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Introdução a Teoria de Conjuntos \npara estudantes que estão ingressando na Matemática \n\nProf. Alexandre Kirilov \n\n16 de outubro de 2016\n\n1 Alerta: Esse texto é apenas um roteiro usado pelo professor da disciplina para organizar suas aulas. Como se trata de uma primeira versão, não passou por revisão e está incompleto. Logo você encontrará erros de digitação, de português, de notação etc. Caso encontre qualquer problema, por favor me avise para que eu possa corrigir. A disposição dos conteúdos é fortemente inspirada no livro do Introdução a Teoria dos Conjuntos, do Edgard de Alencar Filho. 2 Sumário\n\n1 Conjuntos \n1.1 Noção de conjunto \n1.2 Relação de pertinência \n1.3 Família de conjuntos \n1.4 Conjunto universo \n1.5 Conjuntos numéricos \n1.6 Determinação de um conjunto \n1.7 Conjunto unitário \n1.8 Conjunto vazio \n1.9 Conjuntos finitos e infinitos \n1.10 Notações especiais para alguns conjuntos numéricos \n1.11 Representação geométrica dos números reais \n1.12 Intervalos limitados em \n1.13 Intervalos não-limitados em \n\n2 Igualdade e inclusão \n2.1 Igualdade de conjuntos \n2.1.1 Propriedades da igualdade \n2.2 Relação de inclusão \n2.2.1 Propriedades da inclusão \n2.3 Conjuntos comparáveis \n2.4 Subconjuntos \n2.4.1 Subconjuntos de um conjunto finito \n2.5 Conjunto das partes \n2.6 Complementar de um subconjunto \n2.6.1 Propriedades do complementar 3 Operações com conjuntos\n3.1 Diagrama de Venn ....................................... 21\n3.2 Interseção ............................................... 21\n3.2.1 Teoremas relacionadas inclusões e interseções ....... 22\n3.2.2 Propriedades da interseção ........................... 23\n3.2.3 Interseção de vários conjuntos ......................... 24\n3.3 Reunião .................................................. 25\n3.3.1 Propriedades da reunião .............................. 26\n3.3.2 Teoremas relacionando interseção e reunião de conjuntos ...... 27\n3.3.3 Reunião de vários conjuntos ............................ 28\n3.4 Álgebra de conjuntos ................................... 29\n3.4.1 Propriedades da diferença ............................ 30\n3.5 Diferença simétrica .................................... 31\n3.6 Reuniões e interseções arbitrárias ........................ 32\n\n4 Produto Cartesiano\n4.1 Quadrado cartesiano de um conjunto .................... 36\n4.2 Propriedades do produto cartesiano ..................... 37\n4.3 -uplas ordenadas ...................................... 38\n4.4 Produto cartesiano de varios conjuntos ................. 39\n\n5 Relações .................................................... 41 Capítulo 1\nConjuntos\n\n1.1 Noção de conjunto\nA noção de conjunto, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva.\nIntuitivamente, por \"conjunto\" entenderemos qualquer coleção bem definida de objetos distintos, não importando sua natureza. Os objetos que constituem um conjunto são chamados de elementos do conjunto.\nExemplo:\n1. No conjunto das vogais do alfabeto, cada uma das vogais é um elemento;\n2. No conjunto dos alunos de uma disciplina, cada um dos alunos é um elemento;\n3. Uma reta pode ser considerada um conjunto dos pontos, neste caso cada ponto dessa reta é um elemento do conjunto.\nÉ costume denotar conjuntos usando letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Por exemplo: o conjunto cujos elementos são , e , será representado pela notação:\n\nque deve ser lida: \"A é o conjunto cujos elementos são e \". Observe que os elementos devem ser separados por vírgulas e delimitados por chaves.\n\nTambém é um costume dos matemáticos denominar conjuntos por \"letras significativas\", ou seja, letras que tenham algum tipo de ligação com os elementos do conjunto.\nExemplo:\n1. O conjunto das letras da palavra 'Matemática': letra \" \" por lembrar a palavra \"letras\", mas também teria sido uma boa escolha;\n2. O conjunto das vogais do alfabeto português:\n3. O conjunto dos meses do ano com 30 dias: Abril, Junho, Setembro, Novembro .\n5 1.2 Relação de pertinência\nPara indicar que um elemento pertence ao conjunto , escrevemos\n\ne para indicar que um elemento não pertence ao conjunto , escrevemos\n\nCom o mesmo significado de , escreve-se , que se lê: \" contém \". Também podemos escrever que se lê: \" não contém \".\nObservação: Ao colocarmos um traço oblíquo sobre um símbolo produzimos um novo símbolo cujo significado é a negação do primeiro. É o que acontece com o símbolo (diferente de) conhecido de todos, e agora com os símbolos e (não pertence e não contém).\nQuando dois ou mais elementos pertencem ao mesmo conjunto é bastante comum listá-los e usar apenas um símbolo de pertinência. Por exemplo, a notação significa que os três elementos pertencem ao conjunto , ou seja, .\nUm elemento particular de é um elemento específico desse conjunto, o qual pode ser distinguido dos demais por sua natureza ou definição. Ao contrário, um elemento arbitrário de é um elemento do qual nada se supõe, salvo sua pertinência ao conjunto .\nExemplo: Considere o conjunto , então:\nOs números e são elementos particulares de . Quando queremos nos referir a um elemento genérico de escrevemos: \"seja um elemento qualquer\" ou \"seja um elemento arbitrário de .\"\n1.3 Família de conjuntos\nUm conjunto cujos elementos também são conjuntos é chamado de família de conjuntos. Por exemplo,\n\né uma família de conjuntos, cujos elementos são e . Neste caso\n\nNote que e , pois os elementos de não são números, são conjuntos!\nUma reta é um conjunto de pontos e, portanto, um conjunto de retas pode ser considerado uma família de retas.\nTambém faz sentido considerar um conjunto no qual alguns elementos são conjuntos e outros não. Por exemplo:\nAqui\ne 1.4 Conjunto universo\n\nChama-se conjunto universo (ou apenas universo de uma teoria) o conjunto de todos os elementos que são considerados no estudo de uma teoria.\n\nPor exemplo: em Aritmética o universo pode ser conjunto de todos os números inteiros e em Geometria o universo pode ser o conjunto de todos os pontos de um plano ou do espaço.\n\nO universo também é chamado de domínio e vamos representá-los pela letra .\n\n1.5 Conjuntos numéricos\n\nOs seguintes conjuntos numéricos são particularmente importantes na Matemática e serão extensivamente usados em nossos exemplos:\n\nConjunto dos números naturais ;\nConjunto dos números inteiros ou ;\nConjunto dos números racionais , é conjunto de todos os números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros, ou seja, que podem ser escritos na forma com e ;\nConjunto dos números reais cujos elementos são todos os números racionais e irracionais (não racionais);\nConjunto dos números complexos cujos elementos são todos os números da forma , com e .\n\n1.6 Determinação de um conjunto\n\nDizemos que um conjunto é dado ou definido num universo , quando se conhece um critério que permita decidir se um elemento pertence ou não pertence ao conjunto (devendo verificar uma e somente uma destas duas possibilidades).\n\nHá duas maneiras de dar ou definir um conjunto num determinado universo:\n\n1. Enumerando individualmente todos os elementos que pertencem ao conjunto.\nNeste caso dizemos que o conjunto está definido por enumeração ou extensão. Num conjunto definido por enumeração, a ordem dos elementos é indiferente e cada elemento deve figurar somente uma vez.\n\n2. Enunciando um critério de pertenência que é satisfeito por todos os elementos do conjunto e somente por esses elementos.\nEste critério de pertenência consiste em uma ou mais condições que os elementos do conjunto devem satisfazer.\n\nNo universo , o conjunto dos elementos que verificam a condição (ou possuem a propriedade ), é indicado pela notação: e ou . Caso os elementos do conjunto precisem verificar mais de uma condição, por exemplo, e simultaneamente, podemos escrever:\n\ne\n\nQuando não há risco de ambiguidade, pode-se suprimir a indicação do universo nas definições dos conjuntos escrevendo-se apenas:\nou e\n\nExemplo:\n\n1. ;\n2. e é primo ;\n3. é divisível por 5 ;\n\n1.7 Conjunto unitário\n\nChama-se conjunto unitário todo o conjunto constituído de um único elemento. Quando dizemos que é o conjunto unitário determinado pelo elemento .\n\nImportante: note que uma coisa é um conjunto unitário e outra coisa é o elemento que o determina. Dessa forma: é o correto e a notação não faz sentido.\n\nExemplo:\n\n1. ;\n2. ;\n\n1.8 Conjunto vazio\n\nConsidere o conjunto . Note que não existe número real que satisfaça a condição , logo essa é uma condição impossível.\n\nO conjunto dos elementos que verificam uma condição impossível é um conjunto sem elementos, portanto convencionaremos chamá-lo de conjunto vazio. Trata-se de uma convenção matemática que amplia o significado usual da palavra conjunto.\n\nA notação usual para o conjunto vazio é .\n\nExemplo:\n\n1. ;\n2. ; 1.9 Conjuntos finitos e infinitos\n\nUma correspondência entre conjuntos e é única de para e para cada elemento de corresponder um único elemento de B. Dizemos que a correspondência é biunívoca, se ela for única tanto de para como de para . Em outras palavras, uma correspondência é biunívoca: para cada elemento de corresponde um único elemento de e, reciprocamente, para cada elemento de corresponde um único elemento de .\n\nDizemos que um conjunto é finito quando, para algum existir uma correspondência biunívoca entre o conjunto e o conjunto dos primeiros números naturais.\n\nPor exemplo, é fácil estabelecer uma correspondência biunívoca entre os conjuntos: e\n\nPara completar nossa definição, assumimos que o conjunto vazio é finito e possui zero elementos. Finalmente, diremos que um conjunto é infinito quando ele não for finito.\n\nUsaremos a notação para designar o número de elementos de um conjunto finito. Note que:\nvazio finito e não vazio\n\nPara representar um conjunto finito, com um número não determinado de elementos, usamos três pontos entre vírgulas, por exemplo:\n\nE para representar conjuntos infinitos, listamos uma quantidade representativa de seus elementos colocando três pontos entre a última vírgula e a chave que delimita o conjunto, por exemplo:\n\nNo parágrafo acima o termo \"quantidade representativa\" deve ser entendido como \"uma quantidade de elementos suficiente para caracterizar qual propriedade um elemento deve possuir para estar nesse conjunto\".\n\nPor exemplo: quando escrevemos e , presume-se que seja formado pelos números naturais pares e que seja o conjunto dos números primos.\n\nTambém é comum encontrar a notação conjunto dos números inteiros tem uma infinidade de elementos \"nas duas direções\" (positiva e negativa).\n\nPara indicar que um conjunto finito possui exatamente elementos (sendo um número natural qualquer) pode-se escrever Os conjuntos numéricos e são obtidos a partir dos conjuntos numéricos e excluindo-se o zero. Portanto:\n\nNão Negativos:\nOs conjuntos numéricos e são obtidos a partir dos conjuntos numéricos e considerando-se apenas os elementos não negativos (ou seja, maiores ou iguais a zero). Portanto:\n\n\n\nNão Positivos:\nOs conjuntos numéricos e são obtidos a partir dos conjuntos numéricos e considerando-se apenas os elementos não positivos (ou seja, menores ou iguais a zero). Portanto:\n\n\n\nCombinando notações:\nTambém é comum considerar conjuntos numéricos não positivos, ou não negativos, sem o zero, para isso usaremos as notações:\n\n\nObservação: Note que nos conjuntos acima foi usado o símbolo em vez do símbolo de igualdade. Este é um símbolo de definição bastante comum em textos de Matemática. A expressão significa que o autor passará a denominar por o conjunto . Alguns autores também usam o símbolo com esse mesmo significado.\n\n1.11 Representação geométrica dos números reais\nOs números reais podem ser representados geometricamente pelos pontos de uma reta, chamada reta real. Escolhe-se um ponto para representar o número real zero e um outro ponto , à direita de , para representar o número real 1. Usando a distância entre e como unidade de medida, a todo ponto da reta real corresponderá um único ponto dessa reta. Em outras palavras, há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos da reta real.\n\nOs números reais à direita do zero (que estão do mesmo lado que 1) formam o conjunto dos números reais positivos, já os números reais à esquerda do zero formam o conjunto dos números reais negativos. O número 0 não é positivo nem negativo.\n\n1.12 Intervalos limitados em\nSejam e dois números reais, com . Chamamos de intervalo fechado de extremos e o conjunto formado por todos os números reais tais que ou seja,\n\nDe forma análoga definimos os seguintes conjutos:\n1. intervalo semi-aberto à direita de extremos e :\n2. intervalo semi-aberto à esquerda de extremos e :\n3. intervalo aberto de extremos e :\n\nEm algumas situações particulares, pode ser interessante retirar a exigência . Neste caso vamos nos deparar com algumas situações incomuns, por exemplo:\n\nNo caso em que , obtemos o intervalo fechado degenerado Essa situação ocorre em várias demonstrações da Análise Matemática na qual se usa o \"Teorema dos Intervalos Encaixados\".\n\nTambém no caso em que , teremos e , para , os intervalos limitados e serão todos vazios.\n\nPara ajudar na compreensão desses exemplos abstratos, pense em alguns exemplos numéricos.\n\nPara concluir, convém observar que todos os intervalos limitados, como , são conjuntos infinitos, ou seja, cada um deles tem uma infinidade de elementos. 1.13 INTERVALOS NÃO-LIMITADOS EM\nDe forma análoga definimos os seguintes conjuntos:\n\nintervalo semi-aberto à direita de extremos e :\nintervalo semi-aberto à esquerda de extremos e :\nintervalo aberto de extremos e :\n\nEm algumas situações particulares, pode ser interessante retirar a exigência . Neste caso vamos nos deparar com algumas situações incomuns, por exemplo:\n\nNo caso em que , obtemos o intervalo fechado degenerado Essa situação ocorre em várias demonstrações da Análise Matemática na qual se usa o \"Teorema dos Intervalos Encaixados\".\n\nTambém no caso em que , teremos e , para , os intervalos limitados e serão todos vazios.\n\nPara ajudar na compreensão desses exemplos abstratos, pense em alguns exemplos numéricos.\n\nPara concluir, convém observar que todos os intervalos limitados, como , são conjuntos infinitos, ou seja, cada um deles tem uma infinidade de elementos. Capítulo 2\nIgualdade e inclusão\n\n2.1 Igualdade de conjuntos\n\nApesar de já termos usado o símbolo de igualdade previamente nesse texto e de todos nós termos uma ideia intuitiva do que devam ser conjuntos iguais, daremos uma definição precisa desse conceito e estudaremos suas propriedades com um pouco mais de cuidado.\n\nDefinição 2.1. Dizemos que os conjuntos e são iguais, e denominamos , quando esses conjuntos têm exatamente os mesmos elementos.\n\nA definição acima pode ser reescrita na linguagem de lógica matemática de seguinte forma:\n\n(2.1.1)\n\nQuando o conjunto não é igual ao conjunto, dizemos que “A é diferente de B” e usamos a notação usual. Neste caso existe pelo menos um elemento de que não pertence a .\n\nRecordando que a bicondicional é equivalente a proposição a negação da bicondicional será:\n\nUsando essa expressão e o axioma da negação de quantificadores, obtemos\n\nLogo podemos escrever\n\nExemplo:\n\n1.\n\n2.\n\n3.\n\n 2.1.1 Propriedades da igualdade\n\nAs seguintes propriedades a respeito da igualdade de conjuntos são válidas:\n\n1. Reflexiva:\nDem.: Como\n\nentão\n\n2. Simétrica:\nDem.: Pela comutatividade do bicondicional temos\n\n3. Transitiva:\nDem.: e e Pela transitividade do bicondicional temos\n\n2.2 Relação de inclusão\n\nDefinição 2.2. Dizemos que um conjunto está contido em um conjunto se e somente se qualquer elemento de também é um elemento de .\n\nUsamos notação para indicar que está contido em . Simbolicamente\n\n(2.2.1)\n\nTambém é muito comum ler a expressão como “ é um subconjunto de ”, o que pode ser mais enfático em algumas situações. Outra possibilidade é dizer que contém , neste caso usa-se a notação . Existe ainda a expressão “ é superconjunto de ” para indicar que , apesar de ser raramente usada. Falaremos de subconjuntos com mais cuidado no próximo capítulo\n\nA negação de é indicada pela notação , que se lê: “ não está contido em ” ou “ não é subconjunto de ”. Neste caso, existe pelo menos um elemento em que não está em . Simbolicamente:\n\n(2.2.2)\n\ne\n\nCom o mesmo significado de escrevemos , que se lê: “ não contém ”.\n\nExemplo:\n\n1.\n\n;\n\n2.\n\n;\n\n3. As seguintes inclusões são válidas: , e Neste caso podemos escrever\n\nImportante: Para demonstrar uma inclusão do tipo , devemos tomar um elemento qualquer e provar que também pertence a . Dessa forma ficará provado que qualquer elemento de também é elemento de , que é a definição de\n\n 2.2. RELAÇÃO DE INCLUSÃO\n\nPor exemplo, vamos demonstrar que . Com efeito,\n\ne e\n\nPortanto, para todo , se então , isto é, .\n\nNa prova acima a primeira e a última implicações ( ) poderiam ser substituídas por equivalências ( ), pois essa é a definição desses conjuntos, apenas a segunda implicação não admite essa substituição. Mas levando em conta o que precisa ser demonstrado, as implicações são suficientes.\n\n2.2.1 Propriedades da inclusão\n\nAs seguintes propriedades a respeito da inclusão de conjuntos são válidas:\n\n1. Reflexiva:\nDem.: Como\n\nentão\n\n2. Transitiva:\nDem.: e e Pela transitividade do bicondicional temos\n\n3. Antissimétrica:\nDem.: e e então\n\nComo vale a implicação nas duas direções, isso é equivalente a dizer que\n\nou seja, que\n\nObserve que a recíproca é óbvia, ou seja,\n\n4. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja,\n\nDem.: Suponha, por absurdo, que exista um conjunto tal que Isso significa que existe pelo menos um elemento tal que e . O que leva a uma contradição, pois o conjunto vazio não possui elementos. Logo a proposição é falsa, consequentemente a proposição é verdadeira.\n\nObservação: A propriedade antissimétrica da inclusão fornece um método eficiente para demonstrar a igualdade de dois conjuntos, denominando método da dupla inclusão. Para demonstrar que um conjunto basta provar que e que\n\nExemplo:\n\n1.\ne são afirmações verdadeiras;\n\n2.\ne são afirmações falsas;\n\n3. O correto é , enquanto que a proposição é claramente falsa;\n\n4. Em um exemplo bem artificial, tomando , temos:\n\n Análise cada uma das linhas da tabela acima com bastante cuidado, para certificar-se que não pairam dúvidas a respeito do uso correto desses símbolos.\n\n2.3 Conjuntos comparáveis\n\nDefinição 2.3. Dados dois conjuntos A e B arbitrários, diremos que A e B são comparáveis quando A ⊆ B ou B ⊆ A, ou seja, dois conjuntos são comparáveis quando um deles está contido no outro.\n\nPortanto, A e B não são comparáveis se A não pertence a B e B também contém pelo menos um elemento que não pertence a A.\n\nExemplo:\n1. Os conjuntos A e B são comparáveis, pois A ⊆ B;\n2. Os conjuntos A e B não são comparáveis, pois A ∩ B = ∅, o que garante que A e B não podem ser comparáveis.\n\n2.4 Subconjuntos\n\nDefinição 2.4. Diremos que A é subconjunto (ou parte) de B quando A ⊆ B.\n\nNote que, para qualquer conjunto A temos A ⊆ A e, logo esses conjuntos são chamados de subconjuntos triviais ou partes impróprias. No caso particular em que A ≠ ∅ e dizemos que A é um subconjunto próprio de B ou que B é uma parte própria de A. \n\nObviamente, se A é subconjunto próprio de B, então: todo elemento de A é elemento de B e existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A.\n\nExemplo:\n1. O conjunto A é um subconjunto próprio de B.\n2. O conjunto B é par, então B é um subconjunto próprio de A. 2.4.1 Subconjuntos de um conjunto finito\n\nSeja A um conjunto finito com n elementos. Se n = 0, então A é finito e possui no máximo 2^0 = 1 elementos. Esse é um proposição da teoria de conjuntos, logo precisaria de uma demonstração. Entretanto vamos omitir-la, pois está fora dos nossos objetivos nesse curso. Vamos admitir esse resultado como sendo verdadeiro e seguir adiante.\n\nO objetivo nessa seção é encontrar todos os subconjuntos de um conjunto finito. Começaremos essa busca pelo conjunto vazio.\n\n1. O conjunto vazio tem um único subconjunto: o próprio vazio.\n\n2. Um conjunto unitário possui dois subconjuntos: ∅ e {A}.\n\n3. Um conjunto com dois elementos possui quatro subconjuntos: ∅, {A}, {B} e {A, B}.\n\n4. Ao analisar um conjunto com três ou mais elementos, precisamos tomar um pouco mais de cuidado. A dica é enumerar todos os subconjuntos com um número fixo de elementos e ir aumentando esse número, da seguinte forma.\n\nSe A possui três elementos, então contém:\n\n(a) um subconjunto com zero elementos:\n(b) três subconjuntos com um elemento: {A}, {B}, {C} e\n(c) três subconjuntos com dois elementos: {A, B}, {A, C}, {B, C} e\n(d) um subconjunto com três elementos: {A, B, C}.\n\n5. A ideia usada no item anterior pode ser extrapolada para um conjunto com n elementos. O primeiro passo é recordar que a combinação nCr fornece exatamente o número de subconjuntos distintos de A com r elementos.\n\nSe A possui n elementos, então contém:\n\n(a) subconjuntos com zero elementos:\n(b) n subconjuntos com um elemento:\n(c) (nC2) subconjuntos com dois elementos:\n(d) (nCn) subconjunto com n elementos:\n\nTeorema 2.1. Todo conjunto finito com n elementos tem 2^n subconjuntos distintos.\n\nDem.: Segundo a notação do item acima, notamos que o número de subconjuntos é Essa notação é especialmente útil em textos matemáticos longs, pois permite que o leitor \"pule\" uma demonstração e faça uma primeira leitura do texto sem entrar em detales técnicos de algumas demonstrações, que podem ser bastante extensas e desviar a atenção do leitor do objetivo final do texto.\n\nEm vez de quadradinho aberto, como foi usado acima, alguns autores preferem usar retângulos ou quadradinhos pretos ou ainda a abreviatura \"CQD\", cujo significado é \"conforme queríamos demonstrar\".\n\n2.5 Conjunto das partes\n\nDefinição 2.5. Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.\n\nO conjunto das partes de A será denotado por P(A), assim:\n\nNa prática, devemos ter em mente as seguintes relações:\n\nNote que:\n1. e\n2. Se então\n3. Se então\n4. Se então\n\nTeorema 2.2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então:\n\nImportante: Para demonstrar a equivalência enunciada no teorema acima, devemos provar duas implicações:\n1. \n2. \n\nCada uma dessas implicações devem ser entendidas da seguinte forma:\n1. Sabendo que A ⊆ B, mostre que A ∩ B = A.\n2. Sabendo que B ⊆ A, mostre que A ∩ B = B. 2.6. COMPLEMENTAR DE UM SUBCONJUNTO\n\nEm Matemática, aquilo que já sabemos é chamado de \"Hipótese\", e o que queremos provar é chamado de \"Tese\".\n\nNa primeira implicação acima temos:\n\nHipótese:\nTese:\n\nNote que: Para provar que devemos mostrar que todo elemento de está em\nPara isso basta tomar um elemento genérico e mostrar que\n\nMas se então . Como , por hipótese, e a inclusão é transitiva então\ne portanto o que conclui a prova da primeira implicação.\n\nTodos os elementos da prova acima podem ser condensados em uma prova que usa apenas\nsímbolos, da seguinte forma:\n\nAgora, em relação a segunda implicação, temos:\n\nHipótese:\nTese:\n\nAqui a prova é mais direta. Note que precisamos mostrar apenas que . Como\ne então , o que significa que\n\nLimpando todos os comentários acima a respeito de como demonstrar um teorema que\nenvolve uma equivalência, a demonstração final poderia ser assim.\n\nDem.(Teorema 2.2):\n( ) Se então , ou seja, Isso mostra que\n( ) Como , por hipótese, então\n\n2.6 Complementar de um subconjunto\n\nDefinição 2.6. Seja A um subconjunto de E ( ). O complementar (ou complemento) de A em relação a E é o conjunto de todos os elementos de E que não pertencem a A.\n\nSimbolicamente:\n\nEm um universo U, podemos falar simplesmente em complementar de um conjunto A, ficando subentendido que se trata do complementar em relação a esse universo U. Neste caso a notação usual é A' ou A^c.\n\nExemplo: Considere os conjuntos: A, B e\n\nA 2.6.1 Propriedades do complementar\n\nSejam A e B subconjuntos de E, então:\n\nDe fato, A\n\nDe fato, B\n\nDe fato, A e B\n\n( ) Suponha que C, queremos provar que A e B\n\nObservação: Em um universo U temos:\n\nA e B Capítulo 3\n\nOperações com conjuntos\n\n3.1 Diagramas de Venn\n\nPara ilustrar definições, resultados e demonstrações da teoria de conjuntos, é muito comum usar uma representação gráfica por curvas fechadas simples, tais como círculos, ovals ou curvas poligonais fechadas. Tal representação recebe o nome de diagrama de Venn.\n\nNum diagrama de Venn, os elementos do conjunto são indicados por pontos internos à região delimitada por essas curvas e os elementos que não pertencem ao conjunto são representados por pontos externos a essa região, como no exemplo abaixo.\n\nExemplo: Um diagrama de Venn para os conjuntos A, B.\n\nNeste modelo de visualização nenhum elemento pode ser representado por pontos exatamente em cima da curva fechada que delimita a região (na fronteira).\n\nEm um diagrama de Venn, é comum representar o conjunto universo por um retângulo e os demais conjuntos por círculos contidos nesse retângulo. Por exemplo, em relação ao universo U outros conjuntos representar como A e B.\n\nObservação: A única coisa realmente importante em um diagrama de Venn é a visualização do problema que essa ferramenta propicia. Argumentos ou raciocínios baseados em diagramas de Venn não servem como demonstração da validade de uma proposição, apesar de serem muito úteis em sua compreensão.\n\n3.2 Interseção\n\nDefinição 3.1. Chamaremos de interseção dos conjuntos A e B ao conjunto formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e B.\n\nEsse conjunto é denotado por A ∩ B, que se lê: interseção ou, interseção.\n\nSimbolicamente, temos:\n\nA ∩ B\n\nNas demonstrações envolvendo interseção de conjuntos usaremos sempre a seguinte caracterização de seus elementos:\n\nExemplo: 2. INTERSEÇÃO\nTeorema 3.2. Sejam e dois conjuntos quaisquer, então\nDem.: Vamos dividir a demonstração em duas partes. Ida( ) e volta ( ).\n( ) Sabendo que , queremos provar que . Pelo item acima já sabemos que logo, para termos a igualdade, precisamos mostrar que . Seja , como então e , ou seja, qualquer , mostramos que qualquer elemento de está em , logo.\n( ) Sabendo que , queremos provar que . Mas, por hipótese, e, pelo item 1 acima, logo O que conclui a prova do teorema.\nTeorema 3.3. Sejam e conjuntos quaisquer. Então e\nDem.: Também dividiremos essa demonstração em duas partes. Ida( ) e volta ( ). Mas em vez de fazer\n( ) Suponha que e , e vamos provar que\nSeja um elemento qualquer, como e então e , ou seja, , pelo teorema 3.2 temos.\nTeorema 3.4. Sejam e conjuntos quaisquer. Se então\nDem.: Sabemos que , e queremos provar que tomando um qualquer teremos e e\nComo acima foi escolhido arbitariamente, segue que todo elemento de está em , ou seja\n3.2.2 Propriedades da interseção\nSejam , e conjuntos quaisquer em um universo .\n[todo conjunto é disjunto do vazio]\nDe fato, como pelo teorema 3.2 temos\n[elemento neutro]\nCom efeito, como pelo teorema 3.2 temos\n[todo conjunto é disjunto de seu complementar]\nBasta observar que\n[idempotência]\nMais uma vez, como pelo teorema 3.2 temos\nCom efeito, e 3.3 Reunião\n\nDefinição 3.4. Chamaremos de reunião (ou união) dos conjuntos e ao conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto ou ao conjunto .\nEsse conjunto é denotado , que se lê: \" reunião \" ou \" união \". Logo\n\nou\n\nNas demonstrações envolvendo reunião de conjuntos usaremos sempre a seguinte caracterização de seu elementos:\n\nou\n\nExemplo:\n1. Para e temos ;\n2. Considere , , e então\n (a) (b) (c)\n3.\n4. Se e teremos\n é múltiplo de 2 ou 3\n\nObservação: Nos teoremas abaixo não especificamos quem são os conjuntos , e . Sempre que isso ocorrer, deve-se entender que o autor não está impondo nenhuma restrição adicional aos objetos que estão sendo estudados.\n\nTeorema 3.5. e .\nDem.: Seja um elemento qualquer então pela lei da adição da lógica\nou\n\nComo as implicações acima valem para qualquer , segue que . A prova da segunda inclusão fica como exercício.\n\nTeorema 3.6. CAPÍTULO 3. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS\n\nDem.: ( ) Sabendo que , queremos provar que . Pelo teorema anterior sabemos que logo, para termos a igualdade, só precisamos mostrar que .\nComo se então . Logo valem as implicações\n\nou ou\n\nComo é um elemento qualquer de , mostramos que qualquer elemento de está em , ou seja, .\n( ) Sabendo que , queremos provar que . Como e então O que concluí a prova do teorema.\n\nTeorema 3.7.\nDem.: ( ) Seja um elemento qualquer, então ou . Como e então , ou seja, qualquer elemento de está em , e portanto .\n\nTeorema 3.8. Se então\nDem.: Seja um elemento qualquer, então\n\nComo acima foi escolhido arbitrariamente, segue que\n\n3.3.1 Propriedades da reunião\nSejam , e conjuntos quaisquer em um universo .\n[elemento neutro]\nDe fato, por 3.5 temos . Por outro lado, se não existem elementos no vazio então e portanto Como valem as duas com efeito, como\n\nBasta observar que ou ou .\n\n[idempotência]\nComo pelo teorema 3.6 temos\n\nCom efeito, como\n\n[comutatividade]\nComo\n\n[associatividade]\n\nCom efeito, ou ou ou\n\n3.3.2 Teoremas relacionando interseção e reunião de conjuntos\nSejam e conjuntos quaisquer em um universo .\nTeorema 3.9. e .\nDem.: Como segue do teorema 3.6 que temos .\n\nAs duas identidades acima são conhecidas como “leis de absorção”, pois no lado direito das igualdades o termo B desaparece (é absorvido).\n\nObservação: Na prova acima usamos o termo “analogamente” para enfatizar que os argumentos usados na prova da segunda identidade eram análogos. É muito comum o autor dizer apenas que \"a prova da segunda identidade é análoga\", deixando para o leitor a obrigação de verificar que os argumentos usados são muito parecidos, apesar de poder guardar diferenças substanciais.\n\nA seguir provaremos a distributividade da interseção em relação à reunião e da reunião em relação à interseção.\n\nTeorema 3.10.\n1. e\n2. .\nDem.: A demonstração dessas propriedades usa apenas as leis distributivas da lógica. Faremos uma delas e deixaremos a outra como exercício.\n\n e e ou\ne ou e\nou\n\nO último teorema dessa subseção é conhecido como “Leis de De Morgan” que afirmam: O complementar da interseção é a reunião dos complementares; e o complementar da reunião é a interseção dos complementares.\n\nTeorema 3.11.\n1. e\n2. .\nDem.: Aqui também a demonstração consiste em aplicar as leis de De Morgan da lógica. Como no teorema anterior, faremos uma delas e deixaremos a outra como exercício.\n\n e ou ou 3.3.3 Reunião de vários conjuntos\nA noção de reunião de dois conjuntos também pode ser extendida de maneira natural para qualquer número finito de conjuntos, como fizemos com a interseção.\nDefinição 3.5. A reunião dos conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos. Neste caso usamos as notações\nou\nDessa forma\nou\nou ainda\nE teremos\nExemplo:\n1. Se , , , . Então\n2. Se , , , , . Então\n3.3.4 Álgebra de conjuntos\nAs propriedades das operações de reunião, interseção e complementação, juntamente com as relações de igualdade e inclusão conjuntos, introduz uma estrutura algébrica na teoria de conjuntos chamada Algebra dos Conjuntos.\nA álgebra de conjuntos possui uma analogia muito forte com a álgebra de números usual (aritmética).\nNa aritmética a adição e a multiplicação são operações associativas e comutativas; na álgebra de conjuntos a reunião e interseção de conjuntos também gozam dessas propriedades.\nNa aritmética temos a relação “menor ou igual” que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva; e o mesmo vale para a relação de inclusão de conjuntos. 3.4. DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS\nObviamente também existem grandes diferenças, por exemplo, dois conjuntos são sempre comparáveis, enquanto dois números (reais) serão sempre comparáveis, ou seja, dados teremos ou .\nEssa estrutura algébrica nos leva naturalmente a pensar em expressões algébricas e simplificação de expressões, que simplificam a compreensão dos conjuntos que estamos estudando. A ideia é usar todas as propriedades que provamos envolvendo reunião, interseção e complementação para outras expressões mais simples.\nExemplo:\n1. \n2. \n3. \n4. \n3.4 Diferença de dois conjuntos\nDefinição 3.6. A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .\nEsse conjunto é denotado ou , que se lê: “menos” ou “diferença entre”. Assim\ne\nNas demonstrações envolvendo diferença de conjuntos usaremos sempre a caracterização:\ne\nObservação:\nNote que e , ou seja, .\nNo caso particular em que , temos e , isto é,\nse e são subconjuntos quaisquer de um mesmo conjunto , então\ne e e.\nEm particular, se temos .\nExemplo:\n1. Sejam , e . Então\nNote que , logo a diferença de conjuntos não é comutativa. 3.5 DIFERENÇA SIMÉTRICA\n\ne\n\ne\n\ne\n\nExercício: Faça as demonstrações das propriedades a .\n\n3.5 Diferença simétrica\n\nDefinição 3.7. A diferença simétrica de dois conjuntos e é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a um e somente a um dos conjuntos .\n\nEsse conjunto é denotado , que se lê: \"diferença simétrica de e \". Assim\n\n\ne ou e\n\nNote que\n\ne ou e\n\nou seja,\n\nTambém é fácil ver que a diferença simétrica dos conjuntos e é o conjunto de todos os elementos que estão na reunião de e e não estão na interseção de e , ou seja,\n\nA diferença simétrica raramente aparece em textos matemáticos, na verdade não lembro de nenhum grande resultado da matemática que dependa desse conceito. Apesar disso é um assunto que relaciona os conceitos de reunião, interseção e diferença de conjuntos, logo vale a menção e uma lista de propriedades relacionadas abaixo que ficam com exercício para o leitor. 3.6 Reuniões e interseções arbitrárias\n\nAs leis associativas nos permitem falar em uniões e interseções de uma quantidade finita de conjuntos conforme vimos acima.\n\nPorém, na matemática, muitas vezes precisamos considerar uniões e interseções de coleções infinitas de conjuntos. Neste caso, precisamos voltar às ideias originais de união e interseção para formular uma definição alternativa que não dependa da quantidade de conjuntos que estamos trabalhando.\n\nHá duas notações distintas que são comumente usados, dependendo do contexto. Suponha primeiramente que para cada elemento de algum conjunto corresponde um conjunto . Vamos nos referir à coleção\n\ncomo uma família indexada de conjuntos, sendo o conjunto de índices dessa família.\n\nExemplo: Para cada considera o intervalo fechado intervalos pode ser denotada por\n\né uma família indexada de conjuntos cujo conjunto de índices é .\n\nExemplo: Para cada número racional considere o conjunto a família indexada de conjuntos é\n\ne o conjunto de índices é .\n\nObservação: A família acima é particularmente importante em análise matemática. Seus elementos são chamados de cortes racionais e aparecem na construção dos números reais pelo método dos cortes de Dedekind.\n\nDefinição 3.8. A união de uma família indexada é o conjunto formado por todos os elementos que se encontraram em um ou mais dos conjuntos da família, ou seja\n\ndessa forma\n\nDefinição 3.9. A interseção de uma família indexada é o conjunto formado por todos os elementos que se encontraram em todos os conjuntos da família, ou seja\n\ndessa forma\n\nObserve que o caso em que o conjunto de índices consiste de apenas dois elementos, digamos então\n 3.6 REUNIÕES E INTERSEÇÕES ARBITRÁRIAS\n\nassim as noções de união e interseção arbitrária de famílias indexadas são generalizações das noções de união e interseção de pares de conjuntos e, portanto, também de reuniões e interseções finitas de conjuntos.\n\nO próximo teorema, apesar de simples, ilustra muito bem o papel que essas definições arbitrárias de reunião e interseção desempenham na teoria e a forma correta de manipulá-las.\n\nTeorema 3.12. Seja uma família indexada de conjuntos. Então para qualquer e\n\nDem.: Seja um elemento qualquer, logo tal que (neste caso é o próprio ). Assim, por definição, isso prova que \n\nPara provar que seja um elemento qualquer. Pela definição de interseção de família indexada de conjuntos sabemos que o que concluí a prova do teorema.\n\nObserve que as demonstrações acima não foi mencionado nem uma vez se o conjunto de índices era finito ou infinito. Também não foi feito qualquer menção se determinado conjunto seria o primeiro ou o segundo ou ainda que exista uma ordem qualquer estabelecida entre conjuntos. As demonstrações dependem exclusivamente das definições de união e interseção em termos de quantificadores sobre o conjunto de índices. Esse mesmo tipo de raciocínio será usado nos próximos teoremas.\n\nTeorema 3.13. Seja uma família indexada de conjuntos qualquer e um conjunto arbitrário, então:\n\na. ;\nb. ;\n\nDem.: Faremos apenas a prova do item , o item fica para o leitor.\n\nou ou\n\nou\n\nou\n\nTeorema 3.14 (Leis Distributivas). Seja uma família indexada de conjuntos qualquer e um conjunto arbitrário, então:\n\na. ;\nb. ; CAPÍTULO 3. OPERÇÕES COM CONJUNTOS\n\nDem.: Como no teorema anterior, faremos apenas a prova do item e deixaremos o item para o leitor.\n\ne\ne\ne\n\nTeorema 3.15 (Leis de De Morgan). Seja uma família indexada de conjuntos qualquer e um conjunto arbitrário, então:\n\na.\n;\nb.\n;\n\nExiste uma notação alternativa para uniões e interseções arbitrárias quando a família de conjuntos não é indexada. Seja uma coleção de conjuntos qualquer. Vamos denotar a reunião de todos os elementos da família por\n\nou seja,\n\nAnalogamente,\n\ne assim,\n\nObviamente, caso a coleção possa ser indexada por um conjunto de índices,\nteremos\n\ne\ne Capítulo 4\n\nProduto Cartesiano\n\nDefinição 4.1. Dados dois elementos, e, chamaremos de par ordenado um terceiro elemento denotado . Também dizemos que e é a primeira coordenada e e a segunda coordenada do par ordenado .\n\nAqui o adjetivo \"ordenado\" enfatiza que a ordem na qual os elementos e aparecem entre os parênteses é essencial. Também é comum chamar os elementos e de primeira projeção e segunda projeção do par ordenado , respectivamente, e denotar isso por:\n\ne\n\nNote que o par ordenado não é o mesmo que o conjunto .\n\nDefinição 4.2. Dizemos que dois pares ordenados e e são iguais se e somente se\n\nEm particular, se e somente se .\n\nEm geometria analítica convencionamos associar a cada ponto do plano um par ordenado de números reais (fixando uma origem e um par de eixos ortogonais). O plano cartesiano, como conhecemos, é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Vamos formalizar esse conceito.\n\nDefinição 4.3. Sejam e dois conjuntos quaisquer. O conjunto de todos os pares ordenados , com , é chamado o produto cartesiano de e , e denotado \ne\n\nExemplo: Sejam e então\n\ne\n\nNote que, em geral,
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Introdução a Teoria de Conjuntos \npara estudantes que estão ingressando na Matemática \n\nProf. Alexandre Kirilov \n\n16 de outubro de 2016\n\n1 Alerta: Esse texto é apenas um roteiro usado pelo professor da disciplina para organizar suas aulas. Como se trata de uma primeira versão, não passou por revisão e está incompleto. Logo você encontrará erros de digitação, de português, de notação etc. Caso encontre qualquer problema, por favor me avise para que eu possa corrigir. A disposição dos conteúdos é fortemente inspirada no livro do Introdução a Teoria dos Conjuntos, do Edgard de Alencar Filho. 2 Sumário\n\n1 Conjuntos \n1.1 Noção de conjunto \n1.2 Relação de pertinência \n1.3 Família de conjuntos \n1.4 Conjunto universo \n1.5 Conjuntos numéricos \n1.6 Determinação de um conjunto \n1.7 Conjunto unitário \n1.8 Conjunto vazio \n1.9 Conjuntos finitos e infinitos \n1.10 Notações especiais para alguns conjuntos numéricos \n1.11 Representação geométrica dos números reais \n1.12 Intervalos limitados em \n1.13 Intervalos não-limitados em \n\n2 Igualdade e inclusão \n2.1 Igualdade de conjuntos \n2.1.1 Propriedades da igualdade \n2.2 Relação de inclusão \n2.2.1 Propriedades da inclusão \n2.3 Conjuntos comparáveis \n2.4 Subconjuntos \n2.4.1 Subconjuntos de um conjunto finito \n2.5 Conjunto das partes \n2.6 Complementar de um subconjunto \n2.6.1 Propriedades do complementar 3 Operações com conjuntos\n3.1 Diagrama de Venn ....................................... 21\n3.2 Interseção ............................................... 21\n3.2.1 Teoremas relacionadas inclusões e interseções ....... 22\n3.2.2 Propriedades da interseção ........................... 23\n3.2.3 Interseção de vários conjuntos ......................... 24\n3.3 Reunião .................................................. 25\n3.3.1 Propriedades da reunião .............................. 26\n3.3.2 Teoremas relacionando interseção e reunião de conjuntos ...... 27\n3.3.3 Reunião de vários conjuntos ............................ 28\n3.4 Álgebra de conjuntos ................................... 29\n3.4.1 Propriedades da diferença ............................ 30\n3.5 Diferença simétrica .................................... 31\n3.6 Reuniões e interseções arbitrárias ........................ 32\n\n4 Produto Cartesiano\n4.1 Quadrado cartesiano de um conjunto .................... 36\n4.2 Propriedades do produto cartesiano ..................... 37\n4.3 -uplas ordenadas ...................................... 38\n4.4 Produto cartesiano de varios conjuntos ................. 39\n\n5 Relações .................................................... 41 Capítulo 1\nConjuntos\n\n1.1 Noção de conjunto\nA noção de conjunto, fundamental na Matemática de nossos dias, não é suscetível de definição precisa a partir de noções mais simples, ou seja, é uma noção primitiva.\nIntuitivamente, por \"conjunto\" entenderemos qualquer coleção bem definida de objetos distintos, não importando sua natureza. Os objetos que constituem um conjunto são chamados de elementos do conjunto.\nExemplo:\n1. No conjunto das vogais do alfabeto, cada uma das vogais é um elemento;\n2. No conjunto dos alunos de uma disciplina, cada um dos alunos é um elemento;\n3. Uma reta pode ser considerada um conjunto dos pontos, neste caso cada ponto dessa reta é um elemento do conjunto.\nÉ costume denotar conjuntos usando letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas. Por exemplo: o conjunto cujos elementos são , e , será representado pela notação:\n\nque deve ser lida: \"A é o conjunto cujos elementos são e \". Observe que os elementos devem ser separados por vírgulas e delimitados por chaves.\n\nTambém é um costume dos matemáticos denominar conjuntos por \"letras significativas\", ou seja, letras que tenham algum tipo de ligação com os elementos do conjunto.\nExemplo:\n1. O conjunto das letras da palavra 'Matemática': letra \" \" por lembrar a palavra \"letras\", mas também teria sido uma boa escolha;\n2. O conjunto das vogais do alfabeto português:\n3. O conjunto dos meses do ano com 30 dias: Abril, Junho, Setembro, Novembro .\n5 1.2 Relação de pertinência\nPara indicar que um elemento pertence ao conjunto , escrevemos\n\ne para indicar que um elemento não pertence ao conjunto , escrevemos\n\nCom o mesmo significado de , escreve-se , que se lê: \" contém \". Também podemos escrever que se lê: \" não contém \".\nObservação: Ao colocarmos um traço oblíquo sobre um símbolo produzimos um novo símbolo cujo significado é a negação do primeiro. É o que acontece com o símbolo (diferente de) conhecido de todos, e agora com os símbolos e (não pertence e não contém).\nQuando dois ou mais elementos pertencem ao mesmo conjunto é bastante comum listá-los e usar apenas um símbolo de pertinência. Por exemplo, a notação significa que os três elementos pertencem ao conjunto , ou seja, .\nUm elemento particular de é um elemento específico desse conjunto, o qual pode ser distinguido dos demais por sua natureza ou definição. Ao contrário, um elemento arbitrário de é um elemento do qual nada se supõe, salvo sua pertinência ao conjunto .\nExemplo: Considere o conjunto , então:\nOs números e são elementos particulares de . Quando queremos nos referir a um elemento genérico de escrevemos: \"seja um elemento qualquer\" ou \"seja um elemento arbitrário de .\"\n1.3 Família de conjuntos\nUm conjunto cujos elementos também são conjuntos é chamado de família de conjuntos. Por exemplo,\n\né uma família de conjuntos, cujos elementos são e . Neste caso\n\nNote que e , pois os elementos de não são números, são conjuntos!\nUma reta é um conjunto de pontos e, portanto, um conjunto de retas pode ser considerado uma família de retas.\nTambém faz sentido considerar um conjunto no qual alguns elementos são conjuntos e outros não. Por exemplo:\nAqui\ne 1.4 Conjunto universo\n\nChama-se conjunto universo (ou apenas universo de uma teoria) o conjunto de todos os elementos que são considerados no estudo de uma teoria.\n\nPor exemplo: em Aritmética o universo pode ser conjunto de todos os números inteiros e em Geometria o universo pode ser o conjunto de todos os pontos de um plano ou do espaço.\n\nO universo também é chamado de domínio e vamos representá-los pela letra .\n\n1.5 Conjuntos numéricos\n\nOs seguintes conjuntos numéricos são particularmente importantes na Matemática e serão extensivamente usados em nossos exemplos:\n\nConjunto dos números naturais ;\nConjunto dos números inteiros ou ;\nConjunto dos números racionais , é conjunto de todos os números que podem ser escritos como o quociente de dois números inteiros, ou seja, que podem ser escritos na forma com e ;\nConjunto dos números reais cujos elementos são todos os números racionais e irracionais (não racionais);\nConjunto dos números complexos cujos elementos são todos os números da forma , com e .\n\n1.6 Determinação de um conjunto\n\nDizemos que um conjunto é dado ou definido num universo , quando se conhece um critério que permita decidir se um elemento pertence ou não pertence ao conjunto (devendo verificar uma e somente uma destas duas possibilidades).\n\nHá duas maneiras de dar ou definir um conjunto num determinado universo:\n\n1. Enumerando individualmente todos os elementos que pertencem ao conjunto.\nNeste caso dizemos que o conjunto está definido por enumeração ou extensão. Num conjunto definido por enumeração, a ordem dos elementos é indiferente e cada elemento deve figurar somente uma vez.\n\n2. Enunciando um critério de pertenência que é satisfeito por todos os elementos do conjunto e somente por esses elementos.\nEste critério de pertenência consiste em uma ou mais condições que os elementos do conjunto devem satisfazer.\n\nNo universo , o conjunto dos elementos que verificam a condição (ou possuem a propriedade ), é indicado pela notação: e ou . Caso os elementos do conjunto precisem verificar mais de uma condição, por exemplo, e simultaneamente, podemos escrever:\n\ne\n\nQuando não há risco de ambiguidade, pode-se suprimir a indicação do universo nas definições dos conjuntos escrevendo-se apenas:\nou e\n\nExemplo:\n\n1. ;\n2. e é primo ;\n3. é divisível por 5 ;\n\n1.7 Conjunto unitário\n\nChama-se conjunto unitário todo o conjunto constituído de um único elemento. Quando dizemos que é o conjunto unitário determinado pelo elemento .\n\nImportante: note que uma coisa é um conjunto unitário e outra coisa é o elemento que o determina. Dessa forma: é o correto e a notação não faz sentido.\n\nExemplo:\n\n1. ;\n2. ;\n\n1.8 Conjunto vazio\n\nConsidere o conjunto . Note que não existe número real que satisfaça a condição , logo essa é uma condição impossível.\n\nO conjunto dos elementos que verificam uma condição impossível é um conjunto sem elementos, portanto convencionaremos chamá-lo de conjunto vazio. Trata-se de uma convenção matemática que amplia o significado usual da palavra conjunto.\n\nA notação usual para o conjunto vazio é .\n\nExemplo:\n\n1. ;\n2. ; 1.9 Conjuntos finitos e infinitos\n\nUma correspondência entre conjuntos e é única de para e para cada elemento de corresponder um único elemento de B. Dizemos que a correspondência é biunívoca, se ela for única tanto de para como de para . Em outras palavras, uma correspondência é biunívoca: para cada elemento de corresponde um único elemento de e, reciprocamente, para cada elemento de corresponde um único elemento de .\n\nDizemos que um conjunto é finito quando, para algum existir uma correspondência biunívoca entre o conjunto e o conjunto dos primeiros números naturais.\n\nPor exemplo, é fácil estabelecer uma correspondência biunívoca entre os conjuntos: e\n\nPara completar nossa definição, assumimos que o conjunto vazio é finito e possui zero elementos. Finalmente, diremos que um conjunto é infinito quando ele não for finito.\n\nUsaremos a notação para designar o número de elementos de um conjunto finito. Note que:\nvazio finito e não vazio\n\nPara representar um conjunto finito, com um número não determinado de elementos, usamos três pontos entre vírgulas, por exemplo:\n\nE para representar conjuntos infinitos, listamos uma quantidade representativa de seus elementos colocando três pontos entre a última vírgula e a chave que delimita o conjunto, por exemplo:\n\nNo parágrafo acima o termo \"quantidade representativa\" deve ser entendido como \"uma quantidade de elementos suficiente para caracterizar qual propriedade um elemento deve possuir para estar nesse conjunto\".\n\nPor exemplo: quando escrevemos e , presume-se que seja formado pelos números naturais pares e que seja o conjunto dos números primos.\n\nTambém é comum encontrar a notação conjunto dos números inteiros tem uma infinidade de elementos \"nas duas direções\" (positiva e negativa).\n\nPara indicar que um conjunto finito possui exatamente elementos (sendo um número natural qualquer) pode-se escrever Os conjuntos numéricos e são obtidos a partir dos conjuntos numéricos e excluindo-se o zero. Portanto:\n\nNão Negativos:\nOs conjuntos numéricos e são obtidos a partir dos conjuntos numéricos e considerando-se apenas os elementos não negativos (ou seja, maiores ou iguais a zero). Portanto:\n\n\n\nNão Positivos:\nOs conjuntos numéricos e são obtidos a partir dos conjuntos numéricos e considerando-se apenas os elementos não positivos (ou seja, menores ou iguais a zero). Portanto:\n\n\n\nCombinando notações:\nTambém é comum considerar conjuntos numéricos não positivos, ou não negativos, sem o zero, para isso usaremos as notações:\n\n\nObservação: Note que nos conjuntos acima foi usado o símbolo em vez do símbolo de igualdade. Este é um símbolo de definição bastante comum em textos de Matemática. A expressão significa que o autor passará a denominar por o conjunto . Alguns autores também usam o símbolo com esse mesmo significado.\n\n1.11 Representação geométrica dos números reais\nOs números reais podem ser representados geometricamente pelos pontos de uma reta, chamada reta real. Escolhe-se um ponto para representar o número real zero e um outro ponto , à direita de , para representar o número real 1. Usando a distância entre e como unidade de medida, a todo ponto da reta real corresponderá um único ponto dessa reta. Em outras palavras, há uma correspondência biunívoca entre o conjunto dos números reais e o conjunto dos pontos da reta real.\n\nOs números reais à direita do zero (que estão do mesmo lado que 1) formam o conjunto dos números reais positivos, já os números reais à esquerda do zero formam o conjunto dos números reais negativos. O número 0 não é positivo nem negativo.\n\n1.12 Intervalos limitados em\nSejam e dois números reais, com . Chamamos de intervalo fechado de extremos e o conjunto formado por todos os números reais tais que ou seja,\n\nDe forma análoga definimos os seguintes conjutos:\n1. intervalo semi-aberto à direita de extremos e :\n2. intervalo semi-aberto à esquerda de extremos e :\n3. intervalo aberto de extremos e :\n\nEm algumas situações particulares, pode ser interessante retirar a exigência . Neste caso vamos nos deparar com algumas situações incomuns, por exemplo:\n\nNo caso em que , obtemos o intervalo fechado degenerado Essa situação ocorre em várias demonstrações da Análise Matemática na qual se usa o \"Teorema dos Intervalos Encaixados\".\n\nTambém no caso em que , teremos e , para , os intervalos limitados e serão todos vazios.\n\nPara ajudar na compreensão desses exemplos abstratos, pense em alguns exemplos numéricos.\n\nPara concluir, convém observar que todos os intervalos limitados, como , são conjuntos infinitos, ou seja, cada um deles tem uma infinidade de elementos. 1.13 INTERVALOS NÃO-LIMITADOS EM\nDe forma análoga definimos os seguintes conjuntos:\n\nintervalo semi-aberto à direita de extremos e :\nintervalo semi-aberto à esquerda de extremos e :\nintervalo aberto de extremos e :\n\nEm algumas situações particulares, pode ser interessante retirar a exigência . Neste caso vamos nos deparar com algumas situações incomuns, por exemplo:\n\nNo caso em que , obtemos o intervalo fechado degenerado Essa situação ocorre em várias demonstrações da Análise Matemática na qual se usa o \"Teorema dos Intervalos Encaixados\".\n\nTambém no caso em que , teremos e , para , os intervalos limitados e serão todos vazios.\n\nPara ajudar na compreensão desses exemplos abstratos, pense em alguns exemplos numéricos.\n\nPara concluir, convém observar que todos os intervalos limitados, como , são conjuntos infinitos, ou seja, cada um deles tem uma infinidade de elementos. Capítulo 2\nIgualdade e inclusão\n\n2.1 Igualdade de conjuntos\n\nApesar de já termos usado o símbolo de igualdade previamente nesse texto e de todos nós termos uma ideia intuitiva do que devam ser conjuntos iguais, daremos uma definição precisa desse conceito e estudaremos suas propriedades com um pouco mais de cuidado.\n\nDefinição 2.1. Dizemos que os conjuntos e são iguais, e denominamos , quando esses conjuntos têm exatamente os mesmos elementos.\n\nA definição acima pode ser reescrita na linguagem de lógica matemática de seguinte forma:\n\n(2.1.1)\n\nQuando o conjunto não é igual ao conjunto, dizemos que “A é diferente de B” e usamos a notação usual. Neste caso existe pelo menos um elemento de que não pertence a .\n\nRecordando que a bicondicional é equivalente a proposição a negação da bicondicional será:\n\nUsando essa expressão e o axioma da negação de quantificadores, obtemos\n\nLogo podemos escrever\n\nExemplo:\n\n1.\n\n2.\n\n3.\n\n 2.1.1 Propriedades da igualdade\n\nAs seguintes propriedades a respeito da igualdade de conjuntos são válidas:\n\n1. Reflexiva:\nDem.: Como\n\nentão\n\n2. Simétrica:\nDem.: Pela comutatividade do bicondicional temos\n\n3. Transitiva:\nDem.: e e Pela transitividade do bicondicional temos\n\n2.2 Relação de inclusão\n\nDefinição 2.2. Dizemos que um conjunto está contido em um conjunto se e somente se qualquer elemento de também é um elemento de .\n\nUsamos notação para indicar que está contido em . Simbolicamente\n\n(2.2.1)\n\nTambém é muito comum ler a expressão como “ é um subconjunto de ”, o que pode ser mais enfático em algumas situações. Outra possibilidade é dizer que contém , neste caso usa-se a notação . Existe ainda a expressão “ é superconjunto de ” para indicar que , apesar de ser raramente usada. Falaremos de subconjuntos com mais cuidado no próximo capítulo\n\nA negação de é indicada pela notação , que se lê: “ não está contido em ” ou “ não é subconjunto de ”. Neste caso, existe pelo menos um elemento em que não está em . Simbolicamente:\n\n(2.2.2)\n\ne\n\nCom o mesmo significado de escrevemos , que se lê: “ não contém ”.\n\nExemplo:\n\n1.\n\n;\n\n2.\n\n;\n\n3. As seguintes inclusões são válidas: , e Neste caso podemos escrever\n\nImportante: Para demonstrar uma inclusão do tipo , devemos tomar um elemento qualquer e provar que também pertence a . Dessa forma ficará provado que qualquer elemento de também é elemento de , que é a definição de\n\n 2.2. RELAÇÃO DE INCLUSÃO\n\nPor exemplo, vamos demonstrar que . Com efeito,\n\ne e\n\nPortanto, para todo , se então , isto é, .\n\nNa prova acima a primeira e a última implicações ( ) poderiam ser substituídas por equivalências ( ), pois essa é a definição desses conjuntos, apenas a segunda implicação não admite essa substituição. Mas levando em conta o que precisa ser demonstrado, as implicações são suficientes.\n\n2.2.1 Propriedades da inclusão\n\nAs seguintes propriedades a respeito da inclusão de conjuntos são válidas:\n\n1. Reflexiva:\nDem.: Como\n\nentão\n\n2. Transitiva:\nDem.: e e Pela transitividade do bicondicional temos\n\n3. Antissimétrica:\nDem.: e e então\n\nComo vale a implicação nas duas direções, isso é equivalente a dizer que\n\nou seja, que\n\nObserve que a recíproca é óbvia, ou seja,\n\n4. O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, ou seja,\n\nDem.: Suponha, por absurdo, que exista um conjunto tal que Isso significa que existe pelo menos um elemento tal que e . O que leva a uma contradição, pois o conjunto vazio não possui elementos. Logo a proposição é falsa, consequentemente a proposição é verdadeira.\n\nObservação: A propriedade antissimétrica da inclusão fornece um método eficiente para demonstrar a igualdade de dois conjuntos, denominando método da dupla inclusão. Para demonstrar que um conjunto basta provar que e que\n\nExemplo:\n\n1.\ne são afirmações verdadeiras;\n\n2.\ne são afirmações falsas;\n\n3. O correto é , enquanto que a proposição é claramente falsa;\n\n4. Em um exemplo bem artificial, tomando , temos:\n\n Análise cada uma das linhas da tabela acima com bastante cuidado, para certificar-se que não pairam dúvidas a respeito do uso correto desses símbolos.\n\n2.3 Conjuntos comparáveis\n\nDefinição 2.3. Dados dois conjuntos A e B arbitrários, diremos que A e B são comparáveis quando A ⊆ B ou B ⊆ A, ou seja, dois conjuntos são comparáveis quando um deles está contido no outro.\n\nPortanto, A e B não são comparáveis se A não pertence a B e B também contém pelo menos um elemento que não pertence a A.\n\nExemplo:\n1. Os conjuntos A e B são comparáveis, pois A ⊆ B;\n2. Os conjuntos A e B não são comparáveis, pois A ∩ B = ∅, o que garante que A e B não podem ser comparáveis.\n\n2.4 Subconjuntos\n\nDefinição 2.4. Diremos que A é subconjunto (ou parte) de B quando A ⊆ B.\n\nNote que, para qualquer conjunto A temos A ⊆ A e, logo esses conjuntos são chamados de subconjuntos triviais ou partes impróprias. No caso particular em que A ≠ ∅ e dizemos que A é um subconjunto próprio de B ou que B é uma parte própria de A. \n\nObviamente, se A é subconjunto próprio de B, então: todo elemento de A é elemento de B e existe pelo menos um elemento de B que não pertence a A.\n\nExemplo:\n1. O conjunto A é um subconjunto próprio de B.\n2. O conjunto B é par, então B é um subconjunto próprio de A. 2.4.1 Subconjuntos de um conjunto finito\n\nSeja A um conjunto finito com n elementos. Se n = 0, então A é finito e possui no máximo 2^0 = 1 elementos. Esse é um proposição da teoria de conjuntos, logo precisaria de uma demonstração. Entretanto vamos omitir-la, pois está fora dos nossos objetivos nesse curso. Vamos admitir esse resultado como sendo verdadeiro e seguir adiante.\n\nO objetivo nessa seção é encontrar todos os subconjuntos de um conjunto finito. Começaremos essa busca pelo conjunto vazio.\n\n1. O conjunto vazio tem um único subconjunto: o próprio vazio.\n\n2. Um conjunto unitário possui dois subconjuntos: ∅ e {A}.\n\n3. Um conjunto com dois elementos possui quatro subconjuntos: ∅, {A}, {B} e {A, B}.\n\n4. Ao analisar um conjunto com três ou mais elementos, precisamos tomar um pouco mais de cuidado. A dica é enumerar todos os subconjuntos com um número fixo de elementos e ir aumentando esse número, da seguinte forma.\n\nSe A possui três elementos, então contém:\n\n(a) um subconjunto com zero elementos:\n(b) três subconjuntos com um elemento: {A}, {B}, {C} e\n(c) três subconjuntos com dois elementos: {A, B}, {A, C}, {B, C} e\n(d) um subconjunto com três elementos: {A, B, C}.\n\n5. A ideia usada no item anterior pode ser extrapolada para um conjunto com n elementos. O primeiro passo é recordar que a combinação nCr fornece exatamente o número de subconjuntos distintos de A com r elementos.\n\nSe A possui n elementos, então contém:\n\n(a) subconjuntos com zero elementos:\n(b) n subconjuntos com um elemento:\n(c) (nC2) subconjuntos com dois elementos:\n(d) (nCn) subconjunto com n elementos:\n\nTeorema 2.1. Todo conjunto finito com n elementos tem 2^n subconjuntos distintos.\n\nDem.: Segundo a notação do item acima, notamos que o número de subconjuntos é Essa notação é especialmente útil em textos matemáticos longs, pois permite que o leitor \"pule\" uma demonstração e faça uma primeira leitura do texto sem entrar em detales técnicos de algumas demonstrações, que podem ser bastante extensas e desviar a atenção do leitor do objetivo final do texto.\n\nEm vez de quadradinho aberto, como foi usado acima, alguns autores preferem usar retângulos ou quadradinhos pretos ou ainda a abreviatura \"CQD\", cujo significado é \"conforme queríamos demonstrar\".\n\n2.5 Conjunto das partes\n\nDefinição 2.5. Dado um conjunto A, o conjunto das partes de A é o conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A.\n\nO conjunto das partes de A será denotado por P(A), assim:\n\nNa prática, devemos ter em mente as seguintes relações:\n\nNote que:\n1. e\n2. Se então\n3. Se então\n4. Se então\n\nTeorema 2.2. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer, então:\n\nImportante: Para demonstrar a equivalência enunciada no teorema acima, devemos provar duas implicações:\n1. \n2. \n\nCada uma dessas implicações devem ser entendidas da seguinte forma:\n1. Sabendo que A ⊆ B, mostre que A ∩ B = A.\n2. Sabendo que B ⊆ A, mostre que A ∩ B = B. 2.6. COMPLEMENTAR DE UM SUBCONJUNTO\n\nEm Matemática, aquilo que já sabemos é chamado de \"Hipótese\", e o que queremos provar é chamado de \"Tese\".\n\nNa primeira implicação acima temos:\n\nHipótese:\nTese:\n\nNote que: Para provar que devemos mostrar que todo elemento de está em\nPara isso basta tomar um elemento genérico e mostrar que\n\nMas se então . Como , por hipótese, e a inclusão é transitiva então\ne portanto o que conclui a prova da primeira implicação.\n\nTodos os elementos da prova acima podem ser condensados em uma prova que usa apenas\nsímbolos, da seguinte forma:\n\nAgora, em relação a segunda implicação, temos:\n\nHipótese:\nTese:\n\nAqui a prova é mais direta. Note que precisamos mostrar apenas que . Como\ne então , o que significa que\n\nLimpando todos os comentários acima a respeito de como demonstrar um teorema que\nenvolve uma equivalência, a demonstração final poderia ser assim.\n\nDem.(Teorema 2.2):\n( ) Se então , ou seja, Isso mostra que\n( ) Como , por hipótese, então\n\n2.6 Complementar de um subconjunto\n\nDefinição 2.6. Seja A um subconjunto de E ( ). O complementar (ou complemento) de A em relação a E é o conjunto de todos os elementos de E que não pertencem a A.\n\nSimbolicamente:\n\nEm um universo U, podemos falar simplesmente em complementar de um conjunto A, ficando subentendido que se trata do complementar em relação a esse universo U. Neste caso a notação usual é A' ou A^c.\n\nExemplo: Considere os conjuntos: A, B e\n\nA 2.6.1 Propriedades do complementar\n\nSejam A e B subconjuntos de E, então:\n\nDe fato, A\n\nDe fato, B\n\nDe fato, A e B\n\n( ) Suponha que C, queremos provar que A e B\n\nObservação: Em um universo U temos:\n\nA e B Capítulo 3\n\nOperações com conjuntos\n\n3.1 Diagramas de Venn\n\nPara ilustrar definições, resultados e demonstrações da teoria de conjuntos, é muito comum usar uma representação gráfica por curvas fechadas simples, tais como círculos, ovals ou curvas poligonais fechadas. Tal representação recebe o nome de diagrama de Venn.\n\nNum diagrama de Venn, os elementos do conjunto são indicados por pontos internos à região delimitada por essas curvas e os elementos que não pertencem ao conjunto são representados por pontos externos a essa região, como no exemplo abaixo.\n\nExemplo: Um diagrama de Venn para os conjuntos A, B.\n\nNeste modelo de visualização nenhum elemento pode ser representado por pontos exatamente em cima da curva fechada que delimita a região (na fronteira).\n\nEm um diagrama de Venn, é comum representar o conjunto universo por um retângulo e os demais conjuntos por círculos contidos nesse retângulo. Por exemplo, em relação ao universo U outros conjuntos representar como A e B.\n\nObservação: A única coisa realmente importante em um diagrama de Venn é a visualização do problema que essa ferramenta propicia. Argumentos ou raciocínios baseados em diagramas de Venn não servem como demonstração da validade de uma proposição, apesar de serem muito úteis em sua compreensão.\n\n3.2 Interseção\n\nDefinição 3.1. Chamaremos de interseção dos conjuntos A e B ao conjunto formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente a A e B.\n\nEsse conjunto é denotado por A ∩ B, que se lê: interseção ou, interseção.\n\nSimbolicamente, temos:\n\nA ∩ B\n\nNas demonstrações envolvendo interseção de conjuntos usaremos sempre a seguinte caracterização de seus elementos:\n\nExemplo: 2. INTERSEÇÃO\nTeorema 3.2. Sejam e dois conjuntos quaisquer, então\nDem.: Vamos dividir a demonstração em duas partes. Ida( ) e volta ( ).\n( ) Sabendo que , queremos provar que . Pelo item acima já sabemos que logo, para termos a igualdade, precisamos mostrar que . Seja , como então e , ou seja, qualquer , mostramos que qualquer elemento de está em , logo.\n( ) Sabendo que , queremos provar que . Mas, por hipótese, e, pelo item 1 acima, logo O que conclui a prova do teorema.\nTeorema 3.3. Sejam e conjuntos quaisquer. Então e\nDem.: Também dividiremos essa demonstração em duas partes. Ida( ) e volta ( ). Mas em vez de fazer\n( ) Suponha que e , e vamos provar que\nSeja um elemento qualquer, como e então e , ou seja, , pelo teorema 3.2 temos.\nTeorema 3.4. Sejam e conjuntos quaisquer. Se então\nDem.: Sabemos que , e queremos provar que tomando um qualquer teremos e e\nComo acima foi escolhido arbitariamente, segue que todo elemento de está em , ou seja\n3.2.2 Propriedades da interseção\nSejam , e conjuntos quaisquer em um universo .\n[todo conjunto é disjunto do vazio]\nDe fato, como pelo teorema 3.2 temos\n[elemento neutro]\nCom efeito, como pelo teorema 3.2 temos\n[todo conjunto é disjunto de seu complementar]\nBasta observar que\n[idempotência]\nMais uma vez, como pelo teorema 3.2 temos\nCom efeito, e 3.3 Reunião\n\nDefinição 3.4. Chamaremos de reunião (ou união) dos conjuntos e ao conjunto formado por todos os elementos que pertencem ao conjunto ou ao conjunto .\nEsse conjunto é denotado , que se lê: \" reunião \" ou \" união \". Logo\n\nou\n\nNas demonstrações envolvendo reunião de conjuntos usaremos sempre a seguinte caracterização de seu elementos:\n\nou\n\nExemplo:\n1. Para e temos ;\n2. Considere , , e então\n (a) (b) (c)\n3.\n4. Se e teremos\n é múltiplo de 2 ou 3\n\nObservação: Nos teoremas abaixo não especificamos quem são os conjuntos , e . Sempre que isso ocorrer, deve-se entender que o autor não está impondo nenhuma restrição adicional aos objetos que estão sendo estudados.\n\nTeorema 3.5. e .\nDem.: Seja um elemento qualquer então pela lei da adição da lógica\nou\n\nComo as implicações acima valem para qualquer , segue que . A prova da segunda inclusão fica como exercício.\n\nTeorema 3.6. CAPÍTULO 3. OPERAÇÕES COM CONJUNTOS\n\nDem.: ( ) Sabendo que , queremos provar que . Pelo teorema anterior sabemos que logo, para termos a igualdade, só precisamos mostrar que .\nComo se então . Logo valem as implicações\n\nou ou\n\nComo é um elemento qualquer de , mostramos que qualquer elemento de está em , ou seja, .\n( ) Sabendo que , queremos provar que . Como e então O que concluí a prova do teorema.\n\nTeorema 3.7.\nDem.: ( ) Seja um elemento qualquer, então ou . Como e então , ou seja, qualquer elemento de está em , e portanto .\n\nTeorema 3.8. Se então\nDem.: Seja um elemento qualquer, então\n\nComo acima foi escolhido arbitrariamente, segue que\n\n3.3.1 Propriedades da reunião\nSejam , e conjuntos quaisquer em um universo .\n[elemento neutro]\nDe fato, por 3.5 temos . Por outro lado, se não existem elementos no vazio então e portanto Como valem as duas com efeito, como\n\nBasta observar que ou ou .\n\n[idempotência]\nComo pelo teorema 3.6 temos\n\nCom efeito, como\n\n[comutatividade]\nComo\n\n[associatividade]\n\nCom efeito, ou ou ou\n\n3.3.2 Teoremas relacionando interseção e reunião de conjuntos\nSejam e conjuntos quaisquer em um universo .\nTeorema 3.9. e .\nDem.: Como segue do teorema 3.6 que temos .\n\nAs duas identidades acima são conhecidas como “leis de absorção”, pois no lado direito das igualdades o termo B desaparece (é absorvido).\n\nObservação: Na prova acima usamos o termo “analogamente” para enfatizar que os argumentos usados na prova da segunda identidade eram análogos. É muito comum o autor dizer apenas que \"a prova da segunda identidade é análoga\", deixando para o leitor a obrigação de verificar que os argumentos usados são muito parecidos, apesar de poder guardar diferenças substanciais.\n\nA seguir provaremos a distributividade da interseção em relação à reunião e da reunião em relação à interseção.\n\nTeorema 3.10.\n1. e\n2. .\nDem.: A demonstração dessas propriedades usa apenas as leis distributivas da lógica. Faremos uma delas e deixaremos a outra como exercício.\n\n e e ou\ne ou e\nou\n\nO último teorema dessa subseção é conhecido como “Leis de De Morgan” que afirmam: O complementar da interseção é a reunião dos complementares; e o complementar da reunião é a interseção dos complementares.\n\nTeorema 3.11.\n1. e\n2. .\nDem.: Aqui também a demonstração consiste em aplicar as leis de De Morgan da lógica. Como no teorema anterior, faremos uma delas e deixaremos a outra como exercício.\n\n e ou ou 3.3.3 Reunião de vários conjuntos\nA noção de reunião de dois conjuntos também pode ser extendida de maneira natural para qualquer número finito de conjuntos, como fizemos com a interseção.\nDefinição 3.5. A reunião dos conjuntos é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos. Neste caso usamos as notações\nou\nDessa forma\nou\nou ainda\nE teremos\nExemplo:\n1. Se , , , . Então\n2. Se , , , , . Então\n3.3.4 Álgebra de conjuntos\nAs propriedades das operações de reunião, interseção e complementação, juntamente com as relações de igualdade e inclusão conjuntos, introduz uma estrutura algébrica na teoria de conjuntos chamada Algebra dos Conjuntos.\nA álgebra de conjuntos possui uma analogia muito forte com a álgebra de números usual (aritmética).\nNa aritmética a adição e a multiplicação são operações associativas e comutativas; na álgebra de conjuntos a reunião e interseção de conjuntos também gozam dessas propriedades.\nNa aritmética temos a relação “menor ou igual” que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva; e o mesmo vale para a relação de inclusão de conjuntos. 3.4. DIFERENÇA DE DOIS CONJUNTOS\nObviamente também existem grandes diferenças, por exemplo, dois conjuntos são sempre comparáveis, enquanto dois números (reais) serão sempre comparáveis, ou seja, dados teremos ou .\nEssa estrutura algébrica nos leva naturalmente a pensar em expressões algébricas e simplificação de expressões, que simplificam a compreensão dos conjuntos que estamos estudando. A ideia é usar todas as propriedades que provamos envolvendo reunião, interseção e complementação para outras expressões mais simples.\nExemplo:\n1. \n2. \n3. \n4. \n3.4 Diferença de dois conjuntos\nDefinição 3.6. A diferença entre dois conjuntos e é o conjunto de todos os elementos de que não pertencem a .\nEsse conjunto é denotado ou , que se lê: “menos” ou “diferença entre”. Assim\ne\nNas demonstrações envolvendo diferença de conjuntos usaremos sempre a caracterização:\ne\nObservação:\nNote que e , ou seja, .\nNo caso particular em que , temos e , isto é,\nse e são subconjuntos quaisquer de um mesmo conjunto , então\ne e e.\nEm particular, se temos .\nExemplo:\n1. Sejam , e . Então\nNote que , logo a diferença de conjuntos não é comutativa. 3.5 DIFERENÇA SIMÉTRICA\n\ne\n\ne\n\ne\n\nExercício: Faça as demonstrações das propriedades a .\n\n3.5 Diferença simétrica\n\nDefinição 3.7. A diferença simétrica de dois conjuntos e é o conjunto formado por todos os elementos que pertencem a um e somente a um dos conjuntos .\n\nEsse conjunto é denotado , que se lê: \"diferença simétrica de e \". Assim\n\n\ne ou e\n\nNote que\n\ne ou e\n\nou seja,\n\nTambém é fácil ver que a diferença simétrica dos conjuntos e é o conjunto de todos os elementos que estão na reunião de e e não estão na interseção de e , ou seja,\n\nA diferença simétrica raramente aparece em textos matemáticos, na verdade não lembro de nenhum grande resultado da matemática que dependa desse conceito. Apesar disso é um assunto que relaciona os conceitos de reunião, interseção e diferença de conjuntos, logo vale a menção e uma lista de propriedades relacionadas abaixo que ficam com exercício para o leitor. 3.6 Reuniões e interseções arbitrárias\n\nAs leis associativas nos permitem falar em uniões e interseções de uma quantidade finita de conjuntos conforme vimos acima.\n\nPorém, na matemática, muitas vezes precisamos considerar uniões e interseções de coleções infinitas de conjuntos. Neste caso, precisamos voltar às ideias originais de união e interseção para formular uma definição alternativa que não dependa da quantidade de conjuntos que estamos trabalhando.\n\nHá duas notações distintas que são comumente usados, dependendo do contexto. Suponha primeiramente que para cada elemento de algum conjunto corresponde um conjunto . Vamos nos referir à coleção\n\ncomo uma família indexada de conjuntos, sendo o conjunto de índices dessa família.\n\nExemplo: Para cada considera o intervalo fechado intervalos pode ser denotada por\n\né uma família indexada de conjuntos cujo conjunto de índices é .\n\nExemplo: Para cada número racional considere o conjunto a família indexada de conjuntos é\n\ne o conjunto de índices é .\n\nObservação: A família acima é particularmente importante em análise matemática. Seus elementos são chamados de cortes racionais e aparecem na construção dos números reais pelo método dos cortes de Dedekind.\n\nDefinição 3.8. A união de uma família indexada é o conjunto formado por todos os elementos que se encontraram em um ou mais dos conjuntos da família, ou seja\n\ndessa forma\n\nDefinição 3.9. A interseção de uma família indexada é o conjunto formado por todos os elementos que se encontraram em todos os conjuntos da família, ou seja\n\ndessa forma\n\nObserve que o caso em que o conjunto de índices consiste de apenas dois elementos, digamos então\n 3.6 REUNIÕES E INTERSEÇÕES ARBITRÁRIAS\n\nassim as noções de união e interseção arbitrária de famílias indexadas são generalizações das noções de união e interseção de pares de conjuntos e, portanto, também de reuniões e interseções finitas de conjuntos.\n\nO próximo teorema, apesar de simples, ilustra muito bem o papel que essas definições arbitrárias de reunião e interseção desempenham na teoria e a forma correta de manipulá-las.\n\nTeorema 3.12. Seja uma família indexada de conjuntos. Então para qualquer e\n\nDem.: Seja um elemento qualquer, logo tal que (neste caso é o próprio ). Assim, por definição, isso prova que \n\nPara provar que seja um elemento qualquer. Pela definição de interseção de família indexada de conjuntos sabemos que o que concluí a prova do teorema.\n\nObserve que as demonstrações acima não foi mencionado nem uma vez se o conjunto de índices era finito ou infinito. Também não foi feito qualquer menção se determinado conjunto seria o primeiro ou o segundo ou ainda que exista uma ordem qualquer estabelecida entre conjuntos. As demonstrações dependem exclusivamente das definições de união e interseção em termos de quantificadores sobre o conjunto de índices. Esse mesmo tipo de raciocínio será usado nos próximos teoremas.\n\nTeorema 3.13. Seja uma família indexada de conjuntos qualquer e um conjunto arbitrário, então:\n\na. ;\nb. ;\n\nDem.: Faremos apenas a prova do item , o item fica para o leitor.\n\nou ou\n\nou\n\nou\n\nTeorema 3.14 (Leis Distributivas). Seja uma família indexada de conjuntos qualquer e um conjunto arbitrário, então:\n\na. ;\nb. ; CAPÍTULO 3. OPERÇÕES COM CONJUNTOS\n\nDem.: Como no teorema anterior, faremos apenas a prova do item e deixaremos o item para o leitor.\n\ne\ne\ne\n\nTeorema 3.15 (Leis de De Morgan). Seja uma família indexada de conjuntos qualquer e um conjunto arbitrário, então:\n\na.\n;\nb.\n;\n\nExiste uma notação alternativa para uniões e interseções arbitrárias quando a família de conjuntos não é indexada. Seja uma coleção de conjuntos qualquer. Vamos denotar a reunião de todos os elementos da família por\n\nou seja,\n\nAnalogamente,\n\ne assim,\n\nObviamente, caso a coleção possa ser indexada por um conjunto de índices,\nteremos\n\ne\ne Capítulo 4\n\nProduto Cartesiano\n\nDefinição 4.1. Dados dois elementos, e, chamaremos de par ordenado um terceiro elemento denotado . Também dizemos que e é a primeira coordenada e e a segunda coordenada do par ordenado .\n\nAqui o adjetivo \"ordenado\" enfatiza que a ordem na qual os elementos e aparecem entre os parênteses é essencial. Também é comum chamar os elementos e de primeira projeção e segunda projeção do par ordenado , respectivamente, e denotar isso por:\n\ne\n\nNote que o par ordenado não é o mesmo que o conjunto .\n\nDefinição 4.2. Dizemos que dois pares ordenados e e são iguais se e somente se\n\nEm particular, se e somente se .\n\nEm geometria analítica convencionamos associar a cada ponto do plano um par ordenado de números reais (fixando uma origem e um par de eixos ortogonais). O plano cartesiano, como conhecemos, é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais. Vamos formalizar esse conceito.\n\nDefinição 4.3. Sejam e dois conjuntos quaisquer. O conjunto de todos os pares ordenados , com , é chamado o produto cartesiano de e , e denotado \ne\n\nExemplo: Sejam e então\n\ne\n\nNote que, em geral,