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Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão 1 Introdução 2 Medidas de Tendência Central As Médias Mediana Moda Medidas Separatrizes 3 Medidas de Dispersão Variância Desvio Padrão Erro Padrão da Média Coeficiente de Variação 4 Medidas de Assimetria e Curtose 5 Exercícios Sumário Assimetria e Curtose Atividade Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 235 Introdução Conjunto de Dados Censo Amostragem 1 Medidas da Tendência Central 2 Medidas de dispersão e 3 Medidas de Relacionamento Entre Variáveis Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Característica Amostra População Somatório de um conjunto de valores Valores individuais dos dados x i x i Número de valores tamanho do conjunto n N Média aritmética Desvio padrão s 2 s 2 Variância x Introdução Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade As Médias A Média Aritmética A média aritmética do conjunto x1 x2 xn é representada por x e calculada por x N Média de todos os valores de uma população x n Média de um conjunto de valores amostrais x x1 x2 xn n Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 535 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A média aritmética dos diâmetros de 4 árvores de Angelim vermelho é representada por x e calculada por 89 5 4 86 95 94 89 x notação n x x x x n 2 1 n x n x n i i 1 Ex As Médias A Média Aritmética Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 635 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A média geométrica dos valores positivos x1 x2 xn é representada por mg e calculada por As Médias A Média Geométrica Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 735 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A média aritmética ponderada do conjunto x1 x2 xi com pesos f1 f2 fi é representada por map e calculada por As Médias A Média Aritmética Ponderada Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 835 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A mediana de um conjunto ordenado de valores anotada por Me é definida como sendo o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho Assim se n número de elementos é ímpar a mediana é o valor central do conjunto Caso contrário a mediana é a média dos valores centrais do conjunto Temse Me xn12 se n é ímpar e Me xn2 xn21 2 se n é par A Mediana Mediana n número de observações x posição da variável Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 935 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Para o conjunto 15 18 21 32 45 46 49 A mediana é Me x712 x4 32 Ou seja a mediana é o quarto valor na sequência ordenada de elementos Se o conjunto acima fosse 15 18 21 32 45 46 Então a mediana seria Me xn2 xn212 x62 x6212 x3 x42 21 32 2 532 2650 A Mediana Mediana Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1035 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A Moda A moda de um conjunto de valores anotada por Mo é definida como sendo o valor ou os valores do conjunto que mais se repete Convém lembrar que a moda ao contrário da mediana e da média pode não ser única isto é um conjunto pode ser bimodal trimodal etc ou mesmo amodal sem moda Se a moda existir será representada por Mo Ex Dado o conjunto 1 2 2 3 3 4 4 4 7 9 15 A moda será Mo 4 pois este valor se repete 3 vezes no conjunto e qualquer outro se repete duas ou menos vezes Moda Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1135 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Medidas Separatrizes São os valores que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais representados por Q1 Q2 e Q3 denominamse primeiro segundo e terceiro quartis respectivamente sendo o valor de Q2 igual à mediana Assim temos 0 25 50 75 100 Q1 Q2 Q3 A formula para determinação dos quartis para dados agrupados é semelhante à usada para o cálculo da mediana Quartil Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1235 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Determinação de Qi 1º passo calculase a posição 2º passo identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde i Ordem do quartil l Limite inferior da classe do quartil de ordem i FAA Frequência acumulada anterior da classe do quartil de ordem i fi Frequência simples da classe do quartil de ordem i h Intervalo de classe Quartil Medidas Separatrizes Para dados agrupados em classe classes frequência fi Frequência acumulada 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 total 40 Q1 l fi 4 FAA x h f Q2 l 2 fi 4 FAA x h f Q3 l 3 fi 4 FAA x h f Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade são as medidas separatrizes que dividem a série em 10 partes iguais e são representadas por D1 D2 D9 O quinto decil corresponde à mediana 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Md ou Q2 A formula neste caso é semelhante à das separatrizes anteriores Decis Medidas Separatrizes Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Determinação de Di 1º passo calculase a posição 2º passo identificase a classe Qipela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde i Ordem do decil i 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 liDi Limite inferior da classe do decil de ordem i faa Frequência acumulada anterior da classe do decil de ordem i fiQi Frequência simples da classe do decil de ordem i h Intervalo de classe Para dados agrupados em classe Decis Medidas Separatrizes classes frequência fi Frequência acumulada 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 total 40 Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1535 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade são as medidas separatrizes que dividem a série em 100 partes iguais e são representadas por P1 P2 P99 O qüinquagésimo centil corresponde à mediana 0 1 2 3 50 97 98 99 100 P50 A formula neste caso é semelhante à das separatrizes anteriores Percentis Medidas Separatrizes Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1635 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Determinação de Pi 1º passo calculase a posição 2º passo identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde i Ordem do percentil i 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 liPi Limite inferior da classe do percentil de ordem i faa Frequência acumulada anterior da classe do percentil de ordem i fiQi Frequência simples da classe do percentil de ordem i h Intervalo de classe Percentis Medidas Separatrizes Para dados agrupados em classe classes frequência fi Frequência acumulada 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 total 40 Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1735 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Variância É a média quadrática das somas dos desvios em relação à média aritmética Símbolo S² amostra ou σ² população Fórmula para dados brutos S2 n 1 xi x 2 S2 n 1 xi 2n xi 2 OU n 1 amostra n população ATENÇÃO Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1835 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcule a variância da amostra 2 4 6 8 10 A média desse conjunto é 6 6 6 2 4 4 x i x x i x x i x 2 2 4 6 8 10 6 6 4 6 2 0 4 0 16 16 somas 0 40 40 S 2 n 1 x i x 2 5 1 10 Se esses valores representassem toda a população a variância seria 405 8 Variância Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1935 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Desvio Padrão E a raiz quadrada da variância assim S n 1 x i x 2 S n 1 x i 2 n x i 2 n 1 amostra n população só raiz positiva da variância O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise Assim se a unidade da variável for mm o desvio padrão também será mm Isso não acontece com a variância Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2035 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcular a variância e o desvio padrão do conjunto 7 4 0 3 8 10 A média é x 7 4 0 3 8 10 6 186 3 Então variância será S² 7 3² 4 3² 0 3² 3 3² 8 3² 10 3² 6 100 1 9 0 25 49 6 184 6 3067 E o desvio padrão s 554 Desvio Padrão Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2135 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada Quanto maior é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média s 3 1 2 3 4 5 6 7 s 10 1 2 3 4 5 6 7 s 08 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 s 0 7 6 5 4 3 2 1 0 O desviopadrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta 4 7 média X com todososcasostemos medidas em Desvio Padrão Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2235 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Desvio Médio É a média dos valores absolutos dos desvios dos dados a partir de um valor de tendência central Ou Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcular o dma do conjunto 7 4 0 3 8 10 A média é x 7 4 0 3 8 10 6 186 3 Então o desvio médio será dma 7 3 4 3 0 3 3 3 8 3 10 3 6 10 1 3 0 5 7 6 266 433 Desvio Médio Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Variação É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável quando comparada com os valores da variável CV S x x 100 Conjunto de dado com s 15 e média 100 CV 15 Conjunto de dado com s 20 e média 1000 CV 2 σ CV µ 100 ou amostra população Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2535 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcular o coeficiente de variação do conjunto 7 4 0 3 8 10 A média é x 7 4 0 3 8 10 6 186 3 Então variância será S² 7 3² 4 3² 0 3² 3 3² 8 3² 10 3² 6 100 1 9 0 25 49 6 184 6 3067 O desvio padrão será S 554 E o coeficiente de variação será CV S x 554 3 18459 Coeficiente de Variação Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2635 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Assimetria A assimetria de um conjunto de dados agrupados ou não pode ser avaliada através da seguinte relação devida a Karl Pearson Se a1 for igual a zero então a distribuição ou conjunto é dito simétrico Se a1 0 então a assimetria é positiva significando que o gráfico da distribuição tem uma cauda alongada à direita Caso a1 seja negativo a cauda do gráfico será alongada à esquerda Se uma distribuição de frequências é simétrica então as 3 medidas de posição coincidem isto é x me mo a1 3 x me s Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2735 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Se a distribuição é positivamente assimétrica então x me m0 E se a distribuição é negativamente assimétrica então x me mo Coeficiente de Assimetria Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2835 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Curtose É o grau de achatamento da curva Ou seja saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é mais afilada ou mais achatada em relação a uma Curva Padrão chamada de Curva Normal Este coeficiente é definido como o quociente entre a amplitude semi interquartílica e a amplitude entre o 10 o e o 90 o percentis O valor deste coeficiente para a curva normal é 0 26367 Assim sendo ao calcularmos o coeficiente percentílico de curtose de uma distribuição qualquer teremos Quando Cp 0263 diremos que a distribuição é mesocúrtica Quando Cp 0263 diremos que a distribuição é platicúrtica Quando Cp 0263 diremos que a distribuição é leptocúrtica Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2935 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Curtose Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3035 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Exercício Exercício 1 Vamos supor que eu quero comparar duas áreas desmatadas com autorização e sem autorização IBAMA Eu solicito a dois proprietários com área explorada o total de área desmatada km² e eles me fornecem os seguintes dados Proprietário A m³ha Proprietário B m³ha 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 Supondo que as duas áreas tem o mesmo tamanho em qual delas ocorre maior taxa de desmatamento Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3135 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Para chegarmos à uma conclusão é necessário calcularmos o desmatamento médio para cada área e saber qual é variabilidade dos dados X A 730km2 2 75567 km X B SA 2345 m³ha SB 14625 m³ha Critério de escolha maior amplitude de variação média desviopadrão Exercício Proprietário A m³ha Proprietário B m³ha 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3235 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Proprietário A 730 2345 km²ha X A 730km2 2 2345 730 km S X A A 2 2345 730 km S X A A Proprietário A 70655 75345 469 Proprietário B 75567 14625 h 2 75567 14625 km S X B B 2 75567 14625 km S X B B 2 75567 km X B Proprietário B 60942 90192 2925 Conclusão maior taxa em Proprietário B Exercício Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Exercício 2 Um comerciante está interessado em comprar 100 sacolas de carvão para o seu estabelecimento No entanto como é de preferência de sua clientela é necessário que a madeira escolhida apresente um teor calorífico de no mínimo 33 em volume Ele consultou alguns fornecedores e obteve as seguintes informações Teor calorífico de três tipos de madeiras de Eucalipto pesquisadas espécie A R 350m³ espécie B R 410m³ espécie C R 365m³ 387 357 387 335 364 335 325 359 345 312 332 342 359 341 359 Na sua opinião qual deveria ser a marca escolhida pelo comerciante Exercício Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Marca A 3436 297 31393733594 Marca B 3506 135 3371364127 Marca C3536 206 3333742412 As marcas B e C atendem ao requisito 33no entanto escolheria a marca C pelo preço Assim teria um economia de R 1406 Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas Marca A R 350l Marca B R 410l Marca C R 365l 387 357 387 335 364 335 325 359 345 312 332 342 359 341 359 Exercício Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3535
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Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão 1 Introdução 2 Medidas de Tendência Central As Médias Mediana Moda Medidas Separatrizes 3 Medidas de Dispersão Variância Desvio Padrão Erro Padrão da Média Coeficiente de Variação 4 Medidas de Assimetria e Curtose 5 Exercícios Sumário Assimetria e Curtose Atividade Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 235 Introdução Conjunto de Dados Censo Amostragem 1 Medidas da Tendência Central 2 Medidas de dispersão e 3 Medidas de Relacionamento Entre Variáveis Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Característica Amostra População Somatório de um conjunto de valores Valores individuais dos dados x i x i Número de valores tamanho do conjunto n N Média aritmética Desvio padrão s 2 s 2 Variância x Introdução Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade As Médias A Média Aritmética A média aritmética do conjunto x1 x2 xn é representada por x e calculada por x N Média de todos os valores de uma população x n Média de um conjunto de valores amostrais x x1 x2 xn n Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 535 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A média aritmética dos diâmetros de 4 árvores de Angelim vermelho é representada por x e calculada por 89 5 4 86 95 94 89 x notação n x x x x n 2 1 n x n x n i i 1 Ex As Médias A Média Aritmética Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 635 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A média geométrica dos valores positivos x1 x2 xn é representada por mg e calculada por As Médias A Média Geométrica Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 735 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A média aritmética ponderada do conjunto x1 x2 xi com pesos f1 f2 fi é representada por map e calculada por As Médias A Média Aritmética Ponderada Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 835 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A mediana de um conjunto ordenado de valores anotada por Me é definida como sendo o valor que separa o conjunto em dois subconjuntos do mesmo tamanho Assim se n número de elementos é ímpar a mediana é o valor central do conjunto Caso contrário a mediana é a média dos valores centrais do conjunto Temse Me xn12 se n é ímpar e Me xn2 xn21 2 se n é par A Mediana Mediana n número de observações x posição da variável Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 935 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Para o conjunto 15 18 21 32 45 46 49 A mediana é Me x712 x4 32 Ou seja a mediana é o quarto valor na sequência ordenada de elementos Se o conjunto acima fosse 15 18 21 32 45 46 Então a mediana seria Me xn2 xn212 x62 x6212 x3 x42 21 32 2 532 2650 A Mediana Mediana Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1035 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade A Moda A moda de um conjunto de valores anotada por Mo é definida como sendo o valor ou os valores do conjunto que mais se repete Convém lembrar que a moda ao contrário da mediana e da média pode não ser única isto é um conjunto pode ser bimodal trimodal etc ou mesmo amodal sem moda Se a moda existir será representada por Mo Ex Dado o conjunto 1 2 2 3 3 4 4 4 7 9 15 A moda será Mo 4 pois este valor se repete 3 vezes no conjunto e qualquer outro se repete duas ou menos vezes Moda Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1135 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Medidas Separatrizes São os valores que dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais representados por Q1 Q2 e Q3 denominamse primeiro segundo e terceiro quartis respectivamente sendo o valor de Q2 igual à mediana Assim temos 0 25 50 75 100 Q1 Q2 Q3 A formula para determinação dos quartis para dados agrupados é semelhante à usada para o cálculo da mediana Quartil Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1235 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Determinação de Qi 1º passo calculase a posição 2º passo identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde i Ordem do quartil l Limite inferior da classe do quartil de ordem i FAA Frequência acumulada anterior da classe do quartil de ordem i fi Frequência simples da classe do quartil de ordem i h Intervalo de classe Quartil Medidas Separatrizes Para dados agrupados em classe classes frequência fi Frequência acumulada 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 total 40 Q1 l fi 4 FAA x h f Q2 l 2 fi 4 FAA x h f Q3 l 3 fi 4 FAA x h f Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade são as medidas separatrizes que dividem a série em 10 partes iguais e são representadas por D1 D2 D9 O quinto decil corresponde à mediana 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 Md ou Q2 A formula neste caso é semelhante à das separatrizes anteriores Decis Medidas Separatrizes Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Determinação de Di 1º passo calculase a posição 2º passo identificase a classe Qipela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde i Ordem do decil i 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 liDi Limite inferior da classe do decil de ordem i faa Frequência acumulada anterior da classe do decil de ordem i fiQi Frequência simples da classe do decil de ordem i h Intervalo de classe Para dados agrupados em classe Decis Medidas Separatrizes classes frequência fi Frequência acumulada 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 total 40 Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1535 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade são as medidas separatrizes que dividem a série em 100 partes iguais e são representadas por P1 P2 P99 O qüinquagésimo centil corresponde à mediana 0 1 2 3 50 97 98 99 100 P50 A formula neste caso é semelhante à das separatrizes anteriores Percentis Medidas Separatrizes Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1635 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Determinação de Pi 1º passo calculase a posição 2º passo identificase a classe Qi pela coluna das Frequências Acumuladas 3º passo Aplicase a fórmula onde i Ordem do percentil i 1 2 3 4 5 6 7 8 ou 9 liPi Limite inferior da classe do percentil de ordem i faa Frequência acumulada anterior da classe do percentil de ordem i fiQi Frequência simples da classe do percentil de ordem i h Intervalo de classe Percentis Medidas Separatrizes Para dados agrupados em classe classes frequência fi Frequência acumulada 50 54 4 4 54 58 9 13 58 62 11 24 62 66 8 32 66 70 5 37 70 74 3 40 total 40 Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1735 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Variância É a média quadrática das somas dos desvios em relação à média aritmética Símbolo S² amostra ou σ² população Fórmula para dados brutos S2 n 1 xi x 2 S2 n 1 xi 2n xi 2 OU n 1 amostra n população ATENÇÃO Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1835 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcule a variância da amostra 2 4 6 8 10 A média desse conjunto é 6 6 6 2 4 4 x i x x i x x i x 2 2 4 6 8 10 6 6 4 6 2 0 4 0 16 16 somas 0 40 40 S 2 n 1 x i x 2 5 1 10 Se esses valores representassem toda a população a variância seria 405 8 Variância Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 1935 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Desvio Padrão E a raiz quadrada da variância assim S n 1 x i x 2 S n 1 x i 2 n x i 2 n 1 amostra n população só raiz positiva da variância O desvio padrão é mais comumente usado porque se apresenta na mesma unidade da variável em análise Assim se a unidade da variável for mm o desvio padrão também será mm Isso não acontece com a variância Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2035 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcular a variância e o desvio padrão do conjunto 7 4 0 3 8 10 A média é x 7 4 0 3 8 10 6 186 3 Então variância será S² 7 3² 4 3² 0 3² 3 3² 8 3² 10 3² 6 100 1 9 0 25 49 6 184 6 3067 E o desvio padrão s 554 Desvio Padrão Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2135 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade O desvio padrão é a medida de dispersão mais usada Quanto maior é o desvio padrão maior é a dispersão dos dados em torno da média s 3 1 2 3 4 5 6 7 s 10 1 2 3 4 5 6 7 s 08 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 s 0 7 6 5 4 3 2 1 0 O desviopadrão cresce quando a dispersão dos dados aumenta 4 7 média X com todososcasostemos medidas em Desvio Padrão Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2235 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Desvio Médio É a média dos valores absolutos dos desvios dos dados a partir de um valor de tendência central Ou Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcular o dma do conjunto 7 4 0 3 8 10 A média é x 7 4 0 3 8 10 6 186 3 Então o desvio médio será dma 7 3 4 3 0 3 3 3 8 3 10 3 6 10 1 3 0 5 7 6 266 433 Desvio Médio Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Variação É a relação entre o desvio padrão e a média do conjunto de dados Nos dá a idéia do tamanho do desvio padrão em relação à média Uma pequena dispersão absoluta pode ser na verdade considerável quando comparada com os valores da variável CV S x x 100 Conjunto de dado com s 15 e média 100 CV 15 Conjunto de dado com s 20 e média 1000 CV 2 σ CV µ 100 ou amostra população Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2535 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Ex Calcular o coeficiente de variação do conjunto 7 4 0 3 8 10 A média é x 7 4 0 3 8 10 6 186 3 Então variância será S² 7 3² 4 3² 0 3² 3 3² 8 3² 10 3² 6 100 1 9 0 25 49 6 184 6 3067 O desvio padrão será S 554 E o coeficiente de variação será CV S x 554 3 18459 Coeficiente de Variação Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2635 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Assimetria A assimetria de um conjunto de dados agrupados ou não pode ser avaliada através da seguinte relação devida a Karl Pearson Se a1 for igual a zero então a distribuição ou conjunto é dito simétrico Se a1 0 então a assimetria é positiva significando que o gráfico da distribuição tem uma cauda alongada à direita Caso a1 seja negativo a cauda do gráfico será alongada à esquerda Se uma distribuição de frequências é simétrica então as 3 medidas de posição coincidem isto é x me mo a1 3 x me s Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2735 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Se a distribuição é positivamente assimétrica então x me m0 E se a distribuição é negativamente assimétrica então x me mo Coeficiente de Assimetria Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2835 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Curtose É o grau de achatamento da curva Ou seja saber se a Curva de Freqüência que representa o conjunto é mais afilada ou mais achatada em relação a uma Curva Padrão chamada de Curva Normal Este coeficiente é definido como o quociente entre a amplitude semi interquartílica e a amplitude entre o 10 o e o 90 o percentis O valor deste coeficiente para a curva normal é 0 26367 Assim sendo ao calcularmos o coeficiente percentílico de curtose de uma distribuição qualquer teremos Quando Cp 0263 diremos que a distribuição é mesocúrtica Quando Cp 0263 diremos que a distribuição é platicúrtica Quando Cp 0263 diremos que a distribuição é leptocúrtica Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 2935 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Coeficiente de Curtose Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3035 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Exercício Exercício 1 Vamos supor que eu quero comparar duas áreas desmatadas com autorização e sem autorização IBAMA Eu solicito a dois proprietários com área explorada o total de área desmatada km² e eles me fornecem os seguintes dados Proprietário A m³ha Proprietário B m³ha 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 Supondo que as duas áreas tem o mesmo tamanho em qual delas ocorre maior taxa de desmatamento Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3135 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Para chegarmos à uma conclusão é necessário calcularmos o desmatamento médio para cada área e saber qual é variabilidade dos dados X A 730km2 2 75567 km X B SA 2345 m³ha SB 14625 m³ha Critério de escolha maior amplitude de variação média desviopadrão Exercício Proprietário A m³ha Proprietário B m³ha 730 1000 710 687 705 700 720 850 765 587 750 710 Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3235 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Proprietário A 730 2345 km²ha X A 730km2 2 2345 730 km S X A A 2 2345 730 km S X A A Proprietário A 70655 75345 469 Proprietário B 75567 14625 h 2 75567 14625 km S X B B 2 75567 14625 km S X B B 2 75567 km X B Proprietário B 60942 90192 2925 Conclusão maior taxa em Proprietário B Exercício Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3335 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Exercício 2 Um comerciante está interessado em comprar 100 sacolas de carvão para o seu estabelecimento No entanto como é de preferência de sua clientela é necessário que a madeira escolhida apresente um teor calorífico de no mínimo 33 em volume Ele consultou alguns fornecedores e obteve as seguintes informações Teor calorífico de três tipos de madeiras de Eucalipto pesquisadas espécie A R 350m³ espécie B R 410m³ espécie C R 365m³ 387 357 387 335 364 335 325 359 345 312 332 342 359 341 359 Na sua opinião qual deveria ser a marca escolhida pelo comerciante Exercício Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3435 Introdução Medidas de Tendência Central Medidas de Dispersão Assimetria e Curtose Atividade Marca A 3436 297 31393733594 Marca B 3506 135 3371364127 Marca C3536 206 3333742412 As marcas B e C atendem ao requisito 33no entanto escolheria a marca C pelo preço Assim teria um economia de R 1406 Teor alcoólico de três tipos de aguardente pesquisadas Marca A R 350l Marca B R 410l Marca C R 365l 387 357 387 335 364 335 325 359 345 312 332 342 359 341 359 Exercício Robson B de Lima CEFLUEAP Unidade 2 Estatística Descritiva 3535