·
Física ·
Mecânica Clássica
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23 Uma partícula de massa m sujeita a uma força resistiva proporcional à velocidade bv e a uma força externa aplicada Ft F₀ bm t ebtm inicia o seu movimento com a condição inicial v0 0 Determinar a sua velocidade vt e esboçar o seu gráfico As constantes b e F₀ são positivas 214 Uma partícula de massa m sujeita a uma força de restauração linear kx e a uma força resistiva proporcional à velocidade bv inicia seu movimento na origem com uma velocidade v0 Determine xt para os casos de amortecimento supercrítico crítico e subcrítico Esboce gráficos concernentes ao movimento para cada caso Discutir os resultados 214 A força resultante na partícula será Fx kx bv ma podemos escrever em termos de xt m d²xdt² kx b dxdt mk d²xdt² bk dxdt x 0 basta agora resolver essa eq diferencial dx²dt² bm dxdt km x 0 tomando ω₀² km e γ bm d²xdt² γ dxdt ω₀² x 0 podemos propor uma solução xt Ceαt α² eαt γ α C eαt ω₀² eαt 0 d²C γ dC α ω₀² 0 α² γ α ω₀² 0 α γ γ² 4 ω₀²2 3 casos para considerar Sub amorteçedo γ² 4 ω₀² 0 γ 2 ω₀ raiz complexa tomando ω 12 4 ω₀² γ² ω₀ 1 γ2 ω₀² logo α γ2 i ω duas soluções x₁t C₁ expγ2 i ω t x₂t C₂ expγ2 i ω t xt eγ2 t C₁ ei ωt C₂ ei ωt porém a solução xt precisa ser real C₁ C₂ ou seja c₁ precisa ser um complexo conjugado de C₂ Se C₁ Cei Φ C₂ Cei Φ xt eγ2 t Cei ωt Φ Cei ωt Φ eγ2 t 2C cosωt Φ Lembrando que cosθ ei θ ei θ2 finalmente xt A cosωt Φ eγ2 t Se vt0 v₀ xt0 0 xt0 A cosΦ 0 vt dxdt A ω sinωt π2 eγ2 t γ2 A cosωt π2 eγ2 t como A 0 cosΦ 0 Φ π2 A v₀ω 2 v₀4 ω₀² γ² v₀ω₀ 11 γ2 ω₀² Então xt A cos wt ϕ eb2t com A J0 w0 sqrt1b2w02 w w0 sqrt1b2w02 w02 km e b bm e ϕ π2 Oscilações que decaem com o tempo Caso 2 Super amortecido b 2w0 raízes reais μ1 b2 sqrtb24w02 μ2 b2 sqrtb24w02 chi1 c1 eμ1 t chi2 c2 eμ2 t xt c1 eμ1 t c2 eμ2 t xt0 c1 c2 0 c1 c2 dxtdt vt c1μ1 eμ1 t μ2 eμ1 t vt0 c1 μ2 μ1 J0 c1 J0 μ2 μ1 xt J0 μ2 μ1 eμ1 t eμ2 t Não existe oscilação o movimento é amortecido diretamente para o ponto final iii Criticamente amortecido b 2 w0 α b2 Porém com essa solução teremos apenas xt Ceb2 t precisamos de uma outra solução lt para satisfazer as condições de contorno Podemos tomar chi2t c2 t ewo t com w02 km d chi2 dt c2 ewo t c2 t w0 ewo t d2 x dt2 c2 w0 ewo t c2 w0 ewo t c2 t w02 ewo t 2 c2 w0 ewo t c2 t w02 ewo t 2 w0 c2 ewo t c2 t w0 ewo t 0 então xt A B t ewo t lembrando que b 2 w0 xt0 A 0 dxdt vt Bewo t t w0 ewo t vt0 B J0 xt J0 t ewo t Ocorre apenas um movimento oscilatório que logo é amortecido 23 temos a força resultante FR b v Fo bm ebm t ma ou seja m dvdt b v Fo bm ebm t eq diferencial de primeira ordem não homogênea Usando o método do fator integrante temos que It ept dt com pt bm It ebm t ebm t tomando It dvdt bm v Fo bm ebm t It ebm t dvdt bm v Fo bm b ebm t v bm ebm t v Fo bm ddt v ebm t ddt v ebm t Fo bm ddt v ebm t dt Fo bm dt v ebm t Fo bm t c vt c Fo bm t ebm t mas se vt0 0 vt0 c 0 vt Fo bm t ebm t dvdt Fo bm Fo b2m2 t ebm t 0 1 bm t 0 t bm pico dos máximo
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23 Uma partícula de massa m sujeita a uma força resistiva proporcional à velocidade bv e a uma força externa aplicada Ft F₀ bm t ebtm inicia o seu movimento com a condição inicial v0 0 Determinar a sua velocidade vt e esboçar o seu gráfico As constantes b e F₀ são positivas 214 Uma partícula de massa m sujeita a uma força de restauração linear kx e a uma força resistiva proporcional à velocidade bv inicia seu movimento na origem com uma velocidade v0 Determine xt para os casos de amortecimento supercrítico crítico e subcrítico Esboce gráficos concernentes ao movimento para cada caso Discutir os resultados 214 A força resultante na partícula será Fx kx bv ma podemos escrever em termos de xt m d²xdt² kx b dxdt mk d²xdt² bk dxdt x 0 basta agora resolver essa eq diferencial dx²dt² bm dxdt km x 0 tomando ω₀² km e γ bm d²xdt² γ dxdt ω₀² x 0 podemos propor uma solução xt Ceαt α² eαt γ α C eαt ω₀² eαt 0 d²C γ dC α ω₀² 0 α² γ α ω₀² 0 α γ γ² 4 ω₀²2 3 casos para considerar Sub amorteçedo γ² 4 ω₀² 0 γ 2 ω₀ raiz complexa tomando ω 12 4 ω₀² γ² ω₀ 1 γ2 ω₀² logo α γ2 i ω duas soluções x₁t C₁ expγ2 i ω t x₂t C₂ expγ2 i ω t xt eγ2 t C₁ ei ωt C₂ ei ωt porém a solução xt precisa ser real C₁ C₂ ou seja c₁ precisa ser um complexo conjugado de C₂ Se C₁ Cei Φ C₂ Cei Φ xt eγ2 t Cei ωt Φ Cei ωt Φ eγ2 t 2C cosωt Φ Lembrando que cosθ ei θ ei θ2 finalmente xt A cosωt Φ eγ2 t Se vt0 v₀ xt0 0 xt0 A cosΦ 0 vt dxdt A ω sinωt π2 eγ2 t γ2 A cosωt π2 eγ2 t como A 0 cosΦ 0 Φ π2 A v₀ω 2 v₀4 ω₀² γ² v₀ω₀ 11 γ2 ω₀² Então xt A cos wt ϕ eb2t com A J0 w0 sqrt1b2w02 w w0 sqrt1b2w02 w02 km e b bm e ϕ π2 Oscilações que decaem com o tempo Caso 2 Super amortecido b 2w0 raízes reais μ1 b2 sqrtb24w02 μ2 b2 sqrtb24w02 chi1 c1 eμ1 t chi2 c2 eμ2 t xt c1 eμ1 t c2 eμ2 t xt0 c1 c2 0 c1 c2 dxtdt vt c1μ1 eμ1 t μ2 eμ1 t vt0 c1 μ2 μ1 J0 c1 J0 μ2 μ1 xt J0 μ2 μ1 eμ1 t eμ2 t Não existe oscilação o movimento é amortecido diretamente para o ponto final iii Criticamente amortecido b 2 w0 α b2 Porém com essa solução teremos apenas xt Ceb2 t precisamos de uma outra solução lt para satisfazer as condições de contorno Podemos tomar chi2t c2 t ewo t com w02 km d chi2 dt c2 ewo t c2 t w0 ewo t d2 x dt2 c2 w0 ewo t c2 w0 ewo t c2 t w02 ewo t 2 c2 w0 ewo t c2 t w02 ewo t 2 w0 c2 ewo t c2 t w0 ewo t 0 então xt A B t ewo t lembrando que b 2 w0 xt0 A 0 dxdt vt Bewo t t w0 ewo t vt0 B J0 xt J0 t ewo t Ocorre apenas um movimento oscilatório que logo é amortecido 23 temos a força resultante FR b v Fo bm ebm t ma ou seja m dvdt b v Fo bm ebm t eq diferencial de primeira ordem não homogênea Usando o método do fator integrante temos que It ept dt com pt bm It ebm t ebm t tomando It dvdt bm v Fo bm ebm t It ebm t dvdt bm v Fo bm b ebm t v bm ebm t v Fo bm ddt v ebm t ddt v ebm t Fo bm ddt v ebm t dt Fo bm dt v ebm t Fo bm t c vt c Fo bm t ebm t mas se vt0 0 vt0 c 0 vt Fo bm t ebm t dvdt Fo bm Fo b2m2 t ebm t 0 1 bm t 0 t bm pico dos máximo