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Equação de Bernoulli Referências Brunetti Franco Mecânica dos fluidos Pearson Educacion 2008 Young Hugh D Física II Sears e Zemansky termodinâmica e ondas Pearson Education 2015 Mecânica dos fluidos Objetivos da aula A diferença entre fluido laminar e fluido turbulento e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo Como usar a equação de Bernoulli em certos tipos de escoamento para relacionar a pressão à velocidade do escoamento em diferentes pontos Como o fluido viscoso e o turbulento diferem do ideal A partir de agora vamos estudar o movimento de um fluido O escoamento de um fluido pode ser extremamente complexo Entretanto algumas situações podem ser descritas mediante um modelo idealizado relativamente simples Um fluido ideal é Incompressível Sem nenhum atrito interno Mecânica dos fluídos A trajetória de uma partícula individual durante o escoamento de um fluido denominase linha de escoamento ou linha de fluxo Mecânica dos fluídos Quando a configuração global do escoamento de um fluido não varia com o tempo ele se chama escoamento estacionário ou escoamento permanente No escoamento estacionário todo elemento que passa por um dado ponto segue sempre a mesma linha de escoamento As linhas de escoamento que passam através de um elemento de área imaginário como a área A formam um tubo chamado tubo de escoamento ou tubo de fluxo Pela definição de linha de escoamento em um escoamento estacionário nenhuma parte do fluido pode atravessar as paredes laterais de um tubo de escoamento Mecânica dos fluídos Na figura abaixo vemos o escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes de obstáculos Mecânica dos fluídos Todas as configurações indicadas são tipicas do escoamento laminar no qual camadas adjacentes de fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento e estacionário Para taxas de escoamento suficientemente elevadas ou quando um obstaculo produz variações abruptas de velocidade o escoamento pode se tornar irregular e caótico Neste caso ele recebe o nome de escoamento turbulento Em um escoamento turbulento não pode existir nenhuma configuração com escoamento estacionário a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo Equação da continuidade A massa de um fluido não varia durante seu escoamento Isso leva a uma relação importante chamada equação da continuidade O produto Av e a vazão volumétrica dVdt ou seja a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo Mecânica dos fluídos Equação da continuidade Podemos generalizar a Equação da continuidade para o caso do escoamento de um fluido que não e incompressível Se ρ1 e ρ2 forem as densidades nas seções 1 e 2 então Se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 ρ2 ρ1 a vazão volumétrica no ponto 2 será menor que no ponto 1 A2v2 A1v1 A vazão mássica e a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo Ela é dada pelo produto da densidade ρ pela vazão volumétrica dVdt Mecânica dos fluídos EXEMPLO 146 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRIMÍVEL Um óleo incompressível de densidade igual a 850 kgm³ é bombeado através de um tubo cilíndrico a uma taxa de 95 litros por segundo a A primeira seção do tubo tem 80 cm de diâmetro Qual é a velocidade do óleo Qual é a vazão mássica b A segunda seção do tubo tem 40 cm de diâmetro Quais são os valores para a velocidade e vazão volumétrica nessa seção EXERCÍCIOS 1436 A água corre para dentro de uma fonte enchendo todos os tubos a uma taxa constante de 0750 m³s a Com que velocidade a água jorraria de um buraco de 450 cm de diâmetro b Com que velocidade ela jorraria se o diâmetro do buraco fosse três vezes maior 1439 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável Ela enche completamente o tubo em todos os pontos a Em um ponto o raio do tubo é igual a 0150 m Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a 120 m³s b Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 380 ms Qual é o raio do tubo nesse ponto Equação de Bernoulli De acordo com a equação da continuidade a velocidade do escoamento de um fluido pode variar com as trajetórias desse fluido A pressão também pode variar ela depende da altura e da velocidade do escoamento Podemos deduzir uma relação importante entre a pressão a velocidade e a altura no escoamento de um fluido ideal chamada de equação de Bernoulli Esta é uma ferramenta essencial para analisar escoamentos em muitos tipos de escoamento de fluidos Mecânica dos fluídos Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli afirma que o trabalho realizado pelo fluido das vizinhanças sobre uma unidade de volume de fluido e igual a soma das variações das energias cinética e potencial ocorridas na unidade de volume durante o escoamento Também podemos interpretar em termos das pressões O segundo termo é a diferença de pressão adicional associada ao peso e produzida pela diferença de altura entre as duas extremidades e o terceiro termo é a diferença de pressão associada a variação da velocidade do fluido Mecânica dos fluídos Equação de Bernoulli Mecânica dos fluídos EXEMPLO 147 PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA A água entra em uma casa Figura 1424 através de um tubo com diâmetro interno de 20 cm com uma pressão absoluta igual a 40 10⁵ Pa cerca de 4 atm Um tubo com diâmetro interno de 10 cm a conduz ao banheiro do segundo andar a 50 m de altura Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 15 ms ache a velocidade do escoamento a pressão e a vazão volumétrica no banheiro A Figura 1425 mostra um tanque de armazenamento de gasolina com uma seção reta de área A₁ cheio até uma altura h O espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente contém ar e está a uma pressão P₀ e a gasolina flui para fora através de um pequeno tubo de área A₂ Deduza expressões para a velocidade de escoamento no tubo e para a vazão volumétrica A Figura 1426 mostra um medidor de Venturi usado para medir a velocidade de escoamento em um tubo Deduza uma expressão para a velocidade de escoamento v₁ em termos das áreas das seções retas A₁ e A₂ e da diferença de altura h entre os níveis dos líquidos nos dois tubos verticais A Figura 1427a mostra as linhas de escoamento em torno da seção reta da asa de um avião As linhas de escoamento se concentram acima da asa indicando um aumento na velocidade de escoamento e correspondente a uma pressão mais baixa nessa região como no caso do gargalo do medidor de Venturi no Exemplo 149 A força de baixo para cima na asa do avião é maior que a força de cima para baixo a força resultante de baixo para cima é chamada de força de sustentação A sustentação não é simplesmente devido ao impulso do ar que incide sobre a parte de baixo da asa na realidade verificase que a redução da pressão sobre a superfície superior da asa dá maior contribuição para a sustentação Esta discussão altamente simplificada despreza a formação de vórtices Também podemos entender a força de sustentação com base nas variações do momento linear O diagrama de vetor da Figura 1427a mostra que existe uma variação do momento linear vertical resultante de cima para baixo produzida pelo escoamento do ar que passa em torno da asa correspondendo à força de cima para baixo que a asa exerce sobre o ar A força de reação sobre a asa é orientada de baixo para cima conforme concluímos anteriormente EXERCÍCIOS 1442 BIO Entupimento da artéria Uma cardiologista está tentando determinar qual porcentagem da artéria de um paciente está bloqueada por uma placa Para fazer isso ela mede a pressão sanguínea imediatamente antes da região entupida e descobre que é 120 10⁴ Pa enquanto na região entupida é 115 10⁴ Pa Além disso ela sabe que o sangue que flui pela artéria normal imediatamente antes do ponto entupido está correndo a 300 cms e a densidade relativa do sangue do paciente é 106 Que porcentagem da seção reta da artéria do paciente está entupida pela placa 1446 Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é 30 ms e a pressão manométrica é igual a 500 10⁴ Pa Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto 110 m abaixo do primeiro sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro
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Equação de Bernoulli Referências Brunetti Franco Mecânica dos fluidos Pearson Educacion 2008 Young Hugh D Física II Sears e Zemansky termodinâmica e ondas Pearson Education 2015 Mecânica dos fluidos Objetivos da aula A diferença entre fluido laminar e fluido turbulento e como a velocidade do escoamento em um tubo depende do tamanho desse tubo Como usar a equação de Bernoulli em certos tipos de escoamento para relacionar a pressão à velocidade do escoamento em diferentes pontos Como o fluido viscoso e o turbulento diferem do ideal A partir de agora vamos estudar o movimento de um fluido O escoamento de um fluido pode ser extremamente complexo Entretanto algumas situações podem ser descritas mediante um modelo idealizado relativamente simples Um fluido ideal é Incompressível Sem nenhum atrito interno Mecânica dos fluídos A trajetória de uma partícula individual durante o escoamento de um fluido denominase linha de escoamento ou linha de fluxo Mecânica dos fluídos Quando a configuração global do escoamento de um fluido não varia com o tempo ele se chama escoamento estacionário ou escoamento permanente No escoamento estacionário todo elemento que passa por um dado ponto segue sempre a mesma linha de escoamento As linhas de escoamento que passam através de um elemento de área imaginário como a área A formam um tubo chamado tubo de escoamento ou tubo de fluxo Pela definição de linha de escoamento em um escoamento estacionário nenhuma parte do fluido pode atravessar as paredes laterais de um tubo de escoamento Mecânica dos fluídos Na figura abaixo vemos o escoamento de um fluido em torno de três tipos diferentes de obstáculos Mecânica dos fluídos Todas as configurações indicadas são tipicas do escoamento laminar no qual camadas adjacentes de fluido deslizam umas sobre as outras e o escoamento e estacionário Para taxas de escoamento suficientemente elevadas ou quando um obstaculo produz variações abruptas de velocidade o escoamento pode se tornar irregular e caótico Neste caso ele recebe o nome de escoamento turbulento Em um escoamento turbulento não pode existir nenhuma configuração com escoamento estacionário a configuração do escoamento varia continuamente com o tempo Equação da continuidade A massa de um fluido não varia durante seu escoamento Isso leva a uma relação importante chamada equação da continuidade O produto Av e a vazão volumétrica dVdt ou seja a taxa com a qual o volume do fluido atravessa a seção reta do tubo Mecânica dos fluídos Equação da continuidade Podemos generalizar a Equação da continuidade para o caso do escoamento de um fluido que não e incompressível Se ρ1 e ρ2 forem as densidades nas seções 1 e 2 então Se o fluido for mais denso no ponto 2 que no ponto 1 ρ2 ρ1 a vazão volumétrica no ponto 2 será menor que no ponto 1 A2v2 A1v1 A vazão mássica e a taxa de variação da massa por unidade de tempo através da seção reta do tubo Ela é dada pelo produto da densidade ρ pela vazão volumétrica dVdt Mecânica dos fluídos EXEMPLO 146 ESCOAMENTO DE UM FLUIDO INCOMPRIMÍVEL Um óleo incompressível de densidade igual a 850 kgm³ é bombeado através de um tubo cilíndrico a uma taxa de 95 litros por segundo a A primeira seção do tubo tem 80 cm de diâmetro Qual é a velocidade do óleo Qual é a vazão mássica b A segunda seção do tubo tem 40 cm de diâmetro Quais são os valores para a velocidade e vazão volumétrica nessa seção EXERCÍCIOS 1436 A água corre para dentro de uma fonte enchendo todos os tubos a uma taxa constante de 0750 m³s a Com que velocidade a água jorraria de um buraco de 450 cm de diâmetro b Com que velocidade ela jorraria se o diâmetro do buraco fosse três vezes maior 1439 A água escoa em um tubo cilíndrico cuja seção reta possui área variável Ela enche completamente o tubo em todos os pontos a Em um ponto o raio do tubo é igual a 0150 m Qual é a velocidade da água nesse ponto se a vazão volumétrica no tubo é igual a 120 m³s b Em um segundo ponto a velocidade da água é igual a 380 ms Qual é o raio do tubo nesse ponto Equação de Bernoulli De acordo com a equação da continuidade a velocidade do escoamento de um fluido pode variar com as trajetórias desse fluido A pressão também pode variar ela depende da altura e da velocidade do escoamento Podemos deduzir uma relação importante entre a pressão a velocidade e a altura no escoamento de um fluido ideal chamada de equação de Bernoulli Esta é uma ferramenta essencial para analisar escoamentos em muitos tipos de escoamento de fluidos Mecânica dos fluídos Equação de Bernoulli A equação de Bernoulli afirma que o trabalho realizado pelo fluido das vizinhanças sobre uma unidade de volume de fluido e igual a soma das variações das energias cinética e potencial ocorridas na unidade de volume durante o escoamento Também podemos interpretar em termos das pressões O segundo termo é a diferença de pressão adicional associada ao peso e produzida pela diferença de altura entre as duas extremidades e o terceiro termo é a diferença de pressão associada a variação da velocidade do fluido Mecânica dos fluídos Equação de Bernoulli Mecânica dos fluídos EXEMPLO 147 PRESSÃO DA ÁGUA EM UMA CASA A água entra em uma casa Figura 1424 através de um tubo com diâmetro interno de 20 cm com uma pressão absoluta igual a 40 10⁵ Pa cerca de 4 atm Um tubo com diâmetro interno de 10 cm a conduz ao banheiro do segundo andar a 50 m de altura Sabendo que no tubo de entrada a velocidade é igual a 15 ms ache a velocidade do escoamento a pressão e a vazão volumétrica no banheiro A Figura 1425 mostra um tanque de armazenamento de gasolina com uma seção reta de área A₁ cheio até uma altura h O espaço entre a gasolina e a parte superior do recipiente contém ar e está a uma pressão P₀ e a gasolina flui para fora através de um pequeno tubo de área A₂ Deduza expressões para a velocidade de escoamento no tubo e para a vazão volumétrica A Figura 1426 mostra um medidor de Venturi usado para medir a velocidade de escoamento em um tubo Deduza uma expressão para a velocidade de escoamento v₁ em termos das áreas das seções retas A₁ e A₂ e da diferença de altura h entre os níveis dos líquidos nos dois tubos verticais A Figura 1427a mostra as linhas de escoamento em torno da seção reta da asa de um avião As linhas de escoamento se concentram acima da asa indicando um aumento na velocidade de escoamento e correspondente a uma pressão mais baixa nessa região como no caso do gargalo do medidor de Venturi no Exemplo 149 A força de baixo para cima na asa do avião é maior que a força de cima para baixo a força resultante de baixo para cima é chamada de força de sustentação A sustentação não é simplesmente devido ao impulso do ar que incide sobre a parte de baixo da asa na realidade verificase que a redução da pressão sobre a superfície superior da asa dá maior contribuição para a sustentação Esta discussão altamente simplificada despreza a formação de vórtices Também podemos entender a força de sustentação com base nas variações do momento linear O diagrama de vetor da Figura 1427a mostra que existe uma variação do momento linear vertical resultante de cima para baixo produzida pelo escoamento do ar que passa em torno da asa correspondendo à força de cima para baixo que a asa exerce sobre o ar A força de reação sobre a asa é orientada de baixo para cima conforme concluímos anteriormente EXERCÍCIOS 1442 BIO Entupimento da artéria Uma cardiologista está tentando determinar qual porcentagem da artéria de um paciente está bloqueada por uma placa Para fazer isso ela mede a pressão sanguínea imediatamente antes da região entupida e descobre que é 120 10⁴ Pa enquanto na região entupida é 115 10⁴ Pa Além disso ela sabe que o sangue que flui pela artéria normal imediatamente antes do ponto entupido está correndo a 300 cms e a densidade relativa do sangue do paciente é 106 Que porcentagem da seção reta da artéria do paciente está entupida pela placa 1446 Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é 30 ms e a pressão manométrica é igual a 500 10⁴ Pa Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto 110 m abaixo do primeiro sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro