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Economia ·
Estatística 2
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Análise de Regressão Polinomial Quando se está diante de tratamentos quantitativos isto é classificação numérica organizada tais como doses de defensivos ou mesmo níveis de fertilizantes utilizamse modelos de regressão Ao se utilizar o método matricial também conhecido como método geral ampliouse a possibilidade de análise contemplandose experimentos cujos tratamentos não são equidistantes assim como os experimentos desbalanceados Normalmente se adota o modelo cujo maior grau seja significativo Geralmente enfatizase os modelos cúbicos quadráticos ou lineares pois modelos com graus superiores são muito parametrizados e praticamente muito difíceis de ocorrer assim como de serem explicados além de exigir muitos graus de liberdade de tratamentos limitando bastante a aplicação do procedimento Exemplo da utilização da análise de regressão polinomial Neste exemplo os tratamentos não são equidistantes e o número de repetições por tratamento não é o mesmo desbalanceado Assim se torna muito mais prático utilizar modelo com ênfase matricial Supomos então o modelo básico a ser construído como sendo o seguinte ij i i i i ij e X X X Y 3 3 2 2 1 0 e usando a notação matricial podese escrever Y X em que Y é o vetor dos valores Yij observados na seqüência Y11 Y12 YInI x é a matriz das variáveis independentes ou matriz delineamento β é o vetor dos parâmetros e é o vetor dos erros que são independentes com distribuição normal de média zero e variância comum 2 Discriminando a forma matricial deste modelo temos n n n n n b b b b X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 0 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 1 2 1 1 3 2 1 em que Y repetições I com trat 2 1 repetições com 2 2 22 21 com repetições 1 12 11 2 2 1 I I I n In I I n trat n n trat In Y Y Y Y Y Y Y Y Y e n i in o primeiro vetor da matriz X é constituído unidade por ser o coeficiente da constante b0 do modelo o segundo vetor da matriz X é constituído pelas variáveis independentes Xij tratamento i da repetição j respectivamente às observações Yij o terceiro vetor da matriz X é igual ao quadrado de X isto é Xij2 XijXij o quarto vetor da matriz X é igual ao cubo de X isto é Xij3 XijXij Xij é o vetor dos parâmetros do modelo isto é 3 2 1 0 b b b b e é o vetor dos erros eij respectivamente para as UE ij A aplicação do método de mínimos quadrados se dá da forma demonstrada a seguir obtendose assim sistemas de equações de retas normais e mínimos quadrados a saber Para regressões polinomiais de grau n y β0 β1x β2x2 βnxn n n n x x n n n n n n n n n n n x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x xy x x x x n y 3 3 2 2 1 1 0 3 6 3 5 2 4 1 3 0 3 2 5 3 4 2 3 1 2 0 2 1 4 3 3 2 2 1 0 3 3 2 2 1 0 Na Tabela 1 estão representados os resultados de um experimento com tratamentos quantitativos X não eqüidistantes e com número diferente de repetições para o Delineamento Inteiramente Casualizado DIC que se confunde com a Análise de Variância na sua forma mais básica Tabela 1 Resultado de um experimento com tratamentos X não eqüidistantes e um número variado de repetições Trat Xi Repetições Ni Yi 1 0 15 13 2 Y1 28 2 2 30 28 33 29 4 Y2 120 3 4 40 38 43 3 Y3 121 4 8 55 52 57 54 4 Y4 218 5 16 40 42 37 3 Y5 119 Soma n 16 Y 606 Apresentase a seguir os resultados da Tabela 1 na forma matricial Y Xβε Y X 4096 256 16 1 4096 256 16 1 4096 256 16 1 512 64 8 1 512 64 8 1 512 64 8 1 512 64 8 1 64 16 4 1 64 16 4 1 64 16 4 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 32 42 40 54 57 52 55 43 38 40 29 33 28 30 13 15 3 2 1 0 b b b b Sabemos que o Sistema de Equações Normais SEN XX ˆ XY é obtido minimizando Z εε ou seja fazendo 0 Z e que a solução deste sistema é ˆ XX1XY lembrandose que uma matriz X XT em que 3 2 1 0 3 2 3 2 6 5 4 4 3 2 3 2 6 5 4 4 3 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b b b b Y X Y X X Y Y Y X Y X X Y Y Y X n X simétrica n X X n n X n X X n n X n X n X n X simétrica X X X X X X X X n X X i i i i i i i i i ij ij ij ij ij ij ij ij ij i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij Com os resultados da Tabela 1 temos as seguintes matrizes XX e XY 607744 46832 4372 606 51392768 3280000 213824 14560 3280000 213824 14560 1088 213824 14560 1088 100 14560 1088 100 16 X Y X X As estimativas dos parâmetros são obtidos por ˆ XX1XY em que XX1 é a inversa da matriz XX tal que XX1XX matriz identidade Deixamos para o aluno a escolha do método para inverter a matriz XX O resultado para o exemplo é 000828 0 0 40701 8 30376 40698 14 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 607744 46832 4372 606 0 00001140 0 00026958 0 00149507 00138326 0 0 00026958 0 00647926 0 03708004 03647911 0 0 00149507 0 03708004 0 22702003 25794888 0 0 00138326 0 03647911 0 25794888 45286783 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 0 3 2 1 0 b b b b b b b b A equação do terceiro grau estimada é Yˆ 1440698 830376X 040701X2 0000828X3 Em seqüência para testar hipóteses sobre os parâmetros do modelo devese fazer a análise da variância Para isto procedese como segue a A soma de quadrados da regressão SQRegr ˆ XY n Y 2 com p 1 3 graus de liberdade p número de parâmetros ou betas na regressão e SQRegr 1440698606 8303764372 04070146832 0000828607744 606216 25179024 b A soma de quadrados de tratamentos calculado na forma usual é SQTrat 2822 12024 12123 21824 119216 2521417 com I 1 5 1 4 graus de liberdade c A soma de quadrados do desvio do modelo SQDesvio SQTrat SQRegr com I p 5 4 1 grau de liberdade é 2521417 2517902 35146 e d A soma de quadrados do erro ou erro puro é SQE SQTotal SQTrat 152 132 372 606216 2521417 257575 2521417 54333 com n I 16 5 11 graus de liberdade A análise da variância para o exemplo está representada na Tabela 2 A hipótese testada para o modelo cúbico é H0b1 b2 b3 0 Sob esta hipótese o valor de F calculado Fc QMRegrQMErro 8393014939 16993 é bem maior que o valor tabelado em 5 de erro e com isto rejeitase H0 e concluise que a equação de regressão é diferente de zero Uma outra hipótese é sobre os desvios do modelo Esta hipótese H0 2 0 do exemplo não foi rejeitada e por isto nenhum parâmetro além do cúbico deve ser acrescentado ao modelo Esta hipótese é testada pelo Fc QMDesviosQME que tem distribuição de FIp n 1 Tabela 2 Análise da variância para o modelo polinomial cúbico CV GL SQ QM FSob H0 5Fn11 Tratamento 4 2521417 Regressão 3 2517902 839301 16993 359 Desvios 1 3515 3515 071 484 Erro 11 54333 4939 Total 15 2575750 O coeficiente de determinação R2 ajustado para o número de parâmetros estimados e para os graus de liberdade de tratamentos é 0 9944 417 2521 2517902 4 1 5 1 4 417 2521 2517902 2 Raj No exemplo a equação é significativa e o coeficiente de determinação é alto indicando um bom ajustamento das médias de tratamento ao modelo No entanto não se sabe se é necessário um modelo tão parametrizado 3º grau ou se o modelo do 2º grau seria suficiente Devese optar sempre pelo modelo de 2º grau do polinômio significativo No caso do efeito de b3 no modelo não ser significativo H0b30 não rejeitado este deve ser retirado do modelo A significância de cada parâmetro no modelo é condicionada a que todos os demais no modelo por isto ao saber que o modelo é significativo H0b1b2b30 rejeitada é suficiente testar a hipótese sobre o efeito de b3 Caso o efeito de b3 não for significativo devese eliminálo do modelo e recalcular o modelo do 2º grau para testar o efeito de b2 etc A estimativa da matriz das variânciascovariâncias das estimativas de β é obtida por QME X X V 1 ˆ ˆ que para o modelo do 3º grau é discriminado como sendo 4 939 0 00001140 0 00026958 0 00149507 00138326 0 0 00026958 0 00647926 0 03708004 03647911 0 0 00149507 0 03708004 0 22702003 25794888 0 0 00138326 0 03647911 0 25794888 45286783 0 ˆ ˆ para o exemplo obtevese e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 2 3 1 2 1 1 3 0 2 0 1 0 0 V QM V b simétrica COV b b b V COV b b COV b b b V COV b b COV b b COV b b b V V E Assim a estimativa da variância de 3ˆb é obtida multiplicandose o QME pelo valor correspondente a quarta linha da quarta coluna da matriz XX1 ou seja ˆ b3ˆ V 4939000001140 00000563046 A hipótese H0b30 é rejeitada se o valor absoluto de 3 3 ˆ ˆ ˆ V b t b for maior que o tαGLE No exemplo 2 201 011 11 0 0000563046 0 000828 0 5 11 t t Não se rejeita H0 e o parâmetro b3 deve ser removido do modelo porque a sua contribuição não é significativa Além disso observase que na matriz variânciascovariâncias as estimativas dos parâmetros não são independentes isto é os elementos fora da diagonal são diferentes de zero e com isto os testes de hipóteses são condicionados a presença dos demais parâmetros no modelo As hipóteses H0b00 H0b10 e H0b20 também podem ser testadas pelo teste de t através da estatística S S b V b t ˆ ˆ ˆ para S 0 1 e 2 as quais são rejeitadas se tc tαGLE No entanto estes testes somente tem validade se o parâmetro b3 se mantiver no modelo o que no exemplo não foi verificado Redefinindo o modelo do exemplo para o quadrático temos Yij b0 b1Xi b2Xi2 i eij o qual na forma matricial é YXβε O sistema de equações normais XX ˆ XY é 0 426606 8 412444 306424 14 ˆ ˆ ˆ ˆ 46832 4372 606 0 00010225 0 00171366 00375768 0 0 00171366 0 03088121 07647869 0 0 00375768 0 07647869 28496926 0 ˆ solução é ˆ a e 46832 4372 606 ˆ ˆ ˆ 213824 14560 1088 14560 1088 100 1088 100 16 2 1 0 1 2 1 0 b b b X Y X X b b b Observe que as novas estimativas dos parâmetros b0 b1 e b2 não são as mesmas obtidas com a presença do parâmetro b3 no modelo Além disso a matriz das variânciascovariâncias XX1QME não é igual podendo resultar em alterações nas decisões dos testes de hipóteses sobre os parâmetros Justificase então o procedimento de recalcular a equação com a exclusão de b3 no modelo para avaliar os efeitos dos demais parâmetros do modelo A análise da variância apresentada na Tabela 3 Os cálculos são similares ao do modelo cúbico considerandose a redução do modelo Verifique que o valor de F calculado para a regressão QMRegrQME igual a 25489 é maior que o valor de tabela em 5 de erro e por isto a hipótese H0b1b20 é rejeitada Ainda a hipótese H0 2 0 não foi rejeitada e por isso nenhuma regressão de maior ordem como por exemplo a cúbica deverá ser significativa A retirada do coeficiente de 3 grau foi adequada e além disso o coeficiente de determinação ajustado 0 9972 417 2521 2517842 3 1 5 1 3 417 2521 2517902 2 Raj É ligeiramente superior Tabela 3 Análise da variância para o modelo polinomial quadrático CV GL SQ QM FSob H0 5Fn11 Tratamento 4 2521417 Regressão 2 2517842 1258921 25489 398 Desvios 2 3575 1787 036 398 Erro 11 54333 4939 Total 15 2575750 Na procura do modelo de menor número de parâmetros possíveis devese agora testar o efeito quadrático no modelo de 2 grau em questão A hipótese a ser testada é H0b20 vs H1b20 teste bilateral e a estatística do teste é 2 201 1898 98 18 00010225 4 939 0 426606 0 ˆ ˆ ˆ 11 5 2 2 t b V b t O qual sendo maior que t tabelado em 5 t511 2201 faz com que a hipótese seja rejeitada Assim o modelo definitivo para explicar a relação existente entre os dados observados e a variável independente tratamento é o de 2 grau estimado como sendo Yˆ 14306424 8412444X 0426606X2 para X pertencente a intervalo entre 0 e 16 unidades Para um dado X supomos Xi podese calcular a estimativa Yˆ substituindose Xi na equação estimada Também podese calcular a estimativa da variância de Yˆ Y V ˆ ˆ para obter as estimativas por intervalo para Y dado Xi Seja i 1 Xi Xi2 então ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 3 2 0 2 1 0 2 4 1 2 0 1 2 2 1 0 X COV b b X COV b b XCOV b b X V b X V b b V X X QM b X b X V b V Y i i E As estimativas de variâncias e covariâncias são obtidas de XX1QME e para um valor tabelado de t tα2GLE a estimativa por intervalo é t V Y Y ˆ ˆ ˆ em nível 1 α de confiança Fazendose X variar em pequenos acréscimos dentro dos limites estudados podese construir faixas de confiança para a equação como no caso do uso dos polinômios ortogonais Para o exemplo vamos obter uma estimativa por ponto e por intervalo para Y dado X 10 A estimativa por ponto é Yˆ 14206424 841244410 0426606102 557703 e Y V ˆ ˆ 4939028496926 102003088121 104000010225 210007647869 2102000375768 2103 000171366 Y V ˆ ˆ 4939019023246 093955812 e para t00511 2201 a estimativa por intervalo é 557703 2201 0 93955812 557703 21334 ou seja a probabilidade de Y dado X10 estar entre 537369 e 579037 é de 90 Nos casos em que o efeito do 2 grau não for significativo indicando que a regressão do 2 grau não ajustou uma proporção significativa de variação além da variação ajustada pela regressão de 1 devese reduzir o modelo para o linear recalcular as estimativas e testar as hipóteses sobre b1 e sobre os desvios Caso b1 também não for significativo nenhuma equação dentre as estudadas deve ser usada para explicar a relação entre os tratamentos e o efeito destes Há outra forma de resolver matricialmente o problema determinar o modelo e testar os parâmetros a saber Os valores preditos assim como as matrizes iniciais são X Y 0 13 1 0 0 15 1 0 2 28 1 2 2 29 1 2 2 30 1 2 2 33 1 2 4 38 1 4 4 40 1 4 4 43 1X 1 4 8 52 1 8 8 54 1 8 8 55 1 8 8 57 1 8 16 37 1 16 16 40 1 16 16 42 1 16 1 13 1 15 1 28 1 29 1 30 1 33 1 38 1 40 1Y 1 43 1 52 1 54 1 55 1 57 1 37 1 40 1 42 Levandose em consideração os modelos Linear Quadrático e Cúbico temse 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4 8 1 4 16 64 1 4 16 64 1X 1 4 16 64 1 8 64 512 1 8 64 512 1 8 64 512 1 8 64 512 1 16 256 4096 1 16 256 4096 1 16 256 4096 Observação Para qualquer outro modelo a ser testado acrescentase na matriz 1X uma nova coluna com os valores correspondentes seja por exemplo 1X 𝑋 log X ln X e por aí vai 13 15 28 29 30 33 38 40 Y 43 52 54 55 57 37 40 42 Algumas matrizes transpostas também são muito necessárias a saber 1 1 1YT 13 42 1 1 0 16 1XT 0 256 0 4096 Modelo Cúbico Primeiramente testase o modelo cúbico para observarmos se o efeito cúbico é significativo Para tal necessitamos dos seguintes produtos matriciais 16 100 1088 14560 100 1088 14560 213824 1XT1X 1088 14560 213824 3280000 14560 213824 3280000 51392768 606 4372 1XTY 46832 607744 Necessitamos também da matriz inversa 1XT1X1 045287 02579 003648 00013833 02579 022702 003708 000149507 1XT1X1 003648 00371 000648 00002696 00014 00015 000027 11396E05 Assim poderemos determinar os parâmetros de modelo cúbico 144070 83038 θ 04070 00008 Em seguida testase o modelo de regressão mediante Análise de Variância ANOVA e também o parâmetro responsável pelo efeito cúbico Caso não seja significativo optase pelo modelo quadrático Construindo a ANOVA Primeiro calculase a Soma e Quadrados Totais SQT 16 606 1YT1Y 606 25528 SQT det 1YT1YIJ 4121216 257575 Obs Em caso de experimentos desbalanceados ao invés de dividir por IJ somamse as repetições de cada um dos tratamentos É necessário também calcular a Soma de Quadrados dos Tratamentos Para isto necessitase determinar os efeitos dos tratamentos Trat Total J Média Ef Trat Ef TratJ 0 28 2 14 2388 4775 2 120 4 30 7875 315 4 121 3 40333 24583 7375 8 218 4 545 16625 665 16 119 3 39667 17917 5375 Soma 606 16 00000 MG 37875 EfTrat MTr MG Obs O efeito de um tratamento qualquer consiste na diferença entre a média do referido tratamento e a média geral do experimento 1 238750 1 238750 1 78750 1 78750 1 78750 1 78750 1 24583 1 24583 1EfTr 1 24583 1 166250 1 166250 1 166250 1 166250 1 17917 1 17917 1 17917 1 1 1EfTrT 23875 17917 16 0 1EfTrT1EfTr 0 25214167 Det1EfTrT1EfTr 40343 SQTr 4034316 25214 De forma usual determinase a Soma de Quadrados do Resíduo Se quiser podese determinar matricialmente também mediante determinação dos efeitos do erro experimental em cada parcela experimental SQR SQT SQTr 543333 Determinase também a Soma de Quadrados da Regressão SQreg θT 1440698254 830376 0407 000083 θT1XT1Y 254702 2517902 2295225 25470 2 Re 16 606 25470 2 1 1 Re 2 2 g Q S n Y Y X g Q S T T A Soma de Quadrados dos Desvios SQ desvios diz respeito à Soma de Quadrados de modelos de ordem superior ao modelo cúbico geralmente sem muito sentido em fenômenos biológicos e agronômicos Podese obter este valor da seguinte forma SQDesvios SQTr SQReg 35143 CV ou FV GL SQ QM F Tratamentos 4 2521416667 Regressão 3 2517902405 8393 1699198 Desvios 1 3514261969 35143 07115 NS Resíduo 11 5433333333 49394 Total 15 257575 5F311 35874 5F111 48443 1F311 62167 1F111 96460 Como a regressão foi significativa agora resta determinar se o efeito significativo foi o cúbico o quadrático ou o linear Para isto testase primeiro o parâmetro de maior grau Neste caso o cúbico Para testarmos os parâmetros é necessário determinar a matriz de Variâncias e Covariâncias VARCOV VARCOV 1XT1X1 QMR 22369 1274 01802 00068325 1274 11213 0183 000738475 VARCOV 01802 0183 0032 00013316 0007 00074 0001 5629E05 2 201 011 11 0 10 65 0008 0 ˆ ˆ ˆ 511 5 3 3 t b V b t Modelo Quadrático Assim podese concluir que o efeito cúbico não foi significativo Devese então testar o efeito quadrático 1 0 0 13 1 0 0 15 1 2 4 28 1 2 4 29 1 2 4 30 1 2 4 33 1 4 16 38 1 4 16 40 1X 1 4 16 Y 43 1 8 64 52 1 8 64 54 1 8 64 55 1 8 64 57 1 16 256 37 1 16 256 40 1 16 256 42 1 1 1XT 0 16 0 256 16 100 1088 1XT1X 100 1088 14560 1088 14560 213824 606 1XTY 4372 46832 028497 0076 00038 1XT1X1 007648 00309 0002 000376 0002 00001 143064 θ 84124 04266 θT 143064 84124 0427 θT1XTY 25470 SQReg 25178 SQT 25758 SQR 54333 FV GL SQ QM F Regressão 2 25178 12589211 254874 Resíduo 11 54333 49394 Total 15 25758 5F213 38056 1F213 67010 028497 0076 00038 1XT1X1 007648 00309 0002 000376 0002 00001 14076 0378 00186 VARCOV 0378 01525 0008 00186 0008 00005 2 201 1898 98 18 0 0005 4266 0 ˆ ˆ ˆ 11 5 2 2 t b V b t Deste modo concluise que o efeito quadrático foi significativo Não sendo necessário testar o efeito linear Modelo Linear Por uma questão de efeito didático caso fosse necessário testar o efeito linear teríamos 1 0 13 1 0 15 1 2 28 1 2 29 1 2 30 1 2 33 1 4 38 1 4 40 1X 1 4 Y 43 1 8 52 1 8 54 1 8 55 1 8 57 1 16 37 1 16 40 1 16 42 1 1 1XT 0 16 16 100 1XT1X 100 1088 606 1XTY 4372 01469 00135 1XT1X1 0013 000216 299849 θ 12624 θT 299849 12624 θT1XTY 23690 SQReg 73788 07256 0067 VarCov 0064 00107 FV GL SQ QM F Regressão 1 73788 73788 14939 Resíduo 11 54333 49394 Total 15 25758 5F111 48443 1F111 96460 2 201 222 12 0 0107 2624 1 ˆ ˆ ˆ 11 5 1 1 t b V b t Na verdade os efeitos são aditivos isto é ao efeito cúbico são adicionados os efeitos quadrático e linear assim como ao efeito quadrático adicionase também o efeito linear Se desejarmos obter cada efeito em separado com um grau de liberdade cada desdobrando a Análise de Variância teremos a seguinte tabela abaixo FV GL SQ QM F Tratamentos 4 25214167 Regressão 3 25179024 Efeito Cúbico 1 00602 00602 00122 NS Efeito Quadrático 1 17799583 1780 3603596 Efeito Linear 1 7378839 73788 1493875 Desvios 1 35143 35143 07115 NS Resíduo 11 543333 49394 Total 15 257575 5F111 48443 1F111 96460 As respectivas soma de quadrados para cada grau do modelo é obtido subtraindose pela soma de quadrados do grau inferior Coeficiente de Determinação e Coeficiente de Determinação ajustado I 5 P os Efeitos P SQRegX3 0060227 4 R2 097754 R2aj 09719 SQRegX2 1779958 3 R2 097752 R2aj 09741 SQReg X1 7378839 2 R2 028647 R2aj Para o Modelo cúbico R2 0060227 1779958 7378839257575 R2 097754 Para o Modelo quadrático R2 1779958 7378839257575 R2 097752 Para o Modelo linear R2 7378839257575 R2 028647 Como o Efeito Quadrático foi o escolhido por ser o maior grau significativo assim como o modelo testado faremos a demonstração do cálculo a seguir 𝑅2 𝑆𝑄𝑄𝑆𝑄𝐿 𝑆𝑄𝑇 097752 𝑅𝑎𝑗 2 𝑅2 𝑝 1 𝑛 𝑝 1 𝑅2 𝑅𝑎𝑗 2 097752 3 1 16 3 1 097752 𝑅𝐚𝑗 2 09741 As diferenças entre a análise de regressão usada de forma geral e quando envolve efeito de tratamentos Há pequenos detalhes que devem ser observados em relação à análise de regressão feita de forma geral entre duas variáveis e quando os dados são resultantes de tratamentos experimentais a saber Experimentos no esquema com dois ou mais fatores envolvendo tratamentos quantitativos Nos casos de experimentos cujos arranjos são compostos de dois ou mais fatores o procedimento é bastante similar devendose atentar para o fato de analisarmos parte dos dados de cada vez consistindo em subconjuntos conforme a presença ou não de interações significativas na análise de variância Quando dois ou mais fatores são quantitativos com interação entre eles significativas devese lançar mão de modelos especiais de regressão múltipla chamados de superfície de resposta que contempla parâmetros compostos por interações entre fatores Os Intervalos de Confiança IC para os parâmetros 𝜷𝒊 de uma equação qualquer são construídos da seguinte forma IC 𝜷𝒊 𝜷𝒊 𝒕𝒏𝟐 𝜶 𝟐 𝑽𝜷𝒊 Como o modelo significativo foi o quadrático devese construir os intervalos de confiança para os parâmetros betas i 0 1 e 2 116951 14306 169177 75529 84124 92719 04758 0427 03774 Valores preditos de X e Y e estimativas de Y X Y Est Y 0 13 143064 0 15 143064 2 28 294248 2 29 294248 2 30 294248 2 33 294248 4 38 411304 4 40 411304 4 43 411304 8 52 543032 8 54 543032 8 55 543032 8 57 543032 16 37 396952 16 40 396952 16 42 396952 O modelo estimado foi Y 143064 84124X 04266X2
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Análise de Regressão Polinomial Quando se está diante de tratamentos quantitativos isto é classificação numérica organizada tais como doses de defensivos ou mesmo níveis de fertilizantes utilizamse modelos de regressão Ao se utilizar o método matricial também conhecido como método geral ampliouse a possibilidade de análise contemplandose experimentos cujos tratamentos não são equidistantes assim como os experimentos desbalanceados Normalmente se adota o modelo cujo maior grau seja significativo Geralmente enfatizase os modelos cúbicos quadráticos ou lineares pois modelos com graus superiores são muito parametrizados e praticamente muito difíceis de ocorrer assim como de serem explicados além de exigir muitos graus de liberdade de tratamentos limitando bastante a aplicação do procedimento Exemplo da utilização da análise de regressão polinomial Neste exemplo os tratamentos não são equidistantes e o número de repetições por tratamento não é o mesmo desbalanceado Assim se torna muito mais prático utilizar modelo com ênfase matricial Supomos então o modelo básico a ser construído como sendo o seguinte ij i i i i ij e X X X Y 3 3 2 2 1 0 e usando a notação matricial podese escrever Y X em que Y é o vetor dos valores Yij observados na seqüência Y11 Y12 YInI x é a matriz das variáveis independentes ou matriz delineamento β é o vetor dos parâmetros e é o vetor dos erros que são independentes com distribuição normal de média zero e variância comum 2 Discriminando a forma matricial deste modelo temos n n n n n b b b b X X X X X X X X X X X X Y Y Y Y 1 1 1 1 3 2 1 3 2 1 0 3 2 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 3 1 2 1 1 3 2 1 em que Y repetições I com trat 2 1 repetições com 2 2 22 21 com repetições 1 12 11 2 2 1 I I I n In I I n trat n n trat In Y Y Y Y Y Y Y Y Y e n i in o primeiro vetor da matriz X é constituído unidade por ser o coeficiente da constante b0 do modelo o segundo vetor da matriz X é constituído pelas variáveis independentes Xij tratamento i da repetição j respectivamente às observações Yij o terceiro vetor da matriz X é igual ao quadrado de X isto é Xij2 XijXij o quarto vetor da matriz X é igual ao cubo de X isto é Xij3 XijXij Xij é o vetor dos parâmetros do modelo isto é 3 2 1 0 b b b b e é o vetor dos erros eij respectivamente para as UE ij A aplicação do método de mínimos quadrados se dá da forma demonstrada a seguir obtendose assim sistemas de equações de retas normais e mínimos quadrados a saber Para regressões polinomiais de grau n y β0 β1x β2x2 βnxn n n n x x n n n n n n n n n n n x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x xy x x x x n y 3 3 2 2 1 1 0 3 6 3 5 2 4 1 3 0 3 2 5 3 4 2 3 1 2 0 2 1 4 3 3 2 2 1 0 3 3 2 2 1 0 Na Tabela 1 estão representados os resultados de um experimento com tratamentos quantitativos X não eqüidistantes e com número diferente de repetições para o Delineamento Inteiramente Casualizado DIC que se confunde com a Análise de Variância na sua forma mais básica Tabela 1 Resultado de um experimento com tratamentos X não eqüidistantes e um número variado de repetições Trat Xi Repetições Ni Yi 1 0 15 13 2 Y1 28 2 2 30 28 33 29 4 Y2 120 3 4 40 38 43 3 Y3 121 4 8 55 52 57 54 4 Y4 218 5 16 40 42 37 3 Y5 119 Soma n 16 Y 606 Apresentase a seguir os resultados da Tabela 1 na forma matricial Y Xβε Y X 4096 256 16 1 4096 256 16 1 4096 256 16 1 512 64 8 1 512 64 8 1 512 64 8 1 512 64 8 1 64 16 4 1 64 16 4 1 64 16 4 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 8 4 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 32 42 40 54 57 52 55 43 38 40 29 33 28 30 13 15 3 2 1 0 b b b b Sabemos que o Sistema de Equações Normais SEN XX ˆ XY é obtido minimizando Z εε ou seja fazendo 0 Z e que a solução deste sistema é ˆ XX1XY lembrandose que uma matriz X XT em que 3 2 1 0 3 2 3 2 6 5 4 4 3 2 3 2 6 5 4 4 3 2 3 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ b b b b Y X Y X X Y Y Y X Y X X Y Y Y X n X simétrica n X X n n X n X X n n X n X n X n X simétrica X X X X X X X X n X X i i i i i i i i i ij ij ij ij ij ij ij ij ij i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij Com os resultados da Tabela 1 temos as seguintes matrizes XX e XY 607744 46832 4372 606 51392768 3280000 213824 14560 3280000 213824 14560 1088 213824 14560 1088 100 14560 1088 100 16 X Y X X As estimativas dos parâmetros são obtidos por ˆ XX1XY em que XX1 é a inversa da matriz XX tal que XX1XX matriz identidade Deixamos para o aluno a escolha do método para inverter a matriz XX O resultado para o exemplo é 000828 0 0 40701 8 30376 40698 14 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 607744 46832 4372 606 0 00001140 0 00026958 0 00149507 00138326 0 0 00026958 0 00647926 0 03708004 03647911 0 0 00149507 0 03708004 0 22702003 25794888 0 0 00138326 0 03647911 0 25794888 45286783 0 ˆ ˆ ˆ ˆ 3 2 1 0 3 2 1 0 b b b b b b b b A equação do terceiro grau estimada é Yˆ 1440698 830376X 040701X2 0000828X3 Em seqüência para testar hipóteses sobre os parâmetros do modelo devese fazer a análise da variância Para isto procedese como segue a A soma de quadrados da regressão SQRegr ˆ XY n Y 2 com p 1 3 graus de liberdade p número de parâmetros ou betas na regressão e SQRegr 1440698606 8303764372 04070146832 0000828607744 606216 25179024 b A soma de quadrados de tratamentos calculado na forma usual é SQTrat 2822 12024 12123 21824 119216 2521417 com I 1 5 1 4 graus de liberdade c A soma de quadrados do desvio do modelo SQDesvio SQTrat SQRegr com I p 5 4 1 grau de liberdade é 2521417 2517902 35146 e d A soma de quadrados do erro ou erro puro é SQE SQTotal SQTrat 152 132 372 606216 2521417 257575 2521417 54333 com n I 16 5 11 graus de liberdade A análise da variância para o exemplo está representada na Tabela 2 A hipótese testada para o modelo cúbico é H0b1 b2 b3 0 Sob esta hipótese o valor de F calculado Fc QMRegrQMErro 8393014939 16993 é bem maior que o valor tabelado em 5 de erro e com isto rejeitase H0 e concluise que a equação de regressão é diferente de zero Uma outra hipótese é sobre os desvios do modelo Esta hipótese H0 2 0 do exemplo não foi rejeitada e por isto nenhum parâmetro além do cúbico deve ser acrescentado ao modelo Esta hipótese é testada pelo Fc QMDesviosQME que tem distribuição de FIp n 1 Tabela 2 Análise da variância para o modelo polinomial cúbico CV GL SQ QM FSob H0 5Fn11 Tratamento 4 2521417 Regressão 3 2517902 839301 16993 359 Desvios 1 3515 3515 071 484 Erro 11 54333 4939 Total 15 2575750 O coeficiente de determinação R2 ajustado para o número de parâmetros estimados e para os graus de liberdade de tratamentos é 0 9944 417 2521 2517902 4 1 5 1 4 417 2521 2517902 2 Raj No exemplo a equação é significativa e o coeficiente de determinação é alto indicando um bom ajustamento das médias de tratamento ao modelo No entanto não se sabe se é necessário um modelo tão parametrizado 3º grau ou se o modelo do 2º grau seria suficiente Devese optar sempre pelo modelo de 2º grau do polinômio significativo No caso do efeito de b3 no modelo não ser significativo H0b30 não rejeitado este deve ser retirado do modelo A significância de cada parâmetro no modelo é condicionada a que todos os demais no modelo por isto ao saber que o modelo é significativo H0b1b2b30 rejeitada é suficiente testar a hipótese sobre o efeito de b3 Caso o efeito de b3 não for significativo devese eliminálo do modelo e recalcular o modelo do 2º grau para testar o efeito de b2 etc A estimativa da matriz das variânciascovariâncias das estimativas de β é obtida por QME X X V 1 ˆ ˆ que para o modelo do 3º grau é discriminado como sendo 4 939 0 00001140 0 00026958 0 00149507 00138326 0 0 00026958 0 00647926 0 03708004 03647911 0 0 00149507 0 03708004 0 22702003 25794888 0 0 00138326 0 03647911 0 25794888 45286783 0 ˆ ˆ para o exemplo obtevese e ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 3 3 2 2 3 1 2 1 1 3 0 2 0 1 0 0 V QM V b simétrica COV b b b V COV b b COV b b b V COV b b COV b b COV b b b V V E Assim a estimativa da variância de 3ˆb é obtida multiplicandose o QME pelo valor correspondente a quarta linha da quarta coluna da matriz XX1 ou seja ˆ b3ˆ V 4939000001140 00000563046 A hipótese H0b30 é rejeitada se o valor absoluto de 3 3 ˆ ˆ ˆ V b t b for maior que o tαGLE No exemplo 2 201 011 11 0 0000563046 0 000828 0 5 11 t t Não se rejeita H0 e o parâmetro b3 deve ser removido do modelo porque a sua contribuição não é significativa Além disso observase que na matriz variânciascovariâncias as estimativas dos parâmetros não são independentes isto é os elementos fora da diagonal são diferentes de zero e com isto os testes de hipóteses são condicionados a presença dos demais parâmetros no modelo As hipóteses H0b00 H0b10 e H0b20 também podem ser testadas pelo teste de t através da estatística S S b V b t ˆ ˆ ˆ para S 0 1 e 2 as quais são rejeitadas se tc tαGLE No entanto estes testes somente tem validade se o parâmetro b3 se mantiver no modelo o que no exemplo não foi verificado Redefinindo o modelo do exemplo para o quadrático temos Yij b0 b1Xi b2Xi2 i eij o qual na forma matricial é YXβε O sistema de equações normais XX ˆ XY é 0 426606 8 412444 306424 14 ˆ ˆ ˆ ˆ 46832 4372 606 0 00010225 0 00171366 00375768 0 0 00171366 0 03088121 07647869 0 0 00375768 0 07647869 28496926 0 ˆ solução é ˆ a e 46832 4372 606 ˆ ˆ ˆ 213824 14560 1088 14560 1088 100 1088 100 16 2 1 0 1 2 1 0 b b b X Y X X b b b Observe que as novas estimativas dos parâmetros b0 b1 e b2 não são as mesmas obtidas com a presença do parâmetro b3 no modelo Além disso a matriz das variânciascovariâncias XX1QME não é igual podendo resultar em alterações nas decisões dos testes de hipóteses sobre os parâmetros Justificase então o procedimento de recalcular a equação com a exclusão de b3 no modelo para avaliar os efeitos dos demais parâmetros do modelo A análise da variância apresentada na Tabela 3 Os cálculos são similares ao do modelo cúbico considerandose a redução do modelo Verifique que o valor de F calculado para a regressão QMRegrQME igual a 25489 é maior que o valor de tabela em 5 de erro e por isto a hipótese H0b1b20 é rejeitada Ainda a hipótese H0 2 0 não foi rejeitada e por isso nenhuma regressão de maior ordem como por exemplo a cúbica deverá ser significativa A retirada do coeficiente de 3 grau foi adequada e além disso o coeficiente de determinação ajustado 0 9972 417 2521 2517842 3 1 5 1 3 417 2521 2517902 2 Raj É ligeiramente superior Tabela 3 Análise da variância para o modelo polinomial quadrático CV GL SQ QM FSob H0 5Fn11 Tratamento 4 2521417 Regressão 2 2517842 1258921 25489 398 Desvios 2 3575 1787 036 398 Erro 11 54333 4939 Total 15 2575750 Na procura do modelo de menor número de parâmetros possíveis devese agora testar o efeito quadrático no modelo de 2 grau em questão A hipótese a ser testada é H0b20 vs H1b20 teste bilateral e a estatística do teste é 2 201 1898 98 18 00010225 4 939 0 426606 0 ˆ ˆ ˆ 11 5 2 2 t b V b t O qual sendo maior que t tabelado em 5 t511 2201 faz com que a hipótese seja rejeitada Assim o modelo definitivo para explicar a relação existente entre os dados observados e a variável independente tratamento é o de 2 grau estimado como sendo Yˆ 14306424 8412444X 0426606X2 para X pertencente a intervalo entre 0 e 16 unidades Para um dado X supomos Xi podese calcular a estimativa Yˆ substituindose Xi na equação estimada Também podese calcular a estimativa da variância de Yˆ Y V ˆ ˆ para obter as estimativas por intervalo para Y dado Xi Seja i 1 Xi Xi2 então ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1 3 2 0 2 1 0 2 4 1 2 0 1 2 2 1 0 X COV b b X COV b b XCOV b b X V b X V b b V X X QM b X b X V b V Y i i E As estimativas de variâncias e covariâncias são obtidas de XX1QME e para um valor tabelado de t tα2GLE a estimativa por intervalo é t V Y Y ˆ ˆ ˆ em nível 1 α de confiança Fazendose X variar em pequenos acréscimos dentro dos limites estudados podese construir faixas de confiança para a equação como no caso do uso dos polinômios ortogonais Para o exemplo vamos obter uma estimativa por ponto e por intervalo para Y dado X 10 A estimativa por ponto é Yˆ 14206424 841244410 0426606102 557703 e Y V ˆ ˆ 4939028496926 102003088121 104000010225 210007647869 2102000375768 2103 000171366 Y V ˆ ˆ 4939019023246 093955812 e para t00511 2201 a estimativa por intervalo é 557703 2201 0 93955812 557703 21334 ou seja a probabilidade de Y dado X10 estar entre 537369 e 579037 é de 90 Nos casos em que o efeito do 2 grau não for significativo indicando que a regressão do 2 grau não ajustou uma proporção significativa de variação além da variação ajustada pela regressão de 1 devese reduzir o modelo para o linear recalcular as estimativas e testar as hipóteses sobre b1 e sobre os desvios Caso b1 também não for significativo nenhuma equação dentre as estudadas deve ser usada para explicar a relação entre os tratamentos e o efeito destes Há outra forma de resolver matricialmente o problema determinar o modelo e testar os parâmetros a saber Os valores preditos assim como as matrizes iniciais são X Y 0 13 1 0 0 15 1 0 2 28 1 2 2 29 1 2 2 30 1 2 2 33 1 2 4 38 1 4 4 40 1 4 4 43 1X 1 4 8 52 1 8 8 54 1 8 8 55 1 8 8 57 1 8 16 37 1 16 16 40 1 16 16 42 1 16 1 13 1 15 1 28 1 29 1 30 1 33 1 38 1 40 1Y 1 43 1 52 1 54 1 55 1 57 1 37 1 40 1 42 Levandose em consideração os modelos Linear Quadrático e Cúbico temse 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4 8 1 2 4 8 1 4 16 64 1 4 16 64 1X 1 4 16 64 1 8 64 512 1 8 64 512 1 8 64 512 1 8 64 512 1 16 256 4096 1 16 256 4096 1 16 256 4096 Observação Para qualquer outro modelo a ser testado acrescentase na matriz 1X uma nova coluna com os valores correspondentes seja por exemplo 1X 𝑋 log X ln X e por aí vai 13 15 28 29 30 33 38 40 Y 43 52 54 55 57 37 40 42 Algumas matrizes transpostas também são muito necessárias a saber 1 1 1YT 13 42 1 1 0 16 1XT 0 256 0 4096 Modelo Cúbico Primeiramente testase o modelo cúbico para observarmos se o efeito cúbico é significativo Para tal necessitamos dos seguintes produtos matriciais 16 100 1088 14560 100 1088 14560 213824 1XT1X 1088 14560 213824 3280000 14560 213824 3280000 51392768 606 4372 1XTY 46832 607744 Necessitamos também da matriz inversa 1XT1X1 045287 02579 003648 00013833 02579 022702 003708 000149507 1XT1X1 003648 00371 000648 00002696 00014 00015 000027 11396E05 Assim poderemos determinar os parâmetros de modelo cúbico 144070 83038 θ 04070 00008 Em seguida testase o modelo de regressão mediante Análise de Variância ANOVA e também o parâmetro responsável pelo efeito cúbico Caso não seja significativo optase pelo modelo quadrático Construindo a ANOVA Primeiro calculase a Soma e Quadrados Totais SQT 16 606 1YT1Y 606 25528 SQT det 1YT1YIJ 4121216 257575 Obs Em caso de experimentos desbalanceados ao invés de dividir por IJ somamse as repetições de cada um dos tratamentos É necessário também calcular a Soma de Quadrados dos Tratamentos Para isto necessitase determinar os efeitos dos tratamentos Trat Total J Média Ef Trat Ef TratJ 0 28 2 14 2388 4775 2 120 4 30 7875 315 4 121 3 40333 24583 7375 8 218 4 545 16625 665 16 119 3 39667 17917 5375 Soma 606 16 00000 MG 37875 EfTrat MTr MG Obs O efeito de um tratamento qualquer consiste na diferença entre a média do referido tratamento e a média geral do experimento 1 238750 1 238750 1 78750 1 78750 1 78750 1 78750 1 24583 1 24583 1EfTr 1 24583 1 166250 1 166250 1 166250 1 166250 1 17917 1 17917 1 17917 1 1 1EfTrT 23875 17917 16 0 1EfTrT1EfTr 0 25214167 Det1EfTrT1EfTr 40343 SQTr 4034316 25214 De forma usual determinase a Soma de Quadrados do Resíduo Se quiser podese determinar matricialmente também mediante determinação dos efeitos do erro experimental em cada parcela experimental SQR SQT SQTr 543333 Determinase também a Soma de Quadrados da Regressão SQreg θT 1440698254 830376 0407 000083 θT1XT1Y 254702 2517902 2295225 25470 2 Re 16 606 25470 2 1 1 Re 2 2 g Q S n Y Y X g Q S T T A Soma de Quadrados dos Desvios SQ desvios diz respeito à Soma de Quadrados de modelos de ordem superior ao modelo cúbico geralmente sem muito sentido em fenômenos biológicos e agronômicos Podese obter este valor da seguinte forma SQDesvios SQTr SQReg 35143 CV ou FV GL SQ QM F Tratamentos 4 2521416667 Regressão 3 2517902405 8393 1699198 Desvios 1 3514261969 35143 07115 NS Resíduo 11 5433333333 49394 Total 15 257575 5F311 35874 5F111 48443 1F311 62167 1F111 96460 Como a regressão foi significativa agora resta determinar se o efeito significativo foi o cúbico o quadrático ou o linear Para isto testase primeiro o parâmetro de maior grau Neste caso o cúbico Para testarmos os parâmetros é necessário determinar a matriz de Variâncias e Covariâncias VARCOV VARCOV 1XT1X1 QMR 22369 1274 01802 00068325 1274 11213 0183 000738475 VARCOV 01802 0183 0032 00013316 0007 00074 0001 5629E05 2 201 011 11 0 10 65 0008 0 ˆ ˆ ˆ 511 5 3 3 t b V b t Modelo Quadrático Assim podese concluir que o efeito cúbico não foi significativo Devese então testar o efeito quadrático 1 0 0 13 1 0 0 15 1 2 4 28 1 2 4 29 1 2 4 30 1 2 4 33 1 4 16 38 1 4 16 40 1X 1 4 16 Y 43 1 8 64 52 1 8 64 54 1 8 64 55 1 8 64 57 1 16 256 37 1 16 256 40 1 16 256 42 1 1 1XT 0 16 0 256 16 100 1088 1XT1X 100 1088 14560 1088 14560 213824 606 1XTY 4372 46832 028497 0076 00038 1XT1X1 007648 00309 0002 000376 0002 00001 143064 θ 84124 04266 θT 143064 84124 0427 θT1XTY 25470 SQReg 25178 SQT 25758 SQR 54333 FV GL SQ QM F Regressão 2 25178 12589211 254874 Resíduo 11 54333 49394 Total 15 25758 5F213 38056 1F213 67010 028497 0076 00038 1XT1X1 007648 00309 0002 000376 0002 00001 14076 0378 00186 VARCOV 0378 01525 0008 00186 0008 00005 2 201 1898 98 18 0 0005 4266 0 ˆ ˆ ˆ 11 5 2 2 t b V b t Deste modo concluise que o efeito quadrático foi significativo Não sendo necessário testar o efeito linear Modelo Linear Por uma questão de efeito didático caso fosse necessário testar o efeito linear teríamos 1 0 13 1 0 15 1 2 28 1 2 29 1 2 30 1 2 33 1 4 38 1 4 40 1X 1 4 Y 43 1 8 52 1 8 54 1 8 55 1 8 57 1 16 37 1 16 40 1 16 42 1 1 1XT 0 16 16 100 1XT1X 100 1088 606 1XTY 4372 01469 00135 1XT1X1 0013 000216 299849 θ 12624 θT 299849 12624 θT1XTY 23690 SQReg 73788 07256 0067 VarCov 0064 00107 FV GL SQ QM F Regressão 1 73788 73788 14939 Resíduo 11 54333 49394 Total 15 25758 5F111 48443 1F111 96460 2 201 222 12 0 0107 2624 1 ˆ ˆ ˆ 11 5 1 1 t b V b t Na verdade os efeitos são aditivos isto é ao efeito cúbico são adicionados os efeitos quadrático e linear assim como ao efeito quadrático adicionase também o efeito linear Se desejarmos obter cada efeito em separado com um grau de liberdade cada desdobrando a Análise de Variância teremos a seguinte tabela abaixo FV GL SQ QM F Tratamentos 4 25214167 Regressão 3 25179024 Efeito Cúbico 1 00602 00602 00122 NS Efeito Quadrático 1 17799583 1780 3603596 Efeito Linear 1 7378839 73788 1493875 Desvios 1 35143 35143 07115 NS Resíduo 11 543333 49394 Total 15 257575 5F111 48443 1F111 96460 As respectivas soma de quadrados para cada grau do modelo é obtido subtraindose pela soma de quadrados do grau inferior Coeficiente de Determinação e Coeficiente de Determinação ajustado I 5 P os Efeitos P SQRegX3 0060227 4 R2 097754 R2aj 09719 SQRegX2 1779958 3 R2 097752 R2aj 09741 SQReg X1 7378839 2 R2 028647 R2aj Para o Modelo cúbico R2 0060227 1779958 7378839257575 R2 097754 Para o Modelo quadrático R2 1779958 7378839257575 R2 097752 Para o Modelo linear R2 7378839257575 R2 028647 Como o Efeito Quadrático foi o escolhido por ser o maior grau significativo assim como o modelo testado faremos a demonstração do cálculo a seguir 𝑅2 𝑆𝑄𝑄𝑆𝑄𝐿 𝑆𝑄𝑇 097752 𝑅𝑎𝑗 2 𝑅2 𝑝 1 𝑛 𝑝 1 𝑅2 𝑅𝑎𝑗 2 097752 3 1 16 3 1 097752 𝑅𝐚𝑗 2 09741 As diferenças entre a análise de regressão usada de forma geral e quando envolve efeito de tratamentos Há pequenos detalhes que devem ser observados em relação à análise de regressão feita de forma geral entre duas variáveis e quando os dados são resultantes de tratamentos experimentais a saber Experimentos no esquema com dois ou mais fatores envolvendo tratamentos quantitativos Nos casos de experimentos cujos arranjos são compostos de dois ou mais fatores o procedimento é bastante similar devendose atentar para o fato de analisarmos parte dos dados de cada vez consistindo em subconjuntos conforme a presença ou não de interações significativas na análise de variância Quando dois ou mais fatores são quantitativos com interação entre eles significativas devese lançar mão de modelos especiais de regressão múltipla chamados de superfície de resposta que contempla parâmetros compostos por interações entre fatores Os Intervalos de Confiança IC para os parâmetros 𝜷𝒊 de uma equação qualquer são construídos da seguinte forma IC 𝜷𝒊 𝜷𝒊 𝒕𝒏𝟐 𝜶 𝟐 𝑽𝜷𝒊 Como o modelo significativo foi o quadrático devese construir os intervalos de confiança para os parâmetros betas i 0 1 e 2 116951 14306 169177 75529 84124 92719 04758 0427 03774 Valores preditos de X e Y e estimativas de Y X Y Est Y 0 13 143064 0 15 143064 2 28 294248 2 29 294248 2 30 294248 2 33 294248 4 38 411304 4 40 411304 4 43 411304 8 52 543032 8 54 543032 8 55 543032 8 57 543032 16 37 396952 16 40 396952 16 42 396952 O modelo estimado foi Y 143064 84124X 04266X2