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Engenharia de Produção ·
Probabilidade e Estatística 2
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VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores de chance Associa números aos eventos do espaço amostral X número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda VARIÁVELALEATÓRIA S cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa X 0 1 2 x VARIÁVEL ALEATÓRIA variável aleatória contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável 0 1 2 3 4 número de defeitos em Ex 0 Ex tempo de resposta de VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Exemplos 1 Lançase uma moeda 10 vezes e anotase o número de caras Este número pode ser 0 1 2 10 2 Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas perguntamse estes compram um determinado produtoO número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200 3 Um pesquisador conta quantos dos 500 chefes de família que entrevistou eram mulheres 4 Um médico conta quantos dos 100 pacientes que tratou com uma nova droga ficaram curados Exemplo Considere um experimento em que arremessamos 3 vezes uma bola à cesta Seja Y a variável aleatória que denota o nº de acertos obtidos por uma pessoa sabendo que a probabilidade de acerto para cada bola lançada por esta pessoa é de 03 Variável Aleatória Y nº de acertos nas três tentativas A cada resultado de uma variável aleatória podese associar uma probabilidade y py 0 1 2 3 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A distribuição de probabilidades indica para uma variável aleatória quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer Y nº de acertos nas três tentativas y py 0 0343 1 0441 2 0189 3 0027 Soma 1 PY0 07 07 07 0343 PY1 03 07 07 07 03 07 07 07 03 0441 PY1 03 03 07 03 07 03 07 03 03 0189 PY3 03 03 03 0027 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A função de probabilidade que construímos para o exemplo dos arremessos à cesta poderia ter sido estabelecida usando a Distribuição Binomial Quando temos um experimente com uma número de repetições tentativas alto tornase trabalhoso calcular as probabilidades então podemos usar o modelo Binomial para auxiliar no cálculo das probabilidades Propriedades necessárias para a utilização da Distribuição Binomial 1 Número de tentativas fixas 2 Cada tentativa deve resultar num fracasso falha ou sucesso 3 As probabilidades de sucesso devem ser iguais para todas as tentativas 4 Todas as tentativas devem ser independentes Quando posso usar o modelo Binomial DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos um dos quais é considerado como sucessop e o outro insucesso q Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira n vezes nas mesmas condições As provas repetidas devem ser independentes isto é o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas n parax q x p n x P X P x n x x 210 x n x n x n No decorrer do experimento a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q q 1 p do insucesso manterseão constantes Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial onde NOTAÇÃO COMBINATORIAL PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL n p E X n p q Var X p q n Isto é a média de uma variável aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos parâmetros n e p Média ou valor esperado Variância O desvio padrão isto é a variância de uma variável aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos parâmetros n e p e multiplicados ainda por q DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Voltando ao nosso exemplo Considere um experimento em que arremessamos três vezes uma bola à cesta Seja Y a variável aleatória que denotamos o número de acertos obtidos por uma pessoa sabendo que a probabilidade de acerto para cada bola lançada por esta pessoa é de 03 a Qual a probabilidade de acertarmos duas bolas nas três tentativas b Qual a probabilidade de acertarmos no máximo duas bolas c Qual o valor esperado Média e a variância do número de acertos DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Binomial com n 10 p 07 Seja a população de pessoas de um município em que 70 são favoráveis a um certo projeto municipal Qual é a probabilidade de que numa amostra aleatória simples de 10 pessoas dessa população exatamente sete indivíduos da amostra serem favoráveis DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Qual a probabilidade de exatamente sete indivíduos da amostra serem favoráveis Temos os seguintes dados X é binomial n 10 p 07 A probabilidade do evento é X 7 x px q n x n x P X P x Vamos resolver DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Qual a probabilidade de exatamente sete indivíduos da amostra serem favoráveis Temos os seguintes dados X é binomial n 10 p 07 A probabilidade do evento é X 7 x px q n x n x P X P x PX 7 p7 02668 Vamos resolver DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Qual a probabilidade de a maioria da amostra ser de favoráveis X é binomial n 10 p 07 Vamos resolver PX 5 p6 p7 p8 p9 p10 PX 5 08497 Achar a média e a variância da variável aleatória Y 3X 2 sendo X B 20 03 Suponhamos que um experimento aleatório seja repetido independentemente até que um evento A ocorra pela résima vez Seja PA p sucesso e PA q fracasso em cada tentativa do experimento Seja X número de repetições necessárias para que A ocorra pela résima vez Se r 1 X tem distribuição geométrica Se X x o evento A ocorre pela résima vez na repetição de número x Logo A ocorre r1 vezes nas x1 repetições anteriores PX x x1r1 pr qxr x r A variável X assim definida tem distribuição de Pascal X tem distribuição de Pascal PX x x1r1 pr qxr x r EX rp e VARX rqp² Exemplo de aplicação A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 020 Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrálo aberto pela 4ª vez Distribuição de Poisson Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso Seja X o número de sucessos no intervalo então PX k eλλkk onde λ é a média A variável X assim definida tem distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de 1 carros que passam por um cruzamento por minuto durante uma certa hora do dia 2 erros tipográficos por página em um material impresso 3 defeitos por unidade m² m³ m etc por peça fabricada 4 colônias de bactérias numa dada cultura por 001 mm² numa plaqueta de microscópio 5 mortes por ataque de coração por ano numa cidade É aplicada também em problemas de filas de espera em geral e outros Exemplos e Aplicações 1 Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros 2 Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora Qual a probabilidade de a num minuto não haja nenhum chamado b em 2 minutos haja 2 chamados c em t minutos não haja chamados Distribuição de Poisson Aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson Muitas vezes no uso da binomial acontece que n é muito grande n e p é muito pequeno p 0 Nesses casos não encontramos o valor em tabelas ou então o cálculo tornase muito difícil sendo necessário o uso de máquinas de calcular sofisticadas ou o uso de computador Podemos então fazer uma aproximação da binomial pela distribuição de Poisson 1 n maior que o maior valor tabelado n 30 Consideremos 2 p 0 p 01 3 0 μ 10 Quando isso ocorre a média μ np será tomada como np λ Nessas condições se X Bn p queremos calcular PX k n k pk qnk A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 1100 Numa instalação com 100 lâmpadas qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS Dizemos que uma variável aleatória va é contínua quando não conseguimos enumerar seus possíveis resultados por esses formarem um conjunto infinito num dado intervalo de números reais Variável Aleatória Contínua Se tomarmos os pontos médios das bases superiores dos retângulos e os ligarmos por uma curva teremos se considerarmos X uma variável aleatória contínua uma função contínua fX representada no gráfico EX x fxdx A esperança pode ser entendida como um centro de distribuição de probabilidades VARX xEX² fxdx ou VARX EX²EX² onde EX² x² fxdx Também podemos definir Fx PX x ˣ fsds e o gráfico genericamente é Podemos encontrar a f d p se existir a partir de Fx pois ddx Fx fx nos pontos onde Fx é derivável Exemplos de aplicação 1 Verificar se fx2x3 se 0x2 0 se x0 ou x2 é uma f d p 2 Seja fxkx se 0x1 0 se x0 ou x1 Determinar a k a fim de que fx seja f d p b o gráfico de fx d EX e VARX Seja X o tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima num certo período de tempo em minutos A função densidade de probabilidade de X é dada por fx11500² x se 0x1500 11500² 3000x se 1500x3000 Calcular EX ou seja o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima Distribuição uniforme Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidades no intervalo a b se a sua fd d p é dada por fx k se axb 0 se xa ou xb O valor de k é b a kdx1 kxb a 1 k1 ba Logo Fx 0 se xa xa ba se axb 1 se xb E seu gráfico é ESPERANÇA MATEMÁTICA EXba2 VARIÂNCIA VARXba2 12 Exemplos de aplicação 1 Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo 0 2 Qual a probabilidade de que esteja entre 1 e 15 2 A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo 50 70 da escala de Rockwel Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 Distribuições Contínuas Entre as distribuições teóricas de probabilidades de va contínuas destacase a DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou curva normal ou curva de Gauss em homenagem a Carl Friedrich Gauss 17771855 que foi pioneiro na sua utilização apesar da distribuição se dever a Abraham de Moivre 16671754 que a desenvolveu em 1733 como aproximação à distribuição Binomial e a PierreSimon Laplace 1749 1827 que a formalizou Retrata com boa aproximação as distribuições de frequência de muitos fenômenos naturais e físicos Serve como aproximação das probabilidades binomiais sim ou não quando n é grande As médias e as proporções de grandes amostras seguem a distribuição Normal Teorema do Limite Central Distribuição Normal Importância Distribuição Normal 2 1 2 1 e 2 x f x x Pode ser mostrado que 1 é o valor esperado média de X 2 2 é a variância de X 2 0 Notação X N 2 A v a X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por Propriedades de X N2 EX média ou valor esperado VarX 2 e portanto DPX Curvas Normais com mesma variância 2 mas médias diferentes 2 1 A Distribuição Normal 1 2 N 1 2 N 2 2 x Média e Desvio Padrão 2 4 X Curvas Normais com mesma média µ mas com variâncias diferentes 2 2 1 2 Características x Área 1 A variável aleatória pode assumir valores de a Área abaixo da curva é igual a 1 100 de probabilidade área 683 Características 2 2 área 954 Características 3 3 área 997 Características Para quaisquer valores de μ e σ quando tomamos o intervalo constituído por μ σ μ σ abrangemos aproximadamente 68 dos dados μ 2σ μ 2σ abrangemos aproximadamente 95 dos dados μ 3σ μ 3σ abrangemos aproximadamente 997 dos dados OBS afastamentos da média em unidades de desvio padrão preservam a mesma área sob a curva A Distribuição Normal Para facilitar a obtenção das probabilidades determinação da área sob a curva podemos fazer uma transformação na variável levando para uma distribuição com média igual a 0 zero e variância igual a 1 um Esta distribuição é conhecida como distribuição Normal Padronizada z Área entre a e b Para a distribuição normal padronizada os valores da probabilidade encontramse calculados e tabelados Por isso podem ser facilmente determinados Normal Padronizada Pa x b Pz₁ z z₂ Em que z₁ fraca musigma z₂ fracb musigma Áreas iguais Curva Normal mu sigma a mu b z fracx musigma Curva Normal Padronizada O valor z valor padronizado é uma medida relativa Mede o quanto x se afasta da média em unidade de desvio padrão Valor Padronizado σ z x μ x x Z número de desvios padrões a partir da média x valor de interesse média da distribuição normal de interesse desvio padrão da distribuição normal Através de uma transformação de variáveis é possível converter os valores de qualquer distribuição Normal em valores da distribuição Normal padrão e assim obter suas probabilidades calcular o número de desvios padrões a contar da média a que está um valor da variável Distribuição Normal Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X a sua altura em centímetros Apresentase a seguir uma possível distribuição de probabilidades para este caso 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x fx altura em cm Exemplo Representar o evento estudante selecionado tem 180 cm ou mais X 180 e sua probabilidade PX 180 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x fx altura em cm X 180 PX 180 Exemplo Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X o valor de sua altura em centímetros Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm Calcule a normal padronizado de um estudante com 180 cm z x 180 170 10 1 10 10 Ou seja este estudante encontrase a 1 desvio padrão acima da altura média dos estudantes masculinos da universidade Distribuição de X normal com mu 170 e sigma 10 PX 180 PZ 1 Distribuição de Z normal padrão z fracx musigma frac180 17010 1 TABELA Normal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 0500000 0503989 0507978 0511966 0515953 0519939 0523922 0527903 0531881 0535856 010 0539828 0543795 0547758 0551717 0555670 0559618 0563559 0567495 0571424 0575345 020 0579260 0583166 0587064 0590954 0594835 0598706 0602568 0606420 0610261 0614092 030 0617911 0621720 0625516 0629300 0633072 0636831 0640576 0644309 0648027 0651732 040 0655422 0659097 0662757 0666402 0670031 0673645 0677242 0680822 0684386 0687933 050 0691462 0694974 0698468 0701944 0705401 0708840 0712260 0715661 0719043 0722405 060 0725747 0729069 0732371 0735653 0738914 0742154 0745373 0748571 0751748 0754903 070 0758036 0761148 0764238 0767305 0770350 0773373 0776373 0779350 0782305 0785236 080 0788145 0791030 0793892 0796731 0799546 0802337 0805105 0807850 0810570 0813267 090 0815940 0818589 0821214 0823814 0826391 0828944 0831472 0833977 0836457 0838913 100 0841345 0843752 0846136 0848495 0850830 0853141 0855428 0857690 0859929 0862143 110 0864334 0866500 0868643 0870762 0872857 0874928 0876976 0879000 0881000 0882977 120 0884930 0886861 0888768 0890651 0892512 0894350 0896165 0897958 0899727 0901475 130 0903200 0904902 0906582 0908241 0909877 0911492 0913085 0914657 0916207 0917736 140 0919243 0920730 0922196 0923641 0925066 0926471 0927855 0929219 0930563 0931888 150 0933193 0934478 0935745 0936992 0938220 0939429 0940620 0941792 0942947 0944083 160 0945201 0946301 0947384 0948449 0949497 0950529 0951543 0952540 0953521 0954486 170 0955435 0956367 0957284 0958185 0959070 0959941 0960796 0961636 0962462 0963273 180 0964070 0964852 0965620 0966375 0967116 0967843 0968557 0969258 0969946 0970621 190 0971283 0971933 0972571 0973197 0973810 0974412 0975002 0975581 0976148 0976705 200 0977250 0977784 0978308 0978822 0979325 0979818 0980301 0980774 0981237 0981691 210 0982136 0982571 0982997 0983414 0983823 0984222 0984614 0984997 0985371 0985738 220 0986097 0986447 0986791 0987126 0987455 0987776 0988089 0988396 0988696 0988989 230 0989276 0989556 0989830 0990097 0990358 0990613 0990863 0991106 0991344 0991576 240 0991802 0992024 0992240 0992451 0992656 0992857 0993053 0993244 0993431 0993613 250 0993790 0993963 0994132 0994297 0994457 0994614 0994766 0994915 0995060 0995201 260 0995339 0995473 0995604 0995731 0995855 0995975 0996093 0996207 0996319 0996427 270 0996533 0996636 0996736 0996833 0996928 0997020 0997110 0997197 0997282 0997365 280 0997445 0997523 0997599 0997673 0997744 0997814 0997882 0997948 0998012 0998074 290 0998134 0998193 0998250 0998305 0998359 0998411 0998462 0998511 0998559 0998605 300 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999 VAL OR E S POS ITIVOS DE Z Ver tabela da Normal completa Com base na tabela da normal padronizada calcular a PZ 1 Exemplo z 0 1 01587 tabela A área de 01587 corresponde à probabilidade PZ1 TABELA Leitura da tabela Localizar na 1a coluna o valor 1 Na 1a linha está o valor 000 n0 1 compõe com o algarismo 000 o n0 z 100 No cruzamento da linha 1 com a coluna 2 está o número 0841345 Como esta tabela corresponde a toda a área faço 1 0841345 Logo a minha probabilidade é de 01587 TABELA Normal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 0500000 0503989 0507978 0511966 0515953 0519939 0523922 0527903 0531881 0535856 010 0539828 0543795 0547758 0551717 0555670 0559618 0563559 0567495 0571424 0575345 020 0579260 0583166 0587064 0590954 0594835 0598706 0602568 0606420 0610261 0614092 030 0617911 0621720 0625516 0629300 0633072 0636831 0640576 0644309 0648027 0651732 040 0655422 0659097 0662757 0666402 0670031 0673645 0677242 0680822 0684386 0687933 050 0691462 0694974 0698468 0701944 0705401 0708840 0712260 0715661 0719043 0722405 060 0725747 0729069 0732371 0735653 0738914 0742154 0745373 0748571 0751748 0754903 070 0758036 0761148 0764238 0767305 0770350 0773373 0776373 0779350 0782305 0785236 080 0788145 0791030 0793892 0796731 0799546 0802337 0805105 0807850 0810570 0813267 090 0815940 0818589 0821214 0823814 0826391 0828944 0831472 0833977 0836457 0838913 100 0841345 0843752 0846136 0848495 0850830 0853141 0855428 0857690 0859929 0862143 110 0864334 0866500 0868643 0870762 0872857 0874928 0876976 0879000 0881000 0882977 120 0884930 0886861 0888768 0890651 0892512 0894350 0896165 0897958 0899727 0901475 130 0903200 0904902 0906582 0908241 0909877 0911492 0913085 0914657 0916207 0917736 140 0919243 0920730 0922196 0923641 0925066 0926471 0927855 0929219 0930563 0931888 150 0933193 0934478 0935745 0936992 0938220 0939429 0940620 0941792 0942947 0944083 160 0945201 0946301 0947384 0948449 0949497 0950529 0951543 0952540 0953521 0954486 170 0955435 0956367 0957284 0958185 0959070 0959941 0960796 0961636 0962462 0963273 180 0964070 0964852 0965620 0966375 0967116 0967843 0968557 0969258 0969946 0970621 190 0971283 0971933 0972571 0973197 0973810 0974412 0975002 0975581 0976148 0976705 200 0977250 0977784 0978308 0978822 0979325 0979818 0980301 0980774 0981237 0981691 210 0982136 0982571 0982997 0983414 0983823 0984222 0984614 0984997 0985371 0985738 220 0986097 0986447 0986791 0987126 0987455 0987776 0988089 0988396 0988696 0988989 230 0989276 0989556 0989830 0990097 0990358 0990613 0990863 0991106 0991344 0991576 240 0991802 0992024 0992240 0992451 0992656 0992857 0993053 0993244 0993431 0993613 250 0993790 0993963 0994132 0994297 0994457 0994614 0994766 0994915 0995060 0995201 260 0995339 0995473 0995604 0995731 0995855 0995975 0996093 0996207 0996319 0996427 270 0996533 0996636 0996736 0996833 0996928 0997020 0997110 0997197 0997282 0997365 280 0997445 0997523 0997599 0997673 0997744 0997814 0997882 0997948 0998012 0998074 290 0998134 0998193 0998250 0998305 0998359 0998411 0998462 0998511 0998559 0998605 300 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999 VAL OR E S POS ITIVOS DE Z Ver tabela da Normal completa Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X o valor de sua altura em centímetros Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm qual é a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm Exemplo x 185 cm 170 10 z x 185 cm 170 10 z z x 185 170 10 15 15 10 Exemplo PZ 15 z 0 15 00668 tabela Exemplo Observação Se X N 2 então P P X Z P 1 1 Z ii P 2 X 2 P 2 Z 2 0955 iii P 3 X 3 P 3 Z 3 0997 isto é P X 0683 Z i P 08413 01586 06827 Distribuição Normal Padrão
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VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE DISCRETAS Uma variável aleatória é uma função com valores numéricos cujo valor é determinado por fatores de chance Associa números aos eventos do espaço amostral X número de coroas em 2 lançamentos de uma moeda VARIÁVELALEATÓRIA S cara cara cara coroa coroa cara coroa coroa X 0 1 2 x VARIÁVEL ALEATÓRIA variável aleatória contínua os possíveis resultados abrangem todo um intervalo de números reais discreta os possíveis resultados estão contidos em um conjunto finito ou enumerável 0 1 2 3 4 número de defeitos em Ex 0 Ex tempo de resposta de VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Exemplos 1 Lançase uma moeda 10 vezes e anotase o número de caras Este número pode ser 0 1 2 10 2 Em uma pesquisa de mercado feita com 200 pessoas perguntamse estes compram um determinado produtoO número de pessoas que compram o produto varia de 0 a 200 3 Um pesquisador conta quantos dos 500 chefes de família que entrevistou eram mulheres 4 Um médico conta quantos dos 100 pacientes que tratou com uma nova droga ficaram curados Exemplo Considere um experimento em que arremessamos 3 vezes uma bola à cesta Seja Y a variável aleatória que denota o nº de acertos obtidos por uma pessoa sabendo que a probabilidade de acerto para cada bola lançada por esta pessoa é de 03 Variável Aleatória Y nº de acertos nas três tentativas A cada resultado de uma variável aleatória podese associar uma probabilidade y py 0 1 2 3 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A distribuição de probabilidades indica para uma variável aleatória quais são os resultados que podem ocorrer e qual é a probabilidade de cada resultado acontecer Y nº de acertos nas três tentativas y py 0 0343 1 0441 2 0189 3 0027 Soma 1 PY0 07 07 07 0343 PY1 03 07 07 07 03 07 07 07 03 0441 PY1 03 03 07 03 07 03 07 03 03 0189 PY3 03 03 03 0027 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA A função de probabilidade que construímos para o exemplo dos arremessos à cesta poderia ter sido estabelecida usando a Distribuição Binomial Quando temos um experimente com uma número de repetições tentativas alto tornase trabalhoso calcular as probabilidades então podemos usar o modelo Binomial para auxiliar no cálculo das probabilidades Propriedades necessárias para a utilização da Distribuição Binomial 1 Número de tentativas fixas 2 Cada tentativa deve resultar num fracasso falha ou sucesso 3 As probabilidades de sucesso devem ser iguais para todas as tentativas 4 Todas as tentativas devem ser independentes Quando posso usar o modelo Binomial DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Vamos imaginar fenômenos cujos resultados só podem ser de dois tipos um dos quais é considerado como sucessop e o outro insucesso q Este fenômeno pode ser repetido tantas vezes quanto se queira n vezes nas mesmas condições As provas repetidas devem ser independentes isto é o resultado de uma não deve afetar os resultados das sucessivas n parax q x p n x P X P x n x x 210 x n x n x n No decorrer do experimento a probabilidade p do sucesso e a probabilidade de q q 1 p do insucesso manterseão constantes Nessas condições X é uma variável aleatória discreta que segue uma distribuição binomial onde NOTAÇÃO COMBINATORIAL PROPRIEDADES DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL n p E X n p q Var X p q n Isto é a média de uma variável aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos parâmetros n e p Média ou valor esperado Variância O desvio padrão isto é a variância de uma variável aleatória com distribuição binomial é igual ao produto dos parâmetros n e p e multiplicados ainda por q DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Voltando ao nosso exemplo Considere um experimento em que arremessamos três vezes uma bola à cesta Seja Y a variável aleatória que denotamos o número de acertos obtidos por uma pessoa sabendo que a probabilidade de acerto para cada bola lançada por esta pessoa é de 03 a Qual a probabilidade de acertarmos duas bolas nas três tentativas b Qual a probabilidade de acertarmos no máximo duas bolas c Qual o valor esperado Média e a variância do número de acertos DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Binomial com n 10 p 07 Seja a população de pessoas de um município em que 70 são favoráveis a um certo projeto municipal Qual é a probabilidade de que numa amostra aleatória simples de 10 pessoas dessa população exatamente sete indivíduos da amostra serem favoráveis DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Qual a probabilidade de exatamente sete indivíduos da amostra serem favoráveis Temos os seguintes dados X é binomial n 10 p 07 A probabilidade do evento é X 7 x px q n x n x P X P x Vamos resolver DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Qual a probabilidade de exatamente sete indivíduos da amostra serem favoráveis Temos os seguintes dados X é binomial n 10 p 07 A probabilidade do evento é X 7 x px q n x n x P X P x PX 7 p7 02668 Vamos resolver DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Exemplo 1 Qual a probabilidade de a maioria da amostra ser de favoráveis X é binomial n 10 p 07 Vamos resolver PX 5 p6 p7 p8 p9 p10 PX 5 08497 Achar a média e a variância da variável aleatória Y 3X 2 sendo X B 20 03 Suponhamos que um experimento aleatório seja repetido independentemente até que um evento A ocorra pela résima vez Seja PA p sucesso e PA q fracasso em cada tentativa do experimento Seja X número de repetições necessárias para que A ocorra pela résima vez Se r 1 X tem distribuição geométrica Se X x o evento A ocorre pela résima vez na repetição de número x Logo A ocorre r1 vezes nas x1 repetições anteriores PX x x1r1 pr qxr x r A variável X assim definida tem distribuição de Pascal X tem distribuição de Pascal PX x x1r1 pr qxr x r EX rp e VARX rqp² Exemplo de aplicação A probabilidade de que um sinal de trânsito esteja aberto numa esquina é 020 Qual a probabilidade de que seja necessário passar pelo local 10 vezes para encontrálo aberto pela 4ª vez Distribuição de Poisson Consideremos a probabilidade de ocorrência de sucessos em um determinado intervalo A probabilidade da ocorrência de um sucesso no intervalo é proporcional ao intervalo A probabilidade de mais de um sucesso nesse intervalo é bastante pequena com relação à probabilidade de um sucesso Seja X o número de sucessos no intervalo então PX k eλλkk onde λ é a média A variável X assim definida tem distribuição de Poisson A distribuição de Poisson é muito usada na distribuição do número de 1 carros que passam por um cruzamento por minuto durante uma certa hora do dia 2 erros tipográficos por página em um material impresso 3 defeitos por unidade m² m³ m etc por peça fabricada 4 colônias de bactérias numa dada cultura por 001 mm² numa plaqueta de microscópio 5 mortes por ataque de coração por ano numa cidade É aplicada também em problemas de filas de espera em geral e outros Exemplos e Aplicações 1 Num livro de 800 páginas há 800 erros de impressão Qual a probabilidade de que uma página contenha pelo menos 3 erros 2 Numa central telefônica chegam 300 telefonemas por hora Qual a probabilidade de a num minuto não haja nenhum chamado b em 2 minutos haja 2 chamados c em t minutos não haja chamados Distribuição de Poisson Aproximação da distribuição binomial pela distribuição de Poisson Muitas vezes no uso da binomial acontece que n é muito grande n e p é muito pequeno p 0 Nesses casos não encontramos o valor em tabelas ou então o cálculo tornase muito difícil sendo necessário o uso de máquinas de calcular sofisticadas ou o uso de computador Podemos então fazer uma aproximação da binomial pela distribuição de Poisson 1 n maior que o maior valor tabelado n 30 Consideremos 2 p 0 p 01 3 0 μ 10 Quando isso ocorre a média μ np será tomada como np λ Nessas condições se X Bn p queremos calcular PX k n k pk qnk A probabilidade de uma lâmpada se queimar ao ser ligada é 1100 Numa instalação com 100 lâmpadas qual a probabilidade de 2 lâmpadas se queimarem ao serem ligadas VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE CONTÍNUAS Dizemos que uma variável aleatória va é contínua quando não conseguimos enumerar seus possíveis resultados por esses formarem um conjunto infinito num dado intervalo de números reais Variável Aleatória Contínua Se tomarmos os pontos médios das bases superiores dos retângulos e os ligarmos por uma curva teremos se considerarmos X uma variável aleatória contínua uma função contínua fX representada no gráfico EX x fxdx A esperança pode ser entendida como um centro de distribuição de probabilidades VARX xEX² fxdx ou VARX EX²EX² onde EX² x² fxdx Também podemos definir Fx PX x ˣ fsds e o gráfico genericamente é Podemos encontrar a f d p se existir a partir de Fx pois ddx Fx fx nos pontos onde Fx é derivável Exemplos de aplicação 1 Verificar se fx2x3 se 0x2 0 se x0 ou x2 é uma f d p 2 Seja fxkx se 0x1 0 se x0 ou x1 Determinar a k a fim de que fx seja f d p b o gráfico de fx d EX e VARX Seja X o tempo durante o qual um equipamento elétrico é usado em carga máxima num certo período de tempo em minutos A função densidade de probabilidade de X é dada por fx11500² x se 0x1500 11500² 3000x se 1500x3000 Calcular EX ou seja o tempo médio em que o equipamento será utilizado em carga máxima Distribuição uniforme Uma variável aleatória contínua X tem distribuição uniforme de probabilidades no intervalo a b se a sua fd d p é dada por fx k se axb 0 se xa ou xb O valor de k é b a kdx1 kxb a 1 k1 ba Logo Fx 0 se xa xa ba se axb 1 se xb E seu gráfico é ESPERANÇA MATEMÁTICA EXba2 VARIÂNCIA VARXba2 12 Exemplos de aplicação 1 Um ponto é escolhido ao acaso no intervalo 0 2 Qual a probabilidade de que esteja entre 1 e 15 2 A dureza H de uma peça de aço pode ser pensada como uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo 50 70 da escala de Rockwel Calcular a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60 Distribuições Contínuas Entre as distribuições teóricas de probabilidades de va contínuas destacase a DISTRIBUIÇÃO NORMAL ou curva normal ou curva de Gauss em homenagem a Carl Friedrich Gauss 17771855 que foi pioneiro na sua utilização apesar da distribuição se dever a Abraham de Moivre 16671754 que a desenvolveu em 1733 como aproximação à distribuição Binomial e a PierreSimon Laplace 1749 1827 que a formalizou Retrata com boa aproximação as distribuições de frequência de muitos fenômenos naturais e físicos Serve como aproximação das probabilidades binomiais sim ou não quando n é grande As médias e as proporções de grandes amostras seguem a distribuição Normal Teorema do Limite Central Distribuição Normal Importância Distribuição Normal 2 1 2 1 e 2 x f x x Pode ser mostrado que 1 é o valor esperado média de X 2 2 é a variância de X 2 0 Notação X N 2 A v a X tem distribuição Normal com parâmetros e 2 se sua função densidade de probabilidade é dada por Propriedades de X N2 EX média ou valor esperado VarX 2 e portanto DPX Curvas Normais com mesma variância 2 mas médias diferentes 2 1 A Distribuição Normal 1 2 N 1 2 N 2 2 x Média e Desvio Padrão 2 4 X Curvas Normais com mesma média µ mas com variâncias diferentes 2 2 1 2 Características x Área 1 A variável aleatória pode assumir valores de a Área abaixo da curva é igual a 1 100 de probabilidade área 683 Características 2 2 área 954 Características 3 3 área 997 Características Para quaisquer valores de μ e σ quando tomamos o intervalo constituído por μ σ μ σ abrangemos aproximadamente 68 dos dados μ 2σ μ 2σ abrangemos aproximadamente 95 dos dados μ 3σ μ 3σ abrangemos aproximadamente 997 dos dados OBS afastamentos da média em unidades de desvio padrão preservam a mesma área sob a curva A Distribuição Normal Para facilitar a obtenção das probabilidades determinação da área sob a curva podemos fazer uma transformação na variável levando para uma distribuição com média igual a 0 zero e variância igual a 1 um Esta distribuição é conhecida como distribuição Normal Padronizada z Área entre a e b Para a distribuição normal padronizada os valores da probabilidade encontramse calculados e tabelados Por isso podem ser facilmente determinados Normal Padronizada Pa x b Pz₁ z z₂ Em que z₁ fraca musigma z₂ fracb musigma Áreas iguais Curva Normal mu sigma a mu b z fracx musigma Curva Normal Padronizada O valor z valor padronizado é uma medida relativa Mede o quanto x se afasta da média em unidade de desvio padrão Valor Padronizado σ z x μ x x Z número de desvios padrões a partir da média x valor de interesse média da distribuição normal de interesse desvio padrão da distribuição normal Através de uma transformação de variáveis é possível converter os valores de qualquer distribuição Normal em valores da distribuição Normal padrão e assim obter suas probabilidades calcular o número de desvios padrões a contar da média a que está um valor da variável Distribuição Normal Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X a sua altura em centímetros Apresentase a seguir uma possível distribuição de probabilidades para este caso 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x fx altura em cm Exemplo Representar o evento estudante selecionado tem 180 cm ou mais X 180 e sua probabilidade PX 180 130 140 150 160 170 180 190 200 210 x fx altura em cm X 180 PX 180 Exemplo Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X o valor de sua altura em centímetros Admita que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm Calcule a normal padronizado de um estudante com 180 cm z x 180 170 10 1 10 10 Ou seja este estudante encontrase a 1 desvio padrão acima da altura média dos estudantes masculinos da universidade Distribuição de X normal com mu 170 e sigma 10 PX 180 PZ 1 Distribuição de Z normal padrão z fracx musigma frac180 17010 1 TABELA Normal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 0500000 0503989 0507978 0511966 0515953 0519939 0523922 0527903 0531881 0535856 010 0539828 0543795 0547758 0551717 0555670 0559618 0563559 0567495 0571424 0575345 020 0579260 0583166 0587064 0590954 0594835 0598706 0602568 0606420 0610261 0614092 030 0617911 0621720 0625516 0629300 0633072 0636831 0640576 0644309 0648027 0651732 040 0655422 0659097 0662757 0666402 0670031 0673645 0677242 0680822 0684386 0687933 050 0691462 0694974 0698468 0701944 0705401 0708840 0712260 0715661 0719043 0722405 060 0725747 0729069 0732371 0735653 0738914 0742154 0745373 0748571 0751748 0754903 070 0758036 0761148 0764238 0767305 0770350 0773373 0776373 0779350 0782305 0785236 080 0788145 0791030 0793892 0796731 0799546 0802337 0805105 0807850 0810570 0813267 090 0815940 0818589 0821214 0823814 0826391 0828944 0831472 0833977 0836457 0838913 100 0841345 0843752 0846136 0848495 0850830 0853141 0855428 0857690 0859929 0862143 110 0864334 0866500 0868643 0870762 0872857 0874928 0876976 0879000 0881000 0882977 120 0884930 0886861 0888768 0890651 0892512 0894350 0896165 0897958 0899727 0901475 130 0903200 0904902 0906582 0908241 0909877 0911492 0913085 0914657 0916207 0917736 140 0919243 0920730 0922196 0923641 0925066 0926471 0927855 0929219 0930563 0931888 150 0933193 0934478 0935745 0936992 0938220 0939429 0940620 0941792 0942947 0944083 160 0945201 0946301 0947384 0948449 0949497 0950529 0951543 0952540 0953521 0954486 170 0955435 0956367 0957284 0958185 0959070 0959941 0960796 0961636 0962462 0963273 180 0964070 0964852 0965620 0966375 0967116 0967843 0968557 0969258 0969946 0970621 190 0971283 0971933 0972571 0973197 0973810 0974412 0975002 0975581 0976148 0976705 200 0977250 0977784 0978308 0978822 0979325 0979818 0980301 0980774 0981237 0981691 210 0982136 0982571 0982997 0983414 0983823 0984222 0984614 0984997 0985371 0985738 220 0986097 0986447 0986791 0987126 0987455 0987776 0988089 0988396 0988696 0988989 230 0989276 0989556 0989830 0990097 0990358 0990613 0990863 0991106 0991344 0991576 240 0991802 0992024 0992240 0992451 0992656 0992857 0993053 0993244 0993431 0993613 250 0993790 0993963 0994132 0994297 0994457 0994614 0994766 0994915 0995060 0995201 260 0995339 0995473 0995604 0995731 0995855 0995975 0996093 0996207 0996319 0996427 270 0996533 0996636 0996736 0996833 0996928 0997020 0997110 0997197 0997282 0997365 280 0997445 0997523 0997599 0997673 0997744 0997814 0997882 0997948 0998012 0998074 290 0998134 0998193 0998250 0998305 0998359 0998411 0998462 0998511 0998559 0998605 300 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999 VAL OR E S POS ITIVOS DE Z Ver tabela da Normal completa Com base na tabela da normal padronizada calcular a PZ 1 Exemplo z 0 1 01587 tabela A área de 01587 corresponde à probabilidade PZ1 TABELA Leitura da tabela Localizar na 1a coluna o valor 1 Na 1a linha está o valor 000 n0 1 compõe com o algarismo 000 o n0 z 100 No cruzamento da linha 1 com a coluna 2 está o número 0841345 Como esta tabela corresponde a toda a área faço 1 0841345 Logo a minha probabilidade é de 01587 TABELA Normal 000 001 002 003 004 005 006 007 008 009 000 0500000 0503989 0507978 0511966 0515953 0519939 0523922 0527903 0531881 0535856 010 0539828 0543795 0547758 0551717 0555670 0559618 0563559 0567495 0571424 0575345 020 0579260 0583166 0587064 0590954 0594835 0598706 0602568 0606420 0610261 0614092 030 0617911 0621720 0625516 0629300 0633072 0636831 0640576 0644309 0648027 0651732 040 0655422 0659097 0662757 0666402 0670031 0673645 0677242 0680822 0684386 0687933 050 0691462 0694974 0698468 0701944 0705401 0708840 0712260 0715661 0719043 0722405 060 0725747 0729069 0732371 0735653 0738914 0742154 0745373 0748571 0751748 0754903 070 0758036 0761148 0764238 0767305 0770350 0773373 0776373 0779350 0782305 0785236 080 0788145 0791030 0793892 0796731 0799546 0802337 0805105 0807850 0810570 0813267 090 0815940 0818589 0821214 0823814 0826391 0828944 0831472 0833977 0836457 0838913 100 0841345 0843752 0846136 0848495 0850830 0853141 0855428 0857690 0859929 0862143 110 0864334 0866500 0868643 0870762 0872857 0874928 0876976 0879000 0881000 0882977 120 0884930 0886861 0888768 0890651 0892512 0894350 0896165 0897958 0899727 0901475 130 0903200 0904902 0906582 0908241 0909877 0911492 0913085 0914657 0916207 0917736 140 0919243 0920730 0922196 0923641 0925066 0926471 0927855 0929219 0930563 0931888 150 0933193 0934478 0935745 0936992 0938220 0939429 0940620 0941792 0942947 0944083 160 0945201 0946301 0947384 0948449 0949497 0950529 0951543 0952540 0953521 0954486 170 0955435 0956367 0957284 0958185 0959070 0959941 0960796 0961636 0962462 0963273 180 0964070 0964852 0965620 0966375 0967116 0967843 0968557 0969258 0969946 0970621 190 0971283 0971933 0972571 0973197 0973810 0974412 0975002 0975581 0976148 0976705 200 0977250 0977784 0978308 0978822 0979325 0979818 0980301 0980774 0981237 0981691 210 0982136 0982571 0982997 0983414 0983823 0984222 0984614 0984997 0985371 0985738 220 0986097 0986447 0986791 0987126 0987455 0987776 0988089 0988396 0988696 0988989 230 0989276 0989556 0989830 0990097 0990358 0990613 0990863 0991106 0991344 0991576 240 0991802 0992024 0992240 0992451 0992656 0992857 0993053 0993244 0993431 0993613 250 0993790 0993963 0994132 0994297 0994457 0994614 0994766 0994915 0995060 0995201 260 0995339 0995473 0995604 0995731 0995855 0995975 0996093 0996207 0996319 0996427 270 0996533 0996636 0996736 0996833 0996928 0997020 0997110 0997197 0997282 0997365 280 0997445 0997523 0997599 0997673 0997744 0997814 0997882 0997948 0998012 0998074 290 0998134 0998193 0998250 0998305 0998359 0998411 0998462 0998511 0998559 0998605 300 0998650 0998694 0998736 0998777 0998817 0998856 0998893 0998930 0998965 0998999 VAL OR E S POS ITIVOS DE Z Ver tabela da Normal completa Selecionar aleatoriamente de uma certa universidade um estudante do sexo masculino Seja X o valor de sua altura em centímetros Admitindo que nesta universidade os estudantes têm altura média de 170 cm com desvio padrão de 10 cm qual é a probabilidade do estudante sorteado ter altura superior a 185 cm Exemplo x 185 cm 170 10 z x 185 cm 170 10 z z x 185 170 10 15 15 10 Exemplo PZ 15 z 0 15 00668 tabela Exemplo Observação Se X N 2 então P P X Z P 1 1 Z ii P 2 X 2 P 2 Z 2 0955 iii P 3 X 3 P 3 Z 3 0997 isto é P X 0683 Z i P 08413 01586 06827 Distribuição Normal Padrão