Resolução da Lista

Universidade Estadual de Maringá Dep de Estatística UEM Disciplina 8082 Controle Estatístico de Qualidade Lista de exercícios para o dia 09092024 20 pontos OBS As soluções não precisam ser manuscritas podendo ser usado inclusive o formato Rmarkdown Exercícios 1 Equipes de hospital examinam rotineiramente registros de pacientes à procura de erros tais como informação incompleta de seguro história incompleta do paciente ou registros médicos faltantes ou incompletos Na média cerca de 250 novos pacientes são admitidos a cada dia Historicamente cerca de 5 desses registros tiveram erros Se uma amostra alea tória de 50 registros de novos pacientes for verificada a cada dia qual será a probabilidade de que essa amostra contenha pelo menos um registro com informação faltante 2 Suponha que um produto seja embalado em lotes de tamanho N 5000 O procedimento de inspeção de recepção usado é o de amostragem única com n 50 e c 1 a Esboce a curva CO tipo A para esse plano b Esboce a curva CO tipo B para esse plano e comparea com a curva CO tipo A encontrada na parte a c Qual curva é apropriada para essa situação 3 Uma camada de TiW é depositada em um substrato por uma ferramenta espalhadeira A Tabela 6E14 contém medidas da espessura em angstroms para 20 subgrupos de quatro substratos a Estabeleça os gráficos de controle e R para esse processo O processo está sob controle Revise os limites de controle conforme necessário b Estime a média e o desvio padrão do processo c A espessura da camada é normalmente distribuída d Se as especificações forem 450 30 estime e interprete os índices de capacidade do processo e A Tabela 6E15 contém 10 novos subgrupos de dados da espessura Plote esses dados nos gráficos de controle construídos no exercício 626 a O processo está sob controle 3 estatístico f Apresente a curva CO para o planejamento usado nesse exercício Qual a probabilidade de aceitação erro do tipo II se a média tiver um afastamento de um desvio padrão do processo g Em um lote de 1000 unidades quantas é esperada estar fora das especificações 4 Usase um gráfico de controle para a fração não conforme de uma peça plástica fabricada em um processo de moldagem por injeção Os lotes de produção são de 10000 unidades Dez subgrupos fornecem os dados exibidos na Tabela 1 Tabela 1 Dados da unidade não conforme para exercício 4 Número da Tamanho da Número de amostra amostra Não conformes 1 100 10 2 100 15 3 100 31 4 100 18 5 100 24 6 100 12 7 100 23 8 100 15 9 100 8 10 100 8 a Estabeleça um gráfico de controle para o número de não conformes em amostras de n 100 b Para o gráfico estabelecido na parte a qual é a probabilidade de se detectar uma mudança na fração não conforme do processo para 030 na primeira amostra após a mudança ter ocorrido c Trace a curva CO para o gráfico de controle estabelecido na parte a 5 Uma companhia usa o seguinte procedimento de amostragem de aceitação Tomase uma amostra de tamanho igual a 10 do tamanho do lote Se 2 ou menos dos itens na amostra estiverem defeituosos o lote será aceito caso contrário o lote será rejeitado Se os tamanhos dos lotes submetidos variarem entre 5000 e 10000 unidades o que se pode dizer sobre o nível de proteção desse plano Se 005 for o PADL desejado esse esquema 2 fornecerá proteção razoável para o consumidor 6 Um processo está sob controle estatístico com X 397 e R 25 O gráfico de controle usa um tamanho amostral de n 2 As especificações são 40 5 A característica da qualidade é distribuída normalmente a Estime a capacidade potencial do processo b Estime a capacidade efetiva do processo c Calcule e compare as RCPs Cpk e Cpkm d De quanto poderia melhorar o desempenho do processo se a média pudesse ser estabelecida em seu valor nominal 7 Três operadores que testaram três partes três vezes Uma imagem de parte do projeto Medidor RR é mostrada abaixo Figura 1 O Operador 1 testará 5 peças três vezes cada Na figura acima você pode ver que o Operador 1 testou a Parte 1 três vezes Quais são as fontes de variação nesses três testes É o próprio equipamento de medição O operador é o mesmo e a peça é a mesma A variação nesses três testes é uma medida da repetibilidade Também é chamada de variação do equipamento em estudos Gage RR ou variação dentro em estudos ANOVA O operador 1 também executa as peças 2 a 5 três vezes cada A variação nesses resultados inclui a variação devido às peças bem como a variação do equipamento Os operadores 2 e 3 também testam as mesmas 5 peças três vezes cada A variação em todos os resultados inclui a variação do equipamento a variação da peça a variação do operador e a interação entre operadores e peças A variação em todos os resultados é a reprodutibilidade a Complete a anova Operador e partes são aleatórios 1 Tabela 2 ANOVA Relatório de Medidor R R com interação FV GL SQ QM Fc valorp Parte 28909 Operador 1630 ParteOperador 0065 Resíduo Total 32317 b Estime a repetibilidade e a reprodutibilidade do medidor c Qual é a estimativa da variabilidade total do medidor d Se as especificações do produto são LIE 1 e LSE 8 o que se pode dizer sobre a capacidade do medidor 0 Introdução ao CONTROLE ESTATÍSTICO DA QUALIDADE DOUGLAS C MONTGOMERY LTC Sétima Edição Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade ABDR Respeite o direito autoral O GEN Grupo Editorial Nacional maior plataforma editorial brasileira no segmento científico técnico e profissional publica conteúdos nas áreas de ciências exatas humanas jurídicas da saúde e sociais aplicadas além de prover serviços direcionados à educação continuada e à preparação para concursos As editoras que integram o GEN das mais respeitadas no mercado editorial construíram catálogos inigualáveis com obras decisivas para a formação acadêmica e o aperfeiçoamento de várias gerações de profissionais e estudantes tendo se tornado sinônimo de qualidade e seriedade A missão do GEN e dos núcleos de conteúdo que o compõem é prover a melhor informação científica e distribuíla de maneira flexível e conveniente a preços justos gerando benefícios e servindo a autores docentes livreiros funcionários colaboradores e acionistas Nosso comportamento ético incondicional e nossa responsabilidade social e ambiental são reforçados pela natureza educacional de nossa atividade e dão sustentabilidade ao crescimento contínuo e à rentabilidade do grupo Sétima Edição Introdução ao Controle Estatístico da Qualidade DOUGLAS C MONTGOMERY Arizona State University Tradução e revisão técnica Ana Maria Lima de Farias DSc ProfessoraAssociada UFF Vera Regina Lima de Farias e Flores MSc Anteriormente Professora Adjunta UFMG LTC O autor e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços do autor das tradutoras do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bemvindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à LTC Livros Técnicos e Científicos Editora pelo email ltcgrupogencombr Traduzido de INTRODUCTION TO STATISTICAL QUALITY CONTROL SEVENTH EDITION Copyright 2013 2008 2004 2000 by John Wiley Sons Inc All Rights Reserved This translation published under license with the original publisher John Wiley Sons Inc ISBN 9781118146811 Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 2016 by LTC Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios 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de Engenharia da Arizona State University Foundation e Regents Professor maior posto docente destinado a professores com realizações excepcionais que lhes renderam reconhecimento nacional e internacional em Engenharia Industrial e Estatística Recebeu os graus BS Bacharel MS Mestre e PhD Doutor do Virginia Polytechnic Institute todos em Engenharia Foi membro da School of Industrial Systems Engineering do Georgia Institute of Technology de 1969 a 1984 de 1984 a 1988 esteve na University of Washington onde ocupou a Cadeira John M Fluke de Engenharia da Manufatura foi professor de Engenharia Mecânica e Diretor do Programa em Engenharia Industrial Seus interesses são a pesquisa e o ensino de estatística na engenharia incluindo técnicas de controle estatístico da qualidade planejamento de experimentos análise de regressão e construção de modelos empíricos e na aplicação da metodologia de pesquisa operacional a problemas de sistemas de manufatura É também autor e coautor de mais de 250 artigos técnicos nessas áreas e é autor de outros 12 livros Dr Montgomery é Fellow das seguintes sociedades American Society for Quality American Statistical Association Royal Statistical Society e Institute of Industrial Engineers membro eleito do International Statistical Institute e acadêmico eleito da International Academy of Quality Recebeu a medalha Shewhart da American Society for Quality e também os prêmios Brumbaugh Lloyd S Nelson William G Hunter e Shewell duas vezes da ASQ Recebeu também o prêmio Deming Lecture da American Statistical Association a medalha George Box da European Network for Business and Industrial Statistics ENBIS a medalha Greenfield da Royal Statistical Society e o prêmio Ellis R Ott Foi editor do Journal of Quality Technology é um dos atuais editores de Quality and Reliability Engineering International e participa do conselho editorial de vários periódicos Prefácio Introdução Este livro trata do uso de métodos estatísticos modernos para controle e melhoria da qualidade cobrindo o assunto de maneira abrangente desde os princípios básicos até os conceitos mais recentes do estado da arte e aplicações O objetivo é dar ao leitor uma compreensão sólida dos princípios e a base para aplicálos em uma variedade de situações Embora as técnicas estatísticas sejam enfatizadas ao longo de todo o livro este tem uma forte orientação para a engenharia e o gerenciamento O conhecimento extensivo de estatística não é um prérequisito necessário para seu uso Os leitores que tiverem um curso básico sobre métodos estatísticos acharão o material facilmente acessível Públicoalvo O livro é o resultado de mais de 40 anos de ensino pesquisa e consultoria na aplicação de métodos estatísticos a problemas industriais É planejado para ser um livrotexto destinado a alunos de faculdades e universidades que estejam estudando engenharia estatística administração e áreas relacionadas e que estejam tendo um primeiro curso sobre controle estatístico da qualidade Este curso é dado em geral no nível júnior ou sênior Todos os tópicos básicos para este curso são vistos com detalhes No livro há também material avançado que poderia ser usado com alunos do final da graduação que já tenham tido algum curso sobre os fundamentos ou em um curso para alunos já graduados O material deste texto é usado extensivamente em programas para profissionais práticos inclusive engenheiros da qualidade e confiabilidade engenheiros de produção e desenvolvimento projetistas de produtos especialistas em compras gerentes pessoal de marketing técnicos e analistas de laboratórios inspetores e pessoal de operação Muitos profissionais têm também usado o material para estudo individual Organização dos Capítulos e Cobertura dos Tópicos O livro contém seis partes A Parte 1 é introdutória O primeiro capítulo é uma introdução à filosofia e aos conceitos básicos da melhoria da qualidade Mostra que a qualidade se tornou a principal estratégia de negócio e que as organizações que melhoram sua qualidade podem aumentar a produtividade acentuar sua penetração no mercado e alcançar maior lucratividade e uma forte vantagem competitiva Alguns dos aspectos do gerenciamento e da implementação da melhoria da qualidade estão incluídos O Capítulo 2 descreve o DMAMC um acrônimo para Definir Medir Analisar Melhorar e Controlar O processo DMAMC é uma excelente estrutura para se usar na realização de projetos de melhoria da qualidade DMAMC é em geral associado à metodologia Seis Sigma mas independentemente da abordagem adotada por uma organização DMAMC é uma ótima ferramenta tática a ser usada por profissionais da melhoria da qualidade A Parte 2 é uma descrição dos métodos estatísticos úteis na melhoria da qualidade Os tópicos incluem amostragem e estatística descritiva as noções básicas de probabilidade e distribuições de probabilidade estimação pontual e intervalar de parâmetros e teste de hipóteses estatísticas Esses tópicos são normalmente cobertos em um curso básico de métodos estatísticos no entanto sua apresentação neste texto é feita sob o ponto de vista da engenharia da qualidade Minha experiência mostrou que mesmo leitores com uma sólida formação estatística acharão a abordagem desse material útil e um tanto diferente da de um livrotexto padrão de estatística A Parte 3 contém quatro capítulos que cobrem os métodos básicos do controle estatístico de processos ou CEP e métodos para a análise da capacidade de processos Embora muitas ferramentas de resolução de problemas de CEP sejam discutidas incluindo gráficos de Pareto e diagramas de causa e efeito por exemplo o foco principal dessa seção é o gráfico de controle de Shewhart O gráfico de controle de Shewhart certamente não é novo mas seu uso nas empresas e indústrias modernas é de grande valor Há quatro capítulos na Parte 4 que apresentam alguns métodos de CEP mais avançados Incluemse os gráficos de controle de somas cumulativas e de médias móveis exponencialmente ponderadas Capítulo 9 vários gráficos de controle univariados importantes tais como procedimentos para sequências curtas de produção dados autocorrelacionados e processos de fluxo múltiplo Capítulo 10 monitoramento e controle de processos multivariados Capítulo 11 e técnicas de ajustamento retroativo Capítulo 12 Parte desse material está em um nível mais elevado do que a Parte 3 mas é acessível a alunos mais avançados de graduação e iniciantes de pósgraduação Esse material constitui a base de um segundo curso em melhoria e controle estatístico da qualidade para esse público A Parte 5 contém dois capítulos que mostram como os experimentos estatisticamente planejados podem ser úteis para o planejamento o desenvolvimento e a melhoria do processo O Capítulo 13 apresenta os conceitos fundamentais do planejamento de experimentos e apresenta ao leitor os planejamentos fatorial e fatorial fracionado com ênfase particular sobre planejamentos de sistemas de dois níveis Esses planejamentos são usados extensivamente na indústria para varredura de fatores e caracterização do processo Embora o tratamento desse assunto não seja extenso e não seja um substituto para um curso formal em planejamento de experimentos ele possibilitará ao leitor apreciar exemplos mais sofisticados do planejamento de experimentos O Capítulo 14 introduz métodos e planejamentos de superfície de resposta ilustra a operação evolucionária OPEV em inglês evolutionary operation EVOP para monitoramento do processo e mostra como experimentos estatisticamente planejados podem ser usados para estudos de robustez do processo Os Capítulos 13 e 14 enfatizam a importante interrelação entre controle estatístico do processo e planejamento experimental para melhoria do processo Há dois capítulos sobre amostragem de aceitação na Parte 6 O foco é sobre amostragem de aceitação lote a lote embora haja alguma discussão sobre amostragem contínua e MIL STD 1235C no Capítulo 14 Outros tópicos sobre amostragem apresentados incluem vários aspectos da elaboração de planos de amostragem de aceitação uma discussão dos MIL STD 105E MIL STD 414 e seus análogos civis ANSIASQC Z14 e ANSIASQC ZI9 e outras técnicas tais como amostragem em cadeia e amostragem com omissão de lotes skiplot sampling Em todo o livro são dadas diretrizes para a seleção do tipo adequado de técnica estatística a ser usada em uma grande variedade de situações Há também referências extensas a artigos de periódicos e outra literatura técnica que podem ajudar o leitor na aplicação dos métodos descritos Mostrei também como as diferentes técnicas apresentadas são usadas no processo DMAMC Novidades Nesta Edição A 7a edição do livro tem material novo sobre vários tópicos incluindo a implementação da melhoria da qualidade aplicação das ferramentas da qualidade em contextos não de manufatura monitoramento de processos de Bernoulli monitoramento de processos com baixos níveis de defeitos e planejamento de experimentos para melhoria do processo e do produto Além disso reescrevi e atualizei muitas seções do livro Isso se reflete em mais de duas dúzias de novas referências acrescentadas à bibliografia Penso que isso levou a uma exposição mais clara e mais atual de muitos tópicos Acrescentei também 80 novos exercícios aos conjuntos de problemas de final de capítulo Programas de Computador O computador desempenha um papel importante em um curso moderno de controle da qualidade Esta edição do livro usa Minitab como o principal recurso computacional ilustrativo Recomendo fortemente que o curso tenha uma componente significativa de computação A versão para estudante do Minitab tem funcionalidade limitada e não inclui as ferramentas de Delineamento de Experimentos Se seus estudantes forem precisar dela podem baixar a versão completa para 30 dias de teste em wwwminitabcom ou comprar uma versão completa de tempo limitado em eacademycom AGRADECIMENTOS Muitas pessoas contribuíram generosamente para este livro com seu tempo e seu conhecimento de estatística e melhoria da qualidade Gostaria de agradecer ao Dr Bill Woodall Dr Doug Hawkins Dr Joe Sullivan Dr George Runger Dr Bert Keats Dr Bob Hogg Mr Eric Ziegel Dr Joe Pignatiello Dr John Ramberg Dr Ernie Saniga Dr Enrique Del Castillo Dra Sarah Streett e Dr Jim Alloway por seus comentários profundos e perspicazes sobre esta edição e as anteriores Eles compartilharam generosamente comigo muitas de suas ideias e experiências de magistério levando ao aprimoramento substancial no texto Ao longo dos anos desde a publicação da primeira edição recebi ajuda e ideias de um grande número de pessoas Uma lista completa de colegas com quem interagi seria impossível de se enumerar No entanto alguns dos principais colaboradores e suas filiações profissionais são Dra Mary R AndersonRowland Dr Dwayne A Rollier e Dra Norma F Hubele Arizona State University Dr Murat Kulahci Technical University of Denmark Mr Seymour M Selig anteriormente do Office of Naval Research Dr Lynwood A Johnson Dr Russell G Heikes Dr David E Fyffe e Dr H M Wadsworth Jr Georgia Institute of Technology Dr Sharad Prabhu Dr Bradley Jones e Dr Robert Rodriguez SAS Institute Dr Scott Kowalski Minitab Dr Richard L Storch e Dr Christina M Mastrangelo University of Washington Dra Cynthia A Lowry anteriormente da Texas Christian University Dr Smiley Cheng Dr John Brewster Dr Brian Macpherson e Dr Fred Spiring University of Manitoba Dr Joseph D Moder University of Miami Dr Frank B Alt University of Maryland Dr Kenneth E Case Oklahoma State University Dr Daniel R McCarville Dra Lisa Custer Dr Pat Spagon e Mr Robet Stuart todos anteriormente da Motorola Dr Richard Post Intel Corporation Dr Dale Sevier San Diego State University Mr John A Butora Mr Leon V Mason Mr Lloyd K Collins Mr Dana D Lesher Mr Roy E Dent Mr Mark Fazey Ms Kathy Schuster Mr Dan Fritze Dr J S Gardiner Mr Ariel Rosentrater Mr Lolly Marwah Mr Ed Schleicher Mr Amiin Weiner e Ms Elaine Baechtle IBM Mr Thomas C Bingham Mr K Dick Vaughn Mr Robert LeDoux Mr John Black Mr Jack Wires Dr Julian Anderson Mr Richard Alkire e Mr Chase Nielsen Boeing Company Ms Karen Madison Mr Don Walton e Mr Mike Goza Alcoa Mr Harry PetersonNedry Ridgecrest Vineyards e The Chehalem Group Dr Russell A Boyles anteriormente da Precision Castparts Corporation Dr Sadre Khalessi e Mr Franz Wagner Signetics Corporation Mr Larry Newton e Mr C T Howlett Georgia Pacific Corporation Mr Robert V Baxley Monsanto Chemicals Dr Craig Fox Dr Thomas L Sadosky Mr James F Walker e Mr John Belvins CocaCola Company Mr Bill Wagner e Mr Al Pariseau Litton Industries Mr John M Fluke Jr John Fluke Manufacturing Company Dr Paul Tobias anteriormente da IBM e Semitech Dr William DuMouchel e Ms Janet Olson BBN Software Products Corporation Gostaria também de agradecer as contribuições de meu sócio na Statistical Productivity Consultants Mr Sumner S Averett Essas pessoas e muitas outras contribuíram para meu conhecimento do campo da melhoria da qualidade Outros agradecimentos vão para a equipe editorial e de produção da Wiley particularmente Ms Charity Robey e Mr Wayne Anderson com os quais trabalhei durante anos e minha atual editora Ms Jenny Welter eles tiveram muita paciência comigo ao longo dos anos e contribuíram grandemente para o sucesso deste livro Dr Cheryl L Jennings fez valiosas contribuições com sua cuidadosa revisão do manuscrito e material de prova Agradeço também ao Dr Gary Hogg e Dr Ron Askin anterior e atual chefes do Department of Industrial Engineering da Arizona State University por seu apoio e por propiciar um ambiente espetacular para ensinar e realizar pesquisa Agradeço às várias sociedades profissionais e aos editores que deram permissão para reproduzir seus materiais em meu livro O crédito pela permissão aparece nos locais apropriados do texto Agradeço também às muitas organizações que financiaram minhas pesquisas e meus estudantes de graduação por vários anos incluindo as companhias membros da National Science FoundationIndustryUniversity Cooperative Research Center in Quality and Reliability Engineering da Arizona State University o Office of Naval Research a National Science Foundation Semiconductor Research Corporation Aluminum Company of America e IBM Corporation Finalmente gostaria de agradecer aos muitos usuários das edições anteriores deste livro incluindo estudantes profissionais práticos e meus colegas acadêmicos Muitas das mudanças e melhorias nesta edição do livro são o resultado direto de seus retornos DOUGLAS C MONTGOMERY Tempe Arizona Material Suplementar Este livro conta com os seguintes materiais suplementares Data Sets DS conjunto de dados ExcelMinitab restrito a docentes Ilustrações da obra em formato de apresentação restrito a docentes Instructors Solutions Manual manual de apoio do livro para o professor em arquivo pdf em inglês restrito a docentes Lecture PowerPoints apresentações para uso em sala de aula arquivo ppt em inglês restrito a docentes Material Suplementar ao Texto conteúdo suplementar ao livrotexto em pdf acesso livre O acesso ao material suplementar é gratuito Basta que o leitor se cadastre em nosso site wwwgrupogencombr faça seu login e clique em GENIO no menu superior do lado direito É rápido e fácil Caso haja alguma mudança no sistema ou dificuldade de acesso entre em contato conosco gendigitalgrupogencombr 11 111 112 12 13 14 141 142 143 144 145 146 21 22 23 24 25 26 27 271 272 273 Sumário PARTE 1 INTRODUÇÃO 1 MELHORIA DA QUALIDADE NO CONTEXTO DA EMPRESA MODERNA Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem O Significado de Qualidade e de Melhoria da Qualidade Dimensões da Qualidade Terminologia da Engenharia da Qualidade Uma Breve História do Controle e da Melhoria da Qualidade Métodos Estatísticos para Controle e Melhoria da Qualidade Aspectos do Gerenciamento da Melhoria da Qualidade Filosofia da Qualidade e Estratégias de Gerenciamento O Elo entre Qualidade e Produtividade Gerenciamento da Qualidade da Cadeia de Suprimento Custos da Qualidade Aspectos Legais da Qualidade Implementação da Melhoria da Qualidade 2 O PROCESSO DMAMC Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Visão Geral do DMAMC O Passo Definir O Passo Medir O Passo Analisar O Passo Melhorar O Passo Controlar Exemplos do DMAMC Documentos de Litígio Melhorando a Entrega no Prazo Melhorando a Qualidade do Serviço em um Banco PARTE 2 MÉTODOS ESTATÍSTICOS ÚTEIS NO CONTROLE E NA MELHORIA DA QUALIDADE 31 311 312 313 314 315 32 321 322 323 324 33 331 332 333 334 335 34 341 342 35 351 352 353 354 41 411 412 413 42 43 431 432 433 434 435 436 44 441 3 MODELANDO A QUALIDADE DO PROCESSO Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Descrevendo a Variação O Diagrama de RamoeFolhas O Histograma Resumo Numérico dos Dados O Diagrama de Caixa Distribuições de Probabilidade Distribuições Discretas Importantes A Distribuição Hipergeométrica A Distribuição Binomial A Distribuição de Poisson As Distribuições Geométrica e Binomial Negativa Distribuições Contínuas Importantes A Distribuição Normal A Distribuição Lognormal A Distribuição Exponencial A Distribuição Gama A Distribuição de Weibull Gráficos de Probabilidade Gráficos de Probabilidade Normal Outros Gráficos de Probabilidade Algumas Aproximações Úteis A Aproximação Binomial para a Hipergeométrica A Aproximação Poisson para a Binomial A Aproximação Normal para a Binomial Comentários sobre as Aproximações 4 INFERÊNCIAS SOBRE QUALIDADE DO PROCESSO Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Estatística e Distribuições Amostrais Amostras de uma Distribuição Normal Amostras de uma Distribuição de Bernoulli Amostras de uma Distribuição de Poisson Estimação Pontual de Parâmetros de Processos Inferência Estatística para uma Amostra Inferência sobre a Média de uma População Variância Conhecida Uso dos Valores P para o Teste de Hipótese Inferência sobre a Média de uma Distribuição Normal Variância Desconhecida Inferência sobre a Variância de uma Distribuição Normal Inferência sobre uma Proporção Populacional A Probabilidade do Erro Tipo II e Decisões sobre Tamanho Amostral Inferência Estatística para Duas Amostras Inferência para a Diferença de Médias Variâncias Conhecidas 442 443 444 45 451 452 453 46 461 462 463 464 465 51 52 53 531 532 533 534 535 536 537 54 55 56 57 61 62 621 Inferência para a Diferença de Médias de Duas Distribuições Normais Variâncias Desconhecidas Inferência para as Variâncias de Duas Distribuições Normais Inferência para Duas Proporções Populacionais E se Houver Mais de Duas Populações A Análise de Variância Um Exemplo A Análise de Variância Verificando Pressupostos Análise dos Resíduos Modelos de Regressão Linear Estimação dos Parâmetros em Modelos de Regressão Linear Teste de Hipótese em Regressão Múltipla Intervalos de Confiança em Regressão Múltipla Predição de Novas Observações da Variável Resposta Diagnóstico do Modelo de Regressão PARTE 3 MÉTODOS BÁSICOS DO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO E ANÁLISE DA CAPACIDADE 5 MÉTODOS E FILOSOFIA DO CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Introdução Causas Aleatórias e Atribuíveis da Variação da Qualidade Base Estatística do Gráfico de Controle Princípios Básicos Escolha dos Limites de Controle Tamanho da Amostra e Frequência de Amostragem Subgrupos Racionais Análise de Padrões em Gráficos de Controle Discussão de Regras Sensibilizantes para Gráficos de Controle Fase I e Fase II da Aplicação do Gráfico de Controle O Restante das Sete Ferramentas Implementação do CEP em um Programa de Melhoria da Qualidade Uma Aplicação do CEP Aplicações do Controle Estatístico de Processos e Ferramentas da Melhoria da Qualidade em Empresas de Transações e Serviços 6 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Introdução Gráficos de Controle para e R A Base Estatística dos Gráficos 622 623 624 625 626 627 63 631 632 633 64 65 66 71 72 721 722 723 724 73 731 732 733 734 735 736 74 75 81 82 821 822 83 Desenvolvimento e Uso dos Gráficos e R Gráficos Baseados nos Valores de Referência Interpretação dos Gráficos e R O Efeito da Não Normalidade nos Gráficos e R A Função Característica de Operação O Comprimento Médio da Sequência para o Gráfico Gráficos de Controle para e s Construção e Operação dos Gráficos e s Os Gráficos de Controle e s com Tamanho de Amostra Variável O Gráfico de Controle s2 O Gráfico de Controle de Shewhart para Medidas Individuais Resumo dos Procedimentos para os Gráficos R e s Aplicações dos Gráficos de Controle para Variáveis 7 GRÁFICOS DE CONTROLE PARA ATRIBUTOS Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Introdução Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme Desenvolvimento e Operação do Gráfico de Controle Tamanho Variável de Amostra Aplicações em Empresas de Transações e Serviços Cálculos da Função Característica de Operação e do Comprimento Médio de Sequência Gráficos de Controle para Não Conformidades Defeitos Procedimentos com Tamanho Constante de Amostra Procedimentos com Tamanho Variável de Amostra Sistemas de Depreciação A Função Característica de Operação Lidando com Níveis Baixos de Defeitos Aplicações Não Industriais Escolha entre Gráficos de Controle de Atributos e de Variáveis Diretrizes para a Implementação dos Gráficos de Controle 8 ANÁLISE DA CAPACIDADE DE PROCESSOS E SISTEMAS DE MEDIDA Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Introdução Análise da Capacidade de um Processo Utilizando um Histograma ou um Gráfico de Probabilidade Utilizando o Histograma Gráfico de Probabilidade Razões da Capacidade de um Processo 831 832 833 834 835 84 85 86 87 871 872 873 874 875 876 88 881 882 89 891 892 91 911 912 913 914 915 916 917 918 919 9110 9111 9112 92 921 922 Uso e Interpretação de Cp Razão da Capacidade do Processo para um Processo Descentrado Normalidade e Razão da Capacidade de um Processo Mais Detalhes sobre Centralização de Processos Intervalos de Confiança e Testes sobre Razões da Capacidade de um Processo Análise da Capacidade de um Processo Utilizando um Gráfico de Controle Análise da Capacidade de um Processo Utilizando Experimentos Planejados Análise da Capacidade de um Processo com Dados de Atributo Estudos sobre a Capacidade de um Medidor e de um Sistema de Medidas Conceitos Básicos da Capacidade de um Medidor O Método da Análise de Variância Intervalos de Confiança em Estudos de Medidores R R Defeituosos Falsos e Defeituosos que Passam Capacidade do Medidor de Atributo Comparação entre os Sistemas de Medida do Cliente e do Fornecedor Fixação de Limites de Especificação sobre Componentes Discretos Combinações Lineares Combinações Não Lineares Estimando os Limites Naturais de Tolerância de um Processo Limites de Tolerância Baseados na Distribuição Normal Limites de Tolerância Não Paramétricos PARTE 4 OUTRAS TÉCNICAS DE MONITORAMENTO E CONTROLE ESTATÍSTICO DO PROCESSO 9 GRÁFICOS DE CONTROLE DA SOMA CUMULATIVA E DA MÉDIA MÓVEL EXPONENCIALMENTE PONDERADA Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem O Gráfico de Controle da Soma Cumulativa Princípios Básicos O Gráfico de Controle CUSUM para Monitoramento da Média do Processo O CUSUM Tabular ou Algorítmico para o Monitoramento da Média do Processo Recomendações para o Planejamento do CUSUM O CUSUM Padronizado Melhorando a Sensitividade do CUSUM para Grandes Mudanças A Resposta Inicial Rápida ou a Característica Headstart CUSUM Unilateral CUSUM para Monitoramento da Variabilidade do Processo Subgrupos Racionais CUSUM para Outras Estatísticas Amostrais O Procedimento Máscara V O CUSUM Autoiniciado O Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada O Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada para Monitoramento da Média do Processo Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP 923 924 925 93 101 1011 1012 1013 102 1021 1022 103 1031 1032 1033 104 1041 1042 1043 105 106 1061 1062 1063 1064 1065 1066 107 108 109 1010 1011 10111 10112 10113 10114 10115 10116 10117 10118 Robustez do MMEP à Não Normalidade Subgrupos Racionais Extensões do MMEP O Gráfico de Controle da Média Móvel 10 OUTRAS TÉCNICAS DE MONITORAMENTO E CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS UNIVARIADOS Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Controle Estatístico de Processo para Sequências Curtas de Produção Gráficos e R para Sequências Curtas de Produção Gráficos de Controle de Atributos para Sequências Curtas de Produção Outros Métodos Gráficos de Controle Modificados e de Aceitação Limites de Controle Modificados para o Gráfico Gráficos de Controle de Aceitação Gráficos de Controle para Processos de Fluxo Múltiplo Processos de Fluxo Múltiplo Gráficos de Controle de Grupos Outras Abordagens CEP com Dados de Processo Autocorrelacionados Fontes e Efeitos da Autocorrelação em Dados do Processo Abordagens Baseadas em Modelos Uma Abordagem Livre de Modelo Procedimentos de Amostragem Adaptativa Planejamento Econômico de Gráficos de Controle Planejando um Gráfico de Controle Características de um Processo Parâmetros de Custo Trabalho Inicial e Planejamentos Semieconômicos Um Modelo Econômico para o Gráfico de Controle Outros Trabalhos Gráficos Cuscore O Modelo de Ponto de Mudança para Monitoramento de Processo Monitoramento de Perfil Gráficos de Controle no Monitoramento dos Serviços Médicos e Vigilância da Saúde Pública Visão Geral de Outros Procedimentos Desgaste de Ferramentas Gráficos de Controle Baseados em Outras Estatísticas Amostrais Problemas de Controle de Enchimento PréControle Gráficos de Controle para Intervalos de Tolerância Monitoramento de Processos com Dados Censurados Monitoramento de Processos de Bernoulli Gráficos de Controle Não Paramétricos 111 112 1121 1122 113 1131 1132 114 115 116 117 1171 1172 121 122 1221 1222 1223 1224 123 131 132 133 134 1341 1342 11 MONITORAMENTO E CONTROLE DE PROCESSO MULTIVARIADO Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem O Problema de Controle da Qualidade Multivariado Descrição de Dados Multivariados A Distribuição Normal Multivariada O Vetor Média e a Matriz de Covariância Amostrais O Gráfico de Controle T2 de Hotelling Dados Subgrupados Observações Individuais O Gráfico de Controle MMEP Multivariado Ajuste de Regressão Gráficos de Controle para Monitoramento da Variabilidade Métodos de Estrutura Latente Componentes Principais Mínimos Quadrados Parciais 12 CONTROLE DE ENGENHARIA DE PROCESSOS E CEP Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Monitoramento e Regulagem de um Processo Controle de um Processo por Ajuste de Retroação Um Esquema Simples de Ajuste Controle Integral O Gráfico de Ajuste Variações do Gráfico de Ajuste Outros Tipos de Controladores de Retroação Combinando CEP e CEnP PARTE 5 PLANEJAMENTO E MELHORIA DO PROCESSO COM EXPERIMENTOS PLANEJADOS 13 EXPERIMENTOS FATORIAL E FATORIAL FRACIONADO PARA PLANEJAMENTO E MELHORIA DO PROCESSO Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem O que É um Planejamento Experimental Exemplos de Experimentos Planejados na Melhoria do Processo e do Produto Diretrizes para o Planejamento de Experimentos Experimentos Fatoriais Um Exemplo Análise Estatística 1343 135 1351 1352 1353 1354 1355 136 1361 1362 141 1411 1412 142 1421 1422 143 151 1511 1512 1513 1514 1515 152 1521 1522 1523 1524 153 1531 1532 1533 154 Análise dos Resíduos O Planejamento Fatorial 2k O Planejamento 22 O Planejamento 2k para k 3 Fatores Uma Única Replicação do Planejamento 2k Adição de Pontos Centrais no Planejamento 2k Blocos e Confundimento no Planejamento 2k Replicação Fracionada do Planejamento 2k A Fração Um Meio do Planejamento 2k Frações Menores O Planejamento Fatorial Fracionado 2kp 14 OTIMIZAÇÃO DE PROCESSOS COM EXPERIMENTOS PLANEJADOS Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Métodos e Planejamentos de Superfície de Resposta O Método da Inclinação Máxima Ascendente Análise de uma Superfície de Resposta de Segunda Ordem Estudos da Robustez de um Processo Fundamentos Abordagem da Superfície de Resposta para Estudos da Robustez de um Processo Operação Evolutiva PARTE 6 AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO 15 AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO LOTE A LOTE PARA ATRIBUTOS Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem O Problema da Amostragem de Aceitação Vantagens e Desvantagens da Amostragem Tipos de Planos de Amostragem Formação dos Lotes Amostragem Aleatória Diretrizes para o Uso da Amostragem de Aceitação Planos de Amostragem Única para Atributos Definição de um Plano de Amostragem Única A Curva CO Elaboração de um Plano de Amostragem Única com uma Curva CO Especificada Inspeção de Retificação Amostragens Dupla Múltipla e Sequencial Planos de Amostragem Dupla Planos de Amostragem Múltipla Planos de Amostragem Sequencial Padrão Militar 105E ANSIASQC Z14 ISO 2859 1541 1542 1543 155 1551 1552 1553 161 1611 1612 1613 162 163 1631 1632 1633 164 1641 1642 165 166 1661 1662 167 I II III IV V VI VII VIII Descrição do Padrão Procedimento Discussão Os Planos de Amostragem DodgeRomig Planos LQSM Planos PADL Estimação da Média do Processo 16 OUTRAS TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO Visão Geral do Capítulo e Objetivos de Aprendizagem Amostragem de Aceitação por Variáveis Vantagens e Desvantagens da Amostragem de Variáveis Tipos de Planos de Amostragem Disponíveis Cuidados no Uso de Amostragem de Variáveis Elaboração de um Plano de Amostragem para Variáveis com uma Curva CO Especificada MIL STD 414 ANSIASQC Z19 Descrição Geral do Padrão Uso das Tabelas Discussão do MIL STD 414 e ANSIASQC Z19 Outros Procedimentos de Amostragem de Variáveis Amostragem de Variáveis para Fornecer Garantia sobre a Média do Lote ou do Processo Amostragem Sequencial de Variáveis Amostragem em Cadeia Amostragem Contínua CSP1 Outros Planos de Amostragem Contínua Planos de Amostragem com Omissão de Lotes APÊNDICE Resumo das Distribuições de Probabilidades Frequentemente Usadas no Controle Estatístico da Qualidade Distribuição Normal Padrão Acumulada Pontos Percentuais da Distribuição QuiQuadrado Pontos Percentuais da Distribuição t Pontos Percentuais da Distribuição F Fatores para Construção de Gráficos de Controle para Variáveis Fatores para Limites Naturais de Tolerância Bilaterais Fatores para Limites Naturais de Tolerância Unilaterais BIBLIOGRAFIA RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS SELECIONADOS O controle e a melhoria da qualidade tornaramse uma estratégia importante nos negócios para muitas organizações manufaturas distribuidores companhias de transporte organizações de serviços financeiros profissionais de serviços de saúde e agências do governo A manutenção de um alto nível da qualidade do produto ou serviço proporciona uma vantagem competitiva Um negócio que pode agradar os clientes pela melhoria e controle da qualidade pode dominar seus competidores Este livro é sobre os métodos técnicos para se alcançar o sucesso no controle e na melhoria da qualidade e oferece um guia sobre como se fazer a implementação desses métodos com sucesso A Parte I contém dois capítulos O Capítulo 1 contém as definições básicas de qualidade e de melhoria da qualidade fornece uma breve visão geral das ferramentas e dos métodos discutidos em mais detalhe nas partes subsequentes do livro e discute os sistemas de gerenciamento para a melhoria da qualidade O Capítulo 2 se dedica ao processo e à resolução de problemas DMAMC definir medir analisar melhorar e controlar que é um excelente esquema para a implementação da melhoria da qualidade e do processo Mostra também como os métodos discutidos no livro são usados no DMAMC 11 111 112 12 13 14 141 142 143 144 145 146 1 2 3 4 5 ESQUEMA DO CAPÍTULO O SIGNIFICADO DE QUALIDADE E DE MELHORIA DA QUALIDADE Dimensões da Qualidade Terminologia da Engenharia da Qualidade UMA BREVE HISTÓRIA DO CONTROLE E DA MELHORIA DA QUALIDADE MÉTODOS ESTATÍSTICOS PARA CONTROLE E MELHORIA DA QUALIDADE ASPECTOS DO GERENCIAMENTO DA MELHORIA DA QUALIDADE Filosofia da Qualidade e Estratégias de Gerenciamento O Elo entre Qualidade e Produtividade Gerenciamento da Qualidade da Cadeia de Suprimento Custos da Qualidade Aspectos Legais da Qualidade Implementação da Melhoria da Qualidade VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Este livro trata do uso de métodos estatísticos e outras técnicas de resolução de problemas para melhorar a qualidade dos produtos usados por nossa sociedade Esses produtos consistem em bens manufaturados tais como automóveis computadores e roupas assim como em serviços tais como geração e distribuição de energia elétrica transporte público serviços bancários e de saúde Os métodos de melhoria da qualidade aplicamse a qualquer área de uma companhia ou organização incluindo manufatura desenvolvimento de processo planejamento de engenharia finanças e contabilidade marketing distribuição e logística atendimento a clientes e assistência técnica a produtos Este texto apresenta as ferramentas técnicas necessárias para se alcançar a melhoria da qualidade nessas organizações Neste capítulo damos as definições básicas de qualidade melhoria da qualidade e mais alguma terminologia da engenharia da qualidade Discutimos também o desenvolvimento histórico da metodologia da melhoria da qualidade e apresentamos uma visão geral das ferramentas estatísticas essenciais para a prática profissional moderna Fazse também uma breve discussão de alguns aspectos gerenciais e corporativos para a implementação da melhoria da qualidade Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Definir e discutir qualidade e melhoria da qualidade Discutir as diferentes dimensões da qualidade Discutir a evolução dos métodos modernos de melhoria da qualidade Discutir o papel que a variabilidade e os métodos estatísticos desempenham no controle e melhoria da qualidade Descrever as filosofias do gerenciamento da qualidade de W Edwards Deming Joseph M Juran e Armand V Feigenbaum 6 7 8 9 11 111 1 2 3 4 5 6 7 Discutir o gerenciamento da qualidade total o Malcolm Baldrige National Quality Award Prêmio Nacional da Qualidade Malcolm Baldrige Seis Sigma e os sistemas e padrões de qualidade Explicar os elos entre qualidade e produtividade e entre qualidade e custo Discutir responsabilidade sobre o produto Discutir as três funções planejamento da qualidade garantia da qualidade e controle e melhoria da qualidade O Significado de Qualidade e de Melhoria da Qualidade Podemos definir qualidade de várias maneiras A maioria das pessoas tem uma compreensão conceitual de qualidade como de algo relacionado com uma ou mais características desejáveis que um produto ou serviço deva ter Embora essa compreensão conceitual seja um bom ponto de partida daremos uma definição mais precisa e útil A qualidade tornouse um dos mais importantes fatores de decisão dos consumidores na seleção de produtos e serviços que competem entre si O fenômeno é geral independente do fato de o consumidor ser um indivíduo uma organização industrial uma loja de varejo um banco ou instituição financeira ou um programa militar de defesa Consequentemente compreender e melhorar a qualidade são fatoreschave que conduzem ao sucesso ao crescimento e a uma melhor posição de competitividade de uma empresa A melhor qualidade e o emprego bemsucedido da qualidade como parte integrante da estratégia geral da empresa produzem retorno substancial sobre o investimento Nesta seção daremos definições operacionais da qualidade e da melhoria da qualidade Começaremos com uma breve discussão das diferentes dimensões da qualidade e alguma terminologia básica Dimensões da Qualidade A qualidade de um produto pode ser descrita e avaliada de várias maneiras Em geral é muito importante distinguiremse essas várias dimensões da qualidade Garvin 1987 fornece uma excelente discussão de oito componentes ou dimensões da qualidade Resumimos a seguir seus principais pontos relativos a essas dimensões da qualidade Desempenho O produto realizará a tarefa pretendida Usualmente os potenciais consumidores avaliam um produto para determinar se ele desempenhará certas funções específicas e quão bem ele as desempenhará Por exemplo você pode avaliar programas de planilha para computador para determinar quais operações de manipulação de dados eles realizam e descobrir que um supera o outro em relação à velocidade de execução Confiabilidade Qual a frequência de falhas do produto Produtos complexos como aparelhos elétricos automóveis ou aviões exigirão algum reparo ao longo de sua vida útil Por exemplo devese esperar que um automóvel necessite de reparos ocasionais mas se o carro exige reparos frequentes dizemos que ele não é confiável Há várias indústrias para as quais a visão de qualidade do consumidor é fortemente afetada pela dimensão de confiabilidade da qualidade Durabilidade Quanto tempo o produto durará Essa é a vida útil efetiva do produto Obviamente os consumidores desejam um produto que tenha um desempenho satisfatório por um longo período de tempo Novamente a indústria automotiva e as indústrias de eletrodomésticos são exemplos de negócios em que essa dimensão da qualidade é muito importante para a maioria dos consumidores Assistência Técnica Qual a facilidade para se consertar o produto Há indústrias nas quais a visão de qualidade do consumidor é diretamente influenciada pela rapidez e economia com que um reparo ou manutenção de rotina possa ser feito Os exemplos incluem as indústrias de eletrodomésticos e automotiva e muitos tipos de indústrias de serviços quanto tempo levou para que uma companhia de cartão de crédito corrigisse um erro em sua fatura Estética Qual a aparência do produto Essa é a dimensão do apelo visual do produto que leva em conta fatores como estilo cor forma embalagens alternativas características táteis e outros aspectos sensoriais Por exemplo os fabricantes de refrigerantes confiam no apelo visual de suas embalagens para diferenciar seus produtos dos competidores Características O que o produto faz Em geral os consumidores associam alta qualidade a produtos que apresentam características a mais isto é aqueles que apresentam características além do desempenho básico dos competidores Por exemplo você pode considerar superior um programa computacional de planilha que apresenta funções embutidas de análise estatística enquanto seu competidor não as apresenta Qualidade Percebida Qual é a reputação da companhia ou de seu produto Em muitos casos os consumidores confiam na reputação passada da companhia em relação à qualidade de seu produto Essa reputação é diretamente influenciada pelas falhas do produto que são altamente visíveis para o público ou que exigem reposição do produto e 8 1 2 3 também pela maneira como o cliente é tratado quando se relata um problema relativo à qualidade do produto A qualidade percebida a fidelidade do consumidor e os negócios repetidos estão altamente relacionados Por exemplo se você faz viagens regulares de negócios usando os serviços de determinada linha aérea e o voo quase sempre chega na hora e a companhia não perde ou danifica sua bagagem você provavelmente preferirá viajar por essa companhia a viajar em uma de suas concorrentes Conformidade com Especificações O produto é feito como o projetista pretendia Em geral consideramos como de alta qualidade o produto que apresenta exatamente as especificações a ele destinadas Por exemplo quão bom é o ajuste de uma capota em um carro novo Está exatamente rente com a altura do paralama e sua abertura é a mesma em todos os lados Partes manufaturadas que não satisfazem as exigências do projetista podem causar problemas significativos de qualidade quando usadas como componentes de um conjunto mais complexo Um carro consiste em vários milhares de peças Se cada uma estiver um pouquinho maior ou um pouquinho menor muitos dos componentes não se ajustarão adequadamente e o carro ou seus subsistemas principais pode não apresentar o desempenho pretendido Essas oito dimensões são usualmente adequadas para a descrição da qualidade na maioria das situações industriais e de negócios No entanto nas organizações de serviço e negócios de transações tais como organizações bancárias e financeiras serviços de saúde e serviço ao cliente podemos acrescentar as três seguintes dimensões Sensibilidade Quanto tempo foi necessário para que o fornecedor do serviço respondesse a seu pedido de serviço Quão disposto a ajudar se mostrou o fornecedor do serviço Quão prontamente seu pedido foi atendido Profissionalismo Isso consiste no conhecimento e habilidades do fornecedor do serviço e se relaciona com a competência da organização em fornecer os serviços pedidos Atenção Em geral os clientes desejam cuidado e atenção personalizada de seus fornecedores de serviços Os clientes desejam sentir que suas necessidades e preocupações são importantes e estão sendo cuidadosamente abordadas Veremos na discussão a seguir que a qualidade realmente é uma entidade multifacetada Consequentemente respostas simples a questões como O que é qualidade ou O que é melhoria da qualidade não são fáceis A definição tradicional de qualidade baseiase no ponto de vista de que produtos e serviços devem apresentar as especificações exigidas por aqueles que os usam Definição Qualidade significa adequação para uso Há dois aspectos gerais da adequação ao uso qualidade de projeto e qualidade de ajustamento Todos os bens e serviços são produzidos em vários graus ou níveis de qualidade Essas variações em graus ou níveis de qualidade são intencionais e consequentemente o termo técnico apropriado é qualidade de projeto Por exemplo todos os carros têm como objetivo básico propiciar transporte seguro ao consumidor No entanto os automóveis diferem em tamanho especificações aparência e desempenho Essas são diferenças intencionais de projeto entre os tipos de automóveis Essas diferenças de projeto incluem os tipos de materiais usados na construção as especificações dos componentes a confiabilidade conseguida pelo desenvolvimento da engenharia dos motores e propulsão e outros acessórios e equipamentos A qualidade de ajustamento é como o produto corresponde às especificações exigidas pelo projeto A qualidade de ajustamento é influenciada por inúmeros fatores incluindo a escolha dos processos de manufatura o treinamento e supervisão da mão de obra os tipos de controle de processos testes e atividades de inspeção que são utilizados a extensão com que esses procedimentos são seguidos e a motivação dos empregados para alcançar qualidade Infelizmente essa definição tornouse associada mais ao aspecto de ajustamento da qualidade do que ao aspecto do projeto Isso se deve em parte à falta de educação formal que a maioria dos projetistas e engenheiros recebe em relação à metodologia da engenharia da qualidade Isso conduz também a muito menos ênfase no consumidor e a uma abordagem da qualidade mais como um ajustamento às especificações independentemente de o produto mesmo quando produzido segundo os padrões ser realmente adequado ao uso pelo consumidor Há também uma crença generalizada de que qualidade é um problema que pode ser resolvido totalmente na manufatura ou que a única maneira de se melhorar a qualidade é adornandose o produto Preferimos uma definição moderna de qualidade Definição Qualidade é inversamente proporcional à variabilidade Note que essa definição implica que se a variabilidade1 nas características importantes de um produto decresce a qualidade do produto aumenta Como exemplo da eficácia operacional dessa definição há alguns anos uma das companhias de automóveis dos Estados Unidos realizou um estudo comparativo entre a transmissão fabricada em uma fábrica doméstica e a fornecida por um fabricante japonês Uma análise dos termos da garantia e dos custos de reparo mostrou que havia uma diferença gritante entre as duas fontes de produção tendo a transmissão japonesa custos muito menores como mostra a Figura 11 Como parte do estudo para detectar a causa dessa diferença no custo e desempenho a companhia selecionou amostras aleatórias de transmissões de cada fábrica desmontouas e mediu várias características críticas da qualidade A Figura 12 é geralmente representativa dos resultados desse estudo Note que ambas as distribuições das dimensões críticas estão centradas no valor desejado ou alvo No entanto a distribuição das características críticas para a transmissão fabricada nos Estados Unidos ocupa cerca de 75 da amplitude das especificações o que mostra que muito poucas unidades fora do padrão seriam produzidas Na verdade a fábrica estava produzindo a um nível de qualidade muito bom com base na visão de qualidade geralmente aceita pela companhia Por outro lado a fábrica japonesa produzia transmissões para as quais as mesmas características críticas ocupavam apenas 25 da faixa de especificação Como resultado havia muito menos variação nas características críticas da qualidade nas transmissões fabricadas pelos japoneses em comparação com as fabricadas nos Estados Unidos FIGURA 11 Custos de garantia para transmissões FIGURA 12 Distribuições das dimensões críticas para transmissões 112 1 2 3 Essa é uma descoberta muito importante Jack Welch CEO aposentado da General Electric observou que os clientes não veem a média do seu processo o alvo na Fig 12 eles apenas veem a variabilidade em torno do alvo que você não eliminou Na maioria dos casos essa variabilidade tem impacto significativo no cliente Há aqui duas questões óbvias Por que os japoneses faziam isso Como eles o faziam A resposta ao por que é óbvia a partir do exame da Figura 11 Variabilidade reduzida se traduzia diretamente em menores custos os japoneses compreendiam completamente o ponto observado por Welch Além disso as transmissões japonesas passavam as marchas muito mais suavemente rodavam mais silenciosamente e eram em geral percebidas pelo consumidor como superiores às fabricadas domesticamente Menos reparos e reclamações de garantia significam menos retrabalho e redução no gasto de tempo esforço e dinheiro Assim qualidade é realmente inversamente proporcional à variabilidade E pode também ser traduzida com precisão em uma linguagem que todos particularmente gerentes e executivos entendam isto é dinheiro Como os japoneses faziam isso A resposta está no uso sistemático e efetivo dos métodos descritos neste livro O que leva também à seguinte definição de melhoria da qualidade Definição Melhoria da qualidade é a redução da variabilidade nos processos e produtos A variabilidade excessiva no desempenho de um processo resulta em geral em desperdício Por exemplo considere a perda de dinheiro tempo e esforço associada aos reparos representados na Figura 11 Assim uma definição alternativa e altamente útil é a de que a melhoria da qualidade é a redução do desperdício Essa definição é particularmente útil nas indústrias de serviços onde não há muitas coisas que possam ser medidas diretamente como as dimensões críticas da transmissão na Fig 12 Nas indústrias de serviços um problema da qualidade pode ser um erro ou um engano cuja correção exige esforço e despesa A melhoria do processo de serviço pode evitar esse desperdício de esforço e despesa Apresentaremos agora alguma terminologia da engenharia da qualidade que será usada em todo este livro Terminologia da Engenharia da Qualidade Todo produto possui um número de elementos que em conjunto descrevem o que o usuário ou consumidor considera como qualidade Estes parâmetros são em geral chamados de características da qualidade Algumas vezes são chamadas de características críticas para a qualidade CPQ criticaltoquality CTQ Essas características da qualidade podem ser de diversos tipos Físicas comprimento largura voltagem viscosidade Sensoriais gosto aparência cor Orientação temporal confiabilidade durabilidade praticidade Note que os diferentes tipos de características da qualidade podem se relacionar direta ou indiretamente com as dimensões da qualidade discutidas na seção anterior A engenharia da qualidade é o conjunto de atividades operacionais de gerenciamento e de engenharia que uma companhia usa para garantir que as características da qualidade de um produto estejam nos níveis nominais ou exigidos e que a variabilidade em torno desses níveis desejados seja mínima As técnicas discutidas neste livro constituem a metodologia básica usada pelos engenheiros e outros profissionais técnicos para alcançar esses objetivos A maioria das organizações acha difícil e caro fornecer ao consumidor produtos que tenham as características de qualidade sempre idênticas de uma para outra unidade ou que estejam em níveis que respondam à expectativa do consumidor A principal razão disso é a variabilidade Há certa quantidade de variabilidade em todo produto assim dois produtos nunca são exatamente idênticos Por exemplo a espessura das lâminas do propulsor do motor de uma turbina a jato não é idêntica até no mesmo propulsor Essa espessura de lâminas será diferente também entre propulsores Se essa variação na espessura da lâmina for pequena poderá não causar nenhum impacto no cliente No entanto se for grande o cliente pode perceber a unidade como indesejável ou inaceitável As fontes dessa variabilidade incluem diferenças nos materiais diferenças no desempenho e operação dos equipamentos de manufatura e diferenças na maneira como os operadores realizam suas tarefas Essa linha de pensamento nos leva à definição anterior de melhoria da qualidade Como a variabilidade só pode ser descrita em termos estatísticos os métodos estatísticos desempenham papel central nos esforços para a melhoria da qualidade Na aplicação de métodos estatísticos à engenharia da qualidade é típico classificaremse os dados sobre características de qualidade como dados de atributos ou de variáveis Os dados de variáveis são usualmente medidas contínuas tais como comprimento voltagem ou viscosidade Os dados de atributos por outro lado são usualmente dados discretos em geral sob a forma de contagem tal como o número de pedidos de empréstimo que não podem ser processados adequadamente devido à ausência de informação pedida ou o número de chegadas em uma emergência de um hospital que tiveram que esperar por mais de 30 minutos para receber atendimento médico Descreveremos as ferramentas da engenharia da qualidade com base na estatística para lidar com ambos os tipos de dados As características de qualidade são quase sempre avaliadas em relação a especificações Para um produto manufaturado as especificações são as medidas desejadas para as características de qualidade dos componentes ou das submontagens de que se constitui o produto bem como os valores desejados para as características de qualidade no produto final Por exemplo o diâmetro de um eixo usado na transmissão de um automóvel não pode ser muito grande pois não se ajustará ao rolamento nem pode ser muito pequeno pois resultará em folga no ajuste o que causará vibração desgaste e falha prematura da montagem Nas indústrias de serviços as especificações são tipicamente em termos de tempo máximo para se processar uma ordem ou providenciar um serviço particular Um valor de uma medida que corresponde ao valor desejado para aquela característica da qualidade chamase valor nominal ou valoralvo Esses valoresalvo são usualmente limitados por um intervalo de valores que tipicamente acreditamos estarem tão próximos do alvo que se a característica da qualidade estiver nesse intervalo não causará impacto na função ou desempenho do produto O maior valor permitido para uma característica de qualidade é chamado de limite superior de especificação LSE e o menor valor permitido para uma característica de qualidade chama se limite inferior de especificação LIE Algumas características de qualidade têm limite de especificação apenas de um lado do alvo Por exemplo a força de compressão de um componente usado em um parachoque de um carro claramente tem um valoralvo e um limite inferior de especificação mas não tem um limite superior de especificação As especificações são em geral o resultado do processo de planejamento de engenharia para o produto Tradicionalmente os engenheiros projetistas têm chegado a uma configuração do projeto do produto através do uso dos princípios da ciência da engenharia o que em geral resulta na especificação dos valoresalvo pelo projetista para os parâmetros críticos do projeto Seguese então para a construção e teste de um protótipo Esse teste é em geral feito de uma maneira muito pouco estruturada sem o uso de procedimentos estatísticos de planejamento de experimentos e sem muita interação com os processos de manufatura que produzem as partes componentes e o produto final e às vezes até mesmo sem o conhecimento deles No entanto através desse procedimento geral o engenheiro projetista determina os limites de especificação O produto final é então liberado para a fabricação Referimonos a esse procedimento como uma abordagem entre paredes overthewall do projeto Problemas na qualidade do produto são usualmente maiores quando se usa a abordagem entre paredes do planejamento Nessa abordagem as especificações são frequentemente fixadas sem que se considere a variabilidade inerente que existe nos materiais processos e outras partes do sistema que resultam em componentes ou produtos não conformes isto é que deixam de corresponder a uma ou mais de suas especificações Um tipo específico de falha é chamado de uma não conformidade Um produto não conforme não é necessariamente impróprio para o uso por exemplo um detergente pode ter uma concentração do ingrediente ativo abaixo de seu limite inferior de especificação mas pode ainda ter um desempenho aceitável se o consumidor usar uma quantidade maior do produto Um produto não conforme é considerado defeituoso se tem um ou mais defeitos que são não conformidades sérias o bastante para afetar significativamente o uso seguro e eficaz do produto Obviamente falhas por parte da companhia em melhorar seus processos de manufatura podem também causar não conformidades e defeitos O planejamento entre paredes de processos tem sido objeto de muita atenção nos últimos 25 anos Os sistemas CADCAM têm feito muito para automatizar o planejamento do processo e para traduzir mais eficazmente as especificações em atividades e processos de manufatura Planejamentos para a manufatura e montagem têm surgido como parte importante para a superação dos problemas inerentes à abordagem entre paredes do projeto e a maioria dos engenheiros recebe hoje algum embasamento naquelas áreas na sua educação formal A ênfase recente na engenharia simultânea acentuou a abordagem de equipe do projeto com especialistas em manufatura engenharia da qualidade e outras disciplinas trabalhando com o projetista do produto desde os primeiros estágios do processo de projeto do produto Além disso o uso eficaz da metodologia da melhoria da qualidade apresentada neste livro em todos os níveis do processo 12 usado na comercialização de tecnologia e feitura do produto incluindo projeto desenvolvimento manufatura distribuição do produto e apoio ao cliente desempenha papel crucial na melhoria da qualidade Uma Breve História do Controle e da Melhoria da Qualidade Qualidade sempre foi parte integrante de praticamente todos os produtos e serviços No entanto a conscientização de sua importância e a introdução de métodos formais para o controle e melhoria da qualidade têm tido um desenvolvimento evolutivo A Tabela 11 apresenta uma linha do tempo de alguns marcos importantes desse processo evolutivo Discutiremos brevemente alguns dos eventos dessa linha temporal Frederick W Taylor introduziu alguns princípios de gerenciamento científico na medida em que as indústrias de produção em massa começaram a se desenvolver antes de 1900 Taylor foi o pioneiro na divisão do trabalho em tarefas de modo que o produto pudesse ser manufaturado e montado mais facilmente Seu trabalho levou a melhorias substanciais na produtividade Também por causa dos métodos padronizados de produção e montagem a qualidade dos bens manufaturados sofreu um impacto positivo No entanto junto com a padronização dos métodos de trabalho veio o conceito de padrões de trabalho um tempopadrão para se completar o trabalho ou um número específico de unidades a serem produzidas por período Frank Gilbreth e outros estenderam esse conceito ao estudo do planejamento da ação e do trabalho Muitas dessas ideias tiveram impacto positivo sobre a produtividade mas muitas vezes tiraram a ênfase sobre o aspecto da qualidade do trabalho Além disso se levados a extremos os padrões de trabalho têm o risco de deter a inovação e a melhoria contínua que reconhecemos hoje como um aspecto vital para todas as atividades do trabalho TABELA 11 Uma Linha do Tempo dos Métodos da Qualidade 17001900 A qualidade é grandemente determinada pelos esforços de um artesão individual Eli Whitney introduz peças padronizadas intercambiáveis para simplificar a montagem 1875 Frederick W Taylor introduz os princípios do Gerenciamento Científico para dividir o trabalho em unidades menores mais facilmente realizadas a primeira abordagem para tratar produtos e processos mais complexos Focalizavase a produtividade Frank Gilbreth e Henry Gantt foram colaboradores posteriores 19001930 Henry Ford a linha de montagem maior refinamento dos métodos de trabalho para melhorar a produtividade e qualidade Ford desenvolveu os conceitos erroprova da montagem a autoinspeção e a inspeção durante o processo 1901 Estabelecimento dos primeiros laboratórios de padrões na Inglaterra 19071908 ATT inicia a inspeção e o teste sistemáticos de produtos e materiais 1908 W S Gosset escrevendo como Student introduz a distribuição t resultado de seu trabalho em controle da qualidade na Cervejaria Guinness 19151919 Primeira Guerra Mundial O governo britânico inicia um programa de certificados ao fornecedor 1919 Formase na Inglaterra a Technical Inspection Association mais tarde essa se torna o Institute of Quality Assurance Década de 1920 ATT Bell Laboratories formam um departamento da qualidade enfatizando qualidade inspeção e teste e a responsabilidade sobre o produto B P Dudding da General Electric na Inglaterra usa métodos estatísticos para controlar a qualidade de lâmpadas elétricas 1922 Henry Ford escreve com Samuel Crowtha e publica My Life and Work que focaliza a eliminação do desperdício e a eficiência do processo de melhoria Muitos dos conceitos e ideias de Ford são a base dos princípios enxutos usados hoje 19221923 R A Fisher publica uma série de artigos fundamentais sobre experimentos planejados e suas aplicações às ciências da agricultura 1924 W A Shewhart introduz o conceito de gráfico de controle em um memorando técnico do Bell Laboratories 1928 A metodologia de amostragem de aceitação é desenvolvida e refinada por H F Dodge e H G Romig no Bell Labs 1931 W A Shewhart publica Economic Control of Quality of Manufactured Product em que delineia métodos estatísticos para uso na produção e métodos gráficos de controle 1932 W A Shewhart profere conferências na University of London sobre métodos estatísticos na produção e gráficos de controle 19321933 A indústria têxtil e de lã da Inglaterra e a indústria química da Alemanha começam a usar experimentos planejados para o desenvolvimento do produtoprocesso 1933 A Royal Statistical Society constitui a Industrial and Agricultural Research Section 1938 W E Deming convida Shewhart para apresentar seminários sobre gráficos de controle na US Department of Agriculture Graduate School 1940 O US War Department publica um guia para o uso dos gráficos de controle na análise de dados de processo 19401943 Bell Labs desenvolve os precursores dos padrões militares dos planos de amostragem para o Exército Americano 1942 Formase na Inglaterra o Ministry of Supply Advising Service on Statistical Methods and Quality Control 19421946 Cursos de treinamento sobre controle estatístico da qualidade são oferecidos à indústria formamse na América do Norte mais de 15 sociedades da qualidade 1944 Iniciase a publicação de Industrial Quality Control 1946 Formase a American Society for Quality Control ASQC através da fusão de várias sociedades da qualidade Fundase a International Standards Organization ISO Deming é convidado a ir ao Japão pela Economic and Scientific Services Section of the US War Department para ajudar as forças de ocupação na reconstrução da indústria japonesa Formase a Japanese Union of Scientists and Engineers JUSE 19461949 Deming é convidado a ministrar seminários sobre controle estatístico da qualidade para a indústria japonesa 1948 G Taguchi inicia o estudo e a aplicação do planejamento de experimentos 1950 Deming inicia a instrução de gerentes industriais japoneses os métodos de controle estatístico da qualidade começam a ser ensinados em todo o Japão 19501975 Taiichi Ohno Shigeo Shingo e Eiji Toyoda desenvolvem o Sistema de Produção Toyota um sistema técnicosocial integrado que definiu e desenvolveu muitos dos princípios enxutos como a produção justintime e rápida implementação de ferramentas e equipamentos K Ishikawa introduz o diagrama de causaeefeito Década de 1950 Surgem os textos clássicos sobre controle estatístico da qualidade de Eugene Grant e A J Duncan 1951 A V Feigenbaum publica a primeira edição de seu livro Total Quality Control JUSE institui o Prêmio Deming para resultados significativos em controle e metodologia da qualidade 1951 G E P Box e K B Wilson publicam trabalho fundamental sobre o uso de experimentos planejados e a metodologia da superfície de resposta para otimização de processo o foco é a indústria química Depois disso aumentam continuamente as aplicações do planejamento de experimentos na indústria química 1954 Joseph M Juran é convidado pelos japoneses a proferir conferências sobre gerenciamento e melhoria da qualidade O estatístico britânico E S Page introduz o gráfico de controle da soma cumulativa CUSUM 1957 Primeira edição de Quality Control Handbook de J M Juran e F M Gryna 1959 Lançamento de Technometrics uma revista de estatística para as ciências físicas químicas e de engenharia J Stuart Hunter é o editorfundador S Roberts introduz o gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada MMEP O programa espacial tripulado americano torna a indústria consciente da necessidade de produtos confiáveis o campo da engenharia de confiabilidade cresce a partir de então 1960 G E P Box e J S Hunter escrevem artigos fundamentais sobre planejamentos fatoriais 2kp O conceito de círculo de controle da qualidade é introduzido no Japão por K Ishikawa 1961 Formase na Inglaterra o National Council for Quality and Productivity como parte do British Productivity Council Década de 1960 Cursos sobre controle estatístico da qualidade tornamse presentes nos currículos acadêmicos de engenharia industrial Os programas zero defeito ZD são introduzidos em algumas indústrias americanas 1969 Cessa a publicação de Industrial Quality Control substituído por Quality Progress e Journal of Quality Technology Lloyd S Nelson é o editorfundador do JQT Década de 1970 Na Inglaterra o NCQP e o Institute of Quality Assurance se fundem para formar a British Quality Association 19751978 Começam a surgir livros sobre experimentos planejados orientados para engenheiros e cientistas Começa a surgir nos Estados Unidos o interesse pelos círculos de qualidade o que desemboca no movimento do gerenciamento da qualidade total GQT Década de 1980 Os métodos do planejamento experimental são introduzidos em e adotados por um grande grupo de organizações incluindo as indústrias eletrônica aeroespacial de semicondutores e automotiva Aparecem nos Estados Unidos pela primeira vez os trabalhos de Taguchi sobre experimentos planejados 1984 A American Statistical Association ASA estabelece o Ad Hoc Committee on Quality and Productivity mais tarde ele se torna uma seção da ASA Surge a revista Quality and Reliability Engineering International 1986 Box e outros visitam o Japão notando o uso extensivo do planejamento de experimentos e de outros métodos estatísticos 1987 ISO publica o primeiro padrão de sistemas da qualidade Começa a iniciativa Seis Sigma da Motorola 1988 O Malcolm Baldrige National Quality Award Prêmio Nacional Malcolm Baldrige da Qualidade é instituído pelo Congresso americano A European Foundation for Quality Management é fundada essa organização administra o European Quality Award 1989 Surge o periódico Quality Engineering Engenharia da Qualidade Década de 1990 Crescem as atividades da certificação ISO 9000 na indústria americana cresce continuamente o número de concorrentes ao prêmio Baldrige muitos estados americanos patrocinam prêmios da qualidade com base nos critérios do prêmio Baldrige 1995 Muitos programas de graduação em engenharia exigem cursos formais sobre técnicas estatísticas com ênfase em métodos básicos para caracterização e melhoria do processo 1997 A abordagem Seis Sigma da Motorola se espalha para outras indústrias 1998 A American Society for Quality Control se torna a American Society for Quality ver wwwasqorg tentando indicar aspectos mais amplos para o campo da melhoria da qualidade Década de 2000 O padrão ISO 90002000 é instituído O gerenciamento da cadeia de suprimento e a qualidade do fornecedor se tornam fatores ainda mais críticos no sucesso da empresa As atividades de melhoria da qualidade se expandem para além do contexto industrial em muitas outras áreas incluindo serviços financeiros serviços de saúde seguros e utilidades Organizações começam a integrar princípios enxutos em suas iniciativas Seis Sigma e este se torna uma abordagem à melhoria dos negócios largamente difundida Os métodos estatísticos e sua aplicação na melhoria da qualidade têm uma longa história Em 1924 Walter A Shewhart dos Bell Telephone Laboratories desenvolveu o conceito estatístico de gráfico de controle que é considerado em geral como o começo formal do controle estatístico da qualidade No final da década de 1920 Harold F Dodge e Harry G Romig ambos do Bell Telephone Laboratories desenvolveram a amostragem de aceitação com base estatística como uma alternativa a 100 de inspeção No meio da década de 1930 os métodos estatísticos de controle da qualidade eram largamente usados na Western Electric a divisão de manufatura do Sistema Bell No entanto o valor do controle estatístico da qualidade não era amplamente reconhecido pela indústria A Segunda Guerra Mundial presenciou uma grande expansão do uso e aceitação dos conceitos de controle estatístico da qualidade nas indústrias de manufatura A experiência dos tempos de guerra tornou claro que as técnicas estatísticas eram necessárias para o controle e melhoria da qualidade do produto A American Society for Quality Control foi fundada em 1946 Essa organização promove o uso das técnicas de melhoria da qualidade para todos os tipos de produtos e serviços e oferece conferências publicações técnicas e programas de treinamento para garantir a qualidade As décadas de 1950 e 1960 testemunharam a emergência da engenharia da confiabilidade a introdução de vários livrostexto importantes em controle estatístico da qualidade e o ponto de vista de que a qualidade é um caminho para se gerenciar a organização Na década de 1950 foram introduzidos pela primeira vez nos Estados Unidos os planejamentos de experimentos para melhoria de produtos e processos e as aplicações iniciais ocorreram na indústria química Esses métodos foram amplamente explorados nessa indústria e são geralmente citados como uma das principais razões pelas quais a indústria química americana é uma das mais competitivas do mundo e tem perdido poucos negócios para companhias estrangeiras A expansão desses métodos para fora da indústria química foi relativamente lenta até o final da década de 1970 e início da década de 1980 quando muitas companhias ocidentais descobriram que seus competidores japoneses vinham usando sistematicamente o planejamento de experimentos desde a década de 1960 para a melhoria de processos desenvolvimento de novos processos avaliação de projetos de novos produtos melhoria da confiabilidade e desempenho dos produtos e muitos outros aspectos do planejamento de produtos incluindo seleção de tolerâncias de componentes e sistemas Essa descoberta despertou mais interesse nos experimentos estatisticamente planejados e resultou em esforços extensivos para a introdução da metodologia nas organizações de engenharia e de desenvolvimento na indústria bem como nos currículos acadêmicos de engenharia Desde 1980 tem havido um grande crescimento no uso de métodos estatísticos para a melhoria da qualidade e negócios em geral nos Estados Unidos Isso se deveu em grande parte às grandes perdas de negócios e mercados sofridas por muitas companhias domésticas que começaram na década de 1970 Por exemplo a indústria automotiva americana quase foi destruída pela concorrência estrangeira durante esse período Uma companhia automotiva doméstica estimou suas perdas operacionais em aproximadamente um milhão de dólares por hora em 1980 A adoção e o uso de métodos estatísticos desempenharam papel central no ressurgimento da indústria americana Várias estruturas de gerenciamento também surgiram como sistemas para implementar a melhoria da qualidade Nas duas próximas seções discutiremos brevemente os métodos estatísticos que são o ponto central deste livro e daremos uma visão geral de alguns aspectos chave do gerenciamento da qualidade 13 Métodos Estatísticos para Controle e Melhoria da Qualidade Este livro se concentra na tecnologia estatística e de engenharia que é útil na melhoria da qualidade Especificamente focalizamos três áreas principais controle estatístico de processo planejamento de experimentos e em menor extensão amostragem de aceitação Além dessas técnicas várias outras ferramentas estatísticas e analíticas são úteis na análise de problemas da qualidade e na melhoria do desempenho de processos O papel de algumas dessas ferramentas é ilustrado na Figura 13 que apresenta um processo como um sistema com um conjunto de entradas e uma saída No caso de um processo de manufatura os fatores de entrada controláveis x1 x2 xp são variáveis do processo tais como temperatura pressão e taxas de alimentação As entradas z1 z2 zq são entradas não controláveis ou de difícil controle tais como fatores ambientais ou propriedades das matériasprimas apresentadas por um fornecedor externo O processo de manufatura transforma o material bruto de entrada as partes de componentes e submontagens em um produto acabado que tem várias características de qualidade A variável de saída y é uma característica da qualidade isto é uma medida da qualidade do processo e do produto Esse modelo também pode ser usado para representar processos de não manufatura ou de serviços Por exemplo considere um processo em uma instituição financeira que processa pedidos de financiamentos de carros As entradas são os pedidos de financiamento que contêm informações sobre o cliente e sua história de crédito o tipo de carro a ser comprado seu preço e o valor do empréstimo Os fatores controláveis são o tipo de treinamento que o funcionário da instituição recebe as regras específicas e políticas que o banco impõe sobre esses empréstimos e o número de pessoas que trabalham com empréstimos em cada período de tempo Os fatores não controláveis incluem as taxas de juros vigentes a quantidade de capital disponível para esses tipos de empréstimos em cada período de tempo e o número de pedidos de empréstimo que exigem processamento a cada período As características da qualidade de saída incluem o fato de o empréstimo ter ou não garantias o número de empréstimos com garantias realmente obtidos pelo cliente e o ciclo de tempo isto é o tempo que o cliente espera até a decisão sobre seu pedido de empréstimo Em sistemas de serviços o tempo de ciclo é em geral uma CPQ muito importante FIGURA 13 Entradas e saídas de um processo de produção Um gráfico de controle é uma das técnicas principais do controle estatístico do processo CEP A Figura 14 exibe um típico gráfico de controle Esse gráfico mostra as médias das medidas de uma característica da qualidade em amostras do processo versus tempo ou o número da amostra O gráfico tem uma linha central LC e limites superior e inferior de controle LSC e LIC na Fig 14 A linha central representa onde essa característica do processo deveria estar se não estivessem presentes fontes de variabilidade Os limites de controle são determinados a partir de algumas considerações estatísticas simples que discutiremos nos Capítulos 4 5 e 6 Classicamente os gráficos de controle se aplicam às variáveis de saída em um sistema como o da Figura 14 Entretanto em alguns casos podem ser aplicados também às entradas FIGURA 14 Um gráfico de controle típico O gráfico de controle é uma técnica de monitoramento do processo muito útil quando fontes não usuais de variabilidade estão presentes as médias amostrais são marcadas fora dos limites de controle Isto é um sinal da necessidade de alguma investigação do processo e de que alguma ação corretiva deve ser tomada para a remoção dessas fontes não usuais de variabilidade O uso sistemático do gráfico de controle é um excelente modo de se reduzir a variabilidade Um experimento planejado é extremamente útil na descoberta das variáveischave que influenciam as características da qualidade de interesse no processo Um experimento planejado é uma abordagem para a variação sistemática de fatores de entrada controláveis no processo e determinação do efeito que esses fatores têm nos parâmetros do produto de saída Experimentos estatisticamente planejados são valiosos na redução da variabilidade nas características da qualidade e na determinação dos níveis das variáveis controláveis que otimizam o desempenho do processo Em geral avanços no desempenho do processo e na qualidade do produto também resultam do uso de experimentos planejados Um tipo importante de experimento planejado é o planejamento fatorial no qual variamse todos os fatores de tal modo que todas as combinações possíveis dos níveis dos fatores são testadas A Figura 15 mostra dois planejamentos fatoriais possíveis para o processo da Figura 13 para os casos de p 2 e p 3 fatores controláveis Na Figura 15a os fatores têm dois níveis baixo e alto e as quatro combinações de teste possíveis formam os vértices de um quadrado Na Figura 15b há três fatores cada um com dois níveis resultando em um experimento com oito combinações de teste dispostas nos vértices de um cubo As distribuições nos vértices do cubo representam o desempenho do processo em cada combinação dos fatores controláveis x1 x2 e x3 É claro que algumas combinações dos níveis dos fatores produzem melhores resultados do que outras Por exemplo mudandose x1 de baixo para alto aumentase o nível médio da saída do processo e isso poderia mudálo para fora do valoralvo T Além disso a variabilidade do processo parece ser substancialmente reduzida quando operamos o processo ao longo da aresta posterior do cubo onde x2 e x3 estão em seus níveis mais altos FIGURA 15 Planejamentos fatoriais para o processo na Figura 13 Os experimentos planejados são uma importante ferramenta offline de controle da qualidade porque são usados em geral nas atividades de desenvolvimento e nos estágios iniciais da manufatura e não como um procedimento on line ou durante o processo Desempenham um papel crucial na redução da variabilidade Uma vez identificada uma lista de variáveis importantes que afetam o resultado do processo é normalmente necessário modelarse a relação entre as variáveis de entrada influentes e as características da qualidade da saída As técnicas estatísticas úteis na construção de tais modelos incluem a análise de regressão e a análise de séries temporais Discussões detalhadas de planejamentos de experimentos análise de regressão e modelagem por séries temporais podem ser encontradas em Montgomery 2009 Montgomery Peck e Vining 2006 e Box Jenkins e Reinsel 1994 Uma vez que as variáveis importantes tenham sido identificadas e a natureza da relação entre elas e a saída do processo tenha sido quantificada então uma técnica estatística online de controle de processo para o monitoramento e inspeção do mesmo pode ser usada com considerável eficiência Técnicas como gráficos de controle podem ser usadas para monitorar a saída do processo e detectar quando são necessárias mudanças nas entradas para trazer o processo de volta a um estado sob controle Os modelos que relacionam as entradas influentes às saídas do processo ajudam a determinar a natureza e a grandeza dos ajustes requeridos Em muitos processos uma vez entendida a natureza dinâmica das relações entre entradas e saídas pode ser possível o ajuste rotineiro do processo de modo que valores futuros das características do produto estarão aproximadamente no alvo Esse ajuste de rotina é usualmente chamado de controle de engenharia controle automático ou controle de retroação No Capítulo 11 discutiremos brevemente esses tipos de esquemas de controle de processo e ilustraremos como os métodos de controle estatístico de processo CEP podem ser integrados com sucesso em um sistema de produção no qual a engenharia de controle esteja em uso A terceira área do controle e da melhoria da qualidade que discutiremos é a amostragem de aceitação Isso está intimamente ligado à inspeção e ao teste do produto que é um dos primeiros aspectos do controle da qualidade remontando a um período anterior ao desenvolvimento da metodologia estatística para a melhoria da qualidade A inspeção pode ocorrer em muitos pontos do processo A amostragem de aceitação definida como a inspeção e classificação de uma amostra de unidades selecionadas aleatoriamente de uma remessa ou lote maior e a decisão final sobre o destino do lote ocorre em geral em dois pontos na entrada de matériasprimas ou componentes ou na produção final A Figura 16 mostra diferentes variações de amostragem de aceitação Na Figura 16a a operação de inspeção é feita imediatamente após a produção antes de o produto ser embarcado para o cliente Esta é usualmente chamada de inspeção de saída A Figura 16b ilustra uma inspeção de entrada isto é tiramse amostras de vários lotes do produto assim que são recebidos do fornecedor Várias decisões sobre o destino de lotes estão ilustradas na Figura 16c Lotes dos quais se extraíram amostras podem ser aceitos ou rejeitados Os itens em um lote rejeitado são normalmente descartados ou reciclados ou podem ser retrabalhados ou substituídos por unidades perfeitas No último caso temos o que se chama de inspeção de retificação Os sistemas modernos de garantia da qualidade usualmente dão menos ênfase à amostragem de aceitação e tentam fazer do controle estatístico do processo e do planejamento de experimentos o foco de seus esforços A amostragem de aceitação tende a reforçar a noção de qualidade como conformidade com especificações e não fornece nenhuma informação seja para o processo de produção seja para a engenharia de planejamento e desenvolvimento o que levaria necessariamente a uma melhoria da qualidade FIGURA 16 Variações da amostragem de aceitação FIGURA 17 Diagrama de fases do uso de métodos da engenharia da qualidade A Figura 17 ilustra a evolução típica do uso dessas técnicas na maioria das organizações No nível mais baixo de maturidade o gerenciamento pode desconhecer totalmente os problemas da qualidade e provavelmente não haverá nenhum esforço efetivo de melhoria da qualidade Frequentemente haverá modestas aplicações dos métodos de amostragem de aceitação e inspeção usualmente na recepção de peças e material Na medida em que aumenta a maturidade a primeira atividade é intensificar o uso da inspeção por amostragem O uso da amostragem crescerá até que se entenda que a qualidade não pode ser inspecionada ou testada no produto A essa altura a organização usualmente começa a enfatizar a melhoria do processo O controle estatístico do processo e o planejamento experimental têm potencialmente maior impacto sobre a produção atividades de desenho do produto e desenvolvimento do processo A introdução sistemática desses métodos marca usualmente o início de melhorias substanciais da qualidade custo e produtividade na organização Nos níveis mais altos de maturidade as companhias usam os experimentos planejados e os métodos de controle estatístico do processo intensivamente e fazem uso relativamente modesto da amostragem de aceitação O objetivo primeiro dos esforços da engenharia da qualidade é a redução sistemática da variabilidade nas característicaschave da qualidade do produto A Figura 18 mostra como isso ocorre ao longo do tempo Nos estágios iniciais quando a amostragem de aceitação é a principal técnica em uso os erros do processo ou unidades que não estão de acordo com as especificações constituem uma alta porcentagem da saída do processo A introdução do controle estatístico do processo estabilizará o processo e reduzirá a variabilidade Entretanto não é suficiente apenas satisfazer as exigências maior redução da variabilidade usualmente leva a um melhor desempenho do produto e a uma melhor posição de competitividade como foi claramente demonstrado no exemplo da transmissão de automóveis discutido anteriormente Experimentos estatisticamente planejados podem ser empregados conjuntamente com o controle estatístico do processo para minimizar a variabilidade do processo em quase todos os ambientes industriais FIGURA 18 Aplicação de técnicas da engenharia da qualidade e a sistemática redução na variabilidade do processo 14 141 Aspectos do Gerenciamento da Melhoria da Qualidade Técnicas estatísticas incluindo CEP e experimentos planejados junto com outras ferramentas de resolução de problemas são a base técnica para o controle e melhoria da qualidade No entanto para serem usadas com maior eficiência essas técnicas precisam ser implementadas dentro e como parte de um sistema de gerenciamento orientado pela melhoria da qualidade O sistema de gerenciamento de uma organização deve ser montado para direcionar apropriadamente a filosofia da melhoria da qualidade e garantir sua implementação em todos os aspectos do negócio O gerenciamento eficaz da qualidade envolve a execução bemsucedida de três atividades planejamento da qualidade garantia da qualidade e controle e melhoria da qualidade O planejamento da qualidade é uma atividade estratégica e é tão vital para o sucesso de longo prazo de uma organização quanto o planejamento do desenvolvimento do produto o planejamento financeiro o planejamento de marketing e planos para a utilização de recursos humanos Sem um planejamento estratégico da qualidade grande quantidade de tempo dinheiro e esforço será desperdiçada pela organização ao lidar com planejamentos defeituosos defeitos de manufatura falhas de campo e reclamações do cliente O planejamento da qualidade envolve a identificação dos clientes tanto externos quanto os que operam internamente no negócio e a identificação de suas necessidades algumas vezes isso é chamado de ouvir a voz do cliente VC voice of the customer VOC Então devem ser desenvolvidos produtos ou serviços que correspondem às expectativas do cliente ou as superem As oito dimensões da qualidade discutidas na Seção 11 são parte importante desse esforço A organização deve então determinar como esses produtos e serviços serão feitos O planejamento para a melhoria da qualidade em uma base específica sistemática é também parte vital desse processo A garantia da qualidade é o conjunto de atividades que garante que os níveis de qualidade de produtos e serviços sejam mantidos adequadamente e que os problemas de qualidade do fornecedor e do cliente sejam resolvidos de maneira adequada A documentação do sistema de qualidade envolve quatro componentes política procedimentos instruções e especificações de trabalho e registros A política em geral lida com o que deve ser feito e por que enquanto os procedimentos focalizam métodos e pessoal que implementarão a política As instruções e especificações de trabalho são usualmente orientadas pelo produto departamento ferramenta ou máquina Os registros são uma maneira de se documentarem as políticas os procedimentos e as instruções de trabalho que foram seguidas Os registros são também usados para acompanhar unidades ou lotes específicos do produto de modo que se possa determinar exatamente como foram produzidos Em geral os registros são vitais no fornecimento de dados para se lidar com reclamações do cliente ações corretivas e se necessário recolhimento de produto O desenvolvimento a manutenção e o controle da documentação são funções importantes da garantia da qualidade Um exemplo de controle de documentos é a garantia de que as especificações e as instruções de trabalho desenvolvidas pelo pessoal da operação reflitam as últimas mudanças do projeto e da engenharia Controle e melhoria da qualidade envolvem o conjunto de atividades usado para se garantir que produtos e serviços satisfaçam os requisitos e que melhorem de maneira contínua Como a variabilidade é sempre a principal fonte de baixa qualidade as técnicas estatísticas incluindo CEP e experimentos planejados são as principais ferramentas para o controle e melhoria da qualidade A melhoria da qualidade é feita quase sempre de projeto em projeto e envolve equipes lideradas por pessoas com conhecimento especializado de métodos estatísticos e com experiência em sua aplicação Os projetos devem ser selecionados de modo que tenham impacto significante sobre o negócio e estejam ligados aos objetivos gerais do negócio para a qualidade identificada durante o processo de planejamento As técnicas neste livro são parte integrante de um controle e uma melhoria bemsucedidos A próxima seção fornece uma breve visão de alguns dos elementoschave do gerenciamento da qualidade Discutimos algumas das importantes filosofias da qualidade alguns sistemas e padrões de qualidade a ligação entre qualidade e produtividade e entre qualidade e custo implicações econômicas e legais da qualidade e alguns aspectos da implementação Os três aspectos de planejamento da qualidade garantia da qualidade e controle e melhoria da qualidade são envolvidos na discussão Filosofia da Qualidade e Estratégias de Gerenciamento Muitas pessoas contribuíram para a metodologia estatística da melhoria da qualidade Entretanto em termos de implementação e filosofia de gerenciamento três se destacam como líderes W E Deming J M Juran e A V Feigenbaum Vamos agora rever as abordagens e filosofia desses líderes do gerenciamento da qualidade 1 2 3 4 5 6 7 8 W Edwards Deming W Edwards Deming estudou engenharia e física na University of Wyoming e na Yale University Trabalhou para a Western Electric e foi grandemente influenciado por Walter A Shewhart que desenvolveu o gráfico de controle Depois de deixar a Western Electric Deming teve empregos públicos no Departamento de Agricultura e no Bureau do Censo Durante a Segunda Guerra Mundial Deming trabalhou para o Departamento de Guerra e para o Bureau do Censo Após a guerra tornouse consultor das indústrias japonesas e convenceu a alta direção das mesmas sobre o poder dos métodos estatísticos e da importância da qualidade como arma de competitividade Esse engajamento e uso dos métodos estatísticos têm sido os elementoschave na expansão da indústria e economia japonesas A Japanese Union of Scientists and Engineers criou em sua homenagem o Prêmio Deming para a melhoria da qualidade Até sua morte em 1993 Deming foi um consultor e conferencista ativo foi uma força inspiradora para a melhoria da qualidade nos Estados Unidos e ao redor do mundo Ele acreditava firmemente que a responsabilidade pela qualidade está no gerenciamento isto é a maior parte das oportunidades para a melhoria da qualidade requer ação gerencial e muito poucas oportunidades estão no nível do operariado ou do operador Deming era um crítico severo de muitas práticas de gerenciamento americanas A filosofia de Deming é um importante sistema para a implementação da melhoria da qualidade e produtividade Essa filosofia se resume em seus 14 pontos para o gerenciamento Damos agora uma breve apreciação e discussão dos 14 pontos de Deming Crie uma constância de propósitos focada na melhoria de produtos e serviços Deming era muito crítico em relação ao pensamento de curto prazo do gerenciamento americano que tende a se orientar pelos resultados de negócios semestrais e não se concentra nas estratégias que beneficiam a organização no longo prazo O gerenciamento deve tentar melhorar o projeto do produto e o desempenho constantemente Isso deve incluir investimentos em pesquisa desenvolvimento e inovação que trarão retorno a longo prazo para a organização Adote uma nova filosofia que reconheça que estamos em uma era econômica diferente Rejeite acabamento ruim produtos defeituosos ou maus serviços O custo para se produzir uma unidade defeituosa é o mesmo para se produzir uma unidade boa ou às vezes maior O custo para se lidar com sucata retrabalho e outras perdas criadas pelos itens defeituosos é um enorme gasto de recursos da companhia Não confie em inspeção em massa para controlar a qualidade Tudo que a inspeção pode fazer é separar os defeituosos e a essa altura é muito tarde a organização já pagou para produzir esses defeituosos A inspeção tipicamente ocorre muito tarde no processo é dispendiosa e em geral ineficaz A qualidade resulta da prevenção de itens defeituosos através de melhoria no processo e não de inspeção Não premie os fornecedores com a realização de negócios com base apenas no preço mas considere também a qualidade O preço é uma medida significativa do produto do fornecedor apenas se for considerado em relação a uma medida de qualidade Em outras palavras o custo total do item deve ser considerado e não apenas o preço de compra Quando a qualidade é considerada o licitante que oferece menos não é frequentemente o fornecedor de menor custo Devese dar preferência aos fornecedores que usam métodos modernos de melhoria da qualidade em seus negócios e que podem demonstrar controle e capacidade do processo Uma relação de adversários com o fornecedor é danosa É importante construíremse relações eficazes de longo prazo Concentrese no aprimoramento contínuo Tente constantemente melhorar o sistema de produção e serviço Envolva a força de trabalho nessas atividades e faça uso de métodos estatísticos particularmente as ferramentas de resolução de problemas estatisticamente embasadas discutidas neste livro Coloque em prática os métodos de treinamento modernos e invista no treinamento em serviço de todos os empregados Todos devem ser treinados nos aspectos técnicos de seu trabalho bem como nos métodos modernos de melhoria da qualidade e produtividade O treinamento deve encorajar todos os empregados a praticar esses métodos todos os dias Frequentemente os empregados não são encorajados a usar os resultados do treinamento e os gerentes em geral acreditam que os empregados não precisam de treinamento ou que já devem ser capazes de usar os métodos Muitas organizações dedicam pouco ou nenhum esforço ao treinamento Melhore a liderança e ponha em prática os métodos modernos de supervisão A supervisão não deve consistir meramente em uma vigilância passiva dos empregados mas deve se concentrar em ajudar os empregados a melhorar o sistema no qual trabalham O objetivo número um da supervisão deve ser melhorar o sistema de trabalho e o produto Afaste o medo Muitos empregados têm medo de fazer perguntas relatar problemas ou apontar condições que são barreiras para a qualidade e produção efetiva Em muitas organizações a perda econômica associada ao medo é 9 10 11 12 13 14 1 2 grande apenas o gerenciamento pode eliminar o medo Quebre as barreiras entre áreas funcionais do negócio O trabalho de equipe entre diferentes unidades da organização é essencial para que aconteça a efetiva melhoria da qualidade e da produtividade Elimine alvos slogans e objetivos numéricos para os empregados Um alvo como zero defeito é inútil sem um plano para a consecução de tal objetivo Na verdade tais slogans e programas são contraproducentes Trabalhe para melhorar o sistema e forneça informação sobre isso Elimine quotas numéricas e padrões de trabalho Esses padrões têm sido historicamente estabelecidos sem considerar a qualidade Os padrões de trabalho são em geral sintomas de incapacidade da gerência de entender o processo de trabalho e de propiciar um sistema de gerenciamento efetivo centrado na melhoria deste processo Remova as barreiras que desencorajam os empregados a fazerem seus trabalhos A gerência deve ouvir as sugestões comentários e reclamações dos empregados A pessoa que está executando uma tarefa é quem sabe mais sobre ela e em geral tem ideias valiosas sobre como fazer o processo funcionar mais efetivamente A força de trabalho é um participante importante no negócio e não apenas um oponente nas negociações coletivas Institua um programa permanente de treinamento e educação para todos os empregados Educação em técnicas estatísticas simples mas poderosas deveria ser obrigatória para todos os empregados O uso das ferramentas básicas do CEP para resolução de problemas particularmente o gráfico de controle deve se tornar comum na empresa Na medida em que esses gráficos se espalham e que os empregados entendem seu uso é mais provável que esses empregados procurem as causas da baixa qualidade e identifiquem as melhorias no processo A educação é uma maneira de tornar parceiros todos que estão no processo de melhoria da qualidade Crie uma estrutura no nível mais alto da gerência que defenderá com vigor os 13 primeiros pontos Essa estrutura deve ser orientada a partir do topo da organização Deve também incluir atividades concorrentes de educaçãotreinamento e acelerar a aplicação do treinamento para alcançar melhores resultados nos negócios Todos na organização devem saber que a melhoria contínua é um objetivo comum À medida que lemos os 14 pontos de Deming notamos uma grande ênfase na mudança organizacional Também o papel da gerência nesse processo de mudança é de importância central Entretanto o que deve ser mudado e como deve ser iniciado esse processo de mudança Por exemplo se quisermos melhorar o rendimento de um processo de fabricação de um semicondutor o que deveremos fazer É nessa área que os métodos estatísticos atuam mais frequentemente Para melhorar o processo do semicondutor devemos determinar quais fatores controláveis no processo influenciam o número de unidades defeituosas produzidas Para responder a essa pergunta devemos coletar dados do processo e ver como o sistema reage a mudanças nas variáveis do processo Então ações para a melhoria do processo podem ser planejadas e implementadas Métodos estatísticos tais como experimentos planejados e gráficos de controle podem contribuir para essas atividades Deming escreveu e falou frequentemente sobre as sete doenças mortais do gerenciamento listadas na Tabela 12 Ele acreditava que cada doença era uma barreira para a implementação efetiva de sua filosofia A primeira falta de constância de objetivo se relaciona com o primeiro dos 14 pontos de Deming Melhoria contínua do produto processos e serviços dão garantias a todos os intervenientes na empresa empregados executivos investidores fornecedores de que os dividendos e todos os aumentos no valor do negócio continuarão a crescer A segunda doença muita ênfase em lucros de curto prazo pode tornar os números muito bons mas se isso é conseguido à custa de redução da pesquisa e investimento em desenvolvimento pela eliminação de treinamento de empregados e por não dispor de qualidade e outras atividades de melhoria do negócio então dano à empresa potencialmente irreparável de longo prazo é o resultado final Em relação à terceira doença Deming acreditava que a avaliação do desempenho encorajava desempenho de curto prazo rivalidades e medo e desencorajava trabalho de equipe eficiente As revisões de desempenho podem deixar os empregados amargos e desencorajados e eles podem se sentir tratados de maneira injusta especialmente se estiverem trabalhando em uma organização em que seu desempenho é impactado pelas forças do sistema que são falhas e estão fora de seu controle TABELA 12 As Sete Doenças Mortais do Gerenciamento de Deming Falta de constância de objetivo Ênfase em lucros de curto prazo 3 4 5 6 7 Avaliação de desempenho classificação por mérito e revisões anuais de desempenho Mobilidade da gerência superior Dirigir uma companhia com base apenas em números Custos médicos excessivos Excessivas indenizações legais por danos A quarta doença mobilidade de gerenciamento se refere à prática largamente difundida de mudança de função isto é um gerente que passa pouco tempo na função na empresa pela qual é responsável Isso em geral resulta em que decisões importantes sejam tomadas por alguém que realmente não entende daquele assunto Gerentes em geral gastam mais tempo pensando no próximo passo de suas carreiras do que sobre sua função atual e em como realizála melhor Reorganização frequente e mudanças nas responsabilidades de gerenciamento são barreiras à constância de objetivo e em geral desperdício de recursos que poderiam ser empregados na melhoria de produtos e serviços A entrada de um novo diretor executivo para melhorar os lucros trimestrais leva frequentemente a uma estratégia que abre um caminho de destruição através de todo o negócio A quinta doença gerenciamento apenas através de números tais como número de defeitos reclamações de clientes e lucros trimestrais sugere que os fatores realmente importantes que determinam o sucesso organizacional de longo prazo são desconhecidos e não conhecíveis Como evidência disso das 100 maiores companhias em 1900 apenas 16 ainda existem hoje e das 25 maiores companhias em 1900 apenas duas ainda estão entre as 25 melhores Obviamente alguns números visíveis são importantes por exemplo fornecedores e empregados devem ser pagos em dia e as contas bancárias devem ser gerenciadas No entanto se apenas os números visíveis fossem determinantes de sucesso é provável que muitas mais das companhias de 1900 ainda estivessem em funcionamento Os cuidados de Deming com despesas médicas excessivas sua sexta doença mortal são certamente proféticos o cuidado com a saúde custa mais do que a maioria dos mais importantes problemas com que hoje se deparam muitos setores de negócios nos Estados Unidos Por exemplo os custos médicos de empregados atuais e aposentados das fabricantes de automóveis americanas General Motors Ford e Chrysler são atualmente estimados entre 1200 e 1600 por veículo em contraste com 250 a 350 por veículo na Toyota e Honda duas fabricantes de automóveis japonesas com extensas operações de fabricação e montagem nos Estados Unidos A sétima doença responsabilidade e indenização excessiva por danos é também um problema importante com que se deparam muitas organizações Deming gostava de observar que os Estados Unidos tinham mais advogados per capita do que qualquer outra nação Ele acreditava que a intervenção do governo provavelmente seria necessária para fornecer soluções eficazes de longo prazo para os custos médicos e indenização excessiva por responsabilidade Deming recomendava o ciclo de Shewhart mostrado na Figura 19 como um modelo para guiar a melhoria Os quatro passos PlanejarFazerVerificarAgir são frequentemente chamados de ciclo PDCA PlanDoCheckAct Algumas vezes o passo Verificar é chamado de Estudar e o ciclo se torna ciclo PFEA PlanDoStudyAct PDSA No Planejar propomos uma mudança no sistema que se deseja melhorar Em Fazer realizamos a mudança em geral em uma escala pequena ou piloto para garantir que os resultados desejados serão obtidos Verificar consiste na análise dos resultados da mudança para se determinar o que se aprendeu sobre as mudanças que foram feitas Em Agir ou adotamos a mudança ou se ela não foi bemsucedida a abandonamos O processo é quase sempre iterativo e pode requerer muitos ciclos para a solução de problemas complexos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 FIGURA 19 O ciclo de Shewhart Além dos 14 pontos de Deming e de suas sete doenças mortais do gerenciamento Deming escreveu e fez palestras sobre uma extensa coleção de obstáculos para o sucesso Alguns deles são A crença em que automatização computadores e novas máquinas irão resolver os problemas Procura de exemplos tentativa de copiar soluções existentes A desculpa de que nosso problema é diferente e a não visualização de que os princípios que o irão resolver são universais Escolas obsoletas particularmente as escolas de administração nas quais não se ensina aos alunos como dirigir um negócio com sucesso Ensino fraco de métodos estatísticos na indústria ensino das ferramentas sem um contexto para seu uso não será bemsucedido Dependência da inspeção para a produção de qualidade Dependência do departamento de controle da qualidade para cuidar de todos os problemas da qualidade Culpar os trabalhadores pelos problemas Falsos começos como ensino amplo de métodos estatísticos sem um plano de como usálos círculos de qualidade sistemas de sugestões de empregados e outras formas de pudim instantâneo A falácia de zero defeito Companhias vão à falência mesmo que produzam produtos e serviços sem defeitos Satisfazer as especificações não é toda a história em qualquer negócio Teste inadequado de protótipos um protótipo pode ser um artigo único com boas dimensões estatísticas mas sem o conhecimento da variabilidade o teste de um protótipo diz pouca coisa Esse é um sintoma de compreensão inadequada do planejamento desenvolvimento e atividade geral de comercialização de tecnologia do produto Qualquer pessoa que vier nos ajudar deve compreender tudo sobre nosso negócio Isso é bizarro já há pessoas competentes na organização que sabem tudo sobre o negócio exceto como melhorálo Novos conhecimentos e ideias em geral de fora devem se misturar com a expertise existente do negócio para gerar mudança e melhoria Joseph M Juran Juran nasceu em 1904 e faleceu em 2008 e foi um dos pais fundadores da área de controle e melhoria da qualidade Trabalhou para o Dr Walter A Shewhart no ATT Bell Laboratories e foi um dos líderes da melhoria da qualidade durante toda sua carreira Juran tornouse o engenheiro industrial chefe da Western Electric parte do Bell System Foi administrador assistente da LendLease Administration durante a Segunda Guerra Mundial e desempenhou papel importante na simplificação dos processos administrativo e de trabalho com papéis daquela agência Depois da guerra tornouse chefe do Departamento de Engenharia Administrativa da New York University Foi convidado para falar para os líderes da indústria japonesa quando eles começaram sua transformação industrial no início da década de 1950 Criou também uma prática de consultoria ativa o Juran Institute e fez inúmeras conferências através de American Management Association Foi coautor com Frank M Gryna de Quality Control Handbook uma referência padrão para métodos de qualidade e de melhoria desde sua publicação inicial em 1957 A filosofia de gerenciamento da qualidade de Juran destaca três componentes planejamento controle e melhoria Esses são conhecidos como a trilogia de Juran Como observamos anteriormente planejamento envolve a identificação dos clientes externos e a determinação de suas necessidades Então os produtos que satisfazem as necessidades desses clientes são projetados eou desenvolvidos e o processo para a produção desses produtos ou serviços são então desenvolvidos O processo de planejamento deve envolver também o planejamento para a melhoria da qualidade em base regular de modo típico anualmente O controle é empregado pelas forças operacionais do negócio para garantir que o produto ou serviço satisfaça os requisitos CEP é uma das primeiras ferramentas de controle A melhoria visa o alcance de níveis de desempenho e de qualidade mais altos do que os níveis atuais Juran enfatiza que a melhoria deve ser na base de projeto a projeto Esses projetos são tipicamente identificados como o estágio de planejamento da trilogia A melhoria pode ser contínua ou incremental ou por avanços Tipicamente uma melhoria de avanço é o resultado do estudo do processo e identificação de um conjunto de mudanças que resultam em uma grande e relativamente rápida melhoria no desempenho Experimentos planejados são uma ferramenta importante que pode ser usada para se alcançar um avanço Armand V Feigenbaum Feigenbaum nasceu em 1922 Ele foi o primeiro a introduzir o conceito de controle da qualidade por toda a companhia em seu livro histórico Total Quality Control a primeira edição foi publicada em 1951 Esse livro influenciou muitos dos princípios da filosofia da gerência da qualidade no Japão no início da década de 1950 Na verdade muitas companhias japonesas usaram o nome controle da qualidade total para descrever seus esforços Ele propôs uma abordagem de três passos para a melhoria da qualidade liderança da qualidade tecnologia da qualidade e comprometimento organizacional Por tecnologia da qualidade Feigenbaum quer dizer métodos estatísticos e outras técnicas e métodos de engenharia tais como os discutidos neste livro Feigenbaum se preocupa com a estrutura organizacional e uma abordagem de sistemas para a melhoria da qualidade Ele propôs um processo de melhoria de 19 passos dos quais o de número 17 correspondia ao uso de métodos estatísticos Inicialmente ele sugeriu que a maior parte da capacidade técnica fosse concentrada em um departamento especializado Isso contrasta com o ponto de vista mais moderno de que o conhecimento e o uso de ferramentas estatísticas devem se generalizar No entanto os aspectos organizacionais do trabalho de Feigenbaum são importantes na medida em que a melhoria da qualidade não surge como uma atividade de base ela requer muito compromisso da gerência para fazêla funcionar As breves descrições das filosofias de Deming Juran e Feigenbaum apontaram tanto os aspectos comuns quanto as diferenças de seus pontos de vista Na opinião deste autor há mais semelhanças do que diferenças entre eles e as semelhanças é que são importantes Todos esses três pioneiros acentuam a importância da qualidade como uma arma competitiva essencial o papel importante que a gerência deve ter na implementação da melhoria da qualidade e a importância das técnicas e métodos estatísticos na transformação da qualidade de uma organização Gerenciamento da Qualidade Total O gerenciamento da qualidade total ou GQT é uma estratégia para implementação e gerenciamento das atividades de melhoria da qualidade em toda a organização O GQT começou no início da década de 1980 com as filosofias de Deming e Juran como ponto central Ele evoluiu para um espectro mais amplo de conceitos e ideias envolvendo organizações participativas e cultura do trabalho foco no cliente melhoria da qualidade do fornecedor integração do sistema de qualidade com os objetivos da empresa e muitas outras atividades para enfocar todos os elementos da organização em torno da melhoria da qualidade Tipicamente as organizações que implementaram uma abordagem GQT para a melhoria da qualidade possuem conselhos de qualidade ou equipes de alto nível que lidam com as iniciativas estratégicas de qualidade equipes no nível da força de trabalho que se concentram na produção de rotina ou nas atividades da empresa e equipes mistas que atacam problemas específicos de melhoria da qualidade O GQT tem tido um sucesso apenas moderado por uma variedade de razões mas frequentemente porque é insuficiente o esforço devotado à utilização em larga escala das ferramentas técnicas de redução da variabilidade Muitas organizações encararam a missão do GQT como de treinamento Consequentemente muitos esforços de GQT se engajaram no treinamento em larga escala da força de trabalho na filosofia da melhoria da qualidade e em alguns métodos básicos Esse treinamento era em geral colocado nas mãos de departamentos de recursos humanos e a maior parte dele foi pouco efetiva Os instrutores em geral não tinham ideia de quais métodos deveriam ser ensinados ou como deveriam ser usados e o sucesso era em geral medido pelo percentual da força de trabalho que tinha sido treinada e não por se alcançar algum impacto mensurável sobre os resultados dos negócios Algumas razões gerais para a falta de sucesso visível do GQT incluem 1 falta de compromisso e envolvimento da gerência de alto nível de cima para baixo 2 uso inadequado dos métodos estatísticos e reconhecimento insuficiente da redução da variabilidade como objetivo primário 3 objetivos do negócio orientados pelos resultados gerais considerados como opostos de específicos e 4 ênfase excessiva em treinamento em larga escala em oposição à educação técnica focada Outra razão para o sucesso irregular do GQT é que muitos gerentes e executivos encararamno como apenas mais um programa para melhorar a qualidade Durante as décadas de 1950 e 1960 proliferaram programas como Zero Defeito e Engenharia de Valor mas eles tiveram pouco impacto real na melhoria da qualidade e da produtividade No apogeu do GQT na década de 1980 outro programa popular foi a iniciativa Qualidade é Grátis no qual a gerência trabalhava na identificação do custo da qualidade ou o custo da não qualidade como tão inteligentemente colocavam os defensores da Qualidade é Grátis De fato a identificação dos custos da qualidade pode ser muito útil discutiremos os custos da qualidade na Seção 143 mas os praticantes da Qualidade é Grátis não tinham em geral a menor ideia do que fazer para realmente melhorar muitos tipos de processos industriais complexos Na verdade os líderes dessa iniciativa não tinham conhecimento da metodologia estatística e fracassaram completamente em entender seu papel na melhoria da qualidade Quando o GQT é colocado a serviço de um programa ineficaz como esse o resultado em geral é o desastre Sistemas e Padrões da Qualidade A International Standards Organization Organização Internacional de Padrões fundada em 1946 em Genebra na Suíça também conhecida como ISO desenvolveu uma série de padrões para sistemas de qualidade Os primeiros padrões foram emitidos em 1987 A versão atual do padrão é também conhecida como a série ISO 9000 É um padrão genérico largamente aplicável a qualquer tipo de organização e geralmente usado para demonstrar a capacidade de um fornecedor de controlar seus processos Os três padrões do ISO 9000 são ISO 90002005 Sistema de Gerenciamento da Qualidade Fundamentos e Vocabulário ISO 90012008 Sistema de Gerenciamentos da Qualidade Requisitos ISO 90042009 Sistema de Gerenciamento da Qualidade Diretrizes para Melhoria do Desempenho ISO 9000 é também um padrão do American National Standards Institute e da ASQ O padrão ISO 90012008 tem oito cláusulas 1 Abrangência 2 Referências Normativas 3 Definições 4 Sistemas de Gerenciamento da Qualidade 5 Responsabilidade do Gerenciamento 6 Gerenciamento de Recursos 7 Realização do Produto ou Serviço e 8 Medida Análise e Melhoria As cláusulas de 4 a 8 são as mais importantes e seus componentes e requisitos básicos são mostrados na Tabela 13 Para obter um certificado do padrão ISO uma companhia deve selecionar um oficial de registro e se preparar para uma auditoria de certificação feita por esse oficial Não há uma autoridade única independente que licencie regule monitore ou qualifique os oficiais de registro Como discutiremos mais adiante esse é um problema sério do sistema ISO A preparação para a auditoria de certificação envolve muitas atividades incluindo usualmente uma auditoria inicial ou fase I que verifica o presente sistema de gerenciamento da qualidade em relação ao padrão Isso é geralmente seguido pela formação de equipes para garantir que todos os componentes das cláusulaschave sejam desenvolvidos e implementados treinamento de pessoal desenvolvimento de documentação aplicável e desenvolvimento e instalação de novos componentes do sistema de qualidade que possam ser necessários Realizase então a auditoria de certificação Se a companhia é certificada então ocorrem auditorias de vigilância periódicas usualmente em um esquema anual ou semestral Muitas organizações têm exigido que seus fornecedores tenham certificados ISO 9000 ou um dos padrões mais específicos da indústria Exemplos desses padrões de sistemas da qualidade específicos da indústria são AS 9100 para a indústria aeroespacial ISOTS 16949 e QS 9000 para a indústria automotiva e TL 9000 para a indústria de telecomunicações Muitos componentes desses padrões são semelhantes aos do ISO 9000 Grande parte do foco do ISO 9000 e dos padrões específicos da indústria se concentra na documentação formal do sistema da qualidade isto é atividades de garantia da qualidade As organizações em geral têm que fazer um grande esforço para terem sua documentação de acordo com as exigências do padrão este é o calcanhar de Aquiles do ISO 9000 e de outros padrões relacionados ou derivados Há demasiado esforço devotado à documentação papéis e à contabilidade e não o suficiente para realmente reduzir a variabilidade e melhorar os processos e produtos Além disso muitos dos terceiros que registram as certificações auditores e consultores que trabalham nessa área não são suficientemente educados ou experientes o bastante em relação às ferramentas técnicas necessárias para a melhoria da qualidade ou em como essas ferramentas devam ser empregadas Em geral eles também não têm consciência do que constituem a engenharia e a prática estatística modernas e usualmente têm familiaridade apenas com as técnicas mais elementares Assim concentramse em grande parte nos aspectos da contabilidade dos registros e da documentação da certificação Também há evidências de que a certificação ISO ou certificação sob um dos outros padrões específicos da indústria faz pouco para evitar projetos manufatura e entrega ao cliente de produtos de baixa qualidade Por exemplo em 1999 2000 houve vários incidentes envolvendo acidentes com rodopio na pista de veículos Ford Explorer equipados com pneus BridgestoneFirestone Houve aproximadamente 300 mortes nos Estados Unidos atribuídas apenas a esses acidentes o que levou a um recall da BridgestoneFirestone de aproximadamente 65 milhões de pneus Aparentemente muitos dos pneus envolvidos nesses incidentes tinham sido manufaturados na fábrica da BridgestoneFirestone em Decatur Illinois Em um artigo sobre a história na revista Time 18 de setembro 2000 havia uma fotografia p 38 de um anúncio na a b c d e entrada da fábrica de Decatur informando que a fábrica tinha certificados QS 9000 e ISO 14001 ISO 14001 é um padrão ambiental Embora as causas atribuíveis subjacentes a esses incidentes nunca tenham sido totalmente esclarecidas há indicadores claros de que a despeito das certificações de sistemas de qualidade a BridgestoneFirestone estava passando por problemas significativos de qualidade Apenas a certificação ISO não é garantia de que produtos de boa qualidade estejam sendo projetados manufaturados e entregues ao consumidor Confiar na certificação ISO é um erro do gerenciamento estratégico TABELA 13 Requisitos do ISO 90012008 40 Sistema de Gerenciamento da Qualidade 41 Requisitos Gerais A organização deverá estabelecer documentar implementar e manter um sistema de gerenciamento da qualidade e continuamente melhorar sua eficiência de acordo com os requisitos do padrão internacional 42 Requisitos para Documentação A documentação de sistema de gerenciamento da qualidade incluirá uma política da qualidade e objetivos da qualidade um manual da qualidade procedimentos documentados documentos que garantam planejamento operação e controle eficazes dos processos e registros exigidos pelo padrão internacional 50 Sistema de Gerenciamento 51 Compromisso da Gerência Comunicação de satisfação dos requisitos do cliente estatutários e regulatórios Estabelecimento de uma política da qualidade Estabelecimentos de objetivos da qualidade Realização de revisões do gerenciamento Garantir que recursos estejam disponíveis 52 A gerência superior garantirá que os requisitos do cliente estejam determinados e sejam satisfeitos com o objetivo de salientar a satisfação do cliente 53 A gerência estabelecerá uma política da qualidade 54 A gerência garantirá que os objetivos sejam estabelecidos A gerência garantirá que ocorra o planejamento para o sistema de gerenciamento da qualidade 55 A gerência garantirá que as responsabilidades e autoridades sejam definidas e comunicadas 56 A gerência revisará o sistema de gerenciamento da qualidade a intervalos regulares 60 Gerenciamento de Recursos 61 A organização determinará e fornecerá os recursos necessários 62 Os trabalhadores receberão educação treinamento habilidades e experiência necessários 63 A organização determinará fornecerá e manterá a infraestrutura necessária para se alcançar a conformidade aos requisitos do produto 64 A organização determinará e gerenciará o ambiente de trabalho necessário para se alcançar a conformidade aos requisitos do produto 70 Realização do Produto ou Serviço 71 A organização planejará e desenvolverá os processos necessários à realização do produto ou serviço 72 A organização determinará os requisitos conforme especificados pelos clientes 73 A organização planejará e controlará o projeto e desenvolvimento para seus produtos ou serviços 74 A organização garantirá que os materiais ou produtos comprados estejam de acordo com os requisitos de compra especificados 75 A organização planejará e realizará a produção e serviço sob condições controladas 76 A organização determinará o monitoramento e as medições a serem realizados e os aparelhos de monitoramento e medições necessários para se fornecer evidência da conformidade dos produtos ou serviços aos requisitos determinados 80 Medição Análise e Melhoria 81 A organização planejará e implementará o monitoramento a medição análise e melhoria do processo para melhoria continuada e conformação aos requisitos 82 A organização monitorará a informação relativa às percepções do cliente 83 A organização garantirá que o produto não conforme com os requisitos seja identificado e controlado para evitar seu uso ou entrega não intencionais 84 A organização determinará coletará e analisará dados para demonstrar a adequação e eficácia do sistema de gerenciamento da qualidade incluindo a Satisfação do cliente b Dados de conformidade c Dados de tendência d Dados do fornecedor 85 A organização continuará a melhorar a eficiência do sistema de gerenciamento da qualidade Adaptado do ISO 90012008 Standard International Standards Organization Genebra Suíça Estimouse que as atividades de registro da certificação ISO constituem aproximadamente um negócio de 40 bilhões de dólares anuais em todo o mundo A maior parte desse dinheiro vai para os oficiais de registro auditores e consultores Essa quantia não inclui todos os gastos internos feitos pelas organizações para conseguirem o registro tais como as milhares de horas de esforços em engenharia e gerência viagens treinamento interno e auditorias internas Não está claro se alguma fração significativa dessa despesa chegou à base das organizações registradas Além disso não há garantia de que a certificação tenha impacto real na qualidade como nos incidentes com pneus da BridgestoneFirestone Muitas autoridades da engenharia da qualidade sentem que o registro ISO é em grande parte um desperdício de esforço Muitas vezes as organizações estariam em melhor situação se apenas dissessem não ao ISO e gastassem uma pequena parte daqueles 40 bilhões de dólares em seus sistemas de qualidade e outra fração maior em esforços significativos para a redução da variabilidade se desenvolvessem seus próprios ou talvez com base na indústria padrões de qualidade os impusessem rigorosamente e embolsassem a diferença O Prêmio Malcolm Baldrige National Quality O Prêmio Nacional da Qualidade Malcolm Baldrige Malcolm Baldrige National Quality Award MBNQA foi criado pelo Congresso Americano em 1987 e é dado anualmente para reconhecer organizações americanas pela excelência do desempenho Prêmios são dados a organizações em cinco categorias manufatura serviço pequeno negócio cuidado da saúde e educação Três prêmios podem ser dados a cada ano em cada categoria Muitas organizações competem pelos prêmios e muitas companhias usam os critérios de excelência de desempenho para autoavaliação O prêmio é administrado pelo NIST National Institute of Standards and Technology A Figura 110 mostra os critérios de excelência de desempenho e suas interrelações Os valores pontuais para esses critérios no MBNQA são apresentados na Tabela 14 Os critérios se dirigem a resultados onde os resultados são uma composição de satisfação e fidelização do cliente fatia do mercado e desenvolvimento de novo mercado qualidade de produtoserviço produtividade e eficiência operacional desenvolvimento de recursos humanos desempenho do fornecedor e cidadania públicade corporação Os critérios não são prescritivos isto é se concentram nos resultados não no uso de procedimentos ou ferramentas específicos FIGURA 110 A estrutura dos critérios de excelência de desempenho do MBNQA Fonte Foundation for the Malcolm Baldrige National Quality Award 2002 Criteria for Performance Excellence O processo MBNQA é mostrado na Figura 111 Um candidato envia ao NIST o formulário preenchido Esse formulário é então submetido a uma primeira rodada de revisão feita por uma equipe de examinadores da Baldrige O quadro de examinadores da Baldrige consiste em voluntários altamente qualificados oriundos de uma variedade de áreas Os juízes avaliam a pontuação no formulário para determinar se o candidato continuará para o consenso Durante a fase do consenso um grupo de examinadores que pontuaram o formulário original determina um escore de consenso para cada item Uma vez que se chega a um consenso e se escreve o relatório do consenso os juízes fazem uma determinação de visita in loco Uma visita in loco é tipicamente uma visita de uma semana feita por uma equipe de quatro a seis examinadores que apresentam um relatório dessa visita Esses relatórios são usados pelos juízes como base para a determinação dos vencedores finais do MBNQA Como exibido na Figura 110 relatórios de acompanhamento são fornecidos aos candidatos até o terceiro estágio do processo do MBNQA Muitas organizações consideram esses relatórios muito úteis como base para planejamento de melhoria geral da organização e para orientar melhorias nos resultados do negócio Seis Sigma Produtos com muitos componentes têm tipicamente muitas oportunidades para falhas e defeitos A Motorola desenvolveu seu programa Seis Sigma no final da década de 1980 como resposta à demanda por seus produtos O foco do programa Seis Sigma está na redução da variabilidade nas principais características da qualidade do produto no nível no qual falhas e defeitos são extremamente improváveis A Figura 112a mostra uma distribuição de probabilidade normal como modelo para uma característica da qualidade com os limites de especificação em três desviospadrão de cada lado da média TABELA 14 Categorias de Excelência de Desempenho e Valores dos Pontos 1 Liderança 120 11 Sistema de Liderança 80 12 Responsabilidade e Cidadania da Companhia 40 2 Planejamento Estratégico 85 21 Processo de Desenvolvimento de Estratégia 40 22 Estratégia da Companhia 45 3 Foco no Cliente e Mercado 85 31 Conhecimento do Cliente e do Mercado 40 32 Satisfação de Cliente e Fortalecimento da Relação 45 4 Informação e Análise 90 41 Medida e Análise de Desempenho 50 42 Gerenciamento da Informação 40 5 Foco em Recursos Humanos 85 51 Sistemas de Trabalho 35 52 Educação Treinamento e Desenvolvimento do Empregado 25 53 BemEstar e Satisfação do Empregado 25 6 Gerenciamento de Processo 85 61 Gerenciamento de Processos de Produto e Serviço 45 62 Gerenciamento de Processos da Empresa 25 63 Gerenciamento de Processo de Apoio 15 7 Resultados da Empresa 450 71 Resultados do Cliente 125 72 Resultados Financeiros e de Mercado 125 73 Resultados de Recursos Humanos 80 74 Resultados Organizacionais 120 Pontos Totais 1000 FIGURA 111 O processo MBNQA Fonte Foundation for the Malcolm Baldrige National Quality Award 2002 Criteria for Performance Excellence FIGURA 112 O conceito Seis Sigma da Motorola Nessa situação a probabilidade de se produzir um produto dentro dessas especificações é de 09973 o que corresponde a 2700 partes por milhão ppm de defeituosos Isso é conhecido como desempenho de qualidade Três Sigma e parece na verdade muito bom No entanto suponha que tenhamos um produto que consiste em um conjunto de 100 componentes ou partes independentes e que todas essas 100 partes devem ser não defeituosas para que o produto funcione satisfatoriamente A probabilidade de uma unidade específica do produto ser não defeituosa é 09973 09973 09973 09973100 07631 Isso é cerca de 237 dos produtos produzidos sob a qualidade Três Sigma serão defeituosos Esta não é uma situação aceitável porque muitos dos produtos utilizados pela nossa sociedade são feitos de muitos componentes Mesmo uma atividade de serviço relativamente simples como a ida de uma família de quatro pessoas a um restaurante fastfood pode envolver o conjunto de várias dúzias de componentes Um automóvel típico tem cerca de 100000 componentes e um avião tem entre um e dois milhões O conceito Seis Sigma da Motorola é reduzir a variabilidade no processo de modo que os limites de especificação estejam a pelo menos seis desviospadrão da média Então como mostrado na Figura 112a haverá apenas cerca de duas partes por bilhão de defeituosos Sob a qualidade Seis Sigma a probabilidade de que uma unidade específica do produto hipotético acima seja não defeituosa é de 09999998 ou 02 ppm uma situação muito melhor Quando o conceito Seis Sigma foi inicialmente desenvolvido fezse uma suposição de que quando o processo alcançasse o nível de qualidade Seis Sigma a média do processo estaria ainda sujeita a perturbações que poderiam fazer com que ela mudasse em até 15 desviopadrão para longe do alvo A Figura 112b mostra essa situação Neste cenário o processo Seis Sigma produziria cerca de 34 ppm de defeituosos Há uma aparente inconsistência nisso Como discutiremos no Capítulo 8 sobre capacidade do processo podemos apenas fazer predições sobre o desempenho do processo quando ele é estável isto é quando a média e o desviopadrão também é constante Se a média flutua e acaba a 15 desviopadrão do alvo uma predição de 34 ppm de defeituosos não é muito confiável pois a média pode flutuar por mais do que o 15 desviopadrão permitido O desempenho do processo não é previsível a menos que o comportamento do processo seja estável No entanto nenhum processo ou sistema é realmente estável e mesmo nas melhores situações ocorrem perturbações Essas perturbações podem resultar no afastamento da média do alvo um aumento no desviopadrão do processo ou ambos O conceito do processo Seis Sigma é uma maneira de se modelar esse comportamento Como todos os modelos ele não é exatamente correto mas tem se mostrado uma maneira útil de se pensar no desempenho e melhoria do processo A Motorola estabeleceu o programa Seis Sigma tanto como um objetivo para a corporação quanto um ponto central para os esforços de melhoria da qualidade do processo e do produto Recentemente o programa Seis Sigma se espalhou além da Motorola e passou a abranger muito mais Tornouse um programa para melhorar o desempenho da empresa tanto pela melhoria da qualidade quanto pela atenção à redução dos custos As companhias envolvidas no esforço Seis Sigma utilizam indivíduos especialmente treinados chamados Faixa Verde FV Green Belt GB Faixa Preta FP Black Belt BB e Mestre Faixa Preta MFP Master Black Belt MBB para liderar equipes para trabalhar em projetos que tenham impactos de qualidade e econômico para a organização Os faixas têm treinamento especializado e educação em métodos estatísticos e nas ferramentas de melhoria da qualidade e do processo mostrados neste livro o que os torna aptos a funcionar como líderes de equipes facilitadores e solucionadores de problemas Projetos típicos Seis Sigma têm de quatro a seis meses de duração e são selecionados por seu impacto potencial sobre o negócio O artigo de Hoerl 2001 descreve os componentes de um programa típico de educação FP O programa Seis Sigma usa uma abordagem específica de cinco passos para a solução de problemas Definir Medir Analisar Melhorar e Controlar DMAMC A estrutura DMAMC utiliza gráficos de controle experimentos planejados análise da capacidade do processo estudos da capacidade dos sistemas de mensuração e muitas outras ferramentas básicas A abordagem DMAMC é extremamente eficaz para a melhoria de processos Embora seja usualmente associada a instalações Seis Sigma é um trabalho eficaz na organização e gerenciamento de qualquer esforço de melhoria No Capítulo 2 daremos uma apresentação mais completa do DMAMC O objetivo do programa Seis Sigma um nível de defeito de 34 ppm pode parecer artificial ou arbitrariamente alto mas é fácil de se demonstrar que mesmo a entrega de produtos ou serviços relativamente simples com altos níveis de qualidade pode levar à necessidade de um raciocínio Seis Sigma Por exemplo considere a visita a um restaurante de fast food mencionado anteriormente O cliente pede uma refeição típica um hambúrguer pão carne molho queijo picles cebola alface e tomate fritas e um refrigerante Esse produto tem dez componentes Ele é 99 satisfatório na qualidade Se admitimos que todos os dez componentes são independentes a probabilidade de uma boa refeição é PUma refeição boa 09910 09044 o que parece uma boa refeição Há certamente mais de 90 de chance de que a experiência do cliente seja boa Agora suponha que o cliente seja uma família de quatro pessoas Novamente supondo a independência a probabilidade de que as quatro refeições sejam boas é PTodas as refeições boas 090444 06690 Isso não é bom As chances são de cerca de duas em três de que todas as refeições da família sejam boas Suponha ainda que essa hipotética família de quatro vá a esse restaurante uma vez por mês isso é quase tudo que seus sistemas cardiovasculares podem aguentar A probabilidade de que todas as visitas resultem em boas refeições para todos é PTodas as idas boas durante o ano 0669012 00080 Isso é obviamente inaceitável Assim mesmo em um sistema de serviço muito simples envolvendo um produto relativamente simples altos níveis de qualidade e serviço são exigidos para se produzir a desejada experiência de alta qualidade para o cliente As organizações de negócios têm sido rápidas em perceber os benefícios potenciais do programa Seis Sigma e em adotar seus princípios e métodos Entre 1987 e 1993 a Motorola reduziu drasticamente os defeitos em seus produtos Esse sucesso levou muitas organizações a adotarem essa abordagem Desde sua origem houve três gerações de implementações Seis Sigma A Geração I Seis Sigma tinha por foco a eliminação do defeito e redução da variabilidade básica Motorola é sempre considerada um exemplar da Geração I Seis Sigma Na Geração II Seis Sigma a ênfase sobre a variabilidade e redução de defeitos permaneceu mas agora havia um forte esforço para unir esses esforços a projetos e atividades que melhoravam o desempenho do negócio através da redução de custos A General Electric é sempre citada como líder da fase da Geração II do Seis Sigma Na Geração III o Seis Sigma tem o foco adicional de criar valor em toda a organização e para os intervenientes donos empregados clientes fornecedores e sociedade em geral A criação de valor pode ter várias formas aumento dos preços de ações e dividendos fidelização do emprego ou expansão expansão dos mercados para os produtosserviços da companhia desenvolvimento de novos produtosserviços que alcancem novos e maiores mercados e aumento do nível de satisfação do cliente através da oferta de uma variedade de produtos e serviços Muitos tipos diferentes de empresa adotaram o Seis Sigma e o tornaram parte da cultura de fazer negócios Considere a seguinte afirmativa de Jim Owens diretor da fabricante de máquinas pesadas Caterpillar Inc que escreveu no relatório anual da companhia de 2005 Acredito que nossa gente e a implementação mundial do Seis Sigma distinguem a Caterpillar da multidão Que incrível história de sucesso o Seis Sigma tem sido para a Caterpillar É a maneira pela qual fazemos negócio como gerenciamos a qualidade eliminamos o desperdício reduzimos custos criamos novos produtos e serviços desenvolvemos futuros líderes e ajudamos a companhia a crescer lucrativamente Continuamos a encontrar novas maneiras de aplicar a metodologia para atacar os desafios do negócio Nossa equipe de liderança é comprometida com a codificação do Seis Sigma no DNA da Caterpillar e expansão de sua implementação para nossos vendedores e fornecedores mais de 500 dos quais já adotaram a maneira Seis Sigma de fazer negócios No encontro anual do Bank of America em 2004 o então diretor executivo Kenneth D Lewis disse à audiência que a companhia havia tido ganhos recordes em 2003 melhorado significativamente a experiência do cliente e aumentado seu alvo para o financiamento de desenvolvimento comunitário para 750 bilhões durante dez anos Dito de maneira simples o Bank of America fez acontecer disse Lewis E estamos conseguindo isso por seguirmos uma estratégia disciplinada focada no cliente e no crescimento orgânico Citando o uso amplo pela companhia das técnicas do Seis Sigma para a melhoria do processo ele observou que em menos de três anos o Bank of America havia economizado milhões de dólares de despesas cortado os tempos de ciclo em inúmeras áreas da companhia pela metade ou mais e havia reduzido o número de erros de processamento Esses são fortes endossos do Seis Sigma da parte de dois líderes de negócios altamente reconhecidos que dirigem dois tipos diferentes de organização manufatura e serviços financeiros Caterpillar e Bank of America são bons exemplos de companhias Seis Sigma de Geração III pois suas implementações são focadas na criação de valor para todos os intervenientes no sentido amplo Note a ênfase de Lewis na redução dos tempos de ciclo e redução dos erros de processamento itens que melhorarão consideravelmente a satisfação do cliente e a observação de Owen na expansão do Seis Sigma para fornecedores e vendedores toda a cadeia de suprimento O programa Seis Sigma se espalhou para além de suas origens na manufatura para áreas que incluem serviços de saúde muitos tipos de empresas de serviços e serviço públicogovernamental a marinha americana tem um forte e bemsucedido programa Seis Sigma A razão para o sucesso do Seis Sigma em organizações fora da esfera tradicional da manufatura é que a variabilidade está em toda parte e onde há variabilidade há uma oportunidade de melhorar os resultados do negócio Alguns exemplos de situações onde um programa Seis Sigma pode ser aplicado para reduzir a variabilidade eliminar defeitos e melhorar o desempenho do negócio são Alcançar alvos de programa de entrega e de precisão de entrega Eliminar o retrabalho na preparação de orçamentos e outros papéis financeiros Proporção de visitantes repetidos em site de vendas ou proporção de visitantes que fazem uma compra Minimizar tempo de ciclo ou reduzir tempo de espera de cliente em qualquer sistema de serviço Redução na média e variabilidade em dias pendentes de contas a receber Otimização de pagamento de contas pendentes Minimização de falta de estoque ou vendas perdidas no gerenciamento da cadeia de suprimento Minimização de custos de contadores públicos serviços legais e outros consultores Gerenciamento de inventário tanto de produtos acabados quanto para trabalho em processo Melhoria da previsão de precisão e tempo Melhoria dos processos de auditoria Fechamento dos livros financeiros melhoria da precisão de entrada e registro diários taxa de erro de 3 a 4 é bastante típica Redução da variabilidade no fluxo de caixa Melhoria da precisão da folha de pagamento Melhoria da precisão em ordem de compra e redução do retrabalho de ordens de compra A Figura 113 mostra a estrutura de uma organização Seis Sigma As linhas nessa figura identificam as ligaçõeschave entre as unidades funcionais O líder da equipe é o executivo responsável por aquela unidade de trabalho membros apropriados de sua equipe e relatórios diretos Essa pessoa tem responsabilidade geral pela aprovação dos projetos de melhoria empreendidos pelas equipes Seis Sigma Cada projeto tem um campeão um líder de negócio cuja função é facilitar a identificação e seleção do projeto identificar os membros Faixa Preta e outros necessários à equipe para a conclusão bemsucedida do projeto remover barreiras para a conclusão do projeto garantir que os recursos requeridos para a conclusão do projeto estejam disponíveis e realizar reuniões regulares com a equipe ou com os membros Faixa Preta para garantir que tem sido feito progresso e que o projeto está dentro do previsto O papel do campeão não é de tempo integral e os campeões em geral têm vários projetos sob sua supervisão Os membros Faixa Preta são líderes de equipes que estão envolvidas na conclusão das atuais atividades do projeto Os membros da equipe gastam em geral 25 de seu tempo no projeto e podem ser escolhidos de áreas diferentes da empresa dependendo das necessidades do projeto Os Faixas Verdes têm tipicamente menos treinamento e experiência com as ferramentas e abordagens Seis Sigma do que os Faixas Pretas e podem liderar projetos por si próprios sob a direção de um campeão ou um Faixa Preta ou podem fazer parte de uma equipe liderada por um Faixa Preta Um Mestre Faixa Preta é um líder técnico e pode trabalhar com o campeão e a equipe de liderança na identificação e seleção do projeto revisões do projeto fazer consultas com os Faixas Pretas sobre problemas técnicos e treinar Faixas Verdes e Pretas Tipicamente os papéis dos Faixas Pretas e dos Mestres Faixa Preta são de tempo integral Em anos recentes duas outras ferramentas foram identificadas com Seis Sigma sistemas enxutos lean systems e projeto para Seis Sigma PPSS design for Six Sigma DFSS Muitas organizações usam regularmente uma ou ambas as abordagens como parte integrante de suas implementações Seis Sigma FIGURA 113 A estrutura de uma organização Seis Sigma Adaptado de R D Snee e R W Hoerl Six Sigma Beyond the Factory Floor Upper Saddle River NJ Pearson Prentice Hall 2005 Projeto para Seis Sigma é uma abordagem para se levar a filosofia de redução da variabilidade e melhoria do processo da manufatura e produção para o processo de planejamento em que novos produtos ou serviços ou processos de serviços são projetados e desenvolvidos De modo mais amplo PPSS é uma metodologia estruturada e disciplinada para a comercialização eficiente de tecnologia que resulta em novos produtos serviços ou processos Por um produto queremos dizer qualquer coisa que seja vendida a um cliente para uso por um serviço queremos dizer uma atividade que agrega valor ou benefício ao consumidor PPSS abrange o processo inteiro de desenvolvimento desde a identificação das necessidades do cliente até o lançamento final do novo produto ou serviço A entrada do cliente é obtida através das atividades da voz do cliente VC planejada para a determinação do que o cliente realmente deseja estabelecimento de prioridades com base nos desejos reais do cliente e para determinar se a empresa pode satisfazer tais necessidades a um preço competitivo que permita a obtenção de lucro Dados da VC são geralmente obtidos através de entrevistas com clientes por uma interação direta com e observação do cliente através de grupos de foco pesquisas e análise de dados de satisfação do cliente O objetivo é desenvolver um conjunto de requisitos críticos para o produto ou serviço O programa Seis Sigma é usado para se alcançar excelência operacional enquanto o PPSS tem por objetivo a melhoria dos resultados do negócio pelo aumento da receita das vendas geradas por novos produtos e serviços e descoberta de novas aplicações ou oportunidades para os já existentes Em muitos casos um ganho importante do PPSS é a redução do tempo de desenvolvimento isto é o tempo do ciclo para a comercialização de nova tecnologia e envio dos novos produtos para o mercado PPSS focaliza diretamente o aumento do valor na organização Muitas das ferramentas que são usadas no Seis Sigma operacional são também usadas no PPSS O processo DMAMC é também aplicável embora algumas organizações e praticantes tenham abordagens ligeiramente diferentes DMAPV ou Definir Medir Analisar Planejar e Verificar é uma versão popular PPSS torna específico o reconhecimento de que toda decisão de planejamento é uma decisão da empresa e que o custo a possibilidade de fabricação e o desempenho do produto são determinados durante o planejamento Uma vez planejado o produto e enviado para a manufatura é quase impossível para a organização de manufatura fazêlo melhor Além disso a melhoria geral do negócio não pode ser alcançada apenas pelo foco na redução da variabilidade na manufatura Seis Sigma operacional e exigese que PPSS se concentre nos requisitos do cliente enquanto simultaneamente mantém em mente a capacidade do processo Especificamente é essencial a combinação do sistema de produção e os requisitos em cada estágio ou nível do processo de planejamento consulte a Fig 114 Quando são descobertos erros entre as capacidades do processo e os requisitos do planejamento consideramse mudanças no planejamento ou diferentes alternativas de produção para a resolução dos conflitos Através de todo o processo PPSS é importante que os seguintes pontos sejam lembrados O conceito do produto está bem identificado Os clientes são reais FIGURA 114 Combinação de requisitos do produto e capacidade de produção em PPSS Os clientes comprarão esse produto A companhia pode fazer esse produto a preço competitivo Os retornos financeiros são aceitáveis Esse produto se encaixa na estratégia geral do negócio A avaliação do risco é aceitável A companhia pode fazer esse produto melhor do que o competidor Os objetivos de confiabilidade e possibilidade de manutenção podem ser satisfeitos Foi desenvolvido e verificado um plano para transferência para a manufatura Princípios enxutos são elaborados para se eliminar o desperdício Por desperdício queremos dizer tempos de ciclo muito longos ou tempos de espera entre atividades que agregam valor Desperdício pode incluir também o retrabalho refazerse algo para a eliminação de defeitos introduzidos da primeira vez ou sucata Retrabalho e sucata são em geral resultados de excesso de variabilidade de modo que há uma conexão óbvia entre Seis Sigma e sistema enxuto Uma métrica importante no sistema enxuto é a eficiência do ciclo do processo ECP definida como em que o tempo para agregar valor é a quantidade de tempo realmente gasta no processo que transforma a forma o ajuste ou função do produto ou serviço que resulta em algo pelo qual o cliente está desejoso de pagar ECP é uma medida direta de quão eficiente o processo é na conversão do trabalho que está em processo em produtos ou serviços completos Em processamentos típicos incluindo manufatura e negócios tradicionais ECP varia entre 1 e 10 A ECP ideal ou de classe mundial varia pela aplicação específica mas alcançarse uma ECP de 25 ou mais é sempre possível O tempo de ciclo do processo está também relacionado com a quantidade de trabalho que está em processo através da Lei de Little A taxa média de conclusão é uma medida de capacidade isto é ela é a saída do processo durante um período de tempo definido Por exemplo considere a operação de refinanciamento de uma hipoteca em um banco Se a taxa média de conclusão para pedidos apresentados for de 100 conclusões por dia e se há 1500 pedidos esperando por processamento o tempo de ciclo do processo é Em geral o tempo de ciclo pode ser reduzido pela eliminação de desperdício e ineficiência no processo resultando em um aumento na taxa de conclusão O processo enxuto também faz uso de muitas ferramentas de engenharia e pesquisa operacional Uma das mais importantes é a simulação de evento discreto na qual se constrói um modelo de computador do sistema que é usado para a quantificação do impacto de mudanças para o sistema que melhoram seu desempenho Modelos de simulação são em geral muito bons preditores do desempenho de um sistema novo ou redesenhado Organizações de manufatura e de serviços podem se beneficiar grandemente do uso de modelos de simulação para o estudo do desempenho de seus processos Idealmente Seis SigmaDMAMC PPSS e ferramentas enxutas são usadas simultânea e harmoniosamente em uma organização para atingiremse altos níveis de desempenho de processo e significante melhoria do negócio A Figura 115 realça muitos dos aspectos complementares importantes desses três conjuntos de ferramentas O Seis Sigma em geral combinado com PPSS e enxuto tem sido mais bemsucedido do que seus predecessores notadamente o GQT A abordagem projeto a projeto com foco analítico e a ênfase na obtenção de melhoria nos resultados básicos do negócio têm contribuído para a obtenção do comprometimento da gerência com o Seis Sigma Outro componente importante na obtenção de sucesso é o direcionamento da instalação adequada de métodos estatísticos nos lugares certos na organização A estrutura de solução de problemas do DMAMC é uma parte importante disso Para mais informação sobre o Seis Sigma as aplicações de métodos estatísticos na solução de problemas de negócios e industriais e tópicos relacionados veja Hahn Doganaksoy e Hoerl 2000 Hoerl e Snee 2010 Montgomery e Woodall 2008 e Steinberg et al 2008 FIGURA 115 Seis SigmaDMAMC enxuto e PPSS como eles se encaixam JustinTime PokaYoke e Outros Tem havido muitas iniciativas devotadas à melhoria do sistema de produção Essas são em geral agrupadas no kit de ferramentas do processo enxuto Algumas dessas incluem a abordagem JustinTime em cima da hora com ênfase na redução de inventário durante o processo estabelecimento rápido e um sistema de 142 143 produção com fornecimento sob medida PokaYoke ou processos à prova de erro o sistema de produção da Toyota e outras técnicas de fabricação japonesas com livros de gerenciamento populares com os mesmos nomes reengenharia teoria de limitações fabricação ágil e outros A maioria desses programas devotava muito pouco tempo à redução da variabilidade É praticamente impossível reduzir o inventário durante o processo ou operarse um sistema de produção com fornecimento sob medida ou enxuto quando uma grande e imprevisível parte da saída do processo é defeituosa e onde há significantes fontes de variabilidade não controladas Tais esforços não atingirão seu potencial pleno sem que uma ênfase maior nos métodos estatísticos para melhoria do processo e redução da variabilidade os acompanhe É importante implementarse o programa Seis Sigma juntamente com as ferramentas do processo enxuto O Elo entre Qualidade e Produtividade A fabricação de produtos de alta qualidade no ambiente industrial moderno não é fácil Um aspecto significativo do problema é a rápida evolução da tecnologia Nos últimos 20 anos assistimos a uma explosão de tecnologia em campos tão diversos como eletrônica metalurgia cerâmica materiais compostos biotecnologia e as ciências química e farmacêutica que tem resultado em muitos novos produtos e serviços Por exemplo no campo da eletrônica o desenvolvimento dos circuitos integrados revolucionou o projeto e a fabricação de computadores e muitos produtos eletrônicos de escritório A tecnologia básica dos circuitos integrados foi suplantada pela tecnologia de integração em larga escala ILE large scale integration LSI e pela integração em muito larga escala IMLE very large scale integration VLSI com desenvolvimentos correspondentes no projeto e fabricação de semicondutores Quando os avanços tecnológicos ocorrem rapidamente e quando as novas tecnologias são usadas rapidamente para explorar as vantagens competitivas os problemas de projeto e fabricação de produtos de qualidade superior complicamse grandemente Em geral dáse pouca atenção a se alcançarem todas as dimensões de um processo ótimo economia eficiência produtividade e qualidade A melhoria efetiva da qualidade pode contribuir para o aumento da produtividade e a redução dos custos Como ilustração considere a fabricação de um componente mecânico de uma copiadora As peças são fabricadas em um processo de máquina a uma taxa de aproximadamente 100 peças por dia Por várias razões o processo está operando inicialmente no nível de cerca de 75 isto é 75 da saída do processo estão de acordo com as especificações e cerca de 25 não estão Cerca de 60 dos defeituosos os 25 não conformes podem ser retrabalhados e transformados em produtos aceitáveis e o resto é sucata O custo de fabricação direta através desse estágio da produção é de aproximadamente 20 por peça As peças que podem ser retrabalhadas ocasionam um custo adicional de processamento de 4 Portanto o custo de fabricação por peça boa produzida é Note que o resultado total desse processo após retrabalhadas as peças é de 90 peças boas por dia Um estudo de engenharia desse processo revela que a excessiva variabilidade do processo é responsável pela quantidade extremamente alta de não conformes Implementase um novo procedimento de controle estatístico do processo que reduz a variabilidade e consequentemente o número de peças fora das especificações decresce de 25 para 5 Desses 5 60 podem ser retrabalhados e 40 são sucata Depois da implementação do programa de controle do processo o custo de fabricação por unidade boa produzida é Note que a instalação do controle estatístico do processo e a redução da variabilidade decorrente do mesmo resultam em uma redução de 103 nos custos de fabricação Além disso a produtividade sobe cerca de 10 são produzidas 98 peças boas a cada dia em oposição a 90 peças boas anteriormente Isso resulta em um aumento na capacidade de produção de quase 10 sem nenhum investimento adicional em equipamento mão de obra ou despesas gerais Esforços para melhorar esse processo por outros métodos como justintime fabricação enxuta etc serão provavelmente totalmente ineficazes até que o problema básico de excessiva variabilidade seja resolvido Gerenciamento da Qualidade da Cadeia de Suprimento A maioria das companhias e organizações de negócios depende de fornecedores que proporcionem pelo menos alguns dos materiais e componentes usados em seus produtos Quase todos esses negócios dependem de organizações externas 1 2 3 para a distribuição e entrega de seus produtos para centros de distribuição e finalmente ao consumidor final Uma cadeia de suprimento é a rede de instalações que realiza essas tarefas Usualmente há também um componente interno da cadeia de suprimento porque muitas atividades de planejamento desenvolvimento e produção para componentes e montagens são realizadas por diferentes grupos dentro da organização de origem Gerenciamento da cadeia de suprimento GCS supply chain management SCM lida com o projeto planejamento execução controle e monitoramento de todas as atividades da cadeia de suprimento com o objetivo de otimizar o desempenho do sistema Mudanças no ambiente dos negócios nos últimos 25 anos incluindo a globalização a proliferação de companhias multinacionais empreendimentos conjuntos alianças estratégicas e parcerias nos negócios têm contribuído para o desenvolvimento e expansão das redes de cadeias de suprimento A cadeia de suprimento em geral fornece um componente significativo do valor ou conteúdo a muitos produtos e serviços Consequentemente há uma dependência considerável da cadeia de suprimento em relação à qualidade e segurança do produto Falhas na cadeia de suprimento têm consequências significativas para a companhia de origem e consumidores Por exemplo em anos recentes tem havido casos de chumbo na pintura de brinquedos e chumbo em cremes dentais bem como recalls de alimentos e produtos farmacêuticos devido a problemas de contaminação Mesmo em situações em que a qualidade ou segurança do produto não constitui problemas as práticas de trabalho e a falta de responsabilidade social na cadeia de suprimento têm impactado negativamente a reputação da companhia de origem Um GCS bemsucedido exige a integração de atividades nos processoschave da cadeia de suprimento Isso requer colaboração entre compradores e fornecedores desenvolvimento de produção conjunta sistemas comuns e compartilhamento de informações Alguns processoschave da cadeia de suprimento são Gerenciamento do serviço Gerenciamento da demanda Satisfação do pedido Qualidade Gerenciamento do fluxo de manufatura Gerenciamento da relação com o fornecedor Logística e distribuição Gerenciamento dos retornos Algumas vezes o gerenciamento desses processos pode ser simplificado através de fonte única ou de duas fontes isto é terse apenas um ou no máximo dois fornecedores dos componentes críticos Deming defendia esse tipo de relação estratégica com fornecedores O perigo naturalmente é a interrupção do fornecimento decorrente de problemas de qualidade disputas trabalhistas e greves interrupção do transporte desacordos relativos a preços problemas de segurança global e fenômenos naturais como terremotos O GCS consiste em três atividades principais Qualificação ou certificação do fornecedor Isso pode envolver visitas aos fornecedores e inspeção de suas instalações juntamente com a avaliação da capacidade de seus sistemas de produção para a entrega de quantidades adequadas do produto seus sistemas de qualidade e suas operações gerais do negócio O objetivo da qualificação do fornecedor é a obtenção de base analítica para a seleção do fornecedor Desenvolvimento do fornecedor Essas são as atividades que a empresa empreende para melhorar o desempenho de seus fornecedores Algumas atividades comuns de desenvolvimento do fornecedor incluem avaliação e treinamento do fornecedor compartilhamento de informação de dados e processo e serviços de consultoria Muitas vezes essas atividades são realizadas em equipes compostas por representantes da companhia original e do fornecedor Essas equipes são formadas para abordagem de projetos específicos Geralmente os objetivos desses projetos são a melhoria da qualidade expansão da capacidade ou redução do custo Como exemplo de uma atividade de desenvolvimento do fornecedor a companhia pode ajudar um fornecedor a iniciar uma implementação Seis Sigma Muitas companhias fornecem prêmios a fornecedores como um componente do processo de desenvolvimento Esses prêmios podem se basear em critérios semelhantes aos do Baldrige e podem dar um status de fornecedor preferido premiado com algumas vantagens de obtenção de futuros negócios Auditorias do fornecedor Essa atividade consiste em visitas regulares periódicas ao fornecedor para garantir que a qualidade do produto os padrões e outros objetivos operacionais estejam sendo satisfeitos As auditorias do fornecedor são uma maneira de se ter uma melhor compreensão dos processos do fornecedor e redução do risco do fornecedor As auditorias de qualidade são usadas frequentemente para garantir que o fornecedor esteja seguindo os 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 144 1 2 3 processos e procedimentos acordados durante a seleção dos processos A auditoria do fornecedor identifica não conformidades nos processos de manufatura operações de embarque e logística engenharia e mudança de processos de engenharia e faturamento e contas Depois da auditoria o fornecedor e a companhia de origem identificam em conjunto ações corretivas que devem ser implementadas pelo fornecedor dentro de um prazo acordado Uma auditoria futura garante que essas ações corretivas tenham sido implementadas com sucesso Além disso na medida em que pressões regulatórias e de mercado relacionadas com a conformidade ambiental e com a responsabilidade social e ética aumentam auditorias incluem em geral componentes de responsabilidade ambiental social e ética Algumas vezes as companhias contratam terceiros para a realização dessas auditorias O gerenciamento dos retornos é um processo crítico do GCS Muitas companhias descobriram que um sistema de recuperação de custos em que os fornecedores são cobrados pelo suprimento de materiais ou componentes de baixa qualidade é uma maneira eficiente de se introduzir a disciplina e a transparência do negócio na cadeia de suprimento No entanto relativamente poucas companhias perseguem a recuperação total de custos junto a seus fornecedores A maioria das companhias que praticam a recuperação de custos recupera apenas custos materiais de seus fornecedores Muitos dos custos atribuídos à baixa qualidade do fornecedor não são relacionados com material Por exemplo alguns desses custos não materiais incluem Manuseio pelo operador Desmontagem do produto Trabalho administrativo para a remoção da parte do estoque Tempo da engenharia da qualidade Atividades de planejamentocomprador para obtenção de novas partes Transporte de retorno para o recebimentoembarque Comunicações com o fornecedor Emissão de novas ordens de comprainstruções Outro tempo de engenharia Empacotamento e transporte para o fornecedor Faturamento Custos associados ao recall do produto Esses custos podem ser substanciais e em geral excedem em muito o custo material da peça Se uma companhia institui um processo para agregar esses custos e o usa para cobrança ela pode recuperar totalmente os custos da baixa qualidade de seus fornecedores e instituir uma disciplina que encoraje fortemente seus fornecedores a melhorarem rapidamente a qualidade de seus produtos Custos da Qualidade Controles financeiros são uma importante parte do gerenciamento de uma empresa Eles envolvem uma comparação dos custos reais e orçados juntamente com uma análise e ação associadas em relação às diferenças entre real e orçado É costume aplicaremse esses controles financeiros em um departamento ou no nível funcional Por muitos anos não houve esforço direto para se medir ou contabilizar os custos da função qualidade Entretanto muitas organizações agora avaliam formalmente o custo associado à qualidade Há várias razões pelas quais o custo da qualidade deva ser explicitamente considerado em uma organização Essas razões incluem as seguintes O aumento do custo da qualidade devido ao aumento na complexidade dos produtos fabricados associado a avanços na tecnologia Crescente consciência dos custos do ciclo vital incluindo manutenção peças sobressalentes e o custo de falhas de campo A necessidade de engenheiros e gerentes da qualidade capazes de comunicar os problemas da qualidade de maneira que a gerência entenda Como resultado os custos da qualidade surgiram como uma ferramenta de controle financeiro para a gerência e como auxílio na identificação de oportunidades de redução dos custos da qualidade Falando de maneira mais geral os custos da qualidade são aquelas categorias de custos que estão associadas a produzir identificar evitar ou reparar produtos que não correspondem às especificações Muitas organizações de manufatura e serviços usam quatro categorias de custos de qualidade custos de prevenção custos de avaliação custos de falha interna e custos de falha externa Algumas autoridades da qualidade consideram que essas categorias definem o custo da baixa qualidade CBQ A Tabela 15 exibe essas categorias de custos que discutiremos agora detalhadamente TABELA 15 Custos da Qualidade Custos de Prevenção Custos de Falha Interna Planejamento e engenharia da qualidade Sucata Exame de novos produtos Retrabalho Planejamento do produto processo Reteste Controle do processo Análise de falha Burnin Tempo ocioso Treinamento Perdas de rendimento Aquisição e análise de dados da qualidade Depreciação fora de especificação Custos de Avaliação Custos de Falha Externa Inspeção e teste de material de insumo Adaptação à reclamação Inspeção e teste do produto Produtomaterial devolvido Materiais e serviços gastos Despesas de garantia Manutenção da precisão do equipamento de teste Custos de responsabilidade Custos indiretos Custos de Prevenção Os custos de prevenção são aqueles custos associados a esforços no projeto e fabricação que se dirigem à prevenção de não conformidade Ou seja custos de prevenção são todos os custos assumidos em um esforço para fazer certo da primeira vez Seguem as principais subcategorias dos custos de prevenção Planejamento e engenharia da qualidade Os custos associados à criação do plano de qualidade geral o plano de inspeção o plano de confiabilidade o sistema de dados e todos os planos e atividades especializados da função de garantia da qualidade a preparação de manuais e procedimentos usados para comunicar o plano da qualidade e os custos do sistema de auditoria Exame de novos produtos Custos da preparação de propostas de licitação avaliação de novos projetos sob um ponto de vista da qualidade a preparação de testes e programas experimentais para avaliar o desempenho de produtos novos e outras atividades da qualidade durante os estágios de desenvolvimento e préprodução de novos produtos e projetos Planejamento do produtoprocesso Custos assumidos durante o projeto do produto ou na seleção dos processos de produção que se propõem a melhorar a qualidade geral do produto Por exemplo uma organização pode decidir fazer um componente particular de circuito redundante porque isso aumentará a confiabilidade do produto pelo aumento do tempo entre falhas Alternativamente pode decidir fabricar um componente pelo processo A em vez do B porque o processo A é capaz de fazer o produto em níveis mais rigorosos de tolerância o que resultará em menos problemas de montagem e fabricação Isso pode incluir um processo de um fornecedor de modo que o custo de lidar com outras além da oferta mais baixa pode também ser um custo de prevenção Controle do processo O custo das técnicas de controle do processo tais como gráficos de controle que monitoram o processo de fabricação em um esforço para reduzir a variação e levar qualidade ao produto Burnin O custo da operação de préembarque do produto para prevenir falhas prematuras no campo Treinamento O custo de desenvolvimento preparação implementação operação e manutenção de programas de treinamento formal para a qualidade Aquisição e análise de dados da qualidade O custo de manutenção do sistema de informação da qualidade para aquisição de dados sobre o desempenho do produto e do processo também o custo da análise desses dados para a identificação de problemas Inclui o trabalho de resumo e publicação de informação sobre qualidade para a gerência Custos de Avaliação Os custos de avaliação são aqueles custos associados à medida avaliação ou auditoria de produtos componentes e materiais comprados para garantia da conformidade aos padrões que tenham sido impostos Incorrese nesses custos para a determinação da condição do produto sob um ponto de vista da qualidade e garantia de que ele esteja de acordo com as especificações Seguem as principais subcategorias Inspeção e teste de material de insumo Custos associados à inspeção e teste de todo material Essa subcategoria inclui a inspeção e teste na recepção inspeção teste e avaliação nas instalações do fornecedor e uma auditoria periódica do sistema de garantia da qualidade Isso pode incluir também fornecedores intrafábrica Inspeção e teste do produto O custo de verificação da conformidade do produto através de todos os estágios da fabricação incluindo o teste de aceitação final as verificações de empacotamento e embarque e qualquer teste feito nas instalações do cliente antes de lhe entregar o produto Isso inclui também teste de vida útil teste de ambiente e teste de confiabilidade Materiais e serviços gastos O custo de material e produto gastos em um teste destrutivo ou desvalorizados através do uso nos testes de confiabilidade Manutenção da precisão do equipamento de teste O custo de operação de um sistema que mantém os instrumentos e equipamentos de medição calibrados Custos de Falha Interna Os custos de falha interna são assumidos quando produtos componentes materiais e serviços deixam de corresponder às exigências da qualidade e essa falha é descoberta antes da entrega do produto ao cliente Esses custos desapareceriam se não houvesse defeitos no produto Seguem as principais subcategorias dos custos de falha interna Sucata A perda líquida de trabalho material e despesas resultantes de produto com defeito que não pode ser economicamente reparado ou usado Retrabalho O custo de correção de unidades não conformes de modo que elas atinjam as especificações Em algumas operações de fabricação os custos de retrabalho incluem operações ou passos adicionais no processo de fabricação que são criados para resolver defeitos crônicos ou esporádicos Reteste O custo de reinspeção e reteste de produtos que foram retrabalhados ou modificados Análise de falha O custo para a determinação das causas das falhas do produto Tempo ocioso O custo de instalações de produção ociosas que resulta de não correspondência às especificações A linha de produção pode ficar ociosa por causa de matériaprima fora das especificações fornecidas por um vendedor e que passou despercebida na inspeção de entrada Perdas de rendimento O custo do rendimento do processo que está abaixo do que deveria atingir com controles melhorados por exemplo embalagens de refrigerante que são cheias demais por causa de excessiva variabilidade no equipamento de enchimento Depreciação O diferencial de preço entre o preço normal de venda e qualquer preço de venda que possa ser obtido para um produto que não corresponde às exigências do cliente A depreciação é uma prática comum nas indústrias têxtil de vestuário e eletrônica O problema com a depreciação é que os produtos vendidos não recuperam a margem de contribuição total para o lucro e despesas como fazem os produtos que estão de acordo com as especificações usuais Custos de Falha Externa Os custos de falha externa ocorrem quando o produto não funciona satisfatoriamente depois de entregue ao cliente Esses custos também desapareceriam se toda unidade do produto correspondesse às especificações Seguem as subcategorias de custos de falha externa Adaptação à reclamação Todos os custos de investigação e adaptação de reclamações justificadas atribuíveis ao produto não conforme Produtomaterial devolvido Todos os custos associados a recebimento manuseio e reposição do produto não conforme ou material que é devolvido Despesas de garantia Todos os custos envolvidos em serviços aos clientes sob contrato de garantia Custos de responsabilidade Custos ou prêmios que ocorrem como resultado de litígio sobre a responsabilidade do produto Custos indiretos Além dos custos de operação direta de falhas externas há um número significativo de custos indiretos Esses ocorrem por causa da insatisfação do cliente com o nível de qualidade do produto entregue Os custos indiretos podem refletir a atitude do cliente em relação à companhia Incluem os custos de perda de reputação da empresa perda de futuros negócios e perda da participação no mercado que inevitavelmente resulta da entrega de produtos e serviços que não estão de acordo com as expectativas do cliente em relação à adequação para o uso Análise e Uso dos Custos da Qualidade Qual o tamanho dos custos da qualidade A resposta naturalmente depende do tipo de organização e do sucesso de seu esforço para a melhoria da qualidade Em algumas organizações os custos da qualidade são 4 ou 5 das vendas enquanto em outras pode ser tão alto quanto 35 ou 40 das vendas Obviamente o custo da qualidade será bem diferente para um fabricante de computadores de alta tecnologia e para uma indústria típica de serviços tal como uma loja de departamentos ou uma cadeia de hotéis Em muitas organizações no entanto os custos da qualidade são maiores do que o necessário e a gerência deveria fazer esforços continuados para avaliar analisar e reduzir esses custos A utilidade dos custos da qualidade provém do efeito de influência isto é os dólares investidos em prevenção e avaliação têm um retorno com a redução dos dólares investidos em falhas internas e externas que excede o investimento original Por exemplo um dólar investido em prevenção pode retornar 10 ou 100 ou mais em economia com a redução das falhas internas e externas As análises do custo da qualidade têm como seu principal objetivo a redução do custo através da identificação de oportunidades de melhoria Isto é feito frequentemente com a análise de Pareto A análise de Pareto consiste na identificação dos custos da qualidade por categoria ou por produto ou por tipo de defeito ou não conformidade Por exemplo a inspeção da informação sobre o custo da qualidade da Tabela 16 referente a defeitos ou não conformidades no conjunto de componentes eletrônicos em placas de circuito revela que solda insuficiente é o mais alto custo da qualidade que ocorre nessa operação A solda insuficiente é responsável por 42 do total de defeitos nesse tipo particular de placa e por quase 52 dos custos de sucata e de retrabalho Se o processo de solda puder ser melhorado então haverá uma drástica redução nos custos da qualidade Quanto é possível reduzir nos custos da qualidade Embora o custo da qualidade em muitas organizações possa ser reduzido significativamente não é realista esperarse que ele possa ser reduzido a zero Antes que se alcance aquele nível de desempenho os custos adicionais de prevenção e avaliação crescerão muito mais rapidamente que as reduções de custo resultantes Entretanto a atenção dada aos custos da qualidade juntamente com um esforço centrado na redução da variabilidade tem a capacidade de reduzir os custos da qualidade em até 50 ou 60 desde que não tenha existido anteriormente qualquer esforço organizado Essa redução de custos também segue o princípio de Pareto isto é a maior parte da redução de custos virá do ataque aos poucos problemas que são responsáveis pela maior parte dos custos da qualidade TABELA 16 Informação Mensal de Custos da Qualidade para Montagens de Placas de Circuito Impresso Tipo do Defeito Percentual do Total de Defeitos Custo de Sucata e Retrabalho Solda insuficiente 42 3750000 52 Componentes desalinhados 21 1200000 Componentes defeituosos 15 800000 Componentes ausentes 10 510000 Juntas de solda fria 7 500000 Todas as outras causas 5 460000 Totais 100 7220000 Ao se fazer a análise dos custos da qualidade e formular planos para sua redução é importante lembrarse o papel da prevenção e avaliação Muitas organizações gastam muito do seu esforço com avaliação e não o suficiente com prevenção Esse é um erro fácil de ser cometido porque os custos de avaliação são sempre um item da pauta do orçamento na área de manufatura Por outro lado custos de prevenção podem não ser itens orçados rotineiramente Não é incomum nos estágios iniciais de um programa de custo da qualidade que os custos de avaliação sejam oito ou dez vezes o total dos custos de prevenção Essa é provavelmente uma relação não razoável pois os dólares gastos em prevenção têm um retorno muito maior que os dólares gastos em avaliação Quando programas Seis Sigma e enxuto são instalados em conjunto usualmente há uma redução nos custos da qualidade e um aumento na eficiência do ciclo do processo Processos com baixa eficiência do ciclo do processo são lentos e processos lentos são dispendiosos e antieconômicos O inventário do trabalho em um processo que opera lentamente deve que ser manuseado contado movido estocado recuperado e em geral movido novamente O manuseio e a estocagem podem levar a danificações ou outros problemas de qualidade Os itens inventariados podem se tornar obsoletos devido a mudanças no projeto e melhorias no produto Problemas de qualidade na produção de um componente podem levar perigo a muitos itens em processamento ou fazer com que tenham que ser retrabalhados ou sucateados Os custos da qualidade são sempre um resultado direto da fábrica oculta isto é a porção da empresa que lida com desperdício sucata retrabalho inventários em processo atrasos e outras ineficiências do negócio A Figura 116 mostra uma distribuição de custos como percentuais da receita para uma organização típica de manufatura A implantação de ferramentas de melhoria da qualidade tais como programas Seis Sigma e enxuto podem sempre reduzir as despesas gerais e os custos da qualidade em 20 em um ou dois anos Isso pode levar a um aumento em receita no lucro operacional de 5 a 10 Esses números são específicos da empresa Mas as técnicas podem ser aplicadas em qualquer lugar indústrias de serviços operações transacionais processos criativos tais como design e desenvolvimento ordem de entrada e preenchimento FIGURA 116 A distribuição da receita total em percentuais em uma organização típica de manufatura A geração dos números do custo da qualidade não é sempre fácil porque a maior parte das categorias do custo da qualidade não é um componente direto dos registros da contabilidade da organização Consequentemente pode ser difícil obterse informação extremamente precisa sobre os custos em relação às várias categorias O sistema de contabilidade da organização pode fornecer informação sobre aquelas categorias do custo da qualidade que coincidem com a contabilidade usual do negócio tais como teste e avaliação do produto Além disso muitas companhias terão informação detalhada sobre as várias categorias de custos de falhas A informação para as categorias de custos para as quais não existe informação exata da contabilidade deve ser gerada pelo uso de estimativas ou em alguns casos pela criação de procedimentos de monitoramento e vigilância especiais para a acumulação daqueles custos durante o período de estudo O relatório dos custos da qualidade é feito geralmente de maneira a permitir avaliação direta pela gerência Os gerentes desejam que os custos da qualidade sejam expressos em um índice que compare o custo da qualidade com a oportunidade para o custo da qualidade Consequentemente o método usual para o relato dos custos de qualidade é em forma de uma 145 razão na qual o numerador são os dólares do custo da qualidade e o denominador é alguma medida de atividade tais como 1 horas de trabalho direto de produção 2 dólares do trabalho direto de produção 3 dólares do custo de processamento 4 dólares do custo de produção 5 dólares das vendas ou 6 unidades do produto A gerência superior pode desejar um padrão com o qual comparar os números atuais do custo da qualidade É difícil a obtenção de padrões absolutos e quase tão difícil é a obtenção de níveis de custo da qualidade de outras companhias na mesma indústria Portanto a abordagem usual é compararse o desempenho atual com o passado de modo que na verdade os programas de custo da qualidade relatam variações a partir do desempenho passado Essas análises da tendência são basicamente um recurso para se detectarem afastamentos do padrão e trazêlos para a atenção do gerente apropriado Não são elas mesmas necessariamente um recurso para a garantia de melhorias na qualidade Isso nos traz uma observação interessante alguns esforços de coleta e análise de custos da qualidade fracassam isto é algumas companhias iniciaram atividades de análise de custo da qualidade usaramnas por algum tempo e depois abandonaram os programas por serem ineficazes Há várias razões pelas quais isso ocorre A principal entre elas é o não uso da informação do custo da qualidade como mecanismo para a geração de oportunidades de melhoria Se usarmos essa informação apenas para manter escores e não fizermos esforços conscientes para identificar áreas problemáticas e desenvolver procedimentos e processos de operação melhorados então os programas não serão totalmente bemsucedidos Outra razão pela qual a coleta e análise dos custos da qualidade não nos levam a resultados úteis é que os gerentes se preocupam com a perfeição nos números do custo A ênfase excessiva em se tratarem os custos da qualidade como parte do sistema de contabilidade e não como uma ferramenta de controle da gerência é um sério erro Essa abordagem aumenta enormemente o tempo exigido para o desenvolvimento dos dados do custo e sua análise e identificação de oportunidades de melhoria da qualidade Na medida em que o tempo exigido para a geração e análise dos dados aumenta a gerência se torna mais impaciente e menos convencida da eficiência da atividade Qualquer programa que para a gerência pareça estar indo a lugar algum é passível de ser abandonado Uma razão final para o fracasso do programa de custo da qualidade é que a gerência em geral subestima a profundidade e extensão do comprometimento que deve haver com a prevenção O autor tem tido inúmeras oportunidades de examinar dados dos custos da qualidade em muitas companhias Naquelas sem programas efetivos de melhoria da qualidade os dólares investidos em prevenção raramente excedem 1 ou 2 da receita Isso deve ser aumentado para um limiar de 5 ou 6 da receita e esses dólares adicionais destinados à prevenção devem ser gastos em grande parte em métodos técnicos de melhoria da qualidade e não no estabelecimento de programas como GQT Zero Defeito ou outras atividades semelhantes Se a gerência persistir nesse esforço o custo da qualidade cairá substancialmente Essas economias no custo começarão a ocorrer em um ou dois anos embora possam demorar mais em algumas companhias Aspectos Legais da Qualidade A proteção ao consumidor e a responsabilidade pelo produto são razões importantes pelas quais a garantia da qualidade é uma estratégia importante nos negócios A proteção ao consumidor devese em parte ao aparentemente grande número de falhas no campo de produtos do consumidor e à percepção de que a qualidade dos serviços está em declínio Falhas altamente visíveis ao consumidor em geral suscitam questões sobre se os produtos hoje são tão bons quanto seus antecessores e se os fabricantes estão realmente interessados na qualidade A resposta a ambas as questões é sim Os fabricantes estão sempre preocupados com as falhas nos produtos por causa dos pesados custos de falhas externas e da ameaça relacionada com a sua posição de competitividade Consequentemente muitos fabricantes têm feito melhorias no produto direcionadas para a redução de falhas detectadas pelo consumidor Por exemplo as tecnologias de estado sólido e circuito integrado reduziram muito a falha de equipamentos eletrônicos que antes dependiam do tubo de elétrons Virtualmente toda linha de produtos de hoje é superior à de ontem A insatisfação do consumidor e o sentimento generalizado de que os produtos de hoje são inferiores aos seus predecessores provêm de outros fenômenos Um deles é a explosão no número de produtos Por exemplo uma taxa de falhas de campo de 1 para um aparelho do consumidor com um volume de produção de 50000 unidades por ano significa 500 falhas de campo No entanto se a taxa de produção é de 500000 unidades por ano e a taxa de falhas no campo permanece a mesma então 5000 unidades apresentarão falhas no campo Isso é equivalente no número total de consumidores insatisfeitos a uma taxa de falhas de 10 no nível mais baixo de produção O aumento do volume de produção ocasiona um aumento na exposição da responsabilidade do fabricante Mesmo em situações em que a taxa de falhas declina se o volume de produção aumenta mais rapidamente que o decrescimento na taxa de falhas o número total de consumidores que encontram falhas nos produtos ainda crescerá 146 Um segundo aspecto do problema é que a tolerância do consumidor para defeitos menores e problemas estéticos diminuiu consideravelmente de modo que manchas defeitos de acabamento de superfície ruídos e problemas de aparência que antes eram tolerados agora despertam a atenção e resultam em reação adversa do consumidor Finalmente a competitividade do mercado força muitos fabricantes a introduzir novos projetos antes que eles estejam completamente avaliados e testados para permanecerem competitivos Essas liberações prematuras de projetos não aprovados são uma das grandes razões para a falha da qualidade de produtos novos Eventualmente esses problemas de projeto são corrigidos mas a alta taxa de falhas associada a novos produtos apoia em geral a crença de que a qualidade hoje é inferior à de antes A responsabilidade sobre o produto é uma grande força social de mercado e econômica A obrigação legal de fabricantes e vendedores de compensar por prejuízos ou danos causados por produtos defeituosos não é um fenômeno recente O conceito de responsabilidade sobre o produto existe há muitos anos mas a ênfase sobre ele mudou recentemente O primeiro grande caso de responsabilidade sobre o produto ocorreu em 1961 e foi julgado perante o Tribunal de Apelação de Nova York O tribunal sustentou que um fabricante de automóveis tinha obrigação de responsabilidade pelo produto para com um comprador de um carro mesmo sendo o contrato de venda selado entre o comprador e uma terceira parte um revendedor de carros A direção da lei tem sido sempre no sentido de que os fabricantes ou vendedores incorrerão em responsabilidade quando tiverem sido muito descuidados ou negligentes em relação ao que projetaram ou produziram ou como produziram Recentemente as cortes puseram em vigor uma lei mais rigorosa chamada responsabilidade estrita Dois são os princípios da responsabilidade estrita O primeiro é uma forte responsabilidade tanto para o fabricante quanto para o comerciante exigindo receptividade imediata à qualidade insatisfatória através da manutenção reparo ou substituição de produto defeituoso Isso se estende até o uso efetivo pelo consumidor Ao fabricar um produto o fabricante e o vendedor devem aceitar a responsabilidade por seu uso final não apenas por seu desempenho mas também por efeitos ambientais os aspectos de segurança de seu uso e assim por diante O segundo princípio envolve a propaganda e promoção do produto Sob a responsabilidade estrita pelo produto todas as afirmativas da propaganda devem ser sustentáveis pela qualidade da companhia ou dados de certificação válidos comparáveis com os que hoje são usados para identificação de produto sob regulamentação para produtos como automóveis Esses dois princípios da responsabilidade estrita resultam em uma forte pressão sobre os fabricantes distribuidores e comerciantes para desenvolverem e manterem um alto grau de evidência baseada em fatos relativos ao desempenho e segurança de seus produtos Essa evidência deve cobrir não só a qualidade do produto quando da entrega ao consumidor mas também sua durabilidade ou credibilidade sua proteção contra possíveis efeitos colaterais ou riscos ambientais e seus aspectos de segurança no uso real Um programa forte de garantia da qualidade pode ajudar a gerência a assegurar que esta informação esteja disponível se necessária Implementação da Melhoria da Qualidade Nas últimas seções discutimos a filosofia da melhoria da qualidade o elo entre qualidade e produtividade e tanto as implicações econômicas quanto legais da qualidade Estes são aspectos importantes da gerência da qualidade dentro de uma organização Há certamente outros aspectos da gerência geral da qualidade que merecem alguma atenção A gerência deve reconhecer que a qualidade é uma entidade multifacetada que incorpora as oito dimensões discutidas na Seção 111 Por conveniência de referência a Tabela 17 resume essas dimensões da qualidade Uma parte crítica da gerência estratégica da qualidade em qualquer empresa é o reconhecimento pela gerência dessas dimensões e a seleção daquelas ao longo das quais irá competir Será muito difícil competir com companhias que podem realizar com sucesso essa parte da estratégia Um bom exemplo disso é o domínio japonês do mercado de gravadores de videocassete Os japoneses não inventaram o videocassete as primeiras unidades para uso doméstico foram projetadas e produzidas na Europa e na América do Norte No entanto os primeiros videocassetes produzidos por essas companhias não eram muito confiáveis e frequentemente apresentavam altos índices de defeitos de fabricação Quando os japoneses entraram no mercado eles escolheram competir ao longo das dimensões da credibilidade e conformidade com padrões sem defeitos Essa estratégia permitiulhes dominar rapidamente o mercado Nos anos subsequentes eles expandiram as dimensões da qualidade para incluir características adicionais desempenho melhorado assistência mais fácil estética melhorada e assim por diante Eles usaram a qualidade total como uma arma competitiva para levantar tão alto a barreira de entrada nesse mercado em que é virtualmente impossível a entrada de um novo competidor 1 2 3 4 5 6 7 8 A gerência deve usar esse tipo de estratégia pensando na qualidade Não é necessário que o produto seja superior em todas as dimensões da qualidade mas a gerência deve selecionar e desenvolver os nichos da qualidade ao longo dos quais a companhia pode competir com sucesso Tipicamente essas dimensões serão aquelas que a competição esqueceu ou ignorou A indústria automotiva americana sofreu grave impacto dos competidores estrangeiros que com perícia souberam praticar essa estratégia O papel crítico dos fornecedores na gerência da qualidade não deve ser esquecido Na verdade a seleção do fornecedor e a gerência da cadeia de suprimento podem ser os aspectos mais críticos da gerência da qualidade de sucesso em indústrias como automotiva aeroespacial e eletrônica em que uma porcentagem muito alta de peças do item final é fabricada por fornecedores de fora Muitas companhias instituíram programas formais de melhoria da qualidade do fornecedor como parte de seus próprios esforços internos para melhoria da qualidade A seleção do fornecedor com base em qualidade cronograma e custo e não apenas em custo é também uma decisão estratégica vital da gerência que pode ter um impacto significativo de longo prazo sobre a competitividade geral TABELA 17 As Oito Dimensões da Qualidade da Seção 111 Desempenho Confiabilidade Durabilidade Assistência técnica Estética Características Qualidade percebida Conformidade com padrões É também crítico que a gerência reconheça que a melhoria da qualidade deve ser uma atividade total de toda a companhia e que toda unidade da organização deve participar ativamente A obtenção dessa participação é da responsabilidade da e um desafio significativo para gerência superior Qual é o papel da garantia da qualidade na organização neste caso A responsabilidade da garantia da qualidade é dar assistência à gerência em fornecer garantia de qualidade aos produtos da companhia Especificamente a função da garantia da qualidade é um depósito de tecnologia que contém as habilidades e recursos necessários para gerar produtos de qualidade aceitável no mercado A gerência da qualidade tem também a responsabilidade pela avaliação e o uso da informação sobre o custo da qualidade para a identificação de oportunidades de melhora no sistema e por tornar essas oportunidades conhecidas da gerência superior É importante notar no entanto que a função qualidade não é responsável pela qualidade Afinal a organização da qualidade não projeta fabrica distribui ou dá manutenção ao produto Assim a responsabilidade pela qualidade é distribuída por toda a organização As filosofias de Deming Juran e Feigenbaum implicam que a responsabilidade pela qualidade estendese por toda a organização Entretanto há o perigo de que se adotarmos a filosofia de que qualidade é um trabalho de todos ela se torne o serviço de ninguém Eis por que são importantes o planejamento e a análise da qualidade Como as atividades de melhoria da qualidade são muito amplas esforços bemsucedidos exigem como passo inicial o compromisso da gerência superior Esse compromisso envolve ênfase na importância da qualidade identificação das respectivas responsabilidades da qualidade das várias unidades da organização e responsabilidade explícita pela melhoria da qualidade de todos os gerentes e empregados da organização Finalmente a gerência estratégica da qualidade em uma organização deve envolver todos os três componentes discutidos anteriormente planejamento da qualidade garantia da qualidade e controle e melhoria da qualidade Além disso todos os indivíduos na organização devem ter uma compreensão das ferramentas básicas da melhoria da qualidade Os conceitos estatísticos elementares que formam a base do controle de processo e que são usados para a 11 12 13 análise dos dados do processo são centrais entre essas ferramentas É de crescente importância que todos na organização do gerente mais graduado ao pessoal de operação tenham uma clareza dos métodos estatísticos básicos e de como esses métodos são úteis na manufatura no projeto e desenvolvimento da engenharia e no ambiente dos negócios em geral Certos indivíduos devem ter níveis mais elevados de habilidades por exemplo aqueles engenheiros e gerentes na função de garantia da qualidade serão em geral especialistas em uma ou mais áreas do controle de processo engenharia de confiabilidade planejamento de experimentos ou análise de dados de engenharia Entretanto o pontochave é a filosofia de que a metodologia estatística é uma linguagem de comunicação sobre problemas que permite que a gerência mobilize recursos rapidamente e eficientemente desenvolva soluções para esses problemas Como os programas Seis Sigma ou o Seis Sigma enxuto incorporam a maioria dos elementos para o sucesso que identificamos eles têm se mostrado uma estrutura muito eficaz para a implementação da melhoria da qualidade Termos e Conceitos Importantes 14 pontos de Deming A Trilogia de Juran Adequação ao uso Amostragem de aceitação Características da qualidade Controle e melhoria da qualidade Controle estatístico de processo CEP Críticas para qualidade CPQ Custos de avaliação Custos de falhas internas e externas Custos de prevenção Dimensões da qualidade Engenharia da qualidade Enxuto Especificações Experimentos planejados Garantia da qualidade Gerenciamento da qualidade total GQT ISO90002005 Prêmio Nacional da Qualidade Malcolm Baldrige Produto ou serviço não conforme Qualidade do ajustamento Qualidade do planejamento Qualidade do projeto Responsabilidade sobre o produto Seis Sigma Sistemas e padrões da qualidade Variabilidade Exercícios e Questões para Discussão Porque é difícil definirse qualidade Discuta brevemente as oito dimensões da qualidade Isso melhora nossa compreensão de qualidade Selecione um produto ou serviço específico e discuta o impacto das oito dimensões da qualidade sobre sua aceitação geral pelos consumidores 14 15 16 17 18 19 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 Há diferença entre qualidade para um produto manufaturado e para um serviço Dê alguns exemplos específicos A compreensão da natureza multidimensional da qualidade pode levar a um melhor planejamento de produto ou a um melhor serviço Quais são os clientes internos de uma empresa Por que eles são importantes na perspectiva da qualidade A filosofia de Deming é mais ou menos focada nos métodos estatísticos do que a de Juran O que é a Trilogia de Juran Quais são as três ferramentas técnicas primárias usadas para controle e melhoria da qualidade Faça a distinção entre planejamento da qualidade garantia da qualidade e controle e melhoria da qualidade O que é o Prêmio Nacional da Qualidade Malcolm Baldrige Quem pode se candidatar a ele Quem foi Walter A Shewhart O que significa custo da qualidade Custos de falhas internas são mais ou menos importantes do que os custos de falhas externas O que é o processo Seis Sigma Discuta a afirmativa Qualidade é a responsabilidade da organização de garantia da qualidade Compare e contraste as filosofias da qualidade de Deming e Juran O que motivaria uma empresa a competir pelo Prêmio Nacional da Qualidade Malcolm Baldrige A maioria da literatura sobre gerenciamento da qualidade afirma que sem a liderança da gerência superior a melhoria da qualidade não ocorrerá Você concorda ou não com essa afirmativa Discuta por que Quais são os componentes do padrão ISO 90002005 Explique por que é necessário considerarse a variabilidade em torno da média ou dimensão nominal como uma medida de qualidade Centenas de companhias e organizações têm recebido o Prêmio Baldrige Qual sucesso elas têm tido desde o recebimento do prêmio Reconsidere a visita ao restaurante de fastfood discutido no capítulo Quais seriam os resultados para uma família de quatro pessoas em cada visita e anualmente se a probabilidade de boa qualidade em cada refeição fosse aumentada para 0999 Reconsidere a visita ao restaurante de fastfood discutido no capítulo Quais níveis de qualidade você consideraria aceitáveis para a família de quatro em cada visita e anualmente Qual probabilidade de boa qualidade em cada refeição seria exigida para se atingir esses alvos Suponha que você tenha a oportunidade de melhorar a qualidade em um hospital Quais áreas do hospital você consideraria como oportunidades para melhoria da qualidade Quais métricas você usaria como medidas da qualidade Como podem os processos enxuto e Seis Sigma trabalharem juntos para a eliminação de desperdício O que é o Sistema de Produção Toyota Quais foram as contribuições de Henry Ford para a qualidade Como a redução do tempo médio de entrega de um produto de dez para dois dias poderia resultar em melhoria da qualidade Quais são os objetivos de um programa de desenvolvimento de um fornecedor Identificamos responsabilidade como uma dimensão da qualidade A responsabilidade pode ser uma dimensão da qualidade de um serviço Como 1Estamos nos referindo à variabilidade não desejada ou danosa Há situações em que a variabilidade é boa Como disse meu bom amigo Bob Hogg Eu realmente gosto de comida chinesa mas não gostaria de comêla todas as noites 21 22 23 24 25 26 27 271 272 273 1 2 3 4 5 6 21 ESQUEMA DO CAPÍTULO VISÃO GERAL DO DMAMC O PASSO DEFINIR O PASSO MEDIR O PASSO ANALISAR O PASSO MELHORAR O PASSO CONTROLAR EXEMPLOS DE DMAMC Documentos de Litígio Melhorando a Entrega no Prazo Melhorando a Qualidade do Serviço em um Banco VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM A melhoria da qualidade e do processo ocorre mais eficazmente em uma base de projeto por projeto DMAMC é um procedimento de resolução de problemas estruturado em cinco passos que pode ser usado para se completarem projetos com sucesso prosseguindo através dos passos e implementando soluções planejadas para resolver as causas de base dos problemas de qualidade e processo e para estabelecer melhores práticas que garantam que as soluções sejam permanentes e possam ser replicadas em outras operações relevantes do negócio Este capítulo explica o procedimento DMAMC e introduz as ferramentas usadas em cada passo Muitas das ferramentas do DMAMC são discutidas em mais detalhes em capítulos subsequentes do livro e são fornecidas referências a esses capítulos Apresentamse também exemplos que utilizam o processo DMAMC Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender a importância da seleção de bons projetos para a melhoria de atividades Explicar os cinco passos do DMAMC Definir Medir Analisar Melhorar e Controlar Explicar o objetivo de revisões em pontos de verificação Compreender os requisitos para a tomada de decisão da revisão em pontos de verificação para cada passo do DMAMC Saber quando e quando não usar o DMAMC Compreender como o DMAMC se ajusta no esquema da filosofia Seis Sigma Visão Geral do DMAMC O DMAMC é um procedimento estruturado de resolução de problema largamente usado na melhoria da qualidade e do processo Em geral é associado a atividades do Seis Sigma e quase todas as implementações do Seis Sigma usam o processo DMAMC para o gerenciamento e conclusão de projetos No entanto DMAMC não é necessariamente ligado de maneira formal ao Seis Sigma e pode ser usado pela organização independentemente do Seis Sigma sendo um procedimento bem geral Por exemplo projetos enxutos que focam a redução do tempo de ciclo melhoria da capacidade de processamento e eliminação de perdas podem fácil e eficientemente ser realizados com o uso do DMAMC As letras DMAMC formam um acrônimo para os cinco passos Definir Medir Analisar Melhorar e Controlar Define Measure Analyze Improve Control DMAIC Esses passos são ilustrados graficamente na Figura 21 Note que há pontos de verificação entre cada dois passos principais subsequentes no DMAMC Em um ponto de verificação a equipe de um projeto apresenta seu trabalho aos gerentes e donos do processo Em uma organização Seis Sigma os participantes da verificação incluiriam também o campeão do projeto os Mestres Faixa Preta e outros Faixas Pretas que não estão trabalhando diretamente no projeto Os pontos de verificação ocorrem onde o projeto é revisto para garantir que esteja no caminho certo e fornecem uma oportunidade continuada para se avaliar se a equipe pode concluir o projeto com sucesso no prazo Esses pontos de verificação apresentam também uma oportunidade de fornecer orientação relativa ao uso de ferramentas técnicas específicas e outras informações sobre o problema Problemas de organização e outras barreiras para o sucesso e estratégias para se lidar com eles também são frequentemente identificados durante essas revisões que são críticas para o processo geral de solução do problema É importante que essas revisões sejam realizadas logo após a equipe ter completado cada passo FIGURA 21 O processo DMAMC A estrutura DMAMC estimula o pensar criativamente sobre o problema e sua solução dentro da definição do produto original processo ou serviço Quando o processo está funcionando tão mal que é necessário abandonarse o processo original e começar de novo ou se se determina que um novo produto ou serviço é necessário então o passo Melhorar do DMAMC se torna na verdade um passo Planejar Em uma organização Seis Sigma isso provavelmente significa que é necessário um esforço de Planejamento para Seis Sigma PPSS Veja o Capítulo 1 para uma discussão do PPSS Uma das razões de o DMAMC ser tão bemsucedido é que ele foca no uso eficaz de um conjunto relativamente pequeno de ferramentas A Tabela 21 mostra as ferramentas junto com os passos do DMAMC onde elas mais provavelmente serão usadas e onde essas ferramentas são discutidas eou ilustradas no livro Outras ferramentas ou variações das mostradas aqui são usadas ocasionalmente no DMAMC Alguns livros sobre o Seis Sigma fornecem visões gerais úteis de muitas dessas ferramentas por exemplo veja George 2002 e Snee e Hoerl 2005 Os projetos são um aspecto essencial da melhoria da qualidade e do processo Projetos são uma componente integrante do Seis Sigma mas a melhoria da qualidade e do negócio via projetos remonta a Juran que também alertou para uma abordagem de projeto a projeto para a melhoria da qualidade A seleção gerenciamento e conclusão de projetos com sucesso são críticos na instalação de qualquer esforço sistemático de melhoria do negócio não apenas do Seis Sigma TABELA 21 Ferramentas Usadas no DMAMC Ferramenta Definir Medir Analisar Melhorar Controlar Carta do projeto Capítulo 2 Mapas gráficos de fluxo do processo Capítulo 2 Capítulo 5 Análise de causa e efeito Capítulo 5 Análise da capacidade do processo Capítulos 6 8 Testes de hipótese intervalos de confiança Capítulo 4 Análise de regressão outros métodos multivariados Capítulo 4 Medidor R R Capítulo 8 Modo de falha análise de efeitos Capítulo 2 Experimentos planejados Capítulos 13 14 Capítulos 13 14 SCP e planos de controle do processo Capítulos 5 6 7 9 10 11 12 Capítulos 5 6 7 9 10 11 12 Capítulos 5 6 7 9 10 11 12 Um projeto deve representar um potencial avanço no sentido de que resultará em uma importante melhoria do produto ou serviço O impacto do projeto deve ser avaliado em termos de seu benefício financeiro para o negócio medido e avaliado pela unidade financeira ou de contabilidade isso ajuda a garantir avaliações mais objetivas de projetos Obviamente projetos com alto impacto potencial são mais desejáveis Essa integração financeira de sistemas é prática padrão no Seis Sigma e deve ser uma parte de qualquer projeto DMAMC mesmo se a organização não estiver no momento engajada na instalação de um Seis Sigma A oportunidade de valor de projetos deve ser claramente identificada e os projetos devem ser bem alinhados com os objetivos do negócio da corporação em todos os níveis No nível mais alto corporação os acionistas os altos executivos membros do corpo de diretores e analistas de negócios que dão orientação aos investidores estão tipicamente interessados no retorno do capital próprio retorno do capital investido preço de mercado dividendos ganhos ganhos por ação crescimento na renda operacional crescimentos das vendas geração de novos planejamentos produtos e patentes e desenvolvimento de futuros líderes de negócios No nível de negócio ou operacional gerentes e executivos estão interessados em medidas de fabricação tais como produção tempo do ciclo e capacidade de processamento otimização de lucros e perdas satisfação do cliente desempenho de entrega e cumprimento de prazo redução de custo segurança dos empregados e clientes uso eficiente dos ativos introdução de novos produtos eficiência de vendas e mercado desenvolvimento de pessoal e desempenho da cadeia de suprimento custo qualidade serviço O alinhamento de projetos com os objetivos da unidade de negócios e as medidas do nível da corporação ajuda a garantir que os melhores projetos sejam considerados para seleção Os primeiros tipos de projetos que as companhias usualmente empreendem são planejados para demonstrar o sucesso potencial de um esforço geral de melhoria Esses projetos em geral se atêm às áreas do negócio que estão cheias de oportunidades mas são também direcionados por problemas atuais Problemas que são identificados por clientes ou satisfação ou insatisfação do cliente tais como a análise de falhas de campo e retornos de clientes são algumas vezes a origem desses projetos Tais projetos iniciais e oportunistas são bemsucedidos mas não são tipicamente a base para o sucesso de longo prazo a maioria das oportunidades fáceis logo se exaure É necessária a evolução para uma abordagem diferente à definição e seleção de projetos Uma abordagem largamente usada é a de se basearem os projetos nos objetivos estratégicos da empresa Nessa abordagem a definição do conjuntochave de processos críticos da empresa e das métricas que os orientam é o primeiro passo para o desenvolvimento bemsucedido de um projeto Seguese então a ligação desses projetos para dar uma visão integrada do negócio Os projetos que se concentram nas medidaschave e objetivos estratégicos bem como na interface entre processos críticos do negócio provavelmente terão valor significativo para a companhia Os únicos riscos aqui são os de que os projetos podem ser muito grandes e ainda assim focalizar aspectos pequenos do negócio o que pode reduzir a exposição geral da organização para o processo de melhoria e reduzir ou atrasar seu impacto Uma boa seleção de projeto de sistema de gerenciamento ajuda a se evitar a ocorrência de tais problemas Muitas companhias estabeleceram comitês formais para a seleção de projetos e realizam reuniões regulares entre clientes e os comitês para ajudar a se alcançarem os objetivos Idealmente projetos são estratégicos e bem alinhados com as medidas da corporação e não são locais táticos Projetos locais se reduzem a extinção de incêndios suas soluções raramente são implementadas mais amplamente em outras partes do negócio e frequentemente as soluções não são permanentes em um ou dois anos os mesmos velhos problemas ocorrem de novo Algumas companhias usam um sistema de painel de instrumentos que rastreia graficamente tendências e resultados para facilitar efetivamente a seleção de projetos e o processo de gerenciamento A seleção do projeto é provavelmente a parte mais importante de qualquer processo de melhoria dos negócios Os projetos devem ser tais que possam ser completados dentro de um período de tempo razoável e devem ter impacto real sobre as principais medidas do negócio Isso significa que se deve pensar bastante na definição dos processoschave dos negócios da organização compreender suas interrelações e desenvolver medidas de desempenho apropriadas O que se deve considerar ao se avaliar projetos propostos Suponha que uma companhia esteja operando no nível 4σ isto é cerca de 6210 ppm de defeituosos supondo uma mudança na média de 15σ que é comum nas aplicações do Seis Sigma Isso é realmente um desempenho razoavelmente bom e muitas organizações atuais alcançaram o nível de desempenho de 445σ para muitos de seus processoschave nos negócios O objetivo é atingirse o nível de desempenho de 6σ 34 ppm Qual implicação isso tem sobre os critérios de seleção de projetos Suponha que o critério seja uma melhoria de 25 anuais no nível da qualidade Então para se alcançar o nível de desempenho Seis Sigma serão necessários x anos em que x é a solução do seguinte 34 62101 025x Acontece que x é de cerca de 26 anos Obviamente um desempenho de melhoria de 25 anuais não funcionará nenhuma organização esperará 26 anos para atingir seu objetivo A melhoria da qualidade é um processo que nunca termina mas nenhuma equipe de gerenciamento que entenda como realizar os cálculos acima apoiará tal programa Elevar o objetivo anual do projeto para 50 ajuda muito reduzindo x para cerca de 11 anos uma previsão de tempo algo mais realista Se o objetivo do negócio é ser uma organização Seis Sigma em 5 anos então o objetivo do projeto de melhoria anual deve ser de 75 Esses cálculos são as razões pelas quais muitas autoridades de melhoria da qualidade incitam as organizações a concentrarem seus esforços em projetos que tenham impacto real e alto retorno para a organização Com isso querem dizer projetos que alcancem pelo menos 50 de retorno anual em termos de melhoria da qualidade Esse nível de melhoria é possível A resposta é sim e muitas companhias têm alcançado essa taxa de melhoria Por exemplo a taxa de melhoria anual da Motorola excedeu 65 durante os primeiros anos da iniciativa Seis Sigma Para fazerem isso consistentemente no entanto as companhias devem devotar esforço considerável à definição gerenciamento 22 1 2 3 4 5 execução e implementação do projeto Eis por que as melhores pessoas possíveis da organização devem estar envolvidas nessas atividades O Passo Definir O objetivo do passo Definir do DMAMC é a identificação da oportunidade do projeto e a verificação ou validação de que ele representa legítimo avanço potencial Um projeto deve ser importante para os clientes voz do consumidor e importante para o negócio Os intervenientes ou partes interessadas que trabalham no processo e seus clientes ao longo do fluxo precisam concordar sobre a potencial utilidade do projeto Um dos primeiros itens que devem ser completados no passo Definir é uma carta de intenções do projeto Esse é um pequeno documento tipicamente de no máximo duas páginas que contém uma descrição do projeto e sua abrangência as datas de início e de conclusão previstas uma descrição inicial das medidas primárias e secundárias que serão usadas para a medida do sucesso e como essas medidas se alinham com os objetivos da unidade e da corporação do negócio os potenciais benefícios ao cliente o potencial benefício financeiro para a organização marcos que devem ser alcançados durante o projeto os membros da equipe e seus papéis e quaisquer recursos adicionais que possam ser necessários para se completar o projeto A Figura 22 mostra uma carta de intenções para um processo de retorno de produto de um cliente Tipicamente o financiador do projeto ou campeão em uma implementação Seis Sigma desempenha um papel significante no desenvolvimento da carta do projeto e pode usar uma carta rascunho como base para a organização da equipe e alocação de responsabilidades para a complementação do projeto Geralmente uma equipe deve ser capaz de completar uma carta de projeto em dois a quatro dias de trabalho se demorar mais a abrangência do projeto pode ser grande demais A carta deve identificar também as características críticas para a qualidade do cliente CPQ que são impactadas pelo projeto Recursos gráficos também são úteis no passo Definir Os mais comumente usados incluem mapas de processo e fluxogramas mapas de fluxos de valor veja o Capítulo 5 e o diagrama SIPOC Os gráficos de fluxo e mapas de curso de valor fornecem muito detalhe visual e facilitam a compreensão sobre o que precisa ser mudado em um processo O diagrama SIPOC é um mapa de alto nível de um processo SIPOC é um acrônimo para Suppliers Input Process Output e Customers Fornecedores Entrada Processo Saída Clientes definidos como Os Fornecedores são aqueles que fornecem a informação material ou outros itens que são usados no processo A Entrada é a informação ou material fornecido O Processo é o conjunto de passos realmente necessários para a realização do trabalho A Saída é o produto serviço ou informação enviado ao cliente O Cliente é ou o consumidor externo ou o próximo passo interno do negócio Diagramas SIPOC dão uma visão geral de um processo e são úteis para a compreensão e visualização dos seus elementos básicos Eles são especialmente úteis no contexto da manufatura e nos sistemas de serviços em geral em que a ideia de um processo ou o pensamento sobre um processo é em geral de difícil compreensão Isto é as pessoas que trabalham em bancos instituições financeiras hospitais firmas de contabilidade comércio virtual agências do governo e a maioria das organizações de transações e serviços nem sempre veem o que fazem como parte de um processo A construção de um mapa de processo pode ser uma experiência de abertura de visão uma vez que em geral revela aspectos do processo dos quais as pessoas não estavam conscientes ou não compreendiam completamente Caso do Negócio Esse projeto apoia os objetivos de qualidade do negócio especificamentea reduzir o tempo de ciclo de resolução do cliente em x e b melhorar a satisfação do cliente em y Estabelecimento da Oportunidade Existe uma oportunidade de se fechar a lacuna entre as expectativas de nosso cliente e nosso desempenho atual pela redução do tempo de ciclo do processo de retorno do cliente Estabelecimento do Objetivo Reduzir o tempo de ciclo resposta geral para produtos retornados dos clientes em x ano a ano Esboço do Projeto O tempo de ciclo da resposta geral é medido desde o recebimento do retorno de um produto 1 2 3 4 5 6 7 23 até o instante em que ou o cliente recebe novo produto ou o cliente é reembolsado Planejamento do Projeto Equipe Patrocinador da Equipe Líder da Equipe Membros da Equipe Atividade Definir Medir Analisar Melhorar Controlar Rastrear Benefícios Início 604 618 715 815 915 1101 Fim 630 730 830 930 1030 FIGURA 22 Uma carta de projeto para um processo de retorno de cliente FIGURA 23 Um diagrama SIPOC A Figura 23 é um diagrama SIPOC desenvolvido por uma companhia para seu processo interno de serviço de café Pediuse à equipe que reduzisse o número de defeitos e erros no processo e no tempo do ciclo de preparo do café O primeiro passo realizado foi a criação de um diagrama SIPOC para a identificação dos elementos básicos do processo que a equipe estava tentando melhorar A equipe precisará preparar um plano de ação para seguir em frente para os demais passos do DMAMC Isso incluirá distribuição de trabalhos individuais e datas previstas de conclusão Devese prestar bastante atenção ao passo Medir que será realizado a seguir Finalmente a equipe deve se preparar para o passo Definir pontos de verificação que deve focalizar o seguinte O estabelecimento do problema foca em sintomas e não em possíveis causas ou soluções Os intervenienteschave estão identificados Qual evidência há que confirme a oportunidade do valor representado por esse projeto A abrangência do projeto foi verificada para garantir que não seja nem tão pequena e nem tão grande Foi feito um diagrama SIPOC ou outro mapa de processo de alto nível Barreiras ou obstáculos óbvios para a conclusão bemsucedida do projeto foram ignoradas O plano de ação da equipe para o passo Medir do DMAMC é razoável O Passo Medir O objetivo do passo Medir é a avaliação e compreensão do estado atual do processo Isso envolve a coleta de dados de medidas de qualidade custo e tempo de capacidade de processamentociclo É importante o desenvolvimento de uma lista de todas as variáveischave de entrada do processo VCEP key process input variables KPIV e as variáveis chave de saída do processo VCSP key process output variables KPOV Essas variáveis devem ter sido 1 2 3 4 5 24 identificadas pelo menos como previsão durante o passo Definir mas devem ser completamente definidas e medidas durante o passo Medir Fatores importantes podem ser o tempo gasto para a realização de várias atividades de trabalho e o tempo gasto pela espera de processamento adicional A decisão sobre quais e quantos dados coletar é tarefa importante deve haver dados suficientes que permitam uma análise e compreensão completas do desempenho atual do processo em relação às principais medidas Os dados devem ser coletados através do exame de registros históricos mas isso pode não ser sempre satisfatório uma vez que a história pode ser incompleta os métodos de manutenção de registros podem ter mudado ao longo do tempo e em muitos casos a informação desejada pode não ter sido mantida Consequentemente em geral é necessário coletaremse dados atuais através de um estudo observacional Isso pode ser feito pela coleta de dados do processo por um período contínuo de tempo tal como a toda hora por duas semanas ou pode ser feito pela amostragem dos fluxos de dados relevantes Quando há muitos elementos humanos no sistema a amostragem do trabalho pode ser útil Essa forma de amostragem envolve a observação dos trabalhadores em horários aleatórios e classificação de sua atividade naquele instante em determinadas categorias Nos negócios de transações e de serviços pode ser necessário o desenvolvimento de medições e de um sistema de medidas apropriados para o registro das informações que são específicas da organização Novamente isso aponta para uma diferença fundamental entre manufatura e serviços os sistemas de medição e dados sobre o desempenho do sistema sempre existem na manufatura uma vez que a necessidade de dados é em geral mais óbvia na manufatura do que nos serviços Os dados coletados são usados como base para a determinação do estado atual ou desempenho de referência do processo Adicionalmente a capacidade do sistema de mensuração deve ser avaliada Isso pode ser feito usandose um estudo formal de capacidade do medidor chamado repetibilidade e reprodutibilidade ou RR do medidor discutido no Capítulo 8 Nesse ponto é também uma boa ideia dividirse o tempo de ciclo do processo em atividades de valor agregado e não agregado e calcularemse as estimativas da eficiência do ciclo do processo e o tempo de ciclo do processo caso seja apropriado veja o Capítulo 1 Os dados coletados durante o passo Medir devem ser apresentados de várias maneiras com histogramas diagramas de ramoefolhas gráficos de sequências diagramas de dispersão e gráficos de Pareto Os Capítulos 3 e 4 fornecem informações sobre essas técnicas Ao final do passo Medir a equipe deve atualizar o projeto se necessário reexaminar os objetivos e a abrangência do projeto e reavaliar a constituição da equipe Podese considerar a expansão da equipe para incluir membros de unidades do negócio abaixo ou acima no fluxo se as atividades de Medir indicarem que esses indivíduos serão de valor nos passos subsequentes do DMAMC Quaisquer problemas ou preocupações que possam impactar o sucesso do projeto devem ser documentados e compartilhados com o dono do processo ou financiador do projeto Em alguns casos a equipe pode ser capaz de fazer recomendações rápidas e imediatas para a melhoria tais como eliminação de um passo óbvio de valor não agregado ou a remoção de variabilidade não desejada Finalmente é necessária a preparação para o ponto de verificação Medir Problemas e expectativas que devem se abordados durante essa revisão incluem os seguintes Deve haver um gráfico amplo do fluxo do processo ou mapa de fluxo de valor Todos os passos e atividades principais do processo devem ser identificados com os fornecedores e os clientes Se for apropriado áreas em que filas e trabalho em processo se acumulam devem ser identificadas e os tamanhos das filas tempos de espera e níveis de trabalho em processo devem ser relatados Uma lista de VCEP e VCSP deve ser fornecida com a definição de como as VCSPs se relacionam com a satisfação do cliente ou com os CPQs do cliente Capacidade dos sistemas de medida deve ser documentada Quaisquer hipóteses que tiverem sido feitas durante a coleta de dados devem ser observadas A equipe deve ser capaz de responder a pedidos como Explique de onde os dados vieram e questões do tipo Como você decidiu quais dados coletar Quão válido é seu sistema de medida e Você coletou dados suficientes para fornecer um retrato razoável do desempenho do processo O Passo Analisar No passo Analisar o objetivo é o uso dos dados do passo Medir para se começar a determinar as relações de causa e efeito no processo e a compreender as diferentes fontes de variabilidade Em outras palavras no passo Analisar desejamos determinar as causas potenciais dos defeitos problemas de qualidade questões com os clientes problemas de tempo de 1 2 3 1 ciclo e capacidade de processamento ou desperdício e ineficiência que motivaram o projeto É importante separaremse as fontes de variabilidade em causas comuns e causas atribuíveis Discutiremos essas fontes de variabilidade no Capítulo 4 mas de modo geral causas comuns são fontes de variabilidade que são embutidas no sistema ou no próprio processo enquanto causas atribuíveis usualmente surgem de uma fonte externa A remoção de uma causa comum de variabilidade usualmente significa mudança no processo enquanto a remoção de uma causa atribuível envolve a eliminação daquele problema específico Uma causa comum de variabilidade pode ser o treinamento inadequado do pessoal que processa as reclamações de seguros enquanto uma causa atribuível pode ser falha na peça em uma máquina Há muitos recursos que são potencialmente úteis no passo Analisar Entre esses estão os gráficos de controle que são úteis na separação de causas comuns de variabilidade das causas atribuíveis de variabilidade o teste de hipótese estatístico e a estimação de intervalos de confiança que podem ser usados para se determinar se diferentes condições de operação produzem resultados diferentes estatisticamente significantes e para fornecer informação sobre a precisão com a qual os parâmetros de interesse foram estimados e a análise de regressão que permite a construção de modelos que relacionam variáveis de saída de interesse a variáveis de entrada independentes O Capítulo 4 contém uma discussão de testes de hipótese intervalos de confiança e regressão O Capítulo 5 introduz gráficos de controle que são ferramentas muito poderosas com muitas aplicações Alguns capítulos nas Partes III e IV do livro discutem diferentes tipos e aplicações de gráficos de controle Simulação por computador para evento discreto é outra poderosa ferramenta no passo Analisar É particularmente útil nos negócios de serviços e de transações embora seu uso não se restrinja a esses tipos de operações Por exemplo tem havido muitas aplicações bemsucedidas de simulação de evento discreto no estudo de problemas de horários em fábricas para melhorar o tempo de ciclo e o desempenho da capacidade de produção Em um modelo de simulação de evento discreto um modelo de computador simula um processo em uma organização Por exemplo um modelo de computador poderia simular o que acontece quando um pedido de empréstimo para hipoteca entra em um banco Cada pedido de empréstimo é um evento discreto As taxas de chegada tempos de processamento e mesmo as rotas dos pedidos através do processo do banco são variáveis aleatórias As realizações específicas dessas variáveis aleatórias influenciam os atrasos ou filas de pedidos que se acumulam em diferentes passos do processo Outras variáveis aleatórias podem ser definidas para modelar o efeito de pedidos incompletos informação errada e outros tipos de erros e defeitos e atrasos na obtenção de informação de fontes externas tais como histórias de crédito Rodandose o modelo de simulação para muitos empréstimos estimativas confiáveis de tempo de ciclo capacidade de produção e outras quantidades de interesse podem ser obtidas Análise de modos e efeitos de falha AMEF failure modes and effects analysis FMEA é outra ferramenta útil durante o estágio Analisar AMEF é usada para hierarquizar as diferentes fontes potenciais de variabilidade falhas erros ou defeitos em um produto ou processo em relação a três critérios A verossimilhança de que algo sairá errado em uma escala de 1 a 10 com 1 não verossímil e 10 quase certo A habilidade de detectar uma falha defeito ou erro em uma escala de 1 a 10 com 1 muito provável que detecte e 10 muito improvável que detecte A gravidade de uma falha defeito ou erro em uma escala de 1 a 10 com 1 pequeno impacto e 10 impacto extremo incluindo perda financeira extrema ferimento ou perda da vida Os três escores para cada fonte potencial de variabilidade falha erro ou defeito são multiplicados entre si para a obtenção de um número de prioridade de risco NPR risk priority number RPN Fontes de variabilidade ou falhas com os mais altos valores de NPR são o foco de posterior processo de melhoria ou esforços de replanejamento As ferramentas de análise são usadas com dados históricos ou dados coletados no passo Medir Esses dados são em geral úteis no fornecimento de pistas que podem levar às causas dos problemas pelos quais o processo está passando Algumas vezes essas pistas podem levar a avanços e identificar melhorias específicas Na maioria dos casos no entanto o objetivo do passo Analisar é uma tentativa de exploração e compreensão das relações entre as variáveis do processo e o desenvolvimento de uma ideia sobre potenciais melhorias do processo Uma lista de oportunidades específicas e de causas de raiz que são marcadas para ação no passo Melhorar deve ser desenvolvida As estratégias de melhoria serão mais desenvolvidas e realmente testadas no passo Melhorar Na preparação para revisão do ponto de verificação do Analisar a equipe deve considerar os seguintes problemas e questões potenciais Quais oportunidades estão sendo o objetivo para investigação no passo Melhorar 2 3 4 25 1 2 3 4 5 26 Quais dados e análise apontam que a investigação das oportunidadesalvo e de sua melhoriaeliminação trará os resultados desejados sobre as VCSP e os CPQs do cliente que eram os focos originais do projeto Há outras oportunidades que não serão avaliadas mais a fundo Se for o caso por quê O projeto ainda está dentro do previsto em relação a tempo e resultados antecipados Há recursos adicionais necessários no momento O Passo Melhorar Nos passos Medir e Analisar a equipe se concentrou na decisão sobre quais VCEP e VCSP estudar quais dados coletar como analisar e apresentar os dados potenciais fontes de variabilidade e como interpretar os dados obtidos No passo Melhorar ela se volta para o pensamento criativo sobre mudanças específicas que podem ser feitas no processo e outras coisas que podem ser realizadas para se obter o impacto desejado sobre o desempenho do processo Uma grande variedade de ferramentas pode ser usada no passo Melhorar O replanejamento do processo para melhorar o fluxo do trabalho e reduzir os gargalos e trabalho em processo usarão extensivamente gráficos de fluxo eou mapas de fluxo de valor Algumas vezes será usada a prova de erro de uma operação planejamento de uma operação de modo que ela só pode ser executada de uma maneira a maneira certa Experimentos planejados são provavelmente as ferramentas estatísticas mais importantes no passo Melhorar Experimentos planejados podem ser aplicados tanto a processos físicos reais quanto a modelos de simulação de computador daquele processo e podem ser usados tanto para a determinação de quais fatores influenciam o resultado de um processo quanto para a determinação da combinação ótima de contextos de fatores Experimentos planejados são discutidos em detalhe na Parte V Os objetivos do passo Melhorar são o desenvolvimento de uma solução para o problema e a realização de um teste piloto da solução O teste piloto é uma forma de experimento de confirmação ele avalia e documenta a solução e confirma que a solução atende os objetivos do projeto Essa pode ser uma atividade iterativa com a solução original sendo refinada revisada e melhorada várias vezes como resultado da saída do teste piloto A revisão de ponto de verificação para o passo Melhorar deve envolver o seguinte Documentação adequada de como a solução do problema foi obtida Documentação sobre soluções alternativas que tenham sido consideradas Resultados completos do teste piloto incluindo apresentações dos dados análise experimentos e análises de simulação Planos para a implementação dos resultados do teste piloto em base de larga escala Isso inclui lidarse com requisitos de regulação Food and Drug Administration FDA Occupational Safety and Health Administration OSHA legais por exemplo preocupação com pessoal tal como necessidade de treinamento adicional ou impacto sobre outras práticaspadrão do negócio Análise de quaisquer riscos da implementação da solução e planos adequados de gerenciamento de riscos O Passo Controlar Os objetivos do passo Controlar são a conclusão de todo o trabalho restante do projeto e entrega do processo melhorado a seu dono junto com um plano de controle do processo e outros procedimentos necessários que garantam que os ganhos com o projeto sejam institucionalizados Isto é o objetivo é garantir que os ganhos sejam úteis ao processo e se possível que as melhorias sejam implementadas em outros processos similares no negócio Ao dono do processo devemse fornecer dados de antes e depois relativos às medidaschave documentos sobre operações e treinamento e mapas do processo atualizado O plano de controle do processo deve ser um sistema para monitoramento da solução que tiver sido implementada incluindo métodos e medidas para auditorias periódicas Gráficos de controle são ferramentas estatísticas importantes usadas no passo Controlar do DMAMC muitos planos de controle de processo envolvem gráficos de controle sobre medidas críticas do processo O plano de transição para o dono do processo deve incluir uma verificação de validação vários meses depois de concluído o projeto É importante garantirse que os resultados originais ainda estão nos lugares e estáveis de modo que o impacto positivo financeiro seja sustentado Não é incomum descobrirse que alguma coisa saiu errada na transição para o processo melhorado A capacidade de responder rapidamente para antecipar falhas deve ser avaliada no plano A revisão no ponto de verificação para o passo Controlar inclui tipicamente os seguintes temas 1 2 3 4 5 6 27 271 1 2 Deve ser disponibilizada ilustração dos dados de que os resultados antes e depois estão alinhados com a carta do projeto Os objetivos originais foram alcançados O plano de controle do processo está completo Os procedimentos para o monitoramento do processo tais como gráficos de controle estão no lugar Toda a documentação essencial para o dono do processo está completa Um resumo das lições aprendidas com o projeto deve estar disponível Devese preparar uma lista de oportunidades que não foram seguidas no projeto Isso pode ser útil para o desenvolvimento de futuros projetos é importante terse um inventário de bons projetos potenciais para manter em movimento a melhoria de processos Devese preparar uma lista de oportunidades para o uso dos resultados do projeto em outras partes do negócio Exemplos do DMAMC Documentos de Litígio Litígios normalmente geram um grande número de documentos Esses podem ser artigos de trabalho interno relatórios de consultores declarações arquivamentos de tribunal documentos obtidos via intimação e papéis de muitas outras fontes Em alguns casos pode haver milhares de documentos e milhões de páginas Aplicouse o DMAMC ao departamento jurídico da empresa DuPont chefiado pela advogada Julie Mazza que falou sobre o projeto em um encontro da American Society for Quality Mazza 2000 O caso é discutido também em Snee e Hoerl 2005 O objetivo era o desenvolvimento de um processo eficiente que permitisse o acesso a tempo a documentos necessários com um mínimo de erros O gerenciamento de documentos é extremamente importante em litígios e pode ser também dispendioso e demorado O processo era em geral manual de modo que estava sujeito ao erro humano sendo problema bastante comum a perda de documentos ou documentos incorretos No caso específico apresentado por Mazza havia uma base de dados eletrônica que listava e classificava todos os documentos mas os próprios documentos eram em forma impressa Definir A função legal da DuPont e a equipe jurídica específica envolvida nesse litígio específico eram os clientes desse processo Acesso rápido e sem erros aos documentos necessários era essencial Por exemplo se a requisição de um documento não podia ser respondida em 30 dias a equipe jurídica deveria preencher um pedido de extensão junto à corte Tais extensões acarretam aumento de custo e de tempo em detrimento da credibilidade da equipe jurídica Formouse uma equipe do projeto consistindo em donos do processo especialistas na matéria legal empregados um especialista em sistemas de informação e Mazza que era também Faixa Preta no programa Seis Sigma da DuPont A equipe decidiu focar nos aspectos CPQ que envolviam a redução de tempo do ciclo redução de erros eliminação de atividades de valor não agregado ao processo e redução de custos Começaram por mapear todo o processo de produção de documentos incluindo os passos da parte legal da DuPont do conselho externo e da companhia externa de gerenciamento de documentos Esse mapa do processo foi de grande contribuição para a identificação das atividades de valor não agregado Medir No passo Medir a equipe mediu formalmente a extensão na qual os CPQs eram satisfeitos revendo os dados na base eletrônica obtendo as faturas reais revendo custos de cópias e outros custos de trabalho custos da entrada de dados custos de embarque e taxas da corte para formulários para extensões e estudando com que frequência os documentos individuais na base de dados estavam sendo usados Essa frequência era difícil de ser medida com precisão Muitas das categorias de custos continham custos de valor não agregado devido a erros tais como cópia de um documento diferente porque o documento errado tinha sido extraído e copiado Outro erro era a permissão de cópia de um documento confidencial Analisar A equipe trabalhou com os dados obtidos durante o passo Medir e o conhecimento dos membros da equipe para identificar muitas das causas subjacentes e exposições de custo Uma análise de modos e efeitos de falhas realçou muitos dos mais importantes problemas que precisavam ser abordados para a melhoria do sistema A equipe entrevistou também muitas das pessoas que trabalhavam no processo para compreender melhor como elas realmente realizavam seu trabalho e os problemas que encontravam Isso é sempre muito importante em organizações de não manufatura e serviços porque esses tipos de operações podem ter um fator humano muito maior Algumas das causas dos problemas que encontraram foram Alta taxa de rotatividade para os empregados do contratante Treinamento inadequado 3 4 272 Desatenção ao trabalho causada pelo sentimento do empregado de não ter domínio sobre o processo O grande volume de documentos A equipe concluiu que muitos dos problemas no sistema eram resultado de um sistema manual de se lidar com os documentos Melhorar Para melhorar o processo a equipe propôs um sistema de exame digital dos documentos Essa solução tinha sido considerada anteriormente mas havia sido sempre descartada devido ao custo No entanto a equipe realizou um trabalho completo para a identificação dos custos reais do sistema manual e da incapacidade de um sistema manual realmente melhorar a situação A melhor informação produzida durante os passos Medir e Analisar permitiu à equipe propor com sucesso um sistema de exame digital que a companhia aceitou A equipe trabalhou com as informações do grupo de tecnologia da DuPont para identificar um sistema apropriado implantar o sistema no local e examinar todos os documentos Eles mapearam o novo processo com base no estudo piloto estimaram que o custo unitário de processamento de uma página de um documento seria reduzido em cerca de 50 o que resultaria em cerca de US 113 milhão em economia Cerca de 70 das atividades de valor não agregado no processo foram eliminados Depois da implementação do novo sistema ele foi proposto para uso em todas as funções da DuPont a economia total foi estimada em cerca de US 10 milhões Controlar O plano de controle envolveu o planejamento de novo sistema para acompanhar e relatar automaticamente os custos estimados por documento O sistema acompanhava também o desempenho em outros aspectos essenciais das CPQs e relatava informação para os usuários do processo Faturas também eram enviadas aos donos do processo como um mecanismo de monitoramento dos custos em andamento Foram fornecidas explicações sobre como o novo sistema funcionava e providenciouse o treinamento necessário para todos os que usavam o sistema O novo sistema extremamente bemsucedido resultou em significante economia nos custos melhoria do tempo de ciclo e redução em muitos dos erros que ocorriam com frequência Melhorando a Entrega no Prazo Um importante cliente entrou em contato com o fabricante de ferramenta de máquina sobre o recente baixo desempenho que ele havia percebido em relação à entrega do produto no prazo As entregas no prazo estavam no patamar de 85 em vez de no valor alvo de 100 e o cliente podia escolher usar uma cláusula de penalidade para reduzir o preço em cerca de 15 por ferramenta ou seja uma perda de cerca de US 60000 para o fabricante O cliente estava preocupado também com as condições da fábrica e sua capacidade de satisfazer seu programa de produção no futuro O cliente representava cerca de US 8 milhões no volume de negócios para o futuro imediato o fabricante precisava de uma revisão em seu processo de produção para resolver o problema ou o cliente poderia considerar procurar um segundo fornecedor para a ferramenta crítica Formouse uma equipe para a determinação das causas de base do problema de entrega e implementação de uma solução Um membro da equipe era um engenheiro projetista que foi enviado a uma fábrica fornecedora com o objetivo de trabalhar bem próximo ao fornecedor examinar todos os processos usados na manufatura da ferramenta e identificar quaisquer falhas no processo que pudessem afetar a entrega Alguns dos processos do fornecedor poderiam precisar de melhoria Definir O objetivo do projeto era atingirse 100 de entregas no prazo O cliente tinha uma preocupação em relação à capacidade de entrega no prazo e uma cláusula de penalidade para entregas atrasadas poderia ser aplicada a carregamentos atuais e futuros a um custo para o fabricante Entregas com atraso também poriam em risco o esquema de produção do cliente e sem um processo melhorado para eliminar o problema de entrega o cliente poderia considerar uma segunda fonte para a ferramenta O fabricante poderia potencialmente perder quase metade do negócio do cliente além de incorrer em custos de multa de 15 O fabricante teria também um atraso na coleta do pagamento de 80 do equipamento feito em geral pelo embarque A economia potencial ao se corresponder às exigências de entrega no prazo era de US300000 por trimestre além de ser crítica a manutenção de um cliente satisfeito 1 2 3 4 FIGURA 24 O mapa do processo original Medir O tempo marcado pelo contrato para a entrega da ferramenta era de oito semanas Isto é a ferramenta deve estar pronta para embarque oito semanas a partir do recebimento da ordem de compra A característica CPQ para esse processo era satisfazer o tempo alvo do contrato A Figura 24 mostra o mapa para o processo existente desde a ordem de compra até o embarque O tempo de contrato poderia ser satisfeito apenas se não houvesse desvio ou variação no processo Alguns dados históricos sobre esse processo estavam disponíveis e dados adicionais foram coletados durante um período aproximado de dois meses Analisar Com base nos dados coletados no passo Medir a equipe concluiu que as áreas de problema vinham de Problemas com a qualidade do fornecedor as peças apresentavam defeito prematuramente Isso causava atraso no teste final do equipamento devido à localização e reparação de defeitos ou espera pela reposição de peças Atraso no processamento da ordem de compra As ordens de compra não eram processadas prontamente resultando em atraso nas datas de início dos projetos internos Atraso na confirmação do cliente Eram necessários três dias para a confirmação final da configuração do equipamento com o cliente Isso atrasava a maioria dos passos iniciais da manufatura e complicava o esquema de produção Ordens incorretas de configuração da ferramenta Havia muitos processos do lado do cliente que levavam a frequentes confusões quando o cliente enviava a ordem e em geral resultavam em uma configuração incorreta da ferramenta Isso causava retrabalho no meio da sequência do ciclo de manufatura e contribuía grandemente para o problema de atraso na entrega Melhorar Para cumprir o prazo contratual de oito semanas a equipe sabia que era necessária a eliminação de quaisquer possíveis variações no processo começando pelo recebimento da ordem de compra até o embarque do equipamento Três ações corretivas principais foram tomadas 1 2 3 Controle e Melhoria da Qualidade do Fornecedor Foi implementada para o fornecedor uma lista de verificação de compras no atacado que continha todos os testes exigidos de componentes e subsistemas que deveriam ser completados antes do embarque Foi tomada essa atitude para minimizar falhas nas peças tanto na manufatura quanto no teste final bem como no campo O fornecedor concordou em fornecer ao fabricante em consignação peças críticas sobressalentes de modo a se economizar tempo de embarque para a substituição de peças se as falhas nas peças fossem encontradas durante a manufatura ou no teste final Melhorar o Processo Interno de Ordem de Compra Estabeleceuse um endereço comum de email para receber todas as notificações de ordens de compra Três pessoas um engenheiro de apoio de vendas um engenheiro projetista e um gerente de contabilidade deveriam ter acesso à conta de email Anteriormente apenas uma pessoa verificava o estado das ordens Esse passo realçou a transparência da chegada da ordem de compra e permitiu que a companhia agisse prontamente quando uma nova ordem era recebida Melhorar o Processo de Ordem de Compra Junto ao Cliente A equipe constatou que várias configurações de ferramentas haviam sido geradas ao longo do tempo devido a novas exigências do cliente Para garantir a precisão das configurações das ferramentas em uma ordem de compra uma planilha personalizada foi planejada junto com o consumidor para a identificação dos dadoschave para a ferramenta sendo pedida A planilha era salva com um número de ordem de compra e armazenada em local predeterminado da rede O dono da ferramenta deveria também tomar ciência do que pediu para ajudar a eliminar o passo de confirmação com o cliente e garantir precisão na ordem final A Figura 25 mostra um mapa do sistema novo melhorado Os passos do processo original que foram eliminados estão mostrados em boxes sombreados nessa figura 273 1 2 FIGURA 25 O processo melhorado Controlar Para garantir que o novo processo ficasse sob controle a equipe reviu a planilha de acompanhamento da produção com o marco do cronograma da firma e forneceu um formato mais visual Um procedimento de atualização foi fornecido de duas em duas semanas para a fábrica refletir informação atualizada O engenheiro de projeto seria capaz de monitorar o progresso de cada ferramenta ordenada e tomar atitude apropriada caso ocorresse algum desvio não planejado em relação ao esquema Depois da implementação do novo processo incluído o novo procedimento de acompanhamento da produção o fabricante foi capaz de embarcar ferramentas 100 dentro do prazo A economia de custo foi de mais de US300000 a cada trimestre Igualmente importante o cliente ficou satisfeito e continuou confiante na capacidade do fabricante Melhorando a Qualidade do Serviço em um Banco Kovach 2007 descreve como o processo DMAMC pode ser usado para melhorar a qualidade do serviço para um processo bancário Durante as fases Definir e Medir deste projeto a equipe identificou vários pontos CPQs a serem melhorados Velocidade do serviço Serviço consistente 3 4 5 21 22 23 24 25 Processo de uso fácil Ambiente agradável Equipe versada Havia muitos fatores que poderiam ser investigados para melhorar esses CPQs A equipe decidiu focar em duas áreas de melhoria melhoria dos guichês e locais de trabalho dos clientes e novo treinamento para o pessoal No estágio Melhorar eles decidiram usar um experimento planejado para investigar os efeitos desses dois fatores sobre os CPQs Quatro agências diferentes foram selecionadas para a condução do experimento Note que esse é um experimento físico não um experimento com um modelo de simulação por computador das operações das agências Novos guichês e novos espaços para os clientes foram planejados e instalados em duas das agências A equipe planejou um novo programa de treinamento e o entregou ao pessoal em duas das agências uma com os novos espaços para clientes e uma sem as novas facilidades Esse foi um experimento fatorial de dois fatores em que cada um dos dois fatores tinha dois níveis Discutiremos esses tipos de experimentos extensamente neste livro A equipe decidiu realizar o experimento durante 30 dias de trabalho Cada dia foi considerado como um bloco como discutiremos em capítulos posteriores bloqueamento é uma técnica para a eliminação de efeitos de fatores de perturbação sobre os resultados experimentais aqui os fatores de perturbação eram os tipos de transação volumes e clientes diferentes em cada uma das quatro agências O dado de resposta foi obtido pedindose aos clientes que preenchessem um instrumento de pesquisa que registrava seu grau de satisfação com os CPQs identificados anteriormente Os resultados do experimento mostraram que havia diferença estatisticamente significante nos CPQs resultantes tanto dos novos espaços quanto do novo treinamento com os melhores resultados sendo obtidos da combinação dos novos espaços de trabalho para os clientes e o novo treinamento Esperavase que a implementação dos novos espaços e do treinamento melhorasse significantemente a satisfação do cliente com o processo do banco através das agências Termos e Conceitos Importantes Análise de modos e efeitos de falhas AMEF Carta de intenções do projeto Diagrama SIPOC DMAMC Passo Analisar Passo Controlar Passo Definir Passo Medir Passo Melhorar Planejamento para Seis Sigma PPSS Ponto de verificação Seis Sigma Variáveischave de entrada do processo VCEP Variáveischave de saída do processo VCSP Exercícios e Questões para Discussão Discuta as similaridades entre o ciclo Shewhart e DMAMC Qual é o papel desempenhado pelo risco na seleção de projeto e no passo Definir do DMAMC Suponha que um projeto vá gerar USA por ano em economia ou lucro aumentado durante um período de x anos O custo projetado da conclusão do projeto é USC Quais métodos seriam apropriados para a justificativa desse projeto em termos econômicos Descreva um sistema de serviço que você usa Quais são os CPQs importantes para você Como você acha que o DMAMC poderia ser aplicado a esse processo Um dos objetivos do plano de controle no DMAMC é manter o ganho O que isso significa 26 27 28 29 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 Existe um ponto a partir do qual mais melhoria da qualidade e da produtividade não seja economicamente aconselhável Discuta sua resposta Explique a importância dos pontos de verificação no processo DMAMC Uma parte importante de um projeto é a identificação das variáveischave de entrada do processo VCEP e das variáveischave de saída do processo VCSP Suponha que você seja o donogerente de um pequeno negócio que fornece caixas postais serviços de cópia e serviços de correio Discuta as VCEP e as VCSP para esse negócio Como elas se relacionam com as possíveis CPQs do cliente Uma parte importante de um projeto é a identificação das variáveischave de entrada do processo VCEP e das variáveischave de saída do processo VCSP Suponha que você esteja encarregado da sala de emergência de um hospital Discuta as VCEP e as VCSP para esse negócio Como elas se relacionam com as possíveis CPQs do cliente Por que os experimentos planejados são os mais úteis no passo Melhorar do DMAMC Suponha que seu negócio esteja operando no nível de qualidade de Três Sigma Se projetos têm uma taxa média de melhoria de 50 anualmente quantos anos serão necessários para se atingir a qualidade Seis Sigma Suponha que seu negócio esteja operando no nível de qualidade de 45 Sigma Se projetos têm uma taxa de melhoria média de 50 ao ano quantos anos serão necessários para se atingir a qualidade Seis Sigma Explique por que é importante separaremse as fontes de variabilidade em causas especiais ou atribuíveis e causas comuns ou do acaso Considere a melhoria da qualidade do serviço de um restaurante Quais as VCEP e as VCSP que você consideraria Como elas provavelmente se relacionam com as CPQs do cliente Suponha que durante a fase de análise se descubra uma solução óbvia Tal solução deve ser imediatamente implementada e os demais passos do DMAMC abandonados Discuta sua resposta Qual informação você deve coletar para a construção de um modelo de simulação de evento discreto de uma operação financeira de uma agência bancária Discuta como esse modelo poderia ser usado para a determinação dos níveis apropriados de pessoal para o banco Suponha que você gerencie um sistema de reservas de uma companhia aérea e deseje melhorar a qualidade do serviço Quais são as CPQs importantes para esse processo Quais são as VCEP e as VCSP Como elas se relacionam com as CPQs do cliente que você identificou Estimouse que as aterrissagens seguras de aviões de carreira são feitas no nível de 5σ Qual nível de ppm de defeituosos isso implica Discuta por que em geral a determinação do que medir e como fazer as medições é mais difícil em processos de serviço e negócios de transação do que na manufatura Suponha que você deseje melhorar o processo de lotação de passageiros em uma aeronave Um modelo de simulação de evento discreto desse processo seria útil Quais dados deveriam ser coletados para a construção desse modelo Estatística é um conjunto de técnicas úteis para a tomada de decisão sobre um processo ou população baseada na análise da informação contida em uma amostra desta população Métodos estatísticos desempenham papel fundamental no controle e na melhoria da qualidade Eles fornecem os principais meios pelos quais produtos são amostrados testados e avaliados e a informação contida nesses dados é usada para o controle e melhoria do processo e do produto Além disso estatística é a linguagem através da qual engenheiros operários compradores administradores e outros integrantes da empresa se comunicam sobre qualidade Esta parte contém dois capítulos O Capítulo 3 apresenta uma breve introdução à estatística descritiva mostrando como técnicas gráficas e numéricas simples podem ser usadas para resumir a informação nos dados amostrais O uso das distribuições de probabilidade para modelar o comportamento dos parâmetros do produto em um processo ou lote é discutido em seguida O Capítulo 4 apresenta as técnicas de inferência estatística isto é como a informação contida em uma amostra pode ser usada para se tirarem conclusões sobre a população da qual a amostra foi extraída 31 311 312 313 314 315 32 321 322 323 324 33 331 332 333 334 335 34 341 342 35 351 352 353 354 MS31 MS32 MS33 MS34 MS35 MS36 MS37 ESQUEMA DO CAPÍTULO DESCREVENDO A VARIAÇÃO O Diagrama de RamoeFolhas O Histograma Resumo Numérico dos Dados O Diagrama de Caixa Distribuições de Probabilidade DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS IMPORTANTES A Distribuição Hipergeométrica A Distribuição Binomial A Distribuição de Poisson As Distribuições Geométrica e Binomial Negativa DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS IMPORTANTES A Distribuição Normal A Distribuição Lognormal A Distribuição Exponencial A Distribuição Gama A Distribuição de Weibull GRÁFICOS DE PROBABILIDADE Gráficos de Probabilidade Normal Outros Gráficos de Probabilidade ALGUMAS APROXIMAÇÕES ÚTEIS A Aproximação Binomial para a Hipergeométrica A Aproximação Poisson para a Binomial A Aproximação Normal para a Binomial Comentários sobre as Aproximações Material Suplementar para o Capítulo 3 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES DESENVOLVIMENTO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON A MÉDIA E A VARIÂNCIA DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL MAIS SOBRE A DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL MAIS SOBRE A DISTRIBUIÇÃO GAMA A TAXA DE FALHA PARA A DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL A TAXA DE FALHA PARA A DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 31 311 VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Este livro trata do uso da metodologia estatística no controle e aprimoramento da qualidade Este capítulo tem dois objetivos Primeiro vamos mostrar como ferramentas simples de estatística descritiva podem ser usadas para se expressar quantitativamente a variação em uma característica da qualidade quando está disponível uma amostra dos dados sobre esta característica Em termos gerais uma amostra é um subconjunto de dados selecionado de um processo ou população maior O segundo objetivo é introduzir as distribuições de probabilidade e mostrar como elas fornecem meios para modelagem ou descrição das características da qualidade de um processo Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Construir e interpretar apresentações visuais de dados incluindo o diagrama de ramoefolhas o histograma e o diagrama de caixa Calcular e interpretar a média amostral a variância amostral o desviopadrão amostral e a amplitude amostral Explicar os conceitos de uma variável aleatória e de uma distribuição de probabilidade Compreender e interpretar a média a variância e o desviopadrão de uma distribuição de probabilidade Determinar probabilidades a partir de distribuições de probabilidade Compreender os pressupostos para cada uma das distribuições discretas de probabilidade Compreender os pressupostos de cada uma das distribuições contínuas de probabilidade Selecionar uma distribuição de probabilidade apropriada para usar em aplicações específicas Usar gráficos de probabilidade Usar aproximações para algumas distribuições hipergeométricas e binomiais Descrevendo a Variação O Diagrama de RamoeFolhas Duas unidades produzidas por um processo de fabricação nunca são idênticas Alguma variação é inevitável Como exemplos o conteúdo líquido de uma lata de refrigerante varia ligeiramente de uma lata para outra e a tensão de saída de uma fonte de energia não é a mesma de uma unidade produzida para outra Analogamente duas atividades de serviço nunca são idênticas Haverá diferenças no desempenho de cliente para cliente ao longo do tempo Estatística é a ciência de análise de dados e de extração de conclusões levando em conta a variação nos dados Há vários métodos gráficos que são úteis para o resumo e apresentação de dados Um dos gráficos mais úteis é o diagrama de ramoefolhas Suponha que os dados sejam representados por x1 x2 xn e que cada número xi consista em pelo menos dois dígitos Para a construção de um ramoefolhas dividimos cada número xiem duas partes um ramo formado por um ou mais dígitos iniciais e uma folha formada pelo dígito restante Por exemplo se os dados representam percentuais variando de 0 a 100 de peças defeituosas em lotes de semicondutores então podemos dividir o valor 76 no ramo 7 e na folha 6 Em geral devemos escolher relativamente poucos ramos em comparação com o número de observações normalmente entre 5 e 20 ramos Escolhido o conjunto de ramos eles são listados à esquerda de uma margem no desenho e ao lado de cada ramo todas as folhas correspondentes aos valores dos dados observados são listadas na ordem de ocorrência no conjunto de dados EXEMPLO 31 Reivindicações sobre Seguro de Saúde Os dados na Tabela 31 são uma amostra dos tempos de ciclo em dias para o processamento e pagamento de reivindicações de seguro de saúde feitas por empregados em uma grande companhia Construa um ramoefolhas para os dados SOLUÇÃO Para a construção do ramoefolhas poderíamos selecionar os valores 1 2 3 4 e 5 como ramos No entanto isso resultaria em todos os valores sendo compactados em apenas cinco ramos o número mínimo recomendado Uma alternativa seria a divisão de cada ramo em uma metade inferior e uma metade superior com as folhas 04 associadas à porção inferior do ramo e as folhas 59 associadas à porção superior A Figura 31 é o ramoefolhas gerado pelo Minitab e usa a estratégia da divisão dos ramos A coluna à esquerda dos ramos fornece uma contagem acumulada do número de observações naquele valor ou abaixo dele para os ramos menores e naquele valor ou acima dele para os ramos maiores Para o ramo do meio o valor entre parênteses indica o número de observações daquele ramo Uma inspeção do gráfico revela que a distribuição do número de dias necessários para o processamento e o pagamento de reivindicações de seguro de saúde tem uma forma aproximadamente simétrica com um único pico A apresentação ramoefolhas nos permite determinar rapidamente algumas características importantes dos dados que não são óbvias a partir da tabela Por exemplo a Figura 31 dá uma impressão visual da forma dispersão ou variabilidade e da tendência central ou meio dos dados que está próximo de 35 TABELA 31 Tempo de Ciclo em Dias para o Pagamento de Reivindicações de SeguroSaúde por Empregados Reclamação Dias 1 48 2 41 3 35 4 36 5 37 6 26 7 36 8 46 9 35 10 47 11 35 12 34 13 36 14 42 15 43 16 36 17 56 18 32 19 46 20 30 21 37 22 43 23 17 24 26 25 28 26 27 27 45 28 33 29 22 30 27 31 16 32 22 33 33 34 30 35 24 36 23 37 22 38 30 39 31 40 17 FIGURA 31 Diagrama de ramoefolhas para os dados de reivindicações de segurosaúde A versão do diagrama de ramoefolhas do Minitab é algumas vezes chamada de um diagrama de ramoefolhas ordenado porque tem suas folhas organizadas por ordem de grandeza Esta versão do gráfico facilita a obtenção dos percentis dos dados Em geral o 100 ko percentil é um valor tal que pelo menos 100 k dos dados são iguais ou inferiores a este valor e pelo menos 100 1 k dos dados são iguais ou superiores a este valor 312 O quinquagésimo percentil da distribuição dos dados é chamado de mediana amostral A mediana pode ser pensada como o valor que divide a amostra ao meio com metade das observações sendo menor que a mediana e a outra metade maior Se n o número de observações é ímpar é fácil acharse a mediana Primeiro ordene as observações em ordem crescente ou atribua postos aos dados do menor para o maior Então a mediana será a observação cujo posto é n 12 1 na lista Se n é par a mediana é a média da n2a e da n2 1a observações na lista ordenada Como no nosso exemplo n 40 é um número par a mediana é a média das observações de postos 20 e 21 ou O décimo percentil é a observação com posto 0140 05 45 no meio da quarta e da quinta observações ou 22 222 22 O primeiro quartil é a observação com posto 02540 05 105 no meio da décima e da décima primeira observações ou 26 272 265 e o terceiro quartil é a observação com posto 07540 05 305 no meio da trigésima e da trigésima primeira observações ou 37 412 39 O primeiro e terceiro quartis são ocasionalmente representados pelos símbolos Q1 e Q3 respectivamente e a amplitude interquartil AIQ Q3 Q1 é às vezes usada como medida de variabilidade Para os dados de reivindicações de seguro a amplitude interquartil é AIQ Q3 Q1 39 265 125 Finalmente embora o ramoefolhas seja uma excelente forma de se visualizar a variabilidade nos dados ele não leva em conta a ordem temporal das observações O tempo é muitas vezes um importante fator que contribui para a variabilidade nos problemas de melhoria da qualidade Nós poderíamos simplesmente plotar os valores dos dados versus o tempo tal gráfico é chamado de gráfico de série temporal ou gráfico de linha ou sequencial Suponha que o tempo de ciclo para o processamento e pagamento de reivindicações de segurosaúde na Tabela 31 seja mostrado em forma de sequência temporal A Figura 32 mostra o gráfico de série temporal dos dados Usamos o Minitab para a construção desse gráfico chamado de gráfico marginal e pedimos a construção de um gráfico de pontos dos dados na margem do eixo y Essa apresentação indica claramente que o tempo é uma fonte importante de variabilidade nesse processo Mais especificamente o tempo de ciclo do processamento para as primeiras 20 reivindicações é substancialmente mais longo do que o tempo de ciclo para as 20 últimas reivindicações Alguma coisa deve ter sido alterada no processo ou deve ter sido intencionalmente mudada pelo pessoal de operação que é responsável pela melhoria aparente no tempo de ciclo Mais adiante neste livro introduziremos formalmente o gráfico de controle como uma técnica gráfica para o monitoramento de processos como este e para se produzir um sinal com bases estatísticas quando ocorrerem mudanças no processo FIGURA 32 Um gráfico de série temporal dos dados de segurosaúde na Tabela 31 O Histograma Um histograma é um resumo dos dados mais compacto do que um ramoefolhas Para a construção de um histograma para dados contínuos devemos dividir a amplitude dos dados em intervalos que são usualmente chamados de intervalos de classe células ou caixas Se possível as classes devem ser de igual largura para realçar a informação visual no histograma É necessário algum julgamento para a seleção do número de classes de modo que seja desenvolvida uma apresentação razoável O número de classes depende do número de observações e da quantidade do espalhamento ou dispersão nos dados Um histograma que use muito poucas ou muitas classes não será informativo Usualmente considerase que de 5 a 20 classes seja um número satisfatório na maioria dos casos e que o número de classes deva aumentar com n A escolha do número de classes como a raiz quadrada do número de observações em geral funciona bem na prática1 Uma vez determinados o número de classes e os limites superior e inferior de cada classe os dados são ordenados nas classes e é feita uma contagem do número de observações em cada classe Para a construção do histograma use o eixo horizontal para representar a escala de medida para os dados e o eixo vertical para representar as contagens ou frequências Algumas vezes as frequências em cada classe são divididas pelo número total de observações n e então a escala vertical do histograma representa as frequências relativas Sobre cada classe constróise um retângulo e a altura de cada retângulo é proporcional à frequência ou frequência relativa A maioria dos pacotes estatísticos constrói histogramas EXEMPLO 32 Espessura do Metal em Placas de Silício A Tabela 32 apresenta a espessura de uma camada de metal sobre 100 placas de silício resultante de um processo de depósito de vapor químico DVQ em uma indústria de semicondutores Construa um histograma para esses dados TABELA 32 Espessura da camada Å sobre Pastilhas de Semicondutores 438 450 487 451 452 441 444 461 432 471 413 450 430 437 465 444 471 453 431 458 444 450 446 444 466 458 471 452 455 445 468 459 450 453 473 454 458 438 447 463 445 466 456 434 471 437 459 445 454 423 472 470 433 454 464 443 449 435 435 451 474 457 455 448 478 465 462 454 425 440 454 441 459 435 446 435 460 428 449 442 455 450 423 432 459 444 445 454 449 441 449 445 455 441 464 457 437 434 452 439 SOLUÇÃO Como o conjunto de dados contém 100 observações e suspeitamos que cerca de 10 classes darão um histograma satisfatório Construímos o histograma usando a opção do Minitab que permite que se especifique o número de classes O histograma do Minitab resultante é mostrado na Figura 33 Note que o ponto médio da primeira classe é 415Å e que o histograma tem apenas oito classes que contêm uma frequência não nula Um histograma como um ramoefolhas dá uma impressão visual da forma da distribuição das medidas bem como alguma informação sobre a variabilidade inerente aos dados Note a distribuição razoavelmente simétrica ou em forma de sino dos dados da espessura do metal FIGURA 33 Histograma do Minitab para os dados de espessura da camada de metal na Tabela 32 A maioria dos pacotes computacionais tem um default para o número de classes A Figura 34 é o histograma do Minitab obtido com o número default que leva a um histograma de 15 classes Os histogramas podem ser relativamente sensíveis à escolha do número e largura das classes Para pequenos conjuntos de dados os histogramas podem mudar consideravelmente sua aparência se o número eou largura das classes forem alterados Por isso consideramos o histograma como uma técnica mais apropriada para grandes conjuntos de dados que contenham digamos de 75 a 100 observações Como o número de observações sobre a espessura de camadas é moderadamente grande n 100 a escolha do número de classes não é especialmente importante e os histogramas nas Figuras 33 e 34 transmitem informação muito semelhante Note que ao passarmos dos dados originais ou de um diagrama de ramoefolhas para um histograma temos a sensação de perdermos alguma informação porque as observações originais não são preservadas na apresentação No entanto essa perda na informação é usualmente pequena em comparação com a concisão e facilidade de interpretação do histograma particularmente em grandes amostras Os histogramas são sempre de mais fácil interpretação se as classes tiverem larguras iguais Se esse não for o caso costumase desenhar retângulos cujas áreas e não as alturas sejam proporcionais ao número de observações na classe A Figura 35 mostra uma variação do histograma disponível no Minitab isto é o gráfico de frequência acumulada Nesse gráfico a altura de cada barra representa o número de observações que são menores do que ou iguais ao limite superior da classe Frequências acumuladas são comumente muito úteis na interpretação dos dados Por exemplo podemos ler diretamente da Figura 35 que cerca de 75 das 100 pastilhas têm uma espessura da camada de metal menor do que 460Å Distribuições de frequência e histogramas também podem ser usados com dados qualitativos categóricos ou de contagem discretos Em algumas aplicações haverá uma ordenação natural das categorias como calouro segundanista terceiranista e de último ano enquanto em outras a ordem das categorias será arbitrária tais como masculino e feminino Ao se usarem dados categóricos as barras devem ser desenhadas com igual largura Para a construção de um histograma para dados discretos ou de contagem determine primeiro a frequência ou frequência relativa para cada valor de x Cada um dos valores de x corresponde a uma classe O histograma é feito marcandose as frequências ou frequências relativas na escala vertical e os valores de x na escala horizontal Então acima de cada valor de x desenhe um retângulo cuja altura seja a frequência ou frequência relativa correspondente àquele valor 313 FIGURA 34 Histograma do Minitab com 15 classes para os dados de espessura da camada de metal Resumo Numérico dos Dados O diagrama de ramoefolhas e o histograma fornecem uma apresentação visual das três propriedades dos dados amostrais a forma da distribuição dos dados a tendência central nos dados e o espalhamento ou dispersão dos dados É também útil o uso de medidas numéricas de tendência central e de dispersão FIGURA 35 Um gráfico de frequência acumulada do Minitab para os dados da espessura da camada de metal Suponha que x1 x2 xn sejam as observações em uma amostra A medida de tendência central mais importante é a média amostral EXEMPLO 33 Defeitos em Capotas de Automóveis A Tabela 33 apresenta o número de defeitos de acabamento de superfície na pintura de primer por inspeção visual de capotas de automóveis que foram pintadas por um novo processo experimental de pintura Construa um histograma para esses dados TABELA 33 Defeitos de Acabamento de Superfície em Capotas de Automóveis Pintadas 6 1 5 7 8 6 0 2 4 2 5 2 4 4 1 4 1 7 2 3 4 3 3 3 6 3 2 3 4 5 5 2 3 4 4 4 2 3 5 7 5 4 5 5 4 5 3 3 3 12 SOLUÇÃO A Figura 36 é o histograma dos defeitos Note que o número de defeitos é uma variável discreta Tanto pelo histograma quanto pelos dados tabulados podemos determinar Proporção de capotas com pelo menos 3 defeitos e Proporção de capotas com com número de defeitos entre 0 e 2 Essas proporções são exemplos de frequências relativas FIGURA 36 Histograma do número de defeitos em capotas de automóveis pintadas Tabela 33 Note que a média amostral é simplesmente a média aritmética das n observações A média amostral para os dados de espessura na Tabela 32 é Consulte a Figura 33 e note que a média amostral é o ponto exatamente no qual o histograma se equilibra Então a média amostral corresponde ao centro de massa dos dados da amostra A variabilidade nos dados amostrais é medida pela variância amostral Note que a variância amostral é simplesmente a soma dos quadrados dos desvios de cada observação em relação à média amostral dividida pelo tamanho da amostra menos um Se não há variabilidade na amostra então cada observação xi e a variância amostral é s2 0 Em geral quanto maior a variância amostral s2 maior a variabilidade nos dados da amostra A unidade da variância amostral s2 é o quadrado da unidade original dos dados Muitas vezes isso é inconveniente e de difícil interpretação e assim nós usualmente preferimos usar a raiz quadrada de s2 chamada de desviopadrão amostral s como uma medida de variabilidade Resulta que A principal vantagem do desviopadrão amostral é que ele é expresso na unidade de medida original Para os dados da espessura do metal temos que s2 1802928Å2 e s 1343Å Para auxiliar a compreender como o desviopadrão descreve a variabilidade considere as duas amostras exibidas a seguir Amostra 1 Amostra 2 x1 1 x1 1 x2 3 x2 5 x3 5 x3 9 3 5 Obviamente a amostra 2 tem uma variabilidade maior que a amostra 1 Isso se reflete no desviopadrão o qual para a amostra 1 é e para a amostra 2 é Então a maior variabilidade na amostra 2 é refletida pelo seu maior desviopadrão Agora considere uma terceira amostra por exemplo Amostra 3 314 x1 101 x2 103 x3 105 103 Note que a amostra 3 foi obtida da amostra 1 pela adição de 100 a cada observação O desviopadrão desta terceira amostra é s 2 idêntico ao desviopadrão da amostra 1 Comparando as duas amostras vêse que ambas têm a mesma variabilidade ou espalhamento em torno da média e é por isso que elas têm o mesmo desviopadrão Isso leva a um ponto importante O desviopadrão não reflete a magnitude dos dados amostrais reflete apenas a dispersão em torno da média Calculadoras portáteis são frequentemente utilizadas para o cálculo da média e do desviopadrão amostral Note que as equações 32 e 33 não são muito eficientes em termos computacionais porque todo número tem que ser introduzido duas vezes na máquina Uma fórmula mais eficiente é Com a equação 34 cada número pode ser introduzido apenas uma vez desde que possam ser acumulados simultaneamente na calculadora Várias calculadoras não muito caras têm essa função e calculam e s automaticamente O Diagrama de Caixa O diagrama de ramoefolhas e o histograma fornecem uma impressão visual sobre um conjunto de dados enquanto a média e o desviopadrão amostral fornecem informação quantitativa sobre aspectos específicos dos dados O diagrama de caixa em inglês box plot é um gráfico que exibe simultaneamente vários aspectos importantes dos dados tais como tendência central ou posição dispersão ou variabilidade afastamento da simetria e identificação de observações muito afastadas da maior parte dos dados essas observações são muitas vezes chamadas de valores atípicos ou em inglês outliers Um diagrama de caixa exibe os três quartis os valores mínimo e máximo dos dados em uma caixa retangular alinhada vertical ou horizontalmente A caixa cobre o intervalo interquartil com a linha esquerda ou inferior posicionada no primeiro quartil Q1 e a linha direita ou superior posicionada no terceiro quartil Q3 Uma linha é traçada ao longo da caixa na posição do segundo quartil que é o quinquagésimo percentil ou a mediana Q2 Em ambos os extremos da caixa uma linha se estende até os valores extremos Essas linhas são às vezes chamadas de bigodes em inglês whiskers Alguns autores se referem ao diagrama de caixa como diagrama de caixa e bigode Em alguns programas computacionais os bigodes se estendem até uma distância de no máximo 15 Q3 Q1 a partir dos limites da caixa e as observações além desses limites são marcadas como potenciais observações atípicas Essa variação do procedimento básico é chamada de diagrama de caixa modificado EXEMPLO 34 Diâmetro de Orifícios Os dados da Tabela 34 são diâmetros em mm de orifícios em um conjunto de 12 nervuras do bordo de ataque da asa para um avião de transporte comercial Construa e interprete o diagrama de caixas desses dados 315 TABELA 34 Diâmetros de Orifícios em mm de Nervuras do Bordo de Ataque da Asa 1205 1204 1207 1209 1202 1211 1203 1201 1209 1213 1205 1208 SOLUÇÃO O diagrama de caixa é apresentado na Figura 37 Note que a mediana dos dados está a meio caminho entre a sexta e sétima observações ordenadas ou 1205 12072 1206 e os quartis são Q1 12035 e Q3 1209 O diagrama de caixa mostra que a distribuição dos diâmetros dos orifícios não é exatamente simétrica em torno de um valor central porque as linhas bigodes esquerda e direita e as partes da caixa à direita e à esquerda da mediana não têm o mesmo comprimento FIGURA 37 Diagrama de caixa para os dados da Tabela 34 sobre os diâmetros de orifícios nas nervuras do bordo de ataque da asa Os diagramas de caixa são muito úteis para a comparação gráfica entre conjuntos de dados uma vez que eles têm um forte impacto visual e são de fácil compreensão Por exemplo a Figura 38 exibe diagramas de caixa comparativos para um índice da qualidade para produtos de três fábricas A inspeção deste gráfico mostra que há muita variabilidade na fábrica 2 e que as fábricas 2 e 3 precisam melhorar seu desempenho Distribuições de Probabilidade O histograma ou ramoefolhas ou diagrama de caixa é usado para a descrição de dados amostrais Uma amostra é um conjunto de medidas selecionado de uma fonte ou população maior Por exemplo as medidas da espessura da camada na Tabela 32 são obtidas de uma amostra de placas selecionadas de um processo de manufatura Nesse exemplo a população é a coleção de todas as espessuras de camadas produzidas por esse processo Com o uso de métodos estatísticos poderemos analisar a amostra de dados de espessura de camada e tirar conclusões sobre o processo que produz as placas Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a probabilidade de ocorrência daquele valor na população Em outras palavras podemos visualizar a espessura da camada como uma variável aleatória porque ela assume diferentes valores na população de acordo com algum mecanismo aleatório e assim a distribuição de probabilidade da espessura da camada descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer valor dessa espessura na população Há dois tipos de distribuição de probabilidade 1 2 FIGURA 38 Diagramas de caixa comparativos do índice da qualidade para itens produzidos em três fábricas FIGURA 39 Distribuições de probabilidade a Caso discreto b Caso contínuo Definição Distribuições contínuas Quando a variável que está sendo medida é expressa em uma escala contínua sua distribuição de probabilidade é chamada de distribuição contínua A distribuição de probabilidade da espessura da camada de metal é contínua Distribuições discretas Quando o parâmetro que está sendo medido só pode assumir certos valores tais como os inteiros 0 1 2 a distribuição de probabilidade é chamada de distribuição discreta Por exemplo a distribuição do número de defeitos ou não conformidades em placas de circuito impresso seria uma variável discreta Exemplos de distribuições de probabilidade discreta e contínua são apresentados nas Figuras 39a e 39b respectivamente A aparência de uma distribuição discreta é a de uma série de espigões verticais com a altura de cada espigão sendo proporcional à probabilidade A probabilidade de uma variável aleatória x assumir o valor xi é indicada por Px xi pxi A aparência de uma distribuição contínua é a de uma curva suave com a área sob a curva sendo igual à probabilidade de modo que a probabilidade de x estar no intervalo entre a e b é escrita como EXEMPLO 35 Uma Distribuição Discreta Um processo de manufatura produz milhares de chips de semicondutores por dia Em média 1 destes chips está fora das especificações A cada hora um inspetor seleciona uma amostra aleatória de 25 chips e classifica cada chip na amostra como conforme ou não conforme Denotando por x a variável aleatória que representa o número de chips não conformes na amostra então a distribuição de probabilidade de x é em que Esta é uma distribuição discreta uma vez que o número observado de não conformidades é x 0 1 2 25 e é chamada de distribuição binomial A probabilidade de se encontrar no máximo uma peça fora das especificações na amostra é calculada como EXEMPLO 36 Uma Distribuição Contínua Suponha que x seja uma variável aleatória que representa o conteúdo real em onças de um pacote de café de 1 libra 16 onças ou 04536 kg Assumese que a distribuição de x seja Esta é uma distribuição contínua uma vez que o domínio de x é o intervalo 155 170 Essa distribuição é chamada de distribuição uniforme e é exibida graficamente na Figura 310 Note que a área sob a curva da função fx corresponde à probabilidade de modo que a probabilidade de um pacote conter menos de 16 onças é Este resultado segue intuitivamente da inspeção da Figura 310 FIGURA 310 A distribuição uniforme para o Exemplo 36 Nas Seções 32 e 33 iremos apresentar várias distribuições discretas e contínuas de grande utilidade A média µ de uma distribuição de probabilidade é uma medida da tendência central da distribuição ou da sua posição A média é definida como Para o caso de uma variável aleatória discreta com N valores igualmente prováveis isto é pxi 1N a equação 35b se reduz a Note a semelhança desta última expressão com a média amostral definida na equação 31 A média é o ponto no qual a distribuição se equilibra perfeitamente veja a Fig 311 Então a média é simplesmente o centro de massa da distribuição de probabilidade Note na Figura 311b que a média não é necessariamente o quinquagésimo percentil da distribuição a mediana e na Figura 311c que ela não é necessariamente o valor mais provável da variável o qual é chamado de moda A média simplesmente determina a posição da distribuição como mostrado na Figura 312 A dispersão espalhamento ou variabilidade na distribuição é expressa pela variância σ2 A definição de variância é Quando a variável aleatória é discreta com N valores igualmente prováveis então a equação 36b se torna e podemos observar que neste caso a variância é a média dos quadrados das distâncias de cada elemento da população à média Note a semelhança com a variância amostral s2 definida na equação 32 Se σ2 0 não há variabilidade na população À medida que a variabilidade aumenta a variância σ2 também aumenta A variância é expressa no quadrado da 32 321 unidade da variável original Por exemplo se estamos medindo voltagens a unidade da variância é volts2 Assim é costume utilizar a raiz quadrada da variância chamada de desviopadrão σ Segue que O desviopadrão é uma medida de dispersão ou espalhamento da população expressa na unidade original Duas distribuições com a mesma média e diferentes desviospadrão são exibidas na Figura 313 FIGURA 311 A média de uma distribuição FIGURA 312 Duas distribuições de probabilidade com médias diferentes FIGURA 313 Duas distribuições de probabilidade com mesma média e desviospadrão diferentes Distribuições Discretas Importantes Várias distribuições discretas surgem frequentemente no controle estatístico da qualidade Nesta seção vamos apresentar a distribuição hipergeométrica a distribuição binomial a distribuição de Poisson e as distribuições binomial negativa e geométrica A Distribuição Hipergeométrica Considere uma população finita composta de N itens Algum número digamos D D N destes itens pertence a uma determinada classe de interesse Uma amostra aleatória de n itens é retirada da população sem reposição e o número de itens na amostra que se situa na classe de interesse digamos x é observado Então x é uma variável aleatória hipergeométrica com distribuição de probabilidade definida como segue Definição A distribuição de probabilidade hipergeométrica é A média e a variância da distribuição são e Na definição anterior a quantidade é o número de combinações de a itens escolhidos b de cada vez A distribuição hipergeométrica é o modelo probabilístico apropriado para a seleção sem reposição de uma amostra de n itens de um lote de N itens dos quais D são defeituosos ou não conformes Por amostra aleatória queremos caracterizar uma amostra que é selecionada de tal forma que todas as possíveis amostras tenham a mesma chance de serem escolhidas Nestas aplicações x usualmente representa o número de itens não conformes encontrados na amostra Por exemplo suponha que um lote contém 100 itens dos quais 5 não satisfazem os requisitos Se 10 itens são selecionados aleatoriamente sem reposição então a probabilidade de se obter no máximo um item não conforme é No Capítulo 15 iremos mostrar como modelos probabilísticos como esse podem ser usados para o planejamento de procedimentos de amostragem de aceitação Alguns programas de computador podem realizar esses cálculos A apresentação a seguir é a saída do Minitab para o cálculo de probabilidades hipergeométricas acumuladas com N 100 D 5 note que o Minitab usa o símbolo M em vez de D e n 10 O Minitab também calculará as probabilidades individuais para cada valor de x Função de Distribuição Acumulada 322 A Distribuição Binomial Considere um processo que consiste em uma sequência de n provas independentes Por provas independentes queremos dizer que o resultado de cada prova não depende de qualquer maneira dos resultados das provas anteriores Quando o resultado de cada prova é ou sucesso ou fracasso as provas são chamadas de provas de Bernoulli Se a probabilidade de sucesso em qualquer prova digamos p é constante então o número de sucessos x em n provas de Bernoulli tem distribuição binomial com parâmetros n e p definida como se segue Definição A distribuição binomial com parâmetros n 0 e 0 p 1 é A média e a variância da distribuição binomial são e A distribuição binomial é usada frequentemente na engenharia da qualidade Ela é o modelo probabilístico apropriado para amostragem de uma população infinitamente grande em que p representa a fração de itens defeituosos ou não conformes na população Nessas aplicações x usualmente representa o número de itens não conformes em uma amostra de tamanho n Por exemplo se p 010 e n 15 então a probabilidade de se obterem x itens não conformes é calculada a partir da equação 311 como Função Densidade de Probabilidade 323 Usouse o Minitab para a realização desses cálculos Note que para todos os valores de x tais que 10 x 15 a probabilidade de se encontrarem x sucessos em 15 tentativas é zero Diferentes distribuições binomiais são exibidas na Figura 314 em que suas formas são típicas de todas as distribuições binomiais Para um n fixo a distribuição se torna mais simétrica à medida que p cresce de 0 para 05 ou decresce de 1 para 05 Para um p fixo a distribuição se torna mais simétrica à medida que n aumenta Uma variável aleatória que aparece frequentemente no controle estatístico da qualidade é em que x tem distribuição binomial com parâmetros n e p Muitas vezes é a razão do número observado de itens defeituosos ou fora das especificações em uma amostra x para o tamanho da amostra n e é usualmente chamado de fração amostral de defeituosos ou fração amostral de não conformes O símbolo é usado para indicar que é uma estimativa do verdadeiro e desconhecido valor do parâmetro binomial p A distribuição de probabilidade de é obtida a partir da binomial uma vez que em que na denota o maior inteiro menor ou igual a na É fácil de se mostrar que a média de é p e a variância de é A Distribuição de Poisson Uma distribuição bastante útil no controle estatístico da qualidade é a distribuição de Poisson definida como se segue Definição A distribuição de Poisson é com parâmetro λ 0 A média e a variância da distribuição de Poisson são e Note que a média e a variância da distribuição de Poisson são ambas iguais ao parâmetro λ Uma aplicação típica da distribuição de Poisson no controle de qualidade é como modelo do número de defeitos ou não conformidades por unidade de produto De fato qualquer fenômeno aleatório que ocorre em base unitária por unidade de área por unidade de volume por unidade de tempo etc é frequentemente bem aproximado pela distribuição de Poisson Como exemplo suponha que o número de circuitos defeituosos por unidade que ocorrem em um semicondutor tenha distribuição de Poisson com parâmetro λ 4 Então a probabilidade de um semicondutor escolhido aleatoriamente conter no máximo dois circuitos defeituosos é O Minitab pode realizar esses cálculos O uso da distribuição de Poisson com média 4 resulta no boxe Função Densidade de Probabilidade da página seguinte Diferentes distribuições de Poisson são exibidas na Figura 315 Note que a distribuição é assimétrica isto é ela tem uma longa cauda à direita À medida que o parâmetro λ aumenta a distribuição se torna mais simétrica FIGURA 314 Distribuição binomial para valores selecionados de n e p 324 FIGURA 315 Distribuição de probabilidade de Poisson para valores selecionados de λ Função Densidade de Probabilidade É possível derivar a distribuição de Poisson como uma forma limite da distribuição binomial Isto é em uma distribuição binomial com parâmetros n e p se fizermos n tender a infinito e p se aproximar de zero de tal forma que np λ se mantenha constante então a distribuição resultante é a distribuição de Poisson É possível também derivarse a distribuição de Poisson usando apenas argumentos probabilísticos Para maiores informações sobre a distribuição de Poisson veja Hines Montgomery Goldsman e Borror 2004 Montgomery e Runger 2011 e o material contido no texto suplementar As Distribuições Geométrica e Binomial Negativa A distribuição binomial negativa assim como a distribuição binomial tem sua base em provas de Bernoulli Considere uma sequência de provas independentes cada uma com probabilidade p de sucesso e seja x o número da prova na qual o résimo sucesso ocorre Então x é uma variável aleatória binomial negativa com distribuição de probabilidade definida como se segue Definição A distribuição binomial negativa é em que r 1 é um inteiro A média e a variância da distribuição binomial negativa são 33 e respectivamente A distribuição binomial negativa assim como a distribuição de Poisson é algumas vezes utilizada como modelo estatístico subjacente para vários tipos de dados de contagem tais como ocorrência de peças defeituosas em uma unidade de produção veja a Seção 731 Há uma importante dualidade entre as distribuições binomial e binomial negativa Na distribuição binomial fixase o tamanho da amostra número de provas de Bernoulli e observase o número de sucessos na distribuição binomial negativa fixase o número de sucessos e observase o tamanho da amostra número de provas de Bernoulli necessário para obtêlo Este conceito é particularmente importante em vários tipos de problemas de amostragem A distribuição binomial negativa é também chamada de distribuição de Pascal em homenagem a Blaise Pascal matemático e físico francês do século XVII Há uma variação da binomial negativa para valores reais de λ que é chamada de distribuição de Polya Um caso especial da distribuição binomial negativa surge quando r 1 quando temos então a distribuição geométrica Esta é a distribuição do número de provas de Bernoulli até o primeiro sucesso A distribuição geométrica é px 1 px 1p x 1 2 A média e a variância da distribuição geométrica são respectivamente Como a sequência de provas de Bernoulli é de provas independentes a contagem do número de provas até o próximo sucesso pode ser iniciada a partir de qualquer ponto sem alterar a probabilidade da distribuição Por exemplo suponha que estejamos examinando uma série de registros médicos à procura de informação ausente Se por exemplo 100 registros tiverem sido examinados a probabilidade de que o primeiro erro ocorra no registro de número 105 é exatamente a probabilidade de que os cinco próximos registros sejam BBBBR em que B denota bom e R denota um erro Se a probabilidade de se encontrar um registro com erro for de 005 a probabilidade de se encontrar um registro com erro no quinto registro examinado é P x 5 0954005 00407 Isso é o mesmo que a probabilidade de que o primeiro registro com erro ocorra no registro 5 Isso é chamado de propriedade de falta de memória da distribuição geométrica Essa propriedade implica em que o sistema que está sendo modelado não falha porque está se desgastando devido a fadiga ou estresse acumulado A variável aleatória binomial negativa pode ser definida como a soma de variáveis aleatórias geométricas Isto é a soma de r variáveis aleatórias geométricas cada uma com parâmetro p é uma variável aleatória binomial negativa com parâmetros p e r Distribuições Contínuas Importantes Nesta seção vamos introduzir várias distribuições contínuas que são importantes no controle estatístico da qualidade Estão incluídas a distribuição normal a distribuição lognormal a distribuição exponencial a distribuição gama e a distribuição de Weibull 331 A Distribuição Normal A distribuição normal é provavelmente a mais importante distribuição tanto na teoria quanto na prática da estatística Se x é uma variável aleatória normal então a distribuição de probabilidade de x é definida como se segue Definição A distribuição normal é A média da distribuição normal é µ µ e a variância é σ2 0 A distribuição normal é tão usada que frequentemente usamos uma notação especial x N µ σ2 para indicar que x é normalmente distribuída com média µ e variância σ2 A aparência visual de uma distribuição normal é a de uma curva simétrica unimodal em forma de sino e é exibida na Figura 316 Há uma interpretação simples do desviopadrão σ de uma distribuição normal que é ilustrada na Figura 317 Note que 6826 dos valores populacionais caem entre os limites definidos pela média mais ou menos um desviopadrão µ 1σ 9546 dos valores caem entre os limites definidos pela média mais ou menos dois desviospadrão µ 2σ e 9973 dos valores populacionais caem dentro dos limites definidos pela média mais ou menos três desviospadrão µ 3σ Então o desviopadrão mede a distância na escala horizontal associada aos limites de abrangência de 6826 9546 e 9973 É prática comum arredondar essas porcentagens para 68 95 e 997 FIGURA 316 A distribuição normal FIGURA 317 Áreas sob a curva da distribuição normal A distribuição normal acumulada é definida como a probabilidade de uma variável aleatória normal x ser menor que ou igual a algum valor a ou Esta integral não pode ser calculada em forma fechada Entretanto usando a mudança de variável o cálculo pode ser feito independentemente de µ e σ2 Isto é em que Φ ꞏ é a função de distribuição acumulada da distribuição normal padrão média 0 desviopadrão 1 Uma tabela da distribuição acumulada da normalpadrão é dada na Tabela II do Apêndice A transformação 323 é usualmente chamada de padronização porque ela converte uma variável aleatória Nµ σ2 em uma variável aleatória N0 1 Além da tabela do Apêndice muitos programas de computador podem calcular as probabilidades normais O Minitab tem essa capacidade EXEMPLO 37 Tempo para Resolver Reclamações de Clientes O tempo para que a reclamação de um cliente seja resolvida é uma característica crítica da qualidade para muitas organizações Suponha que esse tempo digamos x em uma organização financeira seja normalmente distribuído com média µ 40 horas e desviopadrão σ 2 horas denotada por x N40 22 Qual é a probabilidade de que uma reclamação de um cliente seja resolvida em menos de 35 horas SOLUÇÃO A probabilidade desejada é Px 35 Para se avaliar essa probabilidade a partir de tabelas da normal padrão padronizamos o ponto 35 e encontramos Consequentemente a probabilidade desejada é Px 35 00062 A Figura 318 mostra a probabilidade tabulada tanto para a distribuição N40 22 quanto para a distribuição normal padrão Note que a área sombreada à esquerda de 35 horas na Figura 318 representa a fração de reclamações de clientes que é resolvida em menos de 35 horas FIGURA 318 Cálculo de Px 35 para o Exemplo 37 A Tabela II do Apêndice dá apenas as probabilidades à esquerda de valores positivos de z Teremos que usar a propriedade da simetria da distribuição normal para calcular probabilidades Especificamente note que e É recomendável na solução de problemas desenhar um gráfico da distribuição como na Figura 318 EXEMPLO 38 Diâmetros de Hastes O diâmetro de uma haste de metal usada em uma unidade de disco é normalmente distribuído com média 02508 in 637032 mm e desviopadrão 00005 in 00127 mm As especificações sobre a haste foram estabelecidas como 02500 00015 in 635 00381 mm Qual é a fração das hastes produzidas que satisfaz as especificações SOLUÇÃO A distribuição normal adequada é exibida na Figura 319 Note que FIGURA 319 Distribuição dos diâmetros de hastes Exemplo 38 Então podemos esperar que o aproveitamento do processo seja de aproximadamente 9192 isto é cerca de 9192 das hastes são produzidas de acordo com as especificações Note que quase todas as hastes fora das especificações são muito grandes porque a média do processo está muito próxima do limite superior de especificação Suponha que o processo possa ser recentralizado talvez com um ajuste na máquina de modo que a média do processo seja exatamente igual ao valor nominal de 02500 Então temos Com a recentralização do processo o aproveitamento foi aumentado para aproximadamente 9973 EXEMPLO 39 Outro Uso da Tabela da Normal Padrão Algumas vezes em vez de se calcular a probabilidade associada a determinado valor de uma variável aleatória normal é necessário fazerse o oposto acharse um valor particular de uma variável aleatória normal que resulta em dada probabilidade Por exemplo suponha que x N10 9 Queremos achar o valor de x digamos a tal que Px a 005 SOLUÇÃO Pelo enunciado do problema temos que Da Tabela II do Apêndice vemos que Pz 1645 095 de modo que ou a 10 31645 14935 332 A distribuição normal tem várias propriedades úteis Uma delas é relativa a combinações lineares de variáveis aleatórias distribuídas independente e normalmente Se x1 x2 xn são independentes e normalmente distribuídas com médias µ1 µ2 µn e variâncias σ1 2 σ1 2 σn 2 respectivamente então a distribuição da combinação linear é normal com média e variância em que a1 a2 an são constantes O Teorema Limite Central A distribuição normal é considerada com frequência como o modelo probabilístico apropriado para uma variável aleatória Mais adiante iremos discutir como verificar a validade de tal suposição no entanto o teorema limite central é muitas vezes a justificativa para a normalidade aproximada Definição O Teorema Limite Central Se x1 x2 xn são variáveis aleatórias independentes com média µi e variância σi 2 e se y x1 x2 xn então a distribuição de se aproxima da distribuição N0 1 à medida que n tende a infinito O teorema limite central estabelece que a distribuição da soma de n variáveis aleatórias independentes é aproximadamente normal independentemente das distribuições individuais das variáveis A aproximação melhora à medida que n aumenta Em muitos casos a aproximação será boa mesmo para valores pequenos de n digamos n 10 enquanto em outras situações pode ser necessário n grande digamos n 100 para se obter uma boa aproximação Em geral se as xi são identicamente distribuídas e a distribuição de cada xi não se afasta drasticamente da distribuição normal então o teorema limite central funciona bastante bem para n 3 ou 4 Tais condições são frequentemente encontradas em problemas de controle da qualidade A Distribuição Lognormal Em um sistema algumas vezes as variáveis seguem uma relação exponencial digamos x expw Se o expoente w for uma variável aleatória então x expw será uma variável aleatória e a distribuição de x é de interesse Um importante caso especial ocorre quando w tem distribuição normal Então a distribuição de x é chamada de distribuição lognormal O nome vem da transformação lnx w Isto é o logaritmo natural de x é normalmente distribuído Probabilidades para x são obtidas a partir da transformação para w mas precisamos reconhecer que a amplitude de x é 0 Suponha que w seja normalmente distribuído com média θ e variância ω2 então a função de distribuição acumulada para x é para x 0 em que z é a variável aleatória normal padrão Assim a Tabela II do Apêndice pode ser usada para se determinar a probabilidade Também fx 0 para x 0 A variável aleatória lognormal é também não negativa A distribuição lognormal é definida como se segue Definição Seja w com distribuição normal com média θ e variância ω2 então x expw é uma variável aleatória lognormal e a distribuição lognormal é A média e a variância de x são Os parâmetros de uma distribuição lognormal são θ e ω2 mas é preciso cuidado na interpretação de que esses são a média e a variância da variável aleatória normal w A média e a variância de x mostradas na equação 330 são funções desses parâmetros A Figura 320 ilustra as distribuições lognormais para valores selecionados dos parâmetros A vida útil de um produto que se degrada ao longo do tempo é frequentemente modelada por uma variável aleatória lognormal Por exemplo essa é uma distribuição comum para a vida útil do laser de um semicondutor Outras distribuições contínuas também podem ser usadas para esse tipo de aplicação No entanto como a distribuição lognormal é deduzida de uma única função exponencial de uma variável aleatória normal é fácil de ser compreendida e de ter suas probabilidades calculadas 333 FIGURA 320 Função densidade de probabilidade lognormal com θ 0 para valores selecionados de ω2 EXEMPLO 310 Vida Útil de Laser Médico A vida útil de um laser médico usado em cirurgia oftalmológica tem uma distribuição lognormal com θ 6 e ω 12 horas Qual é a probabilidade de que a vida útil exceda 500 horas SOLUÇÃO Pela função de distribuição acumulada para a variável aleatória lognormal Qual valor de vida útil é excedido por 99 dos lasers Agora a questão é a determinação de a tal que Px a 099 Portanto Pela Tabela II do Apêndice 1 Φa 099 quando a 233 Assim Determine a média e o desviopadrão da vida útil Temos de modo que o desviopadrão da vida útil é 148742 horas Note que o desviopadrão da vida útil é grande em relação à média A Distribuição Exponencial A distribuição de uma variável aleatória exponencial é definida como se segue Definição A distribuição exponencial é em que λ 0 é uma constante A média e a variância da distribuição exponencial são e respectivamente Diferentes distribuições exponenciais são exibidas na Figura 321 FIGURA 321 Distribuição exponencial para valores selecionados de λ A distribuição exponencial acumulada é A Figura 322 ilustra a função de distribuição acumulada da exponencial A distribuição exponencial é amplamente utilizada na área de engenharia de confiabilidade como modelo do tempo de falha de um componente ou sistema Em tais aplicações o parâmetro λ é denominado taxa de falha do sistema e a média da distribuição 1λ é chamada de tempo médio de falha2 Por exemplo suponha que um componente eletrônico em um sistema de radar de aeronave tenha vida útil descrita por uma distribuição exponencial com taxa de falha 104h isto é λ 104 O tempo médio de falha para esse componente é 1λ 104 10000 h Se quisermos calcular a probabilidade de esse componente falhar antes do seu tempo de vida esperado temos que calcular 334 FIGURA 322 A função de distribuição acumulada da exponencial Este resultado vale independentemente do valor de λ isto é a probabilidade de que o valor de uma variável aleatória exponencial seja menor que a sua média é 063212 Isso acontece naturalmente porque a distribuição não é simétrica Há uma importante relação entre as distribuições exponencial e de Poisson Se considerarmos a distribuição de Poisson como o modelo do número de ocorrências de algum evento no intervalo 0 t então da equação 315 resulta que Agora x 0 significa que não há ocorrência do evento em 0 t e Px 0 p0 eλt Podemos pensar em p0 como a probabilidade de que o intervalo até a primeira ocorrência seja maior que t ou Py t p0 eλt em que y é a variável aleatória que denota o intervalo até a primeira ocorrência Como Ft Py t 1 eλy e usando o fato de que fy dFydy teremos como a distribuição do intervalo até a primeira ocorrência A equação 335 pode ser identificada como uma distribuição exponencial com parâmetro λ Então se o número de ocorrências de um evento tem distribuição de Poisson com parâmetro λ a distribuição do intervalo entre ocorrências é exponencial com parâmetro λ A distribuição exponencial tem uma propriedade de falta de memória Para ilustrar suponha que a variável aleatória exponencial x seja usada para modelar o tempo de ocorrência de algum evento Considere dois pontos no tempo t1 e t2 com t2 t1 Então a probabilidade de que o evento ocorra em um instante menor do que t1 t2 mas maior do que t2 é exatamente a probabilidade de que o evento ocorra em um instante menor do que t1 Essa é a mesma propriedade de falta de memória que observamos antes para a distribuição geométrica A distribuição exponencial é a única distribuição contínua que tem essa propriedade A Distribuição Gama A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória gama é definida como se segue Definição A distribuição gama é com parâmetro de forma r 0 e parâmetro de escala λ 0 A média e a variância da distribuição gama são e respectivamente3 Diferentes distribuições gama são apresentadas na Figura 323 Note que se r 1 a distribuição gama se reduz à distribuição exponencial com parâmetro λ Seção 333 A distribuição gama pode tomar diferentes formas dependendo dos valores escolhidos para r e λ Isso faz com que ela seja bastante útil na modelagem de diferentes variáveis aleatórias contínuas Se o parâmetro r for um inteiro então a distribuição gama é a soma de r distribuições exponenciais independentes e identicamente distribuídas cada uma com parâmetro λ Isto é se x1 x2 xr são independentes e exponenciais com parâmetro λ então y x1 x2 xr é distribuída como gama com parâmetros r e λ Há um grande número de importantes aplicações deste resultado FIGURA 323 Distribuição gama para valores selecionados de r e λ 1 EXEMPLO 311 Sistema Redundante de Espera Considere o sistema exibido na Figura 324 Ele é chamado de sistema redundante de espera porque enquanto o componente 1 está ativo o componente 2 está desativado e quando o componente 1 falha o comutador automaticamente ativa o componente 2 Se cada componente tem vida útil descrita por uma distribuição exponencial com parâmetro λ 104h por exemplo então a vida do sistema tem distribuição gama com parâmetros r 2 e λ 10 4 Assim o tempo médio de falha é µ rλ 2104 2 104 h 335 FIGURA 324 O sistema redundante de espera para o Exemplo 311 A função de distribuição acumulada da gama é Se r for um inteiro então a equação 339 se tornará Consequentemente a distribuição acumulada da gama pode ser calculada como a soma de r termos de Poisson com parâmetro λa Este resultado não é muito surpreendente se considerarmos a distribuição de Poisson como modelo do número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo e a distribuição gama como modelo da parte do intervalo necessária para se obter um número específico de ocorrências A Distribuição de Weibull A distribuição de Weibull é definida como se segue Definição A distribuição de Weibull é em que θ 0 é o parâmetro de escala e β 0 é o parâmetro de forma A média e a variância da distribuição de Weibull são e respectivamente A distribuição de Weibull é bastante flexível e com uma seleção apropriada dos parâmetros θ e β pode assumir várias formas Diferentes distribuições de Weibull são exibidas na Figura 325 para θ 1 e β 12 1 2 e 4 Note que quando β 1 a distribuição de Weibull se reduz à distribuição exponencial com média 1θ A distribuição acumulada da Weibull é A distribuição de Weibull tem sido usada extensivamente na engenharia de confiabilidade como modelo do tempo de falha para componentes e sistemas elétricos ou mecânicos Exemplos de situações nas quais a distribuição de Weibull tem sido usada incluem componentes eletrônicos como elementos de memória componentes mecânicos tais como mancais e componentes estruturais em aviões e automóveis4 FIGURA 325 Distribuição de Weibull para valores selecionados do parâmetro de forma β e parâmetro de escala θ 1 EXEMPLO 312 Tempo de Falha de Componentes Eletrônicos O tempo de falha de um componente eletrônico usado em uma unidade de visor de painel plano é satisfatoriamente modelado por uma distribuição de Weibull com β 12 e θ 5000 Ache o tempo médio de falha e a fração dos componentes que se espera sobreviverem além de 20000 horas SOLUÇÃO O tempo médio para falha é A fração esperada de componentes que sobreviverão a a 20000 horas é 34 341 ou Isto é todas com exceção de 1353 dos componentes falharão antes de 20000 horas Gráficos de Probabilidade Gráficos de Probabilidade Normal Como sabemos se uma distribuição de probabilidade particular é um modelo razoável para os dados O gráfico de probabilidades é um método gráfico para se determinar se os dados amostrais se ajustam a uma distribuição hipotética baseada em um exame visual dos dados O procedimento geral é muito simples e pode ser realizado rapidamente O gráfico de probabilidade tipicamente usa papel especial para gráficos conhecido como papel de probabilidade que foi planejado para a distribuição hipotética O papel de probabilidade é largamente disponível para as distribuições normal lognormal de Weibull e várias distribuições quiquadrado e gama Nesta seção ilustramos o gráfico de probabilidade normal Na Seção 342 discutemse gráficos de probabilidade para algumas outras distribuições contínuas Para a construção de um gráfico de probabilidade as observações na amostra são ordenadas da menor para a maior Isto é a amostra x1 x2 xn é arranjada como x1 x2 xn em que x1é a menor observação x2 é a segunda menor observação e assim por diante com xn a maior As observações ordenadas xj são marcadas contra sua frequência acumulada observada j 05n ou 100j 05n no papel de probabilidade apropriado Se a distribuição hipotética descreve os dados adequadamente os pontos marcados se localizarão aproximadamente ao longo de uma reta se os pontos marcados se desviarem significante e sistematicamente de uma reta o modelo hipotético não é apropriado Usualmente a determinação de os pontos estarem ou não sobre uma reta é subjetiva O procedimento é ilustrado no seguinte exemplo EXEMPLO 313 Um Gráfico de Probabilidade Normal Observações sobre o índice de octano em estrada de dez marcas de gasolina são as seguintes 889 870 900 882 872 874 878 897 860 e 896 Fazemos a hipótese de que esse índice seja adequadamente modelado por uma distribuição normal Essa é uma hipótese razoável SOLUÇÃO Para usar o gráfico de probabilidade para analisar essa hipótese ordene primeiro as observações em ordem crescente e calcule suas frequências acumuladas j 0510 como mostra a tabela que se segue j xj j 0510 1 860 005 2 870 015 3 872 025 4 874 035 5 878 045 6 882 055 7 889 065 8 896 075 9 897 085 10 900 095 Os pares de valores xj e j 0510 são agora marcados sobre o papel de probabilidade normal A Figura 326 mostra esse gráfico A maioria dos papéis de probabilidade normal marca 100j 05n no eixo vertical esquerdo e alguns também marcam 100 1 j 05n no eixo vertical direito com o valor da variável marcado no eixo horizontal Uma reta escolhida subjetivamente como a de melhor ajuste foi traçada através dos pontos do gráfico Ao desenhar a reta você deve se influenciar mais pelos pontos próximos do centro do gráfico do que pelos pontos extremos Uma boa regra empírica é desenharse a reta aproximadamente entre o vigésimo quinto e o septuagésimo quinto percentis Assim foi determinada a reta da Figura 326 Ao analisar o desvio sistemático dos pontos em relação à reta imagine um lápis achatado sobre os pontos ao longo da reta Se todos os pontos forem cobertos por esse lápis imaginário uma distribuição normal descreve os dados adequadamente Como os pontos na Figura 326 passariam no teste do lápis concluímos que a distribuição normal é um modelo apropriado para os dados do índice de octano em estrada FIGURA 326 Gráfico de probabilidade normal dos dados do índice de octano em estrada Um gráfico de probabilidade normal pode também ser construído em papel de gráfico comum marcandose os escores normais padronizados zj contra xj em que os escores normais padronizados satisfazem Por exemplo se j 05n 005 Φzj 005 implica que zj 164 Para ilustrar considere os dados do exemplo anterior Na tabela adiante mostramos os escores normais padronizados na última coluna 342 A Figura 327 apresenta o gráfico de zj versus xj Esse gráfico de probabilidade normal é equivalente ao da Figura 326 Podemos obter uma estimativa da média e do desviopadrão diretamente de um gráfico de probabilidade normal A média é estimada como o quinquagésimo percentil Pela Figura 325 estimaríamos o índice médio de octano em estrada como 882 O desviopadrão é proporcional à inclinação da reta no gráfico e um desviopadrão é a diferença entre o octogésimo quarto e o quinquagésimo percentis Na Figura 326 o octogésimo quarto percentil é de cerca de 90 e a estimativa do desviopadrão é 90 882 18 FIGURA 327 Gráfico de probabilidade normal dos dados do índice de octano em estrada com escores padronizados Uma aplicação muito importante do gráfico de probabilidade normal está na verificação de hipóteses quando usamos procedimentos de inferência estatística que exigem a hipótese de normalidade Isso será ilustrado mais tarde j xj j 0510 zj 1 860 005 164 2 870 015 104 3 872 025 067 4 874 035 039 5 878 045 012 6 882 055 013 7 889 065 039 8 896 075 067 9 897 085 104 10 900 095 164 Outros Gráficos de Probabilidade Gráficos de probabilidade são extremamente úteis e são frequentemente a primeira técnica usada quando precisamos determinar qual distribuição de probabilidade é provavelmente um modelo razoável para os dados Ao usarmos gráficos 35 351 de probabilidade a distribuição usualmente é escolhida por avaliação subjetiva Testes estatísticos mais formais da qualidade do ajuste podem também ser usados em conjunto com o gráfico de probabilidade Para ilustrar como o gráfico de probabilidade pode ser útil na determinação da distribuição apropriada para os dados considere os dados sobre contaminação por alumínio ppm mostrados na Tabela 35 A Figura 328 apresenta vários gráficos de probabilidade desses dados construídos com o uso do Minitab A Figura 328a é um gráfico de probabilidade normal Note como as caudas do gráfico se encurvam afastandose da reta Isso é uma indicação de que a distribuição normal não é um bom modelo para os dados A Figura 328b é um gráfico de probabilidade lognormal dos dados que se localizam muito mais próximos da reta particularmente as observações nas caudas sugerindo que a distribuição lognormal é provavelmente um modelo mais razoável para esses dados do que a distribuição normal TABELA 35 Contaminação por Alumínio ppm 30 30 60 63 70 79 87 90 101 102 115 118 119 119 120 125 140 145 172 182 183 191 222 244 291 511 De The Lognormal Distribution for Modeling Quality Data When the Mean Is Near Zero Journal of Quality Technology 1990 pp 105110 Finalmente as Figuras 328c e 328d são gráficos de probabilidade de Weibull e exponencial para os dados As observações nesses gráficos não se acham muito próximas da reta sugerindo que nem a distribuição de Weibull nem a exponencial são bons modelos para os dados Assim com base nos quatro gráficos de probabilidade que construímos a distribuição lognormal parece ser a escolha mais apropriada como modelo para os dados de contaminação por alumínio Algumas Aproximações Úteis Em certos problemas de controle da qualidade às vezes é útil aproximarse uma distribuição de probabilidade por outra Isso é particularmente interessante em situações em que a distribuição original é difícil de ser manipulada analiticamente Nesta seção apresentamse três aproximações 1 a aproximação binomial para a hipergeométrica 2 a aproximação de Poisson para a binomial e 3 a aproximação normal para a binomial A Aproximação Binomial para a Hipergeométrica Considere a distribuição hipergeométrica da equação 38 Se a razão nN usualmente chamada de fração amostral for pequena digamos nN 01 então a distribuição binomial com parâmetros p DN e n é uma boa aproximação para a distribuição hipergeométrica A aproximação é melhor para valores pequenos de nN 352 FIGURA 328 Gráficos de probabilidade para os dados sobre contaminação por alumínio da Tabela 35 a Normal b Lognormal c Weibull d Exponencial Essa aproximação é útil no desenho de planos de amostragem de aceitação Lembre que a distribuição hipergeométrica é o modelo apropriado para o número de itens não conformes obtidos em uma amostra aleatória de n itens tirada de um lote de tamanho finito N Então se o tamanho da amostra n for pequeno em relação ao tamanho do lote N a aproximação binomial pode ser utilizada o que em geral facilita consideravelmente os cálculos Como exemplo suponha que um grupo de 200 pedidos de empréstimo para automóvel contenha 5 pedidos com informação do cliente incompleta Essas poderiam ser chamadas de pedidos não conformes A probabilidade de que uma amostra aleatória de 10 pedidos não contenha pedidos não conformes é pela equação 38 Note que como nN 10200 005 é relativamente pequeno podemos usar a aproximação binomial com p DN 5200 0025 e n 10 para calcular A Aproximação Poisson para a Binomial 353 Foi dito na Seção 323 que a distribuição de Poisson poderia ser obtida como uma forma limite da distribuição binomial para o caso em que p tende a zero e n a infinito com λ np constante Isso implica que para p pequeno e n grande a distribuição de Poisson com λ np pode ser usada para aproximar a distribuição binomial A aproximação é usualmente boa para n grande se p 01 Quanto maior o valor de n e menor o valor de p melhor será a aproximação A Aproximação Normal para a Binomial Na Seção 322 definiuse a distribuição binomial como a soma de uma sequência de n provas de Bernoulli cada uma com probabilidade de sucesso p Se o número n de provas for grande então podemos usar o teorema limite central para justificar a aproximação normal com média np e variância np1 p como uma aproximação para a binomial Isto é Como a distribuição binomial é discreta e a distribuição normal é contínua é prática comum usarse a correção de continuidade na aproximação de modo que em que Φ denota a função de distribuição acumulada da normal padrão Outros tipos de afirmativas probabilísticas podem ser avaliados de maneira análoga tais como A aproximação normal para a binomial é satisfatória para valores de p próximos de 12 e n 10 Para outros valores de p tornamse necessários valores maiores de n Em geral a aproximação não é adequada para p 1n 1 ou p nn 1 ou para valores da variável aleatória fora do intervalo de comprimento igual a seis desviospadrão e centrado na média isto é o intervalo A aproximação normal pode ser usada também para a variável aleatória xn isto é a fração amostral de defeituosos da Seção 322 A variável aleatória é aproximadamente normal com média p e variância p1 pn de modo que Como a distribuição normal serve como aproximação para a binomial e como as distribuições de Poisson e binomial são relacionadas parece lógico concluirse que a distribuição normal sirva como aproximação para a Poisson De fato este é o caso e se a média λ da distribuição de Poisson for grande digamos pelo menos 15 então a distribuição normal com média µ λ e variância σ2 λ é uma aproximação satisfatória 354 FIGURA 329 Aproximações para distribuições de probabilidade Comentários sobre as Aproximações Um resumo das aproximações discutidas anteriormente é apresentado na Figura 329 Nesta figura H B P e N representam as distribuições hipergeométrica binomial Poisson e normal respectivamente A disponibilidade de modernos microcomputadores bons pacotes computacionais estatísticos e máquinas de calcular têm feito com que a dependência dessas aproximações se torne desnecessária mas ainda há situações nas quais elas são úteis particularmente na aplicação do popular gráfico de controle três sigma Termos e Conceitos Importantes Amostra Amplitude interquartil Aproximações para distribuições de probabilidade Desviopadrão Desviopadrão amostral Diagrama de caixa Diagrama de ramoefolhas Distribuição binomial Distribuição binomial negativa Distribuição contínua Distribuição de Pascal Distribuição de Poisson Distribuição de probabilidade Distribuição de probabilidade hipergeométrica Distribuição de Weibull Distribuição discreta Distribuição exponencial Distribuição gama Distribuição geométrica Distribuição lognormal Distribuição normal Distribuição normal padrão Distribuição uniforme Estatística Estatísticas descritivas 31 a b 32 a b 33 34 35 a b 36 a b 37 a b Gráfico de probabilidade Gráfico de probabilidade normal Gráfico de séries temporais Gráfico sequencial Histograma Média amostral Média de uma distribuição Mediana Percentil População Quartil Teorema do limite de controle Teorema limite central Variância amostral Variância de uma distribuição Variável aleatória Exercícios O volume preenchido de garrafas de detergente líquido está sendo analisado Doze garrafas selecionadas aleatoriamente do processo de produção são medidas e os resultados são os seguintes em onças fluidas 1 oz fl 2957353 ml 1605 1603 1602 1604 1605 1601 1602 1602 1603 1601 1600 1607 Calcule a média amostral Calcule o desviopadrão amostral Os diâmetros internos de oito mancais em mm são dados a seguir 50001 50002 49998 50006 50005 49996 50003 50004 Calcule a média amostral Calcule o desviopadrão amostral O tempo de serviço em minutos desde a admissão até a saída para dez pacientes em um atendimento de emergência de um hospital são 21 136 185 156 3 16 48 28 100 e 12 Calcule a média e o desviopadrão do tempo de serviço A Really Cool Clothing Company vende seus produtos através de um processo de pedidos por telefone Como o negócio é bom a companhia está interessada no estudo da maneira pela qual os agentes de vendas interagem com seus clientes Chamadas telefônicas são selecionadas aleatoriamente e registradas e então são revistas com o agente de vendas para se identificarem maneiras de se fornecer possivelmente um melhor serviço ou maneiras em que o cliente possa ser direcionado para outros itens semelhantes ao que pretende comprar e que possam ser atrativos O tempo em minutos de duração de 20 chamadas selecionadas aleatoriamente recebidas pelo mesmo agente de vendas são os seguintes 6 26 8 2 6 3 10 14 4 5 3 17 9 8 9 5 3 28 21 e 4 Calcule a média e o desviopadrão dos tempos de ligação As nove medidas apresentadas a seguir são temperaturas de forno registradas em lotes sucessivos em um processo de fabricação de semicondutores dados em F 953 955 948 951 957 949 954 950 959 Calcule a média amostral Calcule o desviopadrão amostral Considere os dados sobre temperaturas de forno do Exercício 35 Ache a mediana amostral dos dados Em quanto a maior temperatura poderia aumentar sem provocar alteração na mediana amostral A força para abertura de tubos circulares com tampas nos extremos é medida Os primeiros resultados são em kN 96 102 104 108 126 128 150 156 Calcule a média amostral Calcule o desviopadrão amostral 38 a b c d 39 Os tempos de falha em horas de um componente eletrônico sujeito a um teste acelerado de tempo de vida são mostrados na Tabela 3E1 Para acelerar o teste de falha as unidades foram testadas a uma temperatura elevada ler de cima para baixo da esquerda para a direita TABELA 3E1 Tempo de Falha de Componente Eletrônico 127 124 121 118 125 123 136 131 131 120 140 125 124 119 137 133 129 128 125 141 121 133 124 125 142 137 128 140 151 124 129 131 160 142 130 129 125 123 122 126 Calcule a média e o desviopadrão amostrais Construa um histograma Construa um diagrama de ramoefolhas Ache a mediana amostral e os quartis inferior e superior Os dados apresentados na Tabela 3E2 são leituras resultantes de um processo químico em dias consecutivos ler de cima para baixo da esquerda para a direita Construa um histograma para esses dados Faça comentários sobre a forma desse histograma Ele se assemelha a alguma das distribuições discutidas neste capítulo TABELA 3E2 Resultados de um Processo 941 873 941 924 846 854 932 841 921 906 836 866 906 901 964 8901 854 917 914 952 882 888 897 875 882 861 864 864 876 842 861 943 850 851 851 851 951 932 849 840 896 905 900 867 873 937 900 956 924 830 896 877 901 883 873 953 903 906 943 841 310 a b 866 941 931 894 973 837 912 978 946 886 968 829 861 931 963 841 944 873 904 864 947 826 961 864 891 876 911 831 980 845 Um artigo em Quality Engineering Vol 4 1992 pp 487495 apresenta dados sobre viscosidade em um lote de um processo químico Uma amostra desses dados é apresentada na Tabela 3E3 ler de cima para baixo da esquerda para a direita Construa um diagrama de ramoefolhas para os dados de viscosidade Construa uma distribuição de frequências e um histograma TABELA 3E3 Viscosidade 133 149 158 160 145 137 137 149 153 152 151 136 153 145 134 153 143 153 141 143 148 156 148 156 152 158 143 161 145 133 143 139 146 141 164 152 141 154 169 144 143 152 142 140 161 152 169 144 131 159 149 137 155 165 152 138 126 148 144 156 146 151 152 145 143 170 146 128 154 149 164 161 152 148 142 166 c d 311 312 313 314 315 316 317 168 140 157 156 Transforme o ramoefolhas construído em a em um ramoefolhas ordenado Use este gráfico para auxiliar na determinação da mediana e dos quartis inferior e superior dos dados de viscosidade Quais são os décimo e nonagésimo percentis da viscosidade Construa e interprete um gráfico de probabilidade normal dos volumes do líquido nas garrafas de detergente no Exercício 31 Construa e interprete um gráfico de probabilidade normal das nove medições de temperatura de forno no Exercício 35 Construa e interprete um gráfico de probabilidade normal para os dados do tempo de falha no Exercício 38 A hipótese de que o tempo de falha para esse componente seja bem modelado por uma distribuição normal parece razoável Construa um gráfico de probabilidade normal dos dados de resultados do processo químico no Exercício 39 A hipótese de que o resultado do processo seja bem modelado por uma distribuição normal parece razoável Considere os dados sobre viscosidade no Exercício 310 Construa um gráfico de probabilidade normal um gráfico de probabilidade lognormal e um gráfico de probabilidade de Weibull para esses dados Com base nos gráficos qual distribuição parece modelar melhor os dados de viscosidade A Tabela 3E4 contém 20 observações de ciclos para falha de cupons de teste de alumínio sujeitos a força repetida alternada de 15000 psi a 20 ciclos por segundo Construa um gráfico de probabilidade normal um gráfico de probabilidade lognormal e um gráfico de probabilidade de Weibull para esses dados Com base nos gráficos qual distribuição parece modelar melhor os ciclos para falha para esse material TABELA 3E4 Ciclos para Falha de Cupons de Teste 8078 1891 13912 3407 6168 15504 1893 12551 8681 1334 9438 6227 2562 2074 6770 7971 17081 9245 19041 21997 Uma característica importante da água é a concentração de material sólido suspenso em ppm A Tabela 3E5 contém 40 medições de material sólido suspenso para certo lago Construa um gráfico de probabilidade normal um gráfico de probabilidade lognormal e um gráfico de probabilidade de Weibull para esses dados Com base nos gráficos qual distribuição parece modelar melhor a concentração de material sólido suspenso TABELA 3E5 Concentração de Material Sólido Suspenso ppm 078 959 226 813 316 433 1170 022 12593 130 015 020 029 1372 096 029 293 365 347 173 1421 179 054 1481 068 009 581 517 2101 041 475 282 130 457 7474 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 a b c 330 331 a b c 332 333 a 078 194 352 2010 498 Considere os tempos de serviço de pacientes no Exercício 33 Construa um gráfico de probabilidade normal um gráfico de probabilidade lognormal e um gráfico de probabilidade de Weibull para esses dados Alguma das distribuições parece ser um modelo de probabilidade razoável para esses dados Com base nos gráficos qual distribuição parece modelar melhor o tempo de serviço de pacientes Considere os tempos de ligações no Exercício 34 Construa um gráfico de probabilidade normal um gráfico de probabilidade lognormal e um gráfico de probabilidade de Weibull para esses dados Alguma das distribuições parece ser um modelo de probabilidade razoável para esses dados Com base nos gráficos qual distribuição parece modelar melhor os tempos de duração das ligações Considere os dados sobre viscosidade no Exercício 310 Suponha que lendose a tabela de cima para baixo e da esquerda para a direita tenhamos os dados ordenados no tempo Construa e interprete um gráfico de série temporal Reconsidere os dados do resultado de um processo no Exercício 39 Construa um gráfico de série temporal para esses dados e interpreteo Considere a concentração de material sólido suspenso do Exercício 317 Suponha que lendose a tabela de cima para baixo e da esquerda para a direita tenhamos os dados ordenados no tempo Construa e interprete um gráfico de série temporal Considere os dados do resultado de um processo químico no Exercício 39 Calcule a média e o desviopadrão amostrais Considere os dados do resultado de um processo químico no Exercício 39 Construa um diagrama de ramoe folhas para os dados e compareo com o histograma do Exercício 39 Qual apresentação fornece mais informação sobre o processo Construa um diagrama de caixa para os dados do Exercício 31 Construa um diagrama de caixa para os dados do Exercício 32 Suponha que dois dados equilibrados são lançados e a variável aleatória observada digamos x é a soma das duas faces superiores Descreva o espaço amostral deste experimento e determine a distribuição de probabilidade de x Ache a média e a variância da variável aleatória do Exercício 327 Uma montagem mecatrônica é submetida a um teste funcional final Suponha que os defeitos ocorram aleatoriamente nessas montagens e de acordo com uma distribuição de Poisson com parâmetro λ 002 Qual é a probabilidade de uma montagem apresentar exatamente um defeito Qual é a probabilidade de uma montagem apresentar um ou mais defeitos Suponha que você melhore o processo de modo que a taxa de ocorrência de defeitos seja reduzida à metade para λ 001 Qual o efeito desta medida sobre a probabilidade de uma montagem apresentar pelo menos um defeito A distribuição de probabilidade de x é fx kex 0 x Ache o valor apropriado de k Ache a média e a variância de x A variável aleatória x assume os valores 1 2 3 com probabilidades 1 3k3 1 2k3 e 05 5k3 respectivamente Ache o valor apropriado de k Ache a média e variância de x Ache a função de distribuição acumulada A distribuição de probabilidade de uma variável aleatória discreta x é px krx 0 r 1 Ache o valor apropriado de k se x 0 1 Um fabricante de calculadoras eletrônicas oferece garantia de um ano Se as calculadoras apresentam algum defeito nesse período de tempo ela é substituída O tempo de falha é bem modelado pela seguinte distribuição de probabilidade fx 0125e0125x x 0 Qual é a porcentagem de calculadoras que apresentarão defeito dentro do período de garantia b 334 335 336 337 338 339 340 a b c 341 a b c 342 a b 343 a b O custo de fabricação de uma calculadora é US50 e o lucro por unidade vendida é US25 Qual é o efeito da política de garantia sobre o lucro O conteúdo líquido em onças de uma lata de sopa é uma variável aleatória com distribuição de probabilidade Ache a probabilidade de uma lata conter menos de 12 onças 2841 ml de produto Um processo de produção opera a uma taxa de 1 de peças produzidas não conformes A cada hora uma amostra de 25 unidades do produto é retirada e o número de não conformes é contado Se uma ou mais unidades fora das especificações forem encontradas o processo será interrompido e o técnico de controle da qualidade terá que encontrar a causa para a produção não conforme Avalie o desempenho desta regra de decisão Continuação do Exercício 335 Considere a regra de decisão descrita no Exercício 335 Suponha que o processo repentinamente se deteriore passando a produzir 4 de unidades fora das especificações Quantas amostras em média serão necessárias para se detectar essa mudança Uma amostra aleatória de 50 unidades é retirada de um processo de produção a cada meia hora A fração de peças não conformes produzidas é 002 Qual é a probabilidade de que 004 se a fração de não conformes for realmente 002 Uma amostra de 100 unidades é selecionada de um processo de produção que tem taxa de 1 de não conformes Qual é a probabilidade de exceder a verdadeira fração de não conformes por k desviospadrão para k 1 2 e 3 Suponha que 10 da população adulta tenham parâmetros sanguíneos químicos consistentes com um diagnóstico de condição de prédiabetes De quatro participantes voluntários em um estudo de exame de saúde qual é a probabilidade de que um deles seja prédiabético Pacientes que chegam a uma clínica ambulatorial são rotineiramente examinados em relação à pressão sanguínea alta Suponha que essa condição ocorra em 15 da população Qual é a probabilidade de que o terceiro paciente do dia tenha pressão alta Qual é o número médio de pacientes que devem ser examinados para se encontrar o primeiro paciente com pressão alta Se a clínica tipicamente examina 50 pacientes por dia qual é a probabilidade de se encontrarem 10 pacientes com pressão alta Uma corretora de ações tem quatro computadores que são usados para negociar no New York Stock Exchange Bolsa de New York A probabilidade de um computador falhar em qualquer dia é 0005 As falhas ocorrem independentemente Qualquer computador com defeito é consertado depois do expediente de modo que cada dia pode ser considerado uma prova independente Qual é a probabilidade de que os quatro computadores falhem em um dia Qual é a probabilidade de que pelo menos um computador falhe em um dia Qual é o número médio de dias até que um computador específico falhe Um sistema de computação usa senhas que consistem em letras minúsculas az e de dígitos 09 Há 10000 usuários com senhas individuais Um hacker seleciona senhas aleatoriamente com reposição em uma tentativa de invadir o sistema Suponha que 8000 dos usuários tenham senhas de seis caracteres Qual é a média e o desviopadrão do número de tentativas necessárias antes que o hacker selecione uma senha legítima Suponha que 2000 dos usuários tenham senhas de três caracteres Qual é a média e o desviopadrão do número de tentativas necessárias antes que o hacker selecione uma senha legítima Um componente eletrônico para uma unidade médica de raios X é produzido em lotes de tamanho N 25 Um procedimento de teste de aceitação é usado pelo comprador para evitar a compra de lotes que contenham muitos componentes não conformes O procedimento consiste na seleção de 5 componentes de um lote sem reposição e no seu teste Se nenhum dos componentes for não conforme o lote será aceito Se um lote contém dois componentes não conformes qual é a probabilidade de aceitação deste lote Calcule a probabilidade desejada em a usando a aproximação binomial Esta aproximação é satisfatória Por que ou por que não c d 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 Suponha que o tamanho do lote seja N 150 A aproximação binomial seria apropriada neste caso Suponha que um comprador rejeitará o lote com a regra de decisão de achar um ou mais itens não conformes em uma amostra de tamanho n e ele deseja rejeitar o lote com pelo menos 095 de probabilidade no caso de o lote conter 5 ou mais itens não conformes Qual o tamanho necessário n da amostra Um lote de tamanho N 30 contém três unidades não conformes Qual é a probabilidade de que uma amostra de cinco unidades selecionada aleatoriamente contenha exatamente uma unidade não conforme Qual é a probabilidade de que contenha uma ou mais unidades não conformes Um livrotexto contém 500 páginas nas quais podem ocorrer erros tipográficos Suponha que haja exatamente 10 erros localizados aleatoriamente nestas páginas Ache a probabilidade de que uma amostra de 50 páginas não contenha erros Ache a probabilidade de que 50 páginas selecionadas aleatoriamente contenham pelo menos dois erros Defeitos na superfície de revestimento de um pequeno aparelho elétrico ocorrem aleatoriamente a uma taxa média de 01 defeito por unidade Ache a probabilidade de que uma unidade selecionada aleatoriamente contenha pelo menos um defeito na superfície de revestimento Garrafas de vidro são formadas colocando vidro liquefeito em um molde O vidro fundido é preparado em uma fornalha construída com tijolos à prova de fogo À medida que os tijolos se desgastam pequenas partículas de tijolo se misturam ao vidro fundido e aparecem como defeitos chamados pedras nas garrafas Se for razoável supor que as pedras ocorrem aleatoriamente a uma taxa de 000001 por garrafa qual será a probabilidade de uma garrafa conter pelo menos um de tal defeito O departamento de cobrança de uma grande companhia de cartão de crédito tenta controlar os erros administrativos de digitação etc nas contas dos clientes Suponha que os erros ocorram segundo uma distribuição de Poisson com parâmetro λ 001 Qual é a probabilidade de que a conta de um cliente selecionado aleatoriamente contenha um erro Um processo de produção opera em dois estados um estado sob controle no qual a maioria das unidades é produzida dentro das especificações e um estado fora do controle no qual a maioria das unidades é defeituosa O processo alterna do estado sob controle para o estado fora do controle aleatoriamente A cada hora um técnico de controle da qualidade verifica o processo e se ele está no estado fora de controle o técnico detecta esta situação com probabilidade p Suponha que quando o processo alterna para o estado fora de controle ele o faz logo após a inspeção pelo técnico e uma vez alternado o processo não pode se autocorrigir Se t denota o número de períodos em que o processo permanece fora de controle antes de ser detectado ache a distribuição de probabilidade de t Ache o número médio de períodos em que o processo permanecerá no estado fora de controle Um técnico está procurando junções defeituosas em um oleoduto entre Phoenix e Tucson A probabilidade de que uma junção qualquer seja defeituosa é 001 O inspetor está determinado a continuar trabalhando até encontrar três junções defeituosas Se as junções estão localizadas a 100 pés 3048 m umas das outras qual é a probabilidade de que o inspetor tenha que andar 5000 pés 1524 m Qual é a probabilidade de o inspetor ter que andar mais de 5000 pés A força de tensão de uma peça metálica é normalmente distribuída com média 40 libras 018 kN e desviopadrão de 5 libras 002 kN Se 50000 peças são produzidas quantas não atenderão à especificação limite mínima de 35 libras 016 kN de força de tensão Quantas terão força de tensão superior a 48 libras 021 kN A voltagem de saída de uma fonte de energia é normalmente distribuída com média 5 V e desviopadrão 002 V Se as especificações inferior e superior para a voltagem são 495 V e 505 V respectivamente qual é a probabilidade de uma dessas fontes de energia selecionada aleatoriamente atender as especificações sobre a voltagem Continuação do Exercício 352 Reconsidere o processo de fabricação de fonte de energia do Exercício 352 Suponha que queremos melhorar o processo O deslocamento da média poderá reduzir o número de unidades não conformes Em quanto teríamos que reduzir a variabilidade do processo para que apenas uma dentre 1000 unidades ficasse fora das especificações Suponha que x seja normalmente distribuída com média µ e desviopadrão σ 4 Dado que a probabilidade de x ser menor que 32 é 00228 ache o valor de µ A vida de uma bateria de automóvel é normalmente distribuída com média de 900 dias e desviopadrão de 35 dias Que fração dessas baterias se espera que durem mais de 1000 dias A luz resultante de uma lâmpada tem distribuição normal com média 5000 end footcandles5 e desviopadrão de 50 end footcandles Ache um limite inferior de especificação tal que apenas 05 das lâmpadas não exceda este 357 358 359 360 361 362 limite As especificações de um componente eletrônico estabelecem que seu tempo de vida deva estar entre 5000 e 10000 horas O tempo de vida é normalmente distribuído com média 7500 horas O fabricante vende as peças a um preço de US10 por unidade produzida no entanto peças defeituosas têm que ser substituídas pelo fabricante a um custo de US5 Dois processos distintos de fabricação são empregados ambos com o mesmo tempo de vida médio Entretanto o desviopadrão do tempo de vida para o processo 1 é de 1000 horas e para o processo 2 é de apenas 500 horas Os custos de produção para o processo 2 são o dobro dos custos do processo 1 Qual valor da produção determinará a seleção entre os processos 1 e 2 Uma característica da qualidade de um produto é normalmente distribuída com média µ e desviopadrão σ 1 As especificações da característica são 6 x 8 Uma unidade que cai dentro desses limites de especificação gera um lucro de C0 No entanto se x 6 o lucro é C1 e se x 8 o lucro é C2 Ache o valor de µ que maximiza o lucro esperado Deduza a média e a variância da distribuição binomial Deduza a média e a variância da distribuição de Poisson Deduza a média e a variância da distribuição exponencial Deduza a média e a variância da distribuição geométrica 1Não há acordo universal sobre como selecionarse o número de classes para um histograma Alguns livrostexto de estatística básica sugerem o uso da regra de Sturge que estabelece o número de classes como h 1 log2n em que n é o tamanho amostral Há muitas variações dessa regra Os pacotes de computador usam muitos algoritmos diferentes para a determinação do número e largura das classes e alguns deles podem não se basear na regra de Sturge 2Veja o material suplementar do texto para mais informações 3Γr no denominador da equação 336 é a função gama definida como Γr 0 xr1exdx r 0 Se r for um inteiro positivo então Γr r 1 4Veja material suplementar do texto para mais informações 5Unidade de luminosidade utilizada nos Estados Unidos equivalente à quantidade de luz que uma vela fornece a uma distância de um pé 1 footcandle 1076 lumens NT 41 411 412 413 42 43 431 432 433 434 435 436 44 441 442 443 444 45 451 452 453 46 461 462 463 464 465 MS41 MS42 MS43 MS44 MS45 MS46 ESQUEMA DO CAPÍTULO ESTATÍSTICA E DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS Amostras de uma Distribuição Normal Amostras de uma Distribuição de Bernoulli Amostras de uma Distribuição de Poisson ESTIMAÇÃO PONTUAL DE PARÂMETROS DE PROCESSOS INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARA UMA AMOSTRA Inferência sobre a Média de uma População Variância Conhecida Uso dos Valores P para o Teste de Hipótese Inferência sobre a Média de uma Distribuição Normal Variância Desconhecida Inferência sobre a Variância de uma Distribuição Normal Inferência sobre uma Proporção Populacional A Probabilidade do Erro Tipo II e Decisões sobre Tamanho Amostral INFERÊNCIA ESTATÍSTICA PARA DUAS AMOSTRAS Inferência para a Diferença de Médias Variâncias Conhecidas Inferência para a Diferença de Médias de Duas Distribuições Normais Variâncias Desconhecidas Inferência para as Variâncias de Duas Distribuições Normais Inferência para Duas Proporções Populacionais E SE HOUVER MAIS DE DUAS POPULAÇÕES A ANÁLISE DE VARIÂNCIA Um Exemplo A Análise de Variância Verificando Pressupostos Análise dos Resíduos MODELOS DE REGRESSÃO LINEAR Estimação dos Parâmetros em Modelos de Regressão Linear Teste de Hipótese em Regressão Múltipla Intervalos de Confiança em Regressão Múltipla Predição de Novas Observações da Variável Resposta Diagnóstico do Modelo de Regressão Material Suplementar para o Capítulo 4 Amostras Aleatórias Operadores Valor Esperado e Variância Demonstração de que E µ e Es2 σ2 Mais Sobre Estimação de Parâmetros Demonstração de que Es σ Mais Sobre Verificação de Pressupostos no Teste t MS47 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 41 Médias Quadráticas Esperadas na Análise de Variância de Um Fator O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM No capítulo anterior discutimos o uso das distribuições de probabilidade na modelagem ou descrição dos resultados de um processo Em todos os exemplos apresentados supusemos que os parâmetros da distribuição de probabilidade e por conseguinte os parâmetros do processo fossem conhecidos Esta é uma suposição em geral bastante irreal Por exemplo ao usarmos a distribuição binomial para modelar o número de peças não conformes encontradas em uma amostra de um processo de produção assumimos que o parâmetro p da distribuição binomial fosse conhecido A interpretação física de p é a de que ele representa a verdadeira fração de unidades não conformes produzida pelo processo É impossível conhecerse exatamente esse valor em um processo de produção real Além disso se nós o conhecêssemos e ele fosse relativamente constante ao longo do tempo poderíamos questionar a necessidade de procedimentos de monitoramento e controle caso p fosse aceitavelmente pequeno Em geral os parâmetros de um processo são desconhecidos além disso eles podem mudar ao longo do tempo Assim é necessário o desenvolvimento de procedimentos para estimar os parâmetros das distribuições de probabilidade e para resolver outros problemas de inferência ou decisão relativos a eles As técnicas estatísticas tradicionais de estimação de parâmetros e de teste de hipóteses são úteis nesse contexto Tais técnicas são a base subjacente para grande parte da metodologia do controle estatístico da qualidade Neste capítulo apresentamos alguns resultados elementares da inferência estatística indicando sua utilidade nos problemas referentes à melhoria da qualidade Os principais tópicos incluem estimação pontual e intervalar de médias variâncias e parâmetros da binomial teste de hipóteses sobre médias variâncias e parâmetros da binomial e o uso de gráficos de probabilidade normal Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Explicar o conceito de amostragem aleatória Explicar o conceito de distribuição amostral Explicar o conceito geral de estimação de parâmetros de uma população ou distribuição de probabilidade Saber como explicar a precisão com a qual o parâmetro é estimado Construir e interpretar intervalos de confiança para uma única média e para a diferença entre duas médias Construir e interpretar intervalos de confiança para uma única variância ou para a razão entre duas variâncias Construir e interpretar intervalos de confiança para uma única proporção e para a diferença entre duas proporções Testar hipóteses sobre uma única média e sobre a diferença entre duas médias Testar hipóteses sobre uma única variância e sobre a razão de duas variâncias Testar hipóteses sobre uma única proporção e sobre a diferença entre duas proporções Usar a abordagem do valor P para o teste de hipótese Compreender como a análise da variância ANOVA é usada para o teste de hipóteses sobre a igualdade de mais de duas médias Compreender como ajustar e interpretar modelos de regressão linear Estatística e Distribuições Amostrais O objetivo da inferência estatística é tirar conclusões ou tomar decisão sobre uma população com base em uma amostra selecionada dessa população Iremos supor frequentemente que amostras aleatórias são usadas na análise Em geral aplicase a palavra aleatória a qualquer método de seleção de amostra que careça de direcionamento sistemático Vamos definir uma amostra digamos x1 x2 xn como uma amostra aleatória de tamanho n se ela for selecionada de tal modo que as observações xi sejam independentes e identicamente distribuídas Essa definição é apropriada para amostras aleatórias retiradas de populações infinitas ou de populações finitas quando a amostragem é feita com reposição Na amostragem sem reposição diremos que uma amostra de n itens retirada de uma população finita de N itens é uma amostra aleatória se cada uma das amostras possíveis tiver igual probabilidade de ser escolhida A Figura 41 ilustra a relação entre população e amostra Embora a maioria dos métodos que iremos estudar assuma que uma amostra aleatória tenha sido usada há várias outras estratégias de amostragem que ocasionalmente são úteis no controle da qualidade Devese ter cuidado em se selecionar 411 um método de análise que seja compatível com o desenho amostral técnicas de inferência deduzidas para amostras aleatórias podem levar a erros graves quando aplicadas a dados obtidos por outros métodos de amostragem A inferência estatística usa quantidades calculadas a partir das observações na amostra Uma estatística é definida como qualquer função dos dados amostrais que não contenha parâmetros desconhecidos Por exemplo se representamos por x1 x2 xn as observações em uma amostra então a média amostral FIGURA 41 Relação entre uma população e uma amostra a variância amostral e o desviopadrão amostral são estatísticas As estatísticas e s ou s2 descrevem a tendência central e a variabilidade da amostra respectivamente Se a distribuição de probabilidade da população de onde foi tirada a amostra é conhecida podemos determinar a distribuição de probabilidade de várias estatísticas calculadas a partir dos dados amostrais A distribuição de probabilidade de uma estatística é chamada de distribuição amostral Apresentamos agora distribuições amostrais associadas a três situações comuns de amostragem Amostras de uma Distribuição Normal Suponha que x seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média µ e variância σ2 Se x1 x2 xn for uma amostra aleatória de tamanho n deste processo então a distribuição da média amostral será Nµ σ2n Isso segue direto dos resultados sobre a distribuição de combinações lineares de variáveis aleatórias normais apresentados na Seção 331 Essa propriedade da média amostral não está restrita exclusivamente ao caso de amostras de populações normais Note que podemos escrever Do teorema limite central sabemos que independentemente da distribuição da população a distribuição de é aproximadamente normal com média nµ e variância nσ2 Então independentemente da distribuição da população a distribuição amostral da média amostral é Uma importante distribuição amostral definida em termos da distribuição normal é a distribuição quiquadrado ou χ2 Se x1 x2 xn forem variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com média zero e variância um então a variável aleatória tem distribuição quiquadrado com n graus de liberdade A distribuição de probabilidade quiquadrado com n graus de liberdade é Diferentes distribuições quiquadrado são apresentadas na Figura 42 A distribuição é assimétrica com média µ n e variância σ2 2n Uma tabela para porcentagens específicas da distribuição quiquadrado é dada na Tabela III do Apêndice Para ilustrar o uso da distribuição quiquadrado suponha que x1 x2 xn seja uma amostra aleatória de uma distribuição Nµ σ2 Então a variável aleatória tem distribuição quiquadrado com n 1 graus de liberdade Entretanto usando a equação 42 que define a variância amostral podemos reescrever a equação 45 como isto é a distribuição amostral de n 1s2σ2 é χ2 n 1 quando a amostra é retirada de uma distribuição normal Outra distribuição amostral importante é a distribuição t Se x for uma variável aleatória normal padrão e se y for uma variável aleatória quiquadrado com k graus de liberdade e x e y forem independentes então a variável aleatória terá uma distribuição t com k graus de liberdade A distribuição de probabilidade de t é e a média e a variância de t são µ 0 e σ2 kk 2 para k 2 respectivamente Os graus de liberdade para t são os graus de liberdade associados à variável aleatória quiquadrado no denominador da equação 46 Diferentes distribuições t são exibidas na Figura 43 Note que se k a distribuição t se reduz à distribuição normal padrão no entanto se o número de graus de liberdade exceder cerca de 30 a distribuição t será bem aproximada por uma distribuição normal padrão Uma tabela para porcentagens específicas da distribuição t é dada na Tabela IV do Apêndice FIGURA 42 Distribuição quiquadrado para valores selecionados de n número de graus de liberdade FIGURA 43 A distribuição t para valores selecionados de k número de graus de liberdade Como exemplo de uma variável aleatória t suponha que x1 x2 xn seja uma amostra aleatória de uma distribuição Nµ σ2 Se e s2 são calculadas para esta amostra então usando o fato de que n 1s2σ2 χ2 n 1 Agora e s2 são independentes e portanto a variável aleatória tem distribuição t com n 1 graus de liberdade A última distribuição amostral baseada em um processo normal que iremos considerar é a distribuição F Se w e y forem duas variáveis aleatórias independentes com distribuição quiquadrado com u e v graus de liberdade respectivamente então a razão terá uma distribuição F com u graus de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador Se x for uma variável aleatória F com u graus de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador então sua distribuição será 412 Diferentes distribuições F são exibidas na Figura 44 Uma tabela para porcentagens selecionadas da distribuição F é dada na Tabela V do Apêndice Como exemplo de uma variável aleatória F suponha que temos dois processos normais independentes digamos x1 N µ1 σ1 2 e x2 Nµ2 Seja x11 x12 x1n1 uma amostra aleatória de n1 observações do primeiro processo normal e seja x21 x22 x2n2 uma amostra aleatória de tamanho n2 do segundo processo Se e forem as respectivas variâncias amostrais então a razão Este resultado provém diretamente da distribuição amostral de s2 discutida anteriormente A distribuição F será usada na inferência sobre as variâncias de duas distribuições normais Amostras de uma Distribuição de Bernoulli Nesta seção apresentamos distribuições amostrais de estatísticas associadas à distribuição de Bernoulli A variável aleatória x com função de probabilidade é chamada de variável aleatória de Bernoulli Isto é x assume o valor 1 com probabilidade p e o valor 0 com probabilidade 1 p q Uma realização dessa variável aleatória é usualmente chamada de prova de Bernoulli Uma sequência de provas de Bernoulli x1 x2 é chamada de processo de Bernoulli O resultado x 1 é frequentemente denotado sucesso e o resultado x 0 fracasso Suponha que uma amostra aleatória de n observações digamos x1 x2 xn seja retirada de um processo de Bernoulli com probabilidade de sucesso constante p Então a soma das observações amostrais tem distribuição binomial com parâmetros n e p Além disso como cada xi ou é 0 ou é 1 a média amostral 413 FIGURA 44 A Distribuição F para valores selecionados de u graus de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador é uma variável aleatória discreta com domínio de variação 0 1n 2n n 1n 1 A distribuição de pode ser obtida da distribuição binomial já que em que an representa o maior inteiro menor que ou igual a an A média e a variância de são e respectivamente Esse mesmo resultado foi dado anteriormente na Seção 322 em que a variável aleatória em geral chamada fração amostral de não conformes foi introduzida Amostras de uma Distribuição de Poisson A distribuição de Poisson foi introduzida na Seção 323 Considere uma amostra aleatória de tamanho n de uma distribuição de Poisson com parâmetro λ digamos x1 x2 xn A distribuição da soma amostral é também Poisson com parâmetro nλ Em termos mais gerais a soma de n variáveis aleatórias de Poisson independentes tem distribuição de Poisson com parâmetro igual à soma dos parâmetros individuais Considere agora a distribuição da média amostral Ela é uma variável aleatória discreta que assume os valores 0 1n 2n com distribuição de probabilidade dada por em que an representa o maior inteiro menor que ou igual a an A média e a variância de são e respectivamente Algumas vezes combinações lineares mais gerais de variáveis aleatórias de Poisson são usadas no trabalho da engenharia da qualidade Por exemplo considere a combinação linear 42 em que as xi são variáveis aleatórias de Poisson independentes cada uma com parâmetro λi respectivamente e os ai são constantes Esse tipo de função ocorre em situações onde uma unidade de produção pode ter m tipos diferentes de defeitos ou não conformidades cada um modelado por uma distribuição de Poisson com parâmetro λi e a função usada para monitorar a qualidade é uma combinação linear do número observado de defeitos de cada tipo As constantes ai na Equação 416 podem ser escolhidas para dar pesos desiguais aos diversos tipos de defeitos Por exemplo defeitos funcionais em uma unidade receberiam maior peso que falhas na aparência Esses esquemas são às vezes chamados de procedimentos de depreciação veja a Seção 733 Em geral a distribuição de L não é Poisson a menos que todos ai 1 na Equação 416 isto é soma de variáveis de Poisson independentes é também Poisson mas combinações lineares mais gerais não o são Estimação Pontual de Parâmetros de Processos Uma variável aleatória é caracterizada ou descrita pela sua distribuição de probabilidade Essa distribuição é descrita por seus parâmetros Por exemplo a média µ e a variância σ2 da distribuição normal equação 321 são seus parâmetros enquanto λ é o parâmetro da distribuição de Poisson equação 315 No controle estatístico da qualidade a distribuição de probabilidade é usada para descrever ou modelar alguma característica crítica para a qualidade tal como a dimensão crítica de um produto ou a fração de defeitos em um processo de produção Assim nosso interesse recai em fazer inferência sobre os parâmetros de distribuições de probabilidade Como os parâmetros em geral são desconhecidos necessitamos de procedimentos para estimálos a partir dos dados de uma amostra Um estimador de um parâmetro desconhecido pode ser definido como uma estatística que corresponde a este parâmetro Um valor numérico particular de tal estimador calculado a partir dos dados de uma amostra é chamado de uma estimativa Um estimador pontual é uma estatística que produz um único valor numérico como estimativa de um parâmetro desconhecido A título de ilustração considere uma variável aleatória x com distribuição de probabilidade fx dada na Figura 41 Suponha que a média µ e a variância σ2 desta distribuição sejam ambas desconhecidas Se uma amostra aleatória de tamanho n observações for selecionada então a média amostral e a variância amostral s2 serão estimadores pontuais da média populacional µ e da variância populacional σ2 respectivamente Suponha que tal distribuição represente um processo que produz mancais e que x seja o diâmetro interno Queremos obter estimativas pontuais da média e da variância do diâmetro interno dos mancais produzidos por este processo Poderíamos então medir os diâmetros internos de uma amostra aleatória de n 20 por exemplo mancais e calcular a média e a variância amostral Se isso resultasse em 1495 e s2 0001 então a estimativa pontual de µ seria e a estimativa pontual de σ2 seria Lembrese de que o símbolo é usado para denotar uma estimativa de um parâmetro A média e a variância não são necessariamente os parâmetros da distribuição Por exemplo o parâmetro da distribuição de Poisson é λ enquanto sua média e sua variância são µ λ e σ2 λ a média e a variância são ambas iguais a λ e os parâmetros da distribuição binomial são n e p enquanto sua média e sua variância são µ np e σ2 np1 p respectivamente Podese mostrar que um bom estimador pontual para o parâmetro λ da distribuição de Poisson é e que um bom estimador pontual para o parâmetro p da distribuição binomial é para n fixo Na distribuição binomial as observações na amostra aleatória xi ou são 1 ou são 0 correspondendo a sucesso e fracasso respectivamente 1 2 Algumas propriedades importantes são exigidas de um bom estimador pontual Duas dessas propriedades mais importantes são as seguintes O estimador pontual deve ser não viesado Isto é o valor esperado do estimador pontual deve ser igual ao parâmetro sendo estimado O estimador pontual deve ter variância mínima Qualquer estimador pontual é uma variável aleatória Então um estimador pontual de mínima variância deve ter uma variância que é menor que a variância de qualquer outro estimador pontual do parâmetro A média e a variância amostrais e s2 são estimadores não viesados da média e da variância populacionais µ e σ2 respectivamente Isto é em que o operador E é simplesmente o operador valor esperado um modo abreviado de se denotar o processo de cálculo da média de uma variável aleatória Veja o material suplementar para este capítulo para mais informações sobre a esperança matemática O desviopadrão amostral s não é um estimador não viesado do desviopadrão populacional σ Podese mostrar que A Tabela VI do Apêndice apresenta valores de c4 para tamanhos de amostra 2 n 25 Podese obter uma estimativa não viesada para o desviopadrão através de Em muitas aplicações da estatística aos problemas de engenharia da qualidade é conveniente estimarse o desvio padrão pelo método da amplitude Seja x1 x2 xn uma amostra aleatória de n observações de uma distribuição normal com média µ e variância σ2 A amplitude da amostra é Isto é a amplitude R é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valores da amostra A variável W Rσ é chamada de amplitude relativa A distribuição de W já foi bem estudada A média de W é uma constante d2 que depende do tamanho da amostra isto é EW d2 Assim um estimador não viesado do desviopadrão σ de uma distribuição normal é Valores de d2 para amostras de tamanho 2 n 25 são dados na Tabela VI do Apêndice A utilização da amplitude para a estimação de σ data dos primeiros dias do controle estatístico da qualidade e era popular por sua facilidade de cálculo Com o advento dos computadores e calculadoras esta não é mais uma consideração importante Em geral é preferível o estimador quadrático baseado em s No entanto se o tamanho n da amostra for relativamente pequeno o método da amplitude funciona bastante bem A eficiência relativa do método da amplitude comparada com s é exibida a seguir para diferentes tamanhos de amostra 43 Tamanho da Amostra n Eficiência Relativa 2 1000 3 0992 4 0975 5 0955 6 0930 10 0850 Para valores moderados de n digamos n 10 o método da amplitude perde eficiência rapidamente uma vez que ele ignora toda a informação na amostra entre os dois valores extremos No entanto para valores pequenos do tamanho amostral digamos n 6 ele funciona bastante bem sendo totalmente satisfatório O método da amplitude será usado para se estimar o desviopadrão para certos tipos de gráficos de controle no Capítulo 6 O material suplementar do texto contém mais informações sobre o uso da amplitude para a estimação variabilidade Veja também Woodall e Montgomery 200001 Inferência Estatística para uma Amostra As técnicas de inferência estatística podem ser classificadas em duas amplas categorias estimação de parâmetro e teste de hipótese Já introduzimos resumidamente as principais ideias da estimação pontual de parâmetros de processos Uma hipótese estatística é uma afirmativa sobre os valores dos parâmetros de uma distribuição de probabilidade Por exemplo se pensamos que o diâmetro interno de um mancal é 1500 in 381 cm podemos expressar essa afirmativa formalmente como A afirmativa H0µ 1500 na Equação 421 é chamada de hipótese nula e H1µ 1500 é chamada de hipótese alternativa No nosso exemplo H1 especifica valores do diâmetro médio que são ou maiores que 1500 ou menores que 1500 e assim ela é chamada de hipótese alternativa bilateral Dependendo do problema diferentes hipóteses alternativas unilaterais podem ser apropriadas Os procedimentos de teste de hipótese são bastante úteis em muitos problemas de controle estatístico da qualidade Eles também formam a base para a maioria das técnicas de controle estatístico de processo a serem descritas nas Partes III e IV deste livro Uma parte importante do problema de teste de hipótese é a determinação dos valores do parâmetro especificados nas hipóteses nula e alternativa Em geral isso é feito de uma das três maneiras Primeira os valores podem resultar de evidência ou conhecimento anteriores Isso acontece frequentemente no controle estatístico da qualidade em que usamos informação passada para especificar valores para o parâmetro correspondente ao estado sob controle e periodicamente testamos a hipótese de que esse valor não mudou Segunda os valores podem resultar de alguma teoria ou modelo do processo Finalmente os valores escolhidos para o parâmetro podem resultar de especificações contratuais ou de projeto situação que também ocorre frequentemente Procedimentos de teste de hipóteses estatísticos podem ser usados para se verificar a adequação dos parâmetros do processo aos valores especificados ou para auxiliar na modificação do processo até que os valores desejados sejam atingidos Para o teste de uma hipótese tomase uma amostra aleatória da população em estudo calculase uma estatística de teste apropriada e então rejeitase ou não a hipótese nula H0 O conjunto de valores da estatística de teste que levam à rejeição de H0 é chamado de região crítica ou região de rejeição do teste Dois tipos de erro podem ser cometidos quando testamos hipóteses Se a hipótese nula for rejeitada quando ela for verdadeira então dizemos que ocorreu um erro tipo I Se a hipótese nula não for rejeitada quando ela for falsa então 431 temos um erro tipo II As probabilidades desses dois tipos de erro são denotadas como α Perro tipo I Prejeitar H0 H0 é verdadeira β Perro tipo II Pdeixar de rejeitar H0 H0 é falsa Algumas vezes é mais conveniente trabalhar com o poder de um teste estatístico em que Poder 1 β Prejeitar H0 H0 é falsa Então o poder é a probabilidade de se rejeitar H0 corretamente No trabalho do controle da qualidade α é às vezes chamado de risco do fabricante porque denota a probabilidade de um lote bom ser rejeitado ou a probabilidade de que um processo produzindo valores aceitáveis de uma particular característica da qualidade venha a ser rejeitado como produzindo insatisfatoriamente Também β é às vezes chamado de risco do consumidor por denotar a probabilidade de aceitação de um lote de baixa qualidade ou a probabilidade de permitir que um processo operando em condições não satisfatórias com respeito a determinada característica da qualidade continue em operação O procedimento geral de teste de hipótese consiste em se especificar um valor para a probabilidade α do erro tipo I e então planejarse um procedimento de teste de tal forma que um valor pequeno da probabilidade β do erro tipo II seja obtido Assim podemos controlar ou escolher diretamente o risco α Como podemos controlar a probabilidade de cometermos um erro tipo I a rejeição da hipótese nula é considerada uma conclusão forte O risco β é geralmente uma função do tamanho amostral e de quão diferente do verdadeiro valor do parâmetro tal como µ no exemplo anterior é o valor hipotético de modo que β é controlado indiretamente Quanto maior o tamanho amostral usado no teste menor o risco β A probabilidade de um erro tipo II é sempre de difícil controle devido à falta de flexibilidade na escolha do tamanho amostral e porque a diferença entre o verdadeiro valor do parâmetro e o valor hipotético é desconhecida na maioria dos casos de modo que deixar de rejeitar H0 é uma conclusão fraca Nesta seção faremos uma revisão dos procedimentos de teste de hipótese quando uma única amostra de n observações é retirada do processo Veremos também como a informação sobre os valores dos parâmetros do processo contida na amostra pode ser expressa em termos de uma estimativa intervalar chamada de intervalo de confiança Na Seção 44 consideraremos a inferência estatística para duas amostras de dois processos possivelmente diferentes Inferência sobre a Média de uma População Variância Conhecida Teste de Hipótese Suponha que x seja uma variável aleatória com média desconhecida µ e variância conhecida σ2 Queremos testar a hipótese de que a média é igual a um valor nominal digamos µ0 As hipóteses podem ser formuladas como O procedimento para o teste dessa hipótese é tomarse uma amostra aleatória de n observações da variável aleatória x calcularse a estatística de teste e rejeitar H0 se Z0 Zα2 em que Zα2 é o ponto da distribuição normal padrão correspondendo à porcentagem superior α2 Este procedimento é algumas vezes chamado de teste Z de uma amostra Podemos dar uma justificativa intuitiva para esse procedimento de teste Pelo teorema limite central sabemos que a média amostral é aproximadamente distribuída como Nµ σ2n Agora se H0µ µ0 for verdadeira a estatística de teste Z0 será distribuída aproximadamente como N0 1 consequentemente devemos esperar que 1001 α dos valores de Z0 caiam entre Zα2 e Zα2 Assim uma amostra que produz um valor de Z0 fora desses limites deveria ser considerada pouco comum se a hipótese nula fosse verdadeira e seria então considerada evidência para a rejeição de H0µ µ0 Note que α é a probabilidade do erro tipo I para o teste e os intervalos Zα2 e Zα2 formam a região crítica para o teste A distribuição normal padrão é algumas vezes chamada de distribuição de referência para o teste Z Em algumas situações podemos querer rejeitar a hipótese nula H0 apenas se a verdadeira média for maior que µ0 Então a hipótese alternativa unilateral é H1µ µ0 e rejeitaríamos H0µ µ0 apenas se Z0 Zα Se a rejeição for desejada apenas quando µ µ0 então a hipótese alternativa será H1µ µ0 e rejeitaremos H0 quando Z0 Zα EXEMPLO 41 Tempo de Resposta de um Computador O tempo de resposta de um sistema de computador distribuído é uma importante característica da qualidade O gerente do sistema deseja saber se o tempo médio de resposta a um tipo específico de comando excede 75 milissegundos Da experiência passada ele sabe que o desviopadrão do tempo de resposta é 8 milissegundos Use um erro tipo I α 005 SOLUÇÃO As hipóteses apropriadas são H0 μ 75 H1 μ 75 O comando é executado 25 vezes e o tempo de resposta registrado Assumimos que essas observações possam ser consideradas como uma amostra aleatória dos tempos de resposta O tempo de resposta médio na amostra é 7925 milissegundos O valor da estatística de teste é Como especificamos um erro tipo I de α 005 e o teste é unilateral na Tabela II do Apêndice encontramos Zα Z005 1645 Assim rejeitamos H0µ 75 e concluímos que o tempo médio de resposta excede 75 milissegundos O Minitab realiza o teste Z de uma amostra A saída do Minitab para o Exemplo 41 é exibida a seguir Z de Uma Amostra O Minitab também calcula intervalos de confiança para os parâmetros Introduziremos agora intervalos de confiança e explicaremos sua interpretação e aplicação Intervalos de Confiança Uma estimativa intervalar de um parâmetro é um intervalo entre duas estatísticas que inclui o verdadeiro valor do parâmetro com uma dada probabilidade Por exemplo para construir um estimador intervalar para a média µ temos que encontrar duas estatísticas I e S tais que O intervalo resultante I µ S é chamado de intervalo de confiança IC de nível 100 1 α para a média desconhecida µ I e S são os limites inferior e superior de confiança respectivamente e 1 α é o coeficiente de confiança Às vezes a largura da metade do intervalo S µ ou µ I é chamada de precisão do intervalo de confiança A interpretação de um IC é que se um grande número de tais intervalos for construído cada um resultante de uma amostra aleatória então 100 1 α deles irão conter o verdadeiro valor de µ Assim intervalos de confiança têm uma interpretação frequentista O intervalo de confiança 424 é mais corretamente chamado de intervalo de confiança bilateral uma vez que especifica limites inferior e superior para µ Algumas vezes em aplicações de controle da qualidade um intervalo de confiança unilateral pode ser mais apropriado Um intervalo de confiança unilateral inferior de nível 1001 α para µ é dado pelo intervalo em que I o limite inferior de confiança é escolhido de modo que Um intervalo de confiança unilateral superior de nível 1001 α para µ seria em que S o limite superior de confiança é escolhido de modo que Intervalo de Confiança para a Média com Variância Conhecida Considere a variável aleatória x com média desconhecida µ e variância conhecida σ2 Suponha que uma amostra aleatória de n observações seja sorteada digamos x1 x2 xn e calculada Então o IC bilateral de nível 1001 α para µ é em que Zα2 é o ponto percentual da distribuição N0 1 tal que Pz Zα2 α2 Note que é distribuída aproximadamente como Nµ σ2n independentemente da distribuição de x pelo teorema limite central Consequentemente a Equação 429 é um intervalo de confiança de nível aproximado 1001 α para µ independentemente da distribuição de x Se x for Nµ σ2 então a Equação 429 é um intervalo de confiança de nível exato 1001 α Além disso o intervalo de confiança superior de nível 1001 α para µ é enquanto o intervalo de confiança inferior de nível 1001 α para µ é EXEMPLO 42 Tempo de Resposta de um Computador 432 Reconsidere o cenário do tempo de resposta de um computador do Exemplo 41 Como 7925 milissegundos sabemos que uma estimativa pontual razoável para o tempo de resposta médio é milissegundos Ache um intervalo de confiança bilateral de nível 95 SOLUÇÃO Da Equação 429 podemos calcular Outra forma de expressar esse resultado é dizer que o tempo de resposta médio é 7925 milissegundos 3136 milissegundos com 95 de confiança No Exemplo 41 original a hipótese alternativa era unilateral Nessas situações alguns analistas preferem calcular um limite de confiança unilateral A saída do Minitab para o Exemplo 41 fornece um limite inferior de confiança de 95 para µ que é calculado a partir da Equação 431 como 7662 Note que o IC do Minitab não inclui o valor µ 75 Além disso no Exemplo 41 a hipótese H0µ 75 foi rejeitada no nível α 005 Isso não é uma coincidência Em geral o teste de significância para um parâmetro a um nível de significância α levará à rejeição de H0 se e somente se o valor específico do parâmetro em H0 não estiver incluído no intervalo de confiança de 1001 α Uso dos Valores P para o Teste de Hipótese A maneira tradicional de se relatar o resultado de um teste de hipótese é afirmarse que a hipótese nula foi ou não rejeitada a um valor α ou nível de significância especificado Essa é frequentemente chamada de abordagem de teste com nível de significância fixo Por exemplo no problema anterior do tempo de resposta do computador podemos dizer que H0µ 75 foi rejeitada no nível de significância de 005 Essa declaração da conclusão é muitas vezes inadequada porque ela não dá ao analista nenhuma ideia se o valor calculado da estatística de teste está bem próximo do limite da região crítica ou se está bem no interior desta região Além disso apresentar os resultados dessa forma impõe aos outros usuários da informação o nível de significância prédefinido Essa abordagem pode ser insatisfatória uma vez que muitos tomadores de decisão podem se sentir desconfortáveis com o risco implícito em α 005 Para evitar essas dificuldades a abordagem do valor P tem sido amplamente adotada na prática O valor P é a probabilidade de a estatística de teste assumir um valor pelo menos tão grande quanto o valor observado da estatística quando a hipótese nula H0 é verdadeira Assim o valor P traz muito mais informação sobre o peso da evidência contra H0 e o tomador de decisão pode tirar conclusões a qualquer nível de significância Vamos agora apresentar a definição formal do valor P Definição O valor P é o menor nível de significância que levaria à rejeição da hipótese nula H0 É costume chamarmos a estatística de teste e os dados de significante quando a hipótese nula H0 é rejeitada então podemos pensar no valor P como o menor nível α para o qual os dados são significantes Uma vez conhecido o valor P o tomador de decisão pode determinar por ele mesmo quão significantes são seus dados sem que o analista de dados imponha formalmente um nível de significância préescolhido 433 Para os testes da distribuição normal discutidos anteriormente é relativamente simples o cálculo do valor P Se Z0 for o valor calculado da estatística de teste então o valor P será Aqui ΦZ é a função de distribuição acumulada da normal padrão definida no Capítulo 3 A título de ilustração consideremos o problema do tempo de resposta do computador do Exemplo 41 O valor calculado da estatística de teste é Z0 266 e como a hipótese alternativa é unilateral o valor P é P 1 Φ266 00039 Então H0µ 75 seria rejeitada a qualquer nível de significância α P 00039 Por exemplo H0 seria rejeitada no nível α 001 mas não no nível α 0001 Nem sempre é fácil calcularse o valor P exato para um teste No entanto os programas de computador mais modernos para análise estatística apresentam os valores P e eles podem também ser obtidos com algumas calculadoras Note que o Minitab informou o valor P para o Exemplo 41 o valor informado foi 0004 É possível também usaremse as tabelas estatísticas no Apêndice para aproximar os valores P em alguns casos Inferência sobre a Média de uma Distribuição Normal Variância Desconhecida Teste de Hipótese Suponha que x seja uma variável aleatória normal com média desconhecida µ e variância desconhecida σ2 Queremos testar a hipótese de que a média é igual a um valor nominal µ0 isto é Note que este problema é semelhante àquele da Seção 431 exceto pelo fato agora de a variância ser desconhecida Como a variância é desconhecida tornase necessária a hipótese adicional de a variável aleatória ser normalmente distribuída A hipótese de normalidade é necessária para o desenvolvimento formal da estatística de teste mas desvios moderados da normalidade não afetarão seriamente os resultados Como σ2 é desconhecida temos que estimála por s2 Ao substituirmos σ por s na equação 423 obtivemos a estatística de teste A distribuição de referência para essa estatística de teste é a distribuição t com n 1 graus de liberdade Para um teste de nível de significância fixo a hipótese nula H0µ µ0 será rejeitada se t0 tα2n1 em que tα2n1 denota o valor crítico α2 superior da distribuição t com n 1 graus de liberdade As regiões críticas para as hipóteses alternativas unilaterais são se H1µ µ0 rejeitase H0 se t0 tαn1 e se H1µ µ0 rejeitase H0 se t0 tαn1 Podese também calcular o valor P para o teste t Muitos pacotes computacionais apresentam o valor P junto com o valor calculado de t0 EXEMPLO 43 Asfalto Emborrachado Podese adicionar borracha ao asfalto para a redução do barulho na estrada quando o material é usado para pavimentação A Tabela 41 mostra a viscosidade estabilizada cP de 15 espécimes de material de pavimentação asfáltica Para ser adequada à aplicação de pavimentação desejada a viscosidade estabilizada média deve ser igual a 3200 Teste essa hipótese usando α 005 Com base na experiência desejamos supor inicialmente que a viscosidade estabilizada seja normalmente distribuída TABELA 41 Viscosidade Estabilizada de Asfalto Emborrachado Espécime Viscosidade Estabilizada 1 3193 2 3124 3 3153 4 3145 5 3093 6 3466 7 3355 8 2979 9 3182 10 3227 11 3256 12 3332 13 3204 14 3282 15 3170 SOLUÇÃO As hipóteses apropriadas são H0 μ 3200 H1 μ 3200 A média amostral e o desviopadrão amostral são e a estatística de teste é Como o valor calculado da estatística de teste não excede t002514 2145 ou t002514 2145 não podemos rejeitar a hipótese nula Assim não há forte evidência para se concluir que a viscosidade estabilizada média seja diferente de 3200 cP A hipótese de normalidade para o teste t pode ser verificada pela construção de um gráfico de probabilidade normal dos dados de viscosidade estabilizada A Figura 45 mostra o gráfico de probabilidade normal Como as observações estão ao longo de uma reta não há problema com a hipótese de normalidade FIGURA 45 Gráfico de probabilidade normal dos dados de viscosidade estabilizada O Minitab realiza o teste t de uma amostra A saída desse programa é mostrada a seguir T de Uma Amostra Exemplo 43 Note que o Minitab calcula a estatística de teste e o intervalo de confiança de 95 para a viscosidade estabilizada média Daremos a fórmula para o intervalo de confiança a seguir no entanto recordando a discussão sobre a conexão entre testes de hipótese e intervalos de confiança na conclusão do Exemplo 43 observamos que como o intervalo de confiança inclui o valor 3200 seríamos incapazes de rejeitar a hipótese nula H0 µ 3200 Note que o Minitab relata também o valor P para o teste t Tabelas da distribuição normal padrão podem ser usadas para a obtenção de valores P para um teste Z desde que o valor calculado da estatística de teste Z0 esteja no corpo da tabela Por exemplo a Tabela II do Apêndice contém valores de Z de 399 a 399 com até duas casas decimais de modo que se Z0 estiver no intervalo do valor P ele pode ser lido diretamente da tabela No entanto a tabela da distribuição t Tabela IV do Apêndice contém apenas valores da variável aleatória t que correspondem a dez pontos percentuais específicos ou áreas das caudas 040 025 010 005 0025 001 0005 00025 0001 e 00005 Assim a menos que a estatística de teste t0 corresponda a exatamente um desses pontos percentuais não podemos encontrar um valor P exato a partir da tabela t É possível o uso da tabela para a obtenção de limites para o valor P Para ilustrar considere o teste t no Exemplo 43 O valor da estatística de teste é t0 035 e há 14 graus de liberdade Na tabela t Tabela IV do Apêndice procure na linha de 14 graus de liberdade o valor 035 Não há valor igual a 035 mas há um valor abaixo 0258 e um valor acima 0692 As probabilidades acima desses dois valores são 040 e 025 respectivamente Como essa é uma alternativa bilateral tome o dobro dessas probabilidades e teremos então um limite superior e um limite inferior para o valor P especificamente 050 valor P 080 O teste t de uma amostra do Minitab relata o valor P exato de 0729 O Minitab pode também ser usado para o cálculo de valores P a partir da função Probability Distribution Distribuição de Probabilidade no menu CALC Intervalo de Confiança para a Média da Distribuição Normal com Variância Desconhecida Suponha que x seja uma variável aleatória normal com média desconhecida µ e variância desconhecida σ2 A partir de uma amostra aleatória de n observações calculamse a média amostral e a variância amostral s2 Então um IC bilateral de nível 1001 α para a verdadeira média é em que tα2n1 denota o ponto percentual da distribuição t com n 1 graus de liberdade tal que Ptn1 tα2n1 α2 Os limites de confiança superior e inferior de nível 1001 α correspondentes são e respectivamente EXEMPLO 44 Viscosidade de Emborrachado Reconsidere os dados do Exemplo 43 relativos aos dados da viscosidade estabilizada Determine o intervalo de confiança de nível 95 para a viscosidade estabilizada média SOLUÇÃO Usando a equação 434 podemos encontrar o IC de 95 para a viscosidade estabilizada média como segue 434 Outra maneira de se expressar esse resultado é que a estimativa da viscosidade estabilizada média é 321073 6514 cP com 95 de confiança Esse intervalo de confiança foi relatado pelo Minitab no último boxe O fabricante pode se preocupar apenas com valores da viscosidade estabilizada que são muito baixos e consequentemente deve estar interessado em um limite de confiança unilateral O limite de confiança inferior de 95 para a viscosidade estabilizada média é encontrado a partir da equação 436 usando t00514 1761 como ou 315725 μ Inferência sobre a Variância de uma Distribuição Normal Teste de Hipótese Vamos agora rever o teste de hipótese sobre a variância de uma distribuição normal Enquanto os testes para as médias são pouco sensíveis à hipótese de normalidade os procedimentos de teste para a variância não o são Suponha que queiramos testar a hipótese de que a variância de uma distribuição normal seja igual a certa constante digamos σ0 2 As hipóteses são A estatística de teste para essa hipótese é em que s2 é a variância amostral calculada a partir de uma amostra aleatória de n observações Para um teste de nível de significância fixo a hipótese nula é rejeitada se ou se em que e são os valores críticos α2 superior e 1 α2 inferior da distribuição quiquadrado com n 1 graus de liberdade Se uma alternativa unilateral é especificada digamos então rejeitaríamos H0 se Para a outra alternativa unilateral rejeitase H0 se Para ilustrar esse procedimento considere os dados da viscosidade estabilizada do Exemplo 43 Suponha que desejemos testar as hipóteses sobre a variância da viscosidade especificamente H0 σ2 1002 H1 σ2 1002 O valor da estatística de teste calculada pela equação 438 é Pela Tabela III do Apêndice o valor superior de 5 da distribuição quiquadrado com 14 graus de liberdade é e como o valor calculado da estatística de teste não excede 2368 não há evidência forte contra a hipótese nula Não podemos rejeitar H0σ2 1002 A saída do Minitab pra esse teste é mostrada no boxe que segue O Minitab fornece um limite de confiança unilateral para a variância e para o desviopadrão O procedimento para o IC será descrito em breve A Tabela III do Apêndice pode ser usada para a determinação de limites para o valor P Para 14 graus de liberdade temos que 1334 e já sabemos que 2368 Como 1334 1968 2368 sabemos que o valor P deve estar no intervalo 005 valor P 050 O Minitab relata o valor P exato como 0151 Esse foi um teste unilateral Para um teste de cauda inferior encontre a probabilidade na cauda inferior da distribuição quiquadrado abaixo do valor calculado da estatística de teste Para uma alternativa bilateral ache a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e tome seu dobro A função de distribuição acumulada no menu Calc do Minitab pode também ser usada para a determinação de valores P Este teste é muito utilizado nas aplicações para a melhoria da qualidade e do processo Por exemplo considere uma variável aleatória normal com média µ e variância σ2 Se σ2 for menor ou igual a um determinado valor digamos σ0 2 então a variabilidade natural inerente ao processo estará dentro dos requisitos do projeto e consequentemente a maior parte da produção estará dentro das especificações Por outro lado se σ2 exceder σ0 2 então a variabilidade natural no processo excederá os limites de especificação resultando em altas porcentagens de itens fora das especificações Em outras palavras a capacidade do processo está diretamente relacionada com a variabilidade do processo As equações 437 e 438 podem ser usadas para a análise de várias outras situações semelhantes e como veremos depois elas formam a base para o procedimento de monitoramento ou controle da variabilidade do processo Intervalo de Confiança para a Variância de uma Distribuição Normal Suponha que x seja uma variável aleatória normal com média desconhecida µ e variância desconhecida σ2 Seja s2a variância amostral calculada a partir de uma amostra aleatória de n observações Então um IC bilateral de nível 1001 α para a variância é em que é a abscissa da distribuição quiquadrado tal que Um IC para o desvio padrão pode ser encontrado tomandose a raiz quadrada em toda a equação 439 435 Se se desejam limites de confiança unilaterais eles podem ser obtidos a partir da Equação 439 usandose apenas o limite superior ou inferior com o nível de probabilidade aumentado de α2 para α Isto é os limites de confiança superior e inferior de 1001 α são e respectivamente Podemos usar os dados de viscosidade estabilizada do Exemplo 43 para demonstrar o cálculo do intervalo de confiança de nível digamos 95 para σ2 Note que para os dados da Tabela 41 s 11761 e s2 1383211 Da Tabela III do Apêndice obtivemos que e χ097514 563 Assim pela equação 439 vemos que o intervalo de confiança bilateral de 95 para σ2 é que se reduz a 741384 σ2 3439601 O intervalo de confiança para o desviopadrão é 8610 σ 18546 Note que Minitab relata um limite inferior unilateral Inferência sobre uma Proporção Populacional Teste de Hipótese Suponha que queiramos testar a hipótese de que a proporção p de uma população é igual a um valor nominal digamos p0 O teste descrito a seguir se baseia na aproximação normal da binomial Se uma amostra aleatória de n itens é retirada da população e x itens na amostra pertencem à categoria associada a p então para testar usamos a estatística Para um teste de nível de significância fixo a hipótese nula H0p p0 é rejeitada se Z0 Zα2 As hipóteses alternativas unilaterais são tratadas de maneira análoga Uma abordagem pelo valor P também pode ser usada Como esse é um teste Z os valores P são calculados exatamente como no teste Z para a média EXEMPLO 45 Um Processo de Fundição Uma fundição produz cabos de aço usados na indústria automotiva Desejase testar a hipótese de que a fração de itens não conformes é de 10 Em uma amostra aleatória de 250 cabos detectouse que 41 estavam fora das especificações Quais são suas conclusões usando α 005 SOLUÇÃO Para testar H0 p 01 H1 p 01 calculamos a estatística de teste Usando α 005 obtivemos que Z0025 196 e então H0 p 01 é rejeitada o valor P aqui é P 000108 Isto é a fração de itens não conformes do processo não é igual a 10 Como observado anteriormente esse teste se baseia na aproximação normal para a binomial Quando isso não é apropriado há um teste exato disponível Para detalhes veja Montgomery e Runger 2011 Intervalos de Confiança para uma Proporção Populacional É comum necessitarmos de ICs de nível 1001 α de confiança para uma proporção populacional p Esse parâmetro frequentemente corresponde à fração de itens não conformes do lote ou do processo Agora p é apenas um dos parâmetros da distribuição binomial e nós usualmente assumimos que o outro parâmetro n seja conhecido Se uma amostra aleatória de n observações é tirada da população e encontramse x itens não conformes nesta amostra então um estimador pontual não viesado de p é xn Há várias abordagens para a construção do IC para p Se n é grande e p 01 digamos então a aproximação normal da binomial pode ser usada resultando no intervalo de confiança de nível 1001 α Se n for pequeno então a distribuição binomial deverá ser usada para se estabelecer o intervalo de confiança para p Se n for grande mas p for pequeno então a aproximação Poisson para a binomial é útil na construção de intervalos de confiança para p Exemplos desses dois últimos procedimentos são dados em Duncan 1986 EXEMPLO 46 Aplicações Hipotecárias Em uma amostra aleatória de 80 pedidos de hipotecas de casas processados por um sistema de decisão automático 15 dos pedidos não foram aprovados A estimativa pontual dos não aprovados é Supondo que a aproximação normal para a binomial seja apropriada ache um intervalo de confiança de nível 95 para a fração de pedidos de hipoteca não conformes no processo 436 SOLUÇÃO O intervalo de confiança desejado é calculado a partir da equação 444 como que se reduz a 01020 p 02730 A Probabilidade do Erro Tipo II e Decisões sobre Tamanho Amostral Na maioria das situações de teste de hipótese é importante determinarse a probabilidade do erro tipo II associado ao teste Equivalentemente podemos escolher avaliar o poder do teste Para ilustrar como isso pode ser feito vamos achar a probabilidade do erro tipo II associado ao teste de H0 μ μ0 H1 μ μ0 quando a variância σ2 é conhecida Esse procedimento de teste foi discutido na Seção 431 A estatística de teste para essa hipótese é e sob a hipótese nula a distribuição de Z0 é N0 1 Para achar a probabilidade do erro tipo II temos que assumir que a hipótese nula H0µ µ0 seja falsa e então determinar a distribuição de Z0 Suponha que a média da distribuição seja realmente µ1 µ0 δ em que δ 0 Então a hipótese alternativa H1µ µ0 é verdadeira e sob essa hipótese a distribuição da estatística de teste Z0 é A distribuição da estatística de teste Z0 sob ambas as hipóteses H0 e H1 é exibida na Figura 46 Note que a probabilidade do erro tipo II é a probabilidade de que Z0 ficará entre Zα2 e Zα2 dado que a hipótese alternativa H1 é verdadeira Para calcular essa probabilidade temos que achar FZ α2 FZ α2 em que F denota a função de distribuição acumulada da 1 Em termos da distribuição acumulada da normal padrão temos então como a probabilidade do erro tipo II Essa equação também é válida se δ 0 1 2 FIGURA 46 A distribuição de Z0 sob H0 e H1 EXEMPLO 47 Determinando o Poder de um Teste Os conteúdos médios de latas de café preenchidas em determinada linha de produção estão sendo analisados Os padrões especificam que o conteúdo médio deve ser de 16 onças 4536 g e da experiência passada sabese que o desviopadrão dos conteúdos das latas é de 01 onça 2835 g As hipóteses são H0 μ 160 H1 μ 160 Uma amostra aleatória de nove latas é analisada e a probabilidade do erro tipo I especificada como α 005 Então a estatística de teste é e H0 é rejeitada se Z0 Z0025 196 Ache a probabilidade do erro tipo II e o poder do teste quando o verdadeiro conteúdo médio é µ1 161 onças 456435 g SOLUÇÃO Como temos que δ µ1 µ0 01 temos Isto é a probabilidade de que deixemos incorretamente de rejeitar H0 se o verdadeiro conteúdo médio for 161 onças é 01492 Equivalentemente podemos dizer que o poder do teste é 1 β 1 01492 08508 Notase do exame da equação 446 e da Figura 46 que β é uma função de n δ e α É costume elaborar curvas ilustrando a relação entre esses parâmetros Tal conjunto de curvas é mostrado na Figura 47 para α 005 Gráficos como esses são chamados de curvas características de operação CO O parâmetro no eixo vertical dessas curvas é β e o parâmetro no eixo horizontal é d δσ Da análise das curvas características de operação observase que Quanto mais longe a verdadeira média µ1 está do valor hipotético µ0 isto é quanto maior o valor de δ menor é a probabilidade do erro tipo II para n e α dados Isto é para um determinado tamanho de amostra n e α o teste detectará grandes diferenças mais facilmente do que pequenas diferenças À medida que aumenta o tamanho n da amostra a probabilidade do erro tipo II tornase menor para valores específicos de δ e α Isto é para detectar uma determinada diferença poderemos tornar o teste mais poderoso aumentando o tamanho da amostra As curvas características de operação são úteis na determinação de quão grande deve ser uma amostra para detectar uma diferença específica com certa probabilidade A título de ilustração suponha que no Exemplo 47 nós queiramos determinar o tamanho da amostra necessário para rejeitar H0µ 160 com probabilidade 090 se a verdadeira média for µ 1605 Como δ 1605 160 005 temos d δσ 00501 05 Pela Figura 47 com β 010 e d 05 encontramos que n 45 aproximadamente Isto é 45 observações devem ser tiradas para se garantir que o teste tenha a probabilidade do erro tipo II desejada FIGURA 47 Curvas características de operação para o teste normal bilateral com α 005 Reproduzido com permissão de CL Ferris FE Grubbs e CL Weaver Operating Characteristic Curves for the Common Statistical Tests of Significance Annals of Mathematical Statistics June 1946 Curvas características de operação estão disponíveis para a maioria dos testes estatísticos discutidos neste capítulo Para uma discussão detalhada do uso das curvas características de operação veja Montgomery e Runger 2011 O Minitab também pode realizar cálculos de poder e de tamanhos amostrais para vários problemas de teste de hipótese A apresentação do Minitab que segue reproduz os cálculos do poder do problema do enchimento de recipientes de café no Exemplo 47 Poder e Tamanho Amostral A apresentação seguinte mostra vários cálculos de tamanho amostral e poder com base no problema do asfalto emborrachado no Exemplo 43 Poder e Tamanho Amostral 44 441 Na primeira parte da apresentação o Minitab calcula o poder do teste no Exemplo 43 supondo que o engenheiro desejasse rejeitar a hipótese nula se a verdadeira viscosidade estabilizada média fosse diferente de 3200 em tanto quanto 50 usando s 11761 como estimativa do verdadeiro desviopadrão O poder é 03354 que é baixo O cálculo seguinte determina o tamanho amostral necessário para se produzir um poder de 08 um valor muito melhor O Minitab relata que um tamanho amostral consideravelmente grande n 46 seria necessário O cálculo final determina o poder com n 15 se uma diferença maior entre a verdadeira viscosidade estabilizada média e o valor hipotético for de interesse Para uma diferença de 100 o Minitab relata um poder de 08644 Inferência Estatística para Duas Amostras Na seção anterior foram apresentados testes de hipóteses e intervalos de confiança para um único parâmetro populacional a média µ a variância σ2 ou a proporção p Nesta seção aqueles resultados serão estendidos para o caso de duas populações independentes A situação geral é ilustrada na Figura 48 A população 1 tem média µ1 e variância σ1 2 enquanto a população 2 tem média µ2 e variância σ2 2 A inferência será baseada em duas amostras aleatórias de tamanhos n1 e n2 respectivamente Isto é x11 x12 x1n1 é uma amostra aleatória de tamanho n1 da população 1 e x21 x22 x2n2 é uma amostra aleatória de tamanho n2 da população 2 Inferência para a Diferença de Médias Variâncias Conhecidas Nesta seção vamos considerar a inferência estatística para a diferença entre as duas médias µ1 µ2 das populações mostradas na Figura 48 em que as variâncias e são conhecidas Os pressupostos para esta seção estão resumidos a seguir Pressupostos 1 2 3 4 x11 x12 x1n1 é uma amostra aleatória da população 1 x21 x22 x2n2 é uma amostra aleatória da população 2 As duas populações representadas por x1 e x2 são independentes Ambas as populações são normais ou se elas não são normais as condições do teorema limite central são satisfeitas FIGURA 48 Duas populações independentes Um estimador pontual imediato para µ1 µ2 é a diferença das médias amostrais Com base nas propriedades dos valores esperados temos que e a variância de é Com base nos pressupostos e nos resultados anteriores podemos estabelecer o seguinte A quantidade tem distribuição N0 1 Esse resultado será usado na construção de testes de hipóteses e intervalos de confiança para µ1 µ2 Basicamente podemos pensar em µ1 µ2 como um parâmetro θ cujo estimador é com variância Se θ0 for o valor especificado para θ na hipótese nula então a estatística de teste será θ θ0 Note a semelhança com a estatística de teste para uma única média utilizada na seção anterior Testes de Hipóteses para a Diferença de Médias Variâncias Conhecidas Vamos considerar agora o teste de hipótese para a diferença entre as médias µ1 µ2 das populações da Figura 48 Suponha que estamos interessados em testar se a diferença µ1 µ2 é igual a um valor especificado Δ0 Então a hipótese nula será estabelecida como H0µ1 µ2 Δ0 Obviamente em muitos casos especificaremos Δ0 0 de modo a testar a igualdade das duas médias isto é H0µ1 µ2 A estatística de teste apropriada é definida substituindose µ1 µ2por Δ0 na equação 447 e essa estatística de teste tem distribuição normal padrão sob H0 Suponha que a hipótese alternativa seja H1µ1 µ2 Δ0 Agora um valor amostral de que seja consideravelmente diferente de Δ0 é evidência de que H1 é verdadeira Como Z tem distribuição N0 1 quando H0 é verdadeira devemos tomar Zα2 e Zα2 como limites da região crítica exatamente como fizemos no problema de teste de hipótese para uma amostra da Seção 431 Resultaria assim um teste com nível de significância α Regiões críticas para alternativas unilaterais são definidas de maneira análoga Uma abordagem pelo valor P também pode ser usada Resumimos formalmente esses resultados a seguir Testes de Hipóteses sobre μ1 μ2 Variâncias Conhecidas Hipóteses Alternativas Critério de Rejeição para Nível de Significância Fixo Valor P EXEMPLO 48 Comparando Fórmulas de Tintas Um produtor está interessado em reduzir o tempo de secagem de uma tinta de base Duas fórmulas da tinta são testadas a fórmula 1 se baseia na químicapadrão e a fórmula 2 tem um novo ingrediente que deveria reduzir o tempo de secagem Sabese por experiência que o desviopadrão do tempo de secagem é de 8 minutos e essa variabilidade inerente não deve ser alterada pela adição do novo ingrediente Dez itens são pintados com a fórmula 1 e outros 10 itens com a fórmula 2 os 20 itens são pintados em uma ordem aleatória As duas médias amostrais do tempo de secagem são 121 min e 112 min respectivamente Que conclusões o produtor pode tirar sobre a eficácia do novo ingrediente usando α 005 SOLUÇÃO As hipóteses de interesse são H0 μ1 μ2 0 H1 μ1 μ2 0 ou equivalentemente H0 μ1 μ2 442 H1 μ1 μ2 Como 121 min e 112 min a estatística de teste é Como a estatística de teste Z0 252 Z005 1645 rejeitamos H0µ1 µ2 no nível α 005 e concluímos que a adição do novo ingrediente reduz significativamente o tempo de secagem Alternativamente podemos achar o valor P para esse teste como Valor P 1 Φ252 00059 Então H0µ1 µ2 seria rejeitada a qualquer nível de significância α 00059 Intervalo de Confiança para a Diferença de Médias Variâncias Conhecidas O IC de nível 1001 α para a diferença de duas médias µ1 µ2 quando as variâncias são conhecidas pode ser determinado diretamente dos resultados dados anteriormente nesta seção Lembrese de que x11 x12 x1n1 é uma amostra aleatória de tamanho n1 da primeira população e x21 x22 x2n2 é uma amostra aleatória de tamanho n2 da segunda população Se e são as médias dessas duas amostras então o intervalo de confiança de nível 100 1 α para a diferença das duas médias µ1 µ2 é dado como Esse é um IC bilateral Limites de confiança unilaterais podem ser obtidos aplicandose a abordagem da Seção 43 para o caso de uma única amostra Inferência para a Diferença de Médias de Duas Distribuições Normais Variâncias Desconhecidas Vamos agora estender os resultados da seção anterior para a diferença entre as médias das duas distribuições na Figura 48 quando as variâncias e de ambas as distribuições são desconhecidas Se os tamanhos das amostras n1 e n2 excedem 30 então os procedimentos da distribuição normal da Seção 441 podem ser usados No entanto quando pequenas amostras são utilizadas assumiremos que as populações são normalmente distribuídas e basearemos nossos testes de hipótese e intervalos de confiança na distribuição t Isso estabelece um paralelo conveniente com o caso da inferência para a média de uma única amostra com variância desconhecida Teste de Hipótese para a Diferença de Médias Vamos considerar agora o teste de hipóteses para a diferença entre as médias µ1 µ2 de duas distribuições normais em que as variâncias e são desconhecidas Uma estatística t será usada para testar essas hipóteses Como salientado anteriormente a hipótese de normalidade é requerida para o desenvolvimento desse procedimento mas desvios moderados da normalidade não afetarão demasiadamente o procedimento Duas situações diferentes devem ser consideradas No primeiro caso assumimos que as variâncias das duas distribuições normais são desconhecidas mas iguais isto é σ2 No segundo caso assumimos que σ1 2 e σ2 2 são desconhecidas e não necessariamente iguais Caso 1 Suponha que temos duas populações normais independentes com médias desconhecidas µ1 e µ2 e variâncias desconhecidas mas iguais σ2 Queremos testar Sejam x11 x12 x1n1 uma amostra aleatória de n1 observações da primeira população e x21 x22 x2n2 uma amostra aleatória de n2 observações da segunda população Sejam e as médias e variâncias amostrais respectivamente Agora o estimador do valor esperado da diferença das duas médias amostrais de modo que é um estimador não viesado da diferença de médias A variância de é Parece razoável combinar as duas variâncias amostrais e para formar um estimador de σ2 O estimador combinado de σ2 é definido a seguir O estimador combinado de σ2 denotado por é definido por É fácil ver que o estimador combinado pode ser escrito como em que 0 w 1 Então é uma média ponderada das duas variâncias amostrais e na qual os pesos w e 1 w dependem dos dois tamanhos amostrais n1 e n2 Obviamente se n1 n2 n então w 05 e é simplesmente a média aritmética de e Se n1 10 e n2 20 por exemplo então w 032 e 1 w 068 A primeira amostra contribui com n1 1 graus de liberdade para e a segunda amostra com n2 1 graus de liberdade Assim tem n1 n2 2 graus de liberdade Mas sabemos que tem distribuição N0 1 Substituindo σ por sp obtemos o seguinte resultado Dados os pressupostos desta seção a quantidade tem uma distribuição t com n1 n2 2 graus de liberdade O uso dessa informação para testar a hipótese dada na equação 450 é agora imediato Simplesmente substitua µ1 µ2 por Δ0 e a estatística de teste resultante terá distribuição t com n1 n2 2 graus de liberdade sob H0µ1 µ2 Δ0 A determinação da região crítica para ambas as alternativas bilateral e unilateral é análoga ao caso de uma amostra Esse procedimento é usualmente chamado de teste t combinado O Teste t Combinado para Duas Amostras1 Hipóteses Alternativas Critério de Rejeição para Nível de Significância Fixo Valor P P Soma de probabilidade acima de t0 e abaixo de t0 P Probabilidade acima de t0 P Probabilidade abaixo de t0 EXEMPLO 49 Comparando Rendimentos Médios Dois catalisadores estão sendo testados para se determinar como afetam o rendimento médio de um processo químico Especificamente o catalisador 1 está sendo usado atualmente mas o catalisador 2 é aceitável Como o catalisador 2 é mais barato ele poderia ser adotado desde que não alterasse o rendimento do processo Um experimento é realizado em uma fábrica piloto e os resultados são apresentados na Tabela 42 Existe alguma diferença entre os rendimentos médios Use α 005 e suponha que as variâncias sejam iguais TABELA 42 Dados do Rendimento dos Catalisadores Exemplo 49 Número da Observação Catalisador 1 Catalisador 2 1 9150 8919 2 9418 9095 3 9218 9046 4 9539 6321 5 9179 9719 6 8907 9704 7 9472 9107 8 8921 9275 SOLUÇÃO As hipóteses são H0 μ1 μ2 H1 μ1 μ2 Da Tabela 42 obtivemos que 92 255 s1 239 n1 8 92 733 s2 298 e n2 8 Então e Como t002514 2145 e 2145 035 2145 a hipótese nula não pode ser rejeitada Isto é no nível de significância α 005 não há forte evidência para se concluir que o catalisador 2 produza um rendimento médio que difira do rendimento médio quando o catalisador 1 é usado FIGURA 49 Diagramas de caixa comparativos para os dados dos rendimentos dos catalisadores A Figura 49 mostra os diagramas de caixa comparativos para os dados do rendimento dos dois tipos de catalisadores Esses diagramas comparativos indicam que não existe diferença óbvia entre as medianas das duas amostras embora a segunda amostra tenha uma dispersão ou variabilidade amostral um pouco maior Não há regras exatas para a comparação de duas amostras com diagramas de caixa o papel fundamental é a impressão visual que fornecem como uma ferramenta para explicar os resultados de um teste de hipótese assim como a verificação dos pressupostos A Figura 410 apresenta o gráfico da probabilidade normal gerado pelo Minitab para as duas amostras de dados do rendimento Note que os gráficos de ambas as amostras apresentam dados que se dispõem aproximadamente sobre retas e ambas as retas têm coeficientes angulares semelhantes Relembre que a inclinação da reta é proporcional ao desviopadrão Assim podemos concluir que as hipóteses de normalidade e igualdade de variância são razoáveis FIGURA 410 Gráfico de probabilidade normal do Minitab para os dados dos rendimentos dos catalisadores O valor P também pode ser usado para a tomada de decisão nesse exemplo O valor é P 07289 Esse valor foi obtido por uma calculadora eletrônica Então como o valor P excede α 005 a hipótese nula não pode ser rejeitada A tabela t Tabela IV no Apêndice também pode ser usada para se encontrarem limites para o valor P Caso 2 Em algumas situações não é razoável suporse que as variâncias desconhecidas e sejam iguais Não há uma estatística t exata para testar H0µ1 µ2 Δ0nesse caso No entanto se H0µ1 µ2 Δ0 é verdadeira a estatística é distribuída aproximadamente como uma t com número de graus de liberdade dado por Assim se hipóteses sobre a diferenças nas médias de duas distribuições normais são testadas da mesma forma como no caso de variâncias iguais exceto pelo fato de se usar t 0como estatística de teste e de se substituir n1 n2 2 por v para o número de graus de liberdade do teste Intervalos de Confiança para a Diferença de Médias Variâncias Desconhecidas Caso 1 Se e forem as médias e variâncias de duas amostras aleatórias de tamanhos n1 e n2 respectivamente tiradas de duas populações normais independentes com variâncias desconhecidas mas iguais então um IC de nível 100 1 α para a diferença entre as médias µ1 µ2 será em que é o estimador combinado do desviopadrão populacional comum e tα2 n1 n2 2 é o valor crítico α2 superior da distribuição t com n1 n2 2 graus de liberdade Caso 2 Se e são as médias e variâncias de duas amostras aleatórias de tamanhos n1 e n2 respectivamente tiradas de duas populações normais independentes com variâncias desconhecidas e desiguais então um intervalo de confiança aproximado de nível 100 1 α para a diferença entre as médias µ1 µ2 é em que v é dado pela equação 455 e tα2v é o valor crítico α2 superior da distribuição t com v graus de liberdade EXEMPLO 410 CimentoPadrão Versus Misturado Um artigo publicado na revista Hazardous Waste and Hazardous Materials Vol 6 1989 relatou os resultados de uma análise do peso do cálcio no cimentopadrão e no cimento misturado com chumbo Níveis reduzidos de cálcio são uma indicação de que o mecanismo de hidratação no cimento está bloqueado o que permitiria a água atacar vários locais da estrutura de cimento Dez amostras do cimentopadrão acusaram um peso percentual médio de cálcio de 900 com desviopadrão s1 50 e 15 amostras do cimento misturado com chumbo apresentaram um peso percentual médio de cálcio de 870 com desviopadrão s2 40 Há evidência que apoie a afirmativa de que a mistura do cimento com chumbo mude o peso médio do cálcio no cimento SOLUÇÃO Vamos supor que o peso percentual de cálcio seja normalmente distribuído e determinar o intervalo de confiança de 95 para a diferença das médias µ1 µ2 para os dois tipos de cimento Além disso vamos supor que ambas as populações normais tenham o mesmo desviopadrão A estimativa combinada do desviopadrão comum é calculada usandose a equação 451 como segue Então a estimativa combinada do desviopadrão é O IC de 95 é calculado usandose a equação 456 ou pela substituição dos valores e usando t002523 2069 072 μ1 μ2 672 Note que o IC de 95 inclui o zero então a esse nível de confiança não podemos concluir que exista diferença entre as médias Colocando de outra maneira não há evidência de que misturar o cimento com chumbo afete a média do peso percentual de cálcio assim não podemos afirmar que a presença de chumbo afeta esse aspecto do mecanismo de hidratação no nível de 95 de confiança Solução por Computador Os testes t para duas amostras podem ser executados pela maioria dos pacotes computacionais estatísticos A seguir apresentase a saída da rotina do teste t de duas amostras do Minitab para os dados do rendimento dos catalisadores do Exemplo 49 Teste t e IC de Duas Amostras Catalisador 1 Catalisador 2 A saída inclui resumos estatísticos para cada amostra intervalos de confiança para a diferença das médias e o resultado do teste de hipótese Esta análise foi realizada sob a hipótese de variâncias iguais O Minitab tem uma opção para realizar a mesma análise mas supondo variâncias desiguais Os níveis de confiança e de significância α podem ser especificados pelo usuário O procedimento do teste de hipótese indica que não podemos rejeitar a hipótese de igualdade dos rendimentos médios o que concorda com as nossas conclusões originalmente apresentadas no Exemplo 49 O Minitab fará também os cálculos do poder e do tamanho amostral para o teste t combinado de duas amostras A apresentação que segue ilustra alguns cálculos para o problema do rendimento do catalisador no Exemplo 49 Poder e Tamanho Amostral Na primeira parte da apresentação o Minitab calcula o poder do teste no Exemplo 49 supondo que desejamos rejeitar a hipótese nula se a verdadeira diferença média nos rendimentos dos dois catalisadores for maior do que 2 usando a estimativa combinada do desviopadrão sp 270 Para o tamanho amostral de n1 n2 8 para cada catalisador o poder é relatado como 02816 que é bastante baixo O próximo cálculo determina o tamanho amostral necessário para se produzir um poder de 075 um valor bem melhor O Minitab relata que um tamanho amostral consideravelmente maior para cada tipo de catalisador n1 n2 27 seria necessário Dados Emparelhados Devemos enfatizar que assumimos que as duas amostras utilizadas nos testes anteriores são independentes Em algumas aplicações encontramos dados emparelhados Observações em um experimento são muitas vezes emparelhadas para se evitar que fatores exógenos aumentem ou inflem a estimativa da variância então esse método pode ser usado para aumentar a precisão da comparação de médias Para uma discussão mais detalhada de dados emparelhados veja Montgomery e Runger 2011 A análise de tal situação é ilustrada no seguinte exemplo EXEMPLO 411 O Teste t Emparelhado Dois tipos diferentes de máquina são usados para medir a força de resistência de uma fibra sintética Queremos saber se as duas máquinas fornecem os mesmos valores médios da força de resistência Oito espécimes de fibra são aleatoriamente selecionados e uma medida da força é feita sobre cada espécime usando cada uma das máquinas Os dados são exibidos na Tabela 43 Os dados nesse experimento foram emparelhados para evitar que diferenças entre os espécimes de fibra que podem ser substanciais afetem o teste sobre a diferença das máquinas O procedimento de teste consiste em obter as diferenças entre os pares de observações em cada um dos n espécimes digamos dj x1j x2j j 1 2 n e em seguida testar a hipótese de que a média das diferenças µd é zero Note que testar H0µd 0 é equivalente a testar H0µ1 µ2 além disso o teste sobre µd é simplesmente o teste t de uma amostra discutido na Seção 433 A estatística de teste é em que e SOLUÇÃO No nosso exemplo temos que Assim a estatística de teste é A escolha de α 005 resulta em t00257 2365 e concluímos que não há evidência forte de diferença entre as duas máquinas quanto às medidas da força média de resistência o valor P é P 018 TABELA 43 Dados Emparelhados da Força de Resistência para o Exemplo 411 443 Espécime Máquina 1 Máquina 2 Diferença 1 74 78 4 2 76 79 3 3 74 75 1 4 69 66 3 5 58 63 5 6 71 70 1 7 66 66 0 8 65 67 2 Inferência para as Variâncias de Duas Distribuições Normais Teste de Hipótese Considere o teste de que as variâncias de duas populações normais independentes sejam iguais Se amostras aleatórias de tamanhos n1 e n2 são tiradas das populações 1 e 2 respectivamente então a estatística de teste para é simplesmente a razão das duas variâncias amostrais Rejeitaremos H0 se F0 Fα2 n1 1 n2 1 ou se F0 F1α2 n1 1 n2 1 em que Fα2 n1 1 n2 1 e F1α2 n1 1 n2 1 denotam os valores críticos α2 superior e 1 α2 inferior da distribuição F com n1 1 e n2 1 graus de liberdade respectivamente O seguinte esquema ilustra os procedimentos de teste para as alternativas unilaterais Teste da Hipótese para Distribuições Normais Hipóteses Alternativas Estatística de Teste Critério de Rejeição 444 Intervalo de Confiança para a Razão das Variâncias de Duas Populações Normais Suponha que x1 Nµ1 e x2 Nµ2 em que e são desconhecidas e que queremos construir um intervalo de confiança de nível 1001 α para Se e são as variâncias amostrais de amostras aleatórias com n1 e n2 observações respectivamente então o IC bilateral de nível 1001 α é em que Fα2uv é o valor crítico da distribuição F com u e v graus de liberdade tal que PFuv Fα2uv α2 Os limites de confiança superior e inferior correspondentes são e respectivamente2 Inferência para Duas Proporções Populacionais Vamos considerar agora o caso em que há dois parâmetros binomiais de interesse digamos p1e p2 e queremos fazer inferência sobre essas proporções Vamos apresentar os procedimentos de teste de hipótese e intervalos de confiança para grandes amostras que se baseiam na aproximação normal da binomial Teste de H0p1 p2 para Grandes Amostras Suponha que duas amostras aleatórias independentes de tamanhos n1 e n2 sejam retiradas de duas populações e que x1 e x2representem o número de observações que pertencem à classe de interesse nas amostras 1 e 2 respectivamente Além disso suponha que a aproximação normal da binomial possa ser aplicada para cada população de modo que os estimadores das proporções populacionais e são aproximadamente normais Estamos interessados em testar as hipóteses H0 p1 p2 H1 p1 p2 A estatística é distribuída aproximadamente como uma normal padrão e é a base do teste para H0p1 p2 Especificamente se a hipótese nula H0p1 p2 for verdadeira então usando o fato que p1 p2 p a variável aleatória é distribuída aproximadamente como uma N0 1 Um estimador do parâmetro comum p é A estatística de teste para H0p1 p2 é então Isso nos leva ao procedimento de teste descrito a seguir Teste de Hipóteses sobre Duas Proporções Populacionais Hipóteses Alternativas Critério de Rejeição para Nível de Significância Fixo Valor P Intervalo de Confiança para a Diferença entre Duas Proporções Populacionais Se há duas proporções populacionais de interesse digamos p1 e p2 é possível construirse o IC de nível 1001 α para a sua diferença O IC é dado a seguir 45 451 Esse resultado se baseia na aproximação normal para a distribuição binomial E se Houver Mais de Duas Populações A Análise de Variância Como ilustrado neste capítulo experimentação e teste são partes naturais da engenharia da análise de processos e surgem frequentemente nos problemas de engenharia e controle da qualidade Suponha por exemplo que um engenheiro esteja investigando o efeito de diferentes métodos de aquecimento sobre a resistência de ligas de aço O experimento consiste no teste de vários espécimes de liga usando cada um dos métodos de aquecimento e em seguida na medida da resistência de cada um deles Os dados de tal experimento poderiam então ser usados para se determinar qual método de aquecimento deveria ser usado para a obtenção da maior resistência média Se houver apenas dois métodos de aquecimento o experimento pode ser desenhado e analisado por meio do teste t de duas amostras apresentado neste capítulo Isto é o analista tem um único fator de interesse método de aquecimento e há apenas dois níveis do fator Vários experimentos de um fator exigem que mais de dois níveis do fator sejam considerados Por exemplo o engenheiro pode querer investigar cinco diferentes métodos de aquecimento Nesta seção vamos mostrar como a análise de variância ANOVA pode ser usada para a comparação de médias quando há mais de dois níveis de um único fator Discutiremos também a aleatorização das sequências experimentais e o importante papel que esse conceito desempenha na estratégia de experimentação Na Parte IV discutiremos como planejar e analisar experimentos com vários fatores Um Exemplo Um fabricante de papel para produção de sacos de supermercado está interessado em melhorar a força de resistência do seu produto Da engenharia do produto acreditase que a força de resistência seja função da concentração de madeiras de lei na polpa e que a variedade dessas concentrações de interesse prático seja de 5 a 20 A equipe de engenheiros responsável pelo estudo decide investigar quatro níveis de concentração 5 10 15 e 20 Eles decidem também preparar seis espécimes de teste em cada nível de concentração usando uma fábrica piloto Todos os 24 espécimes foram testados em um laboratório de teste de resistência em ordem aleatória Os dados desse experimento estão na Tabela 44 TABELA 44 Força de Resistência do Papel psi Concentração de Madeira de Lei Observações 1 2 3 4 5 6 Totais Médias 5 7 8 15 11 9 10 60 1000 10 12 17 13 18 19 15 94 1567 15 14 18 19 17 16 18 102 1700 20 19 25 22 23 18 20 127 2117 383 1596 452 Esse é um exemplo de um experimento completamente aleatorizado de um fator com quatro níveis do fator Os níveis do fator são às vezes chamados de tratamentos e cada tratamento tem seis observações ou replicações O papel da aleatorização nesse experimento é extremamente importante Ao aleatorizar a ordem dos 24 testes os efeitos de quaisquer variáveis de ruído que possam influenciar a força de resistência são aproximadamente equilibrados Por exemplo suponha que exista um efeito do aquecimento sobre a máquina de teste isto é quanto mais tempo a máquina fica ligada maior a força de resistência observada Se os 24 testes fossem feitos na ordem crescente da concentração de madeira de lei isto é todos os espécimes com 5 de concentração são testados primeiro seguidos dos espécimes com 10 etc então diferenças observadas na força de resistência poderiam também ser decorrentes do efeito do aquecimento É importante analisaremse graficamente os resultados de um experimento planejado A Figura 411a apresenta os diagramas de caixa da força de resistência para os quatro níveis de concentração Essa figura indica que a mudança de concentração tem um efeito sobre a força de resistência especificamente concentrações mais altas produzem forças de tensão observadas maiores Além disso a distribuição da força de resistência em cada nível de concentração específico é aproximadamente simétrica e a variabilidade na força de tensão não se altera muito com a mudança do nível de concentração A interpretação gráfica dos dados é sempre uma boa ideia Diagramas de caixa mostram a variabilidade das observações dentro de cada tratamento nível do fator e a variabilidade entre tratamentos Vamos discutir agora como os dados de um experimento aleatorizado de um fator podem ser estatisticamente analisados A Análise de Variância Suponha que haja a diferentes níveis de um único fator que queremos comparar Algumas vezes cada nível do fator é chamado tratamento um termo bem geral que tem sua origem nas aplicações iniciais da metodologia de planejamento de experimentos às ciências agrícolas A resposta para cada um dos a tratamentos é uma variável aleatória Os dados observados podem ser esquematizados como na Tabela 45 Uma entrada na Tabela 45 digamos yij representa a j ésima observação feita sob o tratamento i Vamos considerar inicialmente o caso em que há um número igual de observações n em cada tratamento FIGURA 411 a Diagramas de caixa para os dados da concentração de madeira de lei b Apresentação do modelo na Equação 465 para o experimento completamente aleatorizado de um fator Podemos descrever as observações na Tabela 45 pelo modelo estatístico linear em que yij é uma variável aleatória denotando a ijésima observação µ é um parâmetro comum a todos os tratamentos denominado média geral τi é um parâmetro associado ao iésimo tratamento chamado efeito do tratamento i e εij é o componente do erro aleatório Note que o modelo poderia ser escrito como TABELA 45 Dados Típicos para um Experimento de um Fator Tratamento Observações Totais Médias 1 y11 y12 y1n y1 2 y21 y22 y2n y2 a ya1 ya2 yan ya y em que µi µ τi é a média do iésimo tratamento Nessa forma do modelo podemos ver que cada tratamento define uma população que tem média µi consistindo em uma média geral µ mais um efeito τi que é decorrente do tratamento em questão Vamos supor que os erros εijsejam independentes e normalmente distribuídos com média zero e variância σ2 Assim cada tratamento pode ser considerado como uma população normal com média µi e variância σ2 Veja a Fig 411b A equação 465 é o modelo subjacente para um experimento de um fator Além disso como exigimos que as observações fossem tomadas em uma ordem aleatória e que o ambiente frequentemente chamado unidades experimentais no qual os tratamentos são aplicados fosse o mais uniforme possível esse desenho é chamado um desenho ou planejamento experimental completamente aleatorizado Vamos agora apresentar a análise de variância para testar a igualdade das a médias populacionais Esse modelo de análise de variância ANOVA é chamado modelo de efeitos fixos No entanto a análise de variância é uma técnica muito mais geral e útil que será extensivamente aplicada nos Capítulos 13 e 14 Nesta seção vamos mostrar como ela pode ser usada para o teste da igualdade dos efeitos dos tratamentos Os efeitos dos tratamentos τi são definidos em geral como desvios da média geral µ de modo que Vamos representar por o total das observações sob o iésimo tratamento e por a média das observações sob o i ésimo tratamento Analogamente sejam o total geral de todas as observações e a média geral de todas as observações Em termos matemáticos em que N an é o número total de observações Assim a notação do subscrito ponto indica soma ao longo do subscrito por ele substituído Estamos interessados em testar a igualdade das médias µ1 µ2 µa dos a tratamentos Usando a equação 466 podemos ver que isso é equivalente ao teste das hipóteses Então se a hipótese nula for verdadeira cada observação consiste em uma média geral µ mais uma realização da componente do erro aleatório εij Isso equivale a dizer que todas as N observações são tomadas de uma distribuição normal com média µ e variância σ2 Assim se a hipótese nula for verdadeira a mudança dos níveis do fator não tem nenhum efeito sobre a resposta média A ANOVA faz uma partição da variabilidade total na amostra de dados em duas partes Então o teste da hipótese na equação 468 se baseia na comparação de duas estimativas independentes da variância populacional A variabilidade total nos dados é descrita pela soma de quadrados total A partição básica da ANOVA da soma de quadrados total é dada na seguinte definição A identidade das somas dos quadrados da ANOVA é A demonstração dessa identidade é imediata Note que podemos escrever ou Mas o termo do produto cruzado na equação 470 é zero porque Assim mostramos que a equação 470 se reduz à equação 469 A identidade na equação 469 mostra que a variabilidade total nos dados medida pela soma de quadrados total pode ser dividida em uma soma de quadrados das diferenças entre as médias dos tratamentos e a média geral e na soma de quadrados das diferenças entre as observações dentro de cada tratamento e a média do respectivo tratamento Diferenças entre médias de tratamentos observadas e a média geral quantificam diferenças entre tratamentos enquanto diferenças das observações dentro de um tratamento e a média do tratamento podem ser decorrentes apenas de um erro aleatório Assim escrevemos a equação 469 simbolicamente como em que e Podemos ganhar uma compreensão considerável de como a análise de variância funciona examinando os valores esperados de SQTratamentos e SQE Isso nos levará a uma estatística de teste apropriada da hipótese de nenhuma diferença entre médias dos tratamentos ou τi 0 O valor esperado da soma dos quadrados dos tratamentos é Agora se a hipótese nula na equação 468 é verdadeira cada τi é igual a zero e Se a hipótese alternativa for verdadeira então A razão MQTratamentos SQTratamentosa 1 é chamada de média quadrática dos tratamentos Então se H0 for verdadeira MQTratamentos será um estimador não viesado de σ2 enquanto se H1for verdadeira MQTratamentos estima σ2 mais um termo positivo que incorpora a variação decorrente da diferença sistemática entre as médias dos tratamentos Consulte o material suplementar do site da Editora LTC para este capítulo para ver as demonstrações dessas duas afirmativas Podese mostrar também que o valor esperado da soma dos quadrados dos erros é ESQE an 1σ2 Então a média quadrática dos erros MQE SQEan 1 é um estimador não viesado de σ2 independentemente de H0 ser ou não verdadeira A média quadrática do erro é um estimador não viesado de σ2 Há também uma partição do número de graus de liberdade que corresponde à identidade das somas de quadrados da Equação 469 Isto é se houver an N observações então SQT tem an 1 graus de liberdade Se houver a níveis do fator então SQTratamentos terá a 1 graus de liberdade Finalmente dentro de cada tratamento há n replicações que fornecem n 1 graus de liberdade com os quais podemos estimar o erro experimental Como há a tratamentos temos an 1 graus de liberdade para o erro Assim a partição para os graus de liberdade é an a 1 an 1 Suponha agora que cada uma das a populações possa ser modelada como uma distribuição normal Com essa suposição podese mostrar que se a hipótese nula H0 for verdadeira então a razão terá uma distribuição F com a 1 e an 1 graus de liberdade Além disso dos valores esperados das médias quadráticas sabemos que MQE é um estimador não viesado de σ2 Também sob a hipótese nula MQTratamentos é um estimador não viesado de σ2 No entanto se a hipótese nula for falsa o valor esperado de MQTratamentos será maior que σ2 Assim sob a hipótese alternativa o valor esperado do numerador da estatística de teste equação 472 é maior que o valor esperado do denominador Consequentemente deveremos rejeitar H0 se o valor da estatística for grande Isso implica uma região crítica unilateral superior Então rejeitaremos H0 se F0 Fαa 1an 1 em que F0 é calculada pela Equação 472 Uma abordagem pelo valor P também pode ser usada com o valor P igual à probabilidade acima de F0 na distribuição Fa 1an 1 Em geral só podemos achar limites para o valor P quando temos acesso apenas a tabelas da distribuição F tal como a Tabela V do Apêndice Programas de computador em geral fornecem um valor P exato Fórmulas computacionais eficientes para as somas de quadrados podem ser obtidas pela expansão e simplificação das definições de SQTratamentos e SQT o que leva aos seguintes resultados Definição As fórmulas computacionais das somas de quadrados para a análise de variância com tamanhos de amostra iguais em cada tratamento são e A soma dos quadrados dos erros é obtida por subtração como Os cálculos para este procedimento de teste são resumidos em forma tabular conforme exibido na Tabela 46 Esta é chamada tabela da análise de variância ou ANOVA TABELA 46 A Análise de Variância para um Experimento de um Fator Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 Tratamentos SQTratamentos a 1 MQTratamentos Erro SQE an 1 MQE Total SQT an 1 EXEMPLO 412 Experimento da Força de Resistência de Papel Considere o experimento para a força de resistência de papel descrito na Seção 451 Use a análise de variância para testar a hipótese de que diferentes concentrações de madeira de lei não afetam a força de resistência média do papel SOLUÇÃO As hipóteses são H0 τ1 τ2 τ3 τ4 0 H1 τi 0 para pelo menos um i Usaremos α 001 As somas de quadrados para a análise de variância são calculadas a partir das equações 473 474 e 475 como se segue Em geral não fazemos esses cálculos à mão A ANOVA do Minitab é apresentada na Tabela 47 Como F001320 494 rejeitamos H0 e concluímos que a concentração de madeira de lei na polpa afeta a resistência do papel Note que o programa informa o valor P para a estatística F 1961 na Tabela 47 como zero Esse é um valor truncado A Tabela V do Apêndice informa que F001320 494 de modo que o valor P certamente é menor que 001 O valor real é P 359 106 Entretanto como o valor P é muito menor que α 001 temos forte evidência para concluir que H0 não é verdadeira Note que o Minitab também fornece um sumário de informações sobre cada nível de concentração incluindo o intervalo de confiança para cada média TABELA 47 Saída do Minitab para a Análise de Variância do Experimento da Força de Resistência do Papel Análise da Variância de Um Fator Note que a análise de variância nos informa se há diferença entre médias Ela não informa quais médias são diferentes Se a análise de variância indicar que existe uma diferença estatisticamente significante entre as médias há um procedimento gráfico simples que pode ser usado para isolar as diferenças específicas Suponha que sejam as médias observadas para os níveis do fator A média de cada tratamento tem desviopadrão em que σ é o desviopadrão de uma observação individual Se as médias de todos os tratamentos fossem iguais as médias observadas se comportariam como se fossem observações retiradas de uma distribuição normal com média µ e desviopadrão Visualize essa distribuição normal deslizando sobre um eixo abaixo do qual as médias dos tratamentos são plotadas Se todas as médias fossem iguais haveria uma posição para essa distribuição que tornaria óbvio que os valores foram tirados da mesma distribuição Se esse não é o caso então os valores que não parecem ter sido retirados dessa distribuição são associados a tratamentos que produzem respostas médias diferentes A única falha nesse raciocínio é que σ é desconhecido No entanto podemos usar da análise de variância para estimar σ Isso implica que uma distribuição t deve ser usada no lugar da normal ao se construir o gráfico mas como a t é muito parecida com a normal o esboço de uma curva normal que tenha unidades de largura será uma boa solução A Figura 412 mostra esse esquema para os dados do experimento sobre a concentração de madeira na polpa na Seção 451 O desviopadrão dessa distribuição normal é Visualizando essa curva deslizar sobre o eixo horizontal podemos observar que não há nenhuma localização para a distribuição que sugira que as quatro observações as médias representadas graficamente sejam valores aleatoriamente 453 selecionados dessa distribuição Isso naturalmente era esperado porque a análise de variância indicou diferença entre as médias e o esquema da Figura 412 é simplesmente uma representação gráfica dos resultados da análise da variância Na verdade o que a figura indica é que o tratamento 4 concentração de 20 produz papel com força média de resistência maior do que os outros tratamentos e que o tratamento 1 5 de concentração resulta em uma força de resistência menor que a dos outros tratamentos As médias dos tratamentos 2 e 3 10 e 15 de concentração respectivamente não parecem diferir entre si Esse procedimento simples é bastante rudimentar mas constitui uma técnica bastante útil e efetiva para a comparação de médias depois da análise de variância No entanto há muitas outras maneiras mais formais de se fazer isso Para mais detalhes sobre esses procedimentos veja Montgomery 2009 FIGURA 412 Força de resistência média para o experimento da concentração de madeira de lei em relação à distribuição normal com desviopadrão Verificando Pressupostos Análise dos Resíduos A análise da variância supõe que os erros do modelo e como resultado as observações sejam independentes e normalmente distribuídos com a mesma variância em cada nível do fator Esses pressupostos podem ser verificados através de uma análise dos resíduos Definimos um resíduo como a diferença entre o valor observado yij e o valor que seria obtido por um ajuste de mínimos quadrados do modelo subjacente da análise de variância Para o tipo de desenho experimental utilizado aqui o valor é a média do nível do fator Então o resíduo é eij yij isto é a diferença entre uma observação e a média do nível do fator correspondente Os resíduos para o experimento das concentrações de madeira de lei são exibidos na Tabela 48 A hipótese de normalidade pode ser verificada com a construção de um gráfico de probabilidade normal para os resíduos Para verificar a hipótese de igualdade das variâncias para cada nível do fator grafe os resíduos versus os níveis do fator e compare a dispersão dos resíduos É também útil construirse um gráfico dos resíduos versus algumas vezes chamado valor ajustado a variabilidade nos resíduos não deve depender de forma alguma dos valores de yi Quando um padrão aparece nesses gráficos ele normalmente sugere a necessidade de uma transformação dos dados isto é análise dos dados em uma métrica diferente Por exemplo se a variabilidade dos resíduos aumentasse com yi então uma transformação do tipo log y ou deveria ser considerada Em alguns problemas a dependência entre a dispersão dos resíduos e yi é uma informação muito importante Pode ser de interesse a escolha de um nível do fator que forneça resposta média máxima no entanto esse nível pode ser também aquele que causa maior variação na resposta de uma rodada para outra do experimento A hipótese de independência pode ser verificada através de um gráfico dos resíduos versus a ordem da rodada na qual o experimento foi executado Um padrão nesse gráfico tal como sequências de resíduos positivos e negativos pode indicar que as observações não são independentes Isso sugere que a ordem das rodadas é importante ou que variáveis que mudam ao longo do tempo são importantes e não estão sendo consideradas no planejamento do experimento Um gráfico da probabilidade normal dos resíduos para os dados de concentração de madeira de lei é exibido na Figura 413 As Figuras 414 e 415 apresentam os resíduos plotados em função dos níveis do fator e dos valores ajustados Esses gráficos não parecem revelar qualquer inadequação ou problema com os pressupostos do modelo TABELA 48 Resíduos para o Experimento da Madeira de Lei Concentração de Madeira de Lei Resíduos 46 5 300 200 500 100 100 000 10 367 133 267 233 333 067 15 300 100 200 000 100 100 20 217 383 083 183 317 117 FIGURA 413 Gráfico de probabilidade normal para os resíduos do experimento sobre a concentração de madeira de lei FIGURA 414 Gráfico dos resíduos versus níveis do fator FIGURA 415 Gráfico dos resíduos versus Modelos de Regressão Linear Em muitos problemas duas ou mais variáveis são relacionadas e é de interesse a modelagem e a exploração dessa relação Por exemplo em um processo químico a quantidade produzida está relacionada com a temperatura de operação O engenheiro químico pode desejar construir um modelo que relacione a produção com a temperatura e então usálo para predição otimização ou controle do processo Em geral suponha que haja uma única variável dependente ou resposta y que depende de kvariáveis independentes ou regressoras por exemplo x1 x2 xk A relação entre essas variáveis é caracterizada por um modelo matemático chamado de modelo de regressão O modelo de regressão se ajusta a um conjunto particular de dados Em algumas circunstâncias o experimentador sabe a forma exata da verdadeira relação funcional entre y e x1 x2 xk No entanto na maioria dos casos a verdadeira relação funcional é desconhecida e o experimentador escolhe uma função apropriada para aproximar o verdadeiro modelo Modelos polinomiais de baixa ordem são amplamente usados como funções aproximadoras Há muitas aplicações dos modelos de regressão na melhoria da qualidade e do processo Nesta seção apresentamos alguns aspectos do ajuste desses modelos Apresentações mais completas de regressão estão disponíveis em Montgomery Peck e Vining 2006 461 Como um exemplo de um modelo de regressão linear suponha que desejemos desenvolver um modelo empírico que relacione a viscosidade de um polímero à temperatura e à taxa de alimentação do catalisador Um modelo que pode descrever essa relação é em que y representa a viscosidade x1 representa a temperatura e x2 representa a taxa de alimentação do catalisador Esse é um modelo de regressão linear múltipla com duas variáveis independentes Em geral chamamos as variáveis independentes de variáveis preditoras ou regressoras Usase o termo linear porque a equação 476 é uma função linear dos parâmetros desconhecidos β0 β1 e β2 O modelo descreve um plano no espaço bidimensional x1 x2 O parâmetro β0 define o intercepto do plano Algumas vezes chamamos β1 e β2 de coeficientes de regressão parcial porque β1 mede a mudança esperada em y por unidade de mudança em x1 quando x2 é mantido constante e β2 mede a mudança esperada em y por unidade de mudança em x2 quando x1 é mantido constante Em geral a variável resposta y pode estar relacionada com k variáveis regressoras O modelo é chamado de modelo de regressão linear múltipla com k variáveis regressoras Os parâmetros βj j 0 1 k são chamados de coeficientes de regressão Esse modelo descreve um hiperplano no espaço kdimensional das variáveis regressoras xj O parâmetro βj representa a mudança esperada na resposta y por unidade de mudança em xj i j quando todas as demais variáveis independentes são mantidas constantes Modelos mais complexos na aparência do que a equação 477 ainda podem em geral ser analisados com as técnicas da regressão linear múltipla Por exemplo considere a adição de um termo de interação ao modelo de primeira ordem em duas variáveis digamos Se fizermos x3 x1x2 e β3 β12 então a Equação 478 pode ser escrita como que é um modelo de regressão linear múltipla padrão com três regressores Como outro exemplo considere o modelo de superfície de resposta em duas variáveis Se fizermos x3 x1 2 x4 x2 2 x5 x1x2 β3 β11 β4 β22 e β5 β12 então a equação se torna que é um modelo de regressão linear Em geral qualquer modelo de regressão que é linear nos parâmetros os βs é um modelo de regressão linear independentemente da forma da superfície de resposta que ele gera Nesta seção resumiremos métodos para a estimação de parâmetros nos modelos de regressão linear múltipla Isso é em geral chamado de ajuste do modelo Discutiremos também métodos para o teste de hipóteses e construção de intervalos de confiança para esses modelos bem como para a verificação da adequação do ajuste do modelo Para apresentações mais completas sobre regressão consulte Montgomery Peck e Vining 2006 Estimação dos Parâmetros em Modelos de Regressão Linear O método dos mínimos quadrados é usado tipicamente para a estimação dos coeficientes de regressão em um modelo de regressão linear múltipla Suponha que estejam disponíveis n k observações sobre a variável resposta digamos y1 y2 yn Junto com cada resposta observada yi teremos uma observação sobre cada variável regressora xj e seja xij e iésima observação ou nível da variável xj Os dados aparecerão como na Tabela 49 Supomos que o termo erro ε no modelo tenha Eε 0 e Vε σ2 e que εi seja um conjunto de variáveis aleatórias não correlacionadas Podemos escrever a equação do modelo Equação 477 em termos das observações na Tabela 49 como TABELA 49 Dados para a Regressão Linear Múltipla y x1 x2 xk y1 x11 x12 x1k y2 x21 x22 x2k yn xn1 xn2 xnk O método dos mínimos quadrados escolhe os βs na equação 482 de modo que a soma dos quadrados dos erros εi seja minimizada A função de mínimos quadrados é A função L deve ser minimizada em relação a β0 β1 βk Os estimadores de mínimos quadrados digamos β0 β1 βk devem satisfazer Simplificando a equação 484 obtivemos Essas equações são chamadas de equações normais de mínimos quadrados Note que há p k 1 equações normais uma para cada um dos coeficientes de regressão desconhecidos As soluções das equações normais serão os estimadores dos coeficientes de regressão As soluções das equações normais são de mais fácil obtenção se elas forem expressas em notação matricial Apresentamos um desenvolvimento matricial das equações normais que acompanha o desenvolvimento da Equação 485 O modelo em termos das observações Equação 482 pode ser escrito em notação matricial como y Xβ ε em que Em geral y é um vetor n 1 das observações X é uma matriz n p dos níveis das variáveis independentes β é um vetor p 1 dos coeficientes de regressão e ε é um vetor n 1 dos erros aleatórios Desejamos encontrar o vetor dos estimadores de mínimos quadrados que minimize Note que L pode ser expressa como porque βʹ Xʹ y é uma matriz 1 1 ou um escalar e sua transposta βʹ Xʹ yʹ yʹ Xβ é o mesmo escalar Os estimadores de mínimos quadrados devem satisfazer que simplificado se torna A Equação 487 é a forma matricial das equações normais de mínimos quadrados É idêntica à Equação 485 Para resolver as equações normais multiplique ambos os membros da equação 487 pelo inverso de Xʹ X Assim o estimador de mínimos quadrados de β é É fácil ver que a forma matricial das equações normais é idêntica à forma escalar Escrevendo a equação 487 em detalhe obtivemos Se se efetua a multiplicação de matrizes indicada obtémse a forma escalar das equações normais isto é equação 485 Nessa forma é fácil ver que Xʹ X é uma matriz simétrica p p e que Xʹ y é um vetor coluna p 1 Note a estrutura especial da matriz Xʹ X Os elementos da diagonal principal de Xʹ X são as somas dos quadrados dos elementos nas colunas de X e os elementos fora da diagonal são as somas dos produtos cruzados dos elementos nas colunas de X Além disso note que os elementos de Xʹ y são as somas dos produtos cruzados das colunas de X e as observações yi O modelo de regressão ajustado é Na forma escalar o modelo ajustado é A diferença entre a observação real yi e o valor ajustado correspondente é o resíduo digamos O vetor n 1 dos resíduos é denotado por Estimação de σ2 Usualmente é necessário estimarse σ2 Para desenvolver um estimador para esse parâmetro considere a soma de quadrados dos resíduos Substituindo teremos Como essa última equação se torna A equação 491 é chamada da soma de quadrados do erro ou dos resíduos e tem n p graus de liberdade associados a ela Podese mostrar que ESQE σ2n p de modo que um estimador não viesado de σ2 é dado por Propriedades dos Estimadores O método de mínimos quadrados produz um estimador não viesado do parâmetro β no modelo de regressão linear Isso se mostra facilmente tomandose o valor esperado de como segue porque Eε 0 e Xʹ X1 Xʹ X I Assim é um estimador não viesado de β A propriedade da variância de é expressa na matriz de covariância que é exatamente a matriz simétrica cujo iésimo elemento na diagonal principal é a variância do coeficiente de regressão individual e cujo ijésimo elemento é a covariância entre e A matriz de covariância de é EXEMPLO 413 Ajuste de um Modelo de Regressão Linear Dezesseis observações sobre o custo de operação de uma agência de uma companhia financeira y e duas variáveis preditoras número de novos pedidos de empréstimo x1 e número de pedidos pendentes x2 são mostradas na Tabela 410 Ajuste um modelo de regressão linear y β0 β1x1 β2x2 ε a esses dados SOLUÇÃO A matriz X e o vetor y são TABELA 410 Dados Financeiros de Clientes para o Exemplo 413 Observação Novos Pedidos x1 Números de Empréstimos Pendentes x2 Custo 1 80 8 2256 2 93 9 2340 3 100 10 2426 4 82 12 2293 5 90 11 2330 6 99 8 2368 7 81 8 2250 8 96 10 2409 9 94 12 2364 10 93 11 2379 11 97 13 2440 12 95 11 2364 13 100 8 2404 14 85 12 2317 15 86 9 2309 16 87 12 2328 A matriz Xʹ X é e o vetor Xʹ y é O estimador de mínimos quadrados de β é TABELA 411 Valores Preditos Resíduos e Outros Diagnósticos do Exemplo 413 Observaçãoi yi Valor Predito Resíduo ei hii Resíduo Studentizado Di R Student 1 2256 22445 115 0350 087 0137 087 2 2340 23521 121 0102 078 0023 077 3 2426 24141 119 0177 080 0046 079 4 2293 22940 10 0251 007 0001 007 5 2330 23464 164 0077 105 0030 105 6 2368 23893 213 0265 152 0277 161 7 2250 22521 21 0319 015 0004 015 8 2400 23836 254 0098 164 0097 176 9 2364 23855 215 0142 142 0111 148 10 2379 23693 97 0080 062 0011 060 11 2440 24169 231 0278 166 0354 180 12 2364 23845 205 0096 132 0062 136 13 2404 23969 71 0289 052 0036 050 14 2317 23169 01 0185 001 0000 001 15 2309 22988 102 0134 067 0023 066 16 2328 23321 41 0156 028 0005 027 ou FIGURA 416 Gráfico de probabilidade normal dos resíduos Exemplo 413 FIGURA 417 Gráfico de resíduos versus custo predito Exemplo 413 O ajuste de mínimos quadrados com os coeficientes de regressão com duas casas decimais é As três primeiras colunas da Tabela 411 apresentam as observações reais yi os valores preditos ou ajustados e os resíduos A Figura 416 é um gráfico de probabilidade normal dos resíduos Gráficos dos resíduos versus os valores preditos e versus as duas variáveis x1 e x2 são mostrados nas Figuras 417 418 e 419 respectivamente Assim como na ANOVA o gráfico de resíduos é parte integrante da construção do modelo Esses gráficos indicam que a variância do custo observado tende a aumentar com a magnitude do custo A Figura 418 sugere que a variabilidade no custo pode ser crescente à medida que aumenta o número de novos pedidos 462 FIGURA 418 Gráfico de resíduos versus x1 novos pedidos Exemplo 413 FIGURA 419 Gráfico de resíduos versus x2 pedido pendente Exemplo 413 Uso do Computador O ajuste de um modelo de regressão é quase sempre feito com o uso de um pacote estatístico A Tabela 412 mostra algumas das saídas obtidas quando se usou o Minitab para o ajuste do modelo do cliente financeiro no Exemplo 413 Nas seções subsequentes discutiremos a análise da variância e a informação sobre o teste t na Tabela 412 e mostraremos como essas quantidades foram calculadas Teste de Hipótese em Regressão Múltipla Nos problemas de regressão múltipla certos testes de hipóteses sobre os parâmetros do modelo ajudam na medida da utilidade do modelo Nesta seção descrevemos vários procedimentos importantes de teste de hipóteses Esses procedimentos exigem que os erros εi no modelo sejam normais e independentemente distribuídos com média zero e variância σ2 abreviadamente ε NID0 σ2 Como resultado dessa hipótese as observações yi são normais e independentemente distribuídas com média e variância σ2 Teste de Significância da Regressão O teste de significância da regressão é um teste para se determinar se existe uma relação linear entre a variável resposta y e um subconjunto das variáveis regressoras x1 x2 xk As hipóteses apropriadas são TABELA 412 Saída do Minitab para o Modelo de Regressão para o Cliente Financeiro Exemplo 413 A rejeição de H0 na equação 495 implica que pelo menos uma das variáveis regressoras x1 x2 xk contribui significantemente para o modelo O procedimento do teste envolve uma análise da variância através da divisão da soma de quadrados total SQT em uma soma de quadrados decorrente do modelo ou da regressão e uma soma de quadrados decorrente do resíduo ou erro como Mas se a hipótese nula H0β1 β2 βk 0 for verdadeira então SQRσ2 é distribuída segundo em que o número de graus de liberdade para é igual ao número de variáveis regressoras no modelo Também podemos mostrar que SQEσ2 é distribuída segundo e que SQE e SQR são independentes O procedimento de teste para H0β1 β2 βk 0 consiste no cálculo de e na rejeição de H0 se F0 exceder Fαkn k 1 Alternativamente poderíamos usar a abordagem do valor P para o teste de hipótese e assim rejeitar H0 se o valor P para a estatística F0 for menor do que α O teste é usualmente resumido em uma tabela de análise da variância como a Tabela 413 Podese encontrar facilmente uma fórmula de cálculo para SQR Deduzimos uma fórmula de cálculo para SQE na equação 491 isto é Agora como poderemos reescrever essa equação como ou SQE SQT SQR Assim a soma de quadrados da regressão é a soma de quadrados do erro é e a soma de quadrados total é Esses cálculos são quase sempre realizados com programas de regressão Por exemplo a Tabela 412 mostra algumas saídas do Minitab para o modelo de regressão do cliente financeiro no Exemplo 413 A parte inferior nessa apresentação é a análise da variância para o modelo O teste de significância da regressão nesse exemplo envolve as hipóteses H0 β1 β2 0 H1 βj 0 para pelo menos um j O valor P na Tabela 413 para a estatística F equação 497 é muito pequeno de modo que concluímos que pelo menos uma das duas variáveis novos pedidos x1 e empréstimos pendentes x2 tem um coeficiente de regressão não nulo A Tabela 413 relata também o coeficiente de determinação R2 em que A estatística R2 é uma medida da quantidade de redução na variabilidade de y obtida pelo uso das variáveis regressoras x1 x2 xk no modelo No entanto um grande valor de R2 não implica necessariamente que o modelo de regressão seja um bom modelo O acréscimo de uma variável ao modelo sempre aumentará o valor de R2 independentemente de a variável acrescentada ser ou não estatisticamente significante Assim é possível que modelos com grandes valores de R2 produzam predições fracas de novas observações ou estimativas da resposta média Como R2 sempre aumenta à medida que acrescentamos termos ao modelo alguns construtores de modelos de regressão preferem usar uma estatística R2 ajustada definida como Em geral a estatística R2 ajustada não aumentará sempre ao acrescentarmos variáveis ao modelo Na realidade se termos desnecessários forem acrescentados o valor de sempre diminuirá Por exemplo considere o modelo de regressão do cliente financeiro O R2 ajustado para o modelo é mostrado na Tabela 412 e é calculado como TABELA 413 Análise da Variância para a Significância da Regressão na Regressão Múltipla Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 Regressão SQR k MQR MQRMQE Erro ou resíduo SQE n k 1 MQE Total SQT n 1 o que é muito próximo do valor ordinário de R2 Quando R2 e diferem drasticamente há uma boa chance de que termos não significantes tenham sido incluídos no modelo Testes dos Coeficientes de Regressão Individuais e Grupos de Coeficientes Frequentemente estamos interessados no teste de hipóteses sobre os coeficientes de regressão individuais Tais testes seriam úteis na determinação da importância de cada variável regressora no modelo de regressão Por exemplo o modelo poderia ser mais eficaz com a inclusão de variáveis adicionais ou talvez com a retirada de uma ou mais das variáveis já presentes no modelo O acréscimo de uma variável ao modelo sempre faz com que a soma de quadrados da regressão aumente e a soma dos quadrados dos erros decresça Devemos decidir se o aumento na soma dos quadrados da regressão é suficiente para garantir o uso da variável adicional no modelo Além disso o acréscimo de uma variável sem importância ao modelo pode realmente aumentar a soma dos quadrados dos erros diminuindo assim a utilidade do modelo As hipóteses para a significância de qualquer coeficiente de regressão individual digamos βj são H0 βj 0 H1 βj 0 Se H0βj 0 não for rejeitada então isso indica que xj poderá ser removida do modelo A estatística de teste para essa hipótese é em que Cjj é o elemento da diagonal de XʹX1 correspondente a A hipótese nula H0βj 0 é rejeitada se t0 tα2nk 1 Note que esse é realmente um teste parcial ou marginal porque o coeficiente de regressão depende de todas as outras variáveis xi i j que estão no modelo O denominador da equação 4103 é frequentemente chamado de erropadrão do coeficiente de regressão isto é Assim uma maneira equivalente de se escrever a estatística de teste na Equação 4103 é A maioria dos programas de computador para regressão fornece o teste t para cada parâmetro do modelo Por exemplo considere a Tabela 412 que contém a saída do Minitab para o Exemplo 413 A parte superior dessa tabela fornece a estimativa de mínimos quadrados para cada parâmetro o erropadrão a estatística t e o valor P correspondente Concluímos que ambas as variáveis novos pedidos e empréstimos pendentes contribuem significantemente para o modelo Podemos também examinar diretamente a contribuição para a soma de quadrados da regressão para uma variável particular digamos xj dado que as outras variáveis xi i j estão incluídas no modelo O procedimento para se fazer isso é o teste de significância geral da regressão ou como é muitas vezes chamado o método da soma de quadrados extra Esse procedimento pode também ser usado para se investigar a contribuição de um subconjunto de variáveis regressoras para o modelo Considere o modelo de regressão com k variáveis regressoras y Xβ ε em que y é n 1 X é n p β é n 1 ε é n 1 e p k 1 Gostaríamos de determinar se o subconjunto de variáveis regressoras x1 x2 xr r k contribui significantemente para o modelo de regressão Considere a seguinte partição do vetor dos coeficientes de regressão em que β1 é r 1 e β2 é p r 1 Desejamos testar as hipóteses O modelo pode ser escrito como em que X1 representa as colunas de X associadas a β1 e X2 representa as colunas de X associadas a β2 Para o modelo completo incluindo β1 e β2 sabemos que Também a soma de quadrados da regressão para todas as variáveis incluindo o intercepto é e SQRβ se chama soma de quadrados da regressão decorrente de β Para encontrarmos a contribuição dos termos em β1 para a regressão ajustamos o modelo supondo que a hipótese nula H0 β1 0 seja verdadeira Encontrase o modelo reduzido a partir da Equação 4107 com β1 0 O estimador de mínimos quadrados de β2 é e A soma de quadrados da regressão decorrente de β1 dado que β2 já está no modelo é Essa soma de quadrados tem r graus de liberdade Ela é a soma de quadrados extra decorrente de β1 Note que SQRβ1β2 é o aumento na soma se quadrados da regressão decorrente da inclusão das variáveis x1 x2 xr no modelo Agora SQRβ1 β2 é independente de MQE e a hipótese nula β1 0 pode ser testada pela estatística Se F0 Fαrn p rejeitamos H0 concluindo que pelo menos um dos parâmetros em β1 é não nulo e consequentemente pelo menos uma das variáveis x1 x2 xr em X1 contribui significantemente para o modelo de regressão Alguns autores chamam o teste na Equação 4111 de teste F parcial O teste F parcial é muito útil Podemos usálo para medir a contribuição de xj como se ele fosse a última variável inserida no modelo pelo cálculo SQRβjβ0 β1 βj 1 βj 1 βk Esse é o aumento na soma de quadrados da regressão devido ao acréscimo de xj ao modelo que já inclui x1 xj 1 xj 1 xk Note que o teste F parcial em uma única variável xj é equivalente ao teste t na equação 4103 No entanto o teste F parcial é um procedimento mais geral na medida em que pode medir o efeito de conjuntos de variáveis EXEMPLO 414 O Método da Soma de Quadrados Extra Considere os dados de cliente financeiro no Exemplo 413 Avalie a contribuição de x2empréstimos pendentes para o modelo SOLUÇÃO As hipóteses que queremos testar são H0 β2 0 H1 β2 0 Isso exigirá a soma de quadrados extra decorrente de β2 ou SQRβ1β2 β0 SQRβ0β1 β2 SQRβ0 β1 SQRβ1β2β0 SQRβ2β0 Pela Tabela 412 em que testamos em relação à significância da regressão temos SQRβ2β1 β0 441571 que foi chamado soma de quadrados do modelo na tabela Essa soma de quadrados tem dois graus de liberdade O modelo reduzido é y β0 β1x1 ε O ajuste de mínimos quadrados para esse modelo é 463 e a soma de quadrados da regressão para esse modelo com um grau de liberdade é SQRβ1β0 408408 Note que SQRβ1β0 é mostrada embaixo na saída do Minitab na Tabela 412 sob o cabeçalho Seq SS Assim SQRβ2β0 β1 441571 408408 33163 com 2 1 1 grau de liberdade Esse é o aumento na soma de quadrados da regressão que resulta da adição de x2 ao modelo que já tem x1 e é mostrado embaixo na saída do Minitab na Tabela 412 Para o teste de H0β2 0 da estatística de teste obtivemos Note que MQE do modelo completo Tabela 412 é usada no denominador de F0 Como F005113 467 rejeitamos H0β2 0 e concluímos que x2 empréstimos pendentes contribui significantemente para o modelo Uma vez que esse teste parcial envolve apenas uma regressora ele é equivalente ao teste t porque o quadrado de uma variável aleatória t com v graus de liberdade é uma variável aleatória F com 1 e v graus de liberdade Para ver isso note pela Tabela 412 que a estatística t para H0β2 0 resultou em t0 35203 e que t2 0 352032 123925 F0 Intervalos de Confiança em Regressão Múltipla Frequentemente é necessária a construção de estimativas de intervalos de confiança para os coeficientes de regressão βj e para outras quantidades de interesse no modelo de regressão O desenvolvimento de um procedimento para a obtenção desses ICs requer a hipótese de que os erros εi sejam normal e independentemente distribuídos com média não nula e variância σ2 a mesma hipótese feita para o teste de hipótese na Seção 462 Intervalos de Confiança para os Coeficientes Individuais da Regressão Como o estimador de mínimos quadrados é uma combinação linear das observações segue que é normalmente distribuído com vetor médio β e matriz de covariância σ2 XʹX1 Então cada uma das estatísticas é distribuída como uma t com n p graus de liberdade em que Cjj é o jjésimo elemento da matriz XʹX1 e é a estimativa da variância do erro obtida da Equação 492 Assim um IC de 1001 α para o coeficiente de regressão βj j 0 1 k é Note que esse IC também poderia ser escrito como porque EXEMPLO 415 Um Intervalo de Confiança para um Coeficiente de Regressão Construa um intervalo de confiança de 95 para o parâmetro β1 no Exemplo 413 SOLUÇÃO A estimativa de β1 é e como 267604 e C11 1429184 103 temos e o intervalo de confiança de 95 para β1 é 62855 β1 89570 Intervalo de Confiança para a Resposta Média Podemos também obter um intervalo de confiança para a resposta média em um ponto particular digamos x01 x02 x0k Primeiro definimos o vetor A resposta média nesse ponto é A resposta média estimada nesse ponto é Esse estimador é não viesado porque e a variância de y x0 é Assim um intervalo de confiança de 1001 α para a resposta média no ponto x01 x02 x0ké Minitab calculará o IC na equação 4116 para pontos de interesse Por exemplo suponha que para o modelo de regressão para o cliente financeiro estejamos interessados em encontrar uma estimativa do custo médio e o IC de 95 associado em dois pontos 1 Novos Pedidos 85 e Empréstimos Pendentes 10 2 Novos Pedidos 95 e Empréstimos Pendentes 12 O Minitab dá as estimativas pontuais e os ICs de 95 calculados pela equação 4116 na Tabela 414 Quando há 85 novos pedidos e 10 empréstimos pendentes a estimativa pontual do custo é 229974 e o IC de 95 é 228763 231184 e quando há 95 novos pedidos e 12 empréstimos pendentes a estimativa pontual do custo é 229312 e o IC de 95 é 237937 240687 Note que os comprimentos dos dois intervalos de confiança são diferentes O 464 465 comprimento do IC para a resposta média depende não apenas do nível de confiança especificado e da estimativa de σ2 mas também da localização do ponto de interesse À medida que a distância do ponto em relação ao centro da região das variáveis preditoras aumenta o comprimento do intervalo de confiança aumenta Como o segundo ponto está mais afastado do centro da região das preditoras o segundo IC é maior do que o primeiro Predição de Novas Observações da Variável Resposta Um modelo de regressão pode ser usado para se predizerem futuras observações da resposta y correspondentes a valores particulares das variáveis regressoras digamos x01 x02 x0k Se então uma estimativa pontual para a futura observação y0 no ponto x01 x02 x0k é calculada a partir da equação 4114 TABELA 414 Saída do Minitab Um intervalo de predição IP de 1001 α para essa futura observação é Na predição de novas observações e na estimação da resposta média em dado ponto x01 x02 x0k devemos ser cuidadosos em relação à extrapolação além da região que contém as observações originais É muito possível que um modelo que se ajusta bem na região dos dados originais não mais o faça fora daquela região A saída do Minitab na Tabela 414 mostra intervalos de predição de 95 para o custo para o modelo de regressão do cliente financeiro nos dois pontos considerados anteriormente 1 Novos Pedidos 85 e Empréstimos Pendentes 10 e 2 Novos Pedidos 95 e Empréstimos Pendentes 12 O valor predito da futura observação é exatamente igual à estimativa da média no ponto de interesse Note que os intervalos de predição são maiores do que os correspondentes intervalos de confiança Você deve ser capaz de ver por que isso acontece a partir do exame das equações 4116 e 4117 Os intervalos de predição também se tornam maiores à medida que o ponto em que se faz a predição se afasta do centro da região da variável preditora Diagnóstico do Modelo de Regressão Como enfatizamos na análise da variância a verificação da adequação do modelo é uma parte importante do procedimento da análise de dados É igualmente importante na construção dos modelos de regressão e como ilustramos no Exemplo 413 gráficos de resíduos devem sempre ser examinados para um modelo de regressão Em geral é sempre necessário 1 o exame do modelo ajustado para se garantir que ele fornece uma aproximação adequada para o verdadeiro sistema e 2 verificação de que nenhuma das hipóteses da regressão de mínimos quadrados seja violada O modelo de regressão provavelmente dará resultados fracos ou enganosos a menos que seja um ajuste adequado Além dos gráficos de resíduos outros diagnósticos de modelo são frequentemente úteis na regressão Esta seção resume alguns desses procedimentos Para apresentações mais completas veja Montgomery Peck e Vining 2006 e Myers 1990 Resíduos Escalonados e PRESS Muitos construtores de modelos preferem trabalhar com resíduos escalonados a trabalhar com resíduos ordinários de mínimos quadrados Esses resíduos escalonados em geral transmitem mais informação do que os resíduos ordinários Um tipo de resíduo escalonado é o resíduo padronizado em que usamos em geral nos cálculos Esses resíduos padronizados têm média zero e variância de aproximadamente uma unidade consequentemente eles são úteis na busca por valores atípicos A maioria dos resíduos padronizados deve ficar no intervalo 3 di 3 e qualquer observação com resíduo padronizado fora desse intervalo é potencialmente não usual em relação a sua resposta observada Esses valores atípicos devem ser cuidadosamente examinados porque podem representar algo tão simples como um erro de registro de dado ou algo mais sério tal como uma região no espaço da variável regressora em que o modelo ajustado é uma aproximação fraca para a verdadeira superfície de resposta O processo de padronização na equação 4118 escalona os resíduos dividindoos por seu desviopadrão médio aproximado Em alguns conjuntos de dados os resíduos podem ter desviospadrão que diferem bastante Apresentamos agora um escalonamento que leva isso em conta O vetor de valores ajustados correspondente aos valores é A matriz n n H XXʹX1Xʹ é em geral chamada de a matriz chapéu porque mapeia o vetor de valores observados no vetor de valores ajustados A matriz chapéu e suas propriedades desempenham papel central na análise de regressão Os resíduos do modelo ajustado podem ser convenientemente escritos na notação matricial como e a matriz de covariância dos resíduos é A matriz I H geralmente não é diagonal de modo que os resíduos têm variâncias diferentes e são correlacionados Assim a variância do iésimo resíduo é em que hii é o iésimo elemento da diagonal de H Como 0 hii 1 o uso da média quadrática do resíduo MQE para estimar a variância dos resíduos em geral superestima Vei Além disso como hii é uma medida da localização do i ésimo ponto no espaço x a variância de ei depende de onde está o ponto xi Geralmente resíduos próximos do centro do espaço x têm variância maior do que resíduos em localizações mais remotas Violações das hipóteses do modelo estão provavelmente em pontos remotos e essas violações podem ser de difícil detecção pela inspeção de ei ou di porque seus resíduos serão usualmente menores Recomendamos levar em conta essa desigualdade das variâncias ao escalonar os resíduos Sugerimos a plotagem dos resíduos studentizados com MQE em vez de ei ou di Os resíduos studentizados têm variância constante Vri 1 independentemente da localização de xi quando a forma do modelo é correta Em muitas situações a variância dos resíduos se estabiliza particularmente para grandes conjuntos de dados Nesses casos pode haver pequena diferença entre os resíduos padronizados e studentizados Assim resíduos padronizados ou studentizados sempre fornecem informação equivalente No entanto devido ao fato de qualquer ponto com resíduo grande e grande hiiserem em potencial altamente influentes sobre o ajuste de mínimos quadrados recomendase o exame dos resíduos studentizados em geral A Tabela 411 apresenta os elementos hii da diagonal da matriz chapéu e os resíduos studentizados para o modelo de regressão do cliente financeiro no Exemplo 413 A soma dos quadrados do erro de predição prediction error sum of squares PRESS fornece um escalonamento residual útil Para o cálculo de PRESS selecionamos uma observação por exemplo i Ajustamos o modelo de regressão às restantes n 1 observações e usamos essa equação para predizer a observação retida yi Denotando esse valor predito por podemos encontrar o erro de predição para o ponto i como ei yi O erro de predição é em geral o i ésimo resíduo PRESS Esse procedimento é repetido para cada observação i 1 2 n produzindo um conjunto de n resíduos PRESS e1 e2 en Então a estatística PRESS é definida como a soma dos quadrados dos n resíduos PRESS como em Assim PRESS usa cada subconjunto possível de n 1 observações como um conjunto de dados de estimação e cada observação por sua vez é usada para formar um conjunto de dados de predição A princípio pareceria que o cálculo de PRESS exigisse o ajuste de n regressões diferentes No entanto é possível calcularse PRESS a partir dos resultados de um único ajuste de mínimos quadrados a todas as n observações Resulta que o iésimo resíduo PRESS é Assim como PRESS é exatamente a soma dos quadrados dos resíduos PRESS uma fórmula simples de cálculo é Pela equação 4124 é fácil se ver que o resíduo PRESS é exatamente o resíduo ordinário ponderado de acordo com os elementos da diagonal da matriz chapéu hii Pontos de dados para os quais hii é grande terão grandes resíduos PRESS Essas observações geram os pontos de alta influência Geralmente uma grande diferença entre o resíduo ordinário e o resíduo PRESS indicará um ponto onde o modelo se ajusta bem aos dados mas um modelo construído sem aquele ponto fornece predição fraca Na próxima seção discutiremos algumas outras medidas de influência Finalmente note que PRESS pode ser usado para o cálculo de um R2 aproximado para predição como Essa estatística dá alguma indicação da capacidade preditiva do modelo de regressão Para o modelo de regressão do cliente financeiro do Exemplo 413 podemos calcular os resíduos PRESS usando os resíduos ordinários e os valores de hii encontrados na Tabela 411 O valor correspondente da estatística PRESS é PRESS 52077 Então Portanto podemos esperar que esse modelo explique cerca de 80 da variabilidade na predição de novas observações em comparação com aproximadamente 93 da variabilidade nos dados originais explicados pelo ajuste de mínimos quadrados A capacidade preditiva geral do modelo com base nesse critério parece bastante satisfatória O resíduo studentizado ri discutido antes é em geral considerado um diagnóstico atípico É costume usar se MQE como uma estimativa de σ2 no cálculo de ri Referese a isso como um escalonamento interno do resíduo porque MQE é uma estimativa de σ2 gerada internamente obtida do ajuste do modelo a todas as n observações Outra abordagem seria o uso de uma estimativa de σ2 com base em um conjunto de dados sem a iésima observação Denotamos a estimativa de σ2 assim obtida por Podese mostrar que A estimativa de σ2 na equação 4127 é usada em lugar de MQE para produzir um resíduo studentizado externamente em geral chamado Rstudent dado por Em muitas situações ti diferirá muito pouco do resíduo studentizado ri No entanto se a iésima observação for influente então pode diferir significativamente de MQE e assim o Rstudent será mais sensível a esse ponto Além disso sob as hipótesespadrão ti tem uma distribuição tn p 1 Assim o Rstudent oferece um procedimento mais formal para a detecção de valores atípicos através do teste de hipótese A Tabela 411 apresenta os valores de Rstudent para o modelo de regressão do cliente financeiro do Exemplo 413 Nenhum desses valores é excessivamente grande Diagnóstico de Influência Ocasionalmente vemos que um pequeno subconjunto de dados exerce uma influência desproporcional sobre o modelo de regressão ajustado Isto é as estimativas dos parâmetros ou predições podem depender mais do subconjunto influente do que da maioria dos dados Gostaríamos de localizar esses pontos influentes e avaliar seu impacto sobre o modelo Se esses pontos influentes forem valores ruins devem ser eliminados Por outro lado pode não haver nada de errado com esses pontos Mas se eles controlam propriedadeschave do processo gostaríamos de sabê lo porque isso poderia afetar o uso do modelo Nesta seção descrevemos e ilustramos algumas medidas úteis de influência A disposição dos pontos no espaço x é importante na determinação das propriedades do modelo Em particular observações remotas têm potencialmente influência desproporcional sobre as estimativas dos parâmetros valores preditos e estatísticasresumo usuais A matriz chapéu H XXʹX1Xʹ é muito útil na identificação de observações influentes Como observado antes H determina a variância e a covariância de e e porque σ2H e Ve σ2I H Os elementos hii de H podem ser interpretados como a quantidade de influência exercida por yj sobre Assim a inspeção dos elementos de H pode revelar pontos que são potencialmente influentes em virtude de sua localização no espaço x A atenção em geral se detém nos elementos da diagonal hii Como hii posto H posto X p o tamanho da influência do elemento da diagonal da matriz H é pn Como uma diretriz grosseira então se um elemento da diagonal hii for maior do que 2pn a observação i é um ponto de alta influência Aplicando isso ao modelo de regressão do cliente financeiro no Exemplo 413 note que 2pn 2316 0375 A Tabela 411 dá os elementos hii da diagonal da matriz chapéu para o modelo de primeira ordem como nenhum dos hii excede 0375 concluímos que não há pontos de influência nesses dados Os elementos da diagonal da matriz chapéu identificam pontos que são potencialmente influentes devido a sua localização no espaço x É desejável que se considere tanto a localização do ponto quanto a da variável resposta ao se medir influência Cook 1977 1979 sugeriu o uso de uma medida do quadrado da distância entre a estimativa de mínimos quadrados com base em todos os n pontos e a estimativa obtida pela remoção do iésimo ponto Essa medida de distância pode ser expressa como Um ponto de corte razoável para Di é a unidade Isto é em geral consideramos como influentes as observações para as quais Di 1 A estatística Di é realmente calculada a partir de Note que a menos da constante p Di é o produto do quadrado do iésimo resíduo studentizado e hii1 hii Podese mostrar que essa razão é a distância do vetor xi ao centro dos dados restantes Assim Di é constituído por um componente que reflete quão bem o modelo se ajusta à iésima observação yi e um componente que mede quão afastado o ponto está dos dados restantes Qualquer componente ou ambos pode contribuir para um grande valor de Di A Tabela 411 apresenta os valores de Di para o modelo de regressão ajustado aos dados do cliente financeiro no Exemplo 413 Nenhum desses valores de Di excede 1 de modo que não há evidência de observações influentes nesses dados Termos e Conceitos Importantes Abordagem do valor P Amostra aleatória Análise de resíduos Análise de variância ANOVA Distribuição amostral Distribuição binomial Distribuição de Poisson Distribuição F Distribuição quiquadrado Distribuição t Erro tipo I Erro tipo II Estatística Estatística de teste Estimador combinado Estimador de mínima variância Estimador de mínimos quadrados Estimador não viesado Estimador pontual Hipótese alternativa Hipótese nula Intervalo de confiança Intervalos de confiança para a variância de uma distribuição normal Intervalos de confiança para as variâncias de duas distribuições normais Intervalos de confiança para médias variâncias conhecidas Intervalos de confiança para médias variâncias desconhecidas Intervalos de confiança para proporções 41 a b c d 42 a b c d 43 a b c d Modelo de regressão Modelo estatístico linear Parâmetros de uma distribuição Poder de um teste estatístico Região crítica para uma estatística de teste Resíduos escalonados Teste de hipótese Testes de hipóteses sobre a variância de uma distribuição normal Testes de hipóteses sobre as variâncias de duas distribuições normais Testes de hipóteses sobre médias variâncias conhecidas Testes de hipóteses sobre médias variâncias desconhecidas Testes de hipóteses sobre proporções Valor P Verificação de hipóteses para procedimentos de inferência estatística Exercícios Suponha que você esteja testando as seguintes hipóteses em que a variância é conhecida H0 μ 100 H1 μ 100 Ache o valor P para os seguintes valores da estatística de teste Z0 275 Z0 186 Z0 205 Z0 186 Suponha que você esteja testando as seguintes hipóteses em que a variância é conhecida H0 μ 100 H1 μ 100 Ache o valor P para os seguintes valores da estatística de teste Z0 250 Z0 195 Z0 205 Z0 236 Suponha que você esteja testando as seguintes hipóteses em que a variância é conhecida H0 μ 100 H1 μ 100 Ache o valor P para os seguintes valores da estatística de teste Z0 235 Z0 199 Z0 218 Z0 185 44 a b c d 45 a b c d 46 a b c d 47 a b c 48 a b c d 49 Suponha que você esteja testando as seguintes hipóteses em que a variância é desconhecida H0 μ 100 H1 μ 100 O tamanho amostral é n 20 Ache limites para o valor P para os seguintes valores da estatística de teste t0 275 t0 186 t0 205 t0 186 Suponha que você esteja testando as seguintes hipóteses em que a variância é desconhecida H0 μ 100 H1 μ 100 O tamanho amostral é n 12 Ache limites para o valor P para os seguintes valores da estatística de teste t0 255 t0 187 t0 205 t0 280 Suponha que você esteja testando as seguintes hipóteses em que a variância é desconhecida H0 μ 100 H1 μ 100 O tamanho amostral é n 25 Ache limites para o valor P para os seguintes valores da estatística de teste t0 280 t0 175 t0 254 t0 205 Sabese que os diâmetros internos de rolamentos usados no trem de pouso de aviões têm um desviopadrão de σ 0 002 cm Uma amostra aleatória de 15 rolamentos acusa um diâmetro interno médio de 82535 cm Teste a hipótese de que o diâmetro interno médio do rolamento é 825 cm Use uma alternativa bilateral e α 005 Ache o valor P para esse teste Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 para o diâmetro médio do rolamento A força de resistência de uma fibra usada na fabricação de tecido é de interesse do comprador A experiência anterior indica que o desviopadrão da força de resistência é de 2 psi Uma amostra aleatória de oito espécimes de fibra é selecionada encontrandose 127 psi como a força média de resistência Teste a hipótese de que a força média de resistência é igual a 125 psi contra a alternativa de que a média excede 125 psi Use α 005 Qual é o valor P para esse teste Discuta por que foi escolhida uma alternativa unilateral na parte a Construa um intervalo de confiança inferior de 95 para a força média de resistência Supõese que a vida útil de uma bateria usada em um marcapasso seja distribuída normalmente Uma amostra aleatória de 10 baterias é submetida a um teste de vida acelerada fazendoas funcionar continuamente a uma alta temperatura até acabarem obtendose os seguintes tempos de vida em horas 255 261 268 232 242 284 250 278 273 e 257 a b c 410 411 a b c 412 a b c 413 414 a b c 415 a b c d e f 416 a b c 417 O fabricante deseja ter certeza de que a vida média da bateria excede 25 h Que conclusão pode ser tirada desses dados use α 005 Construa um intervalo de confiança bilateral de 90 para a vida média no teste acelerado Construa um gráfico de probabilidade normal dos dados da vida da bateria Que conclusões você pode tirar Com os dados do Exercício 49 construa um intervalo de confiança inferior de 95 para a vida média da bateria Por que o fabricante estaria interessado em um intervalo de confiança unilateral Um novo processo foi desenvolvido para aplicação de fotorresistência a placas de silício de 125 mm usadas na fabricação de circuitos integrados Dez placas foram testadas e foram observadas as seguintes medidas da espessura em angstroms 1000 133987 133957 133902 134015 134001 133918 133965 133925 133946 e 134002 Teste a hipótese de que a espessura média é 134 1000Å Use α 005 e suponha uma alternativa bilateral Ache um intervalo de confiança bilateral de 99 para a espessura média Suponha que a espessura seja distribuída normalmente A hipótese de normalidade parece razoável para esses dados Uma máquina é usada para encher recipientes com um produto líquido Supõese que o volume de enchimento seja normalmente distribuído Uma amostra aleatória de 10 recipientes é selecionada e os conteúdos líquidos em onças são 1203 1201 1204 1202 1205 1198 1196 1202 1205 e 1199 Suponha que o fabricante deseje ter certeza de que o conteúdo líquido médio excede 12 onças 35488 ml Que conclusões podem ser tiradas dos dados use α 001 Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 para o volume médio de enchimento A hipótese de normalidade parece razoável para esses dados Cloreto ferroso é usado como um fluido em alguns tipos de processo de extração metalúrgica Esse material é embarcado em contêineres cujo peso varia É importante obter uma estimativa segura do peso médio do contêiner Suponha que por uma longa experiência um valor confiável para o desviopadrão do peso do contêiner de fluido seja 4 lb 18144 kg Qual o tamanho exigido de uma amostra para se construir um intervalo de confiança bilateral de 95 para a média que tenha uma amplitude total de 1 lb 04536 kg Sabese que os diâmetros de hastes de liga de alumínio produzidas em uma máquina de calibragem têm um desvio padrão de 00001 in 000254 cm Uma amostra de 25 hastes acusa um diâmetro médio de 05046 in 1281684 cm Teste a hipótese de que o diâmetro médio da haste é 05025 in 127635 cm Suponha uma alternativa bilateral e use α 005 Ache o valor P para esse teste Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 para o diâmetro médio da haste Supõese que a voltagem de saída de uma fonte de energia seja normalmente distribuída Dezesseis observações feitas aleatoriamente são mostradas aqui 1035 930 1000 996 1165 1200 1125 958 1154 995 1028 837 1044 925 938 e 1085 Teste a hipótese de que a voltagem média é igual a 12 V contra uma alternativa bilateral usando α 005 Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 para µ Teste a hipótese de que σ2 11 usando α 005 Construa um intervalo de confiança bilateral de 95 para σ Construa um intervalo de confiança superior de 95 para σ A hipótese de normalidade parece razoável para a voltagem de saída Duas máquinas são usadas para encher garrafas de vidro de refrigerante Os processos de enchimento têm desviospadrão σ1 0010 litro e σ2 0015 litro respectivamente Uma amostra aleatória de n1 25 garrafas da máquina 1 e n2 20 garrafas da máquina 2 resultam em conteúdos médios 204 litros e 207 litros Teste a hipótese de que ambas as máquinas enchem com os mesmos conteúdos líquidos usando α 005 Quais são as suas conclusões Ache o valor P para esse teste Construa um intervalo de confiança de 95 para a diferença do volume médio de enchimento Dois técnicos de controle da qualidade mediram o acabamento da superfície de uma peça de metal obtendo os dados exibidos na Tabela 4E1 Suponha que as medidas sejam normalmente distribuídas a b c d e f g 418 419 a b c d 420 a b Teste a hipótese de que as medidas médias do acabamento da superfície feitas pelos dois técnicos são iguais Use α 005 e suponha variâncias iguais Quais são as implicações práticas do teste da parte a Discuta que conclusões práticas você tiraria se a hipótese nula fosse rejeitada Supondo que as variâncias sejam iguais construa um intervalo de confiança de 95 para a diferença das médias das medidas do acabamento da superfície TABELA 4E1 Dados do Acabamento da Superfície para o Exercício 417 Técnico 1 Técnico 2 145 154 137 141 121 156 154 137 148 120 129 131 134 127 135 Teste a hipótese de que as variâncias das medidas feitas pelos dois técnicos são iguais Use α 005 Quais são as implicações práticas se a hipótese nula for rejeitada Construa uma estimativa de intervalo de confiança de 95 para a razão das variâncias dos erros das medidas dos técnicos Construa um intervalo de confiança de 95 para a variância do erro de medida do técnico 2 A hipótese de normalidade parece razoável para esses dados Suponha e que x1 e x2 sejam independentes Desenvolva um procedimento para a construção de um intervalo de confiança de nível 1001 α para µ1 µ2 supondo que sejam desconhecidos mas diferentes Dois processos diferentes de endurecimento 1 imersão em água salgada e 2 imersão em óleo são usados em amostras de um tipo particular de liga metálica Os resultados são mostrados na Tabela 4E2 Suponha que a dureza seja normalmente distribuída Teste a hipótese de que a dureza média para o processo por água salgada é igual à dureza média para o processo por óleo Use α 005 e suponha variâncias iguais Supondo que as variâncias sejam iguais construa um intervalo de confiança de 95 para a diferença das durezas médias Construa um intervalo de confiança de 95 para a razão A hipótese feita anteriormente de variâncias iguais parece razoável A hipótese de normalidade parece apropriada para esses dados Uma amostra de 200 placas de circuito impresso contém 18 unidades defeituosas ou não conformes Estime a fração de não conformes do processo Teste a hipótese de que a verdadeira fração de não conformes nesse processo é 010 Use α 005 Ache o valor P Construa um intervalo de confiança bilateral de 90 para a verdadeira fração de não conformes no processo de produção 421 a b c 422 a b c 423 a b 424 425 426 TABELA 4E2 Dados de Endurecimento para o Exercício 419 Imersão em Água Salgada Imersão em Óleo 145 152 150 150 153 147 148 155 141 140 152 146 146 158 154 152 139 151 148 143 Uma amostra aleatória de 500 pinos de hastes de conexão contém 65 unidades não conformes Estime a fração de não conformes do processo Teste a hipótese de que a verdadeira fração de defeituosos nesse processo é 008 Use α 005 Ache o valor P para esse teste Construa um intervalo de confiança superior de 95 para a verdadeira fração de não conformes Dois processos são usados para a produção de ferragens usadas em uma montagem de asa de avião De 200 ferragens selecionadas do processo 1 10 não correspondem às especificações de força enquanto em 300 ferragens selecionadas do processo 2 20 são não conformes Estime a fração de não conformes de cada processo Teste a hipótese de que os dois processos têm frações de não conformes idênticas Use α 005 Construa um intervalo de confiança de 90 para a diferença na fração de não conformes dos dois processos Uma nova unidade de purificação é instalada em um processo químico Antes de sua instalação uma amostra aleatória forneceu os seguintes dados sobre a porcentagem de impureza Após a instalação uma amostra aleatória resultou em Você pode concluir que as duas variâncias são iguais Use α 005 Você pode concluir que o novo aparelho de purificação reduziu a porcentagem média de impureza Use α 005 Dois tipos de garrafas de vidro são apropriados para embalagem de refrigerante A força da pressão interna é uma característica importante da garrafa Sabese que σ1 σ2 30 psi De uma amostra aleatória com n1 n2 16 garrafas as forças de pressão médias observadas foram 175 8 psi e 181 3 psi A companhia não usará as garrafas do tipo 2 a menos que sua força de pressão exceda à da garrafa do tipo 1 por no mínimo 5 psi Com base nos dados amostrais eles devem usar a garrafa do tipo 2 se usamos α 005 Qual é o valor P para esse teste O diâmetro de uma haste de metal é medido por 12 inspetores cada um usando um compasso de calibre micrômetro e um compasso de calibre vernier Os resultados são exibidos na Tabela 4E3 Há uma diferença entre as medidas médias produzidas pelos dois tipos de compasso Use α 001 O sistema de refrigeração de um submarino nuclear consiste em uma montagem de canos através dos quais circula um resfriador As especificações exigem que a força da solda deve ser no mínimo igual a 150 psi a b 427 a b c 428 429 Suponha que os projetistas decidam testar a hipótese H0µ 150 versus H1µ 150 Explique por que essa escolha da alternativa é preferível a H1µ 150 Uma amostra aleatória de 20 soldas resulta em 153 7 psi e s 115 psi Que conclusões se podem tirar sobre a hipótese na parte a Use α 005 Conduziuse um experimento para investigar a capacidade de enchimento de um equipamento de embalagem em uma vinícola em Newberg Oregon Vinte garrafas de Pinot Gris foram selecionadas aleatoriamente e o volume de enchimento em ml foi medido Suponha que o volume de enchimento tenha distribuição normal Os dados são os seguintes 753 751 752 753 753 753 752 753 754 754 752 751 752 750 753 755 753 756 751 e 750 TABELA 4E3 Medidas feitas pelos Inspetores para o Exercício 425 Inspetor Calibre Micrômetro Calibre Vernier 1 0150 0151 2 0151 0150 3 0151 0151 4 0152 0150 5 0151 0151 6 0150 0151 7 0151 0153 8 0153 0155 9 0152 0154 10 0151 0151 11 0151 0150 12 0151 0152 Os dados corroboram a afirmativa de que o desviopadrão do volume de enchimento é menor do que 1 ml Use α 005 Ache um intervalo de confiança bilateral de 95 para o desviopadrão do volume de enchimento Parece razoável supor que o volume de enchimento tenha uma distribuição normal Suponha que queiramos testar as hipóteses H0 μ 15 H0 μ 15 sabendo que σ2 90 Se a verdadeira média for 20 que tamanho de amostra deverá ser usado para garantir que a probabilidade do erro tipo II não seja maior do que 010 Suponha α 005 Considere as hipóteses H0 μ μ0 H0 μ μ0 430 431 432 a b 433 434 435 a b c com σ2 conhecido Deduza uma expressão geral para a determinação do tamanho da amostra que detecta a verdadeira média µ1 µ0 com probabilidade 1 β se o erro tipo I for α Alocação do tamanho da amostra Suponha que estejamos testando as hipóteses H0 μ1 μ2 H0 μ1 μ2 com conhecidas Os recursos são limitados e consequentemente o tamanho total da amostra n1 n2 N Como devemos distribuir as N observações entre as duas populações a fim de obter o teste mais poderoso Desenvolva um teste para as hipóteses H0 μ1 μ2 H0 μ1 μ2 com conhecidas As não conformidades ocorrem em garrafas de vidro de acordo com uma distribuição de Poisson Uma amostra aleatória de 100 garrafas contém um total de 11 não conformidades Desenvolva um procedimento para testar a hipótese de que a média λ de uma distribuição de Poisson é igual a um valor especificado λ0 Sugestão Use a aproximação normal da distribuição de Poisson Use os resultados da parte a para testar a hipótese de que a taxa média de ocorrência de não conformidades é λ 015 Use α 001 Um inspetor conta os defeitos no acabamento da superfície de uma máquina lavalouças Uma amostra aleatória de cinco lavalouças contém três de tais defeitos Há razão para se concluir que a taxa média de ocorrência de defeitos de acabamento da superfície por lavalouça exceda 05 Use o resultado da parte a do Exercício 432 e suponha α 005 Um testador inline é usado para avaliar a função elétrica de placas de circuito impresso Essa máquina conta o número de defeitos observados em cada placa Uma amostra aleatória de 1000 placas contém um total de 688 defeitos É razoável concluirse que a taxa média de ocorrência de defeitos seja λ 1 Use os resultados da parte a do Exercício 432 e suponha α 005 Um artigo em Solid State Technology maio 1987 descreve um experimento para a determinação do efeito da taxa de fluxo de C2F6 sobre a uniformidade de gravação em placas de silício usadas na fabricação de circuitos integrados Testamse três taxas de fluxo e a uniformidade resultante em porcentagem é observada para seis unidades de teste em cada taxa de fluxo Os dados constam da Tabela 4E4 A taxa de fluxo de C2F6 afeta a uniformidade da gravação Responda a essa pergunta com auxílio da análise da variância com α 005 Construa um diagrama de caixa dos dados da uniformidade de gravação Use esse diagrama juntamente com os resultados da análise da variância para deter minar qual taxa de fluxo de gás seria melhor em termos de uniformidade de gravação uma pequena porcentagem é melhor Represente graficamente os resíduos em função do fluxo previsto de C2F6 Interprete esse gráfico TABELA 4E4 Dados de Uniformidade para o Exercício 435 Fluxo de C2F6SCCM Observações 1 2 3 4 5 6 125 27 26 46 32 30 38 160 46 49 50 42 36 42 200 46 29 34 35 41 51 TABELA 4E5 d 436 437 a b c 438 439 a Dados sobre a Força de Compressão para o Exercício 437 Nível de Perfuração Força de Compressão 10 1530 1530 1440 15 1610 1650 1500 20 1560 1730 1530 25 1500 1490 1510 A hipótese de normalidade parece razoável nesse problema Compare os valores médios da uniformidade de gravação em cada uma das taxas de fluxo de C2F6 do Exercício 435 com uma distribuição t escalonada Essa análise indica que há diferenças na uniformidade média de gravação para as diferentes taxas de fluxo Quais fluxos produzem resultados diferentes Um artigo em ACI Materials Journal Vol 84 1987 pp 213216 descreve vários experimentos que investigam a perfuração do concreto para a retirada de ar preso Um cilindro de 3 in 762 cm de diâmetro foi usado e o número de vezes que essa haste foi usada é a variável do projeto A força de compressão resultante do espécime de concreto é a resposta Os dados são mostrados na Tabela 4E5 Há alguma diferença na força de compressão decorrente do nível de perfuração Responda a essa pergunta usando a análise da variância com α 005 Construa diagramas de caixa da força de compressão por nível de perfuração Dê uma interpretação prática desses diagramas Construa um gráfico de probabilidade normal dos resíduos desse experimento A hipótese de distribuição normal da força de compressão parece razoável Compare a força média de compressão em cada nível de perfuração do Exercício 437 com a distribuição t escalonada Que conclusões você tiraria desse gráfico Um fabricante de alumínio produz anodos de carbono e os cozinha em uma fornalha circular antes de usálos na operação de fundição A densidade do anodo cozido é uma característica importante da qualidade na medida em que pode afetar sua vida Um dos engenheiros do processo suspeita de que a temperatura da fornalha afeta a densidade do anodo cozido Foi feito um experimento em quatro níveis diferentes de temperatura e seis anodos foram cozidos a cada temperatura Os dados do experimento são exibidos na Tabela 4E6 A temperatura na fornalha afeta a densidade média do anodo cozido TABELA 4E6 Dados da Densidade de Anodo Cozido para o Exercício 439 Temperatura C Densidade 500 418 419 417 416 415 417 525 414 413 417 416 417 418 550 412 410 416 419 417 413 575 410 406 418 412 419 415 TABELA 4E7 Dados sobre Radon para o Experimento do Exercício 441 Diâmetro do Orifício Radon Liberado b c 440 441 a b 442 a b c d 037 80 83 83 85 051 75 75 79 79 071 74 73 76 77 102 67 72 74 74 140 62 62 67 69 199 60 61 64 66 Ache os resíduos para esse experimento e representeos graficamente em uma escala de probabilidade normal Comente o gráfico Qual temperatura você recomendaria Represente graficamente os resíduos do Exercício 439 versus temperatura Há alguma indicação de que a variabilidade na densidade do anodo cozido dependa da temperatura Qual temperatura você recomendaria Um artigo na revista Environment International Vol 18 No 4 1992 descreve um experimento no qual foi investigada a quantidade de radon liberada em chuveiros Água enriquecida com radon foi usada no experimento e seis diferentes diâmetros de orifícios foram testados em saídas de chuveiros Os dados desse experimento são mostrados na Tabela 4E7 O tamanho do orifício afeta a porcentagem média de radon liberado Use a análise da variância e α 005 Analise os resultados desse experimento Um artigo no Journal of the Electrochemical Society Vol 139 No 2 1992 pp 524532 descreve um experimento para investigar a deposição de vapor de baixa pressão de polissilício O experimento foi realizado em um reator de alta capacidade na fábrica SEMATECH em Austin Texas O reator tem várias posições de placas e selecionamse quatro dessas posições aleatoriamente A variável resposta é a uniformidade da espessura do filme Foram feitas três replicações do experimento e os resultados são exibidos na Tabela 4E8 Há diferença nas posições das placas Use a análise da variância e α 005 Estime a variabilidade decorrente das posições das placas Estime o componente do erro aleatório Analise os resíduos desse experimento e comente sobre a adequação do modelo TABELA 4E8 Dados de Uniformidade para o Experimento no Exercício 442 Posição da Placa Uniformidade 1 276 567 449 2 143 170 219 3 234 197 147 4 094 136 165 TABELA 4E9 Dados da Força de Tensão para o Exercício 443 Força Porcentagem de Madeira de Lei Força Porcentagem de Madeira de Lei 160 10 181 20 443 a b c 444 a b c 445 446 447 a b c 448 171 15 188 25 175 15 193 25 182 20 195 28 184 20 200 30 A força de tensão de um produto de papel está relacionada com a quantidade de madeira de lei na polpa Dez amostras são produzidas em uma fábrica piloto e os dados obtidos são mostrados na Tabela 4E9 Ajuste um modelo de regressão linear que relacione a força à porcentagem de madeira de lei Teste o modelo na parte a em relação à significância da regressão Ache um intervalo de 95 para o parâmetro β1 Uma fábrica destila ar líquido para produzir oxigênio nitrogênio e argônio Considerase que a porcentagem de impurezas no oxigênio seja linearmente relacionada com a quantidade de impureza no ar conforme medida pela contagem de poluição em partes por milhão ppm A seguir mostrase uma amostra de dados de operação da fábrica Pureza 933 920 924 917 940 946 936 Contagem de poluição ppm 110 145 136 159 108 075 120 Pureza 931 932 929 922 913 901 916 919 Contagem de poluição ppm 099 083 122 147 181 203 175 168 Ajuste um modelo de regressão linear aos dados Teste a significância da regressão Ache um intervalo de confiança de 95 para β1 Faça o gráfico dos resíduos do Exercício 443 e comente sobre a adequação do modelo Faça o gráfico dos resíduos do Exercício 444 e comente sobre a adequação do modelo Considerase que a força de frenagem desenvolvida pelo motor de um automóvel sobre um dinamômetro seja uma função da velocidade do motor em rotações por minuto rpm do número de octanagem na estrada do combustível e da compressão do motor Realizase um experimento no laboratório e os dados são mostrados na Tabela 4E10 Ajuste um modelo de regressão múltipla a esses dados Teste a significância da regressão A quais conclusões se pode chegar Com base em testes t as três variáveis regressoras são necessárias nesse modelo Analise os resíduos do modelo de regressão no Exercício 447 Comente sobre a adequação do modelo TABELA 4E10 Dados de Motores de Automóveis para o Exercício 447 Força de Frenagem rpm Número de Octanagem na Estrada Compressão 225 2000 90 100 449 a b c 450 451 a b c 452 453 a 212 1800 94 95 229 2400 88 110 222 1900 91 96 219 1600 86 100 278 2500 96 110 246 3000 94 98 237 3200 90 100 233 2800 88 105 224 3400 86 97 223 1800 90 100 230 2500 89 104 A Tabela 4E11 contém os dados de pesquisa sobre satisfação de pacientes para um grupo de 25 pacientes selecionados aleatoriamente em um hospital Além da satisfação coletaramse dados sobre a idade do paciente e um índice da gravidade da doença Ajuste um modelo de regressão linear que relacione a satisfação à idade do paciente Teste a significância da regressão Qual proporção da variabilidade total se deve à variável regressora idade Analise os resíduos do modelo de regressão para os dados de satisfação do paciente do Exercício 449 Comente sobre a adequação do modelo de regressão Reconsidere os dados sobre satisfação do paciente da Tabela 4E11 Ajuste um modelo de regressão múltipla usando a idade do paciente e a gravidade da doença como regressoras Teste a significância da regressão Teste a contribuição individual das duas regressoras Ambas as variáveis regressoras são necessárias ao modelo O acréscimo da gravidade da doença ao modelo melhorou a qualidade do ajuste do modelo Explique sua resposta Analise os resíduos dos dados da regressão múltipla do Exercício 451 Comente sobre a adequação do modelo de regressão Considere a saída do Minitab a seguir Z de Uma Amostra Preencha as informações ausentes Quais conclusões você pode tirar TABELA 4E11 b c d Dados sobre Satisfação de Pacientes Observação Valor Predito x1 Resíduo x2 Resíduo Studentizado y 1 55 50 68 2 46 24 77 3 30 46 96 4 35 48 80 5 59 58 43 6 61 60 44 7 74 65 26 8 38 42 88 9 27 42 75 10 51 50 57 11 53 38 56 12 41 30 88 13 37 31 88 14 24 34 102 15 42 30 88 16 50 48 70 17 58 61 52 18 60 71 43 19 62 62 46 20 68 38 56 21 70 41 59 22 79 66 26 23 63 31 52 24 39 42 83 25 49 40 75 Esse é um teste uni ou bilateral Use a saída e a tabela da normal para achar um IC de 95 para a média Como o EP foi calculado e 454 a b c d 455 a b c d 456 a b c d e 457 a b c d 458 Qual é o valor P se a hipótese alternativa é H1µ 30 Suponha que você esteja testando H0µ1 µ2 versus H1 µ1 µ2 com n1 n2 15 Use a tabela de valores críticos da distribuição t para encontrar limites inferior e superior para o valor P para os seguintes valores observados da estatística de teste to 230 to 341 to 198 to 155 Suponha que você esteja testando H0µ µ0 versus H1 µ µ0 com n1 n2 10 Use a tabela dos valores críticos da distribuição t para encontrar limites inferior e superior para o valor P dos seguintes valores observados da estatística de teste to 248 to 241 to 298 to 189 Considere a saída do Minitab que se segue T de Uma Amostra Preencha as informações ausentes A hipótese nula pode ser rejeitada no nível de 005 Por quê Esse é um teste uni ou bilateral Quantos graus de liberdade há para a estatística de teste t Use a saída e uma tabela da normal para encontrar um IC de 95 para a média Suponha que as hipóteses tenham sido H0μ 90 versus H1μ 90 A quais conclusões você chegou Considere a saída do Minitab que se segue Teste e IC para Uma Proporção Esse é um teste uni ou bilateral A hipótese nula pode ser rejeitada no nível de 005 Construa um IC aproximado de 90 para p Qual será o valor P se a hipótese alternativa for H1 p 03 Considere a saída do Minitab que se segue Teste T e IC de Duas Amostras a b c d 459 a b c d 460 a b c a 461 Preencha os valores faltantes A hipótese nula pode ser rejeitada no nível de 005 Por quê Use a saída e a tabela t para encontrar um IC de 99 para a diferença nas médias Suponha que a hipó tese alternativa tenha sido H1µ1 µ2 versus H1µ1 µ2 Qual é o valor P A quais conclusões você poderia chegar Considere a saída do Minitab que se segue Teste e IC para Duas Proporções Preencha os valores faltantes Esse é um teste uni ou bilateral Qual é o valor P se as hipóteses alternativa são H0p1 p2 versus H1p1 p2 Construa um IC aproximado de 90 para a diferença entre as duas proporções Considere a ANOVA de um fator com quatro tratamentos e cinco replicações Use a tabela dos valores críticos da distribuição F para encontrar limites inferior e superior para o valor P para os seguintes valores observados da estatística de teste Fo 250 Fo 375 Fo 598 Fo 190 Considere a saída da ANOVA do Minitab que segue Complete os espaços em branco Você deve dar limites para o valor P Quais conclusões você pode tirar da informação nessa apresentação ANOVA de Um Fator Source DF SS MS F P Factor 3 5491 Error 1977 Total 15 7467 S 1283 RSq 7353 RSqadj 6691 1Embora tenhamos apresentado o desenvolvimento desse procedimento para o caso de tamanhos de amostra diferentes há uma vantagem no uso de tamanhos iguais n1 n2 n Quando os tamanhos das amostras de ambas as populações são iguais o teste t é muito robusto para a hipótese de igualdade de variâncias 2A Tabela V do Apêndice fornece apenas valores críticos da cauda superior da F isto é Fαuv Os valores críticos da cauda inferior F1 αuv podem ser calculados por meio da relação F1αuv 1Fαuv 1 2 3 É impossível inspecionar ou testar a qualidade em um produto ele deve ser feito de maneira correta da primeira vez Isso significa que o processo de fabricação deve ser estável e que todos os indivíduos envolvidos incluindo operadores engenheiros pessoal da garantia da qualidade e gerência devem procurar continuamente melhorar o desempenho do processo e reduzir a variabilidade nos parâmetroschave O controle estatístico do processo CEP online é uma ferramenta primordial para a obtenção desse objetivo Os gráficos de controle são o tipo mais simples de procedimento online de controle estatístico do processo Os Capítulos 5 a 8 apresentam muitas das técnicas básicas do CEP concentrandose principalmente no tipo de gráfico de controle proposto por Walter A Shewhart chamado de gráfico de controle de Shewhart O Capítulo 5 é uma introdução à metodologia geral do controle estatístico do processo Este capítulo descreve várias ferramentas fundamentais para a resolução de problemas de CEP incluindo uma introdução ao gráfico de controle de Shewhart Dáse uma discussão de como implementar o CEP juntamente com alguns comentários sobre CEP fora do ambiente de fabricação O Capítulo 6 introduz os gráficos de controle de Shewhart para dados de medidas algumas vezes chamados de gráficos de controle para variáveis Os gráficos de controle e R são discutidos em detalhes juntamente com muitas variações importantes deles O Capítulo 7 apresenta gráficos de controle para dados de atributo tais como uma fração defeituosa ou não conforme não conformidades defeitos ou não conformidades por unidade do produto O Capítulo 8 explora a análise da capacidade do processo isto é como gráficos de controle e outras técnicas estatísticas podem ser usados para se estimar a capacidade natural de um processo e determinarse como ele irá se comportar em relação às especificações do produto Apresentamse também alguns aspectos sobre a definição de especificações e tolerâncias incluindo o problema de empilhamento de tolerâncias Em toda essa seção enfatizamos três usos fundamentais do gráfico de controle Redução da variabilidade do processo Monitoramento e vigilância do processo Estimação de parâmetros do produto ou do processo 51 52 53 531 532 533 534 535 536 537 54 55 56 57 MS51 ESQUEMA DO CAPÍTULO INTRODUÇÃO CAUSAS ALEATÓRIAS E ATRIBUÍVEIS DA VARIAÇÃO DA QUALIDADE BASE ESTATÍSTICA DO GRÁFICO DE CONTROLE Princípios Básicos Escolha dos Limites de Controle Tamanho da Amostra e Frequência de Amostragem Subgrupos Racionais Análise de Padrões em Gráficos de Controle Discussão de Regras Sensibilizantes para Gráficos de Controle Fase I e Fase II da Aplicação do Gráfico de Controle O RESTANTE DAS SETE FERRAMENTAS IMPLEMENTAÇÃO DO CEP EM UM PROGRAMA DE MELHORIA DA QUALIDADE UMA APLICAÇÃO DO CEP APLICAÇÕES DO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSOS E FERRAMENTAS DA MELHORIA DA QUALIDADE EM EMPRESAS DE TRANSAÇÕES E SERVIÇOS Material Suplementar para o Capítulo 5 UMA ALTERNATIVA SIMPLES PARA REGRAS DE SEQUÊNCIAS NO GRÁFICO O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Este capítulo tem três objetivos O primeiro é a apresentação das ferramentas básicas da resolução de problemas do controle estatístico de processos CEP chamadas as sete ferramentas e ilustrar como essas ferramentas formam uma estrutura coesa e prática para a melhoria da qualidade Essas ferramentas constituem uma importante abordagem básica tanto para redução da variabilidade quanto para o monitoramento do desempenho de um processo e são largamente usadas nos passos Analisar e Controlar do DMAMC O segundo objetivo é a descrição da base estatística do gráfico de controle de Shewhart O leitor verá como decisões sobre tamanho da amostra intervalo de amostragem e determinação de limites de controle afetam o desempenho de um gráfico de controle Outros conceitoschave incluem ideias de subgrupos racionais interpretação dos sinais e padrões de um gráfico de controle e o comprimento médio da sequência como uma medida do desempenho do gráfico de controle O terceiro objetivo é a discussão e ilustração de alguns problemas práticos na implementação do CEP 1 2 3 4 5 6 7 51 1 2 3 4 5 6 7 52 Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender causas aleatórias e atribuíveis da variabilidade em um processo Explicar a base estatística do gráfico de controle de Shewhart incluindo escolha do tamanho amostral limites de controle e intervalo de amostragem Explicar o conceito de subgrupos racionais Compreender as ferramentas básicas do CEP o histograma ou diagrama de ramoefolhas a folha de controle o gráfico de Pareto o diagrama de causaeefeito o diagrama de concentração de defeitos o diagrama de dispersão e o gráfico de controle Explicar a fase I e a fase II dos gráficos de controle Explicar como o comprimento médio de sequência é usado como medida de desempenho para um gráfico de controle Explicar como regras sensibilizantes e o reconhecimento de padrões são usados juntamente com gráficos de controle Introdução Se um produto deve corresponder ou exceder às exigências do cliente deve em geral ser produzido por um processo que seja estável ou replicável Mais precisamente o processo deve ser capaz de operar com pequena variabilidade em torno das dimensõesalvo ou nominais das características de qualidade do produto O controle estatístico do processo CEP é uma poderosa coleção de ferramentas de resolução de problemas útil na obtenção da estabilidade do processo e na melhoria da capacidade através da redução da variabilidade O CEP é um dos maiores desenvolvimentos tecnológicos do século vinte porque se baseia em sólidos princípios é de fácil uso tem impacto significante e pode ser aplicado a qualquer processo Suas sete principais ferramentas são Histogramas ou diagrama de ramoefolhas Folha de controle Gráfico de Pareto Diagrama de causaeefeito Diagrama de concentração de defeito Diagrama de dispersão Gráfico de controle Embora essas ferramentas muitas vezes chamadas de as sete ferramentas sejam uma parte importante do CEP elas englobam apenas seus aspectos técnicos O CEP constrói um ambiente no qual todos os indivíduos em uma organização desejam a melhora continuada na qualidade e na produtividade Esse ambiente se desenvolve melhor quando a gerência se envolve no processo Uma vez estabelecido esse ambiente a aplicação rotineira das sete ferramentas se torna parte usual da maneira de se fazerem negócios e a organização se direciona para a obtenção de seus objetivos de melhoria da qualidade Das sete ferramentas o gráfico de controle de Shewhart é provavelmente o mais sofisticado tecnicamente Ele foi desenvolvido na década de 1920 por Walter A Shewhart do Bell Telephone Laboratories Para entender os conceitos estatísticos que formam a base do CEP devemos primeiro descrever a teoria da variabilidade de Shewhart Causas Aleatórias e Atribuíveis da Variação da Qualidade Em qualquer processo de produção independentemente de quão bem planejado ou cuidadosamente mantido ele seja certa quantidade de variabilidade inerente ou natural sempre existirá Essa variabilidade natural ou ruído de fundo é o efeito cumulativo de muitas causas pequenas essencialmente inevitáveis No sistema do controle estatístico da qualidade essa variabilidade natural é em geral chamada de sistema estável de causas aleatórias Dizse que um processo que opera apenas com as causas aleatórias da variação está sob controle estatístico Em outras palavras as causas aleatórias são uma parte inerente ao processo Outros tipos de variabilidade podem ocasionalmente estar presentes na saída de um processo Essa variabilidade nas característicaschave da qualidade surge em geral de três fontes máquinas ajustadas ou controladas de maneira inadequada erros do operador ou matériaprima defeituosa Tal variabilidade é geralmente muito grande quando comparada com o ruído de fundo e representa usualmente um nível inaceitável do desempenho do processo Referimo nos a essas fontes de variabilidade que não fazem parte do padrão de causas aleatórias como causas atribuíveis de variação Dizse que um processo que opera na presença de causas atribuíveis está fora de controle1 53 531 A Figura 51 ilustra essas causas de variabilidade aleatórias e atribuíveis Até o instante t1 o processo mostrado na figura está sob controle isto é apenas as causas aleatórias de variação estão presentes Como resultado tanto a média quanto o desviopadrão do processo estão em seus valores sob controle digamos µ0 e σ0 No instante t1 ocorre uma causa atribuível Como mostra a Figura 51 o efeito dessa causa atribuível é deslocar a média do processo para um novo valor µ1 µ0 No instante t2 outra causa atribuível ocorre resultando em µ µ0 mas agora o desviopadrão do processo se deslocou para um valor maior σ1 σ0 No instante t3 está presente outra causa atribuível que resulta em valores fora de controle tanto para a média quanto para o desviopadrão A partir do instante t1 a presença de causas atribuíveis resultou em um processo fora de controle Em geral os processos de produção operarão em estado sob controle por períodos de tempo relativamente longos No entanto nenhum processo é verdadeiramente estável para sempre e certamente causas atribuíveis ocorrerão aparentemente de maneira aleatória resultando em um deslocamento para um estado de fora de controle em que uma maior proporção da saída do processo não corresponde às exigências Por exemplo note na Figura 51 que quando o processo está sob controle a maior parte da produção está entre os limites inferior e superior de especificação LIE e LSE respectivamente Quando o processo está fora de controle uma proporção maior da saída do processo fica fora dessas especificações Um objetivo maior do controle estatístico do processo é detectar rapidamente a ocorrência de causas atribuíveis das mudanças do processo de modo que a investigação do processo e a ação corretiva possam ser realizadas antes que muitas unidades não conformes sejam fabricadas O gráfico de controle é uma das técnicas para monitoramento online do processo largamente usadas para esse propósito Os gráficos de controle podem ser usados também para estimar os parâmetros de um processo de produção e através dessa informação determinar a capacidade do processo O gráfico de controle pode ainda fornecer informação útil à melhoria do processo Finalmente lembre que o objetivo do controle estatístico do processo é a eliminação da variabilidade no processo Pode não ser possível eliminarse totalmente a variabilidade mas o gráfico de controle é uma ferramenta eficaz para a redução dessa variabilidade tanto quanto possível FIGURA 51 Causas aleatórias e atribuíveis de variação Apresentamos agora os conceitos estatísticos que são a base dos gráficos de controle Nos Capítulos 6 e 7 desenvolvemse os detalhes da construção e uso dos tipos padrão de gráficos de controle Base Estatística do Gráfico de Controle Princípios Básicos A Figura 52 mostra um típico gráfico de controle que é uma apresentação gráfica de uma característica da qualidade que foi medida ou calculada a partir de uma amostra versus o número da amostra ou o tempo O gráfico contém uma linha central representando o valor médio da característica da qualidade que corresponde ao estado sob controle Isto é apenas as causas aleatórias estão presentes Duas outras linhas horizontais chamadas de limite superior de controle LSC e limite inferior de controle LIC são também mostradas no gráfico Esses limites de controle são escolhidos de modo que se o processo está sob controle praticamente todos os pontos amostrais estarão entre eles Contanto que os pontos estejam entre os limites de controle o processo é considerado sob controle e não é necessária nenhuma ação No entanto um ponto que caia fora dos limites de controle é interpretado como evidência de que o processo está fora de controle e investigação e ação corretiva são necessárias para se encontrar e eliminar a causa ou causas atribuíveis responsáveis por esse comportamento É costume uniremse os pontos amostrais no gráfico de controle por segmentos de reta de modo a facilitar a visualização da evolução da sequência de pontos ao longo do tempo FIGURA 52 Um típico gráfico de controle Mesmo que todos os pontos se situem entre os limites de controle se eles se comportam de maneira sistemática ou não aleatória então isso pode ser uma indicação de que o processo está fora de controle Por exemplo se dos últimos 20 pontos marcados 18 estiverem acima da linha central mas abaixo do limite superior de controle e apenas dois estiverem abaixo da linha central mas acima do limite inferior de controle teremos motivos para suspeitar de que algo esteja errado Se o processo está sob controle todos os pontos marcados devem ter um padrão essencialmente aleatório Métodos para a procura de sequências ou padrões não aleatórios podem ser aplicados aos gráficos de controle como auxílio na descoberta de condições de fora de controle Em geral há uma razão pela qual um padrão não aleatório particular aparece em um gráfico de controle e se puder ser descoberta e eliminada o desempenho do processo pode ser melhorado Esse tópico é discutido mais detalhadamente nas Seções 535 e 624 Há uma relação muito próxima entre gráficos de controle e teste de hipóteses Para ilustrar essa relação suponha que o eixo vertical na Figura 52 seja a média amostral Agora se o valor atual de se localiza entre os limites de controle podemos concluir que a média do processo está sob controle isto é ela é igual ao µ0 Por outro lado se excede algum dos limites de controle concluímos que a média do processo está fora de controle isto é ela é igual a algum valor µ1 µ0 De certa maneira então o gráfico de controle é um teste da hipótese de que o processo esteja em um estado de controle estatístico Um ponto que se localiza entre os limites de controle é equivalente a não rejeição da hipótese de controle estatístico e um que se localiza fora dos limites de controle é equivalente à rejeição da hipótese de controle estatístico Esse esquema de teste de hipótese é útil de muitas maneiras mas há algumas diferenças entre gráficos de controle e testes de hipóteses Por exemplo quando estamos testando hipóteses estatísticas usualmente verificamos a validade das suposições enquanto gráficos de controle são usados para detectar afastamentos de um estado assumido de controle estatístico Em geral não nos preocuparíamos muito em relação a suposições como a forma ou independência da distribuição quando estamos usando os gráficos de controle em um processo para reduzir a variabilidade e alcançar o controle estatístico Além disso uma causa atribuível pode resultar em muitos tipos diferentes de mudanças nos parâmetros do processo Por exemplo a média poderia mudar instantaneamente para um novo valor e permanecer aí isto é às vezes chamado de deslocamento continuado ou ela poderia mudar abruptamente mas a causa atribuível poderia ser de curta duração e a média poderia voltar ao seu valor nominal ou sob controle ou a causa atribuível poderia resultar em um deslocamento ou tendência constante no valor da média Apenas o deslocamento continuado se ajusta ao modelo usual de teste estatístico de hipóteses Um lugar onde o esquema de teste de hipóteses é útil é na análise do desempenho de um gráfico de controle Por exemplo podemos pensar na probabilidade de um erro tipo I para o gráfico de controle concluindo que o processo está fora de controle quando ele realmente está sob controle e na probabilidade do erro tipo II para o gráfico de controle concluindo que o processo está sob controle quando de fato está fora de controle Ocasionalmente é útil usarse a curva característica de operação de um gráfico de controle para mostrar sua probabilidade de um erro tipo II Isso seria uma indicação da habilidade do gráfico de controle em detectar mudanças de diferentes magnitudes no processo Isso pode ser valioso na determinação de qual tipo de gráfico de controle aplicar em certas situações Para mais discussão sobre teste de hipótese papel da teoria estatística e gráficos de controle veja Woodall 2000 Para ilustrar as ideias precedentes damos um exemplo de um gráfico de controle Na manufatura de semicondutores um passo importante na fabricação é a fotolitografia na qual um material fotorresistente de baixa sensitividade é aplicado à placa de silício o padrão do circuito é exposto no material através do uso de luz UV de alta intensidade e o material resistente indesejado é removido através de um processo de desenvolvimento Depois que o padrão é definido o material subjacente é removido ou por banho químico ou por gravação por plasma É bastante típico acompanharse o desenvolvimento com um processo de cozimento para aumentar a aderência do resistente e a resistência da gravação Uma característica importante da qualidade no cozimento é a largura do fluxo do resistente uma medida de quanto ele se expande devido ao processo de cozimento Suponha que a largura do fluxo possa ser controlada em uma média de 15 mícron e que se saiba que o desviopadrão da largura do fluxo é de 015 mícron A Figura 53 mostra um gráfico de controle para a largura média do fluxo A cada hora uma amostra de cinco placas é retirada a largura média do fluxo é calculada e é marcada no gráfico Como esse gráfico de controle utiliza a média amostral para o monitoramento da média do processo ele é em geral chamado gráfico de controle Note que todos os pontos marcados estão dentro dos limites de controle de modo que o gráfico indica que se considera que o processo esteja sob controle estatístico FIGURA 53 Gráfico de controle para a largura do fluxo Para ajudar na compreensão da base estatística do gráfico de controle considere como os limites de controle foram determinados A média do processo é 15 mícron e o desviopadrão do processo é σ 015 mícron Agora se são extraídas amostras de tamanho n 5 o desviopadrão da média amostral é Portanto se o processo está sob controle com largura média do fluxo de 15 mícron então usando o teorema limite central para supor que seja normalmente distribuída esperaríamos que 1001 α das médias amostrais ficassem entre 15 Zα200671 e 15 Zα200671 Escolheremos arbitrariamente a constante Zα2 como 3 de modo que os limites superior e inferior se tornam LSC 15 300671 17013 e LIC 15 300671 12987 como mostra o gráfico de controle Esses são tipicamente chamados de limites de controle três sigmas2 A largura do intervalo entre os limites de controle é inversamente proporcional ao tamanho da amostra n para um dado múltiplo de sigma Note que a escolha dos limites de controle é equivalente ao estabelecimento da região crítica para o teste de hipóteses H0 μ 15 H1 μ 15 em que σ 015 é conhecido Essencialmente o gráfico de controle testa essas hipóteses repetidamente em pontos diferentes no tempo A situação é ilustrada graficamente na Figura 54 Podemos dar um modelo geral para um gráfico de controle Seja w uma estatística amostral que mede alguma característica da qualidade de interesse e suponha que a média de w seja µwe o desviopadrão de w seja σw Então a linha central o limite superior de controle e o limite inferior de controle se tornam FIGURA 54 Como opera o gráfico de controle 1 2 3 em que L é a distância dos limites de controle à linha central expressa em unidades de desviopadrão Essa teoria geral dos gráficos de controle foi proposta primeiramente por Walter S Shewhart e os gráficos de controle desenvolvidos segundo esses princípios são em geral chamados de gráficos de controle de Shewhart O gráfico de controle é um artifício para se descrever de maneira precisa o que se entende por controle estatístico como tal ele pode ser usado de várias maneiras Em muitas aplicações ele é usado para a vigilância ou monitoramento online de processos Isto é os dados amostrais são coletados e usados para construir o gráfico de controle e se os valores amostrais de digamos caem entre os limites de controle e não exibem qualquer padrão sistemático dizemos que o processo está sob controle no nível indicado pelo gráfico Note que podemos estar interessados aqui em determinar tanto se os dados passados se originaram ou não de um processo que estava sob controle quanto determinar se amostras futuras desse processo indicam controle estatístico O uso mais importante do gráfico de controle é melhorar o processo Vimos que em geral A maior parte dos processos não opera em estado de controle estatístico e Consequentemente o uso rotineiro e atento dos gráficos de controle ajudará na identificação de causas atribuíveis Se essas causas puderem ser eliminadas do processo a variabilidade será reduzida e o processo melhorará Essa atividade de melhoria do processo pelo uso do gráfico de controle está ilustrada na Figura 55 Note que O gráfico de controle apenas detectará causas atribuíveis A ação da gerência do operador e da engenharia será usualmente necessária para a eliminação das causas atribuíveis Na identificação e eliminação de causas atribuíveis é importante descobrirse a causa de raiz subjacente ao problema e atacála Uma solução de maquiagem não resultará em qualquer melhora real de longo prazo do processo O desenvolvimento de um sistema eficaz para ações corretivas é um componente essencial de uma implementação eficaz do CEP Uma parte muito importante do processo de ação corretiva associada ao uso do gráfico de controle é o plano de ação para foradecontrole ou PAFC outofcontrolaction plan OCAP Um PAFC é um fluxograma ou descrição textual da sequência de atividades que devem ser realizadas em seguida à ocorrência de um evento ativador Esses são em geral sinais de fora de controle do gráfico de controle O PAFC consiste em pontos de vistoria que são potenciais causas atribuíveis e finalizadores que são as ações empreendidas para resolver a condição fora de controle de preferência pela eliminação da causa atribuível É muito importante que o PAFC especifique tão completamente quanto possível os pontos de vistoria e os finalizadores e que estes estejam dispostos em uma ordem tal que facilitem as atividades de diagnóstico do processo Em geral a análise de modos de falhas anteriores do processo eou do produto pode ser útil no planejamento desse aspecto do PAFC Além disso um PAFC é um documento vivo no sentido de que será modificado ao longo do tempo na medida em que se adquire mais conhecimento e compreensão do processo Consequentemente quando se introduz um gráfico de controle um PAFC inicial deve acompanhálo Gráficos de controle sem um PAFC provavelmente não serão uma ferramenta muito útil de melhoria do processo FIGURA 55 Melhoria do processo com o uso do gráfico de controle A Figura 56 mostra o PAFC para o processo de cozimento Esse processo tem duas variáveis controláveis temperatura e tempo Nesse processo a largura média do fluxo é monitorada com um gráfico de controle e a variabilidade do processo é monitorada com um gráfico de controle para a amplitude ou um gráfico R Note que se o gráfico R exibe um sinal de fora de controle o pessoal de operação é orientado para entrar em contato imediato com a engenharia do processo Se o gráfico de controle exibir um sinal de fora de controle os operadores serão orientados para verificarem o ambiente e a calibração do processo e então fazerem ajustes na temperatura em um esforço para trazer o processo de volta ao controle Se esses ajustes não forem bemsucedidos devese contatar o pessoal de engenharia do processo Podemos também usar os gráficos de controle como um dispositivo de estimação Isto é a partir de um gráfico de controle que exibe controle estatístico podemos estimar certos parâmetros do processo tais como a média o desvio padrão fração de não conformes ou defeituosos e assim por diante Essas estimativas podem então ser usadas para a determinação da capacidade do processo em produzir produtos aceitáveis Tais estudos da capacidade do processo têm considerável impacto sobre muitos problemas de decisão gerencial que ocorrem no ciclo de produção incluindo decisões de compra e venda melhoria das instalações e processo que reduzam a variabilidade do processo e acordos contratuais com clientes e vendedores com relação à qualidade do produto FIGURA 56 O plano de ação para fora de controle PAFC para o processo de cozimento Os gráficos de controle podem ser classificados em dois tipos gerais Se a característica da qualidade pode ser expressa como um número em alguma escala contínua de medida ela é usualmente chamada de uma variável Em tais casos é conveniente descrever a característica da qualidade com uma medida de tendência central e uma medida de variabilidade Os gráficos de controle para tendência central e variabilidade são chamados coletivamente de gráficos de controle para variáveis O gráfico é o mais amplamente usado para controle da tendência central enquanto gráficos com base ou na amplitude amostral ou no desviopadrão amostral são usados para controlar a variabilidade do processo Os gráficos de controle para variáveis são discutidos no Capítulo 6 Muitas características da qualidade não são medidas em uma escala contínua ou mesmo em uma escala quantitativa Nesses casos podemos julgar cada unidade do produto como conforme ou não conforme com base no fato de ela possuir ou não certos atributos ou podemos contar o número de não conformidades defeitos que aparecem em uma unidade do produto Gráficos de controle para tais características da qualidade são chamados de gráficos de controle para atributos e são discutidos no Capítulo 7 Um fator importante no uso do gráfico de controle é o planejamento do gráfico de controle Com isso queremos dizer a seleção do tamanho da amostra dos limites de controle e da frequência da amostragem Por exemplo no gráfico da Figura 53 especificamos um tamanho de amostra de cinco medidas limites de controle de três sigmas e frequência de amostragem horária Na maioria dos problemas de controle da qualidade é comum o planejamento do gráfico de controle usandose principalmente considerações estatísticas Por exemplo sabemos que o aumento do tamanho da amostra fará diminuir a probabilidade de um erro tipo II realçando assim a habilidade do gráfico em detectar um estado fora de controle e assim por diante O uso de critérios estatísticos tais como esse juntamente com a experiência industrial levou a diretrizes e procedimentos gerais para o planejamento de gráficos de controle Esses procedimentos usualmente consideram o fator custo apenas de uma maneira implícita Recentemente no entanto começamos a examinar o planejamento dos gráficos de controle sob um ponto de vista econômico considerando explicitamente o custo da amostragem perdas por permitir a fabricação de produtos defeituosos e os custos das investigações de sinais de fora de controle que são na verdade alarmes falsos Outra consideração importante no uso do gráfico de controle é o tipo de variabilidade exibida pelo processo A Figura 57 apresenta dados de três processos diferentes As Figuras 57a e 57b ilustram um comportamento estacionário Com isso queremos dizer que os dados do processo variam em torno de uma média fixa de uma maneira estável ou previsível Este é o tipo de comportamento que Shewhart dava a entender que fosse produzido por um processo sob controle Mesmo um exame superficial das Figuras 57a e 57b revela algumas diferenças importantes Os dados na Figura 57a são não correlacionados isto é as observações dão a impressão de terem sido extraídas aleatoriamente de uma população estável talvez de uma distribuição normal Esse tipo de dados é chamado de ruído branco pelos analistas de séries temporais A análise de séries temporais é um campo da estatística devotado exclusivamente ao estudo e modelagem de dados orientados no tempo Nesse tipo de processo a ordem na qual os dados ocorrem não nos diz muito que seja de utilidade na análise do processo Em outras palavras os valores passados dos dados não são de ajuda na predição de quaisquer valores futuros FIGURA 57 Dados de três processos diferentes a Estacionário e não correlacionado ruído branco b Estacionário e autocorrelacionado c Não estacionário A Figura 57b ilustra dados de um processo estacionário mas autocorrelacionado Note que as observações sucessivas nesses dados são dependentes isto é um valor acima da média tende a ser seguido por outro valor acima da média enquanto um valor abaixo da média é usualmente seguido por outro do mesmo tipo Isso produz uma série de dados que tem uma tendência a se mover em sequências moderadamente longas em cada um dos lados da média A Figura 57c ilustra uma variação não estacionária Esse tipo de dados de processo ocorre frequentemente em indústrias químicas e de processamento Note que o processo é muito instável no sentido de que ele deriva ou vagueia sem qualquer sinal de uma média estável ou fixa Em muitos ambientes industriais estabilizamos esse tipo de comportamento pelo uso do controle de engenharia do processo tal como o controle de retroação Essa abordagem do controle do processo é exigida quando há fatores que afetam o processo que não podem ser estabilizados tais como variáveis ambientais ou propriedades da matériaprima Quando o esquema de controle é eficaz a saída do processo não se parecerá com a Figura 57c mas sim com a Figura 57a ou 57b Os gráficos de controle de Shewhart são mais eficazes quando os dados do processo sob controle se parecem com a Figura 57a Com isso queremos dizer que os gráficos podem ser planejados de maneira que seu desempenho seja previsível e razoável para o usuário e que sejam eficientes em detectar condições de foradecontrole de modo confiável A maior parte de nossa discussão sobre gráficos de controle neste e nos Capítulos 6 e 7 suporá sempre que os dados de um processo sob controle são estacionários e não correlacionados 1 2 3 4 5 532 Com algumas modificações os gráficos de controle de Shewhart e outros tipos de gráficos de controle se aplicam a dados autocorrelacionados Discutiremos isso com mais detalhes na Parte IV do livro Discutiremos também na Parte IV o controle de retroação e o uso do CEP em sistemas nos quais o controle de retroação é empregado Os gráficos de controle tiveram uma longa história de uso nas indústrias americanas e também em indústrias fora daquele país Há pelo menos cinco razões para sua popularidade Os gráficos de controle são uma técnica comprovada para a melhoria da produtividade Um programa bem sucedido de gráfico de controle reduzirá a sucata e o retrabalho que são os principais empecilhos para a produtividade em qualquer operação Se a sucata e o retrabalho estiverem reduzidos então a produtividade aumentará o custo cairá e a capacidade de produção medida em número de peças boas por hora crescerá Os gráficos de controle são eficazes na prevenção de defeitos O gráfico de controle ajuda a manter o processo sob controle o que é consistente com a filosofia do faça certo da primeira vez Nunca é mais barato separar unidades boas das ruins mais tarde do que fazêlas corretamente já de início Se você não conta com controle efetivo do processo você está pagando para fabricar um produto fora das especificações Os gráficos de controle evitam o ajuste desnecessário do processo Um gráfico de controle pode distinguir entre um ruído de fundo e uma variação anormal nenhum outro instrumento incluindo um operador humano é tão eficiente para fazer essa distinção Se os operadores do processo ajustamno com base em testes periódicos não relacionados a um programa de gráfico de controle frequentemente terão que reagir mais ao ruído de fundo e fazer ajustes que não seriam necessários Esses ajustes desnecessários podem na verdade resultar em uma deterioração do desempenho do processo Em outras palavras o gráfico de controle é consistente com a filosofia se não está quebrado não conserte Os gráficos de controle fornecem informação de diagnóstico Frequentemente o padrão dos pontos em um gráfico de controle conterá informação de valor para diagnóstico para um operador ou engenheiro experiente Essa informação permite a implementação de uma mudança no processo que melhore seu desempenho Os gráficos de controle fornecem informação sobre a capacidade do processo O gráfico de controle fornece informação sobre o valor de vários parâmetros importantes do processo e sobre sua estabilidade ao longo do tempo Isso permite que se faça uma estimativa da capacidade do processo Essa informação é de uso extraordinário para os planejadores do produto e do processo Os gráficos de controle estão entre as mais importantes ferramentas de controle da gerência eles são tão importantes quanto os controles de custo e de material A moderna tecnologia computacional facilitou a implementação dos gráficos de controle em qualquer tipo de processo na medida em que a coleta e análise dos dados podem ser feitas em microcomputador ou em terminal de rede local em tempo real online no local de trabalho No final do Capítulo 7 dãose algumas diretrizes adicionais para a implementação de um programa de gráfico de controle Escolha dos Limites de Controle A especificação dos limites de controle é uma das decisões críticas que devem ser tomadas no planejamento de um gráfico de controle Ao afastarmos os limites de controle da linha central diminuímos o risco de um erro tipo I isto é o risco de um ponto cair fora dos limites de controle indicando uma condição de fora de controle quando nenhuma causa atribuível está presente No entanto ao aumentarmos o espaço entre os limites de controle estaremos aumentando o risco do erro tipo II isto é o risco de um ponto cair entre os limites de controle quando o processo está na verdade fora de controle Se aproximarmos os limites de controle da linha central obteremos o efeito oposto aumentase o risco de um erro tipo I enquanto o erro tipo II é diminuído Para o gráfico da Figura 53 onde foram usados os limites de controle três sigmas se supusermos que a largura do fluxo seja normalmente distribuída encontraremos na tabela da normal padronizada que a probabilidade de um erro tipo I é 00027 Isto é um sinal incorreto de foradecontrole ou falso alarme será gerado em apenas 27 de 10000 pontos Além disso a probabilidade de que um ponto tomado quando o processo está sob controle excederá os limites de três sigmas em apenas uma direção é 000135 Em vez de especificar os limites de controle como um múltiplo do desviopadrão de poderíamos ter escolhido diretamente a probabilidade de um erro tipo I e calculado os limites de controle correspondentes Por exemplo se tivéssemos especificado a probabilidade de um erro tipo I em 0001 em uma direção então o múltiplo apropriado do desviopadrão seria 309 Os limites de controle para o gráfico seriam então LSC 15 30900671 17073 LIC 15 30900671 12927 Esses limites de controle são chamados de limites de probabilidade 0001 embora eles pudessem logicamente ser chamados de limites de probabilidade 0002 porque o risco total de se cometer um erro tipo I é 0002 Há apenas uma ligeira diferença entre os dois limites Independentemente da distribuição da característica da qualidade é práticapadrão nos Estados Unidos a determinação dos limites de controle como um múltiplo do desviopadrão da estatística mostrada no gráfico O múltiplo escolhido em geral é 3 daí os limites de três sigmas serem normalmente empregados em gráficos de controle independentemente do tipo de gráfico usado No Reino Unido e em partes da Europa Ocidental os limites de probabilidade são usados com 0001 como nível de probabilidadepadrão em qualquer direção Nós justificamos o uso dos limites de controle de três sigmas pelo fato de darem bons resultados na prática Além disso em muitos casos a verdadeira distribuição da característica da qualidade não é conhecida o bastante para se calcularem limites de probabilidade exatos Se a distribuição da característica da qualidade pode ser razoavelmente aproximada pela distribuição normal então haverá pouca diferença entre os limites três sigmas e de probabilidade 0001 Dois Limites em Gráficos de Controle Alguns analistas sugerem o uso de dois conjuntos de limites em gráficos de controle tais como os mostrados na Figura 58 Os limites exteriores digamos em três sigmas são os usuais limites de ação isto é quando um ponto se situa fora desse limite procurase uma causa atribuível e tomase uma ação corretiva se necessário Os limites interiores usualmente em dois sigmas são chamados de limites de alerta Na Figura 58 mostramos os limites superior e inferior de controle de três sigmas no gráfico para a largura do fluxo Os limites superior e inferior de alerta se localizam em LSA 15 200671 16342 LIA 15 200671 13658 Quando se usam os limites de probabilidade os de ação em geral são os limites 0001 e os de alerta são os limites 0025 Se um ou mais pontos se situam entre os limites de alerta e os limites de controle ou muito próximos dos limites de alerta devemos suspeitar de que o processo pode não estar operando adequadamente Uma ação possível a se tomar quando isso ocorre é aumentar a frequência da amostragem eou o tamanho da amostra de modo a se obter rapidamente mais informação sobre o processo Os esquemas de controle de processo que mudam o tamanho da amostra eou a frequência da amostragem em função do valor amostral corrente são chamados de esquemas de intervalo de amostragem adaptativo ou variável ou de tamanho variável de amostra etc Essas técnicas vêm sendo usadas na prática por muitos anos e recentemente têm sido estudadas exaustivamente por pesquisadores da área Discutiremos novamente essa técnica na Parte IV deste livro O uso de limites de alerta pode aumentar a sensitividade do gráfico de controle isto é pode permitir ao gráfico de controle sinalizar mais rapidamente uma mudança no processo Uma de suas desvantagens é que pode ser um pouco confuso para o pessoal de operação Esta não é no entanto uma objeção séria e muitos adeptos usam os limites de alerta rotineiramente nos gráficos de controle Uma objeção mais séria é que embora o uso de limites de alerta possa melhorar a sensitividade do gráfico pode também resultar em um aumento do risco de falsos alarmes Discutiremos mais profundamente o uso de regras sensibilizantes tais como limites de alerta na Seção 536 533 FIGURA 58 Um gráfico com limites de alerta de dois e três sigmas Tamanho da Amostra e Frequência de Amostragem No planejamento de um gráfico de controle devemos especificar tanto o tamanho da amostra a ser usada quanto a frequência de amostragem Em geral amostras maiores tornarão mais fácil detectaremse pequenas mudanças no processo Isto é demonstrado na Figura 59 onde traçamos a curva característica de operação para o gráfico da Figura 53 para vários tamanhos de amostra Note que a probabilidade de se detectar uma mudança de 1500 mícron para 1650 mícron por exemplo aumenta na medida em que o tamanho n da amostra aumenta Na escolha do tamanho da amostra devemos ter em mente a magnitude da mudança que queremos detectar Se a mudança no processo for relativamente grande então devemos usar tamanhos de amostra menores do que usaríamos se a mudança de interesse fosse relativamente pequena Devemos também determinar a frequência da amostragem A situação mais desejável do ponto de vista de detecção de mudanças seria a extração de grandes amostras muito frequentemente no entanto isto em geral não é factível economicamente O problema geral é o de alocação do esforço de amostragem Isto é ou tomamos pequenas amostras a intervalos bem curtos ou amostras maiores a intervalos mais longos A prática industrial corrente tende a favorecer as amostras pequenas mais frequentes particularmente em processos de fabricação de grande volume ou onde pode ocorrer um grande número de causas atribuíveis Além disso na medida em que se desenvolve a tecnologia de sensores e medidores automáticos tornase possível aumentar grandemente as frequências de amostragem Basicamente toda unidade pode ser testada na medida em que é fabricada Os sistemas de medição automática e microcomputadores com programas de CEP aplicados no local de trabalho para um controle do processo online e em tempo real são uma maneira cada vez mais eficaz de aplicação do controle estatístico de processos Outra maneira de avaliação das decisões relativas a tamanho da amostra e frequência da amostragem é através do comprimento médio da sequência CMS do gráfico de controle Essencialmente o CMS é o número médio de pontos que devem ser marcados antes que um ponto indique uma condição de fora de controle Se as observações do processo são não correlacionadas então para qualquer gráfico de controle de Shewhart o CMS pode ser calculado facilmente por FIGURA 59 Curvas características de operação para um gráfico em que p é a probabilidade de que qualquer ponto exceda os limites de controle Essa equação pode ser usada para se avaliar o desempenho do gráfico de controle A título de ilustração para o gráfico com os limites três sigmas p 00027 é a probabilidade de que um único ponto caia fora dos limites quando o processo está sob controle Portanto o comprimento médio da sequência do gráfico quando o processo está sob controle chamado CMS0 é Isto é mesmo que o processo permaneça sob controle um sinal de fora de controle será emitido a cada 370 amostras em média O uso dos comprimentos médios de sequências para descrever o desempenho dos gráficos de controle tem sido sujeito a críticas recentemente As razões para isso provêm do fato de a distribuição do comprimento da sequência para um gráfico de controle de Shewhart ser uma distribuição geométrica consulte a Seção 324 Consequentemente há duas preocupações em relação ao CMS 1 o desviopadrão do comprimento de sequências é muito grande e 2 a distribuição geométrica é muito assimétrica de modo que a média da distribuição o CMS não é necessariamente um valor típico do comprimento de sequência Por exemplo considere o gráfico de controle de Shewhart com os limites três sigmas Quando o processo está sob controle vimos que p 00027 e que CMS0 1p 100027 370 Esta é a média da distribuição geométrica Agora o desviopadrão da distribuição geométrica é Isto é o desviopadrão da distribuição geométrica neste caso é aproximadamente igual à sua média Como resultado o CMS0 real observado na prática para o gráfico de controle de Shewhart certamente variará bastante Além disso para a distribuição geométrica com p 00027 o décimo e o quinquagésimo percentis da distribuição são 38 e 256 respectivamente Isso significa que aproximadamente 10 das vezes o comprimento da sequência sob controle será menor ou igual a 38 amostras e 50 das vezes será menor ou igual a 256 amostras Isso ocorre porque a distribuição geométrica com p 00027 é muito assimétrica à direita Por esta razão alguns analistas preferem relatar percentis da distribuição do comprimento da sequência em vez de apenas o CMS Ocasionalmente é conveniente expressarse o desempenho do gráfico de controle em termos de seu tempo médio para alerta TMA Se as amostras são tomadas a intervalos fixos de tempo de h horas então Considere o processo do cozimento discutido anteriormente e suponha que estejamos tomando amostras a cada hora A Equação 53 indica que teremos um alarme falso a cada 370 horas em média Considere agora como o gráfico de controle se comporta em relação à detecção de deslocamentos na média Suponha que estejamos usando uma amostra de tamanho n 5 e que quando o processo sai de controle a média mude para 1725 mícron Pela curva característica de operação na Figura 59 vemos que se a média do processo é 1725 mícron a probabilidade de estar entre limites de controle é de aproximadamente 035 Portanto p na equação 52 é 035 e o CMS fora de controle chamado CMS1 é Isto é o gráfico de controle exigirá em média 286 amostras para detectar a mudança no processo e como o intervalo de tempo entre as amostras é h 1 hora o tempo médio exigido para detectar essa mudança é TMA CMS1h 286 1 286 horas Suponha que isso seja inaceitável porque a produção de placas com largura média do fluxo de 1725 mícron resulta em custo excessivo de sucata e pode resultar em problemas de manufatura mais adiante Como podemos reduzir o tempo necessário para se detectar uma condição de fora de controle Um método é a extração de amostras mais frequentemente Por exemplo se extraímos amostras a cada meia hora então o tempo médio para sinalização para esse esquema é TMA CMS1 h 286 143 isto é apenas 143 hora se passará em média entre a mudança e sua detecção A segunda 534 possibilidade é o aumento do tamanho da amostra Por exemplo se usamos n 10 então a Figura 59 mostra que a probabilidade de estar entre os limites de controle quando a média do processo é 1725 mícron é aproximadamente 01 de modo que p 09 e da equação 52 o CMS fora de controle ou CMS1 será e se extraímos amostras a cada hora o tempo médio para alerta será TMA CMS1h 1111 111 hora Assim o tamanho maior da amostra permitiria a detecção da mudança duas vezes mais rápido do que anteriormente Para responder com mais precisão à questão sobre frequência de amostragem devemos levar em conta vários fatores incluindo custos de amostragem as perdas associadas à operação do processo em condição fora de controle a taxa de produção e as probabilidades com que ocorrem os vários tipos de mudanças do processo Nos quatro próximos capítulos discutiremos vários métodos para seleção de tamanho apropriado de amostra e de frequência de amostragem para um gráfico de controle Subgrupos Racionais Uma ideia fundamental no uso de gráficos de controle é a coleção de dados amostrais de acordo com o que Shewhart denominou conceito de subgrupo racional Para ilustrar esse conceito suponha que estejamos usando um gráfico de controle para detectar deslocamentos na média do processo Então o conceito de subgrupo racional significa que subgrupos ou amostras devem ser selecionados de tal modo que se estiverem presentes causas atribuíveis a chance de diferenças entre os subgrupos será maximizada enquanto a chance de diferenças decorrentes dessas causas atribuíveis dentro de um subgrupo será minimizada Quando se aplicam gráficos de controle a processos de produção a ordem temporal da produção é uma base lógica para a seleção dos subgrupos racionais No entanto mesmo que a ordem temporal seja preservada ainda é possível formarem se subgrupos de maneira errada Se algumas observações na amostra são tomadas no fim de um turno e as demais observações são tomadas no início do turno seguinte então quaisquer diferenças entre os turnos podem não ser detectadas A ordem temporal é frequentemente uma boa base para a formação de subgrupos porque nos permite detectar causas atribuíveis que ocorrem ao longo do tempo Usamse duas abordagens gerais para a construção de subgrupos racionais Na primeira abordagem cada amostra consiste em unidades que foram produzidas ao mesmo tempo ou tão próximas quanto possível Idealmente gostaríamos de tomar unidades consecutivas de produção Usase essa abordagem quando o objetivo principal do gráfico de controle é detectar mudanças no processo Ela minimiza a chance de variabilidade decorrente das causas atribuíveis dentro de uma amostra e maximiza a chance de variabilidade entre amostras se estiveram presentes causas atribuíveis Ela fornece também melhor estimativa do desviopadrão do processo no caso de gráficos de controle para variáveis Essa abordagem para subgrupos racionais dá essencialmente um instantâneo do processo em cada ponto do tempo em que uma amostra tiver sido coletada A Figura 510 ilustra esse tipo de estratégia de amostragem Na Figura 510a mostramos um processo no qual a média passa por uma série de deslocamentos continuados e as correspondentes observações obtidas desse processo em pontos no tempo ao longo do eixo horizontal supondo que tenham sido selecionadas cinco unidades consecutivas A Figura 510b mostra o gráfico de controle e um gráfico R ou gráfico da amplitude para esses dados A linha central e os limites de controle no gráfico R são construídos usandose a amplitude de cada amostra na parte superior da figura os detalhes serão vistos no Capítulo 6 Note que embora a média do processo esteja mudando a variabilidade do processo é estável Além disso a medida de variabilidade dentro da amostra é usada para a construção dos limites de controle para o gráfico Note que o gráfico na Figura 510b tem pontos fora de controle correspondentes aos deslocamentos na média do processo Na segunda abordagem cada amostra consiste em unidades do produto que são representativas de todas as unidades que foram produzidas desde que a última amostra foi tomada Essencialmente cada subgrupo é uma amostra aleatória de toda a saída do processo durante o intervalo de amostragem Esse método de escolha de subgrupos racionais é em geral usado quando o gráfico de controle se destina à tomada de decisões sobre a aceitação de todas as unidades do produto que foram produzidas desde a última amostra De fato se o processo muda para um estado fora de controle e volta a um estado de controle entre amostras questionase às vezes que o primeiro método de escolha de subgrupos racionais definido anteriormente será ineficaz contra esses tipos de mudanças de modo que o segundo método deve ser usado FIGURA 510 A abordagem do instantâneo para subgrupos racionais a Comportamento da média do processo b Gráficos de controle e R correspondentes Quando o subgrupo racional é uma amostra aleatória de todas as unidades produzidas durante o intervalo de amostragem devese tomar muito cuidado na interpretação dos gráficos de controle Se a média do processo oscila entre vários níveis durante o intervalo entre amostras isso pode fazer com que a amplitude das observações dentro da amostra seja relativamente grande resultando em limites maiores no gráfico Este cenário está ilustrado na Figura 511 De fato podemos sempre fazer qualquer processo parecer estar sob controle estatístico apenas aumentando o intervalo entre as observações na amostra É possível também que mudanças na média do processo ocasionem pontos fora de controle no gráfico da amplitude ou do desviopadrão mesmo não tendo havido qualquer mudança na variabilidade do processo Há outras bases para a formação de subgrupos racionais Por exemplo suponha que um processo seja constituído por várias máquinas que combinam suas saídas em uma esteira comum Se extrairmos amostras dessa esteira comum de saída será muito difícil detectar se alguma das máquinas está ou não fora de controle Uma abordagem lógica para a formação de subgrupos racionais aqui é a aplicação das técnicas de gráficos de controle à saída de cada máquina individualmente Algumas vezes esse conceito precisa ser aplicado a saídas diferentes de uma mesma máquina a diferentes estações de trabalho a operadores diferentes e assim por diante Em muitas situações o subgrupo racional consistirá em uma única observação Essa situação ocorre frequentemente nas indústrias química e de processamento em que a característica da qualidade do produto muda relativamente devagar e amostras tomadas muito próximas no tempo são virtualmente idênticas a menos de erro de medida ou análise O conceito de subgrupo racional é muito importante A seleção apropriada de amostras requer consideração cuidadosa do processo com o objetivo de se obter tanta informação útil quanto possível da análise do gráfico de controle 535 FIGURA 511 A abordagem de amostra aleatória para subgrupos racionais a Comportamento da média do processo b Gráficos de controle e R correspondentes Análise de Padrões em Gráficos de Controle Padrões em gráficos de controle devem ser avaliados Um gráfico de controle pode indicar uma condição fora de controle quando um ou mais pontos se localizam além dos limites de controle ou quando os pontos marcados exibem algum padrão de comportamento não aleatório Por exemplo considere o gráfico da Figura 512 Embora todos os 25 pontos estejam dentro dos limites de controle eles não indicam controle estatístico porque seu padrão é na aparência muito não aleatório Especificamente notamos que 19 dos 25 pontos se localizam abaixo da linha central enquanto apenas seis deles estão acima Se os pontos fossem realmente aleatórios deveríamos esperar uma distribuição mais equilibrada deles acima e abaixo da linha central Observamos também que em seguida ao quarto ponto cinco pontos em fila aumentam em magnitude Essa disposição de pontos se chama uma sequência Como as observações estão aumentando poderíamos chamála uma sequência crescente Analogamente uma sequência de pontos que diminuem é chamada uma sequência decrescente Esse gráfico de controle possui uma sequência crescente inusitadamente longa começando pelo quarto ponto e uma sequência decrescente também inusitadamente longa começando pelo décimo oitavo ponto FIGURA 512 Um gráfico de controle 1 2 3 Em geral definimos uma sequência como uma fila de observações do mesmo tipo Além das sequências crescentes e decrescentes poderíamos definir os tipos de observações como aquelas acima ou abaixo da linha central respectivamente de modo que dois pontos em fila acima da linha central seriam uma sequência de comprimento 2 Uma sequência de oito ou mais pontos tem probabilidade muito pequena de ocorrer em uma amostra aleatória de pontos Consequentemente qualquer tipo de sequência de comprimento oito ou mais é sempre considerada como um sinal de condição fora de controle Por exemplo oito pontos consecutivos de um mesmo lado da linha central indicarão que o processo está fora de controle Embora as sequências sejam uma medida importante de comportamento não aleatório em um gráfico de controle outros tipos de padrão podem também indicar uma condição fora de controle Por exemplo considere o gráfico da Figura 513 Note que as médias amostrais marcadas exibem um comportamento cíclico embora estejam todas dentro dos limites de controle Tal padrão pode indicar um problema com o processo tal como fadiga do operador falhas na entrega da matériaprima acúmulo de calor ou tensão e assim por diante Embora o processo não esteja realmente fora de controle a produção pode ser melhorada pela eliminação ou redução das fontes de variabilidade que estejam causando esse comportamento cíclico veja a Figura 514 O problema é o de reconhecimento de padrão isto é o reconhecimento de padrões sistemáticos ou não aleatórios no gráfico de controle e a identificação das razões para esse comportamento A habilidade para interpretar um padrão particular em termos de causas atribuíveis requer experiência e conhecimento do processo Isto é devemos não apenas conhecer os princípios estatísticos dos gráficos de controle mas devemos também ter uma boa compreensão do processo No Capítulo 6 discutiremos com mais detalhes a interpretação de padrões em gráficos de controle O Statistical Quality Control Handbook Manual do Controle Estatístico da Qualidade 1956 da Western Electric sugere um conjunto de regras de decisão para a detecção de padrões não aleatórios em gráficos de controle Especificamente sugere que se conclua que o processo está fora de controle se um ponto se localiza fora dos limites de controle três sigmas dois em três pontos consecutivos se localizam além dos limites de alerta de dois sigmas quatro em cinco pontos consecutivos se localizam a uma distância de um sigma ou mais em relação à linha central ou FIGURA 513 Um gráfico com um padrão cíclico 4 FIGURA 514 a Variabilidade com o padrão cíclico b Variabilidade com o padrão cíclico eliminado oito pontos consecutivos se localizam de um mesmo lado da linha central Essas regras se aplicam a um lado da linha central de cada vez Portanto um ponto acima do limite superior de alerta seguido imediatamente por um ponto abaixo do limite inferior de alerta não apontam para um alarme de fora de controle Estas regras são em geral usadas na prática para acentuar a sensitividade dos gráficos de controle Isto é o uso dessas regras pode permitir que mudanças menores no processo sejam detectadas mais rapidamente do que seriam se nosso único critério fosse a usual violação dos limites de controle três sigmas A Figura 515 mostra um gráfico de controle com limites de um sigma dois sigmas e três sigmas usados no procedimento da Western Electric Note que esses limites dividem o gráfico de controle em três zonas A B e C de cada lado da linha central Consequentemente as regras da Western Electric são por vezes chamadas de regras de zonas para gráficos de controle Observe que os últimos quatro pontos caem na zona B ou além Assim como quatro de cinco pontos consecutivos excedem o limite de um sigma o procedimento da Western Electric indicará que o padrão é não aleatório e que o processo está fora de controle FIGURA 515 Regras da Western Electric ou de zonas com os últimos quatro pontos exibindo violação da regra 3 TABELA 51 Regras Sensibilizantes para Gráficos de Controle de Shewhart 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 536 Sinal de Ação Padrão Um ou mais pontos fora dos limites de controle Dois ou três pontos consecutivos fora dos limites de alerta dois sigmas mas ainda dentro dos limites de controle Regras da Western Electric Quatro ou cinco pontos consecutivos além dos limites de um sigma Regras da Western Electric Uma sequência de oito pontos consecutivos de um mesmo lado da linha central Regras da Western Electric Seis pontos em uma sequência sempre crescente ou decrescente Quinze pontos em sequência na zona C tanto acima quanto abaixo da linha central Quatorze pontos em sequência alternadamente para cima e para baixo Oito pontos em sequência de ambos os lados da linha central com nenhum na zona C Um padrão não usual ou não aleatório nos dados Um ou mais pontos perto de um limite de alerta ou de controle Discussão de Regras Sensibilizantes para Gráficos de Controle Como se pode perceber das seções precedentes vários critérios podem ser aplicados simultaneamente a um gráfico de controle para se determinar se o processo está fora de controle O critério básico é um ou mais pontos fora dos limites de controle Os critérios suplementares são às vezes usados para aumentar a sensitividade dos gráficos de controle a uma pequena mudança no processo de modo a se responder mais rapidamente a uma causa atribuível A Tabela 51 mostra algumas das regras sensibilizantes para gráficos de controle que são largamente usadas na prática Para uma boa discussão de algumas dessas regras veja Nelson 1984 Frequentemente inspecionaremos um gráfico de controle e concluiremos que o processo está fora de controle se um ou mais dos critérios da Tabela 51 forem verificados Quando se aplicam simultaneamente várias dessas regras sensibilizantes em geral usamos uma resposta graduada para sinais de fora de controle Por exemplo se um ponto excedesse um limite de controle começaríamos imediatamente a procurar pela causa atribuível mas se um ou dois pontos consecutivos excedessem apenas o limite de alerta de dois sigmas poderíamos aumentar a frequência da amostragem para a cada 10 minutos em vez de a cada hora Essa resposta de amostragem adaptativa pode não ser tão rigorosa quanto uma procura completa por uma causa atribuível mas se o processo estivesse mesmo fora de controle ela nos daria uma alta probabilidade de detectar essa situação mais rapidamente do que se mantivéssemos a amostragem a intervalos mais longos Em geral devese tomar muito cuidado quando se usam várias regras de decisão simultaneamente Suponha que um analista use k regras de decisão e que o critério i tenha probabilidade αi de um erro tipo I Então a probabilidade total de um erro tipo I ou um falso alarme para a decisão baseada nos k testes é 537 desde que todas as k regras de decisão sejam independentes Entretanto a hipótese de independência não é válida com as regras usuais de sensibilização Além disso o valor de αinão é sempre claramente definido para as regras sensibilizantes porque essas regras envolvem várias observações Champ e Woodall 1987 investigaram o desempenho do comprimento médio da sequência para o gráfico de controle de Shewhart com várias regras sensibilizantes Eles descobriram que o uso dessas regras de fato melhora a capacidade de o gráfico de controle detectar mudanças menores mas o comprimento médio da sequência sob controle pode ser substancialmente degradado Por exemplo supondo independentes os dados do processo e usando um gráfico de controle de Shewhart com as regras da Western Electric resulta um CMS sob controle de 9125 em contraste com 370 para o gráfico de controle de Shewhart apenas Algumas das regras individuais da Western Electric são particularmente incômodas Uma ilustração é a regra de vários usualmente sete ou oito pontos consecutivos que crescem ou decrescem Essa regra é bastante ineficaz na verificação de uma tendência situação para a qual foi planejada No entanto ela aumenta enormemente a taxa de falsos alarmes Veja Davis e Woodall 1988 para mais detalhes Fase I e Fase II da Aplicação do Gráfico de Controle O uso padrão do gráfico de controle envolve as aplicações das fases I e II com dois diferentes objetivos Na fase I um conjunto de dados do processo é coletado e analisado de uma vez em uma análise retrospectiva construindose limites de controle de teste para se determinar se o processo estava sob controle durante o período em que os dados foram coletados e para se verificar se limites de controle confiáveis podem ser estabelecidos para o monitoramento de produção futura Essa é tipicamente a primeira coisa a ser feita quando se aplicam gráficos de controle a qualquer processo Na fase I os gráficos de controle ajudam o pessoal de operação a levar o processo para um estado de controle estatístico A fase II se inicia após termos um conjunto limpo de dados de processo coletados sob condições estáveis e representativas do desempenho do processo sob controle Na fase II usamos o gráfico de controle para monitorar o processo comparando a estatística amostral para cada amostra sucessiva à medida que ela é extraída do processo com os limites de controle Assim na fase I estamos comparando uma coleção de digamos m pontos com um conjunto de limites de controle calculados a partir desses pontos Tipicamente m 20 ou 25 subgrupos são usados na fase I É bastante característico assumirse na fase I que o processo esteja inicialmente fora de controle de modo que o objetivo da análise é levar o processo a um estado de controle estatístico Os limites de controle são calculados com base nos m subgrupos e nos dados marcados nos gráficos de controle Pontos que se situam fora dos limites de controle são investigados à procura de causas atribuíveis Quaisquer causas atribuíveis identificadas são trabalhadas pelo pessoal de engenharia e de operação em um esforço para eliminálas Pontos fora dos limites de controle são então eliminados e um novo conjunto de limites de controle revisado é calculado Então novos dados são coletados e comparados com esses limites revisados Algumas vezes esse tipo de análise exigirá vários ciclos de análise nos quais o gráfico de controle é usado causas atribuíveis são detectadas e corrigidas limites de controle revisados são calculados e o plano de ação para situação fora de controle é atualizado e expandido Eventualmente o processo se estabiliza e obtémse um conjunto limpo de dados que representam o desempenho do processo sob controle para uso na fase II Geralmente gráficos de controle de Shewhart são muito eficazes na fase I por serem de fácil construção e interpretação e porque são eficazes na detecção tanto de mudanças grandes contínuas nos parâmetros do processo quanto de valores atípicos desvios únicos que podem ser resultados de causas atribuíveis de curta duração erros de medida erros de registro eou transmissão de dados e outros semelhantes Além disso padrões nos gráficos de controle de Shewhart são em geral de fácil interpretação e têm significado físico direto As regras sensibilizantes discutidas nas seções anteriores são também de fácil aplicação aos gráficos de Shewhart Essa é uma característica opcional na maioria dos programas de CEP Os tipos de causas atribuíveis que normalmente ocorrem na fase I resultam de grandes mudanças no processo exatamente o cenário no qual o gráfico de controle de Shewhart é mais eficaz O comprimento médio de sequência não é usualmente uma medida de desempenho razoável para a fase I normalmente estamos mais interessados na probabilidade de que uma causa atribuível seja detectada do que na ocorrência de um alarme falso Para boas discussões do uso da fase I dos gráficos de controle e assuntos relacionados veja os artigos de Woodall 2000 Borror e Champ 2001 Boyles 2000 Champ e Chou 2003 e o padrão ANSIASQC B11331996 Quality Control Chart Methodologies Metodologias dos Gráficos de Controle da Qualidade Na fase II geralmente assumimos que o processo esteja razoavelmente estável As causas atribuíveis que ocorrem na fase II resultam em geral de mudanças menores no processo porque esperase a maioria das fontes de variabilidade 54 1 2 3 4 5 6 7 mais pesadas já foram sistematicamente removidas durante a fase I Nossa ênfase agora é no monitoramento do processo não em trazer para controle um processo indisciplinado O comprimento médio da sequência é uma base válida para avaliação do desempenho de um gráfico de controle na fase II Os gráficos de controle de Shewhart têm mais chances de serem eficazes na fase II porque não são muito sensíveis a mudanças no processo de tamanhos pequenos e moderados isto é o desempenho de seu CMS é relativamente fraco Tentativas para a solução desse problema com o uso de regras sensibilizantes como as discutidas na seção anterior provavelmente não serão satisfatórias porque o uso dessas regras sensibilizantes suplementares aumenta a taxa de falsos alarmes no gráfico de controle de Shewhart Relembre a discussão do artigo de Champ e Woodall 1987 na seção anterior O uso rotineiro de regras sensibilizantes para a detecção de pequenas mudanças ou para se reagir mais rapidamente a causas atribuíveis na fase II deve ser desencorajado Os gráficos de controle da soma acumulada e MMEP discutidos no Capítulo 9 têm muito mais chances de serem eficazes na fase II O Restante das Sete Ferramentas Embora o gráfico de controle seja uma ferramenta muito poderosa para a resolução de problemas e melhoria do processo ele é mais eficaz quando seu uso está completamente integrado em um amplo programa de CEP As sete principais ferramentas de resolução de problemas de CEP deveriam ser amplamente ensinadas para toda a organização e usadas rotineiramente para a identificação de oportunidades de melhoria e para ajudar na redução da variabilidade e na eliminação de perdas Elas podem ser usadas de várias maneiras em todo o processo DMAMC de resolução de problemas Essas sete ferramentas introduzidas na Seção 51 são listadas aqui novamente por conveniência Histogramas ou diagrama de ramoefolhas Folha de controle Gráfico de Pareto Diagrama de causaeefeito Diagrama de concentração de defeito Diagrama de dispersão Gráfico de controle Já introduzimos os histogramas e os diagramas de ramoefolhas no Capítulo 3 e o gráfico de controle na Seção 53 Nesta seção ilustraremos rapidamente o restante dessas ferramentas Folha de Controle Nos estágios iniciais da melhoria do processo frequentemente será necessária a coleta de dados operacionais históricos ou atuais sobre o processo sob investigação Essa é uma atividade comum no passo medir do DMAMC Uma folha de controle pode ser muito útil nessa atividade de coleta de dados A folha de controle mostrada na Figura 516 foi desenvolvida por um engenheiro em uma fábrica aeroespacial que investigava os vários tipos de defeitos que surgiam em um dos tanques da fábrica O engenheiro planejou essa folha de controle para facilitar o resumo de todos os dados históricos disponíveis sobre defeitos relativos aos tanques Como apenas uns poucos tanques eram fabricados a cada mês pareceu apropriado resumir os dados mensalmente e identificar tantos tipos diferentes de defeitos quanto possível O resumo orientado no tempo é particularmente valioso na pesquisa de tendências ou outros padrões significativos Por exemplo se muitos defeitos ocorrem durante o verão uma possível causa a ser investigada é o uso de trabalhadores temporários durante um longo período de férias Ao planejar uma folha de controle é importante especificarse claramente o tipo de dados a serem coletados o número da peça ou operação a data o analista e quaisquer outras informações úteis ao diagnóstico da causa de um fraco desempenho Se a folha de controle é a base para a realização de mais cálculos ou se é usada como uma folha de trabalho para entrada de dados em um computador então é importante ter certeza de que a folha de controle esteja adequada a esses propósitos Em alguns casos uma rodada de teste pode ser útil para validar o formato e o planejamento da folha de controle 1 FIGURA 516 Uma folha de controle para registrar defeitos em um tanque usado em uma aplicação aeroespacial Gráfico de Pareto O gráfico de Pareto é simplesmente uma distribuição de frequência ou histograma de dados atributos organizados por categoria Em geral os gráficos de Pareto são usados nos Passos Medir e Analisar do DMAMC Para ilustrar um gráfico de Pareto considere os dados de defeitos nos tanques apresentados na Figura 516 Marque a frequência total de ocorrência de cada tipo de defeito a última coluna da tabela na Figura 516 versus os vários tipos de defeitos para obter a Figura 517 que é chamada gráfico de Pareto3 Por esse gráfico o usuário pode rápida e visualmente identificar os tipos de defeitos que ocorrem mais frequentemente Por exemplo a Figura 517 indica que dimensões incorretas partes danificadas e maquinário são os defeitos mais comumente encontrados Assim as causas desses defeitos devem certamente ser identificadas e atacadas primeiro Note que o gráfico de Pareto não identifica automaticamente os defeitos mais importantes mas apenas os mais frequentes Por exemplo na Figura 517 os problemas com porosidade na fundição ocorrem muito raramente 2 de 166 defeitos ou 12 No entanto essas porosidades podem resultar em sucateamento do tanque uma exposição a um custo potencialmente alto talvez tão grande que as porosidades na fundição devessem ser elevadas a uma categoria principal de defeito Quando a lista de defeitos contém uma mistura daqueles que podem ter consequências extremamente sérias com outros de muito menos importância um de dois métodos pode ser usado Uso de um esquema de ponderação para modificar as contagens de frequência Esquemas de ponderação para defeitos são discutidos no Capítulo 7 2 Acompanhamento da análise do gráfico de Pareto de frequência com um gráfico de Pareto de custo ou de exposição Há muitas variações do gráfico básico de Pareto A Figura 518a mostra o gráfico de Pareto aplicado a um processo de montagem em eletrônica usando componentes de superfície de montagem O eixo vertical é a porcentagem de componentes localizados incorretamente e o eixo horizontal é o número do componente um código que localiza o dispositivo na placa de circuito impresso Note que as localizações 27 e 39 são responsáveis por 70 dos erros Isso pode ser o resultado do tipo ou do tamanho dos componentes nessas localizações ou de onde essas localizações estão no desenho da placa A Figura 518b apresenta outro gráfico de Pareto de uma indústria eletrônica O eixo vertical é o número de componentes defeituosos e o eixo horizontal é o número do componente Note que cada barra vertical foi dividida por fornecedor para produzir um gráfico de Pareto empilhado Essa análise indica claramente que o fornecedor A fornece uma parte desproporcionalmente grande de componentes defeituosos FIGURA 517 Gráfico de Pareto para os dados dos defeitos do tanque Os gráficos de Pareto são largamente usados em aplicações não industriais de métodos de melhoria da qualidade A Figura 518c mostra um gráfico de Pareto usado por uma equipe de melhoria da qualidade em um departamento de compras A equipe estava investigando erros nas ordens de compra em um esforço para diminuir o número de mudanças nessas ordens Cada mudança custa tipicamente entre 100 e 500 e esse departamento emitia várias centenas de mudanças nas ordens de compra a cada mês Esse gráfico de Pareto tem duas escalas uma para a frequência real de erros e outra para o percentual de erros A Figura 518d apresenta um gráfico de Pareto construído por uma equipe de melhoria da qualidade em um hospital para mostrar as razões para cancelamentos de cirurgias programadas para pacientes de ambulatórios Em geral o gráfico de Pareto é uma das ferramentas mais úteis dentre as sete ferramentas Suas aplicações à melhoria da qualidade são limitadas apenas pela ingenuidade do analista Diagrama de CausaeEfeito Uma vez que um defeito erro ou problema tenha sido identificado e isolado para estudo posterior devemos começar a analisar as causas potenciais desse efeito indesejável Em situações em que as causas não são óbvias às vezes elas o são o diagrama de causaeefeito é uma ferramenta formal frequentemente útil na exposição de causas potenciais e também útil nos passos Analisar a Melhorar do DMAMC O diagrama de causaeefeito construído por uma equipe de melhoria da qualidade designada para identificar áreas problemáticas potenciais no processo 1 2 3 4 5 de manufatura do tanque mencionado anteriormente é mostrado na Figura 519 Os passos na construção do diagrama de causaeefeito são os seguintes FIGURA 518 Exemplos de gráficos de Pareto Como Construir um Diagrama de CausaeEfeito Defina o problema ou efeito a ser analisado Forme a equipe para realizar a análise Em geral a equipe descobrirá causas potenciais em sessões brainstorming Desenhe a caixa de efeito e a linha central Especifique as principais categorias de causas potenciais e coloqueas em caixas ligadas à linha central Identifique as causas possíveis e classifiqueas nas categorias do passo 4 Crie novas categorias se necessário 6 7 Ordene as causas para identificar aquelas que parecem mais prováveis de causar impacto sobre o problema Adote ações corretivas Analisando o problema dos defeitos dos tanques a equipe escolheu classificar as principais categorias de defeitos como máquinas materiais métodos pessoal medições e ambiente Seguiuse uma sessão brainstorming para identificar as várias subcausas em cada uma dessas categorias principais e preparar o diagrama da Figura 519 Então através de discussões e do processo de eliminação o grupo decidiu que materiais e métodos continham a maioria das categorias de causas prováveis A análise de causaeefeito é uma ferramenta muito poderosa Um diagrama de causaeefeito muito detalhado pode servir como um eficiente auxiliar para localizar e reparar defeitos Além disso a construção de um diagrama de causae efeito como uma experiência de grupo tende a levar as pessoas envolvidas a atacarem o problema e não a atribuírem culpa Diagrama de Concentração de Defeito Um diagrama de concentração de defeito é uma figura da unidade mostrando todas as vistas relevantes Então os vários tipos de defeitos são desenhados na figura e o diagrama é analisado para determinar se a localização dos defeitos na unidade fornece alguma informação útil sobre as causas potenciais dos defeitos Os diagramas de concentração de defeitos são muito úteis no passo Analisar do DMAMC A Figura 520 apresenta um diagrama de concentração de defeitos para o estágio final de montagem de um processo de fabricação de um refrigerador Os defeitos de acabamento de superfície são identificados pelas áreas sombreadas escuras no refrigerador Pela inspeção do diagrama parece claro que o manuseio de materiais é responsável pela maioria desses defeitos A unidade é movida com o auxílio de um cinto de segurança ao redor do meio do refrigerador e esse cinto ou está muito frouxo ou apertado ou gasto ou é feito de material abrasivo ou é muito estreito Além disso quando se move a unidade os cantos estão sendo danificados É possível que a fadiga do operário seja um fator nesse processo Qualquer que seja o caso métodos de trabalho adequados e materiais de manuseio melhorados provavelmente melhorarão esse processo consideravelmente A Figura 521 mostra o diagrama de concentração de defeitos para o problema do tanque mencionado anteriormente Note que esse diagrama mostra várias grandes categorias diferentes de defeitos cada uma identificada por um código específico Em geral usamse cores diferentes para identificar tipos diferentes de defeitos FIGURA 519 Diagrama de causaeefeito para o problema dos defeitos dos tanques FIGURA 520 Defeitos de acabamento da superfície de um refrigerador Quando os dados sobre defeitos são retratados em um diagrama de concentração de defeitos sobre um número suficiente de unidades frequentemente surgem padrões e a localização desses padrões contém em geral muita informação sobre as causas dos defeitos Consideramos que os diagramas de concentração de defeitos são importantes ferramentas para resolução de problemas em várias indústrias incluindo chapeamento pintura e revestimento operações de fundição maquinaria e montagens eletrônicas Diagrama de Dispersão O diagrama de dispersão é um gráfico útil para a identificação de relações potenciais entre duas variáveis Os dados são coletados aos pares sobre as duas variáveis digamos yi xi para i 1 2 n Então yi é plotado versus xi A forma de um diagrama de dispersão em geral indica que tipo de relação pode existir entre duas variáveis Os diagramas de dispersão são muito úteis na modelagem de regressão introduzida no Capítulo 3 A regressão é uma técnica muito útil no passo Analisar do DMAMC 55 A Figura 522 mostra um diagrama de dispersão que relaciona a recuperação de metal em porcentagem de um processo de fundição magnatérmica para o magnésio versus os valores correspondentes do fluxo de regeneração adicionado ao cadinho O diagrama de dispersão indica uma forte correlação positiva entre a recuperação do metal e a quantidade de fluxo isto é na medida em que se aumenta a quantidade de fluxo adicionado a recuperação do metal também aumenta É tentador concluirse que a relação é baseada em causaeefeito aumentandose a quantidade do fluxo de regeneração podemos sempre garantir alta recuperação do metal Essa linha de pensamento é potencialmente perigosa porque correlaçãonão implica necessariamente causalidade Essa relação aparente poderia ser causada por alguma coisa bem diferente Por exemplo ambas as variáveis poderiam estar relacionadas com uma terceira tal como temperatura do metal antes da reposição do fluxo de regeneração e essa relação poderia ser responsável pelo que vemos na Figura 522 Se temperaturas mais altas levam a recuperação maior do metal e a prática é adicionar fluxo de regeneração proporcionalmente à temperatura a adição de mais fluxo quando o processo está operando a baixa temperatura nada fará para acentuar o resultado O diagrama de dispersão é útil para a identificação de relações potenciais Experimentos planejados veja Montgomery 2009 devem ser usados para verificação de causalidade FIGURA 521 Diagrama de concentração de defeitos para o tanque FIGURA 522 Um diagrama de dispersão Implementação do CEP em um Programa de Melhoria da Qualidade Os métodos de controle estatístico do processo podem fornecer significativo retorno às empresas que podem implementá los com sucesso Embora o CEP pareça uma coleção de instrumentos de resolução de problemas com base estatística há muito mais no uso bemsucedido do CEP do que aprender e usar essas ferramentas O CEP é mais eficaz quando é integrado a um programa geral no nível de toda a companhia de melhoria da qualidade Ele pode ser implementado 1 2 3 4 5 6 56 através da abordagem do DMAMC O compromisso e envolvimento da gerência com o processo de melhoria da qualidade são os componentes mais vitais do sucesso potencial do CEP A gerência é uma funçãomodelo e os demais na organização procurarão nela um guia e um exemplo Uma abordagem de grupo também é importante uma vez que em geral é difícil para uma pessoa sozinha introduzir melhorias no processo Muitas das sete ferramentas são úteis na construção de uma equipe de melhoria incluindo os diagramas de causaeefeito gráficos de Pareto e diagramas de concentração de defeitos Essa abordagem por equipe também se ajusta bem ao DMAMC Os instrumentos básicos de resolução de problemas de CEP devem se tornar amplamente conhecidos e usados em toda a organização Educação continuada do pessoal acerca de CEP e de outros métodos para redução da variabilidade é necessária para se alcançar o conhecimento por todos dos instrumentos O objetivo de um programa de redução de variabilidade com base no CEP é uma melhoria contínua com base semanal trimestral e anual O CEP não é um programa de uma só vez a ser aplicado quando a empresa está com problemas e depois abandonado A melhoria da qualidade que se concentra na redução da variabilidade deve se tornar parte da cultura da organização O gráfico de controle é um instrumento importante para a melhoria do processo Os processos não operam naturalmente em um estado sob controle e o uso de gráficos de controle é um passo importante a ser dado logo no início do programa do CEP para eliminar causas atribuíveis reduzir a variabilidade do processo e estabilizar seu desempenho Para melhorar a qualidade e a produtividade devemos começar a lidar com fatos e dados e não simplesmente confiar em julgamentos Os gráficos de controle são uma parte importante dessa mudança na abordagem gerencial Na implementação de um esforço por toda a companhia para reduzir a variabilidade e melhorar a qualidade vimos que vários elementos estão usualmente presentes em esforços bemsucedidos Esses elementos são os seguintes Elementos de um Programa de CEP BemSucedido Liderança gerencial Abordagem de equipe com foco em aplicações orientadas pelo projeto Educação dos empregados em todos os níveis Ênfase na redução da variabilidade Avaliação do sucesso em termos quantitativos econômicos Um mecanismo para comunicar os resultados de sucesso por toda a empresa Não podemos dar ênfase excessiva à importância da liderança da gerência e à abordagem de grupo A melhoria da qualidade bemsucedida é uma atividade de cima para baixo orientada pela gerência É importante também que o progresso e o sucesso sejam medidos em termos quantitativos econômicos e que esse sucesso se torne conhecido por toda a organização Quando melhorias bemsucedidas são comunicadas por toda a companhia isso pode significar motivação e incentivo para melhorar outros processos e para tornar a melhoria continuada uma parte normal da maneira de trabalhar da empresa Uma Aplicação do CEP Nesta seção damos um relato da aplicação do CEP para melhorar a qualidade e a produtividade em uma operação de revestimento de cobre em uma fábrica de placas de circuito impresso Esse processo caracterizavase por altos índices de defeitos tais como cobre quebradiço porosidades no cobre e um longo tempo de ciclo Esse tempo longo era particularmente problemático pois levava a atrasos no trabalho e era um dos principais responsáveis pela baixa conformidade com o esquema de produção da fábrica A gerência escolheu essa área do processo para uma implementação inicial do CEP A abordagem DMAMC foi adotada Formouse uma equipe de melhoria consistindo no operador do tanque de revestimento o engenheiro de produção responsável pelo processo e um engenheiro da qualidade Todos os membros da equipe tinham tido contato com o processo DMAMC e as sete ferramentas em um seminário sobre CEP patrocinado pela companhia Durante o passo Definir decidiuse por concentraremse na redução do tempo de circulação através do processo uma vez que os alvos de entregas perdidos eram considerados o mais sério obstáculo para a melhoria da produtividade A equipe logo determinou durante o passo Medir que o excesso de tempo gasto no controlador que regulava a concentração de cobre no tanque de revestimento era o principal fator no excessivo tempo de circulação uma vez que o tempo perdido no controlador se traduzia diretamente em perda de produção Como parte do passo Analisar a equipe decidiu usar uma análise de causaeefeito para começar a isolar as causas potenciais do desperdício de tempo no controlador A Figura 523 mostra o diagrama de causaeefeito produzido durante uma sessão brainstorming sobre o gasto de tempo no controlador A equipe foi capaz de identificar rapidamente 11 principais causas potenciais do desperdício de tempo do controlador No entanto quando examinaram o livro de apontamentos do equipamento para fazer um diagnóstico mais definitivo das causas do tempo gasto com base no desempenho real do processo os resultados foram decepcionantes O livro continha pouca informação útil sobre causas do gasto de tempo continha por outro lado apenas um registro cronológico de quando a máquina estava bem ou estava mal A equipe decidiu então que seria necessário coletar dados válidos sobre as causas do tempo gasto no controlador Eles planejaram a folha de controle da Figura 524 como uma página suplementar para o livro de apontamentos A equipe concordou que sempre que a máquina estivesse mal um membro da equipe assumiria a responsabilidade de preencher a folha de controle Note que as principais causas identificadas no diagrama de causaeefeito para o tempo gasto no controlador foram usadas para estruturar o cabeçalho da folha de controle A equipe concordou que os dados deveriam ser coletados ao longo de um período de 4 a 6 semanas À medida que dados mais confiáveis relativos às causas do desperdício de tempo no controlador se tornavam disponíveis a equipe pôde analisálos usando outras técnicas do CEP A Figura 525 apresenta a análise de Pareto dos dados da falha do controlador produzido durante o estudo de seis semanas do processo Note que a variação da concentração é a principal causa do gasto de tempo Na verdade a situação é provavelmente mais complexa do que parece A terceira maior categoria das causas da demora é a realimentação do reagente Frequentemente o reagente no colorímetro do controlador é reposto porque a concentração varia tão fora das especificações do processo que a realimentação do reagente e recalibragem do colorímetro são as únicas atitudes a serem tomadas para trazer o processo de volta ao controle Assim é possível que até 50 do tempo associado a falhas do controlador possam ser atribuídos à variação da concentração A Figura 526 apresenta a análise de Pareto apenas dos dados da variação da concentração Por esse diagrama sabemos que a mudança no colorímetro e problemas com reagentes são as causas principais da variação da concentração Essa informação levou o engenheiro de fábrica da equipe a concluir que a reconstrução do colorímetro seria um passo importante para melhorar o processo 1 a b c d e 2 a b 3 a FIGURA 523 Diagrama de causaeefeito para o tempo gasto no controlador REGISTRO SEMANAL OPERADOR FIM DA SEMANA ERROS DESCRIÇÃO AÇÃO VARIAÇÃO DA CONCENTRAÇÃO Desvio do colorímetro Falha do eletrodo Reagentes Tubos deformados OperaçãoErroNão autorizado FALHA NO SISTEMA DE ALARME PMC estragado Travamento FALHA DA BOMBA DE RECIRCULAÇÃO Saída de ar b 4 a 5 a b 6 a 7 a b 8 a b 9 a 10 a b c d Impelidor REABASTECIMENTO DE REAGENTE Reagente novo MANUTENÇÃO DA TUBULAÇÃO Manutenção semanal Manutenção de emergência REPOSIÇÃO DO ELETRODO Manutenção de rotina CONTROLADOR DE TEMPERATURA Aquecedor queimado Termistores ruins CONTROLADOR DE OXIGÊNIO Placas desligadas Reposição do eletrodo FALHA DA BOMBA PARASTÓLICA Falha do motor FALHA ELÉTRICA Cartão de circuito PV LC do suprimento de energia LC do colorímetro Placamãe 11 a PLACAS DESLIGADAS RECIRCULAÇÃO Fortalecimento nas juntas CONTAGEM TOTAL FIGURA 524 Folha de controle para o livro de apontamentos FIGURA 525 Análise de Pareto para as falhas do controlador Durante o tempo de coleta desses dados do processo a equipe decidiu gerar gráficos de controle estatístico para o processo A informação coletada até esse ponto sobre o desempenho do processo foi a base para a construção dos PAFCs planos de ação para fora de controle iniciais para esses gráficos de controle Esses gráficos de controle e seus PAFCs também seriam úteis no passo Controlar do DMAMC A concentração do cobre nesse processo é medida manualmente três vezes por dia A Figura 527 apresenta o gráfico de controle para a concentração média diária de cobre isto é cada ponto marcado na figura é uma média diária O gráfico mostra a linha central e os limites de controle três sigmas Discutiremos a construção desses limites com mais detalhes nos próximos capítulos Note que há alguns pontos fora dos limites de controle indicando que causas atribuíveis estão presentes no processo A Figura 528 apresenta o gráfico R ou da amplitude para a concentração diária de cobre Nesse gráfico R representa a diferença entre as leituras das concentrações de cobre máxima e mínima em um dia Note que o gráfico R também exibe falta de controle estatístico Em particular a segunda metade do gráfico R parece muito mais instável do que a primeira metade Examinando os dados ao longo do eixo horizontal a equipe notou que a variação grave na concentração média diária de cobre só apareceu depois de 3 de janeiro As últimas observações da concentração de cobre tinham sido feitas em 22 de novembro De 23 de novembro até 3 de janeiro o processo tinha permanecido paralisado por causa dos feriados Aparentemente quando o processo foi reiniciado uma deterioração substancial no desempenho do controladorcolorímetro tinha ocorrido Isso apressou a decisão da engenharia de reconstruir o colorímetro FIGURA 526 Análise de Pareto para a variação da concentração A Figura 529 apresenta um diagrama de tolerância das leituras diárias da concentração de cobre Nessa figura as leituras das concentrações de cobre de cada dia são marcadas e os extremos ligados por uma linha vertical Em alguns casos mais de uma observação é marcada em uma mesma posição de modo que um numeral é usado para indicar o número de observações marcadas em um ponto particular A linha central no gráfico é a média do processo durante o período de tempo do estudo e os limites superior e inferior são os limites de especificação da concentração de cobre Cada vez que um ponto se localiza fora dos limites de especificação isso significa um atraso fora do plano no processo Vários fatos são evidentes a partir do exame do diagrama de tolerância Primeiro a média do processo é significantemente diferente da especificação nominal para a concentração de cobre o ponto médio da faixa de tolerância superior e inferior Isso implica que a calibragem do colorímetro pode estar inadequada Isto é estamos literalmente mirando no alvo errado Segundo notamos que há consideravelmente mais variação nas leituras da concentração diária de cobre após 3 de janeiro do que havia antes da paralisação Finalmente se pudéssemos reduzir a variação no processo a um nível razoavelmente consistente com o observado antes da paralisação e corrigir a centralização do processo muitos dos pontos fora das especificações não teriam ocorrido e o atraso no processo teria sido reduzido FIGURA 527 Gráfico para a concentração média diária de cobre FIGURA 528 Gráfico R para a concentração diária de cobre FIGURA 529 Diagrama de tolerância para a concentração diária de cobre Para iniciar o passo Melhorar a equipe decidiu reconstruir o colorímetro e o controlador Isso foi feito no início de fevereiro O resultado dessa atividade de manutenção foi restabelecer a variabilidade nas leituras diárias de concentração de cobre aos níveis de antes da paralisação O colorímetro reconstruído foi recalibrado e subsequentemente foi capaz de manter o alvo correto A recentralização e a recalibragem do processo reduziram o tempo gasto no controlador de aproximadamente 60 a menos de 20 Nesse ponto o processo foi capaz de recuperar a taxa de produção exigida Uma vez melhorado esse aspecto do desempenho do processo a equipe direcionou seus esforços à redução do número de unidades defeituosas produzidas pelo processo Em geral como vimos antes os defeitos se separam em duas categorias principais cobre quebradiço e porosidades no cobre A equipe decidiu que embora os gráficos e as técnicas de controle estatístico do processo pudessem ser aplicados a esse problema o uso de um experimento planejado poderia levar a uma solução mais rápida Conforme vimos no Capítulo 1 o objetivo de um experimento planejado é gerar informação que nos permitirá entender e modelar a relação entre as variáveis do processo e as medidas do desempenho do processo O experimento planejado para o processo de revestimento é mostrado na Tabela 52 e na Figura 530 O objetivo desse experimento era fornecer informação que pudesse ser útil na minimização de defeitos de revestimento As variáveis do processo consideradas no experimento foram a concentração de cobre a concentração de hidróxido de sódio a concentração de formaldeído a temperatura e o oxigênio Um nível baixo e um alto representados simbolicamente pelos sinais mais e menos na Tabela 52 foram escolhidos para cada variável do processo A equipe considerou inicialmente um experimento fatorial isto é um planejamento experimental no qual todas as possíveis combinações desses níveis de fatores poderiam ser rodadas Esse planejamento exigiria 32 rodadas isto é uma rodada em cada um dos 32 vértices dos cubos da Figura 530 Como são muitas rodadas um planejamento fatorial fracionado que usava apenas 16 rodadas foi por fim escolhido Esse planejamento fatorial fracionado é mostrado na metade inferior da Tabela 52 e geometricamente na Figura 530 Nesse planejamento experimental cada linha da tabela é uma rodada do processo A combinação de sinais mais e menos em cada coluna de uma linha determina os níveis alto e baixo das cinco variáveis do processo a serem usadas durante aquela rodada Por exemplo na rodada 1 a concentração de cobre a concentração de hidróxido de sódio a concentração de formaldeído e a temperatura são rodadas no nível baixo e o oxigênio no nível alto O processo deveria ser rodado em cada um dos 16 conjuntos de condições descritas pelo planejamento por motivos a serem discutidos mais tarde as rodadas não seriam feitas na ordem mostrada na Tabela 52 e uma variável resposta um número observado de defeitos de revestimento seria registrada para cada rodada Esses dados poderiam então ser analisados usando técnicas estatísticas simples para a determinação de quais fatores têm uma influência significativa nos defeitos de revestimento se alguns fatores conjuntamente influenciam ou não a ocorrência de defeitos e se é possível o ajuste dessas variáveis a novos níveis que reduzirão os defeitos de revestimento a um nível abaixo do atual Embora uma discussão completa de planejamento de experimentos esteja além do objetivo deste texto apresentaremos exemplos de experimentos planejados para melhoria do desempenho do processo na Parte V TABELA 52 Um Experimento Planejado para o Processo de Revestimento Objetivo Minimizar os Defeitos do Revestimento Variáveis do Processo Nível Baixo Nível Alto A Concentração de cobre B Concentração de hidróxido de sódio C Concentração de formaldeído D Temperatura E Oxigênio Planejamento Experimental Variáveis Sequência A B C D E Resposta Defeitos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 1 2 3 FIGURA 530 Uma visão geométrica do planejamento fatorial fracionado para o experimento do processo de revestimento Após conduzir o experimento mostrado na Tabela 52 e analisar os dados do processo resultante a equipe determinou que várias das variáveis do processo por eles identificadas para o estudo eram importantes e tinham impacto significativo na ocorrência de defeitos de revestimento Os membros da equipe foram capazes de ajustar esses fatores a novos níveis e como resultado os defeitos de revestimento foram reduzidos por um fator de aproximadamente 10 Portanto na conclusão do esforço inicial da equipe na aplicação do CEP ao processo de revestimento houve substancial melhoria no tempo de ciclo do produto através do processo e deuse um passo importante para melhorar a capacidade do processo Aplicações do Controle Estatístico de Processos e Ferramentas da Melhoria da Qualidade em Empresas de Transações e Serviços Este livro apresenta os princípios subjacentes ao controle estatístico do processo Muitos dos exemplos usados para reforçar esses princípios referemse a um contexto industrial voltado para o produto Tem havido muitas aplicações bem sucedidas dos métodos do CEP no ambiente de fabricação No entanto os princípios em si são gerais há muitas aplicações das técnicas do CEP e outras ferramentas estatísticas e de engenharia da qualidade ao ambiente não industrial incluindo empresas de transações e indústria de serviços Essas aplicações não industriais não diferem substancialmente das aplicações industriais mais usuais Como exemplo o gráfico de controle para a fração de não conformes que discutiremos no Capítulo 7 poderia ser aplicado para a redução de erros de faturamento nas operações de cartão de crédito de um banco tão facilmente como na aplicação para reduzir a fração de placas de circuito impresso não conformes em uma fábrica de componentes eletrônicos Os gráficos e R discutidos neste capítulo e aplicados ao processo de cozimento poderiam ser usados para o monitoramento e controle do tempo de circulação das contas a pagar em uma operação de finanças As aplicações da metodologia do CEP e da melhoria da qualidade em empresas de transações e serviços requerem às vezes mais criatividade do que a normalmente exigida para as aplicações industriais típicas Parece haver três razões principais para essa diferença A maior parte dos negócios de transações e serviços não tem um sistema de medida natural que permita ao analista definir qualidade com facilidade O sistema a ser melhorado é em geral muito claro em um ambiente industrial enquanto a capacidade de se observar um processo em um ambiente não industrial pode ser muito baixa Muitos processos de serviços envolvem pessoas em alto grau e pessoas são em geral altamente variáveis em suas atividades de trabalho Os sistemas de serviços têm em geral de lidar com clientes que têm exigências muito diferentes e não usuais Por exemplo se estivermos tentando melhorar o desempenho de uma linha de montagem de microcomputadores então é certo que a linha esteja em uma fábrica e as atividades do sistema serão prontamente observáveis No entanto se estivermos tentando melhorar a operação de uma organização financeira então a capacidade de se observar um processo poderá ser muito baixa As atividades reais do processo podem ser realizadas por um grupo de pessoas que trabalham em 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 locais diferentes e os passos da operação ou a sequência do fluxo de trabalho podem ser de difícil observação Além disso a falta de um sistema de medida quantitativo e objetivo na maioria dos processos não industriais complica o problema A chave para a aplicação dos métodos de controle estatístico do processo e de melhoria da qualidade em sistemas de serviços e negócios transacionais é a concentração dos esforços iniciais na resolução desses três problemas Temos observado que uma vez que o processo esteja adequadamente definido e um sistema de medidas válido tenha sido desenvolvido a maioria das ferramentas do CEP discutidas neste capítulo podem ser facilmente aplicadas a uma grande variedade de operações não industriais incluindo finanças marketing material e compra atendimento ao cliente serviço de campo desenvolvimento e planejamento de engenharia e desenvolvimento e programação de software Fluxogramas gráficos de processo operacional e gráfico de fluxo de valor são de particular utilidade no desenvolvimento da definição do processo e em sua compreensão Um fluxograma é simplesmente uma sequência cronológica dos passos do processo ou fluxo do trabalho Algumas vezes o fluxograma é chamado de mapeamento do processo Fluxogramas ou mapas do processo devem ser construídos em detalhes suficientes para diferenciar entre atividades de trabalho que agregam valor e atividades que não agregam valor ao processo A maior parte dos processos não industriais tem sucata retrabalho e outras operações que não agregam valor tais como passos e estrangulamentos ou gargalos desnecessários Uma análise sistemática desses processos pode em geral eliminar muitas dessas atividades sem valor O fluxograma é muito útil na visualização e definição do processo de modo que essas atividades podem ser identificadas Algumas maneiras de se removerem atividades que não adicionam valor e simplificarse o processo estão resumidas no quadro seguinte Maneiras de Eliminação de Atividades que Não Agregam Valor Reorganização da sequência de passos do trabalho Reorganização da localização física do operador no sistema Mudança dos métodos de trabalho Mudança do tipo de equipamento usado no processo Replanejamento de formulários e documentos para uso mais eficiente Melhoria no treinamento do operador Melhoria da supervisão Identificação mais clara da função do processo para todos os empregados Tentativa de eliminação de passos desnecessários Tentativa de consolidação dos passos do processo A Figura 531 é um exemplo de um fluxograma para um processo em uma indústria de serviços Foi construído por uma equipe de melhoria do processo em uma firma de contabilidade que estava estudando o processo de preparação do formulário 1040 para a devolução do imposto de renda e esse fluxograma particular documenta apenas um subprocesso específico aquele de colecionar os documentos finais do imposto Esse fluxograma foi construído como parte do passo Definir do DMAMC Note o alto nível de detalhes no fluxograma que ajudarão a equipe a descobrir o desperdício e as atividades sem valor agregado Nesse exemplo a equipe usou símbolos especiais em seu fluxograma Especificamente eles usaram os símbolos para o gráfico do processo operacional mostrados a seguir Símbolos do Gráfico do Processo de Operação operação movimento ou transporte atraso D armazenagem inspeção Constatamos que esses símbolos são muito úteis para ajudar os membros da equipe a identificar as oportunidades de melhoria Por exemplo atrasos muita inspeção e muitos movimentos em geral representam atividades sem valor agregado A firma de contabilidade que forneceu esse exemplo foi capaz de usar os métodos de melhoria da qualidade e a abordagem DMAMC com sucesso no processo para o formulário 1040 reduzindo o tempo de ciclo da preparação do documento de imposto e conteúdo de trabalho em cerca de 25 e reduzindo o tempo do ciclo de preparação da conta do cliente de 60 dias a zero isto mesmo zero A conta do cliente é agora incluída na devolução do imposto Como outra ilustração considere um exemplo de aplicação dos métodos de melhoria da qualidade em uma organização de planejamento Essa organização parte de uma grande empresa de fabricação aeroespacial produz os planos e os documentos que acompanham cada tarefa até o chão de fábrica Esses planos são muito completos em geral com várias centenas de páginas Erros no processo de planejamento podem ter um grande impacto na fabricação contribuindo para sucata e retrabalho produção perdida excesso de tempo cronogramas de entregas alterados e muitos outros problemas A Figura 532 apresenta o nível superior de um fluxograma desse processo de planejamento Depois de feitos os planos eles são enviados a um conferente que tenta identificar erros e defeitos óbvios nos planos Estes são também revisados por uma organização de garantia da qualidade para garantir que as especificações do processo estão sendo atendidas e que o produto final corresponderá aos padrões de engenharia Os planos são então enviados à oficina onde uma organização de engenharia trata de quaisquer erros encontrados nos planos pela fabricação Esse fluxograma é útil para a apresentação de uma visão geral do sistema de planejamento mas não é particularmente útil na descoberta de atividades sem valor agregado na medida em que os detalhes são insuficientes em cada um dos blocos No entanto cada bloco como o planejador o verificador e o de garantia da qualidade poderia ser desdobrado em uma sequência mais detalhada de atividades e passos de trabalho Essa abordagem que vai de um nível mais geral para o nível mais detalhado é frequentemente útil na construção de fluxogramas para processos complexos Entretanto mesmo no nível relativamente geral mostrado é possível identificaremse três áreas nas quais os métodos do CEP poderiam ser aplicados de maneira útil no processo de planejamento FIGURA 531 Fluxograma da parte de montagem do formulário 1040 do processo de devolução de imposto FIGURA 532 Nível superior de um fluxograma de um processo de planejamento A gerência da organização de planejamento decidiu usar a redução de erros de planejamento como um projeto de melhoria da qualidade para sua organização Uma equipe de gerentes planejadores e conferentes foi escolhida para iniciar a implementação Durante o passo Medir a equipe decidiu que a cada semana três planos seriam selecionados aleatoriamente dentre os planos produzidos na semana e seriam analisados minuciosamente para serem registrados todos os erros de planejamento que pudessem ser encontrados A folha de controle mostrada na Figura 533 foi usada para o registro dos erros encontrados em cada plano Esses dados semanais foram resumidos mensalmente usandose a folha de controle de resumo apresentada na Figura 534 Após várias semanas a equipe pôde resumir os dados de erros de planejamento obtidos usando a análise de Pareto da Figura 535 Esse gráfico de Pareto implica que os erros na seção de operações do plano são predominantes com 65 dos erros de planejamento na seção de operações A Figura 536 apresenta uma análise de Pareto adicional dos erros da seção de operações mostrando que as operações omitidas e as especificações do processo são os maiores responsáveis pelo problema FIGURA 533 A folha de controle para o exemplo do planejamento A equipe decidiu que muitos dos erros de operações estavam ocorrendo porque os planejadores não tinham familiaridade suficiente com as operações de manufatura e as especificações do processo vigentes no momento Consequentemente iniciouse um programa para familiarizar os planejadores com os detalhes das operações de chão de fábrica e para fornecer mais subsídios sobre os tipos de erros de planejamento realmente vivenciados A Figura 537 apresenta um gráfico sequencial dos erros de planejamento por operação para 25 semanas consecutivas Note que há uma tendência geral de declínio dos erros de planejamento durante a primeira metade do período de estudo Esse declínio pode se dever em parte ao aumento das atividades de treinamento e supervisão para os planejadores e em parte ao subsídio adicional que lhes foi dado em relação aos tipos de erros de planejamento que estavam ocorrendo A equipe recomendou também que fossem feitas mudanças substanciais nos métodos de trabalho usados para preparar os planos 1 a b c 2 3 a b c 4 5 a 6 a b c d e f Em vez de ter um só planejador com total responsabilidade pela seção de operações a equipe recomendou que essa tarefa se tornasse uma atividade de equipe de modo que o conhecimento e experiência em relação à interface entre as operações de fábrica e planejamento pudessem ser compartilhadas em um esforço adicional para a melhoria do processo Resumo de Dados Mensais SEÇÃO DE IDENTIFICAÇÃO PEÇA Nº ITEM MODELO SEÇÃO DE DOCUMENTAÇÃO SEÇÃO DE COMPO NENTES DAS PEÇAS CÓDIGOS DE AQUISIÇÃO ETAPAS MDC ASS SEÇÃO DE REPAROS SEÇÃO DE MATERIAL CODIFICAÇÃO SEÇÃO DE OPERAÇÃO DEPÓSITO DE PRODUTOS USO DE EQUIPAMENTOS CÓD MNEMÔN PARA AUTOM SEQUENCIAMENTO OPERAÇÕES OMITIDAS ESPECIFICAÇÕES DO PROCESSO g h 7 DEPÓSITO FIM DA ROTINA GRADE DE SOLDA ORDENS AUX DE FERROFICINA NÚMERO TOTAL DE ERROS TOTAL DE OPERAÇÕES VERIFICADAS FIM DA SEMANA FIGURA 534 A folharesumo de controle FIGURA 535 Análise de Pareto dos erros de planejamento FIGURA 536 Análise de Pareto dos erros da seção de operações Essa organização de planejamento começou a usar outras ferramentas do CEP como parte de seu esforço de melhoria da qualidade Por exemplo note que o gráfico sequencial na Figura 537 poderia ser convertido em um gráfico de controle de Shewhart com a adição de uma linha central e limites de controle apropriados Uma vez que os planejadores entraram em contato com os conceitos do CEP esses gráficos de controle passaram a ser usados na organização e mostraramse eficazes na identificação de causas atribuíveis isto é períodos de tempo durante os quais as taxas de erros produzidos pelo sistema eram mais altas do que aquelas que poderiam ser justificadas pelo simples acaso apenas O que torna o gráfico de controle tão indispensável é sua habilidade em distinguir entre causas atribuíveis e causas aleatórias A gerência deve reagir a uma causa atribuível de maneira diferente da que reage a uma causa aleatória Causas atribuíveis se devem a fenômenos externos ao sistema e devem ser rastreadas e suas origens eliminadas Causas aleatórias ou devidas ao acaso são parte do próprio sistema Elas só podem ser reduzidas ou eliminadas fazendose mudanças no modo de operar do sistema Isso pode significar mudanças nos métodos e procedimentos de trabalho melhores níveis de treinamento de operadores tipos diferentes de equipamentos e instalações ou melhores materiais de insumo tudo de responsabilidade da gerência No processo de planejamento muitas das causas comuns identificadas estavam relacionadas com a experiência treinamento e supervisão dos planejadores individuais bem como com a má informação proveniente da engenharia de planejamento e desenvolvimento Essas causas comuns foram sistematicamente removidas do processo e o impacto de longo prazo da implementação do CEP na organização foi a redução dos erros de planejamento a um nível de menos de um erro de planejamento por 1000 operações FIGURA 537 Um gráfico sequencial dos erros de planejamento Mapeamento de fluxo de valor é outra maneira de se ver o fluxo de material e informação em um processo Um mapa de fluxo de valor é muito parecido com um fluxograma mas em geral incorpora outras informações sobre as atividades que estão ocorrendo em cada passo do processo e sobre a informação necessária ou gerada É uma ferramenta de aspecto geral que ajuda na melhoria do foco da equipe na otimização de todo o processo sem focar em apenas uma atividade do processo ou passo o que poderia levar a soluções subótimas Como um fluxograma ou gráfico de processo operacional um mapa de fluxo de valor é em geral construído com o uso de símbolos especiais O boxe a seguir apresenta os símbolos normalmente usados em mapas de fluxo de valor Um Mapa de Fluxo de Valor 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 O mapa de fluxo de valor apresenta uma figura do fluxo do valor a partir do ponto de vista do produto não é um fluxograma do que as pessoas fazem mas do que realmente acontece ao produto É necessária a coleta de dados do processo para a construção de um mapa de fluxo de valor Alguns dos dados tipicamente coletados incluem Tempo de aprovisionamento TA tempo necessário para que uma unidade do produto percorra todo o fluxo de valor do início ao fim Tempo de processamento TP tempo entre a entrada do produto em um processo e sua saída dele Tempo de ciclo TC a frequência com que um produto é concluído por um processo Tempo de ciclo é uma taxa calculada pela divisão do tempo de processamento pelo número de pessoas ou máquinas que fazem o trabalho Tempo de restabelecimento TR essas são atividades como cargadescarga preparação de máquinas teste e rodadas de teste Em outras palavras todas as atividades que ocorrem entre a conclusão de um bom produto até o início do trabalho na próxima unidade ou lote Tempo disponível TD tempo diário em que o fluxo de valor pode operar se houvesse trabalho a ser feito Tempo útil TU porcentagem do tempo em que o processo realmente opera em relação ao tempo disponível ou ao tempo de operação planejado Tamanho do pacote quantidade do produto pedida pelo cliente para embarque Tamanho do lote quantidade do produto feita e movida de uma só vez Tempo de espera tempo que o produto espera por processamento Trabalho em processo TEP produto que está sendo processado mas ainda não está concluído Fluxos de informação programações previsões e outras informações que dizem a cada processo o que fazer em seguida A Figura 538 mostra um exemplo de um mapa de fluxo de valor que poderia servir a quase qualquer coisa desde um produto manufaturado receber peças préprocessar peças montar o produto embalar e despachar o produto para o cliente até uma transação receber informação préprocessar a informação fazer cálculos e tomar decisões informar o cliente da decisão ou resultado Note que no exemplo colocamos o tempo de restabelecimento em uma base por peça e o incluímos na linha de tempo Esse é um exemplo de um mapa de fluxo de valor de estado atual Isto é mostra o que está acontecendo no processo como está agora definido DMAMC pode ser útil na eliminação de desperdício e ineficiências no processo evitando defeitos e retrabalho reduzindo atrasos eliminando atividades de valor não agregado reduzindo inventários TEP atrasos desnecessários reduzindo inspeções e movimento desnecessário do produto Há várias oportunidades de melhorias nesse processo porque a eficiência de seu ciclo não é muito boa Especificamente A redução do inventário de trabalho em processo é uma abordagem que melhoraria a eficiência do ciclo do processo Quando uma equipe trabalha na melhoria do processo em geral constrói um mapa de fluxo de valor do estado futuro para mostrar como deve parecer o processo redefinido Finalmente há sempre questões sobre como as ferramentas técnicas de melhoria da qualidade deste livro podem ser aplicadas em negócios de serviços e transações Na prática quase todas as técnicas se traduzem diretamente para esses tipos de negócios Por exemplo experimentos planejados têm sido aplicados em bancos financeiras marketing serviços de saúde e muitos outros negócios de serviço e transacionais Experimentos planejados podem ser usados em qualquer aplicação em que possamos manipular as variáveis de decisão no processo Algumas vezes usaremos um modelo de simulação do processo para facilitar a realização do experimento Analogamente gráficos de controle têm muitas aplicações na economia de serviço como será ilustrado neste livro É um grande erro considerarse que essas técnicas não sejam aplicáveis apenas porque não se está trabalhando em um ambiente de manufatura Outra diferença ainda na economia de serviço é que há mais probabilidade de se encontrarem dados de atributos A manufatura tem em geral muitos dados de medidas contínuas e é quase sempre seguro suporse que esses dados sejam normais pelo menos aproximadamente No entanto nos processos de serviços e transações a maioria dos dados usados nos projetos de melhoria da qualidade é proporção de defeituosos porcentagem de bons ou contagens de erros ou defeitos No Capítulo 7 discutiremos procedimentos de gráficos de controle para lidar com dados de atributo Esses gráficos de controle têm muitas aplicações na economia de serviço No entanto mesmo alguns dados contínuos encontrados nos negócios de serviços e transações tais como tempo de ciclo podem não ser normalmente distribuídos FIGURA 538 Um mapa de fluxo de valor Vamos falar sobre a hipótese de normalidade Muitos procedimentos estatísticos tais como os testes t e a ANOVA do Capítulo 4 não são muito sensíveis à hipótese de normalidade Isto é afastamentos moderados da normalidade têm pouco impacto sobre sua eficácia Há alguns procedimentos que são bastante sensíveis à normalidade tais como testes sobre variâncias e este livro identifica cuidadosamente tais procedimentos Uma alternativa ao se lidar com não normalidade de moderada a grave é a transformação dos dados originais digamos tomandose os logaritmos para produzir um novo conjunto de dados cuja distribuição seja próxima da normal Uma desvantagem disso é que pessoas não técnicas em geral não entendem a transformação dos dados e não se sentem confortáveis com dados apresentados em uma escala não familiar Uma maneira de se lidar com isso é a realização da análise estatística usando os dados transformados mas fazer a apresentação dos resultados gráficos por exemplo com os dados nas unidades originais Em casos extremos há procedimentos estatísticos não paramétricos que não têm a hipótese subjacente da normalidade e podem ser usados como alternativas a procedimentos como os testes t e ANOVA Consulte Montgomery e Runger 2011 para uma introdução a várias dessas técnicas Muitos pacotes de computador tais como o Minitab têm métodos não paramétricos incluídos em suas bibliotecas de procedimentos Há também testes estatísticos especiais para parâmetros binomiais e parâmetros de Poisson Alguns desses testes foram discutidos no Capítulo 4 Minitab por exemplo incorpora muitos desses procedimentos É importante também serse claro sobre a que a hipótese de normalidade se aplica Por exemplo suponha que você esteja ajustando um modelo de regressão linear ao tempo de ciclo para o processamento de uma reclamação em uma companhia de seguros O tempo de ciclo é y e os preditores são diferentes descritores do cliente e de qual tipo de reclamação está sendo processada O modelo é y β0 β1x1 β2x2 β3x3 ε Os dados sobre y o tempo de ciclo não são normalmente distribuídos Parte da razão disso é que as observações sobre y são impactadas pelos valores das variáveis preditoras x1 x2 e x3 O erro nesse modelo é que precisa ser aproximadamente normal não as observações sobre y Eis por que analisamos os resíduos dos modelos de regressão e da ANOVA Se os resíduos forem aproximadamente normais não há problemas As transformações são um procedimento padrão que pode sempre ser usado com sucesso quando os resíduos indicam afastamentos da normalidade de moderados para graves Há situações nos negócios de serviços e transacionais em que usamos regressão e ANOVA e a variável resposta y pode ser um atributo Por exemplo um banco pode querer predizer a proporção de pedidos de hipotecas que são realmente aceitos Essa é uma medida do produto nesse processo O produto provavelmente segue uma distribuição binomial Mais provavelmente o produto não é bem aproximado pela distribuição normal e um modelo de regressão linear padrão não seria satisfatório No entanto há técnicas de modelagem baseadas nos modelos lineares generalizados que lidam com muitos desses casos Por exemplo a regressão logística pode ser usada com dados binomiais e a regressão de Poisson pode ser usada com muitos tipos de dados de contagem Montgomery Peck e Vining 2006 contêm informação sobre a aplicação dessas técnicas A regressão logística está disponível no Minitab e o programa JMP fornece rotinas para as regressões logística e de Poisson Termos e Conceitos Importantes Aplicações da Fase I e da Fase II Causas aleatórias de variação Causas atribuíveis de variação Comprimento médio da sequência CMS Controle estatístico de processo CEP Controle estatístico de um processo Diagrama de causaeefeito Diagrama de concentração de defeito Diagrama de dispersão Experimento fatorial Experimentos planejados Fluxogramas gráficos de processo operacional e mapas de fluxo de valor Folha de controle Frequência de amostragem para gráficos de controle Gráfico de controle Gráfico de Pareto 51 52 53 54 55 56 57 58 59 510 511 a b 512 513 514 Gráficos de controle de Shewhart Limites de ação Limites de alerta Limites de controle Limites de controle três sigmas Padrões em gráficos de controle Plano de ação para fora de controle PAFC Processo fora de controle Processo sob controle Regras sensibilizantes para gráficos de controle Sete ferramentas Subgrupos racionais Tamanho amostral para gráficos de controle Tempo médio para alerta Exercícios O que são causas aleatórias e atribuíveis da variabilidade Qual papel elas desempenham na operação e na interpretação de um gráfico de controle de Shewhart Discuta a relação entre um gráfico de controle e o teste de hipóteses estatísticas Discuta os erros tipo I e tipo II relativos ao gráfico de controle Em termos da operação do processo que implicação prática esses dois tipos de erros têm O que significa a afirmativa de que um processo está em um estado de controle estatístico Se um processo está em um estado de controle estatístico segue necessariamente que todas ou quase todas as unidades do produto fabricadas estarão dentro dos limites de especificação Discuta a lógica subjacente ao uso dos limites três sigmas nos gráficos de controle de Shewhart Como o gráfico responderá se forem escolhidos limites mais estreitos E como responderá se forem escolhidos limites mais amplos O que são os limites de alerta em um gráfico de controle Como podem ser usados Discuta o conceito de subgrupo racional Que papel ele desempenha na análise de um gráfico de controle Ao tomar amostras ou subgrupos de um processo você gostaria que ocorressem causas atribuíveis dentro dos subgrupos ou entre eles Explique sua resposta detalhadamente Um processo de moldagem usa um molde com cinco cavidades para uma peça usada em uma montagem automotiva A espessura das paredes da peça é a característica crítica da qualidade Foi sugerido o uso dos gráficos e R para monitorar esse processo e o uso como subgrupo ou amostra de todas as cinco peças resultantes de uma única saída da máquina O que você acha dessa estratégia de amostragem Qual impacto ela tem sobre a habilidade dos gráficos em detectarem causas atribuíveis Um processo de manufatura produz 500 peças por hora Uma peça amostral é selecionada a cada meia hora e depois de obtidas cinco peças a média dessas cinco medidas é marcada em um gráfico de controle Este esquema de amostragem é apropriado se a causa atribuível no processo resultar em uma elevação instantânea da média de duração muito curta Se sua resposta for não proponha um procedimento alternativo Considere o esquema de amostragem proposto no Exercício 511 Este esquema é apropriado se a causa atribuível resultar em uma lenta e prolongada elevação da média Se sua resposta for não proponha um procedimento alternativo Se a ordem temporal de produção não tiver sido registrada em um conjunto de dados de um processo é possível detectarse a presença de causas atribuíveis Qual informação é fornecida pela curva característica de operação de um gráfico de controle 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 Como os custos de amostragem os custos da produção de um número excessivo de unidades defeituosas e os custos de investigação de causas atribuíveis influenciam na escolha dos parâmetros de um gráfico de controle O desempenho do comprimento médio da sequência de um gráfico de controle é uma medida de desempenho mais significativa do que as probabilidades dos erros tipo I e tipo II Qual informação o CMS transmite que as probabilidades dos erros não transmitem Considere o gráfico de controle mostrado aqui O padrão parece aleatório Considere o gráfico de controle mostrado aqui O padrão parece aleatório Considere o gráfico de controle mostrado aqui O padrão parece aleatório Considere o gráfico de controle mostrado no Exercício 517 O uso de limites de alerta revelaria quaisquer condições potenciais de fora de controle Aplique as regras da Western Electric ao gráfico de controle do Exercício 517 Algum dos critérios para se declarar o processo fora de controle foi satisfeito Delineie limites de alerta para o gráfico de controle do Exercício 519 Esses limites indicam quaisquer condições potenciais de fora de controle Aplique as regras da Western Electric ao gráfico de controle apresentado no Exercício 519 Essas regras resultariam em algum sinal de fora de controle Considere o processo com comportamento variante no tempo exibido nas figuras abaixo e na outra página Associe cada um desses vários padrões de desempenho do processo aos correspondentes gráficos e R mostrados nas Figuras a a e abaixo a b c d e LSC LIC LSC LIC 1 LSC LIC LSC LIC 2 LSC LIC 525 526 527 528 529 530 531 Você consistentemente chega em seu escritório meia hora mais tarde do que gostaria Desenvolva um diagrama de causaeefeito que identifique e delineie as possíveis causas desse evento Um carro se descontrolou durante uma tempestade de neve e bateu em uma árvore Construa um diagrama de causaeefeito que identifique e delineie as possíveis causas desse acidente Utensílios de vidro de laboratório foram enviados pelo fabricante para a sua fábrica através de um serviço noturno de entregas e chegaram danificados Desenvolva um diagrama de causaeefeito que identifique e delineie as possíveis causas desse evento Construa um diagrama de causaeefeito que identifique as possíveis causas de se ter consistentemente café ruim de uma máquina de café de escritório de grande capacidade Desenvolva um fluxograma para o processo que você segue todas as manhãs desde o instante em que acorda até chegar a seu local de trabalho ou escola Identifique as atividades de valor agregado e as de valor não agregado Desenvolva um fluxograma para o processo de prématrícula em sua universidade Identifique as atividades de valor agregado e as de valor não agregado As sete ferramentas podem ser usadas em sua vida pessoal Desenvolva uma folha de controle para registrar os defeitos que você tem em sua vida pessoal tal como comer demais ser rude não cumprir compromissos faltas 532 533 às aulas etc Use a folha de controle para manter um registro desses defeitos por um mês Use um gráfico de Pareto para analisar esses dados Quais são as causas subjacentes a esses defeitos Um processo é normalmente distribuído e está sob controle com média e variância conhecidas e os costumeiros limites de três sigmas são usados no gráfico de controle de modo que a probabilidade de um único ponto se localizar fora dos limites de controle externos quando o processo está sob controle é 00027 Suponha que esse gráfico esteja sendo usado na fase I e as médias de um conjunto de m amostras ou subgrupos desse processo sejam marcadas nesse gráfico Qual é a probabilidade de que pelo menos uma dessas médias se localizará fora dos limites de controle quando m 5 Repita esses cálculos para os casos em que m 10 m 20 m 30 e m 50 Discuta os resultados que você obteve Reconsidere a situação do Exercício 532 Suponha que a média e a variância do processo sejam desconhecidas e devam ser estimadas a partir de dados disponíveis de m subgrupos Quais complicações isso introduziria nos cálculos que você realizou no Exercício 532 1A terminologia causas aleatórias e atribuíveis foi desenvolvida por Shewhart Hoje alguns autores usam a terminologia causa comum em vez de causa aleatória e causa especial em vez de causa atribuível 2Note que sigma se refere ao desviopadrão da estatística exibida no gráfico isto é não ao desviopadrão da característica da qualidade 3O nome gráfico de Pareto é homenagem ao economista Vilfredo Pareto 18481923 que teorizou que em certas economias a maior parte da riqueza era controlada por um segmento da população desproporcionalmente pequeno Engenheiros da qualidade observaram que defeitos usualmente seguem uma distribuição de Pareto semelhante 61 62 621 622 623 624 625 626 627 63 631 632 633 64 65 66 MS61 MS62 MS63 MS64 MS65 MS66 ESQUEMA DO CAPÍTULO INTRODUÇÃO GRÁFICOS DE CONTROLE PARA E R A Base Estatística dos Gráficos Desenvolvimento e Uso dos Gráficos e R Gráficos Baseados nos Valores de Referência Interpretação dos Gráficos e R O Efeito da Não Normalidade nos Gráficos e R A Função Característica de Operação O Comprimento Médio da Sequência para o Gráfico GRÁFICOS DE CONTROLE PARA E s Construção e Operação dos Gráficos e s Os Gráficos de Controle e s com Tamanho de Amostra Variável O Gráfico de Controle s2 O GRÁFICO DE CONTROLE DE SHEWHART PARA MEDIDAS INDIVIDUAIS RESUMO DOS PROCEDIMENTOS PARA OS GRÁFICOS R E s APLICAÇÕES DOS GRÁFICOS DE CONTROLE PARA VARIÁVEIS Material Suplementar para o Capítulo 6 s2 NÃO É SEMPRE UM ESTIMADOR NÃO VIESADO DE σ2 DEVEMOS USAR d2 OU d 2 NA ESTIMAÇÃO DE σ USANDO O MÉTODO DA AMPLITUDE DETERMINANDO QUANDO O PROCESSO SE DESLOCOU MAIS SOBRE MONITORAMENTO DA VARIABILIDADE COM OBSERVAÇÕES INDIVIDUAIS DETECTANDO AFASTAMENTOS VERSUS DESLOCAMENTOS NA MÉDIA DO PROCESSO A DIFERENÇA SUCESSIVA NA MÉDIA QUADRÁTICA COMO UM ESTIMADOR DE σ2 O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Uma característica da qualidade que é medida em uma escala numérica é chamada de variável Exemplos incluem dimensões como comprimento ou largura temperatura e volume Este capítulo apresenta os gráficos de controle de Shewhart para esse 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 61 62 621 tipo de característica da qualidade Os gráficos de controle e R são amplamente utilizados para monitorar a média e a variabilidade de variáveis Diversas variações dos gráficos e R são também apresentadas incluindo um procedimento para adaptálos a medidas individuais O capítulo termina com aplicações típicas dos gráficos de controle para variáveis Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender a base estatística dos gráficos de controle de Shewhart para variáveis Saber como planejar gráficos de controle para variáveis Saber como estabelecer e usar gráficos de controle e R Saber como estimar a capacidade do processo a partir da informação do gráfico de controle Saber como interpretar padrões em gráficos de controle e R Saber como estabelecer e usar gráficos de controle e s ou s2 Saber como estabelecer e usar gráficos de controle para medições individuais Compreender a importância da hipótese de normalidade para gráficos de controle para indivíduos e saber como verificar essa hipótese Compreender o conceito de subgrupo racional para gráficos de controle para variáveis Determinar o comprimento médio da sequência para gráficos de controle para variáveis Introdução Muitas características da qualidade podem ser expressas em termos de uma medida numérica Por exemplo o diâmetro de um mancal pode ser medido com um micrômetro e expresso em milímetros ou o tempo para processar uma reclamação de seguro pode ser expresso em horas Uma medida única de uma característica da qualidade tal como dimensão peso ou volume é chamada de variável Gráficos de controle para variáveis são amplamente utilizados Os gráficos de controle são uma das principais ferramentas usadas nos Passos Analisar e Controlar do DMAMC Ao se lidar com uma característica da qualidade que é uma variável é usualmente necessário o monitoramento tanto do valor médio da característica da qualidade quanto da sua variabilidade O controle da média do processo ou do nível médio da qualidade é usualmente feito através do gráfico de controle para médias ou gráfico de controle A variabilidade do processo pode ser monitorada tanto através do gráfico de controle para o desviopadrão chamado de gráfico de controle s quanto pelo gráfico para a amplitude chamado de gráfico de controle R O gráfico R é mais usado Em geral mantêmse gráficos e R separados para cada uma das características da qualidade de interesse No entanto se as características da qualidade são estreitamente relacionadas isso pode levar a resultados enganosos veja o Capítulo 12 da Parte IV Os gráficos e R ou s estão entre as mais importantes e úteis técnicas de controle e monitoramento estatístico online de processos É importante manterse o controle tanto sobre a média quanto sobre a variabilidade do processo A Figura 61 ilustra a saída de um processo de produção Na Figura 61a a média µ e o desviopadrão σ estão ambos sob controle nos seus valores nominais digamos µ0 e σ0 consequentemente a maior parte da saída do processo está localizada dentro dos limites de especificação No entanto na Figura 61b a média se deslocou para um valor µ1 µ0 resultando em uma fração maior da produção fora das especificações Na Figura 61c o desviopadrão do processo deslocouse para um valor σ1 σ0 Isso também resulta em uma maior fração de falha apesar de a média do processo permanecer no seu valor nominal Gráficos de Controle para e R A Base Estatística dos Gráficos Suponha que uma característica da qualidade seja normalmente distribuída com média µ e desviopadrão σ sendo ambos os valores µ e σ conhecidos Se x1 x2 xn é uma amostra de tamanho n então a média dessa amostra é e sabemos que é normalmente distribuída com média µ e desviopadrão Além disso há uma probabilidade 1 α de qualquer média amostral ficar entre Então se µ e σ são conhecidos a equação 61 pode ser usada como limites de controle superior e inferior em um gráfico de controle para médias amostrais Como observado no Capítulo 5 é comum Zα2 ser substituído por 3 de modo que são empregados os limites três sigmas Se uma média amostral fica fora desses limites isso é uma indicação de que a média do processo não é mais igual a µ Assumimos que a distribuição da característica da qualidade é normal No entanto os resultados anteriores ainda são aproximadamente corretos mesmo que a distribuição subjacente não seja normal por causa do teorema limite central Na Seção 625 discutiremos o efeito da hipótese de normalidade sobre os gráficos de controle para variáveis Na prática em geral não conhecemos µ e σ Então eles devem ser estimados a partir de amostras ou subgrupos preliminares retirados quando o processo supostamente estava sob controle Tais estimativas devem se basear em pelo menos 20 ou 25 amostras Suponha que m amostras estejam disponíveis cada uma com n observações da característica da qualidade Tipicamente n será pequeno frequentemente 4 5 ou 6 Esses pequenos tamanhos de amostra resultam em geral da construção de subgrupos racionais e do fato de que os custos associados à amostragem e inspeção de medidas de variáveis são relativamente altos Sejam as médias de cada uma das amostras Então o melhor estimador de µ a média do processo é a média geral isto é FIGURA 61 A necessidade de controle sobre a média do processo e a variabilidade do processo a Média e desviopadrão em níveis nominais b Média do processo µ1 µ0 c Desviopadrão do processo σ1 σ0 Assim deve ser usado como a linha central no gráfico Para construir os limites de controle é necessária uma estimativa do desviopadrão σ Lembrese do Capítulo 4 Seção 42 que podemos estimar σ ou através dos desviospadrão ou das amplitudes das m amostras No momento vamos nos concentrar no método da amplitude Se x1 x2 xn é uma amostra de tamanho n então a amplitude da amostra é a diferença entre a maior e a menor observação isto é R xmáx xmín Sejam R1 R2 Rm as amplitudes das m amostras A amplitude média é Apresentamos a seguir as fórmulas para a construção dos limites de controle para o gráfico São as seguintes Limites de Controle para o Gráfico A constante A2 encontrase tabulada para vários tamanhos de amostra na Tabela VI do Apêndice A variabilidade do processo pode ser monitorada marcandose os valores das amplitudes amostrais R em um gráfico de controle A linha central e os limites de controle para o gráfico R são os seguintes Limites de Controle para o Gráfico R As constantes D3 e D4 encontramse tabuladas para vários valores de n na Tabela VI do Apêndice Dedução das Equações 64 e 65 A dedução das equações para o cálculo dos limites de controle dos gráficos e R é relativamente simples No Capítulo 4 Seção 42 vimos que existe uma relação bem conhecida entre a amplitude de uma amostra de uma distribuição normal e o desviopadrão de tal distribuição A variável aleatória W Rσ é chamada de amplitude relativa Os parâmetros da distribuição de W são funções do tamanho da amostra n A média de W é d2 Consequentemente um estimador de σ é Rd2 Valores de d2 para diversos tamanhos de amostra são apresentados na Tabela VI do Apêndice Assim se for a amplitude média das m amostras preliminares poderemos usar para estimar σ Esse é um estimador não viesado de σ Usando como estimador de µ e d2 como estimador de σ então os parâmetros do gráfico são Se definirmos então a equação 67 se reduz à equação 64 Consideremos agora o gráfico R A linha central será Para determinar os limites de controle precisamos de uma estimativa de σR Supondo que a característica da qualidade seja normalmente distribuída pode ser determinado a partir da distribuição da amplitude relativa W Rσ O desviopadrão de W digamos d3 é uma função conhecida de n Então como R Wσ o desviopadrão de R é σR d3σ Como σ é desconhecido devemos estimar σR por Consequentemente os parâmetros do gráfico R com os limites usuais três sigmas são Fazendo a equação 610 se reduz à equação 65 Fase I da Aplicação dos Gráficos e R Na fase I da utilização do gráfico de controle quando amostras preliminares são usadas para construir os gráficos de controle e R é costume que os limites obtidos pelas equações 64 e 65 sejam tratados como limites de controle tentativos Eles nos permitem determinar se o processo estava sob controle quando as m amostras iniciais foram selecionadas o que pode ser feito plotandose os valores de e R de cada amostra em um gráfico que é analisado Se todos os pontos ficarem dentro dos limites de controle e não se observar qualquer comportamento sistemático então poderemos concluir que o processo estava sob controle no passado e que os limites de controle tentativos são apropriados para controle atual ou futuro da produção É altamente recomendável que se tenha 2025 amostras ou subgrupos de tamanho n tipicamente n deve estar entre 3 e 5 para o cálculo dos limites de controle tentativos Naturalmente é possível o trabalho com menos dados mas os limites de controle já não serão tão confiáveis Suponha que um ou mais valores de ou R se afigurem fora de controle quando comparados com os limites de controle tentativos Obviamente se os limites de controle para a produção atual ou futura tiverem que ser significativos eles têm que se basear em dados de um processo que esteja sob controle Então se a hipótese de controle passado for rejeitada tornase necessária uma revisão dos limites de controle tentativos Isso é feito examinandose cada um dos pontos fora de controle à procura de uma causa atribuível Se uma causa atribuível for identificada o ponto é descartado e os limites de controle tentativos são recalculados usandose apenas os pontos restantes Esses pontos restantes são em seguida reexaminados Note que os pontos que estavam inicialmente sob controle podem agora estar fora de controle porque os novos limites de controle tentativos em geral serão mais restritivos que os anteriores Prosseguese com esse processo até que todos os pontos estejam sob controle quando os limites de controle tentativos são adotados como limites para uso atual Em alguns casos é possível que não se identifique uma causa atribuível para um ponto que esteja fora de controle Há dois rumos de ação abertos para nós O primeiro é eliminar o ponto tal como se uma causa atribuível tivesse sido determinada Não há qualquer justificativa analítica para a escolha de tal ação a não ser o fato de os pontos fora de controle terem 622 provavelmente sido oriundos de uma distribuição de probabilidade característica de um processo fora de controle A alternativa é reter o ponto ou pontos tomando os limites de controle tentativos como apropriados para uso atual Naturalmente se o ponto de fato representa uma situação fora de controle os limites de controle resultantes serão muito amplos No entanto se houver apenas um ou dois desses pontos isso não resultará em distorções significativas do gráfico de controle Se amostras futuras ainda indicarem o controle do processo então os pontos inexplicáveis podem ser seguramente descartados Geralmente se ambos os gráficos exibem inicialmente pontos fora de controle é boa estratégia estabelecer o controle no gráfico R tão logo quanto possível Se o gráfico R estiver fora de controle isso significa que a variabilidade do processo estará instável e os limites de controle no gráfico que exigem uma estimativa da variabilidade do processo não serão confiáveis Ocasionalmente quando os valores de e R das amostras iniciais são plotados contra os limites de controle tentativos pode acontecer que vários pontos fiquem fora de controle É claro que se descartarmos arbitrariamente todos esses pontos teremos uma situação insatisfatória uma vez que restarão poucos dados para recalcular limites de controle confiáveis Suspeitamos também que essa abordagem ignorará informação relevante contida nos dados Por outro lado é pouco provável que a procura de uma causa atribuível para cada um dos pontos fora de controle tenha sucesso Temos constatado que quando muitas das amostras iniciais resultam em pontos fora dos limites de controle tentativos é melhor nos concentrarmos no padrão nos gráficos de controle formado por esses pontos Tal padrão quase sempre existirá Geralmente a causa atribuível associada ao padrão dos pontos fora de controle é facilmente identificada A remoção deste problema em geral resulta em uma melhora significativa do processo Desenvolvimento e Uso dos Gráficos e R Na seção anterior apresentamos a base estatística para os gráficos de controle e R Ilustraremos agora a construção e aplicação desses gráficos Discutiremos também algumas diretrizes para o uso de tais gráficos na prática EXEMPLO 61 Gráficos e R para um Processo de Manufatura Um processo de cozimento veja a Seção 531 é usado em conjunto com fotolitografia na fabricação de semicondutores Queremos estabelecer um controle estatístico para a largura do fluxo do resistente usando gráficos e R Vinte e cinco amostras cada uma formada por cinco placas foram extraídas desse processo quando se pensava que o mesmo estava sob controle O intervalo de tempo entre amostras ou subgrupos é de uma hora As medidas das larguras dos fluxos em mícrons para essas amostras são exibidas na Tabela 61 TABELA 61 Medidas da Largura do Fluxo mícrons para o Processo de Cozimento Número da Amostra Placas 1 2 3 4 5 Ri 1 13235 14128 16744 14573 16914 15119 03679 2 14314 13592 16075 14666 16109 14951 02517 3 14284 14871 14932 14324 15674 14817 01390 4 15028 16352 13841 12831 15507 14712 03521 5 15604 12735 15265 14363 16441 14882 03706 6 15955 15451 13574 13281 14198 14492 02674 7 16274 15064 18366 14177 15144 15805 04189 8 14190 14303 16637 16067 15519 15343 02447 9 13884 17277 15355 15176 13688 15076 03589 10 14039 16697 15089 14627 15220 15134 02658 11 14158 17667 14278 15928 14181 15242 03509 12 15821 13355 15777 13908 17559 15284 04204 13 12856 14106 14447 16398 11928 13947 04470 14 14951 14036 15893 16458 14969 15261 02422 15 13589 12863 15996 12497 15471 14083 03499 16 15747 15301 15171 11839 18662 15344 06823 17 13680 17269 13957 15014 14449 14874 03589 18 14163 13864 13057 16210 15573 14573 03153 19 15796 14185 16541 15116 17247 15777 03062 20 17106 14412 12361 13820 17601 15060 05240 21 14371 15051 13485 15670 14880 14691 02185 22 14738 15936 16583 14973 14720 15390 01863 23 15917 14333 15551 15295 16866 15592 02533 24 16399 15243 15705 15563 15530 15688 01156 25 15797 13663 16240 13732 16887 15264 03224 SOLUÇÃO Quando construímos gráficos de controle e R é melhor começar com o gráfico R Como os limites de controle no gráfico dependem da variabilidade do processo tais limites não serão muito significativos a não ser que a variabilidade esteja sob controle Usando os dados da Tabela 61 determinamos que a linha central para o gráfico R é Para amostras com n 5 encontramos na Tabela VI do Apêndice que D3 0 e D4 2114 Assim usando a equação 65 encontramos que os limites de controle para o gráfico R são LIC D3 0325210 0 LSC D4 0325212114 068749 O gráfico R é exibido na Figura 62b Ambos os gráficos na Figura 62 foram construídos pelo Minitab Note que o LSC para o gráfico R é relatado como 06876 porque o Minitab usa mais casas decimais do que o fizemos Quando plotamos as 25 amplitudes amostrais na Figura 62b não surgem evidências de uma situação fora do controle Como o gráfico R indica que a variabilidade do processo está sob controle podemos agora construir o gráfico A linha central é Para achar os limites de controle para o gráfico usamos da Tabela VI do Apêndice A2 0577 para amostras de tamanho n 5 e a equação 64 nos dá que LSC A2 15056 0577032521 169325 e LSC A2 15056 0577032521 131795 O gráfico é exibido na Figura 62a Plotandose as médias das amostras preliminares nenhuma evidência de que o processo esteja fora do controle é observada Assim como ambos os gráficos e R exibem controle podemos concluir que o processo está sob controle nos níveis estabelecidos e adotar os limites de controle tentativos para uso na fase II quando o monitoramento da produção futura é de interesse FIGURA 62 Gráficos e R do Minitab para a largura do fluxo no processo de cozimento Estimando a Capacidade do Processo Os gráficos e R fornecem informação sobre o desempenho ou capacidade do processo A partir do gráfico podemos estimar a largura média do fluxo como 15056 mícron O desviopadrão do processo pode ser estimado usandose a equação 66 isto é em que o valor de d2 para amostras de tamanho cinco é encontrado na Tabela VI do Apêndice Os limites de especificação para a largura do fluxo são 150 050 mícron Os dados do gráfico de controle podem ser usados para se descrever a capacidade do processo de produzir placas em relação a essas especificações Supondo que a largura do fluxo seja uma variável aleatória normalmente distribuída com média 15056 e desviopadrão 01398 podemos estimar a fração de placas não conformes produzidas como Isto é cerca de 0035 350 partes por milhão ppm das placas produzidas estará fora das especificações Outra forma de se expressar a capacidade do processo é em termos da razão da capacidade do processo RCP Cp definida para uma característica da qualidade com limites superior e inferior de especificação LSC e LIC respectivamente como Note que a extensão 6σ do processo é a definição básica da capacidade do processo Como σ em geral é desconhecido temos que substituílo por uma estimativa Frequentemente usamos d2 como estimativa de σ resultando em uma estimativa de Cp Para o processo do cozimento como d2 01398 vemos que Isso significa que os limites de tolerância naturais no processo três sigmas acima e abaixo da média estão dentro dos limites inferior e superior de especificação Consequentemente um número relativamente baixo de placas não conformes será produzido A RCP Cp pode ser interpretada de outra forma A quantidade é simplesmente a porcentagem da faixa de especificação usada pelo sistema Para o processo de cozimento uma estimativa de P é Isto é o processo usa aproximadamente 84 da faixa de especificação A Figura 63 ilustra três casos de interesse relativos à RCP Cp e às especificações do processo Na Figura 63a a RCP Cp é maior que um Isso significa que o processo usa menos de 100 da faixa de tolerância Consequentemente relativamente poucos itens não conformes serão produzidos por esse processo A Figura 63b mostra um processo para o qual a RCP Cp 1 isto é o processo usa toda a faixa de tolerância Para uma distribuição normal isso implicaria cerca de 027 ou 2700 ppm de unidades não conformes Finalmente a Figura 63c apresenta um processo para o qual a RCP Cp 1 isto é o processo usa mais de 100 da faixa de tolerância Nesse caso o processo é muito sensível e um grande número de peças não conformes será produzido Note que todos os casos na Figura 63 assumem que o processo está centrado no ponto médio da faixa de especificação Em muitas situações este não será o caso e conforme veremos no Capítulo 8 que é dedicado a um tratamento mais extensivo da análise da capacidade do processo alguma modificação da RCP Cp será necessária para se descrever adequadamente a situação Revisão dos Limites de Controle e Linhas Centrais O uso efetivo de qualquer gráfico de controle exigirá revisão periódica dos limites de controle e linhas centrais Alguns praticantes estabelecem períodos regulares para a revisão dos limites do gráfico de controle tais como toda semana todo mês ou a cada 25 50 ou 100 amostras Quando da revisão dos limites de controle lembrese de que é altamente recomendável a utilização de pelo menos 25 amostras ou subgrupos algumas autoridades recomendam 200300 observações individuais no cálculo dos limites de controle Algumas vezes o usuário poderá substituir a linha central no gráfico por um valoralvo digamos Se o gráfico R exibir controle isso poderá ser útil no deslocamento da média do processo para o valor desejado particularmente em processos onde a média pode ser alterada por um simples ajuste de uma variável manipulável no processo Se a média não é facilmente influenciada por um simples ajuste do processo então é provável que seja uma função complexa e desconhecida de várias variáveis do processo e um valoralvo será de pouca utilidade uma vez que o uso de tal valor poderá resultar em muitos pontos fora dos limites de controle Em tais casos não saberemos necessariamente se o ponto estava realmente associado a uma causa atribuível ou se ele ficou fora dos limites por causa de uma escolha infeliz para a linha central Experimentos planejados podem ser muito úteis na determinação de quais ajustamentos em variável do processo levam a um valor desejado para a média do processo FIGURA 63 Saída e razão da capacidade Cp de um processo Quando o gráfico R está fora de controle em geral descartamos os pontos fora de controle e recalculamos um valor revisto de Esse valor é então usado para determinar novos limites e linha central no gráfico R e novos limites no gráfico Isso estreitará os limites em ambos os gráficos tornandoos consistentes com um desviopadrão σ do processo compatível com o uso do revisto na relação d2 Essa estimativa de σ pode ser usada como base de análise preliminar da capacidade do processo Fase II da Operação dos Gráficos de Controle e R Uma vez definido um conjunto confiável de limites de controle o gráfico de controle é usado para o monitoramento da produção futura Tal etapa é chamada de fase 2 da utilização dos gráficos de controle Vinte amostras adicionais do processo de cozimento foram coletadas depois de estabelecidos os gráficos de controle e os valores amostrais e R plotados nos gráficos de controle logo após cada amostra ser selecionada Os dados para essas novas amostras estão na Tabela 62 e as continuações dos gráficos e R são dadas na Figura 64 Os gráficos de controle indicam que o processo está sob controle até a exibição do valor de para a 43aamostra Como esse ponto assim como o valor para amostra 45 fica acima do limite superior de controle devemos suspeitar que uma causa atribuível ocorreu antes ou naquele momento O padrão geral dos pontos no gráfico a partir do subgrupo 38 é indicativo de um deslocamento na média do processo Uma vez que o gráfico de controle é estabelecido e está sendo usado no monitoramento online do processo é sempre tentador usar as regras sensibilizantes ou regras da Western Electric discutidas no Capítulo 5 Seção 536 para acelerar a detecção de deslocamentos Aqui por exemplo o uso de tais regras provavelmente resultaria na detecção em torno da amostra 40 No entanto lembrese da discussão na Seção 533 quando desencorajamos o uso rotineiro dessas regras sensibilizantes para o monitoramento online de um processo estável porque elas aumentam consideravelmente a ocorrência de alarmes falsos Ao examinar dados de gráficos de controle é algumas vezes útil construirse um gráfico sequencial das observações individuais em cada amostra Esse gráfico às vezes é chamado de diagrama em fila ou gráfico de tolerância Ele pode revelar algum padrão nos dados ou pode mostrar que um valor particular de ou R foi produzido por uma ou duas observações incomuns na amostra Uma série de diagramas em caixa é uma forma simples de se construir um diagrama em fila O diagrama em fila dos dados da largura do fluxo é exibido na Figura 65 Esse gráfico não indica que os alertas de fora de controle tenham sido gerados por observações individuais incomuns mas sim que provavelmente foram resultantes de um deslocamento da média em torno do momento em que a amostra 38 foi selecionada A média das médias das amostras 38 a 45 é 16633 mícron Os limites de especificação de 150 050 mícron são representados na Figura 65 junto com um desenho da distribuição normal que representa a saída do processo quando a média do processo é igual ao valor sob controle de 15056 mícron O desenho da distribuição normal representando a saída do processo na nova aparente largura média de 16633 mícron também é mostrado na Figura 65 É óbvio que uma porcentagem bem maior de placas não conformes será produzida nessa taxa do fluxo médio Como o processo está fora de controle uma pesquisa para identificar a causa deste deslocamento na média deve ser realizada O plano de ação para fora de controle PAFC para esse gráfico de controle exibido na Figura 56 desempenha papel fundamental nessas atividades guiando a equipe operacional através de uma série de atividades sequenciais para descobrir a causa atribuível Frequentemente informação adicional e apoio por parte dos engenheiros administradores e equipe da engenharia da qualidade são necessários para descobrir e eliminar as causas atribuíveis TABELA 62 Amostras Adicionais para o Exemplo 61 Número da Amostra Placas 1 2 3 4 5 Ri 26 14483 15458 14538 14303 16206 14998 01903 27 15435 16899 15830 13358 14187 15142 03541 28 15175 13446 14723 16657 16661 15332 03215 29 15454 10931 14072 15039 15264 14152 04523 30 14418 15059 15124 14620 16263 15097 01845 31 14301 12725 15945 15397 15252 14724 03220 32 14981 14506 16174 15837 14962 15292 01668 33 13009 15060 16231 15831 16454 15317 03445 34 14132 14603 15808 17111 17313 15793 03181 35 13817 13135 14953 14894 14596 14279 01818 36 15765 17014 14026 12773 14541 14824 04241 37 14936 14373 15139 14808 15293 14910 00920 38 15729 16738 15048 15651 17473 16128 02425 39 18089 15513 18250 14389 16558 16560 03861 40 16236 15393 16738 18698 15036 16420 03662 41 14120 17931 17345 16391 17791 16716 03811 42 17372 15663 14910 17809 15504 16252 02899 43 15971 17394 16832 16677 17974 16970 02003 44 14295 16536 19134 17272 14370 16321 04839 45 16217 18220 17915 16744 19404 17700 03187 FIGURA 64 Continuação dos gráficos e R do Exemplo 61 FIGURA 65 Diagrama em fila construído com o procedimento de diagrama em caixa do Minitab para os dados da largura do fluxo Limites de Controle Limites de Especificação e Limites Naturais de Tolerância Um ponto que deve ser enfatizado é que não há qualquer conexão ou relação entre os limites de controle nos gráficos e R e os limites de especificação do processo Os limites de controle são guiados pela variabilidade natural do processo medida pelo desviopadrão σ do processo isto é pelos limites naturais de tolerância do processo É costume definiremse os limites superior e inferior naturais de tolerância digamos LSNT e LINT como os limites 3σ acima e abaixo da média do processo Os limites de especificação por outro lado são determinados externamente Eles podem ser especificados pela gerência pelos engenheiros de produção pelo cliente ou pelos desenhistasplanejadores do produto Devese ter conhecimento da variabilidade inerente ao processo quando da definição das especificações mas lembrese não há relação matemática ou relação estatística entre os limites de controle e os limites de especificação A situação é resumida na Figura 66 Já encontramos situações em que os limites de especificação foram usados no gráfico de controle Essa prática é totalmente incorreta e não deve ser usada No trato com gráficos de observações individuais e não médias como na Figura 65 é útil mostrar os limites de especificação no gráfico Subgrupos Racionais O conceito de subgrupo racional desempenha um papel importante no uso dos gráficos de controle e R A definição de um subgrupo racional na prática pode ser mais fácil se tivermos uma clara compreensão das funções dos dois tipos de gráfico de controle O gráfico monitora o nível médio da qualidade em um processo Então as amostras devem ser selecionadas de modo a maximizar as chances de os deslocamentos na média do processo ocorrerem entre as amostras e então aparecerem como pontos fora de controle no gráfico O gráfico R por outro lado mede a variabilidade dentro de uma amostra Assim as amostras devem ser selecionadas de modo que a variabilidade dentro das amostras meça apenas causas aleatórias ou casuais Colocando de outra maneira o gráfico monitora a variabilidade entre amostras variabilidade no processo ao longo do tempo e o gráfico R mede a variabilidade dentro da amostra a variabilidade instantânea do processo em um dado ponto no tempo FIGURA 66 Relação entre limites naturais de tolerância limites de controle e limites de especificação Um aspecto importante dessa observação fica evidente quando se examina como os limites de controle para os gráficos e R são determinados a partir de dados passados A estimativa do desviopadrão σ do processo usada na construção dos limites de controle é calculada a partir da variabilidade dentro de cada amostra isto é das amplitudes amostrais individuais Consequentemente a estimativa de σ reflete apenas a variabilidade dentro da amostra Não é correto estimarse σ com base na estimação quadrática usual digamos em que xij é a ja observação na ia amostra porque se as médias amostrais diferem entre si isto fará com que s seja muito grande Consequentemente σ será superestimado A combinação de todos os dados preliminares desta maneira para se estimar σ não é uma boa ideia porque ela potencialmente combina ambas as variabilidades entre e dentro das amostras Os limites de controle devem ser baseados apenas na variabilidade dentro da amostra Para maiores detalhes consulte o material suplementar para o texto Diretrizes para o Planejamento dos Gráficos de Controle Para a construção dos gráficos e R devemos especificar o tamanho da amostra a largura dos limites de controle e a frequência de amostragem a serem usados Não é possível darse uma solução exata para o problema do planejamento de gráficos de controle a menos que o analista tenha informação detalhada tanto sobre as características estatísticas dos testes de gráficos de controle quanto dos fatores econômicos que afetam o problema Uma solução completa do problema exigiria o conhecimento do custo da amostragem do custo da investigação e possível correção do processo em resposta a alertas de fora de controle e os custos associados à produção de um item que não atende as especificações Dado esse tipo de informação um modelo de decisão econômico poderia ser construído para permitir a construção de um gráfico de controle economicamente ótimo No Capítulo 10 Seção 106 discutiremos sucintamente essa abordagem do problema No entanto é possível forneceremse agora algumas diretrizes que ajudarão no planejamento dos gráficos de controle Se o gráfico está sendo usado principalmente para detectar moderados a grandes deslocamentos no processo digamos da ordem de 2σ ou mais então tamanhos relativamente pequenos de amostras n 4 5 ou 6 serão razoavelmente eficientes Por outro lado se quisermos detectar pequenos deslocamentos então amostras maiores com tamanhos variando de n 15 a n 25 serão necessárias Quando amostras menores são usadas há menor risco de ocorrer uma mudança no processo enquanto a amostra está sendo retirada Se ocorrer uma mudança durante a retirada da amostra a média amostral poderá ocultar esse fato Consequentemente esse é um argumento que favorece o uso de amostras tão pequenas quanto o necessário para garantir a consistência com a magnitude da mudança do processo que se queira detectar Uma alternativa ao aumento do tamanho da amostra é o uso de limites de alerta e outras técnicas sensibilizantes para acentuar a habilidade do gráfico de controle em detectar pequenos deslocamentos no processo No entanto conforme discussão no Capítulo 5 não somos a favor do uso rotineiro de tais regras sensibilizantes Se você está interessado em pequenas mudanças use os gráficos CUSUM ou MMEP apresentados no Capítulo 9 O gráfico R é relativamente insensível a mudanças no desviopadrão do processo para pequenas amostras Por exemplo amostras de tamanho n 5 terão apenas 40 de chance de detectar na primeira amostra uma mudança no desviopadrão do processo de σ para 2σ Amostras maiores serão mais eficientes mas sabemos também que o método da amplitude para estimar o desviopadrão perde eficiência rapidamente quando n aumenta Assim para valores grandes de n digamos n 10 ou 12 é provavelmente melhor o uso do gráfico de controle s ou s2 no lugar do gráfico R Detalhes da construção de tais gráficos são dados nas Seções 631 e 632 De um ponto de vista estatístico as curvas características de operação dos gráficos e R podem ser úteis na escolha do tamanho da amostra Elas fornecem uma ideia sobre a magnitude do deslocamento no processo que será detectada com determinada probabilidade para qualquer tamanho de amostra n Essas curvas características de operação serão discutidas na Seção 626 A escolha do tamanho da amostra e da frequência de amostragem é um dos problemas de alocação dos esforços de amostragem Em geral quem toma tal decisão terá apenas um número limitado de recursos para alocar ao processo de inspeção As estratégias disponíveis são ou tomar pequenas e frequentes amostras ou tomar amostras maiores menos frequentemente Por exemplo a escolha poderia recair entre tirar amostras de tamanho 5 a cada meia hora ou tirar amostras de tamanho 20 a cada 2 horas É impossível dizerse qual estratégia será melhor em todos os casos mas a indústria atualmente favorece pequenas e frequentes amostras O sentimento geral é que se o intervalo entre as amostras for muito grande muitos itens defeituosos serão produzidos até que ocorra a próxima oportunidade para detectar a mudança no processo Do ponto de vista econômico se o custo associado à produção de itens defeituosos é alto a extração de menores e mais frequentes amostras é melhor do que a de amostras maiores menos frequentes Esquemas de intervalos de amostragem variáveis e tamanhos de amostras também variáveis podem naturalmente ser usados Veja o Capítulo 10 A taxa de produção também influencia a escolha do tamanho da amostra e da frequência de amostragem Se a taxa de produção for alta digamos 50000 unidades por hora então uma amostragem mais frequente é mais recomendável do que a uma taxa muito baixa de produção A altas taxas de produção muitos itens não conformes podem ser produzidos em um pequeno intervalo de tempo quando o processo sofre alteração Além disso a altas taxas de produção é às vezes possível a obtenção de amostras razoavelmente grandes de maneira econômica Por exemplo se o processo opera a uma taxa de 50000 peças por hora não deve haver grande diferença no tempo para coletar uma amostra de tamanho 20 comparado com o tempo para coletar uma amostra de tamanho 5 Se os custos de inspeção e teste por unidade não forem muito altos processos de produção de alta velocidade serão em geral monitorados com amostras de tamanhos moderadamente grandes O uso dos limites de controle três sigmas nos gráficos e R é uma prática generalizada Há situações no entanto em que desvios dessa escolha costumeira podem ser benéficos Por exemplo se alarmes falsos ou erros tipo I um alerta de fora de controle é gerado quando o processo está de fato sob controle são muito caros para serem investigados então é melhor usar limites de controle mais largos que três sigmas talvez tão largos quanto 35 sigmas No entanto se o processo é tal que os alertas de fora de controle são fácil e rapidamente investigados com uma perda mínima de tempo e custo então limites mais estreitos talvez entre 25 e 275 sigmas são mais apropriados Mudando o Tamanho da Amostra nos Gráficos e R Apresentamos o desenvolvimento dos gráficos de controle e R supondo que o tamanho n da amostra permanecia constante de amostra para amostra No entanto há situações nas quais o tamanho n da amostra não é constante Uma situação é a de tamanho de amostra variável em gráficos de controle isto é cada amostra pode consistir em um número diferente de observações Os gráficos e R em geral não são usados nessas situações porque eles levam a uma mudança da linha central no gráfico R o que é de difícil interpretação para muitos usuários Os gráficos e s discutidos na Seção 632 serão preferidos nesses casos Outra situação é a de se fazer uma mudança permanente ou semipermanente no tamanho da amostra por causa dos custos ou porque o processo apresentou boa estabilidade e menos recursos estão sendo alocados ao monitoramento do processo Neste caso é fácil recalcularemse os novos limites de controle a partir dos antigos sem a coleta de amostras adicionais baseadas no novo tamanho amostral Sejam antigo amplitude média para o tamanho amostral antigo novo amplitude média para o novo tamanho amostral nantigo tamanho antigo da amostra nnovo tamanho novo da amostra d2antigo fator d2 para o tamanho amostral antigo d2novo fator d2 para o novo tamanho amostral Para o gráfico de controle os novos limites de controle são em que a linha central permanece inalterada e o fator A2 é selecionado para o novo tamanho amostral Para o gráfico R os novos parâmetros são EXEMPLO 62 Mudando o Tamanho Amostral Para ilustrar o procedimento anterior considere os gráficos e R construídos para o processo de cozimento no Exemplo 61 Tais gráficos se basearam em um tamanho de amostra de cinco placas Suponha que o pessoal da engenharia de manutenção deseje reduzir o tamanho da amostra para três placas uma vez que o processo mostrouse bastante sob controle Estabeleça os novos gráficos SOLUÇÃO Do Exemplo 61 sabemos que nantigo 5 antigo 032521 e da Tabela VI do Apêndice temos d2antigo 2326 d2novo 1693 Então os novos limites de controle para o gráfico são determinados a partir da equação 612 como e Para o gráfico R os novos parâmetros são dados pela equação 613 A Figura 67 mostra os novos limites de controle Note que o resultado da redução do tamanho da amostra é o aumento da largura dos limites no gráfico porque é menor quando n 5 do que quando n 3 e o abaixamento da linha central e do limite superior de controle no gráfico R porque a amplitude esperada para uma amostra de tamanho n 3 é menor do que a amplitude esperada para uma amostra de tamanho n 5 FIGURA 67 Limites de controle recalculados para o processo de cozimento do Exemplo 61 que refletem a mudança do tamanho da amostra de n 5 para n 3 623 em que D3 e D4 são selecionados para o novo tamanho amostral Limites de Probabilidade nos Gráficos e R É costumeira a expressão dos limites de controle nos gráficos e R como múltiplos do desviopadrão da estatística exibida nesses gráficos Se o múltiplo escolhido for k então referimonos a esses limites como limites k sigmas sendo k 3 a escolha usual No entanto como mencionado no Capítulo 5 é também possível definiremse os limites de controle pela especificação do nível do erro tipo I para o teste Tais limites de controle são chamados de limites de probabilidade para gráficos de controle e são extensivamente utilizados no Reino Unido e em alguns países da Europa Ocidental É fácil determinaremse os limites de probabilidade para o gráfico Como é aproximadamente normal podemos obter o erro tipo I desejado de α escolhendo o múltiplo de sigma para os limites de controle como k Zα2 em que Zα2 é o ponto da distribuição normal padrão correspondendo à porcentagem superior α 2 Note que os limites de controle três sigmas usuais implicam que a probabilidade do erro tipo I é α 00027 Se escolhemos α 0002 por exemplo como muitos autores recomendam então Zα2 Z0001 309 Consequentemente há pouca diferença entre usar esses limites e os limites de controle três sigmas Podemos também construir gráficos R usando limites de probabilidade Se α 0002 são necessários os pontos relativos às porcentagens 0001 e 0999 na distribuição da amplitude relativa W Rσ Esses pontos obviamente dependem do tamanho n do subgrupo Denotandoos por W0001n e W0999n e estimando σ por d2 obteríamos os limites de probabilidade 0001 e 0999 para R como W0001n d2 e W0999n d2 Definindo D0001 W0001nd2 e D0999 W0999nd2 então os limites de probabilidade para o gráfico R são LSC D0999 LIC D0001 Tabelas de pares de valores D0001 D0999 D0005 D0995 e D0025 D0975 para 2 n 10 são dadas em Grant e Leavenworth 1980 Esses limites de controle não diferem substancialmente dos limites três sigmas usuais No entanto para tamanhos de amostra 3 n 6 esses limites produzem limite inferior de controle positivo para o gráfico R enquanto os limites três sigmas convencionais não o fazem Gráficos Baseados nos Valores de Referência Quando é possível especificar valorespadrões ou de referência para a média e o desviopadrão do processo podemos usar esses padrões para construir os gráficos e R sem recorrer à análise de dados passados Suponha que esses valores de referência sejam µ e σ Então os parâmetros do gráfico são 624 A quantidade A digamos é uma constante que depende de n e que se encontra tabulada na Tabela VI do Apêndice Consequentemente podemos escrever os limites de controle para o gráfico como Para construir o gráfico R com o valor de referência σ lembrese de que σ Rd2 em que d2é a média da distribuição da amplitude relativa Além disso o desviopadrão de R é σR d3σ em que d3 é o desviopadrão da distribuição da amplitude relativa Assim os parâmetros para o gráfico de controle são É costume definiremse as constantes D1 d2 3d3 D2 d2 3d3 que se encontram tabuladas na Tabela VI do Apêndice Assim os parâmetros do gráfico R com valor de referência σ são Devese tomar cuidado quando se dão valores de referência µ e σ É possível que esses padrões não sejam realmente aplicáveis ao processo e como resultado os gráficos e R produzirão muitos alertas de fora de controle relativos aos padrões especificados Se o processo está realmente sob controle em alguma outra média e outro desviopadrão então o analista pode despender muito esforço procurando causas atribuíveis que não existem Valores de referência de σ parecem mais problemáticos do que valores de referência de µ Em processos em que a média da característica da qualidade é controlada por ajustes da máquina valores de referência ou valoresalvo de µ são algumas vezes úteis para se atingirem os objetivos operacionais relativos ao desempenho do processo Interpretação dos Gráficos e R Conforme já observado anteriormente um gráfico de controle pode indicar uma condição fora de controle ainda que nenhum ponto caia fora dos limites se os pontos plotados exibirem comportamento sistemático ou não aleatório Em muitos casos o padrão dos pontos plotados fornecerá informação valiosa para diagnóstico do processo e tal informação pode ser usada para modificar o processo de modo a reduzir a variabilidade o objetivo do controle estatístico de processos Além disso esses padrões ocorrem geralmente na fase I estudo retrospectivo dos dados passados e sua eliminação é muitas vezes crucial para trazer o processo à condição de controle Nesta seção discutiremos resumidamente a interpretação de gráficos de controle focando em alguns dos padrões mais comuns que aparecem nos gráficos e R e algumas características do processo que podem levar a eles Para interpretar de maneira efetiva os gráficos e R o analista tem de estar familiarizado com os princípios estatísticos subjacentes aos gráficos de controle e com o próprio processo Informação adicional sobre a interpretação de padrões em gráficos de controle pode ser vista no Statistical Quality Control Handbook 1956 pp 149183 da Western Electric Na interpretação de padrões no gráfico devemos inicialmente determinar se o gráfico R está ou não sob controle Algumas causas atribuíveis refletem em ambos os gráficos e R Se esses dois gráficos exibem padrão não aleatório a melhor estratégia é eliminar primeiro as causas atribuíveis do gráfico R Em muitos casos isso eliminará automaticamente o padrão não aleatório no gráfico Nunca tente interpretar o gráfico quando o gráfico R indicar alguma condição fora de controle Padrões cíclicos aparecem ocasionalmente em gráficos de controle Um exemplo típico é exibido na Figura 68 Tal padrão no gráfico pode resultar de mudanças ambientais sistemáticas tais como temperatura fadiga do operador rotação regular de operadores eou máquinas ou flutuações na voltagem ou pressão ou alguma outra variável no equipamento de produção Os gráficos R algumas vezes revelam padrões cíclicos por causa do planejamento da manutenção da fadiga do operador ou do desgaste do equipamento resultando em variabilidade excessiva Em um estudo no qual este autor esteve envolvido variabilidade sistemática no volume de enchimento de um contêiner metálico era causada pelo ciclo ligadodesligado de um compressor na máquina de enchimento FIGURA 68 Ciclos em um gráfico de controle FIGURA 69 Um padrão de mistura Uma mistura é indicada quando os pontos plotados tendem a ficar perto ou levemente fora dos limites de controle com relativamente poucos pontos perto da linha central como mostra a Figura 69 Um padrão de mistura é causado pela superposição de duas ou mais distribuições que geram a saída do processo As distribuições de probabilidade que poderiam estar associadas ao padrão de mistura na Figura 69 são exibidas no lado direito da figura A gravidade do padrão de mistura depende do quanto as distribuições se sobrepõem Algumas vezes misturas resultam de um supercontrole onde os operadores fazem ajustes muito frequentemente respondendo a variações aleatórias na saída e não a causas atribuíveis Um padrão de mistura pode também ocorrer quando saídas de produtos de várias fontes máquinas paralelas por exemplo são alimentadas em uma única esteira que é então amostrada para fins de monitoramento do processo Um deslocamento no nível do processo é ilustrado na Figura 610 Esses deslocamentos podem resultar da introdução de novos trabalhadores mudanças nos métodos matériaprima ou máquinas uma mudança no método de inspeção ou valores de referência ou uma mudança nas habilidades atenção ou motivação dos operadores Algumas vezes observase uma melhora no desempenho do processo em seguida à introdução de um programa de gráfico de controle simplesmente porque a motivação influencia os operadores Uma tendência ou movimento contínuo em uma direção é exibida no gráfico de controle da Figura 611 Tendências são em geral decorrentes de um desgaste ou deterioração gradual de uma ferramenta ou outro componente crítico do processo Nos processos químicos elas frequentemente ocorrem por causa da acomodação ou da separação dos componentes de uma mistura Podem ser resultado também de causas humanas tais como fadiga do operador ou a presença de um supervisor Finalmente as tendências podem resultar de fatores sazonais tais como temperatura Quando as tendências são decorrentes de desgaste de ferramentas ou outras causas sistemáticas de deterioração isso pode ser diretamente incorporado ao modelo do gráfico de controle Uma ferramenta útil para o monitoramento e análise de processos com tendências é o gráfico de controle da regressão ver Mandel 1969 O gráfico de controle modificado apresentado no Capítulo 9 também é usado quando o processo apresenta desgaste de material ou máquinas FIGURA 610 Um deslocamento no nível do processo A estratificação ou propensão dos pontos se agruparem artificialmente em torno da linha central é ilustrada na Figura 612 Note que há uma acentuada ausência de variabilidade natural no padrão observado Uma causa potencial da estratificação é o cálculo incorreto dos limites de controle Esse padrão pode também aparecer quando o processo de amostragem coleta uma ou mais unidades de diferentes distribuições subjacentes dentro de cada um dos subgrupos Por exemplo suponha que uma amostra de tamanho cinco seja obtida tomandose uma observação de cada um de cinco processos paralelos Se a menor e maior observações de cada amostra estão muito afastadas porque se originaram de duas distribuições diferentes então R estará indevidamente aumentada resultando em limites muito amplos no gráfico de controle Nesse caso R mede incorretamente a variabilidade entre as diferentes distribuições subjacentes além da variação aleatória que se pretende medir Ao interpretarmos padrões nos gráficos e R devemos considerar os dois gráficos conjuntamente Se a distribuição subjacente for normal então as variáveis aleatórias e R calculadas a partir da mesma amostra serão estatisticamente independentes Então e R deveriam se comportar de forma independente nos gráficos de controle Se houver correlação entre os valores de e R isto é se os pontos nos dois gráficos seguirem uns aos outros então haverá indícios de que a distribuição subjacente é assimétrica Se as especificações foram determinadas supondose normalidade então as análises podem resultar equivocadas FIGURA 611 Uma tendência no nível do processo 625 626 FIGURA 612 Um padrão de estratificação O Efeito da Não Normalidade nos Gráficos e R Frequentemente há uma suposição que liga normalidade e gráficos de controle no desenvolvimento de propriedades de desempenho dos gráficos de controle e R isto é que a distribuição subjacente da característica da qualidade é normal Em muitas situações podemos ter razões para duvidar da validade de tal suposição Por exemplo podemos saber que a distribuição subjacente não é normal porque realizamos uma coleta extensiva de dados que indicaram que a suposição de normalidade não era apropriada Agora se sabemos a forma da distribuição subjacente é possível a dedução das distribuições amostrais de e R ou alguma outra medida de variabilidade do processo e obtenção de limites de probabilidade exatos para os gráficos de controle Essa abordagem pode ser difícil em alguns casos e muitos analistas provavelmente prefeririam usar o procedimentopadrão baseado na suposição de normalidade desde que soubessem que o efeito do afastamento de tal suposição não é muito sério No entanto é possível que não tenhamos informação alguma sobre a forma da distribuição subjacente e assim nossa única alternativa seria usar os resultados da teoria normal Obviamente em qualquer dos casos seria interessante conheceremse os efeitos do afastamento da normalidade sobre os gráficos de controle e R Vários autores têm estudado os efeitos do afastamento da normalidade sobre os gráficos de controle Burr 1967 salienta que as constantes dos limites de controle baseados na teoria normal são assaz robustas com relação à hipótese de normalidade e podem ser empregadas a não ser que a população seja extremamente não normal Schilling e Nelson 1976 Chan Hapuarachchi e Macpherson 1988 e Yourstone e Zimmer 1992 também estudaram o efeito da não normalidade sobre os limites de controle do gráfico Schilling e Nelson investigaram as distribuições uniforme triangular direita gama com λ 1 e r 1 2 3 e 4 e duas distribuições bimodais formadas como misturas de duas distribuições normais Seu estudo indica que na maioria dos casos tamanhos de amostra quatro ou cinco são suficientes para garantir robustez razoável com relação à hipótese de normalidade Os piores casos observados foram para pequenos valores de r na distribuição gama r e r 1 a distribuição exponencial Por exemplo eles relatam que o risco α efetivo é 0014 ou menos se n 4 para a distribuição gama com r em contraste com o valor teórico de 00027 para a distribuição normal Enquanto o uso dos limites de controle três sigmas no gráfico produz um risco α de 00027 se a distribuição subjacente for normal o mesmo não será verdade para o gráfico R A distribuição amostral de R não é simétrica mesmo quando amostramos de uma distribuição normal e a cauda longa da distribuição está no lado direito ou positivo Então limites três sigmas simétricos são apenas uma aproximação e o risco α em tal gráfico R não é 00027 De fato para n 4 ele é α 000461 Além disso o gráfico R é mais sensível que o gráfico a desvios da normalidade Uma vez mais é importante ser lembrado o papel da teoria e suposições tais como normalidade e independência Esses são fundamentais para o estudo do desempenho de gráfico de controle que é muito útil para a avaliação de sua adequação para a fase II mas tem um papel muito menos importante na fase I De fato essas considerações não são uma preocupação primária na fase I A Função Característica de Operação A habilidade dos gráficos e R em detectar deslocamentos na qualidade do processo é descrita pelas suas curvas características de operação CO Nesta seção apresentamos as curvas CO para os gráficos usados no controle de um processo Considere a curva característica de operação CO para um gráfico de controle Supõese conhecido e constante o desviopadrão σ Se a média se desloca do valor sob controle digamos µ0 para outro valor µ1 µ0 kσ a probabilidade de não se detectar esse deslocamento na primeira amostra subsequente ou o risco β é Como Nµ σ2n e os limites superior e inferior de controle são podemos escrever a equação 618 como em que Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão Isso se reduz a Para ilustrar o uso da equação 619 suponha que estamos usando o gráfico com L 3 os limites três sigmas usuais tamanho amostral n 5 e que queremos determinar a probabilidade de se detectar um deslocamento para µ1 µ0 2σ na primeira amostra depois do deslocamento Então como L 3 k 2 e n 5 temos Este é o risco β ou a probabilidade de não se detectar tal deslocamento A probabilidade de esse deslocamento ser detectado na primeira amostra subsequente é 1 β 1 00708 09292 Para a construção da curva CO para o gráfico devemos plotar o risco β versus a magnitude do deslocamento que queremos detectar expressa em unidades de desviopadrão para vários tamanhos de amostra n Essas probabilidades podem ser calculadas diretamente a partir da equação 619 A curva CO está ilustrada na Figura 613 para o caso dos limites três sigmas L 3 A Figura 613 indica que para tamanhos típicos de amostra de 4 5 ou 6 o gráfico não é particularmente eficiente para detectar pequenos deslocamentos digamos da ordem de 15σou menos na primeira amostra depois do deslocamento Por exemplo se o deslocamento for 10σ e n 5 então da Figura 613 obteremos que β 075 aproximadamente Então a probabilidade de se detectar o deslocamento na primeira amostra é de apenas 1 β 025 Entretanto a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na segunda amostra é β 1 β 075025 019 enquanto a probabilidade de detecção na terceira amostra é β21 β 0752025 014 Assim a probabilidade de que o deslocamento seja detectado na raamostra subsequente é simplesmente 1 β vezes a probabilidade de não detectálo em cada uma das r 1 amostras iniciais ou FIGURA 613 Curvas características de operação para o gráfico com limites três sigmas β P não se detectar um deslocamento de kσ na média na primeira amostra depois do deslocamento βr11β Em geral o número esperado de amostras necessárias para se detectar um deslocamento é simplesmente o comprimento médio da sequência ou Assim no nosso exemplo temos que Em outras palavras o número esperado de amostras necessárias para se detectar um deslocamento de 10σ com n 5 é quatro A discussão anterior fornece um argumento que suporta o uso de pequenos tamanhos de amostra no gráfico Ainda que pequenos tamanhos de amostra resultem em valores relativamente grandes do risco β como as amostras são coletadas e testadas periodicamente há uma chance muito boa de que o deslocamento seja detectado rapidamente embora talvez não na primeira amostra subsequente ao deslocamento Para a construção das curvas CO para o gráfico R empregase a distribuição da amplitude relativa W Rσ Suponha que o valor sob controle do desviopadrão seja σ0 Então a curva CO representa a probabilidade de não se detectar o deslocamento para um novo valor de σ digamos σ1 σ0 na primeira amostra depois do deslocamento A Figura 614 apresenta a curva CO na qual β é plotado versus λ σ1σ0 a razão do novo para o antigo desviopadrão para vários valores de n 627 FIGURA 614 Curvas características de operação para o gráfico R com limites três sigmas Adaptado de A J Duncan Operating Characteristics of R Charts Industrial Quality Control vol 7 no 5 pp 4041 1951 com permissão da American Society for Quality Control Examinando a Figura 614 observamos que o gráfico R não é muito eficiente para detectar deslocamentos no processo para pequenos tamanhos de amostra Por exemplo se o desviopadrão do processo dobra isto é λ σ1σ0 2 o que é um deslocamento bastante grande então amostras de tamanho cinco têm apenas 40 de chance de detectar tal deslocamento em cada amostra subsequente A maioria dos engenheiros da qualidade acha que o gráfico R é insensível a pequenos ou moderados deslocamentos para os tamanhos usuais de subgrupos de n 4 5 ou 6 Se n 10 ou 12 o gráfico s apresentado na Seção 631 será em geral preferido ao gráfico R As curvas CO nas Figuras 613 e 614 supõem que os gráficos e R são usados no controle online do processo isto é a fase II de monitoramento do processo Às vezes é útil estudarse o desempenho estatístico de um gráfico usado para a análise de dados passados fase I Isso pode dar alguma indicação de como o número de subgrupos preliminares usados para o estabelecimento do gráfico de controle afeta a habilidade do gráfico em detectar condições fora de controle que existiam quando os dados foram coletados É a partir desses estudos analíticos e também da experiência prática que evoluiu a recomendação para se usar entre 20 e 25 subgrupos preliminares na definição dos gráficos e R O Comprimento Médio da Sequência para o Gráfico Para qualquer gráfico de controle de Shewhart observamos que o CMS pode ser expresso como ou para um CMS sob controle e para um CMS fora de controle Esses resultados são bastante intuitivos Se as observações representadas no gráfico de controle são independentes então o número de pontos que devem ser plotados até que um primeiro ponto exceda um limite de controle é uma variável aleatória geométrica com parâmetro p veja o Capítulo 3 A média desta distribuição geométrica é simplesmente 1p o comprimento médio da sequência Como é relativamente fácil o desenvolvimento de uma expressão geral para β para que o gráfico de controle detecte um deslocamento na média de kσ veja a equação 619 então não é difícil construirse um conjunto de curvas CMS para o gráfico A Figura 615 apresenta as curvas CMS para tamanhos de amostra de n 1 2 3 4 5 7 9 e 16 para o gráfico de controle onde o CMS está em termos do número esperado de amostras retiradas para que o deslocamento seja detectado Para ilustrar o uso da Figura 615 note que se quisermos detectar um deslocamento de 15σ usando um tamanho de amostra n 3 então o número médio de amostras requeridas será CMS1 3 Note também que poderíamos reduzir CMS1para aproximadamente 1 se aumentássemos o tamanho da amostra para n 16 Lembrese da discussão no Capítulo 5 Seção 533 indicando que os CMSs estão sujeitos a alguma crítica como medida do desempenho para gráficos de controle Observamos lá e também acima que a distribuição do comprimento médio para um gráfico de controle de Shewhart é geométrica e esta pode ser uma distribuição bastante assimétrica de modo que a média isto é o CMS pode não ser a melhor medida de um típico comprimento de sequência Há outra questão concernente ao CMS relacionada com o fato de que os cálculos para um gráfico de controle específico são usualmente baseados em estimativas dos parâmetros do processo Isso resulta em valores inflados de ambos CMS0 e CMS1 Por exemplo suponha que a linha central do gráfico esteja perfeitamente estimada mas que o desviopadrão do processo esteja superestimado em 10 Isso resultaria em CMS0 517 consideravelmente maior que o valor nominal ou teórico de 370 Com um processo normalmente distribuído estamos igualmente propensos a subestimar o desviopadrão do processo em 10 e isso resultaria em CMS0 268 um valor consideravelmente menor que 370 A média é 268 5172 3925 o que sugere que erros na estimação do desviopadrão do processo resultam em CMSs superestimados Há revisão e discussão muito extensas na literatura sobre esse tópico no artigo de Jensen et al 2006 FIGURA 615 Comprimento médio da sequência amostras para o gráfico com limites três sigmas em que a média do processo está deslocada por kσ Adaptado de Modern Methods for Quality Control and Improvement de H M Wadsworth K S Stephens e A B Godfrey 2a edição John Wiley Sons 2002 63 1 2 FIGURA 616 Comprimento médio da sequência unidades individuais para o gráfico com limites três sigmas onde a média do processo está deslocada por kσ Adaptado de Modern Methods for Quality Control and Improvement de H M Wadsworth K S Stephens e A B Godfrey 2aedição John Wiley Sons 2002 Duas outras medidas de desempenho baseadas no CMS são às vezes úteis O tempo médio para alerta é o número de períodos de tempo que ocorrem até que seja gerado um sinal no gráfico de controle Se as amostras são tiradas a intervalos igualmente espaçados de tempo h então o tempo médio para alerta TMA é Pode ser útil expressar o CMS em termos do número esperado de unidades individuais amostradas digamos I em vez do número de amostras retiradas para se detectar um deslocamento Se o tamanho da amostra for n a relação entre I e CMS será A Figura 616 apresenta um conjunto de curvas que representam o número esperado de unidades individuais I que devem ser amostradas para que um gráfico detecte um deslocamento de kσ Para ilustrar o uso da curva note que para detectar um deslocamento de 15σ um gráfico com n 16 irá requerer que aproximadamente 16 unidades sejam amostradas enquanto se o tamanho da amostra for n 3 apenas cerca de 9 unidades serão necessárias em média Gráficos de Controle para e s Embora os gráficos e R sejam bastante usados algumas vezes tornase desejável a estimação direta do desviopadrão do processo em vez de indireta através do uso da amplitude R Isso leva aos gráficos de controle para e s em que s é o desviopadrão amostral1 Em geral os gráficos e s são preferidos aos seus semelhantes e R quando ou o tamanho da amostra n é moderadamente grande digamos n 10 ou 12 lembrese de que o método da amplitude para estimar σ perde eficiência estatística para tamanhos de amostras moderados ou grandes ou o tamanho da amostra n é variável 631 Nesta seção vamos ilustrar a construção e operação dos gráficos de controle e s Mostraremos também como lidar com tamanho de amostra variável e discutiremos uma alternativa ao gráfico s Construção e Operação dos Gráficos e s A construção e operação dos gráficos de controle e s requerem mais ou menos a mesma sequência de etapas que a dos gráficos e R exceto que para cada amostra temos que calcular a média amostral e o desviopadrão amostral s A Tabela 63 apresenta as medidas dos diâmetros internos de anéis de pistões forjados para motores de automóveis Cada amostra ou subgrupo consiste em cinco anéis de pistão Calculamos a média amostral e o desviopadrão amostral para cada uma das 25 amostras Usaremos esses dados para ilustrar a construção e operação dos gráficos e s TABELA 63 Medidas dos Diâmetros Internos mm de Anéis de Pistão de Motores de Automóveis Número da Amostra Observações si 1 74030 74002 74019 73992 74008 74010 00148 2 73995 73992 74001 74011 74004 74001 00075 3 73988 74024 74021 74005 74002 74008 00147 4 74002 73996 73993 74015 74009 74003 00091 5 73992 74007 74015 73989 74014 74003 00122 6 74009 73994 73997 73985 73993 73996 00087 7 73995 74006 73994 74000 74005 74000 00055 8 73985 74003 73993 74015 73988 73997 00123 9 74008 73995 74009 74005 74004 74004 00055 10 73998 74000 73990 74007 73995 73998 00063 11 73994 73998 73994 73995 73990 73994 00029 12 74004 74000 74007 74000 73996 74001 00042 13 73983 74002 73998 73997 74012 73998 00105 14 74006 73967 73994 74000 73984 73990 00153 15 74012 74014 73998 73999 74007 74006 00073 16 74000 73984 74005 73998 73996 73997 00078 17 73994 74012 73986 74005 74007 74001 00106 18 74006 74010 74018 74003 74000 74007 00070 19 73984 74002 74003 74005 73997 73998 00085 20 74000 74010 74013 74020 74003 74009 00080 21 73982 74001 74015 74005 73996 74000 00122 22 74004 73999 73990 74006 74009 74002 00074 23 74010 73989 73990 74009 74014 74002 00119 24 74015 74008 73993 74000 74010 74005 00087 25 73982 73984 73995 74017 74013 73998 00162 Σ 1850028 74001 02351 00094 Se σ2 é a variância desconhecida de uma distribuição de probabilidade então um estimador não viesado para σ2 é a variância amostral No entanto o desviopadrão s não é um estimador não viesado para σ No Capítulo 4 Seção 42 vimos que se a distribuição subjacente for normal então s na verdade estima c4σ em que c4 é uma constante que depende do tamanho da amostra n Além disso o desviopadrão de s é Essa informação pode ser usada para a definição dos gráficos de controle para e s Considere o caso onde um valor de referência é dado para σ Como Es c4σ a linha central para o gráfico é c4σ Os limites de controle três sigmas são então É costume definiremse as duas constantes Consequentemente os parâmetros do gráfico s com um valor de referência dado para σ se tornam Valores de B5 e B6 são tabulados para vários tamanhos de amostra na Tabela VI do Apêndice Os parâmetros do gráfico correspondente são dados na equação 615 Seção 623 Se nenhum valor de referência for dado para σ então teremos que estimálo através de dados passados Suponha que m amostras preliminares estejam disponíveis cada uma de tamanho n e seja si o desviopadrão da ia amostra A média dos m desviospadrão é A estatística é um estimador não viesado de σ Então os parâmetros para o gráfico s são É usual definiremse as constantes Consequentemente obtivemos os parâmetros do gráfico s como Note que B4 B6c4 e B3 B5c4 Quando é usado para estimar σ podemos definir os limites de controle para o gráfico correspondente como Definindo a constante os parâmetros do gráfico se tornam As constantes B3 B4 e A3 para a construção dos gráficos e s obtidas através de dados passados encontramse listadas na Tabela VI do Apêndice para diversos tamanhos de amostra Note que fizemos a suposição de que o desviopadrão amostral está definido como Alguns autores definem s com n no denominador da equação 629 em vez de n 1 Quando este é o caso as definições das constantes c4 B3 B4 e A3 são alteradas As constantes correspondentes baseadas no uso de n para o cálculo de s são chamadas de c2 B1 B2 e A1 respectivamente Veja Bowker e Lieberman 1972 para suas definições Tradicionalmente os engenheiros da qualidade preferiam o gráfico R ao gráfico s por causa da simplicidade do cálculo de R para cada amostra A disponibilidade atual de máquinas de calcular com cálculo automático de s e a crescente disponibilidade de microcomputadores na implementação online dos gráficos de controle na estação de trabalho vêm eliminando qualquer dificuldade computacional EXEMPLO 63 Gráficos e s para os Dados dos Anéis de Pistão Construa e interprete gráficos e s usando as medidas dos diâmetros internos dos anéis de pistão na Tabela 63 SOLUÇÃO A média geral e o desviopadrão médio são e respectivamente Então os parâmetros para o gráfico são LSC A3 74001 142700094 74014 LC 74001 LIC A3 74001 142700094 73988 e para o gráfico s LSC B4 208900094 00196 LC 00094 LIC B3 000094 0 Os gráficos de controle são exibidos na Figura 617 Não há nenhuma indicação de que o processo esteja fora de controle de modo que aqueles limites poderiam ser adotados para o monitoramento do processo na fase II FIGURA 617 Os gráficos de controle e s para o Exemplo 63 a O gráfico com limites de controle baseados em b O gráfico de controle s 632 Estimação de σ É possível a estimação do desviopadrão do processo usandose o fato de sc4 ser um estimador não viesado de σ Então como c4 09400 para amostras de tamanho 5 nossa estimativa do desviopadrão do processo é Os Gráficos de Controle e s com Tamanho de Amostra Variável Os gráficos de controle e s são de uso relativamente simples nos casos em que os tamanhos das amostras são variáveis Nesse caso devemos aplicar a abordagem da média ponderada no cálculo de e Se ni é o número de observações na ia amostra então usamos e como linhas centrais nos gráficos e s respectivamente Os limites de controle são calculados a partir das equações 627 e 628 respectivamente mas as constantes A3 B3 e B4vão depender do tamanho da amostra usado em cada subgrupo individual EXEMPLO 64 Gráficos e s para os Anéis de Pistão Tamanho Amostral Variável Considere os dados na Tabela 64 que são uma modificação dos dados dos anéis de pistão usados no Exemplo 63 Note que os tamanhos das amostras variam de n 3 a n 5 Use o procedimento descrito na Seção 632 para construir os gráficos de controle e s SOLUÇÃO A média geral ponderada e o desviopadrão médio ponderado são calculados a partir das equações 630 e 631 como TABELA 64 Medidas dos Diâmetros Internos mm de Anéis de Pistão de Motores de Automóveis Número da Amostra Observações si 1 74030 74002 74019 73992 74008 74010 00148 2 73995 73992 74001 73996 00046 3 73988 74024 74021 74005 74002 74008 00147 4 74002 73996 73993 74015 74009 74003 00091 5 73992 74007 74015 73989 74014 74003 00122 6 74009 73994 73997 73985 73996 00099 7 73995 74006 73994 74000 73999 00055 8 73985 74003 73993 74015 73988 73997 00123 9 74008 73995 74009 74005 74004 00064 10 73998 74000 73990 74007 73995 73998 00063 11 73994 73998 73994 73995 73990 73994 00029 12 74004 74000 74007 74000 73996 74001 00042 13 73983 74002 73998 73994 00100 14 74006 73967 73994 74000 73984 73990 00153 15 74012 74014 73998 74008 00087 16 74000 73984 74005 73998 73996 73997 00078 17 73994 74012 73986 74005 73999 00115 18 74006 74010 74018 74003 74000 74007 00070 19 73984 74002 74003 74005 73997 73998 00085 20 74000 74010 74013 74008 00068 21 73982 74001 74015 74005 73996 74000 00122 22 74004 73999 73990 74006 74009 74002 00074 23 74010 73989 73990 74009 74014 74002 00119 24 74015 74008 73993 74000 74010 74005 00087 25 73982 73984 73995 74017 74013 73998 00162 Então a linha central para o gráfico é 74001 e a linha central para o gráfico s é 00103 Os limites de controle agora são facilmente calculados Para ilustrar considere a primeira amostra Os limites de controle para o gráfico são LSC 74001 142700103 74016 LC 74001 LIC 74001 142700103 73986 Os limites de controle para o gráfico s são LSC 208900103 0022 LC 00103 LIC 000103 0 Note que usamos os valores de A3 B3 e B4 para n1 5 Os limites para a segunda amostra devem ser calculados usando os valores das constantes para n2 3 Os limites de controle para todas as 25 amostras são resumidos na Tabela 65 Os gráficos de controle estão na Figura 618 FIGURA 618 Os gráficos de controle a e b s para os dados dos anéis de pistão com tamanho de amostra variável Exemplo 64 TABELA 65 Cálculo dos Limites de Controle para os Gráficos e s com Tamanho de Amostra Variável Gráfico Gráfico s Amostra n s A3 LIC LSC B3 B4 LIC LSC 1 5 74010 00148 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 2 3 73996 00046 1954 73981 74021 0 2568 0 0026 3 5 74008 00147 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 4 5 74003 00091 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 5 5 74003 00122 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 6 4 73996 00099 1628 73984 74018 0 2266 0 0023 7 4 73999 00055 1628 73984 74018 0 2266 0 0023 8 5 73997 00123 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 9 4 74004 00064 1628 73984 74018 0 2266 0 0023 10 5 73998 00063 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 11 5 73994 00029 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 12 5 74001 00042 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 13 3 73994 00100 1954 73981 74021 0 2568 0 0026 14 5 73990 00153 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 15 3 74008 00087 1954 73981 74021 0 2568 0 0026 16 5 73997 00078 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 17 4 73999 00115 1628 73984 74018 0 2226 0 0023 18 5 74007 00070 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 19 5 73998 00085 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 20 3 74008 00068 1954 73981 74021 0 2568 0 0026 21 5 74000 00122 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 22 5 74002 00074 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 23 5 74002 00119 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 24 5 74005 00087 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 25 5 73998 00162 1427 73986 74016 0 2089 0 0022 Uma alternativa ao uso de limites de controle variáveis nos gráficos e s é basear os cálculos dos limites de controle em um tamanho médio de amostra Se os ni não são muito diferentes essa abordagem pode ser satisfatória em algumas situações ela é particularmente útil se os gráficos vão ser usados em uma apresentação para a gerência Como a média dos tamanhos ni das amostras pode não ser um número inteiro uma alternativa é a construção desses limites de controle aproximados com base no tamanho de amostra modal mais frequente Estimação de σ É possível estimarse o desviopadrão do processo σ a partir dos valores amostrais individuais si Primeiro tomamos a média de todos os si para os quais ni 5 o valor de ni de maior frequência Isso dá 633 64 1 2 3 4 5 6 A estimativa do σ do processo é em que o valor de c4 usado é aquele correspondendo ao tamanho de amostra n 5 O Gráfico de Controle s2 Muitos engenheiros da qualidade usam ou o gráfico R ou o gráfico s para monitorar a variabilidade do processo com s sendo preferido nos casos de tamanhos de amostra moderados ou grandes Alguns praticantes recomendam um gráfico de controle baseado diretamente na variância amostral s2 o gráfico de controle s2 Os parâmetros para o gráfico de controle s2 são em que denotam os pontos percentuais α2 superior e 1 α2 inferior da distribuição quiquadrado com n 1 graus de liberdade e 2 é uma variância amostral média obtida da análise de dados preliminares Um valor de referência σ2 pode ser usado na equação 632 no lugar de 2 caso esteja disponível Note que esse gráfico de controle é definido com limites de probabilidade O Gráfico de Controle de Shewhart para Medidas Individuais Há muitas situações em que o tamanho da amostra para monitoramento do processo é n 1 isto é a amostra consiste em uma única unidade individual Alguns exemplos dessas situações são Tecnologia de inspeção e medição automática é usada e toda unidade fabricada é inspecionada de modo que não há razão para formar subgrupos racionais Os dados se tornam disponíveis muito lentamente e é inconveniente acumular tamanhos de amostra n 1 para análise O longo intervalo entre observações pode causar problema na formação dos subgrupos Isso ocorre com frequência tanto em situações de manufatura quanto de não manufatura Medidas repetidas do processo diferem apenas por causa de erro de laboratório ou análise como em muitos processos químicos Várias medidas são tomadas em uma mesma unidade do produto como espessura do óxido em vários locais de uma placa na manufatura de semicondutores Em fábricas de processamento tais como o de fabricação de papel medidas sobre alguns parâmetros como a espessura do revestimento ao longo do rolo diferem muito pouco e produzem um desviopadrão muito pequeno caso o objetivo seja controlar a espessura do revestimento ao longo do rolo Medidas individuais são muito comuns em muitos processos de transações negócios e serviços porque não há base para subgrupos racionais Algumas vezes isso acontece porque não há intervalos de tempo entre as atividades do serviço Em tais situações o gráfico de controle para unidades individuais é útil Os gráficos de controle da soma cumulativa e da média móvel exponencialmente ponderada discutidos no Capítulo 9 serão uma alternativa mais apropriada na fase II ou quando a magnitude do deslocamento na média do processo de interesse for pequena Em muitas aplicações dos gráficos de controle para unidades individuais usamos a amplitude móvel de duas observações consecutivas como base para estimar a variabilidade do processo A amplitude móvel é definida como MRi xi xi1 É possível também a construção de gráficos de controle para a amplitude móvel O procedimento é ilustrado no exemplo seguinte EXEMPLO 65 Custos de Processamento de Empréstimos A unidade de processamento de empréstimos hipotecários de um banco monitora os custos de processamento dos pedidos de empréstimo A quantidade rastreada são os custos médios de processamento semanal obtidos pela divisão dos custos semanais pelo número de empréstimos processados durante a semana Os custos de processamento para as últimas 20 semanas são mostrados na Tabela 66 Estabeleça gráficos de controle individuais e de amplitude móvel para esses dados SOLUÇÃO Para construir o gráfico de controle para observações individuais note que o custo médio amostral das 20 observações é 3005 e a média das amplitudes móveis de duas observações é MR 779 Para construir o gráfico da amplitude móvel obtemos que D3 0 e D4 3267 para n 2 Assim o gráfico da amplitude móvel tem linha central MR 779 LIC 0 e LSC D4 MR 3267779 2545 O gráfico de controle do Minitab é exibido na Figura 619b Note que não há pontos fora de controle Para o gráfico de controle das medidas individuais os parâmetros são Se uma amplitude móvel de n 2 observações for usada então d2 1128 Para os dados da Tabela 66 temos O gráfico de controle para os valores dos custos individuais é exibido na Figura 619a Não há observações fora de controle no gráfico das medidas individuais A interpretação do gráfico para observações individuais é análoga à interpretação do gráfico de controle usual Um deslocamento na média do processo resultará em um único ponto ou uma série de pontos que ficam fora dos limites de controle no gráfico para observações individuais Algumas vezes um ponto ficará fora dos limites de controle em ambos os gráficos o de observações individuais e o de amplitude móvel Em geral isso ocorrerá porque um grande valor de x levou a um grande valor da amplitude móvel para aquela amostra Isso é um comportamento muito típico para os gráficos de controle de observações individuais e de amplitudes móveis Mais provavelmente é uma indicação de que a média está fora de controle e não uma indicação de que tanto a média quanto a variância do processo estejam fora de controle TABELA 66 Custos de Processamento de Pedidos de Empréstimos Hipotecários Semanas Custo x Amplitude Móvel MR 1 310 2 288 22 3 297 9 4 298 1 5 307 9 6 303 4 7 294 9 8 297 3 9 308 11 10 306 2 11 294 12 12 299 5 13 297 2 14 299 2 15 314 15 16 295 19 17 293 2 18 306 13 19 301 5 20 304 3 x 3005 MR 779 FIGURA 619 Gráficos de controle para a observações individuais para o custo e para b a amplitude móvel A Fase II da Operação e Interpretação dos Gráficos A Tabela 67 contém os dados sobre custos de processamento de pedidos de empréstimos hipotecários para as semanas 2140 Esses dados estão plotados na Figura 620 em continuação aos gráficos de controle para observações individuais e amplitudes móveis desenvolvidos no Exemplo 65 Como a figura torna claro ocorreu um deslocamento ascendente no custo em torno da semana 39 uma vez que há um padrão óbvio de deslocamento no nível do processo no gráfico das observações individuais seguido por outro sinal de fora de controle na semana 40 Note que o gráfico da amplitude móvel também reage a esse deslocamento no nível com um grande pico na semana 39 Esse pico no gráfico das amplitudes móveis algumas vezes é útil na identificação exata do ponto onde ocorreu o deslocamento na média do processo Claramente devese procurar por possíveis causas atribuíveis em torno da semana 39 Possíveis causas incluem um número não usual de pedidos exigindo trabalho adicional de subscrita manual ou possivelmente novos subescritores trabalhando no processo ou subescritores temporários em substituição a empregados regulares que estavam de férias FIGURA 620 Continuação dos gráficos de controle para observações individuais e amplitudes móveis usando os dados adicionais da Tabela 67 TABELA 67 Custos de Processamento de Pedidos de Empréstimos Hipotecários Semanas 2140 Semana Custo x Semana Custo x 21 305 31 310 22 282 32 292 23 305 33 305 24 296 34 299 25 314 35 304 26 295 36 310 27 287 37 304 28 301 38 305 29 298 39 333 30 311 40 328 Algum cuidado deve ser tomado na interpretação de padrões no gráfico das amplitudes móveis As amplitudes móveis são correlacionadas e essa correlação pode muitas vezes induzir um padrão de sequências ou ciclos no gráfico Tal padrão é evidente no gráfico das amplitudes móveis da Figura 621 Entretanto supõese que as medidas individuais no gráfico x sejam não correlacionadas e nenhum padrão aparente nesse gráfico deve ser cuidadosamente investigado Alguns analistas recomendam que não se use o gráfico das amplitudes móveis Eles salientam corretamente necessário dizer que o gráfico das amplitudes móveis não pode realmente fornecer informação útil sobre um deslocamento na variabilidade do processo Para exemplo veja Rigdon Cruthis e Champ 1994 De fato deslocamentos na média do processo também aparecem no gráfico das amplitudes móveis Nosso sentimento é que desde que o analista seja cuidadoso na interpretação e se baseie primeiramente no gráfico das observações individuais poucas dificuldades resultarão do uso de ambos os gráficos FIGURA 621 Gráfico de probabilidade normal dos dados de custos do processamento de pedidos de empréstimos hipotecários da Tabela 66 Exemplo 65 Comprimento Médio da Sequência Crowder 1987b estudou o comprimento médio da sequência para a combinação dos gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis Ele calculou CMSs para vários conjuntos de limites de controle e deslocamentos na média e desviopadrão do processo Em geral seu trabalho mostra que o CMS0 do procedimento combinado será em geral muito menor que o CMS0 de um gráfico de controle de Shwehart padrão quando o processo está sob controle lembrese de que o CMS0para um gráfico de Shewhart é de 370 amostras se usarmos os limites três sigmas convencionais nesses gráficos Em geral resultados mais próximos dos CMSs sob controle de Shewhart são obtidos quando usamos os limites três sigmas no gráfico das observações individuais e calculamos o limite superior de controle para o gráfico das amplitudes móveis como LSC DMR em que a constante D deve ser escolhida de modo que 4 D 5 Podese ter uma boa ideia da habilidade do gráfico de controle das observações individuais em detectar deslocamentos no processo analisando as curvas CO na Figura 613 ou as curvas do CMS na Figura 615 Para um gráfico de controle das observações individuais com limites três sigmas podemos calcular o seguinte Tamanho do Deslocamento β CMS1 1σ 09772 4396 2σ 08413 630 3σ 05000 200 Note que a habilidade do gráfico de controle das observações individuais para detectar pequenos deslocamentos é muito pequena Por exemplo considere um processo químico contínuo do qual amostras são tiradas a cada hora Se um deslocamento de um desviopadrão ocorrer na média do processo a informação acima nos diz que serão necessárias em média 44 amostras para se detectar o deslocamento o que significa quase dois dias de produção contínua fora de controle uma situação que tem consequências econômicas potencialmente devastadoras Isso limita a utilidade do gráfico de controle de observações individuais na fase II do monitoramento do processo Algumas pessoas sugerem o uso de limites de controle mais estreitos que três sigmas no gráfico de controle para observações individuais para acentuar sua habilidade na detecção de pequenos deslocamentos Essa é uma sugestão perigosa uma vez que limites mais estreitos reduzirão consideravelmente o valor de CMS0 e aumentarão a ocorrência de falsos alarmes a tal ponto que os gráficos serão ignorados tornandose inúteis Se estivermos interessados em detectar pequenos deslocamentos na fase II então a abordagem correta é usarse ou o gráfico da soma cumulativa ou o gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada veja o Capítulo 9 Normalidade A discussão desta seção baseouse na suposição de que as observações seguem uma distribuição normal Borror Montgomery e Runger 1999 estudaram o comportamento na fase II dos gráficos de controle de Shewhart para observações individuais quando os dados do processo não são normais Eles investigaram várias distribuições gama para representar dados de processo assimétricos e as distribuições t para representar dados simétricos semelhantes a dados normais Eles descobriram que o CMS sob controle é drasticamente afetado por dados não normais Por exemplo se o gráfico das observações individuais tem limites três sigmas de modo que para os dados normais CMS0 370 o CMS0efetivo para dados de distribuições gama está entre 45 e 97 dependendo da forma da distribuição gama quanto mais fortemente assimétrica a distribuição pior o desempenho Para a distribuição t os valores de CMS0 variam de 76 a 283 à medida que o número de graus de liberdade varia de 4 a 50 isto é à medida que a distribuição t se torna mais parecida com a normal Em vista desses resultados concluímos que se o processo apresenta evidência de mesmo um moderado desvio da normalidade os limites de controle dados aqui podem ser totalmente inapropriados para o monitoramento do processo na fase II Uma abordagem para lidar com o problema da não normalidade seria a determinação dos limites de controle para o gráfico das observações individuais com base nos percentis da distribuição subjacente correta Esses percentis podem ser obtidos a partir de um histograma se uma grande amostra pelo menos 100 mas de preferência 200 observações estiver disponível ou a partir de uma distribuição de probabilidade ajustada aos dados Veja Willemain e Runger 1996 para detalhes do planejamento de gráficos de controle a partir de distribuições de referência empíricas Outra abordagem é a transformação da variável original em uma nova variável que seja aproximadamente normal e então aplicar os gráficos de controle a essa nova variável Borror Montgomery e Runger 1999 mostram como um gráfico de controle MMEP apropriadamente construído é bastante insensível à hipótese de normalidade Essa abordagem será discutida no Capítulo 9 É importante verificarse a hipótese de normalidade no uso de gráficos de controle para observações individuais Uma maneira simples de se fazer isso é através do gráfico da probabilidade normal A Figura 621 é o gráfico da probabilidade normal para os dados de custos de processamento de pedidos de empréstimos hipotecários na Tabela 66 Não há problema evidente com a hipótese de normalidade desses dados No entanto lembrese de que o gráfico da probabilidade normal não é mais que um teste grosseiro da hipótese de normalidade e que o gráfico de controle para observações individuais é bastante sensível à não normalidade Além disso deslocamentos na média podem aparecer como um problema com a normalidade no gráfico de probabilidade normal A estabilidade do processo é necessária para a interpretação adequada do gráfico Sugerimos que se use o gráfico de Shewhart para observações individuais com extrema cautela particularmente na fase II de monitoramento do processo EXEMPLO 66 O Uso de Transformações A Tabela 68 apresenta medidas sucessivas da resistibilidade de 25 placas de silício depois que uma camada de revestimento é depositada em um processo de deposição de placa única Construa um gráfico de controle para observações individuais para esse processo TABELA 68 Dados da Resistibilidade para o Exemplo 66 Amostra i Resistibilidade xi ln xi MR Amostrai Resistibilidade xi ln xi MR 1 216 537528 14 242 548894 023794 2 290 566988 029460 15 168 512396 036498 3 236 546383 020605 16 360 588610 076214 4 228 542935 003448 17 226 542053 046557 5 244 549717 006782 18 253 553339 011286 6 210 534711 015006 19 380 594017 040678 7 139 493447 041264 20 131 487520 106497 8 310 573657 080210 21 173 515329 027809 9 240 548064 025593 22 224 541165 025836 10 211 535186 012878 23 195 527300 013865 11 175 516479 018707 24 199 529330 002030 12 447 610256 093777 25 226 542053 012723 13 307 572685 037571 ln xi 544402 MR 033712 SOLUÇÃO Um gráfico de probabilidade normal das medidas de resistibilidade é exibido na Figura 622 Esse gráfico foi construído pelo Minitab que ajusta uma reta aos pontos pelo método dos mínimos quadrados que não é o melhor método Fica claro da inspeção do gráfico da probabilidade normal que a hipótese de normalidade para a resistibilidade é no mínimo questionável de modo que seria perigoso aplicarse o gráfico de controle para observações individuais aos dados do processo original A Figura 622 indica que a distribuição da resistibilidade tem uma longa cauda à direita e consequentemente podemos esperar que a transformação logarítmica ou alguma transformação semelhante produza uma distribuição mais próxima da normal O logaritmo natural da resistibilidade é dado na coluna 3 da Tabela 68 e o gráfico da probabilidade normal para o logaritmo natural da resistibilidade é exibido na Figura 623 Claramente a transformação logarítmica resultou em uma nova variável que é mais razoavelmente bem aproximada por uma distribuição normal que as medidas originais de resistibilidade A última coluna da Tabela 68 mostra as amplitudes móveis do logaritmo natural da resistibilidade A Figura 624 apresenta o gráfico das observações individuais e das amplitudes móveis para o logaritmo natural da resistibilidade Note que não há indicação de que o processo esteja fora de controle FIGURA 622 Gráfico da probabilidade normal da resistibilidade FIGURA 623 Gráfico da probabilidade normal de ln resistibilidade FIGURA 624 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para ln resistibilidade Exemplo 66 Mais sobre a Estimação de σ Muitas vezes na prática usamos as amplitudes móveis para estimar σ para o gráfico de controle das observações individuais Lembrese de que as amplitudes móveis são definidas como MRi xi xi1 i 2 3 m Seria mais apropriado designar essa estatística como amplitude móvel de abrangência dois uma vez que o número de observações usado para calcular a amplitude na janela móvel poderia ser aumentado O estimador mais comum é aquele usado no Exemplo 65 baseado na amplitude móvel média MRim 1 e pode ser escrito como em que a constante 08865 é o inverso de d2 para amostras de tamanho dois Para processos sob controle Cryer e Ryan 1990 entre outros salientaram que um estimador mais eficiente é aquele baseado no desviopadrão amostral Ambos os estimadores são não viesados supondo que não haja causas atribuíveis presentes na sequência das m observações individuais Se causas atribuíveis estão presentes então tanto quanto resultam em estimadores viesados do desviopadrão do processo A título de ilustração suponha que na sequência de observações individuais x1x2xtxt1xm o processo esteja sob controle com média µ0 e desviopadrão σ para as primeiras t observações mas que entre xt e xt1 uma causa atribuível tenha ocorrido resultando em um deslocamento na média do processo que se mantém a um novo nível µ µ0 δσ para as próximas observações xt 1 xm Sob essas condições Woodall e Montgomery 20002001 mostram que De fato esse resultado vale para qualquer caso em que a média de t observações é µ0 e a média das observações restantes é µ0 δσ uma vez que a ordem das observações não é relevante para o cálculo de s2 Assim s2 é viesado para cima e consequentemente sc4tenderá a superestimar σ Note que a extensão do viés em depende da magnitude no deslocamento da média δσ o instante do tempo em que ocorre o deslocamento t e o número de observações disponíveis m Agora a amplitude móvel é impactada pelo deslocamento na média durante apenas um período t 1 de modo que o viés em só depende da magnitude do deslocamento e de m Se 1 t m 1 o viés de será sempre menor que o viés de Cruthis e Rigdon 19921993 mostram que a razão pode ser usada para determinar se o processo estava sob controle quando ambas as estimativas foram calculadas Eles usam simulação para obter percentis aproximados da ordem de 90 95 99 e 999 da distribuição de F para tamanhos de amostra m 105100 supondo que o processo está sob controle Como essa é uma distribuição de referência empírica valores observados de F que excedam um desses percentis podem ser uma indicação de que o processo não estava sob controle quando da coleta das m observações Uma maneira de reduzir ou possivelmente eliminar o viés ao se estimar σ quando um deslocamento continuado na média está presente é basear o estimador na mediana das amplitudes móveis de abrangência dois como sugerido por Clifford 1959 e Bryce Gaudard e Joiner 19971998 Esse estimador é em que é a mediana das amplitudes móveis de abrangência dois e 1047 é o inverso da constante de gráficos de controle d4 para subgrupos de tamanho dois definida de tal forma que é a amplitude mediana Uma tabela dos valores d4 é dada em Wadsworth Stephens e Godfrey 2002 Essencialmente somente uma das amplitudes móveis de abrangência dois deve ser afetada pelo deslocamento continuado e essa única e grande amplitude móvel terá pequeno impacto no valor da mediana das amplitudes móveis certamente um impacto bem menor do que ela teria sobre a média das amplitudes móveis A construção de gráficos de controle para observações individuais usando a amplitude móvel mediana para estimar σ é uma das opções do programa Minitab Suponhamos agora que uma causa atribuível afete uma única observação em vez de causar um deslocamento continuado na média Se há apenas uma observação com média µ0 δσ então e essa observação afetará duas das amplitudes móveis de abrangência dois Se houver duas dessas observações que sejam adjacentes então e duas das amplitudes móveis de abrangência dois serão afetadas por essas observações fora de controle Então quando uma causa atribuível afeta uma ou apenas poucas observações adjacentes esperamos que o viés de s2 seja menor do que quando ocorre um deslocamento continuado Entretanto se uma causa atribuível que provoca um deslocamento continuado na média 65 ocorrer muito cedo ou muito tarde na sequência de observações ela terá praticamente o mesmo efeito que uma causa atribuível que afeta uma ou poucas observações adjacentes Alguns autores sugerem que se baseie a estimativa de σ em amplitudes móveis de abrangência maior que dois e alguns programas de computador para gráficos de controle oferecem essa opção É fácil mostrar que isso levará sempre a um potencial aumento no viés da estimativa de σ quando causas atribuíveis estiverem presentes Note que se usarmos uma amplitude móvel de abrangência três e houver uma única observação cuja média é afetada por uma causa atribuível então essa única observação afetará até três das amplitudes móveis Assim uma amplitude móvel de abrangência três resultará em um maior viés na estimativa de σ quando comparamos com a amplitude móvel de abrangência dois Além disso duas amplitudes móveis de abrangência três serão afetadas por um deslocamento continuado Em geral se usamos uma amplitude móvel de abrangência w e uma única observação tem média afetada por uma causa atribuível até w dessas amplitudes móveis serão afetadas por essa observação Também se houver um deslocamento continuado na média até w 1 das amplitudes móveis serão afetadas por esse deslocamento na média Consequentemente aumentar a abrangência de uma amplitude móvel para mais de dois resulta em um aumento no viés na estimativa de σ se houver causas atribuíveis presentes que produzam deslocamentos continuados na média do processo ou que afetem uma única observação ou poucas observações adjacentes De fato Wetherill e Brown 1991 aconselham a plotagem da estimativa de σ versus a abrangência da amplitude móvel usada para obter a estimativa Uma curva abruptamente crescente indica a presença de causas atribuíveis Para mais informação sobre o uso de amplitudes na estimação da variabilidade do processo veja Woodall e Montgomery 20002001 TABELA 69 Fórmulas para Gráficos de Controle Valores de Referência Dados Gráfico Linha Central Limites de Controle µ e σ dados µ µ A σ R σ dado d2σ LSC D2σ LIC D1σ s σ dado c4σ LSC B6σ LIC B5σ TABELA 610 Fórmulas para Gráficos de Controle Limites de Controle Baseados em Dados Passados Nenhum Valor de Referência Dado Gráfico Linha Central Limites de Controle usando R A2 usando s A3S R LSC D4 LIC D3 s LSC B4 LIC B3 Resumo dos Procedimentos para os Gráficos R e s É conveniente resumiremse em um único lugar as fórmulas computacionais para os principais tipos de gráfico de controle para variáveis discutidos neste capítulo A Tabela 69 apresenta as fórmulas para os gráficos R e s quando valores de referência para µ e σ são dados A Tabela 610 fornece o sumário correspondente quando não se dão valores de referência e limites de referência tentativos têm que ser estabelecidos a partir da análise de dados passados As constantes dadas para o gráfico s supõem que n 1 foi usado no denominador de s Todas as constantes estão tabuladas para vários tamanhos de amostra na Tabela VI do Apêndice 66 Aplicações dos Gráficos de Controle para Variáveis Há muitas aplicações interessantes de gráficos de controle para variáveis Nessa seção algumas delas são descritas para dar ao leitor uma perspicácia adicional sobre como os gráficos de controle funcionam assim como ideias para futuras aplicações EXEMPLO 67 O Uso de Gráficos de Controle para Aperfeiçoamento dos Processos de Fornecedores Um grande fabricante aeroespacial compra peças para os seus aviões de dois fornecedores Essas peças frequentemente exibem variabilidade excessiva em uma dimensãochave que torna impossível ajustálas no produto final Esse problema sempre resulta em custos excessivos de retífica e às vezes provoca atrasos na finalização da montagem do avião O grupo que recebe o material realizou uma inspeção de 100 dessas peças em um esforço para melhorar a situação Eles construíram gráficos e R para a dimensão de interesse para ambos fornecedores Eles descobriram que a fração de peças não conformes era praticamente a mesma para os dois fornecedores r razões muito diferentes O fornecedor A produzia peças com dimensão média igual ao valor requerido mas o processo estava fora de controle estatístico O fornecedor B mantinha um bom controle estatístico e em geral produzia peças que exibiam consideravelmente menos variabilidade que as peças produzidas pelo fornecedor A mas seu processo estava centrado tão longe da dimensão nominal requerida que muitas peças saíam das especificações Essa situação convenceu o fabricante a trabalhar junto com os fornecedores persuadindo o fornecedor A a implementar o CEP e a trabalhar continuamente para o aprimoramento e ajudando o fornecedor B a descobrir a razão pela qual seu processo estava incorretamente centrado Descobriuse finalmente que o problema do fabricante B estava em uma codificação errada de uma máquina e o uso do CEP pelo fornecedor A resultou em uma considerável redução na variabilidade ao final de seis meses Como resultado dessas ações o problema com essas peças ficou praticamente eliminado EXEMPLO 68 Usando o CEP para Comprar uma MáquinaOperatriz Um artigo em Manufacturing Engineering Picking a Marvel at Deere Janeiro 1989 pp 7477 descreve como a Companhia John Deere usa o CEP para ajudar na escolha de equipamentos da produção Quando uma máquinaoperatriz é comprada ela tem que passar por uma demonstração de capacidade na companhia antes da expedição para provar que a ferramenta é capaz de atender ou exceder os critérios de desempenho estabelecidos O procedimento foi aplicado a uma serra de fita programável O fornecedor da serra cortou 45 peças que foram analisadas usando gráficos e R para demonstrar controle estatístico e para fornecer a base para a análise da capacidade do processo A serra resultou ser apropriada e o seu fabricante aprendeu muitas coisas úteis sobre o desempenho desse equipamento Testes de controle e capacidade como esse vêm se tornando parte do processo de seleção e aquisição de equipamento em muitas companhias EXEMPLO 69 Implementação do CEP em uma Oficina de Trabalho de Sequência Curta Um dos aspectos mais interessante do CEP é a bemsucedida implementação de gráficos de controle em um ambiente de fabricação em oficinas de trabalho Muitas oficinas de trabalho caracterizamse pelas pequenas sequências de produção e muitas delas produzem peças em sequências de produção de menos de 50 unidades Essa situação pode fazer com que a rotina do uso de gráficos de controle pareça um desafio uma vez que não se produzem unidades suficientes em qualquer lote para produzir os limites de controle Esse problema em geral pode ser facilmente resolvido Como os métodos do controle estatístico de processos são mais frequentemente aplicados a uma característica de um produto podemos estender o CEP ao ambiente das oficinas de trabalho focalizando na característica do processo em cada unidade de produto Para ilustrar considere a operação de uma furadeira em uma oficina de trabalho O operador faz orifícios em cada peça passando pelo centro da máquina Algumas peças requerem um orifício e outras vários orifícios de diferentes diâmetros É quase impossível a construção de gráficos e R para o diâmetro do orifício uma vez que cada peça é potencialmente diferente A abordagem correta é focalizar na característica de interesse no processo Nesse caso o fabricante está interessado em orifícios que tenham o diâmetro correto e assim deseja reduzir ao máximo possível a variabilidade no diâmetro do orifício Isso pode ser levado a cabo construindose o gráfico de controle para o desvio entre o diâmetro efetivo e o diâmetro nominal Dependendo da taxa de produção do processo e da mistura de peças produzidas podemse usar gráficos para observações individuais com um gráfico de controle de amplitudes móveis ou os gráficos convencionais e R Em tais aplicações é muito importante que se marque cuidadosamente o início de cada lote no gráfico de controle de modo que se a mudança do tamanho posição ou número de orifícios feitos em cada peça afeta o processo o padrão resultante nos gráficos de controle será facilmente interpretado EXEMPLO 610 O Uso dos Gráficos e R em Empresas de Transações e Serviços Gráficos de controle para variáveis têm tido aplicação frequente tanto em cenários de manufatura quanto de não manufatura Uma noção bastante difundida mas errada sobre estes gráficos é que eles não podem ser aplicados em ambientes de não manufatura porque o produto é diferente Na verdade se é possível fazeremse medidas no produto que sejam reflexo da qualidade funcionalidade ou desempenho então a natureza do produto não tem relação com a aplicabilidade geral dos gráficos de controle No entanto há duas diferenças frequentemente encontradas entre situações de manufatura e de transações e serviços 1 no ambiente de não manufatura limites de especificação dificilmente se aplicam ao produto de modo que a noção da capacidade do processo é em geral não definida e 2 mais imaginação pode ser necessária para a seleção das variáveis apropriadas para medição Uma aplicação dos gráficos de controle e R em um ambiente de empresa de transação envolveu os esforços de um grupo financeiro para reduzir o tempo necessário para processar suas contas a pagar A divisão da companhia na qual o problema ocorreu tinha vivenciado recentemente um aumento considerável no volume de negócios e junto com esta expansão veio um aumento gradual do tempo que o departamento financeiro precisava para processar as requisições de cheques Como resultado muitos fornecedores estavam sendo pagos depois do prazo normal de 30 dias e a companhia estava deixando de ganhar os descontos oferecidos pelos fornecedores em troca de pagamento pontual A equipe de melhoria da qualidade designada para esse projeto usou o tempo de circulação pelo departamento financeiro como variável para análise dos gráficos de controle Cinco requisições de cheque concluídas foram selecionadas cada dia e a média e a amplitude do tempo de circulação foram plotadas em gráficos e R Embora a gerência e o pessoal operacional já tivessem detectado esse problema anteriormente o uso dos gráficos e R foi responsável por melhorias substanciais Dentro de nove meses o departamento financeiro reduziu a porcentagem de faturas pagas em atraso de mais de 90 para menos de 3 resultando em economia anual de várias centenas de milhares de dólares em descontos ganhos pela companhia EXEMPLO 611 A Necessidade de Cuidados na Seleção de Subgrupos Racionais A Figura 625a mostra uma peça fundida usada em uma turbina do motor a gasolina de aviões Essa peça é típica daquelas produzidas por ambos os processos de usinagem e de fundição para uso em turbinas de motores a gasolina e em unidades de energia auxiliares na indústria aeroespacial partes cilíndricas criadas pela rotação da seção transversal em torno de um eixo central A altura dos estatores nessa peça é uma importante característica da qualidade Dados sobre alturas dos estatores são coletados selecionandose aleatoriamente cinco estatores em cada peça produzida Inicialmente a companhia construiu gráficos e s para esses dados a fim de controlar e melhorar o processo Isso resultou em vários pontos fora de controle no gráfico com um ponto ocasional fora de controle no gráfico s A Figura 626 exibe gráficos e s típicos para 20 peças Uma análise mais cuidadosa do procedimento dos gráficos de controle revelou que o problema principal estava no uso das cinco medidas de uma única peça como subgrupo racional e que as condições fora de controle no gráfico não forneciam uma base válida para ações corretivas Lembrese de que o gráfico de controle lida com a questão de consistência entre a variabilidade entre amostras e a variabilidade dentro da amostra Nesse caso isso não acontecia os estatores em uma única peça são gerados conjuntamente em uma montagem de molde de cera É provável que as alturas dos estatores em uma peça específica sejam bem semelhantes e é razoável supor que haja maior variação na altura média dos estatores entre as peças Tal situação foi tratada usandose o gráfico s na maneira usual para medir a variação na altura do estator No entanto como esse desviopadrão é certamente muito pequeno para fornecer uma base válida para o controle de o engenheiro da qualidade decidiu considerar como medida individual a altura média em cada montagem e controlar a altura média dos estatores usando o gráfico de controle para observações individuais com o gráfico de amplitudes móveis Essa solução funcionou muito bem na prática e o conjunto dos três gráficos de controle forneceu uma excelente base para a melhoria do processo FIGURA 625 Uma peça fundida aeroespacial FIGURA 626 Gráficos de controle e s típicos do Minitab para as alturas dos estatores da peça da Figura 625 A Figura 627 mostra esse conjunto de três gráficos de controle gerados pelo Minitab O pacote Minitab gera esses gráficos automaticamente referindose a eles como gráficos de controle entredentro betweenwithin Note que o gráfico das observações individuais exibe controle enquanto o gráfico da Figura 626 não Essencialmente a amplitude móvel das alturas médias dos estatores fornece uma estimativa muito mais razoável da variabilidade da altura entre peças O gráfico s pode ser visto como uma medida de variabilidade na altura dos estatores em uma única peça Queremos que essa variabilidade seja tão pequena quanto possível de modo que todos os estatores em uma mesma peça sejam praticamente idênticos O artigo de Woodall e Thomas 1995 é uma boa referência nesse assunto FIGURA 627 Gráficos de controle para observações individuais amplitude móvel e s para as alturas dos estatores da peça na Figura 625 Situações como as descritas no Exemplo 611 ocorrem frequentemente na aplicação dos gráficos de controle Por exemplo há muitos problemas similares na indústria de semicondutores Em tais casos é importante estudarse cuidadosamente o comportamento das variáveis sendo medidas e ter uma compreensão clara do propósito dos gráficos de controle A título de ilustração se as variações nas alturas dos estatores em peças específicas fossem totalmente não relacionadas usarse a altura média como medida individual poderia ser muito inapropriado Seria necessário 1 usar um gráfico de controle para cada estator individual incluído na amostra 2 investigar o uso da técnica de gráfico de controle para processos de fluxo múltiplo ou 3 usar alguma técnica multivariada de gráfico de controle Algumas dessas possibilidades serão discutidas na Parte IV deste texto Termos e Conceitos Importantes Capacidade do processo Comprimento médio da sequência Curva característica de operação CO para o gráfico de controle Diagrama em fila ou diagrama de tolerância Fase I no uso de gráficos de controle Fase II no uso de gráficos de controle Gráfico de controle Gráfico de controle da amplitude móvel Gráfico de controle para observações individuais Gráfico de controle R Gráfico de controle s Gráfico de controle s2 Gráficos de controle de Shewhart 61 a b 62 a b 63 64 65 a Gráficos de controle para variáveis Interpretação de gráficos de controle Limites de controle Limites de controle tentativos Limites de controle três sigmas Limites de especificação Limites de probabilidade para gráficos de controle Limites de tolerância naturais de um processo Normalidade e gráficos de controle Padrões em gráficos de controle Razão da capacidade do processo RCP Cp Subgrupos racionais Tamanho variável de amostra em gráficos de controle Exercícios Um fabricante de componentes para transmissões de automóveis deseja usar gráficos de controle para monitorar um processo que produz uma haste Os dados resultantes de 20 amostras de 4 diâmetros que foram medidos são Ache os limites de controle que devem ser usados nos gráficos de controle e R Suponha que as 20 amostras preliminares se mostrem sob controle em ambos os gráficos Estime a média e o desviopadrão do processo Uma companhia que manufatura lacres para óleo deseja estabelecer gráficos de controle e R para o processo Há 25 amostras preliminares de tamanho 5 dos diâmetros internos dos lacres Os dados resumo em mm são os seguintes Ache os limites de controle que devem ser usados nos gráficos de controle e R Suponha que as 25 amostras preliminares se mostrem sob controle em ambos os gráficos Estime a média e o desviopadrão do processo Reconsidere a situação descrita no Exercício 61 Suponha que várias de 20 amostras preliminares se mostrem fora de controle no gráfico R Isso tem algum impacto na confiabilidade dos limites de controle no gráfico Discuta por que é importante estabelecerse o controle no gráfico de controle R primeiro ao se usarem gráficos de controle e R para levar um processo para o estado de controle Um departamento de emergência de um hospital está monitorando o tempo necessário para a admissão de um paciente usando gráficos e R A Tabela 6E1 apresenta dados resumo para 20 subgrupos de dois pacientes cada tempo em minutos Use esses dados para determinar os limites de controle para os gráficos de controle e R para esse processo de admissão de pacientes TABELA 6E1 Dados sobre Tempo de Admissão em Hospital para o Exercício 65 Subgrupo R Subgrupo R b 66 a b c 67 1 83 2 11 88 3 2 81 3 12 91 5 3 79 1 13 59 3 4 63 5 14 90 6 5 85 3 15 64 3 6 75 4 16 73 3 7 80 3 17 53 2 8 74 2 18 76 4 9 64 2 19 81 3 10 75 4 20 80 2 Plote os dados preliminares das 20 primeiras amostras nos gráficos de controle estabelecidos na parte a Esse processo está sob controle estatístico Os componentes usados em um telefone celular são manufaturados com dimensões nominais de 003 mm e limites de especificação inferior e superior de 0295 mm e 0305 mm respectivamente Os gráficos de controle para esse processo se baseiam em subgrupos de tamanho 3 e eles mostram controle estatístico com a linha central no gráfico em 03015 mm e a linha central no gráfico R em 000154 mm Estime a média e o desviopadrão desse processo Suponha que peças abaixo dos limites inferiores de especificação podem ser retrabalhadas mas peças acima do limite superior de especificação devem ser descartadas Estime as proporções de descarte e retrabalho produzidas por esse processo Suponha que a média desse processo possa ser recomposta por ajustes bastante simples Qual valor você recomendaria para a média do processo Estime as proporções de descarte e retrabalho produzidas pelo processo com essa nova média Os dados exibidos na Tabela 6E2 são valores de e R para 24 amostras de tamanho n 5 tiradas de um processo que produz mancais As medidas são feitas no diâmetro interno dos mancais registrandose apenas as três últimas casas decimais isto é 345 representa 050345 TABELA 6E2 Dados sobre Diâmetro de Mancais Número da Amostra R Número da Amostra R 1 345 3 13 354 8 2 342 4 14 340 6 3 316 4 15 371 5 4 315 4 16 349 7 5 350 5 17 335 4 6 341 6 18 317 3 7 326 4 19 340 8 a b 68 a b c 8 338 3 20 351 4 9 348 7 21 337 2 10 336 8 22 328 1 11 319 3 23 335 3 12 386 9 24 342 2 Construa gráficos e R para esse processo O processo parece estar sob controle estatístico Se necessário revise os limites de controle tentativos Se as especificações para o diâmetro são 05030 00010 ache a porcentagem de mancais não conformes produzidos por esse processo Suponha que o diâmetro seja normalmente distribuído Uma fonte de energia de alta voltagem deve ter uma voltagem nominal de saída de 350 V Uma amostra de quatro unidades é selecionada todo dia e testada com o propósito de controle do processo Os dados na Tabela 6E3 mostram a diferença multiplicada por 10 entre a leitura observada em cada unidade e a voltagem nominal isto é xi voltagem observada na unidade i 35010 Construa gráficos de controle e R para esse processo O processo está sob controle estatístico Se as especificações são 350 V 5 V o que você pode dizer sobre a capacidade do processo Há alguma evidência que suporte a afirmação de que a voltagem seja normalmente distribuída TABELA 6E3 Dados de Voltagem para o Exercício 68 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 1 6 9 10 15 2 10 4 6 11 3 7 8 10 5 4 8 9 6 13 5 9 10 7 13 6 12 11 10 10 7 16 10 8 9 8 7 5 10 4 9 9 7 8 12 10 15 16 10 13 11 8 12 14 16 12 6 13 9 11 13 16 9 13 15 14 7 13 10 12 15 11 7 10 16 69 a b c 16 15 10 11 14 17 9 8 12 10 18 15 7 10 11 19 8 6 9 12 20 13 14 11 15 Os dados exibidos na Tabela 6E4 são desvios em relação ao diâmetro nominal de orifícios feitos em um material composto de fibra de carbono usado na fabricação de aviões Os valores relatados são desvios em relação ao valor nominal em décimos de milhares de uma polegada Construa gráficos de controle e R para esse processo O processo está sob controle estatístico Estime o desviopadrão do processo usando o método da amplitude Se as especificações estão em nominal 100 o que você pode dizer sobre a capacidade do processo Calcule a RCP Cp TABELA 6E4 Dados do Diâmetro de Orifícios para o Exercício 69 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 1 30 50 20 10 30 2 0 50 60 20 30 3 50 10 20 30 20 4 10 10 30 20 50 5 20 40 50 20 10 6 0 0 40 40 20 7 0 0 20 20 10 8 70 30 30 10 0 9 0 0 20 20 10 10 10 20 30 10 50 11 40 0 20 0 20 12 30 20 30 10 40 13 30 30 0 10 10 14 30 10 50 10 30 15 10 10 50 40 0 16 0 0 30 10 0 17 20 20 30 30 20 18 10 20 50 30 10 610 19 50 10 40 20 0 20 50 0 0 30 10 A espessura de uma placa de circuito impresso é um parâmetro importante da qualidade Dados sobre a espessura em polegadas in são dados na Tabela 6E5 para 25 amostras de três placas cada TABELA 6E5 Espessura de Placa de Circuito Impresso para o Exercício 610 Número da Amostra x1 x2 x3 1 00629 00636 00640 2 00630 00631 00622 3 00628 00631 00633 4 00634 00630 00631 5 00619 00628 00630 6 00613 00629 00634 7 00630 00639 00625 8 00628 00627 00622 9 00623 00626 00633 10 00631 00631 00633 11 00635 00630 00638 12 00623 00630 00630 13 00635 00631 00630 14 00645 00640 00631 15 00619 00644 00632 16 00631 00627 00630 17 00616 00623 00631 18 00630 00630 00626 19 00636 00631 00629 20 00640 00635 00629 21 00628 00625 00616 22 00615 00625 00619 23 00630 00632 00630 24 00635 00629 00635 a b c d 611 a b c 612 25 00623 00629 00630 Construa gráficos de controle e R para esse processo O processo está sob controle estatístico Estime o desviopadrão do processo Quais limites você esperaria que contivessem aproximadamente todas as medidas do processo Se as especificações são 00630 in 00015 in 016002 cm 000381 cm qual é o valor da RCP Cp O volume de preenchimento de garrafas de refrigerante é uma importante característica da qualidade O volume é medido aproximadamente colocandose um gabarito no topo e comparandose a altura do líquido no gargalo da garrafa com uma escala codificada Nessa escala uma leitura de zero corresponde à altura correta de preenchimento Quinze amostras de tamanho n 10 são analisadas e as alturas de preenchimento são exibidas na Tabela 6E6 Construa gráficos e s para esse processo O processo parece estar sob controle estatístico Se necessário revise os limites de controle tentativos Construa o gráfico R e compareo com o gráfico s da parte a Construa o gráfico s2 e compareo com o gráfico s da parte a TABELA 6E6 Dados da Altura de Preenchimento para o Exercício 611 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 1 25 05 20 10 10 10 05 15 05 15 2 00 00 05 10 15 10 10 10 15 10 3 15 10 10 10 00 15 10 10 10 10 4 00 05 20 00 10 15 15 00 20 15 5 00 00 00 05 05 10 05 05 00 00 6 10 05 00 00 00 05 10 10 20 10 7 10 10 10 10 00 15 00 10 00 00 8 00 15 05 15 00 00 00 10 05 05 9 20 15 15 15 00 00 05 10 00 10 10 05 35 00 10 15 15 10 10 10 05 11 00 15 00 00 20 15 05 05 20 10 12 00 20 05 00 05 20 15 00 05 10 13 10 05 05 10 00 05 05 15 10 10 14 05 10 10 05 20 10 15 00 15 15 15 10 00 15 15 10 10 00 10 20 15 O peso líquido em onças oz de um alvejante em pó deve ser monitorado pelos gráficos de controle e R usando amostras de tamanho n 5 Dados para 20 amostras preliminares são mostrados na Tabela 6E7 a b c d e 613 614 615 a Construa gráficos de controle e R usando esses dados O processo está sob controle estatístico Estime a média e o desviopadrão do processo O peso de enchimento parece seguir uma distribuição normal Se as especificações são 162 05 quais as suas conclusões sobre a capacidade do processo TABELA 6E7 Dados para o Exercício 612 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 1 158 163 162 161 166 2 163 159 159 162 164 3 161 162 165 164 163 4 163 162 159 164 162 5 161 161 164 165 160 6 161 158 167 166 164 7 161 163 165 161 165 8 162 161 162 161 163 9 163 162 164 163 165 10 166 163 164 161 165 11 162 164 159 163 164 12 159 166 167 162 165 13 164 161 166 164 161 14 165 163 162 163 164 15 164 161 163 162 162 16 160 162 163 163 162 17 164 162 164 163 162 18 160 162 164 165 161 19 164 160 163 164 164 20 164 164 165 160 158 Que fração de recipientes produzidos por esse processo estará provavelmente abaixo do limite inferior de especificação de 157 oz 464304 ml Refaça o Exercício 68 usando o gráfico s Refaça o Exercício 69 usando o gráfico s Considere os dados de anéis de pistão mostrados na Tabela 63 Suponha que as especificações sobre esse componente sejam 74000 005 mm Estabeleça os gráficos de controle e R para esse processo O processo está sob controle estatístico b c 616 617 618 Note que os limites de controle no gráfico na parte a são idênticos aos limites de controle no gráfico do Exemplo 63 em que os limites se baseavam em s Isso acontecerá sempre Estime a capacidade do processo para o processo dos anéis de pistão Estime a porcentagem de anéis de pistão produzidos que ficará fora dos limites de especificação A Tabela 6E8 mostra 15 amostras adicionais para o processo de anéis de pistão Tabela 63 extraídas depois que os gráficos de controle iniciais foram estabelecidos Marque esses dados nos gráficos e R no Exercício 615 O processo está sob controle Gráficos de controle e s devem ser mantidos para as leituras de torque do rolamento usado na montagem do atuador de flap da asa Amostras de tamanho n 10 devem ser usadas e sabemos de experiência passada que quando o processo está sob controle o torque do rolamento tem distribuição normal com média µ 80 polegadas libra 9038784 Ncm e desviopadrão σ 10 polegadaslibra 1129848 Ncm Ache a linha central e os limites de controle para esses gráficos de controle TABELA 6E8 Dados sobre Diâmetros de Anéis de Pistão para o Exercício 616 Número da Amostra Observações Ri 26 74012 74015 74030 73986 74000 74009 0044 27 73995 74010 73990 74015 74001 74002 0025 28 73987 73999 73985 74000 73990 73992 0015 29 74008 74010 74003 73991 74006 74004 0019 30 74003 74000 74001 73986 73997 73997 0017 31 73994 74003 74015 74020 74004 74007 0026 32 74008 74002 74018 73995 74005 74006 0023 33 74001 74004 73990 73996 73998 73998 0014 34 74015 74000 74016 74025 74000 74011 0025 35 74030 74005 74000 74016 74012 74013 0030 36 74001 73990 73995 74010 74024 74004 0034 37 74015 74020 74024 74005 74019 74017 0019 38 74035 74010 74012 74015 74026 74020 0025 39 74017 74013 74036 74025 74026 74023 0023 40 74010 74005 74029 74000 74020 74013 0029 Amostras de n 6 itens são retiradas de um processo a intervalos regulares Uma característica da qualidade é medida e valores de e R são calculados para cada amostra Depois de 50 amostras obtivemos a b c d e 619 a b c d e 620 a b Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída Calcule os limites de controle para os gráficos de controle e R Todos os pontos em ambos os gráficos de controle ficam entre os limites de controle calculados em a Quais são os limites naturais de tolerância do processo Se os limites de especificação são 41 50 quais são as suas conclusões com relação à habilidade do processo em produzir itens dentro dessas especificações Supondo que se um item excede o limite superior de especificação ele pode ser retrabalhado e se ele está abaixo do limite inferior de especificação ele tem que ser sucateado qual a porcentagem de sucata e retrabalho que o processo está produzindo Faça sugestões de como melhorar o desempenho do processo Amostras de n 4 itens são retiradas de um processo a intervalos regulares Uma característica da qualidade normalmente distribuída é medida e valores de e s são calculados para cada amostra Depois de 50 subgrupos serem analisados obtémse Calcule os limites de controle para os gráficos de controle e s Suponha que todos os pontos em ambos os gráficos de controle fiquem entre os limites de controle Quais são os limites naturais de tolerância do processo Se os limites de especificação são 19 40 quais são as suas conclusões com relação à habilidade do processo em produzir itens de acordo com essas especificações Supondo que se um item excede o limite superior de especificação ele pode ser retrabalhado e se ele está abaixo do limite inferior de especificação ele tem que ser sucateado qual a porcentagem de sucata e retrabalho que o processo está produzindo Se o processo estivesse centrado em µ 190 qual seria o efeito sobre as porcentagens de sucata e retrabalho A Tabela 6E9 apresenta 20 subgrupos de cinco medidas de uma dimensão crítica de uma peça produzida por um processo de usinagem Construa gráficos de controle e R para esse processo Verifique se o processo está sob controle estatístico Em seguida à construção dos gráficos de controle da parte a 10 novas amostras na Tabela 6E10 foram coletadas Grafe os valores de e R no gráfico de controle da parte a e apresente suas conclusões TABELA 6E9 Dados para o Exercício 620 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 R 1 1381 1108 1387 1374 1254 1301 279 2 1493 1421 1050 1340 923 1245 570 3 1159 1356 1242 1550 1174 1296 391 4 1185 1165 1302 1226 1002 1176 300 5 1082 1238 1171 1424 1509 1285 427 6 1028 1120 1350 1350 1458 1261 430 7 1204 843 1128 1185 1193 1110 361 8 1327 1511 1240 1239 1051 1274 460 c 621 9 1364 1262 1547 1271 1732 1435 469 10 1350 1154 1491 1383 1304 1336 337 11 1396 1279 1511 1437 1105 1346 406 12 1253 1602 1304 1524 1651 1467 398 13 1457 1018 1495 1133 1518 1324 500 14 1386 1390 1319 1402 1411 1381 92 15 1101 1146 1651 1138 1396 1287 548 16 1452 1010 1546 1202 1173 1276 533 17 1259 1353 1215 1479 1050 1271 429 18 1297 973 1305 1090 1505 1234 532 19 1234 1500 1616 1484 1542 1475 383 20 1448 1383 1196 1518 1427 1394 322 TABELA 6E10 Dados Adicionais para o Exercício 620 parte b Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 R 1 1310 1848 1822 1433 2128 1708 818 2 1813 1932 1807 1691 1743 1797 240 3 1548 1702 1684 2027 1744 1741 480 4 1575 1542 1691 1422 1619 1570 269 5 2163 1743 1662 1555 1843 1793 608 6 1869 1802 1492 1752 1850 1753 378 7 1678 1439 1575 1718 1949 1672 510 8 1782 1867 1424 1594 1676 1669 442 9 1626 1436 1328 1689 1772 1570 445 10 1721 1917 2034 1504 1963 1828 530 Suponha que uma causa atribuível responsável pela ação de alertas gerados na parte b tenha sido identificada e ajustes tenham sido feitos no processo para corrigir seu desempenho Grafe os valores de e R dos novos subgrupos mostrados na Tabela 6E11 que foram obtidos após o ajuste contra os limites do gráfico de controle obtidos na parte a Quais são as suas conclusões Peças manufaturadas por um processo de moldagem por injeção são submetidas a um teste de força de compressão Vinte amostras de cinco peças cada são coletadas e as forças de compressão em psi são mostradas na Tabela 6E12 a b 622 a Construa gráficos de controle e R para a força de compressão usando esses dados O processo está sob controle estatístico Em seguida à construção dos gráficos de controle da parte a 15 novos subgrupos foram coletados e as forças de compressão são mostradas na Tabela 6E13 Grafe os valores de e R no gráfico de controle da parte a e apresente suas conclusões Reconsidere os dados apresentados no Exercício 621 Refaça as partes a e b do Exercício 621 usando gráficos e s TABELA 6E11 Novos Dados para o Exercício 620 parte c Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 R 1 1315 1431 1185 1032 1216 1236 398 2 1110 1273 1104 910 1439 1167 528 3 1298 983 1340 1051 1331 1201 357 4 1452 1328 1061 1310 992 1228 460 5 1146 1110 1088 1775 1216 1267 687 6 1252 864 644 1371 1175 1061 726 7 1459 1095 849 1298 1106 1161 610 8 1236 1140 1354 832 1076 1128 522 9 858 1563 1197 962 1530 1222 706 10 1074 1487 1274 1250 1275 1272 413 TABELA 6E12 Dados sobre Força para o Exercício 621 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 R 1 830 812 787 757 770 791 73 2 886 783 788 710 842 802 176 3 857 758 843 752 810 804 104 4 808 744 825 741 757 775 84 5 834 784 826 782 789 803 52 6 753 799 873 897 818 828 145 7 745 780 808 734 797 773 74 8 792 844 815 860 745 811 114 9 805 862 762 641 802 814 99 10 757 752 711 821 743 757 109 11 800 815 784 738 781 784 77 12 806 818 793 738 817 794 80 13 827 813 791 820 795 809 36 14 792 749 786 777 753 771 43 15 855 821 828 734 717 791 138 16 788 796 802 791 808 797 20 17 821 782 755 782 821 792 66 18 845 769 835 812 792 811 76 19 790 778 812 844 816 808 66 20 845 731 786 787 806 791 114 TABELA 6E13 Novos Dados para o Exercício 621 parte b Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 R 1 689 815 782 808 815 782 126 2 698 686 804 843 839 774 157 3 785 852 784 803 817 808 68 4 769 861 869 944 839 856 175 5 936 816 878 796 710 827 225 6 655 868 724 826 714 759 213 7 781 657 837 937 934 829 279 8 749 726 816 872 727 778 146 9 781 771 670 757 768 749 110 10 787 854 777 907 767 819 140 11 850 602 685 711 824 734 249 12 864 792 798 860 754 813 109 13 785 990 783 714 818 817 276 14 688 620 820 775 761 733 199 15 830 837 731 822 953 835 222 b 623 a b c d 624 625 a b c d 626 a b c 627 a b c O gráfico s detecta o deslocamento na variabilidade do processo mais rapidamente que o gráfico R na parte b do Exercício 621 Considere os gráficos e R construídos no Exercício 67 usando n 5 Suponha que você queira continuar plotando essa característica da qualidade usando gráficos e R baseados em um tamanho de amostra n 3 Quais limites deveriam ser usados nesses gráficos Qual seria o impacto da decisão tomada em a sobre a habilidade do gráfico em detectar um deslocamento de 2σ na média Suponha que você queira continuar plotando essa característica da qualidade usando gráficos e R baseados em um tamanho de amostra n 8 Quais limites deveriam ser usados nesses gráficos Qual seria o impacto de se usar n 8 sobre a habilidade do gráfico em detectar um deslocamento de 2σ na média Considere os gráficos e R estabelecidos no Exercício 615 para o processo dos anéis de pistão Suponha que você deseje continuar o gráfico de controle para os anéis de pistão usando n 3 Quais limites deveriam ser usados nos gráficos e R Gráficos de controle e R são mantidos para uma importante característica da qualidade O tamanho da amostra é n 7 e R são calculados para cada amostra Depois de 35 amostras obtivemos Construa os gráficos e R usando esses dados Supondo que ambos os gráficos exibam controle estime a média e o desviopadrão do processo Se a característica da qualidade é normalmente distribuída e se as especificações são 220 35 o processo pode atender essas especificações Estime a fração de não conformes Supondo que a variância permaneça constante estabeleça onde deveria estar a média do processo de modo a minimizar a fração de não conformes Qual seria o valor da fração de não conformes sob essas condições Amostras de tamanho n 5 são tiradas de um processo de manufatura a cada hora Uma característica da qualidade é medida e valores de e R são calculados para cada amostra Depois da análise de 25 amostras obtémse A característica da qualidade é normalmente distribuída Ache os limites de controle para os gráficos e R Suponha que ambos os gráficos exibam controle Se as especificações são 2640 050 estime a fração de não conformes Se a média do processo fosse 2640 qual seria a fração de não conformes Amostras de tamanho n 5 são tiradas de um processo de manufatura a cada meia hora Depois de 50 amostras terem sido coletadas obtémse que 200 e s 15 Suponha que ambos os gráficos exibam controle e que a característica da qualidade seja normalmente distribuída Estime o desviopadrão do processo Ache os limites de controle para os gráficos e s Se a média do processo se desloca para 22 qual é a probabilidade de concluirmos que o processo ainda esteja sob controle 628 a b c d 629 a b c d 630 631 632 a b c 633 a b c d 634 a b c d Mantêmse gráficos de controle e R para um processo Depois de avaliados 20 subgrupos preliminares cada um de tamanho 3 obtêmse os seguintes dados Estabeleça os gráficos de controle usando esses dados Suponha que o processo mostre controle estatístico Estime a média e o desviopadrão do processo Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída com especificações em 275 6 Estime a fração de não conformes produzida por esse processo Quanta redução na variabilidade do processo seria necessária para tornálo um processo Seis Sigmas Mantêmse gráficos de controle e s para um processo Depois de analisados 25 subgrupos preliminares cada um de tamanho 3 obtêmse os seguintes dados Estabeleça os gráficos de controle usando esses dados Suponha que o processo exiba controle estatístico Estime a média e o desviopadrão do processo Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída com especificações em 225 4 Estime a fração de não conformes produzida por esse processo Quanta redução na variabilidade do processo seria necessária para tornálo um processo Seis Sigmas Um gráfico é usado para controlar a média de uma característica da qualidade normalmente distribuída Sabese que σ 60 e n 4 A linha central é LC 200 LSC 209 e LIC 191 Se a média do processo se desloca para 188 ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra subsequente Uma dimensão crítica de uma peça forjada tem especificações 100 10 Análises de gráficos de controle indicam que o processo está sob controle com 104 e 930 Esses gráficos usam amostras de tamanho n 5 Supondo que a característica seja normalmente distribuída pode a média ser fixada através de um ajuste na posição da ferramenta de tal forma que toda a saída atenda as especificações Qual é a capacidade atual do processo Um processo está para ser monitorado com valores de referência µ 10 e σ 25 O tamanho da amostra é n 2 Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico R Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico s Amostras de n 5 unidades são tiradas de um processo a cada hora Os valores de e para uma determinada característica da qualidade são calculados Depois de 25 amostras serem coletadas obtivemos que 20 e 456 Quais são os limites três sigmas para e R Ambos os gráficos exibem controle Estime o desviopadrão do processo Suponha que a saída do processo seja normalmente distribuída Se as especificações são 19 5 quais são as suas conclusões com respeito à capacidade do processo Se a média do processo se desloca para 24 qual é a probabilidade de não se detectar esse deslocamento na primeira amostra subsequente Uma camada de TiW é depositada em um substrato por uma ferramenta espalhadeira A Tabela 6E14 contém medidas da espessura em angstroms para 20 subgrupos de quatro substratos Estabeleça os gráficos de controle e R para esse processo O processo está sob controle Revise os limites de controle conforme necessário Estime a média e o desviopadrão do processo A espessura da camada é normalmente distribuída Se as especificações forem 450 30 estime a capacidade do processo 635 TABELA 6E14 Dados sobre a Espessura da Camada para o Exercício 634 Subgrupo x1 x2 x3 x4 1 459 449 435 450 2 443 440 442 442 3 457 444 449 444 4 469 463 453 438 5 443 457 445 454 6 444 456 456 457 7 445 449 450 445 8 446 455 449 452 9 444 452 457 440 10 432 463 463 443 11 445 452 453 438 12 456 457 436 457 13 459 445 441 447 14 441 465 438 450 15 460 453 457 438 16 453 444 451 435 17 451 460 450 457 18 422 431 437 429 19 444 446 448 467 20 450 450 454 454 Continuação do Exercício 634 A Tabela 6E15 contém 10 novos subgrupos de dados da espessura Plote esses dados nos gráficos de controle construídos no exercício 626 a O processo está sob controle estatístico TABELA 6E15 Dados Adicionais sobre a Espessura para o Exercício 635 Subgrupo x1 x2 x3 x4 21 454 449 443 461 22 449 441 444 455 23 442 442 442 450 24 443 452 438 430 636 637 638 a b c 25 446 459 457 457 26 454 448 445 462 27 458 449 453 438 28 450 449 445 451 29 443 440 443 451 30 457 450 452 437 Continuação do Exercício 634 Suponha que logo em seguida à construção dos gráficos de controle e R no Exercício 634 os engenheiros do processo tenham decidido mudar o tamanho do subgrupo para n 2 A Tabela 6E16 contém 10 novos subgrupos de dados sobre a espessura Plote esses dados nos gráficos de controle do Exercício 634 a com base no novo tamanho dos subgrupos O processo está sob controle estatístico TABELA 6E16 Dados Adicionais sobre a Espessura para o Exercício 636 Subgrupo x1 x2 21 454 449 22 449 441 23 442 442 24 443 452 25 446 459 26 454 448 27 458 449 28 450 449 29 443 440 30 457 450 Refaça os Exercícios 634 e 635 usando os gráficos de controle e s Gráficos de controle e R devem ser mantidos para controlar a força de resistência de uma peça metálica Suponha que a força de resistência seja normalmente distribuída Trinta amostras de tamanho n 6 são coletadas durante um período com os seguintes resultados Calcule os limites para os gráficos e R Ambos os gráficos exibem controle As especificações para a força de resistência são 200 5 Quais são as suas conclusões sobre a capacidade do processo Para o gráfico acima ache o risco β quando a verdadeira média do processo é 199 639 640 a b c d e 641 a b 642 Um gráfico tem linha central de 100 usa os limites de controle três sigmas e está baseado em amostras de tamanho quatro O desviopadrão do processo é conhecido e vale seis Se a média do processo se deslocar de 100 para 92 qual é a probabilidade de se detectar esse deslocamento na primeira amostra subsequente ao deslocamento Os dados na Tabela 6E17 foram coletados de um processo de manufatura de fontes de energia A variável de interesse é a voltagem de saída e n 5 Calcule a linha central e os limites de controle adequados para controlar a produção futura Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída Estime o desviopadrão do processo Quais são os aparentes limites naturais de tolerância três sigmas do processo Qual seria sua estimativa da fração de não conformes do processo se as especificações para essa característica fossem 103 4 Quais abordagens você sugeriria para reduzir a fração de não conformes TABELA 6E17 Dados de Voltagem para o Exercício 640 Número da Amostra R Número da Amostra R 1 103 4 11 105 4 2 102 5 12 103 2 3 104 2 13 102 3 4 105 11 14 105 4 5 104 4 15 104 5 6 106 3 16 105 3 7 102 7 17 106 5 8 105 2 18 102 2 9 106 4 19 105 4 10 104 3 20 103 2 Gráficos de controle e R para amostras de tamanho n 5 devem ser mantidos para a força de resistência em libras de um fio Para começar os gráficos 30 amostras foram selecionadas e a média e a amplitude de cada uma calculadas Isso resultou em Calcule a linha central e os limites de controle para os gráficos de controle e R Suponha que ambos os gráficos exibam controle Há um único limite inferior de especificação de 16 libras Se a resistência é normalmente distribuída qual é a fração de fios que não atenderão essa especificação Especificações para um acendedor de charutos são 03220 e 03200 polegada Amostras de tamanho cinco são tiradas a cada 45 minutos com os resultados exibidos na Tabela 6E18 apresentados como desvios em relação a 03210 de 00001 polegada TABELA 6E18 Dados para o Exercício 642 a b c d 643 a Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 1 1 9 6 9 6 2 9 4 3 0 3 3 0 9 0 3 2 4 1 1 0 2 1 5 3 0 1 0 4 6 7 2 0 0 2 7 3 1 1 0 2 8 0 2 3 3 2 9 2 0 1 3 1 10 0 2 1 1 2 11 3 2 1 1 2 12 16 2 0 4 1 13 6 3 0 0 8 14 3 5 5 0 5 15 1 1 1 2 1 Estabeleça o gráfico R e examine o processo com relação ao controle estatístico Quais parâmetros deveriam ser recomendados para um gráfico R de controle online Estime o desviopadrão do processo Qual é a capacidade do processo Continuação do Exercício 642 Reconsidere os dados do Exercício 642 e construa os gráficos e R com limites de controle tentativos apropriados Faça as revisões necessárias nesses limites tentativos de modo a produzir um conjunto de gráficos de controle para o monitoramento da produção futura Suponha que novos dados exibidos na Tabela 6E19 tenham sido obtidos Grafe essas novas observações no gráfico de controle Quais são as suas conclusões sobre a estabilidade do processo TABELA 6E19 Novos Dados para o Exercício 643 Número da Amostra x1 x2 x3 x4 x5 16 2 10 9 6 5 17 1 9 5 9 4 18 0 9 8 2 5 19 3 0 5 1 4 20 2 10 9 3 1 b 644 a b 645 a b c d 646 a b 21 5 4 0 6 1 22 0 2 5 4 6 23 10 0 3 1 5 24 1 2 5 6 3 25 0 1 2 5 2 Use todas as 25 observações para revisar os limites de controle para os gráficos e R Quais são as suas conclusões agora sobre o processo Duas peças são montadas conforme exibido na Figura 628 Suponha que as dimensões x e y sejam normalmente distribuídas com médias µx e µy e desviospadrão σx e σy respectivamente As peças são produzidas em máquinas diferentes e são montadas aleatoriamente Gráficos de controle devem ser mantidos sobre cada dimensão para a amplitude de cada amostra n 5 Ambos os gráficos da amplitude estão sob controle Para 20 amostras no gráfico da amplitude controlando x e 10 amostras no gráfico da amplitude controlando y teremos que Estime σx e σy Se a probabilidade de uma folga isto é x y menor que 009 for 0006 que distância entre as dimensões médias isto é µx µy deverá ser especificada FIGURA 628 Peças para o Exercício 644 Gráficos de controle para e R são mantidos sobre a força de resistência de um ferrolho metálico Depois da análise de 30 amostras de tamanho n 6 obtémse que Calcule os limites de controle para o gráfico R Supondo que o gráfico R exiba controle estime os parâmetros µ e σ Se a saída do processo for normalmente distribuída e se as especificações forem 440 40 o processo poderá atender tais especificações Estime a fração de não conformes Se a variância permanecer constante onde deve ser fixada a média de modo a minimizar a fração de não conformes Gráficos de controle e s são mantidos para uma característica da qualidade O tamanho da amostra é n 4 Depois de 30 amostras obtivemos que Ache os limites três sigmas para o gráfico s Supondo que ambos os gráficos exibam controle estime os parâmetros µ e σ 647 a b 648 649 650 651 a b 652 a b Um gráfico para uma característica da qualidade normalmente distribuída deve ser construído com valores de referência µ 100 σ 8 e n 4 Determine o seguinte Os limites de controle dois sigmas Os limites de probabilidade 0005 Um gráfico com limites três sigmas tem os seguintes parâmetros LSC 104 Linha central 100 LIC 96 n 5 Suponha que a característica da qualidade do processo sendo controlada seja normalmente distribuída com média verdadeira 98 e um desviopadrão de 8 Qual é a probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle pelo menos no terceiro ponto plotado Considere o gráfico definido no Exercício 648 Calcule o CMS1 para esse gráfico Gráficos de controle para e s com n 4 são mantidos para uma característica da qualidade Os parâmetros desses gráficos são os seguintes Gráfico Gráfico s LSC 20188 LSC 2266 Linha central 20000 Linha central 1000 LIC 19812 LIC 0 Ambos os gráficos exibem controle As especificações para a característica da qualidade são 19750 e 20250 O que se pode dizer sobre a habilidade do processo em produzir saída de acordo com as especificações O monitoramento estatístico de uma característica da qualidade usa ambos os gráficos e s Os gráficos são baseados em valores de referência µ 200 e σ 10 com n 4 Calcule os limites três sigmas para o gráfico s Ache a linha central e os limites de controle para o gráfico de modo que a probabilidade do erro tipo I seja 005 As especificações para uma dimensão normalmente distribuída são 600 20 Gráficos e R são mantidos para essa dimensão e têm estado sob controle durante um longo período de tempo Os parâmetros desses gráficos de controle são os seguintes n 9 Gráfico Gráfico s LSC 616 LSC 3236 Linha central 610 Linha central 1782 LIC 604 LIC 328 Quais são as suas conclusões sobre a capacidade do processo em produzir itens dentro das especificações Construa uma curva CO para o gráfico supondo σ constante 653 a b c 654 655 656 657 a b c d 658 Trinta amostras de tamanho 7 foram coletadas para estabelecer controle sobre um processo Os seguintes dados foram levantados Calcule os limites de controle tentativos para os dois gráficos Sob a suposição de que o gráfico R esteja sob controle estime o desviopadrão do processo Suponha que o gráfico s fosse solicitado Quais seriam os limites de controle e a linha central apropriados Um gráfico deve ser estabelecido com base nos valores de referência µ 600 e σ 12 com n 9 Os limites de controle devem ser baseados em um risco α de 001 Quais são os limites de controle apropriados Gráficos e R com n 4 são usados para monitorar uma característica da qualidade normalmente distribuída Os parâmetros dos gráficos de controle são Gráfico Gráfico R LSC 815 LSC 4698 Linha central 800 Linha central 2059 LIC 785 LIC 0 Ambos os gráficos exibem controle Qual é a probabilidade de um deslocamento para 790 na média do processo ser detectado na primeira amostra subsequente ao deslocamento Considere o gráfico no Exercício 655 Ache o comprimento médio da sequência para aquele gráfico Gráficos de controle e R estão em uso com os seguintes parâmetros Gráfico Gráfico R LSC 3630 LSC 1618 Linha central 3600 Linha central 891 LIC 3570 LIC 164 O tamanho da amostra é n 9 Ambos os gráficos exibem controle A característica da qualidade é normalmente distribuída Qual é o risco α associado ao gráfico Especificações para essa característica da qualidade são 358 6 Quais são as suas conclusões sobre a habilidade do processo em produzir itens dentro das especificações Suponha que a média se desloque para 357 Qual é a probabilidade de que esse deslocamento não seja detectado na primeira amostra subsequente ao deslocamento Quais seriam os limites de controle apropriados para o gráfico se a probabilidade do erro tipo I tivesse que ser 001 Uma característica da qualidade normalmente distribuída é monitorada através do uso de gráficos e R Esses gráficos têm os seguintes parâmetros n 4 Gráfico Gráfico R a b c d e f 659 a b c d e 660 a b c LSC 6260 LSC 18795 Linha central 6200 Linha central 8236 LIC 6140 LIC 0 Ambos os gráficos exibem controle Qual é o desviopadrão estimado do processo Suponha que um gráfico s vá substituir o gráfico R Quais são os parâmetros apropriados do gráfico s Se as especificações para o produto são 610 15 qual é a sua estimativa da fração de não conformes desse processo O que poderia ser feito para se reduzir essa fração de não conformes Qual é a probabilidade de se detectar um deslocamento para 610 na média do processo na primeira amostra subsequente a tal deslocamento σ permanece constante Qual é a probabilidade de se detectar o deslocamento da parte e pelo menos na terceira amostra depois do deslocamento Gráficos de controle e s são mantidos para um processo e têm exibido controle estatístico O tamanho amostral é n 6 Os parâmetros dos gráficos são os seguintes Gráfico Gráfico s LSC 70820 LSC 3420 Linha central 70600 Linha central 1738 LIC 70380 LIC 0052 Estime a média e o desviopadrão do processo Estime os limites naturais de tolerância para o processo Suponha que a saída do processo seja bem modelada pela distribuição normal Se as especificações são 703 e 709 estime a fração de não conformes Suponha que a média do processo se desloca para 70200 enquanto o desviopadrão se mantém constante Qual é a probabilidade de um sinal de fora de controle ocorrer na primeira amostra depois do deslocamento Para o deslocamento da parte d qual é a probabilidade de ele ser detectado pelo menos na terceira amostra subsequente ao deslocamento Os seguintes gráficos e s baseados em n 4 exibem controle Gráfico Gráfico s LSC 710 LSC 1808 Linha central 700 Linha central 7979 LIC 690 LIC 0 Estime os parâmetros µ e σ do processo Se as especificações forem 705 15 e a saída do processo for normalmente distribuída estime a fração de não conformes Para o gráfico calcule a probabilidade do erro tipo I supondo que σ é constante d e 661 662 Suponha que a média do processo se desloque para 693 e o desviopadrão simultaneamente se desloque para 12 Ache a probabilidade de se detectar esse deslocamento no gráfico na primeira amostra subsequente Para o deslocamento em d ache o comprimento médio da sequência Latas de uma libra de café 4535924 gramas são cheias por uma máquina seladas e em seguida pesadas automaticamente Depois do ajuste para o peso da lata qualquer embalagem com menos de 16 onças 1 libra 16 onças é retirada da esteira Os pesos de 25 latas sucessivas são exibidos na Tabela 6E20 Estabeleça um gráfico de controle da amplitude móvel e um gráfico de controle para as observações individuais Estime a média e o desvio padrão da quantidade de café colocada em cada lata É razoável suporse que o peso da lata seja normalmente distribuído Se o processo permanece sob controle nesse nível qual porcentagem de latas será subenchida TABELA 6E20 Dados sobre Peso de Latas para o Exercício 661 Número da Lata Peso Número da Amostra Peso 1 1611 14 1612 2 1608 15 1610 3 1612 16 1608 4 1610 17 1613 5 1610 18 1615 6 1611 19 1612 7 1612 20 1610 8 1609 21 1608 9 1612 22 1607 10 1610 23 1611 11 1609 24 1613 12 1607 25 1610 13 1613 Quinze provas sucessivas de uma liga de aço são testadas com relação à resistência Os dados resultantes são exibidos na Tabela 6E21 Estabeleça gráficos de controle das amplitudes móveis e das medidas individuais de resistência É razoável suporse que a resistência seja normalmente distribuída TABELA 6E21 Dados sobre a Resistência para o Exercício 662 Prova Resistência codificada Prova Resistência codificada 1 52 9 58 2 51 10 51 3 54 11 54 4 55 12 59 663 a b c 664 665 b 5 50 13 53 6 52 14 54 7 50 15 55 8 51 A viscosidade de um polímero é medida a cada hora As medidas para as últimas 20 horas são dadas na Tabela 6E22 A viscosidade segue uma distribuição normal Construa gráficos de controle para a viscosidade e para as amplitudes móveis O processo exibe controle estatístico Estime a média e o desviopadrão do processo Continuação do Exercício 663 As cinco medidas seguintes da viscosidade são 3163 3199 3054 3147 e 3156 Essas medidas indicam que o processo esteja sob controle TABELA 6E22 Dados sobre a Viscosidade para o Exercício 663 Teste Viscosidade Teste Viscosidade 1 2838 11 3174 2 2785 12 3102 3 3058 13 2762 4 3064 14 2975 5 2996 15 2719 6 2882 16 2861 7 2878 17 2797 8 2920 18 3078 9 3050 19 2964 10 2870 20 2805 a Trinta observações sobre a espessura do óxido em placas individuais de silício são exibidas aqui Use esses dados para construir gráficos para as espessuras do óxido e para as amplitudes móveis O processo exibe controle estatístico A espessura do óxido segue uma distribuição normal Em seguida ao estabelecimento dos gráficos de controle da parte a dez novas placas foram observadas As medidas das espessuras do óxido são as seguintes Placa Espessura do Óxido Placa Espessura do Óxido 1 543 6 515 2 575 7 584 3 648 8 675 c 666 a b c 4 621 9 611 5 596 10 633 TABELA 6E23 Dados para o Exercício 665 Placa Espessura do Óxido Placa Espessura do Óxido 1 454 16 584 2 486 17 510 3 495 18 412 4 440 19 471 5 509 20 457 6 552 21 606 7 455 22 510 8 528 23 530 9 453 24 560 10 463 25 472 11 539 26 480 12 498 27 559 13 469 28 500 14 498 29 479 15 451 30 534 Grafe essas observações versus os limites de controle determinados na parte a O processo está sob controle Suponha que uma causa atribuível responsável pelo sinal de fora de controle na parte b tenha sido descoberta e removida do processo Vinte placas adicionais são medidas em seguida Grafe essas espessuras versus os limites de controle da parte a Quais são as suas conclusões Os novos dados estão na Tabela 6E25 O tempo de espera para tratamento em uma clínica de atendimento rápido localizada em uma drogaria é monitorado por gráficos de controle para observações individuais e amplitude móvel A Tabela 6E24 contém 30 medidas sucessivas do tempo de espera Estabeleça gráficos de controle para observações individuais e amplitudes móveis usando esses dados Plote essas observações nos gráficos construídos na parte a Interprete os resultados O processo parece estar sob controle estatístico Plote o tempo de espera em um gráfico de probabilidade normal É razoável suporse que esses dados sejam normais Uma variável como o tempo de espera sempre tende a ter uma distribuição com uma longa cauda assimétrica à direita Por quê TABELA 6E24 Tempo de Espera na Clínica para o Exercício 666 667 668 a Observação Tempo de Espera Observação Tempo de Espera Observação Tempo de Espera 1 249 11 134 21 114 2 339 12 050 22 266 3 741 13 435 23 467 4 288 14 167 24 154 5 076 15 163 25 506 6 132 16 488 26 340 7 705 17 1519 27 139 8 137 18 067 28 111 9 617 18 414 29 692 10 512 20 216 30 3699 TABELA 6E25 Dados Adicionais para o Exercício 665 parte c Placa Espessura do Óxido Placa Espessura do Óxido 1 434 11 500 2 467 12 612 3 448 13 469 4 513 14 449 5 492 15 462 6 465 16 533 7 484 17 441 8 501 18 474 9 537 19 513 10 456 20 425 Continuação do Exercício 666 Os dados do tempo de espera no Exercício 666 podem não ser normalmente distribuídos Transforme esses dados usando uma transformação log natural Plote os dados transformados em um gráfico de probabilidade normal e discuta suas descobertas Estabeleça gráficos de controle para observações individuais e amplitudes móveis usando os dados transformados Plote o logaritmo natural dos tempos de espera nesses gráficos de controle Compare seus resultados com os do Exercício 666 Trinta observações sobre a concentração em gl de um ingrediente ativo em um produto de limpeza produzido em um processo químico contínuo são exibidas na Tabela 6E26 O gráfico da probabilidade normal dos dados da concentração é mostrado na Figura 629 A reta exibida foi ajustada a olho nu para passar aproximadamente pelos vigésimo e octogésimo percentis A hipótese de b c d 669 normalidade parece razoável aqui Construa gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para os dados da concentração Interprete os gráficos Construa o gráfico da probabilidade normal para o logaritmo natural da concentração A variável transformada é normalmente distribuída Repita a parte b usando o logaritmo natural da concentração como variável de análise Comente sobre quaisquer diferenças que você tenha notado nos gráficos construídos aqui e na parte b TABELA 6E26 Dados para o Exercício 668 Observação Concentração Observação Concentração 1 604 16 999 2 695 17 593 3 784 18 600 4 728 19 747 5 782 20 758 6 787 21 766 7 569 22 684 8 784 23 831 9 796 24 611 10 1008 25 549 11 996 26 691 12 649 27 675 13 755 28 692 14 704 29 872 15 681 30 730 Em 1879 A A Michelson mediu a velocidade da luz no ar usando uma modificação de um método proposto pelo físico francês Foucault Vinte de suas medidas estão na Tabela 6E27 o valor relatado está em quilômetros por segundo e tem 299000 subtraídos do valor original Use esses dados para construir gráficos de controle para as observações individuais e para as amplitudes móveis Há alguma evidência de que as medidas da velocidade da luz sejam normalmente distribuídas As medidas exibem controle estatístico Reveja os limites de controle se necessário 670 a b FIGURA 629 Gráfico da Probabilidade Normal dos Dados da Concentração para o Exercício 668 TABELA 6E27 Dados sobre a Velocidade da Luz para o Exercício 669 Medição Velocidade Medição Velocidade 1 850 11 850 2 1000 12 810 3 740 13 950 4 980 14 1000 5 900 15 980 6 930 16 1000 7 1070 17 980 8 650 18 960 9 930 19 880 10 760 20 960 Continuação do Exercício 669 Michelson na verdade fez 100 medições da velocidade da luz em cinco tentativas de 20 observações cada O segundo conjunto de 20 medições está mostrado na Tabela 6E28 Plote essas novas medidas nos gráficos de controle construídos no Exercício 669 Essas novas medidas estão sob controle estatístico Dê uma interpretação prática dos gráficos de controle Há evidência de que a variabilidade nas medidas tenha decrescido entre a tentativa 1 e a tentativa 2 TABELA 6E28 Dados Adicionais sobre a Velocidade da Luz para o Exercício 670 Medição Velocidade Medição Velocidade 21 960 31 800 22 830 32 830 23 940 33 850 24 790 34 800 25 960 35 880 671 a b 672 a b c 26 810 36 790 27 940 37 900 28 880 38 760 29 880 39 840 30 880 40 800 TABELA 6E29 Dados sobre a Uniformidade para o Exercício 671 Placa Uniformidade Placa Uniformidade 1 11 16 15 2 16 17 16 3 22 18 12 4 14 19 11 5 34 20 18 6 22 21 14 7 13 22 13 8 11 23 18 9 6 24 12 10 11 25 13 11 11 26 12 12 23 27 15 13 14 28 21 14 12 29 21 15 7 30 14 A uniformidade de uma placa de silício logo após um processo de gravação é determinada pela medição da espessura da camada em várias localizações e expressando a uniformidade como a amplitude da espessura A Tabela 6E29 apresenta determinações de uniformidade para 30 placas consecutivas processadas pela ferramenta de gravação Há evidência de que a uniformidade seja normalmente distribuída Se não ache uma transformação adequada para os dados Construa gráficos de controle para observações individuais e amplitudes móveis para a uniformidade do processo de gravação O processo está sob controle estatístico A pureza de um produto químico é medida em cada lote As determinações de pureza para 20 lotes sucessivos são dadas na Tabela 6E30 A pureza é normalmente distribuída O processo está sob controle estatístico Estime a média e o desviopadrão do processo 673 674 675 676 a b c 677 a b c d e Reconsidere a situação do Exercício 661 Construa o gráfico de controle para observações individuais usando a mediana das amplitudes móveis de abrangência dois para estimar a variabilidade Compare esse gráfico de controle com aquele construído no Exercício 661 e discuta os resultados Reconsidere as medidas de resistência do Exercício 662 Construa o gráfico de controle para observações individuais usando a mediana das amplitudes móveis de abrangência dois para estimar a variabilidade Compare esse gráfico com aquele construído no Exercício 662 e discuta os resultados Reconsidere os dados da viscosidade de um polímero do Exercício 663 Use a mediana das amplitudes móveis de abrangência dois para estimar σ e construa o gráfico de controle para as observações individuais Compare esse gráfico com aquele originalmente construído usando o método da média das amplitudes móveis para estimar σ Continuação do Exercício 665 Use todas as 60 observações sobre a espessura do óxido TABELA 6E30 Dados sobre a Pureza para o Exercício 672 Lote Pureza Lote Pureza 1 081 11 081 2 082 12 083 3 081 13 081 4 082 14 082 5 082 15 081 6 083 16 085 7 081 17 083 8 080 18 087 9 081 19 086 10 082 20 084 Construa o gráfico de controle para observações individuais com σ estimado pelo método da média das amplitudes móveis Construa o gráfico de controle para observações individuais com σ estimado pelo método da mediana das amplitudes móveis Compare e discuta os dois gráficos de controle Considere as medidas individuais dadas na Tabela 6E31 Estime σ usando a média das amplitudes móveis de abrangência dois Estime σ usando sc4 Estime σ usando a mediana das amplitudes móveis de abrangência dois Estime σ usando a média das amplitudes móveis de abrangência 3 4 20 Discuta os resultados obtidos TABELA 6E31 Dados para o Exercício 677 Observação x Observação x 1 1007 14 958 2 1047 15 880 678 3 945 16 1294 4 944 17 1078 5 899 18 1126 6 774 19 948 7 1063 20 1128 8 978 21 1254 9 937 22 1148 10 995 23 1326 11 1204 24 1110 12 1093 25 1082 13 1154 As alturas dos estatores para as 20 montagens da Figura 625 são dadas na Tabela 6E32 Construa os gráficos de controle entredentro para esse processo usando o gráfico da amplitude para monitorar as alturas dos estatores dentro das montagens Compare esses gráficos com aqueles exibidos na Figura 627 TABELA 6E32 Dados sobre a Altura dos Estatores para o Exercício 678 Montagem Estator 1 Estator 2 Estator 3 Estator 4 Estator 5 1 577799 574907 576672 574836 574122 2 579090 578043 579163 579393 581158 3 577314 571216 574810 577292 575591 4 577030 575903 577157 579687 578063 5 572047 568587 573302 570472 568116 6 577265 576426 574373 571338 574765 7 570581 570835 571866 571252 572089 8 576466 578766 576115 577523 575590 9 579397 583308 577902 581122 582335 10 578671 576411 575941 575619 571787 11 575352 574144 574109 576817 575019 12 572787 570716 575349 572389 573488 13 579707 579231 579022 579694 579805 14 573765 573615 573249 574006 573265 15 572477 576565 576963 574993 575196 679 a b c d e 680 a 16 573199 572926 572963 572259 573513 17 579166 579516 579903 578548 579826 18 574973 574863 573994 574405 574682 19 576449 575632 576197 576684 575474 20 575168 575579 573979 577963 576933 O diâmetro da montagem na Figura 627 também é uma importante característica da qualidade Uma máquina de medição é usada para medir o diâmetro de cada montagem em cinco diferentes posições Dados para as 20 montagens são apresentados na Tabela 6E33 Construa gráficos e R para esse processo supondo que as medidas em cada montagem formem um subgrupo racional Discuta os gráficos construídos na parte a Construa gráficos entredentro para esse processo Você acredita que os gráficos na parte c sejam mais informativos que os da parte a Discuta as razões Forneça uma interpretação prática do gráfico dentro Em uma indústria de semicondutores a produção de microcircuitos envolve muitas etapas O processo de fabricação das placas tipicamente constrói esses microcircuitos em placas de silício e há muitos microcircuitos por placa Cada lote de produção consiste em 16 a 48 placas Algumas etapas do processo tratam cada placa separadamente de modo que o tamanho do lote para essas etapas é de uma placa Em geral é necessária a estimação de vários componentes da variação dentro da placa entre placas entre lotes e a variação total Suponha que uma placa seja aleatoriamente selecionada de cada lote e que uma única medida de uma dimensão crítica seja feita Quais componentes da variação podem ser estimados com esses dados Que tipo de gráfico de controle você recomendaria TABELA 6E33 Dados sobre o Diâmetro para o Exercício 679 Diâmetro Montagem 1 2 3 4 5 1 117629 117403 117511 117474 117374 2 118122 117506 117787 117736 118412 3 117742 117114 117530 117532 117773 4 117833 117311 117777 118108 117804 5 117134 116870 117305 117419 116642 6 117925 117611 117588 117012 117611 7 116916 117205 116958 117440 117062 8 117109 117832 117496 117496 117318 9 117984 118887 117729 118485 118416 10 117914 117613 117356 117628 117070 11 117260 117329 117424 117645 117571 b c d e 681 a b c d 12 117202 117537 117328 117582 117265 13 118356 117971 118023 117802 117903 14 117069 117112 117492 117329 117289 15 117116 117978 117982 117429 117154 16 117165 117284 117571 117597 117317 17 118022 118127 117864 117917 118167 18 117775 117372 117241 117773 117543 19 117753 117870 117574 117620 117673 20 117572 117626 117523 117395 117884 Suponha que cada placa seja testada em cinco posições fixas digamos no centro e em quatro pontos de uma circunferência A média e a amplitude dessas medidas dentro das placas são e Rdp respectivamente Quais são os componentes da variabilidade estimados com gráficos de controle baseados nesses dados Suponha que um ponto de medição em cada placa seja selecionado e que essa medida seja anotada para cada cinco placas consecutivas A média e a amplitude dessas medidas entre placas são e Rep respectivamente Quais são os componentes da variabilidade estimados com gráficos de controle baseados nesses dados Seria necessário a manutenção de gráficos de controle e R separados para todas as cinco posições de medição nas placas Considere a questão na parte c Como você responderia se as posições de teste em cada placa fossem aleatoriamente selecionadas e variassem de placa para placa Que tipo de gráfico de controle e esquema de subgrupos racionais você recomendaria para controlar a variabilidade de lote para lote Considere a situação descrita no Exercício 680 Uma dimensão crítica medida em µm é de interesse para o engenheiro do processo Suponha que cinco posições fixas sejam usadas em cada placa posição 1 é o centro e que duas placas consecutivas sejam selecionadas de cada lote Os dados resultantes de vários lotes são exibidos na Tabela 6E34 O que você pode dizer sobre a capacidade geral do processo Você pode construir gráficos de controle que permitam avaliar a variabilidade dentro das placas Quais gráficos de controle você usaria para avaliar a variabilidade entre placas Construa esses gráficos e useos para tirar conclusões sobre o processo Quais gráficos de controle você usaria para avaliar a variabilidade entre lotes Construa esses gráficos e useos para tirar conclusões sobre a variabilidade de lote para lote TABELA 6E34 Dados para o Exercício 681 Número do Lote Número da Placa Posição 1 2 3 4 5 1 1 215 213 208 212 210 2 213 210 204 208 205 2 1 202 201 206 205 208 2 203 209 207 206 204 3 1 213 212 210 211 208 2 203 208 203 209 207 4 1 204 201 210 211 209 2 207 214 212 208 209 5 1 216 217 213 218 210 2 217 213 210 209 213 6 1 204 206 197 210 208 2 203 210 205 207 204 7 1 204 202 201 200 205 2 206 204 203 208 210 8 1 213 210 210 215 213 2 210 209 213 214 211 9 1 195 203 208 207 208 2 201 203 206 205 204 10 1 204 208 209 210 201 2 206 204 207 204 201 11 1 215 213 214 209 208 2 211 213 210 214 210 12 1 203 206 205 201 200 2 204 208 203 210 207 13 1 205 203 205 209 208 2 208 201 203 204 210 14 1 208 204 205 201 208 2 209 211 206 204 205 15 1 214 213 210 210 208 2 213 210 209 213 215 16 1 206 208 205 203 209 2 203 201 199 206 205 17 1 205 203 208 201 204 2 206 205 203 205 200 18 1 203 208 204 200 203 2 204 203 205 201 204 19 1 216 213 210 213 212 2 213 215 218 219 213 20 1 206 203 204 209 210 2 201 198 205 208 206 1Alguns autores referemse ao gráfico s como gráfico σ 71 72 721 722 723 724 73 731 732 733 734 735 736 74 75 MS71 1 2 3 4 5 ESQUEMA DO CAPÍTULO INTRODUÇÃO GRÁFICO DE CONTROLE PARA A FRAÇÃO NÃO CONFORME Desenvolvimento e Operação do Gráfico de Controle Tamanho Variável de Amostra Aplicações em Empresas de Transações e Serviços Cálculos da Função Característica de Operação e do Comprimento Médio de Sequência GRÁFICOS DE CONTROLE PARA NÃO CONFORMIDADES DEFEITOS Procedimentos com Tamanho Constante de Amostra Procedimentos com Tamanho Variável de Amostra Sistemas de Depreciação A Função Característica de Operação Lidando com Níveis Baixos de Defeitos Aplicações Não Industriais ESCOLHA ENTRE GRÁFICOS DE CONTROLE DE ATRIBUTOS E DE VARIÁVEIS DIRETRIZES PARA A IMPLEMENTAÇÃO DOS GRÁFICOS DE CONTROLE Material Suplementar para o Capítulo 7 Limites de Probabilidades em Gráficos de Controle O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Muitas características da qualidade não podem ser representadas numericamente de modo conveniente Em tais casos usualmente classificamos cada item inspecionado como conforme ou não conforme em relação às especificações para aquela característica da qualidade A terminologia defeituoso ou não defeituoso é em geral usada para essas duas classificações do produto Mais recentemente a terminologia conforme e não conforme tornouse popular As características de qualidade desse tipo são chamadas de atributos Alguns exemplos de características que são atributos são a proporção de hastes de conexão empenadas de motores de automóveis na produção de um dia o número de chips de semicondutores que não funcionam em uma placa o número de erros ou enganos cometidos no preenchimento de um pedido de empréstimo e o número de erros médicos cometidos em um hospital Neste capítulo apresentamos três gráficos de controle de atributos amplamente usados O primeiro desses gráficos se relaciona com a fração de itens não conformes ou defeituosos produzidos por um processo de manufatura e é chamado de gráfico de controle para a fração não conforme ou gráfico p Em algumas situações é mais conveniente trabalharmos com o número de defeitos ou não conformidades observado em vez de com a fração de não conformes O segundo tipo de gráfico de controle que estudaremos chamado de gráfico de controle para não conformidades ou o gráfico c é planejado para lidar com esse caso Finalmente apresentaremos um gráfico de controle para não conformidades por unidade ou o gráfico u que é útil em situações em que o número médio de não conformidades por unidade é uma base mais conveniente para o controle do processo Um excelente suplemento para este capítulo é o artigo de Woodall 1997 que resume cerca de 250 artigos sobre gráficos de controle para atributos e fornece uma extensa bibliografia Concluímos o capítulo com algumas diretrizes para a implementação de gráficos de controle Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender a base estatística dos gráficos de controle de atributos Saber como planejar gráficos de controle de atributos Saber como estabelecer e usar o gráfico p para fração de não conformes Saber como estabelecer e usar gráficos de controle np para o número de itens não conformes Saber como estabelecer e usar o gráfico de controle c para defeitos 6 7 8 9 10 71 72 Saber como estabelecer e usar o gráfico de controle u para defeitos por unidade Usar gráficos de controle de atributos com tamanho amostral variável Compreender as vantagens e desvantagens de gráficos de controle de atributos versus de variáveis Compreender o conceito de subgrupo racional para gráficos de controle de atributos Determinar o comprimento médio da sequência para gráficos de controle de atributos Introdução No Capítulo 6 introduzimos os gráficos de controle para características da qualidade que se expressam como variáveis Embora esses gráficos de controle tenham largo uso não são universalmente aplicáveis porque nem todas as características de qualidade podem ser expressas com dados de variáveis Por exemplo considere recipientes de vidro para um produto líquido Suponha que examinemos um recipiente e o classifiquemos em uma das duas categorias chamadas de conforme e não conforme dependendo de o recipiente satisfazer ou não as exigências relativas a uma ou mais características da qualidade Este é um exemplo de dados de atributo e um gráfico de controle para a fração de recipientes não conformes poderia ser feito mostramos como fazêlo na Seção 72 Alternativamente em alguns processos podemos examinar uma unidade do produto e contar defeitos ou não conformidades naquela unidade Esse tipo de dados é largamente encontrado na indústria de semicondutores por exemplo Na Seção 73 mostramos como construir gráficos de controle para contagens ou para o número médio de contagens por unidade Os gráficos de atributos não são em geral tão informativos quanto os gráficos de variáveis porque há tipicamente mais informação em uma medida numérica do que em uma mera classificação como conforme ou não conforme No entanto os gráficos de atributos têm sim aplicações importantes Eles são particularmente úteis em processos e esforços de melhoria do processo nas indústrias de serviços e de não manufatura ou de transações porque muitas das características da qualidade encontradas nesses ambientes não são facilmente mensuráveis em uma escala numérica Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme A fração não conforme é definida como a razão entre o número de itens não conformes em uma população e o total de itens naquela população Os itens podem ter várias características da qualidade que são examinadas simultaneamente por um inspetor Se o item não satisfaz o padrão em uma ou mais dessas características é classificado como não conforme Em geral expressamos a fração não conforme como um número decimal embora ocasionalmente o percentual não conforme que é simplesmente 100 vezes a fração não conforme seja usado Quando demonstramos ou exibimos gráficos de controle para o pessoal da produção ou quando apresentamos resultados para a gerência o percentual não conforme é em geral usado uma vez que tem um apelo mais intuitivo Embora seja usual trabalharmos com a fração não conforme poderíamos também analisar a fração conforme do mesmo modo resultando em um gráfico de controle do rendimento do processo Por exemplo muitas organizações industriais operam um sistema de gerenciamento de produção em cada estágio de seu processo de manufatura ou realização com a produção do primeiro passo rastreada em um gráfico de controle Os princípios estatísticos subjacentes ao gráfico de controle para fração não conforme se baseiam na distribuição binomial Suponha que o processo de produção esteja operando de maneira estável de modo que a probabilidade de que qualquer unidade não esteja de acordo com as especificações seja p e que as sucessivas unidades produzidas sejam independentes Então cada unidade produzida é a realização de uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro p Se uma amostra aleatória de n unidades do produto for selecionada e se D for o número de unidades do produto que são não conformes então D tem uma distribuição binomial com parâmetros n e p isto é Pela Seção 322 sabemos que a média e a variância da variável aleatória D são np e np1 p respectivamente A fração amostral não conforme é definida como a razão entre o número de unidades não conformes na amostra D e o tamanho n da amostra isto é Conforme vimos na Seção 322 a distribuição da variável aleatória pode ser obtida da distribuição binomial Além disso a média e a variância de são e 721 respectivamente Veremos agora como essa teoria pode ser aplicada ao desenvolvimento de um gráfico de controle para a fração não conforme Como o gráfico monitora a fração não conforme do processo p ele é também chamado de gráfico p Desenvolvimento e Operação do Gráfico de Controle No Capítulo 5 discutimos os princípios estatísticos gerais sobre os quais se baseia o gráfico de controle de Shewhart Se w for uma estatística que mede uma característica da qualidade e se a média de w for µw e sua variância for então o modelo geral para o gráfico de controle de Shewhart será em que L é a distância dos limites de controle à linha central em múltiplos de desviospadrão de w É costume escolherse L 3 Suponha que a verdadeira fração não conforme p no processo de produção seja conhecida ou um valorpadrão especificado Então pela equação 75 a linha central e os limites de controle do gráfico de controle da fração não conforme devem ser como definidos a seguir Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme Padrão Dado Dependendo dos valores de p e n algumas vezes o limite inferior de controle LIC 0 Nesses casos é comum fazerse LIC 0 e suporse que o gráfico de controle tem apenas um limite superior de controle A operação real desse gráfico consistiria na tomada de amostras subsequentes de n unidades no cálculo da fração amostral não conforme e na marcação da estatística no gráfico Enquanto permanece dentro dos limites de controle e a sequência de pontos plotados não exibe nenhum padrão não aleatório sistemático podemos concluir que o processo está sob controle no nível p Se um ponto se localiza fora dos limites de controle ou caso se observe um padrão não aleatório nos pontos plotados podemos concluir que a fração não conforme do processo provavelmente passou para um novo nível e que o processo está fora de controle Quando a fração não conforme do processo p não é conhecida deve então ser estimada a partir dos dados observados O procedimento usual é a seleção de m amostras preliminares cada uma de tamanho n Como regra geral m deve ser no mínimo 20 ou 25 Então se houver Di unidades não conformes na amostra i calcularemos a fração não conforme na ia amostra como e a média dessas frações não conformes das amostras individuais é A estatística estima a fração não conforme desconhecida p A linha central e os limites de controle do gráfico de controle para a fração não conforme são calculados como segue Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme Nenhum Padrão Dado Como dito anteriormente esse gráfico de controle é também chamado de gráfico p Os limites de controle definidos na equação 78 devem ser encarados como limites de controle tentativos Os valores amostrais de dos subgrupos preliminares devem ser plotados versus os limites tentativos para se testar se o processo estava sob controle quando foram coletados os dados preliminares Essa é a fase I usual da utilização do gráfico de controle Quaisquer pontos que excedam os limites de controle tentativos devem ser investigados Se forem descobertas causas atribuíveis para esses pontos eles deverão ser descartados e novos limites de controle tentativos determinados Veja a discussão sobre limites de controle tentativos para gráficos e R no Capítulo 6 Se o gráfico de controle se baseia em um valor conhecido ou padrão para a fração não conforme p então é desnecessário em geral o cálculo dos limites de controle tentativos Entretanto devese ter cuidado ao trabalhar com um valorpadrão para p Como na prática o real valor de p é raramente conhecido com certeza teremos usualmente um valorpadrão de p que representa um valoralvo ou desejado para a fração não conforme do processo Se esse for o caso e futuras amostras indicam uma condição de fora de controle devemos determinar se o processo está ou não fora de controle no alvo p mas está sob controle para algum outro valor de p Por exemplo suponhamos que a gerência especifique um valoralvo de p 001 mas que o processo esteja realmente sob controle para um valor maior da fração de não conformes digamos p 005 Usando o gráfico de controle com base em p 001 veremos que muitos dos pontos se localizarão acima do limite superior de controle indicando uma condição de fora de controle No entanto o processo está realmente fora de controle apenas em relação ao alvo p 001 Algumas vezes é possível melhorar o nível de qualidade pelo uso de valoresalvo ou trazer um processo para uma condição de controle a um nível particular de desempenho de qualidade Em processos nos quais a fração não conforme pode ser controlada por processos de ajuste relativamente simples os valoresalvo para p podem ser úteis EXEMPLO 71 Construção e Operação de um Gráfico de Controle da Fração de Não Conformes Suco de laranja concentrado e congelado é embalado em embalagens de papelão de 6 oz Uma máquina faz essas embalagens enrolando o papelão e colocando um fundo de metal Pela inspeção de uma dessas embalagens podese determinar se quando cheia poderá vazar ao longo da junta lateral do papelão ou em volta da junção do fundo Tal embalagem não conforme tem uma vedação imprópria ou na junção lateral ou na junção do fundo Estabeleça um gráfico de controle para melhorar a fração de embalagens não conformes produzidas por essa máquina SOLUÇÃO Para estabelecermos o gráfico de controle selecionaramse 30 amostras com n 50 embalagens cada a intervalos de meia hora por um período de três turnos durante os quais a máquina operou continuamente Os dados estão mostrados na Tabela 71 Construímos a fase I do gráfico de controle usando esses dados preliminares para verificar se o processo estava sob controle quando esses dados foram coletados Como as 30 amostras contêm embalagens não conformes encontramos pela equação 77 Usando como estimativa para a verdadeira fração não conforme do processo podemos agora calcular os limites superior e inferior de controle como Portanto e TABELA 71 Dados para os Limites de Controle Tentativos Exemplo 71 Tamanho da Amostra n 50 Número da Amostra Número de Embalagens Não Conformes Di Fração Amostral Não Conforme Número da Amostra Número de Embalagens Não Conformes Di Fração Amostral Não Conforme 1 12 024 17 10 020 2 15 030 18 5 010 3 8 016 19 13 026 4 10 020 20 11 022 5 4 008 21 20 040 6 7 014 22 18 036 7 16 032 23 24 048 8 9 018 24 15 030 9 14 028 25 9 018 10 10 020 26 12 024 11 5 010 27 7 014 12 6 012 28 13 026 13 17 034 29 9 018 14 12 024 30 6 012 15 22 044 347 02313 16 8 016 O gráfico de controle com linha central em 02313 e limites superior e inferior de controle acima está mostrado na Figura 71 A fração amostral não conforme de cada amostra preliminar está plotada nesse gráfico Notamos que dois pontos os das amostras 15 e 23 se localizam acima do limite superior de controle de modo que o processo não está sob controle Esses pontos devem ser investigados para vermos se uma causa atribuível pode ou não ser determinada A análise dos dados da amostra 15 indica que um novo fardo de papelão foi colocado na produção naquela meia hora A introdução de novos lotes de matériaprima causa às vezes desempenho irregular de produção e é razoável admitirse que isso tenha ocorrido aqui Além disso durante a meia hora na qual a amostra 23 foi extraída um operador relativamente inexperiente foi temporariamente designado para aquela máquina e isso pode ter causado a alta fração não conforme naquela amostra Consequentemente eliminamse as amostras 15 e 23 e calculamse nova linha central e novos limites de controle como A Figura 72 mostra a linha central e os limites de controle revistos Note que não eliminamos as amostras 15 e 23 do gráfico mas elas foram excluídas dos cálculos dos limites de controle e anotamos isso diretamente no gráfico de controle Essas anotações no gráfico de controle para indicar pontos incomuns ajustamentos do processo ou o tipo de investigação feita em um ponto particular do tempo constituem um registro útil para futuras análises do processo e deveriam se tornar uma práticapadrão no uso de gráficos de controle FIGURA 71 Fase I do gráfico de controle para a fração não conforme inicial para os dados da Tabela 71 FIGURA 72 Limites de controle revisados para os dados da Tabela 71 TABELA 72 Dados das Embalagens de Suco de Laranja Concentrado em Amostras de Tamanho n 50 Número da Amostra Número de Embalagens Não Conformes Di Fração Amostral Não Conforme Número da Amostra Número de Embalagens Não Conformes Di Fração Amostral Não Conforme 31 9 018 44 6 012 32 6 012 45 5 010 33 12 024 46 4 008 34 5 010 47 8 016 35 6 012 48 5 010 36 4 008 49 6 012 37 6 012 50 7 014 38 3 006 51 5 010 39 7 014 52 6 012 40 6 012 53 3 006 41 2 004 54 5 010 42 4 008 133 01108 43 3 006 Note também que a fração não conforme da amostra 21 excede agora o limite superior de controle No entanto a análise dos dados não fornece nenhuma causa atribuível razoável ou lógica para isso e decidimos conservar o ponto Concluímos portanto que os novos limites de controle na Figura 72 podem ser usados para futuras amostras Assim encerramos a fase de estimação fase I dos limites de controle para o uso do gráfico de controle Algumas vezes o exame dos dados de um gráfico de controle revela informações que afetam outros pontos que não estão necessariamente fora dos limites de controle Por exemplo se descobríssemos que o operador temporário que trabalhava quando a amostra 23 foi obtida estava realmente trabalhando durante o período de 2 horas no qual as amostras 2124 foram coletadas deveríamos então descartar todas as quatro amostras mesmo que apenas a amostra 21 excedesse os limites de controle com base em que esse operador inexperiente teria alguma influência adversa sobre a fração não conforme durante todo o período Antes de concluirmos que o processo está sob controle poderíamos examinar as 28 amostras restantes em relação a sequências e outros padrões não aleatórios A maior sequência é de tamanho 5 acima da linha central e não há nenhuns padrões óbvios nos dados Não há evidência forte de nenhuma coisa além de um padrão aleatório em torno da linha central Concluímos que o processo está sob controle no nível p 02150 e que os limites de controle revistos devem ser adotados para o monitoramento da produção corrente Entretanto notamos que embora o processo esteja sob controle a fração não conforme é muito alta Isto é o processo está operando de maneira estável e não estão presentes problemas não usuais que sejam controláveis pelo operador É pouco provável que a qualidade do processo possa ser melhorada por ação no nível da força de trabalho As embalagens não conformes produzidas podem ser controladas pela gerência porque uma intervenção da gerência no processo será exigida para melhorar o desempenho A gerência da fábrica concorda com essa observação e aponta que além de melhorar o programa de gráfico de controle o pessoal da engenharia deve analisar o processo em um esforço para melhorar sua saída Esse estudo indica que vários ajustes podem ser feitos na máquina que melhorarão seu desempenho Durante os próximos três turnos que se seguiram aos ajustes da máquina e à introdução do gráfico de controle foram coletadas 24 amostras adicionais com n 50 observações cada A Tabela 72 mostra esses dados e as frações amostrais não conformes estão plotadas no gráfico de controle da Figura 73 Pelo exame da Figura 73 nossa impressão imediata é a de que o processo está agora operando em um novo nível de qualidade que é substancialmente melhor que o nível da linha central de 02150 Um ponto o da amostra 41 está abaixo do limite inferior de controle Nenhuma causa atribuível pode ser determinada para esse sinal de fora de controle As únicas razões lógicas para essa mudança ostensiva no desempenho do processo são os ajustes na máquina feitos pelo pessoal da engenharia e possivelmente os próprios operadores Não é incomum descobrirse que o desempenho do processo melhora após a introdução de procedimentos formais de controle estatístico do processo em geral porque os operadores se tornam mais conscientes da qualidade do processo e porque o gráfico de controle proporciona uma visualização contínua do desempenho do processo Podemos testar formalmente a hipótese de que a fração não conforme do processo nesse período corrente de três turnos difere da fração não conforme do processo nos dados preliminares da Seção 434 As hipóteses são FIGURA 73 Continuação do gráfico de controle para a fração não conforme Exemplo 71 H0 p1 p2 H0 p1 p2 em que p1 é a fração não conforme do processo nos dados preliminares e p2 é a fração não conforme do processo no período corrente Podemos estimar p1 por 02150 e p2 por A estatística de teste aproximada para a hipótese acima é pela equação 463 em que Em nosso exemplo temos e Comparando isso com o ponto 005 superior da distribuição normal padronizada vemos que Z0 710 Z005 1645 Consequentemente rejeitamos H0 e concluímos que houve um decréscimo significativo nas falhas do processo Com base nos aparentemente bemsucedidos ajustes do processo parece lógico revisar novamente os limites de controle usando apenas as amostras mais recentes números 3154 Isso resulta nos novos parâmetros do gráfico de controle FIGURA 74 Novos limites de controle para o gráfico de controle para a fração não conforme Exemplo 71 A Figura 74 mostra o gráfico de controle com esses novos parâmetros Note que como o limite inferior de controle calculado é menor do que zero colocamos LIC 0 Portanto o novo gráfico de controle terá apenas limite superior de controle Pelo exame da Figura 74 vemos que todos os pontos cairiam dentro do limite superior de controle revisado concluímos portanto que o processo está sob controle nesse novo nível A Figura 75 mostra a continuação da operação desse gráfico de controle para os próximos cinco turnos Os dados para o processo durante esse período estão na Tabela 73 O gráfico de controle não indica falta de controle Apesar da melhora no resultado após as mudanças feitas no processo pela engenharia e a introdução do gráfico de controle a falha do processo de 01108 ainda é muito alta Ainda será necessária análise e alguma ação para melhorar o resultado Essas intervenções da gerência podem ser mais ajustes na máquina Experimentos estatisticamente planejados veja a Parte IV são um caminho apropriado para determinar quais ajustamentos da máquina são críticos para melhoria do processo e também o tamanho e direção apropriados para esses ajustamentos O gráfico de controle deve continuar durante o período em que os ajustes são feitos A marcação na escala do tempo do gráfico de controle de quando é feita uma mudança no processo transforma o gráfico de controle em um diário de bordo no qual os instantes de intervenções no processo e seus efeitos subsequentes no desempenho do processo são visualizados facilmente Esse aspecto de diário do uso do gráfico de controle é extremamente importante FIGURA 75 Gráfico de controle completo para a fração não conforme Exemplo 71 TABELA 73 Novos Dados para o Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme da Figura 75 n 50 Número de Embalagens Não Conformes Di Número da Amostra Número de Embalagens Não Conformes Di Fração Amostral Não Conforme Número da Amostra Fração Amostral Não Conforme 55 8 016 75 5 010 56 7 014 76 8 016 57 5 010 77 11 022 58 6 012 78 9 018 59 4 008 79 7 014 60 5 010 80 3 006 61 2 004 81 5 010 62 3 006 82 2 004 63 4 008 83 1 002 64 7 014 84 4 008 65 6 012 85 5 010 66 5 010 86 3 006 67 5 010 87 7 014 68 3 006 88 6 012 69 7 014 89 4 008 70 9 018 90 4 008 71 6 012 91 6 012 72 10 020 92 8 016 73 4 008 93 5 010 74 3 006 94 6 012 Planejamento do Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme O gráfico de controle para a fração não conforme tem três parâmetros que devem ser especificados o tamanho da amostra a frequência da amostragem e a largura dos limites de controle Idealmente deveríamos ter algumas diretrizes gerais para a seleção desses parâmetros É relativamente comum basearmos um gráfico de controle para a fração não conforme em uma inspeção de 100 de toda a saída do processo por um período de tempo conveniente tal como um turno ou um dia Neste caso tamanho da amostra e frequência da amostragem estão inter relacionados Em geral selecionamos uma frequência apropriada de amostragem para a taxa de produção e isso fixa o tamanho da amostra Subgrupos racionais podem também ter um papel na determinação da frequência da amostragem Por exemplo se há três turnos e suspeitamos que eles diferem em seus níveis gerais de qualidade então deveríamos usar a saída de cada turno como um subgrupo em vez de combinar as saídas dos três turnos para obter uma fração diária de defeituosos Se precisarmos selecionar uma amostra de um processo então deveremos escolher o tamanho da amostra n Várias regras foram sugeridas para a escolha de n Se p for muito pequeno devemos escolher n suficientemente grande para termos uma alta probabilidade de encontrar ao menos uma unidade não conforme na amostra Senão podemos concluir que os limites de controle são tais que a presença de apenas uma unidade não conforme na amostra indicaria uma condição de fora de controle Por exemplo se p 001 e n 8 temos que o limite superior de controle é Se houver uma unidade não conforme na amostra então e podemos concluir que o processo está fora de controle Como para qualquer p 0 há uma probabilidade positiva da produção de alguns defeituosos não é razoável em muitos casos concluirmos que o processo esteja fora de controle pela presença de um único item não conforme Para evitar essa armadilha podemos escolher o tamanho n da amostra de tal forma que a probabilidade de encontrarmos ao menos uma unidade não conforme por amostra seja no mínimo γ Por exemplo suponha que p 001 e que queiramos que a probabilidade de ao menos uma unidade não conforme na amostra seja no mínimo 095 Se D denotar o número de unidades não conformes então queremos encontrar n tal que PD 1 095 ou equivalentemente PD 0 005 Da distribuição binomial temos Resolvendo essa equação obtemos o tamanho amostral n 298 Poderíamos também usar a aproximação de Poisson para a binomial para obter o tamanho amostral Usando essa abordagem encontramos na tabela da distribuição acumulada de Poisson que λ np deve exceder 300 Consequentemente como p 001 isso implica que o tamanho da amostra deve ser 300 Duncan 1986 sugeriu que o tamanho da amostra deve ser grande o bastante para que tenhamos uma chance de aproximadamente 50 de detectar uma mudança no processo de algum tamanho especificado Por exemplo suponha que p 001 e que queiramos que a probabilidade de detectar uma mudança para p 005 seja de 050 Supondo que a aproximação normal para a binomial se aplique devemos escolher n de tal modo que o limite superior de controle coincida exatamente com a fração não conforme na situação de fora de controle1 Se δ for o tamanho da mudança do processo então n deve satisfazer Portanto Em nosso exemplo p 001 δ 005 001 004 e se os limites três sigmas forem usados então pela equação 710 Se o valor sob controle da fração não conforme for pequeno outro critério útil é escolher n grande o bastante para que o gráfico de controle tenha um limite inferior de controle positivo Isso garante que teremos um mecanismo que nos forçará a investigar uma ou mais amostras com um número pequeno não comum de itens não conformes Como desejamos ter isso implica que Por exemplo se p 005 e são usados os limites três sigmas o tamanho da amostra deve ser Assim se n 172 unidades o gráfico de controle terá um limite inferior de controle positivo Outro método para o monitoramento das melhorias no processo no caso em que LIC 0 é o uso de um método proposto por Lucas Davis e Saniga 2006 em que primeiro se conta o número de amostras consecutivas com zero defeituosos e aponta para um processo em melhoria se se observarem k amostras consecutivas ou 2 em t amostras com zero defeituosos Esse método é superior ao gráfico de controle de fração de não conformes padrão porque as propriedades de seu comprimento médio de sequência se comparam favoravelmente com o procedimento do gráfico de controle de somas acumuladas CUSUM que será discutido no Capítulo 9 e o método é equivalente ao gráfico CUSUM para deslocamentos maiores Os cálculos do CMS para o gráfico de controle da fração não conforme padrão são discutidos na Seção 724 Podese achar k e t e determinar qual é apropriado usandose uma tabela e gráfico simples dados em Lucas et al Esse método também pode ser aplicado quando o limite inferior for zero Saniga Davis e Lucas 2009 apresentam um estudo de caso que ilustra o uso de gráficos np com esse método bem como de gráficos CUSUM Os limites de controle três sigmas são em geral usados no gráfico de controle para a fração não conforme na hipótese de que eles tenham funcionado bem na prática Como discutido na Seção 532 limites de controle mais estreitos tornariam o gráfico de controle mais sensível a pequenas mudanças em p mas ao preço de falsos alarmes mais frequentes Ocasionalmente vimos limites mais estreitos serem usados em um esforço para forçar a melhoria da qualidade do processo No entanto devese tomar cuidado no uso dessa estratégia uma vez que muitos alarmes falsos poderão destruir a confiança do pessoal de operação no programa do gráfico de controle Devemos notar que o gráfico de controle para a fração não conforme não é um modelo universal para todos os dados sobre fração de não conformes Ele se baseia no modelo da probabilidade binomial isto é a probabilidade da ocorrência de uma unidade não conforme é constante e as unidades de produção sucessivas são independentes Em processos nos quais as unidades não conformes se aglomeram ou onde a probabilidade de uma unidade ser não conforme depende de a unidade anterior ter sido não conforme ou não o gráfico de controle para a fração não conforme é de pouca utilidade Em tais casos é necessário desenvolverse um gráfico de controle com base no modelo correto de probabilidade Interpretação de Pontos do Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme O Exemplo 71 ilustra como são tratados pontos que se localizam fora dos limites de controle tanto no estabelecimento do gráfico de controle quanto durante sua operação de rotina Devese tomar cuidado na interpretação de pontos que se localizam abaixo do limite inferior de controle Esses pontos em geral não representam uma melhoria real na qualidade do processo Frequentemente são causados por erros no processo de inspeção resultantes de inspetores inadequadamente treinados ou inexperientes ou por teste ou equipamento de inspeção inadequadamente calibrado Presenciamos casos em que inspetores deliberadamente omitiam unidades não conformes ou reportavam dados fictícios O analista deve ter esses avisos em mente quando procura por causas atribuíveis se alguns pontos se localizam abaixo do limite inferior de controle Nem todas as mudanças para baixo em p podem ser atribuídas à melhoria da qualidade O Gráfico de Controle np É possível um gráfico de controle se basear no número de não conformes em vez de se basear na fração não conforme Este é em geral chamado de gráfico de controle do número de não conformes np Os parâmetros desse gráfico são os seguintes O Gráfico de Controle np Se não se dispõe de um valorpadrão para p então pode ser usado para a estimativa de p Muitas vezes pessoal não treinado estatisticamente considera o gráfico np de mais fácil interpretação do que o usual gráfico de controle para fração não conforme EXEMPLO 72 Um Gráfico de Controle np Estabeleça o gráfico de controle np para o processo de embalagens de suco de laranja concentrado do Exemplo 71 Usando os dados da Tabela 71 vemos que 02313 n 50 SOLUÇÃO Portanto os parâmetros do gráfico de controle np devem ser 722 Na prática o número de unidades não conformes em cada amostra é plotado no gráfico de controle np e esse número é um inteiro Assim se 20 unidades são não conformes o processo está sob controle mas se ocorrem 21 o processo está fora de controle Analogamente se houver três unidades não conformes o processo estará sob controle mas duas unidades não conformes implicariam em um processo fora de controle Alguns usuários preferem trabalhar com valores inteiros para os limites de controle no gráfico np em lugar de seus similares decimais Neste exemplo poderíamos escolher 2 e 21 como LIC e LSC respectivamente e o processo seria considerado fora de controle se um valor amostral de np se localizasse nos limites de controle ou além deles Tamanho Variável de Amostra Em algumas aplicações do gráfico de controle para a fração não conforme a amostra é uma inspeção de 100 da saída de um processo durante um período de tempo Como quantidades diferentes de unidades podem ser produzidas em cada período o gráfico de controle teria então um tamanho variável de amostra Há três abordagens para a construção e operação de um gráfico de controle com tamanho variável de amostra Limites de Controle com Largura Variável A primeira e talvez mais simples abordagem é a determinação de limites de controle para cada amostra individual que se baseiem no tamanho específico da amostra Isto é se a ia amostra tiver tamanho ni então os limites de controle superior e inferior serão Note que a largura dos limites de controle é inversamente proporcional à raiz quadrada do tamanho da amostra Para ilustrar essa abordagem considere os dados da Tabela 74 Esses dados são originalmente provenientes do grupo de compras de uma grande companhia aeroespacial Esse grupo emite ordens de compra para os fornecedores da companhia Os tamanhos das amostras na Tabela 74 são os números efetivos de ordens de compras emitidas a cada semana Obviamente não são constantes Uma unidade não conforme é uma ordem de compra com erro Entre os erros mais comuns estão a especificação incorreta de número de peças datas de entrega incorretas e informação incorreta do fornecedor Qualquer desses erros pode resultar em uma mudança da ordem de compra o que é dispendioso e pode atrasar a entrega do material TABELA 74 Dados sobre Ordem de Compra para um Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme com Tamanho Variável de Amostra Número da Amostra i Tamanho Amostralni Número de Unidades Não ConformesDi Fração Amostral Não Conforme Desvio padrão Limites de Controle LIC LSC 1 100 12 0120 0029 0009 0183 2 80 8 0100 0033 0 0195 3 80 6 0075 0033 0 0195 4 100 9 0090 0029 0009 0183 5 110 10 0091 0028 0012 0180 6 110 12 0109 0028 0012 0180 7 100 11 0110 0029 0009 0183 8 100 16 0160 0029 0009 0183 9 90 10 0110 0031 0003 0189 10 90 6 0067 0031 0003 0189 11 110 20 0182 0028 0012 0180 12 120 15 0125 0027 0015 0177 13 120 9 0075 0027 0015 0177 14 120 8 0067 0027 0015 0177 15 110 6 0055 0028 0012 0180 16 80 8 0100 0033 0 0195 17 80 10 0125 0033 0 0195 18 80 7 0088 0033 0 0195 19 90 5 0056 0031 0003 0189 20 100 8 0080 0029 0009 0183 21 100 5 0050 0029 0009 0183 22 100 8 0080 0029 0009 0183 23 100 10 0100 0029 0009 0183 24 90 6 0067 0031 0003 0189 25 90 9 0100 0031 0003 0189 2450 234 2383 Para as 25 amostras calculamos Consequentemente a linha central está em 0096 e os limites de controle são e em que é a estimativa do desviopadrão da fração amostral não conforme Os cálculos para a determinação dos limites de controle são mostrados nas três últimas colunas da Tabela 74 O gráfico de controle construído manualmente está exibido na Figura 76 FIGURA 76 Gráfico de controle para a fração não conforme com tamanho variável de amostra FIGURA 77 Gráfico de controle para a fração não conforme com tamanho variável de amostra usando Minitab Muitos programas de computador populares de controle de qualidade trabalham com o caso de tamanho variável de amostra A Figura 77 apresenta o gráfico de controle gerado por computador correspondente à Figura 76 Esse gráfico foi obtido com o Minitab Limites de Controle com Base em um Tamanho Médio de Amostra A segunda abordagem consiste em se tomar como base para o gráfico de controle um tamanho médio de amostra o que resulta em um conjunto aproximado de limites de controle Isso supõe que os futuros tamanhos de amostras não diferirão muito dos observados anteriormente Se essa abordagem for usada os limites de controle serão constantes e o gráfico de controle resultante não parecerá tão formidável ao pessoal de operação quanto o gráfico de controle com limites variáveis No entanto se existe uma variação grande no tamanho de uma amostra particular ou se um ponto se situa perto do limite de controle aproximado então os limites de controle exatos para aquele ponto devem ser determinados e o ponto deve ser examinado em relação àquele valor Para os dados da ordem de compra da Tabela 74 vemos que o tamanho médio da amostra é FIGURA 78 Gráfico de controle para a fração não conforme com base no tamanho médio da amostra Portanto os limites de controle aproximados são e A Figura 78 mostra o gráfico de controle resultante Note que para a amostra 11 se situa perto do limite superior de controle aproximado mas parece estar sob controle No entanto quando comparado com seu limite superior de controle exato 0180 pela Tabela 74 o ponto indica uma condição de fora de controle Analogamente pontos que se situam fora dos limites de controle aproximados podem estar dentro de seus limites de controle exatos Em geral devese tomar muito cuidado na interpretação de pontos perto dos limites de controle aproximados Devemos também ter cuidado na análise de sequências ou de outros padrões aparentemente anormais nos gráficos de controle com tamanho variável de amostra O problema é que uma mudança na fração amostral não conforme deve ser interpretada em relação ao tamanho da amostra Por exemplo suponha que p 020 e que duas frações amostrais sucessivas de não conformes sejam A primeira observação parece indicar pior qualidade que a segunda uma vez que No entanto suponha que os tamanhos das amostras sejam ni 50 e ni1 250 Em unidades de desviopadrão o primeiro ponto está 141 unidade acima da média e o segundo ponto está 158 unidade acima da média Isto é o segundo ponto realmente significa um desvio maior do padrão de p 020 do que o primeiro mesmo o segundo ponto sendo o menor dos dois Obviamente procurar por sequências ou outros padrões não aleatórios é praticamente sem sentido aqui O Gráfico de Controle Padronizado A terceira abordagem para se lidar com tamanho variável de amostra é o uso de um gráfico de controle padronizado em que os pontos são plotados em unidades de desviopadrão Tal gráfico de controle tem linha central em zero e limites de controle superior e inferior em 3 e 3 respectivamente A variável plotada no gráfico é em que p ou se não for dado nenhum padrão é a fração não conforme do processo sob controle O gráfico de controle padronizado para os dados sobre ordem de compra da Tabela 74 está na Figura 79 Os cálculos associados a esse gráfico de controle estão na Tabela 75 Testes para sequências e métodos para reconhecimento de padrões podem ser aplicados com segurança a esse gráfico porque as mudanças relativas de um para outro ponto estão todas expressas em termos da mesma unidade de medida O gráfico de controle padronizado não é mais difícil de se construir ou de se manter do que qualquer um dos outros dois processos discutidos na seção Na verdade muitos softwares de controle de qualidade executam isso automaticamente como um procedimentopadrão ou podem ser programados para fazer o gráfico de controle padronizado Por exemplo a versão da Figura 79 mostrada na Figura 710 foi criada pelo Minitab Conceitualmente no entanto pode ser mais difícil para o pessoal de operação entender e interpretar porque a referência à fração de defeituosos real do processo se perdeu Entretanto se há grande variação no tamanho da amostra métodos para reconhecimento de sequências e padrões podem ser aplicados com segurança apenas ao gráfico de controle padronizado Nesse caso é recomendável a manutenção de um gráfico de controle com limites de controle individuais para cada amostra como na Figura 76 para o pessoal de operação enquanto se mantém simultaneamente um gráfico de controle padronizado para uso do engenheiro da qualidade FIGURA 79 Gráfico de controle padronizado para a fração não conforme FIGURA 710 Gráfico de controle padronizado para a fração não conforme gerado pelo Minitab Tabela 74 TABELA 75 Cálculos para o Gráfico de Controle Padronizado da Figura 79 0096 Desviopadrão Número da Amostra i Tamanho Amostral ni Número de Unidades Não Conformes Di Fração Amostral Não Conforme 1 100 12 0120 0029 083 2 80 8 0100 0033 012 3 80 6 0075 0033 064 4 100 9 0090 0029 021 5 110 10 0091 0028 018 6 110 12 0109 0028 046 7 100 11 0110 0029 048 8 100 16 0160 0029 221 9 90 10 0110 0031 045 10 90 6 0067 0031 094 11 110 20 0182 0028 307 12 120 15 0125 0027 107 723 724 13 120 9 0075 0027 078 14 120 8 0067 0027 107 15 110 6 0055 0028 146 16 80 8 0100 0033 012 17 80 10 0125 0033 088 18 80 7 0088 0033 024 19 90 5 0056 0031 129 20 100 8 0080 0029 055 21 100 5 0050 0029 159 22 100 8 0080 0029 055 23 100 10 0100 0029 014 24 90 6 0067 0031 094 25 90 9 0100 0031 013 O gráfico de controle padronizado é também recomendado quando o comprimento da sequência de produção é curto como em muitos ambientes de lojas Gráficos de controle para sequências curtas de produção são discutidos no Capítulo 9 Aplicações em Empresas de Transações e Serviços O gráfico de controle para a fração não conforme é amplamente usado em aplicações do controle estatístico do processo em empresas de transações e indústria de serviços No ambiente não industrial muitas características da qualidade podem ser observadas com base em conformidade ou não conformidade Exemplos incluem o número de cheques de pagamento de empregados com erro ou distribuídos com atraso durante um período de pagamento o número de cheques que não são pagos no períodopadrão de contabilidade e o número de entregas feitas por um fornecedor fora do prazo Muitas aplicações não industriais do gráfico de controle para a fração não conforme envolverão o caso de tamanho variável de amostra Por exemplo o número total de requisições de cheques durante um período de contabilidade provavelmente não é constante e como a informação sobre a oportunidade para o processamento de todas as requisições de cheques em geral está disponível calcularíamos como a razão de todos os cheques atrasados em relação ao total de cheques processados no período Como ilustração considere os dados sobre ordens de compra da Tabela 74 Os tamanhos das amostras na Tabela 74 são os números reais de ordens de compra expedidas a cada semana Seria bastante incomum que fossem exatamente iguais de semana para semana Consequentemente um gráfico de controle da fração não conforme com tamanho variável de amostra é a abordagem ideal para essa situação O uso desse gráfico de controle foi um passo inicial chave na identificação de muitas causas de raiz dos erros em ordens de compra e no desenvolvimento de ações corretivas necessárias à melhoria do processo Cálculos da Função Característica de Operação e do Comprimento Médio de Sequência A função característica de operação ou CO do gráfico de controle para a fração não conforme é uma visualização gráfica da probabilidade de aceitação incorreta da hipótese de controle estatístico isto é um erro tipo II ou β versus a fração não conforme do processo A curva CO fornece uma medida da sensitividade do gráfico de controle isto é sua capacidade de detectar uma mudança na fração não conforme do processo do valor nominal para qualquer outro valor p A probabilidade do erro tipo II para o gráfico de controle para a fração não conforme pode ser calculada por Como D é uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p o erro β definido na equação 715 pode ser obtido da distribuição binomial acumulada Note que quando o LIC é negativo o segundo termo no membro direito da equação 715 pode ser eliminado A Tabela 76 mostra os cálculos necessários para se gerar a curva CO para um gráfico de controle para a fração não conforme com parâmetros n 50 LIC 00303 e LSC 03697 Com esses parâmetros a equação 715 se torna TABELA 76 Cálculosa para a Construção da Curva CO para um Gráfico de Controle para a Fração Não Conforme com n 50 LIC 00303 e LSC 03697 p PD 18p PD 1p β PD 18p PD 1p 001 10000 09106 00894 003 10000 05553 04447 005 10000 02794 07206 010 10000 00338 09662 015 09999 00029 09970 020 09975 00002 09973 025 09713 00000 09713 030 08594 00000 08594 035 06216 00000 06216 040 03356 00000 03356 045 01273 00000 01273 050 00325 00000 00325 055 00053 00000 00053 aAs probabilidades nesta tabela foram encontradas pelo cálculo da distribuição binomial acumulada Para p pequeno p 01 digamos a aproximação de Poisson poderia ser usada e para valores maiores de p a aproximação normal poderia ser usada β PD 5003697p PD 5000303p PD 1849p PD 152p No entanto como D deve ser um inteiro temos que β PD 1849p PD 1p A curva CO está esboçada na Figura 711 Podemos também calcular os comprimentos médios de sequências CMS para o gráfico de controle para a fração não conforme Relembre do Capítulo 5 que para dados de processo não correlacionados o CMS para qualquer gráfico de controle de Shewhart pode ser escrito como Assim se o processo estiver sob controle o CMS0 é e se estiver fora de controle então Essas probabilidades α β podem ser calculadas diretamente da distribuição binomial ou lidas na curva CO Para ilustrar considere o gráfico de controle para a fração não conforme usado nos cálculos da curva CO na Tabela 76 Esse gráfico tem parâmetros n 50 LSC 03697 LIC 00303 e a linha central é 020 Pela Tabela 76 ou pela curva CO na Figura 711 vemos que se o processo estiver sob controle com p a probabilidade de um ponto ser plotado sob controle é 09973 Nesse caso α 1 β 00027 e o valor CMS0 é 73 731 Assim se o processo estiver realmente sob controle teremos um falso alarme de fora de controle a cada 370 amostras aproximadamente Isso será quase sempre verdadeiro para qualquer gráfico de Shewhart com limites de controle três sigmas Esse CMS0 sob controle é em geral considerado satisfatoriamente grande Suponhamos agora que o processo passe para uma situação fora de controle com p 03 A Tabela 76 indica que se p 03 então β 08594 Portanto o valor de CMS1 é FIGURA 711 Curva característica de operação do gráfico de controle para a fração não conforme com 020 LIC 00303 e LSC 03697 e serão necessárias sete amostras em média para se detectar essa mudança com um ponto fora dos limites de controle Se isso não for satisfatório alguma ação deve ser empreendida para reduzir o CMS1 fora de controle O aumento do tamanho da amostra resultaria em um menor valor de β e um menor CMS1 fora de controle Outra abordagem seria a redução do intervalo entre as amostras Isto é se estivermos presentemente extraindo amostras a cada hora levará em torno de 7 horas para que a mudança seja detectada Se extrairmos amostras a cada meia hora precisaremos de apenas 35 horas em média para detectar a mudança Outra abordagem consiste no uso de um gráfico de controle que seja mais sensível a pequenas mudanças tal como o gráfico de somas cumulativas do Capítulo 9 Gráficos de Controle para Não Conformidades Defeitos Um item não conforme é uma unidade do produto que não satisfaz uma ou mais das especificações para aquele produto Cada ponto particular em que uma especificação não é satisfeita resulta em um defeito ou não conformidade Consequentemente um item não conforme conterá pelo menos uma não conformidade No entanto dependendo de sua natureza e gravidade é bem possível que um item contenha várias não conformidades e não seja classificado como não conforme Como exemplo suponha que estejamos fabricando microcomputadores Cada unidade poderia ter uma ou mais falhas no acabamento do gabinete mas como essas falhas não afetam a operação funcional da unidade essa unidade poderia ser classificada como conforme No entanto se houver muitas dessas falhas o computador seria classificado como não conforme uma vez que as falhas seriam muito visíveis para o comprador o que dificultaria sua venda Há várias situações práticas nas quais preferimos trabalhar diretamente com o número de defeitos ou não conformidades do que com a fração não conforme Essas incluem o número de soldas defeituosas em 100 m de tubulação de oleoduto o número de rebites quebrados na asa de um avião o número de defeitos de funcionamento em um aparelho eletrônico o número de erros em um documento o número de clientes que preferem abandonar um sistema de serviços sem completar o pedido de serviço e assim por diante É possível desenvolveremse gráficos de controle tanto para o número total de não conformidades em uma unidade quanto para o número médio de não conformidades por unidade Esses gráficos de controle assumem em geral que a ocorrência de não conformidades em amostras de tamanho constante é bem modelada pela distribuição de Poisson Essencialmente isso requer que o número de oportunidades ou localizações potenciais para não conformidades seja infinitamente grande e que a probabilidade de ocorrência de uma não conformidade em qualquer dessas localizações seja pequena e constante Além disso a unidade de inspeção deve ser a mesma para cada amostra Isto é cada unidade de inspeção deve sempre representar uma área de oportunidade idêntica para a ocorrência de não conformidades Ainda mais podemos contar não conformidades de diferentes tipos em uma mesma unidade desde que as condições anteriores sejam satisfeitas para cada classe de não conformidade Na maioria das situações práticas essas condições não serão satisfeitas exatamente O número de oportunidades para a ocorrência de não conformidades pode ser finito ou a probabilidade de ocorrência de não conformidades pode não ser constante Desde que esses afastamentos das hipóteses não sejam muito graves o modelo de Poisson em geral funcionará muito bem Há no entanto casos em que o modelo de Poisson é totalmente inadequado Essas situações são discutidas com mais detalhe no final da Seção 731 Procedimentos com Tamanho Constante de Amostra Considere a ocorrência de não conformidades em uma unidade de inspeção do produto Na maioria dos casos a unidade de inspeção será uma única unidade do produto embora isso não seja necessariamente sempre assim A unidade de inspeção é simplesmente uma entidade para a qual é conveniente manteremse registros Ela pode ser um grupo de 5 unidades do produto 10 unidades do produto e assim por diante Suponha que defeitos ou não conformidades ocorram nessa unidade de inspeção de acordo com a distribuição de Poisson isto é em que x é o número de não conformidades e c 0 é o parâmetro da distribuição de Poisson Pela Seção 323 sabemos que tanto a média quanto a variância da distribuição de Poisson são o parâmetro c Assim um gráfico de controle para defeitos ou não conformidades ou gráfico c com limites três sigmas seria definido como segue2 Gráfico de Controle para Não Conformidades Padrão Dado supondo que um valorpadrão para c esteja disponível Se esses cálculos resultarem em um valor negativo para o LIC faça LIC 0 Se não for dado nenhum padrão então c pode ser estimado como o número médio de não conformidades observado em uma amostra preliminar de unidades de inspeção digamos Nesse caso o gráfico de controle tem parâmetros definidos como segue Gráfico de Controle para Não Conformidades Nenhum Padrão Dado Quando não é dado nenhum padrão os limites de controle na equação 717 devem ser considerados como limites de controle tentativos e as amostras preliminares examinadas em relação à falta de controle na análise usual da fase I O gráfico de controle para não conformidades é também algumas vezes chamado de gráfico c EXEMPLO 73 Não Conformidades em Placas de Circuito Impresso A Tabela 77 apresenta o número de não conformidades observadas em 26 amostras sucessivas de 100 placas de circuito impresso Note que por questões de conveniência a unidade de inspeção é definida como 100 placas TABELA 77 Dados sobre o Número de Não Conformidades em Amostras de 100 Placas de Circuito Impresso Número da Amostra Número de Não Conformidades Número da Amostra Número de Não Conformidades 1 21 9 31 2 24 10 25 3 16 11 20 4 12 12 24 5 15 13 16 6 5 14 19 7 28 15 10 8 20 16 17 17 13 22 24 18 22 23 16 19 18 24 19 20 39 25 17 21 30 26 15 SOLUÇÃO Como as 26 amostras contêm um total de 516 não conformidades estimamos c por Assim os limites de controle tentativos são dados por O gráfico de controle é exibido na Figura 712 O número de não conformidades observadas nas amostras preliminares está plotado nesse gráfico Dois pontos se localizam fora dos limites de controle amostras 6 e 20 O exame da amostra 6 revela que um novo inspetor examinou as placas dessa amostra e que ele não reconheceu vários dos tipos de não conformidades que poderiam estar presentes Além disso o número de não conformidades assaz grande na amostra 20 resultou de um problema de controle da temperatura na máquina de solda o que foi reparado em seguida Portanto parece razoável a exclusão dessas duas amostras e a revisão dos limites de controle tentativos A estimativa de c é agora calculada como e os limites de controle revisados são Esses se tornam os valorespadrão em relação aos quais a produção será comparada no próximo período Vinte novas amostras cada uma consistindo em uma unidade de inspeção isto é 100 placas são coletadas em seguida O número de não conformidades em cada amostra é anotado e registrado na Tabela 78 Esses pontos estão plotados no gráfico de controle da Figura 713 Não é apresentada nenhuma falta de controle no entanto o número de não conformidades por placa é ainda inaceitavelmente alto Tornase necessária uma ação da gerência para melhorar o processo FIGURA 712 Gráfico de controle para não conformidades para o Exemplo 73 TABELA 78 Dados Adicionais para o Gráfico de Controle para Não Conformidades Exemplo 73 Número da Amostra Número de Não Conformidades Número da Amostra Número de Não Conformidades 27 16 37 18 28 18 38 21 29 12 39 16 30 15 40 22 31 24 41 19 32 21 42 12 33 28 43 14 34 20 44 9 35 25 45 16 36 19 46 21 FIGURA 713 Continuação do gráfico de controle para não conformidades Exemplo 73 Análise Adicional de Não Conformidades Dados sobre defeitos ou não conformidades são mais informativos que a fração não conforme porque sempre haverá vários tipos diferentes de não conformidades Pela análise por tipo das não conformidades podemos em geral obter considerável compreensão sobre suas causas E isso pode ser de grande utilidade no desenvolvimento dos planos de ação para fora de controle PAFC que devem acompanhar os gráficos de controle Por exemplo no processo das placas de circuito impresso há dezesseis tipos diferentes de defeitos Os dados sobre defeitos de 500 placas estão plotados em um gráfico de Pareto na Figura 714 Note que cerca de 60 do número total de defeitos se devem a dois tipos de defeitos insuficiência de solda e junta de solda fria Isso aponta para problemas adicionais com o processo de solda Se esses problemas puderem ser isolados e eliminados haverá um aumento considerável no resultado do processo Note que as não conformidades seguem uma distribuição de Pareto isto é a maior parte dos defeitos é atribuível a poucos nesse caso dois tipos de defeitos Esse processo fabrica vários tipos diferentes de placas de circuito impresso Assim pode ser útil examinarse a ocorrência de tipo de defeito por tipo de placa de circuito impresso número da peça A Tabela 79 apresenta essa informação Note que todas as 40 insuficiências de solda e todas as 20 juntas de solda frias ocorreram no mesmo número de peça 0001285 Isso implica que esse tipo particular de placa é muito sensível a problemas na soldagem e devese dar atenção especial no sentido de melhorar esse passo do processo para esse número de peça Outra técnica útil para a análise adicional de não conformidades é o diagrama de causa e efeito discutido no Capítulo 5 O diagrama de causa e efeito é usado para a ilustração das várias fontes de não conformidades em produtos e suas interrelações É útil para focalizar a atenção dos operadores engenheiros de produção e gerentes nos problemas da qualidade O desenvolvimento de um bom diagrama de causa e efeito usualmente melhora o nível de compreensão tecnológica do processo A Figura 715 mostra um diagrama de causa e efeito para o processo de montagem de placas de circuito impresso Como a maioria dos defeitos nesse exemplo se relacionava com a solda o diagrama de causa e efeito poderia ser usado aqui para ajudar na escolha das variáveis para um experimento planejado para a otimização do processo de solda Há várias maneiras de se desenhar o diagrama A utilizada na Figura 715 focaliza três fontes genéricas principais de não conformidades materiais operadores e equipamento Outra abordagem útil é a organização do diagrama de acordo com o fluxo de material através do processo FIGURA 714 Análise de Pareto das não conformidades para o processo das placas de circuito impresso TABELA 79 Tabela de Defeitos Classificados por Número da Peça e Código do Defeito Número da Peça Frequência Percentual Percentual da Linha Percentual da Coluna Defeito Componente Componente Ausente Danificado NO Código da Peça Extra do Componente Componente Impróprio I Bruta Revestimento da Placa Bruta RE Placa Danificada Pouca Solda Solda Solda Aberta DEWE Junta Fria 0001285 1 0 0 0 0 1 0 5 20 102 000 000 000 000 102 000 510 2041 141 000 000 000 000 141 000 704 2817 5000 000 000 000 000 10000 000 7143 10000 0001481 1 2 2 6 3 0 1 2 0 102 204 612 306 000 000 102 204 000 370 741 2222 1111 000 000 370 741 000 5000 10000 10000 10000 10000 000 10000 2857 000 0006429 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Total 2 2 2 6 3 1 1 7 20 204 204 204 612 306 102 102 714 2041 Número da Peça Frequência Percentual Percentual da Linha Percentual da Coluna Defeito Solda Insuficiente Respingo de Solda Selo do Código Ausente Selo do ID do Operador de Teste Marca de Teste BrancaM Marca da Fiação Marca EC Incorreta 5 Unidades Boas Total 0001285 40 0 0 0 2 1 1 0 71 4082 000 000 000 204 102 102 000 7245 5632 000 000 000 282 141 141 000 10000 000 000 000 6667 3333 10000 000 0001481 0 5 1 1 1 2 0 0 27 000 510 102 102 102 204 000 000 2755 000 1852 370 370 370 741 000 000 000 10000 10000 10000 3333 6667 000 000 0006429 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Total 40 5 1 1 3 3 1 0 98 4082 510 102 102 306 306 102 000 10000 FIGURA 715 Diagrama de causa e efeito Escolha do Tamanho da Amostra O Gráfico u O Exemplo 73 ilustra um gráfico de controle para não conformidades com o tamanho da amostra exatamente igual a uma unidade de inspeção A unidade de inspeção é escolhida em função da simplicidade operacional ou de coleta de dados No entanto não há razão pela qual o tamanho da amostra deva se restringir a uma unidade de inspeção Na verdade preferimos usar em geral várias unidades de inspeção na amostra aumentando assim a área de oportunidade para a ocorrência de não conformidades O tamanho da amostra deve ser escolhido de acordo com considerações estatísticas tais como a especificação de um tamanho amostral grande o bastante para garantia de um limite inferior de controle positivo ou para a obtenção de uma probabilidade particular de se detectar uma mudança no processo Alternativamente fatores econômicos podem entrar na determinação do tamanho da amostra Suponha que decidamos basear o gráfico de controle em um tamanho de amostra de n unidades de inspeção Note que n não precisa ser um inteiro Para ilustrar isso suponha que no Exemplo 73 devêssemos especificar um tamanho de subgrupo de n 25 unidades de inspeção Então o tamanho da amostra se torna 25100 250 placas Há duas abordagens gerais para a construção do gráfico revisado uma vez selecionado um novo tamanho de amostra Uma abordagem consiste simplesmente na redefinição de uma nova unidade de inspeção que seja igual a n vezes a antiga unidade de inspeção Nesse caso a linha central do novo gráfico de controle está em n e os limites de controle se localizam em em que é o número médio de não conformidades observado na unidade de inspeção original Suponha que no Exemplo 73 depois de revisar os limites de controle tentativos decidíssemos usar um tamanho de amostra de n 25 unidades de inspeção Então a linha central se localizaria em n 251967 4918 e os limites de controle seriam ou LIC 2814 e LSC 7022 A segunda abordagem envolve o estabelecimento de um gráfico de controle com base no número médio de não conformidades por unidade de inspeção Se encontrarmos um total de x não conformidades em uma amostra de unidades de inspeção então o número médio de não conformidades por unidade de inspeção é Note que x é uma variável aleatória de Poisson consequentemente os parâmetros do gráfico de controle para o número médio de não conformidades por unidade são os seguintes Gráfico de Controle para o Número Médio de Não Conformidades por Unidade em que representa o número médio observado de não conformidades por unidade em um conjunto preliminar de dados Os limites de controle encontrados pela equação 719 devem ser encarados como limites de controle tentativos Esse gráfico por unidade é frequentemente chamado de gráfico de controle para não conformidades por unidade ou gráfico u EXEMPLO 74 Gráficos de Controle em Operações de Cadeia e Suprimento Um grupo de engenharia de cadeia de suprimento monitora embarques de materiais através da rede de distribuição da companhia Erros na entrega do material ou na documentação que o acompanha são observados semanalmente A cada semana 50 embarques selecionados aleatoriamente são examinados e os erros registrados Os dados para 20 semanas são apresentados na Tabela 710 Estabeleça um gráfico de controle u para o monitoramento desse processo SOLUÇÃO Pelos dados na Tabela 710 estimamos o número de erros não conformidades por unidade embarque como Portanto os parâmetros do gráfico de controle são Como o LIC 0 fazemos LIC 0 para o gráfico u A Figura 716 mostra o gráfico de controle Os dados preliminares não exibem ausência de controle estatístico assim os limites de controle tentativos dados aqui seriam adotados na fase II de monitoramento das operações futuras Novamente note que embora o processo esteja sob controle o número médio de erros por embarque é alto Alguma ação deve ser tomada para a melhoria do sistema da cadeia de suprimento TABELA 710 Dados para o Número de Erros no Embarque em uma Rede de Cadeia de Suprimento Número da Amostra semanai Tamanho Amostral n Número Total de Erros Não Conformidades xi Número Médio de Erros Não Conformidades por Unidade ui xin 1 50 2 004 2 50 3 006 3 50 8 016 4 50 1 002 5 50 1 002 6 50 4 008 7 50 1 002 8 50 4 008 9 50 5 010 10 50 1 002 11 50 8 016 12 50 2 004 13 50 4 008 14 50 3 006 15 50 4 008 16 50 1 002 17 50 8 016 18 50 3 006 19 50 7 014 20 50 4 008 74 148 FIGURA 716 Gráfico de controle para não conformidades por unidade do Minitab para o Exemplo 74 Modelos de Probabilidade Alternativos para Dados de Contagem A maioria das aplicações do gráfico c supõe que a distribuição de Poisson seja o modelo de probabilidade correto subjacente ao processo No entanto ela não é a única distribuição que poderia ser utilizada para dados de contagens ou não conformidades por tipo de unidade Vários tipos de fenômenos podem produzir distribuições de defeitos que não são bem modeladas pela distribuição de Poisson Na distribuição de Poisson a média e a variância são iguais Quando os dados amostrais indicam que a variância amostral é substancialmente diferente da média a hipótese de Poisson é provavelmente inadequada A situação em que a hipótese de Poisson provavelmente é inadequada surge quando as não conformidades tendem a aparecer em conglomerados isto é se houver uma não conformidade em alguma parte do produto então é provável que existam outras Note que há no mínimo dois processos aleatórios operando aqui um gerando o número e a localização dos conglomerados e o segundo gerando o número de não conformidades dentro de cada conglomerado Se o número de conglomerados tiver uma distribuição de Poisson e o número de não conformidades dentro de cada conglomerado tiver uma distribuição comum digamos f então o número total de não conformidades terá uma distribuição de Poisson composta Muitos tipos de distribuições compostas ou generalizadas poderiam ser usados como modelo para dados do tipo contagem Como ilustração se o número de conglomerados tiver uma distribuição de Poisson e o número de não conformidades dentro de cada conglomerado for também Poisson então a distribuição tipo A de Neyman modelará o número total de não conformidades Alternativamente se a distribuição dos conglomerados for gama e o número de não conformidades dentro de cada conglomerado for Poisson resultará a distribuição binomial negativa Johnson e Kotz 1969 dão um bom resumo dessas e de outras distribuições discretas que poderiam ser úteis na modelagem de dados do tipo contagem Misturas de vários tipos de não conformidades podem levar a situações nas quais o número total de não conformidades não seja adequadamente modelado pela distribuição de Poisson Situações semelhantes ocorrem quando os dados de contagem têm muitos ou poucos zeros Uma boa discussão desse problema geral encontrase no artigo de Jackson 1972 O uso da distribuição binomial negativa para a modelagem de dados de contagem em unidades de inspeção de tamanho variável foi estudado por Sheaffer e Leavenworth 1976 A dissertação de Gardiner 1987 descreve o uso de várias distribuições discretas para modelagem da ocorrência de defeitos em circuitos integrados Como observamos na Seção 324 a distribuição geométrica pode também ser útil como modelo para dados de contagem ou eventos Kaminsky et al 1992 propuseram gráficos de controle pra contagens com base na distribuição geométrica O modelo de probabilidade que eles usam para a distribuição geométrica é px p1 pxa para x a a 1 a 2 em que a é o número conhecido mínimo possível de eventos Suponha que os dados do processo estejam disponíveis como um subgrupo de tamanho n digamos x1 x2 xn Essas são observações independentes e igualmente distribuídas segundo uma distribuição geométrica quando o processo está estável sob controle As duas estatísticas que podem ser usadas para formar um gráfico de controle são o número total de eventos T x1 x2 xn e o número médio de eventos Pelo Capítulo 3 sabemos que a soma de variáveis aleatórias independentes e igualmente distribuídas segundo uma distribuição geométrica é uma variável aleatória binomial negativa Essa seria uma informação útil na construção de curvas CO ou cálculos de CMSs para os gráficos de controle para T ou A média e a variância do número total de eventos T são e e a média e a variância do número médio de eventos são e Consequentemente os gráficos de controle podem ser construídos da maneira usual dos gráficos de Shewhart Kaminsky et al 1992 se referem ao gráfico de controle para o número total de eventos como gráfico g e ao gráfico de controle para o número médio de eventos como gráfico h As linhas centrais e os limites de controle para cada gráfico são mostrados a seguir Gráficos de Controle g e h Padrões Dados Embora tenhamos suposto que a é conhecido na maioria das situações o parâmetro p provavelmente será desconhecido Um estimador para p é em que é a média de todos os dados de contagem Suponha que haja m subgrupos disponíveis cada um de tamanho n e sejam t1 t2 tm os números totais de eventos em cada subgrupo O número médio de eventos por subgrupo é Portanto 732 e A linha central e os limites de controle para os gráficos g e h com base em uma estimativa de p são mostrados a seguir Gráficos de Controle g e h Sem Padrões Dados Procedimentos com Tamanho Variável de Amostra Os gráficos de controle para não conformidades são ocasionalmente formados com o uso de 100 de inspeção do produto Quando esse método de amostragem é usado o número de unidades de inspeção em uma amostra será usualmente não constante Por exemplo a inspeção de rolos de tecido ou papel em geral leva a uma situação em que o tamanho da amostra varia porque nem todos os rolos são exatamente do mesmo comprimento ou largura Se um gráfico de controle para não conformidades gráfico c for usado nessa situação tanto a linha central quanto os limites de controle variarão com o tamanho da amostra Tal gráfico de controle seria muito difícil de se interpretar O procedimento correto é o uso de um gráfico de controle para não conformidades por unidade gráfico u Esse gráfico terá uma linha central constante entretanto os limites de controle variarão inversamente com a raiz quadrada do tamanho da amostra n EXEMPLO 75 Construção de um gráfico u Em uma fábrica de acabamento de tecido inspecionase o tecido tingido à procura da ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados Os dados relativos a dez rolos de tecido são exibidos na Tabela 711 Use esses dados para estabelecer um gráfico de controle para não conformidades por unidade TABELA 711 Ocorrência de Não Conformidades em Tecido Tingido Número do Rolo Número de Metros Quadrados Número Total de Não Conformidades Número de Unidades de Inspeção no Rolo n Número de Não Conformidades por Unidade de Inspeção 1 500 14 100 140 2 400 12 80 150 3 650 20 130 154 4 500 11 100 110 5 475 7 95 074 6 500 10 100 100 7 600 21 120 175 8 525 16 105 152 9 600 19 120 158 10 625 23 125 184 153 10750 SOLUÇÃO A linha central do gráfico deve ser o número médio de não conformidades por unidade de inspeção isto é o número médio de não conformidades por 50 metros quadrados calculado como Note que é a razão do número total de não conformidades observadas para o número total de unidades de inspeção TABELA 712 Cálculo dos Limites de Controle Exemplo 75 Número do Rolo i ni 1 100 255 029 2 80 268 016 3 130 241 043 4 100 255 029 5 95 258 026 6 100 255 029 7 120 245 039 8 105 252 032 9 120 245 039 10 125 243 041 Os limites de controle desse gráfico são calculados pela equação 719 com n substituído por ni A largura dos limites de controle variará inversamente com ni o número de unidades de inspeção no rolo Os cálculos para os limites de controle constam da Tabela 712 A Figura 717 mostra o gráfico de controle gerado pelo Minitab FIGURA 717 Gráfico de controle para o Exemplo 75 gerado por computador Minitab Como notamos anteriormente o gráfico u deve sempre ser usado quando o tamanho da amostra for variável A implementação mais comum envolve limites de controle variáveis como ilustrado no Exemplo 75 No entanto há duas outras abordagens possíveis 1 2 733 Use limites de controle com base em um tamanho médio de amostra Use um gráfico de controle padronizado essa é a opção preferida Esta segunda alternativa envolve a plotagem de uma estatística padronizada em um gráfico de controle com LIC 3 e LSC 3 e a linha central em zero Esse gráfico é apropriado se testes para sequências e outros métodos para reconhecimento de padrões forem usados paralelamente ao gráfico A Figura 718 mostra a versão padronizada do gráfico de controle do Exemplo 75 Esse gráfico de controle padronizado poderia também ser útil em uma situação de sequência curta de produção veja o Capítulo 10 Seção 101 Sistemas de Depreciação Com produtos complexos como automóveis computadores ou outros utensílios maiores vemos que em geral muitos tipos diferentes de não conformidades ou defeitos podem ocorrer Nem todos esses tipos de defeitos são igualmente importantes Uma unidade que apresente um defeito muito sério seria certamente classificada como não conforme com as especificações mas uma unidade com vários defeitos menores não necessariamente seria classificada como não conforme Em tais situações precisamos de um método para classificar não conformidades ou defeitos de acordo com a gravidade e ponderar os vários tipos de defeitos de uma maneira razoável Sistemas de depreciação para dados de atributos podem ser valiosos nessas situações Um esquema possível de depreciação é definido como se segue Defeitos Classe A Muito Sérios A unidade está ou completamente imprópria para serviço ou irá falhar de tal maneira que não será fácil corrigila no campo ou causará danos pessoais ou de propriedade Defeitos Classe B Sérios A unidade possivelmente sofrerá uma falha de operação Classe A ou certamente causará algum problema de operação menos sério ou certamente terá sua vida reduzida ou o custo de manutenção aumentado Defeitos Classe C Moderadamente Sérios A unidade possivelmente falhará em serviço ou causará problemas menos sérios que falhas de operação ou possivelmente terá sua vida diminuída ou os custos de manutenção aumentados ou terá um defeito maior de acabamento aparência ou qualidade do serviço Defeitos Classe D Menores A unidade não falhará em serviço mas tem defeitos menores de acabamento aparência ou qualidade do serviço Sejam ciA ciB ciC e ciD os números de defeitos Classe A Classe B Classe C e Classe D respectivamente na ia unidade de inspeção Admitimos que cada classe de defeitos seja independente e que a ocorrência de defeitos em cada classe seja bem modelada por uma distribuição de Poisson Definimos então o número de depreciações na unidade de inspeção como Os pesos de depreciação da Classe A 100 da Classe B 50 da Classe C 10 e da Classe D 1 são amplamente usados na prática No entanto qualquer outro conjunto razoável de pesos apropriado para um problema específico pode também ser usado Suponha que seja usada uma amostra de n unidades de inspeção Então o número de depreciações por unidade é em que é o número total de depreciações em todas as n unidades de inspeção Como ui é uma combinação linear de variáveis aleatórias de Poisson independentes a estatística ui poderia ser plotada em um gráfico de controle com os seguintes parâmetros em que 734 e Nas equações precedentes representam o número médio de defeitos da Classe A da Classe B da Classe C e da Classe D por unidade respectivamente e esses valores são obtidos por uma análise preliminar dos dados feita quando o processo supostamente funcionava sob controle Valorespadrão para uA uB uC e uD podem também ser usados se estiverem disponíveis FIGURA 718 Gráfico de controle padronizado para não conformidades por unidade Exemplo 75 Jones Woodall e Conerly 1999 fornecem uma discussão completa sobre gráficos de controle com base em depreciação Eles mostram como os limites com base em probabilidade podem ser calculados como alternativa aos limites três sigmas usados anteriormente Mostram também que em geral os limites de probabilidade fornecem melhor desempenho mas são mais difíceis de serem calculados São possíveis muitas variações dessa ideia Por exemplo podemos classificar não conformidades como defeitos funcionais e defeitos de aparência se for preferível um sistema de duas classes É também muito comum na prática manteremse gráficos de controle separados para cada classe de defeitos em vez de combinálas em um único gráfico A Função Característica de Operação As curvas características de operação CO tanto para o gráfico c quanto para o gráfico u podem ser obtidas da distribuição de Poisson Para o gráfico c a curva CO plota a probabilidade β de um erro tipo II versus o verdadeiro número médio de defeitos c A expressão para β é em que x é uma variável aleatória de Poisson com parâmetro c Note que se LIC 0 o segundo termo no lado direito da equação 726 deve ser eliminado Vamos gerar a curva CO para o gráfico c do Exemplo 73 Para esse exemplo como LIC 648 e LSC 3322 a equação 726 se torna β Px 3322c Px 648c Como o número de não conformidades deve ser inteiro isso é equivalente a β Px 33c Px 6c Essas probabilidades são calculadas na Tabela 713 A curva CO é mostrada na Figura 719 TABELA 713 Cálculo da Curva CO para um Gráfico c com LSC 3322 e LIC 648 c Px 33c Px 6c β Px 33c Px 6c 1 1000 0999 0001 3 1000 0966 0034 5 1000 0762 0238 7 1000 0450 0550 10 1000 0130 0870 735 15 0999 0008 0991 20 0997 0000 0997 25 0950 0000 0950 30 0744 0000 0744 33 0546 0000 0546 35 0410 0000 0410 40 0151 0000 0151 45 0038 0000 0038 Para o gráfico u podemos gerar a curva CO a partir de em que nLIC denota o menor inteiro maior do que ou igual a nLIC e nLSC denota o maior inteiro menor do que ou igual a nLSC Os limites no somatório da equação 726 decorrem do fato de que o número total de não conformidades observadas em uma amostra de n unidades de inspeção deve ser um inteiro Note que n não precisa ser um inteiro Lidando com Níveis Baixos de Defeitos Quando os níveis de defeitos ou em geral as taxas de contagem em um processo se tornam muito baixas digamos abaixo de 1000 ocorrências por milhão haverá longos intervalos de tempo entre as ocorrências de unidades não conformes Nessas situações muitas amostras terão zero defeito e um gráfico de controle com a estatística plotando zero consistentemente não será relativamente muito informativo Assim os gráficos convencionais c e u se tornam ineficazes na medida em que as taxas de contagem caem na faixa de poucas partes por milhão ppm Uma maneira de se lidar com esse problema é a adoção de um gráfico de controle do tempo entre ocorrências que exibe uma nova variável o tempo entre ocorrências sucessivas da contagem O gráfico de controle do tempo entre eventos tem sido muito eficaz como um procedimento de controle do processo para processos com baixos níveis de defeitos Suponha que defeitos ou contagens ou eventos de interesse ocorram segundo uma distribuição de Poisson Então a distribuição de probabilidade do tempo entre eventos é a distribuição exponencial Portanto a construção do gráfico de controle do tempo entre eventos é essencialmente equivalente à construção do gráfico de controle de uma variável distribuída exponencialmente Entretanto a distribuição exponencial é altamente assimétrica e como resultado o gráfico de controle correspondente seria muito assimétrico Tal gráfico pareceria bastante incomum e poderia apresentar dificuldades de interpretação para o pessoal de operação FIGURA 719 Curva CO de um gráfico c com LIC 648 e LSC 3322 Nelson 1994 sugeriu a solução desse problema pela transformação da variável aleatória exponencial em uma variável aleatória de Weibull de modo que a distribuição de Weibull resultante fosse bem aproximada pela distribuição normal Se y representa a variável aleatória exponencial original a transformação apropriada é Podese construir um gráfico de controle para x supondose que x tenha distribuição normal EXEMPLO 76 Uma engenheira química deseja estabelecer um gráfico de controle para monitorar a ocorrência de falhas em uma válvula importante Ela decidiu usar o número de horas entre falhas como a variável a ser monitorada A Tabela 714 mostra o número de horas entre falhas para as últimas 20 falhas dessa válvula A Figura 720 é o gráfico da probabilidade normal para o tempo entre falhas Estabeleça o gráfico de controle do tempo entre eventos para esse processo SOLUÇÃO Claramente o tempo entre falhas não é distribuído normalmente A Tabela 714 mostra também os valores transformados do tempo entre falhas calculados pela equação 727 A Figura 721 é o gráfico da probabilidade normal dos tempos entre falhas transformados Note que o gráfico indica que essa variável transformada é bem aproximada pela normal TABELA 714 Dados para o Tempo entre Falhas Exemplo 76 Falha Tempo entre Falhas y horas Valor Transformado do Tempo entre Falhas x y02777 1 286 480986 2 948 670903 3 536 572650 4 124 381367 5 816 643541 6 729 623705 7 4 146958 8 143 396768 9 431 539007 10 8 178151 11 2837 909619 12 596 589774 13 81 338833 14 227 451095 15 603 591690 16 492 559189 17 1199 716124 18 1214 718601 19 2831 909083 20 96 355203 736 FIGURA 720 Gráfico da probabilidade normal do tempo entre falhas Exemplo 76 FIGURA 721 Gráfico da probabilidade normal para os dados de falhas transformados A Figura 722 mostra um gráfico de controle para os tempos entre falhas transformados individuais e um gráfico de controle da amplitude móvel para esses mesmos tempos Note que os gráficos de controle indicam um estado de controle implicando que o mecanismo de falha dessa válvula é constante Se for feita uma mudança no processo que melhore a taxa de falhas tal como um tipo diferente de manutenção então poderíamos esperar que o tempo médio entre falhas aumentasse Isso resultaria em pontos se localizando acima do limite superior de controle no gráfico de controle para os tempos individuais da Figura 722 FIGURA 722 Gráficos de controle para unidades individuais e amplitude móvel para os dados transformados dos tempos entre falhas Exemplo 76 O exemplo anterior ilustrou o uso de gráficos de controle para observações individuais com dados de tempo entre eventos Em muitos casos os gráficos de controle CUSUM e MMEP do Capítulo 9 seriam alternativas melhores porque esses gráficos são mais eficazes para detectar pequenas mudanças na média Kittlitz 1999 também estudou a transformação da distribuição exponencial para gráficos de controle Nota que a transformação log estabiliza a variância da distribuição exponencial mas produz uma distribuição bastante assimétrica negativamente Kittlitz sugere o uso da transformação x y025 notando que isso é análogo à recomendação de Nelson e muito fácil de ser calculado simplesmente use a tecla da raiz quadrada da calculadora duas vezes Aplicações Não Industriais 74 O gráfico c e o gráfico u são amplamente usados em aplicações do controle estatístico do processo em empresas de transações e de serviços De fato podemos tratar os erros nesses ambientes da mesma maneira que tratamos defeitos ou não conformidades no mundo da produção Para dar apenas alguns exemplos podemos plotar erros em desenhos de engenharia erros em planos ou documentos erros em relatórios médicos erros em reclamações de seguro erros em formulários de pedidos de empréstimo e erros em programas de computador como gráfico c ou u Em Gardiner e Montgomery 1987 dáse um exemplo que usa o gráfico u para monitorar erros em programas de computador durante o desenvolvimento do produto Escolha entre Gráficos de Controle de Atributos e de Variáveis Em muitas aplicações o analista deverá escolher entre o uso de gráfico de controle de variáveis tais como os gráficos e R e um gráfico de controle de atributos como o gráfico p Em alguns casos a escolha é bem clara Por exemplo se a característica de qualidade é a cor do item tal como no caso de produção de tapetes ou tecido então a inspeção de atributos seria sempre preferida à tentativa de quantificar a característica de qualidade cor Em outros casos a escolha não será tão óbvia e o analista deverá levar em conta vários fatores para a escolha entre gráficos de controle de variáveis e de atributos Os gráficos de controle de atributos têm a vantagem de várias características da qualidade poderem ser consideradas em conjunto e a unidade ser classificada como não conforme caso deixe de corresponder à especificação em qualquer das características Por outro lado se as várias características são tratadas como variáveis então cada uma delas tem que ser medida e ou se mantêm gráficos e R separados para cada uma ou deve ser usada uma técnica multivariada de controle que considere todas as características simultaneamente Há uma simplicidade óbvia associada ao gráfico de atributos nesse caso Além disso as medidas dispendiosas e que gastam tempo podem ser evitadas pela inspeção de atributos Os gráficos de controle de variáveis em contraste fornecem informação muito mais útil sobre o desempenho do processo do que os gráficos de controle de atributos Informação específica sobre a média e a variabilidade do processo é obtida diretamente Além disso quando pontos são plotados fora dos limites de controle em gráficos de controle de variáveis usualmente se obtém muito mais informação em relação à causa potencial do sinal de fora de controle Para um estudo da capacidade de um processo os gráficos de controle de variáveis são quase sempre preferíveis aos gráficos de controle de atributos As exceções são estudos relativos a não conformidades produzidas por máquinas ou operadores em que há um número muito reduzido de fontes de não conformidades ou estudos que dizem respeito diretamente ao produto e falhas do processo Talvez a mais importante vantagem dos gráficos de controle e R seja o fato de que eles em geral fornecem uma indicação de problema iminente o que permite que o pessoal de operação tome ações corretivas antes que defeituosos sejam realmente produzidos Assim os gráficos e R são indicadores líderes de problemas enquanto os gráficos p ou gráficos c e u não reagirão a menos que o processo já tenha mudado e mais unidades não conformes tenham sido produzidas Essa maior eficiência dos gráficos e R é muito mais acentuada quando p é pequeno mas menos quando p é próximo de 05 FIGURA 723 Por que os gráficos e R podem avisar sobre perigo iminente Como ilustração considere o processo de produção representado na Figura 723 Quando a média do processo está em µ1 poucas unidades não conformes são produzidas Suponha que a média do processo comece a mudar para a direita Quando tiver atingido o valor µ2 os gráficos e R terão reagido à mudança na média gerando um forte padrão não aleatório e possivelmente vários pontos fora de controle No entanto um gráfico p não teria reagido até que a média tivesse mudado para µ3 ou até que o número real de não conformes produzidos tivesse aumentado Assim os gráficos e R são ferramentas de controle mais poderosas que o gráfico p Para um nível especificado de proteção contra mudanças no processo gráficos de controle de variáveis requerem em geral um tamanho de amostra muito menor do que o correspondente gráfico de controle de atributos Portanto embora a inspeção tipo variável seja usualmente mais dispendiosa e gaste mais tempo por unidade do que a inspeção tipo atributo muito menos unidades devem ser examinadas Essa é uma consideração importante particularmente onde a inspeção é destrutiva tal como abrir uma lata para medir o líquido dentro ou testar propriedades químicas do produto O exemplo que segue demonstra a vantagem econômica dos gráficos de controle de variáveis EXEMPLO 77 A Vantagem dos Gráficos de Controle de Variáveis O valor nominal da média de uma característica de qualidade é 50 e o desviopadrão é 2 O processo é controlado por um gráfico Os limites de especificação do processo são estabelecidos em três sigmas de tal modo que o limite inferior de especificação é 44 e o limite superior de especificação é 56 Quando o processo está sob controle no nível nominal de 50 a fração de não conformes produzidos supondo a característica da qualidade normalmente distribuída é 00027 Suponha que a média do processo mudasse para 52 A fração de não conformes produzidos em seguida à mudança é de aproximadamente 00228 Suponha que desejemos que a probabilidade de detectarmos essa mudança na primeira amostra subsequente seja de 050 Ache o tamanho apropriado da amostra para o gráfico e compareo com o tamanho amostral para um gráfico p que tenha a mesma probabilidade de detectar a mudança SOLUÇÃO O tamanho da amostra no gráfico deve ser grande o bastante para que o limite superior de controle três sigmas seja 52 Isso implica que ou n 9 Se um gráfico p for usado então devemos achar o tamanho da amostra necessário para dar a mesma probabilidade de detectar a mudança pela equação 710 isto é em que L 3 é a largura dos limites de controle p 00027 é a fração não conforme sob controle e δ 00228 00027 00201 é a magnitude do deslocamento Consequentemente teremos n 30020120002709973 5998 ou n 60 seria necessário para o gráfico p A menos que o custo da inspeção de medidas seja sete vezes maior do que na inspeção de atributos o gráfico é de operação menos dispendiosa De modo geral os gráficos de controle de variáveis são preferíveis aos de atributos Entretanto essa lógica pode ser levada a extremos ilógicos como mostra o Exemplo 78 EXEMPLO 78 Uma Aplicação Errada dos Gráficos e R Este exemplo ilustra uma aplicação errada dos gráficos e R que o autor encontrou na indústria eletrônica Uma companhia fabricante de produtos encaixotados inspecionava uma amostra das unidades de produção várias vezes a cada turno usando inspeção de atributos O resultado de cada inspeção de amostra era uma estimativa da fração não conforme do processo O pessoal da companhia estava ciente de que dados de atributos não continham tanta informação sobre o processo quanto dados de variáveis e estavam procurando maneiras de obter informações mais úteis sobre seu processo Um consultor da companhia não o autor havia sugerido que eles poderiam atingir seu objetivo convertendo os dados sobre a fração não conforme em gráficos e R Para isso cada grupo de cinco valores sucessivos de foi tratado como se fosse uma amostra de cinco medidas de variáveis então a média e a amplitude foram calculadas como e e esses valores foram plotados nos gráficos e R O consultor afirmava que esse procedimento forneceria mais informações do que o gráfico de controle para a fração não conforme FIGURA 724 Gráfico de controle da fração não conforme para o Exemplo 78 FIGURA 725 Gráfico para o Exemplo 78 75 1 2 3 4 5 1 2 3 FIGURA 726 Gráfico R para o Exemplo 78 Essa sugestão estava incorreta Se o processo de inspeção realmente produz dados de atributo governados pela distribuição binomial com n fixo então a fração amostral não conforme contém toda a informação na amostra isso é uma aplicação do conceito de estatística suficiente mínima e a formação de duas novas funções de não acrescentará nenhuma informação adicional Para ilustrar essa ideia considere o gráfico de controle para a fração não conforme na Figura 724 Esse gráfico foi produzido pela extração de 100 amostras cada uma de tamanho 200 de um processo para o qual p 005 e usando esses dados para calcular os limites de controle A extração das amostras continuou até a amostra 150 em que a fração populacional de não conformes foi aumentada para p 006 A cada intervalo subsequente de 50 amostras o valor de p aumentava em 001 Note que o gráfico de controle reage à mudança em p na amostra de número 196 As Figuras 725 e 726 apresentam os gráficos e R obtidos pelo subagrupamento dos valores amostrais de como sugerido antes Os vinte primeiros desses subgrupos foram usados para o cálculo da linha central e dos limites de controle dos gráficos e R Note que o gráfico reage à mudança em por volta do subgrupo número 40 Isso corresponderia às amostras originais 196200 Esse resultado é esperado uma vez que o gráfico está realmente monitorando a fração não conforme p O gráfico R na Figura 726 é no entanto enganoso Um subgrupo dentro do conjunto original usado para construir os limites de controle está fora de controle Isso é um alarme falso pois p 005 para todas as 100 amostras originais Além disso os pontos fora de controle que começam por volta do subgrupo 40 não contribuem com nenhuma informação adicional sobre o processo porque quando muda de 005 para 006 digamos o desviopadrão de p aumentará automaticamente Portanto nesse caso não há nenhum benefício adicional dos gráficos e R para o usuário Isso não quer dizer que o gráfico de controle para a fração não conforme tradicional com base na distribuição de probabilidade binomial seja o gráfico de controle correto para todos os dados sobre fração não conforme do mesmo modo que o gráfico c com base na distribuição de Poisson não é sempre o gráfico de controle correto para dados de defeito Se a variabilidade em de amostra para amostra for maior do que poderia ser plausivelmente explicada pelo modelo binomial então o analista deve determinar o modelo de probabilidade subjacente correto e basear o gráfico de controle naquela distribuição Diretrizes para a Implementação dos Gráficos de Controle Quase todo processo se beneficiará dos métodos de controle estatístico do processo inclusive do uso dos gráficos de controle Nesta seção apresentamos algumas diretrizes gerais úteis para a implementação dos gráficos de controle Especificamente lidamos com o seguinte Determinação de quais características do processo controlar Determinação de onde no processo os gráficos devem ser implementados Escolha do tipo apropriado de gráficos de controle Tomada de ações para melhorar os processos como resultado do CEPanálise do gráfico de controle Seleção dos sistemas de coleta de dados e dos programas de computador As diretrizes são aplicáveis aos gráficos de controle tanto de variáveis quanto de atributos Lembrese os gráficos de controle não são apenas para vigilância do processo eles devem ser usados como um método ativo online para redução da variabilidade do processo Determinação de Quais Características Controlar e Onde Colocar os Gráficos de Controle No início de um programa de gráfico de controle é em geral difícil determinaremse quais características do produto ou do processo controlar e em quais pontos do processo aplicar os gráficos de controle Seguem algumas diretrizes úteis No início gráficos de controle devem ser aplicados a quaisquer características do produto ou operações da produção que se acredite serem importantes Os gráficos darão resposta imediata sobre se são realmente necessários Os gráficos de controle que forem considerados desnecessários devem ser removidos e outros que o julgamento da engenharia e do operador considerarem necessários devem ser acrescentados Em geral mais gráficos de controle serão usados no início do que após a estabilização do processo Informações sobre o número e os tipos de gráficos de controle no processo devem ser mantidas atualizadas É melhor manter registros separados sobre gráficos de variáveis e de atributos Em geral após a instalação inicial dos gráficos de controle vemos que o número deles tende a crescer de maneira estável Depois usualmente decresce Quando o processo se estabiliza vemos que tipicamente o processo tem o mesmo número de gráficos de um ano para o seguinte no entanto não são necessariamente os mesmos gráficos 4 5 6 7 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B 1 2 3 4 5 C 1 2 3 4 Se os gráficos de controle estão sendo usados efetivamente e se novo conhecimento sobre as variáveischave do processo está sendo adquirido verificaremos que o número dos gráficos e R aumenta e o número dos gráficos de controle de atributos diminui No início de um programa de gráfico de controle haverá usualmente mais gráficos de controle de atributos aplicados a unidades semiacabadas ou acabadas perto do fim do processo de produção Na medida em que aprendemos mais sobre o processo esses gráficos serão substituídos por gráficos e R aplicados mais cedo no processo a parâmetros e operações críticos que resultem em não conformidades no produto final Em geral quanto mais cedo o controle do processo puder ser estabelecido melhor Em um processo complexo de montagem isso pode implicar que os controles do processo devam ser implementados no nível do vendedor ou fornecedor Os gráficos de controle são um procedimento online de monitoramento do processo Eles devem ser implementados e mantidos o mais próximo possível do centro de trabalho de modo que a resposta seja rápida Além disso os operadores do processo e a engenharia de produção devem ter a responsabilidade direta pela coleta de dados para o processo mantendo os gráficos e interpretando os resultados Os operadores e engenheiros têm o conhecimento detalhado do processo necessário para corrigir as perturbações do processo e usar o gráfico de controle como um instrumento para melhorar seu desempenho Microcomputadores podem acelerar a resposta e devem ser parte integrante de qualquer procedimento moderno online de controle de processo O plano de ação para fora de controle PAFC é parte vital do gráfico de controle O pessoal de operação e de engenharia deve se esforçar para manter os PAFCs atualizados e válidos Escolha do Tipo Apropriado do Gráfico de Controle Gráficos e R ou e s Considere o uso de gráficos de controle de variáveis nestas situações Um novo processo está sendo introduzido ou um novo produto está sendo fabricado por um processo já existente O processo está em operação por já algum tempo mas está cronicamente com problemas ou é incapaz de manter as tolerâncias especificadas O processo está com problemas e o gráfico de controle pode ser útil para propósitos de diagnóstico solução de problemas Teste destrutivo ou outros procedimentos dispendiosos de teste é necessário É desejável reduzirse a um mínimo a amostragem de aceitação ou outro procedimento de teste mais adiante quando o processo pode ser operado sob controle Gráficos de controle de atributos foram usados mas o processo ou está fora de controle ou está sob controle mas a produção é inaceitável Há especificações muito rigorosas sobrepondose às tolerâncias de montagem ou outros problemas difíceis de produção O operador deve decidir se ajusta ou não o processo ou quando uma configuração deve ser avaliada É desejada uma mudança nas especificações do produto A estabilidade e a capacidade do processo devem ser continuamente demonstradas tal como em indústrias regulamentadas Gráficos de Atributos gráficos p gráficos c e gráficos u Considere o uso de gráficos de controle de atributos nestas situações Os operadores controlam as causas atribuíveis e é necessária a redução das falhas do processo O processo é uma operação complexa de montagem e a qualidade do produto é medida em termos da ocorrência de não conformidades função de produção bem ou malsucedida e assim por diante Exemplos incluem computadores equipamentos de automação de escritórios automóveis e os principais subsistemas desses produtos É necessário controle do processo mas os dados sobre medidas não podem ser obtidos É necessário um resumo histórico do desempenho do processo Gráficos de controle de atributos tais como gráficos p gráficos c e gráficos u são muito eficazes para resumir informações sobre o processo para revisão pela gerência Lembrese de que os gráficos de atributos são em geral inferiores aos gráficos para variáveis Use gráficos e R ou e s sempre que possível Gráficos de Controle para Unidades Individuais Considere o uso de gráfico de controle para unidades individuais juntamente com o gráfico de amplitude móvel nestas situações É inconveniente ou impossível obterse mais de uma medida por amostra ou medidas repetidas diferirão sempre por erro de laboratório ou de análise Exemplos ocorrem comumente em processos químicos Teste automatizado e tecnologia de inspeção permitem a medição de toda unidade produzida Nesses casos considere também o gráfico de controle da soma acumulada e o gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada discutidos no Capítulo 9 Os dados se tornam disponíveis muito lentamente e a espera por uma grande amostra é impraticável ou torna o procedimento de controle muito lento para reagir a problemas Isso em geral acontece em situações de não produção por exemplo dados de contabilidade se tornam disponíveis mensalmente Em geral uma vez que estejamos na fase II gráficos de unidades individuais têm desempenho pobre em detectar mudanças e podem ser muito sensíveis a afastamentos da normalidade Use os gráficos MMEP e CUSUM do Capítulo 9 na fase II em vez de gráficos de unidades individuais sempre que possível Ações Tomadas para Melhorar o Processo A melhoria do processo é o objetivo primeiro do controle estatístico do processo A aplicação dos gráficos de controle dará informação sobre dois aspectoschave do processo controle estatístico e capacidade A Figura 727 mostra os estados possíveis nos quais o processo pode existir em relação a esses pontos Falando tecnicamente a capacidade de um processo não pode ser adequadamente avaliada até que o controle estatístico tenha sido estabelecido mas usaremos uma definição menos precisa de capacidade que é 1 2 3 1 2 3 1 apenas uma afirmativa qualitativa sobre se o nível de unidades não conformes produzidos é ou não baixo o bastante para garantir nenhum esforço adicional imediato para melhorar mais o processo A Figura 727 dá a resposta a duas questões O processo está sob controle e O processo é capaz no sentido do parágrafo anterior Cada uma das quatro celas na figura contém alguns cursos de ação recomendados que dependem das respostas a essas duas questões A cela no canto superior esquerdo é o estado ideal o processo está sob controle estatístico e exibe capacidade para os objetivos presentes do negócio Nesse caso os métodos do CEP são valiosos para o monitoramento do processo e para alertar contra a ocorrência de quaisquer novas causas atribuíveis que possam causar uma escorregada no desempenho A cela no canto superior direito implica que o processo exibe controle estatístico mas tem capacidade baixa Talvez a RCP seja menor do que a exigida pelo cliente ou haja variabilidade restante suficiente para resultar em sucata ou retrabalho Nesse caso os métodos do CEP podem ser úteis para diagnóstico e melhoria do processo primeiramente pelo reconhecimento de padrões no gráfico de controle mas os gráficos de controle não produzirão muitos sinais de fora de controle Usualmente é necessária intenção ativa no processo para melhorálo Métodos de planejamento experimental são úteis nesse ponto veja Montgomery 2009 Em geral é também útil reconsideraremse as especificações elas podem ter sido estabelecidas em níveis mais apertados do que o necessário para atingir a função ou desempenho da peça Como último recurso podemos ter de considerar a mudança do processo isto é investigar ou desenvolver nova tecnologia que tenha menos variabilidade em relação a essa característica da qualidade do que o processo anterior FIGURA 727 Ações tomadas para melhoria de um processo As duas celas inferiores na Figura 727 tratam do caso de um processo fora de controle A cela inferior direita apresenta o caso de um processo fora de controle e não capaz Lembrese de nosso uso não técnico do termo capacidade As ações aqui recomendadas são idênticas às da cela no canto superior direito exceto que se espera que o CEP dê resultados bastante rápidos agora porque os gráficos de controle devem identificar a presença de causas atribuíveis Os outros métodos de ataque justificarão no entanto consideração e uso em muitos casos Finalmente a cela inferior esquerda trata o caso de um processo que exibe ausência de controle estatístico mas que não produz um número significativo de defeituosos porque as especificações são muito amplas Os métodos do CEP devem ainda ser usados para o controle e para reduzir a variabilidade nesse caso pelas seguintes razões As especificações podem mudar sem aviso O cliente pode exigir ambos controle e capacidade O fato de o processo experimentar causas atribuíveis implica que forças desconhecidas estão agindo essas forças desconhecidas podem resultar em capacidade pobre em futuro próximo Seleção de Sistemas de Coleta de Dados e Programas de Computador Os últimos anos testemunharam uma explosão de softwares de controle de qualidade e aparelhos eletrônicos de coleta de dados Alguns consultores de CEP fazem recomendações contra o uso do computador assinalando que seja desnecessário uma vez que muitas aplicações do CEP no Japão enfatizam o uso manual dos gráficos de controle Se os japoneses tiveram sucesso nas décadas de 1960 e 1970 com os métodos manuais do gráfico de controle então terá o computador realmente um papel relevante no CEP A resposta a essa pergunta é sim por várias razões Embora seja em geral útil começar com métodos manuais para o gráfico de controle no início da implementação do CEP é necessário passar aplicações bemsucedidas para o computador o quanto antes O computador é um instrumento para grande melhoria da produtividade Não dirigimos carros com os sistemas de segurança para passageiros da década de 1960 e não voamos em aviões com a tecnologia de aviação da década de 1960 Não devemos usar a tecnologia da década de 1960 para os gráficos de controle tampouco O computador permitirá que os dados do CEP se tornem parte do banco de dados da companhia como um todo e dessa maneira os dados serão úteis e então serão provavelmente muito mais usados a todos Um sistema CEP apoiado por computador pode fornecer mais informação do que qualquer sistema manual Ele permite que o usuário monitore muitas características da qualidade e fornece sinais automáticos de causas atribuíveis Que tipo de software deve ser usado Essa é uma pergunta de difícil resposta porque todas as aplicações têm exigências únicas e a capacidade do software está constantemente mudando No entanto vários aspectos são necessários para resultados bemsucedidos O programa deve ser capaz de operar sozinho em um computador pessoal em rede de muitos terminais ou em um sistema multiterminal de minicomputadores Os pacotes do CEP que são exclusivamente ligados a sistemas com um grande computador central não são de grande utilidade porque não podem em geral produzir gráficos de controle e outros relatórios de rotina de maneira oportuna 2 3 4 5 6 7 8 9 71 72 73 O sistema deve ser amigável Se o pessoal da operação deve usar o sistema ele deve ter opções limitadas ser de fácil uso fornecer oportunidades de correção de erros adequadas e conter muitas características de ajuda online Idealmente deve ser possível talhar ou adaptar o sistema para cada aplicação embora essa atividade de instalação deva talvez ser feita pela engenharia ou pessoal técnico O sistema deve fornecer apresentação visual dos gráficos de controle para pelo menos as últimas 25 amostras Idealmente o comprimento do registro mostrado deveria ser controlado pelo usuário Saída impressa deveria ser disponibilizada imediatamente em uma impressora ou em um dispositivo de plotagem O armazenamento de arquivos deve ser suficiente para acomodar uma quantidade razoável de história do processo A edição e a atualização dos arquivos devem ser imediatas É crítico terse condição de transferir dados para outro meio de armazenamento ou para o arquivo de dados da produção central O sistema deve ser capaz de lidar com vários arquivos ao mesmo tempo Muito raramente um processo tem apenas uma característica da qualidade que precise ser examinada O usuário deve ser capaz de calcular limites de controle para qualquer subconjunto de dados do arquivo O usuário deve ser capaz de introduzir linhas centrais e limites de controle diretamente O sistema deve ser capaz de aceitar uma variedade de entradas inclusive dados de entrada manual entradas de equipamentos eletrônicos de captura de dados ou entrada de outro computador ou instrumento controlador O monitoramento do processo em tempo real está se tornando cada vez mais importante bem como a transferência de dados de um sistema de aquisição de dados em tempo real O sistema deve apoiar outras aplicações estatísticas incluindo como mínimo histogramas e cálculos de índices de capacidade do processo Serviços e suporte do fornecedor do software após a compra são sempre um fator importante na decisão de qual pacote usar O preço de compra de softwares disponíveis comercialmente varia muito Obviamente o custo total do software é muito diferente do preço de compra Em muitos casos um pacote de CEP de 500 é realmente um pacote de 10000 quando levamos em conta os custos totais para fazê lo funcionar na aplicação pretendida É também relativamente fácil fazer gráficos de controle na maioria dos programas de planilha populares No entanto pode ser difícil integrar essas planilhas na base de dados geral de manufaturas ou outros sistemas de empresas Termos e Conceitos Importantes Comprimento médio de sequência para gráficos de controle de atributos Curva característica de operação para gráficos c e u Curva característica de operação para gráficos p Dados de atributo Defeito Defeituoso Diagrama de causa e efeito Escolha entre dados de atributo e de variáveis Fração defeituosa Fração não conforme Gráfico de controle para defeitos ou não conformidades por unidade ou gráfico u Gráfico de controle para fração não conforme ou gráfico p Gráfico de controle para não conformidades ou gráfico c Gráfico de controle para número de não conformes por unidade ou gráfico np Gráfico de controle para o tempo entre eventos Gráfico de Pareto Gráficos de controle padronizados Não conformidade Planejamento de gráficos de controle de atributos Sistemas de depreciação para dados de atributo Tamanho variável de amostra para gráficos de controle de atributos Exercícios Uma companhia de serviços financeiros monitora pedidos de empréstimos A cada dia 50 pedidos são avaliados em relação à precisão da informação no formulário Os resultados para 20 dias são em que Di é o número de pedidos no io dia em que se encontra pelo menos um erro Quais são a linha central e os limites de controle para o gráfico de controle da fração não conforme Os pontos que se localizam abaixo do limite inferior de controle de um gráfico de controle da fração não conformes supondo LIC 0 sempre significam que houve uma melhoria na qualidade do processo Discuta sua resposta no contexto de uma situação específica A Tabela 7E1 contém dados da análise de reivindicações de seguro médico A cada dia 50 reivindicações foram examinadas a b 74 75 a Estabeleça o gráfico de controle da fração não conforme para esse processo Plote os dados preliminares da Tabela 7E1 no gráfico O processo está sob controle estatístico TABELA 7E1 Dados de Reivindicações de Seguro Médico para o Exercício 73 Dia Número de Não Conformes Dia Número de Não Conformes 1 0 11 6 2 3 12 4 3 4 13 8 4 6 14 0 5 5 15 7 6 2 16 20 7 8 17 6 8 9 18 1 9 4 19 5 10 2 20 7 Suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para quaisquer pontos fora de controle nesse gráfico Qual linha central e quais limites de controle devem ser usados para o monitoramento do processo no próximo período O gráfico de controle da fração não conforme no Exercício 73 tem LIC 0 Suponha que o gráfico de controle revisado da parte b daquele exercício tenha uma estimativa confiável da fração não conforme do processo Qual tamanho de amostra deve ser usado para se garantir que LIC 0 A operação de empréstimo comercial de uma instituição financeira tem um padrão para o processamento de novos pedidos em 24 horas A Tabela 7E2 mostra o número de pedidos processados a cada dia pelos últimos 20 dias e o número de pedidos que exigiram mais de 24 horas para o processamento Estabeleça o gráfico de controle para a fração não conforme para esse processo Use a abordagem dos limites de controle de largura variável Plote os dados preliminares na Tabela 7E2 no gráfico O processo está sob controle estatístico TABELA 7E2 Dados de Pedidos de Empréstimo para o Exercício 75 Dia Número de Pedidos Número em Atraso Dia Número de Pedidos Número em Atraso 1 200 3 11 219 0 2 250 4 12 238 10 3 240 2 13 250 4 4 300 5 14 302 6 5 200 2 15 219 20 6 250 4 16 246 3 7 246 3 17 251 6 8 258 5 18 273 7 9 275 2 19 245 3 10 274 1 20 260 1 b 76 77 78 79 710 Suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para quaisquer pontos fora de controle no gráfico Qual linha central deve ser usada para o monitoramento do processo no próximo período e como os limites de controle devem ser calculados Reconsidere os dados de pedidos de empréstimo na Tabela 7E2 Estabeleça o gráfico de controle para a fração não conforme para esse processo Use a abordagem dos limites de controle baseados no tamanho amostral médio Plote os dados preliminares da Tabela 7E2 no gráfico O processo está sob controle estatístico Compare esse gráfico de controle com o que se baseou nos limites de controle de largura variável no Exercício 75 Reconsidere os dados de pedidos de empréstimo da Tabela 7E2 Estabeleça o gráfico de controle para a fração não conforme para esse processo Use a abordagem do gráfico de controle padronizado Plote os dados preliminares da Tabela 7E2 no gráfico O processo está sob controle estatístico Compare esse gráfico com o que se baseou nos limites de controle de largura variável no Exercício 75 Reconsidere os dados de reivindicações de seguro da Tabela 7E1 Estabeleça um gráfico de controle np para esses dados e marqueos no gráfico Compare esse gráfico com o gráfico de controle da fração não conforme do Exercício 73 Os dados na Tabela 7E3 dão o número de montagens de rolamentos e fechos em amostras de tamanho 100 Construa um gráfico de controle para a fração não conforme para esses dados Se algum ponto for plotado fora de controle suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas e determine os limites de controle revisados TABELA 7E3 Dados para o Exercício 79 Número da Amostra Número de Montagens Não Conformes Número da Amostra Número de Montagens Não Conformes 1 7 11 6 2 4 12 15 3 1 13 0 4 3 14 9 5 6 15 5 6 8 16 1 7 10 17 4 8 5 18 5 9 2 19 7 10 7 20 12 O número de interruptores não conformes em amostras de tamanho 150 é mostrado na Tabela 7E4 Construa um gráfico de controle para a fração não conforme para esses dados O processo parece estar sob controle Se não suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle e calcule os limites de controle revisados TABELA 7E4 Número de Interruptores Não Conformes para o Exercício 710 Número da Amostra Número de Interruptores Não Conformes Número da Amostra Número de Interruptores Não Conformes 1 8 11 6 2 1 12 0 3 3 13 4 4 0 14 0 5 2 15 3 6 4 16 1 7 0 17 15 711 712 a b 713 a b 8 1 18 2 9 10 19 3 10 6 20 0 TABELA 7E5 Resultados da Inspeção de Computadores Pessoais para o Exercício 711 Dia Unidades Inspecionadas Unidades Não Conformes Fração Não Conforme 1 80 4 0050 2 110 7 0064 3 90 5 0056 4 75 8 0107 5 130 6 0046 6 120 6 0050 7 70 4 0057 8 125 5 0040 9 105 8 0076 10 95 7 0074 Os dados na Tabela 7E5 representam os resultados da inspeção de todas as unidades de computadores pessoais produzidas durante os 10 últimos dias O processo parece estar sob controle Um processo que produz aros de roda de titânio para automóveis com motores turbinados deve ser controlado pelo uso do gráfico para a fração não conforme Inicialmente uma amostra de tamanho 150 é tirada a cada dia durante 20 dias e os resultados observados são mostrados na Tabela 7E6 Estabeleça um gráfico de controle para monitorar a produção futura Qual é o menor tamanho de amostra que pode ser usado para esse processo que ainda forneça um limite inferior de controle positivo para o gráfico Um processo produz correias de transmissão de borracha em lotes de tamanho 2500 Os registros de inspeção dos últimos 20 lotes mostram os dados na Tabela 7E7 Calcule limites de controle tentativos para um gráfico de controle para a fração não conforme Se você desejasse estabelecer um gráfico de controle para controlar a produção futura como usaria esses dados para obter a linha central e os limites de controle para o gráfico TABELA 7E6 Dados de Unidades Não Conformes para o Exercício 712 Dia Unidades Não Conformes Dia Unidades Não Conformes 1 3 11 2 2 2 12 4 3 4 13 1 4 2 14 3 5 5 15 6 6 2 16 0 7 1 17 1 714 715 716 717 8 2 18 2 9 0 19 3 10 5 20 2 TABELA 7E7 Dados da Inspeção para o Exercício 713 Número do Lote Número de Correias Não Conformes Número do Lote Número de Correias Não Conformes 1 230 11 456 2 435 12 394 3 221 13 285 4 346 14 331 5 230 15 198 6 327 16 414 7 285 17 131 8 311 18 269 9 342 19 221 10 308 20 407 Com base nos dados da Tabela 7E8 se um gráfico np tiver que ser estabelecido o que você recomendaria como linha central e como limites de controle Suponha n 500 Um gráfico de controle indica que a fração corrente de não conformes do processo é 002 Se 50 itens são inspecionados a cada dia qual é a probabilidade de se detectar uma mudança na fração não conforme para 004 no primeiro dia após a mudança E ao final do terceiro dia após a mudança Uma companhia compra pequenas braçadeiras de metal em embalagens de 5000 cada Dez embalagens chegaram para serem descarregados e 250 braçadeiras foram selecionadas aleatoriamente de cada uma As frações não conformes em cada amostra são 0 0 0 0004 0008 0020 0004 0 0 e 0008 Os dados desse carregamento indicam controle estatístico Diodos usados em placas de circuito impresso são produzidos em lotes de 1000 Desejamos controlar o processo de produção desses diodos selecionando amostras de tamanho 64 de cada lote Se o valor nominal da fração não conforme for p 010 determine os parâmetros do gráfico de controle apropriado Para que nível deve aumentar a fração não conforme para tornar o risco β igual a 050 Qual o tamanho mínimo da amostra que daria um limite inferior de controle positivo para esse gráfico TABELA 7E8 Dados para o Exercício 714 Dia Unidades Não Conformes 1 3 2 4 3 3 4 2 5 6 6 12 7 5 8 1 718 a b 719 720 a b c d 721 a b c 722 723 a b 724 a b 725 9 2 10 2 Um gráfico de controle para o número de anéis de pistão não conformes é mantido em um processo de forja com np 160 Uma amostra de tamanho 100 é selecionada a cada dia e analisada Qual é a probabilidade de uma mudança na média do processo para np 200 ser detectada no primeiro dia após a mudança Qual é a probabilidade de a mudança ser detectada pelo menos ao final do terceiro dia Ache o menor tamanho de amostra que dará limite inferior de controle positivo Um gráfico de controle para a fração não conforme deve ser estabelecido com uma linha central de p 010 Qual o tamanho da amostra exigido se desejamos detectar uma mudança na fração não conforme do processo para 020 com probabilidade 050 Um processo é controlado com um gráfico de controle para a fração não conforme com limites três sigmas n 100 LSC 0161 linha central 0080 e LIC 0 Ache o gráfico de controle equivalente para o número de não conformes Use a aproximação de Poisson para a binomial para encontrar a probabilidade de um erro tipo I Use a aproximação correta para encontrar a probabilidade de um erro tipo II se a fração não conforme do processo mudar para 02 Qual é a probabilidade de se detectar a mudança da parte c no máximo até a quarta amostra após a mudança Um processo está sendo controlado por um gráfico de controle para a fração não conforme A média do processo mostrou ser 007 Os limites de controle três sigmas são usados e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400 itens Calcule os limites de controle superior e inferior Se a média do processo mudasse repentinamente para 010 qual a probabilidade de que a mudança fosse detectada na primeira amostra subsequente Qual é a probabilidade de que a mudança da parte b fosse detectada na primeira ou segunda amostra tomada após a mudança No planejamento de um gráfico para a fração não conforme com linha central em p 020 e limites de controle três sigmas qual é o tamanho da amostra exigido para resultar em um limite inferior de controle positivo Qual é o valor de n necessário para uma probabilidade de 050 de se detectar uma mudança no processo para 026 Usase um gráfico de controle para a fração não conforme de uma peça plástica fabricada em um processo de moldagem por injeção Dez subgrupos fornecem os dados exibidos na Tabela 7E9 Estabeleça um gráfico de controle para o número de não conformes em amostras de n 100 Para o gráfico estabelecido na parte a qual é a probabilidade de se detectar uma mudança na fração não conforme do processo para 030 na primeira amostra após a mudança ter ocorrido TABELA 7E9 Dados sobre Unidades Não Conformes para o Exercício 723 Número da Amostra Tamanho Amostral Número de Não Conformes 1 100 10 2 100 15 3 100 31 4 100 18 5 100 24 6 100 12 7 100 23 8 100 15 9 100 8 10 100 8 Um gráfico de controle para a fração não conforme indica que a média corrente do processo é 003 O tamanho da amostra é constante de 200 unidades Ache os limites de controle três sigmas para o gráfico de controle Qual é a probabilidade de que uma mudança na média do processo para 008 seja detectada na primeira amostra subsequente Qual é a probabilidade de que essa mudança seja detectada no mínimo na quarta amostra após a mudança a b 726 a b c 727 728 729 a b 730 731 732 733 734 735 736 Devese estabelecer um gráfico de controle para o número de não conformes com base em amostras de tamanho 400 Para começar o gráfico de controle foram selecionadas 30 amostras e determinados os números de não conformes em cada amostra resultando em Quais são os parâmetros do gráfico np Suponha que a fração média de não conformes do processo mude para 015 Qual é a probabilidade de que a mudança seja detectada na primeira amostra subsequente Um gráfico de controle para a fração não conforme com linha central 010 LSC 019 e LIC 001 é usado para controlar um processo Se forem usados limites três sigmas ache o tamanho da amostra para o gráfico de controle Use a aproximação de Poisson para a binomial para achar a probabilidade de um erro tipo I Use a aproximação de Poisson para a binomial para achar a probabilidade de um erro tipo II se a fração de defeituosos do processo for na verdade p 020 Considere o gráfico de controle planejado no Exercício 725 Ache o comprimento médio da sequência para se detectar uma mudança para uma fração não conforme de 015 Considere o gráfico de controle do Exercício 726 Ache o comprimento médio da sequência se a fração não conforme do processo mudar para 020 Um grupo de manutenção melhora a eficácia de seu trabalho de reparo monitorando o número de requisições de manutenção que exigem uma segunda chamada para o reparo completo Estão disponíveis 20 semanas de dados exibidos na Tabela 7E10 TABELA 7E10 Dados para o Exercício 729 Semana Total de Requisições Segunda Visita Necessária Semana Total de Requisições Segunda Visita Necessária 1 200 6 11 100 1 2 250 8 12 100 0 3 250 9 13 100 1 4 250 7 14 200 4 5 200 3 15 200 5 6 200 4 16 200 3 7 150 2 17 200 10 8 150 1 18 200 4 9 150 0 19 250 7 10 150 2 20 250 6 Ache os limites de controle tentativos para esse processo Elabore um gráfico de controle para controlar a produção futura Analise os dados do Exercício 729 usando um tamanho médio de amostra Construa um gráfico de controle padronizado para os dados do Exercício 729 Continuação do Exercício 729 Note que no Exercício 729 há apenas quatro tamanhos diferentes de amostras n 100 150 200 e 250 Prepare um gráfico de controle que tenha um conjunto de limites para cada tamanho de amostra possível e mostre como ele poderia ser usado como alternativa ao método de limites de controle de largura variável usado no Exercício 729 Quão fácil seria o uso desse método na prática Um processo tem uma fração não conforme sob controle de p 002 Qual o tamanho de amostra necessário para o gráfico de controle da fração não conforme se se deseja que a probabilidade de pelo menos uma unidade não conforme na amostra seja de pelo menos 095 Um processo tem fração não conforme sob controle de p 001 Qual o tamanho de amostra necessário para o gráfico de controle da fração não conforme se se deseja que a probabilidade de pelo menos uma unidade não conforme na amostra seja de pelo menos 09 Um processo tem fração não conforme sob controle de p 001 O tamanho amostral é n 300 Qual é a probabilidade de se detectar uma mudança para uma fração não conforme fora de controle de p 005 na primeira amostra após a mudança Um centro bancário instituiu um programa de melhoria do processo para reduzir e se possível eliminar erros em suas operações de processamento de cheques A taxa de erro atual é 001 O objetivo inicial é cortar a taxa de erro pela metade Qual tamanho de amostra seria necessário para monitorar esse processo com um gráfico de controle para fração não conforme que tenha LIC não nulo Se a taxa 737 738 739 a b c 740 a b 741 a b 742 a b c d 743 a b 744 745 746 747 de erro é reduzida para o alvo inicialmente desejado de 0005 qual é a probabilidade de uma amostra não conforme desse processo melhorado ficar abaixo do LIC Um gráfico de controle para a fração não conforme tem linha central 001 LSC 00399 LIC 0 e n 100 Se forem usados limites três sigmas ache o menor tamanho amostral que resultaria em um limite inferior de controle positivo Por que o gráfico np não é apropriado com tamanho variável de amostra Um gráfico de controle para a fração não conforme com n 400 tem os seguintes parâmetros LSC 00809 Linha central 00500 LIC 00191 Ache a largura dos limites de controle em unidades de desviopadrão Quais seriam os parâmetros correspondentes para um gráfico de controle equivalente com base no número de não conformes Qual é a probabilidade de uma mudança na fração não conforme do processo para 00300 ser detectada na primeira amostra após a mudança Um gráfico de controle para a fração não conforme com n 400 tem os seguintes parâmetros LSC 00962 Linha central 00500 LIC 00038 Ache a largura dos limites de controle em unidades de desviopadrão Suponha que a fração não conforme do processo mude para 015 Qual é a probabilidade de se detectar a mudança na primeira amostra subsequente Um gráfico de controle para a fração não conforme deve ser estabelecido com linha central de 001 e limites de controle dois sigmas Qual deve ser o tamanho da amostra se o limite inferior de controle deve ser não nulo Qual deve ser o tamanho da amostra se desejamos que a probabilidade de se detectar uma mudança para 004 seja de 050 O seguinte gráfico de controle para a fração não conforme com n 100 é usado para controlar um processo LSC 00750 Linha central 00400 LIC 00050 Use a aproximação de Poisson para a binomial para achar a probabilidade de um erro tipo I Use a aproximação de Poisson para a binomial para achar a probabilidade de um erro tipo II se a verdadeira fração não conforme do processo for 00600 Trace a curva CO para esse gráfico de controle Ache o CMS quando o processo está sob controle e o CMS quando a fração não conforme do processo é de 00600 Um processo que produz cárter para mancais é controlado por um gráfico de controle para a fração não conforme usando tamanho de amostra n 100 e uma linha central 002 TABELA 7E11 Dados para o Exercício 743 parte b Número da Amostra Número de Não Conformes Número da Amostra Número de Não Conformes 1 5 6 1 2 2 7 2 3 3 8 6 4 8 9 3 5 4 10 4 Ache os limites três sigmas para esse gráfico Analise as dez novas amostras n 100 mostradas na Tabela 7E11 para controle estatístico Que conclusões podem ser tiradas sobre o processo agora Considere um gráfico np com limites de controle de k sigmas Deduza uma fórmula geral para se determinar o tamanho mínimo da amostra que garanta que o gráfico tenha limite inferior de controle positivo Considere o gráfico de controle para a fração não conforme do Exercício 712 Ache o gráfico np equivalente Considere o gráfico de controle para a fração não conforme do Exercício 713 Ache o gráfico np equivalente Construa um gráfico de controle padronizado para os dados do Exercício 711 748 749 Foram contados os defeitos de superfície de 25 placas de aço retangulares e os dados são mostrados na Tabela 7E12 Estabeleça um gráfico de controle para não conformidades usando esses dados O processo de produção das placas parece estar sob controle estatístico Uma fábrica de papel usa um gráfico de controle para monitorar imperfeições nos rolos de papel acabados O resultado da produção é inspecionado durante 20 dias e os dados resultantes são mostrados na Tabela 7E13 Use esses dados para estabelecer um gráfico de controle para não conformidades por rolo de papel O processo parece estar sob controle estatístico Qual linha central e quais limites de controle você recomendaria para controlar a produção corrente TABELA 7E12 Dados para o Exercício 748 Número da Placa Número de Não Conformidades Número da Placa Número de Não Conformidades 1 1 14 0 2 0 15 2 3 4 16 1 4 3 17 3 5 1 18 5 6 2 19 4 7 5 20 6 8 0 21 3 9 2 22 1 10 1 23 0 11 1 24 2 12 0 25 4 13 8 TABELA 7E13 Dados sobre Imperfeições em Rolos de Papel Dia Número de Rolos Produzidos Número Total de Imperfeições Dia Número de Rolos Produzidos Número Total de Imperfeições 1 18 12 11 18 18 2 18 14 12 18 14 3 24 20 13 18 9 4 22 18 14 20 10 5 22 15 15 20 14 6 22 12 16 20 13 7 20 11 17 24 16 8 20 15 18 24 18 9 20 12 19 22 20 10 20 10 20 21 17 750 751 752 753 754 a Continuação do Exercício 749 Considere o processo de fabricação de papel do Exercício 749 Estabeleça um gráfico u com base no tamanho médio da amostra para controlar esse processo Continuação do Exercício 749 Considere o processo de fabricação de papel do Exercício 749 Estabeleça um gráfico u padronizado para esse processo O número de não conformidades encontradas na inspeção final em tocadores de fita cassete é mostrado na Tabela 7E14 Você pode concluir que o processo esteja sob controle estatístico Qual a linha central e quais os limites de controle que você recomendaria para controlar a produção futura Os dados na Tabela 7E15 representam o número de não conformidades por 1000 metros em cabos de telefone Pela análise desses dados você concluiria que o processo está sob controle estatístico Que procedimento de controle você recomendaria para a produção futura TABELA 7E14 Dados sobre Não Conformidades de Tocadores de Fita Cassete Número do Tocador de Fita Número de Não Conformidades Número do Tocador de Fita Número de Não Conformidades 2412 0 2421 1 2413 1 2422 0 2414 1 2423 3 2415 0 2424 2 2416 2 2425 5 2417 1 2426 1 2418 1 2427 2 2419 3 2428 1 2420 2 2429 1 TABELA 7E15 Dados sobre Cabos de Telefones para o Exercício 753 Número da Amostra Número de Não Conformidades Número da Amostra Número de Não Conformidades 1 1 12 6 2 1 13 9 3 3 14 11 4 7 15 15 5 8 16 8 6 10 17 3 7 5 18 6 8 13 19 7 9 0 20 4 10 19 21 9 11 24 22 20 Considere os dados do Exercício 752 Suponha que desejemos definir uma nova unidade de inspeção de quatro tocadores de fita Quais são a linha central e os limites de controle para um gráfico de controle que monitore a produção futura com base no número total de defeitos na nova unidade de inspeção b 755 a b 756 a b c 757 a b 758 759 a b 760 761 762 763 764 Quais são a linha central e os limites de controle para um gráfico de controle para não conformidades por unidade usado para monitorar a produção futura Considere os dados do Exercício 753 Suponha que uma nova unidade de inspeção seja definida como 2500 m de cabo Quais são a linha central e os limites de controle para um gráfico de controle para monitorar a produção com base no número total de não conformidades na nova unidade de inspeção Quais são a linha central e os limites de controle para um gráfico de controle para a média de não conformidades por unidade usado para monitorar a produção futura Um fabricante de automóveis deseja controlar o número de não conformidades em uma área de submontagem que produz transmissões manuais A unidade de inspeção é definida como quatro transmissões e os dados para 16 amostras cada uma de tamanho 4 são mostrados na Tabela 7E16 Estabeleça um gráfico de controle para não conformidades por unidade Esses dados provêm de um processo sob controle Se não suponha que causas atribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle e calcule os parâmetros revisados para o gráfico de controle Suponha que a unidade de inspeção seja redefinida como oito transmissões Estabeleça um gráfico de controle apropriado para monitorar a produção futura Ache os limites de controle três sigmas para um gráfico c com média do processo igual a quatro não conformidades um gráfico u com c 4 e n 4 TABELA 7E16 Dados para o Exercício 756 Número da Amostra Número de Não Conformidades Número da Amostra Número de Não Conformidades 1 1 9 2 2 3 10 1 3 2 11 0 4 1 12 2 5 0 13 1 6 2 14 1 7 1 15 2 8 5 16 3 Ache os limites de probabilidade de 0900 e 0100 para um gráfico c quando a média do processo é igual a 16 não conformidades Ache os limites de controle três sigmas para um gráfico c com média do processo igual a nove não conformidades um gráfico u com c 16 e n 4 Ache os limites de probabilidade de 0980 e 0020 para um gráfico de controle para não conformidades por unidade quando u 60 e n 3 Ache os limites de probabilidade de 0975 e 0025 para um gráfico de controle para não conformidades quando c 76 Um gráfico de controle para não conformidades por unidade usa limites de probabilidade de 095 e 005 A linha central está em u 14 Determine os limites de controle se o tamanho da amostra for n 10 O número de não conformidades de acabamento observado na inspeção final na montagem de unidades de disco para computador foi tabulado como se mostra na Tabela 7E17 O processo parece sob controle A maioria das corporações usa firmas externas de auditoria e de contabilidade para realizar auditorias em seus registros financeiros Em negócios de médio a grande porte pode haver um grande número de contas a serem auditadas de modo que os auditores frequentemente usam uma técnica chamada de amostragem de auditoria na qual se seleciona uma amostra aleatória para auditagem e os resultados são usados para se tirarem conclusões sobre as práticas contábeis da organização A Tabela 7E18 apresenta os resultados de um processo de amostragem de auditoria em que 25 contas foram selecionadas aleatoriamente e o número de erros nas transferências foi registrado Estabeleça um gráfico de controle para esse processo O processo está sob controle estatístico TABELA 7E17 Dados para o Exercício 763 765 a b 766 a b 767 768 a Dia Número de Montagens Inspecionadas Número Total de Imperfeições Dia Número de Montagens Inspecionadas Número Total de Imperfeições 1 2 10 6 4 24 2 4 30 7 2 15 3 2 18 8 4 26 4 1 10 9 3 21 5 3 20 10 1 8 TABELA 7E18 Dados sobre Amostragem de Auditoria para o Exercício 764 Conta Número de Erros de Transferências Conta Número de Erros de Transferências 1 0 14 0 2 2 15 2 3 1 16 1 4 4 17 4 5 0 18 6 6 1 19 1 7 3 20 1 8 2 21 3 9 0 22 4 10 1 23 1 11 0 24 0 12 0 25 1 13 2 Uma agência de polícia metropolitana está estudando a incidência de motoristas que dirigem seus veículos sem o mínimo de responsabilidade de seguro exigida por lei Os dados foram coletados de motoristas que foram parados por um policial por alguma violação de tráfego e receberam uma citação Os dados de três turnos durante um período de dez dias são mostrados na Tabela 7E19 Estabeleça um gráfico u para esses dados Marque os dados da Tabela 7E19 no gráfico O processo está sob controle estatístico Esses dados são consistentes com a hipótese de que cerca de 10 dos motoristas trafegam sem cobertura apropriada de seguro Devese construir um gráfico de controle para não conformidades com c 20 LIC 0 e LSC tal que a probabilidade de um ponto se localizar fora dos limites de controle quando c 20 é de apenas 0005 Ache o LSC Qual é a probabilidade de um erro tipo I ao se supor que o processo esteja fora de controle apenas quando dois pontos consecutivos se localizam fora dos limites de controle Uma fábrica têxtil deseja estabelecer um procedimento de controle para falhas nas toalhas que fabrica Com uma unidade de inspeção de 50 unidades inspeções passadas mostraram que 100 unidades de inspeção anteriores tiveram um total de 850 falhas Que tipo de gráfico de controle é apropriado Planeje o gráfico de controle de modo que tenha limites de controle de probabilidade bilateral de α 006 aproximadamente Dê a linha central e os limites de controle O fabricante deseja estabelecer um gráfico de controle na estação de inspeção final para aquecedores de água a gás Defeitos de acabamento e características de qualidade visuais são checados nessa inspeção Durante os últimos 22 dias de trabalho 176 aquecedores de água foram inspecionados e um total de 924 não conformidades foi relatado Que tipo de gráfico de controle você recomendaria aqui e como o usaria b c 769 770 a b c d 771 a b c d 772 773 Com dois aquecedores como unidade de inspeção calcule a linha central e os limites de controle que sejam consistentes com os dados da inspeção dos 22 dias passados TABELA 7E19 Dados para o Exercício 765 Amostra Número de Citações Número de Motoristas sem Seguro Amostra Número de Citações Número de Motoristas sem Seguro 1 40 4 16 50 4 2 35 5 17 55 6 3 36 3 18 67 5 4 57 6 19 43 3 5 21 1 20 58 5 6 35 1 21 31 1 7 47 3 22 27 2 8 43 5 23 36 3 9 55 8 24 87 10 10 78 9 25 56 4 11 61 4 26 49 5 12 32 3 27 54 7 13 56 5 28 68 6 14 43 1 29 27 1 15 28 0 30 49 5 Qual é a probabilidade de um erro tipo I para o gráfico de controle da parte b Aparelhos de televisão portáteis montados são sujeitos a uma inspeção final em relação a defeitos de acabamento Estabelecese um procedimento total com base na exigência de que se o número médio de não conformidades por unidade for 40 a probabilidade de se concluir que o processo está sob controle será de 099 Não haverá limite inferior de controle Qual é o tipo de gráfico de controle apropriado e qual é o limite superior de controle exigido Devese estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz geladeiras A unidade de inspeção é uma geladeira e vai ser usado um gráfico comum para não conformidades Como dados preliminares foram contadas 16 não conformidades na inspeção de 30 geladeiras Quais são os limites de controle três sigmas Qual é o risco α para esse gráfico de controle Qual é o risco β se o número médio de defeitos for realmente dois isto é se c 20 Ache o comprimento médio da sequência se o número médio de defeitos for realmente dois Considere a situação descrita no Exercício 770 Ache os limites de controle dois sigmas e compareos com os limites encontrados na parte a do Exercício 770 Ache o risco α para o gráfico de controle com limites de controle dois sigmas e compareo com o resultado da parte b do Exercício 770 Ache o risco β para c 20 para o gráfico de controle com limites de controle dois sigmas e compareo com o resultado da parte c do Exercício 770 Ache o CMS se c 20 e compareo com o CMS encontrado na parte d do Exercício 770 Devese estabelecer um gráfico de controle para não conformidades junto com a inspeção final de um rádio A unidade de inspeção deve ser um grupo de dez rádios O número médio de não conformidades tem sido no passado 05 por rádio Ache os limites de controle três sigmas para um gráfico c com base nesse tamanho da unidade de inspeção Um gráfico de controle para não conformidades é mantido em um processo que produz calculadoras de mesa A unidade de inspeção é definida como duas calculadoras O número médio de não conformidades por máquina quando o processo está sob controle é estimado a b 774 775 776 a b c d e f 777 em dois Ache os limites de controle três sigmas para esse tamanho de unidade de inspeção Qual é a probabilidade de um erro tipo I para esse gráfico de controle Uma linha de produção monta relógios elétricos O número médio de não conformidades por relógio é estimado em 075 O engenheiro da qualidade deseja estabelecer um gráfico c para essa operação usando uma unidade de inspeção de seis relógios Ache os limites de controle três sigmas para esse gráfico Suponha que desejemos planejar um gráfico de controle para não conformidades por unidade com limites L sigmas Ache o tamanho mínimo da amostra que resulte em um limite inferior de controle positivo para esse gráfico TABELA 7E20 Dados de Homicídios em Waco Texas para o Exercício 776 Mês Data Número de Dias entre Mês Data Número de Dias entre Jan 20 Jul 8 2 Fev 23 34 Jul 9 1 Fev 25 2 Jul 26 17 Mar 5 8 Set 9 45 Mar 10 5 Set 22 13 Abr 4 25 Set 24 2 Maio 7 33 Out 1 7 Maio 24 17 Out 4 3 Maio 28 4 Out 8 4 Jun 7 10 Out 19 11 Jun 16 925 Nov 2 14 Jun 16 050 Nov 25 23 Jun 22 525 Dez 28 33 Jun 25 3 Dez 29 1 Jul 6 11 O se refere ao fato de que dois homicídios ocorreram em 16 de junho e foram separados por um intervalo de 12 horas Kittlitz 1999 apresenta dados sobre homicídios em Waco Texas para as décadas de 19801989 dados extraídos de Waco Tribune Herald 29 de dezembro de 1989 Houve 29 homicídios em 1989 A Tabela 7E20 fornece os dados dos homicídios de 1989 e o número de dias entre eles Plote os dados dos dias entre homicídios em um gráfico de probabilidade normal A hipótese de uma distribuição normal parece razoável para esses dados Transforme os dados usando a raiz 02777 para eles Plote os dados transformados em um gráfico de probabilidade normal O gráfico indica que a transformação foi bemsucedida em tornar os dados mais parecidos com os dados de uma distribuição normal Transforme os dados usando a raiz quarta 025 para os dados Plote os dados transformados em um gráfico de probabilidade normal O gráfico indica que a transformação foi bemsucedida em tornar os dados mais parecidos com os dados de uma distribuição normal Esse gráfico é muito diferente do da parte b Construa um gráfico de controle para unidades individuais usando os dados transformados da parte b Construa um gráfico de controle para unidades individuais usando os dados transformados da parte c Quão semelhante é esse gráfico em relação ao construído na parte d O processo é estável Dê uma interpretação prática do gráfico de controle Dê sugestão de no mínimo dois ambientes não industriais nos quais gráficos de controle para atributos possam ser úteis para monitoramento de processo TABELA 7E21 778 779 Dados para o Exercício 779 Mês NSCAN MMSB Dias MMAB Jan 94 50 26838 31 231105 Fev 94 44 26903 28 209246 Mar 94 71 26895 31 231596 Abr 94 53 26289 30 219075 Maio 94 53 26149 31 225172 Jun 94 40 26185 30 218208 Jul 94 41 26142 31 225112 Ago 94 57 26092 31 224681 Set 94 49 25958 30 216317 Out 94 63 25957 31 223519 Nov 94 64 25920 30 216000 Dez 94 62 25907 31 223088 Jan 95 67 26754 31 230382 Fev 95 58 26696 28 207636 Mar 95 89 26565 31 228754 Quais dificuldades práticas podem ser encontradas no monitoramento de dados de tempo entre eventos Um artigo de R N Rodriguez Health Care Applications of Statistical Process Control Examples Using the SAS System em SAS Users Group International Proceedings of the 21st Annual Conference 1996 ilustrou várias aplicações dos gráficos de controle ao ambiente dos serviços de saúde Uma delas mostrou como um gráfico de controle foi empregado para analisar a taxa de exames TAC tomografia axial computadorizada realizados por mês em uma clínica Os dados usados nesse exemplo são mostrados na Tabela 7E21 NSCAN é o número de exames TAC realizados a cada mês e MMSB é o número de membros inscritos no plano de saúde a cada mês em unidades de membros mês DIAS é o número de dias de cada mês A variável MMAB converte MMSB para unidades de milhares de membros por ano e é calculada como segue MMAB MMSBDias3012000 MMAB representa a área de oportunidade Construa um gráfico de controle apropriado para o monitoramento da taxa à qual são realizados os exames TAC nessa clínica TABELA 7E22 Dados para o Exercício 780 Mês Fase NVISITA MMAE Dias MMSE Jan 94 1 1421 066099 31 7676 Fev 94 1 1303 059718 28 7678 Mar 94 1 1569 066219 31 7690 Abr 94 1 1576 064608 30 7753 Maio 94 1 1567 066779 31 7755 Jun 94 1 1450 065575 30 7869 Jul 94 1 1532 068105 31 7909 Ago 94 1 1694 068820 31 7992 Set 94 2 1721 066717 30 8006 780 a b c 781 a b c 782 a b c Out 94 2 1762 069612 31 8084 Nov 94 2 1853 068233 30 8188 Dez 94 2 1770 070809 31 8223 Jan 95 2 2024 078215 31 9083 Fev 95 2 1975 070684 28 9088 Mar 95 2 2097 078947 31 9168 Um artigo de R N Rodriguez Health Care Applications of Statistical Process Control Examples Using the SAS System em SAS Users Group International Proceedings of the 21st Annual Conference 1996 ilustrou várias aplicações dos gráficos de controle ao ambiente dos serviços de saúde Uma delas mostrou como um gráfico de controle foi empregado para analisar o número de consultas feitas por associados de planos de saúde Os dados para a clínica E são mostrados na Tabela 7E22 A variável NVISITA é o número de consultas na clínica E a cada mês e MMSE é o número de membros inscritos no plano de saúde a cada mês em unidades de membros mês DIAS é o número de dias em cada mês A variável MMAE converte MMSE para unidades de milhares de membros por ano e é calculada como segue MMAE MMSEDias3012000 MMAE representa a área de oportunidade A variável FASE separa os dados em dois períodos de tempo Use os dados da Fase 1 para construir um gráfico de controle para o monitoramento da taxa de consultas realizadas na clínica E Esse gráfico exibe controle Marque os dados da Fase 2 no gráfico construído na parte a Há diferença entre as duas fases Considere apenas os dados da Fase 2 Esses dados exibem controle Os dados na Tabela 7E23 são o número de erros de informação encontrados em registros de clientes no arquivo de dados de uma companhia de marketing Cinco registros são amostrados a cada dia Estabeleça um gráfico c para o número total de erros O processo está sob controle estatístico Estabeleça um gráfico t para o número total de erros supondo uma distribuição geométrica com a 1 O processo está sob controle Discuta as descobertas das partes a e b A distribuição de Poisson é um bom modelo para os dados de erro do cliente Há evidência disso nos dados Kaminsky et al 1992 apresentam dados sobre o número de ordens por caminhão em um centro de distribuição Alguns desses dados são mostrados na Tabela 7E24 Estabeleça um gráfico c para o número de ordens por caminhão O processo está sob controle Estabeleça um gráfico t para o número de ordens por caminhão supondo uma distribuição geométrica com a 1 Discuta as descobertas das partes a e b A distribuição de Poisson é um bom modelo para os dados de erro do cliente Há evidência disso nos dados TABELA 7E23 Dados sobre Erros de Clientes para o Exercício 781 Dia Registro 1 Registro 2 Registro 3 Registro 4 Registro 5 1 8 7 1 11 17 2 11 1 11 2 9 3 1 1 8 2 5 4 3 2 5 1 4 5 3 2 13 6 5 6 6 3 3 3 1 7 8 8 2 1 5 8 4 10 2 6 4 9 1 6 1 3 2 10 15 1 3 2 8 11 1 7 13 5 1 12 6 7 9 3 1 13 7 6 3 3 1 14 2 9 3 8 7 15 6 14 7 1 8 16 2 9 4 2 1 17 11 1 1 3 2 18 5 5 19 1 3 19 6 15 5 6 6 20 2 7 9 2 8 21 7 5 6 14 10 22 4 3 8 1 2 23 4 1 4 20 5 24 15 2 7 10 17 25 2 15 3 11 2 TABELA 7E24 Número de Ordens por Caminhão para o Exercício 782 Caminhão Nº de Ordens Caminhão Nº de Ordens Caminhão Nº de Ordens Caminhão N de Ordens 1 22 9 5 17 6 25 6 2 58 10 26 18 35 26 13 3 7 11 12 19 6 27 9 4 39 12 26 20 23 28 21 5 7 13 10 21 10 29 8 6 33 14 30 22 17 30 12 7 8 15 5 23 7 31 4 8 23 16 24 24 10 32 18 1Se for aproximadamente normal então a probabilidade de exceder o LSC é 050 se o LSC for igual à fração não conforme p da situação fora de controle devido à simetria da distribuição normal Veja a Seção 343 para uma discussão da aproximação normal para a binomial 2O risco α para limites três sigmas não é igualmente alocado acima do LSC e abaixo do LIC porque a distribuição de Poisson não é simétrica Alguns autores recomendam o uso de limites de probabilidade para esse gráfico especialmente quando c é pequeno Em inglês member month definido como 1 membro sendo cadastrado por 1 mês NT 81 82 821 822 83 831 832 833 834 835 84 85 86 87 871 872 873 874 875 876 88 881 882 89 891 892 MS81 MS82 ESQUEMA DO CAPÍTULO INTRODUÇÃO ANÁLISE DA CAPACIDADE DE UM PROCESSO UTILIZANDO UM HISTOGRAMA OU UM GRÁFICO DE PROBABILIDADE Utilizando o Histograma Gráfico de Probabilidade RAZÕES DA CAPACIDADE DE UM PROCESSO Uso e Interpretação de Cp Razão da Capacidade do Processo para um Processo Descentrado Normalidade e Razão da Capacidade de um Processo Mais Detalhes sobre Centralização de Processos Intervalos de Confiança e Testes sobre Razões da Capacidade de um Processo ANÁLISE DA CAPACIDADE DE UM PROCESSO UTILIZANDO UM GRÁFICO DE CONTROLE ANÁLISE DA CAPACIDADE DE UM PROCESSO UTILIZANDO EXPERIMENTOS PLANEJADOS ANÁLISE DA CAPACIDADE DE UM PROCESSO COM DADOS DE ATRIBUTO ESTUDOS SOBRE A CAPACIDADE DE UM MEDIDOR E DE UM SISTEMA DE MEDIDAS Conceitos Básicos da Capacidade de um Medidor O Método da Análise de Variância Intervalos de Confiança em Estudos de Medidor R R Defeituosos Falsos e Defeituosos que Passam Capacidade do Medidor de Atributo Comparação entre os Sistemas de Medida do Cliente e do Fornecedor FIXAÇÃO DE LIMITES DE ESPECIFICAÇÃO SOBRE COMPONENTES DISCRETOS Combinações Lineares Combinações Não Lineares ESTIMANDO OS LIMITES NATURAIS DE TOLERÂNCIA DE UM PROCESSO Limites de Tolerância Baseados na Distribuição Normal Limites de Tolerância Não Paramétricos Material Suplementar para o Capítulo 8 Fatores Fixos Versus Fatores Aleatórios na Análise da Variância Mais sobre Métodos de Análise da Variância para Estudos da Capacidade de Sistemas de Medida O material suplementar está disponível no site da LTC Editora mediante cadastro 1 2 3 4 5 6 7 8 9 81 1 2 VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM No Capítulo 6 introduzimos formalmente o conceito de capacidade de um processo ou seja como a variabilidade inerente a um processo se compara com as especificações ou exigências para o produto A análise da capacidade do processo é uma ferramenta importante do processo DMAMC com aplicação em ambos os passos Analisar e Melhorar Neste capítulo apresentamos uma discussão mais ampla da capacidade de um processo inclusive várias maneiras de estudála ou analisá la Acreditamos que o gráfico de controle seja uma técnica simples e eficiente de análise da capacidade de um processo Ampliamos também a apresentação das razões da capacidade de um processo iniciada no Capítulo 6 mostrando como interpretar essas razões e discutindo seus perigos Este capítulo contém também informações sobre avaliação do desempenho de um sistema de medidas ilustrando métodos gráficos assim como técnicas baseadas na análise de variância A análise dos sistemas de medida é usada extensivamente no DMAMC principalmente durante o passo Medir Discutimos também o estabelecimento de especificações sobre partes ou componentes individuais discretos e a estimação dos limites naturais de tolerância de um processo Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Investigar e analisar a capacidade de processo usando gráficos de controle histogramas e gráficos de probabilidade Compreender a diferença entre capacidade do processo e potencial do processo Calcular e interpretar adequadamente as razões da capacidade do processo Compreender o papel da distribuição normal na interpretação da maioria das razões de capacidade de processo Calcular intervalos de confiança para razões de capacidade de processo Realizar e analisar um experimento da capacidade de sistemas de medidas ou medidor R R Estimar os componentes da variabilidade em um sistema de medida Estabelecer especificações de componentes em um sistema que envolve componentes de interação para garantir que os requisitos gerais do sistema sejam satisfeitos Estimar os limites naturais de um processo a partir de uma amostra de dados do processo Introdução As técnicas estatísticas podem ser úteis em todo o ciclo do produto inclusive no desenvolvimento de atividades anteriores à fabricação para quantificar a variabilidade do processo para analisar esta variabilidade em relação às exigências ou especificações do produto e para ajudar o desenvolvimento e a fabricação na eliminação ou redução dessa variabilidade Esta atividade geral é chamada de análise da capacidade do processo A capacidade do processo diz respeito à sua uniformidade Obviamente a variabilidade de características críticas para a qualidade no processo é uma medida da uniformidade da produção Há duas maneiras de se encarar esta variabilidade A variabilidade natural ou inerente a uma característica crítica para a qualidade em um instante específico isto é a variabilidade instantânea A variabilidade em uma característica crítica para a qualidade ao longo do tempo Vamos apresentar métodos para investigação e avaliação de ambos os aspectos da capacidade de um processo A determinação da capacidade do processo é uma parte importante no processo DMAMC É usada principalmente no passo Analisar mas pode ser útil em outros passos tais como Melhorar É costume tomarse como medida da capacidade de um processo a dispersão de Seis Sigmas na distribuição da característica da qualidade do produto A Figura 81 mostra um processo para o qual a característica da qualidade tem distribuição normal com média µ e desviopadrão σ Os limites naturais de tolerância do processo superior e inferior se situam em µ 3σ e µ 3σ respectivamente isto é LSNT µ 3σ LINT µ 3σ Para uma distribuição normal os limites naturais de tolerância incluem 9973 da variável ou dito de outra forma apenas 027 da saída do processo fica fora dos limites naturais de tolerância Devemos ter em mente dois pontos 1 2 1 2 3 4 5 6 7 027 fora dos limites naturais de tolerância pode parecer pouco mas isso corresponde a 2700 peças não conformes por milhão Se a distribuição da saída do processo não for normal então a porcentagem de produção que fica fora de µ 3σ poderá ser consideravelmente diferente de 027 Definimos a análise da capacidade de um processo como um estudo formal para se estimar a capacidade do processo A estimativa da capacidade de um processo pode ser apresentada através de uma distribuição de probabilidade com uma forma um centro média e uma dispersão desviopadrão especificados Por exemplo podemos determinar que a saída do processo tenha distribuição normal com média µ 10 cm e desviopadrão σ 0001 cm Nesse sentido uma análise da capacidade do processo pode ser feita sem atentarmos para especificações sobre a característica da qualidade Alternativamente podemos expressar a capacidade do processo como uma porcentagem fora das especificações Todavia as especificações não são necessárias para fazermos uma análise da capacidade de um processo Um estudo da capacidade de um processo em geral avalia parâmetros funcionais ou características críticas para a qualidade do produto e não o processo em si Quando o analista pode observar diretamente o processo e pode controlar ou monitorar a atividade de coleta de dados o estudo é um verdadeiro estudo da capacidade de um processo porque controlando a coleta de dados e conhecendo a sequência temporal dos dados ele pode fazer inferências sobre a estabilidade do processo ao longo do tempo Entretanto quando dispomos apenas de unidades amostrais do produto eventualmente fornecidas pelo vendedor e não há observação direta do processo ou história temporal da produção então o estudo é chamado mais apropriadamente de caracterização do produto Em um estudo de caracterização de um produto podemos apenas estimar a distribuição da característica da qualidade do produto ou a produção do processo fração em conformidade com as especificações nada podemos dizer sobre o comportamento dinâmico do processo ou seu estado de controle estatístico Para fazermos uma estimativa confiável da capacidade do processo este deve estar sob controle estatístico Caso contrário a inferência preditiva sobre o desempenho do processo pode estar seriamente errada Dados coletados em períodos de tempo diferentes poderiam levar a conclusões diferentes FIGURA 81 Limites naturais de tolerância superior e inferior na distribuição normal A análise da capacidade de um processo é uma parte vital de um programa global de melhoria da qualidade Entre as principais utilizações de dados de uma análise da capacidade de um processo destacamse Predizer até que ponto o processo manterá as tolerâncias Auxiliar os elaboradoresplanejadores do produto na seleção ou modificação de um processo Auxiliar a estabelecer um intervalo entre amostras para monitoramento de um processo Especificar exigências de desempenho para um equipamento novo Selecionar entre vendedores concorrentes e outros aspectos do gerenciamento da cadeia de suprimentos Planejar a sequência de processos de produção quando há um efeito interativo de processos sobre as tolerâncias Reduzir a variabilidade em um processo Assim a análise da capacidade de um processo é uma técnica que tem aplicações em muitos setores do ciclo do produto inclusive planejamento do produto e do processo gerenciamento da cadeia de suprimento planejamento da produção ou da fabricação e a própria fabricação Três técnicas fundamentais são utilizadas na análise da capacidade de um processo histogramas ou gráficos de probabilidade gráficos de controle e experimentos planejados Nas próximas três seções vamos discutir e ilustrar cada um desses métodos Discutiremos também a razão da capacidade de um processo RCP introduzida no Capítulo 6 e algumas variantes úteis dessa razão 82 821 1 2 3 4 Análise da Capacidade de um Processo Utilizando um Histograma ou um Gráfico de Probabilidade Utilizando o Histograma O histograma pode ajudar na estimação da capacidade de um processo Alternativamente o histograma pode ser substituído por um diagrama de ramoefolhas Devemos dispor de pelo menos 100 observações para que o histograma ou o ramoefolhas seja moderadamente estável a fim de obtermos uma estimativa razoavelmente confiável da capacidade do processo Se o engenheiro da qualidade tiver acesso ao processo e puder controlar o trabalho de coleta de dados os passos a seguir devem ser seguidos antes da coleta de dados Escolher a máquina ou máquinas a ser usada Se os resultados baseados em uma máquina ou várias máquinas tiverem que ser estendidos a uma população maior de máquinas a máquina escolhida deverá ser representativa das máquinas na população Além disso se a máquina tiver múltiplas estações de trabalho ou cabeças pode ser importante coletaremse os dados de maneira que se possa isolar a variabilidade cabeçaacabeça Isso pode implicar o uso de experimentos planejados Selecionar as condições de operação do processo Definir cuidadosamente as condições tais como velocidades de corte taxas de alimentação e temperaturas para referência futura Pode ser importante o estudo dos efeitos da variação desses fatores sobre a capacidade do processo Selecionar um operador representativo Em alguns estudos é importante estimarse a variabilidade do operador Nesses casos os operadores devem ser selecionados aleatoriamente dentro da respectiva população Monitorar cuidadosamente o processo de coleta de dados e registrar a ordem temporal em que cada unidade é produzida O histograma juntamente com a média amostral e o desviopadrão amostral s proporcionam informações sobre a capacidade do processo A esta altura o leitor deve rever as diretrizes do Capítulo 3 para a construção de histogramas EXEMPLO 81 Estimação da Capacidade de um Processo com um Histograma A Figura 82 apresenta um histograma da resistência à ruptura de 100 garrafas de vidro Os dados constam da Tabela 81 Qual é a capacidade do processo SOLUÇÃO A análise das 100 observações dá 26406 s 3202 Consequentemente a capacidade do processo seria estimada como 3s ou 26406 33202 264 96 psi Além disso a forma do histograma implica que a distribuição da força de resistência à ruptura é aproximadamente normal Assim podemos estimar que aproximadamente 9973 das garrafas fabricadas por esse processo romperão entre 168 e 360 psi Note que podemos estimar a capacidade do processo independentemente das especificações sobre a força de resistência à ruptura 822 FIGURA 82 Histograma dos dados referentes à resistência à ruptura TABELA 81 Forças de Resistência à Ruptura para 100 Garrafas de Vidro 265 197 346 280 265 200 221 265 261 278 205 286 317 242 254 235 176 262 248 250 263 274 242 260 281 246 248 271 260 265 307 243 258 321 294 328 263 245 274 270 220 231 276 228 223 296 231 301 337 298 268 267 300 250 260 276 334 280 250 257 260 281 208 299 308 264 280 274 278 210 234 265 187 258 235 269 265 253 254 280 299 214 264 267 283 235 272 287 274 269 215 318 271 293 277 290 283 258 275 251 Uma vantagem do uso do histograma para se estimar a capacidade do processo é que ele dá uma impressão visual e imediata do desempenho do processo Ele pode também mostrar imediatamente a razão de um fraco desempenho do processo Por exemplo a Figura 83a mostra um processo com capacidade potencial adequada mas o alvo do processo está mal colocado enquanto a Figura 83b mostra um processo com capacidade pobre resultante de variabilidade excessiva Histogramas não fornecem qualquer informação sobre o estado de controle estatístico do processo Assim conclusões sobre a capacidade com base no histograma dependem da hipótese de que o processo esteja sob controle Gráfico de Probabilidade O gráfico de probabilidade é uma alternativa ao histograma que pode ser usado para a determinação da forma centro e dispersão da distribuição Tem a vantagem de tornar desnecessária a divisão da amplitude da variável em intervalos de classe e frequentemente produz resultados razoáveis para amostras moderadamente pequenas o que não ocorre com o histograma Em geral um gráfico de probabilidade é um gráfico dos dados ordenados em postos versus a frequência amostral acumulada feito em um papel especial com uma escala vertical escolhida de modo que a distribuição acumulada do tipo suposto seja uma linha reta No Capítulo 3 discutimos e ilustramos os gráficos de probabilidade normal Esses gráficos são de grande utilidade em estudos da capacidade de processos Para ilustrar o uso de um gráfico de probabilidade normal em um estudo da capacidade de um processo consideremos as 20 observações seguintes sobre a resistência de garrafas à ruptura 197 200 215 221 231 242 245 258 265 265 271 275 277 278 280 283 290 301 318 e 346 A Figura 84 é o gráfico de probabilidade normal da resistência Note que os dados se dispõem próximos de uma linha reta o que implica que a distribuição da resistência à ruptura é normal Lembrese do Capítulo 4 de que a média da distribuição normal é o quinquagésimo percentil que podemos estimar pela Figura 84 em aproximadamente 265 psi e o desviopadrão da distribuição é a inclinação da linha reta É conveniente estimarse o desviopadrão como a diferença entre o 84o e o 50o percentis Para os dados da resistência acima e usando a Figura 84 encontramos que 84 percentil 50 percentil 298 265 psi 33 psi Note que 265 psi e 33 psi não diferem muito da média amostral 26406 e do desviopadrão amostral s 3202 O gráfico de probabilidade normal também pode ser usado para se estimar a produção e as falhas de um processo Por exemplo a especificação sobre a resistência das garrafas é LIE 200 psi Pela Figura 84 estimaríamos que cerca de 5 das garrafas fabricadas por este processo se romperiam abaixo deste limite Como o gráfico de probabilidade não fornece nenhuma informação sobre o estado de controle estatístico do processo devese ter cuidado ao se tirarem essas conclusões Se o processo não estiver sob controle as estimativas podem não ser confiáveis FIGURA 83 Algumas razões para capacidade pobre do processo a Má centralização do processo b Excesso de variabilidade no processo FIGURA 84 Gráfico de probabilidade normal dos dados de resistência das garrafas Devemos ter cuidado ao utilizar gráficos de probabilidade Se os dados não provêm da distribuição suposta as inferências sobre a capacidade do processo extraídas do gráfico podem apresentar erro sério A Figura 85 apresenta um gráfico de probabilidade normal de tempos de ocorrência de falha em horas de uma válvula em um complexo químico Examinando este gráfico vemos que a distribuição dos tempos de ocorrência de falha não é normal Uma desvantagem óbvia do gráfico de probabilidades é que ele não é um procedimento objetivo É possível que dois analistas cheguem a conclusões diferentes utilizando os mesmos dados Por este motivo é conveniente a suplementação dos gráficos de probabilidade com testes de aderência mais formais com base estatística Uma boa introdução a esses testes encontrase em Shapiro 1980 A ampliação da interpretação de um gráfico de probabilidade normal com o teste de ShapiroWilk para normalidade pode tornar o procedimento muito mais poderoso e objetivo A escolha da distribuição a ser ajustada aos dados constitui também um passo importante na construção de gráficos de probabilidade Por vezes podemos utilizar nosso conhecimento dos fenômenos físicos ou nossa experiência passada para sugerir a escolha da distribuição Em outras situações a apresentação da Figura 86 pode ser útil na escolha de uma distribuição que descreva os dados Essa figura mostra as regiões no plano β1 β2 para várias distribuiçõespadrão de probabilidade em que β1 e β2 são medidas de assimetria e curtose respectivamente Para utilizar a Figura 86 calculamos estimativas de assimetria e de curtose a partir da amostra digamos FIGURA 85 Gráfico de probabilidade normal do tempo de falha de uma válvula e em que e marcamos o ponto no gráfico Se o ponto assim marcado se situa próximo de um ponto uma reta ou uma região que corresponda a uma das distribuições na figura então esta distribuição é uma escolha lógica para ser usada como modelo para os dados Se o ponto se situa em regiões do plano β1 β2 onde nenhuma das distribuições parece apropriada então podem ser necessárias outras distribuições mais gerais de probabilidade como as famílias de distribuições de Johnson ou Pearson Um aviso de cuidado deve ser dado aqui as estatísticas de assimetria e curtose não são confiáveis a menos que sejam calculadas a partir de amostras muito grandes Em Hahn e Shapiro 1967 encontramos procedimentos análogos aos da Figura 86 para o ajuste dessas distribuições e gráficos 83 831 FIGURA 86 Regiões no plano β1 β2 para várias distribuições De Statistical Models in Engineering de G J Hahn e S S Shapiro John Wiley New York 1967 Razões da Capacidade de um Processo Uso e Interpretação de Cp Frequentemente convém termos uma forma simples quantitativa de expressar a capacidade de um processo Para tanto uma forma é a razão da capacidade de um processo RCP Cpintroduzida pela primeira vez no Capítulo 6 Lembrese de que em que LSE e LIE são os limites superior e inferior de especificação respectivamente Cp e outras razões da capacidade de um processo são amplamente utilizadas na indústria E são também erroneamente utilizadas com frequência Vamos apontar alguns abusos mais comuns das razões da capacidade de um processo Um excelente livro sobre o assunto que recomendamos vivamente é Kotz e Lovelace 1998 Há também extensa literatura técnica sobre análise da capacidade do processo e razões da capacidade de um processo O artigo de revisão de Kotz e Johnson 2002 e bibliografia artigos de Spiring Leong Cheng e Yeung 2003 e Yum e Kim 2011 são excelentes fontes Em aplicações práticas o desviopadrão do processo σ é quase sempre desconhecido e deve ser substituído por uma estimativa Para estimar σ tipicamente utilizamos o desviopadrão amostral s ou d2 quando se utilizam gráficos de controle de variáveis em um estudo de capacidade Isso resulta em uma estimativa de Cp digamos Para ilustrar o cálculo de Cp recordemos o processo de cozimento em semicondutores analisado pela primeira vez no Exemplo 61 com a utilização de gráficos e R As especificações para a largura do fluxo são LSE 10 mícron e LIE 200 mícron e do gráfico R estimamos d2 0 1398 Assim nossa estimativa da RCP Cp é FIGURA 87 Histograma da largura do fluxo do Exemplo 61 No Capítulo 6 supusemos que a distribuição da largura do fluxo era aproximadamente normal suposição razoável com base no histograma da Figura 87 tendo sido utilizada a tabela da distribuição normal acumulada no Apêndice para se estimar que o processo produz aproximadamente 350 ppm peças por milhão de defeituosas Por favor note que essa conclusão depende da hipótese de que o processo esteja sob controle estatístico A RCP Cp na equação 84 admite uma interpretação prática útil a saber é a percentagem da faixa de especificação utilizada pelo processo O processo do cozimento utiliza por cento da faixa de especificação As equações 84 e 85 supõem que o processo tenha ambos os limites de especificação superior e inferior Para especificações unilaterais usamse razões de capacidade do processo unilaterais RCPs unilaterais são calculadas como a seguir As estimativas e são obtidas substituindose µ e σ nas equações 87 e 88 pelas estimativas e respectivamente 1 2 3 EXEMPLO 82 Razões da Capacidade de um Processo Unilaterais Construa a razão unilateral da capacidade do processo para os dados da resistência à ruptura das garrafas do Exemplo 81 Suponha que o limite inferior de especificação da resistência à ruptura seja de 200 psi SOLUÇÃO Usaremos 264 e s 32 como estimativas de µ e σ respectivamente a estimativa resultante da razão unilateral inferior da capacidade do processo é Estimamos a fração de garrafas defeituosas produzidas por este processo determinando a área à esquerda de Z LIE µσ 200 26432 2 sob a distribuição normal padrão A ocorrência estimada é de cerca de 228 de defeituosas ou seja 22800 garrafas não conformes por milhão Note que se a distribuição normal não fosse um modelo adequado para a resistência então teríamos de fazer o último cálculo utilizando a distribuição apropriada Esse cálculo também supõe um processo sob controle A razão da capacidade de um processo é uma medida da habilidade de o processo fabricar um produto que atenda as especificações A Tabela 82 apresenta diversos valores da RCP Cpjuntamente com a ocorrência dos valores associados das falhas do processo expressos em peças defeituosas ou unidades não conformes do produto por milhão ppm Para ilustrar o uso da Tabela 82 note que uma RCP para um processo estável normalmente distribuído de Cp 100 implica uma taxa de falhas de 2700 ppm para especificações bilaterais enquanto uma RCP Cp 150 para este processo implica uma taxa de falhas de 4 ppm para especificações unilaterais As quantidades ppm na Tabela 82 foram calculadas com base nas seguintes suposições importantes A característica da qualidade tem distribuição normal O processo está sob controle estatístico No caso de especificações bilaterais a média do processo está centrada entre os limites de especificação superior e inferior TABELA 82 Valores da Razão da Capacidade de um Processo Cp e Falhas Associadas em ppm Defeituosas para um Processo Normalmente Distribuído que Está sob Controle Estatístico Falhas do Processo em ppm defeituosas RCP Especificações Unilaterais Especificações Bilaterais 025 226628 453255 050 66807 133614 060 35931 71861 070 17865 35729 080 8198 16395 090 3467 6934 100 1350 2700 110 484 967 120 159 318 130 48 96 140 14 27 150 4 7 160 1 2 170 017 034 180 003 006 200 00009 00018 Essas suposições são absolutamente críticas para a exatidão e validade dos valores relatados e se elas não forem válidas então esses valores podem estar seriamente errados Por exemplo Somerville e Montgomery 1996 relatam uma ampla pesquisa dos erros decorrentes da utilização da suposição de normalidade para fazer inferências sobre o nível ppm de um processo quando na realidade a distribuição subjacente não é normal Eles investigaram várias distribuições não normais e constataram que podem ocorrer erros de diversas ordens de grandeza na predição de ppm se fizermos suposições errôneas de normalidade Mesmo quando utilizamos uma distribuição t com até 30 graus de liberdade ocorrem erros substanciais Assim mesmo que uma distribuição t com 30 graus de liberdade seja simétrica e visualmente quase não se distinga da normal as caudas mais longas e mais pesadas da distribuição t fazem diferença significativa quando estimamos as ppm Consequentemente a simetria na distribuição do resultado do processo por si só é insuficiente para assegurar que qualquer RCP dará uma predição confiável das ppm do processo Na Seção 833 discutiremos com maiores detalhes a questão da não normalidade A estabilidade ou o controle estatístico do processo também é essencial para uma interpretação correta de qualquer RCP Infelizmente é bastante comum a prática de se calcular uma RCP a partir de uma amostra de dados históricos de um processo sem se levar em conta se o processo está ou não sob controle estatístico Se o processo não está sob controle então naturalmente seus parâmetros são instáveis e seus valores futuros são incertos Perdemse assim os aspectos preditivos da RCP relativos ao desempenho das ppm do processo Finalmente tenha em mente que o que efetivamente observamos é uma estimativa da RCP Essa estimativa está sujeita a erro na estimação pois depende das estatísticas amostrais English e Taylor 1993 relatam a possibilidade de ocorrência de grandes erros ao estimarmos RCPs com base em dados amostrais de modo que a estimativa disponível efetivamente pode não ser muito confiável É sempre uma boa ideia reportarse a estimativa de qualquer RCP em termos de um intervalo de confiança Na Seção 835 mostraremos como fazer isso para algumas das RCPs comumente usadas A Tabela 83 apresenta algumas diretrizes recomendáveis para valores mínimos da RCP A característica resistência da garrafa é um parâmetro estreitamente relacionado com a segurança do produto garrafas com uma resistência inadequada à pressão podem romperse e ferir os consumidores Isso implica que a RCP deve ser de no mínimo 145 Talvez uma forma de melhorar a RCP seja aumentar a resistência média das garrafas por exemplo pondose mais vidro no molde TABELA 83 Valores Mínimos Recomendados da Razão da Capacidade do Processo 832 Especificações Bilaterais Especificações Unilaterais Processos existentes 133 125 Novos processos 150 145 Segurança força ou parâmetro crítico processo existente 150 145 Segurança força ou parâmetro crítico processo novo 167 160 Salientamos que os valores da Tabela 83 são apenas mínimos Em anos recentes muitas companhias adotaram critérios para avaliar seus processos que incluem objetivos de capacidade do processo mais rígidos do que os da Tabela 83 Por exemplo uma empresa Seis Sigmas exige essencialmente que quando a média do processo está sob controle não estará a menos de seis desviospadrão do limite de especificação mais próximo E isso exige na realidade que a razão da capacidade do processo seja no mínimo 20 Razão da Capacidade do Processo para um Processo Descentrado A razão da capacidade de um processo Cp não leva em conta onde a média do processo está localizada em relação às especificações Cp mede simplesmente a dispersão das especificações em relação à dispersão Seis Sigmas no processo Por exemplo as duas primeiras distribuições normais da Figura 88 têm ambas Cp 20 mas o processo no painel b da figura tem claramente capacidade inferior à do processo do painel a porque não está operando no ponto médio do intervalo entre as especificações Essa situação pode ser refletida com maior precisão mediante definição de uma nova razão da capacidade RCP Cpk do processo que leve em conta a centralização do processo Esta grandeza é Note que Cpk nada mais é do que a RCP unilateral para o limite de especificação mais próximo da média do processo Para o processo exibido na Figura 88b teríamos De modo geral se Cp Cpk o processo está centrado no ponto médio das especificações e quando Cpk Cp o processo está descentrado A magnitude de Cpk em relação a Cp é uma medida direta de quão fora de centro o processo está operando A Figura 88 ilustra vários casos encontrados comumente Note no painel c da Figura 88 que Cpk 10 enquanto Cp 20 Podese usar a Tabela 82 para uma estimativa rápida da melhoria potencial que seria possível mediante a centralização do processo Se tomarmos Cp 10 na Tabela 82 e lermos a ocorrência de falhas na coluna de especificações unilaterais poderemos estimar a ocorrência de falhas efetiva como 1350 ppm Entretanto se pudermos centralizar o processo então poderemos obter Cp 20 e a Tabela 82 tomando Cp 20 e especificações bilaterais sugere que a ocorrência de 833 falhas potencial é 00018 ppm uma melhoria de várias ordens de grandeza no desempenho do processo Por isso costumamos dizer que Cp mede a capacidade potencial no processo enquanto Cpk mede a capacidade efetiva O painel d da Figura 88 ilustra o caso em que a média do processo é exatamente igual a um dos limites de especificação conduzindo a Cpk 0 Conforme ilustra o painel e quando Cpk 0 a implicação é que a média do processo está fora das especificações Obviamente se Cpk 1 todo o processo está fora dos limites de especificação Alguns autores definem Cpkcomo não negativa de modo que os valores inferiores a zero são definidos como zero Muitos especialistas em engenharia da qualidade têm se manifestado contra o uso rotineiro de razões da capacidade de um processo tais como Cp e Cpk ou outras abordadas mais adiante nesta seção pelo fato de elas serem uma supersimplificação de um fenômeno complexo Certamente qualquer estatística que combine informações tanto sobre a localização a média e a centralização do processo quanto sobre a variabilidade e que exija a hipótese de normalidade para sua interpretação significativa tem alguma chance de ser mal utilizada ou abusada Além disso como veremos as estimativas pontuais de razões da capacidade de um processo são virtualmente inúteis quando calculadas com base em pequenas amostras Obviamente essas razões devem ser usadas e interpretadas com grande cuidado FIGURA 88 Relação entre Cp e Cpk Normalidade e Razão da Capacidade de um Processo Uma suposição importante subjacente à nossa discussão da capacidade de um processo e as razões Cp ou Cpk é que suas interpretações usuais se baseiam em uma distribuição normal da saída do processo Se a distribuição subjacente não for normal então como já advertimos as afirmações sobre as falhas esperadas do processo atribuídas a um valor particular de Cp ou Cpkpoderão não ser verdadeiras Para ilustrar este ponto consideremos os dados da Figura 89 que é um histograma de 80 medidas da aspereza de uma superfície em uma peça fabricada por uma máquina medida em micropolegadas O limite superior de especificação é LSE 32 micropolegadas A média e o desviopadrão amostrais são 1044 e s 3053 o que implica 235 e a Tabela 82 sugere que as falhas são inferiores a uma parte por bilhão Todavia como o histograma é fortemente assimétrico podemos ter bastante certeza de que a distribuição não é normal Assim esta estimativa da capacidade tem pouca chance de ser correta Uma forma de se abordar esta situação é através da transformação dos dados de modo que na nova métrica transformada os dados tenham a aparência de uma distribuição normal Há várias abordagens gráficas e analíticas para a escolha de uma transformação Nesse exemplo utilizouse a transformação recíproca A Figura 810 exibe um histograma dos valores recíprocos x 1x Na escala transformada 01025 e s 00244 e o limite superior de especificação se torna 132 003125 Isso nos dá 097 o que implica que cerca de 1350 ppm estão fora das especificações Esta estimativa do desempenho do processo é obviamente muito mais realista do que a resultante da suposição usual de teoria normal Outras abordagens têm sido consideradas ao se lidar com dados não normais Tem havido várias tentativas de ampliação das definições dos índicespadrão de capacidade a casos de distribuições não normais Luceño 1996 introduziu o índice Cpc definido como FIGURA 89 Aspereza de uma superfície em micropolegadas para uma peça fabricada em uma máquina FIGURA 810 Recíprocos da aspereza de uma superfície Adaptado de dados constantes da coluna Statistics Corner em Quality Progress março de 1989 com permissão da American Society for Quality Control em que o valoralvo do processo é T LSE LIE Luceño usa o segundo índice em Cpc para representar a confiança e enfatiza que os intervalos de confiança baseados em Cpc são confiáveis naturalmente esta afirmação deve ser interpretada com cautela O autor usou também a constante no denominador para tornálo igual a 6σ quando a distribuição subjacente é normal Na Seção 835 daremos o intervalo de confiança para Cpc Têm sido feitas também tentativas para a modificação dos índices usuais de capacidade de modo que eles sejam apropriados para duas famílias gerais de distribuições as famílias de Pearson e de Johnson Isso tornaria as RCPs 834 amplamente aplicáveis a distribuições tanto normais quanto não normais Em Rodriguez 1992 e Kotz e Lovelace 1998 encontramse boas discussões dessas abordagens A ideia geral consiste na utilização de quantis apropriados da distribuição do processo digamos x000135 e x099865 para se definir uma RCP baseada em quantis digamos Ora como na distribuição normal x000135 µ 3σ e x099865 µ 3σ vemos que no caso de uma distribuição normal Cpq se reduz a Cp Clements 1989 propôs um método para a determinação dos quantis com base na família de distribuições de Pearson De modo geral entretanto poderíamos ajustar qualquer distribuição aos dados do processo determinar seus quantis x099865 e x000135 e aplicar a equação 811 Consulte Kotz e Lovelace 1998 para mais informações Mais Detalhes sobre Centralização de Processos A razão da capacidade de um processo Cpk foi criada inicialmente porque Cp não aborda de maneira adequada o caso de um processo com média que não esteja centrada entre os limites de especificação Entretanto Cpk por si só ainda é uma medida inadequada de centralização de um processo Por exemplo considere os dois processos mostrados na Figura 811 Ambos os processos A e B têm Cpk 10 mas sua centralização é nitidamente diferente Para se caracterizar satisfatoriamente a centralização de um processo Cpk deve ser comparada com Cp Para o Processo A Cpk Cp 10 o que implica que o processo está centrado enquanto para o processo B Cp 20 Cpk 10 o que implica que o processo está descentrado Para qualquer valor fixo de µ no intervalo de LIE a LSE Cpk depende inversamente de σ e aumenta quando σ tende para zero Esta característica pode tornar Cpk inadequada como medida de centralização Isto é um grande valor de Cpk nada nos diz sobre a localização da média no intervalo de LIE a LSE FIGURA 811 Dois processos com Cpk 10 Uma forma de se contornar esta dificuldade consiste na utilização de uma razão da capacidade do processo que seja um melhor indicador de centralização Tal razão é em que τ é a raiz quadrada do desvio quadrático esperado a partir do alvo T LSE LIE τ2 Ex T2 Ex μ2 μ T2 σ2 μ T2 Assim a equação 812 pode ser escrita como em que Uma forma lógica de se estimar Cpm é através de em que Chan Cheng e Spring 1988 estudaram esta razão diversos estimadores de Cpm e suas propriedades amostrais Boyles 1991 elaborou uma análise definitiva de Cpm e de sua utilidade na medida da centralização de um processo Boyles observa que tanto Cpk quanto Cpmcoincidem com Cp quando µ T e diminuem quando µ se afasta de T Entretanto Cpk 0 para µ LSE ou µ LIE enquanto Cpm tende assintoticamente para zero quando µ T Boyles mostra também que a Cpm de um processo com µ T Δ 0 é estritamente limitada acima pelo valor Cp de um processo com σ Δ isto é Assim uma condição necessária para que Cpm 1 é μ T LSE LIE Esta estatística nos diz que se o valoralvo T for o ponto médio das especificações uma Cpmde um ou mais implicará que a média µ se situe no terço médio da faixa de especificação Podese fazer afirmação análoga para qualquer valor de Cpm Por exemplo Cpm implica µ T LSE LIE Assim um determinado valor de Cpm impõe uma restrição sobre a diferença entre µ e o valoralvo T EXEMPLO 83 Centralização de Processo A título de ilustração do uso de Cpm considere os dois processos A e B da Figura 811 Para o processo A vemos que pois o processo A está centrado no valoralvo T 50 Note que Cpm Cpk para o processo A Considere agora o processo B Se utilizarmos a equação 817 isso equivale a dizer que a média do processo se situa aproximadamente na metade central do intervalo de especificações Um exame visual da Figura 811 revela que este é realmente o caso Pearn et al 1992 propuseram a razão da capacidade de um processo 835 Esta é chamada por vezes razão da capacidade de um processo de terceira geração pois é construída a partir das razões de segunda geração Cpk e Cpm da mesma maneira como essas foram geradas a partir da razão de primeira geração Cp A motivação desta nova razão é a maior sensitividade a afastamentos da média do processo µ em relação ao alvo desejado T Para maiores detalhes consulte Kotz e Lovelace 1998 Intervalos de Confiança e Testes sobre Razões da Capacidade de um Processo Intervalos de Confiança para Razões da Capacidade de um Processo Grande parte da utilização industrial das razões da capacidade de um processo focaliza o cálculo e a interpretação da estimativa pontual da grandeza desejada Podese facilmente esquecer que ou por exemplo são simplesmente estimativas pontuais e como tal estão sujeitas à flutuação estatística Uma alternativa que deve tornarse uma prática padronizada consiste no estabelecimento de intervalos de confiança para razões da capacidade de um processo É fácil acharse um intervalo de confiança para a razão de primeira geração Cp Se substituímos σ por s na equação de Cp geramos o estimador pontual usual Se a característica da qualidade segue uma distribuição normal então podemos obter um intervalo de confiança de nível 1001 α para Cp a partir de ou em que são os pontos percentuais α2 inferior e α2 superior da distribuição qui quadrado com n 1 graus de liberdade Esses pontos percentuais constam da Tabela III do Apêndice EXEMPLO 84 Intervalo de Confiança para Cp Suponha que um processo estável tenha limites superior e inferior de especificação em LSE 62 e LIE 38 Uma amostra de tamanho n 20 deste processo revela que a média do processo está centrada aproximadamente no ponto médio do intervalo de especificação e que o desviopadrão amostral é s 175 Ache um IC de 95 para Cp SOLUÇÃO Uma estimativa pontual de Cp é O intervalo de confiança de nível 95 para Cp se obtém da equação 820 como se segue em que foram obtidos na Tabela III do Apêndice O intervalo de confiança para Cp no Exemplo 84 é relativamente amplo porque o desviopadrão amostral s apresenta considerável flutuação em amostras pequenas a moderadamente grandes Isso significa então que os intervalos de confiança para Cp baseados em pequenas amostras serão amplos Note também que o intervalo de confiança utiliza s e não d2 para estimar σ Isso enfatiza ainda mais que o processo deve estar sob controle estatístico para que as RCPs tenham significado real Se o processo não está sob controle s e d2 podem ser muito diferentes levando a valores muito diferentes da RCP Para razões mais complicadas como Cpk e Cpm vários autores criaram intervalos de confiança aproximados veja por exemplo Zhang Stenback e Wardrop 1990 Bissell 1990 Kushler e Hurley 1992 e Pearn et al 1992 Se a característica da qualidade for distribuída normalmente então um intervalo de confiança de nível aproximado 1001 α para Cpk será Kotz e Lovelace 1998 dão um resumo abrangente sobre intervalos de confiança para diversas RCPs EXEMPLO 85 Um Intervalo de Confiança para Cpk Utilizase uma amostra de tamanho n 20 de um processo estável para estimar com o resultado 133 Ache um IC aproximado de 95 para SOLUÇÃO Com base na equação 821 um intervalo de confiança aproximado de nível 95 para Cpk é ou 088 Cpk 178 Tratase de um intervalo de confiança extremamente amplo Com base nos dados amostrais a razão Cpk tanto pode ser inferior a 1 uma situação muito ruim como tão grande quanto 178 uma situação razoavelmente boa Assim ficamos sabendo muito pouco sobre a capacidade efetiva do processo porque Cpk foi estimada de maneira assaz imprecisa E a razão disso naturalmente é que foi utilizada uma amostra muito pequena n 20 Para dados não normais podese utilizar a RCP Cpc criada por Luceño 1996 Lembrese de que Cpc foi definida na equação 810 Luceño desenvolveu o intervalo de confiança para Cpccomo segue Em primeiro lugar calculase x T cujo valor esperado é estimado por o que leva ao estimador Um intervalo de confiança de nível 1001 α para Ex T é em que Assim um intervalo de confiança de nível 1001 α para Cpc é dado por Teste de Hipóteses sobre RCPs Uma prática que vem se tornando cada vez mais comum na indústria consiste em exigirse que um fornecedor demonstre a capacidade do processo como parte do acordo contratual Assim é frequentemente necessário demonstrarse que a razão da capacidade do processo Cp satisfaz ou supera determinado valor alvo digamos Cp0 Este problema pode ser formulado como um problema de teste de hipótese H0 Cp Cp0 ou o processo não é capaz H1 Cp Cp0 ou o processo é capaz Gostaríamos de rejeitar H0 recorde que no teste de uma hipótese estatística a rejeição de H0 é sempre uma conclusão forte demonstrando assim que o processo é capaz Podemos formular o teste estatístico em termos de de modo que rejeitaremos H0 se exceder um valor crítico C Kane 1986 investigou este teste e elaborou uma tabela de tamanhos amostrais e valores críticos C para auxiliar no teste da capacidade de um processo Definimos CpAlto como a capacidade de um processo que aceitaríamos com probabilidade 1 α e CpBaixo como a capacidade de um processo que rejeitaríamos com probabilidade 1 β A Tabela 84 dá valores de CpAltoCpBaixo e CCpBaixo para diversos tamanhos amostrais e α β 005 ou α β 010 O exemplo a seguir ilustra o uso dessa tabela EXEMPLO 86 Qualificação de Fornecedor Um cliente informou a um fornecedor que para se qualificar para negócios com sua firma ele deve demonstrar que a capacidade de seu processo supera Cp 133 Assim o fornecedor deseja estabelecer um procedimento para testar as hipóteses H0 Cp 133 H1 Cp 133 O fornecedor deseja ter a certeza de que se a capacidade do processo for inferior a 133 haverá alta probabilidade digamos 090 de detectar este fato enquanto se a capacidade do processo exceder 166 haverá grande probabilidade de o processo ser julgado capaz novamente digamos 090 Isso implicaria CpBaixo 133 CpAlto 166 e α β 010 Para achar o tamanho da amostra e o valor crítico C na Tabela 85 calcule e levamos o valor ao painel a da tabela em que α β 010 Obtivemos então n 70 e CCpBaixa 110 de onde calculamos CCpBaixa 110 133110 146 TABELA 84 Determinação do Tamanho da Amostra e do Valor Crítico para o Teste de H0 Cp Cp0 a α β 010 b α β 005 Tamanho Amostraln Cp AltaCpBaixa CCp Baixa Cp AltaCpBaixa CCp Baixa 10 188 127 226 137 20 153 120 173 126 30 141 116 155 121 40 134 114 146 118 50 130 113 140 116 60 127 111 136 115 70 125 110 133 114 80 123 110 130 113 90 121 110 128 112 100 120 109 126 111 Fonte Adaptado de Kane 1986 com permissão da American Society for Quality Control Assim para demonstrar a capacidade o fornecedor deve tomar uma amostra de n 70 peças e a razão da capacidade do processo amostral deve exceder C 146 Esse exemplo mostra que para se demonstrar que a capacidade do processo é no mínimo igual a 133 a amostral observada deve exceder consideravelmente 133 Isso ilustra que algumas práticas industriais comuns podem ser estatisticamente questionáveis Por exemplo é prática bastante comum aceitarse um processo como capaz no nível Cp 133 se a amostral for superior a 133 com base em um tamanho amostral 30 n 50 peças Obviamente este procedimento não leva em conta a variação amostral na estimativa de σ podendo ser necessários na prática maiores valores de n eou maiores valores aceitáveis de Índices do Desempenho de um Processo Em 1991 formouse o Grupo de Ação da Indústria Automotiva ou AIAG de Automotive Industry Action Group Este grupo consiste em representantes dos três grandes Ford General Motors e Chrysler e da American Society for Quality Control atualmente American Society for Quality Um de seus objetivos era a padronização da relação das exigências para os fornecedores e de modo geral para sua indústria A AIAG recomenda o uso dos índices da capacidade de um processo Cp e Cpk quando o processo está sob controle com o desvio padrão do processo estimado por d2 Quando o processo não está sob controle a AIAG recomenda o uso dos índices do desempenho de um processo Pp e Ppk em que por exemplo e s é o desviopadrão amostral usual Mesmo o American National Standards Institute em sua ANSI Standard Z1 on Process Capability Analysis 1996 afirma que Pp e Ppk devem ser usados quando o processo não está sob controle Ora é claro que quando o processo é distribuído normalmente e está sob controle é essencialmente e é essencialmente porque para um processo estável a diferença entre s e d2 é mínima Note entretanto que se o processo não está sob controle os índices Pp e Ppk não têm interpretação significativa em relação à capacidade do processo porque não podem predizer o desempenho deste Além disso suas propriedades estatísticas não são 84 determináveis não se podendo assim fazer qualquer inferência válida sobre seus valores verdadeiros ou populacionais Também Pp e Ppk não motivam nem incentivam as companhias que os utilizam a colocarem seus processos sob controle Kotz e Lovelace 1998 se manifestam enfaticamente contra a utilização de Pp e Ppk indicando que esses índices são efetivamente um passo atrás na quantificação da capacidade de um processo Eles se referem à imposição do uso de Pp e Ppk através de padrões de qualidade ou diretrizes industriais como indisfarçável terrorismo estatístico isto é o uso ou mau uso de métodos estatísticos juntamente com ameaças eou intimidação para se atingir um objetivo comercial Este autor concorda plenamente com Kotz e Lovelace Os índices de desempenho de um processo Pp e Ppk são na verdade mais do que um passo atrás São um desperdício de esforço de engenharia e de gestão para não informar coisa alguma A menos que o processo esteja estável sob controle nenhum índice trará informação preditiva útil ou informará sobre futuro desempenho Em vez de impor o uso de índices desprovidos de sentido as empresas deveriam devotar esforços para desenvolver e implementar um plano eficaz de caracterização controle e melhoria do processo Essa é uma abordagem muito mais razoável e efetiva da melhoria de um processo Análise da Capacidade de um Processo Utilizando um Gráfico de Controle Os histogramas os gráficos de probabilidade e as razões da capacidade de um processo resumem o desempenho do mesmo Não exibem necessariamente a capacidade potencial do processo porque não abordam a questão do controle estatístico ou apresentam padrões sistemáticos na saída do processo que se eliminados reduziriam a variabilidade na característica da qualidade Os gráficos de controle são muito eficientes nesse aspecto e devem ser considerados como a técnica principal da análise da capacidade de um processo Os gráficos de controle tanto de atributos quanto de variáveis podem ser usados na análise da capacidade de um processo Os gráficos e R devem ser utilizados sempre que possível em razão do maior poder e melhor informação que oferecem em comparação com os gráficos de atributos Entretanto ambos os gráficos p e c ou u servem para analisar a capacidade de um processo As técnicas para construção e utilização desses gráficos foram apresentadas nos Capítulos 6 e 7 Lembrese de que para usar o gráfico p devemos dispor de especificações sobre as características do produto Os gráficos e R permitemnos estudar processos sem levar em conta as especificações Os gráficos de controle e R permitem a análise tanto da variabilidade instantânea capacidade do processo a curto prazo como da variabilidade ao longo do tempo capacidade do processo a longo prazo São de grande auxílio especialmente se os dados para um estudo sobre a capacidade de um processo forem coletados em dois ou três períodos diferentes de tempo tais como turnos dias diferentes etc Na Tabela 85 apresentamos dados sobre a resistência à ruptura de garrafas de refrigerante para 20 amostras de 5 observações cada Resumimos a seguir os cálculos para os gráficos e R Gráfico Gráfico R A Figura 812 exibe os gráficos e R para as 20 amostras da Tabela 85 Ambos os gráficos revelam controle estatístico Os parâmetros do processo podem ser estimados a partir do gráfico de controle como Assim a razão unilateral inferior da capacidade do processo é estimada por É claro que como a resistência é um parâmetro relacionado com segurança a capacidade do processo é inadequada Este exemplo ilustra um processo que está sob controle mas operando em um nível inaceitável Não há evidência de que a produção de unidades não conformes seja controlável por um operador Será necessária a intervenção da engenharia eou administração seja para melhorar o processo ou para modificar as exigências se os problemas de qualidade com as garrafas devem ser resolvidos O objetivo dessas intervenções é aumentar a razão da capacidade de um processo até um nível mínimo aceitável O gráfico de controle pode ser usado como dispositivo de monitoramento ou diário de bordo para mostrar o efeito de modificações no processo sobre o desempenho do mesmo TABELA 85 Dados sobre Resistência psi de Garrafas Amostra Dados R 1 265 205 263 307 220 2520 102 2 268 260 234 299 215 2552 84 3 197 286 274 243 231 2462 89 4 267 281 265 214 318 2690 104 5 346 317 242 258 276 2878 104 6 300 208 187 264 271 2460 113 7 280 242 260 321 228 2662 93 8 250 299 258 267 293 2734 49 9 265 254 281 294 223 2634 71 10 260 308 235 283 277 2726 73 11 200 235 246 328 296 2610 128 85 12 276 264 269 235 290 2668 55 13 221 176 248 263 231 2278 87 14 334 280 265 272 283 2868 69 15 265 262 271 245 301 2688 56 16 280 274 253 287 258 2704 34 17 261 248 260 274 337 2760 89 18 250 278 254 274 275 2662 28 19 278 250 265 270 298 2722 48 20 257 210 280 269 251 2534 70 26406 773 FIGURA 812 Gráficos e R para os dados de resistência de garrafas Às vezes a análise da capacidade de um processo indica um processo fora de controle Em tais casos é inseguro estimarse a capacidade do processo O processo deve ser estável a fim de produzir uma estimativa confiável da respectiva capacidade Quando o processo está fora de controle nos estágios iniciais da análise da capacidade o primeiro objetivo são a detecção e a eliminação das causas atribuíveis a fim de levar o processo a um estado sob controle Análise da Capacidade de um Processo Utilizando Experimentos Planejados 86 Um experimento planejado é uma abordagem sistemática da modificação das variáveis de entrada controláveis no processo e da análise dos efeitos dessas variáveis sobre a saída do processo Os experimentos planejados também são úteis para se descobrir qual conjunto de variáveis pode influir na saída do processo e em quais níveis essas variáveis devem ser mantidas a fim de se otimizar o desempenho do processo Assim o planejamento de experimentos é útil em problemas mais gerais do que na simples estimação da capacidade de um processo Para uma introdução ao planejamento de experimentos consulte Montgomery 2009 A Parte V deste livro dá mais informações sobre métodos de planejamento experimental e sua utilização na melhoria de um processo FIGURA 813 Fontes de variabilidade no exemplo da linha de enchimento de garrafas Uma das principais aplicações dos experimentos planejados consiste no isolamento e estimação das fontes de variabilidade em um processo Consideremos por exemplo uma máquina que enche garrafas de um refrigerante Cada máquina tem um grande número de torneiras de enchimento que devem ser ajustadas independentemente A característica da qualidade medida é o conteúdo de xarope em graus Brix do produto acabado Pode haver variação no Brix observado em razão da variabilidade da máquina variabilidade das torneiras e variabilidade no teste analítico A variabilidade no Brix observado é Um experimento pode ser planejado de modo a envolver amostragem de várias máquinas e várias torneiras em cada máquina e fazendose várias análises em cada garrafa o que permitiria a estimação das variâncias Suponha que os resultados se apresentem como na Figura 813 Como uma porção substancial da variabilidade total observada no Brix é decorrente da variabilidade entre torneiras isso indica que o processo talvez possa ser melhorado mediante redução da variabilidade torneiraatorneira Isso pode ser conseguido mediante uma estrutura ou um controle mais cuidadosos da operação da máquina Análise da Capacidade de um Processo com Dados de Atributo Muitas vezes o desempenho de um processo é medido em termos de dados de atributo isto é unidades não conformes ou defeituosas ou não conformidades ou defeitos Quando uma fração não conforme é a medida do desempenho é típico o uso de peças defeituosas por milhão ppm como uma medida da capacidade do processo Em algumas organizações essas ppm defeituosas são convertidas em um nível sigma equivalente Por exemplo um processo que produz 2700 ppm 1 2 3 4 1 2 3 4 87 871 1 2 3 defeituosas seria equivalente a um processo três sigmas sem o usual deslocamento de 15 σ na média que muitas organizações Seis Sigmas empregam nos cálculos que fazem Ao se lidar com não conformidades ou defeitos usase em geral uma estatística de defeitos por unidade DPU como uma medida de capacidade em que Aqui a unidade é algo que é entregue a um cliente e que pode ser avaliado ou julgado em relação a sua adequação Alguns exemplos incluem Uma fatura Um carregamento Um pedido do cliente Uma averiguação ou chamada Os defeitos ou não conformidades são quaisquer coisas que não correspondam aos requisitos do cliente tais como Um erro em uma fatura Um carregamento incorreto ou incompleto Um pedido do cliente incorreto ou incompleto Uma chamada que não é satisfatoriamente completada Obviamente essas quantidades são estimadas a partir de dados amostrais Grandes amostras precisam ser usadas para a obtenção de estimativas confiáveis A medida DPU não leva em conta diretamente a complexidade da unidade Uma maneira muito usada para se fazer isso é através da medida de defeitos por milhão de oportunidades DPMO Oportunidades são o número de chances potenciais em uma unidade para a ocorrência de um defeito Por exemplo em uma ordem de compra o número de oportunidades seria o dobro do número de campos a serem preenchidos porque cada campo pode ser preenchido incorretamente ou em branco informação ausente É importante a consistência em relação a como as oportunidades são definidas uma vez que um processo pode ser artificialmente melhorado pelo simples aumento no número de oportunidades ao longo do tempo Estudos sobre a Capacidade de um Medidor e de um Sistema de Medidas Conceitos Básicos da Capacidade de um Medidor A determinação da capacidade de um sistema de medidas é um aspecto importante de muitas atividades de melhoria da qualidade e do processo Geralmente em uma atividade que envolve medições alguma variabilidade observada será inerente às unidades ou itens que estão sendo medidos e alguma variabilidade será resultado do sistema de medida usado O sistema de medida consistirá minimamente de um instrumento ou medidor e normalmente tem outros componentes tais como operadores que o usam e as condições sob as quais é usado ou diferentes instantes de uso no tempo Pode haver outros fatores que impactam o desempenho do sistema de medida tais como atividades de instalação ou calibração O objetivo da maioria dos estudos da capacidade dos sistemas de medida é Determinar quanto da variabilidade total observada é decorrente do medidor ou instrumento Isolar os componentes da variabilidade no sistema de medida Avaliar se o instrumento ou medidor é capaz isto é se é adequado ao que se pretende Medições são um componente significante de qualquer sistema da qualidade Medição é um componente integrante do processo de resolução de problemas DMAMC mas é ainda mais importante do que isso Um sistema de medida ineficaz pode impactar consideravelmente o desempenho do negócio pois leva a tomadas de decisão não informadas em geral ruins Nesta seção introduziremos os dois R da capacidade de sistemas de medida repetibilidade Obteremos o mesmo valor observado se medirmos a mesma unidade várias vezes sob condições idênticas e reprodutibilidade Quanta diferença vemos nos valores observados quando as unidades são medidas sob condições diferentes tais como operadores períodos de tempo e outros Essas quantidades respondem apenas indiretamente à questão fundamental O sistema é capaz de distinguir entre unidades boas e ruins Isto é qual é a probabilidade de que uma unidade boa seja considerada defeituosa e inversamente qual é a probabilidade de que uma unidade ruim seja repassada ao cliente como boa Essas probabilidades de classificações erradas são de cálculo bastante fácil a partir dos resultados de um estudopadrão da capacidade de sistemas de medida e fornecem informação confiável útil e de fácil entendimento sobre desempenho de sistemas de medida Além da repetibilidade e reprodutibilidade há outros aspectos importantes da capacidade de sistemas de medida A linearidade de um sistema de medida reflete as diferenças na exatidão eou precisão observada ao longo da amplitude das medições feitas pelo sistema Um modelo de regressão linear simples é em geral usado para a descrição dessa característica Problemas com a linearidade são quase sempre resultado de problemas de calibração e manutenção Estabilidade ou níveis diferentes de variabilidade em diferentes regimes de operação podem resultar de efeitos de aquecimento fatores ambientais desempenho inconsistente do operador e procedimento de operaçãopadrão inadequado Viés reflete a diferença entre medidas observadas e um verdadeiro valor obtido de um padrão máster ou ouro ou de uma técnica de medida diferente que se sabe produzir valores precisos Monitoramento controle melhoria ou gerenciamento eficazes de um processo são muito difíceis com um sistema de medida inadequado É algo análogo a pilotar um navio através da neblina sem radar eventualmente podese bater em um iceberg Mesmo que não ocorra qualquer catástrofe sempre se gastará tempo e dinheiro à procura de problemas onde não existem e tendo de tratar com clientes insatisfeitos que receberam produtos defeituosos Como excessiva variabilidade de medição se torna parte da variabilidade geral do produto ela também impacta negativamente muitas outras atividades de melhoria do processo tais como a exigência de grandes amostras em estudos comparativos ou observacionais mais replicação em experimentos planejados destinados à melhoria do processo e mais testes extensivos do produto Para a introdução de ideias básicas da análise de sistemas de medida ASM considere um modelo simples mas razoável para estudos da capacidade de sistemas de medida em que y é a medida observada total x é o verdadeiro valor da medida em uma unidade do produto e ε é a medida do erro Suporemos que x e ε sejam variáveis normal e independentemente distribuídas com médias µ e 0 e variâncias respectivamente A variância da medição observada total y é então Gráficos de controle e outros métodos estatísticos podem ser usados para separar esses componentes da variância bem como para dar uma avaliação da capacidade do medidor EXEMPLO 87 Medindo a Capacidade do Medidor Devese usar um instrumento como parte de uma implementação de proposta de CEP Seria conveniente que a equipe envolvida no projeto de melhoria da qualidade obtivesse uma avaliação da capacidade do medidor Obtêmse vinte unidades do produto e o operador do processo que efetivamente toma as medidas para o gráfico de controle utiliza o instrumento para medir cada unidade do produto duas vezes Os dados são apresentados na Tabela 86 SOLUÇÃO A Figura 814 exibe os gráficos e R para esses dados Note que o gráfico apresenta muitos pontos forade controle Isso já era de se esperar porque nesta situação o gráfico tem uma interpretação que é algo diferente da interpretação usual O gráfico neste exemplo mostra o poder discriminativo do instrumento literalmente a capacidade do medidor em distinguir entre unidades do produto O gráfico R mostra diretamente a magnitude do erro de medida ou a capacidade do medidor Os valores de R representam a diferença entre medidas tomadas sobre a mesma unidade utilizandose o mesmo instrumento Neste exemplo o gráfico R está sob controle Isso indica que o operador não está tendo qualquer dificuldade em fazer mensurações consistentes Pontos foradecontrole no gráfico R indicariam que o operador estaria tendo dificuldade em utilizar o instrumento TABELA 86 Dados sobre Medidas de Peças Número da Peça Medidas R 1 2 1 21 20 205 1 2 24 23 235 1 3 20 21 205 1 4 27 27 270 0 5 19 18 185 1 6 23 21 220 2 7 22 21 215 1 8 19 17 180 2 9 24 23 235 1 10 25 23 240 2 11 21 20 205 1 12 18 19 185 1 13 23 25 240 2 14 24 24 240 0 15 29 30 295 1 16 26 26 260 0 17 20 20 200 0 18 19 21 200 2 19 25 26 255 1 20 19 19 190 0 223 10 O desviopadrão do erro de mensuração σMedidor pode ser estimado como se segue A distribuição do erro de mensuração usualmente é bem aproximada pela normal Assim σˆMedidor é uma boa estimativa da capacidade do medidor FIGURA 814 Gráficos de controle para a análise da capacidade do medidor no Exemplo 87 É uma prática bastante comum embora não necessariamente boa compararse a estimativa da capacidade do medidor com a largura das especificações ou a faixa de tolerância LSE LIE para a peça que está sendo medida A razão de para a faixa de tolerância total é chamada frequentemente de razão da precisão para a tolerância PT Na equação 825 escolhas populares para a constante k são k 515 e k 6 O valor k 515 corresponde ao valor limitante do número de desviospadrão entre os limites de um intervalo de tolerância de 95 que contém pelo menos 99 de uma população normal e k 6 corresponde ao número de desviospadrão entre os limites usuais naturais de tolerância de uma população normal A peça utilizada no Exemplo 87 tem LSE 60 e LIE 5 Portanto fazendo k 6 na Equação 825 uma estimativa da razão PT é Frequentemente tomamse valores de PT no máximo iguais a 01 a fim de implicar capacidade adequada do medidor Isso se baseia na regra geralmente utilizada que exige que um dispositivo de mensuração seja calibrado em unidades um décimo tão grandes quanto a precisão exigida na medida final Mas devemos ter cuidado ao aceitar esta regra empírica geral em todos os casos Um medidor deve ser suficientemente capaz de medir com exatidão e precisão tais que permitam ao analista tomar a decisão correta Isso não precisa exigir necessariamente que PT 01 Podemos utilizar os dados do experimento da capacidade do medidor do Exemplo 87 para estimar os componentes da variância na equação 824 associados à variabilidade total observada Pelas medidas amostrais efetivas da Tabela 86 podemos calcular s 317 que é uma estimativa do desviopadrão da variabilidade total incluindo tanto a variabilidade do produto quanto a variabilidade do medidor Portanto Como da equação 824 temos que e como dispomos de uma estimativa de podemos obter uma estimativa de como se segue Portanto uma estimativa do desviopadrão da característica do produto é Há outras medidas da capacidade do medidor que têm sido propostas Uma delas é a razão da variabilidade do processo peça para a variabilidade total e outra seria a razão da variabilidade do sistema de medida para a variabilidade total Obviamente ρP 1 ρM Para a situação no Exemplo 87 podemos calcular uma estimativa de ρM como se segue Assim a variância do instrumento de medida contribui com cerca de 786 da variância total observada nas medições Outra medida da adequação do instrumento de medida é definida pela AIAG 1995 note que há também uma edição atualizada desse manual AIAG 2002 como razão sinalruído RSR A AIAG definiu a RSR como o número de níveis distintos ou categorias que podem ser obtidas com confiança das medições Recomendase um valor de 5 ou mais e um valor menor do que 2 indica capacidade inadequada do medidor Para o Exemplo 87 temos e usando vemos que de modo que a estimativa de RSR na equação 828 é FIGURA 815 Os conceitos de exatidão e precisão a O medidor é exato e preciso b O medidor é exato mas não preciso c O medidor não é exato mas é preciso d O medidor não é exato nem preciso Assim o medidor no Exemplo 87 não satisfaria as exigências sugeridas de um RSR de pelo menos 5 No entanto essa exigência para o RSR é arbitrária de algum modo Outra medida da capacidade do medidor é a razão de discriminação RD Alguns autores sugeriram que para um medidor ser capaz RD deve exceder 4 Essa é uma exigência muito arbitrária Para a situação do Exemplo 87 calculamos uma estimativa para a razão de discriminação como Claramente por essa medida o medidor é capaz TABELA 87 Dados da Impedância Térmica CW 100 para o Experimento de um Medidor R R Número da Peça Inspetor 1 Inspetor 2 Inspetor 3 Teste 1 Teste 2 Teste 3 Teste 1 Teste 2 Teste 3 Teste 1 Teste 2 Teste 3 1 37 38 37 41 41 40 41 42 41 2 42 41 43 42 42 42 43 42 43 3 30 31 31 31 31 31 29 30 28 872 4 42 43 42 43 43 43 42 42 42 5 28 30 29 29 30 29 31 29 29 6 42 42 43 45 45 45 44 46 45 7 25 26 27 28 28 30 29 27 27 8 40 40 40 43 42 42 43 43 41 9 25 25 25 27 29 28 26 26 26 10 35 34 34 35 35 34 35 34 35 Nesta seção lidamos principalmente com a precisão do medidor e não com sua exatidão A Figura 815 ilustra estes dois conceitos Nessa figura o olho de boi do alvo é considerado como o verdadeiro valor da característica medida ou a média µ de x na equação 823 A exatidão se refere à capacidade do instrumento de medir corretamente em média o verdadeiro valor enquanto a precisão é uma medida da variabilidade inerente ao sistema de mensuração A avaliação da exatidão de um medidor ou sistema de medidas frequentemente exige o uso de um padrão para o qual se conhece o verdadeiro valor da característica medida Em geral a característica de exatidão pode ser modificada fazendose ajustes no dispositivo ou utilizandose uma curva de calibragem construída adequadamente Também é possível o planejamento de estudos da capacidade de um sistema de medida para a investigação de dois componentes do erro de mensuração comumente chamados repetibilidade e reprodutibilidade do medidor Definimos a reprodutibilidade como a variabilidade decorrente do fato de o medidor ser utilizado por diferentes operadores ou em períodos diferentes de tempo ou em diferentes ambientes ou de modo geral em condições diferentes e a repetibilidade como refletindo a precisão básica inerente ao próprio medidor Isto é O experimento usado para a medição dos componentes de é usualmente chamado de estudo R R pelos nomes de seus dois componentes Agora mostramos como analisar experimentos para medidor R R O Método da Análise de Variância Um exemplo de um estudo de um medidor R R extraído do artigo de Houf e Berman 1988 é mostrado na Tabela 87 Os dados são medidas de impedância térmica em graus C por Watt 100 em um módulo de potência para um arranque de motor de indução Há 10 peças 3 operadores e 3 medidas por peça O estudo do medidor R R é um experimento planejado Especificamente é um experimento fatorial assim chamado porque cada inspetor ou operador mede todas as peças A análise de variância introduzida no Capítulo 4 pode ser estendida para a análise dos dados de um experimento de um medidor R R e para a estimação dos componentes apropriados da variabilidade de sistemas de medida Damos aqui apenas uma rápida visão do procedimento para maiores detalhes consulte Montgomery 2009 Montgomery e Runger 1993a 1993b Borror Montgomery e Runge 1997 Burdick e Larsen 1997 o artigo de revisão de Burdick Borror e Montgomery 2003 o livro de Burdick e Montgomery 2005 e o material suplementar do texto para este capítulo Se houver p peças selecionadas aleatoriamente e o operadores também selecionados aleatoriamente e se cada operador medir cada peça n vezes então as medidas i peça j operador k medida podem ser representadas pelo modelo em que os parâmetros do modelo Pi Oj POij e εijk são todos eles variáveis aleatórias independentes que representam os efeitos das peças dos operadores e a interação ou efeitos conjuntos de peças e operadores e o erro aleatório Este é um modelo de efeitos aleatórios da análise de variância ANOVA Algumas vezes é também chamado de modelo padrão para um experimento para um medidor R R Supomos que as variáveis aleatórias Pi Oj POij e εijk sejam distribuídas normalmente com média zero e variâncias dadas por Portanto a variância de qualquer observação é e são os componentes da variância que queremos estimar Podemos usar os métodos da análise de variância para estimar os componentes da variância O procedimento envolve a partição da variabilidade total nas medidas nas seguintes partes componentes em que tal como no Capítulo 4 a notação SQ representa uma soma de quadrados Embora essas somas de quadrados possam ser calculadas manualmente1 na prática sempre utilizamos um pacote computacional para esta tarefa Cada soma de quadrados no membro direito da equação 832 é dividida pelos seus graus de liberdade para gerar médias quadráticas Podese mostrar que os valores esperados das médias quadráticas são e EMQE σ2 Os componentes da variância podem ser estimados igualandose a seus valores esperados os valores numéricos das médias quadráticas calculados por um programa de análise da variância e resolvendose em relação aos componentes da variância Isso nos dá TABELA 88 ANOVA Impedância Térmica versus Número da Peça Operador A Tabela 88 dá a análise de variância para este experimento Os cálculos foram feitos utilizandose a rotina Balanced ANOVA no Minitab Com base nos valores P concluímos que o efeito das peças é grande os operadores podem ter um efeito pequeno e não há interação significativa peçaoperador Podemos utilizar a equação 833 para estimar os componentes da variância como se segue e Note que essas estimativas também aparecem na base do resultado do Minitab Ocasionalmente veremos que a estimativa de um dos componentes da variância é negativa Isso certamente não é razoável pois por definição as variâncias são não negativas Infelizmente podem resultar estimativas negativas de componentes da variância quando usamos o método de estimação da análise de variância o que é considerado como uma 873 de suas desvantagens Há diversas maneiras de lidarmos com essa situação Uma possibilidade consiste em admitirmos que a estimativa negativa signifique que o componente da variância é realmente zero e o fazemos igual a zero deixando inalteradas as outras estimativas não negativas Outra abordagem consiste na estimação dos componentes da variância com um método que garanta estimativas não negativas Finalmente quando ocorrem estimativas negativas dos componentes da variância elas são em geral acompanhadas por fontes de variabilidade não significantes do modelo Por exemplo se for negativo usualmente será porque a fonte de variabilidade da interação é não significante Poderíamos tomar isso como evidência de que realmente é zero que não há efeito de interação e ajustar um modelo reduzido da forma yijk μ Pi Oj εijk que não inclua o termo interação Esta é uma abordagem relativamente fácil e que frequentemente funciona tão bem quanto métodos mais sofisticados Tipicamente encaramos σ2 como o componente repetibilidade da variância e a reprodutibilidade do medidor como a soma dos componentes da variância do operador e de peça operador Então e a estimativa para o nosso exemplo é As especificações superior e inferior para esse módulo de potência são LIE 18 e LSE 58 Assim a razão PT para o medidor é estimada como Pelas medidaspadrão da capacidade do medidor esse medidor não seria considerado capaz porque a estimativa da razão PT excede 010 Intervalos de Confiança em Estudos de Medidores R R O estudo de medidor R R e os procedimentos da ANOVA descritos na seção anterior resultaram em estimativas pontuais dos componentes da variância do modelo experimental e para A obtenção de intervalos de confiança para estudos de medidores R R pode ser muito informativa Intervalos de confiança em estudos de capacidade de sistemas de medida são discutidos em Montgomery 2001 Montgomery e Runger 1993a 1993b Borror Montgomery e Runger 1997 Burdick e Larsen 1997 no artigo de revisão de Burdick Borror e Montgomery 2003 e no livro de Burdick Borror e Montgomery 2005 Entre os diferentes métodos de obtenção desses intervalos de confiança o método de grandes amostras modificado GAM produz bons resultados e é de implementação relativamente fácil para o experimentopadrão da capacidade do medidor descrito na Seção 872 em que peças e operadores são ambos considerados fatores aleatórios Outros métodos para a construção de intervalos de confiança e programas de computador para a implementação desses métodos estão em Burdick Borror e Montgomery 2005 A Tabela 89 contém as equações para o intervalo de confiança do GAM para os parâmetros que são usualmente de interesse em um estudo da capacidade de sistemas de medida Definições das quantidades dadas na Tabela 89 estão na Tabela 810 As referências para todas as equações dos intervalos de confiança na Tabela 89 estão em Burdick Borror e Montgomery 2003 Note que o ponto percentual da distribuição F é definido na Tabela 810 como 874 A última coluna na Tabela 89 contém os intervalos de confiança de 95 para cada parâmetro e a última coluna da Tabela 810 mostra os valores numéricos das quantidades usadas no cálculo dos intervalos de confiança de 95 Todos os intervalos de confiança na Tabela 89 são bastante amplos porque há apenas três operadores e isso resulta em apenas dois graus de liberdade para a estimação do efeito do operador Assim haverá um impacto do comprimento de qualquer intervalo de confiança para qualquer parâmetro que seja uma função de Isso sugere que para a obtenção de intervalos de confiança mais estreitos em um estudo de medidor R R será necessário aumentarse o número de operadores Uma vez que é práticapadrão nesses estudos o uso de dois ou três operadores é necessário cuidado na consideração das consequências da aplicação de um planejamentopadrão para a estimação da capacidade do medidor Defeituosos Falsos e Defeituosos que Passam Na seção anterior introduzimos várias maneiras de se resumir a capacidade de um medidor ou instrumento inclusive a razão PT equação 825 a razão sinalruído RSR equação 828 a razão de discriminação RD equação 829 e ρP e ρM equações 826 e 827 Nenhuma dessas quantidades descreve realmente a capacidade do medidor em qualquer sentido interpretável diretamente A capacidade efetiva de um sistema de medida é melhor descrita em termos de quão bem ele discrimina entre peças boas e ruins Considere o modelo proposto na equação 823 y x ε em que y é a medida total observada x é o verdadeiro valor da medida e e é o erro da medida As variáveis aleatórias x e ε são normal e independentemente distribuídas com médias µ e 0 e variâncias respectivamente A função de densidade de probabilidade conjunta de y e x digamos fy x é normal bivariada com vetor média µ µ e matriz de covariância TABELA 89 Intervalos de Confiança 1001 α pelo GAM para o ExperimentoPadrão para Medidor R R TABELA 810 Definição dos Termos na Tabela 89 Uma unidade do produto ou peça é uma conformidade em relação às especificações se e o sistema de medida deixará passar uma unidade como não defeituosa se Se a equação 834 for verdadeira mas a equação 835 for falsa uma peça boa terá sido incorretamente rejeitada Alternativamente se a equação 834 for falsa mas a equação 835 for verdadeira uma peça não conforme terá sido incorretamente aceita Algumas vezes isso é chamado defeituoso que passa Uma maneira muito útil de se descrever a capacidade de um sistema de medida é em termos do risco do produtor e do risco do consumidor O risco do produtor δ é definido como a probabilidade condicional de que um sistema de medida recuse uma peça quando ela é conforme em relação às especificações uma falsa falha O risco do consumidor β é definido como a probabilidade condicional de que o sistema de medida deixe passar uma peça que não está conforme relativamente às especificações isso é o defeituoso que passa descrito anteriormente Estão disponíveis expressões para os cálculos das duas probabilidades condicionais e em que fx representa a função densidade de probabilidade marginal para x que é normal com média µ e variância A Figura 816 mostra as regiões de falsas falhas FF e falhas que passam FP em um contorno de densidade da distribuição normal bivariada Assim as equações 836 e 837 podem ser usadas para os cálculos de δ e β para valores dados de µ LIE e LSE O código SAS para a realização desses cálculos é mostrado na Tabela 811 Na prática não sabemos os verdadeiros valores de µ Se são usadas apenas estimativas pontuais o cálculo não leva em conta a incerteza nas estimativas Seria útil forneceremse intervalos de confiança para esses parâmetros nos cálculos de δ e β Uma maneira de se fazer isso é calcularse δ e β em diferentes cenários sugeridos pelos intervalos de confiança para os componentes da variância Por exemplo um cenário pessimista poderia considerar o pior desempenho possível para o sistema de medida e a pior capacidade possível para o processo de fabricação Para isso faça igual ao limite superior do intervalo de confiança para e resolva em relação ao valor de que fornece o limite inferior para ρPInversamente podese considerar um cenário otimista com o melhor desempenho para o sistema de medida combinado com a melhor capacidade do processo Para algumas outras sugestões veja Burdick Borror e Montgomery 2003 FIGURA 816 Regiões de falhas que passam FP e falsas falhas FF de um sistema de medida mostradas em um contorno de distribuição normal bivariada De Burdick Borror e Montgomery 2003 TABELA 811 Código SAS para Cálculo de Probabilidades δ e β de Classificações Erradas de Sistemas de Medida De Burdick Borror e Montgomery 2003 Nota Na afirmativa de entrada rhop é ρP e gammap é A Tabela 812 mostra os cálculos do risco do produtor δ e o risco de consumidor β usandose as equações 836 e 837 sob os dois cenários discutidos antes No cenário rotulado como Pessimista os cálculos consideram o pior desempenho possível tanto para o processo de produção quanto para o sistema de medida Isso se faz calculando 875 se δ e β com o uso de limite superior para e o limite inferior para ρP Usamos a média amostral 358 para o valor de µ os limites de confiança calculados na Tabela 810 e resolvemos em relação a usando a relação O código SAS mostrado na Tabela 811 foi usado para fazer esse cálculo O cenário rotulado como Otimista usa a melhor condição para o processo e para o sistema de medida Em particular usamos o limite inferior de e o limite superior de ρPAssim como com o primeiro cenário usamos a estimativa pontual 358 Note que a amplitude para o risco do produtor vai de 0002 a 152 e o risco para o consumidor vai de 123 a 310 Esses são intervalos muito amplos devido principalmente ao pequeno número de operadores usados nesse experimento R R particular TABELA 812 Taxas de Erro de Sistema de Medida para Dois Cenários Cenário ρP δ β Pessimista 16164 0628 152 310 Otimista 2269 0991 0002 123 Burdick Park Montgomery e Borror 2005 apresentam outro método para a obtenção de intervalos de confiança para taxas de classificação errada δ e β com base na abordagem inferencial generalizada Veja Tsui e Weerahandi 1989 e Weerahandi 1993 para uma discussão da inferência generalizada Essa é uma abordagem intensiva por computador e requer programas especializados Consulte Burdick Borror e Montgomery 2005 Capacidade do Medidor de Atributo Em seções anteriores admitimos que as medidas eram numéricas tais como medidas físicas ou propriedades que podiam ser expressas em uma escala numérica Há muitas situações em que a saída de um medidor é um atributo tal como passanão passa Dados nominais ou ordinais são relativamente comuns As capacidades de medidores de atributos podem ser avaliadas em muitas dessas situações Uma situação muito comum é a determinação de se o pessoal de operação toma consistentemente as mesmas decisões em relação a unidades que estão inspecionando ou analisando Por exemplo considere um banco que usa anotações manuais para analisar pedidos de empréstimos hipotecários Cada agente que analisa deve usar a informação fornecida pela pessoa que pede o empréstimo e outras informações externas tais como história de crédito para classificar o pedido em uma de quatro categorias negado ou não financiar financiar1 financiar2 e financiar3 As categorias financiar2 e financiar3 são de pessoas com baixo risco para empréstimo enquanto financiar1 é de pessoas de alto risco para empréstimo Suponha que 30 pedidos sejam selecionados e avaliados por um conjunto de analistas que chegam a uma avaliação consensual para cada pedido e então se pede a três diferentes analistas Sue Fred e John que avaliem cada pedido duas vezes Os pedidos são cegos nomes dos clientes endereços e outras informações de identificação são removidas e as duas avaliações são realizadas com vários dias de intervalo Os dados são mostrados na Tabela 813 A coluna rotulada por Classificação nessa tabela é o consenso a que o conjunto de analistas seniores inicial chegou A análise da capacidade do medidor de atributo nesse situação determinaria a proporção de vezes em que o analista concordaria consigo mesmo na avaliação do pedido de empréstimo Essa é uma medida de repetibilidade Estaríamos também interessados na proporção de vezes em que o analista concorda com a classificação correta Essa é uma medida de viés Usandose o Minitab para o cálculo da porcentagem de concordância a rotina Attribute Agreement Analyis Análise de Concordância de Atributo no Minitab v15 resulta na saída mostrada na Tabela 814 Note que o Minitab também calcula e apresenta intervalos de confiança para o percentual de coincidências A Figura 817 apresenta gráficos dos intervalos de confiança para os percentuais dentre os analistas uma medida de quão bem os analistas concordam consigo mesmos ao longo das análises e para a porcentagem de vezes em que eles concordam com a respostapadrão correta Geralmente embora haja bastante subjetividade na interpretação dos resultados de estudos da capacidade de medidores de atributos não há grande concordância nesse estudo Pode ser necessário mais treinamento para que os analistas produzam decisões mais consistentes para pedidos de empréstimos hipotecários Boas referências para outras abordagens para a realização de estudos da capacidade de medidores de atributos são Boyles 2001 De Mast e Van Wieringen 2004 2007 e Van Wieringen 2003 876 1 2 Comparação entre os Sistemas de Medida do Cliente e do Fornecedor Na relação clientefornecedor em geral é importante para as duas partes serem capazes de determinar com segurança se o produto do fornecedor está dentro das especificações do cliente Para o fornecedor seus sistemas internos de medida são essenciais para o controle eficaz do processo eou teste final e embarque O cliente deve ser capaz de verificar as afirmativas do fornecedor relativas à qualidade do produto Um componente essencial para a relação de negócios é a conformidade dos dois sistemas de medida Se os sistemas de medida do cliente e do fornecedor não estão em acordo então diferenças na opinião sobre a qualidade do produto podem ocorrer e a decisão de aceitar ou recusar um carregamento pode se tornar motivo de disputa entre as duas partes Isso põe em perigo a relação de negócios Em muitas cadeias de suprimento é prática comum a comparação das medidas do fornecedor e do cliente de uma dada característica do produto em um carregamento usandose uma técnica de análise de regressão linear O procedimento geral é o seguinte Suponha que o carregamento consista em n unidades do produto As medições do fornecedor das n unidades digamos y1 y2 yn são regredidas sobre as correspondentes n medidas do cliente x1 x2 xn ou viceversa e então calculase a estatística usual R2 Essa é interpretada como a porcentagem da variação nas medições do fornecedor que é explicada pela variação nas medições do cliente É usada como medida do grau de conformidade entre os dois sistemas de medida Frequentemente por uma regra empírica se o valor de R2 for menor do que algum valor arbitrário digamos 80 concluise que os dois sistemas de medida não estão em conformidade Nachtsheim e Becker 2011 mostram que a estatística R2 nunca é uma estatística apropriada para se tomar essa decisão Eles demonstram que a estatística R2 pode ser arbitrariamente pequena mesmo quando os dois sistemas de medida estão em completa conformidade Eles fornecem um exemplo no qual mudandose a capacidade do processo de produção do fornecedor a estatística R2 mudará de 19 a 98 mesmo que os dois sistemas de medida sejam exatamente o mesmo e portanto em completa conformidade Nachtsheim e Becker 2011 mostram através de uma série de exemplos que O valor de R2 depende diretamente do desviopadrão da distribuição das verdadeiras características do produto do desviopadrão da distribuição do erro de medida do fornecedor e do desviopadrão da distribuição do erro de medida do cliente À medida que o desviopadrão da característica da qualidade do fornecedor se aproxima de zero o valor de R2 se aproxima do quadrado da correlação entre os erros de medida do fornecedor e do cliente Isso significa que se a distribuição do processo do fornecedor for fortemente controlada o que é uma boa coisa R2 se aproximará do quadrado da correlação entre os erros de fornecedor e do cliente o que em geral será próximo de zero Assim se o desviopadrão de processo do fornecedor for pequeno em relação à distribuição dos erros de medida o uso de R2 como guia do desempenho dos dois sistemas de medida levará em geral à conclusão errada de que os sistemas de medida não estão em conformidade TABELA 813 Dados de Avaliação de Empréstimo para Análise da Capacidade de Medidor de Atributo Pedido Classificação Sue1 Sue2 Fred1 Fred2 Jonh1 Jonh2 1 Financ1 Financ 3 Financ3 Financ2 Financ2 Financ1 Financ3 2 Financ3 Financ 3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ1 3 Financ1 Financ 3 Financ3 Financ2 Financ2 Financ1 Financ1 4 Financ1 Financ 1 Financ1 Financ2 Financ1 Financ1 Financ1 5 Financ2 Financ 1 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ1 6 Financ3 Financ 3 Financ3 Financ1 Financ3 Financ3 Financ1 7 Financ3 Financ 3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 8 Financ3 Financ 3 Financ3 Financ1 Financ3 Financ3 Financ3 9 Financ1 Financ 3 Financ3 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 10 Financ2 Financ 1 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ1 11 Negar Negar Negar Financ3 Financ3 Negar Negar 12 Financ2 Financ 3 Financ1 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 13 Financ2 Financ 2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ1 14 Financ2 Financ 2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 15 Financ1 Financ 1 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 16 Financ2 Financ 2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ1 17 Financ3 Negar Financ3 Financ1 Financ1 Financ3 Financ3 18 Financ3 Financ 3 Financ1 Financ3 Financ3 Financ3 Financ1 19 Negar Financ 3 Financ3 Financ3 Negar Negar Negar 20 Financ1 Financ 1 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 21 Financ2 Financ 2 Financ2 Financ1 Financ2 Financ2 Financ1 22 Financ2 Financ 1 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 23 Financ1 Financ 1 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 Financ1 24 Financ3 Negar Financ3 Financ1 Financ2 Financ3 Financ1 25 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 3 4 Financ 3 26 Financ3 Financ 3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ3 Financ1 27 Financ2 Financ 2 Financ2 Financ2 Financ1 Financ2 Financ2 28 Negar Negar Negar Financ3 Negar Negar Negar 29 Negar Negar Negar Financ3 Negar Negar Financ3 30 Financ2 Financ 2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 Financ2 À medida que o desviopadrão da característica da qualidade do produto do fornecedor se aproxima de infinito se torna muito grande indicando um processo mal controlado com muita variabilidade o valor de R2 se aproximará de um Assim se a distribuição do processo do fornecedor não for fortemente controlada podese concluir que os dois sistemas de medida estão em conformidade À medida que qualquer dos desviospadrão do erro de medida aumenta em relação à distribuição do processo o valor de R2 diminui TABELA 814 Análise da Concordância em Atributos para os Dados de Avaliação de Empréstimos na Tabela 813 Attribute Agreement Analysis for Sue1 Sue2 Fred1 Fred2 John1 John2 Within Appraisers Assessment Agreement Appraiser Inspected Matched Percent 95 CI Sue 30 23 7667 5772 9007 Fred 30 21 7000 5060 8527 John 30 18 6000 4060 7734 Matched Appraiser agrees with himherself across trials Each Appraiser vs Standard Assessment Agreement Appraiser Inspected Matched Percent 95 CI Sue 30 19 6333 4386 8007 Fred 30 17 5667 3743 7454 John 30 18 6000 4060 7734 Matched Appraisers assessment across trials agrees with the known standard Between Appraisers Assessment Agreement Inspected Matched Percent 95 CI 30 7 2333 993 4228 Matched All appraisers assessments agree with each other All Appraisers vs Standard Assessment Agreement Inspected Matched Percent 95 CI 30 7 2333 993 4228 Matched All appraisers assessments agree with the known standard 5 1 2 3 4 5 FIGURA 817 Intervalos de confiança para a análise da concordância de atributos À medida que ambos os desviospadrão do erro de medida se aproximam de zero o valor de R2 se aproxima de um Nachtsheim e Becker 2011 sugerem que uma abordagem apropriada para a comparação de sistemas de medida pode se basear em uma descrita por Hawkins 2002 O procedimento que eles recomendam é o seguinte Suponha como antes que as n medidas do cliente sejam x1 x2 xn e que as medidas correspondentes do fornecedor sejam y1 y2 yn Então Calcule as n somas e as n diferenças Si yi xi i 1 2 n Di yi xi i 1 2 n Marque os valores de Di no eixo y versus os valores de Si no eixo x Quando os dois sistemas de medida estão em conformidade esse gráfico será semelhante ao gráficopadrão de resíduos contra valores preditos em um problema de regressão em que as hipóteses básicas são satisfeitas isto é variância do erro constante sem valores atípicos nenhuma evidência de curvatura e nenhuma inclinação Se for esse o caso a conformidade dos sistemas de medida pode ser determinada usandose um teste t emparelhado da hipótese H0 µD 0 isto é a média das diferenças é zero Se as diferenças não forem distribuídas de maneira aproximadamente normal ou transformações ou o teste dos sinais podem ser usados em lugar do teste t Métodos de regressão linear podem ser usados para a verificação de cada tipo de não conformidade e são descritos nos próximos passos Verifique se a variância é não constante Se as variâncias de x e y são constantes a amplitude vertical das diferenças será aproximadamente constante para todos os valores da soma Se não for esse o caso então isso aponta para variância desigual para pelo menos uma das medições Uma forma de megafone aberto para a direita é frequentemente uma indicação de que a variância das diferenças está aumentando com a soma das medidas Procure por valores atípicos Isso é indicado por um grande desvio vertical no gráfico Procure por tendência linear Faça a regressão dos valores de Di versus valores de Si e teste em relação a uma inclinação zero Se a inclinação for significantemente diferente de zero isso sugere que a inclinação entre x e y não é 6 88 881 igual a um de modo que há um viés relativo entre os dois sistemas de medida A presença de viés precisaria ser resolvida através de uma calibração linear Procure por curvatura A presença de curvatura pode em geral ser avaliada visualmente A presença de curvatura implica em viés que só pode ser resolvido através de calibração não linear Fixação de Limites de Especificação sobre Componentes Discretos Não raro é necessária a utilização de informações de um estudo da capacidade de um processo para se fixarem especificações sobre partes ou componentes discretos que interagem com outros componentes para formar o produto final Isto é particularmente importante em montagens complexas para se evitar problema de empilhamento de tolerâncias em que há muitas dimensões interagindo Nesta seção discutimos alguns aspectos da determinação de especificações sobre componentes para assegurar que o produto final satisfaça as especificações Alguns desses conceitos são parte integrante do planejamento Seis Sigmas PPSS Combinações Lineares Em muitos casos a dimensão de um item é uma combinação linear das dimensões das partes componentes Isto é se as dimensões dos componentes são x1 x2 xn então a dimensão da montagem final é em que ac são constantes Se os xi são independente e normalmente distribuídos com média µi e variância σ2 i então y é distribuída normalmente com média µy n i1aiµi e variância σ2 i n i1a2 iσ2 i Portanto se µie σ2 i são conhecidos para cada componente então é possível a determinação da fração de itens montados que não atendem as especificações EXEMPLO 88 Satisfazendo as Especificações do Cliente Uma montagem em cadeia consiste em quatro componentes conforme exibido na Figura 818 Sabese que os comprimentos de x1 x2 x3 e x4 são x1 N20 00004 x2 N45 00009 x3 N30 00004 e x4 N25 00001 Podemos admitir que os comprimentos dos componentes sejam independentes porque são fabricados em máquinas diferentes Todos os comprimentos são expressos em polegadas Determine a proporção de montagens que satisfazem a especificação do cliente de um comprimento geral de 1200 010 FIGURA 818 Uma montagem em cadeia com quatro componentes SOLUÇÃO Para achar a fração de montagens que se enquadram nesses limites de especificação notemos que y tem distribuição normal com média µy20453025120 e variância Para achar a fração de montagens que está dentro das especificações devemos calcular P1190 y 1210 Py 1210Py 1190 Φ236 Φ236 099086000914 098172 Concluímos pois que 98172 das montagens em cadeia estão dentro dos limites de especificação Este não é um produto Seis Sigmas Às vezes é necessário determinaremse limites de especificação sobre os componentes individuais de uma montagem de modo que os limites de especificação sobre a montagem final sejam satisfeitos Isto é demonstrado no exemplo a seguir EXEMPLO 89 Planejando um Produto Seis Sigmas Consideremos a montagem exibida na Figura 819 Suponhamos que as especificações sobre esta montagem sejam 600 006 in Suponhamos que os componentes x1 x2 e x3 sejam independentes e distribuídos normalmente com médias µ1 100 in µ2 300 in e µ3 200 in respectivamente Suponhamos que se queira que os limites de especificação fiquem dentro dos limites naturais de tolerância do processo para a montagem final de modo que Cp 20 aproximadamente para a montagem final Esse é um produto Seis Sigmas resultando em cerca de 34 montagens defeituosas por milhão O comprimento da montagem final tem distribuição normal Além disso para um produto Seis Sigmas isso implica que os limites naturais de tolerância devem situarse em µ 6σy Mas µy µ1 µ2 µ3 100 300 200 600 de modo que o processo está centrado no valor nominal Portanto o valor máximo possível de σy que resultaria em um produto aceitável é Ou seja se σy 0010 então o número de montagens não conformes será aceitável Vejamos agora como isso afeta as especificações sobre os componentes individuais A variância do comprimento da montagem final é Suponhamos que as variâncias dos comprimentos dos componentes sejam todas iguais isto é σ2 1 σ2 2 σ3 2 σ2 digamos Então e o valor máximo possível para a variância do comprimento de qualquer componente é Efetivamente se σ2 0000033 para cada componente então os limites naturais de tolerância para a montagem final estarão dentro dos limites de especificação tais que Cp 20 Isso pode ser traduzido em limites de especificação sobre os componentes individuais Se admitirmos que os limites naturais de tolerância e os limites de especificação para os componentes devem coincidir exatamente então os limites de especificação para cada componente são FIGURA 819 Montagem para o Exemplo 89 É possível darmos uma solução geral para o problema do Exemplo 89 Suponhamos que a montagem consista em n componentes tendo variância comum σ2 Se as tolerâncias naturais da montagem são definidas de maneira que no máximo α das montagens fiquem fora desses limites e 2W seja a largura dos limites de especificação então é o valor máximo possível para a variância da montagem final que permitirá que os limites naturais de tolerância e os limites de especificação coincidam Consequentemente o valor máximo permissível da variância para os componentes individuais é EXEMPLO 810 Montagem de Eixo e Mancal Devese montar um eixo em um mancal O diâmetro interno do mancal é uma variável aleatória normal digamos x1 com média µ1 1500 in e desviopadrão σ1 00020 in O diâmetro externo do eixo digamos x2 tem distribuição normal com média µ2 1480 in e desviopadrão σ2 00040 in A Figura 820 exibe a montagem Quando as duas partes são montadas ocorrerá interferência se o diâmetro do eixo for maior do que o diâmetro do mancal isto é se y x1 x2 0 Note que a distribuição de y é normal com média µy µ1 µ2 1500 1480 0020 e variância Portanto a probabilidade de interferência é 882 o que indica que muito poucas montagens terão interferência Esse é essencialmente um projeto Seis Sigmas Em problemas deste tipo ocasionalmente definimos uma folga mínima digamos C tal que Pfloga C α Assim C se torna a tolerância natural para a montagem e pode ser comparada com a especificação do planejamento Em nosso exemplo se estabelecemos α 00001 isto é apenas 1 em 10000 montagens ou 100 ppm terão folga inferior ou igual a C então teremos ou o que implica que Isto é 1 em cada 10000 montagens terá folga inferior a 00034 in FIGURA 820 Montagem de um eixo e um mancal Combinações Não Lineares Em alguns problemas a dimensão de interesse pode ser uma função não linear das n dimensões dos componentes x1 x2 xn digamos Em problemas desse tipo a abordagem usual é aproximarse a função não linear g por uma função linear dos xi na região de interesse Se µ1 µ2 µn são as dimensões nominais associadas aos componentes x1 x2 xn então desenvolvendose o membro direito da equação 841 em uma série de Taylor em torno de µ1 µ2 µn obtivemos em que R representa os termos de ordem mais alta Desprezando esses termos podemos aplicar os operadores valor esperado e variância para obter e Esse procedimento para se encontrar uma média e uma variância aproximadas de uma combinação não linear de variáveis aleatórias é algumas vezes chamado de método delta A equação 844 é em geral chamada de fórmula de transmissão do erro O exemplo a seguir ilustra como esses resultados são úteis em problemas de tolerância EXEMPLO 811 Um Produto com Dimensões Não Lineares Considere os componentes do circuito de corrente contínua simples mostrados na Figura 821 Suponha que a voltagem através dos pontos a b deva ser de 100 2V A Figura 821 exibe as especificações sobre a corrente e a resistência no circuito Supomos que as variáveis aleatórias componentes I e R sejam independente e normalmente distribuídas com médias iguais a seus valores nominais Pela lei de Ohm sabemos que a voltagem é V IR Como isso envolve uma combinação não linear desenvolvemos V em série de Taylor em torno da corrente média µI e da resistência média µR resultando V µIµR I µIµR R µRµI em que se desprezam os termos de ordem mais alta Agora a média e a variância da voltagem são µV µIµR e aproximadamente em que σ2 I e σ2 R são as variâncias de I e R respectivamente Suponha agora que I e R estejam centradas em seus valores nominais e que os limites naturais de tolerância sejam definidos de modo que α 00027 seja a fração de valores de cada componente que fica fora desses limites Suponha também que os limites de especificação sejam exatamente iguais aos limites naturais de tolerância Para a corrente I temos I 25 1 A Isto é 24 A I 26 A corresponde aos limites naturais de tolerância e às especificações Como I N25 σ2 I e como Zα2 Z000135 300 temos ou σI 033 Para a resistência temos R 4 006 ohms como limites de especificação e os limites naturais de tolerância Assim 89 e σR 002 Note que σI e σR são os maiores valores possíveis dos desviospadrão dos componentes consistentes com os limites naturais de tolerância situados dentro dos limites de especificação ou iguais a eles Utilizando estes resultados e admitindo que a voltagem V tenha distribuição aproximadamente normal então FIGURA 821 Circuito elétrico para o Exemplo 811 µV µI µR 254 100V e aproximadamente Assim Portanto a probabilidade de a voltagem situarse dentro das especificações do planejamento é Isto é apenas 84 das voltagens de saída observadas estarão dentro das especificações do planejamento Note que os limites naturais de tolerância ou a capacidade do processo para a voltagem de saída são µV 300σV e 100 423 V Nesse problema a razão da capacidade do processo é Note que embora as variações individuais da corrente e da resistência não sejam excessivas em relação a suas especificações em razão do empilhamento de tolerâncias elas interagem para produzir um circuito cujo desempenho relativamente às especificações da voltagem é muito fraco Estimando os Limites Naturais de Tolerância de um Processo Em muitos tipos de processo de produção é costume que os limites naturais de tolerância sejam encarados como os limites que englobam determinada fração digamos 1α da distribuição Nesta seção vamos apresentar algumas abordagens para se estimarem os limites naturais de tolerância de um processo Se a distribuição subjacente da característica da qualidade e seus parâmetros são conhecidos digamos com base na experiência então os limites de tolerância podem ser prontamente estabelecidos Por exemplo na Seção 87 estudamos diversos problemas envolvendo tolerâncias em que a característica da qualidade tinha distribuição normal com média µ e 891 variância σ2 conhecidas Se neste caso definirmos os limites de tolerância como os limites que contêm 1001 α da distribuição dessa característica da qualidade então esses limites são simplesmente µ Zα2σ Se α 005 digamos então os limites de tolerância são dados por µ 196σ Na maioria dos problemas práticos tanto a forma da distribuição quanto seus parâmetros serão desconhecidos Mas os parâmetros em geral podem ser estimados com base nos dados amostrais Em certos casos então é possível a estimação dos limites de tolerância do processo utilizandose essas estatísticas amostrais Discutiremos dois procedimentos para a estimação dos limites naturais de tolerância um para as situações em que a suposição de normalidade é razoável e uma abordagem não paramétrica útil em casos nos quais a suposição de normalidade não é apropriada A estimação dos limites naturais de tolerância de um processo é um problema importante com muitas implicações práticas significativas Conforme já vimos anteriormente a menos que as especificações do produto coincidam exatamente com os limites naturais de tolerância do processo ou os excedam RCP 1 uma porcentagem extremamente elevada da produção estará fora das especificações resultando em uma perda elevada ou considerável taxa de retrabalho Limites de Tolerância Baseados na Distribuição Normal Suponhamos que uma variável aleatória x tenha distribuição normal com média µ e variância σ2 ambas desconhecidas Para uma amostra aleatória de n observações podemse calcular a média amostral e a variância amostral s2 Um procedimento lógico para estimarmos os limites naturais de tolerância µ Zα2σ é a substituição de µ por e de σ por s o que nos dá Como e s são apenas estimativas e não os verdadeiros valores dos parâmetros não podemos afirmar que o intervalo acima sempre contenha 1001 α da distribuição Podemos entretanto determinar uma constante K tal que em um grande número de amostras uma fração γ dos intervalos Ks inclua ao menos 1001 α da distribuição Na Tabela VII do Apêndice figuram valores de K para 2 n 1000 γ 090 095 099 e α 010 005 001 EXEMPLO 812 Construindo um Intervalo de Tolerância O fabricante de um propulsor de foguete de combustível sólido deseja achar os limites de tolerância do processo tais que 95 das taxas de combustão estejam dentro desses limites com 099 de probabilidade Pela experiência anterior sabese que a taxa de combustão tem distribuição normal Uma amostra aleatória de 25 observações mostra que a média e a variância amostrais da taxa de combustão são 4075 e s2 187 respectivamente Como α 005 γ 099 e n 25 obtivemos K 2972 na Tabela VII do Apêndice Portanto os limites de tolerância procurados são dados por 2972s 4075 2972137 4075 407 3668 4482 Vemos que há uma diferença fundamental entre limites de confiança e limites de tolerância Os limites de confiança servem para dar uma estimativa intervalar do parâmetro de uma distribuição enquanto os limites de tolerância são utilizados para indicar os limites entre os quais esperamos encontrar uma proporção especificada de uma população Note que quando n tende para infinito o comprimento de um intervalo de confiança tende para zero enquanto os limites de tolerância tendem para o valor correspondente para a população Assim na Tabela VII do Apêndice quando n tende para infinito para α 005 digamos K tende para 196 Podemos também estabelecer limites de tolerância unilaterais com base na distribuição normal ou seja pode interessarnos afirmar que com probabilidade γ ao menos 1001 α da distribuição superam o limite inferior de tolerância Ks ou ficam abaixo do limite superior de tolerância Ks A Tabela VIII do Apêndice dá valores de K para esses limites unilaterais de tolerância para 2 n 1000 γ 090 095 099 e α 010 005 001 892 Limites de Tolerância Não Paramétricos É possível a construção de limites de tolerância não paramétricos ou livres de distribuição para qualquer distribuição contínua de probabilidade Esses intervalos se baseiam na distribuição dos valores extremos maior e menor observações amostrais em uma amostra extraída de uma distribuição contínua arbitrária Para limites de tolerância bilaterais o número de observações que devem ser feitas para se assegurar que com probabilidade γ ao menos 1001 α da distribuição estejam entre a maior e a menor observações obtidas na amostra é aproximadamente Assim para termos 99 de certeza de que ao menos 95 da população estejam incluídos entre os valores amostrais extremos temos α 005 γ 099 e consequentemente Para limites de tolerância unilaterais não paramétricos tais que com probabilidade γ ao menos 1001 α da população excedam o menor valor da amostra ou sejam inferiores ao maior valor da maior amostra devemos tomar uma amostra de observações Assim o limite de tolerância não paramétrico superior que contém ao menos 90 da população com probabilidade de ao menos 095 α 010 e γ 095 é a maior observação em uma amostra de observações Em geral os limites de tolerância não paramétricos têm valor prático limitado porque para a construção de intervalos adequados que contenham uma fração relativamente grande da distribuição com uma probabilidade elevada exigemse grandes amostras Em alguns casos os tamanhos das amostras exigidos são tão grandes que tornam proibitiva a sua utilização Se se pode especificar a forma da distribuição é possível para um dado tamanho de amostra a construção de intervalos de tolerância que sejam mais estreitos do que os obtidos pela abordagem não paramétrica Termos e Conceitos Importantes Abordagem da ANOVA para um experimento de medidor R R Análise da capacidade de processo Análise da capacidade de sistemas de medida Capacidade de processo Caracterização do produto Componentes do erro de medida Componentes do erro do medidor Distribuição normal e razões de capacidade de processo Estimação dos componentes da variância Experimento de medidor R R Experimento fatorial Fórmula de transmissão do erro 81 a b c 82 a b c d 83 84 85 Gráficos de controle e análise da capacidade de processo Índices de desempenho do processo Pp e Ppk Intervalos de confiança para as razões da capacidade de processo Intervalos de confiança para estudos de medidor R R Limites de tolerância não paramétricos Limites naturais de tolerância de um processo Limites naturais de tolerância para uma distribuição normal Método delta Métodos gráficos para análise da capacidade de processo Modelo ANOVA de efeitos aleatórios Precisão e exatidão de um medidor Problemas de empilhamento de tolerâncias Razão de discriminação RD para um medidor Razão precisãoparatolerância PT Razão sinalruído RSR para um medidor Razões unilaterais da capacidade de processo RCP Cp RCP Cpk RCP Cpm Risco do consumidor ou falha que passa para um medidor Risco do produtor ou falsa falha para um medidor Exercícios Um processo está sob controle estatístico com 20 e s 12 As especificações são LIE 16 e LSE 24 Estime a capacidade do processo com uma razão apropriada de capacidade do processo Itens produzidos abaixo do limite inferior de especificação devem ser sucateados enquanto itens produzidos acima do limite superior de especificação devem ser retrabalhados Qual proporção da saída do processo é sucata e qual proporção é retrabalho Suponha que sucateamento seja quatro vezes mais dispendioso do que o retrabalho Isso sugere que o deslocamento do centro do processo poderia reduzir os custos gerais Qual valor para o alvo do processo você recomendaria Um processo está sob controle estatístico com 2025 e s 20 As especificações são LIE 196 e LSE 206 Estime a capacidade do processo com uma razão apropriada de capacidade do processo Qual é a capacidade potencial desse processo Itens produzidos abaixo do limite inferior de especificação devem ser sucateados enquanto itens produzidos acima do limite superior de especificação devem ser retrabalhados Qual proporção da saída do processo é sucata e qual proporção é retrabalho Como o sucateamento é mais caro do que o retrabalho o processo foi centrado mais próximo do limite superior de especificação Se o sucateamento for duas vezes mais dispendioso do que o retrabalho a média do processo estará na melhor localização possível Qual valor para o alvo do processo você recomendaria Considere os dados sobre anéis de pistão da Tabela 63 Estime a capacidade do processo supondo que as especificações sejam 7400 0035 mm Faça uma análise da capacidade de um processo utilizando gráficos e R para os dados do Exercício 67 Estime a capacidade do processo utilizando gráficos e R para os dados sobre voltagem fornecidos no Exercício 68 Se as especificações exigem 350 5 V calcule Cp Cpk e Cpkm Interprete essas razões da capacidade 86 87 a b c 88 a b c 89 a b c d 810 a b c 811 812 813 Considere os dados sobre o diâmetro do furo no Exercício 69 Estime a capacidade do processo usando gráficos e R Se as especificações forem 0 001 calcule Cp Cpk e Cpkm Interprete essas razões Um processo está sob controle com 100 105 e n 5 As especificações do processo são 95 10 A característica da qualidade tem distribuição normal Estime a capacidade potencial Estime a capacidade efetiva De quanto se reduziria a falha do processo se ele fosse corrigido de modo a operar na especificação nominal Um processo está sob controle com 199 e 35 O gráfico de controle usa um tamanho amostral de n 4 As especificações são 200 8 A característica da qualidade é distribuída normalmente Estime a capacidade potencial do processo Estime a capacidade efetiva do processo De quanto poderia melhorar o desempenho do processo se a média pudesse ser estabelecida em seu valor nominal Um processo está sob controle estatístico com 397 e 25 O gráfico de controle usa um tamanho amostral de n 2 As especificações são 40 5 A característica da qualidade é distribuída normalmente Estime a capacidade potencial do processo Estime a capacidade efetiva do processo Calcule e compare as RCPs Cpk e Cpkm De quanto poderia melhorar o desempenho do processo se a média pudesse ser estabelecida em seu valor nominal Um processo está sob controle com 75 e 2 As especificações do processo são 80 8 O tamanho amostral é n 5 Estime a capacidade potencial do processo Estime a capacidade efetiva do processo De quanto se reduziria a falha do processo pela mudança da média para sua dimensão nominal Suponha que a característica seja normalmente distribuída Considere os dois processos mostrados na Tabela 8E1 o tamanho amostral é n 5 TABELA 8E1 Dados dos Processos para o Exercício 811 Processo A Processo B 100 B 105 A 3 B 1 As especificações são 100 10 Calcule Cp Cpk e Cpm e interprete essas razões Qual processo você preferiria utilizar Suponha que 20 das peças fabricadas pelo processo do Exercício 811 fossem montadas de modo que suas dimensões fossem aditivas isto é As especificações sobre x são 2000 200 Você preferiria produzir as peças usando o Processo A ou o B Por quê As razões da capacidade calculadas no Exercício 811 fornecem alguma orientação para a seleção do processo Os pesos nominais de recipientes de 1 kg de um ingrediente químico concentrado são mostrados na Tabela 8E2 Prepare um gráfico de probabilidade normal dos dados e estime a capacidade do processo Essa conclusão depende da estabilidade do processo TABELA 8E2 Pesos de Recipientes 814 815 816 a b 09475 09475 09775 09965 10075 10180 09705 09860 09975 10100 10200 09770 09960 10050 10175 10250 Considere os dados de pesos de recipientes do Exercício 813 Suponha que haja uma especificação inferior em 0985 kg Calcule uma razão apropriada da capacidade do processo para esse material Qual porcentagem de recipientes produzidos por esse processo estimase estar abaixo do limite de especificação A Tabela 8E3 apresenta dados sobre o tempo de ciclo em horas para o processamento de pedidos de pequenos empréstimos Prepare um gráfico de probabilidade normal desses dados A agência financeira tem um tempo de decisão de 24 horas acordado com potenciais clientes Com base nos dados da tabela e no gráfico de probabilidade normal qual proporção de clientes passará por tempos mais longos de espera TABELA 8E3 Dados sobre Tempo de Ciclo para o Exercício 815 163 163 193 151 222 191 185 183 187 202 220 147 180 189 191 106 181 196 208 165 193 146 178 156 225 176 172 209 148 182 164 182 194 141 164 196 175 171 217 208 A Tabela 8E4 apresenta dados do tempo de espera em minutos para ser atendido por uma enfermeira ou um médico em uma emergência de um hospital O hospital tem uma política de atender todos os pacientes inicialmente 10 minutos após sua chegada Prepare um gráfico de probabilidade normal desses dados A distribuição normal parece ser um modelo apropriado para esses dados Prepare um gráfico de probabilidade normal dos logaritmos naturais desses dados A distribuição normal parece ser um modelo apropriado para os dados transformados TABELA 8E4 Dados sobre Tempo de Espera para o Exercício 816 9 1 4 1 2 8 8 11 2 4 6 2 2 2 1 3 3 7 3 6 2 5 10 1 3 5 7 3 2 7 c 817 818 819 a b 8 8 3 3 5 1 8 4 5 7 Com base nos dados da Tabela 8E4 e nos gráficos de probabilidades normais qual proporção de pacientes não será atendida por uma enfermeira ou um médico dez minutos depois de sua chegada A altura do disco em uma montagem de drive de disco em um computador é uma característica crítica da qualidade A Tabela 8E5 dá as alturas em mm de 25 discos selecionados aleatoriamente de um processo de fabricação Suponha que o processo esteja sob controle estatístico Prepare um gráfico de probabilidade normal dos dados das alturas dos discos e estime a capacidade do processo TABELA 8E5 Dados das Alturas de Discos para o Exercício 817 200106 200090 200067 199772 200001 199940 199876 200042 199986 199958 200075 200018 200059 199975 200089 200045 199891 199956 199884 200154 200056 199831 200040 200006 200047 O tempo necessário para o reembolso de despesas de empregados é uma característica que pode ser usada para a descrição do desempenho do processo A Tabela 8E6 dá os tempos de ciclo em dias de 30 pedidos selecionados aleatoriamente de reembolso de despesas de empregados Estime a capacidade desse processo Suas conclusões dependem do controle estatístico do processo TABELA 8E6 Dias para Quitar Pedidos de Despesas 5 5 16 17 14 12 8 13 6 12 11 10 18 18 13 12 19 14 17 16 11 22 13 16 10 18 12 12 12 14 Uma usina elétrica rastreia o tempo de resposta de blecautes relatados pelo consumidor Os dados na Tabela 8E7 são uma amostra aleatória de 40 tempos de resposta em minutos para uma divisão de operação dessa usina durante um único mês Estime a capacidade do processo da usina para responder aos blecautes relatados pelos consumidores A usina deseja atingir uma taxa de resposta de 90 em até duas horas uma vez que resposta a blecautes de emergência é uma medida importante da satisfação do consumidor Qual é a capacidade do processo em relação a esse objetivo TABELA 8E7 Dados do Tempo de Resposta para o Exercício 819 80 102 86 94 86 106 105 110 127 97 820 821 822 a b 823 824 a b 825 a b 826 a b 827 a b c 828 110 104 97 128 98 84 97 87 99 94 105 104 84 77 125 85 80 104 103 109 115 89 100 96 96 87 106 100 102 93 Considere os dados sobre resistência do Exercício 662 Use o gráfico de probabilidade para avaliar a normalidade Estime a capacidade do processo Os tempos de falha em horas de 10 aparelhos de memória ILE são os seguintes 1210 1275 1400 1695 1900 2105 2230 2250 2500 e 2625 Plote os dados em papel de probabilidade normal e se apropriado estime a capacidade do processo É seguro estimarse a proporção de circuitos que falham antes de 1200 h Um processo normalmente distribuído tem especificações LIE 75 e LSE 85 na saída Uma amostra aleatória de 25 peças indica que o processo está centrado no meio da faixa de especificação e o desviopadrão é s 15 Ache uma estimativa pontual para Cp Ache um intervalo de confiança de 95 para Cp Comente sobre a largura desse intervalo Um importante cliente de uma companhia exigiu que ela demonstrasse que a razão da capacidade de seu processo Cp excedia 133 A companhia tomou amostras de 50 peças e obteve uma estimativa pontual p 152 Suponha que a característica de qualidade siga uma distribuição normal A companhia pode demonstrar que Cp excede 133 ao nível de confiança de 95 Qual nível de confiança daria um limite de confiança unilateral inferior para Cp que exceda 133 Suponha que uma característica da qualidade tenha uma distribuição normal com limites de especificação em LSE 100 e LIE 90 Uma amostra aleatória de 30 peças resulta em 97 e s 16 Calcule uma estimativa pontual para Cpk Ache um intervalo de confiança de 95 para Cpk O peso molecular de um polímero deveria ficar entre 2100 e 2350 Cinquenta amostras desse material foram analisadas com os resultados 2275 e s 60 Suponha que o peso molecular tenha distribuição normal Calcule uma estimativa pontual para Cpk Ache um intervalo de confiança de 95 para Cpk Uma característica da qualidade normalmente distribuída tem limites de especificação em LIE 10 e LSE 20 Uma amostra aleatória de tamanho 50 resulta em 16 e s 12 Calcule uma estimativa pontual de Cpk Ache um intervalo de confiança de 95 para Cpk Uma característica da qualidade normalmente distribuída tem limites de especificação em LIE 50 e LSE 60 Uma amostra aleatória de tamanho 35 resulta em 555 e s 09 Calcule uma estimativa pontual de Cpk Ache um intervalo de confiança de 95 para Cpk Esse é um processo 6σ Considere uma versão simplificada da equação 819 829 830 a b 831 a b c d 832 a b c Note que isso foi obtido supondose que o termo 9n na equação 819 será provavelmente grande Refaça o Exercício 824 usando essa equação e compare com a resposta original obtida pela equação 819 Quão boa é a aproximação sugerida nesse problema Sabese que uma combinação operadorinstrumento testa peças com erro médio de zero no entanto o desvio padrão do erro de medição é estimado em 3 Amostras de um processo controlado foram analisadas e a variabilidade total foi estimada em σˆ 5 Qual é o verdadeiro desviopadrão do processo Considere a situação no Exemplo 87 Um novo medidor está sendo avaliado para esse processo O mesmo operador mede as mesmas 20 peças duas vezes usando o novo medidor e obtém os dados mostrados na Tabela 8E8 O que se pode dizer sobre o desempenho do novo medidor em relação ao antigo Se as especificações são 25 15 qual é a razão PT para o novo medidor TABELA 8E8 Dados de Medições para o Exercício 830 Número da Peça Medidas Número da Peça Medidas 1 2 1 2 1 19 23 11 20 25 2 22 28 12 16 15 3 19 24 13 25 24 4 28 23 14 24 22 5 16 19 15 31 27 6 20 19 16 24 23 7 21 24 17 20 24 8 17 15 18 17 19 9 24 26 19 25 23 10 25 23 20 17 16 Um mesmo operador mede dez peças três vezes em um estudo da capacidade de um medidor Os dados são mostrados na Tabela 8E9 Descreva o erro de medição que resulta do uso desse medidor Estime a variabilidade total e a variabilidade do produto Qual porcentagem da variabilidade total é decorrente do medidor Se as especificações da peça se situam em 100 15 ache a razão PT para este medidor Faça um comentário sobre a adequação do medidor Em um estudo para o isolamento da repetibilidade e da reprodutibilidade do medidor dois operadores usam o mesmo medidor para medir dez peças três vezes cada Os dados são mostrados na Tabela 8E10 Estime a repetibilidade e a reprodutibilidade do medidor Estime o desviopadrão do erro de medição Se as especificações forem 50 10 o que se pode dizer sobre a capacidade do medidor TABELA 8E9 Dados de Medições para o Exercício 831 833 a b Número da Peça Medidas 1 2 3 1 100 101 100 2 95 93 97 3 101 103 100 4 96 95 97 5 98 98 96 6 99 98 98 7 95 97 98 8 100 99 98 9 100 100 97 10 100 98 99 TABELA 8E10 Dados de Medições para o Exercício 832 Número da Peça Operador 1 Medidas Operador 2 Medidas 1 2 3 1 2 3 1 50 49 50 50 48 51 2 52 52 51 51 51 51 3 53 50 50 54 52 51 4 49 51 50 48 50 51 5 48 49 48 48 49 48 6 52 50 50 52 50 50 7 51 51 51 51 50 50 8 52 50 49 53 48 50 9 50 51 50 51 48 49 10 47 46 49 46 47 48 Os dados na Tabela 8E11 foram obtidos por um operador durante um estudo da capacidade de um medidor Estime a capacidade do medidor A análise do gráfico de controle desses dados indica algum problema em potencial na utilização do medidor TABELA 8E11 Dados de Medições para o Exercício 833 Número da Peça Medidas Número da Peça Medidas 1 2 1 2 1 20 20 9 20 20 2 19 20 10 23 22 3 21 21 11 28 22 4 24 20 12 19 25 5 21 21 13 21 20 6 25 26 14 20 21 7 18 17 15 18 18 8 16 15 TABELA 8E12 Dados de Medições para o Exercício 834 Número da Peça Operador 1 Medidas Operador 2 Medidas Operador 3 Medidas 1 2 1 2 1 2 1 21 20 20 20 19 21 2 24 23 24 24 23 24 3 20 21 19 21 20 22 4 27 27 28 26 27 28 5 19 18 19 18 18 21 6 23 21 24 21 23 22 7 22 21 22 24 22 20 8 19 17 18 20 19 18 9 24 23 25 23 24 24 10 25 23 26 25 24 25 11 21 20 20 20 21 20 12 18 19 17 19 18 19 13 23 25 25 25 25 25 14 24 24 23 25 24 25 834 a b c 835 836 837 838 15 29 30 30 28 31 30 16 26 26 25 26 25 27 17 20 20 19 20 20 20 18 19 21 19 19 21 23 19 25 26 25 24 25 25 20 19 19 18 17 19 17 Um experimento de um sistema de medida que envolve 20 peças três operadores e duas medições por peça é mostrado na Tabela 8E12 Estime a repetibilidade e a reprodutibilidade do medidor Qual é a estimativa da variabilidade total do medidor Se as especificações do produto são LIE 6 e LSE 60 o que se pode dizer sobre a capacidade do medidor Reconsidere o experimento do medidor R R no Exercício 834 Calcule as quantidades RSR e RD para esse medidor Discuta qual informação essas medidas fornecem sobre a capacidade do medidor Três peças são montadas em série de modo que suas dimensões críticas x1 x2 e x3 se somam As dimensões de cada peça são distribuídas normalmente com os seguintes parâmetros µ1 100 σ1 4 µ2 75 σ2 4 µ3 75 σ3 2 Qual é a probabilidade de uma montagem escolhida aleatoriamente ter uma dimensão combinada superior a 262 Duas peças são montadas conforme mostra a figura As distribuições de x1 e x2 são normais com µ1 20 σ1 03 µ2 196 e σ2 04 As especificações da folga entre as peças encaixantes são 05 04 Que fração das montagens não satisfará as especificações se a montagem é aleatória Um produto é embalado enchendose completamente um contêiner Este contêiner tem a forma mostrada na figura a seguir Examinase o processo que fabrica esses contêi neres obtendose as seguintes informações sobre as três dimensões críticas Variável Média Variância C Comprimento 60 001 A Altura 30 001 L Largura 40 001 839 840 841 842 843 844 845 Admitindo que as variáveis sejam independentes quais são os valores aproximados da média e da variância do volume do contêiner Cortase uma peça retangular de metal de largura L e comprimento C de uma placa de espessura E Se L C e E são variáveis aleatórias independentes com médias e desviospadrão dados a seguir e se a densidade do metal é de 008 gcm3 quais seriam a média e o desviopadrão estimados dos pesos das peças fabricadas por este processo Variável Média DesvioPadrão L 10 cm 02 cm C 20 cm 03 cm E 3 cm 01 cm A tensão superficial de um produto químico medida em uma escala codificada é dada pela relação s 3 005x2 em que x é um componente do produto com distribuição de probabilidade Ache a média e a variância de s Dois resistores estão ligados a uma bateria conforme mostra a figura Ache expressões aproximadas para a média e a variância da corrente resultante I E R1 e R2 são variáveis aleatórias com médias µE µR1 e µR2 e variâncias σ2 E σ2 R1 e σ2 R2 respectivamente Duas peças conjugadas têm dimensões críticas x1 e x2 conforme figura a seguir Suponha que x1 e x2 sejam distribuídas normalmente com médias µ1 e µ2 e desviospadrão σ1 0400 e σ2 0300 Se desejamos que a probabilidade de uma folga isto é x1 x2 inferior a 009 seja 0006 que distância entre as dimensões médias das duas peças isto é µ1 µ2 deve ser especificada pelo projetista Formase uma montagem de duas peças adaptandose um eixo em um mancal Sabese que os diâmetros internos dos mancais são distribuídos normalmente com média 2010 cm e desviopadrão 0002 cm e que os diâmetros externos dos eixos têm distribuição normal com média 2004 cm e desviopadrão 0001 cm Determine a distribuição da folga entre as peças se a montagem for aleatória Qual é a probabilidade de a folga ser positiva Queremos estimar um intervalo natural de tolerância bilateral que tenha 080 de probabilidade de incluir 99 dos valores de uma variável aleatória Se nada se sabe sobre a distribuição da variável aleatória qual deve ser o tamanho da amostra Uma amostra de 10 itens de uma população normal tem média 300 e desviopadrão 10 Utilizando esses dados estime um valor da variável aleatória tal que haja 095 de probabilidade de 90 das medidas sobre a variável 846 847 848 849 a b 850 estarem abaixo do valor Uma amostra de 25 medidas de uma característica da qualidade distribuída normalmente tem média 85 e desvio padrão 1 Com uma probabilidade de confiança de 095 ache um valor tal que 90 das medidas futuras dessa característica da qualidade sejam superiores a ele Uma amostra de 20 medidas de uma característica da qualidade distribuída normalmente acusa 350 e s 10 Ache um limite superior natural de tolerância que tenha probabilidade 090 de conter 95 da distribuição dessa característica da qualidade Qual deve ser o tamanho da amostra necessário para se obter um intervalo natural de tolerância que tenha probabilidade 090 de conter 95 da distribuição Após coletados os dados como se construiria o intervalo Uma amostra aleatória de n 40 pedaços de cano acusa espessura média da parede de 01264 in e desviopadrão de 00003 in Admitimos que a espessura da parede do cano tenha distribuição normal Entre quais limites podemos afirmar com 95 de confiança que 95 das espessuras devem se situar Construa um intervalo de confiança de 95 para a verdadeira espessura média Explique a diferença entre este intervalo e o intervalo construído na parte a Determine o tamanho da amostra necessário para a construção de um limite superior de tolerância não paramétrico que contenha ao menos 95 da população com no mínimo 95 de probabilidade Como você calcularia esse limite a partir dos dados amostrais 1A estrutura experimental aqui é a de um planejamento fatorial Veja o Capítulo 13 e o material de texto suplementar para mais detalhes sobre a análise da variância inclusive cálculos A Parte 3 enfocou os métodos básicos do controle estatístico do processo e análise da capacidade Muitas dessas técnicas tais como os gráficos de controle de Shewhart têm sido usadas por bem mais de 75 anos No entanto a ênfase crescente na redução da variabilidade o realce da produção e a melhoria do processo juntamente com o sucesso dos métodos básicos têm levado ao desenvolvimento de muitas técnicas novas de monitoramento e controle estatístico do processo Esta parte contém quatro capítulos que descrevem algumas dessas técnicas O Capítulo 9 apresenta o gráfico de controle da soma cumulativa CUSUM e o gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada MMEP Esses procedimentos não são realmente novos uma vez que datam da década de 1950 mas são considerados em geral técnicas um pouco mais avançadas que os gráficos de Shewhart Como veremos CUSUM e MMEP oferecem considerável melhoria de desempenho em relação aos gráficos de Shewhart Os gráficos de controle CUSUM e MMEP são muito úteis na fase II de situações de monitoramento do processo O Capítulo 10 é um sumário de várias técnicas de controle do processo univariado incluindo métodos para sequências curtas de produção e técnicas de monitoramento adequadas para processos em que os dados são autocorrelacionados O Capítulo 11 é uma introdução ao monitoramento e controle de processos multivariados técnicas que são aplicáveis quando há duas ou mais variáveis do processo relacionadas que são de interesse O Capítulo 12 apresenta técnicas para o controle do processo por ajuste de retroação Nesses sistemas a característica da qualidade de saída de interesse é influenciada por uma variável manipulável do processo e usamos o desvio do resultado corrente de seu valor desejado ou alvo para determinar quanto ajuste deve ser feito para que a próxima observação esteja no alvo Esses esquemas de controle de retroação são também chamados de controle de engenharia do processo e são muito usados nas indústrias químicas e de processamento Alguns dos tópicos apresentados nesta parte podem exigir mais conhecimento estatístico e matemático do que o material da Parte 3 Duas referências muito úteis para acompanhar esta seção são o painel de discussão sobre monitoramento e controle estatístico de processos que apareceu no Journal of Quality Technology em 1997 veja Montgomery e Woodall 1997 e o artigo sobre tópicos de pesquisa em CEP no Journal of Quality Technology em 1999 veja Woodall e Montgomery 1999 91 911 912 913 914 915 916 917 918 919 9110 9111 9112 92 921 922 923 924 925 93 MS91 MS92 ESQUEMA DO CAPÍTULO O GRÁFICO DE CONTROLE DA SOMA CUMULATIVA Princípios Básicos O Gráfico de Controle CUSUM para Monitoramento da Média do Processo O CUSUM Tabular ou Algorítmico para Monitoramento da Média do Processo Recomendações para o Planejamento do CUSUM O CUSUM Padronizado Melhorando a Sensitividade do CUSUM para Grandes Mudanças A Resposta Inicial Rápida ou a Característica Headstart CUSUM Unilateral CUSUM para Monitoramento da Variabilidade do Processo Subgrupos Racionais CUSUM para Outras Estatísticas Amostrais O Procedimento Máscara V O CUSUM Autoiniciado O GRÁFICO DE CONTROLE DA MÉDIA MÓVEL EXPONENCIALMENTE PONDERADA O Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada para Monitoramento da Média do Processo Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP Robustez do MMEP à Não Normalidade Subgrupos Racionais Extensões do MMEP O GRÁFICO DE CONTROLE DA MÉDIA MÓVEL Material Suplementar para o Capítulo 9 A Abordagem pela Cadeia de Markov para se Encontrar o CMS para Gráficos de Controle CUSUM e MMEP Equações Integrais versus Cadeias de Markov para se Encontrar o CMS O material suplementar encontrase no site da LTC Editora VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 91 911 Os Capítulos 5 6 e 7 se concentraram nos métodos básicos do CEP Os gráficos de controle discutidos nesses capítulos são predominantemente gráficos de controle de Shewhart Esses gráficos são extremamente úteis na fase I de implementação do CEP em que é provável que o processo esteja fora de controle e sujeito a causas atribuíveis que resultam em grandes mudanças nos parâmetros monitorados Os gráficos de Shewhart são também muito úteis nos aspectos de diagnóstico de trazer um processo sem disciplina para o controle estatístico porque os parâmetros nesses gráficos fornecem orientação relativa à natureza da causa atribuível Uma grande desvantagem de qualquer gráfico de controle de Shewhart é que ele usa apenas a informação sobre a última observação amostral e ignora qualquer informação dada pela sequência inteira de pontos Essa característica torna o gráfico de controle de Shewhart relativamente insensível a pequenas mudanças no processo digamos da ordem de 15σ ou menos Potencialmente isso torna os gráficos de controle de Shewhart menos úteis na fase II de monitoramento de problemas em que o processo tende a operar sob controle estimativas confiáveis dos parâmetros do processo tais como a média e o desviopadrão estão disponíveis e causas atribuíveis não resultam tipicamente em grandes problemas ou distúrbios no processo Naturalmente outros critérios tais como limites de alarme e outras regras sensibilizantes podem ser aplicados aos gráficos de controle de Shewhart na fase II para melhorar seu desempenho contra pequenas mudanças No entanto o uso desses procedimentos reduz a simplicidade e facilidade de interpretação do gráfico de controle de Shewhart e como vimos anteriormente eles também reduzem drasticamente o comprimento médio da sequência do gráfico quando o processo está sob controle Isso pode ser muito indesejável na fase II do monitoramento do processo Duas alternativas muito eficazes ao gráfico de controle de Shewhart podem ser usadas quando pequenas mudanças são de interesse o gráfico de controle da soma cumulativa CUSUM e o gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada MMEP Os gráficos de controle CUSUM e MMEP são excelentes alternativas ao gráfico de controle Shewhart para a fase II de situações de monitoramento do processo Em conjunto os gráficos de controle CUSUM e MMEP são algumas vezes chamados gráficos de controle ponderados pelo tempo Esses gráficos de controle são o objeto deste capítulo Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Estabelecer gráficos de controle CUSUM para o monitoramento da média do processo Planejar um gráfico de controle CUSUM para a média para obter um desempenho específico do CMS Incorporar uma característica de resposta inicial rápida ao gráfico de controle CUSUM Usar um esquema de monitoramento combinado ShewhartCUSUM Estabelecer e usar gráficos de controle MMEP para o monitoramento da média do processo Planejar um gráfico de controle MMEP para a média para obter um desempenho específico do CMS Compreender por que o gráfico de controle MMEP é robusto em relação à hipótese de normalidade Compreender a vantagem de desempenho dos gráficos de controle CUSUM e MMEP em comparação aos gráficos de controle de Shewhart Estabelecer e usar um gráfico de controle com base em uma média móvel ordinária não ponderada O Gráfico de Controle da Soma Cumulativa Princípios Básicos O Gráfico de Controle CUSUM para Monitoramento da Média do Processo Considere os dados da Tabela 91 coluna a As 20 primeiras dessas observações foram extraídas aleatoriamente de uma distribuição normal com média µ 10 e desviopadrão σ 1 Essas observações foram plotadas em um gráfico de controle de Shewhart na Figura 91 A linha central e os limites de controle três sigmas nesse gráfico estão em LSC 13 Linha centra 10 LIC 7 Note que todas as observações plotadas estão sob controle TABELA 91 Dados para o Exemplo do CUSUM Amostra i a xi b xi 10 c Ci xi 10 Ci 1 1 945 055 055 2 799 201 256 3 929 071 327 4 1166 166 161 5 1216 216 055 6 1018 018 073 7 804 196 123 8 1146 146 023 9 920 080 057 10 1034 034 023 11 903 097 120 12 1147 147 027 13 1051 051 078 14 940 060 018 15 1008 008 026 16 937 063 037 17 1062 062 025 18 1031 031 056 19 852 148 092 20 1084 084 008 21 1090 090 082 22 933 067 015 23 1229 229 244 24 1150 150 394 25 1060 060 454 26 1108 108 562 27 1038 038 600 28 1162 162 762 29 1131 131 893 30 1052 052 945 FIGURA 91 Um gráfico de controle de Shewhart para os dados da Tabela 91 As dez últimas observações na coluna a da Tabela 91 foram extraídas de uma distribuição normal com média µ 11 e desviopadrão σ 1 Consequentemente podemos considerar essas dez últimas observações como tendo sido extraídas do processo quando ele estava fora de controle isto é depois de o processo ter sofrido uma mudança de 1σ na média Essas últimas dez observações também estão plotadas no gráfico de controle da Figura 91 Nenhum desses pontos se localiza fora dos limites de controle de modo que não temos evidência forte de que o processo esteja fora de controle Note que há uma indicação de uma mudança no nível do processo para os últimos dez pontos porque todos eles exceto um se localizam acima da linha central No entanto se nos apoiamos no sinal tradicional de um processo fora de controle de um ou mais pontos além de um limite de controle três sigmas então o gráfico de controle de Shewhart falhou em detectar a mudança A razão para essa falha naturalmente é a magnitude relativamente pequena da mudança O gráfico de Shewhart para médias é muito eficaz se a magnitude da mudança for de 15σ a 2σ ou mais Para mudanças menores ele não é eficaz O gráfico de controle da soma cumulativa CUSUM é uma boa alternativa quando pequenas mudanças são importantes O gráfico CUSUM incorpora diretamente toda a informação na sequência dos valores da amostra plotando as somas cumulativas dos desvios dos valores da amostra em relação a um valoralvo Por exemplo suponha que amostras de tamanho n 1 sejam coletadas e que jseja a média da jésima amostra Então se µ0 for o alvo para a média do processo formase o gráfico de controle da soma cumulativa plotandose a quantidade versus o número i da amostra Ci é a soma cumulativa até e incluindo a iésima amostra Como combinam informação de várias amostras os gráficos de somas cumulativas são mais eficazes que os gráficos de Shewhart para detectar pequenas mudanças no processo Além disso são particularmente eficazes com amostras de tamanho n 1 Isso torna o gráfico de controle da soma cumulativa um bom candidato para uso em indústrias químicas e de processamento onde os subgrupos racionais são frequentemente de tamanho um e na manufatura de partes discretas com medição automática para cada parte e controle online que usa microcomputador diretamente no local de trabalho Os gráficos de controle de somas cumulativas foram propostos primeiramente por Page 1954 e têm sido estudados por muitos autores em particular veja Ewan 1963 Page 1961 Gan 1991 Lucas 1976 1982 Hawkins 1981 1993a e Woodall e Adams 1993 O livro de Hawkins e Olwell 1998 é fortemente recomendado Nesta seção concentramonos no gráfico da soma cumulativa para a média do processo É possível planejaremse procedimentos de somas cumulativas para outras variáveis tais como variáveis de Poisson e binomiais para modelagem de não 912 conformidades e fração de não conformes Mostraremos depois como o CUSUM pode ser usado para monitorar a variabilidade do processo Notamos que se o processo permanece sob controle no valoralvo µ0 a soma cumulativa definida na equação 91 é um passeio aleatório com média zero No entanto se a média se desloca para um valor superior µ1 µ0 digamos então uma tendência para cima ou positiva se desenvolverá na soma cumulativa Ci Inversamente se a média se desloca para baixo para um valor µ1 µ0 então uma tendência para baixo ou negativa se desenvolverá em Ci Portanto se uma tendência significante se desenvolve nos pontos plotados tanto para cima quanto para baixo podemos considerar esse fato como evidência de que a média do processo mudou e deve ser realizada uma pesquisa para se determinar alguma causa atribuível Essa teoria pode ser facilmente demonstrada usando os dados da coluna a da Tabela 91 de novo Para aplicar o CUSUM na equação 91 a essas observações deveríamos tomar xiuma vez que o tamanho de nossa amostra é n 1 e fazer o valoralvo µ0 10 Assim o CUSUM se torna A coluna b da Tabela 91 contém as diferenças xi 10 e as somas cumulativas são calculadas na coluna c O valor inicial para o CUSUM C0 é tomado como zero A Figura 92 plota o CUSUM a partir da coluna c da Tabela 91 Note que para as 20 primeiras observações em que µ 10 o CUSUM tende a flutuar vagarosamente nesse caso mantendo valores próximos de zero No entanto nas 10 últimas observações em que a média mudou para µ 11 desenvolvese uma forte tendência para cima Naturalmente o gráfico CUSUM da Figura 92 não é um gráfico de controle porque faltam limites de controle estatísticos Há duas maneiras de se representar o CUSUM o CUSUM tabular ou algorítmico e a forma máscara V do CUSUM Das duas representações a tabular é preferível Apresentamos agora a construção e o uso do CUSUM tabular Discutiremos também rapidamente o procedimento máscara V e indicaremos por que ele não é a melhor representação do CUSUM O CUSUM Tabular ou Algorítmico para o Monitoramento da Média do Processo Mostramos agora como o CUSUM tabular pode ser construído para monitorar a média de um processo Os CUSUMs podem FIGURA 92 Gráfico da soma cumulativa a partir da coluna c da Tabela 91 ser construídos tanto para observações individuais quanto para as médias de subgrupos racionais O caso de observações individuais ocorre muito frequentemente na prática de modo que trataremos primeiro essa situação Depois mostraremos como modificar esses resultados para subgrupos racionais Seja xi a iésima observação do processo Quando o processo está sob controle xi tem uma distribuição normal com média µ0 e desviopadrão σ Supomos que σ seja conhecido ou uma estimativa confiável esteja disponível Essas hipóteses são muito consistentes com aplicações da fase II do CEP situação na qual o CUSUM é mais útil Mais tarde discutiremos o monitoramento de σ com um CUSUM Algumas vezes consideramos µ0 como um valoralvo para a característica da qualidade x Esse ponto de vista é sempre assumido nas indústrias químicas e de processamento quando o objetivo é controlar x viscosidade digamos em relação a um valoralvo particular tal como 2000 centistokes a 100C Se o processo flutua ou sai de seu valoralvo o CUSUM dará o sinal e um ajustamento é feito em alguma variável manipulável tal como a taxa de alimentação do catalisador para trazer o processo de volta ao alvo Também em alguns casos um sinal do CUSUM indica a presença de uma causa atribuível que deve ser investigada tal como no caso do gráfico de Shewhart O CUSUM tabular trabalha acumulando desvios de µ0 que estão acima do alvo com uma estatística C e acumulando desvios de µ0 que estão abaixo do alvo com outra estatística C As estatísticas C e C são chamadas de CUSUMs unilaterais superior e inferior respectivamente Elas são calculadas como se segue O CUSUM Tabular em que os valores iniciais são C0 C0 0 Nas equações 92 e 93 K é usualmente chamado de valor de referência ou valor de tolerância ou de folga e é sempre escolhido a meio caminho entre o valoralvo µ0 e o valor da média fora de controle µ1 que estamos interessados em detectar rapidamente Assim se a mudança for expressa em unidades de desviopadrão como µ1 µ0 δσ ou δ µ1 µ0σ então K é a metade da magnitude da mudança ou Note que Ci e Ci acumulam desvios a partir do valoralvo µ0 que são maiores do que K com ambas as quantidades recolocadas em zero ao se tornarem negativas Se Ci ou Ci ou excederem o intervalo de decisão H o processo é considerado fora de controle Mencionamos rapidamente como escolher K mas como se escolhe H Na verdade a seleção adequada desses dois parâmetros é muito importante uma vez que têm impacto substancial no desempenho do CUSUM Voltaremos a esse assunto mais tarde mas um valor razoável para H é cinco vezes o desviopadrão do processo σ EXEMPLO 91 Um CUSUM Tabular Estabeleça o CUSUM tabular usando os dados da Tabela 91 SOLUÇÃO Relembre que o valoralvo é µ0 10 o tamanho do subgrupo é n 1 o desviopadrão do processo é σ 1 e suponha que a magnitude da mudança que estamos interessados em detectar seja 10σ 1010 10 Portanto o valor fora de controle da média do processo é µ1 10 1 11 Usaremos um CUSUM tabular com K porque o tamanho da mudança é 10σ σ 1 e H 5 porque o valor recomendado do intervalo de decisão é H 5σ 51 5 A Tabela 92 apresenta o esquema do CUSUM tabular Para ilustrar os cálculos considere o período 1 As equações para C1 e C1 são TABELA 92 O CUSUM Tabular para o Exemplo 91 a b Períodoi xi xi 105 Ci N 95 xi Ci N 1 945 105 0 0 005 005 1 2 799 251 0 0 151 156 2 3 929 121 0 0 021 177 3 4 1166 116 116 1 216 0 0 5 1216 166 282 2 266 0 0 6 1018 032 250 3 068 0 0 7 804 246 004 4 146 146 1 8 1146 096 100 5 196 0 0 9 920 13 0 0 030 030 1 10 1034 016 0 0 084 0 0 11 903 147 0 0 047 047 1 12 1147 197 097 1 197 0 0 13 1051 001 098 2 101 0 0 14 940 110 0 0 010 010 1 15 1008 042 0 0 058 0 0 16 937 113 0 0 013 013 1 17 1062 012 012 1 112 0 0 18 1031 019 0 0 081 0 0 19 852 198 0 0 098 098 1 20 1084 034 034 1 134 0 0 21 1090 040 074 2 140 0 0 22 933 117 0 0 017 017 1 23 1229 179 179 1 279 0 0 24 1150 100 279 2 200 0 0 25 1060 010 289 3 110 0 0 26 1108 058 347 4 158 0 0 27 1038 012 335 5 088 0 0 28 1162 112 447 6 212 0 0 29 1131 081 528 7 181 0 0 30 1052 002 530 8 102 0 0 uma vez que K 05 e µ0 10 Agora x1 945 de modo que como C0 e C0 0 e Para o período 2 usaríamos e Como x2 799 obtivemos Os painéis a e b da Tabela 92 resumem os cálculos restantes As quantidades N e Nna Tabela 92 indicam o número de períodos consecutivos em que os CUSUMs Ci e Ci foram não nulos Os cálculos para o CUSUM na Tabela 92 mostram que o CUSUM do lado superior no período 29 é 528 Como esse é o primeiro período no qual Ci H 5 concluiríamos que o processo está fora de controle nesse ponto O CUSUM tabular também indica quando a mudança provavelmente ocorreu O contador N registra o número de períodos consecutivos desde que o CUSUM superior Ci ficou acima do valor zero Como N 7 no período 29 concluiríamos que o processo esteve em controle pela última vez no período 29 7 22 de modo que a mudança provavelmente ocorreu entre os períodos 22 e 23 É útil mostrarse uma representação gráfica para o CUSUM tabular Esses gráficos são algumas vezes chamados de gráficos de status do CUSUM Eles são construídos pela plotagem de Ci e Ci versus o número da amostra A Figura 93a mostra o gráfico de status do CUSUM para os dados do Exemplo 91 Cada barra vertical representa o valor de Ci e Ci no período i Com o intervalo de decisão plotado no gráfico o gráfico de status do CUSUM parece um gráfico de controle de Shewhart Plotamos também as observações xi para cada período no gráfico de status do CUSUM como pontos sólidos Isso frequentemente ajuda o usuário do gráfico de controle a visualizar o desempenho real do processo que levou a um valor particular do CUSUM Alguns pacotes de computador implementam o gráfico de status do CUSUM A Figura 93b mostra a versão do Minitab em que o CUSUM inferior é definido como Isso resulta em um CUSUM inferior que é sempre 0 é o simétrico do valor do CUSUM inferior pela equação 93 Note na Figura 93b que os valores do CUSUM inferior variam de 0 a 5 A ação tomada em seguida a um sinal de fora de controle em um esquema CUSUM é idêntica à de qualquer gráfico de controle devemse procurar causas atribuíveis tomar a ação corretiva necessária e então reiniciar o CUSUM do zero O CUSUM é particularmente útil para se determinar quando a causa atribuível ocorreu como vimos no exemplo anterior apenas conte para trás a partir do sinal de fora de controle até o período de tempo quando o CUSUM se tornou positivo para achar o primeiro período posterior à mudança do processo Os contadores N e N são usados para essa finalidade FIGURA 93 Gráficos de status do CUSUM para o Exemplo 91 a Gráfico manual b Gráfico do Minitab Nas situações em que se torna necessário algum ajuste em alguma variável manipulável para trazer o processo de volta ao valoralvo µ0 pode ser útil uma estimativa da nova média do processo em seguida à mudança Isso pode ser calculado por 913 Para ilustrar o uso da equação 95 considere o CUSUM no período 29 com 528 Pela equação 95 estimaríamos a nova média do processo como Assim por exemplo se a característica do processo for a viscosidade então concluiríamos que a viscosidade média mudou de 10 para 1125 e se a variável manipulável que afeta a viscosidade for a taxa de alimentação do catalisador então precisaríamos fazer um ajuste nessa taxa que resultasse na redução da viscosidade em 125 unidade Finalmente devemos notar que os testes para sequências e outras regras sensibilizantes tais como as regras de zona não podem ser aplicados com segurança ao CUSUM porque valores sucessivos de Ci e Ci não são independentes Na verdade o CUSUM pode ser encarado como uma média ponderada em que os pesos são estocásticos ou aleatórios Por exemplo considere o CUSUM mostrado na Tabela 92 No período 30 o CUSUM é 530 Isso pode ser considerado como uma média ponderada na qual damos pesos iguais às últimas N 8 observações e peso zero às demais Recomendações para o Planejamento do CUSUM O CUSUM tabular é planejado através da escolha do valor de referência K e do intervalo de decisão H Em geral recomendase que esses parâmetros sejam selecionados de modo a fornecer bom desempenho do comprimento médio da sequência Tem havido muitos estudos analíticos do desempenho do CMS do CUSUM Com base nesses estudos podemos dar algumas recomendações gerais para a seleção de H e K Defina H hσ e K kσ em que σ é o desviopadrão da variável amostral usada na formação do CUSUM Usando h 4 ou h 5 e k resultará em geral em um CUSUM que tem boas propriedades do CMS contra uma mudança de cerca de 1σ na média do processo Para ilustrar quão bem funcionam as recomendações de h 4 ou h 5 com k considere os comprimentos médios de sequências bilaterais mostrados na Tabela 93 Note que a mudança de 1σ seria detectada ou em 838 amostras com k e h 4 ou em 104 amostras com k e h 5 Por comparação um gráfico de controle de Shewhart para medidas individuais exigiria 4396 amostras em média para detectar essa mudança Note também pela Tabela 93 que h 4 resulta em CMS0 168 amostras sob controle enquanto h 5 resulta em CMS0 465 amostras Se escolhermos h 477 isso resultará em um CUSUM com CMS0 370 amostras o que coincide com o valor de CMS0 para um gráfico de controle de Shewhart com os limites 3σ habituais Geralmente desejamos escolher k em relação ao tamanho da mudança que desejamos detectar isto é k δ em que δ é o tamanho da mudança em unidades de desviopadrão Essa abordagem tende a minimizar o valor de CMS1 para detectar uma mudança de tamanho δ para um valor fixo de CMS0 Como mencionado antes um valor amplamente usado na prática é k Assim uma vez selecionado k devemos escolher h de modo a obter o desejado desempenho do CMS0 sob controle Hawkins 1993a fornece uma tabela de valores de k e os correspondentes valores de h que atingirão CMS0 370 Esses estão reproduzidos na Tabela 94 TABELA 93 Desempenho do CMS do CUSUM Tabular com k e h 4 ou h 5 Mudança na média múltiplo de σ h 4 h 5 0 168 465 025 742 139 050 266 380 075 133 170 100 838 104 150 475 575 200 334 401 250 262 311 300 219 257 400 171 201 TABELA 94 Valores de k e os Correspondentes Valores de h que Dão CMS0 370 para o CUSUM Tabular Bilateral de Hawkins 1993a k 025 05 075 10 125 15 h 801 477 334 252 199 161 Várias técnicas podem ser usadas para o cálculo do CMS de um CUSUM Vance 1986 fornece um programa de computador muito preciso Muitos autores têm usado uma abordagem para o cálculo de valores de CMS decorrentes de Brook e Evans 1972 que se baseia em aproximações de transições do estado sob controle para o estado fora de controle através de uma cadeia de Markov1 Hawkins 1992 forneceu um procedimento de cálculo de CMS simples mas preciso com base em uma equação de aproximação Sua aproximação exige uma tabela de constantes a serem aplicadas e é precisa em 13 do verdadeiro valor de CMS Woodall e Adams 1993 recomendam a aproximação dada por Siegmund 1985 devido a sua simplicidade Para um CUSUM unilateral isto é Ci ou Ci com parâmetros h e k a aproximação de Siegmund é para Δ 0 em que Δ δ k para o CUSUM unilateral superior Ci Δ δ k para o CUSUM unilateral inferior Ci b h 1166 e δ µ1 µ0σ Se Δ 0 podese usar CMS b2 A quantidade δ representa a mudança na média em unidades de σ para a qual se deve calcular o CMS Portanto se δ 0 calcularíamos o CMS0 pela equação 96 enquanto se δ 0 calcularíamos o valor de CMS1 correspondente a uma mudança do tamanho de δ Para obter o valor de CMS para o CUSUM bilateral a partir dos CMSs das estatísticas unilaterais digamos CMS e CMS usaremos 914 915 Para ilustrar considere o CUSUM bilateral com k e h 5 Para achar CMS0 calculamos primeiro os valores de CMS0 para os dois esquemas unilaterais digamos e Faça δ 0 então Δ δ k 0 b h 1166 5 1166 6166 e pela equação 96 Por simetria temos e pela equação 97 o CMS sob controle para o CUSUM bilateral é ou CMS0 4691 Isso está muito próximo do verdadeiro valor de CMS0 de 465 mostrado na Tabela 93 Se a média muda por 2σ então δ 2 Δ 15 para o CUSUM unilateral superior Δ 25 para o CUSUM unilateral inferior e pelas equações 96 e 97 podemos calcular o CMS1 aproximado para o CUSUM bilateral como CMS1 389 O valor exato mostrado na Tabela 93 é 401 Podese usar a aproximação de Siegmund e a aritmética de tentativa e erro para dar um limite de controle que teria um CMS desejado Alternativamente métodos numéricos de extração de raiz poderiam também servir Woodall e Adams 1993 dão uma excelente discussão sobre isso O CUSUM Padronizado Muitos usuários do CUSUM preferem padronizar a variável xi antes de realizar os cálculos Seja o valor padronizado de xi Então os CUSUMs padronizados são definidos como se segue CUSUM Bilateral Padronizado Há duas vantagens em se padronizar o CUSUM Primeira muitos gráficos de CUSUM podem agora ter os mesmos valores de k e h e as escolhas desses parâmetros não dependem de escala isto é não dependem de σ Em segundo lugar o CUSUM padronizado conduz naturalmente a um CUSUM para controle da variabilidade como veremos na Seção 918 Melhorando a Sensitividade do CUSUM para Grandes Mudanças Observamos que o gráfico de controle CUSUM é muito eficaz em detectar pequenas mudanças No entanto ele não é tão eficaz quanto o gráfico de Shewhart para detectar grandes mudanças Uma abordagem para melhorar a habilidade do 916 gráfico de controle CUSUM em detectar grandes mudanças no processo é o uso de um procedimento combinado CUSUMShewhart para controle online O acréscimo do gráfico de controle de Shewhart é uma modificação muito simples do procedimento de controle de somas cumulativas Os limites de controle de Shewhart podem se localizar a aproximadamente 35 desviospadrão da linha central ou valoralvo µ0 Um sinal de fora de controle em qualquer ou em ambos os gráficos constitui um sinal de ação a ser tomada Lucas 1982 dá uma boa discussão dessa técnica A coluna a da Tabela 95 apresenta os CMSs do CUSUM básico com k e h 5 A coluna b da Tabela 95 apresenta os CMSs do CUSUM com limites de Shewhart acrescentados às medidas individuais Como sugerido antes os limites de Shewhart estão em 35σ Note pelo exame desses valores de CMS que a adição dos limites de Shewhart melhorou a habilidade do procedimento para detectar mudanças maiores e decresceu apenas ligeiramente o valor CMS0 sob controle Concluímos que um procedimento combinado CUSUMShewhart é uma maneira eficaz de se melhorar a sensitividade do CUSUM para grandes mudanças A Resposta Inicial Rápida ou a Característica Headstart Esse procedimento foi elaborado por Lucas e Crosier 1982 para melhorar a sensitividade de um CUSUM no início do processo Sensitividade aumentada no início do processo seria desejável se a ação corretiva não recolocasse a média no valoralvo A resposta inicial rápida RIR ou headstart essencialmente apenas coloca os valores iniciais C0 e C0 iguais a algum valor não nulo tipicamente H2 Isso é chamado um headstart de 50 TABELA 95 Valores de CMS para Algumas Modificações do CUSUM Básico com k e h 5 Se forem usados subgrupos de tamanho n 1 então Mudança na média múltiplo de σ a CUSUM Básico b CUSUMShewhart limites de Shewhart em 35σ c CUSUM com RIR d CUSUMShewhart com RIR Limites de Shewhart em 35σ 0 465 391 430 360 025 139 1309 122 1139 050 380 3720 287 281 075 170 1680 112 112 100 104 1020 635 632 150 575 558 337 337 200 401 377 236 236 250 311 277 186 186 300 257 210 154 154 400 201 134 116 116 TABELA 96 Um CUSUM com Headstart Média do Processo Igual a 100 a b Período i xi xi 103 Ci N 97 xi Ci N 1 102 1 5 1 5 1 1 2 97 6 0 0 0 1 2 3 104 1 1 1 7 0 0 4 93 6 0 0 4 4 1 5 100 3 0 0 3 1 2 6 105 2 2 1 8 0 0 7 96 7 0 0 1 1 1 8 98 5 0 0 1 0 0 9 105 2 2 1 8 0 0 10 99 4 0 0 2 0 0 Para ilustrar o procedimento headstart considere os dados da Tabela 96 Esses dados têm um valoralvo de 100 K 3 e H 12 Usaremos o valor headstart de 50 de C0 C0 H2 6 As dez primeiras amostras estão sob controle com média igual ao valoralvo de 100 Como x1 102 o CUSUM para o primeiro período será Note que o valor inicial do CUSUM é o headstart H2 6 Além disso vemos pelos painéis a e b da Tabela 96 que ambos os CUSUMs decrescem rapidamente para zero a partir do valor inicial De fato a partir do período 2 Ci não é afetado pelo headstart e do período 3 em diante C i não é afetado pelo headstart Isso ocorreu porque o processo está sob controle no valoralvo de 100 e houve várias observações consecutivas próximas do alvo Suponha agora que o processo estivesse fora de controle no início com média 105 A Tabela 97 apresenta os dados que teriam sido produzidos por esse processo e os CUSUMs resultantes Note que a terceira amostra faz C3 exceder o limite H 12 Se nenhum headstart tivesse sido usado teríamos começado com C0 0 e o CUSUM não teria excedido H até a amostra 6 Esse exemplo demonstra os benefícios de um headstart Se o processo começa sob controle no valoralvo o CUSUM rapidamente cairá para zero e o headstart terá pouco efeito no desempenho do procedimento CUSUM A Figura 94 ilustra essa propriedade do headstart usando os dados da Tabela 91 O gráfico CUSUM foi gerado pelo Minitab No entanto se o processo começa em algum nível diferente do valoralvo o headstart permitirá ao CUSUM detectar isso mais rapidamente resultando em valores menores de CMS fora de controle TABELA 97 Um CUSUM com Headstart Média do Processo Igual a 105 a b Período i xi xi 103 Ci N 97 xi Ci N 917 1 107 4 10 1 10 0 0 2 102 1 9 2 5 0 0 3 109 6 15 3 12 0 0 4 98 5 10 4 1 0 0 5 105 2 12 5 8 0 0 6 110 7 19 6 13 0 0 7 101 2 17 7 4 0 0 8 103 0 17 8 6 0 0 9 110 7 24 9 13 0 0 10 104 1 25 10 7 0 0 FIGURA 94 Um gráfico de status do CUSUM gerado pelo Minitab para os dados da Tabela 91 ilustrando a resposta inicial rápida ou característica headstart A coluna c da Tabela 95 apresenta o desempenho do CMS do CUSUM básico com a característica headstart ou RIR Os CMSs foram calculados usandose um headstart de 50 Note que os valores do CMS para o CUSUM RIR são válidos para o caso em que o processo está fora de controle no instante em que os CUSUMs são restabelecidos Quando o processo está sob controle o valor headstart rapidamente cai para zero Assim se o processo estiver sob controle quando o CUSUM for restabelecido mas muda para fora de controle depois o CMS mais apropriado para tal caso será a leitura a partir da coluna a isto é o CUSUM sem a característica RIR CUSUM Unilateral Focalizamos principalmente o CUSUM bilateral Note que o procedimento tabular é construído fazendose dois procedimentos unilaterais Ci e Ci Há situações em que apenas um procedimento CUSUM unilateral é útil Por exemplo considere um processo químico para o qual a característica da qualidade crítica é a viscosidade do produto Se a viscosidade cair abaixo do valoralvo µ0 2000 centistokes a 100C digamos não haverá grande 918 919 problema mas qualquer aumento na viscosidade deve ser detectado rapidamente Um CUSUM unilateral superior seria um esquema ideal de monitoramento do processo O procedimento de Siegmund equação 96 poderia ser usado para o cálculo dos CMSs para o esquema unilateral É também possível o planejamento de CUSUMs que tenham sensitividades diferentes nos lados superior e inferior Isso seria útil em situações onde as mudanças em qualquer direção são de interesse mas mudanças acima do alvo digamos são mais críticas do que mudanças abaixo do alvo CUSUM para Monitoramento da Variabilidade do Processo É também possível a construção de gráficos de controle CUSUM para monitorar a variabilidade do processo Como os CUSUMs são usualmente empregados com observações individuais o procedimento devido a Hawkins 1981 é muito útil Como antes seja xi a medida do processo normalmente distribuída com média ou valoralvo µ0 e desviopadrão σ O valor padronizado de xi é yi xi µ0σ Hawkins 1981 1993a sugere a criação de uma nova quantidade padronizada Ele sugere que os vi são sensíveis a mudanças na variância em vez de mudanças na média De fato a estatística vi é sensível tanto a mudanças na média quanto na variância Como a distribuição sob controle de vi é aproximadamente N01 dois CUSUMs unilaterais com escalas padronizadas isto é desviopadrão podem ser estabelecidos como se segue O CUSUM de Escala em que S0 S0 0 a menos que seja usada uma característica RIR e os valores de k e h são selecionados como no CUSUM para controle da média do processo A interpretação do CUSUM de escala é semelhante à interpretação do CUSUM para a média Se o desviopadrão do processo crescer os valores de Si crescerão e eventualmente ultrapassarão h enquanto se o desviopadrão decrescer os valores de Si crescerão e eventualmente ultrapassarão h Embora se possam manter gráficos de status do CUSUM separados para a média e o desviopadrão Hawkins 1993 sugere plotálos no mesmo gráfico Ele fornece também excelentes exemplos e discussão adicional para esse procedimento O estudo desses exemplos será valioso para melhorar sua habilidade em detectar mudanças na variabilidade do processo a partir do CUSUM de escala Se o CUSUM de escala sinaliza podese suspeitar de uma mudança na variância mas se ambos os CUSUM sinalizam podese suspeitar de uma mudança na média Subgrupos Racionais Embora tenhamos dado o desenvolvimento do CUSUM tabular para o caso de observações individuais n 1 ele se estende facilmente ao caso de médias de subgrupos racionais em que n 1 Simplesmente substitua xi por i a média amostral ou do subgrupo nas fórmulas anteriores e substitua σ por σx Com os gráficos de Shewhart o uso de médias de subgrupos racionais melhora substancialmente o desempenho do gráfico de controle No entanto isso não é sempre assim com o CUSUM Se por exemplo tivermos a escolha de extrair uma amostra de tamanho n 1 a cada meia hora ou uma amostra consistindo em um subgrupo racional de tamanho n 5 a 9110 9111 cada 25 horas note que ambas as escolhas têm a mesma intensidade de amostragem o CUSUM funcionará melhor em geral com a escolha n 1 a cada meia hora Para mais discussões sobre esse assunto veja Hawkins e Olwell 1998 Apenas se houver uma economia de escala significativa ou alguma outra razão válida para se tomarem amostras de tamanho maior que um é que os subgrupos de tamanho n 1 devem ser usados com o CUSUM Uma razão prática para o uso de subgrupos racionais de tamanho n 1 é que podemos agora estabelecer um CUSUM para a variância amostral e usálo para monitorar a variabilidade do processo CUSUM para variâncias são discutidos em detalhe por Hawkins e Olwell 1998 o artigo de Chang e Gan 1995 é também recomendado Supomos que as observações sejam normalmente distribuídas e que os valores sob controle e fora de controle sejam σ0 2 e σ2 1 respectivamente Seja S2 i a variância amostral do io subgrupo O CUSUM para uma variância normal é em que k 2lnσ0σ1 σ0 2 σ2 1 σ0 2 σ2 1 com C 0 C 0 0 Um headstart ou característica RIR pode também ser usado com esse CUSUM Hawkins e Olwell 1998 têm um site com programa de apoio ao livro deles o CUSUM Website of the School of Statistics da University of Minnesota wwwstatumnedu O programa oferecido nesse site pode ser usado para o planejamento desse CUSUM isto é obtenção do valor necessário de H para um valoralvo específico de CMS0 CUSUM para Outras Estatísticas Amostrais Concentramonos em CUSUM para médias amostrais No entanto é possível o desenvolvimento de CUSUM para outras estatísticas amostrais tais como amplitudes e desviospadrão de subgrupos racionais fração de não conformes e defeitos Esses são procedimentos bem desenvolvidos e têm demonstrado propriedades ótimas para a detecção de mudanças de passos nos parâmetros Alguns desses CUSUM são discutidos nos artigos de Lowry Champ e Woodall 1995 Gan 1993 Lucas 1985 e White Keats e Stanley 1997 O livro de Hawkins e Olwell 1998 é uma excelente referência Uma variação do CUSUM é extremamente útil quando trabalhamos com dados de contagem e a taxa de contagem é muito baixa Nesse caso frequentemente é mais eficaz formarse um CUSUM usandose o tempo entre eventos A situação mais comum encontrada na prática é o uso do CUSUM para tempo entre eventos TEE para se detectar um aumento na taxa de contagem Isso é equivalente à detecção de um decréscimo no tempo entre eventos Quando o número de contagens é gerado a partir de uma distribuição de Poisson o tempo entre esses eventos seguirá uma distribuição exponencial Um esquema apropriado para o CUSUM TEE é em que K é o valor de referência e Ti é tempo decorrido desde a última contagem observada Lucas 1985 e Bourke 1991 discutem a escolha de K e H para esse procedimento Borror Keats e Montgomery 2003 examinaram a robustez do CUSUM TEE para a distribuição exponencial e relatam que afastamentos moderados da exponencial não afetam seu desempenho Um procedimento alternativo e muito eficaz seria a transformação do tempo entre contagens observadas em uma variável aleatória com distribuição aproximadamente normal conforme discutido na Seção 735 e usarse o CUSUM para monitoramento da média de uma distribuição normal apresentado na Seção 912 no lugar da equação 916 O Procedimento Máscara V Um procedimento alternativo ao uso do CUSUM tabular é o esquema de controle máscara V proposto por Barnard 1959 A máscara V se aplica a valores sucessivos da estatística CUSUM em que yi é a observação padronizada yi xi µ0σ A Figura 95 mostra uma máscara V típica O procedimento de decisão consiste em colocar a máscara V no gráfico de controle de somas cumulativas com o ponto O sobre o último valor de Ci e a linha OP paralela ao eixo horizontal Se todas as somas cumulativas anteriores C1 C2 Ci se localizam dentro dos dois braços da máscara o processo está sob controle No entanto se alguma das somas cumulativas se localiza fora dos braços da máscara o processo é considerado fora de controle No uso real a máscara V deveria ser aplicada a cada novo ponto no gráfico CUSUM assim que fosse plotado e se supõe que os braços da máscara se estendam para trás na direção da origem O desempenho da máscara V é determinado pela distância guia d e o ângulo θ mostrados na Figura 95 O CUSUM tabular e o esquema da máscara V são equivalentes se e Nessas duas equações A é a distância horizontal no traçado da máscara V entre pontos sucessivos em termos da distância unitária na escala vertical Veja a Figura 95 Por exemplo para construir uma máscara V equivalente ao esquema do CUSUM tabular usado no Exemplo 91 em que k e h 5 selecionaríamos A 1 digamos e então as equações 916 e 917 seriam resolvidas como se segue ou θ 2657 e ou d 10 FIGURA 95 Uma máscara V típica 1 2 3 9112 Isto é a distância guia da máscara V seria de 10 posições plotadas horizontalmente e o ângulo de abertura da máscara V seria 2657 Johnson 1961 veja também Johnson e Leone 1962a 1962b 1962c sugeriu um método para o planejamento da máscara V isto é para a seleção de d e θ Ele recomenda os parâmetros para a máscara V e em que 2α é a maior probabilidade permitida de um sinal quando a média do processo está no alvo um falso alarme e β é a probabilidade de não se detectar uma mudança de tamanho δ Se β for pequeno o que é em geral o caso então Aconselhamos veementemente contra o uso do procedimento da máscara V Alguns dos problemas e desvantagens associados a esse esquema são os seguintes A característica headstart que é muito útil na prática não pode ser implementada com a máscara V Algumas vezes é difícil determinar até quão longe para trás os braços da máscara V devem se estender tornando assim a interpretação difícil para o prático Talvez o maior problema com a máscara V seja a ambiguidade associada a α e β no método de planejamento de Johnson Adams Lowry e Woodall 1992 apontam que a definição de 2α como a probabilidade de um alarme falso é incorreta Essencialmente 2α não pode ser a probabilidade de um alarme falso em qualquer amostra isolada porque essa probabilidade muda ao longo do tempo no CUSUM nem 2α pode ser a probabilidade de eventualmente se obter um alarme falso essa probabilidade é naturalmente 1 Na verdade 2α deve ser a proporção a longo prazo das observações resultantes em alarmes falsos Se é assim então o CMS sob controle deve ser CMS0 12α No entanto o método de planejamento de Johnson produz valores de CMS0 que são substancialmente maiores que 12α TABELA 98 Valores Reais de CMS0 para um Esquema de Máscara V Planejado com o Uso do Método de Johnson Adaptado da Tabela 2 em Woodall e Adams 1993 Mudança a Ser Detectada δ Valores de α Valor Desejado de CMS0 12α 000135 370 0001 500 10 23506 31845 20 18045 24358 30 21948 29754 A Tabela 98 mostra valores de CMS0 para um esquema de máscara V planejado com o método de Johnson Note que os valores reais de CMS0 são cerca de cinco vezes o valor desejado usado no planejamento Os esquemas serão também muito menos sensíveis a mudanças na média do processo Consequentemente o uso do esquema da máscara V não é uma boa ideia Infelizmente ainda é o default do CUSUM de muitos pacotes computacionais O CUSUM Autoiniciado O CUSUM é tipicamente usado como um procedimento da fase II isto é é aplicado para o monitoramento de um processo que já passou pela fase I e a maioria das grandes causas atribuíveis já foi removida Na fase II tipicamente supomos que os parâmetros do processo estejam razoavelmente estimados Na prática essa é uma suposição muito importante uma vez que o uso de estimativas dos parâmetros em vez dos verdadeiros valores tem um efeito sobre o comprimento médio da sequência do gráfico de controle isso foi discutido no Capítulo 4 veja também o artigo de revisão de Jensen et al 2006 Gráficos de controle que são planejados para detectar pequenas mudanças são particularmente sensíveis a essa hipótese inclusive o CUSUM Um gráfico de controle de Shewhart com as regras da Western Electric também seria muito sensível às estimativas dos parâmetros do processo Uma solução para isso é o uso de uma grande amostra de dados na fase I para a estimação dos parâmetros Uma abordagem alternativa ao CUSUM é o uso de um procedimento de CUSUM autoiniciado devido a Hawkins 1987 O CUSUM autoiniciado para a média de uma variável aleatória normalmente distribuída é de fácil implementação Ele pode ser aplicado imediatamente sem necessidade de uma amostra na fase I para estimativa dos parâmetros do processo nesse caso a média µ e a variância σ2 Seja a média das n primeiras observações e seja a soma dos quadrados dos desvios em relação à média daquelas observações Fórmulas de cálculo convenientes para a atualização dessas quantidades depois de cada nova observação são A variância amostral das n primeiras observações é s2 n wnn 1 Padronize cada nova observação sucessiva do processo usando para o caso em que n for maior do que ou igual a 3 Se as observações forem normalmente distribuídas a distribuição de é uma distribuição t com n 1 graus de liberdade A distribuição acumulada de Tn é em que Fn é a distribuição t acumulada com n 1 graus de liberdade Assim se a área da cauda para qualquer variável aleatória contínua for convertida em uma ordenada normal obteremos uma nova variável aleatória que é distribuída exatamente como uma variável aleatória normal padrão Isto é se Φ1 é a distribuição cumulativa normal inversa então a transformação converte a quantidade CUSUM Tn em uma variável aleatória normal padrão Os valores de Unsão estatisticamente independentes isto não é óbvio porque valores sucessivos de Uncompartilham os mesmos pontos de dados de modo que todos os valores de Un podem ser plotados para n 3 em um CUSUM N0 1 Isso evita bastante bem o problema de se usar uma grande amostra de dados da fase I para a estimação dos parâmetros para um CUSUM convencional 92 921 Para ilustrar o procedimento considere os dados da Tabela 91 A Tabela 99 mostra as oito primeiras dessas observações As colunas à direita dos dados são a média sequencial a soma dos quadrados sequencial dos desvios em relação à media o desviopadrão sequencial o valor padronizado de cada observação o valor da distribuição t que corresponde a eles a área da cauda da distribuição t e finalmente os valores normais inversos equivalentes Os valores de Un podem ser tratados como qualquer conjunto de dados para um CUSUM Por exemplo eles poderiam ser introduzidos em um CUSUM tabular e plotados em um gráfico de status do CUSUM Há uma diferença no uso prático de um CUSUM autoiniciado em comparação com um CUSUM ordinário relativamente à situação de fora de controle Em um CUSUMpadrão ou ordinário o CUSUM se move para cima indefinidamente seguindo uma mudança para cima na média até que uma causa atribuível seja descoberta No entanto em um CUSUM autoiniciado a estatística plotada começará a se mover para cima seguindo a mudança mas à medida que os valores alterados são introduzidos nos cálculos da média e do desviopadrão eles movem a média para mais próximo do novo valor alterado da média e o desviopadrão sequencial se torna maior Consequentemente se o processo não for ajustado e o CUSUM restabelecido o CUSUM autoiniciado voltará para baixo Assim os usuários de um CUSUM autoiniciado devem empreender ações investigativas e corretivas imediatamente após um sinal de fora de controle Quando do reinício será necessário removeremse os dados fora de controle da média e do desviopadrão sequenciais Valores atípicos também têm um impacto sobre o CUSUM autoiniciado principalmente inflando o desviopadrão sequencial A manutenção de um gráfico de controle de Shewhart para as observações pode dar proteção contra esse problema Consulte Hawkins e Olwell 1998 para mais sugestões e discussão TABELA 99 Cálculos para o CUSUM autoiniciado n xn n wn Sn Tn anTn Fn2anTn Un 1 945 945 0 2 799 872 107 103 3 929 891 125 080 055 045 06346 034406 4 1166 960 692 152 344 298 09517 166157 5 1216 1011 1216 175 168 150 08847 119881 6 1018 1012 1216 156 004 004 05152 003811 7 804 982 1587 163 133 123 01324 111512 8 1146 1003 1822 162 101 094 08107 088048 O Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada O gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada MMEP é também uma boa alternativa ao gráfico de controle de Shewhart quando estamos interessados em detectar pequenas mudanças O desempenho do gráfico de controle MMEP é aproximadamente equivalente ao do gráfico de controle de somas cumulativas e é de certa forma mais fácil de se estabelecer e operar Assim como no caso do CUSUM o MMEP é tipicamente usado com observações individuais e por isso discutiremos esse caso primeiro Daremos também os resultados para subgrupos racionais de tamanho n 1 O Gráfico de Controle da Média Móvel Exponencialmente Ponderada para Monitoramento da Média do Processo O gráfico de controle MMEP foi introduzido por Roberts 1959 Veja também Crowder 1987a 1989 e Lucas e Saccucci 1990 para boas discussões sobre o MMEP O gráfico da média móvel exponencialmente ponderada é definido como em que 0 λ 1 é uma constante e o valor inicial exigido com a primeira amostra em i 1 é o alvo do processo de modo que z0 µ0 Algumas vezes a média de dados preliminares é usada como o valor inicial do MMEP de modo que z0 Para demonstrar que a MMEP zi é uma média ponderada de todas as médias de amostras anteriores podemos substituir zi1 no membro direito da equação 922 para obter zi λxi 1 λλxi1 1 λzi2 λxi λ1 λxi1 1 λ2zi2 Continuando a substituir recursivamente zi j j 2 3 t obtivemos Os pesos λ1 λj decrescem geometricamente com a idade da média amostral Além disso os pesos têm soma um pois Se λ 02 então o peso associado à média amostral corrente é 02 e os pesos dados às médias precedentes são 016 0128 01024 e assim por diante Uma comparação desses pesos com aqueles de uma média móvel de cinco períodos é mostrada na Figura 96 Como esses pesos decrescem geometricamente quando ligados por uma curva contínua a MMEP é algumas vezes chamada de média móvel geométrica MMG A MMEP é usada extensivamente na modelagem de séries temporais e em previsões veja Box Jenkins e Reinsel 1994 e Montgomery Jennings e Kulachi 2008 Como a MMEP pode ser considerada como uma média ponderada de todas as observações passadas e correntes o gráfico MMEP é insensível à hipótese de normalidade Assim é um gráfico de controle ideal para ser usado com observações individuais Se as observações xi são variáveis aleatórias independentes com variância σ2 então a variância de zi é FIGURA 96 Pesos de médias amostrais passadas Portanto o gráfico de controle MMEP pode ser construído pela plotagem de zi versus número da amostra i ou tempo A linha central e os limites de controle para o gráfico de controle MMEP são os seguintes O Gráfico de Controle MMEP Linha central µ0 Nas equações 925 e 926 o fator L é a largura dos limites de controle Discutiremos em breve a escolha dos parâmetros L e λ Note que o termo 1 1 λ2i nas equações 925 e 926 se aproxima de 1 quando i se torna grande Isso significa que depois que o gráfico de controle MMEP já está rodando por vários períodos de tempo os limites de controle se aproximarão dos valores de estado estacionário dados por e No entanto recomendamos enfaticamente o uso dos limites de controle exatos nas equações 925 e 926 para pequenos valores de i Isso aumentará grandemente o desempenho do gráfico de controle para detectar um processo fora do alvo imediatamente após o gráfico MMEP ter sido iniciado EXEMPLO 92 Construção de um Gráfico de Controle MMEP Estabeleça o gráfico de controle MMEP com λ 010 e L 27 aos dados da Tabela 91 SOLUÇÃO Lembre que o valoralvo da média é µ0 10 e o desviopadrão é σ 1 Os cálculos para o gráfico de controle MMEP estão resumidos na Tabela 910 e o gráfico de controle do MINITAB é mostrado na Figura 97 Para ilustrar os cálculos considere a primeira observação x1 945 O primeiro valor da MMEP é z1 λx1 1λz0 0 1945 0910 9945 TABELA 910 Cálculos do MMEP para o Exemplo 92 Subgrupo i Além dos Limites xi MMEPzi Subgrupoi Além dos Limites xi MMEP zi 1 945 9945 16 937 998426 2 799 97495 17 1062 100478 3 929 970355 18 1031 10074 4 1166 98992 19 852 991864 5 1216 101253 20 1084 100108 6 1018 101307 21 109 100997 7 804 992167 22 933 100227 8 1146 100755 23 1229 102495 9 92 998796 24 115 103745 10 1034 100232 25 106 103971 11 903 992384 26 1108 104654 12 1147 100785 27 1038 104568 13 1051 101216 28 1162 105731 14 94 100495 29 1131 106468 15 1008 100525 30 1052 106341 FIGURA 97 O gráfico de controle MMEP para o Exemplo 92 Portanto z1 9945 é o primeiro valor plotado no gráfico de controle da Figura 97 O segundo valor da MMEP é z2 λx2 1λz1 01799 099945 97495 Os outros valores da estatística MMEP são calculados de maneira análoga Os limites de controle na Figura 97 são encontrados por meio das equações 925 e 926 Para o período i 1 e Para o período 2 os limites são Note pela Figura 97 que os limites de controle aumentam em largura na medida em que i cresce i 1 2 até que se estabilizam nos valores de estado estacionário dados pelas equações 927 e 928 e 922 O gráfico de controle MMEP da Figura 97 sinaliza na observação 28 de modo que concluímos que o processo está fora de controle Planejamento de um Gráfico de Controle MMEP O gráfico de controle MMEP é muito eficaz contra pequenas mudanças no processo Os parâmetros do planejamento do gráfico são o múltiplo de sigma usado nos limites de controle L e o valor de λ É possível a escolha desses parâmetros para dar um desempenho do CMS do gráfico de controle MMEP que se aproxime do desempenho do CMS do CUSUM para detectar pequenas mudanças TABELA 911 Comprimentos Médios de Sequências para Vários Esquemas de Controle MMEP Adaptado de Lucas e Saccucci 1990 Mudança na Média múltiplo de σ L 3054 λ 040 2998 025 2962 020 2814 010 2615 005 0 500 500 500 500 500 025 224 170 150 106 841 050 712 482 418 313 288 075 284 201 182 159 164 100 143 111 105 103 114 150 59 55 55 61 71 200 35 36 37 44 52 250 25 27 29 34 42 300 20 23 24 29 35 400 14 17 19 22 27 Há muitos estudos teóricos sobre as propriedades do comprimento médio da sequência do gráfico de controle MMEP Por exemplo veja os artigos de Crowder 1987a 1989 e Lucas e Saccucci 1990 Esses estudos fornecem tabelas ou gráficos para o comprimento médio da sequência para uma gama de valores de λ e L A Tabela 911 mostra o desempenho do comprimento médio da sequência para vários esquemas de controle MMEP O procedimento de planejamento ótimo consistiria da especificação dos comprimentos médios de sequência sob controle e fora de controle e a magnitude da mudança no processo que é antecipada para então fazerse a seleção da combinação de λ e L que fornecesse o desempenho do CMS desejado Em geral vemos que valores de λ no intervalo 005 λ 025 funcionam bem na prática com λ 005 λ 010 e λ 020 sendo escolhas populares Uma boa regra empírica é o uso de valores menores de λ para detectar menores mudanças Vimos também que L 3 os limites três sigmas usuais funciona razoavelmente bem particularmente com valores 923 maiores de λ embora quando λ é pequeno digamos λ 01 haja uma vantagem em se reduzir a largura dos limites pelo uso de um valor de L entre cerca de 26 e 28 Lembrese de que no Exemplo 92 usamos λ 01 e L 27 Esperaríamos que essa escolha dos parâmetros resultasse em um CMS sob controle de CMS0 500 e um CMS para detectarmos uma mudança de um desviopadrão na média de CMS1 103 Assim esse planejamento é aproximadamente equivalente ao CUSUM com h 5 e k Hunter 1989 também estudou o MMEP e sugeriu a escolha de λ de modo que os pesos dados às observações corrente e anteriores se igualem tanto quanto possível aos pesos dados a essas observações pelo gráfico de Shewhart com as regras da Western Electric Isso resulta em um valor recomendado de λ 04 Se L 3054 então a Tabela 911 indica que esse gráfico teria CMS0 500 e para se detectar uma mudança de um desviopadrão na média do processo CMS1 143 Há um problema potencial em relação ao MMEP com um pequeno valor de λ Se o valor da MMEP está de um lado da linha central quando ocorre uma mudança na média na direção oposta podem ser necessários vários períodos para que o MMEP reaja à mudança porque o pequeno valor de λ não tem muito peso no novo dado Isso se chama efeito de inércia e pode diminuir a eficácia do MMEP na detecção da mudança Woodall e Mahmoud 2005 estudaram as propriedades da inércia de vários tipos diferentes de gráficos de controle Eles definiram a resistência ao sinal de um gráfico de controle como o maior desvio padronizado da média amostral em relação ao alvo ou ao valor sob controle que não leva a um sinal imediato de fora de controle Para um gráfico de Shewhart a resistência ao sinal é RS L o múltiplo usado para a obtenção dos limites de controle Assim a resistência ao sinal é constante Para o gráfico de controle MMEP a resistência ao sinal é em que w é o valor da estatística MMEP Para a MMEP o valor máximo da média de resistência ao sinal para todos os valores da estatística MMEP é se o gráfico tem limites assintóticos Esses resultados se aplicam a qualquer tamanho de amostra uma vez que são dados em termos de mudanças expressas como múltiplos do erropadrão Claramente a resistência ao sinal do gráfico de controle MMEP depende dos valores escolhidos para λ com menores valores levando a maiores valores da resistência máxima ao sinal Isso é desagradável de certo modo porque sempre desejamos usar o MMEP com um pequeno valor de λ pois isso resulta em bom desempenho do CMS na detecção de pequenas mudanças Como veremos na Seção 923 pequenos valores de λ são também desejáveis porque tornam o gráfico da MMEP bastante insensível aos dados do processo Woodall e Mahmoud 2005 recomendam sempre o uso do gráfico de Shewhart conjuntamente com o MMEP especialmente se λ for pequeno como meio de contrabalançar a resistência ao sinal Como o CUSUM o MMEP funciona bem para pequenas mudanças mas não reage a mudanças maiores tão rápido quanto o gráfico de Shewhart Uma boa maneira de se melhorar ainda mais a sensitividade do procedimento a grandes mudanças sem sacrifício da capacidade de detectar pequenas mudanças rapidamente é a combinação de um gráfico de Shewhart com o MMEP Esses procedimentos combinados ShewhartMMEP são eficazes contra tanto grandes quanto pequenas mudanças Ao trabalharmos com tais esquemas vimos que é útil o uso de limites um pouco mais amplos que os usuais no gráfico de Shewhart digamos 325 sigmas ou mesmo 35 sigmas É também possível plotarem se ambos xi ou i e a estatística MMEP zi no mesmo gráfico de controle juntamente com ambos os limites de Shewhart e MMEP Isso produz um gráfico para o procedimento de controle combinado em cuja interpretação os operadores rapidamente se tornam experientes Quando os gráficos são gerados por computador cores diferentes ou símbolos de plotagem diferentes podem ser usados para os dois conjuntos de limites de controle e estatísticas Robustez do MMEP à Não Normalidade Quando discutimos o gráfico de controle de Shewhart para observações individuais no Capítulo 6 observamos que tal gráfico era muito sensível a não normalidade no sentido de que o verdadeiro valor de CMS sob controle CMS0 poderia ser consideravelmente menor que o valor anunciado ou esperado com base na hipótese de uma distribuição normal Borror Montgomery e Runger 1999 compararam o desempenho do CMS do gráfico para observações individuais de Shewhart e do gráfico de controle MMEP para o caso de distribuições não normais Especificamente usaram a distribuição gama para representar o caso de distribuições assimétricas e a distribuição t para representar distribuições simétricas com caudas mais pesadas do que a normal O CMS0 do gráfico de Shewhart para observações individuais e vários gráficos de controle MMEP para essas distribuições não normais são apresentados nas Tabelas 912 e 913 Dois aspectos da informação contida nessas tabelas são surpreendentes Primeiro mesmo as distribuições moderadamente não normais têm o efeito de reduzir sensivelmente o CMS sob controle do gráfico de Shewhart para observações individuais Isso naturalmente aumentará consideravelmente a taxa de alarmes falsos Segundo um MMEP com λ 005 ou λ 010 e um limite de controle escolhido adequadamente terá um desempenho muito bom em relação a distribuições tanto normais quanto não normais Com λ 005 e L 2492 o CMS0 para o MMEP está aproximadamente dentro de 8 do CMS0 sob controle de 370 da teoria normal exceto em casos extremos Além disso as propriedades de percepção de mudanças do MMEP são uniformemente superiores às do gráfico de Shewhart para observações individuais Com base nessa informação recomendaríamos um MMEP planejado adequadamente como um gráfico de controle para medidas individuais em uma ampla variedade de aplicações particularmente na fase II de monitoramento do processo Ele é quase perfeitamente um procedimento não paramétrico livre de distribuição TABELA 912 CMS sob Controle para Gráficos de Controle MMEP e de Observações Individuais para Várias Distribuições Gama MMEP Shewhart λ 005 01 02 1 L 2492 2703 286 300 Normal 3704 3708 3705 3704 Gama4 1 372 341 259 97 Gama3 1 372 332 238 85 Gama2 1 372 315 208 71 Gama1 1 369 274 163 55 Gama05 1 357 229 131 45 TABELA 913 CMS sob Controle para Gráficos de Controle MMEP e de Observações Individuais para Várias Distribuições t MMEP Shewhart λ 005 01 02 1 L 2492 2703 286 300 Normal 3704 3708 3705 3704 t50 369 365 353 283 t40 369 363 348 266 t30 368 361 341 242 924 925 t20 367 355 325 204 t15 365 349 310 176 t10 361 335 280 137 t8 358 324 259 117 t6 351 305 229 96 t4 343 274 188 76 Subgrupos Racionais O gráfico de controle MMEP é em geral usado com observações individuais No entanto se são tomados subgrupos racionais de tamanho n 1 então simplesmente substituímos xi por ie σ por nas equações anteriores Extensões do MMEP Há inúmeras extensões e variações do gráfico de controle MMEP Nesta seção descrevemos alguns desses procedimentos Característica Resposta Inicial Rápida É possível acrescentarse a característica headstart ou resposta inicial rápida RIR ao MMEP Assim como no CUSUM a vantagem do procedimento seria a maior rapidez em detectar um processo que está fora do alvo no início Duas abordagens têm sido sugeridas Rhoads Montgomery e Mastrangelo 1996 estabeleceram dois gráficos MMEP unilaterais e os iniciam em valores a meio caminho entre o alvo e o limite de controle Supõese que ambos os gráficos unilaterais tenham limites que variem com o tempo pedese aos leitores que desenvolvam um procedimento de MMEP unilateral no Exercício 939 Steiner 1999 usa um único gráfico de controle mas estreita os limites que variam com o tempo ainda mais para os poucos primeiros pontos amostrais Ele usa um ajustamento exponencialmente decrescente para estreitar ainda mais os limites de modo que os limites de controle fiquem a distância em torno do alvo As constantes f e a devem ser determinadas Steiner sugere a escolha de a de modo que RIR tenha pouco efeito depois de cerca de 20 observações Isso leva à escolha de a 2log1 f 119 Por exemplo se f 05 então a 03 A escolha de f 05 é atraente porque ela imita o headstart de 50 usado em geral com os CUSUM Ambos os procedimentos têm bom desempenho na redução do CMS para detectar um processo fora do alvo no início O procedimento de Steiner é mais fácil de ser implementado na prática Monitoramento da Variabilidade MacGregor e Harris 1993 discutem o uso da estatística com base na MMEP para monitorar o desviopadrão do processo Seja xi normalmente distribuído com média µ e desviopadrão σ O erro quadrático médio exponencialmente ponderado EQMEP é definido como Podese mostrar que ESi 2 σ2 para valores grandes de i e se as observações são independentes e distribuídas normalmente então Si 2σ2 tem distribuição aproximadamente quiquadrado com v 2 λλ graus de liberdade Portanto se σ0 representa o valoralvo ou sob controle do desviopadrão do processo podemos plotar em um gráfico de controle da raiz da média quadrática exponencialmente ponderada RMQEP com limites de controle dados por e MacGregor e Harris 1993 apontam que a estatística EQMEP pode ser sensível a mudanças tanto na média quanto no desviopadrão do processo Eles sugerem a substituição de µ na equação 929 por uma estimativa em cada ponto no tempo Uma estimativa lógica de µ acaba sendo a MMEP zi comum Eles deduziram limites de controle para a variância móvel exponencialmente ponderada VMEP Outra abordagem para o monitoramento do desviopadrão do processo com um MMEP está em Crowder e Hamilton 1992 MMEP para Dados de Poisson Exatamente como um CUSUM pode ser usado como base de um gráfico de controle eficaz para contagens de Poisson assim também pode um MMEP planejado adequadamente Borror Champ e Rigdon 1998 descrevem o procedimento mostram como planejar o gráfico de controle e fornecem um exemplo Se xi for uma contagem então a recorrência básica da MMEP permanecerá inalterada zi λxi 1 λzi1 com z0 µ0 a taxa de contagem sob controle ou alvo Os parâmetros do gráfico de controle são os seguintes em que AS e AI são os fatores dos limites de controle superior e inferior Em muitas aplicações escolhemos AS AI A Borror Champ e Rigdon 1998 dão gráficos de desempenho do CMS do gráfico de controle MMEP de Poisson como função de λ e A e para vários valores da taxa de contagem sob controle ou alvo µ0 Uma vez determinado µ0 e especificado um valor para λ esses gráficos podem ser usados para a seleção do valor de A que resulte no CMS0 sob controle desejado Os autores mostram também que esse gráfico de controle tem habilidade consideravelmente melhor para detectar causas atribuíveis do que o gráfico c de Shewhart O gráfico MMEP de Poisson deveria ser mais usado na prática MMEP como Preditor do Nível do Processo Embora tenhamos discutido a MMEP principalmente como uma ferramenta estatística de monitoramento do processo ela tem na verdade uma interpretação mais ampla Do ponto de vista do CEP a MMEP é aproximadamente equivalente ao CUSUM em sua habilidade para monitorar um processo e detectar a presença de causas atribuíveis que resultem em uma mudança no processo No entanto a MMEP fornece uma previsão de onde estará a média do processo no próximo intervalo de tempo Isto é zi é na verdade uma previsão do valor da média do processo µ no período i 1 Assim a MMEP poderia ser usada como base de um algoritmo dinâmico de controle do processo Na indústria integrada por computadores onde sensores são usados para medir cada unidade fabricada uma previsão da média do processo baseada em comportamento anterior seria muito útil Se a previsão da média é diferente do alvo por uma quantidade crítica então ou o operador ou algum sistema de controle eletromecânico poderia fazer o ajuste 93 necessário no processo Se o operador faz o ajuste então ele deve ter cuidado e não fazer ajustes muito frequentes pois isso causaria aumento na variabilidade do processo Os limites de controle no gráfico MMEP podem ser usados para sinalizar quando um ajuste é necessário e a diferença entre o alvo e a previsão da média µi1 pode ser usada para se determinar quanto ajuste é necessário A MMEP pode ser modificada para realçar sua capacidade de prever a média Suponha que a média do processo apresente uma tendência ou se afaste uniformemente do alvo O desempenho de previsão da MMEP pode ser melhorado nesse caso Primeiro note que a MMEP usual pode ser escrita como zi λxi 1 λzi1 zi1 λxi zi1 e se consideramos zi1 como previsão da média do processo no período i podemos pensar em xi zi1 como o erro de previsão ei para o período i Portanto Assim a MMEP para o período i é igual à MMEP para o período i 1 mais uma fração λ do erro de previsão para a média no período i Acrescente agora um segundo termo a essa última equação obtendo em que λ1 e λ2 são constantes que ponderam o erro no tempo i e a soma dos erros acumulados até o tempo i Definindo ei ei ei1 como a primeira diferença dos erros então chegamos à seguinte modificação de MMEP Note que nessa equação empírica de controle a MMEP para o período i que é a previsão da média do processo para o período i 1 é igual à estimativa corrente da média zi1 estima µi mais um termo proporcional ao erro mais um termo relacionado com a soma dos erros mais um termo relacionado com a primeira diferença dos erros Esses três termos podem ser encarados como ajustes proporcional total e diferencial Os parâmetros λ1 λ2 e λ3 devem ser escolhidos para obterse o melhor desempenho de previsão Como a estatística MMEP zi pode ser considerada uma previsão da média do processo no tempo i 1 plotamos a MMEP em geral um período à frente Isto é plotamos na verdade zino período i 1 no gráfico de controle Isso permite que o analista visualize quanta diferença há entre a observação corrente e a estimativa da média corrente do processo Nas aplicações de controle estatístico do processo em que a média vagueia ao longo do tempo essa abordagem tem apelo considerável O Gráfico de Controle da Média Móvel Tanto o CUSUM quanto o MMEP são gráficos de controle ponderados pelo tempo O gráfico MMEP usa uma média ponderada como estatística Ocasionalmente outro tipo de gráfico de controle ponderado pelo tempo com base em uma média móvel simples não ponderada pode ser de interesse Suponha que tenham sido coletadas observações individuais denotadas por x1 x2 A média móvel de abrangência w no instante i é definida por Isto é no período de tempo i a observação mais antiga no conjunto da média móvel é desprezada e acrescentase ao conjunto a mais nova A variância da média móvel Mi é Portanto se µ0 denota o valoralvo da média usado como linha central do gráfico de controle então os limites de controle três sigmas para Mi são e O procedimento de controle consistiria no cálculo da nova média móvel Mi na medida em que cada observação xi se torna disponível plotandose Mi no gráfico de controle com limites de controle superior e inferior dados pelas equações 939 e 940 e concluindose que o processo está fora de controle se Mi exceder os limites de controle Em geral a magnitude da mudança de interesse e w estão inversamente relacionadas mudanças menores seriam prevenidas mais efetivamente por médias móveis de abrangências maiores à custa de resposta rápida a mudanças maiores EXEMPLO 93 Um gráfico de Controle da Média Móvel Estabeleça um gráfico de controle da média móvel para os dados da Tabela 91 usando w 5 SOLUÇÃO As observações xi para períodos 1 i 30 constam da Tabela 914 A estatística plotada no gráfico de controle da média móvel será para períodos i 5 Para os períodos de tempo i 5 plotase a média das observações para os períodos 1 2 i Os valores dessas médias móveis estão na Tabela 914 TABELA 914 Gráfico da Média Móvel para o Exemplo 93 Observação i xi Mi Observação i xi Mi 1 945 945 16 937 10166 2 799 872 17 1062 9996 3 929 891 18 1031 9956 4 1166 95975 19 852 978 5 1216 1011 20 1084 9932 6 1018 10256 21 109 10238 7 804 10266 22 933 998 8 1146 107 23 1229 10376 9 92 10208 24 115 10972 10 1034 9844 25 106 10924 11 903 9614 26 1108 1096 12 1147 103 27 1038 1117 13 1051 1011 28 1162 11036 14 94 1015 29 1131 10998 15 1008 10098 30 1052 10982 Os limites de controle para o gráfico de controle da média móvel podem ser obtidos facilmente das equações 939 e 910 Como temos σ 10 então e Os limites de controle para Mi se aplicam para períodos i 5 Para períodos 0 i 5 os limites de controle são dados por µ0 Um procedimento alternativo que evita o uso de limites de controle especiais para períodos i w é o uso do gráfico de Shewhart comum até que pelo menos w médias amostrais tenham sido obtidas A Figura 98 mostra o gráfico de controle da média móvel Nenhum ponto excede os limites de controle Note que para os períodos iniciais i w os limites de controle são mais amplos do que seu valor final de estado estacionário Médias móveis que são espaçadas por menos do que w períodos são altamente correlacionadas o que em geral complica a interpretação dos padrões no gráfico de controle Isso pode ser visto facilmente pelo exame da Figura 98 FIGURA 98 Gráfico de controle de média móvel com w 5 Exemplo 93 91 O gráfico de controle da média móvel é mais eficaz do que o gráfico de Shewhart para detectar pequenas mudanças no processo No entanto ele não é em geral tão eficaz contra pequenas mudanças quanto o gráfico CUSUM ou MMEP O gráfico de controle da média móvel é considerado por alguns como de implementação mais fácil do que o CUSUM Este autor prefere o MMEP ao gráfico de controle da média móvel Termos e Conceitos Importantes Cálculos do CMS para o CUSUM Comprimento médio da sequência CUSUM autoiniciado CUSUM de escala CUSUM padronizado CUSUM tabular ou algorítmico CUSUMs unilaterais Forma de máscara V para o CUSUM Gráfico de controle CUSUM Gráfico de controle da média móvel Gráfico de controle MMEP Gráfico de status CUSUM Intervalo de decisão MMEP de Poisson Planejamento de um CUSUM Planejamento de um gráfico de controle de MMEP Procedimento combinado CUSUMShewhart Resistência ao sinal de um gráfico de controle Resposta inicial rápida RIR ou característica headstart para um CUSUM Resposta inicial rápida RIR ou característica headstart para um MMEP Robustez do MMEP à normalidade Valor de referência Exercícios Os dados na Tabela 9E1 representam observações individuais sobre peso molecular tomadas a cada hora de um processo químico TABELA 9E1 Peso Molecular Número da Observação x Número da Observação x 1 1045 11 1139 2 1055 12 1169 3 1037 13 1151 4 1064 14 1128 5 1095 15 1238 6 1008 16 1125 a b 92 93 b 94 a b 95 96 97 7 1050 17 1163 8 1087 18 1188 9 1125 19 1146 10 1146 20 1167 O valoralvo do peso molecular é 1050 e o desviopadrão do processo é considerado como cerca de σ 25 Estabeleça um CUSUM tabular para a média do processo Planeje o CUSUM para detectar rapidamente uma mudança de cerca de 10σ na média do processo A estimativa de σ usada na parte a desse problema é razoável Refaça o Exercício 91 usando o CUSUM padronizado a Acrescente uma característica headstart ao CUSUM do Exercício 91 Use um esquema combinado ShewhartCUSUM para os dados do Exercício 91 Interprete o resultado de ambos os gráficos Uma máquina é usada para encher latas com óleo aditivo de motor Uma única lata é amostrada a cada hora e o seu peso medido Como o processo de enchimento é automático ele tem uma variabilidade muito estável e uma experiência longa indica que σ 005 oz 14179 ml As observações individuais para 24 horas de operação são mostradas na Tabela 9E2 Supondo que o alvo do processo seja 802 oz 23718 ml estabeleça um CUSUM tabular para esse processo Planeje o CUSUM usando os valores padronizados h 477 e k O valor de σ 005 parece razoável para esse processo Refaça o Exercício 94 usando os parâmetros do CUSUM padronizado de h 801 e k 025 Compare os resultados com os obtidos anteriormente no Exercício 94 O que você pode dizer sobre o desempenho teórico desses dois esquemas CUSUM Reconsidere os dados do Exercício 94 Suponha que eles representem observações tomadas imediatamente após um ajuste que pretendia levar o processo de volta ao alvo de µ0 800 Estabeleça e aplique um CUSUM RIR para monitorar esse processo Os dados na Tabela 9E3 são leituras de temperatura de um processo químico em C tomadas a cada 2 minutos Leia as observações de cima para baixo da esquerda para a direita TABELA 9E2 Dados de Enchimento para o Exercício 94 Número da Amostra x Número da Amostra x 1 800 13 805 2 801 14 804 3 802 15 803 4 801 16 805 5 800 17 806 6 801 18 804 7 806 19 805 8 807 20 806 9 801 21 804 a b 98 a b 99 10 804 22 802 11 802 23 803 12 801 24 805 TABELA 9E3 Dados sobre Temperatura de um Processo Químico 953 985 949 937 959 948 958 952 945 973 941 946 939 937 955 931 972 955 966 954 948 955 947 928 945 950 966 935 958 927 941 937 975 948 934 941 963 940 938 950 970 957 937 933 973 962 945 970 959 940 946 960 949 963 963 933 973 933 952 968 942 943 967 960 940 965 935 959 965 950 969 934 936 973 941 956 962 938 981 927 O valoralvo para a média é µ0 950 Estime o desviopadrão do processo Estabeleça e aplique um CUSUM tabular para esse processo usando os valores padronizados h 5 e k Interprete esse gráfico Concentrações de banho são medidas a cada hora em um processo químico Os dados em ppm para as últimas 32 horas estão na Tabela 9E4 leia de cima para baixo da esquerda para a direita O alvo do processo é µ0 175 ppm Estime o desviopadrão do processo Construa um CUSUM tabular para esse processo usando os valores padronizados de h 5 e k Medidas de viscosidade em um polímero são feitas a cada 10 minutos por um viscômetro online Trinta e seis observações são mostradas na Tabela 9E5 leia de cima para baixo da esquerda para a direita TABELA 9E4 Concentração do Banho 160 186 190 206 158 195 189 210 150 179 185 216 151 184 182 212 153 175 181 211 a b c 910 911 912 913 914 915 916 917 154 192 180 202 158 186 183 205 162 197 186 197 TABELA 9E5 Viscosidade de Polímero 3169 3205 3185 3188 3173 3203 3187 3183 3162 3209 3192 3175 3154 3208 3199 3174 3139 3211 3197 3171 3145 3214 3193 3180 3160 3215 3190 3179 3172 3209 3183 3175 3175 3203 3197 3174 O alvo da viscosidade para esse processo é µ0 3200 Estime o desviopadrão do processo Construa um CUSUM tabular para esse processo usando valores padronizados de h 801 e k 025 Discuta a escolha de h e k na parte b desse problema em relação ao desempenho do CUSUM Estabeleça um esquema de CUSUM tabular para os dados da largura do fluxo do Exemplo 61 veja as Tabelas 61 e 62 Quando o procedimento é aplicado a todas as 45 amostras o CUSUM reage mais rapidamente do que o gráfico à mudança na média do processo Use σ 014 no estabelecimento do CUSUM e planeje o procedimento para detectar rapidamente uma mudança de cerca de 1σ Considere os dados sobre o tempo do ciclo de processamento de empréstimos no Exemplo 815 Estabeleça um gráfico CUSUM para o monitoramento desse processo O processo parece estar sob controle estatístico Considere os dados sobre o tempo do ciclo de processamento de empréstimos no Exemplo 815 Estabeleça um gráfico de controle MMEP para o monitoramento desse processo usando λ 01 O processo parece estar sob controle estatístico Considere os dados sobre tempos de espera em uma emergência de hospital no Exercício 816 Estabeleça um gráfico CUSUM para o monitoramento desse processo O processo parece estar sob controle estatístico Considere os dados sobre tempos de espera em uma emergência de hospital no Exercício 816 Estabeleça um gráfico de controle MMEP usando λ 02 para o monitoramento desse processo O processo parece estar sob controle estatístico Considere os dados sobre tempo de espera em uma clínica rápida no Exercício 666 Esses dados podem não ser normalmente distribuídos Estabeleça um gráfico CUSUM para o monitoramento desse processo O processo parece estar sob controle estatístico Considere os dados sobre tempo de espera em uma clínica rápida no Exercício 666 Esses dados podem não ser normalmente distribuídos Estabeleça um gráfico de controle MMEP usando λ 01 para o monitoramento desse processo O processo parece estar sob controle estatístico Considere os dados sobre tempos de espera em uma emergência de hospital no Exercício 816 Estabeleça um gráfico de controle MMEP usando λ 01 para o monitoramento desse processo Compare esse gráfico com o do 918 919 920 921 922 923 924 925 926 a b c 927 928 929 930 931 932 933 934 935 936 937 938 939 940 Exercício 914 Considere os dados sobre tempo de espera em uma clínica rápida no Exercício 666 Esses dados podem não ser normalmente distribuídos Estabeleça um gráfico de controle MMEP usando λ 04 para o monitoramento desse processo Compare esse gráfico com o do Exercício 916 Aplique o CUSUM de escala discutido na Seção 918 aos dados do Exercício 91 Aplique o CUSUM de escala discutido na Seção 918 aos dados sobre concentração do Exercício 98 Considere o CUSUM bilateral padronizado com k 02 e h 8 Use o procedimento de Siegmund para avaliar o desempenho do CMS sob controle desse esquema Ache CMS1para δ 05 Considere os dados sobre viscosidade do Exercício 99 Suponha que o valoralvo da viscosidade seja µ0 3150 e que só seja importante detectaremse perturbações no processo que resultem em aumento da viscosidade Estabeleça e aplique um CUSUM unilateral apropriado para esse processo Considere os dados sobre velocidade da luz introduzidos nos Exercícios 659 e 660 Use apenas as 20 observações no Exercício 659 para estabelecer um CUSUM com valoralvo 7345 Plote todas as 40 observações dos Exercícios 659 e 660 nesse CUSUM A que conclusões você chega Refaça o Exercício 923 usando MMEP com λ 010 Refaça o Exercício 91 usando um gráfico de controle MMEP com λ 01 e L 27 Compare seus resultados com os obtidos com o CUSUM Considere um processo com µ0 10 e σ 1 Estabeleça os seguintes gráficos de controle MMEP λ 01 L 3 λ 02 L 3 λ 04 L 3 Discuta o efeito de λ sobre o comportamento dos limites de controle Reconsidere os dados do Exercício 94 Estabeleça um gráfico de controle MMEP com λ 02 e L 3 para esse processo Interprete os resultados Reconstrua o gráfico de controle do Exercício 927 usando λ 01 e L 27 Compare esse gráfico com o construído no Exercício 927 Reconsidere os dados do Exercício 97 Aplique um gráfico de controle MMEP a esses dados usando λ 01 e L 27 Reconstrua o gráfico do Exercício 929 usando λ 04 e L 3 Compare esse gráfico com o construído no Exercício 929 Reconsidere os dados do Exercício 98 Estabeleça e aplique um gráfico de controle MMEP a esses dados usando λ 005 e L 26 Reconsidere os dados sobre homicídios no Exercício 776 Estabeleça um gráfico de controle MMEP para esse processo com λ 01 e L 27 A potencial não normalidade constitui um problema aqui Reconsidere os dados do Exercício 99 Estabeleça e aplique um gráfico de controle MMEP usando λ 01 e L 27 Analise os dados do Exercício 91 usando um gráfico de controle da média móvel com w 6 Compare os resultados obtidos com o gráfico de controle de somas cumulativas do Exercício 91 Analise os dados do Exercício 94 usando um gráfico de controle da média móvel com w 5 Compare os resultados obtidos com o gráfico de controle de somas cumulativas do Exercício 94 Analise os dados sobre homicídios no Exercício 776 usando um gráfico de controle da média móvel com w 5 A potencial não normalidade constitui um problema aqui Mostre que se o processo estiver sob controle no nível µ a média móvel exponencialmente ponderada será um estimador não viesado da média do processo Deduza a variância da média móvel exponencialmente ponderada zi Equivalência dos gráficos de controle da média móvel e da média móvel exponencialmente ponderada Mostre que se λ 2w 1 para o gráfico de controle MMEP então esse gráfico é equivalente a um gráfico de controle da média móvel de abrangência w no sentido de que os limites de controle são idênticos no estado estacionário Continuação do Exercício 939 Mostre que se λ 2 w 1 então as idades médias dos dados usados para o cálculo das estatísticas zi e Mi serão idênticas 941 942 943 944 945 946 947 Mostre como modificar os limites de controle para o gráfico de controle da média móvel se forem observados subgrupos racionais de tamanho n 1 a cada período e o objetivo do gráfico de controle será o monitoramento da média do processo Um gráfico de Shewhart tem linha central em 10 com LSC 16 e LIC 4 Suponha que você deseje suplementar esse gráfico com um gráfico de controle MMEP usando λ 01 e a mesma largura dos limites de controle em unidades de σ usada no gráfico Quais são os valores dos limites de controle superior e inferior do estado estacionário no gráfico de controle MMEP Um gráfico de controle MMEP usa λ 04 Qual é a largura dos limites de controle no gráfico de Shewhart expressa como um múltiplo da largura dos limites MMEP do estado estacionário Considere os dados sobre falhas de válvulas do Exemplo 76 Estabeleça um gráfico CUSUM para monitorar o tempo entre eventos usando a abordagem de variáveis transformadas ilustrada naquele exemplo Use valores padronizados de h 5 e k Considere os dados sobre falhas de válvulas do Exemplo 76 Estabeleça um gráfico CUSUM unilateral para monitorar e detectar um aumento na taxa de falha da válvula Suponha que o valoralvo do tempo médio entre falhas seja de 700 horas Estabeleça um gráfico de controle MMEP apropriado para os dados sobre falhas de válvulas do Exemplo 76 Use a abordagem de variáveis transformadas ilustrada naquele exemplo Discuta como você poderia estabelecer gráficos de controle MMEP unilaterais 1A aproximação por cadeia de Brook e Evans Marov é discutida no material de texto suplementar para este capítulo CMSs para CUSUM também podem ser determinados por meio de equações integrais Essa abordagem também é discutida no material suplementar para este capítulo 101 1011 1012 1013 102 1021 1022 103 1031 1032 1033 104 1041 1042 1043 105 106 1061 1062 1063 1064 1065 1066 107 108 ESQUEMA DO CAPÍTULO CONTROLE ESTATÍSTICO DE PROCESSO PARA SEQUÊNCIAS CURTAS DE PRODUÇÃO Gráficos e R para Sequências Curtas de Produção Gráficos de Controle de Atributos para Sequências Curtas de Produção Outros Métodos GRÁFICOS DE CONTROLE MODIFICADOS E DE ACEITAÇÃO Limites de Controle Modificados para o Gráfico Gráficos de Controle de Aceitação GRÁFICOS DE CONTROLE PARA PROCESSOS DE FLUXO MÚLTIPLO Processos de Fluxo Múltiplo Gráficos de Controle de Grupos Outras Abordagens CEP COM DADOS DE PROCESSO AUTOCORRELACIONADOS Fontes e Efeitos da Autocorrelação em Dados do Processo Abordagens Baseadas em Modelos Uma Abordagem Livre de Modelo PROCEDIMENTOS DE AMOSTRAGEM ADAPTATIVA PLANEJAMENTO ECONÔMICO DE GRÁFICOS DE CONTROLE Planejando um Gráfico de Controle Características de um Processo Parâmetros de Custo Trabalho Inicial e Planejamentos Semieconômicos Um Modelo Econômico para o Gráfico de Controle Outros Trabalhos GRÁFICOS CUSCORE O MODELO DE PONTO DE MUDANÇA PARA MONITORAMENTO DE PROCESSO 109 1010 1011 10111 10112 10113 10114 10115 10116 10117 10118 MS101 MS102 MS103 MS104 1 2 3 4 5 6 MONITORAMENTO DE PERFIL GRÁFICOS DE CONTROLE NO MONITORAMENTO DOS SERVIÇOS MÉDICOS E VIGILÂNCIA DA SAÚDE PÚBLICA VISÃO GERAL DE OUTROS PROCEDIMENTOS Desgaste de Ferramentas Gráficos de Controle Baseados em Outras Estatísticas Amostrais Problemas de Controle de Enchimento PréControle Gráficos de Controle para Intervalos de Tolerância Monitoramento de Processos com Dados Censurados Monitoramento de Processos de Bernoulli Gráficos de Controle Não Paramétricos Material Suplementar para o Capítulo 10 Gráficos de Controle para Diferenças Gráficos de Controle para Contrastes Gráficos de Soma Sequencial e de Zona Mais sobre Gráficos de Controle Adaptativos O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM O uso difundido e bemsucedido dos métodos básicos de CEP descritos na Parte III e os gráficos de controle CUSUM e MMEP do capítulo anterior levaram ao desenvolvimento de muitas técnicas e procedimentos novos nos últimos 20 anos Este capítulo constitui uma visão geral dos desenvolvimentos recentes mais úteis Começamos com uma discussão de métodos de CEP para sequências curtas de produção e concentramos nossa atenção na maneira como os gráficos de controle convencionais podem ser modificados para esta situação Embora haja outras técnicas aplicáveis ao cenário de sequências curtas esta abordagem parece ser a mais usada na prática Discutimos então os gráficos de controle modificados e de aceitação Essas técnicas têm alguma aplicação em situações em que a capacidade do processo é alta tais como o ambiente de manufatura Seis Sigma Os processos de fluxo múltiplo são encontrados em muitas indústrias Um exemplo é o enchimento de um recipiente em uma máquina de múltiplas cabeças ou torneiras Apresentamos o gráfico de controle de grupos um método clássico para o processo de fluxo múltiplo e outro procedimento baseado em gráficos de controle para monitoramento dos tipos específicos de causas atribuíveis associadas a esses sistemas Abordamos também técnicas para monitoramento de processos com dados autocorrelacionados um tópico de considerável importância nas indústrias químicas e de processamento Outros tópicos do capítulo incluem uma discussão da consideração formal da economia de um processo no planejamento de um esquema de monitoramento gráficos de controle adaptativos em que o tamanho da amostra ou o tempo entre amostras ou ambos possam ser modificados com base no valor corrente da estatística amostral o procedimento de monitoramento de Cuscore pontos de mudança como estrutura para um procedimento de monitoramento de processo monitoramento de perfil uso de gráfico de controle em serviços de saúde métodos para desgaste de ferramentas problemas de controle de enchimento e gráficos de controle para outras estatísticas amostrais que não as convencionais consideradas nos capítulos anteriores Em muitos casos damos apenas um breve resumo do tópico e indicamos referências para descrições mais completas Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Estabelecer e usar gráficos de controle e R para sequências curtas de produção Saber como calcular limites modificados para o gráfico de controle de Shewhart Saber como estabelecer e usar um gráfico de controle de aceitação Usar gráfico de controle de grupo para processos de fluxos múltiplos e compreender os procedimentos alternativos disponíveis Compreender as fontes e efeitos da autocorrelação sobre gráficos de controle padrão Saber como usar gráficos de controle de resíduos com base em modelos para dados autocorrelacionados 7 8 9 10 11 12 101 1011 Saber como usar o gráfico de controle da média de lotes para dados autocorrelacionados Saber em que situação o gráfico de controle Cuscore pode ser usado Saber como os métodos do ponto de mudança se relacionam com técnicas de monitoramento estatístico de processo Compreender as razões práticas por detrás do uso de gráficos de controle adaptativos Compreender a base dos princípios econômicos do planejamento de gráficos de controle Saber como os gráficos de controle podem ser usados para monitoramento de processos cujas saídas são perfis Controle Estatístico de Processo para Sequências Curtas de Produção Os métodos de controle estatístico de processos têm ampla aplicação em quase todo tipo de negócio Algumas das aplicações mais interessantes ocorrem em sistemas de fabricação tipo oficina de trabalho ou de modo geral em qualquer tipo de sistema caracterizado por sequências curtas de produção Alguns dos métodos de CEP para tais situações são adaptações diretas dos conceitospadrão e não exigem qualquer metodologia nova De fato no Exemplo 68 ilustramos uma das técnicas básicas de gráficos de controle utilizadas em circunstâncias de sequências curtas utilização do desvio da dimensão nominal como a variável no gráfico de controle Nesta seção vamos apresentar um resumo de várias técnicas que se revelaram bemsucedidas em circunstâncias de sequências curtas de produção Gráficos e R para Sequências Curtas de Produção A técnica mais simples para utilização dos gráficos e R em situações de sequências curtas de produção foi introduzida anteriormente no Exemplo 68 isto é o uso do desvio em relação ao valor nominal no gráfico de controle no lugar da variável medida Este gráfico é chamado às vezes de gráfico de controle do desvio do nominal DNOM Para ilustrar o procedimento considere os dados da Tabela 101 As quatro primeiras amostras representam diâmetros de um orifício em determinada peça digamos peça A O painel a desta tabela mostra os diâmetros reais em milímetros Para esta peça o diâmetro nominal é TA 50 mm Assim se Mirepresenta a iésima medida amostral efetiva em milímetros então TABELA 101 Dados para os Gráficos e R para Sequências Curtas abordagem dos desvios em relação ao valor nominal a Medidas b Desvio do Nominal Número da Amostra Número da Peça M1 M2 M3 x1 x2 x3 R 1 A 50 51 52 0 1 2 100 2 2 A 49 50 51 1 0 1 000 2 3 A 48 49 52 2 1 2 033 4 4 A 49 53 51 1 3 1 100 4 5 B 24 27 26 1 2 1 067 3 6 B 25 27 24 0 2 1 033 3 7 B 27 26 23 2 1 2 033 4 8 B 25 24 23 0 1 2 100 2 9 B 24 25 25 1 0 0 033 1 1 2 3 10 B 26 24 25 1 1 0 000 2 017 27 Xi Mi TA seria o desvio em relação ao valor nominal O painel b da Tabela 101 mostra os desvios em relação ao valor nominal xi e também os valores de e R para cada amostra Considere agora as últimas seis amostras na Tabela 101 Esses diâmetros de orifícios são de uma peça de número diferente B para a qual a dimensão nominal é TB 25 mm O painel b da Tabela 101 apresenta os desvios do valor nominal e as médias e as amplitudes desses desvios para os dados da peça B A Figura 101 exibe os gráficos de controle e R utilizando os desvios em relação ao valor nominal Note que os limites de controle foram calculados utilizandose os dados de todas as 10 amostras Na prática recomendamos esperar até que disponhamos de aproximadamente 20 amostras antes de calcular os limites de controle Entretanto para fins de ilustração calculamos os limites com base em 10 amostras para mostrar que quando tomamos o desvio em relação ao nominal como a variável no gráfico não é preciso termos uma longa sequência de produção para cada número de peça É também costume utilizarse uma reta vertical tracejada para separar diferentes produtos ou números de peça e identificar com clareza que parte do gráfico pertence a cada número de peça conforme mostrado na Figura 101 Três observações importantes devem ser feitas em relação à abordagem DNOM Uma suposição é que o desviopadrão do processo é aproximadamente o mesmo para todas as peças Se esta suposição não é válida utilize os gráficos e R padronizados consulte a próxima subseção Este procedimento funciona melhor quando o tamanho da amostra é constante para todos os números de peças Os gráficos de controle dos desvios em relação ao valor nominal têm um apelo intuitivo quando a especificação nominal é o valoralvo desejado para o processo Este último ponto merece uma discussão mais detalhada Em algumas situações o processo não deve ou não pode estar centrado na dimensão nominal Por exemplo quando a peça tem especificações unilaterais frequentemente não se especifica uma dimensão nominal Para um exemplo veja os dados relativos à resistência de garrafas à ruptura no Capítulo 8 Em casos onde não se dá nenhum valor nominal ou em que o valor nominal não é o alvo desejado do processo então ao construirmos o gráfico de controle devemos usar a média histórica do processo no lugar da dimensão nominal Em alguns casos pode ser necessário compararse a média histórica com um alvo desejado do processo para se determinar se a verdadeira média do processo é diferente do alvo Podemos utilizar procedimentos usuais de testes de hipóteses para desempenhar esta tarefa FIGURA 101 Gráficos e R para os desvios em relação ao valor nominal Gráficos e R Padronizados Se os desviospadrão do processo são diferentes para diferentes números de peças os gráficos de controle dos desvios em relação ao valor nominal ou o desvio em relação ao alvo do processo não funcionarão com eficiência Todavia os gráficos e R padronizados resolverão facilmente a situação Considere o j ésimo número de peça Sejam j e Tj a amplitude média e o valor nominal de x para este número de peça Então para todas as amostras deste número de peça plote em um gráfico R padronizado com limites de controle em LIC D3 e LSC D4 e plote em um gráfico padronizado com limites de controle em LIC A2 e LSC A2 Note que a linha central do gráfico padronizado é zero porque i é a média das medidas originais para subgrupos do jésimo número de peça Note que para que isso tenha sentido deve haver alguma justificativa lógica para a mistura de peças no mesmo gráfico Os valoresalvo j e Tj para cada número de peça podem ser determinados utilizandose especificações para Tj e tomandose j de dados históricos em geral na forma de um gráfico de controle ou convertendose uma estimativa de σ 1012 1013 em j mediante a relação j Sd2c4 Para peças novas é prática comum utilizarse a experiência anterior sobre peças semelhantes para fixação dos alvos Farnum 1992 apresentou uma abordagem generalizada do procedimento DNOM que pode incorporar uma diversidade de suposições sobre a variabilidade do processo A abordagem pelo gráfico de controle padronizado discutida anteriormente é um caso especial de seu método O método de Farnum permite a construção de gráficos DNOM no caso em que o coeficiente de variação σµ é aproximadamente constante É possível que tal situação ocorra com frequência na prática Gráficos de Controle de Atributos para Sequências Curtas de Produção É extremamente simples o trabalho com dados de atributos em um ambiente de sequência curta de produção o método adequado consiste na utilização de um gráfico de controle padronizado para o atributo de interesse Este método permite que diferentes números de peças sejam marcados no mesmo gráfico e compensa automaticamente o tamanho variável da amostra TABELA 102 Gráficos de Controle Padronizados de Atributos Apropriados para Sequências Curtas de Produção No Capítulo 7 já discutimos gráficos de controle padronizados para atributos Por uma questão de conveniência as fórmulas importantes são apresentadas na Tabela 102 Todos os gráficos de controle padronizados de atributos têm a linha central em zero e os limites superior e inferior de controle em 3 e 3 respectivamente Outros Métodos Há uma grande diversidade de abordagens que podem ser aplicadas em ambientes de sequências curtas de produção Por exemplo os gráficos de controle CUSUM e MMEP discutidos no Capítulo 9 têm aplicação potencial a sequências curtas de produção porque têm desempenho de menor comprimento médio da sequência do que os gráficos tipo Shewhart especialmente para detectar pequenas mudanças Como a maioria das sequências de produção em um contexto de sequências curtas por definição não consiste em muitas unidades a capacidade de detecção rápida de uma mudança nesses gráficos sem dúvida será útil Além disso os gráficos de controle CUSUM e MMEP são muito eficientes com subgrupos de tamanho 1 outra vantagem potencial em uma situação de sequências curtas A versão autoiniciada do CUSUM veja Hawkins e Olwell Capítulo 9 1998 é também procedimento útil para situações de sequências curtas A abordagem autoiniciada usa medições regulares do processo tanto para estabelecer ou calibrar o CUSUM quanto para o monitoramento do processo Isso evita a fase de estimação de parâmetros da fase I Também produz a estatística de controle Shewhart como um subproduto do processo 102 1021 O número de subgrupos utilizados para o cálculo dos limites de controle tentativos para gráficos de Shewhart impacta a taxa de alarme falso do gráfico em particular quando se utiliza um pequeno número de subgrupos a taxa de alarme falso é inflada Hillier 1969 estudou este problema e apresentou uma tabela de fatores a serem usados na fixação de limites para os gráficos e R com base em um pequeno número de subgrupos para o caso n 5 veja também Wang e Hillier 1970 Quesenberry 1993 investigou problema análogo tanto para o gráfico de controle quanto para gráficos de controle de observações individuais Como os limites de controle em um contexto de sequências curtas são calculados tipicamente com base em um número relativamente pequeno de subgrupos esses artigos apresentam técnicas de algum interesse Quesenberry 1991a 1991b 1991c apresentou procedimentos para CEP de sequências curtas utilizando uma transformação diferente da abordagem de padronização discutida anteriormente Ele se refere a esses gráficos como gráficos Q salientando que eles podem ser utilizados tanto para sequências de produção curtas quanto longas Del Castillo e Montgomery 1994 pesquisaram o desempenho do comprimento médio da sequência do gráfico Q para variáveis e mostraram que em alguns casos o desempenho do comprimento médio da sequência CMS não é adequado Eles sugerem algumas modificações no procedimento do gráfico Q e alguns métodos alternativos baseados na MMEP e em uma técnica relacionada chamada filtro de Kalman que têm melhor desempenho CMS do que o gráfico Q Crowder 1992 também relatou um procedimento de sequência curta baseado no filtro de Kalman Em uma série de artigos subsequentes Quesenberry 1995a 1995b 1995c relata alguns refinamentos na utilização dos gráficos Q que também realçam seu desempenho na detecção de mudanças em um processo Ele sugere também que a probabilidade de uma mudança ser detectada dentro de um número especificado de amostras em seguida à sua ocorrência é uma medida mais apropriada do desempenho de um procedimento CEP de sequências curtas do que o comprimento médio da sequência O leitor interessado deve consultar os números de julho e outubro de 1995 do Journal of Quality Technology que contêm esses artigos e uma discussão dos gráficos Q por diversos especialistas Esses artigos e a discussão incluem várias referências adicionais úteis Gráficos de Controle Modificados e de Aceitação Na maioria das situações em que se utilizam gráficos de controle enfocase o monitoramento ou controle estatístico do processo a redução da variabilidade e o aprimoramento contínuo do processo Uma vez atingido um alto nível da capacidade do processo pode ser útil relaxarse o nível de supervisão proporcionado pelo gráficopadrão de controle Um método para se fazer isso com gráficos utiliza limites de controle modificados ou de rejeição e o segundo utiliza os gráficos de controle de aceitação Limites de Controle Modificados para o Gráfico Os limites de controle modificados em geral são utilizados em situações em que a variabilidade natural ou dispersão do processo é consideravelmente menor do que a largura dos limites de especificação isto é Cp ou Cpk é muito maior do que 1 Na prática esta situação ocorre ocasionalmente Na verdade isso deveria ser o resultado natural de um esforço bem sucedido de redução da variabilidade do processo redução da variabilidade do processo com um aumento correspondente na razão da capacidade do processo A abordagem Seis Sigma de redução da variabilidade enfoca o aperfeiçoamento de processos até que o valor mínimo de Cpk seja 20 Suponha por exemplo que os limites de especificação do volume de enchimento de um recipiente de uma bebida carbonada sejam LIE 1000 oz e LSE 1020 oz mas como resultado de um programa de engenharia e de melhorias operacionais a máquina de encher pode operar com um desviopadrão do volume de enchimento de aproximadamente σ 001 oz Portanto a distância LSE LIE é de aproximadamente 20 sigma ou seja muito superior ao limite natural de tolerância de Seis Sigma no processo e a razão da capacidade do processo é RCP LSE LIE6σ 0206001 333 Tratase obviamente de um processo Seis Sigma Em situações onde seis sigma são muito menores do que a dispersão nas especificações LSE LIE podese admitir que a média do processo varie em um intervalo sem afetar de modo apreciável o desempenho global do processo1 Por exemplo veja a Figura 102 Quando ocorre esta situação podemos utilizar um gráfico de controle modificado para em lugar do gráfico usual No gráfico de controle modificado preocupanos apenas detectar se a verdadeira média do processo µ está localizada de tal forma que o processo esteja produzindo uma fração de não conformes acima de determinado valor especificado δ Com efeito µ pode variar em um intervalo digamos µI µ µS em que µI e µS são escolhidos como o menor e o maior valores permissíveis de µ respectivamente consistentes com a produção de uma fração não conforme no máximo igual a δ Admitimos que a variabilidade do processo σ esteja sob controle Podemse encontrar boas discussões gerais do gráfico de controle modificado em Hill 1956 e Duncan 1986 Conforme nota Duncan 1986 este procedimento é às vezes utilizado quando um processo está sujeito ao desgaste de ferramentas veja a Seção 1071 FIGURA 102 Um processo com dispersão dos limites naturais de tolerância menor do que a dispersão dos limites de especificação ou 6σ LSE LIE FIGURA 103 Limites de controle em um gráfico modificado a Distribuição da saída do processo b Distribuição da média amostral Para especificar os limites de controle para um gráfico modificado admitimos que a saída do processo tenha distribuição normal Para que a fração não conforme do processo seja menor do que δ devemos exigir que a verdadeira média do processo esteja no intervalo Consequentemente pela Figura103a vêse que devemos ter µI LIE Zδσ e µs LSE Zδσ em que Zδ é o ponto percentual 1001 δ superior da distribuição normal padrão Agora se especificamos um erro tipo I de α os limites de controle superior e inferior serão e respectivamente Os limites de controle são exibidos na distribuição de na Figura 103b Em lugar de especificar um erro tipo I podemos utilizar o seguinte e Limites dois sigmas são algumas vezes recomendados para o gráfico de controle modificado com base no argumento de que limites mais restritos de controle proporcionam melhor proteção menor risco β contra mudanças críticas na média com pequena perda no risco α Podemos encontrar uma discussão deste tópico em Freund 1957 Note que o gráfico de controle modificado equivale ao teste da hipótese de que a média do processo está no intervalo µI µ µS Para elaborarmos um gráfico de controle modificado devemos dispor de uma boa estimativa de σ Se a variabilidade do processo se modificar então os limites de controle modificados não serão adequados Consequentemente um gráfico R ou s deve ser sempre usado em conjugação com o gráfico de controle modificado Além disso a estimativa inicial de σ exigida para se estabelecer o gráfico de controle modificado em geral seria obtida de um gráfico R ou s EXEMPLO 101 Um Gráfico de Controle para um Processo Seis Sigma Consideremos um processo distribuído normalmente com valoralvo da média em 20 e desviopadrão σ 2 As especificações superior e inferior do processo situamse em LIE 8 e LSE 32 de modo que se o processo estiver centrado no alvo Cp Cpk 20 Tratase de um processo com capacidade Seis Sigma Em um processo Seis Sigma admitese que a média possa afastarse do alvo até 15 desviopadrão sem causar problemas sérios Estabeleça um gráfico de controle para monitorar a média desse processo Seis Sigma com uma amostra de tamanho n 4 SOLUÇÃO 1022 A Figura 104a mostra o processo Seis Sigma e a Figura 104b ilustra o cálculo do limite de controle Note que podemos utilizar a equação 104 com Zδ substituído por 45 Portanto os limites de controle superior e inferior passam a ser FIGURA 104 Limites de controle para um processo Seis Sigma 32 45 152 26 e 8 45 152 14 Gráficos de Controle de Aceitação A segunda abordagem para a utilização de um gráfico para o monitoramento da fração de não conformes ou a fração de unidades que excedem as especificações é chamada de gráfico de controle de aceitação No planejamento do gráfico de controle modificado da Seção 1021 o gráfico se baseou em um tamanho amostral especificado n uma fração não conforme do processo δ e uma probabilidade α de um erro tipo I Assim interpretamos δ como uma fração não conforme do processo que aceitamos com probabilidade 1 α Freund 1957 elaborou o gráfico de controle de aceitação para 103 levar em conta tanto o risco de rejeição de um processo que esteja operando a um nível satisfatório erro tipo I ou risco α quanto o risco de aceitação de um processo que esteja operando a um nível insatisfatório erro tipo II ou risco β Há duas maneiras de elaborarmos o gráfico de controle Na primeira planejamos o gráfico de controle com base em um n especificado e uma fração não conforme do processo γ que rejeitaríamos com probabilidade 1 β Neste caso os limites de controle para o gráfico são e Note que quando n γ e 1 β ou β são especificados os limites de controle estão entre os valores µI e µS que produzem a fração não conforme γ Em contraste quando n δ e α são especificados o limite inferior de controle situase entre µI e LIE e o limite superior de controle situase entre µS e LSE É possível também escolhermos um tamanho de amostra para um gráfico de controle de aceitação de modo que se obtenham valores especificados de δ α γ e β Igualando os limites superiores de controle digamos para valores especificados de δ e α equação 103a e valores especificados de γ e β equação 105a obtivemos Portanto um tamanho amostral de dará os valores desejados de δ α γ e β Por exemplo se δ 001 α 000135 γ 005 e β 020 deveremos tomar uma amostra de tamanho no gráfico de controle de aceitação Obviamente para utilizarmos esta abordagem n não deve ficar seriamente restrito pelo custo ou por outros fatores tais como considerações de subgrupos racionais Gráficos de Controle para Processos de Fluxo Múltiplo 1031 1 2 1032 Processos de Fluxo Múltiplo Um processo de fluxo múltiplo PFM é um processo com dados em um ponto do tempo consistindo em medidas de várias fontes ou fluxos Quando o processo está sob controle supõemse idênticos os fluxos ou fontes Outra característica do PFM é que podemos monitorar e ajustar cada fluxo individualmente ou em pequenos grupos Na prática o PFM ocorre com frequência Por exemplo uma máquina pode ter várias cabeças ou torneiras cada uma produzindo assim esperamos unidades idênticas do produto Em tais situações há vários procedimentos de controle que podem ser aplicados Uma possibilidade consiste na utilização de gráficos de controle separados para cada fluxo Esta abordagem em geral tem como resultado um número proibitivamente grande de gráficos de controle Se os fluxos de saída forem altamente correlacionados digamos correlação quase perfeita então poderão ser adequados gráficos de controle de apenas um fluxo Mas a situação mais comum é a de fluxos apenas moderadamente correlacionados e assim não é aconselhável o monitoramento de apenas um dos fluxos Há ao menos dois tipos de situação envolvendo a ocorrência de causas atribuíveis em um PFM A saída de um fluxo ou de alguns fluxos se afastou do alvo A saída de todos os fluxos se afastou do alvo No primeiro caso procurase detectar uma causa atribuível que afeta apenas um fluxo ou no máximo uns poucos fluxos enquanto no segundo caso procuramos uma causa atribuível que cause impacto em todos os fluxos como resultaria de uma substituição de matériasprimas O gráfico de controle padrão para o PFM é o gráfico de controle de grupos introduzido por Boyd 1950 Discutiremos também outras abordagens para monitoramento do PFM Ao longo desta seção vamos supor que o processo tenha s fluxos e que a característica da qualidade da saída de cada fluxo seja distribuída normalmente Gráficos de Controle de Grupos O gráfico de controle de grupos GCG foi introduzido por Boyd 1950 e permanece como procedimento básico para o monitoramento de um PFM Para ilustrar os métodos de construção e utilização suponha que o processo tenha s 6 fluxos e que cada fluxo tenha o mesmo valoralvo e a mesma variabilidade inerente Fazse uma mensuração de variáveis nos itens produzidos e a distribuição das mensurações é bem aproximada pela normal Para se estabelecer um gráfico de controle de grupos a amostragem é conduzida como se gráficos de controle separados para cada fluxo fossem ser construídos Suponhamos para fins de ilustração que se utilize uma amostra de tamanho n 4 Isso significa que extrairemos 4 unidades de cada um dos s 6 fluxos em um curto período de tempo Este procedimento se repetirá até que cerca de 20 grupos de amostras tenham sido retirados A esta altura teríamos 20 6 120 médias de n 4 observações e 120 amplitudes correspondentes Essas médias e amplitudes serão então submetidas a um processo de extração de média que produzirá uma média global e uma amplitude média Os limites do gráfico de controle de grupos se situariam em para o gráfico e em LSC D4 LSC D3 para o gráfico R com A2 0729 D3 0 e D4 2282 Note que o tamanho da amostra n 4 determina as constantes do gráfico de controle Quando se utiliza o gráfico de controle de grupos para o monitoramento do processo marcamos apenas a maior e a menor das s 6 médias observadas em qualquer período de tempo no gráfico Se essas médias estiverem dentro dos limites de controle então todas as outras médias também estarão dentro desses limites Analogamente apenas a maior amplitude será marcada no gráfico de amplitudes Cada ponto marcado é identificado no gráfico pelo número do fluxo que o produziu O processo estará fora de controle se um ponto ultrapassar um limite três sigmas Os testes de sequências não 1 2 3 podem ser aplicados a esses gráficos porque os testes de sequência convencionais não foram planejados para testar médias ou amplitudes que sejam os extremos de um grupo de médias ou de amplitudes É conveniente examinaremse os números dos fluxos no gráfico Em geral se um fluxo dá consistentemente o maior ou o menor valor várias vezes em seguida isso pode constituir evidência de que este fluxo é diferente dos outros Se o processo tiver s fluxos e se r for o número de vezes consecutivas em que determinado fluxo é o maior ou o menor valor então o comprimento médio da sequência unilateral sob controle para este evento é dado por Nelson 1986 como se todos os fluxos forem idênticos Para ilustrar o uso desta equação se s 6 e r 4 então Isto é se o processo estiver sob controle esperamos que o mesmo fluxo produza um valor extremo no gráfico de controle de grupos quatro vezes em sequência apenas em uma de cada 259 amostras Uma forma de escolha do valor de r para se detectar a presença de um fluxo que seja diferente dos outros consiste na utilização da equação 106 para achar um CMS que seja aproximadamente consistente com o CMS de um gráfico de controle convencional O CMS para um processo sob controle para um único ponto além do limite superior de controle digamos é 740 Assim tomandose r 4 para um processo de seis fluxos o resultado é um CMS demasiadamente curto que dará muitos alarmes falsos Uma escolha melhor é r 5 pois Assim se tivemos seis fluxos e o mesmo fluxo produzir um valor extremo no gráfico de controle em cinco amostras consecutivas então teremos forte evidência de que este fluxo é diferente dos outros Utilizando a equação 106 podemos gerar algumas diretrizes gerais para a escolha de r dado o número s de fluxos Os pares convenientes s r incluiriam 3 7 4 6 56 5 e 710 4 Todas essas combinações dão valores razoáveis do CMS unilateral quando o processo está sob controle O comprimento médio da sequência sob controle bilateral CMS20 é definido como o número esperado de provas para que r médias consecutivas máximas ou r médias consecutivas mínimas provenham do mesmo fluxo enquanto o PFM está sob controle Mortell e Runger 1995 e Nelson e Stephenson 1996 utilizaram a abordagem de cadeias de Markov de Brook e Evans 1972 para calcular numericamente CMS20 Não é possível obterse uma expressão em forma fechada para CMS20 mas Nelson e Stephenson 1996 dão uma cota inferior para CMS20 como Esta aproximação está de inteiro acordo com os cálculos numéricos da abordagem de cadeias de Markov Há algumas desvantagens em relação ao GCG que podem ser resumidas como se segue Em cada instante de tempo em que as amostras são extraídas todos os s fluxos devem ser submetidos à amostragem Quando s é pequeno esta abordagem pode ser satisfatória Todavia algumas máquinas de enchimento e de empacotamento de grande velocidade podem ter 100 s 200 fluxos Para tais situações o GCG não é prático Não há informação sobre fluxos não extremos em cada prova assim não podemos utilizar valores passados para construir uma estatística MMEP ou CUSUM para melhorar o desempenho do GCG Os testes de sequência suplementares falham se mais de um fluxo variar simultaneamente todos para cima ou todos para baixo para um mesmo nível fora do alvo porque é muito provável que os fluxos deslocados tenham alternadamente o valor extremo e que nenhum fluxo isolado possa ser identificado 4 5 1033 A escolha do comprimento da sequência ou padrão r para um problema específico com s fluxos é um processo discreto e a diferença em CMS0 para a escolha de r r ou r r 1 pode ser substancial conforme observam Mortell e Runger 1995 Este problema é evidente na regra original elaborada por Nelson 1986 mas pode ser um pouco suavizado com a aplicação das regras modificadas apresentadas em Nelson e Stephenson 1996 que se baseiam na abordagem de r 1 dentre r observações consecutivas De fato podese mostrar facilmente que a diferença em CMS0 para as escolhas r r e r r 1 é igual a sr que se torna muito grande para os problemas com grandes números de fluxos Embora a aplicação da regra r 1 de r em sequência permita certa flexibilidade na escolha do valor crítico r r e do CMS0 ela acrescenta certa complexidade pois já não é mais um simples processo de contagem Outras Abordagens Mortell e Runger 1995 propuseram o seguinte modelo para o PFM a fim de acomodar o caso prático de fluxos dependentes com correlação cruzada em que xtjk é a ka mensuração no jo fluxo no instante t At N 0 σ2 a representa a diferença da média ao longo de todos os fluxos no instante t em relação ao alvo µ do PFM e εtjk é uma variável aleatória N0 σ2 que representa a diferença da késima mensuração no jésimo fluxo em relação à média do processo ao longo de todos os fluxos no instante t Nesta representação de dados do PFM a variação total é atribuída a duas fontes σ2 a que responde pela variação ao longo do tempo comum a todos os fluxos e σ2 que responde pela variação entre os fluxos em um instante específico t Por este modelo a correlação cruzada entre qualquer par de fluxos é dada por ρ σ2 a σ2 a σ2 Mortell e Runger propuseram o monitoramento da média no instante t das médias ao longo de todos os fluxos com um gráfico de controle de observações individuais para detectar uma causa atribuível geral Propuseram também monitorar a amplitude das médias dos fluxos no instante t denotada por Rt máx tj mín tj ou o resíduo máximo no instante t dado por máx tj t com qualquer gráfico de controle de observações individuais para detectar uma causa relativa atribuível que afete um ou alguns fluxos Esses gráficos de controle de resíduos propostos são melhores do que o GCG especialmente quando a variação nas médias do processo ao longo do tempo é maior do que a variabilidade entre fluxos isto é quando σa σ Mortell e Runger compararam o desempenho desses gráficos propostos com o teste de sequências do GCG proposto por Nelson 1986 utilizando simulações de diversos PFMs e concluíram que o gráfico CUSUM das amplitudes supera em desempenho os gráficos de Shewhart e MMEP seja na amplitude ou no resíduo máximo Por outro lado existe pequena diferença de desempenho entre o teste de sequências de Nelson 1986 e o gráfico CUSUM proposto mas é o preferido em razão da flexibilidade na escolha do CMS sob controle Runger Alt e Montgomery 1996a relacionam gráficos de controle para o PFM com dados correlacionados com a análise de componentes principais Veja o Capítulo 11 para informações sobre componentes principais O primeiro gráfico de controle monitora a variável da primeira componente principal que é igual à média dos fluxos em qualquer instante t O segundo gráfico de controle se baseia na estatística T2 de Hotelling veja o Capítulo 11 das últimas p 1 componentes principais o que podemos mostrar ser equivalente ao gráfico s2 é assim sensível a causas atribuíveis relativas que afetam a uniformidade através dos fluxos Lanning 1998 estudou o uso de amostragem fracional e adaptativa nos processos de fluxo múltiplo com um grande número de fluxos idênticos e independentes onde o monitoramento simultâneo de todos os fluxos é impraticável Nesses procedimentos apenas uma fração dos s fluxos é submetida à amostragem em cada período de tempo e esta fração é aumentada quando há indicações de eventual presença de uma condição de fora de controle Os esquemas de amostragem adaptativa serão introduzidos na Seção 105 Ele utilizou o tempo médio para alerta TMA para comparar o desempenho de gráficos competidores e enfocou cenários onde causas atribuíveis tendem a causar impacto em todos ou quase todos os fluxos do processo conjuntamente Concluiu que a abordagem da fração adaptativa dá melhores resultados de TMA do que o esquema da fração fixa e frequentemente dá resultados satisfatórios em comparação com uma situação de amostragem completa Uma aplicação de sua metodologia a uma máquina de enchimento de muitas cabeças com muitas válvulas de enchimento é descrito em Lanning Montgomery e Runger 20022003 104 1041 CEP com Dados de Processo Autocorrelacionados Fontes e Efeitos da Autocorrelação em Dados do Processo As suposições usuais que são geralmente citadas na justificativa do uso de gráficos de controle são que os dados gerados pelo processo quando sob controle são distribuídos normal e independentemente com média µ e desviopadrão σ Tanto µ quanto σ são considerados fixos e desconhecidos Uma condição de fora de controle é uma mudança ou um deslocamento em µ ou σ ou ambos para algum valor diferente Podemos pois dizer que quando o processo está sob controle a característica da qualidade no instante t xt é representada pelo modelo em que εt é distribuído normal e independentemente com média zero e desviopadrão σ Isto é o que costuma ser chamado de modelo de Shewhart do processo Quando essas suposições são satisfeitas podemos aplicar gráficos de controle convencionais e tirar conclusões sobre o estado de controle estatístico do processo Além disso as propriedades estatísticas do gráfico de controle tais como taxa de alarme falso com limites de controle três sigmas ou o comprimento médio da sequência podem ser facilmente determinadas e utilizadas como guia para interpretação do gráfico Mesmo em situações em que a suposição de normalidade é violada em grau moderado esses gráficos de controle ainda funcionam razoavelmente bem A suposição mais importante relativa aos gráficos de controle é a de independência das observações porque os gráficos de controle convencionais não funcionam bem se a característica da qualidade apresentar níveis de correlação ainda que baixos ao longo do tempo Especificamente esses gráficos de controle darão resultados enganosos sob a forma de demasiados alarmes falsos se os dados são correlacionados Este aspecto tem sido enfatizado por inúmeros autores incluindo Berthouex Hunter e Pallesen 1978 Alwan e Roberts 1988 Montgomery e Friedman 1989 Alwan 1992 Harris e Ross 1991 Montgomery e Mastrangelo 1991 e Maragah e Woodall 1992 Infelizmente a suposição de observações não correlacionadas ou independentes nem sempre é satisfeita mesmo aproximadamente em alguns processos de fabricação Os exemplos incluem processos químicos em que medidas consecutivas sobre o processo ou uma característica do produto se apresentam não raro altamente correlacionadas ou testes e processos de inspeção automatizados em que toda característica da qualidade é medida em cada unidade na ordem temporal de produção Na Figura 56b temos um exemplo de dados de processo correlacionados Basicamente todos os processos de fabricação são regidos por elementos inerciais e quando o intervalo entre amostras se torna pequeno em relação a essas forças as observações sobre o processo serão correlacionadas ao longo do tempo FIGURA 105 Um tanque com volume V e fluxos de material de entrada e saída É fácil darmos uma demonstração analítica deste fenômeno A Figura 105 mostra um sistema simples consistindo em um tanque com volume V com fluxos de material de entrada e saída apresentando uma taxa f Sejam wt a concentração de certo material no fluxo de entrada no instante t e xt a concentração correspondente no fluxo de saída no instante t Admitindo a homogeneidade dentro do tanque a relação entre xt e wt é em que T Vf em geral é chamado de constante do tempo do sistema Se o fluxo de entrada experimenta uma variação w0 tipo degrau no instante t 0 digamos então a concentração na saída no instante t é Xt wo1etT Mas na prática não observamos xt continuamente mas apenas a intervalos de tempo Δt pequenos igualmente espaçados Neste caso Xt Xt1 wt Xt11eΔtT awt 1axt1 em que a 1 eΔtT As propriedades da concentração do fluxo de saída xt dependem das propriedades da concentração do fluxo de entrada wt e do intervalo de amostragem Δt Se admitimos que os wtsejam variáveis aleatórias não correlacionadas então a correlação entre valores sucessivos de xt ou a autocorrelação entre xt e xt1 será dada por ρ 1a 1eΔtT Note que se Δt é muito maior do que T então ρ 0 Isto é se o intervalo Δt entre amostras no fluxo de saída é longo muito mais longo do que a constante de tempo T as observações sobre a concentração de saída serão não correlacionadas Entretanto se Δt T isso não ocorrerá Por exemplo se ΔtT 1 ρ 037 ΔtT 05 ρ 061 ΔtT 025 ρ 078 ΔtT 010 ρ 090 Obviamente se extraímos uma amostra ao menos uma vez por constante de tempo haverá uma autocorrelação significativa presente nas observações Por exemplo a extração de uma amostra quatro vezes por constante de tempo ΔtT 025 resulta em uma autocorrelação de ρ 078 entre xt e xt1 Uma autocorrelação pequena como 025 entre observações sucessivas pode causar aumento substancial na taxa de alarme falso de um gráfico de controle esse aspecto é pois um problema importante a ser levado em conta na implementação de um gráfico de controle Podemos dar também uma demonstração empírica deste fenômeno A Figura 106 é um gráfico de 1000 observações sobre a característica da qualidade xt de um processo Um exame detido deste gráfico revela que o comportamento da variável é não aleatório no sentido de que um valor de xt que está acima da média a longo prazo cerca de 66 tende a ser seguido por outros valores acima da média enquanto um valor abaixo da média tende a ser seguido por outros valores análogos Este fato se reflete também na Figura 107 um diagrama de dispersão de xt a observação no instante t versus xt1 a observação no período imediatamente anterior Note que as observações se aglomeram em torno de uma linha reta com inclinação positiva Isto é uma observação relativamente baixa sobre x no instante t 1 tende a ser seguida por outro valor baixo no instante t ao passo que uma observação relativamente grande no instante t 1 tende a ser seguida por outro valor grande no instante t Este tipo de comportamento indica uma autocorrelação positiva nas observações FIGURA 106 Variável de um processo com autocorrelação FIGURA 107 Diagrama de dispersão de xt versus xt1 Podemos também medir analiticamente o nível de autocorrelação A autocorrelação ao longo de uma série de observações orientadas no tempo chamada série temporal é medida pela função de autocorrelação em que Covxt xtk é a covariância de observações separadas por k períodos de tempo e onde supusemos que as observações tenham variância constante dada por Vxt Em geral estimamos os valores de ρk com a função de autocorrelação amostral Como regra geral usualmente devemos calcular valores de rk para alguns valores de k k n4 Muitos pacotes computacionais para análise estatística de dados podem fazer esses cálculos A Figura 108 mostra a função de autocorrelação amostral para os dados da Figura 106 Essa função de autocorrelação amostral foi construída com auxílio do Minitab As linhas tracejadas no gráfico são os limites de dois desviospadrão para o parâmetro de autocorrelação ρk de defasagem lag k Elas são úteis para se detectarem autocorrelações diferentes de zero com efeito se uma autocorrelação amostral excede seu limite de dois desviospadrão o parâmetro de autocorrelação correspondente ρk é provavelmente diferente de zero Note que a autocorrelação de lag 1 é r1 07 É certamente um valor bastante grande para causar séria distorção no desempenho do gráfico de controle A Figura 109 apresenta gráficos de controle para os dados da Figura 106 construídos pelo Minitab Note que tanto o gráfico das observações individuais quanto o MMEP exibem muitos pontos fora de controle Com base em nossa discussão anterior sabemos que uma amostragem menos frequente pode interromper a autocorrelação nos dados do processo A título de ilustração consideremos a Figura 1010a que é um gráfico de cada 10a observação proveniente da Figura 106 A função de autocorrelação amostral mostrada na Figura 1010b indica que há muito pouca autocorrelação em uma defasagem baixa Os gráficos de controle na Figura 1011 indicam que o processo agora é essencialmente estável É claro então que uma abordagem para lidarmos com a autocorrelação consiste simplesmente na extração de amostras do fluxo de dados do processo menos frequentemente Embora esta pareça uma solução fácil uma reconsideração mostra que tem algumas desvantagens Por exemplo estamos utilizando de maneira muito pouco eficiente os dados disponíveis Literalmente no exemplo anterior estamos desprezando 90 da informação Também como estamos utilizando apenas cada 10a observação pode ser necessário muito mais tempo para detectarmos uma variação real do processo do que se utilizássemos todos os dados FIGURA 108 Função de autocorrelação amostral para os dados da Figura 106 FIGURA 109 Gráficos de controle Minitab para os dados da Figura 106 FIGURA 1010 Gráfico de cada 10a observação da Figura 106 1042 FIGURA 1011 Gráficos de controle Minitab para os dados da Figura 1010a É claro que se torna necessária uma abordagem melhor Nas duas próximas seções apresentamos várias abordagens para monitorar dados autocorrelacionados de um processo Abordagens Baseadas em Modelos Modelos de Séries Temporais Uma abordagem que se tem revelado útil quando lidamos com dados autocorrelacionados consiste em se modelar diretamente a estrutura correlacional com um modelo de série temporal apropriado usar esse modelo para remover a autocorrelação dos dados e aplicar gráficos de controle aos resíduos Suponha por exemplo que possamos modelar a característica da qualidade xt como em que ξ e ϕ 1 ϕ 1 são constantes desconhecidas e os εt são independente e normalmente distribuídos com média zero e desviopadrão σ Note quão intuitivo este modelo é pelo exame das Figuras 106 107 e 108 A equação 1011 é chamada de modelo autorregressivo de primeira ordem as observações xt de tal modelo têm média ξ1 ϕ desvio padrão σ1 ϕ212 e as observações que distam k períodos uma da outra xt e xtk têm coeficiente de correlação ϕk Isto é a função de autocorrelação deve decair exponencialmente tal como ocorreu com a função de autocorrelação amostral na Figura 108 Suponhamos que seja uma estimativa de ϕ obtida da análise de dados amostrais extraídos do processo e que t seja o valor ajustado de xt Então os resíduos et xt t são aproximadamente normais e independentes com média zero e variância constante Podemos então aplicar gráficos de controle convencionais à sequência de resíduos Pontos fora de controle ou padrões estranhos nesses gráficos indicam que o parâmetro ϕ ou ξ se modificou o que implica que a variável original xt estava fora de controle Para detalhes de identificação e ajuste de modelos de séries temporais consulte Montgomery Johnson e Gardiner 1990 Montgomery Jennings e Kulahci 2008 e Box Jenkins e Reinsel 1994 EXEMPLO 102 Gráfico de Controle para Resíduos A Figura 1012 apresenta um gráfico de controle de observações individuais aplicado a medidas de viscosidade de um processo químico feitas a cada hora Note que muitos pontos estão fora dos limites de controle nesse gráfico Em virtude da natureza do processo de produção e da aparência visual das medidas de viscosidade na Figura 1012 que parecem flutuar ou vaguear lentamente ao longo do tempo provavelmente suspeitaríamos que a viscosidade é autocorrelacionada Estabeleça um gráfico de controle para os resíduos a partir de uma série temporal apropriada a esse processo FIGURA 1012 Gráfico de controle para observações individuais aplicado à viscosidade SOLUÇÃO A Figura 1013 mostra a função de autocorrelação amostral para os dados da viscosidade Note que há forte correlação positiva na defasagem 1 isto é observações que distam um período são correlacionadas positivamente com r1 088 Este nível de autocorrelação é suficientemente alto para causar grande distorção no desempenho de um gráfico de controle de Shewhart Em particular como sabemos que a correlação positiva aumenta grandemente a frequência de alarmes falsos deveríamos suspeitar dos sinais de fora de controle no gráfico de controle da Figura 1012 Com base no comportamento da função de autocorrelação amostral parece lógico usarmos o modelo autorregressivo de primeira ordem para descrever esse processo Os parâmetros na equação 1011 do modelo autorregressivo podem ser estimados pelo método dos mínimos quadrados isto é escolhendose os valores de ξ e ϕ que minimizem a soma dos quadrados dos erros εt Muitos pacotes estatísticos têm rotinas para ajustar esses modelos de séries temporais O valor ajustado deste modelo para os dados de viscosidade é xt 1304 0847xt1 Podemos encarar isso como uma alternativa para o modelo de Shewhart para esse processo FIGURA 1013 Função de autocorrelação amostral para os dados de viscosidade A Figura 1014 é um gráfico de controle de medidas individuais dos resíduos do modelo autorregressivo de primeira ordem ajustado Note que agora não há pontos fora dos limites de controle embora em torno do período 90 dois pontos estejam próximos do limite superior de controle Em contraste com o gráfico das observações individuais da Figura 1012 podemos concluir que este processo apresenta uma condição razoável de controle estatístico FIGURA 1014 Gráfico de controle para observações individuais aplicado aos resíduos do modelo xt 1304 0847xt1 Outros Modelos de Séries Temporais O modelo autorregressivo de primeira ordem usado no exemplo da viscosidade equação 1011 não é o único modelo possível para dados orientados no tempo que exibam estrutura correlacional Uma extensão óbvia para a equação 1011 é que é um modelo autorregressivo de segunda ordem Em geral em modelos do tipo autorregressivo a variável xt depende diretamente das observações prévias xt1 xt2 etc Outra possibilidade consiste em se modelar a dependência através da componente aleatória εt Uma forma simples de se fazer isso é Esse modelo é chamado de modelo de médias móveis de primeira ordem Nesse modelo a correlação entre xt e xt 1 é ρ1 θ1 θ2 e é zero em todas as outras defasagens Assim a estrutura correlacional em xt se prolonga para trás apenas um período de tempo Às vezes podem ser úteis as combinações de termos autorregressivos e de médias móveis Eis um modelo misto de primeira ordem Esse modelo ocorre frequentemente em indústrias químicas e de processamento A razão é que se a variável de processo subjacente xt for autorregressiva de primeira ordem e se acrescentamos a xt um componente aleatório de erro o resultado será o modelo misto dado pela equação 1014 Nas indústrias químicas e de processamento o comportamento de processo autorregressivo de primeira ordem é assaz comum Além disso a característica da qualidade em geral é medida em um laboratório ou por um instrumento online que apresenta erro de medição que podemos usualmente encarar como aleatório ou não correlacionado A medida reportada ou observada consiste então em um componente autorregressivo mais uma variação aleatória por isso tornase necessário o modelo misto da equação 1014 como modelo do processo Encontramos também o modelo integrado de média móvel de primeira ordem em algumas aplicações Enquanto os modelos anteriores são usados para a descrição de um comportamento estacionário isto é xt flutua em torno de uma média fixa o modelo da equação 1015 descreve um comportamento não estacionário a variável xt vagueia como se não houvesse um valor fixo para a média do processo Esse modelo surge frequentemente em instalações químicas e de processamento quando xt for uma saída não controlada do processo isto é quando nenhuma ação de controle for exercida para manter a variável próxima do valoralvo Os modelos que discutimos nas equações 1011 a 1015 são membros de uma classe de modelos de séries temporais chamados de modelos autorregressivos integrados de média móvel ARIMA de autoregressive integrated moving average Montgomery Johnson e Gardiner 1990 Montgomery Jennings e Kulahci 2008 e Box Jenkins e Reinsel 1994 estudam detalhadamente tais modelos Embora esses modelos pareçam muito diferentes do modelo de Shewhart equação 109 eles são na verdade relativamente semelhantes e incluem o modelo de Shewhart como caso especial Note que fazendose ϕ 0 na equação 1011 resulta o modelo de Shewhart Analogamente fazendose θ 0 na equação 1013 resulta o modelo de Shewhart Um Procedimento MMEP Aproximado para Dados Correlacionados A abordagem por modelagem de séries temporais ilustrada no exemplo da viscosidade pode parecer estranha na prática Tipicamente aplicamos os gráficos de controle a diversas variáveis do processo e a construção de um modelo de série temporal explícito para cada variável de interesse exige potencialmente muito tempo Alguns autores desenvolveram a construção de modelos automáticos de séries temporais para atenuar em parte esta dificuldade Veja Yourstone e Montgomery 1989 e as referências ali contidas Entretanto a menos que o próprio modelo de série temporal tenha valor intrínseco para explicar a dinâmica do processo como ocorre às vezes esta abordagem frequentemente exige maior esforço do que se possa justificar na prática Montgomery e Mastrangelo 1991 sugeriram um procedimento aproximado baseado na MMEP utilizando o fato de que a MMEP pode ser usada em certas situações em que os dados são autocorrelacionados Suponhamos que o processo possa ser modelado pelo modelo integrado de médias móveis da equação 1015 Podese mostrar facilmente que a MMEP com λ 1 θ é a predição ótima um passo à frente para este processo Isto é se t1t é a predição para a observação no período t 1 feita no fim do período t então t1t zt em que zt λxt 1 λzt1 é a MMEP A sequência dos erros de predição um passo à frente é independente e identicamente distribuída com média zero Podemos pois aplicar gráficos de controle a esses erros de predição um passo à frente O parâmetro λ ou equivalentemente θ seria obtido minimizandose a soma dos quadrados dos erros et Suponhamos agora que o processo não seja modelado exatamente pela equação 1015 Em geral se as observações do processo forem positivamente autocorrelacionadas e se a média do processo não oscilar muito rapidamente a MMEP com um valor apropriado para λ dará um excelente preditor um passo à frente O campo da predição e da análise de séries temporais tem utilizado este resultado por muitos anos para exemplos veja Montgomery Jennings e Kulahci 2008 Consequentemente é de se esperar que muitos processos que obedecem a uma dinâmica de primeira ordem isto é que seguem uma oscilação lenta sejam bem representados pelo MMEP Consequentemente sob as condições que acabamos de descrever podemos utilizar o MMEP como base de um procedimento estatístico de monitoramento de um processo que é uma aproximação da abordagem do modelo exato de uma série temporal O procedimento consistiria na plotagem de erros de predição MMEP ou resíduos do modelo um passo à frente em um gráfico de controle Tal gráfico poderia ser acompanhado por um gráfico sequencial das observações originais às quais se superpõe a predição MMEP Nossa experiência indica que ambos os gráficos em geral são necessários pois o pessoal de operação acha que nem sempre um gráfico de controle dos resíduos constitui uma estrutura direta de referência ao processo O gráfico sequencial das observações originais permite uma visualização da dinâmica do processo FIGURA 1015 Soma de quadrados dos resíduos versus λ A Figura 1015 é um gráfico da soma dos quadrados dos erros de predição MMEP versus λ para os dados de viscosidade O mínimo do quadrado do erro de predição ocorre em λ 0825 A Figura 1016 apresenta um gráfico de controle de medidas individuais aplicado aos erros de predição MMEP Este gráfico é ligeiramente embora não significativamente diferente do gráfico de controle dos resíduos do modelo autorregressivo exato apresentado na Figura 1014 Ambos indicam um processo que é relativamente estável com um período em torno de t 90 onde pode estar presente uma causa atribuível Montgomery e Mastrangelo 1991 salientam que é possível combinar em um único gráfico de controle informações sobre o estado do controle estatístico e a dinâmica de um processo Suponha que os erros de predição um passo à frente ou resíduos do modelo et sejam distribuídos normalmente Então os limites de controle três sigmas usuais no gráfico de controle sobre esses erros satisfazem a seguinte afirmação probabilística P3σ et 3σ 09973 em que σ é o desviopadrão dos erros ou resíduos et Podemos reescrever a expressão como P3σ xt tt1 3σ 09973 ou A equação 1017 sugere que se a MMEP for um preditor um passo à frente adequado então poderemos utilizar zt como a linha central em um gráfico de controle para o período t 1 com limites superior e inferior de controle dados por e e a observação xt 1 seria comparada com esses limites para o teste do controle estatístico Podemos encarar isso como um gráfico de controle MMEP com linha central móvel Conforme mencionamos anteriormente em muitos casos isso seria preferível do ponto de vista da interpretação a um gráfico de controle de resíduos e um gráfico separado MMEP pois combina informações sobre a dinâmica do processo e sobre o controle estatístico em um único gráfico A Figura 1017 é o gráfico de controle MMEP com linha central móvel para os dados sobre viscosidade com λ 0825 Fornece a mesma informação sobre o controle estatístico que o gráfico de controle de erros de predição MMEP da Figura 1016 mas o pessoal da operação costuma sentirse mais à vontade com esta apresentação Estimação e Monitoramento de σ O desviopadrão σ dos erros de predição um passo à frente ou resíduos do modelo pode ser estimado de várias maneiras Se λ for escolhido conforme sugerido anteriormente sobre um registro de n observações então dividindose por n a soma dos quadrados dos erros de predição para o valor ótimo λ obtivemos uma estimativa de σ2 Este é o método utilizado em muitos programas computacionais de análise de séries temporais Outra abordagem consiste no cálculo de uma estimativa de σ como se faz tipicamente em sistemas de predição Podese usar então o desvio médio absoluto DMA que é calculado aplicandose uma MMEP ao valor absoluto do erro de predição FIGURA 1016 Erros de predição MMEP com λ 0825 e limites de Shewhart FIGURA 1017 Gráfico de controle MMEP com linha central móvel aplicado aos dados de viscosidade λ 0825 Δt αet 1αΔt1 0 α 1 Como o DMA de uma distribuição normal está relacionado com o desviopadrão por σ 125Δ veja Montgomery Johnson e Gardiner 1990 podemos estimar o desviopadrão dos erros de predição no instante t por Outra abordagem consiste em se calcular diretamente uma variância suavizada MacGregor e Harris 1993 discutem o uso de estimativas da variância móvel ponderada exponencialmente para monitorar a variabilidade de um processo e mostram como achar limites de controle para essas grandezas tanto para dados correlacionados quanto não correlacionados Sensitividade de Gráficos de Controle de Resíduos Vários autores têm salientado que os gráficos de controle de resíduos não são sensíveis a pequenas mudanças do processo veja Wardell Moskowitz e Plante 1994 Para melhorar a sensitividade recomendamos o uso de gráficos de controle CUSUM ou MMEP dos resíduos em lugar de gráficos de Shewhart Tseng e Adams 1994 notam que como MMEP não é um esquema ótimo de predição para a maioria dos processos exceto o modelo na equação 1015 não levará em conta de modo completo a autocorrelação e isso pode afetar o desempenho estatístico dos gráficos de controle baseados em resíduos ou erros de predição MMEP Montgomery e Mastrangelo 1991 sugerem o uso de procedimentos suplementares chamados de rastreamento de sinais combinados com o gráfico de controle dos resíduos Há evidência de que esses procedimentos suplementares reforçam consideravelmente o desempenho de gráficos de controle dos resíduos Além disso Mastrangelo e Montgomery 1995 mostram que se um esquema apropriado de rastreamento de sinais for combinado com o procedimento baseado na MMEP que descrevemos poderemos obter um bom desempenho sob controle e uma detecção adequada de mudanças Outros Gráficos de Controle MMEP para Dados Autocorrelacionados Lu e Reynolds 1999a apresentam um estudo detalhado da aplicação do gráfico de controle MMEP ao monitoramento da média de um processo autocorrelacionado Eles consideram o processo como modelado por um processo autorregressivo de primeira ordem com ruído branco acrescentado erros não correlacionados Isto é equivalente ao modelo misto de primeira ordem na equação 1013 Os autores fornecem meios para a elaboração de gráficos de controle MMEP para monitoramento direto da variável do processo que dá um valor CMS sob controle de CMS0 370 Apresentam também um extenso estudo tanto do 1 2 3 MMEP aplicado diretamente aos dados quanto do MMEP dos resíduos Alguns de seus resultados podem ser sintetizados como se segue Quando há autocorrelação significativa nos dados do processo e esta autocorrelação é parte inerente ao processo não devemos utilizar os métodos tradicionais de estimação de parâmetros do processo e de construção de gráficos de controle Em lugar disso devemos modelar a autocorrelação de modo que possamos construir gráficos de controle confiáveis Devese usar um grande conjunto de dados no processo de ajuste de um modelo para as observações do processo e estimativa dos parâmetros desse modelo Se um gráfico de controle deve ser construído utilizandose um conjunto pequeno de dados então os sinais desse gráfico devem ser interpretados com cautela e o processo de ajuste do modelo e estimação dos parâmetros deve ser repetido tão logo se disponha de dados adicionais Isto é os limites de controle para o gráfico são relativamente sensíveis a estimativas fracas dos parâmetros do processo Para níveis de correlação baixos a moderados um gráfico de Shewhart das observações será muito melhor para detectar uma mudança na média do processo do que um gráfico de Shewhart dos resíduos A menos que o interesse resida apenas na detecção de grandes mudanças um gráfico MMEP será melhor do que um gráfico de Shewhart Um gráfico MMEP dos resíduos será melhor do que um gráfico MMEP das observações para grandes mudanças e o MMEP das observações será um pouco melhor para pequenas mudanças Em artigo subsequente Lu e Reynolds 1999b apresentam gráficos de controle para o monitoramento tanto da média quanto da variância de dados de processo autocorrelacionados Estudamse ali vários tipos de gráficos de controle e respectivas combinações Alguns deles são gráficos de controle das observações originais com limites de controle que são ajustados para se levar em conta a autocorrelação e outros são gráficos de controle de resíduos provenientes de um modelo de série temporal Embora não haja combinação que se apresente como a melhor de modo geral um gráfico de controle MMEP das observações e um gráfico de Shewhart dos resíduos constituem uma boa combinação para muitas situações práticas Conheça Seu Processo Quando se observa uma autocorrelação devemos estar certos de que ela é realmente parte inerente ao processo e não o resultado de alguma causa atribuível Consideremos por exemplo os dados na Figura 1018a cuja função de autocorrelação amostral é apresentada na Figura 1018b A função de autocorrelação amostral indica claramente uma autocorrelação positiva nos dados Uma inspeção mais detida dos dados entretanto revela que pode ter havido uma causa atribuível em volta do tempo t 50 que resultou em uma mudança da média de 100 para cerca de 105 e outra mudança pode ter ocorrido em torno do tempo t 100 resultando em uma variação na média para cerca de 95 Quando essas mudanças potenciais são levadas em conta a autocorrelação aparente pode desaparecer Por exemplo a Figura 1019 apresenta as funções de autocorrelação amostral para as observações x1x50 x51x100 e x101x150 Não há evidência de autocorrelação em nenhum dos três grupos de dados Por conseguinte a autocorrelação nos dados originais é provavelmente decorrente de causas atribuíveis e não de uma característica inerente ao processo FIGURA 1018 Dados com autocorrelação positiva aparente 1043 FIGURA 1019 Função de autocorrelação amostral depois da remoção das mudanças do processo Uma Abordagem Livre de Modelo O Gráfico de Controle de Médias de Lotes Runger e Willemain 1996 propuseram um gráfico de controle baseado em médias não ponderadas de lotes para monitorar dados autocorrelacionados de um processo A abordagem pelas médias de lotes tem sido extensivamente utilizada na análise da saída de um modelo de simulação por computador outra área em que ocorrem com frequência dados altamente correlacionados O gráfico de controle de médias não ponderadas de lotes MNPL particiona grupos sucessivos de observações sequenciais em lotes com pesos iguais atribuídos a cada ponto no lote Seja a jésima média não ponderada de um lote A importante implicação da equação 1021 é que embora tenhamos de determinar um tamanho apropriado b de lote não é necessária a construção de um modelo ARIMA dos dados Essa abordagem é bastante padrão na análise de saída de simulações que também enfoca a inferência para longas séries temporais com elevada autocorrelação Runger e Willemain 1996 mostraram que as médias de lotes podem ser plotadas e analisadas em um gráfico de controle usual de medidas individuais Diferentemente dos gráficos de resíduos os gráficos MNPL conservam a simplicidade básica de tomar a média de observações para formar um ponto em um gráfico de controle Com MNPLs o procedimento de tomar médias é usado para diluir a autocorrelação dos dados Pesquisadores da área de simulação elaboraram procedimentos para se determinar o tamanho adequado de um lote Esses procedimentos são empíricos e não dependem nem da identificação e nem da estimação de um modelo de série temporal Naturalmente um modelo de série temporal pode orientarnos na escolha do tamanho do lote e também fornecer uma melhor compreensão analítica Runger e Willemain 1996 fizeram uma análise detalhada de tamanhos de lotes para modelos AR1 recomendando que o tamanho do lote seja escolhido de modo a reduzir para aproximadamente 010 a autocorrelação na defasagem 1 das médias dos lotes Sugerem começarmos com b 1 e duplicarmos b até que a autocorrelação na defasagem 1 das médias dos lotes seja suficientemente pequena Isso se compara à lógica do gráfico de Shewhart no sentido de que maiores lotes são mais eficientes para se detectarem pequenas mudanças pequenos lotes reagem mais rapidamente a maiores mudanças EXEMPLO 103 Um Gráfico de Controle de Médias de Lotes Construa um gráfico de controle das médias de lotes usando os dados na Figura 106 SOLUÇÃO Na Figura 1020a damos um gráfico de médias de lotes calculadas com b 10 A função de autocorrelação amostral na Figura 1020b indica que a autocorrelação foi reduzida drasticamente pela abordagem das médias de lotes A Figura 1021 mostra os gráficos de controle para as médias de lotes A indicação geral é de que o processo é estável FIGURA 1020 O procedimento de médias de lotes aplicado aos dados da Figura 106 FIGURA 1021 Gráficos de controle de médias de lotes O procedimento das médias de lotes é extremamente útil quando os dados se tornam disponíveis com muita frequência Em muitas instalações químicas e de processamento alguns dados do processo são observados com intervalos de uns poucos segundos Obviamente as médias de lotes têm grande aplicação potencial nessas situações Note também que as médias de lotes não são as mesmas que as obtidas com uma amostragem periódica do processo porque o processo de médias utiliza informações de todas as observações no lote Sumário A Figura 1022 apresenta algumas diretrizes para a utilização de gráficos de controle univariados para monitoramento de processos com dados tanto correlacionados quanto não correlacionados O ramo de dados correlacionados do fluxograma supõe que o tamanho da amostra seja n 1 Note que uma das opções no ramo de dados autocorrelacionados do fluxograma é uma sugestão de eliminação da autocorrelação utilizandose um controlador de engenharia Esta opção se apresenta frequentemente nas indústrias de processamento onde a saída monitorada pode estar relacionada com uma variável de entrada manipulável e fazendose uma série de ajustes nessa variável de entrada podemos manter a saída consistentemente próxima de um alvo desejado Esses ajustes costumam ser feitos por algum tipo 105 de sistema de controle de engenharia do processo No Capítulo 12 discutiremos rapidamente esses tipos de controladores Nos casos em que eles podem ser utilizados com sucesso o efeito de se manter a saída no alvo desejado costuma ser o de eliminar ou reduzir grandemente a autocorrelação na saída A Figura 1023 resume algumas situações em que diversos procedimentos podem ser úteis para o monitoramento de um processo No eixo esquerdo vemos que na medida em que o intervalo entre amostras aumenta o gráfico de controle de Shewhart se torna uma escolha adequada porque o maior intervalo amostral usualmente anula os efeitos da autocorrelação Na medida em que o intervalo entre amostras diminui a autocorrelação desempenha papel cada vez mais importante o que nos leva às abordagens ARIMA ou MMEP No eixo direito vemos que na medida em que o custo de ajuste do processo aumenta somos levados ao gráfico de Shewhart para monitoramento do processo Por outro lado se o custo do ajuste é baixo somos levados a algum tipo de sistema de controle de engenharia do processo que discutiremos na próxima seção Finalmente no eixo vertical vêse que na medida em que a variabilidade decorrente de causas aleatórias ou ruído domina qualquer movimento na média o gráfico de Shewhart se torna mais apropriado Todavia se o movimento na média for grande em relação ao ruído aleatório seremos levados mais uma vez a procedimentos do tipo ARIMA ou MMEP ou a um controlador de engenharia FIGURA 1022 Algumas diretrizes para seleção de gráficos de controle univariados FIGURA 1023 Situações em que vários tipos de gráficos de controle são úteis Procedimentos de Amostragem Adaptativa As técnicas de CEP tradicionais em geral utilizam amostras de tamanho fixo extraídas com um intervalo amostral fixo Na prática entretanto não é raro fazermos esses parâmetros variarem eventualmente Por exemplo se a média amostral i está suficientemente próxima do limite superior de controle digamos em um gráfico o analista do gráfico pode decidir tomar a próxima amostra mais cedo do que o faria normalmente porque a localização de i no gráfico poderia ser uma indicação de um problema potencial no processo Na realidade alguns profissionais utilizam rotineiramente os limites de alerta desta maneira Um gráfico de controle em que ou o intervalo amostral ou o tamanho da amostra ou ambos podem ser mudados dependendo do valor da estatística amostral é chamado de procedimento de CEP adaptativo O estudo formal desses procedimentos é assaz recente Por exemplo consulte Reynolds et al 1988 e Runger e Pignatiello 1991 que estudaram a estratégia do intervalo amostral variável aplicado ao gráfico e Prabhu Montgomery e Runger 1994 que avaliaram o desempenho de um procedimento adaptativo combinado para o gráfico em que tanto o intervalo amostral como o tamanho da amostra dependem do valor corrente da média amostral Esses artigos contêm muitas outras referências úteis sobre o assunto A abordagem geral usada por esses autores consiste em dividir em zonas a região entre os limites superior e inferior de controle de modo que LIC w LC w LSC Se a estatística amostral se situa entre w e w então utilizase para a próxima amostra o intervalo amostral padrão e possivelmente o tamanho da amostra Todavia se w i LSC ou se LIC i w então para a próxima amostra tomase um intervalo amostral menor e possivelmente um tamanho maior de amostra Podese mostrar que esses procedimentos melhoram grandemente o desempenho de um gráfico de controle pelo fato de reduzirem o tempo médio para alerta TMA particularmente para pequenas mudanças no processo quando comparados com um gráfico de controle ordinário não adaptativo com um tamanho amostral e um intervalo amostral iguais à média daquelas grandezas para o gráfico adaptativo quando o processo está sob controle Prabhu Montgomery e Runger 1995 elaboraram um programa em FORTRAN para calcular o TMA para várias versões adaptativas do gráfico EXEMPLO 104 Um Gráfico de Controle x com Intervalo de Amostragem Variável Um engenheiro está monitorando um processo com um gráfico utilizando o tamanho amostral de cinco com amostras extraídas a cada hora O engenheiro tem interesse em detectar uma mudança de um desviopadrão na média É fácil mostrarse que o comprimento médio da sequência para detecção desta mudança é de 45 amostras Portanto se as amostras forem extraídas a cada hora serão necessárias cerca de 45 horas para se detectar esta mudança em média Podemos melhorar este desempenho com um gráfico de controle adaptativo SOLUÇÃO Suponha que tentemos melhorar o desempenho com um gráfico de controle adaptativo Ainda desejamos manter em n 5 o tamanho da amostra mas o tempo entre as amostras pode ser variável Suponha que o tempo mais breve entre amostras permissível seja de 025 h de modo a se ter tempo para construção e análise do gráfico mas que queiramos que o tempo médio entre amostras quando o processo está sob controle seja ainda de uma hora Podese mostrar então veja Prabhu Montgomery e Runger 1994 Tabela 7 que se fixarmos o limite de alerta w 0 67 e escolhermos os tempos mais breve e mais longo entre amostras como t1 025 h e t2 175 h respectivamente o tempo médio para alerta pode ser reduzido para 226 h Neste esquema se 067 067 o tempo até a próxima 106 1061 1062 amostra é de 175 h enquanto se a média amostral for 067 LSC 3 ou LIC 3 067 a próxima amostra é extraída a 025 h Este esquema adaptativo essencialmente reduz o TMA em 50 É possível fazermos ainda melhor desde que queiramos adaptar tanto o tamanho da amostra quanto o intervalo amostral Esse gráfico exige que plotemos um valor padronizado em que μ0 e σ0 são os valores de μ e σ sob controle e ni é o tamanho da iésima amostra Se quisermos que o tamanho amostral médio seja cinco e o intervalo médio entre amostras seja de 1 h quando o processo estiver sob controle mas ambos os parâmetros do gráfico possam ser variáveis teremos o que Prabhu Montgomery e Runger 1994 chamam de gráfico adaptativo combinado Se tomarmos n1 3 n2 8 t1 025 t2 150 e w 084 então o tempo médio para alerta para uma mudança de um desviopadrão na média é 172 h veja Prabhu Montgomery e Runger 1994 Tabela 7 Neste esquema se 084 zi 084 devemos tomar n1 3 e t2 150 h para a próxima amostra enquanto se 084 zi 3 ou se 3 zi 084 tomamos n2 8 e t1 025 para a próxima amostra Os procedimentos de amostragem adaptativa têm considerável potencial para aplicações desde que exista certa flexibilidade em relação à frequência e ao tamanho das amostras Caso só se possa adaptar um único parâmetro do gráfico em geral se obtém melhor desempenho fazendo variar o tamanho da amostra do que fazendo variar o intervalo amostral O Material Suplementar do Texto contém mais informações sobre métodos adaptativos de gráficos de controle Planejamento Econômico de Gráficos de Controle Planejando um Gráfico de Controle Os gráficos de controle são largamente utilizados para o estabelecimento e manutenção do controle estatístico de um processo Constituem também dispositivos eficientes para a estimação de parâmetros de um processo particularmente em estudos de sua capacidade A utilização de um gráfico de controle exige que o engenheiro ou analista escolha um tamanho de amostra uma frequência de amostragem ou intervalo entre amostras e os limites de controle para o gráfico A escolha desses três parâmetros é chamada em geral de planejamento do gráfico de controle Tradicionalmente os gráficos de controle têm sido planejados em relação apenas a critérios estatísticos Isso usualmente envolve a escolha do tamanho da amostra e dos limites de controle tais que o comprimento médio da sequência do gráfico para detectar determinada mudança na característica da qualidade e o comprimento médio da sequência do procedimento quando o processo está sob controle sejam iguais a valores especificados A frequência de amostragem raramente é tratada de forma analítica e usualmente é aconselhável que o analista leve em conta fatores como taxa de produção a frequência esperada de mudanças para um estado fora de controle e as consequências possíveis de tais mudanças do processo na escolha do intervalo amostral O uso de critérios estatísticos e da experiência prática tem levado em muitos casos a diretrizes gerais para o planejamento de gráficos de controle Muitas dessas diretrizes assim como a abordagem utilizada para desenvolvêlas foram discutidas em capítulos anteriores para tipos específicos de gráficos de controle O planejamento de um gráfico de controle tem consequências econômicas no sentido de que os custos de amostragem e de testes os custos associados à investigação de sinais de fora de controle e possivelmente à correção de causas atribuíveis e custos da chegada ao consumidor de unidades não conformes são todos afetados pela escolha dos parâmetros do gráfico de controle Portanto é lógico considerarmos o planejamento de um gráfico de controle sob um ponto de vista econômico Em anos recentes pesquisa considerável tem sido devotada a modelos econômicos de gráficos de controle Nesta seção apresentamos vários modelos para o planejamento econômico ótimo de gráficos de controle Serão também abordadas algumas implicações práticas desses modelos Características de um Processo A fim de formularmos um modelo econômico para o planejamento de um gráfico de controle é necessário que se façam certas suposições sobre o comportamento do processo As suposições resumidas a seguir são relativamente padronizadas 1063 uma vez que a maioria dos modelos econômicos as incorpora até certo ponto Em seções posteriores veremos como essas suposições são utilizadas para a construção de modelos específicos e discutiremos sua importância relativa Supõese que o processo seja caracterizado por um único estado sob controle Por exemplo se o processo tem uma única característica da qualidade mensurável então o estado sob controle corresponde à média dessa característica da qualidade quando não há quaisquer causas atribuíveis presentes Analogamente quando a característica da qualidade é um atributo o estado sob controle será representado pela fração de não conformes digamos produzida pelo processo quando não estão presentes quaisquer causas atribuíveis O processo pode ter em geral s 1 estados fora de controle Cada um desses estados em geral está associado a um tipo particular de causa atribuível A determinação da natureza das transições entre os estados sob controle e fora de controle exige certas suposições É costume suporse que as causas atribuíveis ocorram durante um intervalo de tempo de acordo com um processo de Poisson Isso implica que a duração do tempo em que o processo permanece no estado sob controle dado que ele começa sob controle é uma variável aleatória exponencial Esta suposição permite uma simplificação considerável na elaboração de modelos econômicos e em algumas situações resulta em uma estrutura de modelo de cadeia de Markov A natureza em que as mudanças no processo ocorrem é chamada às vezes de mecanismo de falha do processo Esta suposição pode ser bastante crítica Notamos também que a suposição de estados discretos e a natureza do mecanismo de falha implicam que as transições do processo entre estados sejam instantâneas Processos que se desviam lentamente de um estado sob controle como por exemplo no caso de desgaste de uma ferramenta não têm recebido muita atenção analítica Supõese também que o processo não seja autocorretivo Isto é uma vez ocorrida uma transição para um estado fora de controle o processo pode voltar a uma condição sob controle somente por intervenção gerencial em seguida a um sinal apropriado de fora de controle no gráfico de controle Em alguns casos entretanto admitemse transições entre diferentes estados fora de controle desde que as transições sejam sempre consistentes com uma posterior deterioração da qualidade Parâmetros de Custo É costume levaremse em conta três categorias de custos no planejamento econômico de gráficos de controle os custos de amostragem e de teste os custos associados à investigação de um sinal de fora de controle e ao reparo ou correção de causas atribuíveis encontradas e os custos associados à produção de itens não conformes Os custos de amostragem e de teste incluem as despesas imediatas de salários de inspetores e técnicos custos de qualquer equipamento de teste necessário e no caso de teste destrutivo os custos unitários dos itens submetidos à amostragem Em geral admitese que o custo de amostragem e de teste consista em componentes fixos e variáveis digamos a1 e a2 respectivamente e que o custo total de amostragem e teste seja a1 a2n Em virtude da dificuldade de obtenção e avaliação de informações sobre custos não se recomenda o uso de relações mais complexas Os custos de investigação e possivelmente da correção do processo após um sinal de fora de controle têm sido tratados de diversas maneiras Alguns autores sugerem que o custo da investigação de alarmes falsos é diferente do custo da correção de causas atribuíveis consequentemente essas duas situações podem ser representadas no modelo por diferentes coeficientes de custo Além disso os custos de reparo ou correção do processo podem depender do tipo de causa atribuível presente Assim em modelos com s estados fora de controle podem ser necessários s 1 coeficientes de custo para modelagem dos procedimentos de busca e ajuste associados a sinais de fora de controle Em geral esses coeficientes de custo são escolhidos de modo que maiores mudanças no processo acarretem maiores custos de reparo ou ajuste Outros autores têm argumentado que tal nível de detalhe de modelagem é desnecessário porque em muitos casos pequenas mudanças são de difícil descoberta mas de fácil correção enquanto as grandes mudanças são de fácil descoberta mas de difícil correção Logo não se perde muita precisão utilizandose um único coeficiente de custo para representar os custos médios de investigação e eventual correção de sinais de fora de controle Os custos associados à produção de itens não conformes consistem em custos típicos de falha isto é os custos de retrabalho e sucata para falhas internas ou custos de substituição ou reparo cobertos por garantias no caso de falhas externas Com falhas externas pode haver também efeitos secundários decorrentes da produção de itens não conformes se a insatisfação do cliente ocasionar uma alteração em compras futuras do produto ou de outros produtos fabricados pela companhia Finalmente pode haver perdas resultantes de alegações de responsabilidade contra a companhia A maioria 1064 dos autores modela esses custos com um único coeficiente médio de custo expresso seja por unidade de tempo ou em uma base por item Os modelos econômicos costumam ser formulados com a utilização de uma função de custo total que expressa as relações entre os parâmetros de planejamento do gráfico de controle e os três tipos de custo discutidos anteriormente O processo de produção monitoramento e ajuste pode ser encarado como uma série de ciclos independentes ao longo do tempo Cada ciclo começa com o processo de produção no estado sob controle e prossegue até que o monitoramento do processo via gráfico de controle resulte em um sinal de fora de controle Em seguida a um ajuste em que o processo volta ao estado sob controle começa um novo ciclo Seja ET o comprimento esperado isto é o comprimento médio a longo prazo ou comprimento médio de um ciclo e seja EC o custo total esperado incorrido durante um ciclo Então o custo esperado por unidade de tempo é Aplicamse então técnicas de otimização à equação 1022 para se determinar o planejamento do gráfico de controle economicamente ótimo Têm surgido na literatura pequenas variações da Equação 1022 Por exemplo alguns autores optaram por substituir ET na equação 1022 pelo número esperado de unidades produzidas durante o ciclo o que equivale a expressar o custo esperado em uma base por item e não em base de tempo unitário Em outros estudos usase uma definição algo diferente de ciclo conforme o processo seja interrompido ou continue em operação enquanto se investigam sinais de fora de controle A estrutura geral do modelo na equação 1022 tem uma aparência perturbadora Note que C e T são variáveis aleatórias dependentes não obstante representamos o valor esperado de sua razão EA pela razão ECET de suas esperanças Ora sabese que o valor esperado de uma razão não é igual à razão dos valores esperados mesmo para variáveis aleatórias independentes justificandose assim uma explanação adicional da estrutura da equação 1022 A sequência produçãomonitoramentoajuste com acumulação de custos ao longo do ciclo pode ser representada por um tipo particular de processo estocástico chamado de processo de ganho de renovação Os processos estocásticos desse tipo apresentam a propriedade de seu custo médio ao longo do tempo ser dado pela razão do ganho esperado por ciclo pelo comprimento esperado do ciclo conforme mostra a equação 1022 Trabalho Inicial e Planejamentos Semieconômicos Um artigo fundamental na área de modelagem de custos de sistemas de controle da qualidade foi publicado por Girshick e Rubin 1952 Eles consideram um modelo de processo em que uma máquina que produz artigos caracterizados por uma característica de qualidade mensurável x pode estar em um de quatro estados Os estados 1 e 2 são estados de produção e no estado i a característica da qualidade de saída é descrita pela função densidade de probabilidade fix i 1 2 O estado 1 é o estado sob controle Enquanto no estado 1 há uma probabilidade constante de uma mudança para o estado 2 O processo não é autocorretivo fazse necessário um reparo para que o processo volte ao estado 1 Os estados j 3 e j 4 são estados de reparo se admitimos que a máquina estava anteriormente no estado j 2 No estado j 3 4 são necessárias nj unidades de tempo para reparo em que se define uma unidade de tempo como o tempo para se produzir uma unidade do produto Girshick e Rubin abordam regras de inspeção não só 100 como periódica O critério econômico consiste em maximizar a renda esperada do processo As regras de controle ótimo são difíceis de serem deduzidas pois dependem da solução de equações integrais complexas Consequentemente o emprego do modelo na prática tem sido muito limitado Embora de pouca ou nenhuma aplicação prática o trabalho de Girshick e Rubin tem valor teórico significativo Eles foram os primeiros pesquisadores a propor o critério do custo esperado ou renda por unidade de tempo equação 1022 e mostram rigorosamente sua adequação a este problema O uso por analistas posteriores deste critério equação 1022 baseiase diretamente no desenvolvimento feito por Girshick e Rubin Outros pesquisadores investigaram formulações generalizadas do modelo de Girshick e Rubin inclusive Bather 1963 Ross 1971 Savage 1962 e White 1974 Novamente aqui seus resultados têm interesse essencialmente teórico pois não conduzem a regras de controle de processo de fácil implementação por profissionais O planejamento econômico de gráficos de controle de Shewhart convencionais foi investigado por vários pesquisadores A maior parte do trabalho pode ser classificada como procedimentos de planejamento semieconômico pelo fato de ou o modelo proposto não levar em conta todos os custos relevantes ou não aplicar técnicas formais de otimização à função 1065 custo Weiler 1952 sugeriu que para um gráfico o tamanho ótimo da amostra deve minimizar a quantidade total de inspeção exigida para se detectar uma mudança específica Se a mudança ocorrer de um estado sob controle μ0 para um estado fora de controle μ1 μ0 δσ então Weiler mostra que o tamanho amostral ótimo é quando limites de controle 309 sigmas são usados quando limites de controle 3 sigmas são usados quando limites de controle 258 sigmas são usados quando limites de controle 233 sigmas são usados Note que Weiler não considerou formalmente os custos a implicação é que a minimização da inspeção total minimizará o custo total Taylor 1965 mostrou que os procedimentos de controle baseados na extração de uma amostra de tamanho fixo a intervalos fixos de tempo não são ótimos Taylor sugere que o tamanho da amostra e a frequência de amostragem sejam determinados em cada ponto do tempo com base na probabilidade posterior de o processo estar em um estado fora de controle No desenvolvimento utilizamse extensamente métodos do tipo programação dinâmica Em um artigo subsequente Taylor 1967 deduz a regra de controle ótimo para um processo de dois estados com característica da qualidade distribuída normalmente Embora o trabalho de Taylor tenha indicado sua condição não ótima as regras de controle de tamanho amostral e intervalo de amostragem fixos são amplamente utilizadas na prática em virtude de sua simplicidade administrativa Consequentemente a maior parte dos pesquisadores concentrou sua atenção no planejamento econômico ótimo de tais procedimentos Um Modelo Econômico para o Gráfico de Controle Grande parte da pesquisa no desenvolvimento de modelos econômicos de gráficos de controle tem sido devotada ao gráfico O interesse dos analistas nesse gráfico de controle decorre diretamente de seu amplo uso na prática Nesta seção discutimos um dos modelos econômicos que tem sido amplamente estudado Em 1956 Duncan 1956 propôs um modelo econômico para o planejamento econômico ótimo do gráfico de controle Seu artigo foi o primeiro a lidar com um modelo totalmente econômico de um gráfico de controle do tipo Shewhart e a incorporar a metodologia formal de otimização na determinação dos parâmetros de um gráfico de controle O artigo de Duncan foi o estímulo para grande parte da pesquisa subsequente nesta área Duncan valeuse do trabalho anterior de Girshick e Rubin 1952 utilizando um critério de planejamento que maximizava a receita líquida esperada do processo por unidade de tempo Na elaboração do modelo de custo Duncan admite que o processo seja caracterizado por um estado sob controle μ0 e que uma única causa atribuível de magnitude δ que ocorre aleatoriamente resulte em uma mudança da média de μ0 para μ0 δσ ou μ0 δσ O processo é monitorado por um gráfico com linha central em μ0 e limites de controle superior e inferior dados por μ0 k Devemos extrair amostras a intervalos de h horas Quando um ponto ultrapassa os limites de controle iniciase uma busca pela causa atribuível Durante essa busca por causas atribuíveis deixase o processo continuar em operação Além disso supõese que o custo de ajuste ou de reparos se necessários não seja imputado contra a renda líquida do processo Supõemse conhecidos os parâmetros μ0 δ e σ mas n k e h devem ser determinados Supõese que a causa atribuível ocorra segundo um processo de Poisson com intensidade de λ ocorrências por hora Isto é admitindose que o processo comece em um estado sob controle o intervalo de tempo em que o processo permanece sob controle é uma variável aleatória exponencial com média 1λ h Portanto dada a ocorrência da causa atribuível entre a jésima e a j 1ésima amostras o tempo esperado de ocorrência dentro deste intervalo é Quando a causa atribuível ocorre a probabilidade de ela ser detectada em qualquer amostra subsequente é em que ϕz 2π12 expz22 é a densidade normal padrão A grandeza 1 β é o poder do teste e β é a probabilidade de um erro tipo II A probabilidade de um alarme falso é Um ciclo de produção é definido como o intervalo de tempo entre o início da produção admitese que o processo comece em um estado sob controle e o ajuste para detecção e eliminação da causa atribuível O ciclo consiste em quatro períodos 1 o período sob controle 2 o período fora de controle 3 o tempo para extração de uma amostra e interpretação dos resultados e 4 o tempo para se achar a causa atribuível O comprimento esperado do período sob controle é 1λ Observando que o número de amostras exigidas para se produzir um sinal de fora de controle quando o processo está efetivamente fora de controle é uma variável aleatória geométrica com média 11 β concluímos que o comprimento esperado do período fora de controle é h1 β τ O tempo exigido para a extração de uma amostra e interpretação dos resultados é uma constante g proporcional ao tamanho da amostra de modo que gn é o comprimento deste segmento do ciclo O tempo exigido para se achar a causa atribuível subsequente a um sinal de ação é uma constante D Portanto o comprimento esperado de um ciclo é A receita líquida por hora de operação no estado sob controle é V0 e a receita líquida por hora de operação no estado fora de controle é V1 Supõese que o custo de extração de uma amostra de tamanho n seja da forma a1 a2n isto é a1 e a2 representam respectivamente os componentes fixo e variável do custo de amostragem O número esperado de amostras extraídas durante um ciclo é o comprimento esperado do ciclo dividido pelo intervalo entre amostras ou ETh O custo da determinação de uma causa atribuível é a3 e o custo de investigação de um alarme falso é aʹ3 O número esperado de alarmes falsos gerados durante um ciclo é α vezes o número esperado de amostras extraídas antes da mudança ou Portanto a receita líquida esperada por ciclo é Obtivemos a receita líquida esperada por hora dividindo a receita líquida esperada por ciclo equação 1028 pelo comprimento esperado do ciclo equação 1026 o que tem como resultado Seja a4 V0 V1 isto é a4 representa o custo horário da penalidade associada à produção no estado fora de controle Então a equação 1029 pode ser reescrita como ou EA V0 EL em que A expressão EL representa a perda horária esperada incorrida pelo processo EL é uma função dos parâmetros n k e h do gráfico de controle É claro que a maximização da receita líquida horária esperada equivale à minimização de EL Duncan introduz várias aproximações para elaborar um procedimento de otimização para este modelo2 O procedimento de otimização sugerido se baseia na resolução de aproximações numéricas das primeiras derivadas parciais de EL em relação a n k e h Exigese um procedimento iterativo para resolver em relação aos valores ótimos de n e k Obtémse uma solução em forma fechada para h utilizandose os valores ótimos de n e k Vários autores têm contribuído com métodos de otimização para o modelo de Duncan Chiu e Wetherill 1974 elaboraram um procedimento aproximado simples para otimizar o modelo de Duncan que utiliza uma restrição sobre o poder do teste 1 β Os valores recomendados são 1 β 090 ou 1 β 095 Existem tabelas para gerar o planejamento ótimo sujeito a esta restrição Este procedimento produz em geral um planejamento próximo do verdadeiro ótimo Notamos também que EL pode ser facilmente minimizado com a utilização de uma técnica de otimização irrestrita ou de busca acoplada a um programa de computador para avaliações repetidas da função custo Esta é a abordagem mais usada para a otimização Montgomery 1982 fornece um algoritmo e um programa FORTRAN para otimização do modelo de Duncan EXEMPLO 105 Gráficos Economicamente Ótimos Um fabricante produz garrafas de vidro descartáveis para embalar um refrigerante A espessura da parede das garrafas é uma característica importante da qualidade Se a parede for muito fina a pressão interna durante o enchimento fará com que a garrafa se rompa O fabricante utilizou por algum tempo gráficos e R para supervisão do processo Esses gráficos de controle foram elaborados atendendo a critérios estatísticos Todavia a fim de reduzir custos o fabricante quer planejar um gráfico economicamente ótimo para o processo Analise a situação e estabeleça o gráfico de controle SOLUÇÃO Com base em uma análise dos salários dos técnicos em controle de qualidade e nos custos do equipamento de testes estimase que o custo fixo da extração de uma amostra seja de 1 A variável custo da amostragem é estimada em 010 por garrafa e a medida e o registro da espessura da parede de uma garrafa levam aproximadamente 1 min 00167 h O processo está sujeito a vários tipos diferentes de causas atribuíveis Entretanto em média quando o processo foge ao controle a magnitude da mudança é de dois desviospadrão aproximadamente As mudanças no processo ocorrem aleatoriamente com uma frequência de cerca de uma a cada 20 horas de operação Assim a distribuição exponencial com parâmetro λ 005 é um modelo razoável do comprimento da sequência sob controle O tempo médio exigido para se investigar um sinal de fora de controle é de 1 h O custo da investigação de um sinal de ação que resulte na eliminação de uma causa atribuível é de 25 enquanto o custo de investigação de um alarme falso é 50 As garrafas são vendidas a um engarrafador de refrigerantes Se as paredes forem muito finas as garrafas vão estourar ao serem cheias Quando isso ocorre a prática usual do engarrafador é cobrar do fabricante os custos da limpeza e da produção perdida Com base nessa prática o fabricante estima que o ônus da operação em condições fora de controle durante uma hora seja de 100 O custo horário esperado associado ao uso de um gráfico para este processo é dado pela equação 1031 com a1 1 a2 010 a3 25 aʹ3 50 a4 100 λ 005 δ 20 g 00167 e D 10 Para otimizar este problema utilizase o programa computacional de Montgomery já citado A Figura 1024 exibe a saída deste programa utilizandose os valores dos parâmetros do modelo dados anteriormente O programa calcula a largura k dos limites de controle ótimos e a frequência de amostragem h para diversos valores de n e calcula o valor da função custo da equação 1031 Dãose também o risco α e o poder para cada combinação de n k e h Podese obter o planejamento ótimo do gráfico de controle inspecionandose os valores da função custo a fim de se achar o mínimo Pela Figura 1024 vemos que o custo mínimo é 1038 por hora e que o gráfico economicamente ótimo utilizaria amostras de tamanho n 5 os limites de controle estariam localizados em kσ com k 299 e as amostras seriam extraídas a intervalos de h 076 h aproximadamente a cada 45 minutos O risco α para este gráfico de controle é α 00028 e o poder do teste é 1 β 09308 Após estudar o planejamento ótimo do gráfico o fabricante das garrafas suspeita que o ônus por operar fora de controle a4 pode não ter sido estimado com precisão Na pior das hipóteses a4 pode ter sido subestimado em cerca de 50 Por isso ele resolveu voltar ao programa de computador com a4 150 para investigar o efeito da especificação incorreta desse parâmetro A Figura 1025 mostra os resultados dessa rodada adicional Vemos que a solução ótima é agora n 5 k 299 e h 062 e o custo por hora é 1388 Note que o tamanho amostral ótimo e a largura dos limites de controle ótimos permanecem inalterados O efeito principal do aumento de a4 em 50 é a redução da frequência ótima de amostragem de 076 h para 062 h isto é de 45 min para 37 min Em virtude dessa análise o fabricante decide adotar uma frequência amostral de 45 min por conveniência administrativa n k Ótimo h Ótimo Alfa Poder Custo 1 230 045 00214 03821 1471 2 251 057 00117 06211 1191 3 268 066 00074 07835 1090 4 284 071 00045 08770 1051 5 299 076 00028 09308 1038 6 313 079 00017 09616 1039 7 327 082 00011 09784 1048 8 340 085 00007 09880 1060 9 353 087 00004 09932 1075 10 366 089 00003 09961 1090 11 378 092 00002 09978 1106 12 390 094 00001 09988 1123 13 402 096 00001 09993 1139 14 414 098 00000 09996 1156 15 425 100 00000 09998 1172 FIGURA 1024 Solução ótima do Exemplo 105 n k Ótimo h Ótimo Alfa Poder Custo 1 231 037 00209 03783 1917 2 252 046 00117 06211 1571 3 268 054 00074 07835 1448 4 284 058 00045 08770 1401 5 299 062 00028 09308 1388 6 313 065 00017 09616 1391 7 327 067 00011 09784 1404 8 340 069 00007 09880 1421 9 353 071 00004 09932 1441 10 366 073 00003 09961 1462 11 378 075 00002 09978 1484 12 390 077 00001 09988 1506 13 402 078 00001 09993 1528 14 414 080 00000 09996 1550 1 2 3 4 5 6 7 1066 FIGURA 1025 Planejamento ótimo do gráfico para o Exemplo 105 com a4 150 Da análise de problemas numéricos tais como os do Exemplo 105 é possível se chegar a várias conclusões gerais sobre o planejamento econômico ótimo do gráfico de controle Ilustramos a seguir algumas dessas conclusões O tamanho amostral ótimo é em grande parte determinado pela magnitude da variação δ Em geral mudanças relativamente grandes digamos δ 2 frequentemente têm como resultado um tamanho amostral ótimo relativamente pequeno digamos 2 n 10 Mudanças menores requerem amostras muito maiores com 1 δ 2 frequentemente produzindo tamanhos ótimos de amostras na faixa 10 n 20 Mudanças muito pequenas digamos δ 05 podem exigir tamanhos amostrais tão grandes quanto n 40 O custo horário da penalidade para produção no estado fora de controle a4 afeta principalmente o intervalo entre amostras h Valores maiores de a4 implicam menores valores de h amostragem mais frequente e menores valores de a4 implicam maiores valores de h amostragem menos frequente O efeito do aumento de a4 está ilustrado nas Figuras 1024 e 1025 para os dados do Exemplo 105 Os custos associados à procura de causas atribuíveis a3 e aʹ3 afetam principalmente a largura dos limites de controle Eles têm também um ligeiro efeito sobre o tamanho amostral n Em geral na medida em que aumenta o custo de investigação de sinais de ação a incidência de alarmes falsos diminui isto é reduzse α A variação nos custos de amostragem afeta todos os três parâmetros do planejamento O aumento do custo fixo de amostragem acarreta aumento do intervalo entre amostras e usualmente resulta também em amostras ligeiramente maiores Modificações no número médio de ocorrências horárias da causa atribuível afetam principalmente o intervalo entre amostras O planejamento econômico ótimo é relativamente insensível a erros na estimação dos coeficientes de custo isto é a superfície de custo é relativamente plana na vizinhança do ótimo Há indicação de que a superfície de custo é mais inclinada na proximidade da origem de modo que seria preferível superestimarse ligeiramente o valor ótimo de n a subestimálo O planejamento econômico ótimo é relativamente sensível a erros na estimação da magnitude da mudança δ do estado sob controle μ0 e do desviopadrão do processo σ É preciso cuidado ao se utilizarem gráficos de controle planejados arbitrariamente Duncan 1956 comparou o planejamento econômico ótimo com o planejamento arbitrário n 5 k 300 e h 1 para vários conjuntos de parâmetros do sistema Dependendo dos valores de tais parâmetros a utilização do planejamento arbitrário pode ocasionar grandes prejuízos econômicos Outros Trabalhos O planejamento econômico de gráficos de controle é uma área rica para pesquisas sobre o desempenho desses gráficos Essencialmente o custo é simplesmente outra métrica em que podemos avaliar o desempenho de um esquema de controle Existe literatura substancial neste campo consulte os artigos de revisão de Montgomery 1980 Svoboda 1991 Ho e Case 1994 e Keats et al 1997 para uma discussão da maior parte do trabalhochave Em um artigo particularmente útil Lorenzen e Vance 1986 generalizaram o modelo original de Duncan tornandoo diretamente aplicável a quase todos os tipos de gráfico de controle Woodall 1986 1987 criticou o planejamento econômico de gráficos de controle notando que em muitos planejamentos econômicos o erro tipo I do gráfico de controle é consideravelmente maior do que seria em um planejamento estatístico e que isso pode levar a mais alarmes falsos uma situação indesejável A ocorrência de um número excessivo de alarmes falsos é sempre um problema pois os gerentes relutariam em interromper um processo se o esquema de controle tiver uma história de muitos alarmes falsos Além disso se o erro tipo I for grande isso pode levar a um ajuste excessivo do processo o que não raro aumenta a variabilidade da característica da qualidade Woodall nota também que os modelos econômicos atribuem um custo à liberação de itens defeituosos o que incluiria custos de alegações de responsabilidade e de insatisfação dos clientes entre outros componentes e isso vai contra a filosofia de Deming de que esses custos não podem ser medidos e que a satisfação do cliente é necessária para a permanência no negócio 107 Algumas dessas preocupações podem ser superadas facilmente Um planejamento econômico deve sempre ser avaliado quanto a propriedades estatísticas tais como erros tipo I e tipo II comprimentos médios de sequências e assim por diante Se qualquer uma dessas propriedades se apresenta em níveis não desejados isso pode indicar uma atribuição inadequada de custos ou a necessidade de uma solução restrita Recomendase otimizar a função custo com restrições adequadas sobre o erro tipo I o erro tipo II o comprimento médio de sequência ou outras propriedades estatísticas Saniga 1989 reportou um estudo em relação ao planejamento econômicoestatístico conjunto de gráficos e R Saniga utiliza restrições sobre o erro tipo I o poder e o tempo médio para alerta para os gráficos Seus planejamentos econômico estatísticos têm maior custo que os planejamentos puramente econômicos mas dão maior proteção sobre um âmbito mais amplo de mudanças do processo tendo também propriedades estatísticas tão boas quanto os gráficos de controle planejados inteiramente a partir de considerações estatísticas Recomendamos fortemente a utilização da abordagem de Saniga na prática Saniga e Shirland 1977 e Chiu e Wetherill 1975 relatam que muito poucos profissionais implementaram modelos econômicos para o planejamento de gráficos de controle Isto é um tanto surpreendente pois a maioria dos engenheiros de qualidade afirma que um dos principais objetivos da utilização de procedimentos de controle estatístico de processos é a redução de custos Há pelo menos duas razões para a falta de implementação prática desta metodologia Primeiro os modelos matemáticos e seus esquemas de otimização associados não somente são relativamente complexos como também frequentemente são apresentados em uma forma difícil de ser entendida e usada pelo profissional A disponibilidade de programas de computador para tais modelos e a elaboração de procedimentos simplificados de otimização e métodos para lidar com restrições vêm aumentando A disponibilidade de microcomputadores e a facilidade com que essas aplicações podem ser implementadas devem suavizar este problema Um segundo problema é a dificuldade na estimação de custos e de outros parâmetros do modelo Felizmente os custos não precisam ser estimados com grande precisão muito embora outros componentes do modelo tais como magnitude da mudança exijam uma determinação relativamente precisa A análise de sensitividade do modelo específico pode ajudar o profissional a decidir quais parâmetros são críticos no problema Gráficos Cuscore Este livro enfocou os gráficos de controle de Shewhart devido a sua ampla utilidade no monitoramento do processo particularmente na fase I e outras técnicas tais como os gráficos de controle CUSUM e MMEP que também têm importantes aplicações As estatísticas plotadas nesses gráficos podem todas ser desenvolvidas a partir de um procedimento muito geral baseado na estatística do escore eficiente decorrente de Fisher 1925 Esse processo resulta no que se chama estatísticas de Cuscore e os gráficos de controle correspondentes são os gráficos de controle Cuscore Um gráfico de controle Cuscore pode ser planejado para ser sensível a tipos específicos de afastamentos em relação às condiçõespadrão de operação para o processo ou estado sob controle Nesta seção damos uma visão geral dos gráficos Cuscore para mais detalhes e algumas aplicações veja Box e Ramirez 1992 Box e Luceño 1997 Ramirez 1998 Luceño 1999 e Runger e Testik 2003 A forma geral da estatística Cuscore é em que et0 são os resíduos de um modelo sob controle para o processo e rt é um detector que mede a taxa de mudança dos resíduos sob controle quando o processo passa a um estado fora de controle Para ilustrar a terminologia considere o modelo de processo de Shewhart apresentado pela primeira vez na equação 109 Suponha que o processo esteja sob controle Uma vez que observamos os dados para um período particular o termo erro do modelo εt se torna um resíduo digamos et0 xt µ O zero no subscrito do resíduo indica que é um resíduo do processo sob controle Suponha agora que quando ocorrem causas atribuíveis isso resulte em uma mudança de magnitude δ na média Assim o novo modelo é e os novos resíduos são et1 xt µ δ Nesse exemplo a introdução de δ no sinal produz uma mudança linear nos resíduos e para modelos lineares como esse detector ele é sempre da forma Assim para a mudança tipo salto o detector é e a estatística Cuscore na equação 1032 é Essa é a familiar estatística CUSUM do Capítulo 9 Isto é o gráfico Cuscore para a detecção de uma mudança tipo salto no processo é o gráfico de controle da soma cumulativa Podese mostrar que se a causa atribuível resultar em um único pico de magnitude δ no processo o gráfico de controle Cuscore se reduz ao gráfico de controle de Shewhart Além disso se a causa atribuível resultar em uma mudança de nível que dura w períodos o procedimento Cuscore é o gráfico de controle da média móvel ordinário de amplitude w descrito na Seção 93 Finalmente se a causa atribuível resultar em um aumento exponencial no sinal o gráfico de controle MMEP com parâmetro suavizador igual ao parâmetro na função exponencial é o gráfico de controle Cuscore Como os gráficos Cuscore podem ser ajustados para detectarem sinais específicos eles são mais eficazmente usados como ferramentas suplementares de monitoramento em processos em que além dos tipos de perturbação não específicos usuais temese que um tipo muito específico de problema ocorra ocasionalmente Por exemplo considere um processo no qual certo catalisador é empregado Como o catalisador se esgota com o tempo novo catalisador deve ser adicionado periodicamente ao processo Digamos que isso seja feito semanalmente No entanto além da causa atribuível usual que possa ocorrer o pessoal de engenharia do processo está preocupado com o fato de o catalisador poder estar se esgotando mais cedo do que o esperado À medida que o catalisador se esgota uma tendência linear muito lenta será observada na saída do processo mas se o catalisador estiver se esgotando muito rapidamente a inclinação da reta de tendência crescerá também rapidamente Uma deriva ou tendência pode ser detectada pelo gráfico MMEP que é usado para o monitoramento geral do processo mas um Cuscore planejado para detectar essa mudança na tendência pode ser planejado para aumentar o MMEP O modelo de processo para o processo sob controle é xt µ βt εt e os resíduos são et0 xt µ βt Se o catalisador começar a se esgotar muito cedo a inclinação mudará como em xt µt βt δt εt e os novos resíduos serão 108 et xt µ βt δt A porção do detector para o Cuscore é Assim a estatística Cuscore para o monitoramento desse processo é É possível obterse a estatística Cuscore para monitoramento de processos e detecção de quase qualquer tipo de sinal em quase qualquer tipo de ruído não apenas ruído branco ou observações não correlacionadas como ilustramos aqui Para detalhes adicionais e exemplos veja Box e Luceño 1997 Runger e Testik 2003 observam que uma maneira mais familiar de se escrever a estatística Cuscore é Ct máxCt1 xt µ kt f t δ τ 0 t 12 em que µ é a média das observações sob controle ft δ τ é o sinal específico gerado pela causa atribuível que ocorre no tempo τ δ é um parâmetro que reflete a natureza e magnitude da mudança do processo e kt é um valor de referência Obtémse o gráfico de controle plotandose Ct versus t Um intervalo de decisão é usado para o teste da presença de sinal de fora de controle nos dados Especificamente se Ct exceder H o gráfico Cuscore sinaliza Para a operacionalização do gráfico H e kt devem ser especificados Em geral o valor de referência é escolhido proporcionalmente ao valor de sinal ft δ τ tal como 05 ft δ τ Para se obter o melhor desempenho com um gráfico Cuscore o tempo em que uma causa atribuível ocorre τ deve ser conhecido Luceño 1999 utilizou procedimentos de reinícios com o gráfico Cuscore para superar esse problema Ele estudou também o CMS e sua distribuição para um número de formas diferentes do gráfico Cuscore Runger e Testik 2003 discutem também um competidor do gráfico Cuscore com base em uma abordagem de razão de verossimilhança generalizada RVG Esse procedimento é bastante relacionado com o modelo de ponto de mudança discutido na próxima seção A vantagem do gráfico de controle RVG é que o procedimento é muito robusto em relação ao tempo em que a causa atribuível ocorre Em geral tem também melhor desempenho do que o gráfico Cuscore na detecção de causas atribuíveis Os gráficos de controle RVG são computacionalmente intensos pois não há formulação recursiva disponível no entanto a crescente capacidade dos computadores e o desenvolvimento de algoritmos que trabalham com uma janela móvel das w mais recentes observações certamente levarão ao uso crescente dos procedimentos de monitoramento do processo com base na RVG O Modelo de Ponto de Mudança para Monitoramento de Processo Gráficos de controle são usados para o monitoramento de processos na busca por causas atribuíveis que resultem em mudanças na saída do processo tais como mudanças sustentadas nos valores dos parâmetros Os gráficos de controle de Shewhart e os gráficos de controle MMEP e CUSUM são amplamente utilizados na prática para esses tipos de problema Há outra abordagem que pode ser útil na detecção de problemas no processo o modelo de ponto de mudança Essa abordagem focaliza a descoberta do ponto no tempo em que o modelo subjacente que gera uma série de observações mudou de alguma maneira A maioria do trabalho sobre pontos de mudança se concentrou na detecção de uma mudança sustentada na média do processo e esse é o caso que discutiremos aqui Suponha que a saída de um processo seja modelada por duas distribuições normais com a mesma variância digamos 109 A distribuição sob controle é Nµ0 σ2 até um ponto no tempo τ chamado ponto de mudança além do qual a média muda para um novo nível µ1 µ0 e em períodos subsequentes o processo segue a distribuição Nµ1 σ2 Há dois aspectos da abordagem do ponto de mudança para o monitoramento do processo determinação sobre se houve mudança no processo e a estimação de τ o tempo da mudança Hawkins Qiu e Kang 2003 dão uma introdução acessível ao modelo de ponto de mudança e fornecem uma lista de referências úteis Há muitas variações importantes do modelo do ponto de mudança para a detecção de mudanças sustentadas na média A primeira delas é o caso em que todos os parâmetros na equação 1036 µ0 µ1 e σ2 são conhecidos O gráfico CUSUM é o procedimento apropriado para esse contexto Um gráfico da MMEP também seria apropriado uma vez que pode ser aproximadamente equivalente ao CUSUM em desempenho Outra situação seria o caso em que apenas alguns dos parâmetros são conhecidos Tipicamente supomos que µ0 e σ2 sejam conhecidos Nossa abordagem usual para esse caso é o planejamento CUSUM para um valor de µ1 que reflita o menor valor da média fora de controle que se espera que ocorra Métodos de razão de verossimilhança também podem ser usados para a abordagem desse caso Hawkins Qiu e Kang 2003 notam que os valores conhecidos de µ0 e σ2 são tipicamente estimados a partir de uma sequência de observações extraídas quando se considera que o processo esteja sob controle ou de um estudo da fase I Erros nas estimativas desses parâmetros se refletem em distorções nos comprimentos médios de sequências dos gráficos de controle Mesmo erros relativamente modestos na estimativa de parâmetros desconhecidos ou a ordem de um erro padrão podem ter impacto significante nos CMSs dos gráficos de controle CUSUM e MMEP No entanto isso não evita que o gráfico de controle seja útil mas é causa de preocupação o fato de o desempenho do procedimento não poder ser caracterizado com precisão A variação mais interessante do modelo de ponto de mudança ocorre quando nenhum dos parâmetros é conhecido Se houver um único ponto de mudança a estatística apropriada para esse problema é a familiar estatística t de duas amostras para a comparação de duas médias que pode ser escrita como em que jn é a média das j primeiras observações jn é a média das n j últimas observações σˆ2 jn é a usual estimativa combinada da variância e 1 j n 1 Para o teste relativo a um ponto de mudança calcule o valor absoluto máximo de tjn para todos os j 1 j n 1 e compareo com um valor crítico digamos hn Se o valor crítico for excedido então houve uma mudança no processo O j que dá o máximo é a estimativa do ponto de mudança τ e jn e jn são as estimativas de µ0 e µ1 respectivamente A determinação de um valor crítico apropriado para esse procedimento hn não é fácil Hawkins Qiu e kang 2003 fornecem algumas referências e orientação para o caso da fase I o comprimento dos dados é fixado em n Eles relatam também os resultados de um estudo para a determinação de valores críticos apropriados para a fase II em que n cresceria sem limite Os valores críticos podem ser encontrados em uma tabela do artigo desses autores ou calculados a partir de aproximações numéricas que eles fornecem O desempenho do procedimento de ponto de mudança é muito bom comparandose ao CUSUM de maneira mais favorável Especificamente ele é ligeiramente inferior a um CUSUM ajustado perfeitamente à mudança exata na média que realmente ocorre mas quase ótimo para uma grande variedade de mudanças Devido a seu bom desempenho os métodos de ponto de mudança devem merecer uma maior atenção nos problemas de monitoramento do processo Monitoramento de Perfil Um desenvolvimento recente de considerável valor prático é a metodologia de monitoramento de perfil Perfis ocorrem quando uma característica crítica para a qualidade é funcionalmente dependente de uma ou mais variáveis explicativas ou independentes Assim em vez de se observar uma única medida em cada unidade ou produto observamos um conjunto de valores em toda uma amplitude os quais quando plotados assumem a forma de uma curva Isto é há uma variável resposta y e uma ou mais variáveis explicativas x1 x2 xk e a situação é como a análise de regressão consulte o Capítulo 3 A Figura 1026 fornece três ilustrações Na Figura 1026a o torque produzido pelo motor de um carro está relacionado com a velocidade do motor em rpm Na Figura 1026b a medida da pressão para um controlador de fluxo de massa é expressa como função do conjunto de pontos x para o fluxo Na Figura 1026c a densidade vertical de um aglomerado de partículas é mostrada como função da profundidade de Walker e Wright 2002 Perfis podem ser considerados como vetores multivariados mas o uso de gráficos multivariados padrão como os discutidos no Capítulo 11 não é apropriado O monitoramento de perfil tem amplas aplicações na calibração para averiguação do desempenho do método de medida e verificação de que ele permaneceu inalterado ao longo do tempo Tem também sido usado para a determinação da frequência ótima de calibração e para evitaremse erros de supercalibração veja Croarkin e Varner 1982 Perfis ocorrem em muitas outras áreas tais como teste de desempenho em que a resposta é uma curva de desempenho em um intervalo de uma variável independente tal como frequência ou velocidade Jin e Shi 2001 se referem a sinais em forma de onda e citam exemplos de sinais de força e torque coletados de sensores online O artigo de revisão de Woodall Spitzner Montgomery e Gupta 2004 fornece exemplos adicionais de perfis e discute vários métodos de monitoramento além de identificar algumas fraquezas nos métodos existentes e propor direções de pesquisa Outros artigos recentes sobre vários aspectos do monitoramento de perfis são Gupta Montgomery e Woodall 2006 Kim Mahmoud e Woodall 2003 Staudhammer Maness e Kozak 2007 Wang e Tsung 2005 Woodall 2007 Zou Zhang e Wang 2006 e Mahmoud Parker Woodall e Hawkins 2007 A maior parte da literatura sobre monitoramento de perfis trata da análise de perfis lineares da fase II isto é monitoramento de processo ou produto quando se supõe que os parâmetros do modelo subjacente sob controle sejam conhecidos Stover e Brill 1998 usam o gráfico de controle T2 de Hotelling discutido no Capítulo 11 e um gráfico univariado com base no primeiro componente principal dos vetores dos parâmetros de regressão estimados para estimar a estabilidade da resposta de um instrumento de calibração e a frequência ótima de calibração Kang e Albin 2000 sugerem o uso de um gráfico de controle T2 de Hotelling ou uma combinação de um MMEP e um gráfico R com base nos resíduos para o monitoramento de perfis lineares da fase II Eles recomendam o uso de métodos similares para a fase I Kim Mahmoud e Woodall 2003 propõem a transformação dos valores de x para se alcançar um valor médio codificado de zero para então fazerse o monitoramento do intercepto inclinação e desviopadrão do processo usando três gráficos MMEP separados Eles realizam estudos de desempenho e mostram que seu método é superior ao T2 multivariado e os gráficos MMEPR de Kang e Albin 2000 FIGURA 1026 Dados de perfil a Torque versus rpm b Pressão versus fluxo c Densidade vertical versus profundidade Para a análise da fase I Kim Mahmoud e Woodall 2003 sugerem a substituição dos gráficos MMEP pelos gráficos de Shewhart Mahmoud e Woodall 2004 propõem o uso de uma estatística F global baseada em uma técnica de variável indicadora para a comparação de k retas de regressão em conjunto com um gráfico de controle para monitorar o termo da variância do erro Eles comparam vários métodos da fase I com seu procedimento com base na probabilidade de um sinal sob várias mudanças nos parâmetros do processo e mostram que seu método em geral tem melhor desempenho do que o gráfico de controle T2 de Stover e Brill 1998 o gráfico de controle T2 de Kang e Albin 2000 e os três gráficos de controle de Shewhart de Kim Mahmoud e Woodall 2003 Mostraremos como os gráficos de controle de Shewhart simples podem ser usados para conduzir o monitoramento da fase II para um perfil linear Supõese que o modelo sob controle para a iésima observação na jésima amostra aleatória seja um modelo de regressão linear simples yij β0 β1x1 εij β0 β1 i 1 2 n em que os erros εij são variáveis aleatórias normais independentes e identicamente distribuídas com média zero e variância σ2 conhecida Supõese que os coeficientes de regressão β0 e β1 e a variância do erro σ2 sejam conhecidos Note que no modelo de regressão a variável independente teve sua média subtraída dela isto é Essa técnica torna independentes as estimativas de mínimos quadrados dos coeficientes de regressão de modo que eles podem ser mais facilmente monitorados individualmente usandose gráficos de controle separados À medida que novas amostras se tornam disponíveis o modelo de regressão se ajusta aos dados produzindo estimativas dos parâmetros do modelo para aquela amostra Os limites de controle para o intercepto a inclinação e a variância do erro calculados a partir de novas amostras de dados são os seguintes Os limites de controle para o monitoramento da inclinação são em que Sxx é definido como consulte Montgomery et al 2001 pp 1517 Finalmente os limites de controle para o monitoramento da variância do erro são em que x2 a2n2 e x2 1a2n2 são os pontos percentuais α2 superior e inferior da distribuição quiquadrado com n 2 graus de liberdade veja Montgomery Peck e Vining 2006 para detalhes O valor de αgeral é calculado com o uso da equação αgeral 1 1 α3 e o CMS sob controle é calculado tomandose o inverso de αgeral O valor de α pode ser escolhido de modo a se obter o valor desejado do CMS Usaremos os dados apresentados no NISTSEMATECH eHandbook of Statistical Methods para ilustrar o método O conjunto de dados consiste em larguras de linhas de padrões de referência de molduras de fotos de 10 unidades 40 medidas usados para o monitoramento de perfis de calibração linear de um sistema de imagem ótica As larguras das linhas são usadas para se estimarem os parâmetros do perfil de calibração linear ij 02817 09767xʹi com um desviopadrão residual de 006826 micrômetros Estabelecese um esquema de monitoramento para monitoraremse as medições nas unidades para os extremos superior médio e inferior da amplitude de medida relevante do perfil estimado da fase I O conjunto de dados é apresentado na Tabela 103 e plotado na Figura 1027 No gráfico a linha sob controle é o perfil estabelecido para a fase I Observandose cuidadosamente as medições para a quarta amostra os valores plotados parecem estar ligeiramente afastados da linha sob controle Empregamos ambos os gráficos de Shewhart definidos nas equações 1038 1039 e 1040 para monitorar os dados de largura da linha da fase II Os gráficos de controle são mostrados na Figura 1028 Nos gráficos de controle as três linhas horizontais indicam o limite superior de controle a linha central e o limite inferior de controle respectivamente Os valores numéricos para essas quantidades são 462 449 437 101 098 094 e 00087 00046 0002 respectivamente Para se alcançar o CMS sob controle geral de 200 o valor de α para os gráficos de controle foi ajustado para 000167 Note que as medições no quarto dia estão fora de controle A variância do erro nos quinto e sexto dias está abaixo do limite inferior de controle com valores 00018 e 00000 respectivamente TABELA 103 Medidas de Larguras de Linhas Dia Posição x y 1 L 076 112 1 M 329 349 1 U 889 911 2 L 076 099 2 M 329 353 2 U 889 889 3 L 076 105 3 M 329 346 3 U 889 902 4 L 076 076 4 M 329 375 4 U 889 93 5 L 076 096 5 M 329 353 5 U 889 905 6 L 076 103 6 M 329 352 6 U 889 902 FIGURA 1027 Gráfico das medidas das larguras das linhas 1010 FIGURA 1028 Gráficos de controle de Shewhart para o monitoramento dos parâmetros da reta de calibração Gráficos de Controle no Monitoramento dos Serviços Médicos e Vigilância da Saúde Pública Os gráficos de controle têm muitas aplicações no monitoramento e vigilância dos serviços de saúde e saúde pública Gráficos de controle podem ser usados para o monitoramento do desempenho de hospitais em relação a taxas de infecção de pacientes quedas ou acidentes com pacientes tempos de espera em atendimentos de emergência ou resultados de cirurgias para vários tipos de procedimentos Há também aplicações para o monitoramento de potenciais surtos de doenças infecciosas e até eventos de bioterrorismo Essa é em geral chamada de vigilância sindrômica em que os dados são obtidos de fontes como registros do atendimento de emergência vendas de remédios com e sem receita consultas a médicos e outras fontes em uma tentativa de suplementar a vigilância sentinela usual para surtos naturais de doenças ou de ataques de bioterrorismo Um excelente artigo de revisão sobre aplicações de gráficos de controle no monitoramento da vigilância da saúde pública e serviços de saúde é Woodall 2006 O livro de Winkel e Zhang 2007 também é recomendado Os artigos de Fienberg e Shmueli 2005 Buckeridge et al 2005 Fricker 2007 e Rolka et al 2007 oferecem uma visão útil da vigilância sindrômica Aplicações dos Gráficos de Controle aos Serviços de Saúde Há algumas diferenças importantes entre os contextos industrial e de negócios em que o controle estatístico do processo e os gráficos de controle são tradicionalmente aplicados e os ambientes de serviços de saúde e de monitoramento de doenças Uma delas são os dados Dados de atributo são encontrados muito mais amplamente no ambiente de serviços da saúde do que no mundo industrial e de negócios Por exemplo na vigilância de surtos de uma doença particular a taxa de incidência ou número de casos na população de interesse por unidade de tempo é tipicamente monitorada Além disso surtos de doenças são provavelmente transitórios com aumento e decrescimento mais gradual em oposição às mudanças distintas normalmente encontradas nas aplicações industriais No ambiente de serviços de saúde e saúde pública métodos unilaterais tendem a ser empregados para permitir o foco na detecção de aumentos em taxas que são a principal preocupação Métodos 1011 10111 bilaterais são mais tipicamente usados nos negócios e indústrias Algumas das técnicas usadas no monitoramento dos serviços de saúde e vigilância sanitária foram desenvolvidas independentemente do campo do controle do processo estatístico industrial Houve poucos estudos comparativos dos métodos apenas para monitoramento dos serviços de saúde e vigilância de doenças e em geral as medidas de desempenho usadas são diferentes daquelas empregadas no CEP industrial Em geral os dados monitorados nesses ambientes são não estacionários ou têm alguns padrões embutidos que são parte do processo Um exemplo seriam surtos de gripe que são grandemente restritos aos meses de inverno e de final de primavera Em algumas aplicações de vigilância da saúde pública as estimativas dos parâmetros e medidas de incerteza são atualizadas à medida que novas observações se tornam disponíveis ou o desempenho de referência é ajustado Esses são métodos que consideram a natureza não estacionária dos dados monitorados Métodos de Esquadrinhamento A comunidade de vigilância da saúde pública usa em geral métodos estatísticos de esquadrinhamento em inglês scan em vez de métodos gráficos de controle mais convencionais tais como os gráficos de controle da soma cumulativa e MMEP Uma estatística de esquadrinhamento é uma abordagem de janela móvel que é semelhante ao gráfico de controle da média móvel discutido no Capítulo 9 veja a Seção 93 Um método de esquadrinhamento sinaliza um aumento em uma taxa se a contagem de eventos no mais recente número especificado de períodos de tempo for não usualmente grande Por exemplo um método de esquadrinhamento sinalizaria uma taxa aumentada em um dado instante se m ou mais eventos de interesse tivessem ocorrido nas n tentativas mais recentes Um gráfico da estatística de esquadrinhamento ao longo do tempo com um limite superior de controle poderia ser considerado como uma técnica gráfica de controle mas esse ponto de vista não é usualmente considerado nos campos dos serviços de saúde ou na vigilância de doenças Em geral não há diretrizes específicas para o planejamento de um método de esquadrinhamento Métodos de esquadrinhamento foram aplicados pela primeira vez na vigilância de doenças crônicas pela comunidade de vigilância do câncer e mais recentemente foram adaptados à vigilância de doenças infecciosas Métodos de esquadrinhamento podem ser aplicados tanto ao caso temporal em que apenas se conhecem os instantes de incidência ou no caso espacialtemporal em que são conhecidos tanto os instantes quanto as localizações das incidências A maioria do trabalho sobre métodos com base em esquadrinhamento tem se concentrado na situação da fase I na qual se analisa um conjunto de dados históricos Revisões amplas de muitos procedimentos de esquadrinhamento estão em Balakrishnan e Koutras 2002 e Glaz et al 2001 Veja também Kulldorff 1997 2001 2003 2005 Sonesson e Bock 2003 e Naus e Wallenstein 2006 Uma característica importante do monitoramento do serviço de saúde é o elemento humano do processo Provavelmente as diferenças entre as pessoas no sistema serão grandes e essas diferenças têm impacto potencial sobre os resultados Por exemplo ao avaliarmos o desempenho do hospital e o cuidado dos médicos devemos levar em conta que os pacientes variarão de paciente para paciente de hospital para hospital de médico para médico em relação a seu estado geral de saúde e outros fatores e características demográficas Os gráficos de controle de risco ajustado podem ser planejados para lidarem com essa situação Grigg e Farewell 2004 dão uma revisão do monitoramento de risco ajustado Grigg e Spiegelhalter 2007 propuseram recentemente um método MMEP de risco ajustado Gráficos de controle de risco ajustado são também discutidos por Winkel a Zhang 2007 Visão Geral de Outros Procedimentos Há muitas técnicas úteis de monitoramento e controle de processo além das já apresentadas aqui Nesta seção damos uma rápida visão geral de alguns desses métodos juntamente com algumas referências básicas A escolha de tópicos está longe de ser completa mas reflete um conjunto de ideias úteis na prática Desgaste de Ferramentas Muitos processos de produção estão sujeitos ao desgaste de ferramentas Quando ocorre tal desgaste em geral constatamos que a variabilidade do processo em qualquer ponto do tempo é consideravelmente menor do que a variabilidade permissível ao longo de toda a vida da ferramenta Além disso na medida em que a ferramenta se desgasta em geral há uma flutuação ou tendência ascendente na média causada pelo fato de a ferramenta desgastada produzir dimensões maiores Em tais casos a distância entre os limites de especificação é geralmente muito maior do que digamos 6σ Consequentemente o conceito de gráfico de controle modificado pode ser aplicado ao problema do desgaste de ferramentas A Figura 1029 ilustra o procedimento 10112 A colocação inicial para a ferramenta é em algum múltiplo de σx acima do limite inferior de especificação digamos 3σx e o máximo permissível da média do processo situase no mesmo múltiplo de σx abaixo do limite superior de especificação Se a taxa de desgaste for conhecida ou puder ser estimada a partir dos dados será possível construirmos um conjunto de limites de controle inclinados em torno da linha de tendência do desgaste da ferramenta Se os valores amostrais de se enquadrarem nesses limites o desgaste da ferramenta estará sob controle Quando a linha de tendência excede o máximo permissível da média do processo o processo deve ser reajustado ou então a ferramenta deve ser substituída FIGURA 1029 Gráfico de controle para desgaste de ferramenta Os gráficos de controle para o desgaste de ferramentas são abordados com maior detalhe por Duncan 1986 e Manuele 1945 O gráfico de controle de regressão veja Mandel 1969 também pode ser adaptado ao problema do desgaste da ferramenta Quesenberry 1988 salienta que essas abordagens supõem essencialmente que o reajuste do processo seja dispendioso procurando por isso minimizar o número de ajustes feitos para manter as peças dentro das especificações do processo em vez de reduzir a variabilidade global Quesenberry desenvolve um compensador do desgaste da ferramenta em duas partes que centraliza o processo periodicamente e previne contra causas atribuíveis e também ajusta para o desgaste médio estimado desde o último ajuste Gráficos de Controle Baseados em Outras Estatísticas Amostrais Alguns autores têm sugerido o uso de outras estatísticas amostrais que não a média e a amplitude ou desviopadrão para a construção de gráficos de controle Por exemplo Ferrell 1953 propôs o uso da média dos extremos e da amplitude de subgrupos com os limites de controle determinados pela mediana das médias dos extremos e pela mediana das amplitudes O autor notou que a facilidade de cálculo seria uma característica de tais gráficos de controle e que eles teriam melhor desempenho do que os gráficos de controle convencionais para detectar pontos atípicos ou outliers A mediana tem sido usada com frequência em lugar de como linha central em gráficos de observações individuais quando a distribuição subjacente é assimétrica Da mesma forma foram propostas as medianas de R e s como linhas centrais para tais gráficos de modo que a distribuição assimétrica dessas estatísticas não influa no número de sequências acima e abaixo da linha central O interesse recente em métodos estatísticos robustos tem gerado certa aplicação dessas ideias aos gráficos de controle De modo geral a presença de causas atribuíveis produz valores atípicos que ampliam os limites de controle reduzindo a sensitividade do gráfico de controle Uma abordagem desse problema tem sido a elaboração de gráficos de controle que utilizam estatísticas que são elas próprias resistentes a valores atípicos Os exemplos incluem os gráficos de controle da mediana e da média dos extremos veja Clifford 1959 e os diagramas de caixa de subgrupos veja Inglewicz e Hoaglin 10113 10114 1987 e White e Schroeder 1987 Tipicamente esses procedimentos não são tão eficientes na detecção de causas atribuíveis ou de valores atípicos quanto os gráficos e R ou s convencionais Uma abordagem preferível é a representação gráfica de uma estatística que seja sensitiva a causas atribuíveis e R ou s mas baseandose os limites de controle em algum método resistente a valores atípicos O artigo de Ferrell 1953 mencionado anteriormente é um exemplo dessa abordagem da mesma forma que o é o uso de e R em gráficos com limites de controle determinados pela média aparada das médias amostrais e a média aparada das amplitudes conforme sugerido por Langenberg e Inglewicz 1986 Rocke 1989 relatou que o traçado do gráfico de uma estatística sensível a valores atípicos com limites de controle determinados através do uso de um método resistente a esses valores funciona bem na prática Os procedimentos sugeridos em Ferrell 1953 Langenberg e Inglewicz 1986 e seu próprio método são bastante eficientes na detecção de causas atribuíveis O que é bastante interessante é que Rocke também observa que o método de dois estágios amplamente utilizado para fixaremse os limites de controle em que os limites iniciais são tratados como limites de controle tentativos e as amostras plotadas fora desses limites são então removidas calculandose um conjunto final de limites apresenta um desempenho quase tão bom quanto os métodos robustos mais complexos Em outras palavras a utilização deste método de dois estágios gera um gráfico de controle robusto Além de problemas de robustez outros autores têm sugerido gráficos de controle para outras estatísticas amostrais por motivos específicos inerentes ao processo Por exemplo quando se fazem pares de medidas sobre cada unidade ou quando se deseja uma comparação com uma unidadepadrão podemos plotar a diferença x1j x2j em um gráfico de controle de diferenças veja Grubbs 1946 e o Material Suplementar do Texto Em alguns casos podem ter interesse o maior e o menor valores amostrais Tais gráficos foram elaborados por Howell 1949 Problemas de Controle de Enchimento O enchimento de recipientes com um de vários produtos se processa em uma máquina circular de alta velocidade com múltiplas cabeças ou torneiras que opera continuamente Não é raro encontrarmos máquinas na indústria de bebidas que têm de 40 a 72 torneiras e operam a velocidades de 800 a 1000 garrafas por minuto Em tais casos é difícil extraíremse amostras de produtos de torneiras ou cabeças específicas porque não existe um método automático de identificação de um contêiner já cheio com sua torneira de enchimento Além disso em adição às causas atribuíveis que afetam simultaneamente todas as torneiras de enchimento algumas causas atribuíveis afetam apenas certas torneiras Para este tipo de problema de controle de enchimento tornamse necessários métodos especiais de amostragem e de gráficos de controle Ott e Snee 1973 apresentam algumas técnicas úteis para esse problema especialmente para máquinas enchedoras com um número moderado de torneiras ou cabeças Muitos dos métodos descritos na Seção 103 para processos de fluxo múltiplo são também úteis em problemas de controle de enchimento PréControle O précontrole é uma técnica usada para detectaremse variações ou perturbações no processo que podem resultar na produção de itens não conformes A técnica difere do controle estatístico de processos porque os gráficos de controle convencionais são elaborados para detectar mudanças nos parâmetros do processo que sejam estatisticamente significantes ao passo que o précontrole não exige quaisquer traçados de gráfico nem cálculos O précontrole utiliza a distribuição normal para determinar variações na média ou no desviopadrão do processo que possam resultar em um aumento do número de unidades não conformes produzidas Apenas três unidades são necessárias para dar informações sobre o controle Para demonstrar o procedimento suponha que a característica da qualidade tenha distribuição normal e que os limites de tolerância μ 3σ coincidam exatamente com os limites de especificação Além disso a média μ do processo está a meio caminho entre as especificações de modo que o processo está produzindo 027 de defeituosos Construa dois limites de précontrole chamados linhas PC superior e inferior de modo que cada um dos dois esteja a um quarto da distância do limite modificado conforme Figura 1030 Como a distribuição da característica da qualidade é normal cerca de 86 da saída do processo serão interiores às linhas de PC e cerca de 7 estarão em cada uma das regiões entre a linha de PC e o limite de especificação Isso significa que apenas um item em 14 ficará fora de uma linha de PC se a média e o desviopadrão estiverem nos valoresalvo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Se houver uma probabilidade de 1 em 14 de uma unidade ficar fora de uma linha de PC a probabilidade de duas unidades consecutivas ficarem fora de uma linha de PC é Isto é se o processo estiver operando corretamente a probabilidade de encontrarmos duas unidades consecutivas fora de uma dada linha de PC será de apenas cerca de Quando duas dessas unidades consecutivas são encontradas é provável que o processo tenha passado para um estado fora de controle Analogamente é pouco provável que a primeira unidade esteja além de uma linha de PC e a próxima unidade esteja além da outra linha de PC Nesse caso suspeitamos que a variabilidade do processo tenha aumentado Segue um conjunto de regras que descrevem a operação de précontrole Nessas regras supõese aceitável de 1 a 3 de produção não conforme e que a razão de capacidade do processo seja de ao menos 115 Inicie o processo Se o primeiro item estiver fora das especificações proceda a um ajuste e recomece Se um item estiver dentro das especificações mas fora de uma linha de PC verifique o próximo item Se o segundo item estiver fora da mesma linha de PC reajuste o processo Se o segundo item estiver dentro da linha de PC prossiga O processo é reajustado apenas quando dois itens consecutivos estão fora de uma dada linha de PC Se um item estiver fora de uma linha de PC e o próximo item estiver fora da outra linha de PC a variabilidade do processo estará fora de controle FIGURA 1030 Localização das linhas de précontrole Quando cinco unidades consecutivas estão dentro das linhas de PC proceda à calibração de frequência Na frequência de calibração não ajuste o processo senão quando um item exceda uma linha de PC Examine então o próximo item consecutivo e proceda como no passo 4 Quando o processo é restabelecido cinco itens consecutivos devem situarse dentro das linhas de PC antes de se retomar a calibração da frequência Se o operador extrair amostras do processo mais de 25 vezes sem ter de reajustar o processo devese reduzir a frequência de calibração de modo que sejam produzidas mais unidades entre as amostras Caso contrário aumente a frequência de calibração Uma média de 25 amostras para um reajuste indica que a frequência amostral é satisfatória O précontrole está estreitamente relacionado com uma técnica chamada de calibração de limites estreitos ou calibração de limites reduzidos em que os procedimentos de inspeção são determinados utilizandose limites restritos situados de forma a atender determinado risco de aceitação de um produto não conforme Ott 1975 discute com mais detalhes esse procedimento Embora tendo a vantagem da simplicidade o précontrole não deve ser usado indiscriminadamente O processo apresenta sérias desvantagens Primeiro pelo fato de em geral não se construir qualquer gráfico de controle não é possível usaremse todos os aspectos de reconhecimento de padrão associados ao gráfico de controle Perdese assim a informação de diagnóstico sobre o processo contida no padrão de pontos do gráfico de controle juntamente com o aspecto de diário de bordo do gráfico Segundo os pequenos tamanhos amostrais reduzem grandemente a capacidade do procedimento para detectar até mesmo de moderadas a grandes variações Terceiro o précontrole não dá informação que ajude a colocar o processo sob controle ou que seja útil na redução da variabilidade que é o objetivo do controle estatístico de um processo Finalmente é da maior importância a suposição de um processo sob controle e de uma capacidade adequada do processo O précontrole só deve ser considerado em processos de manufatura em que a razão da capacidade do processo é muito superior a um talvez ao menos dois ou três e onde se atingiu um ambiente próximo de zero defeito Ledolter e Swersey 1997 em uma análise abrangente do précontrole também observam que sua utilização 10115 10116 pode levar a uma intromissão desnecessária no processo o que pode efetivamente aumentar a variabilidade Este autor acha que o précontrole é um substituto insatisfatório dos gráficos de controle e jamais o recomendaria na prática Gráficos de Controle para Intervalos de Tolerância O objetivo usual dos limites de controlepadrão para gráficos de controle da fase II que se baseiam em distribuição normal é que eles contenham seis desviospadrão da distribuição da estatística plotada no gráfico Para a distribuição normal essa é a famosa quantidade 09973 1 2000135 em que 000135 é a probabilidade fora de cada limite de controle ou a área na cauda da distribuição da estatística sendo plotada Limites de controlepadrão não satisfazem isso porque quando se supõe uma distribuição normal muitas estatísticas plotadas não seguem a distribuição normal A amplitude amostral R e o desviopadrão amostral s são bons exemplos As variáveis aleatórias R e s têm distribuições assimétricas que levam a limites de controle inferiores de zero quando o tamanho do subgrupo é seis ou menos para o gráfico R e cinco ou menos para o gráfico s O uso de limites de probabilidade evitaria esse problema No entanto há outro problema Os limites de controle da fase II dependem também dos parâmetros da distribuição que são estimados com o uso dos dados coletados e analisados na fase I Hamada 2003 propõe o uso de intervalos de tolerância de conteúdo beta como base para limites de controle para controlar com mais precisão o conteúdo de probabilidade dos limites de controle Ele desenvolve esses limites de controle para os gráficos R e s e fornece tabelas das constantes necessárias para sua construção e uso Suas constantes controlam o conteúdo de probabilidade em cada cauda em 0000135 mas as fórmulas fornecidas permitem valores diferentes de probabilidade e valores de conteúdos potencialmente diferentes em cada cauda Um benefício dessa abordagem é que limites inferiores de controle não nulos surgem naturalmente para os gráficos R e s dando oportunidade de detecção mais fácil de mudanças descendentes na variabilidade do processo Monitoramento de Processos com Dados Censurados Há muitas situações em que o processo é monitorado e os dados que são coletados são censurados Por exemplo Steiner e MacKay 2000 descrevem material de manufatura usado na fabricação de interiores de automóveis Nesse processo uma camada exterior de vinil é colada em um fundo de espuma para se verificar a força da cola uma amostra do material é cortada e a força necessária para romper a cola é medida Uma força máxima predeterminada é aplicada e a maioria das amostras não fracassa Assim as medidas da força da cola são dados censurados Quando a proporção censurada não é grande digamos abaixo de 50 é prática bastante padrão ignorarse a censura Quando a proporção censurada é alta digamos acima de 95 em geral é possível usarse um gráfico de controle np para o monitoramento do número de observações censuradas No entanto há muitas situações em que a proporção de observações censuradas fica entre 50 e 95 e essas abordagens convencionais não se aplicam Steiner e MacKay 2000 desenvolvem gráficos de controle ponderados do valor esperado condicional VEC para esse problema Para o desenvolvimento dos gráficos eles supõem que a quantidade medida x seja normalmente distribuída com média e desvio padrão µ e σ respectivamente O nível de censura é C isto é o valor de medida não é observado exatamente se x exceder C A probabilidade de um valor ser censurado é em que Φ é a função de distribuição cumulativa da normalpadrão e QC é chamada de função de sobrevivência da distribuição Seus gráficos de controle VEC simplesmente substituem cada observação censurada por seu valor esperado condicional Então as médias e os desviospadrão dos subgrupos são calculados e plotados da maneira usual O valor esperado condicional de uma observação censurada é em que ϕzc é a função densidade normal padrão e zc C µσ Assim o dado real usado para a construção dos gráficos de controle é 10117 10118 Os limites de controle para os gráficos de controle VEC dependem do tamanho amostral e da proporção censurada pc A relação é complexa e não leva a uma regra simples tal como o uso dos limites três sigmas Em vez disso os gráficos fornecidos por Steiner e MacKay 2000 que se baseiam em simulação devem ser usados para a determinação dos limites de controle Além disso nas aplicações a média e o desviopadrão µ e σ devem ser estimados Isso é feito na fase I com uso de dados preliminares do processo Para isso os autores fornecem um procedimento de máxima verossimilhança iterativo Monitoramento de Processos de Bernoulli Nesta seção consideramos o monitoramento de uma sequência de variáveis aleatórias independentes de Bernoulli xi i 1 2 em que cada observação é considerada conforme ou não conforme e pode ser codificada como 0 ou 1 Referese a isso como dados de Bernoulli O monitoramento e a análise de dados de Bernoulli são frequentemente realizados com o uso de 100 de inspeção em que todas as unidades são consideradas mas ocorre também uma amostragem intervalar em que as unidades são inspecionadas em períodos determinados Quando o processo está sob controle há uma probabilidade constante p de ocorrência de um item não conforme Na maioria das situações estamos interessados na detecção de um aumento sustentado em p de uma taxa de não conformes sob controle p0 para uma taxa p1 de fora de controle que seja maior do que p0 No entanto há aplicações em que se está interessado na detecção de decréscimos em p0 Szarka e Woodall 2011 fornecem uma revisão aprofundada dos métodos de monitoramento de dados de Bernoulli focalizando a situação de processos de alta qualidade em que p0 é muito pequeno Eles citam 112 referências Processo típicos de alta qualidade têm taxas de 1000 ppm de não conformes a até menos de 100 ppm de não conformes um processo Seis Sigma teria não mais de 34 ppm de não conformes de acordo com a definição da Motorola de um processo Seis Sigma mas em algumas aplicações um valor de p0 005 poderia ser considerado um valor pequeno Veja Goh e Xie 1994 Szarka e Woodall 2011 observam que o gráfico tradicional de Shewhart para a fração não conforme o gráfico p ou o gráfico np é provavelmente insatisfatório Um problema significativo é que a exigência da agregação de dados ao longo do tempo para a obtenção de um subgrupo com n 1 itens resulta em perda de informação e atrasos desnecessários na detecção de mudanças na proporção subjacente Calvin 1991 sugeriu o gráfico de controle do número de itens conformes inspecionados entre sucessivos itens não conformes Esse tipo de gráfico de controle é em geral chamado de gráfico de controle da contagem cumulativa de conformes CCC Gráficos de controle de somas cumulativa ou gráficos de controle MMEP também poderiam ser usados com dados de Bernoulli de alta qualidade No entanto seriam necessários tamanhos amostrais muito grandes para se estimar com precisão o estado sob controle p0 Steiner e MacKay 2004 recomendam a identificação de um processo contínuo ou uma variável do produto que seja relacionada com a produção de itens não conformes e o monitoramento dessa variável Szarka e Woodall 2011 recomendam essa abordagem também desde que tal variável contínua possa ser identificada Gráficos de Controle Não Paramétricos O desempenho da maioria dos gráficos de controle depende da suposição de uma distribuição de probabilidade particular como um modelo para os dados do processo Em geral admitese a distribuição normal e quase toda análise de desempenho relatada na literatura supõe que as observações sejam extraídas de uma distribuição normal No entanto muitos dados de processo não são normalmente distribuídos e assim a robustez dos gráficos de controle a essa suposição tem sido um problema no CEP A robustez do gráfico de Shewhart à normalidade tem sido estudada muito profundamente consulte a Seção 625 Pesquisadores descobriram que alguns gráficos de controle são significantemente afetados pela não normalidade por exemplo o gráfico de controle de Shewhart para observações individuais Como a não normalidade pode afetar o desempenho do gráfico de controle alguns autores desenvolveram gráficos de controle não paramétricos que não dependem da normalidade ou de qualquer outra suposição específica sobre a distribuição A maioria das técnicas de controle estatístico do processo não paramétrico CEPNP depende de postos Procedimentos foram desenvolvidos que são alternativas a muitos gráficos usuais de Shewhart ao CUSUM e ao MMEP Os gráficos de controle da distribuição de referência empírica de Willemain e Runger 1996 que se baseiam em estatísticas de ordem a partir de uma grande amostra de referência também são uma forma de gráficos de controle não 101 paramétricos Há também algum trabalho feito sobre CEPNP multivariado Uma boa revisão de muita literatura nessa área está em Chakraborti Van Der Laan e Bakir 2001 Há pouca evidência de que as técnicas de CEPNP tenham tido aceitação real na prática Como observamos antes um gráfico de controle da MMEP univariado e multivariado como veremos a seguir planejado adequadamente é muito robusto à hipótese de normalidade e tem desempenho muito bom tanto para distribuições simétricas de caudas pesadas quanto para distribuições assimétricas Como o gráfico de MMEP está amplamente disponível em pacotes estatísticos padrão e o MMEP discutido no Capítulo 11 é também de fácil implementação esses gráficos parecem boas alternativas ao CEPNP em muitas situações Termos e Conceitos Importantes Aplicações dos gráficos de controle aos serviços de saúde Autocorrelação positiva Comprimento médio da sequência Dados de processo autocorrelacionados Estatística e gráficos de controle Cuscore Função de autocorrelação Função de autocorrelação amostral Gráficos de controle adaptativos CEP Gráficos de controle de aceitação Gráficos de controle de grupo GCG Gráficos de controle de médias não ponderadas de lotes MNPL Gráficos de controle modificados Gráficos de controle padronizados e R Gráficos de controle para desvios do nominal DNOM Gráficos de controle para resíduos Impacto da autocorrelação sobre os gráficos de controle Modelo autorregressivo de primeira ordem Modelo autorregressivo de segunda ordem Modelo da média móvel de primeira ordem Modelo da média móvel integrada de primeira ordem Modelo de ponto de mudança para monitoramento de processo Modelo de séries temporais Modelo do processo de Shewhart Modelo misto de primeira ordem Modelos ARIMA de média móvel integrada autorregressiva Modelos econômicos de gráficos de controle Monitoramento de perfil Processo de fluxos múltiplos Processos de Bernoulli Exercícios Use os dados da Tabela 10E1 para construir gráficos e R para sequências curtas utilizando a abordagem DNOM As dimensões nominais para cada parte são TA 100 TB 60 TC 75 e TD 50 TABELA 10E1 Dados para o Exercício 101 Número da Amostra Tipo da Peça M1 M2 M3 1 A 105 102 103 2 A 101 98 100 3 A 103 100 99 4 A 101 104 97 5 A 106 102 100 6 B 57 60 59 7 B 61 64 63 8 B 60 58 62 9 C 73 75 77 10 C 78 75 76 11 C 77 75 74 12 C 75 72 79 13 C 74 75 77 14 C 73 76 75 15 D 50 51 49 16 D 46 50 50 17 D 51 46 50 18 D 49 50 53 19 D 50 52 51 20 D 53 51 50 TABELA 10E2 Dados para o Exercício 102 Número da Amostra Tipo da Peça M1 M2 M3 M3 1 A 120 95 100 110 2 A 115 123 99 102 3 A 116 105 114 108 4 A 120 116 100 96 5 A 112 100 98 107 102 103 104 105 106 6 A 98 110 116 105 7 B 230 210 190 216 8 B 225 198 236 190 9 B 218 230 199 195 10 B 210 225 200 215 11 B 190 218 212 225 12 C 2150 2230 1900 1925 13 C 2200 2116 2000 1950 14 C 1900 2000 2115 1990 15 C 1968 2250 2160 2100 16 C 2500 2225 2475 2390 17 C 2000 1900 2230 1960 18 C 1960 1980 2100 2150 19 C 2320 2150 1900 1940 20 C 2162 1950 2050 2125 Use os dados da Tabela 10E2 para construir gráficos apropriados e R para sequências curtas supondo que os desviospadrão da característica medida para cada tipo de peça sejam diferentes As dimensões nominais para cada peça são TA 100 TB 200 e TC 2000 Discuta como você usaria o CUSUM na situação de sequências curtas de produção Que vantagens apresentaria em relação a um gráfico de Shewhart tal como a versão DNOM do gráfico Placas de circuito impresso utilizadas em diferentes dispositivos de aviação são 100 testadas para a localização de defeitos O tamanho do lote para cada tipo de placa é relativamente pequeno e a administração deseja estabelecer o CEP utilizando uma versão para sequências curtas do gráfico c Dados sobre defeitos para as duas últimas semanas de produção são exibidos na Tabela 10E3 Qual gráfico você recomendaria Construa o gráfico e examine o processo para controle Uma máquina tem quatro cabeças De cada uma extraemse amostras de n 3 unidades calculandose os valores de e de R para uma importante característica da qualidade Os dados aparecem na Tabela 10E4 Estabeleça gráficos de controle de grupo para este processo Considere os gráficos de controle de grupos construídos no Exercício 105 Suponha que as 10 amostras seguintes sejam como exibido na Tabela 10E5 Plote os novos dados nos gráficos de controle e discuta seus resultados TABELA 10E3 Dados de Defeitos para o Exercício 104 Dias de Produção Número da Peça Número Total de Defeitos Dias de Produção Número da Peça Número Total de Defeitos 245 1261 16 251 4610 10 1261 10 4610 0 1261 15 1261 20 246 1261 8 1261 21 1261 11 252 1261 15 1385 24 1261 8 1385 21 1261 10 247 1385 28 1130 64 1385 35 1130 75 1261 10 1130 53 248 1261 8 253 1055 16 8611 47 1055 15 8611 45 1055 10 249 8611 53 254 1055 12 8611 41 8611 47 1385 21 8611 60 250 1385 25 255 8611 51 1385 29 8611 57 1385 30 4610 0 4610 6 4610 4 4610 8 TABELA 10E4 Dados para o Exercício 105 Cabeça Número da Amostra 1 2 3 4 R R R R 1 53 2 54 1 56 2 55 3 2 51 1 55 2 54 4 54 4 3 54 2 52 5 53 3 57 2 4 55 3 54 3 52 1 51 5 5 54 1 50 2 51 2 53 1 6 53 2 51 1 54 2 52 2 7 51 1 53 2 58 5 54 1 8 52 2 54 4 51 2 55 2 9 50 2 52 3 52 1 51 3 10 51 1 55 1 53 3 53 5 11 52 3 57 2 52 4 55 1 12 51 2 55 1 54 2 58 2 13 54 4 58 2 51 1 53 1 14 53 1 54 4 50 3 54 2 15 55 2 52 3 54 2 52 6 16 54 4 51 1 53 2 58 5 17 53 3 50 2 57 1 53 1 18 52 1 49 1 52 1 49 2 19 51 2 53 3 51 2 50 3 20 52 4 52 2 50 3 52 2 TABELA 10E5 Dados para o Exercício 106 Cabeça Número da Amostra 1 2 3 4 R R R R 21 50 3 54 1 57 2 55 5 22 51 1 53 2 54 4 54 3 23 53 2 52 4 55 3 57 1 24 54 4 54 3 53 1 56 2 25 50 2 51 1 52 2 58 4 107 a b c 26 51 2 55 5 54 5 54 3 27 53 1 50 2 51 4 60 1 28 54 3 51 4 54 3 61 4 29 52 2 52 1 53 2 62 3 30 52 1 53 3 50 4 60 1 Reconsidere os dados dos Exercícios 105 e 106 Suponha que as medidas do processo sejam valores individuais de dados e não médias de subgrupos Use as observações 120 do Exercício 105 para construir gráficos de controle de grupos apropriados Marque as observações 2130 do Exercício 106 nos gráficos da parte a Discuta seus resultados Utilizando as observações 120 construa um gráfico de controle de medidas individuais utilizando a média TABELA 10E6 Dados para o Exercício 108 Número da Amostra R 1 0549 00025 2 0548 00021 3 0548 00023 4 0551 00029 5 0553 00018 6 0552 00017 7 0550 00020 8 0551 00024 9 0553 00022 10 0556 00028 11 0547 00020 12 0545 00030 13 0549 00031 14 0552 00022 15 0550 00023 16 0548 00021 17 0556 00019 18 0546 00018 d 108 a b 109 a b c 1010 19 0550 00021 20 0551 00022 das leituras em todas as quatro cabeças e um gráfico de controle s utilizando as medidas individuais em cada cabeça Discuta como esses gráficos funcionam em relação ao gráfico de controle de grupos Marque as observações 2130 nos gráficos de controle da parte c e discuta seus resultados Na Tabela 10E6 são dados os valores de e R para 20 amostras de tamanho 5 As especificações para este produto foram fixadas em 0550 002 Construa um gráfico de controle modificado com limites três sigmas supondo que se a verdadeira fração não conforme chegar a 1 o processo será inaceitável Suponha que se a verdadeira fração não conforme do processo chegar a 1 gostaríamos de obter um gráfico de controle de aceitação para detectar esta situação de fora de controle com 090 de probabilidade Construa esse gráfico de controle de aceitação e compareo com o gráfico obtido na parte a A cada meia hora extraise uma amostra de cinco unidades de um processo Sabese que o desviopadrão do processo está sob controle com σ 20 Os valores de para as últimas 20 amostras estão na Tabela 10E7 As especificações para o produto são 40 8 Construa um gráfico de controle modificado para este processo Utilize limites três sigmas no gráfico e admita que a maior fração não conforme tolerável seja de 01 Refaça o gráfico da parte a com limites dois sigmas Há alguma diferença na análise dos dados Suponha que se a verdadeira fração não conforme do processo for de 5 desejemos detectar esta condição com uma probabilidade de 095 Construa o gráfico de controle de aceitação correspondente TABELA 10E7 Dados para o Exercício 109 Número da Amostra Número da Amostra 1 415 11 406 2 427 12 394 3 405 13 386 4 398 14 425 5 416 15 418 6 447 16 407 7 396 17 428 8 402 18 434 9 414 19 420 10 439 20 419 Um processo de fabricação opera sob controle com uma fração não conforme de no máximo 01 que a gerência está disposta a aceitar 95 das vezes entretanto se a fração não conforme aumentar para 2 ou mais a gerência deseja detectar esta mudança com 090 de probabilidade Planeje um gráfico de controle de aceitação apropriado para esse processo 1011 1012 1013 1014 1015 a b c 1016 a b Considere um gráfico de controle modificado com linha central em μ 0 e σ 10 conhecido Se n 5 a fração não conforme tolerável será δ 000135 e os limites de controle estarão em três sigmas esboce a curva CO para o gráfico No mesmo conjunto de eixos esboce a curva CO correspondente ao gráfico com limites dois sigmas Fixamse em 80 001 cm as especificações para o diâmetro de um mancal Utilizamse amostras de tamanho n 8 e um gráfico de controle s revela controle estatístico com a melhor estimativa corrente do desviopadrão populacional sendo s 0001 Se a fração não conforme apenas aceitável for de 0135 determine os limites três sigmas do gráfico de controle modificado para esse processo Devese elaborar um gráfico para uma característica da qualidade que se admite seja normal com desviopadrão de 4 As especificações da característica da qualidade do produto são 50 20 O gráfico de controle deve ser elaborado de modo que se a fração não conforme for de 1 a probabilidade de um ponto situarse dentro dos limites de controle seja de 0995 O tamanho da amostra é n 4 Quais são os limites de controle e a linha central do gráfico Devese elaborar um gráfico para controlar uma característica da qualidade que se supõe distribuída normalmente com desviopadrão de 4 As especificações sobre a característica da qualidade são 800 20 O gráfico de controle deve ser elaborado de modo que se a fração não conforme for de 1 a probabilidade de um ponto situarse dentro dos limites de controle seja de 090 O tamanho da amostra é n 4 Quais são os limites de controle e a linha central do gráfico Uma característica da qualidade distribuída normalmente é controlada por gráficos de controle e R com os parâmetros seguintes n 4 ambos os gráficos estão sob controle Gráfico R Gráfico LSC 18795 LSC 62600 Linha central 8236 Linha central 62000 LIC 0 LIC 61400 Qual é o desviopadrão estimado da característica de qualidade x Se as especificações forem 610 15 qual será a sua estimativa da fração não conforme produzida por este processo quando ele estiver sob controle no nível dado Suponha que queiramos elaborar um gráfico modificado para substituir o gráfico original A média do processo deve ser controlada de modo que a fração não conforme seja inferior a 0005 A probabilidade de um erro tipo I deve ser de 001 Que limites de controle você recomendaria Os dados na Tabela 10E8 são medidas do peso molecular de um polímero tomadas a cada 2 horas ler de cima para baixo e da esquerda para a direita Calcule a função de autocorrelação amostral e dê uma interpretação Construa um gráfico de controle de observações individuais com o desviopadrão estimado utilizando o método da amplitude móvel Como você interpretaria o gráfico Você está satisfeito com esta interpretação TABELA 10E8 Medidas do Peso Molecular de um Polímero 2048 2039 2051 2002 2029 2025 2015 2056 1967 2019 2017 2021 2018 1994 2016 1995 2010 2030 2001 2010 c 1017 1018 1019 1020 a b c 1983 2012 2023 2013 2000 1943 2003 2036 2016 2009 1940 1979 2019 2019 1990 1947 2006 2000 2036 1986 1972 2042 1986 2015 1947 1983 2000 1952 2032 1958 1935 2002 1988 2016 1983 1948 2010 2016 2000 2010 1966 1975 2002 1988 2000 1954 1983 2004 2010 2015 1970 2021 2018 2015 2032 Ajuste um modelo autorregressivo de primeira ordem xt ξ ϕxt1 εt aos dados do peso molecular Estabeleça um gráfico de controle de medidas individuais para os resíduos desse modelo Interprete esse gráfico de controle Considere os dados do peso molecular do Exercício 1016 Construa um gráfico de controle CUSUM para os resíduos do modelo ajustado aos dados na parte c daquele exercício Considere os dados do peso molecular do Exercício 1016 Construa um gráfico de controle MMEP para os resíduos do modelo ajustado aos dados na parte c daquele exercício Estabeleça um gráfico de controle MMEP com linha central móvel para os dados do peso molecular do Exercício 1016 Compareo com o gráfico de controle dos resíduos no Exercício 1016 parte c Os dados na Tabela 10E9 são leituras de concentração de um processo químico feitas a cada 30 minutos ler de cima para baixo e da esquerda para a direita Calcule a função de autocorrelação amostral e dê uma interpretação Construa um gráfico de controle de observações individuais com o desviopadrão estimado pelo método da amplitude móvel Dê uma interpretação desse gráfico de controle Ajuste aos dados um modelo autorregressivo de primeira ordem xt ξ ϕxt1 εt Construa um gráfico de controle de medidas individuais para os resíduos desse modelo Interprete esse gráfico TABELA 10E9 Leituras da Concentração de um Processo Químico 204 190 208 207 200 202 196 209 204 202 201 199 209 201 202 202 203 206 197 207 197 199 200 189 206 201 207 203 189 211 198 204 202 196 205 d 1021 1022 1023 1024 a b c 1025 188 207 195 193 210 195 209 196 193 210 189 205 203 198 198 195 202 196 194 194 192 200 197 198 192 196 208 197 199 189 194 214 203 204 188 196 205 205 200 189 199 211 194 203 194 197 212 199 200 194 197 214 201 197 198 192 210 198 196 196 195 208 202 202 200 Os resíduos do modelo na parte c são não correlacionados Isso tem algum impacto sobre sua interpretação do gráfico de controle da parte c Considere os dados de concentração do Exercício 1020 Construa um gráfico CUSUM para os resíduos do modelo ajustado na parte c daquele exercício Considere os dados de concentração do Exercício 1020 Construa um gráfico de controle MMEP para os resíduos do modelo ajustado na parte c daquele exercício Construa um gráfico de controle MMEP com linha central móvel para os dados de concentração no Exercício 1020 Compareo com o gráfico de controle dos resíduos no Exercício 1020 parte c Os dados na Tabela 10E10 são medidas de temperatura tomadas a cada 2 minutos em um produto químico intermediário ler de cima para baixo e da esquerda para a direita Calcule a função de autocorrelação amostral Interprete os resultados obtidos Construa um gráfico de controle de observações individuais utilizando o método da amplitude móvel para estimar o desviopadrão Interprete os resultados obtidos Ajuste aos dados de temperatura um modelo autorregressivo de primeira ordem xt ξ ϕxt1 εt Construa um gráfico de controle de observações individuais para os resíduos desse modelo Compare este gráfico com o gráfico de observações individuais para os dados originais da parte a Considere os dados de temperatura no Exercício 1024 Elabore um gráfico de controle CUSUM dos resíduos do TABELA 10E10 Medidas de Temperatura para o Exercício 1024 491 526 489 502 528 482 533 496 494 513 490 533 489 492 511 495 527 494 490 512 1026 1027 1028 b c 1029 499 520 496 489 522 499 514 514 495 523 507 517 505 498 517 503 508 511 501 522 510 515 513 518 518 509 501 508 521 505 510 497 498 535 510 510 483 500 533 508 515 491 502 524 510 513 489 506 515 487 520 496 500 529 481 518 501 495 525 483 517 496 489 526 473 526 495 509 528 479 525 488 511 534 475 519 491 508 530 484 modelo ajustado aos dados na parte c daquele exercício Compareo com o gráfico de observações individuais construído com os resíduos Com relação aos dados de temperatura do Exercício 1024 construa um gráfico de controle MMEP para os resíduos do modelo ajustado aos dados na parte c daquele exercício Compareo com o gráfico de observações individuais construído com os resíduos Construa um gráfico de controle MMEP com linha central móvel para os dados de temperatura do Exercício 1024 Compareo com o gráfico de controle dos resíduos no Exercício 1024 parte c a Discuta o uso do método da amplitude móvel para estimar o desviopadrão de um processo quando os dados são autocorrelacionados positivamente Discuta o uso da variância amostral s2 com dados autocorrelacionados positivamente Especificamente se as observações na defasagem i tiverem autocorrelação ρi s2 ainda é uma estimativa não viesada de σ2 Sua resposta na parte b implica que s2 seria realmente na prática uma boa estimativa de σ2 na construção de um gráfico de controle para dados autocorrelacionados A viscosidade de um produto químico é lida a cada 2 minutos Dãose a seguir alguns dados deste processo na Tabela 10E11 ler de cima para baixo e da esquerda para a direita TABELA 10E11 Viscosidade de um Produto Químico 29330 33220 27990 24280 19980 30150 24130 22690 25760 27080 29200 26600 a b c d e f 1030 29000 33660 34300 28860 31030 36580 26410 28270 32680 29040 28780 28170 33560 28080 21280 28580 27500 30280 21710 30760 26750 29350 21470 30620 30550 33600 24710 20840 28940 30290 33610 16560 28500 20110 36540 25230 28190 17510 35700 31790 26130 23710 33680 32520 27790 24220 29290 30280 27630 32430 25120 26140 29890 32440 27230 19030 28180 29390 30610 24340 26650 23450 29060 31530 30010 23620 28480 31950 30800 28120 32010 31680 30450 29940 31890 29100 36610 30560 31720 23150 31400 32300 29090 26740 30830 31580 31920 32440 Há algum problema sério com autocorrelação nesses dados Elabore um gráfico de controle de observações individuais usando a amplitude móvel para estimar a variabilidade do processo Que conclusões você pode tirar desse gráfico Elabore um esquema de controle CUSUM para este processo admitindo que as observações sejam não correlacionadas Qual é o desempenho do CUSUM Construa um gráfico de controle MMEP com λ 015 para o processo Qual é o desempenho desse gráfico Estabeleça um esquema MMEP com linha central móvel para esses dados Suponha que um AR2 seja um modelo razoável para os dados de viscosidade Como você usaria este modelo na elaboração de um mecanismo de controle estatístico do processo para a viscosidade Construa um gráfico de controle apropriado e utilizeo para avaliar o estado corrente do controle estatístico Utilizase um gráfico para manter o controle de um processo Ocorre uma única causa atribuível de magnitude 2σ e o tempo em que o processo permanece sob controle é uma variável aleatória exponencial com média de 100 h a b 1031 a b c 1032 1033 a b 1034 Suponha que os custos de amostragem sejam 050 por amostra e 010 por unidade que a investigação de um alarme falso custe 5 que o custo da localização de uma causa atribuível seja 250 e que seja de 100 o custo horário da penalidade pela operação em condições fora de controle O tempo necessário para se coletar e avaliar uma amostra é 005 h sendo necessárias 2 horas para a localização da causa atribuível Suponha que o processo possa continuar em operação durante a busca da causa atribuível Qual é o custo associado ao planejamento arbitrário n 5 k 3 e h 1 do gráfico de controle Ache o planejamento do gráfico de controle que minimize a função custo dada pela equação 1031 Utilizase um gráfico para manter o controle corrente de um processo Os parâmetros de custo são a1 050 a2 010 a3 25 aʹ3 50 e a4 100 Ocorre uma única causa atribuível de magnitude δ 2 e a duração do processo sob controle é uma variável aleatória exponencial com média de 100 h A extração e o teste da amostra levam 005 h levando 2 h para a localização da causa atribuível Suponha que a equação 1031 seja o modelo apropriado para o processo Calcule o custo do planejamento arbitrário n 5 k 3 e h 1 do gráfico de controle Calcule o custo do planejamento arbitrário n 5 k 3 e h 05 do gráfico de controle Determine o planejamento economicamente ótimo Considere os dados de custo do Exercício 1030 Suponha apropriado o modelo do processo representado pela equação 1031 São necessárias 2 horas para a investigação de um alarme falso o lucro por hora de operação na condição sob controle é de 500 custando 25 a eliminação da causa atribuível Avalie o custo do planejamento arbitrário n 5 k 3 e h 1 do gráfico de controle Utilizase um gráfico para manter o controle corrente de um processo Os parâmetros de custo são a1 2 a2 050 a3 50 aʹ3 75 e a4 200 Ocorre uma única causa atribuível com magnitude δ 1 e a duração do processo sob controle tem distribuição exponencial com média de 100 h Exigese 005 h para a extração e teste da amostra e 1 h para a localização da causa atribuível Avalie o custo do planejamento arbitrário do gráfico com n 5 k 3 e h 05 Ache o planejamento economicamente ótimo Um gráfico de controle para o desgaste de uma ferramenta A cada hora extraise uma amostra de cinco unidades do produto de um processo de produção Obtêmse os resultados exibidos na Tabela 10E12 Suponha que as especificações sobre essa característica da qualidade estejam em 10015 e 10035 Faça o gráfico R para esse processo Elabore um gráfico de controle para monitorar o desgaste da ferramenta TABELA 10E12 Dados sobre Desgaste da Ferramenta Número da Amostra R 1 10020 00008 2 10022 00009 3 10025 00006 4 10028 00007 5 10029 00005 6 10032 00006 Reajuste da Ferramenta 7 10018 00005 8 10021 00006 9 10024 00005 10 10026 00008 11 10029 00005 12 10031 00007 1Na definição original da Motorola de um processo Seis Sigma supõese que a média do processo oscile afastandose até 15σ do alvo desejado Se este for o comportamento efetivo do processo e se este tipo de comportamento for aceitável então os gráficos de controle modificados vão se constituir uma alternativa útil para os gráficos de controle Há também muitos casos em que a média não deve variar mesmo quando Cp ou Cpk for grande Em tais situações devem ser utilizados os gráficos de controle convencionais 2Várias aproximações numéricas são também introduzidas na estrutura efetiva do modelo As aproximações utilizadas são para τ h2 λh212 e para o número esperado de alarmes falsos αeλh1 eλh αλh 111 112 1121 1122 113 1131 1132 114 115 116 117 1171 1172 MS111 ESQUEMA DO CAPÍTULO O PROBLEMA DE CONTROLE DA QUALIDADE MULTIVARIADO DESCRIÇÃO DE DADOS MULTIVARIADOS A Distribuição Normal Multivariada O Vetor Média e a Matriz de Covariância Amostrais O GRÁFICO DE CONTROLE T2 DE HOTELLING Dados Subgrupados Observações Individuais O GRÁFICO DE CONTROLE MMEP MULTIVARIADO AJUSTE DE REGRESSÃO GRÁFICOS DE CONTROLE PARA MONITORAMENTO DA VARIABILIDADE MÉTODOS DE ESTRUTURA LATENTE Componentes Principais Mínimos Quadrados Parciais Material Suplementar para o Capítulo 11 Gráficos de Controle CUSUM multivariados O material suplementar encontrase no site da LTC Editora VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Nos capítulos anteriores abordamos o monitoramento e o controle do processo principalmente sob a perspectiva univariada isto é supusemos que houvesse apenas uma variável de saída do processo ou uma característica da qualidade de interesse Na prática no entanto muitos se não a maioria dos cenários de monitoramento e controle do processo envolvem várias variáveis relacionadas Embora a aplicação de gráficos de controle univariados a cada variável individual seja uma solução possível veremos que isso não é eficaz e pode levar a conclusões errôneas Tornamse necessários métodos multivariados que considerem as variáveis em conjunto Este capítulo apresenta gráficos de controle que podem ser considerados extensões multivariadas de alguns dos gráficos univariados dos capítulos anteriores O gráfico T2 de Hotelling é o análogo do gráfico de Shewhart Discutiremos também uma versão multivariada do gráfico de controle MMEP e alguns métodos de monitoramento da variabilidade no caso multivariado Esses gráficos de controle multivariados funcionam bem quando o número de variáveis do processo não é muito grande digamos 10 ou menos No entanto na medida em que o número de variáveis cresce os gráficos de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 111 controle multivariados tradicionais perdem eficiência em detectar mudanças Uma abordagem muito usada nessas situações é a redução da dimensão do problema Mostramos como isso pode ser feito com as componentes principais Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender por que a aplicação de vários gráficos de controle univariados simultaneamente a características da qualidade relacionadas pode ser um procedimento de monitoramento não satisfatório Compreender como a distribuição normal multivariada é usada como modelo para dados de processo multivariado Saber como estimar o vetor média e a matriz de covariância a partir de uma amostra de observações multivariadas Saber como estabelecer e usar um gráfico de controle quiquadrado Saber como estabelecer e usar um gráfico de controle T2 de Hotelling Saber como estabelecer e usar um gráfico de controle da média móvel exponencialmente ponderada multivariado MMEPM Saber como usar gráficos de controle multivariados para observações individuais Saber como encontrar os limites para as fases I e II de gráficos de controle multivariados Usar gráficos de controle para o monitoramento da variabilidade multivariada Compreender a base do procedimento de ajuste da regressão e ser capaz de aplicar o ajuste de regressão ao monitoramento do processo Compreender a base das componentes principais e como aplicar as componentes principais ao monitoramento do processo O Problema de Controle da Qualidade Multivariado Há muitas situações nas quais é necessário o monitoramento simultâneo ou controle de duas ou mais características da qualidade relacionadas Por exemplo suponha que em um mancal ambos os diâmetros interno x1 e externo x2 determinem o aproveitamento de uma peça Suponha que x1 e x2 tenham distribuições normais independentes Como ambas as características da qualidade são medidas podem ser monitoradas pela aplicação do gráfico usual a cada característica conforme ilustra a Figura 111 O processo é considerado sob controle apenas se as médias amostrais 1 e 2 se localizam dentro de seus respectivos limites de controle Isso é equivalente à plotagem do par de médias 1 2 dentro da região sombreada da Figura 112 O monitoramento dessas duas características da qualidade independentemente pode ser muito enganoso Por exemplo note pela Figura 112 que uma observação parece um pouco incomum em relação às outras Esse ponto estaria dentro dos limites de controle em ambos os gráficos univariados para x1 e x2 todavia quando examinamos as duas variáveis simultaneamente o comportamento incomum do ponto se torna óbvio Além disso note que a probabilidade de 1 ou 2 exceder os limites de controle três sigmas é 00027 No entanto a probabilidade conjunta de ambas as variáveis excederem seus limites de controle simultaneamente quando ambas estão sob controle é 0002700027 000000729 o que é consideravelmente menor que 00027 Ainda mais a probabilidade de que tanto 1 e 2sejam plotados simultaneamente dentro dos limites de controle quando o processo está realmente sob controle é 09973 09973 FIGURA 111 Gráficos de controle para os diâmetros de mancais interno 1 e externo 2 FIGURA 112 Regiões de controle usando limites de controle independentes para 1 e 2 099460729 Portanto o uso de dois gráficos independentes distorceu o monitoramento simultâneo de 1 e 2 levando a que um erro tipo I e a probabilidade de um ponto ser plotado corretamente sob controle não sejam iguais aos 112 1121 seus níveis anunciados para os gráficos de controle individuais No entanto note que como as variáveis são independentes os limites dos gráficos de controle univariados puderam ser ajustados para levar isso em conta Essa distorção no procedimento de monitoramento do processo aumenta na medida em que aumenta o número de características da qualidade Em geral se houver p características da qualidade estatisticamente independentes para um produto particular e se um gráfico com Perro tipo I α for mantido para cada uma então a verdadeira probabilidade de um erro tipo I para o procedimento de controle conjunto é e a probabilidade de que todas as p médias sejam plotadas simultaneamente dentro de seus limites de controle quando o processo está sob controle é Obviamente a distorção no procedimento de controle conjunto pode ser séria mesmo para valores moderados de p Além disso se as p características da qualidade não são independentes o que usualmente ocorre se elas se relacionam com o mesmo produto então as equações 111 e 112 não se verificam e não temos nem mesmo uma maneira fácil de medir a distorção no procedimento de controle conjunto Problemas de monitoramento de processo nos quais o interesse recai sobre várias variáveis relacionadas são algumas vezes chamados de problemas de controle da qualidade multivariados ou de monitoramento do processo O trabalho original em controle da qualidade multivariado foi feito por Hotelling 1947 que aplicou seus procedimentos a dados de visores de bombardeiros durante a Segunda Guerra Mundial Artigos subsequentes sobre procedimentos de controle para várias variáveis relacionadas incluem os de Hicks 1955 Jackson 1956 1959 1985 Crosier 1988 Hawkins 1991 1993b Lowry et al 1992 Lowry e Montgomery 1995 Pignatiello e Runger 1990 Tracy Young e Mason 1992 Montgomery e Wadsworth 1972 e Alt 1985 Esse assunto é de particular importância hoje na medida em que os procedimentos de inspeção automática tornam relativamente fácil a medição de muitos parâmetros em cada unidade do produto manufaturado Por exemplo muitas indústrias químicas e de processamento e fabricantes de semicondutores mantêm rotineiramente bancos de dados sobre a produção com dados sobre o processo e a qualidade em relação a centenas de variáveis Em geral o tamanho total desses bancos de dados é medido em milhões de registros individuais O monitoramento e análise desses dados com procedimentos univariados de CEP são em geral ineficazes Por essa razão o uso de métodos multivariados cresceu muito nos últimos anos Descrição de Dados Multivariados A Distribuição Normal Multivariada No controle estatístico da qualidade univariada em geral usamos a distribuição normal para descrever o comportamento de uma característica da qualidade contínua A função densidade de probabilidade normal univariada é A média da distribuição normal é μ e a variância é σ2 Note que ignorando o sinal de menos o termo no expoente da distribuição normal pode ser escrito como Essa quantidade mede o quadrado da distância padronizada de x à média μ em que pelo termo padronizada queremos dizer que a distância se expressa em unidades de desviopadrão Essa mesma abordagem pode ser usada no caso da distribuição normal multivariada Suponha que tenhamos p variáveis dadas por x1 x2 xp Arranje essas variáveis em um vetor de p componentes xʹ x1 x2 xp Seja μʹ μ1 μ2 μp o vetor das médias dos xs e considere as variâncias e covariâncias das variáveis aleatórias 1122 em x contidas em uma matriz de covariância Σ de dimensão p p Os elementos da diagonal principal de Σ são as variâncias dos xs e os elementos fora da diagonal são as covariâncias Agora a distância generalizada padronizada ao quadrado de x a μ é Obtémse a função de densidade normal multivariada simplesmente pela substituição da distância padronizada na equação 114 pela distância generalizada multivariada da equação 115 e pela mudança do termo constante para uma forma mais geral que torne unitária a área sob a função densidade de probabilidade independentemente do valor de p Portanto a função densidade de probabilidade normal multivariada é em que xj j 12 p A Figura 113 mostra uma distribuição normal multivariada para p 2 variáveis chamada de normal bivariada Note que a função de densidade é uma superfície O coeficiente de correlação entre as duas variáveis nesse exemplo é 08 e isso faz com que a probabilidade se concentre muito próximo de uma reta FIGURA 113 Distribuição normal multivariada com p 2 variáveis normal bivariada O Vetor Média e a Matriz de Covariância Amostrais Suponha que tenhamos uma amostra aleatória de uma distribuição normal multivariada digamos x1 x2 xn em que o io vetor amostral contém as observações sobre cada uma das p variáveis xi1 xi2 xip Então o vetor média amostral é e a matriz de covariância amostral é Isto é as variâncias amostrais na diagonal principal da matriz S são calculadas como 113 1131 e as covariâncias amostrais são Podese mostrar que o vetor média amostral e a matriz de covariância amostral são estimadores não viesados das quantidades populacionais correspondentes isto é E µ e ES O Gráfico de Controle T2 de Hotelling O procedimento mais familiar de monitoramento e controle de um processo multivariado é o gráfico de controle T2 de Hotelling para monitoramento do vetor média do processo Ele é um análogo direto do gráfico de Shewhart univariado Apresentamos duas versões do gráfico T2de Hotelling uma para dados subgrupados e outra para observações individuais Dados Subgrupados Suponha que duas características da qualidade x1 e x2 sejam distribuídas conjuntamente de acordo com a distribuição normal bivariada veja a Figura 113 Sejam μ1 e μ2 os valores médios das características da qualidade e sejam σ1 e σ2 os desviospadrão de x1 e x2 respectivamente A covariância entre x1 e x2 é denotada por σ12 Supomos conhecidas σ1 σ2 e σ12 Se 1 e 2 são as médias amostrais das duas características da qualidade calculadas a partir de uma amostra de tamanho n então a estatística terá uma distribuição quiquadrado com 2 graus de liberdade Essa equação pode ser usada como base de um gráfico de controle para as médias do processo μ1 e μ2 Se as médias do processo permanecerem nos valores μ1 e μ2 então os valores de χ2 0 devem ser menores do que o limite superior de controle LSC χ2 a2 em que χ2 a2 é o ponto percentual α superior da distribuição quiquadrado com 2 graus de liberdade Se pelo menos uma das médias muda para algum novo fora de controle valor então aumenta a probabilidade de que a estatística χ2 0exceda o limite de controle superior O procedimento de monitoramento do processo pode ser representado graficamente Considere o caso em que as duas variáveis aleatórias x1 e x2 são independentes isto é σ12 0 Se σ12 0 então a equação 1111 define uma elipse centrada em μ1 μ2 com eixos principais paralelos aos eixos 1 e 2 conforme mostra a Figura 114 Fazendo χ2 0 na equação 1111 igual a implica que um par de médias amostrais 1 2 que resulte em um valor de χ2 0localizado dentro da elipse indicará que o processo está sob controle enquanto se o valor correspondente de χ2 0 se localizar fora da elipse indicará que o processo está fora de controle A Figura 114 é em geral chamada de elipse de controle No caso em que as duas características da qualidade são dependentes então σ12 0 e a elipse de controle correspondente é exibida na Figura 115 Quando as duas variáveis são dependentes os eixos principais da elipse não são mais paralelos aos eixos Note também que o ponto amostral de número 11 FIGURA 114 Uma elipse de controle para duas variáveis independentes FIGURA 115 Uma elipse de controle para duas variáveis dependentes se localiza fora da elipse de controle indicando a presença de uma causa atribuível embora o ponto 11 esteja dentro dos limites de controle em ambos os gráficos de controle individuais para 1 e 2 Assim não há aparentemente qualquer coisa incomum em relação ao ponto 11 quando as variáveis são consideradas individualmente embora o cliente que receba tal carregamento desse material possa provavelmente observar desempenho diferente no produto É praticamente impossível detectarse uma causa atribuível como essa mantendose gráficos de controle individuais Duas desvantagens estão associadas à elipse de controle A primeira é que se perde a sequência temporal dos pontos plotados Isso poderia ser superado pela numeração dos pontos plotados ou pelo uso de símbolos especiais para representar as observações mais recentes A segunda e mais séria desvantagem é que é difícil construirse a elipse para mais de duas características da qualidade Para evitaremse essas dificuldades costumase plotar os valores de χ2 0 calculados pela equação 1111 para cada amostra em um gráfico de controle com apenas um limite superior de controle em χ2 a2 como mostra a Figura 116 Esse gráfico de controle é usualmente chamado de gráfico de controle qui quadrado Note que a ordem temporal dos dados é preservada por esse gráfico de controle de modo que as sequências ou outros padrões não aleatórios podem ser investigados Além disso tem a vantagem adicional de que o estado do processo é caracterizado por um único número o valor da estatística χ2 0 Isso é particularmente útil quando há duas ou mais características da qualidade de interesse É possível estender esses resultados ao caso em que p características da qualidade são controladas conjuntamente Supõese que a distribuição de probabilidade conjunta das p características da qualidade seja a distribuição normal p variada O procedimento requer o cálculo da média amostral para cada uma das p características da qualidade a partir de uma amostra de tamanho n Esse conjunto de médias de características da qualidade é representado pelo vetor p 1 FIGURA 116 Um gráfico de controle quiquadrado para p 2 características da qualidade A estatística de teste plotada no gráfico de controle quiquadrado para cada amostra é em que μʹ μ1 μ2 μp é o vetor das médias sob controle para cada característica da qualidade e Σ é a matriz de covariância O limite superior no gráfico de controle é Estimando μ e Σ Na prática é em geral necessário estimaremse μ e Σ a partir de uma análise de amostras preliminares de tamanho n tomadas quando se admite que o processo esteja sob controle Suponha que estejam disponíveis m tais amostras As médias e variâncias amostrais são calculadas para cada amostra como usual isto é em que xijk é a iésima observação da jésima característica da qualidade na késima amostra A covariância entre as características da qualidade j e h na késima amostra é Tomamse então as médias das estatísticas s2 jk e sjhk sobre todas as m amostras obtendose e Os j são elementos do vetor e a média S de dimensão p p das matrizes de covariância amostral é construída como A média S das matrizes de covariância amostral é um estimador não viesado de Σ quando o processo está sob controle O Gráfico de Controle T2 Suponha agora que S da equação 1118 seja usada para se estimar Σ e que o vetor seja considerado o valor sob controle do vetor médio do processo Na equação 1112 se substituímos μ por e Σ por S a estatística de teste se torna Nessa forma o procedimento é geralmente chamado de gráfico de controle T2 de Hotelling Esse é um gráfico de controle direcionalmente invariante isto é sua habilidade em detectar uma mudança média no vetor depende apenas da magnitude da mudança e não de sua direção Alt 1985 observou que nas aplicações de controle da qualidade multivariado devese ter cuidado na seleção dos limites de controle para a estatística T2 de Hotelling Equação 1119 dependendo de como o gráfico esteja sendo usado Há duas fases distintas no uso de um gráfico de controle Fase I é o uso dos gráficos para o estabelecimento do controle isto é testar se o processo estava ou não sob controle quando os m subgrupos preliminares foram extraídos e as estatísticas amostrais e S calculadas O objetivo na fase I é a obtenção de um conjunto de observações sob controle de modo que os limites de controle possam ser estabelecidos para a fase II que é o monitoramento da produção futura A análise na fase I é às vezes chamada de análise retrospectiva Os limites de controle para o gráfico de controle T2 na fase I são dados por Na fase II quando o gráfico é usado para o monitoramento da produção futura os limites de controle são os seguintes Note que o LSC na equação 1121 é o LSC da equação 1120 multiplicado por m 1m 1 Quando μ e Σ são estimados a partir de um grande número de amostras preliminares costumase usar LSC χ2 ap como limite superior de controle em ambas as fases I e II A análise retrospectiva das amostras preliminares para o teste do controle estatístico e estabelecimento dos limites de controle também ocorre no ambiente do gráfico de controle univariado Para o gráfico de controle sabese que se usarmos m 20 ou 25 amostras preliminares a distinção entre os limites da fase I e da fase II é em geral desnecessária porque esses limites praticamente coincidirão Em um artigo recente Jensen et al 2006 aponta que mesmo maiores tamanhos amostrais serão necessários para que o desempenho do comprimento médio da sequência CMS seja realmente próximo dos valores antecipados Eles recomendam o uso de quantas amostras forem possíveis na fase I para a estimação dos limites da fase II No entanto devemos ser cuidadosos com os gráficos de controle multivariados Lowry e Montgomery 1995 mostram que em muitas situações é necessário um grande número de amostras preliminares antes que os limites de controle exatos da fase II sejam bem aproximados pelos limites quiquadrado Esses autores apresentam tabelas que indicam o valor mínimo recomendado de m para tamanhos de amostra de n 3 5 e 10 e para p 2 3 4 5 10 e 20 características da qualidade Os valores de m recomendados são sempre superiores a 20 amostras preliminares e frequentemente superiores a 50 amostras Jensen et al 2006 observam que esses tamanhos amostrais recomendados são provavelmente muito pequenos São desejáveis tamanhos amostrais de pelo menos 200 na estimação dos limites da fase II EXEMPLO 111 O Gráfico de Controle T 2 A força de resistência e o diâmetro de uma fibra têxtil são duas características da qualidade importantes que devem ser controladas conjuntamente O engenheiro da qualidade decidiu usar n 10 espécimes de fibra em cada amostra Obteve 20 amostras preliminares e com base nesses dados concluiu que 1 11559 psi 2 106 102 in 123 083 e 12 079 Estabeleça o gráfico de controle T2 SOLUÇÃO A estatística que ele usará com objetivo de controle do processo será FIGURA 117 O gráfico de controle T2 de Hotelling para a força de resistência e o diâmetro Exemplo 111 Os dados usados nessa análise e as estatísticasresumo estão na Tabela 111 painéis a e b A Figura 117 apresenta o gráfico de controle T2 de Hotelling para esse exemplo Consideraremos isso como a fase I estabelecimento do controle estatístico nas amostras preliminares e calcularemos o limite superior de controle pela equação 1120 Se α 0001 então o LSC será Esse limite de controle está exibido no gráfico na Figura 117 Note que nenhum ponto excede esse limite de modo que concluiríamos que o processo está sob controle Os limites de controle da fase II poderiam ser calculados pela equação 1121 Se α 0001 o limite superior de controle é LSC 1516 Se tivéssemos usado o limite de controle aproximado quiquadrado teríamos obtido χ2 00012 13816 que está razoavelmente próximo do limite correto para a fase I mas um tanto pequeno para a fase II A quantidade de dados usados aqui para a estimação dos limites da fase II é muito pequena e se as amostras subsequentes continuarem a exibir controle os novos dados devem ser usados para a revisão dos controles TABELA 111 Dados para o Exemplo 111 Médias a Variâncias e Covariâncias b Estatística do Gráfico de Controle c Número da Amostra k Força de Resistência 1k Diâmetro 2k Sk 1 11525 104 125 087 080 216 045 2 11591 106 126 085 081 214 041 3 11505 109 130 090 082 677 050 4 11621 105 102 085 081 829 021 5 11590 107 116 073 080 189 021 6 11555 106 101 080 076 003 023 7 11498 105 125 078 075 754 041 8 11525 110 140 083 080 301 052 9 11615 109 119 087 083 592 035 10 11592 105 117 086 095 241 010 11 11575 099 145 079 078 113 054 12 11490 106 124 082 081 996 036 13 11601 105 126 055 072 386 017 14 11583 107 117 076 075 111 033 15 11529 111 123 089 082 256 042 16 11563 104 124 091 083 008 044 17 11547 103 120 095 070 019 065 18 11558 105 118 083 079 000 036 19 11572 106 131 089 076 035 059 20 11540 104 129 085 068 062 063 Médias 1 11559 2 106 123 083 12 079 O interesse industrial generalizado no controle da qualidade multivariado tem levado à inclusão do gráfico de controle T2 de Hotelling em alguns programas Esses programas devem ser usados com cuidado pois usam algumas vezes a fórmula incorreta para o cálculo dos limites de controle Especificamente alguns pacotes usam Esse limite de controle é obviamente incorreto Essa é a região crítica correta a ser usada no teste de hipótese estatística multivariado para o vetor média μ quando uma amostra de tamanho m é extraída aleatoriamente de uma distribuição normal pdimensional mas não se aplica diretamente ao gráfico de controle Interpretação dos Sinais de Fora de Controle Uma dificuldade encontrada ao se lidar com qualquer gráfico de controle multivariado é a interpretação prática de um sinal de fora de controle Especificamente qual das p variáveis ou qual subconjunto delas é responsável pelo sinal Essa pergunta nem sempre é fácil de ser respondida A práticapadrão consiste na plotagem de gráficos univariados para as variáveis individuais x1 x2 xp No entanto essa abordagem pode não ser bemsucedida pelas razões anteriormente discutidas Alt 1985 sugere o uso de gráficos com limites de controle do tipo Bonferroni isto é substitua Zα2 no cálculo do limite de controle do gráfico por Zα2p Essa abordagem reduz o número de alarmes falsos associados ao uso de muitos gráficos de controle univariados simultâneos Hayter e Tsui 1994 estendem essa ideia dando um procedimento para intervalos de confiança simultâneos exatos Tal procedimento pode também ser usado em situações em que a hipótese de normalidade não é válida Jackson 1980 recomenda o uso dos gráficos de controle baseados nas p componentes principais que são combinações lineares das variáveis originais Na Seção 117 discutemse as componentes principais A desvantagem dessa abordagem é que as componentes principais nem sempre fornecem uma interpretação clara da situação em relação às variáveis originais Entretanto são eficazes no diagnóstico de um sinal de fora de controle particularmente em casos em que as componentes principais realmente têm uma interpretação em termos das variáveis originais Outra abordagem muito útil para o diagnóstico de um sinal de fora de controle é a decomposição da estatística T2 em componentes que refletem a contribuição de cada variável individual Se T2 for o valor corrente da estatística e for o valor da estatística para todas as variáveis do processo exceto a iésima então Runger Alt e Montgomery 1996b vão mostrar que 1132 é um indicador da contribuição relativa da ia variável para a estatística global Quando um sinal de fora de controle é gerado recomendamos calcular os valores de di i 1 2 p e concentrar a atenção nas variáveis para as quais os di são relativamente grandes Esse procedimento tem uma vantagem adicional pois os cálculos podem ser realizados por programas computacionais comuns Para ilustrar esse procedimento considere o seguinte exemplo de Runger Alt e Montgomery 1996a Há p 3 características da qualidade e a matriz de covariância é conhecida Suponha que todas as três variáveis tenham sido escalonadas como segue Esse escalonamento resulta em que cada variável do processo tenha média zero e variância um Portanto a matriz de covariância Σ está na forma de correlação isto é os elementos da diagonal principal são todos iguais a um e os elementos fora da diagonal são as correlações aos pares entre as variáveis do processo os xs Em nosso exemplo O valor sob controle da média do processo é μʹ 0 0 0 Considere a seguinte apresentação Vetor de Observação yʹ Estatística do Gráfico de Controle di T2 T2 i d2 d1 d2 d3 2 0 0 2714 2714 609 609 1 1 1 2679 679 679 2573 1 1 0 2000 1474 1474 0 05 05 1 1500 369 368 1474 Como Σ é conhecida podemos calcular o limite superior de controle para o gráfico a partir de uma distribuição qui quadrado Escolheremos χ2 00053 1284 como o limite superior de controle Claramente todos os quatro vetores de observação na representação anterior gerariam um sinal de fora de controle Runger Alt e Montgomery 1996b sugerem que um corte aproximado para a magnitude de um di individual seja χ2 a1 Selecionando α 001 encontraríamos χ2 0011 663 de modo que qualquer di que excedesse esse valor seria considerado um grande colaborador A estatística de decomposição di calculada acima dá uma diretriz clara sobre quais variáveis mudaram no vetor de observação Outros diagnósticos têm sido sugeridos na literatura Por exemplo Murphy 1987 e Chua e Montgomery 1992 desenvolveram procedimentos baseados na análise discriminante uma técnica estatística para a classificação de observações em grupos Tracy Mason e Young 1996 usam também as decomposições de T2 com objetivo de diagnóstico mas seu procedimento requer cálculos mais extensos e usa decomposições mais elaboradas do que a equação 1122 Observações Individuais Em alguns ambientes industriais o tamanho do subgrupo é naturalmente n 1 Essa situação ocorre frequentemente nas indústrias químicas e de processamento Como essas indústrias têm em geral múltiplas características da qualidade a serem monitoradas os gráficos de controle multivariado com n 1 são de interesse Suponha que estejam disponíveis m amostras cada uma de tamanho n 1 e que p seja o número de características da qualidade observadas em cada uma delas Sejam e S respectivamente o vetor média amostral e a matriz de covariância amostral dessas observações A estatística T2 de Hotelling na equação 1119 se torna Os limites de controle da fase II para essa estatística são Quando o número m de amostras preliminares é grande digamos m 100 muitos usam um limite de controle aproximado ou ou Para m 100 a equação 1125 é uma aproximação razoável O limite quiquadrado na equação 1126 é apropriado apenas se a matriz de covariância for conhecida muito embora seja amplamente usado como uma aproximação Lowry e Montgomery 1995 mostram que o limite quiquadrado deve ser usado com cautela Se p for grande digamos p 10 então devemse tomar no mínimo 250 amostras m 250 antes que o limite de controle superior quiquadrado se torne uma aproximação razoável do valor correto Tracy Young e Mason 1992 enfatizam que se n 1 os limites da fase I devem basearse em uma distribuição beta Isso levaria a que os limites da fase I fossem definidos como em que βαp2mp12 é o ponto percentual α superior de uma distribuição beta com parâmetros p2 e m p 12 Aproximações para os limites da fase I com base em distribuições F e quiquadrado serão provavelmente imprecisas Um problema significativo no caso de observações individuais é a estimação da matriz de covariância Σ Sullivan e Woodall 1995 fornecem uma excelente discussão e análise desse problema e comparam vários estimadores Veja também Vargas 2003 e Williams Woodall Birch e Sullivan 2006 Um desses é o estimador usual obtido pela simples combinação de todas as m observações ou seja Assim como no caso univariado com n 1 esperaríamos que S1 fosse sensível a valores atípicos ou observações fora de controle na amostra original de n observações O segundo estimador originalmente sugerido por Holmes e Mergen 1993 usa a diferença entre pares sucessivos de observações Arranjemos agora esses vetores em uma matriz V em que O estimador para Σ é a metade da matriz de covariância amostral dessas diferenças Originalmente Sullivan e Woodall 1995 denotaram esse estimador por S5 A Tabela 112 mostra o exemplo de Sullivan e Woodall 1995 no qual eles aplicam o procedimento do gráfico T2 aos dados de Holmes e Mergen 1993 Há 56 observações na composição de granulação em que G M e P denotam as porcentagens classificadas como grande média e pequena respectivamente Apenas os dois primeiros componentes foram usados porque todas essas porcentagens somam 100 O vetor média desses dados é 5682 8822 As duas matrizes de covariância amostrais são A Figura 118 mostra gráficos de controle T2 desse exemplo Sullivan e Woodall 1995 usaram métodos de simulação para achar os limites de controle exatos para esse conjunto de dados a probabilidade de alarme falso é de 0155 Williams et al 2006 observam que a distribuição assintótica grande amostra da estatística T2 usando S2 é χ 2 p Eles também discutem distribuições aproximadoras No entanto o uso de simulação para a determinação dos limites de controle é uma abordagem razoável Note que apenas o gráfico de controle na Figura 118b baseouse em sinais S2 Resulta que se consideramos apenas as amostras 124 o vetor média amostral é 124 423908 e se consideramos apenas as últimas 32 observações 2526 677863 Esses são resultados estatisticamente diferentes enquanto as matrizes de covariância dentro não são significativamente diferentes Há uma aparente mudança no vetor média em seguida à amostra 24 e isso foi corretamente detectado pelo gráfico de controle baseado em S2 TABELA 112 Exemplo de Sullivan e Woodall 1995 Usando os Dados de Holmes e Mergen 1993 e a Estatística T2 Usando os Estimadores S1 e S2 i G xi1 M xi2 P xi3 T2 1i T2 2i i G xi1 M xi2 P xi3 T2 1i T2 2i 1 54 936 10 4496 6439 29 74 836 90 1594 3261 2 32 926 42 1739 4227 30 68 848 84 0912 1743 3 52 917 31 1460 2200 31 63 871 66 0110 0266 4 35 869 96 4933 7643 32 61 872 67 0077 0166 5 29 904 67 2690 5565 33 66 873 61 0255 0564 6 46 921 33 1272 2258 34 62 848 90 1358 2069 7 44 915 41 0797 1676 35 65 874 61 0203 0448 8 50 903 47 0337 0645 36 60 868 72 0193 0317 9 84 851 65 2088 4797 37 48 888 64 0297 0590 10 42 897 61 0666 1471 38 49 898 53 0197 0464 11 38 925 37 1368 3057 39 58 869 73 0242 0353 12 43 918 39 0951 1986 40 72 838 90 1494 2928 13 37 917 46 1105 2688 41 56 892 52 0136 0198 14 38 903 59 1019 2317 42 69 845 86 1079 2062 15 26 945 29 3099 7262 43 74 844 82 1096 2477 16 27 945 28 3036 7025 44 89 843 68 2854 6666 17 79 887 34 3803 6189 45 109 822 69 7677 17666 18 66 846 88 1167 1997 46 82 898 20 6677 10321 19 40 907 53 0751 1824 47 67 904 29 2708 3869 20 25 902 73 3966 7811 48 59 901 40 0888 1235 21 38 927 35 1486 3247 49 87 836 77 2424 5914 22 28 915 57 2357 5403 50 64 880 56 0261 0470 23 29 918 53 2094 4959 51 84 847 69 1995 4731 24 33 906 61 1721 3800 52 96 806 98 4732 11259 25 72 873 55 0914 1791 53 51 930 19 2891 4303 26 73 790 137 9226 14772 54 50 914 36 0989 1609 27 70 826 104 2940 4904 55 50 862 88 1770 2495 28 60 835 105 3310 4771 56 59 872 69 0102 0166 114 FIGURA 118 Gráficos de controle T2 para os dados da Tabela 112 O Gráfico de Controle MMEP Multivariado Os gráficos quiquadrado e T2 descritos na seção anterior são gráficos de controle do tipo Shewhart Isto é usam informação apenas da amostra corrente e são consequentemente relativamente insensíveis a mudanças pequenas e moderadas no vetor média Como observamos o gráfico T2 pode ser usado em ambas as situações das fases I e II Os gráficos de controle de somas cumulativas CUSUM e MMEP foram desenvolvidos para oferecer maior sensitividade a pequenas mudanças no caso univariado e podem ser estendidos aos problemas de controle de qualidade multivariados1 Assim como no caso univariado a versão multivariada desses gráficos é um procedimento da fase II Crosier 1998 e Pignatiello e Runger 1990 propuseram vários procedimentos CUSUM multivariados Lowry et al 1992 desenvolveram um gráfico de controle MMEP multivariado MMEPM O MMEPM é uma extensão lógica do MMEP univariado e é definido como se segue em que 0 λ 1 e Z0 0 A quantidade plotada no gráfico de controle é em que a matriz de covariância é que é análoga à variância do MMEP univariado Prabhu e Runger 1997 deram uma análise completa do desempenho do comprimento médio da sequência do gráfico de controle MMEPM usando uma modificação da abordagem por cadeias de Markov de Brook e Evans 1972 Eles dão tabelas e gráficos para orientar a seleção do limite superior de controle digamos LSC H para o MMEPM As Tabelas 113 e 114 contêm essa informação A Tabela 113 mostra o desempenho do CMS para o MMEPM para vários valores de λ para p 2 4 6 10 e 15 características da qualidade O limite de controle H foi escolhido para dar CMS0 200 sob controle Os CMSs nessa tabela são todos de estado zero isto é supomos que o processo esteja sob controle quando se inicia o gráfico O tamanho da mudança é reportado em termos de uma quantidade usualmente chamada de parâmetro de não centralidade Basicamente valores grandes de δ correspondem a mudanças maiores na média O valor δ 0 é o estado sob controle isto é verdade porque o gráfico de controle pode ser construído usandose dados padronizados Note que para um dado tamanho de mudança os CMSs geralmente tendem a crescer na medida em que λ cresce exceto para valores muito grandes de δ ou grandes mudanças Como o MMEPM com λ 1 é equivalente ao gráfico de controle T2 ou quiquadrado o gráfico de controle MMEPM é mais sensível a mudanças menores Isso é análogo ao caso univariado Como o MMEPM é um procedimento direcionalmente invariante tudo de que precisamos para a caracterização de seu desempenho para qualquer mudança no vetor média é o valor correspondente de δ A Tabela 114 apresenta planejamentos de gráficos MMEPM ótimos para várias mudanças δ e valoresalvo sob controle de CMS0 de 500 ou 1000 CMSmin é o valor mínimo alcançado de CMS1 para o valor especificado de λ Para ilustrar o planejamento de um gráfico de controle MMEPM suponha p 6 e que a matriz de covariância seja Note que Σ está na forma de correlação Suponha que estejamos interessados em uma mudança no processo de μʹ 0 para μʹ 111111 Isto é essencialmente uma mudança de um sigma para cima em todas as p 6 variáveis Para essa mudança δ μʹ1μ12 186 A Tabela 113 sugere que λ 02 e H 1751 resultariam em um CMS0 200 sob controle e o CMS1 estaria entre 488 e 732 Acontece que se a média muda por um múltiplo constante digamos k do vetor original μ então δ muda para kδ Portanto é fácil avaliarse o desempenho do CMS Por exemplo se k 15 então o novo δ é δ 15186 279 e o CMS1 estaria entre 303 e 488 Os gráficos de controle MMEPM fornecem um procedimento muito útil São de aplicação relativamente fácil e regras de planejamento para esses gráficos são bem documentadas Molnau Runger Montgomery et al 2001 fornecem um programa de computador para o cálculo dos CMSs para o MMEPM Isso seria um modo útil para suplementar a informação sobre planejamento no artigo de Prabhu e Runger 1997 Scranton et al 1996 mostram que o desempenho do CMS do gráfico de controle MMEPM pode ser melhorado ainda mais aplicandoo a apenas as componentes principais importantes das variáveis monitoradas Componentes principais são discutidas na Seção 1171 Reynolds e Cho 2006 desenvolveram procedimentos MMEPM para monitoramento simultâneo do vetor média e da matriz de covariância Modelos econômicos do MMEPM são discutidos por Linderman e Love 2000a 2006b e Molnau Montgomery e Runger 2001 Os gráficos de controle MMEPM como seus análogos univariados são robustos à hipótese de normalidade se adequadamente planejados Stoumbos e Sullivan 2002 e Testik Runger e Borror 2003 relatam que pequenos valores do parâmetro λ resultam em um MMEPM que é muito insensível à forma da distribuição multivariada subjacente dos dados do processo Pequenos valores de λ fornecem também uma boa escolha geral para o MMEPM Uma ampla discussão das estratégias de planejamento para o gráfico de controle MMEPM está em Testik e Borror 2004 Hawkins Choi e Lee 2007 propuseram recentemente uma modificação do gráfico de controle MMEPM na qual o uso de uma única constante suavizadora λ é generalizado para uma matriz suavizadora que tem elementos não nulos na diagonal O esquema MMEPM na equação 1130 se torna Zi Rxi IRZi1 TABELA 113 Comprimento Médio de Sequência estado zero para o Gráfico de Controle MMEPM de Prabhu e Runger 1997 λ p δ 005 010 020 030 040 050 060 080 H 735 864 965 1008 1031 1044 1052 1058 2 00 19993 19998 19991 19982 19983 20016 20004 20020 05 2661 2807 3517 4410 5382 6407 7450 9588 10 1123 1015 1020 1136 1326 1588 1924 2865 15 714 611 549 548 578 636 725 1028 20 528 442 378 356 353 362 384 479 30 356 293 242 220 205 195 190 191 H 1122 1273 1387 1434 1458 1471 1478 1485 4 00 19984 20012 19994 19991 19996 20005 19999 20005 05 3229 3511 4630 5928 7243 8528 9756 12027 10 1348 1217 1267 1481 1812 2254 2806 4258 15 854 722 653 668 731 840 1003 1540 20 631 519 441 420 424 448 493 675 30 423 341 277 250 236 227 224 237 H 1460 1627 1751 1801 1826 1839 1847 1854 6 00 20011 20003 20011 20018 19981 20001 19987 20017 05 3639 4038 5471 7030 8510 9901 11165 13391 10 1508 1366 1463 1771 2227 2822 3544 5351 15 954 801 732 765 860 1020 1253 2005 20 705 574 488 468 480 520 589 860 30 472 376 303 272 258 251 251 277 H 2072 2267 2407 2462 2489 2503 2511 2517 10 00 19991 19995 20008 20001 19998 19984 20012 20000 05 4249 4852 6725 8658 10205 11625 12882 14896 10 1748 1598 1792 2272 2947 3781 4754 6791 15 1104 923 858 928 1091 1349 1717 2833 20 815 657 560 547 577 648 768 1215 30 545 428 343 307 293 290 297 354 H 2782 3003 3159 3219 3248 3263 3271 3279 15 00 19995 19989 20008 20003 19996 19991 19993 20016 05 4820 5619 7841 9854 11536 12936 14110 15955 10 1977 1828 2140 2806 3696 4744 5903 8386 15 1246 1041 989 1108 1353 1726 2238 3707 20 920 736 632 630 684 797 980 1636 30 616 478 380 343 329 331 349 449 Os autores restringem os elementos de R de modo que os elementos da diagonal sejam iguais e sugerem também que os elementos fora da diagonal digamos rfora sejam iguais e menores em magnitude do que os elementos da diagonal digamos rdentro Eles propõem a escolha de rfora crdentro com c 1 Então a matriz MMEPM suavizada completa MMEPC é caracterizada pelos parâmetros λ e c e os elementos da diagonal e fora da diagonal definidos como O MMEPC não é um procedimento direcionalmente invariante como os gráficos de controle T2 de Hotelling e o MMEP Isto é eles são mais sensíveis a mudanças em certas direções do que em outras O desempenho exato do MMEPC depende da matriz de covariância dos dados do processo e da direção da mudança no vetor média Há um programa computacional para ajudar no planejamento do MMEPC para obter o desempenho específico da CMS veja wwwstatumneduhawkins Os autores mostram que o MMEPC pode melhorar o desempenho do MMEPM particularmente nos casos em que o processo se inicia em um estado fora de controle TABELA 114 Gráficos de Controle MMEPM Ótimos De Prabhu e Runger 1997 p 4 p 10 p 20 δ CMS0 500 1000 500 1000 500 1000 05 λ 004 003 003 0025 003 0025 H 1337 1468 2269 2270 3709 3963 CMSmín 4222 4986 5594 6615 7020 8377 10 λ 0105 009 0085 0075 0075 0065 H 1526 1679 2542 2738 4009 4247 CMSmín 1460 1652 1929 2174 2451 2765 15 λ 018 018 016 014 014 012 H 1603 1771 2658 2846 4154 4380 CMSmín 765 850 1001 1107 1270 1401 115 20 λ 028 026 024 022 020 018 H 1649 1806 2711 2902 4215 4445 CMSmín 482 530 625 684 788 860 30 λ 052 046 042 040 036 034 H 1684 1837 2755 2945 4280 4508 CMSmín 255 277 324 350 404 435 Nota CMS0 e CMSmín são comprimentos médios de sequência do estado zero Ajuste de Regressão O gráfico de controle T2 de Hotelling e quiquadrado se baseia na ideia geral de testar a hipótese de que o vetor média de uma distribuição normal multivariada seja igual a um vetor constante contra a hipótese alternativa de que o vetor média não é igual àquela constante De fato é uma estatística de teste ótima para aquela hipótese No entanto não é necessariamente um procedimento ótimo de gráfico de controle para a detecção de mudanças na média O MMEPM pode ser planejado para ter uma capacidade de detecção mais rápida menores valores de CMS1 Além disso o T2 de Hotelling não é ótimo para mudanças mais estruturadas na média tais como mudanças em apenas algumas das variáveis do processo Resulta também que o T2 de Hotelling e qualquer método que use a estrutura de forma quadrática da estatística de teste do T2 de Hotelling tal como o MMEPM serão sensíveis a mudanças na variância bem como na média Consequentemente vários pesquisadores desenvolveram métodos para o monitoramento de processos multivariados que não dependam da estatística de teste T2 de Hotelling Hawkins 1991 desenvolveu um procedimento chamado de ajuste de regressão que é potencialmente muito útil O esquema consiste essencialmente na plotagem de gráficos de controle univariados para os resíduos de cada variável obtidos quando aquela variável é regredida sobre todas as outras Os gráficos de controle de resíduos são bastante aplicáveis a medidas individuais um caso que ocorre frequentemente na prática com dados multivariados A implementação é imediata uma vez que requer apenas um programa de computador de regressão de mínimos quadrados para processar os dados antes da construção dos gráficos de controle Hawkins mostra que o desempenho do CMS desse esquema é muito competitivo em relação a outros métodos mas depende dos tipos de gráficos de controle aplicados aos resíduos Uma aplicação muito importante do ajuste de regressão ocorre quando o processo tem uma hierarquia distinta de variáveis tal como um conjunto de variáveis de entrada do processo digamos os xs e um conjunto de variáveis de saída digamos os ys Algumas vezes chamamos essa situação de processo em cascata Hawkins 1993b A Tabela 115 mostra 40 observações de um processo em cascata onde há nove variáveis de entrada e duas variáveis de saída Demonstraremos a abordagem do ajuste de regressão usando apenas uma das variáveis de saída y1 A Figura 119 é um gráfico de controle para observações individuais e um gráfico de controle da amplitude móvel para as 40 observações para a variável de saída y1 Note que há sete pontos fora de controle no gráfico de controle para as observações individuais Usando a técnicapadrão de regressão de mínimos quadrados podemos ajustar o seguinte modelo de regressão para y1 às variáveis do processo x1 x2 x9 y 1 826 0474x1 141x2 0117x3 00824x4 239x5 130x6 218x7 298x8 113x9 Encontramse os resíduos simplesmente subtraindose o valor ajustado por essa equação de cada observação correspondente sobre y1 Esses resíduos estão mostrados na penúltima coluna da Tabela 115 A Figura 1110 mostra um gráfico de controle para observações individuais e um gráfico de controle da amplitude móvel para os 40 resíduos desse procedimento Note que há agora apenas um ponto fora de controle no gráfico da amplitude móvel e a impressão geral sobre a estabilidade do processo é bem diferente da obtida pelos gráficos de controle para y1 apenas sem se levar em conta os efeitos das variáveis do processo TABELA 115 Dados de um Processo em Cascata Observação x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 y1 Resíduos y2 1 1278 015 91 56 154 738 175 589 111 9515 081498 87 2 1497 01 90 49 154 714 171 591 1109 9522 031685 88 3 1543 007 90 41 147 733 164 592 1104 9523 028369 86 4 1495 012 89 43 154 721 193 571 1103 9518 045924 89 5 1617 01 83 42 167 723 186 563 1103 9523 056512 86 6 1725 007 84 54 149 715 168 58 1099 9522 022592 91 7 1657 012 89 61 164 723 182 588 1096 9502 055431 99 8 1931 008 99 60 146 774 169 613 1092 9505 018874 100 9 1875 004 99 52 189 757 202 627 1084 9506 015245 103 10 1699 009 98 57 166 751 182 638 1086 9498 033580 107 11 182 013 98 49 166 727 192 63 1089 9512 085525 98 12 162 016 97 52 216 721 234 607 1089 9506 047027 96 13 1472 012 82 61 149 733 172 601 1092 9489 174107 93 14 1442 013 81 63 116 75 15 611 1094 9517 062057 91 15 1102 01 83 56 156 714 173 614 1102 9515 072583 91 16 982 01 86 53 126 732 154 615 1112 9513 003421 93 17 1141 012 87 49 129 722 157 613 1114 9529 028093 91 18 1474 01 81 42 155 717 177 628 1114 9539 187257 94 19 145 008 84 53 157 723 169 628 1109 9533 020805 96 20 1471 009 89 46 145 723 167 612 1108 9526 066749 94 21 1526 013 91 47 174 728 198 619 1105 9523 075390 99 22 173 012 95 47 157 718 186 606 1098 9526 003479 95 23 1762 006 95 42 205 715 214 616 1096 9529 024439 92 24 1821 006 93 41 146 728 161 611 1096 9539 067889 87 25 1438 01 90 46 142 729 173 613 11 9542 194313 89 26 1213 014 87 50 176 721 19 631 1112 9519 092344 98 27 1272 01 90 47 152 725 179 625 1112 9523 074707 95 28 1742 01 89 51 133 738 151 601 1111 9537 021053 88 29 1763 011 87 45 151 742 168 611 1103 9547 066802 86 30 1617 005 83 57 141 735 162 614 1105 9546 135076 84 31 1688 016 86 58 21 715 228 642 1105 9548 061137 91 32 1387 016 85 46 21 711 216 644 1106 9544 056960 92 33 1456 005 84 41 134 714 151 624 1113 955 009131 88 34 1535 012 83 40 152 708 181 6 1114 9565 103785 83 35 1591 012 81 45 176 726 19 607 1116 9553 007282 83 36 1432 011 85 47 158 715 172 602 1113 9542 053440 86 37 1543 013 86 43 146 715 173 611 1115 9554 016379 85 38 1447 008 85 54 162 71 178 615 1118 9538 037110 88 39 1474 007 84 52 147 724 166 589 1112 9532 017177 83 40 1628 013 86 49 172 705 189 591 1109 9542 047427 85 FIGURA 119 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para y1 da Tabela 115 116 FIGURA 1110 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para os resíduos da regressão sobre y1 Tabela 115 O ajuste de regressão tem outra boa característica Se o conjunto apropriado de variáveis é incluído no modelo de regressão os resíduos do modelo serão tipicamente não correlacionados mesmo que a variável de interesse original y1 tenha exibido correlação Para ilustrar a Figura 1111 é a função de autocorrelação amostral para y1 Note que há considerável correlação nas defasagens baixas nessa variável Esse é um comportamento bastante típico para dados de uma indústria química ou de processamento A Figura 1112 mostra a função de autocorrelação amostral para os resíduos Não há evidência de autocorrelação nos resíduos Por causa dessa boa característica o procedimento de ajuste de regressão tem muitas aplicações possíveis nas indústrias químicas e de processamento onde há frequentemente processos em cascata com várias entradas e apenas poucas saídas e onde muitas das variáveis são altamente autocorrelacionadas FIGURA 1111 Função de autocorrelação amostral para y1 da Tabela 115 FIGURA 1112 Função de autocorrelação amostral para os resíduos da regressão sobre y1 Tabela 115 Gráficos de Controle para Monitoramento da Variabilidade O monitoramento de processos multivariados requer atenção em dois níveis É importante monitorarse o vetor média do processo μ no caso multivariado e é importante monitorarse a variabilidade do processo A variabilidade do processo é resumida pela matriz de covariância p p Σ Os elementos da diagonal principal dessa matriz são as variâncias das variáveis individuais do processo e os elementos fora da diagonal são as covariâncias Alt 1985 dá uma boa introdução ao problema e apresenta dois procedimentos úteis O primeiro procedimento é uma extensão direta do gráfico de controle univariado s2 O procedimento é equivalente a testes de significância repetidos da hipótese de que a matriz de covariância do processo é igual a uma matriz de constantes particular Σ Se essa abordagem for usada a estatística plotada no gráfico de controle para a iésima amostra é em que Ai n 1Si Si é a matriz de covariância amostral para a amostra i e tr é o operador traço O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal Se o valor de Wié plotado acima do limite superior de controle LSC χ2 app 12 o processo está fora de controle A segunda abordagem se baseia na variância amostral generalizada S Essa estatística que é o determinante da matriz de covariância amostral é uma medida amplamente usada para a dispersão multivariada Montgomery e Wadsworth 1972 usaram uma aproximação normal assintótica para desenvolver um gráfico de controle para S Outro método seria o uso da média e da variância de S isto é ES e VS e da propriedade de que a maior parte da distribuição de probabilidade de S está contida no intervalo ES 3 Podese mostrar que e VS b2Σ2 em que e Portanto os parâmetros do gráfico de controle para S seriam O limite inferior de controle na equação 1136 será substituído por zero se o valor calculado for menor do que zero Na prática Σ usualmente será estimada por uma matriz de covariância S baseada na análise de amostras preliminares Se esse for o caso devemos substituir Σ na equação 1136 por Sb1 uma vez que a equação 1135 mostrou que Sb1 é um estimador não viesado de Σ EXEMPLO 112 Monitoramento da Variabilidade Use os dados do Exemplo 111 e construa um gráfico de controle para a variância generalizada SOLUÇÃO Com base nas 20 amostras preliminares da Tabela 111 a matriz de covariância amostral é e s 03968 As constantes b1 e b2 são lembrese de que n 10 117 Portanto substituindo na equação 1136 Σ por Sb1 03968 08889 04464 encontramos que os parâmetros do gráfico de controle são A Figura 1113 apresenta o gráfico de controle Os valores de Si para cada amostra são mostrados na última coluna do painel c da Tabela 111 FIGURA 1113 Um gráfico de controle para a variância amostral generalizada Exemplo 112 Embora a variância amostral generalizada seja uma medida da dispersão multivariada amplamente usada lembrese de que é uma representação escalar relativamente simplista de um problema multivariado complexo e é fácil nos enganarmos se olhamos apenas para Si Por exemplo considere as três matrizes de covariância Agora S1 S2 S3 1 e no entanto as três matrizes transmitem informação consideravelmente diferente sobre a variabilidade do processo e sobre a correlação entre as duas variáveis Provavelmente é uma boa ideia o uso de gráficos de controle univariados para a variabilidade em conjunção com o gráfico de controle para S Métodos de Estrutura Latente Os procedimentos de gráfico de controle multivariado convencionais são razoavelmente eficazes desde que p o número de variáveis do processo a serem monitoradas não seja muito grande No entanto na medida em que p aumenta o 1171 desempenho do comprimento médio da sequência para detectar uma mudança específica na média dessas variáveis para gráficos de controle multivariados também aumenta porque a mudança se dilui no espaço pdimensional das variáveis do processo Para ilustrar isso considere os CMSs do gráfico de controle MMEPM da Tabela 113 Suponha que escolhamos λ 01 e que a magnitude da mudança seja δ 10 Agora nessa tabela CMS0 200 independentemente de p o número de parâmetros No entanto note que na medida em que p aumenta CMS1 também aumenta Para p 2 CMS1 1015 para p 6 CMS1 1366 e para p 12 CMS1 1828 Consequentemente outros métodos são às vezes úteis para o monitoramento do processo particularmente em situações em que se suspeita que a variabilidade do processo não seja igualmente distribuída entre todas as p variáveis Isto é a maior parte do movimento do processo está em um subconjunto relativamente pequeno das variáveis originais do processo Os métodos para a determinação das subdimensões nas quais o processo se move são às vezes chamados de métodos de estrutura latente por causa da analogia com o filme fotográfico no qual uma imagem escondida ou latente é armazenada como resultado da interação da luz com a superfície química do filme Discutiremos dois desses métodos dando a maior parte de nossa atenção ao primeiro chamado método das componentes principais Discutiremos também rapidamente um segundo método chamado de mínimos quadrados parciais Componentes Principais As componentes principais de um conjunto de variáveis de um processo x1 x2 xp são um conjunto particular de combinações lineares dessas variáveis digamos em que os cij são constantes a serem determinadas Geometricamente as variáveis das componentes principais z1 z2 zp são os eixos de um novo sistema de coordenadas obtido pela rotação do sistema original os xs Os novos eixos representam as direções de variabilidade máxima Para ilustrar considere as duas situações mostradas na Figura 1114 Na Figura 1114a há duas variáveis originais x1 e x2 e duas componentes principais z1 e z2 Note que a primeira componente principal z1 responde pela maior parte da variabilidade nas duas variáveis originais A Figura 1114b ilustra três variáveis originais do processo A maior parte da variabilidade ou movimento dessas três variáveis está em um plano de modo que foram usadas apenas duas componentes principais para descrevêlas Nessa figura novamente z1 é responsável pela maior parte da variabilidade mas uma quantidade não trivial é também decorrente da segunda componente principal z2 Este é na verdade o principal objetivo das componentes principais achar o novo conjunto de direções ortogonais que definem a variabilidade máxima nos dados originais que esperamos levará a uma descrição do processo requerendo consideravelmente menos variáveis do que as p originais A informação contida no conjunto completo das p componentes principais é exatamente equivalente à informação contida no conjunto completo de todas as variáveis originais do processo mas com sorte poderemos usar bem menos do que as p componentes principais para obter uma descrição satisfatória FIGURA 1114 Componentes principais para p 2 e p 3 variáveis do processo Acontece que descobrir os cij que definem as componentes principais é bastante fácil Sejam as variáveis aleatórias x1 x2 xp representadas por um vetor x com matriz de covariância Σ e sejam λ1 λ2 λp 0 os autovalores de Σ Então as constantes cij são simplesmente os elementos do iésimo autovetor associado ao autovalor λi Basicamente se consideramos C a matriz cujas colunas são os autovetores então CʹΣ em que Λ é uma matriz diagonal p p com os valores da diagonal principal iguais aos autovalores λ1 λ2 λp 0 Muitos pacotes de computador calculam esses autovalores e autovetores e fazem a análise das componentes principais A variância da iésima componente principal é o iésimo autovalor λi Portanto a proporção de variabilidade nos dados originais explicada pela iésima componente principal é dada pela razão Assim podese ver facilmente quanto da variabilidade é explicada pela retenção de apenas umas poucas digamos r das p componentes principais calculandose simplesmente a soma dos autovalores para essas r componentes e comparandoa com a soma de todos os p autovalores É prática bastante típica calcularemse as componentes principais usandose variáveis que tenham sido padronizadas de modo que tenham média zero e variância um Então a matriz de covariância Σ está na forma de uma matriz de correlação A razão para isso é que as variáveis originais do processo são quase sempre expressas em escalas diferentes e como resultado podem ter magnitudes bem diferentes Consequentemente uma variável pode parecer contribuir muito para a variabilidade total do sistema apenas porque sua escala de medida tem magnitudes maiores do que as das outras variáveis A padronização resolve esse problema muito bem Uma vez calculadas as componentes principais e selecionado um subconjunto delas podemos obter novas observações das componentes principais zij simplesmente pela substituição das observações originais xij no conjunto das componentes principais retidas Isso dá por exemplo em que retivemos as primeiras r das p componentes principais originais Os zij são às vezes chamados de escores das componentes principais Ilustraremos esse procedimento realizando a análise das componentes principais ou ACP usando os dados sobre as p 4 variáveis x1 x2 x3 e x4 da Tabela 116 que são variáveis de um processo químico As primeiras 20 observações no painel superior dessa tabela são plotadas inicialmente uma versus outra de uma maneira pareada na Figura 1115 Essa disposição é usualmente chamada de matriz dos diagramas de dispersão e indica que as duas primeiras variáveis são altamente correlacionadas enquanto as outras duas variáveis exibem apenas uma correlação moderada As elipses na Figura 1115 são contornos aproximados de 95 de confiança baseadas na hipótese de uma distribuição normal A matriz de covariância amostral das 20 primeiras observações sobre os xs na forma de correlação é Note que o coeficiente de correlação entre x1 e x2 é 09302 o que confirma a impressão visual obtida da matriz dos diagramas de dispersão A Tabela 117 apresenta os resultados de uma ACP o Minitab foi usado para realizar os cálculos sobre as 20 primeiras observações mostrando os autovalores e autovetores bem como os percentuais simples e acumulado da variabilidade explicada por cada componente principal Usando apenas as duas primeiras componentes principais podemos responder por cerca de 83 da variabilidade das quatro variáveis originais Em geral vamos querer reter componentes suficientes para explicar uma proporção razoável da variabilidade total do processo mas não há diretrizes claras sobre quanta variabilidade precisa ser explicada para que se produza um procedimento eficaz de monitoramento do processo TABELA 116 Dados de um Processo Químico Dados Originais Observação x1 x2 x3 x4 z1 z2 1 10 207 136 155 0291681 06034 2 105 199 181 148 0294281 0491533 3 97 20 161 165 0197337 0640937 4 98 202 191 171 0839022 1469579 5 117 215 198 183 3204876 0879172 6 11 209 103 138 0203271 229514 7 87 188 169 168 099211 1670464 8 95 193 153 122 170241 036089 9 101 194 162 158 014246 0560808 10 95 196 136 145 099498 031493 11 105 203 17 165 0944697 0504711 12 92 19 115 163 12195 009129 13 113 216 14 187 2608666 042176 14 10 198 14 159 012378 008767 15 85 192 174 158 110423 1472593 16 97 201 10 166 027825 094763 17 83 184 125 142 265608 0135288 18 119 218 141 162 236528 130494 19 103 205 156 151 0411311 021893 20 89 19 85 147 214662 117849 Novos Dados Observação x1 x2 x3 x4 z1 z2 21 99 20 154 159 0074196 0239359 22 87 19 99 168 151756 021121 23 115 218 193 121 1408476 087591 24 159 246 147 153 6298001 367398 25 126 239 171 142 3802025 199584 26 149 25 163 166 6490673 273143 27 99 237 119 181 2738829 137617 28 128 263 135 137 4958747 394851 29 131 261 109 168 5678092 385838 30 98 258 148 15 3369657 210878 As duas últimas colunas na Tabela 116 contêm os valores calculados dos escores das componentes principais zi1 e zi2 para as 20 primeiras observações A Figura 1116 é um diagrama de dispersão desses 20 escores das componentes principais juntamente com o contorno de confiança de 95 aproximado Note que todos os 20 escores para zi1 e zi2 estão dentro da elipse Tipicamente consideramos essa apresentação como um recurso de monitoramento ou gráfico de controle para as variáveis componentes principais e a elipse é um limite de controle aproximado obviamente podem ser selecionados contornos com níveis mais altos de confiança Em geral usamos os escores como uma distribuição de referência empírica para estabelecer uma região de controle para o processo Quando se observam futuros valores das variáveis x1 x2 xp os escores seriam calculados para as duas componentes principais z1 e z2 e esses escores seriam plotados em um gráfico como na Figura 1116 Desde que os escores permaneçam no interior da elipse não há evidência de que a média do processo tenha mudado Se escores subsequentes se localizam no exterior da elipse então há evidência de que o processo está fora de controle O painel inferior da Tabela 116 contém 10 novas observações sobre as variáveis do processo x1 x2 xp que não foram usadas no cálculo das componentes principais Os escores das componentes principais para essas novas observações também são mostrados na tabela e os escores são plotados no gráfico de controle na Figura 1117 Um símbolo de plotagem diferente foi usado para ajudar na identificação desses novos pontos Embora os primeiros novos pontos estejam no interior da elipse é claro que começando com a observação 24 ou 25 há uma mudança no processo Os gráficos de controle como os da Figura 1117 com base nos escores das componentes principais são em geral chamados de gráficos de trajetória das componentes principais Mastrangelo Runger e Montgomery 1996 dão também um exemplo desse procedimento FIGURA 1115 Matriz dos diagramas de dispersão para as 20 primeiras observações sobre x1 x2 x3e x4 da Tabela 116 TABELA 117 ACP para as 20 Primeiras Observações sobre x1 x2 x3 e x4 da Tabela 116 Autovalor 23181 10118 06088 00613 Porcentagem 579516 252951 152206 15328 Porcentagem Acumulada 579516 832466 984672 1000000 Autovetores x1 059410 033393 025699 068519 x2 060704 032960 008341 071826 1172 x3 028553 079369 053368 006092 x4 044386 038717 080137 010440 Se mais de duas componentes principais precisam ser retidas então diagramas de dispersão dos escores das componentes principais seriam usados de maneira análoga à da Figura 1117 No entanto se mais do que r 3 ou 4 componentes forem retidas a interpretação e o uso dos gráficos se torna confusa Além disso a interpretação das componentes principais pode ser difícil pois não são o conjunto original de variáveis do processo mas em vez disso são combinações lineares delas Algumas vezes as componentes principais têm uma interpretação relativamente simples e isso pode ajudar o analista no uso do gráfico de trajetória Em nosso exemplo as constantes na primeira componente principal são de cerca do mesmo tamanho e têm o mesmo sinal de modo que a primeira componente principal pode ser considerada um análogo da média de todas as p 4 variáveis Analogamente a segundo componente principal é razoavelmente equivalente à diferença entre as médias das duas primeiras e das duas últimas variáveis do processo Isso não é sempre tão fácil FIGURA 1116 Diagrama de dispersão dos 20 primeiros escores das componentes principais zi1 e zi2 da Tabela 116 com elipse de confiança de 95 Uma alternativa potencialmente útil ao gráfico de trajetória é coletaremse r escores de componentes principais em um vetor e aplicar a eles o gráfico de controle MMEPM A experiência prática com essa abordagem tem sido promissora e o CMS do gráfico de controle MMEPM para a detecção de uma mudança será muito menor usando o conjunto de componentes principais retidas do que se fossem usadas todas as p variáveis do processo Scranton et al 1996 dão mais detalhes sobre essa técnica Finalmente note que os gráficos de controle e os gráficos de trajetória com base na ACP análise das componentes principais serão mais eficazes na detecção de mudanças nas direções definidas pelas componentes principais Mudanças em outras direções particularmente direções ortogonais às direções das componentes principais retidos podem ser muito difíceis de serem detectadas Uma solução possível seria o uso do gráfico de controle MMEPM para o monitoramento de todas as componentes principais restantes zr 1 zr 2 zp Mínimos Quadrados Parciais O método dos mínimos quadrados parciais ou MQP está de alguma forma associado aos escores das componentes principais exceto que assim como o procedimento de ajuste de regressão classifica as variáveis em xs ou entradas e ys ou saídas O objetivo é a criação de um conjunto de médias ponderadas dos xs e dos ys que possa ser usado para a predição dos ys ou de combinações lineares deles O procedimento maximiza a covariância do mesmo modo que as direções das componentes principais maximizam a variância Minitab tem alguns recursos sobre MQP em inglês PLS de partial least squares As aplicações mais comuns dos mínimos quadrados parciais hoje se encontram no campo da quimiometria em que em geral há várias variáveis tanto do processo quanto de resposta Frank e Friedman 1993 fizeram uma boa pesquisa nesse campo escrita para estatísticos e engenheiros Uma dificuldade potencial sobre a aplicação dos MQP é que não tem havido divulgação extensiva da comparação de desempenho do MQP com outros procedimentos multivariados Há apenas evidências mínimas sobre seu desempenho e sua capacidade em detectar problemas e mudanças no processo em relação a outras abordagens FIGURA 1117 Gráfico de trajetória das componentes principais mostrando as 10 últimas observações da Tabela 116 Termos e Conceitos Importantes Ajuste de regressão Análise de componentes principais ACP Componentes principais Comprimento médio da sequência CMS Distribuição normal multivariada Elipse de controle Escores de componentes principais Gráfico de controle de resíduos Gráfico de controle MMEP multivariado Gráfico de controle quiquadrado Gráfico de controle T2 de Hotelling Gráfico de controle T2 de Hotelling para dados subgrupados Gráfico de controle T2 de Hotelling para observações individuais Gráficos de trajetória Limites de controle da fase I Limites de controle da fase II Matriz de covariância Matriz de covariância amostral Matriz de gráficos de dispersão Métodos de estrutura latente Mínimos quadrados parciais MQP Monitoramento de variabilidade multivariada 111 112 Monitoramento do processo de controle da qualidade multivariado Processo em cascata Vetor média amostral Exercícios Os dados mostrados na Tabela 11E1 provêm de um processo de produção com duas características da qualidade observáveis x1 e x2 Os dados são médias amostrais de cada característica da qualidade com base em amostras de tamanho n 25 Suponha que os valores médios das características da qualidade e a matriz de covariância tenham sido calculados a partir de 50 amostras preliminares TABELA 11E1 Dados para o Exercício 111 Número da Amostra 1 2 1 58 32 2 60 33 3 50 27 4 54 31 5 63 38 6 53 30 7 42 20 8 55 31 9 46 25 10 50 29 11 49 27 12 57 30 13 58 33 14 75 45 15 55 27 Construa um gráfico de controle T2 usando esses dados Use os limites da fase II Um produto tem três características da qualidade Os valores nominais dessas características da qualidade e de sua matriz de covariância amostral foram determinados a partir da análise de 30 amostras preliminares de tamanho n 10 como se segue 113 114 115 a As médias amostrais para cada característica da qualidade para 15 amostras adicionais de tamanho n 10 são mostradas na Tabela 11E2 O processo está sob controle estatístico Reconsidere a situação do Exercício 111 Suponha que o vetor das médias amostrais e a matriz da covariância amostral fornecidos fossem os verdadeiros parâmetros populacionais Qual limite de controle seria apropriado para a fase II do gráfico de controle Aplique esse limite aos dados e discuta quaisquer diferenças nos resultados encontrados em comparação com a escolha original do limite de controle TABELA 11E2 Dados para o Exercício 112 Número da Amostra 1 2 3 1 31 37 30 2 33 39 31 3 26 30 24 4 28 30 25 5 30 33 28 6 40 46 35 7 38 42 30 8 30 33 27 9 24 30 22 10 20 26 18 11 32 39 30 12 37 40 30 13 41 47 32 14 38 40 29 15 32 36 28 Reconsidere a situação do Exercício 112 Suponha que o vetor das médias amostrais e a matriz da covariância amostral fornecidos fossem os verdadeiros parâmetros populacionais Qual limite de controle seria apropriado para a fase II do gráfico de controle Aplique esse limite aos dados e discuta quaisquer diferenças nos resultados encontrados em comparação com a escolha original do limite de controle Considere um gráfico de controle T2 para o monitoramento de p 6 características da qualidade Suponha que o tamanho do subgrupo seja n 3 e que existam 30 amostras preliminares disponíveis para se estimar a matriz de covariância amostral Ache os limites de controle da fase II supondo α 0005 b c 116 117 a b c 118 119 1110 a b c d e f 1111 a b c d e f 1112 1113 1114 Compare os limites de controle da parte a com o limite de controle quiquadrado Qual é a magnitude da diferença nos dois limites de controle Quantas amostras preliminares deveriam ser tomadas para se garantir que o limite de controle exato da fase II estivesse dentro de 1 do limite de controle quiquadrado Refaça o Exercício 115 supondo que o tamanho do subgrupo seja n 5 Considere um gráfico de controle T2 para o monitoramento de p 10 características da qualidade Suponha que o tamanho do subgrupo seja n 3 e que existam 25 amostras preliminares disponíveis para se estimar a matriz de covariância amostral Ache os limites de controle da fase II supondo α 0005 Compare os limites de controle da parte a com o limite de controle quiquadrado Qual é a magnitude da diferença nos dois limites de controle Quantas amostras preliminares deveriam ser tomadas para se garantir que o limite de controle exato da fase II estivesse dentro de 1 do limite de controle quiquadrado Refaça o Exercício 117 supondo que o tamanho do subgrupo seja n 5 Considere um gráfico de controle T2 para o monitoramento de p 10 características da qualidade Suponha que o tamanho do subgrupo seja n 3 e que existam 25 amostras preliminares disponíveis para se estimar a matriz de covariância amostral Calcule os limites de controle das fases I e II use α 001 Suponha que tenhamos p 4 características da qualidade e que na forma de correlação todas as quatro variáveis tenham variância um e todos os coeficientes de correlação aos pares sejam 07 O valor sob controle do vetor média do processo é μʹ 0 0 0 0 Escreva a matriz de covariância Σ Qual é o limite de controle quiquadrado para o gráfico supondo α 001 Suponha que uma amostra de observações resulte no vetor de observação padronizado yʹ 35 35 35 35 Calcule o valor da estatística T2 Gerase algum sinal de fora de controle Calcule as quantidades de diagnóstico di i 1 2 3 4 a partir da equação 1122 Essa informação ajuda na identificação de qual variável do processo mudou Suponha que uma amostra de observações resulte no vetor de observação padronizado yʹ 25 2 1 0 Calcule o valor da estatística T2 Gerase algum sinal de fora de controle Para o caso em e calcule as quantidades de diagnóstico di i 1 2 3 4 a partir da equação 1122 Essa informação ajuda na identificação de qual variável do processo mudou Suponha que tenhamos p 3 características da qualidade e que na forma de correlação todas as três variáveis tenham variância um e todos os coeficientes de correlação aos pares sejam 08 O valor sob controle do vetor média do processo é μʹ 0 0 0 Escreva a matriz de covariância Σ Qual é o limite de controle quiquadrado para o grá fico supondo α 005 Suponha que uma amostra de observações resulte no vetor de observação padronizado yʹ 1 2 0 Calcule o valor da estatística T2 Gerase algum sinal de fora de controle Calcule as quantidades de diagnóstico di i 1 2 3 a partir da equação 1122 Essa informação ajuda na identificação de qual variável do processo mudou Suponha que uma amostra de observações resulte no vetor de observação padronizado yʹ 2 2 1 Calcule o valor da estatística T2 Gerase algum sinal de fora de controle Para o caso em e calcule as quantidades de diagnóstico di i 1 2 3 a partir da equação 1122 Essa informação ajuda na identificação de qual variável do processo mudou Considere as duas primeiras variáveis do processo na Tabela 115 Calcule uma estimativa da matriz de covariância amostral usando ambos os estimadores S1 e S2 discutidos na Seção 1132 Considere as três primeiras variáveis do processo na Tabela 115 Calcule uma estimativa da matriz de covariância amostral usando ambos os estimadores S1 e S2 discutidos na Seção 1132 Considere todas as 30 observações sobre as duas primeiras variáveis do processo na Tabela 116 Calcule uma estimativa da matriz de covariância amostral usando ambos os estimadores S1 e S2 discutidos na Seção 1132 As estimativas são muito diferentes Discuta o que descobriu 1115 1116 1117 1118 a b c 1119 1120 1121 a b c 1122 a b c d Suponha que existam p 4 características da qualidade e que na forma de correlação todas as quatro variáveis tenham variância um e todos os coeficientes de correlação aos pares sejam 075 O valor sob controle do vetor média do processo é μʹ 0 0 00 e desejamos planejar um gráfico de controle MMEPM para garantir proteção contra uma mudança para um novo vetor média yʹ 1 1 1 1 Se um valor sob controle de 200 para CMS0 for satisfatório qual valor de λ e qual limite superior de controle deveriam ser usados Aproximadamente qual é o valor de CMS1 para detectar a mudança no vetor média Suponha que existam p 4 características da qualidade e que na forma de correlação todas as quatro variáveis tenham variância um e todos os coeficientes de correlação aos pares sejam 09 O valor sob controle do vetor média do processo é μʹ 0 0 0 0 e desejamos planejar um gráfico de controle MMEPM para garantir proteção contra uma mudança para um novo vetor média yʹ 1 1 1 1 Suponha que seja desejável um valor sob controle de 500 para CMS0 Que valores de λ e do limite superior de controle seriam recomendados Aproximadamente qual é o valor de CMS1 para detectar a mudança no vetor média Suponha que existam p 2 características da qualidade e que na forma de correlação ambas as variáveis tenham variância um e que o coeficiente de correlação seja 08 O valor sob controle do vetor média do processo é μʹ 0 0 e desejamos planejar um gráfico de controle MMEPM para garantir proteção contra uma mudança para um novo vetor média de yʹ 11 Supondo que seja desejável um valor sob controle de 200 para CMS0 que valores de λ e do limite superior de controle deveriam ser usados Aproximadamente qual é o valor de CMS1 para detectar a mudança no vetor média Considere os dados do processo em cascata na Tabela 115 Estabeleça um gráfico de controle para observações individuais sobre y2 Ajuste um modelo de regressão a y2 e estabeleça um gráfico de controle para observações individuais dos resíduos Comente sobre as diferenças entre esse gráfico e o da parte a Calcule as funções de autocorrelação amostral para y2 e para os resíduos do modelo de regressão da parte b Discuta o que descobriu Considere os dados do processo em cascata na Tabela 115 Ao ajustar modelos de regressão a ambos y1 e y2 você verá que nem todas as variáveis do processo são necessárias para se obter um modelo de regressão satisfatório para as variáveis de saída Remova as variáveis não significantes dessas equações e obtenha modelos de regressão do subconjunto para y1 e y2 Construa então gráficos de controle para observações individuais para ambos os conjuntos de resíduos Compareos com os gráficos de controle de resíduos do texto Figura 1111 e do Exercício 1118 Há diferenças substanciais entre os gráficos a partir das duas diferentes abordagens de ajuste de modelos de regressão Continuação do Exercício 1119 Usando os resíduos dos modelos de regressão do Exercício 1119 estabeleça gráficos de controle MMEP Compare esses gráficos de controle MMEP com os gráficos de controle de Shewhart para observações individuais construídos anteriormente Quais são as vantagens potenciais do gráfico de controle MMEP nessa situação Considere as p 4 variáveis do processo da Tabela 116 Após aplicar o procedimento de ACP aos 20 primeiros dados de observações veja a Tabela 117 suponha que sejam retidas as três primeiras componentes principais Obtenha os escores de componentes principais Obs Lembrese de que você deve trabalhar com variáveis padronizadas Construa um conjunto apropriado de gráficos pareados dos escores das componentes principais Calcule os escores de componentes principais para as dez últimas observações Plote os escores nos gráficos da parte b e interprete os resultados Considere as p 9 variáveis do processo na Tabela 115 Faça uma ACP para as 30 primeiras observações Certifiquese de trabalhar com variáveis padronizadas Quanto da variabilidade é explicado se apenas as r 3 primeiras componentes principais são retidas Construa um conjunto apropriado de gráficos pareados dos r 3 primeiros escores de componentes principais Considere agora as dez últimas observações Obtenha os escores de componentes principais e ploteos no gráfico da parte c O processo parece estar sob controle 1O material suplementar para este capítulo discute o gráfico de controle CUSUM multivariado 121 122 1221 1222 1223 1224 123 1 2 3 4 5 6 7 8 121 ESQUEMA DO CAPÍTULO MONITORAMENTO E REGULAGEM DE UM PROCESSO CONTROLE DE UM PROCESSO POR AJUSTE DE RETROAÇÃO Um Esquema Simples de Ajuste Controle Integral O Gráfico de Ajuste Variações do Gráfico de Ajuste Outros Tipos de Controladores de Retroação COMBINANDO CEP E CEnP VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Em todo este livro enfatizamos a importância do controle do processo e da redução da variabilidade como elementos essenciais da estratégia moderna de produção Há duas abordagens de base estatística para esse problema A primeira delas é o monitoramento estatístico do processo por gráficos de controle ou controle estatístico do processo CEP A essência do CEP está na identificação de causas atribuíveis a fim de podermos removêlas levando a uma melhoria permanente do processo ou a uma redução da variabilidade A segunda abordagem se baseia no ajuste do processo utilizando informações sobre seu nível atual ou afastamento de um alvo desejado Essa abordagem frequentemente é chamada de ajuste de retroação e é uma forma de controle de engenharia do processo ou CEnP O ajuste de retroação regula o processo de modo a levar em conta fontes de variabilidade que não podem ser removidas pela abordagem CEP Este capítulo apresenta uma introdução a métodos simples de ajuste de retroação e mostra como essas técnicas podem ser facilmente implementadas em processos em que há uma variável manipulável que afeta a saída do processo Mostramos também como esquemas simples de CEP podem ser combinados ou integrados com CEnP Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Explicar as origens do monitoramento e do ajuste do processo Explicar as diferentes estruturas estatísticas do CEP e do CEnP Explicar como funciona um controlador integral Compreender como o CEnP transfere variabilidade da saída do processo para uma variável manipulável Estabelecer e usar um gráfico de ajuste manual Compreender as bases do gráfico de ajuste limitado Compreender as bases dos controladores proporcional integral PI e proporcional integral derivativo PID Saber como combinar CEP e CEnP pela aplicação de um gráfico de controle à característica da qualidade de saída Monitoramento e Regulagem de um Processo 122 1221 A redução da variabilidade é parte importante da melhoria do desempenho de um processo em todas as indústrias O controle estatístico de processos é um instrumento eficiente para redução da variabilidade pela capacidade do gráfico de controle em localizar causas atribuíveis Removidas as causas atribuíveis reduzse a variabilidade do processo melhorandose o seu desempenho O CEP tem uma longa história de uso bemsucedido na fabricação discreta de peças Em processos contínuos tais como os encontrados nas indústrias químicas e de processamento costumase usar outra abordagem para reduzir a variabilidade Este método se baseia em uma compensação e regulagem do processo em que alguma variável manipulável do processo é ajustada com o objetivo de manter no alvo a saída do processo ou equivalentemente minimizar a variabilidade da saída em torno desse alvo Esses esquemas de compensação ou regulagem de processo são largamente conhecidos como controle de engenharia de processos CEnP controle estocástico ou controle de retroação feedback ou controle de ação à frente feedforward dependendo da natureza dos ajustes O CEP é sempre aplicado em uma situação em que supomos seja possível trazerse o processo para uma condição de controle estatístico Por controle estatístico queremos dizer que observamos apenas uma variação aleatória estável em torno do alvo do processo Além disso o CEP também supõe que uma vez no estado sob controle o processo tenda a permanecer aí por um período relativamente longo de tempo sem necessidade de um ajuste contínuo Certamente se eliminamos causas atribuíveis tais como diferenças decorrentes dos operadores e variações na matériaprima quase sempre poderemos obter esse estado sob controle Não obstante em alguns contextos industriais a despeito de nossos melhores esforços o processo ainda pode apresentar uma tendência de flutuar ou oscilar para longe do alvo Isso pode ocorrer devido a fenômenos como variação contínua nos materiais de entrada ou efeitos ambientais ou pode também ser devido inteiramente a forças desconhecidas que atuam sobre o processo A regulagem do processo por meios de um CEnP supõe que haja outra variável que possa ser ajustada de modo a compensar a deriva da saída do processo e que uma série de ajustes regulares nessa variável manipulável manterá a saída do processo próxima do alvo desejado Há considerável interesse na combinação ou integração dessas duas estratégias em uma tentativa de se conseguir um procedimento melhorado isto é um realce do CEnP que possibilitaria detectar perturbações do tipo causa atribuível Para um fundamento e uma discussão adicionais consulte Box e Kramer 1992 MacGregor 1987 Vander Weil Tucker Faltin e Doganaksoy 1992 MacGregor e Harris 1990 Montgomery Keats Runger e Messina 1994 Box Jenkins e Reinsel 1994 Box e Luceño 1997 e Del Castillo 2002 É natural questionarse a necessidade de integração de CEnP e CEP Historicamente essas técnicas se desenvolveram em ambientes um tanto diferentes O CEP em geral é parte de uma arremetida estratégica da organização em direção à melhoria da qualidade e é normalmente uma atividade de cima para baixo dirigida pela gerência e de alta visibilidade com ênfase em pessoas métodos e procedimentos Por outro lado o CEnP é mais tático por sua natureza com sua origem na organização de engenharia de processos e seu enfoque principal é o processo O arcabouço estatístico do CEP é análogo ao do teste de hipóteses ao passo que o arcabouço estatístico do CEnP é o de estimação de parâmetros isto é estimar quanta perturbação há no sistema que força o processo a se desviar do alvo e fazer então um ajuste para cancelar seu efeito O que esses processos compartilham é um objetivo comum redução da variabilidade O CEnP supõe a existência de um modelo dinâmico específico que ligue a entrada e a saída do processo Se tal modelo é correto então as regras CEnP de ajuste do processo minimizarão a variação em torno do alvo da saída Entretanto quando ocorrem certos tipos de perturbações externas ou causas atribuíveis que estão fora do arcabouço desse modelo dinâmico então as regras de compensação não explicam de modo completo esta perturbação O resultado é que a variabilidade aumenta Aplicandose o CEP em uma forma específica essas causas atribuíveis podem ser detectadas e o processo combinado CEnPCEP será mais eficiente do que o CEnP isoladamente Controle de um Processo por Ajuste de Retroação Um Esquema Simples de Ajuste Controle Integral Nesta seção vamos considerar uma situação simples envolvendo um processo em que o ajuste de retroação é apropriado e altamente eficiente A característica de interesse da saída do processo no instante t é yt e desejamos manter yt tão próximo quanto possível de um alvo T Este processo tem uma variável manipulável x e uma alteração em x produzirá todo seu efeito sobre y dentro de um período ou seja em que g é uma constante usualmente chamada de ganho do processo O ganho é como um coeficiente de regressão pelo fato de relacionar a magnitude de uma variação em xt a uma variação em yt Ora se não se faz nenhum ajuste o processo se afasta do alvo de acordo com em que Nt1 é uma perturbação A perturbação na equação 122 em geral é representada por um modelo apropriado de série temporal frequentemente um modelo autorregressivo integrado de médias móveis ARIMA do tipo discutido no Capítulo 10 Seção 104 Tal modelo é exigido porque a saída não controlada usualmente é autocorrelacionada veja o texto na Seção 104 sobre CEP com dados autocorrelacionados Suponha que a perturbação possa ser predita adequadamente utilizandose uma MMEP em que et Nt é o erro de predição no período de tempo t e 0 λ 1 é o fator de ponderação para esta MMEP Esta suposição equivale a se admitir que o processo não controlado está se desviando de acordo com o modelo integrado de médias móveis da equação 1015 com parâmetro θ 1 λ No instante t o processo ajustado é yt1 T Nt1 gxt Esta equação nos diz que no instante t 1 o desvio da saída em relação ao alvo dependerá da perturbação no período t 1 mais o nível xt no qual fixamos a variável manipulável no período t ou seja o ponto de fixação no período t Obviamente deveríamos fixar xt de modo a cancelar exatamente a perturbação Mas não podemos fazer isso porque Nt1 é desconhecido no período t Podemos entretanto predizer Nt1 por aplicando a equação 123 Obtivemos então pois et1 Nt1 t1 Pela equação 124 é claro que se fizermos gxt t1 ou o ponto de fixação xt 1g t1 então o ajuste deve cancelar a perturbação e no período t 1 o desvio da saída em relação ao alvo deve ser yt1 T et1 em que et1 é o erro de predição no período t1 isto é et1 Nt1 t1 O ajuste efetivo na variável manipulável no instante t é Mas a diferença entre as duas predições MMEP t1 tpode ser reescrita como e como o erro efetivo no instante t et nada mais é do que a diferença entre a saída e o alvo podemos escrever t1 t λyt T Portanto o ajuste a ser feito na variável manipulável no período de tempo t equação 125 se torna O ponto de fixação efetivo para a variável manipulável ao fim do período t é simplesmente a soma de todos os ajustes até o tempo t ou Este tipo de esquema de ajuste de processo é chamado de controle integral É um esquema de controle de retroação genuíno que fixa o nível da variável manipulável em um valor igual a uma soma ponderada de todos os desvios do processo corrente e prévios em relação ao alvo Podese mostrar que se a parte determinística do modelo do processo equação 121 está correta e se a perturbação Nt é predita com exatidão a menos do erro aleatório por uma MMEP então temos uma regra ótima de controle no sentido de que minimiza a média quadrática dos erros dos desvios da saída do processo em relação ao alvo T Para uma excelente discussão deste procedimento consulte Box 19911992 e Box e Luceño 1997 EXEMPLO 121 Um Exemplo de Controle Integral A Figura 121 mostra 100 observações sobre o peso molecular médio de um polímero tomadas de 4 em 4 horas Desejase manter o peso molecular tão próximo quanto possível do valoralvo T 2000 Note que apesar de nossos melhores esforços para levar o processo a um estado de controle estatístico o peso molecular tende a oscilar em relação ao alvo A Figura 122 mostra gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis que indicam a falta de estabilidade estatística no processo Note que os engenheiros utilizaram o valoralvo T 2000 como linha central para o gráfico das medidas individuais A média e o desviopadrão amostrais efetivos dos pesos moleculares para estas 100 observações são 2008 e s 194 Nesse processo o comportamento flutuante do peso molecular é provavelmente causado por perturbações desconhecidas e incontroláveis no material de entrada e por outras forças inerciais mas pode ser compensado por ajustes no ponto de fixação da taxa x de alimentação do catalisador Uma variação no ponto de fixação da taxa de alimentação terá todo seu efeito sobre o peso molecular dentro de um período o que torna apropriado um processo de controle integral como o que discutimos previamente FIGURA 121 Peso molecular de um polímero valoralvo T 2000 processo não controlado FIGURA 122 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para os dados do peso molecular de um polímero Suponha que o ganho no sistema seja de 121 isto é um aumento de 1 unidade na taxa de alimentação ocasiona um aumento de 12 unidade no peso molecular Ora para o nosso exemplo o processo ajustado seria yt 2000 Nt 1 1 2xt Faremos uma previsão das perturbações por meio de uma MMEP com λ 02 Essa é uma escolha arbitrária para λ É possível aplicarmos técnicas de estimação para obtenção de um valor preciso para λ mas como veremos quase sempre um valor de λ entre 02 e 04 funciona muito bem A predição um período à frente para a perturbação Nt1 é Consequentemente o ponto de fixação para a taxa de alimentação do catalisador ao fim do período t seria gxt t1 ou 12xt 02yt 2000 08 t O ajuste feito na taxa de alimentação do catalisador é A Figura 123 é o gráfico dos valores do peso molecular depois de feitos os ajustes na taxa de alimentação do catalisador Note que o processo está muito mais próximo do valoralvo de 2000 De fato o peso molecular amostral médio para as 100 observações é agora 2001 e o desviopadrão amostral é 1035 Assim a utilização do controle integral reduziu em cerca de 50 a variabilidade do processo A Figura 124 mostra o ponto de fixação para a taxa de alimentação do catalisador utilizada em cada período de tempo a fim de manter o processo próximo do valoralvo de T 2000 A Figura 125 exibe gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis aplicados ao desvio da saída do peso molecular em relação ao valoralvo de 2000 Note que agora o processo parece estar em um estado de controle estatístico A Figura 126 é um conjunto de gráficos de controle semelhantes aplicado à sequência de ajustes do processo isto é a variação no valor do ponto de fixação para a taxa de alimentação FIGURA 123 Valores do peso molecular depois do ajuste FIGURA 124 Pontos de fixação para a taxa de alimentação do catalisador FIGURA 125 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para os desvios da saída do peso molecular em relação ao alvo após controle integral FIGURA 126 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para a sequência de ajustes na taxa de alimentação do catalisador No exemplo precedente o valor de λ utilizado na MMEP foi λ 02 Podese obter um valor ótimo achandose o valor de λ que minimize a soma dos quadrados dos erros de predição para a perturbação do processo Para efetuar este cálculo é preciso um registro das perturbações do processo Em geral teremos que construir este registro com base na história passada Isto é tipicamente devemos ter uma história da saída efetiva e uma história dos ajustes feitos A perturbação seria calculada retroativamente a partir do desvio histórico em relação ao alvo tomado juntamente com os ajustes Isso em geral dá uma série de perturbações de precisão suficiente para o cálculo do valor correto de λ Nem sempre é possível fazerse isso facilmente podendo ser necessária a escolha arbitrária de λ A Figura 127 mostra o efeito de tal escolha de λ quando o verdadeiro valor ótimo de λ é λ0 A escala vertical σ2 λσ2 λ0 mostra quanto a variância 1222 da saída é inflacionada pela escolha de um λ arbitrário em lugar de λ0 Considere o caso da Figura 127 em que λ0 0 Ora como λ na MMEP é igual a zero isso significa que o processo está sob controle estatístico e não flutuará para longe do alvo Assim não é necessário qualquer ajuste na taxa de alimentação veja a equação 126 A Figura 127 mostra com muita clareza que neste caso qualquer ajuste na taxa de alimentação do catalisador aumentaria a variância da saída Isto é o que o Deming chama de manipulação indevida do processo O pior caso ocorreria com λ 1 quando a variância da saída seria duplicada Naturalmente λ 1 implica que estamos fazendo um ajuste que à parte do ganho g é exatamente igual ao desvio corrente em relação ao alvo algo que nenhum engenheiro de controle racional cogitaria Note entretanto que um valor menor de λ λ 02 digamos não inflacionaria demasiadamente a variância Alternativamente se o verdadeiro valor de λ0guiando a perturbação não for zero indicando que o processo se afasta do alvo sem que se faça qualquer ajuste a variância da saída do processo aumentará significativamente Pela figura vêse que se tomamos um valor de λ no intervalo 0204 não importa qual seja o verdadeiro valor de λ0 guiando as perturbações o aumento na variância da saída será no máximo da ordem de 5 acima da que seria a verdadeira variância mínima se λ0 fosse conhecido com exatidão Assim uma suposição sensata sobre o valor de λ no intervalo 0204 quase sempre funciona bem na prática FIGURA 127 Inflação na variância do processo ajustado decorrente de uma escolha arbitrária de λ quando o verdadeiro valor de λ na perturbação é λ0 Adaptado de Box 19911992 com autorização Na Seção 104 vimos que uma forma possível de lidarmos com dados autocorrelacionados era utilizar um controlador de engenharia para remover a autocorrelação Podemos demonstrar isso no exemplo anterior A Figura 128 é a função de autocorrelação amostral das medidas não controladas do peso molecular da Figura 121 Obviamente as observações originais do processo não ajustado acusam forte autocorrelação A Figura 129 é a função de autocorrelação amostral dos desvios do peso molecular da saída em relação ao alvo após os ajustes de controle integral Note que os desvios da saída em relação ao alvo são agora não correlacionados Os controladores de engenharia nem sempre podem ser usados para eliminar a autocorrelação Por exemplo a dinâmica do processo pode não ser entendida suficientemente bem para a implementação de um controlador efetivo Note também que qualquer controlador de engenharia essencialmente transfere a variabilidade de uma parte do processo para outra Em nosso exemplo o controlador integral transfere a variabilidade do peso molecular para a taxa de alimentação do catalisador Para ver isso examine as Figuras 121 123 e 124 e note que a redução na variabilidade no peso molecular de saída foi conseguida aumentandose a variabilidade da taxa de alimentação Pode haver processos em que isso nem sempre seja uma alternativa aceitável O Gráfico de Ajuste O esquema de ajuste de retroação baseado no controle integral descrito na seção anterior pode ser implementado de modo que os ajustes se façam automaticamente Em geral isso envolve uma combinação de sensores ou dispositivos de mensuração um dispositivo lógico ou computador e atuadores para fazerem fisicamente os ajustes na variável manipulável x Quando o ajuste de CEnP ou de retroação é implementado dessa forma costuma chamarse controle automático de processo CAP Em muitos processos ajustes de retroação podem ser feitos manualmente O pessoal da operação observa rotineiramente o desvio corrente da saída em relação ao alvo calcula a quantidade de ajuste a ser aplicada usando a equação 126 e então traz xt para o seu novo ponto de fixação Quando os ajustes são feitos manualmente pelo pessoal da operação uma variante da Figura 123 chamada de gráfico de ajuste manual é muito útil A Figura 1210 é o gráfico de ajuste manual correspondente à Figura 123 Note que há agora uma segunda escala chamada de escala de ajuste no eixo vertical Note também que as divisões na escala de ajuste são feitas de modo que uma unidade de ajuste seja exatamente igual a seis unidades na escala do peso molecular Além disso as unidades na escala de ajuste que correspondem a valores do peso molecular acima do alvo de 2000 são negativas enquanto as unidades na escala de ajuste que correspondem a valores do peso molecular abaixo do alvo de 2000 são positivas A razão disso é que a equação específica de ajuste utilizada para a variável peso molecular é FIGURA 128 A função de autocorrelação amostral para as observações não controladas do peso molecular da Figura 121 FIGURA 129 A função de autocorrelação amostral para a variável peso molecular depois do ajuste integral 1223 FIGURA 1210 Gráfico de ajuste para o peso molecular ou ajuste da taxa de alimentação do catalisador desvio do peso molecular em relação a 2000 Ou seja uma variação de seis unidades no peso molecular a contar de seu alvo de 2000 corresponde a uma variação de uma unidade na taxa de alimentação do catalisador Além disso se o peso molecular está acima do alvo a taxa de alimentação do catalisador deve ser reduzida a fim de levar o peso molecular em direção ao valoralvo enquanto se o peso molecular estiver abaixo do alvo a taxa de alimentação do catalisador deverá ser aumentada a fim de levar o peso molecular em direção ao valoralvo A utilização do gráfico de ajuste pelo pessoal de operação é extremamente fácil Por exemplo considere a Figura 1210 e especificamente a observação y13 como peso molecular Tão logo y13 2006 é observado e marcado no gráfico o operador simplesmente lê o valor correspondente 1 na escala de ajuste Este é o valor do ajuste que o operador deve introduzir na taxa de alimentação do catalisador Isto é o operador deve reduzir em uma unidade a taxa de alimentação do catalisador A próxima observação é y14 1997 O operador marca este ponto e observa que 1997 na escala de pesos moleculares correspondem a 05 na escala de ajuste Assim a taxa de alimentação do catalisador pode agora ser aumentada de 05 unidade Tratase de um processo muito simples e altamente eficiente Os gráficos de ajuste manual foram propostos pela primeira vez por George Box e G M Jenkins veja Box Jenkins e Reinsel 1994 Box 1991 e Box e Luceño 1997 para mais fundamentos Tais gráficos costumam ser chamados de gráficos de ajuste de BoxJenkins Variações do Gráfico de Ajuste Embora a implementação dos processos de ajuste das Seções 1221 e 1222 seja assaz direta é preciso fazerse um ajuste no processo após cada observação Em aplicações do ajuste de retroação nas indústrias químicas e de processamento isso em geral não constitui um problema sério porque o custo principal que deve ser levado em conta é o custo de estar fora do alvo e os ajustes são feitos a um custo nulo ou muito pequeno Na realidade eles são quase sempre feitos automaticamente Entretanto podem surgir situações em que se deva levar em conta o custo ou a conveniência de um ajuste Por exemplo na fabricação de peças discretas pode ser necessário interromperse o processo para se fazer um ajuste Consequentemente pode ser de interesse alguma modificação no procedimento de ajuste de retroação de modo que se façam ajustes menos frequentes Há várias maneiras de se fazer isso Uma das mais simples é o gráfico de ajuste limitado uma variante do processo apresentado na Seção 1222 em que um ajuste é feito somente em períodos para os quais a previsão MMEP está fora dos limites dados por L O valor limite L usualmente é determinado com base em um julgamento técnico levando em conta o custo de estar fora do alvo e o custo do ajuste Box e Luceño 1997 discutem essa situação detalhadamente e em particular como podemos usar especificamente os custos para determinar L Vamos utilizar os dados da Tabela 121 para ilustrar o gráfico de ajuste limitado A coluna 1 desta tabela apresenta os valores não ajustados de uma característica importante da saída de um processo químico Os valores são reportados como desvios em relação ao alvo efetivo de modo que o alvo para esta variável digamos yt é zero Na Figura 1211 apresentamse esses dados de saída juntamente com uma predição MMEP feita com λ 02 Note que a variável não permanece muito próxima do alvo desejado A média dessas 50 observações é 172 e a soma dos quadrados dos desvios a contar do alvo é 21468 O desviopadrão dessas observações é aproximadamente 116 TABELA 121 Dados de um Processo Químico para o Gráfico de Ajuste Limitado da Figura 1212 Observação Saída Original do Processo Saída Ajustada do Processo MMEP Ajuste Acumulado ou Ponto de Fixação 1 0 0 0 0 2 16 16 3200 0 3 24 24 7360 0 4 29 29 11688 7250 7250 5 34 26750 5350 7250 6 24 16750 7630 7250 7 31 23750 10854 5938 13188 8 26 12812 2562 13188 9 38 24812 7013 13188 10 29 15812 8773 13188 11 25 11812 9381 13188 12 26 12812 10067 3203 16391 13 23 6609 1322 16391 14 34 17909 4579 16391 15 24 7609 5185 16391 16 14 2391 3670 16391 17 41 24609 7858 16391 18 36 19609 10208 4904 21293 19 29 7707 1541 21293 20 13 8293 0425 21293 21 26 4707 0601 21293 22 12 9293 1378 21293 23 15 6293 2361 21293 24 34 12707 0653 21293 25 7 14293 2336 21293 26 20 1293 2128 21293 27 16 5293 2761 21293 28 7 14293 5067 21293 29 0 21293 8312 21293 30 8 13293 9308 21293 31 23 1707 7105 21293 32 10 11293 7943 21293 33 12 9293 8213 21293 34 2 23293 11229 5823 15470 35 10 5470 1094 15470 36 28 12530 1631 15470 37 12 3470 0611 15470 38 8 7470 1005 15470 39 11 4470 1698 15470 40 4 11470 3653 15470 41 9 6470 4216 15470 42 15 0470 3467 15470 43 5 10470 4867 15470 44 13 2470 4388 15470 45 22 6530 2204 15470 46 9 24470 6657 15470 47 3 12470 7820 15470 48 12 3470 6950 15470 49 3 12470 8054 15470 50 12 3470 7137 15470 FIGURA 1211 Dados não ajustados do processo da Tabela 121 e MMEP com λ 02 Há uma variável manipulável neste processo e a relação entre a saída e essa variável é dada por yt T 08xt Isto é o ganho do processo é g 08 A MMEP na Figura 1211 utiliza λ 02 Esse valor foi escolhido arbitrariamente mas lembrese que pelo que vimos na Seção 1221 o processo é relativamente insensível a esse parâmetro Suponha que decidamos fazer L 10 Isso significa que só faremos um ajuste no processo quando a MMEP exceder L 10 ou L 10 A economia e a facilidade de fazer ajustes são fatores típicos na escolha de L mas aqui o fazemos de modo ligeiramente diferente Note que o desviopadrão do processo não ajustado é aproximadamente 116 de modo que o desviopadrão da MMEP na Figura1211 é aproximadamente Portanto tomar L 10 equivale aproximadamente a utilizar limites de controle para o MMEP com largura de cerca de 26σMMEP Lembrese do Capítulo 9 que não raro utilizamos limites de controle em um MMEP que são ligeiramente inferiores a três sigmas A Tabela 121 dá os cálculos para a MMEP Note que a MMEP começa do zero e que o primeiro período em que ela excede L 10 é o período 4 O desvio da saída a contar do alvo no período 4 é 29 de modo que o ajuste seria calculado como de costume em um controle integral como ou 1224 Isto é alteraríamos a variável manipulável em 7250 unidades a contar de seu valor prévio fixado no período 3 O efeito completo desse ajuste seria então sentido no próximo período 5 A MMEP seria novamente fixada em zero ao fim do período 4 recomeçandose o processo de predição O próximo ajuste ocorre no período 7 em que se faz um ajuste adicional de 5938 unidades A última coluna registra o efeito acumulado de todos os ajustes Note que apenas cinco ajustes são feitos em todas as 50 observações A Figura 1212 é um gráfico da variável de saída original não ajustada da saída ajustada das predições MMEP e dos ajustes efetivos do processo A variabilidade da saída ajustada em torno do alvo foi reduzida consideravelmente a soma dos quadrados dos desvios a contar do alvo é 9780 e o desvio médio em relação ao alvo é 176 Tratase de uma redução de mais de 50 no desvio da saída em relação ao alvo obtida com apenas cinco ajustes no processo Os gráficos de ajuste limitado são em geral bons substitutos para um ajuste a cada período Eles usualmente resultam em um desempenho ligeiramente inferior quando comparados com o esquema ajustar sempre mas em geral a piora é pequena Outra variação do gráfico de ajuste encontrada na prática é o gráfico de ajuste arredondado Este procedimento é por vezes usado para ajudar o pessoal da operação a fazer ajustes simples A escala de ajuste é arredondada para talvez quatro ou cinco zonas de cada lado do alvo com cada zona correspondendo a ajustes fáceis de serem feitos como alterar a variável manipulável em 1 unidade 2 unidades e assim por diante Frequentemente a zona central corresponde a não se fazer qualquer ajuste Neste caso os ajustes não seriam necessariamente feitos a cada período Consulte Box e Luceño 1997 para uma discussão mais ampla desses gráficos Outros Tipos de Controladores de Retroação Consideramos um controlador de retroação para o qual a regra de ajuste do processo é em que et é o desvio da saída em relação ao alvo e λ é o parâmetro da MMEP Somando esta equação chegamos a 123 FIGURA 1212 Gráfico de ajuste limitado mostrando a saída original não ajustada a saída ajustada a MMEP e os ajustes efetivos do processo As MMEPs em círculo indicam os pontos onde são feitos os ajustes em que xt é o nível ou ponto de fixação da variável manipulável no instante t Tratase evidentemente de uma regra de ajuste de controle integral Suponha agora que para se fazerem ajustes razoáveis no processo seja necessário levaremse em conta os dois últimos erros et e et1 Suponha ainda que a equação de ajuste seja escrita em termos de duas constantes c1 e c2 Somandose esta expressão o ponto de fixação se torna em que kP c2g e kI c1 c2g Note que a equação de controle do ponto de fixação contém um termo que requer ações de controle proporcionais assim como o termo familiar de ação integral As duas constantes kP e kI são os parâmetros de ação proporcional e integral respectivamente Tratase de uma equação discreta de controle proporcional integral PI Suponha agora que o ajuste dependa dos últimos três erros Somando somos levados à equação discreta de controle proporcional integral derivativo PID Estes modelos são amplamente utilizados na prática particularmente em indústrias químicas e de processamento Não raro utilizamse dois dos três termos tais como controle PI ou PID A escolha das constantes k ou c costuma chamar se sintonização do controlador Combinando CEP e CEnP Há bastante confusão em relação a ajuste do processo versus monitoramento do processo O ajuste ou regulagem do processo tem papel importante na redução da variabilidade o gráfico de controle nem sempre é o melhor método para se reduzir a variabilidade em torno de um alvo Nas indústrias químicas e de processamento têm sido utilizadas com grande eficiência técnicas como a regra simples de controle integral ilustrada na Seção 1221 De modo geral a teoria do controle de engenharia se baseia na ideia de que se pudermos 1 predizer a próxima observação do processo 2 ter alguma outra variável que possamos manipular a fim de afetar a saída do processo e 3 conhecer o efeito desta variável manipulada de modo que possamos determinar a ação de controle que devemos aplicar então podemos fazer o ajuste na variável manipulada no instante t que tem mais chance de produzir um valor no alvo da saída do processo no período t 1 Obviamente isso exige bom conhecimento da relação entre a variável de saída ou controlada e a variável manipulada assim como um conhecimento da dinâmica do processo Devemos também ter condições de mudar facilmente a variável manipulada De fato se o custo de se efetuar uma ação de controle é desprezível então podese minimizar a variabilidade na saída do processo efetuandose uma ação de controle em cada período Note que isso está em forte contraste com o CEP em que procedemos a uma ação de controle ou ajuste do processo somente quando há evidência estatística de que o processo está fora de controle Essa evidência estatística é usualmente um ponto fora dos limites de um gráfico de controle Há muitos processos em que algum tipo de esquema de controle de retroação pode ser preferível a um gráfico de controle Consideremos por exemplo o processo de dirigirmos um carro com o objetivo de mantêlo no centro da faixa direita ou equivalentemente minimizar a variação em torno do centro da faixa direita O motorista pode facilmente ver a estrada diante dele e os ajustes do processo correções na posição do volante podem ser feitos a qualquer momento a um custo desprezível Consequentemente se o motorista conhecesse a relação entre a variável de saída posição do carro e a variável manipulada ajuste do volante ele provavelmente preferiria utilizar um esquema de controle de retroação para controlar a posição do carro em vez de um gráfico de controle estatístico Dirigir um carro com um gráfico de controle de Shewhart pode ser uma ideia interessante mas o autor não gostaria de estar no carro durante o experimento FIGURA 1213 Controle de engenharia e monitoramento estatístico de um processo Por outro lado o CEnP não faz qualquer tentativa para identificar uma causa atribuível que possa causar impacto no processo A eliminação de causas atribuíveis pode resultar em uma melhora significativa do processo Tudo o que os esquemas CEnP fazem é reagir a perturbações no processo não fazem qualquer tentativa para remover as causas atribuíveis Consequentemente em processos em que se utiliza o controle de retroação pode haver substancial melhora se os gráficos de controle são também utilizados para monitoramento estatístico do processo em oposição a controle as ações de controle se baseiam no esquema de engenharia Alguns autores se referem a sistemas em que tanto um sistema CEnP quanto um sistema CEP tenham sido implementados para monitoramento de processos como um CEP algorítmico consulte Vander Weil et al 1992 O gráfico de controle deve ser aplicado seja ao erro de controle a diferença entre a variável controlada e o alvo ou à sequência de ajustes na variável manipulada Combinações dessas duas abordagens básicas são também possíveis Por exemplo o erro de controle e os ajustes ou a característica de saída e a variável ajustável podem ser monitorados conjuntamente usandose um gráfico de controle multivariado Pontos situados fora dos limites de controle nesses gráficos devem identificar períodos em que os erros de controle são grandes ou onde estejam sendo feitas grandes modificações na variável manipulada Esses períodos podem ser boas oportunidades para a pesquisa de causas atribuíveis Montgomery et al 1994 demonstraram a eficiência de tal sistema Outras referências e discussões muito úteis estão em Del Castillo 2002 A Figura 1213 ilustra como se pode empregar tal combinação de controle de engenharia e monitoramento estatístico de um processo EXEMPLO 122 Integração de CEP e CEnP A Figura 1214 apresenta as medidas do peso molecular da Figura 121 no Exemplo 121 com a diferença de que agora uma causa atribuível causou um impacto no processo a partir do período t 60 O efeito desta causa atribuível é aumentar o peso molecular em 25 unidades o que resulta em aumento da variabilidade do processo a média e o desviopadrão amostrais do peso molecular são agora 2019 e s 304 comparado com 2008 e s 194 quando não havia causa atribuível presente A Figura 1215 mostra o peso molecular após ajustes na taxa de alimentação do catalisador pela regra do controle integral do Exemplo 121 A Figura 1216 mostra os pontos de fixação para a taxa de alimentação O desempenho do processo melhorou pois a média e o desviopadrão amostrais são agora 1992 e s 154 É claro que a causa atribuível ainda está contribuindo para a variabilidade do processo porque quando não havia qualquer causa atribuível 2001 e s 1035 após os ajustes A Figura 1217 mostra os gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para os desvios do peso molecular da saída em relação ao valoralvo T 2000 após os ajustes de controle integral No período t 80 gerase um sinal de fora de controle indicando a presença de uma causa atribuível Um gráfico de controle MMEP ou CUSUM dos desvios da saída em relação ao alvo em geral detectaria mais rapidamente a causa atribuível A Figura 1218 é um MMEP com λ 01 e assinala a causa atribuível no período t 70 FIGURA 1214 Peso molecular com uma causa atribuível de magnitude 25 em t 60 FIGURA 1215 Peso molecular após ajuste de controle integral na taxa de alimentação do catalisador FIGURA 1216 Valores dos pontos de fixação para a taxa de alimentação do catalisador Exemplo 122 FIGURA 1217 Gráficos de controle das observações individuais e das amplitudes móveis para os desvios da saída em relação ao alvo Exemplo 122 Suponha que tenhamos detectado e eliminado a causa atribuível no período t 70 A Figura 1219 é a sequência resultante de valores dos pesos moleculares de saída A média e o desviopadrão amostrais são agora 1998 e s 108 vemos assim que acoplando um gráfico de controle do desvio da saída em relação ao alvo com o controlador integral melhoramos o desempenho do processo quando estão presentes causas atribuíveis FIGURA 1218 Gráfico de controle MMEP com λ 01 para os desvios da saída em relação ao alvo Exemplo 122 121 a b 122 123 124 125 FIGURA 1219 Peso molecular após ajustes na taxa de alimentação do catalisador com a causa atribuível removida a partir do período t 70 Termos e Conceitos Importantes Ajuste do processo versus monitoramento do processo Controle automático do processo CAP Controle de engenharia do processo CEnP Controle estatístico do processo CEP Controle integral Controle proporcional integral PI Controle proporcional integral derivativo PID Ganho do processo Gráfico de ajuste limitado Gráfico de ajuste manual Integração de CEP e CEnP Média móvel exponencialmente ponderada MMEP Monitoramento estatístico do processo Ponto de fixação Variável manipulável do processo Exercícios Se yt são as observações e zt é a MMEP mostre que são válidas as seguintes relações zt zt1 λyt zt1 et 1 λet1 yt yt1 Considere os dados da Tabela 121 Construa um gráfico de ajuste limitado utilizando λ 03 e L 10 Compare o desempenho desse gráfico com o da Tabela 121 e Figura 1212 Considere os dados da Tabela 121 Construa um gráfico de ajuste limitado com λ 04 e L 10 Compare o desempenho desse gráfico com o da Tabela 121 e Figura 1212 Considere os dados da Tabela 121 Suponha que se faça um ajuste na variável de saída após cada observação Compare o desempenho desse gráfico com o da Tabela 121 e Figura 1212 O Variograma Considere a variância das observações distantes m períodos isto é Vm Vytm yt Um gráfico de VmV1 versus m é chamado um variograma É uma boa forma de se verificar o comportamento não estacionário média oscilante de uma série de dados Se uma série de dados é completamente não correlacionada ruído branco o variograma sempre resultará em um gráfico que permanece perto da unidade Se a série de dados é autocorrelacionada mas estacionária o gráfico do variograma aumentará durante certo tempo mas na medida em que m aumenta o gráfico de VmV1 se estabilizará gradativamente não aumentando mais O gráfico de VmV1 versus m aumentará sem limite para dados não estacionários Aplique esta técnica aos dados da Tabela 121 Há alguma indicação de um comportamento não estacionário Calcule a função de autocorrelação amostral para os dados Compare a interpretação de ambos os gráficos TABELA 12E1 Dados do Processo para o Exercício 126 Observação t yt Observação t yt 1 2158 26 1719 2 1958 27 1704 3 1913 28 1694 4 1853 29 1709 5 2160 30 1572 6 1769 31 1724 7 1760 32 1607 8 1626 33 1456 9 1875 34 1599 10 1805 35 1486 11 1745 36 1511 12 1516 37 1621 13 1743 38 1600 14 1665 39 1329 15 1573 40 1528 16 1666 41 1437 17 1606 42 1523 18 1556 43 1113 19 1525 44 1436 20 1649 45 1299 21 1590 46 1229 22 1742 47 1262 23 1436 48 1332 24 1631 49 1450 25 1897 50 1295 126 a TABELA 12E2 Dados do Processo para o Exercício 129 Observação t yt Observação t yt 1 50 26 43 2 58 27 39 3 54 28 32 4 45 29 37 5 56 30 44 6 56 31 52 7 66 32 42 8 55 33 47 9 69 34 33 10 56 35 49 11 63 36 34 12 54 37 40 13 67 38 27 14 55 39 29 15 56 40 35 16 65 41 27 17 65 42 33 18 61 43 25 19 57 44 21 20 61 45 16 21 64 46 24 22 43 47 18 23 44 48 20 24 45 49 23 25 39 50 26 Considere as observações na Tabela 12E1 O valoralvo para este processo é 200 Estabeleça um controlador integral para este processo Suponha que o ganho para a variável de ajuste seja g 12 e que λ 02 no processo de predição MMEP que dará predições adequadas um passo à frente b c 127 128 129 a b c 1210 Qual é a redução obtida pelo controlador integral na variabilidade em torno do alvo Refaça as partes a e b supondo λ 04 Que mudança isso causa na variabilidade em torno do alvo em comparação com a obtida com λ 02 Com os dados do Exercício 126 construa um gráfico de ajuste limitado Use λ 02 e faça L 12 Qual o desempenho do gráfico de ajuste limitado em relação ao procedimento de ajuste por controle integral do Exercício 126 Refaça o Exercício 127 com λ 04 e L 15 Quais são as diferenças nos resultados Considere as observações na Tabela 12E2 O valoralvo para este processo é 50 Estabeleça um controlador integral para este processo Suponha que o ganho para a variável de ajuste seja g 16 e admita que λ 02 no processo de predição MMEP que dará predições adequadas um passo à frente Qual é a redução na variabilidade em torno do alvo obtida pelo controlador integral Refaça as partes a e b supondo λ 04 Que alteração isto produz na variabilidade em torno do alvo em comparação com a obtida com λ 02 Utilize os dados do Exercício 129 para construir um gráfico de ajuste limitado Use λ 02 e faça L 4 Qual é o desempenho do gráfico de ajuste limitado em relação ao processo de ajuste de controle integral da parte a do Exercício 129 A melhoria da qualidade e da produtividade é mais eficaz quando é parte integrante do processo de realização do produto Em particular a introdução formal da metodologia do planejamento experimental nos estágios iniciais do ciclo de desenvolvimento onde são planejados novos produtos projetos de produtos existentes são melhorados e os processos de fabricação são otimizados é em geral a chave para o sucesso geral do produto Este princípio foi estabelecido em muitas indústrias diferentes incluindo eletrônica e de semicondutores aeroespacial automotiva de produtos médicos de alimentação e farmacêutica indústrias químicas e de processamento Experimentos planejados desempenham papel crucial no processo DMAMC principalmente no passo Melhorar O planejamento estatístico de experimentos é citado em geral como o mais importante conjunto de ferramentas Seis Sigma e é parte crítica do projeto para Seis Sigma PPSS O uso eficaz da metodologia sólida do planejamento experimental estatístico pode levar a produtos mais fáceis de serem manufaturados com maior confiabilidade e que têm desempenho de campo ressaltado O planejamento experimental pode também acentuar grandemente o desenvolvimento e as atividades de melhoria do processo Experimentos planejados e a maneira de usálos nesses tipos de aplicações são o foco principal desta seção Os planejamentos fatorial e fatorial fracionado são introduzidos no Capítulo 13 com particular ênfase no sistema de planejamento em dois níveis isto é o planejamento fatorial 2k e as frações a partir daí Estes planejamentos são particularmente úteis para o controle das variáveis em um processo e determinação de quais são mais importantes O Capítulo 14 introduz os métodos de superfície de resposta uma coleção de técnicas úteis para otimização de sistemas e processos Esse capítulo discute também estudos de robustez do processo uma abordagem para a redução da variabilidade na saída do processo pela minimização dos efeitos sobre a saída transmitidos pelas variáveis que são de difícil controle durante a operação de rotina do processo Finalmente apresentamos uma visão geral da operação evolutiva um esquema de monitoramento do processo baseado em planejamento experimental Em toda a Parte 5 usamos a análise de variância como base para a análise de dados provenientes de experimentos planejados É possível introduzirse o planejamento experimental sem o uso dos métodos de análise de variância mas este autor pensa ser um erro fazer isso principalmente porque os estudantes encontrarão a análise de variância em virtualmente todo programa de computador que usarem tanto em sala de aula quanto na prática profissional Ilustramos também alguns pacotes computacionais que dão suporte aos experimentos planejados O material nesta seção não é um substituto para um curso completo em planejamento experimental O leitor interessado em aplicar o planejamento experimental à melhoria do processo precisará de conhecimentos adicionais mas esta apresentação ilustrará algumas das muitas aplicações dessa poderosa ferramenta Em muitas indústrias o uso eficaz do planejamento experimental estatístico é a chave para resultados melhores variabilidade reduzida redução do tempo ocioso no desenvolvimento melhores produtos e clientes satisfeitos 131 132 133 134 1341 1342 1343 135 1351 1352 1353 1354 1355 136 1361 1362 MS131 MS132 MS133 MS134 ESQUEMA DO CAPÍTULO O QUE É UM PLANEJAMENTO EXPERIMENTAL EXEMPLOS DE EXPERIMENTOS PLANEJADOS NA MELHORIA DO PROCESSO E DO PRODUTO DIRETRIZES PARA O PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS EXPERIMENTOS FATORIAIS Um Exemplo Análise Estatística Análise dos Resíduos O PLANEJAMENTO FATORIAL 2k O Planejamento 22 O Planejamento 2k para k 3 Fatores Uma Única Replicação do Planejamento 2k Adição de Pontos Centrais no Planejamento 2k Blocos e Confundimento no Planejamento 2k REPLICAÇÃO FRACIONADA DO PLANEJAMENTO 2k A Fração Um Meio do Planejamento 2k Frações Menores O Planejamento Fatorial Fracionado 2kp Material Suplementar para o Capítulo 13 Discussão Adicional das Diretrizes para o Planejamento de Experimentos Uso do Teste t para a Detecção da Curvatura Blocos em Experimentos Planejados Mais sobre Médias Quadráticas Esperadas na Análise da Variância O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 131 1 2 3 4 A maioria dos experimentos para planejamento e melhoria de processo envolve várias variáveis Planejamentos experimentais fatoriais e suas variantes são usados nessas situações Este capítulo dá uma introdução aos planejamentos fatoriais enfatizando suas aplicações para a melhoria do processo e da qualidade Experimentos planejados são amplamente usados no processo DMAMC e são extremamente importantes no passo Melhorar Desempenham também papel importante no projeto para Seis Sigma PPSS Vamos nos concentrar em planejamentos em que todos os fatores têm dois níveis e mostrar como as versões fracionadas desses planejamentos podem ser usadas com grande eficácia na experimentação industrial Tópicos importantes incluem a análise de planejamentos experimentais fatoriais e o uso de métodos gráficos na interpretação dos resultados Tanto o gráfico da interação quanto a plotagem da superfície de resposta têm se mostrado muito úteis na interpretação de resultados Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Explicar como os experimentos planejados podem ser usados para melhorar o projeto do produto e melhorar o desempenho do processo Explicar como os experimentos planejados podem ser usados para reduzir o tempo do ciclo necessário para o desenvolvimento de novos produtos e processos Compreender como os efeitos principais e as interações de fatores podem ser estimados Compreender o conceito do planejamento fatorial Saber como usar a análise da variância ANOVA para a análise de dados de planejamentos fatoriais Saber como os resíduos são usados para verificar a adequação do modelo para planejamentos fatoriais Saber como usar o sistema 2k dos planejamentos fatoriais Saber como construir e interpretar gráficos de contorno e gráficos de superfície de resposta Saber como acrescentar pontos centrais a um planejamento fatorial 2k para o teste da curvatura e fornecer uma estimativa do erro experimental puro Compreender como o princípio de blocos pode ser usado em um planejamento fatorial para a eliminação de efeitos de um fator de perturbação Saber como usar o sistema 2k p de planejamentos fatoriais fracionados O que É um Planejamento Experimental Conforme indicado no Capítulo 1 um experimento planejado é um teste ou série de testes no qual são feitas mudanças propositais nas variáveis de entrada de um processo de modo a podermos observar e identificar mudanças correspondentes na resposta de saída O processo como mostra a Figura 131 pode ser visualizado como uma combinação de máquinas métodos e pessoas que transforma um material de entrada em um produto de saída Este produto de saída pode ter uma ou mais características da qualidade observáveis ou respostas Algumas das variáveis do processo x1 x2 xp são controláveis enquanto outras z1 z2 zq são não controláveis embora possam ser controláveis para efeito do teste Algumas vezes esses fatores não controláveis são chamados de fatores de ruído Os objetivos do experimento podem incluir Determinação de quais variáveis são mais influentes na resposta y Determinação dos valores a serem atribuídos aos xs influentes de modo que y esteja perto da exigência nominal Determinação dos valores a serem atribuídos aos xs influentes de modo que a variabilidade em y seja pequena Determinação dos valores a serem atribuídos aos xs influentes de modo que os efeitos das variáveis não controláveis sejam minimizados Assim métodos de planejamento experimental podem ser usados tanto no desenvolvimento do processo quanto na solução de problemas do processo para melhorar o seu desempenho ou obter um processo que seja robusto ou não sensível a fontes externas de variabilidade Os métodos de controle estatístico do processo e o planejamento experimental duas ferramentas muito poderosas para a melhoria e otimização do processo são intimamente relacionados Por exemplo se um processo está sob controle estatístico mas ainda tem capacidade inferior então será necessária a redução da variabilidade para a melhoria da capacidade do processo Os experimentos planejados podem oferecer uma maneira mais eficaz de se fazer isso do que o CEP Essencialmente o CEP é um método estatístico passivo observamos o processo e esperamos por alguma informação que nos leve a uma mudança útil No entanto se o processo está sob controle a observação passiva pode não produzir muita informação útil Por outro lado o planejamento experimental é um método estatístico ativo realmente 1 2 3 4 1 2 3 132 realizamos uma série de testes no processo ou sistema fazendo mudanças nas entradas e observando as mudanças correspondentes nas saídas o que produzirá informação que pode levar à melhoria do processo Os métodos de planejamento experimental podem também ser muito úteis no estabelecimento de controle estatístico de um processo Por exemplo suponha que um gráfico de controle indique que o processo está fora de controle e que o processo tenha várias variáveis de entrada controláveis A menos que saibamos quais variáveis de entrada são as importantes poderá ser muito difícil trazer o processo de volta ao controle Os métodos de planejamento experimental podem ser usados para a identificação dessas variáveis influentes do processo FIGURA 131 Modelo geral de um processo O planejamento experimental é uma ferramenta de engenharia criticamente importante para a melhoria de um processo de fabricação Tem também aplicação extensiva no desenvolvimento de novos processos A aplicação dessas técnicas bem cedo no desenvolvimento do processo pode resultar em Produção melhorada Variabilidade reduzida e conformidade mais próxima da nominal Tempo de desenvolvimento reduzido Custos totais reduzidos Os métodos de planejamento experimental podem também desempenhar um papel importante nas atividades do planejamento de engenharia em que novos produtos são desenvolvidos e os existentes melhorados Experimentos planejados são amplamente usados nas atividades do projeto para Seis Sigma PPSS Algumas aplicações do planejamento experimental estatístico no planejamento de engenharia incluem Avaliação e comparação de configurações de planejamento básicas Avaliação de materiais alternativos Determinação dos parâmetroschave do planejamento do produto que têm impacto sobre o desempenho O uso do planejamento experimental nessas áreas pode resultar em capacidade melhorada de fabricação do produto desempenho de campo e confiabilidade ressaltados menor custo e menor tempo de desenvolvimento do produto Em anos recentes experimentos planejados têm tido aplicação ampla nos negócios de transações e serviços incluindo ecomércio As aplicações incluem planejamento de páginas da Web teste de preferências de consumidores e planejamentomelhoria de sistemas de serviços Algumas vezes um modelo de simulação por computador é desenvolvido e são realizados testes desse modelo Exemplos de Experimentos Planejados na Melhoria do Processo e do Produto Nesta seção apresentamos vários exemplos que ilustram a aplicação de experimentos planejados à melhoria do processo e qualidade do produto Nas seções subsequentes demonstraremos os métodos estatísticos usados para a análise dos dados e para se tirar conclusões a partir de tais experimentos 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 EXEMPLO 131 Caracterização de um Processo Um engenheiro de produção aplicou o CEP a um processo de soldagem de componentes eletrônicos a placas de circuito impresso Usando gráficos u e análise de Pareto ele estabeleceu o controle estatístico do processo de fluxo de solda e reduziu o número médio de juntas de solda defeituosas por placa para cerca de 1 No entanto como a placa média contém mais de 2000 juntas de solda mesmo 1 de defeituosas representa muitas juntas de solda a serem reparadas O engenheiro gostaria de reduzir os níveis de defeitos ainda mais entretanto como o processo está sob controle estatístico não é claro quais ajustes nas máquinas serão necessários A máquina de fluxo de solda possui várias variáveis que podem ser controladas Elas incluem Temperatura da solda Temperatura de preaquecimento Velocidade da esteira Tipo do fluxo Gravidade específica do fluxo Profundidade da onda de solda Ângulo da esteira Além desses fatores controláveis vários outros não podem ser facilmente controlados durante a produção de rotina embora possam ser controlados para propósitos de um teste Eles são Espessura da placa de circuito impresso Tipos de componentes usados na placa Disposição dos componentes na placa Operador Taxa de produção Nessa situação o engenheiro está interessado em caracterizar a máquina de fluxo de solda isto é ele deseja determinar quais fatores tanto controláveis quanto não controláveis afetam a ocorrência de defeitos nas placas de circuito impresso Para isso ele pode planejar um experimento que lhe possibilitará estimar a magnitude e direção dos efeitos do fator Isto é quanto a variável resposta defeitos por unidade muda quando cada fator é alterado E a alteração de fatores em conjunto produz resultados diferentes dos obtidos de ajustamentos de fatores individuais Para isso um experimento fatorial se torna necessário Algumas vezes chamamos esse tipo de experimento fatorial de experimento de varredura A informação desse experimento de varredura ou de caracterização será usada para identificação dos fatores críticos do processo e para a determinação da direção do ajuste para esses fatores a fim de se reduzir ainda mais o número de defeitos por unidade O experimento pode também fornecer informação sobre quais fatores devem ser mais cuidadosamente controlados durante a produção de rotina para a prevenção de altos índices de defeitos e desempenho errático do processo Assim um resultado do experimento poderia ser a aplicação de gráficos de controle a uma ou mais variáveis do processo tal como temperatura da solda além de um gráfico u para a saída do processo Ao longo do tempo se o processo for suficientemente melhorado pode ser possível basearse a maior parte do plano de controle do processo no controle das variáveis de entrada do processo em lugar de controlar por gráficos a saída EXEMPLO 132 Otimização de um Processo Em um experimento de caracterização usualmente estamos interessados em determinar quais variáveis do processo afetam a resposta Um passo seguinte lógico é otimizar isto é determinar as regiões nos fatores importantes que levam à melhor resposta possível Por exemplo se a resposta é a produção procuraremos pela região de máxima produção e se a resposta é a variabilidade em uma dimensão crítica do produto procuraremos pela região de mínima variabilidade 1 2 3 4 Suponha que estejamos interessados em melhorar a produção de um processo químico Sabemos pelos resultados de um experimento de caracterização por exemplo que as duas variáveis do processo mais importantes que influenciam a saída são a temperatura de operação e o tempo de reação O processo se dá presentemente a 155F e com 17 h de tempo de reação apresentando rendimento de 75 A Figura 132 mostra uma vista de cima da região tempo temperatura Nesse gráfico as linhas de rendimento constante foram ligadas para formar contornos de resposta e mostramos tais linhas para rendimentos de 60 70 80 90 e 95 Para localizar a posição ótima é necessária a realização de um experimento que varie o tempo e a temperatura ao mesmo tempo Esse tipo de experimento é chamado de experimento fatorial um exemplo de um experimento fatorial com ambos tempo e temperatura observados em dois níveis é mostrado na Figura 132 As respostas observadas nos quatro vértices do quadrado indicam que devemos nos deslocar na direção geral de temperatura crescente e tempo de reação decrescente para aumentar a produção Algumas rodadas adicionais podem ser realizadas nessa direção o que seria suficiente para localizar a região de produção máxima Uma vez localizada a região ótima um experimento mais elaborado pode ser realizado para dar uma estimativa mais precisa da condição ótima de operação Esse tipo de experimento chamado de experimento de superfície de resposta é discutido no Capítulo 14 FIGURA 132 Gráfico de contorno da produção como função do tempo de reação e da temperatura de operação ilustrando um experimento de otimização EXEMPLO 133 Um Exemplo de Projeto de Produto Os experimentos planejados podem ser em geral aplicados ao processo de projeto do produto Para ilustrar suponha que um grupo de engenheiros esteja projetando uma dobradiça de porta para um automóvel A característica da qualidade de interesse é o esforço de parada ou a capacidade de o trinco segurar a porta o que evita que ela se feche quando o carro está estacionado em uma subida O mecanismo de parada consiste em uma mola e em uma roldana Quando a porta está aberta a roldana desliza em um arco fazendo a mola se comprimir Para fechar a porta a mola deve ser forçada lateralmente o que cria o esforço de parada O grupo de engenheiros acredita que o esforço de parada é uma função dos seguintes fatores Distância percorrida pela roldana Altura do eixo da mola até a base Distância horizontal do eixo à mola Altura livre da mola de reforço 5 133 Altura livre da mola principal Os engenheiros construíram um protótipo do mecanismo de dobradiça no qual todos esses fatores podem variar em certos intervalos Uma vez identificados os níveis apropriados para esses cinco fatores podese planejar um experimento que consiste nas várias combinações dos níveis desses fatores e o protótipo de dobradiça pode ser testado nessas combinações Isso fornecerá informação em relação a quais fatores são mais influentes no esforço de parada do trinco informação essa que será usada para a melhoria do projeto EXEMPLO 134 Determinação das Tolerâncias do Sistema e dos Componentes A ponte de Wheatstone mostrada na Figura 133 é um aparelho usado para se medir uma resistência desconhecida Y O resistor ajustável B é manipulado até que se obtenha um fluxo particular de corrente através do amperímetro usualmente X 0 Calculase então a corrente desconhecida por O engenheiro deseja projetar o circuito de modo que a capacidade geral do medidor seja boa isto é ele gostaria que o desviopadrão do erro de medição fosse pequeno Ele decidiu que A 20 Ω C 2 Ω D 50 Ω E 15 V e F 2 Ω é a melhor escolha para os parâmetros do projeto no que se refere à capacidade do medidor mas o erro de medição no geral ainda é muito alto Isso se deve provavelmente às tolerâncias que foram especificadas para os componentes do circuito Essas tolerâncias são 1 para cada resistor A B C D e F e 5 para a fonte de energia E Essas faixas de tolerância podem ser usadas para a definição dos níveis apropriados dos fatores e um experimento pode ser realizado para a determinação de quais componentes do circuito têm as tolerâncias mais críticas e quanto elas podem ser reduzidas para se produzir uma capacidade adequada do medidor A informação desse experimento resultará em uma especificação do projeto que reduz apenas as tolerâncias mais críticas da quantidade mínima possível que seja consistente com a capacidade de medição desejada Consequentemente será possível um projeto de custo mais baixo e de mais fácil fabricação Note que neste experimento é desnecessária a construção real de máquinas uma vez que a resposta do circuito pode ser calculada via equação 131 A variável resposta real para o experimento deveria ser o desviopadrão de Y No entanto uma equação para a variação transmitida a Y pelo circuito pode ser encontrada usandose os métodos da Seção 862 Portanto todo o experimento pode ser realizado com um modelo de computador da ponte de Wheatstone FIGURA 133 Uma ponte de Wheatstone Diretrizes para o Planejamento de Experimentos Os experimentos planejados são uma abordagem poderosa para a melhoria de um processo Para usar essa abordagem é necessário que todos os envolvidos no experimento tenham uma ideia prévia clara do seu objetivo de exatamente quais fatores devem ser estudados de como o experimento deve ser conduzido e pelo menos uma compreensão qualitativa de como os dados serão analisados Montgomery 2009 dá um esboço do procedimento recomendado reproduzido na Figura 134 Vamos agora ampliar cada ponto nesta lista 1 Reconhecimento e relato do problema Na prática é em geral difícil perceberse que existe um problema que exige experimentos planejados formais de modo que pode não ser fácil obterse um relato do problema claro e aceito por todos No entanto é absolutamente essencial desenvolveremse completamente todas as ideias sobre o problema e sobre os objetivos específicos do experimento Usualmente é importante solicitaremse entradas de todas as partes envolvidas engenharia qualidade marketing cliente gerência e operadores que em geral têm muito discernimento que costuma ser ignorado Um relato claro do problema e dos objetivos do experimento costuma contribuir substancialmente para uma melhor compreensão do processo e para uma eventual solução do problema FIGURA 134 Procedimento para o planejamento de um experimento 2 Escolha dos fatores e dos níveis A pessoa que conduz o experimento deve escolher os fatores que devem variar os intervalos sobre os quais esses fatores variarão e os níveis específicos nos quais cada rodada será feita Exigese conhecimento do processo para fazer isso Esse conhecimento é em geral uma combinação de experiência prática e conhecimento teórico É importante investigaremse todos os fatores que possam ser importantes e evitar ser excessivamente influenciado pela experiência passada particularmente nos estágios iniciais do experimento ou quando o processo não está ainda muito amadurecido Quando o objetivo é a varredura dos fatores ou caracterização do processo é em geral melhor manter baixo o número de níveis de fatores Em geral são usados dois níveis Como observado na Figura 134 os passos 2 e 3 são quase sempre realizados simultaneamente ou o passo 3 pode ser feito antes em algumas aplicações 3 Seleção da variável resposta Na seleção da variável resposta o experimentador deve ter certeza de que aquela variável realmente fornece informação útil sobre o processo em estudo Muitas vezes a média ou o desviopadrão ou ambos da característica medida será a variável resposta Respostas múltiplas não são raras A capacidade do medidor é também um fator importante Se a capacidade do medidor for baixa então apenas efeitos grandes de fatores serão detectados pelo experimento ou será necessária replicação adicional 4 Escolha do planejamento experimental Se os três primeiros passos forem feitos corretamente este passo será relativamente fácil A escolha do planejamento envolve consideração sobre o tamanho da amostra número de replicações seleção de uma ordem adequada de rodadas para as tentativas experimentais ou se a formação de blocos ou outras restrições de aleatorização estão envolvidas Este capítulo e o próximo ilustram alguns dos mais importantes tipos de planejamentos experimentais 5 Realização do experimento Quando da realização do experimento é de vital importância o monitoramento do processo para garantir que tudo esteja sendo feito de acordo com o planejamento Erros no procedimento experimental nesse estágio em geral destruirão a validade do experimento O planejamento geral do início até o fim é crucial para o sucesso É fácil subestimaremse os aspectos logísticos e de planejamento em um ambiente industrial complexo 134 6 Análise dos dados Métodos estatísticos devem ser usados para a análise dos dados de modo que os resultados e conclusões sejam objetivos e não opiniões Se o experimento foi planejado corretamente e se foi realizado de acordo com o planejamento então o tipo de método estatístico exigido não é complicado Muitos pacotes estatísticos excelentes estão disponíveis para ajudar na análise de dados e métodos gráficos simples desempenham um papel importante na interpretação dos dados A análise dos resíduos e a verificação da validade do modelo são também importantes 7 Conclusões e recomendações Uma vez analisados os dados o experimento deve acarretar conclusões práticas sobre os resultados e recomendar um curso de ação Métodos gráficos são em geral úteis nesse estágio particularmente na apresentação dos resultados para outras pessoas Sequências de acompanhamento e testes de confirmação também devem ser realizados para validação das conclusões do experimento Os passos 1 a 3 são usualmente chamados de planejamento préexperimental Para o sucesso do experimento é vital que esses passos sejam realizados tão bem quanto possível Coleman e Montgomery 1993 discutem isso em detalhe e oferecem mais orientação em planejamento préexperimental incluindo planilhas para ajudar na obtenção e documentação da informação necessária A Seção S131 do material de texto suplementar contém material útil adicional sobre planejamento de experimentos Durante todo esse processo é importante lembrar que a experimentação é uma parte importante do processo de aprendizagem em que por tentativa formulamos hipóteses sobre um sistema realizamos experimentos para investigar essas hipóteses e com base nos resultados formulamos novas hipóteses e assim por diante Isso sugere que a experimentação é iterativa Usualmente é um grande erro planejarse um único grande e abrangente experimento logo no início do estudo Um experimento bemsucedido exige conhecimento dos fatores importantes dos intervalos nos quais esses fatores variarão do número apropriado de níveis a serem usados e das unidades de medidas adequadas a essas variáveis Em geral não sabemos perfeitamente as respostas a essas perguntas mas aprendemos sobre elas na medida em que caminhamos À medida que avança um programa experimental em geral tiramos algumas variáveis acrescentamos outras mudamos a região de exploração de alguns fatores ou acrescentamos novas variáveis resposta Consequentemente nós usualmente fazemos o experimento sequencialmente e como regra geral não mais do que 25 dos recursos disponíveis devem ser investidos no primeiro experimento Isso garantirá que haverá recursos suficientes para alcançarmos o objetivo final do experimento Experimentos Fatoriais Quando há vários fatores de interesse em um experimento um planejamento fatorial deve ser usado Em tais experimentos os fatores variam juntos Especificamente por um experimento fatorial queremos dizer que em cada tentativa ou replicação completa do experimento são investigadas todas as combinações possíveis dos níveis dos fatores Assim se há dois fatores A e B com a níveis para o fator A e b níveis para o fator B então cada replicação contém todas as ab combinações possíveis O efeito de um fator é definido como a mudança na resposta produzida por uma mudança no nível do fator Isso é chamado de efeito principal porque se refere aos fatores principais no estudo Por exemplo considere os dados na Figura 135 Nesse planejamento fatorial ambos os fatores A e B têm dois níveis denotados por e Esses dois níveis são chamados de baixo e alto respectivamente O efeito principal do fator A é a diferença entre a resposta média no nível alto de A e a resposta média no nível baixo de A ou Isto é mudar o fator A do nível baixo para o nível alto causa um aumento na resposta média de 20 unidades Analogamente o efeito principal de B é FIGURA 135 Um experimento fatorial com dois fatores FIGURA 136 Um experimento fatorial com interação Em alguns experimentos a diferença na resposta entre os níveis de um fator não é a mesma em todos os níveis dos outros fatores Quando isso ocorre há uma interação entre os fatores Por exemplo considere os dados da Figura 136 No nível baixo do fator B o efeito de A é A 30 10 20 e no nível alto do fator B o efeito de A é A 0 20 20 Como o efeito de A depende do nível escolhido para o fator B há uma interação entre A e B Quando uma interação é muito grande os efeitos principais correspondentes têm pouco significado Por exemplo usando os dados da Figura 136 vemos que o efeito principal de A é e seríamos tentados a concluir que não existe efeito de A No entanto quando examinamos o efeito principal de A em níveis diferentes do fator B vemos que esse não é o caso O efeito do fator A depende dos níveis do fator B Assim o conhecimento da interação AB é mais útil do que o conhecimento do efeito principal Uma interação significante pode mascarar a significância dos efeitos principais O conceito de interação pode ser ilustrado graficamente A Figura 137 plota os dados da Figura 135 versus os níveis de A para ambos os níveis de B Note que as retas B e B são praticamente paralelas indicando que os fatores A e B não interagem A Figura 138 exibe os dados da Figura 136 Na Figura 138 as retas B e B não são paralelas indicando a interação entre os fatores A e B Tais representações gráficas são sempre úteis na apresentação dos resultados de experimentos Uma alternativa ao planejamento fatorial que é infelizmente usada na prática é a mudança nos fatores um de cada vez em vez de variálos simultaneamente Para ilustrar esse procedimento umfatordecadavez considere o experimento de otimização descrito anteriormente no Exemplo 132 O engenheiro está interessado em achar os valores de temperatura e tempo que maximizem a produção Suponha que fixemos a temperatura em 155F nível de operação corrente e que realizemos cinco rodadas em níveis diferentes do tempo digamos 05 h 10 h 15 h 20 h e 25 h Os resultados dessa sequência de rodadas são mostrados na Figura 139 Essa figura indica que a produção máxima é alcançada por volta de 17 h de tempo de reação Para otimizar a temperatura o engenheiro fixa o tempo em 17 h o ótimo aparente e realiza cinco rodadas em diferentes temperaturas digamos 140F 150F 160F 170F e 180F Os resultados desse conjunto de rodadas estão na Figura 1310 A produção máxima ocorre em cerca de 155F Portanto concluiríamos que executar o processo em 155F e em 17 h é o melhor conjunto de condições de operação que resulta em uma produção de cerca de 75 FIGURA 137 Experimento fatorial sem interação FIGURA 138 Experimento fatorial com interação FIGURA 139 Produção versus tempo de reação com temperatura constante em 155F 1341 FIGURA 1310 Produção versus temperatura com tempo de reação constante em 17 h A Figura 1311 mostra o gráfico de contorno da produção como função da temperatura e do tempo com o experimento umfatordecadavez mostrado nos contornos Claramente o planejamento umfatordecadavez falhou aqui de forma drástica uma vez que o verdadeiro ótimo está no mínimo vinte pontos de produção acima e ocorre em tempo de reação muito mais baixo e em temperatura mais alta O fracasso em determinar tempos mais curtos de reação é particularmente importante pois poderia ter impacto significativo sobre o volume ou capacidade de produção sobre o planejamento da produção sobre o custo de produção e sobre a produtividade total FIGURA 1311 Experimento de otimização usando o método umfatordecadavez O método umfatordecadavez falhou aqui porque deixou de detectar a interação entre a temperatura e o tempo Experimentos fatoriais são o único caminho para a detecção de interações Além disso o método umfatordecadavez é ineficaz ele exige mais experimentação do que um fatorial e como acabamos de ver não há certeza de que produza os resultados corretos O experimento fatorial mostrado na Figura 132 que produziu a informação apontando para a região do ótimo é um exemplo simples de um experimento fatorial Um Exemplo As tintas de base ou primer em aviões são aplicadas a superfícies de alumínio por dois métodos por imersão e por spray O propósito da pintura de base é melhorar a aderência da tinta algumas partes podem ter a pintura de base feita por qualquer dos métodos de aplicação Uma equipe usando uma abordagem DMAMC identificou três primers diferentes que podem ser usados com ambos os métodos de aplicação Três espécimes foram pintados com cada primer usando cada um dos métodos de aplicação aplicouse uma pintura de acabamento e a força de aderência foi medida As 18 rodadas desse experimento foram feitas em ordem aleatória Os dados resultantes constam da Tabela 131 Os números circulados nas celas são os totais de celas O objetivo do experimento era determinar qual combinação de tinta primer e método de aplicação produzia a mais alta força de aderência Seria desejável que pelo menos uma das tintas de base resultasse em alta força de aderência independentemente do método de aplicação pois isso daria alguma flexibilidade ao processo de fabricação 1342 Análise Estatística A análise de variância ANOVA descrita no Capítulo 4 pode ser estendida para lidar com experimentos fatoriais de dois fatores Denotemos por A e B os dois fatores com a níveis para o fator A e b níveis para o fator B Se o experimento é replicado n vezes a disposição dos dados parecerá com a Tabela 132 Em geral a observação na ija cela na ka repetição é yijk Na coleta de dados as abn observações devem ser feitas em ordem aleatória Assim como no experimento de um fator estudado no Capítulo 4 o planejamento fatorial de dois fatores é um planejamento completamente aleatorizado Supõese que ambos os fatores tenham efeitos fixos TABELA 131 Dados sobre a Força de Adesão TABELA 132 Dados para um Experimento Fatorial de Dois Fatores Fator B 1 2 b 1 y111 y112 y11n y121 y122 y12n y1b1 y1b2 y1bn 2 Fator A y211 y212 y21n y221 y222 y22n y2b1 y2b2 y2bn a ya11 ya12 ya1n ya21 ya22 ya2n yab1 yab2 yabn As observações de um experimento fatorial de dois fatores podem ser descritas pelo modelo em que μ é o efeito médio geral τi é o efeito do io nível do fator A βj é o efeito do jésimo nível do fator B τβij é o efeito da interação entre A e B e εijk é o componente NID0 σ2 do erro aleatório Estamos interessados em testar a hipótese de nenhuma significância do efeito do fator A nenhuma significância do efeito do fator B e de nenhuma significância da interação AB Sejam yi o total das observações no iésimo nível do fator A yi o total das observações no jésimo nível do fator B yij o total das observações na ijésima cela da Tabela 132 e y o total geral de todas as observações Definamos como as correspondentes médias de linha coluna cela e total Isto é A análise de variância decompõe a soma de quadrados total como se segue ou simbolicamente A decomposição correspondente dos graus de liberdade é Essa decomposição é usualmente resumida em uma tabela da análise de variância tal como a mostrada na Tabela 133 Para testar a ausência de efeito dos fatores de linha dos fatores de coluna e da interação devemos dividir a média quadrática correspondente pela média quadrática do erro Cada uma dessas razões seguirá uma distribuição F com o número de graus de liberdade do numerador igual ao número de graus de liberdade para o numerador da média quadrática e abn 1 graus de liberdade para o denominador quando é verdadeira a hipótese nula de nenhum efeito do fator Rejeitaríamos a hipótese correspondente se o valor de F calculado excedesse o valor da tabela no nível de significância apropriado ou alternativamente se o valor P fosse menor do que o nível de significância especificado A ANOVA é usualmente feita com auxílio de um programa de computador embora fórmulas simples para as somas de quadrados possam ser facilmente obtidas As fórmulas para o cálculo dessas somas são dadas a seguir Efeitos principais Interação Erro TABELA 133 Tabela da ANOVA para um Modelo Fatorial de Dois Fatores com Efeitos Fixos Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 A SQA a 1 B SQB b 1 Interação SQAB a 1 b 1 Erro SQE abn 1 Total SQT abn 1 EXEMPLO 135 Problema da Tinta Primer na Aviação Use a ANOVA descrita anteriormente para analisar o experimento da pintura de primer em aviões descrito na Seção 1341 SOLUÇÃO As somas de quadrados necessárias são Os valores P foram obtidos por uma calculadora eles também podem ser encontrados com o uso da função Probability Distribution no menu Calc do Minitab A ANOVA está resumida na Tabela 134 Note que os valores P para ambos os efeitos principais são muito pequenos indicando que o tipo de primer usado e o método de aplicação afetam significantemente a força de aderência Como o valor P para a razão F do efeito de interação é relativamente grande concluiríamos que não há interação entre o tipo de primer e o método de aplicação Como uma alternativa ao uso dos valores P poderíamos comparar as razões F calculadas com um valor crítico superior de 5 digamos da distribuição F Como F005212 389 e F005112 475 concluímos que o tipo de primer e o método de aplicação afetam a força de aderência Além disso como 15 F005212 não há nenhuma indicação de interação entre esses fatores Na prática os cálculos da ANOVA são realizados por um computador com o uso de um pacote estatístico A Tabela 135 é a análise de variância do Minitab Note a semelhança dessa apresentação com a Tabela 134 Como o computador considera mais casas decimais do que fizemos nos cálculos manuais as razões F nas Tabelas 134 e 135 são ligeiramente diferentes O valor P para cada razão F é chamado de nível de significância na Tabela 135 e quando um valor P é menor do que 0001 o Minitab reportao como 0000 A Figura 1312 mostra um gráfico das médias das celas da força de aderência ij versus os níveis do tipo de primer para cada método de aplicação Esse gráfico de interação foi construído pelo Minitab A ausência de interação é evidente no paralelismo das duas retas Além disso como uma resposta grande indica maior força de aderência concluímos que o spray é um método de aplicação superior e que a tinta primer tipo 2 é mais eficaz Assim se quisermos operar o processo de modo a obter a força de aderência máxima deveremos usar a primer tipo 2 e o spray em todas as partes FIGURA 1312 Gráfico da força de aderência média versus tipos de primer para o Exemplo 135 TABELA 134 ANOVA para o Exemplo 135 Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 Valor P Tipos de primer 458 2 2290 2793 193 104 Métodos de aplicação 491 1 4910 5988 528 106 Interação 024 2 0120 146 0269 Erro 099 12 0082 Total 1072 17 TABELA 135 Saída do Minitab da ANOVA Exemplo 135 1343 Intervalos de confiança para cada média usando MQE como uma estimativa de σ2 e aplicando o procedimentopadrão de intervalo de confiança para a média de uma distribuição normal com variância desconhecida Análise dos Resíduos Do mesmo modo que nos experimentos de um fator discutidos no Capítulo 4 os resíduos de um experimento fatorial desempenham papel importante na garantia da adequação do modelo Os resíduos de um experimento fatorial de dois fatores são Isto é os resíduos são simplesmente a diferença entre as observações e as médias das celas correspondentes A Tabela 136 apresenta os resíduos para os dados da pintura de base na aviação do Exemplo 135 O gráfico da probabilidade normal desses resíduos é mostrado na Figura 1313 Esse gráfico tem caudas que não se situam exatamente ao longo de uma reta que passa pelo centro do gráfico indicando que pode haver alguns pequenos problemas com a hipótese de normalidade mas o afastamento da normalidade não é sério As Figuras 1314 e 1315 plotam os resíduos versus os níveis do tipo de primer e método de aplicação respectivamente Há alguma indicação de que a primer tipo 3 resulta em uma variabilidade ligeiramente mais baixa na força de aderência do que as outras duas tintas O gráfico dos resíduos versus os valores ajustados na Figura 1316 não revela nenhum padrão incomum ou de diagnóstico FIGURA 1313 Gráfico da probabilidade normal dos resíduos do Exemplo 135 TABELA 136 Resíduos para o Experimento da Pintura de Base na Aviação Tipo de Primer Método de Aplicação Imersão Spray 1 026 023 003 010 040 030 2 030 040 010 026 003 023 3 003 013 016 034 017 017 FIGURA 1314 Gráfico dos resíduos versus tipo de primer FIGURA 1315 Gráfico dos resíduos versus método de aplicação 135 1351 FIGURA 1316 Gráfico dos resíduos versus valores preditos O Planejamento Fatorial 2k Certos tipos especiais de planejamentos fatoriais são muito úteis no desenvolvimento e melhoria do processo Um desses é um planejamento fatorial com k fatores cada um com dois níveis Como cada replicação completa do planejamento tem 2k rodadas o arranjo é chamado de planejamento fatorial 2k Esses planejamentos têm uma análise grandemente simplificada e formam também a base de muitos outros planejamentos úteis O Planejamento 22 O tipo mais simples do planejamento 2k é o 22 isto é dois fatores A e B cada um com dois níveis Em geral consideramos esses níveis como os níveis baixo ou e alto ou do fator A Figura 1317a mostra a geometria do planejamento 22 Note que o planejamento pode ser representado geometricamente como um quadrado com as 22 4 rodadas formando os vértices do quadrado A Figura 1317b mostra as quatro rodadas em formato tabular muitas vezes chamado de matriz de teste ou matriz de planejamento Cada rodada da matriz de teste é um dos vértices do quadrado e os sinais e em cada linha mostram os contextos para as variáveis A e B para aquela rodada Usase uma notação especial para a denotação das rodadas Em geral uma rodada é representada por uma série de letras minúsculas Se uma letra estiver presente então o fator correspondente será colocado no seu nível alto nessa rodada se a letra estiver ausente o fator será colocado em seu nível baixo nessa rodada Por exemplo a rodada a indica que o fator A está em seu nível alto e o fator B em seu nível baixo A rodada com ambos os fatores no nível baixo é representada por 1 Essa notação é usada ao longo da família de planejamentos 2k Por exemplo a rodada em um 24 com A e C no nível alto e B e D no nível baixo é representada por ac Os efeitos de interesse em um planejamento fatorial 22 são os efeitos principais A e B e a interação AB Sejam 1 a b e ab também os totais das n observações tomadas nesses pontos do planejamento É fácil estimarmos os efeitos desses fatores Para estimar o efeito principal de A tomamos a média das observações do lado direito do quadrado quando A está em seu nível máximo e subtraímos disso a média das observações no lado esquerdo do quadrado em que A está em seu nível baixo ou Analogamente o efeito principal de B é encontrado pelo cálculo da média das observações no alto do quadrado em que B está em seu nível alto e subtraindo disso a média das observações na base do quadrado em que B está em seu nível baixo FIGURA 1317 O planejamento fatorial 22 TABELA 137 Sinais para os Efeitos no Planejamento 22 Efeito Fatorial Rodada I A B AB 1 1 2 a 3 b 4 ab Finalmente a interação AB é estimada pela diferença das médias nas diagonais na Figura 1317 ou As quantidades entre colchetes nas equações 1311 1312 e 1313 são chamadas de contrastes Por exemplo o contraste de A é ContrasteA a ab b 1 Nessas equações os coeficientes dos contrastes são sempre ou 1 ou 1 Uma tabela de sinais mais e menos como a Tabela 137 pode ser usada para se determinar o sinal em cada rodada para um contraste particular Os cabeçalhos das colunas para a tabela são os efeitos principais A e B a interação AB e I que representa o total Os cabeçalhos das linhas são as rodadas Note que os sinais na coluna AB são os produtos dos sinais das colunas A e B Para gerar um contraste a partir dessa tabela multiplique os sinais na coluna apropriada da Tabela 137 pelas rodadas listadas nas linhas e some Para obter as somas dos quadrados para A B e AB usamos o seguinte resultado Assim as somas dos quadrados para A B e AB são Completase a análise de variância calculandose a soma de quadrados total SQT com 4n 1 graus de liberdade como usual e obtendose a soma de quadrados do erro SQE com 4n 1 graus de liberdade por subtração EXEMPLO 136 O Experimento do Roteador Um roteador é usado para fazer trilhas de gravação em placas de circuito impresso A dimensão média da trilha é satisfatória e o processo está sob controle estatístico veja os gráficos de controle e R na Figura 1318 mas há muita variabilidade no processo Esse excesso de variabilidade resulta em problemas na montagem da placa Os componentes são inseridos na placa por equipamentos automáticos e a variabilidade na dimensão da trilha ocasiona uma gravação imprópria da placa Como resultado o equipamento de autoinserção não funciona adequadamente Como podemos melhorar esse processo FIGURA 1318 Gráficos de controle e R para a dimensão da trilha Exemplo 136 SOLUÇÃO Como o processo está sob controle estatístico a equipe de melhoria da qualidade designada para esse projeto decidiu usar um experimento planejado para estudar o processo A equipe considerou dois fatores tamanho da broca A e velocidade B Foram escolhidos dois níveis para cada fator tamanho da broca A de e velocidade B de 40 rpm e 80 rpm e estabeleceuse um planejamento 22 Como era difícil medir a variação na dimensão da trilha diretamente a equipe decidiu medila indiretamente Dezesseis placas de teste foram instrumentadas com acelerômetros que permitiam que a vibração nos eixos coordenados X Y Z fosse medida O vetor resultante dessas três componentes foi usado como variável resposta Como a vibração na superfície da placa quando ela é cortada está diretamente relacionada com a variabilidade na dimensão da trilha a redução dos níveis de vibração reduzirá também a variabilidade na dimensão da trilha Quatro placas foram testadas em cada uma das quatro rodadas do experimento e os dados resultantes estão mostrados na Tabela 138 Por meio das equações 1311 1312 e 1313 poderemos calcular as estimativas dos efeitos dos fatores como se segue Todas as estimativas numéricas dos efeitos parecem grandes Por exemplo quando mudamos o fator A do nível baixo para o nível alto tamanho da broca de o nível de vibração médio aumenta de 1664 cps A magnitude desses efeitos pode ser confirmada pela análise de variância resumida na Tabela 139 As somas de quadrados nessa tabela para os efeitos principais e interação foram calculadas com o uso da equação 1315 A análise de variância confirma nossas conclusões obtidas pelo exame inicial da magnitude e direção dos efeitos dos fatores ambos tamanho da broca e velocidade são importantes e há interação entre as duas variáveis TABELA 138 Dados do Experimento do Roteador Fatores Rodada A B Vibração Total 1 1 182 189 129 144 644 2 a 272 240 224 225 961 3 b 159 145 151 142 597 4 ab 410 439 363 399 1611 TABELA 139 Análise de Variância para o Experimento do Roteador Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 Valor P Tamanho da broca A 1107226 1 1107226 18525 117 108 Velocidade B 227256 1 227256 3803 482 105 AB 303631 1 303631 5080 120 105 Erro 71723 12 5977 Total 1709836 15 Modelo de Regressão e Análise dos Resíduos Os resíduos de um planejamento 2k são de fácil obtenção pelo ajuste de um modelo de regressão aos dados Para o experimento do roteador o modelo é y β0 β1x1 β2x2 β12x1x2 ε em que os fatores A e B são representados por variáveis codificadas x1 e x2 e a interação AB é representada pelo termo produto cruzado no modelo x1x2 Os níveis baixo e alto para cada fator são associados aos valores xj 1 e xj 1 respectivamente Os coeficientes β0 β1 β2 e β12 são chamados de coeficientes de regressão e ε é o termo do erro aleatório semelhante ao termo do erro no modelo da análise de variância O modelo de regressão ajustado é em que a estimativa do intercepto é a média geral de todas as dezesseis observações e as estimativas dos outros coeficientes de regressão são a metade das estimativas dos efeitos para o fator correspondente Cada estimativa do coeficiente de regressão é a metade da estimativa do efeito porque os coeficientes de regressão medem o efeito da mudança de uma unidade em xj sobre a média de y e a estimativa do efeito se baseia em uma mudança de duas unidades de 1 para 1 Esse modelo pode ser usado para obtenção dos valores preditos do nível de vibração em qualquer ponto da região de experimentação incluindo os quatro pontos do planejamento Por exemplo considere o ponto com broca pequena x1 1 e baixa velocidade x2 1 O nível de vibração predito é Os quatro resíduos correspondentes às observações nesse ponto do planejamento são encontrados tomandose a diferença entre a observação real e o valor predito como segue e1 182 161 21 e3 129 161 32 e2 189 161 28 e4 144 161 17 Os resíduos nas outras três rodadas são calculados de maneira análoga As Figuras 1319 e 1320 apresentam o gráfico da probabilidade normal e o gráfico dos resíduos versus os valores ajustados respectivamente O gráfico da probabilidade normal é satisfatório bem como o gráfico dos resíduos versus embora esse último gráfico dê alguma indicação de que pode haver menos variabilidade nos dados no ponto de nível de vibração predito mais baixo FIGURA 1319 Gráfico da probabilidade normal Exemplo 136 FIGURA 1320 Gráfico dos resíduos versus Exemplo 136 Interpretação Prática do Exemplo 136 Como ambos os fatores A tamanho da broca e B velocidade têm efeitos grandes positivos poderíamos reduzir os níveis de vibração fazendo o experimento com ambos em nível baixo No entanto com o tamanho da broca e a velocidade em nível baixo a taxa de produção poderia ser inaceitavelmente baixa A interação AB fornece uma solução para esse dilema potencial A Figura 1321 apresenta o gráfico da interação AB dos dois fatores Note que o efeito grande positivo da velocidade ocorre principalmente quando o tamanho da broca está em nível alto Se usarmos uma broca pequena então qualquer nível de velocidade resultará em níveis de vibração mais baixos Se fizermos uma rodada com alta velocidade e usarmos a broca pequena a taxa de produção será satisfatória FIGURA 1321 Gráfico da interação AB Quando a produção implementou esse conjunto de condições de operação o resultado foi uma redução drástica na variabilidade da dimensão da trilha de gravação O processo permaneceu sob controle estatístico como mostram os gráficos de controle da Figura 1322 e a redução drástica da variabilidade melhorou o desempenho do processo de autoinserção Procedimento de Análise para Experimentos Fatoriais A Tabela 1310 resume a sequência de passos geralmente usados para a análise de experimentos fatoriais Esses passos foram seguidos na análise do experimento do roteador do Exemplo 136 Lembre que nossa primeira atividade depois de realizado o experimento foi estimar o efeito dos fatores tamanho da broca velocidade e a interação dos dois fatores O modelo preliminar usado na análise foi o modelo fatorial de 1 2 3 4 5 6 1352 dois fatores com interação Em geral em qualquer experimento fatorial com replicação usaremos quase sempre o modelo fatorial completo como modelo preliminar Testamos para verificar a significância dos efeitos dos fatores através da análise de variância Como a análise dos resíduos foi satisfatória e ambos os efeitos principais e o termo interação resultaram significantes não houve necessidade de refinarmos o modelo Portanto pudemos interpretar os resultados em termos do modelo fatorial completo original usando o gráfico da interação dos dois fatores da Figura 1321 Algumas vezes o refinamento do modelo pode ser a exclusão de termos do modelo final que não são significantes ou o empreendimento de novas ações que podem ser indicadas a partir da análise dos resíduos Vários pacotes estatísticos incluem rotinas especiais para a análise de planejamentos fatoriais de dois níveis Muitos desses pacotes seguem um processo de análise semelhante ao que esboçamos Ilustraremos novamente esse procedimento de análise várias vezes neste capítulo FIGURA 1322 Gráficos e R para o processo do roteador após o experimento TABELA 1310 Procedimento de Análise para Planejamentos Fatoriais Estime os efeitos dos fatores Construa o modelo preliminar Teste a significância dos efeitos dos fatores Analise os resíduos Refine o modelo se necessário Interprete os resultados O Planejamento 2k para k 3 Fatores Os métodos apresentados na seção anterior para planejamentos fatoriais com k 2 fatores cada um com dois níveis podem ser facilmente estendidos a mais de dois fatores Por exemplo considere k 3 fatores cada um com dois níveis Este é um planejamento fatorial 23 e tem oito combinações fatornível Geometricamente o planejamento é um cubo como mostra a Figura 1323a com as oito rodadas formando os vértices do cubo A Figura 1323b mostra a matriz de teste ou de planejamento Esse planejamento permite que três efeitos principais sejam estimados A B e C junto com as três interações de dois fatores AB AC e BC e uma interação de três fatores ABC Assim o modelo fatorial completo poderia ser escrito simbolicamente como y μ A B C AB AC BC ABC ε em que μ é uma média geral ε é o termo do erro aleatório que se supõe NID0 σ2 e as letras maiúsculas representam os efeitos principais e as interações dos fatores note que poderíamos ter usado letras gregas para os efeitos principais e interações como na equação 132 Os efeitos principais podem ser estimados facilmente Lembre que as letras minúsculas 1 a b ab c ac bc e abc representam o total de todas as n replicações em cada uma das oito rodadas do planejamento Referindo ao cubo da Figura 1323 poderíamos estimar o efeito principal de A pela média das quatro rodadas do lado direito do cubo em que A está em seu nível alto subtraída da média das quatro rodadas no lado esquerdo do cubo em que A está em seu nível baixo Isso resulta em De maneira análoga o efeito de B é a diferença média das quatro rodadas na face posterior do cubo e as quatro na face anterior ou e o efeito de C é a diferença média entre as quatro rodadas na face superior e as quatro na face inferior ou FIGURA 1323 O planejamento fatorial 23 A linha superior da Figura 1324 mostra como são calculados os efeitos principais dos três fatores Considere agora a interação dos dois fatores AB Quando C está no nível baixo AB é simplesmente a diferença média no efeito de A nos dois níveis de B ou Analogamente quando C está no nível alto a interação AB é A interação AB é a média dessas duas componentes ou Note que a interação AB é simplesmente a diferença nas médias sobre os dois planos diagonais no cubo veja o cubo mais à esquerda na linha do meio da Figura 1324 Com uma abordagem semelhante vemos na linha do meio da Figura 1324 que as estimativas das interações AC e BC são as seguintes O efeito da interação ABC é a diferença média entre a interação AB nos dois níveis de C Assim ou A Figura 1324 ilustra essa estimativa do efeito na linha inferior As quantidades entre colchetes nas equações 1316 a 1322 são contrastes nas oito combinações fatornível Esses contrastes podem ser obtidos de uma tabela de sinais mais e menos para o planejamento 23 mostrada na Tabela 1311 Os sinais para os efeitos principais colunas A B e C são obtidos pela associação de um sinal mais no nível alto e de um sinal menos no nível baixo Uma vez estabelecidos os sinais para os efeitos principais os sinais para as colunas restantes são encontrados pela multiplicação das colunas precedentes apropriadas linha a linha Por exemplo os sinais na coluna AB são o produto dos sinais nas colunas A e B 1 FIGURA 1324 Representação geométrica de contrastes correspondentes aos efeitos principais e interação no planejamento 23 TABELA 1311 Sinais para os Efeitos no Planejamento 23 Combinação de Tratamentos Efeito Fatorial I A B AB C AC BC ABC 1 a b ab c ac bc abc A Tabela 1311 tem várias propriedades interessantes Exceto pela coluna identidade I cada coluna tem um número igual de sinais mais e menos 2 3 4 A soma dos produtos dos sinais de quaisquer duas colunas é zero isto é as colunas na tabela são ortogonais A multiplicação de qualquer coluna pela coluna I deixa a coluna inalterada isto é I é um elemento identidade O produto de quaisquer duas colunas resulta em uma coluna da tabela por exemplo A B AB e AB ABC A2B2C C uma vez que uma coluna multiplicada por si mesma é a coluna identidade A estimativa de qualquer efeito principal ou interação é determinada pela multiplicação das combinações fatornível na primeira coluna da tabela pelos sinais na coluna correspondente do efeito principal ou interação somandose então os resultados para se obter um contraste e dividindose o contraste pela metade do número total de rodadas no experimento Expressa matematicamente A soma dos quadrados para qualquer efeito é EXEMPLO 137 Um Planejamento Fatorial 23 Realizouse um experimento para analisar o acabamento da superfície de uma peça de metal O experimento é um experimento fatorial 23 com os fatores taxa de alimentação A profundidade do corte B e ângulo da ferramenta C com n 2 replicações A Tabela 1312 apresenta os dados observados do acabamento da superfície para esse experimento e o planejamento é mostrado graficamente na Figura 1325 Analise e interprete os dados desse experimento TABELA 1312 Dados sobre o Acabamento da Superfície para o Exemplo 137 Fatores do Planejamento Rodada A B C Acabamento da Superfície Totais 1 1 1 1 1 9 7 16 2 a 1 1 1 10 12 22 3 b 1 1 1 9 11 20 4 ab 1 1 1 12 15 27 5 c 1 1 1 11 10 21 6 ac 1 1 1 10 13 23 7 bc 1 1 1 10 8 18 8 abc 1 1 1 16 14 30 FIGURA 1325 Planejamento 23 para o acabamento da superfície no Exemplo 137 os números entre parênteses são as respostas médias em cada ponto do planejamento SOLUÇÃO Os efeitos principais podem ser estimados com o uso das equações 1316 a 1322 O efeito de A por exemplo é e encontrase a soma dos quadrados para A usandose a equação 1324 É fácil verificar que as estimativas dos outros efeitos e somas de quadrados são B 1625 SQB 105625 C 0875 SQC 30625 AB 1375 SQAB 75625 AC 0125 SQAC 00625 BC 0625 SQBC 15625 ABC 1125 SQABC 50625 Pelo exame da magnitude dos efeitos a taxa de alimentação fator A é claramente dominante seguido pela profundidade do corte B e pela interação AB embora o efeito da interação seja relativamente pequeno A análise de variância para o modelo fatorial completo está resumida na Tabela 1313 Com base nos valores P é claro que a taxa de alimentação A é altamente significante TABELA 1313 Análise de Variância para o Experimento sobre o Acabamento da Superfície Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 Valor P A 455625 1 455625 1869 254 103 B 105625 1 105625 433 007 C 30625 1 30625 126 029 AB 75625 1 75625 310 012 AC 00625 1 00625 003 088 BC 15625 1 15625 064 045 ABC 50625 1 50625 208 019 Erro 195000 8 24375 Total 929375 15 TABELA 1314 Análise de Variância do Minitab para o Experimento sobre o Acabamento da Superfície Muitos programas de computador analisam o planejamento fatorial 2k A Tabela 1314 é a saída do Minitab Embora à primeira vista as duas tabelas pareçam um pouco diferentes elas fornecem na verdade a mesma informação A análise de variância mostrada na porção inferior da Tabela 1314 apresenta as razões F calculadas em grupos importantes de termos do modelo efeitos principais interações de dois fatores e a interação de três fatores A média quadrática para cada grupo de termos do modelo foi obtida pela combinação das somas de quadrados para cada componente do modelo e divisão pelo número de graus de liberdade associados ao grupo de termos do modelo Usase um teste t para o teste da significância de cada termo individual do modelo Esses testes t são mostrados na parte superior da Tabela 1314 Note que uma estimativa do coeficiente é dada para cada variável no modelo fatorial completo Essas são na verdade as estimativas dos coeficientes no modelo de regressão que seria usado para predizer o acabamento da superfície em termos das variáveis no modelo fatorial completo Cada valor t é calculado de acordo com em que é a estimativa do coeficiente e ep é o erropadrão estimado do coeficiente Para um planejamento fatorial 2k o erropadrão estimado do coeficiente é Usamos a média quadrática residual ou do erro da análise de variância como a estimativa Em nosso exemplo como mostra a Tabela 1314 É fácil verificarse que a divisão de qualquer estimativa de coeficiente pelo seu erro padrão estimado produz o valor t para o teste de o coeficiente de regressão correspondente ser zero Os testes t na Tabela 1314 são equivalentes aos testes F da ANOVA na Tabela 1313 Você já poderia ter suspeitado disso uma vez que os valores P nas duas tabelas são idênticos até duas casas decimais Além disso note que o quadrado de qualquer valor t na Tabela 1314 produz o valor da razão F correspondente na Tabela 1313 Em geral o quadrado de uma variável aleatória t com v graus de liberdade resulta em uma variável aleatória F com um grau de liberdade no numerador e v graus de liberdade no denominador Isso explica a equivalência dos dois procedimentos usados para a condução da análise de variância para os dados do experimento para o acabamento da superfície FIGURA 1326 Valores preditos do acabamento da superfície em cada ponto no planejamento original Exemplo 137 Com base na ANOVA concluímos que o modelo fatorial completo com todos esses fatores é desnecessário e que um modelo reduzido que inclua menos variáveis é mais apropriado Os efeitos principais de A e B têm ambos valores P relativamente pequenos 010 e a interação AB é o efeito seguinte mais importante valor P 012 O modelo de regressão que usaríamos para representar esse processo é y β0 β1x1 β2x2 β12x1x2 ε em que x1 representa o fator A x2 representa o fator B e x1x2 representa a interação AB Os coeficientes de regressão são a metade das estimativas dos efeitos correspondentes e é a média geral Assim Note que podemos ler os valores de diretamente da coluna coeficiente na Tabela 1314 Esse modelo de regressão pode ser usado para a predição do acabamento da superfície em qualquer ponto na região experimental original Por exemplo considere o ponto onde as três variáveis estão no nível baixo Nesse ponto x1 x2 1 e o valor predito é 110625 168751 081251 0687511 925 A Figura 1326 mostra os valores preditos em cada ponto do planejamento experimental original Os resíduos podem ser obtidos como a diferença entre os valores observado e predito do acabamento da superfície em cada ponto do planejamento Para o ponto em que todos os três fatores A B e C estão no nível baixo os valores observados do acabamento da superfície são 9 e 7 de modo que os resíduos são 9 925 025 e 7 925 225 A Figura 1327 mostra o gráfico da probabilidade normal dos resíduos Como os resíduos se localizam aproximadamente ao longo de uma reta não suspeitamos de nenhuma não normalidade grave nos dados Não há também nenhuma indicação de valores atípicos Seria útil fazerse o gráfico dos resíduos versus os valores preditos e versus cada um dos fatores A B e C Esses gráficos não indicam quaisquer problemas potenciais no modelo Finalmente podemos obter uma interpretação prática dos resultados do nosso experimento Ambos os efeitos principais A e B são positivos e como são desejáveis valores pequenos da resposta do acabamento da superfície isso sugeriria que ambos A taxa de alimentação e B profundidade do corte devessem ser rodados em nível baixo No entanto o modelo tem um termo de interação e o efeito dessa interação deve ser levado em consideração quando se tiram conclusões Poderíamos fazer isso pelo exame de um gráfico da interação como no Exemplo 136 veja a Figura 1321 Alternativamente o gráfico de cubo das respostas preditas na Figura 1326 pode também ser usado para a interpretação do modelo Essa figura indica que os valores mais baixos preditos do acabamento da superfície serão obtidos quando A e B estiverem em nível baixo FIGURA 1327 Gráfico da probabilidade normal dos resíduos Exemplo 137 Alguns Comentários sobre o Modelo de Regressão Nos dois exemplos anteriores usamos um modelo de regressão para resumir os resultados do experimento Em geral um modelo de regressão é uma equação da forma em que y é a variávelresposta os xs são o conjunto de variáveis regressoras ou preditoras os βs são os coeficientes de regressão e ε é o termo do erro que se supõe da forma NID0 σ2 Em nossos exemplos tínhamos k 2 fatores e os modelos tinham um termo de interação de modo que a forma específica dos modelos de regressão que ajustamos foi y β0 β1x1 β2x2 β12x1x2 ε Em geral os coeficientes de regressão nesses modelos são estimados pelo método dos mínimos quadrados isto é os s são escolhidos de modo a minimizar a soma dos quadrados dos erros os εs Consulte o Capítulo 4 para uma introdução à regressão por mínimos quadrados No entanto no caso especial de um planejamento 2k é extremamente fácil acharemse as estimativas de mínimos quadrados dos βs A estimativa de mínimos quadrados de qualquer coeficiente de regressão β é simplesmente a metade da estimativa do efeito do fator correspondente Lembre que usamos esse resultado para obter os modelos de regressão nos Exemplos 136 e 137 Lembre também que esse resultado só funciona para um planejamento fatorial 2k e se supõe que os xs sejam variáveis codificadas no intervalo 1 x 1 que representam os fatores do planejamento É muito útil a expressão dos resultados de um experimento planejado em termos de um modelo que será de grande valia na interpretação do experimento Lembre que usamos o cubo de valores preditos do modelo na Figura 1326 para achar colocações adequadas para a taxa de alimentação e profundidade do corte no Exemplo 137 Dispositivos gráficos mais gerais podem também ser úteis Por exemplo considere o modelo para o acabamento da superfície em termos de taxa de alimentação x1 e profundidade do corte x2 sem o termo de interação 110625 16875x1 08125x2 Note que o modelo foi obtido simplesmente omitindose o termo interação do modelo original Isso pode ser feito apenas se as variáveis no planejamento experimental são ortogonais como ocorre em um planejamento 2k A Figura 1328 mostra o valor predito do acabamento da superfície em termos das duas variáveis do processo x1 e x2 A Figura 1328a é um gráfico tridimensional que mostra o plano de valores da resposta predita gerado pelo modelo de regressão Esse tipo de dispositivo é chamado de gráfico de superfície de resposta e o modelo de regressão usado para gerar o gráfico é em geral chamado de modelo de superfície de resposta de primeira ordem O gráfico na Figura 1328b é um gráfico de contorno bidimensional obtido pela projeção do gráfico da superfície de resposta tridimensional e ligandose os pontos de acabamento de superfície constante resposta no plano x1x2 As linhas de resposta constante são retas porque a superfície de resposta é de primeira ordem isto é contém apenas os efeitos principais x1 e x2 FIGURA 1328 a Superfície de resposta para o modelo 110625 16875x1 08125x2 b O gráfico de contorno FIGURA 1329 a Superfície de resposta para o modelo 110625 16875x1 08125x2 06875x1x2 b O gráfico de contorno No Exemplo 137 nós na verdade ajustamos um modelo de primeira ordem com interação 110625 16875x1 08125x2 06875x1x2 A Figura 1329a é o gráfico da superfície de resposta tridimensional para esse modelo e a Figura 1329b é o gráfico de contorno Note que o efeito do acréscimo do termo da interação ao modelo é a introdução de uma curvatura na superfície de resposta na verdade o plano é torcido pelo efeito da interação A inspeção da superfície de resposta torna a interpretação dos resultados de um experimento muito simples Por exemplo note que pela Figura 1329 se desejamos minimizar a resposta do acabamento da superfície precisamos rodar x1 e x2 em ou perto de seus níveis baixos Chegamos a essa mesma conclusão pela inspeção do cubo na Figura 1326 No entanto suponha que precisemos obter um valor particular do acabamento da superfície digamos 1025 a superfície precisa ter essa quantidade de aspereza para que o revestimento tenha aderência adequada A Figura 1329b indica que há muitas combinações de x1 e x2 que permitirão que o processo opere na linha de contorno 1025 A pessoa que realiza o experimento deve selecionar um conjunto de condições de operação que maximizem x1 sujeito a x1 e x2 obtendo uma resposta predita sobre ou perto do contorno 1025 uma vez que isso satisfaria o objetivo do acabamento da superfície fazendo ao mesmo tempo a taxa de alimentação tão grande quanto possível o que maximizaria a taxa de produção Os modelos de superfície de resposta têm muitos usos No Capítulo 14 daremos uma visão geral de alguns aspectos de superfícies de resposta e de como elas podem ser usadas para melhoria e otimização do processo Entretanto note quão útil foi a superfície de resposta mesmo neste exemplo simples Eis por que dizemos aos condutores de experimentos que o objetivo de todo experimento planejado é um modelo quantitativo do processo Projeção de Planejamentos 2k Qualquer planejamento 2k se reduzirá a ou se projetará em outro planejamento fatorial de dois níveis com menos variáveis se forem retirados um ou mais dos fatores originais Em geral isso proporcionará maior discernimento em relação aos fatores restantes Por exemplo considere o experimento da superfície de acabamento Como o fator C e todas as suas interações são não significantes podemos eliminálos do planejamento O resultado é reduzir o cubo da Figura 1325 a um quadrado no plano AB no entanto cada uma das quatro rodadas no novo planejamento tem quatro replicações Em geral se eliminarmos h fatores de modo que restem r k h o planejamento 2k original com n replicações se projetará em um planejamento 2r com n2h replicações 1353 Outros Métodos para a Avaliação da Significância dos Efeitos A análise de variância é uma maneira formal de se determinar quais efeitos são não nulos Dois outros métodos são úteis No primeiro método podemos calcular os erros padrão dos efeitos e comparar a magnitude dos efeitos com seus errospadrão O segundo método usa os gráficos de probabilidade normal para avaliar a importância dos efeitos O erropadrão da estimativa de qualquer efeito em um planejamento 2k é dado por em que é uma estimativa da variância σ2 do erro experimental Usualmente tomamos a média quadrática do erro ou dos resíduos da análise de variância como a estimativa de σ2 Como uma ilustração para o experimento do acabamento da superfície encontramos que MQE 24375 e o erro padrão para cada efeito é Assim os limites de dois desviospadrão para as estimativas dos efeitos são A 3375 156 B 1625 156 C 0875 156 AB 1375 156 AC 0125 156 BC 0625 156 ABC 1125 156 Esses intervalos são aproximadamente intervalos de 95 de confiança Eles indicam que os dois efeitos principais A e B são importantes mas que os outros efeitos não o são uma vez que os intervalos para todos os efeitos exceto A e B incluem o zero Essas conclusões são semelhantes às encontradas no Exemplo 137 Os gráficos de probabilidade normal podem também ser usados para a avaliação da significância dos efeitos Ilustraremos esse método na próxima seção Uma Única Replicação do Planejamento 2k Na medida em que cresce o número de fatores em um experimento fatorial cresce também o número de efeitos que podem ser estimados Por exemplo um experimento 24 tem quatro efeitos principais seis interações de dois fatores quatro interações de três fatores e uma interação de quatro fatores enquanto um experimento 26 tem seis efeitos principais 15 interações de dois fatores 20 interações de três fatores 15 interações de quatro fatores seis interações de cinco fatores e uma interação de seis fatores Na maioria das situações o princípio da escassez de efeitos se aplica isto é o sistema é usualmente dominado pelos efeitos principais e pelas interações de ordem inferior Interações de três ou mais fatores são em geral desprezíveis Portanto quando o número de fatores é moderadamente grande digamos k 4 ou 5 uma prática comum é rodarse apenas uma replicação do planejamento 2ke então combinaremse as interações de ordem maior como uma estimativa do erro EXEMPLO 138 Caracterização de um Processo de Gravação de Plasma Um artigo em Solid State Technology Orthogonal Design for Process Optimization and Its Application in Plasma Etching maio de 1987 pp 127132 descreve a aplicação de planejamentos fatoriais no desenvolvimento de um processo de gravação por nitreto em um gravador de plasma de placa única O processo usa C2F6 como o gás reagente É possível variarse o fluxo de gás a potência aplicada ao catodo a pressão na câmara do reator e o espaçamento entre o anodo e o catodo Em geral várias variáveis de resposta seriam de interesse nesse experimento mas nesse exemplo vamos nos concentrar na taxa de gravação por nitreto de silício Faça um experimento apropriado para caracterizar o desempenho desse processo de gravação em relação às quatro variáveis do processo SOLUÇÃO Os autores usaram uma única replicação de um planejamento 24 para estudar esse processo Como é improvável que as interações de três e quatro fatores sejam significantes vamos por tentativa tentar combinálas como uma estimativa do erro Os níveis dos fatores usados no planejamento são Nível do Fator do Planejamento Espaçamento Acm Pressão B m Torr Fluxo de C2F6SCCM Potência D W Baixo 080 450 125 275 Alto 120 550 200 325 TABELA 1315 O Planejamento 24 para o Experimento de Gravação de Plasma Rodada A Espaçamento B Pressão C Fluxo de C2F6 D Potência Taxa de Gravação Åmin 1 1 1 1 1 550 2 1 1 1 1 669 3 1 1 1 1 604 4 1 1 1 1 650 5 1 1 1 1 633 6 1 1 1 1 642 7 1 1 1 1 601 8 1 1 1 1 635 9 1 1 1 1 1037 10 1 1 1 1 749 11 1 1 1 1 1052 12 1 1 1 1 868 13 1 1 1 1 1075 14 1 1 1 1 860 15 1 1 1 1 1063 16 1 1 1 1 729 A Tabela 1315 apresenta os dados de 16 rodadas do planejamento 24 A Figura 1330 mostra esse planejamento geometricamente A Tabela 1316 é a tabela dos sinais mais e menos para o planejamento 24 Os sinais nas colunas dessa tabela podem ser usados para a estimação dos efeitos dos fatores Como ilustração a estimativa de fator A de espaçamento é Assim o efeito do aumento do espaçamento entre o anodo e o catodo de 080 cm para 120 cm é o de diminuir a taxa de gravação de 101625 angstroms por minuto É fácil verificarse que o conjunto completo das estimativas dos efeitos é A 101625 AD 153625 B 1625 BD 0625 AB 7875 ABD 4125 C 7375 CD 2125 AC 24875 ACD 5625 BC 43875 BCD 25375 ABC 15625 ABCD 40125 D 306125 FIGURA 1330 O planejamento 24 para o Exemplo 138 A resposta taxa de gravação aparece nos vértices dos cubos TABELA 1316 Constantes dos Contrastes para o Planejamento 24 Rodada A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD 1 1 2 a 3 b 4 ab 5 c 6 ac 7 bc 8 abc 9 d 10 ad 11 bd 12 abd 13 cd 14 acd 15 bcd 16 abcd Um método muito útil para se avaliar a significância dos fatores em um experimento 2k é a construção do gráfico da probabilidade normal das estimativas dos efeitos Se nenhum dos efeitos é significante então as estimativas se comportarão como uma amostra aleatória extraída de uma distribuição normal com média zero e os efeitos plotados ficarão localizados aproximadamente ao longo de uma reta Os efeitos que não se localizarem sobre a reta são de fatores significantes FIGURA 1331 Gráfico da probabilidade normal dos efeitos Exemplo 138 A Figura 1331 mostra o gráfico de probabilidade normal das estimativas dos efeitos do experimento de gravação de plasma Claramente os efeitos principais de A e D e a interação AD são significantes uma vez que se localizam distantes da reta que passa pelos outros pontos A análise de variância na Tabela 1317 confirma essas conclusões Note que na análise de variância combinamos as interações de três e quatro fatores para formar a média quadrática do erro Se o gráfico da probabilidade normal tivesse indicado que algumas dessas interações eram importantes elas não poderiam ser incluídas no termo erro Como A 101625 o efeito do aumento do espaçamento entre o catodo e o anodo é a diminuição da taxa de gravação No entanto D 306125 de modo que o uso de níveis altos da potência aumentará a taxa de gravação A Figura 1332 é um gráfico da interação AD Esse gráfico indica que o efeito da mudança do espaçamento em baixos níveis da potência é pequeno mas o aumento do espaçamento em altos níveis de potência reduz drasticamente a taxa de gravação Obtêmse altas taxas de gravação com altas potências e espaçamentos menores O modelo de regressão para esse experimento é TABELA 1317 Análise de Variância para o Experimento de Gravação de Plasma Fonte de Variação Soma de Quadrados Graus de Liberdade Média Quadrática F0 A 41310563 1 41310563 2028 B 10563 1 10563 1 C 217563 1 217563 1 D 374850063 1 374850063 18399 AB 248063 1 248063 1 AC 2475063 1 2475063 121 AD 94402563 1 99402563 4634 BC 7700063 1 7700063 378 BD 1563 1 1563 1 CD 18063 1 18063 1 Erro 10186815 5 2037363 Total 531420938 15 FIGURA 1332 Interação AD no experimento de gravação de plasma Por exemplo quando tanto A quanto B estão em nível baixo o valor predito por esse modelo é 1354 FIGURA 1333 Gráfico da probabilidade normal dos resíduos Exemplo 138 Os quatro resíduos nessa rodada são e1 550 597 47 e2 640 597 7 e3 633 597 37 e4 601 597 4 Os resíduos nas outras três rodadas A alto D baixo A baixo D alto e A alto D alto são obtidos de maneira análoga A Figura 1333 mostra um gráfico de probabilidade normal dos resíduos O gráfico é satisfatório Adição de Pontos Centrais no Planejamento 2k Uma preocupação potencial no uso de planejamentos fatoriais de dois níveis é a hipótese de linearidade dos efeitos dos fatores Naturalmente não é necessária uma linearidade perfeita e o sistema 2k funcionará muito bem mesmo quando a hipótese de linearidade se verificar apenas aproximadamente De fato já observamos que quando se acrescenta um termo de interação a um modelo de efeitos principais introduzse curvatura na superfície de resposta Como um planejamento 2k suportará um modelo de efeitos principais mais interações alguma proteção contra a curvatura já é inerente ao planejamento Em alguns sistemas ou processos será necessária a incorporação de efeitos de segunda ordem para se obter um modelo adequado Considere o caso de k 2 fatores Um modelo que inclui efeitos de segunda ordem é em que os coeficientes β11 e β22 medem efeitos quadráticos puros A equação 1327 é um modelo de superfície de resposta de segunda ordem Esse modelo não pode ser ajustado a um planejamento 22 porque para se ajustar um modelo quadrático todos os fatores devem ser rodados em pelo menos três níveis No entanto é importante terse a capacidade de determinar se os termos quadráticos puros na equação 1327 são necessários FIGURA 1334 Um planejamento 22 com pontos centrais Há um método de acréscimo de um ponto a um planejamento fatorial 2k que fornecerá alguma proteção contra os efeitos quadráticos puros no sentido de que se pode testar se os termos quadráticos são necessários Além disso se esse ponto for replicado então podese obter uma estimativa independente do erro experimental O método consiste na adição de pontos centrais ao planejamento 2k Esses pontos centrais consistem em nC replicações rodadas no ponto xi 0 i 1 2 k Uma razão importante para se adicionar rodadas replicadas no centro do planejamento é que os pontos centrais não causam impacto nas estimativas usuais dos efeitos em um planejamento 2k Admitimos que os k fatores sejam quantitativos de outro modo não haveria um nível central ou no meio para o fator Para ilustrar essa abordagem considere um planejamento 22 com uma observação em cada um dos pontos fatoriais e e nC observações no ponto central 00 A Figura 1334 ilustra a situação Seja a média das quatro rodadas nos quatro pontos fatoriais e seja a média das nC rodadas no ponto central Se a diferença for pequena então os pontos centrais estarão no plano que passa pelos pontos fatoriais ou próximos a ele e não há curvatura Por outro lado se for grande então a curvatura estará presente Uma soma de quadrados com um único grau de liberdade para a curvatura quadrática pura é dada por em que em geral nF é o número de pontos do planejamento fatorial Essa quantidade pode ser comparada à média quadrática do erro para testar a curvatura1 Mais especificamente quando se acrescentam pontos ao centro de um planejamento 2k o modelo que podemos obter é em que os βjj são efeitos quadráticos puros O teste para a curvatura testa na realidade as hipóteses Além disso se os pontos fatoriais no planejamento não são replicados podemos usar os nCpontos centrais para construir uma estimativa do erro com nC 1 graus de liberdade EXEMPLO 139 Adicionando Pontos Centrais a um Experimento 2k A Tabela 1318 apresenta uma versão modificada do planejamento 24 original não replicado do Exemplo 138 ao qual se acrescentam nC 4 pontos centrais Analise os dados e tire suas conclusões SOLUÇÃO A média dos pontos centrais é 72575 e a média dos 16 pontos fatoriais é 7760625 A soma de quadrados da curvatura é calculada pela equação 1328 como Além disso podese obter uma estimativa do erro experimental simplesmente calculandose a variância amostral dos quatro pontos centrais como se segue Essa estimativa do erro tem nC 1 4 1 3 graus de liberdade A soma de quadrados quadrática pura e a estimativa do erro podem ser incorporadas na análise de variância para esse planejamento experimental Usaríamos ainda um gráfico de probabilidade normal das estimativas dos efeitos para identificar preliminarmente os fatores importantes A construção desse gráfico não seria afetada pela adição de pontos centrais ao planejamento ainda identificaríamos A Espaçamento D Potência e a interação AD como os efeitos mais importantes A Tabela 1319 é a análise de variância para este experimento obtida pelo Minitab Incluímos na análise todos os quatro efeitos principais e todas as seis interações de dois fatores no modelo exatamente como fizemos no Exemplo 138 veja também a Tabela 1317 Note também que a soma de quadrados quadrática pura da equação 1328 é chamada de soma de quadrados da curvatura e a estimativa do erro calculada a partir de nC 4 pontos centrais é chamada de soma de quadrados do erro puro pure error na Tabela 1319 A soma de quadrados falta de ajuste lack of fit na Tabela 1319 é na verdade o total das somas de quadrados das interações de três e quatro fatores O teste F para a falta de ajuste é calculado como e não é significante indicando que nenhum dos termos de interação de ordem superior é importante Esse programa de computador combina as somas de quadrados do erro puro e da falta de ajuste para formar a soma de quadrados dos resíduos com 8 graus de liberdade Essa soma de quadrados dos resíduos é usada para o teste da curvatura quadrática pura com O valor P na Tabela 1319 associado à razão F indica que não há evidência de curvatura quadrática pura A porção superior da Tabela 1319 mostra o coeficiente de regressão para cada efeito do modelo o valor t correspondente e o valor P Claramente os efeitos principais de A e D e da interação AD são os três maiores efeitos TABELA 1318 O Planejamento 24 para o Experimento de Gravação de Plasma Rodada A Espaçamento B Pressão C Fluxo de C2F6 D Potência Taxa de Gravação Åmin 1 1 1 1 1 550 2 1 1 1 1 669 3 1 1 1 1 604 4 1 1 1 1 650 5 1 1 1 1 633 6 1 1 1 1 642 7 1 1 1 1 601 8 1 1 1 1 635 9 1 1 1 1 1037 10 1 1 1 1 749 11 1 1 1 1 1052 12 1 1 1 1 868 13 1 1 1 1 1075 14 1 1 1 1 860 15 1 1 1 1 1063 16 1 1 1 1 729 17 0 0 0 0 706 18 0 0 0 0 764 19 0 0 0 0 780 20 0 0 0 0 761 1355 TABELA 1319 Saída do Minitab da Análise de Variância para o Exemplo 139 Estimated Effects and Coefficients for Taxa de Gravação coded units Term Effect Coef SE Coef T P Constant 77606 1020 7611 0000 A 10162 5081 1020 498 0001 B 163 081 1020 008 0938 C 737 369 1020 036 0727 D 30612 15306 1020 1501 0000 AB 788 394 1020 039 0709 AC 2488 1244 1020 122 0257 AD 15363 7681 1020 753 0000 BC 4387 2194 1020 215 0064 BD 063 031 1020 003 0976 CD 213 106 1020 010 0920 Ct Pt 2331 2280 102 0337 Analysis of Variance for Gravação coded units Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Main Effects 4 416389 416389 104097 6257 0000 2Way Interactions 6 104845 104845 17474 1050 0002 Curvature 1 1739 1739 1739 105 0337 Residual Error 8 13310 13310 1664 Lack of Fit 5 10187 10187 2037 196 0308 Pure Error 3 3123 3123 1041 Total 19 536283 Blocos e Confundimento no Planejamento 2k É quase sempre impossível que todas as observações em um planejamento fatorial 2k sejam rodadas sob condições constantes ou homogêneas Por exemplo pode não ser possível conduziremse todos os testes em um só turno ou usarse material de um mesmo lote Quando esse problema ocorre a formação de blocos é uma excelente técnica para eliminação da variação indesejada que poderia ser causada pelas condições não homogêneas Se o planejamento é replicado e se o bloco tem tamanho suficiente então uma abordagem é rodar cada réplica em um bloco conjunto de condições homogêneas Por exemplo considere um planejamento 23 que deve ser replicado duas vezes Suponha que leve cerca de 1 h para completar cada rodada Então executando as oito rodadas da primeira replicação em um dia e as oito rodadas da segunda replicação em outro dia podese eliminar qualquer efeito do tempo ou diferença entre como o processo funciona nos dois dias Assim os dois dias se tornam dois blocos no planejamento A diferença média entre as respostas nos dois dias é o efeito do bloco Para mais material introdutório sobre blocos e sobre como usálos para a eliminação do efeito de um fator de ruído veja a Seção MS133 do material suplementar para esse capítulo Algumas vezes não podemos rodar uma replicação completa de um experimento fatorial sob condições experimentais homogêneas O confundimento é a técnica de planejamento para um experimento fatorial em blocos em que o tamanho do bloco é menor do que o número de rodadas em uma replicação completa A técnica faz com que certas interações sejam indistinguíveis de ou confundidas com blocos Ilustraremos o confundimento no planejamento fatorial 2k em 2p blocos em que p k Considere um planejamento 22 Suponha que cada uma das 22 4 rodadas exija 4 h de análise de laboratório Então são necessários 2 dias para a realização do experimento Se os dias forem considerados como blocos então devemos ter duas das quatro rodadas em cada dia Considere o planejamento mostrado na Figura 1335 Note que o bloco 1 contém as rodadas 1 e ab e que o bloco 2 contém a e b Os contrastes para a estimação dos efeitos principais A e B são ContrasteA ab a b 1 ContrasteB ab b a 1 Esses contrastes não são afetados pelos blocos uma vez que em cada contraste há uma rodada mais e uma menos de cada bloco Isto é qualquer diferença entre os blocos 1 e 2 se cancelará O contraste para a interação AB é FIGURA 1335 Um planejamento 22 em dois blocos ContrasteAB ab 1 a b Como as duas rodadas com sinal mais ab e 1 estão no bloco 1 e as duas com sinal menos a e b estão no bloco 2 o efeito de bloco e da interação AB são idênticos Isto é AB é confundido com blocos A razão para isso é evidente pela tabela de sinais mais e menos para o planejamento 22 mostrada na Tabela 137 Por ela vemos que todas as rodadas que têm o sinal mais em AB estão associadas ao bloco 1 e todas as rodadas com sinal menos em AB estão associadas ao bloco 2 Esse esquema pode ser usado para confundir qualquer planejamento 2k em dois blocos Como um segundo exemplo considere um planejamento 23 rodado em dois blocos Suponha que desejemos confundir a interação de três fatores ABC com blocos Pela tabela de sinais mais e menos Tabela 1311 associamos as rodadas que têm sinal menos em ABC ao bloco 1 e aquelas com sinal mais em ABC ao bloco 2 A Figura 1336 mostra o planejamento resultante Para mais informações sobre confundimento consulte Montgomery 2009 Capítulo 7 Esse livro contém diretrizes para a seleção de fatores para confundir com blocos de modo que os efeitos principais e as interações de ordem mais baixa 136 1361 não sejam confundidos Em particular o livro contém uma tabela de esquemas de confundimento sugeridos para planejamentos com até sete fatores e uma coleção de tamanhos de blocos alguns tão pequenos quanto duas rodadas Replicação Fracionada do Planejamento 2k Na medida em que aumenta o número de fatores em um planejamento 2k aumenta rapidamente o número de rodadas necessárias Por exemplo um planejamento 25 exige 32 rodadas Nesse planejamento apenas 5 graus de liberdade correspondem aos efeitos principais e 10 graus de liberdade correspondem às interações de dois fatores Se pudermos supor que as interações de ordem maior são desprezíveis então podemos usar um planejamento fatorial fracionado que envolva menos do que o conjunto completo de 2k rodadas para obter informação sobre os efeitos principais e interações de ordem inferior Nesta seção introduziremos a replicação fracionada do planejamento 2k Para um tratamento mais completo veja Montgomery 2009 Capítulo 8 A Fração Um Meio do Planejamento 2k Uma fração um meio de um planejamento 2k contém 2k1 rodadas e é em geral chamada de planejamento fatorial fracionado 2k1 Como exemplo considere o planejamento 231 isto é a fração um meio do 23 A Tabela 1320 mostra os sinais mais e menos para o planejamento 23 Suponha que escolhamos as quatro rodadas a b c e abc como a fração um meio Essas rodadas constituem a metade superior da Tabela 1320 A Figura 1337a dá uma visão geométrica do planejamento Note que o planejamento 231 é formado pela seleção apenas das rodadas que resultam em um sinal mais no efeito ABC Assim ABC é chamado de gerador dessa fração particular Além disso o elemento identidade I tem também o sinal mais para as quatro rodadas de modo que chamamos I ABC a relação definidora para o planejamento As rodadas nos planejamentos 231 resultam em três graus de liberdade associados aos efeitos principais Pela Tabela 1320 obtivemos as estimativas dos efeitos principais como É fácil também verificarmos que as estimativas das interações de dois fatores são FIGURA 1336 O planejamento 23 em dois blocos com ABC confundida TABELA 1320 Sinais Mais e Menos para o Planejamento Fatorial 23 Efeito Fatorial Rodada I A B C AB AC BC ABC a b c abc ab ac bc 1 FIGURA 1337 As frações um meio do planejamento 23 Assim a combinação linear de observações na coluna A digamos A dá a estimativa de A BC Analogamente B dá a estimativa de B AC e C a estimativa de C AB Dois ou mais efeitos que tenham essa propriedade são chamados de aliases Em nosso planejamento 231 A e BC são aliases bem como B e AC e C e AB Os aliases são resultado direto da replicação fracionada Em muitas situações práticas será possível selecionarse a fração de modo que os efeitos principais e as interações de ordem inferior de interesse sejam aliases das interações de ordem superior que são provavelmente desprezíveis Encontrase a estrutura de aliases para esse planejamento com a relação definidora I ABC Multiplicandose qualquer efeito pela relação definidora resulta nos aliases para aquele efeito Em nosso exemplo o alias do efeito A é A A ꞏ ABC A2BC BC uma vez que A ꞏ I A e A2 I Os aliases para B e C são B B ꞏ ABC AB2C AC e C C ꞏ ABC ABC2 AB Suponhamos agora que tivéssemos escolhido a outra fração um meio isto é as rodadas na Tabela 1320 associadas ao sinal menos em ABC Esse planejamento é mostrado geometricamente na Figura 1337b A relação definidora para esse planejamento é I ABC Os aliases são A BC B AC e C AB Assim os efeitos A B e C com essa fração particular realmente estimam A BC B AC e C AB Na prática usualmente não importa qual fração um meio escolhemos A fração com o sinal mais na relação definidora é usualmente chamada de fração principal a outra fração é chamada de fração alternada Algumas vezes usamos sequências de planejamentos fatoriais fracionados para estimar efeitos Por exemplo suponha que tenhamos rodado a fração principal do planejamento 231 Desse planejamento temos as seguintes estimativas dos efeitos A A BC B B AC C C AB Suponha que queiramos admitir a essa altura que as interações de dois fatores são desprezíveis Se esse for o caso então o planejamento 231 produziu estimativas dos três efeitos principais A B e C No entanto se após rodar a fração principal estivermos incertos sobre as interações é possível estimálas rodandose a fração alternada A fração alternada produz as seguintes estimativas dos efeitos A A BC B B AC C C AC Se combinarmos as estimativas das duas frações obteremos o seguinte Assim combinando a sequência dos dois planejamentos fatoriais fracionados podemos isolar tanto os efeitos principais quanto as interações de dois fatores Essa propriedade torna o planejamento fatorial fracionado altamente útil em problemas experimentais porque podemos rodar sequências de experimentos pequenos eficientes combinar informações através de vários experimentos e aproveitar a vantagem de aprender sobre o processo que experimentamos à medida que caminhamos com ele Um planejamento 2k1 pode ser construído escrevendose as combinações de tratamentos para um fatorial completo em k1 fatores acrescentandose então o ko fator identificando seus níveis mais e menos com os sinais mais e menos da interação de maior ordem ABC K 1 Portanto um fatorial fracionado 231 pode ser obtido escrevendose o fatorial 22completo e equacionandose o fator C em relação à interação AB Então para gerar a fração principal usaríamos C AB como se segue 22 completo 23 1 I ABC A B A B C AB Para gerar a fração alternada equacionaríamos a última coluna para C AB EXEMPLO 1310 A Fração Um Meio para o Experimento da Gravação de Plasma Para ilustrar o uso da fração um meio consideremos o experimento da gravação de plasma descrito no Exemplo 138 Suponha que decidamos usar um planejamento 241 com I ABCD para analisar os quatro fatores espaçamento A pressão B taxa de fluxo de C2F6C e potência D Estabeleça esse planejamento e analiseo usando apenas os dados do fatorial completo que corresponde às rodadas na fração SOLUÇÃO Esse planejamento seria construído escrevendose um 23 nos fatores A B e C e fazendose então D ABC A Tabela 1321 mostra o planejamento e as taxas de gravação resultantes A Figura 1338 mostra o planejamento geometricamente Nesse planejamento os efeitos principais têm por aliases as interações de três fatores note que o alias de A é A ꞏ I A ꞏ ABCD A A2BCD A BCD Analogamente B ACD C ABD D ABC TABELA 1321 O Planejamento 24 1 com Relação Definidora I ABCD Rodada A B C D ABC Taxa de Gravação 1 1 550 2 ad 749 3 bd 1052 4 ab 650 5 cd 1075 6 ac 642 7 bc 601 8 abcd 729 FIGURA 1338 O planejamento 241 para o Exemplo 1310 As interações de dois fatores são aliases umas das outras Por exemplo o alias de AB é CD AB ꞏ I AB ꞏ ABCD AB A2B2CD AB CD Os outros aliases são AC BD AD BC As estimativas dos efeitos principais e seus aliases são encontradas usandose as quatro colunas de sinais da Tabela 1321 Por exemplo da coluna A obtivemos As outras colunas dão B B ACD 400 C C ABD 1150 e D D ABC 2905 Claramente A e D são grandes e se acreditamos que as interações de três fatores são desprezíveis então os efeitos principais A espaçamento e D potência afetam significantemente a taxa de gravação As interações são estimadas formandose as colunas AB AC e AD e acrescentandoas à tabela Os sinais na coluna AB são e essa coluna dá a estimativa Das colunas AC e AD encontramos AC AC BD 2550 AD AD BD 19750 A estimativa AD é grande a interpretação mais direta desses resultados é a de que isso é a interação de A e D Assim os resultados obtidos do planejamento 241 concordam com os resultados do fatorial completo no Exemplo 138 Gráficos de Probabilidade Normal e Resíduos O gráfico de probabilidade normal é muito útil na avaliação da significância dos efeitos de um fatorial fracionado especialmente quando muitos efeitos devem ser estimados Podemse obter os resíduos de um fatorial fracionado pelo modelo de regressão mostrado anteriormente Esses resíduos devem ser plotados versus os valores preditos versus os níveis dos fatores e em papel de probabilidade normal como discutimos antes tanto para avaliar a validade das hipóteses do modelo subjacente quanto para adquirir compreensão adicional da situação experimental Projeção do Planejamento 2k1 Se um ou mais fatores de uma fração um meio de um 2kpodem ser omitidos o planejamento se projetará em um planejamento fatorial completo Por exemplo a Figura 1339 apresenta um planejamento 231 Note que esse planejamento se projetará em um fatorial completo em quaisquer dois dos três fatores originais Assim se considerarmos que no máximo dois dos três fatores são importantes o planejamento 231 é um excelente planejamento para a identificação dos fatores significantes Algumas vezes os experimentos que buscam identificar relativamente poucos fatores significantes em um grupo maior de fatores são chamados de experimentos de varredura Essa propriedade de projeção é altamente útil na varredura de fatores porque permite que os fatores desprezíveis possam ser omitidos resultando em um experimento mais forte nos fatores ativos que permanecem FIGURA 1339 Projeção de um planejamento 231 em três planejamentos 22 No planejamento 241 usado no experimento de gravação de plasma do Exemplo 1310 vimos que dois dos quatro fatores B e C podiam ser omitidos Eliminandose esses dois fatores as colunas restantes na Tabela 1321 formam um 1 2 3 1362 planejamento 22 nos fatores A e D com duas replicações A Figura 1340 mostra esse planejamento FIGURA 1340 O planejamento 22 obtido pela eliminação dos fatores B e C do experimento de gravação de plasma Resolução de Planejamento O conceito de resolução de planejamento é uma maneira útil de catalogação de planejamentos fatoriais fracionados de acordo com os padrões de aliases que produzem Planejamentos de resolução III IV e V são particularmente importantes Seguem as definições desses termos e um exemplo de cada Planejamentos de resolução III Nesses planejamentos nenhum efeito principal é alias de qualquer outro efeito principal mas os efeitos principais são aliases das interações de dois fatores e as interações de dois fatores podem ser aliases umas das outras O planejamento 231 com I ABC é de resolução III Usualmente empregamos um numeral romano subscrito para indicar a resolução do planejamento assim a fração um meio é um planejamento Planejamentos de resolução IV Nesses planejamentos nenhum efeito principal é alias de qualquer outro efeito principal e nem de interações de dois fatores mas as interações de dois fatores são aliases umas das outras O planejamento 241 com I ABCD usado no Exemplo 1310 é de resolução IV Planejamentos de resolução V Nesses planejamentos nenhum efeito principal ou interação de dois fatores é alias de qualquer outro efeito principal ou interação de dois fatores mas as interações de dois fatores são aliases das interações de três fatores Um planejamento 251 com I ABCDE é de resolução V Os planejamentos de resolução III e IV são particularmente úteis nos experimentos de varredura de fatores O planejamento de resolução IV fornece informação muito boa sobre os efeitos principais e dará alguma informação sobre as interações de dois fatores Frações Menores O Planejamento Fatorial Fracionado 2kp Embora o planejamento 2k1 seja de grande valor na redução do número de rodadas necessárias para um experimento frequentemente vemos que frações menores darão quase a mesma quantidade de informação útil a um custo ainda menor Em geral um planejamento 2k pode ser rodado em uma fração chamada de planejamento fatorial fracionado 2kp Assim uma fração é chamada de planejamento fatorial fracionado 2k2 uma fração é um planejamento 2k3 uma fração é um planejamento 2k4 e assim por diante Para ilustrar uma fração considere um experimento com seis fatores e suponha que o engenheiro esteja interessado principalmente nos efeitos principais mas gostaria também de obter alguma informação sobre as interações de dois fatores Um planejamento 261 exigiria 32 rodadas e teria 31 graus de liberdade para a estimação dos efeitos Como há apenas 6 efeitos principais e 15 interações de dois fatores a fração não é eficaz ela requer rodadas demais Suponha que consideremos a fração ou um planejamento 262 Esse planejamento contém 16 rodadas e com 15 graus de liberdade permitirá a estimação de todos os seis efeitos principais com alguma capacidade de examinar as interações de dois fatores Para gerar esse planejamento escreveríamos um planejamento 24 nos fatores A B C e D e acrescentaríamos então as duas colunas para E e F Verifique a Tabela 1322 Para encontrar as novas colunas selecionaríamos os dois geradores do planejamento I ABCE e I BCDF A coluna E seria encontrada a partir de E ABC e a coluna F seria F BCD Assim as colunas ABCE e BCDF são iguais à coluna identidade No entanto sabemos que o produto de duas colunas quaisquer na tabela de sinais mais e menos para um 2k é exatamente outra coluna da tabela portanto o produto de ABCE e BCDF ou ABCE BCDF AB2C2DEF ADEF é também uma coluna identidade Consequentemente a relação definidora completa para um planejamento 262 é I ABCE BCDF ADEF TABELA 1322 Construção do Planejamento 262 com Geradores I ABCE e I BCDF Rodada A B C D E ABC F BCD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Para achar o alias de qualquer efeito simplesmente multiplique o efeito por cada palavra na relação definidora anterior A estrutura completa dos aliases é mostrada aqui A BCE DEF ABCDF AB CE ACDF BDEF B ACE CDF ABDEF AC BE ABDF CDEF C ABE BDF ACDEF AD EF BCDE ABCF D BCF AEF ABCDE AE BC DF ABCDEF E ABC ADF BCDEF AF DE BCEF ABCD F BCD ADE ABCEF BD CF ACDE ABEF ABD CDE ACF BEF BF CD ACEF ABDE ACD BDE ABF CEF ACD BDE ABF CEF Note que esse é um planejamento de resolução IV os efeitos principais são aliases das interações de três ou mais fatores e as interações de dois fatores são aliases umas das outras Esse planejamento daria informação muito boa sobre os efeitos principais e alguma ideia sobre a força das interações de dois fatores TABELA 1323 Planejamentos Fatoriais Fracionados 2kp Selecionados de Design and Analysis of Experiments 7a ed de D C Montgomery John Wiley 2009 Seleção dos Geradores do Planejamento No exemplo anterior selecionamos I ABCE e I BCDF como geradores para construir um planejamento fatorial fracionado 262 Essa escolha não é arbitrária alguns geradores produzirão planejamentos com estruturas de aliases mais atrativas do que outros Para um dado número de fatores e número de rodadas que desejemos realizar queremos selecionar os geradores de modo que o planejamento tenha a resolução mais alta possível Montgomery 2009 apresenta um conjunto de planejamentos de resolução máxima para planejamentos 2k p com p 10 fatores Parte desse conjunto está reproduzida na Tabela 1323 Nessa tabela cada escolha de gerador é mostrada com um sinal Se todos os geradores forem selecionados com um sinal positivo como anteriormente resultará em uma fração principal a seleção de um ou mais sinais negativos para um conjunto de geradores resultará em uma fração alternada EXEMPLO 1311 Um Planejamento Fatorial Fracionado 273 Peças manufaturadas em um processo de moldagem por injeção estão sofrendo contração excessiva o que causa problemas na operação de montagem após saírem da área de moldagem Uma equipe de melhoria da qualidade decidiu usar um experimento planejado para estudar o processo de moldagem por injeção de modo a reduzir a contração A equipe decide investigar sete fatores a temperatura de moldagem A a velocidade do parafuso B o tempo de espera C o tempo do ciclo D o conteúdo de umidade E o tamanho da comporta F e a pressão G Cada um é examinado em dois níveis com o objetivo de se verificar como cada fator afeta a contração e também como os fatores interagem Estabeleça um experimento fatorial fracionado de 16 rodadas SOLUÇÃO A Tabela 1323 indica que o planejamento apropriado é um planejamento com geradores I ABCE I BCDF e I ACDG A Tabela 1324 mostra o planejamento e a Tabela 1325 a estrutura de aliases para ele A última coluna na Tabela 1324 dá a contração observada 10 para a peça de teste produzida em cada uma das 16 rodadas no planejamento A Figura 1341 mostra o gráfico de probabilidade normal das estimativas dos efeitos desse experimento Os únicos efeitos grandes são A 138750 temperatura de moldagem B 356250 velocidade do parafuso e a interação AB AB 118750 Pela relação dos aliases na Tabela 1325 parece razoável a adoção experimental daquelas conclusões O gráfico da interação AB na Figura 1342 mostra que o processo é muito insensível à temperatura se a velocidade do parafuso estiver em nível baixo mas é muito sensível à temperatura se a velocidade do parafuso estiver em nível alto Com a velocidade do parafuso em nível baixo o processo operaria com média de contração em torno de 10 independentemente do nível de temperatura escolhido Com base na análise inicial a equipe decidiu colocar tanto a temperatura de moldagem quanto a velocidade do parafuso em nível baixo Esse conjunto de condições reduzirá a contração média das peças para cerca de 10 No entanto a variabilidade na contração de uma peça para outra é ainda um problema potencial De fato a contração média pode ser reduzida praticamente a zero com uma modificação apropriada na ferramenta mas a variabilidade de peça para peça na contração em uma sequência de produção ainda poderia causar problemas na montagem mesmo que a contração média na sequência fosse praticamente zero Uma maneira de se abordar esse problema é verificar se ou não algumas das variáveis do processo afetam a variabilidade na contração das partes TABELA 1324 Planejamento para o Experimento de Moldagem por Injeção Exemplo 1311 Rodada A B C D E ABC F BCD G ACD Contração Observada 10 1 6 2 10 3 32 4 60 5 4 6 15 7 26 8 60 9 8 10 12 11 34 12 60 13 16 14 5 15 37 16 52 TABELA 1325 Aliases para o Planejamento Usado no Exemplo 1311 A BCE DEF CDG BFG AB CE FG B ACE CDF DEG AFG AC BE DG C ABE BDF ADG EFG AD EF CF D BCF AEF ACG BEG AE BC DF E ABC ADF BDG CFG AF DE BG F BCD ADE ABG CEG AG CD BF G ACD BDE ABF CEF BD CF EG ABD CDE ACF BEF BCG AEG DFG FIGURA 1341 Gráfico da probabilidade normal dos efeitos Exemplo 1311 FIGURA 1342 Gráfico da interação AB ou interação temperatura de moldagemvelocidade do parafuso Exemplo 1311 FIGURA 1343 Gráfico da probabilidade normal dos resíduos Exemplo 1311 A Figura 1343 apresenta o gráfico de probabilidade normal dos resíduos Esse gráfico parece satisfatório Construíramse então os gráficos dos resíduos versus cada variável Um desses gráficos o dos resíduos versus o fator C tempo de espera é mostrado na Figura 1344 O gráfico revela que há muito menos dispersão nos resíduos com tempo de espera baixo do que com tempo de espera alto Agora os resíduos foram obtidos primeiro pelo ajuste do modelo para a contração predita 273125 69375x1 178125x2 59375x1x2 em que x1 x2 e x1x2 são variáveis codificadas que correspondem aos fatores A B e à interação AB respectivamente Os resíduos são então e y O modelo de regressão usado para produzir os resíduos remove essencialmente os efeitos de localização de A B e AB dos dados os resíduos contêm assim informação sobre a variabilidade não explicada A Figura 1344 indica que há um padrão naquela variabilidade e que aquela variabilidade na contração das peças pode ser menor quando o tempo de espera é mantido em nível baixo Note que essa análise pressupõe que o modelo para os efeitos de localização é bom e que ele modela adequadamente a média do processo sobre o espaço do fator FIGURA 1344 Resíduos versus tempo de espera C Exemplo 1311 A Figura 1345 mostra os dados desse experimento projetados sobre um cubo nos fatores A B e C A contração média observada e a amplitude das contrações observadas estão mostradas em cada vértice do cubo Examinando esse gráfico vemos que rodar o processo com a velocidade do parafuso B em nível baixo é a chave para a redução da contração média das partes Se B é baixo virtualmente qualquer combinação de temperatura A e tempo de espera C resultará em baixos valores da contração média das peças No entanto pelo exame das amplitudes dos valores da contração em cada vértice do cubo é imediatamente claro que o tempo de espera C em nível baixo é a única escolha razoável se desejamos manter baixa a variabilidade na contração de peça para peça em uma sequência de produção FIGURA 1345 Média e amplitude da contração nos fatores A B e C Exemplo 1311 Termos e Conceitos Importantes Aliases Análise da variância ANOVA Análise de resíduos Blocos Confundimento Curvatura na função resposta Diretrizes para o planejamento de experimentos Efeito principal de um fator Experimentação sequencial Experimentos de varredura Geradores para um planejamento fatorial fracionado Gráfico de contorno Gráfico de probabilidade normal de efeitos Interação Interação de dois fatores Planejamento completamente aleatorizado Planejamento fatorial Planejamento fatorial fracionado Planejamento ortogonal Planejamento préexperimental Planejamentos fatoriais 2k Planejamentos fatoriais fracionados 2kp Pontos centrais em planejamentos fatoriais 2k e 2kp Princípio da escassez de efeitos Procedimento de análise para planejamentos fatoriais Projeção de planejamentos fatoriais 2k e 2 kp Relação definidora para um planejamento fatorial fracionado Representação por modelo de regressão de resultados experimentais Resíduos Resolução de um planejamento fatorial fracionado Superfície de resposta 131 a b c d 132 a b c d 133 Variáveis controláveis do processo Exercícios A saída de computador que segue foi obtida de um programa que realizou uma ANOVA de dois fatores para um experimento fatorial Fonte SQ GL MQ F P A 0322 1 B 80554 402771 Interação Erro 108327 12 Total 231551 17 Preencha os espaços em branco na tabela da ANOVA Você pode usar limites para os valores P Quantos níveis foram usados para o fator B Quantas replicações do experimento foram realizadas A que conclusão você chega sobre esse experimento A saída de computador que segue foi obtida de um programa que realizou uma ANOVA de dois fatores para um experimento fatorial Fonte SQ GL MQ F P A 1 00002 B 180378 Interação 8479 3 0932 Erro 158797 8 Total 347653 15 Preencha os espaços em branco na tabela da ANOVA Você pode usar limites para os valores P Quantos níveis foram usados para o fator B Quantas replicações do experimento foram realizadas A que conclusão você chega sobre esse experimento Um artigo em Industrial Quality Control 1956 pp 58 descreve um experimento para estudar o efeito do tipo do vidro e do tipo do fósforo sobre o brilho de um tubo de televisão A resposta medida é a corrente necessária em microamps para se obter determinado nível de brilho Os dados são mostrados na Tabela 13E1 Analiseos e tire conclusões TABELA 13E1 Dados para o Exercício 133 Tipo de Fósforo Tipo de Vidro 1 2 3 134 a b c 135 136 137 138 1 280 300 290 290 310 285 285 295 290 2 230 260 220 235 240 225 240 235 230 Um engenheiro de produção está tentando melhorar a vida de uma ferramenta de corte Ele rodou um experimento 23 usando velocidade de corte A dureza do metal B e ângulo de corte C como fatores Mostramse na Tabela 13E2 os dados de duas replicações Algum desses três fatores afeta a vida da ferramenta Qual combinação de níveis dos fatores resulta na vida mais longa da ferramenta Existe uma combinação de velocidade de corte e de ângulo de corte que resulte sempre em bons resultados independentemente da dureza do metal TABELA 13E2 Dados para o Experimento no Exercício 134 Replicação Rodada I II 1 221 311 a 325 435 b 354 348 ab 552 472 c 440 453 ac 406 377 bc 605 500 abc 392 419 Ache os resíduos do experimento da vida da ferramenta no Exercício 134 Construa um gráfico de probabilidade normal dos resíduos Plote os resíduos versus os valores preditos Faça comentários sobre os gráficos Considerase que quatro fatores possivelmente influenciem o sabor de um refrigerante tipo de adoçante A razão do xarope para a água B nível de carbonato C e temperatura D Cada fator é rodado em dois níveis resultando em um planejamento 24 Em cada rodada no planejamento são dadas amostras da bebida a um grupo de teste consistindo em 20 pessoas Cada provador associa um escore de 1 a 10 à bebida O escore total é a variável resposta e o objetivo é encontrar uma fórmula que maximize o escore total Rodamse duas replicações desse planejamento e os resultados são mostrados na Tabela 13E3 Analise os dados e tire conclusões Considere o experimento do Exercício 136 Plote os resíduos versus os níveis dos fatores A B C e D Construa também um gráfico da probabilidade normal dos resíduos Comente esses gráficos Ache o erropadrão dos efeitos para o experimento no Exercício 136 Usando os errospadrão como guia quais fatores parecem significantes 139 a 1310 1311 1312 Suponha que estivessem disponíveis apenas os dados da replicação I do Exercício 136 Analiseos e tire as conclusões apropriadas Prepare um gráfico de probabilidade normal dos efeitos Quais efeitos parecem ativos Ajuste um modelo usando esses efeitos TABELA 13E3 Experimento do Teste de Sabor para o Exercício 136 Combinação de Tratamentos Replicação I II 1 188 195 a 172 180 b 179 187 ab 185 178 c 175 180 ac 183 178 bc 190 180 abc 175 168 d 200 193 ad 170 178 bd 189 181 abd 183 188 cd 201 188 acd 181 173 bcd 189 182 abcd 178 182 Suponha que apenas uma replicação do planejamento 24 do Exercício 136 pudesse ser rodada e que pudéssemos fazer apenas oito testes por dia Estabeleça um planejamento que eliminaria o efeito do dia Mostre especificamente quais rodadas seriam feitas em cada dia Mostre como um experimento 25 pode ser realizado em dois blocos de 16 rodadas cada Especificamente quais rodadas seriam feitas em cada bloco R D Snee Experimenting with a Large Number of Variables em Experiments in Industry Design Analysis and Interpretation of Results de R D Snee L B Hare e J B Trout Editores ASQC 1985 descreve um experimento no qual um planejamento 251 com I ABCDE foi usado para o estudo dos efeitos de cinco fatores sobre a cor de um produto químico Os fatores eram A solventereagente B catalisadorreagente C temperatura D pureza do reagente e E pH do reagente Os resultados obtidos são os seguintes e 063 d 679 a b c 1313 a b c d e 1314 a b c 1315 a b a 251 ade 647 b 268 bde 345 abe 166 abd 568 c 206 cde 522 ace 122 acd 438 bce 209 bcd 430 abc 193 abcde 405 Prepare um gráfico de probabilidade normal dos efeitos Quais efeitos parecem ativos Ajuste um modelo usando esses efeitos Calcule os resíduos para o modelo ajustado em a Construa um gráfico de probabilidade normal dos resíduos e plote os resíduos versus os valores ajustados Faça comentários sobre esses gráficos Se alguns fatores forem insignificantes projete o planejamento 251 em um fatorial completo nos fatores ativos Faça comentários sobre o planejamento resultante e interprete os resultados Um artigo em Industrial and Engineering Chemistry More on Planning Experiments to Increase Research Efficiency 1970 pp 6065 usa um planejamento 252 para o estudo do efeito de A temperatura de condensação B quantidade do material 1 C volume de solvente D tempo de condensação e E quantidade do material 2 sobre a produção Os resultados obtidos são os seguintes e 232 cd 238 ab 155 ace 234 ad 169 bde 168 bc 162 abcde 181 Verifique que os geradores do planejamento usados foram I ACE e I BDE Escreva a relação definidora completa e os aliases desse planejamento Estime os efeitos principais Prepare uma tabela da análise de variância Verifique que as interações AB e AD estão disponíveis para serem usadas como erro Plote os resíduos versus os valores ajustados Construa também um gráfico de probabilidade normal dos resíduos Comente os resultados Um planejamento fatorial 24 foi rodado em uma fábricapiloto para o estudo do efeito de quatro fatores sobre o peso molecular de um polímero Os dados desse experimento são os seguintes valores são codificados dividindo se por 10 1 88 d 86 a 80 ad 81 b 89 bd 85 ab 87 abd 86 c 86 cd 85 ac 81 acd 79 bc 82 bcd 84 abc 80 abcd 81 Construa um gráfico de probabilidade normal dos efeitos Quais efeitos são ativos Construa um modelo apropriado Ajuste esse modelo e teste a significância dos efeitos Analise os resíduos desse modelo construindo um gráfico de probabilidade normal dos resíduos e plotando os resíduos versus os valores preditos de y Reconsidere os dados do Exercício 1314 Suponha que quatro pontos centrais sejam acrescentados a esse experimento Os pesos moleculares nos pontos centrais são 90 87 86 e 93 Analise os dados como no Exercício 1314 mas inclua um teste para curvatura Se a curvatura é significante em um experimento como esse descreva qual estratégia você usaria em seguida para melhorar seu modelo do processo 1316 1317 a b c d 1318 Estabeleça um planejamento fatorial fracionado 284 Verifique que esse é um planejamento de resolução IV Discuta a vantagem de um planejamento de resolução IV em relação a um de resolução mais baixa Um planejamento 241 foi usado para o estudo do efeito de quatro fatores sobre a resistência de uma placa de silício Os dados desse experimento são mostrados na Tabela 13E4 Estime os efeitos dos fatores Plote as estimativas dos efeitos em uma escala de probabilidade normal Identifique um modelo experimental para esse processo Ajuste o modelo e teste em relação à curvatura Plote os resíduos do modelo na parte b versus a resistência predita Há nesse gráfico alguma indicação de inadequação do modelo Construa um gráfico de probabilidade normal dos resíduos Há alguma razão para se duvidar da validade da hipótese de normalidade TABELA 13E4 Experimento da Resistência para o Exercício 1317 Rodada A B C D Resistência 1 332 2 46 3 312 4 96 5 406 6 1624 7 394 8 1586 9 0 0 0 0 634 10 0 0 0 0 626 11 0 0 0 0 587 12 0 0 0 0 609 Um engenheiro realizou um experimento para o estudo do efeito de quatro fatores sobre a aspereza de superfície de uma peça usinada Os fatores e seus níveis são A ângulo da ferramenta 12 15 B viscosidade do fluido de corte 300 400 C taxa de alimentação 10 15 inmin e D resfriador de fluido de corte usado não sim Os dados desse experimento com os fatores codificados para os níveis usuais 1 1 são mostrados na Tabela 13E5 TABELA 13E5 Experimento sobre a Aspereza da Superfície para o Exercício 1318 Rodada A B C D Aspereza da Superfície 1 000340 2 000362 3 000301 a b c d 1319 a 4 000182 5 000280 6 000290 7 000252 8 000160 9 000336 10 000344 11 000308 12 000184 13 000269 14 000284 15 000253 16 000163 Estime os efeitos dos fatores Plote as estimativas dos efeitos em um gráfico de probabilidade normal e selecione um modelo experimental Ajuste o modelo identificado na parte a e analise os resíduos Há alguma indicação de inadequação do modelo Repita as análises das partes a e b usando 1y como variável resposta Há alguma indicação de que a transformação foi útil Ajuste o modelo em termos das variáveis codificadas que você considera poderem fornecer as melhores predições da aspereza da superfície Converta essa equação de predição para as variáveis naturais Uma liga de níqueltitânio é usada para a fabricação de componentes para os motores de aviões de turbinas a jato Rachadura é um problema potencialmente sério na peça final porque pode levar a falha não recuperável Rodase um teste com o produtor das peças para se determinar o efeito de quatro fatores sobre as rachaduras Os quatro fatores são temperatura do fluxo A conteúdo de titânio B método de tratamento do calor C e quantidade de refinador de grão usado D Duas replicações de um planejamento 24 são rodadas e medese o comprimento da rachadura em mm 102 induzida em uma peça de amostra sujeita a testepadrão Os dados são mostrados na Tabela 13E6 Estime os efeitos dos fatores Quais efeitos de fatores parecem ser grandes TABELA 13E6 Experimento sobre Rachadura para o Exercício 1319 A B C D Combinação de Tratamentos Replicação I II 1 7037 6376 a 14707 15219 b 11635 12089 b c d e f 1320 a b c d 1321 1322 a ab 17273 17815 c 10403 10151 ac 4368 4098 bc 9360 9253 abc 13440 12923 d 8561 8951 ad 16867 17052 bd 13876 13658 abd 19824 19639 cd 11846 12337 acd 6125 5904 bcd 11190 10935 abcd 15653 15053 Realize uma análise da variância Algum dos fatores afeta a rachadura Use α 005 Escreva um modelo de regressão que possa ser usado para predizer o comprimento da rachadura como função dos efeitos principais e interações significantes que você identificou na parte b Analise os resíduos desse experimento Há alguma indicação de que os fatores afetem a variabilidade na rachadura Quais recomendações você faria em relação às operações do processo Use gráficos das interações eou dos efeitos principais para ajudar a tirar conclusões Continuação do Exercício 1319 Uma das variáveis no experimento descrito no Exercício 1319 método de tratamento do calor C é uma variável categórica Suponha que os demais fatores sejam contínuos Escreva dois modelos de regressão para a predição do comprimento de rachadura um para cada nível da variável método de tratamento do calor Quais diferenças se alguma você nota nessas duas equações Gere gráficos de contorno de superfície de resposta apropriados para os dois modelos de regressão na parte a Qual conjunto de condições você recomendaria para os fatores A B e D se você usasse o método C de tratamento do calor Repita a parte c supondo que você deseje usar o método C de tratamento do calor Reconsidere o experimento da rachadura do Exercício 1319 Suponha que duas medidas do comprimento da rachadura tenham sido feitas em duas rachaduras na mesma peça de teste em cada conjunto de condições de teste As duas observações são replicações Como você acha que esses dados devam ser analisados Um artigo de L B Hare In the Soup A Case Study to Identify Contributors to Filling Variability Journal of Quality Technology vol 20 pp 3643 descreve um experimento fatorial usado para o estudo da variabilidade no enchimento de pacotes de sopa mista em pó Os fatores são A número de entradas de mistura pelas quais o óleo vegetal é adicionado 1 2 B temperatura em torno do misturador resfriada ambiente C tempo de mistura 60 80 s D peso do lote 1500 2000 lb e E número de dias de prazo entre a mistura e o empacotamento 1 7 Entre 125 e 150 pacotes de sopa foram amostrados durante um período de oito horas para cada rodada no planejamento e o desviopadrão do peso dos pacotes foi usado como variável resposta O planejamento e os dados resultantes são mostrados na Tabela 13E7 Qual é o gerador desse planejamento b c d e 1323 Qual é a resolução desse planejamento Estime os efeitos dos fatores Quais efeitos são grandes Uma análise de resíduos indica algum problema com as hipóteses subjacentes Tire conclusões sobre esse processo de enchimento Um artigo em Quality Progress maio de 2011 pp 4248 descreve o uso de experimentos fatoriais para a melhoria de um processo de produção de pó de prata Esse produto é usado em pastas condutoras para a fabricação de uma grande variedade de produtos desde placas de silício a interruptores de membrana elástica A densidade do pó gcm2 e a área da superfície cm2g são duas características críticas desse produto Os experimentos envolveram três fatores temperatura de reação porcentagem de amônio e taxa de agitação Cada um desses fatores tinha dois níveis e o planejamento foi replicado duas vezes A Tabela 13E8 mostra o planejamento TABELA 13E7 Experimento sobre Enchimento de Sopa para o Exercício 1322 Ordem A B C D E v Entradas do Misturador Temperatura Tempo Peso do Lote Prazo Desviopadrão 1 113 2 125 3 097 4 170 5 147 6 128 7 118 8 098 9 078 10 136 11 185 12 062 13 109 14 110 15 076 16 210 TABELA 13E8 Experimento sobre Pó de Prata para o Exercício 1323 Amônio Taxa de Agitação Temperatura C Densidade Área da Superfície a b c d e f 1324 1325 a b c 2 100 8 1468 040 2 100 8 1518 043 30 100 8 1512 042 30 100 8 1748 041 2 150 8 754 069 2 150 8 666 067 30 150 8 1246 052 30 150 8 1262 036 2 100 40 1095 058 2 100 40 1768 043 30 100 40 1265 057 30 100 40 1596 054 2 150 40 803 068 2 150 40 884 075 30 150 40 1496 041 30 150 40 1496 041 Analise a resposta densidade Há interações significantes Tire conclusões apropriadas sobre os efeitos dos fatores significantes sobre a resposta Prepare gráficos de resíduos apropriados e comente sobre a adequação do modelo Construa gráficos apropriados para ajudar na interpretação prática da resposta densidade Analise a resposta área da superfície Há interações significantes Tire conclusões apropriadas sobre os efeitos dos fatores significantes sobre a resposta Prepare gráficos de resíduos apropriados e comente sobre a adequação do modelo Construa gráficos apropriados para ajudar na interpretação prática da resposta área da superfície Continuação do Exercício 1323 Suponha que as especificações exijam que a área da superfície deva ficar entre 03 e 06 cm2g e que a densidade deva ser menor do que 14 gcm3 Ache um conjunto de condições de operação que resulte em um produto que satisfaça essas exigências Um artigo em Biotechnology Progress 2001 Vol 17 pp 366368 descreveu um experimento para se investigar a extração de nisina em soluções aquosas de duas fases Um experimento fatorial de dois fatores foi realizado usando os fatores A concentração de PEG e B concentração de Na2SO4 A Tabela 13E9 mostra dados semelhantes aos relatados no artigo Analise a resposta extração Tire conclusões apropriadas sobre os efeitos dos fatores significantes sobre a resposta Prepare gráficos de resíduos apropriados e comente sobre a adequação do modelo Construa gráficos de contorno para ajudar na interpretação prática da resposta densidade TABELA 13E9 Experimento sobre Extração de Nisina para o Exercício 1325 A B Extração 13 11 629 13 11 654 15 11 761 15 11 723 13 13 875 13 13 842 15 13 1023 15 13 1056 1 Um teste t pode ser usado veja a Seção MS132 do material suplementar para este capítulo 141 1411 1412 142 1421 1422 143 MS141 MS142 ESQUEMA DO CAPÍTULO MÉTODOS E PLANEJAMENTOS DE SUPERFÍCIE DE RESPOSTA O Método da Inclinação Máxima Ascendente Análise de uma Superfície de Resposta de Segunda Ordem ESTUDOS DA ROBUSTEZ DE UM PROCESSO Fundamentos Abordagem da Superfície de Resposta para Estudos da Robustez de um Processo OPERAÇÃO EVOLUTIVA Material Suplementar para o Capítulo 14 Planejamentos de Superfície de Resposta Mais sobre Planejamentos Robustos e Estudos de Robutez de Processos O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM No Capítulo 13 enfocamos planejamentos fatoriais e planejamentos fatoriais fracionados Esses planejamentos são muito úteis na varredura de fatores isto é identificação dos fatores mais importantes que afetam o desempenho de um processo Às vezes isto é chamado de caracterização de um processo Uma vez identificado o subconjunto apropriado de variáveis de um processo o próximo passo costuma ser a otimização do processo ou seja a determinação do conjunto de condições de operação para as variáveis do processo que resulte no melhor desempenho do mesmo Neste capítulo dáse um breve relato de como os experimentos planejados podem ser usados na otimização de um processo Discutimos e ilustramos a metodologia da superfície de resposta uma abordagem de otimização elaborada no início da década de 1950 e aplicada inicialmente a indústrias químicas e de processamento Tratase provavelmente da técnica de otimização mais utilizada e bemsucedida baseada em experimentos planejados Discutimos em seguida como os experimentos planejados podem ser usados em estudos da robustez de um processo Tratase de atividades em que o pessoal da engenharia de produção procura reduzir a variabilidade na saída de um processo fixando fatores controláveis em níveis que minimizem a variabilidade transmitida às respostas de interesse por outros fatores difíceis de serem controlados durante uma operação de rotina Apresentamos também um exemplo de operação evolutiva uma abordagem para a manutenção de um desempenho ótimo que é com efeito uma aplicação online ou durante o processo dos conceitos de planejamento fatorial do Capítulo 13 Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de 1 2 3 4 5 6 7 8 9 141 Saber como usar a abordagem de superfície de resposta para otimização de processos Saber como aplicar o método da inclinação máxima ascendente Saber como analisar um modelo de superfície de resposta de segunda ordem Saber como determinar condições ótimas de operação para um processo Saber como estabelecer e realizar um experimento usando um planejamento composto central Compreender a diferença entre varáveis controláveis do processo e variáveis de ruído Compreender as vantagens de um planejamento de arranjo combinado para um estudo da robustez de um processo Saber como usar a abordagem do modelo de resposta para realizar um estudo da robustez de um processo Saber como a operação evolutiva OPEV é usada para a manutenção de um processo sujeito a oscilar perto de suas condições ótimas de operação Métodos e Planejamentos de Superfície de Resposta A metodologia da superfície de resposta MSR é um conjunto de técnicas matemáticas e estatísticas úteis para a modelagem e a análise em aplicações em que a resposta de interesse é influenciada por diversas variáveis e o objetivo é a otimização dessa resposta A abordagem geral MSR foi desenvolvida no início da década de 1950 tendo sido aplicada inicialmente na indústria química com considerável sucesso Nos últimos 20 anos a MSR tem tido extensa aplicação em uma ampla variedade de contextos industriais muito além de suas origens em processos químicos inclusive na fabricação de semicondutores e de artigos eletrônicos usinagem corte de metais e processos de junção entre muitos outros Muitos pacotes estatísticos têm incluído como característicapadrão os planejamentos experimentais e as técnicas de otimização que constituem a base da MSR Para uma apresentação abrangente recente da MSR consulte Myers Montgomery e Anderson Cook 2009 Para ilustrar a ideia geral da MSR suponhamos que um engenheiro químico deseje achar os níveis da temperatura de reação x1 e do tempo de reação x2 que maximizem a produção y de um processo Essa produção é função dos níveis de temperatura e tempo digamos y fx1 x2 ε em que ε representa o ruído ou erro observado na resposta y Denotandose o valor esperado da resposta por Ey fx1 x2 então a superfície representada por Ey fx1 x2 é chamada de superfície de resposta Recorde que introduzimos a ideia de superfície de resposta no Capítulo 13 em que apresentamos um exemplo de superfície de resposta gerada a partir de um modelo que surgiu de um planejamento fatorial Podemos representar graficamente a superfície de resposta conforme a Figura 141 em que Ey aparece plotado versus os níveis de x1 e x2 Note que a resposta é representada como um gráfico de superfície no espaço tridimensional Para ajudar a visualização da forma de uma superfície de resposta costumamos representar graficamente os contornos de tal superfície conforme mostrado na Figura 142 No gráfico de contorno as linhas de resposta constante são traçadas no plano x1 x2 Cada contorno corresponde a uma determinada altura da superfície de resposta O gráfico de contorno ajuda a estudar os níveis de x1 x2 que resultam em modificações na forma ou na altura da superfície de resposta Na maioria dos problemas de MSR não se conhece a forma da relação entre a variável resposta e as variáveis independentes Assim o primeiro passo na MSR é achar uma aproximação conveniente para a verdadeira relação entre y e as variáveis independentes Em geral utilizase um polinômio de ordem baixa em alguma região das variáveis independentes Se a resposta for bem modelada por uma função linear das variáveis independentes então a função de aproximação será o modelo de primeira ordem 1411 FIGURA 141 Uma superfície de resposta tridimensional mostrando a produção esperada como função da temperatura de reação e do tempo de reação FIGURA 142 Um gráfico de contorno da superfície de resposta da produção na Figura 141 Se houver curvatura no sistema então deveremos utilizar um polinômio de ordem mais elevada como o modelo de segunda ordem Muitos problemas de MSR utilizam um desses polinômios aproximadores ou ambos Naturalmente é pouco provável que um modelo polinomial seja uma aproximação razoável do verdadeiro relacionamento funcional sobre todo o espaço das variáveis independentes mas para uma região relativamente pequena tais modelos funcionam assaz bem em geral Usase o método dos mínimos quadrados veja o Capítulo 4 para estimaremse os parâmetros nos polinômios aproximadores Isto é as estimativas dos βs nas equações 141 e 142 são os valores dos parâmetros que minimizam a soma de quadrados dos erros do modelo A análise da superfície de resposta é feita então em termos da superfície ajustada Se a superfície ajustada é uma aproximação adequada da verdadeira função resposta então a análise da superfície ajustada será aproximadamente equivalente à análise do sistema efetivo A MSR é um processo sequencial Não raro quando estamos em um ponto da superfície de resposta afastado do ótimo tais como as condições atuais de operação na Figura 142 há pouca curvatura no sistema e o modelo de primeira ordem será apropriado Nosso objetivo aqui é levar o experimentador rápida e eficientemente à vizinhança geral do ótimo Uma vez achada a região ótima podese empregar um modelo mais elaborado como o modelo de segunda ordem podendose fazer uma análise para a localização do ótimo Pela Figura 142 vemos que a análise de uma superfície de resposta pode ser encarada como a subida de uma colina onde o topo da colina representa o ponto de resposta máxima Se o ótimo verdadeiro é um ponto de resposta mínima então podemos pensar na descida para um vale O objetivo final da MSR é a determinação das condições ótimas de operação para o sistema ou de uma região do espaço dos fatores em que as especificações de operação sejam satisfeitas Note também que a palavra ótimo em MSR é empregada em um sentido especial Os processos de subida de uma colina da MSR garantem apenas a convergência para um ótimo local O Método da Inclinação Máxima Ascendente Não raro a estimativa inicial das condições ótimas de operação para o sistema está muito afastada do ótimo efetivo Em tais circunstâncias o objetivo do experimento é caminhar rapidamente para a vizinhança geral do ótimo Queremos utilizar um procedimento experimental simples e economicamente eficiente Quando estamos afastados do ótimo costumamos admitir que um modelo de primeira ordem seja uma aproximação adequada da verdadeira superfície em uma pequena região dos xs FIGURA 143 Superfície de resposta de primeira ordem e trajetória de inclinação máxima ascendente O método da inclinação máxima ascendente é um procedimento para nos deslocarmos sequencialmente ao longo da trajetória de maior inclinação ascendente isto é na direção do aumento máximo na resposta Naturalmente se desejamos a minimização então designamos este procedimento método da inclinação máxima descendente O modelo de primeira ordem ajustado é e a superfície de resposta de primeira ordem isto é os contornos de é uma série de retas paralelas conforme mostrado na Figura 143 A direção da inclinação ascendente mais acentuada é a direção em que cresce mais rapidamente Esta direção é normal aos contornos da superfície de resposta ajustada Em geral tomamos como trajetória da inclinação máxima ascendente a reta pelo centro da região de interesse e normal aos contornos da superfície ajustada Assim os passos ao longo da trajetória são proporcionais aos coeficientes de regressão O experimentador determina a quantidade efetiva de movimento ao longo dessa trajetória com base no conhecimento do processo ou outras considerações práticas Os experimentos são feitos ao longo da trajetória de inclinação máxima até que não se observe mais nenhum aumento na resposta ou até que seja atingida a região desejada da resposta Podese então ajustar um novo modelo de primeira ordem determinar uma nova direção de inclinação máxima e se necessário fazer outros experimentos naquela direção até que o experimentador ache que o processo está próximo do ótimo EXEMPLO 141 Uma Aplicação da Inclinação Máxima Ascendente No Exemplo 138 descrevemos um experimento sobre um processo de gravação de plasma no qual quatro fatores foram investigados a fim de se estudarem seus efeitos sobre a taxa de gravação de placas de semicondutores Constatamos que dois dos quatro fatores o espaçamento x1 e a potência x4 afetavam significantemente a taxa de gravação Recorde daquele exemplo que se ajustarmos um modelo utilizando apenas esses efeitos principais obteremos 7760625 508125x1 1530625x4 como equação de predição para a taxa de gravação A Figura 144 mostra o gráfico de contorno baseado neste modelo sobre a região original de experimentação isto é para espaçamentos entre 08 e 12 cm e potências entre 275 e 325 W Note que dentro da região original de 1412 experimentação a taxa máxima de gravação que se pode obter é aproximadamente 980 Åm Os engenheiros desejam acionar este processo a uma taxa de gravação de 11001150 Åm Use o método da inclinação máxima ascendente para nos afastarmos da região original de experimentação a fim de aumentar a taxa de gravação SOLUÇÃO Examinando o gráfico na Figura 144 ou o modelo ajustado vemos que para nos deslocarmos do centro do planejamento o ponto x1 0 x4 0 ao longo da trajetória de inclinação máxima ascendente devemos deslocarnos 508125 unidades na direção de x1 para cada 1530625 unidades na direção de x4 Assim a trajetória de inclinação máxima passa pelo ponto x1 0 x4 0 e tem coeficiente angular 1530625508125 3 O engenheiro decide utilizar 25 W de potência como tamanho básico do passo Mas 25 W de potência é equivalente a um passo na variável codificada x4 de Δx4 1 Portanto os passos ao longo da trajetória de inclinação máxima são Δx4 1 e Δx1 Δx43 033 Uma variação de Δx1 033 na variável codificada x1 é equivalente a cerca de 0067 cm na variável original espaçamento Assim o engenheiro moverseá ao longo da trajetória de inclinação máxima ascendente aumentando a potência em 25 W e diminuindo o espaçamento em 0067 cm Obtémse uma observação efetiva na taxa de gravação executandose o processo em cada ponto A Figura 144 mostra três pontos ao longo dessa trajetória de inclinação máxima ascendente e as taxas de gravação efetivamente observadas no processo nesses pontos Nos pontos A B e C as taxas de gravação observadas aumentam sensivelmente No ponto C a taxa de gravação observada é 1163 Åm Portanto o procedimento de inclinação máxima ascendente terminaria na vizinhança da potência 375 W e espaçamento 08 cm com uma taxa de gravação observada de 1163 Åm Esta região está muito próxima da região de operação desejada para o processo FIGURA 144 Experimento de inclinação máxima ascendente para o Exemplo 141 Análise de uma Superfície de Resposta de Segunda Ordem Quando o experimentador está relativamente próximo do ótimo em geral tornase necessário um modelo de segunda ordem para aproximar a resposta em virtude da curvatura na verdadeira superfície de resposta O modelo ajustado de superfície de resposta de segunda ordem é em que denota a estimativa de mínimos quadrados de β No próximo exemplo ilustramos como se pode usar um modelo de segunda ordem ajustado para achar as condições ótimas de operação para um processo e como descrever o comportamento da função resposta EXEMPLO 142 Continuação do Exemplo 141 Lembre que na aplicação do método de inclinação máxima ascendente ao processo de gravação de plasma no Exemplo 141 encontramos uma região próxima do espaçamento 08 cm e da potência 375 W que aparentemente daria taxas de gravação próximas do alvo entre 1100 e 1150 Åm Os pesquisadores decidiram explorar esta região mais detalhadamente fazendo um experimento baseado em um modelo de superfície de resposta de segunda ordem A Tabela 141 e a Figura 145 mostram o planejamento experimental centrado no espaçamento 08 cm e na potência 375 W que consiste em um planejamento fatorial 22 com quatro pontos centrais e quatro rodadas localizadas ao longo dos eixos coordenados chamadas de rodadas axiais O planejamento resultante é chamado de planejamento composto central e é largamente usado na prática para o ajuste de superfícies de resposta de segunda ordem Durante esta fase do estudo foram medidas duas variáveis resposta a taxa de gravação em Åm e a uniformidade da gravação que é o desviopadrão da espessura da camada de material aplicada à superfície da placa após ter sido gravada até uma dada espessura média Determine as condições de operação ótimas para esse processo TABELA 141 Planejamento Composto Central do Exemplo 142 Observação Espaçamento cm Potência W Variáveis x1 Codificadas x4 Taxa de Gravação y1Åm Uniformidadey2 Åm 1 0600 3500 1000 1000 10540 796 2 1000 3500 1000 1000 9360 813 3 0600 4000 1000 1000 11790 785 4 1000 4000 1000 1000 14170 977 5 0517 3750 1414 0000 10490 764 6 1083 3750 1414 0000 12870 881 7 0800 3396 0000 1414 9270 785 8 0800 4104 0000 1414 13450 923 9 0800 3750 0000 0000 11510 901 10 0800 3750 0000 0000 11500 883 11 0800 3750 0000 0000 11770 886 12 0800 3750 0000 0000 11960 901 FIGURA 145 Planejamento composto central nas variáveis codificadas para o Exemplo 142 SOLUÇÃO Podese utilizar o Minitab para a análise dos dados desse experimento O resultado do Minitab consta da Tabela 142 O modelo de segunda ordem ajustado à resposta da taxa de gravação é Entretanto pela estatística do teste t na Tabela 142 vemos que os termos quadráticos não são estatisticamente significantes Por isso os pesquisadores decidiram modelar a taxa de gravação por um modelo de primeira ordem com interação A Figura 146 mostra os contornos da taxa de gravação constante baseados neste modelo Obviamente há muitas combinações de x1 espaçamento e x4 potência que dão uma taxa de gravação no intervalo desejado de 11001150 Åm O modelo de segunda ordem para a uniformidade é A Tabela 142 dá a estatística t para cada termo do modelo Como todos os termos são significantes os pesquisadores decidiram utilizar o modelo quadrático para a uniformidade A Figura 147 dá o gráfico do contorno e a superfície de resposta para a uniformidade FIGURA 146 Contornos de taxa de gravação predita constante Exemplo 142 Tal como na maioria dos problemas de superfície de resposta o pesquisador nesse exemplo teve objetivos conflitantes em relação às duas respostas Um objetivo era manter a taxa de gravação no intervalo aceitável de 1100 y1 1150 mas simultaneamente minimizar a uniformidade Especificamente a uniformidade não deve exceder y2 80 ou muitas das placas serão defeituosas em operações de processamento subsequentes Quando há apenas poucas variáveis independentes uma maneira fácil de se resolver este problema consiste em superpor as superfícies de resposta para achar o ótimo A Figura 148 apresenta o gráfico de superposição de ambas as respostas exibindo os contornos de As áreas sombreadas neste gráfico identificam combinações inviáveis de espaçamento e potência O gráfico indica que várias combinações de espaçamento e potência podem resultar em um desempenho aceitável do processo TABELA 142 Análise do Minitab do Planejamento Composto Central do Exemplo 142 Response Surface Regression Taxa de Gravação versus A B The analysis was done using coded units Estimated Regression Coefficients for Taxa de Gravação Term Coef SE Coef T P Constant 116850 1759 66417 0000 A 5707 1244 4588 0004 B 14964 1244 12029 0000 AA 162 1391 0117 0911 BB 1763 1391 1267 0252 AB 8900 1759 5059 0002 S 3519 RSq 970 RSqadj 945 Analysis of Variance for Taxa de Gravação Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 238898 238898 47780 3859 0000 Linear 2 205202 205202 102601 8287 0000 Square 2 2012 2012 1006 081 0487 Interaction 1 31684 31684 31684 2559 0002 Residual Error 6 7429 7429 1238 LackofFit 3 5952 5952 1984 403 0141 Pure Error 3 1477 1477 492 Total 11 246327 Response Surface Regression Uniformidade versus A B The analysis was done using coded units Estimated Regression Coefficients for Uniformidade Term Coef SE Coef T P Constant 89275 05688 156963 0000 A 4681 04022 11639 0000 B 4352 04022 10821 0000 AA 3400 04496 7561 0000 BB 1825 04496 4059 0007 AB 4375 05688 7692 0000 S 1138 R Sq 984 R Sqadj 971 Analysis of Variance for Uniformidade Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F P Regression 5 486085 486085 97217 7513 0000 Linear 2 326799 326799 163399 12628 0000 Square 2 82724 82724 41362 3197 0001 Interaction 1 76563 76563 76563 5917 0000 Residual Error 6 7764 7764 1294 LackofFit 3 4996 4996 1665 181 0320 Pure Error 3 2768 2768 0923 Total 11 493849 FIGURA 147 Gráficos da resposta uniformidade Exemplo 142 FIGURA 148 Superposição das superfícies de resposta da taxa de gravação e da uniformidade no Exemplo 142 mostrando a região do ótimo área não sombreada O Exemplo 142 ilustra o uso de um planejamento composto central PCC para o ajuste de um modelo de superfície de resposta de segunda ordem Esses planejamentos são amplamente utilizados na prática pelo fato de serem relativamente eficientes em relação ao número de rodadas exigidas De modo geral um PCC com k fatores exige 2k rodadas fatoriais 2k rodadas axiais e pelo menos um ponto central tipicamente utilizamse 3 a 5 pontos centrais A Figura 149 mostra planejamentos para k 2 e k 3 fatores O planejamento composto central pode ser transformado em planejamento rotacionável mediante escolha adequada do espaçamento axial α na Figura 149 Se o planejamento for rotacionável o desviopadrão da resposta predita será constante em todos os pontos que estão à mesma distância do centro do planejamento Para a rotabilidade escolha α F14 em que F é o número de pontos na parte fatorial do planejamento em geral F 2k Para o caso de k 2 fatores α 2214 1414 tal como foi utilizado no planejamento do Exemplo 142 A Figura 1410 apresenta um gráfico de contorno e um gráfico de superfície do desviopadrão da predição para o modelo quadrático utilizado para a resposta uniformidade Note que os contornos são círculos concêntricos o que implica que a uniformidade é predita com igual precisão para todos os pontos que estão à mesma distância do centro do planejamento Note também que a precisão da estimativa da resposta diminui com o aumento da distância em relação ao centro do planejamento O planejamento composto central é o planejamento mais usado para o ajuste de um modelo de superfície de resposta de segunda ordem No entanto há muitos outros planejamentos úteis A Seção MS141 do material suplementar para esse capítulo contém mais detalhes de planejamentos para o ajuste de superfícies de resposta FIGURA 149 Planejamento composto central para k 2 e k 3 142 1421 1 2 FIGURA 1410 Gráficos de desviopadrão constante da uniformidade predita y2 Exemplo 142 Estudos da Robustez de um Processo Fundamentos Nos Capítulos 12 e 13 salientamos a importância da utilização de experimentos estatisticamente planejados para o planejamento desenvolvimento e melhoria de um processo Ao longo dos últimos 30 anos engenheiros e cientistas vêm se tornando cada vez mais conscientes dos benefícios da utilização de experimentos planejados consequentemente têm surgido muitas áreas novas de aplicação Uma das mais importantes dessas áreas consiste nos estudos de robustez de um processo em que se enfoca o seguinte Planejar processos de modo que o produto manufaturado fique tão próximo quanto possível das especificaçõesalvo desejadas mesmo que algumas variáveis do processo como temperatura fatores ambientais como umidade relativa ou características da matériaprima não possam ser controlados com precisão Determinar as condições de operação para um processo de modo que as características críticas de um produto fiquem tão próximas quanto possível do valoralvo desejado e a variabilidade em torno desse alvo seja minimizada Exemplos desse tipo de problema ocorrem frequentemente Por exemplo na fabricação de semicondutores é conveniente que a espessura do óxido em uma placa esteja tão próxima quanto possível da espessura média alvo e também que a variabilidade da espessura através da placa uma medida de uniformidade seja tão pequena quanto possível No início da década de 1980 um engenheiro japonês Genichi Taguchi introduziu uma abordagem para resolver este tipo de problema que chamou de problema do planejamento de parâmetro robusto PPR veja Taguchi e Wu 1980 Taguchi 1986 Sua abordagem se baseou na classificação das variáveis em um processo como variáveis de controle ou controláveis e variáveis de ruído ou não controláveis achandose então as especificações para as variáveis controláveis que minimizassem a variabilidade transmitida à resposta pelas variáveis não controláveis Admitimos que embora os fatores de ruído sejam não controláveis em um sistema de escala plena eles possam ser controlados para fins de um experimento Veja a Figura 131 para uma visão gráfica de variáveis controláveis e não controláveis no contexto geral de um experimento planejado Taguchi introduziu alguns métodos estatísticos novos e algumas variações em técnicas já estabelecidas como parte de seu processo PPR utilizando planejamentos fatoriais altamente fracionados e outros tipos de planejamentos fracionados obtidos de arranjos ortogonais Sua metodologia gerou consideráveis debates e controvérsias Parte da controvérsia surgiu porque a metodologia de Taguchi foi defendida no Ocidente inicialmente e principalmente por empreendedores e a ciência estatística subjacente não tinha sido adequada e detalhadamente revista No final da década de 1980 os resultados de uma revisão assaz detalhada e abrangente indicaram que embora os conceitos de engenharia de Taguchi e o objetivo geral do PPR fossem bem fundamentados havia problemas substanciais com sua estratégia experimental e métodos de análise de dados Para detalhes específicos desses problemas consulte Box Bisgaard e Fung 1988 Hunter 1985 1987 Montgomery 1999 Myers e Montgomery e AndersonCook 2009 e Pignatiello e Ramberg 1991 Muitos desses tópicos são também resumidos no extenso painel de discussão do número de maio de 1992 da Technometrics veja Nair 1992 A Seção MS142 do material suplementar para este capítulo também discute e ilustra muitos dos problemas subjacentes dos métodos técnicos de Taguchi A metodologia de Taguchi para o problema PPR gira em torno do uso de um planejamento ortogonal para os fatores controláveis que é cruzado com um planejamento ortogonal separado para os fatores de ruído A Tabela 143 apresenta um exemplo de Byrne e Taguchi 1987 que envolve a elaboração de um método para montar um conector elastométrico a um tubo de náilon que forneceria a força de tração necessária Há quatro fatores controláveis cada um em três níveis A interferência B espessura da parede do conector C profundidade de inserção D percentual de adesivo e três fatores de ruído ou não controláveis cada um em dois níveis E tempo de condicionamento F temperatura de condicionamento G umidade relativa de condicionamento O painel a da Tabela 143 contém o planejamento para os fatores controláveis Note que o planejamento é um fatorial fracionado de três níveis especificamente é um planejamento 342 que Taguchi chama de planejamento de formação interna O painel b da Tabela 143 contém um planejamento 23 para os fatores de ruído que Taguchi chama de planejamento de formação externa Cada rodada na formação interna é executada para todas as combinações de tratamento na formação externa produzindo as 72 observações sobre a força de tração mostradas na tabela Este tipo de planejamento é chamado de planejamento de formação cruzada TABELA 143 Planejamento Paramétrico de Taguchi com Formação Interna e Formação Externa Byrne e Taguchi 1987 b Formação Externa E 1 1 1 1 2 2 2 2 F 1 1 2 2 1 1 2 2 G 1 2 1 2 1 2 1 2 a Formação Interna Rodada A B C D 1 1 1 1 1 156 95 169 199 196 196 200 191 2 1 2 2 2 150 162 194 192 197 198 242 219 3 1 3 3 3 163 167 191 156 226 182 233 204 4 2 1 2 3 183 174 189 186 210 189 232 247 5 2 2 3 1 197 186 194 251 256 214 275 253 6 2 3 1 2 162 163 200 198 147 196 225 247 7 3 1 3 2 164 191 184 236 168 186 243 216 1422 8 3 2 1 3 142 156 151 168 178 196 232 242 9 3 3 2 1 161 199 193 173 231 227 226 286 Taguchi sugeriu que resumíssemos os dados de um experimento de planejamento cruzado por meio de duas estatísticas a média de cada observação na formação interna através de todas as rodadas na formação externa e uma estatísticaresumo que tentasse combinar informações sobre a média e a variância chamada de razão sinalruído Essas razões sinalruído são definidas intencionalmente de modo que um valor máximo da razão minimize a variabilidade transmitida pelas variáveis de ruído Fazse então uma análise para a determinação de quais especificações dos fatores controláveis resultam em 1 uma média tão próxima quanto possível do alvo desejado e 2 um valor máximo da razão sinalruído Um exame da Tabela 143 revela um problema importante com a estratégia do planejamento de Taguchi a saber a abordagem da formação cruzada conduz a um experimento muito grande Em nosso exemplo com apenas sete fatores há ainda assim 72 rodadas Além disso o planejamento de formação interna é um planejamento 342 de resolução III veja Montgomery 2009 Capítulo 9 para uma discussão desse planejamento de modo que a despeito do grande número de rodadas não podemos obter nenhuma informação sobre interações entre as variáveis controláveis Na verdade mesmo as informações sobre os efeitos principais são potencialmente contaminadas porque os efeitos principais formam fortes aliases com as interações de dois fatores Acontece ainda que as razões sinalruído de Taguchi são problemáticas a maximização da razão não minimiza necessariamente a variabilidade Para mais detalhes consulte o material suplementar do texto Um ponto importante sobre o planejamento de formação cruzada é que dá de fato informações sobre as interações fator controlável fator ruído Essas interações são cruciais para a solução de um problema PPR Consideremos por exemplo os gráficos da interação de dois fatores da Figura 1411 em que x é o fator controlável e z é o fator ruído Na Figura 1411a não há nenhuma interação x z portanto não há especificação para a variável controlável x que afete a variabilidade transmitida à resposta pela variabilidade em z Entretanto na Figura 1411b há uma forte interação x z Note que quando x é fixado em seu nível mais baixo há muito menos variabilidade na variável resposta do que quando x está no nível alto Assim a menos que haja pelo menos uma interação fator controlável fator de ruído não existe problema de planejamento robusto Como veremos na próxima seção o enfoque sobre a identificação e a modelagem dessas interações é uma das chaves para uma abordagem mais eficiente e efetiva para a investigação da robustez do processo FIGURA 1411 O papel da interação controle ruído em um planejamento robusto Abordagem da Superfície de Resposta para Estudos da Robustez de um Processo 1 2 3 4 1 2 3 Conforme vimos na seção anterior as interações entre fatores controláveis e fatores de ruído constituem a chave para o estudo da robustez de um processo É pois lógico utilizarmos um modelo para a resposta que inclua tanto os fatores controláveis quanto os fatores de ruído e suas interações Para ilustrar suponha que tenhamos dois fatores controláveis x1 e x2 e um único fator de ruído z1 Admitimos que tanto os fatores de controle quanto os fatores de ruído sejam expressos como variáveis codificadas usuais isto é que sejam centradas em zero e tenham limites inferior e superior em 1 Se desejarmos considerar um modelo de primeira ordem que envolva as variáveis controláveis então um modelo lógico será Note que este modelo tem os efeitos principais dos dois fatores controláveis o efeito principal da variável de ruído e ambas as interações entre as variáveis controláveis e de ruído Este tipo de modelo que incorpora ambas as variáveis controláveis e de ruído costuma chamarse modelo de resposta A não ser que pelo menos um dos coeficientes de regressão δ11 e δ21 seja diferente de zero não haverá problema de planejamento robusto Uma vantagem importante da abordagem pelo modelo de resposta é que tanto os fatores controláveis quanto os fatores de ruído podem ser postos em um único planejamento experimental isto é podese evitar a estrutura de formação interna e de formação externa da abordagem de Taguchi Costumamos chamar de planejamento de formação combinada o planejamento que contém tanto fatores controláveis quanto fatores de ruído Conforme mencionado anteriormente admitimos que as variáveis de ruído sejam variáveis aleatórias embora sejam controláveis para fins de um experimento Especificamente admitimos que as variáveis de ruído sejam expressas em unidades codificadas que tenham valor esperado zero variância e que se há várias variáveis de ruído elas tenham covariâncias zero Sob tais hipóteses é fácil acharmos um modelo para a resposta média simplesmente tomando o valor esperado de y na equação 144 o que dá EZy β0 β1x1 β2x2 β12x1x2 em que o índice z no operador esperança é um lembrete para tomarmos o valor esperado em relação a ambas as variáveis aleatórias na equação 144 z1 e ε Para acharmos um modelo para a variância da resposta y começamos reescrevendo a equação 144 na forma y β0 β1x1 β2x2 β12x1x2 γ1 δ11x1 δ22 x2z1 ε A variância de y pode agora ser obtida aplicandose o operador variância a toda esta última expressão O modelo resultante para a variância é Novamente usamos o índice z no operador variância como lembrete de que tanto z1 quanto ε são variáveis aleatórias Acabamos de deduzir modelos simples para a média e a variância da variável resposta de interesse Note o seguinte Os modelos da média e da variância envolvem apenas as variáveis controláveis Isso significa que potencialmente é possível fixarmos as variáveis controláveis de modo a obtermos um valoralvo da média e minimizarmos a variabilidade transmitida pela variável de ruído Embora o modelo da variância envolva apenas as variáveis controláveis envolve também os coeficientes de regressão de interações entre as variáveis controláveis e de ruído É assim que a variável de ruído influencia a resposta O modelo da variância é uma função quadrática das variáveis controláveis O modelo da variância à parte σ2 é simplesmente o quadrado da inclinação do modelo de resposta ajustado na direção da variável de ruído Para utilizarmos operacionalmente esses modelos devemos Realizar um experimento e ajustar um modelo de resposta apropriado tal como a equação 144 Substituir os coeficientes de regressão desconhecidos nos modelos da média e da variância por suas estimativas de mínimos quadrados provenientes do modelo de resposta e substituir σ2 no modelo da variância pela média quadrática residual achada ao se ajustar o modelo de resposta Simultaneamente otimizar os modelos da média e da variância Quase sempre isso pode ser feito graficamente Para maior discussão de outros métodos de otimização consulte Myers Montgomery e AndersonCook 2009 É muito fácil generalizarmos esses resultados Suponhamos que haja k variáveis controláveis xʹ x1 x2 xk e r variáveis de ruído zʹ z1 z2 zr Escreveremos como segue o modelo geral de resposta envolvendo estas variáveis em que fx é a porção do modelo que envolve apenas as variáveis controláveis e hx z são os termos que envolvem os efeitos principais dos fatores de ruído e as interações entre os fatores controláveis e de ruído Tipicamente a estrutura de hx z é A estrutura de fx dependerá do tipo de modelo que o pesquisador julgue adequado para as variáveis controláveis As escolhas lógicas são o modelo de primeira ordem com interação e o modelo de segunda ordem Se admitirmos que as variáveis de ruído tenham média zero variância covariâncias zero e que as variáveis de ruído e os erros aleatórios ε tenham covariâncias zero então o modelo da média para a resposta é simplesmente Para acharmos o modelo da variância utilizaremos a abordagem da transmissão de erro da Seção 872 Isso envolve em primeiro lugar o desenvolvimento da equação 145 em uma série de Taylor de primeira ordem na vizinhança de z 0 em que R é o resto Ignorandose o resto e aplicandose o operador variância a esta última expressão o modelo da variância para a resposta é Myers Montgomery e AndersonCook 2009 dão uma forma ligeiramente mais geral para a equação 147 baseada na aplicação de um operador variância condicional diretamente ao modelo de resposta na equação 145 EXEMPLO 143 Planejamento Robusto Como ilustração do estudo da robustez de um processo consideremos um experimento descrito detalhadamente em Montgomery 2009 em que foram estudados quatro fatores em um planejamento fatorial 24 para investigar seus efeitos na taxa de filtragem de um produto químico Admitiremos que o fator A temperatura seja de difícil controle em um processo de escala plena mas que possa ser controlado durante o experimento o que foi feito em uma fábrica piloto Os outros três fatores pressão B concentração C e taxa de agitação D são de fácil controle Assim o fator ruído z1 é a temperatura e as variáveis controláveis x1 x2 e x3 são pressão concentração e taxa de agitação respectivamente Os pesquisadores conduziram o planejamento 24 não replicado exibido na Tabela 144 Como tanto os fatores controláveis quanto o fator de ruído estão no mesmo planejamento o planejamento fatorial 24 usado neste experimento é um exemplo de planejamento de formação combinada Queremos determinar as condições de operação que maximizem a taxa de filtragem e minimizem a variabilidade transmitida pela variável de ruído temperatura TABELA 144 Experimento da Taxa de Filtragem em uma Fábrica Piloto Número da Rodada Fator Rótulo da Rodada Taxa de Filtragem galh A B C D 1 1 45 2 a 71 3 b 48 4 ab 65 5 c 68 6 ac 60 7 bc 80 8 abc 65 9 d 43 10 ad 100 11 bd 45 12 abd 104 13 cd 75 14 acd 86 15 bcd 70 16 abcd 96 SOLUÇÃO Utilizando os métodos do Capítulo 13 para a análise de um planejamento fatorial 2k o modelo de resposta é Utilizando as equações 146 e 147 obtemos os modelos da média e da variância como respectivamente Suponhamos agora que os níveis baixo e alto da variável de ruído temperatura tenham sido rodados a um desviopadrão de um ou outro lado do seu valor típico ou médio de forma que e que tomemos 1951 que é a média quadrática residual obtida mediante ajuste do modelo de resposta Portanto o modelo da variância se escreve A Figura 1412 apresenta um gráfico de contorno dos contornos de resposta a partir do modelo da média Para construirmos este gráfico mantemos em zero o fator de ruído temperatura e também em zero o fator controlável não significante pressão Note que a taxa média de filtragem aumenta na medida em que aumentam as taxas de concentração e de agitação A Figura 1413 exibe um gráfico da raiz quadrada de Vzyx z São dados também um gráfico do contorno e um gráfico da superfície de resposta tridimensional Esse gráfico também foi construído mantendose em zero o fator de ruído temperatura e o fator controlável não significante Suponhamos que o pesquisador queira manter a taxa média de filtragem acima de 75 e minimizar a variabilidade em torno desse valor A Figura 1414 mostra um gráfico de superposição dos contornos da taxa média de filtragem e da raiz quadrada de Vzyx z como função da concentração e da taxa de agitação as variáveis controláveis significantes Para atingirmos os objetivos desejados será necessário mantermos a concentração no nível alto e a taxa de agitação muito próxima do nível médio FIGURA 1412 Contornos de taxa de filtragem média constante Exemplo 143 com z1 temperatura 0 FIGURA 1413 Gráfico de contorno e superfície de resposta de para o Exemplo 143 com z1 temperatura 0 FIGURA 1414 Superposição do gráfico da média e do desviopadrão da taxa de filtragem Exemplo 143 com z1 temperatura 0 O Exemplo 143 ilustra o uso de um modelo de primeira ordem com interação como modelo para os fatores controláveis fx No Exemplo 144 apresentamos um modelo de segunda ordem EXEMPLO 144 Manufatura Robusta Fezse um estudo da robustez de um processo em uma fábrica de semicondutores envolvendo duas variáveis controláveis x1 e x2 e um único fator de ruído z A Tabela 145 mostra o experimento que foi realizado e a Figura 1415 dá uma visão gráfica do planejamento Note que o planejamento experimental é um planejamento composto central modificado em que foram eliminadas as rodadas axiais na direção z É possível omitirmos essas rodadas porque nenhum termo quadrático z2 na variável de ruído está incluído no modelo O objetivo é a determinação de condições de operação que deem uma resposta média entre 90 e 100 enquanto tornam a variabilidade transmitida pela variável de ruído tão pequena quanto possível TABELA 145 O Planejamento Composto Central Modificado para o Estudo da Robustez do Processo do Exemplo 144 Rodada x1 x2 z y 1 100 100 100 7393 2 100 100 100 8199 3 100 100 100 7703 4 100 100 100 9929 5 100 100 100 7021 6 100 100 100 9772 7 100 100 100 8320 8 100 100 100 12550 9 168 000 000 6475 10 168 000 000 10290 11 000 168 000 7020 12 000 168 000 10030 13 000 000 000 10050 14 000 000 000 10000 15 000 000 000 9886 16 000 000 000 10390 FIGURA 1415 O planejamento composto central modificado do Exemplo 144 SOLUÇÃO Pela equação 145 o modelo de resposta para o estudo da robustez deste processo é O ajuste de mínimos quadrados é FIGURA 1416 Gráficos do modelo da média Exemplo 144 Portanto pela equação 146 o modelo da média é Usando a equação 147 o modelo da variância é Admitiremos como no exemplo anterior que e como a média quadrática residual proveniente do modelo de resposta é MQE 373 tomaremos Portanto o modelo da variância é VZyxz 555 494x1 255x22 373 As Figuras 1416 e 1417 exibem gráficos de contorno da superfície de resposta e gráficos tridimensionais da superfície do modelo da média e do desviopadrão respectivamente O objetivo do pesquisador no estudo de robustez deste processo era achar um conjunto de condições de operação que resultasse em uma resposta média entre 90 e 100 com baixa variabilidade A Figura 1418 é uma superposição dos contornos 90 e 100 do modelo da média com o contorno do desviopadrão constante de 4 A região não sombreada deste gráfico indica condições de operação sobre x1 e x2 em que as exigências para a resposta média são satisfeitas e o desvio padrão da resposta não excede 4 143 FIGURA 1417 Gráficos do desviopadrão da resposta Exemplo 144 FIGURA 1418 Superposição dos contornos da média e do desviopadrão Exemplo 144 Operação Evolutiva A maioria das técnicas de monitoramento de processo mede uma ou mais características da qualidade da saída e se essas características da qualidade são satisfatórias não se faz nenhuma modificação no processo Entretanto em algumas situações em que há uma forte relação entre uma ou mais variáveis controláveis do processo e a característica da qualidade observada ou variável resposta outros métodos de monitoramento do processo podem ser por vezes empregados Suponhamos por exemplo que um engenheiro químico pretenda maximizar o resultado do processo O resultado é uma função de duas variáveis controláveis do processo temperatura x1 e tempo x2 digamos y fx1 x2 ε em que ε é o componente do erro aleatório O engenheiro químico encontrou um conjunto de condições ou níveis de operação para x1 e x2 que maximiza a produção e fornece valores aceitáveis para todas as outras características da qualidade Essa otimização do processo pode ter sido obtida utilizandose a MSR entretanto mesmo que a fábrica opere continuamente nesses níveis eventualmente haverá uma flutuação em torno do ótimo como resultado de variações na matériaprima introduzida modificações do ambiente pessoal de operação e outras Tornase necessário um método para operação e monitoramento contínuos de um processo com o objetivo de levar as condições de operação para um ótimo ou acompanhar uma flutuação O método não deve exigir mudanças grandes ou súbitas nas condições de operação que possam romper a produção Box 1957 propôs a operação evolutiva OPEV como tal processo de operação É planejado como um método de operação rotineira de uma fábrica que é desempenhado pelo pessoal de operação com um mínimo de assistência do grupo de engenharia da qualidade ou de produção A OPEV utiliza os princípios do planejamento experimental o que usualmente é considerado como um método offline de engenharia da qualidade Assim OPEV é uma aplicação online de experimentos planejados A OPEV consiste na introdução sistemática de pequenas mudanças nos níveis das variáveis operacionais de um processo O procedimento exige que se atribua um nível alto e um nível baixo a cada variável independente do processo Admitese que as modificações nas variáveis sejam suficientemente pequenas a fim de que não ocorram perturbações sérias na qualidade do produto mas grandes o bastante para que eventualmente se descubram melhoramentos potenciais no desempenho do processo A Figura 1419 mostra para duas variáveis x1 e x2 as quatro combinações possíveis de níveis alto e baixo Este arranjo de pontos é o planejamento fatorial 22 introduzido no Capítulo 13 Incluímos também um ponto no centro do planejamento Tipicamente o planejamento 22 seria centrado em torno da melhor estimativa corrente das condições ótimas de operação FIGURA 1419 Planejamento fatorial 22 Os pontos no planejamento 22 são numerados 1 2 3 4 e 5 Sejam y1 y2 y3 y4 e y5 os valores observados da variável dependente ou resposta correspondentes a esses pontos Após uma observação ter sido rodada em cada ponto do planejamento dizse que foi completado um ciclo OPEV Lembre que o efeito principal de um fator se define como a variação média na resposta produzida por uma variação do nível baixo para o nível alto do fator Assim o efeito de x1 é a diferença média entre as respostas no lado direito do planejamento na Figura 1419 e as respostas no lado esquerdo ou Da mesma forma achase o efeito de x2 calculandose a diferença média nas respostas na parte superior da Figura 1419 e as respostas na base isto é Se a mudança do nível baixo para o nível alto de x1 produz um efeito que é diferente nos dois níveis de x2 então há interação entre x1 e x2 O efeito da interação é ou simplesmente a diferença média entre os totais nas diagonais na Figura 1419 Após n ciclos haverá n observações em cada um dos cinco pontos do planejamento Calculamse então os efeitos de x1 x2 e sua interação substituindo as observações individuais yi nas equações 148 149 e 1410 pelas médias das n observações em cada ponto Após completados vários ciclos pode parecer que uma ou mais variáveis do processo ou sua interação tenham um efeito significante na variável resposta y Quando isso ocorre podese tomar uma decisão para mudar as condições básicas de operação a fim de melhorar o resultado do processo Quando condições melhoradas são detectadas dizse que foi completada uma fase OPEV Para testar a significância de variáveis e interações de um processo exigese uma estimativa do erro experimental Este cálculo se faz com base nos dados do ciclo Comparando a resposta no ponto central com os 2k pontos na porção fatorial podemos verificar a presença de curvatura na função resposta isto é se o processo está realmente centrado no máximo digamos então a resposta no centro deve ser significantemente maior do que as respostas nos 2k pontos periféricos Teoricamente podese aplicar a OPEV a um número arbitrário de variáveis do processo Na prática consideramse no máximo duas ou três variáveis de cada vez O Exemplo 145 mostra o procedimento para duas variáveis Box e Draper 1969 apresentam uma discussão do caso de três variáveis incluindo formulários e planilhas de cálculo necessários Cálculos de OPEV podem ser feitos facilmente em pacotes estatísticos para planejamentos fatoriais EXEMPLO 145 OPEV para Duas Variáveis Consideremos um processo químico cujo resultado é uma função da temperatura x1 e da pressão x2 As condições correntes de operação são x1 250F e x2 145 psi O procedimento OPEV utiliza o planejamento 22 mais o ponto central mostrado na Figura 1420 Completase o ciclo rodandose cada ponto do planejamento em ordem numérica 1 2 3 4 5 A Figura 1420 mostra os resultados no primeiro ciclo Estabeleça o procedimento OPEV FIGURA 1420 Planejamento 22 para o Exemplo 145 SOLUÇÃO Os resultados do primeiro ciclo são introduzidos na folha de cálculo OPEV exibida na Tabela 146 Ao fim do primeiro ciclo não se pode fazer nenhuma estimativa do desviopadrão O cálculo dos efeitos principais da temperatura e da pressão e sua interação figuram na metade inferior da Tabela 146 Procedese então a um segundo ciclo e os dados do resultado são introduzidos em outra folha de cálculo OPEV exibida na Tabela 147 Ao final do segundo ciclo podese estimar o erro experimental e comparar as estimativas dos efeitos com os limites aproximados de 95 dois desviospadrão Note que a amplitude se refere à amplitude das diferenças na linha iv assim a amplitude é 10 10 20 Como nenhum dos efeitos na Tabela 147 excede seus limites de erro o verdadeiro efeito é provavelmente zero não se cogitando nenhuma mudança nas condições de operação A Tabela 148 mostra os resultados de um terceiro ciclo O efeito da pressão agora excede seu limite de erro e o efeito da temperatura é igual ao limite de erro Justificase agora provavelmente uma alteração nas condições de operação À luz dos resultados parece razoável iniciarmos uma nova fase OPEV em torno do ponto 3 Assim x1 225F e x2 150 psi formariam o centro do planejamento 22 na segunda fase Um aspecto importante da OPEV consiste em levar a informação gerada de volta aos operadores e supervisores do processo Isso se faz com auxílio de um quadro de informações OPEV exibido proeminentemente A Tabela 149 mostra este quadro de informações para esse exemplo no fim do ciclo três TABELA 146 Folha de Cálculo OPEV Exemplo 145 n 1 TABELA 147 Folha de Cálculo OPEV Exemplo 145 n 2 TABELA 148 Folha de Cálculo OPEV Exemplo 145 n 3 TABELA 149 Quadro de Informação OPEV Ciclo Três Desviopadrão 058 TABELA 1410 Valores de fkn n 2 3 4 5 6 7 8 9 10 k 5 030 035 037 038 039 040 040 040 041 9 024 027 029 030 031 031 031 032 032 10 023 026 028 029 030 030 030 031 031 A maior parte dos valores na folha de cálculo OPEV decorre diretamente da análise do planejamento fatorial 2k Por exemplo a variância de qualquer efeito tal como é simplesmente em que σ2 é a variância das observações y Assim os limites de erro de dois desviospadrão correspondentes aproximadamente a 95 para qualquer efeito seriam A variância da mudança na média MNM é Assim os limites de erro de dois desviospadrão para a MNM são Para mais detalhes sobre o planejamento fatorial 2k consulte o Capítulo 13 e Montgomery 2009 Estimase o desviopadrão σ pelo método da amplitude Denotemos por yin a observação no io ponto do planejamento no ciclo n e por a média correspondente dos yin após n ciclos Os valores na linha iv da folha de cálculo OPEV são as diferenças A variância dessas diferenças é A amplitude das diferenças digamos RD está relacionada com a estimativa da distribuição das diferenças por Agora assim pode ser usada para se estimar o desviopadrão das observações em que k denota o número de pontos usados no planejamento Para um planejamento 22 com um ponto central temos k 5 e para um 23 com um ponto central temos k 9 Valores de fkn são dados na Tabela 1410 Termos e Conceitos Importantes Ciclo OPEV Estudo de robustez de processo Experimentação sequencial Fase OPEV Gráfico de contorno Método de inclinação máxima ascendente Metodologia de superfície de resposta MSR Modelo de primeira ordem Modelo de resposta Modelo de segunda ordem Operação evolutiva OPEV Planejamento composto central Planejamento de arranjo combinado Planejamento de arranjo cruzado Planejamento de arranjo externo Planejamento de arranjo interno Planejamento de parâmetro robusto PPR Planejamento rotacionável Serie de Taylor 141 142 143 a b 144 145 a b Superfície de resposta Trajetória de inclinação máxima ascendente Transmissão de erro Variável de ruído Exercícios Discuta por que um planejamento composto central seria quase sempre preferível a um planejamento fatorial 3k para o ajuste de um modelo de superfície de resposta de segunda ordem Algumas vezes experimentadores preferem usar um planejamento composto central esférico no qual a distância axial é em que k é o número de fatores do planejamento O planejamento esférico é semelhante ao planejamento rotacionável Há casos em que o planejamento esférico é também rotacionável Considere o modelo de primeira ordem 75 10x1 6x2 Esboce os contornos de resposta predita constante no intervalo 1 xi 1 i 1 2 Ache a direção da inclinação máxima ascendente Considere o modelo de primeira ordem 50 2x1 15x2 3x3 em que 1 xi 1 i 1 2 3 Ache a direção da inclinação máxima ascendente Um experimento é rodado para o estudo do efeito de dois fatores tempo e temperatura sobre os níveis de impureza orgânica na polpa de papel Os resultados desse experimento são exibidos na Tabela 14E1 TABELA 14E1 O Experimento para o Exercício 145 x1 x2 y 1 1 210 1 1 95 1 1 218 1 1 100 15 0 225 15 0 50 0 15 175 0 15 180 0 0 145 0 0 175 0 0 158 0 0 166 Qual tipo de planejamento experimental foi usado nesse estudo O planejamento é rotacionável Ajuste um modelo quadrático à resposta usando o método dos mínimos quadrados c d 146 a b 147 Construa a superfície de resposta ajustada para a impureza Que valores de x1 e x2você recomendaria se você quisesse minimizar o nível de impureza Suponha que em que a temperatura está em C e o tempo em horas Ache as condições de operação ótimas em termos das variáveis naturais temperatura e tempo Um modelo de superfície de resposta de segunda ordem em duas variáveis é Gere um gráfico de contorno bidimensional para esse modelo na região 2 xi 2 i 1 2 e selecione os valores de x1 e x2 que maximizam Ache as duas equações dadas por Mostre que a solução dessas equações para as condições ótimas x1 e x2 são as mesmas que aquelas encontradas graficamente na parte a Um artigo em Rubber Chemistry and Technology Vol 47 1974 pp 825836 descreve um experimento que estuda a relação entre a viscosidade Mooney da borracha e várias variáveis incluindo massa de sílica em partes por centena e massa de óleo em partes por centena Alguns dos dados desse experimento são mostrados na Tabela 14E2 em que TABELA 14E2 O Experimento da Viscosidade para o Exercício 147 Níveis Codificados x1 x2 y 1 1 1371 1 1 1415 1 1 1287 1 1 1353 14 0 1299 14 0 1389 0 14 1416 0 14 1290 0 0 1375 0 0 1366 0 0 1386 a b 148 a 0 0 1363 0 0 1374 Que tipo de planejamento experimental foi usado Ele é rotacionável Ajuste um modelo quadrático a esses dados Quais valores de x1 e x2 maximizarão a viscosidade Mooney Em seu livro Empirical Model Building and Response Surfaces John Wiley New York 1987 G E P Box e N R Draper descrevem um experimento com três fatores Os dados mostrados na Tabela 14E3 são uma variação do experimento original descrito na p 247 daquele livro Suponha que esses dados tenham sido coletados em um processo de fabricação de semicondutores A resposta y1 é a média das três leituras de resistividade para cada placa Ajuste um modelo quadrático a essa resposta TABELA 14E3 O Experimento para o Exercício 148 x1 x2 x3 y1 y2 1 1 1 2400 1249 0 1 1 12033 839 1 1 1 21367 4283 1 0 1 8600 346 0 0 1 13663 8041 1 0 1 34067 1617 1 1 1 11233 2757 0 1 1 25633 462 1 1 1 27167 2363 1 1 0 8100 000 0 1 0 10167 1767 1 1 0 35700 3291 1 0 0 17133 1501 0 0 0 37200 000 1 0 0 50167 9250 1 1 0 26400 6350 0 1 0 42700 8861 1 1 0 73067 2108 1 1 1 22067 13382 0 1 1 23967 2346 1 1 1 42200 1852 b c 149 a b c d e 1 0 1 19900 2944 0 0 1 48533 4467 1 0 1 67367 15821 1 1 1 17667 5551 0 1 1 50100 13894 1 1 1 101000 14245 A resposta y2 é o desviopadrão das três medidas de resistividade Ajuste um modelo de primeira ordem a essa resposta Onde você recomendaria fixaremse x1 x2 e x3 se o objetivo é a manutenção da resistividade média em 500 e minimização do desviopadrão Um artigo de J J Pignatiello Jr e J S Ramberg publicado no Journal of Quality Technology Vol 17 1985 pp 198 206 descreve o uso de um experimento fatorial fracionado replicado para a investigação do efeito de cinco fatores na altura livre de placas de molas usadas na indústria automotiva Os fatores são A temperatura do forno B tempo de aquecimento C tempo de transferência D tempo de compressão e E temperatura do óleo Os dados são mostrados na Tabela 14E4 Escreva a estrutura de aliases para esse planejamento Qual é a sua resolução Analise os dados Quais fatores influenciam a altura livre média Calcule a amplitude e o desviopadrão da altura livre para cada rodada Há alguma indicação de que algum desses fatores afete a variabilidade da altura livre Analise os resíduos desse experimento e comente os resultados Esse é o melhor planejamento possível para 5 fatores em 16 rodadas Especificamente você pode achar um planejamento fracionado para cinco fatores em 16 rodadas com resolução mais alta que esse TABELA 14E4 O Experimento da Mola para o Exercício 149 A B C D E 778 778 781 815 818 788 750 756 750 759 756 775 754 800 788 769 809 806 756 752 744 756 781 769 750 725 712 788 788 744 750 756 750 763 775 756 1410 1411 1412 732 744 744 756 769 762 718 718 725 781 750 759 Considere o experimento da placa de molas do Exercício 149 Suponha que o fator E temperatura do óleo seja de muito difícil controle durante a fabricação Queremos manter a altura média das molas tão próxima quanto possível de 750 com variabilidade mínima Quais seriam as especificações dos fatores A B C e D para a redução da variabilidade da altura livre tanto quanto possível independentemente da temperatura do óleo usada Considere o experimento da placa de molas do Exercício 149 Refaça o problema supondo que os fatores A B e C são de fácil controle mas não os fatores D e E Os dados mostrados na Tabela 14E5 foram coletados em um experimento para otimização do crescimento de cristal como função de três variáveis x1 x2 e x3 São desejáveis valores grandes de y em gramas Ajuste um modelo de segunda ordem e analise a superfície ajustada Sob quais condições se atinge o crescimento máximo TABELA 14E5 Experimento do Crescimento de Cristal para o Exercício 1412 x1 x2 x3 y 1 1 1 66 1 1 1 70 1 1 1 78 1 1 1 60 1 1 1 80 1 1 1 70 1 1 1 100 1 1 1 75 1682 0 0 65 1682 0 0 82 0 1682 0 68 0 1682 0 63 0 0 1682 100 0 0 1682 80 0 0 0 83 0 0 0 90 0 0 0 87 0 0 0 88 1413 a b 1414 0 0 0 91 0 0 0 85 Os dados na Tabela 14E6 foram coletados por um engenheiro químico A resposta y é o tempo de filtragem x1 é a temperatura e x2 é a pressão Ajuste um modelo de segunda ordem Quais condições de operação você recomendaria se o objetivo é a minimização do tempo de filtragem Quais condições de operação você recomendaria se o objetivo é a operação do processo em uma taxa de filtragem média próxima a 46 Reconsidere o experimento do crescimento de cristal no Exercício 1412 Suponha que x3 z seja agora uma variável de ruído e que o planejamento experimental modificado exibido na Tabela 14E7 tenha sido rodado Os pesquisadores querem a maior taxa de crescimento possível mas querem também que a variabilidade transmitida de z seja pequena Sob qual conjunto de condições o crescimento é maior que 90 com variabilidade mínima TABELA 14E6 Experimento do Processo Químico para o Exercício 1413 x1 x2 y 1 1 54 1 1 45 1 1 32 1 1 47 1414 0 50 1414 0 53 0 1414 47 0 1414 51 0 0 41 0 0 39 0 0 44 0 0 42 0 0 40 TABELA 14E7 Experimento do Crescimento de Cristal para o Exercício 1414 x1 x2 z y 1 1 1 66 1 1 1 70 1 1 1 78 1 1 1 60 1415 1 1 1 80 1 1 1 70 1 1 1 100 1 1 1 75 1682 0 0 65 1682 0 0 82 0 1682 0 68 0 1682 0 63 0 0 0 83 0 0 0 90 0 0 0 87 0 0 0 88 0 0 0 91 0 0 0 85 Um artigo em Quality Progress For Starbucks Its in the Bag março de 2011 pp 1823 descreve o uso de um planejamento composto central para melhorar o empacotamento de café de uma libra O objetivo é produzirse um selo de vácuo que seja fácil de ser aberto sem que o topo da embalagem seja danificada Os experimentadores estudaram três fatores x1 viscosidade plástica 300400 centipoise x2 pressão do grampo 170190 psi e x3 espaçamento da chapa 3 3 mm e duas respostas y1 rasgão e y2 vazamento A Tabela 14E8 mostra o planejamento TABELA 14E8 Experimento do Saco de Café para o Exercício 1415 Rodada Viscosidade Pressão Espaçamento das Chapas Rasgão Vazamento Central 350 180 0 0 015 Axial 350 170 0 0 05 Fatorial 319 186 18 045 015 Fatorial 380 174 18 085 005 Central 350 180 0 035 015 Axial 300 180 0 03 045 Axial 400 180 0 07 025 Axial 350 190 0 19 0 Central 350 180 0 025 005 Fatorial 319 186 18 01 035 a b c d e 1416 a b c d e 1417 a b c Fatorial 380 186 18 015 04 Axial 350 180 3 39 0 Fatorial 380 174 18 0 045 Central 350 180 0 055 02 Axial 350 180 3 0 1 Fatorial 319 174 18 005 02 Fatorial 319 174 18 04 025 Fatorial 380 186 18 43 005 Central 350 180 0 0 0 A resposta rasgão foi medida em uma escala de 0 a 9 bom para ruim e o vazamento era a proporção faltante Cada rodada usou uma amostra de 20 embalagens para a medição da resposta Construa um modelo de segunda ordem para a resposta rasgão Construa um modelo de segunda ordem para a resposta vazamento Analise os resíduos para ambos os modelos Transformações parecem necessárias para alguma das respostas Se for o caso reajuste o modelo na métrica transformada Construa gráficos da superfície de resposta e gráficos de contorno para ambas as respostas Forneça interpretações para as superfícies ajustadas Quais condições você recomendaria para operação do processo para minimização do vazamento e manutenção dos rasgos abaixo de 075 Box e Liu 1999 descrevem um experimento com helicópteros de papel que voam em que o objetivo é maximizar o tempo de voo Eles usaram o planejamento composto central mostrado na Tabela 14E9 Cada rodada envolveu um único helicóptero feita segundo as especificações x1 área da asa in2 1 1180 e 1 1300 x2 razão comprimento da asa para largura 1 225 e 1 278 x3 largura da base in 1 100 e 1 150 e x4 comprimento da base in 1 150 e 1 250 Cada helicóptero voou quatro vezes e o tempo médio de voo e o desviopadrão do tempo de voo foram registrados Ajuste um modelo de segunda ordem para a resposta tempo de voo médio Ajuste um modelo de segunda ordem ao desviopadrão da resposta tempo de voo Analise os resíduos para ambos os modelos a e b São necessárias transformações para as respostas Se for o caso ajuste modelos apropriados Qual planejamento você recomendaria para maximizar o tempo de voo Qual planejamento você recomendaria para maximizar o tempo de voo e simultaneamente minimizar o desvio padrão do tempo de voo Um artigo em Journal of Chromatography A Optimization of the Capillary Eletrophoresis Separation of Ranitidine and Related Compounds Vol 766 pp 245254 descreve um experimento para otimizar a produção de ranitidina um composto que é ingrediente ativo primário do Zantac um produto farmacêutico usado no tratamento de úlceras doença de refluxo gastroesofágico uma condição em que o fluxo de volta de ácido do estômago causa azia e dano ao esôfago e outras condições em que o estômago produz muito ácido tais com a síndrome de ZollingerEllison Os autores usaram três fatores x1 pH da solução tampão x2 voltagem da eletroforese e x3 concentração de um componente da solução tampão em um planejamento composto central A resposta é a função exponencial cromatográfica FEC que deve ser minimizada A Tabela 14E10 mostra o planejamento Ajuste um modelo de segunda ordem para a resposta FEC Analise os resíduos desse modelo Parece que todos os termos do modelo são necessários Reduza o modelo da parte a conforme necessário A redução do modelo melhora o ajuste A transformação da resposta FEC parece uma ideia útil Qual aspecto dos dados ou da análise de resíduos sugere que uma transformação seja útil d e 1418 Ajuste um modelo de segunda ordem à resposta FEC transformada Analise os resíduos desse modelo Parece que todos os termos do modelo são necessários O que você escolheria como modelo final Quais condições você recomendaria usar para a minimização de FEC Um artigo no Electronic Journal of Biotechnology Optimization of Medium Composition for Transglutaminase Production by a Brazilian Soil Streptomyces sp descreve o uso de experimentos planejados para melhorar o meio para células usado em uma nova fonte microbiana de transglutaminase MTGase uma enzima que catalisa uma reação de transferências de acila usando resíduos de glutamina ligada por peptídeos como doadores de acila e alguns aminos primários como receptores Reações catalisadas por MTGase podem ser usadas no processamento de alimentos O artigo descreve duas fases da experimentação varredura com um fatorial fracionado e otimização Usaremos apenas o experimento de otimização O planejamento foi um composto central em quatro fatores x1 KH2PO4 x2 MgSO47H2O x3 flores de soja e x4 peptona A atividade da MTGase é a resposta que deve ser maximizada A Tabela 14E11 contém o planejamento e os dados da resposta TABELA 14E9 O Experimento do Helicóptero de Papel Ordem Ordem da Rodada Área da Asa Razão da Asa Largura da Base Comprimento da Base Tempo de Voo Médio Desvio padrão do Tempo de Voo 1 9 1 1 1 1 367 0052 2 21 1 1 1 1 369 0052 3 14 1 1 1 1 374 0055 4 4 1 1 1 1 37 0062 5 2 1 1 1 1 372 0052 6 19 1 1 1 1 355 0065 7 22 1 1 1 1 397 0052 8 25 1 1 1 1 377 0098 9 27 1 1 1 1 35 0079 10 13 1 1 1 1 373 0072 11 20 1 1 1 1 358 0083 12 6 1 1 1 1 363 0132 13 12 1 1 1 1 344 0058 14 17 1 1 1 1 355 0049 15 26 1 1 1 1 37 0081 16 1 1 1 1 1 362 0051 17 8 2 0 0 0 361 0129 18 15 2 0 0 0 364 0085 19 7 0 2 0 0 355 01 a b c 1419 1420 20 5 0 2 0 0 373 0063 21 29 0 0 2 0 361 0051 22 28 0 0 2 0 36 0095 23 16 0 0 0 2 38 0049 24 18 0 0 0 2 36 0055 25 24 0 0 0 0 377 0032 26 10 0 0 0 0 375 0055 27 23 0 0 0 0 37 0072 28 11 0 0 0 0 368 0055 29 3 0 0 0 0 369 0078 30 30 0 0 0 0 366 0058 Ajuste um modelo de segunda ordem à resposta atividade da MTGase Analise os resíduos desse modelo Recomende condições de operação que maximizem a atividade da MTGase Considere o modelo de resposta na Equação 145 e a abordagem de transmissão de erro para achar o modelo da variância equação 147 Suponha que no modelo de resposta usemos Qual é o efeito da inclusão dos termos de interação entre as variáveis de ruído sobre o modelo da variância Considere o modelo de resposta na equação 145 Suponha que no modelo de resposta permitamos um modelo de segunda ordem completo nos fatores de ruído de modo que Qual é o efeito sobre o modelo da variância TABELA 14E10 O Experimento da Separação da Ranitidina Ordem x1 x2 x3 FEC 1 1 1 1 173 2 1 1 1 455 3 1 1 1 103 4 1 1 1 117571 5 1 1 1 16942 6 1 1 1 254 7 1 1 1 316972 8 1 1 1 120392 9 168 0 0 75 10 168 0 0 63 11 0 168 0 111 12 0 168 0 6664 13 0 0 168 165487 14 0 0 168 263518 15 0 0 0 99 16 0 0 0 96 17 0 0 0 89 18 0 0 0 88 19 0 0 0 8013 20 0 0 0 8059 TABELA 14E11 O Experimento de Otimização da MTGase para o Exercício 1418 Ordem x1 x2 x3 x4 Atividade MTGase 1 1 1 1 1 087 2 1 1 1 1 074 3 1 1 1 1 051 4 1 1 1 1 099 5 1 1 1 1 067 6 1 1 1 1 072 7 1 1 1 1 081 8 1 1 1 1 101 9 1 1 1 1 133 10 1 1 1 1 07 11 1 1 1 1 082 12 1 1 1 1 078 13 1 1 1 1 036 14 1 1 1 1 023 15 1 1 1 1 021 16 1 1 1 1 044 17 2 0 0 0 056 18 2 0 0 0 049 19 0 2 0 0 057 20 0 2 0 0 081 21 0 0 2 0 09 22 0 0 2 0 065 23 0 0 0 2 091 24 0 0 0 2 049 25 0 0 0 0 143 26 0 0 0 0 117 27 0 0 0 0 15 A inspeção de matériasprimas de produtos semiacabados ou acabados é um aspecto da garantia da qualidade Quando a inspeção tem por objetivo a aceitação ou rejeição de um produto com base na adequação a um padrão o tipo de procedimento de inspeção empregado é usualmente chamado de amostragem de aceitação Esta seção apresenta dois capítulos que tratam do planejamento e uso de planos esquemas e sistemas de amostragem O foco principal é a amostragem de aceitação lote a lote O Capítulo 15 apresenta planos de amostragem de aceitação lote a lote para atributos Incluída neste capítulo há uma discussão do MIL STD 105E e de seu análogo civil ANSIASQC Z14 Os planos de amostragem para variáveis são apresentados no Capítulo 16 incluindo o MIL STD 414 e seu análogo civil ANSIASQC Z19 juntamente com um resumo de vários tópicos adicionais úteis em amostragem de aceitação como planos de amostragem em cadeia planos de amostragem para produção contínua e planos de amostragem com omissão de lotes 151 1511 1512 1513 1514 1515 152 1521 1522 1523 1524 153 1531 1532 1533 154 1541 1542 1543 155 1551 1552 1553 MS151 MS152 1 2 3 4 5 6 ESQUEMA DO CAPÍTULO O PROBLEMA DA AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO Vantagens e Desvantagens da Amostragem Tipos de Planos de Amostragem Formação dos Lotes Amostragem Aleatória Diretrizes para o Uso da Amostragem de Aceitação PLANOS DE AMOSTRAGEM ÚNICA PARA ATRIBUTOS Definição de um Plano de Amostragem Única A Curva CO Elaboração de um Plano de Amostragem Única com uma Curva CO Especificada Inspeção de Retificação AMOSTRAGENS DUPLA MÚLTIPLA E SEQUENCIAL Planos de Amostragem Dupla Planos de Amostragem Múltipla Planos de Amostragem Sequencial PADRÃO MILITAR 105E ANSIASQC Z14 ISO 2859 Descrição do Padrão Procedimento Discussão OS PLANOS DE AMOSTRAGEM DODGEROMIG Planos LQSM Planos PADL Estimação da Média do Processo Material Suplementar para o Capítulo 15 Planejamento Amostral PADL para Conformidade de Lotes Consideração sobre Erro de Inspeção O material suplementar está disponível no site da Editora LTC mediante cadastro VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Este capítulo apresenta planos de amostragem de aceitação lote a lote para atributos Os tópicoschave incluem o planejamento e a operação de planos de amostragem única o uso da curva característica de operação e os conceitos de inspeção de retificação qualidade de saída média e inspeção total média Conceitos análogos são introduzidos brevemente para tipos de planos de amostragem em que se pode tomar mais do que uma amostra para se determinar a disposição de um lote amostragens dupla múltipla e sequencial São apresentados também dois sistemas de planos de amostragem padrão os planospadrão militares conhecidos como MIL STD 105E do inglês military standard e os planos DodgeRomig Esses planos são elaborados com base em filosofias diferentes o MIL STD 105E tem o foco no nível de qualidade aceitável enquanto os planos DodgeRomig são orientados em torno do percentual aceitável de defeituosos do lote ou da perspectiva limite da qualidade de saída média Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender o papel da amostragem de aceitação nos modernos sistemas de controle da qualidade Compreender as vantagens e desvantagens da amostragem Compreender a diferença entre planos de amostragem de atributos e de variáveis e os principais tipos de procedimento de amostragem de aceitação Conhecer como os planos de amostragem única dupla e sequencial são usados Compreender a importância da amostragem aleatória Saber como determinar a curva CO para um plano de amostragem única para atributos 7 8 9 10 11 151 1 2 3 1 2 3 4 5 6 1511 1 2 3 4 5 6 1 2 3 Compreender os efeitos dos parâmetros do plano de amostragem sobre o seu desempenho Saber como projetar planos de amostragem única dupla e sequencial para atributos Saber como é usada a inspeção de retificação Compreender a estrutura e o uso do planejamento do MIL STD 105E e seu correspondente civil Compreender a estrutura e o uso do sistema de planejamentos amostrais DodgeRomig O Problema da Amostragem de Aceitação Como observamos no Capítulo 1 a amostragem de aceitação diz respeito à inspeção e à tomada de decisão em relação aos produtos um dos mais antigos aspectos da garantia da qualidade Nas décadas de 1930 e 1940 a amostragem de aceitação foi um dos principais componentes do campo do controle estatístico da qualidade e foi usada principalmente para inspeção de entrada ou de recebimento Em anos mais recentes tornouse típico o trabalho com os fornecedores no sentido de melhorarem o desempenho de seus processos através do uso do CEP e de experimentos planejados e não se confiar tanto na amostragem de aceitação como ferramenta principal na garantia da qualidade Uma aplicação típica da amostragem de aceitação é a seguinte uma companhia recebe um carregamento de um produto de um fornecedor Esse produto é em geral um componente ou uma matériaprima usado no processo de produção da companhia Tomase uma amostra de um lote e inspecionase alguma característica da qualidade das unidades na amostra Com base na informação dessa amostra tomase uma decisão em relação à disposição do lote Usualmente essa decisão é a aceitação ou rejeição do lote Algumas vezes nos referimos a essa decisão como sentenciamento do lote Os lotes aceitos são colocados em produção os lotes rejeitados devem retornar ao fornecedor ou devem passar por alguma outra ação de disposição do lote Embora seja comum considerarse a amostragem de aceitação como uma atividade de inspeção de recebimento há outros usos dos métodos de amostragem Por exemplo frequentemente um fabricante tirará amostras e inspecionará seu próprio produto em vários estágios da produção Os lotes aceitos são enviados para processamento posterior e os lotes rejeitados são retrabalhados ou sucateados Três aspectos da amostragem são importantes O objetivo da amostragem de aceitação é decidir sobre o lote e não estimar sua qualidade A maioria dos planos de amostragem de aceitação não é feita com objetivo de estimação Os planos de amostragem de aceitação não fornecem qualquer forma direta de controle da qualidade A amostragem de aceitação simplesmente aceita ou rejeita lotes Mesmo que todos os lotes tenham a mesma qualidade a amostragem aceitará alguns lotes e rejeitará outros sendo que os lotes aceitos não são melhores do que os rejeitados Controles de processo são usados para controlar e sistematicamente melhorar a qualidade o que não ocorre com a amostragem de aceitação O uso mais eficaz da amostragem de aceitação não é inspecionar a qualidade no produto mas antes servir de ferramenta de verificação para garantir que a saída do processo esteja de acordo com as especificações Em geral há três abordagens para a decisão sobre lotes 1 aceitar sem inspeção 2 inspeção 100 isto é inspecionar todos os itens do lote removendo todas as unidades defeituosas1 encontradas defeituosos devem ser devolvidos ao fornecedor retrabalhados substituídos por itens perfeitos conhecidos ou descartados e 3 amostragem de aceitação A alternativa de não inspeção é útil em situações em que ou o processo do fornecedor é tão bom que quase nunca se encontram peças defeituosas ou quando não há justificativa econômica para a procura de unidades defeituosas Por exemplo se a razão de capacidade do processo do fornecedor é de 3 ou 4 é provável que a amostragem de aceitação não descubra qualquer unidade defeituosa Usamos a inspeção 100 em geral em situações em que o componente é extremamente crítico e a passagem de quaisquer defeituosos resultará em um custo de falha inaceitavelmente alto em estágios subsequentes ou quando a capacidade do processo do fornecedor é inadequada para atender às especificações A amostragem de aceitação é mais útil provavelmente nas seguintes situações Quando o teste for destrutivo Quando o custo da inspeção 100 for muito alto Quando a inspeção 100 não for tecnologicamente factível ou demandar muito tempo de modo a ocasionar um sério impacto no cronograma de produção Quando houver muitos itens a serem inspecionados e a taxa de erro de inspeção for muito alta de modo que a inspeção 100 possa ocasionar a não detecção de uma porcentagem maior de unidades defeituosas do que ocorreria com o uso de um plano de amostragem Quando o fornecedor tiver uma excelente história de qualidade e desejarse alguma redução na inspeção 100 mas a capacidade do processo do fornecedor for suficientemente baixa de modo a tornar a ausência de inspeção uma alternativa inaceitável Quando houver sérios riscos potenciais para a credibilidade do produto e embora sendo satisfatório o processo do fornecedor for necessário um programa para monitoramento contínuo do produto Vantagens e Desvantagens da Amostragem Quando contraposta à inspeção 100 a amostragem de aceitação tem as seguintes vantagens Usualmente é menos dispendiosa pois há menos inspeção Há menos manuseio do produto logo menos avarias Aplicase a testes destrutivos Menos pessoas são envolvidas nas atividades de inspeção Em geral reduz enormemente a quantidade de erros de inspeção A rejeição de lotes inteiros em lugar do simples retorno de defeituosos em geral fornece uma motivação mais forte ao fornecedor em relação a melhorias na qualidade A amostragem de aceitação no entanto tem várias desvantagens que incluem as seguintes Há risco de aceitação de lotes ruins e rejeição de lotes bons Em geral gerase menos informação sobre o produto ou sobre seu processo de manufatura A amostragem de aceitação exige planejamento e documentação do procedimento de amostragem ao contrário da inspeção 100 Embora este último ponto seja em geral mencionado como uma desvantagem da amostragem de aceitação a elaboração adequada de um plano de amostragem de aceitação requer quase sempre estudo dos níveis reais de qualidade exigidos pelo consumidor Esse conhecimento é uma entrada útil no planejamento global da qualidade e no processo de engenharia Assim em muitas aplicações esse ponto pode não ser uma desvantagem significativa Mostramos que a amostragem de aceitação é um meio caminho entre os extremos de inspeção 100 e nenhuma inspeção Em geral ela oferece uma metodologia para nos movermos entre esses extremos na medida em que se obtém informação suficiente sobre o controle do processo de manufatura do produto Embora não haja controle direto da qualidade na aplicação de um plano de amostragem de aceitação a um lote isolado ela se torna um meio de 1512 1513 1 2 3 1514 proteção tanto para o fabricante quanto para o consumidor do lote quando aplicada a uma sequência de lotes de um fornecedor Ela fornece também um acúmulo de história da qualidade em relação ao processo que produz o lote e pode gerar retroação que é útil no controle do processo tal como a determinação de quando o controle do processo na instalação do fornecedor não está adequado Finalmente pode fazer pressão econômica ou psicológica sobre o fornecedor para melhorar o processo de produção Tipos de Planos de Amostragem Há várias maneiras diferentes de se classificarem os planos de amostragem de aceitação Uma classificação importante é por atributos e variáveis Variáveis naturalmente são características da qualidade que são medidas em uma escala numérica Atributos são características da qualidade que são expressas em base passa não passa Este capítulo trata de planos de amostragem de aceitação lote a lote para atributos Os planos de amostragem para variáveis são objeto do Capítulo 16 juntamente com uma breve discussão de vários procedimentos especiais de amostragem de aceitação Um plano de amostragem única é um procedimento de sentenciamento do lote no qual se seleciona aleatoriamente uma amostra de n unidades do lote e o destino do lote é determinado com base na informação contida nessa amostra Por exemplo um plano de amostragem única para atributos consistiria em um tamanho de amostra n e em um número de aceitação c O procedimento seria como segue selecione aleatoriamente n itens do lote Se há c ou menos defeituosos na amostra aceite o lote e se há mais de c itens defeituosos na amostra rejeite o lote Examinaremos extensamente esse tipo de planejamento amostral na Seção 152 Planos de amostragem dupla de alguma forma são mais complicados Em seguida a uma amostra inicial tomase uma decisão com base na informação daquela amostra para ou 1 aceitarse o lote 2 rejeitarse o lote ou 3 extrairse uma segunda amostra Se uma segunda amostra for extraída as informações tanto da primeira quanto da segunda amostra serão combinadas para se chegar a uma decisão sobre a aceitação ou não do lote Os planos de amostragem dupla são discutidos na Seção 153 Um plano de amostragem múltipla é uma extensão do conceito de amostragem dupla apenas são necessárias mais do que duas amostras para se chegar a uma decisão sobre o destino do lote Alguns tamanhos de amostras na amostragem múltipla são em geral menores do que nas amostragens simples e dupla A extensão final da amostragem múltipla é a amostragem sequencial na qual as unidades são selecionadas do lote uma de cada vez e em seguida à inspeção de cada unidade uma decisão é tomada no sentido de aceitar o lote rejeitálo ou selecionar outra unidade Os planejamentos de amostragens múltipla e sequencial são também discutidos na Seção 153 Os planos de amostragens única dupla múltipla e sequencial podem ser feitos de modo a produzirem resultados equivalentes Isto é esses procedimentos podem ser planejados de modo que um lote com determinada qualidade tenha exatamente a mesma probabilidade de aceitação em qualquer um dos quatro tipos de planejamento amostral Consequentemente ao se selecionar o tipo de procedimento amostral devemse considerar fatores como eficiência administrativa o tipo de informação produzida pelo plano a quantidade média de inspeção exigida pelo procedimento e o impacto que determinado procedimento pode ter sobre o fluxo do material na organização da manufatura Esses aspectos são discutidos com mais detalhes na Seção 153 Formação dos Lotes A maneira como o lote é formado pode influenciar a eficiência do plano de amostragem de aceitação Há várias considerações importantes em relação à formação dos lotes para inspeção Algumas delas são Os lotes devem ser homogêneos As unidades no lote devem ser produzidas pelas mesmas máquinas pelos mesmos operadores e com matériasprimas comuns aproximadamente ao mesmo tempo Quando os lotes não são homogêneos tal como quando as saídas de duas linhas de produção diferentes são misturadas o esquema de amostragem de aceitação pode não funcionar tão eficientemente como deveria Também lotes não homogêneos tornam mais difícil a implementação de ações corretivas para eliminação da fonte de produtos defeituosos Lotes maiores são preferíveis a lotes menores Em geral é mais eficiente economicamente a inspeção de lotes grandes do que de pequenos lotes Os lotes devem se sujeitar aos sistemas de manuseio de materiais das instalações do fornecedor e do consumidor Além disso os itens nos lotes devem ser embalados de modo a minimizaremse os riscos no manuseio e no embarque tornando relativamente fácil a seleção das unidades da amostra Amostragem Aleatória As unidades de um lote selecionadas para inspeção devem ser escolhidas aleatoriamente e devem ser representativas de todos os itens do lote O conceito de amostragem aleatória é extremamente importante na amostragem de aceitação A menos que sejam usadas amostras aleatórias será introduzido algum viés Por exemplo o vendedor pode garantir que as unidades embaladas no topo do lote sejam de excelente qualidade sabendo que o inspetor selecionará a amostra na camada superior do lote O exame de um lote feito dessa maneira não é prática comum mas se ocorre e são usados métodos de amostragem não aleatória destróise a eficiência do processo de inspeção Em geral a técnica sugerida para extração de uma amostra aleatória é primeiro dar um número a cada item do lote Extraemse então n números aleatórios em que a variação desses números é de 1 até o número máximo de unidades no lote Essa sequência de números aleatórios determina quais unidades no lote constituirão a amostra Se os produtos têm números de série ou outro número de código esses podem ser usados para evitarse o processo de dar um número a cada unidade Outra possibilidade seria o uso de um número aleatório de três dígitos para representar o comprimento a largura e a profundidade em um contêiner Em situações em que não podemos associar um número a cada unidade utilizar números de série ou código ou determinar aleatoriamente a localização da unidade amostral alguma outra técnica deve ser empregada para garantir que a amostra seja aleatória ou representativa Algumas vezes o inspetor pode estratificar o lote dividindoo em estratos ou camadas e subdividindo então cada estrato em cubos conforme mostra a Figura 151 Selecionamse então as unidades em cada cubo Embora essa estratificação do lote seja em geral uma atividade imaginária feita pelo inspetor e não garanta necessariamente amostras aleatórias garante pelo menos que as unidades sejam selecionadas em todas as partes do lote 1515 152 1521 FIGURA 151 Estratificação de um lote Não podemos superenfatizar a importância da amostragem aleatória Se forem usados métodos de julgamento para a seleção da amostra perdese a base estatística do procedimento da amostragem de aceitação Diretrizes para o Uso da Amostragem de Aceitação Um plano de amostragem de aceitação é o estabelecimento de um tamanho de amostra a ser usado e dos critérios associados de aceitação ou rejeição para o sentenciamento de lotes individuais Definese um esquema de amostragem como um conjunto de procedimentos consistindo em planos de amostragem de aceitação nos quais os tamanhos dos lotes os tamanhos das amostras e os critérios para aceitação ou rejeição juntamente com a quantidade de inspeção 100 e por amostragem estejam relatados Finalmente um sistema de amostragem é uma coleção unificada de um ou mais esquemas de amostragem de aceitação Neste capítulo veremos exemplos de planos esquemas e sistemas de amostragem Os tipos principais de procedimentos de amostragem de aceitação e suas aplicações são mostrados na Tabela 151 Em geral a escolha de um procedimento de amostragem de aceitação depende tanto do objetivo quanto da história da organização cujo produto está sendo objeto da amostra Além disso a aplicação de uma metodologia de amostragem não é estática isto é há uma evolução natural de um para outro nível de esforço de amostragem Por exemplo se estamos tratando com um fornecedor que tem uma excelente história de qualidade podemos começar com um plano de amostragem de atributos Na medida em que cresce nossa experiência com o fornecedor e sua reputação de boa qualidade se comprova pelos resultados de nossas atividades de amostragem podemos passar a um procedimento de amostragem que exija menos inspeção tal como amostragem com omissão de lotes Finalmente após extensa experiência com o fornecedor e se a capacidade de seu processo é extremamente boa podemos eliminar todas as atividades de amostragem de aceitação do produto Em outra situação em que temos pouco conhecimento dos esforços de garantia da qualidade do fornecedor ou pouca experiência com esses esforços devemos começar com a amostragem de atributos usando um plano que nos garanta que a qualidade de lotes aceitos não seja pior do que um valoralvo especificado Se esse se revela um plano de sucesso e se o desempenho do fornecedor é satisfatório podemos passar da inspeção de atributos para variáveis particularmente na medida em que aprendemos mais sobre a natureza do processo do fornecedor Finalmente devemos usar as informações coletadas pelos planos de amostragem de variáveis juntamente com esforços diretos no local de produção do fornecedor para ajudar na instalação de controles de processo Um programa bemsucedido de controle de processo no nível do fornecedor pode melhorar a capacidade do seu processo a ponto de tornar possível uma interrupção da inspeção Esses exemplos ilustram que existe um ciclo de vida de aplicação das técnicas de amostragem de aceitação Isso se refletiu também no diagrama de fase Figura 17 que apresentou a porcentagem de aplicação de várias técnicas de garantia da qualidade como uma função da maturidade da organização da empresa Tipicamente vemos que as organizações com esforços de garantia da qualidade relativamente novos depositam grande quantidade de confiança na amostragem de aceitação Na medida em que aumenta sua maturidade e se desenvolve a organização da qualidade elas começam a depender menos da amostragem de aceitação e mais do controle estatístico do processo e do planejamento experimental TABELA 151 Procedimentos de Amostragem de Aceitação Objetivo Procedimento para Atributos Procedimento para Variáveis Assegurar níveis de qualidade para consumidorfabricante Selecionar plano para curva CO específica Selecionar plano para curva CO específica Manter a qualidade em um alvo Sistema NQA MIL STD 105E ANSIASQC Z14 Sistema NQA MIL STD 414 ANSIASQC Z19 Assegurar nível de qualidade de saída médio Sistema LQSM planos DodgeRomig Sistema LQSM Reduzir inspeção com tamanhos de amostra pequenos história de boa qualidade Amostragem em cadeia Limite estreito de garantia Reduzir inspeção após história de boa qualidade Amostragem com omissão de lotes amostragem dupla Amostragem com omissão de lotes amostragem dupla Assegurar qualidade não pior do que o alvo Plano PADL planos DodgeRomig Plano PADL teste de hipóteses Os fabricantes tentam melhorar a qualidade de seus produtos pela redução do número de fornecedores dos quais compram seus componentes e pelo trabalho mais próximo com aqueles fornecedores que mantêm Uma vez mais a ferramentachave nesse esforço para melhorar a qualidade é o controle estatístico do processo A amostragem de aceitação pode ser um ingrediente importante de qualquer programa de garantia da qualidade no entanto lembrese de que essa é uma atividade que você deve evitar fazer É muito mais proveitoso usar monitoramento do processo com base estatística no estágio apropriado do processo de produção Os métodos de amostragem podem em alguns casos ser uma ferramenta que você use no caminho em direção ao objetivo final Planos de Amostragem Única para Atributos Definição de um Plano de Amostragem Única Suponha que um lote de tamanho N tenha sido submetido a inspeção Um plano de amostragem única é definido pelo tamanho amostral n e pelo número de aceitação c Assim se o tamanho do lote for N 10000 então o plano amostral n 89 c 2 significa que de um lote de tamanho 10000 inspecionase uma amostra aleatória de n 89 unidades observandose o número d de itens não conformes ou defeituosos Se o número de defeituosos observado d for menor do que ou igual a c 2 o lote será aceito Se o número de defeituosos observado d for maior do que 2 o lote será rejeitado Como a característica da qualidade inspecionada é um atributo cada unidade na amostra é classificada como conforme ou não 1522 conforme Um ou mais atributos podem ser inspecionados na mesma amostra em geral uma unidade que é não conforme com as especificações em relação a um ou mais atributos é considerada uma unidade defeituosa Esse procedimento é chamado um plano de amostragem única porque o lote é sentenciado com base na informação contida em uma única amostra de tamanho n A Curva CO Uma medida importante do desempenho de um plano de amostragem de aceitação é a curva característica de operação CO Essa curva plota a probabilidade de aceitação do lote versus a fração de defeituosos do lote Assim a curva CO mostra o poder discriminatório do plano amostral Isto é ela mostra a probabilidade de que um lote com certa fração de defeituosos seja aceito ou rejeitado A curva CO do plano amostral n 89 c 2 é mostrada na Figura 152 É fácil demonstrar como foram obtidos os pontos sobre essa curva Suponha que o tamanho do lote N seja grande teoricamente infinito Com essa condição a distribuição do número de defeituosos d em uma amostra aleatória de n itens é binomial com parâmetros n e p em que p é a fração de itens defeituosos no lote Uma maneira equivalente de se conceituar isso é através da extração aleatória de lotes de N itens de um processo teoricamente infinito e então extração de amostras aleatórias de tamanho n desses lotes A amostragem a partir do lote dessa maneira é equivalente à amostragem direta do processo A probabilidade de se observarem exatamente d defeituosos é FIGURA 152 Curva CO do plano de amostragem única n 89 c 2 A probabilidade de aceitação é simplesmente a probabilidade de que d seja menor do que ou igual a c ou Por exemplo se a fração de defeituosos do lote for p 001 n 89 e c 2 então A curva CO é desenvolvida pela avaliação da equação 152 para vários valores de p A Tabela 152 mostra os valores calculados de vários pontos da curva A curva CO mostra o poder discriminatório do plano amostral Por exemplo no plano amostral n 89 c 2 se os lotes forem 2 defeituosos a probabilidade de aceitação é de aproximadamente 074 Isso significa que se 100 lotes de um processo que fabrica 2 de produtos defeituosos forem submetidos ao plano de amostragem esperamos aceitar 74 dos lotes e rejeitar 26 deles Efeito de n e c sobre as Curvas CO Um plano de amostragem que discrimina perfeitamente entre lotes bons e ruins teria uma curva CO como a mostrada na Figura153 A curva CO corre horizontalmente com uma probabilidade de aceitação Pa 100 até atingir um nível de qualidade do lote considerado ruim nesse ponto a curva cai verticalmente para uma probabilidade de aceitação Pa 000 e então corre de novo horizontalmente para todas as frações de defeituosos dos lotes maiores do que o nível não desejado Se tal plano de amostragem pudesse ser empregado todos os lotes de má qualidade seriam rejeitados e todos os lotes de boa qualidade seriam aceitos TABELA 152 Probabilidades de Aceitação para o Plano de Amostragem Única n 89 c 2 Fração de Defeituosos p Probabilidade de Aceitação Pa 0005 09897 0010 09397 0020 07366 0030 04985 0040 03042 0050 01721 0060 00919 0070 00468 0080 00230 0090 00109 FIGURA 153 Curva CO ideal FIGURA 154 Curvas CO para diferentes tamanhos amostrais FIGURA 155 O efeito da mudança do número de aceitação sobre a curva CO Infelizmente a curva CO ideal da Figura 153 quase nunca pode ser obtida na prática Na teoria poderia ser obtida pela inspeção 100 se esta fosse livre de erro A forma da curva CO ideal pode no entanto ser aproximada aumentandose o tamanho da amostra A Figura 154 mostra que a curva CO se torna mais parecida com a forma da curva CO ideal na medida em que se aumenta o tamanho da amostra Note que o número de aceitação c é mantido proporcional a n Assim a precisão com que o plano amostral diferencia entre lotes bons e ruins aumenta com o tamanho da amostra Quanto maior a inclinação da curva CO maior é o poder discriminatório A Figura 155 mostra como a curva CO muda com a mudança do número de aceitação Em geral a mudança do número de aceitação não altera drasticamente a inclinação da curva CO Na medida em que decresce o número de aceitação a curva CO é arrastada para a esquerda Os planos com menores valores de c fornecem discriminação a níveis mais baixos da fração de defeituosos do lote do que planos com maiores valores de c Pontos Específicos sobre a Curva CO Frequentemente o interesse do engenheiro da qualidade se concentra em certos pontos da curva CO O fornecedor ou consumidor está em geral interessado em saber qual nível de qualidade do lote ou processo resultaria em uma maior probabilidade de aceitação Por exemplo o fornecedor poderia estar interessado no ponto 095 de probabilidade de aceitação Isso indicaria o nível de falhas que o processo poderia ter e ainda existir uma chance de 95 de os lotes serem aceitos No caso oposto o consumidor poderia estar interessado no outro extremo da curva CO Isto é qual nível da qualidade do lote ou do processo resultaria em baixa probabilidade de aceitação Um consumidor estabelece em geral um plano de amostragem para um suprimento contínuo de componentes ou matériaprima em relação a um nível de qualidade aceitável ou NQA O NQA representa o nível de qualidade mais baixo para o processo do fornecedor que o consumidor consideraria aceitável como uma média do processo Note que o NQA é uma propriedade do processo de manufatura do fornecedor não é uma propriedade do plano amostral O consumidor geralmente planejará o procedimento de amostragem de modo que a curva CO dê uma alta probabilidade de aceitação no NQA Além disso o NQA não tem usualmente o objetivo de ser uma especificação do produto nem é um valoralvo para o processo de produção do vendedor Ele é simplesmente um padrão em relação ao qual julgar os lotes Esperase que o processo do vendedor opere em um nível de falhas consideravelmente melhor do que o NQA O consumidor estará também interessado no outro extremo da curva CO isto é na proteção que se obtém para lotes individuais de baixa qualidade Em tal situação o consumidor pode estabelecer um percentual aceitável de defeituosos do lote PADL O PADL é o mais baixo nível de qualidade que o consumidor está disposto a aceitar em um lote individual Note que o percentual aceitável de defeituosos do lote não é uma característica do planejamento amostral mas é um nível da qualidade do lote especificado pelo consumidor Nomes alternativos para o PADL são nível de qualidade rejeitável NQR e nível limite de qualidade NLQ É possível estabeleceremse planos de amostragem de aceitação que deem probabilidades de aceitação especificadas no ponto PADL Subsequentemente veremos como estabelecer planos de amostragem que têm desempenho especificado nos pontos NQA e PADL Curvas CO Tipo A e Tipo B As curvas CO que foram construídas nos exemplos anteriores são chamadas de curvas CO tipo B Na construção da curva CO supôsse que as amostras viessem de um grande lote ou que estivéssemos fazendo a amostragem a partir de uma sequência de lotes selecionados aleatoriamente de um processo Nessa situação a distribuição binomial é a distribuição de probabilidade exata para se calcular a probabilidade de aceitação do lote Tal curva CO é conhecida como curva CO tipo B A curva CO tipo A é usada para o cálculo de probabilidades de aceitação para um lote isolado de tamanho finito Suponha que o tamanho do lote seja N o tamanho da amostra seja n e o número de aceitação seja c A distribuição amostral exata do número de itens defeituosos na amostra é a distribuição hipergeométrica FIGURA 156 Curvas CO tipo A e tipo B A Figura 156 mostra uma curva CO tipo A para um plano de amostragem única com n 50 c 1 em que o tamanho do lote é N 500 As probabilidades de aceitação que definem a curva CO foram calculadas usandose a distribuição hipergeométrica Nesse gráfico mostrase também a curva CO tipo A para N 2000 n 500 e c 1 Note que as duas curvas CO são muito semelhantes Geralmente na medida em que o tamanho do lote aumenta este tem um impacto decrescente sobre a curva CO De fato se o tamanho do lote for pelo menos 10 vezes o tamanho da amostra nN 010 as curvas CO tipo A e tipo B serão praticamente indistinguíveis Como uma ilustração a Figura 156 mostra também a curva CO tipo B para o plano amostral n 50 c 1 Note que ela é idêntica à curva CO tipo A com base em um tamanho de lote N 2000 A curva CO tipo A estará sempre abaixo da curva CO tipo B Isto é se uma curva CO tipo B for usada como uma aproximação para uma curva CO tipo A as probabilidades de aceitação calculadas para a curva tipo B serão sempre maiores do que seriam se uma curva tipo A tivesse sido usada No entanto essa diferença é significativa apenas quando o tamanho do lote é pequeno em relação ao tamanho da amostra A menos que se diga o contrário toda discussão sobre curvas CO nesse texto é feita em termos da curva CO tipo B Outros Aspectos do Comportamento de Curvas CO Duas abordagens para o estabelecimento de planos de amostragem que encontramos na prática têm certas implicações para o comportamento da curva CO Como nem todas essas implicações são positivas vale a pena uma menção rápida a essas duas abordagens para o estabelecimento do plano amostral Essas abordagens são o uso dos planos amostrais com zero como número de aceitação c 0 e o uso de tamanhos de amostra que são um percentual fixo do tamanho do lote A Figura 157 mostra várias curvas CO para planejamentos de amostragem de aceitação com c 0 Comparando a Figura 157 com a Figura 155 vêse facilmente que os planos com números de aceitação zero têm curvas CO com a forma bem diferente das curvas CO de planos amostrais para os quais c 0 Em geral os planos amostrais com c 0 têm curvas CO que são convexas em todo seu domínio Como resultado dessa forma a probabilidade de aceitação começa a cair muito rapidamente mesmo para pequenos valores da fração de defeituosos do lote Isso é muito ruim para o fornecedor e em algumas circunstâncias pode ser extremamente antieconômico para o consumidor Por exemplo considere os planos amostrais na Figura 155 Suponha que o nível de qualidade aceitável seja 1 Isso implica que gostaríamos de aceitar lotes que fossem 1 defeituosos ou melhores Note que se o plano amostral n 89 c 1 for usado a probabilidade de aceitação do lote no NQA é de cerca de 078 Por outro lado se for usado o planejamento n 89 c 0 a probabilidade de aceitação do lote no NQA é de aproximadamente 041 Isto é aproximadamente 60 dos lotes no nível NQA serão rejeitados se usarmos um número de aceitação zero Se os lotes rejeitados forem devolvidos ao fornecedor então um grande número de lotes será devolvido desnecessariamente criandose talvez atrasos no local de produção do consumidor Se o consumidor fizer uma varredura ou inspeção 100 de todos os lotes rejeitados um grande número de lotes de qualidade aceitável será examinado Isto é na melhor das hipóteses um uso ineficiente dos recursos da amostragem No Capítulo 16 sugerimos uma abordagem alternativa para o uso de números de aceitação zero chamada de planos de amostragem em cadeia Sob certas circunstâncias a amostragem em cadeia funciona consideravelmente melhor do que os planos de amostragem de aceitação com c 0 Consulte também a Seção MS151 do material suplementar para uma discussão sobre planejamento amostral para conformidade de lotes outra técnica que utiliza número de aceitação zero 1523 FIGURA 157 Curvas CO para planos de amostragem única com c 0 FIGURA 158 Curvas CO para planos de amostragem em que o tamanho n da amostra é 10 do tamanho do lote A Figura 158 apresenta curvas CO para planos amostrais nos quais o tamanho da amostra é um percentual fixo do tamanho do lote A principal desvantagem dessa abordagem é que tamanhos diferentes de amostras oferecem níveis diferentes de proteção É ilógico que o nível de proteção de que o consumidor desfruta em relação a uma parte ou componente crítico varie quando o tamanho do lote varia Embora os procedimentos de amostragem tais como esse estivessem em largo uso antes que os princípios estatísticos de amostragem de aceitação fossem do conhecimento geral seu uso infelizmente não desapareceu completamente Elaboração de um Plano de Amostragem Única com uma Curva CO Especificada Uma abordagem comum para o estabelecimento de um plano de amostragem de aceitação é exigirse que a curva CO passe por dois pontos designados Note que um ponto não é suficiente para a especificação completa do plano amostral no entanto dois pontos o são Em geral não importam quais são os dois pontos especificados Suponha que desejemos construir um plano amostral tal que a probabilidade de aceitação seja 1 α para lotes com fração de defeituosos p1 e que a probabilidade de aceitação seja β para lotes com fração de defeituosos p2 Supondo que a amostragem binomial com curvas CO tipo B seja apropriada vemos que o tamanho da amostra n e o número de aceitação c são soluções de A equação 153 foi obtida escrevendose os dois pontos sobre a curva CO usandose a distribuição binomial As duas equações simultâneas na equação 153 são não lineares e não há solução simples direta O nomograma na Figura 159 pode ser usado para a resolução dessas equações O procedimento para o uso do nomograma é muito simples Traçamse duas retas no nomograma uma ligando p1 a 1 α e a outra ligando p2 e β A interseção dessas duas retas dá a região do nomograma na qual se localiza o plano amostral desejado Para ilustrar o uso do nomograma suponha que desejemos construir um plano amostral para o qual p1 001 α 005 p2 006 e β 010 A localização da interseção das retas que ligam p1 001 1 α 095 e p2 006 β 010 no nomograma indica que o planejamento n 89 c 2 passa muito próximo desses dois pontos sobre a curva CO Obviamente como n e c devem ser inteiros esse procedimento resultará realmente em muitos planos que têm curvas CO que passam perto dos pontos desejados Por exemplo se seguimos a primeira reta até a linha c exatamente acima do ponto de interseção ou até a linha c exatamente abaixo dele e os tamanhos alternativos das amostras são lidos do gráfico produziremos dois planos que passam quase exatamente pelo ponto p1 1 α mas que podem desviar um pouco do ponto p2 β Podese seguir procedimento análogo com a reta p2 β O resultado de seguir ambas essas retas seriam quatro planejamentos que passam aproximadamente pelos dois pontos especificados sobre a curva CO Além do procedimento gráfico que descrevemos para o estabelecimento de planos amostrais com curvas CO especificadas também estão disponíveis procedimentos tabulares com o mesmo objetivo Duncan 1986 dá uma boa descrição dessas técnicas 1524 1 2 FIGURA 159 Nomograma binomial Embora quaisquer dois pontos sobre a curva CO possam ser usados para se definir o plano amostral é comum em muitas indústrias o uso dos pontos NQA e PADL para esse propósito Quando os níveis especificados da qualidade do lote são p1 NQA e p2 PADL os pontos correspondentes na curva CO são usualmente chamados de ponto de risco do produtor e ponto de risco do consumidor respectivamente Assim α seria chamado o risco do produtor e β seria chamado o risco do consumidor Inspeção de Retificação Os programas de amostragem de aceitação usualmente exigem ação corretiva quando lotes são rejeitados Isso geralmente toma a forma de uma inspeção ou varredura 100 dos lotes rejeitados em que todos os itens defeituosos descobertos ou são removidos para reparo subsequente ou são devolvidos ao fornecedor ou substituídos por itens de um estoque reconhecidamente de itens bons Tais programas de amostragem são chamados de programas de inspeção de retificação porque a atividade de inspeção afeta a qualidade final do produto de saída A Figura 1510 ilustra isso Suponha que os lotes que chegam para a atividade de inspeção tenham fração de defeituosos p0 Alguns desses lotes serão aceitos e outros serão rejeitados Os lotes rejeitados sofrerão uma varredura e sua fração de defeituosos final será zero No entanto os lotes aceitos têm fração de defeituosos p0 Consequentemente os lotes que saem da atividade de inspeção são uma mistura de lotes com fração de defeituosos p0 e fração de defeituosos zero de modo que a fração média de defeituosos no conjunto dos lotes que saem é p1 que é menor do que p0 Assim um programa de inspeção de retificação serve para corrigir a qualidade do lote FIGURA 1510 Inspeção de retificação Os programas de inspeção de retificação são usados em situações em que o fabricante deseja saber o nível médio de qualidade que provavelmente resultará em determinado estágio das operações de manufatura Assim os programas de inspeção de retificação são usados na inspeção de recepção na inspeção de produtos semiacabados durante o processo bem como na inspeção final de produtos acabados O objetivo do uso na fábrica é dar garantia em relação à qualidade média do material usado no próximo estágio das operações de produção Os lotes rejeitados podem ser tratados de várias maneiras A melhor abordagem é devolvêlos ao fornecedor e pedir que ele realize as atividades de varredura e retificação Isso tem o efeito psicológico de tornar o fornecedor responsável pela má qualidade e pode fazer pressão sobre ele no sentido de melhorar seus processos de produção ou instalar melhores controles do processo No entanto em muitas situações porque os componentes ou matériasprimas são necessários para que sejam mantidos os cronogramas de produção a varredura e a retificação são feitas no nível do consumidor Essa não é a situação mais desejável A qualidade de saída média é largamente usada para a avaliação de planos de amostragem de retificação A qualidade de saída média é a qualidade no lote resultante da aplicação da inspeção de retificação Ela é o valor médio da qualidade do lote que seria obtido de uma longa sequência de lotes de um processo com fração de defeituosos p É fácil desenvolverse uma fórmula para a qualidade de saída média QSM Suponha que o tamanho do lote seja N e que todos os itens defeituosos descobertos sejam substituídos por itens bons Então em lotes de tamanho N teremos n itens na amostra a qual após inspeção não contêm defeituosos porque todos os defeituosos descobertos foram substituídos N n itens que se o lote for rejeitado também não contêm defeituosos 3 N n itens que se o lote for aceito contêm pN n defeituosos Assim lotes no estágio de saída da inspeção têm um número esperado de unidades defeituosas igual a PapN n que podemos expressar como uma fração média de defeituosos chamada de qualidade de saída média ou Para ilustrar o uso da equação 154 suponha que N 10000 n 89 e c 2 e que os lotes que entram sejam de qualidade p 001 Agora em p 001 temos Pa 09397 e a QSM é Isto é a qualidade de saída média é de 093 de defeituosos Note que à medida que o tamanho do lote N aumenta em relação ao tamanho da amostra n podemos escrever a equação 154 como A qualidade de saída média variará com a variação da fração de defeituosos dos lotes que entram A curva que mostra a qualidade de saída média versus a qualidade do lote que entra é chamada de curva QSM A Figura 1511 mostra a curva QSM para o plano de amostragem n 89 c 2 Pelo exame dessa curva notamos que quando a qualidade de entrada é muito boa a qualidade de saída média é também muito boa Em contraposição quando a qualidade de entrada é muito ruim a maioria dos lotes é rejeitada e sofre varredura o que leva a um bom nível de qualidade dos lotes que saem Entre esses extremos a curva QSM sobe passa por um máximo e desce A ordenada máxima na curva QSM representa a pior qualidade média possível que resultaria de um programa de inspeção de retificação e esse ponto é chamado de limite da qualidade de saída média LQSM Pelo exame da Figura 1511 o LQSM parece ser aproximadamente 00155 Isto é não importa quão ruim seja a fração de defeituosos nos lotes que entram os lotes que saem nunca terão em média um nível de qualidade pior do que 155 de defeituosos Enfatizamos que esse LQSM é um nível médio de qualidade ao longo de uma grande sequência de lotes Ele não garante que um lote isolado não tenha qualidade inferior a 155 de defeituosos Outra medida importante relativa à inspeção de retificação é a quantidade total de inspeção exigida pelo programa de amostragem Se os lotes não contêm itens defeituosos nenhum lote será rejeitado e a quantidade de inspeção por lote será o tamanho da amostra n Se os itens forem todos defeituosos todo lote será submetido a uma inspeção 100 e a quantidade de inspeção por lote será o tamanho do lote N Se a qualidade do lote for 0 p 1 a quantidade média de inspeção por lote variará entre o tamanho da amostra n e o tamanho do lote N Se o lote tiver qualidade p e a probabilidade de aceitação do lote for Pa então a inspeção total média por lote será FIGURA 1511 Curva da qualidade de saída média para n 89 c 2 Para ilustrar o uso da equação 156 considere nosso exemplo anterior com N 10000 n 89 c 2 e p 001 Então como Pa 09397 teremos ITM n 1 PaN n 89 1 0939710000 89 687 153 1531 Lembre que esse é um número médio de unidades inspecionadas em muitos lotes com fração de defeituosos p 001 É possível traçarse uma curva da inspeção total média como função da qualidade do lote A Figura 1512 mostra curvas de inspeção total média para o planejamento amostral n 89 c 2 para os tamanhos de lote 1000 5000 e 10000 O LQSM de um planejamento de inspeção de retificação é uma característica muito importante É possível o planejamento de programas de inspeção de retificação que tenham valores especificados do LQSM No entanto a especificação do LQSM não é suficiente para se determinar um único plano amostral Portanto é prática relativamente comum a escolha do plano amostral que tenha um valor especificado do LQSM e que além disso resulte em ITM mínima em um nível particular da qualidade do lote O nível da qualidade do lote geralmente escolhido é o nível mais provável da qualidade dos lotes que entram que é geralmente chamado de média do processo O procedimento para a geração desses planos é relativamente direto e é ilustrado em Duncan 1986 Em geral é desnecessário passar por todo esse procedimento pois Dodge e Romig desenvolveram tabelas de planos de amostragem que minimizam ITM para um dado LQSM e uma média de processo especificada p Descrevemos o uso dessas tabelas na Seção 155 FIGURA 1512 Curvas da inspeção total média ITM para o plano de amostragem n 89 c 2 para tamanhos de lotes 1000 5000 e 10000 É também possível planejarse um programa de inspeção de retificação que dê um nível de proteção especificado no ponto PADL e que minimize a inspeção total média para uma média de processo especificada p As tabelas DodgeRomig de inspeção por amostragem fornecem também esses planos PADL A Seção 155 apresenta uma discussão sobre o uso das tabelas DodgeRomig para a determinação de planos que ofereçam proteção PADL especificada Amostragens Dupla Múltipla e Sequencial Várias extensões dos planos de amostragem única para atributos são de utilidade e incluem planos de amostragem dupla planos de amostragem múltipla e planos de amostragem sequencial Nesta seção discutiremos a elaboração e aplicação desses planos de amostragem Planos de Amostragem Dupla Um plano de amostragem dupla é um procedimento no qual sob certas circunstâncias exigese uma segunda amostra antes de o lote ser sentenciado Um plano de amostragem dupla é definido por quatro parâmetros2 FIGURA 1513 Operação do plano de amostragem dupla n1 50 c1 1 n2 100 c2 3 n1 tamanho da primeira amostra 1 c1 número de aceitação da primeira amostra n2 tamanho da segunda amostra c2 número de aceitação para ambas as amostras Como exemplo suponha n1 50 c1 1 n2 100 e c2 3 Assim selecionase uma amostra aleatória do lote com n1 50 itens e observase o número de defeituosos na amostra d1 Se d1 c1 1 o lote será aceito na primeira amostra Se d1 c2 3 o lote será rejeitado na primeira amostra Se c1 d1 c2 extraise uma segunda amostra do lote de tamanho n2 100 e observase o número de defeituosos nessa segunda amostra d2 Agora o número combinado de defeituosos observados em ambas as amostras d1 d2 é usado para a determinação da sentença do lote Se d1 d2 c2 3 o lote será aceito No entanto se d1 d2 c2 3 o lote será rejeitado A operação desse plano de amostragem dupla é mostrada graficamente na Figura 1513 A principal vantagem de um plano de amostragem dupla em relação ao de amostragem única é que ele pode reduzir o total de inspeção exigida Suponha que a primeira amostra extraída no plano de amostragem dupla seja menor do que a que seria necessária para um plano de amostragem única que oferece ao consumidor a mesma proteção Em todos os casos então em que um lote é aceito ou rejeitado na primeira amostra o custo de inspeção será menor para o plano de amostragem dupla do que seria para o plano de amostragem única É também possível rejeitarse um lote sem inspeção completa da segunda amostra Isso se chama truncamento na segunda amostra Consequentemente o uso de amostragem dupla pode sempre resultar em menores custos totais de inspeção Além disso em algumas situações um plano de amostragem dupla tem a vantagem psicológica de dar ao lote uma segunda chance Isso pode ter algum apelo para o fornecedor Entretanto não há vantagem real na amostragem dupla a esse respeito porque os planos de amostragem única ou dupla podem ser escolhidos de modo a terem as mesmas curvas CO Assim ambos os planejamentos ofereceriam os mesmos riscos de aceitação ou rejeição de lotes de qualidade especificada A amostragem dupla tem duas desvantagens potenciais Primeiramente a menos que o truncamento seja usado na segunda amostra a amostragem dupla sob certas circunstâncias pode exigir mais inspeção total do que seria exigida em um plano de amostragem única que oferecesse a mesma proteção Portanto a menos que a amostragem dupla seja usada cautelosamente podese perder sua vantagem econômica potencial A segunda desvantagem da amostragem dupla é que ela é administrativamente mais complexa o que pode aumentar a oportunidade para a ocorrência de erros de inspeção Além disso pode haver problemas no armazenamento e manuseio de matériasprimas ou partes componentes para as quais uma amostra foi extraída mas que aguardam uma segunda amostra antes que uma decisão sobre o lote seja tomada A Curva CO O desempenho de um plano de amostragem dupla pode ser convenientemente resumido através de sua curva característica de operação CO A curva CO para um plano de amostragem dupla é mais complexa do que a curva CO para amostragem única Nesta seção descrevemos a construção de curvas CO tipo B para amostragem dupla Um plano de amostragem dupla tem uma curva CO primária que dá a probabilidade de aceitação como função da qualidade do lote ou do processo Tem também curvas CO suplementares que mostram a probabilidade de aceitação e rejeição do lote na primeira amostra A curva CO para a probabilidade de rejeição na primeira amostra é simplesmente a curva CO para o plano de amostragem única n n1 e c c2 As curvas CO primária e suplementares para o planejamento n1 50 c1 1 n2 100 c2 3 são mostradas na Figura 1514 Ilustramos agora os cálculos da curva CO para o plano n1 50 c1 1 n2 100 c2 3 Se Padenota a probabilidade de aceitação nas amostras combinadas e denotam as probabilidades de aceitação na primeira e segunda amostras respectivamente então FIGURA 1514 Curvas CO para o plano de amostragem dupla n1 50 c1 1 n2 100 c2 3 é exatamente a probabilidade de observarmos d1 c1 1 defeituosos em uma amostra aleatória de n1 50 itens Assim Se p 005 seráa fração de defeituosos no lote que entrará então Para obtermos a probabilidade de aceitação na segunda amostra devemos listar o número de maneiras em que a segunda amostra pode ser obtida Uma segunda amostra é extraída apenas se há dois ou três defeituosos na primeira amostra isto é se c1 d1 c2 d1 2 e d2 0 ou 1 isto é encontramos dois defeituosos na primeira amostra e um ou menos defeituosos na segunda amostra A probabilidade disso é 2 d1 3 e d2 0 isto é encontramos três defeituosos na primeira amostra e nenhum na segunda amostra A probabilidade disso é Assim a probabilidade de aceitação na segunda amostra é A probabilidade de aceitação de um lote que tenha fração de defeituosos p 005 é portanto Calculamse de maneira análoga outros pontos da curva CO A Curva do Tamanho Amostral Médio A curva do tamanho amostral médio de um plano de amostragem dupla é também usualmente de interesse para o engenheiro da qualidade Na amostragem única o tamanho da amostra inspecionada do lote é sempre constante enquanto na amostragem dupla o tamanho selecionado da amostra depende de ser ou não necessária a segunda amostra A probabilidade de se extrair uma segunda amostra varia com a fração de defeituosos no lote que entra Com inspeção completa da segunda amostra o tamanho amostral médio na amostragem dupla é igual ao tamanho da primeira amostra vezes a probabilidade de que haverá apenas uma amostra mais o tamanho das amostras combinadas vezes a probabilidade de que será necessária uma segunda amostra Portanto uma fórmula geral para o tamanho amostral médio na amostragem dupla se supusermos inspeção total da segunda amostra é em que PI é a probabilidade de se tomar uma decisão sobre o destino do lote na primeira amostra Isto é PI Plote ser aceito na primeira amostra Plote ser rejeitado na primeira amostra Se a equação 157 for calculada para vários valores da fração de defeituosos do lote p o gráfico de TAM versus p será chamado de curva do tamanho amostral médio Na prática a inspeção da segunda amostra termina e o lote é rejeitado tão logo o número observado de itens defeituosos na amostra combinada exceda o segundo número de aceitação c2 Referimonos a isso como truncamento da segunda amostra O uso da inspeção truncada diminui o tamanho amostral médio exigido na amostragem dupla Não se recomenda que o truncamento seja usado na amostragem única ou na primeira amostra da amostragem dupla porque é em geral desejável que se tenha uma inspeção completa de um tamanho de amostra fixo para se garantir uma estimativa não viesada da qualidade do material entregue pelo fornecedor Se a inspeção truncada for usada em uma amostragem única ou na primeira amostra de amostragem dupla a estimativa de falha do lote ou do processo obtida por esses dados será viesada Por exemplo suponha que o número de aceitação seja 1 Se os dois primeiros itens na amostra foremdefeituosos e o processo de inspeção for truncado a estimativa da fração de defeituosos do lote ou do processo será 100 Com base nessa informação mesmo gerentes e engenheiros sem treinamento estatístico ficarão muito relutantes em acreditar que o lote seja realmente 100 defeituoso A fórmula da curva TAM para um plano de amostragem dupla com truncamento na segunda amostra é Na equação 158 Pn1 j é a probabilidade de se observarem exatamente j defeituosos em uma amostra de tamanho n1 PLn2 c2 j é a probabilidade de se observarem c2 j ou menos defeituosos em uma amostra de tamanho n2 e PMn2 1 c2 j 2 é a probabilidade de se observarem c2 j 2 defeituosos em uma amostra de tamanho n2 1 A Figura 1515 compara as curvas dos tamanhos amostrais médios para o plano de amostragem dupla completo e truncado n1 60 c1 2 n2 120 c2 3 e o tamanho amostral médio que seria usado na amostragem única com n 89 c 2 Obviamente o tamanho da amostra no plano de amostragem única é sempre constante Esse plano de amostragem dupla foi selecionado porque tem uma curva CO praticamente idêntica à curva CO para o plano de amostragem única Isto é ambos os planejamentos oferecem proteção equivalente para o produtor e o consumidor Pela inspeção da Figura 1515 note que a curva TAM para a amostragem dupla sem truncamento na segunda amostra não é menor do que o tamanho da amostra usado na amostragem única em todo o domínio da 1532 fração de defeituosos do lote Se os lotes forem de muito boa qualidade eles serão aceitos usualmente na primeira amostra ao passo que se os lotes forem de qualidade muito ruim eles serão rejeitados usualmente na primeira amostra Isso dá um TAM para a amostragem dupla menor do que o tamanho da amostra usado na amostragem única para lotes que são ou muito bons ou muito ruins No entanto se os lotes forem de qualidade intermediária a segunda amostra será necessária em um grande número de casos antes que uma decisão sobre o lote possa ser tomada No domínio da qualidade do lote o desempenho do TAM da amostragem dupla é pior do que o da amostragem única FIGURA 1515 Curvas do tamanho amostral médio para amostragens única e dupla Esse exemplo mostra que é importante usarse a amostragem dupla muito cuidadosamente A menos que se tome cuidado para garantir que a qualidade do lote ou do processo esteja no domínio em que a amostragem dupla é mais eficaz as vantagens econômicas da amostragem dupla em relação à amostragem única podem se perder É uma boa ideia manterse uma estimativa corrente das falhas do lote ou processo do vendedor de modo que se ela mudar para um domínio onde a amostragem dupla não seja economicamente eficiente deve ser feita uma mudança para uma amostragem única ou alguma outra estratégia apropriada Outra maneira de se fazer isso seria pelo registro da proporção de vezes em que uma segunda amostra é exigida para se tomar uma decisão A Figura 1515 mostra também a curva TAM usando o truncamento na segunda amostra Note que se o truncamento for usado a curva do tamanho amostral médio para a amostragem dupla fica sempre abaixo do tamanho da amostra usado na amostragem única Elaborando Planos de Amostragem Dupla com p1 1 α p2 e β Especificados Em geral é necessário que sejamos capazes de elaborar um plano de amostragem dupla que tenha uma curva CO especificada Sejam p1 1 α e p2 β os dois pontos de interesse na curva CO Se além disso impusermos outra relação para os parâmetros do plano amostral então um procedimento simples pode ser usado para a obtenção de tais planos A restrição mais comum é exigirse que n2 seja um múltiplo de n Veja Duncan 1986 para uma discussão dessas técnicas Inspeção de Retificação Quando a inspeção de retificação é realizada com amostragem dupla a curva QSM é dada por supondo que todos os itens defeituosos descobertos na amostragem ou na inspeção 100 sejam substituídos por itens bons A curva de inspeção total média é dada por Lembre que é a probabilidade de aceitação final do lote e que as probabilidades de aceitação dependem do nível de qualidade do lote ou do processo p Planos de Amostragem Múltipla Um plano de amostragem múltipla é uma extensão da amostragem dupla no sentido de que mais de duas amostras podem ser necessárias para o sentenciamento do lote Segue um exemplo de um plano de amostragem múltipla com cinco estágios Tamanho Amostral Acumulado Número de Aceitação Número de Rejeição 20 0 3 40 1 4 60 3 5 80 5 7 100 8 9 1533 Esse plano funcionará como segue se ao se completar qualquer estágio da amostragem o número de itens defeituosos for menor do que ou igual ao número de aceitação o lote será aceito Se durante qualquer estágio o número de itens defeituosos for igual a ou exceder o número de rejeição o lote será rejeitado caso contrário extraise nova amostra O procedimento de amostragem múltipla prossegue até que a quinta amostra seja extraída quando deve ser tomada uma decisão sobre a disposição do lote A primeira amostra é usualmente sujeita à inspeção 100 embora amostras subsequentes sejam em geral sujeitas a truncamento A construção das curvas CO para amostragem múltipla é uma extensão direta da abordagem usada na amostragem dupla Analogamente é possível o cálculo da curva do tamanho amostral médio de planos de amostragem múltipla Podese também fazer um plano de amostragem múltipla para valores especificados de p1 1 α p2 e β Para uma ampla discussão dessas técnicas veja Duncan 1986 A principal vantagem dos planos de amostragem múltipla é que as amostras necessárias em cada estágio são em geral menores que as amostras na amostragem única ou dupla então alguma eficiência econômica está associada ao uso desse procedimento No entanto a amostragem múltipla é de administração muito mais complexa Planos de Amostragem Sequencial Amostragem sequencial é uma extensão dos conceitos de amostragem dupla e amostragem múltipla Na amostragem sequencial tomase uma sequência de amostras de um lote e permitese que o número de amostras seja totalmente determinado pelos resultados do processo de amostragem Na prática a amostragem sequencial pode continuar indefinidamente até que o lote seja 100 inspecionado Também na prática os planos de amostragem sequencial são em geral truncados depois que o número de itens inspecionados é igual a três vezes o número de itens que seria inspecionado usandose um plano de amostragem única correspondente Se o tamanho da amostra selecionada em cada estágio for maior que um o procedimento será usualmente chamado de amostragem sequencial em grupos Se o tamanho da amostra inspecionada em cada estágio for um o procedimento será chamado de amostragem sequencial item a item A amostragem sequencial item a item se baseia no teste sequencial da razão de probabilidade TSRP desenvolvido por Wald 1947 A operação de um plano de amostragem sequencial item a item é ilustrada na Figura 1516 O número acumulado de defeituosos observados é plotado no gráfico Para cada ponto a abscissa é o número total de itens selecionados até aquele momento e a ordenada é o número total de defeituosos observados Se os pontos plotados permanecerem dentro dos limites das retas de aceitação e rejeição outra amostra deverá ser retirada Tão logo um ponto caia sobre ou acima da linha superior o lote é rejeitado Quando um ponto cai sobre ou abaixo da linha inferior o lote é aceito As equações para as duas retas limites para valores especificados de p1 1 α p2 e β são FIGURA 1516 Desempenho gráfico da amostragem sequencial em que Para ilustrar o uso dessas equações suponha que se queira achar um plano de amostragem sequencial para o qual p1 001 α 005 p2 006 e β 010 Então Assim as retas limites são XA 122 0028n aceitar e XR 157 0028n rejeitar Em vez de se usar um gráfico para determinar a disposição do lote o plano de amostragem sequencial pode ser exibido tal como na Tabela 153 As entradas nessa tabela são encontradas substituindose o valor de n nas equações das retas de aceitação e rejeição e calculandose os números de aceitação e rejeição Por exemplo os cálculos para n 45 são TABELA 153 Plano de Amostragem Sequencial Item a Item p1 001 α 005 p2 006 e β 010 apenas as 46 primeiras unidades Número de Itens Inspecionadosn Número de Aceitação Número de Rejeição Número de Itens Inspecionadosn Número de Aceitação Número de Rejeição 1 a b 24 a 3 2 a 2 25 a 3 3 a 2 26 a 3 4 a 2 27 a 3 5 a 2 28 a 3 6 a 2 29 a 3 7 a 2 30 a 3 8 a 2 31 a 3 9 a 2 32 a 3 10 a 2 33 a 3 11 a 2 34 a 3 12 a 2 35 a 3 13 a 2 36 a 3 14 a 2 37 a 3 15 a 2 38 a 3 16 a 3 39 a 3 17 a 3 40 a 3 18 a 3 41 a 3 154 1541 19 a 3 42 a 3 20 a 3 43 a 3 21 a 3 44 0 3 22 a 3 45 0 3 23 a 3 46 0 3 a significa aceitação impossível b significa rejeição impossível XA 122 0028n 122 002845 004 aceitar XR 157 0028n 157 002845 283 rejeitar Os números de aceitação e rejeição têm que ser inteiros de modo que o número de aceitação é o inteiro mais próximo menor ou igual a XA e o número de rejeição é o inteiro mais próximo maior ou igual a XR Então para n 45 o número de aceitação é 0 e o número de rejeição é 3 Note que o lote não pode ser aceito a não ser que pelo menos 44 unidades tenham sido testadas A Tabela 153 mostra apenas as 46 primeiras unidades Normalmente o plano será truncado depois da inspeção de 267 unidades que é três vezes o tamanho amostral exigido para um plano de amostragem única equivalente A Curva CO e a Curva TAM para Amostragem Sequencial A curva CO para amostragem sequencial pode ser obtida facilmente Dois pontos da curva são p1 1 α e p2 β Um terceiro ponto próximo do centro da curva é p s e Pa h2h1 h2 O tamanho amostral médio tomado sob amostragem sequencial é onde e Inspeção de Retificação A qualidade de saída média QSM para amostragem sequencial é dada aproximadamente por A inspeção total média também é facilmente obtida Note que a quantidade de amostragem é AC quando o lote é aceito e N quando o lote é rejeitado Então a inspeção total média é Padrão Militar 105E ANSIASQC Z14 ISO 2859 Descrição do Padrão Procedimentos de amostragempadrão para inspeção de atributos foram desenvolvidos durante a Segunda Guerra Mundial MIL STD 105E é o sistema de amostragem de aceitação para atributos mais amplamente usado no mundo hoje A versão original do padrão MIL STD 105A foi liberada em 1950 Desde então já houve quatro revisões a versão mais recente o MIL STD 105E foi liberada em 1989 Os planos de amostragem discutidos nas seções anteriores deste capítulo são planos de amostragem individuais Um esquema de amostragem é uma estratégia global que especifica a forma como os planos de amostragem devem ser usados MIL STD 105E é uma coleção de esquemas de amostragem assim ele é um sistema de amostragem de aceitação Nossa discussão focalizará principalmente o MIL STD 105E no entanto há um padrão civil derivado o ANSIASQC Z14 que é bem semelhante ao padrão militar O padrão foi também adotado pela International Organization for Standardization como ISO 2859 O padrão fornece três tipos de amostragem amostragem única amostragem dupla e amostragem múltipla Para cada tipo de plano de amostragem são dadas condições para inspeção normal inspeção intensificada ou inspeção reduzida Inspeção normal é usada no início da atividade de inspeção Inspeção intensificada é instituída quando a recente história de qualidade do fornecedor se deteriorou Exigências para aceitação de lotes sob amostragem intensificada são mais rigorosas do que sob inspeção normal Inspeção reduzida é estabelecida quando a história recente de qualidade do fornecedor tem sido extremamente boa Em geral o tamanho amostral usado sob inspeção reduzida é menor do que sob inspeção normal O foco principal do MIL STD 105E é o nível de qualidade aceitável NQA O padrão é indexado segundo uma série de NQAs Quando o padrão é usado para planos de percentual de defeituosos os NQAs variam de 010 a 10 Para planos de defeitos por unidade há 10 NQAs adicionais variando até 1000 1 2 3 a b c d 4 a b c d 5 1542 1 defeitos por 100 unidades Devese notar que para níveis de NQAs menores o mesmo plano de amostragem pode ser usado para controlar tanto a fração de defeituosos quanto o número de defeitos por unidade Os NQAs são organizados em progressão cada um sendo aproximadamente 1585 vez o precedente O NQA é geralmente especificado no contrato ou pela autoridade responsável pela amostragem Diferentes NQAs podem ser estipulados para tipos diferentes de defeitos Por exemplo o padrão diferencia entre defeitos críticos defeitos mais importantes e defeitos menos importantes É prática relativamente comum a escolha de um NQA de 1 para defeitos mais importantes e um NQA de 25 para defeitos menos importantes Nenhum defeito crítico deve ser aceitável O tamanho amostral usado no MIL STD 105E é determinado pelo tamanho do lote e pela escolha do nível de inspeção Há três níveis de inspeção O nível II é designado como normal O nível I requer cerca de metade da quantidade de inspeção do nível II e deve ser usado quando for necessária menos discriminação O nível III requer cerca de duas vezes a quantidade de inspeção do nível II e deve ser usado quando for necessária mais discriminação Há também quatro níveis de inspeção especiais S1 S2 S3 e S4 Esses níveis de inspeção especiais usam tamanhos amostrais muito pequenos e devem ser empregados apenas quando pequenos tamanhos de amostra são necessários e quando riscos de amostragem maiores podem ou têm que ser tolerados FIGURA 1517 Regras de mudança para inspeção normal intensificada e reduzida MIL STD 105E Para um NQA e um nível de inspeção especificados e um dado tamanho de lote o MIL STD 105E fornece um plano de amostragem normal que deve ser usado enquanto o fornecedor estiver produzindo com qualidade igual ou superior ao NQA Ele fornece também um procedimento para mudar para inspeção intensificada ou reduzida sempre que houver uma indicação de que a qualidade do fornecedor mudou Os procedimentos de mudança entre inspeção normal intensificada e reduzida estão ilustrados graficamente na Figura 1517 e são descritos a seguir Normal para intensificada Quando a inspeção normal está em efeito inspeção intensificada é estabelecida quando dois dentre cinco lotes consecutivos são rejeitados na inspeção original Intensificada para normal Quando a inspeção intensificada está em efeito a inspeção normal é instituída quando cinco lotes consecutivos são aceitos na inspeção original Normal para reduzida Quando a inspeção normal está em efeito a inspeção reduzida é instituída desde que sejam satisfeitas todas as quatro condições seguintes Os 10 lotes precedentes estavam sob inspeção normal e nenhum deles foi rejeitado na inspeção original O número total de defeituosos nas amostras dos 10 lotes precedentes é menor do que ou igual ao número limite aplicável especificado no padrão A produção está em uma taxa fixa isto é nenhuma dificuldade tal como avaria de máquina escassez de material ou outros problemas ocorreu recentemente Inspeção reduzida é considerada desejável pela autoridade responsável pela amostragem Reduzida para normal Quando a inspeção reduzida está em efeito a inspeção normal é instituída quando qualquer uma das quatro seguintes condições é satisfeita Um lote é rejeitado Quando o procedimento amostral termina sem que nem o critério de aceitação nem o critério de rejeição tenham sido satisfeitos o lote é aceito mas a inspeção normal é restabelecida com o próximo lote A produção está irregular ou atrasada Outras condições garantem que a inspeção normal seja instituída Interrupção da inspeção No caso de 10 lotes consecutivos permanecerem sob inspeção intensificada a inspeção sob o MIL STD 105E deve ser interrompida e alguma ação deve ser tomada no nível do fornecedor para melhorar a qualidade dos lotes submetidos Procedimento Um procedimento passo a passo para usar o MIL STD 105E é o seguinte Escolha o NQA 2 3 4 5 6 7 1543 Escolha o nível de inspeção Determine o tamanho do lote Ache o código alfabético do tamanho amostral apropriado na Tabela 154 Determine o tipo apropriado do plano de amostragem a ser usado única dupla ou múltipla Entre na tabela apropriada para achar o tipo de plano a ser usado Determine os planos de inspeção normal e reduzida correspondentes a serem usados quando necessários A Tabela 154 apresenta os códigos alfabéticos dos tamanhos de amostra para o MIL STD 105E As Tabelas 155 156 e 157 apresentam os planos de amostragem única para inspeção normal inspeção intensificada e inspeção reduzida respectivamente O padrão contém também tabelas para planos de amostragem dupla e amostragem múltipla para inspeção normal intensificada e reduzida Para ilustrar o uso do MIL STD 105E suponha que um produto seja submetido em lotes de tamanho N 2000 O nível de qualidade aceitável é 065 Queremos usar o padrão para gerar planos de amostragem única para inspeção normal intensificada e reduzida para essa situação Para lotes de tamanho 2000 sob nível de inspeção geral II a Tabela 154 indica que o código alfabético do tamanho amostral apropriado é K Então da Tabela 155 para planos de amostragem única sob inspeção normal o plano de inspeção normal é n 125 c 2 A Tabela 156 indica que o plano de inspeção intensificada correspondente é n 125 c 1 Note que na mudança da inspeção normal para inspeção intensificada o tamanho amostral permanece o mesmo mas o número de aceitação é reduzido de um Essa estratégia geral é usada ao longo do MIL STD 105E para uma transição para inspeção intensificada Se o número de aceitação para inspeção normal for 1 2 ou 3 o número de aceitação para o plano de inspeção intensificada correspondente será reduzido de um Se o número de aceitação para inspeção normal for 5 7 10 ou 14 a redução no número de aceitação para o plano de inspeção intensificada será de dois Para um número de aceitação normal de 21 a redução é de três A Tabela 157 indica que sob inspeção reduzida o tamanho da amostra para esse exemplo seria n 50 o número de aceitação seria c 1 e o número de rejeição seria r 3 Então se dois defeituosos forem encontrados o lote deverá ser aceito mas o próximo lote deverá ser examinado sob inspeção normal TABELA 154 Códigos Alfabéticos do Tamanho Amostral MIL STD 105E Tabela 1 Níveis de Inspeção Especial Níveis de Inspeção Geral Tamanho do Lote S1 S2 S3 S4 I II III 2 a 8 A A A A A A B 9 a 15 A A A A A B C 16 a 25 A A B B B C D 26 a 50 A B B C C D E 51 a 90 B B C C C E F 91 a 150 B B C D D F G 151 a 280 B C D E E G H 281 a 500 B C D E F H J 501 a 1200 C C E F G J K 1201 a 3200 C D E G H K L 3201 a 10000 C D F G J L M 10001 a 35000 C D F H K M N 35001 a 150000 D E G J L N P 150001 a 500000 D E G J M P Q 500001 ou mais D E H K N Q R Examinando as tabelas note que se uma seta vertical for encontrada o primeiro plano de amostragem acima ou abaixo da seta deverá ser usado Quando isso ocorre o código alfabético para o tamanho amostral e o tamanho da amostra mudam Por exemplo se um plano de amostragem única é indexado por um NQA de 15 e o código alfabético para o tamanho amostral é F o código alfabético muda para G e o tamanho amostral muda de 20 para 32 Discussão O MIL STD 105E apresenta as curvas CO para os planos de amostragem única Estas são todas curvas CO tipo B As curvas CO para os planos de amostragens dupla e múltipla semelhantes são grosseiramente comparáveis com aquelas dos planos de amostragem única correspondentes A Figura 1518 apresenta um exemplo dessas curvas para o código alfabético K As curvas CO apresentadas no padrão são para o plano de amostragem inicial apenas Elas não são curvas CO para o programa de inspeção completo3 incluindo mudanças de e para inspeção intensificada ou reduzida As curvas do tamanho amostral médio para amostragens dupla e múltipla são dadas supondose que nenhum truncamento seja usado Essas curvas são úteis na avaliação dos tamanhos amostrais médios que esperamos encontrar sob vários planos de amostragem para uma dada qualidade do lote ou do processo Há vários pontos sobre o MIL STD 105E que devem ser enfatizados que incluem os seguintes Primeiro MIL STD 105E é orientado pelo NQA O foco está no final da curva CO correspondente ao risco do produtor O único controle sobre o poder discriminatório do plano de amostragem isto é a inclinação da curva CO é através da escolha do nível de inspeção Segundo os tamanhos amostrais escolhidos para uso no MIL STD 105E são 2 3 5 8 13 20 32 50 80 125 200 315 500 800 1250 e 2000 Então nem todos os tamanhos de amostra são possíveis Note que há saltos bastante significativos tais como entre 125 e 200 e entre 200 e 315 Terceiro os tamanhos amostrais no MIL STD 105E estão relacionados com os tamanhos dos lotes Para ver a natureza dessa relação calcule o ponto médio de cada amplitude do tamanho do lote e plote o logaritmo do tamanho amostral para cada intervalo do tamanho do lote versus o logaritmo do ponto médio do intervalo do tamanho do lote Tal gráfico seguirá aproximadamente uma reta até n 80 e a partir daí outra reta com inclinação mais suave Assim o tamanho amostral crescerá à medida que cresce o tamanho do lote No entanto a razão do tamanho amostral para o tamanho do lote decrescerá rapidamente Isso resulta em uma economia significativa nos custos de inspeção por unidade quando o fornecedor submete lotes grandes Para um dado NQA o efeito desse aumento no tamanho amostral quando aumenta o tamanho do lote é aumentar a probabilidade de aceitação dos lotes submetidos de qualidade NQA A probabilidade de aceitação em um nível NQA dado variará com o aumento do tamanho amostral de cerca de 091 até cerca de 099 Essa característica do padrão foi e ainda é motivo de alguma controvérsia O argumento a favor da abordagem no MIL STD 105E é que a rejeição de um lote grande tem mais sérias consequências para o vendedor que a rejeição de um lote pequeno e se a probabilidade de aceitação no NQA aumenta com o tamanho amostral isso reduz o risco de uma falsa rejeição de um lote grande Além disso amostras maiores dão maior poder discriminatório para a curva CO o que significa que a proteção que o consumidor recebe contra a aceitação de um lote ruim isolado também aumenta TABELA 155 Tabela Mestra para Inspeção Normal Amostragem Única US Department of Defense MIL STD 105E Tabela IIA TABELA 156 Tabela Mestra para Inspeção Intensificada Amostragem Única US Department of Defense MIL STD 105E Tabela IIB TABELA 157 Tabela Mestra para Inspeção Reduzida Amostragem Única US Department of Defense MIL STD 105E Tabela IIC 1 2 3 4 5 155 FIGURA 1518 Curvas CO para o código alfabético do tamanho amostral K MIL STD 105E Quarto as regras de mudança da inspeção normal para intensificada e da inspeção intensificada para a normal também estão sujeitas a alguma crítica Em particular alguns engenheiros não gostam das regras de mudança porque sempre há considerável quantidade de mudanças erradas de inspeção normal para intensificada ou de intensificada para normal quando o processo está na verdade produzindo lotes de qualidade NQA Também há uma probabilidade significativa de que a produção seja interrompida mesmo quando não há qualquer deterioração na qualidade efetiva Quinto um abuso comum e flagrante do MIL STD 105E é o fracasso total no uso das regras de mudança Quando isso ocorre o resultado é uma inspeção enganosa e ineficiente e um aumento substancial no risco do consumidor Não se recomenda a implementação do MIL STD 105E sem o uso das regras de mudança de inspeção normal para intensificada e de intensificada para normal O padrão civil o ANSI ASQC Z14 ou ISO 2859 é o equivalente do MIL STD 105E Parece apropriado concluir a discussão do MIL STD 105E com uma comparação entre os padrões civil e militar ANSIASQC Z14 foi adotado em 1981 e difere do MIL STD 105E nos cinco pontos citados a seguir A terminologia não conformidade não conforme e percentual de não conformes é usada As regras de mudança foram alteradas ligeiramente para fornecer uma opção para a inspeção reduzida sem o uso de números limite Várias tabelas que mostram medidas do desempenho do esquema incluindo as regras de mudança foram introduzidas Algumas dessas medidas de desempenho incluem o LQSM qualidade limite para a qual Pa 010 e Pa 005 TAM e curvas características de operação Uma seção foi acrescentada descrevendo o uso apropriado dos planos de amostragem individuais quando extraídos do sistema Uma figura ilustrando as regras de mudança foi acrescentada Essas revisões modernizam a terminologia e enfatizam o conceito de sistema do padrão civil Todas as tabelas números e procedimentos usados no MIL STD 105E são mantidos no ANSIASQC Z14 e ISO 2859 Os Planos de Amostragem DodgeRomig H F Dodge e H G Romig desenvolveram um conjunto de tabelas para inspeção por amostragem lote a lote do produto por atributos usando dois tipos de planos de amostragem planos para proteção do percentual aceitável de defeituosos no lote PADL e planos que fornecem um limite da qualidade de saída média LQSM Para cada uma das abordagens para o estabelecimento do plano de amostragem há tabelas para amostragens única e dupla Planos de amostragem que enfatizam a proteção PADL tais como os planos de DodgeRomig são frequentemente preferidos aos planos de amostragem orientados para o NQA tais como aqueles no MIL STD 105E particularmente para componentes e peças críticas Muitos fabricantes sentem que eles confiaram demais nos NQAs no passado e agora enfatizam outras medidas de desempenho tais como partes defeituosas por milhão ppm Considere o seguinte NQA Partes Defeituosas por Milhão 10 100000 1 10000 01 1000 001 100 0001 10 1551 1552 00001 1 Então mesmo NQAs muito pequenos implicam em números grandes de defeituosos ppm Em produtos complexos o efeito disso pode ser devastador Por exemplo suponha que uma placa de circuito impresso contenha 100 elementos cada um manufaturado por um processo operando em um nível de 05 de defeituosos Se os NQAs para esses elementos são 05 e se todos os elementos na placa de circuito impresso têm que funcionar para que a placa funcione adequadamente então a probabilidade de que uma placa funcione é P funcionar apropriadamente 0995100 06058 Assim há uma necessidade óbvia de planos de amostragem que enfatizem a proteção PADL mesmo quando a média de falhas do processo é baixa Os planos de DodgeRomig são frequentemente úteis nessas situações Os planos LQSM de DodgeRomig são elaborados de modo que a inspeção total média para um dado LQSM e uma média do processo especificada p será minimizada Analogamente os planos PADL são elaborados de modo que a inspeção total média seja mínima Isso faz com que os planos de DodgeRomig sejam muito úteis na inspeção na fábrica de produtos semiacabados Os planos de DodgeRomig se aplicam somente a programas que submetem os lotes rejeitados a uma inspeção 100 A menos que uma inspeção de retificação seja usada o conceito LQSM é sem sentido Além disso para usarmos esses planos temos que conhecer a média do processo isto é a fração média de não conformes do produto de entrada Quando um fornecedor é relativamente novo em geral não conhecemos o nível de falhas de seu processo Algumas vezes é possível estimálo a partir de uma amostra preliminar ou de dados disponibilizados pelo fornecedor Uma alternativa é o uso do maior valor possível da média do processo na tabela até que informação suficiente tenha sido gerada para fornecer uma estimativa mais precisa da taxa de falhas do processo do fornecedor A obtenção de uma estimativa mais precisa da fração não conforme de entrada ou da média do processo permitirá que um plano de amostragem mais apropriado seja adotado É comum encontrarse inspeção por amostragem que começa com um plano e depois que suficiente informação é gerada para nova estimativada taxa de falhas do processo do fornecedor um novo plano é adotado Na Seção 1553 discutimos com mais detalhes a estimação da média do processo Planos LQSM As tabelas de DodgeRomig 1959 fornecem planos de amostragem LQSM para valores de LQSM de 01 025 05 075 1 15 2 25 3 4 5 7 e 10 Para cada um dos valores do LQSM são especificadas seis classes de valores para a média do processo Dãose tabelas para planos de amostragens única e dupla Esses planos foram elaborados de modo que a inspeção total média para um dado LQSM e uma dada média do processo seja aproximadamente mínima Um exemplo dos planos de amostragem de DodgeRomig é exibido na Tabela 1584 Para ilustrar o uso das tabelas LQSM de DodgeRomig suponha que estejamos inspecionando elementos de memória LSI para microcomputadores e que os elementos sejam enviados em lotes de tamanho N 5000 A média de falhas do processo do fornecedor é de 1 de não conformes Queremos definir um plano de amostragem única com um LQSM 3 Da Tabela 158 vemos que o plano é n 65 c 3 A Tabela 158 também indica que o PADL para esse plano de amostragem é 103 Esse é o ponto na curva CO para o qual Pa 010 Assim o plano de amostragem n 65 c 3 fornece um LQSM de 3 de não conformes e garante que 90 dos lotes de entrada que são tão ruins quanto 103 de defeituosos serão rejeitados Supondo que a qualidade de entrada seja igual à média do processo e que a probabilidade de aceitação do lote nesse nível de qualidade seja Pa 09957 vemos que a inspeção total média para esse plano é ITM n 1 PaN n 65 1 09575000 65 8622 Assim inspecionaremos aproximadamente 86 unidades em média para sentenciar um lote Planos PADL As tabelas PADL de DodgeRomig são elaboradas de modo que a probabilidade de aceitação do lote no nível PADL seja 01 As tabelas são apresentadas para valores de PADL de 05 1 2 3 4 5 7 e 10 A Tabela 159 para um PADL de 1 é representativa das tabelas de DodgeRomig Para ilustrar o uso dessas tabelas suponha que elementos de memória LSI para microcomputadores sejam enviados pelo fornecedor em lotes de tamanho N 5000 A taxa média de falhas do processo do vendedor é aproximadamente 025 de não conformes e queremos um plano de amostragem única com um PADL de 1 Pela inspeção da Tabela 159 o plano de amostragem a ser usado é n 770 c 4 Se assumirmos que os lotes rejeitados sofram inspeção 100 e que os itens defeituosos encontrados sejam substituídos por itens bons o LQSM para esse plano será aproximadamente 028 Note da inspeção das tabelas PADL de DodgeRomig que os valores da média do processo cobrem o intervalo de zero à metade do valor PADL É desnecessário apresentaremse tabelas para valores maiores da média do processo porque a inspeção 100 é mais eficiente economicamente que a inspeção por amostragem quando a média do processo supera metade do PADL desejado TABELA 158 Tabela de Inspeção de DodgeRomig para Planos de Amostragem Única para LQSM 30 Média do Processo 0006 007060 061120 121180 181240 241300 PADL PADL PADL PADL PADL PADL Tamanho do Lote n c n c n c n c n c n c 110 Todos 0 Todos 0 Todos 0 Todos 0 Todos 0 Todos 0 1150 10 0 190 10 0 190 10 0 190 10 0 190 10 0 190 10 0 190 51100 11 0 180 11 0 180 11 0 180 11 0 180 11 0 180 22 1 164 101200 12 0 170 12 0 170 12 0 170 25 1 151 25 1 151 25 1 151 201300 12 0 170 12 0 170 26 1 146 26 1 146 26 1 146 40 2 128 301400 12 0 171 12 0 171 26 1 147 26 1 147 41 2 127 41 2 127 401500 12 0 172 27 1 141 27 1 141 42 2 124 42 2 124 42 2 124 501600 12 0 173 27 1 142 27 1 142 42 2 124 42 2 124 60 3 108 601800 12 0 173 27 1 142 27 1 142 43 2 121 60 3 109 60 3 109 801 1000 12 0 174 27 1 142 44 2 118 44 2 118 60 3 110 80 4 98 1001 2000 12 0 175 28 1 138 45 2 117 65 3 102 80 4 98 100 5 91 2001 3000 12 0 175 28 1 138 45 2 117 65 3 102 100 5 91 140 7 82 3001 4000 12 0 175 28 1 138 65 3 103 85 4 95 125 6 84 165 8 78 4001 5000 28 1 138 28 1 138 65 3 103 85 4 95 125 6 84 210 10 74 5001 7000 28 1 138 45 2 118 65 3 103 105 5 88 145 7 81 235 11 71 7001 10000 28 1 139 46 2 116 65 3 103 105 5 88 170 8 76 280 13 68 10001 20000 28 1 139 46 2 117 85 4 95 125 6 84 215 10 72 380 17 62 20001 50000 28 1 139 65 3 103 105 5 88 170 8 76 310 14 65 560 24 57 50001 100000 28 1 139 65 3 103 125 6 84 215 10 72 385 17 62 690 29 54 TABELA 159 Tabela de DodgeRomig para Amostragem Única para Percentual Admissível de Defeituosos no Lote PADL 10 Média do Processo 0001 0011010 011020 021030 031040 041050 LQSM LQSM LQSM LQSM LQSM LQSM Tamanho do Lote n c n c n c n c n c n c 1120 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 Todos 0 0 121150 120 0 006 120 0 006 120 0 006 120 0 006 120 0 006 120 0 006 151200 140 0 008 140 0 008 140 0 008 140 0 008 140 0 008 140 0 008 201300 165 0 010 165 0 010 165 0 010 165 0 010 165 0 010 165 0 010 301400 175 0 012 175 0 012 175 0 012 175 0 012 175 0 012 175 0 012 1553 401500 180 0 013 180 0 013 180 0 013 180 0 013 180 0 013 180 0 013 501600 190 0 013 190 0 013 190 0 013 190 0 013 190 0 013 305 1 014 601800 200 0 014 200 0 014 200 0 014 330 1 015 330 1 015 330 1 015 801 1000 205 0 014 205 0 014 205 0 014 335 1 017 335 1 017 335 1 017 1001 2000 220 0 015 220 0 015 360 1 019 490 2 021 490 2 021 610 3 022 2001 3000 220 0 015 375 1 020 505 2 023 630 3 024 745 4 026 870 5 026 3001 4000 225 0 015 380 1 020 510 2 023 645 3 025 880 5 028 1000 6 029 4001 5000 225 0 016 380 1 020 520 2 024 770 4 028 895 5 029 1120 7 031 5001 7000 230 0 016 385 1 021 655 3 027 780 4 029 1020 6 032 1260 8 034 7001 10000 230 0 016 520 2 025 660 3 028 910 5 032 1150 7 034 1500 10 037 10001 20000 390 1 021 525 2 026 785 4 031 1040 6 035 1400 9 039 1980 14 043 20001 50000 390 1 021 530 2 026 920 5 034 1300 8 039 1890 13 044 2570 19 048 50001 100000 390 1 021 670 3 029 1040 6 036 1420 9 041 2120 15 047 3150 23 050 Estimação da Média do Processo Como já observado a seleção de um plano de DodgeRomig depende do conhecimento da média de falhas ou não conformes do processo do fornecedor Uma estimativa da média do processo pode ser obtida usandose um gráfico de controle da fração de defeituosos baseado nos 25 primeiros lotes submetidos pelo fornecedor Se for usada a amostragem dupla somente os resultados da primeira amostra deverão ser incluídos nos cálculos Qualquer fração de defeituosos do lote que exceda o limite superior de controle será descartada desde que haja uma causa atribuível e calculase uma nova média do processo Até que os resultados dos 25 lotes sejam acumulados o procedimento recomendado é usarse o maior valor possível da média do processo na tabela apropriada Termos e Conceitos Importantes Ações para disposição do lote Amostragem aleatória ANSIASQC Z14 ISSO 2859 Código alfabético de tamanho amostral Curva característica de operação CO Curva CO ideal Curva do tamanho amostral médio Curvas CO Tipo A e Tipo B Dados de atributos Dados de variáveis Inspeção 100 Inspeção de retificação Inspeção total média Inspeções normal intensificada e reduzida Limite da qualidade de saída média MIL STD 105E Nível de qualidade aceitável NQA Percentual aceitável de defeituosos do lote PADL Plano de amostragem de aceitação Plano de amostragem dupla Plano de amostragem múltipla 151 152 153 154 155 156 157 a b c 158 159 1510 1511 1512 1513 1514 a b c 1515 a b c d e 1516 1517 b 1518 b Plano de amostragem sequencial Plano de amostragem única Planos amostrais de DodgeRomig Planos LQSM Planos PADL Qualidade de saída média Regras de mudança no MIL STD 105E Sentenciamento do lote Exercícios Uma firma de contabilidade usa métodos de amostragem nos processos de auditoria de seus clientes Contas de um tipo particular são agrupadas em um lote de tamanho 25 O auditor está preocupado com contas erradas que escapam do processo de auditoria Amostragem e auditoria de contas são dispendiosas e gastam tempo e uma amostra aleatória de tamanho n 5 é praticamente a maior amostra que pode ser usada Suponha que o lote de contas contenha uma conta errada Qual é a probabilidade de que a amostra selecionada contenha essa conta errada Reconsidere a situação descrita no Exercício 151 Suponha que o lote de contas contenha duas contas erradas Qual é a probabilidade de que a amostra aleatória de tamanho n 5 contenha pelo menos uma conta errada Reconsidere a situação descrita no Exercício 151 Quantas contas erradas deve haver no lote de contas para que uma amostra aleatória de tamanho n 5 tenha probabilidade de pelo menos 050 de conter contas erradas Equipes de hospital examinam rotineiramente registros de pacientes à procura de erros tais como informação incompleta de seguro história incompleta do paciente ou registros médicos faltantes ou incompletos Na média cerca de 250 novos pacientes são admitidos a cada dia Historicamente cerca de 5 desses registros tiveram erros Se uma amostra aleatória de 50 registros de novos pacientes for verificada a cada dia qual será a probabilidade de que essa amostra contenha pelo menos um registro com informação faltante Desenhe a curva CO tipo B para o plano de amostragem única n 50 c 1 Desenhe a curva CO tipo B para o plano de amostragem única n 100 c 2 Suponha que um produto seja embalado em lotes de tamanho N 5000 O procedimento de inspeção de recepção usado é o de amostragem única com n 50 e c 1 Esboce a curva CO tipo A para esse plano Esboce a curva CO tipo B para esse plano e comparea com a curva CO tipo A encontrada na parte a Qual curva é apropriada para essa situação Ache um plano de amostragem única para o qual p1 001 α 005 p2 010 e β 010 Ache um plano de amostragem única para o qual p1 005 α 005 p2 015 e β 010 Ache um plano de amostragem única para o qual p1 002 α 001 p2 006 e β 010 Uma companhia usa o seguinte procedimento de amostragem de aceitação Tomase uma amostra de tamanho igual a 10 do tamanho do lote Se 2 ou menos dos itens na amostra estiverem defeituosos o lote será aceito caso contrário o lote será rejeitado Se os tamanhos dos lotes submetidos variarem entre 5000 e 10000 unidades o que se pode dizer sobre o nível de proteção desse plano Se 005 for o PADL desejado esse esquema fornecerá proteção razoável para o consumidor Uma companhia usa um tamanho amostral igual à raiz quadrada do tamanho do lote Se 1 ou menos dos itens na amostra estiver defeituoso o lote será aceito caso contrário o lote será rejeitado Os tamanhos dos lotes submetidos variam entre 1000 e 5000 unidades Comente sobre a eficiência desse procedimento Considere o plano de amostragem única encontrado no Exercício 158 Suponha que lotes de tamanho N 2000 sejam submetidos Desenhe a curva ITM para esse plano Desenhe a curva QSM e ache o LQSM Suponha que um plano de amostragem única com n 150 e c 2 tenha sido usado na inspeção de recepção em que o fornecedor envia o produto em lotes de tamanho N 3000 Desenhe a curva CO para esse plano Desenhe a curva QSM e ache o LQSM Desenhe a curva ITM para esse plano Suponha que um fornecedor envie componentes em lotes de tamanho 5000 Um plano de amostragem única com n 50 e c 2 está sendo usado na inspeção de recepção Os lotes rejeitados são varridos e todos os itens defeituosos são retrabalhados e devolvidos ao lote Desenhe a curva CO para esse plano Ache o nível da qualidade do lote que será rejeitado 90 das vezes A gerência fez objeções ao uso do procedimento de amostragem acima e quer usar um plano com um número de aceitação c 0 argumentando que isso é mais consistente com o programa zero defeito O que você pensa sobre isso Elabore um plano de amostragem com c 0 que forneça probabilidade 90 de rejeição de lotes com o nível de qualidade encontrado na parte b Note que os dois planos agora são equivalentes no ponto PADL Desenhe a curva CO para esse plano e comparea com aquela do plano n 50 e c 2 da parte a Suponha que os lotes que entram sejam 05 não conformes Qual é a probabilidade de rejeição desses lotes sob ambos os planos Calcule a ITM nesse ponto para ambos os planos Qual plano você prefere Por quê Desenhe as curvas CO primária e suplementares para um plano de amostragem dupla com n1 50 c1 2 n2 100 c2 6 Se os lotes que entram tiverem uma fração de não conformes p 005 qual será a probabilidade de aceitação na primeira amostra Qual seráa probabilidade de aceitação final Calcule a probabilidade de rejeição na primeira amostra a Deduza um plano de amostragem sequencial item a item para o qual p1 001 α 005 p2 010 e β 010 Desenhe a curva CO para esse plano a Deduza um plano de amostragem sequencial item a item para o qual p1 002 α 005 p2 015 e β 010 Desenhe a curva CO para esse plano 1519 1520 1521 1522 1523 a b 1524 1525 a b c 1526 a b c Considere a inspeção de retificação para amostragem única Desenvolva uma equação para a QSM supondo que todos os itens defeituosos sejam removidos mas não substituídos por itens bons Um vendedor despacha um componente em lotes de tamanho N 3000 A QSM foi estabelecida para esse produto em 1 Ache os planos de amostragem única com inspeção normal intensificada e reduzida para essa situação a partir do MIL STD 105E supondo que o nível de inspeção geral II seja apropriado Repita o Exercício 1520 usando o nível de inspeção geral I Discuta as diferenças entre os vários planos de amostragem Um produto é fornecido em lotes de tamanho N 10000 A QSM foi especificada em 010 Ache os planos de amostragem única com inspeção normal intensificada e reduzida para essa situação a partir do MIL STD 105E supondo que o nível de inspeção geral II seja apropriado O MIL STD 105E está sendo usado para inspeção de lotes que chegam de tamanho N 5000 Estão sendo usados amostragem única nível de inspeção geral II e QSM de 065 Ache os planos de inspeção normal intensificada e reduzida Desenhe as curvas CO para os planos de inspeção normal intensificada e reduzida em um mesmo gráfico Um produto é despachado em lotes de tamanho N 2000 Ache um plano de DodgeRomig de amostragem única para o qual PADL 1 supondo que a média do processo seja de 025 de defeituosos Desenhe a curva CO e a curva ITM para esse plano Qual é o LQSM para esse plano de amostragem Queremos encontrar um plano de amostragem única para uma situação em que os lotes são enviados por um vendedor cujo processo opera a uma taxa de 050 de defeituosos Queremos também que o LQSM da atividade de inspeção seja de 3 Ache o plano de DodgeRomig apropriado Desenhe a curva CO e a curva ITM para esse plano Quanta inspeção será necessária em média se o processo do vendedor opera próximo do nível médio de falhas Qual é a proteção PADL para esse plano Um vendedor envia um produto em lotes de tamanho N 8000 Queremos um LQSM de 3 e vamos usar amostragem única Não sabemos a taxa de falhas do processo do vendedor mas suspeitamos que seja no máximo de 1 de defeituosos Ache o plano de DodgeRomig apropriado Ache a ITM para esse plano supondo que os lotes que entram são 1 defeituosos Suponha que nossa estimativa da média do processo do vendedor esteja incorreta e que na verdade seja de 025 de defeituosos Qual plano de amostragem deve ser usado Que redução na ITM teria sido obtida se tivéssemos usado o plano correto 1Nos capítulos anteriores os termos não conforme e não conformidade foram usados em lugar de defeituoso e defeito Isso porque os significados comuns de defeituoso e defeito diferem de seus significados técnicos e têm causado considerável confusão particularmente nos litígios sobre a credibilidade do produto No campo da inspeção por amostragem no entanto defeituoso e defeito continuam a ser usados em seu sentido técnico isto é não conformidade a exigências 2Alguns autores preferem a notação n1 Ac1 Re1 n2 Ac2 Re2 Ac2 1 Como o número de rejeição na primeira amostra Re1 não é necessariamente igual a Re2 isso proporciona alguma flexibilidade adicional na elaboração de planos de amostragem dupla MIL STD 105E e ANSIASQC Z14 usam essa notação atualmente No entanto como a hipótese de que Re1 Re2 não afeta significativamente os planos obtidos escolhemos discutir esse sistema ligeiramente mais simples 3ANSIASQC Z14 apresenta o desempenho do esquema do padrão apresentando curvas CO do esquema e os pontos percentuais correspondentes 4As Tabelas 158 e 159 são adaptadas de H F Dodge e H G Romig Sampling Inspection Tables Single and Double Sampling 2ª ed John Wiley New York 1959 com permissão da editora 161 1611 1612 1613 162 163 1631 1632 1633 164 1641 1642 165 166 1661 1662 167 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ESQUEMA DO CAPÍTULO AMOSTRAGEM DE ACEITAÇÃO POR VARIÁVEIS Vantagens e Desvantagens da Amostragem de Variáveis Tipos de Planos de Amostragem Disponíveis Cuidados no Uso de Amostragem de Variáveis ELABORAÇÃO DE UM PLANO DE AMOSTRAGEM PARA VARIÁVEIS COM UMA CURVA CO ESPECIFICADA MIL STD 414 ANSIASQC Z19 Descrição Geral do Padrão Uso das Tabelas Discussão do MIL STD 414 e ANSIASQC Z19 OUTROS PROCEDIMENTOS DE AMOSTRAGEM DE VARIÁVEIS Amostragem de Variáveis para Fornecer Garantia sobre a Média do Lote ou do Processo Amostragem Sequencial de Variáveis AMOSTRAGEM EM CADEIA AMOSTRAGEM CONTÍNUA CSP1 Outros Planos de Amostragem Contínua PLANOS DE AMOSTRAGEM COM OMISSÃO DE LOTES VISÃO GERAL DO CAPÍTULO E OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Este capítulo resume várias técnicas úteis de amostragem de aceitação incluindo planos de amostragem de variáveis que podem ser usados como alternativas para os planos de atributos quando estão disponíveis dados de medidas Discutimos também resumidamente a amostragem em cadeia a amostragem contínua e a amostragem com omissão de lotes Depois do cuidadoso estudo deste capítulo você deve ser capaz de Compreender a diferença entre planos de amostragem de tributos e de variáveis Compreender as vantagens e desvantagens dos planos de amostragem de variáveis Compreender os dois principais planos de amostragem de variáveis Saber como planejar um plano de amostragem de variáveis com determinada curva CO Compreender a estrutura e o uso do MIL STD 414 e seus análogos civis Compreender as diferenças entre os planos de amostragem MIL STD 414 e ANSIASQC Z19 Compreender como os planos de amostragem em cadeia são elaborados e utilizados Compreender como os planos de amostragem contínua são elaborados e utilizados Compreender como os planos de amostragem com omissão de lotes são elaborados e utilizados 161 1611 1612 Amostragem de Aceitação por Variáveis Vantagens e Desvantagens da Amostragem de Variáveis A principal vantagem dos planos de amostragem de variáveis é que a mesma curva característica de operação pode ser obtida com menor tamanho de amostra que o requerido por um plano de amostragem de atributos Assim um plano de amostragem de aceitação de variáveis que tenha a mesma proteção que um plano de amostragem de aceitação de atributos irá requerer menos amostragem Os dados de medidas necessários para um plano de amostragem de variáveis provavelmente custarão mais por observação que a coleta de dados de atributos No entanto a redução obtida no tamanho da amostra pode mais do que compensar esse aumento no custo Por exemplo suponha que um plano de amostragem de atributos exija um tamanho de amostra de 100 itens mas que o plano de amostragem de variáveis equivalente exija um tamanho de amostra de apenas 65 itens Se o custo dos dados de medida é menos que 161 vez o custo de medir as observações em uma escala de atributos o plano de amostragem de variáveis será mais eficiente economicamente considerando apenas os custos de amostragem Quando um teste destrutivo é empregado a amostragem de variáveis é particularmente útil na redução dos custos de inspeção Uma segunda vantagem é que os dados de medidas em geral fornecem mais informação sobre o processo de fabricação ou sobre o lote do que os dados de atributos Geralmente medidas numéricas das características da qualidade são mais úteis que uma simples classificação do item como defeituoso ou não defeituoso Um ponto final a ser enfatizado é que quando os níveis de qualidade aceitáveis são muito pequenos os tamanhos de amostra requeridos pelos planos de amostragem de atributos são muito grandes Sob tais circunstâncias pode haver vantagens significativas em mudar para a medição de variáveis Então como muitos fabricantes começam a enfatizar números toleráveis de peças defeituosas por milhão a amostragem de variáveis se torna bastante atrativa Os planos de amostragem de variáveis têm várias desvantagens Talvez a principal delas seja que a distribuição da característica da qualidade deve ser conhecida Além disso muitos planospadrão de amostragem de aceitação de variáveis supõem que a distribuição da característica da qualidade seja normal Se essa distribuição não for normal e um plano baseado na hipótese de normalidade for empregado podem ocorrer sérios desvios dos riscos anunciados em aceitar ou rejeitar lotes de uma dada qualidade Discutiremos esse ponto mais detalhadamente na Seção 1613 A segunda desvantagem da amostragem de variáveis é que um plano de amostragem separado deve ser empregado para cada característica da qualidade sendo inspecionada Por exemplo se um item está sendo inspecionado com relação a quatro características da qualidade é necessário ter quatro planos separados de amostragem de inspeção de variáveis Se o mesmo produto estivesse sendo inspecionado sob a amostragem de atributos um único plano de amostragem de atributos poderia ser empregado Finalmente é possível que o uso de planos de amostragem de variáveis leve à rejeição de um lote mesmo que a amostra efetivamente inspecionada não contenha itens defeituosos Embora isso não aconteça muito frequentemente quando de fato ocorre causa uma considerável insatisfação nas organizações tanto dos vendedores quanto dos consumidores particularmente se a rejeição do lote provoca a interrupção ou a redução das atividades Tipos de Planos de Amostragem Disponíveis Há dois tipos gerais de procedimentos de amostragem de variáveis planos que controlam a fração de defeituosos ou não conformes do lote ou do processo e planos que controlam um parâmetro do lote ou do processo em geral a média As Seções 162 e 163 apresentam planos de amostragem de variáveis para controlar a fração de defeituosos do processo Os planos de amostragem de variáveis para a média do processo são apresentados na Seção 164 Considere um plano de amostragem de variáveis para controlar a fração de não conformes do lote ou do processo Como a característica da qualidade é uma variável existem ou um limite inferior de especificação LIE ou um limite superior de especificação LSE ou ambos que definem os valores aceitáveis desse parâmetro A Figura 161 ilustra a situação na qual a característica da qualidade x é normalmente distribuída e há um limite inferior de especificação para esse parâmetro O símbolo p representa a fração de defeituosos no lote Note que a fração de defeituosos é uma função da média μ do lote ou do processo e do desviopadrão σ Suponha que o desviopadrão σ seja conhecido Sob essa condição podese desejar tirar uma amostra do lote para determinar se o valor da média é ou não tal que a fração de defeituosos p seja aceitável Como descrito a seguir podemos organizar os cálculos para o plano de amostragem de variáveis de duas maneiras Procedimento 1 Selecione uma amostra de n itens do lote e calcule a estatística Note que ZLIE na equação 161 simplesmente expressa a distância entre a média amostral e o limite inferior de especificação em unidades de desviopadrão Quanto maior o valor de ZLIE mais afastada a média amostral está do limite inferior de especificação e consequentemente menor é a fração de defeituosos do lote p Se existe um valor crítico de p de interesse que não pode ser superado com determinada probabilidade podemos traduzir esse valor de p em uma distância crítica digamos k para ZLIE 1613 162 Então se ZLIE k aceitaríamos o lote porque os dados amostrais indicam que a sua média está bem acima do LIE garantindo que a fração de não conformes do lote é satisfatória No entanto se ZLIE k a média estará muito próxima do LIE e o lote deve ser rejeitado FIGURA 161 Relação da fração p de defeituosos do lote ou do processo com a média e o desviopadrão de uma distribuição normal Procedimento 2 Selecione uma amostra aleatória de n itens do lote e calcule ZLIE usando a equação 161 Use ZLIE para estimar a fração de defeituosos do lote ou do processo como a área sob a curva normal padrão abaixo de ZLIE Na verdade usar como a variável normal padronizada é ligeiramente melhor porque essa é uma estimativa melhor de p Seja a estimativa de p assim obtida Se a estimativa exceder um valor máximo especificado M rejeite o lote caso contrário aceiteo Os dois procedimentos podem ser planejados de modo a fornecer resultados equivalentes Quando há apenas um único limite de especificação LIE ou LSE qualquer um dos procedimentos pode ser usado Obviamente no caso do limite superior de especificação devemos calcular em vez de usar a equação 161 Quando há ambas as especificações superior e inferior o método M Procedimento 2 deve ser usado Quando o desviopadrão σ é desconhecido ele é estimado pelo desviopadrão amostral s e σ nas equações 161 e 162 é substituído por s É possível também elaborar planos baseados na amplitude amostral R em vez de s Entretanto tais planos não serão discutidos neste capítulo porque o uso do desviopadrão amostral resultará em tamanhos de amostra menores Planos baseados em R já foram largamente empregados porque R é mais fácil do que s de ser calculado à mão mas tal cálculo não é problema hoje Cuidados no Uso de Amostragem de Variáveis Salientamos que a distribuição da característica da qualidade deve ter forma conhecida para usarmos amostragem de variáveis Além disso a suposição usual é a de que o parâmetro de interesse siga a distribuição normal Essa suposição é crítica porque todos os planos de amostragem de variáveis exigem que haja algum método de conversão da média e do desviopadrão amostrais em uma fração de defeituosos do lote ou do processo Se o parâmetro de interesse não for normalmente distribuído estimativas da fração de defeituosos baseadas na média amostral e no desviopadrão amostral não serão as mesmas que no caso de distribuição normal do parâmetro A diferença entre essas frações de defeituosos estimadas pode ser grande quando estamos lidando com pequenas frações de defeituosos Por exemplo se a média de uma distribuição normal está três desviospadrão abaixo do limite superior de especificação o lote não conterá mais de 0135 de defeituosos Por outro lado se a distribuição da característica da qualidade do lote ou do processo se afasta muito da normal e a média está três desviospadrão abaixo do limite superior de especificação é completamente possível que 1 ou mais dos itens no lote seja defeituoso É possível usar planos de amostragem de variáveis quando o parâmetro de interesse não tem distribuição normal Contanto que a forma da distribuição seja conhecida ou que exista um método de determinar a fração de defeituosos a partir da média e do desvio padrão amostrais ou alguma outra estatística amostral apropriada é possível estabelecerse um procedimento para aplicar um plano de amostragem de variáveis Por exemplo Duncan 1986 apresenta um procedimento para usar um plano de amostragem de variáveis quando a distribuição da característica da qualidade pode ser descrita por uma distribuição de Pearson tipo III No entanto uma discussão geral de amostragem de variáveis para o caso não normal está além do escopo deste livro Elaboração de um Plano de Amostragem para Variáveis com uma Curva CO Especificada É fácil elaborar um plano de amostragem de variáveis que tenha uma curva CO específica usando o Procedimento 1 o método k Sejam p1 1 α e p2 β dois pontos sobre a curva CO de interesse Note que p1 e p2 podem ser níveis da fração de não conformes do lote ou do processo correspondentes a níveis aceitável e rejeitável de qualidade respectivamente O nomograma exibido na Figura 162 permite que o engenheiro da qualidade encontre o tamanho de amostra n exigido e o valor crítico k que satisfaçam as condições dadas p1 1 α p2 β para ambos os casos σ conhecido ou não O nomograma contém escalas separadas para o tamanho de amostra para os dois casos A maior incerteza no caso em que o desviopadrão é desconhecido requer um tamanho de amostra maior do que no caso em que σ é conhecido mas o mesmo valor de k é usado Adicionalmente para um dado plano de amostragem a probabilidade de aceitação para qualquer valor da fração de defeituosos pode ser encontrada a partir do nomograma Plotando vários desses pontos o engenheiro da qualidade pode construir uma curva característica de operação do plano de amostragem O uso desse nomograma é ilustrado no seguinte exemplo FIGURA 162 Nomograma para elaboração de planos de amostragem de variáveis EXEMPLO 161 Um Plano de Amostragem para Variáveis Um engarrafador de refrigerantes compra garrafas descartáveis de um fornecedor O engarrafador estabeleceu uma especificação inferior para a força de ruptura das garrafas em 225 psi Se 1 ou menos das garrafas se rompe abaixo desse limite o engarrafador deseja aceitar o lote com probabilidade 095 p1 001 e 1 α 095 enquanto se 6 ou mais das garrafas se rompem abaixo desse limite o engarrafador deseja rejeitar o lote com probabilidade 090 p2 006 e β 010 Determine o plano de amostragem SOLUÇÃO Para achar o plano amostral trace uma linha conectando o ponto 001 na escala da fração de defeituosos na Figura 162 ao ponto 095 na escala da probabilidade de aceitação Em seguida trace uma linha análoga conectando os pontos p2 006 e Pa 010 Na interseção dessas linhas lemos k 19 Suponha que σ seja desconhecido Seguindo a linha curva do ponto de interseção à escala superior do tamanho da amostra resulta n 40 Assim o procedimento consiste em tomar uma amostra de n 40 garrafas observar as forças de ruptura calcular e s para em seguida calcular e aceitar o lote se ZLIE k 19 Se σ for conhecido desça verticalmente a partir do ponto de interseção à escala de σ conhecido Isso resultará em um tamanho de amostra n 15 Assim se o desviopadrão for conhecido será possível uma considerável redução no tamanho da amostra FIGURA 163 Gráfico para determinar a fração de defeituosos máxima permissível M De A J Duncan Quality Control and Industrial Statistics 5a ed Irwin Homewood IL 1986 com permissão do editor É possível também elaborar planos de amostragem de aceitação de variáveis a partir do nomograma usando o Procedimento 2 o método M Para fazer isso é necessário um passo adicional A Figura 163 apresenta um gráfico para determinar a fração de defeituosos máxima permissível M Uma vez que os valores de n e k tenham sido determinados para o plano de amostragem apropriado a partir da Figura 162 o valor de M pode ser lido diretamente da Figura 163 Para usar o Procedimento 2 é necessário converter os valores de ZLIE ou ZLSE em uma fração de defeituosos estimada A Figura 164 pode ser usada para esse propósito O seguinte exemplo ilustra como um plano de amostragem única para variáveis com limite de especificação unilateral pode ser elaborado usando o Procedimento 2 FIGURA 164 Gráfico para determinar a partir de Z De A J Duncan Quality Control and Industrial Statistics 5ªed Irwin Homewood IL 1986 com permissão do editor EXEMPLO 162 Amostragem de Variáveis com Especificação Unilateral Considere a situação descrita no Exemplo 161 Estabeleça um plano de amostragem usando o Procedimento 2 SOLUÇÃO 163 1631 Como sabemos que n 40 e k 19 entramos na Figura 163 com n 40 e valor da abscissa Isso indica que M 0030 Suponha agora que uma amostra de n 40 seja selecionada e que observemos 255 e s 15 O valor de ZLIE é Na Figura 164 lemos que 0020 Como 0020 é menor que M 0030 aceitaremos o lote Quando há dois limites de especificação o Procedimento 2 pode ser usado diretamente Começamos obtendo o tamanho da amostra n e o valor crítico k para um plano de limite único que tenha os mesmos valores desejados de p1 p2 α e β que o plano com dois limites de especificação Em seguida o valor de M é obtido diretamente da Figura 163 Agora na operação do plano de amostragem de aceitação calculamos ZLIE e ZLSE e a partir da Figura 164 achamos as correspondentes estimativas das frações de defeituosos digamos o lote será aceito caso contrário o lote será rejeitado É também possível usar o Procedimento 1 para o caso de dois limites de especificação No entanto o procedimento tem que ser extensamente modificado Detalhes das modificações estão em Duncan 1986 MIL STD 414 ANSIASQC Z19 Descrição Geral do Padrão MIL STD 414 é um plano de amostragem de aceitação lote a lote para variáveis O padrão foi introduzido em 1957 O ponto focado nesse padrão é o nível de qualidade aceitável NQA que varia de 004 a 15 Há cinco níveis gerais de inspeção e o nível IV é designado normal O nível de inspeção V dá uma curva CO de inclinação mais acentuada que o nível IV Quando são necessários custos de amostragem reduzidos e quando riscos maiores podem ou têm que ser tolerados níveis de inspeção mais baixos podem ser usados Assim como no padrão de atributos MIL STD 105E códigos alfabéticos para o tamanho da amostra são usados mas a mesma letra de código não implica o mesmo tamanho de amostra em ambos os padrões Além disso as classes de tamanho de lote são diferentes em ambos os padrões Os tamanhos das amostras são função do tamanho do lote e do nível de inspeção Dãose condições para inspeção normal intensificada e reduzida Todos os planos e procedimentos de amostragem no padrão supõem que a característica da qualidade de interesse seja normalmente distribuída FIGURA 165 Organização do MIL STD 414 A Figura 165 apresenta a organização do padrão Note que os planos de amostragem de aceitação podem ser elaborados para os casos em que a variabilidade do lote ou do processo é conhecida ou desconhecida e onde há um ou dois limites de especificação para a característica da qualidade No caso de um único limite de especificação podese usar o Procedimento 1 ou o Procedimento 2 Se houver dois limites de especificação então o Procedimento 2 terá que ser usado Se a variabilidade do lote ou do processo for conhecida e estável os planos de variabilidade conhecida serão mais eficientes economicamente Quando a variabilidade do lote ou do processo é desconhecida o desviopadrão amostral ou a amplitude amostral tem que ser usado na operacionalização do plano de amostragem O método da amplitude requer maior tamanho de amostra e em geral não recomendamos seu uso 1632 TABELA 161 Códigos Alfabéticos dos Tamanhos de Amostra Tabela A2 MIL STD 414 Níveis de Inspeção Tamanho do Lote I II III IV V 3 a 8 B B B B C 9 a 15 B B B B D 16 a 25 B B B C E 26 a 40 B B B D F 41 a 65 B B C E G 66 a 110 B B D F H 111 a 180 B C E G I 181 a 300 B D F H J 301 a 500 C E G I K 501 a 800 D F H J L 801 a 1300 E G I K L 1301 a 3200 F H J L M 3201 a 8000 G I L M N 8001 a 22000 H J M N O 22001 a 110000 I K N O P 110001 a 550000 I K O P Q 550001 ou mais I K P Q Q MIL STD 414 é dividido em quatro seções A Seção A é uma descrição geral dos planos de amostragem incluindo definições códigos alfabéticos dos tamanhos de amostra e curvas CO para vários planos de amostragem A Seção B do padrão fornece os planos de amostragem de variáveis baseados no desviopadrão amostral para o caso em que a variabilidade do processo ou do lote é desconhecida A Seção C apresenta os planos de amostragem de variáveis baseados no método da amplitude amostral A Seção D apresenta os planos de amostragem de variáveis para o caso em que o desviopadrão do processo é conhecido Uso das Tabelas Duas tabelas típicas do MIL STD 414 são reproduzidas nas Tabelas 161 e 162 O seguinte exemplo ilustra o uso dessas tabelas EXEMPLO 163 Usando o MIL STD 414 Considere o engarrafador de refrigerantes dos dois exemplos anteriores que está comprando garrafas de um fornecedor O limite inferior de especificação é 225 psi Suponha que o NQA nesse limite de especificação seja 1 Admitamos que as garrafas sejam transportadas em lotes de tamanho 100000 Obtenha um plano de amostragem de variáveis que usa o Procedimento 1 do MIL STD 414 Suponha que o desviopadrão do lote seja desconhecido SOLUÇÃO Da Tabela 161 se usarmos o nível de inspeção IV o código alfabético do tamanho da amostra será O Da Tabela 162 vemos que o código alfabético do tamanho da amostra O implica um tamanho de amostra n 100 Para um nível de qualidade aceitável de 1 1633 sob inspeção normal o valor de k é 200 Se inspeção intensificada for empregada o valor apropriado de k será 214 Note que as inspeções normal e intensificada usam as mesmas tabelas Os valores do NQA para inspeção normal encontramse indexados no topo da tabela e os valores do NQA para inspeção intensificada estão indexados na parte inferior da tabela TABELA 162 Tabela Mestra para Inspeção Normal e Intensificada para Planos Baseados em Variabilidade Desconhecida Método do DesvioPadrão Limite de Especificação Unilateral Formulário 1 MIL STD 414 Tabela B1 MIL STD 414 contém a condição para uma mudança para inspeção intensificada ou reduzida quando isso é permitido A média do processo é usada como base para determinar quando tal mudança é feita A média do processo é tomada como a média das estimativas amostrais do percentual de defeituosos calculada a partir dos lotes submetidos à inspeção original Em geral a média do processo é calculada usando a informação dos 10 lotes precedentes Mais detalhes dos procedimentos de mudança são descritos no padrão e no memorando técnico sobre o MIL STD 414 publicado pelo United States Department of Navy Bureau of Ordnance A estimação da fração de defeituosos é necessária quando se usa o Procedimento 2 do MIL STD 414 É necessária também na implementação das regras de mudança entre inspeção normal intensificada e reduzida No padrão três tabelas são dadas para estimar a fração de defeituosos Ao se iniciar o uso do MIL STD 414 podese escolher entre os procedimentos de desviopadrão conhecido e desviopadrão desconhecido Quando não há qualquer base para o conhecimento de σ obviamente o plano de desviopadrão desconhecido tem que ser usado No entanto é uma boa ideia manter ou um gráfico R ou um gráfico s para os dados de cada lote de modo que se possa coletar alguma informação sobre o estado de controle estatístico da dispersão no processo de manufatura Se o gráfico de controle indicar controle estatístico será possível mudar para um plano de σ conhecido Tal mudança reduzirá o tamanho exigido da amostra Mesmo que o processo não esteja perfeitamente controlado o gráfico de controle pode fornecer informação que leve a uma estimativa conservadora de σ para uso em um plano de σ conhecido Quando um plano de σ conhecido é usado é necessário também manter um gráfico de controle R ou s como uma verificação contínua da suposição de variabilidade do processo conhecida e estável MIL STD 414 contém um procedimento especial para aplicação de planos de amostragem de aceitação mistos variáveisatributos Se o lote não atende ao critério de aceitabilidade do plano de variáveis um plano de amostragem única para atributos usando inspeção intensificada e o mesmo NQA será obtido do MIL STD 105E Um lote pode ser aceito por um dos planos em sequência mas tem que ser rejeitado por ambos os planos de atributos e de variáveis Discussão do MIL STD 414 e ANSIASQC Z19 Em 1980 o American National Standards Institute e a American Society for Quality Control lançaram uma versão civil atualizada do MIL STD 414 conhecida como ANSIASQC Z19 MIL STD 414 foi originalmente estruturado para dar proteção essencialmente equivalente àquela fornecida pelo MIL STD 105A 1950 Quando MIL STD 105D foi adotado em 1963 esse novo padrão continha substancialmente tabelas e procedimentos revistos que levavam a diferenças na proteção com relação ao MIL STD 414 Consequentemente não é possível mudar diretamente de um plano de atributos no MIL STD 105E atual para um plano de variáveis correspondente no MIL STD 414 se a garantia de proteção continuada for desejada para certos tamanhos de lote e NQAs 1 2 3 4 5 164 1641 O análogo civil do MIL STD 414 ANSIASQC Z19 restabelece essa semelhança original Isto é ANSIASQC Z19 agora é diretamente compatível com MIL STD 105E e seu análogo civil ANSIASQC Z14 Essa equivalência foi obtida pela incorporação das seguintes revisões no ANSIASQC Z19 O domínio dos tamanhos de lotes foi ajustado para corresponder ao MIL STD 105D Os códigos alfabéticos para os diferentes domínios de tamanhos de amostra foram arranjados para tornar a proteção igual à do MIL STD 105E NQAs de 004 0065 e 15 foram excluídos Os níveis de inspeção original I II III IV e V foram rotulados como S3 S4 I II III respectivamente As regras de mudança originais foram substituídas por aquelas do MIL STD 105E com pequenas revisões Adicionalmente para modernizar a terminologia a expressão não conformidade foi substituída por defeito não conforme foi substituída por defeituoso e percentual não conforme foi substituída por percentual de defeituosos As curvas características de operação foram recalculadas e redesenhadas e mudanças editoriais foram feitas no material descritivo para tornálo semelhante tanto quanto possível ao MIL STD 105E Finalmente um apêndice foi incluído mostrando a semelhança entre ANSIASQC Z19 MIL STD 105E e a versão civil correspondente ANSI Z14 Esse apêndice também fornece pontos percentuais selecionados das curvas CO desses padrões e suas diferenças Quando este livro estava sendo escrito o Department of Defense não tinha adotado oficialmente o ANSIASQC Z19 e continuava a usar o MIL STD 414 Ambos os padrões provavelmente serão usados no futuro próximo A principal vantagem do padrão ANSIASQC Z19 é que ele torna possível começar a inspeção usando um esquema de amostragem de atributos do MIL STD 105E ou ANSIASQC Z14 coletar informação suficiente para usar inspeção de variáveis e então mudar para um esquema de variáveis ao mesmo tempo que mantém a mesma combinação NQAcódigo alfabético Seria possível então voltar para um esquema de atributos se a suposição do esquema de variáveis parecesse não ser satisfeita É também possível tirar vantagem da informação ganha na inspeção coordenada de atributos e de variáveis para mudar de maneira lógica da amostragem de inspeção para o controle estatístico do processo Assim como no MIL STD 414 ANSIASQC Z19 supõe que a característica da qualidade seja normalmente distribuída Essa é uma suposição importante sobre a qual já comentamos anteriormente Sugerimos então que um teste de normalidade fosse incorporado como parte do padrão Uma maneira de se fazer isso é exibindo um gráfico de controle para e S ou e R construídos a partir dos dados de variáveis para cada lote Depois que um número suficiente de observações tiver sido obtido um teste para normalidade pode ser empregado plotando as medidas individuais em um gráfico de probabilidade normal ou executando testes estatísticos específicos para normalidade É recomendável que um tamanho de amostra relativamente grande seja usado nesse teste estatístico Pelo menos 100 observações devem ser coletadas antes de se fazer o teste para normalidade e é nossa crença que o tamanho da amostra deva crescer inversamente com o NQA Se a suposição de normalidade for fortemente violada ou um procedimento especial de amostragem de variáveis for empregado devemos voltar para a inspeção de atributos Uma vantagem adicional de aplicar um gráfico de controle ao resultado de cada lote é que se a variabilidade do processo tem se mantido sob controle nas últimas 30 amostras será possível mudar para um plano de desviopadrão conhecido permitindo assim uma redução substancial no tamanho da amostra Embora isso possa ser instituído em qualquer programa combinado de inspeção de atributos e de variáveis é fácil fazêlo nos padrões ANSIASQC por causa da equivalência entre os procedimentos de atributos e de variáveis Outros Procedimentos de Amostragem de Variáveis Amostragem de Variáveis para Fornecer Garantia sobre a Média do Lote ou do Processo Planos de amostragem de variáveis podem também ser usados para dar garantia quanto à qualidade média do material em vez da fração de defeituosos Planos de amostragem tais como esse são mais provavelmente empregados na amostragem de material a granel que vem em sacos tambores ou outros contêineres No entanto eles também podem ser aplicados a partes discretas e a outras variáveis tais como perda de energia em transformadores A abordagem geral empregada nesse tipo de amostragem de variáveis é a de teste de hipótese estatística Apresentamos agora um exemplo do procedimento EXEMPLO 164 Amostragem que Fornece Garantia Relativa à Qualidade Média Um fabricante de painéis de madeira seleciona amostras de tábuas não trabalhadas compradas de um fornecedor para determinar o nível de emissão de formaldeído Contanto que o nível médio de emissão seja inferior a 03 ppm o lote será satisfatório Queremos elaborar um procedimento de amostragem de variáveis que dará aos lotes com nível médio de emissão de 03 ppm uma probabilidade de aceitação de 095 e aos lotes com nível médio de emissão de 04 ppm uma probabilidade de aceitação de 010 De experiência anterior sabese que o maior valor provável do desviopadrão do nível de emissão é σ 010 ppm 1642 165 1 2 SOLUÇÃO Seja o valor da média amostral acima do qual o lote será aceito Então sabemos que é distribuída como uma variável normal padrão Se lotes desse tipo tiverem probabilidade 095 de aceitação então Analogamente se lotes que tiverem nível médio de emissão de 040 ppm terão probabilidade de aceitação de 010 então Essas duas equações podem ser resolvidas para n e resultando n 9 e 0356 É também possível elaborar planos de amostragem usando o método da curva CO Podemos também planejar procedimentos de amostragem de aceitação de variáveis como esse para o caso em que o desviopadrão seja desconhecido Analogamente podemos elaborar planos de amostragem de aceitação de variáveis lote a lote para dar garantia quanto ao desviopadrão do lote ou do processo As técnicaspadrão de testes de hipótese estatística sobre médias e variâncias podem ser usadas para a obtenção de procedimentos que têm curvas CO especificadas Para uma discussão detalhada do planejamento desses procedimentos veja Montgomery e Runger 2011 Amostragem Sequencial de Variáveis Assim como a amostragem sequencial se mostra útil na inspeção de atributos ela também pode ser aplicada na inspeção de variáveis As suposições usuais são de que a característica da qualidade é normalmente distribuída e de que o desviopadrão do lote ou do processo é conhecido O plano de amostragem sequencial item por item para variáveis plota a soma cumulativa das medidas sobre a característica da qualidade Linhas limite para aceitação do lote rejeição do lote e continuação da amostragem são construídas de modo análogo ao usado na inspeção de atributos Duncan 1986 fornece uma boa discussão da elaboração desses planos Amostragem em Cadeia Nas situações em que o teste é destrutivo ou muito caro planos de amostragem com pequenos tamanhos de amostra são usualmente escolhidos Esses planos de amostragem com pequenos tamanhos de amostra frequentemente têm número de aceitação zero Entretanto planos com número de aceitação zero são em geral indesejáveis porque as curvas CO são convexas em toda parte Isso significa que a probabilidade de aceitação do lote começa a cair rapidamente à medida que a fração de defeituosos no lote se torna maior que zero Isso em geral é injusto para o produtor e nas situações onde a inspeção de retificação é usada pode exigir que o consumidor verifique um grande número de lotes que são essencialmente de boa qualidade As Figuras 155 e 157 no Capítulo 15 apresentam as curvas CO de planos de amostragem que têm números de aceitação zero e maiores que zero Dodge 1955 sugeriu um procedimento alternativo conhecido como amostragem em cadeia que pode ser um substituto sob certas circunstâncias para planos ordinários de amostragem única com números de aceitação zero Os planos de amostragem em cadeia fazem uso dos resultados cumulativos de vários lotes O procedimento geral é o seguinte Para cada lote selecione uma amostra de tamanho n e observe o número de defeituosos Se a amostra tem zero defeituosos aceite o lote se a amostra tem dois ou mais defeituosos rejeite o lote e se a amostra tem um defeituoso aceite o lote desde que não tenha havido defeituosos nos i lotes anteriores Então para um plano de amostragem em cadeia dado por n 5 i 3 um lote seria aceito se não houvesse defeituosos em uma amostra de cinco ou se houvesse um defeituoso na amostra de cinco e nenhum defeituoso nos três lotes anteriores Esse tipo de plano é conhecido como ChSP1 do inglês Chain Sampling Plan O efeito da amostragem em cadeia é alterar a forma da curva CO próximo à origem de modo que ela tenha uma forma mais desejável Isto é é mais difícil rejeitar lotes com fração de defeituosos muito pequena com um plano ChSP1 do que com amostragem única ordinária A Figura 166 mostra curvas CO para planos ChSP1 com n 5 c 0 e i 1 2 3 e 5 A curva para i 1 não é a escolha preferida Na prática valores de i variam em geral entre três e cinco uma vez que as curvas CO de tais planos se aproximam da curva CO do plano de amostragem única Os pontos sobre a curva CO de um plano ChSP1 são dados pela equação 1 2 3 4 5 166 em que P0 n e P1 n são as probabilidades de obtermos 0 e 1 defeituosos respectivamente em uma amostra aleatória de tamanho n Para ilustrar os cálculos considere o plano ChSP1 com n 5 c 0 e i 3 Para p 010 temos O uso adequado da amostragem em cadeia requer que as seguintes condições sejam satisfeitas FIGURA 166 Curvas CO para planos ChSP1 com n 5 c 0 e i 1 2 3 e 5 Reproduzido com permissão de H F Dodge Chain Sampling Inspection Plans Industrial Quality Control Vol 11 Nº 4 1955 O lote deve ser um de uma série de lotes em um fluxo contínuo de um processo no qual há produção repetitiva sob as mesmas condições e no qual os lotes de produtos são oferecidos para aceitação substancialmente na ordem de produção Em geral esperase que os lotes sejam essencialmente da mesma qualidade A agência de amostragem não deve ter razão alguma para acreditar que o lote atual seja de qualidade inferior à dos lotes imediatamente anteriores Deve haver um bom registro do desempenho da qualidade por parte do fornecedor A agência de amostragem tem que ter confiança no fornecedor no sentido de que ele não tirará proveito de seu bom registro mandando ocasionalmente um lote ruim quando tal lote tiver uma boa chance de aceitação Amostragem Contínua Todos os planos de amostragem discutidos anteriormente são planos lote a lote Com esses planos há uma suposição explícita de que o produto é formado em lotes e o objetivo do plano de amostragem é sentenciar lotes individuais No entanto muitas operações de manufatura particularmente processos de montagem complexos não resultam na formação natural de lotes Por exemplo a manufatura de muitos produtos eletrônicos tais como microcomputadores é feita em uma linha de montagem com esteira transportadora Quando a produção é contínua duas abordagens podem ser usadas para a formação de lotes O primeiro procedimento permite a acumulação da produção em pontos dados do processo de montagem Ele tem a desvantagem de criar estoques durante o processo em vários pontos o que requer espaço adicional pode constituir um risco à segurança e é geralmente uma abordagem ineficiente para administrar uma linha de montagem O segundo procedimento marca arbitrariamente um dado segmento da produção como um lote 1661 A desvantagem dessa abordagem é que se um lote é ao final rejeitado e inspeção 100 é subsequentemente exigida pode ser necessário trazer de volta produtos das operações de manufatura que estão adiante na esteira de produção Isso pode exigir a desmontagem ou pelo menos destruição parcial de itens semiacabados Por essas razões foram desenvolvidos planos de amostragem especiais para produção contínua Planos de amostragem contínua consistem em sequências alternadas de inspeção por amostragem e varredura inspeção 100 Os planos em geral começam com inspeção 100 e quando um determinado número de unidades sem defeito é encontrado o número de unidades i é geralmente chamado de número de liberação iniciase a inspeção por amostragem A inspeção por amostragem continua até que um número especificado de unidades defeituosas é encontrado quando então a inspeção 100 é retomada Planos de amostragem contínua são planos de inspeção de retificação no sentido de que a qualidade do produto é melhorada pela varredura parcial CSP1 Planos de amostragem contínua foram inicialmente propostos por Harold F Dodge 1943 O plano inicial de Dodge é chamado CSP1 do inglês continuoussampling plan No início do plano todas as unidades sofrem inspeção 100 Tão logo o número de liberação seja atingido isto é tão logo sejam encontradas i unidades consecutivas do produto sem defeitos a inspeção 100 é interrompida e somente uma fração f das unidades é inspecionada Essas unidades amostrais são selecionadas uma de cada vez aleatoriamente do fluxo de produção Se uma unidade amostral estiver defeituosa retomase a inspeção 100 Todas as unidades defeituosas são retrabalhadas ou substituídas por unidades boas O procedimento para o CSP1 é mostrado na Figura 167 Um plano CSP1 tem um LQSM geral cujo valor depende dos valores do número de liberação i e da fração amostral f O mesmo LQSM pode ser obtido por diferentes combinações de i e f A Tabela 163 apresenta vários valores de i e f para o CSP1 que levam a um LQSM estipulado Note na tabela que um LQSM de 079 poderia ser obtido usando um plano com i 59 e ou com i 113 e A escolha de i e f em geral é baseada em considerações práticas sobre o processo de manufatura Por exemplo i e f podem ser influenciados pela carga de trabalho dos inspetores e operadores do sistema É uma prática bastante comum usar inspetores de garantia da qualidade na inspeção de amostragem e colocar o fardo da inspeção 100 sobre o pessoal da fabricação Como regra geral no entanto não é uma boa ideia escolher valores de f que sejam inferiores a porque a proteção contra a má qualidade em um processo de produção contínua se torna muito pobre O número médio de unidades inspecionadas em uma sequência de varredura 100 seguida a um item defeituoso é igual a FIGURA 167 Procedimento para os planos CSP1 em que q 1 p e p é a fração de defeituosos produzida quando o processo está operando sob controle O número médio de unidades que passam pelo procedimento de inspeção por amostragem antes que um item defeituoso seja encontrado é A fração média inspecionada do total de unidades manufaturadas no longo prazo é A fração média de unidades manufaturadas colocada sob o procedimento de amostragem é Quando Pa é plotada como uma função de p obtémse a curva característica de operação para o plano de amostragem contínua Note que enquanto a curva CO para um plano de amostragem de aceitação lote a lote dá a percentagem de lotes que seriam colocados sob inspeção por amostragem a curva CO para o plano de amostragem contínua dá o percentual de unidades colocadas sob inspeção por amostragem Gráficos das curvas características de operação para vários valores de f e i para planos CSP1 são exibidos na Figura 168 Note que para valores de f de moderados a pequenos i tem muito mais efeito sobre a forma da curva do que f TABELA 163 Valores de i para Planos CSP1 LQSM f 0018 0033 0046 0074 0113 0143 0198 033 053 079 122 190 290 494 712 1146 1662 12 1540 840 600 375 245 194 140 84 53 36 23 15 10 6 5 3 13 2550 1390 1000 620 405 321 232 140 87 59 38 25 16 10 7 5 14 3340 1820 1310 810 530 420 303 182 113 76 49 32 21 13 9 6 15 3960 2160 1550 965 630 498 360 217 135 91 58 38 25 15 11 7 17 4950 2700 1940 1205 790 623 450 270 168 113 73 47 31 18 13 8 110 6050 3300 2370 1470 965 762 550 335 207 138 89 57 38 22 16 10 115 7390 4030 2890 1800 1180 930 672 410 255 170 108 70 46 27 19 12 125 9110 4970 3570 2215 1450 1147 828 500 315 210 134 86 57 33 23 14 150 11730 6400 4590 2855 1870 1477 1067 640 400 270 175 110 72 42 29 18 1100 14320 7810 5600 3485 2305 1820 1302 790 500 330 215 135 89 52 36 22 1200 17420 9500 6810 4235 2760 2178 1583 950 590 400 255 165 106 62 43 26 FIGURA 168 Curvas características de operação para vários planos de amostragem contínua CSP1 Adaptado com permissão de A J Duncan Quality Control and Industrial Statistics 5a ed Irwin Homewood IL 1986 Outros Planos de Amostragem Contínua Tem havido algumas variações no plano original CSP1 de Dodge Uma variação foi planejada para contornar a objeção de que a ocorrência de uma única unidade defeituosa isolada não garante retorno à inspeção 100 Isso é especialmente verdadeiro quando estamos lidando com defeitos menores Para contornar essa objeção Dodge e Torrey 1951 propuseram CSP2 e CSP3 Sob o CSP 2 quando a produção está sob inspeção por amostragem inspeção 100 não será retomada até que duas unidades amostrais defeituosas tenham sido encontradas dentro de um espaço de K unidades amostrais entre elas É prática comum escolher K igual ao número de liberação i Os planos CSP2 são indexados por LQSMs específicos que podem ser obtidos por diferentes combinações de i e f CSP3 é muito semelhante ao CSP2 mas é planejado para dar proteção adicional contra produção irregular CSP3 requer que depois de encontrada uma unidade defeituosa na inspeção por amostragem as quatro unidades imediatamente seguintes sejam inspecionadas Se alguma dessas unidades for defeituosa a inspeção 100 é restabelecida imediatamente Se nenhuma defeituosa for encontrada o plano continua como sob CSP2 Outra objeção comum aos planos de amostragem contínua é a transição abrupta entre inspeção por amostragem e inspeção 100 Lieberman e Solomon 1955 elaboraram planos de amostragem contínua multinível para superar essa objeção Planos de amostragem contínua multinível começam com inspeção 100 como o CSP1 e em seguida mudam para inspeção de uma fração f da produção tão logo o número de liberação i tenha sido atingido No entanto quando sob inspeção por amostragem a uma taxa f se uma sequência de i unidades amostrais consecutivas sem defeitos for encontrada então a amostragem continua a uma taxa f2 Se outra sequência de i unidades amostrais se apresenta sem defeitos então a amostragem continua a uma taxa f3 Essa redução na frequência de amostragem pode continuar tanto quanto a agência de amostragem o deseje Se em qualquer instante a inspeção por amostragem revela uma unidade defeituosa retornase imediatamente ao próximo nível de amostragem mais baixo Esse tipo de plano de amostragem contínua multinível reduz grandemente o esforço de inspeção quando o processo de fabricação está operando muito bem e 167 1 2 3 o aumenta durante o período de produção fraca Essa transição na intensidade de inspeção é também levada a cabo sem mudanças abruptas na carga de inspeção Muito do trabalho em planos de amostragem contínua foi incorporado ao MIL STD 1235C O padrão previnese para cinco tipos diferentes de planos de amostragem contínua Tabelas para auxiliar o analista na elaboração dos planos de amostragem são também apresentadas no padrão CSP1 e CSP2 são parte do MIL STD 1235C Adicionalmente há dois procedimentos de amostragem contínua de nível único CSPF e CSPV O quinto plano no padrão é o CSPT um plano de amostragem contínua multinível Os planos de amostragem no MIL STD 1235C são indexados pelo código alfabético da frequência de amostragem e pelo LQSM Eles são também indexados pelos NQAs do MIL STD 105E Esse aspecto do MIL STD 1235C tem gerado considerável controvérsia Planos CSP não são planos NQA e não têm NQAs naturalmente associados a eles MIL STD 105E que de fato focaliza o NQA é planejado para situações de manufatura nas quais o loteamento é um aspecto natural da produção e fornece um conjunto de regras de decisão para sentenciamento do lote de modo que certa proteção NQA seja obtida Planos CSP são elaborados para situações nas quais a produção é contínua e o loteamento não é um aspecto natural das situações de manufatura No MIL STD 1235C as tabelas dos planos de amostragem contêm notas explicativas que indicam que NQAs não têm qualquer significado relativo ao plano e que são usados apenas como um índice Planos de Amostragem com Omissão de Lotes Esta seção descreve o desenvolvimento e a avaliação de um sistema de planos de inspeção lote a lote no qual ações são tomadas para inspecionar apenas alguma fração dos lotes submetidos Esses planos são conhecidos como planos de amostragem com omissão de lotes Em termos gerais os planos de amostragem com omissão de lotes devem ser usados apenas quando a qualidade do produto é boa como demonstrado pela história de qualidade do vendedor Dodge 1956 inicialmente apresentou os planos de amostragem com omissão de lotes como uma extensão dos planos de amostragem contínua tipo CSP De fato um plano de amostragem com omissão de lotes é a aplicação da amostragem contínua a lotes em vez de as unidades individuais de produção em uma linha de montagem A versão da amostragem com omissão de lotes inicialmente proposta por Dodge requeria uma determinação ou análise única para verificar a aceitabilidade ou não aceitabilidade do lote Esses planos são chamados SkSP1 do inglês skiplot sampling plans Os planos de amostragem com omissão de lotes designados SkSP2 seguem o seguinte passo lógico cada lote a ser sentenciado é amostrado de acordo com um particular plano de inspeção de lotes por atributo Perry 1973 apresenta uma boa discussão desses planos Um plano de amostragem com omissão de lotes do tipo SkSP2 usa um plano de inspeção especificado chamado de o plano de amostragem de referência junto com as seguintes regras Inicie com inspeção normal usando o plano de referência Neste estágio da operação todo lote é inspecionado Quando i lotes consecutivos são aceitos na inspeção normal mude para inspeção com omissão em que uma fração f dos lotes é inspecionada Quando um lote é rejeitado na inspeção com omissão retorne à inspeção normal Os parâmetros f e i são os parâmetros do plano de amostragem com omissão de lotes tipo SkSP2 Em geral o número de liberação i é um inteiro positivo e a fração amostral f está no intervalo 0 f 1 Quando a fração amostral f 1 o plano de amostragem com omissão de lotes se reduz ao plano de amostragem de referência original Seja P a probabilidade de aceitação de um lote no plano de amostragem de referência Então Paf i é a probabilidade de aceitação no plano de amostragem com omissão de lotes SkSP2 em que Podese mostrar que para f2 f1 um dado valor do número de liberação i e um plano de amostragem de referência especificado Além disso para números de liberação inteiros i j um valor fixo de f e um dado plano de amostragem de referência Essas propriedades do plano de amostragem com omissão de lotes são mostradas nas Figuras 169 e 1610 para o plano de referência n 20 c 1 A curva CO para o plano de referência também é exibida nesses gráficos Uma propriedade muito importante do plano de amostragem com omissão de lotes é a quantidade média de inspeção exigida Em geral planos de amostragem com omissão de lotes são usados quando é necessário reduzir a quantidade média de inspeção exigida O tamanho amostral médio de um plano de amostragem com omissão de lotes é 1 2 em que F é a fração média de lotes submetidos que são amostrados e TAMR é o tamanho amostral médio do plano de referência Podese mostrar que Assim como 0 F 1 segue que Então amostragem com omissão de lotes leva a uma redução no tamanho amostral médio TAM Para situações nas quais a qualidade dos lotes que entram é muito boa essa redução no esforço de inspeção pode ser significativa FIGURA 169 Curvas CO para planos com omissão de lotes SkSP2 plano de referência com amostragem única mesma f i diferente De R L Perry SkipLot Sampling Plans Journal of Quality Technology Vol 5 1973 com permissão da American Society for Quality Control FIGURA 1610 Curvas CO para planos SkSP2 plano de referência com amostragem única mesma i f diferente De R L Perry SkipLot Sampling Plans Journal of Quality Technology Vol 5 1973 com permissão da American Society for Quality Control Para ilustrar o comportamento do tamanho amostral médio de um plano de amostragem com omissão de lotes considere o plano de referência n 20 e c 1 Como o tamanho amostral médio de um plano de amostragem única é TAM n temos que TAMSkSP nF A Figura 1611 apresenta a curva TAM para o plano de referência n 20 c 1 e para os seguintes planos de amostragem com omissão de lotes 3 4 Examinando a Figura 1611 podemos ver que para pequenos valores da fração de defeituosos dos lotes que entram as reduções nos tamanhos amostrais médios são bastante substanciais para os planos de amostragem com omissão de lotes avaliados Se a qualidade do lote que entra é muito boa consistentemente próxima de uma fração zero de não conformes digamos então um pequeno valor de f talvez ou pode ser usado Se a qualidade de entrada é um pouco pior então um valor apropriado de f deve ser Planos de amostragem com omissão de lotes são um eficiente procedimento de amostragem de aceitação e podem ser úteis como um sistema de inspeção reduzida Sua eficiência é particularmente grande quando a qualidade dos lotes submetidos é muito boa No entanto devese ter o cuidado de usar os planos de amostragem com omissão de lotes apenas para situações em que há história suficiente sobre a qualidade do fornecedor para assegurar que a qualidade dos lotes submetidos é de fato muito boa Além disso se o processo do fornecedor for muito errático e houver grande variabilidade de lote para lote os planos de amostragem com omissão de lotes não serão apropriados Eles parecem funcionar melhor quando o processo do fornecedor está em um estado de controle estatístico e quando a capacidade do processo é adequada para assegurar uma produção virtualmente livre de defeitos FIGURA 1611 Curvas do tamanho amostral médio TAM para planos com omissão de lotes SkSP2 com plano de referência com amostragem única De R L Perry SkipLot Sampling Plans Journal of Quality Technology Vol 5 1973 com permissão da American Society for Quality Control Termos e Conceitos Importantes Alternando entre inspeção normal intensificada e reduzida Amostragem em cadeia ANSIASQC Z19 Códigos alfabéticos de tamanho de amostra Curva característica de operação CO Dados de variáveis Distribuição normal em amostragem de variáveis Inspeção normal intensificada e reduzida Limite da qualidade de saída média LQSM MIL STD 414 Nível de qualidade aceitável NQA Número de liberação Planos com números de aceitação zero 161 a b c 162 163 164 165 166 167 168 169 a b c d 1610 Planos de amostragem com omissão de lote Planos de amostragem contínua Tamanho amostral médio TAM Exercícios Exigese que a densidade de uma peça plástica usada em um telefone celular seja de pelo menos 070 gcm3 Essas peças são fornecidas em grandes lotes e pretendese usar um plano de amostragem de variáveis para sentenciar os lotes Desejase ter p1 002 p2 010 α 010 e β 005 A variabilidade do processo de manufatura é desconhecida mas será estimada pelo desvio padrão amostral Determine um plano de amostragem de variáveis apropriado usando o Procedimento 1 Suponha que uma amostra do tamanho apropriado foi retirada obtendose 073 s 105 102 O lote deve ser aceito ou rejeitado Esboce a curva CO para esse plano de amostragem Ache a probabilidade de aceitar lotes que são 5 defeituosos Exigese que uma correia usada em um mecanismo de tração em uma máquina copiadora tenha força de tensão mínima de LIE 150 lb Sabese de longa experiência que σ 5 lb para essa correia Ache um plano de amostragem de variáveis de modo que p1 0005 p2 002 α 005 e β 010 Suponha que o Procedimento 1 deva ser usado Descreva como a inspeção de retificação pode ser usada com amostragem de variáveis Quais são as equações apropriadas para QSM e ITM supondo amostragem única e que todos os itens defeituosos encontrados na amostra ou na inspeção 100 sejam substituídos por itens bons Um inspetor de uma agência militar deseja um plano de amostragem de variáveis para usar com um NQA de 15 supondo que os lotes sejam de tamanho 7000 Se o desviopadrão do lote ou do processo for desconhecido deduza um plano de amostragem usando o Procedimento 1 do MIL STD 414 Como se compara o tamanho de amostra encontrado no Exercício 164 com aquele que seria usado sob o MIL STD 105E Um lote de 500 itens é submetido à inspeção Suponha que se queira achar um plano a partir do MIL STD 414 usando o nível de inspeção II Se o NQA for 4 ache o plano de amostragem do Procedimento 1 do padrão Um engarrafador de refrigerantes compra garrafas descartáveis de um fornecedor O limite inferior de especificação para a força de ruptura das garrafas é 225 psi O engarrafador deseja usar um plano de amostragem de variáveis para sentenciar os lotes e decidiu usar um NQA de 1 Ache um conjunto de planos de amostragem normal e intensificada a partir do padrão Suponha que um lote seja submetido à inspeção obtendose os seguintes resultados 255 s 10 Determine o sentenciamento do lote usando o Procedimento 1 O tamanho do lote é N 100000 Um ingrediente químico é embalado em contêineres metálicos Um grande carregamento desses contêineres foi entregue em uma fábrica A densidade de massa média desse ingrediente não deve ser menor que 015 gcm3 Suponha que lotes dessa qualidade devam ser aceitos com probabilidade 095 Se a densidade de massa média for tão baixa quanto 01450 a probabilidade de aceitação do lote deverá ser 010 Suponha que o desviopadrão da densidade de massa seja aproximadamente 0005 gcm3 Obtenha um plano de amostragem de variáveis para ser usado no sentenciamento dos lotes Um padrão de 03 ppm foi estabelecido para o nível de emissão de formaldeído em produtos de madeira Suponha que o desvio padrão das emissões em uma tábua individual seja σ 010 ppm Qualquer lote contendo 1 de itens acima de 03 ppm é considerado aceitável Qualquer lote que tenha 8 ou mais itens acima de 03 ppm é considerado inaceitável Lotes bons devem ser aceitos com probabilidade 095 e lotes ruins devem ser rejeitados com probabilidade 090 Deduza um plano de amostragem de variáveis para essa situação Usando o nível de não conformidade de 1 como NQA e supondo que os lotes consistem em 5000 tábuas ache um conjunto apropriado de planos de amostragem a partir do MIL STD 414 supondo que σ seja desconhecido Compare esse plano e aquele deduzido na parte a em relação ao tamanho de amostra e à proteção que o produtor e o consumidor obterão Ache um plano de amostragem de atributos que tenha a mesma curva CO que o plano de variáveis deduzido na parte a Compare os tamanhos de amostra necessários para proteção equivalente Sob quais circunstâncias o plano de amostragem de variáveis é mais eficiente economicamente Usando o nível de não conformidade de 1 como NQA ache um plano de amostragem de atributos a partir do MIL STD 105E Compare os tamanhos de amostra e o nível de proteção obtidos com os planos com aqueles deduzidos nas partes a b e c Considere um plano de amostragem única com n 25 c 0 Desenhe a curva CO para esse plano Considere agora planos de amostragem em cadeia com n 25 c 0 e i 1 2 5 7 Esboce as curvas CO para esses planos de amostragem em cadeia no 1611 a b c d 1612 1613 1614 1615 1616 1617 mesmo eixo Discuta o comportamento da amostragem em cadeia nessa situação comparada com o plano de amostragem única convencional com c 0 Um fabricante de produtos eletrônicos compra dispositivos de memória de um fornecedor em lotes de 30000 Esse fornecedor tem uma longa história de bom desempenho da qualidade com uma fração de defeituosos de aproximadamente 010 O departamento de engenharia da qualidade sugeriu o uso de um plano de amostragem de aceitação convencional com n 32 e c 0 Desenhe a curva CO para esse plano de amostragem Se os lotes tiverem uma qualidade próxima da média de longo prazo do processo do fornecedor qual será a inspeção total média nesse nível de qualidade Considere um plano de amostragem em cadeia com n 32 c 0 e i 3 Compare o desempenho desse plano com o do plano de amostragem convencional n 32 c 0 Como mudaria o desempenho desse plano de amostragem em cadeia se mudássemos para i 4 na parte c Um plano ChSP1 tem n 4 c 0 e i 3 Desenhe a curva CO para esse plano Um plano de amostragem em cadeia é usado para a inspeção de lotes de tamanho N 500 O tamanho da amostra é n 6 Se a amostra não contiver defeituosos o lote será aceito Se um defeituoso for encontrado o lote será aceito desde que as amostras dos quatro lotes anteriores não tenham apresentado defeituosos Determine a probabilidade de aceitação de um lote que é 2 defeituoso Suponha que um processo de manufatura opere em produção contínua de modo que planos de amostragem contínua devem ser empregados Determine três planos de amostragem CSP1 diferentes que poderiam ser usados para um LQSM de 0198 Para os planos de amostragem desenvolvidos no Exercício 1614 compare o desempenho dos planos em termos da fração média inspecionada dado que o processo está sob controle em uma taxa média de falha de 015 Compare os planos em termos das suas curvas características de operação Suponha que CSP1 seja usado para um processo de manufatura em que se deseja manter um LQSM de 190 Especifique dois planos CSP1 que poderiam atender esse LQSM Compare os planos desenvolvidos no Exercício 1616 em termos da fração média inspecionada e das curvas características de operação Qual plano você preferiria se p 00375 I II III IV V VI VII VIII Apêndice Resumo das Distribuições de Probabilidades Frequentemente Usadas no Controle Estatístico da Qualidade Distribuição Normal Padrão Acumulada Pontos Percentuais da Distribuição QuiQuadrado Pontos Percentuais da Distribuição t Pontos Percentuais da Distribuição F Fatores para Construção de Gráficos de Controle para Variáveis Fatores para Limites Naturais de Tolerância Bilaterais Fatores para Limites Naturais de Tolerância Unilaterais APÊNDICE I Resumo das Distribuições de Probabilidades Frequentemente Usadas no Controle Estatístico da Qualidade APÊNDICE II Distribuição Normal Padrão Acumulada z 000 001 002 003 004 z z 005 006 007 008 009 z 00 050000 050399 050798 051197 051595 00 00 051994 052392 052790 053188 053586 00 01 053983 054379 054776 055172 055567 01 01 055962 056356 056749 057142 057534 01 02 057926 058317 058706 059095 059483 02 02 059871 060257 060642 061026 061409 02 03 061791 062172 062551 062930 063307 03 03 063683 064058 064431 064803 065173 03 04 065542 065910 062276 066640 067003 04 04 067364 067724 068082 068438 068793 04 05 069146 069497 069847 070194 070540 05 05 070884 071226 071566 071904 072240 05 06 072575 072907 073237 073565 073891 06 06 074215 074537 074857 075175 075490 06 07 075803 076115 076424 076730 077035 07 07 077337 077637 077935 078230 078523 07 08 078814 079103 079389 079673 079954 08 08 080234 080510 080785 081057 081327 08 09 081594 081859 082121 082381 082639 09 09 082894 083147 083397 083646 083891 09 10 084134 084375 084613 084849 085083 10 10 085314 085543 085769 085993 086214 10 11 086433 086650 086864 087076 087285 11 11 087493 087697 087900 088100 088297 11 12 088493 088686 088877 089065 089251 12 12 089435 089616 089796 089973 090147 12 13 090320 090490 090658 090824 090988 13 13 091149 091308 091465 091621 091773 13 14 091924 092073 092219 092364 092506 14 14 092647 092785 092922 093056 093189 14 15 093319 093448 093574 093699 093822 15 15 093943 094062 094179 094295 094408 15 16 094520 094630 094738 094845 094950 16 16 095053 095154 095254 095352 095448 16 17 095543 095637 095728 095818 095907 17 17 095994 096080 096164 096246 096327 17 18 096407 096485 096562 096637 096711 18 18 096784 096856 096926 096995 097062 18 19 097128 097193 097257 097320 097381 19 19 097441 097500 097558 097615 097670 19 20 097725 097778 097831 097882 097932 20 20 097982 098030 098077 098124 098169 20 21 098214 098257 098300 098341 098382 21 21 098422 098461 098500 098537 098574 21 22 098610 098645 098679 098713 098745 22 22 098778 098809 098840 098870 098899 22 23 098928 098956 098983 099010 099036 23 23 099061 099086 099111 099134 099158 23 24 099180 099202 099224 099245 099266 24 24 099286 099305 099324 099343 099361 24 25 099379 099396 099413 099430 099446 25 25 099461 099477 099492 099506 099520 25 26 099534 099547 099560 099573 099585 26 26 099598 099609 099621 099632 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Cambridge 1966 APÊNDICE VI Fatores para Construção de Gráficos de Controle para Variáveis Observaçõe na Amostra n Gráfico para Médias Gráfico para Desviospadrão Gráfico para Amplitudes Fatores para Limites de Controle Fatores para Linha Central Fatores para Limites de Controle Fatores para Linha Central Fatores para Limites de Controle A A2 A3 C4 1c4 B3 B4 B5 B6 d2 1d2 d3 D1 D2 D3 D4 2 2121 1880 2659 07979 12533 0 3267 0 2606 1128 08865 0853 0 3686 0 3267 3 1732 1023 1954 08862 11284 0 2568 0 2276 1693 05907 0888 0 4358 0 2574 4 1500 0729 1628 09213 10854 0 2266 0 2088 2059 04857 0880 0 4698 0 2282 5 1342 0577 1427 09400 10638 0 2089 0 1964 2326 04299 0864 0 4918 0 2114 6 1225 0483 1287 09515 10510 0030 1970 0029 1874 2534 03946 0848 0 5078 0 2004 7 1134 0419 1182 09594 10423 0118 1882 0113 1806 2704 03698 0833 0204 5204 0076 1924 8 1061 0373 1099 09650 10363 0185 1815 0179 1751 2847 03512 0820 0388 5306 0136 1864 9 1000 0337 1032 09693 10317 0239 1761 0232 1707 2970 03367 0808 0547 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0516 1459 3778 02647 0724 1605 5951 0425 1575 22 0640 0167 0647 09882 10119 0534 1466 0528 1448 3819 02618 0720 1659 5979 0434 1566 23 0626 0162 0633 09887 10114 0545 1455 0539 1438 3858 02592 0716 1710 6006 0443 1557 24 0612 0157 0619 09892 10109 0555 1445 0549 1429 3895 02567 0712 1759 6031 0451 1548 25 0600 0153 0606 09896 10105 0565 1435 0559 1420 3931 02544 0708 1806 6056 0459 1541 Para n 25 APÊNDICE VII Fatores para Limites Naturais de Tolerância Bilaterais n 90 de Confiança de que Porcentagem da População Entre Limites É 95 de Confiança de que Porcentagem da População Entre Limites É 99 de Confiança de que Porcentagem da População Entre Limites É 90 95 99 90 95 99 90 95 99 2 1598 1880 2417 3202 3767 4843 1602 1885 2423 3 5847 6919 8974 8380 9916 1286 1893 2240 2906 4 4166 4943 6440 5369 6370 8299 9398 1115 1453 5 3494 4152 5423 4275 5079 6634 6612 7855 1026 6 3131 3723 4870 3712 4414 5775 5337 6345 8301 7 2902 3452 4521 3369 4007 5248 4613 5448 7187 8 2743 3264 4278 3136 3732 4891 4147 4936 6468 9 2626 3125 4098 2967 3532 4631 3822 4550 5966 10 2535 3018 3959 2829 3379 4433 3582 4265 5594 11 2463 2933 3849 2737 3259 4277 3397 4045 5308 12 2404 2863 3758 2655 3162 4150 3250 3870 5079 13 2355 2805 3682 2587 3081 4044 3130 3727 4893 14 2314 2756 3618 2529 3012 3955 3029 3608 4737 15 2278 2713 3562 2480 2954 3878 2945 3507 4605 16 2246 2676 3514 2437 2903 3812 2872 3421 4492 17 2219 2643 3471 2400 2858 3754 2808 3345 4393 18 2194 2614 3433 2366 2819 3702 2753 3279 4307 19 2172 2588 3399 2337 2784 3656 2703 3221 4230 20 2152 2564 3368 2310 2752 3615 2659 3168 4161 21 2135 2543 3340 2286 2723 3577 2620 3121 4100 22 2118 2524 3315 2264 2697 3543 2584 3078 4044 23 2103 2506 3292 2244 2673 3512 2551 3040 3993 24 2089 2489 3270 2225 2651 3483 2522 3004 3947 25 2077 2474 3251 2208 2631 3457 2494 2972 3904 26 2065 2460 3232 2193 2612 3432 2469 2941 3865 27 2054 2447 3215 2178 2595 3409 2446 2914 3828 28 2044 2435 3199 2164 2579 3388 2424 2888 3794 29 2034 2424 3184 2152 2554 3368 2404 2864 3763 30 2025 2413 3170 2140 2549 3350 2385 2841 3733 35 1988 2368 3112 2090 2490 3272 2306 2748 3611 40 1959 2334 3066 2052 2445 3213 2247 2677 3518 50 1916 2284 3001 1996 2379 3126 2162 2576 3385 60 1887 2248 2955 1958 2333 3066 2103 2506 3293 80 1848 2202 2894 1907 2272 2986 2026 2414 3173 100 1822 2172 2854 1874 2233 2934 1977 2355 3096 200 1764 2102 2762 1798 2143 2816 1865 2222 2921 500 1717 2046 2689 1737 2070 2721 1777 2117 2783 1000 1695 2019 2654 1709 2036 2676 1736 2068 2718 1645 1960 2576 1645 1960 2576 1645 1960 2576 APÊNDICE VIII Fatores para Limites Naturais de Tolerância Unilaterais n 90 de Confiança de que Porcentagem da População Abaixo Acima de Limites É 95 de Confiança de que Porcentagem da População Abaixo Acima de Limites É 99 de Confiança de que Porcentagem da População Abaixo Acima de Limites É 90 95 99 90 95 99 90 95 99 3 4258 5310 7340 6158 7655 10552 4 3187 3957 5437 4163 5145 7042 5 2742 3400 4666 3407 4202 5741 6 2494 3091 4242 3006 3707 5062 4408 5409 7334 7 2333 2894 3972 2755 3399 4641 3856 4730 6411 8 2219 2755 3783 2582 3188 4353 3496 4287 5811 9 2133 2649 3641 2454 3031 4143 3242 3971 5389 10 2065 2568 3532 2355 2911 3981 3048 3739 5075 11 2012 2503 3444 2275 2815 3852 2897 3557 4828 12 1966 2448 3371 2210 2736 3747 2773 3410 4633 13 1928 2403 3310 2155 2670 3659 2677 3290 4472 14 1895 2363 3257 2108 2614 3585 2592 3189 4336 15 1866 2329 3212 2068 2566 3520 2521 3102 4224 16 1842 2299 3172 2032 2523 3463 2458 3028 4124 17 1820 2272 3136 2001 2486 3415 2405 2962 4038 18 1800 2249 3106 1974 2453 3370 2357 2906 3961 19 1781 2228 3078 1949 2423 3331 2315 2855 3893 20 1765 2208 3052 1926 2396 3295 2275 2807 3832 21 1750 2190 3028 1905 2371 3262 2241 2768 3776 22 1736 2174 3007 1887 2350 3233 2208 2729 3727 23 1724 2159 2987 1869 2329 3206 2179 2693 3680 24 1712 2145 2969 1853 2309 3181 2154 2663 3638 25 1702 2132 2952 1838 2292 3158 2129 2632 3601 30 1657 2080 2884 1778 2220 3064 2029 2516 3446 35 1623 2041 2833 1732 2166 2994 1957 2431 3334 40 1598 2010 2793 1697 2126 2941 1902 2365 3250 45 1577 1986 2762 1669 2092 2897 1857 2313 3181 50 1560 1965 2735 1646 2065 2863 1821 2296 3124 Bibliografia Adams B M C Lowry and W H Woodall 1992 The Use and Misuse of False Alarm Probabilities in Control Chart Design in Frontiers in Statistical Quality Control 4 H J Lenz G B Wetherill and PTh Wilrich eds PhysicaVerlag Heidelberg pp 155158 Alt F B 1985 Multivariate Quality Control in Encyclopedia of Statistical Sciences Vol 6 N L Johnson and S Kotz eds Wiley New York Alwan L C 1992 Effects of Autocorrelation on Control Charts Communications in StatisticsTheory and Methods Vol 214 pp 10251049 Alwan L C and H V Roberts 1988 Time Series Modeling for Statistical Process Control Journal of Business and Economic Statistics Vol 61 pp 8795 ANSI ZI Committee on Quality Assurance 1996 Standard Method for Calculating Process Capability and Performance Measures Washington DC Automotive Industry Action Group 1985 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dados de concentração a 89476 b s 4158 espaço amostral 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 a 00196 b 00198 c Reduzir a taxa de ocorrência reduz a probabilidade de 00198 para 00100 a k 005 b μ 1867 σ2 0615 c Fx 0383 x 1 0750 x 2 1000 x 3 a Aproximadamente 118 b Diminui lucro por 590calculadora A regra de decisão implica que 22 das amostras terão uma ou mais unidades não conformes 0921 a 0633 b 0659 Aproximação não é satisfatória c nN 0033 Aproximação é satisfatória d n 11 Prx 0 0364 Prx 2 0264 Prx 1 000001 μ 1p Prx 35 0159 7950 peças deixam de atender especificação mínima Prx 48 0055 2750 peças deixam de atender especificação máxima Processo está centrado no alvo de modo que o deslocamento da média em qualquer direção aumentará o número de não conformidades A variância do processo deve ser reduzida para 00152 para que pelo menos 999 de 1000 estejam conformes com a especificação Prx 1000 00021 Se c2 c1 00620 então escolha processo 1 CAPÍTULO 4 a P 00060 b P 00629 c P 00404 d P 00629 a P 00094 b P 00233 c P 00146 d P 00322 a 001 P 0025 b 0025 P 005 c 0025 P 005 d 0005 P 0001 a Z0 678 Rejeitar H0 b P 0 c 8249 μ 8251 a t0 1952 Rejeitar H0 b 2506 μ 2694 a t0 3089 Rejeitar H0 b 1339216 μ 1340020 n 246 a t0 6971 Rejeitar H0 b 9727 μ 10792 c Não rejeitar H0 d 0738 σ 1546 e σ 1436 a t0 011 Não rejeitar H0 c 0127 μ1 μ2 0141 419 421 423 425 427 429 433 435 437 439 441 453 455 457 461 517 519 521 523 61 63 67 69 611 613 615 617 619 621 d F0 08464 Não rejeitar H0 e f 0007 σ2 0065 a t0 077 Não rejeitar H0 b 67 μ1 μ2 31 c a Z0 40387 Rejeitar H0 b P 000006 c p 0155 a F0 10987 Não rejeitar H0 b t0 1461 Não rejeitar H0 t0 110 Não há diferença entre as medidas médias a 4275 Não rejeitar H0 b 114 σ 219 n Zσ2 Zβσδ2 Z0 03162 Não rejeitar H0 a F0 359 P 0053 a F0 187 P 0214 a F0 145 P 0258 a F0 3085 P 0000 Z 41667 P 0000031 a 002 P 005 b 002 P 005 c 001 P 002 d 005 P 010 a Bilateral b Não c 028212 037121 d P 03132 01565 GL Erro 12 MQFator 1830 MQErro 167 F 1096 000094 CAPÍTULO 5 O padrão é aleatório Há um padrão cíclico não aleatório Os pontos 17 18 19 e 20 estão abaixo da área de 1sigma Pontos 16 17 e 18 2 de 3 pontos mais de 2 sigma além da linha central Pontos 5 6 7 8 e 9 4 de 5 em 1 sigma ou mais além da linha central CAPÍTULO 6 a Gráfico LC 05138 LSC 05507 LIC 04769 Gráfico R LC 00506 LIC 0 LSC 00842 b 05138 00246 Sim a Amostras 12 e 15 excedem LSC para b 000050 a Gráfico LC 109 LSC 4753 LIC 2573 Gráfico R LC 635 LSC 1343 LIC 0 Processo está sob controle estatístico b 273 c 122 a Gráfico LC 0003 LCS 1037 LIC 1043 Gráfico s LC 1066 LSC 1830 LIC 0302 b Gráfico R LC 32 LSC 5686 LIC 0714 c Gráfico s2 LC 1136 LSC 2542 LIC 0033 Gráfico LC 1033 LSC 1473 LIC 592 Gráfico s LC 2703 LSC 6125 LIC 0 a Gráfico LC 7400118 LCS 7401458 LIC 7398777 Gráfico R LC 002324 LSC 004914 LIC 0 b Não c 1668 Gráfico LC 80 LSC 8949 LIC 7051 Gráfico s LC 9727 LSC 1669 LIC 276 a Gráfico LC 20 LSC 2234 LIC 1766 Gráfico s LC 144 LSC 326 LIC 0 b LINT 153 LSNT 247 c 085 d retrabalho 00275 rsucata 000069 Total 2949 e retrabalho 000523 rsucata 000523 Total 1046 a Gráfico LC 7953 LSC 8458 LIC 7449 Gráfico R LC 875 LSC 1849 LIC 0 Processo está sob controle estatístico 623 625 627 631 633 635 637 639 641 643 645 647 649 651 653 655 657 659 661 663 665 669 671 673 b Vários subgrupos excedem o LSC no gráfico R a Gráfico LC 3400 LSC 3750 LIC 3050 Gráfico R LC 342 LSC 881 LIC 0 b Detecta mudança mais rapidamente c Gráfico LC 3400 LSC 3614 LIC 3186 Gráfico R LC 575 LSC 1072 LIC 078 a Gráfico LC 223 LSC 23737 LIC 20863 Gráfico R LC 3429 LSC 6597 LIC 261 b 223 1268 c 092 d 000578 a 160 b Gráfico LSC 2214 LIC 1786 Gráfico s LSC 313 LIC 0 c Prsob controle 057926 08338 a Gráfico LSC 2263 LIC 1737 Gráfico R LSC 964 LIC 0 b 196 c 085 c Prnão detectar 005938 O processo continua em um estado sob controle a Gráfico LC 44968 LSC 46222 LIC 43715 Gráfico s LC 1744 LSC 770 LIC 0 Prdetectar mudança na 1a amostra 037 a 2026 LSC 2303 LIC 1749 48 LSCR 10152 LICR 0 b 00195 a Recalculando limites sem amostras 1 12 e 13 Gráfico LC 145 LSC 546 LIC 257 Gráfico R LC 695 LSC 1471 LIC 0 b Amostras 1 12 13 16 17 18 e 20 estão fora de controle para um total de 7 entre 25 amostras com sequências de pontos acima e abaixo da linha central Isso sugere que o processo está completamente instável e que as fontes de variação precisam ser identificadas e removidas a 450 LSCR 9018 LICR 0 b 4290 17758 c 0751 00537 d Para minimizar a fração de não conformes a média deve ser colocada na dimensão nominal 440 para uma variância constante a UCL 108 LIC 92 b UCL 111228 LIC 88772 CMS1 2992 a LCs 9213 LSCs 2088 LICs 0 b LSC 2098 LIC 1902 a 90 LSC 91676 LIC 88324 4 LSCR 7696 LICR 0304 b 1479 c 1419 LSCs 2671 LICs 0167 Prdetectar mudança na 1a amostra 01587 a α 00026 b 0667 c Prnão detectar na 1a amostra 05000 d LSC 362576 LIC 357424 a 70600 1827 b LSNT 71148 LINT 70052 c 01006 d Prdetectar na 1a amostra 09920 e Prdetectar até 3a amostra 1 161052 0021055 002375 Hipótese de normalidade do peso das latas de café é válida subenchido 00003 a Medidas de viscosidade para seguir uma distribuição normal b O processo parece estar sob controle estatístico sem pontos fora de controle sequências tendências ou outros padrões c 29289 131346 148158 a O processo está sob controle estatístico A hipótese de normalidade é razoável b Fica claro que o processo está fora de controle durante esse período de operação c O processo retornou ao estado de controle estatístico As medidas são aproximadamente normais O sinal de fora de controle no gráfico da amplitude móvel indica uma diferença significantemente grande entre medidas sucessivas 7 e 8 Considere o processo como estando sob controle estatístico a Os dados não são normalmente distribuídos A distribuição do logaritmo natural das medidas de uniformidade é aproximadamente normal b Gráfico LC 2653 LSC 3586 LIC 1720 Gráfico R LC 0351 LSC 1146 LIC 0 Gráfico x 1611 LSCx 1617 LICx 1604 Gráfico MR 002365 LSCMR2 007726 LICMR2 0 675 677 679 681 71 79 711 713 715 717 719 721 723 725 727 729 731 739 741 743 745 747 749 751 753 755 757 759 761 763 767 769 771 773 775 779 Gráfico x 2929 LSCx 3338 LICx 2520 Gráfico MR 1537 LSCMR2 5022 LICMR2 0 a 1157 b 1682 c 1137 d abr 3 1210 abr 4 1262 abr 19 1406 abr 20 1435 a Gráfico LC 1176 LSC 1179 LIC 1172 Gráfico R dentro LC 006109 LSC 01292 LIC 0 c Gráfico I LC 1176 LSC 1187 LIC 1165 Gráfico MR2 entre LC 004161 LSC 01360 LIC 0 b Gráfico R dentro LC 006725 LSC 01480 LIC 0 c Gráfico I LC 2074 LSC 21959 LIC 1989 Gráfico MR2 entre LC 003210 LSC 01049 LIC 0 d Necessário ter média dos lotes amplitude móvel entre médias dos lotes e amplitude dentro de um lote Gráfico I LC 20735 LSC 21956 LIC 19515 Gráfico MR2 entre LC 00459 LSC 015 LIC 0 Gráfico R dentro LC 00906 LSC 01706 LIC 0 CAPÍTULO 7 LC 0046 LIC 0 LSC 01343 00585 LSC 01289 LIC 0 Amostra 12 excede LSC Sem amostra 12 00537 LSC 01213 LIC 0 Para n 80 LSCi 01397 LICi 0 Processo está sob controle estatístico a 01228 LSC 01425 LIC 01031 b Os dados não deveriam ser usados pois há muitos subgrupos fora de controle Prdetectar mudança na 1a amostra 0278 Prdetectar mudança até 3a amostra 0624 010 LSC 02125 LIC 0 p 0212 para fazer β 050 n 82 para um LIC positivo n 81 a 007 LSC 0108 LIC 0032 b Prdetectar mudança na 1a amostra 0297 c Prpara detectar mudança na 1a ou 2a amostra 0506 a Sem amostra 3 n 1478 LSC 27421 LIC 413 b Prdetectar mudança na 1a amostra 0813 a n 40 LSC 58 LIC 22 b Prdetectar mudança na 1a amostra 0583 CMS1 1715 2 a LC p 00221 para n 100 LSC 00622 LIC 0 para n 150 LSC 00581 LIC 0 para n 200 LSC 00533 LIC 0 para n 250 LSC 00500 LIC 0 a L 283 b n 20 LSC 3236 LIC 764 c Prdetectar mudança na 1ª amostra 00895 a n 397 b n 44 a 002 LSC 0062 LIC 0 b Processo mudou para 0038 n 2505 LSC 7213 LIC 0 Média u LC 0701 LSC 1249 LIC 01527 859 LSC 17384 LIC 0 Processo não está sob controle estatístico a Gráfico c LC 1543 LSC 2721 LIC 365 b Gráfico u LC 1542 LSC 2720 LIC 364 a Gráfico c LC 4 LSC 10 LIC 0 b Gráfico u LC 1 LSC 25 LIC 0 a Gráfico c LC 9 LSC 18 LIC 0 b Gráfico u LC 4 LSC 7 LIC 1 76 LSC 1300 LIC 220 85 LSC 1398 LIC 302 4 LSC 9 a 0533 LSC 2723 LIC 0 b α 0017 c β 05414 d CMS1 218 2 a 4 LSC 10 LIC 0 b α 003 n L2 A variável MMAB pode ser vista como uma unidade de inspeção representando uma área de oportunidade idêntica para cada amostra A característica do processo a ser controlada é a taxa de exames TAC Um gráfico u que monitora o número médio de exames CAT por MMAB é apropriado CAPÍTULO 8 83 85 87 89 811 813 817 819 821 823 825 829 831 833 837 839 841 843 845 847 849 91 93 95 97 99 919 921 923 925 927 931 933 935 943 101 105 107 109 1013 1015 1017 117 113 548 434 043 a 298 b 149 c efetivo 0000004 potencial 0000000 a 075 b 071 c 070 d efetivo 0025348 potencial 002382 Processo A 1045 0001726 Processo B 3133 1566 0652 0001726 6 01350 6 005514 a 6 732 b Cpu 058 c 0041047 Não Os dados são normalmente distribuídos 126 Cp α 012 a 042 b 02957 Cpk 05443 processo 4 a Gráfico R indica que operador não tem dificuldade em fazer medidas consistentes b 2 total 4717 2 produto 1695 c 625 d PT 0272 a 6 medidor 8154 b Gráfico R indica que operador tem dificuldade em usar o medidor 04330 Peso 48 Peso 004252 C N0006 0000005 Prfolga positiva 09964 LST 32355 LST 37208 a 01257 x 01271 b 01263 x 01265 CAPÍTULO 9 a K 125 H 125 Processo está fora de controle pelo lado superior depois da observação 7 b 3443 a K 125 H 625 Processo está fora de controle pelo lado superior depois da observação 7 b Processo está fora de controle pelo lado inferior na amostra 6 e superior na amostra 15 Processo está sob controle CMS0 37084 a 1216 b Processo está fora de controle pelo lado superior depois da leitura 2 a 595 b Processo está fora de controle pelo lado inferior no início e então pelo lado superior depois da observação 9 Processo está fora de controle pelo lado superior depois da observação 7 CMS0 21523 CMS1 2502 K 5435 H 5435 Processo está fora de controle praticamente desde a primeira amostra Gráfico MMEP LC 1050 LSC 106549 LIC 103451 Processo excede limite superior de controle na amostra 10 Gráfico MMEP LC 802 LSC 807 LIC 797 Processo está sob controle Gráfico MMEP LC 175 LSC 1773 LIC 17270 Processo está fora de controle Gráfico MMEP LC 950 LSC 95753 LIC 94247 Processo está fora de controle nas amostras 8 12 e 13 Gráfico MM LC 802 LSC 8087 LIC 7953 Processo está sob controle k 05L CAPÍTULO 10 Gráfico LC 055 LSC 444 LIC 334 Gráfico R LC 38 LSC 978 LIC 0 Gráfico LC 52988 LSC 55379 LIC 50596 Gráfico R LC 2338 LSC 6017 LIC 0 a Gráfico LC 52988 LSC 56159 LIC 47248 Gráfico R LC 2158 LSC 7050 LIC 0 c Gráfico LC 52988 LSC 56159 LIC 49813 Gráfico s LC 1948 LSC 4415 LIC 0 a LSC 44503 LIC 35497 b LSC 43609 LIC 36391 c LSC 43239 LIC 36761 Gráfico LC 50 LSC 65848 LIC 34152 a 4000 b 01056 c LSC 61935 LIC 60065 μ0 0 δ 1σ k 05 h 5 LSC 979 LIC 979 sem RIR 1019 1021 1023 1025 1027 1029 1031 1033 111 113 115 117 119 1111 1113 1115 1117 1119 1121 123 125 127 129 131 133 135 Nenhuma observação excede o limite de controle α 01 λ 09238 1593 Observação 16 excede LSC μ00 δ 1σ k 05 h 5 LSC 2279 LIC 2279 sem RIR Nenhuma observação excede o limite de controle α 01 λ 07055 3227 Observações 8 56 90 excedem limites de controle μ00 δ 1σ k 05 h 5 LSC 3669 LIC 3669 sem RIR Nenhuma observação excede o limite de controle α 01 λ 09206 50975 Várias observações excedem limites de controle a r1 049 b Gráfico I LC 2857 LSC 3711 LIC 2003 c μ0 28569 δ 1σ k 05 h 5 LSC 1424 LIC 1424 sem RIR Várias observações estão fora de controle em ambos os lados inferior e superior d Gráfico MMEP λ 015 L 27 LC 28569 LSC 30759 LIC 26380 e Gráfico MMEP LC móvel α 01 λ 0150 285 Poucas observações estão além do limite inferior de controle f ξ 205017 ϕ1 07193 ϕ2 04349 Estabeleça gráficos I e MR para os resíduos Gráfico I LC 004 LSC 960 LIC 968 a EL 412h b EL 498h c n 5 kótimo 3080 hótimo 1368 α 000207 1 β 0918 EL 401392h a EL 1617h b EL 1039762h CAPÍTULO 11 LSCFase 2 14186 LICFase 2 0 LSCFase 2 13186 a LSCFase 2 23882 LICFase 2 0 b LSCquiquadrado 18548 a LSCFase 2 39326 b LSCquiquadrado 25188 c m 988 Suponha α 001 LSCFase 1 32638 LSCFase 2 35360 a b LSCquiquadrado 7815 c T2 11154 d d1 0043 d2 8376 d3 6154 e T2 6538 f d1 1538 d2 1538 d3 2094 λ 01 com LSC H 1273 CMS1 está entre 722 e 1217 λ 02 com LSC H 965 CMS1 está entre 549 e 1020 Variáveis significantes para y1 são x1 x3 x4 x8 e x9 Limites de controle para modelo y1 Gráfico I LC 0 LSC 2105 LIC 2105 Limites de controle para modelo y1 Gráfico MR LC 0791 LSC 2586 LIC 0 Variáveis significantes para y2 são x1 x3 x4 x8 e x9 Limites de controle para modelo y2 Gráfico I LC 0 LSC 652 LIC 652 Limites de controle para modelo y2 Gráfico MR LC 245 LSC 802 LIC 0 a z1 029168 029428 019734 083902 320488 020327 099211 170241 014246 099498 094470 121950 260867 012378 110423 027825 265608 236528 041131 214662 CAPÍTULO 12 Processo é ajustado nas observações 3 4 7 e 29 m 1 Var1 14711 Var1Var1 1000 m 2 Var2 17572 Var2Var1 1195 m 3 Var3 14747 Var3Var1 1002 m 4 Var4 17902 Var4Var1 1217 m 5 Var5 13660 Var5Var1 0929 Variograma estabiliza próximo de 15 r1 044 r2 033 r3 044 r4 032 r5 030 FAC amostral decai vagarosamente Em cada esquema de controle ajustes são feitos depois de cada observação após observação 2 Não há diferença nos resultados variância para cada procedimento é a mesma b Média é mais próxima do alvo 444 versus 46262 e variância é menor 22351 versus 7832 c Média é mais próxima do alvo 47833 e variância é menor 5640 CAPÍTULO 13 MQA 0322 SQInteração 42348 GLA 2 GLInteração 2 MQInteração 21174 MQF9027 FA 0036 P 0853 FB 4462 P 0036 FAB 2346 P 0138 Efeito do vidro F0 273789 Valor P 00000 Efeito do fósforo F0 884 Valor P 00044 Interação vidrofósforo F0 126 Valor P 0318 Hipótese de normalidade é razoável 137 139 1311 1313 1315 1317 143 145 147 149 1411 1413 155 157 159 1511 1513 1515 1517 1519 1521 1523 1525 161 163 165 Hipótese de variância constante é razoável Gráficos dos resíduos versus fatores A e C mostram dispersão desigual Resíduos versus valores preditos mostra variância não constante Resíduos são aproximadamente normais Maior efeito é do fator A Bloco 1 1 ab ac bc ad bd cd ae be ce de abcd abce abde acde bcde Bloco 2 a b c d e abc abd acd bcd abe ace bce ade bde cde abcde b I ACE BDE ABCD A CE BCD ABDE B DE ACD ABCE C AE ABD BCDE D BE ABC ACDE E AC BD BCDE AB CD ADE BCE AD BC ABE CDE c A 1525 B 5175 C 2275 D 0675 E 2275 AB 1825 AD 1275 d Com apenas um efeito principal B F0 888 Valor P 0025 e Gráficos dos resíduos são satisfatórios Efeitos Principais F0 170 Valor P 0234 Interações de 2 fatores F0 046 valor P 0822 Curvatura F0 1660 Valor P 0004 Falta de ajuste F0 025 Valor P 0915 a A 477 B 050 C 806 D 240 AB 110 AC 7280 AD 200 b Modelo com C AC A Efeitos Principais F0 171043 Valor P 0000 Interações de 2 fatores F0 206689 valor P 0000 Curvatura F0 111 Valor P 0327 CAPÍTULO 14 b Δx1 1 Δx2 06 a PCC com k 2 e α 15 O planejamento não é rotacionável b y 160868 58294x1 2412x2 10855 x1 2 6923 x2 2 0750x1x2 c x1 15 x2 022 d Temp 825 Tempo 267 a PCC com k 2 e α 14 O planejamento é rotacionável b y 13727 0298x1 0407x2 0125 x1 2 0079 x2 2 0055x1x2 A partir dos gráficos e do otimizador estabelecer x1 na faixa de 0 a 14 e x2 entre 1 e 14 maximizará a viscosidade a O planejamento é de resolução IV com A BCD B ACD C ABD D ABC E ABCDE AB CD AC BD AD BC AE BCDE BE ACDE CE ABDE DE ABCE ABE CDE ACE BDE ADE b Fatores A B D E e interação BE afetam a altura livre média c Fatores A B D e interação CE afetam a variabilidade na altura livre e Um planejamento 251 de resolução V pode ser gerado com E ABCD Média da altura livre 763 012A 0081B Variância da altura livre 00462 012 0077B2 002 Uma solução com média da Altura Livre 750 e desviopadrão mínimo é A 042 e B 099 a As condições de operação recomendadas são temperatura 14109 e pressão 14142 para atingir o tempo de filtragem predito de 367 b As condições de operação recomendadas são temperatura 13415 e pressão 00785 para atingir o tempo de filtragem predito de 460 CAPÍTULO 15 Dois pontos na curva CO são Pap 0007 095190 e Pap 0080 008271 a Dois pontos na curva CO são Pad 35 095271 e Pad 375 010133 b Dois pontos na curva CO são Pap 00070 09519 e Pap 00750 01025 c Diferença nas curvas é pequena Qualquer uma é apropriada n 80 c 7 Diferentes tamanhos de amostra oferecem diferentes níveis de proteção Consumidor é protegido para um LQSM 005 com PaN 5000 000046 ou PaN 10000 000000 mas paga com uma probabilidade alta de rejeitar lotes aceitáveis isto é para p 0025 PaN 5000 0294 enquanto PaN 10000 0182 LQSM 00234 a Dois pontos na curva CO são Pap 0016 095397 e Pap 0105 009255 b p 0103 d n 20 c 0 Esta curva CO é muito mais inclinada e Para c 2 Prrejeitar 000206 ITM 60 Para c 0 Prrejeitar 009539 ITM 495 a Constantes para retas limite são k 10414 h1 09389 h2 12054 e s 00397 b Três pontos na curva CO são Pap1 001 1 α 095 Pap2 010 β 010 e Pap s 00397 05621 QSM Pa p N nN Pa np 1 Pa Np Normal letracódigo do tamanho da amostra H n 50 Ac 1 Re 2 Intensificada letracódigo do tamanho da amostra J n 80 Ac 1 Re 2 Reduzida letracódigo do tamanho da amostra H n 20 Ac 0 Re 2 a letracódigo do tamanho da amostra L Normal n 200 Ac 3 Re 4 Intensificada n 200 Ac 2 Re 3 Reduzida n 80 Ac 1 Re 4 a Esforço de amostragem com custo mínimo que atende as exigências de qualidade é 50001 N 100000 n 65 c 3 b ITM 82 CAPÍTULO 16 a n 35 k 17 b ZLIE 2857 17 assim aceite o lote c Do nomograma Pap 005 038 QSM Pa p N nN ITM n 1 Pa N n Do MIL STD105E n 200 para inspeção normal e intensificada e n 80 para inspeção reduzida Os tamanhos amostrais requeridos pelo MIL STD 414 são consideravelmente menores que aqueles do MIL STD 105E 167 169 1611 1613 1615 1617 Suponha nível de inspeção IV Código alfabético para tamanho amostral O n 100 knormal 200 kintensificada 214 ZLIE 3000 200 de modo que devemos aceitar o lote a Do nomograma para variáveis n 30 k 18 b Suponha nível de inspeção IV Código alfabético para tamanho amostral M Normal n 50 M 100 Intensificada n 50 M 171 Reduzida n 20 M 409 σ conhecido permite menores tamanhos amostrais que σ desconhecido c Do nomograma para atributos n 60 c 2 Amostragem de variáveis é mais econômica quando σ é conhecido d Suponha nível de inspeção II Código alfabético para tamanho amostral L Normal n 200 Ac 5 Re 6 Intensificada n 200 Ac 3 Re 4 Reduzida n 80 Ac 2 Re 5 Amostras muito maiores são exigidas para esse plano a Três pontos na curva CO são Pap 0001 09685 Pap 0015 09531 e Pap 0070 00981 b ITM 976 c Pap 0001 09967 ITM 131 d Pap 0001 09958 ITM 158 i 4 Pap 002 09526 Para f 12 i 140 u 155915 v 13333 FMI 05523 Pap 00015 08953 Para f 110 i 550 u 855530 v 66667 FMI 02024 Pap 00015 08863 Para f 1100 i 1302 u 404000 v 666667 FMI 00666 Pap 00015 09429 Para f 15 i 38 FMI 05165 Pap 00375 06043 Para f 125 i 86 FMI 05272 Pap 00375 04925