVE Em primeiro lugar vamos analisar os dois mecanismos básicos responsáveis pela produção da imagem Difração nas fendas Os limites do pico central são os primeiros mínimos da figura de difração produzida isoladamente por uma das fendas veja a Fig 3615 A posição desses mínimos é dada pela Eq 363 a sen θ mλ Vamos escrever essa equação na forma a sen θ m1λ em que o índice 1 mostra que se trata de difração por uma fenda Para obter a localização dos primeiros mínimos fazemos m1 1 o que nos dá Interferência de duas fendas A posição das franjas claras em uma figura de interferência de duas fendas é dada pela Eq 35 14 que podemos escrever na forma O índice 2 mostra que se trata de interferência de duas fendas Cálculos Podemos determinar a posição do primeiro mínimo de difração dentro da figura de interferência de duas fendas dividindo a Eq 3623 pela Eq 3622 e explicitando m2 Fazendo isso e substituindo d e a por valores numéricos obtemos De acordo com esse resultado a franja clara de interferência com m2 4 pertence ao pico central da figura de difração de uma fenda mas o mesmo não acontece com a franja clara com m2 5 O pico central de difração inclui a franja de interferência central m2 0 e quatro franjas secundárias até m2 4 de cada lado Assim o pico central da figura de difração contém nove franjas de interferência As franjas claras de um lado da franja central aparecem na Fig 3617 Figura 3617 Metade do gráfico de intensidade em um experimento de interferência de duas fendas a envoltória de difração está indicada por uma linha pontilhada A curva menor mostra com a escala vertical expandida o gráfico de intensidade para os dois primeiros picos secundários da envoltória de difração b Quantas franjas claras podem ser observadas em um dos dois primeiros máximos secundários da figura de difração IDEIACHAVE Os limites externos dos primeiros máximos secundários são os segundos mínimos de difração que correspondem às soluções da equação a sen θ m1λ com m1 2 Cálculo Dividindo a Eq 3623 pela Eq 3624 obtemos De acordo com esse resultado o segundo mínimo de difração ocorre pouco antes de aparecer a franja clara de interferência com m2 10 na Eq 3623 Dentro de um dos dois primeiros máximos secundários de difração temos as franjas de interferência correspondentes a m2 5 até m2 9 ou seja um total de cinco franjas claras veja a Fig 3617 Entretanto se descartarmos a franja correspondente a m2 5 que é praticamente eliminada pelo primeiro mínimo de difração teremos apenas quatro franjas claras em cada primeiro máximo secundário de difração 365 REDES DE DIFRAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3622 Descrever uma rede de difração e desenhar a figura de interferência produzida por uma rede de difração com luz monocromática 3623 Conhecer a diferença entre as figuras de interferência produzidas por uma rede de difração e por um arranjo de duas fendas 3624 Saber o que significam os termos linha e número de ordem 3625 Conhecer a relação entre o número de ordem de uma rede de difração e a diferença de percurso entre os raios responsáveis por uma linha 3626 Conhecer a relação entre a distância d entre as fendas de uma rede de difração o ângulo θ correspondente e uma linha o número de ordem m da linha e o comprimento de onda λ da luz 3627 Saber a razão pela qual existe um número de ordem máximo para qualquer rede de difração 3628 Demonstrar a equação usada para calcular a meia largura da linha central da figura de interferência produzida por uma rede de difração 3629 Conhecer a equação usada para calcular a meia largura das linhas laterais da figura de interferência produzida por uma rede de difração 3630 Saber qual é a vantagem de aumentar o número de fendas de uma rede de difração 3631 Explicar como funciona um espectroscópio de rede de difração IdeiaChave Uma rede de difração é uma série de fendas usadas para separar uma onda incidente nos comprimentos de onda que a compõem A posição angular dos máximos produzidos por uma rede de difração conhecidos como linhas é dada por d sen θ mλ para m 0 1 2 máximos A meia largura de uma linha é o ângulo entre o centro da linha e o primeiro mínimo de intensidade e é dada por Redes de Difração Um dos dispositivos mais usados para estudar a luz e os objetos que emitem e absorvem luz é a rede de difração um arranjo semelhante ao do experimento de dupla fenda Fig 3510 exceto pelo fato de que o número de fendas também chamadas de ranhuras pode chegar a milhares por milímetro A Fig 3618 mostra uma rede de difração simplificada constituída por apenas cinco fendas Quando as fendas são iluminadas com luz monocromática aparecem franjas de interferência cuja análise permite determinar o comprimento de onda da luz As redes de difração também podem ser superfícies opacas com sulcos paralelos dispostos como as fendas da Fig 3618 Nesse caso a luz é espalhada pelos sulcos para formar as franjas de interferência Curva de Intensidade Quando fazemos incidir um feixe de luz monocromática em uma rede de difração e aumentamos gradualmente o número de fendas de dois para um número grande N a curva de intensidade muda da figura de interferência típica de um experimento de dupla fenda como a da Fig 36 15c para uma figura muito mais complexa e depois para uma figura simples como a que aparece na Fig 3619a A Fig 3619b mostra por exemplo a imagem observada em um anteparo quando a rede é iluminada com luz vermelha monocromática produzida por um laser de hélioneônio Os máximos nesse caso são muito estreitos por isso recebem o nome de linhas e estão separados por regiões escuras relativamente largas Figura 3618 Rede de difração simplificada com apenas cinco fendas que produz uma figura de interferência em uma tela de observação distante Figura 3619 a A curva de intensidade produzida por uma rede de difração com muitas ranhuras é constituída por picos estreitos que aqui aparecem rotulados pelos números de ordem m b As franjas claras correspondentes vistas em uma tela são chamadas de linhas e também foram rotuladas pelo número de ordem m Figura 3620 Os raios que vão das ranhuras de uma rede de difração até um ponto distante P são aproximadamente paralelos A diferença de percurso entre raios vizinhos é d sen θ em que θ é o ângulo indicado na figura As ranhuras se estendem para dentro e para fora do papel Equação Para determinar as posições das linhas na tela de observação supomos que a tela está suficientemente afastada da rede para que os raios que chegam a um ponto P da tela sejam aproximadamente paralelos ao deixarem a rede de difração Fig 3620 Em seguida aplicamos a cada par de ranhuras vizinhas o mesmo raciocínio que usamos no caso da interferência causada por duas fendas A distância d entre ranhuras vizinhas é chamada de espaçamento da rede Se N ranhuras ocupam uma largura total w então d wN A diferença entre as distâncias percorridas por raios vizinhos é d sen θ Fig 3620 em que θ é o ângulo entre o eixo central da rede e a reta que liga a rede ao ponto P Haverá uma linha em P se a diferença entre as distâncias percorridas por raios vizinhos for igual a um número inteiro de comprimentos de onda ou seja se em que λ é o comprimento de onda da luz A cada número inteiro m exceto m 0 correspondem duas linhas diferentes simetricamente dispostas em relação à linha central assim as linhas podem ser rotuladas de acordo com o valor de m como na Fig 3619 Esse valor é chamado de número de ordem e as linhas correspondentes são chamadas de linha de ordem zero a linha central para a qual m 0 linhas de primeira ordem linhas de segunda ordem e assim por diante Cálculo do Comprimento de Onda Escrevendo a Eq 3625 na forma θ sen1mλd vemos que para uma dada rede de difração o ângulo entre o eixo central e qualquer linha as linhas de terceira ordem digamos depende do comprimento de onda da radiação utilizada Assim quando a rede é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é desconhecido a medida da posição das linhas pode ser usada para determinar o comprimento de onda bastando para isso aplicar a Eq 3625 Até mesmo uma luz que contém uma mistura de vários comprimentos de onda pode ser analisada desta forma Não podemos fazer a mesma coisa com apenas duas fendas porque nesse caso as franjas claras são tão largas que as figuras produzidas por comprimentos de onda diferentes se superpõem e não podem ser distinguidas Figura 3621 A meia largura de linha Δθml da linha central é medida entre o centro da linha e o mínimo mais próximo em um gráfico de I em função de θ como o da Fig 3619a Largura das Linhas A capacidade de uma rede de difração de resolver separar linhas de diferentes comprimentos de onda depende da largura das linhas Vamos agora obter uma expressão para a meia largura da linha central a linha correspondente a m 0 e apresentar sem demonstração uma expressão para a meia largura das outras linhas A meia largura da linha central é definida como o ângulo Δθml entre o centro da linha θ 0 e o primeiro mínimo de intensidade Fig 3621 Nesse mínimo os N raios provenientes das N ranhuras da rede se cancelam mutuamente Naturalmente a largura de linha da linha central é igual a 2Dθml mas as larguras de linha são quase sempre medidas em termos da meia largura No Módulo 361 também examinamos a questão do cancelamento de muitos raios os raios produzidos pela difração da luz ao passar por uma fenda isolada Obtivemos a Eq 363 que devido à semelhança entre as duas situações podemos usar agora para determinar a posição do primeiro mínimo De acordo com a Eq 363 o primeiro mínimo ocorre no ponto em que a diferença entre as distâncias percorridas pelo raio superior e pelo raio inferior é igual a λ No caso da difração por uma fenda essa diferença é a sen θ Para uma rede com N ranhuras cada uma separada da ranhura vizinha por uma distância d a distância entre as ranhuras situadas nas extremidades da rede é Nd Fig 3622 e portanto a diferença de percurso entre os raios que partem das extremidades da rede é Nd sen Δθml Assim o primeiro mínimo acontece para Como Δθml é pequena sen Δθml Δθml em radianos Fazendo esta aproximação na Eq 3626 obtemos a seguinte equação para a meia largura da linha central Figura 3622 As ranhuras das extremidades superior e inferior de uma rede de difração com N ranhuras estão separadas por uma distância Nd A diferença de percurso entre os raios que passam por essas ranhuras é Nd sen Δθml em que Δθml é o ângulo correspondente ao primeiro mínimo O ângulo aparece aqui grandemente exagerado para tornar o desenho mais claro Figura 3623 Um tipo simples de espectroscópio de difração usado para analisar os comprimentos de onda emitidos pela fonte S Vamos apresentar sem demonstração1 uma equação para a meia largura das outras linhas em função do ângulo θ que define a posição da linha Observe que para uma luz de um dado comprimento de onda λ e uma rede de difração com um dado espaçamento d entre as ranhuras a largura das linhas é inversamente proporcional ao número N de ranhuras Assim no caso de duas redes de difração com a mesma distância entre as ranhuras a que possui maior número de ranhuras permite separar melhor os diferentes comprimentos de onda da radiação incidente já que as linhas de difração são mais estreitas e portanto existe menos superposição O Espectroscópio de Rede de Difração As redes de difração são usadas para determinar os comprimentos de onda emitidos por fontes luminosas de todos os tipos de lâmpadas a estrelas A Fig 3623 mostra um espectroscópio simples baseado em uma rede de difração A luz da fonte S é focalizada pela lente L1 em uma fenda S1 que está no plano focal da lente L2 A luz que emerge do tubo C conhecido como colimador é uma onda plana que incide perpendicularmente na rede G onde é difratada produzindo uma figura de difração simétrica em relação ao eixo do colimador Podemos observar a linha de difração que apareceria em uma tela em um dado ângulo θ simplesmente orientando o telescópio T da Fig 3623 para o mesmo ângulo Nesse caso a lente L3 do telescópio focaliza a luz difratada com o ângulo θ e ângulos ligeiramente menores e maiores no plano focal FF9 situado no interior do telescópio Quando observamos esse plano focal através da ocular E vemos uma imagem ampliada da linha de difração Mudando o ângulo θ do telescópio podemos observar toda a figura de difração Para qualquer número de ordem exceto m 0 o ângulo de difração varia de acordo com o comprimento de onda ou cor de modo que podemos determinar com o auxílio da Eq 3625 quais são os comprimentos de onda emitidos pela fonte Se a fonte está emitindo comprimentos de onda discretos o que vemos ao fazer girar o telescópio horizontalmente passando pelos ângulos correspondentes a uma ordem m são linhas verticais de diferentes cores uma para cada comprimento de onda emitido pela fonte com os comprimentos de onda menores associados a ângulos θ menores que os comprimentos de onda maiores Hidrogênio Assim por exemplo a luz emitida por uma lâmpada de hidrogênio que contém hidrogênio gasoso emite radiação com quatro comprimentos de onda diferentes na faixa da luz visível Quando nossos olhos interceptam diretamente essa radiação temos a impressão de que se trata de luz branca Quando observamos a mesma luz através de um espectroscópio de rede de difração podemos distinguir em várias ordens as linhas das quatro cores correspondentes aos comprimentos de onda emitidos pelo hidrogênio na faixa da luz visível Essas linhas são chamadas de linhas de emissão Quatro ordens são mostradas na Fig 3624 Na ordem central m 0 as linhas correspondentes aos quatro comprimentos de onda estão superpostas dando origem a uma única linha branca em θ 0 Nas outras ordens as cores estão separadas Figura 3624 Linhas de emissão de ordem zero um dois e quatro do hidrogênio na faixa da luz visível Observe que as linhas são mais afastadas para grandes ângulos São também mais largas e menos intensas embora isso não seja mostrado na figura Department of Physics Imperial CollegeScience Photo LibraryPhoto Researchers Inc Figura 3625 Linhas de emissão do cádmio na faixa da luz visível observadas através de um espectroscópio de rede de difração A terceira ordem não foi mostrada na Fig 3624 para não complicar o desenho já que se mistura com a segunda e quarta ordens A linha vermelha da quarta ordem está faltando porque não é gerada pela rede de difração usada para produzir as linhas da Fig 3624 Quando tentamos resolver a Eq 3625 para obter o ângulo θ correspondente ao comprimento de onda da luz vermelha para m 4 obtemos um valor de sen θ maior que a unidade o que não tem significado físico Nesse caso dizemos que a quarta ordem está incompleta para essa rede de difração pode não estar incompleta para uma rede de difração com um maior espaçamento d entre as ranhuras que espalharia menos as linhas que na Fig 3624 A Fig 3625 é uma fotografia das linhas de emissão produzidas pelo cádmio na faixa da luz visível Teste 5 A figura mostra linhas de diferentes ordens produzidas por uma rede de difração iluminada com luz vermelha monocromática a A linha correspondente a m 0 é a do lado esquerdo ou a do lado direito b Se a rede for iluminada com luz verde monocromática as larguras das linhas correspondentes às mesmas ordens serão maiores menores ou iguais às larguras das linhas que aparecem na figura 366 DISPERSÃO E RESOLUÇÃO DAS REDES DE DIFRAÇÃO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3632 Saber que dispersão é o espalhamento das linhas de difração associadas a diferentes comprimentos de onda 3633 Conhecer as relações entre a dispersão D a diferença de comprimentos de onda Δλ a separação angular Δθ a distância d entre as ranhuras o número de ordem m e o ângulo θ correspondente ao número de ordem 3634 Conhecer o efeito da distância entre as ranhuras sobre a dispersão de uma rede de difração 3635 Saber que as linhas só podem ser resolvidas se forem suficientemente estreitas 3636 Conhecer a relação entre a resolução R a diferença de comprimentos de onda Δλ o comprimento de onda médio λméd o número N de ranhuras e o número de ordem m 3637 Conhecer o efeito do número de ranhuras sobre a resolução de uma rede de difração IdeiasChave A dispersão D de uma rede de difração é uma medida da separação angular Δθ que a rede de dispersão produz no caso de dois comprimentos de onda cuja diferença é Δθ A dispersão é dada pela expressão em que m é o número de ordem e θ é o ângulo correspondente A resolução R de uma rede de difração é uma medida da capacidade da rede de difração de permitir que comprimentos de onda próximos sejam observados separadamente No caso de dois comprimentos de onda cuja diferença é Δλ e cujo comprimento de onda médio é λméd a resolução é dada por Dispersão e Resolução de uma Rede de Difração Dispersão Para poder separar comprimentos de onda próximos como é feito nos espectroscópios uma rede de difração deve ser capaz de espalhar as linhas de difração associadas aos vários comprimentos de onda Esse espalhamento conhecido como dispersão é definido pela equação em que Δθ é a separação angular de duas linhas cujos comprimentos de onda diferem de Δλ Quanto maior o valor de D maior a distância entre duas linhas de emissão cujos comprimentos de onda diferem de Δλ Vamos demonstrar daqui a pouco que a dispersão de uma rede de difração para um ângulo θ é dada por Assim para conseguir uma grande dispersão devemos usar uma rede de difração com um pequeno espaçamento d entre as ranhuras e trabalhar com grandes valores de m Observe que a dispersão não depende do número N de ranhuras da rede A unidade de dispersão do SI é o grau por metro ou o radiano por metro Kristen BrochmannFundamental Photographs As ranhuras de um CD com 05 μm de largura se comportam como uma rede de difração Quando o CD é iluminado com luz branca a luz difratada forma faixas coloridas que representam as figuras de difração associadas aos diferentes comprimentos de onda da luz incidente Resolução Para que seja possível resolver linhas cujos comprimentos de onda são muito próximos isto é para que seja possível distinguilas é preciso que as linhas sejam suficientemente estreitas Em outras palavras a rede de difração deve ter uma alta resolução R definida pela equação em que λméd é a média dos comprimentos de onda de duas linhas que mal podem ser distinguidas e Δλ é a diferença entre os comprimentos de onda das duas linhas Quanto maior o valor de R mais próximas podem estar duas linhas sem que se torne impossível distinguilas Vamos demonstrar daqui a pouco que a resolução de uma rede de difração é dada por Assim para conseguir uma grande resolução devemos usar um grande número N de ranhuras e trabalhar com grandes valores de m Demonstração da Eq 3630 Começamos com a Eq 3625 que permite calcular a posição das linhas na figura de difração de uma rede d sen θ mλ Vamos considerar θ e λ como variáveis e diferenciar ambos os membros da equação O resultado é o seguinte d cos θdθ mdλ Para pequenos ângulos os infinitésimos podem ser substituídos por diferenças finitas o que nos dá ou Como a razão do lado esquerdo é por definição igual a D veja a Eq 3629 acabamos de demonstrar a Eq 3630 Tabela 361 Parâmetros de Três Redes de Difraçãoa Rede N d nm θ D μm R A 10 000 2540 134 232 10 000 B 20 000 2540 134 232 20 000 C 10 000 1360 255 463 10 000 aOs dados são para λ 589 nm e m 1 Demonstração da Eq 3632 Começamos com a Eq 3633 que foi obtida a partir da Eq 3625 a expressão para a posição das linhas na figura de difração de uma rede Na Eq 3633 Δλ é a pequena diferença de comprimentos de onda entre duas ondas difratadas por uma rede e Δθ é a separação angular das linhas correspondentes Para que Δθ seja o menor ângulo que permite distinguir as duas linhas é preciso de acordo com o critério de Rayleigh que Δθ seja igual à meia largura de uma das linhas que é dada pela Eq 3628 Fazendo Δθ igual a esse valor de Δθml na Eq 3633 obtemos que nos dá que é a Eq 3632 que nos propusemos a demonstrar Figura 3626 Gráficos de intensidade observados quando uma luz com dois comprimentos de onda é usada para iluminar as redes de difração cujas propriedades aparecem na Tabela 361 A rede de maior resolução é a rede B e a de maior dispersão é a rede C Comparação entre Dispersão e Resolução A resolução de uma rede de difração não deve ser confundida com a dispersão A Tabela 361 mostra as características de três redes todas iluminadas com luz de comprimento de onda λ 589 nm cuja luz difratada é observada em primeira ordem m 1 na Eq 3625 O leitor pode verificar que os valores de D e R que aparecem na tabela são os obtidos com o auxílio das Eqs 3630 e 3632 respectivamente Para calcular D é preciso converter radianos por metro para graus por micrômetro Para as condições da Tabela 361 as redes A e B têm a mesma dispersão e as redes A e C têm a mesma resolução A Fig 3626 mostra as curvas de intensidade luminosa também conhecidas como formas de linha que seriam produzidas pelas três redes para duas linhas de comprimentos de onda λ1 e λ2 nas vizinhanças de λ 589 nm A rede B a de maior resolução produz linhas mais estreitas e portanto é capaz de distinguir linhas muito mais próximas que as que aparecem na figura A rede C a de maior dispersão é a que produz a maior separação angular entre as linhas Exemplo 3606 Dispersão e resolução de uma rede de difração Uma rede de difração tem 126 104 ranhuras uniformemente espaçadas em uma região de largura w 254 mm A rede é iluminada perpendicularmente pela luz amarela de uma lâmpada de vapor de sódio Essa luz contém duas linhas de emissão muito próximas conhecidas como dubleto do sódio de comprimentos de onda 58900 nm e 58959 nm a Qual é o ângulo correspondente ao máximo de primeira ordem de cada lado do centro da figura de difração para o comprimento de onda de 58900 nm IDEIACHAVE A posição dos máximos produzidos pela rede de difração pode ser determinada com o auxílio da Eq 3625 d sen θ mλ Cálculos O espaçamento das ranhuras d é dado por Como estamos interessados no máximo de primeira ordem m 1 Substituindo d e m por seus valores na Eq 3625 obtemos b Usando a dispersão da rede calcule a separação angular das duas linhas de primeira ordem IDEIASCHAVE 1 De acordo com a Eq 3629 D ΔθDλ a separação angular Δθ das duas linhas de primeira ordem depende da diferença de comprimentos de onda Δλ e da dispersão D da rede 2 A dispersão D depende do valor do ângulo θ Cálculos No caso que estamos examinando as linhas estão tão próximas que o erro não será muito grande se usarmos o valor de D para o ângulo θ 1699 calculado no item a para uma das linhas Nesse caso de acordo com a Eq 3630 A Eq 3629 com Δλ em nanômetros nos fornece É fácil mostrar que esse resultado depende do espaçamento d das ranhuras mas é independente do número de ranhuras c Qual é o menor número de ranhuras que uma rede pode ter sem que se torne impossível distinguir as linhas de primeira ordem do dubleto do sódio IDEIASCHAVE 1 De acordo com a Eq 3632 R Nm a resolução de uma rede para qualquer ordem m depende do número N de ranhuras 2 Conforme a Eq 3631 R λmédΔλ a menor diferença de comprimentos de onda Δλ que pode ser resolvida depende do comprimento de onda médio envolvido e da resolução R da rede Cálculo Fazendo Δλ igual à diferença entre os comprimentos de onda das duas linhas do dubleto do sódio 059 nm e λméd 58900 589592 58930 temos 367 DIFRAÇÃO DE RAIOS X Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 3638 Saber em que região do espectro eletromagnético estão os raios X 3639 Saber o que é uma célula unitária 3640 Saber o que são planos cristalinos e o que é distância interplanar 3641 Desenhar dois raios espalhados por planos vizinhos mostrando o ângulo que é usado nos cálculos 3642 No caso dos máximos de intensidade dos espalhamento de raios X por um cristal conhecer a relação entre a distância interplanar d o ângulo de espalhamento θ o número de ordem m e o comprimento de onda λ dos raios X 3643 Mostrar como pode ser determinada a distância interplanar a partir do desenho de uma célula unitária IdeiasChave O espalhamento de raios X por um sólido cristalino é mais fácil de visualizar imaginando que os átomos do material formam planos paralelos No caso de raios X de comprimento de onda λ espalhados por planos cristalinos cuja distância interplanar é d os ângulos para os quais a intensidade do feixe espalhado é máxima são dados por 2d sen θ mλ para m 1 2 3 lei de Bragg Difração de Raios X Os raios X são ondas eletromagnéticas com um comprimento de onda da ordem de 1 Å 1010 m Para efeito de comparação o comprimento de onda no centro do espectro visível é 550 nm 55 107 m A Fig 3627 mostra que raios X são produzidos quando os elétrons que escapam de um filamento aquecido F são acelerados por uma diferença de potencial V e se chocam com um alvo metálico T Uma rede de difração comum não pode ser usada para separar raios X de diferentes comprimentos de onda Para λ 1 Å 01 nm e d 3000 nm por exemplo o máximo de primeira ordem de acordo com a Eq 3625 ocorre para Figura 3627 Raios X são gerados quando os elétrons que deixam o filamento aquecido F são acelerados por uma diferença de potencial V e atingem um alvo metálico T A janela W da câmara evacuada C é transparente aos raios X Esse resultado mostra que o primeiro máximo está próximo demais do máximo principal para que as duas linhas possam ser resolvidas O ideal seria usar uma rede de difração com d λ mas como os comprimentos de onda dos raios X são da mesma ordem que os diâmetros atômicos é tecnicamente impossível construir uma rede cujas ranhuras tenham um espaçamento dessa ordem Em 1912 ocorreu ao físico alemão Max von Laue que um sólido cristalino formado por um arranjo regular de átomos poderia se comportar como uma rede de difração natural para os raios X A ideia é que em um sólido cristalino como o cloreto de sódio NaCl um pequeno conjunto de átomos conhecido como célula unitária se repete em todo o material A Fig 3628a mostra um cristal de NaCl e identifica a célula unitária que no caso é um cubo de lado a0 Quando um feixe de raios X penetra em uma substância cristalina como o NaCl os raios X são espalhados desviados em todas as direções pelos átomos do cristal Em algumas direções as ondas espalhadas sofrem interferência destrutiva o que leva a mínimos de intensidade em outras direções a interferência é construtiva e produz máximos de intensidade Este processo de espalhamento e interferência é uma forma de difração Planos Fictícios O processo de difração de raios X por um cristal é muito complexo mas as posições dos máximos podem ser determinadas imaginando que tudo se passa como se os raios X fossem refletidos por uma família de planos cristalinos paralelos que contêm arranjos regulares de átomos do cristal Os raios X não são realmente refletidos os planos imaginários são usados apenas para facilitar a análise do processo de difração A Fig 3628b mostra três planos pertencentes a uma mesma família de planos paralelos com uma distância interplanar d nos quais imaginamos que os raios X incidentes se refletem Os raios 1 2 e 3 se refletem no primeiro segundo e terceiro planos respectivamente Em cada reflexão o ângulo de incidência e o ângulo de reflexão são representados pelo símbolo θ Ao contrário do que se costuma fazer na ótica esse ângulo é definido em relação à superfície do plano refletor e não em relação à normal à superfície Para a situação da Fig 3628b a distância interplanar é igual à dimensão a0 da célula unitária Figura 3628 a A estrutura cúbica do NaCl mostrando os íons de sódio e cloro e uma célula unitária sombreada b Os raios X incidentes são difratados pelo cristal representado em a como se fossem refletidos por uma família de planos paralelos com o ângulo de reflexão igual ao ângulo de incidência ambos medidos em relação aos planos e não em relação à normal como na ótica c A diferença de percurso dos raios refletidos por planos vizinhos é 2d sen θ d Quando o ângulo de incidência muda os raios X se comportam como se fossem refletidos por outra família de planos A Fig 3628c mostra uma vista lateral da reflexão de raios X em dois planos vizinhos Os raios 1 e 2 chegam em fase ao cristal Depois de refletidos continuam em fase já que as reflexões e os planos refletores foram definidos unicamente para explicar os máximos de intensidade da figura de difração de raios X por um cristal Ao contrário dos raios luminosos os raios X não são refratados quando entram no cristal ou saem do cristal na verdade não é possível definir um índice de refração para esta situação Assim a diferença de fase entre os raios 1 e 2 se deve unicamente à diferença de percurso para que os dois raios estejam em fase basta que a diferença de percurso seja igual a um múltiplo inteiro do comprimento de onda λ dos raios X Lei de Bragg Traçando as perpendiculares tracejadas da Fig 3628c descobrimos que a diferença de percurso entre os raios 1 e 2 é 2d sen θ Na verdade essa diferença é a mesma para qualquer par de planos vizinhos pertencentes à família de planos representada na Fig 3628b Assim temos como critério para que a intensidade da difração seja máxima a seguinte equação em que m é o número de ordem de um dos máximos de intensidade A Eq 3634 é denominada lei de Bragg em homenagem ao físico inglês W L Bragg o primeiro a demonstrála W L Bragg e o pai receberam conjuntamente o Prêmio Nobel de Física de 1915 pelo uso dos raios X para estudar a estrutura dos cristais O ângulo de incidência e reflexão que aparece na Eq 3634 é denominado ângulo de Bragg Qualquer que seja o ângulo de incidência dos raios X em um cristal existe sempre uma família de planos nos quais se pode supor que os raios se refletem e aos quais se pode aplicar a lei de Bragg Na Fig 3628d observe que a estrutura cristalina tem a mesma orientação que na Fig 3628a mas o ângulo de incidência dos raios X é diferente do que aparece na Fig 3628b A esse novo ângulo está associada uma nova família de planos refletores com outra distância interplanar d e outro ângulo de Bragg θ Determinação da Célula Unitária A Fig 3629 ilustra a relação que existe entre a distância interplanar d e a dimensão a0 da célula unitária Para a família de planos que aparece na figura temos de acordo com o teorema de Pitágoras ou Esse exemplo mostra que é possível calcular as dimensões da célula unitária a partir da distância interplanar medida por difração de raios X A difração de raios X é um método excelente tanto para estudar os espectros de emissão de raios X dos átomos como para investigar a estrutura atômica dos sólidos No primeiro caso utilizase um conjunto de planos cristalinos cujo espaçamento d é conhecido Como o ângulo de reflexão associado aos planos depende do comprimento de onda da radiação incidente a medida da intensidade difratada em função do ângulo permite determinar quais são os comprimentos de onda presentes na radiação Nos estudos de estrutura atômica utilizase um feixe de raios X monocromático para determinar o espaçamento dos planos cristalinos e a estrutura da célula unitária Figura 3629 O modo de relacionar a distância interplanar d à dimensão da célula unitária a0 tomando como exemplo uma família de planos do cristal da Fig 3628a Revisão e Resumo Difração Quando uma onda encontra um obstáculo ou abertura de dimensões comparáveis ao comprimento de onda a onda se espalha e sofre interferência Este fenômeno é chamado de difração Difração por uma Fenda As ondas que atravessam uma fenda estreita de largura a produzem em uma tela de observação uma figura de difração de uma fenda que consiste em um máximo central e vários máximos secundários separados por mínimos situados em ângulos θ com o eixo central que satisfazem a relação A intensidade da onda difratada para um ângulo θ qualquer é dada por e Im é a intensidade no centro da figura de difração Difração por uma Abertura Circular A difração por uma abertura circular ou lente de diâmetro d produz um máximo central e máximos e mínimos concêntricos o primeiro mínimo corresponde a um ângulo θ dado por Critério de Rayleigh De acordo com o critério de Rayleigh dois objetos estão no limite de resolução quando o máximo central de difração de um coincide com o primeiro mínimo do outro Nesse caso a separação angular é dada por em que d é o diâmetro da abertura atravessada pela luz Difração por Duas Fendas Quando uma onda passa por duas fendas de largura a cujos centros estão separados por uma distância d é formada uma figura de difração na qual a intensidade I para um ângulo θ é dada por em que β pdλ sen θ e α paλ sen θ Redes de Difração A rede de difração é um conjunto de fendas ranhuras que pode ser usado para determinar as componentes de uma onda separando e mostrando os máximos de difração associados a cada comprimento de onda da radiação incidente A difração por uma rede de N ranhuras produz máximos linhas em ângulos θ tais que cuja meia largura é dada por A dispersão D e a resolução R de uma rede de difração são dadas pelas equações e Difração de Raios X O arranjo regular de átomos em um cristal se comporta como uma rede de difração tridimensional para ondas de comprimento de onda da mesma ordem que o espaçamento entre os átomos como os raios X Para fins de análise os átomos podem ser imaginados como estando dispostos em planos com uma distância interplanar d Os máximos de difração que resultam de uma interferência construtiva ocorrem nos ângulos θ de incidência da onda medidos em relação aos planos atômicos que satisfazem a lei de Bragg em que λ é o comprimento de onda da radiação incidente Perguntas 1 Em um experimento de difração por uma fenda usando uma luz de comprimento de onda λ o que aparece em uma tela distante em um ponto no qual a diferença entre as distâncias percorridas por raios que deixam as extremidades superior e inferior da fenda é igual a a 5λ e b 45λ 2 Em um experimento de difração por uma fenda os raios provenientes da extremidade superior e da extremidade inferior da fenda chegam a um ponto da tela de observação com uma diferença de percurso de 40 comprimentos de onda Em uma representação fasorial como na Fig 367 quantas circunferências superpostas são descritas pela cadeia de fasores 3 A Fig 3630 mostra o parâmetro β da Eq 3620 em função do ângulo θ para três experimentos de difração de dupla fenda nos quais a luz tinha um comprimento de onda de 500 nm A distância entre as fendas era diferente nos três experimentos Coloque os experimentos na ordem decrescente a da distância entre as fendas e b do número de máximos da figura de interferência Figura 3630 Pergunta 3 4 A Fig 3631 mostra o parâmetro α da Eq 366 em função do ângulo θ para três experimentos de difração de uma fenda nos quais a luz tinha um comprimento de onda de 500 nm Coloque os experimentos na ordem decrescente a da largura da fenda e b do número de mínimos da figura de difração Figura 3631 Pergunta 4 5 A Fig 3632 mostra quatro tipos diferentes de aberturas através das quais podem passar ondas sonoras ou luminosas O comprimento dos lados é L ou 2L L é 30 vezes maior que o comprimento de onda da onda incidente Coloque as aberturas na ordem decrescente a do espalhamento das ondas para a esquerda e para a direita e b do espalhamento das ondas para cima e para baixo Figura 3632 Pergunta 5 6 Ao passar por uma fenda estreita uma luz de frequência f produz uma figura de difração a Se aumentarmos a frequência da luz para 13f a figura de difração ficará mais espalhada ou mais compacta b Se em vez de aumentar a frequência mergulharmos todo o equipamento em óleo a figura de difração ficará mais espalhada ou mais compacta 7 À noite muitas pessoas veem anéis conhecidos como halos entópticos em volta de fontes luminosas intensas como lâmpadas de rua Esses anéis são os primeiros máximos laterais de figuras de difração produzidas por estruturas existentes na córnea ou possivelmente no cristalino do olho do observador Os máximos centrais das figuras de difração não podem ser vistos porque se confundem com a luz direta da fonte a Os anéis aumentam ou diminuem quando uma lâmpada azul é substituída por uma lâmpada vermelha b No caso de uma lâmpada branca a parte externa dos anéis é azul ou vermelha 8 a Para uma dada rede de difração a menor diferença Δλ entre comprimentos de onda que podem ser resolvidos aumenta diminui ou permanece constante quando o comprimento de onda aumenta b Para um dado intervalo de comprimentos de onda em torno de 500 nm digamos Δλ é maior na primeira ordem ou na terceira 9 A Fig 3633 mostra uma linha vermelha e uma linha verde pertencentes à mesma ordem da figura de difração produzida por uma rede de difração Se o número de ranhuras da rede é aumentado removendo por exemplo uma fita adesiva que cobria metade das ranhuras a a meia largura das linhas aumenta diminui ou permanece constante b A distância entre as linhas aumenta diminui ou permanece constante c As linhas se deslocam para a direita se deslocam para a esquerda ou permanecem no mesmo lugar Figura 3633 Perguntas 9 e 10 10 Para a situação da Pergunta 9 e da Fig 3633 se a distância entre as ranhuras da rede aumenta a a meia largura das linhas aumenta diminui ou permanece constante b A distância entre as linhas aumenta diminui ou permanece constante c As linhas se deslocam para a direita se deslocam para a esquerda ou permanecem no mesmo lugar 11 a A Fig 3634a mostra as linhas produzidas por duas redes de difração A e B para o mesmo comprimento de onda da luz incidente as linhas pertencem à mesma ordem e aparecem para os mesmos ângulos θ Qual das redes possui o maior número de ranhuras b A Fig 3634b mostra as linhas de duas ordens produzidas por uma rede de difração usando luz de dois comprimentos de onda ambos na região vermelha do espectro Qual dos pares de linhas pertence à ordem com o maior valor de m o da esquerda ou o da direita c O centro da figura de difração está do lado esquerdo ou do lado direito na Fig 36 34a d O centro da figura de difração está do lado esquerdo ou do lado direito na Fig 3634b Figura 3634 Pergunta 11 12 A Fig 3635 mostra as linhas claras contidas nas envoltórias centrais das figuras de difração obtidas em dois experimentos de difração por duas fendas realizados com uma luz incidente de mesmo comprimento de onda Em comparação com os parâmetros das fendas do experimento A a a largura a das fendas no experimento B é maior igual ou menor b A distância d entre as fendas é maior igual ou menor c A razão da é maior igual ou menor Figura 3635 Pergunta 12 13 Em três arranjos você vê a grande distância dois pequenos objetos muito próximos entre si Os ângulos que os objetos ocupam no seu campo de visão e a distância a que se encontram de você são 1 2ϕ e R 2 2ϕ e 2R 3 ϕ2 e R2 a Coloque os arranjos na ordem decrescente da distância entre os objetos Se você mal consegue resolver os objetos no arranjo 2 você é capaz de resolvêlos b no arranjo 1 e c no arranjo 3 14 Em uma rede de difração a razão λa entre o comprimento de onda da luz e o espaçamento das ranhuras é 135 Determine sem fazer cálculos que ordens além da ordem zero aparecem na figura de difração Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 361 Difração por uma Fenda 1 A distância entre o primeiro e o quinto mínimos da figura de difração de uma fenda é 035 mm com a tela a 40 cm de distância da fenda quando é usada uma luz com um comprimento de onda de 550 nm a Determine a largura da fenda b Calcule o ângulo θ do primeiro mínimo de difração 2 Qual deve ser a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda para que o primeiro mínimo de difração de uma fenda seja observado para θ 4508 3 Uma onda plana com um comprimento de onda de 590 nm incide em uma fenda de largura a 040 mm Uma lente convergente delgada de distância focal 70 cm é colocada entre a fenda e uma tela de observação e focaliza a luz na tela a Qual é a distância entre a lente e a tela b Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o primeiro mínimo 4 Nas transmissões de TV aberta os sinais são irradiados das torres de transmissão para os receptores domésticos Mesmo que entre a antena transmissora e a antena receptora exista algum obstáculo como um morro ou um edifício o sinal pode ser captado contanto que a difração causada pelo obstáculo produza um sinal de intensidade suficiente na região de sombra Os sinais da televisão analógica têm um comprimento de onda de cerca de 50 cm e os sinais da televisão digital têm um comprimento de onda da ordem de 10 mm a Essa redução do comprimento de onda aumenta ou diminui a difração dos sinais para as regiões de sombra produzidas pelos obstáculos Suponha que um sinal passe por um vão de 50 m entre edifícios vizinhos Qual é o espalhamento angular do máximo central de difração até os primeiros mínimos para um comprimento de onda a de 50 cm e b de 10 mm 5 Uma fenda é iluminada por um feixe de luz que contém os comprimentos de onda λa e λb escolhidos de tal forma que o primeiro mínimo de difração da componente λa coincide com o segundo mínimo da componente λb a Se λb 350 nm qual é o valor de λa Determine para qual número de ordem mb um mínimo da componente λb coincide com o mínimo da componente λa cujo número de ordem é b ma 2 e c ma 3 6 Um feixe de luz com um comprimento de onda de 441 nm incide em uma fenda estreita Em uma tela situada a 200 m de distância a separação entre o segundo mínimo de difração e o máximo central é 150 cm a Calcule o ângulo de difração θ do segundo mínimo b Determine a largura da fenda 7 Um feixe de luz com um comprimento de onda de 633 nm incide em uma fenda estreita O ângulo entre o primeiro mínimo de difração de um lado do máximo central e o primeiro mínimo de difração do outro lado é 1208 Qual é a largura da fenda 8 Ondas sonoras com uma frequência de 3000 Hz e uma velocidade de 343 ms passam pela abertura retangular de uma caixa de som e se espalham por um grande auditório de comprimento d 100 m A abertura que tem uma largura horizontal de 300 cm está voltada para uma parede que fica a 100 m de distância Fig 3636 Ao longo dessa parede a que distância do eixo central está o primeiro mínimo de difração posição na qual um espectador terá dificuldade para o ouvir o som Ignore as reflexões Figura 3636 Problema 8 9 Uma fenda com 100 mm de largura é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é 589 nm Uma figura de difração é observada em uma tela situada a 300 m de distância da fenda Qual é a distância entre os primeiros dois mínimos de difração situados do mesmo lado do máximo central 10 Os fabricantes de fios e outros objetos de pequenas dimensões às vezes usam um laser para monitorar continuamente a espessura do produto O fio intercepta a luz do laser produzindo uma figura de difração parecida com a que é produzida por uma fenda com a mesma largura que o diâmetro do fio Fig 3637 Suponha que o fio seja iluminado com um laser de hélioneônio com um comprimento de onda de 6328 nm e que a figura de difração apareça em uma tela situada a uma distância L 260 m do fio Se o diâmetro desejado para o fio for 137 mm qual deverá ser a distância observada entre os dois mínimos de décima ordem um de cada lado do máximo central Figura 3637 Problema 10 Módulo 362 Intensidade da Luz Difratada por uma Fenda 11 Uma fenda de 010 mm de largura é iluminada com uma luz cujo comprimento de onda é 589 nm Considere um ponto P em uma tela na qual a figura de difração é observada o ponto está a 30 do eixo central da fenda Qual é a diferença de fase entre as ondas secundárias de Huygens que chegam ao ponto P provenientes da extremidade superior e do ponto médio da fenda Sugestão Use a Eq 364 12 A Fig 3638 mostra a variação do parâmetro α da Eq 366 com o seno do ângulo θ em um experimento de difração de fenda única usando uma luz com um comprimento de onda de 610 nm A escala do eixo vertical é definida por αs 12 rad Determine a a largura da fenda b o número total de mínimos de difração dos dois lados do máximo central c o menor ângulo para o qual existe um mínimo e d o maior ângulo para o qual existe um mínimo Figura 3638 Problema 12 13 Uma luz com um comprimento de onda de 538 nm incide em uma fenda com 0025 mm de largura A distância entre a fenda e a tela é 35 m Considere um ponto da tela situado a 11 cm de distância do máximo central Calcule a o valor de θ nesse ponto b o valor de α e c a razão entre a intensidade nesse ponto e a intensidade do máximo central 14 No experimento de difração por uma fenda da Fig 364 suponha que o comprimento de onda da luz é 500 nm a largura da fenda é 600 μm e a tela de observação está a uma distância D 300 m Defina o eixo y como um eixo vertical no plano da tela com a origem no centro da figura de difração Chame de IP a intensidade da luz difratada no ponto P situado em y 150 cm a Qual é a razão entre IP e a intensidade Im no centro da figura de difração b Determine a posição do ponto P na figura de difração especificando o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra 15 A largura total à meia altura LTMA de um máximo central de difração é definida como o ângulo entre os dois pontos nos quais a intensidade é igual a metade da intensidade máxima Veja a Fig 368b a Mostre que a intensidade é metade da intensidade máxima para sen2 α α22 b Verifique se α 139 rad aproximadamente 80 é uma solução para a equação transcendental do item a c Mostre que a LTMA é dada por Δθ 2 sen10443λa em que a é a largura da fenda Calcule a LTMA do máximo central para fendas cujas larguras correspondem a d 100λ e 50λ e f 100λ 16 O Princípio de Babinet Um feixe de luz monocromática incide perpendicularmente em um furo colimador de diâmetro x λ O ponto P está na região de sombra geométrica em uma tela distante Fig 3639a Dois objetos mostrados na Fig 3639b são colocados sucessivamente no furo colimador A é um disco opaco com um furo central e B é o negativo fotográfico de A Use o conceito de superposição para mostrar que a intensidade da figura de difração no ponto P é a mesma para os dois objetos Figura 3639 Problema 16 17 a Mostre que os valores de α para os quais a intensidade da figura de difração de uma fenda é máxima podem ser calculados derivando a Eq 365 em relação a α e igualando o resultado a zero o que leva à equação tan α α Para determinar os valores de α que satisfazem essa equação plote a curva y tan α e a linha reta y α e determine as interseções entre a reta e a curva ou use uma calculadora para encontrar por tentativas os valores corretos de α A partir da relação α m 12π determine os valores de m correspondentes a máximos sucessivos da figura de difração de fenda única Esses valores de m não são números inteiros porque os máximos secundários não ficam exatamente a meio caminho entre dois mínimos Determine b o menor valor de α e c o valor de m correspondente d o segundo menor valor de α e e o valor de m correspondente f o terceiro menor valor de α e g o valor de m correspondente Módulo 363 Difração por uma Abertura Circular 18 A parede de uma sala é revestida com ladrilhos acústicos que contêm pequenos furos separados por uma distância entre os centros de 50 mm Qual a maior distância da qual uma pessoa consegue distinguir os furos Suponha que o diâmetro da pupila do observador é 40 mm e que o comprimento de onda da luz ambiente é 550 nm 19 a A que distância máxima de uma pilha de grãos vermelhos de areia deve estar um observador para poder ver os grãos como objetos separados Suponha que os grãos são esferas com 50 μm de raio que a luz refletida pelos grãos tem um comprimento de onda de 650 nm e que a pupila do observador tem 15 mm de diâmetro b Se os grãos forem azuis e a luz refletida tiver um comprimento de onda de 400 nm a distância será maior ou menor que a do item a 20 O radar de um cruzador usa um comprimento de onda de 16 cm a antena transmissora é circular com um diâmetro de 23 m Qual é a distância mínima que deve existir entre duas lanchas que estão a 62 km de distância do cruzador para que sejam detectadas pelo radar como objetos separados 21 Estime a distância entre dois objetos no planeta Marte que mal podem ser resolvidos em condições ideais por um observador na Terra a a olho nu e b usando o telescópio de 200 polegadas 51 m de Monte Palomar Use os seguintes dados distância entre Marte e a Terra 80 107 km diâmetro da pupila 50 mm comprimento de onda da luz 550 nm 22 Suponha que o critério de Rayleigh pode ser usado para determinar o limite de resolução do olho de um astronauta que observa a superfície terrestre enquanto se encontra a bordo de uma estação espacial a uma altitude de 400 km a Nessas condições ideais estime a menor dimensão linear que o astronauta é capaz de distinguir na superfície da Terra Tome o diâmetro da pupila do astronauta como mm e o comprimento de onda da luz visível como 550 nm b O astronauta é capaz de ver com clareza a Grande Muralha da China Fig 3640 que tem mais de 3000 km de comprimento a 10 m de largura na base 4 m de largura no topo e 8 m de altura c O astronauta seria capaz de observar sinais inconfundíveis de vida inteligente na superfície da Terra AP Photo Glow Images Figura 3640 Problema 22 A Grande Muralha da China 23 Os dois faróis de um automóvel que se aproxima de um observador estão separados por uma distância de 14 m Determine a a separação angular mínima e b a distância mínima para que o olho do observador seja capaz de resolvêlos Suponha que o diâmetro da pupila do observador é 50 mm e use um comprimento de onda da luz de 550 nm para a luz dos faróis Suponha também que a resolução seja limitada apenas pelos efeitos da difração e que portanto o critério de Rayleigh pode ser aplicado 24 Halos entópticos Quando uma pessoa olha para uma lâmpada de rua em uma noite escura a lâmpada parece estar cercada de anéis claros e escuros daí o nome halos que são na verdade uma figura de difração circular como a da Fig 3610 com o máximo central coincidindo com a luz direta da lâmpada A difração é produzida por elementos da córnea ou do cristalino do olho daí o nome entópticos Se a lâmpada é monocromática com um comprimento de onda de 550 nm e o primeiro anel escuro subtende um diâmetro angular de 25 do ponto de vista do observador qual é a dimensão linear aproximada do elemento que produz a figura de difração 25 Determine a distância entre dois pontos na superfície da Lua que mal podem ser resolvidos pelo telescópio de 200 polegadas 51 m de Monte Palomar supondo que essa distância é determinada exclusivamente por efeitos de difração A distância entre a Terra e a Lua é 38 105 km Suponha que a luz tem um comprimento de onda de 550 nm 26 Os telescópios de alguns satélites de reconhecimento comerciais como os usados para obter as imagens do Google Earth podem resolver objetos no solo com dimensões da ordem de 85 cm e os telescópios dos satélites militares supostamente podem resolver objetos com dimensões da ordem de 10 cm Suponha que a resolução de um objeto seja determinada unicamente pelo critério de Rayleigh e não seja prejudicada pela turbulência da atmosfera Suponha também que os satélites estejam a uma altitude típica de 400 km e que o comprimento de onda da luz visível seja 550 nm Qual deve ser o diâmetro do telescópio a para uma resolução de 85 cm e b para uma resolução de 10 cm c Considerando que a turbulência atmosférica certamente prejudica a resolução e que a abertura do Telescópio Espacial Hubble é 24 m o que se pode dizer a respeito da resposta do item b e do modo como os satélites militares resolvem o problema da resolução 27 Se o SuperHomem realmente tivesse visão de raios X para um comprimento de onda de 010 nm e o diâmetro de sua pupila fosse 40 mm a que distância máxima ele poderia distinguir os mocinhos dos bandidos supondo que para isso teria que resolver pontos separados por uma distância de 50 cm 28 As cores das asas do besourotigre Fig 3641 são produzidas pela interferência da luz difratada em camadas finas de uma substância transparente As camadas estão concentradas em regiões com cerca de 60 μm de diâmetro que produzem cores diferentes As cores são uma mistura pontilhista de cores de interferência que varia de acordo com o ponto de vista do observador De acordo com o critério de Rayleigh a que distância máxima do besouro deve estar um observador para que os pontos coloridos sejam vistos separadamente Suponha que o comprimento de onda da luz é 550 nm e que o diâmetro da pupila do observador é 300 mm Kjell B SandvedBruce Coleman IncPhotoshot Holdings Ltd Figura 3641 Problema 28 As cores do besourotigre são misturas pontilhistas de cores produzidas por interferência 29 a Qual é a separação angular de duas estrelas cujas imagens mal podem ser resolvidas pelo telescópio refrator Thaw do Observatório Allegheny em Pittsburgh O diâmetro da lente é 76 cm e a distância focal é 14 m Suponha que λ 550 nm b Determine a distância entre as estrelas se ambas estão a 10 anosluz da Terra c Calcule o diâmetro do primeiro anel escuro da figura de difração de uma estrela isolada observada em uma placa fotográfica colocada no plano focal do mesmo telescópio Suponha que as variações de intensidade da imagem se devem exclusivamente a efeitos de difração 30 Moscas volantes As moscas volantes que vemos quando olhamos para uma folha de papel em branco fortemente iluminada são figuras de difração produzidas por defeitos presentes no humor vítreo que ocupa a maior parte do globo ocular A figura de difração fica mais nítida quando o papel é observado através de um pequeno orifício Desenhando um pequeno disco no papel é possível estimar o tamanho do defeito Suponha que o defeito difrata a luz da mesma forma que uma abertura circular Ajuste a distância L entre o disco e o olho que é praticamente igual à distância entre o disco e o cristalino até que o disco e a circunferência do primeiro mínimo da figura de difração tenham o mesmo tamanho aparente ou seja até que tenham o mesmo diâmetro D na retina situada a uma distância L 20 cm do cristalino como mostra a Fig 3642a na qual os ângulos dos dois lados do cristalino são iguais Suponha que o comprimento de onda da luz visível é λ 550 nm Se o disco tem um diâmetro D 20 mm está a uma distância L 450 cm do olho e o defeito está a uma distância x 60 mm da retina Fig 3642b qual é o diâmetro do defeito Figura 3642 Problema 30 31 Os aparelhos de radar de ondas milimétricas produzem um feixe mais estreito que os aparelhos de radar convencionais de microondas o que os torna menos vulneráveis aos mísseis antirradar a Calcule a largura angular 2θ do máximo central ou seja a distância entre os dois primeiros mínimos para um radar com uma frequência de 220 GHz e uma antena circular com 550 cm de diâmetro A frequência foi escolhida para coincidir com uma janela atmosférica de baixa absorção b Qual é o valor de 2θ para uma antena circular convencional com 23 m de diâmetro que trabalha com um comprimento de onda de 16 cm 32 a Um diafragma circular com 60 cm de diâmetro oscila debaixo dágua com uma frequência de 25 kHz sendo usado como fonte sonora para detectar submarinos Longe da fonte a distribuição da intensidade sonora é a da figura de difração de um furo circular com um diâmetro igual ao do diafragma Tome a velocidade do som na água como de 1450 ms e determine o ângulo entre a normal ao diafragma e a reta que liga o diafragma ao primeiro mínimo b Existe um mínimo como esse para uma fonte com uma frequência audível de 10 kHz 33 Lasers de raios X alimentados por reações nucleares são considerados uma possível arma para destruir mísseis balísticos intercontinentais pouco após o lançamento a distâncias de até 2000 km Uma limitação de uma arma desse tipo é o alargamento do feixe por causa da difração o que reduz consideravelmente a densidade de energia do feixe Suponha que o laser opere com um comprimento de onda de 140 nm O elemento que emite os raios X é a extremidade de um fio com 0200 mm de diâmetro a Calcule o diâmetro do feixe central ao atingir um alvo situado a 2000 km de distância do laser b Qual é a razão entre a densidade inicial de energia do laser e a densidade final Como o laser é disparado do espaço a absorção de energia pela atmosfera pode ser ignorada 34 Um obstáculo de forma circular produz a mesma figura de difração que um furo circular de mesmo diâmetro a não ser muito perto de θ 0 As gotas dágua em suspensão na atmosfera são um exemplo desse tipo de obstáculo Quando observamos a Lua através de gotas dágua em suspensão como no caso de um nevoeiro o que vemos é a figura de difração formada por muitas gotas A superposição dos máximos centrais de difração das gotas forma uma região clara que envolve a Lua e pode ocultála totalmente A fotografia da Fig 3643 foi tirada nessas condições Existem dois anéis coloridos em torno da Lua o anel maior pode ser fraco demais para ser visto na fotografia impressa O anel menor corresponde à parte externa do máximo central de difração das gotas o anel maior corresponde à parte externa do primeiro máximo secundário veja a Fig 3610 A cor é visível porque os anéis estão próximos dos mínimos de difração anéis escuros As cores em outras partes da figura se superpõem e não podem ser vistas a Quais são as cores dos dois anéis b O anel colorido associado ao máximo central na Fig 36 43 tem um diâmetro angular igual a 135 vez o diâmetro angular da Lua que é 0508 Suponha que todas as gotas têm o mesmo diâmetro Qual é o diâmetro aproximado das gotas Pekka ParvianenPhoto Researchers Inc Figura 3643 Problema 34 A corona da fotografia que envolve a Lua é formada pela superposição das figuras de difração de gotas dágua em suspensão na atmosfera Módulo 364 Difração por Duas Fendas 35 A envoltória central de difração de uma figura de difração por duas fendas contém 11 franjas claras e os primeiros mínimos de difração eliminam coincidem com franjas claras Quantas franjas de interferência existem entre o primeiro mínimo e o segundo mínimo da envoltória 36 Um feixe luminoso monocromático incide perpendicularmente em um sistema de dupla fenda como o da Fig 3510 As fendas têm 46 μm de largura e a distância entre as fendas é 030 mm Quantas franjas claras completas aparecem entre os dois mínimos de primeira ordem da figura de difração 37 Em um experimento de dupla fenda a distância entre as fendas d é 200 vezes maior que a largura w das fendas Quantas franjas claras existem na envoltória central de difração 38 Em uma figura de interferência de duas fendas existem 10 franjas claras dentro do segundo pico lateral da envoltória de difração e mínimos de difração coincidem com máximos de interferência Qual é a razão entre a distância entre as fendas e a largura das fendas 39 Uma luz com um comprimento de onda de 440 nm passa por um sistema de dupla fenda e produz uma figura de difração cujo gráfico de intensidade I em função da posição angular θ aparece na Fig 36 44 Determine a a largura das fendas e b a distância entre as fendas c Mostre que as intensidades máximas indicadas para as franjas de interferência com m 1 e m 2 estão corretas Figura 3644 Problema 39 40 A Fig 3645 mostra o parâmetro β da Eq 3620 em função do seno do ângulo θ em um experimento de interferência de dupla fenda usando uma luz com um comprimento de onda de 435 nm A escala do eixo vertical é definida por bs 800 rad Determine a a distância entre as fendas b o número de máximos de interferência considerando os máximos de um lado e do outro do máximo central c o menor ângulo para o qual existe um máximo e d o maior ângulo para o qual existe um mínimo Suponha que nenhum dos máximos de interferência é totalmente eliminado por um mínimo de difração Figura 3645 Problema 40 41 No experimento de interferência de dupla fenda da Fig 3510 a largura das fendas é 120 μm a distância entre as fendas é 240 μm o comprimento de onda é 600 nm e a tela de observação está a uma distância de 400 m Seja IP a intensidade no ponto P da tela situado a uma altura y 700 cm a Determine a razão entre IP e a intensidade Im no centro da tela b Determine a posição de P na figura de interferência especificando o máximo ou o mínimo no qual o ponto se encontra ou o máximo e o mínimo entre os quais o ponto se encontra c Determine a posição de P na figura de difração especificando o mínimo no qual o ponto se encontra ou os dois mínimos entre os quais o ponto se encontra 42 a Em um experimento de dupla fenda qual deve ser a razão entre d e a para que a quarta franja lateral clara seja eliminada b Que outras franjas claras também são eliminadas 43 a Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos da envoltória de difração à direita e à esquerda do máximo central em uma figura de difração de dupla fenda se λ 550 nm d 0150 mm e a 300 μm b Qual é a razão entre as intensidades da terceira franja clara e da franja central Módulo 365 Redes de Difração 44 Talvez para confundir os predadores alguns besouros girinídeos tropicais são coloridos por interferência ótica produzida por escamas cujo alinhamento forma uma rede de difração que espalha a luz em vez de transmitila Quando os raios luminosos incidentes são perpendiculares à rede de difração o ângulo entre os máximos de primeira ordem localizados dos dois lados do máximo de ordem zero é aproximadamente 26 para uma luz com um comprimento de onda de 550 nm Qual é a distância efetiva entre as ranhuras da rede de difração 45 Uma rede de difração com 200 mm de largura possui 6000 ranhuras Uma luz com um comprimento de onda de 589 nm incide perpendicularmente na rede Determine a o maior b o segundo maior e c o terceiro maior valor de θ para o qual são observados máximos em uma tela distante 46 A luz visível incide perpendicularmente em uma rede com 315 ranhurasmm Qual é o maior comprimento de onda para o qual podem ser observadas linhas de difração de quinta ordem 47 Uma rede de difração possui 400 ranhurasmm Quantas ordens do espectro visível 400700 nm a rede pode produzir em um experimento de difração além da ordem m 0 48 Uma rede de difração é feita de fendas com 300 nm de largura separadas por uma distância de 900 nm A rede é iluminada com luz monocromática de comprimento de onda λ 600 nm e a incidência é normal a Quantos máximos são observados na figura de difração b Qual é a largura da linha observada na primeira ordem se a rede possui 1000 fendas 49 Uma luz de comprimento de onda 600 nm incide normalmente em uma rede de difração Dois máximos de difração vizinhos são observados em ângulos dados por sen θ 02 e sen θ 03 Os máximos de quarta ordem estão ausentes a Qual é a distância entre fendas vizinhas b Qual é a menor largura possível das fendas Para essa largura determine c o maior d o segundo maior e e o terceiro maior valor do número de ordem m dos máximos produzidos pela rede 50 Com a luz produzida por um tubo de descarga gasosa incidindo normalmente em uma rede de difração com uma distância entre fendas de 173 μm são observados máximos de luz verde para θ 176 373 371 652 650 Determine o comprimento de onda da luz verde que melhor se ajusta a esses dados 51 Uma rede de difração com 180 ranhurasmm é iluminada com uma luz que contém apenas dois comprimentos de onda λ1 400 nm e λ2 500 nm O sinal incide perpendicularmente na rede a Qual é a distância angular entre os máximos de segunda ordem dos dois comprimentos de onda b Qual é o menor ângulo para o qual dois dos máximos se superpõem c Qual é a maior ordem para a qual máximos associados aos dois comprimentos de onda estão presentes na figura de difração 52 Um feixe de luz que contém todos os comprimentos de onda entre 4600 nm e 6400 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração com 160 ranhurasmm a Qual é a menor ordem que se superpõe a outra ordem b Qual é a maior ordem para a qual todos os comprimentos de onda do feixe original estão presentes Nessa ordem determine para qual ângulo é observada a luz c de 4600 nm e d de 6400 nm e Qual é o maior ângulo para o qual a luz de 4600 nm aparece 53 Uma rede de difração tem 350 ranhuras por milímetro e é iluminada por luz branca com incidência normal Uma figura de difração é observada em uma tela a 30 cm da rede Se um furo quadrado com 10 mm de lado é aberto na tela com o lado interno a 50 mm do máximo central e paralelo a esse máximo determine a o menor e b o maior comprimento de onda da luz que passa pelo furo 54 Demonstre a seguinte expressão para a intensidade luminosa da figura de difração produzida por uma rede de três fendas em que ϕ 2pd sen θλ e a λ Módulo 366 Dispersão e Resolução das Redes de Difração 55 Uma fonte que contém uma mistura de átomos de hidrogênio e deutério emite luz vermelha com dois comprimentos de onda cuja média é 6563 nm e cuja separação é 0180 nm Determine o número mínimo de ranhuras necessário para que uma rede de difração possa resolver as linhas em primeira ordem 56 a Quantas ranhuras deve ter uma rede de difração com 400 cm de largura para resolver os comprimentos de onda de 415496 nm e 415487 nm em segunda ordem b Para que ângulos são observados os máximos de segunda ordem 57 A luz de uma lâmpada de sódio com um comprimento de onda de 589 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração com 40000 ranhuras de 76 nm de largura Determine os valores a da dispersão D e b da resolução R para a primeira ordem c de D e d de R para a segunda ordem e e de D e f de R para a terceira ordem 58 Uma rede de difração tem 600 ranhurasmm e 50 mm de largura a Qual é o menor intervalo de comprimentos de onda que a rede é capaz de resolver em terceira ordem para λ 500 nm b Quantas ordens acima da terceira podem ser observadas 59 Uma rede de difração com uma largura de 20 cm contém 1000 linhascm Para um comprimento de onda de 600 nm da luz incidente qual é a menor diferença de comprimentos de onda que esta rede pode resolver em segunda ordem 60 A linha D do espectro do sódio é um dubleto com comprimentos de onda 5890 e 5896 nm Calcule o número mínimo de ranhuras necessário para que uma rede de difração resolva este dubleto no espectro de segunda ordem 61 Uma rede de difração permite observar o dubleto do sódio em terceira ordem a 10 com a normal e o dubleto está no limite da resolução Determine a o espaçamento das ranhuras e b a largura da rede 62 Uma rede de difração iluminada com luz monocromática normal à rede produz uma linha em um ângulo θ a Qual é o produto da meia largura da linha pela resolução da rede b Calcule o valor do produto para a primeira ordem de uma rede com uma distância entre fendas de 900 nm iluminada por uma luz com um comprimento de onda de 600 nm 63 Suponha que os limites do espectro visível sejam fixados arbitrariamente em 430 e 680 nm Calcule o número de ranhuras por milímetro de uma rede de difração em que o espectro de primeira ordem do espectro visível cobre um ângulo de 2008 Módulo 367 Difração de Raios X 64 Qual é o menor ângulo de Bragg para que raios X com um comprimento de onda de 30 pm sejam refletidos por planos com uma distância interplanar de 030 nm em um cristal de calcita 65 Um feixe de raios X de comprimento de onda λ sofre reflexão de primeira ordem em um cristal quando o ângulo de incidência na face do cristal é 238 um feixe de raios X de comprimento de onda 97 pm sofre reflexão de terceira ordem quando o ângulo de incidência na mesma face é 608 Supondo que os dois feixes são refletidos pela mesma família de planos determine a a distância interplanar e b o comprimento de onda λ 66 Um feixe de raios X monocromáticos incide em um cristal de NaCl fazendo um ângulo de 300 com uma certa família de planos refletores separados por uma distância de 398 pm Se a reflexão nesses planos é de primeira ordem qual é o comprimento de onda dos raios X 67 A Fig 3646 mostra um gráfico da intensidade em função da posição angular θ para a difração de um feixe de raios X por um cristal A escala do eixo horizontal é definida por θs 200 O feixe contém dois comprimentos de onda e a distância entre os planos refletores é 094 nm Determine a o menor e b o maior comprimento de onda do feixe Figura 3646 Problema 67 68 Se uma reflexão de primeira ordem ocorre em um cristal para um ângulo de Bragg de 348 para qual ângulo de Bragg ocorre uma reflexão de segunda ordem produzida pela mesma família de planos 69 Raios X com um comprimento de onda de 012 nm sofrem reflexão de segunda ordem em um cristal de fluoreto de lítio para um ângulo de Bragg de 288 Qual é a distância interplanar dos planos cristalinos responsáveis pela reflexão 70 Na Fig 3647 a reflexão de primeira ordem nos planos indicados acontece quando um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0260 nm faz um ângulo de 638 com a face superior do cristal Qual é a dimensão a0 da célula unitária Figura 3647 Problema 70 71 Na Fig 3648 um feixe de raios X com um comprimento de onda de 0125 nm incide em um cristal de NaCl fazendo um ângulo θ 450 com a face superior do cristal e com uma família de planos refletores O espaçamento entre os planos refletores é d 0252 nm O cristal é girado de um ângulo ϕ em torno de um eixo perpendicular ao plano do papel até que os planos refletores produzam máximos de difração Determine a o menor e b o maior valor de ϕ se o cristal for girado no sentido horário e c o maior e d o menor valor de ϕ se o cristal for girado no sentido antihorário Figura 3648 Problemas 71 e 72 72 Na Fig 3648 um feixe de raios X com comprimentos de onda entre 950 pm e 140 pm faz um ângulo θ 45 com uma família de planos refletores com um espaçamento d 275 pm Entre os máximos de intensidade do feixe difratado determine a o maior comprimento de onda λ b o valor do número de ordem m associado c o menor λ d o valor de m associado 73 Considere uma estrutura cristalina bidimensional quadrada como por exemplo um dos lados da estrutura que aparece na Fig 3628a A maior distância interplanar dos planos refletores é a0 a dimensão da célula unitária Calcule e mostre em um desenho a a segunda maior b a terceira maior c a quarta maior d a quinta maior e e a sexta maior distância interplanar f Mostre que os resultados dos itens a a e estão de acordo com a fórmula geral em que h e k são números primos em comum isto é não possuem fatores em comum além da unidade Problemas Adicionais 74 Um astronauta a bordo de uma espaçonave afirma que pode resolver com dificuldade dois pontos da superfície da Terra 160 km abaixo Calcule a a separação angular e b a separação linear dos pontos supondo condições ideais Tome λ 540 nm como o comprimento de onda da luz e d 500 mm como o diâmetro da pupila do astronauta 75 Um feixe de luz visível incide perpendicularmente em uma rede de difração de 200 ranhurasmm Determine a o maior b o segundo maior e c o terceiro maior comprimento de onda que pode ser associado a um máximo de intensidade em θ 3008 76 Um feixe luminoso contém dois comprimentos de onda 590159 nm e 590220 nm que devem ser resolvidos por uma rede de difração Se a largura da rede é 380 cm qual é o número mínimo de ranhuras necessário para que os dois comprimentos de onda sejam resolvidos em segunda ordem 77 Em um experimento de difração por uma fenda um mínimo de intensidade da luz laranja λ 600 nm e um mínimo de intensidade da luz verde λ 500 nm são observados no mesmo ângulo de 100 mrad Qual é a menor largura da fenda para a qual isso é possível 78 Um sistema de dupla fenda cujas fendas têm 0030 mm de largura e estão separadas por uma distância de 018 mm é iluminado com uma luz de 500 nm que incide perpendicularmente ao plano das fendas Qual é o número de franjas claras completas que aparecem entre os dois mínimos de primeira ordem da figura de difração Não inclua as franjas que coincidem com os mínimos da figura de difração 79 Uma rede de difração tem uma resolução R λmédDλ Nm a Mostre que a diferença entre as frequências que podem ser resolvidas no limite da resolução Δf é dada por Δf cNmλ b Mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima da Fig 3622 é dada por Δt Ndc sen θ c Mostre que DfDt 1 e que portanto esse produto não depende dos parâmetros da rede Suponha que N 1 80 A pupila do olho de uma pessoa tem um diâmetro de 500 mm De acordo com o critério de Rayleigh qual deve ser a distância entre dois pequenos objetos para que estejam no limite da resolução quando se encontram a 250 mm de distância do olho dessa pessoa Suponha que o comprimento de onda da luz é 500 nm 81 Uma luz incide em uma rede de difração fazendo um ângulo ψ com o plano da rede como mostra a Fig 3649 Mostre que franjas claras ocorrem em ângulos θ que satisfazem a equação dsen ψ sen θ mλ para m 0 1 2 Compare essa equação com a Eq 3625 Apenas o caso especial ψ 0 foi tratado neste capítulo Figura 3649 Problema 81 82 Uma rede de difração com d 150 μm é iluminada por uma luz cujo comprimento de onda é 600 nm com vários ângulos de incidência Desenhe um gráfico no intervalo de 0 a 90 do ângulo entre a direção do máximo de primeira ordem e a direção de incidência em função do ângulo de incidência Sugestão Veja o Problema 81 83 Em um experimento de dupla fenda se a distância entre as fendas é 14 μm e a largura das fendas é 20 μm determine a quantos máximos de interferência existem no pico central da envoltória de difração e b quantos máximos de interferência existem em um dos picos laterais de primeira ordem da envoltória de difração 84 Em uma figura de interferência de dupla fenda qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas se existem 17 franjas claras na envoltória central de difração e os mínimos de difração coincidem com os máximos de interferência 85 Um feixe luminoso que contém vários comprimentos de onda muito próximos no entorno de 450 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração com uma largura de 180 cm e uma densidade de linhas de 1400 linhascm Qual é a menor diferença entre os comprimentos de onda do feixe que a rede é capaz de resolver em terceira ordem 86 Se uma pessoa olha para um objeto situado a 40 m de distância qual é a menor distância perpendicular à linha de visão que é capaz de resolver de acordo com o critério de Rayleigh Suponha que a pupila do olho tem um diâmetro de 400 mm e que o comprimento de onda da luz é 500 nm 87 Duas flores amarelas estão separadas por uma distância de 60 cm ao longo de uma reta perpendicular à linha de visão de um observador A que distância o observador se encontra das flores quando estas estão no limite de resolução de acordo com o critério de Rayleigh Suponha que a luz proveniente das flores tem um comprimento de onda de 550 nm e que a pupila do observador tem um diâmetro de 55 mm 88 Em um experimento de difração por uma fenda qual deve ser a razão entre a largura da fenda e o comprimento de onda para que o segundo mínimo de difração seja observado para um ângulo de 370 em relação ao centro da figura de difração 89 Uma rede de difração com 300 cm de largura produz um máximo de segunda ordem a 330 quando o comprimento de onda da luz é 600 nm Qual é o número de ranhuras da rede 90 Um experimento de difração por uma fenda utiliza uma luz com um comprimento de onda de 420 nm que incide perpendicularmente em uma fenda com 510 μm de largura A tela de observação está a 320 m de distância da fenda Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o segundo mínimo de difração 91 Uma rede de difração tem 8900 fendas em 120 cm Se uma luz com um comprimento de onda de 500 nm incide na rede quantas ordens máximos existem de cada lado do máximo central 92 Em um experimento para medir a distância entre a superfície da Terra e a superfície da Lua a radiação pulsada de um laser de rubi λ 069 μm foi enviada para a Lua através de um telescópio refletor cujo espelho tinha um raio de 13 m Um refletor deixado por astronautas na Lua se comportou como um espelho plano circular com 10 cm de raio refletindo a luz diretamente de volta para o telescópio A luz refletida foi detectada depois de ser focalizada pelo telescópio Aproximadamente que fração da energia luminosa original foi recebida pelo detector Suponha que toda a energia dos feixes de ida e de volta estava concentrada no pico central de difração 93 Em junho de 1985 o feixe de luz produzido por um laser na Estação Ótica da Força Aérea em Maui Havaí foi refletido pelo ônibus espacial Discovery que estava em órbita a uma altitude de 354 km Segundo as notícias o máximo central do feixe tinha um diâmetro de 91 m ao chegar ao ônibus espacial e a luz tinha um comprimento de onda de 500 nm Qual era o diâmetro efetivo da abertura do laser usado na estação de Maui Sugestão O feixe de um laser só se espalha por causa da difração suponha que a saída do laser tinha uma abertura circular 94 Uma rede de difração com 100 cm de largura possui 10000 fendas paralelas Uma luz monocromática que incide perpendicularmente na rede sofre uma difração de 30 em primeira ordem Qual é o comprimento de onda da luz 95 Quando multiplicamos por dois a largura de uma fenda a energia que passa pela fenda é multiplicada por dois mas a intensidade do máximo central da figura de difração é multiplicada por quatro Explique quantitativamente a razão da diferença 96 Quando uma luz monocromática incide em uma fenda com 220 μm de largura o primeiro mínimo de difração é observado para um ângulo de 180 em relação à direção da luz incidente Qual é o comprimento de onda da luz 97 Um satélite espião que está em órbita 160 km acima da superfície da Terra possui uma lente com uma distância focal de 36 m e pode resolver objetos no solo com dimensões maiores que 30 cm Assim por exemplo pode medir facilmente o tamanho da tomada de ar de uma turbina de avião Qual é o diâmetro efetivo da lente supondo que a resolução é limitada apenas por efeitos de difração Considere que λ 550 nm 98 Dois pontos estão separados por uma distância de 20 cm Se os pontos são vistos por um olho cuja pupila tem 50 mm de diâmetro a que distância do observador está o limite de resolução de Rayleigh Suponha um comprimento de onda de 500 nm para a luz 99 Uma rede de difração possui 200 ranhurasmm Uma luz que contém todos os comprimentos de onda entre 550 nm e 700 nm incide perpendicularmente na rede a Qual é a menor ordem que se superpõe a outra ordem b Qual é a maior ordem para a qual o espectro completo está presente 100 Uma rede de difração possui 200 ranhurasmm e produz um máximo de intensidade em θ 300 a Quais são os possíveis comprimentos de onda da luz visível incidente b A que cores esses comprimentos de onda correspondem 101 Mostre que a dispersão de uma rede de difração é dada por D tan θλ 102 Uma luz monocromática com um comprimento de onda de 450 nm incide perpendicularmente em uma fenda com 040 mm de largura Uma tela é instalada paralelamente ao plano da fenda e a distância na tela entre os mínimos à direita e à esquerda do máximo central é 18 mm a Qual é a distância entre a fenda e a tela Sugestão O ângulo dos mínimos é tão pequeno que sen θ tan θ b Qual é a distância na tela entre o primeiro mínimo e o terceiro mínimo do mesmo lado do máximo central 103 Uma luz que consiste em uma mistura de dois comprimentos de onda 500 e 600 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração Desejase 1 que o primeiro e o segundo máximos para os dois comprimentos de onda sejam observados para θ 30 2 que a dispersão seja a maior possível e 3 que não exista a terceira ordem para a luz de 600 nm a Qual deve ser a distância entre as fendas b Qual é a menor largura das fendas que pode ser usada c Para os valores calculados nos itens a e b e a luz de 600 nm qual é o máximo de maior ordem produzido pela rede 104 Um feixe de raios X com comprimentos de onda entre 0120 nm e 00700 nm é espalhado por uma família de planos de um cristal A distância interplanar é 0250 nm Observase que são produzidos feixes difratados para comprimentos de onda de 0100 nm e 00750 nm Qual é o ângulo entre o feixe incidente e o feixe espalhado 105 Mostre que uma rede de difração feita de faixas alternadas transparentes e opacas de mesma largura elimina todos os máximos de ordem par exceto o máximo central 106 Uma luz com um comprimento de onda de 500 nm é difratada por uma fenda com uma largura de 200 μm e observada em uma tela situada a 200 m de distância da fenda Qual é a distância na tela entre o centro da figura de difração e o terceiro mínimo de difração 107 Se em uma figura de interferência de dupla fenda existem 8 franjas claras dentro do primeiro pico lateral da envoltória de difração e mínimos de difração coincidem com máximos de interferência qual é a razão entre a separação das fendas e a largura das fendas 108 Um feixe de luz branca contendo todos os comprimentos de onda entre 400 nm e 700 nm incide perpendicularmente em uma rede de difração Mostre que independentemente do valor do espaçamento d das ranhuras a segunda ordem e a terceira ordem se superpõem parcialmente 109 Quando fazemos d a na Fig 3650 as duas fendas se tornam uma única fenda de largura 2a Mostre que nesse caso a Eq 3619 e a Eq 365 levam ao mesmo resultado Figura 3650 Problema 109 110 Demonstre a Eq 3628 a expressão da meia largura das linhas da figura de difração de uma rede 111 Prove que não é possível determinar o comprimento de onda da radiação incidente e a distância entre os planos refletores de um cristal medindo o ângulo de Bragg para várias ordens 112 Quantas ordens do espectro visível 400 a 700 nm podem ser produzidas por uma rede de difração de 500 linhasmm 113 A Fig 3651 mostra um sistema acústico de dupla fenda no qual a distância entre as fendas é d e a largura das fendas é a Usando uma linha de retardo ajustável é possível fazer variar a fase de um dos altofalantes em relação ao outro Descreva com detalhes o que acontece com a figura de difração a grandes distâncias quando a diferença de fase entre os altofalantes varia de zero a 2π Leve em conta tanto os efeitos de interferência como os de difração Figura 3651 Problema 113 114 Duas linhas de emissão têm comprimentos de onda λ e λ Δλ em que Δλ λ Mostre que a separação angular Δθ das linhas em um espectrômetro de rede de difração é dado aproximadamente por em que d é o espaçamento das ranhuras e m é a ordem na qual as linhas são observadas Note que a separação angular é maior nas ordens mais altas 1A localização exata dos máximos secundários é discutida no Problema 17 NT 1A localização exata dos máximos secundários é discutida no Problema 17 NT 1A demonstração da Eq 3628 é assunto do Problema 110 NT