Tópicos de Matemática Elementar I - Livro Didático

Universidade do Sul de Santa Catarina Palhoça UnisulVirtual 2008 Tópicos de Matemática Elementar I Disciplina na modalidade a distância Tópicos de Matemática Elementar Iindb 1 1332008 173858 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 2 1332008 173900 Apresentação Este livro didático corresponde à disciplina Tópicos de Matemática Elementar I O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação Ao adotar uma linguagem didática e dialógica objetivamos facilitar seu estudo a distância proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz Lembrese de que sua caminhada nesta disciplina será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual por isso a distância fica caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão sempre conectados com você Então sempre que sentir necessidade entre em contato você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso tais como telefone email e o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem que é o canal mais recomendado pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo Bom estudo e sucesso Equipe UnisulVirtual Tópicos de Matemática Elementar Iindb 3 1332008 173900 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 4 1332008 173900 Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner Palhoça UnisulVirtual 2008 Design Instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing Tópicos de Matemática Elementar I Livro didático Tópicos de Matemática Elementar Iindb 5 1332008 173900 510 F62 Flemming Diva Marília Tópicos de matemática elementar I livro didático Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner design instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing Palhoça UnisulVirtual 2008 256 p il 28 cm Inclui bibliografia 1 Matemática 2 Funções Matemática I Luz Elisa Flemming II Wagner Christian III Boeing Carolina Hoeller da Silva IV Título Edição Livro Didático Professores Conteudistas Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz Christian Wagner Design Instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual Diagramação Delinea Design Soluções Gráficas e Digitais LTDA Leniza Wallbach e Silva Marcelo A Gorniski Revisão B2B Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul Copyright UnisulVirtual 2008 Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição Tópicos de Matemática Elementar Iindb 6 1332008 173900 Apresentação 03 Palavras dos professores 09 Plano de estudo 11 Unidade 1 Revisão de conjuntos numéricos 15 Unidade 2 Funções 55 Unidade 3 Função do primeiro grau 79 Unidade 4 Função do segundo grau 101 Unidade 5 Funções polinomiais e racionais 125 Unidade 6 Funções exponencial e logarítmica 147 Unidade 7 Funções trigonométricas 187 Para concluir o estudo 217 Referências 219 Sobre os professores conteudistas 221 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação 223 Sumário Tópicos de Matemática Elementar Iindb 7 1332008 173901 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 8 1332008 173901 Palavras dos professores Prezados alunos Neste texto apresentamos conteúdos da disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I que estão de acordo com a ementa do projeto pedagógico do seu curso Os objetos matemáticos discutidos são considerados básicos pois traduzem alicerces necessários para a discussão de objetos mais específicos e práticos Todos os conteúdos apresentados ao longo desse livro são assuntos tratados no ensino fundamental e médio entretanto a contextualização em situações reais é uma característica específica deste texto Criamos dois personagens Ted e Mad amigos de infância que se tornaram microempresários Eles irão dialogar e resgatar situações do diaadia que os levarão a compreender importantes conceitos matemáticos Para facilitar a leitura e o aprofundamento das representações gráficas optamos por uma metodologia que valoriza o uso de recursos computacionais na resolução de problemas Considerando que estamos trabalhando com a modalidade a distância adotamos uma linguagem que estimule as suas estruturas mentais de modo que as diferentes representações semióticas sejam estabelecidas e trabalhadas para que o processo de aprendizagem significativa se concretize Nós autores e tutores dessa disciplina nos colocamos à disposição para atendêlo Iremos interagir com você através das ferramentas disponíveis no ambiente virtual do seu curso As ferramentas promovem uma dinâmica de socialização que lhe permitirá um verdadeiro caminhar para a conquista de novos conhecimentos Mãos à obra Profa Diva Marília Flemming Dra Profa Elisa Flemming Luz Dra Prof Christian Wagner Msc Tópicos de Matemática Elementar Iindb 9 1332008 173901 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 10 1332008 173901 O plano de estudo visa a orientalo no desenvolvimento da disciplina Ele possui elementos que o ajudarao a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se complementam portanto a construgéo de competéncias se da sobre a articulacgéo de metodologias e por meio das diversas formas de acaomediacao Sao elementos desse processo livro didatico Espaco UnisulVirtual de Aprendizagem EVA as atividades de avaliacao a distancia presenciais e de autoavaliacao Sistema Tutorial Ementa Conjuntos numéricos Operacées elementares Fungao conceitos propriedades caracteristicas e representagdes graficas Fungdes elementares polinomiais exponenciais logaritmicas e trigonométricas Objetivos Geral Discutir e refletir conceitos basicos da Matematica Universidade do Sul de Santa Catarina Especificos revisar conjuntos numéricos trabalhar funcoes polinomiais racionais exponenciais logaritmicas e trigonométricas a partir de representacdes graficas e resolucao de problemas motivar o estudo de contetidos de Matematica a partir do uso das novas tendéncias da Educacao Matematica compreender o conceito de telecomunicagées e informatica Carga horaria A carga horaria total da disciplina é 60 horasaula Conteudo programaticoobjetivos Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de conhecimentos que vocé devera deter para o desenvolvimento de habilidades e competéncias necessarias 4 sua formacao Neste sentido veja a seguir as unidades que compéem o livro didatico desta disciplina bem como os seus respectivos objetivos Unidades de estudo 7 Unidade 1 Revisao de conjuntos numéricos Nesta unidade apresentase uma revisao dos conjuntos numéricos ampliandose as idéias inicias com conceitos e propriedades operatorias Unidade 2 Funcoes Nesta unidade as fung6es sao apresentadas como objetos matematicos e como elementos fundamentais para a resolucao de problemas do diaadia A andlise das representagdes 12 13 Matemática gráficas permitirá o desenvolvimento de hábitos de boa leitura e visualização de propriedades e características dos diferentes tipos de funções Unidade 3 Função do primeiro grau As funções do primeiro grau serão amplamente discutidas nesta unidade possibilitando a leitura gráfica a modelagem de problemas práticos e a resolução de equações e sistemas de equações Unidade 4 Função do segundo grau As funções do segundo grau serão discutidas possibilitando aspectos interdisciplinares na modelagem de problemas práticos em diversas áreas Unidade 5 Funções polinomiais e racionais Nesta unidade as funções polinomiais e racionais serão apresentadas em diferentes representações gráficas e algébricas Unidade 6 Funções exponencial e logarítmica Nesta unidade ampliase o conceito de modelagem com o uso das funções exponenciais e logarítmicas em diferentes tipos de problemas práticos O contexto financeiro é destacado com problemas reais de juros e crescimento exponencial Unidade 7 Funções trigonométricas As funções trigonométricas serão discutidas partindo se da resolução de triângulos retângulos A análise das representações gráficas dará a oportunidade de resgatar os conceitos de domínio imagem periodicidade dentre outros Tópicos de Matemática Elementar Iindb 13 1332008 173902 Universidade do Sul de Santa Catarina Agenda de atividades Cronograma Verifique com atengio o EVA organizese para acessar periodicamente a sala da disciplina O sucesso nos seus estudos depende da priorizacao do tempo para a leitura da realizacao de analises e sinteses do contetido e da interacg4o com os seus colegas e tutor a Nao perca os prazos das atividades Registre no espaco a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA u Use o quadro para agendar e programar as atividades relativas ao desenvolvimento da disciplina Atividades obrigatorias Demais atividades registro pessoal Po 14 UNIDADE 1 Revisao de conjuntos numericos o Objetivos de aprendizagem Identificar conjuntos numéricos em diferentes situacdesproblema Desenvolver procedimentos operatorios que envolvem os numeros reais Aplicar propriedades dos numeros reais na resolucao de problemas Beby Secoes de estudo Segao 1 Introdugao Segao 2 Conjuntos numéricos Segao3 Adicao de subtragao com numeros reais Secao4 Multiplicacao e divisao com numeros reais Segao5 Resolucdo de equacées 16 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad programam uma viagem nas férias Acho que uma viagem para o Nordeste seria ótimo Nordeste Mas tudo por lá é muito caro principalmente na alta temporada Tudo bem que as praias são maravilhosas mas eu estava com vontade de fazer alguma coisa diferente Alguma coisa diferente É que tal uma pescaria Será cara Não vamos cair numa roubada Acho que não sugiro o Pantanal Legal então já vou consultar os valores para programar a nossa economia Combinado então Depois acertamos os detalhes Tópicos de Matemática Elementar Iindb 16 1332008 173903 17 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Seção 1 Introdução A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos Em vez de usar símbolos para representar os números utilizavase a comparação de conjuntos A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem informal é o mesmo que agrupamento classe ou coleção Você pode formar muitos conjuntos Se você for colecionador de alguma coisa a sua coleção fará parte de um conjunto Veja como é possível escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros localizados na região Sul A Paraná Santa Catarina Rio Grande do Sul Ou ainda o conjunto dos números pares positivos B 2 4 6 8 10 Pare Revise O conjunto A é dito finito pois possui três elementos já o conjunto B é dito infinito pois possui um número infinito de elementos Pare Observe Perceba que no conjunto B usamos reticências para representar os números pares positivos maiores do que 10 que não foram explicitados esta representação nos auxilia quando se trata de conjuntos muito grandes ou mesmo infinitos como neste caso Se for necessário um conjunto pode ser representado especificandose as propriedades comum dos elementos Para os conjuntos A e B teremos A x x é um estado da região Sul do Brasil B y y é um número par positivo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 17 1332008 173903 18 Universidade do Sul de Santa Catarina Cada membro que compõe o conjunto é chamado elemento Um elemento de um conjunto pode ser uma letra um número um nome etc É possível estabelecermos relações entre elementos e conjuntos usandose símbolos que indicam se um elemento pertence ou não pertence ao conjunto Acompanhe o exemplo Se C 1 3 5 7 9 podemos dizer que 1 C ou seja o número 1 pertence ao conjunto C 2 C ou seja o número 2 não pertence ao conjunto C 3 C ou seja o número 3 pertence ao conjunto C 4 C ou seja o número 4 não pertence ao conjunto C Pare Revise Um conjunto que possui apenas um elemento é dito unitário e um conjunto que não possui elementos é um conjunto vazio representado por ou As relações de pertinência auxiliam a entender a noção de subconjunto que também é interessante quando trabalhamos com conjuntos Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se e somente se todo elemento de A pertencer também a B Linguagem simbólica A B ou seja A está contido em B ou ainda B A ou seja B contém A Pare Observe O símbolo é denominado sinal de inclusão Sempre que comparamos dois conjuntos podemos usar a relação de inclusão Tópicos de Matemática Elementar Iindb 18 1332008 173903 19 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Sejam os conjuntos A abc e B abcde podemos dizer que A B ou seja A está contido em B B A ou seja B contém A B A ou seja B não está contido em A Dois ou mais conjuntos podem ser reunidos usandose uma operação conhecida por união ou reunião de conjuntos Dados dois conjuntos A e B chamamos de reunião de A e B ou união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B Linguagem simbólica A B x x A ou x B Uma outra operação que pode ser definida é a intersecção entre conjuntos Veja Dados dois conjuntos A e B chamamos de intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B Linguagem simbólica A B x x A e x B ab cd abcd ab abcd abcd abc abc ab abcd ab ab cd bc Tópicos de Matemática Elementar Iindb 19 1332008 173904 20 Universidade do Sul de Santa Catarina Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos formados por números ou os conjuntos numéricos Em especial o conjunto dos números reais irá embasar o estudo dos diferentes tipos de funções Então veja como se chegou até estes números reais estudando a próxima seção Seção 2 Conjuntos numéricos O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da humanidade e por incrível que pareça já nascemos com ela Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos de seres e objetos Já consegue reunir num único grupo objetos análogos e percebe se falta algo a um desses conjuntos familiares Por exemplo se você entrega ao bebê nesta idade quatro brinquedos e sem que ele perceba retira dois deles certamente ele sentirá falta Não que já saiba contar mas porque já possui uma noção de número em sua formação individual Para fins de padronização criouse uma notação comum para representar os números Utilizamse os algarismos hindu arábicos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Apesar de ouvirmos sons diferentes dependendo do idioma se não houvesse uma padronização imagine a confusão que seria Olhando o passado Já há algum tempo sabese que determinadas espécies animais também são dotadas de um tipo de percepção direta sobre os números Inúmeras experiências demonstraram que os rouxinóis as pegas e os corvos eram capazes de distinguir quantidades concretas de um a quatro Veja o caso do corvo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 20 1332008 173904 21 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Um castelão decidiu matar um corvo que fez seu ninho na torre do castelo Já tentara várias vezes surpreender o pássaro mas ao se aproximar o corvo deixava o ninho instalavase numa árvore próxima e só voltava quando o homem saía da torre Um dia o castelão recorreu a uma artimanha fez entrar dois companheiros na torre Instantes depois um deles desaparecia enquanto o outro ficava Mas em vez de cair nesse golpe o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar Da próxima vez ele fez entrar três homens dos quais dois se afastaram em seguida o terceiro pôde então esperar a ocasião para pegar o corvo mas a esperta ave se mostrou ainda mais paciente que ele Nas tentativas seguintes recomeçouse a experiência com quatro homens sempre sem resultado Finalmente o estratagema teve sucesso com cinco pessoas pois o corvo não conseguia reconhecer mais que quatro homens ou quatro objetos extraído de IFRAH Georges Os números história de uma grande invenção 8 ed São Paulo Globo 1996 p 20 Conjunto dos números naturais Neste conjunto numérico encontramse os primeiros números conhecidos pela humanidade Sua representação é dada por N 0 1 2 3 4 5 Perceba que este é um conjunto infinito pois é possível sempre acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um sucessor Pare Revise Quando utilizamos a notação N representamos a exclusão do zero N 1 2 3 4 5 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 21 1332008 173904 22 Universidade do Sul de Santa Catarina Olhando o passado O número zero tem uma história interessante em 662 dC o bispo sírio Severus Sebort referiuse aos nove sinais num trabalho público mas não fazia referência ao zero O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito bem sobre a sua origem Dizem que a sua origem está no mundo grego Sua forma se deve aos maias olho meio aberto hindus ovo de ganso ou gregos letra grega ômicron que é a primeira da palavra Ouden que significa vazio Conjunto dos números inteiros Olhando o presente Veja o seguinte problema P1 Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco No mês de julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria Quando imprimiu o seu extrato percebeu que o saldo era de R 13000 D O que isto significa Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros Veja por que Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica débito Isto significa que na conta havia 130 reais negativos ou seja R 13000 estavam faltando R 13000 Veja como é importante o estudo dos números não positivos ou negativos Desde a época em que o comércio passou a fazer parte da sociedade inicialmente com o sistema de trocas até que se instituísse uma moeda a noção de números negativos já é amplamente utilizada Para representar estes números usase o conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros Tópicos de Matemática Elementar Iindb 22 1332008 173904 Topicos de Matematica Elementar Z 3 2 1 0 1 2 3 Conjunto dos numeros racionais Além dos nimeros naturais e inteiros perceba que em seu dia adia vocé utiliza também numeros fraciondrios Ao comer uma fatia de um bolo dividido em oito partes iguais por exemplo além de ter 4gua na boca vocé pode dizer que estara comendo 1 uma parte do todo Estara comendo 8 do bolo No nosso sistema monetario usamos frac6es decimais do real Por exemplo R 050 cingtienta centavos é a metade de um real 1 R 025 vinte e cinco centavos representa 1 de um real Olhe para uma régua e perceba a existéncia de nimeros entre os A s 1 inteiros que vocé ja estudou Entre 0 e 1 temos por exemplo 5 ou entre 3 e 40 nimero 325 A oT1 2 3 4 5 6 F 8 10 42 325 m As fragées so representadas na forma 70 m née Ze n formam o conjunto dos nimeros racionais denotado por m Ox9 mane Ze 0 n Unidade 1 23 24 Universidade do Sul de Santa Catarina Veja alguns exemplos 3 4 10 7 1 2 9 5 Veja como se faz a leitura de frações 1 2 Um meio 1 8 Um oitavo 1 3 Um terço 1 9 Um nono 1 4 Um quarto 1 10 Um décimo 1 5 Um quinto 1 11 Um onze avos 1 6 Um sexto 1 12 Um doze avos 1 7 Um sétimo 1 20 Um vigésimo Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que possuem denominador maior que dez Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal Veja como se faz 1 2 0 5 3 4 0 75 1 3 0 3333 2 7 0 285714285714 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 24 1332008 173911 Topicos de Matematica Elementar i Pare Observe Algumas fragdes possuem representacao decimal O exatae outras uma representacao decimal periddica 51 05151515151 99 mye wey 31 sao dizimas periddicas 03444444444 90 1 05 2 sao decimais exatos 20 5 4 Para encontrar a forma decimal vocé pode realizar as divis6es no papel ou mesmo em uma calculadora Olhando o presente J Veja o seguinte problema P2 Em um restaurante um garcom so sabia dividir uma pizza em dez fatias iguais Se Mario comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 15 quantas fatias sobraram Para saber quantas fatias sobraram veja como é possivel raciocinar Se Mario comeu a metade da pizza entao ele comeu a 10 metade de 10 fatias ou seja 3 5 fatias 1 1 Sua namorada comeu da pizza entaéo comeu 5 de 10 7 10 fatias ou seja 5 de 10 37 2 fatias Assim Mario e sua namorada comeram juntos 5 2 7 fatias Portanto sobraram 10 7 3 fatias Unidade 1 25 26 Universidade do Sul de Santa Catarina Pare Observe Todos os números inteiros são também números racionais pois podem ser escritos na forma de uma fração Veja 4 4 1 7 7 1 Olhando o passado Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria no século III Pouco se sabe sobre a sua vida mas existe uma charada que dizem teria sido gravada em seu túmulo Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino Um doze avos da sua vida passou como rapaz Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar Cinco anos após nasceu seu filho com quem conviveu metade da sua vida Depois da morte de seu filho sofreu mais 4 anos antes de morrer Você sabe quantos anos viveu Diofanto Fonte httpwwwexatashpgigcombrcuriosidadeshtm Conjunto dos números reais Para definir o conjunto dos números reais é necessário considerar os números que não podem ser escritos na forma de m n com n 0 e m n Z Estes números formam o conjunto dos números irracionais que pode ser denotado por Q São exemplos de números irracionais π 3141592653 e 2718281828 2 1 41 É comum dizer que o conjunto dos números reais é o resultado da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais R Q Q Tópicos de Matemática Elementar Iindb 26 1332008 173913 27 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Os números reais são representados geometricamente por uma reta numerada denotada por reta real Olhando o passado Você não imagina a consternação no seio dos pitagóricos quando descobriram a existência de grandezas que não guardam entre si uma relação de inteiro para inteiro Isto aconteceu quando verificaram a impossibilidade de mensurar ou medir a diagonal de um quadrado de lado igual a uma unidade de comprimento Acreditase que os pitagóricos guardaram este segredo por muitos anos pois esta constatação significava a existência de seres disformes no seu mundo regido pelos números Hoje já se sabe que este ser disforme é a raiz quadrada de dois O número Pi A história do número π está ligada à história da vida de muitos matemáticos da Antigüidade É importante relembrar para ser justo do nome de Arquimedes famoso matemático e astrônomo que nasceu em Siracusa mais ou menos 287 aC No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam que o comprimento de uma circunferência é igual a um número um pouco maior que três vezes o seu diâmetro Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar o valor exato desse número um pouco maior que 3 que hoje é conhecido como número Pi simbolizado por π Tópicos de Matemática Elementar Iindb 27 1332008 173914 28 Universidade do Sul de Santa Catarina Vários métodos geométricos demonstram que o valor do Pi é π 3141592653 Você pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do número Pi O número e A origem do número e está associada à origem dos logaritmos As tábuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os cálculos pois ao se usar logaritmos conseguese reduzir multiplicações e divisões em simples adições e subtrações É usual se falar número neperiano em homenagem ao matemático John Napier que em 1614 apresentou uma maneira prática para definir o logaritmo de e Além de servir de base para um sistema de logaritmos o número e é um número útil em toda a Matemática e ciências afins Por exemplo é muito usado em Economia Estatística Probabilidades etc Nos dias de hoje não se usam as tábuas de logaritmos porque as calculadoras fazem todos os cálculos No entanto não se pode dispensar esse número de nossas vidas Vários fenômenos são modelados por uma fração que envolve o número e por exemplo o crescimento populacional o aumento de capital e juros Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e e 2718281828 Conjunto dos números complexos Você acha seu nome bonito Todas as pessoas que você conhece acham o seu nome bonito O nome de batismo de uma pessoa pode não ser bonito mas não causa malentendido porque ele tem um único significado Tópicos de Matemática Elementar Iindb 28 1332008 173914 Topicos de Matematica Elementar Muita gente n4o aceita o termo numero imaginario ou nimero complexo tal como é usado em Matematica E isto causa um malentendido Entretanto é importante lembrar Quando uma palavra é definida precisamente e tem apenas um significado nao ha mais razdes para criticar seu uso Logo um nimero imaginario ou complexo é uma idéia matematica precisa Olhando o passado h Cardano um grande matematico do século XVI foi Se o primeiro a reconhecer a verdadeira importancia desses numeros Na sua obra Ars Magna discute a algebra e da especial atencao as raizes negativas de uma equagao e ao calculo com numeros complexos O conjunto dos nimeros complexos é formado por todos os numeros reais e pelas raizes de ordem par de nimeros negativos e pode ser representado por Cz zababe Rt Em geral os nimeros complexos sao discutidos inicialmente na forma algébrica z 4 2i102i02 z2V9 23i23 Ao olhar para o par ordenado ab fica simples visualizar a parte real e a parte complexa ou imagindria do numero complexo m aéa parte real a éa parte imaginaria Unidade 1 29 30 Universidade do Sul de Santa Catarina Pare Revise Lembrese de que i 1 Assim temse que i i i 1 1 1 1 2 2 Pare Observe 1 1 1 1 2 2 está INCORRETO Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números reais sendo enfatizados diferentes representações algoritmos e métodos de tratamento adequados a cada situação identificada Seção 3 Adição e subtração com números reais Para discutir as operações de adição e subtração com números reais veja inicialmente algumas propriedades da adição Comutativa a b b a Associativa a b c a b c Elemento neutro a 0 0 a a 0 é o elemento neutro da adição Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades em situações que envolvem a adição com números reais 1 Efetue as seguintes operações a 2 3 4 5 10 12 15 22 15 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 30 1332008 173916 31 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Pare Observe É possível estabelecer uma regra prática para calcular a adição ou subtração com números fracionários Considere as expressões a b e c d escritas de forma que b e d são diferentes de zero a b c d ad bc bd b 1 2 10 7 7 20 14 27 14 c 1 9 2 3 1 6 9 7 9 Perceba que esta mesma operação pode ser feita usandose uma calculadora O resultado que aparece no visor vai depender da configuração e potencialidades de sua calculadora Por exemplo você pode visualizar 0 7777 0 777777 0 77777777 0 77777777778 d 20 45 Com uma calculadora é possível determinar os valores aproximados para 20 e 45 20 4 472135955 45 6 708203932 20 45 11 180339887 O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende de cada tipo de calculadora É possível resolver esta adição usando propriedades da radiciação Na Unidade 6 você verá um breve resumo de algumas destas propriedades Tópicos de Matemática Elementar Iindb 31 1332008 173918 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 e 77073 0575 03 045 Perceba que 0 numero fraciondrio foi escrito em sua forma decimal para que a operacao fosse realizada Uma outra opao é escrever o nimero decimal como um numero fracionario 3 3 3 3012 18 9 0322 2 045 4 4 10 40 40 20 1 2 310 7 f 5 3 15 15 g 02037 03702017 2 Um mergulhador passou da profundidade de 6m para 4m Neste caso ele subiu ou desceu Quantos metros Perceba que o numero 6 é menor que o nimero 4 Assim quando o mergulhador passa de 6m para 4m ele aumenta duas unidades Isto significa que ele subiu 2m pois 6m é mais fundo que 4m 3 Imagine trés pizzas de mesmo tamanho cortadas de forma diferente a primeira em duas partes a segunda em quatro partes e a terceira em seis partes Se Joana come um pedacgo de cada uma quanto tera comido Para saber quanto Joana comeu é possivel representar cada pedacgo usando nuimeros fracionarios 1 1 pedaco da primeira pizza cortada em duas partes 5 1 1 pedago da segunda pizza cortada em quatro partes 2 32 Topicos de Matematica Elementar 1 1 pedaco da terceira pizza cortada em seis partes 6 Podemos escrever 1 1 1 61431411 10 44 2 4 12 12 12 10 oo Assim Joana comeu 77 OU quase uma pizza inteira 1 Gx 4 Um bondoso homem doou 5 da sua fortuna para 2 menores carentes e 3 Para um asilo de idosos a Que fragao de suas posses ele doou 1 2 3410 13 Ele doou 5 3 15 15 b Que fraAo sobrou 13 oo Se ele doou iS entao sobrou um inteiro menos esta fracao 13113 1513 2 15 1 15 15 15 As operagées de adicao e subtracao s4o utilizadas em inimeras aplicagdes que envolvem a modelagem matematica Na préxima secao vocé podera revisar as operacées de multiplicacdo e divisao dos numeros reais Unidade 1 33 34 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 4 Multiplicação e divisão com números reais Assim como nas operações de adição e subtração veja algumas propriedades da multiplicação Comutativa a x b b x a Associativa a x b x c a x b x c Elemento neutro a x 1 1 x a a 1 é o elemento neutro da multiplicação Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão Imagine que Ted e Mad foram pescar no Pantanal Em determinado momento cansados de esperar eles conversam Esses peixes são muito espertos Foi a terceira vez que nós dois não pegamos peixes Nosso saldo está devedor Já gastamos seis iscas Como representar esta situação matematicamente 3 x 2 6 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 34 1332008 173922 35 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Outras situações poderiam ser modeladas por outras multiplicações Por exemplo 3 x 2 6 3 x 2 6 3 x 2 6 Observando essas operações é possível escrever A multiplicação de números de sinais diferentes apresenta resultado negativo e números de sinais iguais apresentam resultado positivo Resumindo simbolicamente as regras de sinais Divisão Multiplicação x x x x Olhando o presente Veja o seguinte problema P3 Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo de zero variando por volta de 18oC Sabendose que a temperatura baixou o mesmo número de graus a cada dia quantos graus teria abaixado por dia Para modelar esta situação é possível escrever 18 6 3 Isto significa que a temperatura baixou 3oC por dia até que chegasse a 18oC Tópicos de Matemática Elementar Iindb 35 1332008 173922 36 Universidade do Sul de Santa Catarina Pare Revise Quando uma divisão tem resto zero tratase de uma divisão exata Por exemplo 12 6 2 Isto é verdade pois 2 x 6 12 Da mesma forma 35 5 7 pois 7 x 5 35 Veja a regra prática para a multiplicação que envolve frações sendo b e d números diferentes de zero a b c d a c b d 1 Resolva as operações indicadas a 1 4 1 3 1 1 4 3 1 12 b 5 8 1 4 5 1 8 4 5 32 c 1 2 10 5 1 10 2 5 10 10 1 d 025 x 13 0325 c 0721 x 369 266049 2 Se 350 corresponde ao valor total calcule 1 2 e 3 5 deste valor Para resolver este problema multiplique o valor total por suas frações 1 2 de 350 1 2 350 350 2 175 3 5 de 350 3 5 350 1050 5 210 3 Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas Uma pessoa comeu metade da sua fatia Quanto do bolo ela comeu Uma 1 fatia representa a sétima parte do bolo ou 1 7 A metade de 1 fatia representa 1 14 do bolo ou 1 7 1 2 1 14 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 36 1332008 173925 37 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Assim a pessoa comeu 1 14 do bolo 4 Se no bolo do problema anterior dividido entre sete pessoas cada pedaço custasse R 080 quanto custariam três pedaços do bolo 1 pedaço do bolo 1 7 R 080 3 pedaços do bolo 3 7 3 X R 080 R 240 Assim três pedaços do bolo custariam R 240 Olhando o passado Matemático tem cada idéia Veja o problema histórico criado para justificar a regra de sinais x eu tinha 3 dívidas todas de 4 moedas de ouro Mas as pessoas para quem eu devia morreram Perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas Assim fiquei 12 moedas mais rico perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas 3 x 4 12 Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda a b c d a b d c ad bc com b d e c diferentes de zero Tópicos de Matemática Elementar Iindb 37 1332008 173925 Universidade do Sul de Santa Catarina Gx Resolva as operagoées indicadas 24522424 8 3 4 35 35 15 1 15 15 5 323 23 6 5 5 5 5 6 56 30632 ee 9 6 9 5 95 45 5 9 3 3 Pare Revise Vocé nao pode fazer uma divisao por zero Por exemplo nao é possivel dividir dois por zero 2 0 pois se 2 0 x entao x 0 2 Nao existe numero que multiplicado por zero seja igual a 2 Apos tratar das operacées de multiplicacao e diviséo com numeros reais possivel introduzir um importante conceito utilizado em diversas situacGes de nosso diaadia a porcentagem E comum vocé se deparar com expressoes do tipo a inflacdo no ultimo més foi de 4 quatro por cento promocao descontos de 30 4 vista o indice da bolsa em Sao Paulo esta em queda de 02 Mas 0 que isso significa O ee A porcentagem é uma forma de comparar nimeros usando a proporao direta E o valor obtido quando se aplica uma razio centesimal a um valor Como o nome ja diz é por 100 ou sobre 100 38 39 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a à razão x 100 é x 100 x a Indicase a expressão x 100 por x Para entender melhor veja a aplicação deste conceito nos exemplos apresentados Exemplos 1 Calcule 10 de 500 A razão centesimal é dada por 10 10 100 Portanto 10 de 500 10 100 500 5000 100 50 2 Calcule 25 de 210 Neste caso a razão centesimal é dada por 25 25 100 Portanto 25 de 210 25 100 210 5250 100 52 5 3 Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4 Equacione a taxa indicada como x x x x x 100 3 4 4 3 100 4 300 300 4 75 Então a taxa é de 75 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 39 1332008 173928 40 Universidade do Sul de Santa Catarina 4 Uma loja divulga uma promoção de 10 sobre o preço de suas mercadorias vendidas a vista Se uma camisa custa R 9000 qual será o seu valor com o desconto O desconto de 10 será sobre o valor de R 9000 Assim teremos 10 de 90 10 100 90 900 100 9 Isto significa que a camisa custará R 900 a menos Portanto o preço a ser pago é de R 9000 R 900 R 8100 Parada recreativa Você lembra do matemático Diofanto Que tal calcular quantos anos ele tinha quando morreu Veja de novo o que estava em seu túmulo Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino Um doze avos da sua vida passou como rapaz Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar Cinco anos após nasceu seu filho com quem conviveu metade da sua vida Depois da morte de seu filho sofreu mais 4 anos antes de morrer Vamos identificar por V o tempo de vida de Diofanto medido em anos O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das frações indicadas Assim temos V V V V V 6 12 7 5 2 4 Resolvendo a soma de frações teremos V V V V V V V V V V V V V V V 6 12 7 2 9 6 12 7 2 1 9 14 7 12 42 84 84 9 9 84 9 84 V V Tópicos de Matemática Elementar Iindb 40 1332008 173929 41 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Determinando o valor de V já é possível saber que Diofanto viveu 84 anos Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos Menino 84 6 14 anos Até 14 anos Rapaz 84 12 7 anos 14 aos 21 anos Antes de casar 84 7 12 anos 21 aos 33 anos Filho nasceu 5 anos depois de casar 33 5 38 anos Conviveu com o filho 84 2 42 anos 38 aos 80 anos Morreu 4 anos depois da morte do filho 80 4 84 anos Seção 5 Resolução de equações Quando você está diante de um problema pode resolvêlo usando mais de um caminho ou estratégia Se o problema requer o uso de objetos matemáticos a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de algoritmos numéricos resolução de equações ou sistemas de equações Para cada situação usase a ferramenta matemática adequada que poderá ser simples ou de nível mais complexo como é o caso de derivadas e integrais objetos matemáticos não estudados nesta disciplina Os problemas considerados da área econômica em geral são modelados através de expressões algébricas resultando fórmulas práticas Ao aplicar os dados você fica diante de uma equação ou de um sistema de equações É importante que neste momento você faça uma breve revisão sobre a resolução de equações do 1o e 2o graus pois estes conceitos serão amplamente aplicados no estudo das funções nas próximas unidades Tópicos de Matemática Elementar Iindb 41 1332008 173930 Universidade do Sul de Santa Catarina Equacao do 1 grau A resolugao de uma equacio do 1 grau consiste na determinaao da incognita x isolandoa em um dos lados da igualdade Para tal vocé precisa relembrar dois principios principio aditivo da igualdade adicionando ou subtraindo aos dois membros de uma igualdade o mesmo numero a igualdade nao se altera Em outras palavras ao passar um numero que esta somando ou subtraindo para o outro lado da igualdade devese inverter seu sinal principio multiplicativo da igualdade multiplicando ou dividindo os dois membros de uma igualdade pelo mesmo numero a igualdade nfo se altera Em outras palavras um numero que esta multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo j4 um numero que esta dividindo passa para o outro lado da igualdade multiplicando Pare Revise E usual utilizar letras para representar os valores que uma varidvel pode assumir E comum de forma mais tradicional usar o termo incdgnita para expressar o valor que é desconhecido e se procura saber Gx Exemplos 1 Determine o valor da incognita x das seguintes equacdes do 1o grau a 8x412 8x412 8x 124 8x 8 8 x 8 x1 42 Topicos de Matematica Elementar b 3x43 3x43 3x34 3x7 7 x 3 7 x 3 2 c x35 7 2 x35 7 2 x53 7 2 x8 7 7 x8 2 56 x 2 x28 2 O testamento de um moribundo impée que quando sua Problema extraido de Dp 3 EVES Howard Introducao esposa que esta gravida tiver um filho este herdara 783 5 Historia da Matematica 7 inas vitiva 7 dos bens mas se nascer uma filha esta herdara D mines UNICAMP 1995 p 314 a oy ea vitiva dos bens Como devem ser divididos os bens no caso de nascer um casal de gémeos Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem romana A solucao considerada viavel faz uma suposiao satisfatéria pois rigorosamente nao se poderia solucionalo ja que nao se conhece o critério adotado pelo moribundo no caso de filhos gémeos poderia por exemplo ser uma escolha aleatéria A sugestao de solugao considera que o moribundo queria deixar para um filho o valor equivalente ao triplo do valor da 3 1 viuva pois 3x 4 4 Unidade 1 43 Universidade do Sul de Santa Catarina 7 para uma filha o valor equivalente a do valor da vitiva 77 5 pois x 12 5 12 Assim é possivel escrever a equacio 7 X3xx1 5 Considerandose que a heranga foi repartida para trés pessoas vidva filho e filha e mantendose a proporcionalidade inicialmente proposta na equacao o valor de x representa a parte da vitiva Para resolver a equacao é possivel aplicar os principios enunciados para a resolugao de uma equacao do 1o grau Veja 7 X3x4x1 5 Sx15x7x 1 5 27 fi 5 27x 5 5 x 27 Assim a solugao pode ser resumida da seguinte forma d A vitva recebera dos bens 0 que corresponde a 1851 do total 27 5 5 15 O filho recebe 0 triplo de 3x dos bens 0 que 27 27 27 corresponde a 5556 do total 7 5 7 5 7 A filha recebe de x dos bens 0 que corresponde 5 27 5 27 27 a 2593 do total 44 45 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Equação do 2o grau Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes cálculos A fórmula mais conhecida é a fórmula de Bhaskara x b a b b a c a x b b a c a x b b a c a 2 4 2 4 2 4 2 2 1 2 2 2 Exemplos 1 Resolva as equações do 2o grau a 2 5 3 0 2x x x 5 5 4 2 3 2 2 5 25 24 4 5 49 4 5 7 4 2 x1 5 7 4 2 4 1 2 x2 5 7 4 12 4 3 b 16 0 2 x x 0 0 4 1 16 2 1 0 64 2 8 2 2 x1 8 2 4 x2 8 2 4 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 45 1332008 173937 46 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 Encontre o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade para as funções de demanda e oferta sendo x a quantidade e y o preço x x y x y 2 2 5 1 0 2 9 0 Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos resolver o sistema de equações dado Isolamos y x 9 2 2 e substituímos na primeira equação x x x x x x x x 2 2 2 2 2 5 9 2 1 0 5 9 2 1 0 3 5 8 0 Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada temos x 5 5 4 3 8 2 3 5 25 96 6 5 121 6 2 x1 5 11 6 6 6 1 x2 5 11 6 16 6 Como x representa a quantidade do produto não faz sentido ser representado por um número negativo Assim apenas nos interessa o valor de x1 1 Substituindo x 1 em uma das equações temos y x y y y 9 2 9 2 1 9 2 7 2 2 Portanto os valores y 7 e x 1 representam o preço de equilíbrio e a quantidade para as funçõe de demanda e oferta apresentadas Tópicos de Matemática Elementar Iindb 46 1332008 173938 47 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Parada recreativa Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos Um quadrado dividido em 4 9 ou 16 quadrados iguais é dito um quadrado mágico se a soma dos números numa coluna numa linha ou em qualquer das diagonais for sempre a mesma A origem dos quadrados mágicos é obscura Na Índia muitos reis usavam o quadrado mágico como amuleto um sábio do Iemen afirmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas moléstias Um quadrado mágico de prata preso ao pescoço evitava segundo a crença de certas tribos o contágio da peste Fonte Faculdades de Guarulhos Disponível em httpwwwfaculdadesdeguarulhosedubrartigoshtml Se a tradição for verdadeira vale a pena completar o quadrado mágico proposto Lembrese de que ao multiplicar os valores das linhas colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor 12 1 6 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 47 1332008 173939 48 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Ao finalizar esta unidade você já pode dizer que conhece todos os números que são amplamente discutidos na Matemática e muitas vezes erroneamente utilizados em nosso diaadia Perceba que os conceitos relacionados aos números às frações e às operações são importantes para que você avance e amplie seus estudos na Matemática Lembrese de que a Matemática também é a base do curso que você está realizando principalmente no que diz respeito ao desenvolvimento do raciocínio lógico Um bom profissional nos dias de hoje deve desenvolver várias habilidades e competências e dentre elas destacase a facilidade em resolver problemas A Matemática pode ajudálo neste contexto Pense nisto Nas próximas unidades você irá estudar as funções Até lá Atividades de autoavaliação 1 efetue as operações indicadas a 2 3 5 6 b 1 9 2 7 c 10 3 4 d 9 4 5 e 1 4 0 3 f 3 4 1 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 48 1332008 173940 49 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 g 1 2 3 7 3 h 3 4 5 3 i 76 7 j 10 53 2 O salário do funcionário de uma empresa é igual a R 120000 No mês de suas férias ele recebe o seu salário mais 1 3 referente às férias Quanto ele recebe 3 Mario trabalhou sete meses numa empresa com salário de R 60000 Por isso recebeu a quantia igual a 7 12 de um salário correspondente à parte do 13º salário De quanto foi a quantia recebida 4 Se 2 5 correspondem a 180 a quanto corresponde um inteiro Tópicos de Matemática Elementar Iindb 49 1332008 173941 50 Universidade do Sul de Santa Catarina 5 O tanque do carro está seco Se pusermos 145 litros num carro que roda em média 714 kml conseguiremos chegar a um hotel 98 quilômetros distante 6 Numa receita de bolo usase 05 litros de leite sendo que 025 dessa quantidade vai no recheio Que fração do litro é usada no recheio 7 Uma mãe deu dinheiro aos três filhos dizendo que era um terço para cada um O primeiro filho gastou só um terço da sua parte Que fração do total ele gastou Tópicos de Matemática Elementar Iindb 50 1332008 173941 51 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 8 Um clube tem 60 associados 18 dos quais com menos de 15 anos de idade esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados 9 em uma aplicação financeira temse rendimento igual a 10 ao mês sendo descontada uma taxa anual fixa relativa à administração igual a 5 do depósito inicial Se um indivíduo possui R 600000 e aplica este dinheiro durante um ano e meio qual será o seu saldo final 10 Numa pesquisa de intenção de voto realizada com 500 pessoas de uma cidade obtevese o seguinte resultado Número de pessoas Candidato A 132 Candidato B x Indecisos 74 Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada Tópicos de Matemática Elementar Iindb 51 1332008 173942 52 Universidade do Sul de Santa Catarina 11 Um incêndio destruiu 30 da área verde em uma floresta Se 20 desta floresta é formada por rios e riachos e o restante somente por área verde qual o percentual da floresta atingida pelo fogo 12 Resolva as seguintes equações a 3 1 5 x x b 3 3 12 x c 2 5 4 1 2 x x d x x 2 2 3 0 e x x 3 1 2 0 f 2 5 4 0 x x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 52 1332008 173943 53 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 1 Saiba mais Uma sugestão para descontrair e para que você perceba que a Matemática não está presente apenas nos livros é a leitura do livro Mar Sem Fim de Amyr Klink veja a seguir a referência completa Além de navegar junto com o autor você poderá expandir seus conhecimentos e observará a Matemática presente em cada página nos maravilhosos relatos do autor sobre sua aventura ao redor da Antártica KLINK Amyr Mar sem fim 360º ao redor da Antártica São Paulo Companhia das Letras 2000 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 53 1332008 173943 54 Universidade do Sul de Santa Catarina Tópicos de Matemática Elementar Iindb 54 1332008 173943 UNIDADE 2 2 o Objetivos de aprendizagem Identificar funcgdes presentes no cotidiano e que modelam situacdesproblema m Analisar representacdes graficas dos diferentes tipos de funcées w Analisar caracteristicas e propriedades das funcdes Bey Secdes de estudo Segao1Introdugao Segao 2 Tipos de funcdes Segao3Propriedades e caracteristicas Segao 4 Funcao inversa 56 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Sextafeira à noite após uma semana inteira de trabalho Ted e Mad encontramse em um barzinho da cidade E aí amigo tudo bem Opa rapaz curtindo um happy hour Pois é na verdade só estou dando uma passadinha para fazer uma hora Tenho uma festa na família para hoje ainda De qualquer forma sente aqui um pouquinho O que você quer beber Um refrigerante sabe como é ainda vou dirigir Ok garçom manda um refri bem gelado Em seguida chega o garçom com o refrigerante e um copo de gelo Sabe estes dias eu estava pensando por que será que eles sempre trazem este copo com gelo Percebi que as bebidas não estão tão geladas Será que o custo é menor desta forma Vamos gastar menos energia elétrica e garantir a qualidade oferecendo gelo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 56 1332008 173944 57 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 Pois é não sei não Se pudéssemos modelar uma função que relacionasse todas as variáveis envolvidas talvez chegássemos a alguma conclusão Seria necessário levar em consideração o tempo que a bebida precisa ficar no refrigerador se o bar possui espaço suficiente para armazenar gelado tudo o que consome em uma noite o preço do gelo etc etc etc Acho que é uma função de várias variáveis como dizia nosso professor de Matemática Tudo bem tudo bem Quem sabe em uma outra hora a gente aprofunda este assunto Agora vamos brindar ao final de semana Seção 1 Introdução Você já parou para pensar onde aparecem as funções em sua vida Mas antes disso você sabe realmente o que é uma função Você pode pensar intuitivamente que uma função é uma relação entre variáveis Assim por exemplo podemos dizer que a temperatura depende da umidade relativa do ar da localização que está sendo considerada da altitude da presença de um ar condicionado entre outras coisas É possível dizer de forma simplificada que a temperatura é uma função destas variáveis elencadas ou seja Temperatura f umidade relativa do ar localização altitude ar condicionado Tópicos de Matemática Elementar Iindb 57 1332008 173944 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta pode ser uma funco que envolve muitas variaveis Perceba que Ted e Mad também identificaram uma relacao entre variaveis Se analisarem com mais detalhes podem até modelar uma func4o que auxilie o dono do bar na tomada de decisao sobre a questao levantada Para entender as fungdes de muitas variaveis é importante que vocé conhea num primeiro momento algumas funcdes mais simples chamadas de fungdes de uma variavel Sao também relagdes que envolvem apenas duas variaveis uma dita dependente e outra dita independente Que tal um exemplo Existem inumeras situagdes que envolvem estas funcdes de uma variavel por exemplo O espaco percorrido por um automovel depende do tempo m a area de uma Sala quadrada depende da medida do seu lado o custo de fabricagao de um produto depende do numero de unidades produzidas Nos exemplos colocados é possivel identificar as variaveis dependentes e independentes variaveis dependentes espaco percorrido drea da sala custo de fabricagao do produto variaveis independentes tempo medida do lado da sala numero de unidades produzidas Para modelar essas situac6es sao utilizadas funcées do tipo y fx sendo x a variavel independente e y a variavel dependente Para definir uma fungao é necessaria a existéncia de dois conjuntos e uma relaco especifica entre eles A Figura 21 58 Topicos de Matematica Elementar mostra diagramas que representam os dois conjuntos e a relagao em trés diferentes situagdes Observe que todos os elementos do conjunto A tém um tinico correspondente no conjunto B no conjunto D vocé pode ter elementos que sao correspondentes de mais de um elemento no conjunto C no conjunto F vocé pode ter elementos que nao sao utilizados na relac4o entre os dois conjuntos a b 0 A B C D E F Apresenta uma funcdo de C ApresentaumafuncdodeA mD Podese dizer que 2 Apresenta uma funcao de E emBacadaelementodo imagemdele4éimagemde em FO conjuntoF tem um conjunto A corresponde um Qe2ou elemento que nao é imagem Unico elemento do conjunto B flj2 da funcao A fl24 Figura 21 Diagramas com funcdes Definicao de funcao Formalmente podemos definir funcao da seguinte forma Sejam A e B subconjuntos do conjunto dos numeros reais Uma funcio fA B éuma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um nico elemento de B Unidade 2 59 60 Universidade do Sul de Santa Catarina Linguagem simbólica f A B x f x ou A B x y f x f Podemos dizer que uma função definida no conjunto dos reais é uma relação específica pois estamos diante de um subconjunto do produto cartesiano R x R Assim a representação gráfica de uma função y fx é o conjunto dos pares ordenados xfx e para cada valor de x existe um único correspondente y É usual identificar Domínio de uma função conjunto em que a função é definida conjunto A Contradomínio de uma função conjunto em que a função toma valores conjunto B Conjunto imagem de uma função ou simplesmente imagem da função conjunto dos valores fx Pare Observe Na linguagem mais coloquial é usual confundir as notações f com fx f é a função f A B enquanto que fx é o valor que a função assume em x Costuma se falar que fx é a imagem de x Olhando o passado euler foi um escritor prolífico da história da Matemática Sua produtividade surpreendente não foi prejudicada quando ficou cego Publicou 530 trabalhos durante sua vida e muitos manuscritos publicados após a sua morte É muito grande a sua contribuição para a matemática Destacase aqui a sua autoria por notações matemáticas que permanecem imutáveis através dos séculos Por exemplo a notação de funções y fx Tópicos de Matemática Elementar Iindb 60 1332008 173946 61 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 Acompanhe os exemplos a seguir Exemplos 1 Considere as funções apresentadas na Figura 21 Determine o domínio Df o contradomínio CDf e o conjunto imagem Imf a f A B Df 12 CDf 24 Imf 24 b f C D Df 012 CDf 24 Imf 24 c f E F Df 12 CDf 247 Imf 24 Em geral os conjuntos A e B são subconjuntos do conjunto dos números reais Neste caso as funções são ditas reais com variáveis reais e a representação usual é a representação algébrica da lei de formação que define a relação entre os conjuntos 2 Para cada uma das funções identificadas a partir de sua representação algébrica calcule a imagem nos pontos 1 3 e 1 2 a fx x 1 Para calcular a imagem nos pontos indicados é necessário fazer x 1 x 3 e x 1 2 Assim temos f1 1 1 0 f 3 3 1 4 f 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 61 1332008 173947 62 Universidade do Sul de Santa Catarina b g t t 2 Neste caso vamos fazer t 1 t 3 e t 1 2 Assim temse g 1 1 1 2 g 3 3 9 2 g t 1 2 1 4 2 Pare Observe Veja a diferença entre a imagem e o conjunto imagem de uma função o conjunto imagem são todos os pontos que a função pode assumir ou seja todos os valores que a variável y assume A imagem é calculada para cada ponto identificado Assim é possível calcular f 1 f 3 ou f 1 2 que serão respectivamente a imagem da função no ponto 1 3 ou 1 2 Seção 2 Tipos de funções Para fins didáticos é interessante que as funções sejam classificadas de acordo com algumas características Nesta disciplina você terá a oportunidade de aprofundar o estudo das funções polinomiais do primeiro e segundo graus unidades 3 e 4 das funções racionais e polinomiais com grau maior do que 2 unidade 5 das funções exponenciais e logarítmicas unidade 6 e por fim das funções trigonométricas unidade 7 Neste momento você terá apenas uma panorâmica geral destes tipos de funções para que possa estudálas separadamente nas demais unidades Veja nas figuras 22 até 28 exemplos gráficos de diferentes tipos de funções Tópicos de Matemática Elementar Iindb 62 1332008 173950 63 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 Figura 22 Função polinomial do primeiro grau y x 1 Figura 23 Função polinomial do segundo grau y x 2 1 Figura 24 Função polinomial do terceiro grau y x 3 1 Figura 25 Função racional y x 1 1 Figura 26 Função exponencial y x 2 Figura 27 Função logarítmica y x log Tópicos de Matemática Elementar Iindb 63 1332008 173952 Universidade do Sul de Santa Catarina Se i x 1 Figura 28 Fungdao trigonométrica ysenx Olhando o futuro Existem varios softwares matematicos que auxiliam no tratamento de graficos de fungées Os graficos apresentados neste material foram feitos no software GRAPH 26 que esta disponivel para download em httpwwwpadowandkgraph Mas vocé pode utilizar qualquer outro software para fazer graficos de funcdes Experimente procurar na internet que vocé encontrara varias verses demo prontas para o download Vale a pena tentar i Olhando o presente Os problemas estao ao nosso redor mostrando exemplos de funcdées Confira P1 A equacdo de demanda de um produto é p 2p2x240 sendo p o prego de uma unidade x da mercadoria e o numero de unidades da mercadoria Se o produto fosse de graga qual seria a demanda Para resolver este problema é importante entender o que é a equacao de demanda Num primeiro momento perceba que estamos trabalhando com duas variaveis p o preco de uma unidade da mercadoria 64 Topicos de Matematica Elementar x éa quantidade de mercadoria demandada Usando métodos estatisticos e dados econémicos vocé pode montar uma equagao de demanda que pode representar funcoes do tipo p fx fungao prego ou x gp funcao de demanda Em situacg6es econdmicas normais o dominio dessas fungées é um subconjunto dos nimeros reais nao negativos Ao fazer o grafico dessas funcées é usual na area de Economia representar a variavel p no eixo horizontal e a fungao fica definida em intervalos convenientes Podemos considerar também a equagao de oferta envolvendo as variaveis p o prego de uma unidade da mercadoria x éa quantidade de mercadoria a ser ofertada por um produtor Numa situagao econdémica normal esta funcao é crescente Quando o preco da mercadoria aumenta 0 o produtor aumentara a oferta para tirar vantagem dos precos altos A curva da demanda é decrescente pois quando o preo aumenta a procura do produto diminui O equilibrio de mercado ocorre quando a quantidade de mercadoria demandada a um dado prego é igual 4 quantidade de mercadoria ofertada aquele preco Em outras palavras o equilibrio de mercado ocorre quando tudo que é oferecido para a venda de um determinado preco é comprado No decorrer deste texto vamos voltar a discutir esse tipo de problema que pode ser modelado por fungées polinomiais Unidade 2 65 66 Universidade do Sul de Santa Catarina A partir destas considerações podemos definir a demanda para a situação apresentada em P1 caso o produto fosse de graça A representação gráfica da função definida a partir da equação de demanda p p x 2 2 2 24 0 poderá auxiliar neste momento Podemos determinar a função de demanda dada por x f p e para isto vamos isolar a variável x na equação de demanda do produto p p x 2 2 2 24 0 2 2 24 2 x p p x p p 2 2 24 2 x p p 1 2 12 2 Usando um software matemático podemos fazer o gráfico da função x p p 1 2 12 2 conforme mostra a Figura 29 Figura 29 Curva de demanda do produto Olhando para o gráfico da Figura 29 é possível determinar que se o produto fosse de graça ou seja a variável p 0 o valor Tópicos de Matemática Elementar Iindb 66 1332008 173956 67 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 da variável x seria igual a 12 ou seja a demanda seria de doze unidades do produto analisado É possível encontrar este valor de forma algébrica fazendo p 0 na função encontrada x p p 1 2 12 2 x x 1 2 0 0 12 12 2 Seção 3 Propriedades e características Quando você for trabalhar com funções é importante que reconheça as diversas linguagens utilizadas em sua representação Em especial nas representações gráficas é possível visualizar propriedades e características das funções sem a necessidade de desenvolvimentos algébricos mais elaborados Veja a seguir a formalização das principais propriedades e características das funções que serão estudadas de forma específica para cada tipo de função nas próximas unidades Representação algébrica É a lei de formação da função Usualmente utilizase a notação y f x Representação gráfica É o gráfico da função no sistema cartesiano de coordenadas Domínio São os valores que a variável independente pode assumir Na representação gráfica é possível identificálo a partir da análise do eixo x Conjunto imagem São os valores que a variável y assume Na representação gráfica é possível identificálo a partir da análise do eixo y Zero ou raiz Quando igualamos a lei de formação a zero y0 haverá um valor correspondente de x Assim os valores de x tais que f x 0 seráão os zeros da função Graficamente é o ponto em que o gráfico corta o eixo x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 67 1332008 173957 68 Universidade do Sul de Santa Catarina Sinal de uma função O sinal de uma função é dado pelo sinal da imagem da função Quando os valores de y assumem sinal positivo dizemos que f x 0 ou seja a função assume sinal positivo Quando os valores de y assumem sinal negativo dizemos que f x 0 ou seja a função assume sinal negativo Graficamente a função é positiva acima do eixo x e é negativa abaixo dele Crescimento ou decrescimento Uma função é crescente se para dois valores quaisquer x1 e x2 com x x 1 2 tivermos f x f x 1 2 Uma função é decrescente se para dois valores quaisquer x1 e x2 com x x 1 2 tivermos f x f x 1 2 Olhando o presente Veja o seguinte problema P2 Numa indústria verificouse que se o preço de uma peça fosse igual a R500 os clientes encomendavam 50 unidades por dia Quando o preço passou a ser R450 as encomendas passaram para 60 unidades por dia Como podemos representar a função de demanda desta peça Para resolver este problema vamos inicialmente fazer o gráfico da função p f x sendo p o preço e x a quantidade ofertada Com os dados do problema podemos dizer que esta função passará pelos pontos 505 e 6045 conforme mostra o gráfico da Figura 210 Figura 210 Representação gráfica da função de demanda da peça Tópicos de Matemática Elementar Iindb 68 1332008 174000 69 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 Para esta função vamos analisar suas propriedades e características Representação algébrica A lei de formação desta função é dada por p x 0 05 7 5 Representação gráfica Veja a Figura 210 Domínio A variável x assume valores que vão de 0 até 150 Portanto temos D f x 0 150 Observe que na prática x é um número inteiro mas na área econômica esse formalismo é relaxado Conjunto imagem Analisando o eixo vertical do gráfico podemos perceber que a variável p assume valores que vão de 0 até 75 Portanto temos Im f p 0 7 5 Zero ou raiz O zero da função é o ponto cujo gráfico corta o eixo horizontal ou seja o eixo x Nesta função isto acontece quando x 150 Sinal de uma função Esta função é positiva em 0150 pois seu gráfico está todo acima do eixo x Crescimento ou decrescimento É uma função decrescente pois à medida em que os valores de x aumentam os valores de p diminuem Dos dados do problema podemos mostrar que se x1 50 e x2 60 com x x 1 2 teremos f x f x f x f x 1 2 1 2 5 4 5 Olhando o futuro estamos de forma sistemática incentivando o uso de softwaresVeja no exemplo desenvolvido a expressão que define a lei de formação foi fornecida pelo software usado GRAPH Colocamos os pontos dados usando a ferramenta Function e Insert point series Para fazer o traçado do gráfico usamos um ajuste de curva usando a ferramenta Function e Insert trendline escolhendo a opção linear Se você ainda não dispõe de um software não perca tempo pesquise o mais rápido possível um software livre na internet pois ele vai ser seu ajudante no decorrer desta disciplina Tópicos de Matemática Elementar Iindb 69 1332008 174002 70 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 4 Função inversa Ao definirmos uma função y f x na forma f A B ressaltouse que se trata de uma lei ou regra que a cada elemento de A se faz corresponder um único elemento de B Em algumas funções para cada y B existe exatamente um valor x A tal que y f x Nestes casos definese uma função g B A na forma x g y A função g é dita inversa de f e é denotada por f 1 Nem todas as funções possuem inversa As funções do segundo grau por exemplo não possuem inversa a não ser que seja feita uma restrição conveniente no seu domínio e contra domínio Acompanhe com atenção os exemplos para entender o procedimento de determinação da função inversa Exemplos 1 Determine a função inversa de f x x 2 1 Para determinar a representação algébrica da função inversa de fx trocase o x pelo y na função dada lembrando que podemos escrever y f x ou seja y x 2 1 Assim temse x y 2 1 Isolando a variável y determinase a função inversa x y y x 1 2 1 2 Portanto f x 1 1 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 70 1332008 174005 71 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 2 Determine a representação algébrica da função inversa de y x 1 Também neste exemplo vamos trocar o x pelo y na forma algébrica da função x y 1 Isolando a variável y determinase a função inversa x y y x 1 1 Portanto y x 1 1 3 Determine a representação gráfica função inversa de fx cujo gráfico pode ser visualizado na Figura 211 Figura 211 Gráfico da função fx Tópicos de Matemática Elementar Iindb 71 1332008 174006 72 Universidade do Sul de Santa Catarina O procedimento de trocar o x pelo y quando se tem o gráfico também pode ser realizado Como temos uma reta podemos marcar os pontos que cortam os eixos para que a reta final seja traçada Assim a função inversa deve passar pelos pontos 01 e 30 já que a função passa pelos pontos 10 e 03 Acompanhe na Figura 212 os pontos marcados para que se possa traçar a reta da função inversa Figura 212 Gráfico da função fx Por fim na Figura 213 você pode visualizar a representação gráfica da função fx e de sua inversa representada por f x 1 Vale destacar que há um eixo de simetria entre os dois gráficos que é dado pela reta y x Figura 213 Gráfico das funções fx e f1x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 72 1332008 174007 73 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 4 Verifique a existência da função inversa de y x x 2 4 3 Faça sua representação gráfica caso exista Veja na Figura 214 a representação gráfica da função y x x 2 4 3 Figura 214 Gráfico da função y x x 2 4 3 Na função do segundo grau é necessário realizar uma restrição no domínio pois para cada y B existe mais de um x A correspondente Veja no gráfico que quando y x 3 0 ou x 4 Portanto a função inversa só poderá ser identificada caso haja uma restrição no domínio da função Suponha que a função passe a ser definida como f 2 R Veja na Figura 215 o gráfico da função Tópicos de Matemática Elementar Iindb 73 1332008 174009 74 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 215 Gráfico da função y x x 2 4 3 definida de 2 R Graficamente a função inversa é simétrica à função y x x 2 4 3 definida de 2 R em relação à reta y x Veja a representação gráfica das duas funções na Figura 216 Figura 216 Função f 2 R y x x 2 4 3 e sua inversa Tópicos de Matemática Elementar Iindb 74 1332008 174011 Topicos de Matematica Elementar Na Unidade 6 vocé estudara que as fungdes exponenciais e logaritmicas podem ser definidas uma como a inversa da outra Parada recreativa Malba Tahan foi um escritor famoso por suas atividades recreativas envolvendo a matematica Veja se vocé consegue resolver a seguinte situagao apresentada para o calculista figura criada por este autor Como pagamento de pequeno lote de carneiros trés criadores de Damasco receberam 21 vasos de vinho 7 cheios 7 meiocheios m 7 vazios Como dividir em partes iguais de forma que cada um deles receba o mesmo numero de vasos e a mesma quantidade de vinho sem abrir os vasos Fonte Faculdades de Guarulhos Disponivel em httpwwwfaculdadesdeguarulhosedubrartigoshtml Sintese Ao finalizar esta unidade é importante que vocé perceba que esta com uma ferramenta matematica poderosa e muito util na modelagem de problemas praticos O detalhamento dos itens que foram aqui mostrados sera apresentado no decorrer das proximas unidades Mas nao siga adiante sem antes sanar todas as suas duvidas Procure o seu professor tutor A proxima unidade tratara das fungées do primeiro grau Até mais Unidade 2 75 76 Universidade do Sul de Santa Catarina Atividades de autoavaliação 1 Calcule f 0 e f 1 2 para as funções representadas algebricamente por a f x x x 2 1 b f x x x 1 1 2 A função que expressa o custo total em reais de fabricação de um produto é dada por C q q q q 3 10 2 100 100 sendo q o número de unidades do produto a Calcule o custo de fabricação de cinco unidades b Qual o custo de fabricação da quinta unidade 3 Sejam as funções representadas graficamente nas figuras 217 e 218 Figura 217 Gráfico de fx Tópicos de Matemática Elementar Iindb 76 1332008 174012 77 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 2 Figura 218 Gráfico de gx Complete a tabela com as características e propriedades das funções fx e gx fx gx Domínio Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da função Intervalo de crescimento Intervalo de decrescimento 4 Determine a representação algébrica da função inversa de a f x x 2 3 b y x 4 5 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 77 1332008 174013 78 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Em todas as áreas do conhecimento as funções são usadas para modelar fenômenos físicos e naturais A leitura de gráfico é requerida em quase todas as áreas Para saber mais sobre a aplicação das funções na área biológica visite o site httpwwwvirtualepmbrmaterialtiscurrbio trab2003g5 que apresenta vários gráficos lidos e interpretados por médicos no contexto da cardiologia Tópicos de Matemática Elementar Iindb 78 1332008 174013 UNIDADE 3 Funcao do primeiro grau o Objetivos de aprendizagem Identificar uma funcao do primeiro grau através de sua forma algébrica Conhecer e analisar o grafico de uma funcgao do primeiro grau Aplicar as fungdes do primeiro grau em situacgdes reais Bey Secoes de estudo Segao1Introdugao Secao2 Grafico da fungao do primeiro grau Secao3Propriedades e caracteristicas Segao4 Aplicacgdes 80 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad encontramse no shopping E aí amigo tudo bem Opa rapaz passeando um pouquinho Pois é vim ver umas coisas e aproveitar para visitar o amigo agora empresário Como vão os negócios No começo um pouco difíceis os custos são grandes e as vendas nem tanto É mesmo Tenho todo mês um custo fixo com luz aluguel salário dos empregados mais o custo variável para a compra de estoque É mas conhecendo o seu faro para negócios tenho certeza de que a receita supera o custo Ainda bem que sim lucro sempre é bom Mas é isso Sucesso e até mais Um abraço e passe aqui para gastar um pouquinho Tópicos de Matemática Elementar Iindb 80 1332008 174014 81 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 Seção 1 Introdução Você percebeu no diálogo entre os nossos amigos Ted e Mad a menção de alguns termos muito comuns no mercado econômico como receita custo e lucro Todos estes termos podem ser analisados através de formas algébricas que são funções do 1 grau Pare Revise Lembrese de que receita é tudo que se ganha custo é aquilo que se paga e o lucro é obtido diminuindo o custo da receita Olhando o presente Veja o seguinte problema P1 Uma floricultura tem como principal produto buquês de rosas que são vendidos a R 2500 cada buquê A despesa mensal com aluguel luz e funcionários é de R 200000 O custo para compor cada buquê é de R 1500 escreva a função receita custo e lucro e calcule quantos buquês devem ser vendidos para que a receita seja igual ao custo ou seja para que o lucro seja zero P2 Suponha que um retângulo tem lados iguais a x e x 2 Qual a função que nos dá o perímetro deste retângulo Para resolver estes problemas é importante você relembrar os conceitos relacionados com as funções de primeiro grau Definição Chamase de função do primeiro grau a função que associa cada número real x o número real a x b com a 0 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 81 1332008 174014 82 Universidade do Sul de Santa Catarina Linguagem simbólica f R R fx a x b sendo a b R com a 0 Os números reais a e b são chamados de coeficiente angular e coeficiente linear respectivamente As funções do primeiro grau podem ser classificadas de acordo com os valores assumidos por a e b veja a tabela a seguir Condição dos coeficientes Representação algébrica Nome da função a 0 e b 0 fx a x b Função afim b 0 fx a x Função linear b 0 e a 1 fx x Função identidade Pare Observe Observe que a função do primeiro grau chamada de identidade é única ou seja existe apenas um caso em que b 0 e a 1 Exemplos 1 Classifique as seguintes funções quanto ao seu tipo a f x x 2 Função linear b g x x 1 2 9 Função afim c y x Função identidade d r t t 4 7 Função afim 2 Escolha um número qualquer multiplique por dois e some dez Escreva esta regra como uma função do primeiro grau na forma algébrica Escolher um número x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 82 1332008 174016 83 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 Multiplicar por dois 2 x Somar dez 2 x 10 Assim temos fx 2 x 10 Esta função associa cada número x ao seu dobro mais 10 3 Escreva a forma algébrica de uma função f que associa a cada número a sua metade e do resultado subtrai seis Em seguida calcule f 2 f0 e f2 f x x 1 2 6 é a função pedida f 2 1 2 2 6 1 6 7 f 0 1 2 0 6 0 6 6 f 2 1 2 2 6 1 6 5 4 Agora você já está apto a resolver o problema inicial P1 da venda de buquês em uma floricultura Considere x a quantidade de buquês vendidos no mês Como cada buquê é vendido a R 2500 temos que a receita total no fim do mês é dada por 25 x logo Rx 25 x Esta é uma função do primeiro grau do tipo linear O custo total da floricultura é a soma do custo variável e do custo fixo Como gastamse R 1500 para a confecção de cada buquê segue que o custo variável é de CV 15 x Já o custo fixo é de CF 2000 logo o custo total é dado por C CV CF Cx 15 x 2000 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 83 1332008 174017 84 Universidade do Sul de Santa Catarina Esta é uma função do primeiro grau do tipo afim Agora para obter a função que nos dá o lucro total da floricultura basta subtrair o custo da receita ou seja Lx Rx Cx Lx 25 x 15 x 2000 Lx 10 x 2000 Esta também é uma função do 1 grau do tipo afim Falta agora calcularmos a quantidade vendida para que a receita seja igual ao custo ou seja o lucro seja zero Se Lx 0 então 10 x 2000 0 Resolvendo esta equação temos que x 200 Assim concluímos que se a venda for inferior a 200 unidades então a floricultura ainda está tendo prejuízo e se a venda for maior que 200 unidades os lucros começam a aparecer Pare Observe O ponto em que a receita coincide com o custo ou seja o ponto em que o lucro é zero é chamado de ponto de nivelamento Os economistas usam a expressão break even point No início desta seção tínhamos um outro problema a ser resolvido que era o cálculo do perímetro de um retângulo Pare Revise Você lembra como calcular o perímetro de um retângulo É muito simples basta somar todos os lados Assim de maneira mais formal definimos que o perímetro de um retângulo é a soma dos seus lados Tópicos de Matemática Elementar Iindb 84 1332008 174017 85 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 Agora já podemos encontrar a função que nos dá o perímetro de um retângulo que tem dimensões x e x 2 Assim P x x x 2 x 2 P 4 x 4 Usando a notação de função temos que Px 4 x 4 Seção 2 Gráfico da função do primeiro grau Nesta seção você vai estudar a representação gráfica da função do primeiro grau Olhando o presente Novas situaçõesproblema para a nossa análise observe P3 Suponha que você tenha dois pontos no plano cartesiano Como obter a lei de formação da função do primeiro grau P4 Como analisar a representação gráfica da função lucro obtida no problema P1 Para obter a representação gráfica de uma função do primeiro grau fazemos o uso de uma tabela de valores para em seguida colocar os pontos obtidos no plano cartesiano Olhando o passado Dizem que uma mosca pode ter motivado a notação do sistema cartesiano O matemático René Descartes observava uma mosca que caminhava no forro de seu quarto junto a um dos cantos Chamou sua atenção o fato de que o caminho da mosca sobre o forro poderia ser descrito se as distâncias até as paredes adjacentes fossem conhecidas Tópicos de Matemática Elementar Iindb 85 1332008 174017 86 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos 1 Represente graficamente a função y x 2 Inicialmente constróise uma tabela atribuindo valores para x e determinando os valores de y correspondente x y x 2 xy 2 y 2 2 0 20 1 y 1 2 1 11 0 y 0 2 2 02 1 y 1 2 3 13 2 y 2 2 4 24 Note que a cada par ordenado x y corresponde um ponto no plano cartesiano Assim obtémse o gráfico mostrado na Figura 31 Figura 31 Gráfico da função y x 2 Pare Observe Note que uma reta pode ser definida por apenas dois pontos Logo basta determinar dois pontos para a construção do gráfico de uma função do primeiro grau Tópicos de Matemática Elementar Iindb 86 1332008 174018 87 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 2 Represente graficamente a função y x x y x xy 0 y 0 00 1 y 1 11 O gráfico desta função é mostrado na Figura 32 Figura 32 Gráfico da função y x Olhando o futuro Os gráficos mostrados nas figuras 31 e 32 podem ser gerados por softwares matemáticos Você pode utilizar qualquer software para fazer gráficos de funções experimente procurar na internet que você encontrará várias versões demo prontas para o download Vale a pena tentar Apesar de estes programas nos auxiliarem na construção dos gráficos é bom saber fazer esboços sem ajuda tecnológica pois a construção manual possibilita a identificação de características da função Agora que você já sabe como fazer o gráfico de uma função do primeiro grau já podemos retornar às situações P3 e P4 do início da seção Tópicos de Matemática Elementar Iindb 87 1332008 174018 Universidade do Sul de Santa Catarina A situagao P3 requer que definamos a lei de formagao de uma funcao do primeiro grau conhecendo apenas dois pontos Considere uma reta que passa pelos pontos 13 e 24 Visualize esta reta na Figura 33 I 5 4 Pa af AO 8 6 2 4 6 8 2 8 Figura 33 Grafico da reta que passa pelos pontos 13 e 24 A lei de formacao é dada por fx a x 6 Temos que a A imagem de 1 3 logo f 1 a 1 43 a A imagem de 2 é 4 logo f2 a254 Agrupando estas equacGes temos o seguinte sistema a b 3 2a b 4 1 10 Resolvendo este sistema temse que a 3 b 3 x 4 1 10 Logo a lei de formagao da fungao é dada por fx 3 x 3 Voltamos a resolugao do problema P4 para analisar a representacao grafica da fungao lucro obtida no problema P1 Lembrese de que de acordo com o problema P1 temos que Lx 10 x 2000 Note inicialmente que para fazer o grafico desta funcéo devemos ter que x 2 0 pois representa quantidade 88 Topicos de Matematica Elementar logo o grafico de L esta todo a direita do eixo y Veja 0 grafico na Figura 34 Ly 2500 2000 1500 1000 500 x 50100 150 00 250 300 500 1000 1500 2000 2500 Figura 34 Grafico da fungao Lx 10x 2000 O coeficiente linear é igual 4 2000 isto 6 0 grafico de L toca 0 eixo y no ponto 0 2000 Neste ponto nada foi vendido O ponto 2000 é onde a reta corta 0 eixo x Assim x 200 o ponto tal que a receita é igual ao custo Quando x 200 temos prejuizo o grafico esta abaixo do 1x0 x Quando x 200 obtemos lucro efetivo o grafico esta acima do eixo x Secao 3 Propriedades e caracteristicas A forma algébrica de uma funcao do primeiro grau nos leva a uma série de conclusées sobre a funcao mesmo sem termos a sua representacao grafica Alzumas caracteristicas que serao analisadas apenas olhando sua representacao algébrica sao dominio imagem zero da funcao crescimento e decrescimento e sinal da fungao Unidade 3 89 90 Universidade do Sul de Santa Catarina Para a análise completa vejamos a comparação entre duas funções do primeiro grau representadas nas figuras 35 e 36 Figura 35 Gráfico de fx 2x 4 Figura 36 Gráfico de fx 2x 4 O que vamos observar fx 2x 4 fx 2x 4 Representação gráfica É uma reta É uma reta Domínio Conjunto dos números reais Conjunto dos números reais Imagem Conjunto dos números reais Conjunto dos números reais Zero ou raiz ponto onde o gráfico corta o eixo dos x isto é fx 0 2x 4 0 x 2 2x 4 0 x 2 Crescimento e decrescimento a análise é feita através do sinal do coeficiente angular Se a 0 a função é crescente e se a 0 a função é decrescente Como a 2 0 segue que a função é crescente Como a 2 0 segue que a função é decrescente Sinal da função análise da imagem da função Como fx a x b segue que fx 0 quando a x b 0 ou x b a e fx 0 se x b a fx 2 x 4 0 se x 2 e fx 2 x 4 0 se x 2 fx 2 x 4 0 se x 2 e fx 2 x 4 0 se x 2 Note que todas estas características podem ser visualizadas diretamente com a análise gráfica Tópicos de Matemática Elementar Iindb 90 1332008 174020 Tépicos de Matematica Elementar Gx Exemplos 1 Considere a funcao lucro do problema P1 Analise suas propriedades e caracteristicas Temos que Lx 10x2000 veja o grafico na Figura 34 Note pelo grafico que O dominio é dado por DL 02 isto é x20 s A imagem é dada por ImL 2000 isto é y2000 O zero desta funcao é quando Lx 0 neste caso x200 Esta fungao é crescente pois a100 A funcao é positiva quando x 200 e negativa quando x200 2 Seja fx 3x9 Determine a O grafico de fx b O ponto em que a reta cruza 0 eixo x c O ponto em que a reta cruza 0 eixo y d A funcio é crescente ou decrescente Unidade 3 91 92 Universidade do Sul de Santa Catarina a A Figura 37 apresenta a visualização gráfica de f x x 3 9 Figura 37 Gráfico da função f x x 3 9 b O ponto em que a reta cruza o eixo x é o ponto onde y 0 logo 3 9 0 3 9 3 x x x Assim a reta corta o eixo x no ponto 30 c O ponto em que a reta cruza o eixo y é o ponto onde x 0 logo y y 3 0 9 9 Assim a reta corta o eixo y no ponto 09 Note que o valor 9 é perceptível na forma algébrica da função coeficiente linear d A função é decrescente pois a 3 0 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 92 1332008 174025 93 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 Seção 4 Aplicações Já notamos que algumas variáveis econômicas podem ser modeladas por meio de funções de primeiro grau entre elas a receita o custo e o lucro Olhando o presente Veja a aplicação de demanda e oferta no mercado P5 A quantidade demandada de um bem é dada por q p d 8 4 e a quantidade ofertada é dada por q p o 2 6 Qual é preço ótimo em reais a ser cobrado para este bem para que toda a oferta seja demandada ou seja a quantidade submetida ao mercado seja consumida O problema P5 faz menção a duas novas variáveis quantidade demandada e quantidade ofertada Veja a definição de ambas Função demanda A quantidade demandada de um determinado bem qd depende do preço deste bem É a quantidade que o consumidor está disposto a consumir Muitas destas relações são representadas por funções do primeiro grau O coeficiente angular desta função é negativo ou seja a função é decrescente isto é à medida em que o preço aumenta a quantidade procurada diminui e à medida em que o preço diminui a quantidade procurada aumenta Os gráficos destas funções estão no primeiro quadrante já que as variáveis envolvidas preço e quantidade são sempre maiores ou iguais a zero Tópicos de Matemática Elementar Iindb 93 1332008 174026 94 Universidade do Sul de Santa Catarina Função oferta A quantidade ofertada de um determinado bem qo depende do preço deste bem É a quantidade que o comerciante deveria submeter ao mercado Muitas destas relações são representadas por funções do primeiro grau O coeficiente angular desta função é positivo ou seja a função é crescente isto é à medida em que o preço aumenta a quantidade ofertada também aumenta e à medida em que o preço diminui a quantidade ofertada também diminui Os gráficos destas funções estão no primeiro quadrante já que as variáveis envolvidas preço e quantidade são sempre maiores ou iguais a zero Voltando ao problema P5 Note que as funções demanda q p d 8 4 e oferta q p o 2 6 estão de acordo com as definições acima Primeiramente veja o gráfico das duas funções traçadas no mesmo sistema de coordenadas na Figura 38 Figura 38 Gráficos das funções q p d 8 4 e q p o 2 6 Perceba que estas funções se interceptam em um ponto que é chamado de ponto de equilíbrio ou preço de equilíbrio Neste ponto tudo que é ofertado é vendido seria o preço ótimo do produto no mercado Esta análise pode ser feita algebricamente Tópicos de Matemática Elementar Iindb 94 1332008 174027 95 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 também Como queremos que a quantidade demandada seja igual à quantidade ofertada temos q q d o 8 4 2 6 p p 10 10 p p 1 Portanto o preço de equilíbrio é de R 100 Para p 1 temos q q d o 4 Isto quer dizer que se o preço do bem for de 1 real então se forem disponibilizadas quatro unidades no mercado todas são vendidas Parada recreativa Antes de apresentar sugestões para a sua autoavaliação vamos fazer um relaxamento Ted e Mad no tempo de colégio gostavam de charadas e jogos Mas nunca se entendiam Dona Flor mãe de Ted nos contou que um dia eles ficaram várias horas discutindo sobre o tamanho das mesas que apareciam no calendário da sua cozinha Ted afirmava que ambas as mesas tinham a mesma medida e Mad dizia que não Afinal quem estava com a razão Tópicos de Matemática Elementar Iindb 95 1332008 174029 96 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade você teve contato com as funções do primeiro grau e percebeu que muitas aplicações práticas do diaadia são modeladas através destas funções entre elas as funções de oferta e demanda além das funções receita custo e lucro Muitas das características destas funções podem ser visualizadas na representação gráfica e neste caso o uso de softwares ajuda no desenvolvimento gráfico com uma apresentação de qualidade Na próxima unidade você vai estudar as funções do segundo grau e perceber que algumas das funções da área econômica envolvidas nesta unidade também podem ser modeladas pelas funções do segundo grau Até mais Atividades de autoavaliação 1 Identifique as seguintes funções quanto ao seu tipo a f x x 3 b h t t 1 4 c s t t d g x x 2 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 96 1332008 174030 97 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 2 encontre a lei de formação para a função que associa a cada número x qualquer um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5 3 Na fabricação de um determinado bem verificouse que o custo total foi obtido a partir de uma taxa fixa de R 100000 adicionada de um custo de produção de R 50000 por unidade Determine a função custo total em relação à quantidade produzida e o custo de fabricação de dez unidades 4 Uma locadora de carros cobra R 5000 pelo aluguel de um carro mais R 200 por quilômetro rodado Determine a o preço a ser pago para rodar 10 km b o preço a ser pago para rodar 35 km c a função que modela esta situação 5 Seja s t t 4 8 Determine a o gráfico de st b o domínio e a imagem de st c se a função st é crescente ou decrescente d o sinal da função st Tópicos de Matemática Elementar Iindb 97 1332008 174031 98 Universidade do Sul de Santa Catarina 6 Uma pequena fábrica de móveis tem como seu principal produto a fabricação de banquetas Cada banqueta é vendida ao preço de R 2500 A fábrica tem um custo fixo mensal de R 500000 em aluguel e máquinas conta de luz compra de material e pagamento de funcionários A mesma gasta R 1500 para fabricar cada banqueta Determine a a função receita total e custo total b a função lucro total c o ponto de nivelamento d se a fábrica terá lucro ou prejuízo com a venda mensal de 500 banquetas e a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R 100000 f o lucro para a venda de 760 banquetas mensais 7 A quantidade demandada de um bem é de q p d 5 e a quantidade ofertada é de q p o 1 2 Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente Tópicos de Matemática Elementar Iindb 98 1332008 174031 99 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 Saiba mais Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes das funções do primeiro grau recomendamos a leitura do livro FLEMMING D M LUZ E F Representações gráficas São José Saint Germain 2003 Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas através da leitura gráfica Bom trabalho Tópicos de Matemática Elementar Iindb 99 1332008 174031 100 Universidade do Sul de Santa Catarina Tópicos de Matemática Elementar Iindb 100 1332008 174032 UNIDADE 4 Objetivos de aprendizagem Identificar uma fungao do segundo grau através de sua forma algébrica Conhecer e analisar o grafico de uma funcgao do segundo grau Aplicar as fungdes do segundo grau em situaées reais Bey Secdes de estudo Segao1Introdugao Secao2 Grafico da fungao do segundo grau Segao3Propriedades e caracteristicas 102 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad encontramse num passeio no campo Como é bom viajar pelo campo não Com certeza ar puro silêncio paz O engraçado é como a tecnologia está presente por aqui também percebeu Não o quê A quantidade de antenas parabólicas cada casa tem uma Pois é rapaz a tecnologia anda a mil Mas você sabe por que o nome antena parabólica Acredito que é o fato de ter a forma de uma parábola acertei Ando meio enferrujado Isso mesmo a Matemática presente em todos os campos inclusive num passeio pelo campo He he he Tópicos de Matemática Elementar Iindb 102 1332008 174033 Topicos de Matematica Elementar Secao 1 Introducao No didlogo desta unidade nossos amigos Ted e Mad mencionaram um objeto muito comum no nosso diaadia a antena parabolica que nos remete a um assunto bem matemiatico Todas as pardbolas sao modeladas com funcées do segundo grau E importante observar que uma parabola é uma figura plana que nao deve ser confundida com a antena parabolica que é uma superficie denotada como paraboldide Outros fendmenos utilizam as fungées ditas quadraticas para formalizar a modelagem Por exemplo modelos econdmicos objetos em queda livre a balistica fardis de um carro Olhando o presente J Veja o seguinte problema P1 Uma revendedora de doces percebeu que a equacao de demanda de seu principal produto barras de chocolate é dada por x 20 pA fungao custo é dada por Cx 2x 17 Obtenha a fungao lucro a partir da analise grafica da fungao e determine o numero de barras de chocolate a serem vendidas para se obter lucro maximo P2 Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40ms Sua altura depois de t segundos é dada por h 40t 16f Analise as caracteristicas da funao Para resolver estes problemas devemos discutir as funcdes do segundo grau Unidade 4 103 104 Universidade do Sul de Santa Catarina Definição Chamase de função do segundo grau a função que associa cada número real x ao número real ax bx c 2 com a b c pertencentes aos reais e a 0 Linguagem simbólica f R R f x ax bx c 2 sendo a b e c R com a 0 Exemplos 1 São exemplos de funções do segundo grau a f x x x 2 2 1 b s t t 9 2 c h x x x 10 20 2 Pare Observe Perceba que em algumas funções os valores de b e c são iguais a zero O que não pode ocorrer é a 0 pois assim não caracterizaria uma função do segundo grau 2 Escreva a forma algébrica da função f que associa a cada número o seu quadrado multiplicado por 2 e ao resultado subtraise 18 Encontre também f 1 f0 e f1 A função pedida é f x x 2 18 2 f 1 2 1 18 2 18 16 2 f 0 2 0 18 0 18 18 2 f 1 2 1 18 2 18 16 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 104 1332008 174038 105 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 4 3 Resolver o problema P1 O problema solicita que você encontre a função lucro mas para isso é necessário primeiramente encontrar a função custo já que a função lucro é dada por L x R x C x Você estudou na Unidade 3 que R x p x sendo p o preço do produto que no caso do problema P1 são barras de chocolate Perceba que nesta situação o preço não é dado explicitamente ele varia de acordo com a quantidade então x p 20 ou p x 20 Assim a função receita é dada por R x p x x x x x 20 20 2 Logo a função lucro é L x R x C x L x x x x 20 2 17 2 L x x x 2 18 17 Note que a função lucro pedida é uma função do segundo grau A resolução da segunda parte do problema discussão do lucro máximo será feita mais adiante depois da apresentação das características propriedades e representação gráfica da função do segundo grau Tópicos de Matemática Elementar Iindb 105 1332008 174041 106 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 Gráfico da função do segundo grau Da mesma maneira como você já estudou nas funções do primeiro grau vamos fazer uso de uma tabela de valores para obter a representação gráfica de uma função do segundo grau Você irá perceber que apenas dois pontos não são necessários para obter a representação gráfica deste tipo de função Exemplos 1 Represente graficamente a função y x x 2 2 Inicialmente é necessário construir uma tabela atribuindo valores aleatórios para x e determinando os valores de y correspondentes x y x x 2 2 xy 3 y 3 3 2 10 2 3 10 2 y 2 2 2 4 2 2 4 1 y 1 1 2 0 2 1 0 0 y 0 0 2 2 2 0 2 1 y 1 1 2 2 2 1 2 2 y 2 2 2 0 2 2 0 3 y 3 3 2 4 2 3 4 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 106 1332008 174043 107 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 4 Colocando estes pontos no plano cartesiano obtémse o gráfico da função y x x 2 2 como mostra a Figura 41 Figura 41 Gráfico da função y x2 x 2 Olhando o futuro O gráfico mostrado na Figura 41 foi obtido usando se o software GRAPH já apresentado nas unidades anteriores Um software algébrico potente no contexto da Matemática é o Derive cuja versão demo é encontrada em diversos sites na internet Basta colocar a palavra chave Derive num site de busca para pesquisar um local de acesso para download 2 Podemos agora obter o gráfico da função lucro do problema P1 e responder a questão sobre lucro máximo que deixamos em aberto na seção anterior Tópicos de Matemática Elementar Iindb 107 1332008 174044 108 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe a tabela de valores x L x x x 2 18 17 x y 0 L 0 0 17 17 2 0 17 1 L 1 18 17 0 2 1 0 5 L 5 90 17 48 2 5 48 9 L 9 162 17 64 2 9 64 10 L 10 180 17 63 2 10 63 17 L 17 306 17 0 2 17 0 Na Figura 42 temos o gráfico Observe que as parábolas têm simetrias e portanto ao fazer um gráfico com lápis e papel é interessante colocar pontos simétricos para que o traçado fique com mais perfeição A tabela apresentada neste exemplo apresenta o cálculo de um par de pontos simétricos 1 0 e 17 0 Na prática costumamos trabalhar somente com a parte positiva da parábola Figura 42 Gráfico da função L x x x 2 18 17 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 108 1332008 174046 Topicos de Matematica Elementar Note que a partir do grafico é possivel analisar algzumas propriedades da funcao Por exemplo aconcavidade da parabola é voltada para baixo a funcio corta o eixo y no ponto 0 17 que é exatamente o valor de c na forma geral de uma fungao do segundo grau a func4o corta o eixo x em dois pontos x 1e x 17 Para obtélos fazemos Lx 0 obtendo a equagao do segundo grau cujas raizes sio x Le x 17 Pare Revise Lembrese de que para resolver uma equacao do segundo grau do tipo ax bxc0usasea conhecida formula de Baskhara btVb4ac x 2a Note que o maior valor de Lx ocorre no vértice da parabola que é 0 ponto 9 64 Assim a pergunta do problema P1 ja pode ser respondida ou seja o lucro sera maximo R 6400 quando forem vendidas nove barras de chocolate Olhando o passado t Oprimeiro registro conhecido da resolugao de Se problemas envolvendo o que hoje chamamos de equacao do 2 grau data de 1700 aC aproximadamente feito numa tabula de argila através de palavras A solugao era apresentada como uma receita matematica e fornecia somente uma raiz positiva Os mesopotamicos enunciavam a equacao e sua resolucao em palavras mais ou menos do seguinte modo Qual é o lado de um quadrado em que a drea menos FRAGOSO Wagner da o lado da 870 o que hoje se escreve x x 870Ea Cunha Uma abordagem receita era da equacao do 2 grau Tome a metade de 1 coeficiente de x e multiplique Revista do Professor de Matematica n 43 por ela mesma 05 x 05 025 Some o resultado a p2025 2 Sdo Paulo 870 termo independente Obtémse um quadrado sadrimestre de 2000 87025295 cujo lado somado a metade de 1 vai dar 4 30 o lado do quadrado procurado Unidade 4 109 Universidade do Sul de Santa Catarina Todas as informacées observadas graficamente podem ser obtidas conhecendose apenas a forma algébrica da funao de segundo grau E importante que vocé esteja atento para usar a linguagem adequada grafica ou algébrica na resolucao das diferentes situacdesproblema Secao 3 Propriedades e caracteristicas Nesta secao a partir da forma algébrica da funcao do segundo grau vamos discutir as seguintes caracteristicas e propriedades das fungées dominio imagem concavidade vértice raizes crescimento e decrescimento e sinal da funcao Representagao grafica vocé percebeu que em todos os nossos exemplos anteriores o grafico de uma funcao do segundo grau é sempre uma parabola Dominio o dominio de uma fungao do segundo grau é o conjunto dos nimeros reais Concavidade na Secao 2 vocé teve a oportunidade de construir o grafico de duas funcdes do segundo grau na Figura 41 a concavidade era voltada para cima e na Figura 42 a concavidade era voltada para baixo Desta forma vocé observou que possivel saber a concavidade apenas analisando a forma algébrica ou seja a parabola tem concavidade voltada para cima se a 0 e concavidade voltada para baixo se a 0 Gx Exemplos 1 Considere as seguintes fungées fxx 2x3 e gx x 2x43 110 Topicos de Matematica Elementar Determine o dominio a concavidade e 0 grafico das fungoes A representacao grafica é mostrada nas figuras 43 e 44 Se Se 6 8 4 6 4 x 2 4 2 2 x 2 4 2 2 Figura 43 Grafico da funcao Figura 44 Grafico da funcao fxx 2x3 gx x 2x43 O quadro a seguir apresenta um resumo das propriedades solicitadas 0 que vamos observar fx x 2x43 fx x 2x43 Representacdo grafica E uma pardbola E uma pardbola Conjunto dos numeros reais Conjunto dos numeros reais Como a 10 aparabola Comoa10Oa Concavidade tem concavidade voltada para parabola tem concavidade cima voltada para baixo Vamos continuar com as caracteristicas das fungdes do segundo grau Simetria a parabola apresenta simetria em relacao 4 reta paralela ao eixo dos y passando pelo vértice a Vértice o vértice da parabola ocorre no ponto b A a V Este ponto é um ponto de maximo ou 2a 4a minimo conforme a concavidade esteja voltada para baixo ou para cima respectivamente O ponto acima Unidade 4 111 Universidade do Sul de Santa Catarina pode ser encontrado formalmente a partir do momento que analisamos a funao fx ax bx c reescrita como bx c fx a x 4 a a 2 b b bc a x2x5 2a 4a 4a 2 b 4acb a x 2a 4a b A al x ZI 2a 4a Numa rapida inspecao é possivel observar a importancia do sinal do ae do discriminante Ab 4ac no formalismo algébrico e conseqtientemente na identificagao das propriedades e caracteristicas da fungao do segundo grau Imagem se a concavidade é voltada para cima entao a imagem sio os valores de y pertencentes ao intervalo ye ou seja v2 y Se a concavidade é voltada para baixo entéo a imagem sfo os valores de y pertencentes ao intervalo c y ou seja yS y Lembrando que y é a ordenada o ponto do vértice da parabola Gx Exemplos Uma industria prevé que o lucro total do seu principal produto ao final do més é dado pela fungao Lx 2x 9x10 sendo x a quantidade vendida em milhares e Z o ganho em milhdes de reais Encontre o valor de x que maximiza o lucro Note que a20 e portanto a concavidade é voltada para baixo o que nos leva a concluir que 0 vértice é um ponto de 112 Topicos de Matematica Elementar maximo Para responder a pergunta da questao basta determinar oO vértice b A 9 9 4210 9 8180 9 1 y24 jaf 22 ACC Jp 8180 6 9 VY 09 950125 2a 4a 22 42 4 8 48 Assim o lucro maximo é de 0125 milhdes de reais quando forem vendidas 225 milhares de unidades Veja 0 grafico da funcao na figura abaixo L 02 01 x 05 05 1 1s f 2 Figura 45 Grafico da fungao Lx 2x 9x10 Outras caracteristicas das funcdes do segundo grau Zero ou raiz sao os pontos onde fx0 0 que nos leva a resolver uma equacao do segundo grau ax bxc0 Crescimento e decrescimento variam de acordo com a concavidade da parabola Se a concavidade for para cima o intervalo de crescimento é x x e o intervalo de decrescimento é x x Ja se a concavidade for para baixo o intervalo de crescimento é quando x xyeo de decrescimento quando x xy Lembrando que x éa abscissa do ponto do vértice da parabola Unidade 4 113 114 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos Considere as equações de demanda e oferta q p 4 2 e q p 4 1 Discuta usando a representação gráfica e algébrica do equilíbrio do mercado Algebricamente O equilíbrio ocorre quando a demanda e a oferta são iguais ou seja 4 4 1 2 p p p p 2 4 5 0 ou p p 2 4 5 0 Resolvendo a equação do segundo grau temos que p 1 e p 5 O valor para p 5 deve ser descartado já que não temos preço de mercado negativo Estes valores obtidos são as raízes da equação p p 2 4 5 0 Portanto o valor que nos interessa é p 1 Se analisarmos simplesmente a função f p p p 2 4 5 podemos afirmar que os valores obtidos para p são as os pontos tais que o gráfico de f corta o eixo x ou seja f p 0 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 114 1332008 174057 Topicos de Matematica Elementar Geometricamente Fazendo o grafico das duas fungées ver Figura 46 o equilibrio ocorre no ponto de interseao grafica que é 0 ponto 1 3 ou seja quando p 1 g 3 q 4 3 2 1 P 1 2 3 Figura 46 Ponte de equilibrio do mercado Para terminar o estudo das propriedades e caracteristicas das fungdes do segundo grau falta apenas o estudo do sinal da func4o isto é para quais valores de x uma funcao é positiva ou negativa Sinal da fungao sao os valores de x para o qual os valores de y sao positivos ou negativos ou seja analisase o sinal da imagem da fungao Unidade 4 115 116 Universidade do Sul de Santa Catarina Nas figuras 47 a 412 apresentamos exemplos com as situações que podem ocorrer Figura 47 Parábola com 0 e a 0 e x1 x2 Neste exemplo temos sinal positivo em x x x 1 2 sinal negativo em x x x 1 2 Figura 48 Parábola com 0 e a 0 e x1 x2 Neste exemplo temos sinal positivo em x x x 1 2 sinal negativo em x x x 1 2 Figura 49 Parábola com 0 e a 0 e x1 x2 Neste exemplo temos sinal positivo em toda reta real portanto a função não assume valores negativos Figura 410 Parábola com 0 e a 0 e x1 x2 Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real portanto a função não assume valores positivos Tópicos de Matemática Elementar Iindb 116 1332008 174059 117 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 4 Figura 411 Parábola com 0 a 0 e não tem raízes reais Neste exemplo temos sinal positivo em toda reta real portanto a função não assume valores negativos Figura 412 Parábola com 0 a 0 e não tem raízes reais Neste exemplo temos sinal negativo em toda reta real portanto a função não assume valores positivos Exemplos 1 Agora você já pode analisar o problema P2 Uma pedra é atirada para cima com uma velocidade de 40ms A sua altura depois de t segundos é dada por h t t 40 16 2 Analise as características da função Na Figura 413 você pode visualizar o gráfico da função h t t 40 16 2 Figura 413 Gráfico da função do problema P2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 117 1332008 174100 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe que vocé ira analisar as caracteristicas desta funao contextualizadas no problema Lembre também que nao temos tempo negativo e altura negativa a pedra sobe até uma altura maxima e depois cai até o solo O solo esta sendo considerado no eixo dos x Temos O dominio da funcao é D052 pois como t é o tempo nao podemos considerar valores negativos A concavidade é voltada para baixo pois a160 Vértice temos que A 40 4160 1600 logo r 40 3 25 E 39 6447 Este ponto representa o tempo t54 s em que a bola atinge a altura maxima O valor h25m representa a altura maxima Como a concavidade é voltada para baixoe y 25 segue que Imf 025 5 As raizes sio t0 t7 Como a concavidade é voltada para baixo temse que é 5 5 crescente quando t 4 decrescente quando t 1 Para o sinal da fungao temos que a160 e 5 A16000 entao At0 quando t 05 Como esta relacionada com a altura temse que nao temos valores para tal que seja negativa x 2 Seja y 5 720 Para qual valor de x a fungao assume o menor valor 1 Como a 5 0 temos que a concavidade é voltada para cima logo a funao tem um ponto de minimo Este ponto de minimo ocorre no vértice da parabola 118 119 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 4 Temos V b a a 2 4 0 2 1 5 0 4 1 5 20 4 1 5 0 16 2 45 0 20 Logo o menor valor que a função assume é y 20 e ocorre quando x 0 Veja o gráfico na Figura 414 para tirar suas conclusões Figura 414 Gráfico da função y x 2 5 20 Parada recreativa Que tal fazermos economia de maneira diferente vamos supor que no primeiro dia do mês você guarde 1 centavo no segundo 2 centavos no terceiro 4 centavos no quarto dia 8 centavos e assim dobrando sucessivamente durante 30 dias seguidos Quanto teria você guardado ao final de um mês 100 reais 200 reais É possível para qualquer mortal uma economia deste tipo Mas não se precipite nas suas conclusões Tópicos de Matemática Elementar Iindb 119 1332008 174105 120 Universidade do Sul de Santa Catarina Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar mais detalhes da função do segundo grau Os exemplos discutidos mostraram que este tipo de função é muito importante na modelagem de vários problemas práticos O uso das representações gráficas associadas à representação algébrica auxilia na visualização das propriedades e características dessas funções Ao discutir as propriedades podemos encontrar as respostas dos problemas práticos Na unidade seguinte você irá avançar discutindo outros tipos de funções Atividades de autoavaliação 1 encontre uma função f que associa a cada número x o seu quadrado mais o seu dobro mais uma unidade em seguida encontre f 1 f0 e f1 2 Trace o gráfico das seguintes funções a y x x 2 2 3 b y x x 2 2 4 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 120 1332008 174106 121 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 4 3 Seja p x 50 2 em que x é quantidade demandada e o preço é p encontre a função receita total esboce o seu gráfico e em seguida encontre o valor de x para que a receita seja máxima 4 Seja f x x x 2 7 10 Analise as propriedades e características domínio imagem concavidade raízes vértice crescimento e decrescimento e o sinal da função e esboce o gráfico de f 5 Um terreno retangular tem dimensões de modo que sua largura é o triplo da altura encontre as dimensões deste retângulo de modo que sua área seja de 300m2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 121 1332008 174106 122 Universidade do Sul de Santa Catarina 6 A função demanda de um produto é p x 10 e a função custo é dada por C x x 20 encontre o valor de x para que o lucro seja máximo Saiba mais Uma boa sugestão para que você se aprofunde nesta unidade é fazer uma pesquisa na internet usando um site de busca com a palavrachave parábola Você verá sugestões de leituras de interessantes aplicações das funções de segundo grau É importante que você faça uma análise crítica dos objetos matemáticos apresentados É um exercício que vale a pena fazer Bom trabalho Tópicos de Matemática Elementar Iindb 122 1332008 174107 UNIDADE 5 Funcoes polinomiais e racionais Objetivos de aprendizagem Identificar fungdes polinomiais de grau maior do que dois Identificar funcdes racionais Analisar a representacao algébrica e grafica das funcdes polinomiais e racionais Discutir aplicagdes das fungdes polinomiais e racionais Bey Secoes de estudo Segao 1 Funcées polinomiais Segao 2 Funcoes racionais Secao3 Outros tipos de funcdes 126 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad preparam uma lista de convidados para uma festa Ah Ted acho que precisamos inicialmente definir quanto queremos gastar É verdade a diversão é boa mas também não adianta entrar no negativo As coisas estão muito caras hoje em dia Talvez um churrasco vá bem apesar de a carne estar cara Mas aí podemos pedir para que cada um traga a sua bebida Tudo bem então vamos fazer a lista de convidados Começamos pelos amigos em comum Flávio Marta Junior Ricardo Sil Ah não o Ricardo não Ele é muito chato Eu não quero ele aqui Mas fica chato convidar a Marta e não chamar o Ricardo A Marta é uma pessoa muito interessante Tópicos de Matemática Elementar Iindb 126 1332008 174107 127 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 Mas se é namorada do Ricardo já considero tão chata quanto ele Por favor Mas eu não abro mão da Marta Será que não há uma forma de conciliarmos isto Seção 1 Funções polinomiais Após estudar as funções de primeiro e segundo graus você pode agora visualizar as características e propriedades das funções polinomiais de grau maior do que dois Mas como são estas funções Definição A função polinomial é definida por f x a x a x a x a n n n n 0 1 1 1 sendo a a an 0 1 números reais com a0 0 chamados de coeficientes e n um número inteiro não negativo que determina o grau da função A representação gráfica das funções polinomiais é uma curva que pode apresentar pontos de máximos ou mínimos São gráficos que para serem traçados com mais facilidade necessitam de conceitos do cálculo diferencial não estudados nesta disciplina ou de softwares matemáticos como o GRAPH já citado nas unidades anteriores Exemplo Classifique as seguintes funções polinomiais quanto ao seu grau Tópicos de Matemática Elementar Iindb 127 1332008 174108 128 Universidade do Sul de Santa Catarina a f x x 2 3 É uma função polinomial de grau 1 Perceba que esta é a função do primeiro grau estudada na Unidade 3 b f x x x 2 3 1 2 É uma função polinomial de grau 2 Perceba que esta é a função do segundo grau estudada na Unidade 4 c f x x x 3 2 3 É uma função polinomial de grau 3 d f x x x 4 1 7 6 É uma função polinomial de grau 7 Pare Observe A partir da análise da representação algébrica da função polinomial é possível dizer que o domínio destas funções será sempre o conjunto dos números reais Para analisar as características e propriedades das funções polinomiais neste momento é importante que você visualize a representação gráfica da função Existem casos particulares das funções polinomiais que são interessantes de serem analisados Por exemplo as funções escritas como f x xn sendo n um inteiro positivo Para n 2 a forma do gráfico depende de n ser par ou ímpar Veja as figuras 51 e 52 Figura 51 Gráfico de y xn com n par Tópicos de Matemática Elementar Iindb 128 1332008 174110 129 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 Figura 52 Gráfico de y xn com n ímpar As funções y xn possuem aspectos comuns Veja na tabela como ficam as propriedades e características destas funções Representação algébrica y xn n é par y xn n é ímpar Representação gráfica Figura 51 Figura 52 Domínio conjunto dos reais Conjunto imagem 0 conjunto dos reais Zero ou raiz x 0 Sinal da função Positivo para qualquer xR Positivo para x 0 e negativo para x 0 Crescimento x 0 A função é crescente para qualquer x R Decrescimento x 0 Não possui intervalos de decrescimento Exemplos Analise as características e propriedades das funções polinomiais a y x 3 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 129 1332008 174112 130 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 53 Gráfico de y x 3 1 Pare Observe Se você comparar o gráfico de y x 3 Figura 52 com o gráfico de y x 3 1 Figura 53 pode perceber que a curva foi deslocada uma unidade para cima no eixo y Isto acontecerá em vários casos por exemplo y x 3 2 estará deslocado duas unidades para cima y x 3 3 três unidades para cima e y x 3 4 quatro unidades para baixo Representação algébrica y x 3 1 Representação gráfica Figura 53 Domínio conjunto dos reais Conjunto imagem conjunto dos reais Zero ou raiz x 1 Sinal da função Positivo para x 1 e negativo para x 1 Crescimentodecrescimento A função é crescente para todos os valores de xR b y x x x 4 3 2 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 130 1332008 174114 131 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 Figura 54 Gráfico de y x x x 4 3 2 2 Representação algébrica y x x x 4 3 2 2 Representação gráfica Figura 54 Domínio conjunto dos reais Conjunto imagem 2 83 Observando que o valor 283 é aproximado Zeros ou raízes x 1 x 0 x 2 Sinal da função Positivo para x 1 2 e negativo para x 1 0 0 2 Crescimentodecrescimento A função possui intervalos de crescimento e decrescimento Pare Observe Quando a função passa de decrescente para crescente temos um ponto de mínimo Quando passa de crescente para decrescente temos um ponto de máximo Perceba que na Figura 54 estão assinalados dois pontos de mínimo e o ponto de máximo c y x x 5 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 131 1332008 174116 132 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 55 Gráfico de y x x 5 3 Representação algébrica y x x 5 3 Representação gráfica Figura 55 Domínio R Conjunto imagem R Zeros ou raízes x 1 x 0 x 1 Sinal da função Positivo para 1 0 x ou x 1 e negativo para x 1 ou 0 1 x Crescimentodecrescimento A função possui intervalos de crescimento e decrescimento Olhando o presente Veja o seguinte problema P1 Suponha que a função C q q q q 3 20 2 300 250 expresse o custo total de fabricação de um produto Como calcular o custo de cinco unidades e o custo de fabricação da quinta unidade Se você já tem a função que expressa o custo total de fabricação de um determinado produto pode facilmente responder as duas questões solicitadas Para facilitar você irá supor que a função seja Tópicos de Matemática Elementar Iindb 132 1332008 174118 133 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 C q q q q 3 20 2 300 250 O custo de fabricação de cinco unidades é encontrado quando se calcula a imagem da função no ponto q 5 Portanto C 5 5 20 5 300 5 250 125 500 1500 250 1375 3 2 Se você trabalhar com unidades monetárias em reais a resposta é R 137500 Para saber o custo da quinta unidade você precisa fazer a diferença entre o custo de 5 unidades e o custo de 4 unidades ou seja C C 5 4 5 20 5 300 5 250 4 20 4 300 4 250 1375 3 2 3 2 1194 181 Assim o custo da quinta unidade é de R 18100 Observe que o gráfico desta função pode auxiliar na obtenção de outras análises veja a Figura 56 Figura 56 Gráfico da função custo total C q q q q 3 20 2 300 250 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 133 1332008 174119 134 Universidade do Sul de Santa Catarina Por exemplo é possível observar que o aumento do custo de produção cresce mais rapidamente a partir de aproximadamente vinte unidades Seção 2 Funções racionais As funções racionais são bastante utilizadas em aplicações práticas relacionadas a situações reais Perceba que são definidas como o quociente de duas funções polinomiais Definição A função racional é definida por f x P x Q x sendo P x e Q x polinômios e Q x 0 São exemplos de funções racionais f x x x 1 3 2 y x x 3 e h x x 1 Diante da definição da função racional e a partir da análise de sua representação algébrica é fácil constatar que o domínio da função é dado pelo conjunto de números reais excluindo todos os valores de x tais que Q x 0 Exemplos Analise as características e propriedades das funções indicadas a y x 1 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 134 1332008 174121 135 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 Figura 57 Gráfico da função y x 1 1 Representação algébrica y x 1 1 Representação gráfica Figura 57 Domínio R 1 Conjunto imagem R 0 Zero ou raíz Não possui zero ou raiz Sinal da função Positivo para x 1 e negativo para x 1 Crescimentodecrescimento A função é toda decrescente b y x x 7 9 Figura 58 Gráfico da função y x x 7 9 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 135 1332008 174123 136 Universidade do Sul de Santa Catarina Representação algébrica y x x 7 9 Representação gráfica Figura 58 Domínio R 9 Conjunto imagem R 0 Zero ou raíz Não possui zero ou raiz Sinal da função Positivo para x 9 e negativo para x 9 Crescimentodecrescimento A função é toda decrescente c y x x 2 1 Figura 59 Gráfico da função y x x 2 1 Representação algébrica y x x 2 1 Representação gráfica Figura 59 Domínio R 1 1 Conjunto imagem R Zero ou raíz x 0 Sinal da função Positivo para 1 0 x ou x 1 Negativo para x 1 ou 0 1 x Crescimentodecrescimento A função é toda decrescente Tópicos de Matemática Elementar Iindb 136 1332008 174126 137 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 d y x 3 1 2 Figura 510 Gráfico da função y x 3 1 2 Representação algébrica y x 3 1 2 Representação gráfica Figura 510 Domínio R Conjunto imagem 0 3 y Zero ou raíz Não possui zero ou raiz Sinal da função A função é toda positiva Crescimentodecrescimento A função é crescente quando x 0 e decrescente quando x 0 Olhando o presente Veja o seguinte problema P2 A função preço de um determinado bem é dada por P x 400 4 Analise o gráfico da função de demanda escrita como x f P Para fazer o gráfico da função de demanda escrita como x f P num primeiro momento isolase a variável x da função preço Tópicos de Matemática Elementar Iindb 137 1332008 174128 138 Universidade do Sul de Santa Catarina P x P x x P x P 400 4 4 400 4 400 400 4 O gráfico da função de demanda é mostrado na Figura 511 Figura 511 Gráfico da função de demanda x P 400 4 Perceba que para analisar o gráfico da função de demanda basta considerar os valores em que o preço é maior do que zero já que não faz sentido falar em preço negativo Veja na Figura 512 este mesmo gráfico considerando apenas este intervalo Figura 512 Gráfico da função x P 400 4 para valores de P 0 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 138 1332008 174129 139 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 Ao analisar a representação gráfica da Figura 512 é possível perceber que o preço aumenta à medida em que a demanda diminui Portanto a função de demanda é decrescente Em valores próximos de P 0 a demanda é bem alta isto significa que com um preço baixo a demanda tende a um valor alto Seção 3 Outros tipos de funções Nesta seção você poderá visualizar representações gráficas de outros tipos de funções como as funções irracionais as que envolvem expressões polinomiais as que possuem raízes quadradas dentre outras A idéia é que você visualize graficamente estes tipos de funções deixando claro que uma ferramenta computacional é imprescindível neste momento para que você consiga traçar estes gráficos Exemplos Trace o gráfico das funções indicadas a y x x 2 1 Figura 513 Gráfico da função y x x 2 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 139 1332008 174130 140 Universidade do Sul de Santa Catarina Ao analisar o gráfico da Figura 513 é possível dizer que o domínio desta função é dado pelos números reais exceto x 0 e o conjunto imagem é formado pelos números reais A função possui intervalos de crescimento e decrescimento e um zero no valor de x 1 b y x Figura 514 Gráfico da função y x Já que a raiz quadrada de um número é sempre um valor positivo então esta função possui como imagens apenas números positivos e tem como sinal apenas valores positivos O domínio são todos os reais não negativos incluindose o zero ou seja os valores em que x 0 e o conjunto imagem são todos os valores reais tais que y 0 A função é toda crescente e possui como zero o valor de x 0 c y x 2 4 Figura 515 Gráfico da função y x 2 4 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 140 1332008 174133 141 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 Esta função assim como a do exemplo anterior tem como imagem o conjunto dos números reais positivos incluindo o zero O domínio é dado pelos valores de x 2 e x 2 Veja que no gráfico da função não há imagens entre os valores 2 e 2 A função decresce para x 2 e cresce para x 2 O sinal é sempre positivo e os zeros da função são 2 e 2 Olhando o presente Veja o seguinte problema P3 Seja a função de demanda representada na Figura 516 sendo x a quantidade demandada e y o preço expresso em reais Determine as quantidades demandadas se o preço for igual a R 1000 e R 10000 Figura 516 Gráfico da função de demanda x y 12 03 0 21 A função de demanda apresentada é decrescente de forma que à medida em que o preço aumenta a demanda diminui Perceba que a quantidade demandada fica próxima a um valor abaixo de 10 e acima de 0 aproximadamente 5 Assim mesmo que o preço seja muito alto a quantidade demandada fica praticamente estável neste intervalo Para determinar as quantidades demandadas para os preços indicados no problema basta localizar no gráfico os pontos indicados Quando o preço é igual a R 10000 a quantidade Tópicos de Matemática Elementar Iindb 141 1332008 174134 142 Universidade do Sul de Santa Catarina demandada fica entre 0 e 10 próximo de 5 Quando o preço é igual a R 1000 esta quantidade está próxima do valor 10 mas ainda abaixo dele Para encontrar estes valores é possível substituir a variável y na forma algébrica da função de demanda Assim temos y 10 y 100 x 12 03 10 0 21 741763 x 12 03 100 4 57367 0 21 Os valores foram calculados com a ajuda de uma calculadora Parada recreativa Vamos ajudar Ted e Mad a resolverem o problema da lista de convidados Você percebeu que o Ted e o Mad falaram sobre pessoas chatas e interessantes Não há quem não pense dessa forma algumas pessoas são interessantes e outras são chatas Faça uma lista das pessoas que você considera chatas e outra de pessoas interessantes Depois analise a lista das chatas Identifique a mais chata das chatas Mas avalie se ela é a mais chata das chatas ela passa a ser extremamente interessante e muda de lista Agora outra pessoa será a mais chata das chatas o que a torna interessante também Assim a certa altura todas as pessoas serão interessantes Será assim Pense nisso Síntese Nesta unidade você teve contato com funções polinomiais racionais irracionais e outros tipos de funções que usualmente aparecem em aplicações práticas É importante que ao finalizar esta unidade você tenha percebido a importância da representação gráfica destas funções para que se possam fazer análises inerentes aos problemas de aplicações Sem o gráfico fica muito complicado identificar as propriedades e características destas funções Portanto tenha em mente que a Tópicos de Matemática Elementar Iindb 142 1332008 174135 143 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 leitura correta de representações gráficas é muito importante para o entendimento de situações modeladas por funções Na próxima unidade você vai estudar as funções exponenciais e logarítmicas que possuem um campo vasto de aplicações na área da administração e economia Até mais Atividades de autoavaliação 1 Seja a função f x x x x 1 3 1 2 2 16 3 3 2 representada graficamente na Figura 517 Determine o que se pede Figura 517 Gráfico da função f x x x x 1 3 1 2 2 16 3 3 2 a Grau da função polinomial b Domínio da função c Raiz da função d Intervalos de crescimento e Intervalos de decrescimento f Análise do sina l da função Tópicos de Matemática Elementar Iindb 143 1332008 174136 144 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 Um estudo sobre eficiência de trabalhadores do turno da manhã de uma certa fábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã terá montado x horas após f x x x x 3 6 2 15 peças do produto a Quantas peças o operário terá montado às 11 horas da manhã b Quantas peças terá montado entre 10 e 11 horas da manhã 3 Usando um software gráfico por exemplo o GRAPH faça o gráfico da função y x x 1 1 e analise suas propriedades e características Tópicos de Matemática Elementar Iindb 144 1332008 174137 145 Topicos de Matematica Elementar I Unidade 5 4 Analise as características e propriedades das funções representadas graficamente nas figuras 518 e 519 Figura 518 Gráfico da função y x x x 30 2 25 2 Figura 519 Gráfico da função y x x 2 2 4 Representação algébrica y x x x 30 2 25 2 y x x 2 2 4 Domínio Conjunto imagem Zero ou raiz Sinal da função Tópicos de Matemática Elementar Iindb 145 1332008 174137 146 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Caso você queira ampliar e aprofundar detalhes das funções polinomiais e racionais recomendamos o primeiro capítulo do volume 1 do livro Cálculo um novo horizonte de autoria de Howard Anton Neste texto você vai encontrar outras aplicações contextualizadas bem como a análise de outras representações gráficas deste tipo de funções Procure o seu professor tutor para esclarecer suas dúvidas Bom trabalho Tópicos de Matemática Elementar Iindb 146 1332008 174137 UNIDADE 6 Funcoes exponencial e logaritmica o Objetivos de aprendizagem Identificar funcdes exponenciais e logaritmicas em diferentes situacdesproblema Desenvolver procedimentos operatérios que envolvem exponenciais e logaritmos Realizar leituras de representac6es graficas e identificar propriedades e caracteristicas das funcdes envolvidas Bey Secoes de estudo Segao1Introdugao Segao 2 Funcao exponencial Segao 3 Funcao logaritmica Segao4 Aplicacgdes 148 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad encontramse no banco Bom dia Mad Olá cara fazendo aplicações financeiras Vou bater um papo com o meu gerente de conta para ajudar na aplicação financeira da conta da minha mãe E aí Nunca mais falei com a sua mãe Como ela está Vai bem desde que papai morreu ela fica muito sozinha A nossa vida corrida do diaadia nos deixa às vezes sem tempo de dar mais atenção para a família Eu soube que vocês venderam a casa da praia Exato Por isso estou aqui quero ver se faço uma boa aplicação assim mamãe fica mais tranqüila sabendo que pode contar com uma renda adicional Bem Até mais Dê um abraço na sua mãe por mim Tópicos de Matemática Elementar Iindb 148 1332008 174138 Topicos de Matematica Elementar Secao 1 Introducao O estudo das funcdes exponenciais e logaritmicas envolve o uso de operacgdes com poténcias e logaritmos Sabendo da importancia de se ter bastante clareza dos conceitos optouse por fazer uma rapida revisdo dos objetos matematicos envolvidos Poténcia com expoente natural Observe a seguir os procedimentos operatérios que envolvem poténcias com expoentes naturais inteiros e racionais Considere um numero real a e um nimero natural n diferentes de zero A expressao a poténcia de base a e expoente 7 representa um produto de 7 fatores iguais de a a aaaa n fatores Gx Exemplos 1 Para 22 n 1 considerase por definicAo que a a uma vez que nao ha produto com um tinico fator 2 5 555125 3 5 55 25 1 1 1 1 1 4 3 3 3 3 27 Pare Observe 3 339 Oa 3339 Assim 3 3 Unidade 6 149 150 Universidade do Sul de Santa Catarina Propriedades das potências com expoente natural Lembrar de propriedades no momento de efetuar as continhas é muito interessante Ao apresentarmos a generalização das propriedades estamos sempre considerando a validade somente para a situação de existência dos números reais Observe 23 24 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 27 ou 23 24 23 4 27 33 34 32 35 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 314 ou 33 34 32 35 33 4 2 5 314 Podemos concluir Prop 1 Para multiplicar potências de mesma base mantemos a base e somamos os expoentes am an am n Observe 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 1 2 2 2 2 2 2 2 ou 2 2 2 2 2 4 3 4 3 1 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 36 4 2 2 ou 6 6 6 6 36 4 2 4 2 2 Podemos concluir que Prop 2 Para dividir potências de mesma base mantemos a base e subtraímos os expoentes a a a m n m n ou a a a m n m n com a 0 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 150 1332008 174142 151 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 O que acontece quando os expoentes forem iguais 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 3 3 ou 5 5 5 5 3 3 3 3 0 Podemos afirmar que a0 1 com a 0 Temos ainda um outro caso interessante quando o expoente do divisor é maior do que o do dividendo 2 2 2 2 2 2 4 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 23 ou 2 2 2 2 4 7 4 7 3 Podemos afirmar que a a n n 1 Como conseqüência você pode observar para a b 0 que 1 a a n n e a b b a n n Exemplos 1 2 7 1 27 1 7 2 7 2 1 2 3 5 5 3 25 9 2 2 3 1 2 2 8 3 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 151 1332008 174145 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe a situagaéo denominada poténcia de poténcia A base é elevada a um expoente e todo esse nimero é elevado a outro expoente Veja 3 34 34 at 38 ou 3 347 38 7 P zP zP P Prrse33 7 ou 7 7p 7 Podemos escrever a y Qn Pare Observe 5 53 5 O a 55 5 Assim 5 5 Considere as expressGes 27 27272277277 3 3 3 333 3 38 238 8 88 8 8 Podemos afirmar que ab a b e a a ab a b ou F pr com ab0 Olhando o futuro Os recursos tecnoldgicos nao abrem mao de uma notagao baseada nas propriedades das poténcias Se vocé tem uma calculadora cientifica observe o que chamamos de notacao cientifica 152 Topicos de Matematica Elementar Quando trabalhamos com ntmeros muito grandes ou muito pequenos é conveniente escrever em forma de poténcia 247 000 247 10 100 000 000 10 0000 001 10 0000 123 123 10 4 1 10701 10 1 10 0001 1000 510 50000 000 Esta forma de expressar um numero é conhecida como notaao cientifica Para representala usamos um ntmero real pertencente ao intervalo 1 9 multiplicado por uma poténcia de 10 Note que o valor do expoente da poténcia 10 é o numero de casas que a virgula teve que percorrer Poténcia com expoente racional Para a real 4 real e 7 inteiro positivo impar temos Va b 1 sempre que b a Denominamos n indice a radicando b raiz Para a e 6 real positivo ou nulo e 7 inteiro positivo par temos Ja b sempre que Usamos a representacao da raiz nésima como Ya a Pare Observe Nao existe raiz real de indice par de numeros O negativos Unidade 6 153 154 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos 1 Verifique as seguintes raízes ditas exatas a 25 5 5 5 5 25 2 b 125 5 5 5 5 5 125 3 3 c 6 64 6 2 2 2 2 2 2 2 2 64 2 Verifique a existência das raízes a 3 3 4 4 b 4 3 não existe c 27 3 3 Propriedades das potências com expoente racional As propriedades para expoentes racionais são as mesmas das com expoente natural Observe a validade das expressões no contexto dos reais Vejamos um resumo a a a a n m n m n m b a b a b n n n c a b a b n n n d a a n m n m e a a m n n m Tópicos de Matemática Elementar Iindb 154 1332008 174152 155 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 Exemplos 1 3 4 3 3 1 2 3 1 4 3 1 2 1 4 3 2 4 1 3 3 4 2 4 3 4 5 3 4 5 15 4 ou 4 3 4 5 3 1 4 5 1 4 3 5 1 4 3 4 5 15 4 3 23 5 23 10 ou 23 5 2 3 5 1 2 2 3 5 1 2 2 3 10 Ufa É um monte de continhas Vamos relaxar Parada recreativa Vejam o que aconteceu com o nosso amigo Ted na sua infância Professor Ted preste atenção vou fazer a primeira pergunta Se você responder nada mais lhe perguntarei Darmeei por satisfeito Diga me quantos fios de cabelo tem na sua cabeça Ted Duzentos e quarenta e cinco vezes dez elevado a cem Professor Como chegou a essa conclusão Ted Caro professor não se esqueça de que o senhor garantiu que só faria uma pergunta Trato é trato Tópicos de Matemática Elementar Iindb 155 1332008 174157 156 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 2 Função exponencial Vamos agora discutir as funções exponenciais Observe que essas funções são usadas para modelar o crescimento e o decrescimento populacional e também em várias situações da Matemática Financeira Olhando o presente Discutir aplicação financeira é uma atividade do diaadia de muitos cidadãos É possível que um grande número de pessoas desconheçam os objetos matemáticos que estão inseridos neste contexto Lembrando da conversa do Ted com o Mad é possível formular o seguinte problema P1 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 05 ao mês creditado mensalmente Supondo somente este juro se aplicarmos R 10000 hoje quanto teremos daqui a onze meses e daqui a dez anos P2 Como podemos modelar a população de um país para o ano de 2010 Estes e outros problemas podem ser modelados a partir de funções exponenciais Podemos dizer que as funções exponenciais são amplamente utilizadas em problemas que apresentam fenômenos da natureza e da sociedade Definição Função exponencial é uma função real que associa a cada número real x o número ax com a 0 e a 0 Linguagem simbólica f R R f x a a a x para 0 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 156 1332008 174157 157 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 Exemplos 1 f x x 2 2 f x x 1 2 3 f x ex Você não deve confundir a função exponencial com a função potência Na função exponencial a variável é expoente e na função potência a variável está na base Pare Observe Por que a deve ser positivo Suponha que a 9 e x 12 A função fx 912 9 Assim teríamos como resposta um número não real Gráfico da função exponencial Observe a seguir o gráfico das funções exponenciais Não esqueça que você deve verificar as características das funções para facilitar o esboço de gráficos de forma manual Neste texto os gráficos apresentados são desenvolvidos com recursos tecnológicos Basicamente vamos ter duas situações para analisar Observe os exemplos das figuras 61 e 62 Veja que ao fazer um gráfico manualmente você deve inicialmente construir uma tabela para posteriormente fazer o traçado gráfico Tópicos de Matemática Elementar Iindb 157 1332008 174158 158 Universidade do Sul de Santa Catarina Na Figura 61 temos o exemplo da função y x 2 e na Figura 62 temos o exemplo da função y x 1 2 x f x 2x x y 3 2 1 2 1 8 3 3 3 1 8 2 2 1 2 1 4 2 2 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 2 0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 2 4 3 2 3 8 3 8 Figura 61 Gráfico da função fx 2x x f x x 1 2 x y 2 1 2 2 4 2 2 2 4 1 1 2 2 2 1 1 1 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 158 1332008 174202 Topicos de Matematica Elementar 0 1 1 0 1 2 1 1 1 I I 1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 4 4 SC a 4 3 2 x 3 2 1 i 2 3 l Figura 62 Grafico de fx 5 Propriedades e caracteristicas Pela observacao das tabelas e graficos podemos enunciar as seguintes caracteristicas os dominios sao todos os reais aimagem é sempre positiva excluindo o zero 0 grafico passa pelo ponto 0 1 para a 1a funcdo é crescente para 0 a 1a funcdo é decrescente Com um pouco de formalismo matemiatico é possivel provar que essas caracteristicas sio gerais para as funcdes exponenciais Unidade 6 159 160 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos 1 Analise com o uso de um software os gráficos das seguintes funções a y x 2 1 b y x 2 1 c y x 2 1 Na Figura 63 apresentamos o gráfico da função y x 2 1 na Figura 64 a função y x 2 1 e na Figura 65 a função y x 2 1 Figura 63 Gráfico da função y 2x 1 Figura 64 Gráfico da função y 2x 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 160 1332008 174205 Topicos de Matematica Elementar SC 4 2 x 6 4 2 4 6 2 4 6 Figura 65 Grafico da fungao y 2 Observe os graficos das figuras 63 e 65 Verifique que eles sao simétricos em relacao ao eixo dos x Observe as leis de formacao da fungo e verifique que este efeito esta representado pela troca de sinal Agora observe os graficos das figuras 63 e 64 Compareos Veja que o acréscimo de uma unidade na variavel provocou a subida do grafico em uma unidade 2 Analisar graficamente o comportamento de uma familia de fungées do tipo fx a comaOea1 15 Se 5x GAox 10 8 6 12 4 ox 23 32 2 SSE 1 1 2 Figura 66 Familia de fungdes exponenciais Observe a Figura 66 e perceba 0 comportamento da familia de fung6es exponenciais e as caracteristicas comuns aos membros da familia tais como passam pelo ponto 01 Unidade 6 161 Universidade do Sul de Santa Catarina sio duas a duas simétricas em relagao ao eixo dos y 0 grafico nunca corta o eixo dos x observar que os recursos de desenho podem causar a impressao de que algum grafico toque o eixo do x mas isto nao é verdade 0 dominio é 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem 0 conjunto 00 3 Faga o grafico da funcao fx 3 e fx x Compare o crescimento dos graficos O que é possivel afirmar Na Figura 67 podemos observar os graficos das funcgées solicitadas no mesmo sistema cartesiano Ao comparar o crescimento ambas so fung6es crescentes podemos afirmar que o grafico da funcao exponencial fx 3 cresce mais rapidamente que o grafico da funcao poténcia fx x Os comportamentos dessas fungdes para valores menores que zero sao completamente diferentes pois a funcao poténcia assume valores negativos Se 8 6 3 4 i 2 x L 1 2 Figura 67 Grafico das fungées fx 3 e fx x Aplicagoes Foi possivel observar ao discutir as caracteristicas e propriedades das fungdes exponenciais que elas sio interessantes para modelar fendmenos populacionais e econdmicos Estamos assim prontos para resgatar agora os problemas P1 e P2 desta unidade 162 Topicos de Matematica Elementar No problema P1 queremos discutir uma aplicaao financeira em caderneta de poupanga P1 A taxa de juros da caderneta de poupanga é de 05 ao més creditado mensalmente Supondo somente este juro se aplicarmos R 10000 hoje at quanto teremos daqui a onze meses E daqui a dez anos O regime de capitalizagéo mais utilizado nas transacdes comerciais e financeiras é 0 de juros compostos que se baseia no seguinte principio ao final do 1 periodo os juros incidentes sobre o capital inicial sdo a ele incorporados produzindo o 1 montante ao final do 2 periodo os juros incidem sobre o 1 montante e incorporamse a ele gerando 0 2 montante ao final do 3 periodo os juros calculados sobre 0 2 montante incorporamse a ele gerando o 3 montante e assim por diante De modo geral um capital C a juros compostos aplicados a uma taxa unitaria fixa 7 durante 1 periodos produz M C1i No problema dado temos C 100 i 05051000005 n 11 na primeira pergunta e 7 120 na segunda Temos Para 11 meses temos R 10564 De fato M C1i 11 05 M 100 1 100 10010005 105 64 Unidade 6 163 164 Universidade do Sul de Santa Catarina Para 10 anos ou 120 meses temos R 18194 De fato M C 1 i n M 100 1 0 5 100 100 1 0 005 181 94 120 120 A Figura 68 apresenta um gráfico da evolução do investimento Figura 68 Gráfico de M 1001 0005n Vamos agora discutir o problema P2 P2 Como podemos modelar a população de um país para o ano de 2010 Vamos supor que tenhamos dados da população do Brasil de 1950 a 1996 Com esses dados é possível fazer uma estimativa da população do ano de 2010 Veja como Temos os seguintes dados obtidos através das estatísticas mundiais divulgadas em diferentes mídias Veja os dados em httpwwwnovomilenioinfbrportomapasnmpophtm Tópicos de Matemática Elementar Iindb 164 1332008 174208 165 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 Ano População Brasil x milhões 1950 53443 1960 71695 1970 95684 1980 122958 1990 151084 2000 175553 Vamos colocar esses dados em um software que tem a capacidade de nos dar a função exponencial que modela esse crescimento populacional A Figura 69 mostra o resultado apresentado quando usamos o software GRAPH Figura 69 Modelo de crescimento populacional A função apresentada é P t t 56404 4 1 02439 Observe que consideramos a contagem do tempo a partir de 1950 Assim 1950 corresponde a t 0 1960 a t 1 etc Para achar a estimativa da população para o ano de 2010 basta fazer P 60 56404 4 1 02439 239 459 60 Portanto 239459 milhões de habitantes Tópicos de Matemática Elementar Iindb 165 1332008 174210 166 Universidade do Sul de Santa Catarina Seção 3 Função logarítmica Vamos agora discutir as funções logarítmicas Observe que essas funções são usadas associadas aos modelos exponenciais Você terá a oportunidade de observar que isto não é por acaso Você estudará nesta seção que estamos diante de funções inversas Olhando o presente Usando a função logarítmica vamos poder dimensionar por exemplo o tempo em que as aplicações financeiras duplicam ou triplicam P3 Uma aplicação de R 1000000 a juros de 10 ao ano rendeu um montante de R 1331000 Por quanto tempo durou a aplicação Para resolver este problema vamos precisar de algebrismos do objeto matemático logaritmo Logaritmo Acompanhe o nosso raciocínio Pense num número digamos 16 Agora perguntamos a qual expoente devemos elevar o número 2 para obter 16 Sem muitas dificuldades chegamos ao resultado 4 ou seja 24 16 O que acabamos de fazer foi encontrar o logaritmo do número 16 na base 2 Apesar de um nome um pouco assustador logaritmo o que se faz nada mais é que a busca de um expoente Calcular o logaritmo de um número b 0 numa base a 0 e a 1 é simples desde que tenhamos uma maneira de escrever b como uma potência de a Melhor dizendo qual expoente que devemos elevar a para obter b No nosso exemplo log216 4 pois 24 16 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 166 1332008 174210 Topicos de Matematica Elementar De maneira geral simbolicamente escrevemos log bxaab sendo 60aOea1 O nimero 4 é chamado de logaritmando o numero a é chamado de base o numero x é chamado de logaritmo Pare Observe Quando calculamos log b x note que para O qualquer base a 0 nao existe expoente para a que nos retorne um numero negativo logo 4 0 Note que nunca podemos calcular o log b pois o numero 1 elevado a qualquer expoente é sempre igual a 7 ou seja nao conseguimos escrever qualquer nimero positivo 4 na base 1 logo obrigatoriamente a 1 Quando a base do logaritmo for igual a 10 nao costumamos escrever a base por exemplo log 100 Escrevemos simplesmente log 100 e fica subentendido que a base é 10 Aos logaritmos na base 10 damos o nome de logaritmos decimais ou de Briggs Aos logaritmos que utilizam a base e nimero neperiano damos o nome de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos A sua notacao também pode ser diferente log 4 1 ou In 4 Gx Exemplos 1 Calcule log 1000 Se log 1000 x entao 10 1000 10 10 x3 Portanto log 1000 3 Unidade 6 167 168 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 Calcule log347 1 49 Se log347 1 49 x então 347 1 49 x 7 1 7 7 7 3 2 2 3 3 2 3 2 x x x x 3 Calcule log243 3 Se log243 3 x então 243 3 x 3 3 3 3 5 1 2 1 10 5 1 2 5 1 2 x x x x 4 Verifique para qual valor de x os logaritmos abaixo existem a log4 x 6 A base já é um número positivo e diferente de 1 logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando x 6 0 x 6 b logx 2 100 Como o logaritmando já é um número positivo estabelecemos apenas a condição para a base x 2 0 e x 2 1 ou x x 2 3 e Tópicos de Matemática Elementar Iindb 168 1332008 174214 169 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 Assim o conjunto verdade é dado por V x R x 2 e x 3 Olhando o passado Na escala Ritcher temos o uso de logaritmos Você por acaso sabe o que significa dizer que um terremoto atingiu 5 graus na escala Ritcher Na verdade este número é o logaritmo da energia liberada pelo tremor Quem criou esta escala foi o sismologista americano Charles Ritcher A energia liberada por tremores é um número enorme na casa dos bilhões O que Ritcher fez foi calcular o logaritmo da energia em uma unidade chamada erg em seguida subtraiu 118 do resultado do logaritmo da energia e por fim dividiu o resultado por 15 Com estas simplificações os valores na escala vão de 1 a 10 uma simplificação e tanto não é Nota o número 118 subtraído do resultado do logaritmo é um número arbitrário Propriedades do logaritmo As propriedades que seguem são ditas operatórias e são usadas em diferentes momentos em que o uso dos logaritmos é indicado Lembre que ao usar a linguagem simbólica estamos considerando que os parâmetros literais são dimensionados de modo que o logaritmo exista 1 O logaritmo do produto de dois ou mais números em uma mesma base é a soma dos logaritmos destes números na mesma base Simbolicamente log log log a a a m n m n 2 O logaritmo do quociente de dois números numa mesma base é a diferença entre o logaritmo do numerador e o logaritmo do denominador na mesma base Simbolicamente log log log a a a m n m n Tópicos de Matemática Elementar Iindb 169 1332008 174215 170 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 O logaritmo de uma potência é igual ao produto do expoente desta potência pelo logaritmo da base da potência mantendo o logaritmo na mesma base Simbolicamente log log a n a b n b Como propriedades gerais podemos ter a loga1 0 pois a0 1 b loga a 1 pois a 1 a c loga am m Exemplos 1 Sabendo que log 2 0 3010 e log 3 0 4771 calcule log 24 Primeiramente fatoramos o número 24 2 3 3 assim log log log log log log 24 2 3 2 3 3 2 3 3 0 3010 0 4771 1 3 3 3 801 2 Sabendo que log a 0 3010 log b 0 4771 e log c 0 8450 calcule log a c b 2 Vamos usar as propriedades log log log log log log log log a c b a c b a c b a c 2 2 1 2 2 1 2 2log b 1 2 0 3010 0 8450 2 0 4771 0 0413 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 170 1332008 174219 171 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 3 Calcule log 0 02 sabendose que log 2 0 3010 Temos log log log log 0 02 2 100 2 10 0 3010 2 1 1 699 2 Mudança de base de logaritmo As bases de logaritmo mais comuns são as decimais ou de Briggs e as naturais ou neperianas Estas aparecem na maior parte das calculadoras científicas e financeiras Olhando o futuro Se você é inseparável da sua calculadora financeira ou científica parabéns Você tem a visão de que a tecnologia está em constantes avanços e que precisamos nos atualizar Mas cuidado A calculadora não raciocina e não consegue viabilizar situações sem que você assuma o comando Por exemplo se você está diante de um logaritmo com base 4 Sua calculadora vai resolver Usamos a mudança de base Acompanhe as idéias seguintes log A C B C A B 1 logD F B F D B 2 logD G A G D A 3 De 1 e 2 temos que A D C F Como de 3 temos que D G A podemos reescrever A D D D D D C F G C F GC F ou GC F C F G Tópicos de Matemática Elementar Iindb 171 1332008 174222 172 Universidade do Sul de Santa Catarina Assim podemos reescrever 1 como log A B F G ou log log log A D D B B A Quando D B podemos escrever ou Exemplos 1 log log log 213 13 2 3 3 log log 5 5 13 2 log log 7 7 13 2 log log 13 2 1 113943 0 301030 370044 2 log log log 3 5 5 3 0 698970 0 477121 1464974 Vamos lembrar do problema do início desta seção para constatar a importância de saber lidar com logaritmos P3 Uma aplicação de R 10 00000 a juros de 10 ao ano rendeu um montante de R 13 31000 Por quanto tempo durou a aplicação Solução Para resolver este problema vamos precisar utilizar o conceito de logaritmo Temos M C i 13310 10000 10 Assim M C i n n n n 1 13310 10000 1 0 1 1 1 13310 10000 1 1 1 331 log log log A B B B B A log log A B B A 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 172 1332008 174225 173 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 Para encontrarmos n vamos aplicar logaritmo log log 1 1 1 331 n Usando propriedades de logaritmos e uma calculadora temos n n n n log 1 1 0 124 0 041 0 124 0 124 0 041 3 Ou seja o capital inicial ficou aplicado por aproximadamente três anos Estamos agora prontos para discutir na seção seguinte as funções logarítmicas Vamos discutir a função logarítmica de forma comparativa com a função exponencial e verificar que essas funções são inversas uma da outra Ao resolver um problema prático é possível observar que podemos usar a função exponencial ou a função logarítmica Por que isto acontece Para responder esta pergunta vamos lembrar da definição de logaritmo Temos loga x b x a b As operações indicadas são ditas inversas Da mesma forma a função exponencial é a função inversa da função logarítmica ou viceversa Pare Revise A existência da inversa fica garantida pois ambas as funções são ditas sobrejetoras Veja Se y fx é uma função de A em B e se para cada y B existir exatamente um valor y A tal que y fx então podemos definir uma função g f 1 tal que x gy Tópicos de Matemática Elementar Iindb 173 1332008 174226 174 Universidade do Sul de Santa Catarina Para facilitar o esclarecimento da definição acima podemos visualizar a Figura 610 que mostra as funções y log2 x y 2x e y x Podemos observar uma função exponencial uma função logarítmica e a função linear y x Verifique a perfeita simetria das curvas em relação à reta Figura 610 Função exponencial e logarítmica Olhando o presente Para reforçar as idéias acima vamos resgatar um problema prático P4 A taxa de juros da caderneta de poupança é de 05 ao mês creditado mensalmente Supondo somente este juro se aplicarmos R 10000 em quanto tempo vamos ter um saldo de R 13500 Este problema pode ser resolvido usandose funções exponenciais ou função logarítmica Temos M C i M M n n n 1 100 1 0 005 100 1 005 Na Figura 611 podemos visualizar a função exponencial M n 100 1 005 que modela o problema E na Figura 612 podemos visualizar a função logarítmica n M 461 67 2 log Tópicos de Matemática Elementar Iindb 174 1332008 174227 175 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 que modela o mesmo problema A resposta do problema pode ser observada no próprio gráfico ou seja 60 meses ou 5 anos Figura 611 Gráfico da função M 100 x 1005n Figura 612 Gráfico da função n 46167log M 2 Veja que se não usamos a representação gráfica podemos resolver o problema usando representação algébrica Neste caso a função logarítmica é recomendada Veja como a função logarítmica foi estruturada Vamos escrever a inversa de M 1001005n Basta aplicar logaritmo e explicitar o valor de n Temos log log log log log log log log M M n n M n 100 1 005 100 1 005 100 1 005 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 175 1332008 174227 176 Universidade do Sul de Santa Catarina Usando a calculadora podemos obter observe que estamos usando logaritmo na base 10 n M 461 67 100 log ou n M n M 461 67 100 461 67 2 log log log Para responder à pergunta do problema basta aplicar o valor R 13500 para obtermos o valor de n n n 461 67 135 100 60 log log Temos portanto 60 meses ou 5 anos Formalmente podemos definir a função logarítmica como a função inversa da função exponencial Assim y x a x a y log Observando que a a 0 1 e e x 0 Exemplos 1 A representação algébrica da função inversa de y 3x será dada por x 3y trocar x pelo y Para isolar a variável y aplicamos o logaritmo na base 3 nos dois lados da equação log log 3 3 3 x y log log 3 3 3 x y aplicando a propriedade 3c do logaritmo y x log3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 176 1332008 174230 177 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 2 Agora faça o mesmo para as funções f x x 2 1 e g x x 10 1 f x x 2 1 g x x 10 1 y x 2 1 y x 10 1 x y 2 1 x y 10 1 x y 1 2 log log x y 10 1 log log 2 2 1 2 x y log log x y 1 10 log log 2 2 1 2 x y log x y 1 y x log2 1 y x 1 log f x x 1 2 1 log g x x 1 1 log Vamos fazer uma análise conjunta das duas funções facilitando assim as reflexões sobre as propriedades e características Função exponencial Função logarítmica Definição Dado um número real a tal que 0 a 1 chamase função exponencial de base a a função f que associa a cada x real o número ax Definição Dado um número real a tal que 0 a 1 chamase função logarítmica de base a a função f que associa a cada x real o número loga x f R R x ax f R R x loga x O domínio da função exponencial é D f R e a imagem é Imf 0 O domínio da função logarítmica é Df 0 e a imagem é Imf R fx ax é crescente se e somente se a 1 ver Figura 613 e decrescente se e somente se 0 a 1 ver Figura 614 fx loga x é crescente se e somente se a 1 ver Figura 615 e decrescente se e somente se 0 a 1 ver Figura 616 Com relação ao gráfico da função fx ax podese dizer que 1 a curva que representa esta função está toda acima do eixo dos x pois y ax 0 para todo x R 2 a curva sempre corta o eixo y no ponto de ordenada 1 pois se x 0 então f0 a0 1 Com relação ao gráfico da função fx loga x podese dizer que 1 a curva que representa esta função está toda à direita do eixo dos y já que esta função só é definida para x 0 2 a curva corta o eixo dos x no ponto de abscissa 1 pois se x 1 então f1 loga 1 0 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 177 1332008 174235 178 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 613 Gráfico de y ax para a 1 Figura 615 Gráfico de y logax para a 1 Figura 614 Gráfico de y ax para 0 a 1 Figura 616 Gráfico de y logax para 0 a 1 As funções fx ax e gx logax são inversas uma da outra O gráfico de fx ax é simétrico ao gráfico da função gx loga x em relação à reta y x Seção 4 Aplicações Vamos apresentar exemplos para finalizar esta unidade Observe bem os detalhes para esclarecer todos os conceitos e propriedades das funções discutidas Exemplos 1 Como modelar a produção de um operário em uma fábrica Tópicos de Matemática Elementar Iindb 178 1332008 174235 179 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 A produção de um operário em uma fábrica pode ser modelada Por exemplo f t e kt 50 1 sendo t o tempo em dias e k uma constante característica do contexto no qual os dados são coletados A partir de uma informação pontual é possível achar o valor de k Por exemplo se o operário produzir 36 unidades em quatro dias temos f 4 37 ou f e k 4 50 1 37 4 Podemos reescrever 50 50 37 50 37 50 50 13 13 50 4 4 4 4 e e e e k k k k Aplicando logaritmo natural ln ln e k k k 4 13 50 4 1 35 0 34 Assim a função que modela é f t e t 50 1 0 34 ver Figura 617 Figura 617 Gráfico de f t e t 50 1 0 34 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 179 1332008 174237 180 Universidade do Sul de Santa Catarina Vejamos outros exemplos 2 Em um laboratório um determinado inseto apresenta um ciclo reprodutivo de uma hora a cada hora um par de inseto gera outro par Um par foi deixado junto para reprodução Depois de cinco horas verificouse o número de insetos presentes Qual o valor encontrado Como modelar essa experiência Acompanhe a análise P0 população inicial 2 P1 população após 1 hora P0 2 P0 21 P2 população após 2 horas P1 2 P0 2 2 P0 22 P3 população após 3 horas P2 2 P0 2 2 2 P0 23 P4 população após 4 horas P3 2 P0 2 2 2 2 P0 24 P5 população após 5 horas P4 2 P0 2 2 2 2 2 P0 25 Genericamente poderíamos dizer que para este ciclo teríamos Pn P0 2 n sendo n número de horas P0 população inicial Pn população após determinado número de horas 3 Qual a taxa mensal para dobrar um capital em dois anos A expressão que devemos usar para resolver esse problema é M C 1 in Tópicos de Matemática Elementar Iindb 180 1332008 174238 181 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 Queremos encontrar i tal que C seja duplicado ou seja M 2C Como queremos a taxa mensal vamos usar n 2 anos 24 meses Assim 2 1 2 1 2 1 2 1 0 029 24 24 24 24 C C i i i i i Portanto temos 29 Síntese Nesta unidade você estudou as funções exponenciais e as funções logarítmicas Para facilitar o estudo optamos pelo desenvolvimento detalhado de objetos matemáticos tais como potências raízes e logaritmo Você deve sair dessa unidade com a certeza de que consegue visualizar situações práticas que são modeladas com funções exponenciais ou logarítmicas Na última unidade vamos analisar as funções circulares ou trigonométricas visualizando problemas gerais do diaadia Atividades de autoavaliação 1 escreva na forma decimal a 1034 b 105 c 3 102 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 181 1332008 174238 182 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 escreva na notação científica a 72 000 b 0004 c 0022 3 escreva na forma de uma única potência a 2 5 22 b 13 13 3 4 2 5 c 43 8 2 5 d 5 5 2 3 10 8 5 5 4 Calcule a 3 27 9 2 7 5 9 81 d 125 3 4 25 725 2 3 5 Simplifique a w z 6 6 3 z w2 b x3 3 4 y y x 2 4 3 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 182 1332008 174239 183 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 6 esboce o gráfico das seguintes funções a fx 2x b fx 3x 1 c fx log2 x d fx log12 x 7 Identifique se as seguintes funções são crescentes ou decrescentes a fx 6x b fx 32 x c fx 3 4 x d fx 0125x e fx log3 x f fx log13 x 8 Calcule os seguintes logaritmos a log327 b log31243 c log10100 d log81 3 4 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 183 1332008 174240 184 Universidade do Sul de Santa Catarina 9 Determine o valor de x a log1625 5 x b logx 25 2 c log2 x 8 d logx 827 3 10 Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos existam a log3 x 1 b log7x21 4 11 Sabendo que log 2 03010 calcule log00002 12 Um capital de R 5600 é aplicado a juros compostos por dois anos e meio à taxa de 4 am Qual o valor resultante dessa aplicação Tópicos de Matemática Elementar Iindb 184 1332008 174240 185 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 6 13 Um capital foi aplicado a juros compostos durante três meses à taxa de 20 am Se decorrido esse período o montante produzido foi de R 86400 qual o capital aplicado 14 Qual a taxa mensal para quadruplicar um capital em oito anos 15 A taxa de crescimento populacional do Brasil é de aproximadamente 2 ao ano em quantos anos a população irá dobrar mantendo esta taxa 16 O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N 2 05t em que t é o tempo em horas Quanto tempo deverá o motorista esperar se o limite permitido por lei é de 08 gramas de álcool por litro de sangue considerar log 2 03 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 185 1332008 174240 186 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Sugerimos que você faça uma pesquisa na internet para visualizar várias situações do contexto financeiro pois a área econômica e financeira é rica em situaçõesproblema que são modeladas com funções exponenciais e funções logarítmicas Como curiosidade sugerimos a leitura do artigo Tabela Price e a Prática de Anatocismo de Luiz Gonzada Junqueira de Aquino que poderá ser visualizado em httpwwwsindeconesporgbr forcedownloadphpfilearqsysneodownloadresptabelaprice pdfnameresptabelapricepdf Tópicos de Matemática Elementar Iindb 186 1332008 174241 UNIDADE 7 Funcoes trigonometricas Objetivos de aprendizagem Identificar fungdes trigonométricas em diferentes situacdesproblema Desenvolver leituras graficas envolvendo funcdes trigonométricas Bey Secoes de estudo Segao 1 Introdugao Secao2 Relacdes trigonométricas no triangulo retangulo Segao 3 Funcoes trigonométricas Segao 4 Funcoes trigonométricas inversas 188 Universidade do Sul de Santa Catarina Para início de estudo Ted e Mad estão sempre inventando uns fins de semana diferentes Veja o que eles estão conversando na academia Ted vamos combinar no próximo feriadão um passeio radical Que tal lembrar do nosso sonho de adolescente e fazer uma escalada no Morro da Cruz Oh Cara Pirou Esqueceu que escalar é um desejo tão humano como o de voar É mas é um esporte de muito risco sobretudo porque exige preparo físico e eu estou um bocado enferrujado Sabe Mad ainda lembro de palavras do dicionário de alpinismo que consultamos para fazer uma pesquisa no colégio Puxa O que você lembra SOROCHE Soroche O que significa É o chamado mal das alturas que ocorre a partir dos 3500 metros de altura É você sempre tem boa memória Que horas são Sete Puxa cara vou nessa estou atrasado ainda tenho uma reunião de negócios no jantar Até mais Fica pra próxima a nossa escalada Até Tópicos de Matemática Elementar Iindb 188 1332008 174241 189 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Seção 1 Introdução Para discutir as funções trigonométricas é necessário lembrar da trigonometria no triângulo retângulo Assim nesta primeira seção vamos fazer uma revisão para que você possa discutir com facilidade os objetos envolvidos no contexto das funções trigonométricas Lembrando da conversa do Ted e Mad vamos iniciar discutindo o que é um índice de subida Este conceito é conhecido pelos alpinistas pois existe uma preferência por subidas íngremes Na Figura 71 você pode observar duas subidas Qual a mais íngreme A B Figura 71 Subidas Com toda a certeza você vai responder que a subida mais íngreme é a subida em A A referência matemática para fazer a análise é a medida do ângulo de subida que no caso A é maior que em B É possível definir o ângulo de subida a partir do conhecimento de pelo menos duas das medidas relacionadas com a situação percurso altura e afastamento ver Figura 72 Figura 72 Medidas relacionadas com o ângulo de subida Tópicos de Matemática Elementar Iindb 189 1332008 174241 190 Universidade do Sul de Santa Catarina Para discutir essa situaçãoproblema e outras situações similares são necessários objetos matemáticos no contexto da trigonometria no triângulo retângulo Em geral o índice de subida é dado pela relação índice de subida altura afastamento Você vai observar na seção seguinte que esta relação é a definição da tangente do ângulo de subida Porém outras relações ainda podem ser definidas para facilitar cálculos necessários na resolução de diferentes problemas práticos A partir dessas relações podemos discutir as funções trigonométricas ou funções circulares Olhando o passado A trigonometria é uma parte da Matemática bem antiga A primeira tabela com razões trigonométricas foi compilada por Hiparco no século II aC essa ferramenta matemática atendia aos interesses da astronomia agrimensura e navegação A transição dos estudos das razões trigonométricas para as funções trigonométricas começou no século XVI com o Matemático Viète e culminou no século XVIII com o trabalho de euler Formalmente existe diferença entre as definições das funções trigonométricas e das funções circulares entretanto neste texto não vamos nos preocupar com essa diferença para tal vamos ter o cuidado de trabalhar com os ângulos medidos em radianos Para os interessados em mais detalhes recomendamos a leitura do artigo Seno de 30 é um meio de Renate G Watanabe disponível na Revista do Professor de Matemática n 30 p 2632 do primeiro quadrimestre de 1996 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 190 1332008 174242 191 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Seção 2 Relações trigonométricas no triângulo retângulo Quando estamos falando de trigonometria no triângulo retângulo os ângulos são medidos de 00 zero graus a 1800 cento e oitenta graus ou de 0 a π radianos Pare Observe Para todo círculo a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante esta constante é denotada pela letra grega π Pi que é um número irracional isto é não pode ser expresso como a divisão de dois números inteiros Uma aproximação para π com 10 dígitos é 31415926536 Pare Revise É importante que você pare e revise o Teorema de Pitágoras Se considerarmos a medida da hipotenusa b medida do cateto oposto ao ângulo B c medida do cateto oposto ao ângulo C Podemos escrever a b c 2 2 2 Observe na Figura 73 as propriedades e razões estabelecidas a partir do triângulo retângulo ABC Figura 73 Triângulo retângulo B Tópicos de Matemática Elementar Iindb 191 1332008 174243 192 Universidade do Sul de Santa Catarina 1 O triângulo ABC é retângulo O ângulo A é o ângulo reto mede noventa graus 2 A hipotenusa do triângulo dado mede a e os catetos medem b e c 3 O cateto b é oposto ao ângulo B e adjacente ao ângulo C 4 O cateto c é oposto ao ângulo C e adjacente ao ângulo B 5 Vale o Teorema de Pitágoras a b c 2 2 2 Valem as relações que definem 6 Seno de B sen B cateto oposto hipotenusa ou sen B b a Cosseno de B cos B cateto adjacente hipotenusa ou cos B c a Tangente de B tg B cateto oposto cateto adjacente ou tg B b c De forma similar podemos estabelecer as razões para o ângulo C 7 A cotangente de um ângulo é o inverso da tangente 8 A secante é o inverso do cosseno 9 A cossecante é o inverso do seno Você pode fazer um jogo algébrico e formatar várias expressões envolvendo ângulos e lados de um triângulo retângulo Ao fazer isto você estará analisando a trigonometria no triângulo retângulo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 192 1332008 174245 Topicos de Matematica Elementar Olhando o passado U 7 Apalavra trigonometria significa medida dos trés So angulos de um triangulo a TRI trés GONO angulos METRIA medida A palavra seno tem origem na palavra arabe jaib que significa dobra bolso ou prega de uma vestimenta portanto nado tem nada a ver com o conceito matemiatico Tratase de uma tradugao defeituosa que dura até os nossos dias A palavra que deveria ser traduzida é jiba que significa um arco de caga ou de guerra Na traducao do Arabe para o Latim as consoantes jb sao traduzidas para sinus e para a nossa lingua seno Gx Exemplos 1 Observe os triangulos retangulos dados e encontre o valor de x assinalado a Pelo Teorema de Pitagoras temos 2 72 2 x x 26 2 x 4436 x 40 6 x 40 x 632 b 2 Pelo Teorema de Pitagoras temos 6 24x 3644x x 6 x 364 x 32 x32 x 566 Unidade 7 193 194 Universidade do Sul de Santa Catarina Olhando o presente Veja o seguinte problema P1 O ângulo de subida ou de elevação do pé de uma árvore a 30 m da base de um morro ao topo do morro é de 600 Que medida deve ter um cabo para ligar o pé da árvore ao topo do morro Qual a altura do morro Na Figura 74 você pode observar a situação apresentada no problema P1 e constatar que a solução é obtida a partir do uso de uma relação trigonométrica Figura 74 Modelo do problema P1 Para calcular o comprimento x basta aplicar a relação entre o afastamento e o comprimento cos60 30 0 cateto adjacente hipotenusa x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 194 1332008 174247 195 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 O valor do cosseno de 60 graus pode ser obtido numa tabela ou de forma mais rápida numa calculadora cos 60 0 0 5 ou 0 5 30 0 5 30 30 0 5 60 x x x x metros Para calcular a altura do morro podemos usar o Teorema de Pitágoras fazendo x h h h h h h h 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 30 60 30 60 30 3600 900 2700 2700 51 96 metros Pare Observe Verifique que o valor da altura do morro poderia ser encontrada utilizandose também a razão trigonométrica tg cateto oposto cateto adjacente 600 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 195 1332008 174248 196 Universidade do Sul de Santa Catarina Exemplos 1 Um observador visualiza o ponto culminante de um morro sob um ângulo de 60 graus Afastandose do morro mais 20 metros visualizase o mesmo ponto sob um ângulo de 45 graus Qual a altura do morro Estamos diante de dois triângulos retângulos 1 Triângulo ABC tg h x 45 20 0 Considerando que tg45 1 0 temos 1 20 h x ou h x 20 2 Triângulo DBC tg h x 600 Considerando tg60 3 0 temos 3 h x ou h x 3 Dessas relações podemos escrever um sistema h x h x 20 3 ou x x x x x x x 20 3 3 20 3 1 20 20 3 1 27 32 Portanto a altura h do morro é h x metros 20 27 32 20 47 32 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 196 1332008 174252 197 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 2 A 2000 metros de um aeroporto temse uma torre com 40 metros de altura Para segurança do vôo ao sobrevoar a torre o avião deverá estar no mínimo 500 metros acima da torre Qual deve ser o ângulo de subida para que se tenha um vôo dentro dos limites de segurança Na Figura 75 apresentase um modelo para auxiliar a visualização do problema Figura 75 Modelo do problema do exemplo 1 Considerando os dados do problema podemos dizer que a altura h é igual a h metros 40 500 540 Do triângulo retângulo que modela o problema temos o valor do cateto oposto altura h e do cateto adjacente afastamento horizontal Assim podemos escrever tg altura h afastamentohorizontal θ 540 2000 0 27 Usando uma tabela ou uma calculadora vamos verificar que o ângulo de subida denotado por θ mede aproximadamente 150 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 197 1332008 174253 198 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 Uma aplicação bastante interessante e atual do Teorema de Pitágoras está nos fractais Na Figura 76 A apresentase um fractal e na Figura 76 B o modelo que mostra nitidamente os quadrados que são usados para a demonstração do Teorema de Pitágoras de forma geométrica ou através de recortes de figuras A B Figura 76 Fractal É possível constatar a presença do Teorema de Pitágoras na Figura 76 Observe a Figura 77 e compare Para mostrar o Teorema de Pitágoras através da Figura 77 basta recortar o quadrado de lado b nas quatro partes assinaladas e em conjunto com o quadrado de lado a fazer a composição do quadrado de lado c Figura 77 Teorema de Pitágoras Fractais são estruturas geométricas de grande complexidade e muita beleza ligadas às formas da natureza ao desenvolvimento da vida e à própria compreensão do universo São imagens de objetos abstratos que possuem o todo infinitamente multiplicadas dentro de cada parte escapando assim da compreensão em sua totalidade pela mente humana Tópicos de Matemática Elementar Iindb 198 1332008 174253 199 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Olhando o futuro Você deve ter percebido como é importante uma calculadora para o desenvolvimento rápido das situaçõesproblema Cabe observar que o uso da calculadora neste contexto quase sempre vai nos apresentar um resultado com aproximação numérica pois os valores das funções trigonométricas são usados de forma aproximada Seção 3 Funções trigonométricas Geralmente as funções trigonométricas são introduzidas a partir de um círculo de raio 1 denominado de círculo trigonométrico Na Figura 78 apresentase um círculo trigonométrico com todas as funções representadas geometricamente a partir do triângulo OAP Observe que nesse triângulo a hipotenusa mede 1 unidade de medida Figura 78 Círculo trigonométrico Tópicos de Matemática Elementar Iindb 199 1332008 174254 200 Universidade do Sul de Santa Catarina As relações trigonométricas estabelecidas no triângulo retângulo apresentado na seção anterior podem ser novamente estabelecidas e ficam geometricamente representadas por segmentos Por exemplo sen medida de AP medida de OP medida de AP ou medida de OB α cosα medida de OA medida de OP medida de OA ou medida de BP Observe que estamos trabalhando no plano cartesiano e portanto podemos ampliar a análise para os demais quadrantes As funções trigonométricas Basicamente no item anterior já definimos as funções trigonométricas As funções seno e cosseno podem ser definidas a partir do círculo trigonométrico e as demais em termos de seno e cosseno Função seno e função cosseno Considere x um número real que representa a medida em radianos de um ângulo central desenhado no círculo trigonométrico como mostra a Figura 79 Observe que o ponto P é a interseção de um dos lados do ângulo com a circunferência Denominamos seno de x a ordenada OP1 do ponto P e cosseno de x a abscissa OP2 do ponto P Assim podemos escrever P OP OP senx x cos 1 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 200 1332008 174255 201 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Figura 79 Círculo trigonométrico É possível variar o valor do x para estabelecer o gráfico das funções Observe o comportamento da função seno e da função cosseno na tabela que segue e nos gráficos das figuras 710 e 711 Vamos trabalhar com valores múltiplos de π pois daqui para frente vamos ver os ângulos com unidade de medida em radiano x sen x OP 1 cos x OP 2 0 0 1 π 6 05 0866 π 3 0866 05 π 2 1 0 2 π 3 0866 05 5 π 6 05 0866 π 0 1 7π 6 05 0866 4 π 3 0866 05 3 π 2 1 0 5 π 3 0866 05 11 π 6 05 0866 2π 0 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 201 1332008 174257 202 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 710 Função seno senóide Observe que 1 o domínio da função seno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto 1 1 2 há intervalos de crescimento e decrescimento Figura 711 Função cosseno cossenóide Observe que 1 o domínio da função cosseno é o conjunto dos reais e o conjunto imagem é o conjunto 1 1 2 há intervalos de crescimento e decrescimento Pare Observe Observe bem os gráficos e verifique que existe uma repetição do formato no decorrer de todo o domínio essa característica está relacionada com o fato de as funções trigonométricas serem periódicas Mas você sabe o que é uma função periódica Dizemos que uma função é periódica se existe um número real T 0 tal que f x T f x para todo x D f Ao observar o gráfico de uma função periódica você verifica que ela se repete a cada intervalo de comprimento T Tópicos de Matemática Elementar Iindb 202 1332008 174259 203 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Exemplos 1 A função seno é periódica de período 2π Assim sen x sen x 2π 2 A função cosseno é periódica de período 2π Assim cos cos x x 2π Uma característica muito interessante da função seno e da função cosseno está relacionada com a paridade Para todos os reais vale sen x sen x e cos cos x x Podese dizer que a função seno é uma função ímpar e a função cosseno é uma função par Confira essa afirmação na seguinte definição Uma função fx é par se para todo x no seu domínio temos fxfx Uma função é ímpar se para todo x no seu domínio temos fxfx Observe a seguir as demais funções trigonométricas que são definidas em função de seno e cosseno Figura 712 Função tangente Temse tg x sen x x cos 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x 0 2 periódica de período π 3 sempre crescente 4 função ímpar Tópicos de Matemática Elementar Iindb 203 1332008 174301 204 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 713 Função cotangente Temse cot cos g x x sen x 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x 0 2 periódica de período π 3 sempre decrescente 4 função ímpar Figura 714 Função secante Temse sec cos x x 1 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais cos x 0 2 periódica de período 2π 3 possui intervalos de crescimento e de decrescimento 4 função par Figura 715 Função cossecante Temse cossec x sen x 1 1 domínio é o conjunto dos reais para os quais sen x 0 2 periódica de período 2π 3 possui intervalos de crescimento e de decrescimento 4 função ímpar Tópicos de Matemática Elementar Iindb 204 1332008 174303 Topicos de Matematica Elementar Gx Exemplos 1 Usando um software desenvolva o grafico dos conjuntos de fungées dadas e identifique dominio conjunto imagem e periodo a ysenx ysen2x ysen3x Para resolver esse exercicio vamos usar 0 software GRAPH Observe que vocé pode outro software de sua livre escolha Observe as figuras geradas para o intervalo de 27 27 fs Figura 716 Graficos de ysenx ysen2x ysen3x Observe que 0 dominio de todas as fungdes 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem de todas as fungées é o intervalo 1 0 periodo da funcao ysenx 27 0 periodo da fungao ysen2x 7 eo periodo da fungao y sen3x é 2m 3 Unidade 7 205 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto ao multiplicar o valor de x da funcao ysenx por um numero real vamos observar que o periodo da funcgao fica 27 dividido por este nimero b ysenx fx 1 Figura 717 Grafico de y senx Veja o grafico gerado no software ao colocarmos para variar entre 27 27 emse que 0 dominio é 0 conjunto dos reais 0 conjunto imagem 01 0 periodo é 7 i Olhando o presente Vocé sabia que na sua viagem de negdécios ou de passeio a trigonometria acompanha vocé P2 Como modelar matematicamente a situagao de um avido voando a 240 mih milhas por hora com proa de 60 graus com um vento de 30 mihora de 330 graus Antes de discutir este problema é importante fazer alguns esclarecimentos de nomenclatura acompanhe nas figuras 718 e 719 206 Topicos de Matematica Elementar proa de um aviao é a direc4o para o qual o aviao esta apontando A proa é medida no sentido horario a partir do norte e expressa em graus e minutos No problema temse 60 graus velocidade no ar determinada na leitura do indicador na aeronave é a velocidade do aviaio em ar parado rota do aviao é a direcao na qual ele se move em relacao ao chao Ela é medida no sentido horario a partir do norte velocidade de solo é a velocidade do aviaio em relacao ao solo Angulo de deriva ou angulo de corregao do vento é a diferenga positiva entre a proa e a rota N aa0 30 rota B30 a oO Figura 718 Modelagem do problema P2 B 240 30 velocidade de solo Cc Figura 719 Tridangulo retangulo OBC Podemos calcular a velocidade de solo representada pela hipotenusa no tridngulo retangulo OBC Temos v 240 30 v 58500 v 24187 milhas horas Para encontrar a rota é necessario encontrar o angulo 6 Temos que 30 te 0125 240 Unidade 7 207 Universidade do Sul de Santa Catarina Usando a calculadora podemos encontrar que 0 angulo 6 é aproximadamente igual a 7 graus Assim Rota 60 7 67 Secao 4 Funcoes trigonometricas inversas Vocé ja estudou as fungGes inversas na Secao 4 da Unidade 2 Agora vocé ira analisar a existéncia das fungdes trigonométricas inversas Num olhar inicial podese dizer que é impossivel definir funao inversa para cada uma das funcdes trigonométricas pois a cada valor de y corresponde uma infinidade de valores de x Para formalizar a definicao das funcGes inversas é necessdrio fazer restricao no dominio Veja como fica inicialmente a inversa da funcao seno Funcao arco seno 7 1 Vamos redefinir a fungao fx sen x para o dominio 359 Assim a funcdo inversa de fx sera chamada de funcao arco seno e denotada por yarcsenxTemse que para 7 1 cada xe 11 corresponde Y z4 valendo a seguinte equivaléncia y arcsenx sen yx Observe o grafico da Figura 718 para identificar as seguintes caracteristicas dessa funao Darcsenx 11 208 Topicos de Matematica Elementar T 1 a Imarcsenx 2 2 funco sempre crescente fx x af xX I a Figura 720 Fungdo arco seno Observe o quadro que segue com as demais fungdes trigonométricas inversas fx SE Funcao arco cosseno 7 Para 0 y7 temos yarc cosx xcosy Observe que esta fungao é xX decrescente em todo o seu d dominio Figura 721 Fungao arco cosseno Unidade 7 209 210 Universidade do Sul de Santa Catarina Figura 722 Função arco tangente Função arco tangente Para π π 2 2 y temos y arc tg x x tg y Esta função é sempre crescente Figura 723 Função arco tangente Função arco cotangente Para 0 y π a função inversa da tangente pode ser definida como y arc g x arc tg x cot π 2 Essa função é sempre decrescente portanto pode ser a forma de um escorregador Figura 724 Função arco secante Função arco secante Podese definir a função arco secante como y arc x arc x sec cos 1 Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que x 1 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 210 1332008 174312 211 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Figura 725 Função arco cossecante Função arco cossecante Podese definir a função arco secante como y arc ec x arc sen x cos 1 Observe que o domínio é dado por valores x reais tais que x 1 Exemplos No seu contexto do diaadia você exercita o uso das funções inversas quando precisa saber o valor do ângulo a partir do seno cosseno ou tangente Retome o problema P2 e constate que este conceito foi usado tgθ 30 240 0 125 θ θ arctg radianos 0 125 0 124 Podemos converter para graus lembrando da relação π radianos graus 180 Assim para transformar radianos em graus usamos medida do ângulo em graus medida do ângulo em radianos medid 1800 π a do ângulo em radianos medida do ângulo em radianos 180 3 14 57 0 32 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 211 1332008 174314 212 Universidade do Sul de Santa Catarina Observe que estamos trabalhando com valores aproximados Assim θ θ θ arctg radianos ou graus 0 125 0 124 7 Parada recreativa No domingo Ted e Mad se encontraram rapidamente na rua movimentada Olá Ted como vai Puxa cara Que corrida Minha vida deu uma virada de 360o Ah Ah Ah Que piada Conta outra Você sabe por que Mad ficou rindo Tópicos de Matemática Elementar Iindb 212 1332008 174315 213 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 Síntese Nesta unidade você teve a oportunidade de visualizar as funções trigonométricas que têm aplicações em várias situações Em especial as funções trigonométricas são trabalhadas em Matemática mais avançada modelando fenômenos físicos que têm a característica de periodicidade Esta unidade encerra o seu estudo nesta disciplina Esperamos que os objetos discutidos ao longo das unidades possam mostrar a beleza e a grandeza da Matemática como ferramenta para modelar problemas e também para auxiliar no desenvolvimento de novas idéias Bom trabalho no decorrer do seu curso Atividades de autoavaliação 1 Faça o gráfico e analise as características e propriedades das funções a y senx 1 b f x x cos 2 c g x tg x 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 213 1332008 174316 214 Universidade do Sul de Santa Catarina 2 Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 30o Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m qual é a altura entre os dois pisos da loja 3 Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus Qual é a altura do morro 4 Qual é o tamanho da sombra de um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte 5 Uma escada apóiase na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão Tópicos de Matemática Elementar Iindb 214 1332008 174316 215 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 7 6 Do topo de um farol 120 metros acima do nível do mar o ângulo de depressão de um barco é 15 graus Qual é a distância do farol ao barco 7 Na Figura 726 temse que CD 5 cm BC 4 cm AB 32 cm AC x cm BD y cm Perguntase a Qual o valor de x b Qual o valor de y c Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo α d Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo β Figura 726 Triângulos retângulos Tópicos de Matemática Elementar Iindb 215 1332008 174316 216 Universidade do Sul de Santa Catarina Saiba mais Se você ficar interessado em conhecer mais detalhes sobre as funções trigonométricas ou sobre a história da trigonometria recomendamos uma busca na internet Observe que este é um dos temas preferidos em sites que discutem objetos matemáticos Vale a pena conferir Em especial recomendamos httpwwwdappmineduptnoniosofteducsoft3circhtm para obter um software livre e httpwwwcecmsfucaprojectsISCdatapihtml para constatar 10000 dígitos do número Pi Tópicos de Matemática Elementar Iindb 216 1332008 174316 Para concluir o estudo Você concluiu o estudo desta disciplina que é parte integrante do seu curso Para finalizar gostaríamos de deixar uma mensagem destacando a importância da Matemática no seu diaadia Sabemos que os objetos matemáticos citados nesta disciplina são em certos momentos bastante abstratos pois nem sempre conseguimos concretizar um exemplo real Mas o conhecimento adquirido no estudo desses conteúdos está além de situações reais pois a lógica matemática carrega uma estrutura que provoca um repensar sistemático de caminhos para a resolução de diferentes tipos de problemas Temos a certeza de que os conteúdos aqui apresentados são básicos para o estudo mais avançado da Matemática mas são também fontes inspiradoras de caminhos para a resolução de diferentes tipos de problemas Você deve ter observado que os personagens Ted e Mad foram criados para inspirar situações práticas nas quais a Matemática básica e elementar está presente Esperamos por fim que você lembre dos nossos personagens sempre que for necessário associar os métodos matemáticos na resolução de diferentes situaçõesproblema Uma boa caminhada para você Tópicos de Matemática Elementar Iindb 217 1332008 174317 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 218 1332008 174317 Referências ANTON Howard Cálculo um novo horizonte Porto Alegre Bookman 2000 eVeS Howard Introdução à História da Matemática Campinas UNICAMP 1995 FLeMMING D M LUZ e F Representações gráficas São José Saint Germain 2003 FLeMMING Diva Marília GONÇALVeS Mirian Buss Cálculo A funções limite derivação integração 6 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 FRAGOSO Wagner da Cunha Uma abordagem da equação do 2º grau Revista do Professor de Matemática São Paulo n 43 p2025 2º quadrimestre de 2000 IFRAH Georges Os números história de uma grande invenção 8 ed São Paulo Globo 1996 KLINK Amyr Mar sem fim 360o ao redor da Antártica São Paulo Companhia das Letras 2000 WATANABe Renate G Seno de 30 é um meio Revista do Professor de Matemática n 30 p 26 32 1º quadrimestre de 1996 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 219 1332008 174317 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 220 1332008 174317 Sobre os professores conteudistas Diva Marília Flemming é doutora em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC É mestre em Matemática Aplicada e graduada em Matemática ambos pela UFSC Já atuou no ensino de disciplinas em curso de administração na Universidade para o Desenvolvimento do Estado de SC UDESC como professora convidada Aposentada como professora pela UFSC atualmente é professora e pesquisadora na Universidade do Sul de Santa Catarina UNISUL No contexto do ensino de Matemática tem desenvolvido suas atividades na Unisul com alunos dos cursos de Engenharia e de Matemática É autora de livros de Cálculo Diferencial e Integral adotados em vários estados do Brasil Como pesquisadora no Núcleo de Estudos em Educação Matemática NEEM UNISUL dedicase à Educação Matemática com ênfase nos recursos tecnológicos Sua atual paixão profissional está nos desafios da educação a distância realizando experimentos na formação de professores de Matemática Atualmente coordena na UnisulVirtual dois cursos oferecidos a distância Graduação em Matemática Licenciatura e PósGraduação em Educação Matemática É autora de vários livros didáticos utilizados na UnisulVirtual Elisa Flemming Luz é doutora em Engenharia de Produção pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC mestre em Engenharia Elétrica e graduada em Engenharia Elétrica ambos pela UFSC Atuou como professora da Unisul de 1996 até agosto de 2006 ministrando aulas em disciplinas na área da Matemática para os cursos de Engenharia e Matemática Ministra disciplinas em cursos de especialização presencial e a distância Desenvolveu diversas pesquisas no Núcleo de Estudos em Educação Matemática NEEM UNISUL na área de Educação Matemática Atualmente é professora do CEFET de Santa Catarina Tópicos de Matemática Elementar Iindb 221 1332008 174318 Christian Wagner é mestre em FísicaMatemática pela Universidade Federal de Santa Catarina UFSC e bacharel em Matemática e Computação Científica pela UFSC Professor substituto na UFSC entre 2001 e 2003 Professor horista da Unisul desde 2001 Atualmente atua no Núcleo de Estudos em Educação Matemática NEEM nas atividades de ensino e extensão voltadas para as dificuldades de aprendizagem da Matemática No contexto da pósgraduação atua na especialização em Educação Matemática na modalidade a distância como autor e tutor de disciplinas Tópicos de Matemática Elementar Iindb 222 1332008 174318 Respostas e comentários das atividades de autoavaliação Unidade 1 1 efetue as operações indicadas a 2 3 5 6 2 3 5 6 2 2 5 1 6 4 5 6 9 6 3 2 b 1 9 2 7 1 9 2 7 1 7 2 9 9 7 7 18 63 11 63 c 10 3 4 10 3 4 10 4 3 40 3 d 9 4 5 9 4 5 3 4 5 3 1 4 5 3 5 4 5 15 4 5 11 5 e 1 4 0 3 1 4 0 3 0 25 0 30 0 05 f 3 4 1 3 3 4 1 3 3 1 4 3 3 12 1 4 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 223 1332008 174320 224 Universidade do Sul de Santa Catarina g 1 2 3 7 3 1 2 3 7 3 1 2 9 7 3 1 2 16 3 1 16 2 3 16 6 8 3 h 3 4 5 3 3 4 5 3 3 4 3 5 3 3 4 5 9 20 i 76 7 76 7 7 6 7 1 7 6 1 7 7 1 6 7 7 42 1 6 j 10 53 10 53 10 1 5 3 10 1 3 5 10 3 1 5 30 5 6 2 O salário do funcionário de uma empresa é igual a R 120000 No mês de suas férias ele recebe o seu salário mais 1 3 referente às férias Quanto ele recebe Vamos calcular 1 3 de R 120000 1 3 de 1200 1 3 1200 1200 3 400 Assim o funcionário receberá no mês de suas férias R 120000 R 40000 R 160000 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 224 1332008 174323 225 Tópicos de Matemática Elementar I 3 Mario trabalhou sete meses numa empresa com salário de R 60000 Por isso recebeu a quantia igual a 7 12 de um salário correspondente à parte do 13º salário De quanto foi a quantia recebida Para determinar a quantia recebida é preciso calcular 7 12 de R 60000 7 12 600 4200 12 350 Assim Mario recebeu R 35000 referentes à parte do 13o salário 4 Se 2 5 correspondem a 180 a quanto corresponde um inteiro Para calcular quanto é um inteiro vamos estruturar uma regra de três simples 2 5 180 5 5 1 x 2 5 180 1 2 5 180 180 5 2 450 x x x x Assim um inteiro será igual a 450 5 O tanque do carro está seco Se pusermos 145 litros num carro que roda em média 714 kml conseguiremos chegar a um hotel 98 quilômetros distante Vamos calcular a distância que o carro roda se fizer a média estabelecida e se pusermos 145 litros 7 14 14 5 103 53 km l l km Se o carro consegue rodar 10353 km então com certeza chegará ao hotel que fica a 98 quilômetros de distância do início do percurso Tópicos de Matemática Elementar Iindb 225 1332008 174325 226 Universidade do Sul de Santa Catarina 6 Numa receita de bolo usase 05 litros de leite sendo que 025 dessa quantidade vai no recheio Que fração do litro é usada no recheio No recheio usase 025 de 05 litros de leite Isto pode ser escrito da seguinte forma 025 de 05 025 x 05 0125 Assim utilizase 0125 litros de leite no recheio Veja que esta quantidade corresponde a 1 8 do litro 7 Uma mãe deu dinheiro aos três filhos dizendo que era um terço para cada um O primeiro filho gastou só um terço da sua parte Que fração do total ele gastou Se o primeiro filho gastou 1 3 de sua parte então ele gastou 1 3 de 1 3 1 3 1 3 1 9 então ele gastou 1 9 do valor total 8 Um clube tem 60 associados 18 dos quais com menos de 15 anos de idade esses jovens correspondem a que fração do quadro de associados Vamos colocar os dados do problema na regra de três 60 1 18 associados associados x 60 18 1 60 18 18 60 3 10 x x x x Os jovens com menos de 15 anos de idade correspondem a 3 10 do quadro de associados Veja que esta fração corresponde a 30 do número total de associados do clube Tópicos de Matemática Elementar Iindb 226 1332008 174327 227 Tópicos de Matemática Elementar I 9 em uma aplicação financeira temse rendimento igual a 10 ao mês sendo descontada uma taxa anual fixa relativa à administração igual a 5 do depósito inicial Se um indivíduo possui R 600000 e aplica este dinheiro durante um ano e meio qual será o seu saldo final Inicialmente vamos calcular o valor do rendimento mensal que é igual a 10 de R 600000 1 100 de 6000 1 100 6000 6000 100 60 O rendimento é igual a R 6000 por mês em um ano e meio ou seja em 18 meses temos 18 60 1080 o que indica que o rendimento total será de R 108000 A taxa de administração é dada por 5 do depósito inicial e é cobrada anualmente No 1o ano 5 de 6000 5 100 6000 5 6000 100 300 No 2o ano 5 de 6000 5 100 6000 5 6000 100 300 Assim o saldo final será calculado pela soma entre o depósito inicial e os rendimentos subtraindose os valores relativos à taxa de administração R 600000 R 108000 R 30000 R 30000 R 600000 R 108000 R 60000 R 708000 R 60000 R 648000 10 Numa pesquisa de intenção de voto realizada com 500 pessoas de uma cidade obtevese o seguinte resultado Número de pessoas Candidato A 132 Candidato B x Indecisos 74 Calcule os valores percentuais da pesquisa realizada Se a pesquisa foi realizada com 500 pessoas então já é possível determinar a variável x uma incógnita na tabela 500 132 74 500 132 74 294 x x x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 227 1332008 174328 228 Universidade do Sul de Santa Catarina Portanto a tabela pode ser reescrita como Número de pessoas Valor percentual Candidato A 132 500 100 132 13200 500 26 4 A A Candidato B 294 500 100 294 29400 500 58 8 B B Indecisos 74 500 100 74 7400 500 14 8 I I 500 100 132 A 500 100 294 B 500 100 74 I Perceba que os percentuais foram calculados a partir das regras de três estruturadas para cada opção 11 Um incêndio destruiu 30 da área verde em uma floresta Se 20 desta floresta são formados por rios e riachos e o restante somente por área verde qual o percentual da floresta atingida pelo fogo É possível equacionar as considerações do problema para determinar o percentual de área verde que a floresta possui Assim temos 100área total da floresta 20rios e riachos 80 de área verde Isto significa que a floresta possui 80 de área verde Para calcular o percentual atingido pelo fogo basta calcular 30 destes 80 30 de 80 30 100 80 100 0 3 0 8 0 24 24 da floresta Assim 30 da área verde correspondem a 24 da floresta O incêndio atingiu 24 da área total da floresta Tópicos de Matemática Elementar Iindb 228 1332008 174330 229 Tópicos de Matemática Elementar I 12 Resolva as seguintes equações a 3 1 5 x x 3 1 5 3 5 1 8 1 1 8 x x x x x x b 3 3 12 x 3 3 12 3 12 3 3 15 15 3 5 x x x x x c 2 5 4 1 2 x x 2 2 5 4 4 10 4 4 4 10 3 14 14 3 x x x x x x x x d x x 2 2 3 0 Para resolver a equação do segundo grau vamos usar a fórmula de Bhaskara b ac 2 2 4 2 4 1 3 4 12 16 x b a 2 2 16 2 1 2 4 2 x1 2 4 2 1 x2 2 4 2 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 229 1332008 174333 230 Universidade do Sul de Santa Catarina Assim a solução desta equação é igual a 1 e 3 e x x 3 1 2 0 Observe que esta é uma equação do segundo grau que está escrita na forma fatorada Desta forma para resolvêla basta igualar seus fatores a zero x x 3 0 3 x x 1 2 0 1 2 Assim a solução é igual a 3 e 1 2 f 2 5 4 0 x x Assim como no item anterior vamos igualar os fatores a zero 2 5 0 2 5 5 2 x x x 4 0 4 4 x x x A solução é igual a 5 2 e 4 Unidade 2 1 Calcule f 0 e f 1 2 para as funções representadas algebricamente por Para calcular f 0 e f 1 2 basta substituir x 0 e x 1 2 nas funções indicadas a f x x x 2 1 f 0 0 0 1 1 2 f 1 2 1 2 1 2 1 1 4 1 2 1 1 2 4 4 3 4 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 230 1332008 174337 231 Tópicos de Matemática Elementar I b f x x x 1 1 f 0 0 1 0 1 1 1 1 f 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 3 2 1 2 3 2 2 1 6 2 3 2 A função que expressa o custo total em reais de fabricação de um produto é dada por C q q q q 3 10 2 100 100 sendo q o número de unidades do produto a Calcule o custo de fabricação de cinco unidades O custo de fabricação de cinco unidades é calculado fazendose Assim temos C 5 5 10 5 100 5 100 125 250 500 100 475 3 2 Assim o custo de fabricação de cinco unidades é igual a R 47500 b Qual o custo de fabricação da quinta unidade Para calcular o custo da quinta unidade é necessário fazer a diferença entre o custo de cinco unidades e o custo de quatro unidades C 5 5 10 5 100 5 100 125 250 500 100 475 3 2 C 4 4 10 4 100 4 100 64 160 400 100 404 3 2 C C 5 4 475 404 71 Assim o custo da quinta unidade será de R 7100 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 231 1332008 174339 232 Universidade do Sul de Santa Catarina 3 Sejam as funções representadas graficamente nas figuras 214 e 215 Complete a tabela com as características e propriedades das funções fx e gx fx gx Domínio x 6 6 ou x R 6 x 0 0 ou x R 0 Conjunto imagem y 3 3 ou y R 3 y 0 ou x 0 Zero ou raiz O zero da função é igual a 3 pois a função cruza o eixo x no ponto em que x 3 A função não possui zero ou raiz Sinal da função Função positiva x 3 Função negativa x 3 A função é toda positiva Intervalo de crescimento A função é crescente para todos os valores de x x 0 Intervalo de decrescimento A função não possui intervalo de decrescimento x 0 4 Determine a representação algébrica da função inversa de Para determinar a função inversa vamos trocar as variáveis x e y e isolar a variável y a f x x 2 3 x y x y x y y x 2 3 3 2 2 3 2 6 b y x 4 5 x y x y y x y x 4 5 4 5 4 5 4 5 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 232 1332008 174343 233 Tópicos de Matemática Elementar I Unidade 3 1 Identifique as seguintes funções quanto ao seu tipo a f x x 3 Função linear b h t t 1 4 Função afim c s t t Função identidade d g x x 2 1 Função afim 2 encontre a lei de formação para a função que associa a cada número x qualquer um valor x adicionado com 2 e ao seu resultado multiplicado por 5 Valor de x adicionado de 2 x 2 Resultado multiplicado por 5 5 2 x Logo a função procurada é dada por f x x 5 10 3 Na fabricação de um determinado bem verificouse que o custo total foi obtido a partir de uma taxa fixa de R 100000 adicionada de um custo de produção de R 50000 por unidade Determine a função custo total em relação à quantidade produzida e o custo de fabricação de dez unidades Custo fixo CF 1 000 Custo variável C x V 500 em que x é a quantidade produzida Função custo total C x C C V F C x x 500 1 000 O custo para a fabricação de dez unidades é dado por C10 logo C 10 500 10 1 000 6 000 Assim o custo para a fabricação de dez unidades é de R 600000 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 233 1332008 174346 234 Universidade do Sul de Santa Catarina 4 Uma locadora de carros cobra R 5000 pelo aluguel de um carro mais R 200 por quilômetro rodado Determine a o preço a ser pago para rodar 10 km b o preço a ser pago para rodar 35 km c a função que modela esta situação a O preço a ser pago para rodar 10 km é dado por 50 10 2 70 ou seja 70 reais b O preço a ser pago para rodar 35 km é dado por 50 35 2 120 ou seja 120 reais c A função que modela este problema é f x x 2 50 em que x é o quilômetro rodado 5 Seja s t t 4 8 determine a o gráfico de st b o domínio e a imagem de st c se a função st é crescente ou decrescente d o sinal da função st a Na figura que segue temos o gráfico da função b Como se trata de uma função do primeiro grau temse que D s R e Im s R c Como a 8 0 a função st é crescente Tópicos de Matemática Elementar Iindb 234 1332008 174348 235 Tópicos de Matemática Elementar I d A função é positiva quando s t t t t 0 4 8 0 8 4 1 2 ou seja t 1 2 A função é negativa quando s t t t t 0 4 8 0 8 4 1 2 ou seja t 1 2 6 Uma pequena fábrica de móveis tem como seu principal produto a fabricação de banquetas Cada banqueta é vendida ao preço de R 2500 A fábrica tem um custo fixo mensal de R 500000 em aluguel e máquinas conta de luz compra de material e pagamento de funcionários A mesma gasta R 1500 para fabricar cada banqueta Determine a a função receita total e custo total b a função lucro total c o ponto de nivelamento d se a fábrica obterá lucro ou prejuízo com a venda mensal de 500 banquetas e a quantidade que deve ser vendida para um lucro de R 100000 f o lucro para a venda de 760 banquetas mensais a Considere x a quantidade Assim se cada banqueta é vendida a 25 reais temse que a receita total é dada por R x x 25 Custo fixo CF 5 000 Custo variável C x V 15 Custo total C C C V F ou seja C x x 15 5 000 b O lucro total é dado por L R C então L x R x C x L x x x L x x 25 15 5 000 10 5 000 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 235 1332008 174352 236 Universidade do Sul de Santa Catarina c Ponto de nivelamento ou de equilíbrio R C então 25 15 5 000 10 5 000 500 x x x x Portanto o lucro será zero quando forem vendidas 500 banquetas d Como a venda de 500 banquetas nos dá um lucro de zero não obteremos nem lucro nem prejuízo e 1 000 10 5 000 x 10 6 000 x x 600 Assim a venda de 600 banquetas acarreta um lucro de R 100000 f Neste caso x 760 então devemos calcular L 760 ou seja L L L 760 10 760 5 000 760 7 600 5 000 760 2 600 O lucro para a venda de 760 banquetas é R 260000 7 A quantidade demandada de um bem é de q p d 5 e a quantidade ofertada é de q p o 1 2 Discuta o preço de equilíbrio algebricamente e geometricamente O preço de equilíbrio ocorre quando q q d o então 5 1 2 3 6 2 p p p p Tópicos de Matemática Elementar Iindb 236 1332008 174355 237 Tópicos de Matemática Elementar I Geometricamente é mostrado no gráfico que segue Observe que estamos trabalhando somente com valores positivos Unidade 4 1 encontre uma função f que associa a cada número x o seu quadrado mais o seu dobro mais uma unidade em seguida encontre f 1 f0 e f1 f x x x 2 2 1 f 1 1 2 1 1 0 2 f 0 0 2 0 1 1 2 f 1 1 2 1 1 4 2 2 Trace o gráfico das seguintes funções a y x x 2 2 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 237 1332008 174356 238 Universidade do Sul de Santa Catarina b y x x 2 2 4 3 Seja p x 50 2 sendo x a quantidade demandada e p o preço de um determinado produto encontre a função receita total esboce o seu gráfico e em seguida encontre o valor de x para que a receita seja máxima A função receita é dada por R x p x R x x x R x x x 50 2 50 2 2 Tratase de uma função do segundo grau com a concavidade voltada para baixo portanto esta função atinge o seu máximo no vértice V b a a 2 4 50 2 2 2500 4 2 12 5 312 5 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 238 1332008 174358 Topicos de Matematica Elementar Devem ser vendidas 125 unidades para que a receita seja maxima Caso o produto nao possa ser particionado o valor deve ser arredondado para 13 unidades Veja o grafico 350 300 250 200 150 100 50 x 5 5 10 15 20 ye 30 50 4 Seja fx x 7x10 Analise as propriedades e caracteristicas dominio imagem concavidade raizes vértice crescimento e decrescimento e o sinal da fungao e esboce o grafico de f Temos as caracteristicas da fungao que podem ser observadas graficamente y 5 4 3 2 1 W2 x 1 1 6 7 1 wy 2 4 Sass ee eS 3 Dominio DfR Concavidade como a 10aconcavidade é voltada para cima Raizes fx 0 x 7x100 Usando a formula de Baskhara segue que x 2ex5 cas b A 7 9 m Vértice V 2a 4a 2 4 239 Universidade do Sul de Santa Catarina 9 a Imagem Im a 7 m A fungao é decrescente no intervalo 5 e crescente no 7 intervalo m Os valores de x para o qual fx 0 ocorre nos intervalos co 2 U5 00 e os valores de x para o qual fx 0 ocorre no intervalo 25 5 Um terreno retangular tem dimensdes de modo que sua largura é 0 triplo da altura Encontre as dimens6es deste retangulo de modo que sua area seja de 300 m Vamos considerar m altura x m largura 3x A area do retangulo é dada por Ax3x A3x Como a area vale 300 segue que 300 3x x10 Podemos descartar 0 valor negativo logo devemos ter como dimensdes de 30 mx10m 6 A funcao demanda de um produto é p 10x ea funcao custo é dada por Cx 20 Encontre o valor de x para que 0 lucro seja maximo A fungao receita é dada por Rx px Rx 0xx Rx 10xx 240 241 Tópicos de Matemática Elementar I A função lucro é dada por L x R x C x L x x x x L x x x 10 20 9 20 2 2 Tratase de uma função do segundo grau com concavidade voltada para baixo e portanto o seu vértice é um ponto de máximo V b a a 2 4 9 2 1 4 4 5 0 25 O lucro será máximo quando a quantidade vendida for de 45 unidades Caso o produto não possa ser particionado a resposta deve ser arredondada para 5 unidades Unidade 5 1 a Grau da função polinomial A função polinomial possui grau 3 Assim é uma função do 3o grau b Domínio da função A função está definida para todos os reais c Raiz da função As raízes reais da função podem ser observadas pelo corte do gráfico no eixo dos x Portanto é dado como raiz real x 4 Observamos que as outras duas raízes são complexas não observáveis graficamente d Intervalos de crescimento Crescimento em 1 e 2 e Intervalos de decrescimento Decrescimento em 12 f Análise do sinal da função A função é positiva para valores maiores que 4 observar a parte do gráfico acima do eixo dos x e negativa nos demais pontos do seu domínio 2 Um estudo sobre eficiência de trabalhadores do turno da manhã de uma certa fábrica indica que o operário que chega ao trabalho às 8 horas da manhã terá montado x horas após f x x x x 3 6 2 15 peças do produto a Quantas peças o operário terá montado às 11 horas da manhã b Quantas peças terá montado entre 10 e 11 horas da manhã Tópicos de Matemática Elementar Iindb 241 1332008 174404 242 Universidade do Sul de Santa Catarina a Às 11 horas da manhã o operário terá trabalhado 3 horas se chegou às 8 horas da manhã f x x x x f f f 3 2 3 2 6 15 3 3 6 3 15 3 3 27 6 9 45 3 27 54 45 3 72 f Portanto ele terá montado 90 peças às 11 horas da manhã b Para saber o número de peças montadas entre 10 e 11 horas podemos calcular a diferença entre o número de peças montadas até 10 horas que será calculado abaixo e o número de peças montadas até 11 horas calculado no item a Quando x 2 calculamos o número de peças montadas até 10 horas f x x x x f f f 3 2 3 2 6 15 2 2 6 2 15 2 2 8 6 4 30 2 8 54 2 46 f Assim entre 10 e 11 horas teremos 72 46 26 peças montadas 3 Usando um software gráfico por exemplo o GRAPH faça o gráfico da função y x x 1 1 e analise suas propriedades e características Usando o GRAPH a representação gráfica da função é dada por Tópicos de Matemática Elementar Iindb 242 1332008 174405 243 Tópicos de Matemática Elementar I Representação algébrica y x x 1 1 Domínio R 1 Conjunto imagem R 0 Zero ou raiz A função não cruza o eixo x portanto não possui zero ou raiz Sinal da função Positiva acima do eixo x x 1 Negativa abaixo do eixo x x 1 Crescimento ou decrescimento A função é toda decrescente 4 Analise as características e propriedades das funções representadas graficamente nas figuras 518 e 519 Representação algébrica y x x x 30 2 25 2 y x x 2 2 4 Domínio R R 2 2 Conjunto imagem R R Zero ou raiz Para determinar os zeros da função podemos mantêla na forma fatorada e calcular x x x x x 0 30 2 0 15 25 2 0 12 5 x 0 Sinal da função Positiva acima do eixo x 0 x 125 ou x 15 Negativa abaixo do eixo x x 0 ou 125 x 15 Positiva acima do eixo x 2 x 2 Negativa abaixo do eixo x x 2 ou x 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 243 1332008 174406 244 Universidade do Sul de Santa Catarina Unidade 6 1 escreva a forma decimal a 1034 112550881 b 105 100 000 c 2 102 200 2 escreva na notação científica a 72 000 72 x 104 b 0004 4 x 103 c 0022 22 x 102 3 escreva na forma de uma única potência a 25 22 23 b 13 13 13 13 3 4 2 5 12 10 2 c 43 8 2 5 2 2 2 2 2 3 3 5 4 d 5 5 5 5 5 5 2 3 10 8 5 2 5 2 3 5 5 4 Calcule a 3 27 9 2 7 5 9 81 3 3 3 3 3 3 3 81 9 2 2 3 7 4 5 5 4 b 125 5 25 5 29 5 5 5 29 5 3 4 3 6 2 3 4 3 2 12 8 3 4 3 3 2 25 725 2 3 12 8 3 4 3 65 6 4 3 29 5 29 5 Simplifique a w z w z 6 6 3 4 9 z w2 b x x y y x x y x 3 3 4 3 2 6 4 3 1 4 3 2 1 4 6 4 3 5 4 y y x 2 4 3 1 y14 3 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 244 1332008 174409 245 Tópicos de Matemática Elementar I 6 esboce o gráfico das seguintes funções a fx 2x b fx 3x 1 c fx log2 x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 245 1332008 174410 246 Universidade do Sul de Santa Catarina d fx log12 x 7 Identifique se as seguintes funções são crescentes ou decrescentes a fx 6x Crescente b fx 32 x Crescente c fx 3 4 x Decrescente d fx 0125 Decrescente e fx log3 x Crescente f fx log13 x Decrescente 8 Calcule os seguintes logaritmos a log3 27 log3 3 27 3 27 3 3 3 x ou x x x Tópicos de Matemática Elementar Iindb 246 1332008 174411 247 Tópicos de Matemática Elementar I b log3 1243 log3 5 1 243 3 1 243 3 3 5 x ou x x x c log10 100 log10 2 100 10 100 10 10 2 x ou x x x d log81 3 4 log 81 1 4 1 4 4 1 4 3 81 3 3 3 4 1 4 1 16 x ou x x x x 9 Determine o valor de x a log16255 x log 1 625 4 5 1 625 5 5 5 4 1 1 4 x ou x x x x b logx25 2 logx x ou x x 25 2 25 25 5 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 247 1332008 174412 248 Universidade do Sul de Santa Catarina c log2 x 8 log2 x 8 28 x x 256 e logx 827 3 logx 827 3 x3 8 27 x3 2 3 3 x 2 3 10 Determine o valor de x de tal modo que os seguintes logaritmos existam a log3x 1 A base já é um número positivo e diferente de 1 logo a condição deve ser estabelecida apenas para o logaritmando x 1 0 x 1 b log7x 21 4 Como o logaritmando já é um número positivo estabelecemos apenas a condição para a base 7x 21 0 e 7x 21 1 7x 21 e 7x 22 x 3 e x 22 7 11 Sabendo que log 2 03010 calcule log 00002 log00002 log 2 10000 log 2 104 log 2 log 104 log 2 4log 10 03010 4 3699 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 248 1332008 174413 249 Tópicos de Matemática Elementar I 12 Um capital de R 5600 é aplicado a juros compostos por dois anos e meio à taxa de 4 am Qual o valor resultante dessa aplicação Sabemos que C C i n n 1 Dados do problema C 56 i 4 004 n 30 meses O valor resultante da aplicação de R 5600 é de R 18163 13 Um capital foi aplicado a juros compostos durante três meses à taxa de 20 am Se decorrido esse período o montante produzido foi de R 86400 qual o capital aplicado Dados do problema n 3 i 20 02 Cn 864 O capital aplicado foi de R 50000 14 Qual a taxa mensal para quadruplicar um capital em oito anos Dados do problema n 8 anos 96 meses Cn 4C Cn 56 1 0 04 30 Cn 56 1 04 30 Cn 56 3 24339751 Cn 181 63 C C i n n 1 864 1 0 2 3 C 864 1 2 3 C C 864 1 728 500 C C i n n 1 4 1 96 C C i 4 1 96 i log log 4 1 96 i log log 1 4 96 i log 1 0 60205 96 i log 1 0 00627 i 10 10 1 0 00627 log i 1 i 101454 i 001454 i 145 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 249 1332008 174418 250 Universidade do Sul de Santa Catarina 15 A taxa de crescimento populacional do Brasil é de aproximadamente 2 ao ano em quantos anos a população irá dobrar mantendo esta taxa equação a ser utilizada P P i n 0 1 Dados do problema P 2P0 i 2 002 2 1 0 02 0P P n 2 102n log log 2 1 02 n log log 2 1 02 n n log log 2 1 02 n 0 3010 0 0086 n 35 A população irá dobrar em cinco anos 16 O álcool no sangue de um motorista alcançou o nível de 2 gramas por litro após ingerir uma bebida Considere que esse nível decresce de acordo com a fórmula N 2 05t em que t é o tempo em horas Quanto tempo deverá o motorista esperar se o limite permitido por lei é de 08 gramas de álcool por litro de sangue considerar log 2 03 Temos que N t 2 0 5 onde N 08 portanto 0 8 2 0 5 t 0 5 0 8 2 t 0 5 0 4 t log log 0 5 0 4 t t log log 1 2 4 10 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 250 1332008 174422 251 Tópicos de Matemática Elementar I t log log log 2 4 10 1 t log log 2 2 1 2 t log log 2 2 2 1 t 2 2 1 2 log log t 2 0 3 1 0 3 t 1 3333 t 13333 horas t 80 minutos t 1 hora e 20 minutos Unidade 7 1 Faça o gráfico e analise as características e propriedades das funções a y senx 1 b f x x cos 2 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 251 1332008 174424 252 Universidade do Sul de Santa Catarina c g x tg x 2 2 Uma escada rolante liga dois pisos de uma loja de departamentos e tem uma inclinação de 30o Sabendo que o comprimento linear da escada é de 12 m qual é a altura entre os dois pisos da loja Observe a figura que modela o problema sen x x sen x x metros 30 12 30 12 1 2 12 6 0 0 A altura é de 6 metros Tópicos de Matemática Elementar Iindb 252 1332008 174425 253 Tópicos de Matemática Elementar I 3 Ted e Mad ao fazer um passeio no campo contemplaram o pico de um morro segundo um ângulo de 45 graus Ao caminharem mais 50 metros em direção ao morro passaram a ver o pico segundo um ângulo de 60 graus Qual é a altura do morro Veja a figura que modela o problema Temos que tg h x h x tg h x h x 60 3 45 50 50 0 0 Observe que estamos usando os valores tg60 3 0 e tg45 1 0 Podemos igualar as relações encontradas 3 50 3 50 3 1 50 50 3 1 68 30 x x x x x x x metros A altura do morro é aproximadamente igual a 6830 metros Tópicos de Matemática Elementar Iindb 253 1332008 174426 254 Universidade do Sul de Santa Catarina 4 Qual é o tamanho da sombra de um prédio de 50 metros de altura quando o sol está 20 graus acima da linha do horizonte Observe a figura que modela o problema tg x x x metros 20 50 0 364 50 50 0 364 137 36 0 O tamanho da sombra é aproximadamente 13736 metros 5 Uma escada apóiase na parede de um prédio com seu pé a 4 metros do edifício A que distância do chão está o ponto mais alto da escada e qual é seu comprimento se ela faz um ângulo de 70 graus com o chão Observe a figura que modela o problema tg h h h metros 70 4 2 747 4 2 747 4 10 99 0 A distância do ponto de apoio até o chão é de 1099 metros Para achar o valor de x vamos aplicar o Teorema de Pitágoras Tópicos de Matemática Elementar Iindb 254 1332008 174427 255 Tópicos de Matemática Elementar I x h x x x x x me 2 2 2 2 2 2 2 2 4 10 99 4 120 78 16 136 78 136 78 11 70 tros O comprimento da escada é de 1170 metros 6 Do topo de um farol 120 metros acima do nível do mar o ângulo de depressão de um barco é 15 graus Qual é a distância do farol ao barco Observe a figura que modela o problema Topo do farol tg x x x metros 15 120 0 268 120 0 268 120 32 16 0 A distância do farol até o barco é de 3216 metros 7 Na Figura 726 temse que CD 5 cm BC 4 cm AB 32 cm AC x cm BD y cm Perguntase a Qual o valor de x b Qual o valor de y Tópicos de Matemática Elementar Iindb 255 1332008 174428 256 Universidade do Sul de Santa Catarina c Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo d Quais são os valores das funções trigonométricas do ângulo Figura 726 Triângulos retângulos Vamos colocar os valores conhecidos na figura para facilitar a visualização das relações trigonométricas nos triângulos retângulos a Para encontrar o valor de x vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CAB 4 3 2 4 3 2 16 10 24 5 76 5 76 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x cm b Para encontrar o valor de y vamos aplicar o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo CBD 5 4 25 16 9 3 2 2 2 2 2 y y y y cm c Os valores das funções trigonométricas do ângulo alfa senα 3 2 4 0 8 cos α 2 4 4 0 6 tgα 3 2 2 4 1 33 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 256 1332008 174429 257 Tópicos de Matemática Elementar I cot gα 2 4 3 2 0 75 sec α 4 2 4 1 67 cossec α 4 3 2 1 25 d Os valores das funções trigonométricas do ângulo beta senβ 3 5 0 6 cos β 4 5 0 8 tgβ 3 4 0 75 cot gβ 4 3 1 333 sec β 5 4 1 25 cossec β 5 3 1 67 Tópicos de Matemática Elementar Iindb 257 1332008 174432 258 Universidade do Sul de Santa Catarina Tópicos de Matemática Elementar Iindb 258 1332008 174432