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Matemática ·
Lógica Matemática
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4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 A D 12 B C 14 B F H 14 D E I 12 E F 5 B H 12 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 B CF E C F 3 E C D F 2 A E C F 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 4B A 3F G C A 3B D C G Atividade 3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 A B C D 1 2 3 4 AB 6 B C 6 C D 3 BC 6 D 1 A 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 A B C D E 1 2 3 4 5 A C D 6 A E 8 C E 7 LISTA 1 A 1 B 2 C 3 D 4 AB 6 B C 6 C D 3 BC 6 D 1 A RESOLUÇÃO Vamos marcar com o valor correto e com os que não são valores possíveis Vamos analisar as informações uma a uma A primeira diz que AB 6 Veja que independente do valor deles é impossível que assumam valor 1 visto que uma vez qualquer das opções não resulta em 6 ou mais A 1 B 2 C 3 D 4 Pela segunda informação temos B C 6 Olhando a tabela temos que B não pode ser menor que 2 então C não pode ser 4 visto que a soma mínima seria 6 1 A 1 B 2 C 3 D 4 Pela terceira informação temos C D 3 Nesse momento não podemos concluir nada com essa informação então vamos para a próxima BC 6 Nesse momento também não podemos concluir nada com essa informação então vamos para a próxima D 1 A Como A pode ser 2 3 ou 4 no momento D pode ser apenas 2 3 ou 4 A 1 B 2 C 3 D 4 Nesse momento a única variável que pode ser 1 é C o que a impede se ser igual aos outros valores A 1 B 2 C 3 D 4 Da terceira equação C D 3 1 D 3 D 2 Vamos marcar na tabela 2 A 1 B 2 C 3 D 4 Veja pela tabela que A ou B tem necessariamente que ser 2 mas pela primeira informação que temos AB 6 de forma que se um deles é 2 o outro tem necessariamente que ser 4 A 1 B 2 C 3 D 4 Dessa forma apenas D pode ser 3 A 1 B 2 C 3 D 4 Vamos ver que informações temos que envolvem A ou B Veja a última D 1 A 3 1 A A 4 Então 3 A 1 B 2 C 3 D 4 Logo concluímos que A 2 B 4 C 1 D 3 4 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A C D 6 A E 8 C E 7 RESOLUÇÃO Da primeira equação temos que a soma de 3 números naturais resulta em 6 mas veja 1 2 3 6 logo A C e D não podem ser superiores a 3 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Da segunda temos que A E 8 Como A 1 2 3 então E 8 A 5 6 7 E 5 A 3 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Para o valor 4 restou apenas a variável B A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Da última equação temos C E 7 C 5 7 C 2 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Automaticamente temos o valor de D 6 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Logo concluímos que A 3 B 4 C 2 D 1 E 5 7 3 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 B CF E C F 3 E C D F 2 A E C F RESOLUÇÃO De forma análoga ao exercício anterior veja a segunda equação C F 3 mas somando os dois primeiros números naturais temos 1 2 3 então C e F só podem ser 1 e 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 F pode ser apenas 1 ou 2 o que da equação quarta equação temos F 2 A F 1 2 A 3 4 Adicionando essa informação na tabela temos 8 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Das equações 2 e 3 temos C F 3 E C F E 3 Preenchendo na tabela temos A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Agora A pode assumir apenas o valor 4 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 9 Já definimos A e E Vamos procurar equações que os relacionem com outras variáveis Veja a equação 4 F 2 A F 2 4 F 2 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Para C nos resta apenas 1 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Nos falta B e D Pela primeira equação podemos determinar B B CF E 1 2 3 5 Então 10 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Agora temos D A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Logo concluímos que A 4 B 5 C 1 D 6 E 3 F 2 11 4 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 4B A 3F G C A 3B D C G RESOLUÇÃO Esse exercício tem muitas equações que envolvem divisibilidade Da primeira sabemos que A é múltiplo de 4 mas o único múltiplo de 4 é o próprio 4 então já temos o valor de A A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Ainda da equação 1 4B A 4B 4 B 1 Então 12 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Da segunda equação temos algo análogo Nesse caso G deve ser múltiplo de 3 podendo ser 3 ou 6 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 E consequentemente F só pode ser 1 ou 2 mas já sabemos que não é 1 então só pode ser 2 13 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 E a partir da mesma equação temos que G é 6 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Da equação 4 3B D D 3 1 3 Então 14 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Da última inequação C G C 6 C 7 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Finalmente temos E 15 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Logo concluímos que A 4 B 1 C 7 D 3 E 5 F 2 G 6 16 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 A D 12 B C 14 B F H 14 D E I 12 E F 5 B H 12 RESOLUÇÃO Subtraindo a sexta equação da terceira temos B F H B H 14 12 F 2 Então 17 Agora que conhecemos F da equação 5 temos E F 5 E 2 5 E 3 Então 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I A D 12 A 1456789 D 1456789 A 4578 D 4578 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos fazer o mesmo para a outras equações de duas variáveis Vamos para a segunda B C 14 B 1 4 5 6 7 8 9 B 5 6 8 9 C 1 4 5 6 7 8 9 C 5 6 8 9 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos para a quarta equação D E I 12 D 3 I 12 D I 9 D 4 5 7 8 I 1 4 5 6 7 8 9 D 4 5 8 I 1 4 5 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Como agora D não pode ser 7 da primeira equação A agora não pode ser 5 A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 Vamos para a segunda equação B C 14 B 5 6 8 9 C 1 4 5 6 7 8 9 B 5 6 8 9 C 5 6 8 9 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos para a última equação B H 12 B 5 6 8 9 H 1 4 5 6 7 8 9 B 5 8 H 4 7 Então 25 Vamos para a segunda equação B C 14 B 5 6 8 9 C 1 4 5 6 7 8 9 B 5 6 8 9 C 5 6 8 9 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I Reduzimos as opções de B voltemos então à segunda equação B C 14 B 5 8 C 5 6 8 9 B 5 8 C 6 9 Então 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I Veja que todas as relações dadas são satisfeitas Vamos reescrever o sistema inicial A D 12 B C 14 D I 9 E F 5 B H 12 A 12 D C 14 B I 9 D H 12 B Vamos então verificar as duas soluções possíveis para B e a cada passo verificar se as equações ainda estão válidas Vamos assumir B 8 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Mas sabemos que C 14 B 14 8 6 Então 23 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 A única variável possível para 9 agora é G A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Sabemos que H 12 B 12 8 4 Então 24 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Mas lembrese de que D I 9 O que não é mais possível para os valores disponíveis de forma que chegamos à conclusão de que B 8 Sabemos então com certeza que B 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Mas sabemos que C 14 B 14 5 9 Então 25 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 E sabemos que H 12 B 12 5 7 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Agora temos apenas uma variável possível para o valor 6 26 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Agora temos apenas uma variável possível para o valor 1 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Sabemos que D 9 I 9 1 8 Então 27 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 E por consequência temos o valor de A A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Logo concluímos que 28 A 4 B 5 C 9 D 8 E 3 F 2 G 6 H 7 I 1 29
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4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 A D 12 B C 14 B F H 14 D E I 12 E F 5 B H 12 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 B CF E C F 3 E C D F 2 A E C F 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 4B A 3F G C A 3B D C G Atividade 3 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 A B C D 1 2 3 4 AB 6 B C 6 C D 3 BC 6 D 1 A 4x4 5x5 6x6 7x7 8x8 9x9 A B C D E 1 2 3 4 5 A C D 6 A E 8 C E 7 LISTA 1 A 1 B 2 C 3 D 4 AB 6 B C 6 C D 3 BC 6 D 1 A RESOLUÇÃO Vamos marcar com o valor correto e com os que não são valores possíveis Vamos analisar as informações uma a uma A primeira diz que AB 6 Veja que independente do valor deles é impossível que assumam valor 1 visto que uma vez qualquer das opções não resulta em 6 ou mais A 1 B 2 C 3 D 4 Pela segunda informação temos B C 6 Olhando a tabela temos que B não pode ser menor que 2 então C não pode ser 4 visto que a soma mínima seria 6 1 A 1 B 2 C 3 D 4 Pela terceira informação temos C D 3 Nesse momento não podemos concluir nada com essa informação então vamos para a próxima BC 6 Nesse momento também não podemos concluir nada com essa informação então vamos para a próxima D 1 A Como A pode ser 2 3 ou 4 no momento D pode ser apenas 2 3 ou 4 A 1 B 2 C 3 D 4 Nesse momento a única variável que pode ser 1 é C o que a impede se ser igual aos outros valores A 1 B 2 C 3 D 4 Da terceira equação C D 3 1 D 3 D 2 Vamos marcar na tabela 2 A 1 B 2 C 3 D 4 Veja pela tabela que A ou B tem necessariamente que ser 2 mas pela primeira informação que temos AB 6 de forma que se um deles é 2 o outro tem necessariamente que ser 4 A 1 B 2 C 3 D 4 Dessa forma apenas D pode ser 3 A 1 B 2 C 3 D 4 Vamos ver que informações temos que envolvem A ou B Veja a última D 1 A 3 1 A A 4 Então 3 A 1 B 2 C 3 D 4 Logo concluímos que A 2 B 4 C 1 D 3 4 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 A C D 6 A E 8 C E 7 RESOLUÇÃO Da primeira equação temos que a soma de 3 números naturais resulta em 6 mas veja 1 2 3 6 logo A C e D não podem ser superiores a 3 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Da segunda temos que A E 8 Como A 1 2 3 então E 8 A 5 6 7 E 5 A 3 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Para o valor 4 restou apenas a variável B A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Da última equação temos C E 7 C 5 7 C 2 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Automaticamente temos o valor de D 6 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 Logo concluímos que A 3 B 4 C 2 D 1 E 5 7 3 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 B CF E C F 3 E C D F 2 A E C F RESOLUÇÃO De forma análoga ao exercício anterior veja a segunda equação C F 3 mas somando os dois primeiros números naturais temos 1 2 3 então C e F só podem ser 1 e 2 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 F pode ser apenas 1 ou 2 o que da equação quarta equação temos F 2 A F 1 2 A 3 4 Adicionando essa informação na tabela temos 8 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Das equações 2 e 3 temos C F 3 E C F E 3 Preenchendo na tabela temos A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Agora A pode assumir apenas o valor 4 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 9 Já definimos A e E Vamos procurar equações que os relacionem com outras variáveis Veja a equação 4 F 2 A F 2 4 F 2 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Para C nos resta apenas 1 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Nos falta B e D Pela primeira equação podemos determinar B B CF E 1 2 3 5 Então 10 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Agora temos D A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 Logo concluímos que A 4 B 5 C 1 D 6 E 3 F 2 11 4 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 4B A 3F G C A 3B D C G RESOLUÇÃO Esse exercício tem muitas equações que envolvem divisibilidade Da primeira sabemos que A é múltiplo de 4 mas o único múltiplo de 4 é o próprio 4 então já temos o valor de A A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Ainda da equação 1 4B A 4B 4 B 1 Então 12 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Da segunda equação temos algo análogo Nesse caso G deve ser múltiplo de 3 podendo ser 3 ou 6 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 E consequentemente F só pode ser 1 ou 2 mas já sabemos que não é 1 então só pode ser 2 13 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 E a partir da mesma equação temos que G é 6 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Da equação 4 3B D D 3 1 3 Então 14 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Da última inequação C G C 6 C 7 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Finalmente temos E 15 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 Logo concluímos que A 4 B 1 C 7 D 3 E 5 F 2 G 6 16 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 A D 12 B C 14 B F H 14 D E I 12 E F 5 B H 12 RESOLUÇÃO Subtraindo a sexta equação da terceira temos B F H B H 14 12 F 2 Então 17 Agora que conhecemos F da equação 5 temos E F 5 E 2 5 E 3 Então 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I A D 12 A 1456789 D 1456789 A 4578 D 4578 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos fazer o mesmo para a outras equações de duas variáveis Vamos para a segunda B C 14 B 1 4 5 6 7 8 9 B 5 6 8 9 C 1 4 5 6 7 8 9 C 5 6 8 9 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos para a quarta equação D E I 12 D 3 I 12 D I 9 D 4 5 7 8 I 1 4 5 6 7 8 9 D 4 5 8 I 1 4 5 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Como agora D não pode ser 7 da primeira equação A agora não pode ser 5 A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 Vamos para a segunda equação B C 14 B 5 6 8 9 C 1 4 5 6 7 8 9 B 5 6 8 9 C 5 6 8 9 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Vamos para a última equação B H 12 B 5 6 8 9 H 1 4 5 6 7 8 9 B 5 8 H 4 7 Então 25 Vamos para a segunda equação B C 14 B 5 6 8 9 C 1 4 5 6 7 8 9 B 5 6 8 9 C 5 6 8 9 Então A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I Reduzimos as opções de B voltemos então à segunda equação B C 14 B 5 8 C 5 6 8 9 B 5 8 C 6 9 Então 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F G H I Veja que todas as relações dadas são satisfeitas Vamos reescrever o sistema inicial A D 12 B C 14 D I 9 E F 5 B H 12 A 12 D C 14 B I 9 D H 12 B Vamos então verificar as duas soluções possíveis para B e a cada passo verificar se as equações ainda estão válidas Vamos assumir B 8 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Mas sabemos que C 14 B 14 8 6 Então 23 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 A única variável possível para 9 agora é G A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Sabemos que H 12 B 12 8 4 Então 24 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Mas lembrese de que D I 9 O que não é mais possível para os valores disponíveis de forma que chegamos à conclusão de que B 8 Sabemos então com certeza que B 5 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Mas sabemos que C 14 B 14 5 9 Então 25 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 E sabemos que H 12 B 12 5 7 Então A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Agora temos apenas uma variável possível para o valor 6 26 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Agora temos apenas uma variável possível para o valor 1 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Sabemos que D 9 I 9 1 8 Então 27 A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 E por consequência temos o valor de A A 1 B 2 C 3 D 4 E 5 F 6 G 7 H 8 I 9 Logo concluímos que 28 A 4 B 5 C 9 D 8 E 3 F 2 G 6 H 7 I 1 29