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Mecânica dos Fluidos
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Tensões e Deformações em Barras de Eixo Reto\n\nAté aqui foram estudadas as tensões, as deformações e suas relações em casos gerais (Lei de Hooke generalizada). Neste capítulo estas grandezas serão abordadas em estruturas do tipo barra de eixo reto.\n\nO cálculo das tensões em barras fica simplificado quando comparado com casos gerais de estruturas pois, tomando como eixo x o de direção longitudinal da barra, considera-se nestas estruturas as tensões σy e σz iguais a zero. Assim sendo, fica claro que as componentes de tensão no plano yz (\\bar{\\rho}_x) serão fundamentais no estudo das barras conforme se destaca na figura 3.1.\n\nFigura 3.1: Tensão \\bar{\\rho}_x\n\nNormalmente, o cálculo de tensões em barras é feito a partir de seus esforços internos solicitantes, que podem ser obtidos através de princípios básicos da Análise Estrutural. Faz-se a seguir uma rápida abordagem destes princípios, definindo-se os esforços simples numa barra através do método das seções (ver notas de aula de Análise Estrutural).\n\nA relação entre esforços e tensões em uma barra é o principal ponto de ligação entre as disciplinas Resistência dos Materiais e Análise Estrutural.\n\nSeja um ponto P(y,z) genérico de uma seção transversal conforme figura 3.2.\n\nSendo d\\bar{F} a força elemental na área elemental dA, em torno de P, reescrevendo a equação 2.2 tem-se:\n\\bar{\\rho}_x = \\frac{d\\bar{F}}{dA} \\quad (3.1)\n\nAnalisando-se as componentes de força e tensão e equação, observando figuras 3.1 e 3.2 tem-se:\n\nd\\bar{F} = dF_x \\hat{i} + dF_y \\hat{j} + dF_z \\hat{k} \\quad (3.2) Figura 3.2: Relação entre esforços e tensões\n\n\\bar{\\rho}_x = \\sigma_x \\hat{i} + \\tau_{xy} \\hat{j} + \\tau_{xz} \\hat{k} \\quad (3.3)\n\nlogo, utilizando equação 3.1, tem-se:\n\ndF_x = \\sigma_x dA \\quad (3.4)\ndF_y = \\tau_{xy} dA \\quad (3.5)\ndF_z = \\tau_{xz} dA \\quad (3.6)\n\nDa Mecânica Geral e Análise Estrutural, obtém-se:\n\nN = \\int_A dF_x = \\int_A \\sigma_x dA \\quad (3.7)\nFy = \\int_A dF_y = \\int_A \\tau_{xy} dA \\quad (3.8)\nQz = Fz = \\int_A dF_z = \\int_A \\tau_{xz} dA \\quad (3.9)\nT = M_x = \\int_A (dF_y z - dF_z y) = \\int_A (\\tau_{xy} z - \\tau_{xz} y) dA \\quad (3.10)\nM_y = \\int_A (-dF_z x) = - \\int_A \\sigma_x z dA \\quad (3.11)\nM_z = \\int_A (dF_y x) = \\int_A \\sigma_x y dA \\quad (3.12)\n\nPortanto:\n\nN = \\int_A \\sigma_x dA \\quad (3.13)\nQ_y = \\int_A \\tau_{xy} dA \\quad (3.14)\nQ_z = \\int_A \\tau_{xz} dA \\quad (3.15)\nT = \\int_A (\\tau_{xy} z - \\tau_{xz} y) dA \\quad (3.16)\nM_y = - \\int_A \\sigma_x z dA \\quad (3.17)\nM_z = \\int_A y \\sigma_x dA \\quad (3.18)\n\nEstas relações deixam claro que: • Esforço normal e momentos fletores causam tensões normais.\n• Esforços cortantes e momento de torção causam tensões tangenciais.\n\nExemplo 1: Calcular as tensões em uma barra submetida a esforço normal constante. Verifica-se, experimentalmente, que as tensões normais (\\sigma_x) neste caso se distribuem de maneira uniforme na seção, isto é, todos os pontos da seção estão sujeitos a uma mesma tensão normal (constante), e que as tensões cisalhantes (\\tau_{xy} e \\tau_{xz}) são nulas.\n\nAs figuras 3.3 e 3.4 representam uma tensão normal constante em uma seção retangular ABCD, em perspectiva isométrica e em vista lateral, respectivamente. O diagrama espacial é chamado “sólido de tensões” e o plano A’B’C’D’, que contém as extremidades dos vetores, é a “superfície de tensões”.\n\nFigura 3.3: Sólidos de Tensões\n\nFigura 3.4: Vista lateral do Sólido de Tensões\n\nDesta maneira, pode-se afirmar, observando equações 3.16 a 3.18, que Q_y = 0, Q_z = 0 e T = 0 Entao, utilizando-se equação 3.13 tem-se:\n\nN = \\int_A \\sigma_x dA\nN = \\sigma_z A\n\\sigma_x = \\frac{N}{A}\ndA = área da seção transversal da barra.\nOutra maneira de se obter a relação entre a tensão normal e esforço normal é identificando que \\int_A \\sigma_x dA é o volume do sólido de tensões. Assim sendo tem-se:\nN = \\int_A \\sigma_x dA = volume do sólido de tensões = \\sigma_x A 3.1 Solicitação por esforço normal\nBarras submetidas a esforços normais sofrem deformações lineares longitudinais e transversais (ϵx, ϵy e ϵz), e conforme observado no exemplo 1 deste capítulo, a distribuição de tensões σx numa determinada seção transversal é constante e não há tensões cisalhantes nas seções transversais (τxy = 0 e τxz = 0).\n\nPode-se dizer que o cálculo das tensões normais é dos alongamentos (ou encurtamentos) totais são fundamentais para o dimensionamento de barras sujeitas ao esforço normal. Partindo da equação 3.13 e admitindo-se que σx(x), A(x), e N(x) podem variar ao longo do comprimento da barra (eixo x), tem-se:\nN(x) = ∫ σx(x) dA\n\nComo A(x), σ(x) são características da seção transversal da barra com esforço normal N(x), a equação 3.19 pode ser reescrita como:\nσx(x) = N(x) / A(x)\n\nAssim sendo, a equação 3.20 permite que se calcule a tensão normal uma vez conhecido o diagrama de esforços normais e a área da seção transversal onde se deseja calcular a tensão σx.\n\nPara o cálculo dos alongamentos (ou encurtamentos) é dada ênfase maior para direção longitudinal. Mudanças na geometria nas direções transversais podem ser obtidas pelas equações 2.62.\n\nO alongamento/encurtamento total de uma barra sujeita a esforços normais (ΔL) pode ser calculado pela equação:\nΔL = ∫ 0^L ϵx dx\nDa lei de Hooke para o estado uniaxial de tensões (somente σx atuando) σx = Eϵx, ou seja:\nΔL = ∫ 0^L σx / E dx\nmas, considerando a equação 3.20 tem-se finalmente:\nΔL = ∫ 0^L N(x) / EA(x) dx Figura 3.7: Figura dos exemplos 4, 5 e 6\nΔL = ∫ 0^L N / EA dx = NL / EA = PL / EA\n\nExemplo 5: Calcular o alongamento total e a tensão normal para a barra da figura 3.7 para P = 0. Considere o peso próprio. Dados: área da seção transversal A, comprimento L, módulo de elasticidade longitudinal E e peso específico γ.\nCálculo da tensão normal σx. Neste caso a tensão normal σx é constante na seção e não varia ao longo do eixo da barra pois apesar área A ser constante, o esforço normal N varia ao longo do comprimento. Definindo um referencial com origem no centro de gravidade da seção transversal na extremidade da barra tem-se:\nσx(x) = N(x) / A = γA / A = γx\nCálculo do alongamento total ΔL. Neste caso a integral da equação 3.23 resulta em:\nΔL = ∫ 0^L N(x) / EA dx = ∫ 0^L σx(x) / E dx = ∫ 0^L γx / E dx = γL² / 2E Exemplo 6: Calcular o alongamento total e a tensão normal para a barra da figura 3.7. Considere o peso próprio. Dados: área da seção transversal A, comprimento L, módulo de elasticidade longitudinal E e peso específico γ.\nUtilizando-se do princípio da superposição de efeitos:\nσx(x) = P / A + γx\nΔL = PL / EA + γL² / 2E Cálculo da tensão normal σx. Neste caso a tensão normal σx é constante na seção e varia ao longo do eixo da barra:\nσx(x) = N(x)/A = ∫L0 q(x) dx/A = ∫L0 ax dx/A = ax²/2A\n(3.30)\nCálculo do alongamento total ΔL. Neste caso a integral da equação 3.23 resulta em:\nΔL = ∫L0 N(x)/EA dx = ∫L0 σ(x)/E dx = ∫L0 ax²/2AE dx = aL³/6AE\n(3.31)\nExemplo 8: Calcular o encurtamento total e a tensão normal para o obelisco da figura 3.9.Considere somente o peso próprio. Dados: obelisco de base quadrada de lado a e altura L, módulo de elasticidade longitudinal E e γ o peso específico.\nCálculo da tensão normal σx. Neste caso a tensão normal σx é constante na seção e varia ao longo do eixo da barra:\nσx(x) = N(x)/A(x) = 1/3 γy²/xγ 1/y² = 1/3 γx\n(3.32)\nCálculo do alongamento total ΔL. Neste caso a integral da equação 3.23 resulta em:\nΔL = ∫L0 N(x)/EA(x) dx = ∫L0 σ(x)/E dx = ∫L0 1/3 γx 1/3 E = γL²/6E\n(3.33) 3.1.1 Exercícios\nAtenção: Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s² e lembre-se que F = ma (a força igual ao produto da massa pela aceleração).\n1. Calcular o diâmetro de uma barra sujeita a ação de uma carga axial de traço P = 50 kN e calcular o valor correspondente alongamento total, para uma tensão admissível de σx = 150 MPa e uma variação do comprimento máxima de ΔL = 4 mm. São dados o comprimento da barra L = 4,5 m e o módulo de elasticidade do aço E = 210 GPa. Resposta. (φ = 21 mm; ΔL = 3,093 mm)\n2. Calcular o valor máximo admissível da carga P na treliça deste problema (ver figura 3.10) e o correspondente deslocamento vertical da articulação onde está aplicada a carga P. As barra de aço (E = 210 GPa), tem diâmetro d = 15 mm e uma tensão admissível de σx = 150 MPa.\nResposta: Padm = 20,38 kN; ΔL = 6,02 mm\n3. Verificar a estabilidade da treliça da figura 3.11. Dados: Barra AC em aço , seção circular, diâmetro 28 mm. Barra BC em madeira, seção quadrada, lado 65 mm; P = 60 kN; σx = 140 MPa, σx (madeira, compressão) = 12 MPa e Em =12 GPa.\nResposta: Estável\n4. Um corpo de prova padronizado, de aço , com 13 mm de diâmetro , sujeito a uma força de tração de 29,5 kN teve um alongamento de 0,216 mm para um comprimento de 200 mm. Admitindo-se que não foi superado o limite de proporcionalidade, estimar o valor do módulo de elasticidade longitudinal do aço.\nResposta: E = 206 GPa\n5. Uma barra de aço (E = 210 GPa) de comprimento 4,0 m e seção circular está sujeita a uma tração de 80 kN. Calcular o diâmetro (número inteiro de mm) para uma tensão normal admissível de 120 MPa. Calcular o valor correspondentes da deformação específica e o alongamento total. Resposta: 30 mm; 0,0005389 e 2,156 mm.\n6. Calcular o raio interno de uma seção circular vazada (coroa circular) de ferro fundido sujeita a uma compressão de 1.500 kN. O raio externo é de 120 mm e a tensão admissível 75 MPa.\nResposta: 89 mm.\n7. Calcular o valor máximo admissível do esforço normal em uma barra cuja seção transversal está representada na figura 3.12 (dimensões em cm). Dados: E = 10 GPa e σx = 12 MPa e a deformação específica admissível εx = 0, 001.\nResposta: 208 kN.\n8. Calcular o alongamento total da barra de aço representada na figura 3.13, cuja área de seção transversal é 500 mm². Dados: F = 4,5 kN, P = 2,0 kN e E = 210 GPa. Resposta: ΔL = 0,0286 mm.\n9. Calcular o alongamento total da barra representada na figura 3.14, sujeita a uma carga axial da tração F = 5,5 kN, sendo o segmento AB em aço (Ea = 210 GPa) com seção circular de diâmetro 6,3 mm e o segmento BC em latão (El = 95 GPa) com seção quadrada de lado 25 mm.\nResposta: ΔL = 0,3639 mm. Figura 3.14: Figura do exercício 9\n10. Uma coluna curta é constituída por dois tubos de aço , colocados um sobre o outro (veja figura 3.15). Desprezando o peso próprio dos tubos, calcular a carga axial P1 admissível, se a carga axial P2 = 200 kN, dada a tensão normal admissível a compressão de 100 MPa. Resposta (P1 = 60 kN). Figura 3.15: Figura do exercício 10\n11. Uma barra AB está suspensa horizontalmente por dois fios verticais presos às suas extremidades (veja figura). Os fios têm o mesmo comprimento e mesma área de seção transversal mas diferentes módulos de elasticidade (E1 e E2). Desprezando o peso próprio da barra, calcular a distância d, do ponto de aplicação da carga P até a extremidade A, para que a barra permaneça horizontal. Resposta (d = (LE2)/(E1 + E2)).
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Tensões e Deformações em Barras de Eixo Reto\n\nAté aqui foram estudadas as tensões, as deformações e suas relações em casos gerais (Lei de Hooke generalizada). Neste capítulo estas grandezas serão abordadas em estruturas do tipo barra de eixo reto.\n\nO cálculo das tensões em barras fica simplificado quando comparado com casos gerais de estruturas pois, tomando como eixo x o de direção longitudinal da barra, considera-se nestas estruturas as tensões σy e σz iguais a zero. Assim sendo, fica claro que as componentes de tensão no plano yz (\\bar{\\rho}_x) serão fundamentais no estudo das barras conforme se destaca na figura 3.1.\n\nFigura 3.1: Tensão \\bar{\\rho}_x\n\nNormalmente, o cálculo de tensões em barras é feito a partir de seus esforços internos solicitantes, que podem ser obtidos através de princípios básicos da Análise Estrutural. Faz-se a seguir uma rápida abordagem destes princípios, definindo-se os esforços simples numa barra através do método das seções (ver notas de aula de Análise Estrutural).\n\nA relação entre esforços e tensões em uma barra é o principal ponto de ligação entre as disciplinas Resistência dos Materiais e Análise Estrutural.\n\nSeja um ponto P(y,z) genérico de uma seção transversal conforme figura 3.2.\n\nSendo d\\bar{F} a força elemental na área elemental dA, em torno de P, reescrevendo a equação 2.2 tem-se:\n\\bar{\\rho}_x = \\frac{d\\bar{F}}{dA} \\quad (3.1)\n\nAnalisando-se as componentes de força e tensão e equação, observando figuras 3.1 e 3.2 tem-se:\n\nd\\bar{F} = dF_x \\hat{i} + dF_y \\hat{j} + dF_z \\hat{k} \\quad (3.2) Figura 3.2: Relação entre esforços e tensões\n\n\\bar{\\rho}_x = \\sigma_x \\hat{i} + \\tau_{xy} \\hat{j} + \\tau_{xz} \\hat{k} \\quad (3.3)\n\nlogo, utilizando equação 3.1, tem-se:\n\ndF_x = \\sigma_x dA \\quad (3.4)\ndF_y = \\tau_{xy} dA \\quad (3.5)\ndF_z = \\tau_{xz} dA \\quad (3.6)\n\nDa Mecânica Geral e Análise Estrutural, obtém-se:\n\nN = \\int_A dF_x = \\int_A \\sigma_x dA \\quad (3.7)\nFy = \\int_A dF_y = \\int_A \\tau_{xy} dA \\quad (3.8)\nQz = Fz = \\int_A dF_z = \\int_A \\tau_{xz} dA \\quad (3.9)\nT = M_x = \\int_A (dF_y z - dF_z y) = \\int_A (\\tau_{xy} z - \\tau_{xz} y) dA \\quad (3.10)\nM_y = \\int_A (-dF_z x) = - \\int_A \\sigma_x z dA \\quad (3.11)\nM_z = \\int_A (dF_y x) = \\int_A \\sigma_x y dA \\quad (3.12)\n\nPortanto:\n\nN = \\int_A \\sigma_x dA \\quad (3.13)\nQ_y = \\int_A \\tau_{xy} dA \\quad (3.14)\nQ_z = \\int_A \\tau_{xz} dA \\quad (3.15)\nT = \\int_A (\\tau_{xy} z - \\tau_{xz} y) dA \\quad (3.16)\nM_y = - \\int_A \\sigma_x z dA \\quad (3.17)\nM_z = \\int_A y \\sigma_x dA \\quad (3.18)\n\nEstas relações deixam claro que: • Esforço normal e momentos fletores causam tensões normais.\n• Esforços cortantes e momento de torção causam tensões tangenciais.\n\nExemplo 1: Calcular as tensões em uma barra submetida a esforço normal constante. Verifica-se, experimentalmente, que as tensões normais (\\sigma_x) neste caso se distribuem de maneira uniforme na seção, isto é, todos os pontos da seção estão sujeitos a uma mesma tensão normal (constante), e que as tensões cisalhantes (\\tau_{xy} e \\tau_{xz}) são nulas.\n\nAs figuras 3.3 e 3.4 representam uma tensão normal constante em uma seção retangular ABCD, em perspectiva isométrica e em vista lateral, respectivamente. O diagrama espacial é chamado “sólido de tensões” e o plano A’B’C’D’, que contém as extremidades dos vetores, é a “superfície de tensões”.\n\nFigura 3.3: Sólidos de Tensões\n\nFigura 3.4: Vista lateral do Sólido de Tensões\n\nDesta maneira, pode-se afirmar, observando equações 3.16 a 3.18, que Q_y = 0, Q_z = 0 e T = 0 Entao, utilizando-se equação 3.13 tem-se:\n\nN = \\int_A \\sigma_x dA\nN = \\sigma_z A\n\\sigma_x = \\frac{N}{A}\ndA = área da seção transversal da barra.\nOutra maneira de se obter a relação entre a tensão normal e esforço normal é identificando que \\int_A \\sigma_x dA é o volume do sólido de tensões. Assim sendo tem-se:\nN = \\int_A \\sigma_x dA = volume do sólido de tensões = \\sigma_x A 3.1 Solicitação por esforço normal\nBarras submetidas a esforços normais sofrem deformações lineares longitudinais e transversais (ϵx, ϵy e ϵz), e conforme observado no exemplo 1 deste capítulo, a distribuição de tensões σx numa determinada seção transversal é constante e não há tensões cisalhantes nas seções transversais (τxy = 0 e τxz = 0).\n\nPode-se dizer que o cálculo das tensões normais é dos alongamentos (ou encurtamentos) totais são fundamentais para o dimensionamento de barras sujeitas ao esforço normal. Partindo da equação 3.13 e admitindo-se que σx(x), A(x), e N(x) podem variar ao longo do comprimento da barra (eixo x), tem-se:\nN(x) = ∫ σx(x) dA\n\nComo A(x), σ(x) são características da seção transversal da barra com esforço normal N(x), a equação 3.19 pode ser reescrita como:\nσx(x) = N(x) / A(x)\n\nAssim sendo, a equação 3.20 permite que se calcule a tensão normal uma vez conhecido o diagrama de esforços normais e a área da seção transversal onde se deseja calcular a tensão σx.\n\nPara o cálculo dos alongamentos (ou encurtamentos) é dada ênfase maior para direção longitudinal. Mudanças na geometria nas direções transversais podem ser obtidas pelas equações 2.62.\n\nO alongamento/encurtamento total de uma barra sujeita a esforços normais (ΔL) pode ser calculado pela equação:\nΔL = ∫ 0^L ϵx dx\nDa lei de Hooke para o estado uniaxial de tensões (somente σx atuando) σx = Eϵx, ou seja:\nΔL = ∫ 0^L σx / E dx\nmas, considerando a equação 3.20 tem-se finalmente:\nΔL = ∫ 0^L N(x) / EA(x) dx Figura 3.7: Figura dos exemplos 4, 5 e 6\nΔL = ∫ 0^L N / EA dx = NL / EA = PL / EA\n\nExemplo 5: Calcular o alongamento total e a tensão normal para a barra da figura 3.7 para P = 0. Considere o peso próprio. Dados: área da seção transversal A, comprimento L, módulo de elasticidade longitudinal E e peso específico γ.\nCálculo da tensão normal σx. Neste caso a tensão normal σx é constante na seção e não varia ao longo do eixo da barra pois apesar área A ser constante, o esforço normal N varia ao longo do comprimento. Definindo um referencial com origem no centro de gravidade da seção transversal na extremidade da barra tem-se:\nσx(x) = N(x) / A = γA / A = γx\nCálculo do alongamento total ΔL. Neste caso a integral da equação 3.23 resulta em:\nΔL = ∫ 0^L N(x) / EA dx = ∫ 0^L σx(x) / E dx = ∫ 0^L γx / E dx = γL² / 2E Exemplo 6: Calcular o alongamento total e a tensão normal para a barra da figura 3.7. Considere o peso próprio. Dados: área da seção transversal A, comprimento L, módulo de elasticidade longitudinal E e peso específico γ.\nUtilizando-se do princípio da superposição de efeitos:\nσx(x) = P / A + γx\nΔL = PL / EA + γL² / 2E Cálculo da tensão normal σx. Neste caso a tensão normal σx é constante na seção e varia ao longo do eixo da barra:\nσx(x) = N(x)/A = ∫L0 q(x) dx/A = ∫L0 ax dx/A = ax²/2A\n(3.30)\nCálculo do alongamento total ΔL. Neste caso a integral da equação 3.23 resulta em:\nΔL = ∫L0 N(x)/EA dx = ∫L0 σ(x)/E dx = ∫L0 ax²/2AE dx = aL³/6AE\n(3.31)\nExemplo 8: Calcular o encurtamento total e a tensão normal para o obelisco da figura 3.9.Considere somente o peso próprio. Dados: obelisco de base quadrada de lado a e altura L, módulo de elasticidade longitudinal E e γ o peso específico.\nCálculo da tensão normal σx. Neste caso a tensão normal σx é constante na seção e varia ao longo do eixo da barra:\nσx(x) = N(x)/A(x) = 1/3 γy²/xγ 1/y² = 1/3 γx\n(3.32)\nCálculo do alongamento total ΔL. Neste caso a integral da equação 3.23 resulta em:\nΔL = ∫L0 N(x)/EA(x) dx = ∫L0 σ(x)/E dx = ∫L0 1/3 γx 1/3 E = γL²/6E\n(3.33) 3.1.1 Exercícios\nAtenção: Considere a aceleração da gravidade g = 10 m/s² e lembre-se que F = ma (a força igual ao produto da massa pela aceleração).\n1. Calcular o diâmetro de uma barra sujeita a ação de uma carga axial de traço P = 50 kN e calcular o valor correspondente alongamento total, para uma tensão admissível de σx = 150 MPa e uma variação do comprimento máxima de ΔL = 4 mm. São dados o comprimento da barra L = 4,5 m e o módulo de elasticidade do aço E = 210 GPa. Resposta. (φ = 21 mm; ΔL = 3,093 mm)\n2. Calcular o valor máximo admissível da carga P na treliça deste problema (ver figura 3.10) e o correspondente deslocamento vertical da articulação onde está aplicada a carga P. As barra de aço (E = 210 GPa), tem diâmetro d = 15 mm e uma tensão admissível de σx = 150 MPa.\nResposta: Padm = 20,38 kN; ΔL = 6,02 mm\n3. Verificar a estabilidade da treliça da figura 3.11. Dados: Barra AC em aço , seção circular, diâmetro 28 mm. Barra BC em madeira, seção quadrada, lado 65 mm; P = 60 kN; σx = 140 MPa, σx (madeira, compressão) = 12 MPa e Em =12 GPa.\nResposta: Estável\n4. Um corpo de prova padronizado, de aço , com 13 mm de diâmetro , sujeito a uma força de tração de 29,5 kN teve um alongamento de 0,216 mm para um comprimento de 200 mm. Admitindo-se que não foi superado o limite de proporcionalidade, estimar o valor do módulo de elasticidade longitudinal do aço.\nResposta: E = 206 GPa\n5. Uma barra de aço (E = 210 GPa) de comprimento 4,0 m e seção circular está sujeita a uma tração de 80 kN. Calcular o diâmetro (número inteiro de mm) para uma tensão normal admissível de 120 MPa. Calcular o valor correspondentes da deformação específica e o alongamento total. Resposta: 30 mm; 0,0005389 e 2,156 mm.\n6. Calcular o raio interno de uma seção circular vazada (coroa circular) de ferro fundido sujeita a uma compressão de 1.500 kN. O raio externo é de 120 mm e a tensão admissível 75 MPa.\nResposta: 89 mm.\n7. Calcular o valor máximo admissível do esforço normal em uma barra cuja seção transversal está representada na figura 3.12 (dimensões em cm). Dados: E = 10 GPa e σx = 12 MPa e a deformação específica admissível εx = 0, 001.\nResposta: 208 kN.\n8. Calcular o alongamento total da barra de aço representada na figura 3.13, cuja área de seção transversal é 500 mm². Dados: F = 4,5 kN, P = 2,0 kN e E = 210 GPa. Resposta: ΔL = 0,0286 mm.\n9. Calcular o alongamento total da barra representada na figura 3.14, sujeita a uma carga axial da tração F = 5,5 kN, sendo o segmento AB em aço (Ea = 210 GPa) com seção circular de diâmetro 6,3 mm e o segmento BC em latão (El = 95 GPa) com seção quadrada de lado 25 mm.\nResposta: ΔL = 0,3639 mm. Figura 3.14: Figura do exercício 9\n10. Uma coluna curta é constituída por dois tubos de aço , colocados um sobre o outro (veja figura 3.15). Desprezando o peso próprio dos tubos, calcular a carga axial P1 admissível, se a carga axial P2 = 200 kN, dada a tensão normal admissível a compressão de 100 MPa. Resposta (P1 = 60 kN). Figura 3.15: Figura do exercício 10\n11. Uma barra AB está suspensa horizontalmente por dois fios verticais presos às suas extremidades (veja figura). Os fios têm o mesmo comprimento e mesma área de seção transversal mas diferentes módulos de elasticidade (E1 e E2). Desprezando o peso próprio da barra, calcular a distância d, do ponto de aplicação da carga P até a extremidade A, para que a barra permaneça horizontal. Resposta (d = (LE2)/(E1 + E2)).