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UNIDADE 7 Funcoes trigonometricas Objetivos de aprendizagem Identificar fungdes trigonométricas em diferentes situacdesproblema Desenvolver leituras graficas envolvendo funcdes trigonométricas Bey Secoes de estudo Segao 1 Introdugao Secao2 Relacdes trigonométricas no triangulo retangulo Segao 3 Funcoes trigonométricas Segao 4 Funcoes trigonométricas inversas 188 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad estão sempre inventando uns fins de semana diferentes Veja o que eles estão conversando na academia Ted vamos combinar no próximo feriadão um passeio radical Que tal lembrar do nosso sonho de adolescente e fazer uma escalada no Morro da Cruz Oh Cara Pirou Esqueceu que escalar é um desejo tão humano como o de voar É mas é um esporte de muito risco sobretudo porque exige preparo físico e eu estou um bocado enferrujado Sabe Mad ainda lembro de palavras do dicionário de alpinismo que consultamos para fazer uma pesquisa no colégio Puxa O que você lembra SOROCHE Soroche O que significa É o chamado mal das alturas que ocorre a partir dos 3500 metros de altura É você sempre tem boa memória Que horas são Sete Puxa cara vou nessa estou atrasado ainda tenho uma reunião de negócios no jantar Até mais Fica pra próxima a nossa escalada Até Tópicos de Matemática Elementar Iindb 188 1332008 174241 189 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Seção 1 Introdução Para discutir as funções trigonométricas é necessário lembrar da trigonometria no triângulo retângulo Assim nesta primeira seção vamos fazer uma revisão para que você possa discutir com facilidade os objetos envolvidos no contexto das funções trigonométricas Lembrando da conversa do Ted e Mad vamos iniciar discutindo o que é um índice de subida Este conceito é conhecido pelos alpinistas pois existe uma preferência por subidas íngremes Na Figura 71 você pode observar duas subidas Qual a mais íngreme A B Figura 71 Subidas Com toda a certeza você vai responder que a subida mais íngreme é a subida em A A referência matemática para fazer a análise é a medida do ângulo de subida que no caso A é maior que em B É possível definir o ângulo de subida a partir do conhecimento de pelo menos duas das medidas relacionadas com a situação percurso altura e afastamento ver Figura 72 Figura 72 Medidas relacionadas com o ângulo de subida Tópicos de Matemática Elementar Iindb 189 1332008 174241 190 Universidade do Sul de Santa Catarina Para discutir essa situaçãoproblema e outras situações similares são necessários objetos matemáticos no contexto da trigonometria no triângulo retângulo Em geral o índice de subida é dado pela relação índice de subida altura afastamento Você vai observar na seção seguinte que esta relação é a definição da tangente do ângulo de subida Porém outras relações ainda podem ser definidas para facilitar cálculos necessários na resolução de diferentes problemas práticos A partir dessas relações podemos discutir as funções trigonométricas ou funções circulares Olhando o passado A trigonometria é uma parte da Matemática bem antiga A primeira tabela com razões trigonométricas foi compilada por Hiparco no século II aC essa ferramenta matemática atendia aos interesses da astronomia agrimensura e navegação A transição dos estudos das razões trigonométricas para as funções trigonométricas começou no século XVI com o Matemático Viète e culminou no século XVIII com o trabalho de euler Formalmente existe diferença entre as definições das funções trigonométricas e das funções circulares entretanto neste texto não vamos nos preocupar com essa diferença para tal vamos ter o cuidado de trabalhar com os ângulos medidos em radianos Para os interessados em mais detalhes recomendamos a leitura do artigo Seno de 30 é um meio de Renate G Watanabe disponível na Revista do Professor de Matemática n 30 p 2632 do primeiro quadrimestre de 1996 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 190 1332008 174242 191 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Seção 2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Quando estamos falando de trigonometria no triângulo retângulo os ângulos são medidos de 00 zero graus a 1800 cento e oitenta graus ou de 0 a π radianos Pare Observe Para todo círculo a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante esta constante é denotada pela letra grega π Pi que é um número irracional isto é não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros Uma aproximação para π com 10 dígitos é 31415926536 Pare Revise É importante que você pare e revise o Teorema de Pitágoras Se considerarmos a medida da hipotenusa b medida do cateto oposto ao ângulo B c medida do cateto oposto ao ângulo C Podemos escrever a b c 2 2 2 Observe na Figura 73 as propriedades e razões estabelecidas a partir do triângulo retângulo ABC Figura 73 Triângulo retângulo B Tópicos de Matemática Elementar Iindb 191 1332008 174243 192 Universidade do Sul de Santa Catarina 1 O triângulo ABC é retângulo O ângulo A é o ângulo reto mede noventa graus 2 A hipotenusa do triângulo dado mede a e os catetos medem b e c 3 O cateto b é oposto ao ângulo B e adjacente ao ângulo C 4 O cateto c é oposto ao ângulo C e adjacente ao ângulo B 5 Vale o Teorema de Pitágoras a b c 2 2 2 Valem as relações que definem 6 Seno de B sen B cateto oposto hipotenusa ou sen B b a Cosseno de B cos B cateto adjacente hipotenusa ou cos B c a Tangente de B tg B cateto oposto cateto adjacente ou tg B b c De forma similar podemos estabelecer as razões para o ângulo C 7 A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente 8 A secante é o inverso do cosseno 9 A cossecante é o inverso do seno Você pode fazer um jogo algébrico e formatar várias expressões envolvendo ângulos e lados de um triângulo retângulo Ao fazer isto você estará analisando a trigonometria no triângulo retângulo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 192 1332008 174245 Topicos de Matematica Elementar Olhando o passado U 7 Apalavra trigonometria significa medida dos trés So angulos de um triangulo a TRI trés GONO angulos METRIA medida A palavra seno tem origem na palavra arabe jaib que significa dobra bolso ou prega de uma vestimenta portanto nado tem nada a ver com o conceito matemiatico Tratase de uma tradugao defeituosa que dura até os nossos dias A palavra que deveria ser traduzida é jiba que significa um arco de caga ou de guerra Na traducao do Arabe para o Latim as consoantes jb sao traduzidas para sinus e para a nossa lingua seno Gx Exemplos 1 Observe os triangulos retangulos dados e encontre o valor de x assinalado a Pelo Teorema de Pitagoras temos 2 72 2 x x 26 2 x 4436 x 40 6 x 40 x 632 b 2 Pelo Teorema de Pitagoras temos 6 24x 3644x x 6 x 364 x 32 x32 x 566 Unidade 7 193 194 Universidade do Sul de Santa Catarina Olhando o presente Veja o seguinte problema P1 O ângulo de subida ou de elevação do pé de uma árvore a 30 m da base de um morro ao topo do morro é de 600 Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo do morro Qual a altura do morro Na Figura 74 você pode observar a situação apresentada no problema P1 e constatar que a solução é obtida a partir do uso de uma relação trigonométrica Figura 74 Modelo do problema P1 Para calcular o comprimento x basta aplicar a relação entre o afastamento e o comprimento cos60 30 0 cateto adjacente hipotenusa x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 194 1332008 174247 195 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 O valor do cosseno de 60 graus pode ser obtido numa tabela ou de forma mais rápida numa calculadora cos 60 0 0 5 ou 0 5 30 0 5 30 30 0 5 60 x x x x metros Para calcular a altura do morro podemos usar o Teorema de Pitágoras fazendo x h h h h h h h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 60 30 60 30 3600 900 2700 2700 51 96 metros Pare Observe Verifique que o valor da altura do morro poderia ser encontrada utilizandose também a razão trigonométrica tg cateto oposto cateto adjacente 600 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 195 1332008 174248 196 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos 1 Um observador visualiza o ponto culminante de um morro sob um ângulo de 60 graus Afastandose do morro mais 20 metros visualizase o mesmo ponto sob um ângulo de 45 graus Qual a altura do morro Estamos diante de dois triângulos retângulos 1 Triângulo ABC tg h x 45 20 0 Considerando que tg45 1 0 temos 1 20 h x ou h x 20 2 Triângulo DBC tg h x 600 Considerando tg60 3 0 temos 3 h x ou h x 3 Dessas relações podemos escrever um sistema h x h x 20 3 ou x x x x x x x 20 3 3 20 3 1 20 20 3 1 27 32 Portanto a altura h do morro é h x metros 20 27 32 20 47 32 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 196 1332008 174252 197 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 2 A 2000 metros de um aeroporto temse uma torre com 40 metros de altura Para segurança do vôo ao sobrevoar a torre o avião deverá estar no mínimo 500 metros acima da torre Qual deve ser o ângulo de subida para que se tenha um vôo dentro dos limites de segurança Na Figura 75 apresentase um modelo para auxiliar a visualização do problema Figura 75 Modelo do problema do exemplo 1 Considerando os dados do problema podemos dizer que a altura h é igual a h metros 40 500 540 Do triângulo retângulo que modela o problema temos o valor do cateto oposto altura h e do cateto adjacente afastamento horizontal Assim podemos escrever tg altura h afastamentohorizontal θ 540 2000 0 27 Usando uma tabela ou uma calculadora vamos verificar que o ângulo de subida denotado por θ mede aproximadamente 150 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 197 1332008 174253 198 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 Uma aplicação bastante interessante e atual do Teorema de Pitágoras está nos fractais Na Figura 76 A apresentase um fractal e na Figura 76 B o modelo que mostra nitidamente os quadrados que são usados para a demonstração do Teorema de Pitágoras de forma geométrica ou através de recortes de figuras A B Figura 76 Fractal É possível constatar a presença do Teorema de Pitágoras na Figura 76 Observe a Figura 77 e compare Para mostrar o Teorema de Pitágoras através da Figura 77 basta recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a fazer a composição do quadrado de lado c Figura 77 Teorema de Pitágoras Fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e muita beleza ligadas às formas da natureza ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo São imagens de objetos abstratos que possuem o todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte escapando assim da compreensão em sua totalidade pela mente humana Tópicos de Matemática Elementar Iindb 198 1332008 174253 199 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Olhando o futuro Você deve ter percebido como é importante uma calculadora para o desenvolvimento rápido das situaçõesproblema Cabe observar que o uso da calculadora neste contexto quase sempre vai nos apresentar um resultado com aproximação numérica pois os valores das funções trigonométricas são usados de forma aproximada Seção 3 Funções trigonométricas Geralmente as funções trigonométricas são introduzidas a partir de um círculo de raio 1 denominado de círculo trigonométrico Na Figura 78 apresentase um círculo trigonométrico com todas as funções representadas geometricamente a partir do triângulo OAP Observe que nesse triângulo a hipotenusa mede 1 unidade de medida Figura 78 Círculo trigonométrico Tópicos de Matemática Elementar Iindb 199 1332008 174254 200 Universidade do Sul de Santa Catarina As relações trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo apresentado na seção anterior podem ser novamente estabelecidas e ficam geometricamente representadas por segmentos Por exemplo sen medida de AP medida de OP medida de AP ou medida de OB α cosα medida de OA medida de OP medida de OA ou medida de BP Observe que estamos trabalhando no plano cartesiano e portanto podemos ampliar a análise para os demais quadrantes As funções trigonométricas Basicamente no item anterior já definimos as funções trigonométricas As funções seno e cosseno podem ser definidas a partir do círculo trigonométrico e as demais em termos de seno e cosseno Função seno e função cosseno Considere x um número real que representa a medida em radianos de um ângulo central desenhado no círculo trigonométrico como mostra a Figura 79 Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do ângulo com a circunferência Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P e cosseno de x a abscissa OP2 do ponto P Assim podemos escrever P OP OP senx x cos 1 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 200 1332008 174255 201 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Figura 79 Círculo trigonométrico É possível variar o valor do x para estabelecer o gráfico das funções Observe o comportamento da função seno e da função cosseno na tabela que segue e nos gráficos das figuras 710 e 711 Vamos trabalhar com valores múltiplos de π pois daqui para frente vamos ver os ângulos com unidade de medida em radiano x sen x OP 1 cos x OP 2 0 0 1 π 6 05 0866 π 3 0866 05 π 2 1 0 2 π 3 0866 05 5 π 6 05 0866 π 0 1 7π 6 05 0866 4 π 3 0866 05 3 π 2 1 0 5 π 3 0866 05 11 π 6 05 0866 2π 0 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 201 1332008 174257 202 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 710 Função seno senóide Observe que 1 o domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto 1 1 2 há intervalos de crescimento e decrescimento Figura 711 Função cosseno cossenóide Observe que 1 o domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto 1 1 2 há intervalos de crescimento e decrescimento Pare Observe Observe bem os gráficos e verifique que existe uma repetição do formato no decorrer de todo o domínio essa característica está relacionada com o fato de as funções trigonométricas serem periódicas Mas você sabe o que é uma função periódica Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T 0 tal que f x T f x para todo x D f Ao observar o gráfico de uma função periódica você verifica que ela se repete a cada intervalo de comprimento T Tópicos de Matemática Elementar Iindb 202 1332008 174259 203 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Exemplos 1 A função seno é periódica de período 2π Assim sen x sen x 2π 2 A função cosseno é periódica de período 2π Assim cos cos x x 2π Uma característica muito interessante da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade Para todos os reais vale sen x sen x e cos cos x x Podese dizer que a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par Confira essa afirmação na seguinte definição Uma função fx é par se para todo x no seu domínio temos fxfx Uma função é ímpar se para todo x no seu domínio temos fxfx Observe a seguir as demais funções trigonométricas que são definidas em função de seno e cosseno Figura 712 Função tangente Temse tg x sen x x cos 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x 0 2 periódica de período π 3 sempre crescente 4 função ímpar Tópicos de Matemática Elementar Iindb 203 1332008 174301 204 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 713 Função cotangente Temse cot cos g x x sen x 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x 0 2 periódica de período π 3 sempre decrescente 4 função ímpar Figura 714 Função secante Temse sec cos x x 1 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x 0 2 periódica de período 2π 3 possui intervalos de crescimento e de decrescimento 4 função par Figura 715 Função cossecante Temse cossec x sen x 1 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x 0 2 periódica de período 2π 3 possui intervalos de crescimento e de decrescimento 4 função ímpar Tópicos de Matemática Elementar Iindb 204 1332008 174303 Topicos de Matematica Elementar Gx Exemplos 1 Usando um software desenvolva o grafico dos conjuntos de fungées dadas e identifique dominio conjunto imagem e periodo a ysenx ysen2x ysen3x Para resolver esse exercicio vamos usar 0 software GRAPH Observe que vocé pode outro software de sua livre escolha Observe as figuras geradas para o intervalo de 27 27 fs Figura 716 Graficos de ysenx ysen2x ysen3x Observe que 0 dominio de todas as fungdes 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem de todas as fungées é o intervalo 1 0 periodo da funcao ysenx 27 0 periodo da fungao ysen2x 7 eo periodo da fungao y sen3x é 2m 3 Unidade 7 205 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto ao multiplicar o valor de x da funcao ysenx por um numero real vamos observar que o periodo da funcgao fica 27 dividido por este nimero b ysenx fx 1 Figura 717 Grafico de y senx Veja o grafico gerado no software ao colocarmos para variar entre 27 27 emse que 0 dominio é 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem 01 0 periodo é 7 i Olhando o presente Vocé sabia que na sua viagem de negdécios ou de passeio a trigonometria acompanha vocé P2 Como modelar matematicamente a situagao de um avido voando a 240 mih milhas por hora com proa de 60 graus com um vento de 30 mihora de 330 graus Antes de discutir este problema é importante fazer alguns esclarecimentos de nomenclatura acompanhe nas figuras 718 e 719 206 Topicos de Matematica Elementar proa de um aviao é a direc4o para o qual o aviao esta apontando A proa é medida no sentido horario a partir do norte e expressa em graus e minutos No problema temse 60 graus velocidade no ar determinada na leitura do indicador na aeronave é a velocidade do aviaio em ar parado rota do aviao é a direcao na qual ele se move em relacao ao chao Ela é medida no sentido horario a partir do norte velocidade de solo é a velocidade do aviaio em relacao ao solo Angulo de deriva ou angulo de corregao do vento é a diferenga positiva entre a proa e a rota N aa0 30 rota B30 a oO Figura 718 Modelagem do problema P2 B 240 30 velocidade de solo Cc Figura 719 Tridangulo retangulo OBC Podemos calcular a velocidade de solo representada pela hipotenusa no tridngulo retangulo OBC Temos v 240 30 v 58500 v 24187 milhas horas Para encontrar a rota é necessario encontrar o angulo 6 Temos que 30 te 0125 240 Unidade 7 207 Universidade do Sul de Santa Catarina Usando a calculadora podemos encontrar que 0 angulo 6 é aproximadamente igual a 7 graus Assim Rota 60 7 67 Secao 4 Funcoes trigonometricas inversas Vocé ja estudou as fungGes inversas na Secao 4 da Unidade 2 Agora vocé ira analisar a existéncia das fungdes trigonométricas inversas Num olhar inicial podese dizer que é impossivel definir funao inversa para cada uma das funcdes trigonométricas pois a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x Para formalizar a definicao das funcGes inversas é necessdrio fazer restricao no dominio Veja como fica inicialmente a inversa da funcao seno Funcao arco seno 7 1 Vamos redefinir a fungao fx sen x para o dominio 359 Assim a funcdo inversa de fx sera chamada de funcao arco seno e denotada por yarcsenxTemse que para 7 1 cada xe 11 corresponde Y z4 valendo a seguinte equivaléncia y arcsenx sen yx Observe o grafico da Figura 718 para identificar as seguintes caracteristicas dessa funao Darcsenx 11 208 Topicos de Matematica Elementar T 1 a Imarcsenx 2 2 funco sempre crescente fx x af xX I a Figura 720 Fungdo arco seno Observe o quadro que segue com as demais fungdes trigonométricas inversas fx SE Funcao arco cosseno 7 Para 0 y7 temos yarc cosx xcosy Observe que esta fungao é xX decrescente em todo o seu d dominio Figura 721 Fungao arco cosseno Unidade 7 209 210 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 722 Função arco tangente Função arco tangente Para π π 2 2 y temos y arc tg x x tg y Esta função é sempre crescente Figura 723 Função arco tangente Função arco cotangente Para 0 y π a função inversa da tangente pode ser definida como y arc g x arc tg x cot π 2 Essa função é sempre decrescente portanto pode ser a forma de um escorregador Figura 724 Função arco secante Função arco secante Podese definir a função arco secante como y arc x arc x sec cos 1 Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que x 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 210 1332008 174312 211 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Figura 725 Função arco cossecante Função arco cossecante Podese definir a função arco secante como y arc ec x arc sen x cos 1 Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que x 1 Exemplos No seu contexto do diaadia você exercita o uso das funções inversas quando precisa saber o valor do ângulo a partir do seno cosseno ou tangente Retome o problema P2 e constate que este conceito foi usado tgθ 30 240 0 125 θ θ arctg radianos 0 125 0 124 Podemos converter para graus lembrando da relação π radianos graus 180 Assim para transformar radianos em graus usamos medida do ângulo em graus medida do ângulo em radianos medid 1800 π a do ângulo em radianos medida do ângulo em radianos 180 3 14 57 0 32 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 211 1332008 174314 212 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe que estamos trabalhando com valores aproximados Assim θ θ θ arctg radianos ou graus 0 125 0 124 7 Parada recreativa No domingo Ted e Mad se encontraram rapidamente na rua movimentada Olá Ted como vai Puxa cara Que corrida Minha vida deu uma virada de 360o Ah Ah Ah Que piada Conta outra Você sabe por que Mad ficou rindo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 212 1332008 174315 213 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar as funções trigonométricas que têm aplicações em várias situações Em especial as funções trigonométricas são trabalhadas em Matemática mais avançada modelando fenômenos físicos que têm a característica de periodicidade Esta unidade encerra o seu estudo nesta disciplina Esperamos que os objetos discutidos ao longo das unidades possam mostrar a beleza e a grandeza da Matemática como ferramenta para modelar problemas e também para auxiliar no desenvolvimento de novas idéias Bom trabalho no decorrer do seu curso Atividades de autoavaliação 1 Faça o gráfico e analise as características e propriedades das funções a y senx 1 b f x x cos 2 c g x tg x 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 213 1332008 174316 214 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 30o Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m qual é a altura entre os dois pisos da loja 3 Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus Qual é a altura do morro 4 Qual é o tamanho da sombra de um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte 5 Uma escada apóiase na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão Tópicos de Matemática Elementar Iindb 214 1332008 174316 215 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 6 Do topo de um farol 120 metros acima do nível do mar o ângulo de depressão de um barco é 15 graus Qual é a distância do farol ao barco 7 Na Figura 726 temse que CD 5 cm BC 4 cm AB 32 cm AC x cm BD y cm Perguntase a Qual o valor de x b Qual o valor de y c Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo α d Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo β Figura 726 Triângulos retângulos Tópicos de Matemática Elementar Iindb 215 1332008 174316 216 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você ficar interessado em conhecer mais detalhes sobre as funções trigonométricas ou sobre a história da trigonometria recomendamos uma busca na internet Observe que este é um dos temas preferidos em sites que discutem objetos matemáticos Vale a pena conferir Em especial recomendamos httpwwwdappmineduptnoniosofteducsoft3circhtm para obter um software livre e httpwwwcecmsfucaprojectsISCdatapihtml para constatar 10000 dígitos do número Pi Tópicos de Matemática Elementar Iindb 216 1332008 174316
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UNIDADE 7 Funcoes trigonometricas Objetivos de aprendizagem Identificar fungdes trigonométricas em diferentes situacdesproblema Desenvolver leituras graficas envolvendo funcdes trigonométricas Bey Secoes de estudo Segao 1 Introdugao Secao2 Relacdes trigonométricas no triangulo retangulo Segao 3 Funcoes trigonométricas Segao 4 Funcoes trigonométricas inversas 188 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad estão sempre inventando uns fins de semana diferentes Veja o que eles estão conversando na academia Ted vamos combinar no próximo feriadão um passeio radical Que tal lembrar do nosso sonho de adolescente e fazer uma escalada no Morro da Cruz Oh Cara Pirou Esqueceu que escalar é um desejo tão humano como o de voar É mas é um esporte de muito risco sobretudo porque exige preparo físico e eu estou um bocado enferrujado Sabe Mad ainda lembro de palavras do dicionário de alpinismo que consultamos para fazer uma pesquisa no colégio Puxa O que você lembra SOROCHE Soroche O que significa É o chamado mal das alturas que ocorre a partir dos 3500 metros de altura É você sempre tem boa memória Que horas são Sete Puxa cara vou nessa estou atrasado ainda tenho uma reunião de negócios no jantar Até mais Fica pra próxima a nossa escalada Até Tópicos de Matemática Elementar Iindb 188 1332008 174241 189 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Seção 1 Introdução Para discutir as funções trigonométricas é necessário lembrar da trigonometria no triângulo retângulo Assim nesta primeira seção vamos fazer uma revisão para que você possa discutir com facilidade os objetos envolvidos no contexto das funções trigonométricas Lembrando da conversa do Ted e Mad vamos iniciar discutindo o que é um índice de subida Este conceito é conhecido pelos alpinistas pois existe uma preferência por subidas íngremes Na Figura 71 você pode observar duas subidas Qual a mais íngreme A B Figura 71 Subidas Com toda a certeza você vai responder que a subida mais íngreme é a subida em A A referência matemática para fazer a análise é a medida do ângulo de subida que no caso A é maior que em B É possível definir o ângulo de subida a partir do conhecimento de pelo menos duas das medidas relacionadas com a situação percurso altura e afastamento ver Figura 72 Figura 72 Medidas relacionadas com o ângulo de subida Tópicos de Matemática Elementar Iindb 189 1332008 174241 190 Universidade do Sul de Santa Catarina Para discutir essa situaçãoproblema e outras situações similares são necessários objetos matemáticos no contexto da trigonometria no triângulo retângulo Em geral o índice de subida é dado pela relação índice de subida altura afastamento Você vai observar na seção seguinte que esta relação é a definição da tangente do ângulo de subida Porém outras relações ainda podem ser definidas para facilitar cálculos necessários na resolução de diferentes problemas práticos A partir dessas relações podemos discutir as funções trigonométricas ou funções circulares Olhando o passado A trigonometria é uma parte da Matemática bem antiga A primeira tabela com razões trigonométricas foi compilada por Hiparco no século II aC essa ferramenta matemática atendia aos interesses da astronomia agrimensura e navegação A transição dos estudos das razões trigonométricas para as funções trigonométricas começou no século XVI com o Matemático Viète e culminou no século XVIII com o trabalho de euler Formalmente existe diferença entre as definições das funções trigonométricas e das funções circulares entretanto neste texto não vamos nos preocupar com essa diferença para tal vamos ter o cuidado de trabalhar com os ângulos medidos em radianos Para os interessados em mais detalhes recomendamos a leitura do artigo Seno de 30 é um meio de Renate G Watanabe disponível na Revista do Professor de Matemática n 30 p 2632 do primeiro quadrimestre de 1996 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 190 1332008 174242 191 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Seção 2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Quando estamos falando de trigonometria no triângulo retângulo os ângulos são medidos de 00 zero graus a 1800 cento e oitenta graus ou de 0 a π radianos Pare Observe Para todo círculo a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante esta constante é denotada pela letra grega π Pi que é um número irracional isto é não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros Uma aproximação para π com 10 dígitos é 31415926536 Pare Revise É importante que você pare e revise o Teorema de Pitágoras Se considerarmos a medida da hipotenusa b medida do cateto oposto ao ângulo B c medida do cateto oposto ao ângulo C Podemos escrever a b c 2 2 2 Observe na Figura 73 as propriedades e razões estabelecidas a partir do triângulo retângulo ABC Figura 73 Triângulo retângulo B Tópicos de Matemática Elementar Iindb 191 1332008 174243 192 Universidade do Sul de Santa Catarina 1 O triângulo ABC é retângulo O ângulo A é o ângulo reto mede noventa graus 2 A hipotenusa do triângulo dado mede a e os catetos medem b e c 3 O cateto b é oposto ao ângulo B e adjacente ao ângulo C 4 O cateto c é oposto ao ângulo C e adjacente ao ângulo B 5 Vale o Teorema de Pitágoras a b c 2 2 2 Valem as relações que definem 6 Seno de B sen B cateto oposto hipotenusa ou sen B b a Cosseno de B cos B cateto adjacente hipotenusa ou cos B c a Tangente de B tg B cateto oposto cateto adjacente ou tg B b c De forma similar podemos estabelecer as razões para o ângulo C 7 A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente 8 A secante é o inverso do cosseno 9 A cossecante é o inverso do seno Você pode fazer um jogo algébrico e formatar várias expressões envolvendo ângulos e lados de um triângulo retângulo Ao fazer isto você estará analisando a trigonometria no triângulo retângulo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 192 1332008 174245 Topicos de Matematica Elementar Olhando o passado U 7 Apalavra trigonometria significa medida dos trés So angulos de um triangulo a TRI trés GONO angulos METRIA medida A palavra seno tem origem na palavra arabe jaib que significa dobra bolso ou prega de uma vestimenta portanto nado tem nada a ver com o conceito matemiatico Tratase de uma tradugao defeituosa que dura até os nossos dias A palavra que deveria ser traduzida é jiba que significa um arco de caga ou de guerra Na traducao do Arabe para o Latim as consoantes jb sao traduzidas para sinus e para a nossa lingua seno Gx Exemplos 1 Observe os triangulos retangulos dados e encontre o valor de x assinalado a Pelo Teorema de Pitagoras temos 2 72 2 x x 26 2 x 4436 x 40 6 x 40 x 632 b 2 Pelo Teorema de Pitagoras temos 6 24x 3644x x 6 x 364 x 32 x32 x 566 Unidade 7 193 194 Universidade do Sul de Santa Catarina Olhando o presente Veja o seguinte problema P1 O ângulo de subida ou de elevação do pé de uma árvore a 30 m da base de um morro ao topo do morro é de 600 Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo do morro Qual a altura do morro Na Figura 74 você pode observar a situação apresentada no problema P1 e constatar que a solução é obtida a partir do uso de uma relação trigonométrica Figura 74 Modelo do problema P1 Para calcular o comprimento x basta aplicar a relação entre o afastamento e o comprimento cos60 30 0 cateto adjacente hipotenusa x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 194 1332008 174247 195 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 O valor do cosseno de 60 graus pode ser obtido numa tabela ou de forma mais rápida numa calculadora cos 60 0 0 5 ou 0 5 30 0 5 30 30 0 5 60 x x x x metros Para calcular a altura do morro podemos usar o Teorema de Pitágoras fazendo x h h h h h h h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 60 30 60 30 3600 900 2700 2700 51 96 metros Pare Observe Verifique que o valor da altura do morro poderia ser encontrada utilizandose também a razão trigonométrica tg cateto oposto cateto adjacente 600 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 195 1332008 174248 196 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos 1 Um observador visualiza o ponto culminante de um morro sob um ângulo de 60 graus Afastandose do morro mais 20 metros visualizase o mesmo ponto sob um ângulo de 45 graus Qual a altura do morro Estamos diante de dois triângulos retângulos 1 Triângulo ABC tg h x 45 20 0 Considerando que tg45 1 0 temos 1 20 h x ou h x 20 2 Triângulo DBC tg h x 600 Considerando tg60 3 0 temos 3 h x ou h x 3 Dessas relações podemos escrever um sistema h x h x 20 3 ou x x x x x x x 20 3 3 20 3 1 20 20 3 1 27 32 Portanto a altura h do morro é h x metros 20 27 32 20 47 32 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 196 1332008 174252 197 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 2 A 2000 metros de um aeroporto temse uma torre com 40 metros de altura Para segurança do vôo ao sobrevoar a torre o avião deverá estar no mínimo 500 metros acima da torre Qual deve ser o ângulo de subida para que se tenha um vôo dentro dos limites de segurança Na Figura 75 apresentase um modelo para auxiliar a visualização do problema Figura 75 Modelo do problema do exemplo 1 Considerando os dados do problema podemos dizer que a altura h é igual a h metros 40 500 540 Do triângulo retângulo que modela o problema temos o valor do cateto oposto altura h e do cateto adjacente afastamento horizontal Assim podemos escrever tg altura h afastamentohorizontal θ 540 2000 0 27 Usando uma tabela ou uma calculadora vamos verificar que o ângulo de subida denotado por θ mede aproximadamente 150 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 197 1332008 174253 198 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 Uma aplicação bastante interessante e atual do Teorema de Pitágoras está nos fractais Na Figura 76 A apresentase um fractal e na Figura 76 B o modelo que mostra nitidamente os quadrados que são usados para a demonstração do Teorema de Pitágoras de forma geométrica ou através de recortes de figuras A B Figura 76 Fractal É possível constatar a presença do Teorema de Pitágoras na Figura 76 Observe a Figura 77 e compare Para mostrar o Teorema de Pitágoras através da Figura 77 basta recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a fazer a composição do quadrado de lado c Figura 77 Teorema de Pitágoras Fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e muita beleza ligadas às formas da natureza ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo São imagens de objetos abstratos que possuem o todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte escapando assim da compreensão em sua totalidade pela mente humana Tópicos de Matemática Elementar Iindb 198 1332008 174253 199 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Olhando o futuro Você deve ter percebido como é importante uma calculadora para o desenvolvimento rápido das situaçõesproblema Cabe observar que o uso da calculadora neste contexto quase sempre vai nos apresentar um resultado com aproximação numérica pois os valores das funções trigonométricas são usados de forma aproximada Seção 3 Funções trigonométricas Geralmente as funções trigonométricas são introduzidas a partir de um círculo de raio 1 denominado de círculo trigonométrico Na Figura 78 apresentase um círculo trigonométrico com todas as funções representadas geometricamente a partir do triângulo OAP Observe que nesse triângulo a hipotenusa mede 1 unidade de medida Figura 78 Círculo trigonométrico Tópicos de Matemática Elementar Iindb 199 1332008 174254 200 Universidade do Sul de Santa Catarina As relações trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo apresentado na seção anterior podem ser novamente estabelecidas e ficam geometricamente representadas por segmentos Por exemplo sen medida de AP medida de OP medida de AP ou medida de OB α cosα medida de OA medida de OP medida de OA ou medida de BP Observe que estamos trabalhando no plano cartesiano e portanto podemos ampliar a análise para os demais quadrantes As funções trigonométricas Basicamente no item anterior já definimos as funções trigonométricas As funções seno e cosseno podem ser definidas a partir do círculo trigonométrico e as demais em termos de seno e cosseno Função seno e função cosseno Considere x um número real que representa a medida em radianos de um ângulo central desenhado no círculo trigonométrico como mostra a Figura 79 Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do ângulo com a circunferência Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P e cosseno de x a abscissa OP2 do ponto P Assim podemos escrever P OP OP senx x cos 1 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 200 1332008 174255 201 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Figura 79 Círculo trigonométrico É possível variar o valor do x para estabelecer o gráfico das funções Observe o comportamento da função seno e da função cosseno na tabela que segue e nos gráficos das figuras 710 e 711 Vamos trabalhar com valores múltiplos de π pois daqui para frente vamos ver os ângulos com unidade de medida em radiano x sen x OP 1 cos x OP 2 0 0 1 π 6 05 0866 π 3 0866 05 π 2 1 0 2 π 3 0866 05 5 π 6 05 0866 π 0 1 7π 6 05 0866 4 π 3 0866 05 3 π 2 1 0 5 π 3 0866 05 11 π 6 05 0866 2π 0 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 201 1332008 174257 202 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 710 Função seno senóide Observe que 1 o domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto 1 1 2 há intervalos de crescimento e decrescimento Figura 711 Função cosseno cossenóide Observe que 1 o domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto 1 1 2 há intervalos de crescimento e decrescimento Pare Observe Observe bem os gráficos e verifique que existe uma repetição do formato no decorrer de todo o domínio essa característica está relacionada com o fato de as funções trigonométricas serem periódicas Mas você sabe o que é uma função periódica Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T 0 tal que f x T f x para todo x D f Ao observar o gráfico de uma função periódica você verifica que ela se repete a cada intervalo de comprimento T Tópicos de Matemática Elementar Iindb 202 1332008 174259 203 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Exemplos 1 A função seno é periódica de período 2π Assim sen x sen x 2π 2 A função cosseno é periódica de período 2π Assim cos cos x x 2π Uma característica muito interessante da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade Para todos os reais vale sen x sen x e cos cos x x Podese dizer que a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par Confira essa afirmação na seguinte definição Uma função fx é par se para todo x no seu domínio temos fxfx Uma função é ímpar se para todo x no seu domínio temos fxfx Observe a seguir as demais funções trigonométricas que são definidas em função de seno e cosseno Figura 712 Função tangente Temse tg x sen x x cos 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x 0 2 periódica de período π 3 sempre crescente 4 função ímpar Tópicos de Matemática Elementar Iindb 203 1332008 174301 204 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 713 Função cotangente Temse cot cos g x x sen x 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x 0 2 periódica de período π 3 sempre decrescente 4 função ímpar Figura 714 Função secante Temse sec cos x x 1 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x 0 2 periódica de período 2π 3 possui intervalos de crescimento e de decrescimento 4 função par Figura 715 Função cossecante Temse cossec x sen x 1 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x 0 2 periódica de período 2π 3 possui intervalos de crescimento e de decrescimento 4 função ímpar Tópicos de Matemática Elementar Iindb 204 1332008 174303 Topicos de Matematica Elementar Gx Exemplos 1 Usando um software desenvolva o grafico dos conjuntos de fungées dadas e identifique dominio conjunto imagem e periodo a ysenx ysen2x ysen3x Para resolver esse exercicio vamos usar 0 software GRAPH Observe que vocé pode outro software de sua livre escolha Observe as figuras geradas para o intervalo de 27 27 fs Figura 716 Graficos de ysenx ysen2x ysen3x Observe que 0 dominio de todas as fungdes 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem de todas as fungées é o intervalo 1 0 periodo da funcao ysenx 27 0 periodo da fungao ysen2x 7 eo periodo da fungao y sen3x é 2m 3 Unidade 7 205 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto ao multiplicar o valor de x da funcao ysenx por um numero real vamos observar que o periodo da funcgao fica 27 dividido por este nimero b ysenx fx 1 Figura 717 Grafico de y senx Veja o grafico gerado no software ao colocarmos para variar entre 27 27 emse que 0 dominio é 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem 01 0 periodo é 7 i Olhando o presente Vocé sabia que na sua viagem de negdécios ou de passeio a trigonometria acompanha vocé P2 Como modelar matematicamente a situagao de um avido voando a 240 mih milhas por hora com proa de 60 graus com um vento de 30 mihora de 330 graus Antes de discutir este problema é importante fazer alguns esclarecimentos de nomenclatura acompanhe nas figuras 718 e 719 206 Topicos de Matematica Elementar proa de um aviao é a direc4o para o qual o aviao esta apontando A proa é medida no sentido horario a partir do norte e expressa em graus e minutos No problema temse 60 graus velocidade no ar determinada na leitura do indicador na aeronave é a velocidade do aviaio em ar parado rota do aviao é a direcao na qual ele se move em relacao ao chao Ela é medida no sentido horario a partir do norte velocidade de solo é a velocidade do aviaio em relacao ao solo Angulo de deriva ou angulo de corregao do vento é a diferenga positiva entre a proa e a rota N aa0 30 rota B30 a oO Figura 718 Modelagem do problema P2 B 240 30 velocidade de solo Cc Figura 719 Tridangulo retangulo OBC Podemos calcular a velocidade de solo representada pela hipotenusa no tridngulo retangulo OBC Temos v 240 30 v 58500 v 24187 milhas horas Para encontrar a rota é necessario encontrar o angulo 6 Temos que 30 te 0125 240 Unidade 7 207 Universidade do Sul de Santa Catarina Usando a calculadora podemos encontrar que 0 angulo 6 é aproximadamente igual a 7 graus Assim Rota 60 7 67 Secao 4 Funcoes trigonometricas inversas Vocé ja estudou as fungGes inversas na Secao 4 da Unidade 2 Agora vocé ira analisar a existéncia das fungdes trigonométricas inversas Num olhar inicial podese dizer que é impossivel definir funao inversa para cada uma das funcdes trigonométricas pois a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x Para formalizar a definicao das funcGes inversas é necessdrio fazer restricao no dominio Veja como fica inicialmente a inversa da funcao seno Funcao arco seno 7 1 Vamos redefinir a fungao fx sen x para o dominio 359 Assim a funcdo inversa de fx sera chamada de funcao arco seno e denotada por yarcsenxTemse que para 7 1 cada xe 11 corresponde Y z4 valendo a seguinte equivaléncia y arcsenx sen yx Observe o grafico da Figura 718 para identificar as seguintes caracteristicas dessa funao Darcsenx 11 208 Topicos de Matematica Elementar T 1 a Imarcsenx 2 2 funco sempre crescente fx x af xX I a Figura 720 Fungdo arco seno Observe o quadro que segue com as demais fungdes trigonométricas inversas fx SE Funcao arco cosseno 7 Para 0 y7 temos yarc cosx xcosy Observe que esta fungao é xX decrescente em todo o seu d dominio Figura 721 Fungao arco cosseno Unidade 7 209 210 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 722 Função arco tangente Função arco tangente Para π π 2 2 y temos y arc tg x x tg y Esta função é sempre crescente Figura 723 Função arco tangente Função arco cotangente Para 0 y π a função inversa da tangente pode ser definida como y arc g x arc tg x cot π 2 Essa função é sempre decrescente portanto pode ser a forma de um escorregador Figura 724 Função arco secante Função arco secante Podese definir a função arco secante como y arc x arc x sec cos 1 Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que x 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 210 1332008 174312 211 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Figura 725 Função arco cossecante Função arco cossecante Podese definir a função arco secante como y arc ec x arc sen x cos 1 Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que x 1 Exemplos No seu contexto do diaadia você exercita o uso das funções inversas quando precisa saber o valor do ângulo a partir do seno cosseno ou tangente Retome o problema P2 e constate que este conceito foi usado tgθ 30 240 0 125 θ θ arctg radianos 0 125 0 124 Podemos converter para graus lembrando da relação π radianos graus 180 Assim para transformar radianos em graus usamos medida do ângulo em graus medida do ângulo em radianos medid 1800 π a do ângulo em radianos medida do ângulo em radianos 180 3 14 57 0 32 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 211 1332008 174314 212 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe que estamos trabalhando com valores aproximados Assim θ θ θ arctg radianos ou graus 0 125 0 124 7 Parada recreativa No domingo Ted e Mad se encontraram rapidamente na rua movimentada Olá Ted como vai Puxa cara Que corrida Minha vida deu uma virada de 360o Ah Ah Ah Que piada Conta outra Você sabe por que Mad ficou rindo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 212 1332008 174315 213 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar as funções trigonométricas que têm aplicações em várias situações Em especial as funções trigonométricas são trabalhadas em Matemática mais avançada modelando fenômenos físicos que têm a característica de periodicidade Esta unidade encerra o seu estudo nesta disciplina Esperamos que os objetos discutidos ao longo das unidades possam mostrar a beleza e a grandeza da Matemática como ferramenta para modelar problemas e também para auxiliar no desenvolvimento de novas idéias Bom trabalho no decorrer do seu curso Atividades de autoavaliação 1 Faça o gráfico e analise as características e propriedades das funções a y senx 1 b f x x cos 2 c g x tg x 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 213 1332008 174316 214 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 30o Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m qual é a altura entre os dois pisos da loja 3 Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus Qual é a altura do morro 4 Qual é o tamanho da sombra de um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte 5 Uma escada apóiase na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão Tópicos de Matemática Elementar Iindb 214 1332008 174316 215 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 6 Do topo de um farol 120 metros acima do nível do mar o ângulo de depressão de um barco é 15 graus Qual é a distância do farol ao barco 7 Na Figura 726 temse que CD 5 cm BC 4 cm AB 32 cm AC x cm BD y cm Perguntase a Qual o valor de x b Qual o valor de y c Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo α d Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo β Figura 726 Triângulos retângulos Tópicos de Matemática Elementar Iindb 215 1332008 174316 216 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você ficar interessado em conhecer mais detalhes sobre as funções trigonométricas ou sobre a história da trigonometria recomendamos uma busca na internet Observe que este é um dos temas preferidos em sites que discutem objetos matemáticos Vale a pena conferir Em especial recomendamos httpwwwdappmineduptnoniosofteducsoft3circhtm para obter um software livre e httpwwwcecmsfucaprojectsISCdatapihtml para constatar 10000 dígitos do número Pi Tópicos de Matemática Elementar Iindb 216 1332008 174316