·
Engenharia Civil ·
Geometria Analítica
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Superfícies Quádricas Chamase quádri ca qualquer subconjunto Ω de E3 que possa ser descrito em relação a um sistema ortogonal de coordenadas por uma equação de segundo grau nas três variáveis x y e z ax² by² cz² 2dxy 2ex 2fyz mx ny pz q 0 Sendo a b c d e ou f diferentes de zero Superfícies Quádricas Através de uma rotação eou translação de eixos a equação I pode assumir uma das seguintes formas II Ax² By² Cz² D quadricas centrícas III Ax² By² C Ay² Bz² Cy quadricas não centrícas Ay² Bz² Cx Se as constantes A B C e D são não nulas podemos escrever a equação II na forma canónica x²a² y²b² z²c² 1 IV com a b e c números reais positivos Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio Logo existem três possibilidades todos os sinais são positivos dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos Relembrando Cônicas circunferência x a² y b² r² parábola y² 4px elipse x²a² y²b² 1 hipérbole Superfícies Quádricas Traços em x k Traços em v k Superfícies Quádricas Para se esboçar o gráfico de uma superfície no espaço determinamse as curvas de interseções da superfície com os planos coordenados x 0 y 0 e z 0 chamadas de traços da superfície e também as curvas de interseções da superfície com planos paralelos aos planos coordenados chamadas de seções da superfície As curvas de interseções com planos paralelos ao plano xy são conhecidas como curvas de contorno e suas projeções no plano xy são as chamadas curvas de nível Esfera Dados um ponto C e um número real positivo ρ a superfície esférica S de centro C e raio ρ é o lugar geométrico dos pontos X do espaço tais que dX C ρ ou equivalentemente d²X C ρ² Suponhamos que C x₀ y₀ z₀ e X x y z Então X pertence a S se e somente se x x₀² y y₀² z z₀² ρ² Esta equação é chamada equação reduzida de superfície esférica Elipsoide Equação do elipsoide x²a² y²b² z²c² 1 a b c 0 As medidas dos semieixos do elipsoide Elipsoide O traço no plano xOy é a elipse x²a² y²b² 1 z 0 i e os traços nos planos xOz e yOz são as elipses x²a² z²c² 1 y 0 ii x 0 iii Elliptical crosssection in the plane z z0 The ellipse x²a² y²b² 1 in the xyplane The ellipse x²a² z²c² 1 in the xzplane The ellipse y²b² z²c² 1 in the yzplane Exemplo Utilize traços para esboçar a superfície z 4x² y² Impondo x 0 obtemos z y² de forma que no plano yz a interseção da superfície é uma parábola Se tomarmos x k uma cte obtemos z y² 4k² Isto significa que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yz obteremos uma nova parábola com concavidade voltada para cima Da mesma forma tomando y k o traço é z 4x² k² que corresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima Impondo z k obteremos os traços horizontais k 4x² y² que reconhecemos como uma família de elipses Cilindro Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas chamadas geratrizes que são paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana Os cilindros elípticos de eixo OX eixo OY e eixo OZ na forma canônica são as superfícies dadas respectivamente pelas equações de segundo grau nas variáveis x y e z abaixo a² b² c² 1 b² z² 1 x² y² 1 onde a b c são números reais positivos Estas superfícies são simétricas em relação à origem e aos três eixos coordenados Cilindro NOTA Quando estamos tratando de superfícies é importante reconhecer que uma equação como x² y² 1 representa uma superfície cilíndrica e não uma circunferência O traço dessa superfície no plano xy é a circunferência de equação x² y² 1 z 0 Cilindro Observe que a equação não envolve y Isto significa que qualquer plano vertical da equação y k paralelo ao plano xz intercepta o gráfico segundo uma curva de equação z x² Os traços verticais são portanto parábolas A equação que representa um hiperboloide de uma folha hiperbóloide de uma folha x²a² y²b² z²c² 1 x²a² y²b² z²c² 1 Canônica da equação do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y Hipervolóide de duas folhas The ellipse x²a² y²b² 1 in the plane z c2 Paraboloide elíptico parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO ou SELA é a superfície ou lugar geométrico de uma equação da forma ax² bz² cy com c 0 A seção por um plano y k k 0 é a hipérbole ax² bz² ck cujos eixos transverso e conjugado são paralelos aos eixos das abscissas eixo dos x e das ordenadas eixo dos y A seção por um plano x k são parábolas de equações cy bz² ak² A seção por um plano z k são parábolas de equações cy ax² bk² A seção por um plano x 0 é a parábola de equação cy bz² A seção por um plano y 0 é o par de retas de equações ax bz A seção por um plano z 0 é a parábola de equação cy ax² Paraboloide hiperbólico The line z fraccby in the yzplane Translação de Superfícies quadráticas Vimos que uma cônica no sistema de coordenadas xy pode ser transplantada substituindo xh por x e yk por y em sua equação Para entender como isso funciona considere os eixos como fixos e considere o plano como uma folha transparente de plástico na qual todos os gráficos são desenhados Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo xh yk por x y o efeito geométrico é transladar a folha de plástico em consequência todas as curvas tal que o ponto sobre o plástico que estava inicialmente em 0 0 foi movido para o ponto h k Translação de Superfícies quadráticas Para o análogo no espaço tridimensional considere os eixos x y z como fixos e considere o espaço 3D como um bloco transparente de plástico na qual todas as superfícies estão embutidas Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo xh yk zl por x y z o efeito geométrico é transladar o bloco da plástico e por consequência todas as superfícies tal que o ponto no bloco de plástico que estava inicialmente em 0 0 0 é movido para o ponto h k l Exemplo Faça o esboço da equação z fracx29 fracy24 Sua interseção com o plano X Y z 0 são retas que satisfazem a equação fracx29 fracy24 0 De fato isolando y obtemos as equações destas retas y pm frac23x Sua interseção com o plano X Z y0 é a parábola de equação z fracx29 E a interseção do paraboloide hiperbólico com o plano Y Z x 0 é a parábola de equação z fracy24 Exemplo Discuta identifique e esboce o gráfico de cada uma das superfícies seguintes a 4x² z² 16 b 4x² z² 16 c 4x² z 2 d 4x² y² z 2 a 4x² z² 16 ou fracx24 fracz216 1 a2 4 e b2 16 Rightarrow a 2 e b 4 Discussão A equação 4x2 z2 16 representa no plano uma hipérbole com eixo transverso ou real sobre o eixo dos x e eixo conjugado ou imaginário sobre o eixo dos z Portanto no espaço representa uma superfície cilíndrica hiperbólica uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica diretriz b 4x² z² 16 ou fracx²4 fracz²16 1 a² 16 e b² 4 a 4 e b 2 Discussão A equação 4x² z² 16 representa no plano uma elipse com eixo maior sobre o eixo dos z e eixo menor sobre o eixo dos x Portanto no espaço representa uma superfície cilíndrica elíptica cilindro elíptico uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica diretriz c 4x² z 2 Discussão A equação 4x² z 2 representa no plano uma parábola com eixo de simetria sobre o eixo dos z Portanto no espaço representa uma superfície cilíndrica parabólica cilindro parabólico uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica diretriz d 4x² y² z 2 Discussão 1 Se x 0 temse y² z 2 ou z y² 2 que representa uma parábola no plano yOz 2 Se y 0 temse 4x² z 2 ou z 4x² 2 que representa uma parábola no plano xOz 3 Se z 0 temse 4x² y² 2 que representa uma elipse no plano xOy 4 Se x k temse 4k² y² z 2 ou z y² 2 4k² que representa uma parábola 5 Se y k temse 4x² k² z 2 ou z 4x² 2 k² que representa uma parábola 6 Se z k temse 4x² y² k 2 ou 4x² y² 2 k que representa uma elipse desde que 2 k 0 Assim a superfície é uma parabolóide elíptica não de revolução com eixo sobre o eixo dos z a2 b2 c2 1 As equações das sup quadráticas tem certas características que tornam possível identificar as quadráticas que são deduzidas dessas equações por reflexões Essas características identificatórias mostradas na tabela são baseadas em escrever a equação da sup quadrática de tal forma que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no lado direito
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Superfícies Quádricas Chamase quádri ca qualquer subconjunto Ω de E3 que possa ser descrito em relação a um sistema ortogonal de coordenadas por uma equação de segundo grau nas três variáveis x y e z ax² by² cz² 2dxy 2ex 2fyz mx ny pz q 0 Sendo a b c d e ou f diferentes de zero Superfícies Quádricas Através de uma rotação eou translação de eixos a equação I pode assumir uma das seguintes formas II Ax² By² Cz² D quadricas centrícas III Ax² By² C Ay² Bz² Cy quadricas não centrícas Ay² Bz² Cx Se as constantes A B C e D são não nulas podemos escrever a equação II na forma canónica x²a² y²b² z²c² 1 IV com a b e c números reais positivos Se todos os sinais são negativos então o lugar geométrico da equação é vazio Logo existem três possibilidades todos os sinais são positivos dois sinais positivos e um negativo ou um positivo e dois negativos Relembrando Cônicas circunferência x a² y b² r² parábola y² 4px elipse x²a² y²b² 1 hipérbole Superfícies Quádricas Traços em x k Traços em v k Superfícies Quádricas Para se esboçar o gráfico de uma superfície no espaço determinamse as curvas de interseções da superfície com os planos coordenados x 0 y 0 e z 0 chamadas de traços da superfície e também as curvas de interseções da superfície com planos paralelos aos planos coordenados chamadas de seções da superfície As curvas de interseções com planos paralelos ao plano xy são conhecidas como curvas de contorno e suas projeções no plano xy são as chamadas curvas de nível Esfera Dados um ponto C e um número real positivo ρ a superfície esférica S de centro C e raio ρ é o lugar geométrico dos pontos X do espaço tais que dX C ρ ou equivalentemente d²X C ρ² Suponhamos que C x₀ y₀ z₀ e X x y z Então X pertence a S se e somente se x x₀² y y₀² z z₀² ρ² Esta equação é chamada equação reduzida de superfície esférica Elipsoide Equação do elipsoide x²a² y²b² z²c² 1 a b c 0 As medidas dos semieixos do elipsoide Elipsoide O traço no plano xOy é a elipse x²a² y²b² 1 z 0 i e os traços nos planos xOz e yOz são as elipses x²a² z²c² 1 y 0 ii x 0 iii Elliptical crosssection in the plane z z0 The ellipse x²a² y²b² 1 in the xyplane The ellipse x²a² z²c² 1 in the xzplane The ellipse y²b² z²c² 1 in the yzplane Exemplo Utilize traços para esboçar a superfície z 4x² y² Impondo x 0 obtemos z y² de forma que no plano yz a interseção da superfície é uma parábola Se tomarmos x k uma cte obtemos z y² 4k² Isto significa que se deslocarmos o gráfico para um plano paralelo ao plano yz obteremos uma nova parábola com concavidade voltada para cima Da mesma forma tomando y k o traço é z 4x² k² que corresponde novamente a uma parábola com concavidade para cima Impondo z k obteremos os traços horizontais k 4x² y² que reconhecemos como uma família de elipses Cilindro Um cilindro é uma superfície constituída de todas as retas chamadas geratrizes que são paralelas a uma reta dada e que passam por uma curva plana Os cilindros elípticos de eixo OX eixo OY e eixo OZ na forma canônica são as superfícies dadas respectivamente pelas equações de segundo grau nas variáveis x y e z abaixo a² b² c² 1 b² z² 1 x² y² 1 onde a b c são números reais positivos Estas superfícies são simétricas em relação à origem e aos três eixos coordenados Cilindro NOTA Quando estamos tratando de superfícies é importante reconhecer que uma equação como x² y² 1 representa uma superfície cilíndrica e não uma circunferência O traço dessa superfície no plano xy é a circunferência de equação x² y² 1 z 0 Cilindro Observe que a equação não envolve y Isto significa que qualquer plano vertical da equação y k paralelo ao plano xz intercepta o gráfico segundo uma curva de equação z x² Os traços verticais são portanto parábolas A equação que representa um hiperboloide de uma folha hiperbóloide de uma folha x²a² y²b² z²c² 1 x²a² y²b² z²c² 1 Canônica da equação do hiperboloide de uma folha ao longo do eixo y Hipervolóide de duas folhas The ellipse x²a² y²b² 1 in the plane z c2 Paraboloide elíptico parabolóide elíptico Parabolóide hiperbólico PARABOLÓIDE HIPERBÓLICO ou SELA é a superfície ou lugar geométrico de uma equação da forma ax² bz² cy com c 0 A seção por um plano y k k 0 é a hipérbole ax² bz² ck cujos eixos transverso e conjugado são paralelos aos eixos das abscissas eixo dos x e das ordenadas eixo dos y A seção por um plano x k são parábolas de equações cy bz² ak² A seção por um plano z k são parábolas de equações cy ax² bk² A seção por um plano x 0 é a parábola de equação cy bz² A seção por um plano y 0 é o par de retas de equações ax bz A seção por um plano z 0 é a parábola de equação cy ax² Paraboloide hiperbólico The line z fraccby in the yzplane Translação de Superfícies quadráticas Vimos que uma cônica no sistema de coordenadas xy pode ser transplantada substituindo xh por x e yk por y em sua equação Para entender como isso funciona considere os eixos como fixos e considere o plano como uma folha transparente de plástico na qual todos os gráficos são desenhados Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo xh yk por x y o efeito geométrico é transladar a folha de plástico em consequência todas as curvas tal que o ponto sobre o plástico que estava inicialmente em 0 0 foi movido para o ponto h k Translação de Superfícies quadráticas Para o análogo no espaço tridimensional considere os eixos x y z como fixos e considere o espaço 3D como um bloco transparente de plástico na qual todas as superfícies estão embutidas Quando as coordenadas dos pontos são modificadas substituindo xh yk zl por x y z o efeito geométrico é transladar o bloco da plástico e por consequência todas as superfícies tal que o ponto no bloco de plástico que estava inicialmente em 0 0 0 é movido para o ponto h k l Exemplo Faça o esboço da equação z fracx29 fracy24 Sua interseção com o plano X Y z 0 são retas que satisfazem a equação fracx29 fracy24 0 De fato isolando y obtemos as equações destas retas y pm frac23x Sua interseção com o plano X Z y0 é a parábola de equação z fracx29 E a interseção do paraboloide hiperbólico com o plano Y Z x 0 é a parábola de equação z fracy24 Exemplo Discuta identifique e esboce o gráfico de cada uma das superfícies seguintes a 4x² z² 16 b 4x² z² 16 c 4x² z 2 d 4x² y² z 2 a 4x² z² 16 ou fracx24 fracz216 1 a2 4 e b2 16 Rightarrow a 2 e b 4 Discussão A equação 4x2 z2 16 representa no plano uma hipérbole com eixo transverso ou real sobre o eixo dos x e eixo conjugado ou imaginário sobre o eixo dos z Portanto no espaço representa uma superfície cilíndrica hiperbólica uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica diretriz b 4x² z² 16 ou fracx²4 fracz²16 1 a² 16 e b² 4 a 4 e b 2 Discussão A equação 4x² z² 16 representa no plano uma elipse com eixo maior sobre o eixo dos z e eixo menor sobre o eixo dos x Portanto no espaço representa uma superfície cilíndrica elíptica cilindro elíptico uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica diretriz c 4x² z 2 Discussão A equação 4x² z 2 representa no plano uma parábola com eixo de simetria sobre o eixo dos z Portanto no espaço representa uma superfície cilíndrica parabólica cilindro parabólico uma vez que a equação da superfície cilíndrica é a mesma equação da curva plana ou cônica diretriz d 4x² y² z 2 Discussão 1 Se x 0 temse y² z 2 ou z y² 2 que representa uma parábola no plano yOz 2 Se y 0 temse 4x² z 2 ou z 4x² 2 que representa uma parábola no plano xOz 3 Se z 0 temse 4x² y² 2 que representa uma elipse no plano xOy 4 Se x k temse 4k² y² z 2 ou z y² 2 4k² que representa uma parábola 5 Se y k temse 4x² k² z 2 ou z 4x² 2 k² que representa uma parábola 6 Se z k temse 4x² y² k 2 ou 4x² y² 2 k que representa uma elipse desde que 2 k 0 Assim a superfície é uma parabolóide elíptica não de revolução com eixo sobre o eixo dos z a2 b2 c2 1 As equações das sup quadráticas tem certas características que tornam possível identificar as quadráticas que são deduzidas dessas equações por reflexões Essas características identificatórias mostradas na tabela são baseadas em escrever a equação da sup quadrática de tal forma que todos os termos variáveis estejam no lado esquerdo e que haja um 1 ou 0 no lado direito