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328101532 Modelos Matematicos Tarefa Unidade 2 Valor 25 pontos Prof Jose Tadeu Lunardi Data de entrega 26 de marco de 2024 1 Nos dados abaixo x e o diˆametro de uma certa especie de pinheiro em polegadas medida na altura do peito medida do diˆametro da arvore a 13 m de altura do solo e y e a medida do volume da arvore medida em unidades de pes de tabua dividida por 10 x 17 19 20 22 23 25 28 31 32 33 36 37 38 39 41 y 19 25 32 51 57 71 113 141 123 187 192 205 252 259 294 Considere o modelo y a xb onde a e b sao os parˆametros do modelo a Teste graficamente a razoabilidade desse modelo Sugestao aplique o logaritmo em ambos os lados dessa equacao e defina uma trans formacao de variaveis de maneira que a relacao entre as variaveis transformadas seja linear apos aplique essa mesma transformacao nos dados plote os dados transformados e verifique visualmente se uma relacao linear entre os dados transformados parece razoavel b Estime os valores dos parˆametros a e b nesse modelo usando um ajuste linear por mınimos quadrados nas variaveis transformadas 2 Na tabela abaixo estao os dados atualizados referentes ao perıodo da orbita dos planetas ao redor do Sol em dias e a distˆancia media deles ate o Sol em milhoes de quilˆometros 1 Planeta Perıodo Distˆancia media do Sol Mercurio 88 579 Vˆenus 225 1082 Terra 365 1496 Marte 687 2279 Jupiter 4329 7781 Saturno 10753 14282 Urano 30660 28379 Netuno 60150 44889 Assuma uma relacao entre o perıodo T e a distˆancia media r da seguinte forma T a rb onde a e b sao os parˆametros do modelo a Transforme as variaveis usando logaritmos para obter uma relacao linear entre as variaveis transformadas b Aplique a mesma transformacao nos dados ploteos em um grafico e discuta a razoabilidade do modelo c Faca um ajuste linear deste modelo por mınimos quadrados para obter os valores dos parˆametros a e b d Compare o modelo final obtido com a Terceira Lei de Kepler e dis cuta seu resultado 2 1 a Y a xb lny ln a xb lny ln a b ln x Temos de calcular o lny e lnx Visualmente existe uma relação linear entre os dados b Temos que a sum from i1 to n xiyi ybar sum from i1 to n xi xi xbar b ybar a xbar Vamos usar os valores de lny e lnx logo xbar ln17 ln19 ln41 15 334 ybar ln19 ln 25 ln294 15 460 Portanto a ln17ln19460 ln41ln294460 ln17ln17334 ln41ln41334 a 309 b 460 309334 574 Assim Y 309 x 574 lny b lnx lna b 309 lna 574 a e574 a 00032 a 00032 b 309 2 a T a rb lnT lna rb lnT lna b lnr b Visualmente existe uma relação linear entre os dados c Tbar 766 rbar 618 a ln579ln88 766 ln44889ln60150 766 ln579ln579 618 ln44889ln44889 618 a 15015 b 766 15015618 b 16184 b 15015 lna 16184 a 01980 1 T 01980 r 15015 T2 Kr3 T sqrtK r15 15 15015 sqrt K 01980 K 00392 Note que ambos os exponents são relativamente semelhantes 1 letra a y 30919x 57427 R² 09858 2 letra d y 15015x 16184 R² 1
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328101532 Modelos Matematicos Tarefa Unidade 2 Valor 25 pontos Prof Jose Tadeu Lunardi Data de entrega 26 de marco de 2024 1 Nos dados abaixo x e o diˆametro de uma certa especie de pinheiro em polegadas medida na altura do peito medida do diˆametro da arvore a 13 m de altura do solo e y e a medida do volume da arvore medida em unidades de pes de tabua dividida por 10 x 17 19 20 22 23 25 28 31 32 33 36 37 38 39 41 y 19 25 32 51 57 71 113 141 123 187 192 205 252 259 294 Considere o modelo y a xb onde a e b sao os parˆametros do modelo a Teste graficamente a razoabilidade desse modelo Sugestao aplique o logaritmo em ambos os lados dessa equacao e defina uma trans formacao de variaveis de maneira que a relacao entre as variaveis transformadas seja linear apos aplique essa mesma transformacao nos dados plote os dados transformados e verifique visualmente se uma relacao linear entre os dados transformados parece razoavel b Estime os valores dos parˆametros a e b nesse modelo usando um ajuste linear por mınimos quadrados nas variaveis transformadas 2 Na tabela abaixo estao os dados atualizados referentes ao perıodo da orbita dos planetas ao redor do Sol em dias e a distˆancia media deles ate o Sol em milhoes de quilˆometros 1 Planeta Perıodo Distˆancia media do Sol Mercurio 88 579 Vˆenus 225 1082 Terra 365 1496 Marte 687 2279 Jupiter 4329 7781 Saturno 10753 14282 Urano 30660 28379 Netuno 60150 44889 Assuma uma relacao entre o perıodo T e a distˆancia media r da seguinte forma T a rb onde a e b sao os parˆametros do modelo a Transforme as variaveis usando logaritmos para obter uma relacao linear entre as variaveis transformadas b Aplique a mesma transformacao nos dados ploteos em um grafico e discuta a razoabilidade do modelo c Faca um ajuste linear deste modelo por mınimos quadrados para obter os valores dos parˆametros a e b d Compare o modelo final obtido com a Terceira Lei de Kepler e dis cuta seu resultado 2 1 a Y a xb lny ln a xb lny ln a b ln x Temos de calcular o lny e lnx Visualmente existe uma relação linear entre os dados b Temos que a sum from i1 to n xiyi ybar sum from i1 to n xi xi xbar b ybar a xbar Vamos usar os valores de lny e lnx logo xbar ln17 ln19 ln41 15 334 ybar ln19 ln 25 ln294 15 460 Portanto a ln17ln19460 ln41ln294460 ln17ln17334 ln41ln41334 a 309 b 460 309334 574 Assim Y 309 x 574 lny b lnx lna b 309 lna 574 a e574 a 00032 a 00032 b 309 2 a T a rb lnT lna rb lnT lna b lnr b Visualmente existe uma relação linear entre os dados c Tbar 766 rbar 618 a ln579ln88 766 ln44889ln60150 766 ln579ln579 618 ln44889ln44889 618 a 15015 b 766 15015618 b 16184 b 15015 lna 16184 a 01980 1 T 01980 r 15015 T2 Kr3 T sqrtK r15 15 15015 sqrt K 01980 K 00392 Note que ambos os exponents são relativamente semelhantes 1 letra a y 30919x 57427 R² 09858 2 letra d y 15015x 16184 R² 1