Retas Paralelas ou Perpendiculares à Reta Tangente

CAPÍTULO 2: INTRODUÇÃO A DERIVADAS Seção 3: Retas paralelas ou perpendiculares à reta tangente Vamos lembrar de condições para que duas retas sejam paralelas ou perpendiculares. Definição: Duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais (isto é, 2 1 a  a ). Exemplo: As retas 2 5 y  x e 2  3 y  x são retas paralelas à reta x y  2 . 4 3 2 1 1 2 Exemplo: Retas paralelas à reta x y  4  : as retas x y   e   1 x y Definição: Duas retas são perpendiculares se o produto de seus coeficientes angulares é igual a -1 (isto é, 1 2 2 1 1 1 . a a a a     ). Exemplo: Considere a reta x y  2 . Toda reta com coeficiente angular igual a -1/2 será perpendicular à reta x y  2 , tal como a reta   2 1 x y . 4 3 2 1 1 2 Observação: Para determinar a equação da reta tangente ao gráfico de uma função num ponto, precisamos do ponto )) ( , ( 0 0 0 f x P  x (contendo as duas coordenadas do ponto) e do coeficiente angular da reta. Vejamos exemplos aplicando a observação anterior: Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 3 1 ( ) x f x  quando x  1 . Como para determinar a equação da reta tangente precisamos do ponto com as duas coordenadas, vamos aplicar a função no ponto para determinar a segunda coordenada: 1 )1 ( 1 )1 ( 3     f  , ou seja, a reta é tangente no ponto   ,1  1 . Ainda, vamos determinar o coeficiente angular da reta tangente, que é a derivada aplicada no ponto: 4 4 3 3 3 3 ) (' 1 ( ) x x x f x x f x          a f        3 )1 ( 3 )1 (' 4 Logo, a reta tangente no ponto tem equação )1 (3 1     x y . Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de 4 ( ) x f x  que seja paralela à reta 4 5 y  x . Neste exemplo, não temos o ponto de tangência da reta mas sabemos que duas retas são paralelas se seus coeficientes angulares são iguais, ou seja, o coeficiente angular da reta tangente é 4. a = 4. Para determinarmos o ponto de tangência da reta, usamos a definição de derivada: o coeficiente angular da reta tangente é igual à derivada aplicada no ponto de tangência. Portanto, queremos determinar o ponto do gráfico da função tal que a derivada é igual à 4, isto é, queremos determinar o ponto tal que 4 3 ( ) x x f   seja igual a 4: 1 1 4 4 3 3      x x x Basta agora aplicarmos x 1 na função para determinarmos a segunda coordenada do ponto: 1 1 )1(  4  f . Portanto a reta é tangente no ponto  1,1 e a equação da reta tangente é )1 4( 1    x y . Exemplo: Determine a equação da reta tangente ao gráfico de ( ) √ que seja paralela à reta Como as retas são paralelas, a = 3. /3 2 /3 2 /3 1 3 1 3 1 ) (' ) ( x x x f x x f     Queremos determinar o ponto do gráfico da função tal que a derivada é igual à 3 3 ( ) f  x  27 1 9³ 1 9³ 1 9 1 1 9 3 3 1 2 2/3 /3 2 2/3             x x x x x Aplicando √ , obtemos ( √ ) √ Reta tangente √ ( √ ) ou ( ) Apliquemos agora √ na função: ( √ ) √ √ Reta tangente √ ( √ ) ou ( )