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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS UNIDADE JOÃO MONLEVADE QUESTÃO 4 25 PONTOS Seja a seguinte EDO d2zdt2 A eikz 0 sendo z uma função complexa dependente de t e k e A são constantes reais positivas Calcule a 20 Pontos A solução geral z Faça também uma análise dessa solução indicando o que acontece quando k é positivo quando k é negativo e quando k for igual a zero b 5 Pontos A solução real da EDO a solução xt UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS UNIDADE JOÃO MONLEVADE QUESTÃO 1 25 PONTOS Sejam as seguintes equações diferenciais ordinárias 1 sin yy cos y x 1 0 2 y y y e3x Calcule detalhadamente as soluções yx das equações diferenciais acima para as seguintes condições iniciais 1 y0 2π 2 y0 2 QUESTÃO 2 25 PONTOS O modelo mais simples que pode ser suposto para o crescimento populacional de uma espécie consiste em considerar as taxas de nascimentos e de mortes de indivíduos numa dada população Esse modelo pode ser expresso via uma Equação Diferencial Ordinária conforme abaixo y β y 0 sendo y a taxa de variação populacional em função do tempo t y a função que descreve a população em função do tempo t e β é a diferença entre o número de nascimentos N e o número de mortes M ambos por unidade de tempo Calcule a 17 Pontos A solução geral de yt considerando y0 y0 população inicial e faça uma análise incluindo um esboço de gráfico dessa solução quando i N M ii M N e iii M N b 8 Pontos Sabese que para uma certa comunidade de primatas população inicial é de 10000 indivíduos a taxa de nascimentos é igual 8 indivíduos por ano e a taxa de mortes é 9 indivíduos por ano Calcule o tempo necessário em anos em que se verifica a extinção dessa espécie QUESTÃO 3 25 PONTOS Um objeto está em queda livre na atmosfera em direção ao solo e sob o efeito da força de arrasto linear da resistência do ar onde seu movimento é regido pela seguinte equação diferencial de primeira ordem para a velocidade v em função do tempo dvdt γv g sendo γ o coeficiente de arrasto linear da resistência do ar e g a aceleração da gravidade Considere que no início do seu movimento de queda a livre a sua velocidade inicial v0 é nula Considere também que no início do seu movimento o objeto encontrase numa altura h e num tempo inicial t0 0 s Calcule a 10 Pontos A solução de vt desse objeto b 15 Pontos Com base no item anterior calcule a solução de xt que representa a função posição desse objeto E faça uma análise gráfica do que acontece com xt quando t é zero e quando assume valor MUITO ELEVADO TESTE A Página 2 3
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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS UNIDADE JOÃO MONLEVADE QUESTÃO 4 25 PONTOS Seja a seguinte EDO d2zdt2 A eikz 0 sendo z uma função complexa dependente de t e k e A são constantes reais positivas Calcule a 20 Pontos A solução geral z Faça também uma análise dessa solução indicando o que acontece quando k é positivo quando k é negativo e quando k for igual a zero b 5 Pontos A solução real da EDO a solução xt UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MINAS GERAIS UNIDADE JOÃO MONLEVADE QUESTÃO 1 25 PONTOS Sejam as seguintes equações diferenciais ordinárias 1 sin yy cos y x 1 0 2 y y y e3x Calcule detalhadamente as soluções yx das equações diferenciais acima para as seguintes condições iniciais 1 y0 2π 2 y0 2 QUESTÃO 2 25 PONTOS O modelo mais simples que pode ser suposto para o crescimento populacional de uma espécie consiste em considerar as taxas de nascimentos e de mortes de indivíduos numa dada população Esse modelo pode ser expresso via uma Equação Diferencial Ordinária conforme abaixo y β y 0 sendo y a taxa de variação populacional em função do tempo t y a função que descreve a população em função do tempo t e β é a diferença entre o número de nascimentos N e o número de mortes M ambos por unidade de tempo Calcule a 17 Pontos A solução geral de yt considerando y0 y0 população inicial e faça uma análise incluindo um esboço de gráfico dessa solução quando i N M ii M N e iii M N b 8 Pontos Sabese que para uma certa comunidade de primatas população inicial é de 10000 indivíduos a taxa de nascimentos é igual 8 indivíduos por ano e a taxa de mortes é 9 indivíduos por ano Calcule o tempo necessário em anos em que se verifica a extinção dessa espécie QUESTÃO 3 25 PONTOS Um objeto está em queda livre na atmosfera em direção ao solo e sob o efeito da força de arrasto linear da resistência do ar onde seu movimento é regido pela seguinte equação diferencial de primeira ordem para a velocidade v em função do tempo dvdt γv g sendo γ o coeficiente de arrasto linear da resistência do ar e g a aceleração da gravidade Considere que no início do seu movimento de queda a livre a sua velocidade inicial v0 é nula Considere também que no início do seu movimento o objeto encontrase numa altura h e num tempo inicial t0 0 s Calcule a 10 Pontos A solução de vt desse objeto b 15 Pontos Com base no item anterior calcule a solução de xt que representa a função posição desse objeto E faça uma análise gráfica do que acontece com xt quando t é zero e quando assume valor MUITO ELEVADO TESTE A Página 2 3