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1 CENTRO DE MASSA A descrição do movimento de um sistema mecânico que pode ser um conjunto de partículas ou um corpo rígido pode ser feito em termos de um ponto especial denominado centro de massa O sistema move se de uma tal forma como se toda sua massa estivesse concentrada naquele ponto e a força resultante atua sobre esse ponto Por exemplo a força gravitacional entre o planeta Terra e a Lua atua entre seus centros de massa os quais coincidem com seus centros geométricos devido à simetria radial desses corpos celestes esféricos Considere um sistema discreto de n partículas cujas massas são m1 m2 m3mn Considere um sistema de referência constituído por um plano cartesiano xy cujas coordenadas das respectivas massas são x1y1 x2y2 x3y3 xnyn Definese o centro de massa CM do sistema de partículas como sendo um ponto cujas coordenadas são 𝑥CM 𝑚1𝑥1 𝑚2𝑥2 𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 𝑦CM 𝑚1𝑦1 𝑚2𝑦2 𝑚𝑛𝑦𝑛 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 O vetor posição 𝑟CM que localiza o CM do sistema de partículas pode ser escrito em termos do vetor posição de cada partícula 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟𝑛 através equação vetorial 𝑟CM 𝑚1𝑟1 𝑚2𝑟2 𝑚𝑛𝑟𝑛 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚𝑖𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 E1 Exercício resolvido Um sistema consiste de três partículas localizadas como mostrado na figura abaixo Encontre o vetor posição 𝑟CM 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 que localiza o centro de massa Considere m1 m2 10 kg e m3 20 kg Resp 𝑟CM 075 m𝑖 10 m𝑗 Solução As massas e as coordenadas das partículas n 3 são m1 10 kg x1y1 10 00 m m2 10 kg x2y2 20 00 m m3 20 kg x3y3 00 20 m As coordenadas do CM do sistema de 3 partículas acima são 𝑥CM 𝑚1𝑥1 𝑚2𝑥2 𝑚3𝑥3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑥CM 10 kg10 m 10 kg20 m 20 kg00 m 10 kg 10 kg 20 kg 𝑥CM 10 kg m 20 kg m 40 kg 30 kg m 40 kg 075 m 𝑦CM 𝑚1𝑦1 𝑚2𝑦2 𝑚3𝑦3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑦CM 10 kg00 m 10 kg00 m 20 kg20 m 10 kg 10 kg 20 kg 𝑥CM 40 kg m 40 kg 10 m Logo 𝑟CM 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 075 m𝑖 10 m𝑗 Outra forma é utilizando a equação vetorial 𝑟CM 𝑚1𝑟1 𝑚2𝑟2 𝑚3𝑟3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑟1 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 10 m𝑖 00 m𝑗 10 m𝑖 𝑟2 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 20 m𝑖 00 m𝑗 20 m𝑖 𝑟3 𝑥3𝑖 𝑦3𝑗 00 m𝑖 20 m𝑗 20 m𝑗 Centro de massa Se um objeto homogêneo tem um centro geométrico este ponto é onde o centro de massa está localizado Eixo de simetria Se um objeto tem um eixo de simetria o centro de massa fica localizado sobre esse eixo O centro de massa pode não estar dentro do objeto 2 𝑟CM 10 kg10 m𝑖 10 kg20 m𝑖 20 kg20 m𝑗 10 kg 10 kg 20 kg 𝑟CM 10 kg m𝑖 20 kg m𝑖 40 kg m𝑗 40 kg 𝑟CM 30 kg m𝑖 40 kg m𝑗 40 kg 𝑟CM 30 kg m 40 kg 𝑖 40 kg m 40 kg 𝑗 𝑟CM 075 m𝑖 10 m𝑗 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 Conceito importante Em linguagem estatística o centro de massa xCM yCM de um sistema discreto de partículas corresponde a uma posição média de massas ponderadas sobre cada eixo x e y ROTAÇAO DE CORPOS RÍGIDOS Por definição um corpo rígido é um corpo que mantém uma forma definida e imutável independentemte das forças que atuam sobre ele No movimento de rotação sempre será necessário explicitar um determinado eixo ao qual um determinado corpo rígido executa um movimento de rotação Por exemplo um corpo rígido pode rotacionar no plano xy girando em torno do eixo fixo z no sentido anti horário No movimento de rotação o deslocamento de qualquer ponto material pertencente ao corpo rígido é medido em radianos rad Isso corresponde a um ponto P movendose em uma trajetória circular em torno de um eixo cuja distância percorrida correponde a um dado comprimento de arco A circunferência de um circulo isto é o comprimento de arco de todo o caminho sobre o circulo é 2 π cerca de 6283 vezes o raio r tal que existem 2 π radianos em uma revolução completa 360 para um círculo de raio r 1 Portanto 1 rad 360 2𝜋 573 Assim por exemplo 30 𝜋 6 rad 45 𝜋 4 rad 60 𝜋 3 rad 90 𝜋 2 rad 180 𝜋 rad 360 2𝜋 rad A distância percorrida por um ponto material pertencente a um corpo rígido movendose com relação a um eixo de rotação fixo em uma trajetória circular é chamada de deslocamento angular θ medido em radianos rad Consequentemente a velocidade com que o dado ponto material movese em uma trajetória circular em torno de um eixo fixo é denominada velocidade angular ω instantânea medida em radianos por segundo rads ω corresponde à taxa de variação com que θ varia ao longo do tempo e em termos de derivada fica 𝜔 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Unidades de ω rads revmin revolução por minuto rpm rotação por minuto Conversões 1 rev 2π rad 360º 1 revs 2π rads 1 revmin 1 rpm 2𝜋 60 rads 01 rads 1 rads 60 2𝜋 rpm 10 rpm Um ângulo θ em radianos é a razão entre o comprimento de arco s e o raio r Um radiano é o ângulo ao qual o comprimento do arco s tem o mesmo valor do comprimento do raio r Distância através da qual um ponto P sobre o corpo movese de um ângulo θ em radianos A velocidade de translação v ms do ponto P depende do raio r da trajetória e da velocidade angular ω rads Círculo seguido pelo ponto P 3 Assim da mesma forma que no movimento de translação quando a velocidade angular ω variar ao longo do tempo o ponto material adquire uma aceleração angular α medida em radianos por segundo ao quadrado rads2 Em termos de derivada fica 𝛼 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 O VETOR VELOCIDADE ANGULAR No movimento de rotação velocidade angular ω de rotação de um corpo rígido é representada por um vetor 𝜔 A direção de 𝜔 é aquela ao longo do eixo de rotação e o sentido de 𝜔 é aquele obtido pela regra da mão direita O VETOR ACELERAÇÃO ANGULAR No movimento de rotação a aceleração angular α de rotação de um corpo rígido é representada por um vetor 𝛼 A direção de 𝛼 é aquela ao longo do eixo de rotação e coincide com aquela de 𝜔 mas o sentido de 𝛼 depende de se a magnitude de 𝜔 está aumentado ou diminuindo ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE As equações da cinemática para o movimento de rotação com aceleração angular 𝛼 constante são similares àquelas do movimento de translação com aceleração linear ax constante Tabela Equações da cinemática Movimento em linha reta com aceleração linear constante Movimento de rotação sobre um eixo fixo com aceleração angular constante 𝑎𝑥 constante 𝛼 constante 𝑣 𝑣0 𝑎𝑥𝑡 𝜔 𝜔0 𝛼𝑡 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑥𝑡2 𝜃 𝜃0 𝜔0𝑡 1 2 𝛼𝑡2 𝑣2 𝑣0 2 2𝑎𝑥𝑥 𝑥0 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝜃 𝜃0 𝑥 𝑥0 1 2 𝑣0 𝑣𝑡 𝜃 𝜃0 1 2 𝜔0 𝜔𝑡 RELAÇÕES ENTRE CINEMÁTICA DE TRANSLAÇÃO E DE ROTAÇÃO A aceleração angular α de um corpo rígido corresponde à taxa de variação da velocidade angular ω no decorrer do tempo isto é α dωdt Para uma partícula pertencente ao corpo rígido no ponto P à uma distância r do eixo de rotação z a velocidade de translação v e os componentes da aceleração 𝑎 estão relacionados à ω e à α através das relações abaixo Como Daí Se você curvar seus dedos de sua mão direita na direção da rotação seu polegar direito aponta na direção de 𝜔 𝛼 e 𝜔 estão no mesmo sentido e mesma direção Velocidade de rotação 𝜔 aumentando 𝛼 e 𝜔 estão em sentidos opostos mas na mesma direção Velocidade de rotação 𝜔 diminuindo Aceleração linear de translação a do ponto P 𝑠 𝑟𝜃 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 4 ENERGIA CINÉTICA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Quando um conjunto de partículas rotaciona sobre um mesmo eixo fixo esse conjunto pode ser considerado um corpo rígido A velocidade de translação vi em ms ou ms1 de uma dada iésima partícula é dada pela equação 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜔 Onde ri em m é a distância perpendicular de cada iésima partícula ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular em rads ou rads1 do conjunto de partículas com relação ao eixo de rotação A energia cinética de cada iésima partícula é então 𝐾𝑖 1 2 𝑚𝑖𝑣𝑖 2 1 2 𝑚𝑖𝑟𝑖 2𝜔2 A energia cinética total de rotação K em J joule do conjunto de partículas é a soma de todas as energias cinéticas das partículas individuais 𝐾 𝐾𝑖 𝑛 𝑖1 1 2 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖𝑟𝑖 2𝜔2 1 2 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖𝑟𝑖 2𝜔2 A quantidade entre parêntesis na equação anterior é chamada de momento de inércia I em kgm2 do conjunto de partículas com relação a um dado eixo de rotação Então podemos escrever 𝐼 𝑚𝑖𝑟𝑖 2 𝑛 𝑖1 Em termos do momento de inércia I e da velocidade angular de rotação ω a energia cinética de rotação K é dada por 𝐾 1 2 𝐼𝜔2 O momento de inércia I é sempre especificado com relação a um eixo utilizando subíndices por exemplo com relação aos eixos x y ou z Ix Iy ou Iz ou com relação ao centro de massa ICM de um sistema de partículas ou de um corpo rígido I é também chamado de inércia rotacional I depende da escolha da localização e da orientação do eixo de rotação Quanto maior o valor de I mais difícil é variar o estado de rotação de um corpo rígido MOMENTO DE INÉRCIA E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Considere um sistema constituído por três esferas de massas m1 m2 e m3 conectadas por hastes de massas desprezíveis de acordo com a figura abaixo Uma vez definido o eixo de rotação calculamse as respectivas distâncias de cada massa ao eixo r1 r2 e r3 Calculase o momento de inércia com relação ao eixo especificado e a energia cinética de rotação do sistema com relação a esse eixo de acordo com as relações a seguir Portanto o momento de inércia I do sistema com relação ao eixo especificado é 𝐼 𝑚1𝑟1 2 𝑚2𝑟2 2 𝑚3𝑟3 2 De um modo geral para um sistema discreto constituído por n partículas de massas m1 m2mn o momento de inércia I do sistema com relação a um eixo previamente especificado é 𝐼 𝑚1𝑟1 2 𝑚2𝑟2 2 𝑚𝑛𝑟𝑛2 𝑚𝑖𝑟𝑖 2 𝑛 𝑖1 Onde r1 r2rn são as distâncias perpendiculares de cada massa m1 m2mn ao eixo respectivamente TEOREMA DO EIXO PARALELO Há uma relação simples entre ICM momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de massa CM de um corpo de massa M e IP momento de inércia com relação a um eixo paralelo que passa por um ponto P mas deslocado de uma distância d Eixo de rotação 5 E2 Exercício resolvido Considere a peça mecânica A massa da peça é M 36 kg O momento de inércia IP sobre o eixo paralelo que passa por P é IP 0132 kgm2 Calcule ICM Solução Utilizando o teorema do eixo paralelo 𝐼P 𝐼CM 𝑀𝑑2 Isolando ICM na relação acima temos 𝐼CM 𝐼P 𝑀𝑑2 Substituindo os dados resulta ICM 0132 kgm2 36 kg 015 m2 ICM 0051 kgm2 E3 Exercício resolvido Considere a figura abaixo Utilize o teorema do eixo paralelo e mostre que para uma barra delgada de massa M e comprimento L o momento de inércia com relação ao eixo que passa por um ponto P situado na extremidade da barra é 𝐼P 1 3 𝑀𝐿2 Solução Utilizando o teorema do eixo paralelo 𝐼P 𝐼CM 𝑀𝑑2 E sabendo que o momento de inércia de uma barra delgada com relação a um eixo que passa pelo CM é dado por 𝐼CM 1 12 𝑀𝐿2 Lembrando que 𝑑 𝐿 2 Logo 𝐼P 1 12 𝑀𝐿2 𝑀 𝐿 2 2 𝐼P 1 12 𝑀𝐿2 1 4 𝑀𝐿2 𝐼P 𝑀𝐿2 1 12 1 4 𝑀𝐿2 1 3 12 𝐼P 𝑀𝐿2 4 12 1 3 𝑀𝐿2 E4 Exercício resolvido Considere um sistema constituído por 3 massas m1 10 kg m2 20 kg e m3 3 kg como aquele mostrado na figura abaixo Pedese a Encontre o momento de inércia do sistema com relação ao eixo y denominado Iy Solução As distâncias cada massa m1 m2 e m3 ao eixo y são r1 r2 e r3 perpendiculares ao eixo y considerado as quais estão mostradas na figura abaixo O momento de inércia do sistema com relação ao eixo y é 𝐼y 𝑚1𝑟1 2 𝑚2𝑟2 2 𝑚3𝑟3 2 Onde 𝑟1 30 m 𝑟2 20 m 𝑟3 10 m são as distâncias de cada massa m1 m2 e m3 ao eixo y respectivamente Logo temos 𝐼y 10 kg30 m2 20 kg20 m2 30 kg10 m2 𝐼y 10 kg90 m2 20 kg40 m2 30 kg10 m2 𝐼y 90 kg m2 80 kg m2 30 kg m2 𝐼y 200 kg m2 b Encontre as coordenadas do CM do sistema xCM e yCM Solução Utilizando as expressões para as coordenadas do CM 𝑥CM 𝑚1𝑥1 𝑚2𝑥2 𝑚3𝑥3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑥CM 10 kg30 m 20 kg20 m 30 kg10 m 10 kg 20 kg 30 kg CM P d M 6 𝑥CM 30 kg m 40 kg m 30 kg m 60 kg 𝑥CM 40 kg m 60 kg 2 3 m 067 m e 𝑦CM 𝑚1𝑦1 𝑚2𝑦2 𝑚3𝑦3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑦CM 10 kg10 m 20 kg20 m 30 kg00 m 60 kg 𝑦CM 10 kg m 40 kg m 60 kg 𝑦CM 30 kg m 60 kg 1 2 m 050 m Portanto as coordenadas do centro de massa CM são 𝑥CM 𝑦CM 067 050 m c Encontre o momento de inércia do sistema com relação ao eixo que passa pelo CM denominado ICM sendo que esse eixo é paralelo ao eixo y Solução O momento de inércia do sistema com relação ao eixo que passa por CM é 𝐼CM 𝑚1𝑅1 2 𝑚2𝑅2 2 𝑚3𝑅3 2 Onde R1 233 m R2 133 m e R3 167 m são as distâncias de cada massa m1 m2 e m3 ao eixo que passa por CM respectivamente Logo temos 𝐼CM 10 kg233 m2 20 kg133 m2 30 kg167 m2 𝐼CM 10 kg543 m2 20 kg177 m2 30 kg279 m2 𝐼CM 543 kg m2 354 kg m2 837 kg m2 𝐼CM 1734 kg m2 d Utilize o teorema do eixo paralelo e encontre a distância d de separação entre os dois eixos Solução Utilizando o teorema do eixo paralelo e considerando que O ponto P está sobre o eixo y de tal forma que IP Iy a distância de separação entre os eixos é d a massa M 60 kg é a soma de todas as massas do sistema temos 𝐼y 𝐼CM 𝑀𝑑2 𝐼y 𝐼CM 𝑀𝑑2 𝑑2 𝐼y 𝐼CM 𝑀 𝑑 𝐼y 𝐼CM 𝑀 𝑑 200 kg m2 1734 kg m2 60 kg 𝑑 266 kg m2 60 kg 𝑑 0443 m2 𝑑 067 m A distância d corresponde à coordenada xCM EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Quatro esferas estão posicionadas em um plano xy em uma configuração apresentada na figura a seguir Nós assumiremos que os raios das esferas são pequenos comparados com as dimensões da configuração a Mostre que os momentos de inércia do sistema com relação aos eixos x y e z são respectivamente 7 𝐼𝑥 2𝑚𝑏2 𝐼𝑦 2𝑀𝑎2 𝐼𝑧 2𝑀𝑎2 2𝑚𝑏2 b Mostre que as energias cinéticas de rotação do sistema com relação aos eixos x y e z são respectivamente 𝐾𝑟𝑜𝑡𝑥 𝑚𝑏2𝜔2 𝐾𝑟𝑜𝑡𝑦 𝑀𝑎2𝜔2 𝐾𝑟𝑜𝑡𝑧 𝑀𝑎2 𝑚𝑏2𝜔2 2 Uma peça uniforme de uma chapa de aço tem um formato como aquele mostrado na figura abaixo Encontre o vetor posição 𝑟CM que localiza o centro de massa da peça Resp 𝑟CM 117 cm𝑖 133 cm𝑗 3 Duas massas M e m estão conectadas por uma barra rígida de comprimento L e de massa negligenciável como mostrado na figura abaixo Para um eixo perpendicular à barra mostre que o sistema tem o momento de inércia mínimo quando o eixo passa através de seu centro de massa Mostre que o momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de massa do sistema é ICM mML2m M 4 Considere um sistema discreto constituído por três esferas de mesma massa M 10 kg as quais estão situadas em um plano xy com as seguintes coordenadas x y 0 0 8 4 e 8 4 a Desenhe o plano xy com as respectivas esferas e localize as coordenadas do centro de massa do sistema b Calcule o momento de inércia do sistema com relação a um eixo ao plano xy que passa pelo seu centro de massa ICM Resp a xCM 533 m e yCM 0 m b ICM 7468 kgm2 5 As quatro partículas na figura abaixo estão conectadas por hastes de massa desprezível O sistema rotaciona no plano xy sobre o eixo que passa pelo centro de massa CM do sistema com uma velocidade angular ω 6 rads a Encontre o vetor 𝑟 xCMî yCMĵ que localiza o centro de massa do sistema b Calcule o momento de inércia ICM do sistema sobre o eixo que passa pelo CM c Calcule a energia cinética de rotação KCM do sistema sobre o eixo que passa pelo seu CM Resp a 𝑟 xCMî yCMĵ 018 mî 027 mĵ b ICM 14188 kgm2 c KCM 255 kJ 6 Três pequenas partículas estão conectadas por barras de massa negligenciável ficando sobre o eixo y como na figura abaixo Se o sistema rotaciona sobre o eixo x com uma velocidade angular ω 20 rads Encontre a O momento de inércia do sistema com relação ao eixo x Ix Resp Ix 92 kgm2 b A energia cinética total de rotação do sistema com relação ao eixo x Krotx Ixω22 Obs Ix Σ miri2 onde ri é a distância de cada corpo de massa mi até o eixo de rotação x Resp Krotx 184 J c Encontre a velocidade de translação vi de cada partícula mi onde sabese que v vtan vtrans Obs veja que vi riω Resp v1 6 ms v2 4 ms e v3 8 ms 8 d A energia cinética total de translação do sistema sendo que Ktrans Σ mivi22 Resp Ktrans 184 J e As coordenadas do CM xCM e yCM do sistema de partículas Resp xcm ycm 0 044 m 7 Considere o sistema TerraLua Em valores aproximados o raio equatorial da Terra é RT 6378 103 km e o raio da Lua é RL 1738 103 km A massa da Terra é MT 5973 1024 kg e a massa da Lua é mL 7347 1022 kg Encontre a distância do centro de massa da Terra ao centro de massa do sistema Terra Lua Resp 4661 103 km O centro de massa do sistema TerraLua está dentro ou fora do planeta Terra Resp Dentro 1717 103 km abaixo da superfície da Terra Como esse resultado poderia explicar o fenômeno da superLua Resp A órbita da lua em torno do centro de massa TerraLua não é portanto perfeitamente circular e consequentemente haverá momentos de tempos em tempos em que a Lua estará realmente mais próxima da Terra e se isso coincidir com a Lua cheia resultará em um aumento no diâmetro e brilho da Lua quando vista da Terra a qual é chamada pelos astrônomos de superLua 8 Considere a figura abaixo a Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema b O sistema rotaciona sobre o plano xy com uma velocidade angular ω 60 rads cujo eixo de rotação passa pelo centro de massa do sistema calcule a energia cinética de rotação do sistema c Calcule o momento de inércia do sistema com relação ao eixo z Resp a 𝑥CM 𝑦CM 0 0 m b 234 kJ c 130 kgm2 9 Considere a figura abaixo Uma molécula de água consiste de um átomo de oxigênio com dois átomos de hidrogênio ligados a ele O ângulo entre as duas ligações é 105o Se o comprimento da ligação OH é d 957 x 1011 m onde se localiza o centro de massa da molécula Sugestão Considere as massas dos átomos de hidrogênio e de oxigênio como sendo 1 u e 16 u respectivamente 1 u 1 uma 1661 1027 kg sendo que uma significa unidade de massa atômica Resp xCM 0068d 65 x 1012 m distante do núcleo do átomo de oxigênio em O estando sobre o eixo x e yCM 00 m Observação Neste problema o centro de massa dos átomos individuais está localizado no centro de seus núcleos os quais concentram praticamente toda a massa dos átomos 10 Considere um sistema composto por três massas em um plano xy onde duas massas iguais quaisquer m1 m2 M possuem coordenadas 00 e 80 respectivamente e uma terceira massa m3 possui coordenadas 48 As massas são dadas em kg as coordenadas x e y em m e o momento de inércia em kgm2 a Desenhe um plano xy com suas respectivas massas e coordenadas b Mostre que para que o centro de massa CM dessas três massas tenha as coordenadas xCM 40 m e yCM 30 m necessariamente m3 6 5 M c Se M 50 kg calcule o momento de inércia ICM com relação ao eixo ao plano xy que passa pelo CM d Se as massas rotacionam sobre o eixo ao plano x y que passa pelo CM com uma velocidade angular ω 20 rads calcule as velocidades tangenciais de translação v das massas e Calcule a energia cinética total de rotação Krot do sistema Resp b partindo de 𝑦CM 𝑚38 2𝑀𝑚3 3 isola m3 c ICM 4000 kgm2 d v1 v2 v3 100 ms e Krot 8000 J 11 Um engenheiro da NASA foi designado para projetar um componente mecânico com o objetivo de produzir uma pseudogravidade terrestre para ser utilizado em naves espaciais para viagens de longa duração ou na estação espacial internacional para os astronautas se exercitarem O engenheiro imaginou um tubo circular toroide de raio R 100 m o qual poderia rotacionar sobre seu eixo de simetria com uma velocidade angular ω de acordo com a figura abaixo Oxigênio Hidrogênio Hidrogênio 9 O astronauta a uma distância R do eixo de rotação possui uma velocidade tangencial de translação dada por v ωR A força centrípeta Fc sobre o astronauta é equivalente à uma pseudoforça normal N sobre a superfície onde o astronauta caminha N é neutralizada pela pseudoforçapeso w Assim Fc N w Por definição Fc mac sendo que a aceleração radial ou centrípeta é ac v2R e w mg onde m é a massa do astronauta e g é a pseudoaceleração da gravidade terrestre criada g 98 ms2 Pedese a Mostre que a velocidade angular de rotação do tubo que o engenheiro da NASA precisaria impor à estrutura do tubo deveria obedecer à relação 𝜔 𝑔 𝑅 b Qual seria o valor de ω Resp ω 10 rads c Quanto tempo levaria para o tubo realizar uma revolução O tempo de uma revolução ou uma volta é o período T medido em s Resp 628 s Solução a Partindo de Fc w mac mg v2R g ωR2R g isola ω ω2R2R g ω2 gR 𝜔 𝑔 𝑅 b 𝜔 𝑔 𝑅 98 m s2 100 m 098 s2 𝜔 10 rad s1 c 𝜔 2𝜋 𝑇 𝑇 2𝜋 𝜔 𝑇 2𝜋 𝜔 2𝜋 rad 10 rad s1 2𝜋 s 628 s 12 Considere uma peça metálica uniforme de massa total 100 kg com 05 m de largura e 06 m de altura na forma de um T como mostrada na figura abaixo Faça a considerações necessárias na figura quadriculada Crie um sistema de coordenadas xy incluindo os vetores unitários a Encontre e desenhe o vetor posição 𝑟𝐶𝑀 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 que localiza o centro de massa da peça onde xCM e yCM são as coordenadas do CM b Qual o momento de inércia Iy da peça com relação ao eixo y 13 Estabeleça hipóteses baseadas nas dimensões reais da figura abaixo e descubra as condições para que o sistema fique em equilíbrio 14 Uma roda gira com uma aceleração angular constante 35 rads2 Se a velocidade angular da roda é ω 20 rads no tempo t 0 s a Após t 20 s qual o deslocamento angular θ em radianos e em graus que a roda gira assim como o correspondente número de revoluções Resp θ 110 rad 630º 175 rev b Qual a velocidade angular ω para t 20 s Resp ω 90 rads c Qual o deslocamento angular em radianos que a roda gira entre t 20 s e t 30 s Resp θ 108 rad 15 Considere uma molécula de gás oxigênio O2 rotacionando no plano xy sobre o eixo z O eixo passa através do CM da molécula sendo perpendicular ao seu comprimento A massa de cada átomo de oxigênio é 266 x 1026 kg e à temperatura ambiente a separação entre os CMs dos dois átomos é d 121 x 1010 m Obs considerase que o CM de cada átomo está localizado no centro do seu núcleo sendo que o núcleo concentra praticamente toda a massa do átomo R 10 Pedese a Calcule o momento de inércia da molécula sobre o eixo z Resp Iz 195 x 1046 kgm2 b Se a velocidade angular da molécula com relação ao eixo z é 46 x 1012 rads qual é a sua energia cinética de rotação Resp Krotz 206 x 1021 J 16 Considere o planeta Terra como uma esfera rígida perfeita Um dia tem a duração de 24 h daí o período de revolução é T 24 h O raio da Terra é aproximadamente RT 6378 103 km A massa da Terra é MT 5973 1024 kg Com relação ao seu eixo de rotação calcule a A velocidade angular Resp 𝜔 2𝜋 𝑇 026 radh 722 x 105 rads b A velocidade de translação tangencial de qualquer objeto situado sobre a superfície da Terra ao nível do equador Resp 𝑣 2𝜋𝑅T 𝑇 1669 x 103 kmh 464 ms c O momento de inércia da Terra Resp 𝐼 2 5 𝑀T𝑅T 2 979 x 1031 kgm2 d A energia cinética de rotação Resp 𝐾𝑟𝑜𝑡 1 2 𝐼𝜔2 255 x 1023 J E5 Exercício resolvido Considere a figura abaixo a qual mostra um disco de raio r rotacionando no plano x y sobre o eixo z com velocidade angular constante ω Na figura são mostrados três pontos P pertencentes ao disco situados sobre o eixo x de raios r1 r2 e r3 respectivamente Cada ponto percorre um espaço s1 s2 e s3 comprimentos de arco com velocidade tangencial de translação constante v1 v2 e v3 respectivamente Pedese Mostre que para quaisquer dos pontos P para seus respectivos ri si vi eles se movem pelo mesmo intervalo de tempo t e se deslocam com o mesmo deslocamento angular θ Solução Sabemos que para i 1 2 e 3 Como 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜔 𝑣1 𝑟1𝜔 𝑣2 𝑟2𝜔 e 𝑣3 𝑟3𝜔 Como 𝑟3 𝑟2 𝑟1 𝑣3 𝑣2 𝑣1 Como 𝜃 𝑠𝑖 𝑟𝑖 𝜃 𝑠1 𝑟1 𝑠2 𝑟2 𝑠3 𝑟3 const Como 𝑣𝑖 𝑠𝑖 𝑡 Logo para qualquer ponto P 𝑡 𝑠𝑖 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜃 𝑣𝑖 𝜃 𝜔 const E6 Exercício resolvido Movimento circular uniforme mcu A figura abaixo mostra um objeto partícula de massa 𝑚 em kg movendose em uma trajetória circular de raio 𝑅 em m no sentido anti horário sobre o plano xy com velocidade tangencial de translação 𝑣 constante em ms e velocidade angular de rotação 𝜔 em rads sobre o eixo z Pedese Analise o movimento Solução Durante o movimento no plano xy age sobre o objeto uma força centrípeta Fc em N ou radial direcionada para o centro e como consequência aparece também uma aceleração centrípeta ac em ms2 ou radial A magnitude da aceleração centrípeta é 𝑎𝑐 𝑣2 𝑅 Utilizando a 2ª lei de Newton a magnitude da força centrípeta é 𝐹𝑐 𝑚𝑎𝑐 𝑚 𝑣2 𝑅 O período de rotação T em s é o tempo necessário para a massa m dar uma volta completa A velocidade v pode ser obtida através de 𝑣 2𝜋𝑅 𝑇 Como 𝑣 𝜔𝑅 sendo ω a velocidade angular de rotação em rads podemos reescrever a equação anterior como 𝜔𝑅 2𝜋𝑅 𝑇 𝜔 2𝜋 𝑇 O momento de inércia Iz da partícula de massa m com relação ao eixo passando pelo centro e perpendicular ao plano do movimento é 𝐼𝑧 𝑚𝑅2 A energia cinética de rotação do objeto é portanto igual à sua energia cinética de translação 𝐾𝑟𝑜𝑡 1 2 𝐼𝑧𝜔2 1 2 𝑚𝑅2 𝑣 𝑅 2 𝐾𝑟𝑜𝑡 1 2 𝑚𝑅2 𝑣2 𝑅2 1 2 𝑚𝑣2 𝐾𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 11 CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA PARA CORPOS RÍGIDOS Nós podemos calcular o momento de inércia I de um corpo rígido se imaginarmos que o objeto possa ser dividido em muitos elementos de volume pequenos os quais têm massa Δm Se usarmos a definição 𝐼 𝑟𝑖 2𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 E tomarmos o limite dessa soma quando Δm0 No limite a soma tornase uma integral sobre todo o objeto 𝐼 lim 𝑚𝑖0 𝑟𝑖 2𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 𝑟2 𝑑𝑚 É usualmente mais fácil calcular momentos de inércia em termos de elementos de volume Para isso nós podemos utilizar a equação 𝜌 𝑚 𝑉 Onde 𝜌 é a densidade do objeto também chamada densidade volumétrica e 𝑉 é seu volume Como o objeto é homogêneo então a densidade do objeto é constante e podemos utilizar a expressão anterior na forma diferencial 𝜌 𝑑𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑚 𝜌 𝑑𝑉 Substituindo 𝑑𝑚 na integral e reescrevendoa temos 𝐼 𝜌𝑟2 𝑑𝑉 O momento de inércia 𝐼 de um corpo rígido pode ser encontrado resolvendose a integral mostrada acima especialmente se o objeto possui uma geometria conhecida E7 Exercício resolvido Aro uniforme Encontre o momento de inércia de um aro uniforme de massa M e raio R com relação a um eixo perpendicular ao plano do aro e passando através de seu centro Solução Todos os elementos de massa dm estão à mesma distância r R do eixo E então aplicando a integral temos 𝐼𝑧 𝑟2 𝑑𝑚 𝑅2 𝑑𝑚 𝑀𝑅2 𝐼𝑧 𝑀𝑅2 Note que este momento de inércia 𝐼𝑧 é o mesmo daquele de uma partícula de massa 𝑀 localizada a uma distância 𝑅 do eixo de rotação Veja exercício resolvido E6 E8 Exercício resolvido Barra rígida uniforme Pedese Calcule o momento de inércia de uma barra rígida uniforme de comprimento L e massa M com relação a um eixo perpendicular à barra eixo y e passando pelo seu centro de massa Solução Considere a figura abaixo A barra possui uma densidade linear de massa λ constante massa M por unidade de comprimento L em kgm Assim para elementos infinitesimais de massa dm e de comprimento dx podemos escrever 𝜆 𝑑𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑚 𝜆 𝑑𝑥 Como 𝜆 𝑀 𝐿 podemos escrever 𝑑𝑚 𝑀 𝐿 𝑑𝑥 Substituindo a expressão anterior na integral e fazendo 𝑟 𝑥 temos 𝐼𝑦 𝑟2 𝑑𝑚 𝑥2 𝑀 𝐿 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑀 𝐿 𝑥2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝐼𝑦 𝑀 𝐿 𝑥3 3 𝐿 2 𝐿 2 𝑀 𝐿 𝐿 2 3 3 𝐿 2 3 3 𝐼𝑦 𝑀 𝐿 𝐿3 8 3 𝐿3 8 3 𝑀 𝐿 𝐿3 24 𝐿3 24 𝐼𝑦 𝑀 𝐿 2𝐿3 24 𝐼𝑦 1 12 𝑀𝐿2 12 E9 Exercício resolvido Cilindro sólido uniforme Pedese Calcule o momento de inércia com relação ao seu eixo central eixo z ou eixo de simetria de um cilindro sólido uniforme de raio R massa M e comprimento L Solução O cilindro é dividido em muitas cascas cilíndricas cada uma de raio r espessura dr e comprimento L como mostrado na figura abaixo O elemento de volume 𝑑𝑉 de cada casca corresponde à sua área de seção reta multiplicada pelo seu comprimento 𝑑𝑉 𝑑𝐴 𝐿 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝐿 Se a massa por unidade de volume é 𝜌 então a massa desse elemento de volume diferencial é 𝑑𝑚 𝜌 𝑑𝑉 𝜌2𝜋𝑟𝐿 𝑑𝑟 Substituindo esta expressão para 𝑑𝑚 na integral obtemos 𝐼𝑧 𝑟2 𝑑𝑚 2𝜋𝜌𝐿 𝑟3𝑑𝑟 𝑅 0 2𝜋𝜌𝐿 𝑟4 4 0 𝑅 𝐼𝑧 2𝜋𝜌𝐿 𝑅4 4 04 4 2𝜋𝜌𝐿 𝑅4 4 1 2 𝜋𝜌𝐿𝑅4 Como o volume total do cilindro é 𝑉 𝜋𝑅2𝐿 Logo a densidade pode ser escrita como 𝜌 𝑀 𝑉 𝑀 𝜋𝑅2𝐿 Substituindo a expressão anterior para 𝜌 na expressão para o momento de inércia 𝐼𝑧 resulta 𝐼𝑧 1 2 𝜋 𝑀 𝜋𝑅2𝐿 𝐿𝑅4 𝐼𝑧 1 2 𝑀𝑅2 Note que esse resultado não depende do comprimento do cilindro L Em outras palavras 𝑰𝒛 vale para um cilindro longo ou um disco plano E10 Exercício resolvido Cilindro oco Pedese Calcule o momento de inércia com relação ao seu eixo central de simetria z de um cilindro oco ou vazado uniforme de raio interno R1 e raio externo R2 massa M e comprimento L Solução Considerando a figura abaixo Utilizando o mesmo elemento de massa diferencial para um cilindro rígido veja exercício resolvido E9 e resolvendo a integral de r R1 até r R2 temos 𝐼𝑧 𝑟2 𝑑𝑚 2𝜋𝜌𝐿 𝑟3𝑑𝑟 𝑅2 𝑅1 2𝜋𝜌𝐿 𝑟4 4 𝑅1 𝑅2 𝐼𝑧 1 2 𝜋𝜌𝐿𝑅2 4 𝑅1 4 1 2 𝜋𝜌𝐿𝑅2 2 𝑅1 2𝑅2 2 𝑅1 2 No último passo nós utilizamos a identidade 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏𝑎 𝑏 Vamos expressar este resultado em termos da massa total M do corpo a qual é sua densidade 𝜌 multiplicada pelo volume total V O volume do cilindro é 𝑉 𝜋𝐿𝑅2 2 𝑅1 2 Tal que sua massa total M é 𝑀 𝜌𝑉 𝜋𝐿𝜌𝑅2 2 𝑅1 2 Comparando com a expressão acima para 𝐼𝑧 nós vemos que 𝐼𝑧 1 2 𝑀𝑅1 2 𝑅2 2 Esse resultado concorda com o caso de um cilindro rígido ou sólido fazendo o raio externo ser R2 R e o raio interno R1 0 resulta no momento de inércia 𝐼𝑧 1 2 𝑀𝑅2
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1 CENTRO DE MASSA A descrição do movimento de um sistema mecânico que pode ser um conjunto de partículas ou um corpo rígido pode ser feito em termos de um ponto especial denominado centro de massa O sistema move se de uma tal forma como se toda sua massa estivesse concentrada naquele ponto e a força resultante atua sobre esse ponto Por exemplo a força gravitacional entre o planeta Terra e a Lua atua entre seus centros de massa os quais coincidem com seus centros geométricos devido à simetria radial desses corpos celestes esféricos Considere um sistema discreto de n partículas cujas massas são m1 m2 m3mn Considere um sistema de referência constituído por um plano cartesiano xy cujas coordenadas das respectivas massas são x1y1 x2y2 x3y3 xnyn Definese o centro de massa CM do sistema de partículas como sendo um ponto cujas coordenadas são 𝑥CM 𝑚1𝑥1 𝑚2𝑥2 𝑚𝑛𝑥𝑛 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚𝑖𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 𝑦CM 𝑚1𝑦1 𝑚2𝑦2 𝑚𝑛𝑦𝑛 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚𝑖𝑦𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 O vetor posição 𝑟CM que localiza o CM do sistema de partículas pode ser escrito em termos do vetor posição de cada partícula 𝑟1 𝑟2 𝑟3 𝑟𝑛 através equação vetorial 𝑟CM 𝑚1𝑟1 𝑚2𝑟2 𝑚𝑛𝑟𝑛 𝑚1 𝑚2 𝑚𝑛 𝑚𝑖𝑟𝑖 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 E1 Exercício resolvido Um sistema consiste de três partículas localizadas como mostrado na figura abaixo Encontre o vetor posição 𝑟CM 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 que localiza o centro de massa Considere m1 m2 10 kg e m3 20 kg Resp 𝑟CM 075 m𝑖 10 m𝑗 Solução As massas e as coordenadas das partículas n 3 são m1 10 kg x1y1 10 00 m m2 10 kg x2y2 20 00 m m3 20 kg x3y3 00 20 m As coordenadas do CM do sistema de 3 partículas acima são 𝑥CM 𝑚1𝑥1 𝑚2𝑥2 𝑚3𝑥3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑥CM 10 kg10 m 10 kg20 m 20 kg00 m 10 kg 10 kg 20 kg 𝑥CM 10 kg m 20 kg m 40 kg 30 kg m 40 kg 075 m 𝑦CM 𝑚1𝑦1 𝑚2𝑦2 𝑚3𝑦3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑦CM 10 kg00 m 10 kg00 m 20 kg20 m 10 kg 10 kg 20 kg 𝑥CM 40 kg m 40 kg 10 m Logo 𝑟CM 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 075 m𝑖 10 m𝑗 Outra forma é utilizando a equação vetorial 𝑟CM 𝑚1𝑟1 𝑚2𝑟2 𝑚3𝑟3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑟1 𝑥1𝑖 𝑦1𝑗 10 m𝑖 00 m𝑗 10 m𝑖 𝑟2 𝑥2𝑖 𝑦2𝑗 20 m𝑖 00 m𝑗 20 m𝑖 𝑟3 𝑥3𝑖 𝑦3𝑗 00 m𝑖 20 m𝑗 20 m𝑗 Centro de massa Se um objeto homogêneo tem um centro geométrico este ponto é onde o centro de massa está localizado Eixo de simetria Se um objeto tem um eixo de simetria o centro de massa fica localizado sobre esse eixo O centro de massa pode não estar dentro do objeto 2 𝑟CM 10 kg10 m𝑖 10 kg20 m𝑖 20 kg20 m𝑗 10 kg 10 kg 20 kg 𝑟CM 10 kg m𝑖 20 kg m𝑖 40 kg m𝑗 40 kg 𝑟CM 30 kg m𝑖 40 kg m𝑗 40 kg 𝑟CM 30 kg m 40 kg 𝑖 40 kg m 40 kg 𝑗 𝑟CM 075 m𝑖 10 m𝑗 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 Conceito importante Em linguagem estatística o centro de massa xCM yCM de um sistema discreto de partículas corresponde a uma posição média de massas ponderadas sobre cada eixo x e y ROTAÇAO DE CORPOS RÍGIDOS Por definição um corpo rígido é um corpo que mantém uma forma definida e imutável independentemte das forças que atuam sobre ele No movimento de rotação sempre será necessário explicitar um determinado eixo ao qual um determinado corpo rígido executa um movimento de rotação Por exemplo um corpo rígido pode rotacionar no plano xy girando em torno do eixo fixo z no sentido anti horário No movimento de rotação o deslocamento de qualquer ponto material pertencente ao corpo rígido é medido em radianos rad Isso corresponde a um ponto P movendose em uma trajetória circular em torno de um eixo cuja distância percorrida correponde a um dado comprimento de arco A circunferência de um circulo isto é o comprimento de arco de todo o caminho sobre o circulo é 2 π cerca de 6283 vezes o raio r tal que existem 2 π radianos em uma revolução completa 360 para um círculo de raio r 1 Portanto 1 rad 360 2𝜋 573 Assim por exemplo 30 𝜋 6 rad 45 𝜋 4 rad 60 𝜋 3 rad 90 𝜋 2 rad 180 𝜋 rad 360 2𝜋 rad A distância percorrida por um ponto material pertencente a um corpo rígido movendose com relação a um eixo de rotação fixo em uma trajetória circular é chamada de deslocamento angular θ medido em radianos rad Consequentemente a velocidade com que o dado ponto material movese em uma trajetória circular em torno de um eixo fixo é denominada velocidade angular ω instantânea medida em radianos por segundo rads ω corresponde à taxa de variação com que θ varia ao longo do tempo e em termos de derivada fica 𝜔 𝑑𝜃 𝑑𝑡 Unidades de ω rads revmin revolução por minuto rpm rotação por minuto Conversões 1 rev 2π rad 360º 1 revs 2π rads 1 revmin 1 rpm 2𝜋 60 rads 01 rads 1 rads 60 2𝜋 rpm 10 rpm Um ângulo θ em radianos é a razão entre o comprimento de arco s e o raio r Um radiano é o ângulo ao qual o comprimento do arco s tem o mesmo valor do comprimento do raio r Distância através da qual um ponto P sobre o corpo movese de um ângulo θ em radianos A velocidade de translação v ms do ponto P depende do raio r da trajetória e da velocidade angular ω rads Círculo seguido pelo ponto P 3 Assim da mesma forma que no movimento de translação quando a velocidade angular ω variar ao longo do tempo o ponto material adquire uma aceleração angular α medida em radianos por segundo ao quadrado rads2 Em termos de derivada fica 𝛼 𝑑𝜔 𝑑𝑡 𝑑 𝑑𝑡 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑2𝜃 𝑑𝑡2 O VETOR VELOCIDADE ANGULAR No movimento de rotação velocidade angular ω de rotação de um corpo rígido é representada por um vetor 𝜔 A direção de 𝜔 é aquela ao longo do eixo de rotação e o sentido de 𝜔 é aquele obtido pela regra da mão direita O VETOR ACELERAÇÃO ANGULAR No movimento de rotação a aceleração angular α de rotação de um corpo rígido é representada por um vetor 𝛼 A direção de 𝛼 é aquela ao longo do eixo de rotação e coincide com aquela de 𝜔 mas o sentido de 𝛼 depende de se a magnitude de 𝜔 está aumentado ou diminuindo ROTAÇÃO COM ACELERAÇÃO ANGULAR CONSTANTE As equações da cinemática para o movimento de rotação com aceleração angular 𝛼 constante são similares àquelas do movimento de translação com aceleração linear ax constante Tabela Equações da cinemática Movimento em linha reta com aceleração linear constante Movimento de rotação sobre um eixo fixo com aceleração angular constante 𝑎𝑥 constante 𝛼 constante 𝑣 𝑣0 𝑎𝑥𝑡 𝜔 𝜔0 𝛼𝑡 𝑥 𝑥0 𝑣0𝑡 1 2 𝑎𝑥𝑡2 𝜃 𝜃0 𝜔0𝑡 1 2 𝛼𝑡2 𝑣2 𝑣0 2 2𝑎𝑥𝑥 𝑥0 𝜔2 𝜔0 2 2𝛼𝜃 𝜃0 𝑥 𝑥0 1 2 𝑣0 𝑣𝑡 𝜃 𝜃0 1 2 𝜔0 𝜔𝑡 RELAÇÕES ENTRE CINEMÁTICA DE TRANSLAÇÃO E DE ROTAÇÃO A aceleração angular α de um corpo rígido corresponde à taxa de variação da velocidade angular ω no decorrer do tempo isto é α dωdt Para uma partícula pertencente ao corpo rígido no ponto P à uma distância r do eixo de rotação z a velocidade de translação v e os componentes da aceleração 𝑎 estão relacionados à ω e à α através das relações abaixo Como Daí Se você curvar seus dedos de sua mão direita na direção da rotação seu polegar direito aponta na direção de 𝜔 𝛼 e 𝜔 estão no mesmo sentido e mesma direção Velocidade de rotação 𝜔 aumentando 𝛼 e 𝜔 estão em sentidos opostos mas na mesma direção Velocidade de rotação 𝜔 diminuindo Aceleração linear de translação a do ponto P 𝑠 𝑟𝜃 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑣 𝑑𝜃 𝑑𝑡 𝜔 4 ENERGIA CINÉTICA NO MOVIMENTO DE ROTAÇÃO Quando um conjunto de partículas rotaciona sobre um mesmo eixo fixo esse conjunto pode ser considerado um corpo rígido A velocidade de translação vi em ms ou ms1 de uma dada iésima partícula é dada pela equação 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜔 Onde ri em m é a distância perpendicular de cada iésima partícula ao eixo de rotação e ω é a velocidade angular em rads ou rads1 do conjunto de partículas com relação ao eixo de rotação A energia cinética de cada iésima partícula é então 𝐾𝑖 1 2 𝑚𝑖𝑣𝑖 2 1 2 𝑚𝑖𝑟𝑖 2𝜔2 A energia cinética total de rotação K em J joule do conjunto de partículas é a soma de todas as energias cinéticas das partículas individuais 𝐾 𝐾𝑖 𝑛 𝑖1 1 2 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖𝑟𝑖 2𝜔2 1 2 𝑛 𝑖1 𝑚𝑖𝑟𝑖 2𝜔2 A quantidade entre parêntesis na equação anterior é chamada de momento de inércia I em kgm2 do conjunto de partículas com relação a um dado eixo de rotação Então podemos escrever 𝐼 𝑚𝑖𝑟𝑖 2 𝑛 𝑖1 Em termos do momento de inércia I e da velocidade angular de rotação ω a energia cinética de rotação K é dada por 𝐾 1 2 𝐼𝜔2 O momento de inércia I é sempre especificado com relação a um eixo utilizando subíndices por exemplo com relação aos eixos x y ou z Ix Iy ou Iz ou com relação ao centro de massa ICM de um sistema de partículas ou de um corpo rígido I é também chamado de inércia rotacional I depende da escolha da localização e da orientação do eixo de rotação Quanto maior o valor de I mais difícil é variar o estado de rotação de um corpo rígido MOMENTO DE INÉRCIA E ENERGIA CINÉTICA DE ROTAÇÃO Considere um sistema constituído por três esferas de massas m1 m2 e m3 conectadas por hastes de massas desprezíveis de acordo com a figura abaixo Uma vez definido o eixo de rotação calculamse as respectivas distâncias de cada massa ao eixo r1 r2 e r3 Calculase o momento de inércia com relação ao eixo especificado e a energia cinética de rotação do sistema com relação a esse eixo de acordo com as relações a seguir Portanto o momento de inércia I do sistema com relação ao eixo especificado é 𝐼 𝑚1𝑟1 2 𝑚2𝑟2 2 𝑚3𝑟3 2 De um modo geral para um sistema discreto constituído por n partículas de massas m1 m2mn o momento de inércia I do sistema com relação a um eixo previamente especificado é 𝐼 𝑚1𝑟1 2 𝑚2𝑟2 2 𝑚𝑛𝑟𝑛2 𝑚𝑖𝑟𝑖 2 𝑛 𝑖1 Onde r1 r2rn são as distâncias perpendiculares de cada massa m1 m2mn ao eixo respectivamente TEOREMA DO EIXO PARALELO Há uma relação simples entre ICM momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de massa CM de um corpo de massa M e IP momento de inércia com relação a um eixo paralelo que passa por um ponto P mas deslocado de uma distância d Eixo de rotação 5 E2 Exercício resolvido Considere a peça mecânica A massa da peça é M 36 kg O momento de inércia IP sobre o eixo paralelo que passa por P é IP 0132 kgm2 Calcule ICM Solução Utilizando o teorema do eixo paralelo 𝐼P 𝐼CM 𝑀𝑑2 Isolando ICM na relação acima temos 𝐼CM 𝐼P 𝑀𝑑2 Substituindo os dados resulta ICM 0132 kgm2 36 kg 015 m2 ICM 0051 kgm2 E3 Exercício resolvido Considere a figura abaixo Utilize o teorema do eixo paralelo e mostre que para uma barra delgada de massa M e comprimento L o momento de inércia com relação ao eixo que passa por um ponto P situado na extremidade da barra é 𝐼P 1 3 𝑀𝐿2 Solução Utilizando o teorema do eixo paralelo 𝐼P 𝐼CM 𝑀𝑑2 E sabendo que o momento de inércia de uma barra delgada com relação a um eixo que passa pelo CM é dado por 𝐼CM 1 12 𝑀𝐿2 Lembrando que 𝑑 𝐿 2 Logo 𝐼P 1 12 𝑀𝐿2 𝑀 𝐿 2 2 𝐼P 1 12 𝑀𝐿2 1 4 𝑀𝐿2 𝐼P 𝑀𝐿2 1 12 1 4 𝑀𝐿2 1 3 12 𝐼P 𝑀𝐿2 4 12 1 3 𝑀𝐿2 E4 Exercício resolvido Considere um sistema constituído por 3 massas m1 10 kg m2 20 kg e m3 3 kg como aquele mostrado na figura abaixo Pedese a Encontre o momento de inércia do sistema com relação ao eixo y denominado Iy Solução As distâncias cada massa m1 m2 e m3 ao eixo y são r1 r2 e r3 perpendiculares ao eixo y considerado as quais estão mostradas na figura abaixo O momento de inércia do sistema com relação ao eixo y é 𝐼y 𝑚1𝑟1 2 𝑚2𝑟2 2 𝑚3𝑟3 2 Onde 𝑟1 30 m 𝑟2 20 m 𝑟3 10 m são as distâncias de cada massa m1 m2 e m3 ao eixo y respectivamente Logo temos 𝐼y 10 kg30 m2 20 kg20 m2 30 kg10 m2 𝐼y 10 kg90 m2 20 kg40 m2 30 kg10 m2 𝐼y 90 kg m2 80 kg m2 30 kg m2 𝐼y 200 kg m2 b Encontre as coordenadas do CM do sistema xCM e yCM Solução Utilizando as expressões para as coordenadas do CM 𝑥CM 𝑚1𝑥1 𝑚2𝑥2 𝑚3𝑥3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑥CM 10 kg30 m 20 kg20 m 30 kg10 m 10 kg 20 kg 30 kg CM P d M 6 𝑥CM 30 kg m 40 kg m 30 kg m 60 kg 𝑥CM 40 kg m 60 kg 2 3 m 067 m e 𝑦CM 𝑚1𝑦1 𝑚2𝑦2 𝑚3𝑦3 𝑚1 𝑚2 𝑚3 𝑦CM 10 kg10 m 20 kg20 m 30 kg00 m 60 kg 𝑦CM 10 kg m 40 kg m 60 kg 𝑦CM 30 kg m 60 kg 1 2 m 050 m Portanto as coordenadas do centro de massa CM são 𝑥CM 𝑦CM 067 050 m c Encontre o momento de inércia do sistema com relação ao eixo que passa pelo CM denominado ICM sendo que esse eixo é paralelo ao eixo y Solução O momento de inércia do sistema com relação ao eixo que passa por CM é 𝐼CM 𝑚1𝑅1 2 𝑚2𝑅2 2 𝑚3𝑅3 2 Onde R1 233 m R2 133 m e R3 167 m são as distâncias de cada massa m1 m2 e m3 ao eixo que passa por CM respectivamente Logo temos 𝐼CM 10 kg233 m2 20 kg133 m2 30 kg167 m2 𝐼CM 10 kg543 m2 20 kg177 m2 30 kg279 m2 𝐼CM 543 kg m2 354 kg m2 837 kg m2 𝐼CM 1734 kg m2 d Utilize o teorema do eixo paralelo e encontre a distância d de separação entre os dois eixos Solução Utilizando o teorema do eixo paralelo e considerando que O ponto P está sobre o eixo y de tal forma que IP Iy a distância de separação entre os eixos é d a massa M 60 kg é a soma de todas as massas do sistema temos 𝐼y 𝐼CM 𝑀𝑑2 𝐼y 𝐼CM 𝑀𝑑2 𝑑2 𝐼y 𝐼CM 𝑀 𝑑 𝐼y 𝐼CM 𝑀 𝑑 200 kg m2 1734 kg m2 60 kg 𝑑 266 kg m2 60 kg 𝑑 0443 m2 𝑑 067 m A distância d corresponde à coordenada xCM EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1 Quatro esferas estão posicionadas em um plano xy em uma configuração apresentada na figura a seguir Nós assumiremos que os raios das esferas são pequenos comparados com as dimensões da configuração a Mostre que os momentos de inércia do sistema com relação aos eixos x y e z são respectivamente 7 𝐼𝑥 2𝑚𝑏2 𝐼𝑦 2𝑀𝑎2 𝐼𝑧 2𝑀𝑎2 2𝑚𝑏2 b Mostre que as energias cinéticas de rotação do sistema com relação aos eixos x y e z são respectivamente 𝐾𝑟𝑜𝑡𝑥 𝑚𝑏2𝜔2 𝐾𝑟𝑜𝑡𝑦 𝑀𝑎2𝜔2 𝐾𝑟𝑜𝑡𝑧 𝑀𝑎2 𝑚𝑏2𝜔2 2 Uma peça uniforme de uma chapa de aço tem um formato como aquele mostrado na figura abaixo Encontre o vetor posição 𝑟CM que localiza o centro de massa da peça Resp 𝑟CM 117 cm𝑖 133 cm𝑗 3 Duas massas M e m estão conectadas por uma barra rígida de comprimento L e de massa negligenciável como mostrado na figura abaixo Para um eixo perpendicular à barra mostre que o sistema tem o momento de inércia mínimo quando o eixo passa através de seu centro de massa Mostre que o momento de inércia com relação ao eixo que passa pelo centro de massa do sistema é ICM mML2m M 4 Considere um sistema discreto constituído por três esferas de mesma massa M 10 kg as quais estão situadas em um plano xy com as seguintes coordenadas x y 0 0 8 4 e 8 4 a Desenhe o plano xy com as respectivas esferas e localize as coordenadas do centro de massa do sistema b Calcule o momento de inércia do sistema com relação a um eixo ao plano xy que passa pelo seu centro de massa ICM Resp a xCM 533 m e yCM 0 m b ICM 7468 kgm2 5 As quatro partículas na figura abaixo estão conectadas por hastes de massa desprezível O sistema rotaciona no plano xy sobre o eixo que passa pelo centro de massa CM do sistema com uma velocidade angular ω 6 rads a Encontre o vetor 𝑟 xCMî yCMĵ que localiza o centro de massa do sistema b Calcule o momento de inércia ICM do sistema sobre o eixo que passa pelo CM c Calcule a energia cinética de rotação KCM do sistema sobre o eixo que passa pelo seu CM Resp a 𝑟 xCMî yCMĵ 018 mî 027 mĵ b ICM 14188 kgm2 c KCM 255 kJ 6 Três pequenas partículas estão conectadas por barras de massa negligenciável ficando sobre o eixo y como na figura abaixo Se o sistema rotaciona sobre o eixo x com uma velocidade angular ω 20 rads Encontre a O momento de inércia do sistema com relação ao eixo x Ix Resp Ix 92 kgm2 b A energia cinética total de rotação do sistema com relação ao eixo x Krotx Ixω22 Obs Ix Σ miri2 onde ri é a distância de cada corpo de massa mi até o eixo de rotação x Resp Krotx 184 J c Encontre a velocidade de translação vi de cada partícula mi onde sabese que v vtan vtrans Obs veja que vi riω Resp v1 6 ms v2 4 ms e v3 8 ms 8 d A energia cinética total de translação do sistema sendo que Ktrans Σ mivi22 Resp Ktrans 184 J e As coordenadas do CM xCM e yCM do sistema de partículas Resp xcm ycm 0 044 m 7 Considere o sistema TerraLua Em valores aproximados o raio equatorial da Terra é RT 6378 103 km e o raio da Lua é RL 1738 103 km A massa da Terra é MT 5973 1024 kg e a massa da Lua é mL 7347 1022 kg Encontre a distância do centro de massa da Terra ao centro de massa do sistema Terra Lua Resp 4661 103 km O centro de massa do sistema TerraLua está dentro ou fora do planeta Terra Resp Dentro 1717 103 km abaixo da superfície da Terra Como esse resultado poderia explicar o fenômeno da superLua Resp A órbita da lua em torno do centro de massa TerraLua não é portanto perfeitamente circular e consequentemente haverá momentos de tempos em tempos em que a Lua estará realmente mais próxima da Terra e se isso coincidir com a Lua cheia resultará em um aumento no diâmetro e brilho da Lua quando vista da Terra a qual é chamada pelos astrônomos de superLua 8 Considere a figura abaixo a Encontre as coordenadas do centro de massa do sistema b O sistema rotaciona sobre o plano xy com uma velocidade angular ω 60 rads cujo eixo de rotação passa pelo centro de massa do sistema calcule a energia cinética de rotação do sistema c Calcule o momento de inércia do sistema com relação ao eixo z Resp a 𝑥CM 𝑦CM 0 0 m b 234 kJ c 130 kgm2 9 Considere a figura abaixo Uma molécula de água consiste de um átomo de oxigênio com dois átomos de hidrogênio ligados a ele O ângulo entre as duas ligações é 105o Se o comprimento da ligação OH é d 957 x 1011 m onde se localiza o centro de massa da molécula Sugestão Considere as massas dos átomos de hidrogênio e de oxigênio como sendo 1 u e 16 u respectivamente 1 u 1 uma 1661 1027 kg sendo que uma significa unidade de massa atômica Resp xCM 0068d 65 x 1012 m distante do núcleo do átomo de oxigênio em O estando sobre o eixo x e yCM 00 m Observação Neste problema o centro de massa dos átomos individuais está localizado no centro de seus núcleos os quais concentram praticamente toda a massa dos átomos 10 Considere um sistema composto por três massas em um plano xy onde duas massas iguais quaisquer m1 m2 M possuem coordenadas 00 e 80 respectivamente e uma terceira massa m3 possui coordenadas 48 As massas são dadas em kg as coordenadas x e y em m e o momento de inércia em kgm2 a Desenhe um plano xy com suas respectivas massas e coordenadas b Mostre que para que o centro de massa CM dessas três massas tenha as coordenadas xCM 40 m e yCM 30 m necessariamente m3 6 5 M c Se M 50 kg calcule o momento de inércia ICM com relação ao eixo ao plano xy que passa pelo CM d Se as massas rotacionam sobre o eixo ao plano x y que passa pelo CM com uma velocidade angular ω 20 rads calcule as velocidades tangenciais de translação v das massas e Calcule a energia cinética total de rotação Krot do sistema Resp b partindo de 𝑦CM 𝑚38 2𝑀𝑚3 3 isola m3 c ICM 4000 kgm2 d v1 v2 v3 100 ms e Krot 8000 J 11 Um engenheiro da NASA foi designado para projetar um componente mecânico com o objetivo de produzir uma pseudogravidade terrestre para ser utilizado em naves espaciais para viagens de longa duração ou na estação espacial internacional para os astronautas se exercitarem O engenheiro imaginou um tubo circular toroide de raio R 100 m o qual poderia rotacionar sobre seu eixo de simetria com uma velocidade angular ω de acordo com a figura abaixo Oxigênio Hidrogênio Hidrogênio 9 O astronauta a uma distância R do eixo de rotação possui uma velocidade tangencial de translação dada por v ωR A força centrípeta Fc sobre o astronauta é equivalente à uma pseudoforça normal N sobre a superfície onde o astronauta caminha N é neutralizada pela pseudoforçapeso w Assim Fc N w Por definição Fc mac sendo que a aceleração radial ou centrípeta é ac v2R e w mg onde m é a massa do astronauta e g é a pseudoaceleração da gravidade terrestre criada g 98 ms2 Pedese a Mostre que a velocidade angular de rotação do tubo que o engenheiro da NASA precisaria impor à estrutura do tubo deveria obedecer à relação 𝜔 𝑔 𝑅 b Qual seria o valor de ω Resp ω 10 rads c Quanto tempo levaria para o tubo realizar uma revolução O tempo de uma revolução ou uma volta é o período T medido em s Resp 628 s Solução a Partindo de Fc w mac mg v2R g ωR2R g isola ω ω2R2R g ω2 gR 𝜔 𝑔 𝑅 b 𝜔 𝑔 𝑅 98 m s2 100 m 098 s2 𝜔 10 rad s1 c 𝜔 2𝜋 𝑇 𝑇 2𝜋 𝜔 𝑇 2𝜋 𝜔 2𝜋 rad 10 rad s1 2𝜋 s 628 s 12 Considere uma peça metálica uniforme de massa total 100 kg com 05 m de largura e 06 m de altura na forma de um T como mostrada na figura abaixo Faça a considerações necessárias na figura quadriculada Crie um sistema de coordenadas xy incluindo os vetores unitários a Encontre e desenhe o vetor posição 𝑟𝐶𝑀 𝑥CM𝑖 𝑦CM𝑗 que localiza o centro de massa da peça onde xCM e yCM são as coordenadas do CM b Qual o momento de inércia Iy da peça com relação ao eixo y 13 Estabeleça hipóteses baseadas nas dimensões reais da figura abaixo e descubra as condições para que o sistema fique em equilíbrio 14 Uma roda gira com uma aceleração angular constante 35 rads2 Se a velocidade angular da roda é ω 20 rads no tempo t 0 s a Após t 20 s qual o deslocamento angular θ em radianos e em graus que a roda gira assim como o correspondente número de revoluções Resp θ 110 rad 630º 175 rev b Qual a velocidade angular ω para t 20 s Resp ω 90 rads c Qual o deslocamento angular em radianos que a roda gira entre t 20 s e t 30 s Resp θ 108 rad 15 Considere uma molécula de gás oxigênio O2 rotacionando no plano xy sobre o eixo z O eixo passa através do CM da molécula sendo perpendicular ao seu comprimento A massa de cada átomo de oxigênio é 266 x 1026 kg e à temperatura ambiente a separação entre os CMs dos dois átomos é d 121 x 1010 m Obs considerase que o CM de cada átomo está localizado no centro do seu núcleo sendo que o núcleo concentra praticamente toda a massa do átomo R 10 Pedese a Calcule o momento de inércia da molécula sobre o eixo z Resp Iz 195 x 1046 kgm2 b Se a velocidade angular da molécula com relação ao eixo z é 46 x 1012 rads qual é a sua energia cinética de rotação Resp Krotz 206 x 1021 J 16 Considere o planeta Terra como uma esfera rígida perfeita Um dia tem a duração de 24 h daí o período de revolução é T 24 h O raio da Terra é aproximadamente RT 6378 103 km A massa da Terra é MT 5973 1024 kg Com relação ao seu eixo de rotação calcule a A velocidade angular Resp 𝜔 2𝜋 𝑇 026 radh 722 x 105 rads b A velocidade de translação tangencial de qualquer objeto situado sobre a superfície da Terra ao nível do equador Resp 𝑣 2𝜋𝑅T 𝑇 1669 x 103 kmh 464 ms c O momento de inércia da Terra Resp 𝐼 2 5 𝑀T𝑅T 2 979 x 1031 kgm2 d A energia cinética de rotação Resp 𝐾𝑟𝑜𝑡 1 2 𝐼𝜔2 255 x 1023 J E5 Exercício resolvido Considere a figura abaixo a qual mostra um disco de raio r rotacionando no plano x y sobre o eixo z com velocidade angular constante ω Na figura são mostrados três pontos P pertencentes ao disco situados sobre o eixo x de raios r1 r2 e r3 respectivamente Cada ponto percorre um espaço s1 s2 e s3 comprimentos de arco com velocidade tangencial de translação constante v1 v2 e v3 respectivamente Pedese Mostre que para quaisquer dos pontos P para seus respectivos ri si vi eles se movem pelo mesmo intervalo de tempo t e se deslocam com o mesmo deslocamento angular θ Solução Sabemos que para i 1 2 e 3 Como 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜔 𝑣1 𝑟1𝜔 𝑣2 𝑟2𝜔 e 𝑣3 𝑟3𝜔 Como 𝑟3 𝑟2 𝑟1 𝑣3 𝑣2 𝑣1 Como 𝜃 𝑠𝑖 𝑟𝑖 𝜃 𝑠1 𝑟1 𝑠2 𝑟2 𝑠3 𝑟3 const Como 𝑣𝑖 𝑠𝑖 𝑡 Logo para qualquer ponto P 𝑡 𝑠𝑖 𝑣𝑖 𝑟𝑖𝜃 𝑣𝑖 𝜃 𝜔 const E6 Exercício resolvido Movimento circular uniforme mcu A figura abaixo mostra um objeto partícula de massa 𝑚 em kg movendose em uma trajetória circular de raio 𝑅 em m no sentido anti horário sobre o plano xy com velocidade tangencial de translação 𝑣 constante em ms e velocidade angular de rotação 𝜔 em rads sobre o eixo z Pedese Analise o movimento Solução Durante o movimento no plano xy age sobre o objeto uma força centrípeta Fc em N ou radial direcionada para o centro e como consequência aparece também uma aceleração centrípeta ac em ms2 ou radial A magnitude da aceleração centrípeta é 𝑎𝑐 𝑣2 𝑅 Utilizando a 2ª lei de Newton a magnitude da força centrípeta é 𝐹𝑐 𝑚𝑎𝑐 𝑚 𝑣2 𝑅 O período de rotação T em s é o tempo necessário para a massa m dar uma volta completa A velocidade v pode ser obtida através de 𝑣 2𝜋𝑅 𝑇 Como 𝑣 𝜔𝑅 sendo ω a velocidade angular de rotação em rads podemos reescrever a equação anterior como 𝜔𝑅 2𝜋𝑅 𝑇 𝜔 2𝜋 𝑇 O momento de inércia Iz da partícula de massa m com relação ao eixo passando pelo centro e perpendicular ao plano do movimento é 𝐼𝑧 𝑚𝑅2 A energia cinética de rotação do objeto é portanto igual à sua energia cinética de translação 𝐾𝑟𝑜𝑡 1 2 𝐼𝑧𝜔2 1 2 𝑚𝑅2 𝑣 𝑅 2 𝐾𝑟𝑜𝑡 1 2 𝑚𝑅2 𝑣2 𝑅2 1 2 𝑚𝑣2 𝐾𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠 11 CÁLCULO DO MOMENTO DE INÉRCIA PARA CORPOS RÍGIDOS Nós podemos calcular o momento de inércia I de um corpo rígido se imaginarmos que o objeto possa ser dividido em muitos elementos de volume pequenos os quais têm massa Δm Se usarmos a definição 𝐼 𝑟𝑖 2𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 E tomarmos o limite dessa soma quando Δm0 No limite a soma tornase uma integral sobre todo o objeto 𝐼 lim 𝑚𝑖0 𝑟𝑖 2𝑚𝑖 𝑛 𝑖1 𝑟2 𝑑𝑚 É usualmente mais fácil calcular momentos de inércia em termos de elementos de volume Para isso nós podemos utilizar a equação 𝜌 𝑚 𝑉 Onde 𝜌 é a densidade do objeto também chamada densidade volumétrica e 𝑉 é seu volume Como o objeto é homogêneo então a densidade do objeto é constante e podemos utilizar a expressão anterior na forma diferencial 𝜌 𝑑𝑚 𝑑𝑉 𝑑𝑚 𝜌 𝑑𝑉 Substituindo 𝑑𝑚 na integral e reescrevendoa temos 𝐼 𝜌𝑟2 𝑑𝑉 O momento de inércia 𝐼 de um corpo rígido pode ser encontrado resolvendose a integral mostrada acima especialmente se o objeto possui uma geometria conhecida E7 Exercício resolvido Aro uniforme Encontre o momento de inércia de um aro uniforme de massa M e raio R com relação a um eixo perpendicular ao plano do aro e passando através de seu centro Solução Todos os elementos de massa dm estão à mesma distância r R do eixo E então aplicando a integral temos 𝐼𝑧 𝑟2 𝑑𝑚 𝑅2 𝑑𝑚 𝑀𝑅2 𝐼𝑧 𝑀𝑅2 Note que este momento de inércia 𝐼𝑧 é o mesmo daquele de uma partícula de massa 𝑀 localizada a uma distância 𝑅 do eixo de rotação Veja exercício resolvido E6 E8 Exercício resolvido Barra rígida uniforme Pedese Calcule o momento de inércia de uma barra rígida uniforme de comprimento L e massa M com relação a um eixo perpendicular à barra eixo y e passando pelo seu centro de massa Solução Considere a figura abaixo A barra possui uma densidade linear de massa λ constante massa M por unidade de comprimento L em kgm Assim para elementos infinitesimais de massa dm e de comprimento dx podemos escrever 𝜆 𝑑𝑚 𝑑𝑥 𝑑𝑚 𝜆 𝑑𝑥 Como 𝜆 𝑀 𝐿 podemos escrever 𝑑𝑚 𝑀 𝐿 𝑑𝑥 Substituindo a expressão anterior na integral e fazendo 𝑟 𝑥 temos 𝐼𝑦 𝑟2 𝑑𝑚 𝑥2 𝑀 𝐿 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝑀 𝐿 𝑥2 𝐿 2 𝐿 2 𝑑𝑥 𝐼𝑦 𝑀 𝐿 𝑥3 3 𝐿 2 𝐿 2 𝑀 𝐿 𝐿 2 3 3 𝐿 2 3 3 𝐼𝑦 𝑀 𝐿 𝐿3 8 3 𝐿3 8 3 𝑀 𝐿 𝐿3 24 𝐿3 24 𝐼𝑦 𝑀 𝐿 2𝐿3 24 𝐼𝑦 1 12 𝑀𝐿2 12 E9 Exercício resolvido Cilindro sólido uniforme Pedese Calcule o momento de inércia com relação ao seu eixo central eixo z ou eixo de simetria de um cilindro sólido uniforme de raio R massa M e comprimento L Solução O cilindro é dividido em muitas cascas cilíndricas cada uma de raio r espessura dr e comprimento L como mostrado na figura abaixo O elemento de volume 𝑑𝑉 de cada casca corresponde à sua área de seção reta multiplicada pelo seu comprimento 𝑑𝑉 𝑑𝐴 𝐿 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 𝐿 Se a massa por unidade de volume é 𝜌 então a massa desse elemento de volume diferencial é 𝑑𝑚 𝜌 𝑑𝑉 𝜌2𝜋𝑟𝐿 𝑑𝑟 Substituindo esta expressão para 𝑑𝑚 na integral obtemos 𝐼𝑧 𝑟2 𝑑𝑚 2𝜋𝜌𝐿 𝑟3𝑑𝑟 𝑅 0 2𝜋𝜌𝐿 𝑟4 4 0 𝑅 𝐼𝑧 2𝜋𝜌𝐿 𝑅4 4 04 4 2𝜋𝜌𝐿 𝑅4 4 1 2 𝜋𝜌𝐿𝑅4 Como o volume total do cilindro é 𝑉 𝜋𝑅2𝐿 Logo a densidade pode ser escrita como 𝜌 𝑀 𝑉 𝑀 𝜋𝑅2𝐿 Substituindo a expressão anterior para 𝜌 na expressão para o momento de inércia 𝐼𝑧 resulta 𝐼𝑧 1 2 𝜋 𝑀 𝜋𝑅2𝐿 𝐿𝑅4 𝐼𝑧 1 2 𝑀𝑅2 Note que esse resultado não depende do comprimento do cilindro L Em outras palavras 𝑰𝒛 vale para um cilindro longo ou um disco plano E10 Exercício resolvido Cilindro oco Pedese Calcule o momento de inércia com relação ao seu eixo central de simetria z de um cilindro oco ou vazado uniforme de raio interno R1 e raio externo R2 massa M e comprimento L Solução Considerando a figura abaixo Utilizando o mesmo elemento de massa diferencial para um cilindro rígido veja exercício resolvido E9 e resolvendo a integral de r R1 até r R2 temos 𝐼𝑧 𝑟2 𝑑𝑚 2𝜋𝜌𝐿 𝑟3𝑑𝑟 𝑅2 𝑅1 2𝜋𝜌𝐿 𝑟4 4 𝑅1 𝑅2 𝐼𝑧 1 2 𝜋𝜌𝐿𝑅2 4 𝑅1 4 1 2 𝜋𝜌𝐿𝑅2 2 𝑅1 2𝑅2 2 𝑅1 2 No último passo nós utilizamos a identidade 𝑎2 𝑏2 𝑎 𝑏𝑎 𝑏 Vamos expressar este resultado em termos da massa total M do corpo a qual é sua densidade 𝜌 multiplicada pelo volume total V O volume do cilindro é 𝑉 𝜋𝐿𝑅2 2 𝑅1 2 Tal que sua massa total M é 𝑀 𝜌𝑉 𝜋𝐿𝜌𝑅2 2 𝑅1 2 Comparando com a expressão acima para 𝐼𝑧 nós vemos que 𝐼𝑧 1 2 𝑀𝑅1 2 𝑅2 2 Esse resultado concorda com o caso de um cilindro rígido ou sólido fazendo o raio externo ser R2 R e o raio interno R1 0 resulta no momento de inércia 𝐼𝑧 1 2 𝑀𝑅2