·
Matemática Aplicada ·
Álgebra Linear
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1017 Crescimento populacional por faixa etária Nesta seção utilizamos o modelo matricial Leslie para investigar o crescimento ao longo do tempo de uma população feminina que está dividida em faixas etárias Em seguida determinamos o limite da distribuição etária e da taxa de crescimento populacional PRÉREQUISITOS Autovetores e autovalores Diagonalização de uma matriz Compreensão intuitiva de limites Um dos modelos de crescimento populacional mais comumente usado pelos demógrafos é o assim chamado modelo Leslie desenvolvido na década de 1940 Esse modelo descreve o crescimento da parte fêmea de uma população animal ou humana Nesse modelo as fêmeas são divididas em faixas etárias de igual duração Para sermos específicos suponha que a idade máxima atingida por qualquer fêmea da população seja L anos ou alguma outra unidade de tempo Se dividirmos a população em n faixas etárias então cada faixa terá Ln anos de duração Numeramos as faixas etárias de acordo com a Tabela 1 Tabela 1 Faixa etária Intervalo de idade 1 0 Ln 2 Ln 2L n 3 2Ln 3L n n 1 n 2L n n 1L n n n 1L n L Vamos supor que seja conhecido o número de fêmeas em cada uma das n faixas no instante t 0 Em particular vamos supor que há x₁⁰ fêmeas na primeira faixa x₂⁰ fêmeas na segunda faixa e assim por diante Com esses n números formamos um vetor coluna x⁰ x₁⁰ x₂⁰ xₙ⁰ que denominamos vetor de distribuição etária inicial À medida que o tempo avança o número de fêmeas dentro de cada uma das n faixas muda em virtude de três processos biológicos nascimento morte e envelhecimento Descrevendo esses três processos quantitativamente veremos como projetar o futuro do vetor de distribuição etária inicial A maneira mais fácil de estudar o processo de envelhecimento é observar a população a intervalos discretos de tempo digamos t₀ t₁ t₂ tk O modelo Leslie requer que a duração entre dois tempos de observação sucessivos seja igual à duração da faixa etária Portanto colocamos t₀ 0 t₁ Ln t₂ 2Ln tk kLn Com essa hipótese todas as fêmeas na faixa etária i 1 no instante tk1 estavam na faixa i no instante tk Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observações sucessivas podem ser descritos por meio dos parâmetros demográficos seguintes ai i 1 2 n O número médio de filhas nascidas por fêmea durante o tempo em que ela está na faixa etária i bi i 1 2 n 1 A fração de fêmeas da faixa etária i que se espera que vá sobreviver e passar para a faixa etária i 1 Pelas definições temos que i ai 0 com i 1 2 n ii 0 bi 1 com i 1 2 n 1 Note que não permitimos que qualquer bi seja nulo pois nesse caso nenhuma fêmea sobreviveria a faixa etária i Também vamos supor que pelo menos um dos ai seja positivo de modo que há algum nascimento Qualquer faixa etária em que o valor correspondente de ai for positivo é denominada faixa etária fértil Em seguida definimos o vetor xᵏ de distribuição etária no instante tk por xᵏ x₁ᵏ x₂ᵏ xₙᵏ em que xiᵏ é o número de fêmeas na faixa etária i no instante tk Agora no instante tk as fêmeas na primeira faixa etária são exatamente as filhas nascidas entre os instantes tₖ₁ e tk Assim podemos escrever o número de fêmeas na faixa etária 1 no instante tk o número de filhas nascidas de fêmeas na faixa etária 1 entre os instantes tₖ₁ e tk o número de filhas nascidas de fêmeas na faixa etária 2 entre os instantes tₖ₁ e tk o número de filhas nascidas de fêmeas na faixa etária n entre os instantes tₖ₁ e tk ou matematicamente x₁ᵏ a₁ x₁ᵏ¹ a₂ x₂ᵏ¹ aₙ xₙᵏ¹ 1 As fêmeas na faixa etária i 1 i 1 2 n 1 no instante tk são aquelas fêmeas que estavam na faixa etária i no instante tₖ₁ e que ainda vivem no instante tk Assim o número de fêmeas na faixa etária i 1 no instante tk a fração de fêmeas da faixa etária i que sobrevive e passa para a faixa etária i 1 o número de fêmeas na faixa etária i no instante tₖ₁ ou matematicamente xᵢ₁ᵏ bᵢ xᵢᵏ¹ i 1 2 n 1 2 Usando notação matricial podemos escrever as Equações 1 e 2 como x₁ᵏ x₂ᵏ xₙᵏ a₁ a₂ a₃ aₙ₁ aₙ b₁ 0 0 0 0 0 b₂ 0 0 0 0 0 0 bₙ₁ 0 x₁ᵏ¹ x₂ᵏ¹ xₙᵏ¹ ᵀ ou mais compactamente como xk L xk1 k 1 2 3 onde L é a matriz de Leslie L a₁ a₂ a₃ aₙ₁ aₙ b₁ 0 0 0 0 0 b₂ 0 0 0 0 0 0 bₙ₁ 0 4 Pela Equação 3 obtemos x¹ Lx⁰ x² Lx¹ L²x⁰ x³ Lx² L³x⁰ xᵏ Lxᵏ¹ Lᵏx⁰ 5 Assim se conhecermos a distribuição etária inicial x⁰ e a matriz de Leslie L poderemos determinar a distribuição etária das fêmeas em qualquer tempo posterior EXEMPLO 1 Distribuição etária de fêmeas em animais Suponha que a idade máxima atingida pelas fêmeas de uma certa população animal seja de 15 anos e que a população seja dividida em três faixas etárias de mesma duração de cinco anos Suponha que a matriz de Leslie dessa população seja L 0 4 3 12 0 0 0 14 0 Se inicialmente havia 1000 fêmeas em cada uma das três faixas etárias então pela Equação 3 temos x0 1000 1000 1000 x1 Lx0 0 4 3 12 0 0 0 14 01000 1000 1000 7000 500 250 x2 Lx1 0 4 3 12 0 0 0 14 07000 500 250 2750 3500 125 x3 Lx2 0 4 3 12 0 0 0 14 02750 3500 125 14375 1375 875 Assim depois de 15 anos há 14375 fêmeas entre 0 e 5 anos 1375 fêmeas entre 5 e 10 anos e 875 fêmeas entre 10 e 15 anos Comportamento limite Embora a Equação 5 dê a distribuição etária da população em qualquer instante ela não dá automaticamente uma ideia geral da dinâmica do processo de crescimento Para ter isso precisamos investigar os autovalores e autovetores da matriz de Leslie Os autovalores de L são as raízes do polinômio característico No Exercício 2 pedimos para o leitor verificar que esse polinômio característico é pλ λI L λn a1 λn1 a2 b1 λn2 a3 b1 b2 λn3 an b1 b2 bn1 Para analisar as raízes desse polinômio é conveniente introduzir a função qλ a1λ a2 b1λ2 a3 b1 b2λ3 an b1 b2 bn1λn 6 Usando essa função a equação característica pλ 0 pode ser escrita verifique como qλ 1 com λ 0 7 Como todos os a e b são não negativos vemos que qλ é monotonamente decrescente com λ maior do que zero Além disso qλ tem uma assíntota vertical em λ 0 e tende a zero quando λ Consequentemente como indicamos na Figura 10171 existe um único λ digamos λ λ1 tal que qλ1 1 Ou seja a matriz L tem um único autovalor positivo Também pode ser mostrado Exercício 3 que λ1 tem multiplicidade 1 ou seja λ1 não é uma raiz repetida da equação característica Não daremos os detalhes computacionais mas o leitor pode verificar que um autovetor associado a λ1 é x1 1 b1λ1 b1 b2λ12 b1 b2 b3λ13 b1 b2 bn1λ1n1 8 Figura 10171 Como λ1 tem multiplicidade 1 o autoespaço correspondente tem dimensão 1 Exercício 3 e portanto qualquer autovetor associado a x1 é algum múltiplo de x1 Podemos resumir esses resultados no teorema seguinte TEOREMA 10171 Existência de autovalores positivos Uma matriz de Leslie L tem um único autovalor positivo λ1 Esse autovalor tem multiplicidade 1 e um autovetor associado x1 cujas entradas são todas positivas Agora mostramos que o comportamento a longo termo da distribuição etária da população é determinado pelo autovalor positivo λ1 e seu autovetor x1 No Exercício 9 pedimos para o leitor provar o resultado seguinte TEOREMA 10172 Autovalores de uma matriz de Leslie Se λ1 for o único autovalor positivo de uma matriz de Leslie L e λk for qualquer outro autovalor real ou complexo de L então λk λ1 Para os nossos propósitos a conclusão do Teorema 10172 não é suficientemente forte gostaríamos que valesse λk λ1 Nesse caso diríamos que λ1 é um autovalor dominante de L Contudo como mostramos no próximo exemplo nem todas as matrizes de Leslie satisfazem essa condição EXEMPLO 2 Uma matriz de Leslie sem autovalor dominante Seja L 0 0 6 12 0 0 0 13 0 Então o polinômio característico de L é pλ λI L λ3 1 Os autovalores de L são portanto as soluções de λ3 1 a saber λ 1 12 sqrt32 i 12 sqrt32 i Os três autovalores têm valor absoluto 1 de modo que o único autovalor positivo λ1 1 não é dominante Observe que essa matriz de Leslie tem a propriedade L3 I Isso significa que dada qualquer escolha da distribuição etária inicial x0 temos x0 x3 x6 x3k Isso significa que o vetor de distribuição etária oscila com um período de três unidades de tempo Tais oscilações denominadas ondas populacionais não podem ocorrer se λ1 for um autovalor dominante como veremos Está além do objetivo deste livro discutir condições necessárias e suficientes para λ1 ser um autovalor dominante No entanto enunciamos a condição suficiente que segue sem demonstração TEOREMA 10173 Autovalor dominante Se duas entradas sucessivas ai e ai1 da primeira linha de uma matriz de Leslie L forem não nulas então o autovalor positivo de L é dominante Assim se a população de fêmeas tem duas faixas etárias férteis sucessivas então a matriz de Leslie tem um autovalor dominante Isso sempre ocorre com populações de verdade se a faixa etária for tomada suficientemente pequena Note que no Exemplo 2 só há uma faixa etária fértil a terceira e portanto não vale a hipótese do Teorema 10173 No que segue vamos supor sempre que a condição do Teorema 10173 seja válida Vamos supor que L seja diagonalizável Isso não é realmente necessário para o que queremos mostrar mas simplifica a argumentação Nesse caso L tem n autovalores λ1 λ2 λn não necessariamente distintos e n autovetores associados linearmente independentes x1 x2 xn Nessa listagem o autovalor dominante λ1 aparece em primeiro lugar Agora construímos uma matriz P cujas colunas são os autovetores de L P x1 x2 x3 xn A diagonalização de L é então dada pela equação L P λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 0 λn P1 Daqui segue que Lk P λ1k 0 0 0 0 λ2k 0 0 0 0 0 λnk P1 com k 1 2 Dado qualquer vetor de distribuição etária inicial x0 temos então Lk x0 P λ1k 0 0 0 0 λ2k 0 0 0 0 0 λnk P1 x0 com k 1 2 Dividindo ambos os lados dessa equação por λ1k e lembrando que xk Lk x0 obtemos 1λ1k xk P 1 0 0 0 0 λ2λ1k 0 0 0 0 0 λnλ1k P1 x0 9 Como λ1 é o autovalor dominante temos λiλ1 1 com i 2 3 n Segue que λiλ1k 0 quando k com i 2 3 n Usando esse fato podemos tomar o limite de ambos os lados de 9 para obter lim k 1λ₁k xk P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P¹ x0 10 Denotamos a primeira entrada do vetor coluna P¹ x0 pela constante c No Exercício 4 pedimos para o leitor mostrar que o lado direito de 10 pode ser reescrito como cx₁ onde c é uma constante positiva que depende somente do vetor de distribuição etária inicial x0 Assim 10 fica lim k 1λ₁k xk cx₁ 11 A Equação 11 dá a aproximação xk cλ₁k x₁ 12 com valores grandes de k Por 12 também temos xk1 cλ₁k1 x₁ 13 Comparando as Equações 12 e 13 vemos que xk λ₁ xk1 14 com valores grandes de k Isso significa que com valores grandes do tempo cada vetor de distribuição etária é um múltiplo escalar do vetor de distribuição etária anterior o escalar sendo o autovalor positivo da matriz de Leslie Consequentemente a proporção de fêmeas em cada faixa etária tornase constante Como vemos no próximo exemplo essas proporções no limite podem ser determinadas a partir do autovetor x₁ EXEMPLO 3 De novo o Exemplo 1 A matriz de Leslie do Exemplo 1 era L 0 4 3 12 0 0 0 14 0 O polinômio característico é pλ λ³ 2λ 38 e o leitor pode verificar que o autovalor positivo é λ₁ 32 Por 8 o autovetor correspondente x₁ é x₁ 1 b₁λ₁ b₁ b₂ λ₁² 1 12 32 1 13 118 Por 14 temos xk 32 xk1 com valores grandes de k Logo a cada cinco anos o número de fêmeas em cada uma das três faixas cresce cerca de 50 assim como o número total de fêmeas da população Por 12 temos xk c 32 k 1 13 118 Consequentemente a longo termo as fêmeas estarão distribuídas entre as três faixas etárias na proporção 113118 Isso corresponde a uma distribuição de 72 das fêmeas na primeira faixa etária 24 das fêmeas na segunda faixa etária e 4 das fêmeas na terceira faixa etária EXEMPLO 4 Distribuição etária de fêmeas humanas Neste exemplo utilizamos os parâmetros de nascimento e morte do ano de 1965 das mulheres canadenses Como poucas mulheres com mais de 50 anos geram filhos vamos nos restringir à porção da população de mulheres entre os 0 e os 50 anos de idade Os dados são para faixas de cinco anos de modo que há 10 faixas etárias Em vez de escrever a matriz 10 x 10 de Leslie completa vamos enumerar os parâmetros como segue Intervalo de idade aᵢ bᵢ 0 5 000000 099651 5 10 000024 099820 10 15 005861 099802 15 20 028608 099729 20 25 044791 099694 25 30 036399 099621 30 35 022259 099460 35 40 010457 099184 40 45 002826 098700 45 50 000240 Usando técnicas numéricas podemos aproximar o autovalor positivo e o autovetor associado por λ₁ 107622 e x₁ 100000 092594 085881 079641 073800 068364 063281 058482 053897 049429 Assim se as mulheres canadenses continuarem a se reproduzir e morrer como o fizeram em 1965 a longo termo seu número irá aumentar 7622 a cada cinco anos No autovetor x₁ podemos observar que a longo termo para cada 100000 mulheres entre 0 e 5 anos de idade haverá 92594 mulheres entre os 5 e os 10 anos 85881 mulheres entre os 10 e os 15 anos e assim por diante Voltamos à Equação 12 que dá o vetor de distribuição etária da população para tempos grandes ou seja xk c λ₁k x₁ 15 De acordo com o valor do autovalor positivo λ₁ temos três casos i a população acaba aumentando se λ₁ 1 ii a população acaba diminuindo se λ₁ 1 iii a população acaba estabilizando se λ₁ 1 O caso λ₁ 1 é particularmente interessante pois determina uma população com crescimento populacional nulo Dada qualquer distribuição etária inicial a população tende a uma distribuição etária limite que é algum múltiplo do autovetor x₁ A partir das Equações 6 e 7 vemos que λ₁ 1 é um autovalor se e só se a₁ a₂ b₁ a₃ b₁ b₂ aₙ b₁ b₂ bₙ₁ 1 16 A expressão R a₁ a₂ b₁ a₃ b₁ b₂ aₙ b₁ b₂ bₙ₁ 17 é denominada taxa líquida de reprodução da população Ver o Exercício 5 para uma interpretação demográfica de R Assim podemos dizer que uma população tem crescimento populacional nulo se e só se sua taxa líquida de reprodução é 1 Conjunto de exercícios 1017 1 Suponha que uma certa população animal seja dividida em duas faixas etárias e tenha uma matriz de Leslie L 1 32 12 0 a Calcule o autovalor positivo λ₁ de L e o correspondente autovetor x₁ b Começando com o vetor de distribuição etária inicial x0 100 0 calcule x1 x2 x3 x4 e x5 arredondando ao inteiro mais próximo quando necessário c Calcule x6 usando a fórmula exata x6 L x5 e a fórmula aproximada x6 λ₁ x5 2 Encontre o polinômio característico de uma matriz de Leslie arbitrária dada pela Equação 4 3 a Mostre que o autovalor positivo λ₁ de uma matriz de Leslie é sempre simples Lembre que uma raiz λ₀ de um polinômio qλ é dita simples se e só se qλ₀ 0 b Mostre que o autoespaço correspondente a λ₁ tem dimensão 1 4 Mostre que o lado direito de 10 é cx₁ onde c é a primeira entrada do vetor coluna P¹ x0 5 Mostre que a taxa líquida de reprodução R definida por 17 pode ser interpretada como o número médio de filhas nascidas de uma única fêmea durante o seu período de vida 6 Mostre que a população acaba diminuindo se e só se a taxa líquida de reprodução é menor do que 1 Analogamente mostre que a população acaba aumentando se e só se a taxa líquida de reprodução é maior do que 1 7 Calcule a taxa líquida de reprodução da população animal do Exemplo 1 8 Requer calculadora Calcule a taxa líquida de reprodução das mulheres canadenses do Exemplo 4 9 Requer as Seções 101103 Prove o Teorema 10172 Sugestão escreva λk r eiθ substitua em 7 tome a parte real de ambos os lados e mostre que r λ₁ Seção 1017 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear Em cada exercício você deverá ler a documentação pertinente do recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios você estará capacitado a usar seu recurso computacional para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares T1 Considere a sequência de matrizes de Leslie L2 0 a b1 0 L3 0 0 a b1 0 0 0 b2 0 L4 0 0 0 a b1 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 b3 0 L5 0 0 0 0 a b1 0 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 b4 0 a Use um computador para mostrar que L22 I2 L33 I3 L44 I4 L55 I5 com uma escolha conveniente de a em termos de b1 b2 bn1 b A partir de suas respostas na parte a conjecture uma relação entre a e b1 b2 bn1 que garanta Lnn In onde Ln 0 0 0 0 a b1 0 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 bn1 0 c Determine uma expressão para pnλ λIn Ln e usea para mostrar que todos os autovalores de Ln satisfazem λ 1 se a e b1 b2 bn1 forem relacionados pela equação determinada na parte b T2 Considere a sequência de matrizes de Leslie L2 a ap b 0 L3 a ap ap2 b 0 0 0 b 0 L4 a ap ap2 ap3 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 0 L5 a ap ap2 ap3 ap4 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 Ln a ap ap2 apn2 apn1 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 com 0 p 1 0 b 1 e 1 a a Escolha um valor de n digamos n 8 Tomando vários valores de a b e p use um computador para determinar o autovalor dominante de Ln e em seguida compare seus resultados com o valor de a bp b Mostre que pnλ λIn Ln λn a λn bpn λ bp o que significa que os autovalores de Ln devem satisfazer λn1 a bpλn abpn 0 c Você consegue dar um esboço de uma prova que explique por que λ1 a bp T3 Suponha que uma população de camundongos tenha uma matriz de Leslie L num período de 1 mês e com um vetor de distribuição etária x0 dados por L 0 0 12 45 310 0 45 0 0 0 0 0 0 910 0 0 0 0 0 0 910 0 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 0 0 310 0 e x0 50 40 30 20 10 5 a Calcule a taxa líquida de reprodução da população b Calcule o vetor de distribuição etária depois de 100 e 101 meses e mostre que o vetor depois de 101 meses é aproximadamente um múltiplo escalar do vetor depois de 100 meses c Calcule o autovalor dominante de L e seu autovetor associado Como esses valores se relacionam com os valores encontrados na parte b d Suponha que queiramos controlar a população de camundongos administrando uma substância que reduza por uma fração constante as taxas de nascimentos por faixa etária as entradas na primeira linha de L Qual é o intervalo dessas frações que acaba causando um decrescimento da população
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1017 Crescimento populacional por faixa etária Nesta seção utilizamos o modelo matricial Leslie para investigar o crescimento ao longo do tempo de uma população feminina que está dividida em faixas etárias Em seguida determinamos o limite da distribuição etária e da taxa de crescimento populacional PRÉREQUISITOS Autovetores e autovalores Diagonalização de uma matriz Compreensão intuitiva de limites Um dos modelos de crescimento populacional mais comumente usado pelos demógrafos é o assim chamado modelo Leslie desenvolvido na década de 1940 Esse modelo descreve o crescimento da parte fêmea de uma população animal ou humana Nesse modelo as fêmeas são divididas em faixas etárias de igual duração Para sermos específicos suponha que a idade máxima atingida por qualquer fêmea da população seja L anos ou alguma outra unidade de tempo Se dividirmos a população em n faixas etárias então cada faixa terá Ln anos de duração Numeramos as faixas etárias de acordo com a Tabela 1 Tabela 1 Faixa etária Intervalo de idade 1 0 Ln 2 Ln 2L n 3 2Ln 3L n n 1 n 2L n n 1L n n n 1L n L Vamos supor que seja conhecido o número de fêmeas em cada uma das n faixas no instante t 0 Em particular vamos supor que há x₁⁰ fêmeas na primeira faixa x₂⁰ fêmeas na segunda faixa e assim por diante Com esses n números formamos um vetor coluna x⁰ x₁⁰ x₂⁰ xₙ⁰ que denominamos vetor de distribuição etária inicial À medida que o tempo avança o número de fêmeas dentro de cada uma das n faixas muda em virtude de três processos biológicos nascimento morte e envelhecimento Descrevendo esses três processos quantitativamente veremos como projetar o futuro do vetor de distribuição etária inicial A maneira mais fácil de estudar o processo de envelhecimento é observar a população a intervalos discretos de tempo digamos t₀ t₁ t₂ tk O modelo Leslie requer que a duração entre dois tempos de observação sucessivos seja igual à duração da faixa etária Portanto colocamos t₀ 0 t₁ Ln t₂ 2Ln tk kLn Com essa hipótese todas as fêmeas na faixa etária i 1 no instante tk1 estavam na faixa i no instante tk Os processos de nascimento e morte entre dois tempos de observações sucessivas podem ser descritos por meio dos parâmetros demográficos seguintes ai i 1 2 n O número médio de filhas nascidas por fêmea durante o tempo em que ela está na faixa etária i bi i 1 2 n 1 A fração de fêmeas da faixa etária i que se espera que vá sobreviver e passar para a faixa etária i 1 Pelas definições temos que i ai 0 com i 1 2 n ii 0 bi 1 com i 1 2 n 1 Note que não permitimos que qualquer bi seja nulo pois nesse caso nenhuma fêmea sobreviveria a faixa etária i Também vamos supor que pelo menos um dos ai seja positivo de modo que há algum nascimento Qualquer faixa etária em que o valor correspondente de ai for positivo é denominada faixa etária fértil Em seguida definimos o vetor xᵏ de distribuição etária no instante tk por xᵏ x₁ᵏ x₂ᵏ xₙᵏ em que xiᵏ é o número de fêmeas na faixa etária i no instante tk Agora no instante tk as fêmeas na primeira faixa etária são exatamente as filhas nascidas entre os instantes tₖ₁ e tk Assim podemos escrever o número de fêmeas na faixa etária 1 no instante tk o número de filhas nascidas de fêmeas na faixa etária 1 entre os instantes tₖ₁ e tk o número de filhas nascidas de fêmeas na faixa etária 2 entre os instantes tₖ₁ e tk o número de filhas nascidas de fêmeas na faixa etária n entre os instantes tₖ₁ e tk ou matematicamente x₁ᵏ a₁ x₁ᵏ¹ a₂ x₂ᵏ¹ aₙ xₙᵏ¹ 1 As fêmeas na faixa etária i 1 i 1 2 n 1 no instante tk são aquelas fêmeas que estavam na faixa etária i no instante tₖ₁ e que ainda vivem no instante tk Assim o número de fêmeas na faixa etária i 1 no instante tk a fração de fêmeas da faixa etária i que sobrevive e passa para a faixa etária i 1 o número de fêmeas na faixa etária i no instante tₖ₁ ou matematicamente xᵢ₁ᵏ bᵢ xᵢᵏ¹ i 1 2 n 1 2 Usando notação matricial podemos escrever as Equações 1 e 2 como x₁ᵏ x₂ᵏ xₙᵏ a₁ a₂ a₃ aₙ₁ aₙ b₁ 0 0 0 0 0 b₂ 0 0 0 0 0 0 bₙ₁ 0 x₁ᵏ¹ x₂ᵏ¹ xₙᵏ¹ ᵀ ou mais compactamente como xk L xk1 k 1 2 3 onde L é a matriz de Leslie L a₁ a₂ a₃ aₙ₁ aₙ b₁ 0 0 0 0 0 b₂ 0 0 0 0 0 0 bₙ₁ 0 4 Pela Equação 3 obtemos x¹ Lx⁰ x² Lx¹ L²x⁰ x³ Lx² L³x⁰ xᵏ Lxᵏ¹ Lᵏx⁰ 5 Assim se conhecermos a distribuição etária inicial x⁰ e a matriz de Leslie L poderemos determinar a distribuição etária das fêmeas em qualquer tempo posterior EXEMPLO 1 Distribuição etária de fêmeas em animais Suponha que a idade máxima atingida pelas fêmeas de uma certa população animal seja de 15 anos e que a população seja dividida em três faixas etárias de mesma duração de cinco anos Suponha que a matriz de Leslie dessa população seja L 0 4 3 12 0 0 0 14 0 Se inicialmente havia 1000 fêmeas em cada uma das três faixas etárias então pela Equação 3 temos x0 1000 1000 1000 x1 Lx0 0 4 3 12 0 0 0 14 01000 1000 1000 7000 500 250 x2 Lx1 0 4 3 12 0 0 0 14 07000 500 250 2750 3500 125 x3 Lx2 0 4 3 12 0 0 0 14 02750 3500 125 14375 1375 875 Assim depois de 15 anos há 14375 fêmeas entre 0 e 5 anos 1375 fêmeas entre 5 e 10 anos e 875 fêmeas entre 10 e 15 anos Comportamento limite Embora a Equação 5 dê a distribuição etária da população em qualquer instante ela não dá automaticamente uma ideia geral da dinâmica do processo de crescimento Para ter isso precisamos investigar os autovalores e autovetores da matriz de Leslie Os autovalores de L são as raízes do polinômio característico No Exercício 2 pedimos para o leitor verificar que esse polinômio característico é pλ λI L λn a1 λn1 a2 b1 λn2 a3 b1 b2 λn3 an b1 b2 bn1 Para analisar as raízes desse polinômio é conveniente introduzir a função qλ a1λ a2 b1λ2 a3 b1 b2λ3 an b1 b2 bn1λn 6 Usando essa função a equação característica pλ 0 pode ser escrita verifique como qλ 1 com λ 0 7 Como todos os a e b são não negativos vemos que qλ é monotonamente decrescente com λ maior do que zero Além disso qλ tem uma assíntota vertical em λ 0 e tende a zero quando λ Consequentemente como indicamos na Figura 10171 existe um único λ digamos λ λ1 tal que qλ1 1 Ou seja a matriz L tem um único autovalor positivo Também pode ser mostrado Exercício 3 que λ1 tem multiplicidade 1 ou seja λ1 não é uma raiz repetida da equação característica Não daremos os detalhes computacionais mas o leitor pode verificar que um autovetor associado a λ1 é x1 1 b1λ1 b1 b2λ12 b1 b2 b3λ13 b1 b2 bn1λ1n1 8 Figura 10171 Como λ1 tem multiplicidade 1 o autoespaço correspondente tem dimensão 1 Exercício 3 e portanto qualquer autovetor associado a x1 é algum múltiplo de x1 Podemos resumir esses resultados no teorema seguinte TEOREMA 10171 Existência de autovalores positivos Uma matriz de Leslie L tem um único autovalor positivo λ1 Esse autovalor tem multiplicidade 1 e um autovetor associado x1 cujas entradas são todas positivas Agora mostramos que o comportamento a longo termo da distribuição etária da população é determinado pelo autovalor positivo λ1 e seu autovetor x1 No Exercício 9 pedimos para o leitor provar o resultado seguinte TEOREMA 10172 Autovalores de uma matriz de Leslie Se λ1 for o único autovalor positivo de uma matriz de Leslie L e λk for qualquer outro autovalor real ou complexo de L então λk λ1 Para os nossos propósitos a conclusão do Teorema 10172 não é suficientemente forte gostaríamos que valesse λk λ1 Nesse caso diríamos que λ1 é um autovalor dominante de L Contudo como mostramos no próximo exemplo nem todas as matrizes de Leslie satisfazem essa condição EXEMPLO 2 Uma matriz de Leslie sem autovalor dominante Seja L 0 0 6 12 0 0 0 13 0 Então o polinômio característico de L é pλ λI L λ3 1 Os autovalores de L são portanto as soluções de λ3 1 a saber λ 1 12 sqrt32 i 12 sqrt32 i Os três autovalores têm valor absoluto 1 de modo que o único autovalor positivo λ1 1 não é dominante Observe que essa matriz de Leslie tem a propriedade L3 I Isso significa que dada qualquer escolha da distribuição etária inicial x0 temos x0 x3 x6 x3k Isso significa que o vetor de distribuição etária oscila com um período de três unidades de tempo Tais oscilações denominadas ondas populacionais não podem ocorrer se λ1 for um autovalor dominante como veremos Está além do objetivo deste livro discutir condições necessárias e suficientes para λ1 ser um autovalor dominante No entanto enunciamos a condição suficiente que segue sem demonstração TEOREMA 10173 Autovalor dominante Se duas entradas sucessivas ai e ai1 da primeira linha de uma matriz de Leslie L forem não nulas então o autovalor positivo de L é dominante Assim se a população de fêmeas tem duas faixas etárias férteis sucessivas então a matriz de Leslie tem um autovalor dominante Isso sempre ocorre com populações de verdade se a faixa etária for tomada suficientemente pequena Note que no Exemplo 2 só há uma faixa etária fértil a terceira e portanto não vale a hipótese do Teorema 10173 No que segue vamos supor sempre que a condição do Teorema 10173 seja válida Vamos supor que L seja diagonalizável Isso não é realmente necessário para o que queremos mostrar mas simplifica a argumentação Nesse caso L tem n autovalores λ1 λ2 λn não necessariamente distintos e n autovetores associados linearmente independentes x1 x2 xn Nessa listagem o autovalor dominante λ1 aparece em primeiro lugar Agora construímos uma matriz P cujas colunas são os autovetores de L P x1 x2 x3 xn A diagonalização de L é então dada pela equação L P λ1 0 0 0 0 λ2 0 0 0 0 0 λn P1 Daqui segue que Lk P λ1k 0 0 0 0 λ2k 0 0 0 0 0 λnk P1 com k 1 2 Dado qualquer vetor de distribuição etária inicial x0 temos então Lk x0 P λ1k 0 0 0 0 λ2k 0 0 0 0 0 λnk P1 x0 com k 1 2 Dividindo ambos os lados dessa equação por λ1k e lembrando que xk Lk x0 obtemos 1λ1k xk P 1 0 0 0 0 λ2λ1k 0 0 0 0 0 λnλ1k P1 x0 9 Como λ1 é o autovalor dominante temos λiλ1 1 com i 2 3 n Segue que λiλ1k 0 quando k com i 2 3 n Usando esse fato podemos tomar o limite de ambos os lados de 9 para obter lim k 1λ₁k xk P 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P¹ x0 10 Denotamos a primeira entrada do vetor coluna P¹ x0 pela constante c No Exercício 4 pedimos para o leitor mostrar que o lado direito de 10 pode ser reescrito como cx₁ onde c é uma constante positiva que depende somente do vetor de distribuição etária inicial x0 Assim 10 fica lim k 1λ₁k xk cx₁ 11 A Equação 11 dá a aproximação xk cλ₁k x₁ 12 com valores grandes de k Por 12 também temos xk1 cλ₁k1 x₁ 13 Comparando as Equações 12 e 13 vemos que xk λ₁ xk1 14 com valores grandes de k Isso significa que com valores grandes do tempo cada vetor de distribuição etária é um múltiplo escalar do vetor de distribuição etária anterior o escalar sendo o autovalor positivo da matriz de Leslie Consequentemente a proporção de fêmeas em cada faixa etária tornase constante Como vemos no próximo exemplo essas proporções no limite podem ser determinadas a partir do autovetor x₁ EXEMPLO 3 De novo o Exemplo 1 A matriz de Leslie do Exemplo 1 era L 0 4 3 12 0 0 0 14 0 O polinômio característico é pλ λ³ 2λ 38 e o leitor pode verificar que o autovalor positivo é λ₁ 32 Por 8 o autovetor correspondente x₁ é x₁ 1 b₁λ₁ b₁ b₂ λ₁² 1 12 32 1 13 118 Por 14 temos xk 32 xk1 com valores grandes de k Logo a cada cinco anos o número de fêmeas em cada uma das três faixas cresce cerca de 50 assim como o número total de fêmeas da população Por 12 temos xk c 32 k 1 13 118 Consequentemente a longo termo as fêmeas estarão distribuídas entre as três faixas etárias na proporção 113118 Isso corresponde a uma distribuição de 72 das fêmeas na primeira faixa etária 24 das fêmeas na segunda faixa etária e 4 das fêmeas na terceira faixa etária EXEMPLO 4 Distribuição etária de fêmeas humanas Neste exemplo utilizamos os parâmetros de nascimento e morte do ano de 1965 das mulheres canadenses Como poucas mulheres com mais de 50 anos geram filhos vamos nos restringir à porção da população de mulheres entre os 0 e os 50 anos de idade Os dados são para faixas de cinco anos de modo que há 10 faixas etárias Em vez de escrever a matriz 10 x 10 de Leslie completa vamos enumerar os parâmetros como segue Intervalo de idade aᵢ bᵢ 0 5 000000 099651 5 10 000024 099820 10 15 005861 099802 15 20 028608 099729 20 25 044791 099694 25 30 036399 099621 30 35 022259 099460 35 40 010457 099184 40 45 002826 098700 45 50 000240 Usando técnicas numéricas podemos aproximar o autovalor positivo e o autovetor associado por λ₁ 107622 e x₁ 100000 092594 085881 079641 073800 068364 063281 058482 053897 049429 Assim se as mulheres canadenses continuarem a se reproduzir e morrer como o fizeram em 1965 a longo termo seu número irá aumentar 7622 a cada cinco anos No autovetor x₁ podemos observar que a longo termo para cada 100000 mulheres entre 0 e 5 anos de idade haverá 92594 mulheres entre os 5 e os 10 anos 85881 mulheres entre os 10 e os 15 anos e assim por diante Voltamos à Equação 12 que dá o vetor de distribuição etária da população para tempos grandes ou seja xk c λ₁k x₁ 15 De acordo com o valor do autovalor positivo λ₁ temos três casos i a população acaba aumentando se λ₁ 1 ii a população acaba diminuindo se λ₁ 1 iii a população acaba estabilizando se λ₁ 1 O caso λ₁ 1 é particularmente interessante pois determina uma população com crescimento populacional nulo Dada qualquer distribuição etária inicial a população tende a uma distribuição etária limite que é algum múltiplo do autovetor x₁ A partir das Equações 6 e 7 vemos que λ₁ 1 é um autovalor se e só se a₁ a₂ b₁ a₃ b₁ b₂ aₙ b₁ b₂ bₙ₁ 1 16 A expressão R a₁ a₂ b₁ a₃ b₁ b₂ aₙ b₁ b₂ bₙ₁ 17 é denominada taxa líquida de reprodução da população Ver o Exercício 5 para uma interpretação demográfica de R Assim podemos dizer que uma população tem crescimento populacional nulo se e só se sua taxa líquida de reprodução é 1 Conjunto de exercícios 1017 1 Suponha que uma certa população animal seja dividida em duas faixas etárias e tenha uma matriz de Leslie L 1 32 12 0 a Calcule o autovalor positivo λ₁ de L e o correspondente autovetor x₁ b Começando com o vetor de distribuição etária inicial x0 100 0 calcule x1 x2 x3 x4 e x5 arredondando ao inteiro mais próximo quando necessário c Calcule x6 usando a fórmula exata x6 L x5 e a fórmula aproximada x6 λ₁ x5 2 Encontre o polinômio característico de uma matriz de Leslie arbitrária dada pela Equação 4 3 a Mostre que o autovalor positivo λ₁ de uma matriz de Leslie é sempre simples Lembre que uma raiz λ₀ de um polinômio qλ é dita simples se e só se qλ₀ 0 b Mostre que o autoespaço correspondente a λ₁ tem dimensão 1 4 Mostre que o lado direito de 10 é cx₁ onde c é a primeira entrada do vetor coluna P¹ x0 5 Mostre que a taxa líquida de reprodução R definida por 17 pode ser interpretada como o número médio de filhas nascidas de uma única fêmea durante o seu período de vida 6 Mostre que a população acaba diminuindo se e só se a taxa líquida de reprodução é menor do que 1 Analogamente mostre que a população acaba aumentando se e só se a taxa líquida de reprodução é maior do que 1 7 Calcule a taxa líquida de reprodução da população animal do Exemplo 1 8 Requer calculadora Calcule a taxa líquida de reprodução das mulheres canadenses do Exemplo 4 9 Requer as Seções 101103 Prove o Teorema 10172 Sugestão escreva λk r eiθ substitua em 7 tome a parte real de ambos os lados e mostre que r λ₁ Seção 1017 Exercícios com tecnologia Os exercícios seguintes foram elaborados para serem resolvidos utilizando um recurso computacional Em geral esse recurso é MATLAB Mathematica Maple Derive ou Mathcad mas também pode ser algum outro tipo de software de Álgebra Linear ou uma calculadora científica com funcionalidades de Álgebra Linear Em cada exercício você deverá ler a documentação pertinente do recurso particular que estiver utilizando O objetivo destes exercícios é fornecer uma competência básica na utilização do seu recurso computacional Uma vez dominadas as técnicas nestes exercícios você estará capacitado a usar seu recurso computacional para resolver muitos dos problemas nos conjuntos de exercícios regulares T1 Considere a sequência de matrizes de Leslie L2 0 a b1 0 L3 0 0 a b1 0 0 0 b2 0 L4 0 0 0 a b1 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 b3 0 L5 0 0 0 0 a b1 0 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 b4 0 a Use um computador para mostrar que L22 I2 L33 I3 L44 I4 L55 I5 com uma escolha conveniente de a em termos de b1 b2 bn1 b A partir de suas respostas na parte a conjecture uma relação entre a e b1 b2 bn1 que garanta Lnn In onde Ln 0 0 0 0 a b1 0 0 0 0 0 b2 0 0 0 0 0 b3 0 0 0 0 0 bn1 0 c Determine uma expressão para pnλ λIn Ln e usea para mostrar que todos os autovalores de Ln satisfazem λ 1 se a e b1 b2 bn1 forem relacionados pela equação determinada na parte b T2 Considere a sequência de matrizes de Leslie L2 a ap b 0 L3 a ap ap2 b 0 0 0 b 0 L4 a ap ap2 ap3 b 0 0 0 0 b 0 0 0 0 b 0 L5 a ap ap2 ap3 ap4 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 Ln a ap ap2 apn2 apn1 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 0 0 0 0 b 0 com 0 p 1 0 b 1 e 1 a a Escolha um valor de n digamos n 8 Tomando vários valores de a b e p use um computador para determinar o autovalor dominante de Ln e em seguida compare seus resultados com o valor de a bp b Mostre que pnλ λIn Ln λn a λn bpn λ bp o que significa que os autovalores de Ln devem satisfazer λn1 a bpλn abpn 0 c Você consegue dar um esboço de uma prova que explique por que λ1 a bp T3 Suponha que uma população de camundongos tenha uma matriz de Leslie L num período de 1 mês e com um vetor de distribuição etária x0 dados por L 0 0 12 45 310 0 45 0 0 0 0 0 0 910 0 0 0 0 0 0 910 0 0 0 0 0 0 45 0 0 0 0 0 0 310 0 e x0 50 40 30 20 10 5 a Calcule a taxa líquida de reprodução da população b Calcule o vetor de distribuição etária depois de 100 e 101 meses e mostre que o vetor depois de 101 meses é aproximadamente um múltiplo escalar do vetor depois de 100 meses c Calcule o autovalor dominante de L e seu autovetor associado Como esses valores se relacionam com os valores encontrados na parte b d Suponha que queiramos controlar a população de camundongos administrando uma substância que reduza por uma fração constante as taxas de nascimentos por faixa etária as entradas na primeira linha de L Qual é o intervalo dessas frações que acaba causando um decrescimento da população