Dissertação de Mestrado: Matemática Financeira, Imposto de Renda, Sistemas de Amortização e Outras Aplicações

Universidade Federal da Bahia UFBA Instituto de Matematica e Estatıstica IME Sociedade Brasileira de Matematica SBM Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional PROFMAT DISSERTAC AO DE MESTRADO Matematica Financeira imposto de renda sistemas de amortizacao e outras aplicacoes analise quantitativa e qualitativa Carlos Roberto Bastos Gomes Salvador Bahia Junho de 2018 Matematica Financeira imposto de renda sistemas de amortizacao e outras aplicacoes analise quantitativa e qualitativa Carlos Roberto Bastos Gomes Dissertacao de Mestrado apresentada a Comissao Acadˆemica Institucional do PROFMATUFBA como requisito parcial para obtencao do tıtulo de Mestre em Matematica Orientador Prof Dr Andre Luıs Godinho Mandolesi Salvador Bahia Junho de 2018 Ficha catalográfica elaborada pelo Sistema Universitário de Bibliotecas SIBIUFBA com os dados fornecidos peloa autora Gomes Carlos Roberto Bastos Matemática Financeira imposto de renda sistemas de amortização e outras aplicações análise quantitativa e qualitativa Carlos Roberto Bastos Gomes Salvador 2018 116 f il Orientador André Luís Godinho Mandolesi Dissertação Mestrado Mestrado Profissional em Matemática Universidade Federal da Bahia Instituto de Matemática e Estatística 2018 1 Matemática Financeira 2 Sistemas de Amortização 3 SAC 4 PRICE 5 Imposto de Renda I Mandolesi André Luís Godinho II Título Matemática Financeira Imposto de Renda Sistemas de Amortização e Outras Aplicações Análise Quantitativa e Qualitativa Carlos Roberto Bastos Gomes Dissertação de Mestrado apresentada à comissão Acadêmica Institucional do PROFMATUFBA como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática aprovada em 15062018 Banca Examinadora Prof Dr André Luís Godinho Mandolesi orientador UFBA Prof Dr Enaldo Silva Vergasta UFBA Prof Dr Juan Andrés Gonzalez Marin UFBA Aqueles que se dedicam ao ensino da Matematica Agradecimentos Agradeco especialmente e em primeiro lugar ao meu Senhor e Salvador Jesus Cristo minha fonte da vida e sabedoria a quem me concedeu graca e forca ao longo dessa jornada A Ele toda Gloria Agradeco a todos que oraram por mim Agradeco ao meu tesouro na terra minha amada esposa Vera e os meus filhos Nicolas e Isabela que me inspiram a prosseguir Eu os amo muitıssimo Agradeco a todos aos meus professores do PROFMAT pelo compartilhamento de saberes matematicos Agradeco aos meus colegas de turma pela boa convivˆencia e troca de experiˆencia Agradeco a todos os professores e colaboradores do PGMATPROFMATUFBA que contribuem para o bom desenvolvimento do programa de mestrado Agradeco a toda rede nacional do PROFMAT que contribui para o prosseguimento na formacao de milhares de professores e por seguinte para a obtencao de melhores resultados em sala de aula Agradeco aos professores da banca pela aceitacao em fazer parte da mesma e participar dessa etapa tao importante para mim Agradeco a todos que de forma direta ou indireta contribuıram para elaboracao desse trabalho E de forma singular agradeco ao meu orientador Prof Dr Andre Mandolesi pelo acolhimento em me orientar pelas sugestoes ao longo do texto pelos direcionamentos nos passos a seguir a cada etapa pelas revisoes pela compreensao nos momentos difıceis da vida que passei durante a pesquisa e escrita pela boa convivˆencia ao longo dos meses que estivemos juntos e por sua simpatia Muito obrigado professor O SENHOR com sabedoria fundou a terra com entendimento preparou os ceus Proverbios 319 Bıblia Sagrada Resumo Neste trabalho buscase fundamentar e analisar alguns topicos da Matematica Fi nanceira como taxas series uniformes e os sistemas de amortizacao SAC e PRICE de monstrando resultados importantes que nao sao encontrados ou justificados em livros E feito um estudo do calculo do Imposto de Renda em um caso particular onde e dado um tratamento nao convencional atraves de funcoes de varias sentencas e nao de tabelas As funcoes e equacoes encontradas sao analisadas de forma nao tradicional indo alem das substituicoes de valores estudandose o seu comportamento resultante das va riacoes de seus parˆametros permitindo uma previsao de respostas para outras entradas de dados financeiros E o software GeoGebra e proposto como um meio didatico para analise dinˆamica dessas variacoes Palavraschaves matematica financeira SAC PRICE imposto de renda Abstract In this paper we seek to substantiate and analyze some topics of Financial Mathe matics such as rates uniform series and the amortization systems SAC and PRICE demonstrating important results that are not found or justified in books A study of the calculation of the Income Tax is made in a particular case where an unconventional treatment is given through functions of several sentences instead not of tables The functions and equations found are analyzed in a nontraditional way going beyond the substitutions of values by studying their behavior resulting from variations of their parameters allowing a prediction of responses to other inputs of financial data And GeoGebra software is proposed as a didactic means for dynamic analysis of these variations Keywords Finantial Mathematics SAC PRICE income tax Sumario Introducao 1 1 Fundamentacao Matematica 5 11 Funcao afim 5 12 Funcao exponencial 8 13 Funcao logarıtmica 12 14 Progressoes Aritmetica e Geometrica PA e PG 15 15 Binˆomio de Newton 18 2 Conceitos da Matematica Financeira 22 21 Porcentagem 22 22 Juros simples e juros compostos 23 23 Taxas de Juros nominal efetiva e equivalente 28 24 Taxas aparente real e inflacionaria 32 25 Series Uniformes 35 3 Sistemas de Amortizacao SAC e PRICE 43 4 Matematica Financeira um pouco do calculo do Imposto de Renda 57 41 Contribuicao Previdenciaria Oficial 58 42 Imposto de Renda 59 43 Funcoes do Imposto de Renda e do Salario Lıquido 62 44 Taxa efetiva do Imposto de Renda 77 5 Operacoes financeiras contemporˆaneas 82 51 Cartao de Credito parcelamento e uso do rotativo 82 52 Compras parceladas 85 53 Emprestimo informal 89 54 Simulacao de Financiamento Habitacional pela CEF 90 10 6 Sugestoes de atividades didaticas e problemas 93 61 ATIVIDADE 1 Pagar a vista ou parcelado 93 62 ATIVIDADE 2 E realmente desconto 95 63 ATIVIDADE 3 O que fazer para acumular y reais 96 64 ATIVIDADE 4 Qual a taxa de juros aplicada 98 65 ATIVIDADE 5 SAC OU PRICE 99 66 Alguns problemas interessantes e que ensinam 101 Introducao A Matematica Financeira tem seu papel fundamental para a compreensao plane jamento e tomada de decisoes na vida financeira cotidiana e a medio e longo prazo alem de carregar muitos valores matematicos E nesse sentindo defendese que nos ambientes escolares os alunos tenham experiˆencias de aprendizagem de tecnicas e teorias para que adquiram consciˆencia de poder por exemplo distinguir reais descontos de juros embuti dos nas compras decidir entre um pagamento a vista ou a prazo ou fazer os calculos para se chegar nos valores das prestacoes em um financiamento de um bem menor um veıculo ou mesmo um imovel de grande valor Recentemente documentos oficiais do governo que visam orientar e dar um enca minhamento mınimo para o currıculo do Ensino Medio tˆem contemplado novos conteudos e abordagens mais amplas 2 para o ensino da Matematica Financeira como ja observado em 1 Por outro lado a abordagem da Matematica Financeira na 2a versao da Base Nacional Co mum Curricular BNCC divulgada em abril de 2016 apresenta um avanco consideravel no tratamento do tema inserindoo em todas as series do Ensino Fundamental II e em quatro das cinco unidades curriculares do Ensino Medio Alem disso sao abordandos importan tes topicos que antes eram ignorados como parcelamentos financiamentos amortizacoes previdˆencia entre outros O documento traz ainda Consumo e Educacao Financeira como tema integrador a ser trabalhado de forma interdisciplinar com as demais areas e disci plinas e um tratamento curricular do tema em espiral o que proporciona a retomada e o aprofundamento contınuo dos topicos relacionados a Matematica Financeira 1 p10 Contudo com a reforma do Ensino Medio em andamento que teve um marco importante a partir da edicao da Medida Provisoria MP no 7462016 e posteriormente transformada no Projeto de Lei PL no 342016 com base no Relatorio da Comissao Mista e agora ja aprovado na Cˆamara dos Deputados e no Senado Federal sancionado e publicado no Diario Oficial da Uniao DOU como Lei no 13415 de 16 de fevereiro de 2017 sendo assim incorporada a Lei de Diretrizes e Bases da Educacao Nacional LDB no 93941996 esta para ser homologada pelo Conselho Nacional da Educacao a nova versao do BNCC 3 encaminhada pelo Ministerio de Educacao MEC onde ja nao ha uma previsao explıcita de todos os temas elencados na citacao acima E sendo assim mostrase uma 1 2 nova proposta pedagogica de parˆametros nacionais recuando quanto a tao importantes abordagens e conteudos da Matematica Financeira necessarios para uma boa pratica com as financas do dia a dia E portanto sendo a BNCC homologada nesses padroes poderao os sistemas de ensino eou unidades escolares na liberdade que lhe e dada complementar com os topicos suprimidos Desse modo esperase que com a insercao de tais topicos no currıculo os alunos sejam mobilizados a desenvolver habilidades e competˆencias de um cidadao que aja de maneira autˆonoma consciente e crıtica a chamada Educacao Financeira frente a um vasto cenario de operacoes financeiras tais como pagamentos recebimentos parcelamen tos investimentos e gestao financeira pessoal o que para tanto possam compreender a fundamentacao matematica implıcita e explıcita nos resultados encontrados nao apenas fazendo uso de formulas prontas sem as suas devidas justificativas quando possıvel Nesse trabalho a Educacao Financeira e tratada nao como um meio em si mas para lela aos resultados exemplos e atividades propostas No banco de dissertacoes do PROF MAT em httpwwwprofmatsbmorgbrdissertacoes ha trabalhos especıficos de tal tema para maiores reflexoes exemplos e atividades didaticas Aqui o principal objetivo e dar um embasamento teorico e pratico apresentando resultados e suas respectivas demonstracoes indo alem dos inseridos comumente nas li teraturas como em 12 Por exemplo 1 buscase justificar matematicamente frases do jargao do setor financeiro de imoveis tipo as parcelas iniciais no SAC sao maiores que no PRICE e o juro total pago no SAC e menor do que no PRICE 2 fazse um estudo do calculo do Imposto de Renda em um caso particular onde e dado um tratamento nao convencional atraves de funcoes de varias sentencas definidas por funcoes afins e nao de tabelas Alem disso sao feitas analises qualitativas de tais resultados tambem nao comuns nas literaturas proporcionando uma melhor e mais ampla compreensao das operacoes financeiras ressaltadas por interpretacao analıtica grafica e de tabelas Na maioria das demonstracoes procurase fazer uso apenas de assuntos ja contem plados no currıculo do Ensino Medio dos quais alguns sao apresentados de forma rigorosa no primeiro capıtulo Em especial encontrase a demonstracao de autoria propria do Te orema 303 ligado ao valor da dıvida em um financiamento Ja algumas demonstracoes tˆem como base o Calculo Diferencial nas nocoes de Limites e Derivadas o que poderao nao estar acessıveis aos alunos do ensino basico mas propicia ao professor o conheci mento tecnico do que esta acontecendo por detras das cortinas abrindo possibilidades de se criar atividades didaticas para simulacoes e conjecturas de resultados do mercado financeiro Alem disso sao sugeridas atividades didaticas onde propoese a utilizacao de re curso computacional atraves do GeoGebra manual em 8 e minicursos em 7 e 6 um 3 software de acesso gratuito que combina elementos da Geometria e Algebra de onde leva o seu nome alem da Estatıstica e do Calculo com destaque em especial para o seu aspecto dinˆamico em que podese dentre outras possibilidades alterar parˆametros de equacoes ou funcoes e perceber simultaneamente as suas variacoes graficas e numericas de forma a efetuar simulacoes formular conjecturas testar hipoteses executar calculos rapidos dentre outros proporcionando ao aluno agir de forma ativa e reflexiva em busca de uma aprendizagem significativa o que esta em consonˆancia com a quinta das dez competˆencias gerais da educacao basica inseridas no BNCC quando se fala do uso das Tecnologias da Informacao e Comunicacao TICs Compreender utilizar e criar tecnologias digitais de informacao e comunicacao de forma crıtica significativa reflexiva e etica nas diversas praticas sociais incluindo as escolares para se comunicar acessar e disseminar informacoes produzir conhecimentos resolver pro blemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva 3 p9 E portanto e apresentada uma possibilidade do uso de TIC na Matematica Financeira diferente do vies tradicional atraves de planilhas ou calculadoras financeiras Do exposto ate aqui e por outras razoes e certo que trabalhar com valores mo netarios atualmente no Brasil o real R desperta o interesse e atencao dos alunos o que na perspectiva de ensinoaprendizagem e muito importante para um ganho educaci onal Portanto esse e um momento em que o professor de Matematica tem diante de si os olhos atentos de muitos alunos E nesse ambiente que ao apresentar a comunidade acadˆemica o presente trabalho desejase contribuir com o ensinoaprendizagem da Matematica Financeira reunindo em um so lugar explicacoes matematicas precisas de diversos resultados dessa area con templando os ja mencionados na citacao acima do Professor Amorim apresentacoes por abordagens nao tradicionais e sugestoes de atividades didaticas para o professor trabalhar em sala de aula Sendo que nessas atividades nao pretendese restringir ao calcule mas tambem fazer analises qualitativas e comparativas permitindo ao aluno um processo reflexivo para o seu aprofundamento intelectual e pratico para uma efetiva aprendiza gem uma vez que nao e incomum um ensino de matematica sem uma reflexao sobre os resultados encontrados seja a partir de dados ja fornecidos ou por variacao dos mesmos A apresentacao sistematica do texto contempla no primeiro capıtulo a funda mentacao matematica para os demais capıtulos exceto no uso do Calculo Diferencial onde sao apresentadas as funcoes afim exponencial e logarıtmica as progressoes aritmeticas e geometricas e por ultimo o Binˆomio de Newton No segundo sao trabalhados conceitos iniciais da Matematica Financeira porcentagem taxas e os sistemas de capitalizacao de juros simples e composto a um topico mais avancado de series de pagamento uni forme No terceiro trabalhase com os sistemas de amortizacao SAC e PRICE os quais 4 aparecem por exemplo no financiamento de imoveis No quarto capıtulo e discutida uma abordagem do calculo do imposto de renda e do salario lıquido atraves de funcoes nas variaveis salario bruto e numero de dependentes proporcionando uma analise finan ceira do impacto no bolso de milhoes de pessoas O penultimo capıtulo traz exemplos de aplicacoes concretas e atuais de operacoes financeiras tais como financiamento imobiliario e pagamento do cartao de credito para validacao dos dados apresentados pelas respec tivas instituicoes financeiras conforme as teorias estudadas anteriormente E no ultimo capıtulo sao propostas atividades didaticas com o uso do GeoGebra e alguns problemas financeiros interessantes os quais podem servir de estımulo aos professores na elaboracao de outros para uma melhora contınua dessa prazerosa atividade profissional o ensinar Capıtulo 1 Fundamentacao Matematica Apresentaremos aqui os conceitos fundamentais para o desenvolvimento da ma tematica financeira proposta neste trabalho Nas trˆes primeiras secoes deste capıtulo descreveremos alguns tipos de funcoes utilizadas em aplicacoes financeiras Sera apresentado definicao propriedades e teoremas de caracterizacao Nosso objetivo nao sera dar um tratamento pormenorizado seguido de consideracoes pedagogicas para o ensinoaprendizagem Caso o leitor assim o deseje encontrara outros trabalhos de dissertacao de Mestrado com temas especıficos lidando com cada funcao discutindo diferentes formas de abordagens para o ensino em sala de aula E para referˆencia no tratamento matematico detalhado e amplo segue a referˆencia 9 publicada pela Sociedade Brasileira de Matematica SBM a qual tambem utilizamos Sera discutido em seguida as PAs e PGs e o Binˆomio de Newton de forma a permitir o trabalho a frente com as series uniformes de pagamentosrecebimentos onde temos como referˆencia 11 11 Funcao afim A funcao afim definida a seguir e uma ferramenta propria para situacoes praticas o que veremos nos capıtulos seguintes como no calculo do imposto de renda e na cobranca de juro em perıodos menores do que um mˆes E uma funcao simples com uma caracterizacao significativa Definicao 111 Uma funcao f R R e denominada afim se existem constantes a b R tais que fx ax b para todo x R Chamamos de taxa de variacao e valor inicial os coeficientes a e b respectivamente Se b 0 f e dita linear e se a 0 constante Teorema 111 O grafico de uma funcao afim fx ax b e uma reta naovertical 5 Demonstração Sejam A B C três pontos do gráfico de f com A x1 ax1 b B x2 ax2 b C x3 ax3 b E sem perda de generalidade consideremos x1 x2 x3 Pela distância entre dois pontos obtemos dA B x2 x1² ax2 b ax1 b² x2 x1² a²x2 x1² x2 x11 a² e de modo semelhante dB C x3 x21 a² e dA C x3 x11 a² Daí dA B dB C x2 x11 a² x3 x21 a² dA C E por seguinte três pontos quaisquer do gráfico de f são colineares Logo o gráfico de f é uma reta nãovertical Exemplo 111 Vejamos no mesmo plano cartesiano os gráficos das funções fx 3x 6 gx 2x e hx 3 são indicados na Figura 11 Exemplo 112 Uma situação prática Figura 12 um trabalhador recebe R 100000 fixo e mais 2 de sua venda mensal v daí o salário bruto mensal s é uma função afim com domínio restrito s 0 ℝ tal que sv 1000 002v Agora enunciaremos o Teorema Fundamental da Proporcionalidade cuja demonstração pode ser vista em 9 o qual utilizaremos logo a seguir para dar uma caracterização das funções afins 9 A funcao exponencial que ora iremos definir deve satisfazer as seguintes condicoes para um dado numero real a positivo e diferente de 1 e para todo x y R i Seja f R R denotada por fx ax ii ax ay axy iii a1 a iv x y ax ay quando a 1 v x y ax ay quando 0 a 1 Denominamos f uma funcao exponencial de base a Desejando dar um sentido para a expressao ax podemos pensar de forma progres siva x pertencendo ao conjunto dos naturais inteiros racionais e por fim os irracionais Em N definimos de maneira indutiva a1 a e an1 a an Por seguinte amn am an E de maneira a preservar tal propriedade em Z colocamos a0 1 e an 1 an para todo n N e em Q dado r m n onde m Z e n N definimos amn como a nesima raiz de am isto e amn nam Ate aqui as condicoes da definicao de funcao exponencial nao sao de difıcil verificacao Quanto a extensao para os numeros irracionais e um pouco delicada Primeiro notamos que em 9 demonstrase o lema seguinte Lema 121 Fixado um numero real positivo a 1 em todo intervalo de R existe uma potˆencia ar com r Q Considerando a 1 o caso 0 a 1 e semelhante se x e irracional entao ax deve satisfazer a seguinte propriedade r x s com r s Q ar ax as Daı ax deve assumir um valor unico pois do contrario terıamos dois valores α e β iguais a ax sendo α β com r x s com r s Q ar α β as Resultando em um intervalo α β sem nenhuma potˆencia racional de a o que contraria o Lema 121 Consequentemente colocamos ax como o unico valor satisfazendo as condicoes i a v acima tal que ax lim n arn onde rn e uma sequˆencia crescente ou decrescente de numeros racionais onde lim n rn x 10 Portanto a funcao exponencial sendo f R R com fx ax tem uma maneira explıcita de calculo para todos os numeros reais E valendose de algumas analises apre sentamos as duas possibilidades para o grafico de uma funcao exponencial na Figura 13 que satisfaz as seguintes propriedades E ilimitada superiormente Mais precisamente lim x ax se a 1 e lim x ax se 0 a 1 E sobrejetiva isto e para todo y R existe x R tal que fx ax y Tendo contradomınio R e uma funcao positiva ax 0 para todo x R e seu grafico nao intercepta o eixo OX Figura 13 Funcao exponencial crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 A seguir definiremos uma funcao semelhante a exponencial a qual tera utilidade no calculo de valor futuro de um capital no presente aplicado a uma taxa de juros definida Definicao 121 Uma funcao g R R e do tipo exponencial se gx bax para a b R e a 1 Verificase tambem que uma funcao tipo exponencial e crescente se a 1 e decres cente se 0 a 1 Exemplo 121 Valores de bens podem valorizar e desvalorizar com o tempo Considere um imovel e um automovel avaliados em R 4000000 e R 6000000 respectivamente o primeiro valorizando a 10 aa e o outro desvalorizando a 5 aa Mostraremos que o valor do imovel e do automovel em n anos sera dado por Vin 400001 01n 4000011n e Van 600001 005n 60000095n respectivamente Logo Vi e Va sao funcoes tipo exponencial restritas a R representadas pelos graficos na Figura 14 Agora apresentaremos uma caraterizacao para a funcao exponencial 11 Figura 14 Funcoes tipo exponencial Vicrescente e Vadecrescente Teorema 121 Caraterizacao da Funcao Exponencial Seja f R R uma funcao monotona injetiva As seguinte afirmacoes sao equivalentes i fnx fxn para todo n Z e todo x R ii fx ax para todo x R onde f1 a iii fx y fx fy para quaisquer x y R Demonstracao i ii Mostraremos primeiro valido em Q Seja r Q com r p q onde p q Z Temos que frxq i frqx fpx i fxp frx fxpq fxr Logo fr fr 1 f1r ar o que torna valido ii se x r Q Agora suponha por absurdo que exista um x R tal que fx ax o caso fx ax e semelhante e consideremos f crescente o caso f decrescente e analogo Portanto temos que a f1 f0 1 por f ser crescente e pelo Lema 121 existe uma potˆencia racional r de a tal que fx ar ax Logo fx fr ax pelo que ja provamos donde x r por f ser crescente Alem disso ar ax a1 r x contradizendo o que ja temos r x Assim ii e verdadeiro ii iii fx y ii axy def ax ay ii fx fy para quaisquer x y R iii i Primeiro observemos que 1 Nao existe x0 R tal que fx0 0 pois do contrario para todo x R terıamos que fx fx0 xx0 iii fx0fxx0 0 o que contraria f ser monotona injetiva 2 fx f0 x iii f0 fx 6f0 f0 1 para todo x R 13 3 logaxy loga x loga y para quaisquer x y R Isto e enquanto a exponencial transforma soma em produto a funcao logarıtmica transforma produto em soma De fato sejam u loga x e v loga y Logo x au e y av Portanto x y au av exponencial auv logaxy u v loga x loga y 4 loga 1 0 pois a0 1 5 A funcao logarıtmica e crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 de igual modo a sua inversa 6 As duas possibilidades para o grafico de uma funcao logarıtmica sao indicadas na Figura 15 7 Se a e b sao numeros reais positivos diferentes de 1 entao para todo x R vale a chamada formula de mudanca de base loga x loga b logb x Com efeito sendo u loga x e v logb x entao x au e x bv Fazendo loga b c ou ac b obtemos x au bv acv acv E como a exponencial e injetiva u cv ou seja loga x loga b logb x Figura 15 Funcao logarıtmica crescente se a 1 e decrescente se 0 a 1 Agora iremos caminhar para dar uma caracterizacao para as funcoes logarıtmicas Uma funcao g Y X e dita inversa da funcao f X Y se gfx x e fgy y para quaisquer x X e y Y Neste caso escrevemos g f 1 Naturalmente g f 1 f g1 Observacao 131 Se f X Y e sobrejetiva e g Y X e tal que gfx x para todo x X entao g f 1 De fato se y Y entao existe x X tal que fx y Portanto fgy fgfx fx y Logo g f 1 Usaremos este resultado na demonstracao do teorema seguinte 14 Teorema 131 Caraterizacao das funcoes logarıtmicas Seja f R R uma funcao monotona injetiva Sao equivalentes i fxy fxfy para quaisquer x y R isto e f transforma produto em soma ii Existe a 0 tal que fx loga x para todo x R Demonstracao i ii Consideremos f crescente o caso decrescente e semelhante Notemos que f1 f1 1 i f1 f1 f1 0 Pela observacao anterior se mostrarmos que fax x para todo x R entao a inversa da exponencial e f ou seja fy loga y para todo y R Faremos isso no primeiro caso a seguir 1o caso Suponha que exista a R tal que fa 1 Assim fa 1 0 f1 implica a 1 ja que f e crescente Nossa prova sera por etapas 1 se x n N entao fan faaa i fafafa 111 n 1 n 2 se x 0 entao 0 f1 fa0 3 se x n Z com n 0 entao 0 fa0 fann fan an i fan fan fan fan 1 n n 4 se x r p q onde p Z e q N entao qfar far far far i far ar ar farq fap 3 p Logo far p q r 5 Agora suponha por absurdo que exista x0 R tal que fax0 x0 Tomemos fax0 x0 o outro caso e semelhante Como Q e denso em R existe um r Q tal que fax0 r x0 Logo por 4 obtemos fax0 far Mas r x0 a1 ar ax0 E como f e crescente temos far fax0 O que contradiz far fax0 Logo fax x para todo x R 2o caso sem restricao Sendo 2 1 e f crescente entao α f2 f1 0 Definimos gx fx α Logo g monotona injetiva e gx y gx gy pois assim tambem e satisfeito para f e g2 1 Logo como vimos no primeiro caso gx log2 x para todo x 0 de tal modo que x 2log2 x 2gx 2 fx α 21αfx afx onde a 21α Logo fx loga x para todo x 0 ii i Ja provamos na propriedade 3 acima 15 Observacao 132 Como veremos nesse trabalho a funcao exponencial e um modelo adequado para tratar movimentacao de valores no tempo E sendo a funcao logarıtmica a inversa da exponencial aquela tambem tera a sua aplicacao em problemas financeiros na medida que desejaremos encontrar diferentes variaveis em equacoes financeiras Opor tunamente destacamos uma caracterıstica oposta dessas funcoes enquanto a exponencial tem um crescimento rapido a logarıtmica cresce lentamente tomando a base maior do que um Por exemplo log10 x 10 x 1010 ou seja tomar o logaritmo maior do que 10 e necessario um valor de x superior a 10 bilhoes enquanto por outro lado para oorrer 10x 10 basta tomar x 1 14 Progressoes Aritmetica e Geometrica PA e PG Primeiramente definimos as sequˆencias que sao funcoes definidas no conjuntos dos numeros naturais Mais precisamente sequˆencia e uma funcao a N R onde denotaremos an por an e a representaremos por a1 a2 a3 an Por exemplo an 2n e sequˆencia dos numeros pares positivos isto e 2 4 6 8 Definicao 141 Uma progressao aritmetica PA e uma sequˆencia a1 a2 a3 an tal que a diferenca an1 an e constante para todo numero natural n Tal diferenca e chamada razao e denotada por r Cada valor an e chamado um termo da sequˆencia Exemplo 141 As progressoes aritmeticas 3 5 7 9 7 4 1 2 5 e 1 1 1 1 possuem razoes 2 3 e 0 respectivamente Pela definicao de PA temos que an1 an r ou seja o sucessor de um termo e este mais a razao O proximo resultado nos diz como obter an a partir de a1 e r Teorema 141 Se an e uma PA de razao r entao an a1 n1r para todo numero natural n Demonstracao Por definicao de PA temos a2 a1 r a3 a2 r an an1 r Somando essas n 1 igualdades obtemos an a1 n 1r Observacao 141 Pode ser considerado tambem a0 como primeiro termo de uma PA em vez de a1 Neste caso o resultado anterior e an a0 nr podendo ser facilmente constatado Mais geralmente am an m nr com m n ou seja para atingir am a partir de an basta somar m n vezes a razao r com an 16 Exemplo 142 Qual o vigesimo quinto termo da PA 4 7 10 14 17 Pelo teorema anterior an 43n1 uma vez que a1 4 e r 74 3 Daı a25 43251 76 Agora iremos pensar no valor da soma dos n primeiros termos de uma PA Teorema 142 Sn a1 ann 2 representa a soma dos n primeiros termos de uma PA a1 a2 a3 an Demonstracao Escrevemos Sn a1 a2 a3 an e Sn an an1 an2 a1 Assim 2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 an a1 onde cada uma das n parcelas do lado direito da equacao e ak ank1 com 1 k n Por outro lado pela observacao anterior podemos escrever ak a1 k 1r e an ank1 k 1r Portanto ak ank1 a1 k 1r an k 1r a1 an e 2Sn a1 an a2 an1 a3 an2 an a1 a1 an a1 an a1 an a1 an a1 ann Logo Sn a1 ann 2 Exemplo 143 Suponha que se guarde inicialmente R 5000 e a cada mˆes subsequente R 1000 a mais do que o mˆes anterior isto e formamos a PA 50 60 70 80 Desta forma qual sera o total guardado em 3 anos Temos a1 50 e r 10 e por seguinte a36 a1 36 1r 50 35 10 400 Logo o total guardado em 3 anos sera S36 50 40036 2 R 810000 Comecaremos o tratamento para um outro tipo de sequˆencia onde a sua taxa de variacao definida a seguir e constante Dados numeros reais a e b com a 0 a razao ba a e chamada taxa de variacao relativa de a para b Por exemplo suponha que o preco de um produto de R 20000 aumentara 10 ao ano Assim se Pn for o preco do produto no ano n entao Pn Pn10 1Pn1 1 01Pn1 para todo natural n e a taxa de variacao de Pn e Pn1 Pn Pn 1 01Pn Pn Pn 0 1 10 Generalizamos essas ideias no teorema seguinte considerando a taxa de variacao de an sendo a taxa de variacao de an para an1 17 Teorema 143 Cada termo de uma sequˆencia an tem taxa de variacao constante igual a i se e somente se an1 1 ian para todo natural n Demonstracao Para todo natural n vale taxa de variacao constante igual a i an1an an i an1 ian an an1 1 ian Definicao 142 Uma progressao geometrica PG e uma sequˆencia a1 a2 an tal que o quociente an1 an chamado de razao e constante para todo numero natural n Observacao 142 Uma PG an de razao 1 i fornece an1 1 ian Assim pelo teorema anterior an tem taxa de variacao igual a i Exemplo 144 As sequˆencias 40 32 256 e 100 105 110 25 sao PGs de razoes 08 e 105 respectivamente e possuem taxas de variacao iguais a 20 e 5 respecti vamente Seja a1 a2 a3 an uma PG de razao q Daı a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 q Logo a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 qn1 isto e an a1 qn1 E assim acabamos de provar o teorema seguinte Teorema 144 Se an e uma PG de razao q entao an a1qn1 para todo numero natural n Exemplo 145 O valor atual de um imovel e R 20000000 e esta valorizando a uma taxa de 10 ao ano Qual sera valor do imovel daqui a 10 anos Os valores do imovel ao longo dos anos formam uma PG de razao 1 i 1 01 11 e seu valor daqui a n anos sera Vn 200000 11n1 em particular daqui a 10 anos sera igual a V10 200000 119 R 41758954 Assim como estabelecemos um resultado para a soma dos n primeiros termos de uma PA faremos a seguir para uma PG Teorema 145 Sn a1 qn 1 q 1 representa a soma dos n primeiros termos de uma PG a1 a2 a3 an de razao q 1 Se q 1 entao Sn n a onde a a1 an Demonstracao Multiplicando por q a equacao Sn a1 a2 a3 an1 an obtemos qSn qa1 qa2 qa3 qan1 qan a2 a3 a4 an qan Consequentemente qSnSn anqa1 a1qn1qa1 a1qna1 ou equivalentemente Snq1 a1qn1 E assim o resultado segue naturalmente para q 1 A segunda parte do teorema e imediato 0 111 0 1 0 01 0 001 1 10 1 100 1 1000 0 1 1 0 1 1 9 O emprego de fatorial é frequente em problemas de contagem tendo em vista o Princípio Fundamental da ContagemPFC se existem a maneiras de tomar uma decisão d1 e se tomada a decisão d1 existem b maneiras de tomar uma decisão d2 então o número de maneiras de tomar sucessivamente as decisões d1 e d2 é ab Exemplo 151 De quantos modos podemos formar uma fila tendo 10 pessoas A escolha da primeira pessoa pode ser feita de 10 maneiras a segunda de 9 maneiras e seguindo assim a última pessoa de uma maneira Ou seja teremos 109821 10 3628800 maneiras de formar a fila Generalizando a ideia do exemplo anterior responderemos à seguinte pergunta De quantas maneiras podemos ordenar n objetos distintos em fila Resposta n n 1 2 1 n maneiras Aqui é o chamado na literatura de permutação simples de n objetos denotado por Pn Uma outra situação importante é saber de quantas maneiras podemos escolher p objetos distintos entre n objetos distintos dados tendo p n Pelo PFC colocamos p objetos distintos em fila de n n 1 n p 1 maneiras Por outro lado ao permutarmos os p maneiras de cada uma dessas filas teremos a mesma classe de objetos distintos escolhidos Portanto a resposta da nossa investigação é n n 1 n p 1 p Tal expressão é denominada combinação simples de n objetos tomados p a p representada por Cnp ou n p e escrita de forma alternativa por n p n n 1 n p 1 p n pn p Por convenção definimos 0 0 1 Exemplo 152 Em uma turma do Ensino Médio será formada uma comissão de representantes da turma com 3 estudantes com pelo menos um homem Quantas são as maneiras de escolha da comissão tendo na turma 12 homens e 8 mulheres Usaremos conjuntamente o PFC e combinação simples tendo um homem 12 1 8 2 e tendo três homens 12 3 Portanto o números total escolhas é 12 1 8 2 12 2 8 1 12 3 12 28 66 8 220 1084 Uma relação importante com os números n p está no teorema seguinte Teorema 151 Relação de Stifel Se n é um número natural e p um inteiro nãonegativo com p n então n p n p 1 n 1 p 1 Demonstração n p n p 1 n pn p n p 1n p 1 n pn p n pn p 1 n pn p n pn 1 np 1 n nn 1 n p 1n p Teorema 152 Binômio de Newton Se a e b são números reais e n um número natural então a b n Σ n i 0 n i a n ib i Demonstração Primeiramente observe que a b n a b a b a b Daí denominando a e b de literais a b n é a soma de monômios em literais de a e b isto é a ib i com j i n ou a n ib i cujos coeficientes iremos determinar a seguir Agora afirmamos que 0 i n De fato o produto a n ib i é obtido pela multiplicação ao somar uma literal em cada fator a b e sendo assim podemos escolher a literal b em i fatores com 0 i n Consequentemente fixado i como temos n fatores podemos tomar n i modos à escolha da literal b nos n fatores a b sem i 0 e assim cada monômio a n ib i aparece n i vezes no caso i 0 o monômio a n surge uma única vez Portanto fixado i cada monômio explicitado acima é do tipo n i a n ib i E por fim variando o valor de i obtemos a b n n 0 a n n 1 a n 1 b n 2 a n 2 b 2 n k a b n Σ n i 0 n i a n ib i Outra demonstração usando indução Se n 1 então Σ 1 i 0 i 1 a 1 ib i 1 0 a 1 1 b 1 a 1 b a b a b 1 Logo é verdadeiro para n 1 Agora suponha por hipótese de indução que seja válido para k e provemos a validade para k 1 isto é a b k 1 Σ k 1 i 0 k 1 i a k 1 ib i Vejamos a b k 1 a b a b k a b a a b b k 0 a k b 0 k 1 a k 1 b 1 k 2 a k 2 b 2 k k a 1 b k 1 k k b k b k 0 a k b 0 k 1 a k 1 b 1 k 2 a k 2 b 2 k k a b k k k 1 a k 1 b 0 k 1 a k b 1 k k 1 a 1 b k k k a 0 b k 1 b Portanto é válido para k 1 e consequentemente vale para todo natural n Teorema 153 Desigualdade de Bernoulli Seja n N com n 2 e i um número real positivo Então 1 i n 1 ni Demonstração Pelo desenvolvimento binomial de Newton 1 i n Σ n p 0 n p i p 1 ni Capıtulo 2 Conceitos da Matematica Financeira 21 Porcentagem Dado um numero real na forma a b ao colocarmos a b x obtemos a x b Assim dizemos que x representa o quanto a e de b ou a fracao que a e de b Escrevendo 3 5 0 6 temos que 3 e 06 de 5 Um caso especial e quando o denominador b e igual a 100 saber o quanto a e de 100 Neste caso dizemos que o numero a 100 esta na forma de porcentagem escrevendo a 100 a onde lemos a porcento Segue imediatamente x 100x para todo numero real x Exemplificando 0215 215 Um calculo encontrar 25 de R 120000 a resposta e 25 100 1200 R 30000 A seguir nao daremos uma tratamento sistematico para o ensino de porcentagem porem apresentaremos algumas situacoes significativas em que nos deparamos no diaa dia as quais conduzem a importantes habilidades que o estudante no Ensino Medio deve adquirir 1 Um valor A aumentado ou diminuıdo de uma porcentagem i k conforme res pectivamente i 0 e i 0 resulta em A iA 1 iA O fator 1 i e dito fator de variacao de A com taxa i 2 Um comerciante aumentou o preco P de uma geladeira em 10 e apos uma certo perıodo de tempo diminui o valor em 10 O valor final e maior menor ou igual a P No primeiro momento obtemos 101P 11P e no segundo 10111P 0z911P 099P 99P portanto menor Observe que o valor final e o mesmo se primeiro diminuir e depois aumentar Generalizando tais ideias podemos pensar em um valor A sujeito a n variacoes de taxas ikk 1 2 n Independente da ordem o valor final sera F 1 i1 1 i2 1 in A 22 23 Em particular se todas as taxas sao iguais a i entao F A1in o que foi menci onado antecipadamente na introducao da secao de funcao exponencial formula esta normalmente apresentada nos livros didaticos na secao de Juros Compostos No entanto tal formula como acabamos de ver pode ser trabalhada antes mesmo da introducao de juros Nas palavras do professor Amorim Dessa forma apos um tra balho consistente com problemas de variacoes sucessivas a introducao do conceito e da formula do regime de juros compostos pode acontecer de forma mais natural e imediata para os alunos1 p17 Outros bons exemplos do cotidiano poderiam ser calculados variacao do salario mınimo do dolar e do barril de petroleo e a inflacao acumulados em algum perıodo de meses ou anos Tais exemplos possibi litam ao professor trabalhar com o estudante proporcionandolhe atuar de forma ativa interdisciplinar e tecnologica fazendo bom uso da pesquisa levantamento e tratamento de dados inferˆencias e conclusoes habilidades imprescindıveis para o estudante do Ensino Medio 3 Nas notacoes anteriores e de interesse se perguntar o valor de uma taxa I tal que F 1 IV Para isso devemos ter 1 IV 1 i1 1 i2 1 in V 1 I 1 i1 1 i2 1 in 21 Observe que a equacao 21 independe de V Caso pratico um trabalhador recebe aumentos sucessivos de 5 9 e 6 qual o percentual acumulado de aumento Fazendo 1I 100510091006 obtemos I 21317 Esse tipo de situacao poderia levar a um erro dar como resposta a soma dos percentuais isto e 20 4 Um lojista de vestuario decide diminuir os precos dos produtos em i k1 e apos alguns dias em liquidacao ira recolocalos aos precos originais De quanto por cento ele devera aumentar cada produto Seja j k2 a taxa procurada e seja P o preco de um produto antes da liquidacao Logo temos que ter 1 j 1 iP P Portanto j i 1i No ultimo capıtulo iremos propor uma sequˆencia didatica dentro de descontos e aumentos sucessivos 22 Juros simples e juros compostos Ao termino de uma aplicacao financeira de um valor monetario C chamado de capital em um perıodo de tempo receberemos de volta C mais uma remuneracao J F C1 in F a juros simples 25000 27500 30000 32500 35000 37500 26 Com isso a formula 23 tambem e valida para perıodos de n naointeiro Quanto a convencao linear aplicamse juros simples a parte naointeira conforme vi mos anteriormente E assim mantendose as notacoes e tomando k o tempo equivalente a a b na unidade temporal de i obtemos F C1 in 1 ki 24 Exemplificando seja C R 4000 00 uma dıvida a juros de i 3 am atrasada a 2 meses e 10 dias Pela convencao exponencial o valor a ser pago Fexp 40001 0 032 10 30 R 428562 e menor do que pela convencao linear com valor Flin 40001 00321 10 30003 R 428604 2 Denotemos Fs o montante a juros simples e Fc a juros compostos Notase em calculos anteriores que pode ocorrer trˆes possibilidades Fs Fc Fs Fc e Fs FC dependendo do valor de n Para precisar quando ocorre cada situacao faremos a analise geometrica a qual e acessıvel para a pratica de ensinoaprendizagem no Ensino Medio Os graficos das funcoes Fsn C1 ni e Fcn C1 in para todo n real naonegativo estao apresentados na Figura 21 da qual concluımos que Figura 21 Comparativo do montante a juros compostos e a juros simples Fs FC n 0 ou n 1 Fs FC 0 n 1 Fs FC n 1 27 Na pratica precisamos de um pouco mais de analise combinando as duas ultimas conclusoes com as convencoes exponencial e linear quando 0 n 1 o juro e maior pelo regime de juros simples se n 1 e um inteiro obtemse maior valor pelo regime composto e por ultimo n 1 nao inteiro existe a possibilidade de combinar os dois regimes convencao linear equacao 24 onde o recebimento de juros e maior pois na parte naointeiramenor do que 1 o juro e maior de modo perceptıvel na Figura 22 onde e mostrado em cor verde o grafico de F na convencao linear e tracejado em azul o da convencao exponencial E aı e razao das instituicoes financeiras no Figura 22 Convencoes linear e exponencial momento da cobranca de juros para os seus clientes optarem pela convencao linear se n 1 e o modelo de juros simples quando 0 n 1 Dessa forma importante tambem falar que os juros simples sao de fato usados com frequˆencia na pratica financeira somente nos tempos fracionarios menores do que 1 e portanto fica sem sentido apresentar aleatoriamente aos estudantes problemas e mais problemas de juros simples pois do contrario seria apenas calculos em uma economia irreal o que nao traz benefıcio onde pretendese ensinar alem da matematica financeira a Educacao Financeira um olhar crıtico e consciente Destacamos por fim que esta analise matematica pormenorizada e reunida nao e encontrada nas literaturas de forma que este texto contribui para o embasamento tecnico de um topico tao comum no diaadia de operacoes financeiras 28 23 Taxas de Juros nominal efetiva e equivalente Quando o juro e incorporado ao capital dizemos que a taxa esta sendo capitalizada Uma taxa e dita nominal quando e capitalizada no perıodo diferente a que se refere a taxa de juros Sao taxas nominais 21 aa capitalizada mensalmente e 60 am capitalizada diariamente A taxa efetiva e quando a capitalizacao ocorre em um perıodo igual a que se refere a taxa a exemplo de 32 am capitalizada mensalmente Comparando duas taxas podemos classificalas em proporcionais ou equivalen tes A primeira e quando a razao entre elas e igual a razao dos respectivos perıodos aos quais elas se referem reduzidos a uma mesma unidade de tempo ou seja se i1 e a taxa referente a um perıodo n1 proporcional a uma taxa i2 referente a um perıodo n2 com n1 e n2 em mesma unidade de tempo entao i1 i2 n1 n2 Taxas como 12 aa e 6 as sao proporcionais pois 12 6 2 2 semestres 1 semestre E se n2 k n1 onde k e a fracao que n2 e de n1 entao i2 k i1 o que nos permite encontrar uma taxa proporcional Qual a taxa mensal proporcional a 24 aa Sendo 1 mˆes 112 ano entao 24 aa 112 24 2 am Dada uma taxa nominal i ao efetuarmos o calculo da capitalizacao e preciso por convencao transformala na taxa proporcional neste caso tambem taxa efetiva refe rente ao perıodo de capitalizacao Assim para uma capitalizacao de 6 as capitalizada mensalmente utilizamos a taxa proporcional de 1 am Ja as taxas equivalentes ocorrem quando aplicadas a um mesmo capital em um mesmo intervalo de tempo produzem o mesmo juro ou montante Teorema 231 No regime de capitalizacao simples duas taxas sao equivalentes se e somente se elas sao proporcionais Demonstracao Sejam m1 e m2 as unidades distintas de tempo referidas as taxas i1 e i2 respectivamente Existe k real tal que 1 k m2 m1 ou seja 1k e a fracao que a unidade de tempo m2 e de m1 Assim reduzindo as duas taxas a unidade comum m2 os valores 1k e 1 sao os perıodos das taxas i1 e i2 na unidade de tempo m2 respectivamente Agora seja t o tempo de uma aplicacao de um capital C Escrevendo t nas unidades m1 e m2 obtemos t k1 m1 k2 m2 onde k1 k2 Logo k1 1 km2 k2m2 o que implica k1 k k2 29 Com essas consideracoes obtemos i1 e i2 sao proporcionais i1 i2 1k 1 i2 ki1 Ck2i2 Ck2ki1 Ck2i2 Ck1i1 capitsimples J1 J2 i1 e i2 sao equivalentes Na capitalizacao composta o teorema a seguir nos diz quando duas taxas sao equivalentes Teorema 232 Sejam I e J taxas referidas as unidades de tempos uI e uJ respecti vamente Se uI nuJ entao J e I sao equivalentes se somente se 1 I 1 Jn Demonstracao Seja C um capital aplicado por um tempo k Logo J e I sao equivalentes C1 I1 C1 Jn 1 I 1 Jn Exemplo 231 Qual a taxa mensal I equivalente a 24 aa Basta fazer 1 I 1024 1 12 o que implica I 1809 am E qual a taxa anual I equivalente a 2 am Neste caso 1 I 1 00212 implica I 26824 aa Assim percebemos que 2 am e proporcional a 24 aa mas nao sao equivalentes Teorema 233 Na capitalizacao composta taxas equivalentes nunca sao taxas propor cionais Demonstracao Consideremos as notacoes descritas no teorema anterior Suponha por absurdo que as taxas sejam de ambos tipos Se I e J sao proporcionais entao I J n 1 e se I e J sao equivalentes entao 1 I 1 Jn Por outro pela desigualdade de Bernouli Teorema 153 temos que I J 1 Jn 1 J n1 1 nJ 1 J n Uma contradicao Portanto no regime de capitalizacao composta taxas equivalentes nao sao proporcionais Portanto tornase desnecessario falar em taxas proporcionais e sim apenas em taxas equivalentes conforme tambem observa o professor Jose Dutra Sobrinho 30 A proporcionalidade linear e uma caracterıstica da capitalizacao simples Por isso enten demos que o fato de taxas proporcionaisserem apresentadas como parte de um programa de matematica financeira apenas confunde o aluno ou o leitor que pensa tratarse de mais um tipo de taxas de juros 15 p91 Agora iremos fazer um estudo do impacto ao anunciar a taxa nominal e nao a efetiva Em particular consideremos uma taxa i anual capitalizada mensalmente Logo a taxa efetiva mensal e i 12 e a equivalente anual e I 1 i120012 1 com i na forma percentual Alisando os graficos das funcoes fi i e gi 100 1 i120012 1 g em percentual indicados na Figura 23 representando as taxas nominal e efetiva em funcao da taxa nominal i respectivamente podemos dizer que Figura 23 Taxa nominal e taxa efetiva A taxa de variacao da diferenca entre as taxas gi fi e crescente gi fi 0 taxa nominal anual taxa efetiva anual se e somente se i 0 Taxa nominal de 1500 125 am bem comum nos cartoes de credito repre senta uma taxa efetiva anual 3110 mais do que o dobro Percebese que o uso de taxas nominais pode estar escondendo altıssimas taxas efetivas Observacao 231 Se as taxas sao capitalizadas em diferentes unidades de tempo entao pode de ocorrer taxas nominais menores produzirem taxas efetivas maiores Taxas nomi nais de 155 aa capitalizada trimestralmente e 157 aa capitalizada semestralmente produzem taxas equivalentes anuais de 1642 e 1632 respectivamente Assim para 1200 1236 1268 1274 32 um bom uso de logaritmo Exemplo 232 Qual a taxa instantˆanea equivalente a uma efetiva de j 12 aa A resposta e I ln1 0 12 11 33 E sempre I j o que faz sentido pois na capitalizacao contınua o juro e incorporado mais vezes logo uma menor taxa nesse regime e necessaria para produzir o mesmo montante no outro regime com um menor numero de capitalizacoes Uma prova formal e possıvel com o Calculo Diferencial Fa zendo fx ex x 1 temos que f0 0 e f x 0 x 0 Por outro lado f 2 0 Logo como consequˆencia do Teorema do Valor Intermediario f x 0 qual quer que seja x real positivo Portanto f e crescente para x 0 E daı fx 0 para todo x 0 Logo ex 1 x ou tomando x I j eI 1 I Observacao 232 Um cuidado devese ter no calculo de taxas equivalentes Ao se aproximar o valor de uma taxa equivalente os resultados oriundos dessa aproximacao estarao com erros ainda que pequenos podendo ficar grandes devido ao comportamento exponencial Assim e sugestivo trabalhar com a expressao da taxa equivalente e no final das contas fazer a aproximacao numerica Ou quando em calculos manuais nao usar poucas casas decimais 24 Taxas aparente real e inflacionaria O poder real de compra de uma determinada quantia monetaria depende da epoca a ser considerada A quantia de R 10000 hoje utilizada na compra de uma quantidade x de produtos podera nao ser suficiente daqui a um ano pois a inflacao taxa de elevacao de precos possivelmente diminuira o seu poder de compra Digamos para uma inflacao de 5 necessitaremos de R 10500 para adquirir a mesma quantidade x Por outro lado caso aquela quantia original sofra uma reajuste de 10 no mesmo perıodo ela passara a valer R 11000 Logo 110105 105 00476 476 e a taxa real de aumento do poder de compra dos R 10000 e nao os 10 5 5 o que talvez alguem poderia pensar Generalizando tais ideias se um valor Q0 tem uma variacao de ia denominada taxa aparente referente a um perıodo de taxa inflacionaria ii desejamos saber qual e a taxa de variacao da quantia Q0 reajustada por ia em relacao ao reajuste inflacionario de Q0 aqui denominada de taxa real ir E no proximo teorema fica estabelecida uma relacao entres essas trˆes taxas Teorema 241 Nas notacoes anteriores ir ia ii 1 ii 25 Demonstrado Um valor Q0 elevado por uma taxa ia em um período de tempo passa a valer Q01ia E Q0 no mesmo período de tempo ajustado por uma taxa inflacionária de ii valerá Q01 ii Logo ir Q01iaQ01ii Q01ii Q0 1 ia 1 ii 1 ia 1 ii 1 1 ia 1 ii 1 ii ia ii 1 ii 34 4 Pelo discutido no item 3 surge uma pergunta se ir 0 qual o percentual da diferenca ia ii resulta em ir O que e facilmente respondido por ir ia ii 1 ii ir ia ii 1 1 ii Daı 1 1ii e o valor procurado Por exemplo dado ii 4 entao 1 1004 9615 de ia ii sera igual a ir E para ii 30 entao 1 103 7692 de ia ii sera igual a ir 5 Dado ii usando novamente 25 obtemos ia ii 1ir ii 1 irii ir ou seja a taxa aparente e uma funcao afim na variavel ii onde o seu grafico e crescente pois a sua inclinacao ir 1 e positiva uma vez que sempre ir 1 ou seja um valor monetario nao pode diminuir 100 ou mais Por exemplo se uma empresa deseja reajustar o salario de seus funcionario a repor a inflacao de 5 e mais um aumento real de 3 qual o percentual de aumento a ser anunciado Sera ia 005 1003 005 815 Note que aqui usamos o valor explıcito de ia porem basta termos o resultado em 25 e saberemos o valor das trˆes taxas em questao E sendo assim nao e sugerido a memorizacao de formulas equivalentes pois podera prejudicar a aprendizagem do aluno pelo acumulo de formulas na cabeca 6 Dado ii o valor de ir ia 1ii ii 1ii e uma funcao afim crescente de ia com taxa de variacao 1 1ii independente da taxa aparente Assim para cada ponto percentual de variacao em ia a taxa real ira variar 1 1ii E como 1 1ii e decrescente em ii ao aumentarmos o valor de ii teremos uma menor variacao de ir Ou seja para inflacoes mais altas a taxa real tera um menor crescimento 7 Uma situacao que pode ocorrer e ii 0 e ia 0 isto e por exemplo uma elevacao de precos ao consumidor sem aumento salarial Por 25 lim ii ir 1 100 e ir ii 1ii 0 resultando em uma perda salarial menor do que ii Por exemplo se ii 9 entao a perda salarial sera de 009 1009 826 Trˆes outras analises merecem destaque ir 50 ii 1ii 0 5 ii 100 ou seja a perda do poder de compra sera superior a 50 se e so somente se estivermos em patamares de hiperin flacao superiores a 100 35 ir ii ii 0 isto e a perda do poder de compra sera aproximadamente igual a taxa de inflacao se e somente se a taxa inflacionaria for proximo de zero O grafico de ir mostrado na Figura 24 nos permite tirar conclusoes impor tantes sobre a perda do poder de compra inflacao de ate 100 ja gera uma perda de ate 50 no patamar inflacionario de 400 so e possıvel comprar 20 do que se compraria sem essa inflacao e apesar de que a partir de 400 a variacao dessa perda vai diminuindo de forma acentuada o poder de compra ja foi quase todo consumido 80 Ademais ainda que ocorra ia 0 os casos de hiperinflacao continuam consumindo grande parte do poder de compra Figura 24 Perda real quando ia 0 e ii 0 25 Series Uniformes Agora veremos a importantıssima ideia de equivalˆencia de capitais Podese per guntar vocˆe deseja R 20000 hoje ou R 20000 daqui a 1 ano A resposta pode passar por diferentes pensamentos a perda do poder de compra devido a inflacao a necessidade do dinheiro hoje a ansiedade de consumo imediato opcao de investimento entre outros Sendo assim fora as questoes de necessidades pessoais queremos comparar valores em diferentes epocas Para isso escolhemos uma data base chamada de data focal para comparar tais valores usando o princıpio contido na formula 23 isto e multiplicar resp dividir um valor C por 1 in estamos levando a quantia C para n perıodos a frente resp atras 36 Exemplo 251 Considerando uma taxa de 10 am o que tem maior valor um pa gamento de R 50000 daqui a um mˆes ou dois pagamentos de R 26000 para 30 e 60 dias Levando tudo para data focal 0 o primeiro pagamento tem valor 500 11 45455 e o segundo 260 11 260 112 45124 Logo a primeira opcao tem maior valor de modo que quem assim pagar estara pagando mais caro O exemplo anterior e um caso particular de uma teoria mais geral a qual comecaremos a apresentar a seguir Definicao 251 A distribuicao de valores situados em diferente epocas e chamada de serie onde cada valor e dito parcela pagamento recebimento prestacao ou termo con forme o que melhor se enquadrar no contexto Uma serie uniforme e quando os seus termos sao iguais e o espaco de tempo entre quaisquer dois termos consecutivos e cons tante E a serie e dita nao uniforme se nao for uniforme Serie postecipada e serie antecipada sao aquelas quando os seus termos ocorrem no final e no inıcio de cada perıodo de tempo respectivamente Primeiramente faremos analise das series uniformes postecipadas e depois com um deslocamento no tempo chegaremos nas antecipadas As Figuras 25 e 26 representam tais series de n termos de valor P Daqui em diante a soma dos termos na data focal 0 sera chamado de valor atual ou valor principal e denotado por A Figura 25 Serie uniforme postecipada Figura 26 Serie uniforme antecipada Teorema 251 Dada serie uniforme de valor atual A com n termos postecipados a uma taxa de juros i entao A P 1 1 in i Demonstrado Trazendo os termos para data focal zero o primeiro fica P 1in e o nésimo P 1in Portanto A P 1 i P 1 i2 P 1 in n k1 P 1 ik é a soma de uma progressão geométrica com n termos a1 P 1i e razão q 1 1i 1i1 Logo A a1 1qn 1q P 1 i 1 1 i1n 1 i 1 1 i1 P 1 1 in 1 i 1 P 1 1 in i 38 Apresentaremos a seguir algumas nomenclaturas encontradas em literatura de calculo financeiros Sabemos que A P 1 1 in i P A i1 in 1 in 1 e F P 1 in 1 i P F i 1 in 1 As fracoes 11in i i1in 1in1 1in1 i e i 1in1 nas series uniformes postecipadas sao chamadas de Fator de Valor Atual Fator de Recuperacao de Capital Fator de Acumulacao de Capital e Fator de Formacao de Capital respectivamente abreviados por FVA FRC FAC e FFC respectivamente Alguns autores apresentam notacao proprias o que nao faremos nesse trabalho O fator mais utilizado na pratica e o FRC no calculo de prestacoes para emprestimos bancarios e para financiamento de bens como vimos em exemplos anteriores Quando nao se dispunha de calculadoras financeira ou cientıficas buscavase os fatores em tabelas financeiras como as apresentadas em 15 Hoje alem das calculadoras temos planilhas eletrˆonicas como Excel e sites na internet Agora desejamos explicitar os valores de n e i nos dois resultados anteriores em funcao das outras variaveis No caso de n usaremos nocoes de logaritmos e para i recurso computacional A P 11in i 1 in PAi P 1 in P PAi n log1i P PAi uma vez que P Ai A P 11in i Ai1in P1inP 1ix Axn1APxnP 0 Aqui encontramos uma equacao de grau n 1 para calculo de x e consequentemente de i onde i 0 x 1 F P 1in1 i 1 in FiP P n log1i FiP P F P 1in1 i Fi P1 in P 1ix Pxn Fx F P 0 onde x 1 As duas equacoes encontradas acima nao dispoem de metodo geral para encontrar suas raızes reais Assim uma possibilidade e o uso de software grafico como o GeoGebra em que sera apresentado uma proposta de sequˆencia didatica no ultimo capıtulo Por outro lado no calculo do valor de n usamse logaritmos ocorrendo por exemplo quando desejamos acumular um valor futuro F dispondo de P e uma taxa prefixada conforme o exemplo seguinte 39 Exemplo 253 Quantas prestacoes de R 7929 devemos aplicar por mˆes a taxa de 09 am para obtermos um montante final de R 100000 Temos P 7929 i 0009 F 1000 Logo o valor procurado e n log10009 1000 0009 7929 79 29 log1009 8829 7929 ln 8829 7929 ln1009 12 meses considerando a primeira na data focal 1e a ultima na 12 Vamos fazer algumas analises do valor da prestacao em funcao de A i e n a partir de P fA i n A i 11in A i1in 1in1 Fixados i e n P e proporcional a A onde a constante de proporcionalidade e o FRC Assim se temos o valor de P1 para um valor A1 e desejamos uma outra simulacao P2 para A2 entao P2 P1 A2 A1 Na pratica isso pode ocorrer por exemplo quando temos um extrato bancario com uma simulacao e queremos alterar o valor de A desde que a taxa nao dependa de A nao sendo necessario outra simulacao em novo extrato Exemplo se para um emprestimo de R 100000 pagase em 24 parcelas de R 8015 entao tomando emprestado R 245000 teremos P2 8015 2450 1000 19637 Fixados A e i P e decrescente em relacao a n De fato n cresce 1in cresce 1 1 1 1in decresce gn e decrescente Ou seja o valor da parcela decresce quando aumentase o prazo Fixados A e n P e crescente em relacao a i Aqui usaremos ideias do Calculo Di ferencial De fato derivando pelas regras do produto quociente e cadeia obtemos dP di A11 in in1 in1 1 in 1 i1 in n1 in1 1 in 12 A1 i2n in1 i2n1 1 in in1 in1 in1 i2n1 1 in 12 A1 i2n 1 in in1 in1 1 in 12 1 in11 in i1 in 1 i in 1 in 12 onde na ultima igualdade usamos 1 i2n 1 in11 i1 in 1 in11 in i1 i Se n 1 entao 1 in 1 ni pela desigualdade de Bernoulli Teorema 153 Alem disso i1 in i pois 1 in 1 Logo hi 0 E se n 1 entao Veja como tratar as séries antecipadas Não fazemos através da soma de PG como fizemos para séries postecipadas e sim aproveitaremos os resultados já obtidos Observando que aplicando o Teorema 251 na série antecipada o valor atual A cairá em uma data focal a menos do que o pretendido a qual chamamos de 1 Agora multiplicando esse resultado por 1 i obtemos o valor atual da série antecipada a saber A P 1 i 11 in i Exemplos 254 Uma pessoa começa investir hoje R 10000 por mês durante 5 meses a uma taxa de rendimento i 2 am e deseja resgatar em 5 meses Qual será o valor do resgate O problema está representado na Figura 27 Pelo Teorema 252 com n 5 o valor a ser resgatado é F 1001 0025 1 002 R 53081 O tempo decorrido até o primeiro termo de uma série é chamado de carência Teorema 253 Dada uma série uniforme de valor atual A a uma taxa de juros i com n termos iguais a P e o seu primeiro termo na data focal k então i A P1 ik 1 1 in i P1 ik FVA ii F P1in1 i no último termo k n 1 iii F Pi i 1in1 i na data focal k n Exemplo 255 O banco X empresta a um cliente R 2000000 para pagamento em 10 parcelas fixas com taxa de juros a 40 am e com carência de dois meses Capıtulo 3 Sistemas de Amortizacao SAC e PRICE Ao fazermos um emprestimo parcelamento ou financiamento nos comprometemos a pagar aos poucos ao longo de meses a dıvida original mais os juros Esses valores sao distribuıdos em uma serie de pagamentos constituıdos por duas partes uma cor respondente a dıvida original chamada de valor de amortizacao e outra ao juro do perıodo Os dois tipos de series uniformes que sao amplamente aplicadas nas amortizacoes sao Sistema de Amortizacao Constante SAC onde a amortizacao e constante e o sistema PRICE tambem conhecido como Sistema Francˆes de Amortizacao em que os seus termos sao constantes Ambos sistemas sao apresentados a seguir de uma maneira mais abrangente do que e comumente descrito em literaturas ou vıdeos na internet seja pela falta de uma precisa explicacao matematica ou pela omissao de resultados Ademais e oportuno dizer que sendo tais conhecimentos de fundamental importˆancia para o entendimento e tomada de decisoes em diversas operacoes financeiras os indicamos como um topico da matematica financeira para o Ensino Medio No que segue para as series postecipadas a menos que se diga ao contrario con sideramos n o numero de termos i a taxa de juros Ak o valor da amortizacao Pk o valor de cada termo Jk o valor de juros D0 o valor principal e Dk o valor da dıvida todos na epoca k sendo a dıvida considerada logo apos o pagamento da parcela Pk O juro e a parcela na epoca k sao definidos por Jk iDk1 e Pk Ak Jk Tais valores ficam bem determinados nos dois teoremas seguintes Teorema 301 SAC No sistema SAC vale i Ak D0 n ii Dk nk n D0 43 Teorema 302 PRICE No sistema PRICE vale i Pk D0 i 1 1 in ii Dk D01 1ink 1 1in iii Ak D01 ik1 1 i1 45 k Pk Ak Jk Dk 0 200000 1 49000 40000 9000 160000 2 47200 40000 7200 120000 3 45400 40000 5400 80000 4 43600 40000 3600 40000 5 41800 40000 1800 Totais 227000 200000 27000 Tabela 31 Tabela de Amortizacao SAC k Pk Ak Jk Dk 0 200000 1 45558 36558 9000 163442 2 45558 38203 7355 125238 3 45558 39923 5636 85316 4 45558 41719 3839 43596 5 45558 43596 1962 Totais 227792 200000 27792 Tabela 32 Tabela de Amortizacao PRICE Exemplo 301 Consideremos um emprestimo no valor de R 200000 com juros de 45 am parcelado em 5 vezes As Tabelas 31 e 32 indicam as amortizacoes no SAC e no PRICE As tabelas SAC e PRICE sao as utilizadas no Brasil atualmente as duas como opcoes para financiamento imobiliario e a segunda nos emprestimos e parcelamentos de outros bens Na construcao de tais tabelas podemos usar o Excel ou outra planilhas eletrˆonica possibilitando uma maior rapidez de calculo poupando tempo para a interpretacao dos dados e uma consciente tomada de decisao habilidades essas necessarias e imprescindıveis para uma boa educacao financeira Agora desejamos estabelecer propriedades de cada sistema e propriedades compa rativas entre si 1 SAC A sequˆencia de juros Jkk1 forma uma PA decrescente de primeiro termo J1 iD0 e de razão r Jk Jk1 iDk iDk1 i nkn nk1n D0 i n D0 31 47 p576577 Nesse momento e importante tambem que o estudante perceba a associacao existente entre progressao aritmetica e funcao afim de domınio discreto e E impor tante ainda que sejam estabelecidas associacoes entre funcao exponencial e a nocao de progressao geometrica E usado daqui em adiante o subscrito kS para indicar uma grandeza no sistema SAC e kP no PRICE ambos no perıodo k Exemplo 302 A Figura 31 mostra a evolucao das parcelas nos dois sistemas para D0 R 100000 i 70 am e n 24 onde PkP esta na reta de taxa de variacao iD0 n 70 24 e PkS na reta constante y Pk 8719 Mais adiante serao feitas analises a respeito do ponto de interseccao dos graficos das parcelas dos dois sistemas Figura 31 Evolucao das parcelas no SAC e PRICE Apesar de apresentarmos apenas dois exemplos de cada sistema algumas perguntas surgem em relacao aos dois sistemas mantendose os mesmos valores de D0 n e i Pagas algumas parcelas em qual sistema o valor da dıvida restante e maior Em qual sistema a primeira parcela e maior E a ultima O juro total pago e maior em qual sistema E o total das prestacoes A seguir responderemos essas e outras perguntas O proximo resultado nos diz que apos o pagamento das k primeiras parcelas o valor da dıvida no SAC e menor do que no PRICE A demonstracao de nossa autoria contem apenas assuntos do Ensino Medio Teorema 303 Sejam k e n numeros naturais com 0 k n e i um numero real positivo Entao as dıvidas apos k pagamentos satisfazem DkS DkP Demonstração Pelos Teoremas 301 e 302 as dívidas após o pagamento da késima parcela são DkS 1 k n D0 e DkP D0 11ik 1ik respectivamente Corolário 302 As parcelas nos modelos de amortização SAC e PRICE satisfazem n k1 PkS n k1 PkP 50 ii Aplicando novamente os Teoremas 301 e 302 com k n e suficiente mostrar que i 11in 1i n ou equivalentemente i 1 in 1 in 1 1 i n 1 inin 1 i 1 in 1 1 inin 1 in i1 in 1 i 1 in in 1 i 1 i 33 Fazendo 1 i x temos que x 1 e i x 1 obtendo equivalˆencia de 33 xn x 1n x x n 1xn1 nxn x 0 onde a ultima desigualdade e verdadeira pelo Lema 301 Um corolario imediato e que as parcelas no SAC sao sempre menores do que no PRICE a partir de alguma prestacao Corolario 303 Se n 2 entao existe um natural λ onde 1 λ n tal que PkS PkP para todo k com λ k n e PkS PkP para todo k λ Demonstracao Pelo teorema anterior e sabendose que as parcelas no PRICE sao cons tantes e no SAC sao decrescentes Observacao 302 O caso nao tratado no teorema anterior quando n 1 e k 1 e facilmente analisado P1S D01i P1P as duas unicas parcelas sao iguais bastando substituir os valores de n e k na primeira parcela nos dois sistemas Uma pergunta surge em relacao o valor de λ no corolario anterior Ha alguma especie de estimativa para esse valor Sim Conseguimos encontrar uma ao redigir o presente texto Primeiro vamos estabelecer quando PkP PkS usando os Teoremas 302 e 301 PkP PkS i 1 1 in 1 ni ki i n ni 1 1 inki 1 1 in1 ni i 1 1 inki 1 1 in1 ni i ni k 1 1 in1 ni i ni i1 1 in k 1 i n 1 n1 in 1 in 1 k 1 1 i n 1 in 1 Φ 34 Exemplo 303 Tomando i 5 am e n 15 meses na equação 34 obtemos k 7097 As parcelas no PRICE são maiores do que as do SAC somente a partir da 8ª parcela quase metade do tempo Mantendose essa taxa com n 60 obtemos k 17606 cerca de 70 do tempo as parcelas PRICE são maiores Exemplo 304 Para os prazos fixos de 36 e 48 meses resulta no gráfico de valores de k indicados na Figura 32 onde notase para um período de três anos que 778 das parcelas PRICE são maiores que as do SAC no caso da taxa de 12 e diminuindo a taxa para 05 elas ficam maiores em 528 A seguir é feita uma estimativa geral de quando as parcelas de um sistema é maior do que o outro Lema 302 Se Φ 1 1 i n 1in1 então dΦ di 0 54 Figura 34 P1S P1P em funcao de n A Tabela 33 nos fornece o valor de P1S e P1P para alguns valores de n Com ela perce bemos o patamar inicial de valor de prestacao a ser assumido no inıcio de financiamento imobiliario Alem disso observase que fixado i um mutuario tera a partir de um prazo n 120 180 240 300 P1S R 260000 R 218333 R 197500 R 185000 P1P R 204931 R 168610 R 152792 R 144853 Tabela 33 Primeira parcela no SAC e PRICE para i 0 90 superior a 26 meses de financiamento uma diferenca entre a primeira prestacao nos dois sistemas cada vez menor porem de forma lenta Notase que para 240 meses 20 anos a diferenca ainda continua significativa e com valores individuais ainda altos Uma visao si multˆanea com mais valores pode ser conseguida atraves da ferramenta dinˆamica controle deslisante do GeoGebra a qual e trabalhada no ultimo capıtulo Pelo que vimos ate aqui buscandose no mercado financiar valores menores com prazos mais esticados e taxas mais baixas o mutuario podera aumentar as chances de se ter a sua escolha os dois sistemas Agora iremos analisar o valor das amortizacoes Teorema 307 Seja n N com n 2 Entao os valores das primeira e ultima amortizacao nos sistemas SAC e PRICE satisfazem i A1S A1P ii AnP AnS Demonstração Vimos que Aks D0 n e AkP D0i 1ik1 1in1 i Pela desigualdade de Bernoulli Teorema 153 1in 1 ni 1in 1 i n 1 n i 1in 1 e multiplicando por D0 segue o resultado ii Pelos Teoremas 301 e 302 temos que PnS 1 n 1 i 1 n D0 1i D0 n 1i AnS e 1iAnP 1iD0i 1in1 1in1 D0i 1in1 1in1 PnP Por outro lado pelo Teorema 304 PnP PnS Logo AnP AnS Demonstração i Imediato pois Aks D0 n ii t k1 AkP t k1 D0i 1ik1 1in1 1i0 1i1 1i2 1it1 iD0 1in1 onde a soma da PG é a1 q m1 q 1 1 1it1 1i1 1it1 i E portanto t k1 AkP 1it1 i 1in1 D0 1it1 1in1 A segunda parte D0 1it1 1 1in1 λD0 1it λ1in1 1 t log1iλ1in1 1 para i 0 O teorema a seguir nos fornece quando metade da dívida é amortizada Capıtulo 4 Matematica Financeira um pouco do calculo do Imposto de Renda Diversos impostos sao cobrados pelos governos ao redor do mundo Aqui no Brasil um deles e denominado Imposto de Renda IR tributado pelo governo federal tendo sido instituıdo por forca do artigo 31 da Lei no 4625 de 31 de dezembro de 1922 O Decreto no 3000 de 26 de marco de 1999 regulamenta a tributacao fiscalizacao arrecadacao e administracao do IR e proventos de qualquer natureza E normas gerais atualizadas de tributacao relativas as pessoas fısicas constam na Instrucao Normativa da Receita Federal do Brasil RFB no 1500 de 29 de outubro de 2014 com suas modificacoes posteriores Historia trajetoria curiosidades e legislacoes do IR estao disponıveis de forma online em 13 Neste texto iremos trabalhar com o IR de pessoa fısica no regime da Consolidacao das Leis do Trabalho CLT com carteira assinada considerando apenas deducoes com dependentes e com a contribuicao previdenciaria oficial sob responsabilidade do Instituto Nacional do Seguro Nacional INSS um orgao federal situacoes essas nas quais abrange um grande numero de contribuintes Por outro lado nao discutiremos os impactos socio econˆomico e polıtico das questoes ligadas ao total arrecadado as mudancas no numero de faixas e suas alıquotas e as atualizacoes da tabela ao longo dos anos Aqui diferentemente do tratamento comumente dado atraves de planilhas eletrˆonicas o qual so proporciona uma visao isolada para cada entrada do salario bruto s o estudo sera explorado atraves do conceito de funcao definida por varias sentencas especificamente as funcoes imposto de renda e salario lıquido com seus respectivos graficos variando os parˆametros salario bruto e numero de dependentes proporcionando uma visao ampla comparativa e simultˆanea para diferentes valores de s o que nao e possıvel atraves das planilhas Tambem sera estudada a taxa efetiva do imposto de renda a qual e pouco difundida 57 58 Com essa nova abordagem nos propormos a dar uma contribuicao para cla rear o entendimento dos valores arrecadados com esse imposto tao presente na vida de milhoes de pessoas proporcionando um tratamento matematico adequado e fornecendo uma aplicacao da funcao afim Consequentemente apresentar mais uma possibilidade do ensino contextualizado da matematica demonstrando sua beleza e aplicabilidade ao mesmo tempo em que se pode discutir questoes de cidadania Desde ja chamamos a atencao para os valores encontrados os quais poderao ter pequenas diferencas devido a aproximacoes nos calculos 41 Contribuicao Previdenciaria Oficial As alıquotas para contribuicao previdenciaria do INSS sao apresentadas na Tabela 41 onde o salario de contribuicao e o salario bruto Essa tabela pode ser representada Tabela para Empregado Empregado Domestico e Trabalhador Avulso 2017 Salario de Contribuicao R Alıquota Ate R 165938 8 De R 165939 a R 276566 9 De R 276567 ate R 553131 11 Tabela 41 Tabela de Contribuicao Previdenciaria Fonte Sıtio da Previdˆencia Social por uma funcao de quatro sentencas onde cada uma delas e uma funcao afim restrita a um intervalo De fato se P representa o valor da contribuicao previdenciaria mensal em funcao do salario bruto s entao Ps 008s se s 165938 009s se 165938 s 276566 011s se 276566 s 553131 60844 se s 553131 considerando como o domınio o conjunto 0 O seu grafico e indicado na Figura 41 e a imagem do intervalo de definicao para cada sentenca e Im1 ImP 0 s 165938 0 13275 Im2 ImP 165939 s 276566 14935 24810 Im3 ImP 276567 s 553131 30422 60844 Im4 ImP s 553131 60844 59 Figura 41 Contribuicao previdenciaria em funcao do salario bruto Observase que existem dois saltosno grafico de P caracterizando pontos de des continuidade aumentos de R 001 em s 165938 e s 276566 geram aumentos de contribuicao nos valores de R 1660 e R 5531 respectivamente Sendo que a segunda variacao e bem maior devido a mudanca de alıquota e o valor de s tambem serem mai ores Esses dois pontos de mudancas da alıquota da contribuicao previdenciaria serao importantes para compreensao de aparentes erros no calculo do IR e do salario lıquido O valor de R 60844 e chamado de teto de contribuicao previdenciaria a partir de s R 553131 a contribuicao e fixada nesse valor Daı uma vez que se contribui no maximo em cima de R 553131 este valor tambem e o maximo ano 2017 para recebimento de aposentadoria pelo INSS E importante ver a taxa de variacao de P na primeira sentenca temos P 008s tendo taxa de variacao igual a 008 ver a secao de funcao afim ou seja a cada aumento de um real no salario bruto contribuise R 008 a mais para o INSS exceto na extremidade direita do intervalo Analogamente para a segunda e terceira sentenca com taxas de 009 e 011 E na ultima a taxa de variacao e nula 42 Imposto de Renda No calculo IR consideremos s o salario bruto P o valor pago ao INSS n o numero de dependentes e d o valor a deduzir por dependente indicado na Tabela 42 A Base de Calculo e definida por Bc s P nd O valor do imposto de renda e IR Bc iR Pd Anocalendário Quantia a deduzir por dependente R 2015 a partir do mês de abril e posteriores 18959 Tabela 42 IR Dedução mensal por dependente Ano 2017 Fonte Sítio da Receita Federal Base de Cálculo R Alíquota Parcela a deduzir do IRPFR Até 190398 De 190399 até 282665 75 14280 De 282666 até 375105 15 35480 De 375106 até 466468 225 63613 Acima de 466468 275 86936 Tabela 43 IR Tabela de incidência mensal Ano 2017 Fonte Sítio da Receita Federal A regra geral é a seguinte aplicada a alíquota dentro de uma faixa da base de cálculo o excedente nas faixas anteriores deverá ser abatido o que é chamado de parcela a deduzir A quarta faixa f4 de R 375106 até R 466468 tem alíquota de 225 com Bc 375105 β com 001 β 91363 onde 91363 466468 375105 Assim temos que diminuir 225150 75 do teto de f3 pois a alíquota da terceira faixa é de 15 mais a parcela a deduzir desta faixa dando um total de Pd 28133 35480 R 63613 E por fim a última faixa acima de R 466468 tem alíquota de 225 com Bc 466468 ψ com ψ 001 Assim temos que diminuir 275225 50 do teto de f4 pois a alíquota da quarta faixa é de 225 mais a parcela a deduzir desta faixa dando um total de Pd 23323 63613 R 86936 Pelos cálculos anteriores a Base de Cálculo é distribuída nas cinco faixas tendo o valor máximo de tributação de R 190398 R 92267 R 92440 e R 91363 nas faixas 1 2 3 e 4 respectivamente sendo ilimitado na última faixa Exemplo 421 Um funcionário de uma empresa recebe um salário bruto de R 530000 e não tem dependentes Vamos escalar o resultado do IR a pagar de acordo as faixas da Base de Cálculo Temos P 011 5300 R 58300 Bc 5300 583 R 471700 Os resultados estão na Tabela 44 Para o cálculo direto basta fazer IR Bc iR Pd 4717 275 86936 R 42782 Tabela 44 Demonstrativo de apuração do IR Observação 421 A Receita Federal 14 disponibiliza um simulador online para verificar da apuração escalonada do IR onde é preciso entrar com o salário bruto e o valor das deduções 62 43 Funcoes do Imposto de Renda e do Salario Lıquido Os escritorios contabeis tˆem em tabelas eletrˆonicas formulas para o calculo da previdˆencia imposto de renda e do salario lıquido Apresentaremos a seguir formulacoes matematicas do ponto de vista de funcao e sua variacao e seu grafico Faremos algumas analises mas nao seremos exaustivos outras poderao ser aplicadas em sequˆencias didaticas no processo de ensinoaprendizagem Primeiro trabalharemos com o IR sem dependentes Depois compararemos nos casos em que o numero de dependentes for de 1 a 3 O ponto de partida sera a tabela 41 pois essa esta em funcao do salario bruto No caso de atualizacao dessa tabela ou uma das tabelas 42 e 43 pelo governo federal basta aplicar raciocınio semelhante A construcao e analise de graficos sao habilidades importantes para diversas areas de conhecimento Com eles em muitos casos podemos ter uma visao de como as funcoes estao variando Ja valores pontuais talvez sejam melhor obtidos pela expressao analıtica da funcao Pode ocorrer que o olhar grafico por si so nao seja suficiente para uma analise precisa de caracterısticas de uma funcao pois a exibicao grafica pode conter limitacoes visuais sejam elas computacionais ou manuais Assim precisamos confirmar por metodos algebricos ou analıticos propriedades da funcao percebidos ou nao na exibicao grafica Obtida essa confirmacao poderemos olhar diretamente para o grafico como fazermos por exemplo no graficos das funcoes afim e exponencial Em particular nas funcoes definidas por mais de uma sentenca temos que ter um cuidado especial nos pontos de mudanca de sentenca pois pode nao ficar perceptıvel o comportamento grafico nesses pontos E nesse sentido estaremos calculando a imagem no intervalo que define cada sentenca Denotemos por n iI e iR o numero de dependentes e as alıquotas do INSS e IR respectivamente 1o CASO sem dependentes IMPOSTO DE RENDA Ao receber um salario s podera ser aplicado uma das trˆes alıquotas do INSS Se iI 8 entao Bc s 165938 e por seguinte IR 0 Se iI 9 consideremos dois casos a teto para IR 0 Bc 091s 190398 s 209229 b teto para essa alıquota s 276566 com iR 75 63 Se iI 11 consideremos alguns casos a teto para iR 75 Bc 089s 282665 s 317601 b teto para iR 150 Bc 089s 375105 s 421466 c teto para iR 225 Bc 089s 4 66468 s 524121 d teto para para essa alıquota s 553131 com iR 275 E por ultimo se desconta o valor maximo para o INSS no valor de R 60844 que e de 11 de R 553131 com iR 275 Do exposto acima o valor de IR sP ndiR Pd em funcao do salario bruto s e IRs 0 se s 165938 0 se 165938 s 209229 s 009s 0075 14280 se 209229 s 276566 s 011s 0075 14280 se 276566 s 317601 s 011s 015 35480 se 317601 s 421466 s 011s 0225 63613 se 421466 s 524121 s 011s 0275 86936 se 524121 s 553131 s 60844 0275 86936 se s 553131 0 se s 165938 0 se 165938 s 209229 006825s 14280 se 209229 s 276566 006675s 14280 se 276566 s 317601 013350s 35480 se 317601 s 421466 020025s 63613 se 421466 s 524121 024475s 86936 se 524121 s 553131 027500s 103668 se s 553131 O seu grafico esta indicado na Figura 42 ANALISE Calculo da imagem Im1 ImIR 0 s 165938 0 Im2 ImIR 165939 s 209229 0 Im3 ImIR 209230 s 276566 0 4596 Im4 ImIR 276567 s 317601 4181 6920 Im5 ImIR 317602 s 421466 6920 20786 Im6 ImIR 421467 s 524121 20786 41342 64 Figura 42 Imposto de Renda sem Dependente Im7 ImIR 524122 s 553131 41343 48443 Im8 ImIR s 553131 48443 Daı concluımos que IR nao e injetora isto e existem salarios brutos diferentes com o mesmo imposto de renda a pagar temos Im2 Im3 4181 4596 o que implica em uma variacao de imposto de IR 415 ou seja um aumento de R 001 em s R 276566 resulta em um decrescimo de R 415 no imposto de renda a pagar o que pode parecer uma erro a princıpio ja que ganhase mais e pagase menos IR mas nao e pois apesar do valor do IR ser menor a deducao da contribuicao previdenciaria e maior resultando como veremos a seguir um salario lıquido menor Assim IR apresenta uma descontinuidade em s 276566 Notase que a partir do grafico para s 553131 o sexto intervalo possui a maior variacao de IR no valor de 41342 20786 R 20586 Na mudanca de intervalo a inclinacao da reta aumenta exceto do terceiro para quarto devido a variacao de alıquota do INSS proporcionando uma taxa de variacao do IR maior isto e o aumento do imposto a pagar em cada sentenca para cada real a mais no salario bruto e maior do que na sentenca anterior SALARIO LIQUIDO O salario lıquido recebido pelo trabalhador sL s P IR em funcao do salario bruto s e 65 sLs s P IR s 008s se s 165938 s 009s se 165938 s 209229 s 009s 006825s 14280 se 209229 s 276566 s 011s 006675s 14280 se 276566 s 317601 s 011s 01335s 35480 se 317601 s 421466 s 011s 020025s 63613 se 421466 s 524121 s 011s 024475s 86936 se 524121 s 553131 s 60844 0275s 103668 se s 553131 092000s se s 165938 091000s se 165938 s 209229 084175s 14280 se 209229 s 276566 082325s 14280 se 276566 s 317601 075650s 35480 se 317601 s 421466 068975s 63613 se 421466 s 524121 064525s 86936 se 524121 s 553131 072500s 42824 se s 553131 E o seu grafico esta indicado na Figura 43 Figura 43 Salario Lıquido sem Dependentes ANALISE Imagem em cada sentenca 66 Im1 ImSL 0 x 165938 0 152663 Im2 ImSL 165938 s 209229 151004 190398 Im3 ImSL 209229 s 276566 190399 247079 Im4 ImSL 276566 s 317601 241964 275745 Im5 ImSL 317601 s 421466 275746 354319 Im6 ImSL 421466 s 524121 354320 425125 Im7 ImSL 524121 s 553131 425126 443844 Im8 ImSL s 553131 443845 Daı concluımos que SL tambem nao e injetora pois existem salarios brutos diferentes com o mesmo salario lıquido Temos Im1 Im2 151004 152663 o que implia SL 1659 e Im3 Im4 241964 247079 implicando SL 5115 Um aumento de R 0 01 em s R 165938 e em s R 276566 resulta em um decrescimo no salario lıquido de R 1659 e R 5115 respectivamente o que ocorre como mencionamos antes pelas mudancas aumento de faixa da contribuicao previdenciaria o que pode ser perce bido nos graficos ampliados nas Figuras 44 e 45 Para saber a variacao no lıquido SL para dois valores de s digamos s1 e s2 com s1 s2 em sentencas diferentes basta tomar SL SLs2 SLs1 E importante observar que a taxa de variacao de SL vai diminuindo ao mudar de sentenca exceto da penultima para a ultima e com isso um real de aumento no salario bruto dentro de uma mesma sentenca tem um efeito menor no salario lıquido a cada sentenca Por exemplo na terceira e quinta SL varia a uma taxa de 084175 e 075650 respectivamente Daı R 10000 de aumento em cima dos salarios de R 250000 e R 350000 geram um aumento no lıquido de R 8418 e R 7565 respectivamente um bom exemplo pratico para o estudante do Ensino Medio entender o significado da taxa de variacao da funcao afim 2o CASO com dependentes IMPOSTO DE RENDA Consideremos trˆes casos conforme a tabela de contribuicao mensal da Previdˆencia onde deduzimos um algoritmo em funcao de n 1 Alıquota de iI 8 com s 165938 sendo Bc s entao Bc 190398 e por seguinte IR 0 67 Figura 44 1a descontinuidade de SL sem dependentes Figura 45 2a descontinuidade de SL sem dependentes 2 Alıquota de iI 9 com 165938 s 276566 consideremos duas possibilida des em ordem a teto para IR 0 Bc 091sn18959 190398 s 190398 n 18959 091 α obtendo o intervalo 165938 s α sendo que ocorrendo α 276566 toma se o intervalo 165938 s 276566 teto de iI e aplicase o caso 3a em diante considerando as condicoes iniciais do caso 3 b se α 276566 consideramos o teto para essa alıquota resultando α s 276566 com iR 75 3 Alıquota de iI 11 com 276566 s 553131 consideremos algumas possibilidades em ordem de modo que se ocorrer s 553131 para algum valor de n tomase os intervalos β s 553131 onde β e o maximo da faixa imediatamente anterior e 553131 s θ com P 60844 onde θ1 e tal que Bc s 60844 n 18959 λ s λ 60844 n 18959 θ1 onde λ e o 68 maximo da base de calculo da faixa em estudo e caso ainda existam outras faixas segue este mesmo raciocınio alterando o valor de λ para as faixas subsequentes e aumentando o subscrito de θ de 1em 1 ficando θ1 θ2 ate a faixa de 225 e por fim tomase o intervalo s θi i maximo encontrado com iR 275 a saber se existe alguma faixa de isencao para iI 11 se ja nao tiver ocorrido no caso 2a fazse Bc s 011s n 18959 190398 s 190398 n 18959 089 δ se δ 276565 nao existe a isencao pois s estara fora do salario de contribuicao para iI 11 caso contrario sera isento em 276566 s δ salvo o observado anteriormente quando s 553131 b teto para iR 75 Bc 089s n 18959 282665 s 282665 n 18959 089 β1 resultando em k s β1 onde k δ se δ 276566 ou caso contrario k 276566 c teto para iR 15 Bc 089s n 189 59 375105 s 375105 n 18959 089 β2 resultando em β1 s β2 d teto para iR 225 Bc 089s n 18959 466468 s 466468 n 18959 089 β3 resultando em β2 s β3 e teto para essa alıquota β3 s 553131 com iR 275 sendo que caso alguma faixa anterior ja tenha passado do teto entao devemos fazer s β3 com iR 275 4 E por ultimo tomamos s 553131 se nao ocorrido anteriormente com P 60844 e iR 275 Agora vamos aplicar os resultados acima variando o numero de dependentes de 1 a 3 UM DEPENDENTE n 1 1 s 165948 69 2a s 190398 1 18959 091 230063 α resultando em 165938 s 230063 2b 230063 s 276566 3b s 282665 1 18959 089 338903 β1 resultando em 276566 s 338903 3c s 375105 1 18959 089 442769 β2 resultando em 338903 s 442769 3d s 466468 1 18959 089 545424 β3 resultando em 442769 s 545424 3e 545424 s 553131 4 s 553131 Logo o valor de IR em funcao do salario bruto s e IRs 0 se s 165938 0 se 165938 s 230063 s 009s 189 59 0075 14280 se 230063 s 276566 s 011s 18959 0075 14280 se 276566 s 338903 s 0 11s 18959 015 35480 se 338903 s 442769 s 011s 18959 0225 63613 se 442769 s 545424 s 011s 18959 0275 86936 se 545424 s 553131 s 60844 18959 0275 86936 se s 553131 0 se x 165938 0 se 1659 38 s 230063 006825s 15702 se 230063 s 276566 006675s 15702 se 276566 s 338903 01335s 38324 se 338903 s 442769 020025s 67879 se 442769 s 545424 024475s 92150 se 545424 s 553131 027500s 108882 se s 553131 E o seu grafico esta indicado na Figura 46 ANALISE Imagem em cada sentenca Im1 ImIR 0 s 165938 0 Im2 ImIR 0 165939 s 230063 0 Im3 ImIR 230064 s 276566 0 3174 Im4 ImIR 276567 s 338903 2759 6920 Im5 ImIR 338904 s 442769 6920 20786 Im6 ImIR 442770 s 545424 20786 41342 70 Figura 46 Imposto de Renda com 1 dependente Im7 ImIR 545425 s 553131 41343 43229 Im8 ImIR s 553131 43229 Notase um ponto de descontinuidade em s 276566 E neste caso o salario lıquido recebido pelo trabalhador sL em funcao do salario bruto s e SLs s 0 08s se s 165938 s 009s se 165938 s 230063 s 011s 006825s 15702 se 230063 s 276566 s 011s 006675s 15702 se 276566 s 338903 s 011s 01335s 38324 se 338903 s 442769 s 0 11s 020025s 67879 se 442769 s 545424 s 011s 024475s 92150 se 545424 s 553131 s 60844 027500s 108882 se s 553131 092s se s 165938 091s se 165938 s 230063 084175s 15702 se 230063 s 276566 082325s 15702 se 276566 s 338903 07565s 38324 se 338903 s 442769 068975s 67879 se 442769 s 545424 064525s 92150 se 545424 s 553131 072500s 48038 se s 553131 E o seu grafico esta indicado na Figura 47 71 Figura 47 Salario Lıquido com 1 dependente ANALISE Imagem em cada sentenca Im1 ImSL 0 s 165938 0 152663 Im2 ImSL 165939 s 230063 151004 209357 Im3 ImSL 230064 s 276566 209357 248501 Im4 ImSL 276567 s 338903 243386 294704 Im5 ImSL 338904 s 442769 294704 373279 Im6 ImSL 442770 s 545424 373279 444085 Im7 ImSL 545425 s 553131 444085 449058 Im8 ImSL s 553132 449059 Daı concluımos que SL nao e injetora isto e existem salarios brutos diferentes com o mesmo lıquido Temos Im1 Im2 151004 152663 o que implica SL 1659 e Im3 Im4 243386 248501 implicando SL 5115 Um aumento de R 001 em s R 165938 e em s R 230063 resulta em um decrescimo no salario lıquido de R 1659 e R 5115 respectivamente o que ocorre pelas mudancas aumento de faixa da contribuicao previdenciaria E para esses dois valores de s o salario lıquido apresenta descontinuidade Para n 2 e n 3 apresentaremos apenas as funcoes IR e SL e suas imagens E analises semelhantes feitas ate aqui poderao ser propostas em sequˆencias didaticas em sala de aula 72 DOIS DEPENDENTES n 2 1 s 165938 2a s 190398 2 18959 091 250897 α resultando 165938 s 250897 2b 250897 s 276566 3b s 282665 2 18959 0 89 360206 β1 resultando 276566 s 360206 3c s 375105 n 18959 089 464071 β2 resultando 360206 s 464071 3d s 466468 2 18959 089 566726 β3 553131 uma faixa e 464071 s 553131 calculo da outra s 466468 60844 2 18959 565230 θ resultando em 553131 s 565230 3e Como em d a faixa ja passou do teto entao devemos fazer s 565230 Logo o valor de IR em funcao do salario bruto s e IRs 0 se s 165938 0 se 165938 s 2508 97 s 009s 2 18959 0075 14280 se 250897 s 276566 s 011s 2 18959 0075 14280 se 276566 s 360206 s 011s 2 18959 015 35480 se 360206 s 464071 s 011s 2 18959 0225 63613 se 464071 s 553131 s 60844 2 18959 0225 63613 se 553131 s 565230 s 60844 2 18959 0 275 86936 se s 565230 0 se s 165938 0 se 165938 s 250897 006825s 17124 se 250897 s 276566 006675s 17124 se 276566 s 360206 01335s 41168 se 360206 s 464071 020025s 72145 se 464071 s 553131 022500s 85834 se 553131 s 565230 027500s 114096 se s 565230 ANALISE Imagem em cada sentenca Im1 ImIR 0 s 165938 0 Im2 ImIR 165938 s 250897 0 Im3 ImIR 250898 s 276566 01752 73 Im4 ImIR 276567 s 360206 1337 6920 Im5 ImIR 360207 s 464071 6920 20786 Im6 ImIR 464072 s 553131 20786 38620 Im7 ImIR 553132 s 565230 38620 41342 Im8 ImIR s 565231 43243 E o salario lıquido e SLs s 008s se s 165938 s 009s se 165938 s 250897 s 009s 006825s 17124 se 250897 s 276566 s 011s 006675s 17124 se 276566 s 360206 s 011s 01335s 41168 se 360206 s 464071 s 011s 020025s 72145 se 464071 s 553131 s 60844 0225s 85834 se 553131 s 565230 s 60844 0275s 114096 se s 565230 092s se s 165938 091s se 165938 s 250897 084175s 17124 se 250897 s 276566 082325 17124 se 276566 s 360206 07565s 41168 se 360206 s 464071 068975s 72145 se 464071 s 553131 077500s 24990 se 5533131 s 565230 072500s 53252 se s 565230 ANALISE Imagem em cada sentenca Im1 ImSL 0 s 165938 0 152663 Im2 ImSL 165938 s 250897 151004 228316 Im3 ImSL 250898 s 276566 228317 249923 Im4 ImSL 276567 s 360206 244808 313663 Im5 ImSL 3602 07 s 464071 313664 392237 Im6 ImSL 464072 s 553131 392238 453667 Im7 ImSL 553132 s 565230 453668 463044 Im8 ImSL s 565231 463044 TRˆES DEPENDENTES n 3 74 1 s 165938 2a s 190398 3 18959 091 271731 α resultando 165938 s 271798 2b 271731 s 276566 3as 190398 3 18959 089 277837 δ resultando 276566 s 2778 37 3b s 282665 3 18959 089 381508 β1 resultando em 277837 s 3815 08 3c s 375105 3 18959 089 485373 β2 resultando em 3815 08 s 485373 3d s 466468 3 18959 089 588028 β3 553131 uma faixa e 485373 s 553131 calculo da outra s 466468 60844 3 18959 584189 θ resultando em 5531 31 s 5841 89 3e Como em d a faixa ja passou do teto entao devemos fazer s 584189 Logo o valor de IR em funcao do salario bruto s e IRs 0 se s 165938 0 se 165938 s 271731 s 009s 3 18959 0075 14280 se 271731 s 276566 0 se 276566 s 277837 s 011s 3 18959 0075 14280 se 277837 s 381508 s 011s 3 18959 015 35480 se 381508 s 485373 s 011s 3 18959 0225 63613 se 485373 s 553131 s 60844 3 18959 0225 63613 se 553131 s 584189 s 60844 3 18959 0275 86936 se s 584189 0 se s 165938 0 se 165938 s 271731 006825s 18546 se 271731 s 276566 0 se 276566 s 277837 006675s 18546 se 277837 s 381508 013350s 44012 se 381508 s 485373 020025s 76410 se 485373 s 553131 022500s 90100 se 553131 s 584189 027500s 119309 se s 584189 ANALISE Imagem em cada sentenca Im1 ImIR 0 s 271731 0 Im2 ImIR 271732 s 276566 0 330 75 Im3 ImIR 276567 s 277837 0 Im4 ImIR 277838 s 381508 0 6920 Im5 ImIR 381509 s 485373 6920 20786 Im6 ImIR 485374 s 553131 20786 34354 Im6 ImIR 553132 s 584189 34354 41342 Im7 ImIR s 584190 41342 E o salario lıquido e SLs 092s se s 165938 091s se 165938 s 271731 s 009s 006825s 18546 se 271731 s 276566 s 011s 006675s 18546 se 276566 s 381508 s 011s 01335s 44012 se 381508 s 485373 s 011s 020025s 76410 se 485373 s 553131 s 60844 0225s 90100 se 553131 s 584189 s 60844 0 275s 1193 09 se s 584189 092s se s 165938 091s se 165938 s 271698 084175s 185 46 se 271698 s 276566 082325s 18546 se 276566 s 381508 075650s 44012 se 381508 s 4853 73 068975s 76410 se 485373 s 553131 077500s 29256 se 553131 s 584189 072500s 58465 se s 584189 ANALISE Imagem em cada sentenca Im1 ImSL 0 s 165938 0 152663 Im2 ImSL 165939 s 271731 151004 247275 Im3 ImSL 271732 s 276566 247276 251345 Im4 ImSL 276567 s 277837 246145 247275 Im5 ImSL 277838 s 381508 247276 362622 Im6 ImSL 381509 s 485373 362623 411196 Im7 ImSL 485374 s 553131 411197 457932 Im8 ImSL 553132 s 584189 457934 482003 76 Im9 ImSL s 5841 90 482003 Agora estabeleceremos alguns resultados comparativos em funcao da variacao do numero de dependentes Ate 3 dependentes a faixa de isencao aumenta proporcionalmente a n aumentando em R 20834 para cada novo dependente Ja de 3 para 4 dependentes o aumento e de R 27408 A Tabela 45 mostra algumas faixas de isencao Esses e outros valores sao obtidos fazendose a BC 190398 conforme os casos 2a eou 3a do nosso algoritmo para calculo do IR com dependentes visto anteriormente Em particular 20834 e o resultado de d 19 18959 091 Numero de dependen tes 0 1 2 3 4 Faixa de isencao R 0 209229 0 230063 0 250897 0 271731 0 299139 Tabela 45 Faixas de isencao de IR Como varia o IR a pagar quando aumentase o numero de dependentes Depende da faixa salarial em que o salario bruto encontrase na funcao IR Uma situacao e de facil previsao quando iR permanece o mesmo Com efeito a diferenca do imposto quando aumentase de n1 para n2 dependentes e IR IR2 IR1 s P n2 18959 iR2 Pd s P n1 18959 iR1 Pd 18959 iR n1 n2 onde iR iR1 iR2 onde verificase facilmente atraves das funcoes IR ja construıdas se iR1 iR2 Notase que IR e negativo ja esperado decrescente e e uma funcao linear proporcional a diferenca n1 n2 O imposto a pagar a menos sera maior quanto maior for iR E notase que o valor de R 1422 e o menor valor de reducao de imposto quando acrescentase dependente Exemplo 431 Um funcionario recebe um salario de R 300000 e tem um depen dente Caso ele acrescente mais um ou dois dependentes quanto pagara a menos de IR Observando a funcao IR para n 1 2 3 vemos que iR iR1 iR2 iR3 77 7 5 Portanto de 1 para 2 dependentes ele pagara a menos 189 590 07521 R 1422 e de 1 para 3 21422 R 2844 Ja se o seu salario fosse de R 350000 verificase que nao ha proporcionalidade Uma outra questao como varia o salario lıquido quando aumentase o numero de dependentes Sabemos que SL s P IR com s e P constantes Portanto pelo que vimos logo acima naquele caso especial SL varia em sinal contrario e de igual modulo a IR No exemplo anterior de 1 para 2 dependentes ele recebera um lıquido a mais de R 1422 e de 1 para 3 R 2844 Na Figura 48 esta o grafico do IR para ate 3 dependentes no mesmo sistema de coordenadas o que permite uma analise comparativa simultˆanea 1 todos apresentam o mesmo ponto de descontinuidade em s R 276566 2 nas faixas salariais onde os graficos sao retas paralelas um aumento do numero de dependentes resulta em uma diminuicao proporcional do imposto apagar por exemplo o intervalo 381508 421469 e a partir de 584139 3 fica evidente o aumento da faixa de isencao do IR a medida que n aumenta 4 as quatro funcoes sao crescentes exceto em uma pequena vizinhanca dos pontos de descontinuidade 5 e possıvel perceber atraves de retas paralelas ao eixo das abscissas quais valores de salarios resultam em um mesmo imposto a pagar e de outro lado retas paralelas ao eixo das ordenadas permitem saber de um mesmo salario quais os diferentes impostos a pagar ambos em valores aproximados As tabelas da proxima secao permitirao outras analises comparativas 44 Taxa efetiva do Imposto de Renda As alıquotas de incidˆencia do imposto apresentadas na Tabela 43 nao sao quanto o trabalhador paga do seu salario bruto Por exemplo se s R 300000 e n 0 entao IR R 5745 Logo IR s 5745 3000 192 e a taxa efetiva paga diferente dos 15 da tabela A seguir apresentaremos resultados da taxa efetiva para ate 3 dependentes Denotemos a taxa efetiva por Te E a seguir a funcao Te para ate um dependente Sem dependentes 78 Figura 48 Imposto de Renda ate 3 dependentes Te IR s 0 se s 165938 0 se 165938 s 209229 006825 14280 s se 209229 s 276566 006675 14280 s se 276566 s 317601 013350 35480 s se 317601 s 421466 020025 63613 s se 421466 s 524121 024475 86936 s se 524121 s 553131 027500 103668 s se s 5531 31 e Com 1 dependente Te IR s 0 se s 165938 0 se 1659 38 s 230063 006825 15702 s se 230063 s 276566 006675 15702 s se 276566 s 338903 01335 38324 s se 338903 s 442769 020025 67879 s se 442769 s 545424 024475 92150 s se 545424 s 553131 027500 108882 s se s 553131 Apresentamos as Tabelas 46 47 48 e 49 comparando as taxas da base de calculo e a efetiva juntamente com as faixas do salario bruto e do imposto a pagar permitindo 79 nos uma analise mais ampla do que realmente acontece em termos de taxas e valores monetarios onde destacamos a diferenca entre Te e iR e por conta da parcela a deduzir o valor do INSS e do numero de dependentes Te iR se iR 27 5 entao Te tende a 275 para salarios muito altos ou seja a taxa efetiva praticamente pode chegar a alıquota da Base de Calculo somente nesse caso o que e comprovado pelo limite da ultima sentenca de Te quando s tende a Em particular para n 0 chega a 15 se s R 829344 a 20 se s R 1382240 Um visao simultˆanea para outros valores pode ser visto pelo grafico de Te As colunas 2 e 4 fornecem uma visao da variacao do imposto a pagar em funcao de faixas salariais Alıquota da Base de Calculo Salario Bruto R Taxa Efetiva Imposto a pagar R 75 209230 317601 0 218 0 6920 150 317602 421466 218 493 6920 20786 225 421467 524121 493 789 20786 41342 275 524122 789 275 41342 Tabela 46 Taxa efetiva do IR sem dependentes Alıquota da Base de Calculo Salario Bruto R Taxa Efetiva Imposto a pagar R 75 230064 338903 0 204 0 6920 150 338904 442769 204 469 6920 20786 225 442770 545424 469 758 20786 41342 275 545425 758 275 41342 Tabela 47 Taxa efetiva do IR com 1 dependente Observacao 441 O site indicado na observacao 421 tambem apresenta ao contri buinte a taxa efetiva do IR 80 Alıquota da Base de Calculo Salario Bruto R Taxa Efetiva Imposto a pagar R 75 250898 360206 0 192 0 6920 150 360207 464071 192 448 6920 20786 225 464072 565230 448 731 20786 41353 275 565231 731 275 41353 Tabela 48 Taxa efetiva do IR com 2 dependentes Alıquota da Base de Calculo Salario Bruto R Taxa Efetiva Imposto a pagar R 75 271732 276566 0 012 0 330 2776567 277837 000 75 277838 381508 0 181 0 6920 150 381509 485373 181 428 6920 20786 225 485374 584189 428 708 20786 41342 275 565231 708 275 41343 Tabela 49 Taxa efetiva do IR com 3 dependentes Por fim apresentamos a Figura 49 que indica o grafico de Te para 1 dependente no qual podese observar a tendˆencia de Te iR quando s e concluımos dizendo as tabelas as expressoes das funcoes e os graficos aqui apresentado ou mesmo tambem planilhas eletrˆonicas sejam em separados ou comitantemente permitem um es tudo analıtico de modo o conhecer e inferir sobre a variacao e calculo de valores especıficos o que demonstra uma rica oportunidade de ensinoaprendizagem em nıvel de Ensino Medio por diferentes metodos Ademais chamamos a atencao outra vez para a possibilidade de estudo do comportamento dessas funcoes atraves da taxa de variacao das funcoes afins em cada sentenca 81 Figura 49 Taxa efetiva com 1 dependente Capıtulo 5 Operacoes financeiras contemporˆaneas Apresentaremos aqui algumas operacoes atuais no mercado financeiro analisando as conforme as teorias estudadas anteriormente 51 Cartao de Credito parcelamento e uso do rota tivo A modalidade de pagamento via cartao de credito e muito utilizada atualmente no mercado E gerado um valor de fatura todo mˆes onde ha um mınimo que deve ser pago 15 do total No caso de nao se efetuar o pagamento total o saldo a pagar entra em uma linha de credito chamada de credito rotativo E e aqui onde as taxas de juros praticadas pelas instituicoes financeiras de cartao de credito nos ultimos anos tˆem sido umas das mais elevadas chegando a ultrapassar os 400 aa E com isso o ındice de endividamento tornouse grande na medida que muitos consumidores nao podendo pagar o total da fatura terminam deixando para o mˆes seguinte um percentual significativo da dıvida que acrescido de juros altos e em geral a novas compras pode inviabilizar as condicoes em efetuar o pagamento total novamente e por seguinte esta sujeito outra vez a altas taxas de juros e assim continuando nesse ciclo a chamada bola de neve ocorrendo um crescimento exponencial da dıvida com juros sobre juros Exemplo 511 Vamos considerar um valor de fatura de R 50000 com uma taxa de juros efetiva no rotativo de i 14 am efetuandose o pagamento mınimo a cada mˆes e novas compras para o proximo mˆes de R 30000 durante 5 meses Nestas condicoes a evolucao da dıvida e apresentada na Tabela 51 No quinto mˆes observase 1 um acumulado de R 183700 cerca de 270 a mais do valor inicial 2 o valor mınimo 82 83 Mˆes 0 1 2 3 4 5 Valor rotativo R 42500 R 66683 R 90115 R 112822 R 134824 Juro R 5950 R 9336 R 12616 R 15795 R 18875 Novas compras R 30000 R 30000 R 30000 R 30000 R 30000 A pagar R 50000 R 78450 R 106018 R 132731 R 158617 R 183700 Mınimo15 R 7500 R 11768 R 15903 R 19910 R 23793 R 27555 Tabela 51 Evolucao da dıvida com pagamento mınimo e novas compras R 27555 ja e quase 4 vezes o seu valor inicial Nesse contexto o Banco Central do Brasil emitiu a Resolucao no 4549 de 26 de Janeiro de 2017 e a posteriori a Carta Circular no 3816 de 20 de Abril de 2017 na tentativa de favorecer uma queda nas taxas de juros ora comentadas Agora valendo desde 3 de Abril de 2017 data em que a Resolucao entrou em vigor o valor nao pago no vencimento da fatura so podera ser objeto de financiamento no credito rotativo apenas uma vez ate o vencimento da fatura do mˆes seguinte no qual devera ser realizado o parcelamento desse valor com juros menores ou o pagamento total e nao mais outro credito rotativo Analisaremos um caso real de pagamento da fatura de um cartao de credito sobre duas perspectivas parcelamento e credito rotativo O parcelamento que abordaremos aqui nao e o que pode ser feito no momento da compra mas sim a possibilidade de parcelar parte do valor da fatura a pagar PARCELAMENTO Valor da fatura R 141566 Taxa de juros 94 am Opcoes de parcelamento com a 1a parcela no dia do vencimento da fatura 24 x R 13756 18 x R 15176 15 x R 16434 12 x R 18437 11 x R 19376 e 8 x R 23728 Dados na Figura 51 Confirmando dados Por via de regra o pagamento mınimo e 15 do total da fa tura Neste caso 015 141566 21235 as prestacoes estao ocorrendo em uma serie antecipada e conforme o Teorema 252 P Ai 1 i1 1 in o que aplicando as informacoes em uma calculadora ou planilha eletrˆonica obtemos valores indicados na Tabela 52 Conclusoes Os dados informados estao corretos Apesar de a taxa de juros ser um pouco menor do que 10 am ainda constituise uma taxa elevada Na impossibili dade de pagamento total sugerese uma tomada de emprestimo pessoal se possıvel pois nessa modalidade encontramse taxas de juros menores em cerca de 4 pontos percentuais Destacase ainda que ao efetuar o parcelamento existe a incidˆencia de IOF o Imposto so 84 Figura 51 Condicoes de parcelamento no cartao de credito Fonte Fatura de cartao de credito Itau Mastercard dez2017 A R 141566 i 94 n 8 11 12 15 18 24 P 23728 19376 1843 16434 15176 13756 Tabela 52 Confirmando dados parcelamento no cartao de credito bre Operacoes Financeiras A Tabela 53 indica o total a ser pago para cada quantidade de parcelas onde observase que em um ano pagase de juro um pouco a mais da metade do valor da fatura e em dois chegar mais do que dobrar 13321 CREDITO ROTATIVO Valor da fatura R 141566 Taxa de juros 1023 am Custo Efetivo Total CET 1086 am IOF R 753 Valor financiadovf R 120331 Valor total a pagar em 30 dias R 133394 Dados na Figura 52 Confirmando dados Conforme a Resolucao supracitada uma vez efetuado o paga mento mınimo de 15 do total da fatura entao vf 085 141566 120331 O IOF segundo legislacao pertinente e na base de 038 de vf mais 00082 ad de vf Consi derando o mˆes comercial de 30 dias entao o IOF e de 120331 038 00082 30 1203310626 R 753 O CET que leva em conta nao apenas os juros mas tambem 85 n 8 11 12 15 18 24 Total pago 189824 213136 221160 246510 273168 330144 Percentual pago a mais 3409 5056 5622 7413 9296 13321 Tabela 53 Total pago nos parcelamentos do carao de credito Figura 52 Condicoes de credito rotativo no cartao de credito Fonte Fatura de cartao de credito Itau Mastercard dez2017 todos os outros encargos no nosso caso o IOF e de 1023 00082 30 038 1086 E o valor total a pagar e vt vf juros IOF 120331 120331 1023 753 R 133394 Conclusoes Os dados informados estao corretos A instituicao financeira cobra uma taxa menor no parcelamento porem com uma diferenca pequena e ambas taxas ainda sao altas Nao pode deixar de ser percebido que apesar do total pago no rotativo ser menor do que nas opcoes de parcelamento esse ultimo ainda e o menos custoso para o consumidor pois o primeiro e realizado em uma unica parcela com taxa de juros maior e o segundo em mais vezes Destacamos que a utilizacao de exemplos envolvendo operacoes com cartao de credito permite propor discussoes nas salas do Ensino Medio para uma boa educacao financeira da pratica de realizacao de compras conscientes e planejadas e assim um bom uso dos cartoes de credito Afinal comprar sem dinheiro pode resultar em muitas complicacoes financeiras 52 Compras parceladas Na compra de bens algumas lojas oferecem opcoes de pagamento com ou sem juros Vamos verificar aqui dois casos reais de anuncios 86 n 7 8 9 10 11 12 P 3180 2803 2509 2275 2083 1923 Tabela 54 Confirmando dados parcelamento da venda do conjunto de panelas CASO REAL 1 Uma loja oferece um conjunto de panelas por R 20990 a vista e parcelado em 6 vezes sem juros ou de 7 a 12 vezes com juros de 149 am conforme parcelas indicadas no site da loja pela Figura 53 Confirmando dados O parcelamento sem juros e de facil inspecao bastando fazer a Figura 53 Plano de Parcelamento Fonte Loja varejista online Consulta em 12 de abril de 2018 divisao de R 20990 por n 2 3 4 5 6 o que constata valores corretos E aplicando o Teorema 251 escrito de forma equivalente por P Ai 1 1 in podemos confirmar os valores com juros De fato tomando A 20990 i 149 variando n de 7 a 12 usando uma calculadora ou planilha eletrˆonica obtemos os valores indicados na Tabela 54 O que esta de acordo com o anuncio da loja Observamos tambem que nos planos de parcelamento via Cartao de Credito e considerada uma serie uniforme postecipada pois a primeira parcela nao e paga a vista CASO REAL 2 Uma outra loja online disponibiliza uma Bicicleta de 21 Marchas por R 89999 a vista em ate 12 vezes sem juros e outros parcelamentos com juros a partir de 189 am conforme parcelas indicadas no site da loja pela Figura 54 Confirmando dados Temos uma serie postecipada O parcelamento em 12 vezes e de facil inspecao O que nesse caso esta correto Ja os parcelamentos com juros de acordo com as taxas anunciadas fornecem parcelas indicadas na Tabela 55 Observase que as 87 Figura 54 Plano de Parcelamento preco de a vista R 89900 Fonte Loja varejista online Consulta em 12 de abril de 2018 n 14 17 18 19 20 21 22 23 24 i 189 359 349 389 419 449 469 479 499 P 7369 7157 6810 6781 6727 6701 6638 6534 6509 Tabela 55 Confirmando dados parcelamento da venda da bicicleta parcelas anunciadas estao maiores do que o calculado pelas respectivas taxas anunciadas Logo as taxas reais cobradas sao maiores Assim surge um problemas tıpico da neces sidade de saber qual e a real taxa cobrada o que faremos a seguir Antes destacamos que dificilmente um consumidor iria verificar os dados informados ja que atentase muito mais para capacidade de pagamento das parcelas e quando se observa a taxa nao e feita a comprovacao da mesma Sendo assim estudantes de Ensino Medio podem ser desafi ados a pesquisar e comprovar informacoes de anuncios favorecendo uma aprendizagem significativa ativa e pratica Para o calculo da taxa iremos utilizar o GeoGebra programamos para quatro casas decimais abrindo o CAS digitamos P1 1 in Ai na linha 1 com o respectivos valor A anunciado no site seguindo a tabela na ordem fazemos as substituicoes P 7415 e n 14 na linha 2 digitamos resolver 1 sem as aspas A resposta e o valor positivo i 198 Para os demais valores podemos copiar a equacao 1 na linha 3 e modificar os valores de P e n na linha 4 digitar resolver 3 e assim sucessivamente vide Figura 55 Daı obtemos as reais taxas praticadas pela loja online indicadas na Tabela 56 Pelo Codigo de Defesa do ConsumidorCDC na ocasiao de um produto ser anun ciado com mais de um preco vale o de menor valor Portanto os valores das prestacoes 88 n 14 17 18 19 20 21 22 23 24 P 7415 7241 6889 6868 6819 6799 6740 6636 6615 i 198 374 363 404 435 465 486 495 516 Tabela 56 Taxa real cobrada parcelamento da venda da bicicleta Figura 55 GeoGebra calculo da real taxa de juros geradas pelas taxas anunciadas conforme visto acima sao menores do que o anunciado gerando diferencas a mais para o consumidor Assim sendo P a diferenca no valor da parcela T o valor pago a mais ao final da quitacao do parcelamento e i a taxa cobradas a mais obtemos os dados na Tabela 57 Alguns podem considerar tais diferencas nao expressivas porem isso nao isenta da incorreta cobranca da loja n 14 17 18 19 20 21 22 23 24 PR 046 084 079 087 092 098 102 102 106 TR 644 1428 1422 1653 1840 2058 2244 2346 2544 i 009 015 014 015 016 016 017 016 017 Tabela 57 Variacoes causadas no anuncio das taxas naoreais 89 53 Emprestimo informal Encontramos um anuncio de emprestimo informal via cartao de credito plotado em um poste de uma via publica conforme Figura 56 e oferecido R 100000 para pagamento em 10 vezes de R 13990 ou 12 vezes de R 11700 Surge mais uma vez a questao qual a taxa de juros cobrada Como ja vimos na secao anterior utilizaremos o CAS no GeoGebra digitando P1 1 in Ai com o valor A anunciado Como mostra a Figura 57 sao cobradas taxas de 662 e 565 nos prazos de 10 e 12 vezes respectivamente Destacase o carater indutivo de aceitacao da proposta em 12 vezes na medida que no prazo menor e oferecida uma taxa mais alta o que nao e comum e alem disso os valores totais nos dois planos sao praticamente iguais Ou seja o plano de 10 vezes e colocado apenas como uma distracao induzindo a pessoa de imediato a contratar o plano de 12 vezes nao refletindo sua real condicao de pagamento ao longo do ano E oportuno e falar que existem outras praticas no mercado que desfavorecem o consumidor altas taxas de juros o aumento de precos e depois anuncio de desconto taxas implıcitas no parcelamentos etc Ou seja necessario e ter uma boa educacao financeira para nao cair nas armadilhas do mercado O que para tanto acreditamos que um bom ensino da matematica financeira no Ensino Medio e de fundamental importˆancia para a formacao contınua de consumidores crıticos Figura 56 Emprestimo no cartao de credito Fonte Publicacao em via publica Anunciado em 12 de abril de 2018 54 Simulação de Financiamento Habitacional pela CEF Como já dissemos as tabelas SAC e PRICE aparecem como opções de pagamento no financiamento de imóveis No dia 24 de maio de 2018 fizemos uma simulação no site da Caixa Econômica Federal CEF para um imóvel no valor de R 30000000 financiado por 240 meses nos dois sistemas dando uma entrada de R 20000000 O valor financiado ficou portanto em R 10000000 A Figura 58 mostra os dados fornecidos pelo simulador online da CEF no sistema SAC onde mostramos apenas as três primeiras e as três últimas prestações amortização juro A Figura 59 mostra as mesmas posições das parcelas no PRICE Em ambos os casos a taxa nominal informada é de 95690 aa Confirmando dados A data de vencimento da primeira prestação está para o dia 24 de junho de 2018 configurando uma série de pagamento postecipada e de acordo o Teorema 301 temos que as prestações no SAC são Pk 1 n i 1 in1 D0 onde n 240 i 079742 amtaxa efetiva D0 10000000 e 1 k n Com esses dados e a ajuda de uma calculadora ou planilha eletrônica chegamos na Tabela 58 permitindo assegurar que o simulador informa os dados corretamente Já no sistema PRICE aplicamos o Teorema 302 P D0i 11in assim substituindo os valores encontramos o valor 91 Figura 58 Financiamento Habitacional pela Tabela SAC Fonte Simulador da CAIXA ECONˆOMICA FEDERAL Acessado em 24 de maio de 2018 da prestacao constante de R 93664 o que tambem valida o encontrado pelo simulador sendo que na ultima parcela ha uma pequena diferenca para compensar a aproximacao feita no valor da parcela Aproveitando os dados verificamos quando PkS PkP utilizando a equacao 34 k 1in11nii i1in1 donde obtemos k 8450 Logo as oitenta e quatro primeiras parcelas do SAC sao maiores que as do PRICE e para as demais 650 as do PRICE sao maiores Para saber quando a metade da dıvida sera amortizada no sistema PRICE aplicamos o Teorema 308 com t log1i λ1 in 1 1 tomando λ 05 e obtendo t 17010 ou seja tal amortizacao se dara na 171a prestacao quando se efetivar 7125 das prestacoes pagas Uma analise importante para a tomada de decisao na escolha de qual sistema adotar e a diferenca P1S P1P cujo valor e R 27745 de modo que a 1a parcela do PRICE e 2962 maior do que a primeira do SAC acarretando uma possıvel dificuldade de pagamento inicial como parcelas mais altas e por seguinte restando o sistema PRICE como unica opcao de financiamento viavel Por outro lado ainda que seja possıvel iniciar 92 Figura 59 Financiamento Habitacional pela Tabela PRICE Fonte Simulador da CAIXA ECONˆOMICA FEDERAL Acessado em em 24 de maio de 2018 com sistema PRICE outras variaveis como ja dissemos devem ser consideradas nessa importante decisao de financiamento a longo prazo Por fim salientemos que para garantir a mesma taxa de financiamento nos dois sistemas fornecemos as mesmas condicoes de mutuario como a data de nascimento a renda bruta o numero de anos de conta de FGTS etc pois ao mudar um desses parˆametro pode haver alteracao da taxa de financiamento segundo criterios da CEF k 1 2 3 238 239 240 P 121409 121076 120744 42963 42331 41919 Tabela 58 Confirmando dados simulacao CEF Capıtulo 6 Sugestoes de atividades didaticas e problemas Apresentaremos algumas propostas de atividades com o mundo real de operacoes financeiras que podem contribuir para o estudante do Ensino Medio desenvolver sua formacao crıtica da Educacao Financeira de tal forma que tenhamos um sujeito ativo na tomada de decisoes em tais operacoes AS propostas serao em secoes de modo a facilitar a identificacao dos temas As atividades propostas podem ser adaptadas a realidade das turmas para o seu melhor aproveitamento Alem disso o professor deve decidir como os alunos farao a apresentacao trabalho escrito seminario banner cartaz vıdeo etc E destacamos a importˆancia de os estudantes terem o preparo antecipado do uso da calculadora em especial com uso de parˆenteses e da funcao potˆencia e do GeoGebra um software gratuito dinˆamico e de computacao algebrica numerica e geometrica 61 ATIVIDADE 1 Pagar a vista ou parcelado Recursos utilizados GeoGeobra e calculadora O que vale mais R 10000 hoje ou R 10500 daqui a um mˆes se tivermos juros de 5 am Certamente o mesmo valor Devemos comparar valores quando eles estao em uma mesma epoca Essa atividade tem como objetivo fazer comparacoes desse tipo Um cenario comum na vida e a tomada de decisoes frente a diferentes opcoes de pagamento e investimento Digamos que um bem e oferecido por R 180000 com 5 de desconto para pagamento a vista ou parcelado em 6 vezes mensais de R 30000 com a primeira para 30 dias O dinheiro pode ser aplicado com rendimento de 2 am Deseja se saber qual melhor opcao pagar a vista ou parcelado 93 Responda eou execute Qual o valor do bem com desconto Lembrese o valor atual é A P 11in i Mostre que A R 168043 Justifique qual é a opção mais vantajosa Agora vamos usar os controles deslizantes do GeoGebra para buscar novos resultados variando os dados fornecido acima Iremos escrever x no lugar de i e deixar o valor em porcentagem Crie um controle deslizante n variando de 1 até 12 com incremento de 05 Crie um controle deslizante d percentual de desconto em porcentagem variando de 0 até 30 com incremento de 05 Crie um controle deslizante V valor do bem variando de 0 até 6000 com incremento de 100 Crie a função ud valor com desconto digite udx 1 d 100 V com x 0 Cor azul Crie a função valor atual Ax V 1 n 1 100 1 1 x 100 n com x 0 onde x representa a taxa em percentual de quanto o dinheiro pode ser aplicado por quem está a tomar decisão de compra Tenha cuidado no uso dos parênteses Cor verde Coloque o eixo OY para variar de 500 até 7000 e o eixo OX de 4 até 45 Determine o ponto de interseção do gráfico das duas funções Use o comando InterseçãoObjeto Objeto na caixa de entrada digitando InterseçãoA ud Denomine o ponto de F Atribua V 1800 n 6 d 5 O ponto de interseção deve ser G149 1710 O que significa esse ponto de interseção Mova os controles deslizante e observe os resultados Responda 1 Por que ao mover n só o gráfico de A se mover 2 Por que ao mover d apenas o gráfico de ud se mover 3 E ao mover V por que os dois gráficos de mover Seja Fx0 V0 Observe se x x0 então Vd A se x x0 então Vd A Responda Quando é mais vantajoso comprar Explique 95 Va aumentando o valor de n e observe o valor de x0 Nesse caso ira se precisar de taxas de investimento x mais baixas ou mais altas de modo que seja melhor a compra parcelada Va aumentando o valor de V e observe o valor de x0 Explique o que acontece com x0 Justifique Va aumentando o valor de d e observe o valor de x0 Nesse caso ira se precisar de taxas investimento x mais baixas ou mais altas de modo que seja melhor a compra parcelada Refletir para discussao em sala de aula se uma pessoa nao tem no momento o di nheiro para pagar a vista entao necessariamente ela deve recorrer ao parcelamento Certo ou errado Interagindo com o professor O professor podera criar outras situacoes para tomada de decisoes dentro de possıveis realidades enriquecendo ainda mais o processo de ensino aprendizagem Por exemplo comprar um impressora ou alugala Importante tambem discutir a necessidade atual de a pessoa em adquirir um bem pois ela ate podera ter um melhor resultado econˆomico se adiar sua compra porem e se sua necessidade for imediata Ou seja se a compra do bem nao pode ser adiada quais variaveis analisar para se fazer logo a compra 62 ATIVIDADE 2 E realmente desconto Recursos utilizados GeoGeobra e internet Vocˆe sabia que nem todo desconto e na verdade um desconto Vamos conferir 1 Reunamse em grupo de 4 colegas 2 Pesquise na internet em uma loja de venda online quatro produtos que este jam anunciados com desconto para pagamento no boleto ou debito e com parcelamento sem juros no preco a vista E imprima as informacoes da tela do anuncio contendo as respectivas parcelas 3 Para cada produto escolha um numero de parcelas e some o total delas com parando o total encontrado com o valor anunciado com desconto Os dois totais deram iguais Sendo o parcelamento sem juros nao deveria ser igual O que vocˆe pode concluir existem juros embutidos Justifique 4 Agora e a hora de calcular a taxa de juros implicitamente cobrada Escolha para cada produto o maior numero de parcelas anunciada sem juros Lembrese A 96 P 11in i Por exemplo suponha que o produto esteja no valor de R 100000 anunciado com desconto de 10 e 10 de R 10000 Assim aplique na formula A 900 P 100 n 10 Daı 900 10011i10 i ou 9i 1 1 i10 Agora como nao existe um metodo direto para resolver esta equacao usaremos o GeoGebra como recurso No GeoGebra abra o CAS e digite a equacao na linha 1 Programe para 5 casas decimais Na linha 2 digite solucoes1 ou use a ferramenta Resolver A solucao positiva e a resposta 00196196 O grupo deve fazer esse procedimento par cada um dos produtos e para todos os numeros de parcelas apresentados no site 5 A taxa de juros embutida aumenta ou diminui quando cresce o numero de par celas Justifique Interagindo com o professor Aqui e um momento oportuno para falar sobre re solucao de equacoes polinomiais 63 ATIVIDADE 3 O que fazer para acumular y reais Recursos utilizados GeoGeobra e calculadora Um dos assuntos importantes no planejamento financeiro e projetar um valor a ser alcancado no futuro Por exemplo por quanto tempo devese investir x reais por mˆes para alcancar y reais No que segue considere as series postecipadas lembrando que o valor futuro F e considerado na data do ultimo termo da serie Responda eou execute Mostre F P 1in1 i n log1i Fi P 1 Quantas aplicacoes devem ser feitas por mˆes no valor de R 10000 a uma taxa de 06 am para acumular um total de R 500000 Sem considerar a formula anterior explique por que nao faz sentido afirmar que sao 5000 100 50 meses Outras situacoes alguem poderia perguntar e se for dobrada a taxa ou se for do brado o valor investido por mˆes Vamos analisar essas e outras variacoes usando o GeoGebra atraves do recurso controle deslizante 97 Crie um controle deslizante F valor futuro variando de 0 ate 5000 com incremento de 100 Crie um controle deslizante P valor das aplicacoes variando de 0 ate 1000 com incremento de 25 Usando o comando log b x na caixa de entrada do GeoGebra onde a primeira entrada e a base e a outra e o logaritmando crie a funcao nx log1 x 100 Fx 100P 1 numero de parcelas onde estamos usando x no lugar de i com x 0 e na forma percentual Crie o controle deslizante i taxa de investimento variando de 0 ate 100 com incremento de 01 Assim vamos pensar na variacao de ate 100 Crie a reta x i digitando r x i Coloque o eixo OY variando de 4 ate 60 e o eixo OX de 4 ate 110 Faca a interseccao do grafico de n e r usando o comando IntersecaoObjeto Objeto na caixa de entrada digitando Intersecaonr Atribua os valores de F P e x vistos anteriormente isto e F 5000 P 100 e a 06 e confirme o ponto de interseccao 06 4386 Qual o significado desse ponto Va aumentando o valor de P Para cada novo valor de P crescendo x o valor de n aumenta ou diminui O que isso quer dizer Verifique movendo P e F que se P F o grafico de n se aproxima de uma reta horizontal Qual Comprove usando equacao de n Verifique fixados P e F que aumentandose o valor de i o valor de n vai diminuindo O que isso quer dizer Agora vamos pensar no valor de P para acumular um valor F Mostre que P Fi 1 in 1 Quanto deve ser aplicado por mˆes para acumular um total de R 300000 com um rendimento de 10 am em 12 aplicacoes Crie controles deslizante apropriados F n e i para a funcao prestacao Px F x 100 1 x 100n 1 e faca dois estudos da variacao de P em funcao de F n e x Compare os com outros grupos e analise se houver diferencas E por fim confirme no pro grama o valor encontrado no item anterior Interagindo com o professor Esse é um momento oportuno para se discutir o espírito poupador versus o espírito consumidor o que guarda e o que tudo gasta Sugestivo mostrar um exemplo da vida real em que uma pessoa sem ter salário alto conseguiu adquirir bens ao longo dos anos 64 ATIVIDADE 4 Qual a taxa de juros aplicada Recurso utilizado GeoGebra É de interesse descobrir a taxa necessária para se obter n prestações P de uma valor atual A Ou de uma maneira prática saber a taxa aplicada em um parcelamento na compra de um bem Exemplo Um fogão no valor de R 200000 é parcelado em 12 vezes de R 21310 Desejase saber a taxa cobrada Assim 2000 21310 1 left1 fraci100right12 ou 20i 21310 left1 left1 fraci100right12right pois A P frac1 left1 irightni Agora não existe um método direto para resolver a equação em i Vamos fazer uso do GeoGebra para encontrar essa taxa Responda eou execute No GeoGebra abra o CAS e digite a equação na linha 1 Programe para 5 casas decimais Na linha 2 digite soluções1 ou use a ferramenta Resolver A solução positiva i 400 é a resposta Agora vamos pensar um pouco mais Para o mesmo valor P aumente o número de parcelas para mais dois valores e veja os resultados das taxas encontradas A taxa aumentou ou diminuiu Justifique por que já era de se esperar isso acontecesse Interagindo com o professor Existem situações de parcelamentos em que além do juro existe a incidência de taxas seguro ou impostos Nessas casos tais valores terão que ser considerados também pois do contrário a taxa encontrada certamente será diferente da anunciada 65 ATIVIDADE 5 SAC OU PRICE Recurso utilizado GeoGebra No sistema de amortização SAC o total pago e os juros são menores do que no PRICE Apesar disso não podemos dizer de imediato que no financiamento de um imóvel a longo prazo a escolha do sistema mais indicado será o SAC pois outras variáveis precisam ser levadas em conta Essa atividade tem como objetivo refletir um pouco sobre essa importante escolha E para isso utilizaremos a ferramenta controle deslizante do GeoGebra Responda ou execute Crie o controle deslizante D0 valor do imóvel variando de R 5000000 até R 28000000 com incremento de 1000 Crie o controle deslizante i taxa de financiamento mensal variando de 07 até 12 já expresso em porcentagem com incremento de 005 Aqui uma variação razoável para a época atual Crie um controle deslizante n número de prestações em meses variando de 120 até 300 com incremento de 12 Ou seja de 10 anos até 25 anos variando de ano em ano Agora vamos entrar com as prestações E para isso iremos colocálas como pontos do gráfico de funções As prestações nos SAC Pks estão na reta Pks leftfrac1n fraci100rightD0 fracdD0nx onde x k e no PRICE no gráfico da função Pkp fracD01in Coloque o eixo OY variando de 200 até 5000 e o eixo OX de 30 até 320 sendo que ao variar mais à frente os controles deslizantes se um dos gráficos sair da janela de visualização ajustes deverão ser feitos Entre com as funções Pks cor azul e Pkp cor verde com x 0 colocando a taxa na forma percentual isto é dividindo por 100 Crie um controle deslizante a variando de 1 até n que será usado para avaliarmos a aésima prestação Crie a reta vertical x a cor preta digitando s x a Faça a interseção entre os gráficos de Pks e s usando o comando InterseçãoObjeto Objeto na caixa de entrada digitando EInterseçãoPks s e para entre Pkp 100 e s digite GIntersecaoPkS s E por ultimo intersecte PkS e PkP digitando MIntersecaoPkS PkP Considere x0 a abscissa de M Observe que PkP PkS se e somente se k x0 A janela do GeoGebra ate esse momento deve esta de acordo com a Figura 61 considerando os valores indicados nos controles deslizantes Figura 61 Janela do Geogebra Atividade 4 Esconda a reta s Crie o segmento ligando o ponto E ao ponto G digitando csegmentoEG O valor de c significa a diferenca absoluta entre as prestacoes PaS e PaP Crie mais uma reta t x n Intersecte a reta t com PkS e PkP denomine os pontos de interseccao de Y e Z respectivamente Crie mais um segmento digitando dsegmentoY Z O valor de d mede a diferenca entre a ultima parcela nos dois sistemas PnP PnS Esconda a reta t Mova os controles deslizantes observando atentamente o valor de c e o das coorde nadas dos pontos E G e M Fixe a 1 e escolha valores para i e n Aumentando D0 c aumenta ou diminui O que isso significa para o comprador Qual o valor de c para D0 100000 i 0 9 e n 120 Dˆe o seu significado E trocando apenas D0 para 200000 e 300000 De que forma o valor de c pode inviabilizar a escolha da tabela SAC pelo comprador do imovel E por fim prove analiticamente que c e proporcional a D0 Fixe a 1 i 1 e D0 150000 Se n 120 10 anos mostre que 60 da quantidade de parcelas PRICE sao maiores do que as SAC Aumentando o valor 101 de n c aumenta ou diminui E x0 E d O que essas variacoes significam para o comprador do imovel Colocando n 300 25 anos no item anterior temos c mınimo d maximo O que isso significa para o comprador E para esse valor mınimo de c e correto afirmar que a escolha da tabela SAC tornase viavel para o comprador Justifique O valor da prestacao nos financiamentos nao pode exceder a 30 da renda bruta rb do comprador Se rb R 500000 e i 095 encontre valores de n para quais sejam possıveis o financiamento de R 11000000 nas duas tabelas E se fosse R 20000000 seria possıvel financiar Por que Observe que tal analise influencia na decisao de qual tabela escolher Faca outras simulacoes variando os controles deslizantes observe eou anote resulta dos verificados e discutaos com outros colegas Lembrese compartilhar e discutir ideias e uma otima forma de aprendizagem Interagindo com o professor Essa atividade e riquıssima em propostas para analise Uma vez construıdos todos os objetos funcoes segmentos controles deslizantes etc den tro do GeoGebra o professor podera propor perguntas em diferentes etapas permitindo um contato mais permanente do aluno com a ferramenta computacional e com diferentes aspectos do tema favorecendo mais chances de aprendizagem Vale destacar que no con trato final com a instituicao financeira a prestacao final sera um pouco maior devido aos seguros e taxa administrativa que tambem serao pagos mˆes a mˆes alem da atualizacao monetaria conforme expresso em clausula contratual Veja 5 66 Alguns problemas interessantes e que ensinam Os problemas propostos a seguir tem como objetivo apresentar ao aluno situacoes do diaadia as quais favorecem nao apenas aplicacoes de formulas e conceitos da ma tematica financeira fechados em si mas tambem que contribuem para uma Educacao Financeira objetivando desenvolver um consumidor crıtico e consciente PROBLEMA 1 Uma empresa anuncia um bˆonus salarial para os seus funcionarios no proximo ano Ela dara 6 de aumento dividido em duas vezes 2 em Janeiro e 4 em Junho ou 4 em Janeiro e 2 em Junho A decisao e dos funcionarios Explique qual e a melhor decisao para eles Comentario para o professor A segunda opcao e a melhor pois no primeiro semestre eles gozarao de maior salario e no segundo semestre o salario sera o mesmo 102 nas duas opcoes PROBLEMA 2 Algumas promocoes sao do tipo Leve 3 e Pague 2ou Leve 4 e Pague 3 Se tais anuncios sao de fato verdadeiros isto e em cada um dos casos o preco por unidade e igual ao preco de venda no varejo determine o percentual de desconto nos dois tipos de promocao Agora veja um caso de anuncio falso o preco no varejo e R 10000 e e anunciado Leve 3 e Pague 2por R 25000 Nesse caso qual e o desconto verdadeiro Dˆe um outro tipo de situacao em que a promocao anunciada nao e verdadeira Comentario para o professor No primeiro tipo o desconto e 1 3 33 33 e no outro 1 4 25 No anuncio falso o desconto verdadeiro e 1 250 300 1667 um valor menor do que o anunciado de 3333 Temos aqui uma rica oportunidade de discussao quanto a possibilidade de estarmos sendo lesados nas ditas promocoes PROBLEMA 3 Um comerciante decide oferecer desconto em alguns itens de sua loja Na tentativa de atrair ainda mais consumidores ele promove uma desconto mascarado ou seja ele eleva o preco atual P dos itens e depois anuncia um desconto maior Caso ele tenha dado um aumento de 30 qual e o percentual de desconto d que ele deve anunciar de tal modo que o percentual de desconto real r em cima do preco atual seja de 10 Comentario para o professor O preco final e P 1 30 1 d O preco com desconto real sera de P1 r A condicao imposta implica que devese ter P 1 30 1 d P1 r Resposta 3077 E de maneira mais geral temse P 1 a 1 d P1 r onde a e a taxa de aumento acrescido ao preco atual para mascarar os altos descon tos Perguntas interessante podem ser formuladas em cima dessa ultima equacao Por exemplo um aumento de 10 seguido de um desconto de 10 resulta no mesmo preco PROBLEMA 4 Quando trabalhadores recebem um aumento salarial de a k1 apos um perıodo sem reajuste e de inflacao acumulada de i k2 o seu percentual de aumento real e r k3 onde r 1 1 ia i 1 i onde podemos ver r como uma funcao afim em a 103 a Seja i 8 Determine o valor de r para um aumento salarial de 5 8 e 11 b Mostre que se a i entao r 0 c Mostre que se a i entao se r 0 d Mostre que se a i entao se r 0 e Qual o significado para um trabalhador dos resultados dos itens a b c e d f Qual a taxa de variacao de r Ela aumenta ou diminui com o aumento da inflacao acumulada E o que isso significa g Em uma empresa nao foi concedido aumento salarial em um perıodo de inflacao de 900 Para os seus trabalhadores que podiam contratar a prestacao de um servico no inıcio de tal perıodo determine quantos por cento desse servico eles poderao contratar agora no final desse perıodo Pense no que aconteceria se inflacao fosse cada vez maior Comentario para o professor Nos itens anteriores b perda real c aumento suficiente apenas para repor o poder de compra d ganho real f 1 1i diminui g perda de 009 1009 8 26 e assim poderao contratar 100 826 9174 do servico Um problema em que muitas pessoas desentendidas ignorando o efeito in flacionario tˆem percepcoes errˆoneas dos aumentos salarias E para o professor mais um oportunidade de conscientizar o aluno do Ensino Medio a respeito de lutas por aumentos salariais reais e nao apenas aparentes Consideracoes Finais Ao pensar no tema dessa dissertacao ja mesmo antes de terminar as disciplinas obrigatorias do mestrado tınhamos em mente desenvolver um trabalho nessa area que descrevemos isso motivado por um anseio no passado em se estudar a Matematica Fi nanceira pelo seu lado qualitativo enxergando as formulas financeiras alem do que elas podem revelar em um olhar menos atento Foi quando discutida a proposta com o profes sor que aqui orienta tivemos a sua aceitacao O que representou desde entao uma enorme expectativa de se cumprir a missao proposta E assim se concretiza Foi possıvel interligar diferentes assuntos de matematica basica Conseguimos dar novas abordagens a assuntos da Matematica Financeira Foi possıvel estabelecer resultados e analises das tabelas SAC e PRICE mais abrangentes do que e comumente apresentado nos livros textos ou anunciados em vıdeos e sites na internet sem as devidas explicacoes matematicas Apresentamos o estudo do imposto de renda sobre um olhar nao comum favorecendo um enriquecimento das aulas de funcoes afins Fizemos um lado pratico tambem onde testamos a veracidade nos valores de cobrancas e anuncios financeiros o que representa uma possibilidade de metodologia a ser aplicada em sala de aula Ja quanto as atividades propostas com o uso do GeoGebra 1 nao queremos dizer que as calculadoras financeiras ou planilhas eletrˆonicas sejam esquecidas mas somandose a elas aproveitar potenciais pedagogicos de cada um para ampliacao do conhecimento 2 que fomente a criacao de outras e 3 que possam dar mais luz para o professor a cada dia estar inserido no mundo das TICs de forma nao meramente usar para dizer que esta usando mas para de fato ter um instrumento auxiliador na tarefa de mediar a construcao do conhecimento Na educacao basica quanto aos resultados que foram encontrados com o uso do Calculo e indicada a realizacao de simulacoes dentro de intervalos atraves da parte dinˆamica do GeoGebra de formar a ilustrar os casos mais gerais E apesar de ao longo do texto mencionarmos apenas Ensino Medio todo material aqui exposto incluindo as passagens do Calculo pode ser aproveitado no Ensino Superior em cursos que tambem o contempla como Matematica Administracao e Economia 104 105 E por fim desejamos que esse trabalho contribua para o ensino da Matematica Financeira tao necessaria para uma boa gestao das financas pessoais comprovar o juro cobrado por atraso de pagamento decidir a escolha do sistema de amortizacao em um financiamento imobiliario a longo prazo e muito mais E nao so por esse lado pratico mas tambem por toda a matematica aqui presente Referˆencias Bibliograficas 1 AMORIM V O Ensino de Matematica Financeira do livro didatico ao mundo real 2o Simposio de Formacao de Professor de Matematica da Regiao Nor deste Rio de Janeiro SBM 2016 2 BRASIL BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR BNCC Ministerio da Educacao BrasıliaDF 2016 Disponıvel em httphistoriadabnccmecgov brdocumentosbncc2versaorevistapdf Acesse em 01 de junho de 2018 3 BRASIL BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR BNCC Ministerio da Educacao BrasıliaDF 2018 Disponıvel em httpbasenacionalcomummec govbrwpcontentuploads201802bncc20dezsitepdf Acesso em 01 de junho de 2018 4 CAIXA ECONˆOMICA FEDERAL 2018 Simulador Habitacional Caixa Disponıvel em httpwww8caixagovbrsiopiinternetweb simulaOperacaoInternetdomethodinicializarCasoUso Acesso em 24 de maio de 2018 5 FERREIRA D B SAC ou PRICE Revista do Professor de Matematica no 85 Rio de Janeiro SBM 2014 6 FEITOSA J R F Minicurso GeoGebra PROJETO PIBIDLICENCIATURA EM MATEMATICA Santa Maria UFPB 2016 Disponıvel em httpwwwmat ufpbbrposarquivosMINICURSO20GEOGEBRApdf Acesso em 05 de junho de 2018 7 FRISKE A L et al Minicurso de GeoGebra GRUPO PET DE MATEMATICA DA UFSM Santa Maria UFSM 2016 Disponıvel em httpw3ufsmbr petmatematicaimagesminicursosGeoGebraApostilaGeoGebrapdf Acesso em 05 de junho de 2018 106 107 8 HOHENWARTER M HOHENWARTER J Traducao e adaptacao por Antonio Ribeiro Ajuda Geogebra Manual Oficial da Versao 32 2009 Disponıvel em httpsappgeogebraorghelpdocuptPTpdf Acesso em 29 de maio de 2018 9 LIMA E L Numeros e Funcoes Reais Colecao PROFMAT Rio de Janeiro SBM 2013 10 MATHIAS W F GOMES J M Matematica Financeira Sao Paulo Atlas 1993 11 MORGADO A C e CARVALHO P C P Matematica Discreta Colecao PROF MAT Rio de Janeiro SBM 2014 12 MORGADO A C WAGNER E e ZANI S C Progressoes e Matematica Financeira Colecao do Professor de Matematica Rio de Janeiro SBM 2015 13 RECEITA FEDERAL DO BRASIL Historia do Imposto de Renda Disponıvel em httpidgreceitafazendagovbrsobreinstitucional memoriaimpostoderenda Acesso em 15 de marco de 2018 14 RECEITA FEDERAL DO BRASIL Simulacao de Alıquota Efe tiva httpwwwreceitafazendagovbraplicacoesatrjosimulador simuladorasptipoSimuladorM Acesso em 10 de janeiro de 2018 15 SOBRINHO J D V Matematica Financeira Sao Paulo Atlas 1997