Movimento em Duas e Três Dimensões: Posição e Deslocamento

CAPÍTULO 4 Movimento em Duas e Três Dimensões 41 POSIÇÃ E DESLOCAMENTO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 401 Desenhar vetores posição bidimensionais e tridimensionais de uma partícula indicando as componentes em relação aos eixos de um sistema de coordenadas 402 Para um dado sistema de coordenadas determinar a orientação e o módulo do vetor posição de uma partícula a partir das componentes e viceversa 403 Usar a relação entre o vetor deslocamento de uma partícula e os vetores da posição inicial e da posição final IdeiasChave A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por um vetor posição que na notação dos vetores unitários pode ser expresso na forma x y z em que x y e z são as componentes vetoriais do vetor posição e x y e z são as componentes escalares e também as coordenadas da partícula O vetor posição pode ser representado por um módulo e um ou dois ângulos ou por suas componentes vetoriais ou escalares Se uma partícula se move de tal forma que seu vetor posição muda de 1 para 2 o deslocamento da partícula é dado por 2 1 O deslocamento também pode ser expresso na forma x2 x1 y2 y1 z2 z1 x y z O que É Física Neste capítulo continuamos a estudar a parte da física que analisa o movimento mas agora os movimentos podem ser em duas ou três dimensões Médicos e engenheiros aeronáuticos por exemplo precisam conhecer a física das curvas realizadas por pilotos de caça durante os combates aéreos já que os jatos modernos fazem curvas tão rápidas que o piloto pode perder momentaneamente a consciência Um engenheiro esportivo talvez esteja interessado na física do basquetebol Quando um jogador vai cobrar um lance livre em que o jogador lança a bola em direção à cesta sem marcação de uma distância de 43 m pode arremessar a bola da altura dos ombros ou da altura da cintura A primeira técnica é usada pela maioria esmagadora dos jogadores profissionais mas o legendário Rick Barry estabeleceu o recorde de aproveitamento de lances livres usando a segunda Não é fácil compreender os movimentos em três dimensões Por exemplo o leitor provavelmente é capaz de dirigir um carro em uma rodovia movimento em uma dimensão mas teria muita dificuldade para pousar um avião movimento em três dimensões sem um treinamento adequado Iniciaremos nosso estudo do movimento em duas e três dimensões com as definições de posição e deslocamento Posição e Deslocamento A localização de uma partícula ou de um objeto que se comporte como uma partícula pode ser especificada de forma geral por meio do vetor posição um vetor que liga um ponto de referência a origem de um sistema de coordenadas na maioria dos casos à partícula Na notação dos vetores unitários do Módulo 32 pode ser escrito na forma em que x y e z são as componentes vetoriais de e x y e z são as componentes escalares Figura 41 O vetor posição de uma partícula é a soma vetorial das componentes vetoriais Os coeficientes x y e z fornecem a localização da partícula em relação à origem ao longo dos eixos de coordenadas em outras palavras x y z são as coordenadas retangulares da partícula A Fig 41 por exemplo mostra uma partícula cujo vetor posição é 3 m 2 m 5 m e cujas coordenadas retangulares são 3 m 2 m 5 m Ao longo do eixo x a partícula está a 3 m de distância da origem no sentido oposto ao do vetor unitário Ao longo do eixo y está a 2 m de distância da origem no sentido do vetor unitário Ao longo do eixo z está a 5 m de distância da origem no sentido do vetor unitário Quando uma partícula se move o vetor posição varia de tal forma que sempre liga o ponto de referência origem à partícula Se o vetor posição varia de 1 para 2 digamos durante um intervalo de tempo t o deslocamento da partícula durante o intervalo de tempo t é dado por Usando a notação dos vetores unitários da Eq 41 podemos escrever esse deslocamento como x2 y2 z2 x1 y1 z1 em que as coordenadas x1 y1 z1 correspondem ao vetor posição 1 e as coordenadas x2 y2 z2 correspondem ao vetor posição 2 Podemos também escrever o vetor deslocamento substituindo x2 x1 por Δx y2 y1 por Δy e z2 z1 por Δz Exemplo 401 Vetor posição bidimensional movimento de um coelho Um coelho atravessa um estacionamento no qual por alguma razão um conjunto de eixos coordenados foi desenhado As coordenadas da posição do coelho em metros emfunção do tempo t em segundos são dadas por a No instante t 15 s qual é o vetor posição do coelho na notação dos vetores unitários e na notação móduloângulo IDEIACHAVE As coordenadas x e y da posição do coelho dadas pelas Eqs 45 e 46 são as componentes escalares do vetor posição do coelho Vamos calcular o valor dessas coordenadas no instante dado e usar a Eq 36 para determinar o módulo e a orientação do vetor posição Cálculos Podemos escrever Figura 42 a O vetor posição de um coelho no instante t 15 s As componentes escalares de são mostradas ao longo dos eixos b A trajetória do coelho e a posição do animal para seis valores de t Escrevemos t em vez de porque as componentes são funções de t e portanto também é função de t Em t 15 s as componentes escalares são cujo desenho pode ser visto na Fig 42a Para obter o módulo e o ângulo de usamos a Eq 36 Verificação Embora θ 139 possua a mesma tangente que 41 os sinais das componentes de indicam que o ângulo desejado é 139 180 41 b Desenhe o gráfico da trajetória do coelho de t 0 a t 25 s Plotagem Podemos repetir a parte a para vários valores de t e plotar os resultados A Fig 42b mostra os pontos do gráfico para seis valores de t e a curva que liga esses pontos 42 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 404 Saber que a velocidade é uma grandeza vetorial e portanto possui um módulo e uma orientação e pode ser representada por componentes 405 Desenhar vetores velocidade bidimensionais e tridimensionais para uma partícula indicando as componentes em relação a um sistema de coordenadas 406 Relacionar os vetores posição inicial e final o intervalo de tempo entre as duas posições e o vetor velocidade média de uma partícula utilizando a notação móduloângulo e a notação dos vetores unitários 407 Dado o vetor posição de uma partícula em função do tempo determinar o vetor velocidade instantânea IdeiasChave Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo Δt a velocidade média méd da partícula nesse intervalo de tempo é dada por O limite de méd quando Δt tende a zero é a velocidade instantânea ou simplesmente velocidade que na notação dos vetores unitários assume a forma x y z em que νx dxdt νy dydt e νz dzdt A orientação da velocidade instantânea de uma partícula é sempre a mesma da tangente à trajetória na posição em que a partícula se encontra no momento Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula se move de um ponto para outro podemos estar interessados em saber com que rapidez a partícula está se movendo Como no Capítulo 2 podemos definir duas grandezas que expressam a rapidez de um movimento velocidade média e velocidade instantânea No caso de um movimento bidimensional ou tridimensional porém devemos considerar essas grandezas como vetores e usar a notação vetorial Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo Δt a velocidade média méd é dada por Essa equação nos diz que a orientação de méd o vetor do lado esquerdo da Eq 48 é igual à do deslocamento o vetor do lado direito Usando a Eq 44 podemos escrever a Eq 48 em termos das componentes vetoriais Assim por exemplo se uma partícula sofre um deslocamento de 12 m 30 m em 20 s a velocidade média durante o movimento é Nesse caso portanto a velocidade média uma grandeza vetorial tem uma componente de 60 ms em relação ao eixo x e uma componente de 15 ms em relação ao eixo z Quando falamos da velocidade de uma partícula em geral estamos nos referindo à velocidade instantânea em um dado instante Essa velocidade é o valor para o qual tende a velocidade méd quando o intervalo de tempo Δt tende a zero Usando a linguagem do cálculo podemos escrever como a derivada A Fig 43 mostra a trajetória de uma partícula que se move no plano xy Quando a partícula se desloca para a direita ao longo da curva o vetor posição gira para a direita Durante o intervalo de tempo Δt o vetor posição muda de 1 para 2 e o deslocamento da partícula é Para determinar a velocidade instantânea da partícula no instante t1 instante em que a partícula está na posição 1 reduzimos o intervalo de tempo Δt nas vizinhanças de t1 fazendoo tender a zero Com isso três coisas acontecem 1 O vetor posição 2 da Fig 43 se aproxima de 1 fazendo tender a zero 2 A direção de e portanto de méd se aproxima da direção da reta tangente à trajetória da partícula na posição 1 3 A velocidade média méd se aproxima da velocidade instantânea no instante t1 Figura 43 O deslocamento Δ de uma partícula durante um intervalo de tempo Δt da posição 1 com vetor posição 1 no instante t1 até a posição 2 com vetor posição 2 no instante t2 A figura mostra também a tangente à trajetória da partícula na posição 1 No limite Δt 0 temos méd e o que é mais importante neste contexto assume a direção da reta tangente Assim também assume essa direção A direção da velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula O resultado é o mesmo em três dimensões é sempre tangente à trajetória da partícula Para escrever a Eq 410 na forma de vetores unitários usamos a expressão para dada pela Eq 41 Essa equação pode ser simplificada se a escrevermos como em que as componentes escalares de são Assim por exemplo dxdt é a componente escalar de em relação ao eixo x Isso significa que podemos encontrar as componentes escalares de derivando as componentes de A Fig 44 mostra o vetor velocidade e as componentes escalares x e y Note que é tangente à trajetória da partícula na posição da partícula Atenção Um vetor posição como os que aparecem nas Figs 41 a 43 é uma seta que se estende de um ponto aqui a outro lá Entretanto um vetor velocidade como o da Fig 44 não se estende de um ponto a outro No caso do vetor velocidade a orientação do vetor mostra a direção instantânea do movimento de uma partícula localizada na origem do vetor e o comprimento que representa o módulo da velocidade pode ser desenhado em qualquer escala Figura 44 A velocidade de uma partícula e as componentes escalares de Teste 1 A figura mostra uma trajetória circular descrita por uma partícula Se a velocidade da partícula em um dado instante é 2 ms 2 ms em qual dos quadrantes a partícula está se movendo nesse instante se o movimento é a no sentido horário e b no sentido antihorário Desenhe na figura paraos dois casos Exemplo 402 Velocidade bidimensional um coelho correndo Determine a velocidade no instante t 15 s do coelho do exemplo anterior IDEIACHAVE Podemos determinar calculando as derivadas das componentes do vetor posição do coelho Cálculos Aplicando à Eq 45 a parte da Eq 412 correspondente a vx descobrimos que a componente x de é Em t 15 s isso nos dá vx 21 ms Da mesma forma aplicando à Eq 46 a parte da Eq 412 correspondente a vy descobrimos que a componente y é Em t 15 s isso nos dá vy 25 ms Assim de acordo com a Eq 411 que está desenhada na Fig 45 tangente à trajetória do coelho e na direção em que o animal está se movendo em t 15 s Para obter o módulo e o ângulo de podemos usar uma calculadora ou escrever de acordo com a Eq 36 Verificação O ângulo é 130 ou 130 180 50 Figura 45 A velocidade do coelho em t 15 s 43 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 408 Saber que a aceleração é uma grandeza vetorial e que portanto possui um módulo e uma orientação e pode ser representada por componentes 409 Desenhar vetores aceleração bidimensionais e tridimensionais para uma partícula indicando as componentes em relação a um sistema de coordenadas 410 Relacionar os vetores velocidade inicial e final o intervalo de tempo entre as duas posições e o vetor aceleração média de uma partícula utilizando a notação móduloângulo e a notação dos vetores unitários 411 Dado o vetor velocidade de uma partícula em função do tempo determinar o vetor aceleração instantânea 412 Para cada dimensão do movimento obter relações entre a aceleração a velocidade a posição e o tempo usando as equações de aceleração constante do Capítulo 2 IdeiasChave Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 em um intervalo de tempo Δt a aceleração média da partícula nesse intervalo de tempo é O limite de méd quando Δt tende a zero é a aceleração instantânea ou simplesmente aceleração que na notação dos vetores unitários assume a forma ax ay az em que ax dvxdt ay dvydt e az dvzdt Aceleração Média e Aceleração Instantânea Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 em um intervalo de tempo Δt a aceleração média méd durante o intervalo Δt é Quando fazemos Δt tender a zero no entorno de um dado instante méd tende para a aceleração instantânea ou simplesmente aceleração nesse instante ou seja Se o módulo ou a orientação da velocidade varia ou se ambos variam a partícula possui uma aceleração Podemos escrever a Eq 416 na notação dos vetores unitários substituindo pelo seu valor dado pela Eq 411 para obter Podemos escrever essa equação na forma 1 2 3 4 em que as componentes escalares de são Assim podemos obter as componentes escalares de derivando as componentes escalares de em relação ao tempo A Fig 46 mostra o vetor aceleração e suas componentes escalares para uma partícula que se move em duas dimensões Atenção Um vetor aceleração como o da Fig 46 não se estende de um ponto a outro No caso do vetor aceleração a orientação do vetor é usada para mostrar a direção instantânea da aceleração de uma partícula localizada na origem do vetor e o comprimento que representa o módulo da aceleração pode ser desenhado em qualquer escala Figura 46 A aceleração de uma partícula e as O componentes de Teste 2 Considere as seguintes descrições da posição em metros de uma partícula que se move no plano xy x 3t2 4t 2 e y 6t2 4t x 3t3 4t e y 5t2 6t 2t2 4t 3 4t3 2t 3 As componentes x e y da aceleração são constantes em todas essas situações A aceleração é constante Exemplo 403 Aceleração bidimensional um coelho correndo Determine a aceleração no instante t 15 s do coelho dos exemplos anteriores IDEIACHAVE Podemos determinar a aceleração calculando as derivadas das componentes da velocidade do coelho Cálculos Aplicando à Eq 413 a parte da Eq 418 correspondente a ax descobrimos que a componente x de é Analogamente aplicando à Eq 414 a parte da Eq 418 correspondente a ay descobrimos que a componente y é Vemos que a aceleração não varia com o tempo é uma constante pois a variável tempo t não aparece na expressão das componentes da aceleração De acordo com a Eq 417 que é mostrada superposta à trajetória do coelho na Fig 47 Para obter o módulo e o ângulo de podemos usar uma calculadora ou a Eq 36 No caso do módulo temos No caso do ângulo temos Acontece que esse ângulo que é o resultado fornecido pelas calculadoras indica que a orientação de é para a direita e para baixo na Fig 47 Entretanto sabemos pelas componentes x e y que a orientação de é para a esquerda e para cima Para determinar o outro ângulo que possui a mesma tangente que 35 mas não é mostrado pelas calculadoras somamos 180 O novo resultado é compatível com as componentes de Observe que como a aceleração do coelho é constante o módulo e a orientação de são os mesmos em todos os pontos da trajetória Este é o segundo exemplo no qual precisamos calcular a derivada de um vetor que está expresso na notação dos vetores unitários Um erro comum dos estudantes é esquecer os vetores unitários e somar diretamente as componentes ax e ay no caso como se estivessem trabalhando com uma soma de escalares Não se esqueça de que a derivada de um vetor é sempre um vetor Figura 47 A aceleração do coelho em t 15 s O coelho possui a mesma aceleração em todos os pontos da trajetória 44 MOVIMENTO BALÍSTICO Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 413 Explicar em um gráfico da trajetória de um projétil a variação do módulo e da orientação da velocidade e da aceleração ao longo do percurso 414 A partir da velocidade de lançamento na notação móduloângulo ou na notação dos vetores unitários calcular a posição o deslocamento e a velocidade do projétil em um dado instante de tempo 415 A partir da posição deslocamento e velocidade em um dado instante de tempo calcular a velocidade de lançamento do projétil IdeiasChave No movimento balístico uma partícula é lançada com velocidade escalar v0 em uma direção que faz um ângulo θ0 com a horizontal eixo x Em todo o percurso a aceleração horizontal é zero e a aceleração vertical é g no sentido negativo do eixo y As equações de movimento da partícula são as seguintes A trajetória da partícula tem a forma de uma parábola e é dada por para x0 y0 0 O alcance horizontal R que é a distância horizontal percorrida pela partícula entre o ponto de lançamento e o ponto em que volta à altura do lançamento é dado por Movimento Balístico Consideraremos a seguir um caso especial de movimento bidimensional uma partícula que se move em um plano vertical com velocidade inicial 0 e com uma aceleração constante igual à aceleração de queda livre dirigida para baixo Uma partícula que se move dessa forma é chamada de projétil o que significa que é projetada ou lançada e o movimento é chamado de movimento balístico O projétil pode ser uma bola de tênis Fig 48 ou de golfe mas não um avião ou um pato Muitos esportes envolvem o movimento balístico de uma bola jogadores e técnicos estão sempre procurando controlar esse movimento para obter o máximo de vantagem O jogador que descobriu a rebatida em Z no raquetebol na década de 1970 por exemplo vencia os jogos com facilidade porque a trajetória peculiar da bola no fundo da quadra surpreendia os adversários Vamos agora analisar o movimento balístico usando as ferramentas descritas nos Módulos 41 a 43 para o movimento bidimensional sem levar em conta a influência do ar A Fig 49 que será discutida em breve mostra a trajetória de um projétil quando o efeito do ar pode ser ignorado O projétil é lançado com uma velocidade inicial 0 que pode ser escrita na forma As componentes v0x e v0y podem ser calculadas se conhecermos o ângulo θ0 entre 0 e o semieixo x positivo Durante o movimento bidimensional o vetor posição e a velocidade do projétil mudam continuamente mas o vetor aceleração é constante e está sempre dirigido verticalmente para baixo O projétil não possui aceleração horizontal O movimento balístico como o das Figs 48 e 49 parece complicado mas apresenta a seguinte propriedade simplificadora que pode ser demonstrada experimentalmente No movimento balístico o movimento horizontal e o movimento vertical são independentes ou seja um não afeta o outro Richard MegnaFundamental Photographs Figura 48 Fotografia estroboscópica de uma bola de tênis amarela quicando em uma superfície dura Entre os impactos a trajetória da bola é balística Figura 49 O movimento balístico de um projétil lançado da origem de um sistema de coordenadas com velocidade inicial 0 e ângulo θ0 Como mostram as componentes da velocidade o movimento é uma combinação de movimento vertical com aceleração constante e movimento horizontal com velocidade constante Essa propriedade permite decompor um problema que envolve um movimento bidimensional em dois problemas unidimensionais independentes e mais fáceis de serem resolvidos um para o movimento horizontal com aceleração nula e outro para o movimento vertical com aceleração constante para baixo Apresentamos a seguir dois experimentos que mostram que o movimento horizontal e o movimento vertical são realmente independentes Duas Bolas de Golfe A Fig 410 é uma fotografia estroboscópica de duas bolas de golfe uma que simplesmente foi deixada cair e outra que foi lançada horizontalmente por uma mola As bolas de golfe têm o mesmo movimento vertical ambas percorrem a mesma distância vertical no mesmo intervalo de tempo O fato de uma bola estar se movendo horizontalmente enquanto está caindo não afeta o movimento vertical ou seja os movimentos horizontal e vertical são independentes Richard MegnaFundamental Photographs Figura 410 Uma bola é deixada cair a partir do repouso no mesmo instante em que outra bola é lançada horizontalmente para a direita Os movimentos verticais das duas bolas são iguais Uma Demonstração Interessante A Fig 411 apresenta uma demonstração que tem animado muitas aulas de física Um canudo C é usado para soprar pequenas bolas em direção a uma lata suspensa por um eletroímã E O experimento é arranjado de tal forma que o canudo está apontado para a lata e o ímã solta a lata no mesmo instante em que a bola deixa o tubo Se g o módulo da aceleração de queda livre fosse zero a bola seguiria a trajetória em linha reta mostrada na Fig 411 e a lata continuaria no mesmo lugar após ter sido liberada pelo eletroímã Assim a bola certamente atingiria a lata independentemente da força do sopro Na verdade g não é zero mas mesmo assim a bola sempre atinge a lata Como mostra a Fig 411 a aceleração da gravidade faz com que a bola e a lata sofram o mesmo deslocamento para baixo h em relação à posição que teriam a cada instante se a gravidade fosse nula Quanto maior a força do sopro maior a velocidade inicial da bola menor o tempo que a bola leva para se chocar com a lata e menor o valor de h Teste 3 Em um dado instante uma bola que descreve um movimento balístico tem uma velocidade 25 49 o eixo x é horizontal o eixo y é vertical e aponta para cima e está em metros por segundo A bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória Figura 411 A bola sempre acerta na lata que está caindo já que as duas percorrem a mesma distância h em queda livre Movimento Horizontal Agora estamos preparados para analisar o movimento horizontal e vertical de um projétil Como não existe aceleração na direção horizontal a componente horizontal vx da velocidade do projétil permanece inalterada e igual ao valor inicial v0x durante toda a trajetória como mostra a Fig 412 Em qualquer instante t o deslocamento horizontal do projétil em relação à posição inicial x x0 é fornecido pela Eq 215 com a 0 que podemos escrever na forma x x0 v0xt Como v0x v0 cos θ0 temos Movimento Vertical O movimento vertical é o movimento que discutimos no Módulo 25 para uma partícula em queda livre O mais importante é que a aceleração é constante Assim as equações da Tabela 21 podem ser usadas desde que a seja substituído por g e o eixo x seja substituído pelo eixo y A Eq 215 por exemplo se torna em que a componente vertical da velocidade inicial v0y foi substituída pela expressão equivalente v0 sen θ0 Da mesma forma as Eqs 211 e 216 se tornam Como mostram a Fig 49 e a Eq 423 a componente vertical da velocidade se comporta exatamente como a de uma bola lançada verticalmente para cima Está dirigida inicialmente para cima e o módulo diminui progressivamente até se anular no ponto mais alto da trajetória Em seguida a componente vertical da velocidade muda de sentido e o módulo passa a aumentar com o tempo Jamie Budge Figura 412 A componente vertical da velocidade do skatista está variando mas não a componente horizontal que é igual à velocidade do skate Em consequência o skate permanece abaixo do atleta permitindo que ele pouse no skate após o salto Equação da Trajetória Podemos obter a equação do caminho percorrido pelo projétil ou seja da trajetória eliminando o tempo t nas Eqs 421 e 422 Explicitando t na Eq 421 e substituindo o resultado na Eq 422 obtemos após algumas manipulações algébricas Essa é a equação da trajetória mostrada na Fig 49 Ao deduzila para simplificar fizemos x0 0 e y0 0 nas Eqs 421 e 422 respectivamente Como g θ0 e v0 são constantes a Eq 425 é da forma y ax bx2 em que a e b são constantes Como se trata da equação de uma parábola dizemos que a trajetória é parabólica Alcance Horizontal O alcance horizontal R de um projétil é a distância horizontal percorrida pelo projétil até voltar à altura inicial altura de lançamento Para determinar o alcance R fazemos x x0 R na Eq 421 e y y0 0 na Eq 422 o que nos dá Eliminando t nas duas equações obtemos Usando a identidade sen 2θ0 2 sen θ0 cos θ0 veja o Apêndice E obtemos Essa equação não fornece a distância horizontal percorrida pelo projétil quando a altura final é diferente da altura de lançamento Observe na Eq 426 que R é máximo para sen 2θ0 1 o que corresponde a 2θ0 90 ou θ0 45 O alcance horizontal R é máximo para um ângulo de lançamento de 45 Quando a altura final é diferente da altura de lançamento como acontece no arremesso de peso no lançamento de disco e no basquetebol a distância horizontal máxima não é atingida para um ângulo de lançamento de 45 Efeitos do Ar Até agora supusemos que o ar não exerce efeito algum sobre o movimento de um projétil Em muitas situações porém a diferença entre a trajetória calculada dessa forma e a trajetória real do projétil pode ser considerável já que o ar resiste se opõe ao movimento A Fig 413 por exemplo mostra as trajetórias de duas bolas de beisebol que deixam o bastão fazendo um ângulo de 60 com a horizontal com uma velocidade inicial de 447 ms A trajetória I de uma bola de verdade foi calculada para as condições normais de jogo levando em conta a resistência do ar A trajetória II de uma bola em condições ideais é a trajetória que a bola seguiria no vácuo Figura 413 I Trajetória de uma bola levando em conta a resistência do ar II Trajetória que a bola seguiria no vácuo calculada usando as equações deste capítulo Os dados correspondentes estão na Tabela 41 Adaptado de The Trajectory of a Fly Ball Peter J Brancazio The Physics Teacher January 1985 Teste 4 Uma bola de beisebol é rebatida na direção do campo de jogo Durante o percurso ignorando o efeito do ar o que acontece com as componentes a horizontal e b vertical da velocidade Qual é a componente c horizontal e d vertical da aceleração durante a subida durante a descida e no ponto mais alto da trajetória Tabela 41 Trajetórias de Duas Bolas de Beisebola Trajetória I Ar Trajetória I Vácuo Alcance 985 m 177 m Altura máxima 530 m 768 m Tempo de percurso 66 s 79 s aVeja a Fig 413 O ângulo de lançamento é 60º e a velocidade de lançamento é 447 ms Exemplo 404 Projétil lançado de um avião Na Fig 414 um avião de salvamento voa a 198 kmh 550 ms a uma altura constante de 500 m rumo a um ponto diretamente acima da vítima de um naufrágio para deixar cair uma balsa a Qual deve ser o ângulo ϕ da linha de visada do piloto para a vítima no instante em que o piloto deixa cair a balsa IDEIASCHAVE Como depois de liberada a balsa é um projétil os movimentos horizontal e vertical podem ser examinados separadamente não é preciso levar em conta a curvatura da trajetória Cálculos Na Fig 414 vemos que ϕ é dado por em que x é a coordenada horizontal da vítima e da balsa ao chegar à água e h 500 m Podemos calcular x com o auxílio da Eq 421 Sabemos que x0 0 porque a origem foi colocada no ponto de lançamento Como a balsa é deixada cair e não arremessada do avião a velocidade inicial 0 é igual à velocidade do avião Assim sabemos também que a velocidade inicial tem módulo v0 550 ms e ângulo θ0 0 medido em relação ao semieixo x positivo Entretanto não conhecemos o tempo t que a balsa leva para percorrer a distância do avião até a vítima Figura 414 Um avião lança uma balsa enquanto se desloca com velocidade constante em um voo horizontal Durante a queda a velocidade horizontal da balsa permanece igual à velocidade do avião Para determinar o valor de t temos que considerar o movimento vertical e mais especificamente a Eq 422 Aqui o deslocamento vertical y y0 da balsa é 500 m o valor negativo indica que a balsase move para baixo Assim Resolvendo essa equação obtemos t 101 s Substituindo na Eq 428 obtemos ou x 5555 m Nesse caso a Eq 427 nos dá b No momento em que a balsa atinge a água qual é a sua velocidade na notação dos vetores unitários e na notação módulo ângulo IDEIASCHAVE 1 As componentes horizontal e vertical da velocidade da balsa são independentes 2 A componente vx não muda em relação ao valor inicial v0x v0 cos θ0 porque não existe uma aceleração horizontal 3 A componente vy muda em relação ao valor inicial v0y v0 sen θ0 porque existe uma aceleração vertical Cálculos Quando a balsa atinge a água vx v0 cos θ0 550 mscos 0 550 ms Usando a Eq 423 e o tempo de queda da balsa t 101 s descobrimos que quando a balsa atinge a água vy v0 sen θ0 gt 550 mssen 0 98 ms2101 s 990 ms Assim no momento em que a balsa atinge a água De acordo com a Eq 36 o módulo e o ângulo de são Exemplo 405 Lançamento a partir de um escorrega aquático Um dos vídeos mais impressionantes da internet na verdade totalmente falso mostra um homem descendo um grande escorrega aquático sendo lançado no ar e mergulhando em uma piscina Vamos usar dados realistas para calcular com que velocidade o homem chegaria à piscina A Fig 415a mostra os pontos inicial e final da trajetória balística e um sistema de coordenadas com a origem no ponto de lançamento Com base no que mostra o vídeo usamos uma distância horizontal entre os pontos inicial e final D 200 m um tempo de percurso t 250 s e um ângulo de lançamento θ0 400 Nosso objetivo é calcular o módulo da velocidade no instante em que o homem deixa o escorrega e no instante em que ele mergulha na piscina Figura 415 a Um homem é lançado de um escorrega aquático e vai cair em uma piscina Velocidade do homem b ao ser lançado do escorrega e c ao mergulhar na piscina IDEIASCHAVE 1 Como se trata de um movimento balístico podemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante às componentes horizontal e vertical do movimento 2 Em toda a trajetória a aceleração vertical é ay g 98 ms e a aceleração horizontal é ax 0 Cálculos Na maioria dos problemas de balística o primeiro desafio consiste em escolher as equações mais adequadas Não há nada de errado em experimentar várias equações para ver se alguma delas permite calcular as velocidades que buscamos Aqui vai porém uma sugestão Como pretendemos aplicar separadamente as equações de aceleração constante aos movimentos ao longo dos eixos x e y é mais razoável calcular as componentes horizontal e vertical da velocidade nos pontos inicial e final e usar esses resultados para calcular a velocidade total nos dois pontos Vamos começar pelo movimento horizontal Como ax 0 sabemos que a componente horizontal vx da velocidade é constante ao longo de todo o percurso e portanto é igual à componente horizontal v0x no ponto de lançamento Podemos relacionar essa componente ao deslocamento x x0 e ao tempo de percurso usando a Eq 215 Fazendo x x0 D 20 m ax 0 e t 250 s temos Como mostra a Fig 415b as componentes x e y da velocidade são os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo da velocidade total Assim podemos aplicar a relação trigonométrica que nos dá Vamos agora calcular o módulo v da velocidade no ponto final do percurso Já sabemos que a componente horizontal vx que não varia com o tempo é 800 ms Para determinar a componente vertical vy escrevemos a Eq 211 na forma vy v0y ayt o que nos dá usando uma relação trigonométrica veja a Fig 415b Fazendo v0 1044 ms ay g 98 ms2 e t 250 s obtemos vy 1044 ms sen 400 98 ms2250 s 1778 ms Agora que conhecemos as duas componentes da velocidade final podemos usar a Eq 36 para calcular o módulo da velocidade 45 MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME Objetivos do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 416 Desenhar a trajetória de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme e explicar o comportamento dos vetores velocidade e aceleração módulo e orientação durante o movimento 417 Aplicar as relações entre o raio da trajetória circular e o período a velocidade escalar e a aceleração escalar da partícula IdeiasChave Se uma partícula se move ao longo de uma circunferência de raio r com velocidade escalar constante v dizemos que ela está descrevendo um movimento circular uniforme nesse caso o módulo da aceleração tem um valor constante dado por A aceleração que é chamada de aceleração centrípeta aponta para o centro da circunferência ou arco de circunferência O tempo T necessário para a partícula descrever uma circunferência completa conhecido como período de revolução ou simplesmente período é dado por Movimento Circular Uniforme Uma partícula em movimento circular uniforme descreve uma circunferência ou um arco de circunferência com velocidade escalar constante uniforme Embora a velocidade escalar não varie nesse tipo de movimento a partícula está acelerada porque a direção da velocidade está mudando A Fig 416 mostra a relação entre os vetores velocidade e aceleração em várias posições durante o movimento circular uniforme O módulo dos dois vetores permanece constante durante o movimento mas a orientação varia continuamente A velocidade está sempre na direção tangente à circunferência e tem o mesmo sentido que o movimento A aceleração está sempre na direção radial e aponta para o centro da circunferência Por essa razão a aceleração associada ao movimento circular uniforme é chamada de aceleração centrípeta que busca o centro Como será demonstrado a seguir o módulo dessa aceleração é em que r é o raio da circunferência e v é a velocidade da partícula Figura 416 Os vetores velocidade e aceleração de uma partícula em movimento circular uniforme Durante esta aceleração com velocidade escalar constante a partícula percorre a circunferência completa uma distância igual a 2πr em um intervalo de tempo dado por O parâmetro T é chamado de período de revolução ou simplesmente período No caso mais geral período é o tempo que uma partícula leva para completar uma volta em uma trajetória fechada Demonstração da Eq 434 Para determinar o módulo e a orientação da aceleração no caso do movimento circular uniforme considere a Fig 417 Na Fig 417a a partícula p se move com velocidade escalar constante v enquanto percorre uma circunferência de raio r No instante mostrado as coordenadas de p são xp e yp Como vimos no Módulo 42 a velocidade de uma partícula em movimento é sempre tangente à trajetória da partícula na posição considerada Na Fig 417a isso significa que é perpendicular a uma reta r que liga o centro da circunferência à posição da partícula Nesse caso o ângulo θ que faz com uma reta paralela ao eixo y passando pelo ponto p é igual ao ângulo θ que o raio r faz com o eixo x As componentes escalares de são mostradas na Fig 417b Em termos dessas componentes a velocidade pode ser escrita na forma Usando o triângulo retângulo da Fig 417a podemos substituir sen θ por ypr e cos θ por xpr e escrever Para determinar a aceleração da partícula p devemos calcular a derivada da Eq 437 em relação ao tempo Observando que a velocidade escalar v e o raio r não variam com o tempo obtemos Note que a taxa de variação com o tempo de yp dypdt é igual à componente y da velocidade vy Analogamente dxpdt vx e novamente de acordo com a Fig 417b vx v sen θ e vy v cos θ Fazendo essas substituições na Eq 438 obtemos Esse vetor e suas componentes aparecem na Fig 417c De acordo com a Eq 36 temos como queríamos demonstrar Para determinar a orientação de calculamos o ângulo ϕ da Fig 417c Assim ϕ θ o que significa que aponta na direção do raio r da Fig 417a no sentido do centro da circunferência como queríamos demonstrar Figura 417 Uma partícula p em movimento circular uniforme no sentido antihorário a Posição e velocidade da partícula em um dado instante de tempo b Velocidade c Aceleração Teste 5 Um objeto se move com velocidade escalar constante ao longo de uma trajetória circular em um plano xy horizontal com o centro na origem Quando o objeto está em x 2 m a velocidade é 4 ms Determine a a velocidade e b a aceleração do objeto em y 2 m Exemplo 406 Pilotos de caça fazendo curvas Os pilotos de caça se preocupam quando têm que fazer curvas muito fechadas Como o corpo do piloto fica submetido à aceleração centrípeta com a cabeça mais próxima do centro de curvatura a pressão sanguínea no cérebro diminui o que pode levar à perda das funções cerebrais Os sinais de perigo são vários Quando a aceleração centrípeta é 2g ou 3g o piloto se sente pesado Por volta de 4g a visão do piloto passa para preto e branco e se reduz à visão de túnel Se a aceleração é mantida ou aumentada o piloto deixa de enxergar e logo depois ele perde a consciência uma situação conhecida como gLOC da expressão em inglês ginduced loss of consciousness ou seja perda de consciência induzida por g Qual é o módulo da aceleração em unidades de g para um piloto cuja aeronave inicia uma curva horizontal com uma velocidade i 400 500 ms e 240 s mais tarde termina a curva com uma velocidade f 400 500 ms IDEIASCHAVE Supomos que o avião executa a curva com um movimento circular uniforme Nesse caso o módulo da aceleração centrípeta é dado pela Eq 434 a v2R em que R é o raio da curva O tempo necessário para descrever uma circunferência completa é o período dado pela Eq 435 T 2πRv Cálculos Como não conhecemos o raio R vamos explicitar R na Eq 435 e substituílo pelo seu valor na Eq 434 O resultado é o seguinte Para obter a velocidade escalar constante v substituímos as componentes da velocidade inicial na Eq 36 Para determinar o período T do movimento observamos que a velocidade final é igual ao negativo da velocidade inicial Isso significa que a aeronave terminou a curva no lado oposto da circunferência e completou metade de uma circunferência em 240 s Assim levaria T 480 s para descrever uma circunferência completa Substituindo esses valores na equação de a obtemos 46 MOVIMENTO RELATIVO EM UMA DIMENSÃO Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 418 Aplicar a relação entre as medidas de posição velocidade e aceleração de uma partícula em dois referenciais que se movem na mesma direção e com velocidade constante IdeiasChave Se dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro na mesma direção e com velocidade constante a velocidade de uma partícula P medida por um observador do referencial A é em geral diferente da velocidade medida por um observador do referencial B A relação entre as duas velocidades é dada por vPA vPB vBA em que vBA é a velocidade escalar do referencial B em relação ao referencial A A aceleração da partícula é a mesma para os dois observadores aPA aPB Movimento Relativo em Uma Dimensão Suponha que você veja um pato voando para o norte a 30 kmh Para outro pato que esteja voando ao lado do primeiro o primeiro parece estar parado Em outras palavras a velocidade de uma partícula depende do referencial de quem está observando ou medindo a velocidade Para nossos propósitos um referencial é um objeto no qual fixamos um sistema de coordenadas No dia a dia esse objeto é frequentemente o solo Assim por exemplo a velocidade que aparece em uma multa de trânsito é a velocidade do carro em relação ao solo A velocidade em relação ao guarda de trânsito será diferente se o guarda estiver se movendo enquanto mede a velocidade Suponha que Alexandre situado na origem do referencial A da Fig 418 esteja parado no acostamento de uma rodovia observando o carro P a partícula passar Bárbara situada na origem do referencial B está dirigindo um carro na rodovia com velocidade constante e também observa o carro P Suponha que os dois meçam a posição do carro em um dado momento De acordo com a Fig 418 temos Essa equação significa o seguinte A coordenada xPA de P medida por A é igual à coordenada xPB de P medida por B mais a coordenada xBA de B medida por A Observe que essa leitura está de acordo com a ordem em que os índices foram usados Derivando a Eq 440 em relação ao tempo obtemos Assim as componentes da velocidade estão relacionadas pela equação Figura 418 Alexandre referencial A e Bárbara referencial B observam o carro P enquanto B e P se movem com velocidades diferentes ao longo do eixo x comum aos dois referenciais No instante mostrado xBA é a coordenada de B no referencial A A coordenada de P é xPB no referencial B e xPA xPB xBA no referencial A Essa equação significa o seguinte A velocidade vPA de P medida por A é igual à velocidade vPB de P medida por B mais a velocidade vBA de B medida por A O termo vBA é a velocidade do referencial B em relação ao referencial A Neste capítulo estamos considerando apenas referenciais que se movem com velocidade constante um em relação ao outro Em nosso exemplo isso significa que Bárbara referencial B dirige com velocidade constante vBA em relação a Alexandre referencial A Essa restrição não vale para o carro P a partícula em movimento cuja velocidade pode mudar de módulo e direção ou seja a partícula pode sofrer aceleração Para relacionar as acelerações de P medidas por Bárbara e por Alexandre em um mesmo instante calculamos a derivada da Eq 441 em relação ao tempo Como vBA é constante o último termo é zero e temos Em outras palavras A aceleração de uma partícula é a mesma para observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um em relação ao outro Exemplo 407 Movimento relativo unidimensional Alexandre e Bárbara Na Fig 418 suponha que a velocidade de Bárbara em relação a Alexandre seja vBA 52 kmh constante e que o carro P está se movendo no sentido negativo do eixo x a Se Alexandre mede uma velocidade constante vPA 78 kmh para o carro P qual é a velocidade vPB medida por Bárbara IDEIASCHAVE Podemos associar um referencial A a Alexandre e um referencial B a Bárbara Como os dois referenciais se movem com velocidade constante um em relação ao outro ao longo do eixo x podemos usar a Eq 441 vPA vPB vBA para relacionar vPB a vPA e vBA Cálculos Temos Comentário Se o carro P estivesse ligado ao carro de Bárbara por um fio flexível enrolado em uma bobina o fio se desenrolaria a uma velocidade de 130 kmh enquanto os dois carros estivessem se separando b Se o carro P freia com aceleração constante até parar em relação a Alexandre e portanto em relação ao solo no instante t 10 s qual é a aceleração aPA em relação a Alexandre IDEIASCHAVE Para calcular a aceleração do carro P em relação a Alexandre devemos usar a velocidade do carro em relação a Alexandre Como a aceleração é constante podemos usar a Eq 211 v v0 at para relacionar a aceleração às velocidades inicial e final de P Cálculo A velocidade inicial de P em relação a Alexandre é vPA 78 kmh enquanto a velocidade final é 0 Assim a aceleração em relação a Alexandre é c Qual é a aceleração aPB do carro P em relação a Bárbara durante a frenagem IDEIACHAVE Para calcular a aceleração do carro P em relação a Bárbara devemos usar a velocidade do carro em relação a Bárbara Cálculo A velocidade inicial de P em relação a Bárbara foi determinada no item a vPB 130 kmh A velocidade final de P em relação a Bárbara é 52 kmh a velocidade do carro parado em relação à velocidade do carro de Bárbara Assim Comentário Este resultado é previsível Como Alexandre e Bárbara estão se movendo com velocidade constante um em relação ao outro a aceleração do carro P medida pelos dois deve ser a mesma 47 MOVIMENTO RELATIVO EM DUAS DIMENSÕES Objetivo do Aprendizado Depois de ler este módulo você será capaz de 419 Aplicar a relação entre as posições as velocidades e as acelerações de uma partícula medidas em dois referenciais que se movem um em relação ao outro em duas dimensões com velocidade constante IdeiaChave Quando dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante a velocidade de uma partícula P medida por um observador no referencial A é em geral diferente da velocidade medida no referencial B A relação entre as duas velocidades é dada por PA PB BA em que BA é a velocidade do referencial B em relação ao referencial A A aceleração medida pelos dois observadores é a mesma PA PB Movimento Relativo em Duas Dimensões Nossos dois amigos estão novamente observando o movimento de uma partícula P a partir das origens dos referenciais A e B enquanto B se move com velocidade constante BA em relação a A Os eixos correspondentes aos dois sistemas de coordenadas permanecem paralelos A Fig 419 mostra um instante específico no qual o vetor posição da origem de B em relação à origem de A é BA Os vetores posição da partícula P são PA em relação à origem de A e em relação à origem de B As posições das origens e extremidades desses três vetores mostram os vetores relacionados pela equação Derivando a Eq 443 em relação ao tempo obtemos uma equação que envolve as velocidades PA e PB da partícula P em relação aos dois observadores Derivando a Eq 444 em relação ao tempo obtemos uma equação que envolve as acelerações PA e PB da partícula P em relação aos nossos observadores Note porém que como BA é constante a derivada de BA em relação ao tempo é nula o que nos dá Assim da mesma forma que no movimento unidimensional temos a seguinte regra A aceleração de uma partícula medida por observadores em referenciais que se movem com velocidade constante um em relação ao outro é a mesma Figura 419 O referencial B possui uma velocidade bidimensional constante BA em relação ao referencial A O vetor posição de B em relação a A é BA Os vetores posição da partícula P são PA em relação a A e PB em relação a B Exemplo 408 Movimento relativo bidimensional de dois aviões Na Fig 420a um avião se move para leste enquanto o piloto direciona o avião ligeiramente para o sul do leste de modo a compensar um vento constante que sopra para nordeste O avião tem uma velocidade AV em relação ao vento com uma velocidade do ar velocidade escalar em relação ao vento de 215 kmh e uma orientação que faz um ângulo θ ao sul do leste O vento tem uma velocidade VS em relação ao solo com uma velocidade escalar de 650 kmh e uma orientação que faz um ângulo de 20 a leste do norte Qual é o módulo da velocidade AS do avião em relação ao solo e qual é o valor de θ IDEIASCHAVE A situação é semelhante à da Fig 419 Neste caso a partícula P é o avião o referencial A está associado ao solo que chamaremos de S e o referencial B está associado ao vento que chamaremos de V Precisamos construir um diagrama vetorial semelhante ao da Fig 419 mas desta vez usando três vetores velocidade Cálculos Primeiro escrevemos uma frase que expressa uma relação entre os três vetores da Fig 420b Em notação vetorial essa relação se torna Podemos determinar as componentes dos vetores no sistema de coordenadas da Fig 420b e resolver a Eq 446 eixo por eixo No caso das componentes y temos ASy AVy VSy ou 0 215 kmh sen θ 650 kmhcos 200º Explicitando θ obtemos Figura 420 Efeito do vento sobre um avião No caso das componentes x temos ASx AVx VSx Como AS é paralela ao eixo x a componente vASx é igual ao módulo vAS do vetor Substituindo vASx por vAS e fazendo θ 165 obtemos Revisão e Resumo Vetor Posição A localização de uma partícula em relação à origem de um sistema de coordenadas é dada por um vetor posição que na notação dos vetores unitários é dado por Aqui x y e z são as componentes vetoriais do vetor posição e x y e z são as componentes escalares do vetor posição e também as coordenadas da partícula Um vetor posição pode ser descrito por um módulo e um ou dois ângulos pelas componentes vetoriais ou pelas componentes escalares Deslocamento Se uma partícula se move de tal forma que o vetor posição muda de 1 para 2 o deslocamento da partícula é dado por O deslocamento também pode ser escrito na forma Velocidade Média e Velocidade Instantânea Se uma partícula sofre um deslocamento em um intervalo de tempo Δt a velocidade média méd nesse intervalo de tempo é dada por Quando t na Eq 48 tende a 0 méd tende para um limite que é chamado de velocidade instantânea ou simplesmente velocidade Na notação dos vetores unitários a velocidade instantânea assume a forma em que vx dxdt vy dydt e vz dzdt A velocidade instantânea de uma partícula é sempre tangente à trajetória da partícula na posição da partícula Aceleração Média e Aceleração Instantânea Se a velocidade de uma partícula varia de 1 para 2 no intervalo de tempo t a aceleração média durante o intervalo t é Quando t na Eq 415 tende a zero méd tende para um limite que é chamado de aceleração instantânea ou simplesmente aceleração Na notação dos vetores unitários em que ax dvxdt ay dvydt e az dvzdt Movimento Balístico Movimento balístico é o movimento de uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial 0 Durante o percurso a aceleração horizontal da partícula é zero e a aceleração vertical é a aceleração de queda livre g O sentido do movimento para cima é escolhido como positivo Se 0 se expressa por meio de um módulo a velocidade escalar v0 e um ângulo θ0 medido em relação à horizontal as equações de movimento da partícula ao longo do eixo horizontal x e do eixo vertical y são A trajetória de uma partícula em movimento balístico tem a forma de uma parábola e é dada por se x0 e y0 das Eqs 421 a 424 forem nulos O alcance horizontal R da partícula que é a distância horizontal do ponto de lançamento ao ponto em que a partícula retorna à altura do ponto de lançamento é dado por Movimento Circular Uniforme Se uma partícula descreve uma circunferência ou arco de circunferência de raio r com velocidade constante v dizemos que se trata de um movimento circular uniforme Nesse caso a partícula possui uma aceleração cujo módulo é dado por O vetor aponta para o centro da circunferência ou arco de circunferência e é chamado de aceleração centrípeta O tempo que a partícula leva para descrever uma circunferência completa é dado por O parâmetro T é chamado de período de revolução ou simplesmente período Movimento Relativo Quando dois referenciais A e B estão se movendo um em relação ao outro com velocidade constante a velocidade de uma partícula P medida por um observador do referencial A é em geral diferente da velocidade medida por um observador do referencial B As duas velocidades estão relacionadas pela equação em que BA é a velocidade de B em relação a A Os dois observadores medem a mesma aceleração Perguntas 1 A Fig 421 mostra o caminho seguido por um gambá à procura de comida em latas de lixo a partir do ponto inicial i O gambá levou o mesmo tempo T para ir de cada um dos pontos marcados até o ponto seguinte Ordene os pontos a b e c de acordo com o módulo da velocidade média do gambá para alcançálos a partir do ponto inicial i começando pelo maior Figura 421 Pergunta 1 2 A Fig 422 mostra a posição inicial i e a posição final f de uma partícula Determine a o vetor posição inicial i e b o vetor posição final f da partícula ambos na notação dos vetores unitários c Qual é a componente x do deslocamento 3 Quando Paris foi bombardeada a mais de 100 km de distância na Primeira Guerra Mundial por um canhão apelidado de Big Bertha os projéteis foram lançados com um ângulo maior que 45 para atingirem uma distância maior possivelmente até duas vezes maior que a 45 Esse resultado significa que a densidade do ar em grandes altitudes aumenta ou diminui com a altitude Figura 422 Pergunta 2 4 Você tem que lançar um foguete praticamente do nível do solo com uma das velocidades iniciais especificadas pelos seguintes vetores 1 0 20 70 2 0 20 70 3 0 20 70 4 0 20 70 No seu sistema de coordenadas x varia ao longo do nível do solo e y cresce para cima a Ordene os vetores de acordo com a velocidade escalar de lançamento do projétil começando pelo maior b Ordene os vetores de acordo com o tempo de voo do projétil começando pelo maior 5 A Fig 423 mostra três situações nas quais projéteis iguais são lançados do solo a partir da mesma altura com a mesma velocidade escalar e o mesmo ângulo Entretanto os projéteis não caem no mesmo terreno Ordene as situações de acordo com a velocidade escalar final dos projéteis imediatamente antes de aterrissarem começando pela maior Figura 423 Pergunta 5 6 O único uso decente de um bolo de frutas é na prática do arremesso A curva 1 na Fig 424 mostra a altura y de um bolo de frutas arremessado por uma catapulta em função do ângulo θ entre o vetor velocidade e o vetor aceleração durante o percurso a Qual dos pontos assinalados por letras nessa curva corresponde ao choque do bolo de frutas com o solo b A curva 2 é um gráfico semelhante para a mesma velocidade escalar inicial mas para um ângulo de lançamento diferente Nesse caso o bolo de frutas vai cair em um ponto mais distante ou mais próximo do ponto de lançamento Figura 424 Pergunta 6 7 Um avião que está voando horizontalmente com uma velocidade constante de 350 kmh sobrevoando um terreno plano deixa cair um fardo com suprimentos Ignore o efeito do ar sobre o fardo Quais são as componentes inicial a vertical e b horizontal da velocidade do fardo c Qual é a componente horizontal da velocidade imediatamente antes de o fardo se chocar com o solo d Se a velocidade do avião fosse 450 kmh o tempo de queda seria maior menor ou igual 8 Na Fig 425 uma tangerina é arremessada para cima e passa pelas janelas 1 2 e 3 que têm o mesmo tamanho e estão regularmente espaçadas na vertical Ordene as três janelas em ordem decrescente a de acordo com o tempo que a tangerina leva para passar pela janela e b de acordo com a velocidade média da tangerina durante a passagem Na descida a tangerina passa pelas janelas 4 5 e 6 que têm o mesmo tamanho e não estão regularmente espaçadas na horizontal Ordene as três janelas em ordem decrescente c de acordo com o tempo que a tangerina leva para passar e d de acordo com a velocidade média da tangerina durante a passagem Figura 425 Pergunta 8 9 A Fig 426 mostra três trajetórias de uma bola de futebol chutada a partir do chão Ignorando os efeitos do ar ordene as trajetórias de acordo a com o tempo de percurso b com a componente vertical da velocidade inicial c com a componente horizontal da velocidade inicial e d com a velocidade escalar inicial em ordem decrescente Figura 426 Pergunta 9 10 Uma bola é chutada a partir do chão em um terreno plano com uma dada velocidade inicial A Fig 4 27 mostra o alcance R da bola em função do ângulo de lançamento θ0 Ordene os três pontos identificados por letras no gráfico a de acordo com o tempo que a bola permanece no ar e b de acordo com a velocidade da bola na altura máxima em ordem decrescente Figura 427 Pergunta 10 11 A Fig 428 mostra quatro trilhos semicírculos ou quartos de círculo que podem ser usados por um trem que se move com velocidade escalar constante Ordene os trilhos de acordo com o módulo da aceleração do trem no trecho curvo em ordem decrescente Figura 428 Pergunta 11 12 Na Fig 429 a partícula P está em movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas xy a Para que valores de θ a componente vertical ry do vetor posição possui o maior módulo b Para que valores de θ a componente vertical vy da velocidade da partícula possui o maior módulo c Para que valores de θ a componente vertical ay da aceleração da partícula possui o maior módulo Figura 429 Pergunta 12 13 a É possível estar acelerando enquanto se viaja com velocidade escalar constante É possível fazer uma curva b com aceleração nula e c com aceleração de módulo constante 14 Você está viajando de carro e lança um ovo verticalmente para cima O ovo cai atrás do carro à frente do carro ou de volta na sua mão se a velocidade do carro a é constante b está aumentando c está diminuindo 15 Uma bola de neve é lançada do nível do solo por uma pessoa que está em um buraco com velocidade inicial v0 e um ângulo de lançamento de 45 com o solo plano no qual a bola vai cair depois de percorrer uma certa distância Se o ângulo de lançamento aumenta a a distância percorrida e b o tempo em que a bola de neve permanece no ar aumentam diminuem ou não variam 16 Você está dirigindo quase colado a um caminhão e os dois veículos mantêm a mesma velocidade Um engradado cai da traseira do caminhão a Se você não frear nem der um golpe de direção vai atropelar o engradado antes que ele se choque com o piso da estrada b Durante a queda a velocidade horizontal do engradado é maior menor ou igual à velocidade do caminhão 17 Em que ponto da trajetória de um projétil a velocidade é mínima 18 No arremesso de peso o peso é lançado de um ponto acima do ombro do atleta O ângulo para o qual a distância atingida pelo peso é máxima é 45 maior que 45 ou menor que 45 Problemas O número de pontos indica o grau de dificuldade do problema Informações adicionais disponíveis em O Circo Voador da Física de Jearl Walker LTC Rio de Janeiro 2008 Módulo 41 Posição e Deslocamento 1 O vetor posição de um elétron é 50 m 30 m 20 m a Determine o módulo de b Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro 2 Uma semente de melancia possui as seguintes coordenadas x 50 m y 80 m e z 0 m Determine o vetor posição da semente a na notação dos vetores unitários e como b um módulo e c um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x d Desenhe o vetor em um sistema de coordenadas dextrogiro Se a semente for transportada para as coordenadas 300 m 0 m 0 m determine o deslocamento e na notação dos vetores unitários e como f um módulo e g um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x 3 Um pósitron sofre um deslocamento 20 30 60 e termina com um vetor posição 30 40 em metros Qual era o vetor posição inicial do pósitron 4 O ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 10 cm da ponta ao eixo de rotação O módulo e o ângulo do vetor deslocamento da ponta devem ser determinados para três intervalos de tempo Determine a o módulo e b o ângulo associado ao deslocamento da ponta entre as posições correspondentes a quinze e trinta minutos depois da hora c o módulo e d o ângulo correspondente à meia hora seguinte e e o módulo e f o ângulo correspondente à hora seguinte Módulo 42 Velocidade Média e Velocidade Instantânea 5 Um trem que viaja a uma velocidade constante de 600 kmh se move na direção leste por 400 min depois em uma direção que faz um ângulo de 500 a leste com a direção norte por 200 min e finalmente na direção oeste por mais 500 min Quais são a o módulo e b o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem 6 A posição de um elétron é dada por 300t 400t2 200 com t em segundos e em metros a Qual é a velocidade t do elétron na notação dos vetores unitários Quanto vale t no instante t 200 s b na notação dos vetores unitários e como c um módulo e d um ângulo em relação ao sentido positivo do eixo x 7 O vetor posição de um íon é inicialmente 50 60 20 e 10 s depois passa a ser 20 80 20 com todos os valores em metros Qual é a velocidade média méd durante os 10 s na notação dos vetores unitários 8 Um avião voa 483 km para leste da cidade A para a cidade B em 450 min e depois 966 km para o sul da cidade B para a cidade C em 150 h Determine para a viagem inteira a o módulo e b a direção do deslocamento do avião c o módulo e d a direção da velocidade média e e a velocidade escalar média 9 A Fig 430 mostra os movimentos de um esquilo em um terreno plano do ponto A no instante t 0 para os pontos B em t 500 min C em t 100 min e finalmente D em t 150 min Considere as velocidades médias do esquilo do ponto A para cada um dos outros três pontos Entre essas velocidades médias determine a o módulo e b o ângulo da que possui o menor módulo e c o módulo e d o ângulo da que possui o maior módulo Figura 430 Problema 9 10 O vetor 500t et ft2 mostra a posição de uma partícula em função do tempo t O vetor está em metros t está em segundos e os fatores e e f são constantes A Fig 431 mostra o ângulo θ da direção do movimento da partícula em função de t θ é medido a partir do semieixo x positivo Determine a e e b f indicando as unidades correspondentes Figura 431 Problema 10 Módulo 43 Aceleração Média e Aceleração Instantânea 11 A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por 200t3 500t 600 700t4 com em metros e t em segundos Na notação dos vetores unitários calcule a b e c para t 200 s d Qual é o ângulo entre o semieixo positivo x e uma reta tangente à trajetória da partícula em t 200 s 12 Em certo instante um ciclista está 400 m a leste do mastro de um parque indo para o sul com uma velocidade de 100 ms Após 300 s o ciclista está 400 m ao norte do mastro dirigindose para leste com uma velocidade de 100 ms Para o ciclista nesse intervalo de 300 s quais são a o módulo e b a direção do deslocamento c o módulo e d a direção da velocidade média e e o módulo e f a direção da aceleração média 13 Uma partícula se move de tal forma que a posição em metros em função do tempo em segundos é dada por 4t2 t Escreva expressões para a a velocidade e b a aceleração em função do tempo 14 A velocidade inicial de um próton é 40 20 30 mais tarde passa a ser 20 20 50 em metros por segundo Para esses 40 s determine qual é a a aceleração média do próton méd na notação dos vetores unitários b qual o módulo de méd e c qual o ângulo entre méd e o semieixo x positivo 15 Uma partícula deixa a origem com uma velocidade inicial 300ms e uma aceleração constante 100 0500 ms2 Quando a partícula atinge o valor máximo da coordenada x qual é a a velocidade e b qual é o vetor posição 16 A velocidade de uma partícula que se move no plano xy é dada por 60t 40t2 800 com em metros por segundo e t 0 em segundos a Qual é a aceleração no instante t 30 s b Em que instante se isso é possível a aceleração é nula c Em que instante se isso é possível a velocidade é nula d Em que instante se isso é possível a velocidade escalar da partícula é igual a 10 ms 17 Um carro se move em um plano xy com componentes da aceleração ax 40 ms2 e ay 20 ms2 A velocidade inicial tem componentes v0x 80 ms e v0y 12 ms Qual é a velocidade do carro na notação dos vetores unitários quando atinge a maior coordenada y 18 Um vento moderado acelera um seixo em um plano horizontal xy com uma aceleração constante 500 ms2i 700 ms2 No instante t 0 a velocidade é 400 ms Quais são a o módulo e b o ângulo da velocidade do seixo após ter se deslocado 120 m paralelamente ao eixo x 19 A aceleração de uma partícula que se move em um plano horizontal xy é dada por 3t 4t em que está em metros por segundo ao quadrado e t em segundos Em t 0 o vetor posição 2000 m 400 m indica a localização da partícula que nesse instante tem uma velocidade 500 ms 200 ms Em t 400 s determine a o vetor posição na notação dos vetores unitários e b o ângulo entre a direção do movimento e o semieixo x positivo 20 Na Fig 432 a partícula A se move ao longo da reta y 30 m com uma velocidade constante de módulo 30 ms paralela ao eixo x No instante em que a partícula A passa pelo eixo y a partícula B deixa a origem com velocidade inicial zero e aceleração constante de módulo 040 ms2 Para que valor do ângulo θ entre e o semieixo y positivo acontece uma colisão Figura 432 Problema 20 Módulo 44 Movimento Balístico 21 Um dardo é arremessado horizontalmente com uma velocidade inicial de 10 ms em direção a um ponto P o centro de um alvo de parede O dardo atinge um ponto Q do alvo verticalmente abaixo de P 019 s depois do arremesso a Qual é a distância PQ b A que distância do alvo foi arremessado o dardo 22 Uma pequena bola rola horizontalmente até a borda de uma mesa de 120 m de altura e cai no chão A bola chega ao chão a uma distância horizontal de 152 m da borda da mesa a Por quanto tempo a bola fica no ar b Qual é a velocidade da bola no instante em que ela chega à borda da mesa 23 Um projétil é disparado horizontalmente de uma arma que está 450 m acima de um terreno plano saindo da arma com uma velocidade de 250 ms a Por quanto tempo o projétil permanece no ar b A que distância horizontal do ponto de disparo o projétil se choca com o solo c Qual é o módulo da componente vertical da velocidade quando o projétil se choca com o solo 24 No Campeonato Mundial de Atletismo de 1991 em Tóquio Mike Powell saltou 895 m batendo por 5 cm um recorde de 23 anos estabelecido por Bob Beamon para o salto em distância Suponha que Powell iniciou o salto com uma velocidade de 95 ms aproximadamente igual à de um velocista e que g 98 ms2 em Tóquio Calcule a diferença entre o alcance de Powell e o máximo alcance possível para uma partícula lançada com a mesma velocidade 25 O recorde atual de salto de motocicleta é 770 m estabelecido por Jason Renie Suponha que Renie tivesse partido da rampa fazendo um ângulo de 12 com a horizontal e que as rampas de subida e de descida tivessem a mesma altura Determine a velocidade inicial desprezando a resistência do ar 26 Uma pedra é lançada por uma catapulta no instante t 0 com uma velocidade inicial de módulo 200 ms e ângulo 400 acima da horizontal Quais são os módulos das componentes a horizontal e b vertical do deslocamento da pedra em relação à catapulta em t 110 s Repita os cálculos para as componentes c horizontal e d vertical em t 180 s e para as componentes e horizontal e f vertical em t 500 s 27 Um avião está mergulhando com um ângulo θ 300 abaixo da horizontal a uma velocidade de 2900 kmh quando o piloto libera um chamariz Fig 433 A distância horizontal entre o ponto de lançamento e o ponto no qual o chamariz se choca com o solo é d 700 m a Quanto tempo o chamariz passou no ar b De que altura foi lançado Figura 433 Problema 27 28 Na Fig 434 uma pedra é lançada para o alto de um rochedo de altura h com uma velocidade inicial de 420 ms e um ângulo θ0 600 com a horizontal A pedra cai em um ponto A 550 s após o lançamento Determine a a altura h do rochedo b a velocidade da pedra imediatamente antes do impacto em A e c a altura máxima H alcançada acima do solo Figura 434 Problema 28 29 A velocidade de lançamento de um projétil é cinco vezes maior que a velocidade na altura máxima Determine o ângulo de lançamento θ0 30 Uma bola de futebol é chutada a partir do chão com uma velocidade inicial de 195 ms e um ângulo para cima de 45 No mesmo instante um jogador a 55 m de distância na direção do chute começa a correr para receber a bola Qual deve ser a velocidade média do jogador para que alcance a bola imediatamente antes de tocar o gramado 31 Ao dar uma cortada um jogador de voleibol golpeia a bola com força de cima para baixo em direção à quadra adversária É difícil controlar o ângulo da cortada Suponha que uma bola seja cortada de uma altura de 230 m com uma velocidade inicial de 200 ms e um ângulo para baixo de 1800 Se o ângulo para baixo diminuir para 800 a que distância adicional a bola atingirá a quadra adversária 32 Você lança uma bola em direção a uma parede com uma velocidade de 250 ms e um ângulo θ0 400 acima da horizontal Fig 435 A parede está a uma distância d 220 m do ponto de lançamento da bola a A que distância acima do ponto de lançamento a bola atinge a parede Quais são as componentes b horizontal e c vertical da velocidade da bola ao atingir a parede d Ao atingir a parede a bola já passou pelo ponto mais alto da trajetória Figura 435 Problema 32 33 Um avião mergulhando com velocidade constante em um ângulo de 530 com a vertical lança um projétil a uma altitude de 730 m O projétil chega ao solo 500 s após o lançamento a Qual é a velocidade do avião b Que distância o projétil percorre horizontalmente durante o percurso Quais são as componentes c horizontal e d vertical da velocidade do projétil no momento em que ele chega ao solo 34 O trebuchet era uma máquina de arremesso construída para atacar as muralhas de um castelo durante um cerco Uma grande pedra podia ser arremessada contra uma muralha para derrubála A máquina não era instalada perto da muralha porque os operadores seriam um alvo fácil para as flechas disparadas do alto das muralhas do castelo Em vez disso o trebuchet era posicionado de tal forma que a pedra atingia a muralha na parte descendente da trajetória Suponha que uma pedra fosse lançada com uma velocidade v0 280 ms e um ângulo θ0 400 Qual seria a velocidade da pedra se ela atingisse a muralha a no momento em que chegasse à altura máxima da trajetória parabólica e b depois de cair para metade da altura máxima c Qual a diferença percentual entre as respostas dos itens b e a 35 Um rifle que atira balas a 460 ms é apontado para um alvo situado a 457 m de distância Se o centro do alvo está na mesma altura do rifle para que altura acima do alvo o cano do rifle deve ser apontado para que a bala atinja o centro do alvo 36 Durante uma partida de tênis um jogador saca a 236 ms com o centro da bola deixando a raquete horizontalmente a 237 m de altura em relação à quadra A rede está a 12 m de distância e tem 090 m de altura a A bola passa para o outro lado da quadra b Qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede quando a bola chega à rede Suponha que nas mesmas condições a bola deixe a raquete fazendo um ângulo 500 abaixo da horizontal Nesse caso c a bola passa para o outro lado da quadra d Qual é a distância entre o centro da bola e o alto da rede quando a bola chega à rede 37 Um mergulhador salta com uma velocidade horizontal de 200 ms de uma plataforma que está 100 m acima da superfície da água a A que distância horizontal da borda da plataforma está o mergulhador 0800 s após o início do salto b A que distância vertical acima da superfície da água está o mergulhador nesse instante c A que distância horizontal da borda da plataforma o mergulhador atinge a água 38 Uma bola de golfe recebe uma tacada no solo A velocidade da bola em função do tempo é mostrada na Fig 436 em que t 0 é o instante em que a bola foi golpeada A escala vertical do gráfico é definida por va 19 ms e vb 31 ms a Que distância horizontal a bola de golfe percorre antes de tocar novamente o solo b Qual é a altura máxima atingida pela bola Figura 436 Problema 38 39 Na Fig 437 uma bola é lançada para a esquerda da borda esquerda do terraço de um edifício O ponto de lançamento está a uma altura h em relação ao solo e a bola chega ao solo 150 s depois a uma distância horizontal d 250 m do ponto de lançamento e fazendo um ângulo θ 600 com a horizontal a Determine o valor de h Sugestão Uma forma de resolver o problema é inverter o movimento como se você estivesse vendo um filme de trás para a frente Qual é b o módulo e c qual o ângulo em relação à horizontal com que a bola foi lançada d O ângulo é para cima ou para baixo em relação à horizontal Figura 437 Problema 39 40 Um arremessador de peso de nível olímpico é capaz de lançar o peso com uma velocidade inicial v0 1500 ms de uma altura de 2160 m Que distância horizontal é coberta pelo peso se o ângulo de lançamento θ0 é a 4500 e b 4200 As respostas mostram que o ângulo de 45 que maximiza o alcance dos projéteis não maximiza a distância horizontal quando a altura inicial e a altura final são diferentes 41 Quando vê um inseto pousado em uma planta perto da superfície da água o peixe arqueiro coloca o focinho para fora e lança um jato dágua na direção do inseto para derrubálo na água Fig 4 38 Embora o peixe veja o inseto na extremidade de um segmento de reta de comprimento d que faz um ângulo ϕ com a superfície da água o jato deve ser lançado com um ângulo diferente θ0 para que o jato atinja o inseto depois de descrever uma trajetória parabólica Se ϕ 360 d 0900 m e a velocidade de lançamento é 356 ms qual deve ser o valor de θ0 para que o jato esteja no ponto mais alto da trajetória quando atinge o inseto Figura 438 Problema 41 42 Em 1939 ou 1940 Emanuel Zacchini levou seu número de bala humana a novas alturas disparado por um canhão ele passou por cima de três rodasgigantes antes de cair em uma rede Fig 4 39 Suponha que ele tenha sido lançado com uma velocidade de 265 ms e em um ângulo de 530º a Tratando Zacchini como uma partícula determine a que distância vertical ele passou da primeira roda gigante b Se Zacchini atingiu a altura máxima quando passou pela rodagigante do meio a que distância vertical passou dessa rodagigante c A que distância do canhão devia estar posicionado o centro da rede desprezando a resistência do ar Figura 439 Problema 42 43 Uma bola é lançada a partir do solo Quando atinge uma altura de 91 m a velocidade é 76 61 ms com horizontal e para cima a Qual é a altura máxima atingida pela bola b Qual é a distância horizontal coberta pela bola Quais são c o módulo e d o ângulo abaixo da horizontal da velocidade da bola no instante em que ela atinge o solo 44 Uma bola de beisebol deixa a mão do lançador horizontalmente com uma velocidade de 161 kmh A distância até o rebatedor é 183 m a Quanto tempo a bola leva para percorrer a primeira metade da distância b E a segunda metade c Que distância a bola cai livremente durante a primeira metade d E durante a segunda metade e Por que as respostas dos itens c e d não são iguais 45 Na Fig 440 uma bola é lançada com uma velocidade de 100 ms e um ângulo de 500 com a horizontal O ponto de lançamento fica na base de uma rampa de comprimento horizontal d1 600 m e altura d2 360 m No alto da rampa existe um estrado horizontal a A bola cai na rampa ou no estrado No momento em que a bola cai quais são b o módulo e c o ângulo do deslocamento da bola em relação ao ponto de lançamento Figura 440 Problema 45 46 Alguns jogadores de basquetebol parecem flutuar no ar durante um salto em direção à cesta A ilusão depende em boa parte da capacidade de um jogador experiente de trocar rapidamente a bola de mão durante o salto mas pode ser acentuada pelo fato de que o jogador percorre uma distância horizontal maior na parte superior do salto do que na parte inferior Se um jogador salta com uma velocidade inicial v0 700 ms e um ângulo θ0 350 que porcentagem do alcance do salto o jogador passa na metade superior do salto entre a altura máxima e metade da altura máxima 47 Um rebatedor golpeia uma bola de beisebol quando o centro da bola está 122 m acima do solo A bola deixa o taco fazendo um ângulo de 45 com o solo e com uma velocidade tal que o alcance horizontal distância até voltar à altura de lançamento é 107 m a A bola consegue passar por um alambrado de 732 m de altura que está a uma distância horizontal de 975 m do ponto inicial b Qual é a distância entre a extremidade superior do alambrado e o centro da bola quando a bola chega ao alambrado 48 Na Fig 441 uma bola é arremessada para o alto de um edifício caindo 400 s depois a uma altura h 200 m acima da altura de lançamento A trajetória da bola no final tem uma inclinação θ 60 em relação à horizontal a Determine a distância horizontal d coberta pela bola Veja a sugestão do Problema 39 Quais são b o módulo e c o ângulo em relação à horizontal da velocidade inicial da bola Figura 441 Problema 48 49 O chute de um jogador de futebol americano imprime à bola uma velocidade inicial de 25 ms Quais são a o menor e b o maior ângulo de elevação que ele pode imprimir à bola para marcar um field goal1 a partir de um ponto situado a 50 m da meta cujo travessão está 344 m acima do gramado 50 Dois segundos após ter sido lançado a partir do solo um projétil deslocouse 40 m horizontalmente e 53 m verticalmente em relação ao ponto de lançamento Quais são as componentes a horizontal e b vertical da velocidade inicial do projétil c Qual é o deslocamento horizontal em relação ao ponto de lançamento no instante em que o projétil atinge a altura máxima em relação ao solo 51 Os esquiadores experientes costumam dar um pequeno salto antes de chegarem a uma encosta descendente Considere um salto no qual a velocidade inicial é v0 10 ms o ângulo é θ0 113 a pista antes do salto é aproximadamente plana e a encosta tem uma inclinação de 90 A Fig 442a mostra um présalto no qual o esquiador desce no início da encosta A Fig 442b mostra um salto que começa no momento em que o esquiador está chegando à encosta Na Fig 442a o esquiador desce aproximadamente na mesma altura em que começou o salto a Qual é o ângulo ϕ entre a trajetória do esquiador e a encosta na situação da Fig 442a Na situação da Fig 442b b o esquiador desce quantos metros abaixo da altura em que começou o salto c Qual é o valor de ϕ A queda maior e o maior valor de ϕ podem fazer o esquiador perder o equilíbrio Figura 442 Problema 51 52 Uma bola é lançada do solo em direção a uma parede que está a uma distância x Fig 443a A Fig 443b mostra a componente vy da velocidade da bola no instante em que ela alcança a parede em função da distância x As escalas do gráfico são definidas por vys 50 ms e xs 20 m Qual é o ângulo do lançamento Figura 443 Problema 52 53 Na Fig 444 uma bola de beisebol é golpeada a uma altura h 100 m e apanhada na mesma altura Deslocandose paralelamente a um muro a bola passa pelo alto do muro 100 s após ter sido golpeada e novamente 400 s depois quando está descendo em posições separadas por uma distância D 500 m a Qual é a distância horizontal percorrida pela bola do instante em que foi golpeada até ser apanhada Quais são b o módulo e c o ângulo em relação à horizontal da velocidade da bola imediatamente após ter sido golpeada d Qual é a altura do muro Figura 444 Problema 53 54 Uma bola é lançada a partir do solo com uma dada velocidade A Fig 445 mostra o alcance R em função ao ângulo de lançamento θ0 O tempo de percurso depende do valor de θ0 seja tmáx o maior valor possível desse tempo Qual é a menor velocidade que a bola possui durante o percurso se θ0 é escolhido de tal forma que o tempo de percurso seja 05tmáx Figura 445 Problema 54 55 Uma bola rola horizontalmente do alto de uma escada a uma velocidade de 152 ms Os degraus têm 203 cm de altura e 203 cm de largura Em que degrau a bola bate primeiro Módulo 45 Movimento Circular Uniforme 56 Um satélite da Terra se move em uma órbita circular 640 km acima da superfície da Terra com um período de 980 min Quais são a a velocidade e b o módulo da aceleração centrípeta do satélite 57 Um carrossel de um parque de diversões gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante Um homem em pé na borda do carrossel tem uma velocidade escalar constante de 366 ms e uma aceleração centrípeta de módulo 183 ms2 O vetor posição indica a posição do homem em relação ao eixo do carrossel a Qual é o módulo de Qual é o sentido de quando aponta b para leste e c para o sul 58 Um ventilador realiza 1200 revoluções por minuto Considere um ponto situado na extremidade de uma das pás que descreve uma circunferência com 015 m de raio a Que distância o ponto percorre em uma revolução Quais são b a velocidade do ponto e c o módulo da aceleração d Qual é o período do movimento 59 Uma mulher está em uma rodagigante com 15 m de raio que completa cinco voltas em torno do eixo horizontal a cada minuto Quais são a o período do movimento b o módulo e c o sentido da aceleração centrípeta no ponto mais alto e d o módulo e e o sentido da aceleração centrípeta da mulher no ponto mais baixo 60 Um viciado em aceleração centrípeta executa um movimento circular uniforme de período T 20 s e raio r 300 m No instante t1 a aceleração é 600 ms2 400 ms2 Quais são nesse instante os valores de a e b 61 Quando uma grande estrela se torna uma supernova o núcleo da estrela pode ser tão comprimido que ela se transforma em uma estrela de nêutrons com um raio de cerca de 20 km Se uma estrela de nêutrons completa uma revolução a cada segundo a qual é o módulo da velocidade de uma partícula situada no equador da estrela e b qual é o módulo da aceleração centrípeta da partícula c Se a estrela de nêutrons gira mais depressa as respostas dos itens a e b aumentam diminuem ou permanecem as mesmas 62 Qual é o módulo da aceleração de um velocista que corre a 10 ms ao fazer uma curva com 25 m de raio 63 Em t1 200 s a aceleração de uma partícula em movimento circular no sentido antihorário é 600 ms2 400 ms2 A partícula se move com velocidade escalar constante Em t2 500 s a aceleração é 400 ms2 600 ms Qual é o raio da trajetória da partícula se a diferença t2 t1 é menor que um período de rotação 64 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em um plano horizontal xy Em um dado instante a partícula passa pelo ponto de coordenadas 400 m 400 m com uma velocidade de 500 ms e uma aceleração de 125 ms2 Quais são as coordenadas a x e b y do centro da trajetória circular 65 Uma bolsa a 200 m do centro e uma carteira a 300 m do centro descrevem um movimento circular uniforme no piso de um carrossel Os dois objetos estão na mesma linha radial Em um dado instante a aceleração da bolsa é 200 ms2 400 ms2 Qual é a aceleração da carteira nesse instante na notação dos vetores unitários 66 Uma partícula se move em uma trajetória circular em um sistema de coordenadas xy horizontal com velocidade escalar constante No instante t1 400 s a partícula se encontra no ponto 500 m 600 m com velocidade 300 ms e aceleração no sentido positivo de x No instante t2 100 s tem uma velocidade 300 ms e uma aceleração no sentido positivo de y Quais são as coordenadas a x e b y do centro da trajetória circular se a diferença t2 t1 é menor que um período de rotação 67 Um menino faz uma pedra descrever uma circunferência horizontal com 15 m de raio 20 m acima do chão A corda arrebenta e a pedra é arremessada horizontalmente chegando ao solo depois de percorrer uma distância horizontal de 10 m Qual era o módulo da aceleração centrípeta da pedra durante o movimento circular 68 Um gato pula em um carrossel que descreve um movimento circular uniforme No instante t1 200 s a velocidade do gato é 1 300 ms 400 ms medida em um sistema de coordenadas horizontal xy No instante t2 500 s a velocidade do gato é 2 300 ms 400 ms Qual é a o módulo da aceleração centrípeta do gato e b qual é a aceleração média do gato no intervalo de tempo t2 t1 que é menor que um período de rotação Módulo 46 Movimento Relativo em Uma Dimensão 69 Um cinegrafista está em uma picape que se move para oeste a 20 kmh enquanto filma um guepardo que também está se movendo para oeste 30 kmh mais depressa que a picape De repente o guepardo para dá meiavolta e passa a correr a 45 kmh para leste de acordo com a estimativa de um membro da equipe agora nervoso que está na margem da estrada no caminho do guepardo A mudança de velocidade do animal leva 20 s Quais são a o módulo e b a orientação da aceleração do animal em relação ao cinegrafista e c o módulo e d a orientação da aceleração do animal em relação ao membro nervoso da equipe 70 Um barco está navegando rio acima no sentido positivo de um eixo x a 14 kmh em relação à água do rio A água do rio está correndo a 90 kmh em relação à margem Quais são a o módulo e b a orientação da velocidade do barco em relação à margem Uma criança que está no barco caminha da popa para a proa a 60 kmh em relação ao barco Quais são c o módulo e d a orientação da velocidade da criança em relação à margem 71 Um homem de aparência suspeita corre o mais depressa que pode por uma esteira rolante levando 25 s para ir de uma extremidade à outra Os seguranças aparecem e o homem volta ao ponto de partida correndo o mais depressa que pode e levando 100 s Qual é a razão entre a velocidade do homem e a velocidade da esteira Módulo 47 Movimento Relativo em Duas Dimensões 72 Um jogador de rúgbi corre com a bola em direção à meta adversária no sentido positivo de um eixo x De acordo com as regras do jogo ele pode passar a bola a um companheiro de equipe desde que a velocidade da bola em relação ao campo não possua uma componente x positiva Suponha que o jogador esteja correndo a uma velocidade de 40 ms em relação ao campo quando passa a bola a uma velocidade BJ em relação a ele mesmo Se o módulo de BJ é 60 ms qual é o menor ângulo que a bola deve fazer com a direção x para que o passe seja válido 73 Duas rodovias se cruzam como mostra a Fig 446 No instante indicado um carro de polícia P está a uma distância dP 800 m do cruzamento movendose a uma velocidade escalar vP 80 kmh O motorista M está a uma distância dM 600 m do cruzamento movendose a uma velocidade escalar vM 60 kmh a Qual é a velocidade do motorista em relação ao carro da polícia na notação dos vetores unitários b No instante mostrado na Fig 446 qual é o ângulo entre a velocidade calculada no item a e a reta que liga os dois carros c Se os carros mantêm a velocidade as respostas dos itens a e b mudam quando os carros se aproximam da interseção Figura 446 Problema 73 74 Depois de voar por 15 min em um vento de 42 kmh a um ângulo de 20 ao sul do leste o piloto de um avião sobrevoa uma cidade que está a 55 km ao norte do ponto de partida Qual é a velocidade escalar do avião em relação ao ar 75 Um trem viaja para o sul a 30 ms em relação ao solo em meio a uma chuva que é soprada para o sul pelo vento As trajetórias das gotas de chuva fazem um ângulo de 70 com a vertical quando medidas por um observador estacionário no solo Um observador no trem entretanto vê as gotas caírem exatamente na vertical Determine a velocidade escalar das gotas de chuva em relação ao solo 76 Um avião pequeno atinge uma velocidade do ar de 500 kmh O piloto pretende chegar a um ponto 800 km ao norte mas descobre que deve direcionar o avião 200 a leste do norte para atingir o destino O avião chega em 200 h Quais eram a o módulo e b a orientação da velocidade do vento 77 A neve está caindo verticalmente com uma velocidade constante de 80 ms Com que ângulo em relação à vertical os flocos de neve parecem estar caindo do ponto de vista do motorista de um carro que viaja em uma estrada plana e retilínea a uma velocidade de 50 kmh 78 Na vista superior da Fig 447 os jipes P e B se movem em linha reta em um terreno plano e passam por um guarda de fronteira estacionário A Em relação ao guarda o jipe B se move com uma velocidade escalar constante de 200 ms e um ângulo θ2 300 Também em relação ao guarda P acelerou a partir do repouso a uma taxa constante de 0400 ms2 com um ângulo θ1 600 Em um dado instante durante a aceleração P possui uma velocidade escalar de 400 ms Nesse instante quais são a o módulo e b a orientação da velocidade de P em relação a B e c o módulo e d a orientação da aceleração de P em relação a B Figura 447 Problema 78 79 Dois navios A e B deixam o porto ao mesmo tempo O navio A navega para noroeste a 24 nós e o navio B navega a 28 nós em uma direção 40 a oeste do sul 1 nó 1 milha marítima por hora veja o Apêndice D Quais são a o módulo e b a orientação da velocidade do navio A em relação ao navio B c Após quanto tempo os navios estarão separados por 160 milhas marítimas d Qual será o curso de B orientação do vetor posição de B em relação a A nesse instante 80 Um rio de 200 m de largura corre para leste a uma velocidade constante de 20 ms Um barco a uma velocidade de 80 ms em relação à água parte da margem sul em uma direção 30 a oeste do norte Determine a o módulo e b a orientação da velocidade do barco em relação à margem c Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio 81 O navio A está 40 km ao norte e 25 km a leste do navio B O navio A está viajando a uma velocidade de 22 kmh na direção sul o navio B a uma velocidade de 400 kmh em uma direção 37 ao norte do leste a Qual é a velocidade de A em relação a B na notação dos vetores unitários com apontando para o leste b Escreva uma expressão em termos de e para a posição de A em relação a B em função do tempo t tomando t 0 como o instante em que os dois navios estão nas posições descritas acima c Em que instante a separação entre os navios é mínima d Qual é a separação mínima 82 Um rio de 200 m de largura corre a uma velocidade escalar constante de 11 ms em uma floresta na direção leste Um explorador deseja sair de uma pequena clareira na margem sul e atravessar o rio em um barco a motor que se move a uma velocidade escalar constante de 40 ms em relação à água Existe outra clareira na margem norte 82 m rio acima do ponto de vista de um local da margem sul exatamente em frente à segunda clareira a Em que direção o barco deve ser apontado para viajar em linha reta e chegar à clareira da margem norte b Quanto tempo o barco leva para atravessar o rio e chegar à clareira Problemas Adicionais 83 Uma mulher que é capaz de remar um barco a 64 kmh em águas paradas se prepara para atravessar um rio retilíneo com 64 km de largura e uma correnteza de 32 kmh Tome perpendicular ao rio e apontando rio abaixo Se a mulher pretende remar até um ponto na outra margem exatamente em frente ao ponto de partida a para que ângulo em relação a ela deve apontar o barco e b quanto tempo ela levará para fazer a travessia c Quanto tempo gastaria se permanecendo na mesma margem remasse 32 km rio abaixo e depois remasse de volta ao ponto de partida d Quanto tempo gastaria se permanecendo na mesma margem remasse 32 km rio acima e depois remasse de volta ao ponto de partida e Para que ângulo deveria direcionar o barco para atravessar o rio no menor tempo possível f Qual seria esse tempo 84 Na Fig 448a um trenó se move no sentido negativo do eixo x a uma velocidade escalar constante vt quando uma bola de gelo é atirada do trenó a uma velocidade 0 0x 0y em relação ao trenó Quando a bola chega ao solo o deslocamento horizontal xbs em relação ao solo da posição inicial à posição final é medido A Fig 448b mostra a variação de xbs com vt Suponha que a bola chegue ao solo na altura aproximada em que foi lançada Quais são os valores a de v0x e b de v0y O deslocamento da bola em relação ao trenó xbt também pode ser medido Suponha que a velocidade do trenó não mude depois que a bola foi atirada Quanto é xbs para vt ser igual a c 50 ms e d 15 ms Figura 448 Problema 84 85 Você foi sequestrado por estudantes de ciência política que estão aborrecidos porque você declarou que ciência política não é ciência de verdade Embora esteja vendado você pode estimar a velocidade do carro dos sequestradores pelo ronco do motor o tempo de viagem contando mentalmente os segundos e a direção da viagem pelas curvas que o carro fez A partir dessas pistas você sabe que foi conduzido ao longo do seguinte percurso 50 kmh por 20 min curva de 90 para a direita 20 kmh por 40 min curva de 90 para a direita 20 kmh por 60 s curva de 90 para a esquerda 50 kmh por 60 s curva 90 para a direita 200 kmh por 20 min curva de 90 para a esquerda 50 kmh por 30 s Nesse ponto a a que distância você se encontra do ponto de partida e b em que direção em relação à direção inicial você está 86 Na Fig 449 uma estação de radar detecta um avião que se aproxima vindo do leste Quando é observado pela primeira vez o avião está a uma distância d1 360 m da estação e θ1 40 acima do horizonte O avião é rastreado durante uma variação angular θ 123 no plano vertical lesteoeste a distância no final dessa variação é d2 790 m Determine a o módulo e b a orientação do deslocamento do avião durante este período Figura 449 Figura 86 87 Uma bola de beisebol é golpeada junto ao chão A bola atinge a altura máxima 30 s após ter sido golpeada Em seguida 25 s após ter atingido a altura máxima a bola passa rente a um alambrado que está a 975 m do ponto em que foi golpeada Suponha que o solo seja plano a Qual é a altura máxima atingida pela bola b Qual é a altura do alambrado c A que distância do alambrado a bola atinge o chão 88 Voos longos em latitudes médias no hemisfério norte encontram a chamada corrente de jato um fluxo de ar para leste que pode afetar a velocidade do avião em relação à superfície da Terra Se o piloto mantém a mesma velocidade em relação ao ar a chamada velocidade do ar a velocidade em relação ao solo é maior quando o voo é na direção da corrente de jato e menor quando o voo é na direção oposta Suponha que um voo de ida e volta esteja previsto entre duas cidades separadas por 4000 km com o voo de ida no sentido da corrente de jato e o voo de volta no sentido oposto O computador da empresa aérea recomenda uma velocidade do ar de 1000 kmh para a qual a diferença entre as durações dos voos de ida e de volta é 700 min Qual foi a velocidade da corrente de jato usada nos cálculos 89 Uma partícula parte da origem no instante t 0 com uma velocidade de 80 ms e se move no plano xy com uma aceleração constante igual a 40 20 ms2 Quando a coordenada x da partícula é 29 m quais são a a coordenada y e b a velocidade escalar 90 Com que velocidade inicial o jogador de basquetebol da Fig 450 deve arremessar a bola com um ângulo θ0 55 acima da horizontal para converter o lance livre As distâncias horizontais são d1 0305 m e d2 427 m e as alturas são h1 214 m e h2 305 m Figura 450 Problema 90 91 Durante as erupções vulcânicas grandes pedaços de pedra podem ser lançados para fora do vulcão esses projéteis são conhecidos como bombas vulcânicas A Fig 451 mostra uma seção transversal do Monte Fuji no Japão a Com que velocidade inicial uma bomba vulcânica teria de ser lançada com um ângulo θ0 35 em relação à horizontal a partir da cratera A para cair no ponto B a uma distância vertical h 330 km e uma distância horizontal d 940 km Ignore o efeito do ar sobre o movimento do projétil b Qual seria o tempo de percurso c O efeito do ar aumentaria ou diminuiria o valor da velocidade calculada no item a Figura 451 Problema 91 92 Um astronauta é posto em rotação em uma centrífuga horizontal com um raio de 50 m a Qual é a velocidade escalar do astronauta se a aceleração centrípeta tem um módulo de 70g b Quantas revoluções por minuto são necessárias para produzir essa aceleração c Qual é o período do movimento 93 O oásis A está 90 km a oeste do oásis B Um camelo parte de A e leva 50 h para caminhar 75 km na direção 37 ao norte do leste Em seguida leva 35 h para caminhar 65 km para o sul e descansa por 50 h Quais são a o módulo e b o sentido do deslocamento do camelo em relação a A até o ponto em que ele para a fim de descansar Do instante em que o camelo parte do ponto A até o final do período de descanso quais são c o módulo e d o sentido da velocidade média do camelo e e a velocidade escalar média do camelo A última vez que o camelo bebeu água foi em A o animal deve chegar a B não mais que 120 h após a partida para beber água novamente Para que ele chegue a B no último momento quais devem ser f o módulo e g o sentido da velocidade média após o período de descanso 94 Cortina da morte Um grande asteroide metálico colide com a Terra e abre uma cratera no material rochoso abaixo do solo lançando pedras para o alto A tabela a seguir mostra cinco pares de velocidades e ângulos em relação à horizontal para essas pedras com base em um modelo de formação de crateras Outras pedras com velocidades e ângulos intermediários também são lançadas Suponha que você esteja em x 20 km quando o asteroide chega ao solo no instante t 0 e na posição x 0 Fig 452 a Em t 20 s quais são as coordenadas x e y das pedras de A a E que foram lançadas na sua direção b Plote essas coordenadas em um gráfico e desenhe uma curva passando pelos pontos para incluir pedras com velocidades e ângulos intermediários A curva deve dar uma ideia do que você veria ao olhar na direção das pedras e do que os dinossauros devem ter visto durante as colisões de asteroides com a Terra no passado remoto Pedra Velocidade ms Ângulo graus A 520 140 B 630 160 C 750 180 D 870 200 E 1000 220 Figura 452 Problema 94 95 A Fig 453 mostra a trajetória retilínea de uma partícula em um sistema de coordenadas xy quando a partícula é acelerada a partir do repouso em um intervalo de tempo t1 A aceleração é constante As coordenadas do ponto A são 400 m 600 m e as do ponto B são 120 m 180 m a Qual é a razão ayax entre as componentes da aceleração b Quais são as coordenadas da partícula se o movimento continua durante outro intervalo igual a t1 Figura 453 Problema 95 96 No voleibol feminino o alto da rede está 224 m acima do piso e a quadra mede 90 m por 90 m de cada lado da rede Ao dar um saque viagem uma jogadora bate na bola quando está 30 m acima do piso e a uma distância horizontal de 80 m da rede Se a velocidade inicial da bola é horizontal determine a a menor velocidade escalar que a bola deve ter para ultrapassar a rede e b a máxima velocidade que pode ter para atingir o piso dentro dos limites da quadra do outro lado da rede 97 Um rifle é apontado horizontalmente para um alvo a 30 m de distância A bala atinge o alvo 19 cm abaixo do ponto para onde o rifle foi apontado Determine a o tempo de percurso da bala e b a velocidade escalar da bala ao sair do rifle 98 Uma partícula descreve um movimento circular uniforme em torno da origem de um sistema de coordenadas xy movendose no sentido horário com um período de 700 s Em um dado instante o vetor posição da partícula em relação à origem é 200 m 300 m Qual é a velocidade da partícula nesse instante na notação dos vetores unitários 99 Na Fig 454 uma bola de massa de modelar descreve um movimento circular uniforme com um raio de 200 cm na borda de uma roda que está girando no sentido antihorário com um período de 500 ms A bola se desprende na posição correspondente a 5 horas como se estivesse no mostrador de um relógio e deixa a roda a uma altura h 120 m acima do chão e a uma distância d 250 m de uma parede Em que altura a bola bate na parede Figura 454 Problema 99 100 Um trenó a vela atravessa um lago gelado com uma aceleração constante produzida pelo vento Em certo instante a velocidade do trenó é 630 842 ms Três segundos depois uma mudança de direção do vento faz o trenó parar momentaneamente Qual é a aceleração média do trenó nesse intervalo de 300 s 101 Na Fig 455 uma bola é lançada verticalmente para cima a partir do solo com uma velocidade inicial v0 700 ms Ao mesmo tempo um elevador de serviço começa a subir a partir do solo com uma velocidade constante vc 300 ms Qual é a altura máxima atingida pela bola a em relação ao solo e b em relação ao piso do elevador Qual é a taxa de variação da velocidade da bola c em relação ao solo e d em relação ao piso do elevador Figura 455 Problema 101 102 Um campo magnético pode forçar uma partícula a descrever uma trajetória circular Suponha que um elétron que esteja descrevendo uma circunferência sofra uma aceleração radial de módulo 30 1014 ms2 sob o efeito de um campo magnético a Qual é o módulo da velocidade do elétron se o raio da trajetória circular é 15 cm b Qual é o período do movimento 103 Em 350 h um balão se desloca 215 km para o norte 970 km para leste e 288 km para cima em relação ao ponto de lançamento Determine a o módulo da velocidade média do balão e b o ângulo que a velocidade média faz com a horizontal 104 Uma bola é lançada horizontalmente de uma altura de 20 m e chega ao solo com uma velocidade três vezes maior que a inicial Determine a velocidade inicial 105 Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de 30 ms e um ângulo de 60 acima da horizontal Determine a o módulo e b o ângulo da velocidade 20 s após o lançamento c O ângulo do item b é acima ou abaixo da horizontal Determine d o módulo e e o ângulo da velocidade 50 s após o lançamento f O ângulo do item e é acima ou abaixo da horizontal 106 O vetor posição de um próton é inicialmente 50 60 20 e depois se torna 20 60 20 com todos os valores em metros a Qual é o vetor deslocamento do próton b Esse vetor é paralelo a que plano 107 Uma partícula P se move com velocidade escalar constante em uma circunferência de raio r 300 m Fig 456 e completa uma revolução a cada 200 s A partícula passa pelo ponto O no instante t 0 Os vetores pedidos a seguir devem ser expressos na notação móduloângulo ângulo em relação ao sentido positivo de x Determine o vetor posição da partícula em relação a O nos instantes a t 500 s b t 750 s e c t 100 s d Determine o deslocamento da partícula no intervalo de 500 s entre o fim do quinto segundo e o fim do décimo segundo Para esse mesmo intervalo determine e a velocidade média e a velocidade f no início e g no fim do intervalo Finalmente determine a aceleração h no início e i no fim do intervalo Figura 456 Problema 107 108 Um trem francês de alta velocidade conhecido como TGV Train à Grande Vitesse viaja a uma velocidade média de 216 kmh a Se o trem faz uma curva a essa velocidade e o módulo da aceleração sentida pelos passageiros pode ser no máximo 0050g qual é o menor raio de curvatura dos trilhos que pode ser tolerado b A que velocidade o trem deve fazer uma curva com 100 km de raio para que a aceleração esteja no limite permitido 109 a Se um elétron é lançado horizontalmente com uma velocidade de 30 106 ms quantos metros cai o elétron ao percorrer uma distância horizontal de 10 m b A distância calculada no item a aumenta diminui ou permanece a mesma quando a velocidade inicial aumenta 110 Uma pessoa sobe uma escada rolante enguiçada de 15 m de comprimento em 90 s Ficando parada na mesma escada rolante depois de consertada a pessoa sobe em 60 s Quanto tempo a pessoa leva se subir com a escada em movimento A resposta depende do comprimento da escada 111 a Qual é o módulo da aceleração centrípeta de um objeto no equador da Terra devido à rotação da Terra b Qual deveria ser o período de rotação da Terra para que um objeto no equador tivesse uma aceleração centrípeta com um módulo de 98 ms2 112 O alcance de um projétil depende não só de v0 e θ0 mas também do valor g da aceleração em queda livre que varia de lugar para lugar Em 1936 Jesse Owens estabeleceu o recorde mundial de salto em distância de 809 m nos Jogos Olímpicos de Berlim em que g 98128 ms2 Supondo os mesmos valores de v0 e θ0 que distância o atleta teria pulado em 1956 nos Jogos Olímpicos de Melbourne em que g 97999 ms2 113 A Fig 457 mostra a trajetória seguida por um gambá bêbado em um terreno plano de um ponto inicial i até um ponto final f Os ângulos são θ1 300 θ2 500 e θ3 800 as distâncias são d1 500 m d2 800 m e d3 120 m Quais são a o módulo e b o ângulo do deslocamento do animal bêbado de i até f 114 O vetor posição de uma partícula que se move no plano xy é r 2t 2 senπ4 radst em que está em metros e t em segundos a Calcule o valor das componentes x e y da posição da partícula para t 0 10 20 30 e 40 s e plote a trajetória da partícula no plano xy no intervalo 0 t 40 b Calcule o valor das componentes da velocidade da partícula para t 10 20 e 30 s Mostre que a velocidade é tangente à trajetória da partícula e tem o mesmo sentido que o movimento da partícula em todos esses instantes traçando os vetores velocidade no gráfico da trajetória da partícula plotado no item a c Calcule as componentes da aceleração da partícula nos instantes t 10 20 e 30 s Figura 457 Problema 113 115 Um elétron com uma velocidade horizontal inicial de módulo 100 109 cms penetra na região entre duas placas de metal horizontais eletricamente carregadas Nessa região o elétron percorre uma distância horizontal de 200 cm e sofre uma aceleração constante para baixo de módulo 100 1017 cms2 devido às placas carregadas Determine a o tempo que o elétron leva para percorrer os 200 cm b a distância vertical que o elétron percorre durante esse tempo e o módulo da componente c horizontal e d vertical da velocidade quando o elétron sai da região entre as placas 116 Um elevador sem teto está subindo a uma velocidade constante de 10 ms Um menino que está no elevador arremessa uma bola para cima na vertical de uma altura de 20 m acima do piso do elevador no instante em que o piso do elevador se encontra 28 m acima do solo A velocidade inicial da bola em relação ao elevador é 20 ms a Qual é a altura máxima acima do solo atingida pela bola b Quanto tempo a bola leva para cair de volta no piso do elevador 117 Um jogador de futebol americano chuta uma bola de tal forma que a bola passa 45 s no ar e chega ao solo a 46 m de distância Se a bola deixou o pé do jogador 150 cm acima do solo determine a o módulo e b o ângulo em relação à horizontal da velocidade inicial da bola 118 Um aeroporto dispõe de uma esteira rolante para ajudar os passageiros a atravessarem um longo corredor Lauro não usa a esteira rolante e leva 150 s para atravessar o corredor Cora que fica parada na esteira rolante cobre a mesma distância em 70 s Marta prefere andar na esteira rolante Quanto tempo leva Marta para atravessar o corredor Suponha que Lauro e Marta caminhem com a mesma velocidade 119 Um vagão de madeira está se movendo em uma linha férrea retilínea com velocidade v1 Um franco atirador dispara uma bala com velocidade inicial v2 contra o vagão usando um rifle de alta potência A bala atravessa as duas paredes laterais e os furos de entrada e saída ficam à mesma distância das extremidades do vagão De que direção em relação à linha férrea a bala foi disparada Suponha que a bala não foi desviada ao penetrar no vagão mas a velocidade diminuiu 20 Suponha ainda que v1 85 kmh e v2 650 ms Por que não é preciso conhecer a largura do vagão 120 Um velocista corre em uma pista circular com uma velocidade constante de 920 ms e uma aceleração centrípeta de 380 ms2 Determine a o raio da pista e b o período do movimento circular 121 Suponha que a aceleração máxima que uma sonda espacial pode suportar seja de 20g a Qual é o menor raio da curva que a nave pode fazer a uma velocidade igual a um décimo da velocidade da luz b Quanto tempo a nave levaria para completar uma curva de 90 a essa velocidade 122 Você pretende lançar uma bola com uma velocidade escalar de 120 ms em um alvo que está a uma altura h 500 m acima do ponto de lançamento Fig 458 Você quer que a velocidade da bola seja horizontal no instante em que ela atingir o alvo a Com que ângulo θ acima da horizontal você deve atirar a bola b Qual é a distância horizontal do ponto de lançamento até o alvo c Qual é a velocidade escalar da bola no momento em que ela atinge o alvo Figura 458 Problema 122 123 Um projétil é disparado com uma velocidade inicial v0 300 ms a partir do solo com o objetivo de atingir um alvo que está no solo a uma distância R 200 m como mostra a Fig 459 Qual é a o menor e b qual o maior ângulo de lançamento para o qual o projétil atinge o alvo Figura 459 Problema 123 124 Uma surpresa gráfica No instante t 0 uma bola é lançada a partir do solo plano com uma velocidade inicial de 160 ms e um ângulo de lançamento θ0 Imagine um vetor posição que ligue o ponto de lançamento à bola durante toda a trajetória Plote o módulo r do vetor posição em função do tempo para a θ0 400 e b θ0 800 Para θ0 400 determine c em que instante r atinge o valor máximo d qual é esse valor e a que distância e horizontal e f vertical está a bola em relação ao ponto de lançamento Para θ0 800 determine g em que instante r atinge o valor máximo h qual é esse valor e a que distância i horizontal e j vertical está a bola em relação ao ponto de lançamento 125 Uma bala é disparada por um canhão ao nível do mar com uma velocidade inicial de 82 ms e um ângulo inicial de 45 e atinge uma distância horizontal de 686 m Qual seria o aumento da distância atingida pela bala se o canhão estivesse a 30 m de altura 126 O módulo da velocidade de um projétil quando ele atinge a altura máxima é 10 ms a Qual é o módulo da velocidade do projétil 10 s antes de atingir a altura máxima b Qual é o módulo da velocidade do projétil 10 s depois de atingir a altura máxima Se tomamos x 0 e y 0 como o ponto de altura máxima e consideramos como sentido positivo do eixo x o sentido da velocidade do projétil nesse ponto determine c a coordenada x e d a coordenada y do projétil 10 s antes de atingir a altura máxima e e a coordenada x e f a coordenada y do projétil 10 s depois de atingir a altura máxima 127 Um coelho assustado que está se movendo a 60 ms na direção leste penetra em uma grande área plana de gelo com atrito desprezível Enquanto o coelho desliza no gelo a força do vento faz com que ele adquira uma aceleração constante de 14 ms2 na direção norte Escolha um sistema de coordenadas com a origem na posição inicial do coelho sobre o gelo e o sentido positivo do eixo x apontando para leste Na notação dos vetores unitários qual é a a velocidade e b qual a posição do coelho após ter deslizado durante 30 s 128 Um avião voa para leste enquanto um vento sopra a 20 kmh na direção sul Se a velocidade do avião na ausência de vento é 70 kmh qual é a velocidade do avião em relação ao solo 129 Em uma partida de softball o lançador arremessa a bola de um ponto situado 30 pés acima do solo Um gráfico estroboscópico da posição da bola é mostrado na Fig 460 em que as leituras estão separadas por 025 s e a bola foi lançada em t 0 a Qual é o módulo da velocidade inicial da bola b Qual é o módulo da velocidade da bola no instante que atinge a altura máxima em relação ao solo c Qual é a altura máxima Figura 460 Problema 129 130 Em alguns estados norteamericanos a polícia rodoviária usa aviões para verificar se o limite de velocidade está sendo respeitado Suponha que a velocidade de cruzeiro de um dos aviões seja 135 milhas por hora na ausência de vento e que o avião esteja voando para o norte acompanhando uma rodovia nortesul Pelo rádio um observador no solo informa ao piloto que está soprando um vento de 700 mih mas se esquece de informar a direção do vento O piloto observa que apesar do vento o avião consegue voar 135 milhas em 100 hora Em outras palavras a velocidade do avião em relação ao solo é a mesma que se não houvesse vento a Qual é a direção do vento b Qual é o curso do avião ou seja em que direção o nariz do avião está apontado 131 Um golfista arremessa uma bola a partir de uma elevação imprimindo à bola uma velocidade inicial de 43 ms com um ângulo de 30 acima da horizontal A bola atinge o campo a uma distância horizontal de 180 m do local do lançamento Suponha que o campo seja plano a Qual era a altura da elevação de onde foi arremessada a bola b Qual foi a velocidade da bola ao tocar o solo 132 Uma competição de atletismo é realizada em um planeta de um sistema solar distante Um arremessador de peso lança o peso de um ponto 20 m acima do nível do solo Um gráfico estroboscópico da posição do peso aparece na Fig 461 em que as leituras foram tomadas a cada 050 s e o peso foi arremessado no instante t 0 a Qual é a velocidade inicial do peso em termos dos vetores unitários b Qual é o módulo da aceleração de queda livre no planeta c Quanto tempo após ter sido arremessado o peso toca o solo d Se um arremesso de peso for feito na Terra nas mesmas condições quanto tempo após o lançamento o peso tocará o solo 133 Um helicóptero está voando em linha reta sobre um terreno plano a uma velocidade constante de 620 ms e a uma altitude constante de 950 m Um engradado é lançado horizontalmente do helicóptero com uma velocidade inicial de 120 ms em relação ao helicóptero no sentido oposto ao do movimento do helicóptero a Determine a velocidade inicial do engradado em relação ao solo b Qual é a distância horizontal entre o helicóptero e o engradado no instante em que o engradado atinge o solo c Qual é o ângulo entre o vetor velocidade e a horizontal no instante em que o engradado atinge o solo Figura 461 Problema 132 134 Um carro descreve uma circunferência em um terreno plano a uma velocidade constante de 120 ms Em um dado instante o carro tem uma aceleração de 300 ms2 na direção leste Determine a distância entre o carro e o centro da circunferência e a direção do vetor velocidade do carro nesse instante a se o carro estiver se movendo no sentido horário b se o carro estiver se movendo no sentido antihorário 135 Uma pessoa arremessa uma bola de um penhasco com uma velocidade inicial de 150 ms e com um ângulo de 200 abaixo da horizontal Determine a o deslocamento horizontal após 230 s e b o deslocamento vertical após 230 s 136 No Fenway Park em Boston uma bola de beisebol é rebatida 0762 m acima da quarta base com uma velocidade inicial de 3353 ms e com um ângulo de 550 acima da horizontal A bola passa por um muro de 1128 m de altura situado no lado esquerdo do campo conhecido como monstro verde 500 s após ter sido rebatida em um ponto ligeiramente à direita do poste que marca o limite esquerdo do campo Determine a a distância horizontal entre a quarta base e o muro na direção do poste que marca o limite esquerdo do campo b a distância vertical entre a bola e o muro no instante em que a bola passa pelo muro c o deslocamento horizontal e o deslocamento vertical da bola em relação à quarta base 0500 s antes de a bola passar pelo muro 137 O serviço de meteorologia prevê que um voo transcontinental de 4350 km vai durar 50 minutos a mais se o avião estiver voando para oeste do que se o avião estiver voando para leste A velocidade do avião em relação ao ar é 966 kmh e a direção prevista para a corrente de jato em todo o percurso é de oeste para leste Qual é a velocidade prevista para a corrente de jato 138 Uma mulher é capaz de fazer um barco a remo atingir uma velocidade de 640 kmh em água parada a Se a mulher está atravessando um rio no qual a correnteza tem uma velocidade de 320 kmh em que direção deve apontar a proa do barco para chegar em um ponto diretamente oposto ao ponto de partida b Se o rio tem 640 km de largura quanto tempo a mulher levará para atravessar o rio c Suponha que em vez de atravessar o rio a mulher reme 320 km rio abaixo e depois reme de volta ao ponto de partida Quanto tempo ela levará para completar o percurso d Quanto tempo levará para remar 320 km rio acima e depois remar de volta ao ponto de partida e Em que direção deve apontar a proa do barco para atravessar o rio no menor tempo possível Qual será nesse caso o tempo de percurso 1Para marcar um field goal no futebol americano um jogador tem que fazer a bola passar por cima do travessão e entre as duas traves laterais NT