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Matemática ·
Análise Real
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UNCISAL UAB MATEMATICA ANALISE REAL 20231 ATIVIDADE 3 N UMEROS REAIS E LIMITE DE SEQUˆENCIAS 12042023 1 Usando a definicao de limite de uma sequˆencia verifique que lim n n n 3 1 2 Enuncie o Teorema de BolzanoWeierstrass e dˆe um exemplo 3 Considere as sequˆencias xn n 1 e yn n Faca o que se pede a lim n xn b lim n yn c lim nxn yn Sugestao Para letra c use a racionalizacao de radicais 4 Dada a sequˆencia xn lnn n Avalie o valor do limite a seguir lim n lnn n Sugestao Se lim x fx L e fn xn para n N entao lim n xn L 5 Considere a sequˆencia definida por x1 1 e xn1 3 1 xn Verifique que a sequˆencia xn e crescente e xn 3 e encontre o limite se existir Boa Atividade 1 Queremos encontrar n₀ N tal que ε 0 xₙ 1 ε n n₀ Temos nn3 1 n n 3n3 3n 3 Então 3n3 ε 131n31 ε 1n31 ε3 2 Teorema de Bolzano Weierstrass Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente Exemplo A sequência 2 0 2 0 com nésimo termo xₙ 1 1ⁿ¹ é limitada Possui duas subsequências constantes que são convergentes x₂ₙ₁ 2 e x₂ₙ 0 Tomando n₀ ε3 temos n n₀ nn3 1 3n3 3 1n3 3 ε3 ε 3a lim n1 lim 1 1n n n 1 0 1 1 b lim n lim n n n lim 1 n 1 1 c Temos n1 n n1 nn n1 n n1 1 n n1 Logo lim n1 n lim 1 n n1 n n lim 1 n n 0 d Temos n N ln n n Sabemos que ln n 12 ln n n too dividindo por n ln n 2n 0 ln n n 2 n Logo lim 0 lim ln n n lim 2 n n n n 0 lim ln n n 0 n Portanto lim ln n n 0 n 5 Temos que 1xn xn Logo xn1 3 1xn 3 xn xn1 xn xn xn1 Portanto a sequência é crescente Além disso xn1 3 1xn xn 1xn1 3 xn xn1 3 xn 3 Agora observe que x1 1 Logo a sequência é limitada inferiormente por 1 e como xn 3 n Então a sequência é limitada superiormente por 3 Logo a sequência é uma sequência monótona pois xn xn1 limitada Como toda sequência monótona limitada é convergente a sequência dada é convergente e seu limite é 3
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UNCISAL UAB MATEMATICA ANALISE REAL 20231 ATIVIDADE 3 N UMEROS REAIS E LIMITE DE SEQUˆENCIAS 12042023 1 Usando a definicao de limite de uma sequˆencia verifique que lim n n n 3 1 2 Enuncie o Teorema de BolzanoWeierstrass e dˆe um exemplo 3 Considere as sequˆencias xn n 1 e yn n Faca o que se pede a lim n xn b lim n yn c lim nxn yn Sugestao Para letra c use a racionalizacao de radicais 4 Dada a sequˆencia xn lnn n Avalie o valor do limite a seguir lim n lnn n Sugestao Se lim x fx L e fn xn para n N entao lim n xn L 5 Considere a sequˆencia definida por x1 1 e xn1 3 1 xn Verifique que a sequˆencia xn e crescente e xn 3 e encontre o limite se existir Boa Atividade 1 Queremos encontrar n₀ N tal que ε 0 xₙ 1 ε n n₀ Temos nn3 1 n n 3n3 3n 3 Então 3n3 ε 131n31 ε 1n31 ε3 2 Teorema de Bolzano Weierstrass Toda sequência limitada de números reais possui uma subsequência convergente Exemplo A sequência 2 0 2 0 com nésimo termo xₙ 1 1ⁿ¹ é limitada Possui duas subsequências constantes que são convergentes x₂ₙ₁ 2 e x₂ₙ 0 Tomando n₀ ε3 temos n n₀ nn3 1 3n3 3 1n3 3 ε3 ε 3a lim n1 lim 1 1n n n 1 0 1 1 b lim n lim n n n lim 1 n 1 1 c Temos n1 n n1 nn n1 n n1 1 n n1 Logo lim n1 n lim 1 n n1 n n lim 1 n n 0 d Temos n N ln n n Sabemos que ln n 12 ln n n too dividindo por n ln n 2n 0 ln n n 2 n Logo lim 0 lim ln n n lim 2 n n n n 0 lim ln n n 0 n Portanto lim ln n n 0 n 5 Temos que 1xn xn Logo xn1 3 1xn 3 xn xn1 xn xn xn1 Portanto a sequência é crescente Além disso xn1 3 1xn xn 1xn1 3 xn xn1 3 xn 3 Agora observe que x1 1 Logo a sequência é limitada inferiormente por 1 e como xn 3 n Então a sequência é limitada superiormente por 3 Logo a sequência é uma sequência monótona pois xn xn1 limitada Como toda sequência monótona limitada é convergente a sequência dada é convergente e seu limite é 3