Capítulo 3: Vetores e Suas Componentes

CAPÍTULO 3 Vetores 31 VETORES E SUAS COMPONENTES Objetivos do Aprendizado 301 Somar vetores geometricamente e aplicar as leis comutativa e associativa 302 Subtrair um vetor de outro vetor 303 Calcular as componentes de um vetor em um sistema de coordenadas e representálas em um desenho 304 Dadas as componentes de um vetor desenhar o vetor e determinar seu módulo e orientação 305 Converter ângulos de graus para radianos e viceversa IdeiasChave As grandezas escalares como a temperatura têm apenas uma amplitude especificada por um número e uma unidade 10 oC por exemplo e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar As grandezas vetoriais como o deslocamento têm uma amplitude e uma orientação 5 m para o norte por exemplo e obedecem às regras da álgebra vetorial Dois vetores e podem ser somados geometricamente desenhandoos na mesma escala com a origem do segundo vetor na extremidade do primeiro O vetor que liga a origem do primeiro vetor à extremidade do segundo é o vetor soma Para subtrair de basta inverter o sentido de escrevendo e somar a As componentes escalares ax e ay de qualquer vetor bidimensional em relação aos eixos coordenados podem ser determinadas traçando retas perpendiculares aos eixos coordenados a partir das extremidades de As componentes são dadas por ax a cos θ e ay a sen θ em que θ é o ângulo entre o semieixo x positivo e a direção de O sinal algébrico da componente indica o seu sentido O módulo e a orientação de um vetor podem ser calculados a partir das componentes ax e ay usando as equações O que É Física A física lida com um grande número de grandezas que possuem uma amplitude e uma orientação e precisa de uma linguagem matemática especial a linguagem dos vetores para descrever essas grandezas Essa linguagem também é usada na engenharia em outras ciências e até mesmo nas conversas do dia a dia Se você já explicou a alguém como chegar a um endereço usando expressões como Siga por esta rua por cinco quarteirões e depois dobre à esquerda usou a linguagem dos vetores Na verdade qualquer tipo de navegação se baseia em vetores mas a física e a engenharia também usam vetores para descrever fenômenos que envolvem rotações e forças magnéticas como veremos em capítulos posteriores Neste capítulo vamos discutir a linguagem básica dos vetores Vetores e Escalares Uma partícula que se move em linha reta pode se deslocar em apenas dois sentidos já que a direção é conhecida Podemos considerar o deslocamento como positivo em um sentido e negativo no outro No caso de uma partícula que se move em qualquer outra trajetória porém um número positivo ou negativo não é suficiente para indicar a orientação precisamos usar um vetor Um vetor possui um módulo e uma orientação os vetores seguem certas regras de combinação que serão discutidas neste capítulo Uma grandeza vetorial é uma grandeza que possui um módulo e uma orientação e pode portanto ser representada por um vetor O deslocamento a velocidade e a aceleração são exemplos de grandezas físicas vetoriais Como neste livro serão apresentadas muitas outras grandezas vetoriais o conhecimento das regras de combinação de vetores será de grande utilidade para o leitor Nem toda grandeza física envolve uma orientação A temperatura a pressão a energia a massa e o tempo por exemplo não apontam em uma direção Chamamos essas grandezas de escalares e lidamos com elas pelas regras da álgebra comum Um único valor possivelmente com um sinal algébrico como no caso de uma temperatura de 2C é suficiente para especificar um escalar A grandeza vetorial mais simples é o deslocamento ou mudança de posição Um vetor que representa um deslocamento é chamado como seria de se esperar de vetor deslocamento Outros exemplos de vetor são o vetor velocidade e o vetor aceleração Se uma partícula muda de posição movendose de A para B na Fig 31a dizemos que ela sofre um deslocamento de A para B que representamos por uma seta apontando de A para B A seta especifica o vetor graficamente Para distinguir símbolos vetoriais de outros tipos de setas neste livro usamos um triângulo vazado na ponta das setas que representam vetores Na Fig 31a as setas de A para B de Aʹ para Bʹ e de Aʺ para Bʺ têm o mesmo módulo e a mesma orientação assim elas especificam vetores deslocamento iguais e representam a mesma variação de posição da partícula Um vetor pode ser deslocado sem que o seu valor mude se o comprimento a direção e o sentido permanecerem os mesmos O vetor deslocamento nada nos diz sobre a trajetória percorrida por uma partícula Na Fig 31b por exemplo as três trajetórias que unem os pontos A e B correspondem ao mesmo vetor deslocamento o da Fig 31a O vetor deslocamento não representa todo o movimento mas apenas o resultado final Figura 31 a As três setas têm o mesmo módulo e a mesma orientação e portanto representam o mesmo deslocamento b As três trajetórias que ligam os dois pontos correspondem ao mesmo vetor deslocamento Soma Geométrica de Vetores Suponha que como no diagrama vetorial da Fig 32a uma partícula se desloque de A a B e depois de B a C Podemos representar o deslocamento total independentemente da trajetória seguida através de dois vetores deslocamento sucessivos AB e BC O deslocamento total é um único deslocamento de A para C Chamamos AC de vetor soma ou vetor resultante dos vetores AB e BC Esse tipo de soma não é uma soma algébrica comum Na Fig 32b desenhamos os vetores da Fig 32a e os rotulamos da forma que será usada daqui em diante com uma seta sobre um símbolo em itálico como em Para indicar apenas o módulo do vetor uma grandeza positiva e sem direção usamos o símbolo do vetor em itálico sem a seta como em a b e s Você pode usar um símbolo manuscrito Uma seta sobre um símbolo indica que a grandeza representada pelo símbolo possui as propriedades de um vetor módulo e orientação Podemos representar a relação entre os três vetores da Fig 32b através da equação vetorial Figura 32 a AC é a soma vetorial dos vetores AB e BC b Outra forma de rotular os mesmos vetores segundo a qual o vetor é o vetor soma dos vetores e O símbolo na Eq 31 e a palavra soma têm um significado diferente no caso dos vetores porque ao contrário do que acontece na álgebra comum envolvem tanto o módulo como a orientação da grandeza A Fig 32 sugere um método para somar geometricamente dois vetores bidimensionais e 1 Desenhe o vetor em uma escala conveniente e com o ângulo apropriado 2 Desenhe o vetor na mesma escala com a origem na extremidade do vetor também com o ângulo apropriado 3 O vetor soma é o vetor que vai da origem de à extremidade de Propriedades A soma vetorial definida dessa forma tem duas propriedades importantes Em primeiro lugar a ordem em que os vetores são somados é irrelevante Somar a é o mesmo que somar a Fig 33 ou seja Figura 33 A ordem em que os vetores são somados não afeta o resultado veja a Eq 32 Em segundo lugar quando existem mais de dois vetores podemos agrupálos em qualquer ordem para somálos Assim se queremos somar os vetores e podemos somar e e somar o resultado a Podemos também somar e e depois somar o resultado a o resultado é o mesmo como mostra a Fig 34 Assim Figura 34 Os vetores e podem ser agrupados em qualquer ordem para serem somados veja a Eq 33 O vetor é um vetor com o mesmo módulo e direção de e o sentido oposto veja a Fig 35 A soma dos dois vetores da Fig 35 é 0 Assim somar é o mesmo que subtrair Usamos essa propriedade para definir a diferença entre dois vetores Se temos Figura 35 Os vetores e têm o mesmo módulo e sentidos opostos ou seja calculamos o vetor diferença somando o vetor ao vetor A Fig 36 mostra como isso é feito geometricamente Como na álgebra comum podemos passar um termo que inclui um símbolo de vetor de um lado de uma equação vetorial para o outro mas devemos mudar o sinal Assim por exemplo para explicitar na Eq 34 escrevemos a equação na forma ou Embora tenhamos usado vetores deslocamento nesses exemplos as regras para somar e subtrair vetores se aplicam a vetores de qualquer tipo sejam eles usados para representar velocidade aceleração ou qualquer outra grandeza vetorial Por outro lado apenas vetores do mesmo tipo podem ser somados Assim por exemplo podemos somar dois deslocamentos ou duas velocidades mas não faz sentido somar um deslocamento e uma velocidade O equivalente na aritmética dos escalares seria tentar somar 21 s e 12 m Figura 36 a Os vetores e b Para subtrair o vetor do vetor basta somar o vetor ao vetor Teste 1 Os módulos dos deslocamentos e são 3 m e 4 m respectivamente e Considerando as várias orientações possíveis de e a qual é o maior e b qual é o menor valor possível do módulo de Componentes de Vetores Somar vetores geometricamente pode ser uma tarefa tediosa Uma técnica mais elegante e mais simples envolve o uso da álgebra mas requer que os vetores sejam representados em um sistema de coordenadas retangulares Os eixos x e y são normalmente desenhados no plano do papel como na Fig 37a O eixo z é perpendicular ao papel vamos ignorálo por enquanto e tratar apenas de vetores bidimensionais Uma componente de um vetor é a projeção do vetor em um eixo Na Fig 37a por exemplo ax é a componente do vetor em relação ao eixo x e ay é a componente em relação ao eixo y Para encontrar a projeção de um vetor em um eixo traçamos retas perpendiculares ao eixo a partir da origem e da extremidade do vetor como mostra a figura A projeção de um vetor no eixo x é chamada de componente x do vetor a projeção no eixo y recebe o nome de componente y O processo de obter as componentes de um vetor é chamado de decomposição do vetor Uma componente de um vetor tem o mesmo sentido em relação a um eixo que o vetor Na Fig 37 ax e ay são positivas porque aponta no sentido positivo dos dois eixos Observe as setas que mostram o sentido das componentes Se invertêssemos o sentido do vetor as componentes seriam negativas e as setas apontariam no sentido negativo dos eixos x e y A decomposição do vetor da Fig 38 leva a uma componente bx positiva e a uma componente by negativa Um vetor pode ter até três componentes mas no caso do vetor da Fig 37a a componente z é nula Como mostram as Figs 37a e 37b quando deslocamos um vetor sem mudar a orientação as componentes não mudam Determinação das Componentes Podemos determinar geometricamente as componentes de na Fig 37a a partir do triângulo retângulo mostrado na figura Figura 37 a As componentes ax e ay do vetor b As componentes não mudam quando o vetor é deslocado desde que o módulo e a orientação sejam mantidos c As componentes correspondem aos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor em que θ é o ângulo que o vetor faz com o semieixo x positivo e a é o módulo de A Fig 37c mostra que e as componentes x e y do vetor formam um triângulo retângulo A figura mostra também que é possível reconstruir um vetor a partir das componentes basta posicionar a origem de uma das componentes na extremidade da outra e completar o triângulo retângulo ligando a origem livre à extremidade livre Uma vez que um vetor tenha sido decomposto em relação a um conjunto de eixos as componentes podem ser usadas no lugar do vetor Assim por exemplo o vetor da Fig 37a é dado completamente determinado por a e θ mas também pode ser dado pelas componentes ax e ay Os dois pares de valores contêm a mesma informação Se conhecemos um vetor na notação de componentes ax e ay e queremos especificálo na notação móduloângulo a e θ basta usar as equações para efetuar a transformação No caso mais geral de três dimensões precisamos do módulo e de dois ângulos a θ e ϕ digamos ou de três componentes ax ay e az para especificar um vetor Figura 38 A componente x de é positiva e a componente y é negativa Teste 2 Quais dos métodos indicados na figura são corretos para determinar o vetor a partir das componentes x e y Exemplo 301 Soma gráfica de vetores um teste de campo Em um teste de campo você recebe a tarefa de se afastar o máximo possível de um acampamento por meio de três deslocamentos retilíneos Você pode usar os seguintes deslocamentos em qualquer ordem a 20 km para leste b 20 km 30 ao norte do leste c 10 km para oeste Você pode também substituir por e por Qual é a maior distância que você pode atingir após o terceiro deslocamento A direção do deslocamento total fica a seu critério Raciocínio Usando uma escala conveniente desenhamos os vetores e como na Fig 39a Em seguida deslocamos mentalmente os vetores sobre a página sem mudar a orientação ligando três vetores de cada vez em um arranjo no qual a origem do segundo vetor está ligada à extremidade do primeiro e a origem do terceiro está ligada à extremidade do segundo para encontrar o vetor soma A origem do primeiro vetor representa o acampamento e a extremidade do terceiro vetor representa o ponto de destino O vetor soma vai da origem do primeiro vetor à extremidade do terceiro O módulo d do vetor soma é a distância entre o ponto de destino e o acampamento Nosso objetivo é maximizar essa distância Examinando todos os casos possíveis descobrimos que a distância é máxima para o arranjo A ordem em que os vetores são somados não importa já que a soma vetorial é a mesma qualquer que seja a ordem Como mostra a Eq 32 os vetores obedecem à lei comutativa da adição A ordem mostrada na Fig 39b é para a soma vetorial Figura 39 a Vetores deslocamento três devem ser usados b A distância entre o ponto de destino e o acampamento será a maior possível se os deslocamentos escolhidos forem e em qualquer ordem Usando a escala da Fig 39a medimos o comprimento d do vetor resultante encontrando Exemplo 302 Determinação das componentes de um vetor rota de um avião Um pequeno avião decola de um aeroporto em um dia nublado e é avistado mais tarde a 215 km de distância em um curso que faz um ângulo de 22 a leste do norte A que distância a leste e ao norte do aeroporto está o avião no momento em que é avistado Figura 310 Um avião decola de um aeroporto na origem e é avistado mais tarde no ponto P IDEIACHAVE Conhecemos o módulo 215 km e o ângulo 22 a leste do norte de um vetor e precisamos determinar as componentes do vetor Cálculos Desenhamos um sistema de coordenadas xy com o sentido positivo de x para leste e o de y para o norte Fig 310 Por conveniência a origem é colocada no aeroporto Isso não é obrigatório Poderíamos escolher qualquer ponto para origem e qualquer orientação para os eixos mas se a escolha é nossa por que tornar o problema mais difícil O deslocamento do avião aponta da origem para o ponto em que o avião foi avistado Para determinar as componentes de utilizamos a Eq 35 com θ 68 90 22 Assim o avião foi avistado 81 km a leste e 20 102 km ao norte do aeroporto Táticas para a Solução de Problemas Ângulos funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas Tática 1 Ângulos em Graus e em Radianos Ângulos medidos em relação ao semieixo x positivo são positivos se são medidos no sentido antihorário e negativos se são medidos no sentido horário Assim por exemplo 210 e 150 representam o mesmo ângulo Os ângulos podem ser medidos em graus o ou em radianos rad Para relacionar as duas unidades basta lembrar que uma circunferência completa corresponde a um ângulo de 360 ou 2π rad Para converter digamos 40 para radianos escrevemos Tática 2 Funções Trigonométricas A Fig 311 mostra as definições das funções trigonométricas básicas seno cosseno e tangente muito usadas na ciência e na engenharia em uma forma que não depende do modo como o triângulo é rotulado O leitor deve saber como essas funções trigonométricas variam com o ângulo Fig 312 para poder julgar se o resultado mostrado por uma calculadora é razoável Em algumas circunstâncias o simples conhecimento do sinal das funções nos vários quadrantes pode ser muito útil Tática 3 Funções Trigonométricas Inversas Quando se usa uma calculadora para obter o valor de uma função trigonométrica inversa como sen1 cos1 e tan1 é preciso verificar se o resultado faz sentido pois em geral existe outra solução possível que a calculadora não fornece Os intervalos em que as calculadoras operam ao fornecer os valores das funções trigonométricas inversas estão indicados na Fig 312 Assim por exemplo sen1 05 pode ser igual a 30 que é o valor mostrado pela calculadora já que 30o está no intervalo de operação ou a 150 Para verificar se isso é verdade trace uma reta horizontal passando pelo valor 05 na escala vertical da Fig 312a e observe os pontos em que a reta intercepta a curva da função seno Como é possível saber qual é a resposta correta É a que parece mais razoável para uma dada situação Tática 4 Medida dos Ângulos de um Vetor As expressões de cos θ e sen θ na Eq 35 e de tan θ na Eq 36 são válidas apenas se o ângulo for medido em relação ao semieixo x positivo Se o ângulo for medido em relação a outro eixo talvez seja preciso trocar as funções trigonométricas da Eq 35 ou inverter a razão da Eq 36 Um método mais seguro é converter o ângulo dado em um ângulo medido em relação ao semieixo x positivo Figura 311 Triângulo usado para definir as funções trigonométricas Veja também o Apêndice E Figura 312 Gráficos das três funções trigonométricas As partes mais escuras das curvas correspondem aos valores fornecidos pelas calculadoras para as funções trigonométricas inversas 32 VETORES UNITÁRIOS SOMA DE VETORES A PARTIR DAS COMPONENTES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 306 Converter um vetor da notação móduloângulo para a notação dos vetores unitários e viceversa 307 Somar e subtrair vetores expressos na notação móduloângulo e na notação dos vetores unitários 308 Saber que a rotação do sistema de coordenadas em torno da origem pode mudar as componentes de um vetor mas o vetor permanece o mesmo IdeiasChave Os vetores unitários e têm módulo 1 e apontam no sentido positivo dos eixos x y e z respectivamente em um sistema de coordenadas dextrogiro Na notação dos vetores unitários um vetor assume a forma em que ax ay e az são as componentes vetoriais de e ax ay e az são as componentes escalares Para somar vetores expressos na notação dos vetores unitários usamos as equações rx ax bx ry ay by rz az bz em que e são os vetores a serem somados e rx ry rz é o vetor soma Note que as componentes devem ser somadas eixo a eixo Vetores Unitários Vetor unitário é um vetor de módulo 1 que aponta em uma dada direção Um vetor unitário não possui dimensão nem unidade sua única função é especificar uma orientação Neste livro os vetores unitários que indicam a direção e o sentido positivo dos eixos x y e z são representados como respectivamente e em que o símbolo é usado em lugar de uma seta para mostrar que se trata de vetores unitários Fig 313 Um sistema de eixos como o da Fig 313 é chamado de sistema de coordenadas dextrogiro O sistema permanece dextrogiro quando os três eixos sofrem a mesma rotação Os sistemas de coordenadas usados neste livro são todos dextrogiros1 Os vetores unitários são muito úteis para especificar outros vetores assim por exemplo podemos expressar os vetores e das Figs 37 e 38 como Figura 313 Os vetores unitários e usados para definir um sistema de coordenadas dextrogiro Figura 314 a Componentes vetoriais do vetor b Componentes vetoriais do vetor Essas duas equações estão ilustradas na Fig 314 As grandezas ax e ay são vetores conhecidos como componentes vetoriais de As grandezas ax e ay são escalares conhecidas como componentes escalares ou simplesmente componentes de Soma de Vetores a Partir das Componentes Podemos somar vetores geometricamente usando um desenho Também podemos somar vetores diretamente na tela de uma calculadora gráfica Uma terceira forma de somar vetores que é a forma que discutiremos em seguida consiste em combinar as componentes eixo por eixo Para começar considere a equação segundo a qual o vetor é igual ao vetor Nesse caso cada componente de é igual à componente correspondente de Em outras palavras dois vetores são iguais se as componentes correspondentes forem iguais De acordo com as Eqs 39 a 312 para somar dois vetores podemos 1 obter as componentes escalares dos vetores 2 combinar as componentes escalares eixo por eixo para obter as componentes do vetor soma 3 combinar as componentes de para obter o vetor Isso pode ser feito de duas maneiras podemos expressar na notação dos vetores unitários ou por meio da notação móduloângulo Esse método de somar vetores usando componentes também se aplica à subtração Lembrese de que uma subtração como pode ser escrita como uma adição da forma Para subtrair somamos as componentes de e para obter Teste 3 a Quais são os sinais das componentes x de 1 e 2 na figura b Quais são os sinais das componentes y de 1 e 2 Quais são os sinais das componentes x e y de 1 2 Vetores e as Leis da Física Até agora em toda figura em que aparece um sistema de coordenadas os eixos x e y são paralelos às bordas do papel Assim quando um vetor é desenhado as componentes ax e ay também são paralelas às bordas do papel como na Fig 315a A única razão para usar essa orientação dos eixos é que parece apropriada não existe uma razão mais profunda Podemos perfeitamente girar os eixos mas não o vetor de um ângulo ϕ como na Fig 315b caso em que as componentes terão novos valores Como existe uma infinidade de valores possíveis de ϕ existe um número infinito de pares possíveis de componentes de Qual é então o par de componentes correto A resposta é que são todos igualmente válidos já que cada par com o sistema de eixos correspondente constitui uma forma diferente de descrever o mesmo vetor todos produzem o mesmo módulo e a mesma orientação para o vetor Na Fig 315 temos e Figura 315 a O vetor e suas componentes b O mesmo vetor com os eixos do sistema de coordenadas girados de um ângulo ϕ A verdade é que temos uma grande liberdade para escolher o sistema de coordenadas já que as relações entre vetores não dependem da localização da origem nem da orientação dos eixos Isso também se aplica às leis da física são todas independentes da escolha do sistema de coordenadas Acrescente a isso a simplicidade e riqueza da linguagem dos vetores e você verá que é fácil compreender por que as leis da física são quase sempre apresentadas nessa linguagem uma equação como a Eq 39 pode representar três ou até mais relações como as Eqs 310 311 e 312 Exemplo 303 Labirinto de sebes O labirinto de sebes é um labirinto formado por sebes bem altas Depois de entrar no labirinto você deve encontrar o ponto central e em seguida descobrir a saída A Fig 316a mostra a entrada do labirinto e as duas primeiras mudanças de direção necessárias para ir do ponto i ao ponto c O percurso corresponde aos três deslocamentos mostrados na vista aérea da Fig 316b d1 600 m θ1 40 d1 800 m θ1 30 d1 500 m θ1 0 em que o último deslocamento é paralelo ao eixo x Qual é o módulo e qual o ângulo do deslocamento total tot em relação ao ponto i quando você chega ao ponto c IDEIASCHAVE 1 O deslocamento total é a soma de três deslocamentos tot 1 2 3 2 Para somar os deslocamentos podemos calcular primeiro a soma das componentes x e depois a soma das componentes y 3 Finalmente construímos tot a partir das componentes x e y Cálculos Para podermos usar as Eqs 316 e 317 precisamos calcular as componentes x e y de cada deslocamento Como exemplo a Fig 316c mostra as componentes do primeiro deslocamento Desenhamos diagramas semelhantes para os outros dois deslocamentos e aplicamos a parte referente ao eixo x da Eq 35 a cada deslocamento usando ângulos relativos ao semieixo x positivo d1x 600 m cos 40 460 m d2x 800 mcos 60 400 m d3x 500 m cos 0 500 m A Eq 316 nos dá dtotx 460 m 400 m 500 m 1360 m Analogamente para podermos usar a Eq 317 aplicamos a parte referente ao eixo y da Eq 35 a cada deslocamento d1y 600 m sen 40 386 m d2y 800 m sen 60 693 m d3y 500 m sen 0 0 m Figura 316 a Três deslocamentos em um labirinto de sebes b Os vetores deslocamento c O primeiro vetor deslocamento e suas componentes d O vetor deslocamento total e suas componentes A Eq 317 nos dá dtoty 386 m 693 m 0 m 307 m Em seguida usamos as componentes de tot para construir o vetor como mostra a Fig 316d As componentes são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o vetor Para calcular o módulo e o ângulo de tot usamos a Eq 36 O módulo é Para obter o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo calculamos o arco tangente O ângulo é negativo porque é medido no sentido horário a partir do semieixo x positivo É preciso tomar muito cuidado ao obter o arco tangente em uma calculadora A resposta mostrada sempre está matematicamente correta mas pode não ser a resposta adequada para o problema Em muitos casos é necessário somar 180o à resposta fornecida pela calculadora para trocar o sinal das duas componentes Uma boa forma de verificar se isso é necessário consiste em traçar o vetor e suas componentes como fizemos na Fig 316d Na situação deste exemplo a figura mostra que θ 127o é uma resposta razoável enquanto 127o 180o 167o não é uma resposta razoável Podemos ver a razão pela qual existem duas respostas possíveis examinando a curva da tangente em função do ângulo Fig 3 12c Neste exemplo o argumento do arco tangente é 3071360 0226 Quando traçamos uma reta horizontal correspondente a esse valor no gráfico da Fig 312c a reta intercepta a curva da tangente em dois pontos um no ramo mais escuro do gráfico que corresponde a θ 127o e outro no ramo mais claro da esquerda que corresponde a θ 167o o ramo mais claro da direita é apenas uma repetição do ramo mais escuro entre 90o e 0o O valor da coordenada θ do primeiro ponto é o resultado que a calculadora fornece Exemplo 304 Soma de vetores usando vetores unitários A Figura 317a mostra os seguintes vetores Qual é o vetor soma que também aparece na Fig 317a IDEIACHAVE Podemos somar os três vetores somando as componentes eixo por eixo e usando as componentes resultantes para obter o vetor soma Cálculos No caso do eixo x somamos as componentes x de e para obter a componente x do vetor soma rx ax bx cx 42 m 16 m 0 26 m Analogamente no caso do eixo y rx ax bx cx 15 m 29 m 37 m 23 m Podemos combinar essas componentes de paraescrever o vetor em termos dos vetores unitários em que 26 m é a componente vetorial de em relação ao eixo x e 23 m é a componente vetorial de em relação ao eixo y A Fig 317b mostra uma das formas de obter o vetor a partir dessas componentes Qual é a outra forma Figura 317 O vetor é a soma vetorial dos outros três vetores Também podemos resolver o problema determinando o módulo e o ângulo de De acordo com a Eq 36 o módulo é dado por e o ângulo medido em relação ao semieixo x positivo é dado por em que o sinal negativo significa que o ângulo deve ser medido no sentido horário 33 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 309 Multiplicar vetores por escalares 310 Saber que o resultado do produto de um escalar por um vetor é um escalar o resultado do produto escalar de dois vetores é um escalar e o resultado do produto vetorial de dois vetores é um vetor perpendicular aos vetores originais 311 Calcular o produto escalar de dois vetores expressos na notação móduloângulo e o produto escalar de dois vetores expressos na notação dos vetores unitários 312 Calcular o ângulo entre dois vetores a partir do produto escalar 313 Calcular a projeção de um vetor na direção de outro vetor a partir do produto escalar dos dois vetores 314 Calcular o produto vetorial de dois vetores expressos na notação móduloângulo e o produto vetorial de dois vetores expressos na notação dos vetores unitários 315 Usar a regra da mão direita para determinar a orientação do vetor resultante de um produto vetorial IdeiasChave O produto de um escalar e por um vetor é um vetor de módulo ev com a mesma direção de e o mesmo sentido de se e for positivo e o sentido oposto ao de se e for negativo O produto escalar de dois vetores e é representado como e é uma grandeza escalar dada por ab cos ϕ em que ϕ é o ângulo entre as direções de e O produto escalar pode ser considerado como o produto do módulo de um dos vetores pela componente do segundo vetor na direção do primeiro Na notação dos vetores unitários que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva Note que O produto vetorial de dois vetores e é representado como e é um vetor cujo módulo c é dado por em que ϕ é o menor ângulo entre as direções de e A direção de é perpendicular ao plano definido por e e é dada pela regra da mão direita como mostra a Fig 319 Na notação dos vetores unitários que pode ser expandido usando a lei distributiva Note que Multiplicação de Vetores Existem três formas de multiplicar vetores mas nenhuma é exatamente igual à multiplicação algébrica Ao ler a exposição a seguir tenha em mente que uma calculadora o ajudará a multiplicar vetores apenas se você compreender as regras básicas desse tipo de multiplicação Multiplicação de um Vetor por um Escalar Quando multiplicamos um vetor por um escalar e obtemos um vetor cujo módulo é o produto do módulo de pelo valor absoluto de e cuja direção é a mesma de e cujo sentido é o mesmo de se e for positivo e o sentido oposto se e for negativo Para dividir por e multiplicamos por 1e Multiplicação de um Vetor por um Vetor Existem duas formas de multiplicar um vetor por um vetor uma forma conhecida como produto escalar resulta em um escalar a outra conhecida como produto vetorial resulta em um vetor Os estudantes costumam confundir as duas formas O Produto Escalar O produto escalar dos vetores e da Fig 318a é escrito como e definido pela equação em que a é o módulo de b é o módulo de e ϕ é o ângulo entre e ou mais apropriadamente entre as orientações de e Na realidade existem dois ângulos possíveis ϕ e 360 ϕ Qualquer dos dois pode ser usado na Eq 320 já que os cossenos dos dois ângulos são iguais Note que o lado direito da Eq 320 contém apenas escalares incluindo o valor de cos ϕ Assim o produto no lado esquerdo representa uma grandeza escalar e é lido como a escalar b O produto escalar pode ser considerado como o produto de duas grandezas 1 o módulo de um dos vetores e 2 a componente escalar do outro vetor em relação ao primeiro Assim por exemplo na Fig 318b tem uma componente escalar a cos ϕ em relação a note que essa componente pode ser determinada traçando uma perpendicular a que passe pela extremidade de Analogamente possui uma componente escalar b cos ϕ em relação a Se o ângulo ϕ entre dois vetores é 0 a componente de um vetor em relação ao outro é máxima o que também acontece com o produto escalar dos vetores Se o ângulo é 90 a componente de um vetor em relação ao outro é nula o que também acontece com o produto escalar Para chamar atenção para as componentes a Eq 320 pode ser escrita da seguinte forma Como a propriedade comutativa se aplica ao produto escalar podemos escrever Figura 318 a Dois vetores e formando um ângulo ϕ b Cada vetor tem uma componente na direção do outro vetor Quando os dois vetores são escritos na notação dos vetores unitários o produto escalar assume a forma que pode ser expandida de acordo com a propriedade distributiva Calculando os produtos escalares dos componentes vetoriais do primeiro vetor pelos componentes vetoriais do segundo vetor obtemos Teste 4 Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades respectivamente Qual é o ângulo entre esses vetores se é igual a a zero b 12 unidades e c 12 unidades O Produto Vetorial O produto vetorial de e é escrito como e resulta em um terceiro vetor cujo módulo é em que ϕ é o menor dos dois ângulos entre e É preciso usar o menor dos ângulos entre os vetores porque sen ϕ e sen360 ϕ têm sinais opostos O produto é lido como a vetor b Se e são paralelos ou antiparalelos 0 O módulo de que pode ser escrito como é máximo quando e são mutuamente perpendiculares A direção de é perpendicular ao plano definido por e A Fig 319a mostra como determinar o sentido de usando a chamada regra da mão direita Superponha as origens de e sem mudar a orientação dos vetores e imagine uma reta perpendicular ao plano definido pelos dois vetores passando pela origem comum Envolva essa reta com a mão direita de modo que os dedos empurrem em direção a ao longo do menor ângulo entre os vetores Seu polegar estendido apontará no sentido de No caso do produto vetorial a ordem dos vetores é importante Na Fig 319b estamos determinando o sentido de de modo que os dedos da mão direita empurram na direção de ao longo do menor ângulo Neste caso o polegar aponta no sentido oposto ao da Fig 321a de modo que ʹ ou seja Em outras palavras a lei comutativa não se aplica ao produto vetorial Na notação dos vetores unitários podemos escrever que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva ou seja calculando o produto vetorial de cada componente do primeiro vetor pelas componentes do segundo vetor Os produtos vetoriais dos vetores unitários aparecem no Apêndice E veja Produtos de Vetores Assim por exemplo na expansão da Eq 326 temos porque os vetores unitários e são paralelos e portanto o produto vetorial é zero Analogamente temos No último passo usamos a Eq 324 para descobrir que o módulo de é 1 O módulo dos vetores e é 1 e o ângulo entre e é 90 Usando a regra da mão direita descobrimos que o sentido de é o sentido do semieixo z positivo ou seja o sentido de Continuando a expandir a Eq 326 é possível mostrar que Também é possível calcular o resultado de um produto vetorial usando um determinante veja o Apêndice E ou uma calculadora Para verificar se um sistema de coordenadas xyz é um sistema dextrogiro basta aplicar a regra da mão direita ao produto vetorial no sistema dado Se os dedos empurrarem semieixo x positivo na direção de semieixo y positivo e o polegar estendido apontar no sentido do semieixo z positivo o sistema é dextrogiro caso contrário o sistema é levogiro Teste 5 Os vetores e têm módulos de 3 unidades e 4 unidades respectivamente Qual é o ângulo entre os dois vetores se o módulo do produto vetorial é igual a a zero e b 12 unidades Figura 319 Ilustração da regra da mão direita para produtos vetoriais a Empurre o vetor na direção do vetor com os dedos da mão direita O polegar estendido mostra a orientação do vetor b O vetor tem o sentido oposto ao de Exemplo 305 Ângulo entre dois vetores usando o produto escalar Qual é o ângulo ϕ entre 30 40 e 20 30 Atenção Muitos dos cálculos a seguir não são necessários quando se usa uma calculadora mas o leitor aprenderá mais sobre produtos escalares se pelo menos por enquanto executálos manualmente IDEIACHAVE O ângulo entre as orientações dos dois vetores aparece na definição do produto escalar Eq 320 Cálculos Na Eq 328 a é o módulo de ou seja e b é o módulo de ou seja Podemos calcular o lado esquerdo da Eq 328 escrevendo os vetores na notação dos vetores unitários e usando a propriedade distributiva Em seguida aplicamos a Eq 320 a cada termo da última expressão O ângulo entre os vetores unitários do primeiro termo e é 0 e os outros ângulos são 90 Assim temos Substituindo esse resultado e os resultados das Eqs 329 e 330 na Eq 328 obtemos Exemplo 306 Produto vetorial regra da mão direita Na Fig 320 o vetor está no plano xy tem um módulo de 18 unidades e uma orientação que faz um ângulo de 250 com o semieixo x positivo O vetor tem um módulo de 12 unidades e está orientado ao longo do semieixo z positivo Qual é o produto vetorial IDEIACHAVE Quando conhecemos dois vetores na notação móduloângulo podemos calcular o módulo do produto vetorial usando a Eq 324 e determinar a orientação do produto vetorial usando a regra da mão direita da Fig 319 Cálculos O módulo do produto vetorial é dado por Para determinar a orientação do produto vetorial na Fig 320 coloque os dedos da mão direita em torno de uma reta perpendicular ao plano de e a reta na qual se encontra o vetor de modo que os dedos empurrem o vetor na direção de o polegar estendido fornece a orientação de Assim como mostra a figura está no plano xy Como a direção de é perpendicular à direção de o produto vetorial sempre resulta em um vetor perpendicular aos dois vetores originais o vetor faz um ângulo de Figura 320 O vetor no plano xy é o produto vetorial dos vetores e com o semieixo x positivo Exemplo 307 Produto vetorial usando vetores unitários Se 3 4 e 2 3 determine IDEIACHAVE Quando dois vetores estão expressos na notação dos vetores unitários podemos determinar o produto vetorial usando a lei distributiva Cálculos Temos Podemos calcular os valores dos diferentes termos usando a Eq 324 e determinando a orientação dos vetores com o auxílio da regra da mão direita No primeiro termo o ângulo ϕ entre os dois vetores envolvidos no produto vetorial é 0 nos outros três termos ϕ 90 O resultado é o seguinte O vetor é perpendicular a e o que pode ser demonstrado observando que 0 e 0 ou seja que não existem componentes de em relação a e Revisão e Resumo Escalares e Vetores Grandezas escalares como temperatura possuem apenas um valor numérico São especificadas por um número com uma unidade 10C por exemplo e obedecem às regras da aritmética e da álgebra elementar As grandezas vetoriais como o deslocamento possuem um valor numérico módulo e uma orientação 5 m para cima por exemplo e obedecem às regras da álgebra vetorial Soma Geométrica de Vetores Dois vetores e podem ser somados geometricamente desenhandoos na mesma escala e posicionandoos com a origem de um na extremidade do outro O vetor que liga as extremidades livres dos dois vetores é o vetor soma Para subtrair de invertemos o sentido de para obter e somamos a A soma vetorial é comutativa obedece à lei associativa Componentes de um Vetor As componentes escalares ax e ay de um vetor bidimensional em relação ao eixos de um sistema de coordenadas xy são obtidas traçando retas perpendiculares aos eixos a partir da origem e da extremidade de As componentes são dadas por em que θ é o ângulo entre e o semieixo x positivo O sinal algébrico de uma componente indica o sentido da componente em relação ao eixo correspondente Dadas as componentes podemos determinar o módulo e a orientação de um vetor através das equações Notação dos Vetores Unitários Os vetores unitários e têm módulo unitário e sentido igual ao sentido positivo dos eixos x y e z respectivamente se o sistema de coordenadas for dextrogiro o que pode ser verificado calculando os produtos vetoriais dos vetores unitários Em termos dos vetores unitários um vetor pode ser expresso na forma em que ax ay e az são as componentes vetoriais de e ax ay e az são as componentes escalares Soma de Vetores na Forma de Componentes Para somar vetores na forma de componentes usamos as regras Aqui e são os vetores a serem somados e é o vetor soma Note que as componentes são somadas separadamente para cada eixo No final a soma pode ser expressa na notação dos vetores unitários ou na notação móduloângulo Produto de um Escalar por um Vetor O produto de um escalar e por um vetor é um vetor de módulo ev com a mesma orientação de se e for positivo e com a orientação oposta se e for negativo O sinal negativo inverte o sentido do vetor Para dividir por e multiplicamos por 1e O Produto Escalar O produto escalar de dois vetores e é representado por e é igual à grandeza escalar dada por em que ϕ é o menor dos ângulos entre as direções de e O produto escalar é o produto do módulo de um dos vetores pela componente escalar do outro em relação ao primeiro Note que o que significa que o produto escalar obedece à lei comutativa Na notação dos vetores unitários que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva O Produto Vetorial O produto vetorial de dois vetores representado por ¹ é um vetor cujo módulo c é dado por em que ϕ é o menor dos ângulos entre as direções de e A orientação de é perpendicular ao plano definido por e e é dada pela regra da mão direita como mostra a Fig 319 Note que o que significa que o produto vetorial não obedece à lei comutativa Na notação dos vetores unitários que pode ser expandido de acordo com a lei distributiva Perguntas 1 A soma dos módulos de dois vetores pode ser igual ao módulo da soma dos mesmos vetores Justifique sua resposta 2 Os dois vetores da Fig 321 estão em um plano xy Determine o sinal das componentes x e y respectivamente de a 1 2 b 1 2 c 1 2 Figura 321 Pergunta 2 Figura 322 Pergunta 3 3 Como a mascote da Universidade da Flórida é um jacaré a equipe de golfe da universidade joga em um campo no qual existe um lago com jacarés A Fig 322 mostra uma vista aérea da região em torno de um dos buracos do campo com um sistema de coordenadas xy superposto As tacadas da equipe devem levar a bola da origem até o buraco que está nas coordenadas 8 m 12 m mas a bola pode sofrer apenas os seguintes deslocamentos que podem ser usados mais de uma vez O lago está nas coordenadas 8 m 6 m Se um membro da equipe lança a bola no lago é imediatamente transferido para a Universidade Estadual da Flórida a eterna rival Que sequência de deslocamentos deve ser usada por um membro da equipe para evitar o lago 4 A Eq 32 mostra que a soma de dois vetores e é comutativa Isso significa que a subtração é comutativa ou seja que 5 Quais dos sistemas de eixos da Fig 323 são sistemas de coordenadas dextrogiros Como de costume a letra que identifica o eixo está no semieixo positivo Figura 323 Pergunta 5 6 Descreva dois vetores e tais que a e a b c b c e a2 b2 c2 7 Se a b e c 8 Se e é necessariamente igual a 9 Se q e é perpendicular a qual é a orientação de nas três situações mostradas na Fig 324 se a constante q for a positiva e b negativa Figura 324 Pergunta 9 10 A Fig 325 mostra um vetor e outros quatro vetores de mesmo módulo e orientações diferentes a Quais dos outros quatro vetores têm o mesmo produto escalar com b Quais têm um produto escalar com negativo Figura 325 Pergunta 10 11 Em um jogo disputado em um labirinto tridimensional você precisa mover sua peça da partida nas coordenadas 0 0 0 para a chegada nas coordenadas 2 cm 4 cm 4 cm A peça pode sofrer apenas os deslocamentos em centímetros mostrados a seguir Se durante o trajeto a peça parar nas coordenadas 5 cm 1 cm 1 cm ou 5 cm 2 cm 1 cm você perde o jogo Qual é a sequência de deslocamentos correta para levar a peça até a chegada 12 As componentes x e y de quatro vetores e são dadas a seguir Para quais desses vetores uma calculadora fornece o ângulo correto quando você usa a calculadora para determinar o ângulo θ da Eq 3 6 Observe primeiro a Fig 312 para chegar a uma resposta e depois use uma calculadora para verificar se sua resposta está correta 13 Quais das expressões vetoriais a seguir estão corretas O que está errado nas expressões incorretas a b c d e f g 5 h 5 i 5 j Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 31 Vetores e Suas Componentes 1 Quais são a a componente x e b a componente y de um vetor do plano xy que faz um ângulo de 250 no sentido antihorário como o semieixo x positivo e tem um módulo de 73 m 2 Um vetor deslocamento no plano xy tem 15 m de comprimento e faz um ângulo θ 30 com o semieixo x positivo como mostra a Fig 326 Determine a a componente x e b a componente y do vetor 3 A componente x do vetor é 250 m e a componente y é 400 m a Qual é o módulo de b Qual é o ângulo entre a orientação de e o semieixo x positivo Figura 326 Problema 2 4 Expresse os seguintes ângulos em radianos a 200 b 500 c 100 Converta os seguintes ângulos para graus d 0330 rad e 210 rad f 770 rad 5 O objetivo de um navio é chegar a um porto situado 120 km ao norte do ponto de partida mas uma tempestade inesperada o leva para um local situado 100 km a leste do ponto de partida a Que distância o navio deve percorrer e b que rumo deve tomar para chegar ao destino 6 Na Fig 327 uma máquina pesada é erguida com o auxílio de uma rampa que faz um ângulo q 200 com a horizontal na qual a máquina percorre uma distância d 125 m a Qual é a distância vertical percorrida pela máquina b Qual é a distância horizontal percorrida pela máquina Figura 327 Problema 6 7 Considere dois deslocamentos um de módulo 3 m e outro de módulo 4 m Mostre de que forma os vetores deslocamento podem ser combinados para que o módulo do deslocamento resultante seja a 7 m b 1 m c 5 m Módulo 32 Vetores Unitários Soma de Vetores a partir das Componentes 8 Uma pessoa caminha da seguinte forma 31 km para o norte 24 km para oeste e 52 km para o sul a Desenhe o diagrama vetorial que representa esse movimento b Que distância e c em que direção voaria um pássaro em linha reta do mesmo ponto de partida ao mesmo ponto de chegada 9 Dois vetores são dados por Determine na notação dos vetores unitários a b c um terceiro vetor tal que 0 10 Determine as componentes a x b y e c z da soma dos deslocamentos e cujas componentes em metros em relação aos três eixos são cx 74 cy 38 cz 61 dx 44 dy 20 dz 33 11 a Determine a soma na notação dos vetores unitários para 40 m 30 m e 130 m 70 m Determine b o módulo e c a orientação de 12 Um carro viaja 50 km para leste 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30o a leste do norte Desenhe o diagrama vetorial e determine a o módulo e b o ângulo do deslocamento do carro em relação ao ponto de partida 13 Uma pessoa deseja chegar a um ponto que está a 340 km da localização atual em uma direção 350 ao norte do leste As ruas por onde a pessoa pode passar são todas na direção nortesul ou na direção lesteoeste Qual é a menor distância que essa pessoa precisa percorrer para chegar ao destino 14 Você deve executar quatro deslocamentos na superfície plana num deserto começando na origem de um sistema de coordenadas xy e terminando nas coordenadas 140 m 30 m As componentes dos deslocamentos são sucessivamente as seguintes em metros 20 60 bx 70 20 cy e 60 70 Determine a bx e b cy Determine c o módulo e d o ângulo em relação ao semieixo x positivo do deslocamento total 15 Os vetores e da Fig 328 têm o mesmo módulo 100 m e os ângulos mostrados na figura são q1 30 e q2 105 Determine as componentes a x e b y da soma vetorial dos dois vetores c o módulo de e d o ângulo que faz com o semieixo x positivo 16 Para os vetores deslocamento 30 m 40 m e 50 m 20 m determine a em termos de vetores unitários e em termos b do módulo e c do ângulo em relação a Determine d em termos de vetores unitários e em termos e do módulo e f do ângulo Figura 328 Problema 15 17 Três vetores e têm o mesmo módulo 50 m e estão em um plano xy Os ângulos dos vetores em relação ao semieixo x positivo são 30 195 e 315 respectivamente Determine a o módulo e b o ângulo do vetor e c o módulo e d o ângulo de Determine e o módulo e f o ângulo de um quarto vetor tal que 0 18 Na soma o vetor tem um módulo de 120 m e faz um ângulo de 400 no sentido anti horário com o semieixo x positivo o vetor tem um módulo de 150 m e faz um ângulo de 200 no sentido antihorário com o semieixo x negativo Determine a o módulo de e b o ângulo de com o semieixo x positivo 19 Em um jogo de xadrez ao ar livre no qual as peças ocupam o centro de quadrados com 100 m de lado um cavalo é movido da seguinte forma 1 dois quadrados para a frente e um quadrado para a direita 2 dois quadrados para a esquerda e um quadrado para a frente 3 dois quadrados para a frente e um quadrado para a esquerda Determine a o módulo e b o ângulo em relação ao sentido para a frente do deslocamento total do cavalo após a série de três movimentos 20 Um explorador polar foi surpreendido por uma nevasca que reduziu a visibilidade a praticamente zero quando retornava ao acampamento Para chegar ao acampamento ele deveria ter caminhado 56 km para o norte mas quando o tempo melhorou percebeu que na realidade havia caminhado 78 km em uma direção 50 ao norte do leste a Que distância e b em que sentido o explorador deve caminhar para voltar à base 21 Uma formiga enlouquecida pelo sol em um dia quente sai correndo em um plano xy As componentes x y de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes todas em centímetros 300 400 bx 700 200 cy 800 700 O deslocamento resultante das quatro corridas tem componentes 140 200 Determine a bx e b cy Determine c o módulo e d o ângulo em relação ao semieixo x positivo do deslocamento total 22 a Qual é a soma dos quatro vetores a seguir na notação dos vetores unitários Para essa soma quais são b o módulo c o ângulo em graus e d o ângulo em radianos 23 Se é somado a 30 40 o resultado é um vetor com a orientação do semieixo y positivo e um módulo igual ao de Qual é o módulo de 24 O vetor paralelo ao eixo x deve ser somado ao vetor que tem um módulo de 70 m A soma é um vetor paralelo ao eixo y com um módulo 3 vezes maior que o de Qual é o módulo de 25 O oásis B está 25 km a leste do oásis A Partindo do oásis A um camelo percorre 24 km em uma direção 15 ao sul do leste e 80 km para o norte A que distância o camelo está do oásis B 26 Determine a soma dos quatro vetores a seguir a na notação dos vetores unitários e em termos b do módulo e c do ângulo 27 Se 1 2 5 3 1 2 3 3 e 3 2 4 determine na notação dos vetores unitários a 1 b 2 28 Dois besouros correm em um deserto plano partindo do mesmo ponto O besouro 1 corre 050 m para leste e 080 m em uma direção 30 ao norte do leste O besouro 2 corre 16 m em uma direção 40 ao leste do norte e depois corre em outra direção Quais devem ser a o módulo e b o sentido da segunda corrida do segundo besouro para que ele termine na mesma posição que o primeiro besouro 29 Para se orientarem as formigas de jardim costumam criar uma rede de trilhas marcadas por feromônios Partindo do formigueiro cada uma dessas trilhas se bifurca repetidamente em duas trilhas que formam entre si um ângulo de 60o Quando uma formiga perdida encontra uma trilha ela pode saber em que direção fica o formigueiro ao chegar ao primeiro ponto de bifurcação Se estiver se afastando do formigueiro encontrará duas trilhas que formam ângulos pequenos com a direção em que estava se movendo 30o para a esquerda e 30o para a direita Se estiver se aproximando do formigueiro encontrará apenas uma trilha com essa característica 30o para a esquerda ou 30o para a direita A Fig 329 mostra uma rede de trilhas típica com segmentos de reta de 20 cm de comprimento e bifurcações simétricas de 60o Determine a o módulo e b o ângulo em relação ao semieixo x positivo do deslocamento até o formigueiro encontreo na figura de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto A Determine c o módulo e d o ângulo de uma formiga que entra na rede de trilhas no ponto B 30 São dados dois vetores 40 m 30 m e 60 m 80 m Determine a o módulo e b o ângulo em relação a de Determine c o módulo e d o ângulo de Determine e o módulo e f o ângulo de g o módulo e h o ângulo de i o módulo e j o ângulo de k Determine o ângulo entre as direções de e Figura 329 Problema 29 31 Na Fig 330 um vetor com um módulo de 170 m faz um ângulo θ 560 no sentido antihorário com o semieixo x positivo Quais são as componentes a ax e b ay do vetor Um segundo sistema de coordenadas está inclinado de um ângulo θʹ 18 em relação ao primeiro Quais são as componentes c e d neste novo sistema de coordenadas Figura 330 Problema 31 32 Na Fig 331 um cubo de aresta a tem um dos vértices posicionado na origem de um sistema de coordenadas xyz A diagonal do cubo é uma reta que vai de um vértice a outro do cubo passando pelo centro Na notação dos vetores unitários qual é a diagonal do cubo que passa pelo vértice cujas coordenadas são a 0 0 0 b a 0 0 c 0 a 0 e d a a 0 e Determine os ângulos que as diagonais do cubo fazem com as arestas vizinhas f Determine o comprimento das diagonais do cubo em termos de a Figura 331 Problema 32 Módulo 33 Multiplicação de Vetores 33 Para os vetores da Fig 332 com a 4 b 3 e c 5 determine a o módulo e b a orientação de c o módulo e d a orientação de e e o módulo e f orientação de Embora exista o eixo z não é mostrado na figura 34 Dois vetores são dados por 30 50 e 20 40 Determine a b c e d a componente de em relação a Sugestão Para resolver o item d considere a Eq 320 e a Fig 318 Figura 332 Problemas 33 e 54 35 Dois vetores e estão no plano xy Os módulos dos vetores são 450 unidades e 730 unidades respectivamente e eles estão orientados a 320 e 850 respectivamente no sentido antihorário em relação ao semieixo x positivo Quais são os valores de a e b 36 Se 1 3 2 4 e 2 5 2 determine 1 2 1 4 2 37 Três vetores são dados por 30 30 20 10 40 20 e 20 20 10 Determine a b e c 38 Determine para os três vetores a seguir 39 O módulo do vetor é 600 unidades o módulo do vetor é 700 unidades e 140 Qual é o ângulo entre e 40 O deslocamento 1 está no plano yz faz um ângulo de 630o com o semieixo y positivo tem uma componente z positiva e tem um módulo de 450 m O deslocamento 2 está no plano xz faz um ângulo de 300o com o semieixo x positivo tem uma componente z positiva e tem um módulo de 140 m Determine a 1 2 b 1 2 e c o ângulo entre 1 e 2 41 Use a definição de produto escalar ab cos θ e o fato de que axbx ayby azbz para calcular o ângulo entre os vetores 30 30 30 e 20 10 30 42 Em um encontro de mímicos o mímico 1 se desloca de 1 40 m 50 m e o mímico 2 se desloca de 2 30 m 40 m Determine a 1 2 b 1 2 c 1 2 2 e d a componente de 1 em relação a 2 Sugestão Para resolver o item d veja a Eq 320 e a Fig 318 43 Os três vetores na Fig 333 têm módulos a 300 m b 400 m e c 100 m θ 300 Determine a a componente x e b a componente y de c a componente x e d a componente y de e a componente x e f a componente y de Se p q quais são os valores de g p e h q Figura 333 Problema 43 44 No produto qv faça q 2 Determine na notação dos vetores unitários para Bx By Problemas Adicionais 45 Os vetores e estão no plano xy tem módulo 800 e ângulo 130o tem componentes Bx 772 e By 920 a Determine 5 Determine 4 3 b na notação dos vetores unitários e c na notação móduloângulo em coordenadas esféricas veja a Fig 334 d Determine o ângulo entre os vetores e 4 3 Sugestão Pense um pouco antes de iniciar os cálculos Determine 30 e na notação dos vetores unitários e f na notação móduloângulo em coordenadas esféricas Figura 334 Problema 45 46 O vetor tem módulo 50 m e aponta para leste O vetor tem módulo 40 m e aponta na direção 35o a oeste do norte Determine a o módulo e b a orientação do vetor Determine c o módulo e d a orientação do vetor e Desenhe os diagramas vetoriais correspondentes às duas combinações de vetores 47 Os vetores e estão no plano xy tem módulo 800 e ângulo 130o tem componentes Bx 772 e By 920 Determine o ângulo entre o semieixo y negativo e a o vetor b o vetor e c o vetor 300 48 Dois vetores e têm componentes em metros ax 32 ay 16 bx 050 e by 45 a Determine o ângulo entre e Existem dois vetores no plano xy que são perpendiculares a e têm um módulo de 50 m Um o vetor tem uma componente x positiva o outro o vetor tem uma componente x negativa Determine b a componente x e c a componente y de d a componente x e e a componente y de 49 Um barco a vela parte do lado norteamericano do lago Erie para um ponto no lado canadense 900 km ao norte O navegante contudo termina 500 km a leste do ponto de partida a Que distância e b em que direção deve navegar para chegar ao ponto desejado 50 O vetor 1 é paralelo ao semieixo y negativo 2 e o vetor é paralelo ao semieixo x positivo Determine a orientação a de 24 e b de 14 Determine o módulo c de 1 2 e d de 1 24 Determine a orientação e do vetor 1 2 e f do vetor 2 1 Determine o módulo g de 1 2 e h de 2 1 Determine i o módulo e j a orientação de 1 24 51 Uma falha geológica é uma ruptura ao longo da qual faces opostas de uma rocha deslizaram uma em relação à outra Na Fig 335 os pontos A e B coincidiam antes de a rocha em primeiro plano deslizar para a direita O deslocamento total está no plano da falha A componente horizontal de é o rejeito horizontal AC A componente de dirigida para baixo no plano da falha é o rejeito de mergulho AD a Qual é o módulo do deslocamento total se o rejeito horizontal é 220 m e o rejeito de mergulho é 170 m b Se o plano da falha faz um ângulo ϕ 520 com a horizontal qual é a componente vertical de Figura 335 Problema 51 52 São dados três deslocamentos em metros 1 40 50 60 2 10 20 30 e 3 40 30 20 a Determine 1 2 3 b Determine o ângulo entre e o semieixo z positivo c Determine a componente de 1 em relação a 2 d Qual é a componente de 1 que é perpendicular a 2 e está no plano de 1 e 2 Sugestão Para resolver o item c considere a Eq 320 e a Fig 318 para resolver o item d considere a Eq 327 53 Um vetor 1 de módulo 10 unidades e um vetor de módulo 60 unidades fazem um ângulo de 60o Determine a o produto escalar dos dois vetores e b o módulo do produto vetorial 54 Para os vetores da Fig 332 com a 4 b 3 e c 5 calcule a b e c 55 Uma partícula sofre três deslocamentos sucessivos em um plano 1 400 m para sudoeste 2 500 para leste e 3 600 em uma direção 600o ao norte do leste Use um sistema de coordenadas com o eixo y apontando para o norte e o eixo x apontando para leste Determine a a componente x e b a componente y de 1 Determine c a componente x e d a componente y de 2 Determine e a componente x e f a componente y de 3 Considere o deslocamento total da partícula após os três deslocamentos Determine g a componente x h a componente y i o módulo e j a orientação do deslocamento total Para que a partícula volte ao ponto de partida k que distância deve percorrer e l em que direção deve se deslocar 56 Determine a soma dos quatro vetores a seguir a em termos dos vetores unitários e em termos b do módulo e c do ângulo em relação ao semieixo x positivo 100 m 250o no sentido antihorário em relação a x 120 m 100o no sentido antihorário em relação a y 800 m 200o no sentido horário em relação a y 900 m 400o no sentido antihorário em relação a y 57 Se é somado a o resultado é 60 10 Se é subtraído de o resultado é 40 70 Qual é o módulo de 58 Um vetor tem módulo 25 m e aponta para o norte Determine a o módulo e b a orientação de 40 Determine c o módulo e d a orientação de 30 59 O vetor tem um módulo de 120 m e faz um ângulo de 600o no sentido antihorário com o semieixo x positivo de um sistema de coordenadas xy O vetor é dado por 120 m 800 m no mesmo sistema de coordenadas O sistema de coordenadas sofre uma rotação de 200o no sentido antihorário em torno da origem para formar um sistema xy Determine os vetores a e b na notação dos vetores unitários do novo sistema 60 Se 2 4 e 3 4 determine a e b 61 a Determine na notação dos vetores unitários para 50 40 60 20 20 30 e 40 30 20 b Calcule o ângulo entre e o semieixo z positivo c Determine a componente de em relação a d Determine a componente de em uma direção perpendicular a no plano definido por e Sugestão Para resolver o item c veja a Eq 320 e a Fig 318 para resolver o item d veja a Eq 327 62 Um jogador de golfe precisa de três tacadas para colocar a bola no buraco A primeira tacada lança a bola 366 m para o norte a segunda 183 m para sudeste e a terceira 091 m para sudoeste Determine a o módulo e b a direção do deslocamento necessário para colocar a bola no buraco na primeira tacada 63 São dados três vetores em metros Determine a 1 2 3 b 1 2 3 e c 1 2 3 64 As dimensões de uma sala são 300 m altura 370 m 430 m Uma mosca parte de um canto da sala e pousa em um canto diagonalmente oposto a Qual é o módulo do deslocamento da mosca b A distância percorrida pode ser menor que este valor c Pode ser maior d Pode ser igual e Escolha um sistema de coordenadas apropriado e expresse as componentes do vetor deslocamento na notação dos vetores unitários f Se a mosca caminhar em vez de voar qual é o comprimento do caminho mais curto para o outro canto Sugestão O problema pode ser resolvido sem fazer cálculos complicados A sala é como uma caixa desdobre as paredes para representálas em um mesmo plano antes de procurar uma solução 65 Um manifestante com placa de protesto parte da origem de um sistema de coordenadas xyz com o plano xy na horizontal Ele se desloca 40 m no sentido negativo do eixo x faz uma curva de noventa graus à esquerda caminha mais 20 m e sobe até o alto de uma torre com 25 m de altura a Na notação dos vetores unitários qual é o deslocamento da placa do início ao fim b O manifestante deixa cair a placa que vai parar na base da torre Qual é o módulo do deslocamento total do início até esse novo fim 66 Considere um vetor no sentido positivo do eixo x um vetor no sentido positivo do eixo y e um escalar d Qual é a orientação do vetor a se d for positivo e b se d for negativo c Qual é o valor absoluto de d Qual é o valor absoluto de e Qual é a orientação do vetor f Qual é a orientação do vetor g Qual é o módulo do vetor h Qual é o módulo do vetor Supondo que d seja positivo i qual é o módulo do vetor d j Qual é a orientação do vetor d 67 Suponha que o vetor unitário aponta para leste o vetor unitário aponta para o norte e o vetor unitário aponta para cima Quanto valem os produtos a b e c Quais são as orientações como por exemplo para leste ou para baixo dos produtos d e e f 68 Um banco no centro de Boston é assaltado veja o mapa da Fig 336 Os bandidos fogem de helicóptero e tentando despistar a polícia fazem três voos em sequência descritos pelos seguintes deslocamentos 32 km 45o ao sul do leste 53 km 26o ao norte do oeste 26 km 18o a leste do sul No final do terceiro voo são capturados Em que cidade os bandidos foram presos Figura 336 Problema 68 69 Uma roda com um raio de 450 cm rola sem escorregar em um piso horizontal Fig 337 No instante t1 o ponto P pintado na borda da roda está no ponto de contato entre a roda e o piso Em um instante posterior t2 a roda descreveu meia revolução Determine a o módulo e b o ângulo em relação ao piso do deslocamento do ponto P Figura 337 Problema 69 70 Uma mulher caminha 250 m na direção 30o a leste do norte e em seguida caminha 175 m na direção leste Determine a o módulo e b o ângulo do deslocamento total da mulher em relação ao ponto de partida c Determine a distância total percorrida d Qual é maior a distância percorrida ou o módulo do deslocamento 71 Um vetor tem um módulo de 30 m e aponta para o sul Determine a o módulo e b a orientação do vetor 50 Determine c o módulo e d a orientação do vetor 20 72 Uma formigadefogo em busca de molho picante em uma área de piquenique executa três deslocamentos sucessivos no nível do solo 1 de 040 m para sudoeste ou seja 45 entre sul e oeste 2 de 050 m para leste e 3 de 060 m em uma direção 60 ao norte do leste Suponha que o sentido positivo do eixo x aponte para leste e o sentido positivo do eixo y aponte para o norte Quais são a a componente x e b a componente y de 1 Quais são c a componente x e d a componente y de 2 Quais são e a componente x e f a componente y de 3 Quais são g a componente x e h a componente y i o módulo e j o sentido do deslocamento total da formiga Para a formiga voltar diretamente ao ponto de partida k que distância ela deve percorrer e l em que direção deve se mover 73 Dois vetores são dados por 30 50 e 20 40 Determine a b c e d a componente de em relação a 74 O vetor está no plano yz faz um ângulo de 630o com o semieixo y positivo tem uma componente z positiva e tem um módulo de 320 unidades O vetor está no plano xz faz um ângulo de 480o com o semieixo x positivo tem uma componente z positiva e tem um módulo de 140 unidade Determine a b e c o ângulo entre e 75 Determine a o produto vetorial de norte e oeste b o produto escalar de para baixo e sul c o produto vetorial de leste e para cima d o produto escalar de oeste e oeste e e o produto vetorial de sul e sul Suponha que todos os vetores têm módulo unitário 76 Um vetor cujo módulo é 80 m é somado a um vetor que coincide com o eixo x A soma dos dois vetores é um vetor que coincide com o eixo y e cujo módulo é duas vezes maior que o módulo de Qual é o módulo de 77 Um homem sai para passear partindo da origem de um sistema de coordenadas xyz com o plano xy horizontal e o eixo x apontando para leste Carregando uma moeda falsa no bolso ele caminha 1300 m para leste caminha mais 2200 m para o norte e deixa cair a moeda do alto de um penhasco com 410 m de altura a Qual é o deslocamento da moeda na notação dos vetores unitários do ponto de partida até o ponto em que ela chega ao solo b Qual é o módulo do deslocamento do homem no percurso de volta ao ponto de partida 78 Qual é o módulo de se a 390 b 270 e o ângulo entre os dois vetores é 630o 79 Na Fig 338 o módulo de é 43 o módulo de é 54 e ϕ 46o Calcule a área do triângulo formado pelos vetores e a diagonal do paralelogramo Figura 338 Problema 79 1O outro tipo possível de sistema raramente usado na prática é chamado de sistema de coordenadas levogiro O que distingue os dois tipos de sistemas é a posição relativa dos eixos x y e z Em um sistema levogiro o eixo y estaria na posição ocupada pelo eixo z na Fig 313 e viceversa NT Como os conceitos abordados neste tópico só serão usados mais adiante no Capítulo 7 para o produto escalar e no Capítulo 11 para o produto vetorial talvez o professor do curso ache conveniente omitilo no momento