·
Engenharia Civil ·
Outros
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Resistência dos Materiais Revisão Introdução à Teoria da Elasticidade Professor Prof Luiz Augusto C Moniz de Aragão Filho DSc Maj Bibliografia Referências Beer F P Johnston E R Resistência dos Materiais McGrawHill 1996 Frazão Guimarães H C Ávila J A Resistência dos Materiais IME 2001 Timoshenko SP Gere J E Mecânica dos Sólidos LTC 1994 Popov E P Mechanics of Materials Prentice Hall 1997 Índice 1 Introdução 2 11 Objetivo da Disciplina Resistência dos Materiais 2 12 Estaticidade e Estabilidade Apoios e Vínculos 2 2 Tensões e Deformações 3 21 Tensão Normal 4 22 Tensão Cisalhante 10 23 Tensões para um Carregamento Qualquer 15 3 Esforços Simples 17 4 Propriedades de Áreas Planas 19 5 Tensões e Deformações da Viga 23 6 Deformação do Eixo da Viga Elástica 28 7 Torção Cisalhamento Puro 32 8 Tensões Planas EPT Estado Plano de Tensões 37 Página 723 Resistência dos Materiais Revisão 2 1 Introdução 11 Objetivo da Disciplina Resistência dos Materiais O ESTUDO DOS FENÔMENOS LIGADOS ÀS SOLICITAÇÕES NO INTERIOR DOS CORPOS REAIS EM VIRTUDE DAS AÇÕES EXTERIORES A Resistência dos Materiais faz uso de hipóteses simplificadoras procurando dar soluções à maioria dos problemas práticos mediante expressões que sem o mesmo rigor das obtidas pela Teoria da Elasticidade são de emprego mais fácil no uso diário 12 Estaticidade e Estabilidade Apoios e Vínculos Resistência dos Materiais Revisão 3 Resistência dos Materiais Revisão 4 2 Tensões e Deformações 21 Tensão Normal Seja uma haste prismática em equilíbrio solicitada axialmente Assumindo a haste sem peso duas forças de mesma intensidade e sentidos contrários são necessárias em cada extremidade para manter o equilíbrio fig a Se o corpo como um todo está em equilíbrio qualquer segmento seu também está fig b e c A intensidade da força normal numa área infinitesimal da seção transversal é chamada de tensão normal fig e sendo geralmente denotada pela letra grega sigma Como cada um dos segmentos da haste dividido pelo plano imaginário fig a deve estar em equilíbrio podese afirmar que a tensão normal média na seção cortada é fig d Pa m N Área Força A P 2 Um cubo infinitesimal paralelepípedo elementar pode ser extraído da haste fig f sendo submetido somente a tensões normais Este estado de tensões em um elemento é chamado de estado uniaxial de tensões fig g e geralmente representado segundo a fig h Resistência dos Materiais Revisão 5 A tensão normal no caso mais geral depende da posição analisada e sua expressão teórica é A F A 0 lim Princípio de SaintVenant Efeitos localizados tendem a desaparecer à proporção que as forças em jogo se propagam para longe da região de sua aplicação aproximadamente igual à espessura ou largura da peça Quando assumimos que as forças internas estão uniformemente distribuídas ao longo da seção seguese que a resultante das forças internas está aplicada no centróide da seção transversal logo uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das forças aplicadas passar pelo centróide da seção considerada Resistência dos Materiais Revisão 6 Ensaio de Tração As informações relativas às propriedades físicas dos materiais vem sempre da realização de ensaios normatizados em laboratório No ensaio de tração não apenas a tensão última de resistência é determinada mas outras propriedades podem ser observadas À relação entre o enlongamento ocasionado pela tração e o comprimento inicial considerado dáse o nome de deformação L 00 st 0 m m A força atuante e as deformações resultantes são medidas à proporção que a carga aumenta no ensaio de tração Obtémse as tensões dividindose as forças medidas nas prensas pela área da seção transversal da barra e a deformação alongamento específico dividindose o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre a deformação Deste modo é possível determinar um diagrama tensãodeformação completo para o material em estudo Materiais Dúcteis X Materiais Frágeis Resistência dos Materiais Revisão 7 Diagrama TensãoDeformação Ponto A Limite de proporcionalidade Regime ElásticoLinear Trecho BC Patamar de Escoamento Regime Plástico Ponto D Tensão máxima última de ruptura Trecho CE Diagrama Tensãodeformação nominal estricção da seção de ruptura Trecho CE Diagrama Tensãodeformação real Tensão admissível Tensão utilizada para fins de projeto Normas determinísticas geralmente inferior ao limite de proporcionalidade Calculada a partir da Tensão de escoamento minorada por um coeficiente de segurança Conceito substituído por resistência de cálculo fcd fyd minorada a partir das resistências características Lei de Hooke Quando o material se comporta elasticamente e apresenta também uma relação linear entre tensão e deformação dizse que é linearmente elástico A relação entre a tensão e deformação pode ser então expressa pela equação E onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade longitudinal do material ou módulo de Young sendo o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensãodeformação Combinando as equação já apresentadas temos a seguinte expressão para o alongamento da barra EA PL O alongamento da barra é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal Rigidez é definida como a força necessária para produzir uma deformação unitária Logo a rigidez da barra solicitada axialmente é EA L Flexibilidade é o deslocamento decorrente da aplicação de uma carga unitária L EA Para a maioria dos materiais o módulo de elasticidade sob compressão é igual ao sob tração Para o caso mais geral do diagrama a proporcionalidade entre a tensão e a deformação é estabelecida pelo módulo de elasticidade tangente e é função da deformação do material Resistência dos Materiais Revisão 8 Exercício Resistência dos Materiais Revisão 9 Princípio da Superposição No regime elásticolinear os efeitos de um certo número de ações são iguais à soma dos que ocorreriam se cada uma das ações atuasse isoladamente e consideradas em qualquer ordem Coeficiente de Poisson Quando uma barra é tracionada o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral isto é a largura da barra tornase menor enquanto seu comprimento cresce A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro do regime elástico sendo conhecida como coeficiente de Poisson axial deformação deformação lateral Resistência dos Materiais Revisão 10 22 Tensão Cisalhante Seja a barra prismática agora seccionada segundo um plano que forma um ângulo com a seção transversal A parte esquerda está em equilíbrio sob a ação da carga externa P e a resultante das forças internas R A força R pode ser decomposta em duas componentes N e V que são normal e tangente respectivamente ao plano inclinado N Pcos V Psen A componente V é denominada de esforço Cortante produzindo tensões de cisalhamento distribuídas sobre toda a área da seção oblíqua O valor médio desta tensão pode ser obtido dividindose a força cortante total V pela área sobre a qual ela atua A V Como a área A da seção inclinada é A cos as tensões correspondentes a N e V são respectivamente 2 x 2 A P A N cos cos cos sen cos sen x A P A V onde x P A é a tensão na seção transversal normal ao eixo da barra direção x As equações acima mostram como e variam em função do ângulo Quando 0 o plano de seccionamento coincide com a seção transversal da peça acarretando x e 0 ou seja a tensão normal atinge seu valor máximo e a tensão cisalhante se anula Se o ângulo aumentar a tensão diminuirá até que em 2 anulase indicando que não há tensões normais entre fibras longitudinais da barra Já a tensão de cisalhamento atinge seu valor máximo em 4 x 2 max Resistência dos Materiais Revisão 11 A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo 2 cos sen cos sen sen cos x x x 2 x 2 x 2 2 2 Para uma barra tracionada a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é constante e igual a x e as tensões de cisalhamento em planos ortogonais são iguais em valor absoluto porém têm sinais opostos Resistência dos Materiais Revisão 12 Exercício Resistência dos Materiais Revisão 13 Deformação de Cisalhamento As tensões de cisalhamento causam distorção no paralelepípedo elementar transformando sua seção num paralelogramo conforme figura abaixo O ângulo formado mede a distorção do elemento como conseqüência do cisalhamento e é denominado deformação de cisalhamento e mede o deslocamento relativo das arestas opostas do paralelepípedo Lei de Hooke para o Cisalhamento A proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a respectiva distorção é estabelecida pelo módulo de elasticidade transversal G G O valor de G pode ser obtido experimentalmente ou através da relação que possui com o módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson em materiais isotrópicos 1 2 E G Resistência dos Materiais Revisão 14 Cisalhamento simples e cisalhamento duplo Resistência dos Materiais Revisão 15 23 Tensões para um Carregamento Qualquer xy Tensão cisalhante que atua na face perpendicular ao plano x segundo a direção y M z 0 yx xy xz zx zy yz Resistência dos Materiais Revisão 16 Generalização da Lei de Hooke Aplicando o princípio da superposição nas ações sobre um paralelepípedo elementar Elemento submetido à tensões triaxais E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x Exercício Resistência dos Materiais Revisão 17 3 Esforços Simples Seja um sistema de forças externas atuando num corpo genérico em equilíbrio Analisandose o corpo de forma seccionada e sabendose que o equilíbrio estático de cada uma das metades é mantido verificase a existência de um sistema resultante de forças equilibrantes realizado pela outra metade do corpo ao longo da seção P denominados de esforços internos Decompondose os vetores resultantes R e G em componentes normais e tangenciais ao plano da seção obtémse as Forças N e Q e os momentos M e T conhecidos como Esforços Simples Numa viga de seção retangular teríamos Resistência dos Materiais Revisão 18 Esforço Normal ou axial N Soma algébrica das projeções sobre a normal à seção das forças exteriores situadas de um mesmo lado da seção é positivo quando de tração tendendo a distender a seção ou negativo quando de compressão comprimindo a seção Esforço cortante Q Soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças exteriores situadas de um mesmo lado da seção tende a cortar a seção promover o seu deslizamento é positivo quando as projeções se orientam nos sentidos dos eixos ou negativo caso contrário Momento fletor M Soma vetorial das projeções sobre o plano da seção dos momentos das forças situadas de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade tende fazer a seção girar sobre um eixo localizado no seu próprio plano comprimindo uma parte e distendendo a outra é dito positivo quando orientado no sentido arbitrado para o eixo ou negativo caso contrário Momento torsor T Soma algébrica dos momentos em relação a um eixo perpendicular ao plano da seção e passando pelo seu centro de gravidade das forças exteriores situadas de um mesmo lado da seção tende a torcer a seção fazendoa girar em tomo de um eixo que lhe é perpendicular positivo quando sai da seção ou negativo caso contrário Resistência dos Materiais Revisão 19 4 Propriedades de Áreas Planas Momento Estático de Área Seja uma área A segundo um sistema de coordenadas xy onde se vê um elemento de área dA de coordenadas x e y A dA O centro geométrico C centróide da área tem suas coordenadas dadas por dA dA x x dA dA y y Os numeradores das equações acima são chamados de Momentos Estáticos da área Qy e Qx relativos aos eixos y e x respectivamente x dA Qy y dA Qx Área com um eixo de simetria o centróide pertence à este eixo Área com dois eixos de simetria o centróide localizase na interseção dos eixos Resistência dos Materiais Revisão 20 Momento de Inércia de superfície plana Seja uma massa pontual em repouso presa a uma haste que permite livremente o giro em torno de seu eixo Sabese que o tempo necessário para que a massa atinja uma certa velocidade de rotação após a aplicação de um binário ao sistema é proporcional ao valor da massa m e ao quadrado da distância da massa ao eixo da haste r2 O produto mr2 fornece portanto uma medida da inércia do sistema isto é da resistência que o sistema oferece quando tentamos colocálo em movimento sendo por esta razão denominado de momento de inércia da massa em relação ao eixo da haste Referindose a um corpo o momento de inércia de sua massa passa a ser a soma dos momentos de inércia infinitesimais sendo igual à r dm I 2 Considerando agora o momento de inércia de uma placa fina de espessura uniforme t feita de uma material homogêneo de massa específica r dm 2 r dA t 2 Momento de inércia de área Por analogia ao momento de inércia de massa os Momentos de Inércia de áreas planas ou Momentos Estáticos de 2ª ordem são definidos em relação aos eixos x e y respectivamente por y dA I 2 x x dA I 2 y 12 bh 24 b h 24 b h 3 b y b dy y y dA I 3 3 3 2 h 2 h 3 h2 h2 2 2 x Eixos Principais de Inércia são os eixos de uma área para os quais seus momentos de inércia assumem seus valores máximo e mínimo Seções com dupla simetria possuem seus eixos principais coincidentes com os eixos de simetria Resistência dos Materiais Revisão 21 Teorema dos Eixos Paralelos O momento de inércia de uma área em relação a um dado eixo X é igual ao momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico X paralelo a X mais o produto Ad² da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos Ad2 I I x x Momento de Inércia de Figuras compostas cálculo do centro de gravidade da área composta cálculo do momento de inércia das áreas regulares em relação ao eixo baricêntrico de cada figura cálculo do momento de inércia do conjunto pelo teorema dos eixos paralelos Resistência dos Materiais Revisão 22 O momento de inércia de uma área plana em relação a um eixo perpendicular ao plano da área é chamado Momento de Inércia Polar dA J 2 O x dA y dA x dA y dA J 2 2 2 2 2 O y x O I I J 2 r 32 d d 2 dA J 4 4 2 d 0 2 2 O Resistência dos Materiais Revisão 23 5 Tensões e Deformações da Viga Flexão Pura Flexão pura corresponde a um estado de deformação devido a um carregamento onde o único esforço interno atuante na estrutura é o momento fletor A ação dos momentos fletores faz com que o eixo da viga se curve como um arco circular permanecendo as seções transversais planas e normais às fibras longitudinais da viga As fibras da parte superior da viga estão sob compressão e as do lado inferior sob tração Certamente então em algum ponto entre os bordos superior e inferior da viga há uma superfície em que as fibras longitudinais não sofrem variação no comprimento Resistência dos Materiais Revisão 24 Esta superfície é denominada de superfície neutra e sua interseção com qualquer seção transversal dá a linha neutra da seção Os planos de duas seções transversais adjacentes encontramse num ponto o centro de curvatura da viga deformada com raio de curvatura e formam entre si um ângulo d dx d 1 curvatura As deformações longitudinais x são portanto diretamente proporcionais à curvatura e à distância y da superfície neutra y dx dx d y x Quando o material da viga está no regime elásticolinear as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra E y E x x Resistência dos Materiais Revisão 25 Como não há esforço normal resultante na seção 0 E y dA xdA ydA 0 Logo a linha neutra passa pelo centro geométrico centróide da seção na flexão pura O somatório dos momentos das forças elementares xdA em relação à linha neutra deve ser igual ao momento fletor M y dA E Ey ydA ydA M x 2 EI onde y2dA I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra e EI M 1 é a curvatura da viga em flexão pura Logo na flexão pura podemos dizer que a curvatura é diretamente proporcional ao momento fletor e inversamente proporcional ao módulo de rigidez à flexão EI As expressões das tensões normais na viga podem então ser colocadas na forma W M I My W M I My I My x x x inf inf max sup sup min onde inf inf I y W e sup sup I y W são respectivamente os módulos de resistência à flexão inferior e superior da área da seção transversal Quando a linha neutra for um eixo de simetria da seção W M W W W x max min inf sup As tensões normais não sofrem alterações significativas pela presença de tensões cisalhantes e suas respectivas deformações sendo por isso ainda válido o emprego da teoria da flexão pura seções permanecendo planas no cálculo de tensões normais para o caso de vigas com esforço cortante não nulo Resistência dos Materiais Revisão 26 Tensões de Cisalhamento em Vigas No caso geral de flexão de uma viga surgem nas seções transversais esforços internos de momento fletor e cortante Hipóteses sobre as tensões cisalhantes a são paralelas ao esforço cortante b distribuição uniforme na largura da viga Como já se sabe as tensões de cisalhamento vertical em qualquer ponto da seção transversal é numericamente igual à tensão de cisalhamento horizontal no mesmo ponto podendo ser calculada pela condição de equilíbrio do elemento hachurado pnn1p1 0 Fx 0 N V N 1 1 1 p n pp pn 1 1 1 p n pn pp N N V 2 h y 2 h y 1 1 I dA My dA I dM y M dx b 2 h y1 ydA dx dM b I 1 b I VQ média max max 1 5 A V 2 3 b 12 bh 4 bh h V b I VQ 3 seção retangular Resistência dos Materiais Revisão 27 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 28 6 Deformação do Eixo da Viga Elástica Da teoria da flexão pura EI M ds d 1 Hipótese de pequenos deslocamentos dx ds e dx dv tg Logo 1 ds d 1 EI M dx v d 2 2 Equação diferencial da linha elástica Em conjunto com as equações fundamentais da estática obtémse o seguinte sistema de equações que pode ser utilizado a partir dos dados disponíveis de carregamento e condições de apoio obtendose por integrações sucessivas a expressão analítica da deformada EI x q dx d v v EI x V dx d v v EI x M dx d v v 4 4 3 3 2 2 1 O sinal negativo é para compatibilizar o sinal da elástica com o do momento fletor M0 v0 Resistência dos Materiais Revisão 29 Exemplo Viga biapoiada com carregamento uniforme 2 x2 qL 2 x qL M x EI M v 2 x2 qL 2 x qL EI v 1 3 2 C 6 x qL 4 x qL EI v 2 1 4 3 C C x 24 x qL 12 x qL EI v mas para 0 0 v x C2 0 para 0 L v x 24 qL C 3 1 3 3 4 xL 2Lx EI x 24 q v x A equação acima permite achar a deflexão em qualquer ponto ao longo da viga A flecha máxima encontrase no meio do vão e tem o valor de EI 384 5qL 4 Resistência dos Materiais Revisão 30 Viga em balanço com carregamento uniforme x2 2 L q M x 0 0 v x Vigas Estaticamente Indeterminadas Grau de indeterminação estática hiperestaticidade nº reações nº eq equilíbrio Cada reação redundante hiperestática correponde à uma nova condição de contorno É possível determinar os esforços internos a partir da equação da elástica EI x q dx d v v 4 4 3 2 2 1 3 C C x 2 C x 3 q x x EI 1 v x 4 3 2 2 3 1 x C C x 2 x C 3 C x 4 q x x EI 1 v x EI x V dx d v v EI x M dx d v v 3 3 2 2 0 0 v x C4 0 0 0 v x C3 0 0 L v x 0 2 L C 6 C L 24 qL 2 2 3 1 4 0 L M x 0 C C L 2 qL 0 L x v 2 1 2 8 5qL C1 8 qL C 2 2 8 qL x 8 5qL 2 x q x M 2 2 8 qL 0 x M 2 Resistência dos Materiais Revisão 31 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 32 7 Torção Cisalhamento Puro Considere uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por meio de conjugados T atuando em suas extremidades fig a Uma barra carregada desse modo está sob Torção Pura L r dx d r ab bb L G G r torção pura Por equilíbrio de cada uma das partes seccionadas da barra sob torção pura podese estabelecer a relação entre o torque T momento torsor aplicado e o ângulo de torção por unidade de comprimento que ele ocasiona J G dA dA G G dA G dA T 2 J G T onde dA J 2 é momento de inércia polar da seção transversal circular Para um círculo o momento de inércia polar é 32 d 2 r J 4 4 O ângulo de torção por unidade de comprimento é portanto diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional ao módulo de rigidez à torção GJ GJ T O ângulo total de torção pode ser facilmente verificado experimentalmente fazendo com que o ensaio de torção permita a determinação do módulo de elasticidade transversal de um material GJ TL L Resistência dos Materiais Revisão 33 Durante a torção haverá rotação em torno do eixo longitudinal de uma extremidade da barra em relação à outra Os comprimentos dos lados do elemento dx fig b não variam durante esta rotação porém os ângulos dos vértices se distorcem o elemento está em estado de cisalhamento puro Ou seja na barras circulares as seções transversais se mantêm planas e conservam a sua forma Se um material mais fraco à tração do que ao cisalhamento for torcido a falha ocorrerá por tração ao longo de uma hélice com inclinação de 45º em relação ao eixo Resistência dos Materiais Revisão 34 A tensão de cisalhamento em um ponto da seção transversal distante do centro é J T J Tr max Portanto numa barra de seção circular a tensão de cisalhamento é máxima na superfície e nula no centro Em conseqüência por economia de material e diminuição do peso é preferível a utilização de barras vazadas no combate às solicitações de torção Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 35 Flexão e Torção combinadas I y M x Ib VQ J T xy Verificar o estado de tensões nos locais onde alguma das tensões particularmente atinge seus máximos Identificar pelo círculo de Mohr as tensões principais e a tensão máxima de cisalhamento Flexão e Carga Axial combinadas I y M A N x Princípio da superposição A linha neutra não mais passará pelo centróide podendo situarse até mesmo fora da seção Resistência dos Materiais Revisão 36 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 37 8 Tensões Planas EPT Estado Plano de Tensões Um elemento com tensões planas pode ter tensões normais e de cisalhamento nas faces x e y porém não pode ter tensão nenhuma na face z 0 z zy zx Por equilíbrio do elemento da figura b F 0 cos sen sen sen sen cos cos cos xy y yx x A A A A A sen cos sen cos xy 2 y 2 x 2 substituindo 2 2 1 1 2 cos cos 2 2 1 1 2 cos sen 2 2 1 sen cos sen 2 2 2 1 2 1 yx y x y x sen cos 0 F 90º 2 2 2 1 yx y x cos sen Resistência dos Materiais Revisão 38 Tensões Principais 0 d d y x 2 yx 2 tan 2 2 2 2 xy y x y x maxmin Tensões Máximas de Cisalhamento 0 d d 2 min max max Círculo de Mohr Combinandose as equações que exprimem os valores de e 2 yx 2 y x 2 2 média 2 que representa a equação de um círculo segundo os eixos e com centro em média e 0 com raio igual a 2 yx 2 y x 2 R Resistência dos Materiais Revisão 39 Estado Uniaxial de Tensões Tensões Principais Tensão de Cisalhamento Máxima 2 min max nos planos de tensões máximas de cisalhamento Resistência dos Materiais Revisão 40 Invariante de tensões mín máx y x Exemplo de Construção do Círculo de Mohr Desejase a partir do desenho do círculo de Mohr descrever os planos principais as tensões principais e a tensão máxima de cisalhamento do elemento da figa a Desenho do círculo face x face y MPa xy MPa x 40 50 MPa yx MPa y 40 10 20MPa 2 10 50 2 y x média 30MPa 20 50 CF FX 40MPa 50MPa FX CF CX R 2 2 b Planos e tensões principais max OA 70MPa 30MPa OB min º º tan 26 6 53 1 2 30 40 CF FX 2 p p p c Tensão máxima de cisalhamento max R 50MPa Resistência dos Materiais Revisão 41 Tensões Principais em Vigas Na fig abaixo apresentamse o estado de tensões em viga de seção transversal retangular b Tensões normais de cisalhamento nos pontos A B C D e E c Tensões Principais d Tensões máximas de cisalhamento Na figura abaixo as linhas cheias representam as trajetórias das tensões principais de tração e as linhas pontilhadas para as tensões principais de compressão Resistência dos Materiais Revisão 42 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 43 Resistência dos Materiais Revisão 44 Resistência dos Materiais Revisão 45 Exemplo Uma força horizontal P de 670N é aplicada à extremidade D da alavanca ABD Determinar a as tensões normal e de cisalhamento em um cubo elementar situado no ponto H com lados paralelos aos eixos x e y b os planos principais e as tensões principais Solução Estabelecendo uma seção transversal que passa pelo ponto H e reduzindo o conjunto de forças externas aplicadas à estrutura ao centro de massa da seção transversal obtémse P 670N 301 5Nm 670N 0 45m T 167 5Nm 670N 0 25m M x x 0 2MPa 63 0 015 2 167 5 0 015 z I M 4 x x y 9MPa 56 0 015 2 301 5 0 015 r J T 4 O xy Resistência dos Materiais Revisão 46 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 47 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 48 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 49 Exercícios
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
Texto de pré-visualização
Resistência dos Materiais Revisão Introdução à Teoria da Elasticidade Professor Prof Luiz Augusto C Moniz de Aragão Filho DSc Maj Bibliografia Referências Beer F P Johnston E R Resistência dos Materiais McGrawHill 1996 Frazão Guimarães H C Ávila J A Resistência dos Materiais IME 2001 Timoshenko SP Gere J E Mecânica dos Sólidos LTC 1994 Popov E P Mechanics of Materials Prentice Hall 1997 Índice 1 Introdução 2 11 Objetivo da Disciplina Resistência dos Materiais 2 12 Estaticidade e Estabilidade Apoios e Vínculos 2 2 Tensões e Deformações 3 21 Tensão Normal 4 22 Tensão Cisalhante 10 23 Tensões para um Carregamento Qualquer 15 3 Esforços Simples 17 4 Propriedades de Áreas Planas 19 5 Tensões e Deformações da Viga 23 6 Deformação do Eixo da Viga Elástica 28 7 Torção Cisalhamento Puro 32 8 Tensões Planas EPT Estado Plano de Tensões 37 Página 723 Resistência dos Materiais Revisão 2 1 Introdução 11 Objetivo da Disciplina Resistência dos Materiais O ESTUDO DOS FENÔMENOS LIGADOS ÀS SOLICITAÇÕES NO INTERIOR DOS CORPOS REAIS EM VIRTUDE DAS AÇÕES EXTERIORES A Resistência dos Materiais faz uso de hipóteses simplificadoras procurando dar soluções à maioria dos problemas práticos mediante expressões que sem o mesmo rigor das obtidas pela Teoria da Elasticidade são de emprego mais fácil no uso diário 12 Estaticidade e Estabilidade Apoios e Vínculos Resistência dos Materiais Revisão 3 Resistência dos Materiais Revisão 4 2 Tensões e Deformações 21 Tensão Normal Seja uma haste prismática em equilíbrio solicitada axialmente Assumindo a haste sem peso duas forças de mesma intensidade e sentidos contrários são necessárias em cada extremidade para manter o equilíbrio fig a Se o corpo como um todo está em equilíbrio qualquer segmento seu também está fig b e c A intensidade da força normal numa área infinitesimal da seção transversal é chamada de tensão normal fig e sendo geralmente denotada pela letra grega sigma Como cada um dos segmentos da haste dividido pelo plano imaginário fig a deve estar em equilíbrio podese afirmar que a tensão normal média na seção cortada é fig d Pa m N Área Força A P 2 Um cubo infinitesimal paralelepípedo elementar pode ser extraído da haste fig f sendo submetido somente a tensões normais Este estado de tensões em um elemento é chamado de estado uniaxial de tensões fig g e geralmente representado segundo a fig h Resistência dos Materiais Revisão 5 A tensão normal no caso mais geral depende da posição analisada e sua expressão teórica é A F A 0 lim Princípio de SaintVenant Efeitos localizados tendem a desaparecer à proporção que as forças em jogo se propagam para longe da região de sua aplicação aproximadamente igual à espessura ou largura da peça Quando assumimos que as forças internas estão uniformemente distribuídas ao longo da seção seguese que a resultante das forças internas está aplicada no centróide da seção transversal logo uma distribuição uniforme de tensões só é possível se a linha de ação das forças aplicadas passar pelo centróide da seção considerada Resistência dos Materiais Revisão 6 Ensaio de Tração As informações relativas às propriedades físicas dos materiais vem sempre da realização de ensaios normatizados em laboratório No ensaio de tração não apenas a tensão última de resistência é determinada mas outras propriedades podem ser observadas À relação entre o enlongamento ocasionado pela tração e o comprimento inicial considerado dáse o nome de deformação L 00 st 0 m m A força atuante e as deformações resultantes são medidas à proporção que a carga aumenta no ensaio de tração Obtémse as tensões dividindose as forças medidas nas prensas pela área da seção transversal da barra e a deformação alongamento específico dividindose o alongamento pelo comprimento ao longo do qual ocorre a deformação Deste modo é possível determinar um diagrama tensãodeformação completo para o material em estudo Materiais Dúcteis X Materiais Frágeis Resistência dos Materiais Revisão 7 Diagrama TensãoDeformação Ponto A Limite de proporcionalidade Regime ElásticoLinear Trecho BC Patamar de Escoamento Regime Plástico Ponto D Tensão máxima última de ruptura Trecho CE Diagrama Tensãodeformação nominal estricção da seção de ruptura Trecho CE Diagrama Tensãodeformação real Tensão admissível Tensão utilizada para fins de projeto Normas determinísticas geralmente inferior ao limite de proporcionalidade Calculada a partir da Tensão de escoamento minorada por um coeficiente de segurança Conceito substituído por resistência de cálculo fcd fyd minorada a partir das resistências características Lei de Hooke Quando o material se comporta elasticamente e apresenta também uma relação linear entre tensão e deformação dizse que é linearmente elástico A relação entre a tensão e deformação pode ser então expressa pela equação E onde E é uma constante de proporcionalidade conhecida como módulo de elasticidade longitudinal do material ou módulo de Young sendo o coeficiente angular da parte linear do diagrama tensãodeformação Combinando as equação já apresentadas temos a seguinte expressão para o alongamento da barra EA PL O alongamento da barra é diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao módulo de elasticidade e à área da seção transversal Rigidez é definida como a força necessária para produzir uma deformação unitária Logo a rigidez da barra solicitada axialmente é EA L Flexibilidade é o deslocamento decorrente da aplicação de uma carga unitária L EA Para a maioria dos materiais o módulo de elasticidade sob compressão é igual ao sob tração Para o caso mais geral do diagrama a proporcionalidade entre a tensão e a deformação é estabelecida pelo módulo de elasticidade tangente e é função da deformação do material Resistência dos Materiais Revisão 8 Exercício Resistência dos Materiais Revisão 9 Princípio da Superposição No regime elásticolinear os efeitos de um certo número de ações são iguais à soma dos que ocorreriam se cada uma das ações atuasse isoladamente e consideradas em qualquer ordem Coeficiente de Poisson Quando uma barra é tracionada o alongamento axial é acompanhado por uma contração lateral isto é a largura da barra tornase menor enquanto seu comprimento cresce A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro do regime elástico sendo conhecida como coeficiente de Poisson axial deformação deformação lateral Resistência dos Materiais Revisão 10 22 Tensão Cisalhante Seja a barra prismática agora seccionada segundo um plano que forma um ângulo com a seção transversal A parte esquerda está em equilíbrio sob a ação da carga externa P e a resultante das forças internas R A força R pode ser decomposta em duas componentes N e V que são normal e tangente respectivamente ao plano inclinado N Pcos V Psen A componente V é denominada de esforço Cortante produzindo tensões de cisalhamento distribuídas sobre toda a área da seção oblíqua O valor médio desta tensão pode ser obtido dividindose a força cortante total V pela área sobre a qual ela atua A V Como a área A da seção inclinada é A cos as tensões correspondentes a N e V são respectivamente 2 x 2 A P A N cos cos cos sen cos sen x A P A V onde x P A é a tensão na seção transversal normal ao eixo da barra direção x As equações acima mostram como e variam em função do ângulo Quando 0 o plano de seccionamento coincide com a seção transversal da peça acarretando x e 0 ou seja a tensão normal atinge seu valor máximo e a tensão cisalhante se anula Se o ângulo aumentar a tensão diminuirá até que em 2 anulase indicando que não há tensões normais entre fibras longitudinais da barra Já a tensão de cisalhamento atinge seu valor máximo em 4 x 2 max Resistência dos Materiais Revisão 11 A normal do lado ab do elemento é orientada pelo ângulo 2 cos sen cos sen sen cos x x x 2 x 2 x 2 2 2 Para uma barra tracionada a soma das tensões normais em dois planos perpendiculares é constante e igual a x e as tensões de cisalhamento em planos ortogonais são iguais em valor absoluto porém têm sinais opostos Resistência dos Materiais Revisão 12 Exercício Resistência dos Materiais Revisão 13 Deformação de Cisalhamento As tensões de cisalhamento causam distorção no paralelepípedo elementar transformando sua seção num paralelogramo conforme figura abaixo O ângulo formado mede a distorção do elemento como conseqüência do cisalhamento e é denominado deformação de cisalhamento e mede o deslocamento relativo das arestas opostas do paralelepípedo Lei de Hooke para o Cisalhamento A proporcionalidade entre a tensão de cisalhamento e a respectiva distorção é estabelecida pelo módulo de elasticidade transversal G G O valor de G pode ser obtido experimentalmente ou através da relação que possui com o módulo de elasticidade longitudinal e o coeficiente de Poisson em materiais isotrópicos 1 2 E G Resistência dos Materiais Revisão 14 Cisalhamento simples e cisalhamento duplo Resistência dos Materiais Revisão 15 23 Tensões para um Carregamento Qualquer xy Tensão cisalhante que atua na face perpendicular ao plano x segundo a direção y M z 0 yx xy xz zx zy yz Resistência dos Materiais Revisão 16 Generalização da Lei de Hooke Aplicando o princípio da superposição nas ações sobre um paralelepípedo elementar Elemento submetido à tensões triaxais E E E E E E E E E z y x z z y x y z y x x Exercício Resistência dos Materiais Revisão 17 3 Esforços Simples Seja um sistema de forças externas atuando num corpo genérico em equilíbrio Analisandose o corpo de forma seccionada e sabendose que o equilíbrio estático de cada uma das metades é mantido verificase a existência de um sistema resultante de forças equilibrantes realizado pela outra metade do corpo ao longo da seção P denominados de esforços internos Decompondose os vetores resultantes R e G em componentes normais e tangenciais ao plano da seção obtémse as Forças N e Q e os momentos M e T conhecidos como Esforços Simples Numa viga de seção retangular teríamos Resistência dos Materiais Revisão 18 Esforço Normal ou axial N Soma algébrica das projeções sobre a normal à seção das forças exteriores situadas de um mesmo lado da seção é positivo quando de tração tendendo a distender a seção ou negativo quando de compressão comprimindo a seção Esforço cortante Q Soma vetorial das projeções sobre o plano da seção das forças exteriores situadas de um mesmo lado da seção tende a cortar a seção promover o seu deslizamento é positivo quando as projeções se orientam nos sentidos dos eixos ou negativo caso contrário Momento fletor M Soma vetorial das projeções sobre o plano da seção dos momentos das forças situadas de um mesmo lado da seção em relação ao seu centro de gravidade tende fazer a seção girar sobre um eixo localizado no seu próprio plano comprimindo uma parte e distendendo a outra é dito positivo quando orientado no sentido arbitrado para o eixo ou negativo caso contrário Momento torsor T Soma algébrica dos momentos em relação a um eixo perpendicular ao plano da seção e passando pelo seu centro de gravidade das forças exteriores situadas de um mesmo lado da seção tende a torcer a seção fazendoa girar em tomo de um eixo que lhe é perpendicular positivo quando sai da seção ou negativo caso contrário Resistência dos Materiais Revisão 19 4 Propriedades de Áreas Planas Momento Estático de Área Seja uma área A segundo um sistema de coordenadas xy onde se vê um elemento de área dA de coordenadas x e y A dA O centro geométrico C centróide da área tem suas coordenadas dadas por dA dA x x dA dA y y Os numeradores das equações acima são chamados de Momentos Estáticos da área Qy e Qx relativos aos eixos y e x respectivamente x dA Qy y dA Qx Área com um eixo de simetria o centróide pertence à este eixo Área com dois eixos de simetria o centróide localizase na interseção dos eixos Resistência dos Materiais Revisão 20 Momento de Inércia de superfície plana Seja uma massa pontual em repouso presa a uma haste que permite livremente o giro em torno de seu eixo Sabese que o tempo necessário para que a massa atinja uma certa velocidade de rotação após a aplicação de um binário ao sistema é proporcional ao valor da massa m e ao quadrado da distância da massa ao eixo da haste r2 O produto mr2 fornece portanto uma medida da inércia do sistema isto é da resistência que o sistema oferece quando tentamos colocálo em movimento sendo por esta razão denominado de momento de inércia da massa em relação ao eixo da haste Referindose a um corpo o momento de inércia de sua massa passa a ser a soma dos momentos de inércia infinitesimais sendo igual à r dm I 2 Considerando agora o momento de inércia de uma placa fina de espessura uniforme t feita de uma material homogêneo de massa específica r dm 2 r dA t 2 Momento de inércia de área Por analogia ao momento de inércia de massa os Momentos de Inércia de áreas planas ou Momentos Estáticos de 2ª ordem são definidos em relação aos eixos x e y respectivamente por y dA I 2 x x dA I 2 y 12 bh 24 b h 24 b h 3 b y b dy y y dA I 3 3 3 2 h 2 h 3 h2 h2 2 2 x Eixos Principais de Inércia são os eixos de uma área para os quais seus momentos de inércia assumem seus valores máximo e mínimo Seções com dupla simetria possuem seus eixos principais coincidentes com os eixos de simetria Resistência dos Materiais Revisão 21 Teorema dos Eixos Paralelos O momento de inércia de uma área em relação a um dado eixo X é igual ao momento de inércia em relação ao eixo baricêntrico X paralelo a X mais o produto Ad² da área pelo quadrado da distância entre os dois eixos Ad2 I I x x Momento de Inércia de Figuras compostas cálculo do centro de gravidade da área composta cálculo do momento de inércia das áreas regulares em relação ao eixo baricêntrico de cada figura cálculo do momento de inércia do conjunto pelo teorema dos eixos paralelos Resistência dos Materiais Revisão 22 O momento de inércia de uma área plana em relação a um eixo perpendicular ao plano da área é chamado Momento de Inércia Polar dA J 2 O x dA y dA x dA y dA J 2 2 2 2 2 O y x O I I J 2 r 32 d d 2 dA J 4 4 2 d 0 2 2 O Resistência dos Materiais Revisão 23 5 Tensões e Deformações da Viga Flexão Pura Flexão pura corresponde a um estado de deformação devido a um carregamento onde o único esforço interno atuante na estrutura é o momento fletor A ação dos momentos fletores faz com que o eixo da viga se curve como um arco circular permanecendo as seções transversais planas e normais às fibras longitudinais da viga As fibras da parte superior da viga estão sob compressão e as do lado inferior sob tração Certamente então em algum ponto entre os bordos superior e inferior da viga há uma superfície em que as fibras longitudinais não sofrem variação no comprimento Resistência dos Materiais Revisão 24 Esta superfície é denominada de superfície neutra e sua interseção com qualquer seção transversal dá a linha neutra da seção Os planos de duas seções transversais adjacentes encontramse num ponto o centro de curvatura da viga deformada com raio de curvatura e formam entre si um ângulo d dx d 1 curvatura As deformações longitudinais x são portanto diretamente proporcionais à curvatura e à distância y da superfície neutra y dx dx d y x Quando o material da viga está no regime elásticolinear as tensões variam linearmente com a distância y da linha neutra E y E x x Resistência dos Materiais Revisão 25 Como não há esforço normal resultante na seção 0 E y dA xdA ydA 0 Logo a linha neutra passa pelo centro geométrico centróide da seção na flexão pura O somatório dos momentos das forças elementares xdA em relação à linha neutra deve ser igual ao momento fletor M y dA E Ey ydA ydA M x 2 EI onde y2dA I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra e EI M 1 é a curvatura da viga em flexão pura Logo na flexão pura podemos dizer que a curvatura é diretamente proporcional ao momento fletor e inversamente proporcional ao módulo de rigidez à flexão EI As expressões das tensões normais na viga podem então ser colocadas na forma W M I My W M I My I My x x x inf inf max sup sup min onde inf inf I y W e sup sup I y W são respectivamente os módulos de resistência à flexão inferior e superior da área da seção transversal Quando a linha neutra for um eixo de simetria da seção W M W W W x max min inf sup As tensões normais não sofrem alterações significativas pela presença de tensões cisalhantes e suas respectivas deformações sendo por isso ainda válido o emprego da teoria da flexão pura seções permanecendo planas no cálculo de tensões normais para o caso de vigas com esforço cortante não nulo Resistência dos Materiais Revisão 26 Tensões de Cisalhamento em Vigas No caso geral de flexão de uma viga surgem nas seções transversais esforços internos de momento fletor e cortante Hipóteses sobre as tensões cisalhantes a são paralelas ao esforço cortante b distribuição uniforme na largura da viga Como já se sabe as tensões de cisalhamento vertical em qualquer ponto da seção transversal é numericamente igual à tensão de cisalhamento horizontal no mesmo ponto podendo ser calculada pela condição de equilíbrio do elemento hachurado pnn1p1 0 Fx 0 N V N 1 1 1 p n pp pn 1 1 1 p n pn pp N N V 2 h y 2 h y 1 1 I dA My dA I dM y M dx b 2 h y1 ydA dx dM b I 1 b I VQ média max max 1 5 A V 2 3 b 12 bh 4 bh h V b I VQ 3 seção retangular Resistência dos Materiais Revisão 27 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 28 6 Deformação do Eixo da Viga Elástica Da teoria da flexão pura EI M ds d 1 Hipótese de pequenos deslocamentos dx ds e dx dv tg Logo 1 ds d 1 EI M dx v d 2 2 Equação diferencial da linha elástica Em conjunto com as equações fundamentais da estática obtémse o seguinte sistema de equações que pode ser utilizado a partir dos dados disponíveis de carregamento e condições de apoio obtendose por integrações sucessivas a expressão analítica da deformada EI x q dx d v v EI x V dx d v v EI x M dx d v v 4 4 3 3 2 2 1 O sinal negativo é para compatibilizar o sinal da elástica com o do momento fletor M0 v0 Resistência dos Materiais Revisão 29 Exemplo Viga biapoiada com carregamento uniforme 2 x2 qL 2 x qL M x EI M v 2 x2 qL 2 x qL EI v 1 3 2 C 6 x qL 4 x qL EI v 2 1 4 3 C C x 24 x qL 12 x qL EI v mas para 0 0 v x C2 0 para 0 L v x 24 qL C 3 1 3 3 4 xL 2Lx EI x 24 q v x A equação acima permite achar a deflexão em qualquer ponto ao longo da viga A flecha máxima encontrase no meio do vão e tem o valor de EI 384 5qL 4 Resistência dos Materiais Revisão 30 Viga em balanço com carregamento uniforme x2 2 L q M x 0 0 v x Vigas Estaticamente Indeterminadas Grau de indeterminação estática hiperestaticidade nº reações nº eq equilíbrio Cada reação redundante hiperestática correponde à uma nova condição de contorno É possível determinar os esforços internos a partir da equação da elástica EI x q dx d v v 4 4 3 2 2 1 3 C C x 2 C x 3 q x x EI 1 v x 4 3 2 2 3 1 x C C x 2 x C 3 C x 4 q x x EI 1 v x EI x V dx d v v EI x M dx d v v 3 3 2 2 0 0 v x C4 0 0 0 v x C3 0 0 L v x 0 2 L C 6 C L 24 qL 2 2 3 1 4 0 L M x 0 C C L 2 qL 0 L x v 2 1 2 8 5qL C1 8 qL C 2 2 8 qL x 8 5qL 2 x q x M 2 2 8 qL 0 x M 2 Resistência dos Materiais Revisão 31 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 32 7 Torção Cisalhamento Puro Considere uma barra de seção transversal circular sofrendo torção por meio de conjugados T atuando em suas extremidades fig a Uma barra carregada desse modo está sob Torção Pura L r dx d r ab bb L G G r torção pura Por equilíbrio de cada uma das partes seccionadas da barra sob torção pura podese estabelecer a relação entre o torque T momento torsor aplicado e o ângulo de torção por unidade de comprimento que ele ocasiona J G dA dA G G dA G dA T 2 J G T onde dA J 2 é momento de inércia polar da seção transversal circular Para um círculo o momento de inércia polar é 32 d 2 r J 4 4 O ângulo de torção por unidade de comprimento é portanto diretamente proporcional ao torque T e inversamente proporcional ao módulo de rigidez à torção GJ GJ T O ângulo total de torção pode ser facilmente verificado experimentalmente fazendo com que o ensaio de torção permita a determinação do módulo de elasticidade transversal de um material GJ TL L Resistência dos Materiais Revisão 33 Durante a torção haverá rotação em torno do eixo longitudinal de uma extremidade da barra em relação à outra Os comprimentos dos lados do elemento dx fig b não variam durante esta rotação porém os ângulos dos vértices se distorcem o elemento está em estado de cisalhamento puro Ou seja na barras circulares as seções transversais se mantêm planas e conservam a sua forma Se um material mais fraco à tração do que ao cisalhamento for torcido a falha ocorrerá por tração ao longo de uma hélice com inclinação de 45º em relação ao eixo Resistência dos Materiais Revisão 34 A tensão de cisalhamento em um ponto da seção transversal distante do centro é J T J Tr max Portanto numa barra de seção circular a tensão de cisalhamento é máxima na superfície e nula no centro Em conseqüência por economia de material e diminuição do peso é preferível a utilização de barras vazadas no combate às solicitações de torção Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 35 Flexão e Torção combinadas I y M x Ib VQ J T xy Verificar o estado de tensões nos locais onde alguma das tensões particularmente atinge seus máximos Identificar pelo círculo de Mohr as tensões principais e a tensão máxima de cisalhamento Flexão e Carga Axial combinadas I y M A N x Princípio da superposição A linha neutra não mais passará pelo centróide podendo situarse até mesmo fora da seção Resistência dos Materiais Revisão 36 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 37 8 Tensões Planas EPT Estado Plano de Tensões Um elemento com tensões planas pode ter tensões normais e de cisalhamento nas faces x e y porém não pode ter tensão nenhuma na face z 0 z zy zx Por equilíbrio do elemento da figura b F 0 cos sen sen sen sen cos cos cos xy y yx x A A A A A sen cos sen cos xy 2 y 2 x 2 substituindo 2 2 1 1 2 cos cos 2 2 1 1 2 cos sen 2 2 1 sen cos sen 2 2 2 1 2 1 yx y x y x sen cos 0 F 90º 2 2 2 1 yx y x cos sen Resistência dos Materiais Revisão 38 Tensões Principais 0 d d y x 2 yx 2 tan 2 2 2 2 xy y x y x maxmin Tensões Máximas de Cisalhamento 0 d d 2 min max max Círculo de Mohr Combinandose as equações que exprimem os valores de e 2 yx 2 y x 2 2 média 2 que representa a equação de um círculo segundo os eixos e com centro em média e 0 com raio igual a 2 yx 2 y x 2 R Resistência dos Materiais Revisão 39 Estado Uniaxial de Tensões Tensões Principais Tensão de Cisalhamento Máxima 2 min max nos planos de tensões máximas de cisalhamento Resistência dos Materiais Revisão 40 Invariante de tensões mín máx y x Exemplo de Construção do Círculo de Mohr Desejase a partir do desenho do círculo de Mohr descrever os planos principais as tensões principais e a tensão máxima de cisalhamento do elemento da figa a Desenho do círculo face x face y MPa xy MPa x 40 50 MPa yx MPa y 40 10 20MPa 2 10 50 2 y x média 30MPa 20 50 CF FX 40MPa 50MPa FX CF CX R 2 2 b Planos e tensões principais max OA 70MPa 30MPa OB min º º tan 26 6 53 1 2 30 40 CF FX 2 p p p c Tensão máxima de cisalhamento max R 50MPa Resistência dos Materiais Revisão 41 Tensões Principais em Vigas Na fig abaixo apresentamse o estado de tensões em viga de seção transversal retangular b Tensões normais de cisalhamento nos pontos A B C D e E c Tensões Principais d Tensões máximas de cisalhamento Na figura abaixo as linhas cheias representam as trajetórias das tensões principais de tração e as linhas pontilhadas para as tensões principais de compressão Resistência dos Materiais Revisão 42 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 43 Resistência dos Materiais Revisão 44 Resistência dos Materiais Revisão 45 Exemplo Uma força horizontal P de 670N é aplicada à extremidade D da alavanca ABD Determinar a as tensões normal e de cisalhamento em um cubo elementar situado no ponto H com lados paralelos aos eixos x e y b os planos principais e as tensões principais Solução Estabelecendo uma seção transversal que passa pelo ponto H e reduzindo o conjunto de forças externas aplicadas à estrutura ao centro de massa da seção transversal obtémse P 670N 301 5Nm 670N 0 45m T 167 5Nm 670N 0 25m M x x 0 2MPa 63 0 015 2 167 5 0 015 z I M 4 x x y 9MPa 56 0 015 2 301 5 0 015 r J T 4 O xy Resistência dos Materiais Revisão 46 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 47 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 48 Exercícios Resistência dos Materiais Revisão 49 Exercícios