Lista de Exercícios Cálculo IV - Parte B - UEMG - Professor Glelson Pereira Marques

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO IV PARTE B Professor Glelson Pereira Marques Email glelsonmarquesuemgbr Referência THOMAS G B Cálculo 12 ed São Paulo Pearson Addison Wesley 2012 v 2 OBS 1 Este arquivo de lista traz as páginas das seções dos exercícios e também as páginas dos gabaritos dos exercícios ímpares Seção 102 pp 2021 Exercícios 7 9 11 12 15 16 17 27 30 31 32 33 34 35 36 37 49 50 51 53 55 56 59 60 62 63 65 Seção 103 pp 2627 Exercícios 1 7 8 10 11 14 15 16 19 23 28 33 35 Seção 105 p 36 Exercícios 1 3 5 9 10 11 17 18 22 24 25 31 38 39 57 Seção 106 p 42 Exercícios 1 2 3 5 7 8 9 12 14 Bons estudos 20 Cálculo exercícios 102 encontrando as nésimas somas parciais Nos Exercícios 16 encontre a fórmula para a nésima soma parcial de cada série e usea para encontrar a soma da série se ela convergir 1 2 2 3 2 9 2 27 Á 2 3n1 Á 2 9 100 9 1002 9 1003 Á 9 100n Á 3 1 1 2 1 4 1 8 Á s 1dn1 1 2n1 Á 4 1 2 4 8 1n12n1 5 1 2 3 1 3 4 1 4 5 Á 1 sn 1dsn 2d Á 6 5 1 2 5 2 3 5 3 4 Á 5 nsn 1d Á séries com termos geométricos Nos Exercícios 714 escreva os primeiros termos de cada série para mostrar como a série começa Então calcule a soma da série 7 a q n0 s1dn 4n 8 a q n2 1 4n 9 a q n1 7 4n 10 a q n0 s 1dn 5 4n 11 a q n0 a 5 2n 1 3n b 12 a q n0 a 5 2n 1 3n b 13 a q n0 a 1 2n s 1dn 5n b 14 a q n0 a2n1 5n b Nos Exercícios 1518 determine se a série geométrica converge ou diverge Se a série converge encontre sua soma 15 1 a2 5 b a2 5 b 2 a2 5 b 3 a2 5 b 4 Á 16 1 3 32 33 34 p 17 a1 8b a1 8b 2 a1 8 b 3 a1 8 b 4 a1 8 b 5 Á 18 a2 3 b 2 a2 3 b 3 a 2 3 b 4 a 2 3 b 5 a 2 3 b 6 Á Dízimas periódicas Expresse cada um dos números nos Exercícios 1926 como a razão de dois inteiros 19 023 023 23 23 20 0234 0234 234 234 21 07 07777 22 0d 0dddd onde d é um dígito 23 006 006666 24 1414 1414 414 414 25 124123 124 123 123 123 26 3142857 3142857 142857 Utilizando o teste do nésimo termo Nos Exercícios 2734 use o teste do nésimo termo para divergên cia para mostrar que a série é divergente ou afirmar que o teste não é conclusivo 27 a q n1 n n 10 28 a q n1 nsn 1d sn 2dsn 3d 29 a q n0 1 n 4 30 a q n1 n n2 3 31 a q n1 cos 1 n 32 a q n0 en en n 33 a q n1 ln 1 n 34 a q n0 cos np séries telescópicas Nos Exercícios 3540 encontre uma fórmula para a nésima soma parcial da série e usea para determinar se a série converge ou diver ge Se a série converge encontre a soma 35 a q n1 a1 n 1 n 1 b 36 a q n1 a 3 n2 3 sn 1d2 b 37 a q n1 Aln 2n 1 ln 2nB 38 a q n1 tg n tg n 1 39 a q n1 acos1 a 1 n 1 b cos1 a 1 n 2 b b 40 a q n1 A 2n 4 2n 3B Encontre a soma de cada série nos Exercícios 4148 41 a q n1 4 s4n 3ds4n 1d 42 a q n1 6 s2n 1ds2n 1d 43 a q n1 40n s2n 1d2s2n 1d2 44 a q n1 2n 1 n2sn 1d2 45 a q n1 a 1 2n 1 2n 1 b 46 a q n1 a 1 21n 1 21sn1d b 47 a q n1 a 1 ln sn 2d 1 ln sn 1db 48 a q n1 tg1n tg1n 1 Convergência ou divergência Quais séries nos Exercícios 4968 convergem E quais divergem Justifique suas respostas Se a série converge calcule sua soma 49 a q n0 a 1 22 b n 50 a q n0A 22B n 51 a q n1 s1dn1 3 2n 52 a q n1 s1dn1n 53 a n0 cos np q 54 a q n0 cos np 5n 01 thomaz0312CAP10indd 20 9412 545 PM Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 21 55 a q n0 e2n 56 a q n1 ln 1 3n 57 a q n1 2 10n 58 a q n0 1 xn ƒ x ƒ 7 1 59 a q n0 2n 1 3n 60 a q n1 a1 1 n b n 61 a q n0 n 1000n 62 a q n1 nn n 63 a q n1 2n 3n 4n 64 a q n1 2n 4n 3n 4n 65 a q n1 ln a n n 1 b 66 a q n1 ln a n 2n 1 b 67 a q n0 a e pb n 68 a q n0 enp pne séries geométricas com uma variável x Em cada uma das séries geométricas nos Exercícios 6972 escreva os primeiros termos das séries para encontrar a e r e calcule a soma das séries A seguir expresse a desigualdade ƒ r ƒ 6 1 em termos de x e encontre os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge 69 a q n0 s1dnxn 70 a q n0 s1dnx2n 71 a q n0 3 ax 1 2 b n 72 a q n0 s 1dn 2 a 1 3 sen x b n Nos Exercícios 7378 encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge Encontre também a soma da série como uma função de x para esses valores de x 73 a q n0 2nxn 74 a q n0 s1dnx2n 75 a q n0 s1dnsx 1dn 76 a q n0 a 1 2 b n sx 3dn 77 a q n0 senn x 78 a q n0 sln xdn Teoria e exemplos 79 A série no Exercício 5 também pode ser escrita como a q n1 1 sn 1dsn 2d e a q n 1 1 sn 3dsn 4d Escrevaa como uma soma começando com a n 2 b n 0 c n 5 80 A série no Exercício 6 também pode ser escrita como a q n1 5 nsn 1d e a q n0 5 sn 1dsn 2d Escrevaa como uma soma começando com a n 1 b n 3 c n 20 81 Componha uma série infinita de termos diferentes de zero cuja soma seja a 1 b 3 c 0 82 Continuação do Exercício 81 Você é capaz de fazer uma série infinita de termos diferentes de zero que convirja para qualquer número que quiser Explique 83 Mostre com um exemplo que anbn pode divergir mesmo quando an e bn convergem e nenhum bn se iguala a 0 84 Encontre séries geométricas A an e B bn que ilustrem o fato de que anbn pode convergir sem que seja igual a AB 85 Mostre com um exemplo que anbn pode convergir para algum número diferente de AB mesmo quando A an B bn Z 0 e nenhum bn se iguala a 0 86 Se an converge e an 7 0 para todo n podese dizer algo sobre 1an Justifique sua resposta 87 O que acontece se você adicionar um número finito de termos a uma série divergente ou retirar um número finito de termos de uma série divergente Justifique sua resposta 88 Se an converge e bn diverge podese dizer algo sobre sua soma termo a termo an bn Justifique sua resposta 89 Crie uma série geométrica arn1 que convirja ao número 5 se a a 2 b a 132 90 Encontre o valor de b para o qual 1 eb e2b e3b p 9 91 Para quais valores de r a série infinita 1 2r r2 2r3 r4 2r5 r6 p converge Encontre a soma da série quando ela converge 92 Mostre que o erro L sn obtido substituindose uma série geométrica convergente com uma das somas parciais sn é arn1 r 93 A figura abaixo mostra os primeiros cinco quadrados de uma sequência O quadrado externo tem uma área de 4 m2 Cada um dos outros quadrados é obtido ligandose os pontos médios dos lados do quadrado anterior Calcule a soma das áreas de todos os quadrados 94 Curva do floco de neve de Helga von Koch A curva do floco de neve de Helga von Koch é uma curva de comprimento infinito que engloba uma região de área finita Para entender a razão disso imagine que a curva é gerada a partir de um triângulo equilátero cujos lados têm comprimento igual a 1 a Encontre o comprimento Ln da nésima curva Cn e mostre que limn S q Ln q b Encontre a área An da região circundada por Cn e mostre que limn S q An 85 A1 C1 C4 C3 C2 01 thomaz0312CAP10indd 21 9412 545 PM Exercícios 103 Aplicando o teste da integral Use o teste da integral para determinar se as séries nos Exercícios 110 convergem ou divergem Certifiquese de que as condições do teste da integral sejam satisfeitas 1 n1 1n² 2 n1 1n⁰² 3 n1 1n² 4 4 n1 1n 4 5 n1 e²ⁿ 6 n2 1nln n² 7 n1 nn² 4 8 n2 lnn²n 9 n1 n²eⁿ³ 10 n2 n 4n² 2n 1 Determinando convergência ou divergência Quais das séries nos Exercícios 1140 convergem E quais divergem Justifique suas respostas Quando estiver checando uma resposta lembrese de que pode existir mais de uma forma para determinar a convergência ou divergência da série 11 n1 110ⁿ 12 n1 eⁿ 13 n1 nn 1 14 n1 5n 1 15 n1 3n 16 n1 2nn 29 n1 1ln 2ⁿ 30 n1 1ln 3ⁿ 31 n3 1nln nln² n 1 32 n1 1n1 ln² n 33 n1 n sen 1n 34 n1 n tg 1n 17 n1 18ⁿ 18 n1 8n 19 n2 ln nn 20 n2 ln nn 21 n1 2ⁿ3ⁿ 22 n1 5ⁿ4ⁿ 3 35 n1 eⁿ1 e²ⁿ 36 n1 21 eⁿ 37 n1 8 tg¹ n1 n² 38 n1 nn² 1 39 n1 sech n 40 n1 sech² n Teoria e exemplos Para quais valores de a se houver algum as séries nos Exercícios 41 e 42 convergem 41 n1 an2 1n4 42 n3 1n1 2an1 43 a Desenhe ilustrações como as das Figuras 107 e 108 para mostrar que as somas parciais da série harmônica satisfaz as desigualdades ln n 1 1n1 1x dx 1 12 1n 1 1n 1x dx 1 ln n T b Não existe absolutamente nenhuma evidência empírica para a divergência da série harmônica mesmo que saibamos que ela diverge As somas parciais simplesmente aumentam muito lentamente Para compreender o que estamos dizendo suponha que você tenha começado com s₁ 1 no dia em que o universo foi criado 13 bilhões de anos atrás e adicionado um novo termo a cada segundo Quão grande aproximadamente a soma parcial sₙ seria hoje considerando um ano com 365 dias 44 Existe algum valor de x para o qual n1 1n x converge Justifique sua resposta 45 É verdade que se n1 aₙ é uma série divergente de números positivos também existe uma série divergente n1 bₙ de números positivos com bₙ aₙ para cada n Existe uma menor série divergente de números positivos Justifique suas respostas 46 Continuação do Exercício 45 Existe uma maior série convergente de números positivos Explique 47 n1 1n 1 diverge a Use o gráfico a seguir para mostrar que a soma parcial s₅₀ n150 1n 1 satisfaz 151 1x 1 dx s₅₀ 050 1x 1 dx Conclua que 115 s₅₀ 123 b Qual deveria ser n para que a soma parcial sₙ i1n 1i 1 satisfaça sₙ 1000 Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 27 48 g ˆ n 1 s1n4d converge a Use o gráfico a seguir para determinar o erro se s30 g 30 n1 1n4 é utilizado para estimar o valor de g q n1 1n4 29 231026 30 31 32 33 x y x4 1 fx 5 b Encontre n de forma que a soma parcial sn g n i 1 1i4 estime o valor de g q n1 1n4 com um erro de no máximo 0000001 49 Calcule o valor de g q n1 1n3 com precisão de 001 de seu valor exato 50 Calcule o valor de g q n2 1n4 4 com precisão de 01 de seu valor exato 51 Quantos termos da série convergente g q n1 1n11 devem ser utilizados para estimar seu valor com erro de no máximo 000001 52 Quantos termos da série convergente g q n4 1nln n3 devem ser utilizados para estimar seu valor com erro de no máximo 001 53 Teste de condensação de Cauchy O teste de condensação de Cauchy diz seja an uma sequência decrescente anÚ an1 para todo n de termos positivos que converge para 0 Então an converge se e somente se 2na2n converge Por exemplo 1n diverge porque 2n 12n 1 diverge Mostre por que esse teste funciona 54 Use o teste de condensação de Cauchy do Exercício 53 para mostrar que a a q n2 1 n ln n diverge b a q n1 1 np converge se p 7 1 e diverge se p 1 55 Série p logarítmica a Mostre que a integral imprópria q 2 dx xsln xd p sendo p uma constante positiva converge se e somente se p 7 1 b Que implicação o fato do item a tem sobre a convergência da série a q n2 1 nsln nd p Justifique sua resposta 56 Continuação do Exercício 55 Use o resultado do Exercício 55 para determinar quais das séries a seguir convergem e quais divergem Justifique a sua resposta em cada caso a a q n2 1 nsln nd b a q n2 1 nsln nd101 c a q n2 1 n lnsn3d d a q n2 1 nsln nd3 57 Constante de Euler Gráficos como aqueles na Figura 1011 sugerem que conforme n aumenta existe uma pequena altera ção na diferença entre a soma 1 1 2 Á 1 n e a integral ln n n 1 1 x dx Para explorar essa ideia siga os passos a seguir a Tomando f x 1x na prova do Teorema 9 mostre que ln sn 1d 1 1 2 Á 1 n 1 ln n ou 0 6 ln sn 1d ln n 1 1 2 Á 1 n ln n 1 Portanto a sequência an 1 1 2 Á 1 n ln n é limitada inferior e superiormente b Mostre que 1 n 1 6 n1 n 1 x dx ln sn 1d ln n e use esse resultado para mostrar que a sequência an no item a é decrescente Como uma sequência decrescente limitada inferiormente converge os números an definidos no item a convergem 1 1 2 Á 1 n ln n S g O número g cujo valor é 05772 é chamado de constante de Euler 58 Use o teste da integral para mostrar que a série a q n0 en2 converge 59 a Para a série 1n3 use as desigualdades na Equação 2 com n 10 para encontrar um intervalo contendo a soma S b Como no Exemplo 5 use o ponto médio do intervalo en contrado no item a para aproximar a soma da série Qual é o erro máximo para sua aproximação 60 Repita o Exercício 59 utilizando a série 1n4 104 Testes de comparação Vimos como determinar a convergência de séries geométricas p séries e algu mas outras séries Podemos testar a convergência de muitas outras séries comparan do seus termos àqueles de uma série cuja convergência seja conhecida 01 thomaz0312CAP10indd 27 9412 546 PM 36 Cálculo exercícios 105 Utilizando o teste da razão Nos Exercícios 18 utilize o teste da razão para determinar se cada uma das séries converge ou diverge 1 a q n1 2n n 2 a q n1 n 2 3n 3 a q n1 sn 1d sn 1d2 4 a q n1 2n1 n3n1 5 a q n1 n4 4n 6 a q n2 3n2 ln n 7 a q n1 n2sn 2d n 32n 8 a q n1 n5n s2n 3d ln sn 1d Utilizando o teste da raiz Nos Exercícios 916 utilize o teste da raiz para determinar se cada uma das séries converge ou diverge 9 a q n1 7 s2n 5dn 10 a q n1 4n s3ndn 11 a q n1 a4n 3 3n 5b n 12 a q n1 aln ae2 1 n b b n1 13 a q n1 8 3 1n2n 14 a q n1 senn a 1 2n b 15 a q n1 senn a 1 2n b a q n1 a1 1 nb n2 Sugestão lim nSq1 xnn ex 16 a q n2 1 n1n Determinando convergência ou divergência Nos Exercícios 1744 utilize qualquer método para determinar se a série converge ou diverge Justifique suas respostas 17 a q n1 n22 2n 18 a q n1 n2en 19 a q n1 nen 20 a q n1 n 10n 21 a q n1 n10 10n 22 a q n1 an 2 n b n 23 a q n1 2 s1dn 125n 24 a q n1 s 2dn 3n 25 a q n1 a1 3 n b n 26 a q n1 a1 1 3n b n 27 a q n1 ln n n3 28 a q n1 sln ndn nn 29 a q n1 a1 n 1 n2 b 30 a q n1 a1 n 1 n2 b n 31 a q n1 ln n n 32 a q n1 n ln n 2n 33 a q n1 sn 1dsn 2d n 34 a q n1 ensn3d 35 a q n1 sn 3d 3n3n 36 a q n1 n2nsn 1d 3nn 37 a q n1 n s2n 1d 38 a q n1 n nn 39 a q n2 n sln ndn 40 a q n2 n sln ndsn2d 41 a q n1 n ln n nsn 2d 42 a q n1 3n n32n 43 a q n1 snd2 s2nd 44 a q n1 s2n 3ds2n 3d 3n 2 Termos definidos recursivamente Quais das séries g q n1 an definidas pelas fórmulas nos Exercícios 4554 convergem E quais divergem Justifique suas respostas 45 a1 2 an1 1 sen n n an 46 a1 1 an1 1 tg1 n n an 47 a1 1 3 an1 3n 1 2n 5 an 48 a1 3 an1 n n 1 an 49 a1 2 an1 2 n an 50 a1 5 an1 2 n n 2 an 51 a1 1 an1 1 ln n n an 52 a1 1 2 an1 n ln n n 10 an 53 a1 1 3 an1 2 n an 54 a1 1 2 an1 sandn1 Convergência ou divergência Quais das séries nos Exercícios 5562 convergem E quais diver gem Justifique suas respostas 55 a q n1 2nnn s2nd 56 a q n1 s3nd nsn 1dsn 2d 57 a q n1 sndn snnd2 58 a q n1 sndn nsn2d 59 a q n1 nn 2sn2d 60 a q n1 nn s2nd2 61 a q n1 1 3 Á s2n 1d 4n2nn 62 a q n1 1 3 Á s2n 1d 2 4 Á s2nds3n 1d 01 thomaz0312CAP10indd 36 9412 547 PM Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 37 Teoria e exemplos 63 Nem o teste da razão nem o teste da raiz ajudam quando lida mos com séries p Experimenteos em a q n1 1 np e mostre que nenhum dos dois testes nos dá informações sobre a convergência da série 64 Mostre que nem o teste da razão nem o teste da raiz fornecem informações a respeito da convergência de a q n2 1 sln nd p p constante 65 Seja an e n2n se n é um número primo 12n caso contrário an converge Justifique sua resposta 66 Mostre que g q n1 2n2n diverge Lembrese das leis dos ex poentes que 2n2 2nn 106 Séries alternadas convergência absoluta e condicional Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma série alternada Aqui estão três exemplos 1 1 2 1 3 1 4 1 5 Á s 1dn1 n Á 1 2 1 1 2 1 4 1 8 Á s 1dn4 2n Á 2 1 2 3 4 5 6 Á s 1dn1n Á 3 Veremos a partir desses exemplos que o nésimo termo de uma série alternada é da forma an 1n1un ou an 1nun onde un ƒ an ƒ é um número positivo A Série 1 chamada série harmônica alternada converge como veremos em breve A Série 2 uma série geométrica com razão r 12 converge para 21 12 43 A Série 3 diverge porque o nésimo termo não se aproxima de zero Provamos a convergência da série harmônica alternada aplicando o teste da série alternada O teste é para convergência de uma série alternada e não pode ser utilizado para concluir que tal série diverge TeoreMa 14 Teste da série alternada teste de leibniz A série a q n1 s 1dn1un u1 u2 u3 u4 Á converge se todas as três condições a seguir forem satisfeitas 1 Os un forem todos positivos 2 Os un forem finalmente decrescentes un Ú un1 para todo n Ú N para algum inteiro N 3 un S 0 Prova Assuma que N 1 Se n for um inteiro par considere n 2m então a soma dos primeiros n termos é u1 su2 u3d su4 u5d Á su2m2 u2m1d u2m s2m su1 u2d su3 u4d Á su2m1 u2md 01 thomaz0312CAP10indd 37 9412 547 PM 38 Cálculo A primeira igualdade mostra que s2m é a soma de m termos não negativos uma vez que cada termo entre parênteses é positivo ou zero Consequentemente s2m2Ú s2m e a sequência s2m é crescente A segunda igualdade mostra que s2m u1 Uma vez que s2m é crescente e limitada superiormente ela tem um limite lim mSq s2m L 4 Se n é um inteiro ímpar digamos n 2m 1 então a soma dos primeiros n termos é s2m1 s2m u2m1 Como un S 0 lim mSq u2m1 0 e como m S q s2m1 s2m u2m1S L 0 L 5 Combinando os resultados das Equações 4 e 5 temos limn S q sn L Seção 101 Exercício 131 eXeMPlo 1 A série harmônica alternada a q n1 s 1dn1 1 n 1 1 2 1 3 1 4 Á satisfaz claramente os três requisitos do Teorema 14 com N 1 ela portanto converge Em vez de verificar diretamente a definição un Ú un1 uma segunda forma de mostrar que a sequência un é decrescente é definir uma função derivável fx satisfazendo f n un Isto é os valores de f correspondem aos valores da sequência em todo inteiro positivo n Se f x 0 para todo x maior ou igual a algum inteiro positivo N então f x é decrescente para x Ú N Segue que fn Ú f n 1 ou un Ú un1 para n Ú N eXeMPlo 2 Considere a sequência onde un 10nn2 16 Defina fx 10xx2 16 Então a partir da regra derivativa do quociente ƒsxd 10s16 x2d sx2 16d2 0 sempre que x Ú 4 Segue que un Ú un1 para n Ú 4 Ou seja a sequência un é decrescente para n Ú 4 Uma interpretação gráfica das somas parciais Figura 1013 mostra como uma série alternada converge para seu limite L quando as três condições do Teorema 14 são satisfeitas com N 1 Iniciando a partir da origem do eixo x assinalamos a dis tância positiva s1 u1 Para encontrar o ponto correspondente a s2 u1 u2 recua mos a uma distância igual a u2 Uma vez que u2 u1 não recuamos além da origem Continuamos nesse mesmo processo recuando ou avançando conforme os sinais dos termos da série Mas para n Ú N cada avanço ou recuo é mais curto ou pelo menos do mesmo comprimento que o passo anterior porque un1 un E uma vez que o nésimo termo se aproxima de zero conforme n aumenta o tamanho do passo que avançamos ou recuamos fica cada vez menor Oscilamos em torno do limite L e a amplitude dessa oscilação se aproxima de zero O limite L está entre quaisquer duas somas sucessivas sn e sn1 e portanto difere de sn por um valor menor que un1 Dado que L sn 6 un1 para n Ú N podemos fazer estimativas úteis das somas de séries alternadas convergentes L 0 1u1 2u2 1u3 2u4 s2 s4 s3 s1 x FigUra 1013 As somas parciais de uma série alternada que satisfaz as hipóteses do Teorema 14 para N 1 cercam o limite desde o início 01 thomaz0312CAP10indd 38 9412 547 PM Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 39 TeoreMa 15 Teorema da estimativa de séries alternadas Se a série alternada g q n1 1n1un satisfaz as três condições do Teorema 14 então para n Ú N sn u1 u2 1n1un se aproxima da soma L da série com um erro cujo valor absoluto é menor que un1 o valor absoluto do primeiro termo não utilizado Além disso a soma L está entre quaisquer duas somas parciais sucessivas sn e sn1 e o resto L sn tem o mesmo sinal do primeiro termo não utilizado Deixamos a verificação do sinal do resto para o Exercício 61 eXeMPlo 3 Testaremos o Teorema 15 em uma série cuja soma conhecemos a q n0 s1dn 1 2n 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 Á O teorema nos diz que se truncarmos a série depois do oitavo termo jogaremos fora um total que é positivo e menor que 1256 A soma dos oito primeiros termos é s8 06640625 e a soma dos nove primeiros termos é s9 066796875 A soma da série geométrica é 1 1 s12d 1 32 2 3 e observamos que 06640625 6 23 6 066796875 A diferença 23 06640625 00026041666 é positiva e menor que 1256 000390625 Convergência absoluta e condicional Podemos aplicar os testes para convergência estudados antes à série de valores absolutos de uma série com termos tanto positivos quanto negativos DeFiNiÇão Uma série an converge absolutamente é absolutamente convergente se a série correspondente de valores absolutos ƒ an ƒ converge A série geométrica no Exemplo 3 converge absolutamente porque a série cor respondente de valores absolutos a q n0 1 2n 1 1 2 1 4 1 8 Á converge A série harmônica alternada não converge absolutamente porque a série correspondente de valores absolutos é a série harmônica divergente DeFiNiÇão Uma série que converge mas não converge absolutamente con verge condicionalmente A série harmônica alternada converge condicionalmente A convergência absoluta é importante por dois motivos Primeiro temos bons testes para convergência de séries de termos positivos Segundo se uma série con verge absolutamente então ela converge conforme provaremos agora 01 thomaz0312CAP10indd 39 9412 547 PM 40 Cálculo TeoreMa 16 Teste da convergência absoluta Se a q n1 ƒ an ƒ converge en tão a q n1 an converge Prova Para cada n an an an assim 0 an an 2an Se q n1 an converge então q n1 2an converge e pelo teste da comparação direta a série não negativa q n1 an an converge A igualdade an an an an agora nos deixa expressar q n1 an como a diferença de duas séries convergentes a q n1 an a q n1 san ƒ an ƒ ƒ an ƒ d a q n1 san ƒ an ƒ d a q n1ƒ an ƒ Portanto q n1 an converge Cuidado Podemos reescrever o Teorema 16 para dizer que toda série absolutamen te convergente é convergente No entanto a afirmação recíproca é falsa muitas sé ries convergentes não convergem absolutamente como a série harmônica alternada no Exemplo 1 eXeMPlo 4 Este exemplo nos dá duas séries que convergem absolutamente a Para a q n1 s1dn1 1 n2 1 1 4 1 9 1 16 Á a série correspondente de va lores absolutos é a série convergente a q n1 1 n2 1 1 4 1 9 1 16 Á A série original converge porque ela converge absolutamente b Para a q n1 sen n n2 sen 1 1 sen 2 4 sen 3 9 Á que contém termos tanto positi vos quanto negativos a série correspondente de valores absolutos é a q n1 sen n n2 ƒ sen 1 ƒ 1 ƒ sen 2 ƒ 4 Á que converge por comparação com q n1 1n2 porque ƒ sen n ƒ 1 para todo n A série original converge absolutamente portanto ela converge eXeMPlo 5 Se p é uma constante positiva a sequência 1np é uma sequência decrescente com limite zero Sendo assim a série p alternada a q n1 s 1dn1 np 1 1 2p 1 3p 1 4p Á p 7 0 converge Se p 7 1 a série converge absolutamente Se 0 6 p 1 a série converge con dicionalmente Convergência condicional 1 1 22 1 23 1 24 Á Convergência absoluta 1 1 232 1 332 1 432 Á 01 thomaz0312CAP10indd 40 9412 547 PM Capítulo 10 Sequências e séries infinitas 41 séries rearranjadas Podemos sempre rearranjar os termos de uma soma finita O mesmo resultado é verdadeiro para uma série infinita que é absolutamente convergente veja o Exer cício 68 para um esboço da prova TeoreMa 17 Teorema do rearranjo para séries absolutamente conver gentes Se g q n1 an converge absolutamente e b1 b2 bn é qualquer rearranjo da sequência an então bn converge absolutamente e a q n1 bn a q n1 an Se rearranjarmos os termos de uma série condicionalmente convergente tere mos resultados diferentes De fato pode ser comprovado que para qualquer número real r uma determinada série condicionalmente convergente pode ser rearranjada de forma que sua soma seja igual a r Omitimos a prova desse fato Segue um exemplo da soma dos termos de uma série condicionalmente convergente com or dens diferentes com cada ordem proporcionando um valor diferente para a soma eXeMPlo 6 Sabemos que a série harmônica alternada g q n1 1n1n converge para algum número L Além disso pelo Teorema 15 L está entre as somas parciais su cessivas s2 12 e s3 56 portanto L Z 0 Se multiplicarmos a série por 2 obteremos 2L 2 a q n1 s 1dn1 n 2 1 2 3 1 2 2 5 1 3 2 7 1 4 2 9 1 5 2 11 Á 2 a1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 Áb Agora alteramos a ordem dessa última soma agrupando cada par de termos com o mesmo denominador ímpar mas deixando os termos negativos com os de nominadores pares conforme são posicionados assim os denominadores são os inteiros positivos em sua ordem natural Esse rearranjo nos dá a q n1 s 1dn1 n L a1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 Áb s2 1d 1 2 a2 3 1 3 b 1 4 a2 5 1 5 b 1 6 a2 7 1 7 b 1 8 Á Sendo assim rearranjando os termos da série condicionalmente convergente g q n1 21n1n a série se torna g q n1 1n1n que é a série harmônica alternada por si só Se as duas séries forem a mesma implicaria 2L L o que é certamente falso uma vez que L Z 0 O Exemplo 6 mostra que não podemos rearranjar os termos de uma série con dicionalmente convergente e esperar que a nova série seja a mesma que a original Quando estamos utilizando uma série condicionalmente convergente os termos de vem ser adicionados na ordem em que são dados para obtermos um resultado correto Por outro lado o Teorema 17 garante que os termos de uma série absolutamente con vergente podem ser somados em qualquer ordem sem afetar o resultado resumo dos testes Desenvolvemos uma variedade de testes para determinar a convergência ou a divergência para uma série infinita de constantes Existem outros testes que não apresentamos os quais são às vezes dados em cursos mais avançados Aqui está um resumo dos testes que consideramos 01 thomaz0312CAP10indd 41 9412 547 PM 42 Cálculo 1 Teste do nésimo termo a menos que an S 0 a série diverge 2 Séries geométricas ar n converge se r 6 1 caso contrário diverge 3 Série p 1np converge se p 7 1 caso contrário diverge 4 Séries com termos não negativos experimente o teste da integral o teste da razão ou o teste da raiz Tente comparar a uma série conhecida por meio do teste da comparação 5 Série com alguns termos negativos an converge Em caso afirmativo an também converge uma vez que a convergência absoluta implica a con vergência 6 Séries alternadas an converge se a série satisfaz as condições do teste da série alternada exercícios 106 Determinando convergência ou divergência Nos Exercícios 114 determine se as séries alternadas convergem ou divergem Algumas das séries não satisfazem as condições do teste da série alternada 1 a q n1 s 1dn1 1 2n 2 a q n1 s 1dn1 1 n32 3 a q n1 s 1dn1 1 n3n 4 a q n2 s 1dn 4 sln nd2 5 a q n1 s 1dn n n2 1 6 a q n1 s 1dn1 n2 5 n2 4 7 a q n1 s 1dn1 2n n2 8 a q n1 s 1dn 10n sn 1d 9 a q n1 s 1dn1 a n 10 b n 10 a q n2 s 1dn1 1 ln n 11 a q n1 s 1dn1 ln n n 12 a q n1 s 1dn ln a1 1 n b 13 a q n1 s 1dn1 2n 1 n 1 14 a q n1 s 1dn1 32n 1 2n 1 Convergências absoluta e condicional Nos Exercícios 1548 determine se as séries convergem absoluta mente convergem ou divergem Justifique suas respostas 15 a q n1 s 1dn1s01dn 16 a q n1 s 1dn1 s01dn n 17 a q n1 s 1dn 1 2n 18 a q n1 s1dn 1 2n 19 a q n1 s1dn1 n n3 1 20 a q n1 s1dn1 n 2n 21 a q n1 s 1dn 1 n 3 22 a q n1 s 1dn sen n n2 23 a q n1 s 1dn1 3 n 5 n 24 a q n1 s 2dn1 n 5n 25 a q n1 s 1dn1 1 n n2 26 a q n1 s 1dn1A 2 n 10B 27 a q n1 s1dnn2s23dn 28 a q n2 s1dn1 1 n ln n 29 a q n1 s1dn tg1 n n2 1 30 a q n1 s1dn ln n n ln n 31 a q n1 s1dn n n 1 32 a q n1 s5dn 33 a q n1 s100dn n 34 a q n1 s1dn1 n2 2n 1 35 a q n1 cos np n2n 36 a q n1 cos np n 37 a q n1 s 1dnsn 1dn s2ndn 38 a q n1 s 1dn1snd2 s2nd 39 a q n1 s1dn s2nd 2nnn 40 a q n1 s 1dn snd2 3n s2n 1d 41 a q n1 s 1dn A 2n 1 2nB 42 a q n1 s 1dn A 2n2 n nB 43 a q n1 s1dn A 2n 1n 2nB 44 a q n1 s 1dn 2n 2n 1 45 a q n1 s1dn sech n 46 a q n1 s 1dn cossech n 47 1 4 1 6 1 8 1 10 1 12 1 14 Á 48 1 1 4 1 9 1 16 1 25 1 36 1 49 1 64 Á estimativa do erro Nos Exercícios 4952 estime a magnitude do erro envolvido no uso da soma dos quatro primeiros termos para aproximar a soma da sé rie inteira 49 a q n1 s1dn1 1 n 50 a q n1 s1dn1 1 10n 01 thomaz0312CAP10indd 42 9412 548 PM CAPÍTULO 10 Seção 101 1 3 5 7 9 2 1 1 2 1 4 1 8 1 16 1 32 1 64 1 128 1 256 1 3 2 7 4 15 8 31 16 63 32 127 64 255 128 511 256 1023 512 a1 12 a2 12 a3 12 a4 12 a1 1 a2 13 a3 15 a4 17 a1 0 a2 14 a3 29 a4 316 11 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 19 an n2 1 n 1 13 an 1n1 n 1 21 an 4n 3 n 1 15 an 1n1n2 n 1 23 an 3n 2 n n Ú 1 17 an 2n1 3n 2 n Ú 1 25 an 1 s1dn1 2 n Ú 1 27 Converge 29 Converge 1 31 Converge 5 33 Diverge 35 Diverge 37 Converge 12 39 Converge 0 41 Converge 22 43 Converge 1 45 Converge 0 47 Converge 0 49 Converge 0 51 Converge 1 53 Converge e7 55 Converge 1 57 Converge 1 59 Diverge 61 Converge 4 63 Converge 0 65 Diverge 67 Converge e1 69 Converge e23 71 Converge x x 0 73 Converge 0 75 Converge 1 77 Converge 12 79 Converge 1 81 Converge p2 83 Converge 0 85 Converge 0 87 Converge 12 89 Converge 0 91 8 93 4 95 5 97 1 22 99 xn 2n 2 101 a ƒsxd x2 2 1414213562 L 22 b ƒx tg x 1 07853981635 L p4 c ƒx ex diverge 103 b 1 111 Não decrescente limitada 113 Não é crescente limitada 115 Converge teorema da sequência crescente 117 Converge teorema da sequência crescente 119 Diverge definição de divergência 123 Converge 121 Converge 133 b 23 Seção 102 1 sn 2s1 s13dnd 1 s13d 3 3 sn 1 s 12dn 1 s12d 23 5 sn 1 2 1 n 2 1 2 7 1 1 4 1 16 1 64 Á 4 5 9 7 4 7 16 7 64 Á 7 3 11 s5 1d a5 2 1 3 b a5 4 1 9 b a5 8 1 27b Á 23 2 13 s1 1d a1 2 1 5b a1 4 1 25b a1 8 1 125b Á 17 6 15 Converge 53 17 Converge 17 19 2399 21 79 23 115 25 4133333300 27 Diverge 29 Inconcludente 31 Diverge 33 Diverge 35 sn 1 1 n 1 converge 1 37 sn ln 2n 1 diverge 39 converge p 6 sn p 3 cos1 a 1 n 2 b 41 1 43 5 45 1 47 1 ln 2 49 Converge 2 22 51 Converge 1 57 Converge 29 63 Converge 4 53 Diverge 59 Converge 32 65 Diverge 55 Converge e2 e2 1 61 Diverge 67 Converge p p e 69 a 1 r x converge a 11 x para x 1 71 a 3 r x 12 converge a 63 x para x em 1 3 73 ƒ x ƒ 6 1 2 1 1 2x 75 2 6 x 6 0 1 2 x 77 k um inteiro 1 1 sen x x Z s2k 1d p 2 79 a a q n 2 1 sn 4dsn 5d c a q n5 1 sn 3dsn 2d b a q n0 1 sn 2dsn 3d 89 a r 35 b r 310 91 93 8 m2 ƒ r ƒ 6 1 1 2r 1 r2 Seção 103 1 Converge 3 Converge 5 Converge 7 Diverge 9 Converge 11 Converge série geométrica r 1 10 1 13 Diverge lim nSq n n 1 1 Z 0 15 Diverge psérie p 1 17 Converge série geométrica r 1 8 6 1 19 Diverge teste da integral Respostas selecionadas 08 thomaz0312RespostasParte 2indd 491 9412 525 PM 492 Cálculo 21 Converge série geométrica r 23 1 23 Diverge teste da integral 25 Diverge lim nSq 2n n 1 Z 0 27 Diverge limnSq A 2nln nB Z 0 29 Diverge série geométrica r 1 ln 2 7 1 31 Converge teste da integral 37 Converge teste da integral 33 Diverge teste do nésimo termo 39 Converge teste da integral 35 Converge teste da integral 41 a 1 43 a 1 1 12 1n 0 2 3 n n 1 n 1 1 1 dx 1 x y 1 x y 1 x 1 n 1 2 1 1 12 1n 0 2 3 n n 1 n 1 1 1 dx 1 x y 1 x y 1 x 1 n 1 2 b L 4155 45 Verdadeiro 47 b n 251415 49 s8 a 8 n1 1 n3 L 1195 51 1060 59 a 120166 S 120253 b S L 12021 erro 00005 Seção 104 1 Converge comparar com 1n2 3 Diverge comparar com g A12nB 5 Converge comparar com 1n32 7 Converge comparar com g B n 4n n4 0 25 g 1 n32 9 Converge 11 Diverge comparação de limite com 1n 13 Diverge comparação de limite com g A12nB 15 Diverge 17 Diverge comparação de limite com g A12nB 19 Converge comparar com 12n 21 Diverge teste do nésimo termo 23 Converge comparar com 1n2 25 Converge a n 3n 1 b n 6 a n 3n b n a1 3 b n 27 Diverge comparação direta com 1n 29 Diverge comparação de limite com 1n 31 Diverge comparação de limite com 1n 33 Converge comparar com 1n32 35 Converge 1 n2n 1 2n 37 Converge 1 3n1 1 6 1 3n1 39 Converge comparação com 15n2 41 Diverge comparação com 1n 43 Converge comparação com g 1 nn 1 ou comparação de limite com 1n2 45 Diverge comparação de limite com 1n 47 Converge tg1 n n11 6 p2 n11 49 Converge comparar com 1n2 51 Diverge comparação de limite com 1n 53 Converge comparação de limite com 1n2 63 Converge 65 Converge 67 Converge Seção 105 1 Converge 3 Diverge 5 Converge 7 Converge 9 Converge 11 Diverge 13 Converge 15 Converge 17 Converge teste da razão 19 Diverge teste da razão 21 Converge teste da razão 23 Converge compare com 3125n 25 Diverge lim nSq a1 3 n b e3 Z 0 27 Converge comparar com 1n2 29 Diverge comparar com 12n 31 Diverge comparar com 1n 33 Converge teste da razão 35 Converge teste da razão 37 Converge teste da razão 39 Converge teste da raiz 41 Converge comparar com 1n2 43 Converge teste da razão 45 Converge teste da razão 47 Diverge teste da razão 49 Converge teste da razão 51 Converge teste da razão 53 Diverge an a1 3b s1nd S 1 55 Converge teste da razão 57 Diverge teste da raiz 59 Converge teste da raiz 61 Converge teste da razão 65 Sim Seção 106 1 Converge pelo teorema 16 3 Converge teste da série alternada 5 Converge teste da série alternada 7 Diverge an 0 9 Diverge an 0 11 Converge teste da série alternada 13 Converge pelo teorema 16 15 Converge absolutamente A série de valores absolutos é uma série geométrica convergente 17 Converge condicionalmente g q n1 1 2n 1 2n S 0 mas diverge 19 Converge absolutamente comparar com g q n1s1n2d 21 Converge condicionalmente 1n 3 Z 0 mas g q n1 1 n 3 diverge comparar com g q n1s1nd 23 Diverge 3 n 5 n S 1 25 Converge condicionalmente a 1 n2 1 nb S 0 mas 1 nn2 1n 27 Converge absolutamente teste da razão 29 Converge absolutamente pelo teste da integral 08 thomaz0312RespostasParte 2indd 492 9412 526 PM Respostas selecionadas 493 31 Diverge an 0 33 Converge absolutamente teste da razão 35 Converge absolutamente pois cos np n2n s1d n1 n32 1 n32 psé rie convergente 37 Converge absolutamente teste da raiz 39 Diverge an S q 41 Converge condicionalmente 2n 1 2n 1s2n 2n 1d S 0 mas a série de valores absolutos diverge comparar com d s12nd 43 Diverge an S 12 Z 0 45 Converge absolutamente sech n 2 en en 2en e2n 1 6 2en e2n 2 en um termo de uma série geométrica convergente 47 Converge condicionalmente g 1 1 2n 1 converge pelo teste da série alternada g 1 2n 1 diverge pela comparação de limite com 1n 49 Erro 02 51 Erro 2 1011 53 n 31 55 n 4 57 054030 59 a an an 1 b 12 Seção 107 1 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 3 a 14 12 x 0 b 12 x 0 c Nenhum 5 a 10 8 x 12 b 8 x 12 c Nenhum 7 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 9 a 3 3 x 3 b 3 x 3 c Nenhum 11 a q para todo x b Para todo x c Nenhum 13 a 12 12 x 12 b 12 x 12 c 12 15 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c x 1 17 a 5 8 x 2 b 8 x 2 c Nenhum 19 a 3 3 x 3 b 3 x 3 c Nenhum 21 a 1 2 x 0 b 2 x 0 c Nenhum 23 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 25 a 0 x 0 b x 0 c Nenhum 27 a 2 4 x 0 b 4 x 0 c x 0 29 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c Nenhum 31 a 14 1 x 32 b 1 x 32 c Nenhum 33 a q para todo x b Para todo x c Nenhum 35 a 1 1 x 1 b 1 x 1 c 1 37 3 39 8 41 13 x 13 11 3x 43 1 x 3 43 2x x2 45 0 x 16 24 2x 47 22 x 22 32 x2 49 1 x 5 2x 1 1 x 5 2x 12 51 a x8 8 x10 10 Á cos x 1 x2 2 x4 4 x6 6 converge para todo x b Mesma resposta do item c c 2x 23x3 3 25x5 5 27x7 7 29x9 9 211x11 11 Á 53 a b 1 x2 2x4 3 17x6 45 62x8 315 Á p 2 6 x 6 p 2 x2 2 x4 12 x6 45 17x8 2520 31x10 14175 p 2 6 x 6 p 2 Seção 108 1 P3sxd 1 2x 2x2 4 3 x3 P0sxd 1 P1sxd 1 2x P2sxd 1 2x 2x2 3 P3sxd sx 1d 1 2 sx 1d2 1 3 sx 1d3 P0sxd 0 P1sxd x 1 P2sxd sx 1d 1 2 sx 1d2 5 P3sxd 1 2 1 4 sx 2d 1 8 sx 2d2 1 16 sx 2d3 P2sxd 1 2 1 4 sx 2d 1 8 sx 2d2 P0sxd 1 2 P1sxd 1 2 1 4 sx 2d 7 22 12 ax p 4 b 3 P3sxd 22 2 22 2 ax p 4 b 22 4 ax p 4 b 2 P2sxd 22 2 22 2 ax p 4 b 22 4 ax p 4 b 2 P0sxd 22 2 P1 sxd 22 2 22 2 ax p 4 b 9 P3sxd 2 1 4 sx 4d 1 64 sx 4d2 1 512 sx 4d3 P2sxd 2 1 4 sx 4d 1 64 sx 4d2 P0sxd 2 P1sxd 2 1 4 sx 4d 11 a q n0 sxdn n 1 x x2 2 x3 3 x4 4 Á 13 a q n 0 s 1dnxn 1 x x2 x3 Á 1 5 a q n0 s1dn32n1x2n1 s2n 1d 1 7 7 a q n0 s1dnx2n s2nd 1 9 a q n0 x2n s2nd 21 x4 2x3 5x 4 23 8 10x 2 6x 22 x 23 25 21 36x 2 25x 22 8x 23 x 24 2 7 a q n0 s 1dnsn 1dsx 1dn 2 9 a q n0 e2 n sx 2dn 31 5 a q n0 s 1dn1 22n 2n ax p 4 b 2n 33 35 x2 1 2 x3 1 6 x4 Á 1 6 x 6 1 1 2x 5 2 x2 Á 1 6 x 6 1 41 Lx 0 Qx x22 43 Lx 1 Qx 1 x22 45 Lx x Qx x Seção 109 1 a q n0 s 5xdn n 1 5x 52x2 2 53x3 3 Á 3 5x3 3 5x5 5 5x7 7 Á 5x a q n0 5s1dnsxd2n1 s2n 1d a q n0 5s 1d n1x 2n1 s2n 1d 08 thomaz0312RespostasParte 2indd 493 9412 526 PM