Álgebra Linear

UNIVERSIDADE DO OESTE DE SANTA CATARINA Ciências Exatas e Tecnológicas 1ª Fase Professor Diogo Luiz de Oliveira Componente Curricular Matemática I Trabalho Avaliativo 2 Problematização Álgebra Linear Estudo de Caso 1 Dosagem de Concreto Uma fábrica de artefatos de concreto precisa definir um traço mistura composto de quatro materiais C cimento kg A areia kg B brita kg P aditivo plastificante kg Eles devem atender a quatro requisitos 1 Resistência mínima à compressão medida em MPa megapascal indica quanta pressão o concreto suporta Neste estudo adotamos valores simplificados pois vários fatores influenciam a resistência real 2 Trabalhabilidade slump medida em cm teste de trabalhabilidade medindo a altura que o concreto desaba fluidez ao retirar o cone de moldagem 3 Massa total do traço não pode ultrapassar 100 kg 4 Custo máximo limitado a 50 R Dados numéricos para o modelo Para simplificar adotamse as seguintes equações que representam aproximadamente o efeito de cada componente 1 Resistência 030𝐶 015𝐴 005𝐵 002𝑃 25 𝑀𝑃𝑎 2 Trabalhabilidade slump 010𝐶 020𝐴 002𝐵 030𝑃 12 𝑐𝑚 3 Massa total 𝐶 𝐴 𝐵 𝑃 100 𝑘𝑔 4 Custo máximo 060𝐶 010𝐴 005𝐵 100𝑃 50 𝑅 De acordo com a situação apresentada faça o que se pede nos itens a seguir 1 Modele o problema Reescreva as quatro equações identificando claramente o significado de cada termo 2 Resolva o sistema Utilize qualquer método de álgebra linear ou software apresente os passos ou prints de tela que mostrem a resolução Verifique se o sistema tem solução única é impossível ou indeterminado 3 Interprete os resultados a Quanto de cada material em kg deve ser usado no traço b O custo atinge exatamente 50 R ou fica abaixoacima c A resistência e o slump ficam nos valores previstos 25 MPa e 12 cm d Explique se a quantidade de aditivo P é plausível na prática O que poderia mudar se quiséssemos reduzir o aditivo Estudo de Caso 2 Mistura de Três Correntes Uma planta industrial mistura três correntes x1 x2 x3 em kgh para produzir uma vazão de saída Fout x1 x2 x3 Cada corrente tem três espécies químicas A B e C em frações mássicas conhecidas conforme apresentado na tabela a seguir Corrente Fração de A Fração de B Fração de C 1 x1 050 030 020 2 x2 060 020 020 3 x3 040 040 020 As quantidades de A B e C na saída Aout Bout Cout são dadas por Aout 050 x1 060 x2 040 x3 Bout 030 x1 020 x2 040 x3 Cout 020 x1 020 x2 020 x3 Três clientes diferentes solicitam misturas com exigências distintas gerando três cenários de solução Cenário 1 Requisitos do Cliente Aout 50 kgh Bout 30 kgh Cout 20 kgh De acordo com os requisitos do cenário 1 faça o que se pede nos itens a seguir 1 Escreva as três equações para A B e C 2 Resolva o sistema 33 3 A combinação encontrada atende exatamente às exigências do cliente Os valores são coerentes com o comportamento esperado das correntes Justifique com base no contexto do problema Cenário 2 Requisitos do Cliente Aout 40 kgh Bout 30 kgh O cliente não especificou Cout exato apenas que a fração de C na mistura final deve permanecer a mesma 020 que cada corrente já possui Em outras palavras o cliente quer manter a porcentagem de C no produto final em 20 Então a massa total de C no produto será exatamente Cout 02x1 x2 x3 De acordo com os requisitos do cenário 2 faça o que se pede nos itens a seguir 1 Monte as equações usando Aout Bout e as condições de Cout 2 Verifique quantas equações independentes surgem e mostre que o sistema tem infinitas soluções SPI 3 Dê um exemplo de uma solução plausível x1 x2 x3 e explique por que há várias combinações que satisfazem essa fração de C fixada em 20 Cenário 3 Requisitos do Cliente Aout 30 kgh Bout 40 kgh Cout 20 kgh De acordo com os requisitos do cenário 3 faça o que se pede nos itens a seguir 1 Escreva as três equações para A B e C 2 Tente resolver ou use software para verificar se o sistema apresenta solução 3 Discuta porque não existe solução explicando o significado prático de pedido impossível Estudo de Caso 3 Análise de Dados de Sensores em uma Planta Industrial Uma planta industrial automatizada conta com sensores distribuídos em seis setores operacionais que monitoram sete variáveis físicas Os dados coletados são organizados em forma de matriz para facilitar análises técnicas e computacionais Você é parte da equipe de engenharia responsável por avaliar e tratar matematicamente os dados coletados com o objetivo de gerar informações úteis para diagnóstico manutenção e controle do processo A matriz M abaixo representa os valores médios registrados por sete sensores S1 a S7 em seis setores da planta A a F ao longo de um turno valores em unidades padronizadas para cada variável Linhas setores A a F Colunas sensores S1 temperatura S2 pressão S3 vibração S4 fluxo S5 pH S6 condutividade S7 umidade relativa Com base na matriz M faça o que se pede nos itens a seguir 1 Interpretação inicial da matriz a Escreva em linguagem natural o que representa o elemento M34 b Determine a média de temperatura entre os seis setores c Indique a menor leitura de vibração e em qual setor ela ocorreu 2 Operações entre matrizes A equipe decide comparar os dados do turno atual com os dados do turno anterior organizados na matriz T a Calcule a matriz D M T representando a variação de cada sensor entre os turnos b Interprete os elementos D24 e D43 c A equipe propõe amplificar as variações para análise estatística multiplicando D por um fator 10 Calcule a matriz D 10D 3 Multiplicação de matrizes A engenharia de automação propôs um vetor de ponderação para atribuir importância relativa a cada sensor a Realize a multiplicação R MP resultando em um vetor de pontuação ponderada para cada setor b Qual setor obteve a maior pontuação O que isso pode significar para manutenção preventiva 4 Matriz quadrada determinante e inversa Para validar um algoritmo de calibração a equipe utiliza os dados de apenas 3 sensores colunas 1 a 3 de 3 setores linhas 1 a 3 gerando a matriz 33 abaixo a Calcule o determinante de C b A matriz C é invertível Justifique com base no determinante c Se for invertível calcule a inversa de C d Explique com suas palavras o que representa uma matriz inversa neste contexto e quando ela pode ser útil Estudo de Caso 4 Planejamento Orçamentário de um Projeto Uma empresa de engenharia está implantando uma nova planta industrial e precisa organizar o planejamento orçamentário de seis frentes de trabalho F1 Terraplanagem F2 Fundações F3 Estrutura metálica F4 Instalações elétricas F5 Instalações hidráulicas F6 Automação e controle Cada frente depende de recursos específicos distribuídos entre Materiais M Mão de obra MO Equipamentos E Energia elétrica EE Logística L Serviços terceirizados ST O engenheiro responsável organizou os custos unitários em mil R de cada frente de trabalho em uma matriz de coeficientes A onde Cada coluna representa um tipo de recurso M MO E EE L ST Cada linha representa uma frente de trabalho F1 a F6 Os valores estimados foram baseados em análises de projetos anteriores A diretoria aprovou um orçamento total de Materiais R 100 mil Mão de obra R 150 mil Equipamentos R 110 mil Energia elétrica R 60 mil Logística R 70 mil Serviços terceirizados R 80 mil De acordo com a situação apresentada faça o que se pede nos itens a seguir a Apresente o sistema de equações lineares na forma matricial AX B interpretando as matrizes A X e B b Resolva o sistema de equações para encontrar os valores de x1 a x6 c Verifique se todas as quantidades são positivas e inteiras Se alguma for negativa ou fracionária discuta as implicações Estudo de caso 1 dosagem de concreto 1 3 Massa Total C A B P 100 kg C Massa do cimento kg A Massa da areia kg B Massa da brita kg P Massa do aditivo plastificante kg 100 Massa total do traço de concreto kg 4 Custo Máximo 060C 010A 005B 100P 50 R 060C Custo do cimento R 010A Custo da areia R 005B Custo da brita R 100P Custo do aditivo plastificante R 50 Custo máximo total do traço de concreto R 2 O sistema de equações é 1 030C 015A 005B 002P 25 2 010C 020A 002B 030P 12 3 C A B P 100 4 060C 010A 005B 100P 50 Podemos representar este sistema na forma de matriz aumentada 030 015 005 002 25 010 020 002 030 12 1 1 1 1 100 060 010 005 100 50 Para resolver o sistema usando o método de Gauss vamos realizar operações elementares nas linhas para transformar a matriz na forma escalonada reduzida 1 Trocar a linha 1 e a linha 3 para ter um valor maior na primeira linha 1 1 1 1 100 010 020 002 030 12 030 015 005 002 25 060 010 005 100 50 2 Substituir a linha 2 por L2 01L1 a linha 3 por L3 03L1 e a linha 4 por L4 06L1 1 1 1 1 100 0 010 008 020 2 0 015 025 028 5 0 050 055 040 10 3 Multiplicar a linha 2 por 10 1 1 1 1 100 0 1 08 2 20 0 015 025 028 5 0 050 055 040 10 4 Substituir a linha 3 por L₃ 015L₂ e a linha 4 por L₄ 05L₂ 1 1 1 1 100 0 1 08 2 20 0 0 037 002 2 0 0 095 140 0 5 Dividir a linha 3 por 037 1 1 1 1 100 0 1 08 2 20 0 0 1 0054 5405 0 0 095 140 0 6 Substituir a linha 4 por L₄ 095L₃ 1 1 1 1 100 0 1 08 2 20 0 0 1 0054 5405 0 0 0 1348 5135 7 Dividir a linha 4 por 1348 1 1 1 1 100 0 1 08 2 20 0 0 1 0054 5405 0 0 0 1 3810 Agora podemos resolver o sistema por substituição retroativa P 3810 B 0054P 5405 B 5405 00543810 B 5611 A 08B 2P 20 A 20 085611 23810 A 19869 C A B P 100 C 100 19869 5611 3810 C 70710 Portanto a solução é C 70710 A 19869 B 5611 P 3810 O sistema tem uma solução única 3 O custo total é de aproximadamente 2560 R que está abaixo do limite de 50 R a resistência é de aproximadamente 1446 MPa e o slump é de aproximadamente 1067 cm que são diferentes dos valores previstos de 25 MPa e 12 cm A quantidade de aditivo P 464 kg pode ser plausível mas se quisermos reduzir o aditivo precisaríamos ajustar as outras componentes para manter a resistência e trabalhabilidade dentro dos limites desejados Reduzir o aditivo pode exigir aumentar a quantidade de cimento ou ajustar a proporção de areia e brita Estudo de caso 2 Mistura de três correntes CENÁRIO 1 2 Resolva o sistema 33 Para resolver o sistema de equações podemos usar vários métodos como substituição eliminação ou métodos matriciais Aqui usarei o método da eliminação Primeiro simplifique a terceira equação dividindo todos os termos por 020 x₁ x₂ x₃ 100 Agora podemos usar essa equação simplificada para eliminar x₁ das outras duas equações Substitua x₁ da primeira equação x₁ 100 x₂ x₃ Substitua x₁ nas duas primeiras equações originais 050100 x₂ x₃ 060x₂ 040x₃ 50 030100 x₂ x₃ 020x₂ 040x₃ 30 Simplifique as equações 50 050x2 050x3 060x2 040x3 50 30 030x2 030x3 020x2 040x3 30 Combine termos semelhantes 010x2 010x3 0 010x2 010x3 0 As duas equações simplificam para x2 x3 Agora volte para a equação simplificada x1 x2 x3 100 e substitua x2 por x3 x1 x3 x3 100x1 2x3 100 Agora volte para a primeira equação original e substitua x2 por x3 050x1 060x3 040x3 50050x1 x3 50 Multiplique esta equação por 2 x1 2x3 100 Agora temos um sistema de duas equações com duas variáveis x1 2x3 100 050x1 x3 50 3 A combinação encontrada atende exatamente às exigências do cliente Os valores são coerentes com o comportamento esperado das correntes Justifique com base no contexto do problema Sim a combinação encontrada atende às exigências do cliente pois as equações foram resolvidas com base nos requisitos de Aout Bout e Cout No entanto como temos um número infinito de soluções precisamos escolher uma que seja coerente com o contexto do problema Por exemplo se escolhermos t 20 então x1 100 220 60 x2 20 x3 20 Neste caso x1 60 kgh x2 20 kgh e x3 20 kgh Esses valores são coerentes com o comportamento esperado das correntes pois são não negativos e somam 100 kgh a vazão total CENÁRIO 2 1 Monte as equações usando Aout Bout e as condições de Cout Temos as seguintes equações baseadas nas informações fornecidas 1 Equação para Aout 05x1 06x2 04x3 40 2 Equação para Bout 03x1 02x2 04x3 30 3 Equação para Cout 02x1 02x2 02x3 02x1 x2 2 Verifique quantas equações independentes surgem e mostre que o sistema tem infinitas soluções SPI Primeiro vamos simplificar a equação para Cout 02x1 02x2 02x3 02x1 x2 x3 02x1 02x2 02x3 02x1 02x2 02x3 Esta equação é uma identidade o que significa que ela é sempre verdadeira e não fornece nenhuma informação adicional sobre os valores de x1 x2 e x3 Portanto ela não é uma equação independente Agora temos apenas duas equações independentes 1 05x1 06x2 04x3 40 2 03x1 02x2 04x3 30 Como temos duas equações independentes e três variáveis x1 x2 x3 o sistema é indeterminado e possui infinitas soluções Isso significa que existem várias combinações de x1 x2 e x3 que satisfazem as equações 3 Dê um exemplo de uma solução plausível x1 x2 x3 e explique por que há várias combinações que satisfazem essa fração de C fixada em 20 Para encontrar uma solução plausível podemos expressar uma das variáveis em termos das outras duas e escolher valores arbitrários para essas duas variáveis Subtraindo a segunda equação da primeira temos 05x1 06x2 04x3 03x1 02x2 04x3 40 30 02x1 04x2 10 x1 50 2x2 Agora substituímos x1 na segunda equação original 0350 2x2 02x2 04x3 30 15 06x2 02x2 04x3 30 04x2 04x3 15 04x3 15 04x2 x3 375 x2 Agora temos x1 e x3 em termos de x2 x1 50 2x2 x3 375 x2 Podemos escolher um valor arbitrário para x2 e encontrar os valores correspondentes para x1 e x3 Por exemplo se escolhermos x2 10 x1 50 210 30 x3 375 10 475 Então uma solução plausível é x1 x2 x3 30 10 475 Verificação Aout 0530 0610 04475 15 6 19 40 Bout 0330 0210 04475 9 2 19 30 Cout 0230 0210 02475 6 2 95 175 02x1 x2 x3 0230 10 475 02875 175 Como podemos escolher qualquer valor para x2 existem infinitas combinações de x1 x2 e x3 que satisfazem as condições dadas A fração de C é fixada em 20 porque a equação para Cout é uma identidade e não impõe restrições adicionais sobre os valores de x1 x2 e x3 além das restrições impostas pelas equações para Aout e Bout Estudo de caso 3 análise de dados de sensores em uma planta industrial 1 2 a Para calcular a matriz D M T subtraímos cada elemento correspondente da matriz T da matriz M D 72 12 005 47 68 72 094 75 14 008 50 69 70 092 70 13 006 46 66 71 095 74 11 007 49 67 73 090 76 15 009 48 68 72 093 73 13 006 47 69 71 091 70 11 006 45 67 70 093 73 13 007 48 68 69 091 71 12 005 45 65 70 094 74 10 006 48 66 72 089 75 14 008 47 67 71 092 72 12 006 46 68 70 090 2 01 001 2 01 02 001 2 01 001 2 01 01 001 1 01 001 1 01 01 001 0 01 001 1 01 01 001 1 01 001 1 01 01 001 1 01 000 1 01 01 001 b Interpretação dos elementos D24 e D43 D24 2 Representa a variação no fluxo sensor S4 no setor B entre o turno atual e o turno anterior O valor de 2 indica que o fluxo aumentou em 2 unidades no setor B em relação ao turno anterior D43 001 Representa a variação na vibração sensor S3 no setor D entre o turno atual e o turno anterior O valor de 001 indica que a vibração aumentou em 001 unidades no setor D em relação ao turno anterior c Para calcular a matriz D 10 D multiplicamos cada elemento da matriz D por 10 D 10 2 01 001 2 01 02 001 2 01 001 2 01 01 001 1 01 001 1 01 01 001 0 01 001 1 01 01 001 1 01 001 1 01 01 001 1 01 000 1 01 01 001 20 1 01 20 1 2 01 20 1 01 20 1 1 01 10 1 01 10 1 1 01 0 1 01 10 1 1 01 10 1 01 10 1 1 01 10 1 00 10 1 1 01 3 a Para realizar a multiplicação R M P onde M é a matriz dada e P é o vetor de ponderação faremos o seguinte M 72 12 005 47 68 72 094 75 14 008 50 69 70 092 70 13 006 46 66 71 095 74 11 007 49 67 73 090 76 15 009 48 68 72 093 73 13 006 47 69 71 091 P 03 02 01 015 005 01 01 Calculando cada elemento de R R1 7203 1202 00501 47015 68005 7201 09401 29949 R2 7503 1402 00801 50015 69005 7001 09201 31425 R3 7003 1302 00601 46015 66005 7101 09501 29301 R4 7403 1102 00701 49015 67005 7301 09001 30932 R5 7603 1502 00901 48015 68005 7201 09301 31462 R6 7303 1302 00601 47015 69005 7101 09101 30362 Então o vetor R é R 29949 31425 29301 30932 31462 30362 b O setor com a maior pontuação é o setor 5 quinto setor com uma pontuação de 31462 Isso pode significar que o setor 5 tem uma combinação de leituras de sensores que de acordo com os pesos atribuídos indicam uma condição que merece atenção prioritária para manutenção preventiva Pode ser que este setor esteja mais próximo de atingir um limite crítico em alguma das variáveis monitoradas ou que a combinação específica de valores dos sensores neste setor seja um indicativo precoce de um problema que pode se agravar se não for tratado 4 a Calcule o determinante de C Para calcular o determinante de uma matriz 33 podemos usar a seguinte fórmula detC aei fh bdi fg cdh eg Onde C a b c d e f g h i Aplicando isso à matriz C detC 7214 006 008 13 1275 006 008 70 00575 13 14 70 Calculando os valores detC 720084 0104 1245 56 005975 98 detC 72002 1211 00505 detC 144 132 0025 detC 0145 b A matriz C é invertível Justifique com base no determinante Resposta Sim a matriz C é invertível Uma matriz é invertível se e somente se o seu determinante for diferente de zero Como o determinante de C é 0145 que é diferente de zero a matriz C é invertível b Para resolver o sistema de equações AX B podemos usar vários métodos como a eliminação de Gauss a regra de Cramer ou a inversão da matriz A Aqui usaremos a inversão da matriz A se existir Primeiro precisamos verificar se a matriz A é inversível calculando seu determinante Se o determinante for diferente de zero a matriz é inversível A18 Como o determinante é diferente de zero a matriz A é inversível Agora precisamos encontrar a matriz inversa de A denotada por A1 Este é um processo complexo e geralmente é feito com software Supondo que tenhamos calculado A1 a solução para X é X A1 B X 41667 350000 266667 16667 16667 16667 a matriz inversa neste contexto serve para desfazer a transformação ou o mapeamento que a matriz original C representa No contexto de calibração de sensores a matriz original C pode representar a relação entre os valores medidos pelos sensores e os valores reais das variáveis que estão sendo medidas A matriz inversa C¹ pode ser usada para estimar os valores reais das variáveis a partir das leituras dos sensores Isso é particularmente útil quando os sensores têm erros sistemáticos ou quando há necessidade de ajustar as leituras dos sensores para obter uma representação mais precisa da realidade A matriz inversa é útil quando você precisa resolver sistemas de equações lineares realizar transformações inversas ou corrigir erros sistemáticos em medições No contexto de sensores ela ajuda a calibrar e ajustar as leituras para obter dados mais precisos e confiáveis Estudo de caso 4 planejamento orçamentário de um projeto c Se for invertível calcule a inversa de C Para calcular a inversa de uma matriz 3x3 primeiro precisamos encontrar a matriz dos cofatores depois a matriz adjunta transposta da matriz dos cofatores e finalmente dividir cada elemento da matriz adjunta pelo determinante da matriz original 1 Matriz dos Cofatores 14x006008x13 75x006008x70 75x1314x70 12x006005x13 72x006005x70 72x1312x70 12x008005x14 72x008005x75 72x1412x75 Calculando 002 11 05 0007 317 66 0021 201 168 2 Matriz Adjunto Transposta da Matriz dos Cofatores 002 0007 0021 11 317 201 05 66 168 3 Inversa da Matriz C Dividimos cada elemento da matriz adjunta pelo determinante de C 0145 C1 10145 002 0007 0021 11 317 201 05 66 168 01379 00483 01448 75862 218621 138621 34483 455172 115862 c Verificação das quantidades Os valores obtidos para x1 a x6 são x1 41667 x2 350000 x3 266667 x4 16667 x5 16667 x6 16667 Nem todas as quantidades são positivas e inteiras Temos valores negativos e fracionários Implicações Valores Negativos Em um contexto de planejamento orçamentário valores negativos para as frentes de trabalho não fazem sentido Isso pode indicar que o modelo linear não é adequado para representar a realidade ou que há erros nos dados de entrada Valores Fracionários Valores fracionários também podem não fazer sentido dependendo do contexto Por exemplo se x1 representa o número de projetos de terraplanagem não podemos ter um número fracionário de projetos