Transferência de Massa por Convecção: Métodos e Parâmetros Adimensionais

CAPÍTULO 5 TRANSFERÊNCIA DE MASSA POR CONVECÇÃO 51 INTRODUÇÃO Transferência de Massa Convectiva envolve o transporte de material entre uma superfície limite e um fluido em movimento ou entre dois fluidos imiscíveis em movimento separados por uma superfície móvel A equação da taxa para transferência de massa convectiva generalizada na forma análoga à lei de Newton de resfriamento é 𝑁𝐴 𝑘𝑐𝐶𝐴 51 Quando a transferência de massa envolve um soluto dissolvendo para o interior de um fluido em movimento a Equação 51 pode ser descrita como 𝑁𝐴 𝑘𝑐𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 52 Onde NA Fluxo global do soluto A deixando a interface gmolcm²s kc coeficiente de transferência de massa convectiva cms CAs ou CA concentração do soluto no fluido na interface gmolcm³ CA concentração do soluto em algum ponto no interior da fase fluida gmolcm³ Há quatro métodos para avaliar os coeficientes de transferência de massa convectiva a Análise dimensional de Transferência de Massa Convectiva b Análise exata da Camada Limite de Concentração Laminar c Análise aproximada da Camada Limite Laminar d Analogia entre Transferências de Momento Energia e Massa Porém antes de adentrar aos referidos métodos é de suma importância o conhecimento dos parâmetros adimensionais frequentemente usados Nesta seção veremos 3 destas relações Partindo da análise de que a difusividade nos três fenômenos analisados é Difusividade de Momento 𝜈 𝜇 𝜌 53 Difusividade Térmica 𝛼 𝑘 𝜌𝑐𝑝 54 Difusividade Mássica DAB 55 O número de Schmidt representa a relação entre a Difusividade de Momento e a Difusividade Mássica 𝑆𝑐 𝜈 𝐷𝐴𝐵 𝜇 𝜌𝐷𝐴𝐵 56 Já o número de Lewis representa a relação entre a Difusividade Térmica e a Difusividade Mássica e é utilizado quando o processo envolve transferência simultânea de massa e energia 𝐿𝑒 𝛼 𝐷𝐴𝐵 𝑘 𝜌𝑐𝑝𝐷𝐴𝐵 57 Os números de Schmidt e Lewis são oriundos das combinações das propriedades dos fluidos podendo serem tratados como uma propriedade do sistema de difusão A outra relação é determinada partindose do perfil de concentração retratado pela Equação 52 que pode ser escrita como 𝑁𝐴 𝑘𝑐𝐶𝐴 𝐶𝐴 52 Como vimos nos capítulos anteriores o fluxo global pode ser determinado como 𝑁𝐴 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑦 𝑁𝐴 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝐶𝐴𝐶𝐴𝑠 𝑑𝑦 58 Igualando as Equações 52 e 58 chegase a 𝑘𝑐𝐶𝐴 𝐶𝐴 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝐶𝐴𝐶𝐴𝑠 𝑑𝑦 59 Multiplicando ambos os lados da Equação 59 pelo comprimento significante L temse 𝑘𝑐𝐿 𝐷𝐴𝐵 𝑑𝐶𝐴𝐶𝐴𝑠𝑑𝑦 𝐶𝐴𝐶𝐴𝐿 510 O lado direito da Equação 510 é a relação do gradiente de concentração na superfície pelo gradiente de concentração global Pode ser considerada a relação da resistência ao transporte de massa molecular e a resistência ao transporte de massa convectiva do fluido Esta relação é designada como número de Sherwood Sh também conhecido como número de Nusselt para Transferência de Massa NuAB 𝑆ℎ 𝑁𝑢𝐴𝐵 𝑘𝑐𝐿 𝐷𝐴𝐵 510 EXEMPLO 51 Determine o número de Schmidt para o metanol em ar à 298 K e 101325 Pa e água à 298 K 52 ANÁLISE DIMENSIONAL DE TRANSFERÊNCIA DE MASSA CONVECTIVA 511 Transferência em um Fluxo Sob Convecção Forçada Considere a transferência de massa das paredes de um conduto circular para um fluido fluindo no interior de um conduto A transferência de massa tem como força motriz o diferencial de concentração CAsCA As variáveis importantes e seus respectivos símbolos estão listados a seguir Aplicando o método de Buckingham de agrupamento de variáveis podese determinar os 3 grupos adimensionais i 𝜋1 𝐷𝐴𝐵 𝑎 𝜌𝑏𝐷𝑐𝑘𝑐 𝜋2 𝐷𝐴𝐵 𝑑 𝜌𝑒𝐷𝑓𝑢 𝜋3 𝐷𝐴𝐵 𝑔 𝜌ℎ𝐷𝑖𝜇 Escrevendo o grupamento 𝜋1 em sua forma dimensional temse 1 𝐿2 𝑡 𝑎 𝑀 𝐿3 𝑏 𝐿𝑐 𝐿 𝑡 𝐿 0 2𝑎 3𝑏 𝑐 1 𝑡 0 𝑎 1 𝑎 1 𝑀 0 𝑏 Então chegase que a 1 b 0 e c 1 Aplicando estes valores da análise dimensional na equação 𝜋1 temse 𝜋1 𝐷𝑘𝑐 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ Este valor é igual ao número de Sherwood Sh Equação 510 Realizando a mesma análise dimensional para os grupos 𝜋2 𝑒 𝜋3 𝜋2 𝐷𝑢 𝐷𝐴𝐵 𝜋3 𝜇 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝑆𝑐 Dividindose 𝜋2 por 𝜋3 temse 𝜋2 𝜋3 𝐷𝑢𝜌 𝜇 𝑅𝑒 O resultado da análise dimensional para transferência de massa por convecção forçada em um conduto circular fechado é dado pela correlação Sh NuAB fRe Sc 511 u velocidade do fluido ms Fazendose a mesma análise dimensional pelo método de Buckingham temse aos seguintes grupamentos i 𝜋1 𝐷𝐴𝐵 𝑎 𝜇𝑏𝐿𝑐𝑘𝑐 𝜋2 𝐷𝐴𝐵 𝑑 𝜇𝑒𝐿𝑓𝜌 𝜋3 𝐷𝐴𝐵 𝑔 𝜇ℎ𝐿𝑖𝜌𝐴 Como resultado da análise dimensional das equações acima chega se a 𝜋1 𝑘𝑐𝐿 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ 𝜋2 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝜇 1 𝑆𝑐 𝜋3 𝐿³𝑔𝜌𝐴 𝜇𝐷𝐴𝐵 Multiplicandose 𝜋2 por 𝜋3 temse o número de Grashof Gr para a transferência de massa convectiva 𝜋2𝜋3 𝐿³𝜌𝑔𝜌𝐴 𝜇² 𝐿³𝑔𝜌𝐴 𝜌𝜈² 𝐺𝑟𝐴𝐵 A análise dimensional propõe que a transferência de massa por convecção natural é proporcional a Sh NuAB fGrAB Sc 512 53 ANÁLISE EXATA DA CAMADA LIMITE DE CONCENTRAÇÃO LAMINAR um fluido adjacente as variáveis se diferem um pouco das utilizadas no item anterior sendo listadas a seguir No caso da convecção natural envolvendo a transferência de massa de uma parede vertical plana para diferenças de concentrações das fases de uma fase líquida ou gasosa Esta variação na densidade pode ser devida à diferença de temperatura entre as Correntes de convecção natural serão desenvolvidas se existir alguma variação na densidade dentro 512 Transferência em um Fluxo Sob Convecção Natural Analisando a camada limite de concentração exposta pela figura acima realizandose as devidas avaliações e cálculos diferenciais chegase à definição de que a variação da concentração em função da altura y da camada limite é dada por 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑦 𝑦0 𝐶𝐴 𝐶𝐴𝑠 0332 𝑥 𝑅𝑒𝑥 12 513 Quando a velocidade na direção y uys é essencialmente zero a transferência de massa da superfície da placa para o interior da camada limite laminar é descrita por 𝑁𝐴𝑦 𝐷𝐴𝐵 𝐶𝐴 𝑦 𝑦0 514 Substituindo 514 em 513 𝑁𝐴𝑦 𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴 𝐶𝐴𝑠 0332 𝑥 𝑅𝑒𝑥 12 515 Substituindo 52 em 515 chegase a 𝑘𝑐 𝐷𝐴𝐵 0332 𝑥 𝑅𝑒𝑥 12 516 Rearranjando temse o número de Sherwood na direção x 𝑘𝑐𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝑥 0332 𝑅𝑒𝑥 12 517 Esta equação é restrita para sistemas tendo um número de Schmidt 10 um e baixa taxa de transferência de massa entre a placa plana e a camada limite ou seja Fluxo Laminar Valores para o Número de Reynolds conforme a geometria Dutos Fechados 𝑅𝑒 𝐷𝑢𝜌 𝜇 Re 2300 Fluxo Laminar 2300 Re 2700 Zona de Transição Re 2700 Fluxo Turbulento Superfícies Abertas 𝑅𝑒 𝐿𝑢𝜌 𝜇 Re 200000 Camada Limite é Laminar 200000 Re 3000000 Zona de Transição Re 3000000 Camada Limite é Turbulenta O gráfico a seguir mostra o comportamento da concentração em função do quociente entre a altura e o comprimento da camada limite de concentração sendo as curvas formadas pela relação entre as velocidades nas direções y e x Os valores negativos nas curvas representam a transferência de massa do fluido para a placa já os valores positivos representam a transferência de massa da placa para o interior da camada limite de concentração laminar No ponto onde y 0 temse o valor 0332 predito pela Equação 517 Para Fluido com Sc diferente da unidade curvas similares às mostradas acima podem ser definidas A similaridade entre as equações diferenciais e condições limite sugerem um tratamento por transferência de massa convectiva análoga à solução de Pohlhausen para transferência de calor convectiva A camada limite de concentração é relacionada à camada limite dinâmica por 𝛿 𝛿𝑐 𝑆𝑐13 518 espessura da camada limite dinâmica c espessura da camada limite de concentração Multiplicando o termo de Blasius por Sc13 obtémse um gráfico da concentração adimensional versus Sc13 A variação de concentração dada nesta forma leva a uma expressão para a transferência de massa convectiva similar à Equação 517 No ponto y 0 o gradiente de concentração é dado por 𝑑𝐶𝐴 𝑑𝑦 𝑦0 𝐶𝐴 𝐶𝐴𝑠 0332 𝑥 𝑅𝑒𝑥 12𝑆𝑐13 519 Quando relacionadas a Equação 519 com a Equação 514 chegase a 𝑘𝑐𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝑥 0332 𝑅𝑒𝑥 12𝑆𝑐13 520 Assim como a Equação 517 a Equação 520 também deve ser utilizada apenas para sistemas com Fluxo Laminar O coeficiente médio de transferência de massa convectivo 𝑘𝑐 aplicado sobre uma placa de área dada por A WL é relacionado à taxa de transferência de massa convectiva pela equação 𝑊𝐴 𝑘𝑐 𝐴𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 𝑘𝑐 𝑊𝐿𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 521 A taxa ainda pode ser escrita como 𝑊𝐴 𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 0332 𝐷𝐴𝐵𝑅𝑒𝑥 1 2𝑆𝑐 1 3 𝑑𝐴 𝑥 𝐴 𝑊𝐴 𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴0332 𝑊𝐷𝐴𝐵𝑆𝑐 1 3 𝑅𝑒𝑥 12 𝑑𝑥 𝑥 𝐿 0 522 Igualando as Equações 521 e 522 chegase a 𝑘𝑐 𝑊𝐿𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴0332 𝑊𝐷𝐴𝐵𝑆𝑐 1 3 𝑢𝜌 𝜇 12 𝑥12 𝐿 0 𝑑𝑥 Cancelando os termos semelhantes e resolvendo a integral chegase a 𝑘𝑐 𝐿 0664𝐷𝐴𝐵𝑆𝑐 1 3 𝑢𝜌 𝜇 12 𝐿12 Logo 𝑘𝑐 𝐿 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝐿 0664 𝑆𝑐 1 3 𝑅𝑒𝐿 12 523 Vêse então que Sh a uma distância x a jusante está relacionado ao Sh médio para uma placa pela relação 𝑆ℎ𝐿 2 𝑆ℎ𝑥𝑥𝐿 524 Porém para sistemas em que Re possa ser enquadrado como em fase de transição ou turbulenta o 𝑘𝑐 deve ser calculado pela seguinte equação 𝑘𝑐 0664𝐷𝐴𝐵𝑅𝑒𝑡 12𝑆𝑐1300365𝐷𝐴𝐵𝑆𝑐13𝑅𝑒𝐿 45𝑅𝑒𝑡 45 𝐿 525 Onde Ret Número de Reynolds na fase de transição 20x105 ReL Número de Reynolds no ponto x L EXEMPLO 52 Um container com acetona foi acidentalmente derramado sobre uma superfície lisa de uma bancada de laboratório localizada em um edifício de fabricação de semicondutores A ventilação do edifício produz um fluxo de ar paralelo de 60 ms sobre uma largura de 10 m de bancada O ar é mantido a 2980 K e 101325 Pa Dados Pressão de vapor da acetona a 2980 K 3066x104 Pa DAcear 093x105 m²s Viscosidade Cinemática do ar 155x105 m²s a Determine o coeficiente de transferência de massa a 05 m a jusante da ponta da bancada do laboratório b Determine a quantidade de acetona evaporada por metro quadrado por segundo Solução a Cálculo de kc I Cálculo dos números de Schmidt e Reynolds 𝑆𝑐 𝜇 𝜌𝐷𝐴𝐵 𝜈 𝐷𝐴𝐵 155𝑥105 093𝑥105 𝑆𝑐 167 𝑅𝑒 𝐿𝑢𝜌 𝜇 𝐿𝑢 𝑣 05 60 155𝑥105 𝑅𝑒 1935𝑥105 II Avaliação dos números adimensionais Como este número de Reynolds é muito menor que o valor para um sistema em transição é válida a utilização da Equação 520 para determinação do Coeficiente de transferência de massa convectivo kc 𝑘𝑐𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝑥 0332 𝑅𝑒𝑥 1 2𝑆𝑐 1 3 𝑆ℎ𝑥 0332 1935𝑥105 1 2 167 1 3 𝑆ℎ𝑥 17327 𝑘𝑐𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝑥 𝑘𝑐 17327 093𝑥105 05 𝒌𝒄 𝟑 𝟐𝟐𝒙𝟏𝟎𝟑 𝒎𝒔 b Cálculo de NAce e WAce I Avaliar novamente o Re devido à localização do ponto a 10 m de distância do ponto do derramamento 𝑅𝑒 𝐿𝑢 𝑣 10 60 155𝑥105 𝑅𝑒 387𝑥105 Para este comprimento x L o Re é maior do que o limite para enquadramento como Laminar ou seja está na fase de transição II Cálculo do 𝑘𝑐 Portanto para estes casos utilizaremos a Equação 525 𝑘𝑐 0664𝐷𝐴𝐵𝑅𝑒𝑡 1 2𝑆𝑐 1 3 00365𝐷𝐴𝐵𝑆𝑐 1 3 𝑅𝑒𝐿 4 5 𝑅𝑒𝑡 4 5 𝐿 0664 093𝑥105 20𝑥10512 16713 00365 093𝑥105 16713387𝑥10545 20𝑥10545 10 𝒌𝒄 𝟎 𝟎𝟎𝟖𝟏𝟓 𝒎𝒔 III Cálculo da Concentração molar Para utilização da Equação 521 é necessário o cálculo da concentração da Acetona no ar imediatamente acima da superfície da placa utilizando a equação dos gases ideais 𝐶𝐴𝑠 𝑃𝐴 𝑅𝑇 3066𝑥104 8314 2980 𝐶𝐴𝑠 1237 𝑔𝑚𝑜𝑙𝑚³ IV Cálculo taxa molar de Acetona no ar 𝑊𝐴 𝑘𝑐 𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴𝐴 Levandose em conta que CA simboliza a concentração de Acetona dentro da Camada Limite porém em um ponto distante tal que possa ser considerado como 00 temse 𝑊𝐴 0008151237 00 1 𝑾𝑨 𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝒈𝒎𝒐𝒍𝒔 54 ANÁLISE APROXIMADA DA CAMADA LIMITE DE CONCENTRAÇÃO LAMINAR Quando o fluxo é outro que não o laminar ou a configuração é outra que não uma placa plana poucas soluções exatas existem atualmente para o transporte na camada limite O método aproximado desenvolvido por von Kármán para descrever a camada limite hidrodinâmica pode ser utilizada para analisar a camada limite de concentração Partindo da figura acima o seguinte balanço de massa no Volume de Controle é gerado 𝑊𝐴2 𝑊𝐴1 𝑊𝐴3 𝑊𝐴4 526 NA 0101 gmolm²s Onde 𝑊𝐴1 𝐶𝐴𝑢𝑥 𝑑𝑦 𝛿𝑐 0 𝑥 𝑊𝐴2 𝐶𝐴𝑢𝑥 𝑑𝑦 𝛿𝑐 0 𝑥 𝑥 𝑊𝐴3 𝐶𝐴 𝑥 𝑢𝑥 𝑑𝑦 𝛿𝑐 0 𝑥 𝑊𝐴4 𝑘𝑐𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴𝑥 Realizando os equacionamentos nos devidos pontos do volume de controle delimitado pela linha tracejada chegase à seguinte equação 𝑘𝑐𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝑥 036 𝑅𝑒𝑥 12𝑆𝑐13 527 Esta equação não é exata porém é muito próxima à Equação 520 e pode ser utilizada com certo grau de confiança O sucesso da aplicação desta Equação depende da habilidade para assumir bons perfis de concentração e velocidade ou seja o ponto onde o volume de controle se encontrará A análise aproximada de von Kármán também pode ser utilizada para obter uma solução aproximada para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana chegandose a número de Nusselt como 𝑘𝑐𝑥 𝐷𝐴𝐵 𝑆ℎ𝑥 00292 𝑅𝑒𝑥 45𝑆𝑐13 528 55 ANALOGIAS PARA TRANSFERÊNCIA DE MOMENTO ENERGIA E MASSA 551 ANALOGIA DE REYNOLDS A primeira analogia do comportamento análogo da transferência do momento e energia foi reportado por Reynolds Apesar de limitada serviu como base para desenvolvimento de melhores analogias Para número de Schmidt igual a 1 Reynolds chegou à seguinte equação para o coeficiente de transferência de massa convectivo 𝑘𝑐 𝑢 𝐶𝑓 2 Sc 1 529 Onde Cf Coeficiente de fricção na superfície da placa Como a Equação 529 é análoga à analogia de Reynolds para a transferência de energia para sistemas com Prandtl igual a 1 ℎ 𝜌𝑢𝑐𝑝 𝐶𝑓 2 Pr Sc 1 530 Onde h Coeficiente de transferência de calor convectivo Esta equação satisfaz a solução exata da camada limite de concentração se e somente se o número de Schmidt for igual a 1 552 ANALOGIA DE PRANDTL E von KÁRMÁN Utilizada para a relação da transferência convectiva de momento e massa 𝑆ℎ 𝐶𝑓2𝑅𝑒𝑆𝑐 15𝐶𝑓2𝑆𝑐1 531 Ou ainda estendendo a analogia de Prandtl em função de que se NuAB fosse usado no lugar de Sh a Equação 531 seria análoga à analogia de transferência de momento e energia de Prandtl resultando na análise de von Kármán para a transferência de massa 𝑆ℎ 𝑅𝑒𝑆𝑐 𝑘𝑐 𝑢 𝐶𝑓2 15𝐶𝑓2𝑆𝑐1ln156𝑆𝑐1 532 553 ANALOGIA DE CHILTONCOLBURN Utilizada para a relação da transferência convectiva de massa e energia ℎ 𝜌𝑢𝑐𝑝 𝑃𝑟23 𝑘𝑐 𝑢 𝑆𝑐23 533 Restrições para uso 06 Sc 2500 e 06 Pr 100 EXEMPLO 52 Ar flui sobre uma laje sólida de dióxido de carbono congelado gelo seco com uma área superficial de 10x103 m² O CO2 sublima para uma corrente com fluxo de 20 ms a uma taxa total de 229x104 gmols O ar está a 293 K e 1013x105 Pa nesta temperatura a difusividade do CO2 no ar é 15x105 m²s a pressão de vaporização do CO2 é igual a 474x10³ Pa e a viscosidade cinemática do ar é 155x105 m²s Determine a O valor do coeficiente de transferência de massa do CO2 sublimando na corrente de ar nas condições do experimento b O valor do coeficiente de transferência de calor convectivo para o fluxo de ar do enunciado Solução a Partindo da Equação 52 𝑁𝐴 𝑘𝑐𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 𝑘𝑐 𝑁𝐴 𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 𝑊𝐴 𝐴𝑥𝐶𝐴𝑠 𝐶𝐴 À 293 K e 101325 Pa temse 𝐶𝐴𝑠 𝑃𝐴 𝑅𝑇 474𝑥103 8314 2930 𝐶𝐴𝑠 1946 𝑔𝑚𝑜𝑙𝑚³ Assumindo CA 00 𝑘𝑐 229𝑥104 10𝑥1031946 𝟎 𝟏𝟏𝟖 𝒎𝒔 b Partindo da Equação 533 ℎ 𝜌𝑢𝑐𝑝 𝑃𝑟23 𝑘𝑐 𝑢 𝑆𝑐23 ℎ 𝑘𝑐𝜌𝑐𝑝 𝑆𝑐 𝑃𝑟 23 Buscando as seguintes propriedades do ar nas tabelas ar 1206 kgm³ Cpar 10061 JkgK Pr 0710 O número de Schmidt é 𝑆𝑐 𝜐 𝐷𝐴𝐵 155𝑥105 15𝑥105 1033 Finalmente aplicando os valores na Equação chegase a ℎ 𝑘𝑐𝜌𝑐𝑝 𝑆𝑐 𝑃𝑟 2 3 0118 1206 10061 1033 0710 2 3 𝒉 𝟎 𝟏𝟖𝟒 𝑾 𝒎𝟐 𝑲